1. Todista/Prove (b) Lause 2.4. käyttäen Lausetta 2.3./by using Theorem b 1 ; 1 b + 1 ; 1 b 1 1

Transkriptio

1 KETJUMURTOLUVUT Harjoiuksia 209. Todisa/Prove Lause 2.2. käyäen Lausea 2.3./by using Theorem 2.3. Lause 2.4. käyäen Lausea 2.3./by using Theorem Määrää Canorin kehielmä luvuille 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 23, 7; (m + )!, m N. 3. Olkoon b Z 2. Määrää lukujen b-kanakehielmä. b ; b + ; b b + 4. Määrää lukujen 8/3; /22 binääri- ja 3-kanaise esiykse. 5. Esiä luvu (0, 23) 7 ; (0, 23) 7 ; (0; 03) 6 raionaalilukuina. 6. Määrää lukujen /7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7 desimaaliesiykse (0-kanaise) käyäen Lauseen 2.5 algorimia eli palauuskaavoja (2.) ja (2.2). Huomaa, eä muiden lukujen esiykse saadaan luvun /7 algorimisa.

2 7. Määrää lukujen 2 7, 4 7, 8 7, 5 7 desimaaliesiyksien alkuermien ja jaksojen piuude käyäen Lausea Määrää ord 3 0. Määrää luvun /3 desimaaliesiyksen alkuermin ja jakson piuude käyäen Lausea 2.9. Määrää ord 7 0. (d) Määrää luvun 2 a 5 c 7, a, c N desimaaliesiyksen alkuermin ja jakson piuude käyäen Lausea Olkoon b Z 3. Osoia, eä ord (b ) 2 b = b. (b ) 2 = (0, b 3 b ) b. 0. Olkoon p P, m Z, m p ja oleeaan, eä p = (0, c...c p ) b, missä p on minimijakson piuus. Osoia, eä jollakin k Z, 0 k p m p = (0, c k+...c p c...c k ) b,. Olkoon b Z 2. Osoia, eä n=0 b n2 / Q. 2. Osoia, eä 0, / Q. 3. Määrää seuraavien kejumurolukujen n. konvergeni, kun n 6. [;,,...]; [b 0 ; b,...] π = [3; 7, 5,, 292,,,, 2,...].

3 Näyä b) kohaan nojauuen, eä π 22 7 < 5 7 ; 2 π < Määrää seuraavien lukujen kejumuroesiykse. 6; Määrää seuraavien kejumurolukujen arvo. (d) (e) [2, 4]; [2, 2, 4]; [4, 3, 2,, 2, 4]; [5,,,, 0]; [2 2n, 2 2n + ]. 6. Olkoon α = [b 0, b,...] > yksinkerainen kejumuroluku ja A n /B n = [b 0, b,..., b n ] sen n.s konvergeni. Näyä, eä Johda idenieei α = [0, b 0, b,...]; A k+ A k = [b k+, b k,..., b 0 ] k N; Johda idenieei B k+ B k = [b k+, b k,..., b ] k N. 7. Osoia, eä ääreömän yksinkeraisen kejumuroluvun τ = [b 0 ; b,...] konvergeneille päee

4 (d) A n+2 B n A n B n+2 = b n+2 ( ) n n N. B n F n+ missä (F n ) on Fibonaccin lukujono. ( ) n 5 + n Z +, 2 0 < A 2k B 2k < τ < A 2k+ B 2k+, k Z +. (B n+ τ A n+ )(B n τ A n ) < 0, n N. 8. Näyä, eä 377/233 on luvun konvergeni (esi sopiva ulos luennoisa). 9. Määrää Neperin luku 0 desimaalin arkkuudella käyäen kehielmää e = [2,, 2k, ] k=. e = + 2[0,, 4k + 2] k=. 20. Olkoon d Z +. Johda luvulle + 4d yksinkerainen kejumurokehielmä. Määrää kehielmän arvo. [d,,, 2d ] Johda luvulle d2 + yksinkerainen kejumurokehielmä. (d) Määrää kehielmän [d, 2d] arvo. 2. Olkoon d Z +. Osoia (laskemalla kehielmän arvo), eä d2 + 2 = [d, d, 2d].

5 d2 + 4 = [d, (d )/2,,, (d )/2, 2d], 2 d 3. d2 = [d,, 2d 2], d 2. (d) d2 2 = [d,, d 2,, 2d 2], d 3. (e) d2 4 = [d,, (d 3)/2, 2, (d 3)/2,, 2d 2], 2 d Mikä ova kahden edellisen ehävän kejumuroesiyksien jaksojen piuude? 23. Osoia, eä Diofanoksen yhälön x 2 7y 2 = 2 posiiivisille rakaisuille x, y Z + päee, eä x y = A k B k, jollakin luvun 7 = [2,,,, 4] konvergenilla A k /B k. Hae ainakin kaksi rakaisua. 24. Olkoon d Z +, d = [b 0, b,...] irraionaalinen ja A n /B n = [b 0, b,..., b n ] sen n.s konvergeni. Käyeään Lauseen 4.6 merkinöjä. Osoia, eä A 2 k db 2 k = ( ) k+ Q k+. Pääele a) kohaa apuna käyäen, eä Q k d, P k d. Rakaise Diofanoksen yhälö x 2 6y 2 = 2. (d) Rakaise Diofanoksen yhälö x 2 7y 2 = Näyä, eä 26. Määrää kejumurojen b 0 + a a 2 b + b = b 0 a a 2 a b + b 2 + b K k= ( ) ; + i

6 K k= ( ) i ; 2 arvo rakaisemalla rekursio ja laskemalla konvergenijonon raja-arvo. 27. Määrää kejumurron arvo, kun a =, b = 3. b + a b + b + a c + arvo, kun a = 3, b =, c = 5, d = 2. a b +... d a d b + c + b Rakaise rekursio Olkoo f n = n! ja e n = n! rakaisukana. Määrää rekursion rakaisukana. (d) Rakaise rekursio (e) Olkoon g n = n! ( ) k k!. Osoia, eä {(f n ), (g n )} on (d)-kohdan rakaisukana. 29. Todisa Lause Todisa Lause Olkoon n k=0 a n+2 (n + 3)a n+ + (n + )a n = 0. n k=0. Osoia, eä {(e k! n), (f n )} on -kohdan (n + 2)b n+2 (n + 3)b n+ + b n = 0 a n+2 (n + )a n+ (n + )a n = 0. x n + y n 2 = ( ) n n Z +. Määrää palauuskaava luvuille x n ja y n (Kaso: Esimerkki 5). 32. Näyä, eä sin z = z 0 F ( 3/2 ) z2 ; 4

7 33. Osoia, eä sarjalle päee palauuskaava 34. Käyäen ulosa näyä, eä cosh z = 0 F ( /2 arcan f = 0 F ( c f = f(c + ) + = 2 F (, /2 3/2 ) = n=0 ) z2 ; 4 ) 2. n! n n f(c + 2). c(c + ) e z e z e z + e = z z 2 z 2 z 2 z log a b e r s / Q r/s Q. / Q a/b Q + \ {}. log 2 / Q. 35. Määrää luvun e 2 yksinkerainen kejumurokehielmä 36. Näyä, eä e 2 = [7, 3k,,, 3k, 2k + 6] k=. I n (π) = π x n (π x) n sin x dx = 2n! 0 n 2l 2n ( ) n+l (2l)! n ( ) π 2n 2l. n! 2l n 37. Osoia, eä 38. Osoia, eä (c+) (c+)(c+2) +... z z 2 /2 z 3/2+ 2 /4 5/2+ z2 /4 7/2+... /c = + c + + = z c+2+ c z 2 3+ z2 5+ z

8 39. Todisa (d) (e) α Q a, b Z, a 0 : aα + b = 0. α / Q a, b Z, a 0 : aα + b 0. α / Q, α lin. vapaia/q α / Q dim Q {Q + αq} = 2. α Q dim Q {Q + αq} =. 40. Todisa e / Q, e lin. vapaia/q π / Q dim Q {Q + πq} = 2.