DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 4, ratkaisuehdotukset

Transkriptio

1 D-00 ineaarise järjeselmä Harjoius 4, rakaisuehdoukse nnen kuin mennään ämän harjoiuksen aihepiireihin, käydään läpi yksi huomionarvoinen juu. Piirianalyysin juuri suorianee opiskelija saaava ihmeellä, miksi sähköpiiriehäviä rakaisaan ällä kurssilla differeniaaliyhälöiden avulla. Miksi vaihosähköehäviä ei hoidea osoiinlaskennalla, kuen ehiin Piirianalyysissä? Vasaus ihmeelyyn on siinä, eä osoiinlaskennalla pysyään aklaamaan vain jakuvuusilan (seady-sae) vaihosähköapaukse, joissa sähkösuuree ova sinimuooisia. Jos vaihosähköpiirissä jänniee ja virra muuuva ei-sinimuooisesi, ai jos arkasellaan eriyyppisiä hekellisiä häiriöilaneia (ransieneja), osoiinlaskenaa ei voida käyää. Tällöin rakaisu on aina haeava differeniaaliyhälöiden avulla. Adjekiivi homogeeninen ja epähomogeeninen arkoiava differeniaaliyhälöiden apauksessa samaa asiaa kuin differenssiyhälöiden apauksessakin. Homogeenisessa differeniaaliyhälössä kaikki nollasa poikkeava ermi sisälävä rakaisavan muuujan. pähomogeenisessa differeniaaliyhälössä on sen sijaan vähinään yksi nollasa poikkeava ermi, joka ei sisällä rakaisavaa muuujaa. [ylimääräisä yleisieoa harjoiusenpiäjille] Differeniaaliyhälöillä kuvaaan jakuva-aikaisen järjeselmien oiminaa. Jakuvaaikainen arkoiaa siä, eä minkä ahansa kahden ajanheken välisä löyyy aina ääreön määrä ajanhekiä. Aika on ny siis jakuva suure eikä muuu diskreeein aikavälein kuen diskreeiaikaisissa järjeselmissä. Tarkasellaan differeniaaliyhälöä 4 4 y y e, jossa symbolin yläpuolella oleva pise arkoiaa aikaderivaaaa. Kun haeaan yhälölle rakaisua, esiään sellaisa ajasa riippuvaa ermiä y, joka oeuaa kyseisen yhälön. Haeaan siis sellaisa y():ä, jolle päee: "Kun y derivoidaan kahdesi ajan suheen, summaaan siihen nelosella kerrou keraalleen ajan suheen derivoiu y, ja lisäään näihin vielä nelosella kerrou y, saadaan ulokseksi e." Yllä oleva differeniaaliyhälö on epähomogeeninen, koska siinä on nollasa poikkeava ermi, joka ei sisällä rakaisavaa muuujaa y. Kyseinen epähomogeenisuusermi on ässä apauksessa e. pähomogeenisen differeniaaliyhälön rakaiseminen noudaaa aina samaa sapluunaa:. Rakaise ensin homogeeninen differeniaaliyhälö. Jos alkuperäinen yhälö on epähomogeeninen, ee siiä homogeeninen merkisemällä epähomogeenisuusermi nollaksi. Homogeeninen differeniaaliyhälö rakeaa aina sien, eä rakaisavan muuujan paikalle sijoieaan yrie e r. Homogeenisen yhälön rakaisu y() (h) saadaan pääelyä karakerisisen yhälön juurisa.. Hae sien epähomogeenisen differeniaaliyhälön yksiyisrakaisu y() (p) epähomogeenisuusermiin perusuvalla "sivisyneellä arvauksella". 3. pähomogeenisen differeniaaliyhälön yleinen rakaisu y() on summa homogeenisen yhälön rakaisusa ja yksiyisrakaisusa: y() = y() (h) + y() (p).

2 4. opuksi yleisen rakaisun unemaoman vakioermi rakaisaan alkuehojen avulla, jos alkuehdo on anneu ai ne pysyään pääelemään. Huomaa, eä jos alkuperäinen differeniaaliyhälö on homogeeninen, yllä olevan lisan koha kaksi jää kokonaan pois. Tällöin yksiyisrakaisua ei siis arvia ollenkaan, ja homogeenisen yhälön rakaisu on suoraan differeniaaliyhälön yleinen rakaisu. Peruselu sille, miksi homogeeninen differeniaaliyhälö rakeaa aina yrieellä e r, on siinä, eä kyseinen ermi pysyy derivoiaessa muodolaan muuumaomana. li suomeksi sanouna uo arkoiaa joakin sellaisa, eä ermin e r muuoksen (eli derivaaan) arvo on aina vakio keraa ermin isensä arvo. [/ylimääräisä yleisieoa harjoiusenpiäjille] Tehävä Rakaisaan ensin homogeeninen yhälö (HY): d y d r dy y 0 y() = e r d 4 r 0 KY 4 r e re e 0 :e r 4 r r r 4/4 r. HY:n rakaisun pysyy aina pääelemään karakerisisen yhälön (KY) juurisa. Jos KY:n juure olisiva ollee reaalisia ja yksinkeraisia (eli oiseen aseen KY:llä olisi kaksi reaalijuura a ja b), ällöin HY:n rakaisu olisi ollu h a b y Ce Ce. Ny KY:llä on kuienkin moninkerainen reaalijuuri, sillä KY on oisa asea, mua sille löyyi vain yksi juuri. Juuri on siis ässä apauksessa kaksinkerainen, jolloin HY:n rakaisu on h y C e C e. Huomaa, eä KY:n juuren moninkeraisuus lisää :ä kasvavassa poenssissa homogeenisen yhälön rakaisun keroimeksi. Käyännössä ämä arkoiaa siä, eä jos KY olisi ollu kolmaa asea, ja jos sille olisi sili löyyny vain yksi juuri a, homogeenisen yhälön rakaisu olisi kolminkeraisen juuren apauksessa h a a a y Ce Ce Ce. Jos KY:n juure ova kompleksilukuja, homogeeisen yhälön rakaisuun ulee sini- ja kosiniermejä. Täsä aiheesa jaeaan opiskelijoille lisäieoa harjoiuksissa. Haeaan sien epähomogeenisen differeniaaliyhälön oeuava yksiyisrakaisu. Koska epähomogeenisuusermi on, eli ensimmäisen aseen polynomi :sä,

3 kokeillaan yksiyisrakaisuksi mahdollisimman yleisä muooa olevaa ensimmäisen aseen polynomia :sä, eli ermiä a + b, jossa a ja b ova vakioia: d a b d a b d ab d 4 0a a b. 4 4 Vakio a ja b saadaan rakaisua veraamalla :n keroimia ja vakioermejä eri puolilla yhälöä: a 4 b a 0 4 a8 b 3 y p 8 3. öydey ermi kelpaa yksiyisrakaisuksi, sillä a:n ja b:n uli olla vakioia, ja ne saaiin myös rakaisua vakioiksi. Toisin sanoen löydey yksiyisrakaisu oeuaa y() paikalle sijoieuna alkuperäisen epähomogeenisen differeniaaliyhälön. Täen differeniaaliyhälön yleiseksi rakaisuksi saadaan: h p y y y Ce Ce 8 3. Rakaisaan vielä vakio C ja C anneujen alkuehojen avulla. Tää varen arviaan y():n aikaderivaaan lauseke, joksi saadaan dy d Alkuehdoisa saadaan: C e C e C e y 0 Ce C0e 8030 dy Ce Ce C0e 80 d C 3. C 8 Differeniaaliyhälön rakaisu on siis y 3e 8e 8 3. Tehävä (luenomoniseen ehävä 3.5) Tällainen sähköpiireihin liiyvä kykinehävä, jossa rakaisava differeniaaliyhälö piää osaa ise muodosaa, on osoiauunu opiskelijoille vaikeaksi. Kuienkin ämänyyppisiä ehäviä on menneinä vuosina ollu lähes jokaisessa kurssin välikokeessa ja enissä, joen opiskelijoille kannaaa keroa, eä kyseessä on ärkeä asia. Tarkoius on muodosaa virran lauseke ajanhekillä 0 s. Kykin S on ällöin kiinni. Kun kykin S on kiinni, piirissä on rinnankykeyinä oikosulku (0 ) ja R. Tämän rinnankykennän kokonaisresisanssiksi R o saadaan 3

4 R o 0 R 0 R 0. Tämä siis arkoiaa siä, eä kun kykin S on kiinni, piiri näyää seuraavanlaisela. i() R S Kirjoieaan piiriä kuvaava differeniaaliyhälö Kirchhoffin jännielain avulla ( 0 s): di Ri : d di R d i. Kyseessä on epähomogeeninen differeniaaliyhälö, koska siiä löyyy nollasa poikkeva ermi (/), joka ei sisällä rakaisavaa muuujaa i(). pähomogeenisen differeniaaliyhälön rakaiseminen alkaa aina homogeenisen yhälön (HY) rakaisemisella. Tehdään siis yhälösä homogeeninen, ja rakaisaan se sijoiamalla rakaisavan muuujan paikalle e r. HY rakeaa aina ällä yrieellä, koska kyseessä on ainoa ermi, jonka muoo pysyy derivoiaessa muuumaomana: di R i 0 i() = e r r R r re e 0 : e r d R R r 0 KY r R h i De. Yllä olevassa rakaisussa KY arkoiaa karakerisisa yhälöä. Ja homogeenisen yhälön rakaisu i() (h) arkoiaa siä, eä kun löydey rakaisu sijoieaan homogeeniseen differeniaaliyhälöön, yhälösä ulee idenisesi osi, eli yhälö oeuuu. Haeaan sien alkuperäisen epähomogeenisen yhälön oeuava yksiyisrakaisu. Koska epähomogeenisuuden aiheuava ermi ei riipu ajasa (/), kokeillaan yksiyisrakaisuksi ajasa riippumaona yrieä B: R i() = B (vakio) 0 B p B i. R Kokeiliin vakioyrieä B, ja rakaisuksi saaiin ajasa riippumaon ermi /R. Siksi vakioyrie oimii ässä apauksessa yksiyisrakaisuna. Yksiyisrakaisu i() (p) arkoiaa siis siä, eä kun löydey rakaisu sijoieaan epähomogeeniseen differeniaaliyhälöön, yhälösä ulee idenisesi osi, eli yhälö oeuuu. pähomogeenisen duffereniaaliyhälön yleinen rakaisu on aina homogeenisen yhälön rakaisun ja yksiyisrakaisun summa. Rakaisua kusuaan yleiseksi, koska vakio D on vielä rakaisemaa: 4

5 R h p i i i De. R Joa yleisen rakaisun vakioermi D saadaan rakaisua, arviaan yksi alkueho. Se saadaan ehävänannon iedosa, eä piirin vira i() on vakio ennen kykimen sulkemisa. Tällöin vira kulkee vasuksen R kaua. Kirjoieaan Kirchhoffin jännielain mukainen lauseke, kun kykin S on auki: di Ri Ri. d Huomaa, eä ehävänannossa on sanou, eä piirin vira on vakio, kun kykin S on auki. Tällöin virran aikaderivaaa menee nollaksi, eikä käämin yli ole jännieä: i R R i R R. Juuri sillä hekellä, kun kykin S suljeaan, i() noudaaa vielä yllä olevaa lausekea, koska piirin vira ei voi muuua epäjakuvasi. Täen ajanhekellä = 0 s, joilloin kykin suljeaan, voidaan kirjoiaa: i R R R 0 0 De D R RR R R R R R R R R R R R R R. Differeniaaliyhälön rakaisu on i() = R R e. R R R R Yrieään vielä havainnollisaa, miä löydey rakaisu arkoiaa. Joa saadaan piirreyä rakaisusa kuvaaja, anneaan komponeneille lukuarvo. Olkoo: R = 00, R = 300, = 0.5 H, = V. 5

6 Kun kykin on auki, vira on vakioarvossa 0.03 A. Kun kykin suljeaan, piirin resisanssi pienenee, ja vira alkaa kasvaa. opula vira asaanuu arvoon 0. A. Tehävä 3 nnen kuin kykin avaaan, piiri on jakuvuusilassa, jolloin kondensaaori näkyy aukaisuna verkon haarana. Tällöin jännielähde on sarjassa vasusen R ja R sarjakykennän kanssa, jolloin piirin vira on Ohmin lain mukaisesi I R R Koska kondensaaori ja vasus R ova rinnan, niin ässä ilaneessa vasuksen R yli oleva jännie on saman kuin kondensaaorin yli oleva jännie ennen kuin kykin avaaan, s. U U C0 R R I R R R ( V ) Kun kykin on avau, jännielähde on sarjassa vasuksen R ja kondensaaorin C kanssa. Tällöin kykennän vira voidaan esiää kondensaaorin vira-jännieyhälön avulla. Jolloin Kirchhoffin jännielain mukaisesi d v( ) i( ) C d d v( ) R C v( ) d Tilannea kuvaa siis ensimmäisen keraluvun, lineaarinen, vakiokeroiminen epähomogeeninen differeniaaliyhälö. Rakaisaan normaaliin apaan ensin vasaava homogeeninen differeniaaliyhälö d v( ) R C v( ) 0 d Tekemäälä ähän uuun apaan yrie v() = e -r, saadaan karakerisiseksi yhälöksi R C r 0 r R C Karakerisisella yhälöllä on yksinkerainen reaalinen juuri, jolloin homogeenisen differeniaaliyhälön rakaisu on muooa ( h) R C v ( ) C e 6

7 Koska alkuperäisen yhälön epähomogeeninen ermi on vakio, haeaan yksiyisrakaisua vasaavassa muodossa, s. v (p) = = vakio. Sijoiamalla ämä piiriä kuvaavaan yhälöön, saadaan R C 0 Täen piiriä kuvaavan yhälön yleinen rakaisu on siis R C v( ) C e Vakio C saadaan jakuvuusilan peruseella, s v(0) = U C0. Siis v( 0) C U C 0 C U C Täen kondensaaorin yli oleva jännie on v( ) 0 5e 8.93 Tehävässä kysyiin aikaa, jolloin jännie on arvolaan.5 x U C0 eli 7.5 V. Siis 0 5e e ln ( s) Tehävä 4 Tehävänannon peruseella kykennäsä piäisi rakaisa jännie y(), kun järjeselmän sisäänmenona on lähdevira i(). nsin piää siis muodosaa differeniaaliyhälö y():n ja i():n välille. Kyseinen yhälö saadaan Kirchhoffin viralain avulla: y i ic ir Cy () R y () y () i (). RC C Muodoseu differeniaaliyhälö on epähomogeeninen, sillä siiä löyyy nollasa poikkeava ermi (i()/c), joka ei sisällä rakaisavaa muuujaa y(). pähomogeenisen differeniaaliyhälön rakaiseminen alkaa aina homogeenisen yhälön (HY) rakaisemisella, joen rakaisaan ensin HY sijoiamalla nolla epähomogeenisuusermin paikalle: y y 0 y() = e r RC r. RC re r r e 0 :e r RC r 0 KY RC Koska KY on ensimmäisä asea asea, HY:n rakaisuun ulee vain yksi ermi: 7

8 y() (h) = Ae -. Alkuperäinen yhälö on epähomogeeninen, joen haeaan seuraavaksi epähomogeenisen yhälön oeuava yksiyisrakaisu ermiin e sin()/c perusuvalla "sivisyneellä arvauksella". Koska kyseessä on sinin ja eksponeniermin ulo, kokeillaan yrieä A e - sin() + A e - cos(), jossa A ja A ova vakioia: Ae sin Ae cos Ae cos Ae sin Ae sin Ae cos e sin RC C A A AAe sin A Ae cos e sin RC RC C A A A RC C A 0 p y 000e cos. A A 000 A A 0 RC Termien A ja A pii olla vakioia, ja vakioiksi ne saaiin rakaisua, joen kokeilu ermi kelpaa yksiyisrakaisuksi. Koska sekä homogeenisen yhälön rakaisu eä yksiyisrakaisu ova ny iedossa, differeniaaliyhälön yleinen rakaisu on y() = y() (h) + y() (p) = Ae e - cos(). Vielä arviaan alkueho yleisen rakaisun vakion A rakaisemiseksi. Ulosulo y() = 0 V, kun < 0, koska ällöin i() = 0 A. Ja vaikka kondensaaorin levyjen välillä olisi jokin nollasa poikkeava jännie aikojen alussa ollukin, se olisi joka apauksessa purkauunu vasuksen R kaua. Täen saadaan: y(0) = Ae = 0 A = 000, joen kokonaisrakaisu on: y() = 000e e - cos(), 0. 8