(AB) ij = p. k=1 a ikb kj. AA 1 = A 1 A = I.

Transkriptio

1 Ð ÙÓ ÙÖ Ø Å˹ ½ ¼ ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ A A = ÐØÓ Ð ÓÔ ØÓ È ÖÙ Ø Ø Ò ÃÓÖ ÓÙÐÙ Å Ø Ñ Ø Ò ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼½

2 ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ ÙÙ ÐÐ Ò Ý ÝÐÐ ¾¼½ º ÅÙ Ò ÓÒ ÓÒ Ò Ú ÖÖ Ò ÍÐÐ Å Ð Ò ÂÙ ÌÙÓÑ Ð Ò ÑÑ Ò ÑÓÒ Ø Ò Ø Ø Ñ Ö º Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ Ñ Ö ÒØ ½º Î ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ø ½ ½º½º Ä Ò Ö Ò Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ ÒØ Ñ Ò Ó ¾º Ä Ò Ö ÙÚ Ù Ø ½¾ ¾º½º Ä Ò Ö ÙÚ Ù Ò Ñ ØÖ ØÝ ½ ¾º¾º ÃÙÚ ¹ Ú ÖÙÙ ÒÓÐÐ ¹ Ú ÖÙÙ ½ º ÆÓÖÑ ØÙÐÓ ¾½ º½º ÇÖØÓ ÓÒ Ð ÙÙ ¾ º¾º Éʹ ÓØ ÐÑ Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ø ØÚ ¾ º º Å ØÖ ÒÓÖÑ Ö ÐØØ Ù º ÇÑ Ò ÖÚÓØ ÓÖ º½º Ë Ñ Ð Ö ÙÙ ÓÒ Ð Ó ÒØ º¾º Ë ÙÖ Ò ÓØ ÐÑ º º ÂÓÖ Ò Ò ÑÙÓØÓ ¼ º º ÇÑ Ò ÖÚÓ Ò ¹Ú ØÓÖ Ò ÒÙÑ Ö Ò Ò Ð Ñ Ò Ò ¾ º º ÈÓ Ø Ú Ò Ø Ø Ñ ØÖ Ø º º Å ØÖ Ò Ö Ø ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø Ó

3 ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ ÂÓ ÒØÓ Ñ Ö ÒØ Ä Ò Ö Ð Ö ØÙØ Ð Ò Ö Ó Ø ÙÓÖ Ø Ó Ò Ò ÝÐ ØÝ Ú ØÓ¹ Ö Ú ÖÙÙ ØÐÐ Ø Ò Ó Ø Ò ÚÐ Ö ÒØ Ò ÐÝØØÚ ÙÚ Ù Ð Ò Ö Ù¹ Ú Ù º ÖØ Ø ÐØÚØ Ø ÓÚ Ø ÒØÝÒ Ø Ñ ØÖ Ð ÙÒ Ý Ø Ý Ô ÖÙ ÙÖ ÐÐ ½ ¾º ÌÐÐ ÙÖ ÐÐ Ò Ø Ó Ò ØÙØØÙ Ó Ø Ø ÐÐÒ Ñ Ò ØÖ Ø ÑÑ Ò ÓÐÐÓ Ò ÙÓÑ ÑÑ ØØ Ñ ÒÐ Ö ÒØ Ø ÒØÝÝ ÑÝ Ø Ö Ø ÐØ Ú Ô ÔÓÐݹ ÒÓÑ Ø ÑÙ Ø ÙÒ Ø Ó ÓÙ Ó º Ë ÙÖ Ú ÑÙÙØ Ñ Ñ Ö Ð Ò Ö Ð Ö Ò ÓÚ ÐÐÙ Ø º Ö ÒØ Ð ¹ Ó ØØ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ø ÓÖ Ð Ò Ö Ð Ö ÓÒ Ñ º ÌÐÐ Ò ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ñ ØÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ º Æ Ò Ý ØÐ ¹ Ò ÒÙÑ Ö Ö Ø Ù Ø ÖÚ Ø Ò Ø Ó Ø Ñ ØÖ ÓÔ Ö Ø Ó Ò Ð Ò¹ Ö Ø Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÑ º Æ Ø Ó Ø Ø ÐÐÒ ØÑÒ ÙÖ Ò Ð ¹ ÐÐ Ò ÙÖ ÐÐ Ä º Ë Ò Ð Ò ØØ ÐÝ ÑÓÒ Ø ÙÓ ØÙ ¹ ÓÑÔÖ Ó ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑØ Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ø Ó ¹ Ò Ñ ØÖ ÓÔ Ö Ø Ó Òº Ñ Ö Ò Ò ØÝ ÐÙ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ ÙÒ Ø Ö Ò Ò Ð Ò Ö ÙÚ Ù º ËÝ Ø Ñ ¹ Ø Ø ÓÖ Ò Ø Ò Ø ØÚ Ò ÙØ Ò Ø ÐÓ ÒØ ÓÔØ Ñ Ø Ø ¹ ÑÓ ÒØ Ñ ÐÐ Ò Ö Ù Ø Ó Ö Ø ÙÑ Ò Ø ÐÑØ Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ð Ò Ö Ð Ö Ò Ñ ¹ ØÖ Ð ÒÒ Ò Ð ÓÖ ØÑ Òº Ä ÙÙÖ Ø Ð ÒØ Ø ØÚØ ÝØØÚØ ÔÙÒ Ð Ò Ö Ð Ö Ò ÒÙÑ Ö Ò Ñ ØÖ Ð ÒÒ Ò Ý ÒÓÔ Ø ØØÝÚ ÚÐ Ò Øº ÃÚ ÒØØ Ñ Ò ÑÙÓØÓ ÐÐ Ò Ø Ú ÐÐ Ø Ð Ò Ö Ð Ö Ò ØØ Ò ÚÙÐРй Ð ØÙÐ Ú Ø Ú Ø Ò Ø ÙÒ Ó ÙØ Ð Ò Ö ÙÚ Ù Ø ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÑ Ò Ú ¹ ØÓÖ Ø ÓÑÑÙØÓ Ú Ø ÓÔ Ö ØØÓÖ Ø Ö Ø Ò Ñ Ò Ó Ú ÖÙÙ µº ÌÐÐ ÙÖ ÐÐ Ð Ò Ö Ð Ö Ò ÒÙÑ Ö Ñ Ò Ø ÐÑ Ø ÐÐÒ Ú Ö Ò ÐÝ Ý Ø º Â Ø Ó ÙÖ ¹ Ò ÙÓ Ø ÐÐ Ò Å Ø¹½º½ ÆÙÑ Ö Ò Ò Ñ ØÖ Ð ÒØ º

4 ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì Ì Ò ÓÒ ÖØØÝ Ö Ø Ñ ØÖ ÓÔ Ö Ø Ó Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ô ÖÙ ÙÖ ÐØ ½ ¾º ËÙ¹ ÙÖ ÑÑ Ó Ø ÑÑ ØÙÐ Ú Ø Ø Ð ÒØ Ø ÓÐ Ñ ØÒ ÖÓ ÓÒ Ó ÝØ ØØÚ Ð Ö ÙÒ¹ Ø Ö Ð ÐÙÚÙØ R Ú ÓÑÔÐ ÐÙÚÙØ C º ÌÐÐ Ò ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ K, ÓÒ Ø Ð ÐÐ ÚÓ Ó ØØ ÙÑÑ Ò Ø Ò ½ ÙÒ Ò ØÑ Ó ØÙ ÓÒ Ó Ó Ý Ø Ý Ò Ò ÒÒ Ø Ø¹ ØÝ Ñ º Å Ö ÒÒÐÐ a K, Ø Ö Ó Ø Ø Ò a ÓÒ Ð Ö º Î Ø Ú Ø x K n Ø Ö Ó ØØ ØØ x R n Ø x C n º Î ØÓÖ ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ ÝØÑÑ Ø ÑÓÒ Ø Ð ÚÓ ØÙ Ö Ñ º Å ØÖ Ò A K m n Ð Ó Ø Ñ Ö Ø ÑÑ Ó Ó (A) ij Ø Ú Ø Ú ÐÐ Ô Ò ÐÐ Ö Ñ ÐÐ a ij. ½º Å ØÖ A K m n ÓÒ Ò Ð Ñ ØÖ Ó m = n. ¾º Æ Ð Ñ ØÖ A ÓÒ ÝÐ Ð µ ÓÐÑ ÓÑ ØÖ Ó a ij = 0 ÙÒ i > j i < j µº º Æ Ð Ñ ØÖ A ÓÒ ÐÚ Ø Ñ ØÖ Ø ÓÒ Ð Ñ ØÖ µ Ó ÓÒ Ýй ØØ Ð ÓÐÑ ÓÑ ØÖ Ð Ó a ij = 0, ÙÒ i j º Å Ö ÒÒÐÐ (d,...,d n ) Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÓÒ Ð Ñ ØÖ ÓÒ ÓÒ Ð Ð ÓØ ÓÚ Ø d,...,d n. º ÆÓÐÐ Ñ ØÖ Ñ Ö ØÒ Ý Ò ÖØ Ø ÒÓÐÐ ÐÐ º º Å ØÖ Ò A K m p B K p n ØÙÐÓ AB K m n ÑÖ Ø ÐÐÒ (AB) ij = p k= a ikb kj. Å ØÖ ØÙÐÓ ÓÒ Ð ØÒÒ Ò Ò A(BC) = (AB)C,ÑÙØØ Ú ÒÒ Ò Ò ÝÐ Ò AB BA. º Æ Ð Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ñ Ö ØÒ det(a). Ë Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ò ÓÐ Ò¹ Ð ÑÙØØ Ò ÑÙ Ø Ø Ò ØØ ÓÐÑ ÓÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ Ò ÐÚ Ø Ð Ó Ò ØÙÐÓ ØØ ÔØ det(ab) = det(a) det(b). Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ð Ñ Ò Ò ÙÓÖ Ø Ø Ò Ø Ú ÐÐ ÑÑ Ò ØØ Ñ ÐÐ Ñ ØÖ Ù Ò Ð Ñ ÒÓ ÒØ Ð Ò ÓØ ÚØ ÑÙÙØ Ø ÖÑ Ò ÒØØ µ ÝÐ ÓÐÑ ÓÑÙÓØÓÓÒº º Ñ ØÖ I = (,,...,) ÓÒ ÓÒ Ð Ñ ØÖ ÓÒ ÓÒ Ð Ð ÓØ ÓÚ Ø Ý Ð (I) ij = δ ij º Ë ÐÐ ÔØ AI = IA = A ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ A º º ÂÓ det(a) 0, Ò Ò A ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÒØ Ñ ØÖ A, ÓÐÐ ÔØ AA = A A = I. º Å ØÖ Ò A K m n Ò ØÖ Ò ÔÓÓ Ñ Ö ØÒ A T K n m, ÓÐÐÓ Ò (A T ) ij = (A) ji. ÇÔ Ö Ø Ó A = A T ÓÒ A Ò ÖÑ ØÓ ÒØ º Å ØÖ A Ö Ð Ø Ô Ù ¹ A T µ ÙØ ÙØ Ò A Ò Ð ØØÓÑ ØÖ º ½¼º A R n n ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ó A T = A. ½½º A R n n ÓÒ Ú ÒÓ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ó A T = A. ½ ÂÓ Ò Ø Ð ÒØ ÑÝ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Q ÚÓ ÓÐÐ Ø Úº

5 Ú ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ ½¾º A C n n ÓÒ ÖÑ ØØ Ò Ò Ó A = A. ½ º A R n n ÓÒ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò Ò Ó A T = A, Ð A T A = I º ½ º A C n n ÓÒ ÙÒ Ø Ö Ò Ò Ó A = A, Ð A A = I º ½ º Å ØÖ ØÙÐÓÐÐ ÔØ (AB) T = B T A T ÒÚ ÖØÓ ØÙÚ ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ (AB) = B A. ½ º ÇÐ ÓÓÒ A K m n. A Ò ÒÓÐÐ ¹ Ú ÖÙÙ Ð Ý Òµ ÓÒ A Ò ÙÚ ¹ Ú ÖÙÙ ÓÒ N(A) = {x K n Ax = 0}, R(A) = {Ax K m x K n }. ½ º Ê Ð ÐÐ Ú ØÓÖ ÐÐ x, y R n ÑÖ Ø ÐÐÒ ØÙÐÓ ¾ x,y = x T y = n i= x iy i. ½ º ÃÓÑÔÐ ÐÐ Ú ØÓÖ ÐÐ x, y C n ÑÖ Ø ÐÐÒ x,y = x T y = n i= x iy i. ½ º ÅÓÐ ÑÑ Ø Ô Ù ÑÖ Ø ÐÐÒ ÒÓÖÑ x = x,x. Ì Ö ÑÑ Ò ØØ ÒÓÖÑ Ñ Ö ØÒ 2, ÐÐ Ø Ó Ò ÑÑ ÑÙ Ø Ò ÒÓÖÑ º ¾¼º ÃÙÒ x C n y C m A C m n, Ò Ò Ax,y = x,a y. Ê Ð Ø Ô Ù Ax,y = x,a T y. Ë ÙÖ Ú Ò Ð Ù Ò ÓÒ ÓÓØØÙ ÒÒ ÐÐ Ð ÒÚ ÖØÓ ØÙÚ µ Ñ ØÖ Ó Ú Ø ØÖ Ñ¹ ÑØ ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ä Ù ¼º½º ÇÐ ÓÓÒ A K n n º Ë ÙÖ Ú Ø Ú ØØ Ø ÓÚ Ø Ý ØÔ ØÚ ½º A ÓÒ ÓÐ Ñ º ¾º det(a) 0. º ËÝ Ø Ñ ÐÐ Ax = b ÓÒ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù ÐÐ b. º A Ò Ö Ø ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº º A Ò Ö Ú Ø ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº º N(A) = {0}. º R(A) = K n. ¾ Ì Ú ØÓÖ x K n Ø ÐÐ Ò n ¹Ñ ØÖ ÓÐÐÓ Ò x T ÓÒ n ¹Ñ ØÖ

6 ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ½ ½º Î ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ø Ã Ò Ø ÓÒ Ú ÖÙÙ Òµ Ú ØÓÖ Ø ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø ÓÙ ÓÒ ÓÒ Ð Ó Ø ÚÓ Ò Ð Ý Ø Ò ÖØÓ Ð Ö ÐÐ º ÆÑ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÓÙ ÓÒ Ð Ù ÒØ ÙØ Ò Ú ÒÒ ÙÙ Ð ØÒÒ ÝÝ Ó ØØ ÐÙÐ Ø ÓÐÐÓ Ò ÓÙ Ó ÙØ ÙØ Ò Ú ØÓÖ Ú ÖÙ¹ Ù º ÌÑ ÝÐ ØÝÝ Ø n Ô ØÙ ÐÐ Ú ØÓÖ ÐÐ ÓØ ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò R n º Ë ÑÓ Ò ÓÑÔÐ Ø Ú ØÓÖ Ø ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ C n º Î ØÓÖ ¹ Ú ÖÙÙ Ð Ð Ò Ö Ú ÖÙÙ µ ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ú Ð ÝÐ ÑÔ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ½º½º ÂÓÙ Ó V ÒÓØ Ò Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ó V Ò Ð Ó ÐÐ ÓÒ ÑÖ Ø Ð¹ ØÝ Ý Ø ÒÐ Ù + : V V V Ð Ö ÐÐ ÖØÓÑ Ò Ò : K V V Ø Ò ØØ ½µ (u+v)+w = u+(v +w) u,v,w V Ð ØÒØÐ µ ¾µ ÇÒ ÓÐ Ñ Ð Ó 0 V ÒÓÐÐ ¹ Ð Óµ º º v +0 = v v V µ Ó ÐÐ v V ÓÒ ÓÐ Ñ v V º º Ú Ø ¹ Ð Óµ v +( v) = 0 µ u+v = v +u u,v V Ú ÒØ Ð µ µ α(u+v) = αu+αv α K, u,v V Ó ØØ ÐÙÐ µ µ (α+β)v = αv +βv α,β K, v V Ó ØØ ÐÙÐ µ µ α(βv) = (αβ)v α,β K, v V Ð ØÒØÐ µ µ v = v v V. ÂÓ K = R Ò Ò ÒÓØ Ò ØØ V ÓÒ Ö Ð ÖØÓ Ñ Ò Ò Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ º ÃÙÒ K = C ÓÒ ÓÑÔÐ ÖØÓ Ñ Ò Òº Î ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò Ð Ó Ø ÙØ ÙØ Ò Ú ØÓÖ º Ñ Ö ½º½º R 2 Ú ÖÙ Ø ØØÙÒ ØÙØÙ ÐÐ Ý Ø ÒÐ Ù¹ ÖØÓÑ ÒÒ ÐÐ (u,u 2 )+(v,v 2 ) = (u +v,u 2 +v 2 ), α(v,v 2 ) = (αv,αv 2 ) ÓÒ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ ÙØ Ò ÓÒ ÐÔÓ Ø Ø Ö Ø ØØ Ú º Ë ÑÓ Ò R n ÓÒ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ º ÂÓ R 2 ÑÖ Ø ÐØ Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÒÒ ÐÐ (u,u 2 )+(v,v 2 ) = (u +v 2,u 2 +v ), ÙÓÑ Ø Ò ØØ Ú ÒØ Ð ÓÐ ÚÓ Ñ u+v = (u +v 2,u 2 +v ) (v +u 2,v 2 +u ) = v +u. Ë Ø Ò R 2 Ú ÖÙ Ø ØØÙÒ ØÐÐ Ý Ø ÒÐ ÙÐÐ ÖØÓ ÒÒ ÐÐ α(v,v 2 ) = (αv,αv 2 ) µ ÓÐ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ º Ñ Ö ½º¾º V = {v R 2 v 2 = mv } Ó m ÓÒ ÒÒ ØØÙ ÒØ Ö Ð ÐÙ Ùº ÃÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ú ØÓÖ Ø Ó Ò Ö ÓÒ ÓÖ ÓÒ ÙØØ ÙÐ Ú ÐÐ ÙÓÖ ÐÐ y = mx º ÆÑ ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò ÙÒ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ÓÚ Ø Ø Ú ÐÐ Ø Ø ÓÒ Ú ØÓÖ Ò ÀÙÓÑ ØØ ÖØÓÐ ÙÒ Ô Ø Ø ØÒ Ø Ú ÐÐ Ø Ö Ó ØØ Ñ ØØ º Ú Ò ÑÓÒ Ø Ð ÒØ ØÓ ÐÐ ÙÙ ÓÚ Ø Ñ ØÖ ÙÒ Ø Ó Ø ÓÔ Ö ØØÓÖ Ø ØÑ º

7 ¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Ý Ø ÒÐ Ù Ö Ð ÐÙÚÙÐÐ ÖØÓÑ Ò Ò µ u, v V u+v = (u +v,u 2 +v 2 ) = (u +v,mu +mv ) = (u +v,m(u +v )) V µ v V,α R αv = α(v,v 2 ) = (αv,αv 2 ) = (αv,α(mv )) = (αv,m(αv )) V V ÐØ ÒÓÐÐ Ú ØÓÖ Ò 0 = (0,0) V ÙÒ Ò V Ò Ú ØÓÖ Ò v Ú Ø Ú ØÓÖ ÓÒ v V º ÅÙÙØ Ò ÓÓÑ Ø ØÓØ ÙØÙÚ Ø Ó Ò ÔØ ÚØ R 2 º Ñ Ö ½º º V = {v R 2 v 2 = mv } Ð Ò Ø ÓÒ Ú ØÓÖ Ø ÓØ ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø ÙÓÖ Ò y = mx º ÃÓ 0 V V ÚÓ ÓÐÐ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ º È Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ò Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ ÓÒ Ò º ØÖ Ú Ð Ú ÖÙÙ V = {0} º Ñ Ö ½º º Ã Ò Ö Ð Ø Ò m n ¹Ñ ØÖ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÓÙ Ó R m n ÓÒ Ú ¹ ØÓÖ Ú ÖÙÙ ÙÒ Ý Ø ÒÐ Ù Ö Ð ÐÙÚÙÐÐ ÖØÓÑ Ò Ò ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ð Ó ØØ Ò ÙØ Ò Ñ ØÖ ÐÐ ÓÒ Ø Ô Ò º ÆÓÐÐ ¹ Ð Ó ÓÒ ØÐÐ Ò m n ¹ÒÓÐÐ Ñ ØÖ ÑÖ Ø ÐÑÒ ÓØ ÓÒ ÐÔÔÓ Ø Ö Ø º Ë ÑÓ Ò ÓÑÔÐ Ø Ò m n ¹Ñ ØÖ Ò ÓÙ Ó C m n ÓÒ ÓÑÔÐ ¹ ÖØÓ Ñ Ò Ò Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ º Ñ Ö ½º º ÇÐ ÓÓÒ l Ò Ö Ó Ø ØØÙ Ò Ö Ð ÐÙ Ù ÓÒÓ Ò ÓÙ Ó l = { ξ = (ξ,ξ 2,...) supj ξ j < }. ÌÑ ÓÒ R ¹ ÖØÓ Ñ Ò Ò Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ ÙÒ ÑÖ Ø ÐÐÒ (ξ,ξ 2,...)+(η,η 2,...) = (ξ +η, ξ 2 +η 2,...) α(ξ,ξ 2,...) = (αξ, αξ 2,...). Î Ø Ú Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ò ÓÑÔÐ ÐÙ Ù ÓÒÓ Ò ÓÙ Ó ÓÒ C ¹ ÖØÓ Ñ Ò Ò Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ º Ñ Ö ½º º ÃÓÖ ÒØ Ò ØÓ Ø Ø ØØ ÓÐ Ú Ò x Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÓÙ Ó P 2 = {p p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2,a 0, a, a 2 C} ÓÒ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ ÙÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ý Ø ÒÐ Ù Ð Ö ÐÐ ÖØÓÑ Ò Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ ÒÓÖÑ Ð Ò Ø Ô Òº Ë ÑÓ Ò ÓÖ ÒØ Ò Ø ØØ n ÓÐ Ú Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÓÙ Ó P n ÓÒ Ú ¹ ØÓÖ Ú ÖÙÙ º ÐÐ Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÓÙ Ó P ÓÒ ÑÝ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ º ÐÐ ÓÐ Ú Ò Ñ Ö Ò Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò Ð ÓØ ÓÚ Ø ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ Ò Ò Ø ÙØ ÙØ Ò ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ º Ä Ù ÒÒ Ø ÙÒ Ø Ó ÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø (f +g)(x) = f(x)+g(x) (αf)(x) = α(f(x)). ÌÓ Ò Ò ØÖ Ñ Ö ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ Ø ÓÒ ÙÖ Ú º Ñ Ö ½º º ÎÐ ÐÐ [a,b Ø ÙÚ Ò Ö Ð ÖÚÓ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙ Ó C[a,b ÓÒ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ ÐÐ Ò Ø ÙÚ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÙÑÑ ÓÒ Ø ÙÚ Ð Ö ÐÐ ÖØÓÑ Ò Ò ÙÚ Ø ÙÚ Ø ÙÒ Ø ÓØ Ø ÙÚ ÐÐ º Î ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò ÓÓÑ Ø ÓÒ ÐÔÔÓ Ø Ö Ø º ÅÖ Ø ÐÑ ½º¾º K ¹ ÖØÓ Ñ Ò Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò V ¹ØÝ Ó ÓÙ Ó S V ÓÒ V Ò Ð Ú ÖÙÙ Ó ÔØ µ u, v S u+v S,

8 µ v S, α K αv S, ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ÙÒ ÝØ ØÒ V ÑÖ Ø ÐØÝ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ º ÓØ µ µ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Ý Ø Ò Ú Ú Ð ÒØ Ó u, v S, α,β K αu+βv S. Ð Ú ÖÙÙ ÓÒ ÑÝ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ º Î ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ú Ø ÓÓÑ Ø ÔØ ÚØ Ð Ú ÖÙÙ Ò S Ð Ó ÐÐ ÐÐ Ò ÓÚ Ø ÑÝ V Ò Ð Ó Ø º S ÐØ ÒÓÐÐ ¹ Ð ÓÒ Ú Ø ¹ Ð Óغ ÌÑ Ò Ò ÙÒ Ú Ð Ø Ò α = 0 α = Ó µº Ñ Ö Ò ½º¾ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙØØ V = {v R 2 v 2 = mv } ÚÓ Ò Ø Ö Ø ÐÐ ÑÝ Ø ÓÒ R 2 Ð Ú ÖÙÙØ Ò º Ë ÑÓ Ò Ú ÖÙÙ P 2 ÚÓ Ò ØÙÐ Ø Ú ÖÙÙ Ò P n, P Ø C[0, Ð Ú ÖÙÙ º Ñ Ö ½º º Ú ÖÙÙ Ò R 3 Ð Ú ÖÙÙ Ø ÓÚ Ø µ ÌÖ Ú Ð Ú ÖÙÙ {(0,0,0)}. µ à ÑÙÓØÓ {aw a R} ÓÐ Ú Ø ÓÙ ÓØ Ñ w ÓÒ ÒØ Ð ÓÖ ÓÒ ÙØØ ÙÐ Ú Ø ÙÓÖ Øº µ à ÑÙÓØÓ {aw +bw 2 a,b R} ÓÐ Ú Ø ÓÙ ÓØ Ñ w w 2 R 3 ÓÚ Ø ÒØ Ø Ð ÓÖ ÓÒ ÙØØ ÙÐ Ú Ø Ø Óغ Úµ Ú ÖÙÙ R 3 Ø º Ã Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ø ÐØÚØ Ò Ò Ð Ú ÖÙÙØØ Ú ÖÙÙ Ò Ø Ò ØÖ Ú ¹ Ð Ú ÖÙÙ Òº Ñ Ö ½º º ÇÒ Ó R 2 Ò Ó ÓÙ Ó S = {v R 2 v 0} Ð Ú ÖÙÙ Ë ÐÚ Ø ÑÖ Ø ÐÑÒ ØÓ µ ÓÒ ÚÓ Ñ º ÂÓ Ó µ Ú Ð Ø Ò Ò Ø Ú Ò Ò Ð Ö ÖÖÓ Ò ÙÓÑ Ø Ò ØØ ØÓ ØÓØ Ù Ù ÓØ Ò S ÓÐ Ð Ú ÖÙÙ º Ñ Ö ½º½¼º Ã Ò ÝÑÑ ØÖ Ø Ò 3 3 ¹Ñ ØÖ Ò ÓÙ Ó ÓÒ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò R ¹ Ñ ØÖ Øµ Ð Ú ÖÙÙ ÐÐ Ñ ØÖ Ò Ý Ø ÒÐ Ù Ð Ö ÐÐ Ö¹ ØÓÑ Ò Ò ÐÝØØÚØ ÝÑÑ ØÖ Òº ½º½º Ä Ò Ö Ò Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ ÒØ Ñ Ò Óº ÇÐ ÓÓØ v,v 2,...,v n K ¹ ÖØÓ Ñ Ò Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò V Ð Ó Ø c,...,c n K. ÅÙÓØÓ c v +c 2 v 2 + +c n v n ÓÐ Ú Ð Ù ØØ ÙØ ÙØ Ò Ú ØÓÖ Ò v,...,v n Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ó º Ñ Ö ½º½½º ÇÒ Ó q(x) = x 2 + x + 2 ÔÓÐÝÒÓÑ Ò p (x) = x p 2 (x) = x 2 + 2x Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ó ÌÓ Ò ÒÓ Ò ÓÒ Ó ÓÐ Ñ c, c 2 R Ø Ò ØØ q(x) = c p (x)+c 2 p 2 (x) Ë Ò Ý ØÐ Ø x 2 +x+2 = c (x 2 +5)+c 2 (x 2 +2x ) x 2 +x+2 = (c +c 2 )x 2 +2c 2 x+5c c 2,

9 ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ ÓØ Ò Ô ÝØÒ Ð Ò Ö Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ c + c 2 = 2c 2 = 5c c 2 = 2 ÃÓ ØÐÐ Ý ØÐ ÖÝ ÑÐÐ ÓÒ Ö Ø Ù c = c 2 = /2 ÔÓÐÝÒÓÑ q ÚÓ Ò ØØ p Ò p 2 Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ º ÅÖ Ø ÐÑ ½º º ¹ØÝ Ò ÓÙ ÓÒ S V Ú Ö Ø ÐÑ Ò Ðº Ô Òµ Ô(S) ÓÒ Ò S Ò Ð Ó Ø ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ó Ò ÓÙ Ó Ð Ô(S) = { u V u = n i= a is i, a i K, s i S, n < }. Î Ö Ø ÐÑ Ø ÝØ ØÒ ÑÝ Ò Ñ ØÝ Ø ÓÙ ÓÒ S Ú Ö ØØÑ Ð Ú ÖÙÙ ÐÐ ÓÒ Ò Ð Ú ÖÙÙ ÌÓ º ÇÐ ÓÓØ u, v Ô(S) α,β K. ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ a,...,a n K s,...,s n S Ø Ò ØØ u = a s + +a n s n b,...,b m K t,...,t m S Ø Ò ØØ v = b t + +b m t m. Ë Ò αu+βv = αa s + +αa n s n +βb t + +βb m t m. ÌÑ Ò ÓÒ S Ò Ú ØÓÖ Ò s,...,s n,t,...,t m Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ó ÓØ Ò αu+βv Ô(S). ÂÓ S ÐØ Ú Ò Ö ÐÐ Ò ÑÖÒ Ú ØÓÖ Ø ÓÒ Ø Ô Ò Ö Ó ØØ Ô(v,...,v k ). ÂÓ U = Ô(v,...,v k ), ÒÓØ Ò ÑÝ ØØ Ú ØÓÖ ÓÙ Ó {v,...,v k } Ú Ö ØØ U Òº Ñ Ö ½º½¾º ÇÐ ÓÓØ v = (,,) v 2 = ( 2,0,) º Æ Ò Ú Ö Ø ÐÑ Ô(v,v 2 ) = { w R 3 w = c v +c 2 v 2, c,c 2 R } = { (c 2c 2, c, c +c 2 ) c, c 2 R } ÐØ Ú ÖÙÙ Ò Ú ØÓÖ Ø Ó Ò ÔØ Ô Ø Ø Ú ØÓÖ Ò v v 2 ÑÖÑй Ð ÓÖ ÓÒ ÙØØ ÙÐ Ú ÐÐ Ø ÓÐÐ º Ñ Ö ½º½ º Ô(,x,x 2 ) = P 2, ÐÐ Ó Ò Ò ØÓ Ò Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÚÓ Ò Ö Ó Ø¹ Ø ÑÙÓ Ó c 0 + c x + c 2 x 2 º ÌÓ ÐØ Ô(,x 2 ) ÓÒ Ò Ò ØÓ Ò Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÓÙ Ó P 2 Ò Ð Ú ÖÙÙ µ ÓØ ÚØ ÐÐ Ò ÑÑ Ò Ø Ò Ø ÖÑ º ÅÖ Ø ÐÑ ½º º Î ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò Ó ÓÙ Ó {v,v 2,...,v n } ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö Ô¹ ÔÙÑ ØÓÒ Ó ÒÓÐÐ Ú ØÓÖ ÚÓ Ò ØØ Ò Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ú Ò Ø Ò ØØ ÖØÓ Ñ Ø ÓÚ Ø ÒÓÐÐ Ð ÙÒ c = c 2 = = c n = 0 ÓÒ Ý ØÐ Ò ½º½µ c v +c 2 v c n v n = 0 ÒÓ Ö Ø Ùº ÂÓ ÑÙ Ø Ò Ö Ø Ù ÓÒ Ò Ò ÓÙ Ó Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ {v,v 2,...,v n } ÒÓØ Ò

10 ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì Ä Ò Ö Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ò ØÙØ Ñ Ò Ò Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ ÓØ ÚÓ Ò Ñ ¹ Ø R n Ò Ø ÓÒ Ò Ò Ð Ú ÖÙÙ Ò Ò ÓÒ Ñ Ò ÐØ Ø Ù Ò R n Ò Ú ØÓÖ ÐÐ º ÅÖ Ø ÐÑ ÒØÝÚ Ý ØÐ ½º½µ Ó ÖØÓ Ñ Ø c k ÓÚ Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ú ØÓÖ Ø v k ÒÒ ØØÙ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Ñ ØÖ ÑÙÓØÓÓÒ ½º¾µ Ac = 0, Ñ A = [v v 2... v n Ð Ú ØÓÖ Ø v k ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò A Ö Ø c = (c,...,c n ) º ËÝÒØÝÒ Ø ÓÑÓ Ò Ø Ð Ò Ö Ø Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ø ÚÓ Ò Ö Ø Ø Ù Ò Ð Ñ Ò Ø ÓÐÐ ÖØÓ Ñ Ø c k º ÁØ Ö ØØ Ú Ò ÐÚ ØØ ÓÒ Ó Ý ØÐ ÖÝ ÑÐÐ ¹ØÖ Ú Ð Ö Ø Ùºµ Ñ Ö ½º½ º ÇÚ Ø Ó Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò R 2 2 Ð ÓØ [ 0 0, [ 2 Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ë ÑÑ Ý ØÐ Ò c [ 0 0 +c 2 [ c 3 [ c 4 [ = 0 Ð [ c +c 2 +4c 3 2c 4 2c 2 c 3 +5c 4 = c +3c 3 +6c 4 c 4 Å ØÖ ÑÙÓ Ó ØÑ ÓÒ c c 2 c 3 c 4 0 = [ , [ [ ÌÑÒ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ 3º Ë Ø Ò ÓÑÓ Ò ÐÐ Ý ØÐ ÖÝ ÑÐÐ ½º¾µ ÓÒ Ú Ò ÒÓÐÐ Ö Ø Ù Ñ ØÖ ÓÙ Ó ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒº ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ Ò Ó ÐÐ Ø Ö Ø ÐÙ ÚÓ ÓÐÐ Ò Ð ÑÔ º ÃÓÖ ÒØ Ò Ø ØØ n ÓÐ ¹ Ú Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÚÓ Ò Ñ Ø K n+ Ò Ú ØÓÖ Ò ÑÙØØ ÝÐ ÑÑ Ò Ø ÖÚ Ø Ò ÑÙ Ø ÒÓ º Ñ Ö ½º½ º ÇÚ Ø Ó ÙÒ Ø ÓØ sin 2 x, cos2x Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ØÐ ½º½µ ÒÝØ ÑÙÓ ÓÒ ½º µ c sin 2 x+c 2 cos2x+c 3 = 0 Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø Ò cos2x = cos 2 x sin 2 x = 2sin 2 x Ò (c 2c 2 )sin 2 x+c 2 +c 3 = 0, Ó Ø Ö Ø Ø Ò c 3 = c 2 c = 2c 2 º ÃÓ c 2 ÚÓ Ò Ú Ð Ø Ú Ô Ø ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø ÙÒ Ø ÓØ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ Ò ÓÙ ÓÒº Ñ Ö ½º½ º ÂÓ ÙÒ Ø Ó ÓÙ Ó ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ Ò ÚÓ Ù Ò ÒÝØØ Ø Ö Ø Ð Ñ ÐÐ Ò Ø ÙÒ Ø Ó Ø Ö ØØÚÒ ÑÓÒ Ô Ø º Ñ Ö C[, Ò ÙÒ Ø ÓØ, e x, e x ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÐÐ Ö Ó Ø¹ Ø Ñ ÐÐ Ý ØÐ c +c 2 e x +c 3 e x = 0 Ô Ø x {,0,} Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ /e e e /e c = 0, c 2 c 3

11 ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ ÓÒ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ (+e)( e) 3 /e 2. ÌÑ ÓÐ ÒÓÐÐ ÓØ Ò Ó ØÑÒ ÓÐÑ Ô Ø Ö Ó Ø ØÙÒ Ý ØÐ Ò ÒÓ Ö Ø Ù ÓÒ c = c 2 = c 3 = 0. Ë Ô ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº Ä Ù ½º½º Î ØÓÖ ÓÙ Ó {v,v 2,...,v n } ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ Ó Ú Ò Ó Ó Ò Ú ØÓÖ Ø ÚÓ Ò ØØ ÑÙ Ò Ú ØÓÖ Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ º ÌÓ º ÂÓ Ú ØÓÖ ÓÙ Ó ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ Ò Ò Ý ØÐ ÐÐ ½º½µ Ð ÝØÝÝ Ö Ø Ù Ó Ò Ò Ý ÖÖÓ Ò c l 0. Â Ñ ÐÐ Ý ØÐ c l ÐÐ Ò v l = c cl v c l c l v l c l+ c l v l+ cn c l v n, Ñ Ø Ò Ò ØØ v l ÓÒ ÑÙ Ò Ú ØÓÖ Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Óº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ v k ÚÓ Ò Ð Ù Ù ÑÙ Ò Ú ØÓÖ Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ v k = d v + +d k v k +d k+ v k+ + +d n v n. Ë ÖÖ ØÒ v k Ø Ý ØÐ ØÓ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ÓÐÐÓ Ò Ò d v + +d k v k v k +d k+ v k+ + +d n v n = 0. ÌÑ ÓÒ Ñ Ù Ò Ý ØÐ ½º½µ ÑÖ Ø ÐÑ Ò Ò Ý Ò ÖÖÓ Ò ÓÒ 0. Ë Ø Ò Ú ØÓÖ Ø ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ º Î ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò V Ö ÐÐ Ø Ó ÓÙ Ó B = {b,b 2,...,b n } ÒÓØ Ò V Ò ÒÒ Ó ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ Ú Ö ØØ V Ò Ð Ô(B) = V µº R n Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÒÒ ÙØ ÙØ Ò Ú ØÓÖ ÓÙ Ó {e,e 2,...,e n } Ó e i R n ÐØ ÑÙÙØ Ò ÒÓÐÐ Ô Ø Ò i ÓÑÔÓÒ ÒØØ ÓÒ. Ë Ø Ò Ú ØÓÖ Ò ÐÝÝ Ø ØÙØØÙ ÒØ Ú ØÓÖ Ø {i,j,k} Ñ Ö ØÒ {e,e 2,e 3 } º Ñ Ö ½º½ º P 2 ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÒÒ ÚÓ ÙØ Ù ÓÙ Ó {,x,x 2 }. ÌÓ Ò Ò ÒØ P 2 ÐÐ ÓÒ Ñº Q = {x 2 +,2x 2 +x,x 2 x} º ÂÓÙ Ó ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ ÐÐ c (x 2 +)+c 2 (2x 2 +x )+c 3 (x 2 x) = 0 (c +2c 2 +c 3 )x 2 +(c 2 c 3 )x+c c 2 = 0, ØØ Ñ ÐÐ Ý ØÐ Ò ÖØÓ Ñ Ø ÒÓÐÐ Ò ÒÓ Ö Ø Ù c = c 2 = c 3 = 0 º Â Ó Ò Ò ØÓ Ò Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÚÓ Ò Ð Ù Ù Ò Ò ÚÙÐÐ ÐÐ a+bx+cx 2 = 4 (3a+b+c)(x2 +)+ 4 ( a+b+c)(2x2 +x )+ 4 ( a 3b+c)(x2 x). à ÖØÓ Ñ Ø ÓÒ Ö Ø ØÙ Ð Ò Ö Ø Ý ØÐ ÖÝ Ñ Øº Î ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò ÒØ ÚÓ Ò Ú Ð Ø ÑÓÒ ÐÐ Ø Ú ÐÐ ÑÙØØ Ó Ò Ò ÒØ ÐØ Ý Ø ÑÓÒØ Ú ØÓÖ º ÌÑ Ò ÙÖ Ú Ø Ð Ù Ø º Ä Ù ½º¾º ÇÐ ÓÓÒ V Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ º ÂÓ ÓÙ Ó {w,w 2,...,w n } Ú Ö ØØ V Ò {v,v 2,...,v k } V ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ Ò Ò ÔØ n k º

12 ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ÌÓ º ÃÝØ ØÒ Ô ÙÓÖ ØÓ ØÙ Ø Ð ÓÐ Ø Ø Ò ØØ n < k º ÃÓ {w,w 2,...,w n } Ú Ö ØØ V Ò Ò Ò Ú ØÓÖ Ø v i ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Ò Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ ÇÐ ÓÓÒ v = a w +a 2 w 2 + +a n w n, v 2 = a 2 w +a 22 w 2 + +a 2n w n, º º º v k = a k w +a k2 w 2 + +a kn w n. a a 2... a n a A = 2 a a 2n º º º a k a k2... a kn c K k º Ä Ò Ö Ø Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ò Ø ÓÖ Ø Ø ØÒ ØØ ÓÑÓ Ò ÐÐ Ý Ø Ñ Ð¹ Ð A T c = 0 ÓÒ ¹ØÖ Ú Ð Ö Ø Ù ÙÒ Ý ØÐ Ø ÓÒ Ú ÑÑÒ Ù Ò ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ n < k µº ÇÐ ÓÓÒ c = (c,c 2,...,c k ) 0 Ö Ö Ø Ùº Ä Ù ÙÑ ÐÐ Ú ØÓÖ Ø v i Ú ØÓÖ ¹ Ò w i ÚÙÐÐ ÖÑÐÐ w i ¹Ú ØÓÖ Ò ÖØÓ Ñ Ø Ý Ø Ò Ò c v +c 2 v 2 + +c k v k = c (a w + +a n w n )+c 2 (a 2 w + +a 2n w n )+ +c k (a k w + +a kn w n ) = (c a +c 2 a 2 + +c k a k )w + +(c a n +c 2 a 2n + +c k a kn )w n = 0 w + +0w n = 0. Ë Ú ØÓÖ Ò v i Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ó Ó Ò Ò Ó Ò ÖÖÓ Ò 0 ØÙÓØØ ÒÓÐÐ Ú ¹ ØÓÖ Òº ÌÑ Ò ÓÒ Ö Ø Ö Ò ÓÐ ØÙ Ò Ò ØØ {v, v 2,..., v k } ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒº Ë ÓÒ ÓÐØ Ú n k º Ì Ö Ø ÐÐ Ò V Ò Ø ÒØ {b,b 2,...,b n } { b, b 2,..., b n }, ÓØ ÑÓРѹ Ñ Ø Ú Ö ØØÚØ V Ò ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ º ËÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ ÐÐ Ø Ð Ù ØØ Ø Ò ÖØ Ò Ò n n n n. Ë Ô Ò ÓÒ Ý Ø ÑÓÒØ Ú ØÓÖ º Î ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò V Ñ Ò Ó dim(v) ÓÒ V Ò ÒØ Ú ØÓÖ Ò ÐÙ ÙÑÖº Ñ Ö ½º½ º ÂÓÙ Ó {,x,x 2,...,x n } ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ú ÖÙÙ Ò P n ÒØ ÓØ Ò dim(p n ) = n+ º Î Ø Ú Ø m n ¹Ñ ØÖ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò Ñ Ò Ó Ö Ó ØÙ Ø ØÚµ ÓÒ Ñ(R m n ) = mnº Å ÓÐ ØÑÒ Ñ ØÖ Ò Ú ÖÙÙ Ò ÐÙÓÒ¹ ÒÓÐÐ Ò Ò ÒØ Ñ Ö ½º½ º Ú ÖÙÙ Ò C n Ñ Ò Ó Ö ÔÔÙÙ Ø Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ó Ø Ö Ð ¹ Ú ÓÑÔÐ ÖØÓ Ñ Ò Ú ÖÙÙØ Ò º ÂÓ K = C, Ò Ò dim(c n ) = n. ÂÓ K = R Ò Ò dim(c n ) = 2n º Å ÓÐ Ð ÑÑ Ø Ô Ù ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò ÒØ ÐÐ Ö Ò ÑÙÙØ Ñ Ò Ø Ò Ò C n C m n ØÙÐ Ø Ò Ò ÓÑÔÐ ÖØÓ Ñ Ú ÖÙÙ º Æ Ñ Ö Ú ÖÙÙ Ò Ñ Ò Ó ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÐÙ Ù Ò ÓÚ Ø Ö ÐÐ ÙÐÓØØ º ÌÝÝÔ ÐÐ Ø ÑÓÒ Ø ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ Ø ÚØ ÓÐ Ö ÐÐ ÙÐÓØØ º Æ Ø Ð ÝØÝÝ Ñ Ð Ú Ð¹ Ø Ò ÑÓÒØ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒØ Ð ÓØ º º

13 ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Ë ÒÓØ Ò ØØ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ V ÓÒ Ö Ø ÒÙÐÓØØ Ò Ò dim(v) = Ó ÓÒ ÓÐ Ñ Ú ØÓÖ ÓÒÓ {v,v 2,...} V Ø Ò ØØ ÓÙ Ó {v,...,v n } ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ ÐÐ n N. Ñ Ö ½º¾¼º Ñ Ö Ò ½º Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ð Ò Ö Ó Ø ØØÙ Ò ÐÙ Ù ÓÒÓ Ò ÓÙ Ó l ÓÒ Ö Ø ÒÙÐÓØØ Ò Ò Ú ØÓÖ ÓÒÓ {v,v 2,...}, Ó v j = (δ j,δ j2,...), ØÓ¹ Ø ÙØØ ÐÚ Ø ÓÒ {v,...,v n } ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ ÐÐ n N. Ã Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ú ÖÙÙ P Ò ÚÐ ÐÐ [a,b Ø ÙÚ Ò ÙÒ ¹ Ø Ó Ò Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ C[a,b ÓÚ Ø ÑÝ Ö Ø ÒÙÐÓØØ º Ä ÑÑ ½º º ÇÐ ÓÓÒ {v,v 2,...,v k } Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò V Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ Ó ¹ ÓÙ Óº ÂÓ V Ò Ú ØÓÖ v k+ sp(v,v 2,...,v k ) Ò Ò ÓÙ Ó {v,v 2,...,v k,v k+ } ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒº ÌÓ º Ç Ó Ø Ø Ò ØØ Ý ØÐ ÐÐ c v +c 2 v 2 + +c k v k +c k+ v k+ = 0 ÓÒ Ú Ò ØÖ Ú Ð Ö Ø Ùº ÃÓ v k+ sp(v,v 2,...,v k ) Ò Ò ÓÒ ÓÐØ Ú c k+ = 0 ÐÐ ÑÙÙØ Ò v k+ ÚÓ Ø Ò Ð Ù Ù ÑÙ Ò Ú ØÓÖ Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ º ÂÐ ÐÐ c v +c 2 v 2 + +c k v k = 0. ÃÓ {v,...,v k } ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ Ò ÑÝ c = = c k = 0 º Ä Ù ½º º ÇÐ ÓÓÒ {v,v 2,...,v k } Ö ÐÐ ÙÐÓØØ Ò Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò V Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ Ó ÓÙ Óº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ú ØÓÖ Ø v k+,...,v k+m V Ø Ò ØØ {v,v 2,...,v k,v k+,...,v k+m } ÓÒ V Ò ÒØ º ÌÓ ØÙ º ÂÓ {v,v 2,...,v k } Ú Ö ØØ V Ò Ò Ò ÓÒ ÒØ Ð Ú ØÓÖ Ø Ø ÖÚ ¹ Ø º ÅÙÙØ Ò Ð ÝØÝÝ v k+ V Ø Ò ØØ Ø ÚÓ Ð Ù Ù Ú ØÓÖ Ò v,v 2,...,v k Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ º ÐÐ Ò Ð ÑÑ Ò ÑÙ Ò {v,v 2,...,v k,v k+ } ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒº ÂÓ ØÑ ÓÙ Ó Ú Ö ØØ Ó Ó V Ò Ò Ò ÓÒ ØÙ ÒØ º ÂÓ Ø Ø Ò Ð ÑÐÐ Ú ØÓÖ Ø Ñ Ò Ø Ô Ò Ý ÖÖ ÐÐ Ò ÙÒÒ Ò Ø ÓÒ dim(v) Ò Ú ÖÖ Òº ÌÐÐ Ò V ÐÐ ÓÒ ØÙ ÒØ º Ë ÙÖ Ù ½º º ÂÓ dim(v) = n {v,...,v n } V ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ Ò Ò ÓÒ V Ò ÒØ º ÌÓ º ÂÓ ÓÐ ÒØ Ò Ò Ð Ù Ò ½º ÚÓ Ø Ò ØÝ ÒØ ÒÒ ÓÐÐÓ Ò V Ò Ø Ò ÝÐ n ÔÐ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ú ØÓÖ Ø º ÌÑ ÓÐ Ö Ø Ö Ð Ù Ò ½º¾ Ò º ÐÐ Ò Ð Ù Ò ØÓ ØÙ Ø Ö Ó Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÓÐÐ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ ÓÙ Ó ÚÓ Ò ØÝ ÒØ ÒÒ º ÃÒØ Ò Ò Ø Ð ÒÒ ÓÒ Ó ØÙÒÒ Ø Ò V Ò Ú Ö ØØÚ Ú ¹ ØÓÖ ÓÙ Ó Ó ÚÓ ÓÐÐ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ º Ä Ù ½º º ÇÐ ÓÓÒ V = sp(v,v 2,...,v n ). ÌÐÐ Ò Ó Ò ÓÙ ÓÒ {v,v 2,...,v n } Ó ¹ ÓÙ Ó ÓÒ V Ò ÒØ º

14 ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ÌÓ º ÂÓ {v,v 2,...,v n } ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ Ò Ò Ð Ù Ò ½º½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó Ò Ú ¹ ØÓÖ v k ÚÓ Ò Ð Ù Ù ÑÙ Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ º ÌÐÐ Ò ÒÝص sp(v,...,v k,v k+,...,v n ) = sp(v,v 2,...,v n ). Ë v k ÚÓ Ò ÔÙ ÓØØ ÔÓ ÓÙ Ó Ø Ð ÐÐ Ú Ú ØÓÖ ÓÙ Ó Ú Ö ØØ ÐÐ Ò V Òº Æ Ò Ø Ø Ò ÙÒÒ Ð ÐÐ ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ ÓÙ Óº ÌÑ ÓÒ V Ò ÒØ º à ÒÒ Ò ØÖ Ò Ñ Ö ØÝ ÓÒ ÙÖ Ú º Ä Ù ½º º ÂÓ B = {b,b 2,...,b n } ÓÒ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò V ÒØ Ò Ò Ó Ò Ò Ú ØÓÖ v V ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ Ó v = c b +c 2 b 2 + +c n b n Ø ÑÐÐ Ò Ý ÐÐ Ø Ú ÐÐ º ÌÓ º ÃÓ ÒØ Ú Ö ØØ V Ò Ó Ò Ò v V ÚÓ Ò ØØ ÒØ Ú ØÓÖ Ò Ð Ò¹ Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ º Ì ÖÚ Ø Ú Ò ØÓ Ø ØØ ØÑ ØÝ ÓÒ Ý ØØ Ò Òº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ v ÐÐ ÓÒ ØÝ Ø v = c b +c 2 b 2 + +c n b n v = d b +d 2 b 2 + +d n b n Î ÒØÑÐÐ ÒÑ Ý ØÐ Ø ÔÙÓÐ ØØ Ò Ò (c d )b +(c 2 d 2 )b 2 + +(c n d n )b n = 0. ÃÓ b i Ø ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÓÒ ÓÐØ Ú Ð ØÝ Ø ÓÚ Ø Ñ Øº c = d, c 2 = d 2,...,c n = d n, ÃÙÒ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙØ Ò ÓÒ Ú Ð ØØÙ Ó Ò ÒØ Ò Ò Ð Ù Ò ÑÙ Ò Ó Ò Ú ØÓÖ Ò ¹ ØÝ ÒØ Ú ØÓÖ Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ ÓÒ Ý ØØ Ò Òº Ë Ø Ò Ú ØÓÖ Ò ÚÓ Ò Ý ØØ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ú Ø Ø ÝØØÑÐÐ Ò ØØÑ Ò Ú Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ c i ¹ ÖØÓ Ñ º Æ Ø ÙØ ÙØ Ò Ò ÓÓÖ Ò Ø Óº ÒÒ Ò Ù Ø Òº ÇÐ ÓÓÒ B = {b,b 2,...,b n } Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò V Ö Ø ØØݵ ÒØ º ÂÓ Ú ØÓÖ Ò v V ØÝ ÒÒ B ÓÒ v = c b +c 2 b 2 + +c n b n Ò Ò [v B = (c,c 2,...,c n ) ÓÒ v Ò ÓÓÖ Ò ØØ Ú ØÓÖ ÒÒ Ò B Ù Ø Òº Ñ Ö ½º¾½º ÇÐ ÓÓÒ Ú ØÓÖ Ò v R 3 ÓÓÖ Ò Ø Ø ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÒÒ (5,,9) º Î ØÓÖ Ø b = (,2,), b 2 = (2,9,0) b 3 = (3,3,4) ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø ÑÝ R 3 Ò ÒÒ Òº Æ ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ÐÐ Ý ØÐ ½º¾µ ÒØÝÚ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ ÑÙÓ ÓÒ ÌÑÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ ÓØ Ò Ý ØÐ ÐÐ ½º¾µ ÓÒ Ú Ò ØÖ Ú Ð Ö Ø Ùº Î ØÓÖ ¹ ÓÙ Ó ÑÝ Ú Ö ØØ Ó Ó R 3 Ò ÐÐ dim(r 3 ) = 3 º À ÐÙØØ Ò Ð v Ò ÓÓÖ Ò Ø Ø

15 ½¼ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ (c,c 2,c 3 ) ÒÒ B = {b,b 2,b 3 } º Ë Ò Ý ØÐ 5 = c 2 +c c 3 3 3, Ñ ØÖ ÑÙÓ Ó c c 2 = ÌÑÒ Ö Ø Ù Ø Ò ÓÓÖ Ò Ø Ø [v B = (,,2) º c 3 Ñ Ö ½º¾¾º ÈÓÐÝÒÓÑ ÓÙ Ó Q = {x 2 +,2x 2 +x,x 2 x} Ó Ó Ø ØØ Ò Ñ Ö ½º½ P 2 Ò ÒÒ º ÈÓÐÝÒÓÑ Ò p(x) = a+bx+cx 2 ÓÓÖ Ò Ø Ø Ø ÒÒ ØÙÐ ÑÝ Ö Ø ØÙ [p Q = ( 3a+b+c, a+b+c, a 3b+c ) º ÈÓÐÝÒÓÑ Ú ÖÙÙ Ø ÓÚ Ø ØÖ Ø ÙÒ Ø Ó Ò ÔÔÖÓ ÑÓ ÒÒ ÒÙÑ Ö Ò ÐÝݹ º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò ÒØ ÚÐØØÑØØ ÓÚ ÐÐÙ Ò ÒÒ ÐØ ÓÐ ÝÚ Ú Ò Ø ØÚ Ò¹ Ò ØØ Ù Ò ÓÖÑÙÐÓ Ó Ò ÑÙÙ ÔÓÐÝÒÓÑ ÒÒ Ð ÒÒ Ò Ý Ò ÖØ Ø Ñ ¹ º à ÒÒ ÒÚ ØÓº Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ø Ð ÒÒ ØØ Ó ØÙÒÒ Ø Ò Ú ØÓÖ Ò ØÝ ÒÒ B = {b,b 2,...,b n } ÐÙØ Ò Ú Ø ØÓ Ò ÒØ Ò U = {u,u 2,...,u n }. Ä Ø Ò Ñ Ø Ò ÙÙ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø Ò Ð Ù ÙØØÙ Ú Ò Ó Ò ÚÙÐÐ º Å Ö ØÒ Ú ØÓÖ Ò v ÓÓÖ Ò ØØ Ò ÒÒÓ [v B = (β,...,β n ) [v U = (η,...,η n ). ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ú Ò Ø ÒØ Ú ØÓÖ Ø b j ÓÒ Ð Ù ÙØØÙ ÙÙ Ò ÒØ Ú ØÓÖ Ò u i ÚÙÐÐ n ½º µ b j = s ij u i, j =,...,n. ÌÐÐ Ò Ò v = n η i u i = i= i= n β j b j = j= n n β j s ij u i = j= i= n ( n s ij β j )u i. ÃÓ Ú ØÓÖ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ø ÒÒ U µ ÓÚ Ø Ý ØØ Ø ÓÒ ÓÐØ Ú n ½º µ η i = s ij β j, i =,...,n. Å Ö ØÒ S = Ö Ó ØØ j= s... s n º º. ÌÐÐ Ò ÓÓÖ Ò ØØ Ò ÚÐ Ò Ò Ý ØÐ ½º µ ÚÓ Ò s n... s nn ½º µ [v U = S[v B. i= j=

16 ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ½½ Ë ÙÙ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø Ò Ñ ØÖ ÐÐ S ÖØÓÑ ÐÐ Ú Ò Ó Ø ÙÒ S Ò Ö Ò ÓÒ Ú Ò Ó Ò ÒØ Ú ØÓÖ Ò ÓÓÖ Ò ØØ Ú ØÓÖ Ø ÙÙ ÒÒ º Å ØÖ S ÙØ ÙØ Ò ÒÒ ÒÚ ØÓÑ ØÖ ÚÐ ØØ Ý ØÐ Ò ½º µ ÑÙ Ø ÓÓÖ Ò ØØ ÑÙÙÒÒÓ Òº à ÒÒ ÒÚ ØÓÑ ØÖ ÓÒ Ò ÒÚ ÖØÓ ØÙÚ Ö Ó ØÙ Ø ØÚµ Ú Ò Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø Ò ÙÙ Ø Ú ÐÐ Ñ Ö ½º¾ º Ñ Ö ½º¾½ ººº À Ö Ó ØÙ Ø ØÚ ½º Ç Ó Ø ØØ Ñ(R k n ) = knº [v B = S [v U. ¾º ÆÝØ ØØ dim C (C n ) = n dim R (C n ) = 2nº º Ç Ó Ø ØØ C[a,b ÓÒ Ö Ø ÒÙÐÓØØ Ò Òº º Å ÒÒ ÒÚ ØÓÑ ØÖ ÓÒ Ñ Ö ½º½ ÖÖÝØØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÒÒ ¹ Ø ÒØ Ò Q

17 ½¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ ¾º Ä Ò Ö ÙÚ Ù Ø ÅÓÒ Ø ØÖ Ø ÓÔ Ö Ø ÓØ ÙØ Ò Ö ÚÓ ÒØ ÒØ ÖÓ ÒØ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ú ÖÙÙ Ò Ö¹ ØÓ Ô Ð Ù ÓÚ Ø ÙÚ Ù ÓØ ÐÝØØÚØ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò ØÖÙ ØÙÙÖ Òº Ì ÐÙÚÙ ¹ Ð ÑÑ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò º Ð Ò Ö ÙÚ Ù Ø Ò ÓÑ Ò ÙÙ º ÅÝ Ó Ó ÑÓÒ Ø Ò ÐÓÔÔÙÓ Ô ÒÓØØÙÙ Ñ Ð Ó Ø Ò Ò Ø Ö Ø Ð Ñ Òº ÇÐ ÓÓØ U V K ¹ ÖØÓ Ñ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ º ÃÙÚ Ù T : U V ÓÒ Ð Ò Ö ÙÚ Ù Ó ÐÐ x,y U α,β K ÔØ ¾º½µ T(αx+βy) = αt(x)+βt(y). ÌÐÐ Ò ÝØ ØÒ ÑÝ Ñ Ö ÒØ T x = T(x) Ð ÙÐÙØ Ø ØÒ ÔÓ Ñ Ð ÓÐ ÒÒÙ Ò Ú Ö º Ñ Ö ¾º½º ÇÐ ÓÓÒ T : R 3 R 2 ÑÖ Ø ÐØÝ Ú ÐÐ T x [ x 2 x = Ð T ÔÖÓ Ó x 2 Ú ÖÙÙ Ò Ú ØÓÖ Ò x,x 2 ¹Ø ÓÓÒº T ÓÒ Ð Ò Ö ÙÚ Ù ÐÐ T(αx+βy) = T αx +βy [ [ αx 2 +βy 2 αx +βy = x = α +β αx αx 3 +βy 2 +βy 2 x 2 3 x 3 [ y = αtx+βty. y 2 ÃÙÚ Ù S : C[a,b R, S(f) = b f(x)dx Ð ÙÒ Ø ÓÒ ÒØ ÖÓ ÒØ ÓÒ ÑÝ Ð Ò Ö Ù¹ a Ú Ù ÐÐ S(αf+βg) = b a (αf(x)+βg(x))dx = α b a f(x)dx+β b a g(x)dx = αs(f)+βs(g). Ö ÚÓ ÒØ D(f) = f ÓÒ Ð Ò Ö ÙÚ Ù C [a,b C[a,b, Ñ C [a,b ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÚÐ ÐÐ [a,b Ø ÙÚ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙØØ º Ë ÑÓ Ò D ÑÖ ØØ Ð Ð Ò Ö ÙÚ Ù Ò P P P n P n. Å ØÖ ÐÐ A R m n ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÚ Ù L A : R n R m Ø L A : C n C m µ Ú ÐÐ L A (x) = Ax, x R n. ÌÓ Ò ÒÓ Ò ÙÚ Ù L A ÓÒ Ñ ØÖ ÐÐ A ÖØÓÑ Ò Òº Ë ÐÚ Ø ØÑ ÓÒ Ð Ò Ö ÙÚ Ù º Â Ø Ó ØÙÐÐ Ò ØÓ Ø Ñ Ò ØØ ÑÝ ÒØ Ò Ò ÔØ Ð Ó Ò Ò Ö ÐÐ Ñ Ò Ó ¹ Ø Ò Ú ÖÙÙ Ò ÚÐ Ò Ò Ð Ò Ö ÙÚ Ù ÚÓ Ò ØØ Ñ ØÖ Ò ÚÙÐÐ ÙÒ Ú ÖÙÙ Ò U V ÓÒ ÒÒ Ø ØØÝ ÒÒ Øº ÃÝØØ Ò Ú ¾º½µ Ù Ò ÖØ Ò Ò ØØ Ð Ò Ö ÙÚ Ù ÐÐ ÔØ ( k T j= α j u j ) = k α j Tu j. j=

18 ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ½ Ä Ù ¾º½º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÓÙ Ó {u,...,u n } Ú Ö ØØ Ú ÖÙÙ Ò U. ÇÐ ÓÓØ T T Ð Ò Ö ÙÚ Ù Ø U V Ø Ò ØØ Tu i = Tu i ÐÐ i =,...,n. ÌÐÐ Ò T = T. ÌÓ º ÃÓ {u,...,u n } Ú Ö ØØ U Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò Ú ØÓÖ v U ÚÓ Ò ØØ Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ v = α u + +α n u n. ÌØ Ò T(v) = T(α u + +α n u n ) = α Tu + +α n Tu n = α Tu + +α n Tu n = T(α u + +α n u n ) = T(v). u 2 u x = 2 u u 2 Tu 2 Tx = 2 T u T u 2 Tu Ä Ù ÒÓÓ ØØ Ó ØÙÒÒ Ø Ò Ñ Ø Ò T ÙÚ ÓÒ Ò U Ò Ú Ö ØØÚÒ ÓÙ ÓÒ Ú ØÓÖ Ø Ò Ò T ÓÒ Ý ØØ Ø ÑÖØØݺ Ê ØØ Ø Ø ÓÒ Ò ÒÒ Ò Ú ØÓÖ Ò ÙÚ Øº Ñ Ö ¾º¾º ÇÐ ÓÓÒ T : R 2 R 2 Ð Ò Ö ÙÚ Ù Ø Ò ØØ T [ = [ 3 2 T [ = [ 3 0. À ÐÙØ Ò Ð T [ 2. Ê ØØ Ð Ù Ù Ú ØÓÖ [ 2 Ú ØÓÖ Ò [ [ ÚÙÐÐ ÝØØ Ð Ò Ö ÙÚ Ù Ò ÓÑ Ò ÙÙ º ØÐ ÐÐ ÓÒ Ö Ø Ù c = 3 2 c 2 = 2. Ë Ø Ò [ 2 = c [ +c 2 [ T [ 2 = 3 2 T [ + 2 T [ = 3 2 [ [ 3 0 = [ 6 3. ¾º½º Ä Ò Ö ÙÚ Ù Ò Ñ ØÖ ØÝ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÐÙ Ð Ò Ö ÙÚ Ù Ø T : R n R m. ÇÐ ÓÓÒ E n = {e,...,e n } R n Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò ÒØ A R m n Ñ ØÖ ÓÒ Ö Ò ÓÚ Ø Ú ØÓÖ Ø Te j, j =,...,n. ÌÐÐ Ò Ñ Ð Ú ÐØ ÐÐ Ú ØÓÖ ÐÐ x R n Ò x x Ax = [Te Te 2... Te n 2 º x n = x Te +x 2 Te 2 + +x n Te n = T (x e +x 2 e 2 + +x n e n ) = T(x). Ë Ø Ò T = L A Ð T ÓÒ Ð Ò Ö ÙÚ Ù Ñ ØÖ ÐÐ A ÖØÓÑ Ò Ò º

19 ½ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ U V Ö ÐÐ ÙÐÓØØ Ø Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙØØ T Ð Ò Ö ÙÚ Ù U V. ÇÐ ÓÓÒ B U = {u,...,u n } U Ò B V = {v,...,v m } V Ò ÒØ º Ä Ù ÙØ Ò Ó Ò ÒØ Ú ØÓÖ Ò u j ÙÚ Tu j V Ò ÒØ Ú ØÓÖ Ò ÚÙÐÐ Tu j = m i= a ijv i, j =,...,n. ÇÐ ÓÓÒ Ú ØÓÖ Ò u U ÓÓÖ Ò Ø Ø [u BU = (c,...,c n ). ÌÐÐ Ò ( n ) n n m m ( n T(u) = T c j u j = c j Tu j = c j a ij v i = a ij c j )v i. j= j= Ë Ô T(u) Ò ÓÓÖ Ò Ø Ø ÒÒ Ò B V Ù Ø Ò ÓÚ Ø ÐÙÚÙØ n j= a ijc j, i =,...,m Ð j= i= [T(u) BV = A[u BU. ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ú ØÓÖ Ò ÙÚ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ø Ò Ú ØÓÖ Ò Ø Ò ÓÓÖ Ò Ø Ø Ö¹ ØÓÑ ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ a... a n A = º º. a m... a mn ÌÑÒ Ñ ØÖ Ò Ö Ø ÑÙÓ Ó ØÙÚ Ø Ð Ø Ú ÖÙÙ Ò ÒØ Ú ØÓÖ Ò ÙÚ Ò ÓÓÖ ¹ Ò ØØ Ú ØÓÖ Ø º ÌØ Ñ ØÖ ÙØ ÙØ Ò Ð Ò Ö ÙÚ Ù Ò T Ñ ØÖ ÒØÓ Ò B U B V Ù Ø Òº ÇÒ ÑÙ Ø ØØ Ú ØØ Ð Ò Ö ÙÚ Ù Ò Ñ ØÖ ØÝ Ö ÔÔÙÙ Ú Ð ØÙ Ø ÒÒÓ Ø º ÃÙÒ ÐÙ ÑÑ ÐÑ Ø ÔÐ ØØ Ø Ñ Ò ÒØÓ Ò Ù Ø Ò Ñ ØÖ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ñ Ö ØÒ A = [T BU,B V. ÃÓ Ò ¾º½ ÐÙ ÒØÝÒ Ò Ð Ò Ö ÙÚ Ù Ò T : R n R m Ñ ØÖ ÓÒ Ø Ö ÑÑ ÐÐ Ñ Ö ÒÒÐÐ A = [T En,E m. Ñ Ö ¾º º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ð Ò Ö ÙÚ Ù Ø T : R 2 R 3 [ x 2 x T = 5x x +3x 2 Ð [T E2,E 3 = x +6x ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ R 2 Ú Ð ØØÙ ÒØ B U = {u,u 2 } R 3 ÒØ B V = {v,v 2,v 3 }, Ñ [ [ 3 5 u =, u 2 =, v 2 = 0, v 2 = 2, v 3 = Ä Ø Ò T Ò Ñ ØÖ Ò Ò ÒØÓ Ò Ù Ø Òº Ò Ò Ð Ø Ò ÒØ Ú ØÓÖ Ò ÙÚ Ø T(u ) = 2, T(u 2 ) = 2, 5 3 ÓØ Ð Ù ÙØ Ò ÒÒ B V. Ä Ò Ö Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ Ö Ø Ñ Ò Ð Ò Ò i= T(u ) = v 2v 3, T(u 2 ) = 3v +v 2 v 3. j=

20 ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ½ Æ ÒØÝÚØ ÓÓÖ Ò ØØ Ú ØÓÖ Ø [T(u ) BV [T(u 2 ) BV, Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ò A Ö ÓÐÐÓ Ò Ò A = [T BU,B V = Ì ÙÙ Ø ÒÒ Ø ÚØ ÙÙÖ ÒØ Ò Ø Ð Ò Ó T Ø ÓÐ Ô Ò Ú Ò ØÙÓÐÐ Ò Ò ÓÖÑ ¹ Ö Ó ØÙ º Ë ÙÖ Ú Ñ Ö ÓÒ ÒÒÓ Ø Ú ÑÔ Ñ Ö ¾º º ÇÐ ÓÓÒ T : P 3 P 3 Ð Ò Ö ÙÚ Ù T(p)(x) = p(2 x). ÇÐ ÓÓÒ P 3 ÒØ B = {p,p 2,p 3,p 4 } = {,x,x 2,x 3 } ÒÝØ Ú Ò Ý ÒØ Ó V = U µº Ì ÒØ Ú ØÓÖ Ø ÓÚ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ p i (x). Ë Ò T(p )(x) = = p (x) T(p 2 )(x) = 2 x = (2p p 2 )(x) T(p 3 )(x) = (2 x) 2 = 4 4x+x 2 = (4p 4p 2 +p 3 )(x) T(p 4 )(x) = (2 x) 3 = 8 2x+6x 2 x 3 = (8p 2p 2 +6p 3 p 4 )(x) P 3 Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÓÒ ÖØÓ Ñ Ø ÓÚ Ø [p B = (c,c2,c3,c4) ÙÚ Ò Ø Ò T(c p +c 2 p 2 +c 3 p 3 +c 4 p 4 ) = c p +c 2 (2p p 2 )+c 3 (4p 4p 2 +p 3 )+c 4 (8p 2p 2 +6p 3 p 4 ) = (c +2c 2 +4c 3 +8c 4 )p +( c 2 4c 3 2c 4 )p 2 +(c 3 +6c 4 )p 3 c 4 p 4. Ë Ô T Ò Ñ ØÖ Ò [T B = ÃÙÒ ÙÚ Ù ÓÒ Ú ÖÙÙ ÐØ Ø ÐÐ Ò Ñ Ö ØÒ [T B,B Ò Ø ÐÝ Ý ÑÑ Ò [T B. Ñ Ö ¾º º Ä Ø Ò Ú Ð ÐÐ Ò Ñ Ö Ò Ð Ò Ö ÙÚ Ù Ò Ñ ØÖ ÒÒ Ò B = { p, p 2, p 3, p 4 } = {, x,( x) 2,( x) 3 } Ù Ø Òº Ì ÒÒ Ò T( p )(x) = = p (x) T( p 2 )(x) = (2 x) = x = p 2 (x) T( p 3 )(x) = ( (2 x)) 2 = (x ) 2 = p 3 (x) T( p 4 )(x) = ( (2 x)) 3 = (x ) 3 = p 4 (x). ÀÙÓÑ Ø Ò ØØ T Ò Ñ ØÖ ØÑÒ ÒÒ Ò Ù Ø Ò ÓÒ ÐÚ Ø Ñ ØÖ [T B = [. ÌÐÐ ÓÒ Ð Ó Ú ÒØÓ Ò ÑÑ Ð ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÖ Ò Ý Ø Ý º Ì ÙØ Ò Ù Ò ÑÝ ÑÑ Ò Ò Ñ ØÖ ÒØÝÚØ ÒÓÐÐ Ø Ø ØÒ Ö Ó ØØ Ñ ØØ º

21 ½ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ ÀÙÓÑ ÙØÙ ¾º½º Ã Ú Ò ½º µ ÒÒ ÒÚ ØÓÑ ØÖ ÚÓ Ò ØÙÐ Ø ÒØ Ø ØØ ÙÚ Ù ¹ Ò I : V V Ñ ØÖ ÙÒ V ÓÒ ÒØ B V = V, ÑÙØØ ÒØ Ò ÓÒ U. ÄÝ Ý Ø ÒÓØØÙÒ S = [I B,U. Ø ØØÝ ÙÚ Ù º ÇÐ ÓÓØ T : U V S : V W Ð Ò Ö ÙÚ Ù º ÌÐÐ Ò Ý Ø ØØÝ ÙÚ Ù ST : U W ÑÖ Ø ÐÐÒ (ST)(u) = S(T(u)). Ë ÓÒ ÑÝ Ð Ò Ö ÙÚ Ù º ÇÐ ÓÓÒ Ú ÖÙÙ U, V W ÒÒ Ø B U, B V B W ÓÐ ÓÓØ A = [T BU,B V B = [S BV,B W ÙÚ Ù Ø Ò T S Ñ ØÖ Ø Ò Ò ÒØÓ Ò Ù Ø Òº ÌÑ Ø Ö Ó ØØ [T(u) BV = A[u BU [S(v) BW = B[v BV, Ñ [u BU ÓÒ u Ò ÓÓÖ Ò ØØ Ú ØÓÖ ÒÒ B U Ò º ÃÙÒ u U, Ò Ò [(ST)(u) BW = [S(T(u)) BW = B[T(u) BV = B(A[u BU ) = (BA)[u BU. Ë Ô Ð Ò Ö ÙÚ Ù Ò ST Ñ ØÖ ÒØÓ Ò B U B W Ù Ø Òµ ÓÒ BA. Æ Ò Ø Ò Ý Ø ØÙÒ ÙÚ Ù Ò Ñ ØÖ Ò ÖØÓÑ ÐÐ ÙÚ Ù Ø Ò Ñ ØÖ Ø ÒÒ Ð ÔÙÐ Ð ÐÐ [ST BU,B W = [S BV,B W [T BU,B V. à ÒÒ ÒÚ ØÓº ÇÐ ÓÓÒ Ú ÖÙÙ U V ÒÒ Ø B U B V ÓÐ ÓÓÒ A = [T BU,B V Ð Ò Ö Ù¹ Ú Ù Ò T : U V Ñ ØÖ Ò Ò Ù Ø Òº ÇÐ ÓÓÒ U V ÑÝ ÙÙ Ø ÒÒ Ø B U B V ÓÐ ÓÓØ S R ÒÒ ÒÚ ØÓÑ ØÖ Ø Ð ÐÐ u U v V ÔØ ¾º¾µ [u B U = S[u BU [v B V = R[v BV. ÌÐÐ Ò [u BU = S [u BU. Ë ØØ A ÓÒ Ð Ò Ö ÙÚ Ù Ò T Ñ ØÖ ÒØÓ Ò B U B V Ù Ø Ò Ø Ö Ó ØØ [T(u) BV = A[u BU ÐÐ u U. Ø ØÒ ØÑ ÚÓ Ò ¾º¾µ ÓÐÐÓ Ò Ò [T(u) B V = R[T(u) BV = R(A[u BU ) = R(A(S [u B U )) = (RAS )[u B U Ë Ô T Ò Ñ ØÖ ÙÙ ÒÒÓ Ò Â = [T BU, B V = RAS. Ö ØÝ Ø Ó V = U B V = B U, BV = B U, Ò Ò R = S T Ò Ñ ØÖ ÙÙ ÒÒ Ò ¾º µ  = SAS. ÌÐÐ Ø ÙØ ÙØ Ò Ñ ØÖ Ò A Ñ Ð Ö ÑÙÙÒÒÓ º Ì Ø Ô Ð ÓÒ Ð ØÙÓÒÒ ÑÔ Ò º I(x) = x ÐÐ x

22 ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ½ Ñ Ö ¾º º Ñ Ö ¾º Ð Ò Ö ÙÚ Ù Ò T : P 3 P 3, T(p)(x) = p(2 x) Ñ ØÖ ÒÒ Ò B = {p,p 2,p 3,p 4 } = {,x,x 2,x 3 } Ù Ø Ò Ø Ò A = [T B =. [ ÇÐ ÓÓÒ P 3 Ò ÙÙ ÒØ B = { p, p 2, p 3, p 4 } = {, x,( x) 2,( x) 3 }. ÈØ p j = 4 i= r ijp i, Ñ [ R = Æ ÒÔ Ú Ò Ø ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ò ÙÙ Ø p j = 4 i= s ij p i, º ½º µµ ÓØ Ò Ý ØÐ Ò ½º µ Ò ÑÙ ÒÒ ÒÚ ØÓÑ ØÖ Ò S = R. Æ Ò T Ò Ñ ØÖ ÙÙ ÒÒ ØÙÐ Â = [T B = SAS = [ [ [ [ = ÌÑ Ò ÓÒ Ñ Ù Ò Ñ Ö ¾º ØÙ Ñ ØÖ ÙØ Ò Ô Ø Òº ¾º¾º ÃÙÚ ¹ Ú ÖÙÙ ÒÓÐÐ ¹ Ú ÖÙÙ º ÂÓ Ò Ð Ò Ö ÙÚ Ù Ò Ð ØØÝÝ Ð Ú ÖÙÙØØ ÙÚ ¹ Ú ÖÙÙ ÒÓÐÐ ¹ Ú ÖÙÙ Ó Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ý Ø Ý ÖÝ ÝØÒ ÒÝØ Ø Ö Ø Ð Ñ Òº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º ÇÐ ÓÓÒ T Ð Ò Ö ÙÚ Ù U V. T Ò ÒÓÐÐ ¹ Ú ÖÙÙ Ð Ý Òµ ÓÒ N(T) = {u U T u = 0} U. T Ò ÙÚ ¹ Ú ÖÙÙ ÓÒ R(T) = {T u u U} V. ÃÙÚ ¹ Ú ÖÙÙ ÐÝ º ÙÚ µ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓ ÓÙ Ó ÝÐ Ò Òº Ë Ø Ñ Ö ØÒ ÑÝ TU ÐÐ º Ä Ò Ö ÙÚ Ù Ò Ø Ô Ù ÖÚÓ ÓÙ Ó Ó Ó ØØ ÙØÙÙ Ð Ú ÖÙ¹ Ù º Ä Ù ¾º¾º ÇÐ ÓÓÒ T : U V Ð Ò Ö ÙÚ Ù º ÌÐÐ Ò µ N(T) ÓÒ U Ò Ð Ú ÖÙÙ µ R(T) ÓÒ V Ò Ð Ú ÖÙÙ º ÌÓ º µ ÂÓ u,u 2 N(T) α,α 2 K, Ò Ò ÓØ Ò α u +α 2 u 2 N(T). T(α u +α 2 u 2 ) = α Tu +α 2 Tu 2 = 0, µ ÂÓ v,v 2 R(T) β,β 2 K, Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ u,u 2 U Ø Ò ØØ v = Tu v 2 = Tu 2. ÌÐÐ Ò ÓØ Ò β v +β 2 v 2 R(T). T(β u +β 2 u 2 ) = β Tu +β 2 Tu 2 = β v +β 2 v 2,.

23 ½ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Ä Ò Ö ÙÚ Ù Ò Ý Ò ÚÓ Ò Ð Ö Ø Ñ ÐÐ Ý ØÐ Tu = 0. ÂÓ N(T) = {0}, Ò Ò T ÓÒ Ò Ø Ó ÐÐ Tu = Tv = T(u v) = 0 = u v N(T) = u = v. ÂÓ R(T) = V, Ò Ò T ÓÒ ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Òµ ÙÖ Ø Óº ÂÓ ÙÚ Ù ÓÒ Ò Ø Ó ØØ ÙÖ Ø Ó Ò Ò ÓÒ Ø Ó ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÒØ ÙÚ Ù º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ ØÖ Ò A = [a... a n R m n Ð ØØÝÚ Ð Ò Ö ÙÚ Ù Ø L A : R n R m L A (x) = Ax. ÌÑÒ ÙÚ ¹ Ú ÖÙÙ ÓÒ Ö Ò Ú Ö Ø ÐÑ Ä Ù ¾º º R(L A ) = sp(a,...,a n ). ÌÓ º ÌÑ ÓÒ ÐÚ ÙÒ Ö Ó Ø Ø Ò Ù x Ax = [a... a n º = x a + +x n a n. x n Ñ Ö ¾º º ÈÖÓ Ø Ó ÙÚ Ù Ò T : R 3 R 2, T(x) = (x,x 2 ) ÒÓÐÐ ¹ Ú ÖÙÙ ÓÒ ÐÚ Ø N(T) = {x = (0,0,x 3 ) x 3 R} Ð ÒØ Ú ØÓÖ Ò e 3 ÙÙÒØ Ø Ú ØÓÖ Øº T Ò ÙÚ R(T) Ø ÓÒ Ó Ó R 2. ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾º ÇÐ ÓÓÒ T : U V Ð Ò Ö ÙÚ Ù º ÅÖ Ø ÐÐÒ T Ò ÒÙÐÐ Ø ØØ ν(t) = dim(n(t)). T Ò Ö Ò r(t) = dim(r(t)). ÆÑ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ö ÐÐ Ø Ö ØØ Ñ º Å ØÖ Ð Ù Ñ ØÖ Ò Ö Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ A Ò Ö Ú ÖÙÙ Ò Ñ Ò Ó º ÐÐ ÓÐ Ú Ò Ð Ù Ò ÑÙ Ò ÓÒ ÑÝ A Ò Ð ØØÝÚÒ Ð Ò Ö ÙÚ Ù Ò L A Ö Ò º à ØØ ÐÐ Ñ Ð Ó Ø Ú Ú ÐØ Ø Ò ÓÒ ØÙÐÐÙØ Ø Ú ÔÙ Ù Ñ ØÖ Ò A ÒÓÐÐ ¹ Ú ÖÙÙ¹ Ø ÝØ Ñ Øµ ÙÚ ¹ Ú ÖÙÙ Ø Ö Ò Ø ÒÙÐÐ Ø Ø Ø ÑÝ ÑÑ Ò ÓÑ Ò Ö¹ ÚÓ Ø ¹Ú ØÓÖ Ø µ ÙÒ Ø Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ú Ø Ú L A Ò ÙØØÙ º ÃÝØÒØ ÓÒ Ó Ó ØØ ÒÙØ ØØ Ø Ø Ô Ø ÑÑÒ ÔÐÐ ÓÐ ÙÙÖØ Ú Ö ÙÒ Ò ÐÙ ÓÐÐ Ò Ø Ø Ö Ó º Î ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò Ð Ò Ö ÙÚ Ù Ø Ò Ø ÓÖ Ò Ò Ò ØÙÐÓ ÓÒ ÙÖ Ú Ä Ù ¾º Ä Ò Ö Ð Ö Ò Ô ÖÙ Ð Ù µº ÇÐ ÓÓÒ U Ö ÐÐ ÙÐÓØØ Ò Ò T : U V Ð Ò Ö ÙÚ Ù º ÌÐÐ Ò r(t)+ν(t) = dim(u). ÌÓ º Å Ö ØÒ n = dim(u), m = ν(t). ÇÐ ÓÓÒ {u,...,u m } T Ò ÝØ Ñ Ò ÒØ º Ä Ù Ò ½º ÑÙ Ò ÚÓ Ò ØÝ ÒØ Ó Ó U Ò ÒÒ {u,...,u m,u m+,...,u n }. Î Ø ØÒ ØØ {T(u m+ ),...,T(u n )} ÓÒ R(T) Ò ÒØ º ÌÐÐ Ò r(t) ÓÐ n m Ð Ù ÓÐ ØÓ Ø ØØÙº

24 ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ½ à ÒÒ ÐÐ Ô Ø ÒÝØØ Ú Ö ØÝ Ð Ò Ö Ò Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ º Î Ö ØÝ ÇÐ ÓÓÒ v R(T) Ñ Ð Ú ÐØ Ò Òº ÌÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ u U Ø Ò ØØ v = T u. Ø ØÒ U Ò ÒÒ u = α u + +α n u n. ÌÐÐ Ò v = T(α u + +α n u n ) = α Tu + +α m Tu m +α m+ Tu m+ + +α n Tu n = α m+ Tu m+ + +α n Tu n. Ë Ô R(T) = sp(t(u m+ ),...,T(u n )). Ä Ò Ö Ò Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ä Ò Ö ÙÙ ÐÐ Ó {u,...,u m } ÓÒ N(T) Ò ÒØ Ò α m+ Tu m+ + +α n Tu n = 0 T(α m+ u m+ + +α n u n ) = 0 α m+ u m+ + +α n u n N(T) α,...,α m º º α u + +α m u m = α m+ u m+ + +α n u n α = = α m = α m+ = = α n = 0, ÐÐ {u,...,u n } ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒº Ë Ô {T(u m+ ),...,T(u n )} ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒº ÐÐ Ø Ð Ù ØØ ÙØ ÙØ Ò ÑÝ Ñ Ò ÓÐ Ù º Ñ Ö ¾º º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ö ÚÓ ÒØ D(p) = p Ð Ò Ö ÙÚ Ù Ò P n P n. Ë ÐÚ Ø N(D) = sp() Ú Óص R(D) = P n. Æ Ò Ñ Ò Ó Ò ÙÑÑ ÓÒ n+ Ò Ò Ù Ò Ô Ø Òº Ñ Ö ¾º º ÇÐ ÓÓÒ A = Ä Ø Ò L A Ò A Òµ Ý Ò ÙÚ ¹ 8 2 Ú ÖÙÙ Ò ÐÐ ÒÒ Øº Ù Ò Ð Ñ ÒÓ ÒØ ÙÐ Ð Ø , 7 Ó Ø Ò Ò Ax = 0 x = α Ä Ù Ò ¾º Ô ÖÙ Ø ÐÐ [ 2 R(L A ) = sp([ Ð N(L A ) = sp([, [ 32 8, 5 [ ) 0. 2 ). Ë ν(l A ) =. ÆÑ Ú ØÓÖ Ø ÚØ Ù Ø Ò Ò ÑÙÓ Ó Ø ÒØ ÐÐ dim(r(l A )) = r(l A ) = 3 = 2, ÓØ Ò Ò ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ Øº à ÒØ Ø Ø [ Ò ÙÒ ÔÓ Ñ Ø Ò Ò Ø Ñ Ø [ Ø Ò Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒØ Ñº, 0. 2 ÄÓÔÙ Ú Ð Ý Ò ÖØ Ò Ò ÑÙØØ ØÖ ØÙÐÓ

25 ¾¼ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Ä Ù ¾º º ÇÐ ÓÓÒ T : U V Ð Ò Ö ÙÚ Ù º ÌÐÐ Ò µ ÂÓ Ú ØÓÖ Ø u,...,u n ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ Ø Ò Ò Tu,...,Tu n ÓÚ Ø ÑÝ º µ ÂÓ u,...,u n ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø N(T) = {0} Ð T ÓÒ Ò¹ Ø Óµ Ò Ò Tu,...,Tu n ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ÌÓ º µ ÂÓ c u + +c n u n = 0 Ó Ò ÖÖÓ Ò ÓÒ 0, Ò Ò ÑÓ Ò c Tu + +c n Tu n = T(c u + +c n u n ) = 0. µ ÇÐ ÓÓØ u,...,u n Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø N(T) = {0}. ÂÓ c Tu + + c n Tu n = 0, Ò Ò c u + +c n u n N(T), ÓØ Ò c u + +c n u n = 0 Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ø c = = c n = 0. Ì ØÚ ¾º½º ÇÐ ÓÓÒ dim(u) = dim(v) < T : U V Ð Ò Ö Ò Ò Ò Ø Ó N(T) = {0} µº ÆÝØ ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ Ð Ò Ö Ò Ò S : V U Ø Ò ØØ S(T(u)) = u u U T(S(v)) = v v V. ÌÑ ÓÒ T Ò ÒØ ÙÚ Ù Ñ Ö ØÒ T = S.

26 ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ¾½ º ÆÓÖÑ ØÙÐÓ Î ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ö ØØ ÓÐ ØØ ØØ ÓÙ ÓÒ Ð Ó ÐÐ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ¹ ÓÓÑ Ø ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ý Ø ÒÐ Ù Ð Ö ÐÐ ÖØÓÑ Ò Òº ÃÙ Ø Ò Ò ÑÓÒ Ú ØÓÖ ¹ Ú ÖÙÙ ÚÓ Ò ØÙÒÒ ØÙ Ø Ø ÑÙ Ø Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ º Ѻ R 2 Ø R 3 ÚÓ Ò Ð Ú ØÓÖ Ò Ô ØÙÙ ÚÐ ÙÐÑ Ô Ø ØÙÐÓ º Â Ø ÙÚ ÙÒ Ø Ó Ø ÚÓ Ò ÖØÓ ÒÒ ÒØ ÖÓ Ò Ò Ñ Ñ ÚÓ Ø Ò º ÆÓÖÑ Ú ÖÙÙ ÓÒ ÐÐ Ò Ò Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ó Ú ØÓÖ ÐÐ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ô ØÙÙ ÙÒ ¹ Ø Ó ÓØ ÙØ ÙØ Ò ÒÓÖÑ º Ë ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ ÓÒ ÔÙÓÐ Ø Ò ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ Ó Ð ÙÐÑ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø Ö ØÝ Ø Ó Ø ÙÓÖÙÙ Ð ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÙÙ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØݺ Ë ÙÖ Ú Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ð ÑÑ Ò Ñ Ø Ò ØÐÐ Ô ØÙÙ ¹ ÙÐÑ ÙÒ Ø Ó ¹ Ø ÚÓ Ò ÑÖ Ø Ðк ÅÖ Ø ÐÑ º½º ÇÐ ÓÓÒ V K ¹ ÖØÓ Ñ Ò Ò Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ º ÃÙÚ Ù : V R ÓÒ ÒÓÖÑ Ó ØÓØ ÙØØ ½µ v 0 v V. ¾µ v = 0 = v = 0. µ u+v u + v u,v V. µ αv = α v α K, v V. Î ØÓÖ Ú ÖÙÙØØ Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ó Ò ÒÓÖÑ ÙØ ÙØ Ò ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ º Ñ Ö º½º Î ØÓÖ Ú ÖÙÙ R n Ø Ú ÐÐ Ò ÒÓÖÑ ÓÒ Ò º Ù Ð Ò Ò ÒÓÖÑ ( n x 2 = x i 2) 2. i= Ë ÐÚ Ø ØÑ ØÓØ ÙØØ ÓØ ½µ ¾µ µº ÇÑ Ò ÙÙ Ò µ Ð ÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ Ò ÒÝØÑÑ Ñ Ò ÑÝ ÑÑ Òº ÅÙ Ø Ù Ò ÝØ ØØÝ ÒÓÖÑ R n ÓÚ Ø x = n i= x i x = max i n x i. Æ Ø ÓÒ ÐÔÔÓ ÒÝØØ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ½µ¹ µº ÐÐ ØÓ Ò Ñ Ò Ø ÝØ ØÒ R n ÒÓÖÑ = 2. Ú ÖÙÙ C n ÝØ ØÒ ÑÝ Ú Ò Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ ÒÓÖÑ º Ñ Ö º¾º Ú ÖÙÙØ Ò l Ö Ó Ø ØÙØ Ö Ð ÐÙ Ù ÓÒÓص ÒÓÖÑ ÓÔ ÝÚ Ò x = sup x i. i< ÆÓÖÑ ÙØ ÙØ Ò Ø Ù Ò ÒÓÖÑ º Å Ò ÀÙÓÑ ØØ Ø Ø ÖÚ Ø Ò sup, ÐÐ ÓÒÓÒ Ð Ó Ò Ø ÖÚÓ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÓÐ Ñ Ñ º

27 ¾¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Ñ Ö º º Ú ÖÙÙ C[a,b ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ñ Ö f = max f(x), x [a,b f = b a f(x) dx f 2 = ( ) b a f(x) 2 2 dx Æ Ø ÐÐ Ò Ò ÑÑ Ø ÓÒ ÐÔÔÓ Ó Ó ØØ ØÓØ ÙØØ Ú Ò ÒÓÖÑ Ò Óغ Æ Ò ÓÒ ÑÝ f 2 Ò Ó ÐÐ ÑÙÙØ Ô Ø ÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ Ó ÓÒ Ô Ð ÑÑ Ô Òº ÆÓÖÑ Ú ÖÙÙ ÚÓ Ò Ñ Ø Ø Ú ØÓÖ Ò Ô ØÙÙ º ÆÓÖÑ Ò ÚÙÐÐ ÑÝ ÑÖ Ø Ð¹ ÐÒ Ð Ó Ò ÚÐ Ò Ò Ø ÝÝ d(u,v) = u v. ÃÙÒ { ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÚÓ Ò ÔÙ Ù Ú ØÓÖ ÓÒÓ Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ø ÒÓØ Ò ØØ Ú ØÓÖ ÓÒÓ x k} V ÙÔÔ Ò Ó Ø k= Ú ØÓÖ x V, { Ó Ö Ð ÐÙ Ù ÓÒÓ x k x } Ñ Ò ÒÓÐÐ Ò Ð k= lim k xk x = 0. ÐÐ Ò ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ Ò ÚÐ Ø Ò ÙÚ Ù Ø Ò Ø ÙÚÙÙ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ú Ò ÙØ Ò Ñ¹ Ñ Ò F : U V ÓÒ Ø ÙÚ Ô Ø u 0 U Ó ε > 0 δ > 0 º º u u 0 U < δ = F(u) F(u 0 ) V < ε. Æ Ò Ø Ò ÙÒ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÒÓÖÑ Ó Ó Ò ÐÝÝ Ò ØØ Ø ÔÙØÓ ÝÐ Ò ÑÓÒ ØÙØØÙ Ý Ú Ú ÑÑ Ò ÝÐ ÑÑÒ Ñ Ö ØÝ Òº. Ì ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ø Ö Ó ØÙ Ø Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò Ö Ð Ø Ò ÝÐ Ø Ò Ö ÒØ Ò ÐÚ Ø¹ Ø Ðݺ ÒÒ Ø Ò Ò ÐÝÝ Ò Ó ÓØØ ÑÓÒ Ø Ò ÐÓÔÔÙÔÙÓÐ ÐÐ ÖÖÝØÒ Ø Ö Ø Ð Ñ Ò ØÙÐÓ Ó ÑÝ ÑÖ ØØ Ð ÒÓÖÑ Òº ÅÖ Ø ÐÑ º¾º ÇÐ ÓÓÒ V K ¹ ÖØÓ Ñ Ò Ò Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ º ÃÙÚ Ù, : V V K ÓÒ ØÙÐÓ Ó ØÓØ ÙØØ ÓØ ½µ v,v 0 ÐÐ v V. ¾µ v,v = 0 = v = 0. µ u+v,w = u,w + v,w ÐÐ u,v,w V. µ αu,v = α u,v ÐÐ α K, u,v V. µ v,u = u,v ÐÐ u,v V. Ë ØÙÐÓÐÐ Ú ÖÙ Ø ØØÙ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙØØ ÒÓØ Ò ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ º Ê Ð Ø Ô Ù µ ÑÙÓ ÓÒ v,u = u,v Ð Ö Ð Ò Ò ØÙÐÓ ÓÒ Ýѹ Ñ ØÖ Ò Òº ÇÑ Ò ÙÙ Ø µ µ ÒÓÚ Ø ØØ ØÙÐÓ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò Ò ÑÑ Ò Ö¹ ÙÑ ÒØ Ò Ù Ø Òº ÌÓ Ò Ö ÙÑ ÒØ Ò Ù Ø Ò Ò º½µ u, αv +βw (5) = αv +βw, u (3),(4) = α v, u +β w, u = α v, u +β w, u (5) = α u, v +β u, w. ÌØ Ò ØÙÐÓ ÓÒ ÓÒ Ù Ó Ù Ø Ð Ò Ö Ò Ò ØÓ Ò Ö ÙÑ ÒØ Ò Ù Ø Ò Ð Ö Ø Ò ÙÐÓ ÓÑÔÐ ÓÒ Ù ØØ Ò º Ê Ð Ø Ô Ù ØÙÐÓ ÓÒ Ø Ò Ð Ò Ö Ò Ò ÑÝ ØÓ Ò Ö ÙÑ ÒØ Ò Ù Ø Òº

28 ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ¾ Î ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ø R n ØÙØØÙ Ú ØÓÖ Ò ÚÐ Ò Ò Ô Ø ØÙÐÓ x,y = x T y = n i= x iy i ØÓØ ÙØØ ØÙÐÓÒ Óغ Î Ø Ú Ø C n Ò Ú ØÓÖ ÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÒ x,y = x T y = n i= x iy i. Ñ Ö º º Ú ÖÙÙ C[a,b ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ f,g = b a f(x)g(x)dx. ÓØ ½µ¹ µ ÙÖ Ú Ø ÙÓÖ Ò ÒØ Ö Ð Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø º Ñ Ö C[ π,π ÙÒ Ø Ó Ò f(x) = sinx g(x) = cosx ÚÐ Ø ØÙÐÓØ ÓÚ Ø Ë ÑÓ Ò g,g = π. f,g = π π sinxcosxdx = π f,f = π π sin2 xdx = π π π 2 sin2xdx = 0 2 ( cos2x)dx = π. ÃÙØ Ò ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÑÝ Ù Ø ØÙÐÓ º Ñ Ö º º ÇÐ ÓÓÒ A R n n ÒÒ ÐÐ Ò Òº ÅÖ Ø ÐÐÒ x,y A = (Ax) T Ay. ÌÓØ Ñ ÐÐ ØØ x,y A = Ax,Ay, ÝØØ Ò A Ò ÒÒ ÐÐ ÝÝØØ Ò Ò ØØ ÓØ ½µ¹ µ ØÓØ ÙØÙÚ Øº Ë ØÙÐÓÒ ØÖ ÓÑ Ò ÙÙ ÓÒ ØØ ÑÖ ØØ Ð Ø ÑÝ ÒÓÖÑ Ò Ó V ÓÒ ØÙ¹ ÐÓ Ú ÖÙÙ Ø Ø Ò º¾µ v = v,v. Ë ØÙÐÓÒ Ó Ø Ò ÒÓÖÑ Ò ÓØ ½µ ¾µ µ ÐÔÓ Ø º µ Ð ÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ Ú Ø Ñ Ò Ð Ñ Ø º ÌÓ Ø Ø Ò Ò Ò Ë Û ÖÞ Ò ÔÝ ØÐ ½¼ ØÙÐÓ Ò ÚÙÐÐ Ú ÐÐ º¾µ ÑÖ Ø ÐØÝ ÓØ Ú Ð Ø Ø ÒÓÖÑ µ ØÓØ ÙØØ Ú Ø º µ u,v u v. ÌÓ º ÂÓ v = 0, Ò Ò Ú Ø ÓÒ ØÖ Ú Ð Ø ØÓØØ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ v 0. Å Ð Ú ÐØ ÐÐ α K ÔØ 0 u αv, u αv = u,u α u,v α v,u +αα v,v. Î Ð Ø Ñ ÐÐ α = u,v / v,v Ò 0 u,u Ñ Ø Ú Ø ÙÖ º u,v u,v v,v u,v u,v v,v + u,v u,v v,v 2 v,v = u,u u,v 2 v,v, Ä Ù x T y Ú ØÓÖ Ø ÓÒ Ø ÐØÙ n ¹Ñ ØÖ ÓÐÐÓ Ò x T ÓÒ n ¹Ñ ØÖ x T y ÓÒ ¹Ñ ØÖ Ð Ð Ö º ½¼ ÌÝ ÐÐ ÑÑ Ò Ù Ý¹Ë Û ÖÞ¹ ÙÒ ÓÚ Ò ÔÝ ØÐ º

29 ¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ ÐÐ Ø ØÓ ØÙ Ø Ò Ò ØØ ÔÝ ØÐ ÓÒ ØÓ ÐÐ u = αv Ð ÐÐ u v ÓÐ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ º ÀÙÓÑ ØØ ØÓ ØÙ Ú Ð ØØÙ α Ñ Ò ÑÓ Ó Ò ÔÙÓÐ Òº ÆÝØ ØÒ ÒÝØ ØØ Ú ÐÐ º¾µ ÑÖ Ø ÐØÝ ØÓØ ÙØØ ÒÓÖÑ Ò ÓÒ µ Ð ÓÐÑ Ó Ôݹ ØÐ Ò u+v u + v. ÌÓ º ÃÝØØ Ò ØÙÐÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ Ë Û ÖÞ Ò ÔÝ ØÐ Ò u+v 2 = u+v, u+v = u,u + u,v + v,u + v,v u 2 +2 u,v + v 2 u 2 +2 u v + v 2 = ( u + v ) 2, Ó Ø Ú Ø ÙÖ º Ñ Ö º º ÃÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ Ë Û ÖÞ Ò ÔÝ ØÐ ÓÚ Ø ¹ØÖ Ú Ð º Ñ Ö ÐÐ C[a,b Ò ÑÖ Ø ÐØÝÝÒ ØÙÐÓÓÒ ÓÚ ÐÐ ØØÙÒ Ë Û ÖÞ ÒÓÓ ( b f(x)g(x)dx b a a f(x) 2 dx ) b a g(x) 2 2 dx ØØ Ñ ÐÐ f f g(x) = b a f(x) dx b a Æ Ø ÓÐ Ò Ð ØÓ Ø ÑÙ ÐÐ ÒÓ Òº ( ) b a f(x) 2 2 dx Ì ØÚ º½º ÌÓ Ø ÙÖ Ú Ø ÔÝ ØÐ Ø Ñ Ð Ú ÐØ ÐÐ v,u C n ½º v v 2 v. ¾º v n v 2 n v. º u,v u v. º½º ÇÖØÓ ÓÒ Ð ÙÙ º Ë ØÙÐÓÒ ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ö Ð ÖØÓ Ñ Ú ÖÙÙ ÑÖ Ø ÐÐ Ú ØÓÖ Ò ÚÐ Ø ÙÐÑ Øº Ë Û ÖÞ Ò ÔÝ ØÐ Ò ÑÙ Ò u,v u v, ÓØ Ò ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ú ØÓÖ Ò u 0 v 0 ÚÐ Ò Ò ÙÐÑ ( u,v ) <)(u,v) = arccos. u v Î ØÓÖ Ø u v ÓÚ Ø ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ø ÙÒ <)(u,v) = π/2 Ð ÙÒ u,v = 0. ÇÖØÓ Ó¹ Ò Ð ÙÙ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÑÓ Ò ÓÑÔÐ ÖØÓ Ñ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ º ÌØ Ò [ i [ i ÓÚ Ø ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ø C2 º.

30 ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ¾ ÃÙÒ u v ÓÚ Ø ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ø ÔØ ÈÝØ ÓÖ Ò Ú u+v 2 = u,u + u,v + v,u + v,v = u 2 + v 2. Ë ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ Ò Ú ØÓÖ ÓÙ Ó S = {v,...,v k } ÒÓØ Ò ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ó Ò Ú ØÓÖ Ø ÓÚ Ø ÒÒ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ø v i,v j = 0, ÙÒ i j. Ñ Ö º º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ú ÖÙÙØØ P 2 ØÙÐÓÐÐ p,q = p(x)q(x)dx. ÈÓÐÝÒÓÑ Ø p (x) = x p 2 (x) = x 2 ÓÚ Ø ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ø ÐÐ p,p 2 = xx2 dx = 0. Ë ÑÓ Ò p 0 (x) = ÓÒ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò Ò p Ò Ò º Ë Ò Ò p 0,p 2 = x2 dx = 2/3. ÇÐ ÓÓÒ p 2 = p 2 +τ p 0. Ë ÐÚ Ø p, p 2 = 0. Ø ØÒ τ Ø Ò ØØ ÑÝ p 0, p 2 = 0 p 0, p 2 = (x2 +τ)dx = 2/3+2τ = 0 = τ = /3. Æ Ò ÙÒ p 2 (x) = x 2 /3, Ò ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò Ò ÓÙ Ó {p 0,p, p 2 }. ÇÖØÓ ÓÒ Ð Ò Ò Ú ØÓÖ ÓÙ Ó {v,...,v n } ÓÒ ÑÝ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ ÐÐÝع Ø Ò ØØ ÐÐ ÒÓÐÐ Ú ØÓÖ º ÌÑ Ò Ò ÙÖ Ú Ø º ÂÓ c v + +c n v n = 0, ÓØ Ø Ò ØÑÒ ØÙÐÓ v k Ò Ò ÓÐÐÓ Ò 0 = c v + +c n v n, v k = c v,v k + +c k v k,v k + +c n v n,v k = c k v k 2 Ó v k 0, Ò c k = 0. Æ Ò ÖØÓ Ñ Ø Ò Ý Ø ÐÐ Ò ÒÓÐÐ ÓØ Ò {v,...,v n } ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒº ÂÓ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò ÓÙ ÓÒ Ú ØÓÖ Ø ÓÚ Ø Ð Ô ØÙÙ ÐØ Ò Ý ÙØ ÙØ Ò ÓÙ Ó ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð º Ñ Ö º º Ä Ø Ò ÐÐ Ò Ñ Ö Ò ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÒÓÖÑ Ø p 0 2 = dx = 2 p 2 = x2 dx = 2 3 p 2 2 = (x2 3 )2 dx = ÌØ Ò { 3 2, x, (x2 )} ÓÒ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð ÓÙ Óº Ë ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ 3 Ó dim(p 2 ) = 3, ÓÒ P 2 Ò ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð ÒØ º ÇÐ ÓÓÒ {b,...,b n } Ó Ò R n Ò ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð ÒØ º Ø Ø Ò B = [b... b n, ÓÐÐÓ Ò (b ) T b,b... b,b n B T B = º [b... b n = º º (b n ) T b n,b = º ºº = I,... b n,b n Ð B ÓÒ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò Ò Ñ ØÖ B T = B. ÃÒØ Ò ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò Ñ ØÖ Ò Ö ¹ Ø ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø R n Ò ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð Ò ÒÒ Òº

31 ¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Ë ÑÓ Ò Ó Ñ ØÖ Ò Q R m n Ö Ø ÓÚ Ø ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð Ø ÓÐÐÓ Ò ÚÐØØÑØØ m n µ Ò Q T Q = I. ÂÓ m > n, Ò Ò Q Ù Ø Ò Ò ÓÐ ÒÚ ÖØÓ ØÙÚ ÐÐ ÓÒ Ú Ò Ú ÑÑ ÒÔÙÓÐ Ò Ò ÒÚ Ö º ÇÐ ÓÓÒ U Ö Ð Ò Ò Ø ÓÑÔÐ Ò Ò Ñ ØÖ ÓÒ Ö Ø ÓÚ Ø ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð Ø Ìй Ð Ò ½½ U U = I Ux, Uy = (Uy) Ux = y U Ux = y x = x,y. Ö ØÝ Ø ÙÒ Ø Ö ÐÐ Ö Ð Ø Ô Ù ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÐÐ µ Ñ ØÖ ÐÐ ÖÖÓØØ Ú ØÓÖ Ò Ô ØÙÙ Ø Ò Ò ÚÐ Ø ØÙÐÓØ ÐÝÚغ ÒÒ ØÙÒ Ú ØÓÖ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð Ò ÒÒ Ò Ù Ø Ò ÓÒ ÐÔÔÓ Ð ÇÐ ÓÓÒ B = {b,...,b n } ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ Ò V ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð ÒØ º ÂÓ v = c b + +c n b n, ÓØ Ø Ò ØÑÒ ØÙÐÓ b k Ò Ò ÓÐÐÓ Ò v,b k = c k b k,b k = c k. Æ Ò Ò ÖØÓ Ñ Øº Ë ØÝ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð ÒÒ Ò n v = v,b k b k, ÐÐ v V. k= ÇÖØÓÒÓÖÑ Ð ÒØÓ ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ò º Ö Ñ Ë Ñ Ø Ò ÔÖÓ ÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ (v,v 2,...) Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ö Ø Òµ ÓÒÓ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ Ò Ú ØÓÖ Ø º ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ý Ø Ô Ø ÓÒÓ (q,q 2,...) ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð Ú ØÓÖ Ø Ù¹ Ö Ú Ø q = v / v, º µ w k = v k k j= q k = w k / w k. v k,q j q j, } k = 2,3,... Ì ÑÑ ÐÐ Ö Ú ÐÐ v k Ø ÔÓ Ø Ø Ò Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ó ÑÙÓ Ó Ø ØÙ ÐÐ ÙÙÒ¹ Ò ÐÐ q,...,q k. Î Ñ ÐÐ Ö Ú ÐÐ Ð ÐÐ Ú Ó ÒÓÖÑ Ö Ø Ò Ý Ò Ô ØÙ º Ä Ù º½º ÐÐ Ø ØÝÐÐ Ö Ñ¹Ë Ñ Ø Ò ÔÖÓ ÐÐ ÔØ µ (q,q 2,...) ÓÒ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð º µ sp(q,...,q k ) = sp(v,...,v k ) ÐÐ k. Ö ØÝ Ø Ó V ÓÒ Ö ÐÐ Ñ Ò Ó Ò Ò {v,...,v n } ÓÒ Ò ÒØ Ò Ò {q,...,q n } ÓÒ V Ò ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð ÒØ º ÌÓ º ÈÖÓ ÔÝ Ö Ò Ò Ù Ò ÙÒ w k 0 Ø v j ¹Ú ØÓÖ Ø ÐÓÔÔÙÚ Øµº ÆÝØ ØÒ ÐÙ ØØ µ ÓÒ ÚÓ Ñ Ø Ò Ø º ÃÓ v k = w k q k + k j= v k,q j q j, ½½ ÃÓÑÔÐ ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ M = M T Ö Ð ÐÐ M = M T.

32 ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ¾ Ò ÐÐ k : v k sp(q,...,q k ), Ó Ø sp(v,...,v k ) sp(q,...,q k ). ÌÓ ÐØ Ó ÐÐ q k ÐÚ Ø ÔØ q k sp(q,...,q k,v k ). ÌØ Ò Ò Ù Ø Ú Ø q k sp(q,...,q k,v k ) sp(q,...,q k 2,v k,v k ) sp(v,...,v k ). Æ Ò ÐÐ k, ÓØ Ò sp(q,...,q k ) sp(v,...,v k ) µ ÓÒ ÚÓ Ñ º ÂÓ ÓÐ w k = 0 ÓÐÐ Ò k, ØÑ Ø Ö Ó ØØ ØØ v k = k j= v k,q j q j sp(v,...,v k ) ÐÐ µ ÓÒ ÚÓ Ñ Ú Ð ÐÐ ÐÐ ÖÖÓ ÐÐ µº ÅÙØØ ØÑ ÓÒ Ñ ÓØÓÒØ Ó v,...,v k ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº Ë Ô w k Ø ÚØ Ó Ò ØÙÐ ÒÓÐÐ º ÌÓ Ø Ø Ò µ Ò Ù Ø ÓÐÐ Ë ÐÚ Ø {q } ÓÒ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ {q,...,q k } ÓÒ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð º ÌÐÐ Ò ÙÒ i k, Ò q k+,q i ( = v k+ k j= v k+,q j q j), q i w k+ = w k+ ( v k+,q i k j= v k+,q j q j,q i ) = w k+ ( v k+,q i v k+,q i ) = 0. Æ Ò q k+ ÓÒ Ó Ø ÙÓÖ q i, i k Ú Ø Òº Ë ÐÚ Ø q k+ =.  ÙÒ ÑÙÙØ Ò ÓÚ Ø ÒÒ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð Ø {q,...,q k+ } ÓÒ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð º ÀÙÓÑ ØØ Ø Ú ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð ÓÙ Ó Ö ÔÔÙÙ Ô Ø Ú ØÓÖ Ø v j ÑÝ Ò Ò Ö ØÝ Øº Ì ØÚ º¾º ÆÝØ ØØ Ö ÐÐ Ñ Ò Ó Ò ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÓÖØÓÒÓÖ¹ Ñ Ð ÓÙ Ó ÚÓ Ò ØÝ ÒØ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð ÒÒ º Ñ Ö º º Ä ØÒ Ð ÐÐ R 3 Ò ÒÒ Ø {v,v 2,v 3 } = {[ [ [ 2 }. 0,, Ë Ò q = 2 [ 0 w 2 = [ 2 0 q 2 = 2 w 3 = q 3 = [ 2 [ 00 [ = [ [ = [ 0 Æ Ò Ø Ò ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð ÒØ { 2 [ 0. [ [ +0 2 = 0 [, 2 0, [ 00 }. [

33 ¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ º¾º Éʹ ÓØ ÐÑ Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ø ØÚº ÇÐ ÓÓÒ V ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ A Ò Ö ÐÐ Ñ Ò Ó Ò Ò Ð Ú ÖÙÙ v V. Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú ÔÔÖÓ ÑÓ ÒØ Ø ØÚ ½¾ Ø a A Ø Ò ØØ v a ÓÒ Ô Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ò Òº Ä ÑÑ º¾º ÌÐÐ Ø ØÚÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù a ÐÐ ÔØ º µ v a, u = 0 ÐÐ u A. ÌÓ º ÇÐ ÓÓÒ a A Ø Ò ØØ º µ ÓÒ ÚÓ Ñ º ÌÐÐ Ò Ñ Ð Ú ÐØ ÐÐ a A ÔØ v a 2 = v a +a a 2 = v a 2 + v a, a a + a a, v a + a a 2 = v a 2 + a a 2, ÐÐ u = a a A. Æ Ò ØØ v a > v a Ø ÙÒ a a. Æ Ò ÓÐÐ Ò Ö Ø Ù Ñ Ð ÓÐ Ñ ÓÒ Ý ØØ Ò Òº ÆÝØ ØÒ ÒÝØ ØØ ÓÒ º µ ØÓØ ÙØØ Ú Ö Ø Ù Ð ÝØÝݺ ÇÐ ÓÓÒ {q,...,q m } Ð ¹ Ú ÖÙÙ Ò A ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð ÒØ º Ø Ø Ò a = m j= v,qj q j. ÌÐÐ Ò Ó ÐÐ q i Ò v a,q i = v m j= v,q j q j, q i = v,q i m j= v,q j q j,q i = v,q i v,q i = 0. Ë Ø Ò v a ÓÒ Ó Ø ÙÓÖ ÒØ Ú ØÓÖ Ø Ú Ø Ò ÓØ Ò ÓÒ Ó Ø ÙÓÖ Ó Ó Ð Ú ÖÙÙØØ Ú Ø Òº v v a * a * A ÐÐ Ò Ð ÑÑ Ò Ú ØÓÖ a ÙØ ÙØ Ò v Ò Ó Ø ÙÓÖ ÔÖÓ Ø Ó Ð Ú ÖÙÙ ÐÐ A Ñ Ö ØÒ a = PA v. Ã Ú Ø º µ PA v = m j= v,q j q j ØÙÐÓÒ Ð Ò Ö ÙÙ Ø Ò Ò ÑÝ ØØ P A ÓÒ Ð Ò Ö ÙÚ Ù V A. ½¾ ÃÓ R n v a 2 = n j= (v j a j ) 2, ØÑÒ Ñ Ò ÑÓ ÒØ ÙØ ÙØ Ò Ù Ò Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ¹ ÙÑÑ Ò Ø ØÚ º

34 ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ¾ ÇÐ ÓÓÒ ÐÐ Ò Ð ÑÑ Ò Ø Ð ÒØ V = R n Ð Ú ÖÙÙ A ÑÖ Ø ÐØÝ ÑÙÓ Ó A = sp(a,...,a m ). Å Ö ØÒ A = [a... a m R n m. ÌÐÐ Ò A = R(A) = { Ax x R m }. Ø ØÒ Ö Ø Ù ÑÙÓ Ó a = Ac, Ñ c R m. Ä ÑÑ Ò ÑÙ Ò Ö Ø ÙÒ ÓÒ ØÓØ ÙØ ØØ Ú v Ac, u = 0 ÐÐ u R(A), Ð (v Ac) T Ax = 0 ÐÐ x R m. ÌÑ ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø Ú Ò Ó (v Ac) T A = 0 Ð A T (v Ac) = 0. Æ Ò c Ò ÓÒ ØÓØ ÙØ ØØ Ú º µ A T Ac = A T v. ÂÓ A T A ÓÒ ÒÚ ÖØÓ ØÙÚ A Ò Ö Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øµ Ø Ø ÚÓ Ò Ö Ø Ø c = (A T A) A T v º µ P A v = A(AT A) A T v. ÃÙÒ Ð Ú ÖÙÙØ Ò ÓÒ Ø ØØÙ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð ÒØ Ó Ø ÙÓÖ ÔÖÓ Ø Ó ÓÒ ÐÔÔÓ Ð Ú Ø º µº Å Ð Ú ÐØ Ò Ò ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ Ò ÒØ ÚÓ Ò ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð Ó Ö Ñ¹ Ë Ñ Ø ¹ÔÖÓ ÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ Ñ ØÖ Ò A = [a... a m K n m Ö Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº Ì Ò A Ò Ö ÐÐ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð Ó ÒØ º à ÚÓ Ø º µ Ò ÙÒ v j = a j µ a a 2,q... a m,q w A = [a a 2... a m = [q q 2... q m 2... a m,q 2 º ºº º = QR, w m Ñ ÝÐ ÓÐÑ ÓÑ ØÖ Ò R K m m ÓÒ Ð ÐÐ ÓÒ Ð Ù Ø Ø ÝÐÔÙÓÐ ÐÐ ¹ ØÙÐÓØ r ij = a j,q i, i < j. Å ØÖ Ò Q Ö Ø ÓÚ Ø ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð Ø ÓØ Ò Q Q = I. ÌØ ØÝ Ø A = QR ÙØ ÙØ Ò A Ò ÙÔÔ µ Éʹ ÓØ ÐÑ º Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ A Ò Éʹ ÓØ ÐÑ Ú Ò º µ Ò R Q QRc = R Q v Ð Rc = Q v, Ó Ø c ÓÒ ÐÔÔÓ Ö Ø Ø Ó R ÓÒ ÝÐ ÓÐÑ ÓÑ ØÖ º ÃÓ Ø ÙÓÖ ÔÖÓ Ø Ó R(A) ÐÐ Ò ÒÝØ Ý Ò ÖØ Ø P R(A)v = QQ v. ÌÝ ÒØÑÐÐ {q,...,q m } Ó Ó K n Ò ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð ÒÒ Ò ÙÒ Ø Ö Ò Ò Ö Ð Ø Ô Ù ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò Òµ Ò Ð Ñ ØÖ Q = [q... q m q m+... q n = [Q Q 2 A ÐÐ Ð ÑÔ ÓØ ÐÑ [ R A = [Q Q 2 = 0 Q R.

35 ¼ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ ÌØ ÙØ ÙØ Ò A Ò Ú Ö Ò µ Éʹ ÓØ ÐÑ ÝÐ ÑÔÒ ÒØÝÒÝØØ A Ò ÙÔ¹ Ô Éʹ ÓØ ÐÑ º Â Ø Ó ÝØÑÑ Ú Ô Ø ÙÑÔ ÐÙ ÑÑ ÑÝ Ð Ñ¹ Ñ Ø Ú Ö Ò Ø µ ÓØ ÐÑ Ø ØÑÑ Ù Ò ØÙØ ÔÓ º È Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ø ØÚ ÓÒ Ø Ú ÐÐ ÑÑ ÐÐ Ò ÙÖ Ú Ñ Ø ØØ Ú Ò ÙÙÖ Ò y ÓÐ Ø Ø Ò ÒÓÙ ØØ Ú Ò Ð Ò Ö Ø Ñ ÐÐ y = c x + +c n x n. ÇÐ ÓÓÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓ ÐÐ (x i,x i2,...,x in ), Ñ Ø ØØÙ ÖÚÓØ y i, i =,...,m. Å ÐÐ Ö¹ ØÓ Ñ ÐÐ c j Ñ ÐÐ ÙÚ Ô Ö Ø Ò Ñ ØØ Ù Ò ØÓ ÂÖ Ø ØÒ Ñ ØØ Ù Ô Ø Ø ÙØ Ý ØÐ Ø Ñ ØÖ Ý ØÐ y = Ac, Ñ Ú ØÓÖ y ÐØ Ñ Ø ØÙØ ÖÚÓØ y i, c ØÙÒØ Ñ¹ ØØÓÑ Ø ÖØÓ Ñ Ø Ñ ØÖ A = (x ij ) R m n. ÃÓ ÝÐ Ò m > n, Ò Ò Ø ØÚÐÐ ÚÐØØÑØØ ÓÐ Ö Ø Ù ÓØ Ò Ø ØÒ ÖØÓ Ñ ÓØ Ñ Ò ÑÓ Ú Ø Ú Ö Ò y Ac. Ñ Ö º½¼º ËÓÚ Ø Ø Ò Ñ ÐÐ y = c 0 +c x +c 2 x 2 Ø Ò x,j x 2,j y j 50 j= = {[ [ [ [ [ [ [ [ } Ë Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ º º º c 0 c = c º Ì ÑÐÐ ØÐÐ 50 3 ¹Ñ ØÖ ÐÐ Éʹ ÓØ ÐÑ Ò Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ö Ø Ù ¹ ½ ÔÝ Ö Ø ØØÝÒµ [ c0 c c 2 = [ [ º [ = ÐÐ ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ Ñ ØØ Ù Ô Ø Ø Ø Ó y = x +.99x 2, (x,x 2 ) [0,0 2. ½ ÃÙÒ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ ÓÒ Ó ÔÙÓÐ Ý Ò ØÑ Ñ ØÐ ÐÐ ÙÖ Ú Ø É Ê ÕÖ µ ÒÚ Êµ ɳ Ý Ø Ú Ð Ý Ò ÖØ ÑÑ Ò \Ý º

36 ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ½ Ñ Ö º½½º ÇÐ ÓÓÒ V = C[ π,π Ú ÖÙ Ø ØØÙ ØÙÐÓÐÐ f,g = π f(x)g(x)dx π ÓÐ ÓÓÒ T n ÙÒ Ø Ó Ò,cos(x),sin(x),...,cos(nx),sin(nx) Ú Ö ØØÑ Ð Ú ÖÙÙ º ÆÑ ÓÚ Ø Ö º Ø Øµ ÒÒ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ø π π sin 2 (kx)dx = π π cos 2 (kx)dx = π, ÙÒ k =,2,.... ÆÓÖÑ Ö Ù Ò Ð Ò Ò ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð ÒÒ { q 0,q,...,q 2n} = { 2π, π sin(x), π cos(x),..., π sin(nx), π cos(nx) }. ÌØ Ò º µ Ò ÑÙ Ò ÒÒ ØÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ f Ô Ö ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó Ø Ð Ú ÖÙÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò q j Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ ÖØÓ Ñ ÐÐ f,q j. È Ð Ø Ò Ø Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ¹ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ò f Ò Ô Ö ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ n PT n f(x) = a 0 + [a k cos(kx)+b k sin(kx), Ñ a 0 = a k = π b k = π 2π π π k= π π f(x)dx, ÌÑ ÓÒ f Ò ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò Ð ÙÔº f(x) cos(kx)dx, k =,...,n, π f(x) sin(kx)dx, k =,...,n. π È Ø Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ø ØÚ Ò Ö Ø Ñ Ò Éʹ ÓØ ÐÑ ÝØ ØÒ ÑѺ ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ¹Ú ØÓÖ Ò ÒÙÑ Ö Ò Ð Ñ Òº Ë ÓÒ Ý Ø ØÖ ÒÙÑ Ö Ò Ñ ØÖ Ð ÒÒ Ò Ô ÖÙ ØÝ ÐÙ Ù Ò Ù Ò Ð Ñ ÒÓ ÒØ º ÐÐ ÓÐ Ø ØØ Ò Ñ ØÖ Ò A Ö Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ º ÌÑ Ø ÖÚ ØØ Ò ÓØØ ÚÓ Ø Ò ÝØØ Ö Ñ¹Ë Ñ Ø Ò ÓÖØÓÒÓÖÑ Ö Ù ÔÖÓ º Éʹ ÓØ ÐÑ Ò Ð Ñ ¹ ØÑ Ù Ø Ò Ò ÓÐ ÚÐØØÑØ Òغ ÇÒ Ú Ò Ð Ý ØØÚ ÙÒ Ø Ö Ò Ò Ö Ð Ø Ô Ù ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò Òµ Ñ ØÖ Q Ø Ò ØØ Q A ÓÒ ÝÐ ÓÐÑ ÓÑ ØÖ º Ä ØÒ Ø ÑÒ ØØ Ò º ÀÓÙ ÓÐ Ö Ò ÑÙÙÒÒÓ ÐÐ º

37 ¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ ÒÒ ØÙÐÐ v C n \{0} ÑÖ Ø ÐÐÒ ÀÓÙ ÓÐ Ö Ò Ñ ØÖ ÑÙÙÒÒÓ µ H = I 2 vv v v. ÌÑ ÓÒ ÖÑ ØØ Ò Ò H = H ÙÒ Ø Ö Ò Ò H H = H 2 = I 4 vv v v +4 vv vv (v v) 2 = I. Í Ò Ø ÖÚ Ø Ò ÐÐ Ø Ñ ØÖ H, ØØ ÒÒ ØØÙ Ú ØÓÖ x ØÙÐ H ÐÐ ÖÖÓØØÙÒ ÒÒ ØÙÒ Ý Ú ØÓÖ Ò e ØÝÝÔ ÐÐ Ø e µ ÙÙÒØ º ÃÓ Hx = x 2 x,v v,v v, Ò Ò ØØ Hx = αe = v sp(x,e), ÓØ Ò ÝÖ Ø ØÒ v = x+αe. Ë Ò ÓØ Ò H x = x,v = x 2 +ᾱ x,e v,v = x 2 +ᾱ x,e +α x,e + α 2, ( x 2 +ᾱ x,e ) 2 x 2α x,v x 2 +ᾱ x,e +α x,e + α 2 v,v e. ÌÑ ÓÒ e Ò ÙÙÒØ Ò Ò Ó x Ò ÖÖÓ Ò ÓÒ ÒÓÐÐ º Æ Ò ÓÒ ÙÒ 2Im ( α x,e ) + α 2 = x 2. Î Ð Ø Ò α Ø Ò ØØ α x,e R α = x Ð α = x,e x α = x, Ó x,e x,e = 0 µº Ë Ò x,v = v,v 2 Hx = x 2 x,v (x+αe) = αe. v,v ÃÝØÒÒ Ñ ØÖ H Ó Ò ÑÙÓ Ó Ø Ø ÒÓ Ø Ò Ú ØÓÖ v Ø ÐÐ Ø Ø Ò Ñ Ö ÖØÓÐ Ù HA ÙÓÖ Ø Ø Ò HA = A 2 v,v v v A, Ð A Ò Ð ØÒ Ñ ØÖ ÓÒ Ö Ò ÓÒ Ý Ö Ø ÓÚ Ø v Ò ÙÙÒØ Øµº Éʹ ÓØ ÐÑ ÀÓÙ ÓÐ Ö Ò ÑÙÙÒÒÓ ÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ A C m n a Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ö º ÇÐ ÓÓÒ H = I 2 v (v ) ÀÓÙ ¹ (v ) v ÓÐ Ö Ò ÑÙÙÒÒÓ Ø Ò ØØ H a = r, e. ÌÐÐ Ò H A = r, r,2... r,n 0 º 0 Ã.

38 ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ÇÐ ÓÓÒ ã Ñ ØÖ Ò Ã Ò ÑÑ Ò Ò Ö H 2 = I 2 ṽ2 (ṽ 2 ) Ø Ò ØØ H (ṽ 2 ) ṽ 2 2 ã = [ [ 0 r 2,2 e C m. Ø Ø Ò v 2 = ṽ 2 H 2 = I 2 v2 (v 2 ) 0 (v 2 ) v =. 2 ÌÐÐ Ò 0 H2 r, r,2 r,3... r,n 0 r 2,2 r 2,3... r 2,n H 2 H A = 0 0 º º Ã Æ Ò Ø Ò Ò Ø Ô Ù m n r, r,2... r,n 0 r 2,2... r 2,n º º ºº º [ R H n H 2 H A = r n,n = º º º , A ÐÐ Éʹ ÓØ ÐÑ Ó Q = H H 2 H n ÐÐ H j = H j = H j µº Î Ø Ú Ø Ó m < n, Ô ÝØÒ ÑÙÓØÓÓÒ r, r,2... r,m... r,n 0 r A = H H 2 H m 2,2... r 2,n... r 2,n º º ºº º º r m,m... r m,n Ê Ø Ø Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ø ØÚ min x Ax b, Ñ A C m n, m n, Ñ ØÖ Q Ø ÖÚ Ø ÑÙÓ Ó Ø Ú ØÓÖ Ø v k Ø ÐÐ ØØ ÙÒ Ó ÐÐ Ð ÐÐ ÑÝ Ó ÔÙÓÐ ÖÖÓØ Ò Ñ ØÖ ÐÐ H k, ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ö ÙÙ Ò Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ [ Rx b Ax b = H n...h 2 H (Ax b) =, b 2 ÓØ Ò Ô Ö x Ò Ý Ø Ñ Ò Rx = b Ö Ø ÙÒ º ÂÓ ØÙÐÓ Q n = H H 2...H n = (I 2 v (v ) )( I 2 v2 (v 2 ) )... (I 2 vn (v n ) ) v 2 v 2 2 v n 2 ÐÙØ Ò ÑÙÓ Ó Ø ÓÒ Ô Ö ÑÔ Ø ÑÙÓ Ó Q k = I W k V k, k =,...,n ÙÖ Ú Ø

39 ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Ø Ø Ò W = w = 2 v v, V = v v. ÌÐÐ Ò Q = H = I W V ( Q k = Q k H k = I W k V k )(I 2 vk (v k ) ) = v k 2 = I W k V k wk (vk ) v k = I W kv k, Ñ w k = 2 v k Q k v k W k = [W k w k, V k = [V k v k vk. ÌÑ ØÝ Ø Ô ÓÒ Ú Ö Ò ÓÒÓÑ Ò Ò Ö ØÝ Ø Ó n m. ÂÓÙ ÓÒ S V ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ S ÓÒ Ò Ò Ú ØÓÖ Ò ÓÙ Ó ÓØ ÓÚ Ø ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÓÙ ÓÒ S Ú ØÓÖ Ø Ú Ø Ò Ð S = {w V v,w = 0 v S}. Ì ØÚ º º ÆÝØ ÂÓÙ ÓÒ S ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ ÓÒ Ò Ð Ú ÖÙÙ Ö ÐÐ ¹ Ñ Ò Ó Ú ÖÙÙ (S ) = sp(s). Ä ÑÑ º¾ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓØÓÓÒ Ä Ù º º ÇÐ ÓÓÒ A ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ Ò V Ö ÐÐ Ñ Ò Ó Ò Ò Ð Ú ÖÙÙ v V. ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ò Ò Ú ØÓÖ a A Ø Ò ØØ v a A. ÌÑ Ú ØÓÖ Ò ÓÐ v Ò Ô Ö ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó A Ò Ú ØÓÖ ÐÐ Ø Ò Ó Ø ÙÓÖ Ò ÔÖÓ Ø ÓÒ a = P A v. Å ØÖ Ò Ð Ø ØÝ ÐÐ Ú ÖÙÙ ÐÐ ÔØ Ä Ù º º ÇÐ ÓÓÒ A K m n. ÌÐÐ Ò R(A ) = N(A), Ð A Ò ÒÓÐÐ ¹ Ú ÖÙÙ A Ò ÙÚ ¹ Ú ÖÙÙ ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ K n º ÌÓ º x (R(A )) w,x = 0 w R(A ) A y, x = 0 y y, Ax = 0 y Ax = 0 x N(A). º º Å ØÖ ÒÓÖÑ Ö ÐØØ Ù º Î ØÓÖ Ò ÒÓÖÑ Ñ ØØ Ú ØÓÖ Ò Ô ØÙÙØØ º Å ØÖ ÐÐ Ð Ò Ö ÙÚ Ù ÐÐ ÚÓ Ò ÑÝ ÑÖ Ø ÐÐ ÒÓÖÑ º Ö ØÝ Ò Ý ÝÐÐ Ó Ó ØØ ÙØÙÚ Ø ÐÐ Ø ÒÓÖÑ Ø ÓØ ÓÒ ÑÖ Ø Ð¹ ØÝ Ú ØÓÖ ÒÓÖÑ Ò ÚÙÐÐ º Ê Ó ØÙÑÑ Ø Ø Ö Ø Ð Ñ Ò Ú Ò Ñ ØÖ Ò ÒÓÖÑ ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ Ò ÚÐ Ø Ò Ð Ò Ö ÙÚ Ù Ø Ò ÒÓÖÑ Ø ÑÖ Ø ÐÐÒ Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ Ó Ò Ú ØÓÖ ÒÓÖÑ Ñº 2 Ø µº Å Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ò Ó Ó ÐÐ Ù Ò Ô Ø Ú ØÓÖ Ñ ØÖ ÐÐ ÖÖÓØØ Ý Ú ØÓÖ Ø ØØ Ú Ø ÙÚ ÙØÙ º

40 Æ ÒÔ Ñ ØÖ ÐÐ A C m n Ø Ø Ò º µ ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì A = max x = Ax. Ì Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ÒØÝÝ Ú ØÓÖ Ò x C n Ax C m ÒÓÖÑ º A A Æ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ A ØÓØ ÙØØ ÑÖ Ø ÐÑÒ º½ Ò Ð ØÓ ½µ º µ Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ÒØÝÝ Ú Ò ¹Ò Ø Ú ÐÙ Ù ÓØ Ò A 0. ¾µ ÂÓ A 0, Ò Ò ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ¹ÒÓÐÐ Ð Ñ ÒØØ a ij. Î Ð Ø Ò x = e j, ÓÐÐÓ Ò [ aj Ax =. 0 A Ax > 0. a mj µ A+B = max (A+B)x max ( Ax + Bx ) x = x = max Ax + max Bx = A + B. x = x = Ì ÝØ ØØ Ò ÐÙ Ú ØÓÖ ÒÓÖÑ Ò ÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ º µ αa = max x = αax = max x = α Ax = α A ÐÐ Ò Ú ØÓÖ ÒÓÖÑ Ò Ú Ø Ú Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ º Å ØÖ ÒÓÖÑ ÐÐ Ú Ø Ú ÐÐ Ú ØÓÖ ÒÓÖÑ ÐÐ ÓÒ Ð ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ö Ó ØÙ Ø ØÚµ º½¼µ º½½µ º½¾µ Ax A x, AB A B, A k A k, k =,2,.... ÃÙÒ ÐÙØ Ò ÓÖÓ Ø Ñ Ò Ú ØÓÖ ÒÓÖÑ Ò ÚÙÐÐ Ñ ØÖ ÒÓÖÑ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÝØ ØÒ Ú Ø Ú Ñ Ö º Ñ Ö A = max Ax A 2 = max Ax 2. x = x 2 = Ê ÔÔÙ Ò Ú Ð ØÙ Ø Ú ØÓÖ ÒÓÖÑ Ø Ñ ØÖ Ò ÒÓÖÑ Ò Ð Ñ Ò Ò ÚÓ ÓÐÐ Ò Ð Ø ÐÔÓÑÔ º ½¹ ¹ÒÓÖÑ Ø ÓÚ Ø Ð Ù ÑÓÒ Ø Ø Ú Ä Ù º º ÇÐ ÓÓÒ A C m n. ÌÐÐ Ò m A = max a ij A = max j n i m i= n a ij j=