284 = º Î Ø Ú Ø. A = kanta korkeus. A 1/2suunn = kanta+kanta 2

Transkriptio

1 ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓØ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ ÒÓ¹Ã Ö Ò ½ Å Ø Ñ Ø Ò Ý Ò Ð ØÓ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½¾

2 Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÈÝØ ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ØØ Ó Ú ÔÙØÙÐÓ º º º º º º º º º º º ¾ ¾ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ò ØÓ ØÙ Ø ¾º½ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ù Ð Ò ØÓ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÌÓ ØÙ ÖØÓ Ò ÚÙÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Î Ò Ò ØÓ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÈÖ ÒØØ Ö Ð Ò ØÓ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ¾º ÄÓÓÑ ³Ò ØÓ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º Ì Ó ÌÓÒ Ò ØÓ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º ÌÓ ØÙ ÙÙÒÒ ÒÒÓÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÐÐ ØÓ Ø Ñ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º½¼ ÃÓ Ò Ð Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓØ ¾ º½ ÃÓÐÑ Ó Ø Ó Ú ÑÖ Ø ÐÑ ÔÙØÙÐÓ º º º º º º º º ¾ º¾ ÈÝØ ÓÖ Ò Ý ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÖÑ Ø³Ò ÙÙÖ Ð Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ø ÒÚ ØÓ ¾

3 ½ ÂÓ ÒØÓ ÌÑ ÔÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ ØØ Ð ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ØØ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó Ø Ð Ò Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Òº ÌÝ Ò ØÓ Ò Ò ÔÙÓÐ ØØ Ð Ð Ù Ò ØÓ Ø Ñ Ø Ô ÓÑ ØÖ Ò ÒÒ Ð¹ Ø ØÓ Ò ÔÙÓÐ Ò ØØÝ ÐÙ ÙØ ÓÖ Ò ÚÙÐÐ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò ÓÐÑ Ó Òº ½º½ ÈÝØ ÓÖ ÈÝØ ÓÖ Ë ÑÓ Ð Ò Ò Òº ¹ ¼¼ ÃÖºµ ÝÒØÝ Ë ÑÓ Ò Ö ÐÐ ÃÖ ¹ º ÀÒ ÓÔ Ð Ð Å Ð ØÓ Ò Ñ Ò Ö Ò ÓÔÔ Ð Ò ÑÙØØ Ñ Ø Ù Ø Ð ÐØ ÝÔØ Ò ËÝÝÖ Ò ÝÐÓÒ Ò Ñ Ò Ô Ö ØÝ Ò¹ Ø Ø Ò Ó Ò Ñ Ø Ñ Ø Òº ÀÒ ØØÙ Ë ÑÓ Ò ÓÔ ÒØÓÑ Ø Ó Ò Ð Ò Ñ ÓÔ ØØ Ñ Ø Ñ Ø ÐÓ Ó ÚÙØØ Ñ ØØ Ù Ø Ò Ò Ñ Ò ØÝ Øº ÈÝØ ÓÖ ÑÙÙØØ Ø Ð¹ÁØ Ð Ò ÖÓØÓÒ Ò Ô ÖÙ Ø ÒÒ ÔÝØ Ó¹ Ö Ð Ò Ú Ð ÙÒÒ Òº ÌÑÒ Ú Ð ÙÒÒ Ò Ò Ø ÑÙÓ Ó ØÙ Ú Ø ÈÝØ Ó¹ Ö Ò ÒÒÓ ÑÑ Ø ÐÙÓØ ØØ Ú ÑÑ Ø ÓÔÔ Ð Ø º Ø Ø Ø Ö Ò Ñ Ø ÔÝØ ÓÖ Ð ÐØ ØÙÒÒ ØÙØ Ø ÓÚ Ø ÈÝØ ÓÖ Ò Ñ Ñ Ø Ò Ò ÓÔÔ Ð Ò ÐÐ Ø ÓØ ÓÐ Ú Ø Ý Ø Ò Ø Ô ØØ Ò Ð º Î Ø ÈÝØ ÓÖ Ò ÙÓÐØÙ Ú Ð ÙÒÒ Ò Ð ÒÒÙØØÙ Ø ØÓ Ô ÚÙÓØ Ñ Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ø ÚÙÓØØ ÑÝ ÑÑ Ò ÐÒÝØ ÔÝØ ÓÖ Ð Ò Ò ÐÓÐ Ó ÓÐ Ó Ö ÝÐ ÔÝØ ÓÖ Ð Ø Ò ÚÙØØ Ñ Ø ØÓ º ÈÝØ ÓÖ Ò Ò ÑÑ Ø Ø Ø ÐÐ Ø ØÝ Ø ØØ Ð ÚØ Ø Ø Ø ØØ ¹ Ò Ò ÒÓØ Ò ÓÔ ØØ Ò Ò Ò ÑÑ Ò ØØ Å ÓÒ Ô ÐÐÓÒÑÙÓØÓ Ò Òº ÅÙ ¹ Ø ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÓÐ ØÙ Ó Ø ÈÝØ ÓÖ Ò ÑÙ Ø ÓÔ Ø ØØ Ò ÓÐ ¹ Ò Ò ÓÖ Ù Ò ÐØ Ò Ô ØÙÙ Ò Ù Ø Øº Ë Ò ÑÙ Ò Ò Ò ÓÖ Ù Ò Ù Ø Ø ÚÓ Ø Ò ÐÑ Ø ÐÙ Ù Ò Ù Ø Ò º à ÐØ ÓØ ÓÚ Ø Ý Ø Ö Ð¹ Ð ÓÚ Ø Ó Ø Ú Ò Ò ÒÚÓ Ñ ÙÙ ÐÐ ØÓ Ø Ò Ó ØÓ Ò Ò Ð Ø ÓÒ ÖØ Ò ÑÑ Ò Ñ ØØ Ò Òº Ò ÓÔ Ò ÐÙ Ù Ù Ø Ò Ý Ò ÖØ ÙÙ ÈÝØ ÓÖ Ò Ù ÓÑ Ò Ñ Ð¹ Ñ Ò Ù Ò ÓÓ ØÙÚ Ò ÐÙÚÙ Ø Ò Ò Ù Ø Ø ÓØ Ò Ò Ø Ó ÐÙ Ù¹ Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ØÙØ Ñ Ø º ÄÙ Ù Ò ØÙØ Ñ Ø ÙÖ Ø Ó Ø ÐÙ ÙØ ÓÖ ØØ ØÙÐÓ ÙØ Ò Ñ Ö ÐÙ Ù Ò ØÝ ÐÐ ÝÝ Ý ØÚÐÐ ÝÝ ÒØ ÐÐ ÙÙ º ÌÝ ÐÐ Ò Ò ÐÙ Ù ÓÒ Ø Ò ÙÑÑ ¹ Ñ Ö ÐÙ Ù 6 ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò ÐÐ 6 = ÐÙÚÙØ 1 3 ÓÚ Ø ÐÙÚÙÒ 6 Ø Ó Øº ÄÙÚÙØ ÓÚ Ø Ý ØÚÐÐ Ó Ò ÓÚ Ø ØÓ Ò Ò ØÓ Ò Ø ¹ Ò ÙÑÑ º ÄÙ ÙÔ Ö 0 84 ÓÒ Ý ØÚÐÐ Ò Ò ÐÐ 0 = ½

4 84 = º Î Ø Ú Ø 84 = = º ÄÙÚÙØ ÓÚ Ø Ñ ÐÐ ÑÝ Ô Ò ÑÑØ Ý ØÚÐÐ Ø ÐÙÚÙغ ÄÙ Ù 10 ÓÒ ÒØ ÐÐ Ò Ò ÐÐ ÓÒ ÙÑÑ ÐÙÚÙ Ø 1 3 4º ÌÙÒÒ ØÙ ÑÑ Ø ÔÝØ ÓÖ Ð Ø Ò ÒÒ Ø ÓÚ Ø ÖÖ Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ø¹ Ø ÐÝ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò Ò Ò ØÓ Ø Ñ Ò Òº ÈÝØ Ó¹ Ö Ò Ð Ù ØØ Ó ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ ÓÒ ÝÐÐ Ò ÝØ ØØÝ ÑÑ Ò Ò Ñ Ö ÝÔØ Ð Ø Ñ ÒÑ ØØ Ö Ø Ñ ØØ Ú Ø Ó Ö Ó Ò Ò Æ Ð Ò ØÙÐÚ Ò Ð¹ Ò Ñ Ø Ô ÖØÑÐÐ ÙÓÖ Ò ÙÐÑ Ò Ô Ò Ó ØØ Ñ ÐÐ ÓÐÑ ÓÒ ÑÙÓØÓ Ò ÖÙ ÓÒ ÚÙ Ò Ù Ø Ø ÓÐ Ú Ø3 : 4 : 5º (3,4,5) ÓÒ ØÙÒÒ ØÙ Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó Ð ÐÙÚÙØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ò ¾º½º½º ½ ¹½ ½º¾ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ØØ Ó Ú ÔÙØÙÐÓ Ã ÙÐÓØØ Ú ÖÙÙ ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ø Ó ÙÚ Ó Ø ÙÓÖ Ò ÚÙй Ð º ÃÙÚ ÓØ Ø Ò Ò ÑÙ Ò ÑÓÒØ Ó ÙÐÑ Ñ ÐÐ ÚÙ ÙÚ ÓÓÒ ØÙÐ º ÅÖ Ø ÐÑ ½º¾º½º ËÙÓÖ ÙÐÑ Ò Ò Ð ÙÐÑ ÓÒ ÃÙÚ ½ µµ Ô ÒØ ¹ Ð Ð ¹ Ø Ò ÖØÓÑ ÐÐ ÙÚ ÓÒ ÒØ ÓÖ Ù ÒÒ A = kanta korkeus. ½º½µ ÃÓÐÑ ÓÒ ÃÙÚ ½ µµ Ô ÒØ ¹ Ð Ð Ø Ò Ý ØÐ ÐÐ A = kanta korkeus, ½º¾µ Ñ ÓÒ ÔÙÓÐ Ø Ú Ø Ú Ò ÙÓÖ ÙÐÑ ÓÒ Ð Ø ÐÐ ÙÓÖ ÙÐÑ Ó Ò ØØÙ Ø Ò Ñ Ò Ó Ó Ò ÓÐÑ ÓÓÒº ÈÙÓÐ ÙÙÒÒ Ò ÃÙÚ ½ µµ Ô ÒØ ¹ Ð Ò Ý ØÐ ÐÐ A 1/suunn = kanta+kanta korkeus, ½º µ Ó ÒØ ÚÙØ ÓÚ Ø ÔÙÓÐ ÙÙÒÒ Ò Ñ Ò ÙÙÒØ Ø ÚÙغ ÅÓÒ ÙÐÑ Ó Ø Ñº ÓÐÑ ÓØ ABC A B C µ ÒÓØ Ò Ý Ø Ò Ú Ó Ò ÓÚ Ø Ý ÒÑÙÓØÓ Ø ¹ Ó Ó Øº ÃÙÚ ÓØ ÚÓ Ò ØØ ÔÐÐ Ò Ö ØÒ ÖØÑÐÐ Ø Ô Ð Ñ ÐÐ ÓÐÐÓ Ò Ö Ò Ð ÚÙØ Ý ØÝÚغ Ø Ò ÚÝÝØØ Ñ Ö ØÒ ABC = A B C º Ø Ò Ú ÙÚ Ó ØÓ Ò Ú Ø Ú Ø ÚÙØ ÓÚ Ø Ý Ø Ô Ø Ø Ò Ø Ñ Ö ØÒ AB = A B º ¾

5 µ µ µ ÃÙÚ ½ µ ËÙÓÖ ÙÐÑ ÓEFGH µ ÃÓÐÑ ÓAEC µ ÈÙÓÐ ÙÙÒÒ ABCD ÃÙÚ ¾ Ø Ò ÚØ ÓÐÑ ÓØ ABC A B C º Ä Ù ½º¾º¾º à ÓÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ý Ø Ò Ú Ñ Ð ½º ÅÓÐ ÑÑ Ø ÓÐÑ Ó Ø Ð ÝØÝÝ ÓÐÑ Ý Ø Ô Ø ÚÙ º ¾º ÃÓÐÑ Ó ÓÒ Ý Ø Ô Ø ÚÙ ÚÙ Ò ÚÐ Ò Ò ÙÐÑ ÓÒ Ý Ø ÙÙÖ º º ÃÓÐÑ Ó ÓÒ Ý Ø ÙÙÖØ ÙÐÑ Ò Ò ÚÐ Ò Ò ÚÙ ÓÒ Ý Ø Ô Ø ÑÓÐ ÑÑ ÓÐÑ Ó º º ÃÓÐÑ Ó ÓÒ Ý Ø ÙÙÖØ ÙÐÑ Ý Ý Ø Ô Ø ÚÙº ÌÓ ØÙ º ÃÓÐÑ Ó Ò Ý Ø Ò ÚÝÝ ÓÒ ØÓ Ø ØØÙ ÑÓÒ Ö Ð Ø ÑÙÙÒ ÑÙ ÚÙÐÐ ½ ÓØ Ò ØÓ ØÙ ÚÙÙØ Ø Ò Ø Ý Ø Ý º

6 ¾ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ò ØÓ ØÙ Ø Ì ÐÙÚÙ ÓÒ Ô Ø Ø ÐØÝ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ò Ò ÑÝ Ø ÐØÝ Ö Ð ØÓ ØÙ Ó Ò Ò ØÓ ØÙ Ø Ò Ø Ù Ø º ¾º½ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Å ÐÐ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ø ØÙØØÙ Ø ØØ Ò ÝÔÓØ ÒÙÙ Ò Ù Ø Ø ÖØÓ¹ Ú Ð Ù Ø ØØ Ò Ò Ð Ò ÙÑÑ ÓÒ Ý Ø ÙÙÖ Ù Ò ÝÔÓØ ÒÙÙ Ò Ò Ð º ÌØ Ð Ù ØØ ÙØ ÙØ Ò ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù º ÃÙÚ ËÙÓÖ ÙÐÑ Ò Ò ÓÐÑ Ó ÓÐÐ ÓÒ Ø Ø Ø x y ÝÔÓØ ÒÙÙ zº Ä Ù ¾º½º½º ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù µ ÂÓ ÙÓÖ ÙÐÑ Ò ÓÐÑ ÓÒ Ø Ø¹ Ø Ò Ô ØÙÙ Ø ÓÚ Ø x y Ò Ò Ò Ò Ò Ð Ò ÙÑÑ ÓÒ Ý Ø ÙÙÖ Ù Ò ÝÔÓØ ÒÙÙ Ò Ô ØÙÙ Ò z Ò Ð x +y = z. ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ØØ ÓÒ ØÓ Ø ØØÙ ÝÚ Ò ÑÓÒ Ö Ð Ø ÑÓÒ Ò Ö Ò º ÌÓ ØÙ ÓÚ Ø ÓÓÒÒ Ø Ñ Ö ÄÓÓÑ ½¼ Ó ÓÑÓÐÒÝ º ¾º¾ Ù Ð Ò ØÓ ØÙ Ù Ð Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø Ó Ó Ð ÒÓ Ò ÚÙÓ¹ Ò ¾¼¹¾ ¼ ÃÖº ÑÙÓ Ó Ø ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ÐÐ ØÙÒÒ ØÙÒ ØÓ ØÙ Ò Ó ¹ ÝØ ØÒ ÝÚ ÓÐÑ Ó Ò Ý Ø Ò ÚÝÝ ÓÑ Ò ÙÙØØ Ä Ù ½º¾º¾µº Ù¹ Ð Ò ØÙÒÒ ØÙ Ò Ø Ó ³ Рس ÓÐ ÓÑ ØÖ Ò ÓÔÔ Ö ÝÐ Ò ØÙ Ò¹ Ò Ò ÚÙÓ Ò Ò ÐÙ Ñ ØØÓÑ Ò ÒØ ØÝ Ò ÓÔ Ó Ò Ö Ô ÒÓÒ ¹ ØØÝÑ Ò Ð Ò Ø ØÝ Ò Ô ÒÓ Ò º Ð ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÓÑ ØÖ Ò

7 Ô ÖÙ ØØ Ø ÓÐ ØÙ Ø Ó ØØÙ ÙÙÖ ÑÖ Ð Ù Ø º Ã Ö ÐØ ÝÚ Ò Ú Ò Ù Ð Ò ÓÑ ØÙÐÓ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ò ØÓ ØÙ ÓÒ Ò ÒÓ ÓØ Ô ØÒ Ò Ò ÓÑ Ò Òº Ì Ó ÓÒ ÓÔ ØØ ÒÙØ Ø ÑÐÐ Ò ØÓ ¹ Ø Ñ Ò Ñ Ó Ø Ò ØÖ ÝØ Ò ÓÔÔ Ö Ò º ¾ ¹¾ Ä Ù ¾º¾º½º ÃÓÐÑ Ó Ó ÓÒ ÙÓÖ ÙÐÑ Ò Ò ØÓØ ÙØØ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ò a +b = c Ñ Ð Ò Ø Ø Ø ÓÚ Ø a b Ò ÝÔÓØ ÒÙÙ ÓÒ cº ÌÓ ØÙ º ÌÓ ØÙ Ð Ø Ð ÐÐ ÙÓÖ ÙÐÑ Ø ÓÐÑ Ó Ø ÓÒ ÚÙ ÐÐ ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ Ò Ð Ø ÙÚ µº ÃÙÚ ËÙÓÖ ÙÐÑ Ò Ò ÓÐÑ Ó ÓÒ ÚÙØ a b cº ÃÙÚ µ ÓÐ Ú Ò ÓÐÑ ÓÒ DBC Ô ÒØ ¹ Ð ÓÒ A DBC = a a Ñ ÓÒ ÔÙÓÐ Ø Ú Ø Ú Ò Ò Ð ÒDBAE Ô ÒØ ¹ Ð Ø a º ÃÓÐÑ ÓÒABG Ô ÒØ ¹ Ð A ABG = c h ÓÒ ÔÙÓÐ Ø Ò ÔÙÓÐ Ø ÙÓÖ ÙÐÑ Ó Ø BGJK ÓÒ Ô ÒØ ¹ Ð ÓÒ chº ÌÙÐ Ú Ð Ó Ó ØØ ØØ ÓÐÑ ÓØ DBC ABG ÓÚ Ø Ý Ø Ò ÚØ Ð DBC = ABG ÓÐÐÓ Ò a = chº Æ Ð Ò DBAE ÚÙØ ÓÚ Ø Ý Ø ÙÙÖ Ø ÓØ Ò DB = BA.

8 µ µ ÃÙÚ µ ÓÐÑ Ó DBC Ò Ð DBAE µ ÓÐÑ Ó ABG ÙÓÖ ÙÐÑ Ó BGJK Ë ÑÓ Ò ÓÒ Ð Ø ÑÝ Ò Ð CBGF º ÃÙÚ µµ ÓÒ ÚÙ Ò Ô ØÙÙ Ø ÓÚ Ø c ÓÐÐÓ Ò BC = BG. Ä ÓÐÑ Ó Ò Ú Ø Ú Ò ÚÙ Ò ÚÐ ÓÐ Ú ÙÐÑ ÓÒ Ý Ø ÙÙÖ ÐÐ DBC = DBA+ ABC = 90 + ABC = ABC + CBG = ABG. Ë Ô ÓÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ý Ø Ò ÚØ Ý Ø Ò ÚÝÝ Ð Ù Ò (sks) ÒÓ ÐÐ º ÃÓ ÓÐÑ Ó Ò Ô ÒØ ¹ Ð Ø ÓÚ Ø Ý Ø ÙÙÖ Ø ÑÝ Ò Ø Ú Ø Ú Ò Ò Ð Ò DBAE ÙÓÖ Ùй Ñ ÓÒ BGJK Ô ÒØ ¹ Ð Ø ÓÚ Ø Ý Ø ÙÙÖ Ø ÃÙÚ µµº Î Ø Ú Ø ØÓ Ø Ø Ò Ò Ð ACHI ÙÓÖ ÙÐÑ Ó CFJK Ý Ø ÙÙÖ ÃÙÚ Ò ÚÙÐÐ º ¾º ÌÓ ØÙ ÖØÓ Ò ÚÙÐÐ º à ÖØÓ Ò ÚÙÐÐ ØÓ Ø Ó Ö Ì Ø Ò ÉÙÖÖ ¹ ¼½µ Ó ÓÐ Ô Ø¹ Ñ Ø Ñ Ø Ó ÝÝ Ó Ø Ø Ø Ø Ð ÐÓ Ó Ò Ò ÑÝ ÒØ Ó Ò Ö Ð Ø Ò Ñ Ø Ñ Ø Ó Ò Ø Øº ÀÒ ØÙØ Ñ Ø Ñ Ø ¹ ÓÑ ØÖ Ø Ð ØÓØ Ø Ø ÐÙ ÙØ ÓÖ ÑÙ Ð Ø Øغ

9 µ µ ÃÙÚ µ ÒÑÙÓØÓ Ø ÓÐÑ ÓØ DBC ABG µ Ø ÙÙÖ Ø Ò Ð Ùй Ñ ÓØ µ µ µ ÃÙÚ µ ÓÐÑ Ó BCI Ò Ð ACHI µ Ú µ Ú ÌÑ ØÓ ØÙ Ð Ø Ð ÐÐ a¹ b¹ ÚÙ Ø Ò Ð Øº Æ Ð Ø Ø Ø Ò Ú Ö Ò ÓÐÐÓ Ò Ò Ò Ý Ø Ô ÒØ ¹ Ð ÑÙÓ Ó ØÙÙ a +b ÃÙÚ µµº Æ Ð Ò ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò Ó Ó Ø ÙÓÖ ÙÐÑ Ø ÓÐÑ Ó¹ Ø ÃÙÚ Ò µ¹ Ó Ò ÑÙ Ø Ô ÖØÑÐÐc Ò Ñ ØØ Ø Ò Ø ÓØ Ð ¹ Ú Ø Ò Ð Ò ÒÙÖ º à ÖØÑÐÐ Ò Ð b ÓÐ Ú ÓÐÑ ÓØ Ú Ø Ô ÚÒ 90 ÃÙÚ ½¼ µµ ØÓ Ø ÓÐÑ ÓØ ÑÝ ØÔ ÚÒ Ñ Ò Ú ÖÖ Ò ÃÙÚ ½¼ µµ Ò Ò Ò Ð ÓÒ ÚÙØ ÓÚ Ø c ÃÙÚ ½¼ µµº Ë a +b = c º

10 µ µ ÃÙÚ µ Ò Ð ACHI ÙÓÖ ÙÐÑ Ó CFJK µ ÄÓÔÙÐÐ Ò Ò Ô ÒØ ¹ ÐÓ Ò Ú Ø ÚÙÙ µ µ ÃÙÚ µæ Ð Ø a b º µ Æ Ð Ò Ñ Ò Ò ÓÐÑ Ó º ¾º Î Ò Ò ØÓ ØÙ Ä ÓÒ Ö Ó Î Ò ÓÐ Ø Ð Ð Ò Ò Ö Ò Ò Ò ÝÐ Ò ÖÓ ½ ¾¹½ ½ µº ÀÒ ÓÐ Ø Ñ Ò Ò Ö Ø Ñ Ð Ö ÙÚ ÒÚ Ø Ö Ø Ø Ú ¹ Ø Ø Ð ÑÙÙ Ó Ö Ð º ÀÒ ØØÒÝØ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÙÙ¹ ÐÙÚ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ØØ ØØ Ð ÑØغ ÀÒ ØØ Ð Ù ÐÐ ØÓ ØÙ Ò Ó Ý ÝÒÒ ØÒ Ý Ø Ò Ú ÙÚ Ó Ø º ÃÙÚ Ò ½½ ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ Ô Ø ÙÓÖ ÙÐÑ Ò Ò ÓÐÑ Ó Ò ÚÙ ÐÐ ÓÐ ¹ Ú Ø Ò Ð Ø Ò Ò ÑÝ ÝÐ ÑÖ Ø ÙÓÖ ÙÐÑ Ø ÓÐÑ ÓØ ÓØ ÓÚ Ø Ý Ø ÙÙÖ Ø Ù Ò Ð ÙÔ Ö Ò Ò ÓÐÑ Óº Æ Ð ÙÐÑ ÓØ ABFJ JGCA EBCH EDIH ÓÚ Ø Ý Ø Ò Ú ÒÒ ÐÐ Ø Ð ÝØÝÝ Ý Ø Ô Ø Ø ÚÙØ a

11 µ µ µ ÃÙÚ ½¼ µ ÃÓÐÑ ÓÒ ÖØÓº µ ÌÓ Ò ÓÐÑ ÓÒ ÖØÓ µ Æ Ð c º ÃÙÚ ½½ Ì ÖÚ Ö Ò Ò ÓÐÑ Óº b c Ô Ø ÚÙ Ó ÓÒ 45 ÙÐÑ ÚÙÙÒ a Ò Òº Ë Ô A ABFJ +A JGCA = A EBCH +A EDIH. ÃÓ Ò Ò c = a +b º A ABFJ +A JGCA = c + A ABC A ABFJ +A JGCA = a +b + A ABC,

12 ¾º ÈÖ ÒØØ Ö Ð Ò ØÓ ØÙ ÅÓÒ Ý Ú ÐØÓ Ò ÔÖ ÒØØ ÓÒ Ô ØÒÝØ Ñ Ø Ñ Ø ØÖ Òº Ñ Ö¹ ÓÖ Ï Ò ØÓÒ Ö Ñ Ä ÒÓÐÒ Ø ÍÐÝ Ëº Ö ÒØ ÚØ Ø ÓÐÐ Ø Ð Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð ÐÐ ÑÙØØ ÝØØ ÚØ Ñ Ø Ñ Ø Ô Ð ÓÒº Ä ÒÓÐÒ Ø Ú ØØ ÐÙ Ò Ò Ù Ð Ò Ð Ø Ý Ø Ò ÝÑÑÖØÑÒ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Ñ Ö ØÝ Ò Ö ÒØ Ý ÝÒ Ñ Ø Ñ Ø ÓÐÐ Ò ¹ ØØ Ò ÓØ Ú º Ý Ú ÐØÓ Ò ÔÖ ÒØØ Âº º Ö Ð ½ ½¹½ ½µ ÓÔ ØØ Ú ÐÑ ØÙ¹ Ñ Ò Ð Ò Ñ Ø Ñ Ø ÓÐÐ Ó ÓÐ ÓÔ ÐÐÙØ Ó Ò Ñ¹ Ñ Òº ÀÒ Ú ØØ Ð Ø Ø Ñ Ø ÐÑ ÑÙØØ Ñ Ò ÓÐÐ ÐÐ Ó¹ Ò Ô ÖØ ÐÐ Ò Ø Ú Ð ØØ Ò Ò ØØ Ò Ó Ò ÔØÝ ÓÖ ÐÐ ÖÑ ¹ ÙÒÒ º ÀÒ Ø Ú Ð ØØ Ò Ó Ò ÐÓÔÔÙÔÙÓÐ ÐÐ ÓÒ Ö Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ÐÐ ØÓ ØÙ Ò Ó ÓÒ ÝØ ØÒ ÚÙ ÔÙÓÐ ¹ ÙÙÒÒ Ø º ÃÙÚ ½¾ ÓÒ Ñ ÒÐ Ø ÙÓÖ ÙÐÑ Ø ÓÐÑ ÓØ Ó Ò ÚÙÐÐ Ò Ò ÔÙÓÐ ÙÙÒÒ ÓÒ ÚÙ Ò Ô ØÙÙ Ø ÓÚ Ø a bº ÈÙÓÐ ¹ ÙÙÒÒ Ò ÓÖ Ù Ò ØÐÐ Ò a+bº ÃÙÚ ½¾ ÈÙÓÐ ÙÙÒÒ ÓÒ ÒÒ Ø ÓÚ Ø a b ÓÖ Ù a+bº ÈÙÓÐ ÙÙÒÒ Ò Ô ÒØ ¹ Ð Ð Ø Ò Ý ØÐ ÐÐ ½º µº Ë Ô ÙÚ ÓÒ Ô ÒØ ¹ Ð Ò A = a+b (a+b). ¾º½µ ÌÓ ÐØ ÙÚ Ó ÓÒ ÓÐÑ ÙÓÖ ÙÐÑ Ø ÓÐÑ ÓØ º Ã Ñ ÒÐ ¹ ÓÐÑ Ó Ó Ò ÚÙØ ÓÚ Ø a b c ÚÙ Ò a c ÚÐ Ò Ò ÙÐÑ ÓÐ ÓÓÒ ½¼

13 β ÚÙ Ò b c ÚÐ Ò Ò ÙÐÑ αº ÃÓ ÓÐÑ ÓØ ÓÚ Ø ÙÓÖ ÙÐÑ Ò Ò α + β = 90 º ÌÐÐ Ò ÑÝ ÙÙÖ Ò ÓÐÑ Ó ÓÒ ÙÓÖ ÙÐÑ Ò Ò ÐÐ ÚÙ Ò c c ÚÐ Ò ÙÐÑ Ò Ö Ó ØØÙÙ Ñ Ò Ó Ø Ò Ù Ò ÙÐÑ Ø α β ÑÙÓ Ó Ø Ò Ó Ó ÙÐÑ Ò 180 º ÃÓÐÑ Ó Ò Ô ÒØ ¹ Ð Ø Ð Ø Ò Ý ØÐ ÐÐ ½º¾µ ØÑÐÐ Ý ØÐ Ø ¾º½µ ¾º¾µ Ò ÓØ Ò a +b = c º ¾º A = a b + a b + c c. ¾º¾µ (a+b) (a+b) = a b+a b+c c, ÄÓÓÑ ³Ò ØÓ ØÙ º ˺ ÄÓÓÑ ½ ¾¹½ ¼µ ÓÒ Ö Ó ØØ ÒÙØ ØÙÒÒ ØÙÒ Ø Ó Ò ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ò ØÓ ØÙ Ø Ñ ÙÐ Ø Ò Ò ÑÑ Ò ÖÖ Ò ÚÙÓÒÒ 197º ÀÒ ØØ Ö ØÓ ØÙ Ø Òº Ö Ò Ø ÓÒ ØÓ ØÙ Ó ÝØ ØÒ ÝÚ ¹ ÓÐÑ ÓÒ ÐÐ Ô ÖÖ ØØÝ ÝÑÔÝÖ ÓÐÑ Ó Ò Ý Ø Ò ÚÝÝØØ ÃÙÚ ½ µ ½½ º ÃÙÚ ½ ÄÓÓÑ ³Ò ØÓ ØÙ º ½½

14 ÇÐ ÓÓÒ ABC ÙÓÖ ÙÐÑ Ò Ò ÓÐÑ Ó ÓÒ ÚÙØ ÓÚ Ø ÝÑÔÝÖÒ O Ø Ò¹ ÒØ Ø Ð ÝÑÔÝÖÒ Ô Ø Ø ÓÒ Ó ÐÐ ÓÐÑ ÓÒ ÚÙÐÐ Ý Ø Ô Ø Ñ Ø¹ º ÃÓ ÝÑÔÝÖÒ Ô Ø ÓÒ ÓÐÑ ÓÒ ÙÐÑ ÒÔÙÓÐ ØØ Ò Ð Ù Ô ¹ Ø Ò Ò ÓÐÑ Ó ÓÒ Ý Ø Ò Ú ÓÐÑ Ó Ø ÓØ Ø Ú Ø Ð ÙÔ Ö Ò ÓÐÑ ÓÒ ÙØ Ò Ö Ú Ø Ò Ó Ò ÓÐÑ ÓÒ Ý Ö ÓÒ ÝÑÔÝÖÒ Ô Ø º ÃÙÚ ½ µº Å Ö ØÒ ÝÑÔÝÖÒ ÓÐÑ ÓÒ Ð Ù Ô Ø Ø E F Gº ÃÙÚ ½ ÄÓÓÑ ³Ò ØÓ ØÙ º ÆÝØ Ò Ä Ù Ò ½º¾º¾ ¹ Ó Ò ÑÙ Ò Ý Ø Ò Ú ÓÐÑ Ó Ø AEO = AFO CEO = CGO BGO = BFOº Ë Ô AE = AF BG = BF CE = CG º ÌÓ ÐØ Ó ÙÐÑ Ø FAE AEO OFA ÓÚ Ø ÙÓÖ ÙÐÑ ØÝØÝÝ ÑÝ ÙÐÑ Ò EOF ÓÐÐ ÙÓÖ ÐÐ Ò ¹ Ð ÙÐÑ ÓÒ ÙÐÑ Ò ÙÑÑ ÓÒ 360 = 4 90 º Â Ó Ú Ö Ø ÚÙØ FO EO ÓÚ Ø Ý Ø Ô Ø Ø ÑÝ ÚÙØ AF AE ÓÚ Ø Ý Ø Ô Ø Ø ÓØ Ò ÙÚ Ó AFOE ÓÒ Ò Ð ÓÒ ÚÙ Ò Ô ØÙÙ ÓÒ rº Ë Ò ÚÙ Ò Ô ØÙÙ a = AC = AE +EC, b = AB = AF +FB c = BC = BG+GC, Ó Ø ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÚÙ Ò FB EC Ð Ù FB = AB AF = b r EC = a AE = a r. ½¾

15 Ë Ô c = BG+GC = BF +CE. Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø Ò Ð Ù Ò ÚÙ Ò FB EC Ý ØÐ Ø Ò ÓØ Ò c = b r +a r, c+r = a+b. ÃÓÖÓØ Ø Ò Ý ØÐ Ò ÑÓÐ ÑÑ Ø ÔÙÓÐ Ø ØÓ Ò ÔÓØ Ò Ò ÓØØ Ô ØÒ Ð Ñ¹ Ñ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ò ÑÙÓØÓ (c+r) = (a+b) c +4cr +4r = a +ab+b. ÆÝØ c = a + b Ó 4cr + 4r = abº ÃÙ Ø Ò Ò 4cr + 4r ÚÓ ÓÐÐ Ù¹ ÙÖ ÑÔ Ý Ø ÙÙÖ Ø Ô Ò ÑÔ Ù Ò abº ÂÓ 4cr + 4r > ab Ò Ò c + 4cr +4r > a +ab+b ÓÐÐÓ Ò c+r > a+b Ñ ÓÒ Ö Ø Ö Ð Ù¹ Ô Ö Ò Ý Ø ÙÙÖÙÙ Ý ØÐ Ò Ò º Î Ø Ú Ø Ó 4cr + 4r < ab Ò Ò c +4cr+4r < a +ab+b c+r < a+b Ñ Ò ÓÒ Ñ ÓØØÓÑÙÙ º Ë Ô 4cr+4r = ab, Ñ Ø ÙÖ ØØ c = a +b. ¾º Ì Ó ÌÓÒ Ò ØÓ ØÙ ÎÙÓÒÒ ½ Å Ø Ñ Ø Ì Ö ¹Ð Ø ØØ Ò ÙÖ Ú ØÓ ØÙ Ó ÓÒ Ì Ó ÌÓÒ Ò Ò ÓØ º ÇÐ ÓÓØ Ý Ø Ò Ú ÓÐÑ ÓØ ABC EAD Ø Ò ØØ ÚÙ AE ÓÒ ¹ Ó Ø ØØÙAC ÙÚ Ò ½ ÑÙ Ø º Ø ØÒ Ô Ø Ø C D ÓÐÐÓ Ò Ò ÓÐÑ Ó ACDº ÌÑÒ ÓÐÑ ÓÒ Ô ÒØ ¹ Ð ÚÓ Ò ÐÑÓ ØØ ÐÐ Ø Ú ÐÐ A ACD = AD CF ¾º µ Ø ØÓ ÐØ A ACD = ED AC. ¾º µ ½

16 ÃÙÚ ½ ÃÓÐÑ ÓØ ABC EADº µ µ ÃÙÚ ½ µ ÃÓÐÑ Ó Ò ÙÓÖ Ø ÙÐÑ Ø µ Ë ÚÙ Ò ÙÙ Ø Ñ Ö ÒÒغ ÃÙÚ ½ µ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ ÓÐÑ Ó Ò ÙÓÖ Ø ÙÐÑ Ø ÓØ Ò ÚÓ Ò Ð ÓÐÑ Ó Ò Ô ÒØ ¹ Ð Ø ÐÔÓ Ø º Î Ö Ò ÙÚ Ò ½ µ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ ÚÙØ Ø Ò ØØ Ý ØÐ Ø ¾º µ ¾º µ ÚÓ Ò Ñ Ö Ø c (c x) = b b. ¾º µ ÃÓ ÙÐÑ AFB ÓÒ ÙÓÖ B ÐØÝÝ ÓÐÑ ÓÓÒABC ØØ ÓÐÑ ÓÓÒ ABF Ò Ò ÓÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ý Ø Ò ÚØ ÓØ Ò x a = a c, ½

17 Ñ Ø ÙÖ ØØ x = a c. Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ØÑ Ý ØÐ Ò ¾º µ Ò c (c a c ) = b b, Ó Ø Ú ÒØÑÐÐ Ò c = a +b. ¾º ÌÓ ØÙ ÙÙÒÒ ÒÒÓÐÐ ËÙÙÒÒ ÒÒ Ò ÑÙ Ò ÃÙÚ ½ µ ÙÙÒÒ Ò ÐÐ ÚÙ ÐÐ Ø ØÝ Ò Ò Ð Ò Ô ÒØ ¹ Ð Ø Ý Ø Ò ÓÚ Ø Ý Ø ÙÙÖ Ø Ù Ò ÙÙÒÒ Ò Ð ¹ Ó Ò Ò Ð Ò ÙÑÑ º Å Ø Ñ ØØ Ø Ö Ó Ø ØØÙÒ Ý ØÐ ÒÝØØ Ù¹ Ö Ú ÐØ t s + t+s = ( t + s ) µ µ µ ÃÙÚ ½ ËÙÙÒÒ ÒÒ Ò ÙÚ Óغ ÌÓ Ø Ø Ò ÙÙÒÒ ÒØ Ú ØÓÖ Ò ÚÙÐÐ º Î ØÓÖ ÓÒ ÙÙÖ ÓÐÐ ÓÒ ÙÙÒØ ÙÙÖÙÙ º ½

18 È Ø ¹ Ð Ð Ö ØÙÐÓ a b ÑÖ Ø ÐÐÒ Ú ØÓÖ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ø Ò ØØ Ð Ø Ò Ú ØÓÖ Ø ÑÙØØ Ú Ø Ù Ò Ð Ö ÖÚÓº È Ø ØÙÐÓ¹ ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒ ÚÓ Ñ Ú ÒÒ ÙÙ Ð a b = b a Ó ØØ ÐÙÐ a (b + c) = a b + a cº Ë Ð Ö ØÙÐÓ Ð Ø Ò Ñ Ò ÙÙÒØ Ø Ò Ý ¹ Ú ØÓÖ Ò ØÙÐÓØ Ý Ø Ò Ñ Ö ÙÒ a = î + 3ĵ b = 7î 9ĵ Ò Ò a b = ( 7)+3( 9) = 14 7 = 41. Î ÒÒ ÙÙ Ò Ó ØØ ÐÙÐ Ò ÙÖ Ù Ò ÚÓ Ò Ð Ú ØÓÖ Ò a b Ú ØÓÖ ÙÑÑ Ò a+b Ô Ø ØÙÐÓ Ø Ò Ò Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ (a+b) (a+b) = a a+a b+b a+b b = a a+a b+b b. ÃÙÒ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ú ØÓÖ Ò d Ô ØÙÙ Ð ÒÓÖÑ Ô Ø ØÙÐÓ Ø Ò Ò d = d d Ò ÐÐ Ø Ý ØÐ Ø a+b = a +a b+ b. Ä ÚÓ Ò Ð Ú ØÓÖ Ò ÖÓØÙ Ò ÒÓÖÑ a b = (a b) (a b) = a a a b b a+b b = a a b+ b. Ä Ñ ÐÐ Ý Ø Ò ÐÐ Ò Ò Ý ØÐ Ý ØÐ ¾º µ Ò a+b + a b = a +a b+ b + a a b+ b = a + b +a b a b = ( a + b ), ¾º µ Ñ Ø Ô Ø Ò ÙÙÒÒ ÒÒ º Ë ÐÐÓ Ò ÙÒ ÙÙÒÒ ÓÒ ÙÓÖ ÙÐÑ Ó ÃÙÚ ½ µ Ú ØÓÖ Ø ÓÚ Ø ØÓ Ò Ú Ø Ò Ó Ø ÙÓÖ º ÂÓ Ú ØÓÖ Ø ÓÚ Ø Ó Ø ÙÓÖ ØÓ Ò Ú Ø Ò Ò Ò Ô Ø ØÙÐÓ ÓÒ ÒÓÐÐ º Ñ Ö Ý Ú ØÓÖ Ø a = î b = ĵ ÓÚ Ø Ó Ø ÙÓÖ ØÓ Ò Ú Ø Ò a b = î ĵ = = 0º ½

19 ÃÙÚ ½ ËÙÓÖ ÙÐÑ Ò Ò ÙÙÒÒ º ËÙÓÖ ÙÐÑ Ò ÙÙÒÒ Ò Ø Ô Ù a b ÓØ Ò ÚÓ Ò Ð a b = a a b+ b = a + b 0 = a + b a+b = a +a b+ b = a + 0+ b = a + b, ÓØ Ò Ô Ø Ò ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Òº Ì Ø ÙÓÑ Ø Ò ÑÝ ØØ ÙÓ¹ Ö ÙÐÑ ÓÒ Ð Ø ÓÚ Ø Ý Ø Ô Ø Øº ¾º ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÐÐ ØÓ Ø Ñ Ò Ò È Ø Ò ÓÐ Ø ØØ Ò ØØ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ØØ ÚÓ ØÓ Ø Ú Ò Ð Ö Ò ÓÑ ØÖ Ò ÚÙÐÐ Ý ØÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ø ØÓ ØÙ Ø ÓÐÐÙØ Ð ÝØÝÒÝغ Æ Ò Ù Ó ÑÝ º ˺ ÄÓÓÑ ÓÓØ Ò Ö Ò Ð Ù Ò ØÓ ØÙ Ø º ÎÙÓÒÒ ¾¼¼  ÓÒ Ñ Ó Ó ØØ ÓÐ ØÙ Ò ÚÖ º ½ ½

20 ÃÙÚ ½ ËÙÓÖ ÙÐÑ Ò Ò ÓÐÑ Óº ÃÙØ Ò ØÙÒÒ ØØÙ ÙÓÖ ÙÐÑ ÓÐÑ Ó ÃÙÚ ½ µ ÙÐÑ Ò Ò Ó Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ Ø Ø Ò ÝÔÓØ ÒÙÙ Ò Ù Ø Ò ÙÖ Ú Ø sinα = Ú Ø Ò Ò Ø ØØ hypotenuusa = a c ¾º µ cosα = Ú Ö Ò Ò Ø ØØ = b hypotenuusa c. ¾º µ ÇÐ ÓÓÒ ÙÓÖ ÙÐÑ ÓÐÑ Ó ÙÓÖ Ò ÙÐÑ Ò Ð ÙÐÑ Ø α βº ÃÓ Ý ÓÒ ÙÓÖ ÙÐÑ Ò Ò ÓÐÑ Ó ÙÐÑ Ø α β ÓÚ Ø ÚÐ ÐØ ]0, π[º ÇÐ Ø Ø Ò Ð ØØ α < β ÓÐÐÓ Ò ÑÝ 0 < β α < π º ÌÐÐ Ò ÚÓ Ò ÙÚ Ø ¾¼ ÔØ ÐÐ ÖÓØÙ Ò Ò Ò Ó Ò Ò Ð Ù Ú Øº Ä Ù ÚÓ Ò sin(β α) = sinβcosα cosβsinα ¾º µ cos(β α) = cosβcosα+sinβsinα. ¾º½¼µ Æ Ò Ð Ù ÚÓ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ØÓ Ø ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù º ÇÐ ÓÓÒ x ]0, π[ ÓÐ ÓÓÒ y Ñ Ø Ò ÐÙ Ù ÚÐ Ø 0 < y < x < π º ÌÐÐ Ò x y ØØ x y Ó ØØÙÚ Ø ÚÐ ÐÐ ]0, π [º ÃÝØØÑÐÐ Ý ØÐ Ø ¾º½¼µ ¾º µ ½

21 ÃÙÚ ¾¼ ÖÓØÙ Ò Ò Ó Ò º Ò ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ ÙÖ Ú Ð Ù cosy = cos(x (x y)) = cosxcos(x y)+sinxsin(x y) = cos xcosy +cosxsinxsiny +sin xcosy +sinxcosxsiny = (cos x+sin x)cosy, Ó ÚÓ Ò ÔÙÓÐ ØØ Ò cosy ÐÐ ÐÐ cos :]0, π [ ]0,1[ Ð Ó Ò Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÚÐ ÐØ ]0,1[º ÌÐÐ Ò Ò cos x+sin x = 1º Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ØÙÙÒ Ý ØÐ Ò Ò Ò Ó Ò Ò Ð Ù Ø Ý ØÐ Ò ¾º µ ¾º µ ÑÙ Ò Ò Ð Ù cos x+sin x = 1 ÑÙÓØÓÓÒ ( ) b ( a ) + = 1, c c Ó ÚÓ Ò ÖØÓ ÔÙÓÐ ØØ Ò c ÐÐ ÓÐÐÓ Ò Ò ¾º½¼ ÃÓ Ò Ð Ù b +a = c. ÃÓ Ò Ð Ù Ò ÚÙÐÐ Ò ØÝÐÔÔ¹ Ø ÖÚ Ö Ø Ò ÓÐÑ Ó Ò ÚÙØ ÐÚ Ø ØØݺ ÃÝØ ØØ Ó Ò Ð Ù ØØ ÙÓÖ ÙÐÑ Ò ÓÐÑ ÓÓÒ Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ÓØ Ò Ó Ò Ð Ù ÓÒ Ð ÒÒÙ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ø º ½

22 Ä Ù ¾º½¼º½º ÂÓ a b ÓÚ Ø ÓÐÑ ÓÒ Ò ÚÙÒ Ô ØÙÙ Ø γ ÓÒ Ò Ò ÚÐ Ò ÙÐÑ Ò ÙÙÖÙÙ Ò Ò c = a +b ab cosγ, Ó ÚÙ c ÓÒ ÙÐÑ Ò γ Ú Ø Ò Ò ÚÙº ÃÙÚ ¾½ Ì ÖÚ Ö Ò Ò ÓÐÑ Óº ÌÓ ØÙ º 1 Ì ÖÚ Ö Ø ÓÐÑ Ó Ø ÃÙÚ ¾½µ Ò ÙÓÖ Ùй Ñ Ø ÓÐÑ ÓØ Ô ÖØÑÐÐ ÓÐÑ ÓÓÒ ÓÖ Ù Ò x Ó ÚÙÒ b Ó ¹ Ò Ó Ò Ô ØÙÙ Ø ÓÚ Ø y z Ð b = y + zµº ÌÐÐ Ò ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ò ÑÙ Ò Ò Ý ØÐ c = x +y. ¾º½½µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø Ò y = b z x Ò z Ò Ð Ù Ø cosγ = z a z = acosγ sinγ = x a x = asinγ ÙÐÑ Ò γ Ó Ò Ò Ò Ò ÚÙÐÐ Ô ØÒ Ý ØÐ ÑÙÓØÓÓÒ c = x +(b z) = (asinγ) +(b acosγ). ¾¼

23 ÌØ Ð Ù ØØ Ú ÒØÑÐÐ Ô ØÒ ØÙÐÓ Ò c = a +b abcosγ. ÃÙÒ ÓÐÑ Ó ÓÒ ØÝÐÔÔ ÓÐÐ Ò ÃÙÚ Ò ¾¾ Ø Ô Ù º Å Ö ØÒ ÓÐÑ ÓÒ ÓÖ ÙØØ x ÐÐ ÓÐÐÓ Ò Ò ÙÓÖ ÙÐÑ Ø ÓÐÑ ÓØ º ÌÓ Ò ÓÐÑ ÓÒ ÝÔÓØ ÒÙÙ ÓÒ c ØÓ Ò Ò Ø ØØ a+y ÙÒ Ø ØÓ Ò ÓÐÑ ÓÒ ÝÔÓØ ÒÙ¹ Ù ÓÒ b Ø ØØ yº ÃÙÚ ¾¾ ÌÝÐÔÔ Ö Ò Ò ÓÐÑ Óº ÌÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÑ ÐÐ ÙÓÖ ÙÐÑ ÐÐ ÓÐÑ ÓÐÐ Ò ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù¹ Ò ÑÙ Ò Ò ØÝ c = x +(a+y) ¾º½¾µ È Ò ÑÑ Ø ÓÐÑ Ó Ø Ò ÐÑÓ Ø ØØÙ ÙÐÑ Ò α Ò Ó Ò sinα = x b cosα = y b x = bsinα y = bcosα ÅÙÙØØ Ñ ÐÐ ÙÐÑ α ÙÐÑ γ Ò ÐÐ Ø Ý ØÐ Ø ÖÓØÙ Ò Ò Ò Ó Ò Ò Ð Ù ÚÓ Ò ¾º µ ¾º½¼µ ÚÙÐÐ x = bsinα = bsin(π γ) = b(sinπcosγ cosπsinγ) = b(0 cosγ ( 1) sinγ) = b sinγ ¾½

24 y = bcosα = bcos(π γ) = b(cosπcosγ +sinπsinγ) = b(( 1) cosγ 0 sinγ) = b ( cosγ) Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÒÝØ ÒÑ x Ò y Ò Ð Ù Ø Ý ØÐ Ò ¾º½¾µ Ô ØÒ ÑÙÓ¹ ØÓÓÒ c = x +(a+y) = (bsinγ) +(a+b( cosγ)), ÓØ Ú ÒØÑÐÐ Ò c = a +b abcosγ, Ó ÓÒ ÐÙØØÙ Ð Ù º 3 ËÙÓÖ ÙÐÑ Ò ÓÐÑ ÓÒ Ø Ô Ù ÙÐÑ γ ÓÒ 90 ÓÐÐÓ Ò Ó Ò ¹ Ð Ù Ø Ò c = a +b abcosγ = a +b ab 0 = a +b, Ð Ô ÝØÒ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ò Ñ ÓÒ ØÓ ÙÓÖ ÙÐÑ ÐÐ ÓÐÑ Ó Ð¹ Ð º ÃÓ Ò Ð Ù Ò ØÓ ØÙ Ò Ó Ø 3 ÙÓÑ Ø Ò ØØ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ÓÒ ÃÓ Ò Ð Ù Ò Ö Ó Ø Ô Ù ÐÐ ÔØ Ú Ò ÙÓÖ ÙÐÑ ÐÐ ÓÐÑ Ó ÐÐ ÙÒ Ø Ó Ò Ð Ù ÔØ ÒÐ ÐÐ ÓÐÑ Ó ÐÐ º Ñ Ö ¾º½¼º¾º Ë ÐÚ Ø Ô Ð ÓÒ Ó Ø Ø ÖÚ Ø Ò Ó Ð ÒØ Ò Ø Ù ÃÙ¹ Ú ¾ µ ÓÒ ÓÐÑ ÓÒ ÑÙÓØÓ Ò Ò Ò Ý ÚÙ ÓÒ 3 Ñ ØÖ ØÓ Ò Ò,5 Ñ ØÖ º Ë ÚÙ ÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒ 3 Ñ ØÖ Ú Ø Ò ÓÐ Ú Ò ÙÐÑ Ò ÙÙÖÙÙ ÓÒ 60 º Ê Ø Ùº ÃÝØ ØÒ Ó Ò Ð Ù ØØ ¾º½¼º½ ÓÒ ÑÙ Ò c = a +b ab cosγ. Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ý ØÐ Ò c = 3 a =,5 γ = 60 ÖØÑÐÐ c ØÓ ÐÐ ÔÙÓÐ Ò Ý ØÐ Ò Ý ØÐ Ø 0 = b +abcosγ +(c a ) ÌÓ Ò Ø Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù Ú ÐÐ ÚÓ Ò Ö Ø Ø Ø Ø Ý ØÐ Ø b Ò ÖÚÓ b = acosγ ± ( acosγ) 4 ( 1) (c a ) ( 1) =,5cos60 ± (,5cos60 ) 4 ( 1) (3,5 ) ( 1) ¾¾

25 ÃÙÚ ¾ Ð ÒØ Ò Ø Ù º ÓÐÐÓ Ò Ò Ú Ø Ù Ø b = 0,866 ja b = 3,366. ÃÓ ÚÙÒ Ô ØÙÙ ÚÓ ÓÐÐ Ò Ø Ú Ò Ò Ú Ø Ù Ý ÒÓ Ø Ò b = 3,3mº Ë Ô Ø Ø ÖÚ Ø Ò 3m+,5m+3,3m = 8,8m. ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓØ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓØ ÓÚ Ø ÐÐ ÓÐÑ Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙÒ Ý Ø ÐÑ ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Òº ÌÙÒÒ ØÙ Ò ØÐÐ Ò Ò ÓÒ ÓÐÑ Ó µº Ë Ò ØÙÒ Ú Ø Ó ÑÙ Ò Ø ÝÐÓÒ Ð Ø ÝÔØ Ð Ø ÒØ Ò Øº º½ ÃÓÐÑ Ó Ø Ó Ú ÑÖ Ø ÐÑ ÔÙØÙÐÓ ÅÖ Ø ÐÑ º½º½º ÄÙ Ù a ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ b Ó a = kb Ñ k Zº ÌÐÐ Ò Ö Ó Ø Ø Ò b a Ñ ÐÙ Ø Ò b a Ò º ÂÓ b ÐÙ Ù a Ñ Ö ØÒ b aº Ñ Ö ÐÙ Ù 4 ÐÙÚÙÒ 1 ÐÐ 1 = 3 4º ÌÐÐ Ò Ñ Ö ØÒ 4 1º ÌÓ ÐØ ÐÙ Ù 13 ÓÐ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ 4 Ð 4 13º ÅÖ Ø ÐÑ º½º¾º ÃÓ ÓÒ ÐÙ Ù b ÓÒ Ó ÓÒ ÐÙÚÙÒ c ÑÓÒ ÖØ Ó ÓÒ ÓÐ Ñ Ó ÓÒ ÐÙ Ù m Ø Ò ØØ b = mcº ¾

26 ÅÖ Ø ÐÑ º½º º ÂÓ ÐÙ Ù d ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò Ð ÙÐÙÚÙÐÐ p Ò Ò p Ò ÒÓØ Ò ÓÐ Ú Ò ÐÙÚÙÒ d Ð ÙØ º ÅÖ Ø ÐÑ º½º º ÄÙ Ù Ò a b ÙÙÖ Ò Ý Ø Ò Ò Ø ÓÒ ÙÙÖ Ò ÐÐ Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ó ÐÙÚÙØ a bº Å Ö ØÒ syt(a,b) = dº ÅÖ Ø ÐÑ º½º º ÃÙÒ ÐÙ Ù Òa b ÙÙÖ Ò Ý Ø Ò Ò Ø ÓÒ ½(syt(a,b) = 1) ÐÙÚÙØ ÓÚ Ø ÒÒ Ù Ø ÐÐ Ø Ð ÙÐÙÚÙغ Ä Ù º½º º ÃÓ ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÝ ØÐ µº ÃÓ ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ a b ÓÒ ÓÐ ¹ Ñ Ý ØØ Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ q r ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ý ØÐ Ò a = qb+r Ø Ò ØØ 0 r < b. ÄÙ Ù q r ÙØ ÙØ Ò ÐÙ Ù Ò a b ÓÐ ÙÒ Ó ÑÖ ÒÒ ¹ º ÌÓ ØÙ º Ë ÚÙÙØ Ø Ò Ø Ó Ñº ½ º Ä Ù º½º º ÆÓÐÐ Ø ÔÓ Ú ÐÐ Ó ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ a b ÓÒ ÓÐ Ñ Ó Ó¹ Ò ÐÙÚÙØ x y Ø Ò ØØ syt(a,b) = ax+by. ÌÓ ØÙ º Ë ÚÙÙØ Ø Òº ¾½ Ë ÙÖ Ù º½º º ÇÐ ÓÓØ a b ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙغ ÌÐÐ Ò ÓÙ Ó T = {ax+by x,y Z} ÓÒ Ø Ö ÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÒ d = syt(a,b) ÑÓÒ ÖØÓ Ò ÓÙ Óº ÌÓ ØÙ º Ë ÚÙÙØ Ø Òº Ä ÑÑ º½º º ÇÐ ÓÓØ a b ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙغ ÌÐÐ Ò a b ÓÚ Ø ÒÒ Ù Ø ÐÐ Ø Ð ÙÐÙÚÙØ Ó Ú Ò Ó ÓÒ ÓÐ Ñ Ó ÓÒ ¹ ÐÙÚÙØ x y Ø Ò ØØ 1 = ax+byº ÌÓ ØÙ º ÂÓ a b ÓÚ Ø ÒÒ Ù Ø ÐÐ Ø Ð ÙÐÙÚÙØ Ò Ò syt(a,b) = 1º ÌÐÐ Ò Ä Ù Ò º½º ÑÙ Ò 1 = ax + byº ÃÒØ Ø ÓÐ Ø Ø Ò ØØ 1 = ax + by Ó ÐÐ Ò x y syt(a,b) = dº ÃÓ d a d b Ò Ò Óй Ð ÙÙ Ø Ó ØÙ Ò º ¾¼ µ d (ax+by) Ø d 1º ÃÓ d ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ó d 1 Ò Ò d = 1 ÓØ Ò syt(a,b) = 1º ¾

27 Ë ÙÖ Ù º½º½¼º ÂÓ syt(a,b) = d Ò Ò syt( a d, b d ) = 1º ÌÓ ØÙ º ÃÓ a ØØ b ÓÚ Ø ÓÐÐ Ø d ÐÐ Ò Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ¹ ÚÙØ Ð ÑÑ Ò syt Ò Ð Ù Òº ÇÐ ÓÓÒ syt(a,b) = d ÓÐÐÓ Ò Ä Ù Ò º½º ÑÙ Ø ax+by = dº Â Ñ ÐÐ Ý ØÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÙÚÙÐÐ d Ò Ú Ø Ù ax+ by = 1 Ó Ø ÐÐ Ò Ò d d syt(a, b) = 1º d d Ä Ù º½º½½º Ù Ð Ò Ð ÑÑ µº ÂÓ a bc ÐÐÓ Ò ÙÒ syt(a,b) = 1 Ò Ò a cº ÌÓ ØÙ º Ä Ù Ò º½º ÑÙ Ø ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Ý ØÐ 1 = ax + by Ó x y ÓÚ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ù º à ÖØÓÑ ÐÐ ØÑ Ý ØÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÙÚÙÐÐ c Ô ØÒ ÑÙÓØÓÓÒ c = 1 c = (ax+by)c = axc+byc = (ac)x+(bc)y. ÃÓ a ac a bc Ò Ò a (acx+bcy) Ñ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÝ ÑÙÓ Ó a cº Ä ÑÑ º½º½¾º ÂÓ p ÓÒ Ð ÙÐÙ Ù p ab Ò Ò p a Ø p bº ÌÓ ØÙ º ÂÓ p a Ò Ò Ú Ø ÓÒ ØÓ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ p aº ÃÓ p ÓÒ Ð ÙÐÙ Ù Ò Ò ÐÐ ÓÒ ÒÓ Ø Ò Ð ÙØ Ø 1 p Ñ Ø ÙÖ Ø¹ Ø syt(a,p) = 1 ÐÐÓ Ò ÙÒ p aº ÆÝØ Ò Ù Ð Ò Ð ÑÑ Ò º½º½½ ÙÖ Ù Ò ØØ p bº Ä Ù º½º½ º Ö ØÑ Ø Ò Ô ÖÙ Ð Ù µº ÂÓ Ò Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò ÐÙ Ù n ÓÒ Ó Ó Ð ÙÐÙ Ù Ø ÚÓ Ò ØØ Ý ØØ Ò ØÙÐÓÒ n = p a 1 1 p a p ar r, Ó ÐÙÚÙØ p i ÓÚ Ø Ö Ð ÙÐÙ Ù a i Nº ÌÓ ØÙ º Ë ÚÙÙØ Ø Òº Ã Ø Ó Ñº ½ ¹½ º ÅÖ Ø ÐÑ º½º½ º ÄÙÚÙÒ a ÒÓØ Ò ÓÐ Ú Ò ÓÒ ÖÙ ÒØØ ÐÙÚÙÒ r Ò ÑÓ ÙÐÓ b Ó a = kb+r Ñ k Zº ÌÐÐ Ò Ñ Ö ØÒ a r (mod b)º Ñ Ö ÐÙ Ù 8 ÓÒ ÓÒ ÖÙ ÒØØ ÐÙÚÙÒ Ò ÑÓ ÙÐÓ 3 ÐÐ 8 = 3+ Ñ Ñ Ö ØÒ 8 (mod 3)º È ØÒ ØÙÒÒ ØØÙ Ò ÓÒ ÖÙ Ò ¹ Ý ØÐ Ò Ý Ø Ò¹ ÖØÓÐ ÙØ ÔÙÓÐ ØØ Òº ¾

28 Ä ÑÑ º½º½ º ÂÓ ab = c n Ñ a,b N syt(a,b) = 1 Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÔÓ Ø Ú Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ a 1 b 1 Ó ÐÐ a = a n 1 b = bn 1 º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓØ a > 1 b > 1º ÂÓ a = p k 1 1 p k p kr r ja b = q j 1 1 q j q js s ÓÚ Ø a Ò b Ò Ð ÙØ Ø Ö ØÑ Ø Ò Ô ÖÙ Ð Ù Ò º½º½ ÑÙ Ò Ô Ø Ò Ñ ÐÐ Ñ Ð ØØ syt(a,b) = 1 Ý Ò p i Ð Ý Ý ÐÙ Ù Ò q i ÓÙ Ó Ø º Ë Ô ØÙÐÓÒ ab Ð ÙØ ØÝ ÓÒ ab = p k 1 1 p r k r q j 1 1 q js s. ÇÐ Ø Ø Ò ØØ c ÓÒ ØØÙ Ð ÙØ Ò ÑÙÓ Ó c = u l 1 1 u l u lt t º Ìй Ð Ò Ó Ø ab = c n ÙÖ ØØ p k 1 1 p r k r q j 1 1 q js s = unl 1 1 u nl u nlt t. Ì Ø Ò Ò ØØ Ð ÙÐÙÚÙØ u 1, u,..., u t ÓÚ Ø p 1, p,..., p r 1, p r, q 1, q,..., q s 1, q s nl 1,..., nl t Ú Ø Ú Ø ÔÓÒ ÒØ Ø k 1,...,k r,j 1,...,j s º Ë Ô Ó Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù k i j i ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ nº ÆÝØ ÚÓ Ò Ñ Ö Ø a 1 = p k 1/n 1 p k /n p kr/n r b 1 = q j 1/n 1 q j /n qs js/n, ÓØ Ò a n 1 = a bn 1 = b Ñ Ø ÐÙØØ Ò Òº ¾ ¹¾ º º¾ ÈÝØ ÓÖ Ò Ý ØÐ ÅÖ Ø ÐÑ º¾º½º ÃÓ ÓÒ ÐÙ Ù ÓÐÑ Ó (x,y,z) Ó ØÓØ ÙØØ Ð Ù Ò x +y = z ÓÒ Ò Ñ ÐØÒ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Óº ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó (x,y,z) ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ syt(x,y,z) = 1º ÂÓ ÓÐÑ Ó ÓÐ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò Ò Ò syt(x,y,z) = d > 1º ÆÝØ Ó x = dm y = dn z = dl Ò Ò ÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ Ë ÙÖ Ù Ø º½º½¼ Ò ØØ syt(m,n,l) = 1 ÓÐÑ Ó (m,n,l) ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Óº ÃÒØ Ò Ó (m,n,l) ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó r N Ò Ò (rm,rn,rl) ÓÒ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Óº Ë ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓØ Ò ÖØÓÑ ÐÐ Ú ÓÐÐ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÓÐÑ Óº ¾

29 Ä ÑÑ º¾º¾º ÂÓ ÓÐÑ Ó(x,y,z) ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó Ò Ò syt(x,y) = syt(y,z) = syt(z,x) = 1º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ (x,y,z) ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Óº ÇÐ ÓÓÒ ÑÝ syt(x,y) = d > 1 p ÐÙÚÙÒ d Ð ÙØ º ÌÐÐ Ò p x p y Ð x = kp y = jp ÙÒ k,j Zµº ÃÓ x +y = z Ð (kp) +(jp) = (p(k+j)) µ Ò Ò Ø ÙÖ ØØp z Ó Ø Ä ÑÑ Ò º½º½¾ ÑÙ Ø p zº ÌÐÐ Òsyt(x,y,z) = pº Ë syt(x,y) = 1º Ë ÑÓ Ò Ò ØÓ Ø ØØÙ ØØ syt(y,z) = syt(z,x) = 1º Ä ÑÑ º¾º º ÂÓ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó (x,y,z) ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò Ò Ò ØÓ Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙ Ø x Ø y ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ØÓ Ò Ò ÓÒ Ô Ö ØÓÒº ÌÓ ØÙ º ÂÓ ÑÓÐ ÑÑ Ø x y ÓÚ Ø Ô Ö ÐÐ Ø Ð x y Ò Ò ÑÝ x y (x + y )º ÌÐÐ Ò ÙÖ ØØ z z Ä ÑÑ º½º½¾µ ÓÐÐÓ Ò ÑÝ z ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò syt(x,y,z) = Ñ ÓÒ Ö Ø Ö ÔÖ Ñ Ø Ú ÝÝ Ò Ò º ÂÓ x y ÓÚ Ø Ô Ö ØØÓÑ Ø ÓÒ x 1 (mod 4) y 1 (mod 4) ÐÐ Ó n ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ð n n = k +0º ÌÐÐ Ò n 0 (mod ) Ñ Ø ÙÖ ØØ n = k = l Ð n 0 (mod 4)º ÄÙÚÙÒ n Ô Ö ÐÐ ÙÙ Ø Ó ØÙ Ò ÐÙ Ù n+1 ÓÒ Ô Ö ØÓÒ ÓÐÐÓ Ò n+1 = k +1 Ð n+1 1 (mod )º ÌÐÐ Ò (n+1) 1 (mod 4)º Ë Ô z = x +y 1+1 (mod 4). ÌÑ ÓÒ Ö Ø Ö Ò Ò ØØ Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ò Ð Ø ÓÚ Ø ÓÒ ÖÙ ÒØØ ÐÙÚÙÒ 0 Ø ÐÙÚÙÒ 1 Ò ÑÓ ÙÐÓ 4º Ë Ô ØÓ Ò Ò ÐÙÚÙ Ø x y ÓÒ Ô Ö ØÓÒ ØÓ Ò Ò ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Òº ÇÐ Ø Ø Ò Ø Ø Ø ÒÔ Ò ØØ x ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ð xº Ë ÙÖ Ù º¾º º ÂÓ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó (x,y,z) ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò x ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ò Ò y z ÓÚ Ø Ô Ö ØØÓÑ Øº ÌÓ ØÙ º Ë ØØ y ÓÒ Ô Ö ØÓÒ ÓÒ Ó Ó Ø ØØÙ Ðк Ç Ó Ø Ø Ò Ú Ð ØØ z ÓÒ Ô Ö ØÓÒº Ë Ò Ó Ó Ø ØØÙ ÙÖ Ú Ø x +y = (n) +(n+1), Ó Ø Ú ÒØÑÐÐ Òx +y = (4n +n)+1º Ì Ò ÚÓ Ò Ó ØØ Ð Ù Ò 4n +n Ô ÐÐ k Z ÓØ Ò x +y = k+1º ÃÓ x +y = z Ò Òz = k+1 Ð z ÓÒ Ô Ö ØÓÒº ÃÓ z ÓÒ Ô Ö ØÓÒ Ò Ò ÑÝ z ÓÒ Ô Ö ØÓÒº ¾

30 Ä ÑÑ º¾º º ÇÐ ÓÓÒ (x,y,z) ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Óº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÒÒ Ù Ø ÐÐ Ø Ð ÙÐÙÚÙØ s t Ó Ø ØÓ Ò Ò ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ØÓ Ò Ò Ô Ö ØÓÒ Ø Ò ØØ s > t ÓÐÑ Ó Ò Ý ØÐ ÐÐ x = st y = s t z = s +t º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ (x,y,z) ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Óº Ä ÑÑ Ò º¾º Ë ÙÖ Ù Ò º¾º ÒÓ ÐÐ ÐÐÓ Ò ÙÒ x ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò y z ÓÚ Ø Ô Ö ØØÓÑ Øº È Ö ØØÓÑ Ò ÐÙ Ù Ò Ý Ø Ò¹ Ú ÒÒÝ Ð Ù Ø ÙÖ ØØ z y z+y ÓÚ Ø Ô Ö ÐÐ Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ Ð z y = v z+y = u ÓÐÐÓ Ò Ò Ý ØÐ Ô Ö { z = v +y º½µ z = u y. ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ò ÙÑÑ Ò ÖÓØÙ Ò Ò Ð Ò ÚÙÐÐ Ò Ì Ø Ò x = z y = (z +y)(z y) = u v. ( x ) = x x = u v = uv. º¾µ ÄÙÚÙØ u v ÓÚ Ø ÒÒ Ù Ø ÐÐ Ø Ð ÙÐÙÚÙØ ÐÐ Ó syt(u,v) = d > 1 ØÐÐ Ò d (u + v) d (u v) Ñ Ø ÙÖ ØØ d y d z ÓÐÐÓ Ò syt(y,z) = d Ñ ÓÒ Ö Ø Ö Ò Ò ØØ syt(x,y) = 1º Ä ÑÑ Ò º½º½ ÒÓ ÐÐ Ò ØØ Ó ÐÙÚÙØ u v ÓÚ Ø Ò Ð ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò Ñ Ö Ø u = s ja v = t, Ñ s tóú Ø ÔÓ Ø Ú Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙغ ÃÓÖÚ Ñ ÐÐ u v Ò ÐÐ ÐÙÚÙ ÐÐ Ò Ú ÒØÑÐÐ Ý ØÐ Ø º½µ Ó z Ò Ð Ù Ø Ñ Ö ØÒ Ý Ø ÙÙÖ y = u v = s t. Ì Ø Ý ØÐ Ò º½µ ØÓ Ø ÔÙÓÐ Ø Ý ØÐ Ø º¾µ Ò z = v+y = v+u v = u+v = s +t ( x ) x = 4 = 4uv = 4s t. ¾

31 ÇØØ Ñ ÐÐ Ú Ñ Ø Ý ØÐ Ø Ò Ð ÙÙÖ Ø ÔÙÓÐ ØØ Ò Òx = stº ÃÓ ¹ y > 0 Ò Ò s > tº ÃÓ ÐÙ Ù Ò s t Ý Ø Ò Ò Ø d = syt(s,t)µ ÐÙÚÙÒ y ØØ ÐÙÚÙÒ z Ò Ò Ó Ø syt(y,z) = 1 ÙÖ ØØ syt(s,t) = 1º Î Ð ØÙÐ Ó Ó ØØ ØØ Ó Ó s Ø t ÓÒ Ô Ö ØÓÒ ØÓ Ò Ò Ô Ö ÐÐ Ò Òº ÌÑ ÓÒ ØÓØØ ÐÐ Ó ÑÓÐ ÑÑ Ø ÓÐ Ú Ø Ô Ö ÐÐ Ø ÑÝ ÐÙÚÙØ y z ÓÐ Ú Ø Ô Ö¹ ÐРغ Ë ÑÓ Ò Ú Ó ÑÓÐ ÑÑ Ø s ØØ t ÓÐ Ú Ø Ô Ö ØØÓÑ Øº Ë Ô ØÓ Ò Ò ÐÙÚÙ Ø s t ÓÒ Ô Ö ØÓÒ ØÓ Ò Ò Ô Ö ÐÐ Ò Ò ÓØ Ò s t (mod )º Ë Ô Ó Ò Ò ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó Ò ÒÒ ØÙ ÐÐ Ý Ø¹ Ð Ðк ÄÙ Ù Ò s t ÚÙÐÐ Ò ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ ÔÖ Ñ Ø Ú ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó Ø º Ñ Ö ÐÐÓ Ò ÙÒ s = 5 t = Ò x = st = 5 = 0 y = s t = 5 = 1 z = s +t = 5 + = 9 Ñ ÓÒ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó ÐÐ 0 +1 = 841 = 9 º Ä ÑÑ º¾º º ÇÐ ÓÓØ x = st y = s t z = s + t Ñ s t ÓÚ Ø ÒÒ Ù Ø ÐÐ Ø Ð ÙÐÙÚÙØ Ø Ò ØØ ØÓ Ò Ò Ò Ø ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ØÓ Ò Ò Ô Ö ØÓÒ s > tº ÌÐÐ Ò (x,y,z) ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Óº ÌÓ ØÙ º ÃÓÐÑ Ó(x,y,z) ÓÒ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó ÐÐx +y = (st) + (s t ) = s 4 +s t +t 4 = (s +t ) = z º Ì ÖÚ Ø Ò Ó Ó ØØ ØØ ÓÐÑ Ó ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Òº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ syt(x,y,z) > 1 ÓÐ ÓÓÒ p ÐÙÚÙÒ d Ð ÙØ º ÀÙÓÑ Ø Ò ØØ p ÐÐ Ô Ö ØØÓÑ Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ y zº ÇÐ ØÙ Ø p y p z ÙÖ ØØ p (z +y) p (z y) Ð p s p t º ÂÓ p t p ÓÐ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ò Ò p tº Ë ÑÓ Ò ÑÝ p s ÑÙØØ ØÐÐ Ò syt(s,t) = p 1 Ñ ÓÒ Ö Ø Ö ÓÐ ØÙ Ò Ò º Ì Ø ÙÖ ØØ d = 1 ÓØ Ò (x,y,z) ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Óº Ä ÑÑ Ø º¾º º¾º Ý ØÑÐÐ Ô ØÒ ÙÖ Ú Ò Ð Ù Ò Ä Ù º¾º º ÈÝØ ÓÖ Ò Ý ØÐ µº ÇÐ ÓÓØ x y z ÔÓ Ø Ú Ø Ó ÓÒ ÐÙ¹ ÚÙØ Ò Ò ØØ x ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Òº ÌÐÐ Ò (x,y,z) ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó Ó Ú Ò Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÒÒ Ù Ø ÐÐ Ø Ð ÙÐÙÚÙØ s t Ó Ø ØÓ Ò Ò ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ØÓ Ò Ò Ô Ö ØÓÒ Ø Ò ØØ x = st, y = s t ja z = s +t. ¾

32 ÌÓ ØÙ º Ä Ù ØÓ Ø ØØ Ò ÐÐ Ä ÑÑÓ º¾º º¾º º ÈÖ Ñ Ø Ú ÐÐ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó ÐÐ ÓÒ ÙÖ Ú ÓÑ Ò ÙÙ ÓØ Ò ÐÐ Ò Ð Ù Ò ÚÙÐÐ Ä ÑÑ º¾º º ÂÓ (x,y,z) ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó Ò Ò Ó Ó x Ø y ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ 3º ÌÓ ØÙ º ÂÓ 3 s Ø 3 t Ò Ò 3 x ÓÐÐÓ Ò ÐÐ Ñ Ò ØØÙ Ú Ø ØÓØ ÙØÙÙº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ 3 s 3 tº ÌÐÐ Ò Ò Ò Ð Ö Ð Ø Ú ØÓ¹ ØÓ ½º s = 3k +1 t = 3l+1 ¾º s = 3k +1 t = 3l+ º s = 3k + t = 3l+1 Ø º s = 3k + t = 3l+º ÃÙÒ Ý ÓÒ Ò ÑÑ Ò Ò Ú ØÓ ØÓ Ò Ý ØÐ y = s t = (3k +1) (3l +1) = (9k +6k +1) (9l +6l+1) = 3(3k 3l +k l) ÓØ Ò y ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ 3º Ì Ô Ù ¾ Ò ÙÖ Ú y = (3k +1) (3l+) = (9k +6k +1) (9l +1l+4) = 3(3k 3l +k 4l 1) Ð Ô Ø Ò ØÐÐ Ò Ò ØÙÐÓ Ò ØØy ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò3 ÐÐ º Ì Ô Ù ÓÒ Ú Ø Ú Ù Ò Ø Ô Ù ¾ Ú Ñ Ò Ú ØÓ ÓÒ Ø Ô Ù Ò y = s t = (3k +) (3l+) = (9k +1k +4) (9l +1l+4) = 3(3k 3l +4k 4l), ÓØ Ò 3 y ØÐÐ Ò Ò Ú Ø ÓÒ Ó Ó Ø ØØÙ Ó º Ñ Ö ÓÐÑ Ó (1,35,37) Ó x = 1 y = 35 x ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ 3 ÐÐ1 = 4 3º ÌÓ ÐØ ÓÐÑ Ó (8,45,53) ÐÙ Ù 45 ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÓÐÑ ÐÐ 45 = 15 3µº ¼

33 Ä ÑÑ º¾º º ÂÓ (x,y,z) ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó Ò Ò Ø Ö ÐÐ Ò Ý ÐÙÚÙ Ø x y Ø z ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ 5º ÌÓ ØÙ º Ä ÑÑ Ò ØÓ Ø Ñ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ò Ð Ò Ó ÒÒ Ñ ÐÐ ÐÙÚÙÐÐ 5º Ì ÙÐÙ ÓÓÒ ÓÒ ÓÓØØÙ Ò ÑÑ Ø Ò Ð ÐÙ¹ ÚÙØ Ó ÒÒ Ò Òº Ì ÙÐÙ Ó ½ Æ Ð Ò Ó ÒÒ n n ÒÒ (mod 5) Ì ÙÐÙ Ó Ø ÙÓÑ Ø Ò ØØ Ò Ð Ò Ó ÒÒ Ú Ò ÐÙÚÙØ ÙÒ Ø Ò ÐÙÚÙÐÐ 5º ÁØ Ò Ò Ò ÑÝ ÐÐÓ Ò ÙÒ Ð Ø Ò ÐÙÚÙ ÐÐ 5k 5k +1 5k + 5k +3 5k +4º Ì ÙÐÙ Ó ¾ Â Ó ÒÒ ÐÙ Ù Ò Ð ÒÒ mod(5) 5k 5k 0 5k +1 5k +10k k + 5k +0k k +3 5k +30k k +4 5k +40k Ë Ø Ò ÐÐ Ó ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ n Ó ÒÒ 0 1 Ø 4 ÙÒ Ø Ò ÐÙÚÙÐÐ 5º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ò ØØ x ØØ y ÚØ ÓÐ ÓÐÐ Ø ÐÙÚÙÐÐ 5º ÌÐÐ Ò Ò Ò Ð Ö Ð Ø Ú ØÓ ØÓ ½º x 1 (mod 5) y 1 (mod 5) ¾º x 1 (mod 5) y 4 (mod 5) º x 4 (mod 5) y 1 (mod 5) Ø ½

34 º x 4 (mod 5) y 4 (mod 5)º ÌÐÐ Ò Ó Ý ÓÒ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó ØÓØ ÙØØ Ý ØÐ Ò x + y = z µ Ò Ò ÓÒ ÖÙ Ò Ò Ð Ù ÒØ Ò ÒÓ ÐÐ Ò ÐÐ Ø Ú ¹ Ø Ú Ö ØÝ ½º z = 1+1 (mod 5) ¾º z = (mod 5) º z = (mod 5) Ø º z = (mod 5)º ÃÓ ÐÙÚÙÐÐ z ÚÓ ÓÐÐ Ó ÒÒ Ø Ø 35 ÐÐ ØØ ÐÙÚÙÒ Ò Ð µ Ò Ò Ó ÒÒ ÓÒ 0 Ð 5 ÐÙÚÙÒ zº Ë Ø Ò ØÙÐÓ ØØ Ó x ØØy ÚØ ÓÐ ÐÙÚÙÒ5ÑÓÒ ÖØÓ Ò Ò z ÓÒ Ú Ò ÑÓÒ ÖØ ÓØ Ò Ú ÒØÒ Ý ÓÐÑ Ó Ø (x,y,z) ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ 5º ÃÓ Ý ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó Ò Ò ÓÖ ÒØ Ò Ý ÓÐÑ ÓÒ ÐÙÚÙ Ø ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ 5 ÐÐ syt(x,y,z) = 1º ÌÐÐ Ò Ø Ö ÐÐ Ò Ý ÐÙÚÙ Ø ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ 5º ½¾ Ñ Ö ÓÐÑ Ó (84,13,85) Ú Ñ Ò Ò ÐÙ Ù zµ ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ 5 ÙÒ Ø ÑÙÙØ ÚØ ÓÐ ÐÐ ÓÐРغ ÌÓ ÐØ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó (60,91,149) Ú Ò x ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò 5 Ðк Ä ÑÑ º¾º½¼º ÂÓ (x,y,z) ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó Ò Ò ÐÙ Ù x ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ 4º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒx = st Ø Ò ØØsyt(s,t) = 1º ÃÓ ØÓ Ò Ò ÐÙÚÙ Ø s t ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ä ÑÑ Ò º¾º ØÓ ØÙ µ Ò Òx = (n)(n+1) = 4n(n+1) = 4(n +n) = 4m ÙÒ n,m Zº ÂÓØ Ò 4 xº ÆÑ ÙÖ Ù Ø Ò ÝÚØ Ø ÙÐÙ Ó Ó ÓÒ ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ ÈÝØ Ó¹ Ö Ò Ý ØÐ Ò ÑÙ Ø º ¾

35 Ì ÙÐÙ Ó ÈÖ Ñ Ø Ú ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó Ø s t x = st y = s t z = s +t

36 º ÖÑ Ø³Ò ÙÙÖ Ð Ù È ÖÖ ÖÑ Ø ½ ¼½¹½ µ ÓÐ Ö Ò Ð Ò Ò Ú Ö Ñ ÖÖ Ø Ð Ñ ¹ Ø Ñ Ø Ó ÓØ ÓÒ ÙØ ÙØØÙ ÖÖ Ø Ð Ó Ò ÙÒ Ò Ó ØÙ Ò Ò Ó ¹ Ø Ò Ñ Ø Ñ ¹Ø Ò Ð ÐÐ º ÖÑ Ø³Ò ØÙØ ÑÙ Ó Ø Ø ÓÐ Ú Ø ÑÙÙÒ ÑÙ Ö ÒØ Ð ¹ ÒØ Ö Ð Ð ÒØ ÑÙØØ ÝÚ Ò ØÖ ÓÒ Ò Ò ÚÙØÙ ¹ Ò ÐÙ ÙØ ÓÖ Ò Ð ÐÐ º ÖÑ Ø³Ò ÙÙÖØ Ð Ù ØØ ÒÓØ Ò ÑÝ ÖÑ Ø³Ò Ú Ñ Ð Ù ÐÐ Ý Ò Ò Ð Ù ÔÝ Ý ÖÑ Ø³Ò Ð Ù Ø Ô ÑÔÒ ØÓ Ø Ñ ØØ º Ë Ò Ø Ò Ù Ø Ò Ò ØÓ Ø ØØÙ Ð ¼ ÚÙÓ Ò ÝÖ ØØÑ Ò Ð Òº ÖÑ Ø³Ò ÙÙÖ Ð Ù ÑÙ ØÙØØ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ØØ Ø ÓÒ Ð ÙÒ ÒÙØ Òº ÌÑ ØÙÒÒ ØØÙ Ð Ù ÙÙÐÙÙ ÙÖ Ú Ø Ä Ù º º½º Ó ÒØÓ Ò Ý ØÐ ÐÐ x n + y n = z n ÓÐ Ó ÓÒ ÐÙ Ù¹ Ö Ø Ù Ó n > º ÌÓ ØÙ º ÌÓ ØÙ ÚÙÙØ Ø Ò Ò ÑÓÒ ÑÙØ ÙÙ Ò ÚÙÓ º Ó ÒØÓ Ò Ý ØÐ ÓÒ ÒÙØ Ò Ñ Ò Ö Ð Ø Ñ Ø Ñ Ø Ó Ø Ó ØÙØ ÑÙÓØÓ ax+by = c ÓÐ Ú Ý ØÐ Ø Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ ÙÖ Ø Ù¹ º ÖÑ Ø³Ò ÙÙÖ Ò Ð Ù Ò Ý ØÐ ÙØ ÙØ Ò Ù Ò ÔÐ Ò Ö Ó Ò¹ ØÓ Ò Ý ØÐ ÐÐ Ò ÙÚ ÓÐ ÙÓÖ º ÖÑ Ø³Ò ÙÙÖØ Ð Ù ØØ ÝÚ Ò ÑÓÒ Ø ÝÖ ØØ ÚØ ØÓ Ø ÑÙØØ Ò Ó ¹ Ò ØÙÐ Ú Ö Ð Ù Ò ØÓ ØÙ ÓÒÒ ØÙÒÙØ Ó ÓÒ ÙÙ Ò Ó Ò ÒÒ Ò Ù Ò Ò Ö Û Ï Ð ÔØÝ ÝÖ ØØÑÒ Øº Ë Ø ÑÒ ÚÙÓ Ò ÙÙÖ ¹ ØÙ Ò Ð Ò Ò ÔÖÝ ØØÑÒ ØÓ ØÙ Ò Ò Ò ÚÙÓÒÒ ½ ÑÙØØ ÓÙØÙ ÓÖ Ñ Ò ÓØ Ò ÐÓÔÙÐÐ Ò Ò ØÓ ØÙ ÙÐ Ø Ò ÚÙÓÒÒ ½ º Ï Ð ÝØØ ØÓ ØÙ Ò ÝÚ Ò ÑÓÒ ÒÐ ÐÙ ÙØ ÓÖ ÓÑ Ò ÙÙ ØÓ ØÙ Ð Ò ÑÙ Ò Ø Ò ÝÐÓÒ Ð Ø Ò Ø Ó Ø ÔØÝ Ò ÐÐ Ô¹ Ø Ò ÝÖ Ò Ò Ò ÑÓ ÙÐ Ö ÙÙØ Òº ÖÑ Ø Ø ØÓ Ø Ð Ù Ò Ó ÔÓØ Ò ÐÐ 3 4 ÚÙÓÒÒ ½ ÖÑ Ø³Ò ÙÙÖ Ð Ù ÓÐ ØÓ Ø ØØÙ Ó ÐÙÚÙÒ n ÖÚÓÓÒ Ñ Ð ÓÓÒ Ø ÑÙØØ Ö Ø Ò ØØ Ó Ó Ð Ù ÓÐ ØÓ Ø ØØÙº ½ º ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó ÅÖ Ø ÐÑ º º½º ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó ÓÒ ÙÓÖ ÙÐÑ Ò Ò ÓÐÑ Ó ÓÒ ÚÙØ ÓÚ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ñ ØØ Ø ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Òº ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓÒ ÚÙØ ÓÚ Ø ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó ÐÐ ÚÙØ ÓÚ Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙغ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó Ò ÐØÝÝ ÒÒÓ Ø Ú ÓÑ Ò ÙÙ º

37 Ä Ù º º¾º ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓÒ Ò Ô ÖÖ ØÝÒ ÝÑÔÝÖÒ ÓÒ Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÌÓ ØÙ º Å Ö ØÒ ÓÐÑ ÓÒ Ò Ô ÖÖ ØÝÒ ÝÑÔÝÖÒ ØØ r ÓÐÑ ÓÒ ÝÔÓØ ÒÙÙ z Ø ØØ x yº ÃÓÐÑ ÓÒ Ô ÒØ ¹ Ð Ò Ý ØÐ Ø ½º¾µ A = xy. º µ ÃÙÚ Ø ¾ Ò Ò ØØ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó ÚÓ Ò ÓÐÑ Ò ÓÐÑ ¹ ÓÓÒ Ó Ò Ó Ò ÓÖ Ù ÓÒ ÝÑÔÝÖÒ r ÙÒ Ò ÒØ ÓÒ ÓÒ ÓÐÑ ÓÒ Ý ÚÙ x y Ø zº ÃÙÚ ¾ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Óº ÆÝØ ÓÐÑ ÓÒ Ð ÚÓ Ò Ñ Ö Ø Ý ØÐ ÐÐ A = xr + yr + zr r(x+y +z) =. º µ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ò ÑÙ Òx +y = z º Ä Ù Ò º¾º ÑÙ Ò ÐÐ Ò Ý ØÐ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú Ø ÓÐÑ ÓØ Ò Ý ØÐ ÐÐ x = st, y = s t ja z = s +t, ÑÙØØ ÙÒ ÐÙØ Ò Ö Ø ÙØ ÓØ Ø Ò ÐÐ Ø Ò ÑÓÒ ÖÖ Ø x = kst, y = k(s t ) ja z = k(s +t ),

38 Ó k s t ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù º Å Ö Ø ÑÐÐ Ý ØÐ Ø º µ º µ Ý Ø ÙÙÖ Ò xy Ó Ø Ò ÝÑÔÝÖÒ Ø ÐÐ Ð Ù = r = r(x+y +z), xy x+y +z. Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ x Ò y Ò z Ò Ð Ù Ø Ý ØÐ Ò Ò r = kst k(s t ) kst+k(s t )+k(s +t ), Ñ Ø Ú ÒØÑÐÐ Ò Ø ÐÐ Ý ØÐ r = kt(s t). ÃÓ k,s,t Z Ò Ò Ò Ò ØÙÐÓ ÓÒ ÑÝ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ð Ø Ò ÖÚÓ ÓÒ Ó ÓÒ ÐÙ Ùº Ä Ù Ø º¾º ÙÖ ÑÝ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó Ø Ó Ú ÓÑ Ò ÙÙ ¹ º Ë ÙÖ Ù º º º ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓÒ Ø ØØ Ò Ô ØÙÙ Ò ØÙÐÓ ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ 1º ÌÓ ØÙ º ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓÒ Ø Ø Ø ÓÚ Ø x = st y = s t º ÃÓ ÐÙ Ù x Ø y ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ 3 Ä ÑÑ º¾º µ ÐÙ Ù x ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙй Ð 4 Ä ÑÑ Ò º¾º½¼ ÑÙ Ò Ò Ò Ö ØÑ Ø Ò Ô ÖÙ Ð Ù Ò º½º½ ÒÓ ÐÐ Ò Ò ØÙÐÓ ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò 1 ÐÐ º Ë ÙÖ Ù º º º ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓÒ Ò ÚÙ Ò Ô ØÙÙ Ò ØÙÐÓ ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò 60 ÐÐ º ÌÓ ØÙ º ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó ÚÙØ ÚÓ Ò ÐÑÓ ØØ ÑÙÓ Ó x = st y = s t z = s +t º Ä ÑÑ Ò º¾º ÑÙ ÒxÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ 3 Ä Ñ¹ Ñ º¾º½¼ ÔÙÓÐ Ø Ò ÖØÓÓ ØØ x Ø y ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò 4 ÐÐ Ä ÑÑ Ò º¾º ÑÙ Ø Ó Ù ÚÙ Ø ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ 5º Æ Ø Ò Ú Ø Ù ØØ ØÙÐÓ ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ 60º Ë ÙÖ Ù º º ÓÒ ÙÙ Ö Ð Ø Ú ØÓ ØÓ

39 ½º 3 x 4 x 5 x Ñ Ö ÓÐÑ Ó ÓÒ ÚÙØ ÓÚ Ø (60 = 3 4 5, = ) ¾º 3 x 4 x 5 y Ñ Ö ÓÐÑ Ó (1 = = 7 5) ÐÐ = = º 3 x 4 x 5 z Ñ Ö (4 = = 5 5) Ó = 400 = º 3 y 4 x 5 x Ñ Ö ÓÐÑ Ó ( 4 5 = = 9) Ñ Ø Ò = = º 3 y 4 x 5 y Ñ Ö ( ÐÐ 4 = = 15) = 040 = º 3 y 4 x 5 z Ñ Ö ÓÐÑ Ó ÓÒ ÚÙØ ÓÚ Ø (4 3 5 = 60) Ä ÑÑ º º º ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓÒ Ô ÒØ ¹ Ð A = x y ÓÒ Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÌÓ ØÙ º 1 ÂÓ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓÒ ÚÙØ ÓÚ Ø ÔÖ Ñ Ø Ú Ø Ä ÑÑ Ò º¾º ÑÙ Ò ØÓ Ò Ò ÒØ ÚÙ Ø x Ø y ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ØÓ Ò Ò ÓÒ Ô Ö ØÓÒº ÃÓ ÓÐÑ ÓÒ Ô ÒØ ¹ Ð Ò Ý ØÐ ÐÐ ½º¾µ Ò Ò Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ø ØØ ÚÓ Ò ÐÙÚÙÐÐ Ô ÒØ ¹ Ð Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙÒ ØÙÐÓº ÂÓ Ø ÚÙØ ÓÚ Ø ¹ÔÖ Ñ Ø Ú Ø Ò ÓÒ Ó Ó ÖÖÓØØÙ Ô Ö ÐÐ ÐÐ Ø Ô Ö ØØÓÑ ÐÐ Ó ÓÒ ÐÙÚÙÐÐ º ÂÓ ÑÓÐ ÑÑ Ø Ø Ø Ø ÓÚ Ø Ô Ö ÐÐ Ø ÚÓ Ò ÙÑÔ ÐÙ Ù Ø Ò ÐÐ º ÂÓ Ø ÚÙØ ÓÚ Ø ÓÒ Ò Ô Ö ØØÓÑ Ò ÐÙÚÙÒ ÑÓÒ ÖÖ Ø ØÓ Ò Ò Ø ØØ ÓÒ ÐØ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ÚÓ Ò ÐÐ º ÂÓØ Ò Ó Ø 1 ÙÖ ØØ Ô ÒØ ¹ Ð ÓÒ Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÇÒ ÓÐ Ñ ÐÐ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó Ø Ó ÐÐ ÓÒ Ñ Ô ÒØ ¹ Ð Ú Ò ÐÐ ÓÒ Ö Ñ ØØ Ø ÚÙغ Ë ÑÓ Ò Ð ÝØÝÝ ÓÐÑ Ó Ø Ó Ò Ô Ö Ø ÓÚ Ø Ý Ø Ô Ø Øº Æ Ø Ð ÝØÝÝ ÐÔÓÑÑ Ò ÒÐ Ø Ò ÓÐÑ Ó Ò Ô Ö Ø Ù Ò Ò Ò Ó Ò Ô ØÙÙ Ø ÓÚ Ø ÔÖ Ñ Ø Ú Øº Ì ÙÐÙ ÓÓÒ ÓÒ ÓÓØØÙ ØÐÐ Ø Ò ÔÖ Ñ Ø Ú Ø Ò ÓÐÑ Ó Ò Ø ØÓ º ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó Ø Ó ÐÐ ÓÒ Ý Ø Ù¹ ÙÖ Ô ÒØ ¹ Ð ÓÒ ØÙØ ÒÙØ ÑÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ó ÙØ Ò Ñ Ö Ó ÒØÓ È ÖÖ ÖÑ Ø Ä Û ÖÖÓÐк Î ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓÒ ÚÙØ Ô ÒØ ¹ Ð ÓÚ Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ ÑÓ Ò ÓÒ ÑÝ Ò Ô ÖÖ ØÝÒ ÝÑÔÝÖÒ Ø Ò Ð Ø Ò Ò ÓÐÑ Ó ÓÒ ÐÐ Ó ÓØ ÚØ ÓÐ Ó ÓÒ ÐÙ Ù º ÃÓÐÑ ÓÒ ÙÐÑ Ø Ò Ñ ØØ Ò ÓÚ Ø ÖÖ Ø ÓÒ Ð Ø ÐÑÓ Ø ØØ ÒÔ Ò Ø Ò Ø ØØ Ò Ö Ò Ò º Ñ Ö

40 Ì ÙÐÙ Ó ÈÖ Ñ Ø Ú Ø Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó Ò Ô Ö Ô ÒØ ¹ ÐÓ º ÚÙ Ò Ô ØÙÙ Ø Ô Ö Ô ÒØ ¹ Ð 0, 1, , 35, , 91, , 195, , 95, , 399, , 189, , 315, , 7, , 99, , 459, ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó (3,4,5) ÙÐÑ Ø ÓÚ Ø Ø Ò (36, ;53, ; 90 ) Ö Ò Ò (0, ;0,979...;0, )º Ä ÑÖ Ø ÖÚÓØ Ò ÐÐ Ù Ø Ò Ò ÚÓ Ò ÐÑÓ ØØ Ñ Ö Ø Ò ÝÑÑ Ò Ó Ò Ø Ö Ù¹ Ù ÐÐ ÙÐÑ Ø ÓÚ Ø 36,9 53,1 90 º ¾ ÂÓ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓÒ ÙÐÑ ÓÒ α Ø ØØ α 0 < Ò Ò ÒÓØ Ò ÓÐÑ ÓÒ ÓÐ Ú Ò 0 Ø ØØ Ý Ò Ó Ò Ø Ö ÙÙ ÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ β Ó Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓÒ ÙÐÑ Ø Ò ØØ 0 < β < 90 e Ó Ò Ö Ð ÐÙ Ù ÓÐÐ 0 < e < 1 e < β e < 90 βº ÖÚ Ó Ò ÝÐ Ø ÓØØ Ò ÙÐÑ β Ò Ø Ò ÒØ Ò Ø ÓØ Ò ÒØ Ò ÚÙÐÐ º Å Ö ØÒ ØÐÐ Ò ÙÖ Ú Ø X = tan(β e)+sec(β e), Y = tan(β +e)+sec(β +e), X = cot(β +e)+csc(β +e) ja Y = cot(β e)+csc(β e). Ä ÓÒ ÓÐ Ø ØØÙ ÝÐ Ø ØØ tan θ = sec θ 1 tanθ = cosθ sinθ secθ = 1 cotθ = cosθ 1 cscθ = º sinθ sinθ cosθ Ä Ù º º º ÇÐ ÓÓØ u v ÔÓ Ø Ú Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙغ ÌÐÐ Ò (1 ) X < u < v Y Ó Ú Ò Ó ÓÐÑ Ó (uv,u v,u +v ) Ð ÚÙ u v Ú Ø Ò ÓÐ Ú ÙÐÑ ÓÒ ÙÙÒÒ ÐÐ Ò β Ø ØØ e Ò Ø Ö ÙÙ ÐÐ ( arctan( u v ) β < e) uv

41 ( ) X < u v < Y Ó Ú Ò Ó ÓÐÑ Ó (uv,u v,u + v ) Ð ÚÙ uv Ú Ø Ò ÓÐ Ú ÙÐÑ ÓÒ ÙÙÒÒ ÐÐ Ò β Ø ØØ e Ò Ø Ö ÙÙ ÐÐ ( arctan( uv u v ) β < e)º ÌÓ ØÙ º 1 ÇÐ Ø Ø Ò ØØX < u < Y ½µºβ Ò e Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø Ó ØÙ Ò v 1 < X v < uº ÃÓ X < u < Y Ò Ò ÖØÓÑ ÐÐ ÔÝ ØÐ ÐÙÚÙÐÐ 1 v Ò X > u v > Y ÇØØ Ñ ÐÐ ÔÝ ØÐ Ø ÒØ ÐÙÚÙØ ÔÙÓÐ ØØ Ò Ò 1 X < v u < 1 Y. () Ä Ñ ÐÐ Ý Ø Ò Ý ØÐ Ø ½µ ¾µ Ò X 1 X < u v v u < Y 1 Y Ó ÓÒ Ó ØØ Ñ ÐÐ X Ò Y Ò Ð Ù Ø Ò ÔÝ ØÐ Ø ( ) 1 (tan(β e)+sec(β e)) < u tan(β e)+sec(β e) uv v uv u uv v uv ( < (tan(β +e)+sec(β +e)) 1 tan(β +e)+sec(β +e) ÃÙÒ A = tan(a)+sec(a) Ò Ò A 1 ( ) A = (tan(a)+sec(a)) 1, tan(a) + sec(a) Ñ ÚÓ Ò Ð Ý Ø Ò ÓÐÐÓ Ò Ò A 1 A = tan (a)+tan(a)sec(a)+sec (a) 1. tan(a) + sec(a) Ì Ò ÚÓ Ò Ó ØØ ÓÐ ØÙ ØØ tan θ = sec θ 1 ÓÐÐÓ Ò A 1 A = tan (a)+tan(a)sec(a)+tan (a). tan(a) + sec(a) (3) ). (4)

42 Ë Ú ÒØÑÐÐ Ý ØÐ ÐÓÔÔÙÙÒ Ø Ò ÓØ Ò Ý ØÐ Ø (3) (4) Ò A 1 A = tan(a), tan(β e) < u v uv < tan(β +e). º µ Â Ñ ÐÐ ÔÝ ØÐ Ø ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÙÚÙÐÐ Ô ØÒ Ý ØÐ Ò tan(β e) < u v uv < tan(β +e), Ó ÐÐ ÓÐ Ú Ð Ù Ø Ò ÔÖ Ñ Ø Ú Ò ÔÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓÒ ÐÝ ÑÔ ÚÙ ÒÒº ÇØØ Ñ ÐÐ Ö Ù Ø Ò ÒØ Ø Ý ØÐ Ø Ö¹ ØÑÐÐ β¹ ÙÐÑ Ý ØÐ Ò ÐÐ Ò ( e < arctan u v uv ) β < e. ÌÑ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Ø ÖÚÓ Ò ÚÙÐÐ ( ) arctan β < e, u v uv ÓØ Ò Ø Ò ØÓ Ø ØØÙ Ò ÑÑ Ò Ò Ý ØÐ ØÓ Ò ÙÙÒØ Òº Î Ð ØÓ ¹ Ø Ø Ò Ó ÐØ Ú ÑÑ ÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ z = u º ÃÓ ÓÐ Ø ØØÙ ÔÝ ØÐ ÚÓ Ò v Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó º µ Ò Ò Ñ ÐÐ ÑÑ Ò Ò Ð Ù Ø Ò Ó ¹ Ò Ò Ñ Ú Ø ÔÝ ØÐ tan(β e) < u uv v uv < tan(β +e), tan(β e) < u v v u < tan(β +e). ÀÙÓÑ Ø Ò ØØ ÔÝ ØÐ Ò ÐÐ ÓÒ ÐÙÚÙÒ Ò ÒØ ÐÙÚÙÒ ÖÓØÙ ÓØ Ò ÔÝ ØÐ Ò ÑÙÓØÓÓÒ tan(β e) < z 1 z < tan(β +e), ÓÐÐÓ Ò ÔÝ ØÐ ÚÓ Ò Ø Ò Ó Ò Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ø Ö Òº ÃÙÒtan(β e) < z 1 Ò Ò ÖØÑÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ÖØÓÑ ÐÐ z ÐÙÚÙÐÐ z > 0 Ô ØÒ ØÓ Ò Ø Ò ÔÝ ØÐ Ò tan(β e) z + 1 < 0 z > 0 z z +tan(β e)z +1 < 0. ¼

43 ÌÑÒ Ý ØÐ Ò ÒÓÐÐ Ó Ø Ð ÝØÝÚØ ÐÐÓ Ò ÙÒ Ð z = tan(β e)± (tan(β e)) 4 ( 1) 1, ( 1) z = tan(β e)± 4(tan (β e)+1). ÇØØ Ñ ÐÐ Ò Ð ÙÙÖ Ø Ø 4ÙÐÓ ÝØØÑÐÐ ÝÚ ÓÐ ØÙ Ø tan θ = sec θ 1 Ó Ø Ò ØØ tan θ +1 = sec θ Ò z ÐÐ Ð Ù ( tan(β e) ) sec (β e) z =, Ñ Ú Ò ÑÙÓØÓÓÒ z = tan(β e) sec(β e), ÓØ Ò z < tan(β e) sec (β e) Ø z > tan(β e)+sec(β e)º ÃÓ tan(β e) sec(β e) < 0 Ò Ò Ý Ú Ø Ù ÐÐ z < 0 ÓØ Ò X = tan(β e)+sec(β e) < zº Î Ø Ú Ø ØÓ Ø Ø Ò ØØ z < tan(β + e) + sec(β + e) = Y ÙÒ z 1 < tan(β+e) ÐÐ ØÐÐ Òz Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÚÐ ÐØ]0,tan(β+e)+sec(β+e)[º z Ë Ø Ò ØÓ Ø ØØÙ ØØ X < z = u < Y º v Ì Ô Ù Ò ( ) ØÓ Ø Ñ Ò Ò Ñ Ò Ú Ø Ú Ø º ¾ Ñ Ö º º º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓÐÑ ÓØ ÓÒ ÚÙØ ÓÚ Ø 0 1 9º ÃÓÐÑ Ó ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó ÐÐ Ò ÚÙØ ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ 0 = 5 1 = 5 9 = 5 + Ð u = 5 v = º ÌÐÐ Ò ÚÙ 1 Ú Ø Ú ÙÐÑ tan 1( 1 0) = 46,39718 µ ÓÒ Ø Ò ÝÑÑ Ò Ó Ò Ø Ö ÙÙ ÐÐ 46,4 Ó X = tan(46,4 0,1)+sec(46,4 0,1) =,4938 Y = tan(46,4 + 0,1) + sec(46,4 + 0,1) = 5,5065 u/v = 5/ =,5 Ð,4938 <,5 < 5,5065µº ÌÓ Ò Ò ÓÐÑ ÓÒ ÙÐÑ α = tan 1( 0 1) = 43,608 ÓÒ ÔÙÓÐ Ø Ò ÝÑÑ ¹ Ò Ó Ò Ø Ö ÙÙ ÐÐ 43,6 ÐÐ X = cot(α+e)+csc(α+e) = cot(43,6+ 0,1)+csc(43,6+0,1) =,4938 Y = cot(α e)+csc(α e) = cot(43,6 0,1)+csc(43,6 0,1) =,5065 ÓØ Ò X < u/v =,5 < Y º ½

44 Ø ÒÚ ØÓ ØÙ Ò ÓÐ Ø Ö Ø ÐÐ Ø ØÝ ÔÖ Ñ Ø Ú ØØ ¹ÔÖ Ñ Ø Ú ÓÐÑ Ó Ø ÑÙØØ Ò ÙÙÖ Ò Ø ÐÐÝØ ¹ÔÖ Ñ Ø Ú ÓÐÑ Ó Ø º Ä ÓÐ Ò ÓÐÑ Ó Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÝØØÒÝØ Ú Ò Ý ÒÐ Ø ÓÐÑ Ó Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ø Ô Ð ÓÐÑ Ó Ø ÓØ ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ (st,s t,s +t )º ÂÓ ØØ ØÝ Ø Ð Ø Ò Ð ÒØ Ñ Ò ÚÓ Ò ØÙØ ÑÙ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÒØ Ò ÓÑ Ò ÙÙ ÓÐÑ Ó Ø ÓØ ÚØ ÓÐ ÔÖ Ñ Ø Ú Ú Ò Ò Ø ÓÒ Ô Ð ÓÒº ÒÒ Ò Ù Ò ÖÑ Ø ÑÙÓ Ó Ø ÈÝØ ÓÖ Ò Ý ØÐ Ò ¾º½º½ ÓÐ Ð Ý ØØÝ Ö Ð ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ø ÔÓ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó ÐÐ Ñ Ö ÈÝØ Ó¹ Ö Ò ÈÐ ØÓÒ Ù Ð Ò ÒÒ Ø Ó ÐÐ Ð Ý ØØ Ò Ö Ð ÓÐÑ Ó Ø ÑÙØØ ÓÐÑ Ó Ø Ò ÐÐ Ù Ø Ò Ò Ð ÝØÝÒÝØ ½¼ ½ ¹¾¼ º Æ ÒÒ ÓÐ Ò ÐÙÙØ Ò Ð ØÓ ÐØ Ò Ò Ö Ð ÙÙ ØÓ ÐØ Ñ ÒÐ ÙÙ ÓØ Ò ÒØ Ò Ð Ù Ú Ø ØØÓ Ú Ø Ñ ÒÒ ÐÔÓ Ø Òº ÌÓ ÐØ ÓÐ Ò Ø ØÝ Ô ÝØ ØÓ Ø Ñ Ò ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ØØ Ö Ð ÐÐ Ø ÚÓ ÐÐ ÓÐ Ò ÙÓÑ ÒÒÙØ Ñ Ø Ò Ô Ð ÓÒ Ò Ø ÓÒ Òº Î Ð Ø Ó Ø ÓÐ Ò ÝØØÒÝØ ÓÒ Ö Ð ØÓ ØÙ Ø ÔÓ Ò Ø Ð ÝØÝÝ ÑÝ ÑÙÙ ÐØ º À Ø Ú ÒØ ØÓ ØÙ ÓÐ Ô Ø ÐÐ ØÓ ØÙ Ò ÝØ Ñ Ò Ó Ø ÓÐÐÙØ ÙÓÖ Ò Ø ÖÖÓØØÙ ÑÙØØ ØÓ ÐØ Ò ÝØØ ÑÝ Ý Ò ÖØ ØÓ ØÙ ÙØ Ò ÖØÓ Ò ÚÙÐÐ ØÓ Ø Ñ Ø Ó Ò Ñ Ð Ò ÙÓÖ Ò ÙÚ Ò ÚÙÐÐ Ù Ò ØÓ ØÙ Ø Ò º Ø Ò Ð Ñ Ø Ö Ð ØÝ Ò ÝÐÐØÝ Ò ÙÒ ÙÓÑ Ò ØØ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÓÐ ÙÙÖ Ò Ø ØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ø ÓØ ØØ Ð ÚØ ÈÝØ Ó¹ Ö Ò Ð Ù ØØ Ø ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó Ø º ÌÙÒØÙÙ Ó Ð Ò Ú Ò Ò ÐØ Ú ÓÚ Ø Ó ÑÙÙØ Ø Ú Ò Ñ Ð Ò ÒØÓ ÑÔ ÇÑ Ø Ñ Ð ØÒ ÈÝØ Ó¹ Ö Ò Ð Ù ÓÐ Ú Ò Ò Ò Ò ÐÐ ÙÙ Ö Ð ØÓ ØÙ Ð Ý ØÒ ÑÝ ÒÝ Ý Ò Ñ Ö Ñ Ò Ð ÝØÑ ØÓ ØÙ ÓÒ Ú Ò ÑÙÙØ Ñ Ò ÚÙÓ Ò Ú Ò º ÔÙÓÐ Ø Ò ÓÐ ØÝÐ ÐÐ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ÓÒ Ý ØÙÒÒ ØÙ ÑÑ Ø Ñ Ø Ñ Ø Ò ÚÓ Ø ÐÐ ÚÓ ÓÐÐ ÝØØ Ö ÐÑ º ¾

45 Î ØØ Ø ½ Þ Ð º º ÖÑ Ø³Ò Ø ÓÖ Ñ º ÏËÇ À Ð Ò º ½ ¾ Ò Ð Ò Ïº ˺ Í Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÌÖ Ò Ð ØÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò Ð º Å ÎÓк ½ µ ÆÖÓº º ¼¹ ½ Ó ÓÑÓÐÒÝ º ÈÝØ ÓÖ Ò Ì ÓÖ Ñ Ò Ø Ñ ÒÝ ÔÖÓÓ º ¾¼½¾ ØØÔ»»ÛÛÛºÙØ¹Ø ¹ ÒÓغÓÖ»ÔÝØ ÓÖ» Ò Üº ØÑÐ ÐÙ ØØÙ º º¾¼½¾ ÙÖØÓÒ º ź Ð Ñ ÒØ ÖÝ ÆÙÑ Ö Ì ÓÖݺ Å Ö Û¹À ÐÐ Æ Û ÓÖ º ¾¼½½ Ð Û ÐÐ º ú ÈÖÓÓ Ó ÖÑ Ø³ Ä ØØÐ Ì ÓÖ Ñº ½ ØØÔ»»ÔÖ Ñ ºÙØѺ Ù»ÒÓØ»ÔÖÓÓ» ÖÑ Ø Ä ØØÐ Ì ÓÖ Ñº ØÑÐ ÐÙ ØØÙ ¼º º¾¼½¾ ÙÒ Ñ Ïº Ì Å Ø Ñ Ø Ð ÍÒ Ú Ö Ò ÐÔ Ø Ð ÂÓÙÖÒ Ý Ì ÖÓÙ Ø Ö Ø ÈÖÓÓ ÈÖÓ Ð Ñ Ò È Ö ÓÒ Ð Ø º Ï Ð Ý Æ Û ÓÖ º ¹½¼½º ½ ÒÝÐÓÔ Ö Ø ÒÒ º Ì Ø Ò ÉÙÖÖ º ÒÝÐÓÔ Ö Ø ÒÒ ÇÒÐ Ò Ñ Ø ÓÒº ÒÝÐÓÔ Ö Ø ÒÒ ÁÒº ¾¼½¾º ÃÓÖ ÓÒ Ò Àº Å Ø Ñ Ø Ò ØÓÖ Ò Ò Ð ÑÓ º Å Ã ¹ Ù Ø ÒÒÙ ÇÖ Ñ ØØ Ð»Ä Ø º ½ ÃÓ Ý Ìº Ð Ñ ÒØ ÖÝ ÆÙÑ Ö Ì ÓÖÝ Û Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ º Ñ ÈÖ Ñ Ø Ö Ñ º ¹ ¾ º ¾¼¼ ½¼ ÄÓÓÑ º ˺ Ì ÈÝØ ÓÖ Ò ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÁØ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Ò ¹ ÐÝÞ Ò Ð Ò Ð Ó Ö Ô Ý Ó ËÓÙÖ ÓÖ Ø Ó Ø ÓÙÖ Ã Ò Ó ÈÖÓÓ º Æ ÌÅ Ï Ò ØÓÒ º º ½ ¾ ½½ ÄÓÓÑ º ˺ ÒÓØ Ö ÈÖÓÓ Ó Ø ÈÝØ ÓÖ Ò Ì ÓÖ Ñº Å ÎÓк ½ ¼½µ ÆÖÓº ½½ º ¾ ½¾ Å Ø Ð Ö Ø ÓÒº Ì Ì ÓÖ Ñ Ó ÈÝØ ÓÖ º Ô ÚÝ Øº ØØÔ»»ÛÛÛºÑ Ø Ð Ö Ø ÓÒºÓÑ»ÔÝØ Ó ÓÖ Ò ØÖ ÔÐ º ØÑÐ Ð٠ع ØÙ º½¼º¾¼½¾

46 ½ Å Ø Ï Ö ÓÙ º ÈÖÓÚ Ò ÌÖ Ò Ð ÓÒ ÖÙ ÒØ Û Ø ËËË Ë Ë Ë ÀÝÔÓØ ÒÙ Ä Ò ÇØ Ö Ì ÓÖ º Ô ÚÝ Øº ØØÔ»»ÛÛÛºÑ Ø Û Ö ÓÙ ºÓÑ» ÓÑ ØÖÝ»ÓÒ ÖÙ ÒØ ØÖ Ò Ð» ÐÙ ØØÙ º º¾¼½¾ ½ Ñ Âº ÇÒ Ø ÈÓ Ð ØÝ Ó ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÈÖÓÓ Ó Ø ÈÝØ ÓÖ Ò Ì ÓÖ Ñº ÓÖÙÑ ÓÑ ØÖ ÓÖÙÑ ÆÖÓº ¾¼¼ µ º ¾ ¹¾