MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause

Transkriptio

1 MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 17

2 Stokesin lause (ei todisteta) Lause Oletetaan, että S R 3 on suunnistettu pinta, jonka reunakäyrät C 1,..., C N ovat suljettuja. Tällöin S curl F ˆN ds = kun F : R 3 R 3 on sileä vektorikenttä. N j=1 C j F dr, Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 17

3 Huomautuksia Reunakäyrät C j on suunnistettu S:n suunnistuksen mukaan. Jos S on xy-tason osajoukko ja ˆN = k, niin Stokesin lause on Greenin lause. Jos F : R 3 R 3 on konservatiivinen vektorikenttä, eli F = φ jollakin φ: R 3 R, niin: Aiemmin: Jos C on suljettu, niin F dr = 0. Stokes: Jos C on pinnan S reunakäyrä, niin F dr = curl F ˆN ds = 0. C C S Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 17

4 Esimerkki 1/4 Olkoon S se osa pallosta x 2 + y 2 + (z 2) 2 = 8, joka on xy-tason yläpuolella. Laskettava I = S curl F ˆN ds, kun F = y 2 i cos xz + x 3 e yz j e xyz k, ja S on suunnistettu ulkonormaalilla ˆN. Huom. 2 = 4 < 8 < 9 = 3. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 17

5 Esimerkki 2/4 Pallon keskipiste on (0, 0, 2) ja säde a (2, 3). Etsitään pinnan S reunakäyrä C: x 2 + y = 8, joten x 2 + y 2 = 2 2 ja z = 0. Siis C on 2-säteinen ympyrä xy-tasossa. Huomataan, että C on myös reunakäyrä pinnalle (tasoalueelle) D = {(x, y, 0) : x 2 + y 2 2}, ˆN = k. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 17

6 Esimerkki 3/4 Saadaan Lasketaan Stokes = I = D S curl F ˆN ds Stokes = curl F ˆN ds = D C F dr curl F k ds. i j k curl F k = det x y z k y 2 cos xz x 3 e yz e xyz = 3x 2 yz 2y cos xz. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 17

7 Esimerkki 4/4 Sijoittamalla tulos integraaliin saadaan 3x 2 e yz 2y cos xz ds = (3x 2 e zy 2y cos xz) da D x 2 +y z=0 = 3x 2 2y da symmetr. = x 2 +y x 2 da x 2 +y = ˆ 2π ˆ (r cos θ) 2 r dr dθ = ˆ 2π 0 cos 2 θ dθ ˆ 2 0 3r 3 dr = 12π. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 17

8 Esimerkki 1/3 Olkoon F (x, y, z) = 3yi xzj + yz 2 k ja S parabloidin 1 2 (x2 + y 2 ) osa, joka jää tason z = 2 alapuolelle. Laskettava curl F ˆN ds, S kun S on suunnustettu siten, että normaali osoittaa alaspäin. Stokesin lauseen perusteella curl F ˆN ds = missä C on S:n reunakäyrä. S C F dr, Reunakäyrän suunnistus: Kiertosuunta myötäpäivään C:tä pitkin z-akselin ympäri on positiivinen. Tällöin S jää kierrettäessä vasemmalle puolelle. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 17

9 Esimerkki 2/3 Reunakäyrän parametrisaatio: C koostuu pisteistä { z = 2, z = 1 2 (x2 + y 2 ), eli { z = 2, 2 2 = x 2 + y 2. Siten C on 2-säteinen ympyrä, ja C:n parametrisaatioksi saadaan r(t) = 2 cos ti 2 sin tj + 2k, t [2, 2π] ja r (t) = 2 sin ti 2 cos tj + 0k. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 17

10 Esimerkki 3/3 Lasketaan C F dr = ˆ 2π 0 F (r(t)) r (t) dt = ˆ 2π 0 ( 3( 2 sin t)i (2 cos t)2j + ( 2 sin t)2 2 k ) ( 2 sin ti 2 cos tj) dt = ˆ 2π 0 12 sin 2 t + 8 cos 2 t dt = 12π + 8π = 20π. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 17

11 *Sähköstatiikkaa Coulombin lain mukaan pistemäinen varaus q pisteessä s R 3 synnyttää sähkökentän E(r) = q 4πɛ 0 r s r s 3, missä ε coulombia 2 /N m 2 on tyhjiön permittiivisyys. Voidaan osoittaa, että sähkökentälle E pätee curl E = 0, ja div E = ρ, ɛ 0 missä ρ on varaustiheys annetussa pisteessä. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 17

12 *Biot-Savartin laki Magneettikentät syntyvät varauksen liikkumisen eli virran seurauksena. Ajatellaan, että vakiovirta I kulkee käyrää F pitkin. Tällöin pisteessä s käyrää F pitkin kulkeva virtayksikkö synnyttää kentän db(r) = µ 0I ds (r s) 4π r s 3, missä µ N/ampeeri 2 on tyhjiön permeabiliteetti, ds = ˆT ds ja ˆT on käyrän F yksikkötangenttivektori. Yleisemmässä tapauksessa voidaan tarkastella virran vektoritiheysfunktiota J (suunta ja voimakkuus). Voidaan osoittaa, että curl B = µ 0 J ja div B = 0. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 17

13 *Maxwellin yhtälöt 1/5 Tarkastellaan seuraavaksi tilannetta, jossa sähkö- ja magneettikentät riippuvat myös ajasta. Yhtälö div E = ρ/ɛ 0 on edelleen voimassa, kuten myös yhtälö div B = 0, joka viittaa siihen fysikaaliseen havaintoon, että magneettisia lähteitä tai nieluja ei ole (tai ainakaan ei tunneta). Siten kentän B kenttäviivat ovat suljettuja käyriä. Michael Faradayn havainnon mukaan sähkökentän virtaus suljetun käyrän C ympäri vastaa muutosta magneettikentän vuossa Φ = B ˆN ds missä S on mikä tahansa suunnistettu pinta reunakäyränä C, ja dφ dt = E dr. S C Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 17

14 *Maxwellin yhtälöt 2/5 Soveltamalla Stokesin lausetta, saadaan curl E ˆN ds = S C E dr = d B B ˆN ds = dt S S t ˆN ds. Koska pinta S on mielivaltainen, saadaan seuraava Faradayn lain muoto: curl E = B t. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 17

15 *Maxwellin yhtälöt 3/5 Aikariippuvassa tapauksessa myös Ampèren lakia curl B = µ 0 J täytyy muokata. Jos nimittäin sähkökenttä riippuu ajasta, niin myös virrantiheys J on aikariippuvainen. Oletamalla sähkövarauksen säilyminen (varauksia ei synny eikä katoa) voidaan osoittaa, että ρ = div J. t Tämä tulos on kuitenkin ristiriidassa Ampèren lain kanssa, koska div curl B = 0, mutta div J 0, kun ρ riippuu ajasta. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 17

16 *Maxwellin yhtälöt 4/5 Identiteetistä ρ = ɛ 0 div E saadaan div J = ρ t = ɛ 0div E t. Siten ( E ) div J + ɛ 0 = 0. t Tämän perusteella Ampèren laiksi ei-staattisessa tapauksessa saadaan curl B = µ 0 J + µ 0 ɛ 0 E t. Tulos liittyy Maxwellin tekemään havaintoon, jonka mukaan magneettikenttiä eivät synnytä pelkästään sähkövirrat vaan myös sähkökentissä tapahtuvat muutokset. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 17

17 *Maxwellin yhtälöt 5/5 On johdettu seuraavat neljä yhtälöä: Maxwellin yhtälöt div E = ρ/ɛ 0, div B = 0, curl E = B t, curl B = µ E 0J + µ 0 ɛ 0 t. Nämä yhtälöt määräävät ne tavat, joilla sähkö- ja magneettikenttiä syntyy kolmiulotteisessa avaruudessa varausten ja virtojen seurauksena. Huomaa, että µ 0 ɛ 0 = 1/c 2, missä c m/s on valon nopeus tyhjiössä. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 17