ja siis myös n= nk ( ). Tällöin dk l l

Transkriptio

1 Tästä havaitaan, että jos nopeus ei riipu aallonpituudesta, ts. ei ole dispersiota, vg = v p. Tilanne on tällainen esimerkiksi tyhjiössä, missä vg = v p = c. Dispersiivisessä väliaineessa v p = c/ n, missä n= n( l) ja siis myös n= nk ( ). Tällöin dvp d æc ö c ædn ö dn = ç =- ç =-v p. dk dk èn ø n èdk ø n dk Saamme siis é k dn ù vg = v pê - ë n dk ú. û Edelleen, koska k = p / l, josta dk =- ( p / l ) dl =- ( k/ l) dl, kirjoitamme dn dn d dn dk l l dl dk k dl ja saamme lopulta é læ dn öù vg = v pê + ç n dl ú. ë è øû Kun dispersio on normaali, dn/ dl < 0 ja siten v g < v p. Nämä tulokset johdettiin aaltopaketille, joka muodostui kahdesta eri aallonpituisesta säteestä, mutta ne pätevät yleisemminkin aaltopaketeille, joiden aallonpituusjakauma on esimerkiksi jatkuva. Aaltopaketin etenemistä voidaan karakterisoida joko vaihenopeudella (karkeasti yksittäisten aaltojen nopeuksien keskiarvolla) tai ryhmänopeudella eli itse paketin nopeudella. Jälkimmäinen kertoo millä nopeudella energia siirtyy, joten se on aaltojen (kokonaisuudessaan) nopeuden mitta.

2 3 Esimerkki: Valtameressä pinta-aaltojen nopeus riippuu veden syvyydestä. Syvässä vedessä aallonpituus on suuri ja nopeus on / ægl ö v p = ç, missä g = 9.8 m/s. èp ø Vastaavasti matalassa vedessä aallot ovat enemmänkin "pintaväreilyä", jolloin aallonpituus on lyhyempi ja nopeudelle saadaan / æpt ö v p = ç lr, missä r on tiheys ja T pintajännitys. è ø Osoita, että syvässä vedessä ryhmänopeus on puolet vaihenopeudesta ja vastaavasti matalassa vedessä vg = (3/ ) v p. Ratkaisu: w dw d dvp Yleisesti v p = ja vg = = ( k vp) = vp + k k dk dk dk Syvässä vedessä / / æglö ægö / -/ vp = ç = ç = g k èp ø èk ø / dv p / -/- g v p =- g k =- =- / dk k k k vp ja siten vg = vp - k = vp k Matalassa vedessä / / æpt ö æ T ö vp = ç = k lr ç r è ø è ø / -/ / dv p -/æt ö k æ T ö vp = k k / dk ç r = = k ç r è ø è ø k vp 3 ja siten vg = vp + k = v p!! (huom. vg > v p) k

3 4 Esimerkki: Optisen lasin dispersiokyky määritellään suhteena (8..5) ( nf -nc) /( nd - ), missä F, C ja D viittaavat näkyvän alueen Fraunhoferin viivoihin l F = 486. nm, l C = nm ja l D = nm. Arvioi ryhmänopeus lasissa, jonka dispersiokyky on /30 ja taitekerroin näkyvän alueen keskellä n D =.50. Ratkaisu: Ryhmänopeus saadaan vaihenopeudesta laskemalla é læ dn öù vg = v pê + ç n dl ú. ë è øû On siis selvitettävä ) mikä on vaihenopeuden arvo, ) suhde l / n ja 3) derivaatta dn/ dl. Tässä tarkastelu suoritetaan näkyvän valon alueella. ) Vaihenopeus lasketaan c c c v = p n = n = D.50 missä koko näkyvää aluetta edustaa sen "keski"taitekerroin n D. ) Suhde l / n lasketaan l ld 589,0 nm = =» 393 nm. n n D.50 Tässäkin koko näkyvää aluetta edustaa D-viivan arvot. 3) Derivaatta approksimoidaan lasin dispersiokyvyn avulla dn nf -nc ( nd -) -6» =» nm - dl lf -lc 30( lf -lc) Näillä arvoilla ryhmänopeudeksi tulee c v g =.56

4 5 0 VALON INTERFERENSSI Moniväriset heijastukset esimerkiksi öljyisestä veden pinnasta, saippuakuplasta, cd-levystä, perhosen siivistä ja värikkäiden lintujen sulista ovat seurausta valon interferenssistä. Interferenssi syntyy, kun kaksi (tai useampia) aaltoa esiintyy samanaikaisesti samassa tilassa. Aaltojen yhteisvaikutuksen määrää superpositioperiaate. 0. KAHDEN AALLON INTERFERENSSI Tarkastellaan aluksi kahden aallon, E ja E, interferenssiä. Tyypillisessä interferenssikokeessa aallot lähtevät samasta lähteestä, mutta kulkevat eri reittejä ja yhdistyvät sitten jossakin avaruuden pisteessä P. Yhdistyvillä aalloilla on w = w = w, k = k = k, mutta tavallisesti k ¹ k, koska yhdistymispisteessä aaltojen etenemissuunnat eivät välttämättä ole samat. Aallot pisteessä P ovat (ks. kappale 9.3): E = E sin( a -wt), a = kr + j0 (0..) 0 E = E 0sin( a -wt), a = kr + j0 (0..) Tässä aaltojen polarisaatioiden suunta esitetään kirjoittamalla amplitudit vektoreiksi ja j 0 ja j 0 ovat aaltojen "alkuperäiset" vaiheet (ks. kuva yllä) ja r ja r niiden matkat "lähteistään" pisteeseen P.

5 6 Superpositioperiaatteen mukaan pisteessä P EP = E+ E. Kun koejärjestelyssä varmistetaan, että kentillä E ja E on sama polarisaatiotila, voidaan kirjoittaa (ks. kappale 9.) missä ja EP = E+ E = E0sin( a - wt), (0..3) E = E + E + E E cos( a - a ) (0..4) tana = E E sina + E cosa + E sina cosa (0..5) Pisteessä P havaittava säteilyn tehotiheys eli irradianssi I on (ks. tulos (4.3.) sivulla 76) I = e0ce0. Tässä tapauksessa yhtälön (0..4) perusteella selvästi missä I = I + I + I, (0..6) I = e 0cE0 on lähteen antama irradianssi P:ssä, I = e 0cE0 on lähteen antama irradianssi P:ssä, I = e0c E0E0 cos( a - a) on ns. interferenssitermi Jos valo ei interferoisi, yhteinen irradianssi olisi I = I+ I. Termi I on osoitus valon aaltoluonteesta ja se voi aiheuttaa joko irradianssin kasvamisen tai pienenemisen. Nyt edelleen I = e0ce0 e0ce0 cos( a - a) = II cosd, (0..7) missä aaltojen vaihe-ero on d = a - a ja kokonaisirradianssiksi pisteessä P saadaan

6 7 I= I + I + II cosd. (0..8) Tämä on ns. interferenssin "laskukaava", jossa vaihe-erolla on interferenssin muodostumisen kannalta ratkaiseva merkitys. Vaiheero muodostuu kahdesta termistä (ks. myös sivu 6) d = a - a = k( r - r) + ( j - j ). 0 0 Ensimmäinen termi k( r - r) riippuu pisteen P sijainnista avaruudessa. Interferenssin voimakkuus, ja siten myös kokonaisirradianssin voimakkuus, muuttuu paikan funktiona ja voidaan havaita ns. interferenssikuvioita. Toinen termi ( j0 - j0) riippuu säteiden alkuperäisestä vaiheerosta. Jos vaihe-ero vaihtelee satunnaisesti ajan kuluessa, niin lähteiden sanotaan olevan ei-koherentteja. Tällöin cosd keskimääräistyy nollaksi ja interferenssiä ei havaita. Interferenssikokeessa lähteiden ja on oltava keskenään koherentteja, ts. ( j0 - j0) = vakio (= 0 mielellään) on toteuduttava koko ajan. Tämän takia alkuperäinen valo otetaan aina yhdestä lähteestä. Irradianssin ääriarvot saadaan, kun cosd =± : I = I + I + II, kun d = mp, m = 0, ±, ±, L max I = I + I - II, kun d = ( m + )p, min Kokonaisirradianssi vaihe-eron d funktiona on:

7 8 Interferenssikuvion erottuvuutta mittaa kontrasti V (contrast, visibility), joka määritellään nollan ja ykkösen välille kaavalla V I -I 4 II II = = = I + I ( I + I ) I + I max min max min. (0..9) Jos interferoivien säteiden alkuperäiset irradianssit ovat yhtä suuret, ts. I = I = I0, saadaan I max = 4I 0 ja I min = 0, joka johtaa parhaaseen mahdolliseen kontrastiin (= ). Interferenssikoetta suunniteltaessa osa-aaltojen irradianssit kannattaa siis valita mahdollisimman samoiksi. Esimerkki: Interferenssikuviota muodostavan kahden aallon amplitudien suhde on :. Laske interferenssikuvion kontrasti. Millä amplitudien suhteella kontrastiksi tulee 0,5? Ratkaisu: E 0 E = 0 Þ I I 0 0 æe ö = ç = 4 Þ I = 4I E è ø II 4I 4 V = = = = 0,8 I+ I 4I + I 5 Jos V= II = Þ 4 II = I + I Þ 6II = I + I + II I+ I æ I ö æ I ö 4 0 ç 4 0 I ç I Þ I - I I + I = Þ - + = è ø è ø æ I ö 4 ± (4) -4 ì3,98 ( I/ I) Þ ç 7 6,98 I = = ± =í è ø î0,07 ( I/ I) Þ E0 I 3,98 3,73: E = 0 I = =

8 9 0. YOUNGIN KOE Interferenssin perusteella voidaan todeta, onko jollakin ilmiöllä aaltoluonne. Historiallisesti ajatellen Youngin (ja myös Fresnelin) kokeet 800-luvun alussa olivat hyvin merkittäviä. Ne vahvistivat valon aaltoliikkeeksi. Youngin interferenssikoe on merkittävä myös siksi, että siinä interferenssikokeen tyypilliset piirteet tulevat esille yksinkertaisessa muodossa. Young itse käytty kokeissaan neulalla tehtyjä pieniä reikiä, mutta yhtä hyvin voidaan käyttää kapeita rakoja, jolloin palloaaltojen asemasta saadaan sylinterimäiset aaltorintamat. Koejärjestely on seuraavan kuvan mukainen: varmistaa, että tuottaa vaihe-eron j0 - j0 = 0 k( r - r) Vasemmalta rakoon S (slit) saapuu monokromaattista valoa. Rako toimii sylinterimäisten aaltorintamien lähteenä ja valaisee raot S ja S yhtä voimakkaasti. Siis S ja S ovat yhtä kaukana raosta S. Ne ovat myös yhtä leveitä. Raot S ja S toimivat kokeen varsinaisina lähteinä. Edellä esitetty järjestely varmistaa sen, että alunperin molemmat lähteet saavat

9 30 valonsa yhdestä ja samasta lähteestä (raosta S). Näin vaihe-ero j0 - j0 (kaavassa 0..8) säilyy vakiona, ja lähteet S ja S ovat keskenään koherentteja. Rakojen S ja S välimatka on a ja varjostin on etäisyydellä s. Valon irradianssia tarkastellaan varjostimella pisteessä P, joka on etäisyydellä y systeemin symmetria-akselista (ks. kuva). Piste P näkyy kulmassa q rakojen keskikohdasta katsottuna ja aaltojen matkat lähteistään pisteeseen P ovat SP= r ja S P= r. Optinen matka Optiikassa ns. optinen matka määritellään tulona nr, missä r on absoluuttinen matka ja n sen väliaineen taitekerroin, jossa matka "tapahtuu". Kun matkat mitataan optisina matkoina, vältytään miettimästä aallonpituuden muuttumista, kun siirrytään väliaineesta toiseen (katso esimerkki tuonnempana). Kaikissa laskuissa voidaan käyttää tyhjiöaallonpituutta. Interferenssitarkasteluissa käytetään aina optisia matkoja. Youngin koejärjestelyssä varjostin on kaukana rakojen välimatkaan verrattuna, ts. s? a. Kuviosta säteiden S P ja S P väliseksi optiseksi matkaeroksi D= n( r - r) = r - r (koe tehdään ilmassa, jossa n» ) tulee y D» asinq» a. s Tätä matkaeroa vastaa vaihe-ero d = k( r - r) = kd: p d = p ay l D= ls. Tässä siis aallonpituus on tyhjiöaallonpituus l = l0. Irradianssiksi pisteessä P saadaan (ks. 0..8) I= I + I + II cosd, ja koska koejärjestelyssä varmistettiin, että IS = IS = I0 (kontrasti on paras mahdollinen), tulee

10 3 I = I + I + I I cosd = I ( + cos d) Edelleen trigonometrisella kaavalla + cosd = cos ( d) saadaan I = 4I0 cos ç æpay ö è ls ø. (0..) Viereisessä kuvassa irradianssi on piirretty symmetria-akselista mitatun etäisyyden y funktiona: Kuviossa havaitaan maksimit, kun cos ( d / ) = ts. kun d /= mp eli p ay mp l s =, josta (max) ls ym = m, m= 0, ±, ±, K a Sama tulos maksimeille saadaan myös asettamalla optinen matkaero aallonpituuden monikerraksi, jolloin aallot vahvistavat toisiaan: y (max) ls D= mlþ a = mlþ ym = m. s a Vastaavasti minimit saadaan, kun D = ( m + ) l. Tuloksessa (0..) tämä tarkoittaa josta y cos ( d / ) = 0, ts. d / = ( m + / ) p, eli (min) m p ay ( m / ) p l s = + ls = ( m+ ), m= 0, ±, ±, K a

11 3 Varjostimella havaittava interferenssikuvio on siis joukko rakojen suuntaisia juovia, joiden välimatka on ls D y= ym+ - ym =. a Kuviosta juovien välimatka D y voidaan mitata ja jos esimerkiksi rakojen välimatka a ja varjostimen etäisyys s tunnetaan, valon aallonpituus voidaan laskea. Edellisessä koejärjestelyssä ensimmäinen rako S varmisti raoista S ja S saatavien säteiden keskinäisen koherenttisuuden. Rako S voidaan kuitenkin jättää pois, jos rakoja S ja S valaistaan laserilla. Laservalo on tunnetusti hyvin monokromaattista ja ennen kaikkea hyvin koherenttia. Alla laserilla toteutettu koe: Esimerkki: Osoita, että valon edetessä materiaalissa, jonka taitekerroin on n, aallonpituuden poikkeaminen tyhjiöaallonpituudesta voidaan kompensoida käyttämällä absoluuttisen matkan sijasta optista matkaa. Ratkaisu: Tarkastellaan absoluuttista matkaa L ja lasketaan montako aallonpituutta l kyseiseen matkaan sisältyy: L L nl l = l0/ n = l, missä l on tyhjiöaallonpituus 0 0