LIITE 8A: RAKENNELUVUN 137 YHTÄLÖITÄ

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "LIITE 8A: RAKENNELUVUN 137 YHTÄLÖITÄ"

Transkriptio

1 LIITE 8A: RAKENNELUVUN 37 YHTÄLÖITÄ Raknnluvusta 37 on tämän työn yhtydssä syntynyt yli 00 yhtälöä, joista 00 yhtälöä on analysoitu. Näistä on osoittautunut 70 yhtälöä milnkiintoisiksi ja saman vrran otaksutaan olvan löytämättä. Näissä yhtälöissä raknnluku 37 siintyy skä sisäisnä rakntn tkijänä ttä sidosryhmin kautta, joita molmpia voi olla usampia lajja, jotn raknnluku 37 on hyvin monimuotoinn. Priaattssa sidostn on aina oltava jotnkin mukana ja sidostuminn on mahdollinn vain knttin kautta. Alkishiukkastn sisäist sidokst liittyvät värähdyshtkn samantapaissti kuin kmiassa syntyvät rilaist molkyylisidokst ja samantapaissti kuin kmian raktiot ovat mahdollisia vain värähdyshtkllä. Edllä on sittty, ttä raknnluku 37 i tul oppikirjayhtälöstä 8.. Tämän yhtälön johdannaismuodot ovat 37 h / η. q (8A.) /η. q. f V /η. h. f V (8A.) (8A.3) joissa η tyhjiön aaltoimpdanssi 376, V/A f V f 0 / 3,6, /s qhf V, J (8A.) (8A.5) (8A.6) Tulos 8A.5 syntyy, koska kääntiskntässä jännit V vastaa alkioryhmää 3,6. γ 0 ja tuloksn 8A.6 laatu J vastaa sitn tällaisn V alkioryhmän Planckin nrgiaa E hf. Sama tulos tul sittn yhtälön 7A.38 mukaissti yhtälöstä 7A.38, kun laboratoriolktroni 9 9,. 0-3 kg laittaan V jännitknttään li tällöin yhtälössä on E mv /. Yhtälöissä 8A. ja 8A.3 on aihtta uudstaan huomata, mitn fysiikassa h ja q rinnastuvat käytännössä usin samaksi asiaksi. Kaikkiin dllä olviin yhtälöihin 8A.... 8A.3 on siis luku 37 laitttu tukätn sisään ikä sitä niistä silloin titnkään voida laska. Hyvänä yhtälönä raknnluvun 37 laskmisksi on dllä sittty yhtälö 8.9 ja rikoista huomiota kannataa kiinnittää ylisn rakntn tkijään yhtälö 8.8, vaikka mont raknnluvun 37 yhtälöt voidaankin sittää matmaattissti yksinkrtaismmissa muodoissa. Ohisn yhtälöluttloon on valittu skä yksinkrtaismpia ulkorakntita, ttä monikrroksismpia sisärakntita Lambin siirtymää ja ylihinosilppoumaa unohtamatta. 8A. Raknnluku 37 plkästä luonnonluvusta muodostttuna /,37 x (+/00)/(x ) (8A.7) (/x) /x x 0, (8A.8) Tämän antama tulos on 37, ja tässä luku x on sama prustavalaatuinn alkio kuin kohdassa 7A., mistä tul simrkiksi Lambin siirtymä ja gravitaatioknttä. Tulos 8A.7 voidaan ymmärtää muodoksi

2 ,37. x sidosryhmät (8A.9) Oikan puoln nsimmäinn trmi tarkoittaa nljässä krroksssa olvaa alkioryhmää x, mikä sidostumisssa muodostaa kaksoishiukkasn luku vasmmalla puollla. Tämä asia tul kuitnkin ymmärtää myös kääntissti sitn, ttä vaikka tulos 8A.8 näyttää yksinkrtaislta, niin siinä x:llä on todllisuudssa monikrroksinn raknn sitn, ttä luku,37 on jo sinänsä monikrroksinn yhdistlmäraknn yhtälössä 8A.7 ja tämä raknn kokonaisuudssaan siirtyy yhtälöön 8A.8. Tämän tyyppinn saattaa olla luonnonluvun todllisuus fysiikassa, mikä sittn voidaan sittää yksinkrtaismmissa matmaattisissa asuissa. 8A. Kohta 8A. kun sidosryhmä on muotoa 3535,37. x. ( +,3535 3, ) (8A.0) (/x) /x x 0, (8A.) Tämä antaa myös oikan tuloksn kaikilla laskimn numroilla ja roaa dllisstä ainoastaan sillä tavalla, mitn sidosryhmä ilmoittaan. Kaikissa tapauksissa näissä rakntissa siintyvät aina molmmat rakntt 00 ja Eksponntti 3,8 yhtälössä 8A.0 tarkoittaa kaksoisraknntta. ( + 0.9) 3,8. 8A.3 Raknnluku 37 liittynnä usampiin x x -rakntisiin a. ( +,37, ) b a a y y y a, b b,37 / b, (8A.) (8A.3) (8A.) Yhtälö 8A. antaa oikan tuloksn raknnluvull 37 kaikilla käyttyn laskimn numroilla. Lisäksi kannattaa huomioida, ttä kaikissa näissä kohdissa 8A.... 8A.3 siintyy tkijänä,37 /. 8A. Raknnluku 37 tulokssta 8.9 johdttuna,9 /(/,9. 000) 6, (8A.5) 9. 6,68 7, A (8A.6) (x x ) x 0 0 x, B (8A.7) B /(. ( + A. 0-6 ) ), (8A.8) Yhtälö 8A.5 kuvaa tässä rästä hiukkasfysiikan prustavalaatuista raknntta, mikä toistuu usin. Luvut 9 0. (,0 + 0,9) ja ovat puolstaan räitä mikrorakntn pruslukuja.

3 8A.5 Raknnluku 37 prusraknnluvun.9 muodostamana a ( ) 37 + a ( ), ,9 00 (8A.9) (8A.0) Ensimmäinn lisätrmi antaa tuloksn / 37, , mikä on tarkin mahdollinn kymmnllä numrolla ilmoitttava tulos. Säännöllisstä hiukkassta on aina olmassa /000-osa ja siitä dlln /,9-osa. Luku yhtälön 8A.0 dssä tarkoittaa, ttä tällaissta raknnosasta ottaan puolt sidostumisn. Yksinkrtaisuus ja päättymättömyys ovat tämän yhtälön hyviä puolia. Kysymys matmatiikall: voisivatko kaikki riittävän suurt luvut olla raknnttu luvun 9 potnssista (i its kksitty). 8A.6 Raknnluku 37 prusluvun 0 muodostamana ( ) 00 β 0 0 ( 6 / 5 0β 6 0 ) ( β ) 0 β dx β, (8A.) (8A.) (8A.3) Tämä yhtälö on samantapaissti kaunis kuin yhtälö 8.9 ja s on yksinkrtaissti raknnttu vain luvusta 0. Sn lisäksi siinä jokainn hiukkaslajikrros osallistuu aina samalla panokslla : joko lisäosana (+) tai yhtisllä osalla (-). Tällä taas saattaa olla lähistä sukulaisuutta protonin ja nutronin massaroon. Yhtälön 8A. antama matmaattinn tulos on / 37, , koska käyttty laskin i tässä tapauksssa riitä parmpaan. 8A.7 Raknnluvun 37 muodostaminn luvun 00 dksponointi tulokssta 6 ( ) ( 00) + dx( 00) 37 + A 0 dx 00 ( ) [ ] ( ) /,9 50, ( 50 ) A 9 dx(00) x x 00 x 3,59780 dx(00) (8A.) (8A.5) (8A.6) Yhtälön 8A. antama arvo on / 37, Tässä yhtälössä raknnluvun 37 tkijät ovat hiukkasfysiikan prusluvut 0 ja,9. Kun raknnluku 37 on syntynyt sadasta alkioryhmästä, minkä kunkin koko on,37 00.,37 37, niin yhtälössä 8A. tkijä dx (00)/00 ilmoittaa, ttä jokaista alkioryhmää sitoo yksi alkioryhmä dx (00). Nämä viimksi mainitut alkioryhmät on puolstaan sidottuja tkijällä A, mikä on tuttu sidostkijä muualtakin ja lopulta yhtälön 8A.5 tkijä (+/000+.) osoittaa näidn sidostumistkijöidn sisäistä raknntta.

4 8A.8 Raknnluku 37 laskttuna protonin ja lktronin massasuhtsta 0 / 37 0, A 000 β ( + ) (8A.7) missä ja A dx [ dx( )] 0, ( ) x x ( ) 6 6 x dx x ( ) 0, [ dx( )] 0, (8A.8) (8A.9) (8A.30) (8A.3) β kahdsti didksponoitu didx didx () x y x y ( x ) y ( y ) x, didx didx () (8A.3) (8A.33) Dksponointi ja didksponointi ovat aivan yksinkrtaisia käsittitä, jotka näyttävät liittyvän olllislla tavalla hiukkasfysiikkaan. Titysti on hyvin milnkiintoista, ttä protonin ja lktronin massasuhd voidaan laska käyttämällä vain raknnlukua 37 ja luonnoslukua. Kun yhtälöä käyttään toisn suuntaan, niin ratkaisuksi luonnollissti tul raknnluku 37. Yhtälön 8A.7 antama numrinn tulos on 37, / (8A.3) / 37, (8A.35) Kahdn viimisn numron tulisi olla 6 ja ro voi hyvin johtua laskimn rajoituksista rikoissti ksponointi ja dksponointi thtävissä. Toisaalta tuloksssa 8A.3 on numroa oikin, jotn saattaa olla, ttä myös tulos 8A.35 on pätvä ja rinnakkainn tuloksll 8.. 8A.9 Raknnluku 37 ja raknn (/) / Tässä yhtydssä käsitllään ri tavoin sllaisia rakntita, joidn olttaan olvan jollain tavalla avainasmassa hiukkasrakntissa, vaikka samat asiat voidaan usin ilmaista matmaattissti yksinkrtaismmin. S, ttä asiat voidaan ilmaista monin tavoin johtuu raknnluvun 37 skä sn johdannaisn.,37, monimuotoisuudsta. Usat näistä monimuotoisista rakntista voidaan ajatlla lisäksi yhtä aikaa olmassa olviksi ja myös sisäist värähtlyt

5 muodossa 37 n /37 n ovat mahdollisia. Tässä yhtydssä tutkitaan tarkmmin prustavanlaatuisia yhtälöitä Y ja Y. Y ( / ) / / (8A.36A) 0, (8A.36B) Y,9 [ ( 50)/,9 ( 50),9 000 ] (8A.36C) 77,337 (8A.36D) Rakntt 8A.36A ja 8A.36C ovat slvästikin ri luontisia, mutta n voivat kuvata samaa asiaa. Tämä takia tutkitaan, ttä onko olmassa sllaisia johdonmukaisia alkioryhmiä, joilla syntyy yhtälöt Y Y AtaiY B. Y. Tässä jo nyt voidaan todta, ttä molmmat löytyvät hiukkasfysiikan tavanomaisina ratkaisuina usammallakin tavalla, joista kummastakin sittään tässä yhtydssä yksi havainnollistava simrkki. Kysymyksssä ylnsä on päättymätön sarja alkioryhmiä tai ainakin voidaan sanoa, ttä ihmiskunnalla i ol prustita olttaa, ttä on olmassa tunnttu pinin tasalukuinn alkioryhmä. Rajoitukst asttavat laskimin tarkkuus ja lähtöarvojn tarkkuus varsinkin, jos viimksi mainittuja on usampia rinnakkaisarvoja. Kun mrkitään A A +A, niin nsiksi saadaan, ttä A on samaa sukua kuin its raknn Y, mikä ylnsä on tärkä asia. (/) /. (/) 0, (8A.37A) / 0, / A (8A.37B) Nyt saadaan Y A / 00 0, (8A.37C) Tämä on tarkkuudlla 0, sama tulos 8A.36D, mutta pini alkio jää puuttumaan. Nyt tarkoituksllissti olttaan, ttä Lambin siirtymä sisältää tidon tällaisn alkion olmassa olosta, mikä tarkoittaa, ttä sama alkio siintyy protonisissa rakntissa. Kirjoittaan Lambin siirtymä muotoon / 7777,5638, (8A.37D) x x / 00 3 (8A.37E) x, x,555555,55 / 00 3, A Y A 77,3099 : 00 0, (8A.37F) (8A.37G) (8A.37H) (8A.37I) (8A.37J)

6 mikä on täsmälln sama tulos kuin yhtälöstä 8A.37C. Tämän jälkn käsitllään yhtälöitä Y ja Y toislla tavalla ja kirjoittaan Y kääntisalkioryhmän muotoon. 0. /. Y 0, (8A.38A) ( +. Y /00 3 ). 0, , (8A.38B) Tämän rotus yhtälöön Y on 6, , mikä on juuri yhtälön 8A.36C suluissa olvan lauskkn arvo li. Y /.,9 6, (8A.38C) Nämä lasklmat ovat hyvin johdonmukaisia ja pätvät kaikilla käyttyn laskimn tarkkuuksilla. Näistä yhtälöistä löytyy myös muita tuttuja alkioryhmiä, mutta tarkoitushakuissti yhtnä ratkaisuna haluttiin sittää Lambin siirtymään liittyvä x x -ratkaisu. 8A.0 Raknnluku 37 Lambin siirtymästä ja ylihinosilppoumasta laskttuna,637 9, ,605698/,637 9, ,066 (8A.0) + " Lamb" " ylihino" 00 Suraava trmi olisi /, mikä on kaukana skä laskimn ttä raalistn mittaustn tarkkuudsta, mutta saattaa silti olla oikin ja sitn osoittaa sitä voimaa, mikä matmatiikalla on ja sitä suurta säännöllisyyttä, mikä hiukkasfysiikalla on. Luku on räs luonnon suosima hiukkaslukumäärä, mistä tul. 3,6. 3, γ 0, mutta fysiikka on kiinnittänyt nrgian ,066 V. Tästä luvusta saadaan titysti raknnluku 37 hyvin yksinkrtaissti ,60 (8A.) Tällä yhtälöllä 8A. on kuitnkin monta onglmaa, joista yksi on s, ttä historiallissti tarkastltuna sitä tul pitää järjstttynä. Lisäksi luonnon suosima luku ilmoittaa rään lktronin koon fotonissa γ o lausuttuna, mutta tämä räs lktroni i olkaan lktroni 9 vaan, krtaa suurmpi 3,6 ja tämäkin sittn vilä kaksinkrtaisna. Yhtälössä 8A.0 luku,637 on kääntisksponointitulos luvusta,3535 ja sitn räs prustavalaatuinn alkioryhmä. x /x,3535 x, (8A.) Kukapa olisi aikaismmin uskonut, ttä matmaattissta nrgiasta 3,6 V voidaan yksinkrtaislla tavalla yhtä aikaa ratkaista skä Lambin siirtymä ttä ylihinosilppouma tai kääntän, ttä näistä voidaan yksinkrtaislla tavalla ratkaista raknnluku 37 / kaikkin numroidn tarkkuudlla. 8A. Raknnluku 37 luonnonvakiosta ω r/v laskttuna

7 Kaikill säännöllisill hiukkasill pät riippumatta niidn koosta ω r/v/(. 37) (8A.3) kaikkin numroidn tarkkuudlla. Tällöin on tarkasti huomioitava, ttä kaikki luvut todllinn värähdysluku ω, ominaiskntän säd r ja hiukkasn siirtymänopus v vastaavat toisiaan. Esimrkiksi magntonill m m nämä ovat: ω, /s r, m v, m/s (8A.) (8A.5) (8A.6) 8A. Raknnluku 37 raknnttuna V kntästä ja varaukssta ÿÿ. ω V / q, , /, , (8A.7) Tämä on ns. vaarallinn yhtälö samalla tavalla kuin yhtälöt 8A.... 8A.3. Yhtälön 8A.7 komponntit ja tulos ovat oikita ja hyviä, mutta niidn yhdistämisssä näyttää olvan vähän järkä. Kun fysiikka usin tarvits lukua 37 ja sn potnssja, niin näillä yhtälöillä ja niidn yhdistlmillä s onnistuu ilman, ttä näin syntyvät symboliyhtälöt sittäisivät mitään todllista fysiikassa. Värähdysluku ω V lasktaan sitn, ttä kun fotonin γ 0 taajuus on 3, /s, niin sn värähdysluku on π. 37. f, Sähköknttä V on raknnttu yhtnäisistä alkioryhmistä 3, γ 0, jotn tällaistn alkioryhmin värähdysluku on, / 3,6, /s. 8A.3 Raknnluku 37 Rydbrgin vakiosta laskttuna R. λ c λ c / λ 0 /(. 37 ) (8A.8) Tämä yhtälö on todllista fysiikkaa ja sanoo, ttä sähkökntältään prusfotoni γ 0 on. 37 krtaa suurmpi kuin Comptonin lktroni c ja sitn näidn aallonpituuksilla λ 0 ja λ c on sama suhd. Tätä yhtälöä 8A.8 voidaan toriassa käyttää raknnluvun 37 mittaamisn. 8A. Raknnluku 37 säirakntna Hiukkastn voidaan olttaa ktjuuntuvan kaksoissäikksi muodossa ÿ (8A.9) Esimrkiksi atomiytimissä tämän tyyppinn sisäinn raknn voi olla välttämätön, koska niissä siintyvät nrgiatasot lukuun 3 asti. Tällaist sisäkkäist kaksoisrakntt 00 voivat muodostaa

8 ri hiukkasryhmin välist rot ja kun jokainn luku on sisältä,37, niin silloin juuri tul ryhmäro 37. Raknnluvussa 37 luku,37 voi olla jokin dllä lutlluista rakntista tai todnnäköismmin vilä usampi raknn yhtä aikaa. Näin saattaa hyvin olla msonisissa rakntissa. Protonisissa rakntissa tilann on toinn ja sillä pät (8A.50) Kun yhtälössä 8A.9 raknnluvun 37, dsimaaliosa voidaan olttaa tasan jakautunksi rakntssa, niin yhtälössä 8A.50 ja protonistn rakntidn uloimmassa krroksssa dsimaaliosa kuuluu kahdll suurimmall raktiivisll jakll (9 + ) + ( + 3) + ( + 3) 68 jakll. Tämä on slvittty yksityiskohtaissti yhtälön 7A.5A yhtydssä ja vastaa sitä, ttä atomilla ominaislämmöt C p ja C V puolstaan riippuvat vastaavalla tavalla kahdsta suurimmasta raktiivissta lktroniryhmästä, vrt. Esim. yhtälö A.. 8A.5 Raknnluku 37 laskttuna protonin ja nutronin massarosta Lasktaan tämä nsiksi tunntun massasuhtn n / p +, mukaissti, jolloin massaro on, kg. Tämän jälkn käyttään hyväksi yhtälöä 7A.7E muodossa m 3 / c / 0 (8A.5) missä c Comptonin lktroni, kg ja sitn suhtksi tul massoista suoraan laskttuna m 3 / c, (8A.5) Yhtälöstä 8A.5 saadaan tulos m 3 / c, (8A.53) mikä on täsmälln tulos 8A.5. kun , , , (8A.5) niin voidaan sanoa, ttä protonin ja nutronin massaro saadaan raknnluvun 37, avulla ja kääntän, ttä raknnluku 37 saadaan protonin ja nutronin massarosta, mutta nyt nintään tarkkuudlla 37, Tämä johtuu luonnollissti protonin ja nutronin massaron tarkkuudsta yhdistttynä laskimn tarkkuutn.

8. RAKENNELUKU /α = 137, (8.1)

8. RAKENNELUKU /α = 137, (8.1) 8. RAKENNELUKU 37 Raknnluku 37 on skä matmatiikassa ttä fysiikassa samantapainn ja prustavalaatuinn raknnluku kuin luonnonluku /. Fysiikassa luvun 37 kääntisarvoa kutsutaan hinoraknnvakioksi, jonka tarkka

Lisätiedot

7A.2 Ylihienosilppouma

7A.2 Ylihienosilppouma 7A.2 Ylihienosilppouma Vetyatomin perustilan kentän fotoni on λ 0 = 91,12670537 nm, jonka taajuus on f o = 3,289841949. 10 15 1/s. Tämä spektriviiva on kaksoisviiva, joiden ero on taajuuksina mitattuna

Lisätiedot

e n 4πε S Fysiikka III (Est) 2 VK

e n 4πε S Fysiikka III (Est) 2 VK S-11.137 Fysiikka III (Est) VK 7.5.009 1. Bohrin vtyatomimallissa lktronilla voi olla vain tittyjä nopuksia. Johda kaava sallituill nopuksill, ja lask sn avulla numrinn arvo suurimmall mahdollisll nopudll.

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 5. Termiinihinnan määräytyminen

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 5. Termiinihinnan määräytyminen Rahoitusriskit ja johdannaist Matti Estola Lunto 5 rmiinihinnan määräytyminn 1. rmiinin ylinn hinnoittlukaava Mrkitään trmiinisopimuksn kohd-tuudn spot hintaa sopimuksn tkopäivänä S :lla, kohd-tuudn trmiinihintaa

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 19: Gaussin integrointi emojanan alueessa.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 19: Gaussin integrointi emojanan alueessa. / ELEMENIMENEELMÄN PERUSEE SESSIO : Gaussin intgrointi mojanan alussa. JOHDANO Ylisssä lujuusopin lmnttimntlmässä lmntin jäykkyysmatriisi [ k ] ja kvivalnttinn solmukuormitusvktori { r } lasktaan määrätyistä

Lisätiedot

Arvioita karakterisummille: Pólya-Vinogradovin epäyhtälö ja sen parannuksia

Arvioita karakterisummille: Pólya-Vinogradovin epäyhtälö ja sen parannuksia Solmu 2/2015 1 Arvioita karaktrisummill: Pólya-Vinogradovin päyhtälö ja sn parannuksia Jss Jääsaari Matmatiikan ja tilastotitn laitos, Hlsingin yliopisto Johdanto Alkuluvut ovat analyyttisn lukutorian

Lisätiedot

RATKAISUT: Kertaustehtävät

RATKAISUT: Kertaustehtävät Physia 8 painos (5) Krtausthtävät : Krtausthtävät Luku Aallonpituus alu on 5 n < 45 n Irrotustyö siuissa on,8 V Fotonin nrgiat ovat väliltä Lasktaan suurin liik-nrgia E E W kax fax in 4, 9597 V,8 V 3,597

Lisätiedot

Jakso 10. Tasavirrat. Tasaantumisilmiöt. Vaihtovirrat. Sarja- ja lineaaripiirit. Maxwellin yhtälöt. (Kuuluu kurssiin Sähkömagnetismi, LuTK)

Jakso 10. Tasavirrat. Tasaantumisilmiöt. Vaihtovirrat. Sarja- ja lineaaripiirit. Maxwellin yhtälöt. (Kuuluu kurssiin Sähkömagnetismi, LuTK) Jakso 10. Tasavirrat. Tasaantumisilmiöt. Vaihtovirrat. Sarja- ja linaaripiirit. Maxwllin yhtälöt. (Kuuluu kurssiin Sähkömagntismi, LuTK) Näytä tai jätä tarkistttavaksi tämän jakson pakollist thtävät viimistään

Lisätiedot

Energian säilymislain perusteella elektronin rekyylienergia on fotnien energioiden erotus: (1)

Energian säilymislain perusteella elektronin rekyylienergia on fotnien energioiden erotus: (1) S-11446 Fysiikka IV (Sf), I Väliko 544 1 Osoita, ttä Comptonin sironnassa lktronin suurin mahdollinn rkyylinrgia voidaan sittää muodossa E Kin hf 1 + mc /hf Enrgian säilymislain prustlla lktronin rkyylinrgia

Lisätiedot

Lämmönsiirto (ei tenttialuetta)

Lämmönsiirto (ei tenttialuetta) ämmönsiirto um 4..3 ämmönsiirto (i tnttialutta) rminologiaa ämpötila on suur, joka kuvaa, mitn kuuma jokin sin tai ain on. ämpötilaa (lat. tmpratura) mitataan SI-järjstlmässä klvinillä (K) tai clsiusastilla

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2010 Insinöörivalinnan fysiikan koe 2.6.2010, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2010 Insinöörivalinnan fysiikan koe 2.6.2010, malliratkaisut A1 Diplomi-insinöörin ja arkkithtin yhtisalinta - dia-alinta 2010 Alla on lutltu kuusi suurtta skä annttu taulukoissa kahdksan lukuaroa ja kahdksan SI-yksikön symbolia. Yhdistä suurt oikan suuruusluokan

Lisätiedot

1. Laske sivun 104 esimerkin tapaan sellainen likiarvo luvulle e, että virheen itseisarvo on pienempi kuin 10 5.

1. Laske sivun 104 esimerkin tapaan sellainen likiarvo luvulle e, että virheen itseisarvo on pienempi kuin 10 5. MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi II Harjoitus Ratkaisuhdotuksia Aapo Tvanlinna. Lask sivun 4 simrkin tapaan sllainn likiarvo luvull, ttä virhn itsisarvo on pinmpi kuin 5. Huomataan nsin,

Lisätiedot

Variations on the Black-Scholes Model

Variations on the Black-Scholes Model Variations on th Black-Schols Mol Sovlltun matmatiikan jatko-opintosminaari 6.9 Koh-tuus maksaa osinkoja avoittna on tarkastlla tilantita, joissa B&S yhtälö i ol riittävä sllaisnaan (sim. option koh-tuus

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti MAA8 Ko 5..04 T konsptiin pisttsruudukko! Muista kirjata nimsi ja rhmäsi. Lu ohjt huolllissti A-Osio: Ei saa kättää laskinta. MAOL saa olla alusta asti kätössä. Maksimissaan h aikaa suorittaa A- Osio.

Lisätiedot

Tampere Seinäjoki-radan nopeuden nosto MELUSELVITYS

Tampere Seinäjoki-radan nopeuden nosto MELUSELVITYS Tampr Sinäjoki-radan nopudn nosto Ratahallintokskus Tampr Sinäjoki-radan nopudn nosto () ESIPUHE Tämä työ on thty Sito Oy:ssä Ratahallintokskuksn toimksiannosta. Työn tarkoituksna oli tutkia mluslvityksn

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt, Syksy 2015 Harjoitus 2, Ratkaisut Ratkaise separoituvat differentiaaliyhtälöt. a) y = y

Differentiaaliyhtälöt, Syksy 2015 Harjoitus 2, Ratkaisut Ratkaise separoituvat differentiaaliyhtälöt. a) y = y Diffrntiaaliyhtälöt, Syksy 215 Harjoitus 2, Ratkaisut 1.11.215 1. Ratkais sparoituvat diffrntiaaliyhtälöt a) y = y 3, b) y = 1 + y 2 y 2. y Ratkaisu. a): Yhtälö y = 3 on hyvin määritlty kun 3. Lisäksi

Lisätiedot

Palkkielementti hum 3.10.13

Palkkielementti hum 3.10.13 Palilmntti hum.0. Palilmnttjä Tarastllaan tässä sitysssä vain Eulr-Brnoullin palitoriaan prustuvia palilmnttjä. Tässä palitoriassa olttaan, ttä palin poiiliaus säilyy taivutttunain tasona, joa on ohtisuorassa

Lisätiedot

exp(x) = e x x n n=0 v(x, y) = e x sin y

exp(x) = e x x n n=0 v(x, y) = e x sin y 4 Alkisfunktioita 41 Eksponnttifunktio Eksponnttifunktio xp : R R on määritlty khitlmällä xp(x) = x x n = n! Pyrimm laajntamaan määritlmän koko tasoon C sitn, ttä 1 xp : C C on analyyttinn ja xp(x) = x,

Lisätiedot

7A.5 Protoni ja neutroni

7A.5 Protoni ja neutroni 7A.5 Protoni ja neutroni Protoni ja neutroni ovat saman protonin p 0 kaksi olotilaa atomiytimessä, missä eräs sidosjae 13 yhdistää protoneita toisiinsa. Voidaan perustellusti sanoa, että atomiytimessä

Lisätiedot

Sauvaelementti hum

Sauvaelementti hum Sauvalmntti hum.9. Yhdn solmuvapausastn sauvalmntti akastllaan kuvan mukaista sauvalmnttiä. Sauvan vasmmassa päässä on sauvan lokaalisolmu numo, jonka -koodinaatti on ja vastaavasti oikassa päässä lokaalisolmu

Lisätiedot

Jakso 15. Vaihtovirrat. Sarja- ja lineaaripiirit. Maxwellin yhtälöt

Jakso 15. Vaihtovirrat. Sarja- ja lineaaripiirit. Maxwellin yhtälöt Jakso 15. Vaihtovirrat. Sarja- ja linaaripiirit. Maxwllin yhtälöt Tässä jaksossa käsitllään vaihtovirtapiirjä. Mukana on skä sarjapiirjä ttä linaaripiirjä. Sarjapiirilaskut ovat hkä hlpompia, sillä virta

Lisätiedot

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. y + p(x)y + q(x)y = r(x) (1)

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. y + p(x)y + q(x)y = r(x) (1) 5 3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Huomautus pälinaarisista diffrntiaalihtälöistä: Epälinaarisn DY:n ratkaismisn i ol lispätvää mntlmää. Joitakin rikoistapauksia voidaan ratkaista:

Lisätiedot

3 SIGNAALIN SUODATUS 3.1 SYSTEEMIN VASTE AIKATASOSSA

3 SIGNAALIN SUODATUS 3.1 SYSTEEMIN VASTE AIKATASOSSA S I G N A A L I T E O R I A, O S A I I I TL98Z SIGNAALITEORIA, OSA III 44 3 Signaalin suodaus...44 3. Sysmin vas aikaasossa... 44 3. Kausaalisuus a sabiilisuus... 46 3.3 Vas aauusasossa... 46 3.4 Ampliudivas

Lisätiedot

LIITE 11A: VALOSÄHKÖINEN ILMIÖ

LIITE 11A: VALOSÄHKÖINEN ILMIÖ LIITE 11A: VALOSÄHKÖINEN ILMIÖ Valosähköisellä ilmiöllä ymmärretään tässä oppikirjamaisesti sitä, että kun virtapiirissä ja tyhjiölampussa olevan anodi-katodi yhdistelmän katodia säteilytetään fotoneilla,

Lisätiedot

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon. + p(x)y = r(x) (28)

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon. + p(x)y = r(x) (28) .5 Linaarist diffrntiaaliyhtälöt 10 Ensimmäisn krtaluvun diffrntiaaliyhtälö on linaarinn, jos s voidaan kirjoittaa muotoon + p(x)y = r(x) (8) Yhtälö on linaarinn y:n ja y:n suhtn, p ja r voivat olla mitä

Lisätiedot

OSATIH SELOSTE 6/1973 METSÄMAAN T KE US T ~ K I J ÖI S T Ä

OSATIH SELOSTE 6/1973 METSÄMAAN T KE US T ~ K I J ÖI S T Ä ... /, t,.. OSATIH Rauhankatu 0070 Puhlin SELOSTE 90-8 /97 AURA UKS E N METSÄMAAN T HELSINKI 7 YÖ V A I KE US T ~ K I J ÖI S T Ä TTS-METSÄ-ÄESTÄ KÄYTETTÄESSÄ Mtsätho kräsi syksyllä 97 Thdaspuu Oy:n aikatutkimusainistoa

Lisätiedot

Luento 7 Järjestelmien ylläpito

Luento 7 Järjestelmien ylläpito Luno 7 Järjslmin ylläpio Ahi Salo Tknillinn korkakoulu PL, 5 TKK Järjslmin ylläpidosa Priaallisia vaihohoja Uusiminn rplacmn Ennalahkäisvä huolo mainnanc Korjaaminn rpair ❶ Uusiminn Vioiun komponni korvaaan

Lisätiedot

Ulvilan kaupunki. Ulvilan Kaasmarkun Ryöpäkinmäen ja Fatiporin pohjoispuolen liito-oravaselvitys 2014 AHLMAN GROUP OY

Ulvilan kaupunki. Ulvilan Kaasmarkun Ryöpäkinmäen ja Fatiporin pohjoispuolen liito-oravaselvitys 2014 AHLMAN GROUP OY Ulvilan kaupunki Ulvilan Kaasmarkun Ryöpäkinmän ja Faporin pohjoispuoln liito-oravaslvitys 204 AHLN GROUP OY RAPORTTEJA 3/204 SISÄLLYSLUETTELO Johdanto... 3 Raporsta... 3 Slvitysaluidn yliskuvaukst...

Lisätiedot

TUUSNIEMEN KUNNAN RAKENNUSJÄRJESTYS

TUUSNIEMEN KUNNAN RAKENNUSJÄRJESTYS TUUSNIEMEN KUNNAN RAKENNUSJÄRJESTYS 1. SOVELTAMISALA JA VIRANOMAISET 1.1. Sovltamisala Maankäyttö ja raknnuslaissa ja astuksssa olvin skä muidn maan käyttämistä ja rakntamista koskvin säännöstn ja määräystn

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

S , FYSIIKKA III (ES), Syksy 2002, LH 4, Loppuviikko 39. Partitiofunktiota käyttäen keskiarvo voidaan kirjoittaa muotoon

S , FYSIIKKA III (ES), Syksy 2002, LH 4, Loppuviikko 39. Partitiofunktiota käyttäen keskiarvo voidaan kirjoittaa muotoon S-11435, FYSIIKKA III (ES), Syksy 00, LH 4, Loppuvkko 39 LH4-1* Käyttän Maxwll-Boltzmann-jakauman parttofunktota määrtä a) nrgan nlön kskarvo (E ) skä b) nrgan nlöllnn kskpokkama kskarvosta l nrgan varanss,

Lisätiedot

METSÄTEHO ~ METSÄTEOLLISUUS 8/1993 YMPÄRISTÖYSTÄVÄLLISET ÖLJYT METSÄTÖISSÄ. Juha Rajamäki

METSÄTEHO ~ METSÄTEOLLISUUS 8/1993 YMPÄRISTÖYSTÄVÄLLISET ÖLJYT METSÄTÖISSÄ. Juha Rajamäki METSÄTEHO 8/1993 YMPÄRISTÖYSTÄVÄLLISET ÖLJYT METSÄTÖISSÄ Juha Rajamäki Ympäristönäkökohtin mrkitys puunhankinnassa on lwsvanut viim vuosina. Mtsäkonissa ja puutavara-autoissa käytttävin minraaliöljyjn

Lisätiedot

Tutkimus. Obaman tukipaketilla takaisin kasvuun

Tutkimus. Obaman tukipaketilla takaisin kasvuun Suhdat ja rahoitusmarkkinat rityistma Tutkimus 9 Lisätitoja: konomisti Pasi Kuoamäki, asikuoamaki@samoankkifi, Obaman tukiaktilla takaisin kasvuun Maailmaalous on vajonnut taaumaan, joka on ahimia sittn

Lisätiedot

Mat-2.108 Sovelletun matematiikan erikoistyö. Osakeindeksisidonnaisten joukkovelkakirjojen hinnoittelumallit

Mat-2.108 Sovelletun matematiikan erikoistyö. Osakeindeksisidonnaisten joukkovelkakirjojen hinnoittelumallit Mat-.8 ovlltun matmatiikan rikoistyö Osakindksisidonnaistn joukkovlkakirjojn hinnoittlumallit mu Nyholm (45757F) 3..4 ERIKOIYÖ (5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm isällysluttlo JOHDANO... 3 HINNOIELUMALLI...

Lisätiedot

Kuntajohtajien työhyvinvointi 2013

Kuntajohtajien työhyvinvointi 2013 Kuntajohtajin työhyvinvointi 2013 Prustuu julkaisuun Kuntajohtajin työhyvinvointi 2013 Kvan tutkimuksia 2/2013. Pauli Forma Toni Pkka Pirjo Saari Tausta Totutttu Kvan ja Kuntajohtajat Ry:n yhtistyönä nyt

Lisätiedot

4 KORKEAMMAN KL:N LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

4 KORKEAMMAN KL:N LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT KORKEAMMAN KL:N LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Krtalukua n olvassa diffrntiaalihtälössä F(,,,, (n) ) = siint n:nnn krtaluvun drivaatta (n) = d n /d n ja mahdollissti almpia drivaattoja, :tä ja :ää.

Lisätiedot

Faustmannin (1849) kiertoaikamalli on yksinkertaisin

Faustmannin (1849) kiertoaikamalli on yksinkertaisin Mtsätitn aikakauskirja 3/1999 Titn tori Olli Tahvonn Faustmannin kirtoaikamallista ja sn ylistyksistä m t a Johdanto Faustmannin (1849) kirtoaikamalli on yksinkrtaisin mahdollinn kuvaus taloudllissti thokkaasta

Lisätiedot

5. Omat rahat, yrityksen rahat

5. Omat rahat, yrityksen rahat 5. Omat rahat, yrityksn rahat Matmaattist aint Intgraatio: yhtiskuntaoppi Tässä jaksossa Palkka, palkkakustannukst Budjtti, budjtointi Kannattavuus, tulos Hinnoittlu, hinta Osio 5/1 Matmaattist aint 5.

Lisätiedot

Fysiikka 8. Aine ja säteily

Fysiikka 8. Aine ja säteily Fysiikka 8 Aine ja säteily Sähkömagneettinen säteily James Clerk Maxwell esitti v. 1864 sähkövarauksen ja sähkövirran sekä sähkö- ja magneettikentän välisiä riippuvuuksia kuvaavan teorian. Maxwellin teorian

Lisätiedot

Piehingin osayleiskaava 27.10.2014 Kysely alueen asukkaille ja maanomistajille

Piehingin osayleiskaava 27.10.2014 Kysely alueen asukkaille ja maanomistajille Phingin osayliskaava 27.10.2014 Kysly alun asukkaill ja maanomistajill Arvoisa vastaanottaja, Raahn kaupunginhallitus on päättänyt aloittaa Phingin osayliskaavan ajaasaistamistyön. Phingin osayliskaava

Lisätiedot

SY-KESKUSTELUALOITTEITA

SY-KESKUSTELUALOITTEITA SY-KESKUSTELUALOITTEITA YRITTÄJÄKSI RYHTYMISEN TALOUDELLISET KANNUSTIMET Pasi Holm* *Kiitän Risto Suomista tutkimusidasta skä häntä, Anna Lundnia ja Sppo Toivosta kommntista. Tutkimuksssa sittyt väittämät

Lisätiedot

MUUNTAJAT. KAAVAT ideaalimuuntajalle 2 I2 Z. H. Honkanen

MUUNTAJAT. KAAVAT ideaalimuuntajalle 2 I2 Z. H. Honkanen MTAJAT H. Honkann Muuntaja on lait, jossa nsiön vaihtovita saa aikaan muuttuvan magnttikntän muuntajasydämn. Tämä muuttuva magnttiknttä saa aikaan vian toisiokäämiin. Tasasähköllä muuntaja i toimi, tasavita

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Physica 9 1. painos 1(8) 20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä

Physica 9 1. painos 1(8) 20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä Phyica 9 aino (8) 0 Varattu hiukkann ähkö- ja agnttikntää : 0 Varattu hiukkann ähkö- ja agnttikntää 0 a) Sähköknttä aikuttaa arattuun hiukkan oialla F = QE Poitiiiti aratull hiukkall oian uunta on ähkökntän

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 Tamprn ksäyliopisto, 2015-2016 Talousmatmatiikan prustt, ORMS1030 1. väliko, (ti 15.12.2015) Ratkais 3 thtävää. Kokssa saa olla mukana laskin (myös graafinn laskin on sallittu) ja taulukkokirja (MAOL tai

Lisätiedot

1111 1111 II 11111 II II

1111 1111 II 11111 II II 1111 1111 II 11111 II II F 100008 (B) (11) KUULUTUSJULKAISU UTLAGGN I NG S SKR I FT C (45) Patntti myönntty Patnt mldlat 23 02 1225 (51) Kv.lk.6 Int.c1.6 A 61K 39/215 SUOMI FINLAND (FI) (21) Patnttihakmus

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisut. Joukko-opin harjoituksia. MAB1: Luvut ja lukujoukot 2

Harjoitustehtävien ratkaisut. Joukko-opin harjoituksia. MAB1: Luvut ja lukujoukot 2 MAB: Luvut ja lukujoukot Harjoitustehtävien ratkaisut Joukko-opin harjoituksia T Joukossa W V ovat kaikki joukkojen W ja V alkiot, siis alkiot, jotka ovat joko W :n tai V :n tai molempien alkioita. Siis

Lisätiedot

Säännöllisestä lausekkeesta deterministiseksi tilakoneeksi: esimerkki

Säännöllisestä lausekkeesta deterministiseksi tilakoneeksi: esimerkki Säännöllisstä luskkst dtrministisksi tilkonksi: simrkki Hikki Turiinn Yksinkrtistn säännöllistn luskkidn muuttminn dtrministisiksi tilkoniksi onnistuu usin plkästään lusktt tutkimll. Jos luskkn rknn on

Lisätiedot

Euro & talous. Eripainos. Suomen Pankin kokonaistaloudellinen ennuste 2003 2005

Euro & talous. Eripainos. Suomen Pankin kokonaistaloudellinen ennuste 2003 2005 Euro & talous 3 003 Eripainos Suomn Pankin kokonaistaloudllinn nnust 003 005 Euro & talous Markka & talous -lhdn. vuosikrta / : årgångn av Markka & talous Euro & talous -lhdn 5. vuosikrta / 5: årgångn

Lisätiedot

76132S Sähkömagneettinen säteily 1

76132S Sähkömagneettinen säteily 1 763 ähkömagnttinn säti. MAXWELLIN YHTÄLÖT Kaikki sähkömagnttisia knttiä koskvat kassist imiöt voidaan johtaa njästä htäöstä. Thjössä nämä sähköknttää E ja magnttiknttää B kuvaavat htäöt saavat suraavan

Lisätiedot

Matematiikkalehti 2/2001. http://solmu.math.helsinki.fi/

Matematiikkalehti 2/2001. http://solmu.math.helsinki.fi/ Matmatiikkalhti 2/2001 http://solmu.math.hlsinki.fi/ 2 Solmu Solmu 2/2001 Matmatiikan laitos PL 4 (Yliopistonkatu 5) 00014 Hlsingin yliopisto http://solmu.math.hlsinki.fi/ Päätoimittaja Pkka Alstalo Toimitussihtrit

Lisätiedot

18. SIPOREX-VAAKAELEMENTTISEINÄN SUUNNITTELU

18. SIPOREX-VAAKAELEMENTTISEINÄN SUUNNITTELU E 18. SIPOREX-VAAKAELEMENTTISEINÄN SUUNNITTELU 18.1 Rakntllinn suunnittlu Kuormaluokka Siporx-vaakasinälmntit mitoittaan ylnsä vaakasuorall kuormall (usimmitn tuulikuormall) yksiaukkoisna palkkina. Valmistaja

Lisätiedot

JHS 185 Asemakaavan pohjakartan laatiminen Liite 2 Asemakaavan pohjakartan kohdemalli

JHS 185 Asemakaavan pohjakartan laatiminen Liite 2 Asemakaavan pohjakartan kohdemalli JUHTA - Julkisn hallinnon titohallinnon nuvottlukunta JHS 185 Asmakaavan pohjakartan laatiminn Liit 2 Asmakaavan pohjakartan kohdmalli Vrsio: 1.0 / 20.3.2013 Julkaistu: 2.5.2014 Voimassaoloaika: toistaisksi

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 4 Kevät 2017

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 4 Kevät 2017 763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 4 Keät 207. Rekyyli Luentomonisteessa on käsitelty tilanne, jossa hiukkanen (massa M) hajoaa kahdeksi hiukkaseksi (massat m ja m 2 ). Tässä käytetään

Lisätiedot

Kiinteistökohtaista jätevesineuvontaa Vantaanjoen valuma-alueen kunnille

Kiinteistökohtaista jätevesineuvontaa Vantaanjoen valuma-alueen kunnille iintistökohtaista jätvsinuvontaa antaanjon valuma-alun kunnill mu Haapala, irs Lah, anna Laakso, Larissa Rimpiläinn, nni orhonn, Hanna uominn ja sko ärklä Rapor /0 annn kuva: ari ännynsalo kijät Otsikko

Lisätiedot

Alkuaineita luokitellaan atomimassojen perusteella

Alkuaineita luokitellaan atomimassojen perusteella IHMISEN JA ELINYMPÄRISTÖN KEMIAA, KE2 Alkuaineen suhteellinen atomimassa Kertausta: Isotoopin määritelmä: Saman alkuaineen eri atomien ytimissä on sama määrä protoneja (eli sama alkuaine), mutta neutronien

Lisätiedot

Y56 laskuharjoitukset 6 - mallivastaukset

Y56 laskuharjoitukset 6 - mallivastaukset Y56 Kvät 00 Harjoitus. Monopsoni Y56 laskuharjoitukst 6 - mallivastaukst Tavoittna on ymmärtää panosmarkkinoidn luonntta, kun markkinoilla on vain yksi ostaja. Monopsoni tuottaa hyödykttä y kilpailullisill

Lisätiedot

Pag e. Lukion työskentelyä ohjaavat lukiolaki, lukioasetus, opetushallituksen ohjeet, koulutoimen toimintasääntö ja järjestyssäännöt.

Pag e. Lukion työskentelyä ohjaavat lukiolaki, lukioasetus, opetushallituksen ohjeet, koulutoimen toimintasääntö ja järjestyssäännöt. Liit 6 Mäntyharjun lukion järjstyssääntö Lukion työskntlyä ohjaavat lukiolaki, lukioastus, optushallituksn ohjt, koulutoimn toimintasääntö ja järjstyssäännöt. Järjstyssääntöjn tavoittna on turvata kouluyhtisön

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

Sovelletun fysiikan pääsykoe

Sovelletun fysiikan pääsykoe Sovelletun fysiikan pääsykoe 7.6.016 Kokeessa on neljä (4) tehtävää. Vastaa kaikkiin tehtäviin. Muista kirjoittaa myös laskujesi välivaiheet näkyviin. Huom! Kirjoita tehtävien 1- vastaukset yhdelle konseptille

Lisätiedot

MDBATIHD. Opastiosilta 8 B HELSINKI 52 Puhelin SELOSTE 4/1975

MDBATIHD. Opastiosilta 8 B HELSINKI 52 Puhelin SELOSTE 4/1975 MDBATIHD Opastiosilta 8 B 52 HELSINKI 52 Puhlin 9-4 SELOSTE 4/975 S I I R R E T T Ä V I E N V K - 6 - K U R I M A K N E T Y Y P - PIEN TUOTOSVERTAILU Hannu Pltola TIIVISTELMÄ Vaunukuorimon kskimääräisksi

Lisätiedot

Mustan kappaleen säteily

Mustan kappaleen säteily Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi

Lisätiedot

SUUNNITELMA MUHOKSEN KUNNAN LIIKUNTAPAIKKOJEN PARANTAMISEKSI 2013

SUUNNITELMA MUHOKSEN KUNNAN LIIKUNTAPAIKKOJEN PARANTAMISEKSI 2013 SUUNNITELM MUHOKSEN KUNNN LIIKUNTPIKKOJEN PRNTMISEKSI 2013 Tämän uunnitlman tarkoitukna on kartoittaa Muhokn kunnan liikuntapaikkojn kunto ja ittää parannukinoja. Liäki ill ottaan muutamia uuia lajja ja

Lisätiedot

Ax 0 mm Bx mm Cx 1800 Ay 0 mm By mm Cy 0

Ax 0 mm Bx mm Cx 1800 Ay 0 mm By mm Cy 0 Tamprn tknillinn yliopisto Tknisn suunnittlun laitos EDE-00 Elmnttimntlmän prustt. Harjoitus 6 Syksy 0. F 00 OpNro 859 L 800 mm M T 85 K K 9 E 05000 MPa Kulmat ja pituudn lämpölaajnmiskrroin α 0.60865

Lisätiedot

CODE: NAME: EUR/pc 80614015150 9RB 40X58X4,5 17,5000 80614026000 9RB 65X87X5,5 6,3100 80614028000 9RB 70X92X5,5 7,8900 80614040000 9RB 80X102X5,5

CODE: NAME: EUR/pc 80614015150 9RB 40X58X4,5 17,5000 80614026000 9RB 65X87X5,5 6,3100 80614028000 9RB 70X92X5,5 7,8900 80614040000 9RB 80X102X5,5 CODE: NAME: EUR/pc 80614015150 9RB 40X58X4,5 17,5000 80614026000 9RB 65X87X5,5 6,3100 80614028000 9RB 70X92X5,5 7,8900 80614040000 9RB 80X102X5,5 10,6300 80614033200 9RB 85X107X5,5 29,8100 80611184000

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Koroton takaisinmaksuaika on 9000 = 7,5 vuotta. 1200 b) Kun vuosituotot pysyvät vakiona, korollinen takaisinmaksuaika määräytyy

Ratkaisu: a) Koroton takaisinmaksuaika on 9000 = 7,5 vuotta. 1200 b) Kun vuosituotot pysyvät vakiona, korollinen takaisinmaksuaika määräytyy Kotitehtävät 7. Aihepiirinä Investointi Ratkaisuehdotuksia 1. Investoinnin hankintameno on 9000 euroa ja siitä saadaan seuraavina vuosina vuosittain 1200 euron tulot. Määritä a) koroton takaisinmaksuaika

Lisätiedot

ITS-90: lämpötilan laskukaavat vastuslämpömittareille (SPRT)

ITS-90: lämpötilan laskukaavat vastuslämpömittareille (SPRT) Mittaustkniikan prustt / lunto 3 Klvin Lämpötila-astikko ITS-90 - astikko määritlty lämpötilan 0,65 K yläpuollla - astikko määritllään lämpötilan 961,78 C alapuollla trmodynaamistn kiintopistidn ja intrpolointi-instrumnttin

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.

Lisätiedot

Taidehalli (355 m 2 ) - avoinnaolopäivä 43,95 10,55 54,50 - viikko 203,23 48,77 252,00 - kuukausi 724,19 173,81 898,00

Taidehalli (355 m 2 ) - avoinnaolopäivä 43,95 10,55 54,50 - viikko 203,23 48,77 252,00 - kuukausi 724,19 173,81 898,00 JYVÄSKYLÄN MUSEOPALVELUT TAKSAT JA MAKSUT 1.1.2015 ALKAEN PÄÄSYMAKSUT alv 0 % Aikuist Opisklijat (muut kuin taid- ja musoainidn) Jyväskylän kaupungin työntkijät Ryhmät, yli 10 hnkä Lapst (all 18 v.) 6,00

Lisätiedot

LIITE 4A 4A LÄMPÖTILAN T LISÄRAKENTEITA

LIITE 4A 4A LÄMPÖTILAN T LISÄRAKENTEITA LIIE 4A 4A LÄMPÖILAN LISÄRAKENEIA ämä kohta 4A perustuu siihen, mitä kohdassa 4 on esitetty. ässä kuitenkin koetetaan mennä vielä syvemmälle lämpötilarakenteeseen ja löytää toisenlaisia rakenteita, joita

Lisätiedot

Kvantittuminen. E = hf f on säteilyn taajuus h on Planckin vakio h = 6, Js = 4, evs. Planckin kvanttihypoteesi

Kvantittuminen. E = hf f on säteilyn taajuus h on Planckin vakio h = 6, Js = 4, evs. Planckin kvanttihypoteesi Kvantittuminen Planckin kvanttihypoteesi Kappale vastaanottaa ja luovuttaa säteilyä vain tietyn suuruisina energia-annoksina eli kvantteina Kappaleen emittoima säteily ei ole jatkuvaa (kvantittuminen)

Lisätiedot

Kaukana metsästä. Mikko ja Matti Pohjola ovat etäomistajia neljännessä polvessa. puusuksilla. vierimetsien hoidosta

Kaukana metsästä. Mikko ja Matti Pohjola ovat etäomistajia neljännessä polvessa. puusuksilla. vierimetsien hoidosta 27. HELMIKUUTA NUMERO 2/2014 9 www.mtsalhti.fi Mtsälhti Makasiini 2/2014 15 KYSYMYSTÄ virimtsin hoidosta Tma: METSÄLAKI Tapionpöydältä Torstai on rokkapäivä luhta kuutamokikka mtsänomistaja mtsälaki uudt

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

Teknillinen korkeakoulu Mat Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet (Mikkola/Ärölä) 11. harjoituksen ratkaisut

Teknillinen korkeakoulu Mat Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet (Mikkola/Ärölä) 11. harjoituksen ratkaisut Tknillinn korkakoulu Mat-5.187 Epälinaarisn lmnttimntlmän prustt (Mikkola/Ärölä) 11. harjoituksn ratkaisut Tht. 1 Rfrnssitilan suurita käyttän (kokonais-lagrang) lausuttu hto krittisn aika-askln pituudll

Lisätiedot

Pisto- ja viiltotapaturmien ehkäisy ja terävien instrumenttien hävittäminen

Pisto- ja viiltotapaturmien ehkäisy ja terävien instrumenttien hävittäminen Ohj (7) Pisto- ja viiltotapaturmin hkäisy ja trävin instrumnttin hävittäminn ohj kunnan sosiaali- ja trvydnhuollon yksiköill..206 alkan Trävän instrumntin aihuttama pisto- tai viiltotapaturma on yksi tyypillisimmistä

Lisätiedot

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA S-55.1100 SÄHKÖTKNIIKKA JA LKTRONIIKKA 2. väliko 15.12.2008. Saat vastata vain nljään thtävään! Kimmo Silvonn 1. Lask jännit. = 10 Ω, = 40 Ω, = 3 kω, = 9 kω, = 1 kω, = 1 V. Puskurivahvistin rottaa kuorman

Lisätiedot

Liite 2, Muistio HEL Myllyväenkatu 1, A Tiivistelmä

Liite 2, Muistio HEL Myllyväenkatu 1, A Tiivistelmä Liit 2, Muistio Asuntotontin (pintalo, 2 959 k-m²) pitkäaikainn vuokraaminn Asunto Oy Hlsingin Myllynportill Hitas II -hdoin totutttavaa omistusasuntotuotantoa vartn (Vartiokylä, Myllypuro, tontti 45564/1)

Lisätiedot

. Tämä sopii jokseenkin hyvin sähköjännitteestä tehtävään suuruusluokkalaskelmaan. Ensinnä N-kenttänä

. Tämä sopii jokseenkin hyvin sähköjännitteestä tehtävään suuruusluokkalaskelmaan. Ensinnä N-kenttänä 4. LÄMPÖTILA Lämpötila on eräs aivan tarkoin määrätty vuorovaikuttavan alkioryhmän mitta ja atomien lämpötilakäsite voidaan rinnastaa sähkökenttien jännitekäsitteeseen. Itse asiassa atomien elektronien

Lisätiedot

= + + 1 ( 1) + + = Paraabelit leikkaavat pisteessä ( 2, 3). ( 8) ( 8) 4 1 1

= + + 1 ( 1) + + = Paraabelit leikkaavat pisteessä ( 2, 3). ( 8) ( 8) 4 1 1 Pitkä matmatiikka YO-ko 4.9.4. a) b) ( )( 3) 6 3 + 6 6 + y + + ( ) y + + 3 + + ( ) TNS y ( ) + 3 tai Paraablit likkaavat pistssä (, 3). c) Mrkitää lukua : llä ( ). + 4 + 8 + 8 8 + ( 8) ( 8) 4 ± 8 ± 6 8

Lisätiedot

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta Tuloperiaate Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta ja 1. vaiheessa valinta voidaan tehdä n 1 tavalla,. vaiheessa valinta voidaan tehdä n tavalla,

Lisätiedot

Ratkaisu: (huomaa s':n merkki)

Ratkaisu: (huomaa s':n merkki) 195 Näön krjaamisn tarkitttujn linssin taittvimakkuutta kuvataan mtrinä anntun plttvälin kääntisarvlla. Vimakkuudn yksikkö n diptri (diptr). Esimrkiksi, js linssin plttväli n = 0,50 m, niin sn vimakkuus

Lisätiedot

Oppikirja Kurssin sisältö Arviointiperusteet Suoritusjärjestys

Oppikirja Kurssin sisältö Arviointiperusteet Suoritusjärjestys Äidinkili ja kirjallisuus ÄI1 Kili, tkstit ja vuorovaikutus ÄI Oppikirja Kurssin sisältö Arvintiprustt Suoritusjärjstys Äidinkili ja kirjallisuus Käsikirja Kurssivihko 1 Kilnhuollon vihko rusvalmiuksin

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017 763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,

Lisätiedot

7. HIUKKASRAKENNE. a a =x eksponointi (ex) (7.1) a 1/a =x käänteiseksponointi (ex -1 ) (7.2) trieksponointi (triex) (7.4)

7. HIUKKASRAKENNE. a a =x eksponointi (ex) (7.1) a 1/a =x käänteiseksponointi (ex -1 ) (7.2) trieksponointi (triex) (7.4) 7. HIUKKASRAKENNE Tämän työn yhteydessä on syntynyt yli 30000 matemaattisen fysiikan luvun kokoelma mukaan luettuina käänteisluvut. Tämä kokoelma sisältää perusluvut 1. 20, hiukkasfysiikalle tärkeitä lukuja

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

ABSORBOIVIEN MATERIAALIEN JA REIKÄLEVYJEN SKAALAUS 1 JOHDANTO 2 PERUSSKAALAUS Z A =, (1) A KANAVAÄÄNENVAIMENTIMIEN PIENOISMALLEIHIN

ABSORBOIVIEN MATERIAALIEN JA REIKÄLEVYJEN SKAALAUS 1 JOHDANTO 2 PERUSSKAALAUS Z A =, (1) A KANAVAÄÄNENVAIMENTIMIEN PIENOISMALLEIHIN BSORBOIVIEN MTERILIEN J REIKÄLEVYJEN SKLUS KNVÄÄNENVIMENTIMIEN PIENOISMLLEIHIN So Uosukainn 1), Hikki Isomoisio 1), Jukka Tanttari 1), Esa Nousiainn 2) 1) VTT PL 1, 244 VTT tunimi.sukunimi@vtt.fi 2) Wärtsilä

Lisätiedot

Kon Hydraulijärjestelmät

Kon Hydraulijärjestelmät on-41.44 Hydralijärjstlmät Laboratoriotyö - Tkimatriaali Sähköhydralisn järjstlmän säätö äskylin Erolin Säätäjä Astslait Toimilait ja korma w qv x Antri va 1. Hydralinn säätöjärjstlmä. vassa 1 säätöjärjstlmän

Lisätiedot

fotonin tilojen miehitystodennäköisyys. Lausumalla fotonin energia taajuuden avulla E = hν

fotonin tilojen miehitystodennäköisyys. Lausumalla fotonin energia taajuuden avulla E = hν S-6 FYSII IV (Sf vät 5 LHSf Ratkaisut LHSf- Olttaan ttä saunan kiukaan tulisää voidaan itää likimain mustana kaalna jonka lämötila on C (a Mitn tulisän lämösätilyn fotonin tihys riiuu fotonin taajuudsta

Lisätiedot

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella

Lisätiedot

Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo.

Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo. Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo. Iterointi on menetelmä, missä jollakin likiarvolla voidaan määrittää jokin toinen,

Lisätiedot

5. Sähkövirta, jännite

5. Sähkövirta, jännite Nimi: LK: SÄHKÖOPPI Tarmo Partanen Laboratoriotyöt 1. Työ 1/7, jossa tutkit lamppujen rinnan kytkennän vaikutus sähkövirran suuruuteen piirin eri osissa. Mitataan ensin yhden lampun läpi kulkevan virran

Lisätiedot

16.10.2007 ASUNTOYHTIÖN TALOUSSUUNNITELMA RS-järjestelmä 1(5) URAKAT YHTEENSÄ, euroa. Arvio, euroa. Muut maapohjakustannukset, euroa.

16.10.2007 ASUNTOYHTIÖN TALOUSSUUNNITELMA RS-järjestelmä 1(5) URAKAT YHTEENSÄ, euroa. Arvio, euroa. Muut maapohjakustannukset, euroa. -järjstlmä 1(5) Asunto-osakyhtiö As Oy Hlsingin Gunillankartano, Hlsinki Prustajaosakas Raknnuskartio Oy (01899-0) Rakntaja (pääurakoitsija) Raknnuskartio Oy (01899-0) HANKINTA RAKENNUS- A. URAKAT KOKONAISURAKKA,

Lisätiedot

Nyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot

Nyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot S-1146 Fysiikka V (ES) Tentti 165005 1 välikokeen alue 1 a) Rubiinilaserin emittoiman valon aallonpituus on 694, nm Olettaen että fotonin emissioon tällä aallonpituudella liittyy äärettömän potentiaalikuopan

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Jukka Tulkki 8. Laskuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 3.4 klo 12:00 mennessä. x 2

Jukka Tulkki 8. Laskuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 3.4 klo 12:00 mennessä. x 2 S 437 Fysiikka III Kevät 8 Jukka Tulkki 8 askuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 34 klo : mennessä Assistentit: Jaakko Timonen Ville Pale Pyry Kivisaari auri Salmia (jaakkotimonen@tkkfi) (villepale@tkkfi)

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää

Lisätiedot

766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka

766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka 1 766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 4 Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 01 6 Radioaktiivisuus Kuva 1 esittää radioaktiivisen aineen ydinten lukumäärää

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot