Lämmönsiirto (ei tenttialuetta)

Transkriptio

1 ämmönsiirto um 4..3 ämmönsiirto (i tnttialutta) rminologiaa ämpötila on suur, joka kuvaa, mitn kuuma jokin sin tai ain on. ämpötilaa (lat. tmpratura) mitataan SI-järjstlmässä klvinillä (K) tai clsiusastilla ( C). ämmönsiirtymiskrroin kuvaa, mitn paljon toa siirtyy pa-alaa koti, kun pinnan ja väliainn välillä on titty lämpötilaro. ämpötilaro on tässä väliainn ja pinnan (simrkiksi lämpöpattrin) lämpötilojn ro. Mitä suurmpi krroin on, sitä parmmin lämpö siirtyy. SI-järjstlmän mukaissti lämmönsiirtymiskrtoimn yksikkö on wattia klviniä ja nliömtriä koti li W/(K m²). ämmönjotavuus k kuvaa, mitn yvin jokin matriaali jotaa lämpöä. Mitä suurmpi lämmönjotavuuslukma on, sitä parmmin lämpö jotuu. ämmönjotavuus ilmoittaa siirtyvän lämpöton φ poikkipa-alaa A ja tittyä matriaalissa vallitsvaa lämpötilagradtia d/d koti. SIjärjstlmän mukaissti lämmönjotavuudll tul yksiköksi watti / klvin mtriä koti li W/(K m). Ominaislämpökapasittti c kuvaa, kuinka paljon lämpönrgiaa matriaaliin sitoutuu lämpötilaroa ja massaa koti. SI-järjstlmän mukainn ominaislämpökapasittin yksikkö on joula klviniä ja kilogrammaa koti li J/(K kg) ämpömäärä Q on fysikaalinn suur, joka ilmoittaa jossakin prosssissa kittyvän tai kappalsta toisn siirtyvän lämpönrgian määrän. SI-järjstlmän mukainn lämpömäärän yksikkö on joul li J. ämpövirran kittymistiys Q ɺ iys ρ on suur, joka ilmais kappaln massan sutssa sn tilavuutn. ityn lämpötilan ja painn vallitssa tiys on kullkin ainll ominainn vakio. SI-järjstlmän mukainn tiydn yksikkö on kg/m 3. Yksiulottinn lämmönjotuminn arkastllaan yksiulottista lämmönjotumista. Palmntin da, joka on -akslin normaalitasossa läpi virtaa ajassa dt lämpömäärä dq q da dt () dz dy missä q on lämpövirran tiys lmntin da kodalla suunnassa. q q k (),

2 ämmönsiirto um 4..3 ilavuuslmntissä dv da d kittyy ajassa dt lämpömäärä dq Q ɺ dv dt (3) Elmntistä tul -akslin suunnassa lämpöä ulos dq q + q, d q da dt q, dv dt k, dv dt, (4) dz q Q dy q +q, d d Elmntin lämpötasapainodosta saadaan d k, dv dt + Qɺ dv dt c ρ dv dt, dt k + Qɺ c ρ,,, t (5) Ytälöä sanotaan lämmönjotumisn Fourir- ytälöksi. Rajoittaudutaan tässä vain ajasta riippumattomaan lämmönsiirtoon, jolloin ( k ) Q,, + ɺ (6) Runadot Käsitllään aluksi vain kadntyyppisiä runatoja li runatoa, jossa lämpötila on annttu - koordinaatin arvolla ( ( ) ) ja konvktiorunatoa lämpötila kappaln ulkopuollla riittävällä täisyydllä. ( q ), missä on

3 ämmönsiirto um 4..3 Ytälön ratkaisu Galrkin in mntlmällä Ratkaistaan ytälö (6) likimäärin Galrkin in mntlmällä li ((, ), ) δ k + Q ɺ d (7) missä virtuaalinn lämpötilan muutos δ lausutaan samojn muotofunktioidn avulla kuin lämpötila ja lisäksi virtuaalinn lämpötilan muutosfunktio saa arvon anntun lämpötilan () kodalla. Jotta voidaan käyttää almpiastisia muotofunktioita, niin osittaisgroidaan nsimmäinn trmi ( δ ) d d d δ k k d + δ Qɺ d d (8) d d δ ja koska d q k ( ( ) ), niin d d δ k d δ (9) jotn ytälö (8) saadaan muotoon ( δ ) d d δ k d + δ Qɺ d () d d Yksiulottinn lmntti ämmönsiirron ttävässä tuntmattomana (skalaari)knttänä alussa (nyt [, ] Jataan alu (viiva) lmnttiin, joidn pituus on l. ) on lämpötila. n Elmntin alulla knttäfunktio rpoloidaan solmuarvoistaan 3

4 ämmönsiirto um 4..3 N N N N ( ξ ) ( ξ ) + ( ξ ) [ ] N () missä yksiulottist rpolaatiofunktiot ovat tutut N N + ( ξ ) ( ξ ) (ξ) - ξ ämpötilan drivaatta -koordinaatin sutn saadaan d d dξ [ ] B () d dξ d l Sijoittaan dllä olva knttäfunktion rpolaatio ytälöön (), jolloin k l Q l δ ( ) ( δ ) dξ ( δ ) dξ B B + ɺ N (3) missä summaus lmntittäin tdään sijoittlusummauksna. Ytölö voidaan kirjoittaa vilä muodossa δ + δ δ k + δ r (4) tai sijoittlusummaus suoritttuna δ + δ δ K + δ R (5) jonka tul totutua milivaltaislla virtuaalislla solmulämpötilavktorilla δ, jossa nsimmäinn trmi on nolla (annttu lämpötila). Ytälön (4) nsimmäinn trmi li konvktiotrmi aiuttaa lisäyksn viimisn lmntin matriisiin K. rmi voidaan kirjoittaa matriisimuodossa k (6) ( δ ) ( δ ) missä matriisi 4

5 ämmönsiirto um 4..3 k (7) jos konvktiorunato on solmulla tai k (8) jos konvktiorunato on nsimmäisn lmntin solmulla. isäksi nädään, ttä lmntin jotavuusmatriisi on k l k k dξ B B l (9) ja lämmöntuottovktori on r Q Qɺ l () askntamallin toimamatriisi askntamallin toimamatriisi K k + k () " " sijoittlusummataan tavallisn tapaan, kutn siirtymämntlmän ytydssä on ollut sillä. Ytälörymän K R () oikanpuolinn vktori sijoittlusummataan lmnttin lämmöntuottovktorista. Anntuista konvktiorunadoista saadaan trmi vktorin viimisll vapausastll ja/tai nsimmäisll jos konvktiorunato on annttu nsimmäisll solmull. uonnollissti tällöin solmun lämpötila i voi olla annttu, vaan s määräytyy konvktiodon prustlla. Esimrkki arkastllaan.5m sinämää, jossa on kaksi lmnttiä. Solmun lämpötila on annttu + C. ämpö siirtyy ulkoilmaan, jonka lämpötila on -3 C. Sinämän kadn matriaalin lämmönjotavuuskrtoimt k on 5

6 ämmönsiirto um 4..3 annttu ja konvktiokrroin lmntin ja väliainn välisllä rajapinnalla on annttu. asktaan solmujn ja 3 lämpötilat lmnttimntlmällä. + C -3 C.5. Elmntti Elmntti k.5 W/Km k.5 W/Km l.5 m l. m 3 k k Konvktiokrroin 5 W/Km Sijoittlusummataan matriisi K K + K 3 K K (3,3)+ Koska sinämässä i ol lämmöntuottoa, niin kuormavktori R on R (3) 5 li 6

7 ämmönsiirto um 4..3 k k k3 k k k 3 k3 k3 k (4) ytälörymän solmun lämpötila tunntaan jo runadon prustlla, jotn liminoidaan nsimmäinn rivi pois ytälörymästä k k3 k k k 5 k (5) ja ratkaistaan tuntmattomat lämpötilat -8.8 ast ast. Edllä sittty yksiulottinn malli sovltuu myös, mutta i sllaisnaan, ns. ripattävään, jossa lämpöä siirtyy konvktion kautta koko matkalla, ikä vain viimisstä (ja/tai nsimmäisstä) solmusta. ällöin jokaisll lmntill tul konvktiosta lisätrmit lmntin toimamatriisiin. 7