Lineaarialgebra II P

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Lineaarialgebra II P"

Transkriptio

1 Lineaarialgebra II 89P

2 Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5

3 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:. Joukossa V on määritelty laskutoimitus + (toisin sanoen kaikilla alkioilla v, w V on olemassa yksikäsitteinen joukon V alkio v + w, jota sanotaan alkioiden v ja w summaksi), joka toteuttaa seuraavat laskulait: (a) u + (v + w) = (u + v) + w kaikilla u, v, w V (liitännäisyys). (b) v + w = w + v kaikilla v, w V (vaihdannaisuus). (c) On olemassa neutraalialkio V, jolle + v = v kaikilla v V. (d) Kaikilla v V on olemassa vasta-alkio v V, jolle v + ( v) =.. Joukossa V on määritelty reaaliluvulla kertominen (vasemmalta) (toisin sanoen kaikilla v V ja λ R on olemassa jokin yksikäsitteinen alkio λ v V ), jolla on seuraavat ominaisuudet: (a) (λµ) v = λ (µ v) kaikilla v V ja λ, µ R. (b) v = v kaikilla v V. 3. Yhteenlasku + ja reaaliluvulla kertominen toteuttavat seuraavat osittelulait: (a) λ (v + w) = λ v + λ w kaikilla v, w V ja λ R. (b) (λ + µ) v = λ v + µ v kaikilla v V ja λ, µ R. Edellisessä määritelmässä annettuja ehtoja sanotaan vektoriavaruuden aksioomeiksi. Huomautus.. (a) Yhteenlasku + on kuvaus + : V V V ja reaaliluvulla kertominen on kuvaus : R V V. (b) Määritelmässä. määritellään reaalinen vektoriavaruus. Jos kertominen on kuvaus : C V V, niin puhutaan kompleksisesta vektoriavaruudesta. Kompleksisilla vektoriavaruuksilla on sovelluksia erityisesti fysiikassa.

4 Esimerkki.3. (a) Joukko R n on vektoriavaruus, kun yhteenlasku ja reaaliluvulla kertominen määritellään komponenteittain (Lause.3, Lin. Alg ). Erityisesti siis R on vektoriavaruus. (b) Joukko M(k, n) = {A A on k n matriisi} on vektoriavaruus, kun se varustetaan tavallisella matriisien yhteenlaskulla ja reaaliluvulla kertomisella (Lause.8, Lin. Alg ). (c) Olkoon F(R, R) = {f f : R R on kuvaus}. Määritellään kaikilla f, g F(R, R) ja λ R yhteenlasku ja reaaliluvulla kertominen seuraavasti: (f + g)(x) = f(x) + g(x) (λ f)(x) = λf(x) kaikilla x R. Tällöin F(R, R) on vektoriavaruus. (d) Olkoot X epätyhjä joukko, V vektoriavaruus ja F(X, V ) = {f f : X V on kuvaus}. Määritellään yhteenlasku + ja kertolasku kuten (c)-kohdassa. Tällöin F(X, V ) on vektoriavaruus (todistus harjoitustehtävä). (e) Joukossa C(R, [, ]) = {f f : R [, ] on jatkuva funktio} (c)-kohdan operaatio + ei ole laskutoimitus. Nyt sin C(R, [, ]), mutta koska sin( π ) + sin( π ) = / [, ], niin sin + sin / C(R, [, ]). (f) Olkoot V = {x R x }, + : V V V tavallinen reaalilukujen yhteenlasku ja määritellään : R V V asettamalla λ x = λ x. Tällöin aksioomat (a), (b), (c), a), (b) ja 3(a) ovat voimassa. Sen sijaan aksioomat (d) ja 3(b) eivät ole voimassa. Jos x, niin x + y kaikilla y V, joten alkiolla x ei ole vasta-alkiota joukossa V. Lisäksi ( + ( )) x = x = x + x = x + ( ) x, joten aksiooma 3(b) ei ole voimassa. Lause.4. Olkoon V vektoriavaruus. Tällöin (a) yhteenlaskun neutraalialkio on yksikäsitteinen;

5 (b) vektorin vasta-alkio on yksikäsitteinen; (c) kaikilla v, w V on olemassa täsmälleen yksi x V, jolle v + x = w (toisin sanoen yhtälöllä v + x = w on yksikäsitteinen ratkaisu). Lause.5. Olkoon V vektoriavaruus. Kaikilla v, w V ja λ, µ R pätee (a) v = λ = ; (b) ( ) v = v; (c) ( v) = v; (d) (v + w) = v + ( w); (e) (λ v) = ( λ) v = λ ( v); (f) ( λ) ( v) = λ v; (g) λ (v + ( w)) = λ v + ( (λ w)); (h) (λ µ) v = λ v + ( (µ v)); (i) λ v = jos ja vain jos λ = tai v = ; (j) Jos λ v = λ w ja λ, niin v = w; (k) Jos λ v = µ v ja v, niin λ = µ. Huomautus.6. Lauseen.5 (b) perusteella merkintä u v = u + ( v) ei aiheuta sekaannusta. Jätetään jatkossa kertomerkki pois, toisin sanoen merkitään lyhyesti λ v = λv. Induktiolla ja aksiooman (a) avulla voidaan osoittaa, että jos v,..., v n V, niin summa v v n on riippumaton siitä, missä järjestyksessä yhteenlaskut suoritetaan. Esimerkiksi ((v + v ) + v 3 ) + v 4 = v + ((v + v 3 ) + v 4 ) = (v + v ) + (v 3 + v 4 ) =... Jätetään siis jatkossa summista sulut pois. Määritelmä.7. Vektoriavaruuden V epätyhjä osajoukko W on vektoriavaruuden V aliavaruus, jos se on suljettu yhteenlaskun ja reaaliluvulla kertomisen suhteen, toisin sanoen (a) jos v, w W, niin v + w W, ja (b) jos v W ja λ R, niin λv W. Seuraava lause antaa hyvän tavan todeta joukko vektoriavaruudeksi: Osoitetaan se jonkin tunnetun vektoriavaruuden aliavaruudeksi. 3

6 Lause.8. Joukko W V on vektoriavaruuden V aliavaruus jos ja vain jos W varustettuna avaruuden V yhteenlaskulla ja reaaliluvulla kertomisella on vektoriavaruus. Esimerkki.9. (a) Joukot V ja {} ovat vektoriavaruuden V triviaalit aliavaruudet. (b) Joukko C(R, R) = {f f : R R on jatkuva kuvaus} on vektoriavaruuden F(R, R) aliavaruus. Perustelu: Koska nollakuvaus : R R on jatkuva, niin C(R, R) ja siten C(R, R). Jos f ja g ovat jatkuvia, niin f + g on jatkuva ja λf on jatkuva kaikilla λ R. (c) Olkoon Pol(R, R) = {f F(R, R) f(x) = a + a x a n x n kaikilla x R joillekin n N ja a,..., a n R}, eli Pol(R, R) on kaikkien polynomien joukko. Tällöin Pol(R, R) on vektoriavaruuksien C(R, R) ja F(R, R) aliavaruus (harjoitustehtävä). Olkoot k N ja Pol k (R, R) = {f Pol(R, R) polynomin f aste k}. Tällöin Pol k (R, R) on avaruuden Pol(R, R) aliavaruus (harjoitustehtävä). Saadaan siis aliavaruusketju Pol (R, R) Pol (R, R)... Pol k (R, R) Pol k+ (R, R) Pol(R, R) C(R, R) F(R, R). Määritelmä.. Olkoon V vektoriavaruus. Vektori v V on vektoreiden v,..., v n V lineaarikombinaatio, jos on olemassa luvut λ,..., λ n R siten, että v = n i= λ iv i. Avaruuden V epätyhjän osajoukon S lineaarinen verho S koostuu kaikista joukon S lineaarisista kombinaatioista, toisin sanoen S ={u V u = n λ i v i joillekin n N, v,..., v n S ja λ,..., λ n R}. i= Esimerkki.. Koska f Pol (R, R) täsmälleen silloin, kun on olemassa sellaiset a, a R, että f(x) = a + a x kaikilla x R, niin Pol (R, R) =, x. Tässä siis on vakiopolynomi, toisin sanoen (x) = kaikilla x R. Yleisemmin Pol k (R, R) =, x,..., x k. Lause.. Olkoot V vektoriavaruus ja S V epätyhjä. Tällöin 4

7 (a) S on avaruuden V aliavaruus. (b) Jos S W ja W on avaruuden V aliavaruus, niin S W. Määritelmä.3. Olkoot V vektoriavaruus ja S V epätyhjä. Joukko S on lineaarisesti riippuva, jos on olemassa äärellisen monta alkiota s,..., s n S ja sellaiset luvut λ,..., λ n R, että λ i jollain i n ja n λ i s i =. i= Muulloin S on lineaarisesti riippumaton. Huomautus.4. Joukko S on lineaarisesti riippumaton jos ja vain jos sen jokainen äärellinen epätyhjä osajoukko on lineaarisesti riippumaton, toisin sanoen ehdosta n i= λ is i = seuraa, että λ = λ =... = λ n = kaikilla joukon S äärellisillä osajoukoilla {s,..., s n }. Esimerkki.5. (a) Joukko {, x, x } Pol (R, R) on lineaarisesti riippumaton. Perustelu: Olkoot λ, λ, λ R sellaiset, että λ +λ x+λ x = kaikilla x R. Valitaan x =, jolloin saadaan λ + + =, eli λ =. Valitaan x = ja x =, jolloin saadaan λ + λ = λ = λ + λ = λ =. Siis λ = λ = λ =. (b) Joukko {, x,..., x k } Pol k (R, R) on lineaarisesti riippumaton (harjoitustehtävä). (c) Joukko {, x,..., x k,...} Pol(R, R) on lineaarisesti riippumaton. Perustelu: Olkoot p,..., p n {, x,..., x k,...}. Olkoon l = max{polynomin p i aste i =,..., n}. Tällöin {p,..., p n } {, x,..., x l }, joten {p,..., p n } on lineaarisesti riippumaton (b)-kohdan ja Huomautuksen.4 nojalla. (d) Joukko {, sin, cos } C(R, R) on lineaarisesti riippuva, sillä kaikilla x R. sin x + cos x = = (x) 5

8 Määritelmä.6. Vektoriavaruuden V epätyhjä osajoukko S on avaruuden V kanta, jos (a) S on lineaarisesti riippumaton, ja (b) S = V. Vektoriavaruus V on äärellisulotteinen, jos sillä on olemassa äärellinen kanta. Myös {} on äärellisulotteinen. Muulloin V on ääretönulotteinen. Jos avaruuden V kannassa on n alkiota, missä n N, niin avaruuden V dimensio on n. Tätä merkitään dim V = n. Jos V = {}, niin dim V =. Muulloin dim V =. Lause.7 (Hamelin kantalause). Jokaisella vektoriavaruudella V {} on olemassa kanta. Jos V on äärellisulotteinen, niin jokaisessa kannassa on yhtä monta alkiota. Huomautus.8. Olkoon V vektoriavaruus. (a) Lauseen.7 nojalla vektoriavaruuden V dimensio on hyvin määritelty. (b) Jos dim V = n jollain n N, niin jokainen sellainen avaruuden V osajoukko, jossa on vähintään n + alkiota, on lineaarisesti riippuva (todistus harjoitustehtävä). (c) Jos dim V = n jollain n N, niin jokainen lineaarisesti riippumaton avaruuden V osajoukko S, jossa on n alkiota, on avaruuden V kanta (todistus harjoitustehtävä). (d) Jos V on vektoriavaruus, W on avaruuden V aliavaruus ja S on avaruuden W kanta, niin on olemassa sellainen avaruuden V kanta T, että S T. (Tapauksen dim V = n jollain n N todistus harjoitustehtävä. Yleisesti tämän todistaminen vaatii Zornin Lemmaa.) Erityisesti dim W dim V. Esimerkki.9. (a) Koska {, x,..., x n } on avaruuden Pol n (R, R) eräs kanta (ks. Esimerkit. ja.5 (b)), niin dim Pol n (R, R) = n +. Koska {, x, x,..., x k,...} Pol(R, R) on lineaarisesti riippumaton (ks. Esimerkki.5 (c)), niin dim Pol(R, R) =. Huomautuksen.8 (d) nojalla saadaan dim C(R, R) = = dim F(R, R). (b) Laske dim S, kun S = { + x, + x, + x 3x } Pol (R, R). Ratkaisu: Tutkitaan, onko joukko S lineaarisesti riippumaton. Nyt a( + x) + b( + x ) + c( + x 3x ) = (a + b c) + (a + c)x + (b 3c)x = 6

9 Esimerkin.5 (b)-kohdan nojalla saadaan a + b c = a + c = a + c = a + c = b 3c = b 3c = a = c b = 3c c R. (Ensimmäisessä kohdassa viimeinen yhtälö on vähennetty ensimmäisestä.) Koska yllä olevalla yhtälöryhmällä on epätriviaali ratkaisu, esim. a =, b = 3, c =, niin S on lineaarisesti riippuva. Tästä nähdään, että polynomi + x 3x on lineaarikombinaatio polynomeista + x ja + x, joten S = + x, + x. Joukko { + x, + x } on lineaarisesti riippumaton, sillä a( + x) + b( + x ) = (a + b) + ax + bx = a = ja b =. Näin ollen dim S =. Lause.. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus ja S = {v,..., v n } avaruuden V kanta. Tällöin jokaisella v V on yksikäsitteinen esitys kannan S suhteen, toisin sanoen on olemassa yksikäsitteiset luvut λ,..., λ n R, joille v = n λ i v i. i= Huomautus.. Lauseen. antamia lukuja λ i sanotaan vektorin v koordinaateiksi kannassa S. 7

10 Luku Sisätuloavaruus Määritelmä.. Olkoon V vektoriavaruus. Kuvaus ( ) : V V R on sisätulo, jos kaikilla v, w, u V ja λ R pätee (a) (v w) = (w v) (symmetrisyys); (b) (v + w u) = (v u) + (w u); (c) (λv w) = λ (v w); (d) (v v) >, kun v (positiividefiniittisyys). Sisätuloavaruus on pari (V, ( )), missä V on vektoriavaruus ja ( ) on sisätulo avaruudessa V. Huomautus.. (a) Sisätulo ( ) jätetään yleensä merkitsemättä ja puhutaan yksinkertaisesti sisätuloavaruudesta V. (b) Sisätulon ehdot (b) ja (c) sanovat, että sisätulo on lineaarinen ensimmäisen argumentin suhteen. (c) Jos V on kompleksinen vektoriavaruus, niin sisätulo määritellään kuten yllä, paitsi ehto (a) korvataan seuraavalla ehdolla: (v w) = (w v) kaikilla v, w V, missä z on luvun z C kompleksikonjugaatti (z = x + iy, z = x iy). (d) Olkoon v V. Tällöin ( v) = ( v) (b) = ( v) =. Erityisesti (v v) kaikilla v V. Lisäksi (v v) = jos ja vain jos v =. Esimerkki.3. (a) Pistetulo (x y) = n i= x iy i on sisätulo avaruudessa R n (harjoitustehtävä). (b) Kuvaus : R 4 R 4 R, missä x y = x y + x y + x 3 y 3 + x 4 y 4 kaikilla vektoreilla x, y R 4, ei ole sisätulo. Kun v = (,,, ), niin v v = <, joten ehto (d) ei ole voimassa. 8

11 (c) Vektoriavaruuteen C([a, b], R) = {f : [a, b] R f on jatkuva}, missä a < b, saadaan sisätulo asettamalla kaikilla f, g C([a, b], R). (f g) = b a f(t)g(t)dt (d) Esimerkin (c) kuvaus ei ole sisätulo avaruudessa F([a, b], R), sillä funktiolle, kun x = a f(x) =, kun x ]a, b] pätee f F([a, b], R) ja f, mutta (f f) = b a f (t)dt =. Määritelmä.4. Olkoon V vektoriavaruus. Kuvaus : V R on normi, jos. v kaikilla v V ;. v = jos ja vain jos v = ; 3. λv = λ v kaikilla v V ja λ R; 4. v + w v + w kaikilla v, w V (kolmioepäyhtälö). Normiavaruus on pari (V, ), missä V on vektoriavaruus ja on normi avaruudessa V. Kuten sisätuloavaruuksien yhteydessä, jätetään normi yleensä merkitsemättä ja puhutaan yksinkertaisesti normiavaruudesta V. Lause.5. Olkoon V sisätuloavaruus. Määritellään kuvaus : V R asettamalla v = (v v) kaikilla v V. Tällöin on normi, jolle pätee Cauchy-Schwarzin epäyhtälö kaikilla v, w V. (v w) v w Huomautus.6. (a) Tasossa R vektorin (x, y) R normi (Lause.5) on (x, y) = ((x, y) (x, y)) = x + y, joten se on tavallinen vektorin pituus (vrt. Pythagoraan lause). 9

12 (b) Jos v, w, niin Cauchy-Schwarzin epäyhtälön nojalla (v w) v w. Voidaan siis määritellä vektorien v ja w välinen kulma α kaavasta Olkoot v, w R. Tällöin cos α = (v w) v w. v w = (v w v w) = v + w (v w) = v + w cos α v w. Tämä on kosinilause. (Tässä v w on vektorien v ja w välinen etäisyys, vrt. Euklidinen Topologia, d(v, w) = v w.) (c) Sisätuloavaruudessa käytetään sisätulon antamaa normia ellei erityisesti toisin mainita. Määritelmä.7. Sisätuloavaruuden V vektorit v, w V ovat ortogonaaliset eli kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos (v w) = Tällöin merkitään v w. Epätyhjä joukko T V on ortogonaalinen, jos v w kaikilla v, w T, joilla v w. Epätyhjä joukko T V on ortonormaali, jos se on ortogonaalinen ja v = kaikilla v T. Esimerkki.8. (a) Tason R joukko {(, ), (, 5)} on ortogonaalinen, sillä ((, ) (, 5)) = ( ) + 5 =. (b) Joukko {e,..., e n } R n on ortonormaali, sillä kaikilla i j pätee (e i e j ) = = ja (e i e i ) = =. Siis e i e j, kun i j, ja e i = kaikilla i =,..., n. (c) Avaruuden R 3 osajoukko S = {(,, ), (,, ), (,, )} ei ole ortogonaalinen, sillä ((,, ) (,, )) = + + =. Erityisesti S ei ole ortonormaali. (d) Olkoot f, g C([, ], R), missä C([, ], R) on varustettu Esimerkin.3 sisätulolla, f(x) = x ja g(x) = kaikilla x [, ]. Lasketaan funktioiden f ja g välinen kulma α. Koska (f g) = f = g = f(x)g(x)dx = f(x) dx = g(x) dx = xdx =, x dx = 3, ja dx =,

13 niin cos α = 3 = 3, eli α = π 6 (= 3 ). Lause.9. Olkoot V sisätuloavaruus, S V ortogonaalinen ja oletetaan, että / S. Tällöin S on lineaarisesti riippumaton. Erityisesti ortonormaali joukko on lineaarisesti riippumaton. Määritelmä.. Sisätuloavaruuden V osajoukko S on avaruuden V ortogonaalinen/ortonormaali kanta, jos S on ortogonaalinen/ortonormaali ja avaruuden V kanta. Esimerkki.. (a) Avaruuden R n luonnollinen kanta {e,..., e n } on ortonormaali kanta. (b) Joukko {(, ), (, )} R on ortogonaalinen, sillä ((, ) (, )) = + ( ) =. Lauseen.9 nojalla se on lineaarisesti riippumaton. Koska joukossa S on kaksi vektoria, niin S on avaruuden R ortogonaalinen kanta (Huomautus.8 (c)). Koska (, ) = = (, ), niin S ei ole avaruuden R ortonormaali kanta. Joukosta S kuitenkin saadaan ortonormaali kanta normittamalla sen vektorit sopivasti. Siis S = { (, ), (, )} on avaruuden R ortonormaali kanta. (c) Polynomit 3, x ja 45 8 (x 3 ) muodostavat avaruuden Pol (R, R) ortonormaalin kannan, kun sisätulona (osoitus harjoitustehtävä) on (p q) = p(x)q(x)dx kaikilla p, q Pol (R, R). Perustelu: Nyt ( ) 3 x 3 = xdx = (x 3 ) ) = (harjoi- ( ) ( ja vastaavasti 45 8 (x 3 ) 3 = x tustehtävä). Siis polynomit ovat ortogonaaliset. Lisäksi ( ) = = / x = ( ) dx = = 3 ja vastaavasti x = 45 8 (x 3 ) = (harjoitustehtävä). Näin ollen annetut polynomit ovat ortonormaaleja. Lauseen.9 nojalla joukko S = { 3, x, 45 8 (x 3 )} on lineaarisesti riippumaton. Koska dim Pol (R, R) = 3, niin S on avaruuden Pol (R, R) kanta.

14 Lause.. Oletetaan, että S = {v,..., v n } on sisätuloavaruuden V ortogonaalinen kanta. Tällöin vektorin v V koordinaatit kannassa S saadaan kaavasta λ i = (v v i) (v i v i ) kaikilla i n. Erityisesti jos S on ortonormaali, niin λ i = (v v i ). Esimerkki.3. (a) Edellisen lauseen perusteella vektorin (, ) koordinaatit kannassa { (, ), (, )} (Esimerkki. (b)) ovat ( λ = (, ) ( ), ) ( λ = (, ) (, ) ) = ja = Siis (, ) = (, ) (, ). (b) Polynomin x koordinaatit Esimerkin. (c) kannassa ovat ( ) x = x dx = 3, ( ) 3 3 x x = x3 dx =, ja ( ) x Siten x = 45 8 (x 3 ) = (x 3 ). x 4 3 x dx = 45 8 ( 5 ) 8 = Lause.4. Oletetaan, että S = {v,..., v n } on sisätuloavaruuden V ortonormaali kanta. Tällöin kaikilla v, w V pätee Parsevalin yhtälö (v w) = n (v v i ) (v i w). i= Erityisesti v = n (v v i ) = n missä luvut λ i ovat vektorin v koordinaatit. i= i= λ i

15 Lause.5. Olkoot V sisätuloavaruus ja {v,..., v k } V lineaarisesti riippumaton. Tällöin on olemassa sellainen ortogonaalinen joukko {w,..., w k } V, että w,..., w k = v,..., v k. Huomautus.6. Menetelmää, jolla Lause.5 todistettiin, kutsutaan Gram- Schmidtin ortogonalisointimenetelmäksi. Seuraus.7. Jokaisella äärellisulotteisella sisätuloavaruudella V {} on ortonormaali kanta. Todistus. Harjoitustehtävä. Seuraus.8. Olkoot V äärellisulotteinen sisätuloavaruus ja S V ortonormaali. Tällöin on olemassa sellainen avaruuden V ortonormaali kanta T, että S T. Todistus. Harjoitustehtävä. Huomautus.9. Seuraus.7 ei päde ääretönulotteisissa sisätuloavaruuksissa. (Harjoitustehtävä) Esimerkki.. (a) Tarkastellaan avaruuden R 4 vektoreita v = (,,, ), v = (5,,, ) ja v 3 = ( 3, 3,, 3). Etsitään aliavaruudelle H = v, v, v 3 ortonormaali kanta. Valitaan w = v = (,,, ), w = v (v w ) (w w ) w = (5,,, ) 5 + (,,, ) = (4,,, ), ja w 3 = v 3 (v 3 w ) (w w ) w (v 3 w ) (w w ) w = v w = (,,, ). Koska w 3 =, niin {v, v, v 3 } on lineaarisesti riippuva. Ylläolevasta nähdään, että vektori v 3 on lineaarikombinaatio vektoreista v ja v, joten w 3

16 H = v, v. Nyt {v, v } on lineaarisesti riippumaton, joten {w, w } on avaruuden H ortogonaalinen kanta. Normittamalla vektorit saadaan ortonormaali kanta {u, u }, missä u = w w = (,,, ) ja u = w w = 4 (4,,, ) = ( 6, 6,, ). 6 (b) Etsi ortonormaali kanta aliavaruudelle V =, sin C([, π], R) kun sisätulona on (f g) = π f(x)g(x)dx. Ratkaisu: Gram-Schmidtin menetelmällä w = ja (sin x ) w = sin x = sin x ( ) π/ cos x = sin x + π = sin x π. π sin x dx π dx Siis {, sin x π } on avaruuden V ortogonaalinen kanta. Normitetaan sen alkiot: π (w w ) = dx = π, joten u = π, ja sillä Siis (w w ) = π π ( sin x ) π dx = (sin x 4π π sin x + 4π ) dx = π 8 π + 4 π = π 4 π, sin xdx = π u = sin xdx = 4 π 4 π π ( sin x ), π sin } x {{ + cos x } dx = π. = joten joukko { π, ( ) π sin x 4 π } on avaruuden V ortonormaali kanta. π 4

17 Luku 3 Lineaarikuvaus Määritelmä 3.. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia. Kuvaus L : V W on lineaarinen (eli L on lineaarikuvaus) jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w) kaikilla v, w V, ja (b) L(λv) = λl(v) kaikilla v V ja λ R. Huomautus 3.. Lineaarikuvauksen argumentin ympäriltä jätetään usein sulut pois, toisin sanoen merkitään Lv = L(v). Esimerkki 3.3. (a) Olkoon A M(k, n). Kuvaus f A : R n R k, f A (x) = Ax kaikilla x R n, missä x tulkitaan n -matriisiksi (vrt. Lin.Alg.) on lineaarinen, sillä f A (x + y) = A(x + y) = Ax + Ay = f A (x) + f A (y), ja f A (λx) = A(λx) = λax = λf A (x) kaikilla x, y R n ja λ R matriisitulon ominaisuuksien nojalla (ks. Lin.Alg.). (b) Kuvaus L : R R on lineaarinen jos ja vain jos on olemassa α R siten, että L(x) = αx kaikilla x R. (c) Kuvaus f : R R, f(x) = 3x 3 x x kaikilla x = (x, x ) R, ei ole lineaarinen, sillä f((, )) = = 6 = f(, ). (d) Identtinen kuvaus Id : V V, Id(v) = v kaikilla v V, on lineaarinen. Samoin nollakuvaus : V W, (v) = kaikilla v V, on lineaarinen kaikilla vektoriavaruuksilla V ja W. 5

18 (e) Olkoon C (R, R) = {f C(R, R) : f C(R, R)}. Tällöin C (R, R) on avaruuden C(R, R) aliavaruus ja derivaattakuvaus D : C (R, R) C(R, R), D(f) = f kaikillaf C(R, R), on lineaarinen, koska D(f + g) = (f + g) = f + g = D(f) + D(g) ja D(λf) = (λf) = λf = λf = λd(f) kaikilla f, g C (R, R) ja λ R. Lause 3.4. Olkoot ( V ja W vektoriavaruuksia sekä L : V W lineaarinen. Tällöin k ) L() = ja L i= λ iv i = k i= λ il(v i ) kaikilla k N, λ,..., λ k R ja v..., v k V. Lause 3.5. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia T, L : V W lineaarikuvauksia ja S avaruuden V kanta. Tällöin T = L jos ja vain jos T s = Ls kaikilla s S. Määritelmä 3.6. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia sekä L : V W lineaarinen. Kuvauksen L ydin on ja kuva- eli arvojoukko on N (L) = L ({}) = {v V : Lv = } R(L) = L(V ) = {w W : w = Ls jollakin v V }. Lause 3.7. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia, V V ja W W aliavaruuksia ja L : V W lineaarikuvaus. Tällöin L(V ) W ja L (W ) V ovat aliavaruuksia. Erityisesti N (L) ja R(L) ovat aliavaruuksia. Esimerkki 3.8. (a) Kuvaus L : R 3 R, L(x, y, z) = (x, y + z) on lineaarinen (harjoitustehtävä). Määrätään sen ydin ja arvojoukko. Nyt x = (x, y, z) N (L) (, ) = L(x, y, z) = (x, y + z) z = y. Siis N (L) = {(, t, t) R 3 : t R} = {t(,, ) : t R} = (,, ). Arvojoukko R(L) = R, sillä kaikilla b = (b, b ) R on x = b L(x, y, z) = (x, y + z) = (b, b ) y + z = b. 6

19 Valitsemalla x = b, y = b ja z = saadaan L(b, b, ) = (b, b ). Joukko H = {(, t) : t R} on avaruuden R aliavaruus. Nyt L (H) = {(x, y, z) R 3 : L(x, y, z) = (, t) jollekin t R} = {(x, y, z) R 3 : (x, y + z) = (, t) jollekin t R} = {(x, y, z) R 3 : x = ja y + z = t jollekin t R} = {(, s, t s) R 3 : t, s R} = {(, s, s ) R 3 : s, s R} = {s(,, ) + s (,, ) : s, s R} = (,, ), (,, ) = yz-taso. (b) Olkoon D : Pol (R, R) Pol (R, R) derivaattakuvaus. Tällöin Arvojoukko on N (D) = {p Pol (R, R) : p = } = {c Pol (R, R) : c R} = Pol (R, R) = vakiopolynomit. R(D) = {Dp : p Pol (R, R)} = {D(a + a x + a x ) : a, a, a R} = {a + a x : a, a R} = {a + bx : a, b R} = Pol (R, R). Lause 3.9. Olkoot V, W ja U vektoriavaruuksia sekä L : V W ja S : W U lineaarikuvauksia. Tällöin (a) yhdistetty kuvaus S L : V U on lineaarinen; (b) jos L on bijektio, niin L : W V on lineaarinen. Lause 3.. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia sekä L : V W lineaarikuvaus. Tällöin L on injektio jos ja vain jos N (L) = {}. Lause 3. (Dimensiolause). Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, W vektoriavaruus ja L : V W lineaarinen. Tällöin dim V = dim N (L) + dim R(L). 7

20 Seuraus 3.. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia siten, että V on äärellisulotteinen, ja L : V W lineaarinen. Tällöin seuraavat väitteet ovat tosia: (a) Jos L on injektio, niin dim V dim W. (b) Jos L on surjektio, niin dim V dim W. (c) Jos L on bijektio, niin dim V = dim W. Seuraus 3.3. Olkoot V ja W äärellisulotteisia vektoriavaruuksia siten, että niiden dimensiot ovat samat, ja olkoon L : V W lineaarinen. Tällöin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä: (a) L on bijektio. (b) L on injektio. (c) L on surjektio. Esimerkki 3.4. (a) Kuvaus L : R 3 R, L(x, y, z) = (y z, x z), on lineaarinen (harjoitustehtävä). Määrätään kuvauksen L ydin: Siis y = z L(x, y, z) = (y z, x z) = (, ) x = z z R. N (L) = {(x, y, z) R 3 : x = y = z, z R} = {s(,, ) : s R} = (,, ), joten dim N (L) =. Erityisesti N (L) {}, joten L ei ole injektio. Dimensiolauseen nojalla 3 = + dim R(L), joten dim R(L) = = dim R. Siten R(L) = R eli L on surjektio. (b) Tarkastellaan derivaattakuvausta D : Pol n (R, R) Pol n (R, R). Koska Dp = p = jos ja vain jos p(x) = c kaikilla x R jollekin c R (eli p on vakiopolynomi), niin N (D) =. Näin ollen dim N (D) =. Dimensiolauseen nojalla dim P ol n (R, R) = n + = + dim R(D), joten dim R(D) = n < dim P ol n (R, R). Näin ollen D ei ole surjektio. 8

21 Esimerkki 3.5. Olkoon {e, e } avaruuden R luonnollinen kanta. Onko olemassa lineaarikuvausta L : R R, jolle Le = e + e ja Le = e e? Olkoon (x, y) R. Jos tällainen L on olemassa, niin L(x, y) = L(xe + ye ) = xle + yle = x(e + e ) + y(e e ) = (x + y)e + (x y)e = (x + y, x y). Siis L(x, y) = (x + y, x y) kaikilla (x, y) R ja tämä kuvaus on lineaarinen (harjoitustehtävä). Lause 3.6. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia sekä S = {v,... v n }, n N, avaruuden V kanta. Valitaan jokaiselle i =,..., n jokin w i W. Tällöin on olemassa yksikäsitteinen lineaarikuvaus L : V W, jolle Lv i = w i kaikilla i =,..., n. Esimerkki 3.7. Olkoon L : R R, L(x, x ) = (x + x, x x ) kaikilla (x, x ) R. Kun ajatellaan avaruuden R alkiot pystyvektoreiksi, saadaan matriisiyhtälö [ ] x + x Lx = = x x [ ] [ Pisteen x = (x [, x ]) kuva lineaarikuvauksessa [ L voidaan ] siis laskea kertomalla x -matriisi -matriisilla A =. Huomaa, että matriisin A x [ ] [ ] ensimmäinen sarake = Le ja toinen sarake = Le. Lause 3.8. Olkoot V k-ulotteinen vektoriavaruus, W n-ulotteinen vektoriavaruus ja L : V W lineaarikuvaus. Olkoot K = {v,..., v k } jokin avaruuden V kanta ja S = {w,..., w n } jokin avaruuden W kanta. Tällöin on olemassa yksikäsitteinen n k-matriisi A = [a ij ], jonka avulla kuvauksen L arvot voidaan laskea kertolaskuna [Lv] S = A[v] K. x x ]. Toisin sanoen a... a k λ µ.. =. a n... a nk λ k µ n missä v = k i= λ iv i ja Lv = n j= µ jw j. 9

22 Määritelmä 3.9. Olkoot V ja W äärellisulotteisia vektoriavaruuksia, K avaruuden V kanta, S avaruuden W kanta ja L : V W lineaarikuvaus. Lauseen 3.8 antama matriisi A on kuvausta L vastaava matriisi kannoissa K ja S. Sitä merkitään Mat(L; K, S). Huomautus 3.. (a) Matriisin Mat(L; K, S) j:s sarake muodostuu kantavektorin v j kuvan Lv j koordinaateista kannassa S. (b) Lineaarikuvausta vastaa yksikäsitteinen matriisi ja matriisin avulla voidaan määritellä lineaarikuvaus. On siis olemassa bijektio kaikkien lineaaristen kuvauksien L : V W ja kaikkien n k-matriisien välillä; tämä bijektio on F (L) = Mat(L; K, S). Kuvaus F riippuu valituista kannoista K ja S. Esimerkki 3.. (a) Olkoon L : R R, L(x, y) = (x + y, x + y) kaikilla (x, y) R. Valitaan avaruuteen R kannat K = {(, ), (, )} ja S = {(, ), (, )}. Lasketaan matriisit Mat(L; K, K), Mat(L; K, S), Mat(L; S, K) ja Mat(L; S, S). Mat(L;K,K): Etsitään kantavektorien (, ) ja (, ) kuvien koordinaatit kannassa K. Ensin L(, ) = (, ) = (, ) + (, ), joten ensimmäinen sarake on [ [ joten toinen sarake on myös Mat(L;K,S): ]. Sitten L(, ) = (, ) = (, ) + (, ), ] [ ]. Siis Mat(L; K, K) =. L(, ) = ((, )) = (, ) + (, ), ] joten ensimmäinen sarake on [. L(, ) = (, ) = (, ) + (, ), joten toinen sarake on myös [ ] [. Siis Mat(L; K, S) = ].

23 Mat(L;S,K): L(, ) = (, ) = (, ) = (, ) + (, ), [ ] joten ensimmäinen sarake on. L(, ) = (, ) = (, ) = (, ) + (, ), [ ] [ ] joten toinen sarake on. Siis Mat(L; S, K) = Mat(L;S,S): L(, ) = (, ) = (, ) + (, ), [ ] joten ensimmäinen sarake on. L(, ) = (, ) = (, ) + (, ), [ ] [ ] joten toinen sarake on. Siis Mat(L; S, S) =. (b) Etsitään matriisia 3 Mat(L; K, S) = 4 vastaava lineaarikuvaus, kun kannat K ja S ovat K = {(, ), (, )} ja S = {(,, ), (,, ), (,, )}. Koska kyseessä on 3 -matriisi, niin on L : R R 3. Etsitään vektorin (x, y) R koordinaatit kannassa K: a b = x a = x y a(, ) + b(, ) = (x, y) b = y b = y. Siis (x, y) = (x y, y) K. Nyt vektorin L(x, y) koordinaatit kannassa S saadaan kertolaskusta 3 [ ] 3x 3y y 3x 4y x y [L(x, y)] S = = x y = x y. y 4 x + y 4y x y Siten L(x, y) = (3x 4y)(,, ) + (x y)(,, ) + ( x y)(,, ) = (3x 4y x y, x y x y, 3x 4y + x y) = (x 6y, x 3y, 4x 5y)..

24 (c) Lasketaan matriisi Mat(Id, K, S), missä Id : R R on tason R identiteettikuvaus, K = {(, ), (, )} ja S = {(, ), (, )}. Nyt Id(, ) = (, ) = (, ) (, ), joten ensimmäinen sarake on [ ]. Lisäksi Id(, ) = (, ) = (, ) + (, ), joten toinen sarake on Siis [ ] Mat(Id; K, S) = [. ] [ ] =. Erityisesti identtisen kuvauksen matriisi ei aina ole identtinen matriisi. (d) Olkoon L : R R, L(x, y) = (x y, x+y). Tällöin L on lineaarinen. Lasketaan Mat(L; K, S), missä K ja S ovat kuten kohdassa (c). Nyt L(, ) = (, ) = (, ) + (, ), L(, ) = (, ) = (, ) + (, ), joten [ ] Mat(L; K, S) =. Siis identtinen matriisi ei aina vastaa identtistä kuvausta. (e) Tarkastellaan derivaattakuvausta D : Pol 3 (R, R) Pol (R, R). Valitaan avaruuden Pol 3 (R, R) kannaksi K = {, x, x, x 3 } ja avaruuden Pol (R, R) kannaksi S = {, x, x }. Lasketaan Mat(D; K, S).

25 Koska D = = + x + x, niin. sarake on, Dx = = + x + x, niin. sarake on, Dx = x = + x + x, niin 3. sarake on, ja Dx 3 = 3x = + x + 3 x, niin 4. sarake on. 3 Siten Mat(D; K, S) =. 3 Nyt esimerkiksi D( + x + x + x 3 ) = Mat(D; K, S) = = + x + 3 x. 3 Lause 3.. Olkoot V, W ja U äärellisulotteisia vektoriavaruuksia, L, M : V W ja T : W U lineaarikuvauksia sekä K avaruuden V kanta, S avaruuden W kanta ja R avaruuden U kanta. Tällöin (a) Mat(L + M; K, S) = Mat(L; K, S) + Mat(M; K, S) (b) Mat(λL; K, S) = λmat(l; K, S) kaikilla λ R. (c) Mat(T L; K, R) = Mat(T ; S, R)Mat(L; K, S). (d) Kuvaus L on bijektio jos ja vain jos matriisi Mat(L; K, S) on kääntyvä. Jos L on bijektio, niin Mat(L ; S, K) = Mat(L; K, S). Seuraus 3.3. Olkoot L : V W lineaarikuvaus, dim V = dim W < sekä K, K avaruuden V kantoja ja S, S avaruuden W kantoja. Tällöin det Mat(L; K, S ) jos ja vain jos det Mat(L; K, S ) 3

26 Todistus. Harjoitustehtävä. Esimerkki 3.4. Valitaan avaruuden Pol 3 (R, R) kannaksi K = {, x, x, x 3 }. Olkoot D : Pol 3 (R, R) Pol 3 (R, R) derivaattakuvaus ja L = D + D, missä D = D D. Lasketaan Mat(L, K, K). Esimerkin 3. nojalla Mat(D; K, K) = 3. Siten Mat(L; K, K) = Mat(D ; K, K) + Mat(D, K, K) = Mat(D; K, K)Mat(D; K, K) + Mat(D; K, K) 6 = = 3. 4

27 Luku 4 Ominaisarvo Kysymys: Milloin lineaarikuvauksen L : V V matriisi Mat(L; K, K) on diagonaalinen, toisin sanoen λ... λ Mat(L; K, K) =....?... λ n Vastaus: Jos löytyy avaruuden V kanta K = {v,..., v n } ja λ,..., λ n R, joille Lv i = λ i v i kaikilla i =,..., n. Määritelmä 4.. Olkoot V vektoriavaruus ja L : V V lineaarinen kuvaus. Luku λ R on kuvauksen L ominaisarvo, jos löytyy sellainen v V \ {}, että Lv = λv. Tällöin v on ominaisarvoon λ liittyvä ominaisvektori. Ominaisarvoon λ liittyvä ominaisavaruus on V λ (L) = {v V : Lv = λv} (toisin sanoen kaikkien ominaisvektorien sekä vektorin muodostama joukko). Käytetään jatkossa identiteettikuvaukselle Id : V merkintää I. Siis I(x) = x kaikilla x V. V yksinkertaisempaa Lause 4.. Olkoon λ lineaarikuvauksen L : V V ominaisarvo. Tällöin V λ (L) on avaruuden V aliavaruus ja V λ (L) = N (L λi). Todistus. Harjoitustehtävä. Esimerkki 4.3. (a) Tarkastellaan kuvausta L : R R, L(x, y) = (x + y, y) kaikilla (x, y) R. Nyt L(, ) = (, ) = (, ), joten on kuvauksen L ominaisarvo ja (, ) on ominaisarvoa vastaava ominaisvektori. Lisäksi L(, ) = (, ) = (, ), joten myös on ominaisarvo 5

28 ominaisvektorinaan (, ). Muita ominaisarvoja ei ole: x + y = λx L(x, y) = λ(x, y) (x + y, y) = (λx, λy) y = λy Jos λ ja λ, niin toisesta yhtälöstä saadaan (ehdosta λ ) y = ja sitten ensimmäisestä yhtälöstä saadaan (ehdosta λ ) x =. Näin ollen λ ei ole kuvauksen L ominaisarvo. (b) Olkoon L : R R, L(x, y) = ( y, x) kaikilla (x, y) R. Tällöin λx + y =, (x, y) = λ(x, y) ( y, x) = (λx, λy) λy x =. Jos λ =, niin saadaan x = y =, joten ei ole kuvauksen L ominaisarvo. Olkoon λ. Kerrotaan toinen yhtälö luvulla λ ja lisätään tähän ensimmäinen yhtälö. Tällöin saadaan ( + λ )y =. Siis y = ja sitten x =, joten λ ei ole kuvauksen L ominaisarvo. Kuvauksella L ei siis ole ominaisarvoja (kierto 9 vastapäivään). (c) Olkoon C (R, R) = C k (R, R), k= missä C k (R, R) = {f C(R, R) : f (k) C(R, R)} ja f (k) on funktion f k:s derivaatta. Olkoon D : C (R, R) C (R, R) derivaattakuvaus. Etsitään kuvauksen D ominaisarvot: Df = λf f (x) = λf(x) kaikilla x R f(x) = Ce λx kaikilla x R, missä C R. Siten jokainen λ R on kuvauksen D ominaisarvo ja funktio f(x) = Ce λx, missä C, on sitä vastaava ominaisvektori. Lause 4.4. Olkoon V vektoriavaruus. Lineaarikuvauksen L : V V erisuuriin ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia. Seuraus 4.5. Olkoon V n-ulotteinen vektoriavaruus ja L : V V lineaarikuvaus. Tällöin kuvauksella L on korkeintaan n erisuurta ominaisarvoa. Jos kuvauksella L on n erisuurta ominaisarvoa λ,..., λ n, niin vastaavat ominaisvektorit muodostavat 6

29 avaruuden V kannan K ja λ... λ Mat(L; K, K) = λ n Määritelmä 4.6. Olkoot V n-ulotteinen vektoriavaruus ja L : V V lineaarikuvaus. Kuvaus L on diagonalisoituva, jos on olemassa sellainen avaruuden V kanta K, että Mat(L; K, K) on diagonalisoituva. Huomautus 4.7. Seuraus 4.5 antaa riittävän ehdon diagonalisoituvuudelle. Tämä ehto ei ole kuitenkaan välttämätön, sillä esimerkiksi I : V V on diagonalisoituva (Mat(I; K, K) = I jokaiselle avaruuden V kannalle K), mutta kuvauksella I on vain yksi ominaisarvo, nimittäin. Määritelmä 4.8. Olkoot V n-ulotteinen vektoriavaruus, K avaruuden V kanta ja L : V V lineaarinen. Olkoon A = Mat(L; K, K). Lineaarikuvauksen L (ja matriisin A) karakteristinen polynomi on p L (λ) = det (A λi). Huomautus 4.9. (a) Jos λ on kuvauksen L ominaisarvo, niin löytyy vektori v V \ {}, jolle Lv = λv eli (L λi)v =. Tällöin L λi ei ole kääntyvä, joten Lauseen 3. (c) nojalla = det Mat(L λi) = det (A λi). Siten λ on karakteristisen polynomin p L (λ) juuri. Tämä päättely voidaan myös kääntää, joten λ on lineaarikuvauksen L ominaisarvo jos ja vain jos p L (λ) =. (b) Olkoot V n-ulotteinen vektoriavaruus, K ja S avaruuden V kantoja ja L : V V lineaarinen. On olemassa kannanvaihtomatriisi C = C(S, K), jolle Mat(L; S, S) = C Mat(L; K, K)C (todistus sivuutetaan). Lause 4.. Lineaarikuvauksen L : V V karakteristinen polynomi on riippumaton avaruuden V kannan valinnasta. 7

30 Esimerkki 4.. (a) Olkoon L : R R, L(x, y) = ( x + y, x + y) kaikilla (x, y) R. Määrätään tämän kuvauksen ominaisarvot ja ominaisavaruudet. Kuvauksen L matriisi luonnollisessa kannassa on A =, [ ] joten karakteristinen polynomi on [ ] λ p A (λ) = det = ( λ)( λ) = λ. λ Ominaisarvot ovat yhtälön λ = ratkaisut: λ = ±. Vastaavat ominaisavaruudet saadaan yhtälöistä L(x, y) = x + y = x (x, y) x + y = y = ( + )x ja y Siis L(x, y) = x + y = x (x, y) x + y = y y = ( )x. V = {(x, y) R y = ( + )x} = (, + ) ja V = {(x, y) R y = ( )x} = (, ) Nyt K = {(, + ), (, )} on avaruuden R kanta ja [ ] Mat(L; K, K) =. (b) Olkoon lineaarikuvauksen L : R 3 R 3 matriisi luonnollisen kannan suhteen A = 3. 3 Määrätään kuvauksen L ominaisarvot ja ominaisavaruudet. Nyt λ p A (λ) = det 3 λ 3 λ = ( λ)((3 λ) + ) + ( (3 λ)) = ( λ)((3 λ) ). 8

31 Nyt p A (λ) = jos ja vain jos λ =, λ = 4 tai λ =, joten ominaisarvot ovat ja 4. Ominaisavaruudet: x y + z = x L(x, y, z) = (x, y, z) 3y z = y x = y = z ja x + y + 3z = z x y + z = 4x L(x, y, z) = 4(x, y, z) 3y z = 4y x = y = z. x + y + 3z = 4z Siis V (L) = {(x, y, z) R 3 x = y = z} = (,, ) ja V 4 (L) = {(x, y, z) R 3 x = y = z} = (,, ). Määritelmä 4.. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus ja L : V V lineaarinen. Olkoot λ kuvauksen L ominaisarvo ja A kuvauksen L matriisi. Jos λ on polynomin p A (λ) m-kertainen juuri, eli p A (λ) = (λ λ ) m q(λ), missä q(λ) on polynomi ja q(λ ), niin ominaisarvon λ algebrallinen kertaluku on m. Ominaisarvon λ geometrinen kertaluku on dim N (A λ I). Lause 4.3. Olkoot V n-ulotteinen vektoriavaruus ja L : V V lineaarinen. Tällöin kuvauksen L ominaisarvolle λ pätee λ :n geometrinen kertaluku λ :n algebrallinen kertaluku. Huomautus 4.4. Esimerkissä 4. (b) nähtiin, että ominaisarvot geometrinen kertaluku voi olla aidosti pienempi kuin algebrallinen kertaluku. Lause 4.5. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus ja L : V V diagonalisoituva lineaarikuvaus. Tällöin kuvauksen L jokaisen ominaisarvon geometrinen kertaluku on sama kuin sen algebrallinen kertaluku. Todistus. Harjoitustehtävä. Edellisen lauseen väite pätee myös kääntäen, jos V on kompleksikertoiminen vektoriavaruus (jolloin myös ominaisarvot voivat olla kompleksilukuja). 9

32 Määritelmä 4.6. Olkoot (V, ( )) ja (W, ) äärellisulotteisia sisätuloavaruuksia sekä L : V W lineaarinen. Kuvauksen L adjungaatti on lineaarikuvaus L : W V, jolle pätee kaikilla v V ja w W. (L w v) = w Lv Lause 4.7. Olkoot V ja W äärellisulotteisia sisätuloavaruuksia kuten Määritelmässä 4.6. Lineaarikuvauksella L : V W on olemassa yksikäsitteinen adjungaatti. Lisäksi L = L. Lause 4.8. Olkoot (V, ( )) ja (W, ) äärellisulotteisia sisätuloavaruuksia, K avaruuden V ortonormaali kanta, S avaruuden W ortonormaali kanta ja L : V W lineaarinen. Tällöin Mat(L ; S, K) = Mat(L; K, S) T. Jos V ja W ovat kompleksikertoimisia avaruuksia, niin tällöin Mat(L ; S, K) = Mat(L; K, S) T. Määritelmä 4.9. Olkoot V äärellisulotteinen sisätuloavaruus ja L : V V lineaarinen. Kuvaus L on itseadjungoituva eli symmetrinen, jos L = L. Lause 4.. Olkoon L : V V äärellisulotteisen sisätuloavaruuden V itseadjungoituva lineaarikuvaus. Tällöin kuvauksen L eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Lause 4. (Spektraalilause). Olkoon L : V V äärellisulotteisen sisätuloavaruuden V itseadjungoituva lineaarikuvaus. Tällöin avaruudella V on ortonormaali kanta, joka muodostuu kuvauksen L ominaisvektoreista. Huomautus 4.. Lineaarikuvauksen L : V V, missä dim V <, ominaisarvojen joukkoa kutsutaan kuvauksen L spektriksi, ja sitä merkitään δ(l). 3

33 Kohtisuorat Projektiot Geometrinen lähestymistapa Tässä osiossa tarkastelemme Euklidista avaruutta R n ja sen aliavaruuksia. Määritelmä 4.3. Olkoon V avaruuden R n aliavaruus ja K = {v,..., v k } avaruuden V ortonormaali kanta. Vektorin u R n kohtisuora projektio aliavaruudelle V on k P V (u) = (u v j ) v j. j= Esimerkki 4.4. a) Tarkastellaan avaruuden R 3 aliavaruutta V = {(x, y, ) : x, y R}. Tällöin P V (x, y, z) = (x, y, ) kaikilla (x, y, z) R 3. (Luennolla) b) Tarkastellaan avaruuden R aliavaruuksia V = {(x, x) : x R} ja W = {(x, x) : x R}. Tällöin P V (u) = ((x + y)/, (x + y)/) ja P W (u) = ((x y)/, ( x + y)/) kaikilla u = (x, y) R. (Luennolla) Lause 4.5. Olkoon V avaruuden R n aliavaruus ja u R n. (i) u V jos ja vain jos P V (u) = u. (ii) Vektori u P V (u) on kohtisuorassa aliavaruutta V vastaan. (iii) Epäyhtälö u P V (u) u v on tosi kaikilla v V. Lisäksi tässä epäyhtälössä on yhtäsuuruus jos ja vain jos v = P V (u). (iv) Epäyhtälö P V (u) u on tosi kaikilla u R n. Lisäksi tässä epäyhtälössä on yhtäsuuruus jos ja vain jos u V. Määritelmä 4.6. Avaruuden R n epätyhjän osajoukon S kohtisuora komplementti on joukko S = {u R n : (u v) = kaikilla v S}. Lause 4.7. Jos S on avaruuden R n epätyhjä osajoukko, niin S on avaruuden R n aliavaruus. 3

34 Lause 4.8. Olkoon V avaruuden R n aliavaruus. Tällöin jokaiselle vektorille u R n on olemassa yksikäsitteiset vektorit v V ja w V siten, että u = v + w. Esimerkki 4.9. Olkoon L : R R, L(x, y) = (y, x) kaikilla (x, y) R. Tällöin L = P V P W, missä V ja W ovat ominaisarvoja ja vastaavia ominaisavaruuksia. (Luennolla) Lause 4.3 (Spektraalilause II). Olkoon L : R n R n itseadjungoitu kuvaus ja olkoon {v,..., v n } kuvauksen L ominaisarvoista koostuva avaruuden R n ortonormaali kanta. Olkoot λ j ominaisvektoria v j vastaava ominaisarvo ja P j kohtisuora projektio avaruudelta R n avaruudelle v j. Tällöin Hitunen algebraa L = n λ j P j. j= Määritelmä 4.3. Lineaarinen kuvaus L : R n R n on idempotentti jos ja vain jos L = L. Tässä siis L = L L. Lause 4.3. (i) Jos V on avaruuden R n aliavaruus, niin kuvaus P V on itseadjungoitu idempotentti. (ii) Jos L : R n R n on itseadjungoitu idempotentti, niin R(L) = {u R n : Lu = u} ja N (L) = R(L). Lisäksi L = P R(L). Lause Olkoot P ja Q avaruuden R n projektioita. Seuraavat väitteet ovat tosia: (i) P Q on projektio jos ja vain jos P Q = QP. (ii) P + Q on projektio jos ja vain jos R(P ) R(Q). (iii) P Q on projektio P Q = Q QP = Q. 3

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo 0-68

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo 0-68 SISÄLTÖ Sisältö pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 0-1 2 Sisätuloavaruus 0-20 3 Lineaarikuvaus 0-41 4 Ominaisarvo 0-68 5 Esimerkkejä 0-88 1. Lineaariavaruus eli V 1 Lineaariavaruus

Lisätiedot

LINEAARIALGEBRA A 2016 TOMI ALASTE EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF

LINEAARIALGEBRA A 2016 TOMI ALASTE EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF LINEAARIALGEBRA 83A 6 EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF TOMI ALASTE SISÄLTÖ Sisältö Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 3 Lineaarikuvaus 4 Ominaisarvo 34 5 Esimerkkejä 44 . Lineaariavaruus

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

Avaruuden R n aliavaruus

Avaruuden R n aliavaruus Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO Syksy 2017 LINEAARIALGEBRA 1 / 59 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III LINEAR ALGEBRA PART III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III LINEAR ALGEBRA PART III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III LINEAR ALGEBRA PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Contents 1 Lineaarikuvaus 2 1.1 Määritelmä............................ 2 1.2 Matriisiesitys/Matrix

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II 802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Contents 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 2 1.1 Sisätuloavaruus/Inner product space..............

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Harjoituksia/Exercises 2017 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II 802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2019 LINEAARIALGEBRA 1 / 69 Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus.

Lisätiedot

Lineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.

Lineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo. Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II 802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 LINEAARIALGEBRA 1 / 67 Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus.

Lisätiedot

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006 Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

1. Normi ja sisätulo

1. Normi ja sisätulo Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

LINEAARIALGEBRA. Harjoituksia/Exercises 2017 Valittuja ratkaisuja/selected solutions

LINEAARIALGEBRA. Harjoituksia/Exercises 2017 Valittuja ratkaisuja/selected solutions LINEAARIALGEBRA Harjoituksia/Exercises 2017 Valittuja ratkaisuja/selected solutions 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n )

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi / kertaus

Matemaattinen Analyysi / kertaus Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot

Lisätiedot

4. LINEAARIKUVAUKSET

4. LINEAARIKUVAUKSET 86 4 LINEAARIKUVAUKSET 41 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoot V ja V vektoriavaruuksia Tarkastellaan kuvausta L : V V Tällöin jokaiseen vektoriin v V liittyy tietty, L:n ja v:n yksikäsitteisesti määräämä

Lisätiedot

LINEAARIALGEBRA. Harjoituksia/Exercises 2019 Valittuja ratkaisuja/selected solutions

LINEAARIALGEBRA. Harjoituksia/Exercises 2019 Valittuja ratkaisuja/selected solutions LINEAARIALGEBRA Harjoituksia/Exercises 2019 Valittuja ratkaisuja/selected solutions 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n )

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2. HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus

Lisätiedot

LINEAARIALGEBRA P. LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT

LINEAARIALGEBRA P. LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT LINEAARIALGEBRA II 802119P LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT syksy 2008 30 V SISÄTULOAVARUUKSISTA 1. Sisätulon määritelmä Tarkastellaan sisätulon määrittelyä varten kompleksilukujen joukkoa C = {x + iy

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja 5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.

Lisätiedot

i=1 Näistä on helppo näyttää ominaisuudet (1)-(4). Ellei toisin mainita, käytetään R n :ssä

i=1 Näistä on helppo näyttää ominaisuudet (1)-(4). Ellei toisin mainita, käytetään R n :ssä Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 003. 8.0.003 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni.. Normi

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit

Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit Antti Rasila 2016 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1/5 Määritelmä Skalaari λ C on matriisin A C n n ominaisarvo ja vektori v C n sitä

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus

Lisätiedot

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (

Lisätiedot

Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr

Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Pekka Salmi 14.3.2015 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 14.3.2015 1 / 64 Yleistä Opettaja: Pekka Salmi, MA327 Kontaktiopetus ti 1012 (L), ke 810 (L), ma 1214

Lisätiedot

Kompaktien operaattoreiden spektraaliteoriasta

Kompaktien operaattoreiden spektraaliteoriasta Kompaktien operaattoreiden spektraaliteoriasta Lauri Horttanainen Matematiikan Pro Gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2008 Sisältö Johdanto 2 1. Sisätuloavaruuden

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

HILBERTIN AVARUUKSISTA

HILBERTIN AVARUUKSISTA HILBERTIN AVARUUKSISTA Pro gradu -tutkielma Hannariikka Lehtiniemi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Jyväskylän yliopisto syksy 2014 TIIVISTELMÄ Ääretönulotteiset avaruudet ovat monilta ominaisuuksiltaan

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Lineaarikuvaukset Lineaarikuvaus Olkoot U ja V

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause

Lisätiedot

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/66 Redusoitu porrasmuoto 1 1 2 4 1 1 4 6 2 2 5 9 1 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Antti Rasila 2016 Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Jos {v 1, v 2,..., v k } on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I LINEAR ALGEBRA PART I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I LINEAR ALGEBRA PART I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I LINEAR ALGEBRA PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 1 Contents 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 3 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä....................

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

6. Lineaariset operaattorit

6. Lineaariset operaattorit 96 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että Fourier-sarjat suppenevat L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla 80). Osoitimme myös, että kun f on jatkuva ja

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma

Lisätiedot

4. Hilbertin avaruudet

4. Hilbertin avaruudet FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 51 4. Hilbertin avaruudet Hilbertin avaruudet ovat ääretönulotteisista normiavaruuksista ominaisuuksiltaan kaikkein lähinnä kotiavaruutta R n tai C n. Tästä syystä niiden

Lisätiedot

Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162

Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162 Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/162 Kertausta Vektorin u = (u 1,u 2 ) R 2 pituus u = u 2 1 +u2 2 Vektorien u ja v = (v 1,v 2

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 25. lokakuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus... 111 16 Aliavaruus... 117 16.1 Vektoreiden

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Lineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi

Lineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja

Lisätiedot

Täydellisyysaksiooman kertaus

Täydellisyysaksiooman kertaus Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja

Lisätiedot

2 / :03

2 / :03 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse / 8 76 3:3 Kysymys Pisteet,, Määritellään positiivisten reaalilukujen joukossa R + = {x R x > } yhteenlasku ja skalaarikertolasku seuraavasti:

Lisätiedot