Teknillinen korkeakoulu Mat Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet (Mikkola/Ärölä) 11. harjoituksen ratkaisut

Transkriptio

1 Tknillinn korkakoulu Mat Epälinaarisn lmnttimntlmän prustt (Mikkola/Ärölä) 11. harjoituksn ratkaisut Tht. 1 Rfrnssitilan suurita käyttän (kokonais-lagrang) lausuttu hto krittisn aika-askln pituudll on (6.6.63) t crit min l0 c 0 ja päivittyn Lagrangn sityksn mukainn hto puolstaan (6.6.61) t crit min, c 2 0 = F 2 C SE + S 11 ρ 0 (1) l c, c2 = CσT + σ 11. (2) ρ Jotta molmmilla sitystavoilla päädyttäisiin samaan aika-askln pituutn, tulisi olla l0 c 0 = l c. (3) Yksiaksiaalisssa muodonmuutostilassa pätvät yhtydt F = l/l 0 = λ 1 = J. Käyttämällä hyväksi tangnttimodulin välistä yhtyttä (Box 5.1) C SE = Jλ 4 1 CσT, J = λ 1, (4) PK2 jännityksn ja Cauchyn jännityksn välistä yhtyttä (Box 3.2) S = JF σf T, skä massansäilymisyhtälöä (2.2.10) ρj = ρ 0 saadaan c 2 0 = F 2 C SE + S 11 ρ 0 = J 2 J 3 C σt + J J σ 11 J Jρ = CσT + σ 11 J 2 ρ = c2 J 2. (5) Ottamalla huomioon rfrnssitilan ja nykytilan pituuksin välinn yhtys l = λ 1 l 0 = J l 0 saadaan l0 c 0 = l /J c /J = l c. (6) Näin olln kumpikin sitystapaa johtaa samaan htoon krittisn aika-askln pituudll. Tht. 2 Tasapainotilan lämmönjohtumisyhtälö on x m (K mn θ x n ) = (K mn θ,n ),m = 0, (7) jolla on äärttömän tarkastlualun tapauksssa ratkaisu θ = θ = vakio. Lisätään tasapainoratkaisuun ajasta riippuva häiriö θ jolloin saadaan Epästationäärinn diuusioyhtälö on Sijoittamalla tähän häiritty ratkaisu saadaan θ(t) = θ + θ(t) = θ + ωt+iκn x. (8) θ t (K mnθ,n ),m = 0. (9) θ t (K mn( θ,n + θ,n )),m = θ t (K θ mn,n ),m = 0, (10) 1

2 josta dlln Tästä saadaan ω ωt+iκn x i 2 κ 2 K mn n n n m ωt+iκn x = (ω + κ 2 K mn n n n m ) ωt+iκn x = 0. (11) ω + κ 2 n K n = 0 ω = κ 2 n K n. (12) Ehto ratkaisun stabiiliudll on R(ω) 0. Koska (κ 2 ) 0 κ R, saadaan stabiilisuushdoksi n K n 0, missä n on milivaltainn suunta. Diuusiokrroinmatriisin K ollssa symmtrinn totutuu kysinn hto, jos K positiivismidniitti. Tht. 3 Matriaalinn tangntiaalijäykkysmatriisi saadaan sovltamalla oppikirjan lausktta (6.4.13), jonka mukaan K mat IJ = B T I [C σt ]B J dω. (13) Ω Tangnttimodulimatriisi Voightin notaatiota käyttän kirjoittuna on [C σt ] = CσT 1111 C1122 σt C1112 σt C2211 σt C2222 σt C2212 σt C σt 1211 C σt 1222 C σt 1212 Nlisolmuisn lmntin muotofunktiot ovat (Appix 3, A3.10) (14) N I = 1 4 (1 + ξ Iξ)(1 + η I η), (15) missä ξ I ja η I ovat ξ ja η koordinaatit kantalmntin solmussa I. Muotofunktioidn drivaatat nykytilan koordinaattin suhtn ovat (4.4.42) N T I,x = [N I,x N I,y ] = N T I,ξF ξ, (16) missä F ξ on kantalmntin ja nykytilan välinn muodonmuutosgradintti (4.4.40) [ ] x,ξ x F ξ =,η. (17) y,ξ y,η Sijoittamalla dllisn lauskksn koordinaatit x ja y lausuttuna lmntin solmukoordinaattja ja muotofunktioita käyttän ja suorittamalla drivoinnit saadaan Tämän kääntismatriisi on F ξ = I=1 [ xi ξ I (1 + η I η) x I η I (1 + ξ I ξ) y I ξ I (1 + η I η) y I η I (1 + ξ I ξ) ]. (18) F ξ = 1 [ ] y,η x,η, J J ξ y,ξ x ξ = x,ξ y,η x,η y,ξ. (19),ξ Solmuun I liittyväksi matriisiksi B I saadaan dllä laskttujn muotofunktioidn drivaattojn avulla B I = N I,x 0 0 N I,y. (20) N I,y N I,x Näistä saadaan koottua koko lmntill B = [ ] B 1 B 2 B 3 B 4. Sijoittamalla dllä sittyt tulokst matriaalisn tangnttimatriisin lauskksn ja muuntamalla lauskkssa siintyvä nykytilan tilavuusintgraali kantalmnttialusn (dω = J ξ a dξ dη) saadaan K mat = 1 1 B T [C σt ]BJ ξ a dξ dη, (21) 2

3 missä a on lmntin paksuus. Ylnsä laskut suorittaan yksikköpaksuutta kohti, jolloin asttaan yksinkrtaissti a = 1. Gomtrinn jäykkyysmatriisi saadaan oppikirjan lauskksta (6.4.14) K go IJ = IH IJ, H IJ = B T I σb J dω, (22) Matriisi B I on (4.5.2) B T I = NI,x T = [ ] N I,x N I,y. (23) Tarvittavat muotofunktiodn drivaatat on laskttu jo matriaalista tangntiaalijäykkyyttä johdttassa. Jännitystnsori saadaan konstitutiivista yhtyttä käyttän. Sijoittamalla dllä sittyt lauskkt ja ottamalla huomioon, ttä kysssä on 2D thtävä saadaan K go IJ = I Ω B T I σb J J ξ a dξ dη. (24) Tht. 4 Annttua konstitutiivista yhtyttä käyttän saadaan tangnttimodulill lausk [C σt ] = Jännitys on puolstaan λ + 2µ λ 0 λ λ + 2µ µ, λ = λ 0 J, µ = µ 0 λ 0 ln J J. (25) σ = µ 0 J (B I) + λ 0 (ln J)I, (26) J missä B = FF T on vasmmanpuolinn Cauchyn-Grnin muodonmuutostnsori. Tämän laskmisksi tarvitaan muodonmuutosgradinttia lmntin intgrointipistissä. Titokonn rajallissta sanapituudsta aihutuvin pyöristysvirhidn välttämisksi kannattaa muodonmuutosgradintti F laska siirtymägradinttia H hyväksi käyttän. Siirtymistä drivoimalla saadaan u = x X H = u X = x X X X = F I F = H + I. (27) Siirtymägradintti lmntin alulla saadaan lausuttua solmusiirtymiä u I ja muotofunktioidn drivaattoja käyttän muodossa H = u I B T 0I, B T 0I = [N I,X N I,Y ] = [N I,ξ N I,η ] F 0ξ. (28) Kantalmntin ja rfrnssitilan välinn muodonmuutogradintti F 0ξ ja sn kääntistnsori saadaan laskttua asttamalla thtävän 3 lauskkssa (18) x I = X I. Intgraalit lmntin yli saadaan laskttua numrissti Gaussin kvadratuurja käyttän. Oppikirjan yhtälöstä (4.5.21) saadaan 2Dtapauksn intgointikavaksi 1 1 f(ξ, η) dξdη = n Q1 n Q2 Q 1 =1 Q 2 =1 w Q1 w Q2 f(ξ Q1, η Q2 ). (29) Kahdn pistn kaavalla ovat intgrointipistidn koordinaatit ξ i = ±1/ 3 ja painokrtoimt w i = 1 (Kirjan liit, tabl A3.3). Tästä tnpäin ratkaisu on dllä sitttyjn lauskkidn kirjoittamista titokonll. Lasknta suoritttiin MATLAB ohjlmistoa ja tidostoja h11t4.m ja muoto4.m käyttän. Kysist tidostot on sittty näidn ratkaisujn lopussa. Tuloksna saadaan pyydtyiksi matriisiksi K mat = , (30) symm

4 K go = symm (31) Lasknnassa käyttyt MATLAB tidostot: h11t4.m X = [0.0, 1.0, 1.0, 0.0; 0.0, 0.0, 1.0, 1.0]; Alkutilan solmukoordinaatit x = [0.0, 0.9, 1.2, 0.0; 0.0, 0.0, 1.2, 0.9]; Nykytilan solmukoordinaatit lam = 100.0; mu = 100.0; Matriaalivakiot XI = 1.0/sqrt(3.0)*[-1.0, 1.0]; Intgrointipistidn koordinaatit W = [1.0, 1.0]; Painokrtoimt a = 1.0; Elmntin paksuus Kmat = zros(8,8); Kgo = zros(8,8); HH = zros(4,4); Taulukoidn alustus U = x - X; Siirtymät Intgrointi for ipx = 1:2 suunta xi for ipy = 1:2 suunta ta xi = XI(ipx); ta = XI(ipy); intgrointipistn koordinaatit w = W(ipx)*W(ipy); painokrroin [N,J] = muotof4(x,xi,ta); Muotofunktiot ja drivaatat X:n ja Y:n suhtn H = zros(2); Siirtymägradintti for I = 1:4 H = H + [U(1,I)*N(2,I), U(1,I)*N(3,I); U(2,I)*N(2,I), U(2,I)*N(3,I)]; F = H + y(2); B = F*F'; JF = dt(f); Muodonmuutosgradintti Vasmmanpuolinn C-G df.tnsori Muodonmuutosgradintin dtminatti if(jf <= 0) 'Virh: Jacobin dtrminantti nolla tai ngatiivinn' paus [N,J] = muotof4(x,xi,ta); Muotofunktiot ja drivaatat x:n ja y:n suhtn lam2 = lam/jf; mu2 = (mu - lam*log(jf))/jf; apu = lam *mu2; C = [apu, lam2,0; lam2, apu, 0; 0, 0, 2.0*mu2]; Konstitutiivinn matriisi Sig = mu/jf*(b-y(2)) + lam/jf*log(jf)*y(2); Jännitystnsori B1 = [N(2,1), 0 ; 0, N(3,1); N(3,1), N(2,1)]; B2 = [N(2,2), 0 ; 0, N(3,2); N(3,2), N(2,2)]; B3 = [N(2,3), 0 ; 0, N(3,3); N(3,3), N(2,3)]; 4

5 B4 = [N(2,4), 0 ; 0, N(3,4); N(3,4), N(2,4)]; B = [B1,B2,B3,B4]; BB = N((2:3),:); Kmat = Kmat + B'*C*B*a*J*w; HH = HH + BB'*Sig*BB*a*J*w; for i = 1:4 for j = 1:4 Kgo(2*i-1,2*j-1) = HH(i,j); Kgo(2*i,2*j) = HH(i,j); K = Kmat + Kgo; muotof4.m function[n,j] = muotof4(x,xi,ta) =============================================================================================== Funktio muotof4(x,y,xi,ta) palauttaa nlisolmuisn lmntin muotofunktioidn ja niidn drivaattojn arvot, skä Jacobin dtrminantin arvon lmntin pistssä (xi,ta) Kutsuparamtrit: x = [x1, x2, x3, x4 Elmntin solmukoordinaatit y1, y2, y3, y4] xi & ta Kantalmntin pist, jossa arvot halutaan. Funktio palauttaa: N = [ N1, N2, N3, N4 Taulukko, jossa nsimmäisllä rivillä dn1dx, dn2dx, dn3dx, dn4dx muotofunkiodn arvot, toislla ja kolmannlla rivillä dn1dy, dn2dy, dn3dy, dn4dy]; drivaatat x:n ja y:n suhtn. J Jacobin dtrminatti =============================================================================================== Muotofunktiot ja niidn drivaatat xi:n ja ta:n suhtn Nxy = [(1-xi)*(1-ta), (1+xi)*(1-ta), (1+xi)*(1+ta), (1-xi)*(1+ta); -1+ta, 1-ta, 1+ta, -1-ta ; -1+xi, -1-xi, 1+xi, 1-xi ]; Nxy = 0.25*Nxy; Jacobin matriisi F = [0,0;0,0]; for I =1:4 F = F + [x(1,i)*nxy(2,i), x(1,i)*nxy(3,i); x(2,i)*nxy(2,i), x(2,i)*nxy(3,i)]; Jacobin matriisin dtrminantti ja kääntismatriisi J = F(1,1)*F(2,2) - F(1,2)*F(2,1); Finv = 1/J*[F(2,2), -F(1,2); -F(2,1), F(1,1)]; Muotofunktioidn drivaatat x:n ja y:n suhtn dndx = [0,0,0,0]; dndy = [0,0,0,0]; for I = 1:4 dndx(i) = Nxy(2,I)*Finv(1,1) + Nxy(3,I)*Finv(2,1); 5

6 dndy(i) = Nxy(2,I)*Finv(1,2) + Nxy(3,I)*Finv(2,2); Krätään muotofunktiot ja drivaatat yhtn taulukkoon N = [Nxy(1,:);dNdx;dNdy]; 6