a(z) = k 0 1 z k = k 0 2 k z k = k 0 z k = (1 + z) n. k

Transkriptio

1 ̹ º ¾¼½ Ö Ø Ø Ö ÒØ Ø Ò ÖÓ Ú Ø ÙÒ Ø ÓØ È ÇÖÔÓÒ Ò Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ

2 ÄÙ ÐÐ ÌÑÒ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÝÝ ÐÙ Ù Ù Ò ¾¼¼½ ÑÙ Ø ÒÔ ÒÓ Ò Ì Ò ÐÐ Ò ÓÖ ÓÙÐÙÒ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ ÙÖ ÐØ Ö Ø Ø Ö Ò¹ Ø Ø º ÌÑÒ Ú ØÙÚ ÐØ Ò Ò ÓÔ ÒØÓÚ ÓÒ Ð Ù Ò ÙÖ Ò ¹ Ô Ö Ò ØÙÓÐÐ ÐÙ ÒÒÓ ÒØ ÖÖ ÐÐ ÓÐ Ú Ø Ò ÖÓ Ú Ø ÙÒ Ø Óغ ÅÙ Ø ÒÔ ÒÓ Ò ØÝ ÐÒ Ä Ì ¹Ð ÓÒÒ Ò ÓÒ ØÙÓØØ ÒÙØ ÙÖ ÐÐ Ó ÐÐ ØÙÒÙØ Ì Ä ½ Ë ØÙ Ð Ë Ö Ñ Ø ÓÐ Ò Ò ÐÐ Ö ØØ Ò ØÓÐÐ Ò Òº Ã Ø Ò Ø Ö Ø ØØÙÙÒ Ú Ö ÓÓÒ Ò Ø Ú Ö Ø ÔÙÙØØ ÐÐ ÙÙ Ø ÓÚ Ø Ø Ø Ò Ò Ñ ÒÙÒ ÝÝØÒ º ÔÓÓ ½ º ÝÝ ÙÙØ ¾¼¼ È ÇÖÔÓÒ Ò Ñº ÙÖ ÝÝ ÐÙ Ù Ù ÐÐ ¾¼¼ ØÓ Ò ÖÖ Ò ÐÙ ÒÒÓ Ò ÓÐ Ò Ñ Ø Ò Ú ÖÖ ÐÐ ÓÖ ÒÒÙØ ÓÙ ÓÒ ÑÓÒ Ø Ø Ð ÝØÝÒ Ø ¹ Ð ÓÒØ Ú Ö Ø Ð¹ ÝØØÒÝØ Ñ Ò Ó Ò Ò Ó Ò ØØ ÐÝ ØÝ ÒØÒÝØ ÑÙÙØ Ñ Ð Ù Ñ Ö º ÔÓÓ ½½º Ø ÑÑ ÙÙØ ¾¼¼ È ÇÖÔÓÒ Ò ÃÙÖ ÝÝ ÐÙ Ù Ù ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ ÙÙ ÐÐ Ò ÐÙ ÒÒÓ Ò ÓÐ Ò ÐÐ Ò Ø ÒÝØ ÑÓÒ Ø Ò Ó Ø Ò Ô Ò ÓÖ Ù Ô Ö ÒÒÙ º à ÐØ Ó Ò Ò ÐØ ÓÒ Ù Ø Ò Ò ÑÙÙØØÙÑ ØÓÒº ÔÓÓ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼ È ÇÖÔÓÒ Ò ½ Ë ØØ ÑÑ Ò Ì Ìº

3 Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÙÒ Ø ÓØ ÓÖ Ò ÝØØ Ò ÖÓ Ú Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ò ÐÝ Ó ÒÒ º º ½º½º½ Å Ò Ø ÐÑ ½ ËÙÔÔ Ò Ñ Ø Ò ÝØØ º º º º º º º º º º ½º½º¾ Å Ò Ø ÐÑ ¾ Ö Ó Ô Ø Ò ÝØØ º º º º º º º º º º º ¾ ÓÖÑ Ð Ø ÔÓØ Ò Ö Ø Ì Ú ÐÐ Ø ÔÓÒ ÒØ Ð Ø Ò ÖÓ Ú Ø ÙÒ Ø ÓØ ½ º½ Ò ÖÓ Ú Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ý ØÑ ÒØ º º º º º º º º º º º ½ ÃÓÑ Ò ØÓÖ Ø ÓÒ ØÖÙ Ø ÓØ ½ º½ Ì ¹ ÐÔÓ ÓÒ ØÖÙ Ø Ó Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ¹ ÐÔÓ ÓÒ ØÖÙ Ø Ó Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ò ÖÓ Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÔÙÖ Ñ Ò Ò ¾ º½ Ê ÙÖ Ó Ú Ø z D log ¹Ø ÑÔÔÙµ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ Ä Ö Ò Ò ¹ ÖÑ ÒÒ Òµ ÒÚ Ö Ó Ú º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ò ÐÝÝ Ò Ô ÖÙ ØÙÐÓ ¾ º½ Ê Ñ ÒÒ¹ËØ ÐØ ¹ ÒØ Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º½º½ Ê˹ ÒØ Ö Ð Ò ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º ¾

4 ËÁË ÄÌ º½º¾ ÙÐ Ö Ò ÙÑÑ Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º ÃÓÑÔÐ Ò Ò Ê˹ ÒØ Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÃÓÑÔÐ Ò ÐÝÝ Ò Ô ÖÙ Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ñ Ò Ø ÐÑØ º½ Å ÖÓÑÓÖ Ø Ò Ò ÖÓ Ú Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÖØÓ Ñ Ø º º º º º º º º º º¾ Ð Ö ÐÐ Ø Ö Ó Ô Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÃÓ ÓÒ Ø Ò ÖÓ Ú Ø ÙÒ Ø ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º½ Ë ØÙÐ Ô Ø ¹ Ø ÑÓ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÒØ Ö Ð ÑÙÙÒÒÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ à ÒØ ÙÒ Ø Ó Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Å ÐÐ Ò¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÚÓ º º º º º º º º º º º º º º º º ËÓÚ ÐÐÙ ½ À Ñ ØÓ

5 ÄÙ Ù ½ ÂÓ ÒØÓ ÇÐ ÓÓÒ = 0,,,... Ó Ò ÐÙ Ù ÓÒÓº ÂÓÒÓÒ Ø Ú ÐÐ Ò Òµ Ò ÖÓ Ú ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÓÑÔÐ ÑÙÙØØÙ Ò z ¹ ÖØÓ Ñ Ò ÔÓØ Ò Ö Ò ÑÖ ØØ Ð Ñ ÙÒ Ø Ó (z). = 0 + z + z +... = k 0 k z k. Å Ö ÒØ ÝØ ØÒ Ú Ö ÙÔÔ Ò Ò ÑÙÙ ÐÐ Ù Ò ÓÖ Ó º ¹ Ò Ô Ð Ø Ò ØÙÓÒÒ ÑÔ Ò º Ñ Ö µ ÂÓÒÓÒ,,,... Ò ÖÓ Ú ÙÒ Ø Ó ÓÒ (z) = k 0 ØÑ ÙÔÔ Ò ÙÒ z < µº z k = k 0 µ ÂÓÒÓÒ,, 4, 8,... Ò ÖÓ Ú ÙÒ Ø Ó ÓÒ (z) = k 0 ØÑ ÙÔÔ Ò ÙÒ z < µº k z k = k 0 µ ÂÓÒÓÒ ( n 0), ( n ),..., ( n n) Ò ÖÓ Ú ÙÒ Ø Ó ÓÒ (z) = n k=0 z k = z (z) k = z ( ) n z k = ( + z) n. k ½

6 ÄÍÃÍ ½º ÂÇÀ ÆÌÇ ¾ Ò ÖÓ Ú Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ñ Ö ØÝ ÓÒ Ò ØØ Ò ÐÙÓÚ Ø Ý ØØ Ò Ú ¹ Ø ÚÙÙ Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ø Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò ÙÓÑ ÓÓÒÓØØ Ò Ö ØØÚÒ Ø Ø Ú Ú Òµ ÐÙ Ù ÓÒÓ Ò ÓÖ Ó Ò ÐÝÝØØ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÚÐ ÐÐ Ä Ù ½º½º Ì ÝÐÓÖ Ø Ðºµ ÇÐ ÓÓÒ (z) Ó Ò ÓÖ Ó Ò ÐÝÝØØ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÔÓØ Ò Ö ØÝ (z) = k 0 kz k ÙÔÔ Ò ÙÒ 0 < z < r, r > 0µº ÌÐÐ Ò Ö Ò ÖØÓ Ñ Ø ÓÒ Ý ØØ Ø ÑÖØØÝ Ò Ò Ñ Ö Ú Ø k = k! (k) (0)º Å Ö ÒØ (k) ÙÒ Ø ÓÒ k Ö Ú ØØ ºµ Ì ÖÑ Ò z k ÖØÓ Ñ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ (z) ÔÓØ Ò Ö ÝØ ØÒ ÑÝ Ñ Ö ÒØ [z k ](z) = k Ø Ø ÝÐ Ø Ò Ú Ð Ø ÖÑ Ò β k z k ÖØÓ Ñ ÐÐ Ñ Ö ÒØ [β k z k ](z) = β k k Ñ β k ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò z Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ Ø º Ñ Ö Ò ÖÓ Ú Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÝØØ Ö ÙÖ ÓÝ ØÐ Ò Ö Ø¹ Ñ Òº ÓÒ Ò ÐÙÚÙØ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ý ØÐ ÐÐ f 0 = 0, f =, f k = f k + f k, k ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò ÓÒÓÒ f 0, f, f,... Ò ÖÓ Ú ÙÒ Ø Ó f(z) = f k z k k 0 = 0 + z + f k z k k = 0 + z + (f k + f k )z k k = z + f k z k + f k z k k k = z + z f k z k + z f k z k k 0 k 0 = z + zf(z) + z f(z) Ê Ø Ñ ÐÐ Ý ØÐ Ò f(z) = Ó ÐÐ Ò ϕ, ˆϕº z z z = z (α z)(ˆα z) = z ( ϕz)( ˆϕz) Ê Ø Ø Ò ϕ, ˆϕ { ϕˆϕ = ϕ + ˆϕ =,

7 ÄÍÃÍ ½º ÂÇÀ ÆÌÇ Ó Ø Ò ϕ ϕ = ϕ ϕ = 0 Ó Ø ÐÐ Ò { ϕ = + 5 ˆϕ = 5 Ç ÑÙÖØÓ Ø ÐÑÐ Ù Ò Ä Ù ½º¾ º µ ÑÙ Ò ÚÓ Ò ÑÖØ Ú ÓØ A B Ø Ò ØØ f(z) = Ê Ø Ø Ò Ø Ø A B A = B = lim z ϕ lim z ˆϕ z ( ϕz)( ˆϕz) A ϕz + B ˆϕz. z ˆϕz z ϕz = = /ϕ ˆϕ/ϕ = ϕ ˆϕ = 5 /ˆϕ ϕ/ˆϕ = ˆϕ ϕ = 5 Ò ÖÓ Ú ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò Ø Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó f(z) = ( 5 ϕz ) ( ˆϕz = ϕ k z k ) ˆϕ k z k 5 k 0 k 0 = (ϕ k ˆϕ k )z k, k 0 5 Ñ Ø Ò Ä Ù Ò ½º½ ÑÙ Ò Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù f k = 5 ( ϕ k ˆϕ k), k 0. Ä Ù ½º¾º Ê Ø ÓÒ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ó ÑÙÖØÓ Ø Ðѵ ÇÐ ÓÓÒ R(z) = P(z) Q(z) Ñ P(z) Q(z) ÓÚ Ø z Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ò ØØ deg P < deg Qº ÇÐ ÓÓÒ ÐÐ Ò Q(z) = (z q ) d (z q ) d... (z q m ) dm Ñ q,..., q m ÓÚ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Q(z) Ö ÙÙÖ Øº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ø Ú ÓØ c i Ø Ò ØØ R(z) = ( m di ) c ij. (z q i ) j i= j=

8 ÄÍÃÍ ½º ÂÇÀ ÆÌÇ Ñ Ö Ç ÑÙÖØÓ Ø ÐÑ º µ µ ( z)z = 4 z + z + z z(+z ) = z(z i)(z+i) = z z i z+i = z z z + ½º½ ÙÒ Ø ÓØ ÓÖ Ò ÝØØ Ò ÖÓ Ú Ò ÙÒ Ø Ó ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒÒ Ò ÓÐ Ñ ÓÐÐ Ø Ö Ø Ø ÒÒ ØÙÒ Ò ÖÓ Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÖÖÓ Ò ÓÒÓ ÙÐ ØÙ ÑÙÓ Ó º ÌÐÐ Ò ÚÓ Ò ÝØØ ÓÑÔÐ Ò ÐÝÝ Ò Ø Ò Ó Ø ÖÖÓ Ò ÓÒÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ò ÝØØÝØÝÑ Ò ÖÚ Ó ÒØ Òº ½º½º½ Å Ò Ø ÐÑ ½ ËÙÔÔ Ò Ñ Ø Ò ÝØØ ÇÐ ÓÓÒ (z) = k 0 k z k ÓÖ Ó Ò ÐÝÝØØ Ò Ò ÙÒ Ø Óº ÌÐÐ Ò Ò ÑÖ Øع ÑÐÐ ÔÓØ Ò Ö ÐÐ k 0 k z k ÓÒ ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú ÙÔÔ Ò Ñ r = sup{ρ : k 0 k z k ÙÔÔ Ò z º º z < ρ} = inf{ z : k 0 k z k ÒØÙÙ Ô Ø z } ÁØ ÙÔÔ Ò Ñ Ò ÙÓÖ Ò Ö Ò ÖØÓ Ñ Ø r = λ Ó λ = lim sup k /k º ÌÑ Ò Ò Ú ÖØ Ñ ÐÐ Ö k z k ÓÑ ØÖ Ò k k 0 Ö Ò k 0 λ k z k º Ä Ù ½º º ÇÐ ÓÓÒ Ö Ò k z k ÙÔÔ Ò Ñ r > 0º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÐÐ k 0 ǫ > 0 ÚÓ Ñ ( ) k + ǫ µ k Ñ Ð Ò ÐÐ k Óº ÐÐ Ô Ø Ö ÐÐ Ò ÑÓÒ ÐÐ µ r ( ) k ǫ µ k Ñ Ð Ò ÐÐ kº r

9 ÄÍÃÍ ½º ÂÇÀ ÆÌÇ / ˆϕ + /ϕ Ñ Ö ÓÒ Ò ÐÙÚÙغ Ò ÖÓ Ú ÙÒ Ø Ó Ø Ø Ô Ù ÓÒ f(z) = k 0 f k z k = z z z = z ( ϕz)( ˆϕz), Ñ ϕ = ( + 5)/ ˆϕ = ( 5)º f(z) Ò ÒÓ Ø Ö Ó Ô Ø Ø ÓÚ Ø z = 0.68 z =.68º ÆÝØ Ò ÖÓ Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÙÔÔ Ò Ñ ϕ ˆϕ ÓÒ r = /ϕº Ä Ù Ò ½º ÒÓ ÐÐ f k (( + ǫ)ϕ) k Ñ Ð Ò ÐÐ k ÑÝ f k (( ǫ) ϕ) k Ò Ò Ò Ñ Ð Ò ÐÐ kº ½º½º¾ Å Ò Ø ÐÑ ¾ Ö Ó Ô Ø Ò ÝØØ ÇÐ ÓÓÒ R(z) = Q(z) P(z) deg P < deg Q Ö Ø ÓÒ Ð ÙÒ Ø Ó ÐÐ Ò Q(z) = (z q ) d (z q ) d... (z q m ) dm, Ó q i Ø ÓÚ Ø Ö ÙÙÖÙ º ÌÐÐ Ò Ù Ò q i ÓÒ R Ò ÖØ ÐÙ Ù d i ÓÐ Ú Ò Ô º Ä Ù ½º º ÇÐ ÓÓÒ ÓÒÓÒ 0,,,... Ò ÖÓ Ú ÙÒ Ø Ó (z) Ö Ø ÓÒ Ð ÙÒ ¹ Ø Ó ÓÒ Ò Ú Ø ÓÚ Ø q,..., q m Ò Ò ÖØ ÐÙÚÙØ d,..., d m º ÌÐÐ Ò ÓÒ k = m ( ) k A i (k), i= q i Ñ Ù Ò A i (k) ÓÒ Ø ØØ d i ÓÐ Ú ÔÓÐÝÒÓÑ º Ö ØÝ Ø Ò ÑÑ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ Ð Ý Ò ÖØ Ò Ò Ú Ò Ø Ô Ù A i = Ú Óºµ

10 ÄÍÃÍ ½º ÂÇÀ ÆÌÇ Ñ Ö ÓÒ Ò ÐÙÚÙغ Ì Ø Ô Ù f(z) = z ( ϕz)( ˆϕz) = z (z )(z ). ϕ ˆϕ ÀÙÓÑ ØØ ϕˆϕ = ºµ Ä Ù Ø ½º ÙÖ ÒÝØ f k = ϕ k + ˆϕ k Ñ, ÓÚ Ø Ú Ó Ø º Ê ÙÒ ØÓ Ò f 0 = 0 f = ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ö Ø Ø = 5 = 5 º

11 ÄÙ Ù ¾ ÓÖÑ Ð Ø ÔÓØ Ò Ö Ø Ò ÖÓ Ú ÙÒ Ø Ó Ø Ø ÐØ ÝÐ Ò ÒÒ Ø Ø ÙÓÑ ÓØ ÑÙÓ Ó Ø Ø¹ ØÙ Ò Ö Ó Ò ÙÔÔ Ò Ñ Òº ËÝÝ Ø Ò ÓÒ ØØ Ù ÑÑ Ø Ò ÖÓ Ú Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÓÔ Ö Ø ÓØ ÚÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÓÖÑ Ð Ò ÔÓØ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÖ Ò Ñ ÔÓØ Ò Ö Ó Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ú Ò Ö ØØ Ñ Ò ÐÙ Ù ÓÒÓ Ò Ú ØÓ ØÓ ¹ Ò Ñ Ö ÒØØ Ô Ò º Å Ö ØÒ = { 0,,,... i, i = 0,,,... } ÑÖ Ø ÐÐÒ Ø ÓÙ Ó ÓÒÓ Ò Ý Ø Ò¹ ÖØÓÐ Ù 0,,... + b 0, b,... = 0 + b 0, + b,... 0,,... b 0, b,... = 0 b 0, 0 b + b 0, 0 b + b + b 0,... }{{} Æ º ٠ݹ Ð ÓÒÚÓÐÙÙØ ÓØÙÐÓ k Å Ö ØÒ ÐÝ Ý Ø k + b k = k +b k Ú Ø Ú Ø k b k = j b k j º ËØÖÙ ØÙÙÖ (, +,, ¼, ½) ÓÒ ÒÝØ ÓÑÑÙØ Ø Ú Ò Ò Ö Ò Ó ÓÒ ÙÑÑ Ò ÒÓÐÐ ¹ Ð Ó ¼ = 0, 0, 0,... ØÙÐÓÒ Ý Ð Ó ½ =, 0, 0,... º ÂÓÒÓ 0,,,... ÚÓ Ò Ñ Ö Ø ÑÝ 0 X 0 + X + X +... Ð k 0 kx k Ñ ÔÓØ Ò Ø X k ÓÚ Ø Ú Ò ÓÖÑ Ð Ô ÒÑ Ö ÚØ ÐÙ Ù ØÑ º Æ ÐÐ Ñ Ö ÒÒ ÐÐ ÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÝØ ÐÙ Ù ÓÒÓ Ò ÙÑÑ ¹ ØÙÐÓ ÒÒ Ø ÓÚ Ø Ý Ø Ò ÓÔ Ú Ø Ú ÒÓÑ Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÔÓØ Ò Ö Ó Ò Ð Ù ÒØ Ò Ò ÓÙ Ó Ñ Ö ØÒ ØÐÐ Ò X º ËØÖÙ ØÙÙÖ ( X, +,, ¼, ½) ÓÒ Ö Ò Ò ÓÖÑ Ð µ ÔÓØ Ò Ö Ö Ò º ÎÖغ ÔÓÐÝÒÓÑ Ö Ò [X] Ó ÓÒ Ö ÐÐ ¹ ÓÒÓ Ú Ø Ú ØÖÙ ØÙÙÖ ºµ j=0

12 ÄÍÃÍ ¾º ÇÊÅ ÄÁÌ ÈÇÌ ÆËËÁË ÊÂ Ì Ã ÒÒ ØØ ÙÓÑ Ø ØØ ÖÖÓ ÒÖ Ò ÚÓ Ò Ø Ð ÒØ Ò ÑÙ Ò Ú Ð Ø Ó¹ Ò ÑÙÙ Ò ÓÐÐÓ Ò Ñ Ö ØÒ Ú Ø Ú Ø X É X Ê X ØÑ º Ë ÙÖ Ú Ù Ø Ò Ò Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÝÐ Ò Ö Ò Ø X º à ÖÖÓ ÒÖ Ò ÚÓ Ò ÙÔÓØØ Ö Ò Ò X Ñ ØÙ ÐÐ, 0, 0,... = X 0. Ë ÐÚ Ø Ó \ {0} Ò Ò ÓÒÓÐÐ X 0 =, 0, 0,... ÓÒ ÒØ Ð Ó X 0 =, 0, 0,... Ø Ò ØØ X 0 X 0 = ½º ÒØ ÑÙ Ò ÓÒÓ Ò ÒØÝÚÝÝ Ä Ù ¾º½º ÂÓÒÓÐÐ A = 0,,... X ÓÒ ÒØ Ð Ó B = b 0, b,... Ó Ú Ò Ó 0 0º ÌÐÐ Ò Ñ Ö ØÒ B = A ºµ ÌÓ ØÙ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ 0 0º ÌÐÐ Ò ÓÒÓ B = b k ÑÖÝØÝÝ Ý Ø¹ Ø Ø ÙÖ Ú Ø Ó Ø 0 b 0 = b 0 = 0 0 b + b 0 = 0 b = 0 b 0 0 b + b + b 0 = 0 b = 0 ( b + b 0 ) º 0 b k + k j= jb k j = 0 b k = 0 k j= jb k j ÃÒØ Ò Ò Ò ØØ Ó 0 = 0 Ò Ò ÒØÝÚÝÝ ØÓ 0 b 0 = ÚÓ ØÝØØ Ñ ÐÐÒ b 0 º Ñ Ö ÅÖ Ø ÐÐÒ ÔÓØ Ò Ö ( X) º {}}{ ½µ ÔÓØ Ò Ö ( X) =, 0 {}}{, 0, 0,... ¾µ Ä Ù Ò ¾º½ ØÓ ØÙ Ò ÒÓ ÐÐ ÓÒ b 0 = 0 = ÐÐ k ÔØ b k = 0 ( b k + b k k b 0 ), Ó ÓÒ Ó ØØ Ñ ÐÐ 0 = = k = 0, k Ò b k = ( b k ) = b k µ Ø Ò ÓÒ ( X) =,,,... = k 0 X k ÚÖغ ÓÑ ØÖ Ò Ö Ò ÙÑÑ Ú µº

13 ÄÍÃÍ ¾º ÇÊÅ ÄÁÌ ÈÇÌ ÆËËÁË ÊÂ Ì Ñ Ö Æ ÛØÓÒ Ò ÒÓÑ Ú º ÇÐ ÓÓÒ n 0 Ñ Ö ØÒ ( X) n (( X) ) n º ÌÐÐ Ò ÐÐ Ò ¹ Ñ Ö Ò ÒÓ ÐÐ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ( X) n = ( + X + X +...)( + X + X +...)...( + X + X +...) }{{} n ÔÐ = ( ) n + k X k = ( ) n + k X k. k n k 0 k 0 Ë Ø Ò Ò º Æ ÛØÓÒ Ò ÒÓÑ Ú Ò º ÐÐ µ ÓÖÑ Ð Ú Ø Ò º à ÖØ Ù Æ ÛØÓÒ Ò ÒÓÑ Ú Ò ÐÝÝ Ä Ù ¾º¾º à ÐÐ x, y, r ÓÒ ÚÓ Ñ (x + y) r = ( ) r x r k y k, k k 0 Ñ ÝÐ Ø ØØÝ ÒÓÑ ÖÖÓ Ò ( r k) r k Æ ÑÖ Ø ÐÐÒ ( ) r r(r )...(r k + ) =. k k! Ö ØÝ Ø Ø Ô Ù r = n n Æ Ò ( ) n ( n)( n )...( n k + ) = k k! = ( ) k n(n + )...(n + k ) ( ) k! n + k = ( ) k, k Ø Ò ( z) n = ( ) n ( z) k = ( ) n + k z k = k k k 0 k 0 k 0 ( k + n n ) z k. Ë Ñ Ò Ø Ô Ò Ù Ò ÐÐ Ñ Ö ÚÓ Ò ØÓ Ø Ò Ø Ú Ò¹ ÓÑ Ø Ò ÔÓØ Ò Ö Ó Ò Ð Ö ÐÐ Ø Ò Ñ Ò ÔÙÐ Ø Ó Ò ÓÖÑ Ð Ø Ú Ø Ò Ø ÈÓØ Ò Ö Ó Ò F, G X G ÒØÝÚ Ó ÑÖ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø F = G FG º ÈÓØ Ò Ö Ò F = k 0 kx k ÓÖÑ Ð Ö Ú ØØ ÒØ Ö Ð

14 ÄÍÃÍ ¾º ÇÊÅ ÄÁÌ ÈÇÌ ÆËËÁË ÊÂ Ì ½¼ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÔÙÓÐ Ø Ò ÙÖ Ú Ø F = DF (k + ) k+ X k k 0 k F k Xk Æ ÐÐ ÑÖ Ø ÐÑ ÐÐ Ø Ú ÒÓÑ Ø Ö ÚÓ ÒØ ¹ ÒØ ÖÓ ÒØ ÒÒ Ø ÓÚ Ø ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÚÓ Ñ º Î ÖÓ ØÙ Å Ð Ú ÐØ Ø Ò ÔÓØ Ò Ö Ó Ò ÓÑÔÓ Ø Ó ÚÐØØÑØØ ÓÐ ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØݺ Î Ø ÑÙ Ò ÓÒ ØØ Ó ÓÖÑ Ð Ò Ö Ó Ò ÓÒÚ Ö Ò Ø Ö¹ Ø ÐÙ ÐÙØ Ø ÚÓ Ø ØÝØÝÝ Ý Ø ØÝÒ Ö Ò Ó Ò ÖØÓ Ñ Ò ÓÐÐ Ö ÐÐ Ø ÑÖØØÝ º ÙÖ Ú Ñ Ö µº Ñ Ö ÃÓÑÔÓ Ø Óº ÇÐ ÓÓÒ Ñ Ö F(Y ) = n 0 n Y n G(X) = + Xº ÌÐÐ Ò ÚÓ Ø Ò k ÝÖ ØØ ÑÖ ØØ ÓÑÔÓ Ø ÓØ F(G(X)) ÙÖ Ú Ø F(G(X)) = F( + X) = n ( + X) n n 0 = ( ( ) n n )X k = ( ( ) n ) n X k. k k n 0 k 0 k 0 n 0 ÅÓÒÓÑ Ò X k ÖÖÓ ÒØ ÚÓ ÑÖØ ÓÖÑ Ð Ø Ú Ò Ö ÔÔÙÙ Ö Ø¹ Ø ÑÒ Ö Ò n 0 ( n k) n ÙÔÔ Ò Ñ Ø º Ð Ø ÓÒ Ö ØØ ÑÒ ÑÓÒ Ò ÔÓØ Ò Ö Ò F 0, F, F,... ÙÑÑ n 0 F n ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ Ó Ú Ò Ó Ö Ó Ò F n = (n) k ÖØÓ Ñ ÐÐ ÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ ( ) k n k Ø Ò ØØ n n k (n) k = 0. ÌÑ Ø Ö Ó ØØ ØØ ÙÑÑ Ò F n Ù Ò ÖÖÓ Ò k = n ÑÖØØݺ (n) k ÓÒ Ö ÐÐ Ø ÂÓ F 0, F, F,... ÓÒ ÓÒÓ ÔÓØ Ò Ö Ó Ø Ò ØØ ÙÑÑ F n ÓÒ ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ Ò Ò ÓÒ ÐÔÔÓ Ò ØØ ( ) D F n = DF n n 0 n 0 ( ) F n n 0 = F n. n 0

15 ÄÍÃÍ ¾º ÇÊÅ ÄÁÌ ÈÇÌ ÆËËÁË ÊÂ Ì ½½ ÐÐ Ò ÚÓ Ò ØÓ Ø ØØ Ó Ö ÓÑÔÓ Ø Ó F(G(X)) Ö Ò G(X) Ú ÓØ ÖÑ ÓÒ 0 Ð Ó Ö ÓÒ ÑÙÓØÓ G(X) = b X + b X +... Ð Ø Ú ÐÐ Ò G(0) = 0 µ Ò Ò ÓÒÓ G 0 =, G, G, G 3,... ØÝØØ ÓÒ ( ) ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ( ) F(G(X)) = k 0 k (G(X)) k, ÙÒ F(Y ) = k 0 k Y k. ÃÓÑÔÓ Ø ÓÒ F(G(X)) ÖØÓ Ñ Ø ÓÚ Ø Ö ÐÐ Ø ÑÖØÝØ ÑÝ Ó k 0 Ú Ò Ö ÐÐ Ò ÑÓÒ ÐÐ k Ð ÐÐÓ Ò Ó F ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ º ÆÝØ ÚÓ Ò Ý Ý Ñ ÐÐÓ Ò ÔÓØ Ò Ö ÐÐ F ÓÒ ÒØ Ö G Ø Ò ØØ F(G(X)) = G(F(X)) = X Ä Ù ¾º º ÇÐ ÓÓÒ F = k kx k ÔÓØ Ò Ö ÓÐÐ 0 = 0 0º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÔÓØ Ò Ö G = n b nx n ÓÐÐ b 0 = 0 b 0 ÓÐÐ F(G(X)) = Xº Å Ö ØÒ G = F [ ] º ÌÓ ØÙ º Ë Ö Ò G ÖØÓ Ñ Ø ÑÖÝØÝÚØ Ý ØØ Ø ÓÑÔÓ Ø ÓÝ Ø¹ Ð Ø F(G(X)) = X k k ( j b j X j ) k = X. ½º Ø Ò Ø ÖÑ ÐÐ [X ] Ò b = b = ÑÙ ÐÐ Ø ÐÙÚÙ ÐÐ [X n ] n > n b n + b n = k= n k= k k ( n k= j,...,j k, j +...+j k =n j,...,j k, j +...+j k =n k j,...,j k, j +...+j k =n b j... b jk = 0 b j... b jk = 0 b j... b jk ). Æ º Ä Ö Ò Ò¹ ÖÑ ÒÒ Ò ÒÚ Ö Ó Ú Ø Ä Ù º¾ º ¾ µ Ò Ð Ò¹ Ø ÑÔ Ø Ô ÑÖ ØØ Ö Ò G = F [ ] ÖØÓ Ñ Øº Ò Ô Ð Ø Òº Ñ Ö ÔÓÒ ÒØØ ¹ ÐÓ Ö ØÑ Ö Øº ÅÖ Ø ÐÐÒ ÔÓØ Ò Ö Exp(X) = n 0 n! Xn =,,, 6,....

16 ÄÍÃÍ ¾º ÇÊÅ ÄÁÌ ÈÇÌ ÆËËÁË ÊÂ Ì ½¾ ÌÐÐ Ò Ö F(X) = Exp(X) ØÓØ ÙØØ Ä Ù Ò ¾º ÓØ ÓØ Ò ÐÐ ÓÒ ÒØ Ö G(X) Ln( + X)º ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ln( + X) = ( ) n+ X n. n n ÅÖ Ø ÐÐÒ Ú Ð ÔÓØ Ò Ö Ó Ò ÑÙÖØÓÔÓØ Ò Ø Æ ÛØÓÒ Ò ÝÐ Ò ÒÓÑ ¹ Ö Ò ÑÙ Ø Ä Ù ¾º¾ º µ Ó r Ò Ò Ø Ø Ò ( + X) r ( ) r X k, k k 0 Ñ ( r k) ÓÒ Ä Ù Ò ¾º¾ Ý Ø Ý ÑÖ Ø ÐØÝ ÝÐ Ø ØØÝ ÒÓÑ ÖÖÓ Òº ÌÑ ÑÙÙØ Ñº ÓÖÑ Ð Ø ÑÖ Ø ÐÑØ ØÓ Ñ Ú Ø Ó Ò Ø Ú ÒÓÑ Ø Ò Ð¹ Ö ÐÐ Ø Ò Ð Ù ÒØ Ò Ù Ø Òº Ñ Ö Ä Ù ÒØ Ò ÓÚ ÐØ Ñ Ò Òº ( + X) r ( + X) s = ( k 0 = n 0 k=0 = ( r + s n n 0 ( ) )( r X k k j 0 ( n ( ) s )X j j ( )( ) ) r s X n k n k ) X n = ( + X) r+s. ( D Ln( + X) = D n ( ) n+ ) X n n = ( ) n+ X n n = ( ) n X n n 0 = ( + X).

17 ÄÙ Ù Ì Ú ÐÐ Ø ÔÓÒ ÒØ Ð Ø Ò ÖÓ Ú Ø ÙÒ Ø ÓØ È Ð Ø Ò ÔÓØ Ò Ö Ó Ý Ò ÖØ ÑÔ Ò Ñ Ö ÒØÒ f(z) = n 0 f n z n º Ë Ö Ø ÚÓ Ò ØÙÐ Ø Ø Ð ÒØ Ò ÑÙ Ò Ó Ó ÓÖÑ Ð Ø f z µ Ø Ò ¹ ÐÝÝØØ Ø f : µº ÒÒ ØØÙÙÒ ÐÙ Ù ÓÒÓÓÒ = 0,,,... ÚÓ Ò Ð ØØ ÔÓØ Ò Ö ÐÐ Ø Ù ÑÑ ÐÐ Òµ Ø Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ò Ò Ò ÖÓ Ú ÙÒ Ø Ó Ø µ (z) = n 0 n z n ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ò Ò ÖÓ Ú ÙÒ Ø Ó µ â(z) = n 0 n n! zn Æ ÐÐ ÓÒ Ñ Ò Ö Ð Ø ÓÑ Ò ØÓÖ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ú Ð ÒØ Ö ÔÔÙÙ Ø Ð Ò¹ Ø Ø º Ñ Ö ÙÖ ºµ ½

18 ÄÍÃÍ º Ì Î ÄÄÁË Ì Â ÃËÈÇÆ ÆÌÁ ÄÁË Ì Æ ÊÇÁÎ Ì ÍÆÃÌÁÇÌ º½ Ò ÖÓ Ú Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ý ØÑ ÒØ ½ ÂÓÒÓ Ì Ú ÐÐ Ò Ò º º ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ò º º ½º c n = n ± b n c(z) = (z) ± b(z) ĉ(z) = â(z) ± ˆb(z) n ¾º c n = k b n k c(z) = (z)b(z) º k=0 n ( ) n c n = k b n k ĉ(z) = â(z)ˆb(z) k k=0 º c n = n (c 0 = 0) c(z) = z(z) ĉ(z) = â(z) dz º c n = n+ c(z) = (z) (0) z ĉ(z) = D â(z) º c n = n n c(z) = z D(z) ĉ(z) = z Dâ(z) º c n = n (z) (0) â(z) â(0) c(z) = dz ĉ(z) = dz n z z Ñ Ö ÓÒ Ò ÐÙÚÙغ ÅÖ ØØ ÐÝ Ö ÙÖ ÓÝ ØÐ Ò f n+ f n+ f n = 0 f 0 = 0 f = º Ê Ø Ù Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ò ÖÓ Ú ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ f n Ø f(z) f n+ Ø f(z) z f n+ Ø f(z) z z f(z) z f z z f = 0 z 0 f z fz fz = 0 f( z z ) = z f = z z z = z ( ϕz)( ˆϕz), º

19 ÄÍÃÍ º Ì Î ÄÄÁË Ì Â ÃËÈÇÆ ÆÌÁ ÄÁË Ì Æ ÊÇÁÎ Ì ÍÆÃÌÁÇÌ ½ f(z) = n 0 (ϕ n ˆϕ n ) z n, Ó ϕ = ˆϕ = }{{} 5 f n Ê Ø Ù ÔÓÒ ÒØ Ð ÐÐ Ò ÖÓ Ú ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ñ Ö ÈÓÐÝÒÓÑ ÙÑÑ Øº f n ˆf(z) f n+ ˆf (z) f n+ ˆf (z) ˆf ˆf ˆf = 0 ˆf = c e ϕz + c eˆϕz ˆf(0) = f 0 = 0 = c + c = 0 ˆf (0) = f = = c ϕ + c ˆϕ = { c = 5 c = 5 ˆf(z) = 5 ( e ϕz eˆϕz) = f n = [ z n n! ] ˆf(z) = 5 (ϕ n ˆϕ n ). ÅÖ Ø ØØÚ ÙÑÑ Ò n 0(n + 4n + 5)/n! ÖÚÓº Ê Ø Ø Ò Ð Ñ ÐÐ Ú ¹ Ø Ú Ò ÙÔÔ Ò Ú Ò ÔÓØ Ò Ö Ò f(z) = n 0 Ì Ø Ò ØÙÐÓ f() = eº Ñ Ö Ë Ó Ø٠غ f(z) = {(z D) + 4z D +5}e z = z D(ze z ) + 4ze z + 5e z (n + 4n + 5) zn n! = z e z + ze z + 4ze z + 5e z = (z + 5z + 5)e z ÖÚÓ f() È ÖÑÙØ Ø Ó π : [n] [n] ÓÒ Ó ØÙ Ò Ðº Ö Ò Ñ Òص Ó π(i) i ÐÐ i [n]º Ä ØØ Ú Ò Ó ØÙ Ø Ò ÑÖ d n º ÀÙÓÑ Ø Ò ØØ Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ π : [n] [n] ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ú Ð Ø¹ Ñ ÐÐ Ò Ò π Ò ÒØÓÔ Ø Ø ÓÐ ÓÓÒ Ò Ø k ÔÔ Ð ØØ µ ØØ Ò ÑÙ Ò n k Ð ÓÒ Ó Ó ØÙ º Ë Ø Ò ÓÒ n ( ) n ( ) n! = d n k = k k=0 n k=0 ( ) n d n k k

20 ÄÍÃÍ º Ì Î ÄÄÁË Ì Â ÃËÈÇÆ ÆÌÁ ÄÁË Ì Æ ÊÇÁÎ Ì ÍÆÃÌÁÇÌ ½ ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ý ØÐ Ò ( ) ÑÓÐ ÑÑ ÐÐ ÔÙÓÐ Ó ÐÐ ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ò Ò ÖÓ Ú ÙÒ Ø Óº Ë Ò n! zn n! n 0 z = n 0 ( n k=0 = e z ˆd(z) ˆd(z) = e z z = ( ( ) n ) z n d n k k n! ( ) k )( ) z k z m k! k 0 m 0 = ( n ( ) k ) z n k! n 0 [ z n k=0 ] d n = n! ˆd(z) = n![z n ] ˆd(z) ( = n!! +! 3! ( )n n! }{{} n e ) n! e. ÌÓ Ò Ò Ø Ô Ö Ø Ø Ñ Ø ØÚ Ë ÐÚ Ø Ò ÓÒ d = 0 d = º ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ π : [n] [n] Ó ØÙ n 3º µ ÂÓ π(n) = i π(i) = n Ò Ò π ÓÒ ÑÝ Ó ØÙ ÓÙ Ó [n ] \ {i}º µ ÂÓ Ø π(n) = i π (n) = j Ò Ò ÓÖÚ Ñ ÐÐ n Ð ÓÐÐ j Ò Ý ØØ Ò Ò Ó ØÙ ÓÙ Ó [n ]º Ë Ø Ò ÔØ d n = (n )(d n +d n ) d n+ = n(d n +d n )º ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò ØÐÐ Ì d = ˆd (0) = = C = 0º ˆd (z) = z ˆd (z) + z ˆd(z) = ( z) ˆd (z) = z ˆd(z) ˆd = ˆd dz = z z dz = ln ˆd(z) z = z dz = z ln( z) + C = ˆd(z) = e C e z z

21 ÄÙ Ù ÃÓÑ Ò ØÓÖ Ø ÓÒ ØÖÙ Ø ÓØ ÃÓÑ Ò ØÓÖ Ø Ò ÓÐ Ó Ò Ö ÒÒ ØØ ÚÓ Ò Ù Ò ÝØØ ÝÚ ÑÖ¹ ÑÒ ÙÓÖ Ò Ò Ò ÐÙ ÙÑÖ Ð Ú Ø Ò ÖÓ Ú Ø ÙÒ Ø Óغ ÇÐ ÓÓÒ C = (C, w) Ó Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ø Ò ÓÐ Ó Ò Ô Ö Ñ C ÓÒ Ô Ö Ò Ô ÖÙ ÓÙ Ó w : C Æ ÓÐ Ó Ò Ô ÒÓ¹ غ Ó Ó ÙÒ Ø Óº Å Ö ØÒ c n = w (n) = n Ò Ô ÒÓ Ø Ò ÓÐ Ó Ò σ C ÐÙ ÙÑÖ. Î Ø Ò ØØ c n < n ƺ À ÐÙØØ Ò Ø ØÓ ÐÙÚÙ Ø c n º Ð ØÝÑ Ø Ô ÓÚ Ø ØÐÐ Ò ÓÒÓÒ c n Ø c(z) = n 0 ÓØ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Ý ØÔ ØÚ Ø µ c(z) = σ C c n z n, ĉ(z) = n 0 z w(σ), ĉ(z) = σ C c n n! zn, z w(σ) w(σ)!. ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ò ØØ Ô Ö Ò C ÓÐ Ó ÐÐ ÓÒ ÓØ Ò Ø Ö ÒÒ ØØ Ð Ø¹ Ø Ô Ö C ÑÙÓ Ó ØÙÙ Ø Ø C,..., C k ÓÒ Ò ÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ Φ ÙØØ º Ì ÑÐÐ ÑÑ Ò ÒÓ Ò Ô Ö Ò C = (C, w) ÓÒ ØÖÙ Ø Ó Øº Ø ÒØ C Φ(C,..., C k ) ÓÒ Ô Ö Φ = (Φ e, Φ w ) Ñ Φ e ÓÒ Ò Ø Ó C C... C k Φ w : Æ k Æ ÓÒ Ô ÒÓÑÙÙÒÒÓ Ø Ò ØØ Ó Φ e (σ) = (σ,..., σ k ) Ò Ò w(σ) = Φ w (w(σ ),..., w(σ k ))º ÂÓ Ø ØÝÒ ÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ Φ Ú ÙØÙ Ø Ö Ø ÐØ Ú Ò ÓÐ ÓÔ Ö Ò Ò ÖÓ Ú Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÚÓ Ò ÙÚ Ø Ý Ò ÖØ ÐÐ ÓÔ Ö ØØÓÖ ÐÐ Ð Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÙÒ Ø Ó ϕ ÐÐ ˆϕµ Ø Ò ØØ c(z) = ϕ(c (z),..., c k (z)) ÐÐ Ú Ø Ú ¹ Ø ĉ(z) = ˆϕ(ĉ (z),..., ĉ k (z))µ Ø ØÚ Ø ÓÐ ÓÔ Ö Ø C Ö ÔÔÙÑ ØØ ¹ ÒÓØ Ò ØØ ÓÒ ØÖÙ Ø Ó Φ ÓÒ Ø ¹ ÐÔÓ Ò Ò Ú Ø Ú Ø ¹ ÐÔÓ Ò Òµ Ò Ðº ½

22 ÄÍÃÍ º ÃÇÅ ÁÆ ÌÇÊÁË Ì ÃÇÆËÌÊÍÃÌÁÇÌ ½ Ó» ¹ Ñ Ð µ ϕ ÓÒ Ø Ú Ø Ú Ø ¹ÓÔ Ö ØØÓÖ Ú Ø Ú Ø ˆϕ ¹ ÓÔ Ö ØØÓÖ µº Ñ Ö ËÙÑÑ Ð Ö ÐÐ Ò Ò Ý Ø C A + Bº È ÖÙ ÓÙ Ó C ØÙÐ Ø Ò Ö ÐÐ Ý Ø C A B A B = Ô ÒÓ ÙÒ Ø Ó ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø { w A (σ), Ó σ A, w C (σ) = w B (σ), Ó σ B. ËÙÑÑ ÓÒ ØÖÙ Ø Ó ÓÒ Ø ¹ ØØ ¹ ÐÔÓ Ò Ò ÐÐ Ô Ö Ø A, B, C Ö Ô¹ ÔÙÑ ØØ ÔØ c(z) = σ C z w C(σ) = σ A z w A(σ) + σ B z w B(σ) = (z) + b(z) Ú Ø Ú Ø ÐÐ ĉ(z) = â(z) + ˆb(z)º Ñ Ö ÌÙÐÓ C A Bº C A B w C (α, β) = w A (α)+w B (β)º ÌÑÒ Ø ¹ ¹ ÐÔÓ ÙÙ Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º ÐÐ Ø Ò Ñ Ö Ò ÙÑÑ ¹ ØÙÐÓ ÓÒ ØÖÙ Ø ÓØ ÚÓ Ò ÝÐ Ø ÑÝ ¹ Ö ØØ Ñ Ò Ø Ô Ö Ò Ñ Ð Ò Ò ÑÙÓ Ó ØÙÚ Ø Ò ÖÓ Ú Ø ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ ËÙÑÑ C A 0 + A + A +... i 0 A i C i=0 A i w C (σ) = w Ai (σ) Ñ σ A i c(z) = i 0 i(z) Ñ Ð ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ ÐÐ n 0 ÓÒ [z n ] i (z) = i,n < i 0 i 0 ÐÐ n 0 ÓÒ w C (n) = w A i (n) <. i 0 ÌÙÐÓ C A 0 A A... i 0 A i C i=0 A i w C (σ) = i 0 w Ai (σ i )

23 ÄÍÃÍ º ÃÇÅ ÁÆ ÌÇÊÁË Ì ÃÇÆËÌÊÍÃÌÁÇÌ ½ Ö Ø ÒÔ ÒÓ Ø Ò Ð Ó Ò ÚÐØØÑ ØÙÐÓÓÒ C ÓØ Ø Ò Ø Ú Ò ÐÐ Ø ÓÒÓØ σ = (σ 0, σ, σ,...) Ó ÐÐ w(σ i ) = 0 Ñ Ð Ò ÐÐ i 0º ÃÝ ÓÒ Ø Ò ÖÒÐ Ò Ò Ó ØÙÐÓ C i 0(w) Ai º c(z) = i (z) Ñ Ð ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ i 0 Ù Ò [z n ] i 0 i(z) = ( ) k 0 i 0 +i +...+i k =n,i k 0 0i 0 i kik < ÐÐ j ÓÒ [z j ] i (z) = ij = 0 Ñ Ð Ò ÐÐ i 0 ÐÐ j ÓÒ i 0 w A i (j) <. º½ Ì ¹ ÐÔÓ ÓÒ ØÖÙ Ø Ó Ø Æ Ñ ÃÓÒ ØÖÙ Ø Ó Ì ¹ÓÔ Ö ØØÓÖ ½º ËÙÑÑ ¾º ÌÙÐÓ i 0 A i i 0 A i i (z) i 0 i (z) i 0 º ÓÒ Ð (A A) (z ) Ó ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ Ó ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ º ÂÓÒÓ A ( (z)) Ó ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ º Å Ö Ù µa z D(z) º ÃÓÑÔÓ Ø Ó A[B] (b(z)) Ó ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ ( ) ( ) º ÈÓØ Ò P(A) exp j j (z j ) Ó ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ j ( ) º ÅÙÐØ ÔÓØ Ò M(A) exp j j (zj ) Ó ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ Ç Ø Ò ÓÒ ØÖÙ Ø Ó Ò ÑÖ Ø ÐÑØ ÐÔÓ ÙÙ ØÓ ØÙ Ø ½º Ñ Ö Ò Ðе ¾º Ö Ó ØÙ Ø ØÚÒµ

24 ÄÍÃÍ º ÃÇÅ ÁÆ ÌÇÊÁË Ì ÃÇÆËÌÊÍÃÌÁÇÌ ¾¼ º ÓÒ Ð C (A A) C c(z) = {(α, α) α A}, w C (α, α) = w A (α) z w(α,α) = z w(α) = (z ) α A (α,α) C º ÂÓÒÓ C A A {ǫ} + A + A A +... = k 0 A k c(z) = k 0((z)) k = ( (z)). ÌÑ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ó 0 = 0º ÌÓ ØÙ Ô ÖÙ ØÙÙ Ø ØØÝ Ò ÓÒ ØÖÙ ¹ Ø Ó Ò ½ ¾º º Å Ö Ù C µa C n 0(A n [n]) Ñ A n = {α A w(α) = n} [n] = {,,..., n} È ÒÓ ÙÒ Ø ÓÐÐ w C (α, i) = w A (α) Ë c n = n n Ó Ø Ò c(z) = z D(z) º ÃÓÑÔÓ Ø Ó C A[B] C n 0 A n B n È ÒÓ ÙÒ Ø ÓÐÐ w C (α; β,..., β n ) = w B (β ) w B (β n ) ÌÑÒ ÒÓ ÐÐ c(z) = n 0 n (b(z)) n = (b(z)) Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ó b 0 = 0 Ø n = 0 Ñ Ð Ò ÐÐ n 0º ÌÓ ØÙ Ô ÖÙ ØÙÙ ÓÒ ØÖÙ Ø Ó Ò ½ ¾º º ÈÓØ Ò C P(A) C {{α,..., α k } k 0, α,..., α k A} È ÒÓ ÙÒ Ø ÓÐÐ w C ({α,..., α n }) = w A (α ) w A (α n ) Ì Ø Ò P(A) {ǫ} +{α}) Ó Ø ÐÐ Ò }{{} α A( w=0 c(z) = α A( + z w(α) ) = n 0( + z n ) n

25 ÄÍÃÍ º ÃÇÅ ÁÆ ÌÇÊÁË Ì ÃÇÆËÌÊÍÃÌÁÇÌ ¾½ ln c(z) = n 0 n ln( + z n ), ÑÖº Ó 0 = 0 = ( ) j n z nj j n 0 j = ( ) j n z nj j j n 0 = ( ) j (z j ) j j ( ) ( ) j c(z) = exp j (z j ) j ÑÖº Ó 0 = 0 º ÅÙÐØ ÔÓØ Ò C M(A) C {{α j,..., α j k k } k 0, α,..., α k A, j Ð ÓÒ α ÖØ ÐÙ Ù } È ÒÓ ÙÒ Ø ÓÐÐ w C ( {α j,..., α j k k } ) = j w A (α ) +...j k w A (α k ) Ì Ø Ò M(A) α A{α} Ó Ø ÐÐ Ò c(z) = α A( z w(α) ), ÑÖº Ó w(α) 0 α A = n 0( z n ) n =... Ö Ó ØÙ Ø ØÚ µ ( ) = exp j j (zj ), ÑÖº Ó 0 = 0 ÌÓ ØÙ Ô ÖÙ ØÙÙ ÓÒ ØÖÙ Ø ÓÓÒ º Ñ Ö m¹ Ð Ó Ò ÓÙ ÓÒ [m] = {,..., m} Ó ÓÙ Óغ C w=0 m {}}{ ( {ǫ} + i= w= {}}{ {i} ) ÃÓ c {ǫ}+{i} (z) = + z Ò c(z) = ( + z) m Ø Ø ÐÐ Ò c n = [z n ]( + z) m = ( m n) º Ñ Ö m¹ Ð Ó Ò ÓÙ ÓÒ [m] = {,..., m} ÑÙÐØ Ó ÓÙ ÓØ º C m {i} i=

26 ÄÍÃÍ º ÃÇÅ ÁÆ ÌÇÊÁË Ì ÃÇÆËÌÊÍÃÌÁÇÌ ¾¾ Ì c {i} (z) = z c {i} (z) = ( z) ÓØ Ò c(z) = ( z) m ÐÐ Ò c n = [z n ]( z) m = ( ) m n ( ) n = ( ) m+n º Ñ Ö ÃÓ ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ó ØÙ Ø Ð Ô ÖØ Ø Óغ n ÅÓÒ ÐÐ Ó Ø Ú ÐÐ ÒÒ ØØÙ ÐÙ Ù n ÚÓ Ò ØØ ÙÑÑ Ò ÐÙÚÙ Ø {,..., m} È ÒÓ ÙÒ Ø ÓÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ ÓÒ w(k) = k ÚÙÒ ½ ÓÒ ØÖÙ Ø Ó¹ Ø ÙÐÙ ÓÒ ÔÓ ÐØ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ p {k} (z) = z k p {k} (z) = ( z k ) º P (m) {} {} {m} p (m) (z) = z z... z m ÅÓÒ ÐÐ Ó Ø Ú ÐÐ ÒÒ ØØÙ ÐÙ Ù n ÚÓ Ò ØØ Ñ Ð Ú ÐØ Ò ÐÙ Ù ÙÑÑ Ò ÔÓ Ø Ú Ø ÐÙÚÙ Ø P {k} k p(z) = k ( z k ) Ñ Ö p 4 = [z 4 ] p(z) = [z 4 ] ( + z + z +...) ( + z + z ) ( + z 3 + z ) ( + z 4 + z ) ( + z 5 + z ) = [z 4 ] ( + z + z + 3z 3 + 5z ) = 5. ÌÙÐÓ ÙÚ Ø Ó ØÙ 4 = 3 + = + = + + = º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙغ T {ǫ} + { } T T t(z) = + zt(z) zt(z) t(z) + = 0 t(z) = ± 4z ; z ( 4z)/ t(0) = t(z) = z º t n = [z n ]t(z) = ( ) n, n + n Ó ÓÒ n Ø Ð Ò Ò ÐÙ Ùº Ä Ù Ø ÓÒ Ó Ø ØØÙ ÖÙÒ Ø Æ ÛØÓÒ Ò ÒÓÑ ¹ Ú Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÚÐ Ú Ø ºµ

27 ÄÍÃÍ º ÃÇÅ ÁÆ ÌÇÊÁË Ì ÃÇÆËÌÊÍÃÌÁÇÌ ¾ º¾ ¹ ÐÔÓ ÓÒ ØÖÙ Ø Ó Ø ¹ ÐÔÓ Ø Ò ÓÒ ØÖÙ Ø Ó Ò ÑÖ ØØ ÐÝ Ú ÖØ Ò ÓÐ Ø Ø Ò ØØ Ø Ö Ø ÐØ ¹ Ú Ø ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÓÚ Ø Ò Ñ ØØÝ Ó w(σ) = n Ò Ò σ Ò Ð ØØÝÝ ÑÝ Ó Ò Ò Ñ Ñ ÙÚ Ù Øº Ò Ñ ÒØ Ó ÓÒ Ô ÖÑÙØ Ø Ó λ : [n] [n]º Æ Ñ ØØÝ ØÖÙ ØÙÙÖ Ý Ø ØØ ØÝØÝÝ ÑÝ Ò Ò Ò Ñ ÒÒØ Ý Ø ÓÐÐ Ò ÓÒ¹ Ø ÒØ ÐÐ Ø Ú ÐÐ º ÇÐ ÓÓØ σ = (σ, λ σ ) τ = (τ, λ τ ) Ò Ñ ØØÝ ØÖÙ ØÙÙÖ Ø w(σ) = n w(τ) = mº Æ Ò Ò Ñ ØØÝ ØÙÐÓ Ò Ðº Ô ÖØ Ø ÓÒ Ð ÔÖÓ Ùص σ τ ÓÓ ØÙÙ ¹ Ø Ò Ñ ØÝ Ø Ô Ö Ø ((σ, τ); λ) Ñ Ò Ñ ÒØ λ : [n + m] [n + m] ÓÒ Ò Ñ ÒØ Ò λ σ λ τ Ð Ñ ØÝ º ÌÑ Ø Ö Ó ØØ ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ Ú Ú Ø Ò¹ Ø ÓØ θ σ : [n] [n + m] θ τ : [m] [n + m] Ø Ò ØØ Im θ σ Im θ τ = ÐÐ i [n] j [m] ÓÒ λ(θ σ (i)) = θ σ (λ σ (i)), λ(θ τ (j)) = θ τ (λ τ (j)). ÂÓ γ σ τ Ò Ò w(γ) = n + mº Ñ Ö Æ Ñ ØÝØ Ú Ö Óغ ÇÐ ÓÓØ σ τ Ó Ø Ò Ñ ØÝØ Ú Ö ÓØ σ τ 3 ÌÐÐ Ò ÓÒ { σ τ = ,, ,,, 4, 5 3 4,,, 5 5 } Æ Ñ ØØÝ Ò ØÖÙ ØÙÙÖ Ò Ô Ö Ò A B Ò Ñ ØØÝ ØÙÐÓ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÐÐ Ò Ô ÖÙ ØÙ Ò A B = α A, β B α β. Ä ÑÑ º½º ÇÐ ÓÓØ Ò Ñ ØØÝ Ò ÐÙÓ Ò A B Ø â(z) ˆb(z) C A Bº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÐÙÓ Ò C ĉ(z) = â(z) ˆb(z)º

28 ÄÍÃÍ º ÃÇÅ ÁÆ ÌÇÊÁË Ì ÃÇÆËÌÊÍÃÌÁÇÌ ¾ ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓØ Ð ÓØ α = (α, λ α ) A β = (β, λ β ) B Ò Ò Ô ÒÓØ w(α) = h w(β) = kº ÌÐÐ Ò ÚÓ Ò α Ò Ò Ñ ÒØ λ α β Ò Ò Ñ ÒØ λ β Ð Ñ ØØ Ò ( ) h+k h Ø Ú ÐÐ Ô Ö Ò (α, β) Ò Ñ ÒÒ λº Ë Ø Ò Ô Ö (α, β) ÓÒ Ô ÒÓ ÓÒ w(α, β) = h + k ÓÒ ÑÙ Ò ( ) h+k h ¹ ÖØ Ø ØÙÐÓ A Bº Æ Ò ÓÐÐ Ò ÓÒ z w(σ) ĉ(z) = w(σ)! σ C = ( ) w(α) + w(β) z w(α)+w(β) w(α) (w(α) + w(β))! α A β B = z w(α) w(α)! zw(β) = â(z) ˆb(z). w(β)! α A β B Ë ÙÖ Ú ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ó Ø Ò ¹ ÐÔÓ ÓÒ ØÖÙ Ø Ó Ø ÃÓÒ ØÖÙ Ø Ó ¹ÓÔ Ö ØØÓÖ ½º ¾º º º º º ËÙÑÑ Æ Ñ ØØÝ ØÙÐÓ Æ Ñ ØØÝ ÓÒÓ Æ Ñº ÔÓØ Ò Å Ö Ù ÃÓÑÔÓ Ø Ó A + B, i 0 A i A B A A [ ] µa A[B] â(z) + ˆb(z), i 0 âi(z) â(z)ˆb(z) ( â(z)) eâ(z) z D â(z) â(ˆb(z)) ÃÓÒ ØÖÙ Ø Ó Ò ÑÖ Ø ÐÑØ ÐÔÓ ÙÙ ØÓ ØÙ Ø ÓÚ Ø ÙÖ Ú Ø Æ Ñ ØØÝ ÓÒÓ C A Ò Ðº Ô ÖØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔРܵ Å Ö ÒØ A k = A k = (â(z)) k k {}}{ A A... A A {ǫ} + A + A A +... = k 0 A k à ÐÔÓ ÙÙ ÐÚ Ä ÑÑ Ò º½ ÒÓ ÐÐ = ( â(z)) Æ Ñ ØØÝ ÑÙÐØ ¹µÔÓØ Ò C A [ ] Ò Ðº Ð Ò Ô ÖØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔРܵ ÑÙÐØ ÓÙ Ó {}}{ Å Ö ÒØ A [k] = {{α,..., α k } (α,..., α k ) A k } A [k] = k! A k = k! (â(z))k

29 ÄÍÃÍ º ÃÇÅ ÁÆ ÌÇÊÁË Ì ÃÇÆËÌÊÍÃÌÁÇÌ ¾ A [ ] {ǫ} + A + A [] + A [3] +... = k 0 A [ ] = k 0 k! (â(z))k = eâ(z) º A [k] Å Ö Ù ÓÑÔÓ Ø Ó ÙØ Ò Ø ¹Ø Ô Ù º Ñ Ö ÂÓÙ Ó¹Ó Ø٠غ Å Ö ØÒ Ò Ñ ØØÝ Ò Ö ÐÐ Ø Ò ÔØÝ Ò ÓÙ Ó Ò Ô Ö ØØ S = {[n] : n } Ó [n] = {,..., n} ÑÖ Ø ÐÐÒ ØÐÐ Ô ÒÓ ÙÒ Ø Ó w([n]) = w({,..., n}) = nº S ÐÐ Ò ŝ(z) = n 0 s n zn n! = zn n! = ez. n ÌÐÐ Ò S [k] Ú Ø Ö ØÑØØ Ñ Ó ØÙ k ÔØÝ Ò ÐÙÓ Òº ÎÓ Ò Ö Ó ØØ ØÐÐ S [k] k! (ez ) k = { } n z n k n!. n 0 ÌÑ ÓÒ Ò º ØÓ Ò Ð Ò ËØ ÖÐ Ò Ò ÐÙ Ù Ò º ÐÐ Ò B = S [ ] = Ó ØÙ Ø Ñ Ð Ú ÐØ Ò ÑÓÒ Ò ÔØÝ Ò ÐÙÓ Ò B = exp(e z ) = z n b n Ó ÔÙÓÐ Ø Ò ÓÒ Ò º ÐÐ Ò ÐÙ Ù Ò º n! n 0 Ñ Ö È ÖÑÙØ Ø ÓØ Ý Ð Øº Å Ö ØÒ Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò ÐÙÓ P ÐÐ Ý Ð Ø Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò ÐÙÓ C Ðк ÌÙÒÒ Ø Ò p n = n! Ø Ø Ò ÌÓ ÐØ Ø ØÒ ØØ P Ð ĉ(z) Ñ ÓÒ Ó ÓØ ØØÙ ØÙÐÓ º ˆp(z) = n 0 p n z n n! = ( z). C [ ] Ó Ø ÙÖ ˆp(z) = eĉ(z) º ÆÝØ ÚÓ Ò ĉ(z) = ln( z) = ln( z) = n [ ] z n c n = ĉ(z) = n![z n ]ĉ(z) = n! n! n n zn = (n )!,

30 ÄÍÃÍ º ÃÇÅ ÁÆ ÌÇÊÁË Ì ÃÇÆËÌÊÍÃÌÁÇÌ ¾ Å Ð Ò ÒØÓ Ò Ò ÐÙÓ ÓÒ C [k] Ð Ò Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò ÐÙÓ Ó ÓÒ ( Ø Ò k Ý Ð º ÌÐÐ ÓÒ C [k] = k! (ĉ(z))k = k! ln k z) º Å Ö ØÒ [ ] [ ] z n n n! C [k], k Ó ÓÒ Ò º Ò ÑÑ Ò Ð Ò ËØ ÖÐ Ò Ò ÐÙ Ùº Å Ö ØÒ ÐÐ Ò D ÐÐ Ú ÒØÒ Ò Ñ ØØ Ý Ð Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ º ÌÐÐ Ò C {()} + D Ñ Ø ÐÐ Ò ĉ(z) = z + ˆd(z) ˆd(z) = ln( z) zº ÌÐÐ Ò ÓÒ Ó ØÙ Ø Ò ÐÙÓ D [ ] ÐÐ D [ ] = e ˆd(z) = e z z º ÎÖغ Ñ Ö Ò ÚÙÐÐ ½ ºµ ÁÒÚÓÐÙÙØ Ó ÓÒ Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ó ÓÒ ÓÑ ÒØ ÙÚ Ù Ò Ð ÓÓ ØÙÙ Ú Ò Ý Ò Ò Ð ÓÒ Ô ØÙ Ø Ý Ð Øº Å Ö ØÒ ÒÚÓÐÙÙØ Ó Ò ÐÙÓ I Ðк ÌÐÐ Ò I {(), ( )} [ ] Ñ Ø ÙÖ ( ) z I = exp! + z = exp (z + )! z. Ñ Ö ÂÙÙÖÖ ØÙØ ÔÙÙغ T r T T T 3... T k µ Æ Ñ ØÝØ ÔØÝ Ø Ö Ø ØÝØ ÙÙÖÖ ØÙØ ÔÙÙØ T {r} T ˆt(z) = z ˆt(z) ˆt(z) = ( 4z) t n = [ z n n! ÎÖغ Ñ Ö Ò ÚÙÐÐ ¾¾ºµ ˆt ˆt + z = 0 ] ˆt(z) = n! n ( n ) n µ Æ Ñ ØÝØ ÔØÝ Ø Ö ØÑØØ ÑØ ÙÙÖÖ ØÙØ ÔÙÙØ T {r} T [ ] º Ì Ø Ò ÓÒ ØÖÙ Ø ÓØ ÙÐÙ ÓÒ º ¾ µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ˆt(z) = zeˆt(z) º Å ¹ Ø Ò Ö Ø Ø Ò ˆt(z) Ä Ù º¾º Ä Ö Ò Ò¹ ÖÑ ÒÒ Ò ÒÚ Ö Ó Ú Âº¹Äº Ä Ö Ò ½ ¼µ ÇÐ ÓÓØ f(z) ϕ(u) ÓÖÑ Ð µ ÔÓØ Ò Ö Ó Ó ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ ϕ(0) 0 f(z) = zϕ(f(z))º ÌÐÐ Ò ÓÒ f Ò ϕ Ò ÖØÓ Ñ Ò ÚÐ ÐÐ Ö ÔÔÙÚÙÙ [z n ]f(z) = n [un ]ϕ(u) n.

31 ÄÍÃÍ º ÃÇÅ ÁÆ ÌÇÊÁË Ì ÃÇÆËÌÊÍÃÌÁÇÌ ¾ Ä Ù Ò º¾ ØÓ ØÙ Ñ Ò ÝÐ ÑÑ ÑÙÓ Ó Ø ØÒ ÐÙÚÙ º¾º Ñ Ö Ä Ù Ò ÓÚ ÐÐÙ º ÐÐ Ò Ñ Ö Ò ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÐÐ ÐÐ ˆt(z) = zeˆt(z) Ò Ä Ù Ò º¾ ÒÚ Ö Ó Ú Ø [ ] z n t n = ˆt(z) = n![z n ]ˆt(z) = n! n! n [un ](e u ) n = (n )![u n ]e nu, ÙÒ e nu = (nu) k n n Ò Ò Ò t n = (n )! k! (n )! = nn º k 0 ÌÑÒ ØÙÐÓ Ò ÙÖ Ù Ò Ò ØÙÒÒ ØØÙ Ð Ù º ÝÐ Ý ½ µ ÓÒ ÑÙ Ò Ò Ñ ØØÝ n¹ ÓÐÑÙ ÙÙÖØ Ñ ØØÓÑ µ ÔÙ Ø ÓÒ n n Ôк

32 ÄÙ Ù Ò ÖÓ Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÔÙÖ Ñ Ò Ò º½ Ê ÙÖ Ó Ú Ø z D log ¹Ø ÑÔÔÙµ ÇÐ ÓÓÒ f(z) = n 0 f nz n Ò ÖÓ Ú ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÙÐ ØØÙ ÑÙÓØÓ ØÙÒÒ Ø Òº à ÖØÓ Ñ Ò f n Ð Ñ ÚÓ Ò Ó Ù ÓÔ Ù Ò µ ÑÙÓ Ó Ø Ö ¹ ÙÖ Ó Ú ÙÖ Ú ÐÐ Ø ÑÔÙÐÐ µ ÅÖ Ø ÐÐÒ ÙÒ Ø Ó (z) = z D ln f(z) = zf (z) f(z) µ Ê Ø Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ (z) ÖØÓ Ñ Ø Ó Ó Ø Òµ (z) = k δ k z k µ Ë Ñ Ø Ø Ò ÖØÓ Ñ Ø Ý ØÐ zf (z) = (z)f(z) nf n z n = ( δ k z k)( f j z j), Ó Ø Ò ØÙÐÓ n k j 0 nf n = n δ k f n k, n. k= ¾

33 ÄÍÃÍ º Æ ÊÇÁÎ Æ ÍÆÃÌÁÇÆ ÈÍÊà ÅÁÆ Æ ¾ Ñ Ö ÐÐ Ò ÐÙÚÙغ ˆb(z) = e e z = n 0 b n n! zn (z) = z D lnˆb(z) = z D(e z ) = ze z z k+ = = k! k 0 k n n bn = n! (k )! b n = = k= z k (k )! b n k (n k)! n ( ) n b n k n k k= n ( ) n b k, n. k k=0 º¾ Ä Ö Ò Ò ¹ ÖÑ ÒÒ Òµ ÒÚ Ö Ó Ú Ò Ò Ø Ù Ø ÓØ Ø ÖÚ Ø Ò ÑÝ ÑÑ Ò Ò È Ð ÙØ Ø Ò Ñ Ð Ò Ä Ù ¾º½ º µ ØØ ÓÖÑ Ð Ò ÔÓØ Ò Ö Ó Ò Ö Ò z Ð Ó f = n 0 f nz n ÓÒ ÒØÝÚ Ð ÓÒ ÓÐ Ñ ÔÓØ Ò Ö f z µ Ó Ú Ò Ó f 0 0º Ë Ø Ò Ñ Ö Ö f(z) = z ÓÐ ÒØÝÚº Ä ÒÒ Ø Ò z Ó ÙÒÒ Ò { f } g : f, g z, g 0 zµ = Ä Ò Ù Ñ Ö Ø Ú ØØ Ú Ø Ò ØØ Ó Ø Ò Ý ÓÒ Ô Ö Ò (f, g) z Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ Ø (f, g) (f, g ) Ó Ú Ò Ó fg = f gºµ ÃÙÒÒ Ò zµ Ð ÓØ ÚÓ Ò ØÙÐ Ø ÓÖÑ Ð Ò Ä ÙÖ Òع Ö Ó Ò h(z) = h n z n, m. n=m ÃÙÒÒ zµ ÓÒ Ó Ò Ò Ð Ó h 0 ÒØÝÚº ÂÓ Ñ Ö f = n m f nz n ÓÒ ÔÓØ Ò Ö ÓÒ Ò ÑÑ Ò Ò ÒÓÐÐ ¹ Ø ÔÓ Ú ÖÖÓ Ò ÓÒ f m Ò Ò ÓÖÑ Ð Ø ÓÒ f(z) = z m f(z) Ñ f(z) = n 0 f n+mz n ÓÒ ÒØÝÚ z º ÇÐ ÓÓÒ z f(z) Ò ÒØ Ö g(z) = n 0 g nz n ØÐÐ Ò ÔØ f (z) = z m g(z) = g n+m z n. n= m

34 ÄÍÃÍ º Æ ÊÇÁÎ Æ ÍÆÃÌÁÇÆ ÈÍÊà ÅÁÆ Æ ¼ ÓÖÑ Ð ÐÐ Ä ÙÖ Òع Ö Ó ÐÐ ÚÓ Ò ØÓ Ø Ñ Ø Ð Ù ÒÒ Ø ÑÙ Ò¹ ÐÙ Ò Ö ÚÓ ÒØ ÒØ ÖÓ ÒØ µ Ù Ò ÓÖÑ Ð ÐÐ ÔÓØ Ò Ö Ó ÐÐ Òº Ö ØÝ ¹ Ø ÙÒ g 0º D f g = Dfg = fg g + f g = f g fg g, ÓÖÑ Ð Ò Ä ÙÖ Òع Ö Ò h(z) = ÌÑ ÓÒ = 0 Ó m 0µº h n z n Ö Ý ÓÒ ÖÖÓ Ò Res(h(z)) = h º n=m Ä ÑÑ º½º ÇÐ ÓÓÒ h(z) = Ð Ò µ Res(h (z)) = 0 µ Res(h (z)/h(z)) = m h n z n h m 0 ÓÖÑ Ð Ä ÙÖ Òع Ö º Ìй n=m ÌÓ ØÙ º À Ö Ó ØÙ Ø ØÚº Ä Ù º¾º ÈÓØ Ò Ö Ó Ò ÒÚ Ö Óµ ÇÐ ÓÓÒ f(z) = n f nz n ÔÓØ Ò Ö¹ ÓÐÐ f 0 = 0 f 0º ÌÐÐ Ò ÐÐ ÓÒ ÒØ Ö g(u) = n g nu n Ø Ò ØØ g(f(z)) = zº ÎÖغ Ä Ù Ò ¾º ÚÙÐÐ ½½ºµ Ë Ö Ò g ÖØÓ Ñ Ø Ò Ú Ø ( ) g n = Res. nf n (z) ÌÓ ØÙ º Ö ÚÓ Ñ ÐÐ Ý ØÐ z = g(f(z)) ÔÙÓÐ ØØ Ò Ò ( ) ( ) = D g k (f(z)) k = k g k (f(z)) k f (z). k k Â Ñ ÐÐ ÐÐ Ò ( ) ÔÙÓÐ ØØ Ò nf n (z) ÐÐ Ò nf n (z) = k k n g k (f(z)) k n f (z). Ë Ø Ò ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ( ) Res nf n (z) = k k n g k Res ( (f(z)) k n f (z) ).

35 ÄÍÃÍ º Æ ÊÇÁÎ Æ ÍÆÃÌÁÇÆ ÈÍÊà ÅÁÆ Æ ½ Ä Ù ØØ Ú ÒØÑÐÐ Ò (f(z)) k n f (z) = k n D( f(z) k n), k n f (z) f(z), k = n. Ì Ø Ò Ö ÝÐÐ Ä ÑÑ Ò º½ ÒÓ ÐÐ ÖÚÓ Ú Ò ÒÓÐÐ Ø Ý Res ( (f(z)) k n f (z) ) { 0, k n =, k = n, ( ) ÓØ Ò Res = n nf n (z) n g n = g n º

36 ÄÙ Ù Ò ÐÝÝ Ò Ô ÖÙ ØÙÐÓ º½ Ê Ñ ÒÒ¹ËØ ÐØ ¹ ÒØ Ö Ð ÇÐ ÓÓØ f, g : [, b] Ê P Ó Ò ÚÐ Ò [, b] Ó ØÙ = x 0 < x <... < x n = b t 0,..., t n Ô Ø Ø Ø Ò ØØ t k [x k, x k+ ]º ÅÖ Ø ÐÐÒ Ê Ñ ÒÒ¹ ËØ ÐØ ¹ ÙÑÑ n S(P) = f(t k )(g(x k+ ) g(x k )). k=0 ÂÓ ÓÒ ÓÐ Ñ ÖÚÓ A Ê Ø Ò ØØ ǫ > 0 P ǫ (P ÒÓÑÔ Ù Ò P ǫ S(P) A < ǫ), Ò Ò ØÑ ÖÚÓ ÓÒ f Ò Ê Ñ ÒÒ¹ËØ ÐØ ¹ ÒØ Ö Ð ÐÝ ÒÒ ØÒ Ê˹ ÒØ Ö Ð µ g Ò Ù Ø Ò ÚÐ ÐÐ [, b] A = b f(t) dg(t). ÀÙÓÑ ÂÓ g(t) = t Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ô Ð ÙØÙÙ Ø Ú ÐÐ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö ¹ Ð º º½º½ Ê˹ ÒØ Ö Ð Ò ÓÑ Ò ÙÙ ÃÝØ ØØÝ Ñ Ö ÒØ ¾

37 ÄÍÃÍ º Æ Ä ËÁÆ È ÊÍËÌÍÄÇÃËÁ t = Ô Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù t ØØÓ ÙÒ Ø Ó µ t = ÙÙÖ Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù t Ð ØØ ÙÒ Ø Ó µ {t} = t t t Ò Ñ Ð Ó Ð Ø ÙÒ Ø Ó µ ½µ ØØ ÝÝ ÂÓ b f(t) dg(t) ÓÒ ÓÐ Ñ Ò Ò Ò ÖÚÓ ÓÒ Ý ¹ ØØ Ø ÑÖØØݺ Ê ØØÚ ÓÐ Ñ ÓÐÓ ØÓ ÓÒ Ñ Ö ØØ f ÓÒ Ø ÙÚ g ÓÒ Ö Ó Ø ØÙ Ø Ð Ø Ð Ú Ð 0 k<n g(x k+ ) g(x k ) < ÙÒ P 0 ÒØÙ Ø Ú Ø b dg(t) < µº ¾µ Ä Ò Ö ÙÙ µ (c f + c f ) dg = c µ f d(c g + c g ) = c f dg + c f dg f dg + c f dg º µ ÎÐ Ò Ý ØÑ Ò Ò Ó b f dg c f dg Ò Ò b b f dg + c f dg = c b f dg. µ Ç ØØ ÒØ ÖÓ ÒØ Ó b f dg Ò Ò ÑÝ b g df b f(t) dg(t) + b g(t) df(t) = / b f(t)g(t). µ ÅÙÙØØÙ ÒÚ ØÓ ÇÐ ÓÓÒ h : [, b] Ê Ø ÙÚ ¹Ú Ò Ú ÙÒ Ø Óº ÌÐÐ Ò b f(h(t))dg(h(t)) = h(b) h() f(t) dg(t). µ È Ð ÙØÙ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ò Ó b f dg g (t) ÓÒ Ø ÙÚ Ú¹ Ð ÐÐ [, b] Ò Ò b f(t) dg(t) = b f(t)g (t) dt.

38 ÄÍÃÍ º Æ Ä ËÁÆ È ÊÍËÌÍÄÇÃËÁ µ ËÙÑÑ Ò ØØÑ Ò Ò ÇÐ ÓÓØ, b f Ó ÐØ Ø ÙÚ ¹Ô Ø º ÌÐÐ Ò b b f(t) d t = f(t) dg( t ) = b f(k), k= k<b f(k) g(k), g(k) = g(k + ) g(k). Î Ø Ú Ø f Ò ÓÐÐ Ú ÑÑ ÐØ Ø ÙÚ ¹Ô Ø ÔØ b b f(t) d t = f(t) dg( t ) = b f(k), k=+ <k b f(k) g(k), g(k) = g(k) g(k ). Ç ÐØ Ø ÙÚ ÐÐ f ÔØ ÑÝ Ú b f( t ) dg(t) = <k b f(k) g(k) Ú ÑÑ ÐØ Ø ÙÚ ÐÐ Ú b f( t ) dg(t) = k<b f(k) g(k), µ ÁÒØ Ö Ð Ò Ö ÚÓ ÒØ b f(t) d t g(u) dh(u) = b f(t)g(t) dh(t). º½º¾ ÙÐ Ö Ò ÙÑÑ Ú Â Ø ÙÚ ÐÐ f ÓÒ ØÙÒÒ ØÙ Ø ÙÙÒÒ ÐÐ Ò ØÑ ÖÚ Ó ÓÒ f(k) b k<b f(t) dtº Å Ø Ò Ø Ö Ê˹ ÒØ Ö Ð Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò µ Ð Ò Ö ÙÙ Ò ¾µ ÑÙ Ò ÓÒ ¹Ô Ø Ú ÑÑ ÐØ Ø ÙÚ ÐÐ f Ø ÑÐÐ Ò <k b f(k) = b f(t) d t = b f(t) dt b f(t)d{t}.

39 ÄÍÃÍ º Æ Ä ËÁÆ È ÊÍËÌÍÄÇÃËÁ ËÓÚ ÐÐ Ø Ò Ø Ò ÐÐ Ò Ó ØØ ÒØ ÖÓ ÒØ µ b f(t) d{t} + b {t} df(t) = / b f(t){t}. ÌÑÒ Ð Ù Ò ÖÚÓ ÓÒ ÒÓÐÐ Ó, b º ÂÓ ÒÝØ, b f ÓÒ Ø ÙÚ ÚÐ ÐÐ [, b] Ò Ú <k b f(k) = b Ó ÚÓ Ò ÑÝ Ö Ó ØØ ÑÙÓØÓÓÒ f(t) dt + b f (t){t}dt, ( ) k b f(k) = b f(t) dt + b ( f (t) {t} ) f() + f(b) dt + Ø k<b f(k) = b f(t)dt / b b ( f(t) + f (t) {t} ) dt. } {{ } R ÂÓ f ÐÐ ÓÒ ÑÝ ÓÖ ÑÑ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ Ö Ú Ø Ø ÚÓ Ò ÒÒ Ø ÖÑ R ØØ ÐÐ Ò ÓÐÐÓ Ò Ò ÙÐ Ö Ò ¹Å Ð ÙÖ Ò Òµ ÙÑÑ Ú ( ) k<b f(k) = b f(t) dt + n m= / b B b m f (m ) (t) + ( ) n+ B n ({t}) f (n) (t) dt m! n! }{{} R n Ñ ÖØÓ Ñ Ø B m ÓÚ Ø ÖÒÓÙÐÐ Ò ÐÙ Ù B n (x) ÓÒ n ÖÒÓÙÐÐ Ò ÔÓÐݹ ÒÓÑ B n (x) = ( ) n B 0 x n + 0 ( ) n B x n ( ) n B n x 0. n ÀÙÓÑ ÂÒÒ Ø ÖÑ R n ÚÐØØÑØØ Ñ Ò ÒÓÐÐ Ò n Ò Ú ÙÙÖÙÙ ¹ ÐÙÓ Ú Ð ØÙÐÐ n ÓÒ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú Ö Òº Ñ Ö Ã ÖØÓÑ Ò ÖÚ Ó ÒØ À Ó ËØ ÖÐ Ò Ò Ú µº ËÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ Ý Ò ÖØ Ø ÙÑÑ Ú ( ) ÙÒ Ø ÓÒ n! ÐÓ Ö ØÑ Ò Ò

40 ÄÍÃÍ º Æ Ä ËÁÆ È ÊÍËÌÍÄÇÃËÁ ÙÖ Ú ÖÚ Ó ln n! = k n ln k n n ( = ln t dt + {t} ) ln + ln n dt + t n ( = n ln n n + + ln n + {t} ) dt t = n ln n n + ln n! n ln n n + ln n + = e ( ) n n n! en ( n n e e). Ì Ö ÑÑ Ò ÖÚ ÓÒ ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÓÚ ÐÐ Ø Ò Ò Ò ÙÐ Ö Ò ÙÑÑ Ú ( ) ÙÒ Ø ÓÓÒ ln(n )! ÓÖ Ø Ò ØØ Ò ØÙÐÓ Ø Ð ÑÐÐ Ø ÖÑ ln n ln(n )! = k<n ln k n = ln t dt + = / n m= (t ln t t) / n B n m D (m ) ln t m! / n ln t + = n ln n n + ln n + O() / n t + B ({t}) n D () ln t dt {t} {t} + 6 t dt = ln n! = n ln n n + ln n + O() = n! = Θ ( n ( n e) n ). º½º ÃÓÑÔÐ Ò Ò Ê˹ ÒØ Ö Ð ÅÝ ÓÑÔÐ ÖÚÓ ÐÐ f, g : [, b] ÚÓ Ò Ê˹ ÒØ Ö Ð b f dg ÑÖ ¹ Ø ÐÐ Ê˹ ÙÑÑ Ò ÚÙÐÐ Ú Ò ÙØ Ò Ðк ÂÓ ÓÒ f = f + if g = g + ig Ò Ò Ê˹ ÙÑÑ Ø Ö Ø Ð Ñ ÐÐ ÓÒ ÐÔÔÓ Ó Ó ØØ ( ) b f dg = b f dg b f dg + i b f dg + b f dg. ØÝ Ø ( ) ÝØØ Ò ÚÓ Ò Ê˹ ÒØ Ö Ð Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø ½µ µ ÝÐ Ø Ö Ð Ø ÓÑÔÐ Ò Ø Ô Ù Òº

41 ÄÍÃÍ º Æ Ä ËÁÆ È ÊÍËÌÍÄÇÃËÁ º¾ ÃÓÑÔÐ Ò ÐÝÝ Ò Ô ÖÙ Ø Ø ÇÐ ÓÓÒ D ÓÑÔÐ Ø ÓÒ ÐÙ Ð ÚÓ Ò Ý Ø Ò Ò Ò ÓÙ Ó f(z) ÐÙ¹ D ÑÖ Ø ÐØÝ ÓÑÔÐ ÙÒ Ø Óº f ÓÒ Ö ÚÓ ØÙÚ Ô Ø z 0 D Ó Ö ¹ ÖÚÓ f (z 0 ) = lim z z0 f(z) f(z 0 ) z z 0 ÓÒ ÓÐ Ñ º ÀÙÓÑ Ê ¹ ÖÚÓÒ ØÙÐ ÓÐÐ Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ Ø Ñ Ø ÙÙÒ¹ Ò Ø z Ð ØÝÝ z 0 º f ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Ò Ð ÓÐÓÑÓÖ Ò Ò ÐÙ D Ó ÓÒ Ö ÚÓ ØÙÚ ÐÐ z 0 Dº Ð Ø f ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Ò ÓÙ Ó A Ó ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Ò Ó Ò ÐÙ D Aº Ö ØÝ Ø f ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Ò Ô Ø z 0 Ó ÓÒ Ò ÐÝÝع Ø Ò Ò Ó Ò z 0 Ò ÝÑÔÖ Ø B(z 0 ; r)º Å Ö ØÒ z = x + iy f(z) = u(x, y) + iv(x, y)º ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ f ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Ò Ô Ø z = x + iy Ó Ú Ò Ó ÙÒ Ø Ó ÐÐ u(x, y) v(x, y) ÓÒ Ô Ø (x, y) Ø ÙÚ Ø Ó ØØ Ö Ú Ø Ø ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ò º Ù ÝÒ¹ Ê Ñ ÒÒ Ò ÓØ u x = v y, u y = v x. ÐÐ Ò ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ó f ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Ò Ô Ø z ÐÐ ÓÒ Ø Ò ÖØ ÐÙ Ù Ò Ø ÙÚ Ø Ö Ú Ø Ø Ô Ø z º ÙÒ Ø Ó f ÓÒ Ó ÓÒ Ò Ò Ó ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Ò ÐÐ z º Ñ Ö ÙÒ Ø ÓØ e z z n ÓÚ Ø Ó ÓÒ º Æ º Ä ÓÙÚ ÐÐ Ò Ð Ù Ò ÑÙ Ò ÚÓ Ó ÓÒ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÓÐÐ Ö Ó Ø ØØÙ f(z) < M z µ Ú Ò Ó ÓÒ Ú Óº ÃÓÑÔÐ Ø ÓÒ ÔÓÐ Ù Ø Ø µ ÓÒ Ø ÙÚ ÙÚ Ù γ : [, b] Ó, b ʺ ÈÓÐÙÒ γ ÑÖ ØØÑ ÝÖ ÓÒ Ò ÙÚ ÓÙ Ó Γ = γ([, b])º ÈÓÐ Ù ÓÒ ÙÐ ØØÙ Ó γ() = γ(b) Ý Ò ÖØ Ò Ò Ó Ð Ø Ò Ô Ø Ñ ÓÐÐ ¹ Ø ÔØ Ô Ø Óº Ó ÙÚ Ù Ò γ Ö Ó ØØÙÑ ÔÙÓÐ ÚÓ Ñ ÐÐ ÚÐ ÐÐ [, b) ÓÒ Ò Ø Óº Ò ÖØ Ò Ò ÙÐ ØØÙ ÔÓÐ Ù ÓÒ ÖÖÓ Ö ÐÐ ÙÙ Ø Ú ÐÐ ¹ ÑÑ Ò ÂÓÖ Ò¹ ÝÖ µº ÂÓ Ò Ò ÖÖÓ ÂÓÖ Ò Ò ÝÖÐ Ù Ò ÑÙ Ò ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ø Ò Ö ÐÐ Ò ÚÓ Ñ Ò ÓÙ ÓÓÒ ÖÖÓ Ò ¹ ÙÐ Ó¹ ÔÙÓÐ Ò Ó Ò Ý Ø Ò Ò Ö ÙÒ ÓÒº à ÖÖÓ ÐÐ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò ÔÓ Ø ¹ Ú Ò Ò Ø Ò Ø Ú Ò Ò ÖØÓµ ÙÙÒØ Ó ÓÒ Ñ Ò Ò Ô Ø Ò Ù Ø Òº Â Ø Ó Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ú Ò Ô ÐÓ ØØ Ò Ø ÔÓÐ Ù Óº ÐÐ ÔÓÐ Ù ÙÒ Ø Ó Ø γ Ó ÐÐ ÓÒ Ô ÐÓ ØØ Ò Ø ÙÚ Ö Ó Ø ØØÙ Ö Ú ØØ γ º

42 ÄÍÃÍ º Æ Ä ËÁÆ È ÊÍËÌÍÄÇÃËÁ ÇÐ ÓÓÒ D ÐÙ f ÐÙ D ÑÖ Ø ÐØÝ ÓÑÔÐ ÙÒ Ø Ó γ : [, b] ÔÓÐ Ù Ø Ò ØØ γ([, b]) Dº ÙÒ Ø ÓÒ f ÒØ Ö Ð ÔÓÐÙÒ γ Ù Ø Ò ÑÖ Ø Ð¹ ÐÒ f b f(γ(t)) dγ(t) = b f(γ(t))γ (t) dt. γ Ì Ø Ó ÓÐ Ø Ø Ò ÐÑ Ò Ö Ñ Ò ÒØ ØØ Ø Ö Ø ÐØ Ú Ø ÔÓÐÙØ γ ÓÚ Ø Ô ÐÓ ØØ Ò Ø ºµ ÅÝ Ñ Ö ÒØ f(z) dz ÝØ ØÒº γ Ñ Ö ½º πθ z 0 γ ÇÐ ÓÓÒ z 0 f(z) = γ : [0, ] Ø Ò ØØ γ(θ) = z 0 + e πiθ º z z 0 ÌÐÐ Ò Ñ Ö ¾º γ dz z z 0 = = = γ (θ) dθ γ(θ) z 0 e πi πiθ eπiθ dθ πi dθ = πi. ÇÐ ÓÓÒ ÐÐ f(z) = (z z 0 n > º ÌÐÐ Ò Ú Ø Ú Ñ Ò ØØ ÐÝ ÒØ ÙÖ ¹ ) n Ú Ò ØÙÐÓ Ò ( (z z 0 ) n dz = ) e πiθ n πi e πiθ dθ γ 0 = πi 0 e (n )πiθ dθ / πi = e (n )πiθ (n )πi 0 = ( ( ) e πi (n ) n }{{} ) = = 0. ÀÙÓÑ Ø Ò ÑÝ ØØ Ñ Ö Ò ½ ¾ ØÙÐÓ Ø ÓÚ Ø Ú Ð ØÙÒ z 0 ¹ Ò ÝÑÔÝÖÒ Ø Ø r Ñ Ö r = µ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ º

43 ÄÍÃÍ º Æ Ä ËÁÆ È ÊÍËÌÍÄÇÃËÁ ÇÐ ÓÓØ γ : [, b] γ : [b, c] ÔÓÐ Ù Ø Ò ØØ γ (b) = γ (b)º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÔÓÐ Ù γ + γ : [, c] ÙÖ Ú Ø { γ (t), t [, b] (γ + γ )(t) = γ (t), t [b, c] Ê˹ ÒØ Ö Ð Ò Ô ÖÙ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÙÖ ØØ f = f + f Ñ ÐÐÓ Ò γ +γ γ γ ÒØ Ö Ð Ø ÓÚ Ø ÓÐ Ñ º Ë ÑÓ Ò Ó ÑÖ Ø ÐÐÒ ÔÓÐÙ Ø γ : [, b] ÔÓÐ Ù γ : [, b] Ð ( γ)(t) = γ( + b t) Ò Ò ÓÒ ÚÓ Ñ f = fº γ γ ÁÒØ Ö Ð ÙÐ ØÙÒ ÔÓÐÙÒ γ Ù Ø Ò Ñ Ö ØÒ Ù Ò fº γ Ä ÑÑ º½º ÇÐ ÓÓÒ γ : [, b] ÔÓÐ Ù ÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒ L(γ) = ÓÑÔÐ ÙÒ Ø Ó Ø Ò ØØ f(z) M z γ([, b])º ÌÐÐ Ò ÓÒ f M L(γ). γ b dγ f ÌÓ ØÙ º Ë ÙÖ ÙÓÖ Ò Ê˹ ÒØ Ö Ð Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø º ÈÓÐÙØ γ, γ : [, b] ÓÚ Ø ÓÑÓØÓÓÔÔ Ø ÓÙ Ó D Ó µ γ() = γ() γ(b) = γ(b) Ø γ() = γ(b) γ() = γ(b) ÙÐ ØÙ ÐÐ ÔÓÐÙ ÐÐ µ µ γ([, b]) D γ([, b]) D Ø ÙÚ ÙÚ Ù h : [0, ] [, b] D Ø Ò ØØ h(0, t) = γ(t) t [, b] h(, t) = γ(t) t [, b] h(s, ) = γ() h(s, b) = γ(b) s [0, ] Ø h(s, ) = h(s, b) s [0, ] ÙÐ ØÙ ÐÐ ÔÓÐÙ ÐÐ µ

44 ÄÍÃÍ º Æ Ä ËÁÆ È ÊÍËÌÍÄÇÃËÁ ¼ γ = h h3 4 γ() γ(b) h γ = h 0 Ä Ù º¾º ÇÐ ÓÓÒ f Ò ÐÝÝØØ Ò Ò ÐÙ D Ô Ø Ñ ÓÐÐ Ø Ö ÐÐ ÑÖ Ô Ø Ø Ó ÓÒ Ú Ò Ø ÙÚ º ÇÐ ÓÓØ γ γ ÔÓÐ Ù ÓØ ÓÚ Ø ÓÑÓØÓÓÔÔ D º ÌÐÐ Ò ÓÒ γ f = γ fº Ë ÙÖ Ù º º ٠ݵ ÇÐ ÓÓØ f D ÙØ Ò ÐÐ γ ÔÓÐ Ù Ó ÓÒ D ÓÑÓØÓÓÔÔ Ò Ò Ô Ø Ò Ò º ÌÐÐ Ò ÓÒ f = 0º ÌÓ ØÙ º È ÑÑ Ò Ò Ô ÖÙ Ø ÐÙºµ ÇÐ ÓÓÒ γ = γ +γ º ÌÐÐ Ò γ ÓÒ ÓÑÓ¹ ØÓÓÔÔ Ò Ò ÔÓÐÙÒ γ Ò ÓØ Ò γ f = γ f + γ f = γ f γ f = 0. γ γ D γ γ Ë ÒÓØ Ò ØØ ÙÐ ØØÙ ÔÓÐ Ù γ ÓÒ ÙØ ØÙÚ ÐÙ D Ó ÓÒ D ÓÑÓ¹ ØÓÓÔÔ Ò Ò Ô Ø Ò Ò º Ã Ö ÐÐ ÙÙ ÝØ ØÒ ÑÝ Ø ÖÑ ÒÓÐÐ ÓÑÓ¹ ØÓÓÔÔ Ò Ò ÔÓÐ Ùºµ ÐÙ D ÓÒ ÐÐ Ó Ò Ò ÙÐ ØØÙ ÔÓÐ Ù ÓÒ ÙØ ØÙÚ ÓÒ Ý Ø Ý Ø Ò Ò Òº ÌÐÐ Ò Ò ÐÙ D ÐÐ Ö µ Ñ Ö ÁÒØ ÖÓ ÒØ ÙØ ØÙÚ ÐÐ ÔÓÐÙÐÐ º ÇÐ ÓÓØ f(z) = z ÔÓÐ Ù γ : [0, ] ÓÐÐ γ(θ) = e πiθ º ÌÐÐ Ò γ z dz = 0 = πi = πi 4πi e πiθ (πi e πiθ) dθ e 4πiθ dθ 0 / e 4πiθ 0 = (e4πi ) = 0.

45 ÄÍÃÍ º Æ Ä ËÁÆ È ÊÍËÌÍÄÇÃËÁ ½ Ä Ù º º Ù ÝÒ ÒØ Ö Ð Ú µ ÇÐ ÓÓÒ f Ò ÐÝÝØØ Ò Ò Ý Ø Ý Ø ¹ Ò ÐÙ D γ Ó Ò D Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò ÖÖÓ º ÇÐ ÓÓÒ ÐÐ Ò z 0 Ó Ò γ Ò Ö Ñ Ò Ý Ø Ý Ø Ò Ò ÐÙ Ò Ô Ø º ÌÐÐ Ò ÓÒ f(z 0 ) = f(z) dz. πi z z 0 γ ÌÓ ØÙ º ÀÙÓÑ ÙØ Ø Ò Ò Ò ØØ ÖÖÓ γ ÓÒ ÓÑÓØÓÓÔÔ Ò Ò D ÓÒ Ò z 0 Ò ÔÓ Ø Ú Ò ÙÙÒØ Ò ÖØÚÒ ÝÑÔÝÖÔÓÐÙÒ Ò º Ä Ó D ÓÒ Ý Ø Ý Ø Ò Ò Ò γ ÓÒ ÙØ ØÙÚ º ÅÖ Ø ÐÐÒ ØØ Ò f(z) f(z 0 ), z z 0 g(z) = z z 0 f (z 0 ), z = z 0. ÌÐÐ Ò ÑÝ g ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Ò ÐÙ D Ô Ø Ñ ÓÐÐ Ø Ô Ø z 0 Ñ ÓÒ Ø ÙÚ º Ë Ø Ò ÓÒ Ë ÙÖ Ù Ò º ÑÙ Ò 0 = = f(z 0 ) = πi γ f(z) f(z 0 ) g(z) = dz dz γ γ z z 0 γ z z 0 f(z) dz dz f(z 0 ) γ z z 0 γ z z 0 }{{} πi f(z) z z 0 dz. ÐÐ ÓÒ ÒØ Ö Ð Ò γ º¾ ØÙÐÓ º dz z z 0 Ð Ñ Ò ÝØ ØØÝ Ñ Ö Ò ½ º µ Ä Ù Ò ÀÙÓÑ Å Ð Ú ÐØ Ò ¹Ý Ò ÖØ Ò ÙÐ ØÙÒ ÔÓÐÙÒ γ Ø Ô Ù ØÝØÝÝ ÓØØ ÙÓÑ ÓÓÒ ÑÝ Ò º ÖØÓÐÙ Ù n(γ, z 0 ) Ó ÐÑ Ñ Ò ÙÙÒØ Ò ÑÓÒØ Ó ÖØ ÔÓÐ Ù γ ÖØ Ô Ø Ò z 0 º Ð ÑÙÓ Ó Ù ÝÒ Ú ÓÒ πi γ f(z) z z 0 dz = n(γ, z 0 )f(z 0 ).

46 ÄÍÃÍ º Æ Ä ËÁÆ È ÊÍËÌÍÄÇÃËÁ ¾ Ä Ù º º n 0 ÇÐ ÓÓØ f D γ z 0 ÙØ Ò Ä Ù º º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÐÐ f (n) (z 0 ) = n! πi γ f(z) dz, (z z 0 ) n+ ÙÒ Ø ÓÐÐ f Ô Ø z 0 Ì ÝÐÓÖ¹ Ø ÐÑ f(z) = n 0 f (n) (z 0 ) (z z 0 ) n. n! ÌÓ ØÙ º Ë ÙÖ Ù Ø ÐÐ Ò ÐÔÓ Ø Ä Ù Ø º º ÇÐ ÓÓÒ ÙÒ Ø Ó f ÑÖ Ø ÐØÝ Ó Ò Ô Ø Ò z 0 ÔÙÒ Ø Ö ØÙ ÚÓ Ñ ÝÑÔÖ Ø D \ {z 0 } lim f(z) = º ÂÓ ÓÐÐ Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙÐÐ m z z0 ÓÒ ÙÒ Ø Ó g(z) = (z z 0 ) m f(z) Ò ÐÝÝØØ Ò Ò Ô Ø z 0 Ò Ò z 0 ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ f Ò Ô Ô Ò Ò m ÓÐРѺ ØÓ ÓÒ ÚÓ Ñ ÓÒ Ò Ú Ò z 0 ÖØ ÐÙ Ùº Ѻ Ó ÐÐ ÓÒ Ä Ù Ò º ÑÙ Ò g ÐÐ z 0 Ò ÝÑÔÖ Ø ÚÓ Ñ ÓÐ Ú ÔÓØ Ò Ö Ø ÐÑ g(z) = n 0 b n (z z 0 ) n, Ñ Ø Ò f ÐÐ Ú Ø Ú Ä ÙÖ Òع Ø ÐÑ f(z) = (z z 0 ) m g(z) = n m n (z z 0 ) n, Ó n b n+m º ÂÓ Ò Ú Ò z 0 ÖØ ÐÙ Ù ÓÒ m Ò Ò ÚÐØØÑØØ m = b 0 0 Ó ÑÙÙØ Ò ÖØ ÐÙ Ù ÓÐ Ð ÑÔ µº Æ Ô ÓÒ ÖØ ÐÙ Ù ÓÒ ÓÒ Ý Ò¹ ÖØ Ò Òº ÙÒ Ø ÓÒ f z 0 ¹ Ò Ä ÙÖ Òع Ø ÐÑÒ ÖÖÓ Ò ÓÒ f Ò Ö Ý Ô Ø z 0 º Å Ö ØÒ = Res(f; z 0 ) Ø = Res z=z 0 f(z). ÂÓ Ù ÝØ ØÒ ÑÝ Ñ Ö ÒØ Res(f; 0) [z ]f(z)º Ò ÖØ Ò Ú Ö Ý ÚÓ Ò Ð ÙÖ Ú Ø Res f(z) = lim (z z 0 )f(z), z=z 0 z z0 Ô Ö ØØ ÝÐ Ø Ò m¹ ÖØ Ò Ú Res z=z 0 f(z) = lim z z0 (m )! D(m ) ((z z 0 ) m f(z)).

47 ÄÍÃÍ º Æ Ä ËÁÆ È ÊÍËÌÍÄÇÃËÁ ÂÐ ÑÑ Ø Ô Ù Ð ÙØ ÓÚ Ø Ù Ø Ò Ò Ù Ò ÝØÒÒ ØÝ Ð Øº ÇÐ ÓÓÒ ØØ Ò Ñº Ø Ð ÒØ γ ÐÙ Ò D ÔÓ Ø Ú Ò Ò ÖÖÓ ÓÒ Ò ÑÙ Ø f Ò Ò ÔÓ Ù Ò z 0 º ÌÐÐ Ò γ z 0 γ f(z) dz = n m n = πi = πi Res z=z 0 f(z). γ (z z 0 ) n dz ÙÒ Ø Ó f ÓÒ ÐÙ D Ñ ÖÓÑÓÖ Ò Ò Ó ÓÒ D Ò ÐÝÝØØ Ò Ò Ô Ø Ñ ÓÐÐ Ø Ö Ø ÓÙ Ó Ò ÔÓ º Ä Ù º º Ù ÝÒ Ö ÝÐ Ù µ ÇÐ ÓÓÒ γ ÔÓ Ø Ú Ò Ò ÖÖÓ ÓÒ Ð¹ Ð Ñ ÖÓÑÓÖ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ f ÓÒ Ò Ú Ø z,..., z k ÔÓÐÙÐÐ γ ÙÒ Ø Ó f ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Òº ÌÐÐ Ò ÓÒ γ f(z) dz = πi k Res f(z). z=z j j= ÌÓ ØÙ º Ä ÒÒ ØÓ ØÙ ºµ ÅÙÓ Ø Ò ÔÓÐÙ Ø γ ÔÓÐ Ù γ Ð Ñ Ð¹ Ð Ò Ú Ø z,..., z k Ò ÐØ ÔÓ Ó Ò ÙÚ Ò Ó Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ö ØØÚÒ Ô Ò ÐÐ Ò Ø Ú Ø ÙÙÒÒ Ø ØÙ ÐÐ ÖÖÓ ÐÐ γ..., γ k º z z z 3 γ Æ Ò ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ γ ÓÒ ÙØ ØÙÚ ÔÓ Ø Ú Ò Ò ÖÖÓ f Ò ÐÐ Ò ÐÝÝع

48 ÄÍÃÍ º Æ Ä ËÁÆ È ÊÍËÌÍÄÇÃËÁ Ø Ò Òº Ë Ø Ò ÓÒ 0 = γ γ f = f + f γ γ f = f γ f γ k k = πi Res f(z). z=z j j= γ k f Ñ Ö ½º ÇÐ ÓÓÒ γ ÔÓ Ø Ú Ø ÙÙÒÒ Ø ØØÙ Ý ÝÑÔÝÖº ÅÖ Ø Å ÖÓÑÓÖ ÙÒ Ø ÓÐÐ f(z) = ØÓ Ø ÐÑ Ø γ dz 4z º 4z ÓÒ Ý Ò ÖØ Ø Ò Ú Ø z = ± º Ç ÑÙÖ¹ 4z = / z + / + z = /4 z / + /4 z + / Ò Ò ØØ Res f(z) = z= 4 Res f(z) = º z= 4 γ Res = 4 Res = 4 Ë Ø Ò ÓÒ γ ( dz 4z = πi 4 + ) = 0. 4 Ñ Ö ¾º ÅÖ Ø dx + x º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(z) = + z = (z i)(z + i) Ø Ó Ó Ò ÙÚ Ò Ó Ó ØØ Ñ ÔÓÐ Ù γ R r Ô Ø Òº ÒØ ÖÓ ÒØ ÓÑÔÐ ¹

49 ÄÍÃÍ º Æ Ä ËÁÆ È ÊÍËÌÍÄÇÃËÁ γ R i ir R i R ÙÒ Ø ÓÐÐ f ÓÒ Ý Ò ÖØ Ø Ò Ú Ø ±i Ó Ø Ò Ô z = i ÒØ ÖÓ ÒØ ÔÓÐÙÒ Òº Ë Ø Ò ÓÒ γ R ÌÓ ÐØ ÓÒ dz + z = γ R dz = πi Res + z z=i R R Ë Ø Ò Ò ØÙÐÓ dx π + x + = πi lim + z z i dr e iϕ 0 + (R e iϕ ) }{{ } dx + x = πº πr R z i + z = πi = π. i R dx + x.

50 ÄÙ Ù ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ñ Ò Ø ÐÑØ º½ Å ÖÓÑÓÖ Ø Ò Ò ÖÓ Ú Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö¹ ØÓ Ñ Ø È ÖÙ Ð Ø Ó Ø Ó Ò ÖÓ Ú ÙÒ Ø Ó ( ) f(z) = n 0 f nz n ÙÔÔ Ò Ó Ò ÓÖ ÓÒ ÝÑÔÖ Ø Ò Ò Ò ÖØÓ Ñ Ø ÑÖÝØÝÚØ Ä Ù Ò º ÑÙ Ø Ù ÝÒ Ú Ø ( ) f n = f(z) dz, πi γ zn+ Ñ γ ÓÒ Ñ Ø Ò Ö Ò ( ) ÙÔÔ Ò Ñ ÐÙ Ò ÐØÝÚ ÔÓ Ø Ú ¹ Ò Ò ÓÖ ÓÒ ÖÖÓ º à ÖÖÓ Ò ÒØ Ö Ð ( ) ÔÝÖ ØÒ ÖÚ Ó Ñ Ò Ö ÒÓ Ò Ñ Ö Ö ÝÐ ÒÒ ÐÐ º Ä Ù º½º ÇÐ ÓÓÒ Ò ÖÓ Ú ÙÒ Ø Ó f(z) = n 0 f nz n Ñ ÖÓÑÓÖ Ò Ò ÐÙ ¹ z R Ò ÐÝÝØØ Ò Ò ÐÐ z = Rº ÇÐ ÓÓØ f Ò Ò Ú Ø ÐÙ z < R z,..., z k º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø P,..., P k Ó ÐÐ f n = k j= z n j P j (n) + O ( R n). ÈÓÐÝÒÓÑ Ò P j Ø ÓÒ Ò Ú Ò z j ÖØ ÐÙ Ù m j Ú ÒÒ ØØÝÒ Ý ÐÐ Ð deg P j = m j º Ö ØÝ Ø Ý Ò ÖØ ÐÐ Ò ÚÓ ÐРѺ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÓÚ Ø Ú Ó Ø P j = z j Res z=z j f(z).

51 ÄÍÃÍ º Ë ÅÈÌÇÇÌÌÁË Ì Å Æ Ì ÄÅ Ì ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ r Ö Ò ( ) ÙÔÔ Ò Ñ ρ < rº Ç Ò ÙÚ Ò Ø¹ ØÑ ÒØ ÖÓ ÒØ ÔÓÐ Ù γ = γ + γ +γ 3 + γ 4 ÖØ f Ò Ò Ú Ø z,..., z k ÑÝ ØÔ ÚÒº γ z γ 4 γ γ 3 ρ R z z 3 Ê ÝÐ Ù Ò º ÒÓ ÐÐ ÓÒ Ø Ò f(z) k f(z) dz = πi Res γ zn+ z=z j z n+ j= f(z) f(z) = dz + dz + γ zn+ γ zn+ f(z) = πi f n + dz, γ 3 zn+ f(z) dz + γ 3 zn+ f(z) dz γ 4 zn+ ÐÐ ÙØ Ò ÙÚ Ø Ú Ø Ò ÔÓÐÙØ γ γ 4 ÙÑÓ Ú Ø ØÓ Ò γ = γ 4 µº ÌÑÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÐÐ Ò ÐÐ f n = = j= ( ) { k }}{ f(z) Res z=z j z + f(z) dz n+ πi zn+ k j= z =R f(z) Res z=z j z + O ( R n), n+ ( ) π πr mx z =R f(z) R n+ = mx z =R f(z) R n. ÇÒ ÙÓÑ ØØ Ú ØØ Ø Ø ÖÑ O (R n ) ÓÒ Ú Ò ÝÑÔØÓÓØØ Ò Ò n Ò Ù Ø Ò Ò Ú Ó ÖÖÓ Ò Ú Ø Ð Ú Ð ØÙÒ R Ò ÑÙ Òº f(z) À Ö Ó ØÙ Ø ØÚ Ø ØÒ Ó Ó ØØ ØØ Ø ÖÑ Res z=z z n+ j P j (n) Ñ deg P j = m j º ÓÒ ÑÙÓØÓ z n j Ñ Ö ËÙÖ Ø Óغ Å Ö ØÒ s n ÐÐ ÙÖ Ø Ó Ò h : [n] [k] k n ÐÙ ÙÑÖº Å Ö ØÒ ÐÐ Ò S ÐÐ ÙÖ Ø Ó Ò Ô ÒÓØ ØØÙ Ô Ö ØØ ÓÒ ÓÒ ŝ(z) = s n n! zn º n 0

52 ÄÍÃÍ º Ë ÅÈÌÇÇÌÌÁË Ì Å Æ Ì ÄÅ Ì ÇÐ ÓÓÒ A = {} + {, } + {,, 3} +... Ò Ñ ØØÝ Ò Ö ÐÐ Ø Ò ÔØÝ Ò ÓÙ Ó Ò Ô Ö ÓÒ ÓÒ â(z) = n zn = e z º n! ËÙÖ Ø Ó Ò Ô Ö S ÚÓ Ò Ø A Ò ÚÙÐÐ S A Ñ Ø Ò ŝ(z) = â(z) = e. z Æ Ò ØØ ØÑÒ Ò ŝ(z) ÒÓ Ø Ö Ó Ô Ø Ø ÓÚ Ø Ý Ò ÖØ Ø Ò Ú Ø z k = ln + k πi Ó k º ln + π ln ln π ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ý Ò ÓÒ z z k Res ŝ(z) = lim z=z k z zk e = lim z z z k e = z e z k =. Ê ¹ ÖÚÓÒ Ð Ñ Ò ÓÒ Ø ÓÚ ÐÐ ØØ٠ijÀÓ Ô Ø Ð Ò ÒØ ºµ Ä Ù Ò º½ ÑÙ Ò ÚÓ Ò Ò ŝ(z) ÖØÓ Ñ ÖÚ Ó Ø Ö ÒØÙÚ Ø ÓØØ Ò Ð ÑÔ Ù ÑÔ Ò Ô Ô Ö ÐØÚ µ ÒØ ÖÓ Ñ Ø Øº Ñ Ö ÙÒ Ú Ð Ø Ò ÚÐ ÐØ ln < R 0 < ln + 4π Ò ÖÚ Ó ŝ n = s n n! = z n 0 ( z 0 ÙÒ Ú Ð Ø Ò ÚÐ ÐØ ln + 4π < R < ŝ n = (ln ) (n+) + ÝÐ Ø ÚÐ ÐØ ln + k π < R k < {}}{ Res ŝ(z) ) + O ( ) R n 0 = z=z 0 (ln ) (n+) + O ( ) R0 n ; ln + 6π Ò ÖÚ Ó ( (ln + πi) (n+) + (ln πi) (n+)) + O ( ) R n ; ln + (k + ) π Ò ŝ n = (ln ) (n+) + k j= ( (ln + j πi) (n+) + (ln j πi) (n+)) + O ( ) R n k. Ò ÑÑ Ò ÖÚ ÓÒ ÑÙ Ò s n = n! ŝ n ln ( ln ) n n! 0.7 (.44)n n!º

53 ÄÍÃÍ º Ë ÅÈÌÇÇÌÌÁË Ì Å Æ Ì ÄÅ Ì º¾ Ð Ö ÐÐ Ø Ö Ó Ô Ø Ø ÙÒ Ø ÓÒ f(z) Ö Ó Ô Ø ¹ Ò ÐÝÝØØ ÝÝ Ô Ø µ z 0 ÓÒ Ð Ö ÐÐ Ò Ò Ó ÓÐÐ Ò α Ê ÚÓ Ò Ö Ó ØØ f(z) = f(z) + g(z)/(z 0 z) α Ñ ÙÒ Ø ÓØ f(z) g(z) ÓÚ Ø Ò ÐÝÝØØ z 0 º È Ò Ò ØÐÐ Ò Ò α ÓÒ Ö Ó Ô Ø Ò z 0 ÖØ ÐÙ Ù Ð Ô ÒÓº Ñ Ö ¾¹ ÒÒ ÐÐ Ø Ú Ö Óغ Å Ö ØÒ F ÐÐ ¾¹ ÒÒ ÐÐ Ø Ò Ò Ñ ØØÝ Ò Ú Ö Ó Ò Ô Ö ØØ Ú Ø Ú Ø f n ÐÐ n¹ ÓÐÑÙ Ø Ò ¾¹ ÒÒ ÐÐ Ø Ò Ú Ö Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ n 3º Î Ø Ú ÓÒ ˆf(z) = z n f n n! º n 0 ¾¹ ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ú Ö Ó Ú Ø Ö ØÑØ ÒØ Ó Ó ÐÑ Ý Ð Å Ö ØÒ C ÐÐ Ý Ð Ò Ô Ö ØØ Ð Ý Ø Ò Ø Ò ¾¹ ÒÒ ÐÐ Ø Ò Ú Ö Ó Ò Ô Ö¹ ØØ ØÑÒ ĉ(z) = z n c n n! º n 0 ËÙÙÒÒ ØØÙ Ý Ð Ú Ø Ý Ð Ø Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ ÙÒ n 3 Ý Ð Ø Ò Ô ÖÑÙ¹ Ø Ø Ó Ò = ln = z n zn º ÚÙÒ ¾ Ñ Ö µº n ÌÑÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò ĉ(z) = ( ) ln z z z ˆf(z) = eĉ(z) = e z z 4 z Æ Ò ØØ ÙÒ Ø ÓÐÐ ˆf(z) ÓÒ ¹ ÖØ Ò Ò Ð Ö ÐÐ Ò Ò Ö Ó Ô Ø z = º ÙÒ Ø ÓÐÐ f(z) ÓÒ Ö Ó Ô Ø z 0 0 Ó Ú Ò Ó ÙÒ Ø ÓÐÐ f(z) = f(z 0 z) ÓÒ Ö Ó Ô Ø ÓØ Ò ÓÐ Ø Ø Ò ÙÖ Ú ØØ z 0 = º ÇÐ Ø Ø Ò ØÓ Ø

54 ÄÍÃÍ º Ë ÅÈÌÇÇÌÌÁË Ì Å Æ Ì ÄÅ Ì ¼ ÑÝ ØØ Ô Ø z = ÓÒ f Ò ÒÓ Ö Ó Ô Ø Ó B(0; + η) ÓÐÐ Ò η > 0º ÌÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó g(z) = ( z) α f(z) ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Ò Ó B(0; + η) Ö ØÝ Ø ÐÐ ÓÒ Ô Ø z = Ø ÐÑ g(z) = k 0 g k( z) k ÚÓ Ñ ÙÒ z B(; η)º ÆÝØ ÓÒ Ò Ò ÔÙÒ Ø Ö ØÙ Ó B(; η) \ {} ÚÓ Ñ f(z) = ( z) α g(z) = k 0 g k ( z) k α, ÓØ Ò f Ò Ì ÝÐÓÖ¹ Ö Ò ÖØÓ Ñ ÚÓ Ø Ò ÖÚ Ó f n = [z n ]f(z) [z n ] g k ( z) k α k 0 = [z n ] ( ) k α g k ( z) j j k 0 j 0 = ( ) ( ) k α n g k n k 0 = ( ) n k + α g k? n k 0 Ä Ù º¾º Ö ÓÙܵ ÇÐ ÓÓÒ f(z) = n 0 f nz n ÙÒ Ø Ó Ø Ò ØØ ÓÐÐ Ò α Ê \ {0,,,... } ÓÒ ÙÒ Ø Ó g(z) = ( z) α f(z) Ò ÐÝÝØØ Ò Ò Ó B(0; + η) η > 0º ÇÐ ÓÓÒ g ÐÐ Ô Ø Ò z = ÝÑÔÖ Ø Ø ÐÑ g(z) = g k ( z) k º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÐÐ m 0 k 0 { m } f n = [z n ] g k ( z) k α = m k=0 k=0 ( ) n k + α g k n + O (n m +α ) + O (n m +α ) ÌÓ ØÙ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ú Ö ÙÒ Ø ÓØ h(z) = f(z) m g k ( z) k α = k=0 k m+ g k ( z) k α, z <. ÌÐÐ Ò ÓÒ h(z) = ( z) m+ α h(z) Ñ ÙÒ Ø Ó h(z) ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Ò Ó B(0; + η)º ÎÓ Ò Ó Ó ØØ º Ï Ð Ò Ö Ø Ò ÙÒØ ÓÒÓÐÓ Ý º

55 ÄÍÃÍ º Ë ÅÈÌÇÇÌÌÁË Ì Å Æ Ì ÄÅ Ì ½ ½ µ ØØ Ø Ø Ô Ù ÓÒ [z n ]h(z) = O ( { n (m+ α) ) = O (n m +α ) m } Ø Ò f n = [z n ] g k ( z) k α + [z n ] h(z) Ú ØØ Ò ÑÙ Ò Òº k=0 Ñ Ö ¾¹ ÒÒÓÐÐ Ø Ú Ö Ó Ø Ø Ó µº ËÓÚ ÐÐ Ø Ò Ä Ù ØØ º¾ ÙÒ Ø ÓÓÒ ˆf(z) = e z z 4 ( z) Ã Ø ØÒ ÙÒ Ø Ó ĝ(z) = ( z) ˆf(z) = e z z 4 Ú Ð ÒÒ ÐÐ m = º Ô Ø z = ĝ(z) = n 0 ĝ (n) () ( ) n ( z) n n! = e e 3 4( z) + e 3 4 Ä Ù Ò º¾ ÒÓ ÐÐ Ò m = µ ˆf n = f n n! = e 3 4 ( ) n + e 3 4 n ( ) n 3 + e 3 4 n 4 4 ( z) +... ( ) n 5 + O ( n 7/), n Ñ ÚÓ Ò ËØ ÖÐ Ò Ò Ú Ò ÝÑ º ÚÙÐÐ Ö Ó ØØ ÑÝ ÑÙÓØÓÓÒ f n n! { e nπ 8n + } 8n Ä Ù º¾ ÚÓ Ò Ú Ú Ø ÑÙÓØÓÓÒ º Ò Ö ËÁ Å Ê Ú Û ½ µ Ä Ù º º Ö ÓÙܹËÞ µ ÇÐ ÓÓÒ ÙÒ Ø Ó f(z) = n 0 f nz n Ò ÐÝÝØØ Ò Ò Ó B(0; r) r > 0 Ò ÐÐ z = r ÙÒ Ø ÓÐÐ Ú Ò Ð Ö ÐÐ Ø Ö Ó Ô Ø Ø z,..., z k Ó Ò ÖØ ÐÙÚÙØ ÓÚ Ø α,..., α k \ {0,,,... }º ÇÐ ÓÓØ g,..., g k ÐÙÚÙÒ ÐÙ ÙÚ ØØÙÙÒ Ø Ô Ò Ö Ó Ô Ø Ø z,..., z k ÓÖ¹ Ñ ÐÐ Ø Ú Ø Ò Ô Ø Ò ÐÝÝØØ Ø ÙÒ Ø ÓØ ( g j (z) = z ) αj (f(z) z f(z)). j ÇÐ ÓÓÒ ÐÐ Ò = mx{r (α j ) j =,..., k}º ÌÐÐ Ò ÓÒ f n = n k j= g j (z j )n α j Γ(α j )z n j + o ( r n n ).

56 ÄÍÃÍ º Ë ÅÈÌÇÇÌÌÁË Ì Å Æ Ì ÄÅ Ì ¾ º ÃÓ ÓÒ Ø Ò ÖÓ Ú Ø ÙÒ Ø ÓØ ÂÓ ÙÒ Ø Ó f(z) = n 0 f nz n ÓÒ Ó ÓÒ Ò Ò ÚÓ Ò ØÝØÝÝ µ ÖØÓ Ñ Ò f n ÖÚ Ó ÒØ Ô ÖÙ Ø ÙÓÖ Ò Ù ÝÒ ÒØ Ö Ð Ú Ò Ä Ù º ÚÙÐÐ ¾µ f n = f(z) dz, πi zn+ Ñ γ ÓÒ Ó Ò ÓÖ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò ÖÖÓ º ÇÐ ÓÓÒ Ñ Ö γ = ÔÓ Ø Ú Ø ÙÙÒÒ Ø ØØÙ ρ¹ Ø Ò Ò ÝÑÔÝÖº ÂÓ ÓÒ f n 0 n ÙØ Ò Ù Ò ÓÑ Ò ØÓÖ ÓÚ ÐÐÙ µ Ò Ò z = ρ f(z) n 0 γ f n z n = n 0 f n z n = f(ρ) Ð mx f(z) = f(ρ)º z =ρ Ì Ø Ô Ù Ò ÖÚ Ó ( ( ) f n π mx z =ρ ) f(z) πρ z n+ = π f(ρ) f(ρ) πρ = ρn+ ρ. n ÃÓ ÖÚ Ó ( ) ÓÒ ÚÓ Ñ ÐÐ ρ > 0 ÚÓ Ò ÝÖ ØØ Ú Ð Ø Ô Ö Øй f(ρ) Ð Ò Ò Ð Ø Ù ÑÑ Ò ÝÐÖ Ò ÒØ Ú º ÃÓ ÐÐ Ò lim = Ò Ò ρ 0, ρ n ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò ρ ÓÒ Ó Ò Ö Ú Ø Ò Df(ρ)/ρ n ÒÓÐÐ Ó Ø Df(ρ) ρ n ρf (ρ) f(ρ) = n ( ). = f (ρ) ρ n nf(ρ)ρ n = ρ n (ρf (ρ) nf(ρ)) = 0 ÀÙÓÑ ØØ Ú ÒÒ ØÙÐÐ n Ý ØÐ ( ) ÔÝ ØÝ Ò Ö Ø ¹ Ñ Ò Ø Ö Ø º ÖÚ Ó ( ) ÓÒ ÚÓ Ñ ÐÐ ρ > 0 Ý ÓÒ Ú Ò ÖÚ ÓÒ ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ø º Ñ Ö Ã ÖØÓÑ Ò ÖÚ Ó ÒØ º ÇÐ ÓÓÒ f(z) = e z = n n! zn º ÌÐÐ Ò ÓÒ ρf (ρ) f(ρ) = ρeρ e ρ = ρ,

57 ÄÍÃÍ º Ë ÅÈÌÇÇÌÌÁË Ì Å Æ Ì ÄÅ Ì ÓØ Ò Ú Ð Ø Ñ ÐÐ ÒÒ ØÙÐÐ n ÒØ ÖÓ ÒØ ρ = n Ò ÙÖ Ú ÖÚ Ó f n = n! f(ρ) ρ n ( = en n ) n n n!. n e Ѻ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÔÙÙØ ÓÒ ØØ ÒØ ÖÓ ÒØ ÔÓÐ Ù ÓÒ Ú Ð ØØÙ Ò Ò Ý Ø Ýѹ ÔÝÖµ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓ ÔÓÐÙÐÐ ÝÐ ÖÚ Ó Ò Ö ÐÙ Ø º ÀÙÓÐ ÐÐ ÑÑ Ò Ú Ð ÒÒÓ Ò ÚÓ Ò ØÓ Ø ÙÖ Ú Ú Ú ØÙÐÓ º Ï Ð Ò Ö Ø Ò ÙÒØ ÓÒÓÐÓ Ý º ½ µ Ä Ù º º Ϻ À ÝÑ Ò ½ µ ÇÐ ÓÓÒ f(z) = n 0 f nz n À ÝÑ Ò¹ ÐÔÓ Ò Ò º ÐÐ µ ÙÒ Ø Óº ÅÖ Ø ÐÐÒ ÔÙ ÙÒ Ø ÓØ (ρ) = ρf (ρ)/f(ρ) b(ρ) = ρ (ρ)º ÇÐ ÓÓÒ ÙÐÐ Ò n Ý ØÐ Ò (ρ) = n ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÙÙÖ ρ n º ÌÐÐ Ò ÓÒ f n f(ρ n) ρ n n πb(ρn ). ÙÒ Ø ÓÒ À ÝÑ Ò¹ ÐÔÓ ÙÙ Ò ÝÐ Ø ÓØ ÓÚ Ø ÑÙØ Ø º Ï Ð º ½ ½ µ ÑÙØØ Ñ Ö ÙÖ Ú Ø Ö ØØÚØ ÓØ ÓÒ ÐÔÔÓ Ø Ø Ø µ ÙÒ Ø ÓØ ÑÙÓØÓ e P(z) Ó P(z) 0 ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ó ÐÐ Ð ÔØ [z n ]e P(z) > 0 Ñ Ð Ò ÐÐ n ÓÚ Ø À ÝÑ Ò¹ ÐÔÓ µ Ó f g ÓÚ Ø À ÝÑ Ò¹ ÐÔÓ Ò Ò ÑÝ fg e f ÓÚ Ø Ø µ Ó f ÓÒ À ÝÑ Ò¹ ÐÔÓ Ò Ò P ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÒ ÓÖ ÑÑ Ò Ø Ò ÖÖÓ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ò Ò f +P f P P(f) ÓÚ Ø À ÝÑ Ò¹ ÐÔÓ º Ñ Ö ËØ ÖÐ Ò Ò Ú º ÙÒ Ø ÓÓÒ f(z) = e z ÓÚ ÐÐ ØØÙÒ Ä Ù º ÒØ ÖÚ ÓÒ Óº f n = n! en n, n πn n! ( n ) n πn. e

58 ÄÍÃÍ º Ë ÅÈÌÇÇÌÌÁË Ì Å Æ Ì ÄÅ Ì º º½ Ë ØÙÐ Ô Ø ¹ Ø ÑÓ ÒØ À ÝÑ Ò Ò Ð Ù Ò º µ ØÓ ØÙ Ô ÖÙ ØÙÙ ÖÚ Ó Ø Ú Ò ÒØ Ö Ð Ò ØÙÐ Ô Ø ¹ Ø Ñ ØØ Òº Å Ò Ø ÐÑÒ ÚÓ Ò Ý Ò ÖØ Ø Ô Ù ØØ ÙÖ Ú Ø ÇÐ ÓÓÒ ÖÚ Ó Ø Ú Ò ÒØ Ö Ð I = πi γ e h(z) dz, Ñ γ ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÓÖ ÓÒ ÖØÚ ÔÓ Ø Ú Ø ÙÙÒÒ ØØÙ ÝÑÔÝÖÔÓй Ù h(z) Ø ÖÚ ØØ Ú ÐÙ Ò ÐÝÝØØ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÓÐÐ ÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ mx h(z) = h(r), R > 0. z =R ÎÓ Ñ Ñ Ö Ó h(z) = n 0 h n z n Ó h n 0 n 0ºµ Ñ Ö Ù ÝÒ Ú Ò ÑÙ Ò ÖÓ Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(z) ÖØÓ Ñ Ò [z n ] ÑÖ ØØÚ ÒØ Ö Ð ÓÒ ( ) h(z) h n (z) = ln f(z) (n + ) ln z. ÅÖ Ø ØÒ Ò Ò ÒØ ÖÓ Ñ Ø ÐÐ R > 0 ÖÚÓ Ó ØÓØ ÙØØ ÓØ ( ) h (R) = 0, h (R) > 0. Ñ Ö Ú Ò ( ) Ø Ô Ù ØÓ ( ) ÑÙÓ ÓÒ ÚÖغ ÚÙÒ ¾ ØÙ¹ ÐÓ Òµ f (R) f(r) (n + ) R = 0 R f (R) = n +. f(r) ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ò ÙÖ Ø Ø µ ØØ R¹ Ø ÐÐ ÝÑÔÝÖÐÐ γ = γ R ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ e h(z) Ñ Ò Ò ØØÝÒÝØ Ô Ø Ò z = R ÝÑÔÖ Ø Ò ØØ ÓÐÐ Ò Ô Ò ÐÐ ÙÐÑ ÐÐ θ ÓÚ Ø ÚÓ Ñ ÑÓÐ ÑÑ Ø ÔÔÖÓ Ñ Ø ÓØ µ e h(z) dz e h(z) dz γ γ[θ] µ e h(z) e h(r)+ h (R)(z R) }{{} z γ[θ]º ÙÓÑ h (R)=0

59 ÄÍÃÍ º Ë ÅÈÌÇÇÌÌÁË Ì Å Æ Ì ÄÅ Ì θ γ[θ] γ R Ë ÖÖÝØÒ Ò ÒÝØ ÒØ ÖÓ Ñ Ò Ô Ø Ò R ÝÑÔÖ Ø ÔÓÐÙÒ γ[θ] Ò Ô Ø Ò ÙÓÖ z = R + it ÓÐ Ø Ø Ò ÐÐ Ò ØØ ÚÓ Ñ ÓÒ ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó µ e h(z) dz R+iθR e h(z) dz R+i e h(z) dz. γ[θ] R iθr R i θ R R + it ÂÓ ÓÐ ØÙ Ø µ µ ÓÚ Ø ÚÓ Ñ Ò ÒØ Ö Ð ÐÐ I ÖÚ Ó I = e h(z) dz πi γ πi π γ[θ] = eh(r) π e h(r)+ h (R)(z R) dz e h(r) e h (R)(it) dt = eh(r) π e t h (R) dt π h (R) = e h(r) πh (R). ËÓÚ ÐÐ ØØÙÒ Ò ÖÓ Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(z) ÖØÓ Ñ Ò [z n ] ÑÖ ØØÑ Ò Ø Ø ¹ Ò ÖÚ Ó ( ) [z n ]f(z) e h(rn) πh (R n ) = f(r n) R n+ n πh (R n ),

60 ÄÍÃÍ º Ë ÅÈÌÇÇÌÌÁË Ì Å Æ Ì ÄÅ Ì Ñ h(r) = ln f(r) (n + ) lnr h (R n ) = 0 R nf (R n ) f(r n ) = n +. ÖÚ Ó ( ) Ú Ø ÐÚ Ø À ÝÑ Ò Ò Ú ÓÐ ØØ Ò ØØ ÔÔÖÓ ÑÓ ÒØ ¹ ÓØ µ µ ØÝØØÚغ Ì Ø Ô Ù Ò Ñ ØØ Ò (R) = Rf (R) f(r) = Rh (R) + (n + ) = n +, ÙÒ R = R n, b(r) = R (R) = R(Rh (R) + h (R)) = R h (R) + Rh (R) = R h (R) + ((R) (n + )) = R h (R), ÙÒ R = R n. º ÁÒØ Ö Ð ÑÙÙÒÒÓ Ø ÁÒØ Ö Ð ÑÙÙÒÒÓ I[f] ÒÒ ØØÙ ÙÒ Ø Ó f(t) ÔÖÓ Ó Ò ÓÔ Ú Ø Ú ¹ Ð ØÙ ÐÐ ÒØ ÙÒ Ø Ó ÐÐ b s (t)º ÈÖÓ Ø Ó Ø I[f](s) = f, b s Ø Ö Ø Ð Ñ ÐÐ ÚÓ ¹ Ò Ô Ð ÓÒ Ø ØÓ ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÑ Ò ÙÙ Ø º ÃÒØ ÑÙÙÒÒÓ I [ ˆf] Ö ÓÒ ØÖÙÓ ÙÒ Ø ÓÒ f ÔÖÓ Ø Ó Ø Òº Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ ÒØ ÙÒ Ø ÓØ ÑÙÓØÓ b s (t) = e st L[f](s) = 0 f(t) e st dt ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ ÒØ ÙÒ Ø ÓØ ÑÙÓØÓ b ω (t) = e iωt F[f](ω) = f(t) e iωt dt Å ÐÐ Ò¹ÑÙÙÒÒÓ ÒØ ÙÒ Ø ÓØ ÑÙÓØÓ b p (t) = t p M[f](p) = 0 f(t) t p dt à ÒØ Ö Ð ÑÙÙÒÒÓ Ø ÓÚ Ø Ð Ò Ö I[αf + βg] = αi[f] + βi[g].

61 ÄÍÃÍ º Ë ÅÈÌÇÇÌÌÁË Ì Å Æ Ì ÄÅ Ì ÁØ ÓÐÑ Ñº ÒØ Ö Ð ÑÙÙÒÒÓ Ø ÓÚ Ø Ð Ø Ù Ù ØÓ Ð¹ Ð Òº ÂÓ Ñ Ö ÑÖ Ø ÐÐÒ Ú Ð ¾¹ÔÙÓÐ Ò Ò Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ L ± [f](s) = f(t) e st dt, Ò Ò ÓÒ F[f](ω) = L ± [f](iω)º Ë ÑÓ Ò ÚÓ Ò Å ÐÐ Ò¹ÑÙÙÒÒÓ M[f] ØØ ÙÒ Ø ÓÒ g(t) = f(e t ) ¾¹ÔÙÓÐ Ò Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÚÙÐÐ L ± [g](p) = g(t)e pt dt = f(e t )e pt dt = 0 f(x)x p ( dx x ) = 0 f(x)x p dx = M[f](p), Ó Ø ØÝ ÑÙÙØØÙ Ò Ú ØÓ x = e t Ø Ò dx = e t dt = xdtº º º½ à ÒØ ÙÒ Ø Ó Ø ÐÑØ Ö ØÝ Ø ÒØ Ö Ð ÑÙÙÒÒÓ Ø ÐÔÓØØ Ú Ø ÒÒ ØÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÒØ ÙÒ Ø Ó¹ Ø ÐÑÒ ÑÖ ØØÑ Øº Ñ Ö Ó f(t) = e λt Ó λ Ò Ò L[e λt ](s) = e λt e st dt = e (λ s)t dt 0 = λ s / 0 0 e (λ s)t = (0 ) =, λ s s λ ÙÒ R (λ) < R (s)º L¹ÑÙÙÒÒÓ Ò Ð Ò Ö ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ ÓÒ Ø Ò ÝÐ Ø Ò ÚÓ Ñ ØØ Ó f(t) = n i= ie λ it Ò Ò n i L[f](s) =, s λ i Ð ÙÒ Ø ÓÒ f ÔÓÒ ÒØ Ð ÖØ ÐÙ Ù Ú Ø Ú Ø ÙÒ Ø ÓÒ L[f] Ò Ú Ø Ú ÐÔ Ò Ò ØØ ÙÒ Ø ÓÒ L[f] Ö Ý Ø ØÝ Ò Ú ÓÒ Ú Ø Ú Ò f Ò ¹ ÔÓÒ ÒØ Ð Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ Ô ÒÓ ÖÖÓ Òº Î Ø Ú Ø ÓÒ Å ÐÐ Ò¹ÑÙÙÒÒÓ ÐÐ Ñ Ð Ò ÚÓ Ñ M[t λ ](p) = p+λ º ÇÒ¹ ÐÑ Ò ÓÒ ØØ ÒØ Ö Ð ˆf(p) = 0 i= f(t)t p dt ÙÔÔ Ò Ó Ú Ò Ó ÔØ f(t) t p = o (t ) ÙÒ t 0 ØØ f(t) t p = o (t ) ÙÒ t Ð { f(t) = o (t p ), t 0 f(t) = o (t p ), t.

62 ÄÍÃÍ º Ë ÅÈÌÇÇÌÌÁË Ì Å Æ Ì ÄÅ Ì Ì Ö Ø ÐØ Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ f ØÝØÝÝ ØÓØ ÙØØ ÓØ { f(t) = o (t α ), t 0 f(t) = o ( t β), t Ó ÐÐ Ò α, β Ê Ø Ò ØØ α < βº ÅÙÙÒÒÓ M[f](p) ÓÒ ØÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ Ò Ù α < R (p) < βº Ñ Ö ÐÐ Ò ØÙÐÓ Ò ÓÚ ÐÐÙ µº { ÇÐ ÓÓÒ f(t) = δ(t) t λ, 0 x Ó δ(t) = 0, ÑÙÙØ Òº ÌÐÐ Ò ÓÒ M[f](p) = = 0 δ(t) t λ t p dt t λ+p dt 0 =, ÙÒ λ < R (p) <. p+λ M¹ÑÙÙÒÒÓ Ò Ð Ò Ö ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ ØØ Ó ÝÑÔØÓÓØØ Ø ÙÒ t 0 ÔØ f(t) = i t λ i, λ < λ <... i= ÝÑÔØÓÓØØ Ø ÙÒ t ÔØ f(t) = O ( t β), β < λ Ò Ò ½ M[f](p) i= i p + λ i, λ < R (p) < β. Ö ØÝ Ø Ó ÙÒ Ø ÓÐÐ f ÓÒ ÓÖ ÓÒ ÝÑÔÖ Ø ÔÓØ Ò Ö ØÝ f(t) = k 0 f kt k Ò Ò Ò ÖØÓ Ñ Ø Ô Ö ØØ Ò ÑÙÙÒÒÓ Ò M[f](p) = k 0 Ö Ý Ø Ò ÚÓ p = 0,,,... f k p + k ½ Ì Ö Ò ÓØØ Ò M[f](p) ÓÒ Ñ ÖÓÑÓÖ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ö Ý Ò Ú p = λ i ÓÒ i º Ë Ø Ò Ø ØØÝ Ø ÐÑ ÓÒ Ø Ö Ú Ò Ò ÔÓ Ò p = λ i ÝÑÔÖ Ø º

63 ÄÍÃÍ º Ë ÅÈÌÇÇÌÌÁË Ì Å Æ Ì ÄÅ Ì Ñ Ö ÐÐ Ò ØÙÐÓ Ò ÓÚ ÐÐÙ µº ÇÐ ÓÓÒ f(t) = e t º ÌÐÐ Ò ÓÒ M[e t ](p) = 0 e t t p dt = Γ(p) (= (p )! ). ÃÓ ÓÖ ÓÒ ÝÑÔÖ Ø ÓÒ e t = ( ) k k 0 t k Ð e t = o (t α ) k! α > 0 ÙÒ t 0 e t = o ( t β) β > 0 ÙÒ t Ò Γ¹ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ñ ÖÓÑÓÖ Ø ÐÑ Γ(p) = M[e t ](p) = k 0 = ( ) k k! p + k, k 0 Ó ÓÒ ÚÓ Ñ ÙÒ R (p) > 0º ( ) k k! M[t k ](p) º º¾ Å ÐÐ Ò¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÚÓ Å ÐÐ Ò¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÒÚ Ö Ó Ú ÚÓ Ò Ó Ø Ä ÔÐ ¹ Ø ÓÙÖ Ö¹µ ÑÙÙÒ¹ ÒÓ Ò Ú Ø Ú Ø ÇÐ ÓÓÒ ˆf = M[f] c Ê Ó Ò ÙÒ Ø ÓÒ ˆf Ò ÐÝÝØØ ÝÝ Ò Ù Ò Ô Ø º ÌÐÐ Ò ÓÒ ( ) f(t) = πi c+i c i ˆf(p)t p dp (c) ˆf(p)t p dp. ÁÒØ Ö Ð ( ) ÚÓ Ò Ù Ò Ð ˆf Ò Ö Ý Ø ØÝ ÒØÑÐÐ ÒØ ÖÓ ÒØ ÔÓй Ù ÐÑÙ Ó Ó Ú ÑÔ Ò Ø Ó Ò ÔÙÓÐ Ø ÓÓÒº Æ º Å ÐÐ Ò Ò ÙÑÑ Ú Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø ÒÚ Ö Ó Ú Ò ( ) M¹ÑÙÙÒÒÓ Ò Ð Ù Ð Ò ( ) Ó M[f(t)] = ˆf(p), Ò Ò M[f(t)] = p ˆf(p). Å ÐÐ Ò Ò ÙÑÑ Ú Ø µ ÒÚ Ö Ó Ú Ò Ð Ò Ö ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ Ó M[f(t)] = ˆf(p) Ò Ò f(k) = ˆf(p) k p dp = ˆf(p)ζ(p) dp; k k (c) (c)

64 ÄÍÃÍ º Ë ÅÈÌÇÇÌÌÁË Ì Å Æ Ì ÄÅ Ì ¼ µ Ð Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ Ó M[f(t)] = ˆf(p) Ò Ò [ ] M λ k f( k ) = ˆf(p) λ k p k, k k ÓØ Ò ( ) λ k f( k ) = ˆf(p) λ k p k dpº k (c) k Ñ Ö ËÙÑÑ Ú Ò ÓÚ ÐÐÙ º ( ) n ËÙÑÑ S = n º ËÙÑÑ ØØ Ú Ø Ø ÖÑ Ø ÓÒ Ò Ò ØÝ ÒÒ ØØÚ Ê¹ n ÙÒ Ø Ó Ñ Ö f(t) = cos πt t º ËÙÓÖ Ø Ø Ò Å ÐÐ Ò¹ÑÙÙÒÒÓ ÒØ Ö Ð Ð ØØÙ Å ÔÐ ¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ µ ˆf(p) = 0 cosπt t t p dt = = cos ( p π ) 0 cosπt t p 3 dt Γ(p ) π p ( < R (p) < 3). ËÙÑÑ Ú ÓÚ ÐØ Ò S = cos pπ Γ(p ) ζ(p) dp ( < c = R (p) < 3) π p (c) = π Γ(p ) p ζ( p) dp Γ(p) (c) p = π ζ( p) dp (p )(p ) = π = π (c) p=0,, Res p ( = π ( ( ) ( 0 ( )( ) Res p=0 ) ζ( p) + ζ(0) + ( ) ( ) ζ( ) ) ( )) ( + 4 = π + ) 3 = π Ä Ù ÓÒ Ý ÝÒÒ ØØÝ Ø ØØ ζ¹ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÔØ Ê Ñ ÒÒµ Ó Ø Ò ÐÐ Ò ζ(p) ζ( p) = πp p Γ(p) cos πp ζ(p) cos pπ = ζ( p)πp p Γ(p), Ð Ø Ø ØÓ ØØ ÙÒ Ø ÓÐÐ ζ( p) ÓÒ Ý Ò ÖØ Ò Ò Ò Ô p = 0 Ó Ò Ö Ý ÓÒ º,