Differentiaaliyhtälöt, Syksy 2015 Harjoitus 2, Ratkaisut Ratkaise separoituvat differentiaaliyhtälöt. a) y = y

Transkriptio

1 Diffrntiaaliyhtälöt, Syksy 215 Harjoitus 2, Ratkaisut Ratkais sparoituvat diffrntiaaliyhtälöt a) y = y 3, b) y = 1 + y 2 y 2. y Ratkaisu. a): Yhtälö y = 3 on hyvin määritlty kun 3. Lisäksi huomataan, ttä vakiofunktio y = totuttaa yhtälön. Tämän ratkisun maksimaalinn määrittly väli on koko ], 3[ tai ]3, [. Muilla ratkaisuilla i siis ol nollakohtia. Muut ratkaisut saadaan yhtälöstä y 1 t dt = 1 ds + c, c R. s 3 Tämä antaa yhtälön log( y ) = log( 3 ) + c, c R. Josta saadaan y() = c 3, c R. Käymällä läpi mrkkivaihtohdot saadaan ratkaisuiksi y() = C( 3), missä C R \ {}. Lisäämällä rikoisratkaisu tähän joukkoon saadaan kaikki ratkaisut yhtälöstä y() = C( 3), C R. Ratkaisuidn määrittly väli on ], 3[ tai ]3, [. Huomaa!!, ttä yhtälön ( 3)y = y ratkaisuiksi käyvät samat ratkaisut kuin yllä mutta nyt ratkaisuidn määrittlyväliksi käy koko R. Pistssä = 3 kaikki ratkaisut yhtyvät ja pistidn (3, y ), y kautta i kulj yhtään ratkaisua. b): Annttu yhtälö on sparoituva sillä s on kvivalntti yhtälön y = (1 )(1 + y 2 ) kanssa. Koska funktiolla y 1 + y 2 i ol nollakohtia niin tämän kaikki ratkaisut saadaan yhtälöstä y t 2 dt = 1 s ds + c, c R. Tästä saadaan Näin olln ratkaisut ovat arctan(y) = c, c R y() = tan( c), c R. 2. Ratkais linaarist diffrntiaaliyhtälöt

2 2 a) y + 2y = 3, b) y + 2 y = ln(), kun >. Ratkaisu. a): Linarisn yhtälön ratkaisukaavan nojalla kaikki ratkaisut saadaan yhtälöstä ) y() = 2 dt( 2 ds 3 t dt + C = 2 3 3t dt + C 2 = + C 2, C R. b:)linarisn yhtälön ratkaisukaavan nojalla kaikki ratkaisut saadaan yhtälöstä (huomaa, ttä > ) ) y() = 2 t dt ( 2 s ds ln(t) dt + C = 2 ln() 2 ln(t) 2 ln() ln(t) dt + C = 1 2 t 2 ln(t) dt + C 2, C R. Osittaisintgroinnin avulla t 2 ln(t) dt = 1 (t 3 ) ln(t) dt 3 = ln() 1 3 t 3( ln(t)) dt = ln() 1 3 t 2 dt = ln() 3 9. Näin olln ratkaisut ovat y() = 1 3 ln() 9 + C 2, C R. 3. Ratkais logistinn diffrntiaaliyhtälö y () = y() ( 1 y() ) alkuarvolla y() = 1/2. Ratkaisu. y() = + 1. Ratkaisun maksimaalinn määrittlyväli on R.

3 4. Määritä s jatkuva funktio y : ], [ R, joll y(1) = 1 ja, joka totuttaa yhtälön y () + y() = 1, välillä < < 2 ja yhtälön y () + y() = kun > 2. Piirrä funktion y : ], [ R kuvaaja. Onko tämä funktio drivoituva pistssä = 2? Ratkaisu. Ratkaistaan nsin anntut linaarist yhtälöt, yhtälön y () + y() = 1 kaikki ratkaisut ovat ) Alkuhdon nojalla y() = 1 dt( 1 ds 1 dt + C = 1 + C, C R. 1 = y(1) = 1 + C 1 = + C, jotn C = 1. Välillä < < 2 kysytyn funktion tul olla y 1 () = 1. Yhtälö y + y = on homogninn, jotn sn ratkaisut ovat ỹ() = c, c R. Joukossa > 2 tsityn funktion tul olla tätä muotoa, jatkuvuudn takaamisksi valitaan vakio c sitn, ttä li, ttä c = 2 1. Mrkitään y 1 (2) = ỹ(2) y 2 () = ( 2 1). Määritllään funktio y : ], [ R sitn, ttä y 1 (), kun < < 2 y() = 2 1, kun = 2 2 y 2 (), kun > 2. Tällöin y on jatkuva kaikill ], [, ja lisäksi ja y(2 + h) y(2) lim = 2 h h y(2 + h) y(2) lim = 2 1 h + h 2, jotn y i ol drivoituva pistssä = 2. 3

4 4 5. Tarkastllaan (Brnoullin) yhtälöä (1) y + P ()y = Q()y λ, missä λ, 1 ja P, Q: I R avoimlla välillä I R jatkuvia. Näytä, ttä sijoitukslla z() = y 1 λ () yhtälö (1) palautuu linaarisksi yhtälöksi z + (1 λ)p ()z = (1 λ)q(). Ratkaisu. Huomaa, ttä jos λ > niin y on alkupräisn yhtälön ratkaisu ja jos taas λ < niin yhtälö i ol määritlty jos y saa arvon. Yksikäsittisyyslausn nojalla voi olttaa tällöin, ttä y. Jataan alkupräinn yhtälö puolittain luvulla y λ jolloin saadaan kvivalntti yhtälö (2) y y λ + P ()y 1 λ = Q() Sijoituksll z() = y() 1 λ pät jotn yhtälö (2) on muotoa z () = (1 λ)y λ ()y () 1 1 λ z () + P ()z() = Q() jota krtomalla puolittain luvulla 1 λ saadaan väit. 6. Olkoon p: R R ja q : R R jatkuvia. Olttaan lisäksi, ttä lim q() = ja on olmassa c > sitn, ttä p() c kaikill R. Osoita, ttä kaikill linaarisn yhtälön y () + p()y() = q() ratkaisuill pät lim y() =. Todistus. Koska p ja q ovat määritltyjä ja jatkuvia kaikill R niin yhtälön ratkaisut ovat myös määritlty joukossa R. Olkoon α R ja valitaan s yhtälön y + p()y = q() ratkaisu, joll y() = α. Tämä ratkaisu on y() = p(t) dt p(s) ds q(t) dt + α p(t) dt. Olkoon ε >. Halutaan löytää > sitn, ttä kaikill >. Kaikill > on y() p(t) dt y() < ε p(s) ds q(t) dt + α p(t) dt

5 5 Oltuksn nojalla on olmassa > sitn, ttä q() < cε 3 kaikill >, missä c > on s vakio, joll p() c. Jos > niin dllisn nojalla on 1 t p(s) ds t q(t) dt = p(s) ds q(t) dt + p(s) ds q(t) dt missä < 1 M + cε 3 p(s) ds q(t) dt + cε 3 p(s) ds dt, p(s) ds dt { t } M = sup p(s) ds q(t) : t [, ] <, sillä q : R R ja p: R R jatkuvia. Lisäksi huomataan, ttä p(t) dt t p(s) ds dt = = = p(s) ds p(s) ds dt 1 p(s) ds p(s) ds t 1 t p(s) ds dt. p(s) ds dt Oltuksn p() c > avulla voimm jatkaa dllistä sitn, ttä t p(s) ds dt c ct dt = 1 c( ) c c 1 c. Olmm siis saant suraavan arvion: jos > niin y() sillä p(t) dt = p(t) dt 1 < M p(t) dt + cε p(s) ds q(t) dt + α p(t) dt p(s) ds q(t) dt + p(t) dt 3c + α p(t) dt M c p(t) dt c dt = c. Koska M α lim = ja lim c c = niin on olmassa luvut 2, 3 R sitn, ttä M c < ε 3, p(s) ds q(t) dt + α p(t) dt + ε 3 + α c,

6 6 kaikill > 2 ja α c < ε 3, kaikill > 3. Valitaan = ma{, 2, 3 } jolloin dllä thdyt päättlyt ovat voimassa kun > ja sitn kaikill >. y() < ε