2. REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "2. REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET"

Transkriptio

1 30 REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET 1 Koordinaattiavaruus R n Olkoon n N = {1,, 3, } positiivinen kokonaisluku (luonnollisten lukujen joukko on tällä kurssilla N = {0, 1,, 3, }) Merkitään R n = R n 1 = n 1 - matriisien joukko R n :n alkioita x = x 1 x x n = [ x 1 x x n ] T R n, x i R kaikilla i, kutsutaan pisteiksi tai (sarake-)vektoreiksi Yllä olevaa alkiota x R n merkitään myös x = (x 1,, x n ), järjestetty n-jono Sen sijaan x [ x 1 x x n ] R 1 n, jos n Näin on määritelty joukko R n, kun n 1 Joskus merkitään lisäksi R 0 = {0}, yksialkioinen joukko Erikoistapauksena matriisien yhteenlaskusta 14 ja skalaarilla (= reaaliluvulla) kertomisesta 16 on R n :ssä (missä n 1) määritelty yhteenlasku ja skalaarilla kertominen: x 1 y 1 x 1 + y 1 ax 1 x + y = x + y ; a x 1 x = ax x n y n x n + y n x n ax n (x 1,, x n, y 1,, y n, a R); nämä on siis määritelty komponenteittain Matriisitoimitusten ominaisuuksista saadaan seuraavat laskulait: Lause 11 Kaikilla x, y, z R n ja a, b R on i) (x + y) + z = x + (y + z); ii) x + y = y + x; iii) x + 0 = x, 0 = [ ] T ; iv) x + ( 1)x = 0;

2 31 v) a(x + y) = ax + ay; vi) (a + b)x = ax + bx; vii) a(bx) = (ab)x; viii) 1x = x Painotekninen huomautus : Käsinkirjoitetussa tekstissä usein x = x jne Geometrinen tulkinta tapauksissa n = 1,, 3 n = 1 : Joukkoina samastetaan yleensä R 1 ja R niin, että [ x ] R 1 = x R x R Tavalliseen tapaan reaaliluvut vastaavat lukusuoran pisteitä: Annetulta suoralta S valitaan piste O (origo) sekä toinen piste E 1 O (yksikköpiste) Pistettä P S vastaa tämän jälkeen x R: OP : OE 1 = x x > 0, x < 0, ( OP = janan OP pituus) jos pisteet P O ja E 1 ovat O:n samalla puolella jos pisteet P O ja E 1 ovat O:n eri puolilla P O E 1 x < 0 x > 0 Mainittu vastaavuus on kääntäen yksikäsitteinen n = : Kiinnitetään tasossa T piste O (origo) ja O:n kautta kulkevat, toisiaan vastaan kohtisuorat suorat S 1 ja S (koordinaattiakselit), sekä yksikköpisteet E i S i (i = 1, ) Tämän jälkeen samastetaan S i R:n kanssa kuten yllä Silloin jokaista pistettä P T vastaa kääntäen yksikäsitteisesti piste x = (x 1, x ) R : P S S P S 1 x O x 1 P 1 S 1 P S i S i S S 1 = P 1 x 1 R S 1 S = P x R = P x = (x 1, x ) R

3 3 Yhteenlasku geometrisesti: P T x = (x 1, x ) R Q T y = (y 1, y ) R R T x + y R = R saadaan suunnikassäännöllä, so OP RQ on suunnikas O P R x Q y x 1 y 1 Skalaarilla kertominen geometrisesti: P T x R, P O (ts x 0) ja R T ax R = R on suoralla OP ; R ja P ovat O:n samalla puolella, kun a > 0 R ja P ovat O:n vastakkaisilla puolilla, kun a < 0 OR : OP = a R, (a < 0) O P R, (a > 1) R, (0 < a < 1) n = 3 : Kiinnitetään avaruudessa A origo O, kolme toisiaan vastaan kohtisuoraa koordinaattiakselia S 1, S ja S 3, ja yksikköpisteet E i S i (i = 1,, 3) Tämän jälkeen jokaista pistettä P A vastaa kääntäen yksikäsitteisesti x = (x 1, x, x 3 ) R 3, summa P + Q muodostetaan A:ssa suunnikassäännöllä (tasossa OP Q) ja skalaarilla kertominen tapahtuu kuten kohdassa n = Siis on saatu vastaavuudet tason pisteet R :n pisteet avaruuden pisteet R 3 :n pisteet Nämä riippuvat koordinaatiston (so pisteiden 0, E 1, E, ) valinnasta Tason tai avaruuden pisteparia P, Q vastaa vektori P Q = Q P P Q

4 33 Kahta eri pisteparia voi vastata sama vektori: P Q = RS Q P = S R P + S = Q + R ( vektori = suuntajanojen ekvivalenssiluokka) Erityisesti on olemassa yksikäsitteinen piste X, nimittäin X = Q P, jolla P Q = OX on pisteen X paikkavektori Saadaan vastaavuus P Q X x R tai x R 3 tason (vast avaruuden) vektorien ja R :n (vast R 3 :n) vektorien eli pisteiden välille Erityisesti P Q = OQ OP, joten OQ = OP + P Q, ja yleisemmin P R = P Q+ QR (koska (Q P ) + (R Q) = R P ) P Q R Vektoriavaruudet Edellä nähtiin, että R n :n vektorien yhteenlaskulla ja skalaarilla kertomisella on perusominaisuudet 11 i) viii) Vastaavat ominaisuudet ovat voimassa monissa muissakin tilanteissa (esimerkkejä alla) Kannattaa siis ottaa käyttöön yleinen määritelmä, jossa ko ominaisuudet asetetaan perusoletuksiksi (aksioomiksi); tällöin kehitettävä yleinen teoria soveltuu sellaisenaan jokaiseen erikoistapaukseen Määritelmä 1 Joukko V on (R-kertoiminen) vektoriavaruus, jos kaikkiin v, w V ja a R on liitetty yksikäsitteiset summa v + w V ja tulo av V niin, että seuraavat ominaisuudet ovat voimassa: i) (u + v) + w = u + (v + w) kaikilla u, v, w V ii) v + w = w + v kaikilla v, w V iii) On olemassa sellainen 0 = 0 V, että v + 0 = v kaikilla v V iv) Jokaiseen v V liittyy sellainen v V, että v + ( v) = 0 v) a(v + w) = av + aw kaikilla a R, v, w V vi) (a + b)v = av + bv kaikilla a, b R, v V vii) a(bv) = (ab)v kaikilla a, b R, v V viii) 1v = v kaikilla v V Tässä V :n alkioita kutsutaan vektoreiksi, R:n alkioita skalaareiksi

5 Huomautus a) laskutoimitukset + ja kuuluvat vektoriavaruuden struktuuriin Tarkkaan ottaen vektoriavaruus ei siis ole pelkkä joukko V vaan kolmikko (V, +, ) b) iii):ssä nollavektori 0 on yksikäsitteinen Jos nimittäin myös z V toteuttaa ehdon v + z = v kaikilla v V, niin z iii = z + 0 ii = 0 + z = 0 34 c) iv):ssä vektorin v vastavektori v on v:n yksikäsitteisesti määräämä Jos nimittäin myös w toteuttaa ehdon v + w = 0, niin w iii = w + 0 iv = w + (v + ( v)) i = (w + v) + ( v) ii = (v + w) + ( v) = 0 + ( v) = ii ( v) + 0 = iii ( v) Esimerkki 3 a) 11:n mukaan sarakevektorien joukko R n = R n 1 (n 1) on vektoriavaruus, laskutoimituksina n 1 -matriisien yhteenlasku ja skalaarilla kertominen Vastaavasti tulee rivivektorien eli 1 n -matriisien [ x 1 x x n ] (x i R) joukosta R n = R 1 n vektoriavaruus, kun laskutoimituksiksi valitaan 1 n - matriisien yhteenlasku ja skalaarilla kertominen Yleisemmin on kaikkien m n -matriisien joukko R m n (m 1, n 1) matriisien yhteenlaskulla ja skalaarilla kertomisella varustettuna vektoriavaruus Myös R 0 = {0} on vektoriavaruus, kun määritellään = 0 ja a 0 = 0 kaikilla a R b) Olkoon X joukko ja R X = {f f on kuvaus X R} kaikkien X:ssä määriteltyjen reaalifunktioiden joukko Kun f, g R X ja a R, määritellään f + g R X ja af R X (siis f + g ja af ovat kuvauksia X R) asettamalla (f + g)(x) = f(x) + g(x) (af)(x) = a f(x) kaikilla x X, missä yhtälöiden oikealla puolella + ja tarkoittavat R:n laskutoimituksia Tällöin R X :stä tulee vektoriavaruus Todistetaan esimerkiksi aksiooma i): Olkoot f, g, h R X ja x X Tällöin ((f + g) + h)(x) = (f + g)(x) + h(x) = (f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) = f(x) + (g + h)(x) = (f + (g + h))(x);

6 koska siis ((f +g)+h)(x) = (f +(g+h))(x) kaikilla x X, on (f +g)+h = f +(g+h) (määritelmän mukaan kaksi kuvausta f 1, f : X R ovat samat täsmälleen silloin, kun f 1 (x) = f (x) kaikilla x X) R X :n nollavektori on nollakuvaus Alkion f R X vasta-alkio on 0 : X R, 0(x) = 0 kaikilla x X f : X R, ( f)(x) = (( 1)f)(x) = ( 1) f(x) = f(x) kaikilla x X (Lisäksi sovitaan, että R = {0} = R 0 ) c) Useat R X :n osajoukot (sopivalla joukolla X) ovat kiintoisia vektoriavaruuksia; ks 3 Esimerkki 4 Kun x, y, a R, määritellään x y = x y, missä on tavallinen erotus, ja a x = a x, missä on tavallinen tulo Mitkä aksioomista i) viii) ovat voimassa (R,, ):ssä? Onko (R,, ) vektoriavaruus? Ratkaisu i) ei ole voimassa; esimerkiksi (0 0) 1 = (0 0) 1 = 1 ja 0 (0 1) = 0 (0 1) = 1, joten (0 0) 1 0 (0 1) Siten (R,, ) ei ole vektoriavaruus ii) ei ole voimassa; esimerkiksi iii) on voimassa; x 0 = x 0 = x x 0) 0 1 = 0 1 = 1 1 = 1 0 = x R (Sen sijaan 0 x = x x, kun iv) on voimassa; x kelpaa x:n vasta-alkioksi, koska x x = x x = 0 x R v) on voimassa; a (x y) = a(x y) = ax ay = (a x) (a y) vi) ei ole voimassa; esimerkiksi (1 + 1) 1 = 1 = ja (1 1) (1 1) = 1 1 = 0, joten (1 + 1) 1 (1 1) (1 1) vii) ja viii) ovat voimassa Olkoon V vektoriavaruus Silloin kahden vektorin v 1 ja v summa on määritelty kaikilla v 1, v V Useamman vektorin summa määritellään rekursiivisesti: kun n ja v 1, v,, v n V, on v 1 + v + + v n = (v v n 1 ) + v n

7 Liitännäisyydestä 1 i) seuraa yleinen liitännäisyys eli sulut voi asettaa mielivaltaisesti Tarkastellaan esimerkkinä tapausta n = 4 Rekursiivisen määritelmän mukaisesti (M) v 1 + v + v 3 + v 4 = ((v 1 + v ) + v 3 ) + v 4 Toisaalta sulut voidaan asettaa myös seuraavilla tavoilla: 1) (v 1 + (v + v 3 )) + v 4 ) (v 1 + v ) + (v 3 + v 4 ) 3) v 1 + (v + (v 3 + v 4 )) 4) v 1 + ((v + v 3 ) + v 4 ) Koska v 1 +(v +v 3 ) = (v 1 +v )+v 3, summa 1) on sama kuin (M) Samalla tavalla päätellään, että summat 3) ja 4) ovat keskenään samat Jos merkitään v = v 1 +v, on ((v 1 + v ) + v 3 ) + v 4 = (v + v 3 ) + v 4 = v + (v 3 + v 4 ) = (v 1 + v ) + (v 3 + v 4 ), joten summa ) on sama kuin (M) Toisaalta, jos merkitään u = v + v 3, on v 1 + ((v + v 3 ) + v 4 ) = v 1 + (u + v 4 ) = (v 1 + u) + v 4 = (v 1 + (v + v 3 )) + v 4, joten summat 4) ja 1) ovat keskenään samat Siis kaikki neljä summaa ovat samat kuin (M) Näin ollen merkinnän v 1 + v + v 3 + v 4 voidaan ajatella tarkoittavan juuri sitä, että sulut voidaan asettaa mielivaltaisesti Liitännäisyydestä 11 i) ja vaihdannaisuudesta 11 ii) seuraa myös yleinen vaihdannaisuus eli yhteenlaskettavien järjestys summassa (M) voidaan valita mielivaltaisesti Osittelulaeista 1 v) ja vi) seuraavat yleiset osittelulait a(v v n ) = av av n (a R, v 1,, v n V ) (a a n )v = a 1 v + + a n v (a 1,, a n R, v V ) Yleisen liitäntälain, vaihdantalain ja yleisten osittelulakien täsmälliset todistukset (induktiolla) sivuutetaan Vektorien v, w V erotus on v w = v + ( w) V Siis z = v w on se yksikäsitteinen V :n vektori, jolla z + w = v Mm seuraavat laskusäännöt seuraavat vektoriavaruuden aksioomista i) viii): Lause 5 Olkoot v, w V, a, b R Silloin a) av = 0 a = 0 tai v = 0; b) ( 1)v = v; c) a(v w) = av aw; d) (a b)v = av bv 36

8 37 Todistus (a) = Koska 0v = (0 + 0)v vi = 0v + 0v, on 0 iv = 0v + ( 0v) = (0v + 0v) + ( 0v) i = 0v + (0v + ( 0v)) iv = 0v + 0 iii = 0v Vastaavasti a0 iii = a(0 + 0) v = a0 + a0, joten 0 = a0 + ( a0) = (a0 + a0) + ( a0) = a0 + (a0 + ( a0)) = a0 + 0 = a0 = Olkoon av = 0 ja a 0 Silloin on olemassa 1/a R, ja v viii = 1v = ( 1 vii a)v = 1 a a (av) = 1 a 0 ed = 0 (b) Koska v + ( 1)v = 1v + ( 1)v = (1 + ( 1))v = 0v a) = 0, on vastavektorin yksikäsitteisyyden nojalla ( 1)v = v (c) a(v w) b) = a(v + ( 1)w) v = av + a(( 1)w) vii = av + (a( 1))w = av + (( 1)a)w vii = av + ( 1)(aw) b) = av + ( aw) = av aw (d) (a b)v = (a+( b))v = av+( b)v = av+(( 1)b)v = av+( 1)(bv) = av bv Tarkastellaan vektoriavaruutta V 3 Aliavaruudet Määritelmä 31 Osajoukko W V on V :n vektorialiavaruus (lyhyesti aliavaruus), jos i) v + w W aina, kun v, w W, ii) av W aina, kun v W ja a R, ja iii) 0 V W (Aksioomissa i) ja ii) + ja ovat V :n laskutoimitukset) Huomautus 3 Olkoon W V aliavaruus 31 i):n ja ii):n nojalla voidaan määritellä v + w W ja av W kaikilla v, w W ja a R käyttäen V :n laskutoimituksia Näin saaduilla laskutoimituksilla varustettuna W on itsekin vektoriavaruus: Laskusäännöt 1 i), ii) ja v) viii) pätevät W :n vektoreille, koska ne pätevät jopa V :n vektoreille; koska v + 0 V = v v W (jopa v V ) ja 0 V W (31 iii), niin 0 V kelpaa W :n nollavektoriksi; vektorin v W vastavektoriksi W :ssä kelpaa sen vastavektori v V :ssä, sillä 31 ii):n nojalla v = ( 1)v W Aliavaruus ajatellaan aina (ellei toisin mainita) varustetuksi tällä ns indusoidulla vektoriavaruuden struktuurilla

9 38 Esimerkki 33 a) W = {[ x 1 x ] T R x 1 + x = 0} on R :n aliavaruus: i) Olkoon x = [ x 1 x ] T W ja y = [ y 1 y ] T W Tällöin x + y = [ x 1 + y 1 x + y ] T Koska on x + y W (x 1 + y 1 ) + (x + y ) = (x 1 + x ) + (y 1 + y ) = = 0, ii) Olkoon x = [ x 1 x ] T W ja a R Tällöin ax = a [ x 1 x ] T = [ ax 1 ax ] T Koska (ax 1 ) + (ax ) = a(x 1 + x ) = a 0 = 0, on ax W iii) 0 R = [ 0 0 ] T W, koska = 0 b) Sen sijaan W = {[ x 1 x ] T R x 1 + x = 1} ei ole R :n aliavaruus, sillä 0 R = [ 0 0 ] T / W (0 + 0 = 0 1), joten 31 iii) ei ole voimassa Myöskään 31 i) ja ii) eivät ole voimassa, sillä esimerkiksi [ 1 0 ] T W ja [ 0 1 ] T W ja R, mutta [ 1 0 ] T + [ 0 1 ] T = [ 1 1 ] T / W (1 + 1 = 1) ja [ 1 0 ] T = [ 0 ] T / W ( + 0 = 1) x x x 1 (0, 1) (1, 0) x 1 W W a) b) c) Tarkastellaan vektoriavaruutta R R, vektoreina kaikki funktiot f : R R Esimerkiksi seuraavat osajoukot ovat R R :n aliavaruuksia: C 0 (R, R) = {f R R f on jatkuva}, C 1 (R, R) = {f R R f on derivoituva ja f on jatkuva}, P = {f R R f on polynomifunktio}, P n = {f P deg(f) n} (n N)

10 (Todistus C 0 (R, R):lle: Differentiaali- ja integraalilaskentalaskenta I1:ssä osoitetaan, että f + g ja af ovat jatkuvia, kun f, g : R R ovat jatkuvia ja a R; lisäksi vakiokuvaus 0 : x 0 on jatkuva) Tässä P 0 P 1 P P C 1 (R, R) C 0 (R, R) R R d) Jokaisella vektoriavaruudella V on (ainakin) triviaalit aliavaruudet {0 V } ja V Lineaarikombinaatiot ja aliavaruuden virittäminen Esimerkki 34 a) Olkoon P R (tai R 3 ), P O (O origo) ja v = OP R Tällöin joukko {tv t R} on O:n ja P :n kautta kulkeva suora v P O tv, (t > 1) 39 b) Olkoot P, Q R 3, ja oletetaan, että O, P ja Q eivät ole samalla suoralla Merkitään v = OP R 3 ja w = OQ R 3 Tällöin joukko {sv + tw s, t R} on pisteiden O, P ja Q kautta kulkeva taso w = OQ tw sv + tw v = OP sv Yleisesti, olkoon V vektoriavaruus ja v 1, v,, v k V vektoreita Vektorit x 1 v 1 + x v + + x k v k V, x 1,, x k R, ovat vektoreiden v 1, v,, v k lineaarikombinaatioita Niiden joukkoa merkitään span(v 1,, v k ) = {x 1 v x k v k x 1,, x k R} V (Sopimus: Tämä on = {0}, jos k = 0, ts (v 1,, v n ) on tyhjä jono ) Lause 35 a) span(v 1,, v k ) on V :n aliavaruus b) v 1,, v k span(v 1,, v k ) c) Jos W V on aliavaruus ja v 1,, v k W, niin span(v 1,, v k ) W (ts W sisältää vektoriensa kaikki lineaarikombinaatiot)

11 Todistus a) Jos v = x 1 v 1 + +x k v k span(v 1,, v k ), w = y 1 v 1 + +y k v k span(v 1,, v k ) ja a R, on v + w = (x 1 + y 1 )v (x k + y k )v k span(v 1,, v k ), av = (ax 1 )v (ax k )v k span(v 1,, v k ) Lisäksi 0 = 0v v k span(v 1,, v k ) b) v j = x 1 v x k v k span(v 1,, v k ), missä x j = 1 ja x i = 0, kun i j c) Olkoon W aliavaruus ja v 1,, v k W Olkoot x 1,, x k R Kohdan 31 ii) nojalla x j v j W kaikilla j {1,,, k}; tämän jälkeen kohdan 31 i) nojalla 40 x 1 v 1 + x v W x 1 v 1 + x v + x 3 v 3 = (x 1 v 1 + x v ) + x 3 v 3 W x 1 v x k v k = (x x k 1 v k 1 ) + x k v k W Siten span(v 1,, v k ) on inkluusion suhteen pienin niistä V :n aliavaruuksista, jotka sisältävät vektorit v 1,, v k, vektorien v 1,, v k virittämä aliavaruus Huomautus 36 Jos myös w 1,, w l V, niin span(v 1,, v k ) span(w 1,, w l ) v j span(w 1,, w l ) j Yleensä tällöin ei päde v j {w 1,, w l } millään j:n arvolla Laskumenetelmä 37 Olkoot a 1, a,, a n R m Tutkittava, onko annettu vektori b = [ b 1 b b m ] T R m esitettävissä vektorien a 1, a,, a n lineaarikombinaationa, ts onko b span(a 1,, a n ) Ratkaisu Olkoon a j = [ a 1j a j a mj ] T (j = 1,, n) ja A = [ a ij ] R m n ; siis A on m n -matriisi, jonka sarakkeet ovat a 1, a,, a n Nyt b span(a 1,, a n ) x 1 a 1 + x a + + x n a n = b joillakin x 1, x,, x n R, ja x 1 a 1 + x a + + x n a n = x 1 a 11 a 1 + x a 1 a + + x n a 1n a n = Ax, a m1 a m a mn

12 missä x = [ x 1 x x n ] T R n Siispä b span(a 1,, a n ) lineaarisella yhtälöryhmällä Ax = b, eli a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + + a n x n = b a m1 x 1 + a m x + + a mn x n = b m, on ratkaisuja x = [ x 1 x n ] T R n Esimerkki 38 a) Olkoon a 1 = [ 1 1 ] T R 3, a = [ 1 0 ] T R 3, a 3 = [ ] T R 3 ja b = [ 1 5 ] T R 3 Onko b span(a 1, a, a 3 )? Ratkaisu Kuten 37:ssä todettiin, b span(a 1, a, a 3 ) x 1 a 1 +x a +x 3 a 3 = b joillakin x 1, x, x 3 R x = [ x 1 x x 3 ] T R 3 toteuttaa yhtälöryhmän Ax = b, jonka täydennetty matriisi muunnetaan porrasmuotoon seuraavasti: Yhtälöryhmän Ax = b ratkaisu on siis x 3 = 1, x = 3+x 3 =, x 1 = x x 3 = 1, joten b = a 1 + a a 3 span(a 1, a, a 3 ) b) Olkoon a 1 = [ 1 1 ] T R 3, a = [ 1 0 ] T R 3 ja b = [ b 1 b b 3 ] T R 3 Millä ehdolla on b span(a 1, a )? Ratkaisu Ehtoa b span(a 1, a ) vastaavan lineaarisen yhtälöryhmän täydennetty matriisi muuntuu porrasmuotoon seuraavasti: b 1 b b b 1 b 3 b 1 b 4b 1 + b 3 41 Siispä b span(a 1, a ) on ratkaisuja b 4b 1 + b 3 = 0

13 4 Matriisiin liittyviä avaruuksia Olkoon A = [ a ij ] R m n m n -matriisi A:n nolla-avaruus on Null(A) = {x R n Ax = 0} R n ; siis Null(A) on homogeenisen yhtälöryhmän Ax = 0 eli ratkaisujen x = [ x 1 x n ] T joukko a 11 x a 1n x n = 0 a 1 x a n x n = 0 a m1 x a mn x n = 0 Lause 39 Null(A) on R n :n aliavaruus Todistus Käytetään matriisitulon ominaisuuksia (131): i) Olkoot x, y Null(A) Tällöin A(x + y) = Ax + Ay = = 0, joten x + y Null(A) ii) Olkoon x Null(A) ja c R Tällöin A(cx) = c(ax) = c 0 = 0, joten cx Null(A) iii) A0 = 0, joten 0 Null(A) Tarkastellaan yo matriisin A = [ a ij ] R m n sarakkeita a j = [ a 1j a j a mj ] T R m (j = 1,,, n) ja rivejä a i = [ a i1 a i a in ] R n (i = 1,,, m) A:n sarakeavaruus Col(A) ja riviavaruus Row(A) ( sarake = column, rivi = row ) ovat Col(A) = span(a 1, a,, a n ) R m, Row(A) = span(a 1, a,, a n ) R n Siis Col(A) on R m :n aliavaruus ja Row(A) on R n :n aliavaruus Lause 310 Jos m n -matriisit A ja B ovat riviekvivalentit, niin a) Null(A) = Null(B), b) Row(A) = Row(B)

14 Todistus a) Koska täydennetty matriisi [ A 0 ] on riviekvivalentti täydennetyn matriisin [ B 0 ] kanssa, ovat lauseen 157 nojalla yhtälöryhmät Ax = 0 ja Bx = 0 ekvivalentit Täten niillä on sama ratkaisujoukko eli Null(A) = Null(B) b) Erikoistapaus : B on saatu A:sta yhdellä alkeisrivitoimituksella, joka on tyyppiä I, II tai III Käsitellään tyyppi III, joka on vaikein III r s, c R, b s = a s + ca r ja b i = a i i s Tällöin b i span(a 1,, a m ) = Row(A) i, 43 joten Row(B) = span(b 1,, b m ) Row(A) Toisaalta, koska a s = b s cb r ja a i = b i i s, on a i span(b 1,, b m ) = Row(B) i, joten Row(A) = span(a 1,, a m ) Row(B) Yleinen tapaus : On olemassa jono A = A 0, A 1,, A k = B, missä A l+1 on saatu A l :stä yhdellä alkeisrivitoimituksella (l = 0,, k 1) Yllä olevan erikoistapauksen nojalla on Row(A) = Row(A 0 ) = Row(A 1 ) = = Row(A k ) = Row(B) Huomautus 311 Jos A ja B riviekvivalentteja, niin yleensä Col(A) Col(B) Esimerkki A = = B, 0 0 joten A ja B ovat riviekvivalentit Koska [ ] T Col(A), mutta [ ] T / Col(B) = {[ x 1 x 0 ] T x 1, x R}, on Col(A) Col(B) Avaruuksia Null(A), Col(A) ja Row(A) analysoidaan yksityiskohtaisesti jatkossa

15 44 Suorat ja tasot Olkoot P, Q R, P Q Merkitään OP = p = [ p 1 p ] T ja P Q = v = [ v 1 v ] T [ 0 0 ] T Tällöin v = OQ, missä Q = Q P R P p O Q v v Q X x l span(v) Kohdan 34 a) nojalla span(v) on O:n ja Q :n kautta kulkeva suora Olkoon l P :n ja Q:n kautta kulkeva suora, X R ja OX = x = [ x 1 x ] T Tällöin X l x = p + tv jollakin t R, joten l = {p + tv t R}, ja l:n parametrimuotoinen yhtälö on x = p + tv, t R, eli l : { x1 = p 1 + tv 1 x = p + tv, t R (Sanotaan myös, että l kulkee P :n kautta ja on v:n suuntainen) Jos erityisesti v 1 0, on t = 1 v 1 (x 1 p 1 ) ja saadaan yhtälö x = p + tv = p + v v 1 (x 1 p 1 ) = v v 1 x 1 + (p v v 1 p 1 ) Jos P, Q R 3, P Q, ja OP = p = [ p 1 p p 3 ] T, P Q = v = [ v 1 v v 3 ] T [ ] T, niin vastaavasti P :n ja Q:n kautta kulkevan R 3 :n suoran parametrimuotoinen yhtälö on x = p + tv, t R, eli x 1 = p 1 + tv 1 l : x = p + tv, t R x 3 = p 3 + tv 3 Esimerkki 313 Olkoon P = (, 3, 4) R 3 ja Q = (3,, 5) R 3, jolloin p = [ 3 4 ] T ja v = [ 3 ( ) 3 5 ( 4) ] T = [ ] T P :n ja Q:n kautta kulkevan R 3 :n suoran l parametrimuotoinen yhtälö on x 1 = + t l : x = 3 5t, t R x 3 = 4 + 9t

16 45 Oletetaan, että piseet P, Q, R R 3 eivät ole samalla suoralla Merkitään OP = p = [ p 1 p p 3 ] T, P Q = v = [ v 1 v v 3 ] T ja P R = w = [ w 1 w w 3 ] T Tällöin v w (vektorit eivät ole yhdensuuntaiset) X x P w p R v Q T O w v span(v, w) Kohdan 34 b) nojalla span(v, w) = {sv + tw s, t R} on pisteiden O, Q ja R (Q = Q P, R = R P ) kautta kulkeva taso Olkoon T pisteiden P, Q ja R kautta kulkeva R 3 :n taso, X R 3 ja OX = x = [ x 1 x x 3 ] T Tällöin X T x = p + sv + tw joillakin s, t R; siis T = {p + sv + tw s, t R}, ja T :n parametrimuotoinen yhtälö on x = p + sv + tw, s, t R, eli x 1 = p 1 + sv 1 + tw 1 T : x = p + sv + tw, s, t R x 3 = p 3 + sv 3 + tw 3 Esimerkki 315 Olkoon P = (,, 1), Q = ( 1, 0, 3) ja R = (5, 3, 4), jolloin p = [ 1 ] T, v = [ 3 ] T ja w = [ ] T P :n, Q:n ja R:n kautta kulkevan R 3 :n tason T parametrimuotoinen yhtälö on siis x 1 = 3s + 3t T : x = + s t, s, t R x 3 = 1 + s + 3t Huomautus 315 Suora tai taso on (vektori-) aliavaruus vain, jos se kulkee origon kautta Sen sijaan suora tai taso on aina ns affiini aliavaruus, so muotoa p + W = {p + u u W }, missä W on vektorialiavaruus ja p kiinteä vektori Huomaa, että tässä vektori p ei ole yksikäsitteisesti määrätty; itse asiassa p + W = p + W p p W Tällä kurssilla aina aliavaruus on vektorialiavaruus

17 4 Lineaarinen riippumattomuus Olkoon V vektoriavaruus ja v 1, v,, v k V vektoreita Määritelmä 41 Jono (v 1,, v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos yhtälö x 1 v x k v k = 0, x 1,, x k R, toteutuu vain, kun x 1 = = x k = 0 Tällöin sanotaan myös, että vektorit v 1,, v k ovat lineaarisesti riippumattomat Muussa tapauksessa jono (v 1,, v k ) on sidottu eli lineaarisesti riippuva (Sopimus: Tyhjä jono (tapaus k = 0) on vapaa) Määritelmän mukaan (v 1,, v k ) on sidottu löytyy sellaiset luvut x 1,, x k, että ainakin yksi x j 0 ja x 1 v x k v k = 0 Vapaus on siis (järjestetylle) vektorijonolle määritelty ominaisuus Koska V :n yhteenlasku on vaihdannainen, jonon vapaus ei kuitenkaan riipu vektoreiden järjestyksestä: Jos (v 1,, v k ) on vapaa (vastaavasti sidottu) ja {w 1,, w k } = {v 1,, v k } (samat vektorit eri järjestyksessä), niin (w 1,, w k ) on vapaa (vastaavasti sidottu) Huomautus 4 Olkoot a 1, a,, a n R m sarakevektoreita ja olkoon A = [ a 1 a a n ] R m n se m n -matriisi, jonka sarakkeet ovat a 1,, a n Tällöin jono (a 1,, a n ) on vapaa, jos ja vain jos vektoriyhtälöllä x 1 a x n a n = 0 eli homogeenisella yhtälöryhmällä Ax = 0 on vain triviaali ratkaisu x = [ x 1 x n ] T = 0 Esimerkki 43 a 1 = [ ] T R 4, a = [ ] T R 4 ja a 3 = [ ] T R 4 Tutkitaan yhtälöä x 1 a 1 + x a + x 3 a 3 = 0: x 1 + x 3 = (1) () x + x 3 = x 3 = 0 x 1 = x = x 3 = 0 (a 1, a, a 3 ) on vapaa (Selitykset : 1) Riviin 3 lisätään ( 1) rivi 1, riviin 4 lisätään ( ) rivi 1 ) Riviin 3 lisätään ( 1) rivi, riviin 4 lisätään ( ) rivi ) Esimerkki 44 Olkoot v, w V a) (v) on vapaa v 0 Todistus : = Jos v = 0, on 1 v = 0; koska 1 0, on (v) sidottu = Olkoon v 0 Jos xv = 0, niin 5 a):n nojalla x = 0; siis (v) on vapaa 46

18 b) (v, w) on sidottu w = av jollakin a R tai v = bw jollakin b R Todistus : = Jos (v, w) on sidottu, on xv + yw = 0 eräillä x, y R, missä x 0 tai y 0 Jos y 0, on w = (x/y)v, ja jos x 0, on v = (y/x)w = Jos w = av, niin av + ( 1)w = 0, joten (v, w) on sidottu Jos taas v = bw, niin 1 v + ( b)w = 0, joten nytkin (v, w) on sidottu Jos (v, w) on sidottu (ks 44 b), sanotaan, että vektorit v ja w ovat yhdensuuntaiset, ja merkitään v w Lemma 45 Jos (v 1,, v k ) on vapaa, niin jokainen osajono (v j1,, v jl ), 1 j 1 < j < < j l k, on myös vapaa Todistus Olkoon x j1 v j1 + + x jl v jl = 0, x j1,, x jl R Merkitään x j = 0, kun j {1,,, k} \ {j 1, j,, j l } Tällöin x 1 v 1 + x v + + x k v k = 0 (summaan x j1 v j1 + + x jl v jl on lisätty yhteenlaskettavat x j v j = 0v j = 0, j {1,,, k} \ {j 1, j,, j l }) Koska (v 1, v,, v k ) on vapaa, on x 1 = x = = x k = 0, joten erityisesti x j1 = x j = = x jl = 0 Seuraus 46 Vapaassa jonossa (v 1,, v k ) on v j 0 j, ja v i v j aina kun i j; erityisesti v 1,, v k ovat kaikki eri vektoreita 47 Todistus Väite seuraa välittömästi esimerkistä 44 ja lemmasta 45 Lemma 47 Olkoon jono (v 1,, v k ) vapaa V :ssä ja w V Silloin (v 1,, v k, w) on vapaa w / span(v 1,, v k ) Todistus = Olkoon w span(v 1,, v k ) Tällöin w = x 1 v x k v k eräillä x 1,, x k R, joten x 1 v x k v k + ( 1)w = 0 Tässä esiintyvistä skalaarikertoimista ainakin 1 0, joten (v 1,, v k, w) on sidottu = Oletetaan, että w / span(v 1,, v k ) Olkoot x 1,, x k, y R sellaisia, että x 1 v x k v k + yw = 0 Silloin täytyy olla y = 0; jos nimittäin olisi y 0, niin w = (x 1 /y)v 1 + (x k /y)v k span(v 1,, v k ) vastoin oletusta Siis x 1 v 1 + +x k v k = 0; koska (v 1,, v k ) on vapaa, on x 1 = = x k = 0 Näin ollen (v 1,, v k, w) on vapaa Lemma 48 Jos w 1,, w l span(v 1,, v k ) ja l > k, jono (w 1,, w l ) on sidottu Todistus Oletuksen mukaan on olemassa sellainen matriisi A = [ a ij ] R k l, että w j = k a ij v i, j = 1,, l i=1

19 Homogeenisessa yhtälöryhmässä Ax = 0, x = [ x 1,, x l ] T, on k yhtälöä ja l tuntematonta; koska k < l, on yhtälöryhmällä lauseen 151 nojalla epätriviaaleja ratkaisuja Siten voidaan valita x = [ x 1,, x l ] T 0 niin, että Ax = 0 eli l a ij x j = 0, i = 1,, k Tästä seuraa, että l x j w j = j=1 j=1 ( l k ) x j a ij v i = j=1 i=1 k i=1 l a ij x j v i = j=1 ja ainakin yksi x j 0 Siispä (w 1,, w l ) on sidottu Olkoon V vektoriavaruus 5 Kanta ja dimensio k 0 v i = 0, Määritelmä 51 Jono (v 1, v,, v k ) V :n vektoreita on V :n kanta, jos i) (v 1,, v k ) on vapaa, ja ii) (v 1,, v k ) virittää V :n ts V = span(v 1,, v k ) (Erikoistapaus k = 0: Tyhjä jono on avaruuden {0} kanta) Lause 5 Olkoon (v 1,, v k ) jono V :n vektoreita Tällöin (v 1,, v k ) on V :n kanta jokaisella v V on yksikäsitteinen esitys v = x 1 v x k v k, missä x 1,, x k R Todistus = Olkoon v V Koska V = span(v 1,, v k ), on v = x 1 v x k v k eräillä x 1,, x k R Esityksen yksikäsitteisyys: Olkoon myös v = y 1 v y k v k, y 1,, y k R Tällöin 0 = v v = (x 1 v 1 + +x k v k ) (y 1 v 1 + +y k v k ) = (x 1 y 1 )v 1 + +(x k y k )v k ; koska (v 1,, v k ) on vapaa, on x 1 y 1 = 0,, x k y k = 0, joten x 1 = y 1,, x k = y k = Jos jokaisella v V on esitys v = x 1 v x k v k, niin V = span(v 1,, v k ) Vapaus: Olkoot x 1,, x k R sellaisia, että x 1 v x k v k = 0 Koska myös 0 = 0v v k, on 0:n esityksen yksikäsitteisyyden nojalla x 1 = 0,, x k = 0 Jos S = (v 1,, v k ) on V :n kanta, v V ja v = x 1 v x k v k, missä x 1,, x k R, kutsutaan sarakevektoria [v] S = [ x 1 x x k ] T R k V :n vektorin v koordinaattivektoriksi kannan S suhteen i=1 48

20 Esimerkki 53 a) Olkoon n 1 Määritellään e 1 = [ ] T R n, e = [ ] T R n,, e n = [ ] T R n Tällöin (e 1, e,, e n ) on R n :n (ns luonnollinen) kanta Todistus Viritys : Kun x = [ x 1 x n ] T R n, on x 1 x 1 0 x 0 x x = x 3 = x n 0 0 siten R n = span(e 1,, e n ) x n = x 1e 1 + x e + + x n e n ; Vapaus : 0 = x 1 e x n e n = [ x 1 x n ] T = x 1 = = x n = 0 Tapauksessa n = on perinteisesti käytetty merkintöjä e 1 = i, e = j, ja tapauksessa n = 3 merkintöjä e 1 = i, e = j, e 3 = k b) Samoin (e T 1, et,, et n ) on R n:n (luonnollinen) kanta (e T 1 = [ ] jne) c) Jono (1, t, t,, t n ), missä t j tarkoittaa polynomifunktiota t t j, on P n :n kanta, sillä f P n f : R R on polynomifunktio, deg(f) n on olemassa yksikäsitteiset kertoimet a 0, a 1,, a n R, joilla f(t) = a 0 + a 1 t + a t + + a n t n t R d) a):sta seuraa, että (e 1, e ) = ([ 1 0 ] T, [ 0 1 ] T ) on R :n kanta Merkitään v 1 = [ 1 1 ] T R, v = [ 1 1 ] T R Väitämme, että myös (v 1, v ) on R :n kanta x e v 1 49 e 1 x 1 v Todistus Vapaus: x 1 v 1 + x v = 0 = x 1 + x = x 1 x = 0 = x 1 = x = 0 [ ] [ ] 1 1 Viritys: e 1 = = 1 1 v v ja e = 1 v 1 1 v = R = span(e 1, e ) span(v 1, v ) R = R = span(v 1, v ) Esimerkistä 53 d) nähdään, että samalla vektoriavaruudella voi olla useita kantoja Kuitenkin pätee:

21 Lause 54 Jos vektoriavaruudella V on kannat (v 1,, v k ) ja (v 1,, v l ), niin k = l; siis jokaisessa V :n kannassa on yhtä monta vektoria Todistus Koska (v 1,, v l ) on V :n kanta, se on vapaa, ja koska (v 1,, v k ) on V :n kanta, se virittää V :n Näin ollen v 1,, v l span(v 1,, v k ) Tästä seuraa, että täytyy olla l k; jos nimittäin olisi l > k, niin lemman 48 nojalla (v 1,, v l ) olisi sidottu Vastaavasti todetaan, että k l Määritelmä 55 Jos V :llä on kanta (v 1,, v k ), niin k = dim(v ) N on V :n dimensio (Erityisesti dim{0} = 0) Esimerkki 56 a) Esimerkin 53 nojalla dim(r n ) = dim(r n ) = n; dim(p n ) = n + 1 b) dim(r m n ) = mn, sillä matriisit I rs jossakin järjestyksessä (r = 1,, m, s = 1,, n; vrt sivu 3) muodostavat R m n :n kannan Emme tiedä vielä, millä avaruuksilla on (äärellinen) kanta (ja siis dimensio) Määritelmä 57 Vektoriavaruus V on äärellisulotteinen, jos se on äärellisen monen vektorinsa virittämä, ts V = span(v 1,, v k ) joillakin v 1,, v k V Esimerkki 58 a) R n, R n, R m n ja P n ovat äärellisulotteisia b) Kaikkien polynomien avaruus P ei ole äärellisulotteinen Jos nimittäin olisi P = span(f 1,, f k ), niin kaikilla f P olisi deg(f) d <, missä d = max {deg(f 1 ),, deg(f k )} Lause 59 Vektoriavaruudella V ovat seuraavat ehdot yhtäpitävät: i) V on äärellisulotteinen ii) V :n vapaiden jonojen pituudet muodostavat ylhäältä rajoitetun joukon iii) V :llä on (äärellinen) kanta Todistus i) = ii) Olkoon V = span(v 1,, v k ) Silloin jokaisella V :n vapaalla jonolla (w 1,, w l ) on lemman 48 nojalla l k; siis k on vapaiden jonojen pituuksien joukon yläraja ii) = iii) Ehdon ii) mukaan V :n vapaiden jonojen pituudet muodostavat ylhäältä rajoitetun epätyhjän joukon luonnollisia lukuja (joukossa on alkiona ainakin tyhjän jonon pituus 0) Tässä joukossa on suurin alkio m Nyt siis m on erään vapaan jonon S = (u 1,, u m ) pituus, ja mikään (m + 1)-alkioinen jono ei ole vapaa Tästä seuraa, että vapaa jono S myös virittää koko V :n; jos nimittäin olisi olemassa vektori w V \ span(u 1,, u m ), niin lemman 47 mukaan (u 1,, u m, w) olisi (m + 1)-alkioinen vapaa jono Siis S on V :n kanta iii) = i) on triviaali 50

22 Jokaisella äärellisulotteisella vektoriavaruudella V on siis kanta, joten myös dimensio dim(v ) on määritelty Päättelemällä samaan tapaan kuin 59:n todistuksen osassa ii) = iii) saadaan seuraava tarkempi tulos: Lause 510 Olkoon (u 1,, u p ) avaruuden V vapaa jono, ja olkoot v 1,, v k V sellaisia vektoreita, että jono (u 1,, u p, v 1,, v k ) virittää V :n Tällöin on olemassa (v 1,, v k ):n osajono (v j1,, v jr ) (1 j 1 < < j r k), jolla jono (u 1,, u p, v j1,, v jr ) on V :n kanta Todistus Tarkastellaan jonon (v 1,, v k ) kaikkia osajonoja (v j1,, v jr ), joilla jono (u 1,, u p, v j1,, v jr ) on vapaa; ainakin tyhjä osajono on tällainen Valitaan mahdollisimman pitkä tällainen osajono (v j1,, v jr ) Nyt siis jono (u 1,, u p, v j1,, v jr ) on vapaa, ja riittää osoittaa, että sen virittämä aliavaruus W on koko V (silloin ko (p + r)-alkioinen jono on V :n kanta) Vastaoletus: W V Tällöin jollakin j {1,, k} täytyy olla v j / W ; jos nimittäin olisi v j W kaikilla j {1,, k}, niin V = span(u 1,, u p, v 1,, v k ) W, mistä seuraisi W = V vastoin vastaoletusta Lisäämällä vektori v j osajonoon (v j1,, v jr ) (sopivaan kohtaan) saadaan (r + 1)-alkioinen (v 1,, v k ):n osajono, ja lemman 47 nojalla vastaava (p + r + 1)-alkioinen jono on myös vapaa Tämä on mahdotonta, koska osajono (v j1,, v jr ) valittiin jo alun perin mahdollisimman pitkäksi Seuraus 511 Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus a) V :n vapaa jono (u 1,, u p ) voidaan sopivilla vektoreilla w 1,, w r V täydentää V :n kannaksi (u 1,, u p, w 1,, w r ) b) V :n jokaisen virittäjäjonon (v 1,, v k ) jokin osajono on V :n kanta Todistus a) Valitaan lauseessa 510 jonoksi (v 1,, v k ) mikä tahansa V :n virittäjäjono; sellaisia on olemassa, koska V on äärellisulotteinen b) Valitaan lauseessa 510 jonoksi (u 1,, u p ) tyhjä jono Lause 51 Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus ja W V aliavaruus Tällöin W on myös äärellisulotteinen, ja dim(w ) dim(v ) Jos W V, niin dim(w ) < dim(v ) Todistus Koska jokainen W :n vapaa jono on vapaa myös avaruudessa V, toteuttaa W ehdon 59 ii) (koska V toteuttaa sen), ja on siis äärellisulotteinen 59 iii):n nojalla W :lla on kanta (u 1,, u p ), ja 511 a):n mukaan tämä V :n vapaa jono voidaan täydentää V :n kannaksi (u 1,, u p, w 1,, w r ) Siten dim(w ) = p p + r = dim(v ) Jos W V, uusia kantavektoreita w 1,, w r tarvitaan ainakin yksi; siis tällöin r 1 ja dim(w ) < dim(v ) 51

23 5 Esimerkki 513 Olkoon W R n aliavaruus ja {0} W R n Tällöin dim(w ) {1,,, n 1} Jos n =, W on origon kautta kulkeva suora (dim(w ) = 1) ja jos n = 3, W on origon kautta kulkeva suora (dim(w ) = 1) tai taso (dim(w ) = ) Lause 514 Olkoon dim(v ) = n ja v 1,, v k V a) Jos (v 1,, v k ) on vapaa, niin k n; tällöin k = n (v 1,, v k ) on V :n kanta b) Jos span(v 1,, v k ) = V, niin k n; tällöin k = n (v 1,, v k ) on V :n kanta Todistus a) Olkoon (v 1,, v k ) vapaa Jos (v 1,, v k ) on V :n kanta, niin lauseen 54 mukaan k = n Jos (v 1,, v k ) ei ole kanta, niin span(v 1,, v k ) V, jolloin lauseen 51 mukaan k = dim span(v 1,, v k ) < dim(v ) = n b) Olkoon span(v 1,, v k ) = V Taas k = n, jos (v 1,, v k ) on V :n kanta Jos (v 1,, v k ) ei ole kanta, niin seurauksen 511b) mukaan eräs aito osajono (v j1,, v jr ) on kanta; siis r < k ja n = dim(v ) = r < k Erityisesti R n :ssä jokainen n:n vektorin pituinen vapaa jono on kanta, samoin jokainen n:n vektorin pituinen virittävä jono 6 Menetelmiä kannan etsimiseksi Tulosten 59 iii) ja 511 todistukset eivät valitettavasti anna mitään konkreettisia laskumenetelmiä kantojen etsimiseksi, eikä tällaisia menetelmiä yleiselle vektoriavaruudelle V tietenkään voikaan olla olemassa Kehitämme seuraavassa laskumenetelmiä, jotka toimivat eräillä koordinaattiavaruuksien R n aliavaruuksilla V Sarake- ja riviavaruuden kanta Olkoon A R m n m n -matriisi, jonka sarakkeet ovat a 1,, a n R m ja rivit a 1,, a m R n Tutkitaan avaruuksia Col(A) = span(a 1,, a n ) R m ja Row(A) = span(a 1,, a m ) R n Muunnetaan A alkeisrivitoimituksilla porrasmatriisiksi B Olkoot B:n sarakkeet b 1,, b n R m ja B:n rivit b 1,, b m R n Olkoot B:n johtavat alkiot kohdissa (1, j 1 ),, (r, j r ) Silloin erityisesti b i 0, kun 1 i r, ja b i = 0, kun r < i m Laskumenetelmä 61 (a j1,, a jr ) on Col(A):n kanta Todistus Vapaus : Olkoot x j1,, x jr R sellaisia, että x j1 a j1 + +x jr a jr = 0 Merkitään x j = 0, kun j {1,,, n} \ {j 1,, j r }, ja x = [ x 1 x x n ] T

24 Silloin x 1 a x n a n = 0 eli Ax = 0 Koska A ja B ovat riviekvivalentit, myös Bx = 0 (yhtälöryhmillä on samat ratkaisut) Näin ollen x 1 b x n b n = 0 ja edelleen x j1 b j1 + + x jr b jr = 0 (koska muut x j :t valittiin nolliksi) Tällöin vastaavan yhtälöryhmän yhtälö r = x jr = 0; sen jälkeen yhtälö r 1 = x jr 1 = 0,, yhtälö 1 = x j1 = 0 Viritys : Riittää osoittaa, että a j span(a j1,, a jr ) myös, kun j {1,, n} \ {j 1,, j r } Olkoon siis j 0 {1,, n} \ {j 1,, j r } Tarkastellaan yhtälöryhmää Bx = 0, jonka ratkaisut saadaan 158 a):sta Annetaan vapaille muuttujille seuraavat arvot: x j0 = 1; x j = 0, kun j {1,, n} \ {j 0, j 1,, j r } 53 Olkoon x = s = [ s 1 s s n ] T vastaava yhtälöryhmän Bx = 0 ratkaisu Koska yhtälöryhmät Bx = 0 ja Ax = 0 ovat ekvivalentit, on x = s myös yhtälöryhmän Ax = 0 ratkaisu, ts As = 0 eli s 1 a 1 + s a + + s n a n = 0 Tästä saadaan s j1 a j1 + + s jr a jr + 1 a j0 = 0 (muut s j :t = 0), joten a j0 span(a j1,, a jr ) Menetelmässä 61 sarakeavaruuden kantavektoreiksi poimitaan siis alkuperäisestä matriisista A porrasmatriisin B johtavien alkioiden sarakkeita vastaavat sarakevektorit Laskumenetelmä 6 (b 1,, b r ) on Row(A):n kanta Todistus Lauseen 310 b) mukaan on Row(A) = Row(B) = span(b 1,, b m ) = span(b 1,, b r, 0,, 0) = span(b 1,, b r ) Jää siis osoitettavaksi, että (b 1,, b r ) on vapaa Olkoon x 1 b x r b r = 0, x 1,, x r R Tämä lineaarikombinaatio on rivivektori, jonka j 1 -komponentti on = x 1 ; koska lineaarikombinaatio = 0, on siis erityisesti x 1 = 0 Tutkimalla tämän jälkeen lineaarikobinaation j -,, j r - komponentteja (tässä järjestyksessä) nähdään edelleen, että x = 0,, x r = 0 Menetelmässä 6 riviavaruuden kantavektorit ovat siis porrasmatriisin B nollasta eroavat rivit Seuraus 63 dim Col(A) = dim Row(A) (= r)

25 54 Esimerkki A = = B Menetelmän 61 mukaan eräs Col(A):n kanta koostuu vektoreista [ 0 0 ] T, [ 0 0 ] T, [ ] T Menetelmän 6 mukaan eräs Row(A):n kanta koostuu vektoreista [ ], [ ], [ ] Huomautus 65 Olkoon annettu sarakevektorit v 1,, v n R m Aliavaruudelle V = span(v 1,, v n ) R m voidaan etsiä kanta kahdella eri menetelmällä (tuloksena yleensä eri kantaa): a) Muodostetaan matriisi A R m n, jonka sarakkeet ovat v 1,, v n ja etsitään kanta avaruudelle V = Col(A) kuten 61:ssa b) Muodostetaan matriisi C R n m, jonka rivit ovat v T 1,, v T n (siis C = A T, missä A on kuten a):ssa), ja etsitään Row(C):lle kanta (b 1,, b r ) menetelmällä 6; tällöin selvästi ((b 1 ) T,, (b r ) T ) on avaruuden Col(C T ) = Col(A) = V kanta Esimerkki 66 Olkoon v 1 = [ 1 3 ] T, v = [ 3 5 ] T, v 3 = [ ] T ja V = span(v 1, v, v 3 ) Etsitään V :lle kanta kummallakin 65 mainitulla strategialla: (a) Siis r =, ja saadaan V :n kanta (v 1, v ) (b) Saadaan siis V :n kanta ([ 1 3 ] T, [ ] T ) (v 1, v )

26 Huomautus 67 Menetelmän 61 antamalla avaruuden Col(A) = span(a 1,, a n ) kannalla (a j1,, a jr ) on seuraava ominaisuus: Kun s r, on (a j1,, a js ) avaruuden span(a 1, a, a js ) kanta (tarkastellaan vain sarakkeita 1,,, j s ) Jos erityisesti jonon alkupää (a 1,, a k ) (k n) on valmiiksi vapaa, niin a jl = a l arvoilla l = 1,,, k Vastaava pätee 65 a):ssa Esimerkki 68 R m :n vapaa jono (v 1,, v k ) (k < m) voidaan käytännössä täydentää R m :n kannaksi soveltamalla menetelmää 61 matriisiin A R m (k+m), jonka sarakkeet ovat v 1,, v k, e 1,, e m (silloin Col(A) = R m ) Nolla-avaruuden kanta Olkoon A m n -matriisi Palautetaan mieleen A:n nolla-avaruus Null(A) = {x R n Ax = 0}, ts homogeenisen yhtälöryhmän Ax = 0 ratkaisujoukko Lauseen 39 nojalla Null(A) on R n :n aliavaruus Ratkaistaan yhtälöryhmä Ax = 0 Gaussin (tai Gaussin-Jordanin) eliminointimenetelmällä, ts muunnetaan A alkeisrivitoimituksilla porrasmatriisiksi C, jolloin lauseen 310 a) nojalla Null(A) = Null(C) Olkoot C:n johtavat alkiot kohdissa (1, j 1 ), (, j ),, (r, j r ) (1 j 1 < j < < j r n) Merkitään {1,,, n} \ {j 1, j,, j r } = {k 1, k,, k n r }, missä 1 k 1 < k < < k n r n Null(C):n alkiot saadaan 158 a):sta: 1) Jos r = n (eli n r = 0), vapaita muuttujia ei ole, joten Null(C) = {0} ja dim Null(C) = 0 ) Olkoon r < n (eli n r > 0) Jokaista (parametri-) jonoa (s 1, s,, s n r ) vastaa yksikäsitteinen x = [ x 1 x x n ] T Null(C) niin, että ja x k1 = s 1, x k = s,, x kn r = s n r (vapaat muuttujat) x jh = d h1 s 1 + d h s + + d h,n r s n r (h = 1,,, r) eräillä d hl R Tällöin yleinen ratkaisu x on x = s 1 u 1 + s u + + s n r u n r span(u 1, u,, u n r ), 55

27 p missä u p Null(C) vastaa parametrijonoa (0,, 0, 1, 0, 0) (siis s p = 1 ja s j = 0, kun j p), ts u p :n k p -koordinaatti = 1 k q -koordinaatti = 0, j h -koordinaatti = d hp kun q p Lisäksi jono (u 1,, u n r ) on vapaa, sillä lineaarikombinaation t 1 u 1 +t u + + t n r u n r k p -koordinaatti = t p = 0, jos lineaarikombinaatio = 0 On siis johdettu Lause (ja laskumenetelmä) 69 dim Null(A) = n r Jos n r > 0, on (u 1, u,, u n r ) Null(A):n (eräs) kanta Huomautus 610 Käytännössä vektorit u 1,, u n r löytyvät automaattisesti, kun muodostetaan yhtälöryhmän Ax = 0 yleinen ratkaisu Esimerkki A = (Selitykset : 1) Riviin 4 lisätään ( 1) rivi 1, riviin 5 lisätään ( ) rivi 1 ) Riviin 4 lisätään rivi, riviin 5 lisätään rivi 3) Riviin 4 lisätään ( 1) rivi 3, riviin 5 lisätään rivi 3) Havaitaan, että x 3 ja x 5 ovat vapaat muuttujat Merkitään x 3 = s 1 R ja x 5 = s R Nyt x Null(A) x 1 = x 4x 3 x 4 x 5 = s 1 s x = x 3 x 4 x 5 = s 1 + s x 3 = s 1 x 4 = x 5 = s x 5 = s 56

28 57 eli s 1 s 1 s 1 + s 1 x = s 1 = s 1 1 +s 0, s 0 s 1, s R s 0 }{{} u 1 1 }{{} u Siis (u 1, u ) on eräs Null(A):n kanta ja dim Null(A) = 7 Matriisin aste Olkoon A m n -matriisi Seurauksen 63 nojalla dim Col(A) = dim Row(A) = r, missä r on A:n kanssa riviekvivalentin porrasmatriisin nollasta eroavien rivien lukumäärä Määritelmä 71 Matriisin A aste on rank(a) = dim Col(A) = dim Row(A) Erityisesti 0 rank(a) min {m, n} Lauseen 69 mukaan yo merkinnöillä on dim Null(A) = n r Siispä Lause 7 rank(a) + dim Null(A) = n Aste rank(a) voidaan siis määrittää (ainakin) kolmella vaihtoehtoisella tavalla: (1) etsitään Col(A):lle kanta (61), tai () etsitään Row(A):lle kanta (6), tai (3) etsitään Null(A):lle kanta (69); rank(a) = n dim Null(A) Seuraus 73 Homogeenisella yhtälöryhmällä Ax = 0 on epätriviaaleja ratkaisuja rank(a) < n Todistus Epätriviaaleja ratkaisuja on olemassa Null(A) {0} dim Null(A) > 0 rank(a) = n dim Null(A) < n Neliömatriisille pätee

29 Lause 74 Olkoon A n n -matriisi Silloin rank(a) n Lisäksi rank(a) = n A on säännöllinen Todistus Kuten todettiin, rank(a) min {n, n} = n Edelleen A on säännöllinen 165 homogeenisella yhtälöryhmällä Ax = 0 on vain triviaali ratkaisu 73 rank(a) n rank(a) = n 58 Olkoon A m n -matriisi, jonka sarakkeet ovat a 1,, a n R m, ja olkoon b R m Verrataan A:n ja täydennetyn matriisin [ A b ] asteita Koska on Siis pätee Col(A) = span(a 1,, a n ) span(a 1,, a n, b) = Col ([ A b ]) rank ([ A b ]) = { rank(a), kun b span(a1,, a n ) rank(a) + 1, kun b / span(a 1,, a n ) Lause 75 Yhtälöryhmällä Ax = b on ratkaisuja rank ([ A b ]) = rank(a) 8 Koordinaatit ja kannanvaihto Olkoon V vektoriavaruus, dim(v ) = n Jos S = (v 1,, v n ) on V :n kanta ja v V, on olemassa yksikäsitteinen sarakevektori [v] S = [ x 1 x n ] T R n, jolla v = x 1 v x n v n Sarakevektoria [v] S kutsutaan v:n koordinaattivektoriksi S:n suhteen (ks s 48), ja luvut x 1,, x n ovat v:n koordinaatit kannassa S n = v 0 x v v 1 x 1 v 1 v = x 1 v 1 + x v x 1 -akseli x -akseli

30 59 Esimerkki 81 a) [v j ] S = e j = j [ ] T kaikilla j b) Olkoon E = (e 1,, e n ) R n :n luonnollinen kanta Silloin [x] E = x kaikilla x R n (x = x 1 e x n e n ) Lause 8 Olkoot v, w V ja c R, ja olkoon S = (v 1,, v n ) V :n kanta Tällöin [v + w] S = [v] S + [w] S ja [cv] S = c[v] S Todistus Olkoon v = x 1 v x n v n ja w = y 1 v y n v n Tällöin v +w = (x 1 v 1 + +x n v n )+(y 1 v 1 + +y n v n ) = (x 1 +y 1 )v 1 + +(x n +y n )v n, joten Vastaavasti [v + w] S = [ x 1 + y 1 x n + y n ] T = [ x 1 x n ] T + [ y 1 y n ] T = [v] S + [w] S cv = c(x 1 v x n v n ) = (cx 1 )v (cx n )v n, joten [cv] S = [ cx 1 cx n ] T = c [ x 1 x n ] T = c[v] S Jos n > 0, tarkasteltavalla n-ulotteisella vektoriavaruudella V on aina lukuisia eri kantoja, ja yleensä (toisin kuin koordinaattiavaruuden R n tapauksessa) mikään V :n kanta ei ole muita kantoja luonnollisempi (näin on jo, jos V on R m :n jokin aito aliavaruus) Tietty V :n vektori voidaan esittää koordinaattivektorin avulla jokaisen kannan suhteen, mutta tuo koordinaattivektori tietenkin riippuu siitä, mitä nimenomaista kantaa käytetään Tämän takia on syytä tutkia, miten saman vektorin koordinaattivektori muuttuu, kun käytettävä kanta vaihtuu Olkoot siis S = (v 1,, v n ) ja T = (w 1,, w n ) kaksi V :n kantaa Selvitämme, miten vektorin v V koordinaattivektorit [v] S ja [v] T riippuvat toisistaan Olkoon [w j ] S = [ a 1j a j a nj ] T, j = 1,,, n, toisin sanoen (83) w j = n a ij v i = a 1j v 1 + a j v + + a nj v n, j = 1,,, n i=1

31 Lause ja määritelmä 84 On olemassa tasan yksi n n -matriisi M(S T ), kannanvaihtomatriisi T :stä S:ään, jolla [v] S = M(S T )[v] T v V, nimittäin M(S T ) = [ a ij ] = [ [w 1 ] S [w ] S [w n ] S ] (sarakkeet [w 1 ] S, [w ] S,, [w n ] S ) Todistus Yksikäsitteisyys : Olkoon A R n n sellainen, että A[v] T = [v] S v V Silloin A:n j:s sarake = Ae j = A[w j ] T = [w j ] S, joka on yksikäsitteisesti määrätty Olemassaolo : Määritellään M(S T ) = [ [w 1 ] S [w ] S [w n ] S ] Olkoon v V ja [v] T = x = [ x 1 x n ] T, ts v = x 1 w x n w n Silloin M(S T )[v] T = M(S T ) [ x 1 x n ] T = x 1 [w 1 ] S + + x n [w n ] S = 8 [x 1 w 1 + x n w n ] S = [v] S 60 Kun v V, [v] T = [ x 1 x n ] T ja [v] S = [ y 1 y n ] T, on siis [v] S = M(S T )[v] T, eli n (85) y i = a ij x j = a i1 x 1 + a i x + + a in x n, j=1 i = 1,, n (vertaa tätä 83:een) Lause 86 Olkoot R, S ja T kolme V :n kantaa Silloin a) M(S S) = I n ; b) M(R S)M(S T ) = M(R T ); c) M(S T ) on säännöllinen ja M(S T ) 1 = M(T S) Todistus a) Koska [v] S = I n [v] S v V ja kannanvaihtomatriisi on yksikäsitteinen, on M(S S) = I n b) Soveltamalla aluksi matriisien kertolaskun liitäntälakia ja sen jälkeen kannanvaihtomatriisin määritelmää saadaan kaikilla v V (M(R S)M(S T ))[v] T = M(R S)(M(S T )[v] T ) = M(R S)[v] S = [v] R = M(R T )[v] T

32 61 Kannanvaihtomatriisin yksikäsitteisyyden nojalla on c) Kohtien b) ja a) nojalla M(R S)M(S T ) = M(R T ) M(S T )M(T S) = M(S S) = I n M(T S)M(S T ) = I n ja Kannanvaihto käytännössä R n :ssä Olkoon E = (e 1,, e n ) koordinaattiavaruuden R n :n luonnollinen kanta Kun S = (v 1,, v n ) on R n :n toinen kanta, merkitään M S = M(E S) = [ v 1 v v n ] (sarakkeet v 1, v,, v n ) (ks 84; v j = [v j ] E j, ks 81 b); siis M S on triviaali muodostaa Kun b R n, on [b] S = x yhtälöryhmän M S x = b yksikäsitteinen ratkaisu, sillä lauseen 84 nojalla M S [b] S = M(E S)[b] S = [b] E = b, ja ratkaisun yksikäsitteisyys seuraa siitä, että M S on säännöllinen Yhtälöryhmä voidaan ratkaista kuten 15:ssä Toinen tapa [b] S :n laskemiseksi on soveltaa lauseita 84 ja 86 c): [b] S = M(S E)b = M(E S) 1 b = M 1 S b, missä M 1 S löytyy kuten menetelmässä 167 Olkoon myös T = (w 1, w,, w n ) R n :n kanta Lauseen 86 b) nojalla M(S T ) = M(S E)M(E T ) = M 1 S M T saadaan, kun on löydetty M 1 S Toinen, usein suositeltavampi, tapa matriisin M(S T ) = [ [w 1 ] S [w n ] S ] muodostamiseksi: Sarake [w j ] S = x on yhtälöryhmän M S x = w j yksikäsitteinen ratkaisu, ja nämä n yhtälöryhmää (j = 1,, n) voidaan ratkaista yhdellä kertaa; kun n (n) - matriisi [ M S MT ] = [ v 1 v v n w1 w w n ], jonka sarakkeet ovat v 1,, v n, w 1,, w n, muunnetaan redusoituun porrasmuotoon [ I n B ], on B = M(S T )

33 Esimerkki 87 Olkoon v 1 = [ 1 1 ] T, v = [ 1 1 ] T, w 1 = [ 1 ] T ja w = [ 3 ] T Tällöin S = (v 1, v ) ja T = (w 1, w ) ovat kaksi R kantaa (miksi?) Triviaalisti [ ] [ ] M S =, M T = Olkoon b = [ 4 5 ] T R Ratkaistaan x = [b] S ja y = [b] T yhtälöryhmistä M S x = b ja M T y = b: [ ] [ ] [ ] [ ] 6 Siis Edelleen [ 1 3 [b] S = [ 1 ] 9 ] [ (tarkista laskemalla ( 1 )v v ) ] [ ] [ ] Siis Edelleen [b] T = [ [ 1 1 [ M S MT ] = 1 1 ] [ (tarkista laskemalla 7 w w ) ] [ ] [ ] ] Siis [ 1 M(S T ) = Totea laskemalla, että todellakin 1 [ ] [ ] = [ 1 ] 9 ] = 1 [ ] eli M(S T )[b] T = [b] S

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

4. LINEAARIKUVAUKSET

4. LINEAARIKUVAUKSET 86 4 LINEAARIKUVAUKSET 41 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoot V ja V vektoriavaruuksia Tarkastellaan kuvausta L : V V Tällöin jokaiseen vektoriin v V liittyy tietty, L:n ja v:n yksikäsitteisesti määräämä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

LINEAARIALGEBRA I. Hannu Honkasalo. Helsingin yliopiston matematiikan laitos v w u ...

LINEAARIALGEBRA I. Hannu Honkasalo. Helsingin yliopiston matematiikan laitos v w u ... LINEAARIALGEBRA I Hannu Honkasalo v w u h w A v Helsingin yliopiston matematiikan laitos 003 SISÄLTÖ 1 Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit 11 Lineaariset yhtälöryhmät 1 1 Matriisit ja matriisitoimitukset

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Vektorien virittämä aliavaruus

Vektorien virittämä aliavaruus Vektorien virittämä aliavaruus Esimerkki 13 Mikä ehto vektorin w = (w 1, w 2, w 3 ) komponenttien on toteutettava, jotta w kuuluu vektoreiden v 1 = (3, 2, 1), v 2 = (2, 2, 6) ja v 3 = (3, 4, 5) virittämään

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Lotta Oinonen ja Johanna Rämö 6. joulukuuta 2012 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 2012 Sisältö 1 Avaruus R n 4 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit.....................

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 25. lokakuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus... 111 16 Aliavaruus... 117 16.1 Vektoreiden

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 9 heinäkuuta 2013 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit 4 11 Kaksiulotteisen

Lisätiedot

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät 1 1 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT Muotoa 11 Lineaariset yhtälöryhmät (1) a 1 x 1 + a x + + a n x n b oleva yhtälö on tuntemattomien x 1,, x n lineaarinen yhtälö, jonka kertoimet ovat luvut a 1,,

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

2.8. Kannanvaihto R n :ssä

2.8. Kannanvaihto R n :ssä 28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit

Lisätiedot

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

1. Lineaarinen yhtälöryhmä ja matriisi

1. Lineaarinen yhtälöryhmä ja matriisi I LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT 1 Lineaarinen yhtälöryhmä ja matriisi Tällä kurssilla käytämme kirjainta K tarkoittamaan reaalilukuja R, kompleksilukuja C tai rationaalilukuja Q (aluksi K = R) Nämä lukujoukot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 27. marraskuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Vektoriavaruuksien R 2 ja R 3 vektorit........................

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 23.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Käytännön asioita Ensimmäiset tehtävät olivat sujuneet hyvin. Kansilehdet on oltava mukana tehtäviä palautettaessa,

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi / kertaus

Matemaattinen Analyysi / kertaus Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Antti Rasila 2016 Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Jos {v 1, v 2,..., v k } on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä) Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 11. syyskuuta 2016 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Vektoriavaruuksien R 2 ja R 3 vektorit........................

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

3 Skalaari ja vektori

3 Skalaari ja vektori 3 Skalaari ja vektori Määritelmä 3.1 Skalaari on suure, jolla on vain suuruus, jota mitataan jossakin mittayksikössä. Skalaaria merkitään reaaliluvulla. Esimerkki 3.2 Paino, pituus, etäisyys, pinta-ala,

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Lineaarikuvaukset Lineaarikuvaus Olkoot U ja V

Lisätiedot

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia 9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

Lineaarialgebra Kerroinrenkaat. Kevät Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto

Lineaarialgebra Kerroinrenkaat. Kevät Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto Lineaarialgebra 2 Kevät 2014 Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto Á Ë Ð Ö Ø Ú ØÓÖ Ø 1. Kerroinrenkaat 1.1. Määritelmä. Yhden laskutoimituksen rakenne(g, + on Abelin ryhmä, jos

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

5 Lineaariset yhtälöryhmät

5 Lineaariset yhtälöryhmät 5 Lineaariset yhtälöryhmät Edellisen luvun lopun esimerkissä päädyttiin yhtälöryhmään, jonka ratkaisemisesta riippui, kuuluuko tietty vektori eräiden toisten vektorien virittämään aliavaruuteen Tämäntyyppisiä

Lisätiedot

802120P Matriisilaskenta (5 op)

802120P Matriisilaskenta (5 op) 802120P Matriisilaskenta (5 op) Marko Leinonen Matemaattiset tieteet Syksy 2016 1 / 220 Luennoitsija: Marko Leinonen marko.leinonen@oulu.fi MA333 Kurssilla käytetään Noppaa (noppa.oulu.fi) Luentomoniste

Lisätiedot

Lineaarialgebra (muut ko)

Lineaarialgebra (muut ko) Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/66 Redusoitu porrasmuoto 1 1 2 4 1 1 4 6 2 2 5 9 1 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden

Lisätiedot

x 2 x 3 x 1 x 2 = 1 2x 1 4 x 2 = 3 x 1 x 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili

x 2 x 3 x 1 x 2 = 1 2x 1 4 x 2 = 3 x 1 x 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili 6 4 2 x 2 x 3 15 10 5 0 5 15 5 3 2 1 1 2 3 2 0 x 2 = 1 2x 1 0 4 x 2 = 3 x 1 x 5 2 5 x 1 10 x 1 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili Sisältö

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Lineaarialgebra II P

Lineaarialgebra II P Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006 Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 9

Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo ja pituus Vektorien välinen kulma Motivointi Tähän asti olemme tarkastelleet yhden

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Seuraava luento ti 31.10 on salissa XXII Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/117 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo

Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo Talousmatematiikan perusteet: Luento 8 Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo Motivointi Esim. Herkkumatikka maksaa 50 /kg. Paljonko

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

s = 11 7 t = = 2 7 Sijoittamalla keskimmäiseen yhtälöön saadaan: k ( 2) = 0 2k = 8 k = 4

s = 11 7 t = = 2 7 Sijoittamalla keskimmäiseen yhtälöön saadaan: k ( 2) = 0 2k = 8 k = 4 BM0A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 5, Syksy 05. (a) i. Jotta vektori c sijaitsisi a:n ja b:n virittämällä tasolla, c on voitava esittää a:n ja b:n lineaarikombinaationa. c ta + sb

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Kertaa tarvittaessa materiaalin lukuja 1 3 ja 9. Tarvitset myös luvusta 4 määritelmän 4.1.

Tehtäväsarja I Kertaa tarvittaessa materiaalin lukuja 1 3 ja 9. Tarvitset myös luvusta 4 määritelmän 4.1. HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 25.5.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Kertaa tarvittaessa materiaalin lukuja

Lisätiedot

1 Tensoriavaruuksista..

1 Tensoriavaruuksista.. 1 Tensoriavaruuksista.. Käydään läpi kirjan (1) sivut 126-133. 19.02.2007 Palautetaaieleen viime kerran tärkeä määritelmä: (kirja, Määr. 5.12). Määritelmä 1.1 Olkoon T vektoriavaruus ja Φ : V 1 V 2 V m

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3. Lineaariset koodit Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 2 / 22 3.1 Lineaarisen koodin määrittely Olkoon F äärellinen kunta.

Lisätiedot

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n.

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n. Matriisipotenssi Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: Määritelmä Oletetaan, että A on n n -matriisi (siis neliömatriisi) ja k

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

ja jäännösluokkien joukkoa

ja jäännösluokkien joukkoa 3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi

Lisätiedot

Laskutoimitusten operaattorinormeista

Laskutoimitusten operaattorinormeista Laskutoimitusten operaattorinormeista Rami Luisto 27. tammikuuta 2012 Tiivistelmä Tässä kirjoitelmassa määrittelemme vektoriavaruuksien väliselle lineaarikuvaukselle normin ja laskemme sen eksplisiittisesti

Lisätiedot