Luento 2. Järjestelmät aika-alueessa Konvoluutio-integraali. tietoverkkotekniikan laitos

Transkriptio

1 Lueno 2 Järjeselmä aika-alueessa Konvoluuio-inegraali

2 Lueno 2 Lueno 2 Järjeselmä aika alueessa; Konvoluuio inegraali 2.1 Järjeselmien perusominaisuude Oppenheim Muisillise ja muisioma järjeselmä Inveroiuva ja inverssijärjeselmä Kausalieei Sabiilisuus Aikainvarianssi Lineaarisuus 2.2 LTI järjeselmä Oppenheim 2.2 Impulssivase Konvoluuioinegraali Esimerkkejä 2

3 2.1 Järjeselmien perusominaisuude

4 Järjeselmä Järjeselmä / Syseemi / Prosessi on objeki, joka määriää relaaio signaalijoukon välillä. Järjeselmän signaali jaeaan usein ulosuureisiin ja lähösuureisiin Tulosignaali ova järjeselmäsä riippumaomia Lähösignaali sisälävä järjeselmän uoamaa informaaioa. Tyypillisesi järjeselmä reagoi lähösignaaleihin ja uoaa niiden peruseella lähösignaali. Tällöin ulo- ja lähösignaalien välillä vallisee kausalieeisuhde. Tulosuuree Lähösuuree Syseemi 4

5 Järjeselmä Järjeselmän ulosuuree jaeaan usein manipuloiaviin suureisiin ja ei-manipuloiaviin suureisiin (häiriö) Manipuloiava ulosuuree Häiriö Syseemi Lähösuuree Järjeselmiä voidaan luokiella niiden ulo- ja lähösuureiden määrien mukaan SISO Single Inpu-Single Oupu MISO Muliple Inpu Single Oupu SIMO Single Inpu Muliple Oupu MIMO Muliple Inpu Muliple Oupu 5

6 Järjeselmä Järjeselmä voidaan ajaella operaaoriksi F(.), joka kuvaa ulosuureen lähösuureeksi. (vr. mariisilla A kerominen on kuvaus vekorila x vekorille y=ax) Esimerkkejä järjeselmä-operaaoreisa: F( x ( )) h( ) x ( ) d Konvoluuioinegraali F( x ( )) x ( )cos 2 f c Lineaarinen modulaaio 6

7 Järjeselmä Prosessi on kausaalinen, jos vaseen y():n rakaisemiseksi ajanhekellä ei arvia heräeen ulevia arvoja u(), Jakuva-aikainen prosessi: Sekä ulo- eä lähösuuree ova jakuva-aikaisia signaaleja y()=f(u()) Diskeei-aikainen prosessi: Sekä ulo- eä lähösuuree ova diskreeiaikaisia signaaleja y(k)=f(u(k)) 7

8 Järjeselmä Lineaarinen järjeselmä: Järjeselmän oimina ei riipu heräeen ampliudisa ja vaiheesa. Sen kuvaamiseen riiää lineaarinen operaaori F: F(ax()+bu())=aF(x())+bF(u()) Esim. Passiivisisa komponeneisa koosuva sähköpiiri Epälineaarinen järjeselmä: Järjeselmän generoima vase riippuu heräeen ampliudisa ja ai vaiheesa a: F(ax()) af(x()) Esim. Tehovahvisin Inveroiuva järjeselmä G(x()): G(F(x()))=x() 8

9 Järjeselmä Muision järjeselmä lähösuure y() riippuu ainoasaan ulosuureesa u() ajanhekellä Muisillinen järjeselmä lähösuure y() riippuu ulosuureen hisoriallisisa arvoisa u(), 9

10 Järjeselmä Deerminisinen järjeselmä Jos järjeselmän ila unneaan ieynä ajanhekenä voidaan sen vase ennusaa arkasi unneulle heräeelle. Esim. Elekroninen ai mekaaninen järjeselmä Aika invariani järjeselmä: Järjeselmän oimina ei riipu ajasa. Aijan suheen muuuva järjeselmä: Järjeselmän oimina muuuu ajan funkiona. Sen vase siis riippuu siiä minä ajanhekenä heräe järjeselmään syöeään. Sokasinen saunnainen järjeselmä / prosessi Vaikka järjeselmän ila ieynä ajanhekenä unneaisiin, ei sen vasea unneulle heräeelle voida ennusaa vaan se on saunnainen. Esim. Radiokanava Saionäärinen sokasinen prosessi: Prosessin ilasollise ominaisuude eivä riipu ajasa. Epäsaionäärinen prosessi: Prosessin ilasollise ominaisuude vaiheleva ajan mukaan. 10

11 Sabiilisuus Deerminisinen järjeselmä on BIBO (bounded inpu bounded oupu) sabiili, jos ampliudirajoieun heräeen vase on ampliudirajoieu x () F x () Jos on olemassa x () sien, eä F x(),, mua ampliudi rajoieun sini-muooisen signaalin vase on ampliudirajoieu sini-muooinen signaali x() Acos2 f, A F x() järjeselmää kusuaan marginaalisesi sabiiliksi. Muuoin järjeselmää kusuaan epäsabiiliksi. 11

12 2.2 LTI -järjeselmä

13 Lineaarinen aikainvariani järjeselmä u() h() y() Jakuva-aikaisen LTI-järjeselmän oiminaa kuvaa lineaarinen differeniaaliyhälö n n1 m m1 d d d d y () a1 y () ay 1 n () b0 u () b1 u () bu () n n m m1 m d d d d jossa n on järjeselmän keraluku Jos m n, niin järjeselmä on aio (proper): Vase ei riipu heräeen derivaaasa d/d u() Jos m<n, niin järjeselmä on vahvasi aio (sricly proper): Tulosuuren u arvo ajanhekellä, u(), ei vaikua lähösuureen y arvoon ajanhekellä, y(). 13

14 LTI-järjeselmä Yleinen esiysapa n a k n k d y() d u() bk k d k k k0 d k0 Jos m<n, niin määriellään b_k=0, k=m+1,m+2,,n Aikaderivaaaa merkiään usein piseellä d v () v () d 2 d v () v () 2 d n ( n) d v () v() n d 14

15 Perusuu kurssin AS Analoginen sääö luenomaeriaaliin Sähköpiirien peruskomponeni Vasus (resisanssi) v () Ri () R i() Kela (indukanssi) v () di() L d Kondensaaori (kapasianssi) dv() i () C d 1 v () id () C 0 v() L i() v() C i() v() 15

16 Perusuu kurssin AS Analoginen sääö luenomaeriaaliin Mekaanisen järjeselmien peruskomponeni Eenevä liike: Massakappale (ineria) 2 dx () Fm( ) m d 2 Jousi F () kx() k( x() x ()) k Vaimennin 1 2 dx() dx1() dx2() Fb( ) B B d d d m x() k x 1 () B x 1 () x 2 () x 2 () 16

17 Perusuu kurssin AS Analoginen sääö luenomaeriaaliin Mekaanisen järjeselmien peruskomponeni Pyörivä liike: Hiausmomeni 2 d TJ () J d 2 () () J Väänöjousi T () k () k( () ()) k 1 2 1() k 2() Väänövaimennin d() d1() d2() Tb( ) B B d d d 1() B 2() 17

18 Perusuu kurssin AS Analoginen sääö luenomaeriaaliin Virausjärjeselmien peruskomponeni Läpiviraussäiliö F 1 () dv() F1() F2() d Ideaalisekoiin dv() C2 () F1() C1() F2() C2() d Pukiviive V C2() C1( Td ()) C1 F() Viraus aukon läpi F() A () R p() A () R p() p () 1 2 Tämä on esimerkki epälineeaarisesa komponenisa F 1 () C 1 () V() C 2 () F 2 () C 2 () C 1 () p 1 () F() R A() V() F() V p 2 () F 2 () C 2 () 18

19 Biologise järjeselmä Esimerkki lineaarisesa mallisa: Funkionaalinen MRI G.M.Boyon, S. A. Engel, G. H. Glover, and D. J Heeger, Linear Sysems Analysis of Funcional Magneic Resonance Imaging in Human V1, The Journal of Neuroscience, July 1, 1996, 16(13):

20 Esimerkki 1 Jännie x() on ulosuure ja jännie y() lähösuure i i (a) dy() i () C d x () Ri () y () x () y () i () R dy() 1 i () d C dy() 1 1 y() x() d RC RC Vahvasi aio järjeselmä (b) di() y () L d x () Ri () y () x () y () i () R di() y () L d Ldx() dy() y () R d d dy() R dx() y () d L d Aio järjeselmä

21 Esimerkki 2 Jännie x() on ulosuure ja jännie y() lähösuure i i dx di1 i1 i2 x Ri1 i1 i2 d R C d d C di2 x Ri1 L y 0, y i2 R d Järjeselmää kuvaa ny 2. aseen differeniaaliyhälö 2 d y R 1 dy 2 1 y 2 d L RC d LC LC x 0 21

22 LTI-järjeselmä Sähköpiiriä kuvaavien differeniaaliyhälöiden aseluku viiaa niissä esiinyvien varasoelemenien (kondensaaori ja kela) lukumäärään. Jos piirissä ei ole varasoelemenejä, siä kusuaan muisiomaksi. Esimerkki muisiomasa piirisä: x y y R R2 R 1 2 x 22

23 RC-suodain Tarkasellaan RC suodaina dy() 1 1 y() x(), RC d

24 RC-suodain: Auonominen järjeselmä Olkoon ulojännie x()=0 dy() 1 dy() 1 y () d d y() dy() 1 d ln y( ) c y () Vakio c y () kexp, ke Vakio Vakio k piää rakaisa alkuarvojen peruseella 0 y(0) kexp k joka riippuu kondensaaorin varauksesa ajanhekellä =

25 RC-suodain: Impulssivase Tulosignaali x()=() on Diracin dela-funkio ja y()=0, <0 Tapaus 1: 0 dy() 1 1 y () x (), RC d 1 1 y () y () x () d y () () d y(0) y( ) x( ) d y( ) d ( ) d Tapaus 2: >0 vasaa auonomisa järjeselmää dy() 1 y () d Impulssivase siis vasaa alkuarvojen määriämisä auonomiselle järjeselmälle!

26 RC-suodain: Impulssivase x()* /

27 RC-suodain: Impulssijono Olkoon ulojännie x() impulssijono K x() a kt k 0 k Koska kyseessä on lineaarinen järjeselmä voidaan vase rakaisa kullekin impulssille erikseen K y () ah ( kt) k 0 1 h () e k Impulssivase T 2T

28 RC-suodain: Vase näyeiseylle signaalille Tarkasellaan näyeiseyä signaalia x() x( kt) kt k joa voidaan siis kuvaa impulssijonolla Vase y () xh () ( kt) k

29 RC-suodain: Vase mielivalaiselle signaalille Tarkasellaan näyeiseyä signaalia x() x( kt) kt k joa voidaan siis kuvaa impulssijonolla Vase y () xh () ( kt) k Raja-arvo kun T0 y() x( ) h( ) d Konvoluuioinegraali

30 Konvoluuioinegraali Konvoluuioinegraalin määrielmä y () x () y( ) x ( ) d Ominaisuuksia y () x () x () y () () () () (), y () x () z () y () x () z () y () x () z () y () x () y () z () a y x ay x a * * * y () x () y() x() Huom! Kirjassa konvoluuiosa y()*x(), mua lueno- Maeriaalissa * arkoiaa kompleksi konjugaaia. a ib * aib

31 Konvoluuioinegraali Konvoluuio y () x () y( ) x ( ) d Tulkina x() y() x() peilaaan y-akselin suheen ja liueaan y():n yli 31

32 Konvoluuio-inegraali: RC-suodain RC-suodain d 1 1 i () i () x () d RC R d 1 y () i () d C x() Jännielähde uoaa jännieen e() Rakaisu (impulssivaseen ja sisäänulo jännieen konvoluuio) R C y() y () h( ) x d h () exp 1 RC Suodaimen ulosulo jännie on Impulssivaseen h() ja sisäänmenojännieen e() konvoluuio 32

33 Konvoluuioinegraali Konvoluuioinegraali voidaan ulkia usean impulssivaseen summaksi x() 1cos( b), 0 h () e y () h () x () y() x( ) h( ) d k xkth ( ) ( kt) hp://mahles.org/mahles/convoluion-accumulaion/

34 Konvoluuioinegraali hp:// 34

35 Konvoluuioinegraali Esimerkki: Laskeva ramppi suodaeaan RCsuodaimella x() y() x () 1 0 T T 0 muuoin y () e

36 Konvoluuioinegraali 0 y () 0 -T 0 T T -T -T y() e d T 1 T 0 1e y () e d T 1 T T T ( T) T 1e e

37 Konvoluuio inegraali y () x () y( ) x ( ) d y() T 37

38 Tehävä Rakaise RC suodaimen askelvase y(), kun Suodaimen impulssivase h()=e - Tulojännie 1 0 x () 0 0 käyämällä konvoluuioa: y () h( ) x ( ) d R x() C y() Vinkki: ax 1 ax e dx e C a

39 Konvoluuioinegraali ja impulssifunkio Signaalin konvoluuio Diracin dela-funkion kanssa vasaa signaalin viiväsämisä y() () y( ) ( ) d y() y () ( T) y( ) ( T) d y ( T)

40 Akusinen impulssivase Akusinen impulssivase: Tilanunu voidaan lisää konvoloimalla äänä ilasa miaun impulssivaseen kanssa hp:// () k k k h h

41 Moniie-eeneminen radiokanavassa Teho Aika Teho Aika h () h() () k k k

42 Merkkiainekoe Merkkiainekoe on koe, jossa johonkin virausprosessiin syöeään siihen normaalisi kuulumaona (radioakiivisa)ainea ja miaaan sien ämän merkkiaineen eenemisä. Tuloksena saadaan prosessin (im)pulssivase. Sovelluksia prosessieollisuudessa, ympärisöekniikassa ja lääkeieeessä. hp:// n&view=aricle&id=239&iemid=69&lang=en