12.3 KAHDEN RAON DIFFRAKTIO. Yhden kapean raon aiheuttama amplitudi tarkastelupisteeseen P laskettiin integraalilla E = ò,
|
|
- Timo Palo
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 9 1.3 KAHDN RAON DIFFRAKTIO Yhden kapean raon aiheuttama amplitudi tarkastelupisteeseen P laskettiin integraalilla = ò, + / L ikssinq R e ds r - / missä s on alkion ds etäisyys raon keskipisteestä, ja kulma q tarkastelupisteen P suuntakulma keskiakselista. Kahden raon kuvio lasketaan samalla integraalilla käyttäen vain eri integrointirajoja. Tilannetta tarkastellaan seuraavassa kuvassa: Kapeat raot ovat nytkin leveydeltään ja rakojen vastinpisteiden välimatka on a. Amplitudi-integraali menee muotoon -(1/ )( a- ) (1/ )( a+ ) ì Lï ü isk sinq isk sinq ï R = í e ds + e dsý r ïî- (1/)( a+ ) (1/ )( a-) ïþ ò ò. Integrointi ja rajojen sijoittaminen johtaa tulokseen R L 1 = r ik sinq { (1/) i( - a + k ) sin q (1/ ) i( - a - k ) sin q (1/) ia ( + e e e k ) sin q e (1/) ia ( - k ) sin q} Otetaan seuraavaksi käyttöön merkinnät: 1 = k q (1.3.1) sin
2 91 koskien rakojen leveyttä ja samanlainen a 1 = ka q (1.3.) sin koskien rakojen välimatkaa a. Näillä saadaan (1/ ) i( - a+ ) ksinq =- ia + i, (1/ ) i( -a- ) ksinq =-ia - i, (1/ ) i( a+ ) ksinq = ia + i, (1/ ) i( a- ) ksinq = ia - i, jolloin integraalin kaarisulkuosa menee muotoon - ia+ i -ia- i ia+ i ia-i { } = { e - e + e -e } { e ia ( e i - e i - ) e ia ( e i - e i )} ia -ia i -i = = ( e + e )( e -e ) = (cos a)(isin ). Amplitudille saamme lopulta R = r L L sin (isin )(cos a) = cosa, i r ja irradianssille tulee æ L sin I e c ö æ e c öæ ö æ ö = ç R = ç ç r ç è ø è øè ø è ø mikä menee muotoon missä cos I I æsin ö = I ç 4 cos è ø æe cöæ ö L = ç ç r è øè ø. a, a, (1.3.3) Tässä I on yhden kapean raon maksimi-irradianssi yhtälön (1.1.4) mukaan. Kahden raon kuviossa siis keskimaksimin irradianssi on 4-kertainen yhteen rakoon verrattuna.
3 9 Aikaisemmin interferenssin yhteydessä (Youngin koe) osoitimme, että kahden periaatteessa äärettömän ohuen raon interferenssikuvio on (ks. yhtälö 1..1) épa ù I = 4Icos ê sinq = 4Icos a ë l ú. û Yhden raon diffraktiossa puolestaan (yhtälö 1.1.4) Kahden raon diffraktiokuvio I I æsin ö = I ç è ø. æsin ö = I ç 4 cos è ø muodostuu siten kahden raon interferenssin irradianssin ja yhden raon diffraktion irradianssin tulona: a
4 93 Suureet a ja ovat kulmamitoissa ja ne kytkeytyvät toisiinsa kuten (katso ja 1.3.) a a a a = Þ =. (1.3.4) Puuttuvat kertaluvut Kahden raon diffraktiokuviossa havaitaan ns. interferenssin puuttuva kertaluku, kun diffraktion minimi sattuu interferenssimaksimin kohdalle. Diffraktion minimit saadaan, kun = mp Þ sinq = ml, m =± 1, ±, K (1.3.5) Interferenssin maksimit saadaan, kun a = pp Þ asinq = pl, p =, ± 1, ±, K (1.3.6) Puuttuva kertaluku saadaan, kun molemmat ehdot ovat samanaikaisesti voimassa. Jakamalla yhtälöt puolittain tulee a p =, m josta (ks. myös 1.3.4) p p a= tai a =. (1.3.7) m m Kun rakojen välimatka on jokin raon leveyden monikerta, tämä ehto toteutuu eksaktisti. simerkiksi, jos a= niin p= m. Puuttuvat interferenssin kertaluvut ovat siten p =±, ± 4, K dellisen sivun diffraktiokuviosta puuttuu selvästi interferenssimaksimit p =± 6, ± 1, K. Kuvio vastaa siis tilannnetta a = 6.
5 94 simerkki: Kahden raon systeemissä rakojen vastinpisteiden välimatka on 4 yksittäisen raon leveys. Hahmottele æsin ö ç è ø ja cos a samaan kuvaan :n funktiona ja piirrä sitten yhdistetty kokonaiskuva (1.3.3). Mitkä interferenssimaksimit puuttuvat? Ratkaisu: Tässä a = 4Þ a = 4, joten ( sin / ) :n maksimi, kun cos (4 ) æsin ö 4I cos (4 ) I = ç è ø = ja minimit, kun = mp :n maksimit, kun 4 = pp ja minimit "puolessa välissä". Puuttuvatmaksimit: a= 4 Þ p/ m= 4Þ p= 4m, eli p = 4( ± 1, ±, ± 3, K) =± 4, ± 8, ± 1, K
6 95 Seuraavassa kuvassa on vielä verrattu yhden raon kuviota (kuva c) kahden raon kuvioon (kuva d). Molemmissa raon leveys on sama. 1.4 MONN RAON DIFFRAKTIO Kuvassa alla on monen raon systeemi. Rakojen vastinpisteiden välimatka on a ja jokaisen raon leveys on. Tässäkin lähdetään liikkeelle yhden raon amplitudiintegraalista L ikssinq R = e ds r ò johon rakosysteemi rakennetaan valitsemalla integrointirajat sopivasti. Monen raon systeemissä voidaan edelleen hyödyntää aikaisemmin laskettua kahden raon systeeemiä, kun rakoja tarkastellaan pareittain. Yksi pari muodostuu aina keskikohdan suhteen symmetrisesti sijaitsevista raoista.
7 96 1. Pari: Aikaisemman kahden raon tarkastelun perusteella -(1/)( a- ) (1/)( a+ ) ì Lï ü isk sinq isk sinq ï R1 = í e ds e ds r ò + ò ý ïî- (1/ )( a+ ) (1/ )( a-) ïþ. Pari: ì L sin = cosa. r -(1/ )(3 a- ) (1/ )(3 a+ ) L ï isk sinq isk sinq R = í e ds e ds r ò + ò -(1/)(3 a+ ) (1/)(3 a-) ïî Kysymyksessä on täsmälleen sama integraali kuin 1. parin tapauksessa, kunhan korvataan a 3a eli a 3a. Saadaan siis 3. Pari: jne. R R3 L sin = cos3a r L sin = cos5a r Kun rakoja on N kpl (ts. rakopareja on N / kpl, siis N on tässä vaiheessa vielä parillinen) saadaan parien kokonaisvaikutukseksi R L sin = [cos a + cos3 a + cos5 a + L + cos( N - 1) a ]. r ix Koska Re( e ) = cos x, hakasulkuosa saadaan muotoon a ( 3 a 5 a e e e e ( - 1) a) i i i i N [ ] = Re L +, missä nyt kaarisulkujen sisään muodostuu geometrinen sarja. Yleisessä tapauksessa geometrisen sarjan summa on n q -1 Sn = a q - 1, üï ý ïþ
8 97 missä a on ensimmäinen termi ja q peräkkäisten termien suhde. i Nyt a= e a i ja q= e a. Termien lkm on n= N/, joten ia N ( e ) / æ -1ö Nia ia æ e -1 ö [ ] = Re e = Re ç ia ia -ia e -1 ç e -e. è ø è ø ulerin kaavan avulla saadaan æ(cos Na - 1) + isin Na ö [ ] = Reç è isina ø Siten lopultakin ja irradianssiksi tulee missä I sisältää kaikki vakiot. æi(cos Na -1) -sin Na ö sin Na = Reç =. è -sina ø sina I R L sin sin Na = r sina æsin ö æsin Na ö = I ç ç è ø è sina ø, (1.4.1) Vaikka tulos johdettiin parillisella N : n arvolla se pätee myös parittomilla. Tämä voidaan osoittaa valitsemalla rakosysteemin keskikohdaksi keskimmäisen raon keskikohta ja toistamalla edellisten sivujen laskut (ei tehdä sitä nyt). Kun N = 1, tulos (1.4.1) antaa suoraan yhden raon tuloksen. Kun N =, saadaan kahden raon tulos, sillä sin a/sina = cosa, jne. Tarkastellaan tarkemmin irradianssin (1.4.1) tekijää æsin Na ö ç è sina ø, joka kuvaa rakojen välistä interferenssiä. Interferenssikuvion ääriarvot saadaan kirjoittamalla
9 98 d æsin Na ö æsin Na öæ Ncos Nasina -cosasin Na ö ç = ç ç =. da è sina ø è sina øè sin a ø Minimit saadaan ensimmäisestä tekijästä asettamalla sinna =, kunhan huolehditaan, että sina ¹. Siis Na = pp, josta p a = p, missä (1.4.) N p =± 1, ±, ± 3, K, mutta p¹, ± N, ± N, K Päämaksimit saadaan edellisestä, kun p=, ± N, ± N, K eli a = mp, missä (1.4.3) p m = =, ± 1, ±, ± 3, K N Tällöin tekijä on epämääräinen (muotoa /), mutta L Hospital in säännöllä saadaan raja-arvot sin Na Ncos Na lim = lim =± N. a mp sina a mp cosa Päämaksimeiden irradianssi on siis verrannollinen N : een. Sivumaksimit saadaan derivaatan toisesta tekijästä kirjoittamalla osoittaja nollaksi, ts. Ncos Nasina - cosasin Na = eli Ntana = tan Na. (1.4.4) Tämä toteutuu ensinnäkin, kun a =, ± p, ± p, K eli päämaksimien kohdalla. Varsinaiset sivumaksimit saadaan muilla arvoilla. Hyvä approksimaatio tässäkin on olettaa, että sivumaksimit sijaitsevat minimien puolessa välissä, eli paikoissa 1 p a = ( p + ). N
10 99 simerkki: Piirrä monen raon systeemin tuottaman Fraunhoferin diffraktiokuvion irradianssijakauma, kun rakojen lukumäärä on 8 ja rakojen vastinpisteiden välimatka on 4 yksittäisen raon leveys. Ratkaisu (mathematica-ohjelmalla)
11 3 simerkki: Monen raon systeemissä N = 8 ja a = 4 (ks. edellä). Laske keskimmäisen päämaksimin viereisen ensimmäisen sivumaksimin irradianssi suhteessa päämaksimin irradianssiin a) approksimoimalla sivumaksimit minimien puoleen väliin ) tarkasti Ratkaisu: a) Minimit a = pp /8, missä p = (),1,,3,4,5,6,7,(8),9,1, K Tässä siis p =,8,16, Keivät kelpaa. nsimmäinen sivumaksimi on minimien p =1 ja puolessa välissä, ts 1 æ p p ö p a = ç 1 + = 1,5 =,1875 p. è 8 8ø 8 Ja sitten lasketaan: æsin( a/ 4) ö æsin8a ö Isivu = Iç I,9979 3, 3983 ( a/ 4) ç = è ø è sina ø = 3,1647 I æsin() ö æsin(8 ) ö I = I ç ç = I 1 64 = 64 I () è ø è sin ø joten Isivu 3,1647 = =,557» 5,% I 64 keski keski ) Tarkasti sivumaksimin paikka (siis a ) saadaan ratkaisemalla transkendenttinen yhtälö 8tana = tan8a numeerisesti. Iteroinnin lähtöarvoksi kannattaa valita approksimaatio a»,1875p : Kohtaa a tarkempi arvo on siis a»,1797p. Lasketaan:
12 31 æsin( a/ 4) ö æsin8a ö Isivu = Iç I, ,3681 ( a/ 4) ç = è ø è sina ø = 3,33857 I I = 64 I (kuten a-kohdassa) keski Joten Isivu 3,33857 = =,5165» 5,% Ikeski DIFFRAKTIOHILA dellä tarkastelimme diffraktiota monessa raossa. Käytännön laite, joka soveltaa johdettua teoriaa on diffraktiohila. Monen raon diffraktiokuvio muodostuu itse asiassa interferenssimaksimeista (ks. keskimmäinen kuva esimerkissä sivulla 99), jotka vähitellen vaimenevat diffraktion vaikutuksesta (ks. ylin kuva esimerkissä) kun siirrytään kauemmaksi kuvion keskeltä. Kun rakojen lukumäärä N kasvaa, käy niin, että sivumaksimit pienenevät käytännössä olemattomiin ja irradianssi keskittyy kokonaan päämaksimeille. Päämaksimit saadaan yhtälöstä (1.4.3) josta p a = asinq = mp, l asinq = ml, m =, ± 1, ±, K (1.5.1) Tämä on ns. hilayhtälö, joka siis kertoo maksimien suunnat. Yhtälössä vakio a (rakojen välimatka) on ns. hilavakio ja kokonaisluku m ns. kertaluku.
13 3 Monokromaattinen valo Kun hilaan saapuu monokromaattista valoa, valon irradianssi jakautuu eri kertalukuihin viereisen kuvan mukaisesti. ri kertalukujen suuntakulmat voidaan laskea ratkaisemalla ne hilayhtälöstä (1.5.1): q = arcsin[ m l/ a]. Viereiseen kuvaan on merkitty ensimmäisen kertaluvun suuntakulma q 1. ri kertalukujen irradianssit saadaan puolestaan soveltamalla monen raon diffraktion teoriaa, joka on esitetty edellisessä kappaleessa. simerkki: Hilaan ohjataan HeNe-laserin valoa, jonka aallonpituus on 63,8 nm. Hilassa on 6 rakoa millimetrillä ja rakojen leveys on 1/4 peräkkäisten rakojen välimatkasta. a) Mihin kertalukuihin ja suuntiin laservalon irradianssi jakautuu? ) Laske kertalukujen suhteelliset irradianssit Ratkaisu: Hilavakio a = mm = 1 m 6 6 a) Lasketaan suuntakulmaa sin qm = ml/ a= m,37968 m= sinq = Þ q = m=± 1 sinq 1 =±,37968 Þ q1 =±,3 m=± sinq =±,75936 Þ q =± 49,4 m=± 3 sinq 3 =± 1,1394 > 1 ei enää mahdollinen Irradianssi jakautuu kolmeen kertalukuun (, ± 1 ja ± ) ) Kertaluvut ovat interferenssin maksimeita, joille pätee (1.4.3): a = mp. Interferenssimaksimit ovat sinänsä kaikki yhtä voimakkaita, mutta niitä vaimentaa diffraktiotekijä (sin / ) sitä enemmän mitä suurempiin kertalukuihin mennään (esimerkki
14 33 sivulla 99). Koska nyt a= 4 eli = a/4 = mp /4, suhteelliset irradianssit saadaan laskemalla [sin( mp / 4) /( mp / 4)]. Lasketaan: m = [sin()/()] = 1 m =±1 [sin( p / 4)/( p / 4)] =,811 m =± [sin( p / 4) /( p / 4)] =,45 i-monokromaattinen valo Myös ei-monokromaattinen valo jakautuu kertalukuihin. Lisäksi jokaiseen kertalukuun muodostuu spektri, ts. eri aallonpituudet jakautuvat kertaluvun sisällä hieman eri suuntiin. simerkki: Hilassa on 4 rakoa millimetrillä (4 uraa/mm). Laske näkyvän valon (4 nm 7 nm) kulmajakautuma a) toisessa kertaluvussa ) kolmannessa kertaluvussa Ratkaisu: Hilavakio a = mm = 1 m Aallonpituuskaista: l 1 = 4 1 m l = m a) m = (lasketaan vain positiivisia kertalukuja) q1 = arcsin( l1/ a) = 18,7 q = arcsin( l / a) = 34,1, kulmajakauma D q = 15,4 ) m = 3 q1 = arcsin(3 l1/ a) = 8,7 q = arcsin(3 l / a) = 57,1, kulmajakauma D q = 8,4
15 34 Tärkeä havainto: Mitä suurempi kertaluku sitä leveämpi kulmajakauma. Hilan erotuskyky Tarkastellaan tilannetta, jossa hilaan saapuva valo koostuu kahdesta aallonpituudesta l ja l+ dl, missä dl on pieni. Syntyy kaksi monen raon diffraktiokuviota (1.4.1) Hilan erotuskyvyllä tarkoitetaan hilan kykyä tuottaa lähellä toisiaan olevista aallonpituuksista erilliset piikit tietyssä kertaluvussa. Oleellinen kysymys siis on: Milloin päämaksimit vielä erotetaan toisistaan? sim. kuvassa yllä nollannen kertaluvun piikit eivät erotu, mutta jo ensimmäisessä kertaluvussa ne näyttäisivät erottuvan. Toisessa ja kolmannessa erottuminen on jo selvää.
16 35 Rayleigh'n, kriteeri: Piikit erotetaan, kun l+ dl:n maksimi osuu l :n 1. minimin kohdalle. Tämä tilanne on esitetty kuvassa alla. Hilayhtälö (ks. myös 1.4.3) p asinq = ml = l N antaa päämaksimit, kun p=, ± N, ± N, K ja niitä seuraavat 1. minimit saadaan seuraavilla arvoilla eli p + 1. Kirjoitetaan: l+ dl:n maksimit: p asin q = m( l+ dl) = ( l+ dl) N l:n minimit: p + 1 asinq = l N Näistä saadaan p p+ 1 p 1 ( l+ dl) = l = l+ l Þ mdl = l/ N N N N N ja erotuskyvyksi voidaan kirjoittaa R = l ( Dl) min = mn, (1.5.) missä ( D l) min = dl on minimi aallonpituusero, joka Rayleigh n kriteerin mukaan on erotettavissa. Hilan, jossa on N rakoa, erotuskyky on verrannollinen diffraktion kertalukuun. Toisaalta vakiokertaluvussa erotuskyky paranee rakojen määrän kasvaessa.
17 36 simerkki: Hilan on kyettävä erottamaan ensimmäisessä kertaluvussa vähintään,1 nm:n aallonpituuseroja koko näkyvällä alueella (4-7 nm). Hilan leveyden on oltava cm. a) Laske vaadittava rakojen lukumäärä. ) Laske mihin kulmaväliin,1 nm:n aallonpituusero avautuu aallonpituudella 5 nm ensimmäisessä kertaluvussa. c) Mitä matkaa tämä kulmaero vastaa varjostimella, joka on sijoitettu 1 m:n etäisyydelle hilasta? Ratkaisu: a) m = 1 ja ( D l) min =,1 nm. rotuskyvystä (1.5.) tulee 1 l l N = = = 7. m ( Dl) min,1 nm Tiukin vaatimus on 7 nm:n alueella, joten sitä käytettiin yllä. Tällä arvolla 4 nm:n alueella ( D l) min = 4nm/ 7 =,6nm, joten hilat toimii varmasti vaaditusti. - ) Hilavakio: a = 1 m» 857,1 nm 7 Hilayhtälöstä ( m = 1) asinq = l derivoimalla (l :n suhteen) dq acosq = 1Þ d l Dl Dl Dl Dl D q = = = = acosq a 1-sin q a 1 -( l/ a) a -l Tässä: D l =,1nm, l = 5nm ja a = 857,1 nm ÞD q = 35,6μrad c) varjostimella väli on D q 1m =,36 mm.
YHDEN RAON DIFFRAKTIO. Laskuharjoitustehtävä harjoituksessa 11.
YHDEN RAON DIFFRAKTIO Laskuharjoitustehtävä harjoituksessa 11. Vanha tenttitehtävä Kapean raon Fraunhoferin diffraktiokuvion irradianssijakauma saadaan lausekkeesta æsin b ö I = I0 ç b è ø, missä b = 1
Lisätiedot12 DIFFRAKTIO 12.1 FRAUNHOFERIN DIFFRAKTIO KAPEASSA RAOSSA
73 DFFAKTO Optisella alueella valon aallonpituus on hyvin lyhyt ( 5 cm). Valoa voidaan hyvin kuvata geometrisen optiikan approksimaatiolla ( ), jossa siis valoenergia etenee säteinä tai aaltorintamina.
LisätiedotVALON DIFFRAKTIO YHDESSÄ JA KAHDESSA RAOSSA
1 VALON DIFFRAKTIO YHDESSÄ JA KAHDESSA RAOSSA MOTIVOINTI Tutustutaan laservalon käyttöön aaltooptiikan mittauksissa. Tutkitaan laservalon käyttäytymistä yhden ja kahden kapean raon takana. Määritetään
LisätiedotDiffraktio. Luku 36. PowerPoint Lectures for University Physics, Twelfth Edition Hugh D. Young and Roger A. Freedman. Lectures by James Pazun
Luku 36 Diffraktio PowerPoint Lectures for University Physics, Twelfth Edition Hugh D. Young and Roger A. Freedman Lectures by James Pazun Johdanto Ääni kuuluu helposti nurkan taakse Myös valo voi taipua
Lisätiedotja siis myös n= nk ( ). Tällöin dk l l
Tästä havaitaan, että jos nopeus ei riipu aallonpituudesta, ts. ei ole dispersiota, vg = v p. Tilanne on tällainen esimerkiksi tyhjiössä, missä vg = v p = c. Dispersiivisessä väliaineessa v p = c/ n, missä
LisätiedotFYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 HILA JA PRISMA
FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT HILA JA PRISMA MIKKO LAINE 9. toukokuuta 05. Johdanto Tässä työssä muodostamme lasiprisman dispersiokäyrän ja määritämme työn tekijän silmän herkkyysrajan punaiselle valolle. Lisäksi
Lisätiedot267 Rengasprofiilin muoto, eli transmittanssin (11.4.2) muoto d :n funktiona, riippuu siten ensisijaisesti heijastuskertoimen r arvosta:
67 Rengasprofiiin muoto, ei transmittanssin (.4.) muoto d :n funktiona, riippuu siten ensisijaisesti heijastuskertoimen r arvosta: Kuvan käyrät vastaavat siis esimerkiksi interferenssikuvion keskikohdassa
LisätiedotYOUNGIN KOE. varmistaa, että tuottaa vaihe-eron
9 10. YOUNGIN KOE Interferenssin perusteella voidaan todeta, onko jollakin ilmiöllä aaltoluonne. Historiallisesti ajatellen Youngin (ja myös Fresnelin) kokeet 1800-luvun alussa olivat hyvin merkittäviä.
Lisätiedot7 VALON DIFFRAKTIO JA POLARISAATIO
7 VALON DIFFRAKTIO JA POLARISAATIO 7.1 Valon luonne Valon mallit: Hiukkasmalli: Valo koostuu pienistä hiukkasista Aaltomalli: Valo on aaltoliikettä Aaltohiukkasdualismi: Valoa voidaan tarkastella sekä
LisätiedotTyön tavoitteita. 1 Johdanto
FYSP103 / K2 FRAUNHOFERIN DIFFRAKTIO Työn tavoitteita havainnollistaa valon taipumiseen (diffraktio) ja interferenssiin liittyviä ilmiöitä erilaisissa rakosysteemeissä sekä syventää kyseisten ilmiöiden
LisätiedotVALON DIFFRAKTIO JA POLARISAATIO
1 VALON DIFFRAKTIO JA POLARISAATIO 1 Työn tavoitteet Tässä työssä tutkit valoa aaltoliikkeenä. Tutustut valon taipumiseen eli diffraktioon, joka havaitaan esimerkiksi, kun monokromaattinen valo kulkee
Lisätiedotd sinα Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila
Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila Optisessa hilassa on hyvin suuri määrä yhdensuuntaisia, toisistaan yhtä kaukana olevia
LisätiedotOPTIIKAN TYÖ. Fysiikka 1-2:n/Fysiikan peruskurssien harjoitustyöt (mukautettu lukion oppimäärään) Nimi: Päivämäärä: Assistentti:
Fysiikka 1-2:n/Fysiikan peruskurssien harjoitustyöt (mukautettu lukion oppimäärään) Nimi: Päivämäärä: Assistentti: OPTIIKAN TYÖ Vastaa ensin seuraaviin ennakkotietoja mittaaviin kysymyksiin. 1. Mitä tarkoittavat
LisätiedotSPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA
FYSA234/K2 SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA 1 Johdanto Kvanttimekaniikan mukaan atomi voi olla vain tietyissä, määrätyissä energiatiloissa. Perustilassa, jossa atomi normaalisti on, energia on pienimmillään.
LisätiedotHILA JA PRISMA. 1. Työn tavoitteet. 2. Työn teoriaa
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt. Työn tavoitteet Tässä työssä tutustut hilaan ja prismaan, joiden avulla valo voidaan hajottaa eri väreiksi eli eri aallonpituuksiksi.
LisätiedotFYSA230/2 SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA
FYSA230/2 SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA 1 JOHDANTO Työssä tutustutaan hila- ja prismaspektrometreihin, joiden avulla tutkitaan valon taipumista hilassa ja taittumista prismassa. Samalla tutustutaan eräiden
LisätiedotELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)
ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V Luentoviikko 12 Tavoitteet Diffraktio Fresnel- ja Fraunhofer-diffraktio Diffraktio yhdestä raosta Yhden raon kuvion intensiteetti Monen
LisätiedotDiplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2014 Insinöörivalinnan fysiikan koe 28.5.2014, malliratkaisut
A1 Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 014 Insinöörivalinnan fysiikan koe 8.5.014, malliratkaisut Kalle ja Anne tekivät fysikaalisia kokeita liukkaalla vaakasuoralla jäällä.
LisätiedotTURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1 TEKNIIKKA FYSIIKAN LABORATORIO V
TURUN AMMATTIKORKAKOUU TYÖOHJ 1 3A. asertyö 1. Työn tarkoitus Työssä perehdytään interferenssi-ilmiöön tutkimalla sitä erilaisissa tilanteissa laservalon avulla. 2. Teoriaa aser on lyhennys sanoista ight
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
LisätiedotKoska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾.
24.11.2006 1. Oletetaan, että kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on ݵ
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
Lisätiedotinfoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
LisätiedotMatematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
LisätiedotFysiikan laboratoriotyöt 2, osa 2 ATOMIN SPEKTRI
Fysiikan laitos, kevät 2009 Fysiikan laboratoriotyöt 2, osa 2 ATOMIN SPEKTRI Valon diffraktioon perustuvia hilaspektrometrejä käytetään yleisesti valon aallonpituuden määrittämiseen. Tätä prosessia kutsutaan
Lisätiedot2 paq / l = p, josta suuntakulma q voidaan ratkaista
33 Esimerkki: Youngin kokeessa rakojen välimatka on 0, mm ja varjostin on m:n etäisyydellä. Valon aallonpituus on 658 nm. a) Missä kulmassa rakojen keskeltä katsottuna näkyy keskimaksimin viereinen minimi?
LisätiedotSalausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai
Lisätiedot7.4 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI
67 7.4 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI Optisen systeemin peruspisteet saadaan systeemimatriisista. Käytetään seuraavan kuvan merkintöjä: Kuvassa sisäänmenotaso on ensimmäisen linssin ensimmäisessä pinnassa eli
LisätiedotFysiikan valintakoe klo 9-12
Fysiikan valintakoe 2.5.208 klo 9-2. Koripalloilija heittää vapaaheiton. Hän lähettää pallon liikkeelle korkeudelta,83 m alkuvauhdilla 7,53 m/s kulmassa 43,2 vaakatason yläpuolella. Pallon lähtöpisteen
LisätiedotFYSA2031/K2 SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA
FYSA2031/K2 SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA 1 Johdanto Kvanttimekaniikan mukaan atomi voi olla vain tietyissä, määrätyissä energiatiloissa. Perustilassa, jossa atomi normaalisti on, energia on pienimmillään.
Lisätiedot11.1 MICHELSONIN INTERFEROMETRI
47 11 INTERFEROMETRIA Edellisessä kappaleessa tarkastelimme interferenssiä. Instrumentti, joka on suunniteltu interferenssikuvion muodostamiseen ja sen tutkimiseen (mittaamiseen) on ns. interferometri.
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
LisätiedotBraggin ehdon mukaan hilatasojen etäisyys (111)-tasoille on
763343A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 2 Kevät 2018 1. Tehtävä: Kuparin kiderakenne on pkk. Käyttäen säteilyä, jonka aallonpituus on 0.1537 nm, havaittiin kuparin (111-heijastus sirontakulman θ arvolla
LisätiedotNäihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8,
TKK, Matematiikan laitos Gripenberg/Harhanen Mat-1.432 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 4, (A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä ) 12 16.2.2007, viikko
Lisätiedot35. Kahden aallon interferenssi
35. Kahden aallon interferenssi 35.1 Interferenssi ja koherentit lähteet Superpositioperiaate: Aaltojen resultanttisiirtymä (missä tahansa pisteessä millä tahansa hetkellä) on yksittäisiin aaltoliikkeisiin
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista
LisätiedotKuva 1. Kaaviokuva mittausjärjestelystä. Laserista L tuleva valonsäde kulkee rakojärjestelmän R läpi ja muodostaa diffraktiokuvion varjostimelle V.
VALON DIFFRAKTIO 1 Johdanto Tässä laboratoriotyössä havainnollistetaan diffraktiota ja interferenssiä valaisemalla kapeita rakoja laservalolla ja tarkastelemalla rakojen takana olevalle varjostimelle syntyviä
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
LisätiedotLinssin kuvausyhtälö (ns. ohuen linssin approksimaatio):
Fysiikan laboratorio Työohje 1 / 5 Optiikan perusteet 1. Työn tavoite Työssä tutkitaan valon kulkua linssisysteemeissä ja perehdytään interferenssi-ilmiöön. Tavoitteena on saada perustietämys optiikasta
LisätiedotErotusrajaksi on määritelty maksimin puoliarvoleveys:
69 Erotusrajaksi on määritety maksimin puoiarvoeveys: ' Tarvittava juovien väinen etäisyys on siis 4 ( D d) min = d c =. (.4.5) F Tätä vaihe-eroa vastaava aaonpituusero saadaan seuraavasti: p d = D, missä
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
LisätiedotJos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden
1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotViikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi
Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
LisätiedotTURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/7 TIETOTEKNIIKKA / SALO FYSIIKAN LABORATORIO V1.5 12.2007
TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/7 Työ 24AB S4h. LASERTYÖ JA VALON SPEKTRIN ANALYSOINTI TYÖN TARKOITUS LASERTYÖ Lasereita käytetään esimerkiksi tiedonsiirrossa, analysoinnissa ja terapiassa ja työstämisessä.
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotA = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotIntegroimistekniikkaa Integraalifunktio
. Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri
LisätiedotFunktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 26..208 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)
ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2017 Tämä luentomateriaali on pääosin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa Luentoviikko 12 Tavoitteet Diffraktio Fresnel- ja Fraunhofer-diffraktio
Lisätiedota) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.
Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotVapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotH7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
LisätiedotAnna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotOsa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot
Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto
Lisätiedot24AB. Lasertutkimus ja spektrianalyysi
TURUN AMMATTIKORKAKOULU TYÖOHJ 1/7 24AB. Lasertutkimus ja spektrianalyysi 1. Työn tarkoitus Lasereilla on runsaasti käytännön sovelluksia esimerkiksi tiedonsiirrossa, aineiden analysoinnissa ja työstämisessä
LisätiedotA B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1
Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
Lisätiedot{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +
9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +
Lisätiedot3 Derivoituvan funktion ominaisuuksia
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 3 Derivoituvan funktion ominaisuuksia 31 l Hospitalin sääntö 1 Määritä 2 5 4 2 + 2 7 12 + 11, e 1 2, (c) tan sin 2 Määritä 2012 3 704 + 2 6 30 13 10 + 7, 3 2017
LisätiedotFourier-analyysi, I/19-20, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7
MS-C14, Fourier-analyysi, I/19- Fourier-analyysi, I/19-, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7 Harjoitustehtävä 7.1. Hetkellä t R olkoon s(t) 1 + cos(4πt) + sin(6πt). Laske tämän 1-periodisen signaalin s Fourier-kertoimet
LisätiedotOtosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko
ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen
LisätiedotELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)
ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2018 Tämä luentomateriaali on suurelta osin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa Luentoviikko 11 Interferenssi (YF 35) Interferenssi ja koherentit
Lisätiedotf(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim
Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
Lisätiedot1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
Lisätiedotπ yd cos 2 b) Osoita, että lauseke intensiteetille sirontakulman funktiona on I
PHYS-A140 Aineen rakenne C34 1. Monokromaattinen valo kulkee kaden vierekkäisen raon läpi. Rakojen takana olevalla varjostimella avaitaan valoisia ja mustia juovia. Rakojen välimatka d on samaa suuruusluokkaa
Lisätiedot9 VALOAALTOJEN SUPERPOSITIO
09 9 VALOAALTOJEN SUPERPOSITIO Edellisissä kappaleissa olemme tutkineet valon heijastumista peileissä ja taittumista linsseissä geometrisen optiikan approksimaation avulla Approksimaatiossa valon aaltoluonnetta
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotKaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
LisätiedotVastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ.0.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
Lisätiedot2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää
LisätiedotLukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 5. joulukuuta 2016 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujonot Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia
LisätiedotMat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko
LisätiedotÄärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims
75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
Lisätiedot