Ax 0 mm Bx mm Cx 1800 Ay 0 mm By mm Cy 0

Transkriptio

1 Tamprn tknillinn yliopisto Tknisn suunnittlun laitos EDE-00 Elmnttimntlmän prustt. Harjoitus 6 Syksy 0. F 00 OpNro 859 L 800 mm M T 85 K K 9 E MPa Kulmat ja pituudn lämpölaajnmiskrroin α rad 5 ast ID-taulukko β rad ast αf /K Solmu dof dof Pinta-alat 0 0 A mm A mm 0 0 Pistt Ax 0 mm Bx mm Cx 800 Ay 0 mm By -800 mm Cy 0 Elmntti (Lokaalisolmu on globaalisolmu ) Solmu Solmu A_ k x_ y_ 0 Solmu Pituus l_ suuntakosinit 0 0 m_ 0 E*A/L 65.9

2 Elmntti (Lokaalisolmu on globaalisolmu ) Solmu Solmu A_ k x_ y_ 800 Solmu Pituus l_ suuntakosinit 0 0 m_ E*A/L Jäykkyysmatriisi (sijoittlusummattu sininn osuus) K K P N F*COS(Bta) annttu solmukuormitus 589. N F*SIN(Bta) Lämpötilan muutoksn vaikutus (vain sauva lämpiää) Θ -88. N 88. N Sijoittlusummataan sininn osuus vktoriin yhdssä P vktorin kanssa F N 589. N Siirtymät i lämpötilan muutosta Q = K - *P mm mm plkkä lämpötilan muutos Q = K - *(F-P).86 mm.8558 mm molmpin yhtisvaikutus Q = K - *F.908 mm mm

3 Sauvavoimat lmntti Siirtymä i lämpötilan muut. k q f =k *q -0. N 0. N plkkä lämpötilan muutos q f =k *q -Θ i sauvavoimia lämpötilan muutokssta, koska isostaattinn raknn Sauvavoimat lmntti Siirtymä i lämpötilan muut k q f =k *q N N N normaalivoima N N

4 El El Kimmokrroin E [MPa] Pinta-ala A [mm ] x [mm] 0 0 x [mm] y [mm] 0-00 y [mm] 0 0 x [mm] y [mm] 0 00 l [mm] Suuntakosinit l = x / l m = y / l E*A/L Solmu n Solmu n ID-taulukko (tuottaa * matriisin Kr) Solmu dof dof 0 0 Vasn ylä Oika ylä 0 0 Vasn ala 0 0 ID k ID k Globaali jäykkyysmatriisi IsoK K sijoittlusummattu kltaismpi osuus

5 K -.86E E E E-05 Annttu solmukuormitusvktori P P Tilavuuskuormitus li nyt viivakuormitus rx ry (-g* mtripaino / 000) N/mm Elmntti f V N N Elmntti f V N N Globaali kuormitusvktori (sijoittlusummataan sinist osuudt) F Siirtymä Q = K - *F N mm mm Diagonaalisauvan (lmntti ) jännitykst k Siirtymä q 0 mm 0 mm mm mm

6 f N (normaalivoima) Jännitys sigma = N/Ala N Jännitys sigma = N/Ala (k*q- fv) 57. N N N N -.80 MPa N -.69 MPa Elmntti Siirtymä q f =k *q -f V 0 mm 0 mm mm mm -57. N 079. N 57. N 079. N Tukiraktiot Ryx -57. N Solmu Ryy 079. N Rax 57. N Solmu Ray 9. Rsultantit Rx 0. (OK) Ry 57. N Kannattimn massa Kannattimn paino G Ulkoinn kuorma alaspäin Ulkoinn kuorma alaspäin + Ry kg 57. N -57. N 0. (OK)

7 Yhdn lmntin malli koko palkista y,v(x) q x q q q Jäykkyysmatriisi k EI = L 6L 6L 6L L 6L L 6L 6L 6L L 6L L Globaalivapausastt Q Q F Globaali jäykkyysmatriisi 6L 6L EI 6L L 6L L k = L 6L 6L 6L L 6L L EI K = L kskllä olvasta pistvoimasta, joka voidaan muuntaa kvivalnttisksi solmuvoimavktoriksi lmntin lokaalivapausastill suraavasti: f p F / 0 / 8 = F / 0 / 8 Globaali kuormitusvktori saadaan sijoittlusummaamalla + F = 8 Globaalisiirtymät voidaan nyt ratkaista yhtydstä EI Q + Q + L Q = 8 Q = 8EI Q + Q = 6EI

8 jolloin lmntin lokaali solmusiirtymävktori on q = 6EI 0 0 Kskipistn taipuma saadaan nyt mokoordinaatin ξ arvolla 0. l l l l v ( ξ ) = H q + H q + H q + H q = H q + H q = H ( 0) H ( 0) EI = 6EI H = ( ξ + ξ ) H = + H = ( + ξ ξ ) H = + + ( ξ ξ ξ ) ( ξ ξ ξ ) Kokillaan sittn symmtristä puolikasta Q Globaali jäykkyysmatriisi 6L 6L EI 6L L 6L L k = L 6L 6L 6L L 6L L Q EI b 6b K = b 6b b globaali kuormitusvktori on nyt Globaalisiirtymät voidaan ratkaista yhtydstä 8EI 0 0 L L Q F L L Q Q = Q = L L L 6EI Q L 0 L Q = L L L = 6EI L = 8EI L 8EI nyt saatiin tarkka siirtymän arvo, koska lmntin alulla i ol knttäkuormituksia, kutn dllisssä mallissa.

9 Solmukuormitusvktori saadaan asttamalla viivakuormituksn potntiaali yhtäsuurksi kuin kvivalnttisn solmukuormitusvktorin potntiaali li WP = v r ds = q f s T T S missä yläindksi S viittaa painkuormituksn (tässä on viivakuormitus). Ottamalla huomioon, ttä v ja T ( ) Nq v ξ = = q T N T r ( ξ ) = N ( ξ ) r = ( + ξ ) r 0 0 saadaan viivakuorman potntiaali muotoon T T T l T T l T WP = q N r ds = q r dξ = ( + ξ ) r0 dξ N q N s T lr 0 T T T S l r 0 r 0 T = q dξ + ξ dξ = + ξ dξ N N q f N S 0 missä f r on puolt tasaisn kuormituksn aihuttamasta kvivalnttissta solmukuormitusvktorista. Muotofunktioidn vktorin transpoosi voidaan lausua N T ( ξ + ξ ) ( 6ξ + ξ ) l ( ξ ξ + ξ ) ( ξ ξ + ξ ) l = = 8 ( ξ ξ ) ( 6ξ ξ ) + + ( ξ ξ ξ ) l l + + ( ξ + ξ + ξ ) jotn

10 ( 6ξ + ξ ) ( ξ ξ + ξ ) l ( + ξ ξ ) ( ξ + ξ + ξ ) T S l r 0 r 0 WP = q f + 6 Intgroimalla ja sijoittamalla arvot, saadaan ξ dξ l WP r0 l r0l 0 r0 l0 r0l 0 0 r0l 0 r0l 0 T = q + r0 l r0 l Lopulta saadaan kvivalnttinn solmukuormitusvktori f S 9 l lr0 = 60 l Niill (muutamall) jota asia kiinnostaa, niin tässä sityksssä kuormitus on jattu antimtrisn ja symmtrisn osuutn. Taas niill, jotka ivät kiinnostunt, niin tämä thtävä i kuulu välikoalusn.