F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.

Transkriptio

1 Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½ Ë ØÙÒÒ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º¾ ÇØÓ Ú ÖÙÙ Ø Ø Ô ØÙÑ Ø ÓÙ Ó¹ÓÔ Ö Ø ÓØ º º º º ½º º ÌÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º Ö ØØ ÑØ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½º º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò ØÙÐ ÒÒ Ø º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º º½ ÓÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ö Ú Ò ØÙÐ ÒØ º º º º ½ ½º º¾ à ÖØÓÐ Ù ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º º Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º Ç ÓØ ØÙØ Ö Ú Ò Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ø ÒÚ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ À Ö Ó ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

2 ËÁË ÄÌ

3 ÄÙ Ù ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ ÌÑ ÙÖ ØØ Ð ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒØ ØØ Ø Ð ØÓØ Øغ Í ¹ Ô ÐÙÖ Ò ÓÒ ÐÑ Ø Ò Ô ÖÓ Ú Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ò ÙÖ ÒÙÙÖØ Ò Ø¹ Ø ÐÙ ÑÙØØ ÒÝ Ý Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ò ÓÚ ÐÐÙ ÐÙ ÓÒ Ö ØØ Ò ÑÓÒ ¹ ÔÙÓÐ Ò Ò Ø ÙÚ Ø Ð Ò Ú º Ì Ð ØÓØ Ø Ð Ø Ò ØÙÒÒ ÐÑ Ð¹ Ð ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ ØÙØ Ø Ò ØØ Ò Ú ÒØÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ñ Ø Ò ÝÚ Ò Ñ ÐÐ Ø ÙÚ Ú Ø ØÓ ÐÐ ÙÙØØ º ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø Â Ø Ó ÝØÑÑ Ø ÖÑ Ó Ø ØÙÒÒ Ó ÙÒ ÔÙ ÙÑÑ Ñ Ò ØØ ÐÝ Ø Ø ÔÖÓ Ø Ó ØÙÓØØ Ò ÖÓ µ Ú ÒØÓ º Ñ Ö ØÙÒÒ Ó¹ Ø ÓÚ Ø Ð ÒØ Ò ØØÓ Ø ÒÒÝ Ò ØÙÐ Ú Ò Ú Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÙÖ ¹ Ú Ò ØÙÒÒ Ò Ò º À Ø ØÒ Ð ÒØØ Ñ Ö 100 ÖØ Ò Ð Ú Lµº Ì Ô ØÙÑ Ò ³ Ð Ú ³ Ö Ú Ò 100 Ò ØÓÒ Ö ÓÒ Ø Ø Ô Ù 56 Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ö Ú Ò 56/100 = 0.56º Å Ö ØÒ Ø Ô ¹ ØÙÑ Ò A ÐÙ ÙÑÖ Ð Ö Ú Ò n Ò Ó Ò Ö N n (A)º Í ÑÑ ÓÚ ÐÐÙ ÒÝØØ ÝÚÒ Ò Ò ØØ Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ö Ú Ò ½º¾º½µ N n (A) n Ð Ò ÓØ Ò ÐÙ Ù P(A), ÙÒ ØÓ ØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ n Ú º ÇÒ ÐÔÔÓ ØÓ Ø ØØ 0 P(A) 1º ÌØ ÐÙ Ù P(A) ÙØ ÙÑÑ Ø Ô ØÙÑ Ò A ØÓ ÒÒ ÝÝ º Î ÑÑ ÓÐ Ò Ú Ð ÑÖ Ø ÐÐ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝØØ ÚÓ ÑÑ ØÓ¹ Ø ØØ Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ö Ú Ò ÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ ÐØ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÐØ Ò Ò ÒØ ÝÚÒ ÒØÙ Ø Ú Ò ØÝ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Øº ËÙ Ø ÐÐ Ò Ö Ú Ò Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÑÝ ÖÚ Ó ØÓ ÒÒ ÝÝ ÒÙ¹ Ñ Ö Ø º Æ Ò Ø Ò Ñ Ö ÑÙÐÓ ÒØ Ó º ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ ½

4 ¾ ÄÙ Ù ½º ÂÓ ÒØÓ Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ö Ú Ò ÓÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ú Ò ØÓ ÒÒ¹ ÝÝ Ò Ö ØÙÐ ÒØ º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÓÑ ØØ Ø º ÃÙÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÖ ØÙÐÓ ½º¾º½µ Ò Ø ÓÓÑ Ø º ÁØ ½º¾º½µ ÚÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ú Ú Ò ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù Ò Ð Ò ÚÙÐÐ º Ë ÓÒ Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÒÒ ÐØ Ý ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ò ØÖ ÑÔ Ð Ù Ø º ÇÐ ÓÓÒx 1,x 2,...,x n Ó Ò ÐÙ Ù ÓÒÓº Ì Ú ÐÐ Ø ÒÑ ÐÙÚÙØx 1,x 2,...,x n ÓÚ Ø ÓÒ Ò ÙÙÖ Ò ÙØ Ò Ñ Ö Ô ØÙÙ Ò Ø Ô ÒÓÒ Ñ ØØ ÐÙ Ù º ÂÓ Ñ Ö n Ø Ð ØÓÝ ÓÒ Ñ Ø ØØÙ Ò Ò ÐÐÓ Ò x i ÓÒ iº Ø Ð ØÓÝ Ò Ñ ØØ ÐÙ Ù ÐÙÚÙØ x 1 x 2 º º º x n ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ú ÒØÓ Ò ØÓÒº ÄÙ Ù Ò x 1 x 2 º º º x n Ú ÒØÓ Ò ØÓÒµ ÑÔ Ö Ò Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó µ Ö Ð ÐÙ¹ Ù Ð ÐÐ (, ) ÓÒ F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, Ñ < a <. ÓÒ ÓÙ ÓÒ Ð Ó Ò ÐÙ ÙÑÖº ÄÙ Ù Ò x 1 x 2 º º º x n ÑÔ Ö Ò Ò ÙÑ ÙÒ Ø Ó Ø ÐÝ Ý Ø ÑÔ Ö Ò Ò ÙÑ µ ÓÒ P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) ÓÒ ÔÙÓÐ ÚÓ Ñ ÐÐ ÚÐ ÐÐ (a,b] ÙÙÐÙÚ Ò ÐÙ Ù Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ó ÙÙ ÐÙ Ù ÓÙ Ó {x 1,x 2,...,x n } P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}. Ñ Ö ½º½ ÇÐ ÓÓÒ ØÙ n ÖÔ Ð ÔÔÙ iº Ð ÔÔÙÙÒ ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ ÐÙ Ù x i º Î Ð Ø Ò ØÙ Ø ØÙÒÒ Ø Ý ÖÔ º Ë ÐÐÓ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ÖÚ Ò ÒÙÑ ÖÓ ØØÙÙ ÚÐ ÐÐ (a,b] ÓÒ P n (a,b)º Ì Ø Ð ÒØ ÑÔ Ö ÐÐ ÙÑ ÐÐ ÚÓ Ò ÒØ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÐ ÒØ º ÑÔ Ö Ò ÙÑ Ò ÙÚ Ò ÝØ ØÒ Ø Ú ÐÐ Ø ØÓ Ö ÑÑ º À ¹ ØÓ Ö ÑÑ Ò Ô ÖØÑ Ò Ò ÐÓ Ø Ø Ò Ú Ð Ø Ñ ÐÐ Ò Ò ÓÔ Ø Ø b 1 < b 2 < < b m Ø Ò ØØ ÐÙÚÙØ x i ÐØÝÚØ ÚÓ Ñ ÐÐ ÚÐ ÐÐ (b 1,b m ) Ñ Ò ÓÔ Ø ÓÐ Ñ ØØ ÐÙ Ùº  ÓÔ Ø Ø ÑÖ ØØ Ð ÚØ m 1 Ó ÚÐ (b j,b j+1 ) 1 j m 1º À ØÓ Ö ÑÑ Ô ÖÖ ØÒ ØØ Ñ ÐÐ Ú Ö Ò m 1 ÔÝÐÚ Ø ÙÓÖ ØØ µ Ø Ò ØØ jº ÔÝÐÚÒ ÒÒ Ò ÐÙÓ Òµ Ð Ú Ý ÓÒ b j+1 b j ÔÝÐÚÒ ÓÖ Ù ÓÒ P n (b j,b j+1 ) = {i : 1 i n, b j < x i < b j+1 }. b j+1 b j n(b j+1 b j ) ÃÓÖ Ù ÓÒ jº Ó ÚÐ Ò ÙÙÐÙÚ Ò Ú ÒØÓ Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ó ÙÙ Ô ¹ ØÙÙ Ý Ó Ø º ÈÝÐÚÒ ÓÖ ÙØØ ÙØ ÙØ Ò Ú ÒØÓØ Ý Ø Ðݹ Ý Ø Ø Ý º Î Ø Ú Ø jº ÔÝÐÚÒ Ô ÒØ ¹ Ð ÓÒ P n (b j,b j+1 ) Ò ÔÝÐÚ Ò Ý Ø ÒÐ ØØÙ Ô ÒØ ¹ Ð ÓÒ 1º

5 Ì Ý ½º¾º À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø ÃÝØÒÒ Ò ÓÚ ÐÐÙ Ñ ØØ Ù Ø Ö ÙÙ ÓÒ Ò Ö ÐÐ Ò Ò ÒÓ Ñ¹ Ñ xº ÂÓ Ò Ò Ñ ØØ ÐÙ Ù ÓÒ ÐÐÓ Ò ÑÙÓØÓ Ó ÓÒ ÐÙ Ù xº Ã Ò Ñ Ø¹ Ø ÐÙÚÙÒ Ô Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ò ÖÓØÙ ÓÒ xº À ØÓ Ö ÑÑ Ò ÓÔ Ø Ø Ú Ð Ø Ò Ø Ò ØØ Ò ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ Ó ÓÒ ÐÙ Ù x+ x 2. Ë ÐÐÓ Ò ÓÔ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ñ ØØ ÐÙ Ùº  ÓÔ Ø Ø ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ò ØÓÓÒ ÐÙÓ ØÙ Ò ÔÙ ÙÑÑ ÐÐÓ Ò ÐÙÓ Ø ÐÐÙ Ø Ò ØÓ Ø º  ÓÔ Ø Ø b j b j+1 ÓÚ Ø ÐÐÓ Ò jº ÐÙÓ Ò Ò º ØÓ ÐÐ Ø ÐÙÓ Ö Ø Ô Ø Ø b j + x b 2 j+1 x 2 ÓÚ Ø Ò º ÔÝ Ö Ø ØÝØ ÐÙÓ Ö Øº Ñ Ö ½º¾ ÃÙÖ Ò ½º ÚÐ Ó Ò Ô Ø ÑÖØ x i,1 i 20 ÓÐ Ú Ø ½ ½¾ ½ ½½ ¾ ½ ¾ ¾¾ ¾ ½¼ ½ ¾½ ¾¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾½º ÃÓ Ò Ó ÐÐ ØÙ ¾¼ ÓÔ Ð º Î Ð Ø Ò ØÓ ÐÐ ÐÙÓ Ö Ó º ½¼º ½ º ½ º ½ º ¾¼º ¾¾º ¾ º º ÆÝØ b 1 = 5.5 b 8 = 24.5º ÄÙÓ Ö Ø ÑÖ ØØ Ð ÚØ ÐÙÓ º È Ø ÑÖ ÃÙÚ Ó ½º½º ÃÓ Ô Ø ÑÖÒ ØÓ Ö ÑÑ n = 20µº Ñ Ö P 20 (20.5,22.5) = 4 = 0.2 Ú ÒØÓØ Ý ÐÙÓ (20.5,22.5) 20 ÓÒ P 20 (20.5,22.5) = = 0.1.

6 ÄÙ Ù ½º ÂÓ ÒØÓ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø ½º º½ Ë ØÙÒÒ Ó ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒØ ÓÒ ØÙÒÒ ÐÑ Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ø ÓÖ º ÃÙÒ Ø Ö Ø Ð ÑÑ ØÙÒÒ ÐÑ Ø ÔÙ ÙÑÑ ØÙÒÒ Ó Ø Ú Ý ÓÒ Ø Ú ÐÐ Ø Ú Ò Ø ÐÐÙ Ø ØÙÒÒ Ó Ø º Ë ÓÒ Ñ Ø Ñ ØØ Ò Ò ØÖ Ø Óº Ë ØÙÒÒ Ó ÓÒ ÓÐ ØÙ Ò ØØ Ó Ò Ð ÙØ Ð ÑÖ Ø ØÙÐÓ Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ú Ò ÚÐ ÒØÙÐ Ú Ø ØØÙÑ Ú ÙØØ Ó Ò ØÙÐÓ Òº Ë ØÙÒÒ Ó Ò Ñ ÓÐÐ Ø ØÙÐÓ Ú ØÓ ÓØ Ø ØÒ ÑÙØØ Ý ØØ Ò Ó Ò ØÙÐÓ Ø ÚÓ Ú ÖÑÙÙ ÐÐ ÒÒÙ Ø º ÒÓ Ø Ô Ø ØÓ ØÙÒÒ ÐÑ Ø ÓÒ Ø ØÙÒÒ Ó Ø Ð Ú ÒÒÓ ØÙÒ¹ Ò ÐÑ Øµº ÇÐ Ø Ø Ò ÒÝØ ØØ Ó ÐÑ µ ÓÒ ÐÐ Ò Ò ØØ Ò ØÙÐÓ ÓÐ Ú ÖÑÙÙ¹ ÐÐ ÒÒÙ Ø ØØ Ú ÑÙØØ Ñ ÓÐÐ Ø ØÙÐÓ Ú ØÓ ÓØ ÓÚ Ø Ø Ó ¹ º ÂÓ ØÐÐ Ò Ò Ó ÚÓ Ò ØÓ Ø ÑÓ ÓÐÓ Ù Ø Ø ÙØ ÙØ Ò ØÙÒÒ Ó º Ë ØÙÒÒ Ó Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ò ØÙÐÓ Ø Ò ÓÙ Ó ÙØ ÙØ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ñ Ö ØÒ Ω ÐÐ º Ë ØÙÒÒ Ó Ò Ý ØØ Ø Ñ ÓÐÐ Ø ØÙÐÓ Ø ÙØ ÙØ Ò alkeistapaukseksi ØÙÒÒ Ó Ò Ð ØØݹ ÚÒ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ý Ô Ø µº ÂÓ ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò Ñ Ö ØÒ Ω = {ω 1,ω 2,...,ω n }, Ñ Ð Ø Ô Ù Ø ÓÚ Ø ω 1 ω 2 º º º ω n Ω Ò Ð Ø Ô Ù Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ Ω = nº ÇØÓ Ú ÖÙÙ ÚÓ ÓÐÐ ÑÝ Ö Ø Òº Ì Ô ØÙÑ ÓÒ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ó ÓÙ Óº ÇØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ó ÓÙ Ó Ñ Ö ØÒ Ó ÐÐ Ö Ñ ÐÐ A B C º º º Ë ÒÓÑÑ ØØ Ø Ô ØÙÑ A ØØÙÙ Ó Ó Ò ØÙÐÓ ω ÙÙÐÙÙ ÓÙ ÓÓÒ A Ð ω Aº Ω ÓÒ Ò º Ú ÖÑ Ø Ô ØÙÑ Ó Ó Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ú ØÓ Ó Ø ØØÙÙ Ú ÖÑ Ø º Ñ Ö ½º À Ø ØÒ Ð ÒØØ º ÌÙÐÓ Ú ØÓ ÓØ ÓÚ Ø ÖÙÙÒ Rµ Ð ¹ Ú Lµ ÓØ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ω = {L,R} Ω = 2º À Ø ØÒ Ð ÒØØ ÙÒÒ Ò Ò ÑÑ Ò Ò ÖÙÙÒ º Ë ÐÐÓ Ò ÓØÓ Ú ¹ ÖÙÙ Ω = {R,LR,LLR,LLLR,...} Ω = º ÂÓ Ø Ô ØÙÑ A ÓÒ ³ Ò ÒØÒ Ð Ú ÒÒ Ò ½º ÖÙÙÒ ³ Ò Ò A = {R,LR,LLR}º Ñ Ö ½º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ð ØØ Ò ØÓ º ÂÓ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ¹ ÐÙ Ù ÚÓ Ò ØÙÐ Ø ØÓ º Ë ÐÐÓ Ò Ω = {ω R ω > 0}. Ñ Ö Ø Ô ØÙÑ ³ ØÓ Ò Ò100 ØÙÒØ ³ ÓÒ [100, ) ³ ØÓ ÝÐ 150 ÑÙØØ ÓÖ ÒØ Ò 200 ØÙÒØ ³ ÓÒ (150,200]º

7 ½º º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø ½º º¾ ÇØÓ Ú ÖÙÙ Ø Ø Ô ØÙÑ Ø ÓÙ Ó¹ÓÔ Ö Ø ÓØ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ØÙÒÒ Ó Ò E ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ω ÓÒ ÒÒ ØØÙº Ã Ø Ö ¹ Ø ÐÙÒ Ó Ø Ò ÓÐ Ú Ø Ø Ô ØÙÑ Ø Ø ØÒ Ω Ò Ó ÓÙ Ó Ò º ÇÐ ÓÓÒ A Ø ¹ Ô ØÙÑ º ÂÓ A ØØÙÙ Ø Ö Ó ØØ ØØ Ó Ò E ØÙÐÓ ω ÙÙÐÙÙ ÓÙ ÓÓÒ A Ð ω Aº ÌÙÐ Ø Î ÒÒ Ò Ö ÑÑ Ø Ò ØØ Ú Ð Ø Ø ÙÓÖ Ø Ø Ì ÙÐÙ Ó ½º½º ÂÓÙ Ó¹ÓÔ ÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ò Ø ÖÑ ÒÓ¹ ÐÓ Ò Ú Ø ÚÙÙ º Ì Ô ØÙÑ Ø ÂÓÙ ÓØ ÂÓÙ Ó Ò Ñ Ö ÒØ Î ÒÒ Ò Ö ÑÑ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ô ÖÙ ÓÙ Ó Ω Ø Ô ØÙÑ Ω Ò Ó ÓÙ Ó A B C Ò º Ñ ÓØÓÒ Ø Ô ØÙÑ ØÝ ÓÙ Ó A A ØÙ A Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ A c A Ó Ó A Ø B Ø ÑÓÐ ÑÑ Ø A Ò B Ò Ý Ø A B A B A ØØ B A Ò B Ò Ð Ù AB A B A B A B ØÓ Ò ÔÓ ÙÐ Ú Ø A B Ô Ø Ú Ö Ø A B = A B Ó A Ò Ò B A ÓÒ B Ò Ó ÓÙ Ó A B A B Ω Ø µ ØÙÒÒ Ø Ô Ø Òº ÂÓ Ò Ò ÙÓÖ Ø Ò Ô Ø ÓÒ Ð Ø Ô Ù º ÂÓ Ò Ò ÙÓÖ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ ÓÒ Ø Ô ØÙÑ º Ì ÙÐÙ Ó ½º½ ÓÒ Ø ØØÝ ÓÙ Ó¹ÓÔ ÐÐ Ø ÓÔ Ö Ø ÓØ ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ Ý ¹ Ø Ð Ù º ÆÑ ÓÔ Ö Ø ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÑÓÒ ÝØØ ÐÔÓ ÓÑ Ò ¹ ÙÙ ÙØ Ò Ñ Ö (A c ) c = A, A A c = Ω, A A c =. Ò ÖØ Ø ÑÙØØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ý ÝÐÐ Ø Ö Ð Ø ÓØ (A c ) c = A ÙØ ÙØ Ò Ò ÖØ Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ò ÒÒ º à ÓÙ Ó¹ÓÔ Ò

8 ÄÙ Ù ½º ÂÓ ÒØÓ Ð Ù ÒØ ÓÚ Ø Ú ÒØ Ð Ø A B = B A, A B = B A Ð ØÒØÐ Ø A (B C) = (A B) C, A (B C) = A (B C) Ó ØØ ÐÙÐ Ø A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C) ÅÓÖ Ò Ò Ð Ø (A B) c = A c B c, (A B) c = A c B c. A B A B (A B) c A c B c A B A B (A B) c A c B c ÃÙÚ Ó ½º¾º ÅÓÖ Ò Ò Ð Øº ÀÙÓÑ ØØ A (B C) (A B) C, Ô Ø Ö Ó Ø Ô Ù º Ä Ù A B C ÓÐ ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ Ú Ò Ø ÖÚ Ø Ò ÙÐÙØ Ó Ó ØØ Ñ Ò ÙÑÑ Ø Ø Ô ØÙÑ Ø ÓÒ Ý º ÂÓÙ Ó Ò A B ÖÓØÙ Ò A\B ÙÙÐÙÚ Ø Ò A Ò Ô Ø Ø ÓØ ÚØ ÙÙÐÙ ÓÙ ÓÓÒ B A\B = A B c = {ω ω A ω / B}. ÂÓ B A ÝØÑÑ Ñ Ö ÒÒÒ A\B Ø ÑÝ Ñ Ö ÒØ A Bº ÌØ Ñ Ö ÒØ ÝØØ Ò A\B = A (A B)

9 ½º º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø A\B B A B B ÃÙÚ Ó ½º º ÂÓÙ Ó Ò ÖÓØÙ º A c = Ω A. Ë ÒÓÑÑ ØØ Ø Ô ØÙÑ Ø A 1 A 2 º º º A m ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ø Ô ØÙÑ Ò A ÓÒ Ø Ó ØÙ Òµ Ó A = A 1 A 2 A m Ø Ô ØÙÑ Ø A 1 A 2 º º º A m ÓÚ Ø ØÓ Ò ÔÓ ÙÐ Ú Ø A i A j = ÙÒ i jµº Ñ Ö A A c ÑÙÓ Ó Ø ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω ÓÒ A\B A B ÑÙÓ Ó Ø A Ò ÓÒº ÂÓ A A1 A 2 A 3 AA 1 A 2 A 3 A 6 A 4 A 5 ÃÙÚ Ó ½º º ÂÓÙ ÓÒ A Ó ØÙ º ÓÙ ÓØ A B ÓÚ Ø Ô Ø Ú Ö Ø A B = µ Ò Ò ÚÓ ÑÑ Ñ Ö ÒÒÒ A B Ø ÝØØ Ñ Ö ÒØ A+Bº Ë ÐÐÓ Ò Ñ Ö ÂÓ A 1 A 2 A 3 ÓÒ A Ò Ó Ò Ò Ω = A+A c. A = A 1 +A 2 +A 3. ÂÓ A 1,A 2,...,A n ÓÒ ÓÒÓ Ø Ô ØÙÑ Ò Ò ÙÒ ÓÒ ÓÒ Ð Ù n A i = A 1 A 2 A n i=1 n A i = A 1 A 2 A n. i=1 ÃÙÒ Ø Ô ØÙÑ Ò ÓÒÓ {A n },n 1 ÓÒ Ö Ø Ò ÓÒÓÒ Ø Ô ØÙÑ Ò ÙÒ ÓÒ Ð Ù ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ö ÐÐ Ø Ò ÙÒ ÓÒ Ò Ð Ù Ø Ò Ö ¹ ÖÚÓÒ A n = lim n=1 m n=1 m A n, A n = lim n=1 m n=1 m A n.

10 ÄÙ Ù ½º ÂÓ ÒØÓ ÃÙÒ Ø Ô ØÙÑ Ò ÓÒÓ ÓÒ {A n },n = 1,2,... ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ö Ø Ò ÚÓ Ñ¹ Ñ Ñ Ö Ø ÑÝ A n = {ω ω A n Ò Ò Ý ÐÐ n Ò ÖÚÓÐÐ }, n A n = {ω ω A n ÐÐ n Ò ÖÚÓ ÐÐ }. n ÀÙÓÑ ØØ m n=1 A n Ú Ò m n=1 A n Ú ÙÒ m Ú º ÂÓÒÓ { m A n },m = 1,2,... Ô ÙÙ Ó Ø ÓÙ Ó A n ÓÒÓ { m A n },m = n=1 n=1 n=1 1,2,... ÙØ ØÙÙ Ó Ø ÓÙ Ó A n º Æ ÓÚ Ø ÑÓÒÓØÓÒ ÓÒÓ º ÂÓÒÓ n=1 {B n },n = 1,2,... ÒÓØ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ó B 1 B 2... Ú Ú µ Ø B 1 B 2... Ú Ò Úµº ÅÓÒÓØÓÒ ÐÐ ÓÒÓ ÐÐ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ö ¹ ÖÚÓ ÙÖ Ú Ø lim B n = n lim B n = n B n, ÙÒ {B n },n 1 Ú Ú n=1 B n, ÙÒ {B n },n 1 Ú Ò Úº n=1 Ç ØØ ÐÙÐ Ø ÅÓÖ Ò Ò Ð Ø ÚÓ Ò ÝÐ Ø ÐÑ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ó Ñ Ò Ö ÐÐ Ö ØØ Ñ ÓÙ Ó Ò ÓÒÓ º Ñ Ö B ( n A n ) = n (B A n ), ( n A n ) c = n A c n. ½º º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ØÙÒÒ Ó Ò Ð ØØÝÚ ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÓÒ ÒÒ ØØÙº Ì Ö¹ Ø ÐÐ Ò ÒÝØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÖ ØØ Ð Ñ Øº ÇÐ Ø ÑÑ ÐÙ ØØ ÓØÓ ¹ Ú ÖÙÙ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Òº Ë ÐÐÓ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ð Ø Ô ¹ ØÙÑ Ò ÚÙÐÐ º ÅÖ Ø ÐÑ ½º½ ÇÐ ÓÓÒ E ØÙÒÒ Ó Ω Ò Ö ÐÐ Ò Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ω ÑÖ Ø ÐØÝ Ö Ð ÖÚÓ Ò Ò ÙÚ Ù ÓÐÐ ÓÒ ÙÖ Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø P : Ω [0,1], ½º P({ω}) 0 ÐÐ {ω} Ω

11 ½º º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø ¾º P({ω}) = 1º ω Ω Ë ÒÓÑÑ ØØ P({ω}) ÓÒ Ð Ø Ô ØÙÑ Ò {ω} ØÓ ÒÒ ÝÝ º Ì Ô ¹ ØÙÑ Ò A Ð Ω Ò Ó ÓÙ ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÐÙ ÙÒ ½º º½µ P(A) = ω AP({ω}). Æ Ò ÙÒ Ø Ó P ÚÓ Ò Ð ÒØ ÓÙ Ó ÙÒ Ø Ó Ó Ð ØØ Ó Ò Ø ¹ Ô ØÙÑ Ò A Ω ÐÙÚÙÒ 0 P(A) 1º ÇÑ Ò ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ ØÓ Ò¹ Ò ÝÝØØ ÙØ ÙØ Ò ÝÐ Ø ÓÖ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ Ø º ÂÓ Ω = {ω 1,ω 2,...,ω n } Ò Ò P({ω i }) = ω i Ω n P({ω i }) = 1. i=1 Ñ Ö Ø Ô ØÙÑ ÒA = {ω 1,ω 3,ω 5 } ØÓ ÒÒ ÝÝ P(A) = P({ω 1 })+ P({ω 3 })+P({ω 5 })º Ä ÑÖ ØØ Ð ÑÑ Ñ ÓØØÓÑ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ÓØ Ñ Ö ØÒ ØÝ ÐÐ ÓÙ ÓÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò P( ) ÒÓÐÐ º Ë ØÙÒÒ Ó¹ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÒØ Ñ ÐÐ Ó Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ω Ò Ð ØØÝÚ ÙÒ Ø Ó P Ó ØÓØ ÙØØ ÅÖ Ø ÐÑÒ ½º½ Óغ ÌÓ ÒÒ ¹ ÝÝ Ñ ÐÐ ÓÒ Ô Ö (Ω,P)º ÅÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò P( ) = 0º Å ÓØÓÒ Ø Ô ØÙÑ ÓÒ Ú ÖÑ Ò Ø ¹ Ô ØÙÑ Ò Ω ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ Ð Ω c = º Ì Ô ØÙÑ Ò A ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ ÓÒ ÓÙ ¹ Ó Ó ÓÒ ÙÙÐÙÚ Ø Ò Ð Ø Ô Ù Ø ÓØ ÚØ ÙÙÐÙ ÓÙ ÓÓÒ Aº ÃÓ Ó Ò Ò Ð Ø Ô Ù ω ÙÙÐÙÙ ÓÙ ÓÓÒ A Ø Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ Ò ÑÙØØ ÑÓÐ ÑÔ Ò Ñ Ò Ø Ò Ò ω AP({ω})+ ω A c P({ω}) = ω Ω Ì Ø ÙÖ ØØ P(A)+P(A c ) = 1 ÓØ Ò P(A c ) = 1 P(A). P({ω}) = 1. ÅÖ Ø ÐÑÒ ½º½ ÓÐ ØÙ Ø ØÓØ ÙØØ Ú ÙÒ Ø Ó ÑÖ ØØ Ð ØÓ ÒÒ ÝÝ ¹ ÙÑ Ò Ω º ÂÓ Ω = {ω 1,ω 2,...,ω n } Ò Ò ÚÓ ÑÑ ØØ ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ ÙÑ Ò ÑÙÓ Ó ω 1 ω 2... ω n p 1 p 2... p n, Ñ p i = P({ω i }) n i=1 p i = 1º Å Ø Ò ÅÖ Ø ÐÑÒ ½º½ ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú Ö Ð ÐÙ Ù ÓÙ Ó {p i p i = P({ω i }), 1 i n} ÑÖ ØØ Ð ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÑ Ò Ω º

12 ½¼ ÄÙ Ù ½º ÂÓ ÒØÓ Ñ Ö ½º À Ø ØÒ Ö ØÓÒØ ÒÓÔÔ º Ë ÐÐÓ Ò ÐÑÐÙ Ù Ò ÑÙÓ Ó ¹ Ø Ñ ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÓÒ Ω = {1,2,3,4,5,6}º ÂÓ Ó Ò Ò ÐÑÐÙ Ù ÓÒ Ý Ø Ñ ÓÐÐ Ò Ò Ò Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ P Ø Ò ØØ P(i) = 1 6, i = 1,...,6. Ì Ô ØÙÑ Ò ³ ÐÑÐÙ Ù Ô Ö ØÓÒ³ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ P({1,3,5}) = P({1})+P({3})+P({5}) = = 3 6 = 1 2. ÇÐ ÑÑ ÒÝØ ÑÖ Ø ÐÐ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ò (Ω,P) Ö ÐÐ ÓØÓ ¹ Ú ÖÙÙ Ø Ò ØØ Ó Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÚÓ Ø Ò ÑÖ ¹ Ø Ðк ÇÐ ÑÑ ÒÒÓ ØÙÒ Ø Ω Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Øº Ì Ô ¹ ØÙÑ Ø Ó Ø Ò ÙÙ Ø Ô ØÙÑ ÓÙ Ó¹ÓÔ Ò ÓÔ Ö Ø Ó ÐÐ º ÅÖ Ø ÐÑ ½º¾ ÇØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ó ÓÙ Ó Ò Ó Ó ÐÑ A ÓÒ Ð Ö Ó ÙÖ Ú Ø ÓÐÑ ØÓ ØÓØ ÙØÙÚ Ø a 1. Ω Aº a 2. ÂÓ A A Ò Ò A c Aº a 3. ÂÓ A,B A Ò Ò A B Aº ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ø Ö Ø ÐØ Ú Ø ÓÙ Ó Ó Ó ÐÑ Ø Ø Ô ØÙÑ Ò Ó¹ Ó ÐÑ Øµ ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ò Ð Ö Òº Ñ Ö ÓÙ Ó Ð ÖÓ Ø ÓÚ Ø µ ËÙÔÔ Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ò Ð Ö {Ω, } Ó ÓÒ ÙÙÐÙÚ Ø Ú Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ω ØÝ ÓÙ Ó º µ Ì Ô ØÙÑ Ò A Ò ÖÓ Ñ Ð Ö {A,A c,ω, }º µ ÇØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ò Ó ÓÙ Ó Ò Ó Ó ÐÑ {A A Ω} Ó ÐØ ÑÝ ØÝ Ò ÓÙ ÓÒ º ÌÓ ØØ ÓÓÒ ØØ Ñ Ò ØÙØ ÓÙ Ó Ð Ö Ø Ð ØØÝÚØ Ó ÓÒ Ò ÓØÓ¹ Ú ÖÙÙ Ò Ω ÓÓÒ Ð Ó ØÙ Òº ÇÐ ÓÓÒ D = {D 1,...,D n } ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Óº Ë ÐÐÓ ÒD 1 + +D n = Ωº ÂÓ Ñ Ö Ω = {ω 1,ω 2,ω 3 } Ò Ò {{ω 1 },{ω 2 },{ω 3 }}ÓÒ Ω Ò Ó Ó Ω = {ω 1 } + {ω 2 } + {ω 3 }º ̹ ÑÒ Ó ØÙ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ 5 Ö Ó D 1 = {ω 1,ω 2,ω 3 } D 2 = {{ω 1,ω 2 },{ω 3 }} D 3 = {{ω 1,ω 3 },{ω 2 }} D 4 = {{ω 2,ω 3 },{ω 1 }} D 5 = {{ω 1 },{ω 2 },{ω 3 }}º ÂÓ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò ÓÒ D ÓÙ Ó Ò ÙÒ ÓÒ Ø Ò Ò Ò ÓÙ Ó Ó Ó ÐÑ Ó ÓÒ Ð Ö º ÅÙ Ò ÓØ Ø Ò ÑÝ Ó ¹ Ò ÚÓ Ò Ø ÐÐ ÓÐ Ú Ò Ó º ËÝÒØÝÚ ÓÙ Ó Ó Ó ÐÑ ÒÓØ Ò ÓÒ D Ò Ù Ó Ñ ÓÙ Ó Ó Ó ÐÑ α(d)º ÅÝ ÒØ Ò Ò ØÙÐÓ Ô Ø Ô ¹ Ò º ÂÓ A ÓÒ Ö ÐÐ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ó ÓÙ Ó Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ð¹ Ö Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò Ω Ò Ý ØØ Ò Ò Ó D ØØ A ÓÒ ÓÒ D Ò Ù Ó Ñ Ð Ö Ð A = α(d)º

13 ½º º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø ½½ Ñ Ö ½º (a) Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÒΩ = {ω 1,ω 2,ω 3 } Ó D 2 = {{ω 1,ω 2 },{ω 3 }}º Å Ö ØÒ A = {ω 1,ω 2 } ÓØ Ò A c = {ω 3 }º Ë ÐÐÓ Ò ÓÒ D 2 Ò Ù Ó Ñ Ð Ö ÓÒ Ø ÓÙ ÓÒ A Ò Ù Ó Ñ Ð Ö º (b) ÇÐ ÓÓÒ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ω = {ω 1,ω 2,ω 3,ω 3 } Ò Ó D = {{ω 1,ω 2 },{ω 3 }, {ω 4 }}º  ÓÒD 2 Ò Ù Ó Ñ Ð Ö ÓÒ{Ω,,{ω 1,ω 2 },{ω 3 },{ω 4 },{ω 1,ω 2,ω 3 }, {ω 1,ω 2,ω 4 },{ω 3,ω 4 }}º ÂÓ Ñ Ö ØÒ D 1 = {ω 1,ω 2 },D 2 = {ω 3 } D 3 = {ω 4 } Ò Ò ÓÒ D = {D 1,D 2,D 3 } Ò Ù Ó Ñ Ð Ö Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ð¹ Ð ÓÙ Ó Ò D 1,D 2 D 3 Ñ ÓÐÐ Ø ÙÒ ÓÒ Øº Ñ Ö D 1 D 3 = {ω 1,ω 2,,ω 4 } D 2 D 3 = {ω 3,ω 4 }º ÃÙÒ ØÙÒÒ Ó ÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ ÒÒ Ø ØÒ Ò¹ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ω = {ω 1,...,ω n }º Ë Ò Ð Ò Ú Ð Ø Ò Ó Ò ÐÐ Ò Ò Ó ¹ ÓÙ Ó Ò Ó Ó ÐÑ A Ó ÑÙÓ Ó Ø Ð Ö Òº ÃÓ Ó ÐÑ Ò A Ð ÓØ ÓÚ Ø Ø Ô ØÙÑ º ÃÙÒ Ω ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò Ú Ð Ø Ò ÓÙ Ó Ð Ö A Ø Ú ÐÐ ¹ Ø Ω Ò Ò Ó ÓÙ Ó Ò Ó Ó ÐÑ º Ë ØØ Ò Ó Ò Ð Ø Ô Ù Ò ω i Ω, 1 i n Ð Ø ØÒ ÅÖ Ø ÐÑÒ ½º½ ÑÙ Ø ÔÒ Ø Ú Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ º Ì Ô ØÙÑ Ò A A ØÓ ÒÒ ÝÝ P(A) ÑÖ Ø ÐÐÒ ¹ Ú Ò ½º º½µ ÑÙ Ø ÐÙ ÙÒ P(A) = ω i AP({ω i }). Ë ÒÓÑÑ ØØ ÓÐÑ Ó (Ω,A,P) ÑÖ ØØ Ð ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ò Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ú ÖÙÙ Òº ÂÓ Ö ÐÐ ¹ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ý Ø Ý Ö Ò Ñ Ò Ø ÓÙ Ó Ð Ö A Ø Ö Ó ¹ Ø Ø Ò Ω Ò Ò Ó ÓÙ Ó Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ð Ö º ½º º Ö ØØ ÑØ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ø ÐÐ ÓÒ Ø ÐØÝ Ú Ò Ö ÐÐ ÓØÓ Ú ÖÙÙ º Ñ Ö ½º Ø ØØ Ò ÑÝ Ö ØØ Ñ ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÓØ ÓÚ Ø ÓÚ ÐÐÙ Ø Ú ÐÐ º ÂÓ Ω ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ø Ö Ø Ò Ò Ò Ω = {ω 1,ω 2,ω 3,...}. Ë ÐÐÓ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ù Ò Ö ÐÐ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ø Ô Ù º ÅÖ Ø ÐÑ ½º½ ÓÚ ÐØÙÙ ÑÝ ÒÙ¹ Ñ ÖÓ ØÙÚ Ø Ö ØØ Ñ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Òº Ë ÐÐÓ Ò ÅÖ Ø ÐÑÒ ½º½ 2. Ó Ö ÐÐ Ò Ò ÙÑÑ ÓÖÚ Ø Ò Ö ØØ ÑÐÐ ÙÑÑ ÐÐ p i = p 1 +p 2 +p 3 + = 1, i=1 Ñ P({ω i }) = p i º Ì Ô ØÙÑ Ò A Ω ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ½º º¾µ P(A) = ω i AP({ω i }),

14 ½¾ ÄÙ Ù ½º ÂÓ ÒØÓ ÑÙØØ ÒÝØ ÙÑÑ ÚÓ ÓÐÐ Ö Ø Òº ÂÓ Ω ÓÐ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ð ÓÒ ÝÐ ÒÙ¹ Ñ ÖÓ ØÙÚ µ Ò Ò ÅÖ Ø ÐÑ ½º½ ÓÚ ÐÐÙ Ø Ô ØÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÖ ØØ Ð Ñ Ò Ú Ò Ø ÖÚ Ø Ò ÙÙ ØØ Øº Æ Ò Ô Ð Ø Ò ÑÝ Ñ¹ Ñ Òº Ñ Ö ½º Ñ Ö ½º Ø Ö Ø ÐØ Ò ØÙÒÒ Ó ØØ Ó Ø Ø¹ ØÒ Ð ÒØØ ÙÒÒ Ò Ò ÑÑ Ò Ò ÖÙÙÒ º Ë ÐÐÓ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ñ Ð Ø Ô Ù Ω = {R,LR,LLR,LLLR,...}, ω i = } LL...L {{} R. i 1 ÂÓ ÖÙÙÒ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ P({R}) = p Ð Ú Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ P({L}) = q p+q = 1µ ÑÖ Ø ÐÐÒ P({ω i }) = q i 1 p, Ò Ò ÐÐÓ Ò P({ω i }) = i=1 i=1 q i 1 p = p 1 q = 1. ÇÐ ÑÑ Ò Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ù ÙÑ Ò Ω Ó ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ¹ ØÙÚ Ø Ö Ø Òº ½º º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò ØÙÐ ÒÒ Ø ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒØ ÓÐ Ö ÔÔÙÚ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ØÙÐ ÒÒÓ Ø Ø Ñ Ø Ò Ò Ø ÐÙ Ù Ñ Ø Ø Ò Ø ÖÚ Ó Òº ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ð Ò¹ Ø ÓÒ ÓÑ ØØ Ò Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ò Ò Ø ÓÖ º Ñ Ö Ö ØØ ØÓ ÒÒ¹ ÝÝ Ð ÒØ Ô ÖÙ ØÙÙ ÅÖ Ø ÐÑÒ ½º½ ØØÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÓÑ ¹ Ò ÙÙ Òº ËÓÚ ÐÐÙ ØÙÐ Ø ÑÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ù Ò ÙÙÖ Ó ¹ Ø ÚÓ Ò Ø ÑÓ Ù Ø ÐÐ ÐÐ Ö Ú Ò Ðк Å Ò Ø Ò Ø Ô ØÙÑ Ò A Ð ØØÝÝ Ú ØÓ Ó µ Ó ÑÖ Ø ÐÐÒ ¹ Ú ÐÐ ½º º µ v(a) = P(A) P(A c ) = P(A) 1 P(A). Ì Ô ØÙÑ Ò A Ú ØÓ ÖØÓÓ Ù Ò ÑÓÒØ ÖØ ØÓ ÒÒ ÑÔ ÓÒ ØØ A ØØÙÙ Ú ÖÖ ØØÙÒ Ò ØØ A ØÙº Î ØÓ ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÙÙÒ¹ ÒÓ º ÇÐ ÓÓÒ p Ó Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ö Ú Ò µ Ò Ò ÐÐÓ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝØ Ò Ð ØØÝÚ Ú ØÓ ÓÒ v(p) = p 1 p. ÂÓ Ø Ô ØÙÑ Ò A Ú ØÓ v(a) ÓÒ ÒÒ ØØÙ Ò Ò A Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ P(A) = v(a) 1+v(A).

15 ½º º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø ½ Ñ Ö ½º ÂÓ 1000 Ò Ð Ò ÔÓÔÙÐ Ø Ó ÓÒ600 Ò Ø 400 Ñ Ø Ò Ò Ò Ø Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ó ÙÙ ÓÒ = 0.6. ÂÓ Ø Ø ÔÓÔÙÐ Ø Ø Ú Ð Ø Ò ØÙÒÒ Ø Ý Ò Ð Ò Ò Ò Ò Ú Ð Ø¹ Ñ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ 0.6º Æ Ò Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ú ØÓµ ØÙÐÐ Ú Ð ØÙ ÓÒ 6 Ú Ø Ò 4º Å ÓÐÐ ÙÙ ØØ Ò Ò Ò ØÙÐ Ú Ð ØÙ ÓÒ 4 Ú Ø Ò 6º ÂÓ A = {Ò Ò Ò} B = {Ñ } Ò Ò v(a) = P(A) 1 P(A) = = 3 2. Í Ô ÐÙÖ Ø ÓÚ Ø ÒÒÓ ØÙÒ Ø Ñ Ò Ö ØÝÝÔÔ Ø Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ø Ò Ñ ØØ Ò ÚÓ ØÓÒ Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ø Ô ÝÓ Ó µº È Ð ÒÓØ Ú ÓÒÐÝ ÒÒ Ò ÚÐ ØØ Ø Ø Ö Ó Ú Ø Ò Ø Ñ ÓÐÐ ÙÙ º ÂÓ Ø Ô ØÙÑ Ò A Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ð v(a) Ú ØÓ Aµ ÓÒ 1 Ú Ø Ò 10 ÐÝ Ø ÙÖÓÒ Ú ØÓ Ø Ô ØÙÑ Ò ÔÙÓÐ Ø Ò Ò A Ò ØØÙ ÚÓ Ø Ø 10 ÙÖÓ º ÂÓ A ØÙ Ú Ø Ò Ý Ò ÙÖÓÒº à ÒÓ Ñ Ø Ô Ð Ñ ÙÒ Ý Ò ÙÖÓÒ Ð Ô ÒÓ º ÂÓ A ØØÙÙ Ø Ø Ò 11 ÙÖÓ Ó ÓÒ ÚÓ ØØÓ ÔÐÙ ÙÖÓÒ Ô Ð ÙØÙ º ÂÓ A ØÙ ÒÓ Ô Ø Ñ Ñ ÙÖÓÒº È ÒÓ ÓÒ 1 ÙÖÓ ÒÓÒ Ô ÒÓ 10 ÙÖÓ Ó ÓÒ Ô ÒÓ 11 ÙÖÓ º ÎÓ ØÓÒ Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ò ÚÐ ÐÐ ÓÒ Ý Ø Ý Ó ÓÒ ÝÑÑÖÖ ØØÝ Ù Ô Ð Ò Ý Ø Ý Ô Ð ÓÒ ÒÒ Ò Ú Ö Ò Ò ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ Ð ÒÒ Ò ÝÒØݺ ÈÙ ÙØ Ò Ñ Ö Ò º Ö ÐÙÒ Ô Ð Ò ÒÒ ¹ Ø Ó ØÓØ ÙØÙÙ ÐÐÓ Ò ÙÒ Ø Ô ØÙÑ A Ó Ú Ú ÓÐÝ ÒÒ ÚÓ ØÓÒ Ñ ÓÐÐ ÙÙ ÓÒ Ñ Ù Ò A Ò Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ð Ô ÒÓ ÒÓÒ Ô ÒÓ = v(a). Ê ÐÙÒ Ô Ð Ò ÒÒ Ò ÑÙ Ò Ô ÒÓ Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ó ÙÙ Ò Ó ÓÒ Ô ÒÓ ¹ Ø ØÙÐ ÓÐÐ P(A)º ÚØ ÒÓ Ø Ò Ø Ô ØÙÑ Ò Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ø Ú Ò ÑÝ Ñ ÓÐÐ ÙÙ ¹ Ò Ù Ø Ø ÓÚ Ø Ô Ð Ø Ð ÒØ Ò Ò ÐÝ Ó ÒÒ º Æ ÓÚ Ø ØÖ Ø Ø Ø ÑÝ Ñ Ö Ö Ú Ò Ò ØÓ Ò Ò ÐÝÝ ÐÓ Ø Ö Ö Ó º ÇÐ ÓÓÒ A Ò Ú ØÓ Ñ ÓÐÐ ÙÙ µ v(a) B Ò Ú ØÓ v(b)º Ë ÐÐÓ Ò Ú ØÓ Ù Ó Ö Ø Óµ θ(a,b) ÓÒ ½º º µ θ(a,b) = v(a) v(b) = P(A)/[1 P(A)] P(B)/[1 P(B)], Ó ÓÒ ÐÐ Ò Ú ÓÒÐÝ ÒØ Ø ÖÑ ÒÓÐÓ º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÖÚ Ó ÒØ Ú ¹ ÓÒÐÝ ÒÒ Ô ÖÙ ØÙÙ Ô Ø ÐØ Ò Ð Ó Ø Ò Ù ÓÑÙ Ò Ó ÑÙ Òº ÅÝ Ñ Ö Ð ØÓ Ñ ÒÒ Ò ÔØ ÒØ Ó Ò Ð Ó Ø Ø ØÓ ÒÒ¹ ÝÝ Ò ØÙÐ ÒÒ Ø ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ ÝØØ ÐÔÓ º

16 ½ ÄÙ Ù ½º ÂÓ ÒØÓ ½º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÐÐ Ø Ñ Ò Ò ÓÒ Ú Ö Ò Ø Ó Ý ÝÐÐ Ò Ò Ø Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ¹ Ð ÒÒ Ø Ð ØÓØ Ø º à ØØ Ð ÑÑ Ø ÐÙÚÙ Ò ÑÑ Ò Ö¹ Ö Ò ÐÝ Ý Ø ÓÐÐ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝØØ Ó ØÙÐ ÓÐ Ñ Ò ØÖ Ø ÐÔ Ó Ó ÙÖ Òº Ñ Ö ½º À Ø ØÒ Ö ØÓÒØ ÒÓÔÔ ÙØ Ò Ñ Ö ½º º Å ÐÐ ÖÖÓØ Ò ØØ ÓÒ ØÙ Ô Ö ØÓÒ ÐÑÐÙ Ù ÑÙØØ ÑÑ Ø Ñ Ò Øº Å ÓÒ ÐÑÐÙÚÙÒ 5 ØÓ ÒÒ ÝÝ ÇÐ ÓÓÒ B ³ ÐÑÐÙ Ù Ô Ö ØÓÒ³ A ³ ÐÑÐÙ Ù 5³º Ì ÑÑ ØØ ÐÑÐÙ Ù ÓÒ 1 3 Ø 5º ÆÑ Ð Ø ¹ Ô Ù Ø ÓÚ Ø Ý Ø ØÓ ÒÒ ÓØ Ò ÐÑÐÙÚÙÒ 5 ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ 1/3º Ë ÒÓÑÑ ØØ Ø Ô ØÙÑ Ò A ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÐÐ B ÓÒ 1/3º ÌØ ÓÐÐ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝØØ Ñ Ö ØÒ P(A B)º ÀÙÓÑ ÑÑ ØØ Ò Ò Ø Ñ Ö P(A B) P(A) = 1/6º ÃÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò A ÓÐÐ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝØØ P(A B) Ö Ó ØÙØ Ò Ø Ö Ø Ð Ñ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò B Ð Ø Ô Ù º Ë ØØ Ò Ø ÓØ Ò Ù Ò Ù Ò B ØØÙÙ ÑÝ Aº ÌÑ ÓÒ Ø Ô ØÙÑ ³ A ØØ B ØØÙÚ Ø³ ÓØ Ñ Ö ØÒ A Bº ÐÐ Ñ Ö Ð ÑÑ Ø ÓÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò P(A B) Ú ÐÐ ½º º½µ P(A B) = P(A B). P(B) ÌÓ ÒÒ ÝÝ P(A B) ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ P(B) > 0º Ñ Ö ½º½¼ ÐÓÓÒ Ñ Ø ÙÐÙ Ó Ø ØÒ Ö Ò ÐÓ ÓÐ ¹ Ú Ò Ó ÓØ ØØÙ ÐÙ ÙÑÖ ÐÚÒ ÝÒØÝÒÝØØ Ó Ø º Ñ Ö Ù¹ Ö Ú Ø ÙÐÙ Ó ÓÒ ÒÒ ØØÙ 20¹ 45¹ 65¹ÚÙÓØ Ò ÐÓ ÓÐ Ú Ò Ò Ø Ò ÐÙ ÙÑÖØ Ö Ú Ø ÐÚÒ ÝÒØÝÒÝØØ ØÝØØ Ð Ø Ó Ø º Á ¾¼ ÐÓ ¼ ¼ ¾ Ì ÚÓ Ò Ø ÐÐ ØØ Ð ÙÔ Ö Ò Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ω ÓÒ ØÝع Ø Ð Ø º Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ¾¼¹ÚÙÓØ Ð ¹ÚÙÓØ Ø Ö¹ Ó ØØ Ø ØØ Ð Ò Ò ¹ÚÙÓØ µ ÇÐ ÓÓÒ A = ³ Ð ¹ÚÙÓØ ³ B = ³ Ð ¾¼¹ÚÙÓØ ³º ÃÓ ¾¼¹ÚÙÓØ ÓÒ ÐÒÝØ Ò Ø Ò Ø ¹ÚÙÓØ Ò Ò Ý ÝØØÝ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ 95662/98040 = º Ä ØØ ÓÐÐ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝØØ Ú Ð Ø Ò Ô ÖÙ ÓÙ Ó B Ø ÓØ Ò Ù Ò ÑÓÒ Ò Ø ÐÚ ¹ÚÙÓØ º ÆÝØ Ø Ô ØÙÑ A B ÓÒ ³ Ð 45¹ÚÙÓØ ³ Ó 45¹ÚÙÓØ ÐÒ Ø ÓÚ Ø ÐÒ Ø ÑÝ 20¹ÚÙÓØ º ÃÓ 20¹ÚÙÓØ Ð Ò Ò P(B) = 98040/ = º Î Ø Ú Ø P(A B) = 95662/ = º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ P(A B) = P(A B) P(B) = =

17 ½º º Ç ÓØ ØÙØ Ö Ú Ò Ø ½ ½º º½ ÓÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ö Ú Ò ØÙÐ ÒØ ÇÐ ÓÓØ A B ÓØ ÙØ ØÙÒÒ Ó Ò E ÓØÓ Ú ÖÙÙØ Ò Ω Ð ØØÝÚØ Ø Ô ¹ ØÙÑ Ø N n (A B) ÓÒ Ø Ô ØÙÑ Ò A B Ö Ú Ò N n (B) Ø Ô ØÙÑ Ò B Ö Ú Ò ÙÒ ØÙÒÒ Ó E ØÓ Ø Ø Ò n ÖØ º ÎÓ ÑÑ Ø ÐÐ ØØ ½º º¾µ P(A B) N n(a B) N n (B) ÙÒ ØÓ ØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ n ÓÒ ÙÙÖ º ½º º¾ à ÖØÓÐ Ù ÒØ = N n(a B)/n N n (B)/n P(A B), P(B) ÃÓ ÓÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ú ½º º½µ P(B) > 0 Ò Ø ÖØÓÐ Ù ÒØ ½º º µ P(A B) = P(B)P(A B) Ø Ô ØÙÑ Ò A B ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ð Ñ º ½º º Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ë ÒÓÑÑ ØØ Ø Ô ØÙÑ Ø A B ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó ½º º µ P(A B) = P(A)P(B). ÀÙÓÑ ØØ ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ½º º½µ ÓÐ ÑÖ Ø ÐØÝ Ó P(B) = 0 ÑÙØØ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑ ½º º µ ÓÒ ÐÐÓ Ò Ò ÚÓ Ñ º ÂÓ P(B) 0 ½º º µ Ô Ø Ô Ò Ò Ò P(A B) = P(A B) P(B) = P(A). ÂÓ A B ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò Ø ØÓ B Ò ØØÙÑ Ø Ú ÙØ A Ò ØÓ ÒÒ ÝÝØ Òº ÂÓ P(A) > 0 Ò Ò ÑÝ P(B A) = P(A B)/P(A) = P(B) ÙÒ A B ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ½º Ç ÓØ ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÃÓ Ò E ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ (Ω,P) ÓÒ Ø ÓÖ ØØ Ò Ò ÓÒ ØÖÙ Ø Óº Å ÐÐ Ò Ý¹ ÚÝÝ ÝØÒÒ Ò ÓÚ ÐÐÙ ÓÒ ØÙØ ØØ Ú ÑÔ Ö Ø º ÌÑ Ø Ò Ú Ö¹ Ø Ð Ñ ÐÐ Ó Ò ÑÔ Ö Ò ÐÑ Òµ Ú ØØÙ ØÙÐÓ Ñ ÐÐ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó ÓØ ØØ Ú ÓÐ Ú Ò ØÙÐÓ Òº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ó ØÓ Ø Ø Ò n ÖØ º ÂÓ Ø Ô ØÙÑ Ò A ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ Ñ ÐÐ Ò ÑÙ Ò p Ò Ò ÐÐÓ Ò A Ò Ó ÓØ ØØÙ Ö Ú Ò Ð Ø ÓÖ ØØ Ò Ò Ö Ú Ò ÓÒ npº ÂÓ A ØØÙ ÙÓÖ Ø ØÙ ØÓ ¹ ØÓ Ó n A ÖØ Ò Ò ØØ Ú ØØÙ Ö Ú Ò Ú ÖÖ Ø Ò Ó ÓØ ØØÙÙÒ Ö Ú Ò Òº ÂÓ n A ÔÓ Ð Ò Ô Ð ÓÒ Ó ÓØ ØÙ Ø Ö Ú Ò Ø np Ò Ò Ñ ÐÐ Ø ÓÖ µ ÓÙØÙÙ Ý Ò Ð º À Ú ÒÒÓØ ÚØ ÐÐÓ Ò ØÙ Ø ÓÖ º Ë ¹ Ò Ñ ÓÒ Ð Ò ÙÙÖ ÔÓ Ñ ÔÝÖ ÑÑ Ú Ø Ñ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ¹ Ð ÒÒ Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÚÙÐÐ º

18 ½ ÄÙ Ù ½º ÂÓ ÒØÓ ÂÓ ÒØÓ Ø ÒÚ ØÓ ÑÔ Ö Ò Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Óº ÄÙ Ù Ò x 1 x 2 º º º x n ÑÔ Ö Ò Ò ÖØÝѹ ÙÒ Ø Ó ÓÒ F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, Ñ < a <. ÓÒ ÓÙ ÓÒ Ð Ó Ò ÐÙ ÙÑÖº ÑÔ Ö Ò Ò ÙÑ ÙÒ Ø Ó Ø ÐÝ Ý Ø ÑÔ Ö Ò Ò ÙÑ ÓÒ P n (a,b) = F n (b) F n (a). ÇØÓ Ú ÖÙÙ Ω ÓÒ ØÙÒÒ Ó Ò Ø ØÙÒÒ ÐÑ Òµ Ñ ÓÐÐ Ø Ò ØÙ¹ ÐÓ Ø Ò Ð Ø Ô Ù Ø Ò ωµ ÓÙ Óº Ë ØÙÒÒ Ó ÚÓ ØØÙ Ý Ú Ò Ý Ð Ø Ô Ù º Ì Ô ØÙÑ ÓÒ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ó ÓÙ Óº A B Ø Ô ØÙÑ Ω A B A c A B A B AB A\B = A B c A B = A Ò Ó ØÙ A Ω B Ω Ú ÖÑ Ø Ô ØÙÑ Ñ ÓØÓÒ Ø Ô ØÙÑ Ó A ØØÙÙ Ò Ò B ØØÙÙ A ØÙ A Ø B ØØÙÙ Ø ÑÓÐ ÑÑ Øµ A ØØ B ØØÙÚ Ø A ØØÙÙ ÑÙØØ B A B Ô Ø Ú Ö Ø ØÓ Ò ÔÓ ÙÐ Ú Øµ A = A 1 A 2 A m A i A j = i j ÅÓÖ Ò Ò Ð Ø (A B) c = A c B c, (A B) c = A c B c. ÌÓ ÒÒ ÝÝ P ÓÒ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ω ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ µ ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø Ó P: Ω [0,1] ÓÐÐ ÓÒ ÙÖ Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø ½º P(ω) 0 ÐÐ ω Ω ¾º P(ω) = 1º ω Ω Ì Ô ØÙÑ Ò A ØÓ ÒÒ ÝÝ P(A) = ω AP(ω)º Ì Ô ØÙÑ Ò A Ñ ÓÐÐ ÙÙ v(a) = P(A) P(A c ) = P(A) 1 P(A).

19 À Ö Ó ØÙ ½ Î ÓÒÐÝ ÒØ Ù θ(a,b) = v(a) v(b). A Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÐÐ B P(A B) = P(A B), P(B) > 0. P(B) à ÖØÓÐ Ù ÒØ P(A B) = P(B)P(A B)º Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ A B ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó P(A B) = P(A)P(B)º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ ÃÓ Ò E ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ ÓÒ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò P ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ó (Ω,P)º À Ö Ó ØÙ ½º Ò ØÓ ÚÓ ÓÒÒº Ø ÓÒ Ö ØÝ Ô Ó Ò ÝÐ 10 ÙÓй ÐÙØØ µ Ô Ö Ø Ò ÚÓ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ Ò ÚÐ Ø Ô Ú Òµ Ò Óй Ø º ½¾º ½ ¾ º º ½ ½º È ÖÖ ÚÐ Ó Ò Ö Ú Ò ØÓ Ö ÑÑ Ó Ó Ò ØÓ Ø Ö ÐÐ Ø ØÓ Ö ÑÑ Ø 56 Ø Ò ÑÑ Ø 53 Ø Ú ¹ Ñ Ø Ú ÒÒÓ Ø º ÃÓÑÑ ÒØÓ ÖÓ Ý ØÐ ÝÝ º ¾º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ØÓ Ö ÑÑ Ò Ú Ö Ò ÙÓÖ Ø Ò Ò¹ Ò Ò Ð Ú Ý Ø ÓÚ Ø k 1 k 2 ÓÖ Ù Ø h 1 h 2 º Ø ØÒ ÙÓ¹ Ö Ø Ø Ý ÙÓÖ Ø º Ø ÙÙ Ò ÙÓÖ Ø Ò ÓÖ Ù Ò h Ð Ù Ó Ó Ø ØØ h ÓÒ ÓÖ Ù Ò h 1 h 2 ÚÐ º º À Ø Ö ØÓÒØ ÒÓÔÔ Ê¹Ó ÐÑ µ ¼ ½¾¼ ¾ ¼ ¼ ¼ ¾¼¼¼ ÖØ Ð Ö ÐÑÐÙ Ù Ò Ù Ø ÐÐ Ø Ö Ú Ò Ø Ö ØØÓ Ö Ó ¹ º È ÖÖ ÑÝ Ù Ø ÐÐ Ø Ò Ö Ú Ò Ò ØÓ Ö ÑÑ Øº Å Ø Ò ØØÓ Ò Ð Ñ Ò n Ú ØØ Ñ Ò Ò Ú ÙØØ Ù Ø ÐÐ Ò Ö Ú Ò Ò º À Ò Ð ÐÐ Ï ÓÒ ÙÐÐ Ò Ó Ó Ø ØØÙ Ö º ÂÓ ÐÐ Ö ÐÐ ÓÒ Ú Ö ØØÙ Ó Ó ØØ ÐÐ Ú ÖÙ Ø ØØÙ Ö ÙÓÖ º Ã Ö Ø Ô ÒÒ Ò ØÙÒÒ Ø Ö ÙÓÖ Òº µ Å ÓÒ ØÑÒ Ó Ò ¾ Ð Ø Ô ØÙÑ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ º µ ÄÙ ØØ Ð ÙÖ Ú Ò Ø Ô ØÙÑ Ò Ð ØØÝÚØ Ð Ø Ô ØÙÑ Øº A Ò Ö Ñ Ò Ó Ò ÙÓÖ Ò B Å Ò Ö Ñ Ò Ó Ò ÙÓÖ Ò C Ì ÑÐÐ Ò Ö ØØ Ñ Ò Ó Ò ÙÓÖ Ò D Ì ÑÐÐ Ò ÓÐÑ Ö ØØ Ñ Ò Ó Ò ÙÓÖ Ò

20 ½ ÄÙ Ù ½º ÂÓ ÒØÓ µ Ä ÐÐ Ó Ñ Ò ØØÙ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ Ø Ó ÓÐ Ø Ø Ò ØØ Ð Ø Ô Ù Ø ÓÚ Ø Ý Ø ØÓ Ò¹ Ò º ÅÖ Ø Ø Ô ØÙÑ Ò A C D Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ø Ø Ô ØÙ¹ Ñ B Ú Ø Òº º à ÓÙ Ù ØØ Ô Ð Ô Ö Ø Ñ Ø Ö º Ë ÓÙ Ù ÚÓ ØØ Ó¹ ÓÒ Ò ÚÓ ØØ ÒÙØ Ò Ð Ô Ð º Å ÓÒ Ó Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÂÓ ÓÙ Ù Ø ÓÚ Ø Ø Ú ÚÓ Ô Ð Ò ØÙÐÓ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓ¹ Ñ µ Ò Ò Ñ Ø ÓÚ Ø Ö Ð Ø Ô ØÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ÚÓ ØØÓÓÒ Ø ÖÚ Ø Ò 7 Ô Ð º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÐÐ Ø ÒÓÔÔ ØØ p 1 = p 2 = p 3 = p 4 = p p 5 = p 6 = qº Ã Ö Ó Ø Ø Ò ØÒ p ÑÙÓ Ó p = 1 6 +θº µ Ä Ù Ù q θ Ò ÚÙÐÐ º µ À Ø ØÒ ÒÓÔÔ n ÖØ Ò ÐÑÐÙ Ù Ò ½ ¾ ÐÙ ÙÑÖ n 1 n 2 n 3 n 4 n 5 n 6 º Å Ø Ò Ø ÑÓ Ø θ Ò ÖÚÓÒ µ À Ø ØØ Ò ÒÓÔÔ ¼ ½¾¼ ¼¼ ½¾¼¼º Ë ÐÑÐÙ Ù Ò Ö Ú Ò Ø ÓÐ Ú Øº Ë ÐÑÐÙÚÙØ Ò ½ ¾ ¼ ½¼ ¼ ½¾¼ ¾ ½ ¾ ¼¼ ½¾ ½½ ½ ½ ½¾ ¼ ¼ ½¾¼¼ ¾ ¾ ¾ ½ ¾ ¼ ¾ Ä θ Ò p Ò q Ò Ø Ñ Ø Øº º µ Å ÓÒ ØÒ¹Ñ ÐÐ ÙÒ Ø ØÒ Ñ Ò Ø ÓÐÑ Ö ØÓÒØ Ð ÒØØ º µ ÅÖ Ø ØÒ x ÖÙÙÒ º µ À Ø ØØ Ò ÓÐÑ Ð ÒØØ 80 ÖØ Ø Ò ÙÖ Ú Ø ÖÙÙÒ Ò ÐÙ ÙÑÖغ ½ ½ ½ ½ ¾ ½ ½ ¾ ¾ ½ ½ ¾ ¾ ¾ ½ ½ ¾ ½ ¾ ¼ ½ ½ ¼ ¾ ½ ¼ ½ ½ ¼ ¼ ½ ¾ ½ ¾ ½ ¾ ¾ ½ ½ ¾ ¾ ¼ ½ ½ ½ ¾ ¼ ¾ ¼ ¾ ¼ ½ ¼ ½ ½ ¾ ¾ ½ ½ ¾ ½ ¾ ½ ½ ½ ¾ ¾ ¼ ¾ ½ ÅÖ Ø ÖÙÙÒ Ò ÐÙ ÙÑÖÒ Ó ÓØ ØÙØ Ú ØÙØ Ö Ú Ò Øº ÇÚ Ø¹ Ó Ú ÒÒÓØ ÓÔÙ Ó ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ò Ò À ØÓØ Ø Ó ØÓ À½º ØÓغ ص º µ À Ø ØÒ Ñ Ò Ø Ø ÒÓÔÔ ÓÐ ÓÓÒ ØÙÐÓ ÐÑÐÙ Ù¹ Ò ÙÑÑ º ÇÐ ÓÓØ Ð Ø Ô Ù Ø ÓÚ Ø Ý Ø ØÓ ÒÒ ¹ º Ç Ó Ø ØØ ØÙÐÓ Ò ØÒ¹ ÙÑ ÓÒ ÌÙÐÓ ¾ ½¼ ½½ ½¾ 36 ØÒ ½ ¾ ¾ ½

21 À Ö Ó ØÙ ½ µ À Ø Ø ÒÓÔÔ 100 ÖØ º Î ÖØ ØÙÐÓ Ò Ú ØØÙ Ö ¹ Ú Ò Ó ÓØ ØØÙ Ò Ö Ú Ò Òº º ÎÙÓ Ò ¾¼¼ ÓÒ ÔÙ ÓØÙ Ô Ð ÓÙ Ù Ø ÓÐ Ú Ø ÀÈà 1/3µ ÂÓ Ö Ø 1/2µ ÃÖÔØ 1/3µ ÔÓÓÒ ÄÍ Ë 1/6µ Ì ÔÔ Ö 1/3µ Â È 1/7µ ÀÁ à 1/6µ ÌÈË 1/9µº ÖÐÐ ØÝ Ô ÐÐ Ö Ø ØØ Ò ÒÒ Ò ÔÙ Ó¹ ØÙ Ô Ð Ò Ð Ù ÚÙÓ Ò Ñ Ø Ö Ó Ú Ú ÓÒÐÝ ÒØ ÝØØ Ò ÙÐÙ ÐÑÓ Ø ØØÙ ÚÓ ØÓÒ Ñ ÓÐÐ ÙÙ º ÂÓ Ú Ø Ñ Ö Ì ÔÔ Ö Ñ Ø Ö Ò Ò ÚÓ Ø Ø Ô ÒÓ ÓÐÑ Ò ÖØ Ò º µ Ä ÒÒ ØØÙ Ò ÚÓ ØÓÒ Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ò Ô ÝÓ Ó µ ÚÙÐÐ ÓÙ ¹ Ù Ò ÚÓ ØÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ú ÐÐ ½º º¾µº Ä ØÓ ÒÒ¹ ÝÝ Ò ÙÑÑ Sº µ Ë Ð ÐÐ Ó Ð ØÙØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ñ ÐÐ Ò ÙÑÑ ÐÐ Sº Å Ð Ù ÓÒ Ø ÖÔ ÐÐ Ò Ò µ ÇÐ Ø ØØ Ð ØÙØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÚ Ø Ó Ø º Ä Ó Ó¹ Ø ØØÙ ÚÓ ØØÓ Ó Ú Ø Ì ÔÔ Ö ÚÓ ØØÓ P(A)+Ô ÒÓ (1 P(A)) º ÌÓØ ÙØØ Ó Ú Ù Ö ÐÙÒ Ô Ð Ò ÒÒ Ò ½¼º Ö Ý ÐÝ ØÙØ ØØ Ò Ù Ø ÙØÙÑ Ø Ð ÐÐ Ò ÓÖØØ Ò Ø Ò Ó Ø ÙÐÙ Ó Ø ØÝØ ØÙÐÓ Øº ÒÒ ËÙ ÙÔÙÓÐ ÅÝ ÒØ Ò Ò Ã ÐØ Ò Ò Ø Ò Æ Ò Ò ¼ ½ ½ ¼¼ Å ½ ¾ ½ ¼¼ Ø Ò ¾ ¾ ½½¼¼ ÃÝØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ø Ñ ØØ Ò Ù Ø ÐÐ Ö Ú Ò º µ Ä ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ µ Ò Ò Ò µ Ñ Ù Ø ÙØÙÙ ÓÖØØ Ò ÔÓ Ø Ú Ø Ø Ö Ø ÐØ Ú ÓØÓ Ú ÖÙÙ µº µ Ä Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ø Ó µ ØØ µ Ò Ò Ò µ Ñ Ù Ø ÙØÙÙ ÓÖØØ Ò ÔÓ Ø Ú Ø º µ Ä Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ò Ù Ó Ö Ø Ó Ú ÓÒÐÝ ÒØ Ù µº ½½º Ñ Ö ½º¾ ÐÙ ÒÒÓص ÓÒ ÒÒ ØØÙ ÖÒ ÙÖ Ò ½º ÚÐ Ó Ò Ô Ø ¹ ÑÖغ µ Ä ÑÔ Ö Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ µ ÖÚÓ Ô Ø 15.3º µ Ä Ù Ù ÑÔ Ö Ò ÙÑ Ò ÖÚÓ P 20 (18.5,20.5) Ò ÚÙÐÐ º µ Ä ØÓ Ö ÑÑ ÐÙÓ [18.5,20.5] ÙÚ Ú Ò ÔÝÐÚÒ ÓÖ¹ Ù º