P(r, ϕ t) = P(z, e it ) = 1 z 2 e it z 2, Ñ z = reiϕ. f(z + re iϕ )dϕ. f(z) = 1. f(z) f(z 0 ).

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "P(r, ϕ t) = P(z, e it ) = 1 z 2 e it z 2, Ñ z = reiϕ. f(z + re iϕ )dϕ. f(z) = 1. f(z) f(z 0 )."

Transkriptio

1 ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÁÇ À Ê Æ Î ÊÍÍÃËÁËË ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Â ÖÑÓ Å Ð À Ð Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ù Ø ÙÙ ¾¼¼

2 Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ËÙ ÖÑÓÒ Ø ÙÒ Ø ÓØ Ð Ò ØÙÐÓ ¾º½ Ò ÐÝÝØØ Ø ÙÒ Ø ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ À ÖÑÓÒ Ø ÙÒ Ø ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ËÙ ÖÑÓÒ Ø ÙÒ Ø ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ð Ò ØÙÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò ÐÝÝØØ Ø ÔÙØÙÐÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ø Ý Ó ½¼ º½ Ú ÖÙÙ Ø H p N º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ Ú ÖÙÙ Ò H p N Ô ÖÙ Ö ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º Æ Ú ÒÐ ÒÒ Ò Ú ÖÙÙ Ò ÒÓÐÐ Ó Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º H p ¹ ÙÒ Ø ÓØ Ý ÓÒ Ö ÙÒ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ò Ù Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÁÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ Ø ÓÖ ¾¼ º½ ÁÒØ ÖÔÓÐÓ Ú Ø ÓÒÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º¾ Ì Ø Ô ÖÓ ØÙÚ Ø ÓÒÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó H º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÐ Ù H p ¹ Ú ÖÙÙ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÖÐ ÓÒ Ò Ñ Ø Ø ¾ º½ ÖÐ ÓÒ Ò Ñ ØØÓ Ò ÑÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ ÀÝÔ Ö ÓÐ Ò Ò Ñ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÖÐ ÓÒ Ò Ø ÓÖ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÄÓÔÙ Ä Ø Ø

3 ½ ÂÓ ÒØÓ À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ò H p µ Ø ÓÖ Ò Ð Ø Ó Ø ÓÒ Ð Ý ØØÚ ½ ¾¼¹ÐÙÚÙÐØ ÓÐÐÓ Ò ÑÙÙÒ ÑÙ Ñ Ø Ñ Ø ÓØ º Àº À Ö Ý Âº º Ä ØØÐ ÛÓÓ ÝØØ ÚØ Ð Ñ Ò Ø ÐÑ Ó ¹ Ò Ò Ò ÐÝÝØØ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ø Ö Ø ÐÙ º Æ Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò Ø Ö ¹ Ø ÐÙ Ó Ø H p ¹ Ú ÖÙÙ Ò Ø ÓÖ Ò ÑÙÓØÓÙØÙÑ Òº ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ñ Ð Ò ÒØÓ H p ¹ Ú ÖÙÙ Ó Ø Ò ÚÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò ÐÝÝØØ Ø Ò Ñ Ò Ø Ð¹ Ñ Ò ØØÝÑ Ò ÑÝ Øº ÌÑ Ð ØÝÑ Ø Ô ÒÓ Ø Ò ÙÙ ÓÒ ÐÑ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ð Ò ÝØ ØØÚ ÓÐ Ú Ò Ö Ø ÙÑ ÐÐ Ò ÓÙ Ó º À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ò Ø ÓÖ Ò ØÙØ Ñ ¹ Ò Ò Ý Ø Ñ Ð Ò ÒØÓ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ö Ð ¹ ÓÑÔÐ Ò ÐÝÝ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò ¹ ÐÝÝ Ò ØÙÐÓ º ÌÑÒ ØÙØ ÐÑ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ý ÓÒ À Ö ÝÒ Ú ¹ ÖÙÙ Ò H p (D) ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÖÐ ÓÒ Ò Ñ ØØÓ Ò ÚÐ Ø Ù ØØ º Ì Ú ÐÐ Ò Ø Ô Ò Ö Ó ØÙØ Ò ØÙØ Ñ Ò Ú ÖÙÙ Ò Ò ÖÚÓ ÐÐ 1 p º ÌÙØ ÐÑ Ò ØÓ ÐÙÚÙ Ø ÐÐÒ Ó Ø Ò Ô ÖÙ ØÙÐÓ Ò ÐÝÝØØ Ø ÖÑÓÒ Ø ÙÒ Ø Ó Ø ØÙØÙ ØÙØ Ò Ñ Ò Ø Ö ÑÑ Ò Ù ÖÑÓÒ Ò ÙÒ Ø Ó Òº Î Ñ Ñ ¹ Ò ØÙØ Ø Ö Ó Ú Ø ÝÐÐØØÚÒ Ý ÝÐÐ Ò Ð ØÝÑ Ø Ú Ò Ò ÐÝÝØØ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÝØØÝØݹ Ñ Ò Ý ÓÒ Ö ÙÒ Ð ØÝØØ º Ä Ø ÐÐÒ Ð Ò ØÙÐÓ Ó ØÙÐ ÓÐ Ñ Ò ØÖ Ñ Ó Ó ØÝ Ò ÒÒ ÐØ º ÃÓÐÑ ÒÒ ÐÙÚÙ ÑÖ Ø ÐÐÒ À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ø ÝØ ØÒ Ù ÖÑÓÒ Ø Ò ÙÒ ¹ Ø Ó Ò ØÙÐÓ ÔÙÒ ÝÚ ÒÒÝØØ H p ¹ Ú ÖÙÙ Ò Ø ÓÖ Òº È ÖÙ Ø Ú ÒÐ ØÙ Ø Ð ÑÑ Ò À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ò Ø ÓÖ ØØ Ð ÚØ ÙÖ Ò ÖÒ ØØ ÃÓÓ ÊÙ Ò Ø ØÙØ ÐÑ Ð Ø Ò ÝØ ØÝ Ø Ó º À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ò Ð Ò ÓÐÑ ÒÒ ÐÙÚÙ ÒÓÙ Ú Ø ÑÝ Æ Ú ÒÐ ÒÒ Ò Ú ÖÙÙ º Ê Þ Ò ØÓÖÓ ÒØ Ø ÓÖ Ñ H p ¹ ÙÒ Ø Ó Ò ÝØØÝØÝÑ Ò Ò Ð ØÝØØ Ý ¹ ÓÒ Ö ÙÒ º Î Ñ Ñ Ò ØÙ Ø ÙÙÖ Ò Ó ÓÒ À Ö ÝÒ Ð Ù Ø Ò Ò Ñ Ö ØÓÙ Ó Ó ØØ ØØ ¹Ø Ò ÒØ Ð Ò Ò Ö ¹ ÖÚÓ ÓÒ ÓÐ Ñ Ñ Ð Ò ÐÐ º ÃÓÐÑ ÒÒ Ò ÐÙÚÙÒ ÔØØ ÐÝ ÝØ Ù Ð Ø ØØ Ó Ú Ó Óº Ì Ø ÖÚ ØØ Ú Ò Ù Ð Ø ØØ Ý ØÐ Ò ØØ Ð ¹ ÚØ Ò ÑÑ Ò Å ÒØÝÖ ÊÓ Ó Ò º Æ Ð ÐÙ Ù ØØ Ð ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÓÒ ÐÑ ÑÖ ØØ Ð ÚÐØØÑØØ ÑØ ØØ Ö Ø¹ ØÚØ ÓØ ÐÐ ØØ ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó¹ÓÔ Ö ØØÓÖ ÙÚ H p ¹ Ú ÖÙÙ Ò l p ¹ Ú ÖÙÙ Ò ÓÒÓ º ÈÓ Ò ØÑ ÐÙ Ù ÙÖ ÙÖ Ò Ò Ð Ø Ò ÝØ ØØÝ Ö ÑÙØØ Ø ÓÖ Ñ Ò º ØÓ ØÙ ÔÙÓÐ Ø Ò ÔÓ ÏÓ Ø ÞÞÝ Ò Ø Ó Òº Ì Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÓÒ ÐÑ Ò H ÓÖÑÙÐÓ Êº º Ù º ÂÓ Ò Ò Ó ØØ Ø Ò Ö Ø¹ Ù Ò Ð Ò ÖÐ ÓÒ Ö Ø Ø ÓÖ Ñ Ò º½ Ø Ô Ù p = º À Ñ Ò ÑÝ ÑÑ Ò Ë Ô ÖÓ Ë Ð ØØ ÚØ Ý Ò ÖØ ÑÑ Ò Ö Ø ÙÒ Ñ Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ð Ò Ú Ø Ø ÓÖ Ñ Ò ÖÚÓ ÐÐ 1 p º Æ Ú ÒÐ ÒÒ È ÔÙÓÐ Ø Ò Ö Ø Ö Ó Ú Ø ÓÒÓØ {z i } {w i } Ó Ò ÚÐ ÐÐ H ¹ ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø º Î ÒÒ ÐÙÚÙ ØÙØÙ ØÙØ Ò Ý ÓÒ ÖÐ ÓÒ Ò Ñ ØØÓ Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ò Ñ Ø¹ Ö Ò Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ö ØÝ Ø Ý Ø Ò Ñ ØØÓ Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÚÐ Ø Ý Ø ÝØغ ÄÙ Ù ÙÖ Ð Ø Ò ÝØ ØØÝ ÖÒ ØØ Ò Ø Ó Ø º ÃÙÙ ÒÒ ÐÙÚÙ ÖÖ Ø Ò ØÝ Ò ¹ ÑÑØ ØÙÐÓ Ø ÐÙÓ Ò ÐÝ ÝØ Ø Ù Ø ÓÖ Ò Ð ÒØ Ñ Òº

4 ¾ ËÙ ÖÑÓÒ Ø ÙÒ Ø ÓØ Ð Ò ØÙÐÓ ÄÙÚÙÒ Ø Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø ÐÐ ÖÖ Ø Ó Ø Ò ÑÔ Ø ØÓ ÑÙÙØ Ñ ØÖ Ø ØØ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ø ÖÔ Ò Ø Ö Ø ÐØ H p ¹ Ú ÖÙÙ Ò Ø ÓÖ º ËÙÙÖØ Ó ÐÙÚÙÒ ØÙÐÓ Ø Ó Ø Ø ØÓ Ø Ø º ÌÙÒÒ ØÙ ÓÐ Ø Ø Ò ÙÒ Ø ÓØ ÓÖ Ò Ô ÖÙ ØÙÐÓ Ø ÙØ Ò Ñ Ö À Ð Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ ÙÖ ÐÐ ÙÒ Ø ÓØ ÓÖ Á Ø ÐÐÝØ Øº Ô Ö Ò ÓÔ Ú Ð Ø Ó ÓÚ Ø Ñ Ö ÇÐÐ Ä ÓÒ ÙÒ Ø ÓØ ÓÖ Á ÁÁ Ä ÙÖ ÅÝÖ Ö Ò Ñ ÒÒ Ñ Ò Ò Ø Ó Ï ÐØ Ö ÊÙ Ò Ò Ê Ð ² ÓÑÔÐ Ü Ò ÐÝ º Ä ÓÐ ÙÓØ Ú ØØ ÐÙ ÓÐ ØÙØÙ ØÙÒÙØ L p ¹ Ú ÖÙÙ Ò Ø ÓÖ Òº Å Ö ÒØØ ÔÓ R Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó C ÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó D ÓÑÔÐ Ø ÓÒ ÚÓ Ò Ý Ó U(a, r) ÚÓ Ò ¹ Ò Ò Ö¹ Ø Ò Ò ÙÙÐ Ô ÒØ Ø ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ó ÓÙ Ó Ω ÚÓ Ò Ý Ø Ò Ò Ò ÐÙ Ô ÒØ Ø ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ó ÓÙ Ó E ÓÙ ÓÒ E Ö ÙÒ ¾º½ Ò ÐÝÝØØ Ø ÙÒ Ø ÓØ ÇÐ ÓÓÒ f ÓÑÔÐ ÖÚÓ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÐÙ Ω C z Ωº Å ¹ f(z Ð ÓÒ ÓÐ Ñ Ö ¹ ÖÚÓ lim +w) f(z ) w w = f (z ) Ò Ò ÐÙ Ù f (z ) ÒÓØ Ò f Ò ÓÑÔÐ Ö Ú Ø Ô Ø z º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º Ò ÐÝÝØØ Ø ÙÒ Ø Óص ÇÐ Ø Ø Ò ØØ f ÓÒ ÓÑÔÐ ÑÙÙØØÙ Ò z ÙÒ Ø Ó ÑÖ Ø ÐØÝ ÐÙ Ω Cº ÙÒ Ø ÓØ f ÒÓØ Ò Ò ÐÝÝØØ Ö ÐÐ ÙÙ ÑÝ ÓÐÓÑÓÖ µ Ñ Ð ÐÐ ÓÒ ÓÑÔÐ Ò Ò Ö Ú ØØ Ó Ω Ò Ô Ø º Ð ÐÐ Ø ÓÐÐ Ò ÐÝÝØØ Ø ÙÒ Ø ÓØ ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ö Ò Ò ÓÒ Ð Ó Ò ÙÑÑ Ø ØÙÐÓØ ÓÚ Ø ÐÐ Ò Ö Ò Ò Ò º ÅÝ Ò Ò ÐÝÝØØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ó ÑÖ ÓÒ Ò ÐÝÝØØ ¹ Ò Ò Ñ Ð Ø Ö Ø ÐÙÒ ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ Ö Ø Ò Ò ÒÓÐÐ Ó Ø Ø Ø Ò Ò ÙÔ Ø Ø٠ѹ Ñ ÑÙÓ Ó Òµº Æ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò Ð Ø ÙØØ Ñ ÐÐ Ò Ð Ò ÐÝÝØØ ÙÒ Ø Ó Ø Ó f g ÓÚ Ø Ò ÐÝÝØØ Ò Ò ÑÝ ÙÒ Ø Ó h = g f ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Òº ÌÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ g ØÝØÝÝ Ù Ø Ò Ò ÓÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ f Ò ÖÚÓ ÓÙ Ó º ÅÓÒ Ò ÑÙ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò Ó ÐÐ Ö Ò ÐÝÝØØ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ñ Ö ØØÚ ÓÑ Ò ¹ ÙÙ ÓÒ ØØ Ñ Ð Ú ÐØ ÐÙ ÑÖ Ø ÐØÝ Ò ÐÝÝØØ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò ÐÓ Ð Ø ØØ ÙÔÔ Ò Ú Ò ÔÓØ Ò Ö Ò º Î Ø Ú Ø Ó Ò Ò ÙÔÔ Ò Ú ÔÓØ Ò Ö ØØ ÙÔÔ Ò Ñ Ó Ò Ò ÐÝÝØØ Ø ÙÒ Ø ÓØ º ÈÓØ Ò Ö ÓÑ Ò ÙÙØ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò ÐÝÝØØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú ØØ ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Òº ÂÓ ØÓÔØ Ø Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÓÒ Ò ØØ Ò ÐÝÝØØ ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ ÓÒ Ò ÖØ ÐÙ¹ Ù Ò Ö Ú Ø Ø ÓØ ÓÒ ÑÝ Ñ ÓÐÐ Ø ØØ ÙÔÔ Ò Ú Ò ÔÓØ Ò Ö Ó Ò º ÅÙ Ø Ñ Ð Ò ÒØÓ Ò ÐÝÝØØ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÓÑ Ò ÙÙ ÓÚ Ø Ñ Ö ÙÒ Ø Ó Ò ÒÓÐÐ Ó Ø Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ó Ø Ø ÐÐÒ ÑÝ ÑÑ Ò ÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ Ø ÓÖ Ò Ó º ÌÓ Ø¹ Ø ÓÓÒ ÒÝØ ØØ Ñ Ð Ò ÐÝÝØØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÒÓÐÐ Ó ÐÐ ÓÒ ÙØÙÑ Ô Ø Ó Ò ÐÙ¹ Ý ÓÒ Ú Ó ÙÒ Ø Óº

5 ¾º¾ À ÖÑÓÒ Ø ÙÒ Ø ÓØ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾º ÖÑÓÒ Ø ÙÒ Ø Óص ÐÙ Ω ÑÖ Ø ÐØÝ ÖØ Ø ÙÚ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ ÓÑÔÐ ÖÚÓ Ò Ò ÙÒ Ø Ó h : Ω C ÓÒ ÖÑÓÒ Ò Ò Ó ØÓØ ÙØØ Ä ÔÐ Ò Ý ØÐ Ò h = 2 h + 2 h = º x 2 y 2 Ê Ð ÖÚÓ Ò ÖÑÓÒ Ò ÙÒ Ø ÓÓÒ h Ð ØØÝÝ Ý Ø Ý Ø Ò ÐÙ Ω Ò ÓÒ Ù¹ ØØ ÙÒ Ø Ó h Ó ØÓØ ÙØØ h Ò Ò Ù Ý¹Ê Ñ ÒÒ ¹Ý ØÐ Ø h x = h h y y = h x º Æ Ò ÑÖ Ø ÐØÝÒ ÑÝ ÓÒ Ù ØØ h ÓÒ ÖÑÓÒ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f = h+i h ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Òº À ÖÑÓÒ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÒ Ô ÝØØÝ Ò ÐÝÝØØ Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÑÙØØ Ø ÑÖ Ø ÐÑÒ ¾º¾ ÝÐÐ Ø ØØÝ Ò ÙÓÑ Ó Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò ÐÝÝØØ Ø ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø ÖÑÓÒ º Ä Ù ¾º º ÈÓ ÓÒ Ò ÒØ Ö Ð µ ÇÐ ÓÓÒ f ÓÑÔÐ ÖÚÓ Ò Ò Ý ÓÒ Ö ÙÒ ÐÐ D Ñ Ø ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ØÓØ ÙØØ ÓÒ f 1 = 1 f(t) dt < ( f L 1 ( D) ) º ÌÐÐ Ò Ý Ó Ó Ò Ú Ò ÑÙ Ø ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø ÓØ h(re iϕ ) ÒÓØ Ò f Ò ÈÓ ÓÒ Ò ÒØ Ö Ð P[f] Ñ P(r, ϕ) ÓÒ ÈÓ ÓÒ Ò Ý Ò h(re iϕ ) = P[f](re iϕ ) = 1 P(r, ϕ t)f(t)dt, P(r, ϕ) = 1 r 2 1 2r cosϕ + r 2. ÅÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø Ó h ÓÒ Ý Ó D ÖÑÓÒ Ò Òº Å Ð f ÓÒ ÑÝ Ø ÙÚ D Ò Ö ÙÒ Ð¹ Ð Ò Ò ÚÓ Ò ØØ h(e iϕ ) = f(e iϕ ) Ò Ò ÑÖ Ø ÐØÝÒ h ÓÒ Ø ÙÚ ÑÝ ÙÐ ØÙ Ý Ó Dº ½ ÐÐ Ò ÈÓ ÓÒ Ò Ý Ò ÚÓ Ò ØØ ÑÝ Ý ØÔ ØÚ ÑÙÓ Ó P(r, ϕ t) = P(z, e it ) = 1 z 2 e it z 2, Ñ z = reiϕ. ÌÓ ÐØ ÖÑÓÒ Ò Ò ÙÐ ØÙ Ý Ó Ø ÙÚ ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò ØØ Ó Ö ÙÒ ¹ ÖÚÓ Ò h(e iϕ ) ÈÓ ÓÒ Ò ÒØ Ö Ð Ò º Ä Ù ¾º º ÖÚÓÐ Ù µ Ë ÒÓØ Ò ØØ Ω Ø ÙÚ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ f ÓÒ ÖÚÓ¹ ÓÑ Ò ÙÙ Ó Ó ÐÐ z Ω ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò r > ØØ ÔØ f(z) = 1 f(z + re iϕ )dϕ. à ÖÚÓ¹ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÓÑ Ú ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÖÑÓÒ Ò Ò ÐÐ ÖÑÓÒ ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ ÓÒ ÖÚÓ¹ÓÑ Ò ÙÙ º ¾ ¾º ËÙ ÖÑÓÒ Ø ÙÒ Ø ÓØ ÒÒ Ò Ù ÖÑÓÒ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÑÖ ØØ Ð Ñ Ø Ô Ð ÙØ Ø Ò Ñ Ð Ò Ø ÔÙÓÐ Ø Ù¹ ÚÙÙ Ó ÒØÝÝ ØÝ ÐÙÒ Ù Ò ÑÙÙÒ ÑÙ Ö Ð Ò ÐÝÝ Ò Ñ ØØ Ø ÓÖ Ò Ô Ö º ÇÐ ÓÓÒ z Ωº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ØÓ (a) (b) lim sup z z f(z) f(z ) lim inf z z f(z) f(z ). Ê Ð ÖÚÓ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f ÓÒ Ω ÝÐ ÐØ ÔÙÓÐ Ø ÙÚ Ó ÐÐ z Ω ÓÒ ÚÓ Ñ (a) Ð ÐØ ÔÙÓÐ Ø ÙÚ Ñ Ð (b) ÔØ ÐÐ z Ωº ½ ÐÐ Ñ Ò ØÙØ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÓÒ ØÓ Ø ØØÙ Ð Ø Ò ÝØ ØÝÒ ÊÙ Ò Ò Ö Ò ÚÙ ÐÐ ¾ ¹¾ º ¾ ÊÙ Ò Ò Ø Ó Ò ÚÙ ¾ º

6 ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º Ù ÖÑÓÒ Ø ÙÒ Ø Óص Ê Ð ÖÚÓ Ò Ò ÙÒ Ø Ó u ÓÒ Ù ÖÑÓÒ Ò Ò Ω Ó ÐÐ ÓÒ ÙÖ Ú Ø ÓÑ Ò Ù٠غ ½µ u(z) < ÐÐ z Ωº ¾µ u ÓÒ ÝÐ ÐØ ÔÙÓÐ Ø ÙÚ º µ à ÐÐ U(a, r) Ω ÔØ µ u(a) 1 Ò ÒØ Ö Ð Ø µ ÓÐ º u(a + re iϕ )dϕ. ÅÖ Ø ÐÑÒ ¾º Ó Ø Ò ½µ ¾µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ù ÖÑÓÒ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÝÐ ÐØ Ö Ó ¹ Ø ØØÙ Ó Ω Ò ÓÑÔ Ø Ó ÓÙ Ó º ÌÑÒ ÙÖ Ù Ò ÒØ Ö Ð Ø µ ÓÚ Ø Ò ÓÐ Ñ ÐÐ Ò ÓÒ µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ 1 u(a + re iϕ ) dϕ <. Ê Ð ÖÚÓ Ø ÖÑÓÒ Ø ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ù ÖÑÓÒ ÐÐ Ò ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÒÒ ØÙØ ÓØ Ø ÙÚÙÙØ Ò ÖÚÓ¹ÓÑ Ò ÙÙØ Ò ÒÓ ÐÐ Ð Ù ¾º µº Ä Ù ¾º º ÐÙ Ω ÑÖ Ø ÐÐÝÒ Ù ÖÑÓÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ u ÑÓÒÓØÓÒ Ø Ú Ú Ò ÓÒÚ Ò ÙÒ Ø ÓÒ γ Ý Ø γ u ÓÒ Ù ÖÑÓÒ Ò Òº ÌÓ ØÙ º γ u ÓÒ ÝÐ ÐØ ÔÙÓÐ Ø ÙÚ Ó γ ÓÒ Ø ÙÚ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Òº Ä Ñ¹ Ö Ø ÐÐÒ γ( ) = lim x γ(x)º ÇÐ ÓÓÒ ÙÖ Ú U(a, r) Ωº ÌÐÐ Ò ( 1 ) γ(u(a)) γ u(a + re iϕ )dϕ 1 γ(u(a + re iϕ ))dϕ. Ò ÑÑ Ò Ò ÔÝ ØÐ ÔØ Ó u ÓÒ Ù ÖÑÓÒ Ò Òº ÂÐ ÑÑ Ò Ò ÔÝ ØÐ ÔÙÓÐ ¹ Ø Ò ÔØ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó γ ÓÒ ÓÒÚ ÙÒ Ø Óº ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ f Ω Ò ÐÝÝØØ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÓÐ ÒØØ Ø ÒÓÐÐ º ÙÒ Ø ÓÒ f ÐÓ Ö Ø¹ Ñ ÙÒ Ø Ó log f ÓÒ Ù ÖÑÓÒ Ò Òº { ÅÝ ÙÒ Ø ÓØ log + log f, f > 1 f = f, f 1 p ( < p < ) ÓÚ Ø Ù ÖÑÓÒ º ËÙ ÖÑÓÒ ÙÙ ÙÖ ÙÓÖ Ò Ð Ù Ø ¾º ÙÒ Ø Ø Ò u = log f γ = max(, t) Ð ÑÑ Ø Ô Ù u = log f γ = e pt º Ä Ù ¾º º ÇÐ ÓÓÒ K ÐÙ Ò Ω ÓÑÔ Ø Ó ÓÙ Ó h Ö Ð ÖÚÓ Ò Ò Ø ÙÚ K ÖÑÓÒ Ò Ò ÓÙ Ó int(k) ØÑ Ñ Ö ÒØ Ø Ö Ó ØØ ÓÙ ÓÒ K Ô Ø Ò ÓÙ Ó Ð K Ø ÓÒ ÔÓ Ø ØØÙ Ò Ö ÙÒ µº ÆÝØ Ω Ù ÖÑÓÒ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ u Ó ØÓØ ÙØØ K Ò Ö ÙÒ ÐÐ ÓÒ u(z) h(z) ÓÒ Ó Ó ÓÙ Ó K ÚÓ Ñ ÔÝ ØÐ u(z) h(z)º ÌÓ ØÙ º Ø Ø Ò ũ = u h Ø Ò Ú Ø ÓÐ ØÙ ØØ ũ(z) > ÓÐÐ Ò z int(k)º ËÙ ÖÑÓÒ Ò Ö Ð ÖÚÓ Òµ ÖÑÓÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÖÓØÙ Ò ũ ÓÒ ÝÐ ÐØ ÔÙÓРع ÙÚ ÙÒ Ø Ó K ÓØ Ò ÐÐ ÓÒ K Ñ Ñ m > º ÂÓÙ Ó E = {z K : ũ(z) = m} ÓÒ ÒÝØ ÚÓ Ñ Ò ÓÙ ÓÒ ÒØ(K) ÔØÝ ÙÐ ØØÙ Ó ÓÙ Ó Ö ØÝ Ø d(e, K) > º ÇÐ ÓÓÒ z Eº ÆÝØ ÚÓ Ò Ú Ð Ø ÐÐ Ò Ò r > ØØ ÙÐ ØØÙ ÙÙÐ U(z, r) ÒØ(K)º ÅÙØØ ÓÙ Ó U E c ÓÒ ÔØÝ ÓÐÐÓ Ò ũ(z ) = m > 1 ũ(z + re iϕ )dϕ = 1 u(z + re iϕ )dϕ h(z ). Î Ñ Ò Ò Ý ØÐ ÝÝ Ô ÖÙ ØÙÙ ÖÑÓÒ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÖÚÓ¹ÓÑ Ò ÙÙØ Ò Ð Ù ¾º µ Ó Ó ØØ ØØ ũ ÓÒ Ù ÖÑÓÒ Ò Òº Ë ØÙ ÔÝ ØÐ ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ö Ø Ö Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ Ò ØÓ ØÙ Ð ÝØÝÚØ ÊÙ Ò Ò Ö Ø ÚÙÐØ ¾º ÊÙ Ò Ò Ø Ó Ò ÚÙ º

7 Ù ÖÑÓÒ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ¾º Ó Ò µ Ò ÓØ Ò Ð ÙÔ Ö Ò Ò Ú Ø Ô Ø Ô Ò º Ê Ð ÖÚÓ Ø ÖÑÓÒ Ø ÙÒ Ø ÓØ Ö Ó ØØ Ú Ø ÝÐ ÐØ Ù ÖÑÓÒ ÙÒ Ø Ó Ø º À Ö¹ ÑÓÒ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ø Ô Ò Ù ÖÑÓÒ ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ ÔØ ÐÐ Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ Ù¹ Ö Ú ÓÖÓÐÐ Ö º ÃÓÖÓÐÐ Ö ¾º º Å Ð u ÓÒ Ý Ó D Ø ÙÚ Ù ÖÑÓÒ Ò Ò ÙÒ Ø Ó r < 1 Ò Ò ØÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó m(r) = 1 u(re iϕ )dϕ ÓÒ Ú Ú º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ r 1 < r 2 < 1 h Ø ÙÚ Ó z r 2 ÖÑÓÒ Ò Ò Ò Ô ¹ Ø Ñ Ù Ò u Ò Ö ÙÒ ÐÐ º ÆÝØ u(z) h(z) Ó z r 2 m(r 1 ) 1 h(r 1 e iϕ )dϕ = h() = 1 h(r 2 e iϕ )dϕ = m(r 2 ). ÌØ Ò ÓÒ Ó Ó Ø ØØÙ ØØ m(r) ÓÒ Ú Ú ÙÒ Ø Ó Ý Ó Dº ËÙ ÖÑÓÒ Ò Ò ÙÒ Ø Ó u ÚÙØØ ÙÔÖ ÑÙÑ Ò Ý Ø Ò ÚÓ Ñ ÐÙ Ω Ó Ú Ò Ó ÓÒ Ú Ó ÙÒ Ø Óº ÇÐ ÓÓÒ sup Ω u(z) = u(z ) = m ÓÐÐÓ Ò u(z) m ÐÐ z Ωº ÆÝØ ÓÒ ÓÐ Ñ Ó Ò r > ÓÐÐ U(z, r) Ω = u(z ) m 1 ( u(z + re iϕ ) m ) dϕ. ÐÐÓÐ Ú Ò ÔÝ ØÐ Ò ÒÓ ÐÐ u(z) = m Ó U(z, r) ÓÙ Ó A = {z Ω : u(z) = m} ÓÒ ÚÓ Òº A ÓÒ ÑÝ ÙÐ ØØÙ Ó u ÓÒ ÝÐ ÐØ ÔÙÓÐ Ø ÙÚ º ÌØ Ò A = Ω u ÓÒ Ú Ó ÙÒ Ø Óº ËÙ ÖÑÓÒ Ø ÙÒ Ø ÓØ ÝØØÝØÝÚØ ÙÙÖ ÐØ Ó Ò Ñ ÐÐ Ø ÚÓ Ò Ù Ò ÖÑÓÒ Ø ÙÒ ¹ Ø ÓØ Ñ ÓÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò ÙÖ Ù Ù ÖÑÓÒ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÑÖ Ø ÐÑ Øº Å Ø Ò ÒÑ ÙÒ Ø ÓÔ Ö ØØ ØØ Ò ÖÓ Ú Ø ØÓ Ø Ò Ê Ð ÖÚÓ Ø Ò ÖÑÓÒ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ØÓ¹ ØØ Ò Ó ÐØÝÚÒ Ù ÖÑÓÒ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ô Ö Òº Ë ÙÖ Ú Ø ÐÐÒ Ö ØØÚ ØÓ ÐÐ ØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ù ÖÑÓÒ Ò Ò Ú Ò ÖÑÓÒ Ò Òº Ä Ù ¾º º Å Ð u ÓÒ ÖØ Ø ÙÚ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ u > ÐÙ Ω Ò Ò u ÓÒ Ω Ù ÖÑÓÒ Ò Òº ÌÓ ØÙ º Ì Ò Ú Ø ÓÐ ØÙ ØØ u ÓÐ Ù ÖÑÓÒ Ò Òº ÙÒ Ø Ó u ÓÒ Ù Ø Ò Ò ÖØ Ø ÙÚ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ ÓØ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò Ö Ð ÖÚÓ Ò Ò ÖÑÓÒ Ò Ò ÙÒ Ø Ó h ØØ ÙÒ Ø ÓÐÐ u h ÓÒ ÐÓ Ð µ Ñ Ñ Ó Ò ÐÙ Ò Ω Ô Ø º ÃÝ Ô Ø ÔØ 2 (u h) 2 (u h) ÓØ Ò (u) = (u h) º ÌÑ ÓÒ x 2 y 2 Ö Ø Ö Ð Ù ØÓ Ò Ò ÓØ Ò Ð Ù Ô Ø Ô Ò º ¾º Ð Ò ØÙÐÓ ÒÒ Ò Ð Ò ØÙÐÓÒ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÒ ÝÝØ ØÓ Ø Ñ Ø Ø Ö Ó ØØ ØÙÐÓÒ ÙÔÔ Ò Ñ Ò Òº ÇÐ ÓÓÒ {c i } ÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÓÒÓº Ë ÒÓØ Ò ØØ ØÙÐÓ (1+c i) ÙÔÔ Ò Ó Ø ÐÙ Ù c C Ó c n lim n (1 + c i) = cº ÂÓÒÓ c i ÙÒ i º Ã Ö Ó Ø Ø Ò Ó U(, 1 2 ) ÐÓ Ö ØÑ ÙÒ Ø Ó Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ò log(1 + z) z = n= ( 1) n z n+1 n + 1 z = ( 1) n (z) n+1 ( 1 ) n z 2 = z 2. n n=1 n=1

8 ÌÑÒ ÚÙÐÐ Ò ÖÚ Ó n ( n ) 1 + c i = exp log 1 + c i exp ( n ) c i. ÐÐÓÐ Ú Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ ØÙÐÓÒ i 1+c i ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò ÓÒ Ú Ú Ð ÒØØ ÙÑÑ Ò i c i ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º Ö ØÝ Ø ÙÑÑ ÙÔÔ Ò Ó n (1 + c i) ÙÒ n º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½¼º Ð Ò ØÙÐÓµ ÇÐ ÓÓÒ m N + Ú Ó {z i } Ý ÓÒ D ÓÒÓ Ó ØÓØ ÙØØ Ð Ò ÓÒ i (1 z i ) < º Ë ÙÖ Ú Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ ØÙÐÓ B(z) = z m i z i z i z i z 1 z i z ÙÔÔ Ò D º Æ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø ÓØ B(z) ÒÓØ Ò Ð Ò ØÙÐÓ º ÎÓ Ò ÓРع Ø ØØ ÐÐ i ÓÒ z i º Í Ò ØÙÐÓÒ Ø Ø ØÒ ÔÓ ÖÖÓ Ò z m º ÁÒ Ò i ÓÙ Ó ÚÓ ÑÝ ÓÐÐ Ö ÐÐ Ò Ò ÑÙØØ Ù ÑÑ Ø Ò Ò Ý ÐÔ Ó Ó ÓÙ¹ ÓÒ Nº ÂÓ Ò Ò ØÙÐÓÒ Ø zi z 1 z ÓÒ Ý Ó Ò ÐÝÝØØ Ò Ò z i z iz 1 z iz < 1 ÓØ Ò Ý Ó D z ØÙÐÓ B(z) < 1º Ä Ù ¾º½½º Ð Ò ØÙÐÓ ÙÔÔ Ò Ø Ø Ñ Ø Ò Ó z r < 1 Ò ÒÓÐÐ Ó Ø ÓÚ Ø Ô Ø Ø z i ÓÖ Ó Ñ Ð m > µ Þµ ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Ò ÙÒ Ø Óº ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ z r < 1 Ø Ø Ò a i = z i z º 1 z iz ÆÝØ < a i 1 ÐÐ i ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ ØÓ a i exp (1 a i )º ÐÐ Ò i a i i exp (1 a i) = exp i (1 a i)º Ä 1 a i = 1 z i z i z z i 1 z i z 1 z i z i z z i 1 z i z = z i z i 2 z z i z i + z i z z i (1 z i z) = z i (1 z i ) + z z i (1 z i ) z i (1 z i z) = (1 z i )(z i + z i z) z i (1 z i z) 1 + r 1 r (1 z i ). ÐÐ Ó Ó Ø ØÙÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ( i a 1+r ) i exp 1 r i (1 z i ) Ñ ÙÑÑ ØÓØ ÙØØ Ð ¹ Ò ÓÒº ÂÐ ÐÐ ÓÒ Ó Ó ØØ ØØ i a i º ÐÐÓÐ Ú Ò ÔÝ ØÐ Ò ÙÑÑ Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò ÙÖ Ù Ò i 1 z i z i z z i 1 z iz < ÓØ Ò ØÙÐÓÒ ÙÔÔ Ò Ñ Ö Ø Ö Ò ÒÓ ÐÐ z i z i º zi z i 1 z iz B(z) Ø Ø Ö ÑÑ Ò ÒÓ Ò Ò Ó ØÙÐÓص ÙÔÔ Ò Ø Ø Ó Ó z r < 1 ÓØ Ò ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Ò Ò ÒÓÐÐ Ó Ø ÓÚ Ø Ô Ø Ø z i ÖØ ÐÙÚÙØ ÙÓÑ Ó Òµº Ä Ù ¾º½¾º Î Ø Ú Ø i (1 z i ) < Ó Ð Ò ØÙÐÓ ÙÔÔ Ò Ó z r < 1º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ b i ÒÝØ Ð Ò ØÙÐÓÒ i Ø º Ð Ò ØÙÐÓÒ ÙÔÔ Ò Ñ Ò ÒÓ ÐÐ ÙÑÑ i b i 1 = i 1 b i ÙÔÔ Ò º Ä Ù Ò ¾º½½ ØÓ ØÙ Ò Ø Ô Ò 1 b i = 1 z i z i z 1 z i z = = (1 z i )(z i + z i z) z i (1 z i z) (1 z i ) 1 z 1 + z i z 1 r 1 + r (1 z i ). z i Ø ØÒ ÙØ ØÙÐÓ Ø ) ( i b i exp( i 1 b ) 1 r i exp 1+r i (1 z i ) º Å Ð i (1 z i ) ÙÔÔ Ò Ú Ò Ð ØÝÝ Ö Ø ÒØ Ò Ò i b i º ÌÑ ÓÒ Ö Ø Ö Ø Ó Ð Ù ÓÒ ÒÓ ÐÐ B(z) ÙÔÔ Ò º

9 ¾º ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò ÐÝÝØØ Ø ÔÙØÙÐÓ Ø Ò ¹ Ú ÖÙÙ Ò Ø ÓÖ Ø ÐÐÒ Ù Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò ÐÝÝØØ ÐØ Ò ÒÒ ÐØ Ð Ò ¹ Ö ÙÚ Ù Ø Ò ÚÙÐÐ Ú ØÑÒ ØÝ Ò Ô ÐÐ Ò Ò ÐØ Ø ÐÐÒ Ò Ò ÑÑÒ Ö Ð ¹ ÓÑÔÐ Ò ÐÝÝØØ ÐØ ÔÙÓÐ ÐØ Ò Ò ÑÙÙØ Ñ ØÓ ØÙ ÓÒ Ø ØØÚ ÙÓÑ ØØ Ú Ø Ð ÒØ ÑÑ Ò ÙÖ Ú Ò Ò Ú Ú Ð ÒØ Ò Ø ÓÖ Ñ Ò ÚÙÐÐ º ÚÓ Ñ Ò ÙÚ Ù Ò ÙÐ ØÙÒ ÙÚ Ò Ð Ù Ø ÓÒ ØÓ Ø ØØÙ ÑÙÙÒ ÑÙ Ã Ö Ø Ð Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò ÐÝÝ Ò Ô ÖÙ ÙÖ Ò ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø º Ì ÓÖ Ñ ¾º½ º ÚÓ Ñ Ò ÙÚ Ù Ò Ð Ù µ ÇÐ ÓÓØ X Y Ò ¹ Ú ÖÙÙ Øݹ ÐÐ ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ µ T : X Y ÐÐ Ò Ò Ø ÙÚ Ð Ò Ö ÙÚ Ù ØØ Ý Ô ÐÐÓÒ ÙÚ Ò ÙÐ ÙÑ T(B X ) ÐØ ÓÒ Ò Y Ò ÚÓ Ñ Ò ÙÙÐ Òº Æ Ø Ó Ø ÙÖ ØØ T(X) = Y ÓÒ ÓÐ Ñ r > Ø Ò ØØ T(B X ) r B Y = {y Y : y < r}º Ì ÓÖ Ñ ¾º½ º ÙÐ ØÙÒ ÙÚ Ò Ð Ù µ ÇÐ ÓÓØ X Y Ò ¹ Ú ÖÙÙ T : X Y ÐÐ Ò Ò Ð Ò Ö ÙÚ Ù ØØ ÓÙ Ó { (x, Tx) : x X } X Y ÓÒ ÙÐ ØØÙ ØÙÐÓØÓÔÓÐÓ º ÌÐÐ Ò T ÓÒ Ø ÙÚ º

10 À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ø Ý Ó ÌÑÒ ÐÙÚÙÒ Ò Ø ÚÓ Ø ÓÒ ÑÖ Ø ÐÐ À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ø H p (D) Ý Ó Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ô ÖÙ ÓÑ Ò ÙÙ º À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ò Ð Ø ÐÐÒ Ð ÑÔ Æ ¹ Ú ÒÐ ÒÒ Ò Ú ÖÙÙØØ Nº ÐÙ ØÓ ØØ ÓÓÒ ØØ Ñ Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f p¹òóöñ p (1 p < ) Ñ Ø ÐÐ ÓÙ Ó Ω ÓÒ Ñ ØØ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òµ ÓÒ ÒØ Ö Ð f p = ( Ω f p dµ ) 1/p º ÖÚÓÐÐ p = ÒÓÖÑ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ú ÐÐ f = sup Ω f º ÐÐ Ñ Ò ØÙØ p¹òóöñ Ø ÑÖ ØØ Ð ÚØ L p ¹ Ú ÖÙÙ Ø Ø Ò ØØ L p (Ω) ÐØ ÙÒ Ø ÓØ Ó ÐÐ ÒÓÖÑ p < º ÐÐ ÙÚ ØÙØ L p ¹ Ú ÖÙÙ Ø ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ú ÖÙÙ ÑÙØØ p ÓÐ ÒÓÖÑ ÙÒ ÓÒ < p < 1º ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ú Ø Ú Ú ÖÙÙ L p ÓÐ ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ º ÅÙÙÒ ÑÙ Ø Ø ÝÝ Ø ØÙØ ÐÑ Ø Ö Ø ÐÐ À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ ÖÚÓ ÐÐ < p < 1º ÖÚÓ ÐÐ 1 p ÔÙÓÐ Ø Ò p ÓÒ ÒÓÖÑ L p (Ω) ÓÒ Ò ¹ Ú ÖÙÙ Ð ØÝ ÐÐ Ò Ò ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ º Æ Ø ØÙÐÓ Ø Ò Ò Ó Ø Ñ Ò ÝØ ØØÚ À Ð Ö Ò Å Ò ÓÛ Ò ÔÝ ØÐ Ø Ù Ø Ò Ò ØÓ Ø Ø Ø ÑÙ ÐÐ Ø ÚÓ Ò Ó Ó Ø Ø Ø º ØØ ÓÒ Ø ÐØÝ Ø Ö ÑÑ Ò ÑÓÒ ÔÙÓÐ ÑÑ Ò À Ð Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ ÐÙ ÒØÓ ÙÖ ÐÐ Å ØØ ÒØ Ö Ð Ê Ð Ò ÐÝÝ Á ÑÝ ÊÙ Ò ØØ Ð ØØ Ö Ò Ê Ð ² ÓÑÔÐ Ü Ò ÐÝ ÐÙÚÙ L p ¹ËÔ ÚÙØ ½¹ µº Ð Ø ÓØØ Ò Ø Ø Ø ÒÔ Ò ÑÝ Ò ÔÙ ÙØ Ñ Ø ÐÐ Ø ÓÙ Ó Ø Ø ÙÒ Ø Ó Ø Ú Ò ÓÐ Ø Ø Ò Ò Ò ÓÑ ÙÙ Ò ÓÐ Ú Ò ÐÑ Ø ÓÒØ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ º Ä ÐÑ Ò Ö ÐÐ Ø Ñ Ò ÒØ ÙÒ Ø Ó Ø ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ Ø ÐÐÒ Ý Ó º º½ Ú ÖÙÙ Ø H p N Ä Ø ØÒ Ó Ò Ý Ó Ø ÙÚ Ò ÙÒ Ø ÓÓÒ f ÙÒ Ø ÓÔ Ö {f r } ( r < 1) f r (e iϕ ) = f(re iϕ ). ÇÐ ÓÓÒ m Ý ÝÑÔÝÖÒ Ø Ú ÐÐ Ò Ò Ä Ù Ò Ñ ØØ º Ã Ö Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú L p ¹ Ú ÖÙÙ Ò ÒÓÖÑ Ú Ø Ú Ø ÒÓÖÑ Ø ÙÒ Ø ÓÔ Ö Ò {f r } Ð Ó ÐÐ Ø ÐÐÒ Ð ÙÙÖ º f r p = ( 1 D f (1 p < ) f = sup f(re iϕ ) 1/p dm) p r r ϕ ( 1 ) f r = exp log + f r dm D ÁÒØ Ö Ð Ø ÓØ Ø Ò Ô Ø Ò Ý ÓÒ Ö ÙÒ Dº ÄÙÚÙ ¾º Ó Ó Ø ØØ Ò ÙÒ Ø Ó Ò f p ( < p < ) log + f ÓÐ Ú Ò Ù ÖÑÓÒ Ó f ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Òº ÃÓÖÓÐÐ Ö Ò ¾º ÒÓ ÐÐ f r p (p = Ø 1 p < ) ÓÒ Ò Ò ÓÐÐ Ò r Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ú Ú º ÌØ Ò ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ò ÒÓÖÑ Ø p ÙÙÖ ÙÖ Ú Ø f p := sup { f r p : r < 1 } = lim r 1 f r p. Å Ð p = Ý ØÐ ÔØ Ò ÐÝÝØØ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ñ Ñ Ô Ö ØØ Ò ÒÓ ÐÐ º ËÙÙÖ ÓÐ ÒÓÖÑ ÐÐ ØÓØ ÙØ ÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ º ÌÐÐ Ò Ñ Ø Ø Ò ÙÒ Ø ÓØ ÓØ ÔÓ Ú Ø ØÓ Ø Ò Ú Ò ÒÓÐÐ Ñ ØØ ÓÙ Ó º ÊÙ Ò Ò Ø Ó Ò ÚÙ ¾½¾º ½¼

11 ÀÙÓÑ Ó º½º Â Ø Ó ÝØ ØÒ L p ( D)¹ ØØ À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ò ÒÓÖÑ Ø Ñ Ö¹ ÒØ p º È ÒØ Ø Ý ÓÒ À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ò ÒÓÖÑ Ø ÑÙØØ Ò ÚÓ Ø Ô Ù ¹ Ó Ø Ø Ú ÖÑ Ø Ø Ñ Ú ÖÙÙ ÙÒ Ø ÓØ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØݺ ÅÖ Ø ÐÑ º¾º À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ø Ý Ó µ H p (D) (1 p ) ÓÓ ØÙÙ Ý Ó D Ò ÐÝÝØØ Ø ÙÒ Ø Ó Ø f ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÓÒ f p < º ÅÖ Ø ÐÑ º º Ý ÓÒ Æ Ú ÒÐ ÒÒ Ò Ú ÖÙÙ µ ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ N(D) ÔÙÓÐ ¹ Ø Ò ÓÓ ØÙÙ Ø Ò ÐÝÝØØ Ø ÙÒ Ø Ó Ø f Ó ÐÐ f < º Æ Ú ÒÐ ÒÒ Ò Ú ÖÙÙ Ø ÝØ ØÒ ÑÝ Ñ Ö ÒØ H = Nº À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ ÐÐ Ý Ó ÓÒ ÒÝØ ÒÒ ØØÙ Ò ÑÑ Ø ÑÖ Ø ÐÑغ Ò ÐÑÝ ¹ ÐÐ ÐÙ ÚÓ ÔÓ ÐÐ Ý ÝÑÝ Ø Ñ Ò ÒÒ Ø Ú Ò Ñ Ò ÑÙÓ ØØÙÙÒ L p ¹ Ú ÖÙÙØ Ò ÒÒ ØØ ÒÒ ØØ ÙÓÑ ÓØ Ø Ñ H p ¹ Ú ÖÙÙ Ò ÑÖ ØØ ÐÝÝÒ Ó Ø ¹ Ú ØÝ Ó Ò Ø ÙÚ Ò ÙÒ Ø ÓÓÒ Ð Ø ØØ Ò Ö ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÔ Ö º ÀÙÓÑ ÓÒ ÖÚÓ ÙÙ ÙÒ Ø ÓÔ Ö Ò Ý ÝÐÐ ÝÝ ÔÓ Ú Ø ÑÓÐ ÑÑ Ø Ò ÐÝÝØØ Ø Ò ÙÒ ¹ Ø Ó Ò ÝØØÝØÝÑ Ò Ý ÓÒ Ö ÙÒ ÐÐ º Ó ØØ Ò ÓÒ ÑÝ Ú Ð Ú ÑÔ ØÙØ ÙÒ Ø ÓÔ Ö Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ð ØÝØØ Ý ÓÒ Ö ÙÒ Ñ Ò Ð H p ¹ Ú ÖÙÙ Ø Ô ÝØÒ ÑÝ ÑÑ Ò ÖÐ ÓÒ Ò Ñ ØØÓ Ò ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú Ò ÓÒÓ Ò ÑÙØØ ÒÒ Ò ØØ ÓÒ ÝÝØ Ñ Ò Ø Ö Ø ÐÐ H p ¹ N¹ Ú ÖÙÙ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÒÒ ØØ º º¾ Ú ÖÙÙ Ò H p N Ô ÖÙ Ö ÒÒ ÇÐ ÓÓÒ {f n } Ú ÖÙÙ Ò H p ٠ݹ ÓÒÓ z r < R < 1º Ë ÙÖ Ú Ò ÔÝ ØÐ Ò Ò¹ ÑÑ Ò Ò Ó Ø ÔØ Ù ÝÒ Ú Ò ØÓ Ò Ò L p ¹ Ú ÖÙÙ Ò Ø ÓÖ Ø ØÙØÙÒ À Ð Ö Ò ÔÝ ØÐ Ò Ú Ñ Ò Ò ÒÓÖÑ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ (R r) (f n f m )(z) 1 D (f n f m ) R dm ( 1 D (f n f m ) R p dm) 1/p fn f m p. Ì Ø ÔØ ÐÐÒ ÓÒÓÒ {f n } ÙÔÔ Ò Ú Ò ÐÓ Ð Ø Ø Ø Ó Ø Ý Ó Ò ÐÝÝع Ø Ø ÙÒ Ø ÓØ fº ØÓÙÒ Ð ÑÑ Ò ÒÓ ÐÐ ÐÐ R < 1 ÔØ 1 (f f m )(z) p 1 dm = lim (f n f m )(z) p dm lim n f n f m p n p. U(,R) U(,R) ÂÓ ÐÐ ǫ > ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò n ǫ ØØ ÐÐ n > n ǫ ÔÝ ØÐ f n f nǫ p < ǫ ÓÒ ÚÓ Ñ º ØÑÐÐ ØÑ ÝÐÐÓÐ Ú Ò ØÙÐÓ Ò Ò f f nǫ p lim n f n f nǫ p < ǫ. H p ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ð Å Ò ÓÛ Ò ÔÝ ØÐ Ò ÒÓ ÐÐ Ý Ò Ú ÖÙÙ Ò ÙÒ Ø ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ Ò ÓØ Ò H p ÓÒ Ò ¹ Ú ÖÙÙ Ð ØÝ ÐÐ Ò Ò ÒÓÖÑ ¹ Ú ÖÙÙ Ó ÐÐ 1 p < º ÇÒ ÐÔÔÓ ÒÝØØ ØØ ÑÝ H ÓÒ Ò ¹ Ú ÖÙÙ º L p ¹ Ú ÖÙÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÓÖ Ò ÒÓ ÐÐ ÓÒ Ð ÐÚ ØØ H H q H p N Ó 1 p < q < º Î Ñ Ò Ò ÐØÝÚÝÝ ÙÖ ÙÓÖ Ò ÐÓ Ö ØÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ú Ù Ø º Ë ÙÖ Ú ÓÒ Ø Ö Ó ØÙ Ø Ö Ø ÐÐ ÙÒ Ø Ó Ò ÒÓÐÐ Ó Ø Ñ Ø Ø ÚÓ Ø ØØ ÐÑÐÐÔ Ø Ò ØÓ Ø Ø Ò Ò Ò Ö Ý ÝÐÐ Ò Ò ÔÙØÙÐÓ Ó ØÙÒÒ Ø Ò ÑÝ Â Ò Ò Ò Ú Ò º ½½

12 º Æ Ú ÒÐ ÒÒ Ò Ú ÖÙÙ Ò ÒÓÐÐ Ó Ø Ì ÓÖ Ñ º º Â Ò Ò Ò Ú µ ÇÐ ÓÓÒ f Ó U(, R) Ò ÐÝÝØØ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f() z 1,..., z n Ò ÒÓÐÐ Ó Ø Ó U(, r) ( < r < R) ÖØ ÐÙÚÙØ ÙÓÑ Ó ¹ Òµº ÌÐÐ Ò ÔØ f() n r z i = exp { 1 } log f(re iϕ ) dϕ. ÌÓ ØÙ º ÂÖ Ø ØÒ ÒÓÐÐ Ó Ø Ø Ò ØØ z 1,.., z k U(, r) z k+1 = = z n = rº Ø Ø Ò k r 2 z i z n z i g(z) = f(z) r(z i z) z i z. i=k+1 Æ Ò ÑÖ Ø ÐØÝÒ g ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Ò Ó U(, r + ǫ) ÓÐÐ Ò ǫ > g ÐÐ ÓРݹ Ó ÒÓÐÐ Ó Ø º ÌØ Ò log g ÓÒ Ý Ó ÖÑÓÒ Ò Ò ÖÚÓ¹ ÓÑ Ò ÙÙØ Ò ÒÓ ÐÐ log g() = 1 log g(re iϕ ) dϕº ÙÒ Ø ÓÒ g ÑÖ Ø ÐÑ Ø ¹ Ò ÒÝØ Ö ÐÐ Ø ÖÚ ÓØ g() = f() k r z i { log g(re iϕ ) = log f(re iϕ ) = log f(re iϕ ) + = log f(re iϕ ) k r z ie iϕ z i re iϕ k log(1) + n i=k+1 n i=k+1 n i=k+1 log 1 e i(ϕ ϕi). z } i z i re iϕ re iϕi log re iϕi re iϕ ÁÒØ ÖÓ Ø Ð ÑÑ Ø ÖÚ ÓØ ÝÐ ϕ Ò ÚÐ ÐÐ [, ] Ú Ñ Ò Ø ÖÑ Ú º ع ÑÐÐ ÒÝØ ÙØ ÖÚ ÓØ log g Ò ÖÚÓ¹ÓÑ Ò ÙÙØ Ò Ò ÐÙØØÙ ØÙÐÓ f() k r { 1 z i = g() = exp { 1 = exp { 1 = exp log f(re iϕ ) } log f(re iϕ ) dϕ } log g(re iϕ ) dϕ n i=k+1. } log 1 e i(ϕ ϕi) dϕ Â Ò Ò Ò Ú ÝØ ØÒ ÚÐ ØØ Ñ Ø Ó Ó ØØ Ñ Ò Æ Ú ÒÐ ÒÒ Ò Ú ÖÙÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÒÓй Ð Ó ÐÐ ÙÖ Ú ÓÑ Ò ÙÙ º Ä Ù º º ÇÐ ÓÓÒ f N ÑÖ Ø ÐØÝ Ý Ó f º ÙÒ Ø ÓÒ f ÒÓÐÐ Ó Ø ÖØ ÐÙÚÙØ ÙÓÑ Ó Òµ ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ð Ò ÓÒ i (1 z i ) < º ÌÓ ØÙ º ÎÓ Ò ÓÐ ØØ ÒÓÐÐ Ó Ø ÓÐ Ú Ò Ö ØØ Ñ Ø Ó ÑÙÙØÓ Ò ØÓ ØÙ ÓÒ ÐÚº Ä ÚÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ f() Ó ÑÙÙØÓ Ò Ø Ö Ø ÐØ Ò ÙÒ Ø ÓØ f(z)/z m Ñ f ÐÐ ÓÐ ÓÖ Ó ÖØ ÐÙÚÙÒ m ÒÓÐÐ Ó Ø º ÇÐ ÓÓÒ n(r) f Ò ÒÓÐÐ Ó Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÌÑÒ Ó Ó ØØ Ñ Ò Ò Ø ØÒ ÐÙ Ò ÖØ ÐÐ º ÌÓ ØÙ Ð ÝØÝÝ ÊÙ Ò Ò Ö Ò ÚÙÐØ ¼ º ½¾

13 ÙÐ ØÙ Ó U(, r)º Ã ÒÒ Ø ØÒ k Ú Ð Ø Ò r < 1 ÓÐÐ ÔØ n(r) > kº ÆÝØ Â Ò Ò Ò Ú Ø Ò ÔÝ ØÐ n(r) r { 1 f() z i = exp f() k r { 1 z i exp } log f(re iϕ ) dϕ } log + f(re iϕ ) dϕ. ÔÝ ØÐ Ò Ó ÔÙÓÐ ÓÒ ÝÐ ÐØ Ö Ó Ø ØØÙ ÐÐ < r < 1 Ó ÓÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò f Nº ÌØ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ c < ÓÐÐ ÖÚ Ó k z i rk f() c ÔØ ÐÐ k Ò ÖÚÓ ÐÐ ÙÒ r 1º ÐÐ Ò ÚÓ Ò Ö Ó ØØ z i f() >. c ÌÑ Ó Ó ØØ ØØ ØÙÐÓ i z i ÙÔÔ Ò Ó z i < 1 ÐÐ iº ÐÐ Ò Ö Ó Ø Ø Ò z i exp( z i 1) i z i exp ( i (1 z i ) ) º ÌÑÒ ØÙÐÓ Ò ÒÓ ÐÐ i (1 z i ) < Ó ÑÙÙØÓ Ò ØÙÐÓ ÙÔÔ Ò º ÌÙÐÓ ÓÒ Ú Ö Ò Ñ ÐÐÝØØÚ Ú ÐÚ Ø Ð Ò ØÙÐÓÒ Ú Ú ÑÔ Ò Ð ÒÓÐÓÓÒ À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ ØÙØ ØØ º ËÙÓÖ ÙÖ Ù Ð Ù Ø º ÓÒ ØØ ÒÓ Ý ÓÒ ÙÒ Ø Ó f N ÓÒ ÒÓÐÐ Ó Ø ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÓÒ i (1 z i ) = ÓÒ f º Æ Ú ÒÐ ÒÒ Ò Ú ÖÙÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÒÓÐÐ Ó Ø ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ð Ò ÓÒº Ö ØÝ Ø ØÑ ÔØ ÐÐ À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ò ÙÒ Ø Ó ÐÐ º Å Ð Ò ÒØÓ ÒÓÐÐ Ó Ø Ò ØÙØ Ñ ¹ ÐÐ Ð ØØ À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÚÓ Ò ÖÓØØ ÒÓÐÐ Ó Ø ÐÑ Ò ØØ Ú ÙØØ Ý Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÒÓÖÑ Òº Ä Ù º º Î Ð Ø Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò Ý ÓÒ Æ Ú ÒÐ ÒÒ Ò Ú ÖÙÙ Ò ÙÒ Ø Ó f f ÓÒ ÒÓÐÐ Ó Ø ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò Ð Ò ØÙÐÓ Bº Ø Ø Ò ÒÝØ g = f/b ÓÐÐÓ Ò g N g = f ÐÐ Ò Ñ Ð f H p Ò Ò g H p Ö ØÝ Ø g p = f p ÙÒ 1 p º ÌÓ ØÙ º Ó z D Ð Ò ØÙÐÓÒ ÖÚÓ ÐÐ ÔØ Ò ÔÝ ØÐ B(z) 1 ÓØ Ò g(z) f(z) ÙÒ z Dº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ f H p (p = Ø 1 p )º ÇÐ ÓÓÒ B s ÙÒ Ø ÓÒ f s Ò Ò ÑÑ Ò ÒÓÐÐ Ó Ò Ö ØÝ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÒÓÐÐ Ó Ø Ò ÖØ ÐÙÚÙØ ÙÓÑ Ó Òµ ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ð Ò ØÙÐÓ g s = f/b s º ÂÓ ÐÐ s ÔØ B s (re iϕ ) 1 Ø Ø ÙÒ r 1º ÌØ Ò g s p = f p º ÅÓÒÓØÓÒ Ò ÓÚ Ö Ò Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ g r p = lim s (g s) r p f p. Î Ñ Ò Ò ÔÝ ØÐ ÔØ ÐÐ r < 1 ÓØ Ò Ö ÐÐ r 1 Ò g p f p º ¹ ØÑÐÐ ØÑ ØÓ ØÙ Ò ÐÙ Ø ØÝÝÒ ÙÓÑ ÓÓÒ Ò g p = f p º Ä ÑÑ º º ÂÓ ÐÐ f H p f, (1 p < ) ÓÒ ÒÓÐÐ Ó Ø ÓÒ ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ Ð Ò ØÙÐÓ B ÓÒ ÓÐ Ñ ÒÓÐÐ Ó ØÓÒ ÙÒ Ø Ó h H 2 ÓÐÐ ÔØ f = B h 2/p º Ö ¹ ØÝ Ø Ó Ò Ò f H 1 ÑÙÓ Ó ØÙÙ ØÙÐÓ Ø f = gh Ñ ØÙÐÓÒ ÑÓÐ ÑÑ Ø Ø Ø ÙÙÐÙÚ Ø Ú ÖÙÙØ Ò H 2 º È Ð ÙÒ Ñ Ö ØÝ Ú Ð ØØÝÝ ÚÙÐÐ ¾ º ½

14 ÌÓ ØÙ º Ä Ù Ò º ÒÓ ÐÐ f/b H p f p = f/b p º ÙÒ Ø Ó f/b ÓÒ ÒÓÐÐ ¹ Ó ØÓÒ Ý Ø Ý Ø Ò ÐÙ D ÓØ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ò ÐÝÝØØ Ò Ò ÙÒ Ø Ó φ ÓÒ ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø Ó exp(φ) = f/bº ½¼ Ø Ø Ò ÒÝØ h = exp(pφ/2) ÓÐÐÓ Ò h ÓÒ Ò ÐÝÝØØ ¹ Ò Ò h 2 = f/b p ÓØ Ò h H 2 Ð Ù Ò º ÑÙ Ò h 2 2 = f p p Ñ Ø ÓÑ Ò ÙÙ f = B h 2/p ÙÖ º Ä ÑÑ Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ó ÓÒ ÒÝØ ØÓ Ø ØØÙº ÂÐ ÑÑ Ò Ó Ò Ó Ó ØØ Ñ ÝØ ØÒ Ó Ó Ó Ø ØØÙ ØÙÐÓ Ø f = (Bh) h (f H 1 ) ÓÐÐÓ Ò g = Bh ØÓ ØÙ ÓÒ ÐÚº º H p ¹ ÙÒ Ø ÓØ Ý ÓÒ Ö ÙÒ ÐÐ À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ò ÙÒ Ø Ó ÐÐ ÓÒ ÒÝØ Ø ØØÝ ÑÓÒ Ñ Ð Ò ÒØÓ ØÙÐÓ ÑÙØØ ÙÒ ¹ Ø Ó Ò ÝØØÝØÝÑ Ò Ò Ð ØÝØØ Ý ÓÒ Ö ÙÒ ÓÒ ÒÝØ Ú ÐÐ ÙÓÑ ÓØ º Ë ÙÖ Ú Ô Ò Ù ÙØ Ò Ø Ò Ý ÝÑÝ Ò Ñ Ò Ø Ö ÑÑ Òº ÐÙ ÒÒ Ø Ò ÑÙÙØ Ñ ÑÖ Ø ÐÑ ØÑÒ Ð Ò Ø Ö Ø ÐÐ Ò À Ö Ý¹Ä ØØÐ ÛÓÓ Ò Ñ Ñ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Mf ¹Ø Ò ÒØ Ð Ò Ñ Ñ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ý Ø ÝØغ Mf ÓÒ ÑÙÓØÓ Mf(e iϕ 1 ) = sup I e I iϕ I f(t) dt, Ñ I ÓÒ Ý ÓÒ Ö ÙÒ Ò Ö I ÓÒ Ö Ò Ô ØÙÙ º Ë ÙÖ Ú Ò Ñ Ñ Ð ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ø Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ØÓ ØÙ Ø Ð ÝØÝÚØ ÊÙ Ò Ò Ø Ó Ò ÚÙ ÐØ ½ ½ º ÀÙÓÑ Ó º º (1) ÇÐ ÓÓÒ m Ø Ú ÐÐ Ò Ò Ä Ù Ò Ñ ØØ f L 1 ( D) λ >. ÌÐÐ Ò Mf < Ñ Ð Ò ÐÐ m ( {e iϕ : Mf(e iϕ ) > λ} ) C 1 λ f 1. (2) ÙÒ Ø Ó ÐÐ f L p ( D) (p > 1) ÔØ Mf p C p f p Å Ö ÒØ S α ( < α < π/2) Ø Ö Ó ØØ ÓÙ Ó Ó ÝÒØÝÝ Ý ÝÑÔÝÖÒ Ô Ø Ø 1 ÑÙÓ Ó Ø ØÙÒ 2α Ò ÙÙÖÙ Ò ÙÐÑ Ò ÓÖ Ó Ø ÑÙÓ Ó Ø ØÙÒ π 2α Ò ÙÙÖÙ Ò Ù ÙÐÑ Ò Òº S α ÓÒ Ð ÒÑÙÓØÓ Ò Ò Ý ÓÒ ÚÓ Ò Ó ÓÙ Óº Å Ö ÒØ e iϕ S α ÔÙÓÐ Ø Ò Ø Ö Ó ØØ S α Ò ÖØÓ ÓÖ ÓÒ ÝÑÔÖ ÙÐÑ Ò ϕ Ú ÖÖ Òº È Ø ØØ e iϕ ÚÓ Ð ØÝ ÐÙ e iϕ S α Ø Ò ÒØ Ð Ø Ý ÓÒ Ö ÙÒ Ò Ù Ø Òº S α O π 2α 2α 1 ½¼ ÌÑÒ ÓÑ Ò ÙÙ Ò ØÓ ØÙ Ð ÝØÝÝ ÊÙ Ò Ò Ö Ø ÚÙÐØ ¾ º ½

15 ÅÖ Ø ÐÑ º º ¹Ø Ò ÒØ Ð Ò Ò Ö ¹ ÖÚÓµ Ó D ÑÖ Ø ÐÐÝÐÐ ÙÒ ¹ Ø ÓÐÐ f ÒÓØ Ò ÓÐ Ú Ò ¹Ø Ò ÒØ Ð Ò Ò Ö ¹ ÖÚÓ f Ô Ø e iϕ Ó f(z) f (e iϕ ) ÙÒ z e iϕ ÐÙ e iϕ S α ( < α < π/2)º ÅÖ Ø ÐÑ º½¼º ¹Ø Ò ÒØ Ð Ò Ò Ñ Ñ Ð ÙÒ Ø Óµ Ó D ѹ Ö Ø ÐÐÝÒ ÙÒ Ø ÓÒ f ¹Ø Ò ÒØ Ð Ò Ò Ñ Ñ Ð ÙÒ Ø Ó N α f ÑÖ Ø ÐÐÒ Ý ÓÒ Ö ÙÒ ÐÐ D Ú ÐÐ (N α f)(e iϕ ) = sup { f(z) : z e iϕ S α }. Ì ÓÖ Ñ º½½º ÇÐ ÓÓÒ < r < 1 f ÙÒ Ø ÓÒ g L 1 ( D) ÈÓ ÓÒ Ò ÒØ Ö Ð º ÌÐÐ Ò Ó ÐÐ ϕ ÔØ (N α f)(e iϕ ) C α Mg(e iϕ )º ÌÓ ØÙ º ÈÓ ÓÒ Ò ÒØ Ö Ð Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÒÓ ÐÐ f ÓÒ Ý Ó ÖÑÓÒ Ò Ò ÙÒ ¹ Ø Ó ÓØ Ò f r 1 < Ó ÐÐ r < 1º Ê ØØ Ó Ó ØØ ØØ Ø ÓÖ Ñ ÔØ ÙÒ ϕ = º ÆÝØ f(r) = 1 P(r, t)g(t)dt = 1 P(r, t)g(t)dt. D ÈÓ ÓÒ Ò Ý Ò P ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ð Ú ÙÒ t [, π] ÓØ Ò Ø ÚÓ Ò Ô¹ ÔÖÓ ÑÓ Ð ÐØ ÓÒÓÐÐ Ð Ú Ý Ò ÖØ ÙÒ Ø Ó Ø φ i (t) = i n=1 a nχ ( xn,x n)(t) Ñ a i 1 2x i < x 1 <... < x i < 1º ÈÓ ÓÒ Ò ÝØ Ñ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ 1 φ i (t)dt = 1 D i n=1 ËÙÑÑ 1 i n=1 2x na n 1 ÐÐ i ÓØ Ò 1 φ i (t)g(t)dt 1 φ i (t) g(t) dt 1 D D D 2x n a n 1 P(r, t)dt 1. D i n=1 ÅÓÒÓØÓÒ Ò ÓÒÚ Ö Ò Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ f(r) 1 1 xn 2x n a n g(t) dt Mg(1). 2x n x n P(r, t) g(t) dt Mg(1)º ÇÐ ÓÓÒ z = r e iϕ S α º ÎÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ ϕ > Ó Ø Ô Ù ϕ = ÓÒ Ó Ø ÐØÝ Ø Ô Ù ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÓÐ ØÙ Ò ϕ < Ò º ÄÝ ÝØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÒØ ÓÒ tan(α) ϕ (1 r ) º ÇÒ ÐÑ Ò ÓÒ Ð ÝØ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò P(r, ϕ t) ÐÐ t ÓÒ ÒØ Ö Ð Ý ÓÒ Ö ÙÒ Ò ÝÐ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Òº ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú ÒÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ψ(t) = sup{p(r, ϕ s) : s > t }º ÌÐÐ Ò ψ(t) = P(r, ) ÙÒ t ϕ ψ(t) = P(r, t ϕ ) ÙÒ t > ϕ º ÐÐ Ó ØÙÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÔÝ ØÐ Ò ÒÓ ÐÐ 1 D ψ(t)dt = 1 ϕ ϕ P(r, t ϕ )dt tan(α) = C α. ϕ ϕ P(r, )dt π ϕ 1 + r 1 r dt Ë Ñ Ò Ø Ô Ò Ù Ò ÐÐ ÔÔÖÓ ÑÓ Ò ÙÒ Ø ÓØ ψ(t) Ð ÐØ ÓÙ ÓÐÐ Ð Ú Ú Ó¹ ÙÒ Ø Ó Ø º ÌÐÐ Ò 1 ψ(t) g(t) dt Cα Mg(1) Ö ØÝ Ø f(z ) C α Mg(1)º È Ø z Ú Ð ØØ Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ø ÓØ Ò ÔÝ ØÐ ÔØ ÐÐ z S α º Æ Ò ÓÐÐ Ò ÚÓ Ò Ö Ó ØØ sup z Sα f(z) = (N α f)(1) C α Mg(1)º ÃÓÖÓÐÐ Ö º½¾º ÙÒ Ø ÓÒ g L p ( D) (1 < p ) ÈÓ ÓÒ Ò ÒØ Ö Ð ÐÐ f = P[g] ÔØ ÔÝ ØÐ N α f p C α Mg p º Ë ÙÖ Ú Ø Ð ÑÑ Ø º½ º½ ÚÓ Ó Ø ÑÝ ÓÖÓÐÐ Ö Ø º½¾ ÑÙØØ Ø ØÒ Ò ÐÐ Ù Ø Ò Ò Ñ Ð Ò ÒÒÓÒ ÚÙÓ Ñ Ò Ö Ð Ø ØÓ Ø٠غ ½

16 Ä ÑÑ º½ º À Ö Ý¹Ä ØØÐ ÛÓÓ µ ÇÐ ÓÓÒ h(re iϕ ) ÙÒ Ø ÓÒ f L p ( D) (1 < p < ) ÈÓ ÓÒ Ò ÒØ Ö Ð Ø Ø Ò F(ϕ) = sup r<1 h(re iϕ ) º Æ Ò ÑÖ Ø ÐØÝÒ ÙÒ Ø Ó F L p( [, ) ) ÓÒ ÓÐ Ñ Ú Ò p Ø Ö ÔÔÙÚ Ú Ó C p ÓÐÐ F p C p f p º ÌÓ ØÙ º Â Ø Ø Ò ÐÙ ÙÒ Ø Ó f Ý ÓÒ Ö ÙÒ ÐÐ ¹Ô Ö Ó Ñ Ö ØÒ f(t) = t f(s)dsº ËÙÓÖ Ø Ø Ò Ó ØØ ÒØ ÖÓ ÒØ º h(re iϕ ) = 1 P(r, ϕ t)f(t)dt = 1 [ ] P(r, ϕ t) f(t) 1 t t f(t) {P(r, ϕ t)} dt t à ÒØ ÐÐ ϕ ÓØ Ø Ò ÝÐÐÓÐ Ú Ø Ø ÖÚÓ ÙØ Ò Ø ÓÖ Ñ Ò º½½ ØÓ ØÙ ÔÔÖÓ ¹ ÑÓ Ò ÈÓ ÓÒ Ò Ý ÒØ ÔÓÖÖ ÙÒ Ø Ó ÐÐ φ i (t) ÝØ ØÒ ØÙÐÓ Ø f(t)/t Mf(e iϕ ) ÓÐÐÓ Ò 1 [ φi (ϕ t) f(t) ] 1 t f(t) {P(r, ϕ t)} dt t t 1 f(t) dt + 1 t t {P(r, ϕ t)} Mf(e iϕ )dt Mf(e iϕ ) + 2r 1 + r Mf(eiϕ ) < 2Mf(e iϕ ). ÅÓÒÓØÓÒ Ò ÓÒÚ Ö Ò Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ h(re iϕ ) 2Mf(e iϕ )º ØÑÐÐ ØÑ ÙÓ¹ Ñ ÓÒ º Ó Ò ¾µ Ò Ò h p C p f p Ñ ÔØ ÐÐ hº ÙÒ Ø Ó F ÓÒ ÙÒ Ø Ó Ò h r ÙÔÖ ÑÙÑ Ò Ñ Ø ÐÐ Ò Ò ÓØ Ò Ð ÑÑ ÓÒ Ò Ò ØÙ ØÓ Ø ØØÙ º Ä ÑÑ º½ º À Ö Ý¹Ä ØØÐ ÛÓÓ µ ÇÐ ÓÓÒ f H p (D) (1 p ) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÒ Ø Ó F(ϕ) = sup r<1 f(re iϕ ) º ÌÐÐ Ò F L p( [, ) ) F p C p f p º ÌÓ ØÙ º Ø Ø Ò ÒÒ Ø ØÝÐÐ R ÙÒ Ø Ó g(z) = f(rz) p/2 º Æ Ò ÑÖ Ø ÐØÝÒ g(z) ÓÒ Ù ÖÑÓÒ Ò Òº Ä Ù Ò ¾º ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ý Ó ÖÑÓÒ Ò Ò ÙÒ Ø Ó h ÓÐÐ h(z) g(z) ÙÒ z D h(z) = g(z) ÙÒ z Dº ÌØ Ò Ð ÑÑ Ò º½ ÒÓ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ G(ϕ) = sup g(re iϕ ) r<1 ÔØ G L 2( [, ) ) G 2 C 2 g 2 ÓØ Ò F R (ϕ) = sup r<1 f(rre iϕ ) ØÓØ ÙØØ ÓÒ F R p C 2/p 2 lim r R f r p º ÒÒ Ø Ò ÒÝØ Ú Ñ ÑÑ ÔÝ ØÐ R 1 ÓÐÐÓ Ò F R (ϕ) F(ϕ) Ú ÓØ Ò Ä Ù Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò ÓÒÚ Ö Ò Ò Ð Ù Ò ÓÒ ÒÓ ÐÐ ØÓ ØÙ ÓÒ ÐÚº Ä Ù º½ º ÇÐ ÓÓÒ 1 < p f Ý Ó ÖÑÓÒ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÓÐÐ ÔØ sup r<1 f r p < Ý ÓÒ L p ¹ÒÓÖÑ µº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ò Ò g L p ( D) ÓÒ ÈÓ ÓÒ Ò ÒØ Ö Ð f ÓÒº ÌÑ Ð Ù ÓÒ Ó ÊÙ Ò Ò Ø Ó Ò Ê Ð ² ÓÑÔÐ Ü Ò ÐÝ Ø ÓÖ Ñ ½½º ¼ ÚÙÐÐ ¾ º ÌÓ ØÙ Ø ØÒ Ó Ò ÙÓÑ ØØ Ú Ø Ð ÑÔ ÖÑÓÒ ÙÒ Ø Ó Ø Ó Ú Ó Ó¹ Ò ÙÙØØ ÐÙ Ò ÖØ ÐÐ º Ë ÙÖ ØÙØ Ø Ò ¹Ø Ò ÒØ Ð Ø Ö ¹ ÖÚÓ Ñ Ò Ð Ò Ý Ø ØÒ Ù Ø ØÑÒ ÐÙÚÙÒ ØÙÐÓ Ø Ø ÓÖ Ñ º½ º ÇÐ ÓÓÒ µ Ý ÓÒ Ö ÙÒ Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö ÐÐ Ò Ò ÓÖ Ð¹Ñ ØØ m Ø Ú ÐÐ Ò Ò Ä Ù Ò Ñ ØØ º ÃÝØ ØÒ ÈÓ ÓÒ Ò ÝØ Ñ Ø ØÓ Ø ÑÙÓØÓ P(z, e it ) = 1 z 2 e it z Ñ 2 z = re iϕ º Å Ö ØÒ u(z) = P[dµ] = 1 P(z, e it )dµ(e it ) (Dµ)(e iϕ µ(i i ) ) = lim i m(i i ), D ½

17 Ñ ÓÙ ÓØ I i ÓÚ Ø ÚÓ Ñ e iϕ ¹ Ý ÓÒ Ö ÙÒ Ò Ö ÓØ ÙÔÔ Ò Ú Ø Ó Ø Ô Ø ØØ e iϕ º ÇÒ Ñ ÓÐÐ Ø Ó Ó ØØ ØØ u ÓÒ ÖÑÓÒ Ò Òº Ù Ò Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ u r 1 = 1 u(re iϕ ) dϕ 1 1 P(z, e it )d µ(e it ) dϕ D = 1 1 P(z, e it )dϕ d µ(e it ) = 1 d µ(e it ) = µ <. D Ì ÓÖ Ñ º½ º ÇÐ ÓÓÒ µ ÙØ Ò ÐÐ (Dµ)(e iϕ ) = ÓÐÐ Ò ϕº ÌÐÐ Ò ÈÓ ÓÒ Ò ÒØ Ö Ð ÐÐ u(z) = 1 D P(z, eit )dµ(e it ) ÓÒ ¹Ø Ò ÒØ Ð Ò Ò Ö ¹ ÖÚÓ Ô Ø e iϕ º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ ϕ ÐÐ Ò Ò ÓÐÐ ØÓ (Dµ)(e iϕ ) = ØÓØ ÙØÙÙº à ÒÒ Ø ØÒ ǫ > º ÇÐ ØÙ Ò (Dµ)(e iϕ ) = ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò I iǫ ÓÐÐ µ(i i ) < ǫm(i i ) Ó ÐÐ i > i ǫ Ñ Ý ÝÑÔÝÖÒ Ö Ø I i ÙÔÔ Ò Ú Ø Ó Ø Ô Ø ØØ e iϕ º ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ µ ǫ Ñ Ø Ò µ Ö Ó ØØÙÑ Ö Ò I iǫ º Ø Ø Ò µ ǫ = µ µ ǫ Ñ Ö ØÒ Ú Ø Ú ÈÓ ÓÒ Ò ÒØ Ö Ð u ǫ u ǫ º ÌÐÐ Ò ¹Ø Ò ÒØ Ð Ò Ö ¹ ÖÚÓÒ ÙÔÔ Ò Ñ ÐÙ Ò e iϕ S α ÓÙ ÓÒ D I iǫ Ð Ù ÓÒ ØÝ º Æ Ò ÓÐÐ Ò ÈÓ ÓÒ Ò ÝØ Ñ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ u ǫ (z) = 1 D D I iǫ P(z, e it )dµ(e it ) ÙÔÔ Ò Ø Ø Ó Ø ÙÒ z e iϕ ÐÙ e iϕ S α º Ë ÙÖ Ú Ø Ö Ø ÐÐ Ò u ǫ Ò Ò ÝÐÖ º Ì ÓÖ Ñ º½½ ÔØ Ú ÙÒ Ø ÓÒ g Ø Ð ÐÐ ¹ Ó Ø Ø Ò Ý ÝÑÔÝÖÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö ÐÐ Ò Òµ ÓÖ Ð¹Ñ ØØ º ÌÑÒ Ñ Ò Ú Ú Ñ¹ Ñ Ò Ø ÓÖ Ñ Ò ØÓ ØÙ ÓÒ Ò ÐÓ Ò Ò Ø ÓÖ Ñ Ò º½½ ØÓ ØÙ Ò Ò Ñ Ò ÚÙÓ ÚÙÙØ Ø Òº ÌØ Ò ÐÙ e iϕ S α z ÔØ u ǫ (z) (N α u ǫ )(e iϕ ) C α (Mµ ǫ )(e iϕ ) C α ǫ, Ñ Ú Ñ Ò Ò ÖÚ Ó ÙÖ Ó Ø µ(i i ) < ǫm(i i )º ÌÑÒ ÙÖ Ù Ò Ò ÖÚ Ó limsup z e iϕ u ǫ (z) C α ǫ ÐÙ e iϕ S α º ÐÐ Ò u = u ǫ + u ǫ ǫ ÚÓ Ò Ú Ð Ø Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ô Ò ÓØ Ò lim z e iϕ u(z) = º Ì ÓÖ Ñ º½ º ØÓÙµ ÇÐ ÓÓÒ f L 1 ( D)º ÌÐÐ Ò f Ò ÈÓ ÓÒ Ò ÒØ Ö Ð ÐÐ P[f] ÓÒ ÓÐ Ñ ¹Ø Ò ÒØ Ð Ò Ò Ö ¹ ÖÚÓ f(e iϕ ) Ñ Ð Ò ÐÐ Ý ÓÒ Ö ÙÒ ÐÐ º ÌÓ ØÙ º Ä Ó Ò Ò Ý ÝÑÔÝÖÒ Ô Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ f Ä Ù Ò Ô Ø º ÌÑ ÓÒ ØÓ ØØÙ ÑÙÙÒ ÑÙ ÁÐ ÀÓÐÓÔ Ò ÑÓÒ Ø Ò Ê Ð Ò ÐÝÝ Á ÚÙÒ ÙÓÑ Ó ¾ º¾º ÇÐ ÓÓÒ e iϕ ÒÝØ f Ò Ä Ù Ò Ô Ø m I i ÙØ Ò Ðк ÎÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ ÓÒ f(e iϕ ) = ÑÙÙØÓ Ò Ú ÒÒ ØÒ ÙÒ Ø Ó Ø f Ú Ø Ú Ú Óº ÌÐÐ Ò ÔØ ÙÖ Ú ØÓ 1 lim f dm =. i m(i i ) I i ÅÖ Ø ÐÐÒ Ð Ý ÝÑÔÝÖÒ ÓÖ Ð¹Ñ ØØ µ ÙÖ Ú Ø µ(e) = f dm. Å ØØ µ ØÓØ ÙØØ Ø ÓÖ Ñ Ò º½ Óغ ØÑÐÐ ÙØ ØÙÐÓ Ø ÙÓÑ Ø Ò ØØ lim i µ(i i) m(i i) = º ÌÓ Ò ÒÓ Ò (Dµ)(e iϕ ) = Ò Ò ÓÐÐ Ò Ø ÓÖ Ñ Ò º½ ÒÓ ÐÐ ÈÓ ÓÒ Ò ÒØ Ö Ð ÐÐ P[dµ] ÓÒ ÓÐ Ñ ¹Ø Ò ÒØ Ð Ò Ò Ö ¹ ÖÚÓ Ô Ø e iϕ º Ë Ñ ÔØ P[f] ÐÐ Ó P[f] P[ f ] = P[dµ]. E ½

18 Ì ÓÖ Ñ º½ º ÇÐ ÓÓÒ 1 p < f H p (D)º ÌÐÐ Ò (1) ¹Ø Ò ÒØ Ð Ø Ñ Ñ Ð ÙÒ Ø ÓØ N α f ÙÙÐÙÚ Ø Ú ÖÙÙØ Ò L p ( D) ÐÐ α < 1 (2) ¹Ø Ò ÒØ Ð Ø Ö ¹ ÖÚÓØ f ÓÚ Ø ÓÐ Ñ Ñ Ð Ò ÐÐ D f L p ( D) (3) lim r 1 f f r p = (4) f p = f p º ÌÓ ØÙ º ÐÓ Ø Ø Ò Ó Ø (1) (2)º ÇÐ ÓÓÒ ÐÙ 1 < p < º ÅÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø f H p ØÓØ ÙØØ Ð Ù Ò º½ й ÐÝØÝ Ø ÓØ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ L p ( D) ÓÒ ÈÓ ÓÒ Ò ÒØ Ö Ð f ÓÒº Ì ÓÖ Ñ Ò º½ ÒÓ ÐÐ ¹Ø Ò ÒØ Ð Ø Ö ¹ ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÓÐ Ñ Ñ Ð Ò ÐÐ ÓÙ Ó ¹ Dº Ä ÓÖÓÐÐ Ö Ò º½¾ ÒÓ ÐÐ ¹Ø Ò ÒØ Ð Ø Ñ Ñ Ð ÙÒ Ø ÓØ N α f L p ( D) ÓØ Ò ÑÝ f L p ( D) Ó f (e iϕ ) (N α f)(e iϕ )º Ì Ô Ù p = 1º Ì Ò f ÐÐ Ð ÑÑ Ò º ÑÙ Ò Ò Ó f = B h 2 ÓÐÐÓ Ò h H 2 (D) f h 2 º ÐÐ Ò (N α f) (N α h) 2 ÓØ Ò ÝÐÐÓÐ Ú Ò ÑÙ Ò N α f L 1 ( D) Ó N α h L 2 ( D)º Î Ø Ú Ø B Ò h Ò ÓÐ Ñ ÓÐÓ Ø ÓÙ Ó D ÙÖ f Ò ÓÐ Ñ ÓÐÓ Ö ØÝ Ø f N α f ÙÒ f ÓÒ ÓÐ Ñ º ÌØ Ò f L 1 ( D)º Ë ÙÖ Ú Ø ÐÐÒ Ó Ø (3) (4)º ËÙÓÖ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø Ò ØØ f r f Ñ Ð Ò ÐÐ f r N α f ÓØ Ò (3) ÔØ ÓÑ ÒÓ ÙÒ ÓÒÚ Ö Ò Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ º ÃÓ Ø (4) ÙÖ (3) Ø ÙÓÖ Ò ÓÐÑ Ó¹ ÔÝ ØÐ Ò ÒÓ ÐÐ º ÃÓÖÓÐÐ Ö º½ º Å Ð f H 1 Ò Ò f ÓÒ f Ò ÈÓ ÓÒ Ò ØØ Ù ÝÒ ÒØ Ö Ð º ÃÓÖÓÐÐ Ö ÙÖ ÙÓÑ Ó Ø ØØ f r (z) = f(rz) ÓÐÐÓ Ò f r H(U(, 1/r))º ÌÐÐ Ò f r (z) = 1 ÓÐÐÓ Ò Ø ÓÖ Ñ Ò º½ Ó Ò µ ÒÓ ÐÐ f(z) = 1 P(z, e it )f r (e it )dt f r (z) = 1 P(z, e it )f (e it )dt f(z) = 1 f r (e it ) e it z dt, f (e it ) e it z dt. Ì Ò Ø Ø ØÙÐÓ Ø ÚÓ Ò ÔØ ÐÐ ÑÙÙÒ ÑÙ ØØ Ó Ò Ò H p ÙÒ Ø Ó (1 p ) ÓÒ ¹Ø Ò ÒØ Ð Ò Ö ¹ ÖÚÓ ÙÒ Ø ÓÒ ÈÓ ÓÒ Ò ØØ Ù ÝÒ ÒØ ¹ Ö Ð À Ö Ý¹Ä ØØÐ ÛÓÓ Ò Ñ Ñ Ð ÙÒ Ø Ó Ö Ó ØØ Ý Ø Ò H p ÙÒ Ø Ó Ò ÚÙ º ÌÑ ÙÖ ÓÖÓÐÐ Ö º½ Ø Ø ÓÖ Ñ º½½ Ø Ø ØØ H 1 H p (1 < p )º Ä ÑÑ º¾¼º ÇÐ ÓÓÒ f H p ÙÒ 1 p < º ÌÐÐ Ò ÔØ f(z) C p f p (1 z 2 ) 1/p º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ ÐÙ p = 1 Ö Ó Ø Ø Ò f ¹Ø Ò ÒØ Ð Ò Ö ¹ ÖÚÓ ÙÒ Ø ÓÒ ÈÓ ÓÒ Ò ÒØ Ö Ð Ò f(z) = 1 P(z, e it )f (e it )dt 1 1 z 2 e it z 2 f (e it ) dt z 1 z f (e it ) dt = 1 + z 1 z f z 2 f 1. ½

19 Ä ÑÑ ÔØ ÙÒ p = 1º Ë ÙÖ Ú Ô Ð ÙØ Ø Ò Ñ Ð Ò ØØ H p H 1 Ó ÐÐ p > 1º ÌÑÒ ÒÓ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ g H p ÔØ g p H 1 ÓÐÐÓ Ò g(z) p = g(z) p z 2 g(z)p 1 = 1 z 2 g(z) p p C p g(z) (1 z 2 ) g(z) p. 1/p º À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ò Ù Ð À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ò Ù Ð Ø ØØ Ó Ø ÓÑ ÐØ Ó ÐØ Ò Ú Ö Ò Ñ Ð Ò ÒØÓ Ò ØÙÐÓ Ò ÑÙØØ ØÑÒ ØÝ Ò ÒÒ ÐØ Ù Ð Ú ÖÙÙØØ Ø ÖÚ Ø Ò Ú Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÐ Ù Ò ØÓ Ø Ñ ¹ Ò ÔÔ Ð º º ÌÑÒ ÚÙÓ ØÓ ØÙ Ú Ø Ø Ò Ö ÐÐ ÙÙØ Òº L p ¹ Ú ÖÙÙ Ò Ø ÓÖ Ø ØÙØØÙ Ù Ð Ú ÖÙÙ Ò Ø ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø Ø H p ¹ Ú ÖÙÙ Òº Ú ÖÙÙ Ò H p Ù Ð Ú ÖÙÙ ÓÒ H q Ñ ÔÓÒ ÒØ Ø ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ý ØÐ Ò 1 p + 1 q = 1 ÙÒ 1 < p < p q ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò ÓÒ Ù ØØ µº Ö ØÝ Ø H 2 ÓÒ Ø Ò Ù Ð º Ð Ò Ò Ò ¹ Ú ÖÙÙ X ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø Ö ÐÐ Ò ÚÙÐÙÓ Ò X/S ÙÒ Ò ÙÐ ØÙÒ Ð Ú ÖÙÙ Ò S Ù Ø Òº Ö ØÝ Ø S ØÓ Ñ ÚÙÐÙÓ Ò Ò ÙØÖ Ð Ð ÓÒ Ñ Ò Ø Ò ÚÙÐÙÓ Ò x+s ÒÓÖÑ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø x+s = inf y S x+y º ÂÓ Ò Ò ÚÙÐÙÓ ÓÒ Ø Ò Ò ¹ Ú ÖÙÙ º X ÐÐ ÓÔ ÖÓ Ú Ò Ð Ò Ö Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò ÓÙ Ó Ñ Ö ØÒ X º X Ò Ð Ú ÖÙÙ Ò S ÒÒ Ð ØØÓÖ ÙØ ÙØ Ò Ø X Ò Ð Ú ÖÙÙØØ S ÓÒ Ò Ø φ S ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÐÐ x S ÓÒ φ(x) = º Ì ÓÖ Ñ º¾½º Ú ÖÙÙ X /S ÓÒ ÓÑ ØÖ Ø ÓÑÓÖ Ò Ò S Ò Ò Ó ÐÐ ÒÒ Ø ØÝÐÐ φ X ÔØ Ñ Ö ØÝ Ø Ñ Ò Ñ ÚÙØ Ø Òº sup φ(x) = min φ + ψ, x S, x 1 ψ S ÌÓ ØÙ º ÙÖ Ò Ò Ø Ó Ò ÚÙ ½½¼ Ø ÓÖ Ñ º½º H p ¹ Ú ÖÙÙ Ò (1 p < ) ÝÐ Ò Ò Ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð φ ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ Ó φ(f) = 1 f(z)k(z)dz, i D Ñ k(e iϕ ) L q 1 p + 1 q = 1º ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò ØÝ Ð ÝØÝÝ ÙÖ Ò Ò Ø Ó Ò ÚÙÐØ ½½ º Ú ÖÙÙ H p ÓÒ ÓÑ ØÖ Ø ÓÑÓÖ Ò Ò ÚÙÐÙÓ Ò L q /H q Ò H p Ò ÒÒ Ð ØØÓÖ ÓÒ ÓÑ ØÖ Ò Ò H q Ò Ò º ½½ ÌØ Ò Ø ÓÖ Ñ Ò º¾½ ÒÓ ÐÐ ÙÒ Ø Ó h L q Ò Ý Ò k ÑÖ ØØÚØ Ñ Ò H p ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò Ó Ú Ò Ó h k H q Ð h k ÙÙÐÙÚ Ø Ñ Ò ÚÙÐÙÓ Ò L q /H q º ÃÓÖÓÐÐ Ö º¾¾º ÃÙÒ 1 p < ÐÐ Ø ØØÝ Ò ÙÓÑ Ó Ò Ø ÓÖ Ñ Ò º¾½ ÒÓ ÐÐ 1 f(z)k(z)dz = min k g L q. g H q sup f H p, f p 1 D ÃÙØ ÙØ Ò ØØ Ù Ð Ø ØØ Ý ØÐ º ÌÓ ØÙ Ò ÚÓ ÐÙ ÙÖ Ò Ò Ø Ó Ò ÚÙÐØ ½ ¼º ½½ ÙÖ Ò Ò Ø Ó Ò ÚÙ ½½¾º ½

20 ÁÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ Ø ÓÖ Ð Ò ÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ Ø ÓÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÑÖ Ø ÐÐ Ö Ø Ö Ó Ý ÓÒ ÓÒÓØ {z i } ÓÑÔÐ Ø ÓÒ ÓÒÓØ {w j } Ó Ò ÚÐ ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ Ö ÔÔÙÚÙÙ f(z k ) = w k Ñ f H p º ÇÒ ÐÑ Ò ÐØÝÝ Ð Ò ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú Ò ÙÒ Ø Ó Ò f Ð ÝØÑ Ò Òº Æ Ò ØÖ Ø Ò Ð Ò Ý ÝÑÝ Ò ÓÐ ÓÐ Ñ Ó ÓÒ Ú ÐØ Ø Ö Ø Ù ÑÙØØ ØÑÒ ØÝ Ò ÒÒ ÐØ ÓÒ Ò Ö ØØÚ ØÙØ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓØ H ¹ Ú ÖÙÙ Ð ÒØ ØÙ ØÙÐÓ ÔØ ÑÒ ÑÝ ÑÙ Ò H p ¹ Ú ÖÙÙ Òº ÁÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ Ø ÓÖ Ò Ý Ø Ý Ø ÐÐÒ Ô Ð ÓÒ ÓÒÓ Ú ÖÙÙ l p (1 p ) ÓØ ÓÚ Ø Ò ¹ Ú ÖÙÙ º Ë ÒÓØ Ò ØØ ÓÒÓ {z i } l p Ó ( i z i p) 1/p < ÙÒ 1 p < sup i { z i } < ÙÒ p = º Ö ØÝ Ø l 1 l p l q l ÙÒ 1 < p < q < º º½ ÁÒØ ÖÔÓÐÓ Ú Ø ÓÒÓØ ÌÙØ ØØ ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú ÙÒ Ø Ó Ø ÓÒÓ ÝÐ Ø H p ¹ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓØ ÓÒ Ù Ò Ý ÝÐÐ Ø Ø Ö Ø ÐÐ Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØØÓÖ Ò Ð ÑÑ Ø Ò ÙÐÑ Ø º à ÒÒ Ø ØÒ p (1 p ) {z i } Ø Ø Ò Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØØÓÖ T : f {f(z i )} Ó ÙÚ ÙÒ Ø ÓÒ f ÙÚ ÓÒÓ {f(z i )}º ÀÙÓÑ Ó º½º ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ý ØØ ÝÝ Øµ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ó¹ ÒÓÐÐ {z i } ÓÒ Ð Ý ØØÝ ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú ÙÒ Ø Ó f H p º ÃÝ Ò ÓÒÓÒ Ð Ò ØÙÐÓ B ÓÒ ÒÓÐÐ ÓÒÓÒ Ó Ô Ø ÓØ Ò ÑÝ ÙÒ Ø Ó f + Bg Ñ g H p ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ ¹ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú ÙÒ Ø Ó ÓÒÓÐÐ {z i }º Å Ð ÓÒÓ ØÝØ Ð Ò ØÓ Ò Ò ØÐÐ Ò f ÓÒ Ý ØØ Ò Òº ÅÖ Ø ÐÑ º¾º ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú Ø ÓÒÓص Ë ÒÓØ Ò ØØ {z i } ÓÒ ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú ÓÒÓ Ú ÖÙÙ¹ H p Ó T(H p ) l p º ÇÒ ÐÑ Ò ÓÒ Ò Ð ÝØ Ú ÖÙÙ Ò H p ÙÚ T(H p ) ÓÒÓØ Ò ÚØ Ù Ò Ò ÓÐ ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÐÙ Ø Ð ÒÒ ØØ Ó p = º Ì Ø Ô Ù ÙÒ Ø ÓØ f ÓÚ Ø Ö Ó Ø ØØÙ ÓØ Ò T(H ) l T : H l ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØØÓÖ Ö ØÝ Ø ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú ÐÐ ÓÒÓ ÐÐ ÔØ T(H ) = l º Ð Ø Ó Ò Ò ÓÒÓ Ò Ó ÐÐ ÐØÝÚÝÝ T(H ) l ÓÒ ØÓ Ó Ö ØØ Ò Ø Ò ÓÒÓÒ {z i } Ú Ú Ø Ó ÐÐÓ Ú Ò ÓÒÓÒ {w i } ÚÐ ÐÐ ÓÐ ÓÐ Ñ ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú ÙÒ Ø ÓØ f H º ÇÒÒ Ø ÓÒ ÒÒ ÐØ Ñ Ð Ò ÒØÓ Ø ÓÒÓØ ÚØ ÙÙÐÙ Ø Ò ÓÙ ÓÓÒº ÅÖ Ø ÐÑ º º Ø Ø ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú Ø ÓÒÓص ÂÓÒÓ {z i } ÒÓØ Ò Ø Ø ÒØ Ö¹ ÔÓÐÓ Ú H Ó T(H ) = l º ÅÖ Ø ÐÑ ÓÒ ÒÒ ØÙÖ ÙÒ p = Ó ÐÐ ÙÓÑ ØØ Ò H ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú Ò ÓÒÓ Ò ØÓØ ÙØØ Ú Ò Ø Ò ÒØ ÖÔÓÐÓ ØÙÚÙÙ Ò Óغ Ì Ò Ò ÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ ÐÙÒ Ø Ù ¹ Ø Ò Ò Ô Ò ØÙØ ØØ ÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ ÑÙ ÐÐ p Ò ÖÚÓ ÐÐ º ÂÓ {z i } ÓÒ Ø Ø ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú Ò Ò Ó ÐÐ ÓÒÓÐÐ {w i } l Ð ÝØÝÝ f H ÓÐÐ f(z i ) = w i º ÁÒØÙ Ø Ú Ø ÚÓ Ò ØÓ Ø ØØ ÓÒÓÒ z i Ô Ø Ø ÚØ ÓÐÐ Ð Ò Ð ÐÐ ØÓ Ò ÓØØ ÓÒÓ ÓÐ Ø Ø ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú º ÌÑ ØÓ ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø ÐÑÓ ØØ ÓÒ¹ Ö ØØ ÑÑ Ò Òº ¾¼

21 º¾ Ì Ø Ô ÖÓ ØÙÚ Ø ÓÒÓØ ÅÖ Ø ÐÑ º º Ø Ø Ô ÖÓ ØÙÚ Ø ÓÒÓص ÂÓÒÓ {z i } ÓÒ Ø Ø Ô ÖÓ ØÙÚ Ó ÓÒ ÓÐ Ñ δ > Ó ØÓØ ÙØØ ÓÒ z i z j δ j. 1 z i z j i j ÅÖ Ø ÐÑ Ø ÙÖ ØØ Ð Ò ØÙÐÓ B ÓÒ ÒÓÐÐ Ó Ø ÓÚ Ø {z i } ÙÔÔ Ò º Ì Ó¹ Ö Ñ º ØÙÐ Ó Ó ØØ Ñ Ò ØØ {z i } ÓÒ Ø Ø ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú H Ó Ú Ò Ó ÓÒ Ø Ø Ô ÖÓ ØÙÚ Ñ Ò Ð Ò ÐÐ ÐÐ ÓÐÐ Ø ØÒ Ú Ð ÓÐÑ Ý ØÔ Ø¹ Ú ØÓº ÒÒ Ò Ý Ò Ø ÓÖ Ñ Ò ØØÑ Ø ØÓ Ø Ñ Ø Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ø Ø Ø Ô ÖÓ ØÙÚ ÓÒÓ º Ì Ø Ô ÖÓ ØÙÚÙÙ Ø Ö ØÝ Ø Ú Ø Ú Ò Ð Ò ØÙÐÓÒ ÙÔÔ Ò Ñ Ø ÙÖ ØØ Ý Ò ÓÒÓÒ ØÝØÝÝ ØÓØ ÙØØ Ð Ò ØÓ i (1 z i ) < º Ä ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ B n (z) = ( z n z n z z n 1 z nz) 1 B(z) Ð Ø Ö Ø Ð ÑÑ ÓÒÓÒ {zi } Ð Ò ØÙÐÓ Ó Ø ÓÒ ÔÓ Ø ØØÙ n Ø ÓÒ ÖÚÓ ÓØ ØØÙ Ô Ø zº Ë ÙÖ Ú Ò Ð Ù Ò ÙÒ Ø ÓØ ÝØ ØÒ ÑÝ ÑÑ Ò Ø ÓÖ Ñ Ò º ØÓ Ø Ñ º Ä Ù º º ÇÐ ÓÓÒ ÓÒÓ {z i } Ø Ø Ô ÖÓ ØÙÚ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ < z 1 z 2... º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ú Ó K δ > ÓÐÐ ÔØ Ê α n (z n ) K δ ÐÐ n Ñ α n (z) = k n 1 + z k z 1 z k z (1 z k 2 ). ÌÓ ØÙ º ÙÒ Ø ÓÐÐ α n Ò ÙÖ Ú ÒÐ Ø ÖÚ ÓØ α n (z) = k n Ê α n (z) = k n 1 z k z 1 + z k z 1 z k z 1 z k z (1 z k 2 ) = 1 z k z + z k z z k 2 z 2 1 z k z 2 (1 z k 2 ) k n 1 z k 2 z 2 1 z k z 2 (1 z k 2 ). Ä Ó ÐÐ k n ÓÒ ÚÓ Ñ ÔÝ ØÐ 1 2 z k 2 + z k 4 = 1 z k 2 (2 z k 2 ) 1 z n 2 (2 z k 2 ) = 1 2 z n 2 + z n 2 z k 2, ÓØ Ò 1 z n 2 z k 2 2(1 z n 2 ) ÙÒ Ø ÓÐÐ Ê α n (z n ) Ò ÖÚ Ó Ê α n (z n ) = k n 1 z k 2 z n 2 1 z k z n 2 (1 z k 2 ) 2 1 z n 2 1 z k z n 2 (1 z k 2 ) k n = 2 1 z n 2 z k 2 + z n 2 z k 2 1 z k z n 2 = 2 1 z k z n 2 z k z n 2 1 z k z n 2 k n k n = 2 ( 1 z k z n 2) 2 4 log z k z n 1 z k z n 1 z k z n k n k>n 2 4 log z k z n 2 4 logδ = Kδ. 1 z k z n k n ÃÓÖÓÐÐ Ö º º Å Ð {z i } ÓÒ Ø Ø Ô ÖÓ ØÙÚ Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ i Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ Ú Ó A ÓÐÐ ÔØ (1 z i 2 )(1 z j 2 ) 1 z j z i 2 A. j=1 ¾½

22 ÌÓ ØÙ º ÃÓÖÓÐÐ Ö ÙÖ ÙÓÖ Ò ÙÓÑ Ó Ø ØØ ÔÝ ØÐ Ò ÓÒ Ó Ó Ø ØØÙ Ô ØÚÒ Ô ¹ Ò Ð Ù Ò º ØÓ ØÙ Ò Ý Ø Ý Ñ A = 1 2 log δº Ë ÙÖ Ú Ð ÑÑ Ø ÙÖ Ú Ð Ù ÓÚ Ø Ú Ñ Ø ØÑÒ Ð ÐÙÚÙÒ ØÙÐÓ Øº Ä ÑÑ º º α β 1 αβ α β 1 αβ Ó α < 1 β < 1. ÌÓ ØÙ º ÌÓ ØÙ ÓÒ Ú Ö Ò ÙÓÖ Ú Ú Ò Òº Å Ö ØÒ a = αº ÎÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ a > º ÇÐ ÓÓÒ < r < 1 ϕ < º ÌÐÐ Ò a reiϕ 2 a 2 2ar cos(ϕ) + r 2 = 1 are iϕ 1 2ar cos(ϕ) + a 2 r 2 = A + x B + x = l(x), A = a2 + r 2 2ar 1 + a2 r 2 2ar = B x = cos(ϕ). Ñ ÇÒ ÐÑ Ò ÓÒ ÒÝØ Ø l Ò Ñ Ò Ñ ÙÒ x < 1 ÑÙØØ l (x) = B A (B+x) 2 > ÓØ Ò Ñ Ò Ñ Ð ÝØÝÝ Ó Ø ϕ( 1) = (a r)2 (1 ar) 2 Ñ ØÓ Ø Ð ÑÑ Òº Ä Ù º º ÂÓÒÓ {z i } ÓÒ Ø Ø Ô ÖÓ ØÙÚ Ñ Ð ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò Ú Ó c < 1 ØØ ÐÐ i ÔØ 1 z i+1 c(1 z i )º ÌÓ ØÙ º Ó Ø ÙÖ ÙÓÖ Ò ØØ 1 z j c j i (1 z i ) ÙÒ j > iº Ö ØÝ Ø ØÑ Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ i (1 z i ) < º ÌÑÒ Ð ÓÒ ÚÓ Ñ ÑÝ ÙÖ Ú Ø ÔÝ ØÐ ÙÒ j > i z j z i (1 c j i )(1 z i ) 1 z j z i = 1 z j + z j (1 z i ) (1 + c j i )(1 z i ). Æ Ò ØÙÐÓ Ø Ò Ð ÑÑ Ò º ÒÓ ÐÐ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÖ Ú ÙÒ j > i z i z j z j z i 1 z j z i 1 z j z i 1 cj i 1 + c j i z i z j ( 1 c n ) 2 > 1 z j z i 1 + c n j i n ÐÐ Ò Ò Ó Ó ØØ ÓÒÓÒ {z i } ÓÐ Ú Ò Ø Ø Ô ÖÓ ØÙÚ º Å Ð Ð Ù Ò º Ö ÐØ ÓÐ Ú ØØÙ z 1 < z 2 <... Ò Ò ØÓ ÓÐ ÑÝ ÓÐÐÙØ ÚÐØØÑØ Òº ÌÑÒ Ó Ó ØØ Ñ Ò Ò Ø ØÒ ÐÙ Ò ÖØ ÐÐ º º ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó H Ë ÙÖ Ú Ò Ø ÓÖ Ñ Ò Ø ÐÐÒ Ó ÑÑ Ò Ñ Ò ØØÙ Ø Ò Ô ÖÓ ØÙÚÙÙ Ò Ø Ò ÒØ ÖÔÓÐÓ ØÙÚÙÙ Ò ÚÐ Ò Ò Ý Ø Ý H º Ì ÓÖ Ñ Ò ØÓ ØÙ Ò Ý Ø Ý Ú Ø ÙÙ¹ ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ δ ni = Ý ÓÒ ÃÖÓÒ Ö Ò ÐØ µº { 1, n = i, n i Ì ÓÖ Ñ º º Ë ÙÖ Ú Ø ÓØ Ý ÓÒ ÓÒÓÐÐ {z i } ÓÚ Ø Ý ØÔ ØÚØ (1) {z i } ÓÒ Ø Ø ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú ÓÒÓ H ; (2) inf n B n(z n ) = δ >, Ð ÓÒÓ {z i } ÓÒ Ø Ø Ô ÖÓ ØÙÚ ; (3) ÓÒ ÓÐ Ñ Ö Ó Ø ØØÙ Ð Ò Ö ÙÚ Ù T : l H ÓÐÐ T (w)(z i ) = w i ÐÐ Ò Ò i ÖÚÓ ÐÐ Ó ÐÐ ÓÒÓÐÐ w = {w i } l. ¾¾

23 ÌÓ ØÙ º ½µ ¾µº ÄÙÚÙ ØÓ ØØ Ò H Ò ÓÐ Ú Ò Ò ¹ Ú ÖÙÙ Ð ØÝ ÐÐ Ò Ò ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ µº ÇÐ Ø Ø Ò ØÙÒÒ ØÙ ØØ ÑÝ l ÓÒ Ò ¹ Ú ÖÙÙ T : H l f {f(z i )} ÓÒ Ø ÙÚ ÐÚ Ø Ð Ò Ö Ò Ò Ñ Ò Ð T(H ) = l ÓØ Ò ÚÓ Ñ Ò ÙÚ Ù Ò Ð Ù Ò ¾º½ ÓØ ØÝØØÝÚغ ÃÝ Ò Ø ÓÖ Ñ Ò ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò Ú Ó r > ØØ Ó ÐÐ n N ÓÒ ÓÐ Ñ ÙÒ Ø Ó f n H ÓÐÐ ÔØ f n r f n (z i ) = δ ni º ÆÝØ f n ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Ð Ù Ò º ÒÓ ÐÐ ÑÙÓ Ó f n = g n B n Ñ g n H f n = g n º Ö ØÝ Ø ÐÐ n ÔØ B n (z n ) = fn(zn) g 1 n(z n) r = δ > Ñ Ø ØÓ ØÙ Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ó ÙÖ º ¾µ µº ÇÐ ÓÓÒ ÒÓÐÐ Ó Ø Ö Ø ØØÝ Ø Ò ØØ < z 1 z 2... ÑÖ Ø ÐÐÒ ( 1 zn 2 ) 2 Bn (z) φ n (z) = 1 z n z B n (z n ) exp(α n(z n ) α n (z)), Ñ α n ÓÒ ÙØ Ò Ð Ù º º ÙÒ Ø Ó φ n (z) ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ý Ø Ò Ò ÐÝÝØØ Ò Òº Ä Ù Ò º ÒÓ ÐÐ ( 1 zn 2 ) 2 2(1 z n 2 z 2 )(1 z n 2 ) 1 z n z 1 z n z 2 = 2 ( Ê α n (z) Ê α n+1 (z) ). Ä ÓÒÓ {z i } ÓÒ Ø Ø Ô ÖÓ ØÙÚ ÓØ Ò Bn(z) B n(z n) 1 Bn(zi) δ B = δ n(z n) niº ÅÖ Ø ÐÐÒ ÙÚ Ù T (w n ) = n w nφ n ØÙØ Ø Ò ÙÑÑ n φ n(z) º ÀÙÓÑ Ó Ò ÝÐÐ Ø ØÝØ Ø Ð Ù º Ò φ n (z) ( 1 zn 2 ) 2 Bn (z) 1 z n n n z B n (z n ) exp(ê α n(z n ) Ê α n (z)) 2 ( Ê α n (z) Ê α n+1 (z) ) 1 δ exp(k δ Ê α n (z)) n 2 expk ( δ exp ( Ê α n (z) Ê α n+1 (z) ) ) 1 exp( Ê α n (z)) δ n = 2 expk δ exp( Ê α n+1 (z)) exp( Ê α n (z)) δ n = 2 expk ( ) δ lim δ exp( Ê α n+1(z)) exp( Ê α 1 (z)) n 2 expk ( ( δ lim δ exp 1 z k 2 z 2 )) z k 1 1 z k z 2 (1 z k 2 ) 2 expk δ = C δ. δ Æ Ò ÓÐÐ Ò n φ n(z) ÓÒ ÝÐ ÐØ Ö Ó Ø ØØÙ ÓØ Ò Ø ÓÒ Ó Ò ÙÒ Ø ÓÒ φ n ÑÓ ÙÙÐ Ò φ n H Ó ÐÐ nº ÌÑÒ ÒÓ ÐÐ ÑÝ ÓÔ Ö ØØÓÖ T ÓÒ ÝÐ ÐØ Ö Ó Ø ØØÙº ÐÐ Ó Ó Ø ØÙÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ φ n (z n ) = 1 φ n (z i ) i n = ÓØ Ò φ n (z i ) = δ ni º ÌØ Ò T ØÝØØ µ Ú ØØ Ú Ø Óغ µ ½µº Ì ÓÖ Ñ Ò ÓÒ µ ÑÙ Ò ÐÐ w l ÓÒ ÓÐ Ñ Ð Ò Ö ÙÚ Ù T (w) ÓÐÐ T(T (w)) = wº ÌØ Ò T(H ) l ØÓ ØÙ Ò Ú Ñ Ò Ò Ó ÓÒ ÐÚ Ð Ø ÓÖ Ñ Ô Ø Ô Ò º Ì ÓÖ Ñ Ò ÒÓ ÐÐ H Ø Ø µ ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú Ø ÓÒÓØ ÓÚ Ø Ñ ÐÐ ÑÝ Ø Ø ¹ Ô ÖÓ ØÙÚ º ÄÙÚÙ º Ð ÒÒ Ø Ò ÐÙÚ ØÙÒ ÑÙ Ø Ø Ø ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú Ò ÓÒÓ Ò ÑÖ Ø ÐÑ ÑÙ Ò Ò H p ¹ Ú ÖÙÙ Òº ÒÒ Ò ÖØÝÑ Ø Ú Ö Ò Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÐ Ù Ò ÒÒ Ø Ò Ù Ø Ò Ò Ú Ð Ý ÔÙ¹ ØÙÐÓ º ¾

24 Ä ÑÑ º½¼º ÇÐ ÓÓÒ a jk ÐÐ ÓÑÔÐ ÐÙ Ù ØØ a kj = a jk n j=1 a jk M ÙÒ k {1, 2,..., n}º ÌÐÐ Ò Ñ ÐÐ Ø Ò ÐÙÚÙ ÐÐ x 1,..., x n ÔØ n j,k=1 n a jk x j x k M x j 2. ÌÓ ØÙ º ÅÙÓ Ø Ò Ð Ù ØØ ÝØ ØÒ Ù Ý¹Ë Û ÖÞ Ò ÔÝ ØÐ n j,k=1 a jk x j x k n j,k=1 j=1 ( n ( a jk 1/2 x j )( a jk 1/2 x k ) a jk x j 2) 1/2( n a jk x k 2) 1/2 n a jk x j 2 M j,k=1 n x j 2. j=1 j,k=1 j,k=1 º ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÐ Ù H p ¹ Ú ÖÙÙ ÐÐ Ë ÖÖÝØØ ØÙØ Ñ Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓØ ÑÙ Ò Ý ÓÒ H p ¹ Ú ÖÙÙ Ò Ù Ò H Ò Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÖÒÐ Ø Ô ÒÓØ ØØÙ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓØ º ÅÖ Ø ÐÑ º½½º Ô ÒÓØ ØØÙ ÒØ ÖÔÓÐ Ø Óµ ÇÐ ÓÓÒ {z i } ÓÒÓ T p : H p l Ð Ò ¹ Ö ÓÔ Ö ØØÓÖ Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ú ÖÙÙ H p (1 p ) ÙÖ Ú Ø T p (f) = { (1 z i 2 ) 1/p f(z i ) }. ÌÙÐ Ø Ò ØØ T = T º Ò ÑÑ Ò Ò Ý ÝÑÝ Ô ÒÓØ ØÙ Ø ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó Ø Ð Ò Ñ ÙÚ ÓÙ ÓÓÒ ÓÒ Ð Ø ØØÝ ÖÖÓ Ò (1 z i 2 )º Ä ÑÑ Ò º¾¼ ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ ÔÝ ØÐ (1 z i 2 ) 1/p f(z i ) C p f p º Æ Ò ÓÐÐ Ò Ò¹ Ø ÖÔÓÐ Ø Ó ÓÒ ÝÐ ÐØ Ö Ó Ø ØØÙ ÓÔ Ö ØØÓÖ T p ÓÒ Ø ÙÚ º Î ÖÓ ØÙ Ò Ò Ò ØÓ ØØ ÓÓÒ ØØ ÝÐ ÐÐ Ø ÓÐÐ T p (H p ) ÚÐØØÑØØ ÐÐÝ Ú ÖÙÙ¹ Ø Ò l p Ú {z i } ØÓØ ÙØØ Ò Ð Ò ÓÒº Ñ Ö º½¾º ÇÐ ÓÓÒ p = 1 ÓÒÓ {z k } ÑÖ Ø ÐØÝ Ø Ò ØØ z k = 1 k 2 º ÂÓÒÓ ØÓØ ÙØØ Ð Ò ÓÒ ÐÐ k (1 z k ) = k k 2 < º Ø Ø Ò f(z) = (1 z) 1/2 g(z) = (1 z) 1/4 ÓÐÐÓ Ò f 1 = g 2 2º Ã Ö Ó Ø Ø Ò g(z) Ý Ó Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ò Ú Ð ÒÒ ÐÐ z = z = re iϕ (z z ) n ( z g(z) = g (n) n (z ) = 1 + n! n= n=1 n! 4 n n k=1 ) (4k 3) = 1 + (z n n n=1 k=1 4k 3 ). 4k ÃÝØ ØÒ ÝÚ Ø ØÓ ØØ 1 + z 2 = (1 + z)(1 + z) ÓÐÐÓ Ò f Ò ÒÓÖÑ ÐÐ Ð ÝØÝÝ ÝÐÖ f 1 = g 2 2 = (1 z k 2 )f(z k ) k=1 n=1 k=1 e inϕ n k=1 4k 3 4k 2 dϕ 1 + k=1 n=1 ( 4n 3 ) 2n <, ÑÙØØ 4n (1 z k ) f(z k ) = (k 2 )(k 2 ) 1/2 = k=1 1 k =. Ä Ù Ó Ó ØØ Ò ØØ ÙÚ T 1 (H 1 ) ÐÐÝ Ú ÖÙÙØ Ò l 1 º Î Ø Ú ÙÒ Ø Ó Ø Ð ÝØÝÝ ÑÝ ÑÙ ÐÐ p Ò ÖÚÓ ÐÐ (p < )º ÁÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ Ø ÓÖ Ò Ý ÑÑ Ø ØÙÐÓ Ø ÓÒ ÙÖ Ú H p ¹ Ú ÖÙÙ Ó Ú ÒØ Ö¹ ÔÓÐ Ø ÓÐ Ù º ÃÝ Ò Ò Ø ÓÖ Ñ ÓÒ H p ¹ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ð ÒØ Ò ØÙÐÓ Ú Ò ØÓ ØÙ ÓÒ Ò Ö ØØ Ò ØÝ Ð º ¾

25 Ì ÓÖ Ñ º½ º ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÐ Ù µ ÇÐ ÓÓÒ 1 p º ÆÝØ T p (H p ) = l p Ó Ú Ò Ó {z i } ÓÒ Ø Ø Ô ÖÓ ØÙÚ º ÌÓ ØÙ º Ì Ô Ù p = ÔØ Ø ÓÖ Ñ Ò º ÒÓ ÐÐ ÓØ Ò ÓÐ ÓÓÒ 1 p < º Ç Ó Ø Ø Ò Ò Ò Ø Ò Ô ÖÓ ØÙÚÙÙ Ò ÙÖ Ú Ò Ó Ø T p (H p ) = l p º À Ñ Ò ÝÐ ÑÑ Ò ÔØ ØØ Ñ Ð T p (H p ) l p Ò Ò ÙÐ ØÙÒ ÙÚ Ò Ð Ù Ò ¾º½ ÒÓ ÐÐ T p ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ ÓÔ Ö ØØÓÖ Ó Ò ÙÚ ÓÒ ÙÐ ØØÙº ÌÑÒ Ó Ó ØØ Ñ ØÙÐ ÒÝØØ ØØ T p f = w Ó f n f Ú ÖÙÙ H p T p f n w Ú ÖÙÙ l p (w = {w i })º Ä ÑÑ Ò º¾¼ ÒÓ ÐÐ ÙÔÔ Ò Ñ Ø f n f ÙÖ ØØ f n (z i ) f(z i ) ÐÐ iº ÌØ Ò (1 z i 2 ) 1/p f n (z i ) (1 z i 2 ) 1/p f(z i ) ÐÐ iº ÌÓ ÐØ ÙÔÔ Ò Ñ Ø T p f n w ÙÖ (1 z i 2 ) 1/p f n (z i ) = (T p f n )(z i ) w i ÐÐ iº Ê ¹ ÖÚÓÒ Ý ØØ ÝÝ Ò ÒÓ ÐÐ (T p f)(z i ) = w i ÐÐ i T p ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙº ÃÙÚ Ù T p : H p l p ÚÐØØÑØØ ÓÐ Ý ØØ Ò Ò ÓØ Ò Ø Ú ÝÝ Ò Ø Ñ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò ÙÙ ÙÚ Ù T p : H p /Ker(T p ) l p º ÂÓÙ Ó Ker(T p ) ÐØ Ò ÙÒ Ø ÓØ f H p ÓØ ÙÚ ÙØÙÚ Ø Ú ÖÙÙ Ò l p Ò ÙØÖ Ð Ð Ó º ÐÐ Ò Ñ Ø Ø Ò Ò ÙÒ Ø ÓØ f, g H p Ó ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ f = gh ÓÐÐ Ò h Ker(T p )º ÌÐÐ Ò T p ÙÚ ÓÙ ÓÒ {fh : h Ker(T p )} Ù Ø Ò f H p ÓÐÐ Ò w l p Ó ÐÐ w = {w i } l p ÓÒ ÓÐ Ñ ÙÒ Ø Ó f H p ÓÐÐ ÐÐ i ÔØ (1 z i 2 ) 1/p f(z i ) = w i. ÇÔ Ö ØØÓÖ T p ÓÒ Ý ØØ Ò Ò ÓØ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÑÝ Ý ØØ Ò Ò ÒØ ÙÚ Ù T 1 p : l p H p /Ker(T p ) Ó ÚÓ Ñ Ò ÙÚ Ù Ò Ð Ù Ò ¾º½ ÒÓ ÐÐ ÓÒ Ø ÙÚ º Ö ¹ ØÝ Ø Ó ÐÐ i ÓÒ ÓÐ Ñ ÙÒ Ø Ó f i H p ÓÐÐ ÔØ f i (z j ) = (1 z i 2 ) 1/p δ ij f i p M p º ÇÐ ÓÓÒ n > i n 1 z j z F ni (z) = f i (z) z j z. ÙÒ Ø ÓÒ f i ÒÓÐÐ Ó Ø Ò ÓÙ ÓÓÒ ÙÙÐÙÚ Ø Ô Ø Ø z j Ñ j i Ð Ð Ù Ò º ÒÓ ÐÐ n z j z f i (z) = g i (z) 1 z j z, Ñ f i p = g i p º ÌØ Ò F ni p = g i p = f i p M F ni H p º ÆÝØ Ý ØÐ Ø j=1 j i j=1 j i F ni (z i ) = (1 z i 2 ) 1/p n Ò ÝÐÖ ØÙÐÓÐÐ Ð ÑÑ Ò º¾¼ ÚÙÐÐ n j=1 j i j=1 j i 1 z j z i z j z i 1 z j z i z j z i = (1 zi 2 ) 1/p F ni (z i ) C p F ni p C p M p. ÒÒ Ø Ò n Ú Ø Ò ÔÝ ØÐ Ò ÔÙÓÐ Ø ÖØÓÑ ÐÐ ÓÐÐÓ Ò 1 z j z i = Bi (z i ), C p M p 1 z j z i j i Ñ Ó Ó ØØ {z i } Ò ÓÐ Ú Ò Ø Ø Ô ÖÓ ØÙÚ Ó T p (H p ) = l p º ¾

26 ÃÒØ Ò Ò Ø Ô Ù ÓÒ Ñ Ò Ø Ú ÑÔ º ÐÙ Ó Ó Ø Ø Ò Ò ÔØ ÚÒ ÙÒ p = 2 Ñ Ø ÝÐ Ò Ò Ø Ô Ù ÙÖ Ð ÑÑ Ò º ÚÙÐÐ º Ð Ù ØÓ Ò ÑÙ Ò ÓÒÓ {z i } ÓÒ Ø Ø Ô ÖÓ ØÙÚ ÓØ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ δ > ÓÐÐ ÔØ zi zj i j 1 z iz j δ ÐÐ jº Ø Ø Ò (f, g) = 1 f(e iϕ )g(e iϕ )dϕ. Ð Ù ÓÒ ÒÓ ÐÐ {z i } ÓÒ Ø Ø Ô ÖÓ ØÙÚ º ÃÝØ ØÒ ØÓ ØÙ Ò ÐÓÔÔÙÓ Ò Ý Ø Ý¹ ÙÖ Ú Ñ Ö ÒØ i sµ Ñ ØØÓÑ Ö µ ÝØ ØÒ ÒÒÙ Ø Ò ÚÐØع Ñ Ö ÐÐ Ò ØÙÐÓÒ Ñ Ö Ò B i (z) = j i z j z 1 z j z B s (z) = s j=1 z j z 1 z j z B is (z) = s j=1 j i z j z 1 z j z. ÇÒ ÐÑ Ò ÓÒ Ó Ó ØØ ØØ ÙÒ {z i } ÓÒ Ø Ø Ô ÖÓ ØÙÚ Ò Ò ÓÒÓÐÐ {w i } l 2 ÓÒ ÓÐ Ñ ÙÒ Ø Ó f H 2 ÓÐÐ ÔØ T 2 (f) = {w i }º ÇÐ ÓÓÒ w = {w i } l 2 g is (z) = (1 z i 2 ) 3/2 s (1 z i z) 2 B is (z) 2 g is (z) f s (z) = w i B is (z i ) 2. ÙÒ Ø Ó g is (z j ) = ÙÒ j i i, j s ÓØ Ò (1 z i 2 ) 3/2 B is (z i ) 2 f s (z i ) = w i (1 z i 2 ) 2 B is (z i ) 2 = w i (1 z (1 z i 2 ) 1/2 i 2 ) 1/2 f s (z i ) = w i. ÆÝØ ÓÒ T 2 (f s ) = {w i } s º ÌÙØ Ø Ò ÙÖ Ú Ò ÒÓÖÑ f s 2 2 = (f s, f s ) = 1 s f s (e iϕ )f s (e iϕ w i w j )dϕ = B is (z i ) 2 B js (z j ) (g is, g js ). 2 À ÐÔÓ Ø Ò Ò ØØ i,j=1 g is (z) = (1 z i 2 ) 3/2 (z i z) 2 B s (z) 2, ÓØ Ò (g is, g js ) = 1 ( (1 zi 2 )(1 z j 2 ) ) 3/2 ( (zi e iϕ )(z j e iϕ ) ) 2 B s (eiϕ ) 4 dϕ. ÁÒØ Ö Ð ÓÒ Ø ÖÑ B s (e iϕ ) = 1 Ñ Ð Ò ÐÐ D ÐÐ ÓØ Ò Ú º ÆÝØ ÚÓ Ò ÙÓÖ ØØ ÙÖ Ú ÒÐ Ò Ò Ó ÑÙÖØÓ ÓØ ÐÑ (g is, g js ) z j z i 4 (g is, g js ) 1 z j z i δ 4 ( (1 zi 2 )(1 z j 2 ) ) 3/2 2 3( z j e iϕ 4 + z i e iϕ 4) δ 4 1 z j z i 4 ( (zi e iϕ )(z j e iϕ ) ) 2 dϕ = 8( (1 z i 2 )(1 z j 2 ) ) 3/2 δ 4 1 z j z i 4 (z j e iϕ ) 2 (z i e iϕ ) 2 + (z i e iϕ 2 ) (z j e iϕ ) 2 dϕ 8( (1 z i 2 )(1 z j 2 ) ) 3/2 ( (z j e iϕ ) 2 δ 4 1 z j z i 4 (z i e iϕ ) 2 dϕ + (z i e iϕ ) 2 ) (z j e iϕ ) 2 dϕ. ÁÒØ Ö Ð Ò ØØ ÐÝÝÒ ÝØ ØÒ Ö Ù Ø ÓÖ º ½¾ Ì ÓÖ Ò ÑÙ Ò D Ñ ÖÓÑÓÖ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÒØ Ö Ð ÓÒ Ö ÙÒ Ô Ø Ò ÓÒ Ñ Ù Ò i ÖØ ÙÒ Ø ÓÒ D πi ÖØ D Ø Ú Ò Ò ÔÓ Ò Ö Ù Ò ÙÑÑ º ½¾ ÊÙ Ò Ò Ö Ò ÚÙ ¾¾ º ¾

27 ÅÓÐ ÑÑ ÐÐ ÒØ Ö Ð ÐÐ ÓÒ Ý ØÓ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ Ò Ô Ô Ø z = z i z = z j º Ä ÙØ ÓÚ Ø ÝÑÑ ØÖ Ø ÓØ Ò Ø Ò Ò Ø Ú Ò ØÓ Ò Òº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ h = ( zj z z i z )2 Ö Ù Ò ÖÚÓ Ô Ø z = z i [ d Ê z=zi h(z) = lim (z z i ) 2( z j z ) ] 2 = 2(z i z j ). z zi dz z i z Ä Ø Ò ÙÖ Ú Ö Ù Ø Ý Ø Ò ÖÖÓØ Ò i ÐÐ ÓÐÐÓ Ò (g is, g js ) 8( (1 z i 2 )(1 z j 2 ) ) 3/2 δ 4 1 z j z i 4 4 z j z i 32 δ 4 ( (1 zi 2 )(1 z j 2 ) 1 z j z i 2 ) 3/2. ÃÓÖÓÐÐ Ö Ò º ÚÙÐÐ Ò ÝÐÖ ÙÑÑ ÐÐ s (g is, g js ) 32A3/2 δ 4 f s 2 ÚÓ Ò Ð ÑÑ Ò º½¼ ÒÓ ÐÐ Ö Ó ØØ ÔÝ ØÐ f s 2 2 s i,j=1 w i w j δ 4 (g is, g js ) B δ 4 w 2 2. = Bº ÆÝØ ÒÓÖÑ ÐÐ ÌØ Ò f s ÓÒ Ø Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú ÖÙÙ H 2 ÓØ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ó ÓÒÓ f sj Ó ÙÔÔ ¹ Ò ÐÓ Ð Ø Ø Ø Ó Ø Ò ÐÝÝØØ Ø ÙÒ Ø ÓØ f H 2 ÓÐÐ T 2 f = w f 2 2 B δ 4 w 2 2º ÂÐ ÐÐ ÓÒ Ò ØÓ Ø ÙÒ p = 2µ ØØ T 2 (f) l 2 Ó ÐÐ f H 2 º Ð Ò Ò ÙÒ Ø Ó f s Ó T 2 ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó ÖÚÓØ w i Ô Ø z i i s ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó f s = h s B s g Ñ g H 2 ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÙÒ Ø Ó h s Ô Ø z i ÖÚÓØ h s (z i ) = (1 z i 2 ) 1/2 w i ÙÒ i sº ÇÐ ÓÓÒ Ð h s ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÓÒ H 2 ¹ÒÓÖÑ ÓÒ Ô Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ò h s 2 = min g H 2 h s B s g 2 º ÅÝ f s ÓÒ Ñ ÑÙÓØÓ Ù Ò h s ÓØ Ò h s 2 f s 2 C w 2 ÙÒ C = Bδ 2 º Ø Ø Ò k s (z) = hs(z) B º ÙÒ Ø ÓÒ f ÒÓÖÑ Ò Ñ Ò ÑÓ Ñ Ò Ò ÓÒ Ú Ú Ð ÒØØ Ø Ð ÒØ Ò s (z) min g H 2 k s g 2 Ò ÑÙØØ h s Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ min g H 2 k s g 2 = k s 2 º Ä Ø Ò ÙÖ Ú φ(f) = 1 i D k s(z)f(z)dz ÓÚ ÐÐ Ø Ò ÃÓÖÓÐÐ Ö º¾¾º ÙÒ Ø ÓÐÐ k s f ÓÒ Ý Ó s ÔÔ Ð ØØ Ò ÑÑ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ Ò ÔÓ z = z j Ñ j sº Ê Ù Ø ÓÖ Ò ÒÓ ÐÐ (z z j )h s (z) (z z j )h s (z) Ê z=zj k s (z)f(z) = lim f(z) = lim z zj B s (z) z zj B js (z j ) = (1 z j 2 ) 1/2 w j f(z j ). B js (z j ) 1 z j z z j z f(z) ËÙÑÑ Ø Ò Ö Ù Ø Ý Ø Ò ÖÖÓØ Ò i ÐÐ ÓÐÐÓ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð φ ÑÙÓ ÓÒ φ(f) = s w i (1 z i 2 ) 1/2 f(z i ). B is (z i ) ÃÓÖÓÐÐ Ö Ò º¾¾ ÑÙ Ø s w i (1 z i 2 ) 1/2 f(z i ) B is (z i ) h s 2 f 2 C w 2 f 2, Ñ Ö ØØ ÓØØ ÙÔÖ ÑÙÑ ÝÐ Ò w l 2 Ó ÐÐ w 2 1º ÌÐÐ Ò Ò ( s ) 1/2 (1 z i 2 ) f(z i ) 2 C f 2. Æ Ò ÓÐÐ Ò T 2 f l 2 Ó ÐÐ f H 2 º ¾

28 Ç Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú ØØ T p f l p ÐÐ f H p ÙÒ {z i } ÓÒ Ø Ø Ô ÖÓ ØÙÚ º ÙÒ Ø ÓÐÐ f H p Ö Ó Ø Ø Ò f(z) = B(z) ( g(z) ) 2/p ÙØ Ò Ð ÑÑ º º Æ Ò ÓÐÐ Ò (1 z i 2 ) f(z i ) p (1 z i 2 ) g(z i ) 2 C 2 g 2 2 = C2 f p p. i i ÌÓ Ò ÒÓ Ò T p (f) p C 2/p f p ÙÒ f H p º ÄÓÔÙ Ó Ó Ø Ø Ò ØØ T p (H p ) l p (1 p < ) ÙÒ {z i } ÓÒ Ø Ø Ô ÖÓ ØÙÚ º Ì Ó Ø Ô Ù Ò p = 1 ØÓ ØÙ ÖÓ ÝÐ Ø Ø Ô Ù Ø Ø ØÒ ÝÐ Ò Ø Ô Ù Ò Ð Òº ÇÐ ÓÓÒ 1 < p < w = {w i } l p g s (z) H p ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÓÒ H p ¹ÒÓÖÑ ÓÒ Ô Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ò ÙÒ g s (z i ) = (1 z i 2 ) 1/p w i (i s)º ÃÝØ ØÒ ÐÐ Ò Ø ÓÖ Ñ º¾¾ ÓÐÐÓ Ò g s Ò ÒÓÖÑ ÐÐ Ò ÓÐÐ Ò f H q f q = 1 q ÓÒ p Ò ÓÒ Ù ØØ µ Ý ØÐ g s p = s w i (1 z i 2 ) 1/q f(z i ). B is (z i ) Ä Ò Ö ÓÔ Ö ØØÓÖ ÐÐ T p ÙÒ ÒÓÖÑ Ò ÝÐÖ Ò ÒÓ ÐÐ g s p δ 1( s w i p) 1/p( s (1 z i 2 ) f(z i ) q) 1/q δ 1 C 2/q w p. Ê ÐÐ lim s g s g H p T p (g) = w ÑÓ Ò Ö ÙÑ ÒØ Ò Ù Ò Ø Ô Ù p = 2º ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ p = 1 w l 1 g s (z) H 1 ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÓÒ H 1 ¹ÒÓÖÑ ÓÒ Ô Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ò ÙÒ g s (z i ) = (1 z i 2 ) 1 w i (i s)º ÌÐÐ Ò ÓÐÐ Ò f H ÚÓ Ò Ö Ó ØØ g s 1 = s w i B is (z i ) f(z i), ÓÐÐÓ Ò g s 1 δ 1( s ) w i sup f(z) δ 1 w 1 f z ÃÓ ÐÐ w ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò Ó ÐÐ 1 p < ÓÒ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÐ Ù ØÓ Ø ØØÙº ¾

29 ÖÐ ÓÒ Ò Ñ Ø Ø ÖÐ ÓÒ Ò Ñ Ø Ø Ò ÚØ Ô ÚÒÚ ÐÓÒ ½ ¼¹ÐÙÚÙÒ Ð ÙÔÙÓÐ ÐÐ º ÌÙÓÐÐÓ Ò ÖÙÓØ Ð Ò Ò Ñ Ø ¹ Ñ Ø Ó Ä ÒÒ ÖØ ÖÐ ÓÒ ØØ Ð Ý Ø Ñ Ø Ø Ö Ø Ö Ó Ò ÓÑÔÐ Ø ÓÒ ÚÓ ¹ Ñ Ò Ý ÓÒ ÓÒÓØ Ó ÐÐ H ¹ ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø ÒØ Ò Ö Ø ÙÒ ÃÓÖÓÒ ¹Ø ÓÖ Ñ Òº ÌÑ Ø ÓÖ Ñ Ö Ø ÓÒ ÐÑ Ò Ó Ð ØØÝÝ Ò ¹ Ð Ö H Ò Ñ Ñ Ð Ø Ò ¹ Ð Ò M ζ = {f H : f(ζ) = } ÙÐ ÙÑ Ò ( ζ < 1) Ð Ò Ò ØÓÔÓÐÓ º ÌÓ Ò ¹ ÒÓ Ò ÙÐÓØØÙÙ Ó ÙÐ ÙÑ Ò Ú ÙØÙ ÐÙ Ý ÓÒ ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ Ð ÓÒ Ó Ý ÓÐÐ ÓÖÓÒ Ú ÖØ ÙÖ Ò ÓÒ ÓÖÓÒ µ Î Ø Ù Ø Ò Ý ÝÑÝ Ò ÓÒ ÐØ Ò Òº ÃÝ Ø Ø ÓÖ Ñ ØÑÒ ØÝ Ò ÔÙ ØØ Ø ÐÐ ÑÙØØ Ð ÝØÝÝ ØÓ ØÙ Ò Ò ÑÙÙÒ ÑÙ ÙÖ Ò Ò Ö Ø Ì ÓÖÝ Ó H p ËÔ ÓÚ ÐØÙÙ Ñ Ö Ø ÓÐÙ Ñ Ö¹ Ð ÓÒ Ò Ñ ØÓ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÐÙ ÐÐ º º½ ÖÐ ÓÒ Ò Ñ ØØÓ Ò ÑÖ Ø ÐÑ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÐ Ù Ò Ð Ø ÓÖ Ñ Ò º½ ØÓ ØÙ Ó Ó Ø ØØ Ò ØØ Ñ Ð {z i } ÓÒ Ø ¹ Ø Ô ÖÓ ØÙÚ f H p Ò Ò ( (1 z i ) f(z i ) p) 1/p ( (1 z i 2 ) f(z i ) p) 1/p C f p. ÌÓ Ò ÒÓ Ò ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ö ØØ Ñ ØØ µ = i (1 z i )δ zi ÐÐ i ÓÐÐÓ Ò f(z) p dµ(z) < D Ó ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ f H p Ö ØÝ Ø Ò Ø Ó H p L p µ ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙº Å Ø ÐÐ δ zi ÔØ δ zi (A) = { 1, zi A, z i A. ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ö Ý ÝÑÝ Ø Ñ ÐÐ ÑÙ ÐÐ Ñ ØÓ ÐÐ µ Ò ÐÙÙ Ó H p L p µ ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙº ÌÖ Ú Ð Ø ÚÓ Ñ Ò Ý ÓÒ Ø Ú ÐÐ Ò Ò Ä Ù Ò Ñ ØØ ÓÒ ØÐÐ Ò Òº Ç Ó ØØ ÙØÙÙ ØØ Ý Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÓÑ Ú Ò Ñ ØØÓ Ò ÓÙ Ó ÓÒ ÐÔÔÓ Ö Ø Ö Ó Ò ÓÚ Ø Ò Ò ÒÓØØÙ ÖÐ ÓÒ Ò Ñ ØØÓ º ÅÖ Ø ÐÑ º½º ÖÐ ÓÒ Ò Ñ ØØ µ ÚÓ Ñ Ò Ý ÓÒ Ö ÐÐ Ø Ñ ØØ µ Ùع ÙØ Ò ÖÐ ÓÒ Ò Ñ Ø Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò Ú Ó A ØØ µ(s) Ah Ó ÐÐ ÓÙ ÓÐÐ S Ò Ø ÓÙ Ó ÙØ ÙØ Ò ÖÐ ÓÒ Ò ÓÙ Ó µ ÑÙÓØÓ S = {z = re iϕ : 1 h r < 1, ϕ ϕ ϕ + h}. Ä ÑÑ º¾º ÇÐ ÓÓÒ µ Ý ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò ÓÖ Ð¹Ñ ØØ α > º ÌÐÐ Ò µ ÓÒ Ö¹ Ð ÓÒ Ò Ñ ØØ Ó Ú Ò Ó ÓÒ ÓÐ Ñ Ú Ó A α ÓÐÐ ÔØ ( ) µ ( {z : h(z) > λ} ) A α {ϕ : (Nα h)(e iϕ ) > λ}, λ >, Ó ÐÐ Ý ÓÒ ÖÑÓÒ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ hº ÓÒ ÚÐ Ò [, ) Ä Ù Ò Ñ ØØ N α h ÓÒ ¹Ø Ò ÒØ Ð Ò Ò Ñ Ñ Ð ÙÒ Ø Ó ÙØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ º½¼º ÌÓ ØÙ º Î Ó α ÚÓ Ò ÒÒ ØØ Ó ØÓ ØÙ ÓÒ ÒØØ Ò Ò Ò Ó ÐÐ ÖÚÓÐÐ º Î Ð Ø Ò α = π/4º ¾

30 Å Ö ØÒ N ϕ = {e iϕ : (N π/4 h)(e iϕ ) > λ} H λ = {z : h(z) > λ}º ÇÐ ÓÓÒ Ô Ø z = r e iϕ H λ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Òº ÆÝØ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ñ Ñ Ð Ò Ò Ý ¹ ÓÒ Ö ÙÒ Ò Ö I z ÓÐÐ ÔØ z {e iϕ S π/4 : ϕ I z }º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÑÝ ÚÓ Ñ ØÓ (N π/4 h)(e iϕ ) > λ ÙÒ ϕ I z N ϕ º π 4 γ O 1 2 z I z β ζ O r Iz Ã Ö Ò I z Ô Ø ÓÒ ( e iϕ Ô ØÙÙ ÚÓ Ò Ð Ó ÒÔÙÓÐ Ò ÙÚ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ 1 ÙÖ Ú Ø β = arcsin 2r ) γ = π/2 β ζ = π/4 γ I z = 2ζº I z = π 2, r 1 ( 1 ) I z = 2 arcsin π 2 2r 2, 1 2 < r < 1 ÇÒ ÐÑ Ò ÓÒ ÒÝØ Ô ØØ z ÓÐÐ Ò ÖÐ ÓÒ Ò ÓÙ ÓÐÐ º Ã Ö Ò Ô ØÙÙ ÐÐ ÔØ ÔÝ ØÐ I z (1 r ) Ø Ö Ó ØÙ Ô Ö ÑÑ ÓÔ ÑÙÙØ Ò Ò ÙÖ Ú ÒÐ Ò Ò ÖÐ ÓÒ Ò ÓÙ Ó T z = {z = re iϕ : r r < 1, ϕ 1 r 2 ϕ ϕ + 1 r }. 2 ÆÝØ z T z {e iϕ S π/4 : ϕ I z }º È Ø z Ú Ð ØØ Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ø ÓØ Ò Ó Ò Ò Ô Ø z H λ ÚÓ Ò Ô ØØ ÖÐ ÓÒ Ò ÓÙ ÓÐÐ ÓÒ ÔÖÓ Ø Ó Ý ÓÒ Ö ÙÒ ÐÐ ÐØÝÝ ÓÙ ÓÓÒ N ϕ º O J 1 ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ú Ø Ú Ø ÓÙ ÓØ I z Ó ÐÐ Ô Ø ÐÐ z H λ º Ø Ò Ø ÓÙ Ó Ø z H λ I z N ϕ ÓÒ ÚÓ Ò Ô ØØ Ý ÓÒ Ö ÙÒ Ò D Ø ÓÓ ØÙÙ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ò ÑÓÒ Ø Ö ÐÐ Ø ÚÓ Ñ Ø Ó Ö Ø J j º ¼

ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý

ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý ÈÖÓ Ð Ø Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ñ Ø ÐÐÒ ÔÖÓ Ð Ø Ð ÓÖ ØÑ º ÌÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÖÚ Ø Ò Ø Ø ØÒ ÓÐ Ó ØÙÐÓ Ò ÑÙ Ò Ö Ù ÙØ Òº ÖÓÒ Ô Ø ÖÑ Ò Ñ Ò ÓÒ ØØ ÒÝØ Ø Ö Ø ÐÐ ÖÓ Ú Ò Ð ÒØ ØÓ Ø Ø Ò ÙÙ ÐÐ ÖÚ Ù ÐÐ Ø ÖÚ ØØ º Ä ÓÒ Ö ØØ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ

Lisätiedot

Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø

Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Å Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ Ý ØØ Ðк Å Ò Ø Ð Ú Ø ÚÙÙ ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Å Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ø Ô Ó Ò Ñ Ñ ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ô ØÙ Ý ØØ Øº ÂÓ Å Ò Ø Ð Ú Ø ÑÙ ÓÒ

Lisätiedot

ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù

ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº

Lisätiedot

ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ

ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º º ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø Ø ¹ÑÖ ØØ ÐÝ º¾µ ÚÓ Ú Ø Ø ÑÝ Ø Ò ÑÖ Ø ÐØÚ Æ Ñ ÒØÝ ÑÝ ³ ³¹Ñ Ö Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ò ÓÐ ÐÐ ØØÝ ØÝÔ ¹ÐÝ ÒØ º½µº ¾ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ

Lisätiedot

Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely

Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑ Ò Ö ÒÒ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ø ÐРؽ ؾ Ø È Ð Ó ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ö ÒÒ Ì ØÓ ÓÒ Ô Ð Ò ÝØ Ñ Ò ÓÒ Ñ ÐÐ Ó Ø Ò ÙÚ ØØ ÐÐ Ø Ñ ÐÑ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò Ð

Lisätiedot

Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»

Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½» Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½» Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓØ Ò ÐØ º Å Ø Ò Ô Ð ÓÒ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÙÐÙØØ ØÙÒÒ Ø Ò Ò Á Ä Ø Ò Ð Ò ØÙÒÒ Ø Ú ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ô Ù Ó Ð Ö Øصº Ä Ø Ò

Lisätiedot

Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»

Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½» Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½» ÃÙÖ Ò ÐØ Ø ÐØÙ ÐØ ½ ¾ Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò ÄÙÓ È ÄÙÓ ÆÈ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ ÆȹØÝ ÐÐ ÔÖÓ Ð ÑÓ Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÄÙÓ ÈËÈ Ë Ú Ø Ò Ð Ù Ñ Ö ÈËÈ ¹ØÝ ÐÐ Ø

Lisätiedot

È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»

È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾» È Ú Ö Ù ÆÈ Á à РÐÙÓ Ø È ÆÈ ÒÝØØÚØ ØÝ Ò Ö Ð ÐØ Ë ÐÚ Ø È ÆȺ µ È ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ º µ ÆÈ ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ú Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð ÓÒ

Lisätiedot

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø È ÀÌ Ä Ì Ê ÙÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ

Lisätiedot

Ð ØÖÓÒ Ø Ñ ÙÚÐ Ò Ø Ì ÑÙ Ê ÒØ ¹ Ó À Ð Ò ¾ º ÐÓ ÙÙØ ½ Ë Ò ÙÔ Ò ÝÒÒ Ò Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Å Ù Ö Ø ÐÑØ ¾ ¾º½ ÆÝ Ý Ø Ñ Ù Ö Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø

À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø Ì ÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì Ó Ø ÐÐÒ ÓÒ ÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ö Ø Ú ÑÙØØ Ó Ò Ö Ø Ù Ú Ø Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ø Ð ØØ Ö Ø Ù ÓÐ ÝØÒÒ ÐÚÓÐÐ Ò Òº Í ÑÑ Ø ÓÐ ØØ Ú Ø ØØ ÆȹØÝ ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÙÑ ØØÓÑ ÒØÖ Ø Ð µ ÑÙØØ ØØ ÓÐ ØÓ Ø ØØÙº

Lisätiedot

(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).

(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc). ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙ Ø ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ØÐ ÐÐ x + 1 = 0 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ó Ó Ò Ö Ð ÐÙ¹ ÚÙÒ ØÓ Ò Ò ÔÓØ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº ÂÓØØ ØÐÐ Ý ØÐ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ù Ñ Ò ØÝØÝÝ Ð ÒØ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ð ÑÐÐ Ò ÙÙ Ð Ó Ñ Ö ØÒ Ø¹ Ø ØÓ Ø

Lisätiedot

F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.

F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}. Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½

Lisätiedot

Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø

Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ØÓÖ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð

Lisätiedot

ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö

ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ý ÝÐÐ Ø ØÓÖ ÒØ Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ

Lisätiedot

ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼

ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ Å Ð Ë Ú Ð ÂÓ ÒØÓ Ð Ø ÓÖ Òº ØÖ ÙØ Ú Ø Ð Ø ÔÐÓÑ ØÝ ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ ÁÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ ÐÙÓÒÒÓÒØ

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÇÐ ÓÔÓ Ø Ø ØÓÑ ÐÐ Ø Ø ØÓ ÒÒ Ò ÐÐ ÒØ Ö Ø ÐÑ ÖØÓ ÖÐÙÒ À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ

Lisätiedot

F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.

F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }. Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½

Lisätiedot

a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº

a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº ÄÙ Ù ÐÙ Ø ÂÙ Ä Ö ÂÓÙÒ È Ö ÓÒ Ò ÄÙ ÐÐ ÌÑ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÂÓÙÒ È Ö Ó Ò ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¾¼¼ ÂÙ Ä Ö Ò ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ô ØÑ Ò ÄÙ Ù Ð٠ع ÙÖ Ò ÐÙ ÒØÓ Òº ÅÓÒ Ø Ò Ò Ò Ñ Ø ¹ Ö Ð ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú ÓÒ Ñ ØØ ÐÐ ÐÙ ÒØÓ ÙÖ ÐÐ Ð ÑÙ

Lisätiedot

p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2

p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 º ÅÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ö ÒØ Ð Ð ÒØ º½ Â Ø ÙÚÙÙ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø Ù Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÒØ Ð Ð ÒØ ÐÑÔ Ø Ð ÓÒ Ò Ô Ò ÙÒ Ø Ó T(x, y, z.t) ÄÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ÐÑÓ ØØ Ñ Ò ÙÙÒØ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ú ÚÓ Ñ ÑÑ Ò Ù Ò Ð ÐÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ½½ ÃÓÓÖ

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º ÂÓ ÒØÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ØØ ÐÝÝÒ Ê¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ ÒÒ Ç Ö Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÐÓ ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º

Lisätiedot

d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j

d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j ¾º¾º ÁÌÇÁÆÌÁ Ì ÁË Æ Ä Ëà ÅÁÆ Æ ¾ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÌÌÈÈÈÌÄÌÅÈÈ Ò Ù Ø¹Öݹ¹ Ò¹¹¹Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÙ ØØ ÐÓ Ò Ù ØÖÝ d ǫ ÒØ ÖÝ ǫ e ÒÙ ØÖÝ u ǫ ÒØ Ö Ý y s Ò ØÖÝ s ǫ ÒØ Ö ǫ t ÒØÖÝ ǫ e ÒØ Ö Ø ¾º¾ ØÓ ÒØ Ø ÝÝ Ò Ð

Lisätiedot

A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =

A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) = ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º

Lisätiedot

{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.

{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. Ä Ø ÓÓ Ø Ø º º Ä Ø ÓÓ Ø Ø Å Ø Ñ Ø ÓØ ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ù Ò ÓÙ Ó ÑÔÐ ØØ ÐÐ ÒÓØ Ø ÓÐÐ Ò ÙØ Ò {(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. À ÐÐ Ø Ö Ó Ú Ø Ú Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ØÓ ÐÐ Ò Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÒØ Ò Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ð Ø

Lisätiedot

N = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º

N = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º Å Ì ¾¾ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ã ¾¼½¼ ÌÑ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÙÖ ÐØ Ó ÐØ Ä ÃÙÖ ØÙÒ Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ Ò ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ò ÓØ ÒÒ ØØ ÐÙ Ñ Ð Ô ØÓ¹ ØÙ Ò Ð Ý ØÝ Ó Ø º Ë ÐØ ½º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ½º½º ÄÙ Ù Ö Ø ÐÑØ ½º¾º  ÓÐÐ ÙÙ ½º º Ð

Lisätiedot

Symmetriatasot. y x. Lämmittimet

Symmetriatasot. y x. Lämmittimet Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ ¹ÖÝ ÑĐ» ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó ÅÍÁËÌÁÇ ÆÓ»Ì ÊÅǹ ¹¾¼¼¼ ÔÚÑ ½¼º Ñ Ð ÙÙØ ¾¼¼¼ ÇÌËÁÃÃÇ Ø Ú ÒعØÙÐÓ ÐÑ Ð ØØ Ò ¹Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò ÖØ Ø ØÙØ ØÙÐÓ ÐÑ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ä ÌÁ ̵ ÂÙ Ú Ó Ð ¹ÂÙÙ Ð

Lisätiedot

Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð

Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÖÓ Æ Ñ Ð ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø

Lisätiedot

:: γ1. g 1. :: γ2. g 2

:: γ1. g 1. :: γ2. g 2 ÌÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ¹ Ý ÝÑÝ Ø º º¾ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ý ÝÑÝ Ð Ø x g Ò e? :: α Ö Ø Ø Ò ÓÐ ÐÐ Ø ÑÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ØØ ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙØØ À ÐÐ ÝÐ Ø Ò ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ ÐÑ ÒØÙ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ð Ó º Ë Ø ÑÙØ ÑÑ Ò ÑÓÒ Ý ÝÑÝ Ð Ø p g Ò e? ::

Lisätiedot

ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý

ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý Ä Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÑ Ò Ò Ð Ñ Ô Ð Ò ÚÙÐÐ Î ÐÐ Ã ÒÒÙÒ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø

Lisätiedot

ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º

ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½

Lisätiedot

139/ /11034 = 0.58

139/ /11034 = 0.58 ÄÙ Ù ÂÓ ÒØÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÝÒ º½ Ì Ð ØÓÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÐÙÓÒÒ Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÔØØ ÐÝ ØØ Ð Ú ÒØÓ Ò Ú Ø ÐÙ ÔÚ ÖÑÙÙØØ º ÓÐ Ø ØÒ ÐÚ ØØ ØÙÓÐÐ Ø Ø ÚÓ Ò Ø¹ Ø Ñ ØÒ Ø ÑÐÐ Ø Ø Ø Ø ÐРغ Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÓÒ ÓÑ

Lisätiedot

ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º

ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º ÂÓ ÒØÓ ½ ½ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ ÐÐ ØÙØÙ ØÙØ Ò Ô ÖÙ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ö ØÝ Ø Ñ Ø Ò ÖÓ ØÙØÙ Ø Ø Ð Ô ÖÙ Ø Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ø À ÐÐ ÓÐÐ ÓÒ Ô Ó Ó ÐÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø º ½ ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ

Lisätiedot

q(x) = T n (x, x 0 ) p(x) =

q(x) = T n (x, x 0 ) p(x) = ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ ØÙÒ Ô Ø Ò x 0 ÝÑÔÖ ¹ Ø Ö ØØÚÒ Ð Ø Ð Ö ØØÚÒ ÑÓÒØ ÖØ Ø ÙÚ Ø µ Ö ÚÓ ØÙÚ ÅÖ Ø ÐÑ ÎÁÁ ½ ÙÒ Ø ÓÒ f : D f R D f R Ó ÓÒ

Lisätiedot

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ì ÖÓ ÃÓ Ó Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÌÙÖÙÒ Ð ÓÔ ØÓ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ

Lisätiedot

Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ

Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ à ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Ò ÝÚÝÝ Ð ÒØ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ

Lisätiedot

el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (

el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln ( ÈÙÓÐ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ô ÖÙ Ø Ø À Ì Øº ½º È ÖÖ ÔÒ¹ÔÙÓÐ Ó Ð ØÓ Ò Ò Ö ÚÝ Ñ ÐÐ ÙÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÂÓ ÓÒØ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò V 0 Ý ØÐ µ ÃÙÚ Ò ÚÙÐÐ µ Ù ÓÚ ÖØ Ý ØÐ Ø Ô¹ Ò¹ØÝÝÔ Ø Ò Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ö Ø ÓØ Ô¹ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÙÖ

Lisätiedot

Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ

Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ Á Å Ö Ò Ò À Ò ½½º º¾¼¼ Ç Ñ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò

Lisätiedot

Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç Å ÖØØ Ì Ò Ö ¾ º½º¾¼½½ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ

Lisätiedot

Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø

Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø Ä Æ Ä ÍÃÃÇÆ Æ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ØÓØ Ø Ò Ú Ö Ø Ö Ø ÐÙ ÓÔ ÒØÓ¹ Ñ Ò ØÝ Ò Ú ÙØØ Ú Ò Ø Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÈÄÇÅÁÌ ÝÚ ÝØØÝ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ó ØÓÒ ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ º½½º¾¼¼ º Ì Ö Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ë ÔÔÓ ÈÓ ÓÐ Ò Ò ØÙØ Å ÀÙ ÓÐ

Lisätiedot

C A B, A D B A B E. A B C, A C B Ø B A C.

C A B, A D B A B E. A B C, A C B Ø B A C. Ù Ð Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ñ ÐÐ Ö Ë ÐÑ Ð ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ã ÚØ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ À Ð ÖØ Ò ÓÓÑ Ö Ø ÐÑ ¾ ¾º½ À Ð ÖØ Ò Ò Ò ÓÓÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

x (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W =

x (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W = Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ º Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø Ø Ð ÙÙ Ì ÐÙÚÙ Ø ÑÑ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ø Ô ÒÓÖ Ø Ù Ò Ø Ð ÙÙ Ø Ö Ø ÐÙ¹ ÒÝØ ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö ÐÙÖ Ý Ø Ñ ÐÐ Ô ÐÐ Ò ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò Ó Ó Ð Ø ÝÐ Ô Ò ÓÐ Ú ÐÙÖ º ÂÓ

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ÐÔ Ð Ú Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÑÓ ÙÐ ¹ Ö Ó ÒØ Ì ÑÓ ÌÙÓÑ Ò Ò À Ð Ò ½º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö Ø ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ã Ö Ì ÑÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ

Lisätiedot

0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx)

0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx) Å ÌȽ ¼ ËÝÑ ÓÐ Ò Ò Ð ÒØ ¾ ÓÔ ½ Ð Ø ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ Ø ÐØ ËÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒÒ Ò ÙÖ ÐÐ ÓÔ Ø Ò Ø ØÓ ÓÒ Ò ÝØØÑ Ø ÔÙÚÐ Ò Ò Ñ Ø Ñ ØØ ÓÒ ÐÑ Ò¹ Ö Ø Ù º ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÒØ Ô ÖÙ Ú ÐÑ Ù Ø ÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒØ Ò Ö Ó ØÙÒ Ò Å Ø Ñ ¹

Lisätiedot

È ÌÀÇƹÇÀ ÄÅÇÁÆÆÁÆ ËÇÎ ÄÄÍÃËÁ Å ÌÊÁÁËÁÄ Ëà ÆÌ Æ ÌÁÄ ËÌÇÌÁ Ì Ë Æ Â ÆÍÅ ÊÁË Æ Å Ì Å ÌÁÁÃÃ Æ ÄÍÃÁÇÄ ÁËÁÄÄ Ì Ò Ï ÐÐ Ö ¹Ä Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Å ÖÖ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å

Lisätiedot

Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò

Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò Å ÈÙÐ Ò Ò ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÓØ Ò Ò Ò Ø ÒØÙØ ÐÑ ¾ º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù

Lisätiedot

à ÑÖ Ò ÙÙ Ò ÙÒØÓÐ Ò Ò ÓÖ ÓØ ÓÒ ÓÖ ÓÑ Ö Ò Ð Ò ÑÖÝØÝÑ Ò Ò ËÁË ÄÌ ËÁË ÄÌ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ ÌÙØ ÑÙ Ý ÝÑÝ ØÙØ ÐÑ Ò Ö ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÙÒØÓÐ Ò Ñ Ö Ò Ø ËÙÓÑ º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

Ì ÓÚ Ö ÓØ Ð Ò Ã ÐÐÙÒ Å Ø Ñ Ø Ò ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ À ØÓÖ ¾ Î Ö ÓØ ÓÖ ¾º½ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

x α 1... x (v ṽ)φdx = 0

x α 1... x (v ṽ)φdx = 0 Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ÔØ ÐÐ ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ì ÑÙ ÅÙ ØÓÒ Ò ½ ½ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ñ Ø Ø Ø Ò Ø ÙÒØ Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ

Lisätiedot

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È ÂÇÆÁ È ÀÄ Å ËÁÆÁÅ ÄÄÁÆÆÍÃË Æ È ÊÍËÌÍÎ ÅÍËÁÁÃÁÆ Ë ÆÌ ËÁ Ã Ò Ø ÒØÝ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ ÃÓÒ Ø ÃÓÔÔ Ò Ò ½½º ØÓÙ Ó ÙÙØ ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ

Lisätiedot

1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).

1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i). ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½

Lisätiedot

½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1

½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1 ½º º Àǹ ÇÊ ËÁ ù Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ à ÖÔ Ê Ò Ø Ö Ø Ð Ú Ø ÑÝ ÙÒ Ú Ö Ð Ò ÙØÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ú Ö Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ð Ø Ò q ØÙÒÒ Ø ÐÙ Ù ÓÙ Ó Ø Qº Q Ò ÐÙÚÙØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ô Ò Ò Ò Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÎÖÒ Ø ÑÝ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º Šع¾º ½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø º½º¾¼¼ Ì Ø ÐÙÒ ÑÙÐÓ ÒØ ÑÔÙÑ Ø ÖÚ Ò Ö Ø ÐÑ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ø Ó ÙÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Â ÒÒ Ä ØÓÒ Ò ¼¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ

Lisätiedot

F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º

F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½

Lisätiedot

Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta Ë ÑÓ À Ð Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¼º

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð Ý ÒØØ Ð Ø ÒÖ Ð Ø ÒØØ Ì Ò À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

¾º C A {N A } K N A º A B N B

¾º C A {N A } K N A º A B N B Ú ÒØ Ò ÐÐ ÒØ ØÓ ÒÒÙ Ø Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ó ÔÙÓÐ Ø ÚÓ Ú Ø Ó¹ Ô Ð Ø Ú Ñ Ø ØÓ ÒØ ØÓ Ò º ÌÐÐ Ò Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ð ØØÝÝ Ù ÑÔ Ò Ø ØÓØÙÖÚ ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ò ÑÑ ¹ Ò Ú Ò ÒÒ Ò Ù Ò Ú Ö Ò Ò Ò ØÓ Ñ ÒØ Ñ Ö Ø Ó

Lisätiedot

ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø

ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ìº à ÖÚ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ½» ½½ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì

Lisätiedot

x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n

x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n ÇÈÌÁÅÇÁÆÆÁÆ È ÊÍËÌ Ì Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ¾ º ÝÝ ÙÙØ ¾¼¼ ¾ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ØÙØÙ ØÙØØ Ø Ú ÐÐ ÑÔ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ò ÝØØ Ò ÓÚ ÐÐÙØÙ º ÃÙÖ Ñ Ø Ö Ð ÒØÙÙ Ò Ð Ò Ö Ó Òº ÐÙ ÐÝ Ý Ø ÖÖ Ø Ò Ñ ØÖ Ð Ö Ø

Lisätiedot

Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼

Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼ Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ë ÎÇÄ ÁÆ Æ ÇÄÄÁ

Lisätiedot

λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.

λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin. Šع¾º½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø ¾¼¼ ¹¼¾¹½¾ Ì Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ø Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÐÐ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Ä ÙÖ ÂÙ Ò Ã Ò ¼¼ È Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ

Lisätiedot

(xy)z = x(yz) λx = xλ = x.

(xy)z = x(yz) λx = xλ = x. ÄÙ Ù ½ ÐÙ ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ ÝØ ØØÚ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Ø ØÓ Ò ØØ Ðݹ Ø Ø Ò Ð ØÓ Ò ÓÔ ÒØÓ ÓÐÐ ÙØÓÑ Ø Øº ÅÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÖ Ú Ò Ð Ø Ò Åº º À ÖÖ ÓÒ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÖÑ Ð Ä Ò Ù Ì ÓÖݺ ÓÒ¹Ï Ð Ý ½ º º º

Lisätiedot

139/ /11034 = 0.58

139/ /11034 = 0.58 Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÈÓÐÙÒ Ø ÒØ Ù Ò ÒØ Ò ÝÑÔÖ Ø Ô Ð È Ä ÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ ÄÙùØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç

Lisätiedot

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú ËÍÎÁ ÄÌÁÇ ÈÁÊà ÆÅ ÄÄ ¾¼¼ ¾¼¼ Ì È ÀÌÍÆ Á Æ ÄÁÁà ÆÆ ¹ ÇÆÆ ÌÌÇÅÍÍÃËÁ Æ Æ Ä ËÇÁÆÌÁ ËÎ ÊÃÃÇÂ Æ ÎÍÄÄ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø Ð ÓÔ ØÓÒÐ ØÓÖ Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ

Lisätiedot

x = [ x 1 x 2 x n (x i K) x = K (n) = {(x 1, x 2,...,x n ) : x i K} e 1 = (1, 0,..., 0) Ø, e 2 = (0, 1,..., 0) Ø,..., e n = (0, 0,...

x = [ x 1 x 2 x n (x i K) x = K (n) = {(x 1, x 2,...,x n ) : x i K} e 1 = (1, 0,..., 0) Ø, e 2 = (0, 1,..., 0) Ø,..., e n = (0, 0,... ¼¼ Ë Å ØÖ Ø ÓÖ Ì ÖÓ Î Ò ÙÓ Ù ¾º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ä Ò Ö Ð Ö ½º½ Å Ö ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ È ÖÙ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Å

Lisätiedot

k(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x)

k(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x) Ì ÊÅÇ ÁÂ ÍËËÁÆ ÈÊÇË ËËÁÌ Ê Ê ËËÁÇ Æ Ä ËÁËË Ã Ò Ø ÒØÝ Ç ÝÐ Ø ÒØØ À ÖÖ Ä Ñ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ À ÀÙØØÙÒ Ò ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓØ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ Ì ÊÅÇ ÁÂ Ù Ò ÔÖÓ Ø Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ã Ò Ø ÒØÝ

Lisätiedot

Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø

Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø È ÚÓ È Ö Ò Ò Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÓØ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ

Lisätiedot

ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½

ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½ Ê Ã ÆÆÍËÌ ÃÆÁËÌ Æ ÇÄÇ ÁËÌ Æ Â ÁÄÅ ËÌÇÄÄÁËÌ Æ Ì ÃÁ Á Æ Î ÁÃÍÌÍË ËÍÆÌÇÂ Æ ËÁË ÁÄÅ Æ Ê ÇÆÈÁÌÇÁËÍÍÌ Æ ÌÓÔ Ã ÒÒÙÒ Ò Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ

Lisätiedot

Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò

Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÓØ Ò Ò Ó ÐÑ ØÓØ Ò µ ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ

Lisätiedot

2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. x1 = 2 x 2 = 5. 2 ( 2)+5 = = 3. 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f

2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. x1 = 2 x 2 = 5. 2 ( 2)+5 = = 3. 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f Ä Ò Ö Ð Ö Á ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ ØØ Ø Ò Ø Ø Ò Ð ØÓ ¾¼½½ ÂÖÚ ÒÔ Ã Ö Ó ØØ ÒÙØ ÌÙÙÐ Ê Ô ØØ ¾ ½ Ä Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ½½ Ñ Ö µ Ê Ø Ý ØÐ 5x = 7 Ã ÖÖÓØ Ò Ý ØÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÙÚÙÐÐ 5 1 ÓÐÐÓ Ò Ò 5 1 5x = 5 1 7 Ð x =

Lisätiedot

ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼

ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼ ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼ ÌÝ Ò Ó À ÒÒÙ Â ÓÐ ÌÝ Ò Ø ÒÓ Åº Å Ø Ð ÅÓÓ Ð ÑÓÒ ÙÐØØÙÙÖ Ò

Lisätiedot

 ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð

 ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÒÒ ¹Ã Ð Ø ÐÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼  ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ

Lisätiedot

284 = º Î Ø Ú Ø. A = kanta korkeus. A 1/2suunn = kanta+kanta 2

284 = º Î Ø Ú Ø. A = kanta korkeus. A 1/2suunn = kanta+kanta 2 ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓØ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ ÒÓ¹Ã Ö Ò ½ Å Ø Ñ Ø Ò Ý Ò Ð ØÓ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÈÝØ ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ ÈÝØ ÓÖ

Lisätiedot

ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð

ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ì ÑÓ Ã ÖÚ ¾º½½º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ ¾º½½º¾¼¼ ½» ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ

Lisätiedot

Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ

Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ ÂÝÖ Ä Ò Ò Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½ º ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ

Lisätiedot

3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto

3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ö Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ¹ Ö Ò Ô ÖØÑ Ò Ò ÙÚ Ø Ò Ù Ò Ð Ù Ù Ò Ò Ô Ô Ð Ò µ ÚÙÐÐ Ö Ð Ù Ù Ò Ö Ø ØÓ ÙÐ Ð Ù Ù Ò Ò Ö Ú Ò ÙØØ ÒÒ Ò Ù Ò Ô ÖÖ ØÒ ÖÙÙ ÙÐÐ Ö

Lisätiedot

½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¹ØÖ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÒØ Ñ Ð ÚÝÐÐ Â Ó Å ÐÚ Ö À Ð Ò ¾¾º½¼º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos

arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos hyväksymispäivä arvosana arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki 12.4.2007 HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET

Lisätiedot

A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061

A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061 JORMA JOUTSENLAHTI Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä 1990-luvun pitkän matematiikan opiskelijoiden matemaattisen osaamisen ja uskomusten ilmentämänä AKATEEMINEN VÄITÖSKIRJA

Lisätiedot

Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon

Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon Å Ö ÃÓÑÙ Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon Sähkötekniikan korkeakoulu ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¾º¾º¾¼½ º ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ

Lisätiedot

f(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2

f(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2 Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ

Lisätiedot

ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ

ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ò ² Ö Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø

Lisätiedot

Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÇÐÐ ¹È ÀÙÓÚ Ð Ò Ò Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò

Lisätiedot

y t = X t β + u t, u t NID(0, 1) t = 1, 2,..., n ½µ

y t = X t β + u t, u t NID(0, 1) t = 1, 2,..., n ½µ ÇÊ Ê ÈÊÇ ÁÌ Â Â ÄÃ È ÄÄǹÇÌÌ ÄÍÆ Å ÄÄÁÆÌ ÅÁÆ Æ Ê Ò ÓÑ Î Ö Ð ½º Ò ÙÙØ ¾¼¼ ËÁË ÄÌ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ¾ ÇÖ Ö ÔÖÓ Ø ¾º½ Å ÐÐ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Â Ð Ô ÐÐÓ¹ÓØØ ÐÙÒ Ò

Lisätiedot

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ̺ à ÖÚ ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ½» ½ Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò

Lisätiedot

f(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0.

f(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0. Ú ËÁË ÄÌ ½¾º ËÙ Ø ÐÐ Ø Ò Ó ÙÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º ÇØÓ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½¾º Å Ò Ò ÙÑ Ø Ú Ô ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º º º º º º º º º º

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö Ø ÝØØ Ø Ò ØØ Ò ÙÚ Ù ÐÓ Ô ÖÙ Ø Ò Ò Ñ¹ Ö ØØ ÐÝ Û È ØÖ Ä Ò Ö Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç

Lisätiedot

MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,

MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2, ËÁË ÄÌ Ú º º½ Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º

Lisätiedot

F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º

F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½

Lisätiedot

(AB) ij = p. k=1 a ikb kj. AA 1 = A 1 A = I.

(AB) ij = p. k=1 a ikb kj. AA 1 = A 1 A = I. Ð ÙÓ ÙÖ Ø Å˹ ½ ¼ ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ A A = 0 0 2 0 0 2 ÐØÓ Ð ÓÔ ØÓ È ÖÙ Ø Ø Ò ÃÓÖ ÓÙÐÙ Å Ø Ñ Ø Ò ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼½ ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ ÙÙ ÐÐ Ò Ý ÝÐÐ ¾¼½

Lisätiedot

Referenced. Object. StateSet. Node. Geode

Referenced. Object. StateSet. Node. Geode ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ¹Ó Ø Ì ÑÓºÌÓ Ú Ò ÒØѺ Ùغ ÌÑ Ó ÙÑ ÒØØ ÓÒ ØÝ Ò Ø Ô Ú Ø ØÒ Ø ÖÔ Ò ÑÙ Òº ½ Ø ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ÇË µ ÓÒ ÇÔ Ò Ä Ò Ô Ö ÒÒ ØØÙ ¹ÙÓ Ö¹ ØÓ Ó ÓÒ Ú Ô Ø Ø Ú Ó ØÓ Ñ ÑÓÒ ÝÑÔÖ Ø º ÇË Ó¹ ÙÑ ÒØÓ ØÙ ÓÜÝ Ò¹Ó Ñ ØÓÒ

Lisätiedot

Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ

Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ð Ò ½½º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼¾ ÂÝÚĐ ÝÐĐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº

Lisätiedot

Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta Ä ÊÓÔÔÓÒ Ò Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú

Lisätiedot

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ØÙÖÚ ÐÐ ÙÙ ØØ Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ø Ø Ó ÐÐ ÑÖØÒ ÓÖ ¹ Ò Ø Ó

Lisätiedot

ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ

ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÀÁ Ì ÊÁÆÌ Ä ËËÁ ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½¼ º Ð Ø º ËÓÚ ÐÐ

Lisätiedot

X = 0I A0 +1I A1 +2I A2 +3I A3 = 1I A1 +2I A2 +3I A3. {X(ω) = r}º

X = 0I A0 +1I A1 +2I A2 +3I A3 = 1I A1 +2I A2 +3I A3. {X(ω) = r}º ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º

Lisätiedot

Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta È Ä Ø Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò

Lisätiedot

Barysentrinen koordinaattisysteemi sekä pisteen konjugaatio kolmion suhteen

Barysentrinen koordinaattisysteemi sekä pisteen konjugaatio kolmion suhteen HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Jenni

Lisätiedot

Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ

Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ Ê ÑÓ È Ø Ò Ò ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ¾ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò

Lisätiedot