Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÎÁÁÃÁÆÃÇËÃÁ Å ÌÌÁ ÂÖ ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ø Ú ÐÙ Ø ÓØ Ä Ò ØØ ØÝ º Å Ø Ñ Ø À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ ÃÓÓ Ù Ø ÓÖ Ò Ø ÚÓ

Transkriptio

1 Å ØØ Î Ò Ó ÂÖ ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ø Ú ÐÙ Ø ÓØ Ä Ò ØØ ØÝ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼

2 Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÎÁÁÃÁÆÃÇËÃÁ Å ÌÌÁ ÂÖ ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ø Ú ÐÙ Ø ÓØ Ä Ò ØØ ØÝ º Å Ø Ñ Ø À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ ÃÓÓ Ù Ø ÓÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ Ô Ö ÒØ Ø ØÓÐ ÒØ Ò ÐÙÓØ ØØ ÚÙÙØØ ØØÑÐÐ Ñ Ò Ø ÐÑ Ö Ò ÙØØ Ñ Ò Ú Ö Ò ÓÖ Ñ Òº Ð Ö ÐÐ Ò ÓÑ Ø¹ Ö Ò ÓÓ Ù Ø ÓÖ Ò Ý Ø ØÝ Ò Ñ Ö ØØÚ ÑÔ Ø ÓÖ ØØ ØÙÐÓ ÓÚ Ø ½ ¼¹ ÐÙÚÙÐÐ Ø ØÝØ ÓÑ ØÖ Ø ÓÔÔ ¹ ÓÓ Ø ÓØ Ô Ö Ò Ú Ø ÐÐÓ Ò Ô Ö Ø ØÙÒ¹ Ò ØØÙ Ð Ö Ò Ò ÙØ ÙØØÙ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ð ÖØ Ò¹Î Ö ÑÓÚ Ò Ö º ƹ Ñ ÓÔÔ ¹ ÓÓ Ø ÓÒ ØÖÙÓ Ò Ú ÐÙÓ Ñ ÐÐ Ð Ö ÐÐ Ò ÝÖÒ Ö Ø ÓÒ Ð ÙÒ ¹ Ø Ó Ø ÝÖÒ Ô Ø º Ú ÐÙ Ø Ó ÓÓ Ø ÓÚ Ø ÓÔÔ ¹ ÓÓ Ò ÝÐ ØÝ ÓØ ¹ Ò Ð Ñ ÐÐ Ú Ö ØÓÒ Ö Ø ÓÒ Ð ÙÒ Ø Ó Ò ÖÚÓ Ô Ø ÓÙ Ó º Ú ÐÙ Ø Ó ÓÓ¹ Ò ÑÖ Ø ÐÑ ÓÒ Ù Ø Ò Ò ÝÚ Ò ÝÐ Ò Ò ÓØ Ò ÓÓ Ù Ð ÓÖ ØÑ Ò Ð ÝØÑ Ò Ò ÓÔ ÓÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÑÖ ØØÑ Ò Ò ÓÒ Ú º ÂÖ ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ø Ó ÓÒ ¹ ÐÙ Ø ÓÚ Ø Ð ÓÙ Ó Ö Ò Ø Ó Ò ÝÚØ ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ñ ÓÐÐ Ø Ú Ø Ò Ø Ø Ú Ò Ú ÐÙ Ø Ó ÓÓ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò Ø Ö ÑÑ Ò ÑÖ ØØÑ Òº ÌÑÒ Ð Ò ØØ ØÝ Ò Ò ÓÚ Ø Ö ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ø Ú ÐÙ ¹ Ø Óغ ÌÙØ ÐÑ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ö ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ò Ô ÖÙ ÓÑ ¹ Ò ÙÙ Ñ Ö Ö ØÝ ÙÒ Ø Ó Ò ÓÒ ØÖÙÓ Ñ Ø ÑÙÙÒ ÑÙ Ú ¹ Ö ØÓÒ Ð ÔÙÒ ÚÙÐÐ º Ä ØÓ Ø Ø Ò ØØ Ö Ò Ò ÒÒ ÐÐ Ø ÙÓ ØÙ Ø ØÓ ÐØ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ø Ú ÐÙ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ø ØØÝ Ò Ð Ú Ò ØÓ Ò Ú ÐÐ Ø Ú ¹ Ú Ð ÒØØ Ö ØÝ ÙÒ Ø Ó Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ Ò º ÄÓÔÙ Ó Ó Ø Ø Ò Ø ØØ Ý ÓÐ Ú Ò Ô ÒÓ ÙÒ Ø Ó Ò Ò Ò ÝÖ Ò ÚÐ Ò Ò Ý Ø Ý º Î Ñ ÔÝ Ð ¹ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ô ÒÒ Ò Ú ÐÙ Ø Ó Ò ÐÙÓ ØØ ÐÙ Ò Ò Ú ÐÙ Ø Ó Ò Ý Ø Ý Ö ØÝ ÙÒ Ø Ó Òº

3 Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ¾ ÂÖ ØÝ ÙÒ Ø ÓØ Ò Ò Ô ÖÙ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ¾º½ Ö Ò Ö Ò ÒÒÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Î ÐÙ Ø ÓØ Ý Ø ØÝØ Ú ÐÙ Ø ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ¾º ÂÖ ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ø º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÂÖ ØÝ ÙÒ Ø Ó Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÒØ ¾ º½ ËÙÓ ØÙ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ Ì Ö Ò Ð Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Î ÐÙ Ø ÓØ Ð ÔÙØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ð Ö ÐÐ Ò ÝÖÒ Ô ÒÒ Ò Ö ØÝ ÙÒ Ø Ó Ø º½ ÃÝÖÒ Ú ÐÙ Ø ÓØ Ö ØÝ ÙÒ Ø ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ð Ö ÐÐ Ò Ô ÒÒ Ò Ú ÐÙ Ø ÓØ Ö ØÝ ÙÒ Ø ÓØ º º º º º º

4 ÄÙ Ù ½ ÂÓ ÒØÓ ÃÓÓ Ù Ø ÓÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ Ô Ö ÒØ Ø ØÓÐ ÒØ Ò ÐÙÓØ ØØ ÚÙÙØØ Ø¹ ØÑÐÐ ÓÓ Ó Ò ÚÙÐÐ Ö Ò ÙØØ Ñ Ú Ö Ø ÚÓ Ò ¹ Ú Ø Ñ ÓÐÐ Ø ÓÔ ÓÖ Ø º ÃÝØÒÒ Ò Ñ Ö Ò ÚÓ Ò Ñ Ò ¹ Ø Ê Ò¹ËÓÐÓÑÓÒ Ò¹ ÓÓ Ø Ó Ø ÝØ ØØ Ò ÓÓ Ñ Ò ÎÓÝ Ö¹ÐÙÓØ Ñ Ò Ð ØØÑØ ÙÚ Ø ÍÖ ÒÙ Ø º Ä ÑÝ Î ¹ ¹Ð ÚÝ Ò Ú Ö Ò¹ ÓÖ Ù Ð ÓÖ ØÑ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ê˹ ÓÓ Òº Ð Ö ÐÐ Ò ÓÑ ØÖ Ò ÓÓ¹ Ù Ø ÓÖ Ò Ý Ø ØÝ Ò Ñ Ö ØØÚ ÑÔ Ø ÓÖ ØØ ØÙÐÓ ÓÚ Ø ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ø ØÝØ ÓÑ ØÖ Ø ÓÔÔ ¹ ÓÓ Ø ÓØ Ô Ö Ò Ú Ø ÐÐÓ Ò Ô Ö Ø ØÙÒÒ Ø¹ ØÙ Ð Ö Ò Ò ÙØ ÙØØÙ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ð ÖØ Ò¹Î Ö ÑÓÚ Ò Ö º ÆÑ ÓÔÔ ¹ ÓÓ Ø ÓÒ ØÖÙÓ Ø Ò Ú ÐÙÓ Ñ ÐÐ Ð Ö ÐÐ Ò ÝÖÒ Ö Ø Ó¹ Ò Ð ÙÒ Ø Ó Ø ÝÖÒ Ô Ø º Ú ÐÙ Ø Ó ÓÓ Ø ÓÚ Ø ÓÔÔ ¹ ÓÓ Ò ÝÐ ¹ ØÝ ÓØ Ò Ð Ñ ÐÐ Ú Ö ØÓÒ Ö Ø ÓÒ Ð ÙÒ Ø Ó Ò ÖÚÓ Ô ¹ Ø ÓÙ Ó º Ú ÐÙ Ø Ó ÓÓ Ò ÑÖ Ø ÐÑ ÓÒ Ù Ø Ò Ò ÝÚ Ò ÝÐ Ò Ò ÓØ Ò ÓÓ Ù Ð ÓÖ ØÑ Ò Ð ÝØÑ Ò Ò ÓÔ ÓÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÑÖ ØØÑ Ò Ò ÓÒ Ú º ÂÖ ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ø ÓÚ Ø Ð ÓÙ Ó Ö Ò Ø Ó Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ñ ÓÐÐ Ø Ú Ø Ò Ø Ø Ú Ò Ú ÐÙ Ø Ó ÓÓ Ò ÓÑ ¹ Ò ÙÙ Ò Ø Ö ÑÑ Ò ÑÖ ØØÑ Òº Ä Ò ØØ ØÝ Ò Ø Ö Ø Ð Ò Ö ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÒØ Ö Ð ÐÐ Ñ Ò Ø ÐÑ Ðк ÂÖ ØÝ ÙÒ Ø Ó Ø Ø Ú Ò ÓÓ ¹ Ò Ò Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÑÖ ØØÑ Ò Ð ØØÝÚ Ó Ò Ò Ù Ø Ò Ò Ø ØÝ ÔÙÙØÙº Ú ÐÙ Ø Ó ÓÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ø Ö ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ ¹ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ø ÓÒ Ø ÐØÝ ÑÙÙÒ ÑÙ ÊÙÙ È ÐÐ Ò Ò ÖØ Ð È Ð¼½ º ÌÙØ Ò ÑÝ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ú ÐÙ Ø Ó Ø ÒÒ ÐÐ ÒÓÖÑ ¹ Ð Ó ØÙ ÙÓ ØÙ º ÃÝ ÐÑ ØØ ÒÑ ÓÚ Ø Ú Ú Ð ÒØØ Ö ØÝ ÙÒ ¹ Ø ÓÐÐ Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ Ò º Ð Ö ÐÐ Ø Ú Ö ØÓØ Ø Ö Ó Ú Ø ÑÓÒ Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ö ØÝ ÙÒ Ø Ó Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÒØ Òº Ì ØÝ ¹ ØÝÒ Ð ÒÒ Ú Ö ØÓÒ Ð Ú Ö ØÓ Ò Ð ÔÙ Ø Ø Ú Ò Ö ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ò Ó¹ ÓÒ ÐÙ Òº Î Ñ ÐÙÚÙ ØÙØ Ò Ñ Ö Ø ØØ Ý ¾

5 ÓÐ Ú Ø Ö ØÝ ÙÒ Ø Ó Ø º Ø ØØ Ý ÓÐ Ú Ö ØÝ ÙÒ Ø Ó Ú Ø Ò ÝÖ ÓÐÐ ÓÒ Ø Ö ÐÐ Ò Ý Ô Ö ØØ ÑÝÝ º Ë Ò Ò Ð Ö ÐÐ ¹ Ò Ô ÒÒ Ò Ø Ô Ù ÓÒ ÑÓÒ ÑÙØ ÑÔ Ó ØÙ Ò Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ø Ö ÝØØ Ô ÒØ Ð Ú Ö ØÓ Òº ÃÝØØÑÐÐ ÝÚ Ö Ò Ö ËÔ Ú ÓÚ Ò ËÔ ¼ ØÙÐÓ Ø ØÒ ØØ Ô ÒÒ Ò ÙÒ Ø Ó ÙÒÒ Ò Ú ÐÙ Ø ÓØ ÚÓ Ò ¹ Ò Ð Ò ÐÙÓ Òº Æ Ò ØØ Ú ÓÖ Ò Ð ØØÝÚ Ú ÐÙ Ø ÓØ Ö ØÝ ÙÒ Ø Ó Ø º ÅÙÙØ ÓÐÑ Ú ÐÙ Ø ÓØÝÝÔÔ ÚÓ Ú Ø Ù Ø Ò Ò ÑÖ ØØ Ö ØÝ ÙÒ Ø ÓÒº Ø ØÓ Ò ÓÑÑÙØ Ø Ú Ø Ð Ö Ø ÓÐ Ø Ø Ò Å Ø ÙÑÙÖ Ò Ö Å Ø ØÙÒÒ ØÙ º Ð Ö ÐÐ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ó ÐØ Ð Ø Ò ÓÒ ÝØ ØØÝ À ÖØ ÓÖÒ Ò Ö À Ö º Ö ØÝ Ø ÑÓ Ò Ô ÖÙ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ¹ ÑÓ Ò Ö ÝØØÑ Ò Ò Ú ÓÖ Ø ÓÐ Ø Ø Ò ØÙÒÒ ØÙ º

6 ÄÙ Ù ¾ ÂÖ ØÝ ÙÒ Ø ÓØ Ò Ò Ô ÖÙ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÂÖ ØÝ ÙÒ Ø ÓØ Ð ØØÝÚØ ÝÚ Ò Ð Ø ÙÒÒ Ò Ú ÐÙ Ø Ó Òº ÌÑÒ ÚÙÓ ÒÒ Ò Ú Ö Ò Ø Ö ØÝ ÙÒ Ø Ó Ò ÑÖ ØØ ÐÝ Ø ØÒ ÙÖ ¹ Ú ÑÙÙØ Ñ ØÙÐÓ Ö Ò Ö Ò ÒÒÓ Ø Ú ÐÙ Ø Ó Ø Ó ÐÑ Ò ØÓ¹ ØÙ º Ä Ø Ò ÓÒ ÝØ ØØÝ ÑÙÙÒ ÑÙ Ö Ó È ¼¾ Ä Ú ÐÙ Ø Ó Ò Ó ÐØ Ö Ò Ë ÑÙ Ð Ò Ö Ë Ý Ò Ö Ò Ö¹ Ø Ð Ö º ¾º½ Ö Ò Ö Ò ÒÒÓ Ø Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò ÑÓÒÓ Ò (N n, +) Ö ØÝ º Ö ØÝ Ò Ý ÝÐÐ ÓÚ Ø ØÝ ÐÐ Ø Ö ØÝ Ø ÓØ ÝØØÝØÝÚØ ÝÚ Ò ÑÓÒÓ Ò Ð Ó Ò Ý Ø Ò¹ Ð ÙÒ Ù Ø Ò ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º½º ÃÓÑÑÙØ Ø Ú Ò ÑÓÒÓ Ò Γ ØÝ ÐÐ Ø Ö ØÝ Ø ÒÓØ Ò ÑÓÒÓ Ö ØÝ Ó ÐÐ a, b, c Γ ÓÒ ÚÓ Ñ µ 0 < a ÙÒ a 0 µ Ó a < b Ò Ò a + c < b + cº ÇÐ ÓÓÒ ÓÒ ÑÓÒÓ Ö ØÝ ÑÓÒÓ Γº ÌÐÐ Ò ÒÓØ Ò ØØ (Γ, ) ÓÒ Ö Ø ØØÝ ÑÓÒÓ º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú ÑÙÙØ Ñ ÝÐ ÑÓÒÓ Ö ØÝ ÑÓÒÓ N n º ÇÐ ÓÓÒ α, β N n α = (α 1,..., α n ) β = (β 1,..., β n )º µ α lex β Ó Ó Ó α = β Ø Ó ÓÒ ÓÐ Ñ Ò j Ø Ò ØØ α i = β i ÐÐ i < j α j < β j º ÂÖ ØÝ Ø lex ÒÓØ Ò Ð Ü¹ Ö ØÝ º

7 µ α gl β Ó Ó Ó α i < β i Ø Ó α i = β i α lex βº ÌÐÐ Ø Ö ØÝ Ø ÒÓØ Ò ÔÓÖÖ Ø Ø٠Рܹ Ö ØÝ Ø Ú Ò ÐÝ Ý Ø Ð Ü¹ Ö ØÝ º µ α grl β Ó Ó Ó α i β Ø Ó α i = β i Ð Ý ØÒ Ò j Ø Ò ØØ α i = β i ÐÐ i > j α j > β j º ÌØ Ö ØÝ Ø ÙØ ÙØ Ò Ö ÚРܹ Ö ØÝ º ÅÓÒÓ N n Ò Ó ØØ Ö ØÝ n ÑÖ ØØ Ð ÑÐÐ a n b Ó Ú Ò Ó ÓÒ ÓÐ Ñ c N n Ø Ò ØØ a+c = bº Ë ÙÖ Ú ØÙÐÓ Ø ÙØ ÙØ Ò ÓÒ Ò Ð ÑÑ º Ä ÑÑ ¾º½º¾ ÓÒµº ÇÐ ÓÓÒ M N n º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ö ÐÐ Ò Ò ÓÙ Ó B M ÓÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ α M β B : β n α. ÌÐÐ Ø ÓÙ Ó B ÒÓØ Ò ÓÙ ÓÒ M ÓÒ Ò ÒÒ º ÌÓ ØÙ º ÌÓ Ø Ø Ò Ú Ø Ò Ù Ø ÓÐÐ ÐÙÚÙÒ n Ù Ø Òº Ì Ô Ù n = 1 ÓÒ ÐÚº ÇÐ ÓÓÒ n > 1º Å Ö ØÒ M i = {α N n 1 (α, i) M}. ÁÒ Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓÙ ÓÐÐ M i ÓÒ ÓÒ Ò ÒØ B i º ÃÝØع ÑÐÐ Ò Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ Ø ÙÙ ÐÐ Ò Ò Ò ØØ ÓÙ ÓÐÐ B i ÓÒ ÓÒ Ò ÒØ B º ÇÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò B ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÓØ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ s N Ø Ò ØØ B B 1 B s º ÌÓ Ø Ø Ò ØØ ÓÙ Ó B = {(β, i) N n 0 i s, β B i } ÓÒ ÓÙ ÓÒ M ÓÒ Ò ÒØ º ÇÐ ÓÓÒ (α, j) M j Nº ÌÐÐ Ò α M j ÓØ Ò Ð Ý ØÒ β B j Ø Ò ØØ β α º ÂÓ j s Ò Ò (β, j) B (β, j) (α, j)º ÂÓ j > s Ò Ò Ð Ý ØÒ γ B i s Ø Ò ØØ γ β (γ, i) B i º ÌÐÐ Ò (γ, i) B (γ, i) (α, j)º ÇÐ ÓÓÒ (N n, ) Ö Ø ØØÝ ÑÓÒÓ º ÂÓ a n b ÙÒ a, b N n Ò Ò a + c = b ÓÐÐ Ò c N n º ÌØ Ò ÑÝ a b ÐÐ ÓÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò ÓÒ ÑÓÒÓ Ö ØÝ º Ì Ø Ò Ò ØØ Ó Ò Ò ÑÓÒÓ Ò N n ÑÓÒÓ Ö ØÝ ÓÒ Ó ØØ Ö ØÝ Ò n Ð ÒÒÙ º Ä ÑÑ ¾º½º º ÇÐ ÓÓÒ ÑÓÒÓ Ò N n ÑÓÒÓ Ö ØÝ º ÌÐÐ Ò ÓÙ Ó N n ÓÒ ÝÚ Ò Ö Ø ØØÝ Ö ØÝ Ò Ù Ø Òº

8 ÌÓ ØÙ º ÂÖ ØÝ ÓÒ Ö ØÝ Ò n Ð ÒÒÙ ÓÒ Ò Ð ÑÑ Ò ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÝÚ Ò Ö Ø ØØݺ Ë ÖÖÝØÒ ÙÖ Ú Ø Ö Ø Ð Ñ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ö Ò Ø º ÇÐ ÓÓÒ M n ÔÓ¹ ÐÝÒÓÑ Ö Ò Ò R = k[x 1,...,X n ] ÑÓÒÓÑ Ò ÓÙ Óº ÃÙÒ α = (α 1,...,α n ) N n, Ñ Ö ØÒ X α := X α 1 1 Xn αn. ÂÓÙ Ó M n ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÑÓÒÓ º ÅÓÒÓ M n ÑÖ Ø ÐØÝ ÑÓÒÓ Ö ØÝ Ø ÒÓØ Ò Ø ÖÑ Ö ØÝ ÌÝ ÐÐ Ò Ò Ö ØÝ < ÓÙ¹ Ó M n ÓÒ Ø ÖÑ Ö ØÝ Ó µ 1 < M ÐÐ M M n M 1 µ ÂÓ M 1 < M 2 Ò Ò M 1 M 3 < M 2 M 3 ÐÐ M 1, M 2, M 3 M n º ÃÙÚ Ù N n M n α X α ÓÒ ÐÚ Ø Ö Ø ØØÝ Ò ÑÓÒÓ Ò ÓÑÓÖ¹ Ñ º Ì Ø ÙÖ Ö ØÝ Ø ØØ Ó Ò Ò Ø ÖÑ Ö ØÝ ÓÒ ÝÚ Ò Ö ¹ Ø ØØݺ ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ < Ó Ò Ø ÖÑ Ö ØÝ F = c m X αm + c m 1 X α n c 0 ÔÓÐÝÒÓÑ α i N n c i k i = 1,...,mº ÈÓÐÝÒÓÑ Ò F Ó Ø Ú ÑÓÒÓÑ Ö ØÝ Ò < Ù Ø Ò ÓÒ LM < (F) = max < {Xα i c i 0} Ó Ø Ú Ø ÖÑ LT < (F) = max {c ix α i c i 0}. < ÈÓÐÝÒÓÑ Ò F Ó Ø Ú Ò Ø ÖÑ Ò ÖÖÓ Ò ÓÒ Ó Ø Ú ÖÖÓ Ò ÓØ Ñ Ö ØÒ LC < (F)º ÈÓÐÝÒÓÑ Ò F Ø ÓÒ deg(f) = α, ÙÒ LM(F) = X α º ÂÓ Ö ØÝ ÓÒ ÐÚ Ý Ø Ý Ø Ñ Ö ØÒ ÐÝ Ý Ø Ú Ò LM(F)º Ñ Ö ¾º½º º È Ð Ö ÚРܹ Ö ØÝ Ð Ö ØÝ X α < X β Ó Ú Ò Ó Ú ØÓÖ Ò α β Ò ÑÑ Ò Ò ÒÓÐÐ Ø ÖÓ Ú ÓÓÖ Ò ØØ Ó Ð¹ Ø ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò ÓÐ Ø ÖÑ Ö ØÝ º ÌÑ Ò Ò ÐÔÓ Ø ÙÖ Ú Ø ÓÒÓ x 1 > x 2 1 > x 3 1 >... ÑÙÓ Ó Ø Ö ØØ ÑÒ Ú Ò ÚÒ Ø ÙÒ ÓÐÐ ÓÐ Ô Ò ÒØ Ð ÓØ º ÌØ Ò ÑÓÒÓÑ Ò ÓÙ Ó ÚÓ ÓÐÐ ÝÚ Ò Ö Ø ØØÝ Ö ØÝ Ò < Ù Ø Òº

9 Ñ Ö ¾º½º º ÇÐ ÓÓÒ M m n Ö Ð ÐÙ ÙÑ ØÖ º Å ØÖ M ÑÖ ØØ Ö ØÝ Ò < M ÑÓÒÓÑ Ò M n ÓÙ Ó ÙÖ Ú Ø X α < M X β Mα T < lex Mβ T. ÂÖ ØÝ ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò Ó Ker(M) Z n = {0}º ÂÖ ØÝ < M ÓÒ Ø ÖÑ Ö¹ ØÝ Ó Ú Ò Ó X α > M 1 ÐÐ α N n, α 0. ÌÑ ØÓ ÔØ Ø Ö ÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ Ñ ØÖ Ò Ó Ò ÔÝ ØÝÖ Ú Ò Ò Ñ¹ Ñ Ò Ò ÒÓÐÐ Ø ÖÓ Ú Ð Ó ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº ÊÓ ÒÓ ÊÓ ÓÒ ØÓ Ø ¹ ÒÙØ ØØ Ó Ò Ò Ø ÖÑ Ö ØÝ ÓÒ ÑÙÓØÓ A ÙÒ Ñ ØÖ A GL(n, R) ÓÒ Ú Ð ØØÙ ÓÔ Ú Ø º ÃÙÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ö Ò ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ø ÖÑ Ö ØÝ Ò Ó Ð Ó¹ Ö ØÑ Ó ÓÒ Ø Ú ÐÐ Ò Ý Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ó Ð ÓÖ ØÑ Ò ÝÐ ¹ ØÝ º Ä ÑÑ ¾º½º º ÇÐ ÓÓÒ G = {g 1,...,g m } Ö ÐÐ Ò Ò ÓÙ Ó ÔÓÐÝÒÓÑ < Ø ÖÑ Ö ØÝ f Ó Ò ÔÓÐÝÒÓÑ º ÌÐÐ Ò f ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ Ó f = a 1 g a m g m + r, Ñ a 1,..., a m r ÓÚ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ó Ó r = 0 Ø Ñ Ò Ó Ò¹ Ò Ò r Ø ÖÑ ÓÐ ÓÐÐ Ò Ò ÑÓÒÓÑ ÐÐ LM < (g 1 ),...,LM < (g m )º Ä deg(a i g i ) deg(f) ÐÐ iº ÌÓ ØÙ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ f 0º ÇÐ ÓÓÒ a 1 = = a m = r = 0. ÂÓ LM(g i ) LM(f) ÓÐÐ Ò j Ò Ò Ú Ð Ø Ò a j = LT(f) LT(g j ) f 1 = f a j g j ÂÓ LM(f) ÓÐ ÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò g i Ó Ø Ú ÐÐ ÑÓÒÓÑ ÐÐ Ñ Ö¹ ØÒ r = LT(f) f 1 = f LT(f).

10 ÆÝØ Ò ØÝ f = f 1 + a 1 g a m g m + r, ¾º½º µ Ñ LT(f 1 ) < LT(f)º ÂÓ f 1 0 ÓÚ ÐÐ Ø Ò Ñ Ñ Ò ØØ ÐÝ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò f 1 ÓÐÐÓ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ f 1 Ò ÑÙÓØÓ ¾º½º µ ÓÐ Ú ØÝ Ñ ÔÓÐÝÒÓ¹ Ñ Ò f 1 Ô ÐÐ ÓÒ f 2 ÔÓÐÝÒÓÑ Ò f Ô ÐÐ f 1 º Ä LT(f 2 ) < LT(f 1 )º ÃÓ < ÓÒ Ø ÖÑ Ö ØÝ ÓÒÓ ÑÓÒÓÑ LT(f) > LT(f 1 ) > ÑÙÓ Ó Ø Ó Ø Ú Ò ÚÒ ÓÒÓÒ ÓØ Ò Ö ÐÐ Ò ÑÓÒ Ò Ð Ò ÙÐÙØØÙ f n = 0º ÌÐÐ Ò ÓÒ ØÙ Ú Ø ØØÝ ØÝ º ÐÐ Ò Ð ÑÑ Ò ØÝ Ö ÔÔÙÙ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ö ØÝ Ø Ó Ò¹ Ò Ò ÓÐ Ý ØØ Ò Òº ÇÒ Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ Ó ÐРع Ø ÐÐ Ò Ð ÑÑ Ò Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ Ó ÒÒ ÓÒ Ý ØØ Ò Òº ÌÐÐ Ø ÓÙ Ó ÒÓØ Ò Ö Ò Ö Ò ÒÒ º ÇÐ ÓÓÒ < Ó Ò Ø ÖÑ Ö ØÝ º ÈÓÐÝÒÓÑ Ö Ò Ò Ð Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ó ¹ Ø Ú Ø Ø ÖÑ Ø ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ð Òº Å Ö ØÒ LM < (I) = {LM < (f) f I}. ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º º ÂÓÙ Ó ÔÓÐÝÒÓÑ {g 1,...,g m } ÓÒ Ð Ò I Ö ¹ Ò Ö Ò ÒØ Ø ÖÑ Ö ØÝ Ò < Ù Ø Ò Ó ÑÓÒÓÑ Ø LM(g 1 ),...,LM(g m ) Ò ÖÓ Ú Ø Ð Ò (LM(I))º ÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓÒ ÐÚ ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ð Ò Ö Ò Ö Ò ÒÒ Ò Ø Ö ÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ Ð Ò Ó Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ó Ø Ú Ø ÖÑ ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò Ö Ò Ö Ò ÒÒ Ò ÓÒ Ò Ð ÓÒ Ó Ø Ú ÐÐ Ø ÖÑ Ðк Ä ÑÑ ¾º½º º ÂÓ ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ Ö Ò Ò Ð ÐÐ I (0) ÓÒ Ö Ò Ö Ò ÒØ º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ < Ó Ò Ø ÖÑ Ö ØÝ º ÎÓ Ò Ð ÝØ Ö ÐÐ Ò Ò ÓÙ Ó ÑÓÒÓÑ m 1,...,m n ÓØ Ò ÖÓ Ú Ø Ð Ò (LM < (f))º Î Ð Ø Ò ÔÓÐݹ ÒÓÑ Ø g 1,..., g n Ð Ø I Ø Ò ØØ LT < (g i ) = m i i = 1,..., nº ÆÑ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ð Ò I Ö Ò Ö Ò ÒÒ Òº Ä ÑÑ ¾º½º½¼º ÇÐ ÓÓÒ I Ð G = {g 1,...,g m } Ò Ö Ò Ö Ò ÒØ Ø ÖÑ Ö ØÝ Ò < Ù Ø Òº ÃÙÒ ÔÓÐÝÒÓÑ f Ø ØÒ Ð ÑÑ Ò ¾º½º ÑÙÓ¹ Ó Ó ÒÒ r ÓÒ Ý ØØ Ò Òº ÌÓ ØÙ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ f ÓÒ ØÝ Ø ÑÙÓ Ó ¾º½º µº ÆÝØ f = g + r = g + r, Ñ g, g I r r ÓÚ Ø Ó ÒÒ º ÌÐÐ Ò g g = r r ÓØ Ò r r I LT(r r ) ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÓÐÐ Ò LT(g i )º ÌÑ ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø Ú Ò Ó r = r º

11 ÐÐ Ø Ð ÑÑ Ø ÙÖ Ö ØÝ Ø ØØ f I Ø Ö ÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ ØÝ ¾º½º µ r = 0º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º½½º Ö Ò Ö Ò ÒØ G = {g 1,...,g m } Ø ÖÑ Ö ØÝ Ò < Ù Ø Ò ÓÒ Ö Ù Ó ØÙ Ó µ LC < (g) = 1 ÐÐ g G µ ÂÓ g G Ò Ò Ñ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò g Ø ÖÑ ÙÙÐÙ Ð Ò (LM < (G\{g})). Ä ÑÑ ¾º½º½¾º ÇÐ ÓÓÒ < Ó Ò Ø ÖÑ Ö ØÝ º ÂÓ ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ Ö Ò Ò Ð ÐÐ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò Ö Ù Ó ØÙ Ö Ò Ö Ò ÒØ G Ö ØÝ Ò < Ù ¹ Ø Òº ÌÓ ØÙ º ÌÓ ØÙ ÓÒ Ø ØØÝ Ñ Ö Ñ Ò ÄÓÙ Ø ÙÒ ÙÒ Ö Ä Ì ÓÖ Ñ ½º º º ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ I ÔÓÐÝÒÓÑ Ö Ò Ò R Ð < Ø ÖÑ Ö ØÝ º Å Ö ØÒ < (I) = (I) = {m M n m (LM(I))}. ÂÓ G ÓÒ Ð Ò I Ö Ò Ö Ò ÒØ ÓÒ ÚÓ Ñ (I) = {m M n LM(g) m ÙÒ g G}. ÂÓÙ ÓÒ LM < (I) Ó ÓÙ Ó σ < (I) ÓÒ Ñ Ò Ñ Ð Ò Ò Ú Ö ØØ ÓÙ Ó Ó ÓÒ Ô Ò Ò ÓÙ Ó ÐØÝÑ Ö Ð Ø ÓÒ Ù Ø Ò ØÓØ ÙØØ ÓÒ x β LM < (I) x β ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÓÐÐ Ò x α σ < (I). ÅÖ Ø ÐÑ Ø Ò Ò ØØ σ < (I) ÓÒ Ý ØØ Ò Òº ÃÓ x α ÑÓ¹ ÒÓÑ Ò x β Ø Ö ÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ α n β ÓÒ Ò Ð ÑÑ Ø ÙÖ ØØ σ < (I) ÓÒ Ö ÐÐ Ò Òº Ä ÑÑ ¾º½º½ º ÇÐ ÓÓÒ I ÔÓÐÝÒÓÑ Ö Ò Ò R Ð < Ó Ò Ø ÖÑ Ö¹ ØÝ º ÌÐÐ Ò Ø Ö Ò Ò R/I ÒØ k¹ú ØÓÖ Ú ÖÙÙØ Ò ÓÒ B = {m + I m (I)}. ÌÓ ØÙ º Ç Ó Ø Ø Ò Ò Ò ØØ ÓÙ Ó B ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒº ÇÐ ¹ Ø Ø Ò ØØ ai m i I,

12 Ñ a i k m i (I)º ÃÙ Ø Ò Ò ÑÓÒÓÑ Ò m i Ú Ð ÒÒ Ò Ô ÖÙ Ø Ð¹ Ð Ñ Ò ÑÓÒÓÑ Ø ÓÐ ÓÐÐ Ò Ò Ð Ò I Ö Ò Ö Ò ÒÒ Ò Ð ÓÒ Ó Ø Ú ÐÐ Ø ÖÑ ÐÐ ÓØ Ò ØÑ Ö Ø Ö Ø º ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ f R f 0º ÎÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ f ÓÒ Ö Ù Ó ØÙ Ð Ò I Ö Ò Ö Ò ÒÒ Ò Ù Ø Ò Ð Ñ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò f Ø ÖÑ ÓÐ ÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐÒ Ö Ò Ö Ò ÒÒ Ò Ð ÓÐÐ º Ì Ø ÓÐ ØÙ Ø ÚÐ ØØ Ñ Ø ÙÖ ØØ f ÓÒ ÓÙ ÓÒ (I) ÑÓÒÓÑ Ò k¹ð Ò Ö Ò Ò ÙÑÑ º Ë ÓÙ Ó B Ò ÖÓ k¹ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò R/Iº ¾º¾ Î ÐÙ Ø ÓØ Ý Ø ØÝØ Ú ÐÙ Ø ÓØ ÃÓ ÓÒ ÐÙ V ÓÒ Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò Ó ÐÐ x K Ñ K ÓÒ Ö Ò Ò V Ó ÑÖ ÙÒØ Ó Ó x V Ø x 1 V º ÇÐ ÓÓÒ Γ ØÝ ÐÐ Ø Ö Ø ØØÝ Ð Ò ÖÝ Ñº ËÙÖ Ø Ú Ò Ò ÙÚ Ù ν : K Γ ÓÒ Ú ÐÙ Ø Ó Ó ÐÐ x, y K ÓÒ ÚÓ Ñ µ ν(xy) = ν(x) + ν(y) µ ν(x + y) min{ν(x), ν(y)}º Í Ò ν Ð ÒÒ Ø Ò Ó Ó ÙÒØ Ò K Ð ØØÑÐÐ ÖÝ ÑÒ Γ Ð Ó Ñ¹ Ö ØØ Ð ÑÐÐ ν(0) = º ÃÙÒÒ Ò Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò ÑÖ ØØ Ý ØØ Ò Ú ¹ ÐÙ Ø ÓÒ ØÓ ÐØ Ò Ð ÓØ Ó Ò ÖÚÓ ÓÒ ¹Ò Ø Ú Ò Ò Ú ÐÙ Ø Ó ν ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ý ØØ Ò Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò Òº ÊÝ Ñ Γ ÒÓØ Ò Ú ÐÙ ¹ Ø ÓÒ ν ÖÚÓÖÝ Ñ º Î ÐÙ Ø Ó ÓÒ Ö ØØ ÙÒ Ò ÖÚÓÖÝ Ñ ÓÒ ÓÑÓÖ¹ Ò Ò Ð Ü¹ Ö Ø ØÝÒ ÖÝ ÑÒ Z n Ò º Ì Ø ÔÓ Ø Ò Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò ÓÒ Ö ØØ Ó Ò Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÖÚÓÖÝ Ñ ÓÒ Zº ÃÙÒÒ Ò ØÖ Ú Ð Ú ÐÙ Ø Ó ÓÒ Ú ÐÙ Ø Ó Ó ÖÚÓÒ 0 ÐÐ ÙÒÒ Ò K ÒÓÐÐ Ø ÖÓ Ú ÐÐ Ð Ó ÐÐ º ÃÙÒ ÙÒØ K ÓÒ ÙÒÒ Ò k Ð ÒÒÙ ÙÒÒ Ò K/k Ú ÐÙ Ø Ó ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ò Ø Ú ÐÙ Ø Ó Ø Ó Ò Ö Ó ØØÙÑ ÙÒØ Ò k ÓÒ ØÖ Ú Ð º ÇÐ ÓÓÒ R Ó ÓÒ ÐÙ K Ò Ó ÑÖ ÙÒØ º ÇÐ ÓÓÒ Ð (S, N) ÐÓ Ð Ö Ò ÓÒ Ó ÑÖ ÙÒØ ÓÒ ÙÒÒ Ò K Ð ÒÒÙ P Ó Ò Ö Ò¹ Ò R Ð Ù Ð º ÂÓ R S N R = P ÒÓØ Ò ØØ Ö Ò Ò S Ù Ö Ò R ÓÒ P º Ë ÒÓØ Ò ÑÝ ØØ S ÓÒ ØØÝÒÝØ Ô Ø Ò P Ö Ò¹ Rº ÂÓ Ö ØÝ Ø R ÓÒ ÐÓ Ð Ö Ò P Ñ Ñ Ð Ò Ò Ð S ÓÒ ØØÝÒÝØ Ô Ø Ò P ÒÓØ Ò ØØ S ÓÑ ÒÓ Ö Ò Ø Rº Ä ÑÑ ¾º¾º½º ÇÐ ÓÓÒ K ÙÒØ R K Ö Ò P Ò Ð Ù Ð º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÙÒÒ Ò K Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò ÓÒ Ù Ö Ò R ÓÒ P º ÌÓ ØÙ º Å Ø ÙÑÙÖ Å Ø Ì ÓÖ Ñ ½¼º¾º ½¼

13 Ñ Ö ¾º¾º¾º ÇÐ ÓÓÒ K ÙÒØ k(x) Ñ x ÓÒ ØÖ Ò Ò ÒØØ Ò Ò ÝÐ ÙÒÒ Ò kº Ì Ñ Ö ÑÖ Ø ØÒ ÙÒÒ Ò K/k Ú ÐÙ Ø Óغ Çй ÓÓÒ f(x) ÓØÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ ÙÒÒ Ö Ò R = k[x]º Ê Ò R f = { g h K g, h R, f h} ÓÒ Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò ÇÐ ÓÓÒ z K º Ð Ó z ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ Ó h g Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ g h ÓÐ Ý Ø Ø Øº ÂÓ z R Ò Ò f h ÓØ Ò z 1 = h Rº Ê Ò Ò Ñ Ñ Ð Ò Ò Ð m g f ÓÒ Ò Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÙÒ ¹ Ø Ó Ò ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ Ó h g Ñ f g f hº Ì Ø Ò Ò ØØ Ó Ò Ò ÓØÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ ÑÖ ØØ ÙÒÒ Ò K Ú ÐÙ Ø ÓÒ ν f º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÓÙ Ó R ÙÖ Ú Ø R = { f g K f, g R, deg(f) deg(g)}. ÂÓÙ Ó R ÓÒ ÓÒ Ö Ò ÓÒ Ð m ÓÒ Ò Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÙÒ Ø Ó Ò f ÓÙ Ó Ó ÐÐ deg f < deg gº ÃÓ Ó Ò Ò f R g g \m ØÓØ ÙØØ ÓÒ deg(f) = deg(g) Ò Ò ØØ Ò Ð ÓØ ÓØ ÚØ ÙÙÐÙ Ð Ò m ÓÚ Ø ÒØÝÚ º Ì Ø ÙÖ ØØ m ÓÒ Ñ Ñ Ð Ò Ò Ð R ÓÒ ÐÓ Ð Ö Ò º ÇÐ ÓÓÒ z K ÓÐ Ø Ø Ò ØØ z ÓÒ Ø ØØÝ ÑÙÓ Ó f g Ñ f g ÓÚ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ó ÐÐ ÓÐ Ý Ø Ø Øº ÂÓ z R Ò Ò deg(f) > deg(g) ÓØ Ò z 1 Rº Ì Ø ÙÖ ØØ R ÓÒ ÙÒÒ Ò K Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò º ÇÐ ÓÓÒ ν ØØ Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò Ø Ú Ø Ú Ú ÐÙ Ø Óº ÇÐ ÓÓÒ ν Ó Ò ÙÒÒ Ò K/k Ú ÐÙ Ø Ó V Ò Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò M Ñ ¹ Ñ Ð Ò Ò Ð º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ R V º ÌÐÐ Ò R M = (f) Ñ f ÓÒ Ó Ò ÓØÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ º Ì Ø Ò Ò ØØ R f V V ÓÑ ÒÓ Ö Ò¹ Ø R f º ÌØ Ò ν = ν f ÐÐ Ö ØØ Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò ÓÒ Ñ Ñ Ð Ò Ò ÓÑ ÒÓ ÒÒ Ò Ù Ø Òº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú Ø Ô Ù Ø R V = kº ÌÐÐ Ò x 1 V ÐÐ ÑÙÙØÓ Ò x V Ñ ÓÒ Ö Ø Ö ÓÐ ØÙ Ò Ò º Å Ö ¹ ØÒ y = x 1 º ÃÓ y V Ò Ò k[y] V k[y] M = (y)º Ì Ø Ò Ò ØØ V { f g K f, g k[y], y g} = { a ny n + a n 1 y n 1 + a 0 b m y m + b m 1 y m b 0 a i, b j k ÐÐ j, b 0 0} = { a nx m + a n 1 y m 1 + a 0 x m+n b m x n + b m 1 x n b 0 x n+m b 0 0} = { f g K f, g k[x], deg(f) deg(g)}. ½½

14 Æ Ò ØØ Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò V ÓÑ ÒÓ Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò Ø R º Ì Ø Ù¹ Ö ØØ ν = ν º ÇÐ ÑÑ ØÓ Ø Ò Ø ØØ Ó Ò Ò ÙÒÒ Ò K(x)/k Ú ÐÙ Ø Ó ÓÒ Ó Ó ν Ø ØØ Ò Ú ÐÙ Ø Ó ν f Ñ f ÓÒ ÓØÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾º º ÌÝ ÐÐ Ø Ö Ø ØÝÒ ÖÝ ÑÒ Γ Ð ÖÝ Ñ ÓÒ Ö ¹ Ø ØØÝ Ó Ó Ø 0 β α β Γ α ÙÖ β º Ä ÑÑ ¾º¾º º ÇÐ ÓÓØ 1 2 ÖÝ ÑÒ Γ Ö Ø ØØÝ Ð ÖÝ Ñ º ÌÐÐ Ò Ó Ó 1 2 Ø 2 1 º ÌÓ ØÙ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ð Ý ØÒ α 1 1 \ 2 α 2 2 \ 1 º ÎÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ α i > 0º ÃÓ Γ ÓÒ ØÝ ÐÐ Ø Ö Ø ØØÝ Ó Ó α 1 α 2 Ø α 2 α 1 º ÂÓ α 1 < α 2 Ò Ò α 1 2 º ÌÓ ÐØ Ó α 2 < α 1 Ò Ò α 2 1 º ÅÓÐ ÑÑ Ø Ú ØÓ ÓØ Ó Ø Ú Ø Ö Ø Ö Ø Òº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾º º ÇÐ ÓÓÒ Γ ÖÝ Ñº ÊÝ ÑÒ Γ Ö Ø ÓÒ Ð Ò Ò Ø ÓÒ dim Q (Γ Z Q)º Å Ö ØÒ ØØ ÐÙ Ù rat. rank Γº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Γ ÓÒ ØÝ ÐÐ Ø Ö Ø ØØݺ ÇÐ ÓÓÒ {0} = 0 1 n = Γ. ÖÝ ÑÒ Γ Ö Ø ØØÝ Ò Ð ÖÝ Ñ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò Ø Ùº ËÙÙÖ ÒØ ØÐÐ Ø ÐÙ Ù n ÒÓØ Ò ÖÝ ÑÒ Γ Ø Ñ Ö ØÒ rank Γ = nº Ä ÑÑ ¾º¾º º Î ÐÙ Ø ÓÖ Ò Ò V Ð Ù Ð Ò ÖÝ ÑÒ Γ Ö Ø ØØÝ Ò Ð ÖÝ Ñ Ò ÚÐ ÐÐ ÓÒ Ø Ú Ò Ò Ú Ø ÚÙÙ º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ ν Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò Ò V Ð ØØÝÚ Ú ÐÙ Ø Ó Γ Ò ÖÚÓ¹ ÖÝ Ñº ÇÐ ÓÓÒ P Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò Ò V Ð Ù Ð Ò ÓÙ Ó Ú Ø Ú Ø E ÖÝ ÑÒ Γ Ö Ø ØØÝ Ò Ð ÖÝ Ñ Ò ÓÙ Óº ÅÖ Ø ÐÐÒ ÙÚ Ù Ø Φ : P E Ψ : E P Ó Ó Ø Ø Ò ØØ ÒÑ ÙÚ Ù Ø ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò ÒØ Ù¹ Ú Ù º ÇÐ ÓÓÒ ÖÝ ÑÒ Γ Ö Ø ØØÝ Ð ÖÝ Ñº ÅÖ Ø ÐÐÒ ÓÙ Ó I = {x V ν(x) }. ÌÓ Ø Ø Ò Ò Ò ØØ I ÓÒ Ð ÇÐ ÓÓÒ x I a V º ÆÝØ ν(ax) = ν(a) + ν(x), ÓØ Ò Ó ν(ax) ÑÝ ν(x) º Ì Ø Ò Ò ØØ ax I º Î ÐÙ ¹ Ø ÓÐÐ ν ÓÒ ÚÓ Ñ ν(x + y) min{ν(x), ν(y)}, ½¾

15 ÓØ Ò x + y I ÐÐ x, y I º ÌØ Ò I ÓÒ Ð º Ç Ó Ø Ø Ò ÙÖ ¹ Ú ØØ I ÓÒ Ð Ù Ð ÂÓ x, y I Ò Ò ν(x), ν(y) ÓØ Ò ν(x) + ν(y) = ν(xy). Ì Ø Ò Ò ØØ xy I º ÅÖ Ø ÐÐÒ Ö Ø ØÝÒ Ð ÖÝ ÑÒ ÙÚ Ψ( ) = I º ÇÐ ÓÓÒ I Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò Ò V Ð Ù Ð º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÓÙ Ó I = Γ\{ν(I) ν(i)}. ÌÓ Ø Ø Ò Ò Ò ØØ I ÓÒ ÖÝ Ñ ÙÒ I ÓÒ Ð Ù Ð ÂÓ I ÓÒ Ú ÐÙ ¹ Ø ÓÖ Ò Ò V Ñ Ñ Ð Ò Ò Ð Ò Ò I = {0}º ÅÙÙ Ø Ô Ù I ÐØ ÒÓÐÐ Ø ÖÓ Ú Ò Ð ÓÒº ÂÓ h I Ò Ò ÐÚ Ø h ÑÖ Ø Ð¹ ÑÒ ÝÑÑ ØÖ ÝÝ Ø Ó ØÙ Òº ÇÐ ÓÓØ ÒÝØ g, h I º ÎÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ g, h 0º Î Ð Ø Ò x, y R Ø Ò ØØ ν(x) = g ν(y) = hº ÆÝØ x, y I Ó I ÓÒ Ð Ù Ð xy Iº Ì Ø ÙÖ ØØ g + h = ν(xy) I º ÌÓ¹ Ø Ò ÙÖ Ú ØØ I ÓÒ Ö Ø ØØÝ Ð ÖÝ Ñ ÇÐ ÓÓØ g I h Γ 0 h gº Î Ð Ø Ò x, y R Ø Ò ØØ ν(x) = h ν(y) = gº Ê ØØ Ó Ó Ø¹ Ø ØØ Ó x I ν(y) ν(x) Ò Ò y Iº ÌÑ ÙÖ Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÃÓ ν(y) ν(x) y = y x x Iº ÅÖ Ø ÐÐÒ Φ(I) = Iº Ç Ó Ø Ø Ò ÐÓÔÙ ØØ ÙÚ Ù Ø Φ Ψ ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò ÒØ ÙÚ Ù ¹ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ý Ø ØØÝ ÙÚ Ù Ø ΦΨ Ó Ö Ø ØØÝ Ð ÖÝ Ñ ÙÚ ÙØÙÙ Ö Ø ØÝ Ð ÖÝ Ñ = ΦΨ( )º ÇÐ ÓÓÒ g g 0º ÌÑ ÓÒ ÚÓ Ñ Ø Ö ÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ g = ν(x) ÓÐÐ Ò x Ψ( ) Ø Ö ÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ g º ÌÓ Ø Ø Ò ÙÖ Ú ØØ Ý Ø ØØÝ ÙÚ Ù ΨΦ Ó ÙÚ Ð Ò I Ð I = ΨΦ(I) ÓÒ ÒØ Ø ØØ ÙÚ Ù ÅÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò x I Ó Ú Ò Ó ν(x) Φ(I)º ÌÑ ÓÒ ÚÓ Ñ Ø Ö ÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ ν(x) ν(i) Ð Ø Ö ÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ x Iº Ä ÑÑ ¾º¾º º ÇÐ ÓÓÒ Γ ØÝ ÐÐ Ø Ö Ø ØØÝ ÖÝ Ñ Ò Ö Ø ØØÝ Ð ÖÝ Ñº ÌÐÐ Ò Γ/ ÓÒ ØÝ ÐÐ Ø Ö Ø ØØݺ ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ p : Γ Γ/ ÔÖÓ Ø Óº Å Ö ØÒ P ÐÐ ÖÝ ÑÒ Γ ¹Ò Ø Ú Ð Ó Ø º Ç Ó Ø Ø Ò ØØ ØÐÐ Ò ÓÙ Ó p(p) ÚÓ Ò Ú Ð Ø Ø ÖÝ ÑÒ Γ/ ¹Ò Ø Ú Ø Ò Ð Ó ¹ Ò ÓÙ Ó Ë ÐÚ Ø p(p) p(p) = Γ/. ½

16 Ç Ó Ø Ø Ò ØØ p(p) p(p) = {0}. ÂÓ p(x) = p(y) Ó ÐÐ Ò x, y P Ò Ò x + y ÓØ Ò ÑÝ x, y º ÌØ Ò p(x) = p(y) = 0º Ä Ù ¾º¾º º ÇÐ ÓÓÒ Γ ØÝ ÐÐ Ø Ö Ø ØØÝ ÖÝ Ñ Ò Ö Ø ØØÝ Ð ¹ ÖÝ Ñº ÌÐÐ Ò µ rat. rank(γ/ ) = rat. rank(γ) rat. rank( )º µ rank(γ/ ) = rank(γ) rank( )º ÌÓ ØÙ º ËÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ Ø ÙÒ ØÓÖ Z Q Ø Ò ÓÒÓÓÒ Ò Ø ÓÒÓ 0 Γ Γ/ 0, 0 Q Γ Q Γ/ Q 0. Î Ø µ ÙÖ Ø Øº Î Ø µ ÓÒ ØÓ ÐÐ Ö Ø ØØÝ Ò Ð ÖÝ Ñ Ò ÓÙ Ó ÓÒ ØÝ ÐÐ Ø Ö Ø ØØÝ ÐØÝÑ Ö Ð Ø ÓÒ Ù Ø Òº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾º º Î ÐÙ Ø ÓÒ ν Ø ÓÒ Ú Ø Ú Ò Ú ÐÙ Ø ÓÖÝ ÑÒ Ø º Ñ Ö ¾º¾º½¼º ÅÖ Ø ØÒ ÖÝ ÑÒ Z Ø Ö Ø ÓÒ Ð Ò Ò Ø º Çй ÓÓÒ {0} Ó Ò ÖÝ ÑÒ Z Ö Ø ØØÝ Ð ÖÝ Ñº Î Ð Ø Ò Ó Ò a a > 0º ÂÓ a = 1 Ò Ò Z ÓØ Ò = Zº ÅÙÙ Ø Ô Ù a > 1º ÃÓ ÓÒ ÓÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò Ö Ø ØØÝ ÑÝ 1 º ÌØ Ò = Zº Ì Ø Ò Ò ØØ rank Z = 1. ÊÝ ÑÒ Z Ö Ø ÓÒ Ð Ò Ò Ø ÓÒ Ý ÐÐ Z Z Q = Qº Ä ÑÑ ¾º¾º½½º ÇÐ ÓÓÒ ÖÝ Ñ Z d Ö Ø ØØÝ Ð Ü¹ Ö ØÝ Ò Ù Ø Òº Ìй Ð Ò rank Z d = rat. rank Z d = d. ÌÓ ØÙ º ÌÓ Ø Ø Ò Ú Ø Ò Ù Ø ÓÐÐ ÐÙÚÙÒ d Ù Ø Òº Ì Ô Ù d = 1 ÓÒ ÐÚ ÐÐ Ò Ñ Ö Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ú Ø ÔØ ÖÝ ÑÐÐ Z d ÙÒ d n 1º ÊÝ ÑÐÐ Z n ÓÒ Ð ÖÝ Ñ = {0} {0} Z = Z. ½

17 ÊÝ Ñ ÓÒ Ö Ø ØØÝ ÇÐ ÓÓÒ a Z n b 0 < a bº ÃÓ ÓÒ ÓÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò Ð Ü¹ Ö ØÝ Ð Ó a ÓÒ ÚÐØØÑØØ ÑÙÓØÓ (0,...,0, i) Ñ i Z ÓØ Ò a º ÊÝ Ñ Γ = Z n / ÓÒ ÓÑÓÖ Ò Ò ÖÝ ÑÒ Z n 1 Ò ÓØ Ò ÝØØÑÐÐ Ò Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ Ø ÐÐ Ø Ð Ù ØØ Ò Ò ØØ rank Z n = rank Γ + rank = (n 1) + 1 = n rat. rank Z n = rat. rank Γ + rat. rank = n. ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾º½¾º Î ÐÙ Ø ÓÒ ν Ø ÓÒ Ú Ø Ú Ò Ú ÐÙ Ø ÓÖÝ ÑÒ Ø º Ñ Ö ¾º¾º½ º ÊÝ Ñ Γ {0} ÓÒ Ö Ñ Ò Ò Ð ÐÐ α, β Γ α > 0 Ð Ý ØÒ n Z Ø Ò ØØ nα > βµ Ó Ú Ò Ó rank Γ = 1º ÇÐ ÓÓÒ Γ Ö Ñ Ò Ò Ö Ø ØØÝ Ð ÖÝ Ñº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ð Ý ØÒ α α > 0º ÂÓ β Γ Ò Ò Ú Ð Ø Ò n ÓÐÐ nα > βº ÃÓ ÓÒ Ö Ø ØØÝ Ø Ø ÙÖ ØØ β º ÌØ Ò ÖÝ ÑÐÐ Γ ÓÐ ÑÙ Ø Ö Ø ØØÝ Ð ÖÝ Ñ Ù Ò {0} Γº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ rank Γ = 1º ÇÐ ÓÓÒ α Γ α > 0º ÇÐ ÓÓÒ Ò Ò Ð Ó Ò β Γ ÓÙ Ó ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÓÒ nα > β ÓÐÐ Ò n Zº Ë ÐÚ Ø ÓÒ Ö Ø ØØÝ ÖÝ Ñ Ó rank Γ = 1 ÓÒ = Γº Ä ÑÑ ¾º¾º½ º ÇÐ ÓÓÒ ν ÙÒÒ Ò K/k Ú ÐÙ Ø Óº ÌÐÐ Ò rat. rank(ν) trdeg(k/k). ÌÓ ØÙ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ (α 1,...,α n ) ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò f(x) k[x 1,...,x n ] ÒÓÐÐ Ó Ø º ÃÓ f(α 1,...,α n ) = 0 Ú ÒØÒ ÐÐ ÑÓÒÓÑ ÐÐ ÓÒ Ñ ÖÚÓº Ì Ø ÙÖ ØØ ÓÒ ÚÓ Ñ Ý ØÐ ν(aα i i 1 αn in ) = ν(bα j 1 1 αn jn ) Ñ i k j k ÓÐÐ Ò Ò ÐÐ k a, b kº ÌØ Ò (i 1 j 1 )ν(α 1 ) + + (i n j n )ν(α n ) = 0. Ì Ø Ò Ò ØØ Ð ÓØ ν(α 1 ),, ν(α n ) ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ Ö¹ ÚÓÖÝ Ñ º Ä ÑÑ ¾º¾º½ º ÇÐ ÓÓÒ ν Ú ÐÙ Ø Óº ÌÐÐ Ò rank(ν) rat. rank(ν)º ½

18 ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ rank(ν) = n Γ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ν ÖÚÓÖÝ Ñº ÇÒ Ó Ó Ø ØØ Ú ØØ ÖÝ Ñ Ø Γ Ð Ý ØÒ Ú ÒØÒ n Z¹Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒØ Ð ÓØ º ÇÐ ÓÓÒ 0 n Ø Ù ÖÝ ÑÒ Γ Ö Ø ØØÝ Ð ÖÝ Ñ º Î Ð Ø Ò δ i i \ i 1, Ñ i = 1,...,nº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ð Ó Ò δ i ÚÐ ÐÐ ÓÒ Ö Ð Ø Ó a 1 δ a m δ m = 0, Ñ a i Z i = 1,...,m m n a m 0º ÌÐÐ Ò a m δ m m 1 º ÇÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò m 1 ÓÒ Ö Ø ØØÝ ÓØ Ò δ m m 1 Ñ ÓÒ Ö Ø Ö Ð ÓÒ δ m Ú Ð ÒÒ Ò Ò º ÇÐ ÓÓÒ K ÙÒÒ Ò K Ð ÒÒÙ ν ÙÒÒ Ò K Ú ÐÙ Ø Ó ν Ò Ö Ó Ø¹ ØÙÑ ÙÒØ Ò Kº ÇÐ ÓÓØ Ð Γ Γ Ú ÐÙ Ø Ó Ø Ú Ø Ú Ø ÖÝ ÑØ κ κ Ò Ò Ø ÙÒÒ Øº Ä ÑÑ ¾º¾º½ º ÂÓ K ÓÒ ÙÒÒ Ò K Ð Ö ÐÐ Ò Ò Ð ÒÒÙ Ò Ò rat. rank Γ = rat. rankγ. ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ α Γ º Î Ð Ø Ò z K Ø Ò ØØ ν (z) = αº ÃÓ Ð ÒÒÙ ÓÒ Ð Ö ÐÐ Ò Ò Ð Ý ØÒ K¹ ÖØÓ Ñ Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ x n + a n 1 x n a 0 = 0, ÓÒ ÒÓÐÐ Ó Ø Ð Ó z ÓÒº Î ÒØÒ ÐÐ Ø ÖÑ ÐÐ ÓÒ Ñ ÖÚÓ Ú ÐÙ¹ Ø ÓÐÐ ν ÓØ Ò ν (a i z i ) = ν (a j z j ) (j i)ν (z) = ν (a j /a i ) Γº Ì Ø Ò Ò ØØ ÖÝ ÑÐÐ Γ /Γ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÖØ ÐÙ Ù Γ /Γ Q = 0º Ë ÙÖ Ú Ò Ð Ù Ò ØÓ ØÙ Ò ÓÒ ØØÒÝØ Ë Ö Ö Ñ Ý Ò Ö ÖØ ¹ Ð Ä Ù ¾º¾º½ º ÐÐ ÓÐ Ú ÐÐ Ñ Ö ÒÒ ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ µ rat. rank(γ /Γ) + trdeg(κ /κ) trdeg(k /K) ÂÓ Ý Ø ÙÙÖÙÙ ÓÒ ÚÓ Ñ Ð ÒÒÙ K /K ÓÒ Ö ÐÐ Ø Ò ¹ ÖÓ ØÙ Ò Ò Γ /Γ ÓÒ Ö ÐÐ Ø Ò ÖÓ ØÙ Z¹ÑÓ ÙÐ ÙÒØ Ð ÒÒÙ κ /κ ÓÒ Ö ÐÐ Ø Ò ÖÓ ØÙº ½

19 µ rank(ν ) + trdeg(κ /κ) rank(ν) + trdeg(k /K)º ÂÓ Ý Ø ÙÙÖÙÙ ÓÒ ÚÓ Ñ K /K Ö ÐÐ Ø Ò ÖÓ ØÙ Ð ÒÒÙ Γ ÓÒ Ö ØØ Ò Ò κ /κ ÓÒ Ö ÐÐ Ø Ò ÖÓ ØÙ Γ ÓÒ ¹ Ö ØØ º ÇÐ ÓÓÒ ν Ð ÒÒÙ Ò K/k Ú ÐÙ Ø Ó κ Ò ÒÒ ÐÙÓ ÙÒØ º ËÓ¹ Ú ÐÐ Ø Ò ÐÐ Ø Ð Ù ØØ Ø Ò Ø Ô Ù Ò Ú Ð Ø Ñ ÐÐ ν = ν K = k κ = kº Å Ö ØÒ dim(ν) = trdeg κ/kº Ð Ø Ò Ò Ò rank(ν) + dim(ν) rat. rank(ν) + dim(ν), Ó rank(ν) rat. rank(ν)º Ä Ó Ú Ð Ø Ò Ó (a) Γ = {0} Ò Ò rat. rank(γ) = rat. rank(ν) Ð rat. rank(ν) + dim(ν) trdeg K/k. ÃÙÒØ Ð ÒÒÙ Ø K/k ÒÓØ Ò Ð Ö ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÙÒÒ Ó K/k ÓÒ Ö ÐÐ Ø Ò ÖÓ ØÙ ÙÒØ Ð ÒÒÙ Ó ÓÐ Ð Ö ÐÐ Ò Òº ÇÐ Ø Ò Ð Ò ØØ ÙÒØ k ÓÒ Ð Ö ÐÐ Ø ÙÐ ØØÙ ÙÒÒ Kº ÂÓ K/k ÓÒ ÙÒ ¹ Ø Ó ÙÒØ Ý Ø ÙÙÖÙÙ rat. rank(ν) + dim(ν) = trdeg(k/k) ÓÒ ÚÓ Ñ Ò Ò Ó Ò µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÖÚÓÖÝ Ñ Γ ÓÒ Ö ÐÐ Ø Ò ÖÓ ØÙ Z¹ÑÓ ÙÐ κ/k ÓÒ Ö ÐÐ Ø Ò ÖÓ ØÙº ÂÓ Ð ÓÒ ÚÓ Ñ Ý Ø ÙÙÖÙÙ rank(ν) + dim(ν) = trdeg K/k Ò Ò Ó Ø µ Ò Ò ØØ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ν ÖÚÓÖÝ Ñ ÓÒ Ö ØØ º Ñ Ö ¾º¾º½ º ÇÐ ÓÓÒ K/k ÙÒ Ø Ó ÙÒØ trdeg K/k = dº Ð Ù Ú ÓÖ ÓÒ ÓÒ ÙÒÒ Ò K/k Ú ÐÙ Ø Ó ν ÓÐÐ dim(ν) = d 1º ÃÓ Ú ÐÙ Ø Ó ÓÐ ØÖ Ú Ð rank(ν) 1 ÐÐ Ò Ð ÑÑ Ò Ó Ø µ Ò Ò ØØ rank(ν) + trdeg κ/k trdeg K/k, ÓØ Ò rank(ν) = 1º ÃÓ ÒÝØ ÓÒ ÚÓ Ñ Ý Ø ÙÙÖÙÙ Ó Ø µ ¹ Ò ØØ κ/k ÓÒ Ö ÐÐ Ø Ò ÖÓ ØÙ Γ ÓÒ Ö ØØ º Ì Ø ÙÖ Ö ¹ ØÝ Ø ØØ Γ = Zº Î ÐÙ Ø ÓÖ Ò ÓÒ Ö ØØ Ñ Ò Ó ÓÒ 1 ÓØ Ò ÓÒ ÚÐØØÑØØ ÆÓ Ø Ö Ò Ö Ò º Ø ØÝØ Ú ÐÙ Ø ÓØ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú Ý Ø ØØÝ Ú ÐÙ Ø Ó Ø º ÇÐ ÓÓÒ ν Ú ÐÙ Ø Ó R Ò Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò m Ò Ñ Ñ Ð Ò Ò Ð Γ Ò ÖÚÓÖÝ Ñº ÇÐ ¹ Ø Ø Ò ØØ rank(ν) > 1º ÌÐÐ Ò Ð Ý ØÒ ÖÝ ÑÒ Γ ØÓ Ö Ø ØØÝ Ð ÖÝ ¹ Ñ {0}º ÇÐ ÓÓÒ p Ö Ø ØØÝ Ð ÖÝ Ñ Ú Ø Ú Ð Ù Ð º ÌÐÐ Ò R = R p ÓÒ Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò º ÇÐ ÓÓÒ ν Ò Ú ÐÙ Ø Ó Γ ÖÚÓÖÝ Ñº ½

20 Ê Ò R = R/p ÓÒ ÙÒÒ Ò R /pr Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò ÐÐ Ó x R /pr x 0 Ò Ò Ú Ð Ø Ò Ò Ù Ø x R º ÃÓ R ÓÒ Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò Ó Ó x R Ø x 1 Rº Ì Ø ÙÖ ØØ Ó Ó x R Ø x 1 Rº ÇÐ ÓÓÒ ν Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò Ò R Ú ÐÙ Ø Ó Γ Ò ÖÚÓÖÝ Ñº Ä ÑÑ ¾º¾º½ º ÃÝØ ØÒ ÑÓ Ñ Ö ÒØ Ù Ò ÝÐк µ ÌÐÐ Ò Γ = Γ/ Γ = º µ ÂÓ ν ÓÒ Ö ØØ Ø ØØ 1 ÓÐ Ú Ú ÐÙ Ø Ó Ò Ò Γ = Γ, ÙÒ ØÙÐÓ ÓÒ Ö Ø ØØÝ Ð Ü¹ Ö ØÝ Ò Ù Ø Òº ÌÓ ØÙ º µ ÇÐ ÓÓÒ Ö Ò Ò R Ý Ò ÓÙ Ó E ÓÐ ÓÓÒ Ú Ø Ú Ø Ö Ò Ò R Ý Ò ÓÙ Ó E º ÆÝØ ν 1 ( ) = E ÐÐ Ó z E Ò Ò ÚÓ Ò Ö Ó ØØ z = x Ñ x, y R\pº Ì Ø ÙÖ ØØ y ν(x), ν(y) ÓØ Ò ν(z) º ÃÒØ Ò Ó α ν(x) = α Ò Ò x, 1 p ÓØ Ò x x E º ÅÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò Ker(ν ) = E E E ÓØ Ò Ò ÝÚ ÒÑÖ Ø ÐØÝ ÙÖ Ø Ú Ò Ò ÓÑÓÑÓÖ Ñ ν ν 1 : Γ Γ. ÃÓ ν 1 ( ) = E ÙÚ Ù Ò ν ν 1 Ý Ò ÓÒ º Ì Ø Ò Ò ØØ Γ = Γ/. ÌÑ ÓÒ ÑÝ Ö Ø ØØÝ Ò ÖÝ Ñ Ò ÚÐ Ò Ò ÓÑÓÖ Ñ ÐÐ R R º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÚ Ù Ø φ Ó ÓÒ ÔÖÓ Ø ÓÒ R R/p Ú ÐÙ Ø ÓÒ ν Ý Ø ØØÝ ÙÚ Ù º ÃÙÚ Ù φ ÓÒ ÐÚ Ø ÙÖ Ø Ú Ò Ò ÓÑÓÑÓÖ Ñ ÓÙ ÓÐØ E ÖÝ ÑÒ Γº ÐÐ Ø ÔØØ ÐÝ Ø ÙÖ ØØ = E /E ÓØ Ò Ú ØØ Ò ØÓ Ø Ñ Ö ØØ Ó Ó ØØ ØØ Ker(φ) = Eº ̹ Ñ Ò Ò ÙÓÖ Ò ÙÚ Ù Ò ÑÖ Ø ÐÑ Øº ÌÓ Ø Ø Ò Ú Ð ØØ ØÙ ÓÑÓÖ Ñ ÓÒ Ö Ø ØØÝ Ò ÖÝ Ñ Ò ÚÐ Ò Ò ÓÑÓÖ Ñ Çй ÓÓÒ x E º ÆÝØ ν(x) > 0 Ø Ö ÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ x Rº Î Ø Ú Ø ÙÚ Ù φ Ð ÓÒ x E ÙÚ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ø Ö ÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ x Rº µ Î ÐÙ Ø Ó ν ÓÒ Ö ØØ Ø ØØ 1 ÓØ Ò Ò ÖÚÓÖÝ Ñ ÓÒ ÓÑÓÖ¹ Ò Ò ÖÝ ÑÒ Z Ò º ÌØ Ò Γ/ = Zº Ì Ø Ò Ö Ø ØØÝ Ò ÖÝ Ñ Ò ÚÐ Ò Ò Ø ÓÒÓ 0 α Γ β Z 0. ½

21 Ø ÓÒÓ ÐÓ ÊÓØÑ Ò ÊÓØ Ø ÓÖ Ñ º½¾µ ÐÐ Z ÓÒ ÔÖÓ¹ Ø Ú Ò Ò Z¹ÑÓ ÙÐ º Ä Ý ØÒ ÓÑÓÑÓÖ Ñ γ : Z Γ Ó ØÓØ ÙØØ ÓÒ βγ = 1º Ì Ø ÙÖ ØØ Γ = Z, Ñ ÓÑÓÖ Ñ ÙÚ ÊÓØÑ Ò ÊÓØ Ø ÓÖ Ñ ¾º µ ÖÝ ÑÒ Γ Ð¹ ÓÒ g Ð Ó (β(g), α 1 (g γβ(g))). Ê ØØ ØÓ Ø ØØ ÓÑÓÖ Ñ ÓÒ Ö Ø ØØÝ Ò ÖÝ Ñ Ò ÚÐ Ò Ò Ó¹ ÑÓÑÓÖ Ñ Ð ÙÚ ÔÓ Ø Ú Ø Ð ÓØ ÔÓ Ø Ú ÐÐ Ð Ó ÐÐ º ÇÐ Ø ¹ Ø Ò ØØ Z ÓÒ Ö Ø ØØÝ Ð Ü¹ Ö ØÝ Ò Ù Ø Òº ÇÐ ÓÓÒ g Γ g 0º ÃÓ β ÙÚ ÔÓ Ø Ú Ø Ð ÓØ ÔÓ Ø Ú ÐÐ Ð Ó ÐÐ Ú Ø ÙÖ Ó β(g) > 0º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ø Ô Ù Ø β(g) = 0º ÌÐÐ Ò g ÙÚ ÙØÙÙ Ð ÓÐÐ (0, α 1 (g))º ÃÓ g ÓÒ ÓÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò ÔÓ Ø Ú ¹ Ò Ò ÑÝ Ð Ó α 1 (g) ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº Ë (0, α 1 (g)) ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ú Ø ÙÖ º Ë ÒÓØ Ò ØØ Ú ÐÙ Ø Ó ν ÓÒ Ú ÐÙ Ø Ó Ò ν ν Ý Ø ØØÝ Ú ÐÙ Ø Ó Ñ Ö ØÒ ν = ν ν. Ñ Ö ¾º¾º¾¼º ÇÐ ÓÓÒ K = k(x, y) Ñ x y ÓÚ Ø Ð Ö ÐÐ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ÝÐ ÙÒÒ Ò kº Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ð Ö Ò Ø R = k(y)[x] ÓÒ Ð ÓØ ÓÚ Ø k(y)¹ ÖØÓ Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÙÒÒ Ò K Ú ÐÙ Ø Ó ν Ø Ò ØØ ν (x) = 1 ν (z) = 0 ÐÐ z k(y) Ñ z 0º ÌÑ ØÓ ÑÖ ØØ Ý ØØ Ò Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ò Ù Ö Ò R ÓÒ Ñ Ñ ¹ Ð Ò Ò Ð m = (x)º Î ÐÙ Ø Ó ν Ñ ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÖØ ÐÙ Ù Ô Ø 0º Ì Ø ÙÖ ØØ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ν Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò ÓÒ R = R (x) = { f f, g R, g(0) 0}. g Î ÐÙ Ø ÓÒ ν ÒÒ ÐÙÓ ÙÒØ ÓÒ κ = R /(x)r = R/(x) = k(y)º Ì Ø Ò Ò ØØ dim(ν ) = 1 ÓØ Ò Ý Ò Ö Ò Ð ÑÑ Ø ÙÖ ØØ ν ÓÒ Ö ØØ Ø ØØ 1 ÓÐ Ú Ú ÐÙ Ø Óº ÃÙÒÒ k(y) ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ú Ø Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ú ÐÙ Ø Ó ν ÓÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ ν(y) = 1º ÌÑÒ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò ÓÒ R = { f g f, g k[y], g(0) 0} = k[y] (y). ½

22 Î ÐÙ Ø ÓÒ ÒÒ ÐÙÓ ÙÒÒ k Ò R/(y)R = k[y]/(y) = k. Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú ÙÒÒ Ò K Ý Ø ØØÝ Ú ÐÙ Ø ÓØ ν = ν ν. Î ÐÙ Ø ÓÒ ν ÖÚÓÖÝ Ñ ÓÒ Ð ÑÑ Ò ¾º¾º½ ÑÙ Ò ÓÑÓÖ Ò Ò Ð Ü¹ Ö ¹ ØÝ ÐÐ Ú ÖÙ Ø ØÙÒ ÖÝ ÑÒ Z Z Ò º ÐÐ Ò Ð ÑÑ Ò Ñ Ö ÒÒ ÐÐ ÓÑÓÖ Ò ÒØ ÙÚ Ù Ì Ø ÙÖ ØØ g (β(g), α 1 (g γβ(g))) = (β(g), α 1 (g β(g)γ(1))). ν(f) = (ν (f), ν(fx ν (f) )), Ñ fx ν (f) Ø ÐÐ Ò Ö Ù Ó Ù ÙÒØ Ò R /m º Ð Ó fx ν (f) Ù¹ Ú ÙØÙÙ ÙÒÒ Ò R /m ÒÓÐÐ Ø ÖÓ Ú ÐÐ Ð ÓÐÐ ÐÐ ν (fx ν (f) ) = 0 Ð fx ν (f) m º ÃÚ Ö ØØ Ø ÑÙÙÒÒÓ Ø È Ð ÙØ Ø Ò Ñ Ð Ò Ú Ö ØØ Ò ÑÙÙÒÒÓ Ò Ø ÇÐ ÓÓÒ (R, M) Ò¹ Ò ÐÐ Ò Ò ÐÓ Ð Ö Ò Å Ø ÙÑÙÖ Å Ø ÚÙ ½¼ µ K Ö Ò Ò R Ó ¹ ÑÖ ÙÒØ º Å Ö ØÒ k = R/Mº ÇÐ ÓÓÒ Ð ν Ó Ò Ú ÐÙ Ø Ó ÓÒ¹ Ù Ö Ò R ÓÒ M (V ν, M ν ) Ò Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò º Î ÐÙ Ø ÓÒ ν R¹ Ñ Ò Ó ÓÒ ÙÒØ Ð ÒÒÙ Ò (V ν /M ν )/k ØÖ Ò Ò ÒØØ ÙÙ Ø º Å Ö¹ ØÒ ØØ ÐÙ Ù dim R νº Ì ÔÝ Ð ÓÐ Ø Ø Ò ØØ ÙÒØ Ð ÒÒÙ K/k Ñ k = R/M ÓÒ Ð Ö ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÙÒØ º ÇÐ ÓÓÒ dim R = s > 1 Ú Ð Ø Ò x 1,..., x s R Ø Ò ØØ M = (x 1,...,x s )º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ x 1,...,x s ÓÚ Ø Ö Ø ØØÝ Ø Ò ØØ ν(x 1 ) ν(x i ) i = 1,...,sº Å Ö ØÒ A = R[ x 2 x 1,..., x s x 1 ], P = A M ν S = A P N = PSº ÌÐÐ Ò (S, N) ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò ÐÓ Ð Ö Ò dim S s Ý Ò Ö Ä ÑÑ º¾¼µº ËÒÒ ÐÐ Ø ÐÓ Ð Ö Ò Ø (S, N) ÒÓØ Ò Ö Ò Ò R Ò ÑÑ Ú Ö ØØ ÑÙÙÒÒÓ ¹ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ν Ù Ø Òº ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ R 0, R 1,... ÓÒÓ ÒÒ ÐÐ ÐÓ Ð ¹ Ö Ò Ø Ñ R i ÓÒ Ö Ò Ò R i 1 Ò ÑÑ Ò Ò Ú Ö ØØ Ò Ò ÑÙÙÒÒÓ ¾¼

23 ÓÒ Ò Ú ÐÙ Ø ÓÒ ν Ù Ø Òº Ë ÒÓØ Ò ÐÝ Ý Ø ØØ R n ÓÒ Ö Ò Ò R 0 Ú ¹ Ö ØØ Ò Ò ÑÙÙÒÒÓ º ÇÐ Ø Ø Ò ØÙÒÒ ØÙ ØØ Ú Ö ØØ ÐÐ ÑÙÙÒÒÓ ÐÐ ÔØ dim R i dim R i+1 = dim Ri ν dim Ri+1 ν, Ñ dim R Ø Ö Ó ØØ Ö Ò Ò R ÃÖÙÐÐ Ò Ñ Ò ÓØ Ý Ò Ö Ä ÑÑ º¾¼µº Ä Ù ¾º¾º¾½º ÇÐ ÓÓÒ (R i, M i ) i = 1, 2,... ÓÒÓ Ö Ò Ø Ñ (R i, M i ) ÓÒ ÒÓÖÑ Ð ÐÓ Ð ÐÐ i = 1, 2,...º ÇÐ Ø Ø Ò Ð ØØ R i Ò Ó Ñ¹ Ö ÙÒØ ÓÒ K ÐÐ i Ö Ò Ò R i+1 Ù Ö Ò R i ÓÒ M i º ÂÓ R i ÓÐ Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò Ò Ò ØÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ö ØØ ÑÒ ÑÓÒØ ÙÒÒ Ò K Ú ÐÙ Ø ÓØ w ÓÐÐ ÓÒ Ù M i Ö Ò R i dim Ri w > 0 ÐÐ iº ÌÓ ØÙ º Å Ö ØÒ R = R i M = M i º ÃÓ Ó ÐÐ Ö Ò ÐÐ R i+1 ÓÒ Ù M i Ö Ò R i ÚÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ R 1 /M 1 R 2 /M 2... º Ì Ø ÙÖ ØØ D = R i /M i ÓÒ ÙÒØ º Ä (R, M) ÓÒ ÐÓ Ð Ö Ò ÐÐ Ó Ò Ò x R x M ÓÒ Ý Ó Ò Ö Ò R i Ý ¹ Ö Ò Rº ÇÒ ÐÚ ØØ D = R/Mº ÃÓ Ó Ò Ò R i ÓÒ ÒÓÖÑ Ð ÑÝ R ÓÒ ÒÓÖÑ Ð ÂÓ x K ÓÒ Ó ÓÒ Ò Ò ÝÐ Ö Ò Ò R Ò Ò x ÓÒ R¹ ÖØÓ Ñ Ò ÔÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÒÓÐÐ Ó Ø º ÌÐÐ Ò Ð Ý ØÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÐÙ Ù n Ø Ò ØØ ÔÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÖØÓ Ñ Ø ÙÙÐÙÚ Ø Ö Ò Ò R n º Ì Ø Ù¹ Ö ØØ x ÓÒ Ó ÓÒ Ò Ò ÝÐ Ö Ò Ò R n º ÃÓ R n ÓÒ ÓÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò ÒÓÖÑ Ð x R n ÑÝ x Rº ÇÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò R ÓÐ Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò ÓØ Ò Ð Ý ØÒ x K Ø Ò ØØ x, 1/x Rº Å Ö ØÒ h ÐÐ ÔÖÓ Ø ÓØ Ö Ò ÐØ R ÙÒØ Ò Dº Ź Ö Ø ÐÐÒ ÙÚ Ù H Ö Ò ÐØ R[x] Ö Ò ÐÐ D[X] X ÑÙÙØØÙ ÙÚ Ñ ÐÐ Ð Ó f i x i ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ h(f i )X i º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ H ÓÒ ÝÚ ÒÑÖ Ø ÐØÝ ÓÑÓÑÓÖ Ñ º ÇÒ ÐÚ ØØ ØÓ H(x) = X ÑÖ ØØ ÓÑÓÑÓÖ Ñ Ò h Ð ÒÒÙ Ò H Ý ØØ Ø º Ê Ò D[X] ÓÒ Ö ØØ ÑÒ ÑÓÒØ Ð¹ Ù Ð ÐÐ Ó Ò Ò ÓØÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÖÓ Ð Ù Ð Òº Î Ð Ø Ò Ð¹ Ù Ð p Ø Ò ØØ X pº Å Ö ØÒ P = H 1 (p)º Ä ÑÑ Ø ¾º¾º½ ÙÖ ØØ Ð Ý ØÒ Ú ÐÙ Ø Ó ÓÒ Ù Ö Ò R[x] ÓÒ P º Ì Ø ÙÖ Ø¹ Ø D[x] ÐØÝÝ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÒÒ ÐÙÓ ÙÒØ Òº ÌØ Ò ÑÝ D(x) ÐØÝÝ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÒÒ ÐÙÓ ÙÒØ Ò ÓØ Ò Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÒÒ ÐÙÓ ÙÒØ ÓÒ ØÖ Ò Ò ÒØØ Ò Ò ÝÐ ÙÒÒ Ò R/Mº ÌÐÐ Ú ÐÙ Ø Ó Ø ÓÒ Ö Ø Ò ÑÖ Ó Ð Ù Ð p ÓÒ Ö ØØ ÑÒ ÑÓÒØ Ú ØÓ ØÓ º Ç Ó Ø Ø Ò ÐÓÔÙ ØØ ÙÚ Ù H ÓÒ ÝÚ ÒÑÖ Ø ÐØÝ Ê ØØ ØÓ Ø ØØ Ó n i=0 q ix i = 0 Ò Ò h(q i )X i = 0º Ì Ò Ú Ø ÓÐ ØÙ º Ì Ø ÙÖ ØØ ÚÓ Ò Ú Ð Ø t Ø Ò ØØ h(q t ) 0 h(q i ) = 0 ÐÐ i > tº ØÓ h(q t ) 0 Ø Ö Ó ØØ ØØ q t ÓÒ Ý º Â Ñ ÐÐ Ý ØÐ q i x i = 0 ¾½

24 Ý ÐÐ q t Ñ Ö Ø ÑÐÐ p i = q i /q t ÙÒ i t Ò Å Ö ØÒ p n x n + + p t+1 x t+1 + x t + p t 1 x t p 0 = 0. r = p n x n t + p n 1 x n t p t+1 x + 1 s = p t 1 x 1 + p t 2 x p 0 x t. ÃÝØØÑÐÐ Ò Ø Ñ Ö ÒØ ÝÐÐÓÐ Ú Ø Ý ØÐ Ø Ò Ò ØØ rx t + sx t = 0 ÓØ Ò r = sº ÃÝØØÑÐÐ Ð ÑÑ ¾º¾º½ Ú Ð Ø Ò Ú ÐÙ Ø Ó ν Ø Ò ØØ ν Ò Ù Ö Ò R ÓÒ Mº ÂÓ ν(x) 0 Ò Ò ν(r) 0º ÌÓ ÐØ Ó ν(x) < 0 Ò Ò ν(r) = ν(s) > 0º Ì Ø ÙÖ ØØ r V ν º ÃÓ ØÑ ÔØ ÐÐ Ú ÐÙ Ø Ó ÐÐ ÓØ ÓÑ ÒÓ Ú Ø ÐÓ Ð Ö Ò Ø R R ÓÒ ÒÓÖÑ Ð ÓÒ ÚÓ Ñ r Rº ÇÐ ØÙ Ø x R Ø ØØ R ÓÒ ÒÓÖÑ Ð ÙÖ ØØ Ð Ý ØÒ Ú ÐÙ Ø Ó ν Ó ÓÑ ÒÓ Ö Ò Ø R ν(x) < 0º Ì Ø Ò Ò ØØ ν(r) > 0º ÌØ Ò r M 1 r ÓÒ Ý º Ã Ö Ó Ø Ø Ò ÝÐÐÓÐ Ú Ý ØÐ ÚÓ Ò ÑÙÓØÓÓÒ (1 r) + p t+1 x + + p n x n t x n t = 0, Ñ p t+1,...,p n Rº ÃÓ 1 r ÓÒ Ý Ñ ÐÐ Ý ØÐ Ø ÖÑ ÐÐ (1 r)x n t Ò Ò ØØ x 1 ÓÒ Ó ÓÒ Ò Ò ÝÐ Ö Ò Ò Rº ÌÑ ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ö Ø Ö ÓÐ ØÙ Ò x 1 R Ò º Ä Ù ¾º¾º¾¾º ÇÐ ÓÓÒ (R, M) ÒÒ ÐÐ Ò Ò ÐÓ Ð Ö Ò dim R = n > 1 K Ö Ò Ò R Ó ÑÖ ÙÒØ º ÇÐ ÓÓÒ ν ÙÒÒ Ò K Ú ÐÙ Ø Ó ÓÐÐ ÓÒ Ù M Ö Ò R dim R ν = n 1º ÌÐÐ Ò ÓÒÓ R R 1 R 2... Ö Ò Ò R Ú Ö ØØ ÑÙÙÒÒÓ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ν Ù Ø Ò ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò Ð Ð Ý ØÒ Ò h Ø Ò ØØ dim R h = 1º Ä R h ÓÒ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ν Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò º ÌÓ ØÙ º Ì Ò Ú Ø ÓÐ ØÙ ØØ Ú Ö ØØ Ò Ò ÓÒÓ ÓÒ Ö Ø Òº ÃÓ Ú Ö ØØ ÐÐ ÑÙÙÒÒÓ ÐÐ ÓÒ Ò ÚÓ Ñ dim R i dim R i+1 = dim Ri ν dim Ri+1 ν dim R i dim R i+1 Ò Ò ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ Ò s Ø Ò ØØ dim R t = dim R s ÐÐ t sº ÃÓ dim R 0 = n dim R0 ν = n 1 ÓÒ ÚÓ Ñ dim Rt ν = dim R t 1 ÐÐ t sº Å Ö ØÒ S = R i N = M i º ÌÐÐ Ò (S, N) ÓÒ ÐÓ Ð Ö Ò S/N = R i /M i º ÇÐ ØÙ Ø ÙÖ ØØ R t+1 /M t+1 ÓÒ ÙÒÒ Ò R t /M t й Ö ÐÐ Ò Ò Ð ÒÒÙ ÙÒ t s ÓØ Ò S/N ÓÒ ÙÒÒ Ò R t /M t Ð Ö ÐÐ Ò Ò ¾¾

25 Ð ÒÒÙ º ÃÝØØÑÐÐ Ð Ù ØØ ¾º¾º½ ÔÝ ÐÒ ÐÙ ÓÐ Ø ØØ Ò ØØ K ÓÒ Ð Ö ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÙÒØ µ Ò Ò ØØ ν ÓÒ Ö ØØ Ø ØØ 1 ÓÐ Ú Ú ÐÙ Ø Óº ÇÐ Ø Ø Ò ÒÝØ ØØ S ÓÐ Ñ Ò Ò ÙÒÒ Ò K Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ú ÐÙ Ø Ó¹ Ö Ò º ÌÐÐ Ò Ð Ý ØÒ Ð Ó x K Ø Ò ØØ x, x 1 Sº Ö ØÝ Ø x, x 1 R 0 º Ã Ö Ó Ø Ø Ò x ÑÙÓ Ó y 0 /z 0 Ñ y 0, z 0 M 0 º ÇÐ ØÙ ¹ Ò ÑÙ Ò Ú ÐÙ Ø ÓÐÐ ν ÓÒ Ù M i Ö Ò R i ÓØ Ò ν(y 0 ) > 0 ν(z 0 ) > 0º ÇÐ ÓÓØ x 1,...,x n Ö Ò Ò R 0 ÐÓ Ð Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø Ö Ø ØØÝÒ ¹ Ø Ò ØØ ν(x 1 ) ν(x i ) ÐÐ iº ÃÓ R 1 ÓÒ Ö Ò Ò R 0 Ú Ö ØØ Ò Ò ÑÙÙÒÒÓ x i /x 1 R 1 ÐÐ iº Ä y 1 = y 0 /x 1 M 1 z 1 = z 0 /x 1 M 1 º Â Ø Ñ ÐÐ Ò Ò Ò Ö Ø Ò ÓÙ Ó Ð Ó Ø y i, z i M Ó ÐÐ x = y i /z i ν(y i ) > ν(y i+1 ) > 0 ν(z i ) > ν(z i+1 ) > 0 ÐÐ iº Î ÐÙ Ø Ó ν ÓÒ Ö Ø¹ Ø ÓØ Ò ØÑ Ó Ø Ö Ø Ö Ø Òº Ì Ø ÙÖ ØØ Ö Ò Ò S ÓÒ ÓÐØ Ú ÓÒ Ò Ú ÐÙ Ø ÓÒ w Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò º ÇÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò Ú Ö ØØ Ò Ò ÓÒÓ Ö Ø Ò ÓØ Ò Ö ØÝ Ø dim R s > 1 dim Rt ν 1 ÐÐ t sº Î ÐÙ Ø ÓÒ w Ú Ð ÒÒ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ V w V ν ÓØ Ò V w M ν = S M ν = (R i M ν ) = M i = N = M w, Ñ (V w, M w ) ÓÒ Ú ÐÙ Ø ÓÒ w Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò º Ì Ø Ò Ò ØØ ÒÓ Ú ØÓ ØÓ ÓÒ w = νº Ö ØÝ Ø V ν /M ν = S/N ÓÒ ÙÒÒ Ò R s /M s й Ö ÐÐ Ò Ò Ð ÒÒÙ º ÅÙØØ ØÑ ÓÒ Ñ ÓØÓÒØ ÐÐ R s dim ν 1º ÌØ Ò Ú Ö ØØ Ø Ò ÑÙÙÒÒÓ Ø Ò ÓÒÓ ÓÒ ÓÐØ Ú Ö ÐÐ Ò Òº ÇÐ ÓÓÒ Ú Ñ ¹ Ò Ò Ò hº ÌÐÐ Ò R h ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ò Ñ Ò Ó ÓÒ 1 ÓØ Ò R h Ö Ø Ò Ø ØØ 1 ÓÐ Ú Ò Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò º ÌÓ ÐØ ν ÓÑ ÒÓ Ö Ò Ø R h ÓØ Ò R h ÓÒ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ν Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò º Ä Ù ¾º¾º¾ º ÇÐ ÓÓÒ R 0 R 1... Ó Ø Ú Ú ÓÒÓ ÒÒ ÐÐ ÐÓ Ð Ö Ò Ø Ñ dim R i = 2 ÐÐ iº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ö Ò Ò R i Ó ÑÖ ÙÒØ ÓÒ K R i ÓÒ Ö Ò Ò R i 1 Ú Ö ØØ Ò Ò ÑÙÙÒÒÓ ÐÐ iº Å Ö ØÒ S = R i º ÌÐÐ Ò Ð Ý ØÒ ÙÒÒ Ò K Ú ÐÙ Ø Ó ν Ø Ò ØØ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ν Ù Ö Ò R i ÓÒ M i dim Ri ν = 0 ÐÐ i S ÓÒ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ν Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò º Ä ÒÑ ÓØ ÑÖÚØ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ν Ý ØØ Ø º ÌÓ ØÙ º Ì Ò Ú Ø ÓÐ ØÙ ØØ Ö Ò S ÓÐ Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò º ÌÐÐ Ò Ð Ù Ò ¾º¾º¾½ ÑÙ Ò Ð Ý ØÒ Ú ÐÙ Ø Ó w ÓÐÐ ÓÒ Ù M i Ö Ò R i dim Ri w > 0 ÐÐ iº ÃÓ trdeg K = 2 ÐÐ Ø Ð Ù ØØ ÚÓ Ò ÓÚ ÐØ Ú ÐÙ Ø ÓÓÒ wº Ë Ò ÑÙ Ò Ú Ö ØØ Ø Ò ÑÙÙÒÒÓ Ø Ò ÓÒÓ ÓÒ ¹ Ö ÐÐ Ò Ò Ñ ÓÒ Ö Ø Ö ÓÐ ØÙ Ò Ò º ÌØ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ú ÐÙ Ø Ó ¾

26 ν ÓÐÐ ÓÒ Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò Sº Ä Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò Ò Ñ Ñ Ð Ò Ò Ð ÓÒ M ν = M i º ÆÝØ R i M ν = R i ( M j ) = R i ( j>i M j ) = j>i R i M j = M i. Ì Ø Ò Ò ØØ Ú ÐÙ Ø ÓÐÐ ν ÓÒ Ù M i Ö Ò R i ÐÐ iº ÃÝØØÑÐÐ ÐÐ Ø Ð Ù ØØ Ò Ò ØØ dim Ri ν = 0 ÐÐ iº Ç Ó ¹ Ø Ø Ò ÐÓÔÙ Ý ØØ ÝÝ ÂÓ w ÓÒ Ó Ò ØÓ Ò Ò Ú ÐÙ Ø Ó V w Ò Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò Ó ØÝØØ Ð Ù Ò ÓØ Ò Ò S = R i V w Ì Ø ÙÖ ØØ ν = wº M w S = (M w R i ) = M i = M ν. ¾º ÂÖ ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ø ÇÐ ÓÓÒ (Γ, <) ÝÚ Ò Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó Ö ØÝ Ö Ð Ø ÓÒ < Ù Ø Òº ÇÐ ÓÓÒ Γ ÓÙ Ó Ó ÓÒ ØÙ ÓÙ Ó Ø Γ Ð ÑÐÐ Ð Ó º Ä ÒÒ Ø Ò Ö ØÝ Ö Ð Ø Ó ÑÖ ØØ Ð ÑÐÐ < α ÐÐ α Γº Æ Ò ØØ ÓÙ Ó Γ ÓÒ ÝÚ Ò Ö Ø ØØݺ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º½º ÇÐ ÓÓÒ k ÙÒØ R ÓÑÑÙØ Ø Ú Ò Ò k¹ Ð Ö (Γ, <) ÝÚ Ò Ö Ø ØØÝ ÓÙ Óº Ð Ö R ÓÒ Ö ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÙÖ Ø Ú Ò Ò ÙÚ Ù ρ : R Γ Ó ØÓØ ÙØØ ÙÖ Ú Ø ÓØ Âº½µ ρ(f) = Ó Ú Ò Ó f = 0 º¾µ ρ(λf) = ρ(f) ÐÐ λ k\{0} º µ ρ(f + g) max{ρ(f), ρ(g)} Ý Ø ÙÙÖÙÙ ÓÒ ÚÓ Ñ ÙÒ ρ(f) ρ(g) º µ Ó ρ(f) < ρ(g) h 0 Ò Ò ρ(fh) < ρ(gh) º µ Ó ρ(f) = ρ(g) Ò Ò Ð Ý ØÒ λ k ÓÐÐ ρ(f λg) < ρ(g)º ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú ÙÒ Ø ÓØ ρ ÒÓØ Ò Ð Ö Ò R Ö ØÝ ÙÒ Ø Ó ÓÙ Ó Γ Ö ØÝ ÙÒ Ø ÓÒ ρ ÖÚÓ ÓÙ Ó º ÀÙÓÑ ÙØÙ ¾º º¾º ÂÖ ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ R ÓÒ Ó ÓÒ ÐÙ ÂÓ fg = 0 ÑÙØØ f 0 Ò Ò Ó Ø Âº º½ ÙÖ ØØ ρ(f) > ρ(0) = ρ(fg) > Ñ ÓÒ Ö Ø Ö ÓÒ Âº½ Ò º ¾

27 Ñ Ö ¾º º º ÇÐ ÓÓÒ R = k[x 1,...,x n ] ÔÓÐÝÒÓÑ Ö Ò < τ Ó Ò Ø ÖÑ Ö ØÝ º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÙÒ Ø Ó ρ : R N n ρ(0) = ρ(f) = α ÙÒ LM <τ (f) = x α º ÃÙÚ Ù ρ Ö ØÝ ÙÒ Ø Ó ÐÐ Ó ρ(f) = ρ(g) ÙÒ f, g R f, g 0 Ò Ò LM(f) = LM(g) LM(f ag) < τ LM(g) ÙÒ a ÓÒ Ú Ð ØØÙ ÓÔ Ú Ø º ÇÑ Ò ÙÙ Ø Âº½¹Âº ÙÖ Ú Ø ÙÓÖ Ò ÓÔ Ö ØØÓÖ Ò LM ÓÑ Ò ÙÙ Ø º Ñ Ö ¾º º º ÇÐ ÓÓÒ M m n¹ñ ØÖ ÓÒ Ð ÓØ ÓÚ Ø ¹Ò Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù º ÇÐ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ò Ú Ö Ú Ø ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ Ø¹ ØÓÑ º Î Ð Ø Ò Ó Ò ÑÓÒÓ Ò N m ÑÓÒÓ Ö ØÝ º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÙÚ Ù w M (x α ) = Mα T Ö Ò Ò R ÑÓÒÓÑ Ò ÓÙ ÓÐØ ÑÓÒÓ Ò N m º ÖÚÓ w M (m) ÒÓØ Ò ÑÓ¹ ÒÓÑ Ò m M¹Ô ÒÓ º Ì Ø Ò ÙÙ ÑÓÒÓ Ö ØÝ < M,τ Ö Ò R ÑÖ ØØ Ð ÑÐÐ x α < M,τ x β Ó w M (α) w M (β) Ø Ó w M (α) = w M (β) x α < τ x β º ÂÓ Ñ ØÖ Ò M ÔÝ ØÝÖ Ú Ø ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò w ÚÓ Ò Ð ÒØ Ö ØÝ ÙÒ Ø Ó ÑÖ ØØ Ð ÑÐÐ w(f) Ñ Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò f ÑÓÒÓÑ Ò M¹Ô ÒÓ Ø º ÅÙÙ Ø Ô Ù Ð Ý ØÒ α, β N n Ó ÐÐ Mα T = Mβ T α β ÓØ Ò w ÚÓ ÓÐÐ Ö ØÝ ÙÒ Ø Óº ÃÙ Ø Ò Ò Ó Ò Ø Ô Ù ÓÒ Ñ ¹ ÓÐÐ Ø Ð ÝØ Ö Ò Ò R Ð I Ø Ò ØØ R/I ÓÒ Ö ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ w Ò Ù Ó Ö ØÝ ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ö Ò R/Iº Ä ÑÑ ¾º º º ÇÐ ÓÓÒ ρ Ð Ö Ò R Ö ØÝ ÙÒ Ø Óº ÌÐÐ Ò µ ÂÓ ρ(f) = ρ(g) Ò Ò ρ(fh) = ρ(gh) ÐÐ h Rº µ ÂÓ f 0 Ò Ò ρ(1) ρ(f)º µ k = {f R ρ(f) ρ(1)}º Úµ ÂÓ ρ(f) = ρ(g) Ò Ò Ð Ý ØÒ Ý ØØ Ò Ò λ k ÓÐÐ ρ(f λg) < ρ(g). Úµ ÂÓ ρ(fh) > ρ(gh) Ò Ò ρ(f) > ρ(g)º ÌÓ ØÙ º µ ÃÙÒ h = 0 Ú Ø ÓÒ ÐÚ Ø ØÓ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ h 0 ρ(fh) < ρ(gh)º Ó Ø Âº ÙÖ ØØ Ð Ý ØÒ λ k ÓÐÐ ρ(fh λgh) < ρ(gh)º ÌÓ ÐØ ÓÒ Âº Ô ÖÙ Ø ÐÐ ρ(fh λgh) = ρ(gh)º ÇÒ ÓÐØ Ú ρ(fg) = ρ(gh)º ¾

28 µ ÂÓ ÓÐ ρ(f) < ρ(1) f 0 Ò Ò ÓÒ Âº ÚÙÐÐ Ø Ò Ö Ø Ò Ð Ú ÓÒÓ... < ρ(f 2 ) < ρ(f) < ρ(1) ÓÙ ÓÒ Γ Ð Ó Ø º ÌÑ ÓÒ Ö Ø Ö ÓÐ ØÙ Ò Ò ÐÐ Γ ÓÒ ÝÚ Ò Ö Ø ØØݺ µ Ë ÐÚ Ø ρ(λ) ρ(1) ÐÐ λ kº ÂÓ f R ρ(f) = ρ(1) Ò Ò ρ(f λ 1) < ρ(1) ØØ Ò f = λ kº Úµ ÂÓ λ, λ k ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÓÒ Âº Ò Ò ρ(g) > ρ((f λg) (f λ g)) = ρ((λ λ)g), Ñ ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø Ú Ò Ó λ = λ º Úµ Î Ø ÙÖ ÚÐ ØØ Ñ Ø Ó Ø µ Ö ØÝ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ Ø Ð¹ Ñ Ø Âº º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º º ÂÖ ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ò R Ö ØÝ ÙÒ Ø Ó ρ : R Γ ÓÒ Ô ÒÓ ÙÒ Ø Ó Ó Ò ÒÒ Ò (Γ, +) ÓÒ ÝÚ Ò Ö Ø ØØÝ ÑÓÒÓ ØÓ ρ ØÓØ ÙØØ ÓÒ Âº µ ρ(ab) = ρ(a) + ρ(b) ÐÐ a, b Γ È ÒÓ ÙÒ Ø ÓÒ ØÓ Âº ÓÐ Ò Ò Ö Ó ØØÙÚ Ù Ò Ò Ò Ú ÙØØ ÐÐ Ø Ö ØÝ ÙÒ Ø ÓØ ÚÓ Ò Ø ÐÐ Ô ÒÓ ÙÒ Ø Ó Ò ÇÐ ÓÓÒ ρ : R Γ Ö ØÝ ÙÒ Ø Óº ÂÓ ρ(f) = ρ(f ) Ò Ò ρ(fg) = ρ(f g) ÐÐ Ò Ð ÑÑ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ º ÅÖ ØØ Ð ÑÐÐ α + β := γ ÙÒ α = ρ(f) β = ρ(g) γ = ρ(fg) Ò ÝÚ ÒÑÖ Ø ÐØÝ ÓÔ Ö Ø Ó ÓÙ Ó ¹ Γº Ë ÐÚ Ø + ÓÒ ÓÑÑÙØ Ø Ú Ò Ò Ó Ø Ú Ò Òº ÃÙÒ Ð ÑÖ Ø Ð¹ ÐÒ 0 = ρ(1) ÓÒ ÐÚ ØØ Γ ÓÒ ÓÑÑÙØ Ø Ú Ò Ò ÑÓÒÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ + Ù Ø Òº ÂÓ α + γ = β + γ Ó ÐÐ Ò α, β, γ Γ Ò Ò Ó Ø Âº ÙÖ ØØ ÚÐØØÑØØ α = βº ÇÐ ÓÓÒ α + β = 0 Ð ρ(fg) = ρ(1) ÙÒ ρ(f) = α ρ(g) = βº ÂÓ f k Ò Ò ρ(f) > ρ(1) ÑÝ ρ(fg) > ρ(1)º Ì Ø ÙÖ ØØ ÓÒ ÓÐØ Ú ρ(f) = ρ(g) = ρ(1) Ð α = β = 0º ÆÝØ ÓÒ ØÓ Ø ØØÙ ØØ ÑÖ ØØ Ð ÑÐÐ ÓÔ Ö Ø Ó + ÝÚ Ò Ö Ø ØÝ ÓÙ Ó (Γ, <) ÓÙ Ó (Γ, +) ÓÒ ÑÓÒÓ ÓÒ ÒÓÐÐ ¹ Ð ÓÒ ÓÒ ρ(1)º Ä Ö ØÝ < ÓÒ ÑÓÒÓ Ö ØÝ Ð ØÓØ ÙØØ ÓØ µ 0 < α ÐÐ α Γ\{0} µ ÂÓ α < β Ò Ò α + γ < α + γ ÐÐ α, β, γ Γº ÅÓÒÓ (Γ, +) ÓÒ ÝÚ Ò Ö Ø ØØÝ ÑÓÒÓ Ö ØÝ Ò < Ù Ø Ò Ó (Γ, <) ÓÒ ÝÚ Ò Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó Ö ØÝ Ö Ð Ø Ó < ØÓØ ÙØØ ÝÐÐÓÐ Ú Ø Óغ ¾

29 Ä Ù ¾º º º ÇÐ ÓÓÒ ρ : R Γ Ö ØÝ ÙÒ Ø Óº ÌÐÐ Ò ÝÚ Ò Ö Ø ¹ ØÝ ÓÙ Ó (Γ, <) ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÒÖ ÓÔ Ö Ø Ó + Ø Ò ØØ (Γ, +) ÝÚ Ò Ö Ø ØØÝ ÑÓÒÓ Ö ØÝ Ò < Ù Ø Òº Ä ρ(fg) = ρ(f) + ρ(g). ÇÒ Ó Ó Ø ØØÙ ØØ Ó Ò Ò Ö ØÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ô ÒÓ ÙÒ Ø Ó ÙÒ ¹ ÒÖ ÓÔ Ö Ø Ó ÑÖ Ø ÐÐÒ ÓÔ Ú Ø º Ì Ø ÔÙ ÙØ Ò Ô ÒÓ ÙÒ Ø Ó Ø Ð ÒÒ ÐÐÓ Ò ÙÒ Ø ÖÚ Ø Ò Ö ØÝ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓ ÓÙ ÓÒ ÑÓÒÓ ØÖÙ ØÙÙ¹ Ö º ÅÓÒÓ Γ ÒÓØ Ò Ö ØÝ ÙÒ Ø ÓÒ ρ ÖÚÓÑÓÒÓ º ÀÙÓÑ ÙØÙ ¾º º º ÃÙÒ ρ : R Γ ÓÒ Ô ÒÓ ÙÒ Ø Ó Γ N ÓÐ Ø Ø Ò Ò ØØ Ð Ó Ò ρ(x) Ñ x R\{0} ÙÙÖ Ò Ý Ø Ò Ò Ø ÓÒ 1º Ä ÑÑ ¾º º º ÇÐ ÓÓÒ (Γ, +) Ö ÐÐ Ø Ò ÖÓ ØÙ ÑÓÒÓ ÓÐÐ ÓÒ ÚÓ ¹ Ñ α + β = 0 = α = β = 0 ÐÐ α, β Γ. ÂÓ ÓÒ ÑÓÒÓ Ö ØÝ Ò Ò ØÐÐ Ò Γ ÓÒ ÝÚ Ò Ö Ø ØØÝ Ö ØÝ Ò Ù Ø Òº ÌÓ ØÙ º ÃÓ Γ ÓÒ Ö ÐÐ Ø Ò ÖÓ ØÙ Ò ÙÖ Ø Ú Ò Ò ÙÚ Ù f : N n Γ, Ó ÙÚ Ý Ú ØÓÖ Ø Γ Ò Ú Ö ØØ Ð Ó ÐÐ º ÅÓÒÓ ÓÒ ÝÚ Ò Ö Ø Ø¹ ØÝ Ó Ó Ø ÑÓÒÓ Ò Ð Ó Ø ÑÙÓ Ó Ø ØÙ Ø ÓÒÓ Ø (a i ) i N Ð Ý ØÒ Ò Ø j < k Ø Ò ØØ a j a k º ÇÐ ÓÓÒ (α i ) i N Ó Ò ÓÒÓ ÑÓÒÓ Γº ÃÝØØÑÐÐ ÝÚ ÙÖ Ø Ú Ø ÙÚ Ù Ø f Ò ÓÒÓ (β) i N ÑÓÒÓ ¹ N n Ó ØÓØ ÙØØ f(β i ) = α i º ÓÒ Ò Ð ÑÑ Ò ÑÙ Ò Ð Ý ØÒ j < k γ N Ø Ò ØØ β j + γ = β k º ÆÝØ α j + f(γ) = α k ÓØ Ò α j α k Ð Γ ÓÒ ÝÚ Ò Ö Ø ØØݺ ÂÓ ÑÓÒÓ Γ ÓÒ ÝÚ Ò Ö Ø ØØÝ Ö ØÝ Ò < Ù Ø Ò ÚÓ Ò ÙÔÓØØ ÖÝ ÑÒ ÅÖ Ø ÐÐÒ ÓÙ Ó Γ Γ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó Ù¹ Ö Ú Ø (α 1, α 2 ) (β 1, β 2 ) Ó α 1 + β 2 = α 2 + β 1. ÅÖ Ø ÐÐÒ (α 1, α 2 ) + (β 1, β 2 ) = (α 1 + β 1, α 2 + β 2 ). ÇÐ ÓÓÒ D(Γ) Ò Ò Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ Ò ÓÙ Ó Ø ÐÐ Ò Ð ÓØ (α 1, α 2 ) Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ Ò Ù Ø Ò º ÆÝØ ÓÒ ÐÚ ØØ D(Γ) ÓÒ ÖÝ Ñ Ñ (α 1, α 2 ) = (α 2, α 1 ) 0 = (α, α)º ÍÔÓØ Ø Ò ÑÓÒÓ Γ ÖÝ ÑÒ ÙÚ Ù ¹ ÐÐ α (α, 0)º ¾

30 ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º½¼º ÇÐ ÓÓÒ Γ ÝÚ Ò Ö Ø ØØÝ ÑÓÒÓ º ÅÓÒÓ Ò Γ Ø rank Γ = dim Q D(Γ) Z Q. Ä Ù ¾º º½½º ÇÐ ÓÓÒ R Ö ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ ρ : R Γ Ô ÒÓ ÙÒ Ø Ó Γ Nº ÌÐÐ Ò dim k R/(f) = ρ(f)º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓØ a 1, a 2,... ÑÓÒÓ Ò Γ Ð ÓØ ÐÙ Ø ÐØÙÒ Ú Ú Ö ¹ ØÝ º Î Ð Ø Ò Ö Ò Ò R ÒØ (f i ) k¹ñó ÙÐ Ò Ø Ò ØØ ρ(f i ) = a i ÐÐ iº Á Ð Ò (f) ÙÚ ÙÚ Ù ρ ÓÒ α + Γ Ñ α = ρ(f)º ̹ ÑÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò Ð ÓØ f i ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø ρ(f i ) α+γ ÚÓ Ò ÓÐ ØØ Ú Ð ØÙ Ø Ò ØØ f i (f)º Ì Ø Ò Ò ØØ Ð ÓØ f i a i Γ\(α + Γ) ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ö Ò Ò R/(f) ÒÒ Òº Î Ø ÙÖ ÙÒ Ò ØÓ Ø Ø Ò ØØ Γ\(α + Γ) = α. ÇÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò ÑÓÒÓ Ò Ð Ó Ò ÙÙÖ Ò Ý Ø Ò Ò Ø ÓÒ Ý Ó¹ Ø Ò Ð Ý ØÒ Ð ÓØ a, b Γ Ø Ò ØØ (a, b) = 1º Ì Ø ÙÖ ØØ Ó¹ ÐÐ Ó ÓÒ ÐÙÚÙÐÐ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò ØÝ ÑÙÓ Ó xa + yb Ñ 0 y < bº Ö ØÝ Ø Ò ¹Ò Ø Ú Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ ÓØ ÚØ ÐÐÝ ÑÓÒÓ Ò Γ ÚÓ Ò ØØ ØØ ÑÙÓ Ó xa + yb Ñ 0 y < b x < 0º ÌÑÒ ÓÒ ØÓØ ÙØØ Ú ¹Ò Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÓÒ Ú Ò ¹ Ö ÐÐ Ò Ò ÑÖº ÌÑÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÙÖ Ú ÑÖ Ø ÐÑ ÓÒ Ñ Ð º ÇÐ ÓÓÒ c Γ Ô Ò Ò Ð Ó Ó ØÓØ ÙØØ ÓÒ {x x c} Γ. ÌÐÐ Ò Ò Ð Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ø ØØÙ ØØ ÑÓÒÓ Ò Γ ÙÙÖ Ò Ý Ø Ò Ò Ø ÓÒ 1º Å Ö ØÒ ÆÝØ Γ = U T T = {t N t α + c} U = {u Γ u < a + c}. U = α + c g, Ñ g = N\Γ Ñ Ö ÒÒÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ö ÐÐ Ø Ò ÓÙ Ó Ò Ý Ø Ø¹ غ ÄÙÚÙÒ g Ö ÐÐ ÝÝ ÙÖ ÐÐ Ø ØÝ Ø ÔØØ ÐÝ Øº Å Ö ØÒ Ð V = {v α + Γ α v < α + c} U. ¾

31 ÆÝØ V = c g α + Γ = V T º Ì Ø Ò Ò ØØ Γ\(α + Γ) = U V = α. ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º½¾º ÇÐ ÓÓÒ R Ö ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ ρ Ò Ô ÒÓ ÙÒ Ø Óº È ÒÓ ÙÒ Ø Ó ρ ÓÒ Ö Ñ Ò Ò Ó ÓÒ ÓÐ Ñ Ö ØÝ Ò ÐÝØØÚ Ø Ó ÓÙ Ó Ò Γ N ÚÐ ÐÐ Ñ Γ ÓÒ Ô ÒÓ ÙÒ Ø ÓÒ ρ Ö¹ ÚÓÑÓÒÓ N ÓÒ Ö Ø ØØÝ Ø Ú ÒÓÑ Ò Ö ØÝ Ò Ù Ø Òº Ñ Ö ¾º º½ º ÇÐ ÓÓÒ R = k[x, y] ÔÓÐÝÒÓÑ Ö Ò <=< gl x > yº È ÒÓ ÙÒ Ø Ó ρ : R N 2 Ò Ñ Ö Ø ÑÐÐ ρ(0) = ρ(f) = (a, b) ÙÒ LM < (f) = x a y b º Ø Ó N Ò Ò Ò ÖÝ Ñ ØØ Ð ÑÐÐ Ð ÓØ (a, b) Ò Ò Ð ÓÒ Ø Ò a + b ÑÙ Ò Ò Ð Ò Ñ Ô ÒÓ ÓÐ Ú Ø Ð ÓØ Ö Ø ØÒ lex¹ Ö ØÝ Ò ÚÙÐÐ È ÒÓ 0 ÓÐ Ú Ð Ó Ø ÓÒ Ú Ò Ý (0, 0)º È ÒÓ 1 ÓÐ Ú Ð Ó Ø ÓÚ Ø (1, 0) (0, 1) (0, 1) < (1, 0)º Æ Ò Ø Ñ ÐÐ Ò Ø Óº ÐÐ Ñ Ö ÓÒ ÓÐ ÐÐ Ø ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ö Ò Ò Ö ØÝ < ÓÒ ÔÓÖÖ Ø ØØÙ Ð Ò Ò Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ó ÓÒ Ø ØØ º Ä ÑÑ ¾º º½ º ÇÐ ÓÓÒ ρ : R Γ Ö Ñ Ò Ò Ô ÒÓ ÙÒ Ø Óº ÂÓ f, g R f k Ò Ò ρ(f n ) > ρ(g) ÙÒ n ÓÒ Ø ÖÔ ÙÙÖ º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ö ØÝ Ò ÐÝØØÚ Ø Ó µ : Γ Nº ÃÓ ρ(f) > ρ(1) Ò Ó Ø Ú Ú ÓÒÓ ρ(1) < ρ(f) < ρ(f 2 ) <... ÓÒÓ ÐÝÝ Ó Ø Ú Ú Ò ÙÒ ÙÚ Ø Ò Ø ÓÐÐ µ ÓÙ ÓÓÒ Nº Ì Ø ÙÖ ØØ Ð Ý ØÒ Ò Ø n ÓÐÐ µ(ρ(f n )) > µ(ρ(g))º ÌÐÐ Ò ÑÝ ρ(f n ) > ρ(g) Ó µ ÐÝØØ Ö ØÝ Òº Ñ Ö ¾º º½ º ÃÝØ ØÒ ÑÓ Ñ Ö ÒØ Ù Ò ÐÐ Ñ Ö¹ ÑÙØØ Ú Ð Ø Ò Ö ØÝ < lex º Ì Ø Ô Ù ÓÐ ÓÐ Ñ Ö ØÝ Ò ÐÝØØÚ Ø ÓØ N 2 N ÙÒ N 2 ÓÒ Ö Ø ØØÝ Ö ØÝ Ò < lex Ù Ø Ò ÐÐ y < lex x y n < lex x ÐÐ n Nº ÇÐ ÓÓÒ ρ : R Γ Ô ÒÓ ÙÒ Ø Ó Ó ÓÒ Ö Ñ Ò Ò µ Ø ÓÒ ÒØ Ú ÙÚ Ù º Ë Ò Ý Ø ØØÝ ÙÚ Ù o = µρ : R N ÑÖ ØØ Ð ¹ ÑÐÐ o(0) = º ÃÓ µ ÓÒ Ö ØÝ Ò ÐÝØØÚ Ø Ó Ò Ò ØØ o ÓÒ Ö ØÝ ÙÒ Ø Óº ÂÖ ØÝ ÙÒ Ø Ó o Ù Ø Ò Ò ÝÐ Ò ÓÐ Ô ÒÓ ÙÒ ¹ Ø Ó ÐÐ Ø Ó µ ÚÐØØÑØØ ÓÐ ÑÓÒÓ Ò ÚÐ Ò Ò ÓÑÓÖ Ñ º ÃÙ Ø Ò¹ Ò Ð Ù Ò ¾º º ÑÙ Ò ÓÙ Ó N ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÒÖ ÓÔ Ö Ø Ó Ø Ò ØØ o ÓÒ Ô ÒÓ ÙÒ Ø Óº ¾

32 ÀÝÚ Ò Ö Ø ØÝØ ÒÒ Ø ÀÝÚ Ò ÝØØÝØÝÚØ ÒÒ Ø ÒØ Ú Ø Ú ØÓ ØÓ Ò Ø Ú Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ö ØÝ ¹ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ º Ö ØÝ Ò Ý ÝÐÐ Ò Ò ØÑ Ø ÓÒ ÙÙÖ Ò Ø ØØ Ú Ö Ò Ø Ö ØÝ ÙÒ Ø ÓØ Ø ÖÚ Ø ÓÒ ØÖÙÓ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º½ º ÇÐ ÓÓÒ R k¹ Ð Ö B R Ò ÒØ k¹ñó ÙÐ Ò º Çй ÓÓÒ Ð (Λ, < Λ ) ÝÚ Ò Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó ρ : B Λ Ø Óº ÁÒ Ó ¹ Ò ÓÙ ÓÒ B Ð ÓØ Ø Ò ØØ f λ := f B Ó ρ(f) = λº ÌÐÐ Ò ÓÙ ÓÒ B Ò Ð ÓØ ÚÓ Ò Ö Ø ÑÖ ØØ Ð ÑÐÐ f λ < B f γ Ó λ < Λ γº ÀÝÚ Ò Ö¹ Ø ØØÝ ÒØ ÓÒ Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó B ρ,<λ := (f λ λ Λ) <Λ º ÀÝÚ Ò Ö Ø ØÝÒ ÒÒ Ò B ρ,<λ ÚÙÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÒ l¹ ÙÒ Ø Ó ÙÖ Ú Ø l Λ : Λ Λ Λ, (α, β) min < Λ {λ Λ f α f β R λ }, ¾º º½ µ Ñ R λ ÓÒ Ð Ó Ò {f γ γ Λ λ} Ò ÖÓ Ñ k¹ñó ÙÐ º Ë ÒÓØ Ò ØØ ÒØ B ρ,<λ ÓÒ ÝÚ Ò ÝØØÝØÝÚ Ó l Λ (α, β) < Λ l(γ, β) ÙÒ α, β, γ Λ α < Λ γº ÎÐ ØØ Ñ Ø ÙÓÑ Ø Ò ØØ Ö ØÝ ÙÒ Ø Ó ÑÖ ØØ ÝÚ Ò ÝØØÝØݹ ÚÒ ÒÒ Ò Ö ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ó ÓÒ ÐÙ Ä Ù ¾º º½ º ÇÐ ÓÓÒ R Ö ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ ρ : R Λ Ò Ö ØÝ ÙÒ Ø Óº Î Ð Ø Ò ÓÙ Ó B R Ø Ò ØØ ρ B : B Λ ÓÒ ¹ Ø Óº ÌÐÐ Ò B ÓÒ k¹ñó ÙÐ Ò R ÒØ Ó ÓÙ ÓÒ B Ð ÓØ Ò Ó Ò Ø Ò ØØ f λ := f ÙÒ ρ(f) = λ Ò Ò B ρ,<λ := (f λ λ Λ) ÓÒ ÝÚ Ò ÝØØݹ ØÝÚ ÒØ º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ f R\{0}º ÌÐÐ Ò Ð Ý ØÒ f λ B a λ k Ø Ò ØØ ρ(f) = λ ρ(f a λ f λ ) < Λ ρ(f λ )º ÂÓ f a λ f λ 0 Ò Ò Ø Ñ ÐÐ Ñ ÔØØ ÐÝ Ò ØÝ f = λ Λ a λ f λ, Ñ a λ k a λ = 0 Ñ Ð Ò ÐÐ λ Λº Ä ÓÙ ÓÒ B Ð ÓØ ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ó ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ρ Ö Ó Ø¹ ØÙÑ ÓÙ ÓÓÒ ÓÒ Ø Ú Ò Òº Ç Ó Ø Ø Ò Ú Ð ØØ B ρ,<λ ÓÒ ÝÚ Ò ÝØØÝØÝÚ ÇÐ ÓÓÒ α, β, γ Λ α < Λ γº ÌÐÐ Ò ρ(f α ) < Λ ρ(f γ ) ÓØ Ò Ó Ø J.4 ÙÖ ØØ ρ(f α f β ) < Λ ρ(f γ f β )º Ì Ø ÙÖ ØØ l(α, β) < Λ l(γ, β)º Ä Ù ¾º º½ º ÇÐ ÓÓÒ (Γ, <) ÝÚ Ò Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó B = (f α α Γ) k¹ Ð Ö Ò R ÝÚ Ò ÝØØÝØÝÚ ÒØ º ÅÖ Ø ÐÐÒ ρ(0) = ρ(f) = min{γ f R γ } ÙÒ f 0. ÌÐÐ Ò ρ : R Γ ÓÒ Ö ØÝ ÙÒ Ø Óº ¼

33 ÌÓ ØÙ º ÂÖ ØÝ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ Ø ÐÑÒ ÓÑ Ò ÙÙ Ø Âº½¹Âº ÓÚ Ø ÐÚغ ØÓ Âº ÙÖ Ø ØØ l¹ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ l(α, β) < l(γ, β) ÙÒ α < βº Ç Ó Ø Ø Ò ØÓ Âº ÇÐ ÓÓØ f, g R ÒÓÐÐ Ø ÖÓ Ú ρ(f) = ρ(g) = γº ÌÐÐ Ò f = α<γ a α f α + af γ Ñ a, b 0º ÆÝØ g = b β f β + bf γ, β<γ f a b g = c α f α, α<γ ÓØ Ò ρ(f a g) < γº b ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ k ÙÒØ k Ò Ð ÙÒØ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ R ÓÒ Ö ØÝ ÙÒ ¹ Ø ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ ÝÐ ÙÒÒ Ò kº ÃÙØ Ò ÝÐÐ ÓÒ ØÓ Ø ØØÙ k¹ Ð Ö ÐÐ R ÓÒ ØÐÐ Ò ÝÚ Ò ÝØØÝØÝÚ ÒØ (f α )º ÙÒ Ø Ó l ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ú Ø ¹ Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ k¹ Ð Ö ÐÐ R = R k k, Ñ ÒÒ ÓÒ Ú Ð ØØÙ (f α 1)º ÃÝØØÑÐÐ ÑÓ Ñ Ö ÒØ Ù Ò l¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ Ø ÐÑ ÓÒ ÚÓ Ñ R λ = R λ k º Ì Ø Ò Ò ØØ ÒØ (f α 1) ÓÒ k ¹ Ð Ö Ò R ÝÚ Ò ÝØØÝØÝÚ ÒØ º Ö ØÝ Ø Ó R ÓÒ ÑÙÓØÓ k[x 1,..., x n ]/(F) ÓÐ Ú Ö ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ñ F ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ò R k k = k[x 1,...,x n ]/(F) ÓÒ ÑÝ Ó ÓÒ ÐÙ ÝÐ ÙÒÒ Ò k Ð Ö ÐÐ Ò ÙÐ ÙÑ Ò k Ð ÔÓÐÝÒÓÑ F ÓÒ ÚÐØØÑØØ ÓÐÙÙØØ Ø ÓØÓÒº ½

34 ÄÙ Ù ÂÖ ØÝ ÙÒ Ø Ó Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÒØ Ë ÙÖ Ú Ø Ö Ø Ð ÑÑ Ö ØÝ ÙÒ Ø Ó Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ø ÝØØÑй Ð ÝÚ Ö Ð ÓÒ ØÖÙ Ø Ó Ø º Ò ÑÑ Ò Ø Ö Ø ÐØ Ú Ø ÙÓ ØÙ Ø ÒØ Ú Ø Ú ØÓ ØÓ Ò Ø Ú Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ö ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ø ÒÒ ÐÐ Ò ÙÓ ØÙ Ò º ʺ È ÐÐ Ò Ò ØÓ Ø Ñ Ò È Ð¼½ Ø Ö Ò ¹ Ð Ù Ò ÚÙÐÐ ÓÒ ÐÔÔÓ Ð ÝØ Ñ Ö Ö ØÝ ÙÒ Ø Ó Ø ÔÓÐÝÒÓÑ ¹ Ö Ò Ò Ø Ö Ò º ÄÓÔÙ ØÙØ ÑÑ Ú Ö ØÓÒ Ð Ú Ö ØÓ Ò Ð ÔÔÙ Ò Ø Ø Ú Ú ÐÙ Ø Ó Ø Ð ÔÔÙ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ø Ö ÝØØÑÐÐ Ð ¹ Ú Ö ØÓ º º½ ËÙÓ ØÙ Ø ÅÖ Ø ÐÑ º½º½º ÇÐ ÓÓÒ k ÙÒØ A k¹ Ð Ö º ÂÓÙ Ó F Ð Ö Ò A Ó ÓÙ Ó ÓÒ ÙÓ ØÙ Ó ÐÐ S, T F Ó Ó S T Ø S T º ËÙÓ ØÙ F ÓÒ k¹ ÙÓ ØÙ Ó Ò Ð ÓØ ÓÚ Ø k ¹Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ º ËÙÓ ØÙ F ÑÖ ØØ Ö Ð Ø ÓÒ Ð Ö A ÅÖ Ø ÐÐÒ a F b Ó Ú Ò Ó ÐÐ S F Ó ÐÐ b S ÑÝ a Sº Å Ö ØÒ a < F b, Ó a F b b F a. ÂÓ a F b b F a Ñ Ö ØÒ a F bº Ê Ð Ø Ó F Ö Ú Ò Ò ØÖ Ò Ø Ú Ò Ò ÑÙØØ ÝÐ Ò ÒØ Ýѹ Ñ ØÖ Ò Òº Ë ÒÓØ Ò ØØ Ö Ð Ø Ó F ÓÒ ÙÓ ØÙ Ò F ÑÖÑ Ú ¹ µ Ö ØÝ º ËÙÓ ØÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø Ò Ò ØØ ÐÐ a, b A Ó Ó a < F b Ø b F aº ËÙÓ ØÙ Ò ÑÖÑ Ö ØÝ ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Òº ÇÐ ÓÓÒ a A F ÙÓ ØÙ º ÌÐÐ Ò ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÓÙ ÓØ A F a = {b A b F a} ¾

35 A <F a = {b A b < F a}. Ä ÑÑ º½º¾º ÇÐ ÓÓÒ a, b Aº ÌÐÐ Ò µ A F a A F b Ó Ú Ò Ó a F b µ A F a = {S F a S} S µ A <F a = {S F a S} Sº ÌÓ ØÙ º µ ÇÐ Ø Ø Ò Ò Ò ØØ a F bº ÂÓ c A F a Ò Ò c F a F b, ÓØ Ò ØÖ Ò Ø Ú ÙÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ c A F bº ÃÒØ Ò Ó A F a A F b Ò Ò a A F b a F bº µ ÇÒ ÚÓ Ñ c F a Ó Ú Ò Ó ÐÐ S F Ó ÐÐ a S c Sº Î Ø ÙÖ ÙÓÖ Ò Ø Øº µ ÂÓ S F a S Ò Ò ÐÚ Ø S A <F aº ÃÒØ Ò Ó c A <F a Ò Ò a F c Ð ÓÒ ÓÐ Ñ S F ÓÐÐ c S a Sº ÇÐ ÓÓÒ A/F ÑÙÓØÓ A F a ÓÐ Ú Ò ÓÙ Ó Ò ÓÙ Óº ÃÙÒ S, T A/F ÑÖ ØØ Ð ÑÐÐ S T Ó Ú Ò Ó S T, Ò Ö ØÝ ÓÙ Ó R/Fº Ä ÑÑ Ø º½º¾ ÙÖ ØØ ÓÒ ØÝ ÐÐ ¹ Ò Ò Ö ØÝ Ó F ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Òº ÅÖ Ø ÐÐÒ ÙÚ Ù Å Ö ØÒ ς : A A/F, a A F a. (A/F) = A/F\{ς(0)}. Ë ÙÖ Ú Ð ÑÑ ØÓ Ø Ò ØØ ÙÚ Ù ς ÐÝØØ Ö ØÝ Ò < F Ä ÑÑ º½º º ÇÐ ÓÓÒ F ÙÓ ØÙ a, b Aº ÌÐÐ Ò µ ς(a) = ς(b) Ó Ú Ò Ó a F b µ ς(a) < ς(b) Ó Ú Ò Ó a < F bº ÌÓ ØÙ º µ Ä ÑÑ Ø º½º¾ ÙÖ ØØ A <F a = A <F b Ó Ú Ò Ó a F bº

36 µ ÇÒ ÚÓ Ñ ς(a) < ς(b) Ó Ú Ò Ó A F a A F b A F b A F a Ð Ó Ú Ò Ó a F b b F aº ÅÖ Ø ÐÑ º½º º ÇÐ ÓÓÒ A k¹ Ð Ö F k¹ ÙÓ ØÙ º Ë ÒÓØ Ò ØØ F ÓÒ ¹Ò Ø Ú Ò Ò Ó S F S = 0 ς(1 A ) ÓÒ ÓÙ ÓÒ (A/F) Ô Ò Ò Ð Óº Ä ÑÑ º½º º ÇÐ ÓÓÒ F k¹ Ð Ö Ò A k¹ ÙÓ ØÙ º ÌÐÐ Ò µ ÂÓÙ Ó A F a ÓÒ k¹ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ ÙÒ a Aº µ ÂÓÙ Ó A <F a ÓÒ k¹ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ ÙÒ a A\ S F Sº ÌÓ ØÙ º µ ÃÓ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò Ð Ù ÓÒ Ú ØÓÖ Ú ÖÙ٠Рѹ Ñ Ø º½º¾ ÙÖ ØØ A F a ÓÒ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ º µ à ÐÐ S, T F Ó Ó S T Ø T Sº Ì Ø Ð ÑÑ Ø º½º¾ Ù¹ Ö ØØ A <F a ÓÒ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ó ÓÐ ØÝ º ÌÓ ÐØ A <F a = Ó Ú Ò Ó a S ÐÐ S Fº Ñ Ö º½º º ÇÐ ÓÓÒ A = k[x] ÔÓÐÝÒÓÑ Ö Ò ÙÓ ØÙ F = {(x i )} i 1 º ÃÓ Ð Ø ÓÚ Ø k¹ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ F ÓÒ k¹ ÙÓ ØÙ º ÂÓ b A\(x) Ò Ò A <F b = A A <F b = (x i ) ÙÒ b (x i )º ÐÐ Ò Ð ÑÑ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓÒ Ñ Ð Ø ÑÖ Ø ÐÐ Ø Ú ÖÙÙ A F a/a <F a. ÃÓ Ù ÑÔ a A ÚÓ ÑÖ ØØ Ñ Ò Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò Ú Ð Ø Ò Ù ¹ Ø Ø ÓÙ Ó Ø (A/F) Ñ Ö ØÒ gr C A = A F c/a <F c, ÙÒ C (A/F) C = ς(c). Æ Ø ÙØ ÙØ Ò k¹ ÙÓ ØÙ Ò F ÔÓÖÖ Ø ØÙ ÓÑÔÓÒ ÒØ º Ñ Ö º½º º ÇÐ ÓÓØ F A ÙØ Ò ÐÐ Ñ Ö º Å Ö ØÒ G = F {A}º ÌÐÐ Ò G ÓÒ ÙÓ ØÙ A F b = A G b ÐÐ b A Ð F = G º ÐÐ Ø Ñ Ö Ø Ò Ò ØØ Ú Ö ØÝ < F ÑÖ Ø ÙÓ ¹ ØÙ Ø Ý ØØ Ø º ÃÓ ÓÐ ÑÑ ÒÒÓ ØÙÒ Ø Ò Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÓØ ÙÖ Ú Ø Ú Ö ØÝ Ø ÓÒ Ö Ú Ú Ð Ø Ù Ø Ò Ò ÙÓ¹ ØÙ Ø Ò ÓÙ Ó Ø ÓØ ÒØ Ú Ø Ñ Ò Ú Ö ØÝ Òº ËÓÔ Ú Ú Ð ÒØ ÓÒ A/F ÙØ Ò ÙÖ Ú Ð ÑÑ ØÓ Ø Òº

37 Ä ÑÑ º½º º ÇÐ ÓÓÒ A k¹ Ð Ö F Ò ÙÓ ØÙ º µ ÃÚ Ö ØÝ Ø F A/F ÓÚ Ø Ñ Øº µ ÂÓ ÙÓ ØÙ Ø F G ÑÖ ØØÚØ Ñ Ò Ú Ö ØÝ Ò Ò Ò A/F = A/G. µ A/F = A/(A/F)º ÌÓ ØÙ º µ Ê ØØ ØÓ Ø ØØ A F a = A A/F a ÐÐ a Aº ÆÝØ A A/F a = a F ba F b = a F b b S F S = a S S = A F a. µ ËÙÓ ØÙ Ò A/F Ð ÓØ ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ A F aº ÃÓ ÓÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò Ö ØÝ Ø ÓÚ Ø Ñ Ø A F a = A G a ÐÐ a Aº Ë ÙÓ ØÙ Ø A/F A/G ÓÚ Ø Ý Ø ÙÙÖ Øº µ ÃÓ Ø (i) ÙÖ ØØ Ú Ö ØÝ Ø F A/F ÓÚ Ø Ý Ø ÙÙÖ Øº ËÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ Ó Ø (ii) Ò ØØ A/F A/(A/F) ÓÚ Ø Ý Ø ÙÙ¹ Ö Øº ÅÖ Ø ÐÑ º½º º Ð Ö Ò A ÙÓ ØÙ Ò F ÒÓÖÑ Ð Ó ÒØ ÓÒ ÓÙ Ó A/Fº ËÙÓ ØÙ F ÓÒ ÒÓÖÑ Ð Ó F = A/Fº ÅÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ø ÙÓ ØÙ Ø ÇÐ ÓÓÒ A Ó ÓÒ ÐÙ K Ò Ó ÑÖ ÙÒØ º ÂÓØØ Ú Ö ØÝ Ñ¹ Ö ØØ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÙÒÒ K Ô Ø Ú ÒØÒ Ú Ø ØØ ÙÓ ØÙ Ò Ò¹ Ø Ñ Ú Ö ØÝ Ö Ò A ÚÓ Ò Ð ÒØ Ó ÑÖ ÙÒÒ Ò K Ú ¹ Ö ØÝ º Ì Ø Ø ÙÖ ØØ Ú Ö ØÝ ÓÒ ÓÐØ Ú Ú ÙÔ ¹ Ø Ñ Ò Ù Ø Ò ØÓ Ò ÒÓ Ò Ó ac bc Ò Ò a b ÙÒ c 0º ÌÐÐ Ø ÙÓ ØÙ Ø ÒÓØ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú º ÅÖ Ø ÐÑ º½º½¼º ÇÐ ÓÓÒ A k¹ Ð Ö F ÙÓ ØÙ º ÌÐÐ Ò F ÓÒ ¹ Ó Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò Ó ÐÐ a, b, c A a F b ac F bc. À Ó Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÙÓ ØÙ ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò Ó a < F b ac < F bc ÙÒ c 0.

38 Ä ÑÑ º½º½½º ÇÐ ÓÓÒ F Ð Ö Ò A Ó Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÙÓ ØÙ a, b, c, d Aº µ ÂÓ a F b Ò Ò ac F bcº µ ÂÓ ac < F bc Ò Ò a < F bº ÌÓ ØÙ º µ ÃÓ F ÓÒ Ó Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÓÐ ØÙ Ø a F b ÙÖ ØØ ac F bc bc F ac Ð ac F bcº µ ÂÓ b F a Ò Ò Ó Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÙÙ Ø ÙÖ ØØ bc F ac Ñ ÓÒ Ö Ø Ö ÓÐ ØÙ Ò ac < F bc Ò º Ä ÑÑ º½º½¾º ÇÐ ÓÓÒ F ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÙÓ ØÙ a, b, c Aº µ ÂÓ c 0 ac F bc Ò Ò a F bº µ ÂÓ c 0 ac F bc Ò Ò a F bº µ ÇÐ ÓÓØ ad F bc b < F b Ó Ó c 0 Ø d 0º ÌÐÐ Ò d < F cº ÌÓ ØÙ º µ ÂÓ b < F a c 0 Ò Ò bc < F ac Ñ ÓÐ Ñ ÓÐÐ Ø ÓÐ ØÙ Ò ÒÓ ÐÐ º Ë a F bº µ ÃÓ Ò µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓÐ ØÙ Ø ac F bc ÙÖ ØØ a F bº µ ÇÐ ÓÓØ ad F bc b < F a c 0º ÌÐÐ Ò bc < F ac ad F bc < F ac ÓØ Ò d < F cº Ä Ù º½º½ º ÇÐ ÓÓÒ F Ó Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò k¹ ÙÓ ØÙ Ð Ö A S F S = {0}º µ Ð Ö Ò A ÒÓÐÐ Ò Ø ÐØÝÚØ ÓÙ ÓÓÒ A <F 1º µ ÂÓ ÙÓ ØÙ Ò F Ò ÔÓÖÖ Ø ØØÙ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ñ Ò Ó ÓÒ Ý A ÓÒ Ó ÓÒ ÐÙ Ò Ò F ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Òº ÌÓ ØÙ º µ ÇÐ ÓÓÒ a A ÒÓÐÐ Ò ÓÐ Ø Ø Ò ØØ 1 F aº ÆÝØ Ð Ý ØÒ b A b 0 Ø Ò ØØ ba = 0º À Ó Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÙÙ¹ Ø ÙÖ ØØ b F ab = 0º ÇÐ ØÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ b 0 Ñ ÓÒ Ö Ø Ö Ø º

39 µ ÇÐ ÓÓØ a < F b c 0º ÇÐ ØÙ Ø ÙÖ ØØ ac F bcº Ê ØØ Ó Ó ØØ ØØ ÓÐ ØÙ ac F bc Ó Ø Ö Ø Ö Ø Òº ÃÓ A ÓÒ Ó ÓÒ ÐÙ bc 0º ÇÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò ÔÓÖÖ Ø ØØÙ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ñ Ò Ó ÓÒ Ý ÓØ Ò Ð Ý ØÒ ÐÐ Ò Ò λ k ØØ ac λbc < F bc. ÃÝØØÑÐÐ Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÙÙØØ Ø Ø ÙÖ ØØ a λb < F b. ÆÝØ ÑÝ a A <F b ÓØ Ò b A <F b Ñ ÓÐ Ñ ÓÐÐ Ø º Ä Ù º½º½ º ÇÐ ÓÓÒ F Ó Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò k¹ ÙÓ ØÙ º µ ÇÐ ÓÓØ C, D A/F C = ς(c) D = ς(d)º ÃÙÒ ÑÖ Ø ÐÐÒ CD = ς(cd) ÓÙ Ó A/F ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÑÓÒÓ º Ä Ó C D Ò Ò EC DE ÐÐ C, D, E A/Fº µ ÇÐ ÓÓÒ F ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò k¹ ÙÓ ØÙ ÓÐÐ S F S = {0}º ÌÐÐ Ò (A/F) ÓÒ ÑÓÒÓ Ò A/F Ð ÑÓÒÓ º ÂÓ Ð C < D Ò Ò CE < DE ÐÐ E (A/F) º ÌÓ ØÙ º µ ÌÓ Ø Ò Ò Ò ØØ ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒ ÝÚ ÒÑÖ Ø ÐØÝ ÇÐ ÓÓØ C = ς(c) = ς(c ) D = ς(d) = ς(d ) c F c d F d º ÆÝØ ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ cd F c d c d F c d ÓØ Ò cd F c d ς(cd) = ς(c d )º Æ ÙØÖ Ð Ð Ó ς(1 A ) Ó Ø Ú ÙÙ Ô Ö ÝØÝÚØ Ð Ö Ò A ÓÑ Ò ÙÙ Ø º ÌÓ Ø Ò ÐÓÔÙ ØØ ÓÔ Ö Ø Ó ÝØØÝØÝÝ ÝÚ Ò Ö ØÝ Ö Ð Ø ÓÒ Ù Ø Ò ÇÐ ÓÓØ C, D, E A C = ς(c) D = ς(d) E = ς(e) C Dº ÇÐ ØÙ Ø C D ÙÖ ØØ c F dº ËÙÓ ØÙ ÓÒ Ó Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÓØ Ò ce F de ς(ce) ς(de) Ð CE DEº µ ÂÓÙ Ó (A/F) ÓÒ ÑÓÒÓ Ò A/F Ó ÓÙ Ó ς(1 A ) (A/F) ÓØ Ò Ö ØØ Ó Ó ØØ ØØ (A/F) ÓÒ ÙÐ ØØÙ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ù Ø Ò ÇÐ ÓÓØ C, D (A/F) C = ς(c) D = ς(d)º ÂÓ ς(cd) = ς(0) Ò Ò cd F 0 d F 0º ÇÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò ÙÓ ØÙ Ò Ð Ó Ò Ð Ù ÓÒ {0} ÓØ Ò d = 0º ÅÙØØ ØÑ ÓÒ Ö Ø Ö Ø ÐÐ ÐÙ ÓÐ Ø ØØ Ò ØØ ς(d) (A/F) º ÇÐ ÓÓÒ C, D, E (A/F) C = ς(c) D = ς(d) E = ς(e) C < Dº ËÙÓ ØÙ F ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÓØ Ò ÓÐ ØÙ Ø c < F d ÙÖ ØØ ce < F de Ð CE < DEº

40 ÇÐ ÓÓÒ A Ó ÓÒ ÐÙ K Ö Ò Ò A Ó ÑÖ ÙÒØ F ÑÙÐØ ÔÐ Ø ¹ Ú Ò Ò ÙÓ ØÙ Ö Ò Aº ÇÐ ÓÓÒ a, b, c, d A b, c 0º Ä ÒÒ Ø Ò Ú Ö ØÝ F ÙÒØ Ò K ÙÖ Ú Ø a b F c d ad F bc. ÅÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÙÙ Ø ÙÖ ØØ Ö ØÝ Ö Ð Ø Ó ÓÒ Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ K й ÓÒ ØÝ Ø A Ò Ð Ó Ò Ó ÑÖÒº Ç Ó Ø Ø Ò ØÖ Ò Ø Ú ÝÝ Çй ÓÓØ a i, b i A b i 0 i = 1, 2, 3 ÌÐÐ Ò a 1 b 1 F a 2 b 2, a 2 b 2 F a 3 b 3. a 1 b 2 F a 2 b 1, a 2 b 3 F a 3 b 3. ÅÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÙÙ Ø Ú Ö ØÝ Ò ØÖ Ò Ø Ú ÙÙ Ø Ö Ò A ÙÖ ØØ a 1 b 2 b 3 F a 3 b 1 b 2 º ÐÐ Ò a 1 b 3 F a 3 b 1 Ø ÒÚ ØÓÒ ÚÓ Ò ØÓ Ø a 1 b 1 F a 3 b 3. Ä ÑÑ º½º½ º ÇÐ ÓÓÒ A Ó ÓÒ ÐÙ F ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÙÓ ØÙ º ÌÐÐ Ò Ú Ö ØÝ F Ö Ò A ÚÓ Ò Ð ÒØ Ý ØØ Ø A Ò Ó ÑÖ ÙÒÒ Ò Ú Ö ØÝ ÑÖ ØØ Ð ÑÐÐ a b F c d Ó Ú Ò Ó ad F bc. ÐÐ Ò Ð ÑÑ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ñ Ö ÒÒØ F < F F ÚÓ Ò Ý ¹ ØØ Ø Ð ÒØ ÙÒØ Ò Kº Ä ÑÑ º½º½ º ÇÐ ÓÓÒ A Ó ÓÒ ÐÙ K Ò Ó ÑÖ ÙÒØ F ÑÙй Ø ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÙÓ ØÙ º ÌÐÐ Ò µ a b F c d ad F bc µ a b F c d d c F b a ÙÒ a, b, c, d 0º ÌÓ ØÙ º µ ÅÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò a b F Ó Ú Ò Ó ad F bc bc F ad Ð Ó Ú Ò Ó ad F bcº c d

41 µ ÆÝØ a b c F d Ó Ú Ò Ó ad F bc Ð Ó Ú Ò Ó d c F b a. Ä ÑÑ º½º½ º ÇÐ ÓÓÒ F ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò k¹ ÙÓ ØÙ A Ó ÓÒ ÐÙ K Ò Ó ÑÖ ÙÒØ º ÃÙÒ a K Ò Ò K F a K <F a ÓÚ Ø Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ ¹ º ÌÓ ØÙ º ÃÓ F ÓÒ k¹ ÙÓ ØÙ K F a ÓÒ ÙÐ ØØÙ ÙÒÒ Ò k Ð ÓÐÐ ÖØÓ¹ Ñ Ò Ù Ø Òº ÇÐ ÓÓÒ a = d c c, d A a i b i F c d, a i, b i A i = 1, 2. ÆÝØ a i d < F b i c ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ ÑÓÐ ÑÑ Ø ÔÝ ØÐ Ø ÚÓ ¹ Ò ÖØÓ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÓÐÐÓ Ò Ò ÓÐÐÓ Ò a 1 db 2 F b 1 b 2 c a 2 db 1 F b 1 b 2 c, (a 1 b 2 + a 2 b 1 )d F cb 1 b 2. ÌÑ Ø Ö Ó ØØ ØØ a 1 b 2 + a 2 b 1 c F b 1 b 2 d, Ð K F a ÓÒ ÙÐ ØØÙ Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ù Ø Òº Ë ØØ K <F a ÓÒ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ ØÓ Ø Ø Ò ÑÓ Òº Î ÐÙ Ø ÓØ ÒÒ ÐÐ Ø ÙÓ ØÙ Ø ÅÖ Ø ÐÑ º½º½ º Ð Ö Ò A ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò k¹ ÙÓ ØÙ F ÓÒ Ò¹ Ò ÐÐ Ò Ò Ó ØÓØ ÙØØ ÓØ µ S F,S A S = A µ S F S = {0} µ dim gr C A = 1 ÙÒ C (A/F) Úµ ς(1 A ) ÓÒ ÑÓÒÓ Ò (A/F) Ô Ò Ò Ð Óº

42 ÅÖ Ø ÐÑ º½º½ º ÇÐ ÓÓÒ ÙÒØ K ÙÒÒ Ò k Ð ÒÒÙ A K Ð ¹ Ö Ò º ÇÐ ÓÓÒ ν Ó Ò ÙÒÒ Ò K/k Ú ÐÙ Ø Ó V Ò Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò m Ò Ñ Ñ Ð Ò Ò Ð ºº Î ÐÙ Ø Ó ν ÓÒ k¹ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ò Ö Ò Ò A Ù Ø Ò Ó µ A V = k µ V = k + mº Ä Ù º½º¾¼º ÇÐ ÓÓÒ k¹ Ð Ö A Ó ÓÒ ÐÙ K Ò Ó ÑÖ ÙÒØ F ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò k¹ ÙÓ ØÙ º µ ÂÓÙ Ó K F 1 ÓÒ Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò K <F 1 ÓÒ Ò Ñ Ñ Ð Ò Ò ¹ Ð º µ Î ÐÙ Ø ÓÖ Ò Ò K F 1 ÒÒ ÐÙÓ ÙÒØ ÓÒ k Ø Ö ÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ ÐÐ C (A/F) º dim gr C A = 1 µ ÂÓ F ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ò Ò Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò K F 1 ÓÒ k¹ ÓÑÔÐ Ñ Ò¹ Ø Ö Ò Ò A Ò Ù Ø Òº ÌÓ ØÙ º µ Å Ö ØÒ V = K F 1 m = K <F 1º ÇÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò ÙÓ ØÙ F ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò Ð ÐÐ u, v V ÓÒ ÚÓ Ñ uv F 1 ÓØ Ò V ÓÒ ÙÐ ØØÙ ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Òº ÑÑ Ò Ó Ó Ø Ø¹ Ø Ò ØØ V ÓÒ k¹ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ º Ë V ÓÒ Ö Ò º ÂÓ u V Ò Ò 1 < F u ÓØ Ò 1 u F 1, Ð 1 u V º ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ u V \m = K F 1º ÌÐÐ Ò u F 1 ÓØ Ò ÑÝ 1 u F 1º Ì Ø ÙÖ ØØ Ö Ò Ò V Ý Ø ÓÚ Ø Ø Ö ÐÐ Ò ÓÙ ÓÒ K F 1 Ð Óغ Ë m ÓÒ Ñ Ñ Ð Ò Ò Ð º µ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÔÓÖÖ Ø ØØÙ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ñ Ò Ó ÓÒ Ý º ÃÓ Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ò Ò Ñ Ñ Ð Ò Ò Ð ÓÒ m Ö ØØ Ó Ó ØØ ØØ Ú ¹ ÐÙ Ø ÓÖ Ò ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ Ó k+mº ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ a, b A\{0}º ÂÓ a < F b Ò Ò a b < F 1º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ a F bº ÆÝØ a = λc + a 1 b = γc + b 1 Ñ a 1, b 1, c A <F a c A F aº Ì Ø ÙÖ ØØ a λ γ b = a 1 λ γ b 1 ¼