10 VALON INTERFERENSSI

Transkriptio

1 5 VALON INTRFRNSSI Monivärise heijasukse esimerkiksi öljyisesä veden pinnasa, saippuakuplasa, cd-levysä, perhosen siivisä ja värikkäiden linujen sulisa ova seurausa valon inerferenssisä. Inerferenssi synyy, kun kaksi (ai useampia) aaloa esiinyy samanaikaisesi samassa ilassa. Aalojen yheisvaikuuksen määrää superposiioperiaae.. KAHDN AALLON INTRFRNSSI Tarkasellaan aluksi kahden aallon, ja, inerferenssiä. Tyypillisessä inerferenssikokeessa aallo lähevä samasa läheesä, mua kulkeva eri reiejä ja yhdisyvä sien jossakin avaruuden piseessä P. Yhdisyvillä aalloilla on, k k k, mua avallisesi k k, koska yhdisymispiseessä aalojen eenemissuunna eivä välämää ole sama. Aallo piseessä P ova (ks. kappale 9.3): sin( ), kr (..) sin( ), kr (..) Tässä aalojen polarisaaioiden suuna esieään kirjoiamalla ampliudi vekoreiksi ja ja ova aalojen "alkuperäise" vaihee (ks. kuva yllä) ja r ja r niiden maka "läheisään" piseeseen P. 6 Superposiioperiaaeen mukaan piseessä P. P Kun koejärjeselyssä varmiseaan, eä kenillä ja on sama polarisaaioila, voidaan kirjoiaa (ks. kappale 9.) missä ja sin( ) P, (..3) cos( ) (..4) an sin cos sin cos. (..5) Piseessä P havaiava säeilyn ehoiheys eli irradianssi I on (ks. ulos (4.3.) sivulla 76) I c. Tässä apauksessa yhälön (..4) peruseella selväsi missä I I I I, (..6) I c on läheen anama irradianssi P:ssä, I c on läheen anama irradianssi P:ssä, I c cos( ) on ns. inerferenssiermi Jos valo ei inerferoisi, yheinen irradianssi olisi I I I. Termi I on osoius valon aaloluoneesa ja se voi aiheuaa joko irradianssin kasvamisen ai pienenemisen. Ny edelleen I c c cos( ) II cos, (..7) missä aalojen vaihe-ero on ja kokonaisirradianssiksi piseessä P saadaan

2 7 II I II cos. (..8) Tämä on ns. inerferenssin "laskukaava", jossa vaihe-erolla on inerferenssin muodosumisen kannala rakaiseva merkiys. Vaiheero muodosuu kahdesa ermisä (ks. myös sivu 6) k( r r) ( ). nsimmäinen ermi k( r r) riippuu piseen P sijainnisa avaruudessa. Inerferenssin voimakkuus, ja sien myös kokonaisirradianssin voimakkuus, muuuu paikan funkiona ja voidaan havaia ns. inerferenssikuvioia. Toinen ermi ( ) riippuu säeiden alkuperäisesä vaiheerosa. Jos vaihe-ero vaihelee saunnaisesi ajan kuluessa, niin läheiden sanoaan olevan ei-kohereneja. Tällöin cos keskimääräisyy nollaksi ja inerferenssiä ei havaia. Inerferenssikokeessa läheiden ja on olava keskenään kohereneja, s. ( ) vakio (= mielellään) on oeuduava koko ajan. Tämän akia alkuperäinen valo oeaan aina yhdesä läheesä. Irradianssin ääriarvo saadaan, kun cos : I I I II, kun m, m,,, max I I I II, kun ( m ), min Kokonaisirradianssi vaihe-eron funkiona on: 8 Inerferenssikuvion erouvuua miaa konrasi V (conras, visibiliy), joka määriellään nollan ja ykkösen välille kaavalla I I 4 II II V I I ( I I ) I I max min max min. (..9) Jos inerferoivien säeiden alkuperäise irradianssi ova yhä suure, s. I I I, saadaan I max 4I ja I min, joka johaa parhaaseen mahdolliseen konrasiin (= ). Inerferenssikoea suunnielaessa osa-aalojen irradianssi kannaaa siis valia mahdollisimman samoiksi. simerkki: Inerferenssikuvioa muodosavan kahden aallon ampliudien suhde on :. Laske inerferenssikuvion konrasi. Millä ampliudien suheella konrasiksi ulee,5? Rakaisu: I I 4 I 4I II 4I 4 V,8 II 4I I 5 Jos V II 4 II I I 6II I I II II I I 4 4 I I I I I I I 4 (4) 4 3,98 ( I/ I) 7 6,98 I,7 ( I/ I) I 3,98 3,73: I

3 9. YOUNGIN KO Inerferenssin peruseella voidaan odea, onko jollakin ilmiöllä aaloluonne. Hisoriallisesi ajaellen Youngin (ja myös Fresnelin) kokee 8-luvun alussa oliva hyvin merkiäviä. Ne vahvisiva valon aaloliikkeeksi. Youngin inerferenssikoe on merkiävä myös siksi, eä siinä inerferenssikokeen yypillise piiree uleva esille yksinkeraisessa muodossa. Young ise käyy kokeissaan neulalla ehyjä pieniä reikiä, mua yhä hyvin voidaan käyää kapeia rakoja, jolloin palloaalojen asemasa saadaan sylinerimäise aalorinama. Koejärjesely on seuraavan kuvan mukainen: varmisaa, eä uoaa vaihe-eron k( r r) Vasemmala rakoon S (sli) saapuu monokromaaisa valoa. Rako oimii sylinerimäisen aalorinamien läheenä ja valaisee rao S ja S yhä voimakkaasi. Siis S ja S ova yhä kaukana raosa S. Ne ova myös yhä leveiä. Rao S ja S oimiva kokeen varsinaisina läheinä. dellä esiey järjesely varmisaa sen, eä alunperin molemma lähee saava 3 valonsa yhdesä ja samasa läheesä (raosa S). Näin vaihe-ero (kaavassa..8) säilyy vakiona, ja lähee S ja S ova keskenään kohereneja. Rakojen S ja S välimaka on a ja varjosin on eäisyydellä s. Valon irradianssia arkasellaan varjosimella piseessä P, joka on eäisyydellä y syseemin symmeria-akselisa (ks. kuva). Pise P näkyy kulmassa rakojen keskikohdasa kasouna ja aalojen maka läheisään piseeseen P ova SP r ja SP r. Opinen maka Opiikassa ns. opinen maka määriellään ulona nr, missä r on absoluuinen maka ja n sen väliaineen aiekerroin, jossa maka "apahuu". Kun maka miaaan opisina makoina, välyään mieimäsä aallonpiuuden muuumisa, kun siirryään väliaineesa oiseen (kaso esimerkki uonnempana). Kaikissa laskuissa voidaan käyää yhjiöaallonpiuua. Inerferenssiarkaseluissa käyeään aina opisia makoja. Youngin koejärjeselyssä varjosin on kaukana rakojen välimakaan verrauna, s. s a. Kuviosa säeiden S P ja S P väliseksi opiseksi makaeroksi n( r r) r r (koe ehdään ilmassa, jossa n ) ulee y asin a. s Tää makaeroa vasaa vaihe-ero k( r r) k: ay s. Tässä siis aallonpiuus on yhjiöaallonpiuus. Irradianssiksi piseessä P saadaan (ks...8) II I II cos, ja koska koejärjeselyssä varmiseiin, eä IS IS I (konrasi on paras mahdollinen), ulee

4 3 I I I I I cos I ( cos ). delleen rigonomerisella kaavalla cos cos ( ) saadaan I 4I cos ay s. (..) Viereisessä kuvassa irradianssi on piirrey symmeria-akselisa miaun eäisyyden y funkiona: Kuviossa havaiaan maksimi, kun cos ( /) s. kun / m eli ay m s, josa (max) s ym m, m,,, a Sama ulos maksimeille saadaan myös aseamalla opinen makaero aallonpiuuden monikerraksi, jolloin aallo vahvisava oisiaan: y (max) s m a m ym m. s a Vasaavasi minimi saadaan, kun ( m ). Tuloksessa (..) ämä arkoiaa josa y cos ( /), s. / ( m / ), eli (min) m ay ( m / ) s s ( m ), m,,, a 3 Varjosimella havaiava inerferenssikuvio on siis joukko rakojen suunaisia juovia, joiden välimaka on s y ym ym. a Kuviosa juovien välimaka y voidaan miaa ja jos esimerkiksi rakojen välimaka a ja varjosimen eäisyys s unneaan, valon aallonpiuus voidaan laskea. dellisessä koejärjeselyssä ensimmäinen rako S varmisi raoisa S ja S saaavien säeiden keskinäisen koherenisuuden. Rako S voidaan kuienkin jäää pois, jos rakoja S ja S valaisaan laserilla. Laservalo on unneusi hyvin monokromaaisa ja ennen kaikkea hyvin koherenia. Alla laserilla oeueu koe: simerkki: Osoia, eä valon edeessä maeriaalissa, jonka aiekerroin on n, aallonpiuuden poikkeaminen yhjiöaallonpiuudesa voidaan kompensoida käyämällä absoluuisen makan sijasa opisa makaa. Rakaisu: Tarkasellaan absoluuisa makaa L ja laskeaan monako aallonpiuua kyseiseen makaan sisälyy: L L nl / n, missä on yhjiöaallonpiuus

5 33 simerkki: Youngin kokeessa rakojen välimaka on, mm ja varjosin on m:n eäisyydellä. Valon aallonpiuus on 658 nm. a) Missä kulmassa rakojen keskelä kasouna näkyy keskimaksimin viereinen minimi? b) Laske minimin eäisyys keskimaksimisa. c) Kirjoia lauseke inerferenssikuvion irradianssille, kun osaaalojen irradianssien suhde on valiu sien, eä kuvion konrasi on,8 (ks. esimerkki sivulla 8). Rakaisu: Irradianssi varjosimella: III II cos a) Maksimi, kun cos eli m Keskimaksimi, kun m eli Minimi, kun cos eli ( m ). minimi, kun m eli b) Koejärjeselyn geomeriasa saadaan opinen makaero asin a, josa edelleen vaihe-ero k a /. Aseeaan ny ämä vaihe-ero vasaamaan. minimin vaihe-eroa a /, josa suunakulma voidaan rakaisa m,645 rad,65 mrad 3 a, m y s,645 m,645 m,65 mm (min) 3 I 4I (sivu 8), joen I 5I 4Icos, missä 3 ay, m k a y 9 L 658 m m 9 y m c) 34.3 INTRFRNSSI VIRTUAALISILLA LÄHTILLÄ Youngin kokeessa inerferenssikuvio synyi kahdesa konkreeisesa (oikeasa) läheesä, S ja S, ulevien säeiden inerferoidessa. On myös mahdollisa, peilien ai prismojen avulla, luoda koejärjesely, jossa lähee S ja S ova eri paikoissa olevia yhden läheen S kuvia (viruaalisia läheiä). Näin esimerkiksi varmisuu auomaaisesi läheiden keskinäinen koherenisuus. Tarkasellaan muuamia esimerkkejä: Lloydin peilikoe Lloydin koejärjesely muodosuu yhdesä oikeasa läheesä, joka on kapea rako S, yhdesä asopeilisä MM' ja varjosimesa (screen). Rakoa S valaisaan monokromaaisella valolla. Osa raosa ulevasa valosa menee suoraan varjosimelle ja osa heijasuen peilin kaua. Varjosin "näkee" kaksi rakoa S ja S' (kuvan mukaisesi) ja inerferenssikuvio synyy samoin kuin Youngin kokeessa. Kaavassa (..) rakojen välimaka a on kaksinkeraisesi raon S kohisuora eäisyys peilisä.

6 35 Fresnelin kaksoisprismakoe Koejärjesely esiey viereisessä kuvassa: Yhdesä odellisesa läheesä S lähevä valo aiuu kahdessa prismassa niin, eä varjosin näkee kaksi viruaalisa lähdeä S ja S. Käyännössä prismojen aiava kulma ( ) ova vain muuamia aseia. Kuvaan piirreyn säeen deviaaiokulma on sien hyvin approksimoiavissa kaavalla m ( n ). Toisaala kuvan geomeriasa näemme, eä m ( a/)/ d. Yhdisämällä nämä saamme ad d( n ). m Varjosimella maksimien paika y (max) m saadaan ny suoraan Youngin kokeen uloksesa, kunhan vielä korvaamme rakojen ja varjosimen eäisyyden s uudella eäisyydellä ( s d) : (max) ( sd) ym m d ( n ). (.3.) 36 simerkki: Fresnelin kaksoisprisman (n =,5) ja kapean raon S välimaka on d (kuva). Raon kaua prismaa valaisaan Na-lampulla, jonka aallonpiuus on 589,3 nm. Inerferenssikuvio muodosuu varjosimelle, joka on kaksi keraa niin kaukana kuin rako S. Inerferenssikuviosa peräkkäisen maksimien välimakaksi miaaan,3 cm. Laske kaksoisprisman aiava kulma. Rakaisu: Maksimien välimakaksi laskemme (.3.):n avulla (max) (max) (max) ( sd) y ym ym d( n ). 9 Tässä 589,3 m sd d d 3d n,5 (max) y,3 m ja laskeaan ( sd) 3 =,5893 rad (max) (max) dy ( n) ( n) y =,3376 =,3'

7 37.4 INTRFRNSSI OHUSSA KALVOSSA Värien leikki esimerkiksi öljyisellä vedenpinnalla ai saippuakuplissa on eräs jokapäiväinen inerferenssin ilmenemismuoo. Kysymyksessä on valon inerferenssi ohuessa läpinäkyvässä kalvossa ai kerroksiaisissa kalvoissa. Tarkasellaan ohua läpinäkyvää kalvoa asomaisen lasisubsraain päällä (kuva). Valon säde osuu kalvon pinaan piseessä A ja jakauuu kaheen osaan, heijasuneeseen säeeseen ja aiuneeseen säeeseen. Tässä siis alkuperäinen (yhden läheen) säde jaeaan kaheen osaan, joka sien myöhemmässä vaiheessa yhdisyvä inerferoiden. 38 Aina säeen kohdaessa rajapinnan apahuu sekä heijasuminen, eä aiuminen. Kalvon sisällä apahuu siis moninkeraisia heijasumisia (kuva) ja yläpinnasa ulee ulos suuri joukko säeiä. Moninkeraisesi heijasuneiden säeiden irradianssi heikkenee kuienkin nopeasi heijasuskerojen lisäänyessä. Ilmiönä inerferenssi ohuessa kalvossa ymmärreään hyvin ukimalla vain piseisä A ja C läheviä säeiä. Tarkka kvaniaiivinen analyysi vaaii ieysi kaikkien säeiden huomioon oamisa. Iseasiassa arkasi koeulokse seliävää mallia ei sädemallilla voida rakenaa ollenkaan, vaan on arkaselava kalvo-subsraai-syseemiä kokonaisuuena Maxwellin yhälöiä sovelaen. Tarkasellaan ny ilannea yksinkeraisen mallin avulla. Kuvassa alla on esiey yksiyiskohaisesi säeiden käyäyyminen piseiden A, B ja C ympärisössä. Säde ulee kalvon pinaan piseeseen A ulokulmalla i, mikä on samalla heijasuneen ja loppujen lopuksi myös kalvon kaua kieräneen säeen lähökulma. Tässä kokeessa jakauuminen on ns. ampliudin jakauuminen. Toinen jakauumisen yyppi, ns. aalorinaman jakauuminen, apahuu esimerkiksi Youngin kokeessa. Kokeessa aiunu säde heijasuu kalvo-subsraai rajapinnasa, piseesä B, ja poisuu kalvosa piseessä C, heijasuneen säeen suunaisena. Kaksi paralleelia sädeä yhdiseään piseeseen P esimerkiksi linssillä (vaikkapa silmän linssillä), jolloin ne inerferoiva.

8 39 Pinnasa poisuvien säeiden opinen makaero on säeiden opisen makojen erous piseesä A asolle DC, siis n f ( AB BC) n( AD) ( ABn ) f ( ADn ) Kuvan geomeriasa on helppo laskea:. ( AB) cos sin ( AC) ( AB)sin cos sin sin n i f sin ( AD) ( AC)sin i cos n cos, sin. Op- joisa viimeisessä käyeiin aiumislakia n sin n iseksi makaeroksi ulee i f n f n f sin n f n f ( sin ) cos, cos cos cos cos josa lopula ncos. (.4.) f Tässä opinen makaero on esiey yksinkeraisuuden vuoksi aiekulman avulla. Kyseinen kulma saadaan helposi laskemalla ulokulmasa i aiumislain avulla. Kun säde ulee pinaan kohisuorasi, päee i ja (.4.) anaa n f, kuen on odoeavissakin. Seuraavaksi, inerferenssiarkaselussa, opinen makaero muueaan vasaavaksi vaihe-eroksi k. Tässä k / on laskeava käyäen yhjiöaallonpiuua, koska makaero anneaan nimen omaan opisena makaerona. sieyn kalaisessa kokeessa säeiden vaihe-eroon vaikuaa eräs oinenkin ekijä, nimiäin säeen vaiheen hyppäyksellinen muuuminen heijasuksessa. Tavallinen "hokema" on, eä säde, heijas- 4 uessaan opisesi iheämmäsä väliaineesa kokee : n vaihesiirron. Todellisuudessa asia ei ole aivan näin yksinkerainen, vaan säeen eri polarisaaiokomponeni kokeva erilaisia vaihesiiroja. Asia menee monimukaiseksi, mua nykin käyämällä : n vaihesiiroa saadaan kvaliaiivisesi hyviä uloksia. Olkoon ny opisesa makaerosa uleva vaihe-ero ja r heijasuksissa synyvä vaihe-ero. Kokonaisvaihe-ero on r ja inerferenssin laskukaava (..8) on muooa I I I II r cos( ). Heijasuneessa valossa havaiaan vahvisumisa (ns. konsrukiivinen inerferenssi) ai heikkenemisä (ns desrukiivinen inerferenssi) riippuen vaihe-erosa seuraavasi: konsrukiivinen inerferenssi: r m (.4.) desrukiivinen inerferenssi: ( m ) (.4.3) Näissä m on kokonaisluku: m,,, Myöhemmin arkemmassa analyysissä ulemme havaisemaan, eä heijasuneessa valossa irradianssi I ja I ova suurin piirein sama, I I I. Tällöin heijasunu kokonaisirradianssi on s. I I r [ cos( )] ja esimerkiksi desrukiivisen inerferenssin apauksessa I, eli heijasumisa ei apahdu ollenkaan. simerkki: Lasisubsraain ( n,5) päällä olevaa ohua öljykalvoa (n f =,3) valaisaan valkoisella valolla kohisuoraan yläpuolela. Havaiaan, eä heijasuneesa valosa puuuva aallonpiuude 55 nm ja 675 nm. Laske öljykalvon paksuus ja kyseisen desrukiivisen inerferenssien keraluvu (siis m:n arvo). r

9 4 Rakaisu: Kalvoa valaisaan suoraan ylhäälä, joen i ja opiseksi makaeroksi ulee n f, missä on kalvon paksuus. Täsä aiheuuva vaihe-ero on k. Säde () piseesa A heijasuu opisesi iheämmäsä väliaineesa, joen se kokee :n vaihesiirron. Mua, samoin käy säeelle () sen heijasuessa piseesä B. Vaihesiirro kumouuva (ai summauuva :ksi, joka on sama asia) ja heijasuksien osuus vaihe-eroon voidaan kirjoiaa r. Kokonaisvaihe-ero on r n f ja kun ämä aseeaan oeuamaan desrukiivinen inerferenssi, saadaan nf ( m ) ( m ). nf Tämän on oeuduava kahdelle aallonpiuudella: 55nm kokonaisluvun arvolla m ja 675nm kokonaisluvun arvolla m, joilla siis 55 nm 675 nm 675 ( m ) ( m ) ( m ) ( m ),6,6 55 Täsä nähdään, eä m m ja kokeilemalla m m (ei käy) m m (ei käy) m m (ei käy) m 3 m 4, (ny ärppäsi) Kalvon paksuus: 55 nm 675 nm (4 ) (3 ) 98,65nm,99m,6,6 4 simerkki: Kiilamainen ilmarako Kaksi lasilevyä aseeaan päällekkäin viereisen kuvan mukaisesi. Levy koskeava oisiaan oisesa reunasa ja oiseen reunaan on aseeu esimerkiksi hius piämään levyjä erillään. Levyjen väliin muodosuu kiilamainen ilmarako. Syseemiä valaisaan ylhäälä valolla, jonka aallonpiuus on. äisyyden x kasvaessa kalvon paksuus kasvaa ja heijasuneessa valossa havaiaan vuoroellen kirkkaia ja ummia juovia inerferenssin seurauksena (kuva). Laske millä eäisyyksillä x havaiaan kirkkaa juova sekä peräkkäisen kirkkaiden juovien väli. Rakaisu: Tarkasellaan ilannea eäisyydellä x, jossa kalvon paksuus on (kuva). Valo ulee lähes kohisuorasi ja voidaan hyvin approksimoida i. Opinen makaero n ja siä vasaavaksi vaihe-eroksi ulee n. Heijasusen vaihesiirro: - jos n n :n vaihesiiro B:ssä - jos n n :n vaihesiiro A:ssä Joka apauksessa r ja kokonaisvaiheeroksi ulee

10 43 n r. Ny haeaan konsrukiivisen inerferenssin kohia (kirkkaia juovia), joen aseeaan vaihe-ero sen mukaisesi r m : n n m ( m ) ( m ). n Kirkkaa juova havaiaan siis näillä kalvon paksuuksilla. On vielä selvieävä miä x:n arvoja nämä paksuude vasaava. Kuvasa an d/ L / x, jonka peruseella kirjoieaan suoraan kirkkaiden juovien paikoiksi L L x ( m ), m,,3 d nd ja peräkkäisen juovien väliksi L x xm xm. nd Kiilamaisa ilmarakoa voidaan sovelaa esimerkiksi lasilevyjen hionnan asaisuuden esaamiseen. Poikkeama lasilevyjen asomaisuudesa näkyvä inerferenssijuovien väärisymisenä. Numeerinen esimerkki: Saippuakalvo muodoseaan pieneen suorakulmaiseen raualankakehikkoon. Kun kehikkoa (kalvoa) pideään pysyasennossa ja siä valaisaan HeNe-laserilla (63,8 nm), heijasuneessa valossa havaiaan inerferenssijuovia, joia miaaan olevan 5 juovaa senimerin makalla. Mien ne synyvä? Rakaisu: 44 Graviaaion vaikuuksesa kalvo "valuu" alaosasaan paksummaksi kuin yläosasa ja näin muodosuu (approksimaiivisesi) kiilamainen kalvo, johon voimme sovelaa edellä esieyä eoriaa. Kalvossa havaiaan 5 juovaa senimerillä, joen peräkkäisen juovien väli on x cm =, m. 5 Tämän avulla voimme laskea kiilakulman. Teorian peruseella L d x nd L nx ja jos oleeaan, eä kalvo on käyännössä veä ( n,33) saadaan d L 9 63,8 m 3 nx,33,6667 m,3568 mrad,44 '4'' simerkki: Newonin renkaa dellisen kappaleen koejärjeselyllä voidaan esaa levyjen asomaisuua. Pinojen pallomaisuua voidaan puolesaan esaa laieisolla, joka uoaa ns. Newonin renkaia. Koejärjesely on esiey kuvassa seuraavalla sivulla. Tasokupera linssi, jonka kuperan pinnan pallomaisuua esaaan on sijoieu kupera puoli alaspäin asaiselle lasilevylle. Ny muuuvan paksuinen "kalvo" on linssin ja lasilevyn välinen ilmarako.

11 45 Läheesä uleva valo ohjaaan ilmarakoon yhdensuunaisena (kollimoiuna) sädekimppuna suoraan ylhäälä päin vasemman kuvan mukaisesi. Inerferenssikuvioa kasoaan esimerkiksi mikroskoopilla suoraan ylhääläpäin. r m 46 R ( m ), n missä m,, 3,... ja n on "ilmaraon" aiekerroin. Jos esim. rako äyeään vedellä, n,33. Millään m : n arvolla kirkas rengas ei ole -säeinen, s. linssin ja lasilevyn koskeuskohaan (renkaiden keskipiseeseen) ulee umma pise, kuen näkyy vasemmanpuoleisessa kuvassa (alla). Vasen Oikeanpuoleisessa kuvassa raon paksuus eäisyydellä r m linssin ja lasilevyn koskeuskohdasa on m. Symmerian peruseella m on vakio r m -säeisellä ympyrällä. Ympyrässä havaiaan heijasuneessa valossa inerferenssimaksimi (kirkas juova), jos n m r m nm ( m ). Kirkkaan renkaan säde saadaan ny, kun m kirjoieaan r m :n avulla. Oikeanpuoleisen kuvan geomeriasa kirjoiamme R ( R ) r R R r josa rm m, R kun approksimoidaan m pieneksi R m:n rinnalla. m m m m m kuva esiää Newonin renkaia, kun linssin pina on (lähes) äydellinen pallopina. Oikeanpuoleisen kuvan linssi vaaii selväsi vielä hiomisa. Kirkkaiden renkaiden säee ova siis