Juuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
|
|
- Tiina Hakala
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty Kokoavia thtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Kirjoittaan kskiarvoll lausk :n avulla ja ratkaistaan yhtälöstä. π 4 π 4π :4 π 4 a b c b) Kskiarvo on nnn muutosta ja muutoksn jälkn a0 b0 c0 abc0 abc 0. Kskiarvo siis kasvaa kymmnllä. Mdiaani on suuruusjärjstyksssä kskimmäinn luvuista a, b ja c. Kun jokaisn lukuun lisätään 0, lukujn kskinäinn järjstys i muutu. Kskimmäinn on siis sama kuin aimmin, johon on lisätty 0, li myös mdiaani kasvaa 0:llä.
2 Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty a) Valitaan luokiksi cm, 6 69 cm, cm, 7 79 cm ja cm. Lasktaan, kuinka monta pituutta kuhunkin luokkaan kuuluu ja kirjoittaan luokkin frkvnssit taulukkomuotoon. luokka frkvnssi Lasktaan luokkin summafrkvnssit laskmalla yhtn luokan ja sitä dltävin luokkin frkvnssit. luokka frkvnssi summafrkvnssi b) Piirrtään krtymäkuvaaja mrkitsmällä summafrkvnssi luokan todllisn ylärajan kohdall ja yhdistämällä pistt. Luokkin todllist ylärajat ovat 64,; 69,; 74,; 79, ja 84, cm. Ensimmäisn luokan todllisn alarajan 9, kohdall tul frkvnssi 0.
3 Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty Mdiaanipituudn ylittää puolt oppilaista li 8 ja alittaa myös 8 oppilasta. Kuvasta mdiaani arvioidaan tsimällä s pituus, jonka kohdalla krtymäkuvaaja likkaa vaakatason 8; tämä on noin 7 cm. Oppilaita on yhtnsä 6, jotn mdiaanipituus on pituusjärjstyksssä kahdn kskimmäisn pituudn kskiarvo. Luokan pituusjärjstyksssä 8. ja 9. oppilaan pituudt ovat 70 ja 7 cm, jotn ainiston todllinn mdiaani on 70, cm. Krtymäkuvaajasta arvioitu mdiaani on siis, cm suurmpi kuin ainiston todllinn mdiaani.
4 Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty Hahmotllaan tilanntta kuvan avulla: Niidn oppilaidn osuus, jotka pitävät suklaasta tai ovat musikaalisia, on 60 % + 70 % 0 % = 80 %. Niinpä niidn opisklijoidn osuus, jotka ivät pidä suklaasta ivätkä ol musikaalisia, on 00 % 80 % = 0 %. Todnnäköisyys, ttä satunnaissti valittu koulun oppilas i pidä suklaasta ikä ol musikaalinn, on sama kuin näidn osuus kaikista oppilaista li 0 % = 0,0. TAI Hahmotllaan tilanntta kuvan avulla: Niidn oppilaidn osuus, jotka pitävät suklaasta tai ovat musikaalisia, on 0 % + 0 % + 0 % = 80 %. Niinpä niidn opisklijoidn osuus, jotka ivät pidä suklaasta ivätkä ol musikaalisia, on 00 % 80 % = 0 %. Todnnäköisyys, ttä satunnaissti valittu koulun oppilas i pidä suklaasta ikä ol musikaalinn, on sama kuin näidn osuus kaikista oppilaista li 0 % = 0,0
5 Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty a) b) c) 0! ! !!!! 8! 876! 87 6!!! 6 6! 64! 4 4! 6 4! 4!! d) 6
6 Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty Kaksinumroisssa positiivisssa kokonaisluvussa nsimmäinn numro on jokin luvuista,,, 9, ja toinn numro on jokin luvuista 0,,, 9 ja jokainn näistä numroista on yhtä todnnäköinn. Todnnäköisyys, ttä nsimmäinn numro on tai, on siis P(nsimmäinn numro on tai ) Vastaavasti P(toinn numro on tai ). 9 0 Lisäksi todnnäköisyys, ttä skä nsimmäinn ttä toinn numro on tai, on P(nsimmäinn on tai ja toinn on tai ) Niinpä P(ainakin toinn on tai ) Muita tapoja: P(ainakin toinn on tai ) P(kumpikaan i ol tai ) Sama tulos saadaan myös luttlmalla sopivat luvut. Kaksinumroisia positiivisia kokonaislukuja ovat luvut 0,,, 99, joita on 90. N luvut, joissa ainakin toinn numroista on tai, ovat 0,,,, 4,, 6, 7,8, 9 (0 kpl) 0,,,, 4,, 6, 7, 8, 9 (0 kpl),, 4, 4,,, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9 (7 = 4 kpl) Kysisiä lukuja on yhtnsä 4 kappaltta. Niinpä kysytty todnnäköisyys on
7 Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty Käyttään kannattavuudn mittarina odotusarvoa. Lasktaan odotusarvo kummassakin tilantssa: siinä, jossa kilpailija vastaan nsin hlppoon kysymyksn ja myös siinä, jossa hän vastaa nsin vaikaan kysymyksn. Olkoon X = kilpailijan voittama rahasumma, kun hän vastaa nsin hlppoon kysymyksn. Muodosttaan satunnaismuuttujan X jakauma ja lasktaan sn odotusarvo. (uroa) P(X = ) 0 0, (vastaa väärin hlppoon) 00 0, 0,8 = 0,4 (vastaa oikin hlppoon ja väärin vaikaan 600 0, 0, = 0, (vastaa oikin molmpiin) Nyt E(X) = 0, 0 + 0, , 600 = 40. Olkoon sittn Y = kilpailijan voittama rahasumma, kun hän vastaa nsin vaikaan kysymyksn. Muodosttaan satunnaismuuttujan Y jakauma ja lasktaan sn odotusarvo. y (uroa) P(Y = y) 0 0,8 (vastaa väärin vaikaan) 400 0, 0, = 0, (vastaa oikin vaikaan ja väärin hlppoon 600 0, 0, = 0, (vastaa oikin molmpiin) Nyt E(Y) = 0, , , 600 = 00. Koska satunnaismuuttujan Y odotusarvo on suurmpi, kilpailijan kannattaa siis vastata nsin vaikaan kysymyksn.
8 Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty C on lopullinn voittaja, jos ) C voittaa suraavat kolm pliä, tai ) suraavista kolmsta plistä C voittaa kaksi ja A yhdn, ja lisäksi sitsmännn plin voittaa C. Tapahtumat ja ovat rillist. Koska plaajat ovat yhtä taitavia, jokaislla on sama todnnäköisyys voittaa pli: P(A voittaa plin) P(B voittaa plin) P(C voittaa plin), ja ri plikirroksilla voitot ivät riipu toisistaan. Tapahtuman todnnäköisyys on krtolaskusäännön mukaan. Tapahtuma koostuu rillisistä tapahtumista, ACCC, CACC ja CCAC joista jokaisn todnnäköisyys on 4. Niinpä kysytty todnnäköisyys on 4 P(C on lopullinn voittaja) 0, ,074. 7
9 Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty Funktio on f tihysfunktio, jos ) sn arvot ovat i-ngativisia ja ) sn kuvaajan ja -akslin väliin jäävän alun pinta-ala on. ) Funktion lauskkista nähdään, ttä i-ngatiivisuus totutuu silloin kun a 0. ) Pinta-alaa muodostuu vain välillä 0 <. Etsitään sllainn ingatiivinn luku a, ttä 0 f ( )d. 0 0 f ( )d d a d ln 0 ln ln) / / a a a a a a 0 0 Koska luku täyttää hdon a 0, funktio f on tihysfunktio silloin kun a. Krtymäfunktio F saadaan intgroimalla tihysfunktiota f ja käyttämällä intgroimisvakioidn määräämisn titoja F(0) = 0 ja F() = skä sitä, ttä F on jatkuva kaikkialla., kun 0 0, kun 0, kun 0 Intgroidaan funktio f( ), kun, kun 0, muulloin 0, kun osissa. < 0: F( ) 0d C 0 < < : F( ) d D < < : F( ) d lne > : F ( ) 0d G
10 Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty Koska F(0) = 0 ja funktio F on jatkuva, täytyy olla lim F( ) lim F( ) 0: 0 0 lim F( ) lim C C, siis C = F D D, siis D = 0. lim ( ) lim ( ) 0 0 Koska F() = ja funktio F on jatkuva, täytyy olla lim F( ) lim F( ) : lim F( ) lim ( ln E) ln E E, mistä E lim F( ) li m( G) G, siis G =. Tarkisttaan vilä funktion F arvo ja jatkuvuus kohdassa = kun C = 0, D = 0, E ja G = : lim F( ) lim( ) lim F( ) lim ( ln ) ln 0 Siis krtymäfunktio on 0, kun 0,, kun 0, F( ) ln, kun,, kun. Kysytty todnnäköisyys on krtymäfunktion avulla laskttuna P( X ) P( X ) F() F( ) ln 0 ln 0, ,8.
11 Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty Kun yksi pallo on siirrtty laatikosta A laatikkoon B, tapahtuman laatikosta B saadaan valkoinn pallo todnnäköisyys riippuu siitä, minkä värinn pallo siirrttiin. Jataan tapahtuma laatikosta B saadaan valkoinn pallo siirrtyn pallon värin mukaan kahtn rillisn osaan: : siirrtään valkoinn pallo ja saadaan valkoinn pallo, skä : siirrtään musta pallo ja saadaan valkoinn pallo. Lasktaan kummankin todnnäköisyys. P(siirrtään valkoinn pallo ja saadaan valkoinn) 8 8 P(siirrtään musta pallo ja saadaan valkoinn) 4 8 Koska tapahtumat ovat rillisiä, kysytty todnnäköisyys on 0,7 0, Sllaisia korttja, joissa ainakin yksi puoli on musta, on = 90. Koska nosttulla kortilla on ainakin yksi musta puoli, on nostttu yksi näistä 90:stä. Jokaisn kortin todnnäköisyys tulla nosttuksi on sama. Niinpä todnnäköisyys, ttä nosttun kortin toinnkin puoli on musta, on todnnäköisyys, ttä nosttuksi tuli yksi 40:stä kokonaan mustasta kortista li , , Toinn tapa: P(molmmat puolt mustia toinn puoli on musta) P(molmmat puolt on mustia ja toinn puoli on musta) P(toinn puoli on musta) P(molmmat puolt on mustia) P(toinn puoli on musta) , ,
12 Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty APUVÄLINEET SALLITTU. a) Kokn tki kaikkiaan = 0 osallistujaa. Koska jokaisssa ryhmässä arvosanojn summa on arvosanojn kskiarvo krrottuna ryhmän koolla, saadaan kaikkin osallistunidn kskiarvoksi 7 7,8 40 8, 7,97 7, ,99. 0 b) Lasktaan arvosanojn kskiarvo taulukkolaskntaohjlmalla tai matmatiikkaohjlmalla: Kskiarvo on 7,7894 7,8. Lasktaan kskihajonta matmatiikkaohjlmalla: Kskihajonta on,466,46.. a) Kirjoittaan tidot taulukkolaskntaohjlmaan, järjsttään tidot osuudn mukaan suuruusjärjstyksn ja piirrtään ympyräkuvio. b) Piirrtään pylväskuvio. Pylväskuviota vartn titoja i ol tarpn järjstää suuruusjärjstyksn, vaan luokka muu voi olla viimisnä.
13 Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty a) Tilanntta voidaan ajatlla toistokokna, jossa toistoja li hnkilöitä on 0 ja onnistumisn li tapahtuman hnkilö on puolun kannattaja todnnäköisyys jokaislla toistolla on % = 0,. Onnistumistn li kannattajin lukumäärä noudattaa binomijakaumaa Bin(0; 0,). Ohjlman avulla saadaan P(kannattajia on ) = 0, ,044. Sama tulos saadaan, kun kysytty todnnäköisyys lasktaan toistokokn kaavalla: 0 0 P(kannattajia on ) 0, 0, 0, 0,77 0, ,044. b) Mrkitään kannattajin lukumäärää 0 hnkilön otoksssa satunnaismuuttujalla X. Kutn a-kohdassa, koska X ~ Bin(0, ), ohjlman avulla saadaan P(X 8) = 0,000 0,000. Toinn tapa: Toistokokn kaavaa käyttän saadaan rillistn tapahtumin yhtnlaskusäännön avulla P(X 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 0) , 0,77 0, 0,77 0, 0, , 0,77 00, 0,77 0, 0, 000 c) Ohjlman avulla saadaan P(X ) = 0,9 0,9. Toinn tapa: Toistokokn kaavaa käyttän saadaan rillistn tapahtumin yhtnlaskusäännön avulla P(X ) = P(X = 0) + P(X = ) , 0,77 0, 0, ,77 0 0,0,77 0,9. d) Ohjlman avulla saadaan P(X ) = 0,967 0,9. Toinn tapa: P(X ) = P(X = 0) = 0,77 0 = 0,967 0,9.
14 Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty Kahtn ri joukkusn jäsnt voidaan valita ri tavalla. Kun joukkut on valittu, lpäämään jäävä hnkilö on myös määrittty. Ajatllaan rantalntopallokntän puoliskoja nimillä A ja B. Kun nsin valitaan joukku puolll A kaikkin 7 hnkilön joukosta, ja toinn joukku puolll B loppujn 4:n joukosta, niin toinn tapa saada nämä täsmälln samat joukkut toisiaan vastaan on valita nsin joukku puolll A ja joukku puolll B. Näin olln rilaistn joukkuparin lukumäärässä 40 samat kaksi joukkutta siintyvät parina kaksi krtaa. Siis rilaisia kahdn joukkun ja yhdn lpäävän plaajan mahdollisuuksia on Jos yksi pli kstää puoli tuntia, 70 pliin mn tuntia; niinpä plaajat ivät hdi käydä kaikkia vaihtohtoja läpi vuorokaudn li 4 tunnin aikana.. a) Plaaja voittaa uroa todnnäköisyydllä ja häviää yhdn uron 7 todnnäköisyydllä 6. Voiton odotusarvo on siis 7 6 ( ) 0, ,0 uroa b) Plaaja voittaa uroa todnnäköisyydllä ja häviää yhdn uron 7 4 todnnäköisyydllä. Voiton odotusarvo on siis ( ) uroa c) Plaaja voittaa uron todnnäköisyydllä 8 ja häviää yhdn uron todnnäköisyydllä. Voiton odotusarvo on siis ( ) uroa
15 Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty Olkoon n turistin lukumäärä. Tapahtuman A = ainakin yksi turisti kuuluu vriryhmään O vastatapahtuma on A = yksikään ryhmän turistista i kuulu vriryhmään O. Tämän todnnäköisyys on n n P A ( 0,0) 0, 70, jotn P(A) = 0,70 n. Etsitään pinin luku n, joll P(A) > 99 = 0,99 li joll 0,70 n > 0,99, mistä saadaan päyhtälö 0,70 n < 0,00. Ratkaistaan nsin yhtälö 0,70 n = 0,00 logaritmin avulla: n 0,70 0,00 n log0,7 0,00 n 4,8... Mitä usampia turistja ryhmässä on, sitä todnnäköismpää on, ttä histä ainakin yksi kuuluu vriryhmään O. Kun turistja on tai nmmän, todnnäköisyys on yli 99 promilla.
16 Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty a) Maalitaulun säd on 60 0 (cm), jotn sn pinta-ala on π0 900π (cm ). 900ππ0 Kymmnn pistn alun pinta-ala on π, jotn 4 todnnäköisyys, ttä hitto osuu 0 pistn alusn, on π. 900π 6 Tapahtuman viidstä hitosta ainakin yksi osuu 0 pistn alusn vastatapahtuma on yksikään viidstä hitosta i osu 0 pistn alusn, jonka todnnäköisyys on 869 0, Todnnäköisyys, ttä viidstä hitosta ainakin yksi osuu 0 pistn alusn on siis 0,4747 = 0,6 0,. b) Todnnäköisyys, ttä hitto osuus 00 pistn ympyrään, on π 0. Tilanntta voidaan ajatlla toistokokna, jossa toistoja li 900π 9 hittoja on viisi ja onnistumisn todnnäköisyys on. 9 Onnistumistn li 00 pistn ympyrään osumistn lukumäärä noudattaa binomijakaumaa Bin(, ). 9 Todnnäköisyys, ttä onnistumisia tul kolm, saadaan ohjlman avulla tai laskmalla 640 0, , c) Kahdlla hitolla saadaan yhtnsä 00 pistttä kolmlla ri yhdistlmällä: , ja Jokainn yhdistlmä voidaan saada kahdlla ri tavalla, nsin suurmpi ja sittn pinmpi pistmäärä tai toisinpäin. Pistmäärin 60, 70 ja 80 aluilla on sama pinta-ala π 0 π 0 00π, jotn näillä pistmäärillä on sama todnnäköisyys 00π. 900π 9
17 Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty Siis P(60) P(70) P(80). 9 Pistmäärin 0, 0 ja 40 aluilla on sama pinta-ala kuin pistmäärällä 0, joka laskttiin jo kohdassa a. Näidn pistmäärin todnnäköisyydt ovat siis P(0) P(0) P(40) P(0). 6 Erillistn tapahtumin yhtnlaskusäännöllä saadaan P(kahdlla hitolla 00) = P(80 ja 0) + P(0 ja 80) + P(70 ja 0) + P(0 ja 70) + P(60 ja 40) + P(40 ja 60) , ,09. 4
18 Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty a) Kaikkia alkistapauksia vastaa suorakulmio, jossa ja y. Tämän suorakulmion pinta-ala on = 4. Tapahtumaa " y " vastaa s käyrän y osa, joka jää suorakulmion alull. Käyrän pinta-ala on nolla, jotn tapahtuman on nolla. y todnnäköisyys b) Tapahtumaa A = " y " vastaa suorakulmion s osa, joka jää käyrän y alapuolll. Slvittään nsin, missä käyrä y likkaa nliön ylärunan li suoran y = : : ln Haluttu alu muodostuu siis suorakulmiosta välillä ln skä käyrin y ja y = väliin jäävästä alusta välillä ln.
19 Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty Sn sijaan tapahtuman A vastatapahtuma A muodostuu käyrin y ja y = väliin jäävästä alusta välillä ln. Koska s saadaan laskttua krralla, lasktaan tapahtumaa A vastaavan alun pinta-ala. ln ln ln ln ln / d d ( )d Näin olln 4 ln P( A) ln 0,6. 4 4
20 Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty Mrkitään = hnkilön A saapumisaika ja y = hnkilön B saapumisaika minuuttina kllo 9 jälkn. Alkistapauksia ovat siis lukuparit (, y), joissa 0 60 ja 0 y 60. Kaikkia alkistapauksia kuvaa nliö, jonka sivun pituus on 60 ja pinta-ala 60 = 600. Tapahtuman A ja B ovat kahvilassa samaan aikaan vastatapahtuma on A ja B ivät ol kahvilassa samaan aikaan. Tämä tarkoittaa, ttä A saapuu yli minuuttia myöhmmin kuin B tai vastaavasti B saapuu yli minuuttia myöhmmin kuin A; siis > y + tai y > +. Vastatapahtuman kannalta suotuisa osa kuviota koostuu kahdsta kolmiosta, joissa toisssa > y + li y < ja toisssa y > +. Kummankin kolmion kanta on 4 ja korkus samoin 4, jotn vastatapahtuman todnnäköisyys on 44 9 P(A ja B ivät ol kahvilassa samaan aikaan) Niinpä kysytty todnnäköisyys on 9 7 P(A ja B ovat kahvilassa samaan aikaan). 6 6
21 Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty Slvittään nsin s kahvimäärä, jolla kahvin pinta on 0,7 cm:n päässä mukin runasta. Muki on katkaistun ympyräkartion muotoinn. Katkaistun kartion tilavuus saadaan vähntämällä kokonaisn kartion tilavuudsta katkaistun osan tilavuus. Hahmotllaan siis poikkilikkauskuva tilantsta ja täydnntään kartio kokonaisksi. Mrkitään mukin sädttä kahvin pinnan korkudlla kirjaimlla r, skä katkaistun osan korkutta kirjaimlla. Nyt kahvin tilavuus kuutiomillilitroina on π r (9 ) π. Ratkaistaan r ja. Kuvan kolmiot ABC ja ADE ovat kk-lausn nojalla yhdnmuotoist, sillä niissä on molmmissa suora kulma ja yhtinn kulma A. Vastinosin suhtista saadaan yhtälö 00, josta = 0 (mm). Samoin yhdnmuotoistn kolmioidn avulla voidaan ratkaista r. r r 4, (mm) Kahvin tilavuus, kun pinta yltää 7 mm päähän runasta, on siis π 4, (9 0) π 0 498,49... mm 4,9... cm. Kahviautomaatin laskmaa kahvimäärää (kuutiosnttimtrinä) kuvaa satunnaismuuttuja X ~ N(μ, ). Thtävänä on määrätä odotusarvo μ sitn, ttä P(X > 4,9 ) = 0,00, li ttä P(X 4,9 ) = 0,99. Ratkaistaan ohjlman avulla numrissti yhtälö Normaalijakauma(,, 4,9 ) = 0,99, jolloin ratkaisuksi saadaan =,4 cm. Kskiarvoksi tul siis säätää noin cm.
Juuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 Kertaus K. a) Alapaineiden pienin arvo on ja suurin arvo 74, joten vaihteluväli on [, 74]. b) Alapaineiden keskiarvo on 6676870774
LisätiedotJuuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 Kertaus K. a) Alapaineiden pienin arvo on ja suurin arvo 74, joten vaihteluväli on [, 74]. b) Alapaineiden keskiarvo on 6676870774
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat
Lisätiedot1. Laske sivun 104 esimerkin tapaan sellainen likiarvo luvulle e, että virheen itseisarvo on pienempi kuin 10 5.
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi II Harjoitus Ratkaisuhdotuksia Aapo Tvanlinna. Lask sivun 4 simrkin tapaan sllainn likiarvo luvull, ttä virhn itsisarvo on pinmpi kuin 5. Huomataan nsin,
LisätiedotLIITE 8A: RAKENNELUVUN 137 YHTÄLÖITÄ
LIITE 8A: RAKENNELUVUN 37 YHTÄLÖITÄ Raknnluvusta 37 on tämän työn yhtydssä syntynyt yli 00 yhtälöä, joista 00 yhtälöä on analysoitu. Näistä on osoittautunut 70 yhtälöä milnkiintoisiksi ja saman vrran otaksutaan
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotLisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen
MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
YLIOPPILSTUTKINTO- LUTKUNT..7 MTEMTIIKN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ -osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän alla olevaan ruudukkoon.
LisätiedotKertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman
LisätiedotA Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7
1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ
LisätiedotLisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
Lisätiedotriippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa.
12.11.2015/1 MTTTP5, luento 12.11.2015 Luku 4 Satunnaisotos, otossuure ja otosjakauma 4.1. Satunnaisotos X 1, X 2,, X n on satunnaisotos, jos X i :t ovat riippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa. Sanonta
Lisätiedotexp(x) = e x x n n=0 v(x, y) = e x sin y
4 Alkisfunktioita 41 Eksponnttifunktio Eksponnttifunktio xp : R R on määritlty khitlmällä xp(x) = x x n = n! Pyrimm laajntamaan määritlmän koko tasoon C sitn, ttä 1 xp : C C on analyyttinn ja xp(x) = x,
LisätiedotTee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti
MAA8 Ko 5..04 T konsptiin pisttsruudukko! Muista kirjata nimsi ja rhmäsi. Lu ohjt huolllissti A-Osio: Ei saa kättää laskinta. MAOL saa olla alusta asti kätössä. Maksimissaan h aikaa suorittaa A- Osio.
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
Lisätiedot2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet
Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04
Lisätiedot1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10 13
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 2 x 2 3 2 3 x 1 4, (b) (x + 1)(x 2)
LisätiedotA-Osio. Ei saa käyttää laskinta, maksimissaan tunti aikaa. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat:
MAA6 Loppukoe 26..203 Jussi Tyni Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! Lue ohjeet huolella! A-Osio. Ei saa
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A
Lisätiedot8. RAKENNELUKU /α = 137, (8.1)
8. RAKENNELUKU 37 Raknnluku 37 on skä matmatiikassa ttä fysiikassa samantapainn ja prustavalaatuinn raknnluku kuin luonnonluku /. Fysiikassa luvun 37 kääntisarvoa kutsutaan hinoraknnvakioksi, jonka tarkka
LisätiedotVastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
Lisätiedot/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla
17.11.2016/1 MTTTP5, luento 17.11.2016 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla likimain Jos X ~ Bin(n, p), niin X ~ N(np, np(1 p)), kun n suuri. 17.11.2016/2
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)
LisätiedotV ar(m n ) = V ar(x i ).
Mat-.3 Stokastiset prosessit Syksy 007 Laskuharjoitustehtävät 6 Poropudas/Kokkala. Olkoon M n = X +... + X n martingaali ja M 0 = 0. Osoita, että V ar(m n ) = n V ar(x i ). i= Huomattavaa on, että muuttujia
LisätiedotA-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
Lisätiedot1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
LisätiedotKäytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:
8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)
LisätiedotKenguru 2016 Student lukiosarja
sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä
Lisätiedot6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)
6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi
LisätiedotRATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.
RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
LisätiedotKenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6
Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.
Lisätiedot5 Rationaalifunktion kulku
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja
LisätiedotEmpiiriset sovellukset
Empiirist sollukst Kotithtään ratkaisu.4. S ystmianalyysin Tknillinn korkakoulu Esitlmä # - Esitlmöijän nimi Optimointiopin sminaari - Kät Kotithtää Epäsymmtrisn tidon huutokauppa öljysiintymästä Piirrä
LisätiedotKartio ja pyramidi
Kartio ja pyramidi Kun avaruuden suora s liikkuu pitkin itseään leikkaamatonta tason T suljettua käyrää ja lisäksi kulkee tason T ulkopuolisen pisteen P kautta, suora s piirtää avaruuteen pinnan, jota
LisätiedotJuuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +
LisätiedotTODENNÄKÖISYYS JA TILASTOT MAA6 KERTAUS
TODENNÄKÖISYYS JA TILASTOT MAA6 KERTAUS Klassinen todennäköisyys P suotuisten alkeistapausten lkm kaikkien alkeistapausten lkm P( mahdoton tapahtuma ) = 0 P( varma tapahtuma ) = 1 0 P(A) 1 Todennäköisyys
Lisätiedot1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
Lisätiedot/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla
16.11.2017/1 MTTTP5, luento 16.11.2017 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla ~,, ~,,. 16.11.2017/2 Esim. Tutkittiin uuden menetelmän käyttökelpoisuutta
Lisätiedot30A02000 Tilastotieteen perusteet
30A02000 Tilastotieteen perusteet Kertaus 1. välikokeeseen Lauri Viitasaari Tieto- ja palvelujohtamisen laitos Kauppatieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2019 Periodi I-II Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 6.3.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
Lisätiedot, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä
Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =
Lisätiedota b c d
1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on
LisätiedotKenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi)
Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta
LisätiedotEnergian säilymislain perusteella elektronin rekyylienergia on fotnien energioiden erotus: (1)
S-11446 Fysiikka IV (Sf), I Väliko 544 1 Osoita, ttä Comptonin sironnassa lktronin suurin mahdollinn rkyylinrgia voidaan sittää muodossa E Kin hf 1 + mc /hf Enrgian säilymislain prustlla lktronin rkyylinrgia
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
Lisätiedot4 Todennäköisyysjakauma
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 Todennäköisyysjakauma. a) Pistevaihtoehdot ovat,, ja 0. Heittoyritys tuottaa k pistettä silloin, kun kyseessä on k pisteen heitto
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus
LisätiedotPYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA
PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA Pyörädyskappaleen pinta syntyy, kun funktion kuvaaja pyörätää suoran ympäri., suomennos Matti Pauna LIERIÖ JA KARTIO Lieriöt ja kartiot ovat yksinkertiaisimpia
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotJohdatus graafiteoriaan
Johdatus graafitoriaan Syksy 2017 Lauri Hlla Tamprn yliopisto Luonnontitidn tidkunta 2 Luku 1 Pruskäsittitä 1.1 Määritlmiä 1.2 Esimrkkjä 1.3 Trminologiaa 1.4 Joitakin rikoisia yksinkrtaisia graafja 1.5
LisätiedotMAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen
LisätiedotELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 19: Gaussin integrointi emojanan alueessa.
/ ELEMENIMENEELMÄN PERUSEE SESSIO : Gaussin intgrointi mojanan alussa. JOHDANO Ylisssä lujuusopin lmnttimntlmässä lmntin jäykkyysmatriisi [ k ] ja kvivalnttinn solmukuormitusvktori { r } lasktaan määrätyistä
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt, Syksy 2015 Harjoitus 2, Ratkaisut Ratkaise separoituvat differentiaaliyhtälöt. a) y = y
Diffrntiaaliyhtälöt, Syksy 215 Harjoitus 2, Ratkaisut 1.11.215 1. Ratkais sparoituvat diffrntiaaliyhtälöt a) y = y 3, b) y = 1 + y 2 y 2. y Ratkaisu. a): Yhtälö y = 3 on hyvin määritlty kun 3. Lisäksi
Lisätiedot= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2
Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-200 Todennäköisyyslaskenta Tentti 29.04.20 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu.. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi kuutosen. A aloittaa
LisätiedotJatkuvat satunnaismuuttujat
Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään
LisätiedotHenkilötunnus Sukunimi Etunimet
Valintakokeessa on kaksi osaa: Osa 1 sisältää viisi esseetehtävää kansantaloustieteestä. Osasta 1 voi saada 0 30 pistettä. Osa sisältää kuusi matematiikan laskutehtävää. Osasta voi saada 0 30 pistettä.
Lisätiedot(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.
Lisätiedot3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
Lisätiedot11 MATEMAATTINEN ANALYYSI
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotY56 laskuharjoitukset 6 - mallivastaukset
Y56 Kvät 00 Harjoitus. Monopsoni Y56 laskuharjoitukst 6 - mallivastaukst Tavoittna on ymmärtää panosmarkkinoidn luonntta, kun markkinoilla on vain yksi ostaja. Monopsoni tuottaa hyödykttä y kilpailullisill
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
Lisätiedot3.7 Todennäköisyysjakaumia
MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 4 Luvussa 3 Tunnusluvut perehdyimme jo jakauman käsitteeseen yleensä ja normaalijakaumaan vähän tarkemmin. Lähdetään nyt tutustumaan binomijakaumaan ja otetaan sen jälkeen
Lisätiedot3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
LisätiedotAnna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
LisätiedotKokelaan sukunimi ja kaikki etunimet selväsi kirjoitetuna. Kaava 1 b =2a 2 b =0,5a 3 b =1,5a 4 b = 1a. 4 5 b =4a 6 b = 5a
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 28.9.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
Lisätiedotc) 22a 21b x + a 2 3a x 1 = a,
Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. 1. Lukion A ja lukion B oppilasmäärien suhde oli a/b vuoden 2017 lopussa. Vuoden 2017 aikana
LisätiedotPythagoraan polku 16.4.2011
Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,
Lisätiedot4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut
4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia
Lisätiedot2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
Lisätiedotx 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua
Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
Lisätiedotjoissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.
ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ô ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Kauppias on ostanut
LisätiedotPyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 5 (vko 4/003) (Aihe: jatkuvia satunnaismuuttujia ja jakaumia, sekamalli, Laininen luvut 5.1 5.7, 6.1 6.3)
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotA = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
LisätiedotKenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi)
Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Lisätiedot