TASOMAISET ÄÄNILÄHTEET VIRTAAVASSA VÄLIAINEESSA
|
|
- Jutta Tikkanen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 TASOAISET ÄÄNILÄHTEET VIRTAAVASSA VÄLIAINEESSA So okainn VTT Raknn- ja yhdykntatkniikka, Talotkniikka PL 84, 44 VTT JOHDANTO Goldtin [] on ittänyt lakkt aroaktiill knttärill ja nrgiarill (intnittti, nrgiatihy väliainll, joa on taattinn virta. njal [] on ittänyt vataavat lakkt aroaktiill knttärill ja aktill intnittill ykidimnioiill kntill aaltotkia. olmin lähtökohtana on linarioidt knttäyhtälöt. Koka aktit nrgiart ovat toita krtalka, i voi olla varma tällä tavoin aatjn tlotn oikllidta. Tmkin [3] on thnyt nrgiatarkatln, joa ottaan homioon trmit toin krtalkn ati, mtta ko. tarkatl on thty virtakttomall väliainll. Tää itykä orittaan nrgiatarkatl virtakllill väliainll amalla riaattlla kin Tmkinin tarkatl ja tarkatln tlotn rtlla määritllään aktit nrgiart. Tarkatl ohjat älinaariita knttäyhtälöitä toin krtalkn ati määritttyihin aroaktiiin knttäriiin. Saatavat aktit nrgiart vataavat Goldtinin ja njalin määritlmiä. okainn [4] on aimmin ittänyt taomaitn lähdtyyin lähdvoimakkkin määritlmät virtakttomaa väliaina. Kyinn työ laajnntaan tää ovllttavaki aktiiin knttiin virtakllia väliaina. Lähdvoimakkdt määritllään aroaktitn knttäridn avlla. JC-mntlmä on ylin ytmitoriaan ohjatva aktiivin äännhallinan lähtymitaa [5]. Tää itykä määritllään JC-mntlmän mkait taomait kndäärilähtt virtaavaa väliaina aktiivin mlntorjnnan tariiin. PERSYHTÄLÖT aan äilyvyylaki (jatkvyhtälö lidill on [, 3, 6] ρ d ρ d t ( ρ ρ ρ ρ, ( miä ρ on tihy, t on aika, on hikkano ja on maalähdjakaman voimakk (monoolijakama, tilavno tilavykikköä kohti ja miä kalaarinktion y Lagrangn liikkvakn aikadrivaatalla dy/dt ja Elrin liikkvakn aikadrivaatalla y/ on yhty dy/dt y/ y. Liikmäärän äilymilaki (liikyhtälö, Elrin yhtälö on [3] ( ρ ( ρ ρ F, ( 99
2 okainn TASOAISET ÄÄNILÄHTEET VIRTAAVASSA VÄLIAINEESSA miä on jännitydyadi ja F on voimalähdjakaman voimakk (diolijakama, voima ykikkötilavtta kohti. Kn lak ( krrotaan rlla ja vähnntään lakkta (, jälkimmäill lakkll aadaan vaihtohtoinn moto d ρ F ρ d t F, (3 miä Lagrangn ja Elrin liikkvakin mkaiilla aikadrivaatoilla vktorirll y on yhty dy/dt y/ y. Olttaan lidi idaalilidiki, jolloin jännitydyadi on PI, miä P on ain ja I on idnttinn dyadi. Olttaan liäki, ttä tihy ja ain voidaan jakaa taattiiin komonnttihin (ρ, P ja rtrbaatiokomonnttihin (ρ', itn, ttä << P, ρ' << ρ, ja ttä hikkano voidaan jakaa taattin virtanotn ja rtrbaatiohikkanotn. Prtrbaatioknttäkomonntit liittyvät aktiiin knttiin. Olttaan liäki, ttä maalähtt liittyvät aktiiin rtrbaatioknttiin ja ttä voimalähd iältää rtrbaatiokomonntin ja taattin gravitaatiovoiman ρg, miä g on vktorimotoinn maan vtovoiman kiihtyvyy. Olttaan, ttä rtrbaatiovoima on yörttön, jolloin n roottori häviää. Staattit komonntit yhtälöiä ( ja (3 nodattavat rtrbaatioknttin tta yhtälöitä ρ ρ, ρ P ρ g. (4 Koka rtrbaatiokntät ovat iniä, n ivät vaikta taattiiin komonnttihin. Näin olln rtrbaatioknttin länä olla taattit kntät nodattavat yhä yhtälöitä (4 ja n voidaan vähntää oi yhtälöitä ( ja (3. yö näin yntyvä rtrbaatiotihydn ja gravitaatiotrmin tlo yhtälöä (3 voidaan vähntää yhtälöarin (4 jälkimmäin lakkn nojalla. Tällöin yhtälöarin ( ja (3 tilall aadaan yhtälöari ρ ( ρ ρ ρ ( ( ρ ρ ( ρ ρ ( ( ρ ρ P. ρ ρ / (5 Äänn no määritllään lakklla ( S [ ] S ρ P/ ρ, miä S on vakiontroia. Äänn nodn "taattinn" arvo (raja-arvo rtrbaatioknttin voimakkkin lähtyä nollaa mää- P / ρ. Staattiill introoiill virtakill ja r- ritllään vataavati lakklla ( trbaatiokntill aadaan nyt P ( ρ d ρ ρ d t ρ P ρ ρ P S S d d ρ ρ t ρ ( /. (6 Nyt yhtälöari (5 voidaan ittää modoa
3 TASOAISET ÄÄNILÄHTEET VIRTAAVASSA VÄLIAINEESSA okainn [ ρ ρ ( ] ( ρ ρ ( ρ ρ ρ ( ρ ρ ( ρ ρ a, ρ / (7 miä ridn ja ρ' välinn yhty aadaan yhtälötä (6 ja rlla a on vaihtohtoit itymodot ( [ ( ] ( ( a [ ]. Introoinn ritv Q määritllään lakklla Q ( / ρ( ρ / P S Q lakklla ( / ρ( ρ / P /(ρ ja Q /(ρ. [ ] S ρ (8 ja n "taattinn" arvo Q. Äänn nodn avlla lattna nämä ovat Q. Linarioidt yhtälöt Äänn no on älinaarinn nktio tihydtä ρ (tai ainta P. Pintn rtrbaatiokntti- d ρ d ρ..., mi- n yhtydä voidaan ittää Taylorin khitlmänä modoa ( ä d ( / ( / ρ, d ( / ( / ρ... ρ ρ Yhtälön (6 avlla nähdään, ttä jo äännnodn gradintti on niin ini, ttä n voidaan ajatlla olvan rtrbaatiorlokkaa (nimmäitä tai korkamaa krtalka, niin nimmäin krtalvn arokimaationa aadaan ρ. (9 / Tällöin lakkidn (7 nimmäin krtalvn trmitä aadaan ρ Q ( ρ / ρ ( ρ / ρ ρ [ ( ( ], ( miä linarioit aroaktinn ain ja linarioit aroaktinn no ovat [] ρ, Q. ( Jo olttaan, ttä taattitn knttäridn (tihy, virtano mtokt aikan nktioina (gradintti, divrgni, roottori ovat niin iniä, ttä niidn voidaan katoa olvan rtrbaatiorlokkaa (nimmäitä tai korkamaa krtalka, niin lakkta ( voidaan äätllä rtrbaatiohikkanodn roottorin olvan toita tai korkamaa krtalka. Tällöin hikkanodn voidaan katoa olvan yörttön ja knttäyhtälöt aavat modon, ρ. ( Q
4 okainn TASOAISET ÄÄNILÄHTEET VIRTAAVASSA VÄLIAINEESSA Lakkt ( ivät ol täyin yhtnviä Jlin ja angiantn [7, 6] vataavin kana. Tämä joht iitä, ttä h ivät ol iällyttänt maalähdtrmiä liikmäärän äilymin lakiin, mikä johtaa virhlliiin lotlokiin taattin virtakn länä olla. Taoaalloilla / / ± ρ [], miä ylmää mrkkiä " " käyttään, kn taoaalto tn rrnintaan, ja almaa mrkkiä " " mlloin. Näin olln ykidimnioiilla kntillä (im. aaltotka, joilla on vain -mttja aikkakoordinaattina, ja niillä rityiti taoaalloilla aroaktit knttärt ovat ( ±, (, (3 ± miä ylmää mrkkiä " " käyttään, kn taoaalto tn oitiivin -aklin ntaan, ja almaa mrkkiä " " mlloin ja miä on ahin lk ( / / olln oitiivinn, jo virta tn oitiivin -aklin ntaan ja ngatiivinn mtoin.. Toin krtalvn yhtälöt Yhtälöari (7 voidaan ittää modoa ρ ρ ρ ρ / ρ ρ ρ [ ρ ρ ( ] ( ρ ρ ( { [ ] } ( [ ( ] (. (4 Olttaan amojn olttn olvan voimaa kin linaaritn yhtälöidn taaka,.o. taattitn knttämttjin gradintit, divrgnit ja roottorit ovat iniä (rtrbaatiorlokkaa. Käyttän yhtälöarin (4 toita yhtälöä rkriiviti, käyttän rn a vaihtohtoita motoa lakka (8 ja ottamalla homioon, ttä kn tarkatllaan trmjä toin krtalkn ati, yhty (9 on validi toin krtalvn trmiä, yhtälöaria (4 voidaan arokimoida nimmäin ja toin krtalvn trmin modoa ρ ρ ( / ρ ( Q / ρ ρ ρ [ ( ( ] ( Q, (5 miä aroaktinn ain ja aroaktinn no määritllään nyt toin krtalkn ati modoa ( ρ ρ Q ρ ρ Q, /. (6 Lakkia (6 olvia toin krtalvn trmjä tarvitaan aktin intnittin ja nrgiatihydn määrittlyiä myöhmmin.
5 TASOAISET ÄÄNILÄHTEET VIRTAAVASSA VÄLIAINEESSA okainn 3 AKSTISET ENERGIASREET Jo nrgiataaainoyhtälö voidaan ittää modoa ( ρ ε J, (7 niin iitä voidaan idntiioida kokonainrgia maaykikköä kohti ε ja nrgiavovktori J [3]. Sraavaa nrgiataaainoyhtälö ittään yllä olvaa modoa itttyä tarkoitta ilmälläitän. Tarkatl rajoitt idaalilidiin, joa on taattinn virta ja joa i ol lähtitä. Koka nrgiart ovat toita krtalka, lähtökohtana on ryhtälöt, joia toin krtalvn trmit ovat iällytttynä. Idaalilidin iäin nrgian E (maaykikköä kohdn mto aikaykiköä on lämölähtidn tta [3] d E d t ( P ρ /. (8 aan äilyvyylain ( jälkimmäitä itytä (lähtidn tta hyödyntän, ottamalla liikmäärän äilymilain (3 jälkimmäin itykn (lähtttömää idaalilidia ja rn ittlo ja yhditämällä aat lak lakkn (8 aadaan ( P [ ρe ρ ] {[ ρ ρ ] } ρg E. (9 Saat lak on motoa (7, jo gravitaatiotrmi jättään homiotta. Laktta (9 voidaan ykinkrtaitaa aktiill rtrbaatiokntill. yö ylimääräinn gravitaatiotrmi voidaan liminoida. Tarkoitkna on thdä linarioinnin kaltainn toimnid, mtta itn, ttä kaikki trmit toin krtalkn ati äilyttään. Alki ittään Taylorin khitlmä ρ ρ ρe ( ρe ( ρe ρ ρ E S ρ ρ ρ ρ ρ ρ S ρ ρ ρ... ρ. ( Tmkinin [3] mkaan trmodynaamit drivaatat yo. kaavaa ovat ( ρe ( ρe ρ S H, ρ miä H on ntalia maaykikköä kohti. S / ρ, ( Staattiia knttiä itova toinn yhtälö lakkia (4 voidaan ittää yhtälöä ( hyödyntän modoa 3
6 okainn TASOAISET ÄÄNILÄHTEET VIRTAAVASSA VÄLIAINEESSA [ ( ] g ( H. ( Sijoittamalla Taylorin khitlmä ( yhtydt ( homioidn nrgiataaainoyhtälöön (9, ottamalla lak ( homioon lakkn (9 viimiä trmiä, jättämällä kaikki toita krtalka korkammat trmit oi, hyödyntämällä yhtykiä ( ja maan äilyvyylakia (, käyttämällä aroaktitn knttäridn määritlmiä (6 toin krtalvn trmihin ati tarvittaa ja hyödyntämällä laktta (9 toin krtalvn ria yo. lak voidaan kirjoittaa motoon, joka voidaan dlln jakaa kahdki rikn voimaa olvaki yhtydki (viimin toimnitn rtl alla olvan yhtälön jälkn ( [ ρ Q ( / ] ( ( ρ ρ [ ( ]. (3 Enimmäin yhtälön lakkia (3 voidaan nähdä olvan rikn voimaa aroaktitn knttäridn määritlmin (6 ja knttäyhtälöidn (5 avlla (toin krtalkn ati, i lähtitä. Toin yhtälön rikn voimaaolo voidan äätllä käyttän yhtälöarin (5 toita yhtälöä voimalähtidn tta kä lakkidn (4 nimmäitä yhtälöä. Yhtälöarin (3 jälkimmäin yhtälön viiminn trmi voidaan nohtaa, koka on toita krtalka ja ko. yhtälön mt trmit ovat nimmäitä krtalka. Tällöin ko. yhtälö ittää nrgiataaainoyhtälöä, joa nrgiavo on räiin aroaktita ainta ja taattita virtanodta. Liäki yhtälö on itä motoa, ttä n kaikkin trmin aikakkiarvot häviävät. Tämän kaltait nrgiart ivät ol aktiia nrgiarita. Enrgiavovktorin J aktiiin knttiin liittyvä o I li aktinn intnittti ja tähän liittyvä nrgiatihy ρ ε' (tilavykikköä kohti voidaan näin olln idntiioida yhtölöarin (3 nimmäitä yhtälötä raaviki: I ' ρ Q / (, ρ ε. (4 Aktinn intnittti on aroaktin ainn ja aroaktin nodn tlo n ijaan, ttä olii äännainn ja hikkanodn tlo ktn virtakttomaa tilanta. Enrgiatihy iältää kinttin (nimmäinn trmi ja otntiaalinrgiatihydn (toinn trmi liäki liätrmin (kolma trmi, joka on vrrannollinn virtakttoman kntän intnitttiin ja virtanotn. On homattava, ttä nrgiataaainoyhtälöt (4 olii voit aada oraan käyttän aroaktitn knttäridn linaariia määritlmiä ( ja linaariia knttäyhtälöitä (. Tämä i kitnkaan tarkoita itä, ttä kyinn taa olii oika niidn aamiki. 4 TASOAISTEN LÄHTEIDEN LÄHDEVOIAKKDET Olttaan lähtt taomaiiki itn, ttä n ijaitvat taolla,.o. δ(, δ(, (5 4
7 TASOAISET ÄÄNILÄHTEET VIRTAAVASSA VÄLIAINEESSA okainn 5 miä δ( on Dirain dltanktio. Srt ja ovat tätn taolähdjakamia (tilavno ja voima inta-alaykikköä kohti. Sijoittamalla nämä knttäyhtälöihin ( voidaan havaita, ttä Dirain dltanktio voidaan aada vain aroaktin nodn divrgnin äjatkvdta ja aroaktin ainn gradintin äjatkvdta. Intgroimalla yhtälöt ( yli inn oln yli taon voidaan nähdä, ttä taolähdjakamat liittyvät aroaktitn knttäridn aklnktion motoin äjatkvtn. Tätn monoolin voimakk modot taon ri olilla vallitvan aroaktin nodn loäitn normaalintaitn komonnttin mmata ja diolin voimakk modot taon ri olilla vallitvan aroaktin ainn rota ( (, ( ( ( ( Q ρ (6 miä alaindki " " viittaa knttäriiin oitiivin -aklin ollla taoa ja " " ngatiivin -aklin ollla kä on -aklin ntainn ykikkövktori, k. kva. - - Kva. Taomonooli- ja diolilähd. Phtaalla monoolilla on ja htaalla diolilla, jolloin ( (. (dioli (monooli Q Q ρ ρ (7 Ykidimnioiilla kntillä, joilla on vain -koordinaatti avardllina mttjana, lähdvoimakkdt ovat taoaallolla ( (, ( (. (8 Phtaan monoolin ja htaan diolin hdot ovat ykidimnioia taaka taoaallolla. (dioli ( ( (monooli ( ( (9 Lakkn (9 mkaan monoolin tottama äännain ( ja hikkano ( ri olilln (alaindkit " " ja " " ja diolin tottamat vataavat rt (, nodattavat taoaallon taaka yhtykiä
8 okainn TASOAISET ÄÄNILÄHTEET VIRTAAVASSA VÄLIAINEESSA ( /(, ( /(, ( /( ( /(. (3 Yhtälöryhmän (7 alkoin mkaan vataavat rlaatiot aroaktiill knttärill ovat,,,. (3 Nähdään, ttä monooli ja dioli ätilvät äännaintta ja hikkanotta äymmtriti virtakn länä olla ätilyn olla voimakkaamaa virtantaa vataan. Aroaktiiin knttäriiin liittyvä ätily n ijaan on ymmtritä. Phtaan monoolin ja diolin lähdvoimakkdt ykidimnioia taaka taoaallolla ovat ( ( ( ( (monooli (dioli. (3 5 JC-ENETELÄN KAISET SEKNDÄÄRILÄHTEET 5. JC-mntlmä Tarkatllaan (minkä tahana tyyitä dtrminititä knttää, miä linaarinn oraattori L liittää lähtt (S ja kntät (F toiiina yhtydllä L F S. (33 Kntän F ijata haltaan knttä F', joka aadaan alkräitä kntätä oraattorin N avlla lakkta N F F. (34 Yliä taaka knttää F' i voi aada vain vaihtamalla alkräit lähtt modiioidiki lähtiki S' NS, vaan järjtlmään täytyy liätä liälähtt S", jotta knttäyhtälö (33 tottii. Kirjoittamalla knttäyhtälö haltll kntäll F' liälähtill (kndäärilähtill aadaan ity S N F, N LN NL. (35 Aktilla kntällä idaalilidia dirntiaalioraattori, lähdvktori ja knttävktori voidaan idntiioida yhtälöitä ( ja (, kn taattitn knttäridn olttaan mttvan vain vähän avardllitn koordinaattin htn niin, ttä niidn gradintit, divrgnit ja roottorit ovat rtrbaatiokrtalokkaa tai inmiä. Tällöin L Q ( / ρ, F (, S /. (36 Olkoon oraattori N hda ajata riimaton kalaariainot N, joka ainottaa kaikkia knttäja lähdrita amalla tavalla. Lakkita (35 ja (36 aadaan aroaktitn knttäridn 6
9 TASOAISET ÄÄNILÄHTEET VIRTAAVASSA VÄLIAINEESSA okainn määrittlyidn ( avlla kndäärilähdtihydt, jotka ovat vrrannolliia aroaktiiin knttäriiin N, ( N. (37 5. Taomait kndäärilähtt Olttaan, ttä oraattori N on ykkönn ala < ja nolla ala >. Tällöin tavoittna on liminoida knttä oliavarda > ja itää mttmattomana ala <, k. kva. Yhtälön (37 mkaan kndäärilähtt ovat taomaiia ijaitn taolla. Vataavat taolähdjakamat taolla aadaan intgroimalla lähdtihykin lakkt inn oln yli läi taon, jolloin aadaan,. (38 N N knttä mttmaton tlva ääni knttä häviää kndäärilähdinta Kva. Taomait kndäärilähtt JC-mntlmää aktiivia vaimnnka. Ykidimnioiilla kntillä ja oitiivin -aklin ntaan tnvillä taoaalloilla (, (. (39 Diolin voimakk oikkaa rrniä [7] ittytä johtn ko. rrnin virhllitä liikmäärän äilymilaita, ktn kohdan. loa itttiin. Lakkidn (3 ja (39 mkaan monoolin ja diolin aihttamat ainmtokt (,, monoolin ja diolin aihttamat nomtokt (, kä knttin kokonaimtokt (, ovat tää taaka /(, /(, /(, /(,. (4 onoolin ri olilln (alaindkit " " ja " " aihttama hikkano ( ja äännain ( ovat tää taaka yhtälöidn (9, (3, (39 ja (4 mkaan ( /(,, ( /(,. (4 7
10 okainn TASOAISET ÄÄNILÄHTEET VIRTAAVASSA VÄLIAINEESSA Diolin ri olilln aihttama äännain ( ja hikkano ( ovat amatn ( /(,, ( /(, Vataavat aroaktit rt ovat yhtälön (3 mkaan. (4 (, (, (, (, ( (. (43 6 YHTEENVETO JC-mntlmän mkait aktaattorit kootvat monooli- ja diolilähtitä. Taomait monooli- ja diolilähtt kä niidn lähdvoimakkdt on määritlty lidill, joa on taainn taattinn virta. Liäki on määritlty lähdvoimakkdt, joita tarvitaan JC-mntlmän ovltamia dllä ittyiä olohtia. Skä lähdvoimakkkin määritlmät ttä JC-mntlmän dllyttämät lähdvoimakkdt riivat virtakn ahin lvta. Virtaamattomaa väliaina taomain monoolin voimakktta voidaan lonnhtia hikkanodn äjatkvdlla ja diolin voimakktta äännainn äjatkvdlla lähdinnalla. Virtakllia väliaina ko. lähdtyyin voimakktta voidaan lonnhtia n. aroaktin nodn ja aroaktin ainn äjatkvdlla, jotka kmikin ovat nktioita kä aktita äännainta, hikkanodta ttä virtanodta. onooli ja dioli ätilvät virtakn länä olla äännaintta ja hikkanotta hikommin virtantaan kin itä vataan. Tarkatln rtana on ittty aktiikan ryhtälöt ja nrgiataaainoyhtälöt kä niidn rtlla määrittty aroaktitn knttäridn liäki intnittti ja nrgiatihy virtaavaa väliaina. Viimki mainittjn määritlmät oikkavat virtaamattoman väliainn vataavita olln myö nktioita virtakn ahin lvta. Aktinn intnittti on mainitjn aroaktitn knttäridn tlo ja aktinn nrgiatihy iältää kinttin ja otntiaalinrgian liäki kä äännainta, hikkanodta ttä virtanodta riivan liätrmin. LÄHTEET. GOLDSTEIN E, Aroaoti. Graw-Hill, Nw York t al NJAL L, Aoti o dt and mlr. John Wily & Son, Nw York t al TEKIN S, Elmnt o aoti. John Wily & Son, Nw York t al OSKAINEN S, JC mthod in ativ ontrol o ond. ISA 3, , Lvn, JESSEL J, Ativ noi rdtion a an rimntal aliation o th gnral ytm thory. Intr-Noi 83, , Edinbrgh, JESSEL J, Aoti théori Proagation t holohoni. aon t Ci, Pari JESSEL J & ANGIANTE G A, Ativ ond aborbr in an air dt. J Sond Vib 3(973,
Nelisolmuinen levyelementti
Lv hm 6..3 Nliolminn lvlmntti arkatllaan kvan nliolmita lvlmnttiä. q 6 q 8 η 3 q 5 ( 3, 3 q 7 (, q (, v P q ξ (, q q 3 Pitn P koordinaatit voidaan laa mokoordinaattin ξ ja η avlla, jotka ovat normratt
LisätiedotCST-elementti hum
CS-lmntti hm 4..3 CS-lmntti arkatllaan kan kolmiolmita kolmiolmnttiä, jota kttaan akionmän kolmiolmntiki (Contant Strain riangl). q 6 3 q 5 ( 3, 3 ) (, ) q 4 q 3 P q (, ) q O Pitn P koordinaatit oidaan
LisätiedotKahdeksansolmuinen levyelementti
Levy8 ja RS hm.. Kahdekanolminen levyelementti akatellaan kvan kahdekanolmita levyelementtiä. q 6 y (,y q 8 ( 8,y 8 8 q 7 q 6 (,y q 5 q q q 7 q q ( 7,y 7 v ( 6,y 6 P 5 ( 5,y 5 q 9 6 q 5 (,y q (,y q q q
LisätiedotKahdeksansolmuinen levyelementti
Levy8 ja RS hm 7.. Kahdekanolminen levyelementti akatellaan kvan kahdekanolmita levyelementtiä. q 6 y (,y q 8 ( 8,y 8 8 q 7 q 6 (,y q 5 q q q 7 q q ( 7,y 7 v ( 6,y 6 P 5 ( 5,y 5 q 9 6 q 5 (,y q (,y q q
Lisätiedot4 KORKEAMMAN KL:N LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
KORKEAMMAN KL:N LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Krtalukua n olvassa diffrntiaalihtälössä F(,,,, (n) ) = siint n:nnn krtaluvun drivaatta (n) = d n /d n ja mahdollissti almpia drivaattoja, :tä ja :ää.
LisätiedotS-55.1220/142 Piirianalyysi 2 1. Välikoe 10.3.2006
S-55.0/4 Piirianalyyi. Välioe 0.3.006 ae tehtävät 3 eri paperille in tehtävät 4 5. Mita irjoittaa joaieen paperiin elväti nimi, opielijanmero, rin nimi ja oodi. Tehtävät laetaan oaton oepaperille. Mita
LisätiedotABSORBOIVIEN MATERIAALIEN JA REIKÄLEVYJEN SKAALAUS 1 JOHDANTO 2 PERUSSKAALAUS Z A =, (1) A KANAVAÄÄNENVAIMENTIMIEN PIENOISMALLEIHIN
BSORBOIVIEN MTERILIEN J REIKÄLEVYJEN SKLUS KNVÄÄNENVIMENTIMIEN PIENOISMLLEIHIN So Uosukainn 1), Hikki Isomoisio 1), Jukka Tanttari 1), Esa Nousiainn 2) 1) VTT PL 1, 244 VTT tunimi.sukunimi@vtt.fi 2) Wärtsilä
Lisätiedot4.3 Liikemäärän säilyminen
Tämän kappaleen aihe liikemäärän äilyminen törmäykiä. Törmäy on uora ja kekeinen, jo törmäävät kappaleet liikkuvat maakekipiteitten kautta kulkevaa uoraa pitkin ja jo törmäykohta on tällä amalla uoralla.
LisätiedotX 2 = k 21X 1 + U 2 s + k 02 + k 12. (s + k 02 + k 12 )U 1 + k 12 U 2. s 2 + (k 01 + k 21 + k 02 + k 12 ) s + k
Aalto-yliopiton Perutieteiden korkeakoulu Matematiikan ja yteemianalyyin laito Mat-49 Syteemien Identifiointi 0 harjoituken ratkaiut äytetään enin iirtofunktiomalli Tehdään Laplace-muunno: ẋ k 0 k x +
LisätiedotValtion eläkemaksun laskuperusteet
VALTIOKONTTORI PÄÄTÖS Dnro 62/30/2005 Valtion eläkemakn lakperteet Valtiokonttori on 2262005 hyäkynyt nämä lakperteet nodatettaaki lakettaea Valtion eläkerahatolaia tarkoitettja työnantajan eläkemakja
LisätiedotLämmönsiirto (ei tenttialuetta)
ämmönsiirto um 4..3 ämmönsiirto (i tnttialutta) rminologiaa ämpötila on suur, joka kuvaa, mitn kuuma jokin sin tai ain on. ämpötilaa (lat. tmpratura) mitataan SI-järjstlmässä klvinillä (K) tai clsiusastilla
Lisätiedotr u u R Poistetut tehtavat, kunjännitestabiiliusja jännitteensäätö yhdistettiin:
oittut thtavat, kuäittaiiliua äittäätö yhitttii: Jäykkä vrkko, oka äit u TH o, pu yöttää oho kautta kuormaa. Johto olttaa häviöttömäki a raktai o, pu. Joho päähä liittää vakioritaikuorma r. iirrä oho a
LisätiedotS SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA
. väliko 27.0.2008. Saat vatata vain nljään thtävään!. ak jännit. = 4 Ω, 2 = 4 Ω, 3 = 4 Ω, = 0 V, = 3 A, = 2 A. 2 + I 3 2. ak jännit, kun kytkin uljtaan htkllä. = 0 V = 2 = 0 Ω, = 0,2 F, 0 = 2 V. 2 i 2
LisätiedotSUUNNITELMA MUHOKSEN KUNNAN LIIKUNTAPAIKKOJEN PARANTAMISEKSI 2013
SUUNNITELM MUHOKSEN KUNNN LIIKUNTPIKKOJEN PRNTMISEKSI 2013 Tämän uunnitlman tarkoitukna on kartoittaa Muhokn kunnan liikuntapaikkojn kunto ja ittää parannukinoja. Liäki ill ottaan muutamia uuia lajja ja
LisätiedotEnsimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon. + p(x)y = r(x) (28)
.5 Linaarist diffrntiaaliyhtälöt 10 Ensimmäisn krtaluvun diffrntiaaliyhtälö on linaarinn, jos s voidaan kirjoittaa muotoon + p(x)y = r(x) (8) Yhtälö on linaarinn y:n ja y:n suhtn, p ja r voivat olla mitä
LisätiedotKon Hydraulijärjestelmät
on-41.44 Hydralijärjstlmät Laboratoriotyö - Tkimatriaali Sähköhydralisn järjstlmän säätö äskylin Erolin Säätäjä Astslait Toimilait ja korma w qv x Antri va 1. Hydralinn säätöjärjstlmä. vassa 1 säätöjärjstlmän
LisätiedotPhysica 9 1. painos 1(8) 20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä
Phyica 9 aino (8) 0 Varattu hiukkann ähkö- ja agnttikntää : 0 Varattu hiukkann ähkö- ja agnttikntää 0 a) Sähköknttä aikuttaa arattuun hiukkan oialla F = QE Poitiiiti aratull hiukkall oian uunta on ähkökntän
LisätiedotLIITE 8A: RAKENNELUVUN 137 YHTÄLÖITÄ
LIITE 8A: RAKENNELUVUN 37 YHTÄLÖITÄ Raknnluvusta 37 on tämän työn yhtydssä syntynyt yli 00 yhtälöä, joista 00 yhtälöä on analysoitu. Näistä on osoittautunut 70 yhtälöä milnkiintoisiksi ja saman vrran otaksutaan
LisätiedotY56 Laskuharjoitukset 3 palautus ma klo 16 mennessä
1 Y6 Lakuharjoituket 3 alautu ma 3.. klo 16 menneä Harjoitu 1. Lue enin Vihmo, Jouni (006) Alkoholijuomien hintajoutot uomea vuoina 199 00, Yhteikuntaolitiikka 71, 006/1 ivut 9 ja vataa itten kyymykiin.
LisätiedotPOSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI
S-108110 OPTIIKKA 1/6 POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI Laboratoriotyö S-108110 OPTIIKKA /6 SISÄLLYSLUETTELO 1 Poitiivien linin polttoväli 3 11 Teoria 3 1 Mittauken uoritu 5 LIITE 1 6 Mittaupöytäkirja 6
Lisätiedotexp(x) = e x x n n=0 v(x, y) = e x sin y
4 Alkisfunktioita 41 Eksponnttifunktio Eksponnttifunktio xp : R R on määritlty khitlmällä xp(x) = x x n = n! Pyrimm laajntamaan määritlmän koko tasoon C sitn, ttä 1 xp : C C on analyyttinn ja xp(x) = x,
LisätiedotSauvaelementti hum
Sauvalmntti hum.9. Yhdn solmuvapausastn sauvalmntti akastllaan kuvan mukaista sauvalmnttiä. Sauvan vasmmassa päässä on sauvan lokaalisolmu numo, jonka -koodinaatti on ja vastaavasti oikassa päässä lokaalisolmu
LisätiedotEnergian säilymislain perusteella elektronin rekyylienergia on fotnien energioiden erotus: (1)
S-11446 Fysiikka IV (Sf), I Väliko 544 1 Osoita, ttä Comptonin sironnassa lktronin suurin mahdollinn rkyylinrgia voidaan sittää muodossa E Kin hf 1 + mc /hf Enrgian säilymislain prustlla lktronin rkyylinrgia
LisätiedotVenymälle isotermisessä tilanmuutoksessa saadaan AE AE
S-11435, Fyskka III (ES) Tntt 75 1 Stsmän tunnstttavssa olvaa hukkasta on jakautunut kahdll nrgatasoll Ylm taso on dgnrotumaton ja sn nrga on 1, mv korkam kun almman tason, joka uolstaan on dgnrotunut
LisätiedotTee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti
MAA8 Ko 5..04 T konsptiin pisttsruudukko! Muista kirjata nimsi ja rhmäsi. Lu ohjt huolllissti A-Osio: Ei saa kättää laskinta. MAOL saa olla alusta asti kätössä. Maksimissaan h aikaa suorittaa A- Osio.
LisätiedotRATKAISUT: 3. Voimakuvio ja liikeyhtälö
Phyica 9. paino (8) 3. Voiakuvio ja liikeyhtälö : 3. Voiakuvio ja liikeyhtälö 3. a) Newtonin I laki on nieltään jatkavuuden laki. Kappale jatkaa liikettään uoraviivaieti uuttuattoalla nopeudella tai pyyy
LisätiedotRahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 10 Binomipuut ja optioiden hinnoittelu
Rahoitsriskit ja johdannaiset Matti Estola lento 1 Binomipt ja optioiden hinnoittel 1. Optiohintojen mallintaminen Esimerkki. Oletetaan, että osakkeen spot -krssi on $ ja spot -krssilla 3 kk:n kltta on
LisätiedotHyppy Pekingiin 2008 Tapani Keränen (Kihu) ja Juhani Evilä (SUL)
Hyppy Pekingiin 2008 Tapani Keränen (Kih ja Jhani Evilä (SUL Harjoitvoden 2008 aikana totetettiin SUL:n ja Kihn yhteityöprojekti Hyppy Pekingiin 2008. Projektia Kihn vt. biomekaniikan ttkija oli pithyppääjien
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet, ORMS1030
Vaaan yliopito, kvät 06 Taloumatmatiikan prutt, ORMS030 4. arjoitu, viikko 6 (8...06) Malliratkaiut. Erään kappaltavaratuottn varaton ykikköylläpitokutannukt ovat 4,00 kappaltta ja vuotta koti. Tilaukutannukt
LisätiedotSMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Harjoituksen 1 ratkaisuehdotukset
SMG-4200 Sähkömagneettiten järjetelmien lämmöniirto Harjoituken 1 ratkaiuehdotuket Vata 1800-luvun puoliväliä ymmärrettiin että lämpöenergia on atomien ja molekyylien atunnaieen liikkeeeen värähtelyyn
Lisätiedot3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. y + p(x)y + q(x)y = r(x) (1)
5 3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Huomautus pälinaarisista diffrntiaalihtälöistä: Epälinaarisn DY:n ratkaismisn i ol lispätvää mntlmää. Joitakin rikoistapauksia voidaan ratkaista:
LisätiedotELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 13: Avaruuskehän palkkielementti.
/ EEMENIMENEEMÄN PERUSEE SESSIO : Aarskhän palkkilmntti. AARUUSKEHÄN EEMENIERKKO solm solm Ka. Aarskhän lmnttirkko ja sn lmntti. Jos khä sisältää ain tasapaksja ja soria osia, sn tarkka ratkais saaaan
Lisätiedot8. RAKENNELUKU /α = 137, (8.1)
8. RAKENNELUKU 37 Raknnluku 37 on skä matmatiikassa ttä fysiikassa samantapainn ja prustavalaatuinn raknnluku kuin luonnonluku /. Fysiikassa luvun 37 kääntisarvoa kutsutaan hinoraknnvakioksi, jonka tarkka
LisätiedotRahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 5. Termiinihinnan määräytyminen
Rahoitusriskit ja johdannaist Matti Estola Lunto 5 rmiinihinnan määräytyminn 1. rmiinin ylinn hinnoittlukaava Mrkitään trmiinisopimuksn kohd-tuudn spot hintaa sopimuksn tkopäivänä S :lla, kohd-tuudn trmiinihintaa
LisätiedotRATKAISUT: 17. Tasavirtapiirit
Phyica 9. paino 1(6) ATKAST 17. Taavirtapiirit ATKAST: 17. Taavirtapiirit 17.1 a) Napajännite on laitteen navoita mitattu jännite. b) Lähdejännite on kuormittamattoman pariton napajännite. c) Jännitehäviö
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Tehtäväsarja I
HY / Matematiikan ja tilatotieteen laito Tilatollinen päättely II, kevät 207 Harjoitu 4 Ratkaiuehdotukia Tehtäväarja I. (Kvantiili-kvantiili kuvion [engl. q q plot] idea.) Olkoon atunnaimuuttujalla X ellainen
LisätiedotRATKAISUT: 8. Momentti ja tasapaino
Phyica 9. paino (7) : 8. Voian vari r on voian vaikutuuoran etäiyy pyöriiakelita. Pyöriiakeli on todellinen tai kuviteltu akeli, jonka ypäri kappale pyörii. Voian oentti M kuvaa voian vääntövaikututa tietyn
LisätiedotSOSIAALIPÄIVYSTYKSEN KEHITTÄMISEN VUODET KESKI-SUOMESSA
0..0 () SOSIAALIPÄIVYSTYKSEN KEHITTÄMISEN VUODET KESKI-SUOMESSA Soiaalipäivytyke kehittämiellä o maakaamme eide voie jatkmo. Alkyäyke ille atoi vode valtioevoto periaatepäätö, joa aetettii tavoitteeki
LisätiedotPD-säädin PID PID-säädin
-äädin - äätö on ykinkertainen äätömuoto, jota voidaan kutua myö uhteuttavaki äädöki. Sinä lähtöignaali on uoraa uhteea tuloignaalin. -äätimen uhdealue kertoo kuinka paljon mittauuure aa muuttua ennen
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt, Syksy 2015 Harjoitus 2, Ratkaisut Ratkaise separoituvat differentiaaliyhtälöt. a) y = y
Diffrntiaaliyhtälöt, Syksy 215 Harjoitus 2, Ratkaisut 1.11.215 1. Ratkais sparoituvat diffrntiaaliyhtälöt a) y = y 3, b) y = 1 + y 2 y 2. y Ratkaisu. a): Yhtälö y = 3 on hyvin määritlty kun 3. Lisäksi
Lisätiedot4. Gaussin laki. (15.4)
Luku 15 Maxwellin yhtälöt 15.1 iirrosvirta Voidaan osoittaa, että vektorikenttä on yksikäsitteisesti määrätty, jos tunnetaan sen divergenssi, roottori ja reunaehdot. Tämän vuoksi sähkö- ja magneettikenttien
LisätiedotELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 10: Avaruusristikon sauvaelementti.
/ EEMEIMEEEMÄ PERSEE SESSIO : Avasistion savalmntti. AVARSRISIKO EEMEIVERKKO Avasistion taaan ataisn päästään ättämällä lmnttivoa jona solmt ovat istion nivlin ohdilla in istion sava on lmntti. Kvassa
Lisätiedot1. välikoe
Jan Loto TA7 Ekonometan johdantok Nm: Opkeljanmeo: välkoe 77 Vataa alla olevn kyymykn ympäömällä okea vahtoehto Kakn tehtävää on neljä vahtoehtoa, jota yk on oken Okeata vataketa aa pteen ja vääätä vataketa
LisätiedotÄänen nopeus pitkässä tangossa
IXPF24 Fyiikka, ryhälaboratoriotyö IST4S1 / E1 / A Okanen Janne, Vaitti Mikael, Vähäartti Pai Jyväkylän Aattikorkeakoulu, IT-intituutti IXPF24 Fyiikka, Kevät 2005, 6 ECTS Opettaja Pai Repo Äänen nopeu
Lisätiedot2. Tutki toteuttaako seuraava vapaassa tilassa oleva kenttä Maxwellin yhtälöt:
84 RDIOTKNIIKN PRUSTT aois. Las a gadini f, n f,, b divgnssi, n c oooi, n on n b- ohdassa.. Ti oaao saava vapaassa ilassa olva nä Mawllin hälö:.. Oloon vapaassa ilassa sähönä oplsivoina sinä. Määiä a aallon
LisätiedotKUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto
KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoki, proeori Lappeenrannan teknillinen yliopito Näin uuden vuoden alkaea ueat meitä miettivät ijoitualkkuna kootumuta. Yki kekeiitä kyymykitä on päätö eri
LisätiedotBM20A0700, Matematiikka KoTiB2
BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin
LisätiedotS Fysiikka III (Est) Tentti
S-114137 Fyiikka III (Et) Tentti 9008 1 Vetyatomin elektronin kulmaliikemäärää kuvaa kvanttiluku l =3 Lake miä kaikia kulmia kulmaliikemäärävektori voi olla uhteea kulmaliikemäärän z-komponenttiin ( )
LisätiedotYHDYSKUNTALAUTAKUNTA TALOUSARVIOEHDOTUS 2018 TALOUSSUUNNITELMA
YHDYSKUNTALAUTAKUNTA TALOUSARVIOEHDOTUS 2018 TALOUSSUUNNITELMA 2018-2020 TOIMIALA 50 YHDYSKUNTAPALVELUT P A L V E L U 5 0 0 T E K N I S E N J A Y M P Ä R I S T Ö T O I M E N H A L L I N T O J A M A A S
Lisätiedott P1 `UT. Kaupparek. nro Y-tunnus Hämeenlinnan. hallinto- oikeudelle. Muutoksenhakijat. 1( UiH S<
1(0 1 4 1 1 4 UiH 0 0 0 1 S< A S I A N A J O T O I M I S T O O S S I G U S T A F S S O N P L 2 9, Ra u h a n k a t u 2 0, 1 5 1 1 1 L a h t i P u h e l i n 0 3 / 7 8 1 8 9 6 0, G S M 0 5 0 0 / 8 4 0 5
Lisätiedot7. Pyörivät sähkökoneet
Pyörivät ähkökoneet 7-1 7. Pyörivät ähkökoneet Mekaanien energian muuntamieen ähköenergiaki ekä ähköenergian muuntamieen takaiin mekaanieki energiaki käytetään ähkökoneita. Koneita, jotka muuntavat mekaanien
Lisätiedot763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 5 Kevät 2016
7635P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN Ratkaist 5 Kevät 26. Aberraatio shteellissteoriassa a) Tlkoon valo kten tehtävän kvassa (x, y)-tason x, y > neljänneksestä: x ˆx + y ŷ c cos θ ˆx c sin θ ŷ. () Lorenz
LisätiedotMAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2004
MAOL-Piteityohjeet Fyiikka kevät 004 Tyypilliten virheiden aiheuttaia piteenetykiä (6 piteen kaalaa): - pieni lakuvirhe -1/3 p - lakuvirhe, epäielekä tulo, vähintään - - vataukea yki erkitevä nuero liikaa
LisätiedotNOVITA VENLA: HUVIRETKET-KIRJONEULESUKAT
r i v H l n o j r i a s NOVITA VENLA: HUVIRETKET-KIRJONEULESUKAT Snnilija Niina Laiinn Kngän oo 38/39 Langanmni Novia Vnla (010) lonnonvaloinn 100 g, (499) hiili vajaa 50 g ja (182) prooli vajaa 50 g Sapio
LisätiedotSAVUN JA KOSTEUDEN VAIKUTUS ELEKTRONIIKKAPIIREIHIN
SAVUN JA KOSTEUDEN VAIKUTUS ELEKTRONIIKKAPIIREIHIN TIIVISTELMÄ Johan Mang & Olavi Keki-Rahkonen VTT Rakenn- ja yhdykntatekniikka PL 803, 02044 VTT Savn, koteden ekä näiden yhteitä äkillitä vaiktta elektroniikkapiireihin
LisätiedotTEHTÄVÄKORI Monisteita matikkaan. Riikka Mononen
---------------------------------------- TEHTÄVÄKORI Monisteita matikkaan Riikka Mononen ---------------------------------------- Tehtäväkori 2016 TEHTÄVÄKORI Monisteita matikkaan -materiaali on kokoelma
LisätiedotS-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 1.9.2011
S-55.2 Piirianalyyi 2 Tentti.9.. e(t) L j(t) Lake vatukea lämmöki muuttuva teho P. = Ω L = mh = 2mF ω = 0 3 rad/ e = ê in(ωt) j = ĵ in(2ωt) ĵ = 0 A ê = 2 2 V. 2. u(t) k Kuvan mukainen taajännitelähteen
LisätiedotS-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 27.10.2011
S-55.220 Piirianalyyi 2 Tentti 27.0. j(t) u(t) -piiriin vaikuttaa lähdevirta j(t) = A ĵ in(ωt)]. Lake piirin jännite u(t) ajan funktiona ja vatukea kuluva teho. Piiri on jatkuvuutilaa. ĵ = 0,5A = 2µF ω
LisätiedotS Piirianalyysi 2 2. välikoe
S-55.22 Piirianalyyi 2 2. välikoe 6.5.23 Lake tehtävät 2 eri paperille kuin tehtävät 3 5. Muita kirjoittaa jokaieen paperiin elväti nimi, opikelijanumero, kurin nimi ja koodi. Epäelvät vataupaperit voidaan
LisätiedotMatriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0
MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 22 Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a V = R 3 ja S = {(1,0, 1,(2,0,4,( 5,0,2,(0,0,1} b V = P 2 (R ja S = {t1,t 2 1,t 2 t} ( ( 1 0 c
Lisätiedot1. Laske sivun 104 esimerkin tapaan sellainen likiarvo luvulle e, että virheen itseisarvo on pienempi kuin 10 5.
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi II Harjoitus Ratkaisuhdotuksia Aapo Tvanlinna. Lask sivun 4 simrkin tapaan sllainn likiarvo luvull, ttä virhn itsisarvo on pinmpi kuin 5. Huomataan nsin,
LisätiedotRatkaisu: z TH = j0,2 pu. u TH. Thevenin jännite u TH on 1,0 pu ja sen impedanssi z = j0,2 pu.
L89 Jäittaiiliu. Jäykkä vrkko, oka äit u TH o, pu yöttää oho kautta kuormaa. Johto olttaa häviöttömäki a raktai o, pu. Joho päähä liittää vakioritaikuorma r. Piirrä i oho a äitläht Thvii kvivaltti. Aa
LisätiedotJakso 15. Vaihtovirrat. Sarja- ja lineaaripiirit. Maxwellin yhtälöt
Jakso 15. Vaihtovirrat. Sarja- ja linaaripiirit. Maxwllin yhtälöt Tässä jaksossa käsitllään vaihtovirtapiirjä. Mukana on skä sarjapiirjä ttä linaaripiirjä. Sarjapiirilaskut ovat hkä hlpompia, sillä virta
LisätiedotTeknillinen korkeakoulu Mat Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet (Mikkola/Ärölä) 11. harjoituksen ratkaisut
Tknillinn korkakoulu Mat-5.187 Epälinaarisn lmnttimntlmän prustt (Mikkola/Ärölä) 11. harjoituksn ratkaisut Tht. 1 Rfrnssitilan suurita käyttän (kokonais-lagrang) lausuttu hto krittisn aika-askln pituudll
LisätiedotMagneettinen energia
Luku 11 Magneettinen energia 11.1 Kelojen varastoima energia Sähköstatiikan yhteydessä havaittiin, että kondensaattori kykenee varastoimaan sähköstaattista energiaa. astaavalla tavalla kela, jossa kulkee
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet
vä9 / orms.3 Talousmatmatiian prustt 6. harjoitus, viio 9 45...3.9 L Ma A R5 Ti 4 6 F453 R Ma 4 F453 L To 8 A R Ma 6 8 F453 R6 To 4 F4 R3 Ti 8 F45 R7 P 8 F453 R4 Ti 4 F453 R8 P F453. Las intgraalit a 6x
LisätiedotIntensiteettitaso ja Doplerin ilmiö
Inteniteettitao ja Doplerin ilmiö Tehtävä Erkki työkentelee airaalaa. Sairaalalta 6,0 km päää on tapahtunut tieliikenneonnettomuu ja onnettomuupaikalta lähteneen ambulanin ireenin ääni kuuluu Erkille 60,0
LisätiedotLukujärjestys vko 41 5.10. - 9.10.2015
1 (5) AmmattitaitoinenSihteeri 7.10.2015 8:00 7.10.2015 3:00 MaL Mikro 2 AvustajanaArjessa 5.10.2015 8:00 5.10.2015 3:00 Ulkop. kouluttaja / AvustajanaArjessa 6.10.2015 8:00 6.10.2015 3:00 Ulkop. kouluttaja
LisätiedotS uay uvaxy uv 2 Ax 2 y... uv i Ax i y uv i wx i y.
3.8 Yhtedettömien kielten rajoitksista Yhtedettömille kielille on oimassa säännöllisten kielten pmppaslemman astine. Nt kitenkin merkkijonoa on pmpattaa samanaikaisesti kahdesta paikasta. Lemma 3.9 ( -lemma
LisätiedotJakso 10. Tasavirrat. Tasaantumisilmiöt. Vaihtovirrat. Sarja- ja lineaaripiirit. Maxwellin yhtälöt. (Kuuluu kurssiin Sähkömagnetismi, LuTK)
Jakso 10. Tasavirrat. Tasaantumisilmiöt. Vaihtovirrat. Sarja- ja linaaripiirit. Maxwllin yhtälöt. (Kuuluu kurssiin Sähkömagntismi, LuTK) Näytä tai jätä tarkistttavaksi tämän jakson pakollist thtävät viimistään
LisätiedotRaision aikuiskoulutuskeskus TIMALI
Ammattisuomi Palvelualalle 16.11.2015 8:00 16.11.2015 3:00 NL Kokit Ammattisuomi Palvelualalle 17.11.2015 8:00 17.11.2015 12:00 ES Kokit Ammattisuomi Palvelualalle 17.11.2015 12:00 17.11.2015 3:00 NL Kassat
LisätiedotPohjois-Suomen hallinto-oikeuden päätös Torsti Patakankaan valituksesta/khall 5.5.2014 162
Kunnanhallitus 368 10.11.2015 Kunnanhallitus 404 08.12.2015 Kunnanhallitus 414 22.12.2015 Kunnanhallitus 43 09.02.2016 Pohjois-Suomen hallinto-oikeuden päätös Torsti Patakankaan valituksesta/khall 5.5.2014
LisätiedotS SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA
S-55.00 SÄHKÖTKNKKA A KTONKKA. välkoe 9.3.2007. Saat vatata van neljään tehtävään!. ake pteden A ja B välnen potentaalero el jännte AB. =4Ω, 2 =2Ω, =0 V, 2 =4V, =2A, =3A A + 2 2 B + 2. Kytkn ljetaan hetkellä.
Lisätiedot2 Keminmaa 3 4 5 6. Haaparanta TORNIO. > 40 db > 45 db > 50 db > 55 db > 60 db > 65 db > 70 db > 75 db. Vt 4 Kemi
LIITE.. Pek ka ti injun Heik rä npe ä nper kkaa u u L joki Kylä L LIITE.. i aar Na u ska ang as ik ju Koi vuh ar Ru u tti Mä nt Väi nöl ä y lä Ma rtta Vai n io n ine Tor v o Paa tti Las si ik ko Kem inm
LisätiedotKertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria.
5. Veitoken tilavuu on V,00 m 1,00 m,00 m 6,00 m. Pienoimallin tilavuu on 1 V malli 6,00 m 0,06m. 100 Mittakaava k aadaan tälötä. 0,06 1 k 6,00 100 1 k 0,1544... 100 Mitat ovat. 1,00m 0,408...m 100 0,41
Lisätiedot76132S Sähkömagneettinen säteily 1
763 ähkömagnttinn säti. MAXWELLIN YHTÄLÖT Kaikki sähkömagnttisia knttiä koskvat kassist imiöt voidaan johtaa njästä htäöstä. Thjössä nämä sähköknttää E ja magnttiknttää B kuvaavat htäöt saavat suraavan
LisätiedotΣ on numeroituvasti ääretön. Todistus. Muodostetaan bijektio f : N Σ seuraavasti. Olkoon
17 Nmeroitat ja linmeroitat jokot Määritelmä 110 Jokko X on nmeroitasti ääretön, jos on olemassa bijektio f : N X Jokko on nmeroita, jos se on äärellinen tai nmeroitasti ääretön Jokko, joka ei ole nmeroita
Lisätiedotb g / / / / H G I K J =. S Fysiikka (ES) Tentti
S4.35 Fyskka (ES) Tntt 4.9. 3 6. Sälö, jonka tlavuus on,5 m, ssältää haa, jonka an on,5 Pa ja lämötla C. (a) Montako moola haa sälössä on? (b) Montako klogrammaa? (c) Mtn an muuttuu, jos lämötla kasvaa
Lisätiedot12. laskuharjoituskierros, vko 16, ratkaisut
1. lakuharjoitukierro, vko 16, ratkaiut D1. Muuttujien x ja Y havaitut arvot ovat: x 1 3 4 6 8 9 11 14 Y 1 4 4 5 7 8 9 a) Määrää regreiomallin Y i = α +βx i +ǫ i regreiokertoimien PNS-etimaatit ja piirrä
LisätiedotS , FYSIIKKA III (ES), Syksy 2002, LH 4, Loppuviikko 39. Partitiofunktiota käyttäen keskiarvo voidaan kirjoittaa muotoon
S-11435, FYSIIKKA III (ES), Syksy 00, LH 4, Loppuvkko 39 LH4-1* Käyttän Maxwll-Boltzmann-jakauman parttofunktota määrtä a) nrgan nlön kskarvo (E ) skä b) nrgan nlöllnn kskpokkama kskarvosta l nrgan varanss,
Lisätiedot1 LAMMIMUURIN RAKENNE JA OMINAISUUDET 2 2 KÄYTTÖKOHTEET 2 3 MUURITYYPIT 2 4 LASKENTAOTAKSUMAT 3 4.1 Materiaalien ominaisuudet 3 4.2 Maanpaine 3 4.
1 LAIUURIN RAKENNE JA OINAISUUDET KÄYTTÖKOHTEET 3 UURITYYPIT 4 LASKENTAOTAKSUAT 3 4.1 ateriaalien ominaiuudet 3 4. aanpaine 3 4.3 uurin ketävyy npaineelle 4 4.4 Kaatumi- ja liukumivarmuu 5 4.4.1. Kaatumivarmuu
LisätiedotVastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.
S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn
LisätiedotPhysica 7 Opettajan OPAS 1(29)
Phyica 7 Opttajan OPAS 1(9) 1. luku 06. Magnttivuontihyttä kuvaava vktori on magnttiknttää kuvaavan knttäviivan tangntin uuntainn. Vktorin pituu on uurin auvamagntin napojn lähiyydä ja pinn täiyydn kavaa.
LisätiedotAx 0 mm Bx mm Cx 1800 Ay 0 mm By mm Cy 0
Tamprn tknillinn yliopisto Tknisn suunnittlun laitos EDE-00 Elmnttimntlmän prustt. Harjoitus 6 Syksy 0. F 00 OpNro 859 L 800 mm M T 85 K K 9 E 05000 MPa Kulmat ja pituudn lämpölaajnmiskrroin α 0.60865
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotJotta rakentaminen ja sen ylläpitäminen onnistuu Junkohalli Oy:n voimin seuraavat 22 vuotta, esitämme että
1 Junkohlli Oy ESITYS KEI AREENA Titoktu 6 94600 Kmi ri.vinionp@junkohlli.fi 03.06.2013 p. 040 757 7124 Kmin Kupunginhllitu Kupunginjohtj Tro Niinn ESITYS KEI AREENA Junkohlli Oy:llä on hlu j vlmiu rknt
Lisätiedoty (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
LisätiedotPakkauksen sisältö: Sire e ni
S t e e l m a t e p u h u v a n v a r a s h ä l y t ti m e n a s e n n u s: Pakkauksen sisältö: K e s k u s y k sikk ö I s k u n t u n n i s ti n Sire e ni P i u h a s a rj a aj o n e st or el e Ste el
LisätiedotS-55.1220 Piirianalyysi 2 Tentti 4.1.2007
S-55.2 Piirianalyyi 2 Tentti 4..07. Piiriä yöttää kaki lähdettä, joilla on eri taajuudet. Kuinka uuri on lämmöki muuttuva teho P? Piiri on jatkuvuutilaa. J 2 00 Ω 5µH 0 pf 0/0 V J 2 00/0 ma f MHz f 2 2MHz.
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy
LisätiedotPiirrä kuvioita suureen laatikkoon. Valitse ruutuun oikea merkki > tai < tai =.
Piirrä kuvioita suureen laatikkoon. Valitse ruutuun oikea merkki tai < tai =. 1 Valitse ruutuun oikea merkki tai < tai =. ------------------------------------------------------------------------------
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ
76336A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät 217 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi (a) y' P r α φ ' Tarkastellaan, mitä annettu muunnos = cos φ + y sin φ, y = sin φ + y cos φ, (1a) (1b) tekee
LisätiedotJuuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty 9..08 Kokoavia thtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Kirjoittaan kskiarvoll lausk :n avulla ja ratkaistaan yhtälöstä. π 4 π 4π :4 π 4 a b
LisätiedotLUKION FYSIIKKAKILPAILU 8.11.2005 avoimen sarjan vast AVOIN SARJA
LKION FYSIIKKAKILPAIL 8..5 avoien arjan vat AVOIN SARJA Kirjoita tektaten koepaperiin oa niei, kotiooitteei, ähköpotiooitteei, opettajai nii ekä koului nii. Kilpailuaikaa on inuuttia. Sekä tehtävä- että
LisätiedotMETSÄNTUTKIMUSLAITOS. tutkimusosasto. Metsäteknologian WÄRTSILA. Kenttäkoe. Tutkimusselostus
METSÄNTUTKIMUSLAITOS Metäteknologian Uniinkatu WÄRTSILA 40 A tutkimuoato Helinki TELESKOOPPIKUORMAIN AUTOKUORMAUKSESSA Kenttäkoe Tutkimuelotu Juhani Helinki Lukkari 97 7 Ainto Tutkimuken kenttäkoe Ruokolahdella.
LisätiedotKÄRSÄMÄEN KUNTA ESITYSLISTA 1/2013 1
KÄRSÄMÄEN KUNTA ESITYSLISTA 1/2013 1 AIKA 16.01.2013 klo 10:00 PAIKKA Kärsämäen kunnanvirasto, Keskuskatu 14 KÄSITELTÄVÄT ASIAT Asia Otsikko Sivu 1 Laillisuus ja päätösvaltaisuus 3 2 Pöytäkirjan tarkastus
LisätiedotKertaustehtävien ratkaisut
Rtkiuit Nämä Dirtili- j itgrlilk jtkokuri krtuthtävi j -rjoj rtkiut prutuvt oppikirj titoihi j mtlmii Kutki thtävätä o ylä vi yki rtkiu mikä i kuitk trkoit itä ttä rtkiu olii io ti d pr mhdolli Vlittu
Lisätiedot