ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼"

Transkriptio

1 Å Ð Ë Ú Ð ÂÓ ÒØÓ Ð Ø ÓÖ Òº ØÖ ÙØ Ú Ø Ð Ø ÔÐÓÑ ØÝ

2 ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼

3 ÁÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÅÁÄÂ Ë Î Ä ÂÓ ÒØÓ Ð Ø ÓÖ Òº ØÖ ÙØ Ú Ø Ð Ø ÔÐÓÑ ØÝ ÚÙ ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ È Ò Å Ø Ñ Ø Ì Ö Ø Ø Ó ÒØØ Ó ÌÙÖÙÒ Ò ÈÖÓ ÓÖ Ã Ó ÊÙÓ ÓÒ Ò Ú Ò Ò Ø Ó ØØ Ò Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó Ð ØÖ ÙØ Ú Ò Ò Ð ÑÓ ÙÐ Ö Ò Ò Ð Å Ø Ñ Ø Ð ÐÐ Ð ØØ µ Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ó ØØ Ò Ö Ø ØÝØÝ ÓÙ Ó ÓÒ Ó¹ ÐÐ Ð ÓÔ Ö ÐÐ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò Ô Ò Ò ÝÐÖ ÙÙÖ Ò Ð Ö º À Ð Ø ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÑÝ Ø ØÝØ ÓÓÑ Ø ØÝØØÚÒ Ð Ö ÐÐ Ò ØÖÙ ØÙÙÖ Ò º ÃÝ Ø ÑÖ Ø ÐÑØ ÚÓ Ò Ó Ó ØØ Ú Ú Ð ÒØ º Ì Ø Ó ØÙ Ò Ð Ø ÓÖ ÚÓ Ò Ô ¹ Ø Ö ØÝ Ø ÓÖ Ò ØØ ÙÒ Ú Ö Ð Ð Ö Ò Ó Ò º Ì ØÝ ÝØ ØÒ Ð Ø Ó Ø Ò Ð Ò Ð ÑÑ Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ Ô º À Рѹ Ö Ø ÐÐÒ ÓÙ ÓÒ Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÒÖ ÓÔ Ö Ø ÓØ ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÙÙ Ð ¹ ÓÓÑ º ØÖ ÙØ Ú Ò Ò Ð ÓÒ Ð ÓÒ Ð ÓÔ Ö Ø ÓØ ØÝØØÚØ ÙÙ Ò Ð ¹ ÓÓÑ Ò Ð Ý ØÔ ØÚ ØÖ ÙØ Ú ÙÙ ØÓ º ØÖ ÙØ ¹ Ú Ø ÑÓ ÙÐ Ö Ø Ð Ø ÓÚ Ø Ó Ó ØØ ÙØÙÒ Ø ØÖ Ð Ø ÓÖ Ò ÓÚ ÐÐÙ º ÂÓ¹ Ò Ò ØÖ ÙØ Ú Ò Ò Ð ÓÒ ÑÝ ÑÓ ÙÐ Ö Ò Ò ÑÙØØ ÑÓ ÙÐ Ö Ø Ð Ø ÚØ ÝÐ Ø ÓÐ ØÖ ÙØ Ú º ÌÝ Ò Ø Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ ÒØ ÐÙ ÐÐ Ø Ù Ð Ø ÓÖ Ò Ô ÖÙ Ø Òº Ä ÐÐ Ð ¹ ØÒ Ô ÖÙ Ð Ö Ò ØØ Ø Ó Ø Ø ÖÚ Ø Ò Ð Ø ÓÖ Ò ÝÑÑÖØÑ Òº ÌÙØÙ ¹ ØÙØ Ò Ó ØØ Ò Ö Ø ØØÝ Ò ÓÙ Ó Ò Ø ÓÖ Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ Ð Ö ÐÐ Ò Ò ØÖÙ ¹ ØÙÙÖ º ÌÙØÙ ØÙØ Ò ÐÓ Ò Ð Ö ÐÐ Ò Ö ÒØ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò Ý Ø Ý Ð Ó¹ Ô Ö Ø Ó Ò Ð Ò Ö ØÝ Ò ÚÐ Ðк ÌÓ Ø Ø Ò ØØ ÐÓ Ò ÓÓÑ ÓÙ Ó ÓÒ Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ ØÓ Ø Ò ØØ Ð Ø ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ù ÑÑ ÐÐ Ö Ð ÐÐ ÙÙ Ò ÓÓÑ Ò ÓÙ ÓÐÐ º ÄÓÔÙ Ø ØÒ ÑÖ Ø ÐÑØ ØÖ ÙØ Ú ÐÐ ÑÓ ÙÐ Ö ÐÐ Ð ÐÐ Ø Ö Ø Ð¹ Ð Ò Ù Ò Ò ÖÓ Ú Ø ØÓ Ø Òº ÌÓ Ø Ò ØØ ÑÓ ÙÐ Ö Ò Ø ØÖ ÙØ Ú Ò Ð Ò ÚÓ ØÙÒÒ Ø Ò Ð ÐÓ Ò ÚÙÐÐ Ó ÑÓ ÙÐ Ö Ø ØÖ ÙØ Ú Ø Ð Ø ÚØ ÐÐ Ð Ò Ò Ø ØÝÒÐ Ð ÐÓ º

4 ÁÎ ËÌÊ Ì Ì ÅÈ Ê ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç Ì ÀÆÇÄÇ Å Ø Ö³ Ö ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò Ø Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ë Ò Ò Ò Ò Ö Ò Å Ð Ë Ú Ð ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ð ØØ Ø ÓÖݺ ØÖ ÙØ Ú Ð ØØ Å Ø Ö Ó Ë Ò Ì Ô Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ Å ÓÖ Ñ Ø Ñ Ø Ü Ñ Ò Ö Ó ÒØ Ó ÌÙÖÙÒ Ò ÈÖÓ ÓÖ Ã Ó ÊÙÓ ÓÒ Ò Ã ÝÛÓÖ Ô ÖØÐÝ ÓÖ Ö Ø Ð ØØ ØÖ ÙØ Ú Ð ØØ ÑÓ ÙÐ Ö Ð ØØ Ä ØØ Ö ÕÙ ÒØÐÝ Ò Ô ÖØ ÐÐÝ ÓÖ Ö Ø Ò Û Ú ÖÝ Ô Ö Ó Ð Ñ ÒØ Ö Ø Ø ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ò Ð Ø ÙÔÔ Ö ÓÙÒ º Ä ØØ Ò Ð Ó Ò Ò Ð Ö ØÖÙØÙÖ Û Ø Ò ÖÝ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÖØ Ò Ü ÓÑ º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø Ò ÓÛÒ Ø Ø Ø Ó ØÛÓ Ò Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ú Ð Òغ Ì Ö ÓÖ Ð ØØ Ò Ö Ö Ô ÖØ Ó ÓÖ Ö Ò Ø ÓÖÝ Û ÐÐ ÙÒ Ú Ö Ð Ð Ö º ÁÒ Ø ÛÓÖ Ð ØØ Ò Ò Ð Ö ØÖÙØÙÖ º Ä ØØ Ø Û Ø ØÛÓ Ò ÖÝ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ø Ý Ò Ü Ð ØØ ¹ Ü ÓÑ º ØÖ ÙØ Ú Ð ØØ Ð ØØ Û Ø ØÛÓ ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÖ ÙØ Ú ÒØ Ø Ò Ø ÓÒ ØÓ Ø Ð ØØ Ü ÓÑ º ØÖ ÙØ Ú Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ð ØØ Ú ÓÛÒ ØÓ Ú ÖÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ð ØØ Ø ÓÖݺ ØÖ ÙØ Ú Ð ØØ ÑÓ ÙÐ Ö Û Ð Ø ÓÒÚ Ö Ø ÒÓØ ØÖÙ Ò Ò Ö Ðº Ì Ñ Ò ÔÖ ÓÖ ØÝ Ó Ø ÛÓÖ ØÓ ÓÑ ÕÙ ÒØ Û Ø Ø Ó Ð ØØ Ø ÓÖݺ Ï Ø ÖØ Û Ø Ð Ö Û Ò ØÓ Ð ØÓ Ö Ð ØØ Ø ÓÖݺ Æ ÜØ Û ØÙ Ý ÓÑ Ø ÓÖÝ Ó Ô ÖØ ÐÐÝ ÓÖ Ö Ø Ò Ò Ø ÓÒ Ó Ò Ð Ö ØÖÙØÙÖ Ö ØÙ º Ì Ò Ð ØØ Ò Ø Ò Ð Ö Ò ÓÒÒ Ø ÓÒ ØÛ Ò Ð ØØ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ø ÓÖ Ö Ò Ó Ð ØØ ÓÖÑ º Ì Ò Ô Ò Ò Ó Ø Ü ÓÑ Ý Ø Ñ Ó Ð ØØ Ð Ó ÔÖÓÚ Û ÐÐ Ø Ø Ø Ø ØÓ Ø Ý Ø Ñ Ó Ð ØØ Ü ÓÑ ÐØ Û Ø Ò Ø ÛÓÖ Ñ ÒÝ ÓØ Ö Ü ÓÑ Ý Ø Ñ Ö Ð Ó ÒÓÛÒº ÁÒ Ø Ò Ó Ø ÛÓÖ Û Ò ØÖ ÙØ Ú Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ð ØØ Ò Ò ÐÝÞ ÓÛ Ø Ý Ö ÖÓÑ ÓØ Öº Ï Ð Ó Ø ØÓ ÒÓÛ Û Ø Ñ Ø Ó Ó Ö Ø Ö Þ Ò ØÖ ÙØ Ú ÓÖ ÑÓ ÙÐ Ö Ð ØØ Ý Ø Ö Ù Ð ØØ º ÁÒ ÓÒÐÙ ÓÒ Ø ÔÖÓÚ Ø Ø ØÖ ÙØ Ú Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ð ØØ Ó ÒÓØ ÒÐÙ ÖØ Ò Ò Ó Ù Ð ØØ º

5 Î ÄÃÍË Æ Ì ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð ¹ ØÓ ÐÐ ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¹ ¾¼¼ º à ØÒ Ó Ò Ó ÌÙÖÙ Ø Ö ÚÐÐ Ø ÙÓРй Ð Ø ØÝ Ø ÔÐÓÑ ØÝ Ò Ó Ù Ø Ö ØÙ º à ØÓ Ø ÑÝ ØÝØØÖ ÐÐ Ò ÀÝÑÝÐÐ Ó ÒØÓ Ñ ÒÙÐÐ ÝÚÒ ÝÝÒ Ø ØÝ Ú ÐÑ º Ä ØÒ Ò Ø ÓØ ÙØØÓ Ú Ø Ú ÐÑ ØÙÑ Ø Ò Ú Ø Ñ ÐÐ ÀÝÑÝ ÐÐÓ Ò ÙÒ Ø ÖÚ Ø Ò ÔÙ º

6 ÎÁ ËÁË ÄÌ ½º ÂÓ ÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º Ç ØØ Ò Ö Ø ØÝØ ÓÙ ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º½ ÂÓÙ Ó¹ÓÔÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ê Ð Ø ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÙÒ Ø ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ç ØØ Ò Ö Ø ØÝØ ÓÙ ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ç ØØ Ò Ö Ø ØÝÒ ÓÙ ÓÒ Ó ÓÙ ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º й Ð Ö Ø ÙÔ Ò µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Å Ò Ñ ØÓ Ñ Ñ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º Ð Ö Ø Ð Ð Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ¾º Ð ÖÓ Ò Ñ Ò ÐØ ÙÙ Ð Ñ Ð Ö ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º½¼ ÀÓÑÓÑÓÖ Ñ Ø ÓÑÓÖ Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º À Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½ À Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ À Ð Ø ÓÖ Ò Ù Ð ÙÙ Ô Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ë Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º À Ð Ø Ó ØØ Ò Ö Ø ØØÝ Ò ÓÙ Ó Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º À Ð Ö ÑÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Ð Ð Ø Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º À ÐÓ Ò Ó Ð ÓØ ØÓÑ Ø Ù Ð ØÓÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÃÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ø Ö Ð Ø Ú Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ø Ñ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ø º º º º º ¼ º À ÐÓ Ò Ö Ù Ó ØÙÑ ØØÓÑ Ø Ð ÓØ ÔÖ Ñ Ð ÓØ º º º º º º º º º º º º º½¼ ÀÓÑÓÑÓÖ Ñ Ø ÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

7 ÎÁÁ º½½ ÌÝ ÐÐ Ø Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º½¾ À ÐÓ Ò ÓÓÑ Ý Ø Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º ØÖ ÙØ Ú Ø ÑÓ ÙÐ Ö Ø Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ ØÖ ÙØ Ú Ø Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÌÝ ÐÐ Ø ØÖ ÙØ Ú Ø Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÅÓ ÙÐ Ö Ø Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÅÓ ÙÐ Ö Ò ØÖ ÙØ Ú Ò Ð Ò ÐÙÓÒÒ ÒØ Ò Ò Ð ÐÓ Ò ÚÙÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ø ÒÚ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ä Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

8 ÎÁÁÁ Ì ÊÅÁÌ Â Ë Å ÇÄÁÌ x M Ð Ó x ÙÙÐÙÙ ÓÙ ÓÓÒ M y M y ÙÙÐÙ ÓÙ ÓÓÒ M R M ÓÙ Ó R ÓÒ ÓÙ ÓÒ M Ó ÓÙ Ó R M ÓÙ Ó R ÓÒ ÓÙ ÓÒ M ØÓ Ó ÓÙ Ó P(A) ÓÙ ÓÒ A ÔÓØ Ò ÓÙ Ó A B ÓÙ Ó Ò A B Ý Ø A B ÓÙ Ó Ò A B Ð Ù A \ B ÓÙ Ó Ò A B ÖÓØÙ ØÝ ÓÙ Ó [a, b] Ð Ó Ò a b Ö Ó ØØ Ñ ÒØ ÖÚ ÐÐ [a) Ð ÓØ x ÓØ ØÝØØÚØ ÓÒ x a (a] Ð Ó Ò x a ÓÙ Ó o i ÓÙ ÓÒ Ô Ò Ò ÙÙÖ Ò Ð Ó sup R R ÓÙ ÓÒ R Ô Ò Ò ÝÐÖ inf R R ÓÙ ÓÒ R ÙÙÖ Ò Ð Ö M 1,... M r ÓÙ Ó Ò M 1,...,M r (r 2) ÖØ Ò Ò ØÙÐÓ Φ M 1,... M r Φ ÓÒ Ö Ð Ø Ó ÓÙ Ó M 1,...M r x y(θ) x y ÓÚ Ø Ú Ú Ð ÒØØ Ö Ð Ø ÓÒ Θ Ù Ø Ò < Ö ØÝ Ö Ð Ø Ó a b a ÓÒ Ð ÓÒ b ÚÐ Ø Ò ÐØ a b Ð ÓØ a b Ú ÖØ ÐÙ ÐÚÓØØÓÑ ϕ : H K ϕ ÓÒ ÙÚ Ù ÓÙ Ó Ø H ÓÙ ÓÓÒ Kº ϕ 1 ÙÚ Ù Ò ϕ ÒØ ÙÚ Ù ϕ ψ Ý Ø ØØÝ ÙÚ Ù ϕ(x) Ð ÓÒ x H ÙÚ ÓÙ Ó K ϕ(r) ÓÙ ÓÒ R, R H ÙÚ ÓÙ Ó Ó ϕ(x) (x R) x ϕ(x) ϕ ÙÚ Ó Ò Ð ÓÒ Ý Ð Ó ϕ(x) D(Φ) Ö Ð Ø ÓÒ Φ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ Ó R(Φ) Ö Ð Ø ÓÒ Φ ÖÚÓ ÓÙ Ó

9 Á P 1 = P2 A B A B ϕ : A B ϕ : A B K ϕ (L,, ) (S, ) (P(M), ) D(A) ÓÙ ÓØ P 1 P 2 ÓÚ Ø Ö ØÝ ÓÑÓÖ ÓÙ ÓØ A B ÓÚ Ø ÓÑÓÑÓÖ Ø ÓÙ ÓØ A B ÓÚ Ø ÓÑÓÖ Ø B ÓÒ Ð Ö Ò A ÓÑÓÑÓÖ Ò Ò ÙÚ ÓÑÓÑÓÖ Ñ Ò ϕ Ù Ø Ò B ÓÒ Ð Ö Ò A ÓÑÓÖ Ò Ò ÙÚ ÓÑÓÖ Ñ Ò ϕ Ù Ø Ò ÓÑÓÑÓÖ Ñ Ò ϕ Ý Ò Ð ÓÔ Ö Ø ÓØ ÙÙÖ Ò Ð Ö Ô Ò Ò ÝÐÖ Ð Ñ Ð ÓÙ ÓÒ M Ó ÓÙ Ó Ð Ú ØØÑÒ A Ù Ð

10 ½ ½º ÂÇÀ ÆÌÇ À Ð Ø ÓÖ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÒÙÓÖ Ñ Ø Ñ Ø Ò ØÙØ ÑÙ Ð Ò ÚÓ Ò Ø Ó ÝÒ¹ ØÝÒ Ò ÓÓÐ Ò Ð ÖÓ Ò ØÙØ ÑÙ Ò ØÙÐÓ Ò ½ ¼¼¹ÐÙÚÙÒ ÐÙ º ÓÓÐ Ò Ð Ö ÓÒ Ö ØÙÒÒ ØÙ Ò Ñ Ö Ð Ø º Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÐÐ ØÙØ Ø Ò Ð Ø ÓÖ Ó ¹ ØÙ Ò Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ý Ø Ý Ø Ö Ð Ò ÝÐ Ø ØØÝ Ò ÐÓ Ó Òº Ë Ñ ÐÐ Ø ¹ Ú ÐÐ Ù Ò ÓÓÐ Ò Ð Ö Ø ÓÚ Ø Ä Ò Ò ÙÑ Ø ÓÖ Ñ Ò ÑÙ Ò Ù Ø Ð Ò ÐÓ Ò Ö Ð Ø ÝÐ Ø ØÝØ ÐÓ Ø ÓÚ Ø Ñ ÒÐ Ù Ø Ö Ð Ò ÐÓ Ò Ö ØÝ Ø Ö Ù ÓÙØÙ Ò ÐÓ Òº ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ò ÑÑ Ò Ò Ó Ð ØÖ ÐÓ Ø Ó ÓÒ ÙÙÐÙÙ ÓÐÑ Ñ Ø Ñ ¹ Ø Ò Ð ØÓ ÐÐ Ø ØÚ Ð Ø ÓÖ Ò ÔÐÓÑ ØÝ Øº ÌÝ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ð Ø ÓÖ Ò Ô ÖÙ Ø Ø º ÌÝ Ò Ò Ð Ø Ø ÓÚ Ø º ËÞ Þ Ò º Ö Ó Ò º ÖØÞ Ö Ò Ð Ø ÓÖ Ò Ô ÖÙ Ø Ø ØØ Ð ÚØ Ö Ø ½ ½½ º Ì Ö Ø ÐÙ ÐÓ Ø Ø Ò ØÙØÙ ØÙÑ ÐÐ Ô ÖÙ Ð Ö Ò Ó ÒØ Ú ÐÑ Ù Ø ÝÑÑÖØ Ð Ø ÓÖ Ò ØØ Øº Ò ÑÑ ÐÙÚÙ ØÙØ Ø Ò Ö Ð Ö ØÝ Ö Ð Ø Ó Ø Ó ØØ Ò Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó º Ä ØÙØÙ ØÙØ Ò ÓÙ Ó Ò Ô Ò ÑÑÒ ÝÐÖ Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò Ð Ö Ò ØØ Ò Ö Ð Ò ÓÑÓÑÓÖ Ò ÙÚ Ù Ò ÓØ ÐÝØØÚØ Ö Ð ÖÓ ÑÖ Ø ÐÐÝÒ Ö ØÝ Ò Ø ÑÙÙÒ ÓÑ Ò ÙÙ Òº ÌÓ ÐÙÚÙ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ð Ø Ð Ö ÐÐ Ò Ö ÒØ Ò Ò Ò ÓÓ¹ Ñ Ý Ø Ñ Ò ÚÙÐÐ º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÑÝ Ð Ø ÓÖ ØØ Ò Ò Ù Ð ÙÙ Ô Ö Ø º À ÐÓ ÐÐ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò Ó ØØ Ò Ò Ö ØÝ Ð ÓÔ Ö Ø Ó Ò ÚÙÐÐ ØÓ Ø Ò ØØ Ð ÚÓ ¹ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÐÐ Ö ÒÒ ÐÐ Ø Ú ÐÐ º Ä ÑÖ Ø ÐÐÒ ÐÓ Ò Ð Ð Ø Ñ Ð Ø Ð Ó Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ø Ó Ð Óغ ÌÙØÙ ØÙØ Ò ÑÝ Ð Ö ÑÑ Ò Ô ÖØÑ Ò ÐÓ Ò ÓÑÓÖ Ñ Ò ØÝ ÐÐ Ò ÐÓ Òº ÄÙÚÙÒ ÐÓÔÙ Ø Ö ¹ Ø ÐÐ Ò ÐÓ Ò Ö Ð ÓÓÑ Ý Ø Ñ º ÃÓÐÑ ÒÒ ÐÙÚÙ ÑÖ Ø ÐÐÒ ØÖ ÙØ Ú Ò Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ò Ò Ð º Ì Ö Ø ¹ ÐÙ Ð ÒÒ Ø Ò ØÝ ÐÐ Ø ØÖ ÙØ Ú Ò ÐÓ Òº ÄÓÔÙ Ø ØÒ ØÓ ØÙ Ø Ö Ó Ò ØÖ ÙØ Ú ÙÙ Ö Ø Ö ÐÐ Ò Ò ÑÓ ÙÐ Ö ÙÙ Ö Ø Ö ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÐÙÓÒÒ Ø ØÖ ÙØ Ú ÑÓ ÙÐ Ö ÐÓ Ò Ò Ð ÐÓ Ò ÚÙÐÐ º

11 ¾ ¾º ÇËÁÌÌ ÁÆ Â Ê ËÌ Ì Ì ÂÇÍÃÇÌ ¾º½ ÂÓÙ Ó¹ÓÔÔ Ì Ó Ó Ø ÐÐÒ ÐÙ ÑÙÙØ Ñ Ð Ö Ò Ô ÖÙ ØØ Ø ØÝ Ý¹ Ø ØØÚ Ñ Ö ÒØØ ÔÓ ÓØ ÐÙ Ò ÓÒ ÝÚ ØÙÒØ º Æ Ø ØÙÐÐ Ò Ø ÖÚ Ø Ñ Ò ÑÝ ÑÑ Ò Ø ÐØ Ð Ø ÓÖ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º ÂÓÙ Ó A ÓÒ ÓÙ ÓÒ B Ó ÓÙ Ó Ð A B Ó Ó Ò Ò ÓÙ ÓÒ A Ð Ó ÓÒ ÑÝ ÓÙ ÓÒ B Ð Óº ÂÓ ÓÙ Ó A ÓÒ ÓÙ ÓÒ B Ó ÓÙ Ó A B ÓÒ A ÓÙ ÓÒ B ØÓ Ó ÓÙ Óº Ë Ø Ñ Ö ØÒ A Bº ÂÓÙ ÓÒ A ÔÓØ Ò ÓÙ Ó P(A) ÓÒ ÓÙ ÓÒ A Ò Ó ÓÙ Ó Ò ÓÙ Óº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾º ÂÓÙ Ó Ò A B Ý Ø Ø ÙÒ ÓÒ A B Ð Ù A B ÖÓØÙ A \ B ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø A B = {a a A a B} A B = {a a A a B} A \ B = {a a A a / B} ¾º½µ ¾º¾µ ¾º µ ÂÓÙ Ó Ò A B ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÖÓØÙ ÝÑÑ ØÖ Ð Ö Ò µ ÓÒ ÓÙ Ó (A \ B) (B \ A)º ÀÙÓÑ ÙØÙ ¾º½º ÂÓÙ Ó Ò M 1,..., M n ÙÒ ÓÒ Ð Ù Ø Ñ Ö ØÒ M 1... M n M 1... M n Ø ÙÖ Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ n M j n M j ¾º µ j=1 j=1 Ö ØØ Ñ Ò ÓÙ Ó Ò M j (j = 1, 2,...) ÙÒ ÓÒ ÐÐ Ð Ù ÐÐ ÚÓ Ò ÝØØ ÙÖ Ú Ñ Ö ÒØ M j j=1 j=1 M j

12 ¾º Ç ØØ Ò Ö Ø ØÝØ ÓÙ ÓØ ¾º¾ Ê Ð Ø ÓØ Å Ø Ñ Ø Ø ÐÐÒ Ù Ò ÓÙ Ó Ó Ò Ø ØÝØ Ð ÓØ Ð ØØÝÚØ ØÓ Ò Ó ¹ Ò ÐÐ ÓÒ Ó Ò ÓÑ Ò ÙÙ ÓØ ÑÙ ÐÐ ÓÙ ÓÒ Ò ÐÐ ÓÐ º ÌÐÐ Ò Ò ÓÑ Ò ÙÙ ÚÓ ÓÐÐ Ñ Ö ÙÓÖ Ò Ø Ø Ó Ò Ó Ø ÙÓÖÙÙ º ÌÐÐ Ý Ø Ý Ð Ó Ò ÚÐ ÐÐ ÙØ ÙØ Ò Ö Ð Ø Ó º Ø ØÒ ÑÙÙØ Ñ Ñ Ö Ø ØÒ Ø ÑÖ Ø ÐÑ Ö Ð Ø ÓÐÐ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º Ñ Ö ¾º½º ÃÓÐÑ Ó Ò Ñ Ð Ö ÙÙ Ð Ñ Ò ÐØ ÙÙ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ø ÓÐÑ ÓØ U B ÓÙ Ó Ó ÓÒ ÙÙÐÙÚ Ø ÓÐÑ Óغ Ä Ù ³U ÓÒ Ñ Ò ÐØ ¹ Ò Ò Ù Ò B³ ÓÒ Ó Ó ØÓ Ø ÔØÓ º Ñ Ö ¾º¾º ÈÓ Ø Ú Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÐÐ ÙÙ Ã Ò ÔÓ Ø Ú Ø Ò Ó¹ ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ð Ù ³ Ð Ó a ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò Ð ÓÐÐ b³ ÓÒ Ó Ó ØÓ Ø ÔØÓ º Ñ Ö ¾º º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓÐÑ Ñ ÐÐ ÙÓÖ ÐÐ ÓÐ Ú Ô Ø ØØ A B Cº ÂØ ØÒ Ø Ö Ø ÐÙÒ ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ ÙÓÖ Ò Ö ØØ ÑÝÝØ Ò ÙÐÓØØÙÚ Ø Ôغ Ä Ù ³È Ø C ÓÒ Ô Ø Ò A B ÚÐ ³ ÓÒ Ó Ó ØÓ Ø ÔØÓ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º ÂÓÙ Ó Ò M 1,..., M r (r 2) ÖØ Ò Ò ØÙÐÓ M 1,... M r ÓÒ Ò ÐÙ Ù ÓÒÓ Ò Ð Ö¹ Ò ÓÙ Ó ÓØ ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ (x 1,...,x r ) (x j M j ; j = 1,..., r) ¾º µ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º ÇÐ ÓÓÒ Φ M 1,... M r º ÌÐÐ Ò Φ ÓÒ Ö Ð Ø Ó ÓÙ Ó M 1,...M r º ÂÓ (x 1,..., x r ) Φ Ð ÓØ (x 1,...,x r ) ÓÚ Ø Ö Ð Ø Ó ÒÒº ÂÓ Ø (x 1,..., x r ) / Φ Ð ÓØ ÚØ ÓÐ Ö Ð Ø Ó Φ ÒÒº ÃÙÒ ÑÙÓØÓ ¾º µ ÓÐ Ú Ø Ð ÓØ ÓÚ Ø Ö Ð Ø Ó ÒÒ ÚÓ Ò Ñ Ö Ø ÑÝ Φ(x 1,..., x r ) = 1º Î Ø Ú Ø ÙÒ Ð ÓØ ÚØ ÓÐ Ö Ð Ø Ó ÒÒ Ñ Ö ØÒ Φ(x 1,..., x r ) = 0º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º Ê Ð Ø Ó Ò Ý Ø ÙÙÖÙÙ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø º ÂÓÙ ÓÒ M 1,... M r Ö Ð Ø Ó ÐÐ Φ 1 Φ 2 ÓÒ ÚÓ Ñ Φ 1 = Φ 2 ÐÐÓ Ò ÙÒ Ñ ÐÐ Ø Ò Ð ÓÐÐ Ó ÓÒ ÑÙÓØÓ ¾º µ ÓÒ ÚÓ Ñ Φ 1 (x 1,..., x r ) = 1 Ó Ú Ò Ó Φ 2 (x 1,...,x r ) = 1. ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º ÇÐ ÓÓÒ Φ M 1 M 2 º ÂÓÙ Ó M 1 ÓÒ ØÐÐ Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ð Ø ÓÙ Ó M 2 Ñ Ð ÓÙ Óº Ê Ð Ø ÓÒ Φ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ Ó ÓÒ ÓÙ Ó D(Φ) = {x M 1 y M 2 : (x, y) Φ} M 1.

13 ¾º Ç ØØ Ò Ö Ø ØÝØ ÓÙ ÓØ Ê Ð Ø ÓÒ Φ ÖÚÓ ÓÙ Ó ÓÒ ÓÙ Ó R(Φ) = {y M 2 x M 1 : (x, y) Φ} M 2. ÀÙÓÑ ÙØÙ ¾º¾º ÇÐ ÓÓÒ Φ ÓÒ Ö Ð Ø Ó Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÓÙ Ó M 1 M 2 º ÂÓ ÓÒ ÚÓ Ñ Φ(x 1, x 2 ) = 1 (x 1 M 1 ; x 2 M 2 ) Ñ Ö ØÒ x 1 Φx 2 º ÃÙÒ Ø Φ(x 1, x 2 ) = 0 Ñ Ö ØÒ x 1 Φ x 2 º ÂÐ ÑÑ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Φ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ø Ò ØØ Φ (x 1, x 2 ) = 1 Ó Ú Ò Ó Φ(x 1, x 2 ) = 0. Ë Ø Ò ÑÝ Φ ÓÒ Ö Ð Ø Ó ÓÙ Ó M 1 M 2 º ÌÑÒ Ð Ò Ø ÐÐÒ Ø Ô Ù Ø M 1 = M 2 = Mº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º ÂÓÙ ÓÒ M Ö Ð Ø Ó Φ ÓÒ ½º Ê Ú Ò Ò Ó xφx ¾º ËÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ Ó Ø xφy ÙÖ ØØ yφx º ÒØ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ Ó Ø xφy yφx ÙÖ ØØ x = y º ÌÖ Ò Ø Ú Ò Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ Ó Ø xφy yφz ÙÖ ØØ xφzº Ñ Ö ¾º º à ÔÔ Ð Ò ¾º¾µ ÐÙ Ø ÐÐÝ Ø Ö Ð Ø Ó Ø ¾º½µ ÓÒ Ö Ú ¹ Ò Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ØÖ Ò Ø Ú Ò Òº Ê Ð Ø Ó ¾º¾µ ÓÒ Ö Ð Ú Ò Ò ÒØ ÝÑÑ ØÖ ¹ Ò Ò ØÖ Ò Ø Ú Ò Òº ËÙÓÖ Ò ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÙÙ ÓÒ ¹Ö Ú Ò Ò ¹ØÖ Ò Ø Ú Ò Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ö Ð Ø Óº ÂÓÙ Ó¹ÓÔ Ö Ð Ø Ó ÓÒ ØÖ Ò Ø Ú Ò Ò ÓÒ Ö Ú Ò Ò ÒØ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ØÖ Ò Ø Ú Ò Òº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º ÂÓÙ Ó M ÑÖ Ø ÐØÝ Ö Ð Ø Ó Θ ÓÒ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó Ó ÓÒ Ö Ú Ò Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ØÖ Ò Ø Ú Ò Òº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º ÂÓÙ Ó M ÑÖ Ø ÐØÝ Ö Ð Ø Ó Π ÓÒ Ö ØÝ Ö Ð Ø Ó Ó ÓÒ Ö Ú Ò Ò ÒØ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ØÖ Ò Ø Ú Ò Òº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½¼º Ê Ð Ø Ó E ÓÒ Ý Ø ÙÙÖÙÙ Ö Ð Ø Óº ÌÑ ÓÒ ÒÓ Ö Ð Ø Ó Ó ÓÒ Ý Ø Ú Ú Ð Ò ¹ ØØ Ö ØÝ Ö Ð Ø Óº Ë ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø xey x = y ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½½º Ê Ð Ø ÓØ ÓØ ÓÚ Ø Ö Ú ØÖ Ò Ø Ú ÓÚ Ø Ö ØÝ º ÕÙ ¹

14 ¾º Ç ØØ Ò Ö Ø ØÝØ ÓÙ ÓØ Ñ Ö ¾º º ÇÐ ÓÓÒ M ØÓÔÓÐÓ Ø Ò Ú ÖÙÙ Ò Ó Ó ÐÑ º Å Ö ØÒ Ö Ð Ø ÓÐÐ aφb (a, b M) Ø Ô Ù Ø Ó Ð Ó b ÓÒ ÓÑ ÓÑÓÖ Ò Ò Ð ÓÒ a ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò Ó ÓÙ ÓÒ Ò º ÌÑ Ö Ð Ø Ó ÓÒ ÕÙ Ö ØÝ º Ñ Ö ¾º º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓÙ Ó M ÓÒ Ð Ó Ø ÓÚ Ø Ò ÑÙÙع ØÙ Ò Ö Ð ÙÒ Ø Óغ ÅÖ Ø ÐÐÒ Ö Ð Ø Ó fφg (f, g M) Ø Ò ØØ f(x, y) g(x, y) Ô Ø ÓÙ Ó Ó Ò Ñ ØØ ÓÒ 0º ÌÑ Ö Ð Ø Ó ÓÒ ÕÙ Ö ØÝ º ÀÙÓÑ ÙØÙ ¾º º ÃÓ Ú Ú Ð Ò ¹ Ö ØÝ Ö Ð Ø ÓØ ÓÚ Ø ÝÚ Ò ÝÐ ÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ ÐÐ ÓÒ ÝÝØ Ñ Ö Ø Ò Ø Ö Ø ÚÓ Ò Ù Ò ÑÙ Ø Ö Ð Ø Ó Ø º ÂÓ Ö Ð Ø Ó Θ ÓÒ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó Ñ Ö ØÒ x y(θ) Ø Ú ÐÐ Ò Ñ Ö ÒÒÒ xθy Ø º ÂÓ Ø Π ÓÒ Ö ØÝ Ö Ð Ø Ó Ñ Ö ØÒ x y Ò Ò ØØ Ñ Ö¹ ØØ Ò xπyº Ä Ñ Ö ÒÒÒ xθ y Ø ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ x y(θ) Ñ Ö ÒÒÒ xπ y Ø ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ x y(π)º ÃÙÒ Ý Ø ÙÙÖÙÙ Ö Ð Ø ÓÒ Ð ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ú Ò Ý Ú Ú Ð Ò ¹ Ø Ö ØÝ Ö Ð Ø Ó ÚÓ Ò ÙÒÓ Ø Ú Ø Ù Ö Ð Ø ÓÓÒ ÝØØ Ý Ò ÖØ ÑÔ Ñ Ö ÒØ x y, x y, x y Ø x yº ÀÙÓÑ ÙØÙ ¾º º Ê Ð Ø ÓÒ Φ ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÙÖ ØØ Ý ÓÐ Ö ØÝ ¹ Ø Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó Ú Ò ØÑ Ñ Ò Ø Ò Ö Òº Æ Ø Ô Ù ÚÓ Ò ÝØØ ÐÐ Ø ÐØÝ ÝÑ ÓÐ Ø Ö Ð Ø ÓÒ ÑÖ ØØ ÐÝÒ Ð Òº ¾º ÙÒ Ø ÓØ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½¾º Ê Ð Ø Ó ϕ X Y ÓÒ ÙÒ Ø Ó Ø ÙÚ Ù ÐÐÓ Ò ÙÒ Ó ÐÐ x D(ϕ) x, y Y Ó Ø x ϕ y x ϕ z ÙÖ ØØ y = z. ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½ º ÙÒ Ø Ó ϕ ÓÒ ½º Ò Ø Ó Ó Ó Ø ϕ(x) = ϕ(y) ÙÖ ØØ x = y Ó ÐÐ x, y D(ϕ) ¾º ÙÖ Ø Ó Ó Ó Ø Ð ÓØ y Y ÓÒ ÓÐ Ñ Ð Ó x D(ϕ) Ø Ò ØØ y = ϕ(x) º Ø Ó Ó ϕ ÓÒ Ò Ø Ó ØØ ÙÖ Ø Óº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½ º ÃÙÚ Ù Ò ϕ ÒÚ Ö Ð ÒØ ÙÚ Ù ÙÚ Ó Ò ÓÙ ÓÒ K Ð ÓÒ y ÓÙ ÓÒ H Ð Ó x Ø Ò ØØ ϕ(x) = yº ÁÒÚ Ö Ñ Ö ØÒ ϕ 1 º ÂÓ ÙÚ Ù ϕ ÓÙ Ó Ø H ÓÙ ÓÓÒ K ÓÒ Ø Ú Ò Ò ÓÒ ÑÝ ÙÚ Ù ϕ 1 Ø Ú Ò Ò Ð ϕ 1 : ϕ(x) x (ϕ(x) K; x H).

15 ¾º Ç ØØ Ò Ö Ø ØÝØ ÓÙ ÓØ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½ º ÇÐ ÓÓØ H K L ÓÐÑ ÓÙ Ó º ÇÐ ÓÓÒ ϕ ÙÚ Ù ÓÙ Ó ¹ Ø H ÓÙ ÓÓÒ K ÓÐ ÓÓÒ ψ ÙÚ Ù ÓÙ Ó Ø K ÓÙ ÓÓÒ Lº ÌÐÐ Ò Ú Ø Ú Ø x ψ(ϕ(x)) (x H) ÓÒ ÙÚ Ù ÓÙ Ó Ø H ÓÙ ÓÓÒ Lº ÌØ ÙÚ Ù Ø ÙØ Ù¹ Ø Ò ÙÚ Ù Ø Ò ψ ϕ Ý Ø ØÝ ÙÚ Ù ÔÖÓ ÙØ Ó Ø Ñ ÔÔ Ò µº ÌÐÐ Ò Ñ Ö ÒÒÒ ψ(ϕ(x)) Ø Ñ Ö ØÒ Ù Ò ψ ϕº ¾º Ç ØØ Ò Ö Ø ØÝØ ÓÙ ÓØ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½ º ÂÓÙ ÓÒ P Ö Ð Ø Ó Π ÓÒ Ó ØØ Ö ØÝ Ó ÓÒ Ö Ú Ò Ò ÒØ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ØÖ Ò Ø Ú Ò Òº ÌÐÐ Ò ÓÙ Ó P ÓÒ Ó ØØ Ò Ö Ø ØØÝ Ö Ð Ø ÓÒ Π Ù Ø Òº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½ º Ç ØØ Ò Ö Ø ØÝ ÓÙ Ó Ð Ó Ø ÚÐØØÑع Ø ÚÓ Ú ÖØ ÐÐ ÒÒº ÃÙÒ ÓÙ ÓÒ P Ð ÓØ a b ÓÚ Ø Ú ÖØ ÐÙ ÐÚÓØØÓÑ ÒÓÑÔ Ö Ð µ Ñ Ö ØÒ a bº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÚÓ Ñ a b b aº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½ º ÂÓÙ Ó P ÓÒ ØÝ Ò Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó Ø Ø Ù Ó Ò ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ö ØÝ Ö Ð Ø Ó ÓÙ ÓÒ Ð ÓØ ÓÚ Ø Ú ÖØ ÐØ Ú ÒÒº ÌÐÐ Ò Ò Ò ØÓ Ò Ò Ö Ð Ø Ó Ø x y(π) Ø y x(π) ÓÒ ÚÓ Ñ ÐÐ ÓÙ ÓÒ P Ð Ó ÐÐ º À Ð Ø ÓÖ ÝØ ØÒ Ð Ò Ò Ñ Ø Ù ØÝ Ò Ö Ø ØÝ Ø ÓÙ Ó Ø º ÂÓÙ Ó P ÓÒ Ò Ó ØØ Ò Ö Ø ØØÝ Ý Ø ÙÙÖÙÙ Ö Ð Ø ÓÒ Ù Ø Òº ÂÓ ÓÙ Ó P ÓÐ ÑÖ Ø ÐØÝ Ò Ð Ñ ØÒ Ö ØÝ Ö Ð Ø ÓØ ÓÒ Ý Ò Ò ÓÙ Ó P ÓÒ ØÝ Ò Ö ØÑØ Òº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½ º ÇÐ ÓÓÒ (A, ) Ó ØØ Ò Ö Ø ØØÝ ÓÙ Óº ÅÖ Ø ÐÐÒ ÒÝØ Ö ¹ Ð Ø Ó Z Ø Ò ØØ ÙÒ azb a b ÑÙØØ a bº Ê Ð Ø Ó Z ÓÒ ØÐÐ Ò ØÓ Ó ØØ ¹ Ö ØÝ ÓÒ ÖÖ Ú Ò Ò ØÖ Ò Ø Ú Ò Òº ØÓ Ó ØØ Ö ØÝ Ø Ñ Ö ØÒ Ù Ò ÝÑ ÓÐ ÐÐ < º ÂÓ ÓÙ Ó A ÓÒ ØÝ Ò Ö Ø ØØÝ Ñ Ò Ø Ô Ò ÑÖ Ø ÐØÝ Ö Ð Ø Ó < ÓÒ ØÓ Ó ÓÒ Ö ØÝ º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÖÖ ÝÝ Ò ØÖ Ò Ø Ú ÝÝ Ò Ð ÚÓ Ñ ØÖ ÓØÓÑ Ð ÐÐ ÓÙ ÓÒ A Ð Ó ÐÐ x y ÓÒ ÚÓ Ñ Ó Ó x < y, x = y Ø y > x. ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾¼º ÃÙÒ Ð Ó ÐÐ a b ÓÒ ÚÓ Ñ a < b ÓÐ ÓÐ Ñ Ð ÓØ x Ø Ò ØØ a < x < b ÒÓØ Ò ØØ Ð Ó b Ô ØØ ÓÚ Ö µ Ð ÓÒ aº ÎÓ Ò ÑÝ ÒÓ ØØ Ð Ó a ÓÒ Ð ÓÒ b ÚÐ Ø Ò ÐØ º Ë ÐÐ ÝØ ØÒ ÝÑ ÓÐ a bº Å Ö ÒØ a b Ø Ö Ó ØØ ØØ Ð Ó b Ó Ó Ô ØØ Ð ÓÒ a Ø ÓÒ Ý Ø ÙÙÖ ØÑÒ Ò º Ñ Ö ¾º º Ê Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó R ÓÒ ØÝ Ò Ö Ø ØØÝ Ö Ð Ø ÓÒ Ù ¹ Ø Òº Ê Ð Ø ÓÒ ÑÖ Ø ÐÑ ÓÒ ÙÖ Ú ÒÐ Ò Ò x y Ó Ú Ò Ó x y ÓÒ

16 ¾º Ç ØØ Ò Ö Ø ØÝØ ÓÙ ÓØ ¹Ò Ø Ú Ò Òº ÌØ Ö Ð Ø ÓØ ÙØ ÙØ Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ö ØÝ º Ë Ñ ÑÖ Ø ÐÑ ÝØ ØÒ ÑÝ ÓÙ ÓÒ R Ó ÓÙ Ó Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÐÐ Ö ØÝ ¹ ÐÐ º Ñ Ö ¾º º ÈÓ Ø Ú Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ò ÓÙ Ó N ÓÒ ÓÒ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ R Ó ÓÙ Ó ÓÒ ØÝ Ò Ö Ø ØØÝ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ö ØÝ Ò Ù Ø Òº Ë Ò ÚÓ Ò ÑÖ ØØ ÑÝ ØÓ Ò Ò Ö ØÝ º ÇÐ ÓÓÒ ÓÙ Ó N x y Ó Ú Ò Ó ÐÙ Ù y ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ xº ÌÑ Ö Ð Ø Ó Ö Ø Ó ØØ Ò ÓÙ ÓÒ Nº Ñ Ö ¾º º ÇÐ ÓÓÒ M Ó Ò ÓÙ Ó ÓÐ ÓÓÒ P(M) ÓÙ ÓÒ M Ò Ó ¹ ÓÙ Ó Ò ÓÙ Óº ÌÐÐ Ò ÓÙ Ó P(M) ÓÒ Ó ØØ Ò Ö Ø ØØÝ ÙÖ Ú Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ù Ø Ò A B Ó A B (A, B P(M)) ¾º µ Ñ Ö ¾º½¼º ÇÐ ÓÓÒ S ÓÐÑ ÙÐÓØØ Ò Ò Ú ÖÙÙ ÓÐ ÓÓÒ L(S) Ò Ú ¹ ÖÙÙ Ò S Ð Ò Ö Ø Ò Ð Ú ÖÙÙ Ò ÓÙ Óº Ì Ñ Ö ÑÝ ØÝ ÓÙ Ó ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò Ð Ú ÖÙÙ º ÆÝØ ÓÙ ÓÒ L(S) Ö ØÝ Ò ÝØØÑÐÐ ÐÐ Ò Ñ Ö Ò Ö Ð Ø ÓØ ½º µ Ø Ò ØØ ÓÖÚ Ø Ò P(M) ÓÙ ÓÐÐ L(S)º Ñ Ö ¾º½½º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ò ÝÑÔÝÖ Ò ÓÙ Ó K Ø Ó Lº ÅÖ ¹ Ø ÐÐÒ Ö Ð Ø Ó Ø Ò ØØ Ó Ø k 1 k 2 ÙÖ ØØ ÝÑÔÝÖ k 1 ÓÒ ÝÑÔÝÖÒ k 2 Ðк ÌÐÐ Ò Ö Ð Ø Ó Ö Ø Ó ØØ Ò ÓÙ ÓÒ Kº Ñ Ö ¾º½¾º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓÙ Ó M ÓÙ Ó R(M) Ó ÓÒ ÙÙÐÙÚ Ø ÓÙ Ó M ÑÖ Ø ÐÐÝØ Ö Ð Ø Óغ ÂÓÙ Ó R(M) ÚÓ Ò Ö Ø Ó ØØ Ò ÙÖ Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ ÇÐ ÓÓÒ Φ Ψ (Φ, Ψ R(M)) Ó Ú Ò Ó Ñ ÐÐ Ø Ò ÐÐ ÓÙ ÓÒ M Ð ÓÐÐ x y Ó Ø xφy ÙÖ ØØ xψyº Ê Ð Ø Ó Φ ÓÒ Ö Ú Ò Ò Ó Ú Ò Ó ÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÝÒ Ö ØÝ Ò ÑÙ Ò Φ Eº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾½º ÇÐ ÓÓÒ P Ó ØØ Ò Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó Ö Ð Ø ÓÒ Π Ù Ø Ò Ñ Ö ØÒ D(Π) Ö Ð Ø ÓØ ÓÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ a b(d(π)) a b(π) (a, b P) ÌÐÐ Ò ÑÝ Ö Ð Ø Ó D(Π) Ö Ø Ó ØØ Ò ÓÙ ÓÒ P º Ê Ð Ø ÓØ D(Π) Ò Ñ Ø ØÒ Ö ØÝ Ö Ð Ø ÓÒ Π Ù Ð º Ê Ð Ø ÓÒ D(Π) Ù Ð ÓÒ Ð ÙÔ Ö Ò Ò Ö Ð Ø Ó Πº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾¾º ÇÐ ÓÓÒ P 1 ÓÙ Ó Ó ÓÒ Ó ØØ Ò Ö Ø ØØÝ Ö Ð Ø ÓÒ Π 1 Ù ¹ Ø Ò ÓÐ ÓÓÒ P 2 ÓÙ Ó Ó ÓÒ Ó ØØ Ò Ö Ø ØØÝ Ö Ð Ø ÓÒ Π 2 Ù Ø Òº ÇÐ ÓÓÒ φ Ý ÖÚÓ Ò Ò ÙÚ Ù ÓÙ Ó Ø P 1 ÓÙ ÓÓÒ P 2 º φ : x φ(x) (x P 1 ; φ(x) P 2 )

17 ¾º Ç ØØ Ò Ö Ø ØÝØ ÓÙ ÓØ ÃÙÚ Ù φ ÓÒ Ö ØÝ Ò ÐÝØØÚ ÙÚ Ù Ø Ö ØÝ ÓÑÓÑÓÖ Ñ ÓÙ Ó Ø P 1 ÓÙ ÓÓÒ P 2 ÐÐÓ Ò ÙÒ ÓÒ ÚÓ Ñ ØÓ ÂÓ x y(π 1 ), Ò Ò φ(x) φ(y)(π 2 ) (x, y P 1 ). ¾º µ ÂÓ ÑÝ ÙÚ Ù φ 1 ÓÒ Ö ØÝ ÓÑÓÑÓÖ ÙÚ Ù φ ÓÒ Ö ØÝ ÓÑÓÖ Ñ º ÂÖ¹ ØÝ ÓÑÓÖ Ñ ÓÙ Ó Ø P 1 ÓÙ ÓÓÒ P 2 ÓÒ Ø Ú Ò Ò ÙÚ Ù ÓÙ Ó Ø P 1 ÓÙ ÓÓÒ P 2 Ø Ò ØØ x y(π 1 ), Ó φ(x) φ(y)(π 2 ) (x, y P 1 ). ¾º µ ÂÓ ÓÙ Ó Ø P 1 ÓÒ ÓÐ Ñ Ö ØÝ ÓÑÓÖ Ò Ò ÙÚ Ù ÓÙ ÓÓÒ P 2 ÒÓØ Ò ØØ ÓÙ ÓØ P 1 P 2 ÓÚ Ø Ö ØÝ ÓÑÓÖ Ø Ñ Ö ØÒ P 1 = P2 º ÂÖ ØÝ ÓÑÓÖ¹ Ñ ÓÒ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó Ó ØØ Ò Ö Ø ØØÝ Ò ÓÙ Ó Ò ÓÙ Ó º Ñ Ö ¾º½ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú ÓÙ Ó A = {a 1, a 2, a 3, a 4 }, B = {b 1, b 2, b 3, b 4 } C = {c 1, c 2, c 3, c 4 }. ÅÖ Ø ÐÐÒ Ò Ò ÓÙ Ó Ò Ö ØÝ Ø ÙÖ Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ a 1 < a 2 a 1 < a 3 a 1 < a 4 a 3 < a 4 b 1 < b 2 b 1 < b 3 b 1 < b 4 b 3 < b 4 c 1 < c 2 < c 3 < c 4 Ë ÙÖ Ú ÑÖ Ø ÐÐÒ ÓÙ Ó Ø A ÙÖ Ú Ø ÙÚ Ù Ø φ ϕ σ φ(a j ) = b j (j = 1, 2, 3, 4) ϕ(a j ) = { b 2 Ó j = 2 b 1 Ó j = 1, 3, 4 σ(a j ) = c j (j = 1, 2, 3, 4) ÃÙÚ Ù φ ÓÒ Ö ØÝ ÓÑÓÖ Ñ ÙÚ Ù ϕ ÓÒ Ö ØÝ ÓÑÓÑÓÖ Ñ ÙÚ Ù σ ÓÒ Ö ØÝ ÓÑÓÑÓÖ Ñ ÓÙ Ó Ø A ÓÙ ÓÓÒ Bº Î ÙÚ Ù σ ÓÒ Ø Ú ¹ Ò Ò ÓÐ Ö ØÝ ÓÑÓÖ Ñ Ó Ò ÒØ ÙÚ Ù ÐÝØ ÓÙ Ó C ÑÖ Ø ÐØÝ Ö ØÝ Øº Ì ÓÖ Ñ ¾º½º ÂÓ x 1 x 2... x n x 1 Ò Ò x 1 = x 2 =... = x n º ÌÓ ØÙ Ê Ð Ø Ó ÓÒ ØÖ Ò Ø Ú Ò Ò ÓØ Ò ÚÓ Ò Ö Ó ØØ x 1 x 2 x 1 x 3...,x 1 x n Ð Ð Ó x 1 x 1, x 2,...,x n.

18 ¾º Ç ØØ Ò Ö Ø ØÝØ ÓÙ ÓØ ÃÙÒ Ð ØÒ Ð ÐÐ Ø ÙÒ ØÓ Ø Ô Ø ÚÓ Ò Ö Ó ØØ x 1 x 1, x 2,...,x n ÃÓ Ö Ð Ø Ó ÓÒ ÒØ ÝÑÑ ÖØ Ò Ò Ó Ø x 2 x 1 x 1 x 2, x 1 x 3 x 3 x 1,..., x n x 1 x 1 x n ÙÖ ØØ x 1 = x 2 =... = x n º ¾º Ç ØØ Ò Ö Ø ØÝÒ ÓÙ ÓÒ Ó ÓÙ ÓØ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ó ØØ Ò Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó P Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ö ØÝ Πº ÌÑ Ö Ð Ø Ó Ö Ø ØÐÐ Ò Ó ØØ Ò ÑÝ Ó Ò ÓÙ ÓÒ P Ó ÓÙ ÓÒº Ì ØÝ Ø ÐÐÒ Ù Ò ÙÖ Ú Ò ÐØ ÓÙ ÓÒ P Ó ÓÙ Ó º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾ º ÇÐ ÓÓØ a b ÓÙ ÓÒ P Ð Ó Ø ÓÐ ÓÓÒ a bº Æ Ò Ð Ó Ò Ö Ó ØØ Ñ ÒØ ÖÚ ÐÐ [a, b] ÓÒ ÓÙ ÓÒ P Ó ÓÙ Ó Ó ÓÒ ÙÙÐÙÚ Ø Ð ÓØ x ÓØ ØÝØØÚØ ÓÒ a x bº Ç ÓÙ Ó [a) ÓÒ ÓÙ Ó Ó ÓÒ ÙÙÐÙÚ Ø ÓÙ ÓÒ P Ð ÓØ x ÓØ ØÝØØÚØ ÓÒ x aº Î Ø Ú Ø Ñ Ö ØÒ (a] Ð Ó Ò x a ÓÙ Ó º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾ º ÂÓÙ ÓÒ P Ó ÓÙ Ó R ÓÒ ÙÔ Ö Ø ÓÒÚ Ó Ñ ÐÐ Ø Ò Ò ÐÐ Ð ÓÐÐ a, b (a < b) ÓÒ ÚÓ Ñ ÙÖ Ú ØÓ ÂÓ Ð ÓØ a, b R x [a, b] ÙÖ ØØ x Rº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾ º ÂÓÙ ÓÒ P Ó ÓÙ Ó R ÓÒ ØÝ Ò Ö ØÑØ Ò ÓÑÔÐ Ø ÐÝ ÙÒÓÖ Ö µ Ó Ñ Ø Ò Ò Ð ÓØ ÚØ ÓÐ ÒÒ Ú ÖØ ÐÙ ÐÔÓ Ö ØÝ Ò Π Ù Ø Òº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾ º ÂÓÙ ÓÒ P Ó ÓÙ Ó C ÓÒ ÓÙ ÓÒ P Ó Ø Ù Ù Òµ Ó ÓÙ Ó C ÓÒ Ø Ù Ð Ñ Ø Ø Ò Ò Ð ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ Ú ÖØ Ð٠й ÔÓ ÓÙ ÓÒ P Ö ØÝ Ò Ù Ø Òº Å Ø Ò ØÝ Ò Ö ØÑØ Ò Ó ÓÙ Ó ÓÒ ÓÒÚ º Ç Ø ÙØ ÚØ ÓÐ ÝÐ ¹ Ø ÓÒÚ º ¾º й Ð Ö Ø ÙÔ Ò µ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾ º ÇÐ ÓÓÒ R Ó ØØ Ò Ö Ø ØÝÒ ÓÙ ÓÒ P ¹ØÝ Ó ÓÙ Óº Ð Ó a P ÓÒ ÓÙ ÓÒ R

19 ¾º Ç ØØ Ò Ö Ø ØÝØ ÓÙ ÓØ ½¼ ½º ÝÐÖ Ó x a ÐÐ ÓÙ ÓÒ R Ð Ó ÐÐ xº ¾º Ð Ö Ó x a ÐÐ ÓÙ ÓÒ R Ð Ó ÐÐ xº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾ º ÂÓ ÓÙ ÓÐÐ R ÓÒ Ú ÒØÒ Ý ÝÐÖ ÓÒ ÓÙ ÓÒ P Ýй ÐØ Ö Ó Ø ØØÙ Ó ÓÙ Óº ÂÓ ÓÙ ÓÐÐ R ÓÒ Ú ÒØÒ Ý Ð Ö ÓÒ ÓÙ ÓÒ P Ð ÐØ Ö Ó ØØÙ Ó ÓÙ Óº ÂÓ ÓÙ ÓÐÐ P ÓÒ Ýй ØØ Ð Ö ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ Ó ÓÙ Óº ÂÓ R = P ÓÒ ÝÐ ÐØ Ð ÐØ Ö Ó Ø ØØÙ ÓÙ Óº Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º ÇÐ ÓÓÒ (a] (a P) ÓÙ ÓÒ P Ò Ð Ö Ó Ò ÓÙ Ó ÓÐ ÓÓÒ [a) Ò ÓÙ ÓÒ P ÝÐÖ Ó Ò ÓÙ Óº Ç ÓÙ ÓÐÐ R ÓÒ ÓÐ Ñ Ò ÒØÒ Ý Ð Ö Ý ÝÐÖ Ó ÙÙÐÙÙ ÓÙ ÓÓÒ Rº ÌÓ ØÙ ÂÓ Ð ÓØ a b ÓÚ Ø ÑÓÐ ÑÑ Ø Ð Ö Ó Ð Ö Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò ÑÓÐ ÑÑ Ø ÔÝ ØÐ Ø a b b a ÓÚ Ø Ý Ø ÚÓ Ñ º ÌÐÐ Ò Ö ØÝ Ö ¹ Ð Ø Ó Ò ÒØ ÝÑÑ ØÖ ÝÝ Ò ÒÓ ÐÐ a = bº Ë ÑÓ Ò ÚÓ Ò ÔØ ÐÐ ØØ ÓÙ ÓÐÐ R ÓÒ Ò ÒØÒ Ý ÝÐÖ ÓÙ Ó Rº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾ º ÇÐ ÓÓÒ R P ÓÙ Ó P Ó ØØ Ò Ö Ø ØØݺ ÌÐÐ Ò x ÓÒ ÓÙ ÓÒ R ½º ÙÙÖ Ò Ð Ó Ó x y Ò ÙÒ y Rº ËÙÙÖ Ò Ð Ó ÓÒ ÓÙ ÓÒ R ÝÐÖ Ó ÙÙÐÙÙ ÓÙ ÓÓÒ Rº ¾º Ô Ò Ò Ð Ó Ó x y Ò ÙÒ y Rº È Ò Ò Ð Ó ÓÒ ÓÙ ÓÒ R Ð Ö Ó ÙÙÐÙÙ ÓÙ ÓÓÒ Rº º Ñ Ñ Ð Ò Ò Ð Ó Ó Ó Ø x y ÙÖ ØØ x = y Ò ÙÒ y R º Ñ Ò Ñ Ð Ò Ò Ð Ó Ó Ó Ø x y ÙÖ ØØ x = y Ò ÙÒ y R ÅÖ Ø ÐÑ ¾º ¼º È Ò Ò ÙÙÖ Ò Ð Ó ÓÚ Ø Ò Ñ ÐØÒ ÓÙ ÓÒ Ó Ð ÓØ ÓÙÒ Ð Ñ ÒØ µº ÅÙ Ø Ð Ó Ø ÓÙ Ó R ÙØ ÙØ Ò ÓÙ ÓÒ R Ð Ó ÁÒÒ Ö Ð Ñ ÒØ µ Å Ö ØÒ ÓÙ ÓÒ Ô Ò ÒØ Ð ÓØ ÝÑ ÓÐ ÐÐ o ÙÙÖ ÒØ Ð ÓØ Ýѹ ÓÐ ÐÐ iº ÀÙÓÑ ÙØÙ ¾º º ÂÓ ÓÙ ÓÐÐ P ÓÒ Ô Ò Ò Ð Ó ÓÒ ÓÙ ÓÒ P ÒÓ Ñ Ò Ñ Ð Ò Ò Ð Óº Ë Ñ ÔØ ÙÙÖ ÑÔ Ò Ð ÓÓÒ Ñ Ñ Ð ÓÓÒº ÂÓÙ ÓÒ R Ñ Ò Ñ Ð Ò Ò Ð Ó Ò ÓÐ Ô Ò Ò Ð Ó Ñ Ñ Ð Ò Ò Ð Ó Ò ÓÐ ÙÙÖ Ò Ð Óº Ñ Ö ¾º½ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÔÓ Ø Ú Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ N Ó ÓÙ Ó R Ó ÓÒ ÙÙÐÙÚ Ø Ô Ö ØØÓÑ Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ Ô Ö ÐÐ Ø ÐÙÚÙØ 2 4º ÂÓ ÓÙ Ó N ÓÒ Ö Ø ØØÝ ÓÐÐ ÙÙ Ò ÑÙ Ò ÙØ Ò Ñ Ö Ò ¾º ÓÙ Ó ÓÒ ÐÙ Ù 4 ÓÙ ÓÒ R ÒÓ Ñ Ñ Ð Ò Ò Ð Ó Ò ÓÐ Ð Ò Ò ÙÙÖ ÒØ Ð ÓØ º

20 ¾º Ç ØØ Ò Ö Ø ØÝØ ÓÙ ÓØ ½½ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º ½º ÇÐ ÓÓÒ M P ÓÙ ÓÒ R Ò ÝÐÖ Ó Ò ÓÙ Ó ÓÐ ÓÓÒ N P ÓÙ ÓÒ R Ò Ð Ö Ó Ò ÓÙ Óº ÂÓÙ ÓÒ M Ô Ò Ò Ð Ó ÓÒ ÓÙ ÓÒ R Ô Ò Ò ÝÐÖ Ð Ø ÙÔÔ Ö ÓÙÒ µº È Ò ÒØ ÝÐÖ ÙØ ÙØ Ò ÑÝ Ò Ñ ÐÐ ÙÔÖ ÑÙѺ Ë Ø ÚÓ Ò Ñ Ö Ø sup R Ø R º Ð Ó Ò x y ÙÙÖ ÒØ ÝÐÖ Ñ Ö ØÒ ÙÔ{x, y} Ø {x, y}º ÂÓÙ ÓÒ N ÙÙÖ Ò Ð Ó ÓÒ ÓÙ ÓÒ R ÙÙÖ Ò Ð Ö Ö Ø Ø ÐÓÛ Ö ÓÙÒ µº ÌØ Ð ÓØ ÙØ ÙØ Ò Ò Ñ ÐÐ Ò ÑÙѺ ËÙÙÖ ÒØ Ð Ö ÚÓ Ò Ñ Ö Ø inf R Ø R º Ð Ó Ò x y Ô Ò ÒØ Ð Ö Ñ Ö ØÒ Ò {x, y} Ø {x, y}º ÀÙÓÑ ÙØÙ ¾º º ÂÓÙ ÓÐÐ R ÚÓ ÓÐÐ Ò ÒØÒ Ý Ò ÑÙÑ ÙÔÖ ÑÙѺ È Ò Ñ¹ ÑÒ ÝÐÖ Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò Ð Ö Ò ÓÐ Ñ ÓÐÓ ÓÒ ÓÑÓÖ Ñ Ú Ö ÒØØ ÓÑÓÖÔ¹ Ñ ÒÚ Ö Òص ÓÑ Ò ÙÙ º Ë Ò Ó Ó ØØ ÙÖ Ú Ø ÓÖ Ñ º Ì ÓÖ Ñ ¾º º ÇÐ ÓÓÒ φ Ö ØÝ ÓÑÓÖ Ñ Ó ØØ Ò Ö ØÝ Ø ÓÙ Ó Ø P 1 Ó Ø¹ Ø Ò Ö Ø ØØÝÝÒ ÓÙ ÓÓÒ P 2 º ÂÓ ÓÙ ÓÒ P 1 Ó ÓÙ ÓÐÐ R 1 ÓÒ Ò ÒÙÑ ÓÙ Ó P 1 Ò Ò ÓÙ ÓÐÐ R 2 = {φ(x)} x R1 ÓÒ Ò ÒÙÑ ÓÙ Ó P 2 inf P2 R 2 = φ(inf P1 R 1 ). Ë Ñ ØÙÐÓ ÚÓ Ò ÝÐ Ø ÑÝ ÙÔÖ ÑÙѹ Ð ÓÓÒº ÌÓ ØÙ ÃÓ ÙÔÖ ÑÙÑ Ó Ú Ò Ú ØØ Ò ØÓ ØÙ ÓÒ Ñ Ò ÐØ Ò Ò Ù Ò Ò ÒÙÑ Ó Ú Ú Ø ØÓ Ø Ø Ò Ú Ø ÒÓ Ø Ò Ò ÑÙÑ Ð ÓÒ Ó ÐØ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ inf P1 R 1 = u ÓÒ ÓÐ Ñ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ø Ð ÓØ y ÓÙ Ó R 2 º ÌÐÐ Ò φ 1 (y) R 1 º ÃÓ u ÓÒ ÓÙ ÓÒ R 1 Ð Ö ÓÒ u φ 1 (y)º ÃÓ P 1 = P2 ÓÒ ÚÓ Ñ φ(u) φ(φ 1 (y)) = yº ÌØ Ò φ(u) ÓÒ ÓÙ ÓÒ R 2 Ð Ö ÓÙ Ó P 2 º ÇÐ ÓÓÒ t ÒÝØ Ó Ò ÓÙ ÓÒ R 2 Ð Ö ÓÙ Ó P 2 º ÂÓÙ Ó Ò Ö ØÝ ÓÑÓÖ Ñ ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ φ 1 (t) ÓÒ ÓÙ ÓÒ R 1 Ð Ö ÓÙ Ó P 2 º ÌÐÐ Ò φ 1 (t) u ÓÒ ÚÓ Ñ t = φ(φ 1 (t)) φ(u)º ÇÒ ØÓ Ø ØØÙ Ú Ø φ(u) = inf P2 R 2 º ¾º Å Ò Ñ ØÓ Ñ Ñ ØÓ ÇÐ ÓÓØ c i c o Ó ØØ Ò Ö Ø ØÝÒ ÓÙ ÓÒ S Ñ Ð Ú ÐØ Ð Ó Ø º ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ð Ø Ù ÓÙ ÓÐÐ P ÙÖ Ú Ø ÅÖ Ø ÐÑ ¾º ¾º ÇÐ ÓÓÒ Ð Ó c i Ð Ø ÙÒ ÙÙÖ Ò Ð Óº ÇÐ ÓÓÒ c k (k 1) ÓÙ ÓÒ P Ð Ó Ó ØÝØØ ÓÒ c k < c k 1 º ÂÓ Ø ÓÙ Ó Ó Ò Ò Ò Ò ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ Ø Ù ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÒÓØ Ò ØØ ÓÙ Ó P ØÝØØ Ñ Ò Ñ ÓÒº

21 ¾º Ç ØØ Ò Ö Ø ØÝØ ÓÙ ÓØ ½¾ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ð Ø Ù ÓÙ ÓÐÐ P Ô Ò ÑÑ Ø Ð Ó Ø Ð Òº ÇÐ ÓÓÒ Ð Ó c o Ð Ø ÙÒ Ô Ò Ò Ð Óº ÇÐ ÓÓÒ c k (k 1) ÓÙ ÓÒ P Ð Ó Ó ØÝØØ ÓÒ c k > c k 1 º ÂÓ Ó Ò Ò ØØ Ò ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ Ø Ù ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÒÓØ Ò ØØ ÓÙ Ó P ØÝØØ Ñ Ñ ÓÒº Ì ÓÖ Ñ ¾º º ÂÓ Ó ØØ Ò Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó P ØÝØØ Ñ Ò Ñ ÓÒ ÐÐ Ò Ð Ó ÐÐ x ÓÒ ÓÐ Ñ Ú ÒØÒ Ý Ñ Ò Ñ Ð Ò Ò Ð Ó m P Ø Ò ØØ x mº ÂÓ Ó ØØ Ò Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó P ØÝØØ Ñ Ñ ÓÒ ÐÐ Ò Ð Ó ÐÐ x ÓÒ ÓÐ Ñ Ú ÒØÒ Ý Ñ Ñ Ð Ò Ò Ð Ó n P Ø Ò ØØ x nº ÌÓ ØÙ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ó ØØ Ò Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó P Ó ØÝØØ Ñ Ò Ñ ÓÒº ÇÐ ÓÓÒ x ÓÙ ÓÒ Ñ Ò Ñ Ð Ò Ò Ð Óº Ë ÐÐ Ø ÓÖ Ñ Ò Ú ØØÑ ÓÒ ØÓ ÐÐÓ Ò ÙÒ m = xº ÂÓ x ÓÐ Ñ Ò Ñ Ð Ò Ò Ð Ó ÚÓ Ò Ú Ð Ø Ð Ó x 1 ÓÙ Ó Ø P Ø Ò ØØ x > x 1 º ÂÓ x 1 ÑÝ Ò ÓÐ Ñ Ò Ñ Ð Ò Ò Ð Ó ÚÓ Ò Ú Ð Ø ÙÖ Ú Ð Ó x 2 Ø Ò ØØ x > x 1 > x 2 º ÌØ ÚÓ Ò Ø ÙÒÒ Ð Ý ØÒ Ñ Ò Ñ Ð Ò Ò Ð Ó x r º ÃÓ ÓÙ Ó P ØÝØØ Ñ Ò Ñ ÓÒ Ø Ø Ù ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÑÖ Ð Ó Ø ÓÐ Ñ ØÒ Ð ÓØ Ó ÓÐ Ô Ò ÑÔ Ù Ò x r º Å Ñ ØÓ Ó Ú Ú Ø ØÓ Ø Ø Ò Ú Ø Ú Ø º Ë ÙÖ Ù ¾º½º ÂÓ ÐÐ Ó ØØ Ò Ö Ø ØÝÒ ÓÙ ÓÒ Ó ÓÙ ÓÐÐ Ó ØÝØØ Ñ ¹ Ñ ÓÒ ÓÒ ÙÙÖ Ò Ð Óº ÂÓ ÐÐ Ó ØØ Ò Ö Ø ØÝÒ ÓÙ ÓÒ Ó ÓÙ ÓÐÐ Ó ØÝØØ Ñ Ò Ñ ÓÒ ÓÒ Ô Ò Ò Ð Óº ÌÓ ØÙ ÂÓ ÓÙ Ó ØÝØØ Ñ Ñ ÓÒ ÓÙ Ó P ÑÝ Ó Ò Ò Ò Ó ÓÙ Ó ØÝØØ ØÑÒ ÓÒº Ë Ñ ÐÐ Ø Ò Ò Ó ÓÙ ÓÒ Ø ÙÐÐ ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò Ý Ñ Ñ Ð Ò Ò Ð Ó ÓÒ Ñ ÐÐ Ø ÙÒ ÙÙÖ Ò Ð Óº Å Ò Ñ ØÓ Ó Ú Ò Ú ØØ Ò ØÓ ØÙ ÓÒ Ú Ø Ú ÒÐ Ò Òº ¾º Ð Ö Ø Ð Ð Ö Ø ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º Ö Ó ¾ ÑÖ ØØ Ð ÖÒ ÝÚ Ò ÝÐ Ò Ð Ö Ò Ó ÓÒ Ò ¹ Ñ ÐØÒ Ý ÖÚÓ Ò Ò ÙÚ Ù Ø Ý ÖÚÓ Ò Ò ÓÔ Ö Ø Ó Ò Ð Ú ÐÙ Ñ ÔÔ Ò µº Çй ÓÓÒ ÓÙ Ó A ¹ØÝ º ÃÙÚ Ù ¾º ÓÒ Ò Ñ ÐØÒ Ò¹ÑÙÙØØÙ Ò ÓÔ Ö Ø Ó Ò¹Ú Ö Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒµ ÓÙ Ó Aº f : x 1,...,x n f(x 1,...,x n ) ¾º µ Ñ Ö ¾º½ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓÙ Ó Ó ÓÒ ÙÙÐÙÚ Ø Ô Ø Ø ÓØ ÓÚ Ø Ø Ó Aº Ë Ñ ÒØ Ò PQ Ô ÒÓÔ Ø ØØ Ñ Ö ØÒ f 1 (P, Q) ÓÐÑ ÓÒ ÈÉÊ Ô ÒÓ¹ Ô Ø ØØ Ú Ø Ú Ø f 2 (P, Q, R)º ÌÐÐ Ò f 1 f 2 ÓÚ Ø ÑÓÐ ÑÑ Ø ÙÚ Ù Ø ÓÔ ¹ Ö Ø Ó Ø ÓØ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ø Ó Aº ÌÐÐ Ò f 1 ÓÒ Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÓÔ Ö Ø Ó f 2 ÓÐÑ Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÓÔ Ö Ø Óº

22 ¾º Ç ØØ Ò Ö Ø ØÝØ ÓÙ ÓØ ½ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º ÇÐ ÓÓÒ A ÓÙ Ó Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÖ Ú Ø ÓÔ Ö Ø Óغ f γ : x 1,...,x n(γ) f(x 1,...,x n(γ) )(γ Γ), Ñ Γ ÓÒ Ò ÓÙ Ó n(γ) ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ò Ø γ Ö ÔÔÙÚ Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÂÓÙ Ó A ÓÒ ØÐÐ Ò Ð Ö ÓÔ Ö Ø Ó Ò {f γ } γ Γ Ù Ø Òº ÂÓ Ø Ö Ø ÐÐ ÓÔ Ö Ø Ó Ø {f γ } γ Γ ÓØ Ø Ò ÙÓÑ ÓÓÒ ÒÓ Ø Ò Ó ÓÙ Ó {f δ } δ ( Γ) A ÓÒ Ð Ö ÓÔ Ö Ø Ó Ò {f δ } δ Ù Ø Òº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º Ð Ö Ò A = ({f γ } γ Γ ) Ð Ð Ö ÓÒ Ð Ö Ò A Ó ÓÙ Ó R Ó ØÓØ ÙØØ ÙÖ Ú Ò ÓÒº Ò ÙÒ Ð ÓØ x 1,..., x n ÙÙÐÙÚ Ø ÓÙ ÓÓÒ R ÑÝ Ð ÓØ f(x 1,...x n ) ÙÙÐÙÚ Ø ÓÙ ÓÓÒ Rº Ð Ð Ö ÓÒ ÙÐ ØØÙ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ Ò ÓÔ Ö Ø Ó Ò Ù Ø Òº ËÓÚ ÐÐ ØØ ØØ Ð Ð Ö Ò ÑÖ Ø ÐÑ ÝØÒØ Ò ÓÒ ÝÚ ÙÓÑ Ø ÑÙÙØ Ñ º Ñ Ö ¾º½ º ÊÝ Ñ (G, ) Ó ÓÒ Ý Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð Ö ÐÐ Ø ÐØÝ ÑÖ Ø ÐÑ ÙÐÓØØÙÙ Ò ÖÝ ÑÒ G Ð ÔÙÓÐ ÖÝ Ñ Ò Ù ¹ Ñ ÖÓÙÔ µ ¹ Ò ÖÝ ÑÒ G Ð Ð ÖÓ Òº ÂÓ ÐÙØ Ò Ø Ð ÖÝ Ñ Ø Ð Ð ÖÓ Ø ÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò ÓÒ ÑÝ ÒÚ Ö Ò ÑÙÓ Ó ØÙ Ò ÓÐØ Ú Ý Ò ÓÔ Ö Ø Ó Ø º Ñ Ö ¾º½ º ÃÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒØ Ý Ø ÒÐ Ù ÖØÓÐ Ù Ú ÒÒÝ ¹ Ð Ù Ø Ø Ú Ò ÒÚ Ö Ò ÑÙÓ Ó ØÙ ÓÚ Ø ÝÚ ÝØØÝ ÓÔ Ö Ø Ó Ø º ÆÓÐÐ ÐÐ Ñ Ø ÓÐ ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒÒ ÓÐ Ù ÚÓ Ô Ø ÓÔ Ö ¹ Ø ÓÒ º Ì Ø Ô Ù ÙÒØ Ò Ð ÙÒØ ÚÓ Ô Ø Ð Ð ÖÓ Ò º ÇÒ¹ ÐÑ ÚÓ Ò Ö Ø Ø Ø Ò ØØ ÓÐ Ù Ø Ø Ò ÓÔ Ö Ø Ó ÙÖ Ú ÒÐ ÐÐ ÓÔ ÑÙ ÐÐ º x 0 = { 0 Ó x 0 1 Ó x = 0 Æ Ò ÝÐ Ø ØØÝÒ ÓÐ Ù ÚÓ Ò ÝÚ Ý ÙÒØ ÓÔ Ö Ø Ó º ÃÙÒØ Ò Ð Ð Ö Ø ÓÚ Ø Ð ÙÒØ º ÌÐÐ Ò Ò ÒÓØ Ó Ò Ò ÒÓÐÐ ÐÐ ÓÒ ÑÖ ØØ ÐÝ Ò Ò ØØ ÑÙÙØ Ñ Ø ØÙØÙØ ÓÐ ÙÒ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÚØ ÓÐ ÚÓ Ñ º Ñ Ö ÙÒ x = 0 Ø x = 1 Ò Ò (x 0) (1 0) x 1º ¾º Ð ÖÓ Ò Ñ Ò ÐØ ÙÙ Ð Ñ Ð Ö ÙÙ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º Ð Ö Ø A = A({f γ } γ Γ ) B = B({g δ } δ ) ÓÚ Ø Ñ Ò Ð¹ Ø Ñ Ð Ö Ð Ö µ ÐÐÓ Ò ÙÒ ÓÒ ÓÐ Ñ Ø Ú Ò Ò ÙÚ Ù σ ÓÙ Ó Ø

23 ¾º Ç ØØ Ò Ö Ø ØÝØ ÓÙ ÓØ ½ Γ ÓÙ ÓÓÒ Ø Ò ØØ Ð ÓØ γ Γ Ú Ø Ú ÐÐ ÓÔ Ö Ø ÓÐÐ f γ ÓÔ Ö Ø Óй Ð g σ(γ) ÓÒ Ñ ÑÖ ÑÙÙØØÙ º Ð ÖÓ Ò Ñ Ò ÐØ ÙÙ Ú Ø Ð ÖÓ Ò Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓØ º Ë Ñ Ò ÐØ Ø Ò Ð ÖÓ Ò Ú Ø Ú ÓÔ Ö Ø Ó Ø ÚÓ Ò Ñ Ö Ø Ñ ÐÐ ÝÑ ÓÐ ÐÐ º ¾º½¼ ÀÓÑÓÑÓÖ Ñ Ø ÓÑÓÖ Ñ Ø ÂÓ Ù ÓÒ Ø ÖÔ Ò Ñ Ø Ð Ö ÐÐ Ø Ö ÒÒ ØØ ÒÒº Ë Ò ÝØ ¹ ØÒ ÓÑÓÑÓÖ ÓÑÓÖ ÙÚ Ù º ÀÓÑÓÑÓÖ Ñ ÓÒ ÙÚ Ù Ó ÐÝØØ Ð ÙØÓ Ñ Ø٠غ ÂÓ Ò Ð Ö Ò ÚÐ ÐÐ ÓÒ ÓÑÓÑÓÖ Ñ ÓÐ ÚÐ ÙÓÖ ¹ Ø Ø Ò Ó Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ÒÒ Ò Ú Ð Ò ÓÑÓÑÓÖ Ò ÙÚ Ù Òº ÀÓÑÓÑÓÖ ¹ Ñ Ò Ø ÖÚ Ø ÙÚ Ø ÓÙ Ó Ñ Ò Ó Ó ÐÐ ÓÙ ÓÐÐ º Á ÓÑÓÖ Ñ ÓÒ Ø Ú Ò Ò ÓÑÓÑÓÖ Ñ Ø Ö Ó ØØ Ú Ú ÑÔ Ñ Ò ÐØ ÙÙØØ Ð ÖÓ Ò ÚРй Ð Ù Ò ÓÑÓÖ Ñ º à ÒÒ ÓÑÓÖ Ø ÓÙ ÓØ ÓÚ Ø Ø ØÝ Ñ Ð Ö ÒØ Ð¹ Ø Ò ÒØØ Ø Ò ÚÓ Ò Ñ Ø ÒÒº Á ÓÑÓÖ Ñ ÝØ ØÒ Ù Ò ØÑÒ ØÝ Øº ÂÓ Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ò ØÖÙ ØÙÙÖ Ò ÚÐ ÐÐ Ð Ý ØÒ ÓÔ Ú ÓÑÓÖ Ñ ÚÓ Ò ØÓ Ö ÒØ ØÙÒÒ ØÙØ Ð Ù Ø ÖØ ØÓ Ø Ó Ú º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º ÇÐ ÓÓØ A = A({f γ } γ Γ ) B = B({g δ } δ ) Ñ Ò Ð¹ Ø Ø Ð Ö º ÀÓÑÓÑÓÖ Ñ ÓÒ Ý ÖÚÓ Ò Ò ÙÚ Ù ϕ : A B ÓÐÐ Ó ÐÐ Ò ÐÐ γ(γ Γ) Ó ÐÐ Ð Ó Ò Ý Ø Ñ ÐÐ x 1,...,x n ( A) ÓÒ ÚÓ Ñ ϕ(f γ (x 1,...,x n )) = f γ (ϕ(x 1 ),...,ϕ(x γ(n) )) ¾º½¼µ ÂÓ ÐÐ Ñ Ò ØØÙ ÙÚ Ù ϕ ÓÒ Ý ÖÚÓ Ò Ò ØØ Ø Ú Ò Ò Ø ÙØ ÙØ Ò ÓÑÓÖ Ñ º ÂÓ B = A ÓÑÓÑÓÖ Ñ Ø ÝØ ØÒ Ò Ñ ØÝ Ø Ò ÓÑÓÖ Ñ ÓÑÓÖ Ñ Ø ÙØÓÑÓÖ Ñ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º ÂÓ Ð Ö ÐÐ A ÓÒ ÓÑÓÑÓÖ Ñ ϕ Ñ Ò ÐØ Ò Ð Ö Ò B ÓÒ Ð Ö B Ð Ö Ò A ÓÑÓÑÓÖ Ò Ò ÙÚ ÓÑÓÑÓÖ Ñ Ò ϕ Ù Ø Ò Ø Ñ Ö ØÒ ϕ : A Bº ÂÓ Ø ϕ ÓÒ ÓÑÓÖ Ñ Ñ Ö ØÒ ϕ : A Bº ÃÓ ϕ 1 : B A ÓÒ ÑÝ ÚÓ Ñ ÒÓØ Ò A B ÓÚ Ø ÓÑÓÖ Ø º ÂÓ ÓÐ ÚÐØØÑØ ÒØ ÐÑ Ø ÙÚ Ù Ø Ó ÝÒÒÝØØ ÓÑÓÑÓÖ Ñ Ò Ø ÓÑÓÖ Ñ Ò ÚÓ Ò ÝØØ ÐÝ Ý ÑÔ Ñ Ö ÒØØ ÔÓ A B A Bº Ê Ð Ø ÓÒ A B Ø ÔÙÓÐØ ÝÐ Ò ÚÓ Ú Ø ÒÒ Ð Ö Ð Ø Ó ÓÐ ÓÑÑÙØ Ø Ú Ò Òº

24 ½ º ÀÁÄ Ì º½ À Ð Ø À Ð ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÐÐ Ö Ø Ú ÐÐ Ó Ó ÖÒÐ Ò Ð Ö ÐÐ Ò ØÖÙ ¹ ØÙÙÖ Ò Ø Ó ØØ Ò Ö Ø ØØÝÒ ÓÙ ÓÒ º Ì ØÝ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ð Ð Ö Ð¹ Ð Ò ØÖÙ ØÙÙÖ Ò Ò ÒÖ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð ¹ ÓÓÑ Ò ÚÙÐÐ º Ë Ö Ö ½ ÓÒ ÔØØÒÝØ ÐÓ Ò ÑÖ ØØÑ Ø Ö ÐÐ Ò Ð Ö ÐÐ Ò Ö ÒØ Ò º Ì Ø ØØÚÒ ÓÓÑ Ò Ý Ø Ñ Ò ÓÒ ØØÒÝØ Ò º ÅÖ Ø ÐÑ º½º ÂÓÙ Ó L ÓÒ Ð ÐÐÓ Ò ÙÒ Ò ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÒÖ ÓÔ ¹ Ö Ø ÓØ º ÆÑ ÓÔ Ö Ø ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÙÖ Ú Ø Ð ¹ ÓÓÑ Øº ÓÓÑ Ø Ä½ ¹ Ä ÓÚ Ø ÚÓ Ñ Ð Ò L Ð Ó ÐÐ a b cº Ä ØÒØÐ Ø Ä½ (a b) c = a (b c) ľ (a b) c = a (b c) Î ÒØ Ð Ø Ä (a b) = (b a) Ä (a b) = (b a) ÓÖÔØ ÓÐ Ø Ä a (a b) = a Ä a (a b) = a ÇÔ Ö Ø ÓØ a b ÙØ ÙØ Ò Ò Ñ ÐÐ Ð Ó Ò a b ÙÙÖ Ò Ð Ö ÇÔ Ö Ø ÓØ a b ÙØ ÙØ Ò Ú Ø Ú Ø Ò Ñ ÐÐ Ð Ó Ò a b Ô Ò Ò ÝÐÖ º Ð Ó ÐÐ a 1,...,a n ÓÔ Ö Ø ÓØ a 1... a n a 1... a n ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ö ÙÖ Ú ÐÐ Ø Ú Ð¹ Ð º À Ð ÓÔ Ö Ø Ó Ò Ð ØÒÒ ÝÝ Ò ÒÓ ÐÐ ÒÑ ÓÔ Ö Ø ÓØ ÚÓ Ò ØØ ÐÑ Ò ÙÐ Ù º ÅÓÒ Ø ÖÑ Ø ÙÙÖ ÒØ Ð Ö Ô Ò ÒØ ÝÐÖ Ñ Ö ØÒ n j=1 a j n a j. j=1 ÓÖÔØ Ó ÒØ Ø Ø Ò ÙÖ Ù Ò Ò Ø ÓÖ Ñ ÓÒ ØØ Ò º Ì ÓÖ Ñ º½º ÂÓ ÐÐ Ð ÐÐ ÓÒ ÙÖ Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø À ½º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒ ÑÔÓØ ÒØØ Ð ÐÐ Ð Ó ÐÐ a L ÓÒ a a = a À ¾º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒ ÑÔÓØ ÒØØ Ð ÐÐ Ð Ó ÐÐ a L ÓÒ a a = a

25 º À Ð Ø ½ ÌÓ ØÙ Î ØØÑØ À½ À¾ ÚÓ Ò Ó Ø ÓÓÑ Ø Ä Ä ÙÖ Ú Ø ÓÓÑ Ò Ä ÑÙ Ò Ñ ÐÐ Ø Ò ÐÐ Ð ÓÐÐ a x L ØØ a a = a ( a (a x) ) º ÌÓ ÐØ ÙÒ ÓÚ ÐÐ Ø Ò ÓÓÑ Ä Ø Ô Ù b = a x Ò a ( a (a x) ) = a. ÓÓÑ Ò Ä ÑÙ Ò Ò Ñ ÐÐ Ø Ò ÐÐ Ð Ò L Ð ÓÐÐ a, x a a = a (a (a x))º ÌÓ ÐØ ÙÒ ÓÚ ÐÐ Ø Ò ÓÓÑ Ä Ø Ô Ù Ò b = a x Ò a (a (a x)) = a. Æ Ò ÓÒ ØÓ Ø ØØÙ Ì ÓÖ Ñ º½º Ë ÙÖ Ù º½º à ÐÐ Ð Ò Ð Ó ÐÐ a b ÔØ a b = a b Ó Ú Ò Ó a = b ÌÓ ØÙ ØÓ Ò À½ À¾ ÑÙ Ò Ú ØØ Ø a = b ÙÖ ØØ a b = a = a b. ÃÒØ Ò Ó a b = a b, ÓÓÑ Ò Ä Ä ÒÓ ÐÐ Ò ÑÝ b a = b a ÓØ Ò ÓÓÑ Ò Ä Ä¾ Ø ÓÖ Ñ Ò Ú ØØÑÒ À¾ ÒÓ ÐÐ Òº a = a (a b) = a (a b) = (a a) b = a b, b = b (b a) = b (b a) = (b b) a = b a. Ë Ø Ò ÓÓÑ Ò Ä ÑÙ Ò a = bº Ø ÐÐÒ ÒÝØ ÑÙÙØ Ñ Ñ Ö ÐÓ Ø Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ¹ ÐÙ ÐØ º Ñ Ö º½º ÇÐ ÓÓÒ P(M) Ò ÓÙ ÓÒ M Ó ÓÙ Ó Ò ÓÙ Ó Ó ÓÒ ÐÙ ¹ Ø Ò ÑÙ Ò ÑÝ ØÝ ÓÙ Óº ÇÒ ÐÔÔÓ Ò ØØ P(M) ÓÒ Ð ÙÒ ÓÒ ¹ Ð Ù ÓÔ Ö Ø Ó Ò Ù Ø Òº ÌÑ Ð ÓÒ Ò Ñ ÐØÒ ÓÙ ÓÒ M Ó ÓÙ Ó Ð º Å Ö ØÒ ØØ Ð (P(M), )º Ñ Ö º¾º ÇÒ ØÙÒÒ ØØÙ ØØ ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ñ Ò Ø Ò Ò ÙÐ ØÙÒ Ó ÓÙ ÓÒ ÙÒ ÓÒ Ð Ù ÓÚ Ø ÑÝ ÙÐ ØØÙ ÓÙ Ó º Ì ÓÒ ÙÐ ØÙØ ÓÙ ÓØ ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ð Ò Ò Ò Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ù Ø Òº Î Ø Ú Ú ØØÑ Ô Ø Ô ¹ Ò ÑÝ ÐÐ Ø ÓÒ ÚÓ Ñ ÐÐ ÓÙ Ó ÐÐ º Ñ Ö º º ÇÐ ÓÓÒ L(S) ÓÐÑ ÙÐÓØØ Ò Ú ÖÙÙ Ò S Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ð Ú ÖÙÙ Ò ÓÙ Ó Ó ÓÒ ÙÙÐÙÙ ÑÝ ØÝ ÓÙ Óº ÅÖ Ø ØÒ ÓÙ Ó L(S) ÓÔ Ö Ø ÓØ Ø Ò ØØ ÝÑ ÓÐ X Y (X, Y L(S)) Ù Ø Ð Ú ÖÙÙ Ò X Y Ð Ù ÓÙ Ó X Y Ù Ø Ô Ò ÒØ Ð Ú ÖÙÙØØ Ó ÓÒ ÙÙÐÙÚ Ø Ð Ú ÖÙÙ Ø X Y º Ë ÐÐÓ Ò L(S) ÑÙÓ Ó Ø Ú ÖÙÙ Ò S Ð Ú ÖÙÙ Ð Ò Ò Ò Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ù Ø Òº Ñ Ö º º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Nº ÅÖ Ø ÐÐÒ a b = s.y.t a, b Ð ÐÙ Ù Ò a b ÙÙÖ Ò Ý Ø Ò Ò Ø º ÇÐ ÓÓÒ (a b) = p.y.j a, b Ð Ô Ò Ò Ý Ø Ò Ò ÐÙÚÙ ÐÐ a b (a, b N)º Æ Ò Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ù Ø Ò ÓÙ Ó N ÓÒ Ð º

26 º À Ð Ø ½ Ñ Ö º º ÇÐ ÓÓØ H K ÖÝ ÑÒ G Ð ÖÝ Ñº ÇÐ ÓÓÒ H K Ð ÖÝ ¹ Ñ Ò H K Ð Ù ÓÙ Óº ÌÐÐ Ò H K ÓÒ Ø Ò ÖÝ ÑÒ G Ð ÖÝ Ñº ÇÐ ÓÓÒ ÑÝ H K Ð ÖÝ Ñ Ò H K Ò ÖÓ Ñ Ð ÖÝ Ñº ÌÐÐ Ò Ò Ò Ò ÓÔ ¹ Ö Ø ÓÒ Ù Ø Ò Ò ÖÝ ÑÒ G Ð ÖÝ Ñ Ò ÓÙ Ó ÓÒ ÖÝ ÑÒ G Ð ÖÝ Ñ Ð º Ñ Ö º º ÇÐ ÓÓØ f g Ö Ð ÖÚÓ ÙÒ Ø Ó Ø º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒ ¹ Ø Ó Ø Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÚÐ ÐÐ [0, 1]º ÇÐ ÓÓÒ f g ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÖÚÓ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ö¹ ÚÓ Ø f(x) g(x)º ÇÐ ÓÓÒ f g Ø ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÖÚÓ ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ ÖÚÓ Ø f(x) g(x) ÐÐ x [0, 1]º Ë ÐÐÓ Ò Ð ¹ ÓÓÑ Ø ØÝØØÝÚØ Ò Ò Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ù Ø Òº ÐÐ Ø ÙÒ Ø ÓØ ÙØ ÙØ Ò ÝÐ Ò Ð ÑÑ Ð ÑÑ Ø ÝÐ ÑÑ Ú Ö Ó ÝÖ Ò ÐÐ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ º º¾ À Ð Ø ÓÖ Ò Ù Ð ÙÙ Ô Ö Ø ÃÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÓÓÑ Ä½ ¹ Ä ÙÓÑ Ø Ò ØØ ÓÓÑ Ø Ó ÐÐ ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ò ÓÒ Ú Ø Ú ÒÐ Ò Ò ÓÓÑ Ó ÐÐ ÓÒ Ô Ö ØÓÒ Ò º ÌÑÒ ÙÓÑ ÓÒ Ù¹ Ö Ù Ò Ò Ð Ø ÓÖ ØØ Ò Ò Ù Ð ÙÙ Ô Ö Ø º ÐÙ Ø ØÒ ÑÙÙØ Ñ ÑÖ Ø ÐÑ Ó Ø Ø ÖÚ Ø Ò Ù Ð ÙÙ Ô Ö ØØ Ò ÝÑÑÖØÑ Òº ÅÖ Ø ÐÑ º¾º À Ð Ø ÓÖ ØØ ÐÐ Ú ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ú ØØÑ A Ó Ò¹ ØÝÝ Ø ØØÝ Ò ÐÓ Ò ÐÑ Ù Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ð ÒÓ Ø Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð ÝÑ ÓÐ Ø º Æ Ø ÐÓ Ò ÐÑ Ù ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ñ ÓÒ Ý Ø Ù Ò Ã Ð¹ Ð Ð Ò L Ð Ó ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ º º º ÓÒ ÓÐ Ñ Ð Ò L Ð Ó Ø Ò ØØ Ó Ú Ò Ó º º º Ò º ÓÐ Ñ Ö ØÝ Ø ÓÒ Ó Ú ØØÑ A ØÓ Ú ÔØÓ º ÅÖ Ø ÐÑ º º Î Ø Ñ ÐÐ ÓÔ Ö Ø Ó Ò Ô Ó ÒÒ Ú ØØÑ ¹ A ØÙÐÓ Ò ÓÒ ØÓ Ò Ò Ð Ø ÓÖ ØØ Ò Ò Ú ØØѺ ÌÑ Ú ØØÑ ÓÒ Ú ØØÑÒ A Ù Ð º Å Ö ØÒ Ø D(A)º Î ØØÑÒ D(A) Ù Ð ÓÒ Ø Ú ØØÑ Aº ËÝѹ ÓÐ Ø Ø ØØÝÒ D(D(A)) = Aº Î ØØÑÒ Ù Ð Ó ÒØ ÓÒ Ø Ô ØÙÑ Ó ÓÔ ¹ Ö Ø Ó ÝÑ ÓÐ Ø Ú Ø Ò ÒÒº ÅÖ Ø ÐÑ º º ÇÐ ÓÓÒ H = {A γ }, γ 2 Ð Ø ÓÖ ØØ Ø Ò Ú ØØ Ò ÓÙ Óº Å Ö ØÒ ÒÝØ D(H) ÓÙ Ó Ó ÓÒ ÙÙÐÙÚ Ø Ú ØØÑØ ÓØ Ò Ù ¹ Ð Ó Ñ ÐÐ ÓÙ ÓÒ H Ú ØØÑغ ÂÓ ÓÙ ÓÐÐ H ÓÒ ÚÓ Ñ D(H) = H ÓÒ Ø Ù Ð ÓÙ Ó Ø Ó Ð Ù Ð Ø Ø Ñ ÒØ µº Ì Ò ÓÙ ÓÓÒ ÙÙÐÙÙ Ó ¹ Ò Ò Ú ØØÑÒ Ù Ð º Ò Ò Ò Ú Ø A ÚÓ ÑÝ ÓÐÐ Ø Ù Ð ÓÙ Óº ÌÐÐ Ò Ú ØØÑ A ÓÒ Ø Ù Ð Ú ØØѺ ÅÖ Ø ÐÑ º º Î ØØÑ B Ò Ñ Ø ØÒ ÓÙ ÓÒ H = {A γ } ÙÖ Ù Ó B ÚÓ Ò ØÓ Ø ÝØØÑÐÐ Ú ØØÑ A γ º ÌÑ Ø Ø Ò Ò ÚÐØØÑØØ Ø Ö Ó ¹ Ø ØØ Ú ØØÑ B ÓÐ ØÓ Ó Ú ØØÑ Ò A γ ÓÙ Ó ØØ ÓÐÐ ÔØÓ Ú ØØÑ º

27 º À Ð Ø ½ ÅÖ Ø ÐÑ º º ÌÓ ØÙ Ø Ó Ù Ð Ó Ò Ó Ò Ò ÝØ ØØÝ Ú ØØÑ Óع Ø Ø Ò ØÓ Ø ØØÙ Ý ØØ Ò Ò ØÓ ØÙ Ò Ð ÙØ ÙØ Ò ØÓ ØÙ Ò Ù Ð ¹ Ó ÒÒ º ÌØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÝØ ØØ Ò Ì ÓÖ Ñ Ò º½ ØÓ ØÙ º ÌÐÐ Ò Ú ØØ Ò D(B) ØÓ ØÙ Ò Ú ØØ Ø D(A)º ÌØ Ò Ó B ÓÒ ÓÙ ÓÒ H ÙÖ Ù D(B) ÓÒ ÑÝ ÓÙ ÓÒ D(H) ÙÖ Ù Ô ÒÚ ØÓ Òº ÃÙÒ ÓÚ ÐÐ Ø Ò ØØ ØÙÐÓ Ø Ø Ô Ù Ò H = D(H) ÙÓÑ Ø Ò ØØ Ó H ÓÒ Ø Ù Ð Ú Ø B Ò Ú ØØ Ø H ØÐÐ Ò ÑÝ Ù Ð D(B) Ò Ú ØØ Ø Hº ÀÙÓÑ ÙØÙ º½º À Ð ¹ ÓÑ Ò Ä½ Ä Ä Ù Ð Ø ÓÚ Ø Ð ¹ ÓÓÑ Ø Ä¾ Ä Ä º ÌØ Ò ÓÓÑ Ý Ø Ñ Ä½¹Ä ÓÒ Ø Ù Ð º Ì Ø ÙÓÑ Ó Ø Ò À Ð ¹ Ø ÓÖ ØØ Ò Ò Ù Ð ÙÙ Ô Ö Ø ÓÒ ÓÒ ØØÒÝØ Ë Ö Ö ½ º Ì ÓÖ Ñ º¾º À Ð Ø ÓÖ ØØ Ò Ò Ù Ð ÙÙ Ô Ö Ø Å Ò Ø Ò ØÓ Ò Ð Ø Ó¹ Ö ØØ Ò Ú ØØÑÒ Ù Ð ÓÒ ØÓ Ð Ø ÓÖ ØØ Ò Ò Ú ØØѺ ÀÙÓÑ ÙØÙ º¾º ÌÓ Ð Ø ÓÖ ØØ Ò Ò Ú ØØÑ ÚÓ Ò ØÓ Ø Ð ¹ ÓÓÑ Ò ÚÙÐÐ º ÂÓ Ð Ø ÓÖ Ò Ú Ø Ø ØÓ ØÙ ÐØ ÝÑ ÓÐ Ò Ð Ø Ó ¹ ØØÙ ÐÓ Ò ÐÑ Ù Ø ÑÙ Ø ÝÑ ÓÐ Ù Ð Ó ÒØ ÚÓ Ò Ø Ø Ò ØØ Ó ØÙØ ÐÑ ÙØ ÑÙÙÒÒ Ø Ò Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ò ÚÙÐÐ ÑÙÓØÓÓÒ Ó ÐØ ÒÓ Ø Ò ÝÑ ÓÐ Ø º Ì ÓÖ Ñ º º ÂÓ ÐÐ Ð ÐÐ ÓÒ ÙÖ Ú ÓÑ Ò ÙÙ À º à ÐÐ Ð Ò Ð Ó ÐÐ a, b ÔØ a b = b Ó Ú Ò Ó b a = a ÌÓ ØÙ ÇÑ Ò ÙÙØ Ò À Ø Ú ØÝÝ Ú ØØѺ À Ð Ò Ñ ÐÐ Ø Ò ÐÐ Ð ÓÐÐ a b ÓÚ Ø ÚÓ Ñ ÙÖ Ú Ø ÓØ À ³ Ó Ø a b = b ÙÖ ØØ b a = aº À Ó Ø b a = a ÙÖ ØØ a b = bº À ³ À ÚØ ÓÐ ØÓ Ø Ò Ù Ð Ø Ó Ò ÓÚ Ø Ú Ø Ò Ø Ô ÓÔ Ö Ø ÓØ ØØ ÝÑ ÓÐ Ø a bº ÃÓ a b Ù Ø Ò Ò ÓÚ Ø Ñ Ð Ú ÐØ Ø Ð ÓØ Ò Ò Ô Ø ÚÓ Ò Ú Ø ÒÒº ÃÙÒ Ø Ò Ò Ò ÓÓÑ ÐÐ À Ø ØÒ ÓÓÑ À ³ ÑÙÙØØ Ñ ØØ Ò ÙÙ Ú Ø À º À Ó Ø a b = b ÙÖ ØØ b a = aº ÌÑ Ú Ø ÓÒ Ú ØØ Ò À ³ Ù Ð Ð À À ÓÚ Ø Ý Ú Ú Ð ÒØØ ÓÑ Ò ÙÙ Ò À Ò º ÌÑ Ñ Ö Ø ÑÝ ØØ ÓÑ Ò ÙÙ À ÓÒ Ø Ù Ð Ú Ø º Ù Ð ÙÙ Ô Ö ØØ Ò ÑÙ Ø Ö ØØ ØØ ØÓ Ø Ø Ò ÒÓ Ø Ò Ú Ø À ³º ÇÐ ÓÓÒ Ð Ð ÓÔ Ö a b ÓÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ b = a bº Ë Ø Ò b a = (a b) aº ÓÓÑ Ò Ä Ä ÑÙ Ò (a b) a = a (a b) = aº Æ Ò ÓÒ ØÓ Ø ØØÙ Ú Ø À ³ Ø Ò ÑÝ À ÓÒ ØÓ Ø ØØÙº

28 º À Ð Ø ½ Ë ÙÖ Ú Ø ÐÐÒ Ö Ñ Ð Ò ÒØÓ Ò Ò Ù Ð ÙÙ Ô Ö ØØ Ò ÙÖ Ù º ÅÖ Ø ÐÑ º º ÇÐ ÓÓÒ Ä = (L,, ) Ð º ÅÖ Ø ØÒ ÓÔ Ö Ø ÓØ Ù¹ Ö Ú Ø º a b = a b (a, b L) a b = a b (a, b L) ÆÑ ÓÔ Ö Ø ÓØ ÑÖ ØØ Ð ÚØ ÙÙ Ò Ð Òº ÌÑ ÙÙ Ð ÓÒ Ð Ò Ä Ù Ð Ð º Ë Ø Ñ Ö ØÒ ÝÑ ÓÐ ÐÐ D(Ä)º ÇÒ ÐÑ Ø ØØ D(D(Ä)) = ĺ ÇÒ Ñ ÓÐÐ Ø ØØ D(Ä) ĺ Ì Ø Ô Ù ÒÓØ Ò ØØ Ä ÓÒ Ø Ù Ð Ð ¹ ٠еº ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ð Ä ÓÒ Ø Ù Ð Ó Ú Ò Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ Ø Ú Ò Ò ÙÚ Ù Ø ÐÐ Ò Ø Ò ØØ ϕ(a b) = ϕ(a) ϕ(b) ϕ(a b) = ϕ(a) ϕ(b) Ñ Ø Ö Ó ØØ ØØ (1) ϕ(a b) = ϕ(a) ϕ(b) (2) ϕ(a b) = ϕ(a) ϕ(b) Ñ Ö º º ÂÓÙ ÓÒ M Ñ Ø Ò Ó ÓÙ Ó Ð P(M) ÓÒ Ø Ù Ð º ÌÐÐ Ò ϕ(x) = M X (X M) ÓÒ ÓÙ ÓÒ P(M) Ø Ú Ò Ò ÙÚ Ù Ø ÐÐ Ò Ò ÐÐ Ð ÓÐÐ A B ÔØ ϕ(a B) = M (A B) = (M A) (M B) = ϕ(a) ϕ(b) ϕ(a B) = M (A B) = (M A) (M B) = ϕ(a) ϕ(b) Ñ Ö º º Ñ Ö Ò º µ Ð ÓÐ Ø Ù Ð º À Ð Ò N ÓÔ Ö Ø Ó Ò Ñ¹ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò 1 x = 1 ÓÒ ÚÓ Ñ ÐÐ Ð Ò N Ð Ó ÐÐ xº Ð Ó ½ ÓÒ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÒÓÐÐ ¹ Ð Ó ØÐÐ Ò ÓÑÓÖ Ñ N D(N) ÚÓ ÓÐÐ ÚÓ Ñ Ú Ò Ó ÓÔ Ö Ø ÓÐÐ ÓÐ ÑÝ ÒÓÐÐ ¹ Ð Óº À Ð Ò N Ð ÓÐÐ u u x = u ÓÒ ØÓ Ó Ú Ò Ó u ÓÒ Ð ÓÒ x ÑÓÒ ÖØ º ÎÓ Ò ØÓ Ø ØØ ÓÐ ÓÐ Ñ ÔÓ Ø Ú ¹ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ó ÓÐ Ò ÔÓ Ø Ú Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÑÓÒ ÖØ ÓØ Ò ÓÑÓÖ Ñ N D(N) ÚÓ ÑÖ Ø Ðк º Ë Ñ Ð Ø ÌÙØ ØØ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð ÖÓ Ø ÚÓ Ò ÔÓ Ø Ñ Ø Ò Ð Ö ÑÙÙØØÙ Ó ØÓ Ø ÓÔ Ö Ø ÓØ ÓÐ Òº Ñ Ö Ö Ò Ø ÓÖ ÝÐ Ò ÒÒ Ø ØÒ ÙÓÑ ÓØ Ò ØØ Ö Ò ÓÒ ÖÝ Ñ Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ù Ø Ò ÔÙÓÐ ÖÝ Ñ ÖØÓ¹ Ð ÙÒ Ù Ø Òº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÒÝØ Ð Lº Å Ö ØÒ ÝÑ ÓÐ ÐÐ L L Ò Ø Ú Ø Ú Ý Ó¹ Ô Ö Ø Ó Ð ÖÓ º Æ Ò Ð ÓØ ÓÚ Ø Ñ Ø Ù Ò Ð L ÑÙØØ Ð L ÓÒ ÚÓ Ñ Ú Ò ÓÔ Ö Ø Ó Ð L ÓÒ ÚÓ Ñ ÓÔ Ö Ø Ó º ÓÓÑ Ò Ä½

29 º À Ð Ø ¾¼ Ä ÓÑ Ò ÙÙ Ò À½ Ú Ø Ú Ø ÓÓÑ Ò Ä¾ Ä ÓÑ Ò ÙÙ Ò À¾ ÒÓ ÐÐ Ù Ò Ð ÑÖ Ø ÐØÝ ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒ Ó Ø Ú Ò Ò ÓÑÑÙØ Ø Ú Ò Ò ÑÔÓØ ÒØØ º ÅÖ Ø ÐÑ º º ÂÓÙ Ó S Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÒÖ ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒ Ñ Ð Ñ ¹ Ð ØØ µ Ó ÓÔ Ö Ø Ó ØÝØØ ÙÖ Ú Ø Ñ Ð ¹ ÓÓÑ Ø Ë ½º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒ Ó Ø Ú Ò Ò Ð (a b) c = a (b c) ÓÒ ÚÓ Ñ ÐÐ ÓÙ ÓÒ S Ð Ó ÐÐ a, b cº Ë ¾º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒ ÓÑÑÙØ Ø Ú Ò Ò Ð a b = b a ÓÒ ÚÓ Ñ ÐÐ ÓÙ ÓÒ S Ð Ó ÐÐ a bº Ë º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒ ÑÔÓØ ÒØØ Ð a a = a ÓÒ ÚÓ Ñ Ñ ÐÐ Ø Ò ÓÙ ÓÒ S Ð ÓÐÐ aº ÂÓ ÓÙ Ó L ÓÒ Ð ÓÚ Ø ÑÓÐ ÑÑ Ø L L ÔÙÓÐ ÐÓ º Æ Ø Ò ÑÑ Ò Ò ÓÒ Ð Ò L ¹ÔÙÓÐ Ð Ð ÑÑ Ò Ò ÓÒ ¹ÔÙÓÐ Ð º Ø Ý Ò Ò Ò Ò ÔÙÓÐ Ð Ò ÚÐ ÐÐ ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø ÓÓÑ Ø Ä Ä ÓÑ Ò ÙÙ À º º À Ð Ø Ó ØØ Ò Ö Ø ØØÝ Ò ÓÙ Ó Ò ÅÖ Ø ÐÑ º½µ ÑÖ Ø ÐØ Ò Ð Ø Ð Ö ÐÐ Ò ØÖÙ ØÙÙÖ Ò Ò ÒÖ Ó¹ Ô Ö Ø ÓÒ ÙÙ Ò Ð ¹ ÓÓÑ Ò ÚÙÐÐ º À Ð Ø ÓÚ Ø ÑÝ ÖÒÐ Ó ØØ Ò Ö¹ Ø ØØÝ ÓÙ Ó (L, )º Ì ØÝ Ð Ø ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÙÖ Ð Ö ÐÐ Ò ØÖÙ ¹ ØÙÙÖ Ò ÑÙØØ Ö ÐÐ ÙÙ ØÙÐ Ù Ò Ú Ø Ò Ö ÒÒ Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ð ÐÐ º Ë Ò Ð ÑÖ Ø ÐÐÒ ÓÙ ÓÒ L Ó ÓÒ Ó ØØ Ò Ö Ø ØØÝ Ö Ð Ø ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ñ ÐÐ Ø Ò ÐÐ Ð ÓÐÐ x y ÓÒ Ô Ò Ò ÝÐÖ ÙÙÖ Ò Ð Ö º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÐÓ Ò Ó ØØ Ò Ò Ö ØÝ Ð ÓÔ Ö Ø Ó Ò ÚÙÐÐ º Ì ÓÖ Ñ º º À Ð L ÙÖ Ú ØÓ ÑÖ Ö ØÝ Ö Ð Ø ÓÒ a b Ó a b = a (a, b L). º½µ Ê Ð Ø Ó º½µ ÓÒ Ð Ò L Ö ØÝ º Ì ØÝ Ö ØÝ Ö Ð Ø Ó Ø ÔÙ ÙØØ ¹ Ú Ø Ø Ò Ò Ø Ò Ö Ð Ø ÓÓÒº À Ð ÓÔ Ö Ø Ó Ò ÓÑÑÙØ Ø Ú ÝÝ Ò ÒÓ ÐÐ ÓÑ Ò ÙÙ Ò À Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÚÓ Ò Ù Ø Ò Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ö ÒÒ Ò Ò Ö ¹ ØÝ Ö Ð Ø Ó º¾µ ÓØ ÚÓ Ò ÝØØ Ø ÖÚ ØØ º a b Ó a b = b (a, b L). º¾µ

30 º À Ð Ø ¾½ ÌÓ ØÙ ÌÓ Ø Ø Ò Ö Ð Ø ÓÒ º½µ Ö Ú ÝÝ ÒØ ÝÑÑ ØÖ ÝÝ ØÖ Ò Ø ¹ Ú ÝÝ º Ê Ð Ø Ó ÓÒ Ö Ú Ò Ò Ó ÓÑ Ò ÙÙ Ò À½ ÑÙ Ò ÐÐ Ð Ò L Ð Ó ÐÐ a ÓÒ ÚÓ Ñ a a = a a aº Ê Ð Ø Ó º½µ ÓÒ ÒØ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ó ÓÓÑ Ò Ä ÑÙ Ò a b a b (a, b L) ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ý Ø ÚÓ ¹ Ñ Ó Ú Ò Ó a b = b a = bº Ç Ó Ø Ø Ò Ú Ð Ö Ð Ø ÓÒ ØÖ Ò Ø Ú ÙÙ º ÇÐ ÓÓØ a, b c L ÓÐÑ Ð ÓØ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ a b b c Ð a b = a b c = bº ÃÝØ ØÒ ÓÓÑ Ä½º ÆÝØ a c = (a b) c = a (b c) = a b = a. Ì Ø ÙÖ ØØ a cº Ê Ð Ø Ó ÓÒ Ó ØØ Ò Ò Ö ØÝ Ð Lº ÀÙÓÑ ÙØÙ º º Í Ò ÓÒ Ø ÖÔ ÐÐ Ø Ù Ð Ó Ð Ò Ö ØÝ º Ø ØÒ Ù¹ Ð Ú ØØÑ Ú ØØÑÐÐ a bº Ê Ð Ø ÓÒ ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò Ó Ø a b Ù¹ Ö ØØ a b = aº ÌÑÒ Ú ØØÑÒ Ù Ð ÓÒ a b = aº ÌÑ Ø ÓÒ ÓÓÑ Ò Ä Ö Ð Ø ÓÒ º¾µ ÑÙ Ò a bº ÌØ Ò Ú ØØÑÒ a b Ù Ð ÓÒ a bº À Ð Ò L Ö ØÝ Ò Ù Ð ÓÒ Ð Ò D(L) Ö ØÝ º Ì ÓÖ Ñ º º ÂÖ Ö Ð Ø ÓÒ º½µ ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÙÖ ØØ Ó ÐÐ Ð Ò L Ö ÐÐ ÐÐ Ó ÓÙ ÓÐÐ {a 1,...a n } ÓÒ ÙÙÖ Ò Ð Ö Ò Ô Ò Ò ÝÐÖ ÙÔ inf L {a 1,...a n } = n a j sup L {a 1,...a n } = j=1 n a j º µ j=1 ÌÓ ØÙ Ì ÓÖ Ñ Ò Ú ØØÑ ÚÓ Ò ÐÑ Ø ÙÖ Ú Ø º Å ÐÐ Ø Ò Ð Ò L ÓÙ ÓÐÐ {a 1,...a n } ÓÒ ÚÓ Ñ ÙÖ Ú Ø ÓØ n n a j a 1,...a n a j, j=1 j=1 n Ó u a 1,...a n, Ò Ò u j=1 n Ó u a 1,...a n, Ò Ò u j=1 a j a j º µ º µ º µ Ã Ú ØØÑ ÓØ ØÓ º µ Ø Ú Ø ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ù Ð º ÅÝ ÓØ º µ º µ ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ù Ð º Æ Ò ÓÒ Ö ØØÚ ØÓ Ø Ú ØØÑ º µ Ò¹ ÑÑ Ò Ò ÔÙÓÐ Ú ØØÑ Ø º µº ÌÓ Ø Ø Ò ÐÙ ÓÒ º µ Ð ÙÓ º Å ÐÐ Ø Ò Ð ÓÐÐ a k (k = 1,...,n) ÓÒ

31 º À Ð Ø ¾¾ ÚÓ Ñ Ð ¹ ÓÓÑ Ò Ä ÓÑ Ò ÙÙ Ò À½ ÑÙ Ò n n ( a j ) a k = a 1... a k 1 (a k a k ) a k+1... a n = a j. j=1 j=1 Ë ÙÖ Ú ØÓ Ø Ø Ò ØÓ º µº Ð ÓÐÐ u ÓÒ ÚÓ Ñ u a k = u (k = 1,...,n)º ÆÝØ ÓÓÑ Ò Ä½ ÓÑ Ò ÙÙ Ò À½ ÚÙÐÐ Ò u (a 1... a n ) = (u a 1 ) (a 2... a n ) = u(a 2... a n ) = (u a 2 ) (a 3... a n ) = u (a 3... a n ) =... = u ÌÑ Ð ÔØØ Ì ÓÖ Ñ Ò º ØÓ ØÙ Òº ÅÖ Ø ÐÑ º º ØÐ Ø º µ Ò ÑÝ ÙÖ Ú ÒÐ Ò Ò Ý Ø Ý ÓÔ Ö Ø Ó ¹ Ò Ð Ò Ö ØÝ Ö Ð Ø ÓÒ ÚÐ ÐÐ º à ÐÐ Ð Ò L Ð Ó ÐÐ a 1,...,a n b 1,...,b n ÔØ Ó a j b j (j = 1,...,n), Ò Ò { a 1... a n b 1... b n a 1... a n b 1... b n º µ Ö ØÝ Ø Ó a j b (j = 1,...,n), Ò Ò a 1... a n b º µ Æ Ø ÙÖ ØØ Ó b j a (j = 1,...,n), Ò Ò b 1... b n b º µ Ó a j b k, (j = 1,..., m; k = 1,..., n), Ò Ò a 1... a m b 1... b n. º½¼µ ÂÓ ØÑ ØÓ ØÝØØÝÝ ÓÒ Ý ØÐ Ò º µ ÑÙ Ò ÚÓ Ñ a 1... a n b k Ó ÐÐ Ò Ò k ÖÚÓÐÐ ØØ Ò Ý ØÐ Ò º µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ú ØØÑ ÓÒ ØÓ º Ì ÓÖ Ñ Ò º ÙÖ Ù Ò Ó Ø Ð ÚÓ Ò Ô Ø Ó ØØ Ò Ö Ø ØØÝÒ ÓÙ ¹ ÓÒ ÑÝ ÐÐÓ Ò ÙÒ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð Ö Ò º ÌÑÒ ÐÓ Ò Ó ÐÙÓÒØ Ò ÚÙÓ ÙÖ Ú Ø ÓÖ Ñ ÓÒ ØÖ º Ì ÓÖ Ñ º º ÂÓ Ð ÓÚ Ø ÓÑÓÖ Ò ÓÚ Ø ÓÑÓÖ ÑÝ Ö ¹ ØÝ Ò Ù Ø Òº Ä ÐÓ ÐÐ L1 L2 ÓÒ ÚÓ Ñ ÙÖ Ú Ø Ú ØØÑØ ÐÓ Ò ÓÔ Ö Ø ÓØ ÑÖ ØØÚØ ØÓ Ò Ò ØÓ Ò º 1. L 1 L 2 2. L 1 L 2 3. L 1 L 2 ÌÓ ØÙ ÇÐ ÓÓØ L1 L2 Ð º ØÓ Ò ½µ¹ µ ÒÓ ÐÐ D(L 1 ) = D(L 2 ) Ó Ú Ò Ó L 1 = L2 º ÌÐÐ Ò ÓÒ Ù Ð ÙÙ Ô Ö ØØ Ò ÚÙÓ Ø ÖÔ ÐÐ Ø ØÓ Ø

32 º À Ð Ø ¾ ÒÓ Ø Ò ØØ Ó Ø L 1 L 2 ÙÖ L 1 = L 2 Ó Ø ÙÖ ØØ L 1 L 2 º Ë ÓÐ Ø Ø Ò ØØ L 1 L 2 º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ø Ú Ò Ò ÙÚ Ù ϕ Ð Ø L 1 Ð Ò L 2 Ø Ò ØØ ϕ(a b) = ϕ(a) ϕ(b) (a, b L 1 ) Å Ö ØÒ ÐÓ Ò L 1 L 2 Ö ØÝ Ö Ð Ø Ó Ø Π 1 Π 2 º a b(π 1 ) Ó a b = a Ó ϕ(a b) = ϕ(a) Ó ϕ(a) ϕ(b) = ϕ(a) Ó ϕ(a) ϕ(b)(π 2 )º ÆÝØ L 1 = L1 º ÇÐ Ø Ø Ò ÒÝØ ØØ L 1 = L1 º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ø Ú Ò Ò ÙÚ Ù ψ Ð Ø L 1 Ð Ò L 2 Ø Ò ØØ ÙÖ Ú ØÓ ØÝØØÝÝ a b(π 1 ) Ó ψ(a) ψ(b)(π 2 ) Ì ÓÖ Ñ Ò º ÑÙ Ò ψ(a) ψ(b) = Ò L2 {ψ(a)ψ(b)} = ψ( Ò L2 {a, b}) = ψ(a b) ψ(a) ψ(b) = ÙÔ L2 {ψ(a)ψ(b)} = ψ( ÙÔ L2 {a, b}) = ψ(a b) Ì ÓÖ Ñ Ò º ÑÙ Ò Ð Ò Ö ØÝ Ö Ð Ø Ó Ò Ù Ó Ó ØØ Ò Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó Ó Ò Ñ ÐÐ Ø Ò Ö ÐÐ ÐÐ Ó ÓÙ ÓÐÐ ÓÒ ÙÙÖ Ò Ð Ö Ò µ Ô Ò Ò ÝÐÖ ÙÔµº Ë ÙÖ Ú Ì ÓÖ Ñ Ó Ó ØØ ØØ Ú ØØÑ ÔØ ÑÝ Ú Ø Ò ÙÙÒ¹ Ø Òº Ì ÓÖ Ñ º º ÇÐ ÓÓÒ (P, Π) Ó ØØ Ò Ö Ø ØØÝ ÓÙ Óº ÂÓ Ø ÓÙ Ó Ó¹ ÐÐ Ò Ð ÓÒ Ó ÓÙ ÓÐÐ ÓÒ ÙÙÖ Ò Ð Ö Ò µ Ô Ò Ò ÝÐÖ ÙÔµ ÓÙ Ó È ÑÙÓ Ó Ø Ð Ò Ö ØÝ Ö Ð Ø ÓÒ (Π) Ù Ø Òº À Ð Ò ÓÔ Ö Ø ÓØ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø º a b = Ò {a, b}, a b = ÙÔ{a, b} º½½µ ÌÓ ØÙ ÌÓ Ø Ø Ò ØØ Ð ¹ ÓÓÑ Ø ØÝØØÝÚغ Æ Ò ÑÖ Ø ÐÐÝØ ÓÔ Ö Ø ÓØ ÓÚ Ø ÐÚ Ø ÓÑÑÙØ Ø Ú º ÓÖÔØ Ó ÒØ Ø Ø Ø ÓÚ Ø ÑÝ ÚÓ Ñ Ó ¹ ÐÐ a, b ÓÒ ÚÓ Ñ º inf{a, b} a sup{a, b} ÓØ Ò inf{a, sup{a, b}} = a = sup{a, inf{a, b}}.

33 º À Ð Ø ¾ ÌÓ Ø Ø Ò Ú Ð Ò Ò ÓÔ Ö Ø Ó Ò Ó Ø Ú ÝÝ º ÇÐ ÓÓØ a, b c ÓÐÑ ÓÙ ÓÒ P Ð ÓØ º Å Ö ØÒ u = inf{inf{a, b}, c} v = inf{a, b, c}º ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ð Ö Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò ÓÒ u inf{a, b} a, b u cº Æ Ò ÓÐÐ Ò u inf{a, b, c} = vº Ë Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ ÓÒ ÑÝ ÚÓ Ñ v a, b ÓØ Ò v inf{a, b} v c ÓØ Ò v {inf{a, b}, c} = uº Ì Ø ÙÖ ØØ inf{inf{a, b}, c} = inf{a, b, c}, º½¾µ inf{a, inf{b, c}} = inf{a, b, c}. º½ µ ØÐ Ø º½¾µ º½ µ ÓÚ Ø ØÓ ÑÝ ÐÐÓ Ò Ó inf ¹ÓÔ Ö Ø ÓØ ÓÖÚ ¹ Ø Ò sup ¹ÓÔ Ö Ø Ó ÐÐ º ÆÝØ ÓÒ ØÓ Ø ØØÙ Ý ØÐ Ò º½½µ ÑÖÑ Ò ÓÔ Ö Ø Ó Ò Ó Ø Ú ÙÙ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÒÝØ ÓÙ Ó P ÓÒ º½½µ ÑÖ ØØ Ð Ñ Ð º ÇÒ ØÓ Ø ØØÙ ØØ ÒÑ ÓÙ Ó ÓÚ Ø Ö ØÝ ÓÑÓÖ ÒÒº ÂÓÙ ÓÒ P Ö ØÝ ÓÒ Π ÓÐ ÓÓÒ ÓÒ º½½µ ÑÖÑÒ Ð Ò Ö ØÝ Π º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÚÓ Ñ a b(π ) Ó Ò {a, b} = a a b(π) Ì ÓÖ Ñ ÓÒ ØÓ Ø ØØÙº º À Ð Ö ÑÑ Ø ÅÖ Ø ÐÑ º½¼º ÂÓ Ò Ò Ö ÐÐ Ò Ò ÓÙ Ó Ó ÓÒ Ó ØØ Ò Ö Ø ØØÝ ÚÓ Ò ØØ Ö ÑÑ Ò ÚÙÐÐ º Ã Ö Ð Ø Ó ØØ Ò Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó ÚÓ Ò ØØ Ñ ÐÐ Ö ÑÑ ÐÐ Ó Ú Ò Ó Ò ÓÚ Ø ÒÒ Ö ØÝ ÓÑÓÖ º Å Ø Ò Ö ÐÐ Ò Ò Ð ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ð Ö ÑÑ Ò ÚÙÐÐ ÓÑÓÖ Ú ÐÐ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ð Ó ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÚ Ò º½ ÓÔ Ö Ø ÓØ ÙÐÙ Ó Ò ÚÙÐÐ Ð ¹ Ð Ò Ð Ó ÐÐ x ÔØ o x = o o x = x i x = x i x = i ÃÙÚ º¾ Ñ Ð ÓÒ Ø ØØÝ Ð Ö ÑÑ Ò ÚÙÐÐ º ÀÙÓÑ Ø Ò ØØ Ð Ö ÑÑ ÒØ ÑÓÐ ÑÔ Ò ÓÔ Ö Ø Ó Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ Ý ÐÐ ÖØ ÓÒ Ù Ò Ú Ò¹ ÒÓÐÐ ÑÔ Ù Ò ÓÔ Ö Ø ÓØ ÙÐÙ Óº À Ð Ö ÑÑ Ø Ð ÝØ Ð Ó Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò Ð Ö Ò Ô Ò ÑÑÒ ÝÐÖ Ò Ù¹ Ö Ú Ò ÒØ Ò ÑÙ Ò a b = inf{a, b} a b = sup{a, b}º ÂÓ a b ÓÒ a b = a a b = bº ÂÓ a b ÓÒ ÚÓ Ñ a b = b a b = aº ÂÓ a b a b ÓÒ ÓÒ Ð Ó Ó Ó Ø Ø Ò Ð Ó Ò a b Ð ÔÙÓÐ ÐÐ Ø Ò ØØ Ø ÚÓ Ò Ú Ø Ú Ú Ø Ð Ó Ò a bº Ð Ó a b ÓÒ Ú Ø Ú Ø Ð Ó Ò a b ÝÐÔÙÓÐ Ò Ò Ð Óº

34 º À Ð Ø ¾ Ó Ó Ó Ó Ó Ó Ó Ó ÃÙÚ º½ ÇÔ Ö Ø ÓØ ÙÐÙ ÓØ i c d e a o b ÃÙÚ º¾ À Ð Ö ÑÑ Ñ Ö º º Ø ØÒ ÙÚ º Ò ÐÓ Ò Ö ÑÑ Ø Ó ÓÒ ½¹ Ð ÓØ º ÃÙÚ Ø Ò Ò ØØ ½¹ Ð ÓÒ ÐÓ ÓÒ Ó Ø ÓÐ Ñ Ý ÔÔ Ð º Ð ÓÒ ÐÓ ÓÒ ÓÐ Ñ Ö Ð Ø º Î Ò Ð ÓÒ ÐÓ ÓÒ ÓÐ Ñ Ý Ø Ò Ú ÔÔ Ð ØØ Ò ÓÒ Ø ØØÝ ÙÚ º º À Ð Ø H I ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ù Ð º À Ð Ò Ù Ð Ò Ö ÑÑ Ò ÒØÑÐÐ Ð ÙÔ Ö Ò Ð Ö ÑÑ Ò ÝÐ Ð Òº À Ð Ø F G J ÓÚ Ø Ø Ù Ð ÐÓ Ó Ò ÓÚ Ø ÝÑÑ ØÖ Ú Ø ÓÒ Ù Ø Òº ÃÙÙ Ò Ð ÓÒ ÐÓ ÓÒ ÓÐ Ñ Ý Ø Ò Ú ØÓ Ø ÔÔ Ð ØØ º ÆÑ Ð Ø ÓÒ Ø ØØÝ ÙÚ º º º º à ÒÒ Ù Ð ÐÓ ÓÚ Ø L M P Q U V º ÁØ Ù Ð ÐÓ ÓÚ Ø Ð Ø K N R S T W Xº A : B : C : D : E : ÃÙÚ º ½¹ Ð ÓÒ Ð Ø

35 º À Ð Ø ¾ F : G : H : I : J : ÃÙÚ º Ð ÓÒ Ð Ø º Ð Ð Ø Ð Ø Å ÐÐ Ø Ò Ð Ö ÐÐ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ð Ð Ö º Ø ØÒ ÙÖ Ú ÐÓ Ò Ð Ð Ö Ò ÑÖ Ø ÐѺ ÅÖ Ø ÐÑ º½½º ÂÓ Ø ¹ØÝ Ð Ò L Ó ÓÙ Ó R Ó ØÝØØ ÙÖ Ú Ø ÓØ ÙØ ÙØ Ò Ð Ò L Ð Ð º a, b R a b, a b R º½ µ ÓÓÑ Ø Ä½ ¹ Ä ÓÚ Ø ÚÓ Ñ ÐÐ Ó ÓÙ ÓÒ R Ð Ó ÐÐ a, b, cº À Ð Ò L Ñ Ø Ò Ð Ð ÑÙÓ Ó Ø Ð Ò Ò Ò ÓÔ Ö Ø Ó Ò Ù Ø Ò ÓØ ÓÒ ÑÖ ¹ Ø ÐØÝ Ð Lº Ñ Ö º½¼º À Ð Ò L Ð ÐÓ ÓÚ Ø Ð L Ø Ò Ó Ò Ò Ý Ò Ð ÓÒ Ó ÓÙ Óº ÂÓ Ø Ð Ò Ý Ò Ð ÓÒ Ó ÓÙ Ó {a} ÚÓ Ò Ô Ø Ø ÙÒ ÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒ ÒÓÐÐ Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ Ò [a, a]º Ë Ó Ò Ò ÓÙ Ó {a} ÓÒ ÑÝ Ð Ò L Ð Ð º Ñ Ö º½½º Å Ø Ò Ð Ò L Ð Ø Ù C ÓÒ Ð Ò L Ð Ð º Å Ø Ø Ò Ø ÙÒ C Ð ÓØ a, b ÓÚ Ø Ú ÖØ ÐÙ ÐÔÓ ÓÒ ÚÓ Ñ Ó Ó a b ÙÒ a b = a a b = b Ø a b ÙÒ a b = b a b = aº Ñ Ö º½¾º ÂÓ Ò Ò (u] [u)(u L) Ó Ò Ò Ð Ò L ÒØ ÖÚ ÐÐ ÓÒ Ð Ò L Ð Ð º

36 º À Ð Ø ¾ K : L : M : N : O : ÃÙÚ º Ð ÓÒ Ð Ø P : Q : R : S : T : ÃÙÚ º Ð ÓÒ Ð Ø U : V : W : X : Y : ÃÙÚ º Ð ÓÒ Ð Ø

37 º À Ð Ø ¾ ÅÖ Ø ÐÑ º½¾º À Ð Ò L ØÓ Ð ÐÓ ÔÖÓÔ Ö Ù Ð ØØ µ ÓÚ Ø Ð Ò L ÑÙÙØ Ð Ð Ø Ù Ò Ð L Ø º ÓØ Ð Ð Ø ÓØ ÓÓ ØÙÚ Ø Ù ÑÑ Ø Ù Ò Ý Ø Ð Ó Ø ÙØ ÙØ Ò ¹ ØÖ Ú Ð Ð ÐÓ º ÂÓ ØÓ ¹ ØÖ Ú Ð Ð Ð ÓÒ Ø Ù ÓÒ Ð Ò L ØÓ ¹ ØÖ Ú Ð Ð Ø Ùº ÂÓ ÐÐ Ð ÐÐ Ó ÓÒ Ú ÒØÒ ÓÐÑ Ð ÓØ ÓÒ ¹ ØÖ Ú Ð Ð Ø Ù º Ñ Ö º½ º ÇÐ ÓÓÒ H Ó Ò ÓÙ Ó ÓÐ ÓÓÒ K Hº ÌÐÐ Ò ÓÙ ÓÒ K Ó ¹ ÓÙ Ó Ð ÓÒ ÓÙ ÓÒ H Ó ÓÙ Ó Ð Ò Ð Ð º Ñ Ö Ò º ÓÙ ÓØ Ó Ò ÙÙÐÙ¹ Ú Ø Ñ Ò Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙÒ Ø Ø ÑÓÒ ÖÖ Ø ÓÚ Ø Ð ÐÓ º Ñ Ö º½ º ÃÙÚ Ò º Ð Ò I ¹ØÖ Ú Ð Ð ÐÓ ÓÚ Ø Ò ¹ØÖ ¹ Ú Ð Ø Ð Ø ÙØ Ó ÓÙ Ó T = {a, b, c, i} ÃÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ð Ò Ó ÓÙ Ó M = {o, b, c, i} ÙÓÑ Ø Ò ØØ ÓÙ Ó M ÓÒ Ð ÑÙØØ ÓÐ Ö ÑÑ Ò Ð Ò Ð Ð º ÂÓÙ Ó M Ð Ó Ò b c ÙÙÖ Ò Ð Ö ÓÒ Ð Ó o ÓÒ Ö Ø Ö Ö ÑÑ Ò ÑÖ ØØ Ð ÑÒ ÙÙÖ ÑÑ Ò Ð Ö Ò Ò º I : i b c a o ÃÙÚ º Ð Ð Ø ÅÖ Ø ÐÑ º½ º À Ð Ò L Ó ÓÙ Ó I ÓÒ Ò Ð Ó ØÝØØ ÙÖ Ú Ø ÓØ ½º Ó Ø a, b I ÙÖ ØØ a b I ¾º à ÐÐ Ð Ò Ð Ó ÐÐ x Ó Ø a I ÙÖ ØØ a x I ÌÑÒ ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò Ó Ò Ò Ð Ò L Ð ÓÒ ÑÝ Ð Ò L Ð Ð º º À ÐÓ Ò Ó Ð ÓØ ØÓÑ Ø Ù Ð ØÓÑ Ø ÅÖ Ø ÐÑ º½ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ð L ÓÒ Ð Ó o ÐÐ Ð ÓÐÐ x L ÓÒ ÚÓ Ñ ÔÝ ØÐ o xº ÌÐÐ Ò Ð Ó o ÓÒ Ð Ò L Ô Ò Ò Ð Óº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ð L ÓÒ Ð Ó i ÐÐ Ð ÓÐÐ x L ÓÒ ÚÓ Ñ i xº ÌÐÐ Ò i ÓÒ Ð Ò L ÙÙÖ Ò Ð Óº À Ð Ò Ô Ò Ò ÙÙÖ Ò Ð Ó Ý ÓÚ Ø Ð Ò L Ó Ð Óغ

38 º À Ð Ø ¾ ÅÖ Ø ÐÑ º½ º À ÐÓ Ò Ö ØÝ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò Ð Ò L Ô Ò Ò Ð Ó o ÙÙÖ Ò Ð Ó i ØÝØØÚØ ÙÖ Ú Ø ÓØ ½º o x = o, o x = x (x L) ¾º i x = i, i x = x (x L) ÌÑ ÚÓ Ò Ò ÐÐ Ø ÐÑ Ø ÙÖ Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ º À Ð Ò L Ô Ò Ò Ð Ó o ÓÒ ¹ Ð Ð Ò L ÒÓÐÐ ¹ Ð Ó ¹ Ð Ð Ò L Ý Ð Óº À Ð Ò L ÙÙÖ Ò Ð Ó i ÓÒ ¹ Ð Ð Ò L Ý Ð Ó ¹ Ð Ð Ò L ÒÓÐÐ ¹ Ð Óº Ì ÓÖ Ñ º º ÂÓ ÐÐ Ö ÐÐ ÐÐ Ð ÐÐ ÓÒ Ô Ò Ò ÙÙÖ Ò Ð Óº ÌÓ ØÙ Å Ö ØÒ Ð Ò Ð Ó Ø L = {a 1, a 2,..., a n }º ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ò Ð Ò L Ð Ó Ò ÙÙÖ Ò Ð Ö Ñ Ö ØÒ Ø Ð ÓÐÐ xº (a 1 a 2... a n ) = x L ÆÝØ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò Ð ÓÒ x ÙÙÖ Ò Ð Ö Ñ Ò Ø Ò Ð Ò L Ð ÓÒ Ò º a 1 x = x, a 2 x = x,...,a n x = x ÀÙÓÑ Ø Ò ØØ x a 1, a 2,..., a n º Ð Ó x ÓÒ ØÐÐ Ò Ð Ò Ô Ò Ò Ð Óº ËÙÙ¹ Ö ÑÑ Ò Ð ÓÒ ØÓ ØÙ ÓÒ ÐÐ Ò ØÓ ØÙ Ò Ù Ð ÓØ Ò ÚÓ Ò ØØ ØÓ¹ Ø Ñ ØØ º Ñ Ö º½ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ Ö Ò º½µ º µ ÐÓ º Æ ÐÐ ÐÓ ÐÐ ÓÒ Ô Ò Ò ØØ ÙÙÖ Ò Ð Óº Ñ Ö º½µ ÓÒ Ô Ò Ò Ð Ó M ÙÙÖ Òº Ñ Ö º µ Ý Ò Ð ÓÒ Ð ÖÝ Ñ Ý Ð Ó ÑÙ ÒÐÙ Ò ÓÒ Ô Ò Ò G ÙÙÖ Òº Ì ÓÖ Ñ º º ÂÓ ÐÐ Ð ÐÐ ÓÒ Ò ÒØÒ Ý Ñ Ò Ñ Ð Ò Ò Ñ Ñ Ð Ò Ò Ð Óº À ÐÓ Ñ Ò Ñ Ð Ò Ò Ð Ó ÓÒ Ò Ô Ò Ò Ð Ó Ñ Ñ Ð Ò Ò Ð Ó ÓÒ ÙÙÖ Ò Ð Óº ÌÓ ØÙ ÇÐ ÓÓÒ Ð Ð ÓØ m xº à ÐÐ Ð Ò Ð Ó ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ m x mº ÂÓ m ÓÒ Ñ Ò Ñ Ð Ò Ò Ð Ó m x < m ÚÓ ÓÐÐ ØÓ ØÐÐ Ò m x = mº Ì Ø Ø ÙÖ ØØ m x ÓÒ ÚÓ Ñ ÐÐ Ð Ó ÐÐ xº Æ Ò ÓÒ ØÓ Ø ØØÙ Ø ÓÖ Ñ Ò Ú Ø Ñ Ò Ñ Ð Ò Ð ÓÒ Ó ÐØ º Å Ñ Ð Ø Ð ÓØ Ó Ú Ú Ø ÓÒ ØÓ Ø ØÙÒ Ú ØØ Ò Ù Ð Ø Ø ÖÚ Ø ØÓ Ø Ö Òº

39 º À Ð Ø ¼ Ë ÙÖ Ù º¾º À Ð ÐÐ Ó ØÝØØ Ñ Ò Ñ ÓÒ ÓÒ Ô Ò Ò Ð Ó Ð ÐÐ Ó ØÝع Ø Ñ Ñ ÓÒ ÓÒ ÙÙÖ Ò Ð Óº ÂÓ Ò Ò Ð ÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙº ÌÓ ØÙ Ë ÙÖ Ù Ò ØÓ ØÙ Ò ÙÓÖ Ò Ì ÓÖ Ñ Ø ¾º º ÅÖ Ø ÐÑ º½ º À Ð Ò Ð Ó p ÓÒ ØÓÑ Ó p oº À Ð L ÓÒ ØÓÑ Ò Ò Ð ØÓÑ Ð ØØ µ Ó Ó Ø Ð Ò L Ð ÓØ a o Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ ØÓÑ p Ø Ò ØØ a pº Ð ÐØ Ö Ó Ø ØÙÒ Ð Ò L Ð Ó m ÓÒ Ò Ñ ÐØÒ Ù Ð ØÓÑ Ù Ð ØÓѵ Ó m iº À Ð L Ø ÓÒ Ò Ñ ÐØÒ Ù Ð ØÓÑ Ð Ó ÐÐ Ð Ò Ð Ó ÐÐ a i ÓÒ ÓÐ Ñ Ù Ð ØÓÑ m Ø Ò ØØ a mº º ÃÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ø Ö Ð Ø Ú Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ø Ñ ÓÑÔÐ ¹ Ñ ÒØ Ø Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÔÔ Ð Ò ÐÙ ÓÐ Ú Ñ Ö º½ Ó ÓÙ Ó ÐÓ Ø º ÂÓ ÐÐ ÓÙ ÓÐÐ A ÚÓ Ò Ð ÝØ ÓÙ Ó B Ø Ò ØØ ÙÖ Ú Ø Ý ØÐ Ø ÓÚ Ø ÚÓ Ñ A B = A B = Mº ÂÓÙ Ó B ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ý ØÐ Ò B = M A ÚÙÐÐ º ÂÓÙ Ó M A ÓÒ ÓÙ ÓÒ A ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Öݵº ÅÖ Ø ÐÑ º½ º ÇÐ ÓÓØ L Ö Ó Ø ØØÙ Ð u Ò Ð Óº Ð ÓÒ u ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ ÓÒ Ð Ó x Ó ØÝØØ ÙÖ Ú Ø Óغ u x = o u x = i º½ µ º½ µ ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÓÑÑÙØ Ø Ú ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ ÓÑ Ò ÙÙ ÓÒ Ýѹ Ñ ØÖ Ò Òº ÂÓ Ð Ó x ÓÒ Ð ÓÒ u ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ ÓÒ u ØÐÐ Ò ÑÝ Ð ÓÒ x ÓÑÔÐ ¹ Ñ ÒØØ º ÀÙÓÑ ÙØÙ º º ÃÙÒ ÓÖÚ Ø Ò x = i ÅÖ Ø ÐÑÒ º½ Ò ÑÑ Ý ØÐ Ò o i = oº Î Ø Ú Ø Ò o i = iº Ð Ó i ÓÒ Ð ÓÒ o ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ º Æ Ò Ý ØÐ Ò ÑÙ Ò o x = i ÓÒ ØÓ Ú Ò Ó x = iº Ë Ð Ó i ÓÒ Ð ÓÒ o ÒÓ ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ º Ù Ð ÙÙ Ò ÚÙÓ ÑÝ Ð Ó o ÓÒ ÒÓ ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ Ð ÓÐÐ iº ÅÖ Ø ÐÑ º½ º Î Ð ÓÐ Ö Ó Ø ØØÙ Ò Ó ÐÐ Ð ÓÐÐ ÚÐØØÑØØ ÓÐ ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ º ÑÝ Ò ÚÓ ÓÐ ØØ ØØ Ó ÐÐ Ò Ð ÓÐÐ ÓÐ Ò Ò¹ ØÒ Ý ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ º ÂÓ Ö Ó Ø ØÙÒ Ð Ò L Ð ÓÐÐ u ÓÒ Ú ÒØÒ Ý ÓÑÔÐ ¹ Ñ ÒØØ ÓÒ Ð Ó u ØÐÐ Ò Ð Ò L ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ØÙ Ð Ó ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ð Ñ Òصº

40 º À Ð Ø ½ ÂÓ Ð Ò L Ð ÓØ ÓÚ Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ØÙ ÙØ ÙØ Ò Ð L ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ¹ Ù Ð º ÂÓ Ð ÓÐÐ u ÓÒ Ø ÑÐÐ Ò Ý ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ Ø ÙØ ÙØ Ò Ð Ò L Ý ØØ Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ Ù Ð Ó ÙÒ ÕÙ ÐÝ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ð Ñ Òصº ÂÓ Ð Ò Ð ÓØ ÓÚ Ø Ý ØØ Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ØÙ Ð ÙØ ÙØ Ò Ý ¹ ØØ Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ Ù Ð ÙÒ ÕÙ ÐÝ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ð ØØ µº Ñ Ö º½ º ÅÖ Ø ÐÑÒ º½¼ ÙÚ Ò Ð Ð Ó a ÓÒ Ý ØØ Ø ÓÑÔÐ ¹ Ñ ÒØÓ ØÙ Ð Óº Ë Ò ÒÓ ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ ÓÒ Ð Ó eº ÌÓ ÐØ e ÓÐ Ý ØØ Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ØÙ Ð Ó Ó c ØØ a ÓÚ Ø Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ º Ð Ó d ÓÐ ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ØÙ Ð Óº Ñ Ö Ò º½ Ð P(M) ÓÒ Ý ØØ Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ØÙ Ð º Ê Ó Ø ØÙØ Ø ÙØ ÓÚ Ø ¹ ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ØÙ Ö Ó Ø ØØÙ ÐÓ º ÅÖ Ø ÐÑ º½ º ÇÐ ÓÓÒ L Ó Ò Ð Ó ÚÐØØÑØØ ÓÐ Ö Ó Ø ØØÙº ÇÐ ÓÓÒ [a, b] Ð Ò L ÒØ ÖÚ ÐÐ ÓÐ ÓÓÒ u Ó Ò Ð Ó ÚÐ ÐØ [a, b]º ÂÓ Ð Ò L Ð Ó x ØÝØØ ÙÖ Ú Ø ÓØ º½ µ º½ µ x ÙÙÐÙÙ Ð Ð Ò [a, b]º Ð Ó x ÓÒ Ð ÓÒ u ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ Ø Ð Ð º u x = a u x = b º½ µ º½ µ ÅÖ Ø ÐÑ º¾¼º À Ð Ò L Ð Ó x ÓÐÐ ÔØ ÚØ Ý ØÐ Ø º½ µ º½ µ ÓÒ Ð ÓÒ u Ö Ð Ø Ú Ò Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ Ö Ð Ø Ú ÓÑÔÐ Ñ Òص ÚÐ ÐÐ [a, b]º ÎÓ Ò ÑÝ ÒÓ ØØ x ÓÒ Ð ÓÒ u Ö Ð Ø Ú Ò Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ Ð ÓÔ Ö Ò Ù Ø Òº ÂÓ x ÓÒ Ð ÓÒ u Ö Ð Ø Ú Ò Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ ÚÐ ÐÐ [a, b] ÑÝ u ÓÒ Ð ÓÒ x Ö Ð Ø Ú Ò Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ ØÐÐ ÚÐ Ðк ÅÖ Ø ÐÑ º¾½º À Ð ÓÒ Ö Ð Ø Ú Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ØÙ Ö Ð Ø Ú ÐÝ ÓÑÔÐ Ñ Ò¹ Ø µ Ó Ñ ÐÐ Ø Ò ÓÐÑ ÐÐ Ð ÓÐÐ a, b, u a u bµ ÓÒ ÓÐ Ñ Ú ÒØÒ Ý Ð ÓÒ u ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ ÚÐ ÐÐ [a, b]º ÎÓ Ò ÑÝ ÒÓ ØØ Ó Ò Ò Ð Ò L ÒØ ÖÚ ÐÐ ÓÒ ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ØÙ Ð º ÀÙÓÑ ÙØÙ º º ÃÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ö Ó Ø ØØÙ Ð Ð ÓÒ u Ö Ð Ø Ú Ø ÓÑÔÐ ¹ Ñ ÒØ Ø Ð ÓÔ Ö Ò o, i Ù Ø Ò ÓÚ Ø Ñ Ø Ù Ò Ý ØÐ Ò º½ µ¹ º½ µ ÑÖ Øع ÑØ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Øº ÂÓ Ö Ó Ø ØØÙ Ð ÓÒ Ö Ð Ø Ú Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ØÙ ÓÒ ÑÝ ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ØÙºÃÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ØÙ Ð Ù Ø Ò Ò Ò ÓÐ Ö Ð Ø Ú Ø ÓÑÔÐ ¹ Ñ ÒØÓ ØÙº Ñ Ö º½ º ÃÙÚ Ò º Ð J ÓÒ ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ØÙ ÑÙØØ Ö Ð Ø Ú Ø ÓÑÔ¹ Ð Ñ ÒØÓ ØÙº ÃÙÚ Ð Ó Ò a c Ý Ø Ò Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ ÓÒ cº À Ð Ò Ð ÓÐÐ a ÓÐ Ö Ð Ø Ú Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ ÚÐ ÐÐ [o, c]º

41 º À Ð Ø ¾ J : i c a b o ÃÙÚ º ÃÓÑÔÐ Ñ ÒØØ Ñ Ö º½ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ö ØØ ÑÒ ÓÙ ÓÒ M Ò Ö ÐÐ Ø Ò Ó ÓÙ ¹ Ó Ò ÓÙ Ó F(M) Ó ÓÒ ÙÙÐÙÙ ÑÝ ØÝ ÓÙ Óº ÌÑ ÓÙ Ó ÓÒ Ó ÓÙ ¹ Ó Ð Ò P(M) Ð Ð º À Ð F(M) ÓÐ ÝÐ ÐØ Ö Ó Ø ØØÙ ÑÙØØ ÓÒ Ö Ð Ø ¹ Ú Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ØÙº ÂÓ A, B U ÓÚ Ø ÓÙ ÓÒ M Ö ÐÐ Ó ÓÙ Ó A U B ÓÙ ÓÒ U ÒÓ Ö Ð Ø Ú Ò Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ ÚÐ ÐÐ [A, B] ÓÒ ÓÙ Ó B \ (U \ A) = (B \ U) Aº ÌÑÒ ÓÒ ÐÓÔÔÙÔÙÓÐ ÐÐ Ø ÐÐÒ ÒÓ Ø Ò Ð ÐØ Ö Ó Ø ØØÙ ÐÓ º ÅÖ Ø ÐÑ º¾¾º Ð ÐØ Ö Ó Ø ØØÙ Ð ÓÒ Ø Ó ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ØÙ Ø ÓÒ Óѹ ÔÐ Ñ ÒØ µ Ó Ó Ò Ò Ð Ò L ÒØ ÖÚ ÐÐ Ó ÓÒ ÑÙÓØÓ [o, a] (a L) ÓÒ Ð Ò L ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ØÙ Ð Ð º ÌÐÐ Ò ÐÐ Ð Ò L Ð ÓÐÐ a, u (u a) ÓÒ ÓÐ Ñ Ð Ó x L Ø Ò ØØ u x = o u x = aº ÅÖ Ø ÐÑ º¾ º ÃÓÑÔÐ Ñ ÒØØ Ø ÚÓ Ò ÝÐ Ø Ð ÐØ Ö Ó Ø ØØÙ Ò ¹ ÐÓ Òº Ð ÓÒ u Ñ ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ Ð L ÓÒ Ñ Ø Ò Ð Ó x Ó ØÝØØ ÓÒ º½ µº ÌÐÐ Ò ÑÝ Ð Ó u ÓÒ Ð ÓÒ x Ñ ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ º ÂÓ ÐÙØ Ò Ó¹ ÖÓ Ø ØÑÒ Ý Ø Ý Ò ÝÑÑ ØÖ ÝÝØØ ÚÓ Ò ÒÓ ØØ ÒÑ Ð ÓØ ÓÚ Ø Ö ÐÐ Ð Ó Ø Ó ÒØ Ð Ñ ÒØ µº ÅÖ Ø ÐÑ º¾ º à РÓÒ u Ñ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ó ØØ Ò Ö ¹ Ø ØÝÒ ÓÙ ÓÒ Uº Ð ÓÒ u Ñ ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ x 0 ÓÒ Ò Ñ ÐØÒ Ñ Ñ Ð Ò Ò Ñ ¹ ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ Ñ Ü Ñ Ð Ñ ÓÑÔÐ Ñ Òص Ó ÓÒ ÓÙ ÓÒ U Ñ Ñ Ð Ò Ò Ð Ó Ð Ó Ó Ø u x = o x x 0 ÙÖ ØØ x = x 0 ÅÖ Ø ÐÑ º¾ º ÂÓ ÓÙ ÓÐÐ U ÓÒ ÙÙÖ Ò Ð Ó Ø Ò Ñ Ø ØÒ Ð ÓÒ u Ô Ù¹ Ó ÓÑÔÐ Ñ ÒØ º ÌÑ ÓÒ ØÖ Ø Ø Ò Ò Ð Ø ÓÖ Ò ØÓÔÓÐÓ ÓÚ ÐÐÙ ¹ º ÀÙÓÑ ÙØÙ º º ÂÓÙ Ó U Ó ÓÒ ÙÙÐÙÚ Ø Ð ÓÒ u Ñ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÑÙÓ¹ Ó Ø Ð Ò L ÙÔ Ö Ò Ó ÓÙ ÓÒº ÇÐ ÓÓÒ x Ð ÓÒ u Ñ ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ y Ñ

42 º À Ð Ø Ø Ò Ð Ò L Ð Ó Ø Ò ØØ y xº ÌÐÐ Ò ÔØ u y u x = o Ñ Ø Ö¹ Ó ØØ ØØ u y o. ÌÓ ÐØ Ó o ÓÒ Ð Ò L Ô Ò Ò Ð Ó u y oº Æ Ø Ø Ú ØØÑ Ø Ý ÙÖ ØØ u y = oº ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ó x ÓÒ Ð ÓÒ u Ñ ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ ÓÒ ØÐÐ Ò Ó Ò Ò Ð Ó x Ò Ñ ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ º ÅÖ Ø ÐÑ º¾ º Ë Ñ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÙÖ ØØ Ð Ó o ÓÒ ¹ Ò Ð Ò Ð Ó Ò Ñ ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ º Ð ÓÒ u ÑÙÙØ Ñ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ø Ù Ò Ð Ó o ÓÚ Ø Ò ØÓ Ñ ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ ÔÖÓÔ Ö Ñ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ µº ÂÓ Ð Ó m ÓÒ Ð¹ ÓÒ u ØÓ Ñ ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ Ñ ÐÐ Ñ Ñ Ð Ò Ò Ñ ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ ÓÒ Ñ Ñ Ð Ò Ò ØÓ Ñ ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ º ÅÖ Ø ÐÑ º¾ º À Ð Ò Ó Ð ÓØ ÝØØÝØÝÚØ Ö Ø ÚÓ Ò ØÓ Ò Ñ ÓÑÔÐ ¹ Ñ ÒØØ Ò Ù Ø Òº ÐØÚÒ ÓÒ Ý ØÐ Ø º½ µ º½ µ ÙÖ ØØ ¹ Ð ÓØ ÓÚ Ø Ð ÓÒ o ØÓ Ñ ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ ÐÙ ÙÙÒÓØØ Ñ ØØ Ð ÓØ o Ø º Î Ð Ó i ÓÐ ÓÐ Ñ ÐÐ ÓÐ Ð Ò Ò ØÓ Ñ ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ º Ð ÐØ Ö Ó Ø ØØÙ Ð L ÓÒ Ñ ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ØÙ Ð Ó Ó ÐÐ Ò ÐÐ Ð ÓÐÐ ÓÒ Ú ÒØÒ Ý ØÓ Ñ ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ º Ñ Ö º½ º ÂÓ Ò Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ØÙ Ð ÓÒ Ñ ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ØÙº Ñ Ö Ò º Ð N ÓÒ Ñ ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ØÙ Ð Ó ÓÐ Ð ÐØ Ö Ó Ø ØØÙº Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ Ö Ò º½ Ð F(M)º Ä ØÒ Ò ÓÙ Ó M Ø Ñ ¹ Ñ Ð Ð Ó º ÌÐÐ Ø ÚÓ Ò Ò Ö Ó Ø ØØÙ Ñ ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ØÙ Ð º ÂÓ ÓÙ Ó M ÓÒ Ö Ø Ò Ð ÓÒ Ù Ø Ò Ò ¹ ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ØÙº ÅÖ Ø ÐÑ º¾ º Ð ÐØ Ö Ó Ø ØØÙ Ð L ÓÒ Ó Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ØÙ Û ÐÝ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ µ Ó Ó Ø Ò Ð ÓÔ Ö Ø a, b (a b) Ð ÓÐÐ a ÓÒ Ñ ÓÑÔÐ ¹ Ñ ÒØØ Ó Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ð ÓÒ b Ñ ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÚÓ Ñ a x = o, b x o º½ µ Ì Ø ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÙÖ Ì ÓÖ Ñ º½¼º ÂÓ Ò Ò Ó Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ØÙ Ð ÓÒ Ñ ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ØÙº ÌÓ ØÙ ÇÐ ÓÓÒ L Ó Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ØÙ Ð ÓÐ ÓÓÒ a Ó Ò Ò Ò Ò Ð Óº Ì ÓÖ Ñ Ò º ÑÙ Ò a ÚÓ ÓÐÐ Ñ Ñ Ð Ò Ò Ð Ó Ó ÓÒ ÓÐ Ñ Ð Ó b L Ø Ò ØØ a < bº ÇÒ ÑÝ ÓÐ Ñ Ú ÒØÒ Ý Ð Ó x Ó ØÝØØ ÓÒ º½ µº ÌÐÐ Ò Ð Ó x ÓÒ Ð ÓÒ a ØÓ Ñ ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ º Ä Ò ÙÖ Ú º

ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù

ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº

Lisätiedot

Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø

Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Å Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ Ý ØØ Ðк Å Ò Ø Ð Ú Ø ÚÙÙ ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Å Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ø Ô Ó Ò Ñ Ñ ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ô ØÙ Ý ØØ Øº ÂÓ Å Ò Ø Ð Ú Ø ÑÙ ÓÒ

Lisätiedot

Ð ØÖÓÒ Ø Ñ ÙÚÐ Ò Ø Ì ÑÙ Ê ÒØ ¹ Ó À Ð Ò ¾ º ÐÓ ÙÙØ ½ Ë Ò ÙÔ Ò ÝÒÒ Ò Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Å Ù Ö Ø ÐÑØ ¾ ¾º½ ÆÝ Ý Ø Ñ Ù Ö Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely

Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑ Ò Ö ÒÒ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ø ÐРؽ ؾ Ø È Ð Ó ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ö ÒÒ Ì ØÓ ÓÒ Ô Ð Ò ÝØ Ñ Ò ÓÒ Ñ ÐÐ Ó Ø Ò ÙÚ ØØ ÐÐ Ø Ñ ÐÑ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò Ð

Lisätiedot

ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ

ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º º ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø Ø ¹ÑÖ ØØ ÐÝ º¾µ ÚÓ Ú Ø Ø ÑÝ Ø Ò ÑÖ Ø ÐØÚ Æ Ñ ÒØÝ ÑÝ ³ ³¹Ñ Ö Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ò ÓÐ ÐÐ ØØÝ ØÝÔ ¹ÐÝ ÒØ º½µº ¾ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ

Lisätiedot

Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø

Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ØÓÖ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð

Lisätiedot

F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.

F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}. Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½

Lisätiedot

a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº

a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº ÄÙ Ù ÐÙ Ø ÂÙ Ä Ö ÂÓÙÒ È Ö ÓÒ Ò ÄÙ ÐÐ ÌÑ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÂÓÙÒ È Ö Ó Ò ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¾¼¼ ÂÙ Ä Ö Ò ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ô ØÑ Ò ÄÙ Ù Ð٠ع ÙÖ Ò ÐÙ ÒØÓ Òº ÅÓÒ Ø Ò Ò Ò Ñ Ø ¹ Ö Ð ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú ÓÒ Ñ ØØ ÐÐ ÐÙ ÒØÓ ÙÖ ÐÐ Ð ÑÙ

Lisätiedot

(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).

(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc). ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙ Ø ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ØÐ ÐÐ x + 1 = 0 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ó Ó Ò Ö Ð ÐÙ¹ ÚÙÒ ØÓ Ò Ò ÔÓØ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº ÂÓØØ ØÐÐ Ý ØÐ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ù Ñ Ò ØÝØÝÝ Ð ÒØ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ð ÑÐÐ Ò ÙÙ Ð Ó Ñ Ö ØÒ Ø¹ Ø ØÓ Ø

Lisätiedot

À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø

À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø Ì ÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì Ó Ø ÐÐÒ ÓÒ ÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ö Ø Ú ÑÙØØ Ó Ò Ö Ø Ù Ú Ø Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ø Ð ØØ Ö Ø Ù ÓÐ ÝØÒÒ ÐÚÓÐÐ Ò Òº Í ÑÑ Ø ÓÐ ØØ Ú Ø ØØ ÆȹØÝ ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÙÑ ØØÓÑ ÒØÖ Ø Ð µ ÑÙØØ ØØ ÓÐ ØÓ Ø ØØÙº

Lisätiedot

ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö

ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ý ÝÐÐ Ø ØÓÖ ÒØ Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ

Lisätiedot

È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»

È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾» È Ú Ö Ù ÆÈ Á à РÐÙÓ Ø È ÆÈ ÒÝØØÚØ ØÝ Ò Ö Ð ÐØ Ë ÐÚ Ø È ÆȺ µ È ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ º µ ÆÈ ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ú Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð ÓÒ

Lisätiedot

p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2

p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 º ÅÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ö ÒØ Ð Ð ÒØ º½ Â Ø ÙÚÙÙ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø Ù Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÒØ Ð Ð ÒØ ÐÑÔ Ø Ð ÓÒ Ò Ô Ò ÙÒ Ø Ó T(x, y, z.t) ÄÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ÐÑÓ ØØ Ñ Ò ÙÙÒØ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ú ÚÓ Ñ ÑÑ Ò Ù Ò Ð ÐÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ½½ ÃÓÓÖ

Lisätiedot

Symmetriatasot. y x. Lämmittimet

Symmetriatasot. y x. Lämmittimet Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ ¹ÖÝ ÑĐ» ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó ÅÍÁËÌÁÇ ÆÓ»Ì ÊÅǹ ¹¾¼¼¼ ÔÚÑ ½¼º Ñ Ð ÙÙØ ¾¼¼¼ ÇÌËÁÃÃÇ Ø Ú ÒعØÙÐÓ ÐÑ Ð ØØ Ò ¹Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò ÖØ Ø ØÙØ ØÙÐÓ ÐÑ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ä ÌÁ ̵ ÂÙ Ú Ó Ð ¹ÂÙÙ Ð

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ã Ö Ì ÑÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ

Lisätiedot

{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.

{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. Ä Ø ÓÓ Ø Ø º º Ä Ø ÓÓ Ø Ø Å Ø Ñ Ø ÓØ ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ù Ò ÓÙ Ó ÑÔÐ ØØ ÐÐ ÒÓØ Ø ÓÐÐ Ò ÙØ Ò {(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. À ÐÐ Ø Ö Ó Ú Ø Ú Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ØÓ ÐÐ Ò Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÒØ Ò Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ð Ø

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ÐÔ Ð Ú Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÑÓ ÙÐ ¹ Ö Ó ÒØ Ì ÑÓ ÌÙÓÑ Ò Ò À Ð Ò ½º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö Ø ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ

Lisätiedot

d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j

d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j ¾º¾º ÁÌÇÁÆÌÁ Ì ÁË Æ Ä Ëà ÅÁÆ Æ ¾ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÌÌÈÈÈÌÄÌÅÈÈ Ò Ù Ø¹Öݹ¹ Ò¹¹¹Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÙ ØØ ÐÓ Ò Ù ØÖÝ d ǫ ÒØ ÖÝ ǫ e ÒÙ ØÖÝ u ǫ ÒØ Ö Ý y s Ò ØÖÝ s ǫ ÒØ Ö ǫ t ÒØÖÝ ǫ e ÒØ Ö Ø ¾º¾ ØÓ ÒØ Ø ÝÝ Ò Ð

Lisätiedot

F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.

F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }. Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½

Lisätiedot

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø È ÀÌ Ä Ì Ê ÙÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º ÂÓ ÒØÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ØØ ÐÝÝÒ Ê¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ ÒÒ Ç Ö Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÐÓ ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º

Lisätiedot

ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý

ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý Ä Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÑ Ò Ò Ð Ñ Ô Ð Ò ÚÙÐÐ Î ÐÐ Ã ÒÒÙÒ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø

Lisätiedot

È ÌÀÇƹÇÀ ÄÅÇÁÆÆÁÆ ËÇÎ ÄÄÍÃËÁ Å ÌÊÁÁËÁÄ Ëà ÆÌ Æ ÌÁÄ ËÌÇÌÁ Ì Ë Æ Â ÆÍÅ ÊÁË Æ Å Ì Å ÌÁÁÃÃ Æ ÄÍÃÁÇÄ ÁËÁÄÄ Ì Ò Ï ÐÐ Ö ¹Ä Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Å ÖÖ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å

Lisätiedot

Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç Å ÖØØ Ì Ò Ö ¾ º½º¾¼½½ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ

Lisätiedot

A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =

A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) = ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º

Lisätiedot

:: γ1. g 1. :: γ2. g 2

:: γ1. g 1. :: γ2. g 2 ÌÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ¹ Ý ÝÑÝ Ø º º¾ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ý ÝÑÝ Ð Ø x g Ò e? :: α Ö Ø Ø Ò ÓÐ ÐÐ Ø ÑÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ØØ ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙØØ À ÐÐ ÝÐ Ø Ò ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ ÐÑ ÒØÙ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ð Ó º Ë Ø ÑÙØ ÑÑ Ò ÑÓÒ Ý ÝÑÝ Ð Ø p g Ò e? ::

Lisätiedot

ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º

ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½

Lisätiedot

A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061

A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061 JORMA JOUTSENLAHTI Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä 1990-luvun pitkän matematiikan opiskelijoiden matemaattisen osaamisen ja uskomusten ilmentämänä AKATEEMINEN VÄITÖSKIRJA

Lisätiedot

Ì ÓÚ Ö ÓØ Ð Ò Ã ÐÐÙÒ Å Ø Ñ Ø Ò ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ À ØÓÖ ¾ Î Ö ÓØ ÓÖ ¾º½ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø

Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø Ä Æ Ä ÍÃÃÇÆ Æ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ØÓØ Ø Ò Ú Ö Ø Ö Ø ÐÙ ÓÔ ÒØÓ¹ Ñ Ò ØÝ Ò Ú ÙØØ Ú Ò Ø Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÈÄÇÅÁÌ ÝÚ ÝØØÝ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ó ØÓÒ ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ º½½º¾¼¼ º Ì Ö Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ë ÔÔÓ ÈÓ ÓÐ Ò Ò ØÙØ Å ÀÙ ÓÐ

Lisätiedot

Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò

Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÓØ Ò Ò Ó ÐÑ ØÓØ Ò µ ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ

Lisätiedot

ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø

ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ìº à ÖÚ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ½» ½½ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì

Lisätiedot

Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ

Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ à ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Ò ÝÚÝÝ Ð ÒØ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ

Lisätiedot

Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð

Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÖÓ Æ Ñ Ð ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø

Lisätiedot

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ì ÖÓ ÃÓ Ó Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÌÙÖÙÒ Ð ÓÔ ØÓ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ

Lisätiedot

à ÑÖ Ò ÙÙ Ò ÙÒØÓÐ Ò Ò ÓÖ ÓØ ÓÒ ÓÖ ÓÑ Ö Ò Ð Ò ÑÖÝØÝÑ Ò Ò ËÁË ÄÌ ËÁË ÄÌ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ ÌÙØ ÑÙ Ý ÝÑÝ ØÙØ ÐÑ Ò Ö ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÙÒØÓÐ Ò Ñ Ö Ò Ø ËÙÓÑ º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð Ý ÒØØ Ð Ø ÒÖ Ð Ø ÒØØ Ì Ò À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ

Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ Á Å Ö Ò Ò À Ò ½½º º¾¼¼ Ç Ñ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö Ø ÝØØ Ø Ò ØØ Ò ÙÚ Ù ÐÓ Ô ÖÙ Ø Ò Ò Ñ¹ Ö ØØ ÐÝ Û È ØÖ Ä Ò Ö Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç

Lisätiedot

el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (

el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln ( ÈÙÓÐ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ô ÖÙ Ø Ø À Ì Øº ½º È ÖÖ ÔÒ¹ÔÙÓÐ Ó Ð ØÓ Ò Ò Ö ÚÝ Ñ ÐÐ ÙÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÂÓ ÓÒØ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò V 0 Ý ØÐ µ ÃÙÚ Ò ÚÙÐÐ µ Ù ÓÚ ÖØ Ý ØÐ Ø Ô¹ Ò¹ØÝÝÔ Ø Ò Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ö Ø ÓØ Ô¹ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÙÖ

Lisätiedot

1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).

1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i). ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½

Lisätiedot

ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º

ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º ÂÓ ÒØÓ ½ ½ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ ÐÐ ØÙØÙ ØÙØ Ò Ô ÖÙ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ö ØÝ Ø Ñ Ø Ò ÖÓ ØÙØÙ Ø Ø Ð Ô ÖÙ Ø Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ø À ÐÐ ÓÐÐ ÓÒ Ô Ó Ó ÐÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø º ½ ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ

Lisätiedot

x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n

x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n ÇÈÌÁÅÇÁÆÆÁÆ È ÊÍËÌ Ì Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ¾ º ÝÝ ÙÙØ ¾¼¼ ¾ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ØÙØÙ ØÙØØ Ø Ú ÐÐ ÑÔ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ò ÝØØ Ò ÓÚ ÐÐÙØÙ º ÃÙÖ Ñ Ø Ö Ð ÒØÙÙ Ò Ð Ò Ö Ó Òº ÐÙ ÐÝ Ý Ø ÖÖ Ø Ò Ñ ØÖ Ð Ö Ø

Lisätiedot

Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÇÐÐ ¹È ÀÙÓÚ Ð Ò Ò Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò

Lisätiedot

arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos

arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos hyväksymispäivä arvosana arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki 12.4.2007 HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET

Lisätiedot

ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð

ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ì ÑÓ Ã ÖÚ ¾º½½º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ ¾º½½º¾¼¼ ½» ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ

Lisätiedot

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú ËÍÎÁ ÄÌÁÇ ÈÁÊà ÆÅ ÄÄ ¾¼¼ ¾¼¼ Ì È ÀÌÍÆ Á Æ ÄÁÁà ÆÆ ¹ ÇÆÆ ÌÌÇÅÍÍÃËÁ Æ Æ Ä ËÇÁÆÌÁ ËÎ ÊÃÃÇÂ Æ ÎÍÄÄ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø Ð ÓÔ ØÓÒÐ ØÓÖ Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ

Lisätiedot

(xy)z = x(yz) λx = xλ = x.

(xy)z = x(yz) λx = xλ = x. ÄÙ Ù ½ ÐÙ ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ ÝØ ØØÚ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Ø ØÓ Ò ØØ Ðݹ Ø Ø Ò Ð ØÓ Ò ÓÔ ÒØÓ ÓÐÐ ÙØÓÑ Ø Øº ÅÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÖ Ú Ò Ð Ø Ò Åº º À ÖÖ ÓÒ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÖÑ Ð Ä Ò Ù Ì ÓÖݺ ÓÒ¹Ï Ð Ý ½ º º º

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÈÓÐÙÒ Ø ÒØ Ù Ò ÒØ Ò ÝÑÔÖ Ø Ô Ð È Ä ÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ ÄÙùØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º Šع¾º ½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø º½º¾¼¼ Ì Ø ÐÙÒ ÑÙÐÓ ÒØ ÑÔÙÑ Ø ÖÚ Ò Ö Ø ÐÑ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ø Ó ÙÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Â ÒÒ Ä ØÓÒ Ò ¼¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ

Lisätiedot

½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1

½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1 ½º º Àǹ ÇÊ ËÁ ù Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ à ÖÔ Ê Ò Ø Ö Ø Ð Ú Ø ÑÝ ÙÒ Ú Ö Ð Ò ÙØÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ú Ö Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ð Ø Ò q ØÙÒÒ Ø ÐÙ Ù ÓÙ Ó Ø Qº Q Ò ÐÙÚÙØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ô Ò Ò Ò Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÎÖÒ Ø ÑÝ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ

Lisätiedot

Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò

Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò Å ÈÙÐ Ò Ò ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÓØ Ò Ò Ò Ø ÒØÙØ ÐÑ ¾ º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù

Lisätiedot

º F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й

º F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½

Lisätiedot

139/ /11034 = 0.58

139/ /11034 = 0.58 Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ

Lisätiedot

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ̺ à ÖÚ ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ½» ½ Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò

Lisätiedot

Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ

Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË Ì ÑÓ Ã ÖÚ º½¾º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË º½¾º¾¼¼ ½» Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ

Lisätiedot

Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ

Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ Ê ÑÓ È Ø Ò Ò ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ¾ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò

Lisätiedot

C A B, A D B A B E. A B C, A C B Ø B A C.

C A B, A D B A B E. A B C, A C B Ø B A C. Ù Ð Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ñ ÐÐ Ö Ë ÐÑ Ð ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ã ÚØ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ À Ð ÖØ Ò ÓÓÑ Ö Ø ÐÑ ¾ ¾º½ À Ð ÖØ Ò Ò Ò ÓÓÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto

3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ö Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ¹ Ö Ò Ô ÖØÑ Ò Ò ÙÚ Ø Ò Ù Ò Ð Ù Ù Ò Ò Ô Ô Ð Ò µ ÚÙÐÐ Ö Ð Ù Ù Ò Ö Ø ØÓ ÙÐ Ð Ù Ù Ò Ò Ö Ú Ò ÙØØ ÒÒ Ò Ù Ò Ô ÖÖ ØÒ ÖÙÙ ÙÐÐ Ö

Lisätiedot

x = [ x 1 x 2 x n (x i K) x = K (n) = {(x 1, x 2,...,x n ) : x i K} e 1 = (1, 0,..., 0) Ø, e 2 = (0, 1,..., 0) Ø,..., e n = (0, 0,...

x = [ x 1 x 2 x n (x i K) x = K (n) = {(x 1, x 2,...,x n ) : x i K} e 1 = (1, 0,..., 0) Ø, e 2 = (0, 1,..., 0) Ø,..., e n = (0, 0,... ¼¼ Ë Å ØÖ Ø ÓÖ Ì ÖÓ Î Ò ÙÓ Ù ¾º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ä Ò Ö Ð Ö ½º½ Å Ö ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ È ÖÙ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Å

Lisätiedot

λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.

λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin. Šع¾º½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø ¾¼¼ ¹¼¾¹½¾ Ì Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ø Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÐÐ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Ä ÙÖ ÂÙ Ò Ã Ò ¼¼ È Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ

Lisätiedot

P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,

P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1, ËÁË ÄÌ º º½ º º¾ º º º º Ú Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò

Lisätiedot

Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta È Ä Ø Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò

Lisätiedot

T 2. f T (x)e i2π k T x dx. c k e i2π k T x = x dx. c k e i2π k T x = k Z. f T (x) =

T 2. f T (x)e i2π k T x dx. c k e i2π k T x = x dx. c k e i2π k T x = k Z. f T (x) = º ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÙÖÖ Ò ÒØÖÐ Ð Ù ¹ ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(x) PC(R) º½ ÓÙÖÖ¹ Ò ÐÝÝ º ÒÐ Òµ ÅÖ Ø ÐÐÒ T ¹ ÓÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f T (x) = f(x), T 2 < x < T 2, ÃÓÑÔÐ Ò Ò ÓÙÖÖ¹ÖÖÓ Ò c k = 1 T T 2 T 2 f T (x)e i2π k T x dx.

Lisätiedot

f(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0.

f(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0. Ú ËÁË ÄÌ ½¾º ËÙ Ø ÐÐ Ø Ò Ó ÙÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º ÇØÓ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½¾º Å Ò Ò ÙÑ Ø Ú Ô ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º º º º º º º º º º

Lisätiedot

x (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W =

x (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W = Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ º Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø Ø Ð ÙÙ Ì ÐÙÚÙ Ø ÑÑ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ø Ô ÒÓÖ Ø Ù Ò Ø Ð ÙÙ Ø Ö Ø ÐÙ¹ ÒÝØ ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö ÐÙÖ Ý Ø Ñ ÐÐ Ô ÐÐ Ò ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò Ó Ó Ð Ø ÝÐ Ô Ò ÓÐ Ú ÐÙÖ º ÂÓ

Lisätiedot

Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ

Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ ÂÝÖ Ä Ò Ò Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½ º ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ

Lisätiedot

x α 1... x (v ṽ)φdx = 0

x α 1... x (v ṽ)φdx = 0 Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ÔØ ÐÐ ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ì ÑÙ ÅÙ ØÓÒ Ò ½ ½ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ñ Ø Ø Ø Ò Ø ÙÒØ Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ

Lisätiedot

Referenced. Object. StateSet. Node. Geode

Referenced. Object. StateSet. Node. Geode ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ¹Ó Ø Ì ÑÓºÌÓ Ú Ò ÒØѺ Ùغ ÌÑ Ó ÙÑ ÒØØ ÓÒ ØÝ Ò Ø Ô Ú Ø ØÒ Ø ÖÔ Ò ÑÙ Òº ½ Ø ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ÇË µ ÓÒ ÇÔ Ò Ä Ò Ô Ö ÒÒ ØØÙ ¹ÙÓ Ö¹ ØÓ Ó ÓÒ Ú Ô Ø Ø Ú Ó ØÓ Ñ ÑÓÒ ÝÑÔÖ Ø º ÇË Ó¹ ÙÑ ÒØÓ ØÙ ÓÜÝ Ò¹Ó Ñ ØÓÒ

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ ÌÝ Ò Ò

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ ÌÝ Ò Ò ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ã ÒÓØ Ó Ø Ò Ò ÙÖÓÚ Ö Ó Ò ØÝ ØØ Ø ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ À Ð Ò ¾º º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ

Lisätiedot

Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÎÁÁÃÁÆÃÇËÃÁ Å ÌÌÁ ÂÖ ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ø Ú ÐÙ Ø ÓØ Ä Ò ØØ ØÝ º Å Ø Ñ Ø À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ ÃÓÓ Ù Ø ÓÖ Ò Ø ÚÓ

Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÎÁÁÃÁÆÃÇËÃÁ Å ÌÌÁ ÂÖ ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ø Ú ÐÙ Ø ÓØ Ä Ò ØØ ØÝ º Å Ø Ñ Ø À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ ÃÓÓ Ù Ø ÓÖ Ò Ø ÚÓ Å ØØ Î Ò Ó ÂÖ ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ø Ú ÐÙ Ø ÓØ Ä Ò ØØ ØÝ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÎÁÁÃÁÆÃÇËÃÁ Å ÌÌÁ ÂÖ ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ø Ú ÐÙ Ø ÓØ Ä Ò ØØ ØÝ º Å

Lisätiedot

ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½

ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½ Ê Ã ÆÆÍËÌ ÃÆÁËÌ Æ ÇÄÇ ÁËÌ Æ Â ÁÄÅ ËÌÇÄÄÁËÌ Æ Ì ÃÁ Á Æ Î ÁÃÍÌÍË ËÍÆÌÇÂ Æ ËÁË ÁÄÅ Æ Ê ÇÆÈÁÌÇÁËÍÍÌ Æ ÌÓÔ Ã ÒÒÙÒ Ò Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ

Lisätiedot

f(x;n,θ) = θ x (1 θ) n x, x = 0,1,...,n; 0 θ 1. Θ = {θ 0 θ 1}. ˆθ = x n.

f(x;n,θ) = θ x (1 θ) n x, x = 0,1,...,n; 0 θ 1. Θ = {θ 0 θ 1}. ˆθ = x n. ËÁË ÄÌ Ú º º½ Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º

Lisätiedot

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÆÌÌÁ¹ÁÄ ÊÁ È ÊÌ Æ Æ ÁÐÑ ØÓÒÑÙÓ Ù Ñ Ö ÙÓÐ Ò Ø Ó ÐÐ Ú Ù¹ ØÙ Ø Ñ Ö ÐÐ Ò ÙÑ

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÆÌÌÁ¹ÁÄ ÊÁ È ÊÌ Æ Æ ÁÐÑ ØÓÒÑÙÓ Ù Ñ Ö ÙÓÐ Ò Ø Ó ÐÐ Ú Ù¹ ØÙ Ø Ñ Ö ÐÐ Ò ÙÑ ÆÌÌÁ¹ÁÄ ÊÁ È ÊÌ Æ Æ ÁÄÅ ËÌÇÆÅÍÇÃà ÍË Å ÊÁËÍÇÄ ÁÆ ÃÌÁÇÁÄÄ Î ÁÃÍÌÍÃË Ì Å Ê ÄÄÁËÁÁÆ ÃÍÅÈÍà ÊÊÇËÈÁÄÎÁÁÆ Â Å È ÄÄÇÆ Ë Ì ÁÄ Ì Ë Ë Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÂÝÖ Å Ð Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ

Lisätiedot

284 = º Î Ø Ú Ø. A = kanta korkeus. A 1/2suunn = kanta+kanta 2

284 = º Î Ø Ú Ø. A = kanta korkeus. A 1/2suunn = kanta+kanta 2 ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓØ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ ÒÓ¹Ã Ö Ò ½ Å Ø Ñ Ø Ò Ý Ò Ð ØÓ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÈÝØ ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ ÈÝØ ÓÖ

Lisätiedot

Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta Ä ÊÓÔÔÓÒ Ò Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú

Lisätiedot

ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ

ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ò ² Ö Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø

Lisätiedot

Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ì Å Ó Î Ø ÁÈÄÇÅÁÌ Æ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ ÌÝ Ò Ò Ñ Î Ö ÚÖÓÓØØÓÖ Ò ÓÒ Ò Ò ÐÝÝ È ÚÑÖ º Ñ ÖÖ ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÚÙÑÖ ¾ Ç ØÓ Ë ¹ Ø ØÓÐ ÒÒ Ø Ò Ò Ó ØÓ ÈÖ

Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ì Å Ó Î Ø ÁÈÄÇÅÁÌ Æ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ ÌÝ Ò Ò Ñ Î Ö ÚÖÓÓØØÓÖ Ò ÓÒ Ò Ò ÐÝÝ È ÚÑÖ º Ñ ÖÖ ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÚÙÑÖ ¾ Ç ØÓ Ë ¹ Ø ØÓÐ ÒÒ Ø Ò Ò Ó ØÓ ÈÖ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ë ¹ Ø ØÓÐ ÒÒ Ø Ò Ò Ó ØÓ Å Ó Î Ø Î Ö ÚÖÓÓØØÓÖ Ò ÓÒ Ò Ò ÐÝÝ ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Òº ÔÓÓ º Ñ ÖÖ ÙÙØ ¾¼¼ ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ ÈÖÓ ÓÖ ÒØ ÖÓ Ö Ó ÌÝ

Lisätiedot

Erkki Mäkinen ja Timo Poranen. Algoritmit

Erkki Mäkinen ja Timo Poranen. Algoritmit Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKKÖ TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 1/2011 TAMPERE 2011 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKKÖ INFORMAATIOTIETEIDEN

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö ÁÖÖÐ Ø Ò Ò ¹ Ö ÑÓÓØØÓÖ Â ÒÒ Ä Ù Ö Ò Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç

Lisätiedot

y t = X t β + u t, u t NID(0, 1) t = 1, 2,..., n ½µ

y t = X t β + u t, u t NID(0, 1) t = 1, 2,..., n ½µ ÇÊ Ê ÈÊÇ ÁÌ Â Â ÄÃ È ÄÄǹÇÌÌ ÄÍÆ Å ÄÄÁÆÌ ÅÁÆ Æ Ê Ò ÓÑ Î Ö Ð ½º Ò ÙÙØ ¾¼¼ ËÁË ÄÌ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ¾ ÇÖ Ö ÔÖÓ Ø ¾º½ Å ÐÐ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Â Ð Ô ÐÐÓ¹ÓØØ ÐÙÒ Ò

Lisätiedot

Ä ÖÓ Ò ÒØÝÑ Ò Ò Ù Ø Ð Ó Ò Ô ÐÐÓÒ Ñ ØØ Ú Ë ÖÔ È Ý Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÓÐÓ Ò Ð ØÓ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ Ä ÖÓ Ò Ö ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾

Lisätiedot

Barysentrinen koordinaattisysteemi sekä pisteen konjugaatio kolmion suhteen

Barysentrinen koordinaattisysteemi sekä pisteen konjugaatio kolmion suhteen HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Jenni

Lisätiedot

M Pv + q = 0, M = EIκ = EIv, (EIv ) + Pv = q. v(x) = Asin kx + B cos kx + Cx + D + v p. P kr = π2 EI L n

M Pv + q = 0, M = EIκ = EIv, (EIv ) + Pv = q. v(x) = Asin kx + B cos kx + Cx + D + v p. P kr = π2 EI L n ÄÙ Ù ½ ËØ Ð Ù Ú Ó Ó ÐÑ ½º½ ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ Ì Ô ÒÓ ÓØ Q v + q =, M = Q, ½º½µ ÑÑÓ ÐÐ ÙÚ ÐÐ M v + q =, M = EIκ = EIv, (EIv ) + v = q. ½º¾µ ½º µ ½º µ EI = Ú Ó ÆÙÖ Ù ÚÓ Ñ v (4) + k v = q EI, k = EI,

Lisätiedot

º F(+,+ ) = 1 F(, ) = F(,y) = F(x, ) = 0 й

º F(+,+ ) = 1 F(, ) = F(,y) = F(x, ) = 0 й Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º Ê ÒØ Ò Ø Ð ÙÙ Ø ÓÖ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Å Ö Ù ÌÙÓÑ Ð ϕ v N N Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

ÂÝÖ Ë Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ð Ì ØÐ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÌËÁ Ò ÅË˹ÑÖ ØÝ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø ÌÝ Ò Ð Ö Ø Ø ÖØ Ä Ú Ð ØÙÑ ÅÓÒØ Ò Ý Ö Ë ÚÙÑÖ Ë Ó ÒØ Ð ÆÙÑ Ö

ÂÝÖ Ë Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ð Ì ØÐ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÌËÁ Ò ÅË˹ÑÖ ØÝ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø ÌÝ Ò Ð Ö Ø Ø ÖØ Ä Ú Ð ØÙÑ ÅÓÒØ Ò Ý Ö Ë ÚÙÑÖ Ë Ó ÒØ Ð ÆÙÑ Ö ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÌËÁ Ò ÅË˹ÑÖ ØÝ ÂÝÖ Ë Ö Ò Ò À Ð Ò ½ º º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ ÂÝÖ Ë Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ð Ì ØÐ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÌËÁ Ò ÅË˹ÑÖ

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º Ê ÒØ Ò Ø Ð ÙÙ Ø ÓÖ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Å Ö Ù ÌÙÓÑ Ð ϕ v N N Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

ONGELMA LASKENNALLINEN EI LASKENNALLINEN ONGELMA ONGELMA = RATKEAMATON RATKEAVA ONGELMA ONGELMA OSITTAIN RATKEAVA EI TEHOKASTA RATKAISUA

ONGELMA LASKENNALLINEN EI LASKENNALLINEN ONGELMA ONGELMA = RATKEAMATON RATKEAVA ONGELMA ONGELMA OSITTAIN RATKEAVA EI TEHOKASTA RATKAISUA Ô ÖÙ Ñ ÐÐ Ø Ä ÒÒ Ò ÚÐÐ ¾¼½¼ ÐÙ ÒÒÓØ ÖØ Ò Ñ Ø Ñ ØÒ Ô ÖÙ ØØغºº Â Ñ Ò ØÝÝÔÔ Ø ØØ ÐÙ Å Ø Ñ Ø ÖØØ µ Ñ Ø Ñ Ø º Ù Ò ÅÓØÛ Ò ÍÐÐÑ Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÙØÓÑ Ø ÌÓÖÝ Ä Ò Ù ÀÓÔÖÓ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒº Ò ØØÓÒ ØØ ÐÝØØÒ ÔÓÐÐ Ò Ò

Lisätiedot

M : S N { }, S : S N.

M : S N { }, S : S N. Æ ¹Ð ÒØ ÙÒ Ú Ö Ð ÙÙ Æ ËÙÙØ Ö Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù Ñ Ø Ñ Ø ÌÙÖÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ¾¼¼ Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ¾ ½ ÓÖÑ Ð Ø Ò ÐØ Ò Ø ÓÖ Ò ØØ Ø ØÙÐÓ ½º½ ÅÙÐØ ÓÙ ÓØ Ö Ð Ø ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ Ë Ò Ø Ð Ø ÑÓÖ

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ËØ Ø ÓÒ Ö Ò Ò ÔÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ËØ Ø ÓÒ Ö Ò Ò ÔÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö ¹ Ò ÐÝÝ ½¼ ÓÔ ÖØÓ ÄÙÓÑ Ì Ð ØÓØ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý ¼½ Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ËÝ Ý ¾¼½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ËØ Ø ÓÒ Ö Ò Ò ÔÖÓ º º º º º º º

Lisätiedot

a(z) = k 0 1 z k = k 0 2 k z k = k 0 z k = (1 + z) n. k

a(z) = k 0 1 z k = k 0 2 k z k = k 0 z k = (1 + z) n. k ̹ º ¾¼½ Ö Ø Ø Ö ÒØ Ø Ò ÖÓ Ú Ø ÙÒ Ø ÓØ È ÇÖÔÓÒ Ò Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ ÄÙ ÐÐ ÌÑÒ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÝÝ ÐÙ Ù Ù Ò ¾¼¼½ ÑÙ Ø ÒÔ ÒÓ Ò Ì Ò ÐÐ Ò ÓÖ ÓÙÐÙÒ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ ÙÖ ÐØ

Lisätiedot

u(0,t) = u(l,t) = 0, t > 0

u(0,t) = u(l,t) = 0, t > 0 ÓÙÖ Ö¹ Ö Ø ¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ì ÑÙ ÀÓÒ Ò Ò ½ ¾ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ¾ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ì Ú Ø ÐÑ Ì ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ø ÐÐÒ ÓÙÖ Ö¹ Ò ÐÝÝ Ò ÑÔ ØÙ¹ ÐÓ Ó Ø Ò ÓÚ ÐÐÙ º Ä Ø Ò Ð ÐÐ ÓÑÔÐ Ø

Lisätiedot

Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ì ÃÆÁÄÄÁË Æ ËÁÁÃ Æ Â Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ ÇË ËÌÇ Ì Ç ØÓ È Ò Ë ÚÙ Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÖÓ ÙÙÖ Ò ÓÓ Ò Ñ ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ ÌÝ Ò Ó ÂÙ Ó Ã ÒÒ Ì Ò

Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ì ÃÆÁÄÄÁË Æ ËÁÁÃ Æ Â Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ ÇË ËÌÇ Ì Ç ØÓ È Ò Ë ÚÙ Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÖÓ ÙÙÖ Ò ÓÓ Ò Ñ ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ ÌÝ Ò Ó ÂÙ Ó Ã ÒÒ Ì Ò Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÂÙ Ó Ã ÒÒ ÃÓÑÔÓ ØØ Ð Ñ Ò ØØ Ò Ò ÐÝÝ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú Ø ØØÝ ÔÐÓÑ ØÝ ÔÓÓ ¾ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ

Lisätiedot

ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU TEKNISKA HÖGSKOLAN HELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU TEKNISKA HÖGSKOLAN HELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ÆÖÒÒ ÂÖÓ ÓÖÓÙÐÙ ÌÒÐÐÒÒ ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU TEKNISKA HÖGSKOLAN HELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ÔÖÓÖ¹ ÔÓ ØÖÓÖ ¹ÚÖÒÐÝÝ ÐØØÑÐÐÒ ÐÑÒØØÑÒØÐÑÐÐ ÄØÓ ÔÖÙÖ ÓÖ º½½º¾¼¼ ÅØÑØÒ ÐØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓÒØÓ ¾ ÑÐÐÒÒÙ ÄØØÖÒØÒ

Lisätiedot

̹ º ¼¼½ ÄÌÈ» à ÚØ ¾¼½¼ ÈÖ ØØ ÐÓ Ò Ñ ÒØØ Ø Ø ÙÐÙØ ¾ ½º Ì ÍÄÍË ÆÆ Ì ÃÎ ÆÌÌÇÊ ÁÄÄ ÅÙÓØÓ T xϕ(x) Ø E xϕ(x)µ ÓÐ Ú Ø ÒØ Ð Ò Ò ÓÐÑÙ T xϕ(x) E xϕ(x) ØÙÐ ÓØØ

̹ º ¼¼½ ÄÌÈ» à ÚØ ¾¼½¼ ÈÖ ØØ ÐÓ Ò Ñ ÒØØ Ø Ø ÙÐÙØ ¾ ½º Ì ÍÄÍË ÆÆ Ì ÃÎ ÆÌÌÇÊ ÁÄÄ ÅÙÓØÓ T xϕ(x) Ø E xϕ(x)µ ÓÐ Ú Ø ÒØ Ð Ò Ò ÓÐÑÙ T xϕ(x) E xϕ(x) ØÙÐ ÓØØ Ì¹ º ¼¼½ ÄÌÈ» à ÚØ ¾¼½¼ ÈÖ ØØ ÐÓ Ò Ñ ÒØØ Ø Ø ÙÐÙØ ½ ÄÙ ÒØÓ ÈÖ ØØ ÐÓ Ò Ñ ÒØØ Ø Ø ÙÐÙØ ½º Ì ÙÐÙÒÒ Ø Ú ÒØØÓÖ ÐÐ ¾º Ì ÙÐÙ Ò Ð ØØÝÚØ ÑÖ Ø ÐÑØ º Ç Ø ØÓ ØÙØ Ò Ð Ø Ñ Ò º ËÝØ Ñ ØØ Ò Ò Ø ÙÐÙ º Î Ø Ñ ÐÐ Ò ÑÙÓ ÓØ

Lisätiedot

ÄÇÄÁ ÇÈÌÁÅÇÁÆÌÁ ÈÇËÁÌÊÇÆÁÅÁËËÁÇÌÇÅÇÊÁ¹ÃÍÎÆÌÅÁËÆ ÄÁÁÌÌÎËË ÅÄÄÁÆÌÅÁËËË Ã ËÖÓÐÑ ÈÖÓ ÖÙ ¹ØÙØÐÑ ÌÑÑÙÙ ¾¼¼ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÅÌÅÌÁÁÃÆ ÄÁÌÇË ¾¼¼½ ÌÍÊÃÍ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÅØÑØÒ ÐØÓ ËÊÀÇÄÅ ÃÁË ÐÓÐ ÓÔØÑÓÒØ ÔÓ ØÖÓÒÑ ÓØÓÑÓÖ¹

Lisätiedot

Ì Ú Ø Ñ Ò Ó ÔÓÒ ÒØØ Ò Ô Ö Ò Ø ¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ò ÓÚ Ù Ó Ó ÙÓ ÙÙ ¹ Ò ØÓÓÒº Ì ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ñ ÂÝÚ ÝÒ Ý ÓÔ ØÓ ½º Ó ÙÙØ ¾¼¼ º Ë ÚÙ ½ Ø º Ì ¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ò Ý Ó

Ì Ú Ø Ñ Ò Ó ÔÓÒ ÒØØ Ò Ô Ö Ò Ø ¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ò ÓÚ Ù Ó Ó ÙÓ ÙÙ ¹ Ò ØÓÓÒº Ì ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ñ ÂÝÚ ÝÒ Ý ÓÔ ØÓ ½º Ó ÙÙØ ¾¼¼ º Ë ÚÙ ½ Ø º Ì ¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ò Ý Ó ÔÓÒ ÒØØ Ò Ô Ö Ò Ø ¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ò ÓÚ Ù Ó Ó ÙÓ ÙÙ Ò ØÓÓÒ Ò Ó Ì ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ñ ÂÝÚ ÝÒ Ý ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø ØÓØ Ø Ò ØÓ ½º Ó ÙÙØ ¾¼¼ Ì Ú Ø Ñ Ò Ó ÔÓÒ ÒØØ Ò Ô Ö Ò Ø ¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ò ÓÚ Ù Ó Ó ÙÓ ÙÙ ¹ Ò ØÓÓÒº Ì

Lisätiedot

Šع½º½¼ ¼ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ ÙÖ Ä Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ 3 2.5 2 Ã Ø Ø Ü µ 2 Ü µ 2 Ü µ 3 Ü µ.5 Ø Ü µ 3 Ü µ.5 Ø «.5.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Ü Ü ËÝ Ý ¾¼½¼ Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ

Lisätiedot

ÚØ ØØ Ò ØÙÐ > ØÒÔØ ÑÝ ÐØ ÑÐ ØÐÐÒ Ö ØÝ Ò ½ ÌØÚÒ ØØÐÙ ØØÚÒ ÖØ ÑÒÒ ØØÓÓÒÐÐ ÐÐÝØØ ÓÔÚ ÐÓÖØÑ Í Ò ÑÐÓ ÝÐ ÐÐ Ø ÓÐÐ ÙÚÐØÙ ØÓÑÒØÓ À ØØÓÓÒÓÐÑ ÚÒ ØÓÑÒØÔÖØ ØÚÓØØÒ

ÚØ ØØ Ò ØÙÐ > ØÒÔØ ÑÝ ÐØ ÑÐ ØÐÐÒ Ö ØÝ Ò ½ ÌØÚÒ ØØÐÙ ØØÚÒ ÖØ ÑÒÒ ØØÓÓÒÐÐ ÐÐÝØØ ÓÔÚ ÐÓÖØÑ Í Ò ÑÐÓ ÝÐ ÐÐ Ø ÓÐÐ ÙÚÐØÙ ØÓÑÒØÓ À ØØÓÓÒÓÐÑ ÚÒ ØÓÑÒØÔÖØ ØÚÓØØÒ ØÒÐÐÒÒ ÝÐÓÔ ØÓ ÌÑÔÖÒ ÐØÓ ÅØÑØÒ ØØÓÓÒ ÓÐÐ ÖØØ ÎÓÓ ÝÑÔØÓÓØØÒÒ ÙÓÖØÙ ÊØÒ Ø ÑÒÒ ØØÓÓÒÐÐ ÎÐ Ù ÐÓÖØÑÒ ÑÐÑÒ ÒØØ ÎÐÑÖ ½ ÌØÚÒ ØØÐÙ ØÖÒ ÐÓÖØÑ ÈÖÓÖØØØÓÒÓ ÐÒÒÙÒØ¹Ø ÝÝÐÐ ØÒÚØÓ Î ÄÌ̹½¼¼ ÎÐ Ù ÐÓÖØÑÒ ÑÐÑÒ Ý Ý ¼½ ¼»½½

Lisätiedot