3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. y + p(x)y + q(x)y = r(x) (1)

Transkriptio

1 5 3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Huomautus pälinaarisista diffrntiaalihtälöistä: Epälinaarisn DY:n ratkaismisn i ol lispätvää mntlmää. Joitakin rikoistapauksia voidaan ratkaista: sim. tapauksissa ) = f(, ) li htälössä i siinn -trmiä ) = f(, ) li htälössä i siinn -trmiä voidaan kättää sijoitusta z = joka muuttaa htälön. krtaluvun DY:ksi. Tätä kutsutaan krtaluvun alntamisksi. Tässä luvussa käsitllään vain linaarisia htälöitä. Toisn krtaluvun linaarinn diffrntiaalihtälö on muotoa + p() + q() = r() () Yhtälö on linaarinn :n, :n ja :n suhtn, p, q ja r voivat olla mitä tahansa :n funktioita. Jos r() = 0 tarkastluvälillä I, htälö on homogninn, muulloin s on pähomogninn. Funktioita p ja q kutsutaan htälön krtoimiksi. Ratkaisua li htälön () totuttavaa funktiota hataan lnsä jollakin avoimlla välillä I = (a, b). Jos on krrottu jollakin funktiolla f(), päästään muotoon () jakamalla DY f():llä. 3. Homognist linaarist diffrntiaalihtälöt Homogninn linaarinn DY: + p() + q() = 0 () Laus 3.. Ratkaisujn suprpositiopriaat: Jos ja ovat homognisn DY:n () ratkaisuja, niin mös niidn linaarikombinaatiot C + C ovat ratkaisuja. Funktiot ja ovat linaarissti riippumattomia välillä I, jos k () + k () = 0 välillä I (3) totutuu vain arvoilla k = k = 0 funktiot ja ivät ol suoraan vrrannollist ksknään välillä I / vakio välillä I Funktiot ovat linaarissti riippuvia jos (3) voi totutua muillakin kuin krtoimin arvoilla 0. funktiot, ovat suoraan vrrannollist välillä I = a tai = b joillakin vakioilla a tai b. Drivoituvin funktioidn ja Wronskin dtrminantti on (, ) (4) W

2 6 Laus 3.. Olttaan, ttä p() ja q() ovat jatkuvia avoimlla välillä I. Kaksi homognisn DY:n () ratkaisua ja ovat linaarissti riippumattomia, jos ja vain jos Wronskin dtrminantti W(, ) 0 ksisllä välillä I. Laus 3..3 Homognisn DY:n () linn ratkaisu avoimlla välillä I on = C + C (5) missä C, C ovat milivaltaisia vakioita ja, ovat linaarissti riippumattomia ratkaisuja (li ivät ksknään vrrannollisia). Linaarissti riippumattomia ratkaisuja kutsutaan kantaratkaisuiksi ja n muodostavat DY:n () ratkaisujn kannan. Esimrkki 3.. Ratkais = 0 (6) Huomataan, ttä = ja = - totuttavat DY:n (6). / = vakio, jotn funktiot ovat linaarissti riippumattomia ja muodostavat ratkaisujn kannan. Toinn tapa linaarisn riippumattomuudn totamisksi: W(, ) 0 DY:n (6) linn ratkaisu on = C + C -. Toisn krtaluvun DY:n () lisn ratkaisuun sisältvin vakioidn ratkaismisn tarvitaan kaksi htoa. Alkuarvothtävä koostuu htälöstä + p() + q() = 0 ja alkuhdoista ( 0 ) = K 0, ( 0 ) = K (7) Runa-arvothtävä koostuu htälöstä + p() + q() = 0 ja runahdoista ( ) = K, ( ) = K (8) Esimrkki 3.. Ratkais alkuarvothtävä + = 0 (0) = 3, (0) = Ratkaistaan thtävä ns. rittllä li kokilmalla (täll vakiokrtoimisll tapauksll on mös ratkaisukaava luvussa 3.). Koska cos ja sin ovat ± toistnsa drivaattoja, kokillaan totuttavatko n anntun DY:n = -: = cos = -sin = -cos = - = sin = cos = -sin = - Nämä ovat kaksi linaarissti riippumatonta ratkaisua, jotn linn ratkaisu on = C cos + C sin

3 Alkuhdot: (0) = C = 3 7 () = -C sin + C cos (0) = C = -0.5 Alkuarvothtävän ratkaisu (ksitisratkaisu): = 3 cos 0.5 sin Yksinkrtaisissa tapauksissa ksi ratkaisu voidaan lötää rittn avulla. Jos ksi ratkaisu on lödtt, suraavalla mntlmällä lödtään toinn kantaratkaisu. Krtaluvun alntaminn toisn kantaratkaisun lötämisksi Olkoon homognisn DY:n + p() + q() = 0 () tunnttu ratkaisu. Etsitään sllainn funktio u() vakio, ttä = u on ():n ratkaisu. Sijoittaan htälöön (): = u + u = u + u + u + u = u + u + u u + u + u + p(u + u ) + qu = 0 => u + ( + p )u + ( + p + q )u = 0. u:n krroin = 0, koska on räs ratkaisu. Jakamalla :llä saadaan p u" u 0 Mrkitään v = u, jolloin saadaan. krtaluvun sparoituva DY p v v dv => p d v => ln v ln pd ln pd => v pd 0 (tumrkit ja intgroimisvakiot voi unohtaa koska hataan vain htä kantaratkaisua)

4 8 ja ratkaisu u vd vd missä pd v (9) Esimrkki 3..3 Etsi toinn kantaratkaisu DY:ll ( ) + = 0, kun ksi ratkaisu on =. 3. Vakiokrtoimist homognist diffrntiaalihtälöt Vakiokrtoiminn. krtaluvun homogninn DY on muotoa + a + b = 0 (0) missä a ja b ovat vakioita. Yrit: = () Sijoittamalla htälöön rit ja sn drivaatat saadaan = = + a + b = 0 + a + b = 0 () Tämä on DY:n (0) karaktristinn htälö. Karaktristisn htälön ratkaisut: a a 4b (3) Riippun diskriminantin D = a 4b arvosta saadaan kolm tapausta: Tapaus : Kaksi rillistä raalijuurta, Tapaus : Raalinn kaksoisjuuri Tapaus 3: Kaksi komplksista juurta Tapaus : Kaksi rillistä raalijuurta, Jos a 4b > 0, ratkaisut ja muodostavat kannan; linn ratkaisu on C (4) C Esimrkki 3.. Ratkais alkuarvothtävä + = 0, (0) = 4, (0) = -5.

5 9 Tapaus : Raalinn kaksoisjuuri Jos a 4b = 0, saadaan kaksoisjuuri = -a/, jolloin ksi ratkaisu on (a / ) (5) Toinn ratkaisu saadaan krtaluvun alntamismntlmällä: Sijoittamalla = u = u + u = u + u + u + u = u + u + u htälöön + a + b = 0 saadaan u + u + u + a(u + u ) + bu = 0 => u + ( + a )u + ( + a + b )u = 0. u:n krroin = 0, samoin u :n krroin: + a = -(a/) -(a/) + a = -a + a = 0 => u = 0 => u = 0 => u = c => u = c + c Voidaan valita u = (mahdollisimman ksinkrtainn dllisn kanssa lin. riippumaton ratkaisu). Toinn kantaratkaisu on Ylinn ratkaisu: (a / ) (6) C (7) C (C C) Esimrkki 3.. Ratkais = 0 Tapaus 3: Kaksi komplksista juurta Jos a 4b < 0, karaktristisn htälön juurt ovat a a 4b a i b a 4 jotka ovat toistnsa komplksikonjugaattja. Jos mrkitään = -a/, b a, juurt ovat 4 i, i (8) Komplksist ratkaisut ovat ja.

6 DY:ll voidaan muodostaa mös raalist kantaratkaisut: 0 Jos z = s + it, komplksinn ksponntiaalifunktio on z = s+it = s it = s (cos t + i sin t) i (cos( ) i sin( i (cos( ) i sin( )) )) Näidn summa / ja rotus /(i) ovat raalisia ratkaisuja cos( ) ja sin( ) (9) jotka ivät ol suoraan vrrannollisia li ovat lin. riippumattomia. N muodostavat siis ratkaisujn kannan. Ylinn ratkaisu on (A cos( ) Bsin( )) (0) Esimrkki 3..3 Etsi linn ratkaisu DY:ll = 0. YHTEENVETO: Vakiokrtoimisn diffrntiaalihtälön + a + b = 0 ratkaisut Tapaus Karaktristisn htälön juurt Ylinn ratkaisu raalist C C kaksoisjuuri = -a/ (C C) 3 komplksist, = ± i (A cos( ) Bsin( )) 3.3 Eulr-Cauch-diffrntiaalihtälö Eulr-Cauch-diffrntiaalihtälö + a + b = 0 () voidaan ratkaista sijoittamalla rit = m ja sn drivaatat = m m-, = m(m-) m- : m(m-) m- + am m- + b m = 0 m(m-) m + ma m + b m = 0 Kun 0, voidaan jakaa trmillä m : m(m-) + am + b = 0 m + (a-)m + b = 0 ()

7 Tapaus : Kaksi raalijuurta Raalijuurt m m : kantaratkaisut Ylinn ratkaisu: m, (3) m C (4) m m C Tapaus : Kaksoisjuuri Kaksinkrtainn juuri m = (-a)/: ksi ratkaisu on = m (5) Toinn ratkaisu lödtään krtaluvun alntamismntlmällä (linn tapaus, luku 3.): = u, josta ratkaistaan u jn. Toisksi kantaratkaisuksi saadaan Ylinn ratkaisu: = (ln ). (6) = (C + C ln ) m (7) Tapaus 3: Komplksist juurt Komplksist juurt m, = ± i. Ylinn ratkaisu on = (A cos( ln ) + B sin( ln )) (8) 3.4 Epähomognist. krtaluvun diffrntiaalihtälöt Epähomogninn. krtaluvun diffrntiaalihtälö on + p() + q() = r() (9) missä r 0. Tämän ratkaisussa tarvitaan vastaavan homognisn DY:n ratkaisua. + p() + q() = 0 (30) Laus 3.4. Epähomognisn DY:n + p() + q() = r() linn ratkaisu on () = h () + p () (3) missä h () = C () + C () on vastaavan homognisn DY:n (30) linn ratkaisu p () on mikä tahansa pähomognisn DY:n (9) ksitisratkaisu.

8 Kaavalla (3) saadaan kaikki DY:n (9) ratkaisut, antamalla vakioill C ja C sopivat arvot. Epähomognisn DY:n (9) minkä tahansa kahdn ratkaisun rotus on homognisn DY:n (30) ratkaisu. Onglma: Mitn lödtään pähomognisn DY:n ksitisratkaisu p? 3.4. Määräämättömin krtoimin mntlmä li ritmntlmä Ratkaistaan vakiokrtoimista pähomognista diffrntiaalihtälöä + a + b = r() (3) Priaat: Kun r() on funktio, jonka drivaatta on samankaltainn kuin funktio its, voidaan kättää samantppistä ritttä, jossa on mukana tuntmattomia vakioita. Vakiot määrätään sitn, ttä htälö (3) totutuu. Tällaisia funktiota ovat ksponnttifunktio, :n potnssit, sin/cos-funktiot skä näidn tulot. r() k a k n tai n:nnn astn polnomi (n = 0,,, ) k cos(), k sin() k a cos(), k a sin() rit p () c a k n n + k n- n- + + k + k 0 c cos() + c sin() a (c cos() + c sin()) Epähomognisn DY:n ksitisratkaisun p määrääminn: a) Prussääntö: Jos r() on jokin dllisn taulukon funktioista, valits sitä vastaava rit ja määritä krtoimt sijoittamalla p drivaattoinn htälöön (3). b) Modifikaatiosääntö: Jos p :n trmi (summassa) on jokin homognisn htälön + a + b = 0 ratkaisu, krro tätä tppiä vastaava p :llä (tai :lla, mikäli ratkaisu vastaa karaktristisn htälön kaksoisjuurta). c) Summasääntö: Jos r() on summa taulukon nsimmäisn sarakkn funktioista, valits rittksi (toisn sarakkn) vastaavin rittidn summa. Huomautuksia: Ensin ratkaistaan vakiokrtoiminn homogninn DY. Jos rit on väärä tai siinä on liian vähän trmjä, suraa ristiriita. Jos siinä on likaa trmjä, limääräist krtoimt mnvät nolliksi. Modifikaatiosääntöä sovlltaan taulukon ri rivjä vastaaviin rittisiin riksn ja vasta tämän jälkn summasääntöä. Muihinkin funktiotppihin rit voi onnistua, sim. a n. Esimrkki 3.4. (Krszig) Ratkais alkuarvothtävät a) + = 0,00 (0) = 0, (0) =,5 b) + 3 +,5 = -0 -,5 (0) =, (0) = 0 c) = 0,5 + 40cos(0) 90 sin(0) (0) = 0,6, (0) = 40,08.

9 Paramtrin variointimntlmä (vakion variointimntlmä) Tällä lisllä mntlmällä määrätään pähomognisn DY:n + p() + q() = r() ksitisratkaisu p kun homognisn DY:n (30) ratkaisu h () = C () + C () (33) tunntaan. Olttaan, ttä p, q ja r ovat jatkuvia avoimlla välillä I. Paramtrin varioinnissa korvataan vakiot C ja C sllaisilla funktioilla u ja u, ttä funktio p () = u () () + u () () (34) on DY:n (9) ratkaisu. Ratkaisuksi saadaan r r p () d d (35) W W missä W = on ratkaisujn ja Wronskin dtrminantti. (Prustlut: Krszig, luku.0) Toinn muoto (lisstä kaavasta luvussa 4.3.): W W p () r d r d (36) W W missä W = kantaratkaisujn Wronskin dtrminantti, W j = Wronskin dtrminantti jossa j:s sarak (j =,) korvattu sarakklla [0 ] T : 0 W W = - ' ' ' 0 W = ' Esimrkki 3.4. Ratkais DY + - = + -.