Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon. + p(x)y = r(x) (28)

Transkriptio

1 .5 Linaarist diffrntiaaliyhtälöt 10 Ensimmäisn krtaluvun diffrntiaaliyhtälö on linaarinn, jos s voidaan kirjoittaa muotoon + p(x)y = r(x) (8) Yhtälö on linaarinn y:n ja y:n suhtn, p ja r voivat olla mitä tahansa x:n funktioita. Jos r(x) 0, yhtälö on homogninn, muulloin s on pähomogninn. Jos yhtälö on muotoa f(x)y + g(x)y = h(x), jaa s f(x):llä (joka on jollakin välillä 0)..5.1 Homogninn yhtälö + p(x)y = 0 (9) on sparoituva ja voidaan ratkaista rottamalla muuttujat: dy y p(x)dx kun y 0 (30) p(x)dx ln y c (31) p(x ) dx y C (3) missä C = ± c. Koska myös triviaaliratkaisu y(x) 0 totuttaa DY:n (9), ylinn ratkaisu on (3) kaikilla vakioilla C..5. Epähomogninn yhtälö + p(x)y = r(x) (33) (py r)dx + dy = 0 Tällä DY:llä on x:stä riippuva intgroiva tkijä F(x). P = py r Q = 1 1 df F dx 1 P Q = Q y x = p(x) 1 df p(x) dx F ln F(x) p(x) dx Intgroiva tkijä: p(x)dx F (x) (34) (Vakiota i tarvita, koska riittää löytää yksi intgroiva tkijä.) Krtomalla tällä yhtälö y + p(x)y = r(x) saadaan

2 11 Vasn puoli (y py) r y p y on tulon y drivaatta, mrk. ( y) y r rdx C ( y) d dx y. Mrkitään Ylinn ratkaisu on h h(x) p(x) dx. h h y(x) ( rdx C), missä h p(x) dx (35) Diffrntiaaliyhtälön y + p(x)y = r(x) ratkaisminn intgroivan tkijän avulla 1. Lask intgroiva tkijä p(x)dx F (x) (vakiota i tarvita).. Krro DY puolittain tkijällä F(x). Silloin yhtälö on muotoa d F(x)y F(x)r(x) dx 3. Intgroi puolittain (ja lisää intgroimisvakio). Ratkais y. Huomautuksia: Voi käyttää suoraan kaavaa (35). Yllä prustllaan ylissti, mitn siihn päädytään. Trmi intgroiva tkijä tarkoittaa ttä s muuttaa DY:n muotoon joka voidaan laska suoraan intgroimalla. Linaarista tapausta i tarvits ratkaista ksaktin DY:n tapaan koska ratkaisu saadaan hlpommin. Esimrkki.5.1 Ratkais y y = x Esimrkki.5. Skoitustankissa on 1000 l vttä, jossa on liunnna 4 kg suolaa. Tankkiin virtaa tasaislla nopudlla 50 l/min suolaliuosta, jonka suolapitoisuus on 00 g/l. Liuos pidtään tasaisna jatkuvalla skoittamislla. Liuosta virtaa myös tankista ulos 50 l/min. Paljonko tankissa on suolaa 10 minuutin kuluttua? Ohj: Olkoon y(t) = suolan määrä tankissa htkllä t. Muodosta yhtälö suraavalla priaattlla: suolamäärän muutosnopus on y = virtausnopus sisään virtausnopus ulos..5.3 Homognisn ja pähomognisn linaarisn diffrntiaaliyhtälön välinn yhtys Homogninn: y + p(x)y = 0 (36) Epähomogninn: y + p(x)y = r(x) missä r(x) 0 (37)

3 1 Laus.5.1 Ensimmäisn krtaluvun linaarisn, pähomognisn DY:n ylinn ratkaisu on missä y(x) = y h (x) + y p (x) (38) y h (x) on homognisn yhtälön ylinn ratkaisu joka sisältää vakion y p (x) on pähomognisn yhtälön jokin yksityisratkaisu Epähomognisn DY:n ratkaisussa voidaan käyttää JOKO intgroivan tkijän mntlmää (joka johtaa ratkaisukaavaan (35)) TAI haka yksityisratkaisu suraavilla kokllisilla mntlmillä. Näillä mntlmillä on mrkitystä varsinaissti korkamman krtaluvun diffrntiaaliyhtälöidn ratkaismisssa. 1) Yritmntlmä li määräämättömin krtoimin mntlmä: kokil samankaltaista funktiota kuin oikan puoln funktio r(x) ja määrää funktion paramtrit sitn, ttä DY totutuu. Kun DY on vakiokrtoiminn li p(x) vakio, voidaan valita sim. suraavasti: r(x) polynomi cos(x), sin(x) kx yrit y p (x) samanastinn polynomi A cos(x) + B sin(x) A kx ) Vakion variointi: käytä yrittnä homognisn DY:n ylistä ratkaisua, jossa intgroimisvakio korvataan funktiolla u(x). Esimrkki.5.3 Ratkais y y = x a) määräämättömin krtoimin mntlmällä b) vakion varioinnilla.5.4 Brnoullin diffrntiaaliyhtälö Brnoullin DY on muotoa y + p(x)y = g(x)y a. (39) Olttaan, ttä a0, a1, jolloin yhtälö on pälinaarinn. S voidaan muuttaa linaarisksi asttamalla Drivoimalla u(x) = [y(x)] 1-a u =(1-a)y -a y = (1-a)y -a (gy a py) = (1-a)(g py 1-a ) = (1-a)(g pu) u + (1-a)pu = (1-a)g (40) joka on linaarinn u:n ja u :n suhtn.

4 13 Esimrkki.5.4 Ratkais y + 4y = 3 x y. p(x) = 4, g(x) = 3 x, a = u = y -1 u 4u = -3 x h ( 4)dx 4x Intgroiva tkijä F(x) = h = -4x. -4x (u 4u) = -4x (-3 x ) Vasn puoli -4x u 4-4x u on tulon -4x u drivaatta: (u -4x ) = -3 -x Intgroimalla u -4x = 3 ( x )dx C 3 x josta x 3 x 4x 3 C u C 4x C Olisi voitu käyttää myös kaavaa (35) suoraan. Sijoittamalla u = 1/y ylinn ratkaisu: y x 4x 3 C.6. Käyräparvn kohtisuorat likkaajat Yhtälö F(x, y, c) = 0 (41) sittää käyrää xy tasossa kiintällä c:n arvolla. Vaihtlmalla c:n arvoa saadaan äärttömän monta käyrää. Vakio c on tämän käyräparvn paramtri. Käyräparvn kohtisuorat likkaajat li ortogonaalilikkajat ovat käyriä, jotka likkaavat kaikki parvn käyrät 90 :n kulmassa. Olkoon = f(x, y). (4) diffrntiaaliyhtälö, jonka ylinn ratkaisu käyräparvn yhtälö on. Huom. vakio c i siinny yhtälössä (4).

5 14 Ensin muodosttaan DY (4) drivoimalla parvn yhtälöä (41). Tähän drivaattaan sijoittaan c, joka ratkaistaan käyräparvn yhtälöstä (41). Jos f(x,y) on käyrän tangntin kulmakrroin, kohtisuorilla käyrillä tangntin kulmakrroin on 1/f(x,y). Parvn kohtisuorasti likkaavin käyrin yhtälöt saadaan ratkaismalla DY 1 y (43) f (x, y) Huom: Tämä i ol sama y kuin yhtälöissä (41) ja (4), mutta käyttään samaa mrkintää, koska ratkaistaan xy-tason käyrän yhtälöä. Likkauspistissä käyrin x- ja y-arvot ovat samat. Esimrkki.6.1 Etsi paraablin y = cx kohtisuorat likkaajat. Käyrän tangntin kulmakrroin on y = cx. Sijoittaan tähän käyrän yhtälöstä c = y/x y = y/x jotn kohtisuoran likkaajan tangntin kulmakrroin on x/y. Ratkaistaan yhtälö y = x y Ratkaisu (sparoimalla): li 1 x y C x y 1 C C Kohtisuorat likkaajat ovat llipsjä.