f(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0.

Transkriptio

1 Ú ËÁË ÄÌ ½¾º ËÙ Ø ÐÐ Ø Ò Ó ÙÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º ÇØÓ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½¾º Å Ò Ò ÙÑ Ø Ú Ô ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½¾º Ò Ð ØØ Ò Ð Ò Ö Ò Ò Ö Ö ÓÑ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º º½ ÓÐÐ Ò Ò ÒÓÖÑ Ð Ñ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º º¾ Ò ÖØ Ò Ò Ð Ò Ö Ò Ò Ö Ö Ó º º º º º º º º º º º ½ ÀÝÔÓØ Ò Ø Ø Ù ½ º½ Ì Ø ÙÙÖ Ø p¹ ÖÚÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ì Ø Ò ÖÚ Ó ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º½ Ì Ø Ò ÚÓ Ñ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º¾ Ì Ø Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÒØ Ý Ò ÖØ Ø ÝÔÓØ Ø º º º º º ½ º Í ÓØØ ÚÙÙ Ù Ø Ø Ø Ò ÖØ Ø ÝÔÓØ Ø º º º º º º º ¾ ½ º º½ Ô Ö Ñ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½ º º¾ Í Ø Ô Ö Ñ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ ÓÒ ØÖÙÓ ØÙ Ø Ø ÙÙÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Í ÓØØ ÚÙÙ Ù Ø Ø Ø Ø ØÝØ ÝÔÓØ Ø º º º º º º º º º ½ º º½ p¹ ÖÚÓÒ ÑÖ ØØÑ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º¾ Ã Ô Ö Ñ ØÖ Ó Ø ØÓ Ø Ø Ø Ø Ò º º º º º º º º ¼ ½ º º ÀÓÑÓ Ò ÙÙ Ò Ø Ø Ù º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º º ÒÓÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ø Ø Ñ Ò Ò º º º º º º º º º ½ º º ÅÙÐØ ÒÓÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ø Ø Ñ Ò Ò º º º º º º º ½ º º Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ò Ø Ø Ù ÓÒØ Ò Ò Ø ÙÐÙ Ó º º

2 ÄÙ Ù ½ ÀÝÔÓØ Ò Ø Ø Ù ÀÝÔÓØ Ò H 0 Ø Ø Ù ÓÒ Ñ Ò ØØ ÐÝ ÓÐÐ ÖÚ Ó Ò Ú ÒØÓ Ò Ø Ö Ó Ñ ØÓ ØÙ ÚÓ Ñ ÝÔÓØ Ú Ø Ò Ø Ò ÔÙÓÐ Ø º ÇÐ ÓÓÒ H 0 ÓÒ Ò Ò¹ Ø Ð Ó Ú ÓÐ ØÙ Ð ÝÔÓØ º Ì ÑÑ ØØ Ò Ú ÒØÓ Ø Ö Ø Ñ¹ Ñ ÓÒ Ó ØÑ ÓÐ ØÙ ÓÔÙ Ó ÒÒÙ Ú ÒØÓ Ò Ò º Å Ò ØØ ÐÝ ÑÙ ØÙع Ø Ó Ò ÑÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ø ØÙØØÙ ØÓ ØÙ Ø Ò Ú Ø ÓÐ ØÙ Ò ÚÙÐÐ º Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ò ÝÔÓØ H 0 Ø Ú ÐÐ Ø Ó Ú ÒØÓ Ò ÝÔÓØ ¹ Ò ÚÐ Ò ÐÓÓ Ò Ö Ø Ö Ø Ò ÑÙØØ Ú ÒÒÓØ ØØ Ú Ø ÓÐÐ Ö ÑÑ ¹ Ò ÔØÓ ÒÒ Ñ Ð H 0 ÓÐ ØÓ º Å Ø ÔØÓ ÒÒ ÑÔ ÙØ Ú ÒÒÓØ ÓÚ Ø H 0 Ò Ú ÐÐ Ø Ø Ú Ú ÑÑ Ò Ò Ò Ø ÓØ Ò Ó Ó ØØ Ú Ò ØØ H 0 Ô Ô Ò º Ñ Ö ½ º½ À Ø ØÒ Ð ÒØØ ½¼¼ ÖØ º ÃÖÙÙÒÙ Ò ÐÙ ÙÑÖX ÒÓÙ¹ ØØ ÒÓÑ ÙÑ Bin(100,θ)º Ì Ø Ø Ò ÓÒ Ó Ö Ö ØÓÒº Ì Ø Ø¹ Ø Ú ÝÔÓØ ÓÒ H 0 θ = 1 2 º ÂÓ H 0 Ô Ø Ô Ò Ò Ò ( )( ) f(x) =, x = 0,1,...,100. x 2 Ì ÑÑ ØØ E(X) = 50 Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ Ð ÝÝ ÓÐ Ú Ø X Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø Ò ØÓ ÒÒ ÑÔ º ÎÓ ÑÑ Ú Ð Ø Ø Ø ÙÙÖ Ñ Ö ¹ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò T = X 50 Ó Ñ ØØ Ù Ò ÝÚ Ò Ú ÒÒÓØ ÝÔÓØ ÓÔ Ú Ø Ý Ø Òº ÂÓ Ú Ø Ò Ñ Ö X = 30 Ò Ò T = = 20º ÂÓ H 0 ÓÒ ØÓ ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ò ÔÓ Ú Ø Ú Ð ÔÓ Ú ÑÔ ÖÚÓ P(T 20) = P( X 50 20) 0. ÇÒ Ö ÑÑ Ò ÔØÓ ÒÒ Ø ØØ Ö ØØÓÑ ÐÐ Ð ÒØ ÐÐ Ò Ò Ò ÔÓ Ú ØÙÐÓ º À Ú ÒØÓ ØÙ ÚÓ Ñ Ø ØÝ Ø ØØH 0 ÓÒ ÚÖ Ð ÒØØ ÓÒ Ö Ò Òº

3 ÄÙ Ù ½ º ÀÝÔÓØ Ò Ø Ø Ù ½ º½ Ì Ø ÙÙÖ Ø p¹ ÖÚÓØ Å Ö Ø ÚÝÝ Ò Ø Ø Ù Ñ ÓÐÐ Ø Ó ØÙÐÓ Ø Ú ÒÒÓص ÓÒ Ý Ø¹ ØÚ ØØ Ñ Ò Ö ØÝ Ò Ò ÑÙ Ò Ñ Ø Ò ÝÚ Ò Ò ÓÔ Ú Ø Ý Ø Ò ÝÔÓØ Ò Ò º ÌØ Ø Ö Ó ØÙ Ø Ú ÖØ Ò Ú Ð Ø Ò Ó Ò Ø Ø ÙÙÖ T Ó Ñ ØØ Ú ÒØÓ Ò ÝÔÓØ Ò H 0 Ý Ø Ò ÓÔ ÚÙÙØØ º Ì Ø ÙÙÖ Ò T Ô Ò ÖÚÓ Ó Ó ØØ Ú ÒØÓ Ò ÝÚ Ý Ø Ò ÓÔ ÚÙÙØØ ÝÔÓØ Ò Ò T Ò ÙÙÖ ÖÚÓ Ó Ó ØØ ÙÓÒÓ Ý Ø Ò ÓÔ ÚÙÙØØ º Ì Ø ÙÙÖ Ú Ð Ø Ò ÒÒ Ò Ù Ò ØÙØ Ø Ò Ú ÒØÓ º Î Ð ÒØ Ò Ú ÙØØ Ø ØÝ Ø Ñ ÐÐ ÔÓ Ñ ÐÙØ Ò ØÙÒÒ Ø º ÃÙÒ Ú ÒÒÓØ ÓÒ ØÙ ÚÓ Ò Ð Ø Ø ÙÙÖ Ò ÖÚÓ T = tº Ë Ø¹ Ø Ò ÚÓ Ò Ð ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ò Ò Ò Ò Ò ÔÓ Ú T Ò ÖÚÓ Ó H 0 ÓÒ ØÓ º ÌØ ØÓ ÒÒ ÝÝØØ ½ º½º½µ α h = P(T t H 0 ØÓ ) ÙØ ÙØ Ò p¹ ÖÚÓ Ø Ú ØÙ Ñ Ö Ø ÚÝÝ Ø Ó º ÂÓ α h ÓÒ ÝÚ Ò Ô Ò Ò Ò Ó Ó ØØ ØØ ÐÐ Ø Ú ÒØÓ Ø ÙÙÖ Ó Ò Ó H 0 ÓÒ ØÓ º Ë ÐÐÓ Ò Ú ÒÒÓØ ØÙ Ú Ø Ú Ú Ø ÓÐ ØÙ Ø ØØ H 0 Ô Ô Ò º Ñ Ö ½ º¾ À Ò Ð ÐÐ Ø Ò ØÙÒÒ Ö ØÝ Ô ÝØÒ Ù¹ Ú ÔÙÓÐ Ð Ô Ò ÓÖØØ ÓØ ÓÚ Ø Ö Ñ Ø µº ÂÓ Ò ÓÖØ Ò Ó ÐÐ Ò Ð ÖÚ Ñ Ø Ñ Ø ÓÖØØ ÓÒº À Ò Ð Ú ØØ ØØ Ò ÐÐ ÓÒ ÐÐ ÝÐ Ø ÐÐ Ý Ý ØØ Ò ÔÝ ØÝÝ ØØÝÑÐÐ Ò ÑÒ ÓÖØ Ò Ô ÑÒ Ô Ö ÑÔ Ò ØÙÐÓ Ò Ù Ò Ô Ð ÖÚ º Ø ÐÐ Ò Ø¹ Ø Ò Ð ÐÐ ÓÒ Ö ÙÓÖØ ÓØ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ ÝÑ ÓÐ ÐÐ º ÃÓÖØ Ø ÓÒ Ô Ø ØØÚ Ó Ò Ö ÙÓÖ Òº ÇÐ ÓÓÒ X Ó Ò Ó Ø ØØÙ Ò ÓÖØØ Ò ÐÙ ÙÑÖº ÂÓ Ò Ð ÓÒ Ô Ð ÖÚ Ò Ò ÐÐÓ Ò Ó Ò ÐÙ ÙÑÖÒ X ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ X Ø Ò f(x) Ä Ñ ÐÐ ÚÓ Ò ØÓ Ø ØØ E(X) = 1 Var(X) = 1º Ì Ø Ø Ò ÒÝØ ÒÓÐÐ ÝÔÓØ H 0 ØØ Ò Ð ÓÒ ÖÚ º ÌÓ Ø Ø Ò Ó ¼ ÖØ ÓÐ ÓÓÒ X i Ó Ò Ó Ø ØØÙ Ò ÓÖØØ Ò ÐÙ ÙÑÖ iº Ó i = 1,...,50º Ë ÐÐÓ Ò Ó Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X i ÒÓÙ ØØ ÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ X Ò ÙÑ º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑÑ S = X 1 +X 2 + +X 50 ÒÓÙ ØØ Ò Ö Ú ØØÑÒ ÑÙ Ò Ð Ñ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ º ÆÝØ E(S) = 50 1 Var(S) = 50 1 ÓØ Ò À Ò Ð ÙÖ Ú Ò ØÙÐÓ Ò S N(0,1).

4 ½ º¾º Ì Ø Ò ÖÚ Ó ÒØ Ç Ò Ó Ø ØØÙ Ò Ð Ñ ¼ ½ ¾ Ø Ò À Ú ØØÙ Ö Ú Ò ½ ½ ¼ Ò ØÓ Ø Ð ØØÙ S Ò ÖÚÓ ÓÒ ¼º Ë ( α h = P(S 60) P Z ) = 0.079, 50 Ñ Z ÒÓÙ ØØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ N(0,1)º ÃÓ p¹ ÖÚÓ ÓÐ ÓÚ Ò Ô ¹ Ò Ò Ò H 0 ÚÓ Ñ Òº ÌÓ ÐØ p¹ ÖÚÓ ÓÒ Ò Ò Ô Ò ØØ Ó Ù Ø¹ Ø Ô ÐÐ H 0 Ò ÔØ ÚÝÝØغ Ö Ø Ô ÝÖ ØØ ÐÚ ØØ Ô ÐÝ ÓÒ ÖØ Ð Ò ØÓ Ñ Ð Ñ ÓÐÐ Ø º ½ º¾ Ì Ø Ò ÖÚ Ó ÒØ Ì Ð ÐÙÚÙ Ø ÐÐÒ ØØ Ø Ñ Ò Ø ÐÑ Ó Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ú ÖØ ÐÐ ÒÒ Ö Ø Ø Ò ÝÚÝÝØغ Ã Ò Ø Ò Ø Ö Ø ÐÙ ÓÒ Ø Ø Ò ÚÓ Ñ ÙÙ º Ë ÐÙÓÒÒ Ø Ø Ø ÙÙÖ Ò Ö ÝÝØØ ØÙÒÒ Ø Ú ¹ ØÓ ØÓ Ò Ò ÝÔÓØ º ÀÝÔÓØ ÐÐ H 0 ÒÓÐÐ ÝÔÓØ µ Ø Ø Ò ÔÐ ØØ ¹ Ø Ú ØÓ ØÓ Ò Ò ÝÔÓØ H 1 Ó Ú Ð Ø Ò Ò ÑÙ Ò Ñ ÐÐ ÔÓ ¹ Ñ H 0 Ø ÐÙØ Ò ØÙÒÒ Ø º Ì Ø Ñ Ò ØØ ÐÝ Ø Ø Ù µ ÓÒ ÒØ Ó Ú ÒØÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ú Ð Ø ØÓ Ò Ú Ò ØÓ Ò ÝÔÓØ Ø H 0 H 1 º Ì Ò Ø ÝÔÓØ Ø ÓÒ ØÖÙÓ Ò Ø Ò ØØ Ø Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ú ¹ ÖÙÙ Ò Θ Ó Ø Ò Ó ÓÙ ÓÓÒ Θ 0 Θ 1 Ø Ò ØØ Θ = Θ 0 Θ 1 Θ 0 Θ 1 = µº ÆÝØ Θ 1 = Θ\Θ 0 = Θ c 0 ÓØ Ò Θ 1 ÓÒ Θ 0 Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ Θ º Æ Ø Ú ØÓ ØÓ Ñ Ö ØÒ Ø Ú ÐÐ Ø H 0 : θ Θ 0 Ú Ø Ò H 1 : θ Θ 1. ÂÓ Θ = R ÓÒ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ò Ò ØÝÝÔ ÐÐ ÝÔÓØ ÓÚ Ø Ñ Ö¹ { { H 0 : θ = 0 H 0 : θ 1 H 1 : θ 0 H 1 : θ > 1. Ò ÑÑ Ø Ô Ù Θ 0 = {0} ÓÒ Ý Ô Ø H 0 Ý Ò ÖØ Ò Òµ Θ 1 = {θ θ 0}º ÌÓ Ø Ô Ù ÑÓÐ ÑÑ Ø ÝÔÓØ Ø ÓÚ Ø Ò º Ý Ø ØØÝ ÝÔÓØ Ð Ò ÐØÚØ Ù Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ Θ 0 = {θ θ 1} Θ 1 = {θ θ > 1}º Ì Ø Ñ Ò ØØ ÐÝ ÓØÓ Ú ÖÙÙ S Ø Ò ÝÐ Ý ÐÙ Ò ÝÚ ÝÑ ¹ ÐÙ Òº ÇÐ ÓÓÒ T Ú Ð ØØÙ Ø Ø ÙÙÖ x S Ó Ò Ú ÒØÓº Ì Ø ÙÙÖ Ò T ÖÚÓÒ T(x) Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ú Ð Ø Ò Ó Ó H 0 Ø H 1 º ÀÝÐ Ý ÐÙ C S ѹ Ö Ø ÐÐÒ Ø Ò ØØ H 0 ÝÐØÒ ÐÐ x Cº H 0 ÝÚ ÝØÒ Ó x / Cº ÀÝÐ Ý ÐÙ ØØ ÙØ ÙØ Ò ÑÝ Ø Ø Ò Ö ØØ ÐÙ º Î Ø Ú Ø H 0 Ò ÝÚ ÝÑ ÐÙ ÓÒ C Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ C c ÓØ Ò S = C C c º Ì Ø ÓÐ Ù Ø Ò Ò Ö ØÝÑØ Òº ÎÓ ØØÙ ØØ x C Ú θ Θ 0 º Ë ÐÐÓ Ò ÝÒØÝÝ Á Ð Ò Ú Ö H 0 ÝÐØÒ Ú ÓÒ ØÓ º Á Ò Ð Ò

5 ÄÙ Ù ½ º ÀÝÔÓØ Ò Ø Ø Ù Ú Ö Ò ØÓ ÒÒ ÝØØ Ñ Ö ØÒ P(H 0 ÝÐØÒ H 0 ØÓ ) = α. Î Ø Ú Ø ÚÓ ØØÙ ØØ x C c Ú θ Θ 1 º Ì Ø Ô Ù Ø ¹ Ò ÁÁ Ð Ò Ú Ö H 0 ÝÚ ÝØÒ Ú ÓÐ ØÓ º ÁÁ Ò Ð Ò Ú Ö Ò ØÓ ÒÒ ÝÝØØ Ñ Ö ØÒ P(H 0 ÝÚ ÝØÒ H 0 ØÓ ) = β. Ì ÚÓ ØØ Ò ÓÒ Ú Ð Ø Ö ØØ Ò Ò ÐÙ Ø Ò ØØ Ú Ö ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÚ Ø Ñ ÓÐÐ ÑÑ Ò Ô Ò Ø ½ º¾º½ Ì Ø Ò ÚÓ Ñ ÙÙ Ì Ø Ò Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÚÓ Ò ÐÙÓÒÒ Ø ÚÓ Ñ ÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ º ÎÓ Ñ ÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ γ(θ) = P(X C; θ) = P(H 0 ÝÐØÒ ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ ÓÒ θ) = 1 β(θ), Ñ β(θ) ÓÒ ÁÁ Ò Ð Ò Ú Ö Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ º Ì Ø Ò Ñ Ö Ø ÚÝÝ Ø Ó α Ð Ø Ø Ò Ó Ó ÓÒ α = max θ Θ 0 γ(θ), Ó ÓÒ Á Ð Ò Ú Ö Ò Ñ Ñ H 0 Ò Ú ÐÐ Ø º ÃÙÒ H 0 ÓÒ Ý Ò ÖØ Ò Ò Ð Θ 0 = {θ 0 Ð Ò Ò α = P(X C; θ 0 )º Ñ Ö ½ º ÇÐ ÓÓÒX Ú ÒØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(θ,1)º Ì Ø Ø Ò Ú ÒÒÓÒ X = x ÚÙÐÐ ÝÔÓØ Ø H 0 : θ 0, H 1 : θ > 0. ÇÐ ÓÓÒ Ö ØØ Ò Ò ÐÙ C = { x x 1 2 } º Ë ÐÐÓ Ò Ø Ø Ò ÚÓ Ñ ÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ γ(θ) = P ( X 1 2 ; θ) = P ( X θ 1 θ; θ) 2 = 1 Φ ( 1 θ) = Φ ( θ 1 2 2), Ñ X θ N(0,1)º Ì Ø Ô Ù γ ÓÒ θ Ò Ó Ø Ú Ú ÙÒ Ø Ó γ(θ) 1 ÙÒ θ γ(θ) 0 ÙÒ θ º Ì Ø Ò Ñ Ö Ø ÚÝÝ Ø Ó α = maxφ ( ) θ 1 θ Θ 2 0 = Φ ( 1 2) 0.31.

6 ½ º¾º Ì Ø Ò ÖÚ Ó ÒØ γ(θ) = Φ ( θ 1 2 ) Θ 1 θ ÃÙÚ Ó ½ º½º ÎÓ Ñ ÙÙ ÙÒ Ø Ó γ(θ) ÙÒ X N(θ,1) Ö ØØ Ò Ò ÐÙ C = { x x 1 } 2 º ØØ Ñ ÑÑ Ø ÚÓ ØØ Ò ÑÙ Ø Ô Ø ÚÓ Ñ ÙÙ Ò γ(θ) ÓÐÐ Ñ ¹ ÓÐÐ ÑÑ Ò ÙÙÖ ÙÒ θ Θ 1 º Î Ø Ú Ø ÚÓ Ñ ÙÙ Ò γ(θ) ØÙÐ ÓÐÐ Ñ ÓÐÐ ÑÑ Ò Ô Ò ÙÒ θ Θ 0 º ÆÑ Ú Ø ÑÙ Ø ÓÚ Ø Ù Ø Ò Ò ¹ ÒÒ Ö Ø Ö Ø Øº ÃÙÒ Ö ØØ Ø ÐÙ ØØ Ú Ø Ø Ò Ú Á Ð Ò Ú Ö º ÃÙÒ ÝÚ ÝÑ ÐÙ ØØ Ú Ø Ø Ò Ú ÁÁ Ð Ò Ú Ö º Ö ÒÓ Ö Ø ¹ Ø ØÑ ÔÙÐÑ ÓÒ ÒÒ ØØ Ò Ò Ñ Ö Ø ÚÝÝ Ø Ó α Ú Ð Ø ØØ Ò Ò Ø Ñ Ò Ñ Ö Ø ÚÝÝ Ø ÓÒ Ø Ø Ø Ó ÓÒ ÚÓ Ñ Ò ÐÙ ÐÐ θ Θ 1 º ÌÑÒ Ð Ò Ð ØÝÑ Ø Ú Ò ØØ ÚØ Â ÖÞÝ Æ ÝÑ Ò ÓÒ Ëº È Ö¹ ÓÒº Æ ÝÑ Ò Ò È Ö ÓÒ Ò Ð ØÝÑ Ø Ô Ò ÚÐØØÑØØ Ó Ý ¹ ØØ Ò Ö Ø ÙÙÒº ÇÐ ÓÓØ ÐÐ Ø Ø ÐÐ ÚÓ Ñ ÙÙ ÙÒ Ø ÓØ γ 1 (θ) γ 2 (θ) Ñ Ñ Ö Ø ÚÝÝ Ø Óº Ë ÐÐÓ Ò ÚÐØØÑØØ Ô Ô Ò ØØ γ 1 (θ) γ 2 (θ) ÐÐ θ Θ 1 Ø γ 2 (θ) γ 1 (θ) ÐÐ θ Θ 1 º ÃÙÑÔ ¹ Ò Ø Ø ÓÐ ÚÐØØÑØØ Ø Ø ÚÓ Ñ ÑÔ Ù Ò ØÓ Ò Òº ÃÙ Ø Ò Ò Ù ØÖ Ø Ø Ø Ð ÒØ ÚÓ Ò Ð ÝØ ØÐÐ Ò Ò Ø Ø ÚÓ Ñ ¹ Ò Ø Ø º ½ º¾º¾ Ì Ø Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÒØ Ý Ò ÖØ Ø ÝÔÓØ Ø ÇÐ ÓÓÒ X Ú ÒØÓ ÙÑ Ø ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f(x;θ)º Ì Ø Ø Ò ÒÝØ Ú ØÓ ØÓ Ý Ò ÖØ ÝÔÓØ ½ º¾º½µ H 0 : θ = θ 0 H 1 : θ = θ 1. ÃÙÒ Ú ÒØÓ X = x ÓÒ ØÙ ÚÓ Ò Ð Ù ÓØØ ÚÙÙ Ù λ(x) = L(θ 0;x) L(θ 1 ;x), ÓÒ Ú Ð Ø ÑÑ Ø Ø ÙÙÖ º ÃÙÒ λ(x) ÓÒ ÙÙÖ ÓÐ ÑÑ Ø ÔÙÚ Ý¹ Ú ÝÑÒ H 0 Òº ÂÓ Ø λ(x) ÓÒ Ô Ò Ú Ð Ø ÑÑ H 1 Òº Æ ÝÑ Ò Ò È Ö ÓÒ Ò Ð ØÝÑ Ø Ú Ò ÑÙ Ò ÒÒ Ø ØÒ Ò Ò Ñ Ö¹ Ø ÚÝÝ Ø Ó αº ÌÑÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÚÓ ÑÑ Ú Ð Ø λ Ò Ö ØØ Ò ÖÚÓÒ Ø Ò ØØ ½ º¾º¾µ P[λ(X) λ α ; θ 0 ] = α.

7 ¼ ÄÙ Ù ½ º ÀÝÔÓØ Ò Ø Ø Ù Ì Ø Ò ÝÐ Ý ÐÙ ÓÒ ½ º¾º µ C = {x λ(x) λ α }. Ä Ù ½ º½ Æ ÝÑ Ò Ò È Ö ÓÒ Ò ÔÙÐ Ù µ ÃÙÒ Ø Ø Ø Ò Ô Ö Ñ Ø¹ Ö θ Ó Ú ÝÔÓØ ½ º¾º½µ Ò Ò Ø Ø ½ º¾º µ ÓÒ ÚÓ Ñ Ò ¹ Ø Ñ Ö Ø ÚÝÝ Ø Ó α ÓÐ Ú Ø Ø Ø Øº Å Ö Ø ÚÝÝ Ø Ó α ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÒØ Ø Ø ÐÐ ½ º¾º¾µº ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒD Ñ Ø Ò ØÓ Ò Ò Ö ØØ Ò Ò ÐÙ ØÓ Ò Ò Ø Ø µ ÓÒ Ñ Ö Ø ÚÝÝ Ø Ó ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò αº Ë ÐÐÓ Ò α = f(x;θ 0 )dx f(x;θ 0 )dx, ÓØ Ò ½ º¾º µ C C D c f(x;θ 0 )dx ÔÝ ØÐ ½ º¾º µ ÙÖ Ø ØØ C D c = C C D ÂÓ x C D c Ò Ò x C ÐÐÓ Ò ÂÓ Ø x D C c Ò Ò x C c Ë ½ º¾º µ λ α C D c f(x;θ 1 )dx D D C c f(x;θ 0 )dx. D C c = f(x;θ 1 )λ α f(x;θ 0 ). f(x;θ 0 ) > f(x;θ 1 )λ α. D C D f(x;θ 0 )dx C D c f(x;θ 0 )dx λ α f(x;θ 1 )dx, D C c D C c Ñ ØÓ Ú Ñ Ò Ò ÔÝ ØÐ ÓÒ ØÓ ÐÐ ÚØ C D ÓÐ Ñ Øº ÃÙÒ ÔÝ ØÐ ½ º¾º µ Ø Ò ÔÙÓÐ ØØ Òλ α ÐÐ ÔÝ ØÐ Ò ÑÓÐ ÑÑ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ Ð ØÒ ÒØ Ö Ð f(x;θ C D 1)dx Ò f(x;θ 1 )dx f(x;θ 1 )dx. C ÃÓ ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Òγ C (θ 1 ) = f(x;θ C 1)dx γ D (θ 1 ) = f(x;θ D 1)dx Ò Ò Ø Ø ½ º¾º µ ÓÒ ÚÓ Ñ Ò Ø Ø Ø Ø Ó Ò Ñ Ö Ø ÚÝÝ Ø Ó ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò αº D.

8 ½ º¾º Ì Ø Ò ÖÚ Ó ÒØ ½ Ñ Ö ½ º ÇÐ ÓÓÒ X 1,...,X n ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ,1)º Ì ¹ Ø Ø Ò Ø Ý Ò ÖØ Ø ÝÔÓØ H 0 µ = 1 Ú Ø Ò H 1 µ = 2º ع ÑÑ ÒÝØ Ô Ö Ò Ö ØØ Ò ÐÙ Ò C ÙÒ Ø Ø Ò Ñ Ö Ø ÚÝÝ Ø Ó α ÓÒ ÒÒ Ø ØØݺ ÅÖ ØÑÑ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò S Ô Ø Ø Ó λ(x 1,...,x n ) = L(1;x 1,...,x n ) L(2;x 1,...,x n ) λ α P[λ(X 1,...,X n ) λ α ] = αº ÃÓ L(1) = c exp [ 1 2 n (x i 1) 2] L(2) = c exp [ 1 2 n (x i 2) 2] Ò Ò logλ(x 1,...,x n ) = 1 2 Ì Ø ÙÖ ØØ ½ º¾º µ n (x i 1) n (x i 2) 2 n (x i 2) 2 logλ α n (x i 1) 2 2logλ α. ÃÓ n (x i µ) 2 = n (x i x) 2 +n(x µ) Ò Ò n n (x i 2) 2 (x i 1) 2 = n(x 2) 2 n(x 1) 2 = n( 2x+3). Ë ÔÝ ØÐ ½ º¾º µ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó x logλ α n = c α. ÃÓ H 0 Ò Ú ÐÐ Ø X N(1,1/ n) Ò Ò ÑÖ Ø ØÒ c α Ø Ò ØØ P(X c α ) = P[Z n(c α 1)] = α, Ñ Z = n(x 1) N(0,1) H 0 Ò Ú ÐÐ Ø º ÇÐ Ø Ø Ò Ñ Ö ØØ n = 16 Ø Ø Ò Ñ Ö Ø ÚÝÝ Ø Ó α = 0.05º ÅÖ Ø ØÒ c 0.05 Ø Ò ØØ P[Z 4(c )] = Ë ÐÐÓ Ò 4(c ) = ÓØ Ò c 0.05 = = Ì Ø Ò ÝÐ Ý ÐÙ Ñ Ö Ø ÚÝÝ Ø ÓÐÐ α = 0.05 ÓÒ { C = (x 1,...,x n ) x = 1 16 } x i

9 ¾ ½ º Í ÓØØ ÚÙÙ Ù Ø Ø Ø Ò ÖØ Ø ÝÔÓØ Ø ÄÙ Ù ½ º ÀÝÔÓØ Ò Ø Ø Ù Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÚÓ Ò ÐÙÓÒÒ Ø ÙÑ Ò ÓÙ ÓÒ º ÂÓ ÙÑ Ð¹ Ð ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Óµ Ò Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ò Ñ ÐÐ ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙ Ó ½ º º½µ F = {f( ;θ) θ Θ R k }, Ñ Ó Ò Ò ÒÒ ØØÙ θ Θ ÑÖ ØØ Ð ÓÒ Ò ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒº ÃÙÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ Ö ØØ Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ Ô ÐÐ ÓÒ ØÓ ÒÒ¹ ÝÝ ÙÒ Ø Óº Ë ÙÖ Ú Ø ÐÐ Ò ØØ Ø Ø ØØ Ú Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò ÝÔÓØ ¹ ÚÓ Ò Ð Ù Ù Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ñ ÐÐ Ò ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ô Ö Ñ ØÖ Ó Ú Ò ÓÐ ØÙ Ò º ÀÝÔÓØ H ÓÒ Ý Ò ÖØ Ò Ò Ó ÑÖ ØØ Ò ØÙÒØ Ñ ØØÓ¹ Ñ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓØ Ò Ò ØØ Ñ ÐÐ Ò ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ô Ö Ñ ØÖ º Ø ØØÝ ÝÔÓØ Ò Ò ØÝ Ò ÑÖ Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ò Ô Ö Ñ Ø¹ Ö Ò ÖÚÓ ÑÙØØ Ö Ó ØØ Ñ ÓÐÐ Ø Ò ÖÚÓ Ò ÓÙ Ó º ½ º º½ Ô Ö Ñ ØÖ ÇÐ Ø Ø Ò ÐÙ ØØ Ñ ÐÐ ÓÒ Ý ØÙÒØ Ñ ØÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ θº Ì Ø Ø Ò ÝÔÓØ ½ º º¾µ H 0 : θ = θ 0, Ñ θ 0 ÓÒ Ó Ò θ Ò ÒÙÑ Ö Ò Ò ÖÚÓº ÇÐ ÓÓÒ l(θ) = logl(θ) ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ˆθ Ô Ö Ñ ØÖ Òθ ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ º Ì Ø Ø Ò ÝÔÓØ ½ º º¾µ ÝØØ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ù Ø Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ï Ð Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ø Ø ÙÙÖ ØØ W = 2log L(θ 0) L(ˆθ) = 2[l(ˆθ l(θ 0 ))]. Ì Ø ÙÙÖ W = W(X 1,X 2,...,X n ) ÓÒ ÓØÓ Ò X 1,X 2,...,X n ÙÒ Ø Ó W d χ 2 (1), ÙÒ n Ú º ÂÓ Ø Ø Ò Ö Ø Ó ÓÒ Ú Ð ØØÙ α Ò Ò ÔØ ÒØ ÓÒ ÀÝÐ H 0 ÝÚ Ý H 1 Ó W χ 2 α(1), Ñ χ 2 α (1) ÓÒ Khi2(1)¹ ÙÑ Ò ÐÐ Ò Ò Ö Ø Ð ØØ P[χ2 χ 2 α (1)] = αº À Ú ÒÒÓ Ø x 1 x 2, º º º x n ÚÓ Ò Ð Ø Ø ÙÙÖ Ò ÖÚÓ W(x 1, x 2,...,x n ) = dº ÃÙÒ ÖÚÓ d ÓÒ ØÙ ÚÓ Ò Ð Ø Ø ÙÙÖ Ò ÖÚÓÓÒ Ð ØØÝÚ ØÓ ÒÒ ÝÝ α h = P(W d H ØÓ ),

10 ½ º º Í ÓØØ ÚÙÙ Ù Ø Ø Ø Ò ÖØ Ø ÝÔÓØ Ø Ó ÓÒ Ú ØØÙ Ñ Ö Ø ÚÝÝ Ø Ó Ð p¹ ÖÚÓº ËÙÙÖ ÐÐ n Ò ÖÚÓ ÐÐ P(W d H ØÓ ) P(χ 2 (1) d) p¹ ÖÚÓ ÚÓ Ò ÑÖ ØØ Khi2(1)¹ ÙÑ Ò ÚÙÐÐ º Ñ Ö ½ º ÇÐ ÓÓÒ X 1,X 2,...,X n ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(θ,σ 2 ) Ñ Ú Ö Ò σ 2 ÓÐ Ø Ø Ò ØÙÒÒ ØÙ º Ì Ø Ø Ò ÝÔÓØ H 0 : θ = θ 0 Ú ØÓ ØÓ H 1 : θ θ 0 Ú Ø Òº ÂÓ H 0 Ô Ø Ô Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓ L(θ) ÓÒ L(θ 0 ) = (2πσ 2 ) n/2 exp[ 1 2σ 2 L(ˆθ) = (2πσ 2 ) n/2 exp[ 1 2σ 2 n (x i θ 0 ) 2 ] n (x i x) 2 ]. ÃÙÒ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò Ï Ð Ò Ø Ø ÙÙÖ W = 2log[L(θ 0 )/L(ˆθ)] Ò W = 1 n [(x σ 2 i θ 0 ) 2 (x i x) 2 ] = [ n( x θ 0 )] 2. σ Ë ÐÐÓ Ò ÒÒ ØÙÐÐ d > 0 W d 2 [ n( x θ 0 )] 2 d 2, σ Ó ØÓØ ÙØÙÙ Ø ÑÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ n( x θ0 ) n( x θ0 ) d Ø d. σ σ ÃÓ H 0 Ò Ú ÐÐ Ø n( X θ 0 ) σ P θ0 [ n( x θ 0 ) σ N(0,1) Ò Ò ØØ Ñ ÐÐ ØÓ n( x θ0 ) d Ø d ] = α σ Ò d = z α/2. ÆÝØ Ù ÓØØ ÚÙÙ Ù Ø Ø ÓÒ ÑÙÓØÓ { H 0 ÝÐØÒ ÙÒ n( x θ 0 ) z Ì Ø σ α/2 ; ÑÙÙØÓ Ò H 0 ÚÓ Ñ Òº ÆÓÐÐ ÝÔÓØ H 0 ÝÐØÒ Ó Z = X θ 0 σ/ n z α/2, ÓØ Ò Ø Ø Ò Ö ØØ Ò Ò ÐÙ ÓÒ C = {Z Z z α/2 }º

11 ÄÙ Ù ½ º ÀÝÔÓØ Ò Ø Ø Ù α 2 α 2 } {{ }} {{ }} {{ } C z α/2 C c z α/2 C Ì Ø Ò Ñ Ö Ø ÚÝÝ Ø Ó ÓÒ α = P(H 0 ÝÐØÒ; θ = θ 0 ) = P( Z z α/2 ; θ = θ 0 ). Ë ÙÖ Ú Ñ Ö ØÒ P(Z C; θ) = P θ (Z C)º ÎÓ Ñ ÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ γ(θ) = P θ (Z C) = P θ ( Z z α/2 ) = P θ (Z z α/2 )+P θ (Z z α/2 ) ( ) ( ) X θ0 X = P θ σ/ n z θ0 α/2 +P θ σ/ n z α/2 ( X θ = P θ σ/ n + θ θ ) ( 0 X θ σ/ n z α/2 +P θ σ/ n + θ θ 0 σ/ n z α/2 ( X θ = P θ σ/ n z α/2 θ θ ) ( 0 X θ σ/ +P θ n σ/ n z α/2 θ θ 0 σ/ n ( = Φ z α/2 θ θ 0 σ/ n ) ( +1 Φ z α/2 θ θ 0 σ/ n ). ) ) Å Ö Ø ÚÝÝ Ø Ó ÓÒ γ(θ 0 ) = Φ( z α/2 )+1 Φ(z α/2 ) = 2Φ( z α/2 ) = 2 α 2 = α. ÎÓ ÑÑ ØÓ Ø ØØ γ(θ) 1 ÙÒ θ Ø θ º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò α h Ø Ö Ò ÖÚÓÒ Ð Ñ Ò Ò Ù Ò Ò Ð Ø ØÚ ÑÙØØ ÓÔ Ú Ò ØÓ Ò Ú ÐÐ Ø Ð ÖÚÓ ½ º º µ α h = P(W d θ = θ 0 ) P(χ 2 1 d) ÓÒ Ö ØØÚÒ ÝÚº Ä ÖÚÓ Ò χ 2 ¹ ÙÑ Ò ÚÙÐÐ Ó ÙÙÖ ÐÐ n Ò ÖÚÓ ÐÐ W ÒÓÙ ØØ Ð Ñ Ò χ 2 ¹ ÙÑ Ú Ô Ù Ø Ò 1º Ñ Ö ½ º Ì Ò n Ö ÔÔÙÑ ØÓÒØ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó ØØ Ó ÓÒÒ ¹ ØÙÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ θº ÇÒÒ ØÙÑ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ X ÒÓÙ ØØ ÒÓÑ ¹ ÙÑ Bin(n,θ)º Ì Ø Ø Ò ÝÔÓØ H 0 θ = θ 0 Ñ θ 0 ÓÒ Ó Ò ÒÙÑ Ö Ò Ò ÖÚÓº ÒÓÑ ÙÑ Ò ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ l(θ) = xlogθ+(n x)log(1 θ),

12 ½ º º Í ÓØØ ÚÙÙ Ù Ø Ø Ø Ò ÖØ Ø ÝÔÓØ Ø Ñ 0 < θ < 1º Ë ÐÐÓ Ò l(ˆθ) = xlog x ( n +(n x)log 1 x ), n Ñ ˆθ = x/nº ÂÓ H 0 ÓÒ ØÓ ÐÐÓ Ò ÐÓ Ö ØÑÓ ÙÒ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓ ÓÒ l(θ 0 ) = xlogθ 0 +(n x)log(1 θ 0 ). ÂÓ Ñ Ö θ 0 = 0.5 ÐÐÓ Ò l(0.5) = nlog(0.5)º Í ÓØØ ÚÙÙ Ø Ø ÙÙÖ ÝÔÓØ Ò H 0 θ = θ 0 Ø Ø Ñ ÓÒ W = 2[l(ˆθ) l(θ 0 )] = 2r(θ 0 ) [ = 2 xlog x ] n x +(n x)log nθ 0 n(1 θ 0 ) [ = 2 xlog ˆθ ] 1 ˆθ +(n x)log. θ 0 1 θ 0 ÂÓ n ÓÒ ÙÙÖ W ÒÓÙ ØØ Ð Ñ Ò χ 2 ¹ ÙÑ Ú Ô Ù Ø Ò ½º ÇÐ ÓÓÒ Ñ Ö n = 100 θ 0 = 1 º Ë ÐÐÓ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ø Ø ÙÙÖ Ý¹ 4 ÔÓØ Ò H 0 θ = 1 Ø Ø Ñ ÓÒ 4 [ W = 2 xlog x ] 100 x +(n x)log ÂÓ Ú Ø Ò X = 43 ÓÒ W Ò Ú ØØÙ ÖÚÓ Ì Ø ÙÙÖ Ò ÖÚÓÓÒ Ð ØØÝÚ p¹ ÖÚÓ ÓÒ d = 86 log log = α h = P ( W θ = 1 4) P(χ ) 0. ÂÓ θ = 1 4 ÓÒ Ö ØØ Ò ÔØÓ ÒÒ Ø ØØ Ú Ø Ò ÖÚÓ X = 43º À ¹ Ú ÒÒÓØ ØÙ Ú Ø Ú Ú Ø ØÝ Ø ØØ θ 1º 4 ÂÓ Ñ Ö n = 10 θ 0 = 1 Ò Ò 4 χ2 ¹ ÙÑ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ð ÖÚÓ ÓÐ Ò ÓÚ Ò Ø Ö º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ú ØØ Ò X = 5º Ë ÐÐÓ ÒW Ò Ú ØØÙ ÖÚÓ ÓÒ d = 10 log log = 2.88 Ø Ö p¹ ÖÚÓ Ò ÒÓÑ ÙÑ Ò Bin ( 10, 1 4) ÚÙÐÐ α h = P(W 2.88) = P(X = 0)+P(X 5) =

13 ÄÙ Ù ½ º ÀÝÔÓØ Ò Ø Ø Ù ½ º º¾ Í Ø Ô Ö Ñ ØÖ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ñ ÐÐ Ö ÔÔÙÙ ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ú ØÓÖ Ø θ = (θ 1,θ 2,...,θ k )º ÇÐ ÓÓÒ θ 0 ØÑÒ Ú ØÓÖ Ò ÒÒ ØØÙ ÖÚÓº Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÙÖ ÝÔÓØ Ò ½ º º µ H 0 : θ = θ 0 Ø Ø Ñ ÓÒ W = 2[l(ˆθ) l(θ 0 )] = 2r(θ 0 ), Ñ ˆθ ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ú ØÓÖ Òθ ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ r(θ) ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ 1 θ 2 º º º θ k Ý Ø Ò ÒÓÖÑ Ö ØÙÒ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÐÓ¹ Ö ØÑ º ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØW ÒÓÙ ØØ Ð Ñ Òχ 2 ¹ ÙÑ ÓÒ Ú ¹ Ô Ù Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ Ñ ÐÐ ÓÐ Ú Ò ØÓ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ö Ô¹ ÔÙÑ ØØÓÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÐÙ ÙÑÖº Ì Ø ÙÖ ØØ α h = P(W d θ = θ 0 ) P[χ 2 (k) d], Ñ k ÓÒ Ñ ÐÐ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÐÙ ÙÑÖ Ñ Ö ½ º Ö Ô Ø Ý ÒØ ÙØ Ó Ú ØÙØ ÑÙ ¹ ÙÖ ØØ Ò ÙÙÖØ ÓÙ Ó Ñ Ó ÐÐ ÓÐÐÙØ Ñ ØÒ Ñ Ö ¹ ÑÑ Ø Ý ÒÓÒ ÐÑ Ø º Ë ÙÖ ÒØ ÓÒ Ò Ñ Ø ÙÓÐ ÝÐÐع ØÚÒ Ý Ò Ò Ö Ø Òº Ë ÙÖ Ú Ø ÙÐÙ Ó ÙÓÐ Ñ Ø ÓÒ Ö ØØÙ Ú ÓÒ Ô ÚÒ ÑÙ Òº Î ÓÒ Ô Ú Ñ Ø ØÓ Ô Ð Ù ÃÙÓÐ Ñ Ò Ð Ñ ¾¾ ½ Ì Ø Ø Ò ÝÔÓØ ØØ ÙÓÐ Ñ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ Ñ Ò Ô Ú ¹ Òº Ë ÐÐÓ Ò Ø Ø ØØ Ú ÝÔÓØ ÓÒ H 0 : θ i = 1 7, i = 1,...,7, Ñ θ i ÓÒ ÙÓÐ Ñ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ú ÓÒiº Ô ÚÒº Å ÐÐ ÓÒ6Ú Ô Ø Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ θ 1,...,θ 7 ØÓÓ Ö Ó Ø 7 θ i = 1º ÇÐ ÓÓÒ f i Ú ÓÒ i. Ô ÚÒ ÙÓÐÐ Ò ÐÙ ÙÑÖº ÃÓ ˆθ i = f i /63 Ò Ò 7 l(ˆθ) = f i log ˆθ i = ÆÓÐÐ ÝÔÓØ Ò Ú ÐÐ Ø l ( 1 7 ) = 7 Ë ÐÐÓ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ø Ø ÙÙÖ Ò ÖÚÓ ÓÒ f i log ( 1 7) = 63log7 = W = 2[l(ˆθ) l ( 1 7) ] = Ì Ø ÙÙÖ Ò Ð ØØÝÚ p¹ ÖÚÓ ÓÒ À Ú ÒÒÓØ ÚØ ØÙ ÝÔÓØ H 0 º α h P(χ ) =

14 ½ º º Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ ÓÒ ØÖÙÓ ØÙ Ø Ø ÙÙÖ Ø ½ º Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ ÓÒ ØÖÙÓ ØÙ Ø Ø ÙÙÖ Ø Ð ÐÙÚÙ ½ º º½ Ø ØØ Ò Ï Ð Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ø Ø ÙÙÖ W = 2log L(θ;x) L(ˆθ;x) º Ë ÙÖ Ú Ø ØÒ ÑÙÙØ Ø Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÓÒ Ô ÖÙ ØÙ¹ Ú Ø Ø ÙÙÖ ØØ º ÆÑ ÓÚ Ø Ï Ð Ò Ø Ø ÙÙÖ Ê ÓÒ Ô Ø Ø Ø ÙÙÖ º ÌÙÐÓ Ò ½½º¾º µ ÒÓ ÐÐ ÙÙÖ ÐÐ n Ò ÖÚÓ ÐÐ Ð Ñ Ò ˆθ N[θ,I(ˆθ) 1 ], Ú Ø Ú Ø Ð Ñ Ò (ˆθ θ) I(ˆθ) N(0,1). (ˆθ θ) 2 I(ˆθ) χ 2 (1). ÃÙÒ Ø Ø Ø Ò ÝÔÓØ H 0 θ = θ 0 Ò Ò H 0 Ò Ú ÐÐ Ø Ø Ø ÙÙÖ ½ º º½µ χ 2 W = (ˆθ θ 0 ) 2 I(ˆθ) ÒÓÙ ØØ Ð Ñ Ò χ 2 ¹ ÙÑ Ú Ô Ù Ø Ò 1º Î Ø Ú ØÙÐÓ ÔØ ÑÝ Ú ØÓÖ ÖÚÓ ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ º ÂÓ θ = (θ 1,..., θ k ) T ˆθ = (ˆθ 1,...,ˆθ k ) T Ò Ò ˆθ ÒÓÙ ØØ ÙÙÖ ÐÐ n Ò ÖÚÓ ÐÐ Ð Ñ Ò k Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ N k [θ,i(ˆθ) 1 ] Ñ k ÓÒ Ú Ô Ò Ô Ö Ñ Ø¹ Ö Ò ÐÙ ÙÑÖ I(ˆθ) ÓÒ Ö Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÑ ØÖ Ò Ó ÓØ ØØÙ Ò ÓÖÑ ¹ Ø Óµ Ø Ñ ØØ º ÃÙÒ H 0 θ = θ 0 Ò Ò Ð Ñ Ò ½ º º¾µ χ 2 W = (ˆθ θ 0 ) T I(ˆθ)(ˆθ θ 0 ) χ 2 (k). Ì Ø ÙÙÖ Ø ½ º º½µ ½ º º¾µ ÙØ ÙØ Ò Ï Ð Ò Ø Ø ÙÙÖ º È Ø ÙÙÖ S(θ) = l (θ;x 1,...,X n ) ÒÓÙ ØØ Ð Ñ Ò ÒÓÖÑ Ð Ù¹ Ñ N[0,I(θ)] ÙÒ n ÓÒ ÙÙÖ º Ë ÐÐÓ Ò Ð Ñ Ò S(θ) I(θ) N(0,1) Ú Ø Ú Ø S(θ) 2 I(θ) χ2 (1). ÃÙÒ Ø Ø Ø Ò ÝÔÓØ H 0 θ = θ 0 Ò Ò H 0 Ò Ú ÐÐ Ø Ø Ø ÙÙÖ ½ º º µ U = S(θ 0) 2 I(θ 0 ) ÒÓÙ ØØ ÑÝ Ð Ñ Ò χ 2 ¹ ÙÑ Ú Ô Ù Ø Ò ½º ÃÙÒ θ = (θ 1,...,θ k ) T Ò Ò ÙÙÖ ÐÐ n Ò ÖÚÓ ÐÐ Ð Ñ Ò S(θ) T I(θ) 1 S(θ) χ 2 (k),

15 ÄÙ Ù ½ º ÀÝÔÓØ Ò Ø Ø Ù Ñ S(θ) ÓÒ Ô Ø Ú ØÓÖ I(θ) 1 ÓÒ Ò ÓÖÑ Ø ÓÑ ØÖ Ò ÒØ Ñ ØÖ ¹ º ÃÙÒ Ø Ø Ø Ò ÝÔÓØ H 0 θ = θ 0 Ò Ò H 0 Ò Ú ÐÐ Ø Ð Ñ Ò ½ º º µ U = S(θ 0 ) T I(θ 0 ) 1 S(θ 0 ) χ 2 (k). Ì Ø ÙÙÖ ØØ ½ º º µ ÒÓØ Ò Ê ÓÒ Ô Ø Ø Ø ÙÙÖ º ÂÓ ÝÔÓØ ÓÒ Ý Ø ØØÝ Ø Ø ÙÙÖ ½ º º µ Ö ÔÔÙÙ ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø Ò Ø ÑÓ Ò H 0 Ò Ú ÐÐ Ø º Ê ÓÒ Ô Ø Ø Ø ÙÙÖ ÐÐ Ï Ð Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ¹ Ø Ø ÙÙÖ ÐÐ Ï Ð Ò Ø Ø ÙÙÖ ÐÐ ÓÒ Ñ ÝÑÔØÓÓØØ Ò Ò ÙÑ º Ñ Ö ½ º ÇÐ ÓÓÒX 1,...,X n ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(θ,σ 2 ) Ñ ¹ σ 2 ÓÒ ØÙÒÒ ØØÙº Ì Ø Ø Ò ÝÔÓØ H 0 θ = θ 0 Ñ θ 0 ÓÒ Ó Ò ÒÒ ØØÙ θ Ò ÖÚÓº Ë ÐÐÓ Ò ˆθ = X I(θ) = n/σ 2 ÓØ Ò χ 2 W = (ˆθ θ 0 ) 2 I(ˆθ) = n σ 2(X θ 0) 2. ÀÙÓÑ ØØ I(ˆθ) = I(θ) Ó I(θ) Ö ÔÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ Ø º ÃÓ (X θ 0 )/(σ/ n) N(0,1) Ò Ò ( ) 2 X χ 2 W = θ0 σ/ χ 2 (1). n Ì Ø Ô Ù Ï Ð Ò Ø Ø ÙÙÖ ÒÓÙ ØØ Ø ÑÐÐ Ø χ 2 ¹ ÙÑ º Ê ÓÒ Ô Ø Ø Ø ÙÙÖ ÓÒ U = S(θ 0) 2 I(θ 0 ) = σ2 n [ n(x θ0 ) Ó U(θ 0 ) = 1 σ 2 n (X i θ 0 ) = n σ 2 (X θ 0 )º Í ÓØØ ÚÙÙ Ø Ø ÙÙÖ ÓÒ W = 2[l(ˆθ) l(θ 0 )] σ 2 ] 2 = n σ 2(X θ 0) 2, = 1 σ 2 (Xi X) σ 2 (Xi θ 0 ) 2 = n σ 2(X θ 0) 2. Ì Ø Ô Ù ÓÐÑ Ø Ø ÙÙÖ ØØ W U D ÓÚ Ø ÒØØ Øº ½ º Í ÓØØ ÚÙÙ Ù Ø Ø Ø Ø ØÝØ ÝÔÓØ Ø ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ö ÔÔÙÙ ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ø Ô Ö Ñ ØÖ ¹ Ø θ = (θ 1,...,θ k )º ÀÝÔÓØ H 0 Ó ÒÝØ Ô Ö Ñ ØÖ Ú ØÓÖ Ò θ Ð Ó Ø º ÀÝÔÓØ H 0 ÑÖ ØØ Ñ ÐÐ Ò Ó Ò ØØ Ñ ÐÐ Ó Ø Ò Ö Ó ØØ ¹ Ø Ð ÙÔ Ö Ò Ñ ÐÐ Òº ÀÝÔÓØ Ò H 0 ÑÖ ØØÑ Ñ ÐÐ ÓÒ Ð ÙÔ Ö Ø

16 ½ º º Í ÓØØ ÚÙÙ Ù Ø Ø Ø Ø ØÝØ ÝÔÓØ Ø Ñ ÐÐ Ý Ò ÖØ ÑÔ Ò ÓÒ q < k ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒØ Ô Ö Ñ ØÖ º Ò ÖØ Ò Ò ÝÔÓØ ÑÖ ØØ ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ ÖÚÓØ Ø Ò ØØ H 0 Ò Ú ÐÐ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓØ ÓÒ ØÝ Ò ÑÖØØÝ Ð q = 0º Ø ØØÝ ÝÔÓØ ÔÓ Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐÓ Ò q > 0º ÇÐ ÓÓÒ l(θ) Ô Ö Ñ ØÖ Ú ØÓÖ Ò θ ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó Ô ÖÙ ¹ Ñ ÐÐ º Ë ÐÐÓ Ò l(ˆθ) l(θ) ÐÐ θ Ò ÖÚÓ ÐÐ ÙÒ ˆθ ÓÒ θ Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ º ÇÐ ÓÓÒ θ Ô Ö Ñ ØÖ Ú ØÓÖ Òθ ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ ÙÒ ÓÐ Ø Ø Ò H 0 ØÓ º ÃÓ l(ˆθ) l(θ) ÐÐ θ Ò ÖÚÓ ÐÐ Ò Ò l(ˆθ) l( θ)º Ê Ó ØØ Ò H 0 Ú ÐÐ Ø Ð ØØÙ Ñ Ñ ÖÚÓ l( θ) ÚÓ ÓÐÐ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò ÐÑ Ò Ö Ó Ø ØØ Ð ØØÙ Ñ Ñ ÖÚÓ l(ˆθ)º Í ÓØØ ÚÙÙ Ù Ø Ø ÙÙÖ ÝÔÓØ ÒH 0 Ø Ø Ñ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ò ¹ Ò Ò Ñ Ñ Ò ÖÓØÙ Ò ÚÙÐÐ ½ º º½µ W = 2[l(ˆθ) l( θ)]. Ì Ø ÙÙÖ Ò W Ò Ñ Ó ØÙÙ Ø ØØ ÚÓ Ò Ð Ù Ù Ù ÓØØ ÚÙÙ Ù Ø Ò L(ˆθ)/L( θ) ÙÒ Ø ÓÒ ÙÖ Ú Ø W = 2log L(ˆθ) L( θ). ÃÓ l(ˆθ) l( θ) Ò Ò W ÓÒ ÔÒ Ø Ú Ò Òº ÃÙÒ ÝÔÓØ H 0 θ = θ 0 ÓÒ Ý Ò ÖØ Ò Ò Ò Ò Ú ØÓÖ θ 0 ÓÒ Ó Ò ÒÒ ØØÙ ÒÙÑ Ö Ò Ò Ú ØÓÖ º Ë ÐÐÓ Ò H 0 Ò Ú ÐÐ Ø Ú Ò ÖÚÓ θ = θ 0 ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ò Ò ÓØ Ò θ = θ 0 ÙÒ Ø ÓÒ l(θ) Ñ Ñ Ý Ò ÖØ Ò ÝÔÓØ Ò Ø Ô Ù ÓÒ l(θ 0 )º ½ º º½ p¹ ÖÚÓÒ ÑÖ ØØÑ Ò Ò Ç ÓÓÒ W = d Ú ØØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ Ø Ø ÙÙÖ Ò ÖÚÓº Ë ÐÐÓ Ò Ø Ø ÙÙÖ Ò ÖÚÓÓÒ Ð ØØÝÚ p¹ ÖÚÓ ÓÒ α h = P(d d H 0 ØÓ ). Í ÑÑ Ø Ò α h Ò Ø Ö Ò ÖÚÓÒ Ð Ñ Ò Ò ÓÒ Ò Ð ÑÙØØ χ 2 ¹ ÙÑ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò ØÝÝ ÝØØÚ Ð ÖÚÓº Å Ð Ó ÝÐ Ø Ò ÓÐ ØÙ Ø Ò Ú ÐÐ Ø ÚÖغ Ð ÐÙ Ù µ W ÒÓÙ ØØ χ 2 ¹ ÙÑ Ú Ô Ù Ø Ò k q ÙÒ H 0 ÓÒ ØÓ º ÌÑÒ Ð ÖÚÓÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ α h P(χ 2 k q d). ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ χ 2 ¹ ÙÑ Ò Ú Ô Ù Ø Ø k q Ò Ô ÖÙ Ñ ÐÐ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÐÙ ÙÑÖÒ k H 0 Ò ÑÖ ØØÑÒ Ñ ÐÐ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÐÙ Ù¹ ÑÖÒ q ÖÓØÙ Ò º

17 ¼ ÄÙ Ù ½ º ÀÝÔÓØ Ò Ø Ø Ù ½ º º¾ Ã Ô Ö Ñ ØÖ Ó Ø ØÓ Ø Ø Ø Ø Ò ÇÐ Ø Ø Ò ØØ θ = (θ 1,θ 2 ) ÓØ Ò k = 2º Ì Ø Ø Ò ÝÔÓØ H 0 : θ 2 = a, Ñ a ÓÒ ÒÒ ØØÙ ÒÙÑ Ö Ò Ò ÖÚÓº ÀÝÔÓØ Ò H 0 Ú ÐÐ Ø Ñ ÐÐ ÓÒ Ý ØÙÒØ Ñ ØÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ θ 1 ÓØ Ò q = 1º ÇÐ ÓÓÒ l(θ 1,θ 2 ) Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ 1 θ 2 ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Óº Ì Ú ÐÐ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ 1 θ 2 ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ Ø Ø ˆθ 1 ˆθ 2 Ò Ö Ø Ñ ÐÐ Ñ Ò Ø Ù ÓØØ ÚÙÙ Ý ØÐ Ø s 1 (θ 1,θ 2 ) = 0 s 2 (θ 1,θ 2 ) = 0, Ñ s 1 (θ 1,θ 2 ) = l(θ 1,θ 2 ) θ 1 s 2 (θ 1,θ 2 ) = l(θ 1,θ 2 ) θ 2 º ÃÙÒ H 0 Ò ÑÙ Ø θ 2 = a Ò θ 1 Ò ÓÐÐ Ò Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ ˆθ 1 (a) Ö Ø Ñ ÐÐ Ý ØÐ s 1 (θ 1,a) = l(θ 1,a) = 0. θ 1 ÄÓ Ö ØÑÓ ÙÒ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ l(θ 1,θ 2 ) Ñ Ñ ÓÒ l(ˆθ 1,ˆθ 2 )º ÀÝÔÓ¹ Ø ÒH 0 Ú ÐÐ Ø ÐÓ Ö ØÑÓ ÙÒ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ñ ÓÒl[ˆθ 1 (a),a]º Ë Ù ÓØØ ÚÙÙ Ø Ø ÙÙÖ ÝÔÓØ Ò H 0 θ 2 = a Ø Ø Ñ ÓÒ W = 2 [ l(ˆθ 1,ˆθ 2 ) l (ˆθ1 (a),a )]. Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó l(θ 1,θ 2 ) Ñ ÑÓ Ò Ò Ò ÐÑ Ò Ö Ó ØØ Ø ØØ Ò Ö Ó ØØ Ò H 0 θ 2 = a Ú ÐÐ Ø Ð Ø Ò Ñ Ñ Ò ÖÓØÙ º ÃÙÒ H 0 θ 2 = a ÓÒ ØÓ Ò Ò W Ò ÙÑ Ò Ð ÖÚÓÒ ÚÓ Ò ÝØØ χ 2 ¹ ÙÑ Ú Ô Ù Ø Ò k q = 2 1 = 1º Î Ø Ú Ø p¹ ÖÚÓÒ Ð ÖÚÓ ÓÒ α h = P(W d θ 2 = a) P(χ 2 1 d). Ñ Ö ½ º ÇÐ ÓÓÒx 1,...,x n ÓØÓ Ï ÙÐÐ Ò ÙÑ Ø ÓÒ Ø Ý ¹ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ½ º º¾µ f(x) = αβx β 1 exp( αx β ), 0 < x <, Ñ α > 0 β > 0 ÓÚ Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ô Ö Ñ ØÖ º Ì Ø Ø Ò Ñ Ö ¹ ÙÒÚ Ñ ÒØ Ñ Ò ØÓ Ó Ð Ñ ÐÐ ÑÓÒØ Ó Ø Ò Ö ÚÓ Ñ ÙÙ ÐÐ ÒÒ ØØÙ Ù Ò ØÚØ Ø ØÝ Ú Ó¹ÓÐÓ Ù Ø º ÌÙÓØ ¹ Ö Ø Ú Ð ØØ Ò Ó Ò ¾ ÙÒÚ Ñ ÒÒ ÒØ º ÃÙÒ β = 1 Ò Ï ÙÐÐ Ò ÙÑ Ø ½ º º¾µ Ö Ó Ø Ô Ù Ò ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ º Ì Ø Ø Ò ÝÔÓØ H 0 β = 1º Å ÐÐ Ò ½ º º¾µ ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ l(α,β) = nlogα+nlogβ +(β 1) logx i α x β i.

18 ½ º º Í ÓØØ ÚÙÙ Ù Ø Ø Ø Ø ØÝØ ÝÔÓØ Ø ½ È Ø ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø l α = n α x β i, l β = n β + logx i α x β i logx i. ØÐ Ò l = 0 Ö Ø Ù ÓÒ ˆα(β) = n/ x β α i º Ë Ó Ø Ø Ò ØÑ Ö Ø Ù Ý ØÐ Ò l = s β 2(α,β) = 0 Ö Ø Ø Ò βº Ë Ò s 2 [ˆα(β),β] = n β + logx i n x β i logx i. x β i ØÐ s 2 [ˆα(β),β] = 0 ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÒÙÑ Ö Ø Ñ Ö Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐк Ò ØÓ Ø Ø Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ Ø Ø Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ñ ÓÒ ˆα = ˆβ = l(ˆα, ˆβ) = ÃÙÒ H 0 β = 1 ÓÒ ØÓ Ò Ò α Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ ÓÒ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ñ ˆα(1) = n xi = = l (ˆα(1),1 ) = Í ÓØØ ÚÙÙ Ø Ø ÙÙÖ Ò ÖÚÓ Ø Ø ØØ ÝÔÓØ H 0 β = 1 ÓÒ W = 2 [ l(ˆα, ˆβ) l (ˆα(1),1 )] = 2( ) = Ì Ø ÙÙÖ Ò ÖÚÓÓÒ Ð ØØÝÚ p¹ ÖÚÓ ÓÒ α h P(χ ) < À Ú ÒÒÓØ ØÙ Ú Ø Ú Ú Ø ØÝ Ø ØØ H 0 β = 1 Ô Ô Ò º ½ º º ÀÓÑÓ Ò ÙÙ Ò Ø Ø Ù Ì Ò k Ö ÔÔÙÑ ØÓÒØ Ó ØØ º ÇÐ Ø Ø Ò ÐÙ ØØ Ó Ò Ó Ò ØÙ¹ ÐÓ Ø Ø ÑÓ Ò Ö Ô Ö Ñ ØÖ θ i i = 1,...,kº ÇÐ ÓÓØ l i (θ) Ó Ò i = 1,...,k Ð ØØÝÚØ ÐÓ Ö ØÑÓ ÙØ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓØ ˆθ i Ú Ø Ú Ø ÙÙ¹ Ö ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ Ø Øº Ø ØØÝÝÒ Ó Ò Ð ØØÝÚ Ù ÓØØ ¹ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ l(θ 1,...,θ k ) = l 1 (θ 1 )+ +l k (θ k )

19 ¾ ÄÙ Ù ½ º ÀÝÔÓØ Ò Ø Ø Ù ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ñ ÓÒ k l(ˆθ i )º Ì Ø Ø Ò ÒÝØ ÝÔÓØ ½ º º µ H 0 : θ 1 = = θ k = θ. ÀÝÔÓØ Ò H 0 Ú ÐÐ Ø Ó Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ ÓÒ Ñ ÐÐÓ Ò ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ½ º º µ l(θ 1,...,θ k ) = l i (θ), Ñ Ý Ø Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ ÓÒ Ñ Ö ØØÝθ ÐÐ º Å Ö ØÒ Ý Ø ØÝ Ø Ó¹ Ø Ø ÑÓ ØÙ ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ θ ÐÐ ÓÐÐÓ Ò ÙÒ ¹ Ø ÓÒ ½ º º µ Ñ Ñ ÓÒ l i ( θ)º Í ÓØØ ÚÙÙ Ø Ø ÙÙÖ ÝÔÓØ Ò ½ º º µ Ø Ø Ñ ÓÒ W = 2 k [ ] l i (ˆθ i ) l i ( θ) = 2 k r i ( θ), Ñ r i (θ i ) = l i (θ i ) l i (ˆθ i ) ÓÒ iº Ó Ò Ð ØØÝÚ ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ ÒÓÖÑ Ø ØØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Óº ÂÓ W ÓÒ ÙÙÖ Ò Ò ÐÐÓ Ò ÓÐ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ Ó ÓÐ Ù ÓØØ Ú Ó º ÀÝÔÓØ Ò Ø Ø Ù ÓÒ k 1 Ú ¹ Ô Ù Ø ØØ Ó H 0 ÔÙ ÓØØ ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÐÙ ÙÑÖÒ k Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø Ý Ø Ò Ô Ö Ñ ØÖ Òº ÂÓ Ú Ø Ò W = d Ò Ò α h P(χ 2 k 1 d). Ñ Ö ½ º½¼ ÇÐ ÓÓÒ X 1,...,X n ÓØÓ ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ Ø Exp(θ 1 ) Y 1...,Y m ÓØÓ ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ Ø Exp(θ 2 )º Ë ÐÐÓ Ò f(x 1,...,x n ;θ 1 ) = f(y 1,...,y m ;θ 2 ) = n m j=1 1 e x i/θ 1 = 1 θ 1 θ1 n 1 e y j/θ 2 = 1 θ 2 θ2 m È Ö Ñ ØÖ Ò θ 1 ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ l 1 (θ 1 ) = nlogθ 1 nx/θ 1 θ 2 Ò ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ l 2 (θ 2 ) = mlogθ 2 my/θ 2, e x i /θ 1 e y j /θ 2. Ñ nx = n X i my = m j=1 Y jº ÃÓ ˆθ 1 = X ˆθ 2 = Y Ò Ò l 1 (ˆθ 1 ) = nlogx n

20 ½ º º Í ÓØØ ÚÙÙ Ù Ø Ø Ø Ø ØÝØ ÝÔÓØ Ø l 2 (ˆθ 2 ) = mlogy m. Ì Ø Ø Ò ÝÔÓØ H 0 : θ 1 = θ 2 º ÂÓ H 0 ÓÒ ØÓ Ò Ò θ 1 = θ 2 = θ ÐÐÓ Ò X 1,...,X n,y 1,...,Y m Exp(θ). È Ö Ñ ØÖ Ò θ ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Xi + Y j l(θ) = (n+m)logθ θ θ Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ ÓÒ Ý Ø ØÝÒ ÓØÓ Ò ÖÚÓ θ = Xi + Y j n+m = nx +my n+m. Ë ÐÐÓ Ò l( θ) = (n+m)log θ (n+m) W = 2[l 1 (ˆθ 1 )+l 2 (ˆθ 2 ) l( θ)] = 2[ nlogx mlogy (n+m)+(n+m)log θ +(n+m)] [ = 2 nlog θ ] θ +mlog, X Y Ó Ö ÔÔÙÙ Ú Ò ÓØÓ ÖÚÓ Ø X Y ÓØÓ Ø Ò ÓÓ Ø n mº Ñ Ö ½ º½½ Ì Ø Ø Ò ÓÒ Ó ÖÒ ÖÚ Ò Ú Ø ØØÝ Ø Ö º ÓÐ Ñ ÓÐÐ Ø Ð ÒÝØØ ÓÐ Ú Ò Ø Ö Ò ÑÖ Ú Ò ÚÓ Ò ÒÓ Ø Ò ØÓ Ø ÓÒ Ó ÒÝØ ÔÙØ Ø Ö Ø Ú º Æ Ø Ú Ò Ò ØÙÐÓ Ó Ó ØØ ØØ ÒÝØ ÔÙØ ÓÐ Ø Ö Ø º ÈÓ Ø Ú Ò Ò ØÙÐÓ Ø Ö Ó ØØ ØØ ÒÝØØ ÓÒ Ò Ò Ý Ø Ö º Ø Ö Ò ÐÙ ÙÑÖ X Ø Ð ÚÙÙ V Ú ØØ ÒÓÙ ØØ ÈÓ ÓÒ Ò ¹ ÙÑ Poi(µV) f(x) = (µv)x e µv x! Æ Ø Ú Ò Ö Ø ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ π = f(0) = e µv ÔÓ Ø Ú Ò Ö Ø ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ 1 π = 1 e µv., x = 0,1,...

21 ÄÙ Ù ½ º ÀÝÔÓØ Ò Ø Ø Ù ÃÙÒ Ø Ø Ø Ò n Ú ÒÝØ ØØ ÒÓÙ ØØ Ò Ø Ú Ø Ò ÒÝØØ Ò ÐÙ ÙÑÖ Y ÒÓÑ ÙÑ Bin(n,π) ( ) n P(Y = y) = π y (1 π) n y. y ÃÙÒ Ú ÒÝØØ Ø ÓØ Ø Ò ÓÒ ÑÖ Ø ØØÚ Ý Ø Ò ÒÝØØ Ò Ø ÖÚ ØØ ¹ Ú Ò Ú ÑÖÒ Ø Ð ÚÙÙ º ÂÓ V ÓÒ Ð Ò ÙÙÖ Ò ÒÝØØ Ò ØÙÐ ¹ Ø Ö Ø ÒÝØØ Ø ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú º ÂÓ Ø V ÓÒ Ð Ò Ô Ò ÓÒ Ú ¹ Ö ØØ ÒÝØØ Ø ÓÚ Ø Ò Ø Ú º Ö Ø Ô ÙÓ ÙØÙ ØØ ÓÒ ÐÑ Ú Ø Ò ÓÒ Ú ÐÑ Ø Ö Ó Ó ÒÝØØ Øº Ì Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØÓÒØ Ó ØØ º Ò ÑÑ Ó ÓÐ ¼ Òݹ Ø ÔÙØ Ó Ò Ø Ð ÚÙÙ V = 10 Ñк ÌÓ Ó Ø Ö Ø ØØ Ò ¼ Ú ¹ ÒÝØ ØØ Ó Ò Ø Ð ÚÙÙ ÓÐ ½ Ñк ÃÙÒ V = 10 ÑÐ Ø Ò ¾ Ò Ø Ú Ø ½¾ ÔÓ Ø Ú Ø ØÙÐÓ Ø º ÃÙÒ ÒÝØØ Ò Ó Ó V = 1 ÑÐ Ø Ò Ò Ø Ú Ø ÔÓ Ø Ú Ø ØÙÐÓ Ø º Ò ÑÑ Ó Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ L 1 (µ 1 ) = π 28 1 (1 π 1) 12, Ñ π 1 = e 10µ 1 º È Ö Ñ ØÖ Ò µ 1 ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ ÓÒ ˆµ 1 = º ÌÓ Ø Ó Ø Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó L 2 (µ 2 ) = π 37 2 (1 π 2) 3, Ñ π 2 = e µ 2 º È Ö Ñ ØÖ Ò µ 2 ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ ÓÒ ˆµ 2 = º ÃÓ Ò Ð ØØÝÚØ ÐÓ Ö ØÑÓ ÙØ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ú ¹ Ø Ú Ø l 1 (µ 1 ) = 28logπ 1 +12log(1 π 1 ) l 2 (µ 2 ) = 37logπ 2 +3log(1 π 2 ). ÂÓ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ Ø Ö Ò ÑÖ Ñ ÐÐ Ð ØÖ ÓÒ ÑÓÐ ÑÑ Ó ÑÖ Ò Ñ ÚÓ Ò Ó Ø Ý Øº Ã Ò ¼ ÒÝØØ Ò Ô ÖÙ ¹ ØÙÚ Ò Ý Ø ØÝÒ Ó Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò µ ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ l(µ) = l 1 (µ)+l 2 (µ). Ì Ø ÙÒ Ø Ó Ø Ñ ÑÓ Ñ ÐÐ ØÙ ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ Ø¹ Ø µ = º Ò ÑÑ Ø Ó Ø Ò ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ ÒÓÖÑ Ø ØØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ØÓ Ø Ó Ø r 1 (µ) = 280µ+12log(1 e 10µ ) r 2 (µ) = 37µ+3log(1 e µ )

22 ½ º º Í ÓØØ ÚÙÙ Ù Ø Ø Ø Ø ØÝØ ÝÔÓØ Ø ÃÙÒ Ø Ø Ø Ò ÝÔÓØ H 0 : µ 1 = µ 2, ÓÒ Ù ÓØØ ÚÙÙ Ø Ø ÙÙÖ Ò ÖÚÓ W = 2[l 1 (ˆµ 1 )+l 2 (ˆµ 2 ) l 1 ( µ) l 2 ( µ)] = 2[r 1 ( µ)+r 2 ( µ)] = ÀÝÔÓØ Ò Ø Ø Ù ÓÒ Ý Ú Ô Ù Ø ÓØ Ò α h P(χ ) > À Ú ÒÒÓØ ÓÚ Ø ÓÔÙ Ó ÒÒÙ H 0 Ò Ò º ½ º º ÒÓÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ø Ø Ñ Ò Ò ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ú ÖÖ Ø Ò Ö Ð Ø Ò Ó ØÓ Ò Ú ÙØÙ Ø º ÇÐ ÓÓÒ Ú ÖØ ÐØ Ú Ò k Ö Ð Ø Ó ØÓÑ Ò Ø ÐѺ Ò ÑÑ Ø Ó ØÓ ÒÒ ØØ Ò n 1 ÐÐ ÔÓØ Ð ÐÐ Ó Ø Y 1 Ô Ö Ò º Î Ø Ú Ø iº Ó ØÓ ÒÒ ØØ Ò n i ÐÐ ÔÓØ Ð ÐÐ Ó Ø Y i Ô ¹ Ö Ò º ÌÐÐ Ò Ó ØÓ Ó Ò ØÙÐÓ Ø ÓÚ Ø Ì ÙÐÙ Ó ½ º½ Ø ØØÝ ÑÙÓØÓ º Ì ÙÐÙ Ó ½ º½º ÀÓ ØÓ Ó Ò ØÙÐÓ Ø Ô Ö ÒØÙÒ Ò ÐÙ ÙÑÖÒ ÑÙ Òº à ØØ ÐÝ ½ ¾ º º º k È Ö ÒØÙÒ Ò Ð Ñ Y 1 Y 2 º º º Y k ÔÓÒÒ ØÙÑ Ø Ò Ð Ñ n 1 Y 1 n 2 Y 2 º º º n k Y k ÈÓØ Ð Ò Ð Ñ n 1 n 2 º º º n k ÇÐ Ø ÑÑ ØØ Ô Ö ÒØÙÒ Ò ÐÙ ÙÑÖ Y i Ó Ó i ÒÓÙ ØØ ÒÓ¹ Ñ ÙÑ Bin(n i,π i ) ØØ ÐÙ ÙÑÖØ Y 1 º º º Y k ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙ¹ Ñ ØØÓÑ Øº ÀÓ ØÓ Ò Ø Ó ÚÓ Ò Ú ÖØ ÐÐ ÓÒÒ ØÙÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò π = (π 1,...,π k ) ÚÙÐÐ º È ÖÙ Ñ ÐÐ ÓÒ k ØÙÒØ Ñ ØÓÒØ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÓ¹ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ l(π) = k y i logπ i + k (n i y i )log(1 π i ). È Ö Ñ ØÖ Ò π i ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ ÓÒ ˆπ i = y i /n i ˆπ = (ˆπ 1,...,ˆπ k )º ÄÓ Ö ØÑÓ ÙÒ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ñ ÓÒ l(ˆπ) = y i log y i + ( (n i y i )log 1 y ) i. n i n i Ì Ø Ø Ò ÒÝØ ÝÔÓØ ØØ Ó Ó ÐÐ ÓÐ ÖÓ ½ º º µ H 0 : π 1 = π 2 = = π k = π.

23 ÄÙ Ù ½ º ÀÝÔÓØ Ò Ø Ø Ù ÀÝÔÓØ Ò H 0 ÑÙ Ñ ÐÐ ÓÒ Ý ØÙÒØ Ñ ØÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ó ÓÒ¹ Ò ØÙÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ý Ø Ò Ò ÖÚÓ ÓÒ ØÙÒØ Ñ ØÓÒº ÃÙÒ H 0 ÓÒ ØÓ ÓÒ ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ½ º º µ l(π) = y i logπ + (n i y i )log(1 π), Ñ π ÓÒ Ó ØÓ Ò Ý Ø Ò Ò ÓÒÒ ØÙÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ º ÄÓ Ö ØÑÓ Ù Ø Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó Ø ½ º º µ ÑÖ Ø ØØÝ ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø ¹ Ñ ØØ ÓÒ π = y/n π = ( π,..., π) Ñ y = k y i n = k n iº ÄÓ Ö ØÑÓ ÙÒ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ ½ º º µ Ñ Ñ ÓÒ l( π) = k y i log π + k (n i y i )log(1 π). Í ÓØØ ÚÙÙ Ø Ø ÙÙÖ ÝÔÓØ Ò ½ º º µ Ø Ø Ñ ÓÒ [ k ½ º º µ W = 2[l(ˆπ) l( π)] = 2 y i log y k i n + (n i y i )log n ] i y i. i π n i (1 π) ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ ÓÒÒ ØÙÑ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓØ ÓÚ Øn i π Ô¹ ÓÒÒ ØÙÑ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓØ n i (1 π) Ó H 0 ÓÒ ØÓ º Î Ø Ú Ø n i π n i (1 π) ÓÚ Ø Ò Ò Ó ÓØ ØØÙ Ò Ö Ú Ò Ò Ø Ñ Ø Ø y 1 º º º y k ÓÚ Ø Ú ØÙØ Ö Ú Ò Øº Ì Ø ÙÙÖ ½ º º µ Ú ÖØ Ð Ú ØØÙ H 0 Ò Ú ÐÐ Ø Ø ÑÓ ØÙ Ö Ú Ò ÝÐ Ò ÐÙÓ Ò 2k ÔÔ Ð ØØ µº ÂÓ Ó ÓØ ÓÚ Ø Ð Ò Ö ÒÒÓ ÑÖ a 1 a 2 º º º a k Ò Ò ÚÓ Ø Ò Ø Ø Ø ÝÔÓØ ½ º º µ H: π i = e α+βa i, i = 1,...,k. Ì ÝÔÓØ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ Ô Ö Ò Ñ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÙ ÒÒÓ ¹ Ø ÐÓ Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ÑÙ Òº ÀÝÔÓØ Ò ½ º º µ Ô Ó Ñ Ñ ÐÐ ÓÒ ØÙÒØ Ñ ØÓÒØ Ô Ö Ñ ØÖ º ÃÙÒ ÝÔÓØ ½ º º µ ÓÐ Ø Ø Ò Ó Ö Ó Ø Ø Ò ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó Ô Ö Ñ ØÖ Ò α β ÙÒ Ø ÓÒ ÚÓ Ò ÑÖ ØØ Ò Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ Ø Ø α βº Æ ¹ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ð ØØ Ò Ø Ñ Ø Ø 1 π i = 1, i = 1,...,k. 1+e α+ βa i ÃÓ π = ( π 1,..., π k ) Ò Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ø Ø ÙÙÖ ÓÒ [ yi W = 2 log y i ÃÙÒ Ú Ø Ò W = d Ò Ò n i π i + (n i y i )log n i y i n i (1 π i ) α h P(χ 2 k q d). ÀÝÔÓØ Ò ½ º º µ Ø Ô Ù q = 1 ÝÔÓØ Ò ½ º º µ Ø Ô Ù q = 2º Ä ÖÚÓÒ ÚÓ Ò ÓÐ Ø ÓÐ Ú Ò Ó ØÙÙÐÐ Ò Ø Ö Ñ Ð Ó ÓØ ØØÙ Ò Ö Ú Ò Ò Ø Ñ Ø Ø ÓÚ Ø Ó ØÙÙÐÐ Ò ÙÙÖ º ].

24 ½ º º Í ÓØØ ÚÙÙ Ù Ø Ø Ø Ø ØÝØ ÝÔÓØ Ø Ñ Ö ½ º½¾ ÌÙØ ØØ Ò ÖÒ ÖÙÙ Ò Ð Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ý Ô ¹ ÙØØ Ú Ú ÙØÙ Ø ÖÓØ ÐÐ Ø Ò ØØ ÖÓØ ÐÐ ÒÒ ØØ Ò Ò ØØ Ô Ò Ò¹ ÒÓ ÖÓØ ÐÐ ÙÙÖ ÒÒÓ º ÅÝ ÑÑ Ò ØÙØ ØØ Ò Ñ ÓÐÐ Ø ØØÝÒ Ø Ú Ñ Øº ÌÙÐÓ Ø ÓÚ Ø Ì ÙÐÙ Ó ½ º¾º Ì ÙÐÙ Ó ½ º¾º Ã Ú ÒØ Ò ÐÙ ÙÑÖØ Ó Ò ØÓ ÖÓØ ÐÐ Ð ¹ Ò Ò ÒÒÓ Ò ÑÙ Òº à ØØ ÐÝ È Ò ÒÒÓ ËÙÙÖ ÒÒÓ Ã Ú Ò ½ Ú ÒØ ¼ ¼ Ø Ò ÇÐ ÓÓØ Y 1 Y 2 Ò Ò ÖÓØØ Ò ÐÙ ÙÑÖØ Ó ÐÐ ÓÐ Ú Òº ÆÝØ Y i Bin(n i,π i ) Ñ n 1 = n 2 = 44 π 1 ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ú Ò Ô ¹ Ò ÐÐ ÒÒÓ ÐÐ π 2 ØÓ ÒÒ ÝÝ Ú Ò ÙÙÖ ÐÐ ÒÒÓ ÐÐ º Ì ¹ Ø Ø Ò ÝÔÓØ H 0 : π 1 = π 2. H 0 Ò Ú ÐÐ Ø Ú ÒØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ Ø¹ Ø ÓÒ π = y 1 +y 2 = 4+14 n 1 +n = Ç ÓØ ØØÙ Ò Ö Ú Ò Ò Ø Ñ Ø Ø ÓÚ Ø n 1 π = n 2 π = 9 n 1 (1 π) = n 2 (1 π) = 35. Ä Ù Ò ½ º º µ ÑÙ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ù Ø Ø ÙÙÖ Ò ÖÚÓ ÓÒ ÃÓ ÒÝØ W = 2 ( 4log log log +30log 35 35) = α h P(χ ) < 0.01, Ó ØÙÐÓ Ø ØÙ Ú Ø Ú Ú Ø ØÝ Ø ØØ H 0 π 1 = π 2 Ô Ô Ò º ½ º º ÅÙÐØ ÒÓÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ø Ø Ñ Ò Ò Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ó ØØ Ó ÓÒ k ØÓ Ò ÔÓ ÙÐ Ú ØÙÐÓ Ú ØÓ ØÓ T 1 º º º T k º ÃÙÒ Ø Ò n Ö ÔÔÙÑ ØÓÒØ ØÓ ØÓ Ò Ò ØÓ f 1 º º º f k Ñ f i ÓÒ Ò Ò Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ Ó Ò ØÙÐÓ T i º Ì ÙÐÙ Ó ½ º ÓÒ ÚÙÓ Ò Ò ØØÙÒ Ø ÔÓÐ ÙÔÝ ÖÓÒÒ ØØÓÑÙÙ Ø ÐÙÓ Ø ÐØÙÒ Ú ÓÒÔ ÚÒ ÑÙ Òº Ì Ñ Ö k = 7 n = k f i = 174º Ö Ú Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ò ÑÙÐØ ÒÓÑ ÙÑ Ø p(f 1,...,f k ) = n! f 1!f 2! f k! πf 1 1 πf 2 2 πf k k,

25 ÄÙ Ù ½ º ÀÝÔÓØ Ò Ø Ø Ù Ì ÙÐÙ Ó ½ º º ÈÓÐ ÙÔÝ ÖÓÒÒ ØØÓÑÙÙ Ò ÐÙ ÙÑÖ Ö Ù¹ ÔÙÒ ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ú ÓÒ Ô ÚÒ ÑÙ Òº È Ú Ñ Ø ØÓ Ô Ð Ù Ø Ò ÇÒÒ ØØÓÑÙÙ Ò Ð Ñ ¾ ¾ ¾ ¼ ¾½ ½¾ ½ Ñ π i ÓÒ ØÙÐÓ Ú ØÓ ÓÒT i ØÓ ÒÒ ÝÝ º È Ö Ñ ØÖ Òπ = (π 1,...,π k ) ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ l(π) = k f i logπ i, Ñ k π i = 1º È Ö Ñ ØÖ Ò π i ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ ÓÒ ˆπ i = f i /nº Ë ÐÓ Ö ØÑÓ ÙÒ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ñ ÓÒ l(ˆπ) = k f i log ÀÝÔÓØ ÑÖ ØØ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ Ø Ó ÐÐ Ò Øµ ÒÙÑ Ö Ø ÖÚÓØ Ø ØØ Ò ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÙÒ Ø ÓÒ º Å Ö ØÒ H 0 Ò Ú ÐÐ Ø ¹ Ð ØØÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ò π 1,...,π k ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ π 1,..., π k º ÄÓ Ö ØÑÓ ÙÒ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ñ H 0 Ò Ú ÐÐ Ø ÓÒ l( π) = ( fi n k f i log π j. ÐÐ Ø ØØÝ Ò ÝÐ Ø Ò Ô Ö ØØ Ò ÑÙ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ø Ø ÙÙÖ H 0 Ò Ø Ø Ñ ÓÒ ÑÙÓØÓ k ½ º º µ W = 2[l(ˆπ) l( π)] = 2 f i log f i, e i Ñ e i = n π i ÓÒ Ó ÓØ ØÙÒ Ö Ú Ò Ò Ø Ñ ØØ H 0 Ò Ú ÐÐ Ø º ÃÓ k π i = 1 Ò Ò Ô ÖÙ Ñ ÐÐ ÓÒ k 1 Ú Ô Ø Ô Ö Ñ ØÖ º Ì Ù¹ ÐÙ ÓÒ ½ º Ò ØÓÐÐ ÚÓ Ø Ò Ñ Ö Ø Ø Ø ÝÔÓØ ). H 0 : π 1 = π 2 = π 3 = π 4 = π 5 = π 6 = π 7. H 0 Ò ÑÙ Ò Ò Ú ÓÒ Ô Ú Ò ÓÒ Ñ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ØÓ ÒÒ ÝÝ π i = 1,i = 1,...,7º Ë ÐÐÓ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÒ ØÝ Ò ÑÖØØÝ ÓØ Ò 7 Ñ ÐÐ H 0 Ò Ú ÐÐ Ø ÓÐ Ú Ô Ø Ô Ö Ñ ØÖ º ÂÓ Ú Ø Ò W = d Ò Ò α h P(χ 2 k 1 d) = P(χ2 6 d). Ö Ð Ø ÑÔ ÝÔÓØ ÓÐ ÓÐ ØØ ØØ Ú ÓÒ Ö Ô Ú Ò Ú ÓÒ¹ ÐÓÔÔÙÒ ÓÒ Ö Ð Ò Ò ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ØÓ ÒÒ ÝÝ H: π 1 = π 2 = π 3 = π 4 = π 5 = π v π 6 = π 7 = π s.

26 ½ º º Í ÓØØ ÚÙÙ Ù Ø Ø Ø Ø ØÝØ ÝÔÓØ Ø Ë ÐÐÓ Ò 5π v + 2π s = 1, ÓØ Ò ÝÔÓØ Ò Ú ÐÐ Ø Ñ ÐÐ ÓÒ Ý Ú Ô Ô Ö Ñ ØÖ º Ë ÐÐÓ Ò q = 1 k 1 q = 5º ÄÙÓ ÐÐ Ó e i 0 f i 1 ÓÒ ÙÙÖ Ú ÙØÙ Ø Ø ÙÙÖ Ò W º Ì Ú ÐÐ Ø ÝØ ØÒ Ô Ù ÐÓ ÒØ ØØ e i Ò ØÙÐ ÓÐÐ Ú ÒØÒ 5 ÓØØ χ 2 ¹ ÙÑ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ð ÖÚÓ ÓÐ Ö ØØÚÒ ÝÚº ÌÓ Ò Ò Ø Ú ÒÓÑ Ò Ò ÑÙÐØ ÒÓÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ø Ø Ñ Ò ÝØ ØØÚ Ø Ø ÙÙÖ ÓÒ È Ö Ó¹ Ò Ò Ø Ø ÙÙÖ ½ º º½¼µ X 2 = k (f i e i ) 2 e i. ÅÝ X 2 ÒÓÙ ØØ ÝÑÔØÓÓØØ Ø χ 2 ¹ ÙÑ ÑÓ Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ù Ò W º ËÙÙÖ Ò ½ º º µ ½ º º½¼µ Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ø ÒÓØ Ò Ù Ò Ý Ø Ò¹ ÓÔ ÚÙÙ Ø Ø º ½ º º Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ò Ø Ø Ù ÓÒØ Ò Ò Ø ÙÐÙ Ó ÇÐ Ø Ø Ò ÒÝØ ØØ Ø Ð ØÓÝ Ø ÐÙÓ Ø ÐÐ Ò ÑÙÙØØÙ ÒX Y Ù Ø Ò ØÓ ¹ Ò ÔÓ ÙÐ Ú Ò ÐÙÓ Òº ÇÐ ÓÓÒ X Ñ Ö Ù Ø Ò ÚÖ Y ÐÑ Ò ÚÖ º À Ù Ø ÐÙÓ Ø ÐÐ Ò Ú Ð Ò Î µ ØÙÑÑ Ò Ìµ ÔÙÒ Ò Èµ ÐÑØ Ò Ò Ëµ ÖÙ Ò Êµ Ú Ö Ò Î µº ÂÓ Ú Ð Ø Ò n Ò Ð Ò ÓØÓ Ò Ì ÙÐÙ ÓÒ ½ º ÐØ Ò Ò Ò ØÓº ÌÐÐ Ø Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ì ÙÐÙ Ó ½ º º À Ù Ø Ò ÐÑ Ò ÚÖ Ò ÚÐ Ò Ò Ö Ø ÒØ ÙÐÙ Óº Ë ÐÑ Ò ÚÖ Ë Ê Î Ø Ò Î f 11 f 12 f 13 f 1. À Ù Ø Ò Ì f 21 f 22 f 23 f 2. ÚÖ È f 31 f 32 f 33 f 3. Ø Ò f.1 f.2 f.3 Ò Ù Ø Ò Ø ØØÝ Ö Ú Ò Ø ÙÐÙ Ó ÙØ ÙØ Ò ÓÒØ Ò Ò Ø ÙÐÙ Ó Ø Ö Ø ÒØ ÙÐÙ Ó º Ì ÙÐÙ Ó ½ º Ù Ø Ò ÚÖ ÙØ ÙØ Ò Ö Ú ÑÙÙØØÙ Ñ Ò ÚÖ Ö ÑÙÙØØÙ º Ì ÙÐÙ Ó ½ º ÓÒ Ò k = IJ ÓÐÙ º ÇÐ ÓÓÒ π ij ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ú ÒØÓ Ó ÙÙ ÓÐÙÙÒ (i,j)º ÃÙÒ Ó ØØ ØÓ Ø Ø Ò n ÖØ Ø Ø Ò n Ò Ð ÓÒ ØÙÒÒ ÓØÓ µ ÒÓÙ ØØ Ú Ø Ö Ú Ò Ø f ij ÑÙÐØ ÒÓÑ ÙÑ º È Ö Ñ ØÖ Ú ØÓÖ Ò π = (π 11,π 12,...,π IJ ) ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ I J l(π) = f ij logπ ij, j=1

27 ¼ ÄÙ Ù ½ º ÀÝÔÓØ Ò Ø Ø Ù Ì ÙÐÙ Ó ½ º º I J¹ ÓÒØ Ò Ò Ø ÙÐÙ Óº S 1 S 2... S J Ø Ò R 1 f 11 f f 1J f 1. R 2 f 21 f f 2J f 2. º º º º º R I f I1 f I2... f IJ f I. Ø Ò f.1 f.2... f.j n Ñ π ij = 1º Ì Ø Ð ÒÒ ÓÒ Ú Ò Ñ ÒÐ Ò Ò Ù Ò ÑÙÐØ ÒÓÑ ¹ ÙÑ Ò Ø Ô Ù Ô Ø ØØ ÒÝØ ÝØ ØÒ Ò ÖØ Ø Ò Ó ÒØ º ÌÓ ÒÒ ÝÝ π ij Ó Ú Ø ÝÔÓØ Ø H Ø Ø Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ø Ø ¹ ÙÙÖ ÐÐ W = 2 I J j=1 f ij log f ij e ij, Ñ e ij = n π ij ÓÒ ÐÙÓ Ò R i S j Ó ÓØ ØÙÒ Ö Ú Ò Ò Ø Ñ ØØ π ij ÓÒ ÓÐÙØÓ ÒÒ ÝÝ Ò π ij ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ H 0 Ò Ú ÐÐ ¹ Ø º Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ ÝÔÓØ Ñ Ö ½ º½ Í Ò ÓÐÐ Ò ÒÒÓ ØÙÒ Ø Ø ÓÒ Ó Ö Ú ¹ Ö ¹ ÑÙÙØØÙ Ò ÚÐ ÐÐ Ö ÔÔÙÚÙÙØØ Ú ÓÚ Ø Ó ÑÙÙØØÙ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ÇÚ Ø¹ Ó Ñ Ö ÐÑ Ò Ù Ø Ò ÚÖ ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ê ÔÔÙÑ Ø¹ ØÓÑÙÙ ÝÔÓØ ÚÓ Ò Ð Ù Ù ÙÖ Ú Ø ½ º º½½µ H 0 : P(R i S j ) = P(R i )P(S j ) ÐÐ i jº P(R i S j ) = π ij ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ø Ð ØÓÝ ØØÙÙ ÓÐÙÙÒ (i,j)º Î Ø Ú Ø P(R i ) = π i1 + +π ij = π i. ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ø Ð ØÓÝ ØØÙÙ Ö Ú ÑÙÙØØÙ Ò iº ÐÙÓ Òº ÌÓ¹ ÒÒ ÝÝ ØØ Ø Ð ØÓÝ ÙÙÐÙÙ Ö ÑÙÙØØÙ Ò jº ÐÙÓ Ò ÓÒ P(S j ) = π 1j + +π Ij = π.j. ÀÝÔÓØ ½ º º½½µ ÚÓ Ò Ð Ù Ù ÙÖ Ú Ø H 0 : π ij = π i. π.j ; 1 i I, 1 j J. Ë ÐÐÓ Ò ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÓÚ Ø π i. = P(R i ), 1 i I π.j = P(S j ), 1 j J.

28 ½ º º Í ÓØØ ÚÙÙ Ù Ø Ø Ø Ø ØÝØ ÝÔÓØ Ø ½ ÃÓ π i. = 1 π.j = 1 Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò Ô Ö ¹ Ñ ØÖ Ò ÐÙ ÙÑÖ q = (I 1)+(J 1)º Ë H 0 Ò Ø Ø Ñ Ú Ô Ù ¹ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ (k 1) q = IJ 1 (I 1) (J 1) = (I 1)(J 1). ÓÒ ÃÓ H 0 Ò Ú ÐÐ Ø π ij = π i. π.j Ò Ò ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ½ º º½¾µ f ij logπ ij = i j i = i = i f ij (logπ i. +logπ.j ) j [( j f ij ) logπ i. ] + j f i. logπ i. + j f.j logπ.j. [( i f ij ) logπ.j ] ÃÙÒ ÙÒ Ø Ó ½ º º½¾µ Ñ ÑÓ Ò Ö Ó ØØ Ò i π i. = 1 j π.j = 1 Ú ÐÐ Ø Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ Ø H 0 Ò Ú ÐÐ Ø µ π i. = f i. n π.j = f.j n. Ë Ó ÓØ ØØÙ Ò Ö Ú Ò Ò Ø Ñ Ø Ø H 0 Ò Ú ÐÐ Ø ÓÚ Ø ½ º º½ µ e ij = n π ij = n π i. π.j = f i.f.j n. Ñ Ö ½ º½ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÒÝØ Ø ÙÐÙ ÓÒ ½ º Ò ØÓ Ó ÓÒ ¹ ØÙ Ý Ú ÐØ Ò ÚÙÓ Ò ½ ½ ÝÐ Ø Ú Ø Ý ÐÝ Ø Ö Ø ½ º ½µº Ì ÙÐÙ Ó ÓÒ ÒÒ ØØÙ Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÙÐ Ó ÓØ ØØÙ Ò Ö Ú Ò ¹ Ì ÙÐÙ Ó ½ º º ÈÙÓÐÙ ÒØ Ù ÙÔÙÓÐ Ò ÑÙ Òº ÈÙÓÐÙ ÒØ ËÙ ÙÔÙÓÐ ÑÓ Ö ØØ Ê ÔÔÙÑ ØÓÒ Ê ÔÙ Ð Ò Ø Ò Æ Ø ¾ ¾ ¾ ½º µ ¼º µ ¾ º µ Å Ø ½ ½ ½ ¼ ½ ¾º µ º µ ½ ½º½µ Ø Ò ½¾¼ ½ ¼ Ò Ø Ñ Ø Øº Ã Ú Ò ½ º º½ µ ÑÙ Ò Ñ Ö e 11 = = e 23 = =

29 ¾ ÄÙ Ù ½ º ÀÝÔÓØ Ò Ø Ø Ù Í ÓØØ ÚÙÙ Ø Ø ÙÙÖ Ò ÖÚÓ Ò º Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ ÝÔÓØ ¹ Ò Ú ÐÐ Ø W ÒÓÙ ØØ Ð Ñ Ò χ 2 ¹ ÙÑ Ú Ô Ù Ø Ò (I 1)(J 1) = (2 1)(3 1) = 2 ÓØ Ò α h P(χ ) = º È Ö ÓÒ Ò χ 2 ¹ ÙÙÖ X 2 = 2 3 (f ij e ij ) 2 e j=1 ij ÓÒ Ø Ú ÐÐ ÑÑ Ò ÝØ ØØÝ Ø Ø ÙÙÖ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ò Ø Ø Ñ º Ë W ØØ È Ö ÓÒ Ò χ 2 ¹ ÙÙÖ ÒÓÙ ØØ Ú Ø H 0 Ò Ú ÐÐ Ø ÝÑÔØÓÓØØ Ø ¹ Ñ ÙÑ º Ñ Ö Ø ÙÐÙ ÓÒ ½ º Ò ØÓ Ø X 2 = ÐÐÓ Ò α h P(χ ) = º Ì Ø Ô Ù W È Ö ÓÒ Ò χ2 ¹ ÙÙÖ ÒØ Ú Ø Ñ Ð Ó Ø Ö Ò Ñ Ò ØÙÐÓ Ò Ó n = 980 ÓÒ Ö ØØÚÒ ÙÙÖ º ËÙ ÙÔÙÓÐ Ò ÔÙÓÐÙ ÒÒ Ò ÚÐ ÐÐ ÓÒ Ø Ð ØÓÐÐ Ø Ñ Ö Ø Ú Ö ÔÔÙ¹ ÚÙÙ º Î ÖØ Ð Ñ ÐÐ Ú ØØÙ Ö Ú Ò Ø ÑÓ ØÙ Ò Ó ÓØ ØØÙ Ò Ö ¹ Ú Ò Ò Ò ØÝ ØÑÒ Ö ÔÔÙÚÙÙ Ò ÐÙÓÒØ Ø º ÃÓ ÙÙÖ ÐÐ Ö Ú Ò Ò f ij ÖÚÓ ÐÐ ÑÝ ÖÓØÙ f ij e ij ÒÓÐÐ ÝÔÓØ Ò Ú ÐÐ Ø Ø¹ ÖÚÓÐØ Ò ÙÙÖ ÑÔ ÖÚÓ Ù Ò Ô Ò ÐÐ Ö Ú Ò ÐÐ Ö Ö Ù Ð f ij e ij ÓÐ Ö ØØÚ ÔÓ Ñ Ò Ñ ØØ º Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ò Ø Ö Ø ÐÙ ÝØØ ÐÔÓ Ø ÓÐÙÖ Ù Ð Ø ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ f ij e ij eij (1 π i. )(1 π.j ).