MAT Fourier n menetelmät. Merja Laaksonen, TTY 2014

Transkriptio

1 MAT-45 Fourier n meneelmä Merja Laaksonen, TTY 4..4

2 Sisälö Johano 3. Peruskäsieiä Parillinen ja parion funkio Heavisien funkio iracin elafunkio Skaalaus- ja siiro-operaaio Fourier-sarja 4. Fourier n eoreema Sarjan eksponenimuoo Apuuloksia Inegraaleja Keroimien määriely Pari esimerkkiä Fourier-sarjan hyöynäminen summan laskemisessa Lineaarisuus Sarjan suppeneminen Gibbsin ilmiö *Tasainen suppeneminen Funkion jakaminen, sini- ja kosinisarja Sarjan erivoini ja inegroini ermeiäin Sarjan kolmas esiysmuoo Jaksollisen funkion spekri Parsevalin lause iskreei Fourier-muunnos (FT) iskreein Fourier-muunnoksen määrielmä Jonojen ominaisuuksia Nopea Fourier-muunnos (FFT) Fourier-muunnos Fourier-muunnoksen määrielmä Sinc-funkio Fourier-muunnoksen ominaisuuksia Impulssifunkioon liiyviä muunnoksia Fourier-muunnoksen spekri Parsevalin yhälö Aikaiskreei Fourier-muunnos (TFT) 77 6 Näyeenooaajuus 79 7 Yheenveoesimerkki muunnoksisa 8 A Taulukko. Muuama Fourier-muunnoskaava. 87 B Ekskursio kompleksilukuihin ja rigonomeriaan 88 B. Muuamia rigonomerisia ienieeejä Hakemiso 9

3 Johano MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me / 4 3 Johano Insinöörimaemaiikassa esieliin poenssisarja ja opiiin, eä ieyin ehoin funkio voiaan esiää Maclaurinin (ai Taylorin) sarjana esimerkiksi sin x x 3 x3 C X n 5 x5 C x n : n Sarjojen suppeneminen on ärkeä käsie. Tulos ei piä paikkansa, jos muuuja x ei kuulu suppenemisvälille. Välin sisäpiseissä (joskus myös pääepiseissä) erivoini/inegroini ermeiäin uoaa uuen suppenevan sarjan, jonka summa on alkuperäisen funkion erivaaa/inegraali. n Sarjojen perusrakeneeseen kuuluva poenssi ; x; x ;x 3 ;:::;x n ;::: ja niien eessä ineksisä n riippuva keroime. Fourier-sarja on kehielmä jaksolliselle funkiolle f,jonkajaksonaont!,japoenssienilallaonsinifunkioaseuraavasi A C X A n sin n!x C n : n Varsinaisen kehiysyön eki ranskalainen fyysikko Fourier Joseph Fourier (768-83) ). Hän oli kiinnosunu lämmönjohumisesa. Näien käyökoheia ova esimerkiksi osiaisiffereniaaliyhälö, yleensä värähelyyn liiyvä sovelluksesekäsignaalinkäsiely. Trigonomerise funkio ja niien ienieei ova arpeellisia, joen lukijan on syyä kerraa niiä, jos ne eivä ole hallussa. Kompleksiluvu uleva auomaaisesi mukaan, kun pyörieään sini- ja kosinifunkioia. Moniseen lopussa on liieenä lyhy ekskursio niihin sekä kokoelma rigonomerisia ienieeejä. Moniseessa muuuja on reaalinen ja lähöfunkio ova reaalisia. Paikoiellen käyeään apuna kompleksilukuja ja funkion arvo voiva olla kompleksisia. Lukijala ei vaaia kompleksimuuujan funkioien eorioia vaan asia käyään läpi insinöörimaemaiikan pohjala. Moniseessa on pääasia ja muuamia esimerkkejä. Lisää maeriaalia löyyy useisa kirjoisa. Esimerkiksi Glyn Jamesin Avance Moern Engineering Mahemaics on sopiva oheismaeriaaliksi. Muia kirjoja seuraessasi kaso arkkaan määrielmä eri käsieille. Niissä on eroja. Tällä kurssilla käyeään ämän moniseen mukaisia määrielmiä. Jos mahollisa, niin koea löyää käyöösi (symbolinen)-ohjelmiso, joka piirää kuvia ja laskee laskuja. Ne helpoava ymmärämisä ja auava laskujen arkisamisessa. Esimerkiksi sarjoissa ensimmäise ermiä ja niien kuvaaja riiävä keromaan, onko laskusi mahollisesi oikein.

4 . Peruskäsieiä MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me /4 4. Peruskäsieiä Funkio f on jaksollinen (perioic), jos on olemassa sellainen vakio T, eä jokaisa reaalilukua kohi f C T f : Vakio T on jakso. JosT on jakso, niin myös mt; m Z on jakso. Mua jos mt; m Z on jakso, niin siiä ei voi pääellä, eä T olisi jakso. Useimmien nimenomaan pienin posiiivinen jakso (ns. perusjakso) on kiinnosava, jos sellainen on olemassa. Soviaan, eä oleusarvona jakso T on posiiivinen ja jos nimenomaan arviaan negaiivisa arvoa, niin se ilmaisaan T. Kuva. Jaksollinen funkio. T T Määrielmään perusuen jaksollisella funkiolla piäisi olla jokin arvo jokaisessa reaaliakselin piseessä. Tämän aihealueen funkioilla on usein epäjakuvuuskohia, joissa yksiäisä arvoa ei ole ai se on jäey avoimeksi. Arvolla ei ole kovin suura merkiysä Fourier n meneelmien eoriassa. Sellaiseen voiaan aina sopia jokin yksiäinenarvo.tässäeksissäonluovuuliiasa arkkuuesa ja välillä epäjakuvuuskohissa on arvo ja välillä ei. Esimerkki.. Sini ja kosini ova jaksollisia funkioia, joien perusjakso on. Esiään funkion f W f sin! C ' ;! > : jakso T.Joajokaisamuuujan arvoa kohi f f C T eli sin! C ' sin!. C T/C ' sin! C ' C!T on olava eli!t n; n Z T n! : Luku nolla ei kelpaa jaksoksi, joen pienin posiiivinen jakso T! :

5 . Peruskäsieiä MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me /4 5 Taajuus (frequency) keroomonakokeraajaksooisuuyhen:n yksikön (usein sekuni) aikana, joen aajuus jakso T : Esimerkiksi sinin jakso on, joensenaajuuson :59 (Siis ei välämää kokonaisluku). Kun muuujan arvo muuuu yhen yksikön verran (esimerkiksi sekunnin) sini on ehny 6% yhesä jaksosaan. Puhuaan myös kulmaaajuuesa (circular frequency) kulmaaajuus aajuus T : Sinin kulmaaajuus on. Jos on käyössä negaiivise jakso, niin aajuuskin on negaiivinen. Tällöin aajuuen iseisarvo keroo, monako keraa jakso oisuu. Usein aajuuen yksikkönä on =s eli Hz (hersi) ja kulmaaajuuen yksikkönä on ra=s. Esimerkki.. Funkion f W f sin! C ' aajuus on ja kulmaaajuus T T!!!!: On yleisä, eä sana "kulma" jäeään pois ja puhuaan vain aajuuksisa oleaen, eä on selvää kumpaa aajuua arkoieaan. Määrielmä.. Funkion f vasemmanpuoleiselle raja-arvolle kohassa a käyeään lyhenneyä merkinää f a lim!a f lim h! C f a h : Vasaavasi sen oikeanpuoleiselle raja-arvolle kohassa a käyeään lyhenneyä merkinää f a C lim f lim f a C h :!a C h! C Niiä kusuaan yheisellä nimellä oispuoleisiksi raja-arvoksi. Esimerkki.3. Funkio f W 8 8 f < ; kun ; ˆ< ; kun >; jj ; kun ; : ; kun ˆ: ; kun < on epäjakuva kohassa. Silläonäärelliseoispuoleiseraja-arvo f C ja f : Funkion nimi on signum eli kyseessä on eumerkkifunkio.

6 . Peruskäsieiä MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me /4 6 Määrielmä.. Funkio f,jokaonmäärielyvälillä a; b,onpaloiain jakuva välillä a; b,josf.a C /, f.b / ova olemassa äärellisinä ja f.c C / f.c / f.c/aina kun c.a; b/ lukuunoamaa äärellisä määrää mahollisia poikkeuksia. Poikkeukse ova epäjakuvuuskohia, joissa on äärellise oispuoleise raja-arvo. Huomauus. Tällä määrielmällä rajaaan pois rajoiamaoma funkio eli epäjakuvuuskoha ova hyppyepäjakuvuuskohia sekä sellaise funkio,jokaoskilloivaniin,eeiraja-arvoa ole olemassa. Määrielmä.3. Jos funkion fn:s erivaaa f.n/ on olemassa ja jakuva, niin funkion sanoaan olevan n keraa jakuvasi erivoiuva. Esimerkki.4. Kuvassa esiey funkio on määriely välillä a; b ja sillä on yksi epäjakuvuuskoha c, jossasilläonoispuoleiseäärelliseraja-arvo.funkio ei ole jakuva, mua on paloiain jakuva. Epäjakuvuuen vuoksi funkioeioleerivoiuvakohassa c. a c b a c b Kuva. Epäjakuva ja ei-erivoiuva. Kuva 3. Jakuva ja ei-erivoiuva. Kuvassa 3 esiey funkio on määriely välillä a; b ja on siellä jakuva. Kohassa c erousosamäärän oispuoleiseraja-arvo ovaeri (vr. kuvan punaisen suorien kulmakeroime), joen funkio ei ole siinä erivoiuva. Lause.. Olkoon T -jaksoinen funkio f paloiain jakuva välillä ; T.Tällöinsillä on inegraali yli välin ; C T ja Z CT f Z T f : Toisus. Inegraalin olemassaolo on selvä, kun jaeaan väli osiin epäjakuvuuskohien mukaan ja inegroiaan paloiain. Tulokseen eivä vaikua hyppykohissa määrielly funkion arvo. Hajoeaan inegraali kolmeen osaan seuraavasi Z CT f Z f C Z T f C Z CT T f :

7 . Peruskäsieiä MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me /4 7 Tehään oikeanpuoleisimpaan inegraalin sijoius x T,jolloinsaaaanulos Z CT f Z f C Z T f C Z Z T f Z f C Z Z T f : f x C T x f x x Siis inegroiaessa jakson yli välin voi valia vapaasi. Viisaasi oimiaessa valiaan sellainen väli, joka yksinkeraisaa laskuja... Parillinen ja parion funkio Määrielmä.4. Funkio f on parillinen, josjokaisamäärielyjoukonarvoa kohi f f : Funkio g on parion, josjokaisamäärielyjoukonarvoa kohi g g : Huomauus. Jos määrielyjoukko ei ole symmerinen origon suheen, niin selväsikään funkio ei ole parillinen eikä parion. Kuva 4. Parillinen funkio. Kuva 5. Parion funkio. Esimerkki.5. Parillisia funkioia ova esimerkiksi cos ; ; 4 C C : Pariomia ova esimerkiksi sin ; ; 3 C : Mone funkio eivä ole kumpaakaan esimerkiksi f W f 3 C.

8 . Peruskäsieiä MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me /4 8 Huomauus. Kannaaa myös huomaa seuraava parillisuus/pariomuussäännö: Parillinen Parillinen Parillinen, Parion Parion Parillinen, Parion Parillinen Parion, Parillinen C Parillinen Parillinen, Parion C Parion Parion. Osoieaan niisä yksi esimerkkinä. Jos f on parillinen ja g parion funkio, niin ulo f g f g f g ; mikä osoiaa, eä ulo oeuaa parioman funkion määrielmän. Lisäksi erivoiaessa parieei vaihuu oiseksi. Siis f f ) f f f : Näisä on hyöyä, kun inegroiaan symmerisen välin yli parillinen funkio Pnen eli Z a a ja parion funkio Pon Z a a Pnen Pon Z a Z a Z a Pnen C Z a Pnen y y C Pnen y y C Z a Pnen Z a Z a Z a Pon C Z a Z a Pon y y C Pon y y C Pnen Z a Pnen Pon Z a Z a Pon Pnen Pon

9 . Peruskäsieiä MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me /4 9.. Heavisien funkio Monissa insinööriieeien sovelluksissa pakoeaan funkio epäjakuvaksi. Tällaisen ilaneen mallinamiseen englanilainen sähköinsinööri Heavisie ( Oliver Heavisie (85-95) )määrieli funkion, joa kusuaan Heavisien askelfunkioksi ai yksikköaskelfunkioksi.jakossa käyeään siiä lyhennelmää H (Maple-ohjelmisossa sen nimi on "Heavisie" ). Heavisien funkiolla on arkalleen kaksi arvoa H ( ; < ; > : H() Kuva 6. Heavisien askelfunkio, jossa on hyppy (askel) kohassa. Huomauus.Useimmienkäyännössäeiolemerkiysä,onkoH nolla, yksi ai joain muua (esim /); olennaisa on hekellä apahuva hyppy. Tässä eksissä on valiuse ulkina, eei hyppykohassa ole arvoa. Askel siiryy oiseen paikkaan, kun määriellään H a ( ; < a ; > a: a H( a) b Kuva 7. Heavisien askelfunkio, jossa on hyppy kohassa a (koha b arpeeon ). Heavisien askelfunkioia voiaan yhisellä esimerkkinä lauseke H a H b ( ; a < < b ; muulloin: H( a) H( b) a b Kuva 8. Erous H a H b (vr. eellinen kuva ).

10 . Peruskäsieiä MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me /4 Tasapulssifunkio rec T ( ; jj <T ; jj >T: Selväsi rec T H CT H T : T T Kuva 9. Tasapulssi rec T...3 iracin elafunkio a A Kuva. Impulssifunkio. Useissa sovelluksissa arviaan sellainen pakoava funkio, joka apahuu yhäkkiä ja vain hyvin lyhyen aikaa. Maemaaisesi siä on mallinneu impulssifunkiona, jonka arvo keskiyy arkalleen yheen piseeseen. Siä kuvaaan usein nuolella ylöspäin vr. vieressä oleva kuva. Impulssifunkio ei ole perineinen funkio, joka saa arvon A hekellä a ja on muulloin nolla. Se on yleisey funkio, jonkajohamiseksimäärielläänensinpulssifunkio 8 ; < a T= ' ˆ< A=T; a T= <ac T= ˆ: ; a C T=: A / T a T / a a+t / Kuva. Pulssifunkion kuvaaja. Pulssin korkeus on A=T ja sen keso on T aikayksikköä, joen pina-ala pulssifunkion kuvaajan ja aika-akselin välillä on A eli Z ' Z act= at= A T A: Anneaan seuraavaksi keson eli muuujan T arvon lähesyä nollaa sien eä pina-ala pulssifunkion kuvaajan ja aika-akselin välillä pysyy vakiona A. Tällöin"pölkyn" leveyent pienenyessä sen korkeus A=T kasvaa eli maemaaisesi A lim T! C T ja lim T! C Z './ A:

11 . Peruskäsieiä MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me /4 Raja-arvoprosessin uloksena saaaan impulssifunkio, jonka arvo on A vain hekellä a. Impulssifunkioa, jonka arvo on yksi, kusuaan yksikköimpulssifunkioksi ai iracin elafunkioksi ja siä merkiään ı. a/. iracin elafunkiolla on ominaisuue:. ı a, ainakun a,. Z ı a, 3. ı a jaj ı. Jos funkio f on jakuva kohassa a, niinsaaaanulos 4. Z f ı a f a ; joa kusuaan impulssifunkion seulonaominaisuueksi (sifing propery). Sen avulla voiaan erisää, siivilöiä ai seuloa funkion arvo yhessä piseesssä. Esimerkki.6. Seulonaominaisuuen peruseella Z cos ı cos 3 3 : Kun impulssifunkion arvo on A,se voiaan esiää iracin elafunkion avulla yksinkeraisesi Aı a. Huomauus. Samaiseaan ilmaisu f ı a f a ı a ; missä f oleeaan jakuvaksi kohassa a. Peruselunaoeaan,eä. f ı a f a ı a,ainakun a,. Z f ı a f a Z f a ı a : On eriäin olennaisa ymmärää, eei impulssifunkio ole funkioperineisessämielessä.sen ominaisuue ova kuienkin sellaise, eä varovasi/huolella käyeynä sillä on käyännöllinen merkiys, joa ei voia muulla avalla saavuaa. Impulssifunkioia ei voi geomerisesi havainnoia ja se piää vain hyväksyä eellä olleen johamisen uloksena.

12 . Peruskäsieiä MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me /4 iracin elafunkion määrielmän peruseella Z ı u u ( ; < ; > : Inegraalille ei voia määriää arvoa arkalleen kohassa. Arvo määräyyy sen mukaan, onko impulssikoha mukana inegroimisvälillä vai ei, ja se vaaii oma sopimukse. Toisaala H ; : Hyppyhekellä funkio H ei ole erivoiuva. Funkio ı ja H eivä ole jakuvia, eikä ı ees ole perineinen vaan yleisey funkio. Ns. perineisen inegraalin eli Riemannin inegraalin määrielmässä vaaiaan, eä funkio on jakuva. Myöskin erivaaan määrielmässä vaaiaan, eä funkio on jakuva ja siä nämä funkio eivä kaikkialla ole. Myöskään ei ole selkeää määrielmää, milloin kaksi yleiseyä funkioa ova sama. Oeaan sili varovaisesi käyöön ulokse Z ı u u H ja H ı : Toisus arvisee enemmän eoriaa, joa löyyy mm. Jamesin kirjasa ja siellä on osoieunämä väiee paikkansa piäviksi. Esimerkki.7. Olkoon f H 3e : Kohassa oispuoleise raja-arvo ova f ja f C 3. Funkionyleisey erivaaa (ohieaan arkemma peruselu) on f H 6e C ı 3e H 6e C 3ı : Termi 3ı "hoiaa f :n hyppäyksen arvosa nolla arvoon 3, kun origo ohieaan". Termi H 6e ; missä, onperineinenpaloiainmäärieyerivaaa...4 Skaalaus- ja siiro-operaaio Kerraaan vielä esimerkkeinä, mien funkion f kuvaaja muuuu ieyillä operaaioilla. Aloieaan avallisella sinifunkiolla Kuva. Funkio sellaisenaan y f sin. π

13 . Peruskäsieiä MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me /4 3 π Kuva 3. Venyeään y-akselin suunnassa kaksinkeraiseksi y f. π Kuva 4. Siiryy vasemmalle :n yksikön verran y f C. Miksi juuri vasemmalle? Hekellä ollaan samassa vaiheessa kuin alkuperäinen on hekellä. π / 3 Kuva 5. Kuisuu -akselin suunnassa kolmasosaan y f 3. π π / 3 Kuva 6. Eellinen siiryy oikealle :n yksikön verran y f 3 3. π Tarkasellaan lähemmin viimeisä siiroa, jossa f 3 3 f 3 f 3u ; missä u eli u C s. uuessa koorinaaisossa y-akseli, joka sijaisee kohassa u sijaisee -akselilla kohassa. Siksise"näyääkuinvanhafunkioolisisiirrey oikealle :n verran". Huomaa eriyisesi, eä siiro ei ole3:nverran!

14 Fourier-sarja MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me / 4 4 Fourier-sarja. Fourier n eoreema Johannossa esieliin, eä Fourier-sarja on kehielmä jaksolliselle funkiolle f,jonkajaksona on T.Fourieresii,eäfunkioonesieävissä(ihannäineiole,vaanjoainrajoiuksia! on ) sarjana X A C A n sin n! C n ; n missä ermi A n ja n ; n ; ; ; 3; : : : ova ineksisä n riippuvia vakioia. Siis funkio voiaisiin hajoaa värähelevien ermien summaksi. Vakioa A voiaan kusua asakomponeniksi ja A sin! C on ensimmäinen harmoninen komponeni. Sen(kulma)aajuus! T : Yleisesi ermi A n sin n! C n on n:s harmoninen komponeni ja sen aajuus on n!. KerroinA n on sen ampliui ja n ermi, mikä vaikuaa aallon viiväsykseen ai ennakoiuvuueen verrauna samanajuiseen siniaaloon (vr. siiro oikealle ja vasemmalle ). Sinin yheenlaskukaavan peruseella A n sin n! C n An cos n sin n! C An sin n cos n! : Merkiään (a n A n sin n b n A n cos n : ja mukavuussyisä (selviää myöhemmin ) A a.näinsarjakehielmävoiaanesiäämuoossa a C X n a n cos n! C b n sin n! : Ylläolevasa rakeneesa, missä a n ja b n unneaan, saaaan arviaessa jokaisen harmonisen komponenin ampliui q A n an C b n ja vaihesiiroon vaikuava ermi n. Miksi ihmeessä selkeä siisi viiva eroellaan ääreömän (eoriassa ääreön määrä; käyännössä äärellinen määrä) monen värähelevän viivan summaksi? Esimerkki.. Esimerkiksi jousen värähelyä kuvaavassa iffereniaaliyhälössä (uua aiemmila kursseila! ) mx C cx C kx f ; missä massa m on jousen (jousivakio k )varassa,c on iey posiiivinen vakio ja x on massan sijaini ajan funkiona. Funkio f kuvaa ulkopuolisa voimaa. Kun c 4mk <,homogeenisen Y:n rakaisu on x./ e C cos ˇ C C sin ˇ ;

15 . Fourier n eoreema MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me /4 5 missä c p 4mk c m ja ˇ : m Jos ulkopuolisena voimana on jaksollinen funkio f ja se hajoeaan harmonisiin komponeneihin, niin Y:n rakaisu koosuu HY:n rakaisusa, joka vaimenee ajan kuluessa, sekä harmonisisa komponeneisa, joien ampliui paljasava, mikä komponeni hallisee värähelyä. Jos vaimenavaa ekijää ei ole eli c,niinhomogeeniseny:nrakaisuon x./ C cos ˇ C C sin ˇ ; missä r k ˇ m : Jos ulkopuolinen voima f sisälää harmonisen komponenin, jolla on aajuuena sama ˇ niin rakaisuun ulee ermi, joka kasvaaa ampliuia ajan kuluessa (resonanssi!). Joa sarjakehielmä olisi sama kuin funkio, niin sarjan piää olla suppeneva. Sarjaeoriasa muiseaan, eä sarja suppenee jos ja vain jos sen osasummien muoosama lukujono suppenee. Fourier-sarjan osasumma N a S N C X a n cos n! C b n sin n! n on funkio (muuujana ), joen kyseessä on funkiojonon suppeneminen kohi funkioa S eli lim S N S ; N! joa kusuaan rajafunkioksi. Ongelmia liiyy siihen, minkälainen lähöfunkion f piää olla, joa sarja suppenee, minkälaisesa suppenemisesa on kulloinkin kyse ja mikä on rajafunkio S? Useimma käyännön sovelluksissa arviava funkio ova sen verran "kilejä", eei näihin eoreeisiin kysymyksiin jouua. Seuraavassa määrielmässä anneava eho anava eräänlaisen akuun, eä eoria on kunnossa. Jos eho eivä oeuu, niin se ei arkoia, eeikö suppenevaa sarjaa voisi olla olemassa. Määrielmä.. Jaksollinen funkio oeuaa irichle n eho, jos a Se on paloiain jakuva (ja rajoieu). b Yhen jakson alueella funkiolla on äärellinen määrä erillisiä lokaaleja eli paikallisia ääriarvokohia. Saksalainen maemaaikko irichle ( Johann Peer Gusav Lejeune irichle ( ) ) uki alunperin lukueoriaa, mua myös Fourier-sarjojen eoriaa ja muia maemaaisen analyysin aiheia. Nämä irichle n eho sulkeva pois ns. "hankalia funkioia".

16 . Fourier n eoreema MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me /4 6 Lause.. Jos T-jaksoinen funkio f oeuaairichle neho, niinsille löyyy Fouriersarja fo a C X a n cos n! C b n sin n! ; missä! T sekä n a n T Z CT f cos n! ja b n T Z CT f sin n! : Rajafunkiona ei aina ole lähöfunkio f.kunsarjaansijoieaan,niinsesuppenee (piseiäin) kohi sen kohan oispuoleisen raja-arvojen keskiarvoa.toispuoleiseraja-arvo ova sama, jos funkio on siinä kohassa jakuva. Yheenveona O f 8 f ˆ< f ˆ: C f C,kunf on jakuva kohassa,kunf on epäjakuva kohassa : Siksi on hyvä eroaa sarjan määrielemä funkio ja funkio, jolle sarja on kehiey. Funkio f ja f O ova kuienkin lähes kaikkialla sama. Käyännössä arviaan äärellinen määrä ermejä ( siis osasumma ), joilla korvaaan funkio, jolloin arvo ova epäarkkoja. Tärkeää onkin ymmärää ja ieää, kuinka nämä osasumma myöäilevä lähöfunkioa. Asiaan palaaan kappaleessa Suppeneminen. On myös syyä ieää, eä vaikka suppeneva sarja näyäisi Fourier-sarjala, niin se oisa miään. On mahollisa, eä se ei ole minkään funkion F-sarjas.keroimesininjakosinineessä eivä ole määrielmän mukaise. Alla on esimerkki ällaisesa sarjasa. Esimerkki.. Sarja S./ X k sin.k/ ln.k/ näyää muoolaan Fourier-sarjala, mua se ei siä ole. Sarja on kyllä suppeneva, mua ei ole minkään funkion F -sarja. Voiaan oisaa yleisesi (ei vaikea, mua ohieaan), eä jos sarja a C X n a n cos n! C b n sin n! on Fourier-sarja, niin sarja X k b k k

17 . Sarjan eksponenimuoo MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me / 4 7 suppenee. Esimerkkisarjassa b k ja sarja ln.k/ X k k ln.k/ hajaanuu inegraaliesin peruseella, joen sarja S./ ei voi olla F-sarja.. Sarjan eksponenimuoo Ennenkuin läheään peruselemaan Fourier-sarjan keroimien a n ja b n kaavoja, oeaan esille sarjan (kompleksinen-)eksponenimuoo. Seonuseineriäinkäyökelpoinenkuenlukija myöhemmin ulee huomaamaan. Vaiheaan sini- ja kosinifunkio eksponenimuooon (vr. liie). Sarja O f a C X Merkiään n a C X n a C X n a n cos n! C b n sin n! a n e jn! C e jn! an jb n c a C b n e jn! e jn! j e jn! C a n C jb n e jn! c n a n jb n ; n ; ; 3; : : : c n a n C jb n c n ; n ; ; 3; : : : Huom. j j : missä c n on luvun c n liioluku (siis imaginääriosan eessä eri merkki). Näin saaaan sarjalle esiysmuoo O f c C X c n e jn! C c n e jn! n X n c n e jn! : Esimerkki.3. Eksponenimuoosapääsään helpohkosi rigonomeriseen muooon X n n j n ejn X n j Re n ejn X n n Re j cos n C sin n X n n sin n :

18 .3 Apuuloksia MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me / Apuuloksia Oeaan käyöön Kroneckerin ela ( Leopol Kronecker, (83 89) ). Määrielmä.. Kroneckerin ela ı kj on symboli, jolla on kokonaisluvuisa k ja j riippuen kaksi arvoa ( ; kun k j; ı kj ; kun k j: Esimerkki.4. Summa X ık C ı k k3 C C C C C 3 CC 4 C k C : 3 k Kumpikin Kroneckerin ela poimii summasa arkalleen yhen ermin..3. Inegraaleja Ensimmäisenä on hyvä käyä läpi muuamien jaksollisen funkioien määräyjä inegraaleja, joissa jakso T! : Oleeaan myös, eä m ja n ova posiiivisia kokonaislukuja, jos ei oisin sanoa. Jos m ai n ova nollia, niin ilanne yksinkeraisuu.. Z CT cos n! Tı n :. Z CT sin n! : 3. Z CT cos n! cos m! Tı nm: 4. Z CT sin n! sin m! Tı nm: 5. Z CT sin n! cos m! : Osoieaan ne osiksi. Se on hyvää jumppaa, joa jakossa ällaise lasku sujuva.

19 .3 Apuuloksia MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me / 4 9. Tapauksia on kaksi. a) Jos n,niin Z CT b) Jos n, niin Z CT cos n! cos n!. Tämän näkee suoraan Z CT sin n! Z CT ˇ T Z T= T= sin n! n! ˇ T T: sin n n! sin n! : ƒ parion 3. Oleeaan, eä n ja m.tapauksiaonkaksi. a) Jos n m,niin Z CT b) Jos n m, niin Z CT cos n! cos m! cos n! cos m! Z T ˇ Z T ˇ sin n! : cos n! Z T C cos n! T C sin n!! n! T: T cos.n m/! C cos.n C m/! sin.n m/! n m! C sin.n C m/! n C m!! : 4. Oleeaan, eä n ja m. Tämäonhyvinsamanlainenkuinkoha3. Tapauksia on kaksi. a) Jos n m,niin Z CT b) Jos n m, niin Z CT sin n! sin m! sin n! sin m! Z T Z T sin n! T: cos.n m/! cos.n C m/! : 5. Tämän näkee suoraan Z CT sin n! cos m! Z T= T= sin n! cos m! : ƒ parion

20 .4 Keroimien määriely MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me / 4 Kerraaan myös osiaisinegroinnin kaava Z b a f g ˇ a b f g Z b a f g : Insinöörimaemaiikassa on ollu vain reaalifunkioien inegroinia, mua kovin korkeaan eoriaan ei jouua funkion ollessa muooa z u C jv ; R; missäu ja v ova reaalifunkioia. Tällöin funkion z inegraalillareaalisen muuujan suheen arkoieaan Z z Z u Z C j v : Eriyisesi, kun m Z ja T! Z CT e jm! Z CT cos m! C j Z CT sin m! Tı m C Tı m : Inegroini oimii myös, jos pieään kirjaina j muoollisesivain vakiona eli Siis Z CT 8 ˇ ˇ ˆ< e jm! ˆ: CT CT T; kun m ; jm! ejm! ejm! e jm ; kun m : jm! Z CT e jm! Tı m ; m Z: ().4 Keroimien määriely Oleeaan, eä O f./ X k c k e jk! ; missä lähöfunkio f on T -jaksoinen ja! T.Kerroaanyhälöpuoliainermilläejn!, jolloin X X f./e O jn! c k e jk! e jn! c k e j.kn/! : k k

21 .4 Keroimien määriely MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me / 4 Inegroiaan sen jälkeen muuujan suheen puoliain jakson yli Z CT f./e jn!./ X k X k Z CT c k e j.kn/! c k Tı kn Tc n : Täen c n T Z CT f./e jn! : Yheenveona sarjan eksponeniesiysmuoo on missä O f c C c n T X c n e jn! C c n e jn! n Z CT X n c n e jn! ; f e jn! ; n ; ; ; 3; : : : Eroellaan keroimen c n a n jb n ;n ; reaaliosa ja imaginääriosa, jolloin c n T Z CT f e jn! T Z CT f cos n! j T Z CT f sin n! ja missä fo a C X a n cos n! C b n sin n! ; a n T Z CT n f cos n! ; n ; ; ; 3; : : : b n T Z CT f sin n! ; n ; ; 3; : : : Jakeaan ylläolevan rigonomerisen sarjan kanssa ja palaaan vähän myöhemmin eksponeniesiysmuooon.

22 .5 Pari esimerkkiä MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me / 4.5 Pari esimerkkiä Esimerkki.5. Määrieään Fourier-sarja -jaksoiselle funkiolle f,jokaonmäärielyyh- älöillä f C ; kun ˇˇˇˇ <; f C f : 5π 3π π π 3π 5π Kuva 7. Funkion f kuvaaja välillä 5; 5. Jakso T ja aajuus! T a Z C. Sijoieaanieokaavoihinjaväänneäänkerroin ˇ 3 3 C Muien keroimien laskeminen on hieman yöläämpi, koska niissä arviaan osiaisinegroinia. Kerroin (n ) a n Z C cos n Z Z 4 n n: cos n Z C ƒ parillinen cos n ˇ cos n ƒ parion n sin n C n cos n n sin n 3 Kerroin Z b n C sin n Z sin n Z C ƒ parion Z sin n ˇ sin n ƒ parillinen n cos n C n sin n n n:

23 .5 Pari esimerkkiä MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me / 4 3 Fourier-sarja fo 3 C X n 4 n n cos n sin n : n n Kuvassa 8 on ylläolevan sarjan osasumman S kuvaaja ja kuvassa 9 siihen on lisäy alkuperäisen funkion kuvaaja. Kuvaaja on piirrey välille 5; 5. f() S () 5π 3π π π 3π 5π 5π 3π π π 3π 5π Kuva 8. Osasumma S. Kuva 9. Funkio ja osasumma S. Kuvassa 9 näyää silä, eä osasumma korvaa melko hyvin funkion kohissa, joissa se on jakuva. Funkiolla f on hyppäysepäjakuvuuskoha k C ; k ; ; ; : : : Niissä oispuoleise raja-arvo ova f C 3:; f C 6:73: Niien keskiarvo on likimain 9:87. Tarkasellaanlähemminepäjakuvuuskohaa, ja piirreään funkion ja osasumman kuvaajia välillä ; 4.SeuraavissaneljässäkuvassaonCmerkki piseessä.; a/, a 9:87.Sarjanosasummalähesyväsiä. a f() S () a f() S 5 () 3 π 4 3 π 4 Kuva. Funkio ja osasumma S. Kuva. Funkio ja osasumma S 5. a f() S () a f() S () 3 π 4 3 π 4 Kuva. Funkio ja osasumma S. Kuva 3. Funkio ja osasumma S.

24 .5 Pari esimerkkiä MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me / 4 4 Eriyisesi kuvassa 3 on selväsi ouoa "uinaa" epäjakuvuuskohassa, vaikka osasumman ermien lukumäärä on jo niin suuri, eä luulisi sen olevan jo melkohyväapproksimoinaanlähöfunkioa. Tää ilmiöä arkasellaan lähemmin kappaleessa Gibbsin ilmiö. Esimerkki.6. Määrieään Fourier-sarja -jaksoiselle funkiolle f,jokaonmäärielyyh- älöillä f ; kun ˇˇˇˇ <; f C f : f() 5π 3π π π 3π 5π Kuva 4. Funkion f kuvaaja välilllä 5; 5. Funkio f on parillinen ja jakuva. Kuvaajassa on kärje kohissa Jakso T ja aajuus! T. k C ; k ; ; ; : : : Kerroin a Z ˇ : Kerroin (n ) a n Z cos n Z cos n 4 n n: Kerroin b n Z sin n : ƒ parion Fourier-sarja fo 3 C X 4 n cos n : n n Kuvassa 5 sarjan osasumman kuvaaja on piirrey välillä 5; 5.Senvieressäjaallaon arkenneu ilannea välille ; 4,joanähään,kuinkahyvinsarjanosasummamukauuva ääriarvokohiin. Verrauna eelliseen esimerkkiin sarjan osasumma ova hyvin pian lähellä funkioa, lukuunoamaa kärkiä.

25 .5 Pari esimerkkiä MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me / 4 5 f() S 5 () f() S () 5 5 π 4 Kuva 5. Funkio ja osasumma S 5. Kuva 6. Funkio ja osasumma S. f() S 3 () f() S () π 4 π 4 Kuva 7. Funkio ja osasumma S 3. Kuva 8. Funkio ja osasumma S. Esimerkki.7. Laskeaan esimerkin.5 keroime verailun vuoksi kompleksilukujen avulla eli kaavalla a n C jb n T Z CT Vakioermi a laskeaan kuen eellä. Siis, kun n a n C jb n Z ˇ n n C e jn f e jn! : C jn ejn C jn e jn C jn 3 e jn! C jn! jn 4 jn 4 n n; j n n C C 3 jn jn jn C! C 3 jn jn

26 .6 Lineaarisuus MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me / 4 6 josa saaaan keroime a n 4 n n ; bn n n:.5. Fourier-sarjan hyöynäminen summan laskemisessa Fourier-sarjan ieeään suppenevan piseiäin. Yleensä ieeään myös arvo, miä kohi sarja suppenee. Tällöin voiaan laskea ieyjen sarjojen summia. Esimerkki.8. Esimerkiksi eellä saaiin ulos 4 X n cos n ; jj : n n Lähöfunkio oli jakuva, joen epäjakuvuuskohia ei ole.sijoieaansellaisiamuuujan arvoja välilä Œ;, eäcos n saaaan yksinkeraiseua ja saaaan uloksia X n n 4 6 X n n n sijoius ; sijoius :.6 Lineaarisuus Lause.. Olkoon T-jaksoinen funkio f lineaarikombinaaio kahesa T -jaksoisesa funkiosa g ja h, joillelöyyyfourier-sarjaeli missä c ja c ova vakioia. Tällöin f c g C c h ; O f c Og C c O h : Toisus. Olkoon Og a C X a n cos n! C b n sin n! n

27 .6 Lineaarisuus MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me / 4 7 ja Oh C X n n cos n! C ˇn sin n! : Määriellään funkiolle f Fourier-sarja laskemalla keroime A n T Z CT f cos n! T Z CT c g C c h cos n! c T Z CT g cos n! C c T Z CT h cos n! c a n C c n ja B n T Z CT f sin n! T Z CT c g C c h sin n! c T Z CT g sin n! C c T Z CT h sin n! c b n C c ˇn: Täen fo c a C c c a C c X n C c Og C c O h : X n c a n C c n cos n! C c b n C c ˇn sin n! a n cos n! C b n sin n! C c C c X n cos n! C ˇn sin n! n Esimerkki.9. Jaksollinen kaniaalo on funkio f,jokaonmäärielyyhälöillä f signum ; f C f : kun ˇˇˇˇ <; π π Kuva 9. Funkion f kuvaaja välillä 3; 3,kunhyppykohajäeäänarvoa.

28 .7 Sarjan suppeneminen MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me /4 8 Sen Fourier-sarja on O f 4 X n n sin.n / : Muueaan kaniaaloa seuraavanlaiseksi g C signum ; kun ˇˇˇˇ <; g C g : π π Kuva 3. Funkion g kuvaaja välillä 3; 3,kunhyppykohajäeäänarvoa. Funkion g Fourier-sarja on muooa Og C O f C X n n sin.n / :.7 Sarjan suppeneminen Kun funkio f oeuaa irichle n eho, Fourier-sarjan keroimien raja-arvo a C X n a n cos n! C b n sin n! ja lim a n lim n! n! T lim b n lim n! n! T Z T Z T f./cos.n!/ f./sin.n!/ : Toisus perusuu siihen, eä kun n kasvaa rajaa, sini ja kosini värähelevä kiihkeäsi välillä Œ;.Pina-alaasynyyyhäpaljonsymmerisesi-akselin molemmille puolille. Kuvassa 3 on sinisellä piirreynä yksi esimerkki. Tarkempi oisusohieaan.

29 .7 Sarjan suppeneminen MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me /4 9 cos( 4 ) π π Kuva 3. Funkioien g W g./ cos.4/ ja g W g./ kuvaaja välillä ;. Näin ollen sarjan yleinen ermi lim n! a n cos n! C b n sin n! ; mikä on välämäön eho yleensäkin sarjan suppenemiselle. Seeikuienkaanakaasuppenemisa. Sen oisus (jälleen) ohieaan, mua koeeaan vähän ymmärää siihen liiyviä asioia..7. Gibbsin ilmiö Epäjakuvuuskohassa, jossa sarjakehielmän arvo lähesyy oispuoleisen raja-arvojen keskiarvoa, apahuu osasummissa ouoa liioielua. Tää ilmiöä kusuaan Gibbsin ilmiöksi Josiah Willar Gibbs (839-93).Gibbsoliamerikkalainenieemies;alanafysiikka,kemiajamaemaiikka. Seuraavissa kuvissa on piirrey eellä olleen esimerkin.5 epäjakuvuuskohan ympärisöön sekä funkio eä sarjan osasumma. Kirjaimella a on merkiy funkion oispuoleisen rajaarvojen keskiarvo. a f() S () a f() S () 3 π π 3.5 Kuva 3. Funkio ja osasumma S. Kuva 33. Funkio ja osasumma S. Fourier-sarjan osasumman anama arvio hypyn iseisarvon suuruuelle on noin 8% suurempi, kuin se oellisuuessa on. Tarkemma peruselu liioielulle ja sen suuruuelle eivä kuulu opinojakson vaaimuksiin. Riiää, eä ieää ilmiön olemassaolosa ja sen suuruusluokasa.

30 .7 Sarjan suppeneminen MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me /4 3 Seuraavassa kappaleessa, joka ei kuulu kurssin vaaimuksiin, on hieman avau, minkälaisesa maemaaisesa käsieesä on kyse. Kiinnosuneilleieoksi,eä liioielu (noin 9%ylös ja alas ) muoosuu arkemmin seuraavasi. Lukua Z sin : kusuaan Wilbraham-Gibbsin vakioksi. MerkiäänsiäkirjaimellaG. Mapleuneesenyhiselmänä Si.Tarkasellaanepäjakuvuuskohanlähelläosasumman S N a C N X n a n cos n! C b n sin n! raja-arvoja seuraavasi. Merkiään epäjakuvuuskohassa oispuoleisen raja-arvojen erousa f C f : Tällöin (oisus ohieaan) lim S f C N N! C f lim S N C T f C C G ; N! N lim S N T f G ; N! N ; missä G G : Siis "SE" noin 9%/: Gibbsin ilmiön korjaamiseksi voiaan ehä korjausliikkeiä esimerkkinä -approksimaaio, jossa sarjan osasumman ermeihin lisäään ylimääräinen ineksisä n riipppuva kerroin. Uusi funkio g W g a N C X n a n cos n! C b n sin n! ; missä n n sin n N ;n ; ; : : : ; N: n N Funkion g kuvaaja värähelee epäjakuvuuskohan ympärillä vaimeammin kuin oikean osasumman S N.Ohieaansenkinperuselu.LisääieoalöyyyGooglella, kun hakusanana on "sigma approximaion".

31 .7 Sarjan suppeneminen MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me / *Tasainen suppeneminen Tarkasellaan suppenemisa ieyllä välillä I.Sanoaan,eäfunkiojonof n suppenee piseiäin kohi funkioa f,josjokaisellavälini arvolla x oeuuu lim f n x f x : n! Tällöin muuujan arvo x on kiinniey ja sen jälkeen n kasvaa rajaa. Tämä ei kuienkaan akaa siä, eä suppeneminen sujuu "kilisi". Esimerkki.. Kasoaan esimerkkinä funkiojonoa eli jono on muooa f n x nx x n; x ; ; n ; ; 3; : : : x x ;x x ;3x x 3;:::;nx x n;::: Kun kiinnieään muuujan arvo x a ; I,niinkyseessäonlukujono a a ;a a ;3a a 3;:::;na a n;::: Jos a on nolla ai yksi, niin jono on nollajono. Jos a ;,niinjononyleisenerminraja-arvo lim na a n na lim n n! n! a l H " " lim n! a a n ln a : Siis funkiojono suppenee piseiäin kohi vakiofunkioa f W f x.piirreäänkuviafunkiojonon jäsenisä eri ineksin n arvoilla. Kuvassa 34 on funkioien f ;f 3 ;f 5 ;f 7 ;f 9 kuvaaja ja sen vieressä oikealla kuvassa on f 5 ;f ;f 5.Jokuvakeroneva,eeiprosessieene"kilisi" kohi vakioa nolla..3.3 f f 3 f 5 f 7 f Kuva 34. Funkiojonon jäsenien kuvaajia. Kuva 35. Funkiojonon jäsenien kuvaajia. Kuvisa näkyy, eä viiva lähesyvä -akselia, mua lähellä origoa apahuu jyrkkä nousu ylöspäin. Lukijalla varmaankin herää kiinnosus ukia funkioien maksimiarvon raja-arvoa ineksin n kasvaessa rajaa. Maksimiarvo löyyy erivaaan nollakohasa. erivaaa on f n x n x n n x x n n x n x nx :

32 .8 Funkion jakaminen, sini- ja kosinisarja MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me / 4 3 Sen nollakoha ova ja nc,joisajälkimmäinenonesimämmemaksimikoha.maksimiarvo f n n C n n nc! n C n C n C e : ; kun n!: Yleisesi piseiäin suppenemisa vahvempi suppeneminenonasainen suppeneminen. Sanoaan, eä funkiojono f n suppenee asaisesi kohi funkioa f välillä I,jos ˇ lim ˇfn x f x ˇˇ ; sup n! xi missä sup arkoiaa pieninä ylärajaa (supremum ). Eellä olevassa esimerkissä eho ei oeuunu, joen se ei ollu asaisesi xi suppeneva. Gibbsin ilmiössä on samankalaisesa ilaneesa kysymys. Sarjanosasummasuppenevapiseiäin, mua osasumma eivä suppene asaisesi..8 Funkion jakaminen, sini- ja kosinisarja Oleeaan, eä funkio f on määrielynä vain äärelliselle välille ; T ja sille arviaan Fouriersarja. Sarjaa varen arviaan jaksollinen funkio. Tällöin löyyy hei kolme yksinkeraisa rakaisua (muiakin löyyy).. Tulkiaan funkio f yhen jakson määriäväksi funkioksi ja ehään siiä kopioimalla jaksollinen funkio g.tällöinuuellafunkiolla on jaksona T.Viereisessäkuvassaonpiirrey punaisella alkuperäinen funkion palanen, joa on kopioiu sellaisenaan oikealle ja vasemmalle. T Kuva 36. Jako.. Funkioa voiaan myös jakaa parillisesi, jolloin määriellään g ( f ; ; T ; f ; T; ; g C T g : T T T Kuva 37. Parillinen jako. Jaksona on T.Alkuperäinenpalanen(punainen)onkopioiuvasemmallemuoosaen parillisen funkion välille T; T,jonkajälkeenyhiselmääonkopioiuvasemmallejaoikealle.

33 .8 Funkion jakaminen, sini- ja kosinisarja MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me / 4 33 Tällöin sen sarjakehielmässä keroime b n ja sarja on muooa fo a C X n a n cos n! : Sarjan ermeissä esiinyy vain kosini ai vakio ( cos ), misä syysä siä sanoaan funkion kosinisarjaksi. 3. Vasaavasi jako pariomasi arkoiaa funkioa g, jokaonmäärielyyhälöillä 8 g ˆ< f ; ; T ; ; ; ˆ: f ; T; ; g C T g : T T T Kuva 38. Parion jako. Jaksona on T.Alkuperäinenpalanen(punainen)onkopioiuvasemmallemuoosaen parioman funkion välille T; T,jonkajälkeenyhiselmääonkopioiuvasemmallejaoikealle. Kun f on jakeu pariomaksi ai se on alunperin jaksollinen parion funkio, niin sen sarjakehielmässä keroime a n.tällöinsarjaonmuooa ja siä sanoaan funkion sinisarjaksi. O f X b n sin n! n Kasoaan esimerkin valossa näien eroja. Esimerkki.. Jos arviaan vain suoran y päkää välillä ; ja sille Fourier-sarjaa, niin on kolme yksinkeraisa vaihoehoa rakenaa jaksollinen funkio, jossa on osana arviava suoranpalanen.. Suoranpalasen jakeen Fourier-sarja on g ; < < ; Og X sin n : n n π π π π π π π π g() S 5 () Kuva 39. Jaksollinen funkio g. Kuva 4. Funkio g ja osasumma S 5.

34 .8 Funkion jakaminen, sini- ja kosinisarja MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me / Suoranpalasen parillisen jakeen h jj; <<; h C h ; Fourier-sarja on Oh C X./ n n n cos n (Kosinisarja). π π π π π π π π h() S 5 () Kuva 4. Jaksollinen funkio h. Kuva 4. Funkio h ja osasumma S Suoranpalasen parioman jakeen Fourier-sarja on r ; <<; r C r ; Or X n sin n n n (Sinisarja). r() S 5 () π π π π π π π π Kuva 43. Jaksollinen funkio r. Kuva 44. Funkio h ja osasumma S 5. Kysymys: Miksi Or on sinisarja, mua Og ei ole? Verraaan vielä näien kolmen vaihoehon eroja ja arkenneaan piirususväliä välille ;, koska jakee eivä varsinaisesi kiinnosa. g() S 5 () h() S 3 () r() S 5 () π π Kuva 45. Osasumma O h W S 3. Kuva 46. Osasumma Og W S 5 ja Or W S 5.

35 .9 Sarjan erivoini ja inegroini ermeiäin MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me / 4 35 Kuvassa 45 osasumma oaa aika hyvin suoran muoon. Pääepiseissä on pienä heioa. Kuvassa 46 osasummien kuvaaja värähelevä enemmän vaikkakin ermien lukumäärä on suurempi. Kuvissa esiinyvä osasumma ova arkalleen seuraava Og W S 5 sin sin 4 3 sin 6 4 sin 8 5 sin ; Oh W S 3 4 cos 4 9 cos 3 ; Or W S 5 sin sin C 3 sin 3 4 sin 4 C 5 sin 5 : Kysymys: Mikä seliää sen, eä O h näyää näisä soveluvimmila ähän käyöön?.9 Sarjan erivoini ja inegroini ermeiäin Poenssisarjan, jonka summa suppenemisvälillä on f,erivoinijainegroiniermeiäin uoaa sarjan, joka suppenee kohi funkion f erivaaaa ai inegraalifunkioa (inegroimisvakio määrieävä erikseen) avoimella suppenemisvälillä. Välin pääepisee on arkiseava erikseen. Fourier-sarjoilla ämä ei ole yhä yksinkeraisa. Vaikka funkiossa f olisi hyppykohia, niin sen määräy inegraali I Z a f on jakuva funkio. Toisaala vaikka funkio olisi jakuva, niinsenerivaaaeisiävälämää ole. Siksi ei ole hämmäsyävää, eä erivoinia oennäköisemmin inegoini ermeiäin uoaa uuen Fourier-sarjan. Tässä kappaleessa esieään kaksi lausea, mua niien oisukse ohieaan. Lause.3. irichle n eho oeuavan jaksollisen funkion f Fourier-sarja voiaan inegroia ermeiäin. Tuloksena saaava sarja suppenee kohi f :n inegraalifunkioa. Huomauus. Ensinnäkin inegraalifunkioia on ääreön määrä. Ne eroava oisisaan inegroimisvakion verran. Toiseksi inegroinnin uloksena saau sarja ei välämää ole Fourier-sarja. Esimerkki.. Kasoaan esimerkin avulla miä ämä arkoiaa. Esimerkissä. olleen jakeun funkion g g ; kun <; g C g

36 .9 Sarjan erivoini ja inegroini ermeiäin MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me / 4 36 Fourier-sarja on Og X sin n : n Kun inegroiaan sarja ermeiäin, saaaan uloksena sarja Z X sin n! n C X cos n C C: n n Oleaen, eä sarja suppenee kohi funkion g inegraalifunkioa saaaan ulos C X cos n C C: n n n Inegroinivakio laskeaan valisemalla, jokin hyvä muuujan arvo välilä ;.Valiaanässä ilaneessa. Sijoieaanseyhälöön X n n C C n eli C X n n 6.kaso esim. :8/: Termi a ei kuulu Fourier-sarjaaan, joen inegroinnin uloksena saau sarja ei ole Fourier-sarja. Järjesellään ermejä siirämällä kyseinen ermi vasemmalle. Jäljelle jäävä sarja fo C X cos n n on jaksollisen funkion f n f ; f C f kun <; Fourier-sarja. (Tarkisa ulos laskemalla funkion f Fourier-sarjan ermi a n ja b n määrielmän mukaisesi.) Lause.4. irichle n eho oeuavan jaksollisen funkion f Fourier-sarja voiaan erivoia ermeiäin. Tuloksena saau sarja suppenee kohi funkion f erivaaaa, jos ja vain jos funkio f on jakuva kaikkialla ja sen erivaaalle löyyy Fourier-sarja. Huomauus. Jos f oeuaa irichle n eho, niin sille löyyy Fourier-sarja.

37 .9 Sarjan erivoini ja inegroini ermeiäin MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me / 4 37 Esimerkki.3. Esimerkissä. ollu parillisesi jakeu funkio h h jj; kun <; h C h on jakuva kaikkialla. Kuvaajassa on kärkiä, joien kohalla funkio ei ole erivoiuva. Muualla h on erivoiuva. Näin ollen erivaaa on h ( ; kun n < < n C ; ; kun n <<n;n Z: Se on selväsikin jaksollinen kaniaalo, joka oeuaa irichle n eho, joen sille löyyy sarjakehielmä. Funkion h Fourier-sarja on Oh C X n 4 n cos.n / ja sen erivoini ermeiäin uoaa sarjan X 4 n n n sin n 4 X n sin.n / n ; mikä on kaniaallon sarjakehielmä kuen kuuluukin. Esimerkki.4. Esimerkissä. ollu pariomasi jakeu funkio r r ; kun <; r C r ei ole jakuva kaikkialla. Sen erivaaa r ; k ; jolle löyyy Fourier-sarja b r. Jossiäesiäänerivaaasarjankaua,niinhuonosikäy; nimiäin... Funkion r Fourier-sarja on Or X n sin n n ja sen erivoini ermeiäin uoaa sarjan X nn cos n X n cos n ; n n n n joka ei suppene. (Piirrä sen osasummien kuvaajia!)

38 . Sarjan kolmas esiysmuoo MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me / Sarjan kolmas esiysmuoo Tähän mennessä on käyey kaha muooa, joka on helppo muunaa oiseksi. Ny haeaan se kolmas hyväksi havaiu esiysmuoo. Kompleksise keroime oeuava ja ˇ ˇcnˇˇ q an C b n ˇˇcnˇˇ arg c n arg cn : Merkiään vaihekulmaa arg c n kirjaimella n.valiaansevälilä ; (ei oea monikäsieisyyä mukaan). Vaihekulman ollessa valiaan ilaneen mukaan oinen. Kompleksiluvu voiaan esiää muoossa ja O f c C c n ˇˇcnˇˇej n ja c n ˇˇcnˇˇej n c C X c n e jn! C c n e jn! n X ˇ ˇcnˇˇ n!c e j n n!c C e j n n c C X ˇ ˇcnˇˇ cos.n! C n /: n Johannossa esieiin, eä sarja oli ajaelu siniaalojen summana. Kosiniaalo on muuen sama kuin siniaalo, mua niillä on vaihe-eroa eli cos sin sin : Jakeaan ämän kosiniaallon kanssa eikä vaihea siä hisorian mukaisesi siniaaloon. Keräään vielä kolme käyökelpoisa esiysmuooa Fourier-sarjalle missä O f a C X X n c C n c n e jn! a n cos n! C b n sin n! X A n cos.n! C n /; n c n a n b n j; c n a n Cb n j; A n ˇˇcnˇˇ q a n C b n ; n arg c n :

39 . Jaksollisen funkion spekri MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me / 4 39 Esimerkki.5. Esiään Fourier-sarja funkiolle s,jokaonmäärielyyhälöillä. s ( ; < < ; << s C s π π π π 3π Kuva 47. Funkion s kuvaaja välillä ; 4. Sen sijaan, eä läheäisiin rakenamaan sarjaa laskemalla keroime, huomaaan, eä s Cjj r C h ; <<; missä r ja h ova esimerkissä. määrielly funkio, joien Fourier-sarja ova jo ollee esillä. Näin ollen Os Or C h O 4 C X./ n cos n C X n sin n : n n n Sarja voiaan laskea yheen ermeineen n Os 4 C X n n cos n n sin n! : n n Sarjan eksponenimuoo on Os 4 C X n n Toinen reaalinen esiysmuoo sarjalle on n n! C j e jn : n n ƒ c n Os 4 C X ˇˇcnˇˇ cos.n C n /: n Sen äsmällinen esiys ei kuienkaan käsipelissä näyä mukavala. Lukijaakin varmasi houkuelisi oaa ieokoneohjelmiso esille ja pyöriää keroimia ja vaihekulmia numeerisesi :::Ja niin me ehään, mua ensin vähän lisää asiaa.. Jaksollisen funkion spekri Kun funkio esieään Fourier-sarjakehielmänä, niin sarjan ermien eli harmonisen komponenien aajuue ova perusaajuuen! T

40 . Jaksollisen funkion spekri MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me / 4 4 monikeroja. Perusaajuus! on ajaelu posiiiviseksi ja negaiivise aajuue n! vasaava maemaaisessa mallissa negaiivisia ineksejä. Jokaisa aajuua vasaa oma ampliui A n ˇˇcnˇˇ ja vaiheermi n arg c n.näinollennekaikkisisäläväieoafunkiosa. Näiä esieään ampliui- ja vaihespekrien avulla. Spekri arkoiaa suureen jakauumisa komponeneihin aajuuen suheen. Ampliuispekri on lukujono ja vaihespekri on lukujono :::;ˇˇc3ˇˇ; ˇˇcˇˇ; ˇˇcˇˇ; ˇˇcˇˇ; ˇˇcˇˇ; ˇˇcˇˇ; ˇˇc3ˇˇ;::: :::; 3 ; ; ; ; ; ; 3 ;:::: Spekri monesi piirreään kuvina (rasilla/pallolla/ilman) seuraavasi c n ω 7ω 5ω 3ω ω ω 3ω 5ω 7ω Kuva 48. Ampliuispekri. arg(c n ) π 7ω 5ω 3ω ω ω ω 3ω 5ω 7ω π Kuva 49. Vaihespekri. Tarviava ieo saaaan symmerian vuoksi jo koorinaaison oikeala puolela. Reaalimaailmassa ei ole negaiivisia aajuuksia (paisi, jos josain syysä niin mallinneaan). Tässä niiä käyeään maemaiikan helpoamiseksi. Kun oellinen ampliui A n ˇˇcnˇˇ, niinnäyää kuin se olisi jakauunu asan plus- ja miinuspuolelle. Esimerkki.6. Olkoon perusaajuus!. Signaalinspekrionlaskeujaesieyseuraavissa kuvissa. Oleeaan, eä c n ; n 4; 5; : : :

41 . Parsevalin lause MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me /4 4 c n 3 arg(c n ). ω 3ω.5 ω ω 3ω ω ω 3ω ω 3ω π Kuva 5. Ampliuispekri. Kuva 5. Vaihespekri. Tällöin fo C 3 cos. / C cos. C / C cos.3 C :5/ C 6 cos. / C cos.3 C :5/ : 5. Parsevalin lause Esimerkiksi signaalin f,jonkajaksoont, keskimääräiseksi ehoksi sanoaan lukua T Z CT f : Joissain yheyksissä saaeaan arvia keskimääräisä arvoa kahen eri funkion ulolle. Kasoaan seuraavaksi, mien nämä arvo saaaan laskeua Fourier-sarjojen avulla. Lause.5 (Tulolause). Olkoo f ja g jaksollisia funkioia, joilla on sama jakso T ja joien Fourier-sarja ova muooa O f X n c n e jn! ja Og X n n e jn! missä! T : Tällöin T Z CT f g X n c n n X n c n n:

42 . Parsevalin lause MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me /4 4 Toisus. Funkio g ja Og ova samoja lukuunoamaa yksiäisiä epäjakuvuuskohia, joen inegroiaessa ieyn välin yli arvo ova sama eli oinen voiaan korvaa oisella. Oleaen, eä ermeiäin inegroini on salliua saaaan ulos T Z CT f g T T Z CT Z CT X n X n T f Og f Z CT c n n X n n e jn!! f e jn! X n c n n: Kun ylläolevassa summassa vaiheaan summausineksi n k, niinhuomaaan,eäsumma on aivan sama yleisen ermin ollessa muooa c n n.tämäonvarmasikinselvääjoihansiksi, eä f :n ja g:n järjesyksellä ulossa ei ole merkiysä.! n Lause.6 (Parsevalin lause). Olkoon f jaksollinen funkio, jonka jakso on T ja jonka Fourier-sarja on fo X c n e jn! ; missä! T : Tällöin T n Z CT f Kaavaa kusuaan myös Parsevalin yhälöksi. X n ˇ ˇcnˇˇ : Toisus. Tämä on suora seuraus Tulolauseesa. Koska c n a nb n j,saaaanulos ˇ ˇcnˇˇ ˇˇcnˇˇ cn c n a n b n j ja eelleen koska b,parsevalinyhälöonmuooa a n C b n j a n C b n 4 T Z CT f a 4 C X n an C b n :

43 . Parsevalin lause MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me /4 43 Esimerkki.7. :::Jakeaan esimerkkiä.5, jossa -jaksoiselle funkiolle signaalille s s ( ; < < ; << s C s esiiin Fourier-sarjan eksponenimuoo Os 4 C X n n n n! C j e jn : n n ƒ c n Signaalin s ehospekriksi sanoaan hajoelmaa, jossa on ermi ˇˇcnˇˇ esiey aajuusasossa. c n ω Kuva 5. Signaalin s (perusaajuus on ) ehospekri välillä Œ;. Termi ˇˇcnˇˇ lähesyvä nollaa ineksin n (eli harmonisen komponenien aajuuen n! )kasvaessa rajaa. Jos laskeaan kuvan kolme suurina arvoa yheen saaaan ulos X n ˇ ˇcnˇˇ :394964: Signaalin s keskimääräinen eho on Z s Z ˇ : : Voiaan sanoa, eä ensimmäisen harmonisen komponenin ja vakioermin osalle keskiyy noin : :6 : prosenia signaalin ehosa. Jos oeaan kolme harmonisa komponeniavakioerminlisäksi saaaan proseniosuueksi 3X n3 ˇ ˇcnˇˇ : : : :344:

44 3iskreeiFourier-muunnos(FT) MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me / iskreeifourier-muunnos(ft) 3. iskreein Fourier-muunnoksen määrielmä Useimmien insinöörillä ei ole käyössään unneua funkioa, joka mallinaisi ilmiöä, vaan lukujono, joka on uloksena miauksesa. Tällöin arviaan iskreei muunnos. Jaksolliselle funkiolle f,jokaoeuiirichle neho,löyyifourier-sarjajase eksponenimuoossa on fo X X c C c n e jn! C c n e jn! c n e jn! ; missä n Z CT n c n f e jn! ; n ; ; ; 3; : : : T Keroime c n, n ; ; ; : : : muoosava lukujonon, joa kusuaan äärelliseksi Fouriermuunnokseksi.SanaäärellinenviiaaäärelliseenjaksoonT.TavallisessaFourier-muunnoksessa (lisää seuraavassa luvussa) jaksollisuua ei vaaia s. jakso on ääreön. Insinöörillä ei välämää ole ieoa jaksollisuuesakaan. Tällöin äyyy vain oimia kuen ilaneessa, jossa funkio oli määriely äärelliselle välille, jokaonseaika,mikäkuluumiaukseen. Välin ulkopuolella oleeaan funkion jakuvan jaksollisena. Tarkasellaan väliä ; T ja jaeaan se asavälisesi N :ään osaväliin välin piuus T N alarajana siis ova ; T N ; T N T N ;:::; : N,joien Funkion f arvo oleeaan unneuiksi (ooksena saau) näissä osavälien pääepiseissä.funkio oleeiin jaksolliseksi, joen f f T.Teoriassa c n T Z T f e jn! : Muooseaan inegraalisa Riemannin summa, jossa funkion arvo laskeaan osavälin alkupiseessä ( k )javälinpiuus T N eli NX k f k e jn! k NX k f kt N Merkiään keroimelle c n saaua likiarvoa symbolilla n eli c n n T NX k f kt N e jn!kt N T N N e jn!kt N NX k f kt N T N : e jn!kt N : Yksinkeraiseaan vielä merkinöjä, niin eä merkiään oleeuja, ooksena saauja, funkion arvoja jonona kt g k f ;k ; ; ; : : : ; N N

45 3. iskreein Fourier-muunnoksen määrielmä MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me / 4 45 ja korvaaan! luvulla T,jolloin n N NX k g k e jnk N ; n ; ; ; : : : ; N : Merkiään summaa G n NX k joka eellä vielä jaeiin kokonaisluvulla N. g k e jnk N ; n ; ; ; : : : ; N ; Näin ooksena saaua alkuperäisä lukujonoa g ;g ;g ;:::;g N gk N k vasaa lukujono G ;G ;G ;:::;G N Gn N n ; joa kusuaan iskreeiksi Fourier-muunnokseksi (FT). Kun G-jonon jäsene jaeaan jonon jäsenen lukumäärällä N,saaaanarvioFourier-sarjankeroimillec n. Huomauus. Joukko ja lukujono ova eri asia.käyeään kuienkin joukkojen merkinää (aalosulu) mukavuussyisä. Kun joukon merkinnöin puhuaan jonosa, niin jono on joukko, jossa järjesys säilyy ja jäsenien lukumäärä ei muuu. Huomauus. Termi e jnk N e n k j N on mielenkiinoinen. Palauellaan peruskursseila mieleen kompleksilukujen juurenoo; nimiäin yhälön z N rakaisu ova z k;k e j N ; ; : : : ; N : Juure sijaiseva kompleksiasossa yksikköympyrän kehällä asaisin välein. Juurien summa voiaan laskea geomerisen summan (suheermi q )kaavalla NX k e j N ƒ q N k X k Vasaavasi (erona vain n eksponenissa) G-jonon ermi e n j N q k qn q : k;k ; ; ; : : : ; N käy läpi asaisin välein läpi kompleksiason yksikköympyrän piseiä.e jn e j /.

46 3. iskreein Fourier-muunnoksen määrielmä MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me / 4 46 Kasoaan seuraavaksi, kuinka jonosa G n N n saaaan jono g k N k.summa NX n G n e jnk N Ineksi m ja k oeuava epäyhälön NX n NX m NX m N X m NX g m g m e jnm N n NX g m n e ˇˇm kˇˇ N ; e jnk N e jn N.mk/ j.mk/ N n: joen kerroin.mk/ N on kokonaisluku vain jos m k.kunm k, niinsummaavaermi NX g m n N n X e j N.mk/ gk Kun m k, niinsummaavaermi NX g m n Näin ollen saaaan ulos n g k N. n e j N ƒ.mk/ q N gm q q : q NX eli n G n e jnk N NX m NX g m n e j N.mk/ n C CCNgk C CC Ng k ; N NX n G n e jnk N gk ; jolla määriellään iskreein Fourier-muunnoksen kääneismuunnoksena IFT oimiva jono. Yheenveona vielä G n NX g k e jnk N ; n ; ; ; : : : ; N FT k ja g k N NX n G n e jnk N ; k ; ; ; : : : ; N : IFT

47 3. iskreein Fourier-muunnoksen määrielmä MAT-45 FOURIER N MENETELMÄT / Me / 4 47 Muunnokse eivä ole yksikäsieisiä. Tässä eksissä on valiu samanlaise kuin Malabissa ja Jamesin kirjassa. Erona voi olla esimerkiksi jakaminen luvulla N oisin päin ai symmerinen normalisoini ja G n p NX g k e jnk N ; n ; ; ; : : : ; N N k g k p NX G n e jnk N ; k ; ; ; : : : ; N : N n Kannaaa arkisaa ohjelmisoisa ja oheismaeriaaleisa, miä muunnoskaavoja ne käyävä. Olennaisa on, eä ne oimiva parina. Niien sovellukse myöskin muuuva hieman riippuen siiä millä luvulla summia kerroaan. Esimerkki 3.. Olkoon f C ; <4: Funkion oleeaan olevan jaksollinen, jaksona T 4. Oeaan funkiosa ooksia N 4 kpl eli yhen välein. Tällöin jono gk 3 k g ;g ;g ;g 3 ; 3; 5; 7 : Laskeaan sille iskreei Fourier-muunnos ermeiäin G G G G 3 3X k 3X k 3X k 3X k g k e g k e g k e g k e j 4 j 4 j 4 3 j 4 k k k k 3X g k C 3 C 5 C 7. C 5/ C.3 C 7/ 6 k 3X k g k j 3j 5C7j.5/j.37/ 4C4j k 3X k g k 3 C 5 7. C 5/.3 C 7/ 4 k 3X k g k j C3j 57j.5/Cj.37/ 44j: k Siis jono 3 n n 4 G ; 4 G ; 4 G ; 4 G 3 4; C j; ; j : Verraaan seuraavaksi jonon jäseniä niihin arvoihin, miä ne approksimoieli lähöfunkionfouriersarjan eksponeniesiyksen keroimiin c k.fourier-sarjaon fo 5 8 X sin n X 4j X 5 C n n ejn 4j C n ejn : Näin ollen jono n n n 3 cn c n ;c ;c ;c 3 5; 4j ; j ; 4j : 3