Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð
|
|
|
- Ari-Matti Lehtilä
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Ý ÒØØ Ð Ø ÒÖ Ð Ø ÒØØ Ì Ò À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ
2 Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÃÓÑÑÙÒ Ø ÓØ ÖÔ Ò Ö Ó ØØ Ñ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÅÙÙÒÒÓ Ð ÒÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ä Ø Ø ½¼
3 ½ ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ ÓÒ Ö Ø ÐÑ Ó ÓÒ Ù Ø ÒÒ ÓÑÑÙÒ Ó Ú ÓÑÔÓÒ ÒØØ ÚÓ ÓÐÐ ÐØØ Ò ÑÓÒ ÐÐ Ú Ö Ø ÐÐ ÓØ Ú Ö ÒØ Ú Ø Ö Ø ÐÑÒ Ó Ò ÙÓÖ ØÙ ¹ Òº Î Ö Ø ÚÓ ÓÐÐ Ñ Ö Ö ÓÑÑÙÒ Ø ÓÝ Ø Ý Ö Ø ÐÑÒ Ó Ò ÙÓÖ ØÙ Ò ÔÝ ØÝÑ Ò Ò ÐÓÔÙÐÐ Ø Ø Ó Ò Ø Ö Ø ÐÑÒ Ó Ò ÓÙØÙÑ Ò Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ø Ð Ò Ò Ó ØÙÒ Ò Ö Ò ÙÖ Ù Ò º Í Ö Ø ÐÑÒ Ú ØÓ ÙÙØØ ÙÚ Ú Ñ ÐÐ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ Ö Ø ÐÑÒ ØÓ ¹ Ñ ÒÒ ÓÐ Ú Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø ØÓ Ñ Ú Ø Ó ÐÐ Ø Ú ÐÐ ÓÒ Ò Ò Ø Ò Ð Ò Ò Ø ÓÒ ÔÙ ØØ Ñ Ø Ò Ú Ø ÑÙÙ Ø Ö Ø ÐÑ Øº Ì Ô Ô Ö Ø Ö¹ Ø Ð ÑÑ ÐÐ Ø Ú ØÓ ÙÙ Ò Ñ ÐÐ Ó ÓØ Ò Ö Ø ÐÑÒ ØÓ Ñ ÒÒ ¹ ÓÐ Ú Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø ÚÓ Ú Ø ØÓ Ñ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò Ú Ö ÐÐ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ñ ÒÝØØÝØÝÝ Ö Ø ÐÑÒ Ó Ò ØÓ Ñ Ú ÐÐ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÐÐ Ø Ò ØØ Ò ÚÓ Ú Ø ¹ Ú Ø Ú Ö ÐÐ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓØ Ò ÐØ ÚÖ Ò ØÓ Ñ Ú ÐØ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÐØ º Ì Ú ¹ ØÓ ÙÙ Ñ ÐÐ Ö Ø ÐÑ ÚÓ Ù Ø Ò Ò Ó ÓÒ ÙÙØ Ò ØÓ Ñ Ó Ò ÚÖ Ò ØÓ Ñ Ú Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ò ÙÓÐ Ñ ØØ º ÌÑÒ Ö Ó Ø ÐÑ Ò Ø Ö Ó ØÙ Ò ÙÚ ÐÐ Ø Ö ÑÑ Ò ÐÐ ÐÙÓÒÒÓ Ø ÐØÙ Ñ ÐÐ ÓØ ÙØ ÙØ Ò Ý ÒØØ Ð Ú ØÓ ÙÙ ÝÞ ÒØ Ò ÙÐØ ØÓÐ Ö Ò µ Ö ¹ ØÝ Ø ÔÙÖ ÙØÙ Ò Ó Ò Ò Ú ØÓ ÙÙ Ö Ø Ù Ò Ú Ð Ó Ù ÐÐ Ñ ÐÐ Ò Ö Ó Ø ¹ Ô Ù ÐÐ º ÅÖ ØØ Ð ÑÑ ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ Ò Ó ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ñ Ú Ò Óѹ ÔÓÒ ÒØØ Ò ÓÒ Ô ØÚ Ý Ñ Ð ÝÝØ Ò Ý ÒØØ Ð Ú Ö Ñ ÐÐ º Ì ÖÑ Ý¹ ÒØØ Ð Ò Ò Ú ØØ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ó Ø ÐØ Ò Ä ÑÔÓÖØ Ò Ë Ó Ø Ò È Ò ½ ¾ ÙÐ ØÙ ÖØ Ð ÄËÈ ¾ ÙÚ Ñ Ò ØÖ Ø Ð¹ Ð Ø Ú ÐÐ Ö Ø ÐÑ Ó ÓÒ Ú Ö ÐÐ Ø ØÓ Ñ Ú Ó Ö Ø ÐÑ ÓØ Ð Ú Ø¹ ØÚØ ØÓ Ñ Ú Ò Ó Ö Ø ÐÑ Ò ÙÙØ Ò Ú Ö ÐÐ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓØ º Ë ÙÖ Ú ÐÙÚÙ ÝÑÑ ÐÔ ØÑÒ Ð Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ò Ð Ò Ô Ö ÝÑÑ Ñ ÐÐ Ò Ð ÒÒÓ Ò Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ ÐÑ ÒÒÓ ØÙ Ø ÓÐÐ Ò Ó Ø Ò Ý Ò ÖØ ØÙ Ö Ø Ð ÒØÓ ÓÒ Ø ÓÐÐ ÙÙ Ò ØÙÐÐ Ø ÝØÒÒ Ò ÓÒ ÐÑ Ø ÏÄ + º Ë Ò ÓÒ ÐÑ Ù Ò ÔÖÓ Ò Ó Ø Ó Ò Ò ÐÙ Ñ ÓÑ Ø ÓÖ Ù Ñ Ø¹ Ø Ö Ø Ò Ô Ø Ô Ø Ý Ñ Ð ÝÝØ Ò Ð ÒØÓ ÓÒ Ò Ð ÒØÓ ÓÖ Ù Ø º Ò Ö¹ Ø Ò Ò ÖÚÓÒ Ð Ñ Ò Ò ÚÐØØÑØØ ÓÐ ØÓ Ñ Ú Ö Ø Ù ÓÒ ÐÑ Ò Ó Ú ÐÐ Ø ØÓ Ñ Ú Ø ÔÖÓ Ø ÚÓ Ú Ø Ð ØØ Ö ÓÖ Ù ÐÙ Ñ Ö ÔÖÓ ÐÐ ÓÐÐÓ Ò ÖÚÓ Ö ÔÔÙÙ Ø Ñ ÐØ ÔÖÓ ÐØ Ý ÝØÒº ÌÓ Ò Ò Ú Ø Ú ÒÐ Ò Ò ÓÒ ÐÑ ÓÒ ÙØ ØØÙ Ú ÒÓÓ Ó ÔÖÓ Ø ÚÓ Ú Ø Ø Ö ÐÐ Ú ÒÓÓ ÔÖÓ¹ ÙÙÖ ÓÐÐ Ò Ö Ø ÐÑ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÐÐ Ò Ò Ô Ø ÓÑ Ò ØÙÐÓ Ø Ò ÔÓ ¹ ÐØ Ø Ý Ø Ò Ò ÔØ Ø ÓÒ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ú Ø Ñ Ò Ø ÖÔ º Ý Òع Ø Ð Ø Ú ØÓ ÑÓÒ ÔÖÓ Ö Ø ÐÑ ÓÒ Ø ØØÝ ØÙÖÚ ÐÐ ÙÙ Ö ØØ Ò Ó¹ Ú ÐÐÙ Ò Ñ Ö Ñ ØØÑØØ Ñ Ù ÐÐÙ Ú Ò Ý Ò Ù ÐÐÙ Ú Ò Ý ÒÚÓ Ñ ÐÓ Ò ÐÐ ÒØ Ö Ø ÐÑ ÄÝÒ ÄÀ ½ º Ý ÒØØ Ð ÐÐ Ú ØÓ ¹ ÙÙ ÐÐ ÚÓ ÓÐÐ Ý Ò Ò Ú ÑÖ Ò Ø ÖÚ ØØ Ð ÑÔÒ Ø Ú ÐÐ Ø ÝØØ ÓÐ Ú ÓÚ ÐÐÙ Ö Ø ÐÑ º Ñ Ö Ú Ö ÓÒ ÝÐ Ø Ô ØÙÚ Ø Ý Ý ¹ Ø ÓÔ Ö ØØÓÖ Ú Ö Ø Ó ÐÑ Ú Ö Ø ÓÚ Ø ÝÐ ÙØØ Ý ÒØØ Ð ÐÐ ¹ Ö ÐÐ º Ä ÒØÝÒÝØ Ö ÔÔÙÚ ÙÙ Ø ØÓ ÓÒ Ö Ø ÐÑ Ø Ð ÑÝ ÑÓØ Ú Ò Ò
4 Ó ØÙÚ ÐÐ Ú Ñ Ð ÐÐ Ý Ý ÐÐ º Ç ÐÑ ØÓ Ò ÓÓÒ ÑÓÒ ÑÙØ ÙÙ Ò Ú ÙÙÖ Ò ÑÝ Ó ÐÑ ØÓÚ Ö Ò Ö º ¾ ¾ ¾º½ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ÅÖ Ø ÐÑ Ò ÖØ ÙÙ Ò ÚÙÓ Ø Ø Ð Ø Ò Ø Ö Ó Ø ÐÑ ÙØ ÙØ Ò Ø Ò Ø ØÓ Ñ Ú ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ø Ó Ö Ø ÐÑ ÔÖÓ º Ì Ò Ñ ÒÒ Ø Ò Ù Ø Ò Ò ÔÓ Ù Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ ÐÑ ÙÚ Ú Ò ÐÙÚÙÒ Ò Ó Ò Ø ÓÑÔÓÒ ÒØØ ÙØ ÙØ Ò ÒÖ Ð º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÔÖÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ö Ø ÐÑ Ú Ö ÓÒ Ó ÔÖÓ Ø ÓÚ Ø Óй ÑÙ ÔÖÓ Ò ÚÐ Ø Ú Ø Ý Ø Ý Ø Ö º ÇÐ Ø Ø Ò ØÓ Ø ØØ Ú Ö Ó ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙ ¾º ØØ ÓÐ ØÙ Ø ØÙÐÐ Ò Ð Ú ÒØÑÒº ØÙ Ñ ÐÐ Ò ÝØ ØÒ ÝÒ ÖÓÒ Ø Ñ ÐÐ º Ë Ò ÔÖÓ Ø Ø ÚØ Ð Ø ¹ Ñ Ò Ø Ý ÐÐ ÖÖÓ ÐÐ Ý Ò Ð Ò Ó ÔÙÓÐ Ø Ò ÚÓ ÓÓ ØÙ Ù ¹ Ø ØÓÑ Ø ÙÓÖ ØÙ Ø º ÐÐ ÖÖÓ ÐÐ ÔÖÓ Ø Ò Ò Ú Ø ÒÓØØ Ú Ø Ò Ð¹ Ð Ð Ø ØÝØ Ú Ø Ø Ý Ø Ø ÚØ Ð ÒØ Ñ Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ý Ø ÐÓÔÙ Ð ØØÚØ Ú Ø ÑÙ ÐÐ ÔÖÓ ÐÐ Ý Ø º Å ÐÐ Ù Ò Ò ÚÓ ÙÓÖ Ò ÓÚ ÐØ ÝØÒÒ Ò ÙØ ØØÙ Ò Ö Ø ÐÑ Ò ÑÙØØ Ñ Ð¹ Ð ÐÐ ØÙ ØÙÐÓ ÚÓ ØÓ Ò Ò ÝØØ Ð ÑÑ Ò ÓÒØ Ø Ó Ó Ñ Ò ÑÙÓ Ø Ò Ø ØØ Ò ÝÑÑÖØÑ Ò ÔÙÒ º Ã Ö Ó Ø ÐÑ Ø Ò ÑÝ ÓÐ ØÙ ÚÖ Ò ØÓ Ñ Ú Ò ÔÖÓ Ò ÐÙ ÙÑÖÒ Ù ¹ Ø Òº Ö ÔÖÓ Ú Ó ÙÚ Ú Ñ ÐÐ Ú ÐÐ ÔÖÓ ÒØÝÝ ÓÒ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÑ Ò ÑÙ Òº Ã Ø Ö Ó Ø ÐÑ Ø ÐÐÝ Ø Ô Ù ¹ Ú ÐÐ Ø Ò ÔÖÓ Ò ÐÙ ÙÑÖÐÐ Ú Ø Ò Ó Ò ÒØ ÝÐÖ º ÌÑ Ý Ò¹ ÖØ Ø Ò ÐÝÝ ÙÓÑ ØØ Ú Ø º Ò ÖØ ØÙ ÓÒ Ð Ô ÖÙ Ø ÐØÙ ÙÒ Ø Ø ÐÐ Ò Ñ Ö ØÝ ØØ ÓÒ ÔØÓ ÒÒ Ø Ø Ô ØÙÚ Ò Ò ÑÑÒ Ù Ò f Ú Ö¹ Øغ ÌÓ ÐØ ÑÓÒ ÝØÒÒ Ò Ø Ð ÒØ ÙÙÖ Ú ÐÐ Ø Ò ÔÖÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ Ú ØØ Ð Ú Ö Ò ØÓ ÒÒ ÝÝØØ Ñ Ð Ø ÝÐÖ Ú Ö ÐÐ Ò Ò ÚÓ ¹ ÒØ º ÇÐ ØØ Ñ ÐÐ ÝÐÖ Ò Ú ÐÐ Ø Ò ÔÖÓ Ò ÑÖÐÐ ÓÐ Ø Ø Ò Ñ ÐÐ ØØ Ú Ø ÓÖÖ ÐÓ Ú Ø Ò Ø Ú Ø ÙÒ ÝØÒÒ Ò Ô ÑÑ Ò Ò ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ØÓ Ø Ò Ø ÓÖÖ ÐÓ Ú Ø ÔÓ Ø Ú Ø º ØØ Ð Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ Ò Ö Ñ ÒØ ÔÖÓ Ð Ñµ ÑÖ ØØ ÐÝÒ ÔÝ ØÝÑ Ú Ö¹ ÐÐ ØÓÔÔ Ò ÐÙÖ µ ØØ Ý ÒØØ Ð ÐÐ Ö ÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ V ÖÚÓ ÓÙ Óº ÂÓ ¹ Ò ÔÖÓ Ò Ý Ø Ð ÙØ Ð ÓÒ Ó Ò ÓÙ ÓÒ V ÖÚÓº ÈÖÓ Ò ÔÑÖÒ ÓÒ ÐÓÔÙÐØ ØÙÐÓ Ø ÔØ d ÓÙ Ó Ø V º ÈÖÓ Ò j Ú Ø ÒÓØØ Ñ ÔÖÓ Ò i ÖÚÓ Ñ Ö ØÒ v i ØØ Ñ Ö ÒØ ÚÓ Ò ÝØØ ÑÝ ÔÖÓ Ò i Ð Ù ÖÚÓÐÐ º ÈÝ ØÝÑ Ú Ö Ñ ÐÐ ÔÖÓ Ò ÙÓÖ ØÙ ÚÓ ÔÝ ØÝ Ó ÓÒ Ò Ñ ÐÐÓ Ò Ø Ò º Ö ØÝ Ø ÙÓÖ ØÙ ÚÓ ÔÝ ØÝ ÐÐ Ú Ø ÒÐ ØÝ ÐØ ÓÐÐÓ Ò ÐÐ ÖÖÓ ¹ ÐÐ ÓÐÐ ÔÖÓ ÔÝ ØÝÝ Ú Ò Ó Ð ØØ Ø Ö Ó ØÙ Ò ÓÐ Ú Ø Ú Ø Ø ØÓ¹ ÐÐ Ð Ø ØÒº ÈÖÓ ÚÓ ÑÝ ÔÝ ØÝ Ð Ø ØØÝÒ ÖÖÓ Ò Ú Ø Ø ÑÙØØ
5 ÒÒ Ò ÖØÝÑ Ø ÙÖ Ú Ò Ø Ð Ò º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½ ÃÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ÔÝ ØÝÑ Ú Ö Ñ ÐÐ µ ÔØ ÂÓ Ò Ò ¹Ú Ö ÐÐ Ò Ò ÔÖÓ ÐÓÔÙÐØ ÔØØ ÖÚÓÒ d i V º ÓÒ Ò Ù ÂÓ Ò Ò ÔÖÓ ÔØØ Ñ Ò ÖÚÓÒ d V º Ú Ð ÙÙ ÂÓ Ò ÔÖÓ ÓÖ Ò Ð Ù ÖÚÓØ v i ÓÚ Ø ÒØØ Ø Ò Ò d i = v i ¹ ÐÐ ÔÖÓ ÐÐ iº Ý ÒØØ Ð Ú Ö Ñ ÐÐ ÔÖÓ ÚÓ Ô Ø ÔÝ ØÝ ÑÝ ÝØØÝØÝ Ñ Ð ¹ Ú ÐØ ÐÐ Ø Ú ÐÐ º Å Ð Ú ÐØ ÙÙ Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ ÔÖÓ ÚÓ ÝÒÒ ØÝ Ñ ¹ Ð Ú ÐØ Ø Ð Ó ÚÐØØÑØØ ÙÙÐÙ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ Ò Ð ÙØ ÐÓ Ò ÚÓ Ð ØØ Ñ Ð Ú ÐØ Ú Ø ÚÓ Ø Ñ Ð Ú ÐØ Ø Ð ÖØÝÑ º ÒÓ Ö Ó ¹ ØÙ Ò Ò Ú Ö ÐÐ Ø Ò ÔÖÓ Ò ÝØØÝØÝÑ ÐÐ ÓÒ ØØ Ò ÚÓ Ú Ø Ú ÙØØ Ú Ò Ò Ò ÔÖÓ Ò Ú Ø ÐÐÒ Ñ Ò Ò ÐÐ ÓÒ Ú Ø Ý Ø Ý ÚÓ Ú Ø Ú ÙØØ ÙÓ¹ Ö Ò Ú Ò ÓÑ Ò Ø Ð Ò º ÈÖÓ Ò ÚÐ Ò Ò Ú Ø ÒÚÐ ØÝ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ø Ö ÑÑ Ò ÙÖ Ú Ò ÓÐ ØÙ Ò ÚÙÐÐ Î Ø ÒÚÐ ØÝ Î½ ÂÓ Ò Ò Ð Ø ØØÝ Ú Ø ÙÐ Ø Ø Ò Ô Ö ÐÐ Ó Òº ξ Î Ø Ò Ú Ø ÒÓØØ Ø Ø Ñ ÔÖÓ Ð ØØ Òº Î Î Ø Ò ØÙÐ Ñ ØØ Ñ Ò Ò Ú Ø Òº ÇÐ ØÙ Ø Î½ ξ ØÚØ Ú Ö ÐÐ Ø ÔÖÓ Ö Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ò ÚÐ Ø ÙÓÖ ÓÑÑÙÒ Ø ÓØ º ÇÐ ØÙ Î Ø ØÝ ÔÖÓ Ò Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ø Ø ÔØ ÒØ Ó Ú Ø Ò Ð ØØÑØØ ØØÑ Ðк ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾ ÃÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ Ý ÒØØ Ð Ú Ö Ñ ÐÐ µ ÔØ ÂÓ Ò Ò ¹Ú Ö ÐÐ Ò Ò ÔÖÓ ÐÓÔÙÐØ ÔØØ ÖÚÓÒ d i V º ÓÒ Ò Ù ÂÓ Ò Ò ¹Ú Ö ÐÐ Ò Ò ÔÖÓ ÔØØ Ñ Ò ÖÚÓÒ d V º Ú Ð ÙÙ ÂÓ Ò ¹Ú Ö ÐÐ Ø Ò ÔÖÓ ÓÖ Ò Ð Ù ÖÚÓØ v i ÓÚ Ø ÒØØ Ø Ò Ò d i = v i ÐÐ ¹Ú Ö ÐÐ ÐÐ ÔÖÓ ÐÐ iº ÌÓ ØÙÒÒ ØÙ Ú Ö ÒØ Ý ÒØØ Ð Ø ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ Ø ÓÒ ÓÐ Ñ Ý Ð ØØ Ò Ò Ó Ø ÓÐÐ ÓÒ Ý Ð Ù ÖÚÓ vº ÈØ ÓÒ Ò Ù ÓØ ÔÝ ÝÚØ ÑÓ Ò ÑÙØØ Ú Ð ÙÙ ØÓ ÓÒ ÙÖ Ú
6 Ú Ð ÙÙ ÂÓ Ó Ø ÓÒ ¹Ú Ö ÐÐ Ò Ò Ò ¹Ú Ö ÐÐ Ø Ò ÔÖÓ Ò ØÙÐ ÔØØ Ó Ø Ò ÖÚÓ v Å Ò Ø ÐÑØ ÑÓÐ ÑÑ ÐÐ Ú Ö ÒØ ÐÐ ÓÚ Ø ÝØÒÒ ÒØØ Ø Ñ Ø ¹ ÒÓÑÑ Ø ÔØ ÑÓÐ ÑÑ ÐÐ Ú Ò Ô Ò Ò ÑÓ Ø Ó Òº ÃÝØ ØÒ Ý ÒØØ Ð ¹ ÐÐ ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ÐÐ Ø Ø Ð Ø Ò ÐÝ ÒÒ ØØ Ã¹ÓÒ ÐÑ Ø ÃǺ Î Ø ÚÙÙ ÑÖ Ø Ö ÄÝÒ Ä ¾ Ó Ó ØØ Ú Ø ØØ Ý ÒØØ Ð Ø ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ÚÓ Ö Ø Ø ÐÐ f + 1 ÖÖÓ Ô ÑÑ Ø Ô Ù º Ú Ø ÚÙÙØ Ò Ú Ùع Ø ÖÖÓ Ø Ò ÑÖÒ Ó ÐÐ ÖÖÓ ÐÐ Ø ØÝ Ò Ð ÒØ ¹ Ð Ò ÑÖ Ó Ø Ö ÔÔÙÙ ÔÖÓ Ò ÚÐ Ò ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ Øº ÃÓÑÑÙÒ Ø ÓÚ Ø ÚÙÙ¹ ÑÖ Ø ØÒ Ð Ø ØØÝ Ò Ú Ø Ò Ò Ò ÐØÑ Ò ØØ Ò ÑÖº ÈÝ ¹ ØÝÑ Ú Ö Ñ ÐÐ Ø Ò ÐÙ Ø Ò ÑÙ Ò Ò ÔÖÓ Ò Ð ØØÑØ Ú Ø Øº Ý ÒØØ Ð Ú Ö Ñ ÐÐ ÐÙ Ø Ò ÑÙ Ò Ú Ò ¹Ú Ö ÐÐ Ø Ò ÔÖÓ Ò Ð Ø¹ ØÑØ Ú Ø Øº ÌÑ Ó ØÙÙ Ø ØØ Ú Ö ÐÐ Ø Ò ÔÖÓ Ò Ð ØØÑ Ò Ú Ø Ò ØØ Òµ ÐÙ ÙÑÖÐÐ ÚÓ ÑÖ ØØ Ñ ØÒ ¹ØÖ Ú Ð ÝÐÖ Ý ÒØØ ¹ Ð Ú Ö Ñ ÐÐ º Ð Ò Ò ÓÑ Ò ÙÙ ÐÐ Ý ÒØØ Ð Ò Ú ØÓ ÙÙ Ò Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ ÓÒ ØØ Ò ¹ Ò Ø ÖÚ Ø Ñ Ò ÔÖÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ Ò ÑÑÒ Ù Ò ÓÐÑ ÖØ Ú ÐÐ Ø Ò ÔÖÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ n > 3fº ÌÑ ØØ ØÙÒØÙ ÝÐÐØØÚÐØ Ó ÚÓ ÐÙÙй Ð ØØ 2f + 1 ÔÖÓ ÚÓ Ø f Ý ÒØØ Ð Ø Ú ÝØØÑÐÐ ÓÒ ÒÐ Ø Ò ÑÑ Ø Ò ØÝ Ò Ñ ÓÖ ØÝ ÚÓØ Ò µ Ô ÖÙ ØÙÚ Ð ÓÖ ØÑ º Ë ÙÖ Ú ÐÙÚÙ ¹ Ù Ø Ò Ò ÒÝØ ØÒ ØØ ØÑ ÓÒÒ ØÙº ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ ÐÑ ÃÐ Ò Ò Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ ÐÑ ÓÒ Ú ÒÒÓÐÐ ØÙ Ø ØÓ ÓÒ Ö Ø Ð¹ Ñ Ø Ó ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ñ Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò ÓÒ Ø Ú Ò Ö Ø ÐÑÒ ØÓ ÚÓØØÙ ØÓ Ñ ÒØ ÙÓÐ Ñ ØØ Ú ÐÐ Ø Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò ÒØ Ñ Ø Ö Ø Ö Ø Ø Ò¹ ÓÖÑ Ø Ó Ø º Ì ÐÙÚÙ Ø ÐÐÝØ ØÙÐÓ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ó Ú Ø ÓÐ ÐÐ Ø ÓÖ¹ Ú Ñ ÐÐ ÒÖ Ð ÔÖÓ ÐÐ Ñ Ø Ø Ò ÙØ ØØÙ Ö Ø ÐÑ Ý ÒØØ Ð ¹ Ò Ö Ò Ô Ö º ÃÙÚ Ð Ò ÙÖ Ú ØÑÒ ÓÒ ÐÑ Ò ÙØ Ò ÓÒ Ä ÑÔÓÖØ Ò ÄËÈ ¾ ÖØ Ð Ø ÐØݺ ÇÒ ÐÑ ÓÙ Ó Ý ÒØØ Ð Ò ÖÑ Ò ÒÖ Ð ÓÒ ÖÝ Ñ ØØÝÒÝØ Ú ÓÓÒ Ò Ò Ú ÓÐÐ ÙÔÙÒ Ò ÝÑÔÖ Ø Òº à ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð Ø¹ Ø Ò ÚÙÐÐ ÓÚ ØØ Ú Ý Ø Ø Ý Ý ÙÙÒÒ Ø ÐÑ Ø Ó ÓÒ ÔØ Ý Ø¹ Ú Ú ØÝØݺ ÂÓ Ò Ò ÒÖ Ð Ø Ö Ð Ú ÓÐÐ Ø Ù Ø Ð Ú ÒÒÓ Ø Ò ÑÙ Ò ÒÖ Ð Ò Ò º Ç ÒÖ Ð Ø ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ô ØØÙÖ Ø ÓØ ÝÖ ØØÚØ Ô Ð Ø Ý Ø ÔØ Ò ÝÒØÝÑ Ò ÝÐÚÑÐÐ Ö Ø Ö Ø Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓØ ÒÖ Ð Ò ÙÙØ Òº ÂÓ Ú Ò Ó Ù ÓÐÐ Ø ÒÖ Ð Ø Ý Ý Ý ÓÒ ØÙÓÑ ØØÙ ÔÓÒÒ ØÙÑ Òº Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ð ÝØ Ð ÓÖ ØÑ ÓÐÐ Ù ÓÐÐ Ø ÒÖ Ð Ø Ô ¹ ÚØ ÐÓÔÙÐØ Ý Ñ Ð ÝÝØ Ò Ý Ý ÔØ Øº ÇÒ ÐÑ Ò ÓØ ÚÓ Ò ØØ ÙÖ Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ ½º ÂÓ Ò Ù ÓÐÐ Ò ÒÖ Ð Ò ØÝØÝÝ Ñ Ò ÓÖÑ Ø Ó v(1)...v(n)º
7 ¾º ÂÓ ÒÖ Ð i ÓÒ Ù ÓÐÐ Ò Ò Ò Ù ÓÐÐ Ø Ò ÒÖ Ð Ò ØÝØÝÝ ÝØØ Ò Ò Ð ØØÑÒ ÖÚÓ ÖÚÓÒ v(i)º ØÓ ½ ÚÓ Ò ÙÙ ÐÐ Ò Ö Ó ØØ ÙÖ Ú ÑÙÓ Ó Ö ÔÔÙÑ ØØ Ø ÓÒ Ó ÒÖ Ð i Ù ÓÐÐ Ò Ò Ú ½³ Å Ø Ø Ò Ù ÓÐÐ Ø ÒÖ Ð ÝØØÚØ Ñ ÖÚÓ v(i)º ÓØ 1 2 Ó Ú Ø ÑÓÐ ÑÑ Ø Ý ØØ Ø ÖÚÓ ÓÒ ÒÖ Ð i Ð Øغ Ì Ö¹ Ø ÐÙ ÚÓ Ò Ø Ò Ö Ó ØØ ÓÒ ÐÑ Ò Ù Ò Ý ØØ Ò Ò ÒÖ Ð ÚÓ Ð ØØ ÖÚÓÒ ØÓ ÐÐ ÒÖ Ð ÐÐ º ÌÑ ÚÓ Ò Ø Ô Ù Ò Ó ÓÑ ÒØ Ú ÒÖ Ð Ð ØØ Ý Ò ÑÙ ÐÐ ÒÖ Ð ÐÐ Ò Ñ Ø ØØ Ò Ò Ø Ø Ý Ø Ý ÐÙÙع Ò ÒØ º ÆÝØ Ô ØÒ ÑÙÓØÓ ÐÙÙÒ Ó ÓÒ Ú Ö Ò Ò Ò Ý ÒØØ Ð Ø Ò Ò¹ Ö Ð Ò ÓÒ ÐÑ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ ÐÑ µ Á ½ à ٠ÓÐÐ Ø ÒÖ Ð Ø ÒÓÙ ØØ Ú Ø Ñ Ý Á ¾ ÂÓ ÓÑ ÒØ ÓÒ Ù ÓÐÐ Ò Ò Ù ÓÐÐ Ø ÒÖ Ð Ø ÒÓÙ ØØ Ú Ø Ò Ò ¹ ÝÒº ØÓ Á ½ Á ¾ ÙØ ÙØØ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØØ Ò ÓÒ Ø Ò Ò ÒØ Ö Ø Ú ÓÒ ¹ Ø Òݵ Ó ÒÒ Ò Ù Ò Ø ÖÑ Ý ÒØØ Ð Ò Ò Ú ÒØÙ Ð Ò Ø ÖÑ Ø Òº ÀÙÓ¹ Ñ ØØ ÓÓÒ ØØ Ó ÓÑ ÒØ ÓÒ Ù ÓÐÐ Ò Ò ØÓ Á ½ ÙÖ Ó Ø Á ¾º Ì ¹ Ø Ò Ò ÓÑ ÒØ Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ù ÓÐÐ Ò Òº ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ ÓØ Á ½ Á ¾ ÓÚ Ø Ý ØÔ ØÚØ Ý ÒØØ Ð Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ Ò ÑÖ ØØ ÐÝÒ Ø Ô Ù Ó Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ µ Ò º À ÑÓØ ÐÐ Ò ØÓ ØÙ ÐÐ ØØ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ ÐÑ ÚÓ Ö Ø¹ Ø ÓÐÑ ÐÐ ÒÖ Ð ÐÐ ÙÒ Ý ÓÒ Ô ØØÙÖ º ÇÒ ÐÑ ÚÓ Ò Ø Ò Ø ¹ Ô Ù Ò Ó Ø Ò ÑÑ ØÓ Ò Ò ÐÙÙØÒ ÒØ Ø ÓÒ Ô ØØÙÖ ØÓ ÓÑ Ò¹ Ø ÓÒ Ô ØØÙÖ º Ò ÑÑ Ø Ô Ù ÙÚ ¾º½ ÓÑ ÒØ ÓÒ Ù ÓÐÐ Ò Ò Ð ØØ Ý Ý ÝÒ ÑÙØØ ÐÙÙØÒ ÒØØ ¾ Ô ØØÙÖ Ò Ö ÔÓÖØÓ ÐÙÙØÒ ÒØ ÐÐ ½ ØØ ÓÑ ÒØ Ð ØØ ÝÒ Ô ÖÒÒÝ º ÂÓØØ ØÓ Á ¾ ÓÐ ÒÝØ ÚÓ Ñ ÐÙÙØÒ ÒØ Ò ½ ØÝØÝÝ ÒÓÙ ØØ ÓÑ ÒØ Ò Ý Ý º ÌÓ Ø Ô Ù ÙÚ ¾º¾ ÓÑ ÒØ ÓÒ Ô ØØÙÖ Ð ØØ ÐÙÙØÒ ÒØ ÐÐ ½ Ý Ý ÝÒ ÐÙÙØÒ ÒØ ÐÐ ¾ Ô ÖÒØÝÑ ÝÒº ÄÙÙØÒ ÒØØ ½ Ø ÙÑÔ ÒÖ Ð Ø ÓÒ Ô ØØÙÖ Ø Ñ Ò Ú Ø Ò ÓÑ ÒØ ØÓ ÐÐ Ð ØØ ÐÙÙØÒ ÒØ ÐÐ ¾º ÂÓ Ô ØØÙÖ Ú Ð Ø Ð Ó ÓÒ¹ ÑÙ Ø Ó Ó Ò ÐÙÙØÒ ÒØ ÐÐ ½ ÓÐ Ñ ØÒ ÒÓ ÖÓØØ Ø Ô Ù ØÓ Ø Ò ÓØ Ò Ò Ò ØÝØÝÝ ÒÓÙ ØØ Ý Ý ÑÓÐ ÑÑ Ø Ô Ù º Æ Ò ÓÐÐ Ò ÐÙÙØÒ ÒØ Ò ½ ØÝØÝÝ ÒÓÙ ØØ Ò ÓÑ ÒØ Ò Ý Ý Ýº Ë Ñ ÒÐ ÐÐ ÔØØ ÐÝÐÐ Ù Ø Ò Ò Ò Ò ØØ Ó ÐÙÙØÒ ÒØØ ¾ ÓÑ ÒØ ÐØ Ô ÖÒØÝÑ ÝÒ Ò Ò ØÝØÝÝ ÒÓÙ ØØ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØ Ø Ñ Ø ÐÙÙØÒ ÒØØ ½
8 ÃÙÚ ¾º½ ÄÙÙØÒ ÒØØ ¾ ÓÒ Ô ØØÙÖ ÃÙÚ ¾º¾ ÃÓÑ ÒØ ÓÒ Ô ØØÙÖ ÖØÓÓ ÓÑ ÒØ Ò Ò Òº ÃÙÚ Ò ¾º¾ Ø Ô Ù ÐÙÙØÒ ÒØ Ò ¾ ØÝØÝÝ ÒÓÙ ØØ ÓÑ ÒØ Ò Ý Ô ÖÒÒÝ ÐÙÙØÒ ÒØ Ò ½ ÓÑ ÒØ Ò Ý Ý ÓØ Ò ØÓ Á ½ ÔÝ Ý ÚÓ Ñ º Æ Ò ÓÐÐ Ò ÓÐÑ Ò Ý ÒØØ Ð Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÓÐ ÓÐ Ñ Ö Ø Ù ÙÒ Ý ÒÖ Ð Ø ÓÒ Ô ØØÙÖ º ØÝ Ó Ø Ò Ò ØÓ ØÙ Ð ÝØÝÝ Ñ Ö Ð Ø Ø ÄÝÒ º ÃÝØØÑÐÐ ÐÐ Ø ØÙÐÓ Ø ÚÓ Ò ÒÝØØ ØØ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ¹ ÐÑ ÐÐ ÓÐ ÓÐ Ñ Ö Ø Ù Ó ÒÖ Ð ÓÒ Ú ÑÑÒ Ù Ò 3f + 1 Ñ f ÓÒ Ô ØØÙÖ Ò ÐÙ ÙÑÖº ÌÓ ØÙ ÓÒ Ø ÑÓØØ Ð ÑÑ ÝØØ Ú Ø ÓÐ ØÙ Ø ÓÐ Ø ÑÑ ØØ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ö Ø Ù ÙÒ Ò¹ Ö Ð Ø ÓÒ 3f Ø Ú ÑÑÒ ÝØÑÑ Ø ÓÒ ØÖÙÓ Ñ Ò Ö Ø ÙÒ ÓÒ ÐÑ Ò ÓÐÑ ÐÐ ÒÖ Ð ÐÐ Ý ÐÐ Ô ØØÙÖ ÐÐ ÓÒ Ø ÑÑ ÓÐ Ú Ò Ñ ÓØÓÒº ÎÐØØ ÑÑ ÒÒÙ Ø Ò Ñ Ñ¹ Ñ Ú Ø ÓÐ ØÙ Ò Ö Ø Ù ÓÐ Ú ÒÖ Ð Ð Ò Ð ÓÒ ØÖÙÓ ÙÒ Ö Ø¹ ÙÒ ÒÖ Ð Ý ÒØØ Ð º ÐÓ ØØ Ñ ÐÐ Ð ÓÖ ØÑ Ø Ó Ö Ø Ú Ø Ó¹ Ð ØÙ Ò ÓÒØÖÙÓ ÑÑ Ö Ø ÙÒ Ý ÒØØ Ð Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÓÐÑ ÐÐ ÒÖ Ð ÐÐ Ý ÐÐ Ô ØØÙÖ ÐÐ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ó Ò Ò Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÒÖ Ð ¹ ÑÙÐÓ Ý Ø ÓÐÑ Ó Ð Ò Ð Ø ÒÖ Ð Ø Ó Ø Ö Ó ØØ ÓÖ ÒØ Ò f ÒÖ Ð º Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÑ ÒØ ÑÙÐÓ Ð Ò Ð Ø ÓÑ ÒØ ÓÖ Ò¹ Ø Ò f 1 Ð Ò Ð Ø ÐÙÙØÒ ÒØØ ÙÑÔ Ò Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÐÙÙØÒ ÒØØ ÑÙÐÓ ÓÖ ÒØ Ò f Ð Ò Ð Ø ÐÙÙØÒ ÒØØ º ÃÓ Ú Ò Ý Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÒÖ Ð ÚÓ ÓÐÐ Ô ØØÙÖ Ò ÑÙÐÓ ÓÖ ÒØ Ò f Ð Ò Ð Ø ÒÖ Ð ÓÖ ÒØ Ò f Ð Ò Ð Ø ÒÖ Ð Ø ÓÒ Ô ØØÙÖ Ø º Æ Ò ÓÐÐ Ò Ú Ø ÓÐ ØÙ Ø ØØ ÓØ Á ½ Á ¾ ÔØ ÚØ Ð Ò Ð ÐÐ ÒÖ Ð ÐÐ º ÓÒ Á ½ ÑÙ Ò Ð Ò Ð ¹ Ø ÐÙÙØÒ ÒØ Ø Ó Ø Ù ÓÐÐ Ò Ò Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÐÙÙØÒ ÒØØ ÑÙÐÓ ÒÓÙ ØØ Ú Ø Ñ Ý Ó ÓÒ Ý Ò Ý ÒØØ Ð Ò ÐÙÙØÒ ÒØ Ò ÒÓÙ ØØ Ñ Ýº ÓØ Á ½ Á ¾ Ð Ò Ð ÐÐ ÒÖ Ð ÐÐ ÑÔÐ Ó Ú Ø Ñ Ø ÓØ ÑÝ Ý ÒØØ Ð ÐÐ Ò¹ Ö Ð ÐÐ ÓØ Ò Ú Ø ÓÐ ØÙ ÓÒ Ñ ÓØÓÒº Ì ÑÐÐ Ò Ò ØÓ ØÙ ÓÒ Ø ØØÝ ÄÝÒ Ò Ö ÄÝÒ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú Ö Ø Ö Ø Ù Ð ÓÖ ØÑ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð¹ Ñ Ò ÄËÈ ¾ º ÅÖ Ø ÐÐÒ Ö ÙÖ Ú Ø Ð ÓÖ ØÑ ÇÅ µ ÇÖ Ð Å µ ÐÐ ¹Ò Ø Ú ÐÐ Ó ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ f Ñ ÓÑ ÒØ Ð ØØ ÝÒ n 1 ÐÙÙع
9 Ò ÒØ ÐÐ º Ð ÓÖ ØÑ ÇÅ µ Ö Ø Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÙÒ ÒÖ ¹ Ð Ø ÓÒ Ú ÒØÒ 3f + 1 Ñ f ÓÒ Ô ØØÙÖ Ò ÐÙ ÙÑÖº ÃÝØ ØÒ Ð ÓÖ ØÑ Ò ÙÚ Ù ÐÑ Ù Ò ÐÙÙØÒ ÒØØ ÒÓÙ ØØ Ý Ø Ð ÐÐ ÐÑ Ù Ø ÐÙÙØÒ ÒØØ ÝØØ ÖÚÓ º Ð ÓÖ ØÑ ÝØØ ÙÒ Ø ÓØ majority ÓÐÐ ÓÒ ÙÖ Ú ÓÑ Ò ÙÙ Ó Ò ÑÑ Ø ÐÐ ÖÚÓ Ø v i ÔØ v i = v Ò Ò majority(v 1,..., v n 1 ) = vº Ð ÓÖ ØÑ ÇÅ ¼µ ½º ÃÓÑ ÒØ Ð ØØ ÖÚÓÒ ÐÐ ÐÙÙØÒ ÒØ ÐÐ º ¾º ÂÓ Ò Ò ÐÙÙØÒ ÒØØ ÝØØ ÓÑ ÒØ ÐØ Ñ Ò ÖÚÓ Ó ÐÐ Ò ÑÙÙØ Ò ÖÚÓ È Ê ÆÆ º Ð ÓÖ ØÑ ÇÅ µ ¼ ½º ÃÓÑ ÒØ Ð ØØ ÖÚÓÒ ÐÐ ÐÙÙØÒ ÒØ ÐÐ º ¾º à ÐÐ ÐÙÙØÒ ÒØ ÐÐ i ÓÐ ÓÓÒ v i ÓÑ ÒØ ÐØ ØÙ ÖÚÓ Ø È Ê ÆÆ Ó ÓÑ ÒØ ÐØ ØÙ ÖÚÓ º ÄÙÙØÒ ÒØØ i ØÓ Ñ ÓÑ ÒØ Ò Ð ÓÖ ØÑ OM(f 1) Ð ØØ Ò ÖÚÓÒ v i ÑÙ ÐÐ n 2 ÐÙÙØÒ ÒØ ÐÐ º º à ÐÐ i, j i j ÓÐ ÓÓÒ v j ÖÚÓ ÓÒ ÐÙÙØÒ ÒØØ i ÐÙÙØÒ ÒØ ÐØ j Ð ¾µ Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ ÇÅ ¹½µ Ø ÑÙÙØ Ò È Ê ÆÆ Ó Ò ÖÚÓ º ÄÙÙØÒ ÒØØ i ÝØØ ØØ Ò ÖÚÓ majority(v 1,..., v n 1 )º Ð ÓÖ ØÑ Ò Ó ÐÐ ÙÙ ÓÒ Ó Ó Ø ØØÙ Ò Ø ÐÐ ÖØ Ð ÄËÈ ¾ º Ð ÓÖ ØÑ Ò ÝÚÒ ÔÙÓÐ Ò ÓÒ Ò Ý Ò ÖØ ÙÙ ÙÓÒÓÒ ÔÙÓÐ Ò Ð ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ú Ø ÚÙÙ º Ë Ò ÙÓÖ ØÙ Ò Ò Ð Ø ØÒ ÓÔ (n 1)(n 2)...(n f 1) Ú Ø ÒÖ Ð Ò ÚÐ ÐÐ Ó Ø Ö Ó ØØ ÔÓÒ ÒØ Ð Ø Ú Ø ÚÙÙØØ º ÂÓØØ Ý ÒØØ Ð Ò Ú ¹ ØÓ ÙÙØ Ò Ø Ò ÐÚÓÐÐ Ö Ø Ù Ð ÓÖ ØÑ Ò Ô Ø ØÓ Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ ÙÖ Ú ÐÙÚÙ ÒÝØÒ Ñ Ö Ò ØÐÐ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø º ¾º ÃÓÑÑÙÒ Ø ÓØ ÖÔ Ò Ö Ó ØØ Ñ Ò Ò Ý ÒØØ Ð Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ Ò Ø ØØÝ Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò ÓÑÔÐ ÙÙØØ Ð¹ Ð Ø Ù Ø Ô Ù ÔÖÓ Ò ÚÐ Ò ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ Ó ÓРй Ð Ò ÐÙÚÙÒ Ð ÓÖ ØÑ ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ò Ø Ò Ø ÝØÒÒ Ò ÓÚ ÐÐÙ Ò Ó¹ Ô Ñ ØØÓÑ Òº ÃÓÑÑÙÒ Ø ÓØ ÖÔ ÐØ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ãǹ Ð ÓÖ ØÑ ÓÒ Ù Ø Ò¹ Ò ÓÐ Ñ Ë ¾ Å º ÃÝÒ ÐÔ ÄÝÒ Ò Ö ÄÝÒ Ø ÐØÝ ÈÓÐݹ ÝÞ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ó Ú Ø 2f +1 ÖÖÓ Ø ÓÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÓÑÑÙÒ Ø ÓØ ÖÔ ÐØ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Òº Ð ÓÖ ØÑ ÝØØ Ñ Ò Ñ Ò Ñ ÐØ ÓÒ Ø ÒØØ Ð ØÝ ÓÒ Ø ÒØ ÖÓ Øµ ÔÖÓ ÒÚÐ ÓÑÑÙÒ Ø Ó º ÃÝØØÑÐÐ ÓÒ Ø ÒØØ Ð ØÝ Ø ÔÖÓ i ÚÓ Ð ØØ Ú Ø Ò ÑÙÓ Ó (m, i, r) ÖÖÓ ÐÐ r Ñ Ø Ò
10 ÔÖÓ ÚÓ ÝÚ Ý Ú Ø Ò Ñ ÐÐ Ø Ò ÑÝ ÑÑÐÐ ÖÖÓ ÐÐ º ÃÓÒ Ø ÒØ Ò Ð ØÝ Ò Ñ Ò Ñ ØÝØØ ÙÖ Ú Ø ÓÐÑ ØÓ ½º ÂÓ ÐÙÓØ ØØ Ú ÔÖÓ i Ð ØØ Ú Ø Ò (m, i, r) ÖÖÓ ÐÐ r Ò Ò ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ÔÖÓ Ø ÝÚ ÝÚØ Ú Ø Ò Ú Ñ ØÒ ÖÖÓ ÐÐ r + 1 Ú Ø ÝÚ ÝØÒ Ó Ó ÖÖÓ ÐÐ r Ø r + 1µº ¾º ÂÓ ÐÙÓØ ØØ Ú ÔÖÓ i Ð Ø Ú Ø m, i, r ÖÖÓ ÐÐ r Ò Ò Ñ Ò ÐÙÓØ ØØ Ú ÔÖÓ Ò ÝÚ Ý Ú Ø (m, i, r)º º ÂÓ Ó Ò ÐÙÓØ ØØ Ú ÔÖÓ j ÝÚ ÝÝ Ú Ø Ò (m, i, r) ÖÖÓ ÐÐ r ÐÐÓ Ò Ó Ò Ò ÐÙÓØ ØØ Ú ÔÖÓ ÝÚ ÝÝ ØÑÒ Ú Ø Ò ÖÖÓ Ò r +1 Ñ ÒÒ Ò ÑÑ Ò ÓÒ ÑÙ Ò ÐÙÓØ ØØ Ú Ò ÔÖÓ Ò Ð ØÝ Ø ÝÚ ÝØÒ ÒÓÔ ¹ Ø º ÌÓ Ò ÓÒ ÑÙ Ò Ñ ØÒ Ú Ø Ò Ú Ö ÐÐ Ø Ù ÓØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ò ÔÖÓ¹ Ò Ð ØØÑ º ÃÓÐÑ ÒÒ Ò ÓÒ ÑÙ Ò Ñ Ø Ò ÐÙÓØ ØØ Ú Ò ÔÖÓ Ò ÝÚ ÝÑ Ú Ø Ö ÔÔÙÑ ØØ Ø ÓÒ Ó Ò Ð ØØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ú Ú Ö ÐÐ Ò Ò ÔÖÓ ÝÚ ÝØÒ ÐÙÓØ ØØ Ú ÔÖÓ ÒÓÔ Ø ØÑÒ Ð Òº ÈÓÐÝ ÝÞ¹ Ð ÓÖ ØÑ ÈÓÐÝ ÝÞ¹ Ð ÓÖ ØÑ ÝØØ ÔÙÒ Ò ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð ØÝ Ò ØÓØ ÙØØ Ú Ð ÓÖ ØÑ Ó ÝØØ Ý Ò Ú Ø Ò (m, i, r) ÓÒ Ø ÒØØ Ò Ð ØÝ Ò O(n 2 ) ÔÙÚ Ø º ÈÓÐÝ ÝÞ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ø Ò Ñ Ò Ò ÑÙÓ Ó ØÙÙ f + 1 Ú Ø Ñ Ó Ò Ò Ú ÓÓ ØÙÙ Ø ÖÖÓ Ø º Ã Ð Ø ØÝØ Ú Ø Ø ÝØØÑÐÐ ÓÒ Ø ÒØØ Ð ØÝ Øµ ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ (1, i, r) Ñ i ÓÒ ÔÖÓ Ò Ò r ÓÒ Ô Ö ØÓÒ ÖÖÓ ¹ ÒÙÑ ÖÓº Æ Ò ÓÐÐ Ò Ú Ø Ð Ø ØÒ Ú Ò Ú Ò Ò ÑÑ ÐÐ ÖÖÓ ÐÐ ÒÓ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÓØ Ð Ø ØÒ ÓÒ ÖÚÓ ½º ÈÖÓ i Ð ØØ Ú Ø Ò ÙÖ Ú ÐÐ Ó ÐÐ º à ÖÖÓ ÐÐ ½ i Ð ØØ Ú Ø Ò (1, i, 1) Ó Ú Ò Ó Ò Ð Ù ÖÚÓ ÓÒ ½º à ÖÖÓ ÐÐ 2s 1 Ú Ò s Ò Ñ¹ Ñ ÐÐ ÖÖÓ ÐÐ Ñ 2 s f + 1 i Ð ØØ Ú Ø Ò (1, i, 2s 1) Ó Ú Ò Ó i ÓÒ ÝÚ ÝÒÝØ Ú Ø Ú ÒØÒ f +s 1 Ö ÔÖÓ ÐØ ÒÒ Ò ÖÖÓ Ø 2s 1 i ÓÐ Ú Ð Ð ØØÒÝØ Ú Ø º 2(f +1) ÖÖÓ Ò ÔØÝØØÝ ÔÖÓ i ÔØØ ÖÚÓÒ ½ Ó Ú Ò Ó i ÓÒ ÝÚ Ý¹ ÒÝØ Ú Ø Ú ÒØÒ 2f + 1 Ö ÔÖÓ ÐØ ÖÖÓ Ò 2(f + 1) ÐÓÔÔÙÙÒ Ñ ÒÒ º ÅÙÙØ Ò i ÔØØ ÖÚÓÒ ¼º ÈÓÐÝ ÝÞ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ö Ø ÒÖ Ò Ý ÒØØ Ð Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ Ò Ó n > 3fº ÌÓ ØÙ Ø Ò Ô ØÙÙ Ò ÚÙÓ Ø Ø Ø Ð ÝØÝÝ Ð Ø Ø ÄÝÒ º ÈÓ¹ ÐÝ ÝÞ ÓÐ ÓÑÔÐ ÙÙ ÐØ Ò ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò ØØ Ð Ò Ò Ø Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ý Ò ÖØ ÙÙ Ò ÚÙÓ º Ö Ý ÅÓ ØØ ÚØ ½ O(f + 1) ÖÖÓ ØÓ ¹ Ñ Ú Ò ÓÑÑÙÒ Ø ÓÚ Ø ÚÙÙ ÐØ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò Å ÑÙØØ ÓÒ ÓÒ Ò Ú ÖÖ Ò ÑÓÒ ÑÙØ ÑÔ Ù Ò Ò Ø ØØݺ ¾º ÅÙÙÒÒÓ Ð ÒÒÓ ÅÓÒ ÖÚÓ Ò Ò ÔØ ÒØ Ó
11 ÐÐ Ø ØÝØ Ð ÓÖ ØÑ Ø ÓÚ ÐØÙÚ Ø ÒÖ Ò ÔØ ÒØ ÓÓÒ ÓÒ Ú Ð ØØ Ú ÖÚÓÒ ¼ ½ ÚÐ Ðк ØØ Ð Ò ÑÓÒ ÖÚÓ Ò Ý ÒØØ Ð Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ Ò ÓÚ ÐØÙ¹ Ú Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò Ó ÝØØ Ð ÖÙØ Ò Ò Ò ÒÖ Ø Ãǹ Ð ÓÖ ØÑ º ÌÙÖÔ Ò Ó Ò Ð ÓÖ ØÑ ÂÓ ÐÐ ÔÖÓ ÐÐ ÓÒ Ô ÐÐ Ø ÑÙÙØØÙ Ø x y z vote Ñ x ÐÐ ÐÙ Ø Ø Ò ÔÖÓ Ò Ý ØØ Ò Ñ ÖÚÓ y z vote ÐÙ Ø Ø Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ø º ½º à ÖÖÓ ½ ÈÖÓ i Ð ØØ ÖÚÓÒ x ÐÐ ÔÖÓ ÐÐ ÑÝ Ø ÐÐ Òº ÂÓ ØÐÐ ÖÖÓ ÐÐ Ú Ø ÒÓØ ØØÙ Ò Ú Ø Ò ÓÙ Ó ÓÒ n f ÓÔ ÓØ Ó Ø Ò ÖÚÓ Ø v V ÔÖÓ i ØØ y = v ÑÙÙØ Ò y = nullº ¾º à ÖÖÓ ¾ ÈÖÓ i Ð ØØ ÖÚÓÒ y ÐÐ ÔÖÓ ÐÐ ÑÝ Ø ÐÐ Òº ÂÓ ØÐÐ ÖÖÓ ÐÐ Ú Ø ÒÓØ ØØÙ Ò Ú Ø Ò ÓÙ Ó ÓÒ n f ÓÔ ÓØ Ó Ø Ò V Ò ÖÚÓ Ø ÔÖÓ i ØØ vote = 1 ÑÙÙØ Ò vote = 0º ÈÖÓ i ع Ø ÖÚÓ z Ò ei null¹ ÖÚÓÒ Ó ÒØÝÝ Ù ÑÑ Ò i Ò ØÐÐ ÖÖÓ ÐÐ Ú Ø ÒÓØØ Ñ Ò Ú Ø Ò ÓÙ Ó Ø Ø Ð ÒØ Ø Ö Ø ÓØ Ò ÖÚ ÐÐ º ÂÓ Ú Ø ÒÓØ ØÙØ Ú Ø Ø ÓÚ Ø null¹ ÖÚÓ ÔÝ ÝÝ z ÑÖ ØØ Ð ÑØØ ÑÒº º à ÖÖÓ r r 3 ÈÖÓ Ø Ú Ø ÒÖ Ò Ãǹ Ð ÖÙØ Ò Ò ÝØØÑÐÐ ÖÚÓ¹ vote Ý Ø ÖÚÓ Ò º ÂÓ ÔÖÓ Ò i ÔØ Ð ÖÙØ Ò ÓÒ 1 z ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ò Ò ÔÖÓ Ò i ÐÓÔÙÐÐ Ò Ò ÔØ ÓÒ z ÑÙÙØ Ò ÓÒ ÓÐ ØÙ ÖÚÓ v 0 º ÌÙÖÔ Ò Ó Ò¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ø ÖÚ Ø Ñ Ò ÖÖÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ r + 2 Ñ r ÓÒ ÒÖ Ò Ãǹ Ð ÖÙØ Ò Ò Ø ÖÚ Ø Ñ Ò ÖÖÓ Ò ÑÖº ÃÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ø ÖÚ Ãǹ Ð ÖÙØ Ò Ò Ð ÓÒ 2n 2 Ú Ø Ú Ø Ó Ò ÓÖ ÒØ Ò b ØØ ÓÐÐ Ò Ý Ø ÒÐ ØØÙÒ O(n 2 b) ØØ º ÙØ ÒØ Ó ØÙ Ú Ø ÒÚÐ ØÝ Î Ø Ò ÙØ ÒØ Ó ÒØ ÓÒ Ñ Ð Ò ÒØÓ Ò Ò Ö Ó Ø Ý ÒØØ Ð Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ Ð¹ Ñ Ò Ó Ò Ø ÓÑ Ò Ø Ö Ø ÐÙÒ º Ì Ñ ÐÐ Ó Ò Ò ÔÖÓ i ÚÓ Ð ¹ Ø Ó Ò Ð ØØÑÒ Ú Ø Ò ÖÒÐ Ò Ø Ð Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ Ò ÓÐÐ Ú Ø Ò ÚÓ ØÓ ÒØ ÓÐ Ú Ò ØÓ ÐÐ Ô Ö Ò ÔÖÓ ÐØ iº ÇÐ ØÙ Ò ÓÒ ØØ Ú Ð¹ Ð Ø ÔÖÓ Ø ÚØ ÚÓ ÚÖ ÒØ ØÓ Ø Ò ÔÖÓ Ò ÐÐ Ö Ó ØÙ ÚØ Ò Ò ÚÓ Ú ØØ ÓØ Ò Ú Ø Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓØ ØÓ Ò ÔÖÓ Ò Ð ØØÑ º ÇÐ Ø ÑÑ ÑÝ ØØ ÔÖÓ Ò Ð Ù ÖÚÓØ ØÙÐ Ú Ø Ó Ø Ò Ý Ø Ø Ð Ø Ø Ó ÑÝ ÐÐ ¹ Ö Ó ØØ ÒÑ ÖÚÓغ ÄÙÓØ ØØ Ú Ø ÔÖÓ Ø ÐÓ ØØ Ú Ø Ð ÙØ Ð Ý Ò Ð Ù ÖÚÓÒ Ò º Î ÐÐ Ø ÔÖÓ Ø ÐÓ ØØ Ú Ø Ñ Ð Ú ÐØ Ø Ð ÐØ Ò ÓÒ Ò ÓÙ ÓÒ Ð Ø Ò ÐÐ Ö Ó ØØ Ñ Ð Ù ÖÚÓ º ÌÑÒ Ñ ÐÐ Ò ÄÝÒ Ó ÐÐ ÙÙ Ó Ø Ô¹ Ø ÓÒ Ò Ù ÓÚ Ø Ñ Ø Ù Ò Ý ÒØØ Ð ÐÐ ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÑÖ Ø ÐÑ ¾º¾µ ÑÙØØ Ú Ð Ù ØÓ ÓÒ ÙÖ Ú ÒÐ Ò Ò Ú Ð ÙÙ ÂÓ ÔÖÓ Ø ÐÓ ØØ Ú Ø Ø ÑÐÐ Ò Ý ÐÐ Ð Ù ÖÚÓÐÐ v V Ó ÓÒ Ð Ø Ò ÐÐ Ö Ó ØØ Ñ Ò Ò v ÓÒ ÒÓ Ñ ÓÐÐ Ò Ò ÔØ ÖÚÓ ÐÙÓØ ØØ Ú ÐÐ ÔÖÓ ÐÐ º
12 ÙØ ÒØ Ó ÙÐÐ ÔÖÓØÓ ÓÐÐ ÐÐ Ú ÐÐ Ø Ò ÔÖÓ Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÝØØÝØÝÑ Ò Ò ÚÓ ¹ Ò ØÙÐ Ø Ú Ö ØÓ Ñ ØØ Ú Ø Ø Ö Ó Ø ØÙ ÐÐ Ó Ø ÐÐ Ò Ñ ÚÓ ¹ Ò Ö ÒÒ Ø ÔÝ ØÝÑ Ú Ö Ñ ÐÐ Òº ùÓÒ ÐÑ ÙØ ÒØ Ó ÙÐÐ Ú Ø ÒÚÐ ØÝ ¹ ÐÐ f Ú Ö ÐÐ ÐÐ ÔÖÓ ÐÐ Ö Ø Ó f + 2 ÔÖÓ ÐÐ º Î ØØ Ú Ò ÖÖÓ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÔÝ ÝÝ Ù Ø Ò Ò Ñ Ò Ù Ò ÝÐ Ø Ô Ù ÓÐÐ Ò f + 1 ÄÝÒ º ¹ØÝ ÐÐ Ø Ú Ö ÓØ Ì Ò Ñ ÒÒ ÓÐ ÑÑ Ø Ö Ø ÐÐ Ø Ý ÒØØ Ð Ø ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ØÝ ÐРй Ð Ú Ö Ó ÐÐ º ÇÒ ÐÑ Ò ÚÓ Ö Ò Ö Ó ØÙ Ò ÝÐ Ø ÝÐ ÐÐ Ú Ö Ó ÐÐ º Å Ð Ú Ö Ó ÓÒ ÔÙÙ Ý ÒØØ Ð Ø ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ÚÓ Ö Ø Ø Ý ÐÐ Ú ÐРй Ð ÔÖÓ ÐÐ Ó Ó ØÑ ÔÖÓ ÓÐ ÔÙÙÒ Ð Ø ÓÐÑÙ ÚÓ ÓÖÖÙÔØÓ ØÝ Ò ÔÙÙÒ Ö ÔÙÓÐ ÐÐ ÓÐ Ú Ò ÔÖÓ Ò ÚÐ Ò ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒº Î Ø Ú Ø Ó f ÓÐÑÙÒ ÔÓ Ø Ñ Ò Ò Ø Ú Ö ÓÒ ÔÝ Ø Ò ÃÇ Ø ÚÓ Ö Ø Ø f Ú ÐÐ ÐÐ ÔÖÓ ÐÐ Ý Ú Ö Ó º Î Ö ÓÒ G Ý Ø Ý ÐÐ ÝÝ ÓÒÒ Ø Ú Øݵ ÓÒÒ µ ÓÒ Ñ Ò Ñ ÑÖ ÓÐÑÙ Ó Ò ÔÓ Ø Ñ Ò Ò Ø Ú Ö ÓÒ ÔÝ Ø Ò º Î Ö Ó ÓÒ ¹Ý Ø ØØÝ ¹ÓÒÒ Ø µ Ó conn(g) cº Å Ò Ö Ò Ø ÓÖ Ñ Ò ÑÙ Ò Ú Ö Ó G ÓÒ ¹Ý Ø ØØÝ Ó Ú Ò Ó Ñ Ø Ø Ò ÓÐÑÙ Ú Ö Ó ÚÓ Ò Ý Ø ØÓ Ò Ú ÒØÒ c Óй ÑÙ ÐØ Ò Ö ÐÐ ÐÐ ÔÓÐÙÐÐ º Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ÚÓ Ò Ö Ø Ø n ÓÐÑÙÒ Ú Ö Ó G Ó ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò f Ú Ö ÐÐ Ø ÓÐÑÙ Ó Ú Ò Ó n > 3f conn(g) > 2fº ÌÓ ØÙ Ð ÝØÝÝ Ñ Ö ÄÝÒ Ò Ö Ø ÄÝÒ º ÂÓØ Ò Ù¹ Ú ØÓ ØÙ Ø ØØ Ð Ñ ÐÐ ØØ ÓÒ conn(g) > 2f ØÝØØÝ Ó Ò Ò ÓÐÑÙÒ i, j ÚÐ ÐÐ ÓÒ Ú ÒØÒ f +1 Ó ÓÒ Ò ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ÓÐÑÙ Ø ÓÓ ¹ ØÙÚ Ö ØØ ÓØ Ò Ò ÑÑ Ø i Ò Ú Ø ÓØØ Ñ Ø j Ò Ð ØØÑ Ø Ú Ø Ø ÓÒ ÐÙÓØ ØØ Ú º ½¼ Ä Ø Ø Ë ¾ Ä ¾ ÓÐ Ú º ËØÖÓÒ Àº ʺ ÈÓÐÝÒÓÑ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÑÙÐØ ÔÐ ÔÖÓ ¹ ÓÖ Ö Ñ Òغ ËÌÇ ³ ¾ ÈÖÓ Ò Ó Ø ÓÙÖØ ÒØ ÒÒÙ Ð Å ÝÑÔÓ ÙÑ ÓÒ Ì ÓÖÝ Ó ÓÑÔÙØ Ò Æ Û ÓÖ Æ ÍË ½ ¾ Å ÈÖ ÚÙØ ¼½ ¼ º Ö Åº º ÄÝÒ Æº º ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ø Ø Ñ ØÓ ÙÖ Ò¹ Ø Ö Ø Ú ÓÒ Ø Òݺ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÈÖÓ Ò Ä ØØ Ö ½ ½ ¾µ ÚÙØ ½ ½ º ÍÊÄ Ø Öº ØºÔ Ùº Ù» Ö ½ÐÓÛ Öº ØÑк Å Ö Ý ÅÓ ÙÐÐÝ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÝÞ ÒØ Ò Ö Ñ ÒØ ÓÖ Ò Ø ÔÖÓ ÓÖ Ò Ø ½ ÖÓÙÒ º ËÁ ÇÅÈ ËÁ Å ÂÓÙÖÒ Ð ÓÒ ÓÑÔÙØ Ò ¾ ½ µº ÍÊÄ Ø Öº ØºÔ Ùº Ù» Ö Ý ÙÐÐݺ ØÑк ÄÀ ½ ÄËÈ ¾ Ä Ð Âº Àº À ÖÔ Ö Êº º Ð Ö Äº ˺ Ò ÔÔÖÓ ÓÖ ÙÐØÖ ¹ Ö Ð Ð Ö Ð¹Ø Ñ Ý Ø Ñ º ÓÑÔÙØ Ö ¾ ½ ½µ ÚÙØ ½¾ ¾¾º Ä ÑÔÓÖØ Äº Ë Ó Ø Êº È Åº Ì ÝÞ ÒØ Ò Ò Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñº Å ÌÖ Ò º ÈÖÓ Ö Ñº Ä Ò º ËÝ Øº ½ ¾µ ÚÙØ ¾ ¼½º
13 ½½ ÄÝÒ ÏÄ + ÄÝÒ Æº º ØÖ ÙØ Ð ÓÖ Ø Ñ º ÅÓÖ Ò Ã Ù Ñ ÒÒ ÈÙ Ð Ö ÁÒº Ë Ò Ö Ò Ó ÍË ½ º Ï Ò Ð Ý Âº Ä ÑÔÓÖØ Äº ÓÐ Ö Âº Ö Ò Åº Ä Ú ØØ Ãº Å ÐÐ Ö¹ ËÑ Ø Èº Ë Ó Ø Êº Ï Ò ØÓ º Ë Ø Ò Ò Ò ÐÝ Ó ÙÐعØÓÐ Ö ÒØ ÓÑÔÙØ Ö ÓÖ ÖÖ Ø ÓÒØÖÓк ÈÖÓ Ò Ó Ø Á ½ µ ÚÙØ ½¾ ¼ ½¾ º
ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý
ÈÖÓ Ð Ø Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ñ Ø ÐÐÒ ÔÖÓ Ð Ø Ð ÓÖ ØÑ º ÌÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÖÚ Ø Ò Ø Ø ØÒ ÓÐ Ó ØÙÐÓ Ò ÑÙ Ò Ö Ù ÙØ Òº ÖÓÒ Ô Ø ÖÑ Ò Ñ Ò ÓÒ ØØ ÒÝØ Ø Ö Ø ÐÐ ÖÓ Ú Ò Ð ÒØ ØÓ Ø Ø Ò ÙÙ ÐÐ ÖÚ Ù ÐÐ Ø ÖÚ ØØ º Ä ÓÒ Ö ØØ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ
ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Å Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ Ý ØØ Ðк Å Ò Ø Ð Ú Ø ÚÙÙ ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Å Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ø Ô Ó Ò Ñ Ñ ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ô ØÙ Ý ØØ Øº ÂÓ Å Ò Ø Ð Ú Ø ÑÙ ÓÒ
ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ
ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º º ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø Ø ¹ÑÖ ØØ ÐÝ º¾µ ÚÓ Ú Ø Ø ÑÝ Ø Ò ÑÖ Ø ÐØÚ Æ Ñ ÒØÝ ÑÝ ³ ³¹Ñ Ö Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ò ÓÐ ÐÐ ØØÝ ØÝÔ ¹ÐÝ ÒØ º½µº ¾ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½» Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓØ Ò ÐØ º Å Ø Ò Ô Ð ÓÒ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÙÐÙØØ ØÙÒÒ Ø Ò Ò Á Ä Ø Ò Ð Ò ØÙÒÒ Ø Ú ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ô Ù Ó Ð Ö Øصº Ä Ø Ò
Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑ Ò Ö ÒÒ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ø ÐРؽ ؾ Ø È Ð Ó ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ö ÒÒ Ì ØÓ ÓÒ Ô Ð Ò ÝØ Ñ Ò ÓÒ Ñ ÐÐ Ó Ø Ò ÙÚ ØØ ÐÐ Ø Ñ ÐÑ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò Ð
Ð ØÖÓÒ Ø Ñ ÙÚÐ Ò Ø Ì ÑÙ Ê ÒØ ¹ Ó À Ð Ò ¾ º ÐÓ ÙÙØ ½ Ë Ò ÙÔ Ò ÝÒÒ Ò Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Å Ù Ö Ø ÐÑØ ¾ ¾º½ ÆÝ Ý Ø Ñ Ù Ö Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½» ÃÙÖ Ò ÐØ Ø ÐØÙ ÐØ ½ ¾ Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò ÄÙÓ È ÄÙÓ ÆÈ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ ÆȹØÝ ÐÐ ÔÖÓ Ð ÑÓ Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÄÙÓ ÈËÈ Ë Ú Ø Ò Ð Ù Ñ Ö ÈËÈ ¹ØÝ ÐÐ Ø
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÇÐ ÓÔÓ Ø Ø ØÓÑ ÐÐ Ø Ø ØÓ ÒÒ Ò ÐÐ ÒØ Ö Ø ÐÑ ÖØÓ ÖÐÙÒ À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ
À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø
Ì ÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì Ó Ø ÐÐÒ ÓÒ ÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ö Ø Ú ÑÙØØ Ó Ò Ö Ø Ù Ú Ø Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ø Ð ØØ Ö Ø Ù ÓÐ ÝØÒÒ ÐÚÓÐÐ Ò Òº Í ÑÑ Ø ÓÐ ØØ Ú Ø ØØ ÆȹØÝ ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÙÑ ØØÓÑ ÒØÖ Ø Ð µ ÑÙØØ ØØ ÓÐ ØÓ Ø ØØÙº
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾
Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ÐÔ Ð Ú Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÑÓ ÙÐ ¹ Ö Ó ÒØ Ì ÑÓ ÌÙÓÑ Ò Ò À Ð Ò ½º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö Ø ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ
È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»
È Ú Ö Ù ÆÈ Á à РÐÙÓ Ø È ÆÈ ÒÝØØÚØ ØÝ Ò Ö Ð ÐØ Ë ÐÚ Ø È ÆȺ µ È ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ º µ ÆÈ ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ú Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð ÓÒ
Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ØÓÖ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð
ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ý ÝÐÐ Ø ØÓÖ ÒØ Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ
Symmetriatasot. y x. Lämmittimet
Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ ¹ÖÝ ÑĐ» ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó ÅÍÁËÌÁÇ ÆÓ»Ì ÊÅǹ ¹¾¼¼¼ ÔÚÑ ½¼º Ñ Ð ÙÙØ ¾¼¼¼ ÇÌËÁÃÃÇ Ø Ú ÒعØÙÐÓ ÐÑ Ð ØØ Ò ¹Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò ÖØ Ø ØÙØ ØÙÐÓ ÐÑ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ä ÌÁ ̵ ÂÙ Ú Ó Ð ¹ÂÙÙ Ð
ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ì ÑÓ Ã ÖÚ ¾º½½º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ ¾º½½º¾¼¼ ½» ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ã Ö Ì ÑÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ
ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø
ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ìº à ÖÚ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ½» ½½ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì
:: γ1. g 1. :: γ2. g 2
ÌÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ¹ Ý ÝÑÝ Ø º º¾ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ý ÝÑÝ Ð Ø x g Ò e? :: α Ö Ø Ø Ò ÓÐ ÐÐ Ø ÑÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ØØ ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙØØ À ÐÐ ÝÐ Ø Ò ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ ÐÑ ÒØÙ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ð Ó º Ë Ø ÑÙØ ÑÑ Ò ÑÓÒ Ý ÝÑÝ Ð Ø p g Ò e? ::
Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ
Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ Á Å Ö Ò Ò À Ò ½½º º¾¼¼ Ç Ñ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò
¾º C A {N A } K N A º A B N B
Ú ÒØ Ò ÐÐ ÒØ ØÓ ÒÒÙ Ø Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ó ÔÙÓÐ Ø ÚÓ Ú Ø Ó¹ Ô Ð Ø Ú Ñ Ø ØÓ ÒØ ØÓ Ò º ÌÐÐ Ò Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ð ØØÝÝ Ù ÑÔ Ò Ø ØÓØÙÖÚ ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ò ÑÑ ¹ Ò Ú Ò ÒÒ Ò Ù Ò Ú Ö Ò Ò Ò ØÓ Ñ ÒØ Ñ Ö Ø Ó
Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Ò ÝÚÝÝ Ð ÒØ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ
{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.
Ä Ø ÓÓ Ø Ø º º Ä Ø ÓÓ Ø Ø Å Ø Ñ Ø ÓØ ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ù Ò ÓÙ Ó ÑÔÐ ØØ ÐÐ ÒÓØ Ø ÓÐÐ Ò ÙØ Ò {(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. À ÐÐ Ø Ö Ó Ú Ø Ú Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ØÓ ÐÐ Ò Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÒØ Ò Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ð Ø
d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j
¾º¾º ÁÌÇÁÆÌÁ Ì ÁË Æ Ä Ëà ÅÁÆ Æ ¾ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÌÌÈÈÈÌÄÌÅÈÈ Ò Ù Ø¹Öݹ¹ Ò¹¹¹Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÙ ØØ ÐÓ Ò Ù ØÖÝ d ǫ ÒØ ÖÝ ǫ e ÒÙ ØÖÝ u ǫ ÒØ Ö Ý y s Ò ØÖÝ s ǫ ÒØ Ö ǫ t ÒØÖÝ ǫ e ÒØ Ö Ø ¾º¾ ØÓ ÒØ Ø ÝÝ Ò Ð
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÈÓÐÙÒ Ø ÒØ Ù Ò ÒØ Ò ÝÑÔÖ Ø Ô Ð È Ä ÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ ÄÙùØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
139/ /11034 = 0.58
ÄÙ Ù ÂÓ ÒØÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÝÒ º½ Ì Ð ØÓÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÐÙÓÒÒ Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÔØØ ÐÝ ØØ Ð Ú ÒØÓ Ò Ú Ø ÐÙ ÔÚ ÖÑÙÙØØ º ÓÐ Ø ØÒ ÐÚ ØØ ØÙÓÐÐ Ø Ø ÚÓ Ò Ø¹ Ø Ñ ØÒ Ø ÑÐÐ Ø Ø Ø Ø ÐРغ Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÓÒ ÓÑ
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º
Šع¾º ½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø º½º¾¼¼ Ì Ø ÐÙÒ ÑÙÐÓ ÒØ ÑÔÙÑ Ø ÖÚ Ò Ö Ø ÐÑ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ø Ó ÙÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Â ÒÒ Ä ØÓÒ Ò ¼¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ
F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼
Å Ð Ë Ú Ð ÂÓ ÒØÓ Ð Ø ÓÖ Òº ØÖ ÙØ Ú Ø Ð Ø ÔÐÓÑ ØÝ ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ ÁÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ ÐÙÓÒÒÓÒØ
ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È
ÂÇÆÁ È ÀÄ Å ËÁÆÁÅ ÄÄÁÆÆÍÃË Æ È ÊÍËÌÍÎ ÅÍËÁÁÃÁÆ Ë ÆÌ ËÁ Ã Ò Ø ÒØÝ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ ÃÓÒ Ø ÃÓÔÔ Ò Ò ½½º ØÓÙ Ó ÙÙØ ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ
A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061
JORMA JOUTSENLAHTI Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä 1990-luvun pitkän matematiikan opiskelijoiden matemaattisen osaamisen ja uskomusten ilmentämänä AKATEEMINEN VÄITÖSKIRJA
p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2
º ÅÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ö ÒØ Ð Ð ÒØ º½ Â Ø ÙÚÙÙ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø Ù Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÒØ Ð Ð ÒØ ÐÑÔ Ø Ð ÓÒ Ò Ô Ò ÙÒ Ø Ó T(x, y, z.t) ÄÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ÐÑÓ ØØ Ñ Ò ÙÙÒØ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ú ÚÓ Ñ ÑÑ Ò Ù Ò Ð ÐÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ½½ ÃÓÓÖ
ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý
Ä Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÑ Ò Ò Ð Ñ Ô Ð Ò ÚÙÐÐ Î ÐÐ Ã ÒÒÙÒ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø
F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø
Ä Æ Ä ÍÃÃÇÆ Æ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ØÓØ Ø Ò Ú Ö Ø Ö Ø ÐÙ ÓÔ ÒØÓ¹ Ñ Ò ØÝ Ò Ú ÙØØ Ú Ò Ø Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÈÄÇÅÁÌ ÝÚ ÝØØÝ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ó ØÓÒ ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ º½½º¾¼¼ º Ì Ö Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ë ÔÔÓ ÈÓ ÓÐ Ò Ò ØÙØ Å ÀÙ ÓÐ
el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (
ÈÙÓÐ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ô ÖÙ Ø Ø À Ì Øº ½º È ÖÖ ÔÒ¹ÔÙÓÐ Ó Ð ØÓ Ò Ò Ö ÚÝ Ñ ÐÐ ÙÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÂÓ ÓÒØ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò V 0 Ý ØÐ µ ÃÙÚ Ò ÚÙÐÐ µ Ù ÓÚ ÖØ Ý ØÐ Ø Ô¹ Ò¹ØÝÝÔ Ø Ò Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ö Ø ÓØ Ô¹ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÙÖ
a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº
ÄÙ Ù ÐÙ Ø ÂÙ Ä Ö ÂÓÙÒ È Ö ÓÒ Ò ÄÙ ÐÐ ÌÑ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÂÓÙÒ È Ö Ó Ò ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¾¼¼ ÂÙ Ä Ö Ò ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ô ØÑ Ò ÄÙ Ù Ð٠ع ÙÖ Ò ÐÙ ÒØÓ Òº ÅÓÒ Ø Ò Ò Ò Ñ Ø ¹ Ö Ð ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú ÓÒ Ñ ØØ ÐÐ ÐÙ ÒØÓ ÙÖ ÐÐ Ð ÑÙ
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
Ø ÝØØ Ø Ò ØØ Ò ÙÚ Ù ÐÓ Ô ÖÙ Ø Ò Ò Ñ¹ Ö ØØ ÐÝ Û È ØÖ Ä Ò Ö Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º
ÂÓ ÒØÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ØØ ÐÝÝÒ Ê¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ ÒÒ Ç Ö Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÐÓ ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º
(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).
ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙ Ø ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ØÐ ÐÐ x + 1 = 0 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ó Ó Ò Ö Ð ÐÙ¹ ÚÙÒ ØÓ Ò Ò ÔÓØ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº ÂÓØØ ØÐÐ Ý ØÐ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ù Ñ Ò ØÝØÝÝ Ð ÒØ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ð ÑÐÐ Ò ÙÙ Ð Ó Ñ Ö ØÒ Ø¹ Ø ØÓ Ø
Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç Å ÖØØ Ì Ò Ö ¾ º½º¾¼½½ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ
A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º
Ì ÓÚ Ö ÓØ Ð Ò Ã ÐÐÙÒ Å Ø Ñ Ø Ò ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ À ØÓÖ ¾ Î Ö ÓØ ÓÖ ¾º½ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ
ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÀÁ Ì ÊÁÆÌ Ä ËËÁ ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½¼ º Ð Ø º ËÓÚ ÐÐ
0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx)
Å ÌȽ ¼ ËÝÑ ÓÐ Ò Ò Ð ÒØ ¾ ÓÔ ½ Ð Ø ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ Ø ÐØ ËÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒÒ Ò ÙÖ ÐÐ ÓÔ Ø Ò Ø ØÓ ÓÒ Ò ÝØØÑ Ø ÔÙÚÐ Ò Ò Ñ Ø Ñ ØØ ÓÒ ÐÑ Ò¹ Ö Ø Ù º ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÒØ Ô ÖÙ Ú ÐÑ Ù Ø ÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒØ Ò Ö Ó ØÙÒ Ò Å Ø Ñ ¹
ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø
È ÀÌ Ä Ì Ê ÙÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ
k(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x)
Ì ÊÅÇ ÁÂ ÍËËÁÆ ÈÊÇË ËËÁÌ Ê Ê ËËÁÇ Æ Ä ËÁËË Ã Ò Ø ÒØÝ Ç ÝÐ Ø ÒØØ À ÖÖ Ä Ñ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ À ÀÙØØÙÒ Ò ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓØ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ Ì ÊÅÇ ÁÂ Ù Ò ÔÖÓ Ø Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ã Ò Ø ÒØÝ
½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¹ØÖ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÒØ Ñ Ð ÚÝÐÐ Â Ó Å ÐÚ Ö À Ð Ò ¾¾º½¼º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º
ÂÓ ÒØÓ ½ ½ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ ÐÐ ØÙØÙ ØÙØ Ò Ô ÖÙ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ö ØÝ Ø Ñ Ø Ò ÖÓ ØÙØÙ Ø Ø Ð Ô ÖÙ Ø Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ø À ÐÐ ÓÐÐ ÓÒ Ô Ó Ó ÐÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø º ½ ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó
ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ì ÖÓ ÃÓ Ó Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÌÙÖÙÒ Ð ÓÔ ØÓ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ
Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò
ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÓØ Ò Ò Ó ÐÑ ØÓØ Ò µ ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ
Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ
Ê ÑÓ È Ø Ò Ò ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ¾ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò
Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø
È ÚÓ È Ö Ò Ò Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÓØ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ̺ à ÖÚ ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ½» ½ Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò
ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú
ËÍÎÁ ÄÌÁÇ ÈÁÊÃ ÆÅ ÄÄ ¾¼¼ ¾¼¼ Ì È ÀÌÍÆ Á Æ ÄÁÁÃ ÆÆ ¹ ÇÆÆ ÌÌÇÅÍÍÃËÁ Æ Æ Ä ËÇÁÆÌÁ ËÎ ÊÃÃÇÂ Æ ÎÍÄÄ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø Ð ÓÔ ØÓÒÐ ØÓÖ Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ
½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1
![½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1](/thumbs/65/53346653.jpg "½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1")
½º º Àǹ ÇÊ ËÁ ù Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ à ÖÔ Ê Ò Ø Ö Ø Ð Ú Ø ÑÝ ÙÒ Ú Ö Ð Ò ÙØÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ú Ö Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ð Ø Ò q ØÙÒÒ Ø ÐÙ Ù ÓÙ Ó Ø Qº Q Ò ÐÙÚÙØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ô Ò Ò Ò Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÎÖÒ Ø ÑÝ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ
à ÑÖ Ò ÙÙ Ò ÙÒØÓÐ Ò Ò ÓÖ ÓØ ÓÒ ÓÖ ÓÑ Ö Ò Ð Ò ÑÖÝØÝÑ Ò Ò ËÁË ÄÌ ËÁË ÄÌ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ ÌÙØ ÑÙ Ý ÝÑÝ ØÙØ ÐÑ Ò Ö ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÙÒØÓÐ Ò Ñ Ö Ò Ø ËÙÓÑ º º º º º º º º º º º º º
ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼
ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼ ÌÝ Ò Ó À ÒÒÙ Â ÓÐ ÌÝ Ò Ø ÒÓ Åº Å Ø Ð ÅÓÓ Ð ÑÓÒ ÙÐØØÙÙÖ Ò
Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
Ë ÑÓ À Ð Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¼º
Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ
ÂÝÖ Ä Ò Ò Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½ º ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ
Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò
Å ÈÙÐ Ò Ò ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÓØ Ò Ò Ò Ø ÒØÙØ ÐÑ ¾ º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù
Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
ÇÐÐ ¹È ÀÙÓÚ Ð Ò Ò Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
Referenced. Object. StateSet. Node. Geode
ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ¹Ó Ø Ì ÑÓºÌÓ Ú Ò ÒØѺ Ùغ ÌÑ Ó ÙÑ ÒØØ ÓÒ ØÝ Ò Ø Ô Ú Ø ØÒ Ø ÖÔ Ò ÑÙ Òº ½ Ø ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ÇË µ ÓÒ ÇÔ Ò Ä Ò Ô Ö ÒÒ ØØÙ ¹ÙÓ Ö¹ ØÓ Ó ÓÒ Ú Ô Ø Ø Ú Ó ØÓ Ñ ÑÓÒ ÝÑÔÖ Ø º ÇË Ó¹ ÙÑ ÒØÓ ØÙ ÓÜÝ Ò¹Ó Ñ ØÓÒ
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ØÙÖÚ ÐÐ ÙÙ ØØ Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ø Ø Ó ÐÐ ÑÖØÒ ÓÖ ¹ Ò Ø Ó
Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË Ì ÑÓ Ã ÖÚ º½¾º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË º½¾º¾¼¼ ½» Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ
q(x) = T n (x, x 0 ) p(x) =
ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ ØÙÒ Ô Ø Ò x 0 ÝÑÔÖ ¹ Ø Ö ØØÚÒ Ð Ø Ð Ö ØØÚÒ ÑÓÒØ ÖØ Ø ÙÚ Ø µ Ö ÚÓ ØÙÚ ÅÖ Ø ÐÑ ÎÁÁ ½ ÙÒ Ø ÓÒ f : D f R D f R Ó ÓÒ
È ÌÀÇƹÇÀ ÄÅÇÁÆÆÁÆ ËÇÎ ÄÄÍÃËÁ Å ÌÊÁÁËÁÄ Ëà ÆÌ Æ ÌÁÄ ËÌÇÌÁ Ì Ë Æ Â ÆÍÅ ÊÁË Æ Å Ì Å ÌÁÁÃÃ Æ ÄÍÃÁÇÄ ÁËÁÄÄ Ì Ò Ï ÐÐ Ö ¹Ä Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Å ÖÖ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å
3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ö Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ¹ Ö Ò Ô ÖØÑ Ò Ò ÙÚ Ø Ò Ù Ò Ð Ù Ù Ò Ò Ô Ô Ð Ò µ ÚÙÐÐ Ö Ð Ù Ù Ò Ö Ø ØÓ ÙÐ Ð Ù Ù Ò Ò Ö Ú Ò ÙØØ ÒÒ Ò Ù Ò Ô ÖÖ ØÒ ÖÙÙ ÙÐÐ Ö
139/ /11034 = 0.58
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
f(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ô ÐÚ ÐÙÚÝÐ Ò Ñ Ö ØÝ Ô ÐÚ ÐÙ ÙÙÒØ ÙØÙÒ Ö Ø ÐÑ ÒØØ Ë Ù Ó À Ð Ò º¾º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ô ÐÚ ÐÙÚÝÐ Ò Ñ Ö ØÝ Ô ÐÚ ÐÙ ÙÙÒØ ÙØÙÒ Ö Ø ÐÑ ÒØØ Ë Ù Ó À Ð Ò º¾º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒ
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÄÙÓØØ ÑÙ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÒØ ÖÒ Ø¹ ÓÚ ÐÐÙ ÐÐ È Ø Ö Ë ÐÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ÖØ Ð À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ
Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
Ä ÊÓÔÔÓÒ Ò Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú
arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos
hyväksymispäivä arvosana arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki 12.4.2007 HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET
Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
È Ä Ø Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
 ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð
Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÒÒ ¹Ã Ð Ø ÐÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼  ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ë ÎÇÄ ÁÆ Æ ÇÄÄÁ
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ ÌÝ Ò Ò
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ã ÒÓØ Ó Ø Ò Ò ÙÖÓÚ Ö Ó Ò ØÝ ØØ Ø ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ À Ð Ò ¾º º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ
F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,
![P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,](/thumbs/73/69584195.jpg "P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,")
ËÁË ÄÌ º º½ º º¾ º º º º Ú Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò
N = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º
Å Ì ¾¾ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ã ¾¼½¼ ÌÑ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÙÖ ÐØ Ó ÐØ Ä ÃÙÖ ØÙÒ Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ Ò ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ò ÓØ ÒÒ ØØ ÐÙ Ñ Ð Ô ØÓ¹ ØÙ Ò Ð Ý ØÝ Ó Ø º Ë ÐØ ½º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ½º½º ÄÙ Ù Ö Ø ÐÑØ ½º¾º  ÓÐÐ ÙÙ ½º º Ð
ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ò ² Ö Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø
ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½
Ê Ã ÆÆÍËÌ ÃÆÁËÌ Æ ÇÄÇ ÁËÌ Æ Â ÁÄÅ ËÌÇÄÄÁËÌ Æ Ì ÃÁ Á Æ Î ÁÃÍÌÍË ËÍÆÌÇÂ Æ ËÁË ÁÄÅ Æ Ê ÇÆÈÁÌÇÁËÍÍÌ Æ ÌÓÔ Ã ÒÒÙÒ Ò Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ
x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n
ÇÈÌÁÅÇÁÆÆÁÆ È ÊÍËÌ Ì Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ¾ º ÝÝ ÙÙØ ¾¼¼ ¾ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ØÙØÙ ØÙØØ Ø Ú ÐÐ ÑÔ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ò ÝØØ Ò ÓÚ ÐÐÙØÙ º ÃÙÖ Ñ Ø Ö Ð ÒØÙÙ Ò Ð Ò Ö Ó Òº ÐÙ ÐÝ Ý Ø ÖÖ Ø Ò Ñ ØÖ Ð Ö Ø
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÁÖÖÐ Ø Ò Ò ¹ Ö ÑÓÓØØÓÖ Â ÒÒ Ä Ù Ö Ò Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.
Šع¾º½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø ¾¼¼ ¹¼¾¹½¾ Ì Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ø Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÐÐ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Ä ÙÖ ÂÙ Ò Ã Ò ¼¼ È Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ
ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÆÌÌÁ¹ÁÄ ÊÁ È ÊÌ Æ Æ ÁÐÑ ØÓÒÑÙÓ Ù Ñ Ö ÙÓÐ Ò Ø Ó ÐÐ Ú Ù¹ ØÙ Ø Ñ Ö ÐÐ Ò ÙÑ
ÆÌÌÁ¹ÁÄ ÊÁ È ÊÌ Æ Æ ÁÄÅ ËÌÇÆÅÍÇÃà ÍË Å ÊÁËÍÇÄ ÁÆ ÃÌÁÇÁÄÄ Î ÁÃÍÌÍÃË Ì Å Ê ÄÄÁËÁÁÆ ÃÍÅÈÍà ÊÊÇËÈÁÄÎÁÁÆ Â Å È ÄÄÇÆ Ë Ì ÁÄ Ì Ë Ë Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÂÝÖ Å Ð Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ
y t = X t β + u t, u t NID(0, 1) t = 1, 2,..., n ½µ
ÇÊ Ê ÈÊÇ ÁÌ Â Â ÄÃ È ÄÄǹÇÌÌ ÄÍÆ Å ÄÄÁÆÌ ÅÁÆ Æ Ê Ò ÓÑ Î Ö Ð ½º Ò ÙÙØ ¾¼¼ ËÁË ÄÌ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ¾ ÇÖ Ö ÔÖÓ Ø ¾º½ Å ÐÐ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Â Ð Ô ÐÐÓ¹ÓØØ ÐÙÒ Ò
Ä ÖÓ Ò ÒØÝÑ Ò Ò Ù Ø Ð Ó Ò Ô ÐÐÓÒ Ñ ØØ Ú Ë ÖÔ È Ý Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÓÐÓ Ò Ð ØÓ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ Ä ÖÓ Ò Ö ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾
Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÖÓ Æ Ñ Ð ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø
F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ
Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ð Ò ½½º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼¾ ÂÝÚĐ ÝÐĐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº
Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon
Å Ö ÃÓÑÙ Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon Sähkötekniikan korkeakoulu ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¾º¾º¾¼½ º ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ
f(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0.
Ú ËÁË ÄÌ ½¾º ËÙ Ø ÐÐ Ø Ò Ó ÙÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º ÇØÓ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½¾º Å Ò Ò ÙÑ Ø Ú Ô ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º º º º º º º º º º
º F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
P(E i ) P( ) = 0. P(A A c ) = P(A)+P(A c ) = 1. P( ) = 1 P(Ω) = 0. P(E 1 E n ) = P(E 1 )+ +P(E n ). i=1. i=1
È Ò Ò ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ËÙÑÑ Ò Ò ½ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÖ ¾ ¾º½ Ë ØÙÒÒ ÙÙ ØÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÓÐÐ Ò
ÃÙ ÖÓ ÚÙ ÓÔ Ø ØºÒ Ø ½ Ì ÓØ Ò Ù Ú Ö ÚÓÒ Ð Þ Ò Ð Ò ÚÙÒ¹ ÒÙ ¾ ÇÐ ÑÑÓ Ö ÒÒÝ ØÙ Ù ÖÙ ÓÔ ØÙÒ ÙÑ Ø Ö Ù ÐÙ Ý Ø Ò Ú Ö ÚÓÒ Ð Þ Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ò Ò ØÙÚ º Ê Ó Ø ØØÙ
½ Ì ÓØ Ò Ù Ú Ö ÚÓÒ Ð Þ Ò Ð Ò ÚÙÒ¹ ÒÙ ¾ ÇÐ ÑÑÓ Ö ÒÒÝ ØÙ Ù ÖÙ ÓÔ ØÙÒ ÙÑ Ø Ö Ù ÐÙ Ý Ø Ò Ú Ö ÚÓÒ Ð Þ Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ò Ò ØÙÚ º Ê Ó Ø ØØÙÐÓ Ò Ö ÙÖ Ó Ò ÖÙ ÚÓ ÔÖ ÒØ Ô ÒÒÙ ÓÒ ÓÐÐÙ ØÝ Ô ÐÓ ÖÙ ÑÙ Ý Ò Ö Þ Ø Ù ÚÓ Ø
Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ì Å Ó Î Ø ÁÈÄÇÅÁÌ Æ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ ÌÝ Ò Ò Ñ Î Ö ÚÖÓÓØØÓÖ Ò ÓÒ Ò Ò ÐÝÝ È ÚÑÖ º Ñ ÖÖ ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÚÙÑÖ ¾ Ç ØÓ Ë ¹ Ø ØÓÐ ÒÒ Ø Ò Ò Ó ØÓ ÈÖ
Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ë ¹ Ø ØÓÐ ÒÒ Ø Ò Ò Ó ØÓ Å Ó Î Ø Î Ö ÚÖÓÓØØÓÖ Ò ÓÒ Ò Ò ÐÝÝ ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Òº ÔÓÓ º Ñ ÖÖ ÙÙØ ¾¼¼ ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ ÈÖÓ ÓÖ ÒØ ÖÓ Ö Ó ÌÝ