Matriisilaskenta. Markku Koppinen

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Matriisilaskenta. Markku Koppinen"

Transkriptio

1 Matriisilaskenta Markku Koppinen

2 Alkusanat 7. joulukuuta 2012 Matriisilaskennan kurssilla perehdytään tavallisimpiin matriiseja koskeviin perusasioihin ja -menetelmiin, joita tarvitaan sekä käytännön sovelluksissa että muualla matematiikassa. Monisteessa on yritetty löytää tasapaino matriisien teorian ja käytännön laskuvalmiuksien välillä. Lineaarialgebran kurssilla oli jo esillä determinantti, matriisin aste, ominaisarvot, diagonalisointi ja porrasmatriisit. Tämän kurssin sisällöstä mainittakoon Jordanin normaalimuoto, spektraalihajotelma, komponenttimatriisit, deniitit matriisit, matriisien jonot, sarjat ja funktiot, MoorenPenrosen (yleistetty käänteismatriisi ja PerroninFrobeniuksen lause kaikki asioita, jotka sovellusten yhteydessä yleensä oletetaan tunnetuiksi. Moniste on pääosin sama kuin vuosien 2008 tai 2006 versiot. Tekstin joukossa on runsaasti esimerkkejä. Kaikista ei ole annettu ratkaisua. Osa käsiteltäneen luennoilla ja demonstraatioissa, ja loput jäävät lukijan itse mietittäviksi. Kurssin seuraamiseksi lineaarialgebran kurssin hallinta on välttämätöntä. Ensimmäisessä luvussa on hiukan kertausta. Kirjallisuutta Tärkeimmät käytetyistä lähteistä ovat seuraavat: 1. C. Cullen: Matrices and linear transformations ( P. Lancaster: Theory of matrices (1969 Muita hyviä lähteitä: 3. K. M. Abadir & J. R. Magnus: Matrix algebra ( S. Axler: Linear algebra done right ( A. Berman & R. J. Plemmons: Nonnegative matrices in the mathematical sciences ( D. S. Bernstein: Matrix mathematics ( M. Fiedler: Special matrices and their applications in numerical mathematics ( F. R. Gantmacher: The theory of matrices, III ( K. Homan & R. Kunze: Linear algebra ( R. A. Horn & C. A. Johnson: Matrix analysis ( L. Mirsky: An introduction to linear algebra ( M. Newman: Integral matrices ( B. Noble & J. W. Daniel: Applied linear algebra ( S. Perlis: Theory of matrices ( C. R. Rao & S. K. Mitra: Generalized inverse of matrices and its applications (1971 i

3 Sisältö 1 Perusasioita Hiukan kunnista ja kuntalaajennuksista Polynomien suurin yhteinen tekijä Vektoriavaruus Kanta ja dimensio. Suora summa Matriisialgebraa Kannanvaihdot ja lineaarikuvaukset Determinantti ja jälki Matriisin aste Ominaisarvot ja diagonalisoituvuus Similaarisuus kolmiomatriisin kanssa Sisätulo Ominaisarvot ja -vektorit Matriisin karakteristinen yhtälö Ominaisarvon kertaluvut Idempotentti matriisi. Projektio Ortogonaalinen projektio Matriisin spektraaliesitys ja spektraalihajotelma Kompleksiset matriisit Unitaarimatriisi ja ortogonaalimatriisi Itseadjungoitu matriisi Unitaarinen similaarisuus. Normaali matriisi Rayleighin osamäärä Deniitti matriisi Neliömuoto ja Hermiten muoto Minimaalipolynomi ja normaalimuodot Polynomimatriisit Matriisit rationaalifunktioiden kunnan yli Jakoalgoritmit. CayleynHamiltonin lause ii

4 SISÄLTÖ iii 4.4 Minimaalipolynomi Alkeismuunnokset ja riviekvivalenssi Invariantit polynomit ja Smithin kanoninen muoto Riviekvivalenssi ja similaarisuus Ensimmäinen luonnollinen normaalimuoto Matriisin alkeistekijät Toinen luonnollinen normaalimuoto Jordanin normaalimuoto Matriisien normit Vektorinormi Matriisinormi Indusoitu matriisinormi Vektorien ja matriisien jonot ja sarjat Komponenttimatriisit Komponenttimatriisit: alialgebran A kanta Komponenttimatriisit ja matriisipolynomit Matriisin funktio f(a Matriisien funktiot sarjaesityksinä Matriisifunktioiden välisistä relaatioista Yleistetty käänteismatriisi Määritelmä Sovellus: yhtälöryhmän likimääräinen ratkaiseminen Singulaariarvohajotelma Epänegatiiviset matriisit PerroninFrobeniuksen lause Epänegatiivinen matriisi PerroninFrobeniuksen lauseen todistus Positiiviset ja primitiiviset matriisit Sovellus: Markovin ketjut

5 Luku 1 Perusasioita Tämä luku on paljolti lineaarialgebran kurssin kertausta. 1.1 Hiukan kunnista ja kuntalaajennuksista Pyrimme käsittelemään asiat, missä vain mahdollista, käyttäen skalaarikuntana mielivaltaista kuntaa K (Algebran peruskurssi II. Reaali- ja kompleksilukukunnat R ja C ovat mukana erikoistapauksina. Jos ei tunne yleisen kunnan käsitettä, tai jos on kiinnostunut vain reaalisista ja kompleksisista matriiseista, K:n tilalle voi joka kohdassa ajatella R:n tai C:n. Yleinen kunta on joukko K varustettuna yhteen- ja kertolaskuoperaatioilla (+ ja, joiden oletetaan toteuttavan eräät hyvin samantapaiset laskulait kuin on voimassa R:ssä tai C:ssä. Kunnan aksioomat voidaan lausua seuraavasti: (K, + on Abelin ryhmä (kunnan additiivinen ryhmä, nolla-alkiona 0, (K \ {0}, on Abelin ryhmä (kunnan multiplikatiivinen ryhmä, ykkösalkiona 1, a(b + c = ab + ac ja (a + bc = ac + bc aina kun a, b, c K (distributiivilait. Kunnan K alkioilla laskeminen käy aivan samoin kuin reaali- tai kompleksiluvuilla. On kuitenkin seuraavat oleelliset erot: Yleisessä kunnassa K ei ole suuruusjärjestystä ( eikä itseisarvon ottoa (, K:n alkioilla ei ole minkäänlaista esitystä reaalilukujen avulla (vrt. C:ssä: z = x+yi, ja K:ssa saattaa olla n1 = = 0 joillakin luonnollisilla luvuilla n. (Tässä n1 = n1 K = 1 K K, ykkösiä n kappaletta. Kunnan karakteristika char K on 0, jos n1 K 0 aina kun n 1; jos taas n1 K = 0 jollain luonnollisella luvulla n 1, määritellään, että karakteristika char K on pienin tällainen luku n (ks. Algebran peruskurssi II. Esimerkiksi char R = 0 ja char C = 0. Kun p on alkuluku, niin Z p = Z/pZ on kunta, jonka karakteristika on p. Se reaalisten vektoriavaruuksien teoria, joka kehiteltiin lineaarialgebran kurssissa, voidaan melkein sellaisenaan siirtää koskemaan vektoriavaruuksia yli mielivaltaisen kunnan K; skalaarit vain otetaan R:n (tai C:n sijasta kunnasta K. Yksi tärkeä poikkeuskin on: sisätulo 1

6 LUKU 1. PERUSASIOITA 2 ja normi eivät yleisty mielivaltaisen kunnan tapaukseen. Joskus rajoitummekin kuntaan R tai C; näin on ainakin silloin, kun tarvitsemme sisätuloa tai normia. Lisäksi toisinaan joudumme olettamaan, että K on kyllin laaja siinä mielessä, että jokin tarkasteltavana oleva K-kertoiminen polynomi p(x = a r x r + a r 1 x r a 2 x 2 + a 1 x + a 0 (a i K i, a r 0, voidaan hajottaa tuloksi p(x = a r (x c 1 (x c r (c i K i; tällöin sanotaan, että p(x hajoaa täydellisesti yli K:n. Tämä on ekvivalentti sen kanssa, että p(x:n nollakohdat c 1,..., c r löytyvät K:sta (eikä jostain laajennuskunnasta. Kunta K on algebrallisesti suljettu, jos jokainen K-kertoiminen polynomi hajoaa täydellisesti yli K:n. Esimerkiksi polynomi x 2 + x + 1 ei hajoa tekijöihin yli R:n, mutta koska sillä on C:ssä nollakohdat α, β = 1 2 ( 1 ± i 3, niin yli C:n se hajoaa: x 2 + x + 1 = (x α(x β. Reaalilukukunta R ei ole algebrallisesti suljettu, mikä nähdään vaikka polynomista x tai x 2 +x+1. Sen sijaan C:tä koskee Algebran peruslause: C on algebrallisesti suljettu. Siksi lineaarialgebran kurssissa, käsiteltäessä matriisien ominaisarvoja, skalaarikunnaksi otettiin C; tällä taattiin, että ominaisarvopolynomit c A (x = det(a xi hajoavat täydellisesti. Tarvittaessa voidaan aina siirtyä käyttämään sopivaa K:n laajennuskuntaa, esimerkiksi ns. algebrallista sulkeumaa K. Tämä on eräs algebrallisesti suljettu kunta, joka sisältää K:n alikuntanaan. Esimerkiksi C on R:n algebrallinen sulkeuma. Jatkossa K on kiinnitetty kunta. Kunnille R ja C käytämme yhteistä merkintää K. 1.2 Polynomien suurin yhteinen tekijä Oletamme tunnetuiksi jotkin polynomien jaollisuutta ja suurinta yhteistä tekijää (syt koskevat asiat, jotka esitellään tässä lyhyesti. Ne ovat täysin analogisia kokonaislukuja koskevien vastaavien seikkojen kanssa. Kun a(x, b(x K[x], niin b(x jakaa a(x:n (K[x]:ssä, merkitään b(x a(x, jos on sellainen c(x K[x], että a(x = c(xb(x. Polynomeilla on voimassa ns. jakoalgoritmi: jos b(x 0, on yksikäsitteiset sellaiset q(x, r(x K[x], että a(x = q(xb(x + r(x, deg r(x < deg b(x; (1.1 tässä deg tarkoittaa polynomin astetta (degree (nollapolynomin asteeksi sovitaan. Siis b(x a(x jos ja vain jos jakojäännös r(x = 0 (nollapolynomi. Polynomi on pääpolynomi, jos korkeimman asteen termin kerroin (johtava kerroin on 1. Polynomien f 1 (x,..., f k (x K[x], joista ainakin yksi f i (x 0, suurin yhteinen tekijä syt(f 1 (x,..., f k (x on yksikäsitteinen sellainen pääpolynomi g(x, että se jakaa jokaisen f i (x:n ja että jokainen h(x, joka jakaa jokaisen f i (x:n, jakaa myös g(x:n. Ekvivalentisti, g(x on se yksikäsitteinen alimmanasteinen pääpolynomi, joka voidaan esittää muodossa g(x = k p i (xf i (x, (p i (x K[x] i. (1.2 i=1

7 LUKU 1. PERUSASIOITA 3 (Vielä ekvivalentisti: g(x on se yksikäsitteinen pääpolynomi, joka yksinään generoi renkaassa K[x] saman ihanteen kuin f 1 (x,..., f k (x yhdessä. Renkaan ihanne määritellään Algebran peruskurssissa II, emmekä me tule sitä tarvitsemaan. Polynomien syt voidaan laskea ns. Eukleideen algoritmilla, mutta meillä riittää seuraava keino: Kirjoitetaan f i (x:t jaottomien tekijöiden tuloiksi (jaottomat tekijät ovat aina 1. astetta jos K on algebrallisesti suljettu ja luetaan syt näistä hajotelmista (aivan kuten kokonaislukujen syt voidaan lukea alkutekijähajotelmista. Esimerkki syt((x 1 2 (x 2, (x 1(x 3, (x 1 3 = x 1, syt(x 1, 0, 1 = 1, syt((x 1 2, x 2 = 1. Viimeksi mainitun nojalla 1 pitäisi voida lausua muodossa 1 = p(x(x q(x(x 2, ja todellakin: 1 = 1 (x ( x (x 2. Entä miten x 1 voidaan lausua muodossa (1.2 polynomien (x 1 2 (x 2, (x 1(x 3 ja (x 1 3 = x 1 avulla? 1.3 Vektoriavaruus Tyypillinen esimerkki vektoriavaruudesta on varustettuna laskutoimituksilla R n = {x = (x 1,..., x n x j R j} (n 1, x + y = (x 1 + y 1,..., x n + y n, ax = (ax 1,..., ax n, missä x = (x 1,..., x n ja y = (y 1,..., y n R n ja a R. Tarkemmin sanottuna R n on eräs reaalinen vektoriavaruus eli vektoriavaruus yli skalaarikunnan R. Käsittelemme jatkossa vektoreita aina pystyvektoreina, ellei toisin sanota. Niinpä R n :n alkioina ovat vektorit x 1 x = (x 1,..., x n T =., x n missä ( T tarkoittaa transponointia. Korvattaessa R C:llä saadaan kompleksinen vektoriavaruus C n, joka siis on vektoriavaruus yli kunnan C. Vektoriavaruus yli kunnan K on (V, +,, missä K on skalaarikunta, V on joukko, + on binäärioperaatio V V V (V :n alkioiden yhteenlasku ja on binäärioperaatio K V V (skalaarilla kertominen; merkitään a x = ax, ja missä on voimassa seuraavat ehdot: (V, + on Abelin ryhmä, a(x + y = ax + ay a K, x, y V, (a + bx = ax + bx a, b K, x V, (abx = a(bx a, b K, x V, 1x = x x V.

8 LUKU 1. PERUSASIOITA 4 Eräs vektoriavaruus yli kunnan K on K n : sen muodostavat vektorit x = (x 1,..., x n T, missä x 1,..., x n K, ja operaatiot määritellään vastaavasti kuin R n :ssä. Esimerkki Kaikkien K-kertoimisten polynomien joukko K[x] = { p(x = a 0 + a 1 x + + a r x r r 0, a i K i } on vektoriavaruus yli K:n (tavalliset laskutoimitukset. Jatkossa vektoriavaruudet ovat yli kiinnitetyn kunnan K, ellei toisin sanota. Vektoriavaruuden V aliavaruus U on osajoukko, joka itsekin on vektoriavaruus V :n operaatioiden ja saman skalaarikunnan K suhteen. Tätä koskee aliavaruuskriteeri: Kun U V, niin U on aliavaruus jos ja vain jos U ja ax + by U a, b K, x, y U. Jokainen V :n osajoukko S virittää (tai generoi aliavaruuden L(S = { a 1 x a k x k k 0, a j K, x j S j }. Siis L(S on kaikkien S:n alkioista muodostettujen lineaarikombinaatioiden joukko. Esimerkki Avaruudella K 3 on esimerkiksi aliavaruudet {(x, y, 0 T x, y K} ja {(x, y, z T K 3 x + y + z = 0}. Esimerkki Avaruudella K[x] on mm. aliavaruudet P n = { p(x K[x] deg p(x n 1 } = { a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 a i K i }. Esimerkki Matriisit ( a b c d (a, b, c, d C muodostavat kompleksisen vektoriavaruuden M 2 (C tavallisten operaatioiden suhteen. Sillä on aliavaruutena esimerkiksi kaikkien yläkolmiomatriisien ( ( a b 0 d joukko (a, b, d C. Tämän virittävät vaikkapa matriisit , ( ( , Kanta ja dimensio. Suora summa Vektoriavaruuden V äärellinen osajoukko S = {x 1,..., x k } on lineaarisesti riippuva, jos on sellaiset a 1,..., a k K, että jokin a j 0 ja a 1 x a k x k = 0. Ekvivalentti ehto, kun k 2, on että jokin vektoreista x j voidaan esittää muiden x i :den lineaarikombinaationa. Jos S ei ole lineaarisesti riippuva, se on lineaarisesti riippumaton. Joukko S = {x 1,..., x k } on V :n kanta, jos se on lineaarisesti riippumaton ja virittää V :n (ts. V = L(S. Jos V :llä on tällainen kanta, sanotaan, että V on äärellisulotteinen ja että sen dimensio on dim V = dim K V = #S = k. Dimensio ei riipu kannan valinnasta. Kanta ei ole yksikäsitteinen. Kannan {x 1,..., x k } avulla jokainen vektori x V voidaan esittää yksikäsitteisessä muodossa x = c 1 x c k x k, c j K. Tämä on x:n kantaesitys. Sen kertoimista muodostuvaa vektoria (c 1,..., c k T K n sanotaan vektorin x koordinaattivektoriksi. Näiden avulla avaruutta V voidaan käsitellä kuin se olisi K n. (Kanta määritellään kyllä ääretönulotteisessakin tapauksessa.

9 LUKU 1. PERUSASIOITA 5 Esimerkki Avaruuden K n luonnollinen kanta on {e 1,..., e n }, missä vektorit e j = (0,..., 1,..., 0 T (j:s koordinaatti = 1, muut = 0 ovat luonnolliset kantavektorit. Siis dim K n = n. Vektorin a = (a 1,..., a n T kantaesitys tässä kannassa on a = a 1 e 1 + +a n e n. Esimerkki Polynomiavaruudella P n on kanta {1, x,..., x n 1 }, joten dim P n = n (esimerkki Esimerkki Joukko R n on C n :n osajoukko muttei C-aliavaruus. Huomaa kuitenkin, että C n on vektoriavaruus myös yli R:n, ja R n on tämän aliavaruus. Kun C n :ää katsotaan vektoriavaruutena yli C:n, sen dimensio on n, merkitään dim C (C n = n, mutta vektoriavaruutena yli R:n sen dimensio onkin 2n, merkitään dim R (C n = 2n. Esimerkki Olkoon M m n (K m n-matriisien joukko yli K:n; siis sen alkioina ovat a a 1n (a ij m n = a m1... a mn (a ij K. Tavallisten matriisioperaatioiden suhteen (yhteenlasku, skalaarilla kertominen M m n (K on vektoriavaruus yli K:n. Nollavektorina toimii nollamatriisi O = (0 m n. Tällä avaruudella on luonnollinen kanta {E rs r = 1,..., m, s = 1,..., n}, missä E rs on matriisi, jonka kohdassa (r, s on 1 ja muut alkiot ovat nollia. Nimittäin matriisilla A = (a ij on yksikäsitteinen esitys niiden lineaarikombinaationa: A = m n r=1 s=1 a rse rs. Siis dim M m n (K = mn. Voidaan kirjoittaa E rs = (δ ir δ js m n, missä δ ij on Kroneckerin symboli, joka määritellään: δ ij = 1, kun i = j, ja δ ij = 0, kun i j. Vektoriavaruus V on aliavaruuksiensa U ja W summa, merkitään V = U +W, jos jokainen v V voidaan esittää muodossa v = u + w, missä u U ja w W. Jos jokaisen v:n esitys tässä muodossa on yksikäsitteinen, summa on suora ja merkitään V = U W. Kun V on äärellisulotteinen ja U ja W ovat sen aliavaruuksia, niin V = U W tarkalleen silloin kun seuraavista kolmesta ehdosta kaksi on voimassa (jolloin kolmaskin on: V = U + W, U W = {0}, dim V = dim U + dim W. Kun nämä ovat voimassa, V :lle saadaan kanta yhdistämällä U:n ja W :n kannat. 1.5 Matriisialgebraa Matriisien A = (a ij M m n (K ja B = (b ij M n r (K tulo määritellään: AB = (c ij M m r (K, missä c ij = n k=1 a ikb kj. Tapauksessa m = n merkitään myös M m n (K = M n (K. Em. yhteen- ja kertolaskuoperaatioiden suhteen M n (K on rengas, jonka ykkösalkiona on identiteettimatriisi I = I n = (δ ij n n. Nyt M n (K:llä on sekä vektoriavaruus- että rengasrakenne, ja kun ne otetaan samanaikaisesti huomioon, siitä saadaan esimerkki ns. K-algebrasta:

10 LUKU 1. PERUSASIOITA 6 Määritelmä (Assosiatiivinen K-algebra on nelikkö (R, +,,, missä (R, +, on rengas, (R, +, on vektoriavaruus yli K:n ja on voimassa α (x y = (α x y = x (α y kaikilla alkioilla α K, x, y R. Osajoukko S R on alialgebra jos se on sekä aliavaruus että alirengas. Tulo- ja skalaarillakertomisperaatiot ja merkitään tavallisesti ilman pistettä. Toinen tuttu K-algebra on polynomialgebra K[x]. Se on kommutatiivinen, kun taas M n (K on epäkommutatiivinen kun n > 1. Kunta K itse on K-algebra, siis R on R-algebra ja C on C-algebra; lisäksi C on R-algebra. Esimerkki Algebralla M n (K on alialgebra, jonka muodostavat yläkolmiomatriisit, siis matriisit, joiden päälävistäjän alapuoleiset alkiot ovat nollia. Sen osoittamiseksi, että kyseessä on alialgebra, on todettava, että identiteettimatriisi on yläkolmiomatriisi, kahden yläkolmiomatriisin summa ja tulo ovat yläkolmiomatriiseja ja että yläkolmiomatriisin skalaarimonikerta on yläkolmiomatriisi. (Se, että nämä ovat juuri tarvittavat ehdot, tulee aliavaruusja alirengaskriteereistä. Muistetaan, että jos p(x = c 0 x k + c 1 x k c k 1 x + c k K[x] ja A M n (K, niin matriisipolynomi p(a tarkoittaa matriisia p(a = c 0 A k + c 1 A k c k 1 A + c k I M n (K. Kun A M n (K on kiinnitetty, merkitään A alialg = A = { p(a p(x K[x] }, (1.3 ja sanotaan, että tämä on A:n generoima alialgebra. On helppo osoittaa, että se on yksikäsitteinen suppein M n (K:n alialgebra, johon A kuuluu. Esimerkki Osoitetaan, että jokainen A M n (K toteuttaa jonkin polynomiyhtälön p(a = O, missä p(x K[x], p(x 0. Tarkastellaan esimerkkinä matriisia A = ( Neliömatriisi A M n (K on säännöllinen, jos sillä on käänteismatriisi, ts. sellainen matriisi A 1, että AA 1 = A 1 A = I. Jos B M n (K toteuttaa toisen ehdoista AB = I ja BA = I, niin toinenkin on voimassa ja B = A 1. Esimerkki Osoitetaan, että jos A M n (K on säännöllinen, niin A 1 A. Esimerkki Olkoon A idempotentti neliömatriisi, toisin sanoen A 2 = A. Silloin A = {c 0 I + c 1 A c 0, c 1 K}. Jos A O, I, niin {I, A} on alialgebran A kanta. Ratkaistaan tällöin B 1, kun B = ci + A, missä c 0, 1 on kiinnitetty. Matriisit A, B M n (K ovat similaariset, jos A = P 1 BP jollain säännöllisellä matriisilla P; matriisia P sanotaan similaarisuuden välittäväksi muunnosmatriisiksi. Similaarisuus on ekvivalenssirelaatio. Lisäksi on voimassa: P 1 (A 1 + A 2 P = P 1 A 1 P + P 1 A 2 P, P 1 (A 1 A 2 P = (P 1 A 1 P (P 1 A 2 P, P 1 (ca 1 P = cp 1 A 1 P,

11 LUKU 1. PERUSASIOITA 7 kun A i M n (K ja c K. Nämä ehdot merkitsevät, että kuvaus A P 1 AP on K- algebrahomomorsmi M n (K M n (K (kun P on kiinnitetty. Erityisesti seuraa, että P 1 p(ap = p(p 1 AP (p(x K[x]. (1.4 Matriisin A transponoitu matriisi A T saadaan vaihtamalla pystyrivit vaakariveiksi järjestys säilyttäen; siis jos A = (a ij m n, niin A T = (a ji n m. Kun matriisitulo AB on määritelty, niin (AB T = B T A T. Matriiseja voidaan kertoa lohkomuodossa, esimerkiksi ( ( ( A B A B AA + BC AB + BD C D C D = CA + DC CB + DD, edellyttäen että lohkojen riviluvut sopivat kertolaskun puolesta yhteen. Olkoon esimerkiksi A M m n (K ja B M n k (K, ja merkitään A:n vaakarivejä a 1,..., a m ja B:n pystyrivejä b 1,..., b n. Silloin AB = A ( b 1 b 2... b n = ( Ab1 Ab 2... Ab n ja AB = a 1 a 2. a n B = a 1 B a 2 B.. a n B Esimerkki Olkoon A M n (K, B M n m (K, C M m n (K ja D M m (K. Oletetaan, että A on säännöllinen. Silloin ( A B = C D ( ( ( I O A O I A 1 B CA 1 I O D CA 1 B O I, (1.5 mikä nähdään kertomalla oikea puoli lohkomuodossa. (On tietenkin tarkistettava myös, että esiintyvät matriisitulot ovat määriteltyjä. ( Matriisia D CA 1 B sanotaan joskus A:n A B Schurin komplementiksi matriisissa. Kaavan voi ymmärtää vaikka niin, että matriisi C D muunnetaan tietyllä muunnoksella kvasidiagonaaliseksi (määritellään myöhemmin. Tapaus n = m = 1 antaa ( ( ( ( a b 1 0 a 0 1 b = c c d a 1 0 d bc a a 0 1 (a, b, c, d K, a 0. (1.6 ( ( ( Esimerkki I A A O O AB =. O I I B I B Esimerkki ( A O = B C ( A O O I ( I O B I ( I O. O C

12 LUKU 1. PERUSASIOITA Kannanvaihdot ja lineaarikuvaukset Olkoot B = {b 1,..., b m } ja B = {b 1,..., b m} kaksi V :n kantaa. Kannanvaihdon B B matriisi P = P B B saadaan lausumalla kantavektorit b i kannassa B ja kirjoittamalla näin saadut koordinaattivektorit P :n pystyriveiksi. Toisin sanoen P = (p ij m m, missä p ij :t määräytyvät yhtälöistä b j = m i=1 p ijb i (j = 1,..., m. Vektorin x V koordinaattivektoreilla X B = (x 1,..., x n T ja X B = (x 1,..., x n T ko. kantojen suhteen on yhteys X B = P X B. Kuvaus τ : V W kahden vektoriavaruuden välillä on lineaarikuvaus, jos τ(ax + by = aτ(x + bτ(y a, b K, x, y V. Lineaarikuvaus τ : V W voidaan esittää matriisilla kiinnittämällä V :lle ja W :lle kannat: Kun V :lle valitaan kanta B = {b 1,..., b n } ja W :lle kanta C = {c 1,..., c m }, niin τ:ta esittävä matriisi M(τ = M B,C (τ muodostetaan lausumalla kantavektoreiden b j kuvat τ(b j kannassa C, siis τ(b j = m i=1 a ijc i (j = 1,..., n, ja asettamalla M(τ = (a ij ; saadut koordinaattivektorit laitetaan siis taaskin pystyriveiksi. Jos nyt x V ja y W ovat mielivaltaisia, niin τ(x = y M(τX B = Y C, missä X B = (x 1,..., x n T ja Y C = (y 1,..., y m T ovat x:n ja y:n koordinaattivektorit ko. kantojen suhteen. Jos tässä tilanteessa V :ssä suoritetaan kannanvaihto B B ja W :ssä kannanvaihto C C, ja jos kannanvaihtojen matriisit ovat P = P B B ja Q = P C C, niin τ:ta esittävä matriisi muuntuu seuraavalla säännöllä: M B,C (τ = Q 1 M B,C (τp. (1.7 Tarkastellaan erityisesti lineaarikuvausta µ : V V. Sen matriisiksi kannan B suhteen sanotaan matriisia M B (µ = M B,B (µ; huomaa, että nyt sekä määrittely- että maalipuolella käytetään samaa kantaa. Nähdään, että tämä matriisi muuntuu kannanvaihdossa säännöllä M B (τ = P 1 M B (τp, (1.8 missä P = P B B. Näin ollen kyseessä on similaarimuunnos. Jokainen matriisi A = (a ij M m n (K määrää lineaarikuvauksen τ A : K n K m, ( x1. x n A ( x1. x n (x i K. Koska τ A (x = Ax x K n, niin A on itse tämän lineaarikuvauksen matriisi luonnollisten kantojen suhteen. Olkoon A M m n (K matriisi ja olkoon τ : K n K m sitä vastaava lineaarikuvaus, siis τ(x = Ax (x K n. Sen ydin on Ker(τ = {x K n τ(x = 0} ja kuva-avaruus Im(τ = {τ(x x K n }. Niitä sanotaan myös matriisin A ytimeksi ja kuva-avaruudeksi ja merkitään Ker(A ja Im(A; siis Ker(A = {x K n Ax = 0} K n, Im(A = {Ax x K n } K m.

13 LUKU 1. PERUSASIOITA 9 Ne ovat ko. avaruuksien aliavaruuksia. Lineaarikuvauksen dimensioyhtälön mukaan n = dim Ker(τ + dim Im(τ. Siitä saadaan nyt n = dim Ker(A + dim Im(A. Todistamme ensimmäisen matriiseja koskevan rakennetuloksemme. Neliömatriisi A on nilpotentti, jos A i = O jollain i:llä. Sovitaan, että A 0 = I, kun A O. ( Lause Jokainen matriisi A M n (K on similaarinen muotoa R O O N olevan matriisin kanssa, missä R M p (K on säännöllinen ja N M n p (K on nilpotentti (0 p n. Lisäksi p = dim Im(A k, missä k 0 on pienin sellainen luku, että Im(A k = Im(A k+1. Todistus. Koska Im(A i+1 Im(A i (nimittäin A i+1 x = A i (Ax x, niin Im(A i :t muodostavat laskevan ketjun K n :n aliavaruuksia: K n = Im(A 0 Im(A Im(A 2 Im(A i Im(A i+1. Dimensio dim(k n = n on äärellinen, joten Im(A i = Im(A i+1 jollain i:llä, i n. Silloin lisäksi Im(A i = Im(A i+2. Nimittäin ensinnäkin Im(A i Im(A i+2. Jos kääntäen x Im(A i niin x = A i+1 y = A(A i y = A(A i+1 z = A i+2 z joillain vektoreilla y ja z; siis x Im(A i+2. Tästä seuraa induktiolla, että Im(A i+j = Im(A i kun j 0. Näin ollen K n Im(A Im(A 2 Im(A k = Im(A k+1 = Im(A k+2 =, (1.9 kun k on kuten lauseessa. Osoitetaan seuraavaksi, että K n = Im(A k Ker(A k. Koska dimensioyhtälön nojalla n = dim Im(A k + dim Ker(A k, niin riittää osoittaa, että K n = Im(A k + Ker(A k. Olkoon sitä varten x K n mielivaltainen. Silloin A k x Im(A k = Im(A 2k, joten A k x = A 2k y jollain vektorilla y. Siis A k (x A k y = 0, toisin sanoen x A k y Ker(A k. Nyt x = A k y + (x A k y, missä A k y Im(A k ja x A k y Ker(A k. Siis x Im(A k + Ker(A k. Suoralla summalla K n = Im(A k Ker(A k on kanta B = {x 1,..., x n }, missä {x 1,..., x p } on Im(A k :n ja {x p+1,..., x n } on Ker(A k :n kanta. Kun x Im(A k, niin Ax Im(A k, ja kun x Ker(A k, niin Ax Ker(A k. Käyttämällä tätä kantavektoreihin x i nähdään, että kun i p niin Ax i on vektoreiden x 1,..., x p lineaarikombinaatio, ja kun i p + 1 niin Ax i on vektoreiden x p+1,..., x n lineaarikombinaatio. Siis lineaarikuvauksen K n K n, x Ax, matriisi kannan B suhteen on muotoa ( R O O N, missä R ja N ovat p p- ja (n p (n p- matriisit. Nyt R on kuvauksen x Ax restriktion Im(A k Im(A k matriisi kannan {x 1,..., x p } suhteen. Tämä kuvaus on surjektio, sillä Im(A k = Im(A k+1 ; siis se on bijektio, joten R on säännöllinen. Matriisi N on kuvauksen x Ax restriktion Ker(A k Ker(A k matriisi kannan {x p+1,..., x n } suhteen. Koska A k vie Ker(A k :n nollaksi, niin N k = O. ( Lopuksi A on kuvauksen K n K n, x Ax, matriisi luonnollisen kannan suhteen, ja R O O N on saman kuvauksen matriisi kannan B suhteen. Siis matriisit ovat similaariset.

14 LUKU 1. PERUSASIOITA 10 ( ( ( x x Esimerkki Kun A = M 3 (R, niin A y = x + y + z. Seuraa, että z x + y + z Im(A = {(a, b, b T a, b R} = Im(A 2, joten lauseen k = 1. Lisäksi Ker(A = {(0, b, b T b R}. Valitaan Im(A:lle kanta {x 1, x 2 } ja Ker(A:lle kanta {x 3 }, missä x 1 = (1, 0, 0 T, x 2 = (0, 1, 1 T ja x 3 = (0, 1, 1 T. Silloin Ax 1 = (1, 1, 1 T = x 1 + x 2, Ax 2 = (0, 2, 2 T = 2x 2, Ax 3 = 0, ( joten kuvauksen x Ax matriisi kannan B = {x 1, x 2, x 3 } suhteen on B = Siis A ( ( on similaarinen B:n kanssa, ja saadaan R = 1 2 ja N = 0. Similaarisuuden ( 1 välittävä 0 0 matriisi löydetään esimerkiksi käyttämällä kannanvaihtomatrisia P = P E B = Kun τ on kuvaus x Ax, niin A = M E (τ ja B = M B (τ, ja säännöstä (1.7 saadaan B = M B,B (τ = P B E M E,E (τp E B = P 1 AP. 1.7 Determinantti ja jälki Neliömatriisin A = (a ij n n determinantti on a 11 a a 1n a 21 a a 2n det(a = = sign(j , j 2,..., j n a 1j1 a 2j2 a njn. (1.10 α a n1 a n2... a nn Summassa käydään kaikki joukon {1, 2,..., n} permutaatiot α = (j 1, j 2,..., j n ja kerroin sign(j 1, j 2,..., j n = ±1 on permutaation merkki. Determinantin perusominaisuuksia: 1 det(a T = det(a. 2 det(a vaihtaa vain merkkinsä, jos A:n kaksi vaakariviä vaihdetaan tai kaksi pystyriviä vaihdetaan. 3 det(a = 0, jos A:ssa on kaksi samaa vaakariviä tai kaksi samaa pystyriviä. 4 jonkin vaaka- tai pystyrivin yhteinen tekijä voidaan siirtää det(a:n tekijäksi; erityisesti siis det(ca = c n det(a (c K. 5 Kun 1 k n, niin a a 1n a k1 + b k1... a kn + b kn a n1... a nn a a 1n a a 1n = a k1... a kn + b k1... b kn a n1... a nn a n1... a nn

15 LUKU 1. PERUSASIOITA 11 Huomaa, että ominaisuuksien 4 ja 5 nojalla determinantti on lineaarikuvaus kunkin vaakarivinsä funktiona (tai yhtä hyvin kunkin pystyrivin. Lineaarialgebran kurssissa todistettiin det(ab = det(a det(b. (1.11 Alkion a ij alimatriisiksi A ij sanotaan (n 1 (n 1-matriisia, joka saadaan pyyhkimällä A:sta pois i:s vaakarivi ja j:s pystyrivi. Alkion a ij alideterminantti on det(a ij ja komplementti C ij = ( 1 i+j det(a ij. Muistetaan seuraavat kaavat, jotka sisältävät determinantin vaaka- ja pystyrivikehitelmät: n a ij C kj = j=1 { det(a, jos i = k, 0, jos i k; n a ij C ik = i=1 { det(a, jos j = k, 0, jos j k. Esimerkki Suoraan determinantin määritelmästä on helppo todistaa det ( A O C D = det(a det(d, det ( A B O D (1.12 = det(a det(d, (1.13 kun A ja D ovat neliömatriiseja. Nämä voidaan perustella toisinkin: ensimmäinen seuraa helposti esimerkin hajotelmasta, kun kaava (1.11 ja determinantin rivikehitelmät oletetaan tunnetuiksi; vastaavasti saadaan toinen. Esimerkki Kääntäen, kaavalle (1.11 saataisiin uusi todistus esimerkin hajotelmasta seuraavasti: 1 Todistetaan kaavat (1.13 suoraan determinantin määritelmästä. 2 Todistetaan, ettei matriisin kertominen muotoa ( I A olevalla matriisilla muuta determinantin arvoa ja että det em. ominaisuuksista. ( O C I B O I = det(c; kumpikin tulee helposti determinantin Matriisin A M n (K liittomatriisi (adjugate on adj(a = (C ij T, missä C ij :t ovat A:n alkioiden komplementit. Yhtälöt (1.12 merkitsevät, että Nähdään myös, että A adj(a = adj(a A = det(a I. (1.14 A on säännöllinen jos ja vain jos det(a 0, ja tällöin A 1 = det(a 1 adj(a. (1.15 Esimerkki Olkoon c 1,..., c n K. Lasketaan Vandermonden determinantti 1 c 1 c 2 1 c n c 2 c 2 2 c n c n c 2 n c n 1 n = i c j. (1.16 i>j(c Esimerkki Olkoon A, B, C, D M n (K, missä A on säännöllinen. Tarkastellaan esimerkin yhtälöä (1.5. Oikealla puolella on ensimmäisenä alakolmiomatriisi, jonka päälävistäjällä on vain ykkösiä, joten sen determinantti on 1. Samoin kolmannen matriisin determinantti on 1. Esimerkkien ja nojalla det ( A B C D ( A O = det O D CA 1 = det(a det(d CA 1 B. B

16 LUKU 1. PERUSASIOITA 12 Koska A ja D CA 1 B ovat neliömatriiseja, saadaan Schurin kaava ( A B det = det(a(d CA 1 B = det((d CA 1 BA. C D Tapauksissa AC = CA tai AB = BA seuraa ( { A B det(ad CB jos AC = CA, det = C D det(da CB jos AB = BA. (1.17 Tämä tuli johdettua oletuksella, että A on säännöllinen, mutta lopputuloksessahan A 1 ei enää esiinny. Myöhemmin näemme, miten tulos laajennetaan singulaarisillekin matriiseille A. Determinantin lisäksi toinen tärkeä neliömatriisiin A = (a ij n n liittyvä suure on sen jälki tr(a (trace, joka määritellään: tr(a = a a nn. (1.18 Suoraan laskemalla todetaan, että tr(ab = tr(ba, kun A ja B ovat samaa kokoa olevia neliömatriiseja, ja että tästä seuraa, että similaareilla matriiseilla on sama jälki. Huomautus Determinanttia koskevat asiat johdettiin lineaarialgebran kurssissa kunnalle K = R, mutta samat todistukset käyvät yleisestikin. Tulokset ovat voimassa jopa, kun K:n tilalla on mielivaltainen kommutatiivinen rengas R! Kuitenkin toteamuksessa (1.15 ehdon det(a 0 tilalle on otettava ehto, että alkiolla det(a R on käänteisalkio renkaassa R, ja A 1 :n lausekkeeseen tulee ko. käänteisalkio. Tulemme tarvitsemaan tätä laajennusta, erityisesti yhtälöä (1.14, tapauksessa R = K[x]. 1.8 Matriisin aste Merkitään matriisin A M m n (K pystyrivejä a 1,..., a n ja vaakarivejä a 1,..., a m. Huomaa, että a j K m ja a i K n, missä ajattelemme nyt K n :n alkioita vaakavektoreina. Matriisin pystyriviavaruus on L(a 1,..., a n K m ja vaakariviavaruus on L(a 1,..., a m K n. Nämä ovat dimensioiltaan yhtä suuret (todistus kuten lineaarialgebran kurssissa; määritellään, että tämä yhteinen dimensio on A:n aste r(a. Siitä, että Ae j = a j, seuraa, että Im(A = L(a 1,..., a n. Siis Lemma Jos A M m n (K ja B M n k (K, niin r(a = dim Im(A. (1.19 r(ab min(r(a, r(b. Jos C 1 M n (K on säännöllinen, niin r(ac 1 = r(a. Jos C 2 M m (K on säännöllinen, niin r(c 2 A = r(a.

17 LUKU 1. PERUSASIOITA 13 Todistus. Kun x K n, niin (ABx = A(Bx, joten Im(AB Im(A (aliavaruus. Seuraa dim(ab dim(a, eli r(ab r(a. Koska matriisin aste ei muutu transponoinnissa, niin r(ab = r((ab T = r(b T A T r(b T = r(b. Kun C 1 on kuten lauseessa, saadaan r(a = r(ac 1 C1 1 r(ac 1 r(a, joten r(ac 1 = r(a. Samoin todistetaan viimeinen väite. Lause Olkoon A M m n (K ja r(a = r. On sellaiset matriisit B M m r (K ja C M r n (K, että A = BC ja r(b = r(c = r. Todistus. Merkitään A:n pystyrivejä a 1,..., a n K m ; siis a j = (a 1j,..., a nj T kun A = (a ij. Valitaan A:n pystyriviavaruudelle kanta b 1,..., b r. On sellaiset kertoimet c ij että r a j = c kj b k k=1 (j = 1,..., n, toisin sanoen, jos merkitään b k = (b 1k,..., b mk T, niin a ij = r c kj b ik = k=1 r b ik c kj k=1 (i = 1,..., m, j = 1,..., n. Siis A = BC, missä B = (b ij m r ja C = (c ij r n. Koska B:ssä on r pystyriviä ja C:ssä r vaakariviä, r(b r ja r(c r. Jos jompikumpi epäyhtälö olisi aito, lemmasta seuraisi r(a < r. Näin ollen r(b = r(c = r. Esimerkki Kun A M n (K, niin r(a = 1 jos vain jos A = xy T, missä x, y K n, x, y 0. Mitkä ovat Im(A ja Ker(A? Lauseen todistus antaa menetelmän hajotelman A = BC löytämiseksi. Tarvitsemme sitä myöhemmin MoorenPenrosen yleistetyn käänteismatriisin yhteydessä. Lauseelle saataisiin helposti toinen todistus seuraavasta lauseesta, joka on mukana mielenkiinnon vuoksi mutta jota emme tule tarvitsemaan. Lause Olkoon A M m n (K ja r(a = r. Silloin A = P GQ, missä P M m (K ja Q M n (K ovat säännöllisiä ja G = (g ij m n, missä g 11 = = g rr = 1 ja muut g ij :t ovat nollia. Todistus. Olkoon τ : K n K m A:n määräämä kuvaus, τ(x = Ax. Riittää löytää sellaiset K n :n kanta {x 1,..., x n } ja K m :n kanta {y 1,..., y m }, että τ(x 1 = y 1,..., τ(x r = y r ja τ(x r+1 = = τ(x r+1 = 0. Nimittäin silloin τ:n matriisi näiden kantojen suhteen on G, ja väite seuraa, missä P ja Q ovat sopivat kannanvaihtomatriisit. Koska dim Im(τ = r(a = r, niin dim Ker(τ = n r. Valitaan K n :lle kanta {x 1,..., x n }, missä {x r+1,..., x n } on Ker(τ:n kanta. Helposti nähdään, että vektorit y 1 = τ(x 1,..., y r = τ(x r ovat lineaarisesti riippumattomia. Täydennetään niiden joukko K m :n kannaksi.

18 LUKU 1. PERUSASIOITA Ominaisarvot ja diagonalisoituvuus Olkoon A M n (K. Sanotaan, että λ K on A:n ominaisarvo ja että x K n on siihen kuuluva ominaisvektori, jos Ax = λx, x 0. (1.20 Ominaisvektori x voi kuulua vain yhteen ominaisarvoon, sillä jos Ax = λ 1 x = λ 2 x, niin (λ 1 λ 2 x = 0, josta λ 1 λ 2 = 0. Skalaari λ on A:n ominaisarvo jos ja vain jos se on A:n karakteristisen yhtälön eli ominaisarvoyhtälön det(a λi = 0 (1.21 juuri. Nimittäin λ on ominaisarvo tarkalleen silloin kun Ker(A λi {0}, mikä on ekvivalentti sen kanssa, että A λi ei ole säännöllinen. Ominaisarvoon λ kuuluva ominaisavaruus on V λ = Ker(A λi, ja se koostuu λ:aan kuuluvista ominaisvektoreista ja vektorista 0. Merkitään A = (a ij. Karakteristisen yhtälön vasen puoli on astetta n oleva λ:n polynomi, ns. A:n karakteristinen polynomi eli ominaisarvopolynomi a 11 λ a a 1n a 21 a 22 λ... a 2n c A (λ = det(a λi = (1.22. a n1 a n2... a nn λ Koska deg c A (λ = n, niin c A :lla on korkeintaan n nollakohtaa K:ssa. Jos sillä on tarkalleen n nollakohtaa λ 1,..., λ n K (osa ehkä samoja, se hajoaa täydellisesti yli K:n ja c A (λ = ( 1 n (λ λ 1 (λ λ 2 (λ λ n. (1.23 Jos skalaarikunta K on algebrallisesti suljettu (esimerkiksi jos K = C, niin c A (λ hajoaa aina täydellisesti yli K:n. Siis tällöin A:lla on n ominaisarvoa K; osa niistä voi olla samoja. ( Esimerkki Tarkastellaan matriisin a b A = b a M 2 (R ominaisarvoja ja karakteristisen polynomin c A (λ hajoamista R:n yli ja C:n yli. Matriisi A on diagonalisoituva (yli K:n, jos se on similaarinen diagonaalimatriisin kanssa (yli K:n, ts. jos on sellainen säännöllinen P M n (K ja sellaiset λ 1,..., λ n K, että λ 1 0 λ 2 P 1 AP = λ3 merk.... = diag(λ 1, λ 2,..., λ n. ( λ n Samoin kuin skalaarikunnan R tapauksessa todistetaan, että A on diagonalisoituva jos ja vain jos sen ominaisvektoreista voidaan valita K n :n kanta. Jos ominaisvektoreista koostuva kanta on olemassa, niin ehdon (1.24 toteuttava matriisi P voidaan muodostaa kirjoittamalla ko. kantavektorit P :n pystyriveiksi. Kääntäen, jos P toteuttaa ehdon (1.24, niin sen pystyrivit ovat eräs A:n ominaisvektoreista koostuva K n :n kanta.

19 LUKU 1. PERUSASIOITA 15 Jos A on diagonalisoituva, yhtälön (1.24 λ i :t ovat A:n ominaisarvot. Tämä voidaan nähdä seuraavasti: Jos A ja B ovat similaariset matriisit, A = Q 1 BQ, niin niillä on sama ominaisarvopolynomi, sillä c A (λ = det(a λi = det(q 1 BQ λi = det(q 1 det(b λi det(q = det(b λi = c B (λ. Siis, jos P 1 AP = D = diag(λ 1,..., λ n, niin c A (λ = c D (λ = det(diag(λ 1 λ,..., λ n λ = (λ 1 λ (λ n λ. Esimerkki Onko esimerkin A diagonalisoituva M 2 (R:ssä? Entä M 2 (C:ssä? Esimerkki Tarkastellaan R 2 :n kiertoa origon ( ympäri vastapäivään kulman θ verran. cos θ sin θ Tämä on lineaarikuvaus, jonka matriisi on A =. Matriisi on samaa muotoa sin θ cos θ kuin esimerkeissä ja 1.9.2, ja sieltä saadaan, ettei A:lla ole reaalisia ominaisarvoja eikä siis ominaisvektoreita R 2 :ssa, paitsi jos sin θ = 0 eli θ = n180. Juuri näinhän pitää geometrisen havainnon mukaan ollakin. Mutta sama matriisi antaa myös kuvauksen C 2 C 2, ja C 2 :ssa sillä on ominaisvektoreita! Esimerkki Tarkastellaan origon kautta kulkevaa R 3 :n tasoa T. Olkoon τ : R 3 R 3 kohtisuora peilaus T :n suhteen ja olkoon A sen matriisi luonnollisen kannan suhteen. Mitä A:sta osataan tällä perusteella sanoa? Ajatellaan T :lle valituksi kanta {x 1, x 2 } ja täydennetään se R 3 :n kannaksi {x 1, x 2, x 3 } valitsemalla x 3 T. Silloin Ax 1 = x 1, Ax 2 = x 2 ja Ax 3 = x 3, joten x i :t ovat A:n ominaisvektoreita ja kuuluvat ominaisarvoihin 1, 1, 1. Siis τ:n matriisi tämän kannan suhteen on D = diag(1, 1, 1, ja D = P 1 AP, missä P :n pystyrivit ovat x 1, x 2, x 3. Nähdään, että A on diagonalisoituva ja c A (λ = (λ 1 2 (λ + 1. Kanta {x 1, x 2, x 3 } voidaan valita ortonormaaliksi. Silloin P on ortogonaalimatriisi, eli P T P = I. Saamme tuloksena, että origon kautta kulkevan tason suhteen otetun kohtisuoran peilauksen matriisi on aina muotoa P 1 diag(1, 1, 1P, missä P on ortogonaalimatriisi. Jos τ onkin vino peilaus T :n suhteen, diagonalisoivasta matriisista P ei saada ortogonaalista; ominaisarvot ovat silti nytkin 1, 1, 1. Esimerkki Tarkastellaan matriisia c 1 0 c J = c 1 0 c n n. (1.25 (Tällaiset ns. Jordanin lohkot tulevat käyttöön myöhemmin. Matriisin J ainoa ominaisarvo on c, ja siihen kuuluvat ominaisvektorit ovat (1, 0,..., 0 T = e 1 ja tämän skalaarimonikerrat 0. Matriisin J T ainoa ominaisarvo on c, ja siihen kuuluvat ominaisvektorit ovat (0,..., 0, 1 T = e n ja tämän skalaarimonikerrat 0. Seikat Je 1 = ce 1 ja e T n J = ce T n ilmaistaan toisinaan sanomalla, että e 1 on J:n oikea ominaisvektori ja e n on J:n vasen ominaisvektori; kumpikin kuuluu ominaisarvoon c. Esimerkki Osoitetaan, että jos A ja B voidaan diagonalisoida samalla similaarimuunnoksella, niin ne kommutoivat.

20 LUKU 1. PERUSASIOITA Similaarisuus kolmiomatriisin kanssa Kaikki matriisit eivät ole diagonalisoituvia, eivät edes algebrallisesti suljetun skalaarikunnan tapauksessa. Sen sijaan, kuten kohta todistamme, jokainen matriisi on similaarinen kolmiomatriisin kanssa, jos skalaarikunta on algebrallisesti suljettu (siis esimerkiksi jos K = C. Matriisi T = (t ij n n on yläkolmiomatriisi jos t ij = 0 kun i > j. Vastaavasti määritellään alakolmiomatriisit. Lause Olkoon A M n (K. Oletetaan, että c A (λ hajoaa täydellisesti K:n yli. Silloin A on similaarinen yläkolmiomatriisin kanssa, toisin sanoen on sellaiset Q, T M n (K, että Q on säännöllinen ja T on yläkolmiomatriisi ja että A = QT Q 1. Todistus. Käytetään induktiota n:n suhteen. Tapaus n = 1 on triviaali. Olkoon n > 1 ja oletetaan, että väite on tosi (n 1 (n 1-matriiseille. Koska c A (λ hajoaa täydellisesti K:n yli, toisin sanoen c A (λ = ±(λ λ 1 (λ λ n, sillä on nollakohta λ = λ 1 K. Siis A:lla on ominaisarvo λ 1 ja siihen kuuluva ominaisvektori x 1 K n. Täydennetään {x 1 } K n :n kannaksi {x 1, r 2,..., r n }. Olkoon R M n (K matriisi, jonka pystyriveinä ovat x 1, r 2,..., r n. Jos merkitään x 1 = (x 1,..., x n T ja r j = (r 1j,..., r nj T, niin R = ( x 1 r r 1n x 1 r 2... r n =.... x n r n2... r nn Koska R:n pystyrivit ovat lineaarisesti riippumattomia, R on säännöllinen ja sillä on käänteismatriisi R 1. Kertomalla lohkomuodossa saadaan R 1 AR = R 1 A ( x 1 r 2... r n Mutta R 1 R = I, toisin sanoen = R 1( Ax 1 Ar 2... Ar n = R 1( λ 1 x 1 Ar 2... Ar n = ( λ 1 R 1 x 1 R 1 Ar 2... R 1 Ar n. R 1 R = R 1 ( x 1 r 2... r n = ( R 1 x 1 R 1 r 2... R 1 r n = I, jonka ensimmäinen pystyrivi antaa R 1 x 1 = (1, 0,..., 0 T. Siis R 1 AR on muotoa λ 1... R 1 AR = 0. B, 0 missä B M n 1 (K. Todetaan, että myös c B (λ hajoaa täydellisesti K:n yli: λ 1 λ... c A (λ = c R 1 AR(λ = det(r 1 AR λi = 0. B λi 0 = (λ 1 λ det(b λi = (λ 1 λc B (λ.

21 LUKU 1. PERUSASIOITA 17 Koska c A (λ = ±(λ λ 1 (λ λ n, niin c B (λ = ±(λ λ 2 (λ λ n, λ i K. Induktio-oletuksen nojalla B = V SV 1, missä V, S M n 1 (K, V on säännöllinen ja S yläkolmiomatriisi. Näin ollen R 1 AR = λ V SV 1 0 = V 0 0 λ S V 1. Kirjoitetaan tämä yhtälö muodossa R 1 AR = R 1 T R1 1, missä R 1 on oikean puolen ensimmäinen ja T toinen matriisi; kertomalla lohkomuodossa nähdään, että kolmas matriisi todella on R1 1. Lisäksi T on yläkolmiomatriisi. Yhtälöstä seuraa A = RR 1 T R1 1 R 1 = (RR 1 T (RR 1 1. Voidaan valita Q = RR 1. Seuraus Jos K on algebrallisesti suljettu, jokainen M n (K:n matriisi on similaarinen yläkolmiomatriisin kanssa M n (K:ssa. Transponoinnilla saadaan vastaava tulos, missä T on alakolmiomatriisi. Jos A = QT Q 1, missä T = (t ij on yläkolmiomatriisi, niin päälävistäjäalkiot t 11,..., t nn ovat A:n ominaisarvot. Nimittäin c A (λ = c T (λ = det(t λi = (t 11 λ (t nn λ. Toisaalta similaareilla matriiseilla on sama determinantti ja sama jälki, joten det(a = det(t ja tr(a = tr(t. Yläkolmiomatriisille T = (t ij determinantti ja jälki on helppo laskea: det(t = t 11 t nn ja tr(t = t t nn. Saamme siis: Seuraus Olkoon A M n (K. Oletetaan, että c A (λ hajoaa täydellisesti K:n yli. Olkoot A:n ominaisarvot λ 1,..., λ n. Silloin det(a = λ 1 λ n, tr(a = λ λ n. Huomautus Sama tulos pätee vaikkei c A (λ hajoaisi täydellisesti K:n yli. Silloin vain ominaisarvot eivät kaikki kuulu K:hon, vaan ne ovat jossain laajennuskunnassa, vaikkapa K:n algebrallisessa sulkeumassa. Esimerkiksi, jos A M n (R, niin A:n ominaisarvot λ i saattavat olla kompleksisia, mutta det(a ja tr(a (jotka ovat tietenkin reaalisia saadaan silti niiden tulona ja summana. Lause Olkoot matriisin A M n (K ominaisarvot λ 1,..., λ n K, ja olkoon p(x K[x]. Matriisin p(a ominaisarvot ovat p(λ 1,..., p(λ n. Todistus. Lauseen mukaan A = QT Q 1, missä T = (t ij on yläkolmiomatriisi. Silloin myös p(a = Qp(T Q 1 (ks. (1.4. Koska similaareilla matriiseilla on samat ominaisarvot, niin riittää todistaa väite A:n sijasta T :lle. Laskemalla huomataan, että potenssi T k on yläkolmiomatriisi, jonka päälävistäjäalkiot ovat t k 11,..., t k nn. Siis p(t on yläkolmiomatriisi, jonka päälävistäjäalkiot ovat p(t 11,..., p(t nn, joten nämä ovat samalla sen ominaisarvot. 0

22 LUKU 1. PERUSASIOITA Sisätulo Tässä pykälässä skalaarikunta on K, siis R tai C. Kompleksiluvun z liittolukua merkitään z. Vektoriavaruuden K n (tavallinen sisätulo määritellään x, y = n x i y i, (1.26 kun x = (x 1,..., x n T, y = (y 1,..., y n T. Sisätulo on kuvaus K n K n K ja täyttää ehdot i=1 (i x, x 0 x K n ; x, x = 0 x = 0; (ii ax + by, z = a x, z + b y, z a, b K, x, y, z K n ; (iii x, y = y, x x, y K n. (Yleinen sisätulo reaalisessa tai kompleksisessa vektoriavaruudessa määritellään ottamalla nämä ehdot aksioomiksi. Ehdosta (iii seuraa, että x, x R, vaikka olisi K = C, joten ehdon (i epäyhtälö on mielekäs. Ehdon (ii mukaan x + y, z = x, z + y, z ja ax, z = a x, z, ja kun otetaan ehto (iii huomioon, niin saadaan z, x + y = z, x + z, y mutta z, ax = a z, x! Vektorin x K n pituus (eli normi on x = x, x = n x i 2. (1.27 (Huomaa, ettei x i 2 ole sama kuin x 2 i jos K = C. CauchynSchwarzin epäyhtälö oli jo lineaarialgebran kurssissa kun K = R. Kun c C, niin i=1 x, y x y (1.28 cx + y, cx + y = c 2 x, x + 2 Re(c x, y + y, y c 2 x, x + 2 c x, y + y, y on c:n 2. asteen polynomi ja identtisesti 0. Siis diskriminantti on 0, mistä (1.28 seuraa. CauchynSchwarzin epäyhtälön avulla todistetaan helposti kolmioepäyhtälö x + y x + y. (1.29 Matriisin A = (a ij m n M m n (C adjungoitu matriisi (adjoint määritellään A = (a ji n m. (1.30 Siis A = A T, missä A = (a ij m n. Huomaa, että (AB = B A ja A = A. Samaistamalla skalaarit ja 1 1-matriisit sisätulo voidaan kirjoittaa kätevästi matriisitulona: x, y = y x kun x, y C n. Reaalisille vektoreille x, y = y T x. Lause Kun A M m n (K ja x K n, y K m, niin Ax, y = x, A y.

23 LUKU 1. PERUSASIOITA 19 Todistus. Ax, y = y (Ax = (y Ax = (A y x = x, A y. Esimerkki Neliömatriisille A on voimassa det(a = det( A T = det( A = det(a. Jos A = A (tällaista matriisia sanotaan itseadjungoiduksi, saadaan det(a R. Vektorit x ja y ovat kohtisuoria eli ortogonaalisia, merkitään x y, jos x, y = 0. Vektorijoukko {x 1,..., x k } on ortogonaalinen, jos x i, x j = 0 kun i j, ja se on ortonormaalinen, jos lisäksi jokaisen x i :n pituus on 1. Vektorien x 1,..., x k ortonormaalisuusehto voidaan kirjoittaa: x i, x j = δ ij, kun i, j = 1,..., k (δ ij on Kroneckerin symboli. Ortogonaalinen joukko vektoreita 0 on lineaarisesti riippumaton. Esimerkki Kun {x 1,..., x n } on C n :n ortonormaalikanta, niin matriisin A M n (C jälki saadaan kaavasta tr A = n i=1 Ax i, x i. Kun A, B M m n (C, niin tulon A B alkioina ovat matriisien A ja B pystyrivien a 1,..., a n C m ja b 1,..., b n C m sisätulot: kohdassa (i, j on alkio a i b j = b j, a i. Matriisia A M n (C sanotaan unitaariseksi, jos sen pystyrivit muodostavat ortonormaalisen joukon. Ekvivalentisti A on unitaarinen jos A A = I, toisin sanoen A = A 1. Koska ehdot A A = I ja AA = I ovat yhtäpitävät, niin A on unitaarinen myös tarkalleen sillloin, kun se vaakarivit ovat ortonormaaliset. Reaalisen matriisin A tapauksessa unitaarisuus tarkoittaa että A T A = I; tällaista matriisia sanotaan ortogonaaliseksi. Osoitamme, että unitaarimatriisit ovat tarkalleen ne matriisit, jotka säilyttävät sisätulon. Käsittelemme vain kompleksisen tapauksen. Reaalinen tapaus todistetaan lähes samoin. Lause Olkoon A M n (C. Seuraavat ehdot ovat ekvivalentit: (i Ax, Ay = x, y x, y C n ; (ii Ax = x x C n ; (iii A on unitaarinen. Todistus. Ehdosta (i seuraa (ii, sillä Ax = Ax, Ax 1/2 ja x = x, x 1/2. Ehdot (i ja (iii ovat ekvivalentit, koska Ax, Ay = x, y x, y C n x, A Ay = x, y x, y C n A A = I. Oletetaan lopuksi, että (ii on voimassa, ja todistetaan (i. Kun x, y C n, niin x + y 2 x 2 y 2 = x + y, x + y x, x y, y = x, y + y, x, Tämä on (ii:n nojalla sama kuin Ax + Ay 2 Ax 2 Ay 2 = Ax, Ay + Ay, Ax, joten Ax, Ay + Ay, Ax = x, y + y, x. Sijoitetaan tähän y:n paikalle iy ja otetaan skalaari i sisätulosta ulos: i Ax, Ay + i Ay, Ax = i x, y + i y, x. Kertomalla tämä i:llä ja lisäämällä edelliseen yhtälöön saadaan 2 Ax, Ay = 2 x, y.

24 LUKU 1. PERUSASIOITA 20 Lineaarialgebran kurssissa R n :n tapauksessa esitetty GraminSchmidtin ortogonalisointimenetelmä pätee kompleksiselle avaruudelle C n (ja jopa, todistusta myöten, yleisellekin kompleksiselle sisätuloavaruudelle. Menetelmä on seuraava: Olkoon {x 1,..., x k } joukko vektoreita. Konstruoidaan vektorit y 1,..., y k rekursiivisesti: y 1 = x 1, ja kun j = 2,..., k, niin y j = x j j 1 i=1 a jiy i, missä { 0, jos yi = 0, a ji = x j,y i y i 2, jos y i 0. Saadut vektorit y 1,..., y k ovat keskenään ortogonaaliset ja virittävät saman aliavaruuden kuin x 1,..., x k. Jos x i :t ovat lineaarisesti riippumattomat, niin samoin ovat y i :t, ja tällöin tapauksia y i = 0 ei esiinny. Joukon S K n ortogonaalikomplementti S = {x K n x, y = 0 S} on aliavaruus, vaikkei S olisi (aliavaruuskriteeri. Helposti todistetaan myös, että S = L(S. Jos S on aliavaruus, niin K n = S S. (1.31 Tästä saadaan n = dim(s + dim(s ja helposti myös, että (S = S. Suorasummahajotelman (1.31 voi perustella seuraavalla idealla: Valitaan S:lle kanta {x 1,..., x k }, täydennetään se K n :n kannaksi {x 1,..., x k,..., x n } ja ortogonalisoidaan tämä GraminSchmidtin menetelmällä kannaksi {y 1,..., y n }. Silloin {y 1,..., y k } on S:n kanta, ja helposti todetaan, että L(y k+1,..., y n = S. Myöhemmin tarvitaan seuraavaa tulosta: Lemma Jos vektorit z 1,..., z r K n ovat lineaarisesti riippumattomia, on sellaiset y 1,..., y r K n, että z i, y j = δ ij. Todistus. Voidaan olettaa, että r 2. Koska z i :t ovat lineaarisesti riippumattomia, niin dim L(z 1,..., z r = r. Siis dim L(z 1,..., z r = n r. Samoin dim L(z 2,..., z r = n r+1. On siis sellainen y 1, että y 1 L(z 2,..., z r ja y 1 / L(z 1,..., z r. Silloin c = z 1, y 1 = 0 ja z i, y 1 = 0 kun i = 2,..., r. Valitaan y 1 = (1/cy 1. Muut y j :t löydetään samoin.

25 Luku 2 Ominaisarvot ja -vektorit 2.1 Matriisin karakteristinen yhtälö Matriisin A = (a ij M n (K karakteristinen polynomi on a 11 λ a a 1n a 21 a 22 λ... a 2n c A (λ = det(a λi = (2.1. a n1 a n2... a nn λ Determinantin määritelmästä (1.10 saadaan, että deg c A (λ = n ja että c A (λ = (a 11 λ (a nn λ + f(λ, (2.2 missä f(λ on sellaisten muotoa (a i1 i 1 λ (a ik i k λ olevien termien lineaarikombinaatio, että kussakin on korkeintaan n 2 tekijää (a ii λ. Siis, kun n 2, c A (λ:n kaksi korkeimman asteen tekijää ovat ( 1 n λ n ja ( 1 n 1 (a a nn λ n 1 = ( 1 n 1 tr(aλ n 1. Lisäksi c A (λ:n vakiotermi on c A (0 = det(a. Saamme (kun n 2, että missä c 1 = ( 1 (n 1 tr(a ja c n = det(a. c A (λ = ( 1 n λ n + c 1 λ n c n, (2.3 Esimerkki Seurauksen mukaan A:lla on ominaisarvona 0 jos ja vain jos A ei ole säännöllinen. Miten sama seuraa jo ominaisarvon ja -vektorin määritelmästä? Esimerkki Osoitetaan, että matriisi A on nilpotentti (ts. A k = O jollain k:lla jos ja vain jos c A (λ = ±λ n, eli jos ja vain jos 0 on sen ainoa ominaisarvo K:ssa. 2.2 Ominaisarvon kertaluvut Olkoot matriisin A M n (K ominaisarvot λ 1,..., λ n jossain riittävän suuressa K:n laajennuskunnassa, esimerkiksi λ 1,..., λ n K. Tarkastellaan yhtä ominaisarvoa λ j. Jos λ j K, 21

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna

Lisätiedot

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Lineaarialgebra (muut ko)

Lineaarialgebra (muut ko) Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162

Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162 Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/162 Kertausta Vektorin u = (u 1,u 2 ) R 2 pituus u = u 2 1 +u2 2 Vektorien u ja v = (v 1,v 2

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )

Lisätiedot

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Seuraava luento ti 31.10 on salissa XXII Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/117 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

ominaisvektorit. Nyt 2 3 6

ominaisvektorit. Nyt 2 3 6 Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172 Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2)

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Avaruuden R n aliavaruus

Avaruuden R n aliavaruus Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus

Lisätiedot

Muistutus: Matikkapaja ke Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta yms.

Muistutus: Matikkapaja ke Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta yms. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/139 Ensi viikon luennot salissa X Muistutus: Matikkapaja ke 14-16 Siellä voi kysyä apua demoihin, edellisen viikon demoratkaisuja, välikoetehtävien selitystä, monisteesta

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Similaarisuus. Määritelmä. Huom.

Similaarisuus. Määritelmä. Huom. Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II 802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006 Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3

Lisätiedot

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159 Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/159 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/159 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 ) Skalaarilla

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi / kertaus

Matemaattinen Analyysi / kertaus Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/66 Redusoitu porrasmuoto 1 1 2 4 1 1 4 6 2 2 5 9 1 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä 1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

Ominaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi

Ominaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi Ominaisarvo-hajoitelma ja a 1 Lause 1: Jos reaalisella n n matriisilla A on n eri suurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n, λ i λ j, kun i j, niin vastaavat ominaisvektorit x 1, x 2,..., x n muodostavat

Lisätiedot

6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio

6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio 6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.

Lisätiedot

Lineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.

Lineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo. Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat

Lisätiedot

3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset

3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset 32 Idea: Lineaarikuvausten laskutoimitusten avulla määritellään vastaavat matriisien laskutoimitukset Vakiolla kertominen ja summa Olkoon t R ja A, B R n m Silloin ta, A + B R n m ja määritellään ta ta

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:

Lisätiedot

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin

Lisätiedot

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset 31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita

Lisätiedot

Kanta ja dimensio 1 / 23

Kanta ja dimensio 1 / 23 1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio

Lisätiedot

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

MS-A0003/A Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6

MS-A0003/A Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 MS-A3/A - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 Ratkaisuehdotelmia. Diagonalisointi on hajotelma A SΛS, jossa diagonaalimatriisi Λ sisältää matriisin A ominaisarvot ja matriisin S sarakkeet ovat näitä ominaisarvoja

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan. Juha Honkala 2017

Johdatus lineaarialgebraan. Juha Honkala 2017 Johdatus lineaarialgebraan Juha Honkala 2017 Sisällysluettelo 1 Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit 11 Lineaariset yhtälöryhmät 12 Matriisit 13 Matriisien alkeismuunnokset ja porrasmatriisit 14 Yhtälöryhmien

Lisätiedot

Lineaarialgebra II P

Lineaarialgebra II P Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

800350A / S Matriisiteoria

800350A / S Matriisiteoria 800350A / 800693S Matriisiteoria Emma Leppälä Tero Vedenjuoksun luentomonisteen pohjalta 15 syyskuuta 2017 Sisältö 1 Lineaarialgebraa 2 11 Merkintöjä 2 12 Matriisien perusominaisuuksia 4 13 Matriisien

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

LINEAARIALGEBRA P. LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT

LINEAARIALGEBRA P. LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT LINEAARIALGEBRA II 802119P LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT syksy 2008 30 V SISÄTULOAVARUUKSISTA 1. Sisätulon määritelmä Tarkastellaan sisätulon määrittelyä varten kompleksilukujen joukkoa C = {x + iy

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

2.8. Kannanvaihto R n :ssä

2.8. Kannanvaihto R n :ssä 28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit

Lisätiedot

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

MATRIISIN HESSENBERGIN MUOTO. Niko Holopainen

MATRIISIN HESSENBERGIN MUOTO. Niko Holopainen MATRIISIN HESSENBERGIN MUOTO Niko Holopainen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2013 Tiivistelmä: Niko Holopainen, Matriisin Hessenbergin muoto Matematiikan

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

ja jäännösluokkien joukkoa

ja jäännösluokkien joukkoa 3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?

Lisätiedot

1. Normi ja sisätulo

1. Normi ja sisätulo Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 06 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Alla olevat esimerkkiratkaisut ovat melko ksitiskohtaisia Tenttivastauksissa ei leensä tarvitse muistaa lauseiden, määritelmien, esimerkkien

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

Kanta ja Kannan-vaihto

Kanta ja Kannan-vaihto ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V

Lisätiedot

Lineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg

Lineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg Vaasan yliopisto, syksy 218 Lineaarialgebra II, MATH124 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg Tentti T1, 284218 Ratkaise 4 tehtävää Kokeessa saa käyttää laskinta (myös graafista ja CAS-laskinta), mutta ei taulukkokirjaa

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2. HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi

Lisätiedot