exp(x) = e x x n n=0 v(x, y) = e x sin y

Transkriptio

1 4 Alkisfunktioita 41 Eksponnttifunktio Eksponnttifunktio xp : R R on määritlty khitlmällä xp(x) = x x n = n! Pyrimm laajntamaan määritlmän koko tasoon C sitn, ttä 1 xp : C C on analyyttinn ja xp(x) = x, kun x R Its asiassa tidämm jo vastauksn Eulrin kaavasta: n=0 z = x+iy = x iy = x (cos y + i sin y) Asttaan { u(x, y) = x cos y, v(x, y) = x sin y ja määritllään (z = x + iy) z = u + iv = x (cos y + i sin y) (11) Funktio xp(z) = z totuttaa hdon, sillä jos y = 0, on z = x R ja x = x (cos 0 + i sin 0) Ehdon 1 todistaminn on hlppoa dllisn lausn avulla: Funktiot u ja v ovat diffrntioituvia koko tasossa ja u x (x, y) = x cos y, u y (x, y) = x sin y, v x (x, y) = x sin y, v y (x, y) = x cos y, jotn u x = v y ja u y = v x li Cauchy-Rimannin yhtälöt totutuvat Kaavalla (11) määritlty funktio xp(z) = z on siis analyyttinn koko tasossa Voidaan osoittaa, ttä jos f : C C on jokin analyyttinn funktio, joll f(x) = x, kaikill x R, niin, f(z) = z kaikill z C Ehdot 1 ja määräävät siis funktion xp yksikäsittissti 55

2 Eksponnttifunktion ominaisuuksia 1 Drivoimiskaava: Edllä osoitttiin, ttä Näin olln f (z) = u x (x, y) + iv x (x, y) xp (z) = x cos y + i sin y = x (cos y + i sin y) = xp(z) Tuttu drivoimiskaava pät siis koko tasossa C Eulrin kaava iϕ = cos ϕ + i sin ϕ on z :n määritlmän rikoistapaus (valitaan z = iϕ) 3 Määritlmä z = x (cos y + i sin y) voidaan kirjoittaa muotoon jotn z = x ja arg z = y z = x iy, iy y z xp v z x y x x u Kuva 38: Kun z liikkuu pitkin y-akslin suuntaista suoraa, z kirtää pitkin origokskistä ympyrää, jonka säd on x 4 Yhtnlaskukaava: z 1 z = z 1+z 5 Komplksialussa ilmn uusi ominaisuus: Eksponnttifunktio on jaksollinn ja sn jakso on πi: xp(z + nπi) = xp(z) xp(nπi) = xp(z) Joukko {z 0 Im z < π} on xp:n jaksovyö 56

3 Laus 3 xp saa jaksovyössä kaikki komplksiarvot täsmälln krran, lukuunottamatta arvoa 0, jota s i saa lainkaan Todistus Olkoon w = r iϕ, r > 0, 0 ϕ < π Silloin { z = r iϕ x = r iy = iϕ { x = ln r y = ϕ + nπ, n Z Pist x + iy on jaksovyössä, jos ja vain jos n = 0 Arvo w 0 saavuttaan jaksovyössä siis täsmälln krran Koska z = x > 0, i xp saa arvoa 0 millään z C xp(z):lla i ol raja-arvoja 0 ikä, kun z Kumpaakaan näistä kahdsta arvosta xp(z) i siis saa ds :ssä Määritlmä 1 Olkoot G ja G aluita Analyyttista bijktiota f : G G kutsutaan konformikuvauksksi Komplksianalyysin (=funktiotorian) kskisiä prusthtäviä on ollut kuvata annttu alu G konformissti toisll anntull alull G Tämä i suinkaan ol aina mahdollista, jos alut G ja G ivät ol riittävän samansukuisia Esimrkki Olkoon G = {z C 0 < R z < 1} ja G = {w C Im w > 0} Yrittään muodostaa konformikuvaus f : G G Eksponnttifunktio kuvaa vaakasuoran viipaln sktoriksi Jos viipaln lvys on π, niin sktori on puolitaso Vaiht: 1 Kirrtään G vaakasuoraksi Lvnntään G π:n lvyisksi 3 Kuvataan xp:llä puolitasoll Hattu konformikuvaus f : G G on siis Kokillaan runapistillä: f(z) = πiz z = 0 f(0) = 0 = 1 z = 1 f(1) = iπ = 1 Jana [0, 1] kuvautuu pistitä 1 ja -1 yhdistäväksi puoliympyräksi 57

4 y v G G 1 x u z-taso w-taso Kuva 39: II G i iπ 1 I z-taso z 1 = iz z = πz 1 G I II -1 1 w = z = x (cos y + i sin y ) Kokillaan sisäpistllä: Kuva 40: z = 1 f(1 ) = i π = i 58

5 Janan [0, 1] kskipist kuvautuu puoliympyrän puoliväliin Olkoon z = x + iy: f(z) = iπz = iπ(x+iy) = πy+iπx f(z) = πy Jos y < 0, niin πy > 1 Jos y = 0, niin πy = 1 Jos y = 0, niin πy < 1 Siis alun G n pistt, jotka ovat x-akslin alapuollla, kuvautuvat G :n pistill, jotka ovat yksikköympyrän ulkopuollla Vastaavasti x-akslin yläpuollla olvat G:n pistt kuvautuvat yksikköympyrän sisäpuollla olvill G :n pistill 4 Logaritmifunktio y π xp v w E G y x x y u z = x iy y = arg w x = w Kuva 41: xp on injktio alussa G = {z 0 < Im z < π} Tämän alun kuva on pitkin positiivista raaliakslia aukilikattu taso E Kääntiskuvausta xp 1 : E G kutsutaan logaritmifunktion päähaaraksi ja sillä on lausk ln w = ln w + i arg w, 0 arg w < π, sillä ln w = ln w i arg w = w (cos (arg w) + i sin (arg w)) = w 59

6 Koska ln w on jatkuva E:ssä, on d dw ln w = 1 ( d z) dz z=ln w = 1 w Ylismmin on z :n rajoittuma jokaisn alusn nπ < Im z < (n + 1)π, n = 0, ±1, ±,, injktio ja jaksollisuudn takia on kuva-alu aina sama kuin arvolla n = 0 li E kääntisfunktiolla on E:ssä lausk ln w = ln w + i arg w + nπi, 0 arg w < π jokaislla arvolla n = 0, ±1, ±, y 4πi πi 0 x ln w, n = 1 ln w, n = 0 ln w, n = 1 ln w, n = v E u πi 4πi z-taso w-taso Kuva 4: Logaritmilla on E:ssä äärttömän monta haaraa Positiivinn raaliaksli i kuulu E:hn Jos positiivinn raaliaksli halutaan mukaan logaritmin määritysalusn, likataan w-taso auki (simrkiksi) pitkin ngatiivista raaliakslia ln w = { ln w + i arg w, Im w 0 ln w + i arg w πi, Im w < 0 0 arg w < π Eri haarat saadaan tästä lisäämällä nπi, n = 0, ±1, ±, 60

7 E 3iπ iπ iπ n = 1 n = 0 n = 1 3iπ z-taso w-taso Logaritmill on voimassa sääntö Kuva 43: ln (z 1 + z ) = ln z 1 + ln z vain nπi:n tarkkuudlla Esimrkkjä 1 Olkoon ln z logaritmin päähaara z 1 = 1 ln z 1 = ln 1 + i arg ( 1) = iπ z = i ln z = ln i + i arg ( i) = i 3π z 1 z = i ln z 1 z = i π = ln z 1 + ln z + πi Olkoon ln z = ln z + i arg z, 0 arg z < π logaritmin päähaara ja z 1 = 1 + i, z = i Silloin ln z 1 = ln + i π 5 ln z = ln + i 7π 4 z 1 z = + + i i = 4 ln z 1 + ln z = ln + ln + i 8π 4 ln z 1 z = ln 4 = ln 4 + πi 61

8 z 1 π 4 π π 4 = 7π 4 z Kuva 44: Kuva 45: 3 Yhtälön z = 3 4i ratkaisminn z = ln (3 4i) 3 4i = = 5 ( arg (3 4i) = arctan 4 ) + nπi 3 43 Trigonomtrist funktiot Eulrin kaavan mukaan iy = cos y + i sin y, iy = cos y i sin y, jotn raalisilla arvoilla y on { cos y = 1 (iy + iy ) sin y = 1 i (iy iy ) Näin olln millä on täsmälln yksi mahdollisuus määritllä sin z ja cos z koko tasossa analyyttisina funktioina 6

9 Määritlmä Siis cos z = iz + iz, sin z = iz iz i cosh x = x + x ja sinh x = x x Määritlmästä suraa, ttä sin z ja cos z ovat koko tasossa analyyttisiä funktioita ja niidn drivaatat ovat D(cos z) = 1 ( i iz i iz) = 1 ( iz iz) = sin z i D(sin z) = 1 ( i iz + i iz) = 1 ( iz + iz) = cos z i 1 Pruskaavoja cos (z 1 + z ) = 1 ( i(z 1 +z ) + ) i(z 1+z ) = 1 ( iz 1 iz + iz 1 ) iz cos z 1 cos z = 1 ( iz 1 + ) iz 1 ( 1 iz + ) iz = 1 ( iz 1 iz + iz 1 iz + iz 1 iz + iz 1 ) iz 4 sin z 1 sin z = 1 ( iz 1 ) iz 1 ( 1 iz ) iz i i = 1 ( iz 1 iz + iz 1 iz iz 1 iz iz 1 ) iz 4 Siis cos (z 1 ± z ) = cos z 1 cos z (sin z 1 sin z ) Vastaavalla tavalla voidaan osoittaa, ttä sin (z 1 ± z ) = sin z 1 cos z ± cos z 1 sin z cos z + sin z = 1 63

10 Todistus cos z + sin z = 1 4 ( iz + iz) 1 ( iz iz) 4 = 1 4 iz iz iz iz = cos ( π z) = cos π cos z + sin π sin z = sin z cos ( z) = cos z sin ( z) = sin z 5 Funktioilla cos z ja sin z on ainoastaan jaksot nπ Todistus xp:llä on jaksot nπi, jotn sinillä ja kosinilla on jaksoina nπ, n = 0, ±1, ±, Osoitamm, ttä muita jaksoja i ol Tarkastllaan funktiota sin z a) b) Jos w C on jakso, niin Valitaan z = 0: Valitaan z = π : sin z = 0 iz iz = 0 iz = 1 iz = nπi iz = nπi z = nπ, n = 0, ±1, ±, sin (z + w) = sin z z C ( sin w + π ) ( sin w + π ) (1) w = nπ, n = 0, ±1, ±, (13) n = 0, ±, ±4, sin w = sin 0 = 0 (1) = sin π = 1 ( π = cos w π ) = cos ( w) = cos w Siis cos w = 1 (13) 64

11 44 Kuvaus z cos z Funktioilla z ja z on jaksovyönä { } z π < Im z π { } Näin olln cos z saa joukossa A = z π < R z π arvonsa Tutkitaan, mitn cos z kuvaa joukon A Tarkastllaan yhtälöä kaikki mahdollist cos z = w (14) Sijoittaan iz = t: iz + iz = t + 1 t t tw + 1 = 0 = t + 1 t t tw + w = w 1 (t w) = w 1 a) w = ±1 (t 1) = 0 b) w ±1 t = ± w 1 + w { t = 1 t = 1 = w { z = 0 z = π Nliöjuurn kaksi ri haaraa antavat kaksi ri t:n arvoa t 1 0 ja t 0 Yhtälöllä (14) on vastaavasti juurt z 1 A ja z A, joill iz 1 = t 1 ja iz = t Koska t 1 t = w (w 1) = 1, on i(z 1+z ) = 1 ja z 1 + z = nπ z = z 1 + nπ Ylnsä on n = 0, jolloin z = z 1 A Jos R z 1 = π, niin z = z 1 + π A Funktio cos z saa siis kaikki arvot w ±1 täsmälln kaksi krtaa joukossa A Arvot w = 1 ja w = 1 kosini saa pistissä z = 0 ja z = π Koska cos z = cos (x + iy) = cos x cos iy sin x sin iy = cos x cosh y i sin x sinh y, on cos z raalinn suorilla y = 0 ja x = nπ Tästä suraa Esimrkki Ratkais yhtälöt a) sin z = 1 65

12 A z 1 π z 1 z 1 z 1 π z 1 + π z 1 + π Kuva 46: π 0 π π bij cos π = 0 Kuva 47: b) cos z = i c) sin z = 100 a) sin z = 1 ( iz iz) = 1 i iz iz = i ( iz) i iz 1 = 0 iz = i ± = i = i π iz = i π + nπi 66

13 z = π + nπ b) cos z = 1 ( iz + iz) = i iz + iz 4i = 0 ( iz) 4i iz + 1 = 0 iz = i ± 4 1 = i ± i 5 { iz = ( + 5)i iz = ( 5 )( i) { y ix = ( + 5) i π y ix = ( 5 ) i π { x1 = π + nπ y 1 = ln ( { 5 + ) x = π + nπ y = ln ( 5 ) c) sin z = 1 ( iz iz) = 100 i ( iz) 00i iz 1 = 0 iz = 100i ± = i(100 ± 9999) Mitä on sin i ja cos i? y ix = (100 ± 9999) iπ { x = π + nπ y = ln (100 ± 9999) sin z = 1 i ( iz iz) Toinn tapa: sin i = 1 i ( 1 1) 1 = i = i 1 sin iy = i sinh y sin i = i sinh 1 = i 1 ( 1 1) 67

14 Vastaavasti cos iy = cosh y cos i = cosh 1 = 1 ( + 1 ) 68