76132S Sähkömagneettinen säteily 1

Transkriptio

1 763 ähkömagnttinn säti. MAXWELLIN YHTÄLÖT Kaikki sähkömagnttisia knttiä koskvat kassist imiöt voidaan johtaa njästä htäöstä. Thjössä nämä sähköknttää E ja magnttiknttää B kuvaavat htäöt saavat suraavan muodon: Gaussin aki thjössä: E. Magnttikntän ähtttöms: B. aradan induktioaki: E B.3 t Yisttt Ampèrn aki thjössä: B ε E t.4 missä on thjön prmabiittti ja on thjön prmittiiviss. Näidn tuo on missä 7 Tm s 4π H/m H Wb / A.5 A A As ε /m.6 ε / c.7 8 c.998 m/s.8 on kutn möhmmin nämm sähkömagnttisn sätin tnmisnopus thjössä i ns. vaonnopus. Matrian vaikutus ottaan huomioon jakamaa sähkövaraukst varaustihs ρ ja sähkövirrat sähkövirran tihs j kahtn osaan. Toinn koostuu ns. vapaista varauksista tihs ρ ja vapaista virroista tihs j jotka sntvät mtain johtavuuskuorn ktronin vaikutukssta. Toinn osa koostuu ns. poarisaatiovaraukssta tihs ρ p ja magntoitumavirrasta tihs j M jotka kuvaavat ainsn sntnttä sähköistä poarisoitumaa P ja magntoitumaa M. Jäkimmäist ottaan huomioon määrittmää ns. sähkövuon tihs i sähköinn siirtmä D ε E P.9 ja ns. magnttikntän voimakkuus H B M. i B H M

2 763 ähkömagnttinn säti Magnttiknttä B on tarkasti ottan magnttivuon tihs; joskus kättään mös nimitstä magnttinn induktio. Huomaa ttä koska ε ja ovat aaduisia suurita ovat E ja D samoin B ja H riaatuisia: m As [ E] ; [ D] s [ B] T ; [ H] m m A m Näidn knttin avua matriavaikutukst voidaan ottaa kätvästi huomioon ja saada htäöt..4 isn muotoon: Gaussin aki: D ρ. Magnttikntän ähtttöms: B. aradan induktioaki: Yisttt Ampèrn aki: B E t.3 D H j t.4 Nämä htäöt ovat ns. ist Mawin htäöt. Mawin ansio oi tarkasta näitä htäöitä kokonaisuutna ja isätä Ampèrn akiin.4 jäkimmäinn trmi ns. siirtmävirta D/t. Tähän paaamm möhmmin. Tarkastaan viä Mawin htäöidn mrkitstä ja tukintaa. Yä Mawin htäöt on sittt ns. dirntiaaimuodossa jonka tukinta saattaa oa vähmmän skä kuin intgroidussa muodossa. Esimrkiksi htäö B voidaan intgroida sujtun tiavuudn i jooin saadaan Gaussin matmaattisn ausn avua B d Bdτ.5 missä on :n sukva rajapinta. Pintaintgraai antaa kaikn magnttisn vuon joka mn tiavuudsta uospäin positiivisna koska d on aina pinnan ukoisn normaain suuntainn ja sisäänpäin mnvän vuon ngatiivisna. Yhtäö.5 siis mrkits ttä sisäänmnvän ja uostuvan vuon määrä on htäsuuri mi tahansa tiavuud. Tämä tarkoittaa sitä ttä magnttikntää B i o ähtitä joista magnttiknttää voisi sntä ja joista knttäviivat voisivat kummuta tai niuja jonn n voisivat hävitä. Tämä on siis aina totta ja imais sn ttä ns. magnttisia monopoja i o omassa. Po. monopoja on kokissti tsitt mutta iman mnststä. Toisaata htäö.5 mrkits mös sitä ttä knttäviivat muodostavat sujttuja viivoja joia i o akua ikä oppua. Magnttist knttäviivat ovat siis uonnoissti kaarvia ja homogninn magnttiknttä voi oa vain ikimäärin totta rajoittua aua.

3 763 ähkömagnttinn säti 3 Toisaata divrgnssin mrkitstä voidaan kuvaia suraavasti. Tarkastaan pintä kuutiota joka on miivataisssa kntässä ks. ohinn kuva Kokonaisvuo -aksia vastaan kohtisuorin sivujn äpi on τ siä :n - ja -aksin suuntaist komponntit ivät vi knttää -suuntaisn sivun äpi. amoin voidaan vuo aska muissa suunnissa ja kokonaisvuo on d τ ja siis.7 d im.8 τ τ Divrgnssi kuvaa siis pinssä tiavuudssa sntvän nttovuon tihttä. Jos divrgnssi häviää kutn magnttikntän tapauksssa mutta mös sähköknttä thjössä ks.. i nttovuo muutu ikä ähtitä tai niuja o. Toisaata sähkökntää voi oa ähtitä ja niuja i sähkövarauksia ja divrgnssi i isssä tapauksssa. häviä. Yhtäön. intgroitu muoto on d D d ρ d D.9 Q D-kntän ähtinä ja niuina ovat siis vapaat varaukst. astaavasti htäöidn. ja.9 avua voidaan E-kntän divrgnssi saada muotoon missä on kokonaisvaraustihs ja E ρ / ε. ρ ρ ρ p.

4 763 ähkömagnttinn säti 4 ρ P. p on poarisaatiovaraustihs. ähkökntän E ähtitä ja niuja ovat siis kaikki sstmin varaukst. Knttin D E ja P väistä htttä voidaan kuvata simrkiksi osittain ristaina tättä kondnsaattoria ks. kuva. D vakio E pinntnt ristssä P P D-knttä on sama thjössä kuin ristssäkin siä s snt vain johtavin konsnsaattorivjn vapaidn varaustn vaikutukssta. E-knttää vähntää ristainsn indusoitunut poarisoituma P sitn ttä niidn summa i D-knttä ps vakiona htäön.9 mukaan. Huomaa ttä P:n suunta on ngatiivissta varaukssta positiivisn. Poarisoituma snt ristainidn atomin tai mokin kokissa pinn varausjakauman muutoksn paikaisn sähkökntän E oc vaikutukssta. Mokit siis poarisoituvat ja saavat pinn dipoimomntin p. Jos N on mokin ukumäärätihs on P Np Nα ε E oc.3 missä α on kukin ristain ominainn mokuaarinn poarisoituvuus. Koska isotrooppisssa ainssa E oc E saadaan P χ E E ε.4 joka määritt ristn sähköisn suskptiivisuudn χ E. ähköinn siirtmä.9 voidaan siis kirjoittaa muotoon ε E P χ ε E ε ε E.5 D E r missä ε r on ristn suhtinn prmittiiviss. Huomaa ttä χ E ja ε r ovat aaduttomia ukuja. Kahdn jäkimmäisn Maw-htäön.3 4 havainnoistamisksi tutkimm viä roottorin määrittä.

5 763 ähkömagnttinn säti 5 Yisn vktorikntän roottori ng. cur i kirr pörr on toinn vktoriknttä jonka komponntti jossakin suunnassa saadaan askmaa :n sujttu viiva- i kirtointgraai tasossa joka on kohtisuorassa po. suuntaa vastaan ks. ohinn kuva. Kirtointgraai asktaan oikan kädn säännön mukaan. Kun intgraain sukma au pinn intgraain arvokin ähst noaa mutta intgraain ja aan suhd ähst ääristä arvoa.6 nuoi d im joka määritt :n roottorin po. nuon suunnassa. Lasktaan nt kirtointgraai normaaissa kartsisssa koordinaatistossa. Tarkastaan pistn mpäriä ovaa tason suuntaista niötä jonka sivujn pituudt ovat ja ks. ohinn kuva. Kirtointgraai tämän niön mpäri on d kun pinta-aa saadaan d im Yhtäön.6 mukaan tämä määritt roottorin komponntin -tasoa vastaan kohtisuorassa suunnassa i.8 Intgroimaa samaa tavaa - ja -tasoissa saadaan Koko roottorivktori voidaan siis sittää tutussa dtrminanttimuodossa.9.7

6 763 ähkömagnttinn säti 6 Huom.. aisia vktoriknttiä joidn roottori häviää sanotaan pörtttömiksi. Yhtäön.3 mukaan sim. staattinn ajaissti vakio sähköknttä on pörttön i E.3 Täainn vktoriknttä voidaan aina sittää ns. sähköisn skaaari potntiaain φ gradinttina i E - φ.3 täöinhän E - φ ja sanotaan po. vktorikntän ovan konsrvatiivinn. Huom.. Toisaata ähttön vktoriknttä kutn B B voidaan aina sittää ns. vktoripotntiaain A roottorina: B A.3 On kuitnkin huomattava ttä htäö.3 i määritt A:ta ksikäsittissti. Jos nimittäin A totuttaa htäön.3 niin A A A totuttaa sn mös kunhan A. Esim. A - φ totuttaa tämän hdon kaikia skaaariunktioia φ. Tiann on anaoginn sähköisn potntiaain kanssa johon isätt miivatainn vakio i muuta gradintin avua askttua sähköknttää. Tämä on ns. mittainvarianssi ja torttisn ktrodnamiikan prusähtökohtia. Paannmm asiaan möhmmin. Pörrhtö.3 voidaan siis mmärtää sitn ttä ajaissti muuttuva magnttiknttä aihuttaa pörtisn sähkökntän jonka pörr roottori on magnttikntän muutoksn suuntainn. amoin htäön.4 mukaan sähkövirta j tai ajaissti muuttuva sähköknttä aihuttaa pörtisn magnttikntän. Näidn dirntiaaimuotoistn htäöidn oha voidaan tarkasta mös niidn intgroituja muotoja. Intgroidaan ht..3 avoimn pinnan i jooin toksin ausn avua htäön vasn puoi saadaan muotoon d E d E.33 missä on sähkömotorinn voima i ähdjännit. Toisaata oikasta puosta saadaan B d t t Φ B d t.34 missä Φ on magnttinn kokonaisvuo po. pinnan äpi. aamm siis tutun tuoksn dφ.35 dt astaavasti htäöstä.4 saamm staattisssa d/dt i-magntoitunssa M tapauksssa intgroimaa i tutun Ampèrn kirtoain H d B d B d j d B d I.36 I

7 763 ähkömagnttinn säti 7 Huom.. Isotrooppisia dia- ja paramagnttisia mutta i rromagnttisia ainia magntoituma on vrrannoinn magnttiknttään B: M χ B B/.37 missä χ B on ns. magnttinn suskptiivisuus ja htäöstä. saadaan H χ B B B josta B r H.38 missä on ainn suhtinn prmabiittti. r - χ B -.39 Huom.. Toisin kuin B-kntän H-kntän knttäviivat ivät aina o jatkuvia siä H:n määritt-htäöstä. H B M saadaan.4 H B M M jotn pähomognisssa väiainssa jossa magntoituman divrgnssi voi oa H voi oa. H-kntää voi siis oa ähtitä jotn sn knttäviivat voivat oa päjatkuvia i akaa jostakin ja oppua jonnkin. umma H M on kuitnkin ähttön jotn muutokst H:ssa ja M:ssä kompnsoivat toisnsa. amoin ainn rajapinnaa H:n knttäviivat ovat päjatkuvia. Esim. sonoidin sisää ovan paramagnttisn sauvan ks. ohinn kuva äpi kukvat B:n knttäviivat ovat jatkuvia mutta M:n knttäviivat ovat päjatkuvia siä M sauvan sisää ja M sn ukopuoa. Koska H B M kuk sauvan sisää vastaavasti vähmmän H:n knttäviivoja kuin sn päistä äht ukopuoa ovaan avaruutn. Tarkastaan tämän jäkn himan tarkmmin Mawin kksimän siirtmävirran mrkitstä. Johdtaan auksi ns. jatkuvuushtäö.

8 763 ähkömagnttinn säti 8. Jatkuvuushtäö Kaikissa tunntuissa tiantissa on havaittu ttä sähkövaraus on säivä suur: s i voi hävitä ikä sitä voi sntä. Tämä säimisaki voidaan imaista varauksn jatkuvuushtäön avua. irtatihs j kujttaa pinta-akion d äpi d:n suuntaan sähkövarausta nopuda j d. Kun määritään sujtun pinnan pinta-akio suuntautuvaksi uospäin kujttaa j siis aikaksikössä :n sisä -d:n suuntaan varauksn j d.4 Koska varaus säi tät tämän auskkn oa sama kuin :n mpäröimässä tiavuudssa ovan kokonaisvarauksn muutosnopus i Q ρ dτ.4 d dt ρ dτ j d.43 Koska on avaruudssa paikaaan ova tiavuus ja ρ ρr t on d dt ρ ρ dτ dτ.44 t ovtamaa tätä htäön.43 vasmpaan puon ja Gaussin divrgnssiaustta oikaan puon saadaan ρ dτ j dτ.45 t Tämän htäön on otava voimassa kaikissa tiavuuksissa jotn intgrandin on otava ρ htäsuurt i j t ρ j t.46 Tämä on varauksn säimisain matmaattinn sitsmuoto joka tunntaan nimä kontinuitttihtäö i jatkuvuushtäö.. iirtmävirta Tarkastaan nt Ampèrn akia iman siirtmävirtaa i Mawin oppimassa muodossa H.47 j Koska H havaitaan ttä tämän mukaan pitäisi mös oa j. Toisaata jatkuvuushtäön mukaan tiantissa joissa varaustihs muuttuu ρ/t on

9 763 ähkömagnttinn säti 9 j ρ t Yhtäö.47 on siis ajasta riippuvissa tiantissa ristiriidassa varauksn säimisain kanssa. Tutkitaan mitn Ampèrn akia tuisi korjata jotta ristiriita saadaan häviämään. Ottamaa puoittain aikadrivaatta Gaussin aista havaitaan ttä D ρ.48 t D D ρ t t j.49 jotn D j.5 t Tämän avua saadaan ristiriita Ampèrn aissa häviämään. Jos nimittäin htäön.47 oika puo isätään trmi D saadaan htäö t D H j.5 t jonka kummankin puon divrgnssit ovat noia. Tämä on Mawin tädntämä Ampèrn aki ja trmi D/t on ns. siirtmävirta. J. C. Maw isäsi sn Ampèrn akiin v. 86 tkmänsä ajatuskokn prusta. Kokissti i siirtmävirran tarvtta Ampèrn aissa out siihn mnnssä havaittu siä sioin saavuttuia vaihtovirtojn taajuuksia D/t on häviävän pini. asta radioaatojn taajuuksia siirtmävirrasta tu mrkittävä. iirtmävirran isäs Ampèrn htäöön tk sähkömagntismista smmtrisn sähkön ja magntismin suhtn sitn ttä kun aradan ain mukaan muuttuva magnttiknttä tuottaa sähkökntän niin siirtmävirraa tädnntt Ampèrn htäö tuottaa magnttikntän muuttuvasta sähkökntästä. Huomaa ttä smmtria i kuitnkaan o tädinn koska magnttisia monopoja i magnttikntän ähtitä i o. Tarkastaan siirtmävirran suuruutta simrkkin avua. Esim.. Jos johtimn asttaan värähtmään vaihtuva sähköknttä E E cos ωt snt virtatihs j σe σe cos ωt. Jos mtai ε r on D ε E ε E cos ωt ja siirtmävirta D ωε sin ωt t E

10 763 ähkömagnttinn säti irtatihdn ja siirtmävirran maksimiarvojn suhd on σ ωε 9 / s kupari. ω D Esimrkiksi tavais vaihtovirra joa ω π 5 /s on siis j >> ja t siirtmävirran vaikutus voidaan unohtaa tavaisn johtavuusvirtaan vrrattuna. Esim.. irtajohtimn ukopuoa j mutta D/t voi oa. Tarkastaan D/t:n mrkitstä täaisssa tiantssa. Ohjataan pitkän kan äpi vaihtovirta I I sin ωt ks. ohinn kuva Jos auksi jättään siirtmävirta huomioimatta aihuttaa I kan sisä kntän B NI NI sin ωt.5 missä N on kirrostn ukumäärä/pituusksikkö. aradan ain mukaan tämä muuttuva magnttiknttä indusoi sähkökntän. ovtaan aradan akia kuvassa ovaan r- sätisn mprään: E d E d B d t πre NI sin ωt πr t E ω NI cosωt r.53 Tämän avua saadaan siirtmävirraksi D t ε E ω ε NI sin ωt r.54 t

11 763 ähkömagnttinn säti Nt voidaan tutkia oiko siirtmävirran huomiotta jättäminn aussa oikutttua. rrataan ohisssa kuvassa ovan simukan ABCD äpi kukvaa johdvirtaa siirtmävirtaan. Jos johdvirta >> siirtmävirta on kokonaisknttä kan sisää htäön.5 mukainn ja siirtmävirran aihuttama osuus siis vähäinn. Okoon sivun AB pituus jotn sn mittaisn simukan äpi kuk kan kirroksia N kappatta ja siis kokonaisvirta NI. Koska siirtmävirta on E:n suuntainn on sn vuo :n äpi D a d ω ε NI dr t r ω ε 4 NIa.55 missä D/t on approksimoitu kan ukopuoa noaksi. iirtmävirran ja johdvirran suhd on siis 4 ω ε NIa NI ω ε a.56 4 Jos ω/π MH ja a cm tämä suhd on -6. Tämä tarkoittaa ttä siirtmävirran osuus kan sisää on ovaan magnttiknttään on vähäinn. Kuitnkaan tämä i tarkoita sitä ttä sim. indusoitunut sähköknttä oisi kan sisää vähäinn tai ttä siirtmävirta i aihuttaisi MH:n taajuuda mrkittäviä imiöitä. Eo. tuokssta nähdään mös ttä siirtmävirran osuus kokonaismagnttikntästä kasvaa taajuudn niön mukaan nopa muutos suuri aikadrivaatta.