Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti

Transkriptio

1 MAA8 Ko T konsptiin pisttsruudukko! Muista kirjata nimsi ja rhmäsi. Lu ohjt huolllissti A-Osio: Ei saa kättää laskinta. MAOL saa olla alusta asti kätössä. Maksimissaan h aikaa suorittaa A- Osio. Lask suraavista kolmsta thtävästä kaksi. Laskttuasi kaksi thtävää, palauta A-osio opttajall, jolloin saat ottaa laskimn kättöön ja siirtä tkmään B-osiota. A A a. Lask: log 45log 0 log (p) log ( ) log ( 5) (4p) b. Ratkais htälö a. Mikä on funktion b. Ratkais htälö: f( ) 6 ln( 9) 5 määrittljoukko? (p) (4p) A Drivoi funktiot f() ja g(): a. f ( ) ln( ) b. g( ) 4 Mallikuva thtävään B8:

2 MAA8 Ko T konsptiin pisttsruudukko! Muista kirjata nimsi ja rhmäsi. Lu ohjt huolllissti B-Osio, saa kättää laskinta. Lask thtävistä B4-B8 nljä: B4 a. Ratkais htälö: 4 6 b. Määritä funktion f(t) suurin ja pinin arvo, kun f ( t) 5 t B5 a. Osoita, ttä funktio f () = ln + saa vain positiivisia arvoja. b. Määritä funktion f ( ) ln ääriarvokohdat ja ääriarvot. Anna molmmista tarkat arvot. B6 Erittäin radioaktiivisn radiumin määrä N 0 (=määrä alussa) pinn määrään N kaavan B7 N() t N bt mukaissti, missä t on aika vuosina ja b on radiumin vähnmisn liittvä 0 vakio. Radiumin puoliintumisaika on 580 vuotta. a. Kuinka kauan kstää radiumin määrän pinnminn kmmnsosaan alkupräisstä? b. Jos radiumia pääs luontoon 5 kg, määritä millä nopudlla tämä määrä vähn 0 vuodn kuluttua päästöstä. Äännvoimakkuutta L (ksikkö dsibli db) mitataan kaavalla L 0lg I I0, missä I ja I 0,0 0 (niin sanottu kuuloknnksn vrrokkiluku). P = äänn tho (W) ja A = A pinta-ala joll ääni kohdistuu. Kuulon kipuknns on 0dB. a. Autostroidn tho on W ja äänn voi ajatlla auton sisällä kohdistuvan 8m alall. Kuinka suuri on äännvoimakkuus? Ilmoita tarkka vastaus skä likiarvo hdn kmmnksn tarkkuudlla. b. Mikä stroidn tho pitäisi olla, jotta kuulon kipuknns i littisi? B8 Järvn li kulk suora jääti. Matti läht moottoriklkalla rannasta tavoittna saari, jonka lhin täiss jäätistä on 800 m. Tämä lähin kohta jäätistä on puolstaan,4 km päässä rannasta. Moottoriklkka kulk jäätillä km/h ja tin ulkopuollla 45 km/h. Mikä on nopin ritti rannasta saarn? Bonusthtävä +p: Määritä funktion f ( ) ln( ) kääntisfunktio ja sitä kääntisfunktion määrittljoukko.

3 MAA8 Ko T konsptiin pisttsruudukko! Muista kirjata nimsi ja rhmäsi. Lu ohjt huolllissti Ratkaisut: A a) log 45 log0 log log log log ( ) log log9 0 b) log ( ) log ( 5) log (( )( 5)) log ( 8 5) ( 8) ( 8) 4 7 A a) f( ) ln( 9) 5 Logaritmia i voi ottaa ngatiivissta luvusta, jotn luvusta, skä lisäksi jakaja i saa olla 0, li ja nliöjuurta i voi ottaa ngatiivissta ) 9 0 => Ratkaisu kuvaajasta. Ylöspäin aukava parabli, jonka nollakohdat ovat: tai 9 0 => 9 0 kun tai ) Yhdisttään kohdat ) ja ) => f() on määritlt, kun

4 MAA8 Ko T konsptiin pisttsruudukko! Muista kirjata nimsi ja rhmäsi. Lu ohjt huolllissti b) A a) b) 6 : 6 ln 6 ln ln (6 ) ln ln 6 ln 6 ln 6 ln ln : 6 ln ln 6 f f ( ) ln( ) '( ) g ( ) 4 g '( ) D 4 D 4 D 4 D(4 ) 6 4 (4 ) 4 (6 4 ) 4 B4 a) 4 6 Määritlt kun nliöjuurn sisus i ol ngatiivinn ja nliöjuurn vastaus i ol ngatiivinn: ja vastaus kuvaajasta! Ylöspäin aukava paraabli, jonka nollakohdat laskimsta: Ei nollakohtia. => Nliöjuurn sisusta on aina posit. kaikilla :n arvoilla. (paraabli löspäinaukava, i nollakohtia => pakko olla aina -akslin läpuollla li funktion arvot aina positiivisia). Näin ainoa määrittlhto on, ttä 0 Ratkaistaan htälö:

5 MAA8 Ko T konsptiin pisttsruudukko! Muista kirjata nimsi ja rhmäsi. Lu ohjt huolllissti 4 6 () 4 6 ( ) Määrittlhdon totuttaa ainoastaan, jotn vastaus: b) Ääriarvot f ( t) 5 t Funktio on määritlt, kun nliöjuurn sisusta i ol ngatiivinn: 5 t 0 Ratkaisu kuvaajasta! Alaspäin aukava paraabli, jonka nollakohdat -5 ja 5. Funktio saa positiivisia arvoja välillä [-5,5], jotn ääriarvoja hataan tältä suljtulta väliltä. Ääriarvot drivaatan nollakohdista: f ( t) 5 t (5 t ) t (5 t ) 5 f '( t) (5 t ) ( t) t t t 0 t 0 t 0 Yksi drivaatan nollakohta. Tutkitaan mrkkikaaviossa, mikä ääriarvo on 5 t ksssä. sijoittaan drivaattaan jotakin milivaltaisia kokiluarvoja nollakohdan t=0 lähisdstä: f (-)= ( ) 9 5 ( ) 4 ja f ()= 9 5 4

6 MAA8 Ko T konsptiin pisttsruudukko! Muista kirjata nimsi ja rhmäsi. Lu ohjt huolllissti On lödtt siis ma. kohta kun t=0 => Ma arvo: f (0) Minimikohdat nättävät olvan suljtun välin päätpistissä. Tarkasttaan laskmalla funktion arvot päätpistissä t=-5 ja t=5. f f ( 5) 5 ( 5) 0 0 (5) => Min. arvo f(-5)=f(5)=0. B5 a) Funktio on jatkuva ja määritlt muuttujan arvoilla > 0 f () = ln + f () = ln = ln = ln = 0 ln + = 0 ln = = 0 f () f () Funktio saa pinimmän arvonsa muuttujan arvolla = f = ln + = + 0,64 > 0 Funktion pinin arvo on positiivinn, jotn sn kaikki arvot ovat positiivisia. Vastaus: Väit on osoitttu oikaksi b) Ratkaisu: Funktio on jatkuva ja drivoituva määrittljoukossaan >0. Mahdollinn pinin arvo löt drivaatan nollakohdasta, mikäli pinin arvo on olmassa. f `( ) ln (ln ). Drivaatta on nolla, kun =0 tai ln+=0 (tulon nollasääntö). Saadaan =0 tai 0,6. Vain jälkimmäinn kuuluu määrittljoukkoon. Koska f`(0,)<0 ja f`()>0, niin ko. nollakohta on ainoana miniminä pinin arvo ja s on f ( ) ( ) ln ( ).

7 MAA8 Ko T konsptiin pisttsruudukko! Muista kirjata nimsi ja rhmäsi. Lu ohjt huolllissti N() t N bt. Määrä puolittuu 580 vuodssa => B6 0 b580 N N : N b580 ln 0 ln b b ln ( 0,000487) b580 ln ln ln b580 ln ln ln b580 : ( 580) Kättään b:n tarkkaa arvoa, jotta saadaan vastauksista tarkkoja: a) kmmnsosaan: ln t 580 N N : N 0 0 ln t 580 ln ln t ln ln ln 580 ln ln ln t ln ln ln0 t : ( ) ln0 580ln0 t t ( 548,) ln ln 580 Eli ainn vähnminn kmmnsosaan alkupräisstä kstää noin 549 vuotta. Sitkas pirulainn! b) Alkumäärä N0 on 5kg. Vähnmisn nopus on muutosnoputta, li drivoidaan funktio N( t) 5 ln t 580 ln 5ln N '( t) 5 ( ) ln ln t t Ja lasktaan nt muutosnopus, kun t=0: ln ln 5ln 0 ln ln ln ln N '(0) ln 58 ln ln ln 58 ( 0, 0084) kg / vuosi No joo, sivntäminn riistäti mulla himan hallinnasta. Kunhan N (0) on jokin järkvä tarkka muoto ja dsimaali on kohdillaan, niin saa pistt. 8 L 0 lg 0(lg lg0 0(lg lg 8 ( ) lg0) B7 a) 0 8 0(lg lg 8 ) 0 0 lg 0 lg 8,8dB

8 MAA8 Ko T konsptiin pisttsruudukko! Muista kirjata nimsi ja rhmäsi. Lu ohjt huolllissti b) P 8 P lg 0 0(lg lg0 ) 0 0(lg P lg 8 ) 0 0lg P 0lg lg P 0lg8 0lg8 0lg P :0 () lg 8 lg 0 0 lg8 lg 0 0 P 8 P korottaan potnssihin Thon tät olla pinmpi kuin 8W. B8 Ratkaisu: P Olkoon pist A s jäätin pist, josta käänntään kohti saarta. Olkoon S saari, R rannan pist, josta jääti alkaa, ja L jäätin lähinnä saarta olva pist. Valitaan muuttujaksi AL. Tällöin RA, 4 ja AS 0,8 (suorakulmaissta kolmiosta Pthagoraan lauslla). Nt voimm muodostaa funktion, joka ilmoittaa kokonaisajan rannasta saarn: RA,4,4 t ( ) ( 0,8 ). AS 45 0,8 45 t () on määritlt ja drivoituva kaikkialla, mutta riittää tutkia suljttua väliä 0 ;, ,64 t ( ) ( 0,64) 0, kun , , ,64 =. Koska htälön molmmat puolt ovat tarkastltavalla välillä i- ngatiivisia, niin htälö voidaan korottaa puolittain nliöön. Tällöin saadaan

9 MAA8 Ko T konsptiin pisttsruudukko! Muista kirjata nimsi ja rhmäsi. Lu ohjt huolllissti ja dlln , jotn 0, ( ngatiivinn nollakohta i ol tarkastltavalla välillä ). Lasktaan lopuksi funktion arvo skä välin päätpistissä ttä drivaatan nollakohdassa: 6 t ( 0) 0,070, t (,4) 0, 078 ja t ( ) 0, 0. Siis funktion pinin arvo on drivaatan 5 nollakohdassa, jolloin,4km 0,77km =,6km. Vastaus: Matin kannattaa ajaa jäätitä 60 mtriä ja kääntä siitä suoraan kohti saarta. Bonusthtävä: f ( ) ln( ) ln( ) ln ln ln( ) ln( ) Jotn kääntisfunktio f ( ) ln( ). Logaritmia i voi ottaa ngatiivissta luvusta, jotn kääntisfunktio on määritlt, kun 0 ln ln ln ln