Sauvaelementti hum

Transkriptio

1 Sauvalmntti hum.9. Yhdn solmuvapausastn sauvalmntti akastllaan kuvan mukaista sauvalmnttiä. Sauvan vasmmassa päässä on sauvan lokaalisolmu numo, jonka -koodinaatti on ja vastaavasti oikassa päässä lokaalisolmu numo, jonka - koodinaatti on. ξ = - ξ ξ = Kuva. Sauvalmntti ja sn mokooidinaatti ξ Käyttään lmntin alulla lisäksi niin sanottua mokoodinaatistoa, jossa mokoodinaatti ξ saa avoja välillä [-, ]. ällöin lmntin pistn ξ vastaava -koodinaatti saa avon ( ξ ) = ( ξ ) + ( ξ ) N N () missä intpolaatiofunktiot tai toislta nimltä muotofunktiot ovat N( ξ ) = ξ ( ξ ) = + ξ ( ) N ( ) () N (ξ) N (ξ) - ξ - ξ Kuva. Yksiulottistn linaaistn intpolaatiofunktioidn N ja N kuvaajat Elmntin siitymäknttä intpoloidaan solmuavoistaan käyttän samoja muotofunktioita ( ξ ) = ( ξ ) + ( ξ ) u N q N q () missä q ja q ovat lmntin solmusiitymät q q Kuva. Elmntin lokaalit solmusiitymät q ja q

2 Sauvalmntti hum.9. u(ξ) q q - ξ Kuva. Elmntin siitymäkntän intpolaatio q = q q Elmntin solmusiitymät voidaan koota solmusiitymävktoiksi ( ) muotofunktiot voidaan koota vaakavktoiksi N ( ξ ) = [ N N ] lausua ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ). Vastaavasti, jolloin lmntin siitymäknttä voidaan u = N q + N q = N q () Vnymä lmntin alulla saadaan divoimalla siitymäknttää -koodinaatin suhtn du du dξ dξ q q dξ ε = = u, = = ( N, ξ q + N, ξ q ) = d dξ d d d (5) divoimalla -koodinaatin lausktta = + = l, ξ, ξ, ξ = = dξ N N d (6) huomataan, ttä vnymä voidaan lausua q q ε = = [ ] q = B q l l (7) missä B on kinmaattinn matiisi, jonka avulla voidaan lausua vnymä lmntin alussa kun solmusiitymät tunntaan. inaaissti kimmoisn isotooppisn sauvan kskimäääinn jännitys saadaan yhtydstä σ = Eε = E Bq (8) Mikäli lmntillä on knttäkuomituksia, kutn painovoima, niin lmntill voidaan laska takmmat solmujännitykst lmnttin solmuvoimin avulla, kutn kohdassa Elmntin solmuvoimat näyttään.

3 Sauvalmntti hum.9. Elmntin jäykkyysmatiisi akastllaan lmntin, jonka poikkilikkaus A olttaan tässä vakioksi, kimmongian lausktta U = σ ε Ad = ε ε d = q B Bq d l l l EA = q EA d l q = q l l q = q k q EA EA (9) missä matiisia k kutsutaan lmntin jäykkyysmatiisiksi. Siis yhdn solmuvapausastn sauvalmntin jäykkyysmatiisi on EA k = (0) missä E on matiaalin kimmokoin, A on lmntin poikkipinta-ala ja lmntin pituutna on nyt mitta. ilavuusvoima Elmntin alulla vakiosuuuisksi olttun tilavuusvoiman f potntiaali saadaan summaamalla lmntin tilavuudn yli WP = u f Ad = f A d l l q N () koska l d = dξ, niin WP f Al = q dξ ξ = q ξ f Al V = q = q f ξ ξ ξ f Al + ξ + () missä vktoia f V kutsutaan tilavuusvoiman kvivalnttisksi solmukuomitusvktoiksi. Sauvalmntin yhtydssä tilavuuskuomitus voidaan kovata viivakuomitukslla ktomalla tilavuusvoima f lmntin poikkipinta-alalla A. Mikäli kuomitus aihutuu ulkoissta painsta voidaan s vastaavasti ktoa painkuomituksn lvydllä ja laska tilavuuskuomitukssta aihutuvan viivakuomituksn kanssa yhtn.

4 Sauvalmntti hum.9. Potntiaalingian minimi akastllaan kuvan nljän lmntin laskntamallia. ausutaan koko laskntamallin potntiaalingia summaamalla kunkin lmntin.. kimmongia skä ulkoisn kuomituksn potntiaalingia. ätä vatn numoidaan laskntamallin siitymät Q i, joita sanotaan globaalisiitymiksi ykkösstä alkan. 5 Q Q Q Q Q 5 Kuva 5. Nljän sauvalmntin laskntamalli () = = U = U WP = WP Ottaan käyttöön laskntamallin globaali siitymävktoi [ Q Q Q Q Q ] Q = () 5 ja lausutaan laskntamallin kimmongia globaalia siitymävktoia Q käyttän. Esimkin laskntamallissa on viisi globaalisiitymää, jotn vaataan globaaliin jäykkyysmatiisin K tilaa 5*5. askntamallin lmnttin jäykkyysmatiisit ovat, kun olttaan, ttä lmntillä on sama kimmokoin. k E A E A E A E A = = = = k k k isätään globaaliin jäykkyysmatiisiin lmntin osuus A A A = E K k A missä opaattoi takoittaa niin sanottua sijoittlusummausta, jossa lmntin jäykkyysmatiisi k summataan globaalin jäykkyysmatiisin K niill ivill ja saakkill, jotka vastaavat lmntin globaalisiitymiä. Edllä olvassa siis lmntin globaalisiitymät ovat Q ja Q. Huomataan, ttä lmntin kimmongia (9) voidaan lausua myös dllä olvaa 5*5 jäykkyysmatiisia K ja globaalisiitymävktoia Q käyttän U = Q K Q (5)

5 Sauvalmntti hum.9. isätään globaaliin jäykkyysmatiisiin lmntin osuus A A A A A A = E A A K k jolloin lmnttin ja kimmongiat voidaan lausua dllä olvaa jäykkyysmatiisia käyttän U isätään sittn globaaliin jäykkyysmatiisiin lmntin osuus + U = Q K Q (6) A A A A A A K k = E A A A A A A ja lopuksi lmntin osuus A A A A A A A A A A K k 0 0 = E + A A A A A A Koko laskntamallin kimmongia saadaan lausuttua globaalia siitymävktoia Q ja globaalia jäykkyysmatiisia K käyttän U = Q K Q (7) 5

6 Sauvalmntti hum.9. Vastaavalla tavalla voidaan ulkoisn kuomituksn potntiaalingia koota muotoon V V V f + f V V V + V V f + f V f f WP = Q F Q P = Q f f Q P = Q F (8) missä V fij on lmntin i tilavuusvoiman aihuttaman kvivalnttisn solmukuomitusvktoin komponntti j. Edllä olvassa ulkoisn kuomituksn potntiaalingiassa on huomioitu vain tilavuusvoiman osuus. Sauva- ja palkkilmntillä tilavuusvoiman ja painkuoman vaikutukst voidaan yhdistää ja kovata n viivakuomitukslla. ilavuuskuomituksn tapauksssa tilavuusvoima f voidaan ktoa lmntin poikkipinta-alalla A. Vktoi P on annttu solmukuomitusvktoi ja vktoi F laskntamallin globaali solmukuomitusvktoi. Divoimalla kokonaispotntiaalingian lausktta siitymin Q i suhtn päädytään koko laskntamallin tasapainoyhtälöön, joka on lausuttu symbolisssa muodossa K K K K K5 Q F K K K K K 5 Q F K Q = F = K K K K K 5 Q = F K K K K K5Q F K5 K5 K5 K5 K 55 Q 5 F 5 (9) Eliminointimntlmä Saatu yhtälöyhmä on singulaainn, koska siinä on jäykän kappaln liikmahdollisuus. ämä liikmahdollisuus poisttaan antamalla iittävä määä nnalta määättyjä siitymiä. Kahdn vapausastn sauvalmnttimallissa iittää kun anntaan yksi siitymä, mutta annttuja solmusiitymiä voi olla usampiakin. Olttaan, ttä kuvan laskntamallissa solmun siitymä Q on nolla li laskntamallin vasn pää on liikkumaton. ällöin iittää kun pyyhitään yhtälöyhmän vastaava ivi ja saak pois lasknnasta. Edllyttän, ttä lmnttin pituudt, pinta-alat ja kimmoktoimt ovat positiivisia, niin jäljll jäänyt yhtälöyhmä K K K K5 Q F K K K K 5 Q F K Q = F = = K K K K 5 Q F K5 K5 K5 K55 Q5 F5 (0) 6

7 Sauvalmntti hum.9. atkaa. Jos solmun siitymä Q on tunnttu ja isuui kuin nolla vaikkapa a, niin hlposti huomaat, ttä dusoitua yhtälöyhmää on muokattava suaavanlaisksi K K K K5 Q F Ka K K K K 5 Q F Ka K Q = F = = K K K K 5 Q F Ka K K K K Q F K a () Jos solmun i siitymä Q i on tunnttu, niin vastaavasti pyyhitään ivi i ja saak i pois yhtälöyhmästä ja thdään vastaava kojaus laskntamallin globaalikuomitusvktoill F. Sakkomntlmä (Pnalty Mthod) Eäs vaihtohtoinn tapa hoitaa anntut siitymät on sakkomntlmä. Sakkomntlmä on hlppo ohjlmoida titokonll ja sillä voidaan käsitllä myös ylismpi siitymäajoit (Multipoint constaint), kutn laskuhajoituksissa käsitllään. akastllaan tässä vain annttua siitymää Q = a. Sakkomntlmässä asttaan siitymävapausastll jäykkä jousi, jonka jousivakio olkoon C. Jousi on lvossa kun siitymä Q = a. Jousn kimmongia U s = C Q a ( ) () askntamallin kokonaispotntiaalingia on Π = + ( ) Q K Q C Q a Q F () josta divoimalla siitymäkomponnttin Q suhtn saadaan yhtälöyhmä K + C K K K K5 Q F + Ca K K K K K Q F 5 K K K K K 5 Q = F K K K K K Q F 5 K5 K5 K5 K5 K 55 Q 5 F 5 () vastaava mnttly voidaan thdä kaikill anntuill siitymill. Mntlmä on likimäääinn ja sn 5 takkuus iippuu jousivakiosta C. Sopiva jäykkyys voisi olla C = 0 ma K ii. 7

8 Sauvalmntti hum.9. ämpötilan muutoksn vaikutus Mikäli sauvalmntin lämpötila muuttuu niin sanottuun fnssilämpötilaan vattuna määä, niin siitä aihutuu lmnttiin vnymä ε0 = α. Koska kiinnittämättömään lmnttiin i aihudu lämpötilan muutokssta jännityksiä, niin jännityksn lausk on tällöin ( ) σ = E ε ε 0 (5) Elmntin kimmongian lausk on nyt ( ) ( ) ( ) U = σ ε ε 0 Ad = ε ε 0 E ε ε 0 Ad l l EA EA = ε ε d EA ε ε d ε ε d l l l = q k q q EAα d + U θ B l (6) Huomataan, ttä viiminn tmi on vakio, jolloin sn vaikutus häviää divoitassa kimmongian lausktta solmusiitymin q suhtn. Kskimmäinn tmi voidaan lausua muodossa α q EA = q Θ (7) missä vktoia Θ = EAα (8) kutsutaan lämpötilan muutoksn aihuttamaksi kvivalnttisksi solmukuomitusvktoiksi. Kaavassa α on pituudn lämpölaajnmiskoin [/K] tai [/ 0 C] ja [K] tai [ 0 C] on lämpötilan muutos fnssilämpötilaan vattuna. Elmntin solmuvoimat Elmntin solmuvoimin slvittämisksi takastllaan yksittäisn lmntin potntiaalingiaa. Kuvassa on sittty lmntin solmujn ja solmuvoimat f ja f. f E, A l f f q q ξ Kuva 6. Sauvalmntin solmuvoimat f ja f 8

9 Sauvalmntti hum.9. Elmntin kimmongia on yhtälön (6) mukaan U q k q q Θ (9) = + U θ Ulkoisn kuomituksn potntiaalingia koostuu lmntin knttäkuomituksn potntiaalingiasta skä solmuvoimin potntiaalingiasta WP = V q f q f (0) missä solmuvoimat f ja f on koottu solmuvoimavktoiksi f. Potntiaalingian V Π = q k q q Θ + U θ q f q f () minimin piaattsta saadaan divoimalla solmusiitymävktoin q suhtn k q Θ f f 0 () V = josta solmuvoimavktoiksi f saadaan V f = k q Θ f () Kaavakokolmassa yhtälössä on vilä mukana painsta aihutuva kvivalnttinn solmukuomitusvktoi, mutta tämä voidaan sauvojn ja palkkin yhtydssä yhdistää tilavuuskuomitukssta aihutuvaan kvivalnttisn solmukuomitusvktoiin f V. Kuvasta 6 huomataan, ttä sauvalmntin solmun nomaalivoimaksi N saadaan solmuvoima f vastakkaismkkisnä ja solmun nomaalivoimaksi N saadaan solmuvoima f li N N = f = f () joidn avulla voidaan laska takmmat solmujännitykst, kuin yhtälöllä (8), mikäli lmntillä on knttäkuomituksia tai sn poikkilikkaus muuttuu. 9

10 Sauvalmntti hum.9. Kahdn solmuvapausastn sauvalmntti Kahdn solmuvapausastn sauvalmntti voi sijaita milivaltaisssa asnnossa y-tasossa. Sauvan alkupäässä on sauvan lokaalisolmu numo, jonka -koodinaatti on ja y-koodinaatti on y, vastaavasti loppupäässä on lokaalisolmu numo, jonka -koodinaatti on ja y-koodinaatti on y. Kuvassa on sittty sauvalmntti alkutilantssa (yhtnäinn viiva) skä siitynssä tilassa (katkoviiva). q = q q q q Kuvaan on piitty y-mittauksn suuntaist siitymät ( ) siitymät ( ) q = q q. skä sauvan suuntaist q ' y (,y ) θ q q q ' (,y ) θ q q Kuva 7. asosauvalmntin siitymät y-koodinaatistossa ja sauvan paikalliskodinaatistossa Kuvasta nähdään, ttä sauvan suuntaist siitymät voidaan lausua q = q cosθ + q sinθ = ql + qm q = q cosθ + q sinθ = q l + q m (5) missä l ja m ovat sauvan suuntakosinit (m on komplmnttikulman kosini). Ottamalla käyttöön lyhntt =, y = y y voidaan suuntakosinit laska l = l y m = l (6) 0

11 Sauvalmntti hum.9. missä sauvan pituus l saadaan l = + y (7) Yhtys voidaan kijoittaa matiisimuotoon q q l m 0 0 q q = q = = 0 0 l m q (8) q q Vnymä lmntin alulla saadaan sauvan suuntaistn siitymin (7) avulla ε = [ ] q = [ ] q = [ l m l m] q = Bq (9) l l l missä kinmaattinn matiisi B = [ l m l m] l inaaissti kimmoisn isotooppisn sauvan kskimäääinn jännitys saadaan taaskin yhtydstä σ = Eε = E B q (0) Elmntin jäykkyysmatiisi Sauvalmntin kimmongian suuuus i saa iippua käyttystä mittausjäjstlmästä, jotn U = q k q = q k q = q k q ja jäykkyysmatiisiksi saadaan l 0 l lm l lm m 0 EA l m 0 0 EA lm m lm m k = k = l 0 l 0 0 l m = () l l lm l lm 0 m lm m lm m Viivakuomitus Koska tilavuusvoima i nää ol välttämättä sauvan suuntainn, niin kovataan s viivakuomitukslla. Elmntin pintaan kohdistuva painkuomitus käsitllään vastaavalla tavalla. ässä sityksssä käyttään vakiosuuuisksi olttull vktoiavoisll viivakuomituksll mkintää, jotta s ottuisi lmntin solmusiitymävktoista q. Kuvassa on sittty tasainn viivakuomitus, jolla on kaksi komponnttia ( ) y =.

12 Sauvalmntti hum.9. y v(ξ) q q ξ u(ξ) q s q Kuva 8. Sauvalmnttiin kohdistuva vktoiavoinn viivakuomitus, joka on vakio Viivakuomituksn potntiaalingian laskmisksi tul nsin määittää sauvan pistn siitymät - ja y- suuntaan. Käyttään siitymin lauskkina ( ) ( ) ( ) ( ) u( ξ ) = N ξ q + N ξ q v( ξ ) = N ξ q + N ξ q () joka voidaan lausua matiisimuodossa ( ξ ) N 0 N 0 0 N 0 N u = q = Nq () Viivakuoman potntiaali on nyt WP = u ds = q N ds s s Intgointi ulottaan sauvan pituudn l yli, jolloin ξ saa avoja [-,], jotn N 0 0 N l l WP q N dξ q d = = N 0 y 0 N ( ξ ) ( ξ ) ( + ξ ) ( + ξ ) N N l y l y l y = q dξ dξ = q = N q Ny y y ξ () jotn tasaisn viivakuomituksn aihuttamat kvivalnttist solmukuomitukst ovat

13 Sauvalmntti hum.9. V l y f = (5) y li puolt kuomituksn sultantista tul solmull ja puolt solmull. ämpötilan muutoksn vaikutus Sauvalmntin ulkoisn kuomituksn potntiaalin suuuus i saa iippua käyttystä mittausjäjstlmästä, jotn saadaan q Θ = q Θ (6) li q Θ = q Θ q (7) jotn l 0 l m 0 m Θ = Θ = EAα EAα 0 l = (8) l 0 m m missä vktoia l m Θ = EAα (9) l m kutsutaan lämpötilan muutoksn aihuttamaksi kvivalnttisksi solmukuomitusvktoiksi nljän vapausastn sauvalmntill.

14 Sauvalmntti hum.9. Nljän vapausastn lmntin solmuvoimat y q f q q f f f q Kuva 9. Nljän vapausastn lmntin solmuvoimat Solmuvoimin slvittämisksi takastllaan taas yksittäisn lmntin potntiaalingiaa. Kuvassa on sittty lmntin solmujn ja solmuvoimat f, f, f ja f. Elmntin kimmongia on dlln, vaikka mittausjäjstlmä on nyt globaalisuuntaan, yhtälön (6) mukaan U q k q q Θ (50) = + U θ Ulkoisn kuomituksn potntiaalingia koostuu lmntin knttäkuomituksn potntiaalingiasta skä solmuvoimin potntiaalingiasta WP = V q f q f (5) missä solmuvoimat f, f, f ja f on koottu solmuvoimavktoiksi f. Potntiaalingian V Π = q k q q Θ + U θ q f q f (5) minimin piaattsta saadaan divoimalla solmusiitymävktoin q suhtn k q Θ f f 0 (5) V = josta solmuvoimavktoiksi f saadaan V f = k q Θ f (5)

15 Sauvalmntti hum.9. Kuvasta 9 huomataan, ttä sauvalmntin solmun nomaalivoimaksi N saadaan solmuvoimin f ja f pojktiot sauvan suuntaan vastakkaismkkisnä ja solmun nomaalivoimaksi N saadaan solmuvoimin f ja f pojktiot li N = f l f m N = f l + f m (55) joidn avulla voidaan laska takmmat solmujännitykst, kuin yhtälöllä (0), mikäli lmntillä on knttäkuomituksia tai sn poikkilikkaus muuttuu. Kolmn solmuvapausastn sauvalmntti Kolmn solmuvapausastn sauvalmntti voi sijaita milivaltaisssa asnnossa yz-tasossa. Sauvan alkupäässä on sauvan lokaalisolmu numo, jonka -koodinaatti on, y-koodinaatti on y ja z- koodinaatti on z, vastaavasti loppupäässä on lokaalisolmu numo, jonka -koodinaatti on, y- koodinaatti on y ja z-koodinaatti on z. Sauvan suuntaist siitymät voidaan nyt lausua q q q l m n 0 0 0q q q (56) q = = = l m n q q 5 q 6 Kolmn solmuvapausastn sauvalmntin kuomitusvktoit ja jäykkyysmatiisi saadaan sovltamalla kahdn solmuvapausastn lmntin kaavoja ja käyttän dllä olvaa matiisia. Esimkiksi jäykkyysmatiisi k k l 0 m 0 EA n 0 l m n = = l 0 l l m n 0 m 0 n l lm ln l lm ln lm m mn lm m mn EA ln mn n ln mn n = l l lm ln l lm ln lm m mn lm m mn ln mn n ln mn n (57) 5