N = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º

Transkriptio

1 Å Ì ¾¾ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ã ¾¼½¼

2 ÌÑ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÙÖ ÐØ Ó ÐØ Ä ÃÙÖ ØÙÒ Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ Ò ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ò ÓØ ÒÒ ØØ ÐÙ Ñ Ð Ô ØÓ¹ ØÙ Ò Ð Ý ØÝ Ó Ø º Ë ÐØ ½º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ½º½º ÄÙ Ù Ö Ø ÐÑØ ½º¾º  ÓÐÐ ÙÙ ½º º Ð ÙÐÙÚÙ Ø ½º º Ð ÙÐÙ Ù Ò Ø Ý Ø ½¼ ½º º ÖÑ Ø³Ò Å Ö ÒÒ Ò ÐÙÚÙØ ½ ½º º ËÙÙÖ Ò Ý Ø Ò Ò Ø ½ ½º º Ù Ð Ò Ð ÓÖ ØÑ ½ ½º º È Ò Ò Ý Ø Ò Ò ØØ Ú ½ ½º º Ä Ò Ö Ò Ò Ó ÒØÓ Ò Ý ØÐ ½ ¾º ÄÙ Ù ÓÒ ÖÙ Ò Ø ¾¼ ¾º½º Ä Ò Ö Ò Ò ÓÒ ÖÙ Ò Ý ØÐ ¾¾ ¾º¾º ÄÙ Ù ÙÒÒ Ø Ð ÙÐÙÚÙØ ¾ ¾º º ÙÐ Ö Ò ϕ¹ ÙÒ Ø Ó ¾ ¾º º ÙÐ Ö Ò ÖÑ Ø³Ò Ï Ð ÓÒ Ò Ð Ù Ø ¾ ÆÓÔ ÔÓØ Ò Ð Ù ¾º º Ã Ò Ð Ò Ò ÒÒ Ð Ù º Æ Ð Ò ÒÒ Ø ½ º½º Ê ÔÖÓÓ Ð Ù º¾º Â Ó Ò ÝÐ Ø ØØÝ ÝÑ ÓÐ º Ð ÙÐÙ ÙØ Ø Ù Ø º½º ÖÑ Ø º¾º Ä Ò Ö ¹Â Ó º º Å ÐÐ Ö¹Ê Ò º º È Ô Ò º º ÄÙ ¼ º º ÄÙ ¹Ä Ñ Ö ¼ º ÊË º½º Î Ø Ò Ð Ñ Ò Ò º¾º Î Ø Ò ÔÙÖ Ñ Ò Ò º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò ØÝ Ø ÙÑÑ Ò º½º Æ Ð Ò ÙÑÑ Ø º¾º ÓÐ Ò ÓÒ ØÙÙÖ ½ º º ÅÙ Ø Ö Ø Ñ ØØÓÑ ÓÒ ÐÑ ¾ º ÃÓÖ ÑÑ Ò Ø Ò ÓÒ ÖÙ Ò Ý ØÐ Ø

3 ½º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÄÙ ÙØ ÓÖ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÝÐ Ò ÓÔÔ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙ Ø º ÅÝ ØÐÐ ÙÖ ÐÐ ÐÙ ÙØ ÓÖ ÝÑÑÖÖ ØÒ ÙÙÖ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Òµ Ø ÓÖ º È Ð ÙØ Ø Ò Ò Ò Ñ Ð Ò Ñ Ø ÐÙÓÒÒÓÐÐ ¹ ÐÐ ÐÙÚÙ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Òº Ö Ø Ò Ö Ø Ô ÑÖ Ø ÐÐ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÓÒ ÙÖ Ú ÓÙ Ó¹ÓÔ ÐÐ Ò Ò ÓÒ ØÖÙ Ø Óº ÅÖ Ø ÐÑ ½º½º Ø Ø Ò 0 := = {} ÑÖ Ø ÐÐÒ Ó ÐÐ ÓÙ ÓÐÐ A ÙÖ S(A) := A {A}º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó N ÚÓ Ò ÒØ ÒÝØ Ð Ù Ò N = A A, Ñ Ð Ù ÓØ Ø Ò Ò Ò Ò ÓÙ ÓÔ Ö Ò A ÝÐ ÓØ ÐØÚØ ÓÙ ÓÒ 0 ÓÚ Ø ÙÐ ØØÙ ÙÖ ÙÒ Ø ÓÒ S Ù Ø Ò Ð A A S(A) Aº ÌÑÒ ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÓÚ Ø 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} º ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò Ö ØÝ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ò ÐÙÙ ÓÒ ÚÙÐÐ a b : a bº ÌÖ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò ÓÑ Ò ÙÙ ÓÒ Ò Ù Ø Ó Ä Ù ½º¾º ÇÐ ÓÓÒ A Nº ÂÓ 0 A ÐÐ n A ÑÝ n+1 A ÓÒ A = Nº ÌÓ ØÙ º ÂÓÙ ÓÒ A ÑÖ Ø ÐÑÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ A Nº ÌÓ ÐØ 0 A A ÓÒ ÙÐ ØØÙ ÙÖ ÙÒ Ø ÓÒ S Ù Ø Ò Ø Ò N Aº Ë Ô A = Nº ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÑÝ Ø Ò ØØ Ä Ù ½º¾ ÓÒ ÙÓÖ Ò Ø ÑÙÓ Ó Ý ÓÓÑ Ø º Ë Ø ÙØ ÙØ Ò Ò Ò¹ Ù Ø Ó ÓÓÑ º ÁÒ Ù Ø Ó ÓÓÑ Ò Ò Ý ØÔ ØÚ ÓÐ ØÙ Ó Ø ÑÙÓØÓ ÐÐ Ò Ð Ù Ò ÓÒ Ô Ò ÑÑÒ Ð ÓÒ ÓÐ Ñ ÓÐÓº Ñ Ö ½º º Ç Ó Ø Ø Ò Ò Ù Ø ÓÐÐ ØØ n n N n > 0º 1 Ò ½ 1 = 1 < 2 = 2 1º 1 i < 2 n ÐÐ

4 Ò Ù Ø Ó Ð ÇÐ Ø Ø Ò ØØ n 1 i < 2 n ÓÐÐ Ò n Nº ÆÝØ n+1 1 i = n 1 i + 1 n + 1 < 2 n + 1 n + 1 = 2 n(n + 1) + 1 4n2 + 4n n + 1 n + 1 = 2n = 2 n + 1. n + 1 Ä Ù ½º º ÂÓ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò ÔØÝ Ó ÓÙ Ó ÓÒ Ô Ò Ò ÐÙ Ùº ÌÓ ØÙ º À Ö Ó ØÙ Ø ØÚµ ÃÓ ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Z ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙ Ø Ñ Ö ÙÖ Ú Ø º ÅÖ Ø ÐÑ ½º º ÃÓ ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó ÓÒ Ø ÓÙ Ó Z := {(a, b) : a, b N}/ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÐÐ (a, b) (c, d) : a + d = b + cº Ì ÑÖ Ø ÐÑ Ö Ø ØÝØ ÐÙ ÙÔ Ö Ø (a, b) ÐØÚØ ÔÓ ¹ Ø Ú Ò Ó Ò a Ò Ø Ú Ò Ó Ò b Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ [(a, b)] Z ÝÑÑÖÖ ØÒ Ó ÓÒ ÐÙ ÙÒ a bº ½º½º ÄÙ Ù Ö Ø ÐÑغ ÐÓ Ø Ø Ò Ú Ö Ò Ò Ò ÐÙ ÙØ ÓÖ Ò º Ó¹ Ý ØÐ ÐÐ ÓØ ØÙÐ ÑÑ Ø Ó ØÓ ØÙÚ Ø ÝØØÑÒº Ä Ù ½º º ÂÓ a, b Z b > 0 ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ø ÐÙÚÙØ q, r Z Ø Ò ØØ 0 r < b a = qb + r. ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ A = {a qb : q Z, a qb 0} Nº ÃÓ 0 a (b 1) a ( a )b A Ð A ÓÒ ÔØÝ ÓÒ ÓÐ Ñ ÓÙ ÓÒ A Ô Ò Ò ÐÙ Ùº ÇÐ ÓÓÒ r ÓÐ ÓÓÒ q Z Ø Ò ØØ r = a qbº ÌÐÐ Ò r < b ÐÐ ÑÙÙØ Ò 0 r = a (q + 1)b = r b A Ð r ÓÐ Ò Ô Ò Ò ÓÙ ÓÒ A ÐÙ Ùº ÂÓ q 1, q 2, r 1, r 2 Z 1 r 1, r 2 < b a = q 1 b + r 1 = q 2 b + r 2 ÓÒ q 1 q 2 b = r 1 r 1 < b, Ñ ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø Ú Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ q 1 = q 2 ÓÐÐÓ Ò ÑÝ r 1 = r 2 º

5 Ä Ù Ò ½º ÐÙ Ù q ÓÒ ÐÙÚÙÒ a Ó ÑÖ ÐÙÚÙÒ b Ù Ø Ò ÐÙ Ù r ÓÒ ÐÙÚÙÒ a Ó ÒÒ ÐÙÚÙÒ b Ù Ø Òº Ä Ù Ò ½º ÚÙÐÐ Ò Ò ØØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ØØ Ý ØØ Ø Ñ Ø Ò m¹ ÒØ ÐÙ Ù Ö Ø ÐÑ ÙÒ m 2º Ä Ù ½º º ÇÐ ÓÓÒ m, n N Ø Ò ØØ m 2 n 1º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ k N ÐÙÚÙØ a 0, a 1,...,a k N Ø Ò ØØ 0 a i < m ÐÐ i, n = a k 1 k a i m i. i=0 Ä ÙÑÑ ØÝ ÓÒ Ý ØØ Ò Òº ÌÓ ØÙ º Ä Ù Ò ½º ÑÙ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ø ÐÙÚÙØ a 0, n 0 Z Ø Ò ØØ 0 a 0 < m n = n 0 m + a 0. Ä ØÝØÝÝ ÓÐÐ n 0 0 ÐÐ Ó Ò Ò ÓÐ Ø Ò n m + a 0 < 0. ÂÓ n 0 = 0 ÓÒ k = 0 ÐÙÚÙØ a i ÓÒ Ð Ý ØØݺ ÇÐ Ø Ø Ò ÒÝØ ØØ ÐÙÚÙØ 0 a 0,...,a j < m n 0,...,n j 1 1 n j 0 ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ø Ò ØØ n i 1 = n i m + a i ÐÐ i = 1,..., jº ÂÓ Ú Ð Ò a j 1 Ò Ä Ù Ò ½º ÚÙÐÐ 0 a j+1 < m n k+1 0 Ø Ò ØØ n j = n j+1 m + a j+1. ÃÓ n N ÓÒ ÓÐ Ñ k N Ø Ò ØØ ÐÐ ÐÐ Ò Ù Ø Ú ÐÐ ÑÖ ØØ ÐÝÐÐ n k = 0º ÆÝØ 0 n = n 0 m + a 0 = n 0 m 1 + a i m i. ÇÐ Ø Ø Ò ØØ n = n j m j+1 + i=0 j a i m i ÓÐÐ Ò j {0,..., k 1}º ÌÐÐ Ò j+1 j n = (n j+1 m + a j+1 )m j+1 + a i m i = n j+1 m j+2 + a i m i. i=0 i=0 i=0

6 Ë Ø Ò Ö ØÝ Ø ÃÓ a j m j ÓÒ ÐÙÚÙÒ n = n k m k+1 + k a i m i = i=0 j 1 n a i m i i=0 k a i m i. Ó ÒÒ ÐÙÚÙÒ m j+1 Ù Ø Ò ÓÒ Ä Ù Ò ½º ÑÙ Ò Ý Ø¹ Ø Ò Ò ÙÒ j = 0 Ø Ò ÑÝ ÙÒ j = 1, 2,..., kº Ñ Ö ½º º ÄÙÚÙÒ 51 ØÝ 3¹ ÒØ ÐÙ Ù Ö Ø ÐÑ ÓÒ i=0 51 = ÃÝØ ØØÝ ÐÙ Ù Ö Ø ÐÑ Ö Ó Ø Ø Ò Ù Ò Ð Ò Òº ÌÐÐ Ò Ð¹ Ð Ò Ò Ý ØÐ ÑÙÓ ÓÒ ½º¾º  ÓÐÐ ÙÙ º = ÅÖ Ø ÐÑ ½º º ÇÐ ÓÓØ a, b Z b 0º ÄÙ Ù a ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ b b a Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÙ Ù q Z Ø Ò ØØ a = qbº ÄÙ Ù a ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ b 0 Ø ÑÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ ÐÙÚÙÒ a Ó ÒÒ ÐÙÚÙÒ b Ù Ø Ò ÓÒ 0º Å Ö ÒÒÐÐ b a Ø Ö Ó Ø Ø Ò ØØ b a ÓÐ ØÓØØ º ÐÐ Ò Ñ¹ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò ÓÒ 1 a ØÓØØ ÐÐ a Z Ð a a ÐÐ a Z \ {0}º Ë ÐÚ Ø ÑÝ µ b a c b c a µ c 0 b a bc ac µ c a c b m, n Z c ma + nbº ÅÖ Ø ÐÑ ½º½¼º ÄÙ Ù n N n > 1 ÓÒ Ð ÙÐÙ Ù Ó ÓÐ ÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐÒ ÐÙÚÙÐÐ m N ÓÐÐ 1 < m < nº Ä Ù ½º½½º ÂÓ Ò Ò n N n > 1 ÓÒ Ð ÙÐÙ Ù Ò ØÙÐÓº ÌÓ ØÙ º ÂÓ Ó n ÓÒ Ø Ð ÙÐÙ Ù ÓÐÐÓ Ò ØÓ ØÙ ÓÒ Ó Ú ÐÑ µ Ø ÐÐ ÓÒ Ó Ò m N 1 < m < nº ÇÐ ÓÓÒ p 1 Ô Ò Ò ÐÙÚÙÒ n ÓÐÐ 1 < p 1 < mº ÌÐÐ Ò p 1 ÓÒ Ð ÙÐÙ Ù ÐÐ ÑÙÙØ Ò ÓÐ ÓÐ Ñ k N 1 < k < p 1 Ø Ò ØØ k p 1 ÐÐ Ò k nº Ë n = p 1 n 1 ÓÐÐ Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÐÐ ÐÙÚÙÐÐ 1 < n 1 < nº ÂÓ Ó n 1 ÓÒ Ð ÙÐÙ Ù ÓÐÐÓ Ò ØÓ ØÙ ÓÒ Ú ÐÑ µ Ø ÐÐ ÓÒ ÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ð ÙÐÙ ÙØ p 2 ØÐÐ Ò n 1 = p 2 n 2 Ñ 1 < n 2 < n 1 º Â Ø Ñ ÐÐ ØØ ÑÑ Ó Ø Ú Ò ÚÒ ÓÒÓÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÐÙ Ù n 1 > n 2 > n 3... º ÂÓÒ Ò Ö ÐÐ Ò ÑÖÒ l Ð Ø Ð Ò

7 Ø ÖÑÑÑ ÚÐØØÑØØ Ð ÙÐÙ ÙÙÒ n l = p l+1 ÓÐÐÓ Ò Ð ÙÔ Ö Ò Ò ÐÙ Ù ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó n = p 1 p 2 p l+1. ÀÙÓÑ ØØ Ò Ò ØÓ ØÙ Ó Ó Ø ØØ ØÝ p 1 p 2 p l+1 ÓÐ Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ø Ú ÐÐ µ Ý ØØ Ò Òº ÌÑ ÓÒ Ù Ø Ò Ò ØÓØØ º Ä Ù ½º½¾ Ö ØÑ Ø Ò Ô ÖÙ Ð Ù µº ÂÓ Ò Ò ÐÙ Ù n N n > 1 ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Ý ØØ Ø ØÙÐÓÒ n = p a l l p a l l p a l l, Ñ p 1 < p 2 < < p l ÓÚ Ø Ð ÙÐÙ Ù a 1, a 2,...,a l > 0 ÐÙÓÒÒÓÐÐ ¹ ÐÙ Ù º Ä Ù ½º½¾ ÙÖ ÙÖ Ú Ø Ð Ù Ø Ó ØÓ Ø Ø Ò Ñ Ò ÑÝ ÑÑ Òº Ä Ù ½º½ Ù Ð Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ð Ù µº ÂÓ p ÓÒ Ð ÙÐÙ Ù p ab Ò Ò p a Ø p bº Ä Ù Ò ½º½¾ ØÓ ØÙ ÓÐ ØØ Ò Ä Ù ½º½ º Ä Ù Ø ½º½ ÙÖ Ð¹ Ú Ø ØØ Ó ÐÐ Ð ÙÐÙÚÙÐÐ p ÔØ ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ p a 1 a 2 a n p a i ÓÐÐ Ò i {1, 2,..., n}. n = p a 1 1 p a 2 2 p a l l = q b 1 1 q b 2 2 q b k k, Ñ (p i ) l (q i ) k ÓÚ Ø Ó Ø Ú Ú Ð ÙÐÙ Ù ÓÒÓ a i, b i > 0 ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÐÙ Ù º ÃÓ p i q b 1 1 qb 2 2 qb k k q i p a 1 1 p a 2 2 p a l l ÐÐ i ÓÚ Ø ÐÙÚÙØ p i q i Ñ Øº ÐÐ i Ú Ø Ú Ø Î Ð ØÙÐ Ó Ó ØØ ØØ ÖØ ÐÙÚÙ ÐÐ ÔØ a i = b i ÐÐ iº ÇÐ Ø ¹ Ø Ò ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ Ó Ò j Ø Ò ØØ a j > b j º Â Ñ ÐÐ n ÐÙÚÙÐÐ b j Ò p a 1 1 pa 2 2 pa j b j j p a l l = p b 1 1 p b 2 2 p b j 1 j 1 pb j+1 j+1 pb l l, Ó Ú Ò ÔÙÓÐ ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ p j ÑÙØØ Ó ÔÙÓÐ º Î ¹ Ø Ú Ø b j > a j Ó Ø Ö Ø Ö Ø Òº ½º º Ð ÙÐÙÚÙ Ø º ÐÐ Ø ØÝÒ Ö ØÑ Ø Ò Ô ÖÙ Ð Ù Ò ÑÙ Ò Ó Ò Ò Ý Ø ÙÙÖ ÑÔ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò ÐÙ Ù ÚÓ Ò ØØ Ý Ø¹ Ø Ø Ð ÙÐÙ Ù Ò ØÙÐÓÒ º ÃÙÒ ÒÒ ØØÙ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò ÐÙ Ù ÓÒ ÝÚ Ò ÙÙÖ ÚÓ ØÑÒ ØÙÐÓ ØÝ Ò Ð ÝØÑ Ò Ò ÓÐÐ Ö ØØ Ò Ú Ø ¹ Ó¹ Ô Ð Ñ ÓØÓÒØ º Ö ØÑ Ø Ò Ô ÖÙ ÓÒ ÐÑ Ò ÚÓ Ò Ò Ô Ø ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò Ø Ò Ó º ÇÒ ÐÑ Ð ØØÝÝ ÝÚ Ò Ð Ø ÒÝ ÝÑ ÐÑ Ò ÐÐ Ñ Ö Ù ÑÑ Ø ÝØ ÓÐ Ú Ø Ð Ù Ñ ¹ Ò Ø ÐÑØ Ô ÖÙ ØÙÚ Ø ÙÙÖ Ð ÙÐÙ ÙØ Ò Ñ Ò Ú ÙØ Òº Ð ÙÐÙ Ù Ò Ð Ø ÚÓ Ð Ø ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò Ô Ò Ò Ö Ò Ø ÝØØÑÐÐ Ò Ò ÒÓØØÙ Ö ØÓ Ø Ò Ò ÙÐ Ã ÚÐ Ò [2, N]

8 Ð ÙÐÙÚÙØ Ò ÔÝÝ ÑÐÐ ÓÒÓ Ø 2, 3, 4,..., N Ò Ò Ð Ù¹ ÐÙÚÙÒ p 1 = 2 ÑÓÒ ÖÖ Ø 4, 6, 8, 10,... µ ØÑÒ Ð Ò Ð ÐÐ Ò Ø Ð ÙÐÙÚÙÒ p 2 = 3 ÑÓÒ ÖÖ Ø 9, 15, 21,... µ Ò Ò ÐÐ Òº ÄÓ¹ ÔÙÐØ Ð ÐÐ ÚØ Ú Ò Ð ÙÐÙÚÙغ Ë ÙÐÓÑ Ø Ø Ø ÖÚ Ø Ø ÓÚ Ò Ô Ø ÐÐ ÙØ Ò Ò ÑÑ ÙÖ Ú Ø Ð Ù Ø º Ä Ù ½º½ º ÇÐ ÓÓÒ n N n > 1º Å Ð n ÓÐ Ð ÙÐÙ Ù ÓÒ ÐÐ ÓÐ Ñ Ð ÙÐÙ ÙØ p ÓÐÐ 1 < p nº ÌÓ ØÙ º ÂÓ p > 1 ÓÒ ÐÙÚÙÒ n Ô Ò Ò Ð ÙÐÙ ÙØ ÓÒ a = pq Ñ ÚÐØØÑØØ p qº Ë Ø Ò p 2 pq = aº Ñ Ö ½º½ º Ø ØÒ Ö ØÓ Ø Ò Ò ÙÐ ÐÐ Ð ÙÐÙÚÙØ ÚÐ ÐØ [2, 100]º Ä Ø Ø Ò Ò Ò ÐÙÚÙØ Ø Ø Òº ¾ ½¼ ½½ ½¾ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ¾¼ ¾½ ¾¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¼ ½ ¾ ¼ ½ ¾ ¼ ½ ¾ ¼ ½ ¾ ¼ ½ ¾ ¼ ½ ¾ ¼ ½ ¾ ½¼¼ ÌÑÒ Ð Ò ÔÓ Ø Ø Ò ÐÙÚÙÒ 2 ÑÓÒ ÖÖ Øº ¾ ½½ ½ ½ ½ ½ ¾½ ¾ ¾ ¾ ¾ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ Ë ÙÖ Ú ÔÓ Ø Ø Ò ÐÙÚÙÒ 3 ÑÓÒ ÖÖ Øº ¾ ½½ ½ ½ ½ ¾ ¾ ¾ ½ ½ ½ ½ ½ ÌÑÒ Ð Ò ÐÙÚÙÒ 5 ÑÓÒ ÖÖ Øº ¾ ½½ ½ ½ ½ ¾ ¾ ½ ½ ½ ½ ½ ÄÓÔÙ Ú Ð ÐÙÚÙÒ 7 ÑÓÒ ÖÖ Øº ¾ ½½ ½ ½ ½ ¾ ¾ ½ ½ ½ ½ ÃÓ 7 ÓÒ ÙÙÖ Ò ÐÙ Ù 10 = 100 Ô Ò ÑÔ Ð ÙÐÙ Ù ÓÒ ÙÐÓÑ Ò Ò ØÙ ÔØ Ò Ð ÐÐ ÓÚ Ø Ò Ø Ð ÙÐÙÚÙØ ÚÐ ÐØ [2, 100]º Î Ö ØÓ Ø Ò Ò ÙÐ ÓÒ Ò Ø ÓØÓÒ Ø Ô Ø Ð ÙÐÙ ÙØ ¹ Ø Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ý ÝØ Òº ÂÓ Ñ Ö Ø ØÓ ÓÒ Ó ÐÑ Ø ÖÚ Ø ÑÑ Ð Ø Ò Ð ÙÐÙÚÙ Ø Ú Ô ÚÐ ÐØ Ø Ñ Ð ÓÓÒ Ò

9 ÓÒ Ö ÚÑÔ Ð Ð Ø ÙÓÖ Ò ÑÙ Ø Ò Ù Ò ÐÙ ÓÚ Ð ÚÝÐغ ÇÒ ÐÑ Ò Ò Ò ÓÐ Ð ÓÖ ØÑ Ò ÒÓÔ Ù Ú Ò Ò ÑÙ Ø ÒØ ÖÚ º ÌÐÐ Ø ÐÐ ÒÓ Ò ¾¼¼¹ÒÙÑ ÖÓ Ø Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò Ó Ð¹ ÙØ Ò ÓÒÒ ØÙÙ Ö Ú º Ð Ò ÐÙÚÙÒ Ó ÓÐ Ñ ØÒ Ö ØÝ Ø ÑÙÓØÓ ÙØ Ò 2 2m +1µ Ø Ò Ó ÝØ ØÒ ØÝݹ Ô ÐÐ Ø Ù Ø Ö Ð Ð ÓÖ ØÑ º Ò Ò Ø Ø Ø Ò ÓÒ Ó ÐÙ Ù Ð Ù¹ ÐÙ Ù Ú º ÌÑÒ Ø Ø Ñ Ò Ò ÓÒ ÝÐ Ò ÒÓÔ ÑÔ Ù Ò Ð ÙÐÙ¹ ÙØ Ò Ø Ñ Ò Òº Å Ð ÐÙ Ù ÓÐ Ð ÙÐÙ Ù Ø ØÒ ÐÐ Ò Ò ÝÚ Ò Ô Ò Ø Ø Ó Ð Ñ ÐÐ Ø Ö ØÓ Ø Ò Ò ÙÐ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ý Øݵº Å Ð Ø Ð ÝØÝÝ Ø Ø Ø Ò ÓÒ Ó Ð ÐÐ ÒÝØ Ó Ð ÙÐÙ Ùº ÂÓ ÓÐ Ø Ø Ò Ô ÒØ Ò Ø Ò Ø Ñ Øº ÃÙÒ ØØ ÓÒ ÓÒ Ò ¹ Ö Ø ÐÑÐÐ Ø Ø ØØÙ Ø ØÒ ØØ Ð ÐÐ Ò ÐÐ ÐÙÚÙÐÐ ÓÐ ÓÚ Ò Ô Ò Ø Ø ÓÒ Ö ÚÑÔ Ú Ø Ó Ò Ò ØÓ Ò Ø¹ ÒØÑ Ò Ø ÐÑ Ò ÙØ Ò ÈÓÐÐ Ö Ò p 1 ¹Ñ Ò Ø ÐÑÒ Ï ÐÐ Ñ Ò p+1 ¹Ñ Ò Ø ÐÑÒ Ä Ò ØÖ Ò ÐÐ ÔØ Ø Ò ÝÖ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÒº Æ ÐÐ Ñ ¹ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ö Ø ÓØ ÑÖÚØ Ø ØØÚÒ Ð ÙÐÙ ÙØ ¹ Ò ÓÓÒº ÃÝ Ø Ñ Ò Ø ÐÑØ ÚØ ÚÐØØÑØØ Ð Ý Ø Ø ÑÙØØ Ö ØØÚ ÑÖ ÝÖ ØÝ Ö Ð Ù ÖÚÓ ÐÐ Ø ØØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð Ý¹ Ø Ø ÓÒ ÓÔ Ú Ó ÓÐÙÓ º Ñ Ö Ø ØØ ÐÐ ÔØ Ø Ò ÝÖ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ¼¹ÒÙÑ ÖÓ Ø Ø ÓÔ Ú ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ ÓÒ ÒÓ Ò ¼¼¼ ÔÓÒÒ ØÙÒ Ò ÝÖÒ Ð Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ ØØ ÐÙÚÙÐÐ ÓÒ ÐÐ ¼¹ÒÙÑ ÖÓ Ò Ò Ø Ò 37%º Ò Ø Ø Ò Ð Ñ ¹ Ò Ñ Ò ÓØ ÓÒ ÐÐ ÒÓ Ò Ñ Òºµ ÂÓ Ò ÐÐ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ Ð Ý Ø Ð ÙÐÙ ÙØ Ø Ö¹ Ú µ Ú Ø Ò ÐÐ Ò Ö ÑÔÒ Ð ÓÖ ØÑ Ò ÙØ Ò Æ Ë Ò Ö Ð ÆÙÑ Ö Ð Ë Ú µº ÌÐÐ Ð Ý ØÒ Ð ÙÐÙ ÙØ Ø ÑÙØØ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ú Ø ÚÙÙ Ö ÔÔÙÙ ÒÝØ Ò ÑÑÒ Ò ÐÙÚÙÒ ÙÙÖÙÙ¹ Ø ÓÒ Ø Ø Ø ØÒ ÐÐ Ø Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò Ú Ø ÚÙÙ Ö ÔÔÙ Ð ÒÒ Ø ØÝÒ Ø Ò ÓÓ Ø µº Ë Ø ÓÐ Ö Ú ÝØØ ¹ Ø Ò ÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÒ Ú Ò Ú Ø Ò Ð Ò ÙÒ Ø ØÒ ÝÚ Ò ÙÙÖ ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ ØØ ÐÙÚÙÐÐ ÓÐ Ô Ò Ø Øº ÌÐÐ ÙÖ ÐÐ ÑÑ Ô Ö Ý ÐÐ Ñ Ò ØØÙ Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò ØÓ Ñ Ò¹ Ø Òº ÇÒ Ù Ø Ò Ò Ñ Ð Ò ÒØÓ Ø ÙÓÑ Ø ØØ ÐÐ Ñ Ò ØÙØ Ñ ¹ Ò Ø ÐÑØ Æ Ë Ò ÐÓÔÔÙÓ Ò Ð Ò Ö Ð Ö ÐÙ ÙÙÒ ÓØØ Ñ ØØ µ ÚÓ ¹ Ò ÙÓÖ ØØ Ô Ò ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ô Ð º Ë Ø ¹ Ò Ó ÓÒ Ò Ú Ñ Ó Ò Ý ØÝÒÝØ Ö ØÝ Ø Ñ ØÙÓØ ÒÒÓ ÓÐ Ú Ø ÑÓÒ ÝØ Ñ Ø Ð ØØ Ø ÙØ Ò Ó ÐÑÓ Ø Ú Ø ÒÝØ ÒÓ ¹ Ñ Ø Ô Ð ÓÒ ÓÐ Ø º È Ð Ø ÒÔ ØÑÒ Ô Ò Ò ÚÙÖ Ø Ò Ð Ò Ø Ò Ú Ö Ò Ò Òº º º

10 ½¼ Ä Ù ½º½ Ù Ð Ò ØÓ Ò Ò Ð Ù µº Ð ÙÐÙ Ù ÓÒ Ö ØØ ÑÒ Ô Ð¹ ÓÒº ÌÓ ØÙ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ð ÙÐÙ Ù ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÑÖ Ò ÓÚ Ø p 1 = 2 < p 2 = 3 < < p k º ÇÐ ÓÓÒ n = p 1 p 2 p k + 1 > p k º ÃÓ ÐÐ i ÓÒ ÐÙÚÙÒ n Ó ÒÒ ÐÙÚÙÒ p i Ù Ø Ò 1 Ñ Ò Ð ÙÐÙ¹ ÚÙ Ø p i ÐÙ Ù nº Ë Ø Ò ÓÒ Ø Ð ÙÐÙ Ùº ÌÑ ÓÒ Ö Ø Ö ÓÐ ØÙ Ò Ò º ÀÙÓÑ ØØ ÐÐ ÓÐÐ ÐÐ Ð Ù ÐÐ ÚÓ ØÙÓØØ Ð ÙÐÙ Ù º Ä Ù Ò ½º½ ØÓ ØÙ Ø ÑÙÙØØ Ð Ñ ÐÐ Ò ÑÓÒ ÒÐ ØÙÐÓ º Ì Ö Ò Øº Ä Ù ½º½ º ÇÒ ÓÐ Ñ Ö ØØ ÑÒ ÑÓÒØ Ð ÙÐÙ Ù ÓØ ÓÚ Ø ÑÙÓ¹ ØÓ 4m + 3 Ñ m Nº ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ k Ò ÑÑ Ø Ð ÙÐÙ Ù 2, 3,..., p k ÑÖ Ø ÐÐÒ ÐÙ Ù n = p k 1º ÆÝØ n ÓÐ ÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐÒ ÐÙÚÙ Ø 2, 3,..., p k º ÂÓ n ÓÒ ÑÙÓØÓ 4m + 1 ÓÐ Ú Ò Ð ÙÐÙ Ù Ò ØÙÐÓ ÓÒ ÑÝ Ø ÑÙÓØÓ 4m + 1º Æ Ò Ù Ø Ò Ò ÓÐ ÐÐ ÐÙÚÙÒ n Ó¹ ÒÒ ÐÙÚÙÒ 4 Ù Ø Ò ÓÒ 3º Ë Ô ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÙ Ù p k ÙÙÖ ÑÔ Ð ÙÐÙ Ù Ó ÓÒ ÑÙÓØÓ 4m + 3º È Ð ÓÒ ÝÐ ÑÔ Ò Ð Ù ÓÒ ØÓØØ Ä Ù ½º½ Ö Ð Ø³Ò Ð Ù µº ÇÐ ÓÓØ a, b Z a > 0 Ø Ò ØØ ÐÙÚÙ ÐÐ a b ÓÐ ÑÙ Ø Ý Ø Ù Ò 1º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ö ØØ ÑÒ ÑÓÒØ Ð ÙÐÙ Ù ÓØ ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ am +b Ñ m Nº Ä Ù Ò ½º½ ØÓ ØÙ ÓÒ ØÑÒ ÙÖ Ò ÙÐÓØØÙÑ ØØÓÑ º ½º º Ð ÙÐÙ Ù Ò Ø Ý Øº Ð ÙÐÙ Ù Ò ÐÙ ÙÑÖ ÚÐ ÐÐ [1, x] 1 < x R Ñ Ö ØÒ π(x) = #{p N : 1 p x ÓÒ Ð ÙÐÙ Ù}. Ë Ñ Ö Ò ½º½ ÑÙ Ò ÓÒ Ñ Ö π(100) = 25º Ä Ù Ò ½º½ ÑÙ Ò Ø π(x) ÙÒ x º ÙÒ Ø ÓÒ π ÝÑÔØÓÓØØ Ò Ò ÝØØÝØÝÑ Ò Ò Ø ØÒ Ô Ð ÓÒ Ø Ö ÑÑ Ò Òº ÎÙÓÒÒ ½ ݹ Ú ØÓ Ø ÙÖ Ú Ò ØÙÐÓ Òº Ä Ù ½º½ º ÇÒ ÓÐ Ñ Ú ÓØ 0 < A 1, A 2 < Ø Ò ØØ x A 1 log x < π(x) < A x 2 log x ÐÐ x 2º ÌÓ Ø Ø Ò ØÑ Ó ÐÐ Ò Ú Ó ÐÐ A 1 A 2 ÓØ ÚØ ÓРРй Ð Ò ÓÔØ Ñ Ð º ÌÓ ØÙ Ô ÖÙ ØÙÙ ÒÓÑ ÖØÓ Ñ Ò ÓÑ Ò ÙÙ ¹ Ò ÓØ Ò ÐÓ Ø Ø Ò Ò Ò ÑÖ ØØ Ð ÑÐÐ Ò º

11 ÅÖ Ø ÐÑ ½º¾¼º ÇÐ ÓÓØ n, k N Ø Ò ØØ k nº ÌÐÐ Ò ÒÓÑ ¹ ÖÖÓ Ò ( ) n k ÑÖ Ø ÐÐÒ ( ) n = k n! k!(n k)!. Ì ÙØ Ò ÝÐ Ò Òµ ÑÖ Ø ÐÐÒ 0! = 1º ÄÙ Ù ( n k) ÙÚ Ö ¹ Ð Ø Ò n Ð Ó Ò ÓÙ ÓÒ k Ð Ó Ø Ò Ó ÓÙ Ó Ò ÐÙ ÙÑÖº Ä ÑÑ ½º¾½º à ÐÐ 1 k n ÓÒ ( ) ( ) ( ) n n n =. k k 1 k ÌÓ ØÙ º À Ö Ó ØÙ Ø ØÚµ Ä Ù ½º¾¾ ÒÓÑ Ú µº à ÐÐ x, y R n N ÓÒ n ( ) n (x + y) n = x k y n k k ÌÓ ØÙ º À Ö Ó ØÙ Ø ØÚµ k=0 Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ä Ù Ò ½º¾¾ x = y = 1 Ò 2 n = n ( n k=0 k) º Ö ØÝ Ø Ò ÖÚ Ó ( ) n 2 n. k Ä Ù ½º¾ ËØ ÖÐ Ò Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø Óµº lim n n! 2πn(n/e) n = 1. Ý Ò ÒÝØ Ú Ö Ò Ò ØÓ ØÙ Ò ÑÔÔÙÙÒ Ó Ó ØØ Ñ ÐÐ Ò Ò ÙÖ Ú ÔÙØÙÐÓ º Ä ÑÑ ½º¾ º à ÐÐ n N n 1 ÓÒ ÚÓ Ñ µ n π(2n) π(n) < ( ) 2n n (2n) π(2n) º µ 2 n ( ) 2n n 2 2n. ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ p Ð ÙÐÙ Ù e p ÙÙÖ Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÓÐÐ p ep n!º Å Ö ØÒ ÐÙÚÙÐÐ t p Ô Ò ÒØ ÐÐ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÓÐÐ p tp+1 > nº Å Ö ØÒ Ð a ÙÙÖ ÒØ Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÓÐÐ a aº ÆÝØ t p n e p =. ÌÑÒ ØÓ ØÙ Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ ºµ ÇÐ ÓÓÒ m p ÙÙÖ Ò Ó¹ ÓÒ ÐÙ Ù ÓÐÐ p mp ( ) 2n n º ÃÓ ( ) 2n = (2n)! n n!n!, p i ½½

12 ½¾ ÓÒ k p ( 2n n m p = 2 p i p i ), Ñ k p ÓÒ Ô Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÓÐÐ p kp+1 > 2nº ÂÓ 1 i k p ÓÒ 2n n 2 < 2n ( ) n 2 p i p i p i p 1 = 2. i Ë Ø Ò Ò ÐÐ i ÓÒ 2n n 2 1 p i Ð m p k p º Ë Ô ( ) 2n p kp, n p 2n Ñ ØÙÐÓ ÓØ Ø Ò Ò ÐÙ Ù 2n + 1 Ô Ò ÑÔ Ò Ð ÙÐÙ Ù Ò ÝÐ º Ì Ø Ò ÐÐ Ò ( ) 2n p kp (2n) = (2n) π(2n). n p 2n p i p 2n ÃÓ Ò µ ØÓ Ò Ò ÔÝ ØÐ ÓÒ ØÓ Ø ØØÙº ÂÓ Ð ÙÐÙÚÙÐÐ p ÓÒ n < p 2n ÓÒ p (2n)! ÑÙØØ p n!º Ë Ø Ò ( ) 2n p n ÐÐ Ò ( ) 2n n n<p 2n n<p 2n p > n<p 2n n = n π(2n) π(n), ÓØ Ò Ó Ò µ Ò ÑÑ Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ ÓÒ ØÓ Ø ØØÙº ÃÓ Ò µ ÔÝ ØÐ Ø Ò Ð Ñ ÐÐ ( ) 2n (1 + 1) 2n = 2 2n n ( ) 2n = n n j=1 n + j j n 2 = 2 n. j=1 Ä Ù Ò ½º½ ØÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ x 2 n N Ø Ò ØØ 2n x < 2n + 2. ØÑÐÐ Ä ÑÑ Ò ½º¾ Ó Ø µ µ Ò ÖÚ ÓØ π(2n) π(n) 2n log 2 log n

13 Æ Ø Ð ÑÑ Ø Ò π(2n) n log 2 log(2n). π(x) π(2n) n log 2 log(2n) n log 2 log(x) (n2 + 2) log 2 4 log(x) > log 2 4 x log x. Ç Ó Ø Ø Ò ÒÝØ ÖÚ Ó ØÓ Ò ÙÙÒØ Òº ÌÙØ Ø Ò Ò Ò ÐÙ Ù π(2 t ) Ñ t N t 3º ÌÐÐ ÓÒ π(2 t ) π(2 t 1 ) 2t log 2 (t 1) log 2 = 2t t 1. ÃÓ π(4) 4 = Ò Ø Ð ÓÓÔÔ ÙÑÑ ÝØØ Ò 2j π(2 2j ) = π(4) + (π(2 t ) π(2 t 1 )) j t=2 t=3 2 t 2j t 1 + = 2 j j 22j+1. t=j+1 2 t t 1 2j t=2 j 2 t + ÃÓ j < 2 j ÓÒ 2 j+1 < 22j+1 Ø Ò ÐÐ j 2 ÓÒ j π(2 2j ) < 22j+2. j t=2 2 t t 1 2j t=j+1 ÇÐ ÓÓÒ x > 4 Î Ð Ø Ò ÒÝØ j N j 2 Ø Ò ØØ 2 2j 2 < x 2 2j º ÌÐÐ Ò Ø Ò π(x) log x 2j log 2 x ) < x 2 2j+2 2 2j 2π(22j 2 2j 2 j 2 t j = 2 4x j 25 log 2 x log x. ÌÓ ØÙ Ò Ú ÓØ A 1 = log 2 4 A 2 = 32 log2 ÓÚ Ø ÝÚ Ò Ö Øº Ý Ú Ò ØÓ ØÙ Ò ÒÑ ÓÐ Ú Ø Ó Ô Ö ÑÑ Ø A 1 0, 922 A 2 1, 105º Ý Ú Ò ØÙÐÓ Ø ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ö ÑÔ ÓÒ Ò º Ð ÙÐÙ ÙÐ Ù ÓÒ ÑÙ Ò lim x π(x) x/ log(x) = 1. ÌØ ÑÑ Ù Ø Ò Ò ØÓ Ø ØÐÐ ÙÖ ÐÐ º ½

14 ½ ½º º ÖÑ Ø³Ò Å Ö ÒÒ Ò ÐÙÚÙغ ÖÑ Ø³Ò ÐÙÚÙ ÒÓØ Ò ÐÙ¹ Ù F m = 2 2m + 1, m N. ÄÙÚÙØ Ú Ø Ò Ñ Ò È ÖÖ ÖÑ Ø³Ò ÓÒ ØÙÙÖ Ø ÓÒ ÑÙ Ò ØØ ÑÙÓØÓ ÓÐ Ú Ø ÐÙÚÙØ ÓÐ Ú Ø Ð ÙÐÙ Ù º ÄÙÚÙØ F 1, F 2, F 3 F 4 ÓÚ Ø Ò Ð ÙÐÙ Ù º ÙÐ Ö Ù Ø Ò Ò Ó Ó ØØ Ó ÚÙÓÒÒ ½ ¾ ØØ F 5 = Ð F 5 ÓÐ Ð ÙÐÙ Ùº ÁØ ÑÙ Ø ÖÑ Ø³Ò ÐÙ Ù ÓØ ÓÐ Ú Ø Ð ÙÐÙ Ù ØÙÒÒ Ø º ÌÐÐ Ø ÐÐ Ø ØÒ ¾ ÖÑ Ø³Ò ÐÙ Ù ÓØ ÚØ ÓÐ Ð ÙÐÙ¹ Ù º ÖÑ Ø³Ò ÐÙ Ù Ò ÑÙÓ Ó Ø ÙÓÑ ØØ Ô Ò ÐÐ Ò m ÐÙ Ù F m ÓÒ Ö ØØ Ò ÙÙÖ º Ë ÖÑ Ø³Ò ÐÙ Ù Ò ØÓ Ø Ñ Ò Ò Ð ÙÐÙÚÙ ÓÒ ÝÚ Ò Ú Ø º Ò ÑÑ Ò Ò ÖÑ Ø³Ò ÐÙ Ù Ó Ø Ø Ø ÓÒ Ó Ð ÙÐÙ Ù Ú ÓÒ F 33 º Ë Ò ÓÒ ÝÑÑ ÒÐÙ Ù Ö Ø ÐÑ ÝÐ ¾ Ñ Ð Ö¹ ÒÙÑ ÖÓ º È Ò Ò ÖÑ Ø³Ò ÐÙ Ù ÓÒ Ø Ø ØÙÒÒ Ø ÓÒ F 12 Ô Ò Ò ÓÐÐ ØÙÒÒ Ø Ý ØÒ Ð ÙÐÙ ÙØ ÓÒ F 20 º Æ Ø ÐÙÚÙ Ø Ø Ø Ò Ò ÚÓ ÔØ ÐÐ ÓÒ Ó ÓÐ Ñ ÑÙ Ø ÖÑ Ø³Ò ÐÙ Ù ÓØ ÓÚ Ø Ð ÙÐÙ Ù º ÌÐÐ Ð ÙÐÙ Ù ÚÓ ÓÐÐ Ú Ö ØØ ÑÒ ÑÓÒØ º Ë ÙÖ Ú Ð Ù Ó Ó ØØ ØØ ÖÑ Ø³Ò ÐÙÚÙØ ÚØ ÓÐ Ò Ò Ö Ó Ù Ò Ñ ÐØ Ò Ò ÐÑÝ ÐÐ ÒÝØØÚغ Ä Ù ½º¾ º ÂÓ a 2 a n + 1 ÓÒ Ð ÙÐÙ Ù ÓÒ ØÐÐ Ò ÚÐØØÑØØ a Ô Ö ÐÐ Ò Ò n = 2 m ÓÐÐ Ò m Nº ÌÓ ØÙ º ÂÓ a ÓÒ Ô Ö ØÓÒ ÓÒ a n + 1 Ô Ö ÐÐ Ò Òº ÂÓ Ø ÐÙÚÙÐÐ n ÓÒ Ô Ö ØÓÒ Ø k n = kl ÓÒ a kl + 1 a l + 1 = a(k 1)l a (k 2)l > 1 ÐÙÚÙÒ a n + 1 º Ä Ù Ò ½º¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÑÙÓØÓ 2 n + 1 ÓÐ Ú Ø Ð ÙÐÙÚÙØ ÓÚ Ø ÚÐØØÑØØ ÖÑ Ø³Ò ÐÙ Ù º ÂÓ a > 2 ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ÒÓØ Ò ÑÙÓØÓ a 2m + 1 ÓÐ Ú ÐÙ Ù ÝÐ Ø ØÝ ÖÑ Ø³Ò ÐÙÚÙ º ÒØÔ ÑÙÓØÓ a n 1 ÓÐ Ú Ø ÐÙÚÙغ Ë ÙÖ Ú Ð Ù Ú ÒØ ÙÓÑ ØØ Ú Ø ØØ ÑÙÓØÓ ÓÐ Ú Ð ÙÐÙ Ù Ò ØØ º Ä Ù ½º¾ º ÂÓ n > 1 a n 1 ÓÒ Ð ÙÐÙ Ù ÓÒ ØÐÐ Ò ÚÐØØÑØØ a = 2 n Ð ÙÐÙ Ùº ÌÓ ØÙ º ÂÓ a > 2 Ò Ò a 1 a n 1º ÂÓ Ø a = 2 n = kl Ò Ò 2 k 1 2 n 1º ÄÙ Ù M p = 2 p 1 Ñ p ÓÒ Ð ÙÐÙ Ù ÙØ ÙØ Ò Å Ö ÒÒ Ò ÐÙÚÙ Å Ö Ò Å Ö ÒÒ Ò ÑÙ Ò Ó ØÙØ Ý ÐÙ Ù ½ ¼¼¹ ÐÙÚÙÐÐ º Å Ö ÒÒ Ò ÐÙÚÙ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÙÓÑ ØØ Ú Ò ÒÓÔ ÄÙ Ò¹ Ä Ñ Ö Ò Ø Ø ÓÐÐ Ò ÔØ ÐØÝ ÓÒ Ó ÐÙ Ù Ð ÙÐÙ Ù Ú º ÌÐÐ Ø ÐÐ Ø ØÒ Å Ö ÒÒ Ò Ð ÙÐÙ Ù Ó Ø ÙÙÖ Ò ÓÒ M Ó ÓÒ ÒÓ Ò ½ Ñ Ð ÓÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ÝÑÑ Ò Ö Ø ÐÑ º Å Ö ÒÒ Ò

15 ÐÙ Ù Ò ÐÔÓÒ Ø Ø ØØ ÚÙÙ Ò Ø ØÐÐ Ø ÐÐ Ý Ò ÙÙÖ ÒØ Ð ÙÐÙ Ù ÓÚ Ø Å Ö ÒÒ Ò Ð ÙÐÙ Ù º ½º º ËÙÙÖ Ò Ý Ø Ò Ò Ø º È Ð ÙØ Ø Ò Ñ Ð Ò ÖÝ ÑÒ ÑÖ Ø Ð¹ Ѻ ÇÐ ÓÓÒ G ÔØÝ ÓÙ Óº È Ö (G, ) ÓÒ ÖÝ Ñ Ó ØÝØØ ÙÖ Ú Ø ÓØ ¼µ ÓÒ ÓÙ Ó G ÑÖ Ø ÐØÝ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ð a b G ÐÐ a, b, Gº ½µ (a b) c = a (b c) ÐÐ a, b, c Gº ¾µ ÇÒ ÓÐ Ñ Ò ÙØÖ Ð Ð Ó e G ÓÐÐ e a = a e = a ÐÐ a Gº µ ÂÓ Ø a G Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ ÒØ Ð Ó a 1 G ÓÐÐ a 1 a = a a 1 = eº ÊÝ Ñ (G, ) ÒÓØ Ò ÓÑÑÙØ Ø Ú ÖÝ Ñ Ð Ð Ò ÖÝ ¹ Ñ Ó Ð ØÓØ ÙØØ ÓÒ µ a b = b a ÐÐ a, b, Gº Ñ Ö Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ý Ø ÒÐ ÙÐÐ Ú ÖÙ Ø ØØÙÒ (Z, +) ÓÒ Ð Ò ÖÝ Ñº Ä Ù ½º¾ º ÂÓ ÐÐ ÖÝ ÑÒ (Z, +) Ð ÖÝ ÑÐÐ M ÓÒ ÐÙ Ù 0 d M Ø Ò ØØ M = Zd = {nd Z : n Z}º ÌÓ ØÙ º ÂÓ M = {0} Ò Ò d = 0 M ÐÐ M = Z0º ÂÓ M {0} ÓÒ S = {x M : x > 0} Ø Ò ÓÒ ÓÐ Ñ d = min S Mº ÂÓ ÐÐ a M ÓÒ Ä Ù Ò ½º ÒÓ ÐÐ q, r Z Ø Ò ØØ a = qd + r, 0 r < d. ÃÓ r = a qd M 0 r < d ÓÒ ÐÙÚÙÒ d Ú Ð ÒÒ Ò ÒÓ ÐÐ r = 0º Ë a = qd Zdº ÌÓ ÐØ Ó M ÓÒ ÖÝ Ñ ÓÒ Zd M Ø Ò M = Zdº Ä Ù Ò ½º¾ ÒØ Ñ ÐÙ Ù d ÒÓØ Ò Ð ÖÝ ÑÒ M Ú Ö ØØ º ÂÓÙ ÓÒ S Z Ú Ö ØØÑ Ð ÖÝ Ñ Ñ Ö ØÒ S = {k 1 a k n a n : a 1,...,a n S, k 1,..., k n Z, n N}. ÅÖ Ø ÐÑ ½º¾ º ÇÐ ÓÓÒ S Z ÐÙ Ù ÓÙ Ó Ó ÐØ ÓÒ Ò ÒÓÐÐ Ø ÖÓ Ú Ò ÐÙÚÙÒº ÌÐÐ Ò ÐÙ Ù Ò S ÙÙÖ Ò Ý Ø Ò Ò Ø syt S ÓÒ Ð ÖÝ ÑÒ S Ú Ö ØØ º Í Ò Ö Ó Ø Ø Ò syt(a 1,...,a n ) = syt{a 1,...,a n }º Ä Ù ½º¾ º ÇÐ ÓÓÒ S Z ÐÙ Ù ÓÙ Ó Ó ÐØ ÓÒ Ò ÒÓÐÐ Ø ÖÓ Ú Ò ÐÙÚÙÒº ÌÐÐ Ò syt S = max{n Z : n m ÐÐ m S}. ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ k = max{n Z : n m ÐÐ m S}º ÃÓ k m ÐÐ m S ÑÝ k m ÐÐ m S º Ö ØÝ Ø k syt S Ø Ò k syt Sº ÌÓ ÐØ Ó syt S Ú Ö ØØ ÖÝ ÑÒ S ÑÝ syt S m ÐÐ m S Ð syt S kº Ë Ô k = syt Sº ½

16 ½ ÌÓ Ø Ø Ò ÒÝØ Ù Ð Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ð Ù º Ä Ù Ò ½º½ ØÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ p Ð ÙÐÙ Ù p abº ÂÓ p a ÓÒ Ä Ù Ò ½º¾ ÑÙ Ò syt(p, a) = 1º Ë Ø Ò ÓÒ ÓÐ Ñ x, y Z ¹ Ø Ò ØØ xa + yp = 1 Ð ÃÓ p ab p pb ØÝØÝÝ p bº xab + ypb = b. ½º º Ù Ð Ò Ð ÓÖ ØÑ º ÄÙ Ù Ò a, b Z ÙÙÖ Ò Ý Ø Ò Ò Ø ÚÓ Ò ÐÔÓ Ø ÑÖØ Ù Ð Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò ÚÙÐÐ ÇÐ ÓÓÒ 0 < b < a º Å Ö ØÒ r 0 = bº Ä Ù Ò ½º ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ø q 1, r 1 Z Ø Ò ØØ a = q 1 b + r 1, 0 r 1 < b = r 0. ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÐÙÚÙØ q 1,...,q m, r 1,...,r m Z ÓÒ ÑÖ Ø ØØÝ Ø Ò ØØ r j 1 = q j+1 r j + r j+1, 0 r j+1 < r j ÐÐ 1 j < mº ÂÓ r m > 0 ÓÒ ÐÐ Ò Ä Ù Ò ½º ÑÙ Ò ÓÐ Ñ q m+1, r m+1 Z Ø Ò ØØ r m 1 = q m+1 r m + r m+1, 0 r m+1 < r m. ÃÓ ÓÒÓ r 0 > r 1 > 0 ÓÒ Ó Ø Ú Ò Ú ÓÒ ÓÐ Ñ n N Ø Ò ØØ r n > 0 r n+1 = 0º ÆÝØ syt(a, b) = r n. Ç Ó Ø Ø Ò ØØ ØÑ ÓÒ ØÓØØ º Ë ÐÚ Ø r n r n 1 Ó r n+1 = 0º й Ð Ò Ó r n 2 = q n r n 1 + r n ÑÝ r n r n 2 º Æ Ò Ø Ò Ò Ò ØØ r n r 0 = b r n aº Ë Ø Ò 1 r n syt(a, b) =: dº ÃÓ d a d b ÑÝ d r 1 º Î Ø Ú Ø d r 2, d r 3,...,d r n º Ñ Ö ½º ¼º ÅÖ Ø ØÒ Ù Ð Ò Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ syt(6006, 1565)º Ë syt(6006, 1565) = 1º 6006 = = = = = = 8 1 Ù Ð Ò Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ Ò Ò ÑÝ Ù Ò syt(a, b) Ò Ö¹ Ó Ø ØØÙ ÑÙÓ Ó n 1 a + n 2 b Ñ n 1, n 2 Zº Ê ØØ ÙÓÑ Ø ØØ syt(a, b) = r n = r n 2 q n r n 1, r n 1 = r n 3 q n 1 r n 2

17 Ò Ò ÐÐ Òº ËÓÚ ÐÐ Ø Ò ØØ Ú ÒØÓ Ñ Ö Ò ½º ¼ Ø Ô Ù Òº 1 = = 41 5 ( ) = = 31 ( ) = = ( ) = = 191 ( ) = Ù Ð Ò Ð ÓÖ ØÑ ÚÓ Ò ÓÚ ÐØ ÑÝ ÙÙÖ ÑÑ Ò ÐÙ Ù ÓÙ ÓÒ ÙÙÖ ÑÑ Ò Ý Ø Ò Ø Ò Ø Ñ Ò ÐÐ Ä Ù ½º ½º ÇÐ ÓÓØ a, b, c Z \ {0}º ÌÐÐ Ò ÌÓ ØÙ º À Ö Ó ØÙ Ø ØÚµ ½º º È Ò Ò Ý Ø Ò Ò ØØ Ú º syt(a, b, c) = syt(syt(a, b), c). ÅÖ Ø ÐÑ ½º ¾º ÇÐ ÓÓÒ S Z \ {0} ÔØÝ ÓÙ Óº ÂÓÙ ÓÒ S Ô Ò Ò Ý Ø Ò Ò ØØ Ú pyj S ÓÒ pyj S = min{a N : b a ÐÐ b S}. Ö ØÑ Ø Ò Ô ÖÙ Ð Ù Ò ÚÙÐÐ ÐÙ Ù Ò ÙÙÖ Ò Ý Ø Ò Ò Ø Ô Ò Ò Ý Ø Ò Ò ØØ Ú ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÐÔÓ Ø Ñ Ð Ò Ò Ð¹ ÙÐÙ Ù ØÝ ØÙÒÒ Ø Òº Ä Ù ½º º ÇÐ ÓÓØ p 1 < p 2 <... Ð ÙÐÙÚÙØ a k = p α k,i i, Ñ α k,i N ÐÙ Ù Ò a 1,...,a n Ð ÙÐÙ Ù ØÝ Øº ÌÐÐ Ò syt(a 1,...,a n ) = pyj(a 1,...,a n ) = ÌÓ ØÙ º à ÐÐ k {1,..., n} ÓÒ a k = p α k,i i = p min k α k,i i Ð ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ p min k α k,i i p max k α k,i i. p min k α k,i i a k. syt(a 1,...,a n ) = p α k,i min k α k,i i p s i i. ½

18 ½ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ó Ò s j > min k α k,j º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ m {1,..., n} Ø Ò ØØ α m,j = min k α k,j º ÃÓ p s j j a m, ÓÒ Ö ØÝ Ø ÚÓ Ñ p j p α k,i i. i j ÌÑ Ø ÓÒ Ñ ÓØÓÒØ Ä Ù Ò ½º½ ÒÓ ÐÐ º ÌÓ ØÙ Ý ØÐ ÐÐ pyj(a 1,..., a n ) = ØÙÐ Ú Ø Ú Ø º p max k α k,i i Ñ Ö ½º º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÐÙ Ù Ò ÙÙÖ Ò Ý Ø Ò Ò Ø ¹ Ô Ò Ò Ý Ø Ò Ò ØØ Ú Ò Ò Ð ÙÐÙ Ù ØÝ Ø Ò ÙØØ º ÀÙÓ¹ Ñ Ø Ò ØØ 980 = = Ë Ø Ò syt(980, 1091) = = 28 pyj(980, 1091) = = ÃÓ Ñ Ö ½º ÝØ ØÝØ ÐÙÚÙØ ÓÐ Ú Ø ÝÚ Ò Ô Ò Ø Ø Ò Ò ¹ Ò Ð ÙÐÙ Ù ØÝ Ø ÐÔÓ Ø ÐÚ ÐÐ Ñ Ö Ö ØÓ Ø Ò Ò Ù¹ Ð ÐÐ Ó Ð Ñ ÐÐ Ñ Ø µº Ð Ò Ð ÙÐÙ Ù ØÝ Ø Ò Ø Ñ Ò Ò Ù Ø Ò Ò ÓÐ ÐÔÔÓ º Ë Ù Ð Ò Ð ÓÖ ØÑ ÓÒ ÝÐ Ò Ý Ýй Ð Ò Òº Ñ Ö Ò ½º ÐÙÚÙ Ø ÙÓÑ Ø Ò ØØ = º ÌÑ ÓÐ ØØÙÑ ÙØ Ò ÙÖ Ú Ð Ù Ó Ó ØØ º Ä Ù ½º º ÇÐ ÓÓØ a, b N Ø Ò ØØ Ò Ò ØÓ Ò Ò ÐÙÚÙ Ø a, b ÖÓÓ ÒÓÐÐ Ø º ÌÐÐ Ò ÌÓ ØÙ º Ã Ö Ó Ø Ø Ò a = Ä Ù Ò ½º ÑÙ Ò syt(a, b) pyj(a, b) = ab. syt(a, b) pyj(a, b) = = p α i i b = p min{α i,β i } i p α i i p β i i = ab. p β i i. p max{α i,β i } i = p α i+β i i

19 Ë Ú Ô Ñ Ö Ò ½º ¼ ÐÙÚÙ ÐÐ ÓÒ pyj(6006, 1365) = / syt(6006, 1565) = = º ½º º Ä Ò Ö Ò Ò Ó ÒØÓ Ò Ý ØÐ º ÅÖ Ø ÐÑ ½º º ÇÐ ÓÓØ k N a 1, a 2,..., a k, b Zº ØÐ k ½µ a i x i = b ÒÓØ Ò Ð Ò Ö Ó ÒØÓ Ò Ý ØÐ º Î ØÓÖ x = (x 1, x 2,...,x k ) Z k ÒÓØ Ò ØÑÒ Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù Ó ØÓØ ÙØØ Ý ØÐ Ò ½µº ØÐ Ò ØÝ ÐÐ Ö Ø Ù ÒÓØ Ò ÓÙ Ó { } k (x 1, x 2,...,x k ) Z k : a i x i = b Z k. Ñ Ö ½º º ØÐ 2x 1 + 3x 2 = 5 ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò Ó ÒØÓ Ò Ý ØÐ ÓÒ Ö Ö Ø Ù ÓÒ x = (1, 1) Z 2 ØÝ ÐÐ Ò Ò Ö Ø Ù ÓÒ ÓÙ Ó {(x 1, x 2 ) Z 2 : x 1 = 3q + 1 x 2 = 2q + 1 ÓÐÐ Ò q Z} Z 2. Ñ Ö ½º º Ä Ò Ö ÐÐ Ó ÒØÓ Ò Ý ØÐ ÐÐ ÓÐ Ö Ø Ù º 15x 1 + 3x 2 = 10 Ë ÙÖ Ú Ò Ð Ù Ò ÚÙÐÐ ÔÝ ØÝØÒ ÒÓÔ Ø ÒÓÑ Ò ÓÒ Ó ÒÒ ¹ ØÙÐÐ Ð Ò Ö ÐÐ Ó ÒØÓ Ò Ý ØÐ ÐÐ Ö Ø Ù º Ä Ù ½º º ÇÐ ÓÓØ k N a 1, a 2,...,a k, b Z Ø Ò ØØ Ò Ò Ý a i 0º ÌÐÐ Ò Ð Ò Ö ÐÐ Ó ÒØÓ Ò Ý ØÐ ÐÐ k ¾µ a i x i = b ÓÒ Ö Ø Ù Ó Ú Ò Ó ÌÓ ØÙ º ÅÖ Ø ÐÐÒ { H = y Z : y = syt{a 1, a 2,...,a k } b. } k q i a i ÓÐÐ Ò q i Z Z. Ë ÐÚ Ø H ÓÒ ÖÝ ÑÒ Z Ð ÖÝ Ñ Ð Ñ d = syt{a 1, a 2,...,a k }º H = dz, ½

20 ¾¼ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ý ØÐ ÐÐ ¾µ ÓÒ Ö Ø Ù x = (x 1, x 2,...,x k ) Z k º ÂÓÙ ÓÒ H ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò ØÐÐ Ò b H Ø Ò d b. Ç Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú ØÓ Ò Ò ÙÙÒØ Ð ÓÐ Ø Ø Ò ØØ d bº Ë ÓÒ ÓÐ Ñ Ó Ò m Z Ø Ò ØØ b = mdº ÌÓ ÐØ d dz = H Ð ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÙÚÙØ q i Z Ø Ò ØØ k d = q i a i. Ì Ø Ò b = md = k mq i a i. Ð (mq 1, mq 2,..., mq k ) Z k ÓÒ Ý ØÐ Ò ¾µ Ö Ø Ùº Ä Ù ½º ¼º ÇÐ ÓÓÒ m, n, q Z Ø Ò ØØ Ò Ò ØÓ Ò Ò ÐÙÚÙ Ø m, n ÓÐ ÒÓÐÐ º ÂÓ syt(m, n) = 1 m nq, Ò Ò m q. ÌÓ ØÙ º ÃÓ m nq ÓÒ ÓÐ Ñ r Z Ø Ò ØØ nq = mr. ÌÓ ÐØ Ä Ù Ò ½º ÑÙ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ x 1, x 2 Z Ø Ò ØØ Ë Ô mx 1 + nx 2 = 1. q = q(mx 1 + nx 2 ) = qmx 1 + qnx 2 = qmx 1 + mrx 2 = m(qx 1 + rx 2 ) Ð m qº ¾º ÄÙ Ù ÓÒ ÖÙ Ò Ø ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º ÇÐ ÓÓÒ n Nº ÄÙÚÙØ a, b Z ÓÚ Ø ÓÒ ÖÙ ÒØØ ÑÓ ÙÐÓ n a b (ÑÓ n), ÙÒ a b = kn ÓÐÐ Ò k Zº Ä Ù ¾º¾º ÃÓÒ ÖÙ Ò (ÑÓ n) ÓÒ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó Ð µ a a µ a b b a µ a b b c a c ÐÐ a, b, c Zº

21 ¾½ ÌÓ ØÙ º À Ö Ó ØÙ Ø ØÚµ ÄÙÚÙÒ a Z Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ ÓÒ ÖÙ Ò Ò (ÑÓ n) Ù Ø Ò Ñ Ö¹ ØÒ [a] n = {x Z : x a (ÑÓ n)} Z ÂÓ n > 1 ÚÓ Ò Ä Ù Ò ½º ÑÙ Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Z ÓÒ ÖÙ Ò Ò ÚÙÐÐ ÒÒ ÐÙÓ Ò (ÑÓ n) n 1 Z n = [r] n. r=0 Ä Ù ¾º º ÂÒÒ ÐÙÓ Ø (ÑÓ n) 1 < n N Ú ÖÙ Ø ØØÙÒ Ý Ø Ò¹ Ð ÙÐÐ [a + b] n = [a] n + [b] n ÖØÓÐ ÙÐÐ [ab] n = [a] n [b] n ÑÙÓ Ó ¹ Ø Ú Ø ÓÑÑÙØ Ø Ú Ò Ö Ò Ò Z n Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÒÒ ÐÙÓ Ö Ò¹ Ò (ÑÓ n)º ÒÒ Ò Ä Ù Ò ¾º ØÓ Ø Ñ Ø Ô Ð ÙØ Ø Ò Ñ Ð Ò Ö Ò Ò Ñ¹ Ö Ø ÐѺ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º ÃÓÐÑ Ó (R, +, ) ÓÒ Ö Ò Ó ØÝØØ ÓØ Ê½µ (R, +) ÓÒ Ð Ò ÖÝ Ñ Ê¾µ ÖØÓÐ Ù ÓÒ ÓÙ Ó R ÑÖ Ø ØØÝ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ê µ a(bc) = (ab)c ÐÐ a, b, c R Ê µ ÓÒ ÓÐ Ñ 1 R ÓÐÐ a 1 = 1 a = a ÐÐ a R Ê µ a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + bc ÐÐ a, b, c Rº ÂÓ Ð ab = ba ÐÐ a, b, R ÓÒ Ö Ò ÓÑÑÙØ Ø Ú Ò Òº Ä Ù Ò ¾º ØÓ ØÙ º ÌÓ Ø Ø Ò Ò Ò ØØ (Z n, +) ÓÒ Ð Ò ÖÝ Ñº ÇÐ ÓÓØ [a] n, [b] n Z n º ÂÓ a, b Z Ø Ò ØØ a [a] n b [b] n ÓÒ ÓÐ Ñ k 1, k 2 Z Ø Ò ØØ a = a + k 1 n b = b + k 2 nº Ë [a ] n + [b ] n = [a + b ] n = [a + k 1 n + b + k 2 n] n = [a + b + (k 1 + k 2 )n] n = [a + b] n = [a] n + [b] n Ð Ý Ø ÒÐ Ù ÓÒ ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØݺ ÓØ ½µ µ ÙÖ Ú Ø ÒÝØ ÖÝ ÑÒ (Z, +) Ö ÒØ Ø º Ð Ó [0] n ÓÒ ÒÓÐÐ ¹ Ð Ó [ a] n Ð ÓÒ [a] n Ú Ø ¹ Ð Óº Ì Ö Ø Ø Ò ÙÖ Ú ØØ ÖØÓÐ Ù ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÝÚ Òº Çй ÓÓØ ÐÐ Ò [a] n, [b] n Z n a, b Z Ø Ò ØØ a [a] n b [b] n º Ì ÓÒ ÓÐ Ñ k 1, k 2 Z Ø Ò ØØ a = a + k 1 n b = b + k 2 nº ÆÝØ [a ] n [b ] n = [a b ] n = [(a + k 1 n)(b + k 2 n)] n = [ab + ak 2 n + bk 1 n + k 1 k 2 n 2 ] n = [ab + (ak 2 + bk 1 + k 1 k 2 n)n] n = [ab] n = [a] n [b] n. ÂÐÐ Ò Ö Ò Ò (Z n, +, ) ÐÓÔÙØ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÙÖ Ú Ø Ö Ò Ò (Z, +, ) Ú Ø Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø º Ð ÓÒ Ö Ò ÓÒ [1] n º

22 ¾¾ ÀÙÓÑ ÙØÙ ¾º º Ò Ð ÓÐÐ [a] n Z n \ {[0] n } ÓÐ ÒØ Ð ÓØ ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Ò Ð Z n Ò ÓÐ ÙÒØ º Ñ Ö ÐÐ a Zº [2] 4 [a] 4 [1] 4 ¾º½º Ä Ò Ö Ò Ò ÓÒ ÖÙ Ò Ý ØÐ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º ÇÐ ÓÓÒ d N d 1 a, b Zº ØÐ [a] d [x] d = [b] d ÒÓØ Ò Ð Ò Ö ÓÒ ÖÙ Ò Ý ØÐ º ÄÙÓ [x] d Z d Ó ØÓØ ÙØØ Ý ØÐ Ò ÒÓØ Ò Ý Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù º ØÐ Ò Øݹ ÐÐ Ò Ò Ö Ø Ù ÓÒ Ò Ö Ø Ù Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÓÙ Óº Ñ Ö ¾º º ØÐ Ò [6] 8 [x] 8 = [4] 8 Ö Ö Ø Ù ÓÒ [2] 8 º ÌÓ Ò Ò Ö Ø Ù ÓÒ [6] 8 º ÅÙ Ø Ö Ø Ù ÓÐ Ð ØÝ ÐÐ Ò Ò Ö Ø Ù ÓÒ {[2] 8, [6] 8 }º Ä Ò Ö Ø ÓÒ ÖÙ Ò Ý ØÐ Ø Ð Ò Ö Ø Ó ÒØÓ Ò Ý ØÐ Ø Ð ØØÝÚØ ÒØ Ø ØÓ Ò ÙØ Ò ÙÖ Ú Ð Ù Ò Òº Ä Ù ¾º º ÇÐ ÓÓÒ d N d 1 a, b, x Z ÌÐÐ Ò ÐÙÓ [x] d Z d ÓÒ Ð Ò Ö Ò ÓÒ ÖÙ Ò Ý ØÐ Ò [a] d [x] d = [b] d Ö Ø Ù Ó Ú Ò Ó ÓÒ ÓÐ Ñ y Z Ø Ò ØØ (x, y) Z 2 ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ó ÒØÓ Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø Ùº ax + dy = b ÌÓ ØÙ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ [x] d ÓÒ Ý ØÐ Ò [a] d [x] d = [b] d Ö Ø Ùº Ë [ax] d = [b] d Ð ax b (mod d)º Ë Ô ax b = md ÓÐÐ Ò m Z. Å Ö ØÒ y = m Zº ÌÐÐ Ò ax + dy = ax md = ax (ax b) = b. ÇÐ Ø Ø Ò ÙÖ Ú ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ y Z Ø Ò ØØ ax + dy = b. ÌÐÐ Ò ax b = dy Ð [ax] d = [b] d Ø Ò [a] d [x] d = [b] d.

23 Ä Ù ¾º º ÇÐ ÓÓÒ d N d 1 a, b Zº ÌÐÐ Ò Ð Ò Ö ÐÐ ÓÒ ÖÙ Ò Ý ØÐ ÐÐ [a] d [x] d = [b] d ÓÒ Ö Ø Ù Ó Ú Ò Ó syt(a, d) b. ÌÓ ØÙ º Ä Ù Ò ¾º ÒÓ ÐÐ Ý ØÐ ÐÐ ÓÒ Ö Ø Ù Ú Ò Ó Ú Ò Ó Ó ÒØÓ Ò Ý ØÐ ÐÐ ax + dy = b ÓÒ Ö Ø Ùº ÌÐÐ Ø ÓÒ Ö Ø Ù Ä Ù Ò ½º ÒÓ ÐÐ Ó Ú Ò Ó syt(a, d) bº Ä Ù ¾º½¼º ÇÐ ÓÓÒ d N d 1 a, b Zº ÇÐ ÓÓÒ syt(a, d) = 1. ÌÐÐ Ò Ð Ò Ö ÐÐ ÓÒ ÖÙ Ò Ý ØÐ ÐÐ ÓÒ Ø ÑÐÐ Ò Ý Ö Ø Ùº [a] d [x] d = [b] d ÌÓ ØÙ º Ä Ù Ò ¾º ÑÙ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ò Ò Ý [x] d Ø Ò ØØ [a] d [x] d = [b] d. ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÑÝ [y] d ÓÒ Ý Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø Ùº ÌÐÐ Ò [ax ay] d = [a] d [x] d [a] d [y] d = [b] d [b] d = [b b] d = [0] d. Ë Ô d a(x y). ÃÓ syt(a, d) = 1 ÓÒ Ä Ù Ò ½º ¼ ÒÓ ÐÐ Ë Ø Ò [y] d = [x] d º d (x y). Ä Ù ¾º½½º ÇÐ ÓÓÒ d N d 1 a, b Zº ÇÐ ÓÓÒ s = syt(a, d) ÓÐ Ø Ø Ò ØØ s bº ÌÐÐ Ò Ð Ò Ö Ò ÓÒ ÖÙ Ò Ý ØÐ Ò [a] d [x] d = [b] d ØÝ ÐÐ Ò Ö Ø ÙÒ Ð Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ sº ÌÓ ØÙ º ÃÓ s = syt(a, d) ÓÒ s a s dº ÇÒ ÓÐ Ñ a, d Z Ø Ò ØØ a = sa d = sd ÆÝØ syt(a, d ) = 1, ÐÐ syt(a, d )s a syt(a, d )s dº ÃÓ s b ÓÒ ÓÐ Ñ b Z Ø Ò ØØ b = sb. ¾

24 ¾ Ä Ù Ò ¾º½¼ ÑÙ Ò Ý ØÐ ÐÐ [a ] d [x] d = [b ] d ÓÒ Ø ÑÐÐ Ò Ý Ö Ø Ùº Å Ö ØÒ Ø [x ] d º Ç Ó Ø Ø Ò ÙÖ ¹ Ú ØØ µ [a] d [x] d = [b] d n Z : x = x + nd. ÇÐ ÓÓÒ x Z Ø Ò ØØ [a] d [x] d = [b] d º Ë Ô [ax] d = [b] d Ð d ax b Ø Ò ax b = md ÓÐÐ Ò m Zº Ì Ø Ò sa x sb = msd, Ó Ø ÐÐ Ò a x b = md. Ä Ù Ò ¾º ÒÓ ÐÐ [a ] d [x] d = [b ] d. Ë Ø Ò [x] d = [x ] d x = x + nd ÓÐÐ Ò n Zº Ç Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú Ú Ø ØÓ Ò ÙÙÒØ Ò Ð ÓÐ ÓÓÒ n Z x = x + nd º ÂÐÐ Ò Ä Ù Ò ¾º ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÓÐÐ Ò m Zº Ë Ø Ò a x b = md ax b = a(x + nd ) b = sa (x + nd ) sb = sa x + sa nd sb = s(a x b ) + a nd = smd + a nd = md + a nd = d(m + a n). Ä Ù Ò ¾º Ô ÖÙ Ø ÐÐ [a] d [x] d = [b] d º Ë Ø Ò µ ÓÒ ØÓ Ø ØØÙº Î Ð ØÙÐ Ó Ó ØØ ØØ µ #{[x] d : x = x + nd, n Z} = s. ÇÐ ÓÓÒ 0 n 1 < n 2 < sº ÃÓ 0 < (x + n 2 d ) (x + n 1 d ) = (n 2 n 1 )d < sd = d, ÓÒ [x + n 1 d ] d [x + n 2 d ] d. ÌÓ ÐØ Ä Ù Ò ½º ÑÙ Ò ÐÐ n Z ÓÒ ÓÐ Ñ q, r Z Ø Ò ØØ 0 r < s n = qs + rº ÌÐÐ Ò x + nd = x + (qs + r)d = x + rd + qsd = x + rd + qd Ð [x + nd ] d = [x + rd ] d º Ë Ø Ò µ ÓÒ ØÓØØ º Ä Ù Ø ¾º ¾º½½ ÒØ Ú Ø Ñ ÐÐ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÝÐ Ø Ö Ø Ø ÓÒ ÖÙ Ò ¹ Ý ØÐ [a] d [x] d = [b] d. ÌÑ Ø Ò Ú ØØ Ò ½µ ÅÖØÒ s = syt(a, d)º ¾µ Å Ð s b Ý ØÐ ÐÐ ÓÐ Ð Ò Ò Ö Ø Ù º ÂÓ Ø s b Ø Ø Ò ÙÖ Ú Ò Ú Òº

25 µ Ø ØÒ ÓØ Ò Òµ Ý ØÐ Ò Ö Ö Ø Ù [x] d º Å Ð s = 1 ÓÒ ØÑ ÒÓ Ö Ø Ùº ÂÓ Ø s > 1 Ø Ø Ò ÐÐ Òº µ ÄÓÔÙØ Ö Ø ÙØ Ò Ð Ñ ÐÐ ÙÒ 0 < n < sº [x + nd/s] d, Ñ Ö ¾º½¾º Ê Ø Ø Ò Ý ØÐ Ø µ [3] 9 [x] 9 = [8] 9 µ [3] 8 [x] 8 = [9] 8 µ [3] 24 [x] 24 = [9] 24 º µ syt(3, 9) = 3 8 Ð Ý ØÐ ÐÐ ÓÐ Ø Ö Ù º µ syt(3, 8) = 1 Ð Ý ØÐ ÐÐ ÓÒ Ø ÑÐÐ Ò Ý Ö Ø Ù [3] 8 º µ syt(3, 24) = 3 9 Ð Ý ØÐ ÐÐ ÓÒ ÓÐÑ Ö Ø Ù º Ë ÐÚ Ø Ö Ö Ø Ù Ø ÓÒ [3] 24 º ÄÓÔÙØ Ò Ð Ñ ÐÐ [ /3] 24 = [3 + 8] 24 = [11] 24 [ ] 24 = [19] 24 º ÆÝØ ÙÒ Ø ÑÑ Ñ ÐÐ Ò Ò Ð Ò Ö Ò ÓÒ ÖÙ Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø ¹ Ù ÓÙ Ó ÓÒ ÑÑ ÑÝ Ú Ø Ú ÐÐ Ð Ò Ö ÐÐ Ó ÒØÓ Ò Ý Ø¹ Ð ÐÐ ØÝ ÐÐ Ò Ö Ø Ù ÓÙ ÓÒº Ä Ù ¾º½ º ÇÐ ÓÓÒ d N d 1 a, b Zº Å Ö ØÒ s = syt(a, d)º ÂÓ s b Ó ÒØÓ Ò Ý ØÐ ÐÐ ax + dy = b ÓÐ Ð Ò Ò Ö Ø Ù º ÂÓ s b ÓÒ Ý ØÐ ÐÐ ÓÐ Ñ Ö Ø Ùº ÂÓ (x 0, y 0 ) Z 2 ÓÒ Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù Ò Ý ØÐ Ò ØÝ ÐÐ Ò Ò Ö Ø Ù ÓÙ ÓÒ { (x, y) : x = x 0 + kd s y = y 0 ka } s ÓÐÐ Ò k Z. ÌÓ ØÙ º Ä Ù Ò ½º ÑÙ Ò Ý ØÐ ÐÐ ÓÒ Ö Ø Ù Ø ÑÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ s bº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ s b (x 0, y 0 ) Z 2 ÓÒ Ý ØÐ Ò ax+dy = b Ö Ø Ùº ÇÐ ÓÓØ k Z x = x 0 + kd y = y s 0 ka º ÆÝØ s ax + dy = ax 0 + a kd s + dy 0 d ka s = ax 0 + dy 0 = b. ÇÐ ÓÓÒ ÙÖ Ú (x, y) Z 2 Ý ØÐ Ò ax + dy = b Ö Ø Ùº Ë Ø Ò Ä Ù Ò ¾º ÑÙ Ò [x] d [a] d = [b] d Ø Ò Ä Ù Ò ¾º½½ Ú Ú Ð Ò Ò µ ÑÙ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ k Z Ø Ò ØØ x = x 0 + kd s º ÆÝØ y = b ax d = ax 0 + dy 0 ax d = y 0 + a d (x 0 x) = y 0 a kd d s. ¾

26 ¾ Ñ Ö ¾º½ º Ê Ø Ø Ò Ó ÒØÓ Ò Ý ØÐ 36x + 20y = 24. ÃÓ syt(36, 20) = 4 24 ÓÒ Ö Ø Ù ÓÐ Ñ º Ö Ò Ø ÓÒ ( 1, 3) Z 2 º ÌÝ ÐÐ Ò Ò Ö Ø Ù Ò Ø Ò ÓÙ ÓÒ {(x, y) : x = 1 + 5k, y = 3 9k, k Z}. ÐÐ Ñ Ö Ú Ò ØÓ ØØ Ò ØØ ( 1, 3) Z 2 ÓÒ Ý ØÐ Ò Ö Ø Ùº ÂÓ Ö Ø Ù Ø Ò ÚÓ Ò Ø ÝØØÑÐÐ Ù Ð ¹ Ò Ð ÓÖ ØÑ ÙÖ Ú Ò Ñ Ö Ò Ó Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ º Ñ Ö ¾º½ º Ê Ø Ø Ò Ó ÒØÓ Ò Ý ØÐ Ä Ø Ò Ò Ò syt(1935, 3053)º 1935x 3053y = = = = = = = = Ë syt(1935, 3053) = 43º ÃÓ 172 = 4 43 ÓÒ Ý ØÐ ÐÐ Ö Ø Ùº Ù Ð Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò Ú Ø ÚÓ Ò ÒÝØ Ö Ó ØØ 43 = = 215 2( ) = = 3( ) = = ( ) = = 11( ) = = ( ) = Ö Ö Ø Ù ÓÒ (120, 76)º ÌÝ ÐÐ Ò Ò Ö Ø Ù Ò ÓÙ ÓÒ {(x, y) : x = k, y = 76 45k, k Z}. ¾º¾º ÄÙ Ù ÙÒÒ Ø Ð ÙÐÙÚÙغ ÃÙØ Ò Ä Ù ¾º Ò Ø Ò ÓÚ Ø ÒÒ ÐÙÓ Ø Z n ÓÑÑÙØ Ø Ú Ö Ò Ø º ÚÓ Ñ Ú Ð Ý Ý¹ ÑÝ Ø ÓÚ Ø Ó Ò ÙÒØ º È Ð ÙØ Ø Ò Ø Ò Ò Ñ Ð Ò Ñ Ø ÙÒ¹ Ò ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Òº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½ º ÃÓÐÑ Ó (K, +, ) ÓÒ ÙÒØ Ó Ã½µ (K, +, ) ÓÒ ÓÑÑÙØ Ø Ú Ò Ò Ö Ò Ã¾µ Ó ÐÐ ÓÙ ÓÒ K \{0} Ð ÓÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÒØ Ð Ó Ö¹ ØÓÐ ÙÒ Ù Ø Òµº

27 Ë (K, +, ) ÓÒ ÙÒØ Ó Ú Ò Ó (K, +) ØØ (K \ {0}, ) ÓÚ Ø Ð Ò ÖÝ Ñ a(b + c) = ab + ac ÐÐ a, b, c K. Ñ Ö ¾º½ º µ Z 2 ÓÒ ÙÒØ Ó Z 2 = {[0] 2, [1] 2 } Ö ØØ ÙÓÑ ¹ Ø ØØ Ð ÓÐÐ [1] 2 ÓÒ ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Ò ÒØ Ð ÓÒ [1] 2 º µ ÅÝ Z 3 ÓÒ ÙÒØ º À Ö Ó ØÙ Ø ØÚµ µ Z 4 ÓÐ ÙÒØ ÐÐ Ð ÓÐÐ [2] 4 ÓÐ ÒØ Ð ÓØ º ÌÑ Ò ¹ Ò ÝÑÐÐ ÐÔ Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ø [2] 4 [1] 4 = [2] 4 [1] 4, [2] 4 [2] 4 = [4] 4 = [0] 4 [1] 4 [2] 4 [3] 4 = [6] 4 = [2] 4 [1] 4. µ Z 5 ÓÒ ÙÒØ º À Ö Ó ØÙ Ø ØÚµ Ð Ø ÓÒ ÚÓ Ñ ÙÖ Ú ÒØ º Ä Ù ¾º½ º ÇÐ ÓÓÒ 1 < n Nº ÌÐÐ Ò ÒÒ ÐÙÓ Ö Ò Z n ÓÒ ÙÒØ Ó Ú Ò Ó n ÓÒ Ð ÙÐÙ Ùº ÌÓ ØÙ º ÇÐ Ø Ø Ò Ò Ò ØØ Z n ÓÒ ÙÒØ º Ì Ò Ð Ú Ø ÓÐ ¹ ØÙ ØØ n ÓÒ Ý Ø ØØÝ ÐÙ Ùº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ q, r N Ø Ò ØØ 2 q, r n 1 n = qrº ÌÐÐ Ò [q] n [0] n [r] n º ÃÓ Z n ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ð ÓÐÐ [q] n ÒØ Ð Ó [y] n ÓÐÐ ÆÝØ Ò [y] n [q] n = [1] n. [r] n = [1] n [r] n = [y] n [q] n [r] n = [y] n [n] n = [y] n [0] n = [0] n, Ñ ÓÒ Ö Ø Ö Ú ÒÒÓÒ [r] n [0] n Ò º ÇÐ Ø Ø Ò ÒÝØ ØØ n ÓÒ Ð ÙÐÙ Ùº ÇÐ ÓÓÒ [a] n Z n \ [0] n º ÇÒ Ó Ó ¹ Ø ØØ Ú ØØ Ð ÓÐÐ [a] n ÓÒ ÒØ Ð Ó [x] n º ÆÝØ syt(a, n) = 1 ÓØ Ò Ä Ù Ò ¾º½¼ ÑÙ Ò ÓÒ ÖÙ Ò Ý ØÐ ÐÐ [x] n [a] n = [1] n ÓÒ ÓÐ Ñ Ö Ø Ù [x] n Z n Ó ÓÒ ØØÙ ÒØ Ð Óº ¾º º ÙÐ Ö Ò ϕ¹ ÙÒ Ø Óº Ã Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ñ Ò ÐÙ ÙØ ÓÖ ¹ ØÖ ÙÐ Ö Ò ϕ¹ ÙÒ Ø ÓØ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½ º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÐÐ n N \ {0} ÓÙ Ó Ñ Ö ØÒ ÐÐ Ò Ñ Ö ØÒ Φ n = {k N : syt(k, n) = 1, k < n} ϕ(n) = #Φ n. [Φ n ] = {[k] n : k Φ n } Z n. Ë ÐÚ Ø 1 ϕ(n) n ÐÐ n N \ {0}º ¾

28 ¾ Ä Ù ¾º¾¼º à ÐÐ n N \ {0} ÓÒ ϕ(n) = #[Φ n ]º ÌÓ ØÙ º Ë ÐÚ Ø #[Φ n ] ϕ(n)º ÇÐ ÓÓÒ k, m Φ n º ÂÓ [k] n = [m] n ÓÒ k [m] n Ð ÓÒ ÓÐ Ñ l Z Ø Ò ØØ k = ln+m Ð k m = lnº ÃÓ 1 k, m n 1 ÓÒ ÚÐØØÑØØ l = 0 Ð k = mº Ä Ù ¾º¾½º ÇÐ ÓÓÒ p Ð ÙÐÙ Ùº ÌÐÐ Ò ϕ(p) = p 1º ÌÓ ØÙ º ÃÓ p ÓÒ Ð ÙÐÙ Ù ÓÒ syt(0, p) = p syt(k, p) = 1 ÐÐ 1 k p 1º Ä Ù ¾º¾¾º ÇÐ ÓÓÒ a, b N Ø Ò ØØ syt(a, b) = 1º ÌÐÐ Ò ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b). ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ x 1, x 2,...,x ϕ(a) ÐÙÚÙÒ a Ò ÓØØÓÑ Ò ÒÒ ¹ ÐÙÓ Ò Ù Ø Ø Ú Ø Ú Ø y 1, y 2,...,y ϕ(b) ÐÙÚÙÒ b Ò Óع ØÓÑ Ò ÒÒ ÐÙÓ Ò Ù Ø Øº Î Ø ÓÒ ØØ ÐÙÚÙØ bx i + ay j, 1 i ϕ(a), 1 j ϕ(b), ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ò ØÙÐÓÒ ab Ò ÓØØÓÑ Ò ÒÒ ÐÙÓ Ò Ù ¹ Ø ØÓÒº ÂÓ p syt(bx i + ay j, a) ÓÐÐ Ò Ð ÙÐÙÚÙÐÐ p ÓÒ ÑÝ p bx i p a ÐÐ Ò p x i ÐÐ syt(a, b) = 1º ÌÑ ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ñ ÓØÓÒØ ÓØ Ò syt(bx i +ay j, a) = 1º Î Ø Ú Ø ÑÝ syt(bx i +ay j, b) = 1º Ë Ô Ä Ù Ò ½º½¾ ÒÓ ÐÐ syt(bx i + ay j, ab) = 1, ÐÐ 1 i ϕ(a) 1 j ϕ(b)º ÂÓ ÒÝØ ÓÐÐ Ò i, j, k, l ÓÒ [bx i + ay j ] ab = [bx k + ay l ] ab, ÓÒ ÑÝ a b(x i x k ) b a(y j y l ) Ó syt(a, b) = 1 a x i x k b y j y l. ÌÐÐ Ò ÓÒ ÚÐØØÑØØ i = k j = lº Ë Ø Ò ϕ(ab) ϕ(a)ϕ(b)º ÃÓ syt(a, b) = 1 ÓÒ Ä Ù Ò ½º ÑÙ Ò Ý ØÐ ÐÐ bx + ay = c Ö Ø Ù x, y Zº ÂÓ syt(ab, c) = 1 ÓÒ ÑÝ syt(c, a) = syt(c, b) = 1º ÃÓ ÑÝ syt(x, a) c syt(x, a) a syt(y, b) c syt(y, b) b ÚÐØØÑØØ ÑÝ syt(x, a) = 1 syt(y, b) = 1º Ë Ø Ò ÓÒ ÓÐ Ñ 1 i ϕ(a) 1 j ϕ(b) Ø Ò ØØ Ë Ô [x] a = [x i ] a [y] b = [y j ] b. [c] ab = [bx + ay] ab = [bx i + ay j ] ab.

29 ÂÓ ÐÐ ØÙÐÓÒ ab Ò ÓØØÓÑ ÐÐ ÒÒ ÐÙÓ ÐÐ Ð ÝØÝÝ Ù ¹ Ø bx i + ay j Ø Ò ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) Ä Ù ¾º¾ º ÇÐ ÓÓÒ p Ð ÙÐÙ Ù m N \ {0}º ÌÐÐ Ò ϕ(p m ) = p m p m 1. ÌÓ ØÙ º Å Ö ØÒ n = p m º ÅÖ Ø ÐÐÒ B = {k N : k = pj ÓÐÐ Ò j {0, 1,..., p m 1 1}}. Ë ÐÚ Ø #B = p m 1 º Ä ÐÐ j {0, 1,..., p m 1 1} ÓÒ 0 pj p(p m 1 1) = p m p p m 1. Ë Ø Ò ÓÙ ÓÐÐ A = {0, 1,..., p m 1} \ B ÓÒ #A = p m p m 1 º Ç Ó Ø Ø Ò ØØ µ A = Φ n. ÇÐ ÓÓÒ k Aº À ÐÙØ Ò ÒÝØØ ØØ syt(k, n) = 1º Å Ö ØÒ d = syt(k, n). ÆÝØ d k d p m º ÂÓ d > 1 ÓÒ ÐÐ ÓÐ Ñ Ð ÙÐÙ ÙØ q ÓÐÐ ÑÝ q k q p m. ÌÐÐ Ò Ù Ð Ò Ò ÑÑ Ò Ð Ù Ò Ä Ù ½º½ µ ÑÙ Ò q pº ÃÓ p ÓÒ Ð ÙÐÙ Ù ÓÒ q = p. Ë Ø Ò p k ÓØ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ r Z Ø Ò ØØ k = rpº ÃÓ 0 rp n 1 < p m, ÓÒ 0 r < p m 1. Ë Ô k Bº ÌÑ ÓÒ Ö Ø Ö ÓÐ ØÙ Ò k A Ò Ø Ò d = 1º Ë Ø Ò ÓÒ Ó Ó Ø ØØÙ ØØ A Φ n. Ç Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú Ò ÐÙÙ Ó ØÓ Ò ÙÙÒØ Òº ÇÐ ÓÓÒ k Φ n º Ê ØØ Ó Ó ØØ ØØ k / Bº Ì Ò ÐÐ Ò Ú Ø ÓÐ ØÙ k Bº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ j {0, 1,..., p m 1 1} Ø Ò ØØ k = pj. Ë p k ÑÝ p n = p m º Ë Ô p syt(k, n). ÃÓ p > 1 ÓÒ syt(k, n) > 1 Ñ ÓÒ Ö Ø Ö ÓÐ ØÙ Ò k Φ n Ò º Ë Ø Ò k / B Φ n A Ð Ù ÓÒ ØÓ Ø ØØÙº ØÑÐÐ ÐÐ Ø Ð Ù Ø Ò ÙÐ Ö Ò ϕ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓ Ñ¹ ÖØØÝ Ø Ú Ø Ð ÙÐÙ Ù ØÝ Ò ÙØØ º ¾

30 ¼ Ä Ù ¾º¾ º ÇÐ ÓÓÒ ÐÙÚÙÒ n N n 2 Ð ÙÐÙ Ù ØÝ n = p α i i. ÌÐÐ Ò ϕ(n) = (p α i i i N α i 0 p α i 1 i ). ÌÓ ØÙ º ÃÓ syt(p α i i, p α j j ) = 1 ÐÐ i j ÓÒ Ä Ù Ò ¾º¾¾ ÒÓ ÐÐ ϕ(n) = ϕ(p α i i ). i N α i 0 ÌÓ ÐØ Ä Ù Ò ¾º¾ ÑÙ Ò ÓÒ ÐÐ i ϕ(p α i i ) = p α i i p α i 1 i, ÓØ Ò Ð Ù ÓÒ ØÓ Ø ØØÙº Ñ Ö ¾º¾ º Ä Ø Ò Ñ Ö ϕ(17325) Ð ÓÙ ÓÒ Φ Ð¹ Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÝØØÑÐÐ Ä Ù ØØ ¾º¾ º Ì Ø Ô Ù Ð Ù¹ ÐÙ Ù ØÝ Ð ÝØÝÝ ÐÔÓ Ø Ë Ø Ò = ϕ(17325) = ( )( )( )( ) = = Ä Ù ¾º¾ º à ÐÐ n 2 ÓÒ ÓÙ Ó [Φ n ] Ú ÖÙ Ø ØØÙÒ ÒÒ ÐÙÓ ¹ Ò ÖØÓÐ ÙÐÐ Ð Ò ÖÝ Ñº ÌÓ ØÙ º Ç Ó Ø Ø Ò Ò Ò ØØ ÒÒ ÐÙÓ Ò ÖØÓÐ Ù ÑÖ Ø¹ Ø Ð Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ò ÓÙ ÓÓÒ [Φ n ]º ÇÐ ÓÓÒ [a] n, [b] n [Φ n ]º Ë syt(a, n) = syt(b, n) = 1º ÌÐÐ Ò ÑÝ syt(ab, n) = 1º ÂÓ Ò Ò ÓÐ ÓÐ ÓÐ Ñ Ð ÙÐÙ Ù p syt(ab, n)º ÐÐ Ò Ð Ù Ò ½º½ ÑÙ¹ Ò p a Ø p bº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ò ÑÑ Ò Ò ÓÒ ØÓØØ º ÌÐÐ Ò ÑÝ p syt(a, n) Ñ ÓÒ Ñ ÓØÓÒØ ºµ ÇÐ ÓÓÒ q, r Z Ø Ò ØØ 0 r < n ab = qn+rº ÆÝØ syt(r, n) n syt(r, n) qn+r = ab Ø Ò syt(r, n) syt(ab, n) = 1 Ð syt(r, n) = 1º Ë Ô [a] n [b] n = [ab] n [Φ n ]º Ë ÐÚ ÖØÓÐ Ù ÓÒ Ó Ø Ú Ò Ò ÓÑÑÙØ Ø Ú Ò Òº ÂÓÙ ÓÒ Ò Ùع Ö Ð Ð ÓÒ ÓÒ [1] n [Φ n ] Ò ÒÒ Ò syt(1, n) = 1 0 < 1 n ¹ ÐÐ n 2 ÓØ Ò [1] n [Φ n ]º ÌÓ ÐØ ÓÒ ÖÝ ÑÒ (Z n, ) Ò ÙØÖ ¹ Ð Ð Ó ÓØ Ò ØÓ Ñ ÙØ Ò Ò ÙØÖ Ð Ð ÓÒ ØÙÐ Òº Î Ð ØÙÐ Ó Ó ØØ ØØ Ó ÐÐ Ð ÓÐÐ [a] n [Φ n ] ÓÒ ÓÐ Ñ ÒØ Ð Ó [b] n [Φ n ]º ÃÓ syt(a, n) = 1 ÓÒ Ä Ù Ò ¾º½¼ ÑÙ Ò Ý ØÐ ÐÐ [a] n [x] n = [1] n

31 Ø ÑÐÐ Ò Ý Ö Ø Ù [x] n Z n º ÌÓ ÐØ ÐÐ Ò Ä Ù Ò ¾º½¼ ÒÓ¹ ÐÐ Ñ ÐÐ Ð Ù ÐÐ ÓÒ Ö Ø Ù [a] n Ú Ò Ó syt(x, n) = 1º Ë Ø Ò [x] n [Φ n ]º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾ º ÇÐ ÓÓÒ n 2 a Z Ø Ò ØØ syt(a, n) = 1º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÐÙÚÙÒ a ÖØ ÐÙ Ù ÑÓ ÙÐ Ò n Ù Ø Ò ord n (a) = min{k N \ {0} : [a k ] n = [1] n }. Ñ Ö ¾º¾ º Ä Ø Ò ord 15 (2)º ÌÑ ÓÒ ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ ÐÐ syt(2, 15) = 1º ØÒ ÒÝØ Ý Ò ÖØ Ø Ð Ñ ÐÐ Ë ord 15 (2) = 4º [2 1 ] 15 = [2] 15 [1] 15 [2 2 ] 15 = [4] 15 [1] 15 [2 3 ] 15 = [8] 15 [1] 15 [2 4 ] 15 = [16] 15 = [1] 15. Ä ÑÑ ¾º¾ º ÇÐ ÓÓÒ n 2 a Z Ø Ò ØØ syt(a, n) = 1º ÇÐ ÓÓØ Ð j, k Nº ÌÐÐ Ò [a j ] n = [a k ] n [j] ordn (a) = [k] ordn (a). ÌÓ ØÙ º Å Ö ØÒ d = ord n (a)º ÇÐ Ø Ø Ò Ò Ò ØØ ÇÒ ÓÐ Ñ q Z Ø Ò ØØ ÄÙÚÙÒ d ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò ÓÒ [j] d = [k] d. j = k + qd. [a] d n = [ad ] n = [1] n. Ë Ø Ò [a j ] n = [a k+qd ] n = [a k ] n [a d ] q n = [ak ] n [1] q n = [ak ] n Ð Ù Ò ØÓ Ò Ò ÙÙÒØ ÓÒ Ó Ó Ø ØØÙº ÇÐ Ø Ø Ò ÒÝØ ØØ [a j ] n = [a k ] n. ÇÐ ÓÓÒ q, r Z Ø Ò ØØ 0 r < d ÌÐÐ Ò j k = qd + r. [a k ] n = [a j ] n = [a k+qd+r ] m = [a k ] n [a d ] q n [a r ] n = [a d ] n [1] n [a r ] n = [a k ] n [a r ] n. ÃÓ syt(a, n) = 1 ÓÒ [a] n [Φ n ]º Ä Ù Ò ¾º¾ ÒÓ ÐÐ ÑÝ [a k ] n = [a] k n [Φ n ] ½

32 ¾ Ð ÓÐÐ [a k ] n ÓÒ ÓÐ Ñ ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Ò ÒØ Ð Ó [b] n [Φ n ]º ÆÝØ [1] n = [b] n [a k ] n = [b] n [a k ] n [a r ] n = [a r ] n. ÃÓ 0 r < d = ord n (a) ÓÒ r = 0º Ë Ø Ò j k = dq [j] d = [k] d. Ä ÑÑ ¾º ¼º ÇÐ ÓÓÒ n 2 a Z Ø Ò ØØ syt(a, n) = 1º ÇÐ ÓÓÒ Ð k Nº ÌÐÐ Ò [a k ] n = [1] n ord n (a) k. ÌÓ ØÙ º ÃÓ [1] n = [a 0 ] n Ú Ø ÙÖ Ä ÑÑ Ø ¾º¾ º Ä Ù ¾º ½º ÂÓ n N n 2 [a] n Z n Ø Ò ØØ ÓÒ n Ð ÙÐÙ Ùº ord n (a) = n 1, ÌÓ ØÙ º Ä ÑÑ Ò ¾º¾ ÑÙ Ò ÐÐ 1 j < k ord n (a) ÓÒ [a k ] n [a j ] n º ÌÓ ÐØ Ó #Z n = n ÓÒ Ó ÐÐ [b] n Z n \ {[0] n } ÓÐ Ñ 1 m n 1 Ø Ò ØØ [a m ] n = [b] n Ë Ø Ò Ð ÓÒ [b] n ÒØ Ð Ó ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Ò ÓÒ [a n 1 m ] n º Z n ÓÒ ÙÒØ ÓØ Ò Ð Ù Ò ¾º½ ÑÙ Ò n ÓÒ Ð ÙÐÙ Ùº ¾º º ÙÐ Ö Ò ÖÑ Ø³Ò Ï Ð ÓÒ Ò Ð Ù Øº Ä Ù ¾º ¾ ÙÐ Ö Ò Ð Ù µº ÇÐ ÓÓÒ n 2 a Z Ø Ò ØØ ÌÐÐ Ò syt(a, n) = 1. [a ϕ(n) ] n = [1] n. ÒÒ Ò ÙÐ Ö Ò Ð Ù Ò ØÓ Ø Ñ Ø Ô Ð ÙØ Ø Ò Ñ Ð Ò Ð Ö Ò ÙÖ ÐÐ ØÓ Ø ØØÙ Ä Ù ¾º Ä Ö Ò Ò Ð Ù µº ÇÐ ÓÓÒ G Ö ÐÐ Ò Ò Ð Ò ÖÝ Ñ H ÖÝ ÑÒ G Ð ÖÝ Ñº ÌÐÐ Ò #H #G. ÌÓ ØÙ Ò º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÐÐ x G ÓÙ Ó xh = {xh : h H} Ñ Ö ØÒ Ò Ò Ò Ó Ó ÐÑ Ë ÙÖ Ú Ó Ó Ø Ø Ò ØØ H = {xh : x G}. xh yh = xh = yh.

33 ÌÑÒ Ð Ò Ú Ð Ø Ò Ó ÐÐ F H Ù Ø x F G ÓÐÐ x F H = F º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÙÚ Ù α: H H G: (F, y) x F y Ó Ó Ø Ø Ò ØØ ÓÒ Ø Óº Ë Ø Ò #G = #H#Hº Ä Ù Ò ¾º ¾ ØÓ ØÙ º Å Ö ØÒ m = ord n (a)º ÃÓ Ä Ù Ò ¾º¾ ÒÓ ÐÐ [Φ n ] ÓÒ Ð Ò ÖÝ Ñ Ä Ù Ò ¾º¾¼ ÑÙ Ò #[Φ n ] = ϕ(n) ord n (a) = #{[a k ] n : k Z} ÒØ Ä Ù ¾º m ϕ(n) Ð ÌÓ ÐØ ϕ(n) = mk ÓÐÐ Ò k Z. [a] m n = [am ] n = [1] n. Ë [a ϕ(n) ] n = [a] ϕ(n) n = [a] mk n = ([a] m n ) k = [1] k n = [1 k ] n = [1] n. ÙÐ Ö Ò Ð Ù ØØ ÚÓ Ò Ý ÝÒØ Ð ØØ ÙÙÖ ÔÓØ Ò ÓÒ Ò ÑÓ ÙÐ Ò Ù Ø Òº Ñ Ö ¾º º Ä Ø Ò Ñ Ø ÓÚ Ø ÐÙÚÙÒ Ú Ñ Ø ÒÙ¹ Ñ ÖÓ ÝÑÑ Ò Ö Ø ÐÑ º Ì ØÚÒ ÓÒ ÐÚ ØØ Ñ Ø ÓÒ [ ] 100. ÃÓ syt(77, 100) = 1 ÚÓ Ò ÝØØ ÙÐ Ö Ò Ð Ù ØØ º Ä Ø Ò Ò Ò Ë Ø Ò ϕ(100) = (5 2 5)(2 2 2) = 40. [ ] 100 = [77 40 ] [( 23) 2 ] 100 = [77 ϕ(100) ] [529] 100 = [1] [29] 100 = [29] 100. Ä Ù ¾º º ÇÐ ÓÓÒ n N n 2 a Z Ø Ò ØØ syt(a, n) = 1º ÌÐÐ Ò ÌÓ ØÙ º Ä Ù Ò ¾º ¾ ÒÓ ÐÐ ord n (a) ϕ(n). [a ϕ(n) ] n = [1] n, ÓØ Ò Ú Ø ÙÖ Ä ÑÑ Ø ¾º ¼º

34 Ñ Ö ¾º º Ä Ø Ò ord 19 (5)º ÃÓ syt(5, 19) = 1 ÓÒ ÖØ ÐÙ Ù ÑÖ Ø ÐØݺ Ì ØÒ Ä Ù Ò ¾º Ô ÖÙ Ø ÐÐ ØØ ord 19 (5) ϕ(19) = 19 1 = 18 Ð ord 19 (5) {1, 2, 3, 6, 9, 18}º Ä Ø Ò [5 9 ] 19 = [11 7] 19 = [1] 19. [5 1 ] 19 = [5] 19 [1] 19, [5 2 ] 19 = [25] 19 = [6] 19 [1] 19, [5 3 ] 19 = [5 6] 19 = [11] 19 [1] 19, [5 6 ] 19 = [11 2 ] 19 = [121] 19 = [7] 19 [1] 19, Ë Ø Ò ord 19 (5) = 9º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º ÇÐ ÓÓÒ n N n 2 a Z Ø Ò ØØ syt(a, n) = 1º ÌÐÐ Ò a ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÙÙÖ ÑÓ ÙÐÓ n Ó ord n (a) = ϕ(n). Ä Ù ¾º º ÇÐ ÓÓÒ p Ð ÙÐÙ Ùº ÌÐÐ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÙÖ ÑÓ ÙÐÓ p ÓÒ Ø ÑÐÐ Ò ϕ(p 1) ÔÔ Ð ØØ º ÌÓ ØÙ º Ç Ø Ø Ò ØÓ ØÙ ºµ Ñ Ö ¾º º Ø ØÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ø ÙÙÖ Ø ÑÓ ÙÐÓ 5º Ä Ù Ò ¾º ÑÙ Ò Ò Ø ÓÒ ϕ(5 1) = ϕ(4) = = 2 ÔÔ Ð ØØ º ÃÓ ϕ(5) = 4 ÓÒ ord 5 (a) {1, 2, 4} ÐÐ a {1, 2, 3, 4}º Ä Ø Ò Ë ord 5 (2) = 4º [2 2 ] 5 = [4] 5 [1] 5. [3 2 ] 5 = [4] 5 [1] 5. [2 1 ] 5 [1] 5, [3 1 ] 5 [1] 5, Ë ord 5 (3) = 4º Ë Ø Ò Ø ØÝØ ÔÖ Ñ Ø Ú Ø ÙÙÖ Ø ÓÚ Ø 2 3º ÇØ Ø Ò Ú Ð Ñ Ö ÔÖ Ñ Ø Ú Ø Ò ÙÙÖØ Ò ÝØ Ø ÝØÒÒ º Ñ Ö ¾º ¼ ¹À ÐÐÑ ÒÒ Ò Ú ÒÑ ÒÚ ØÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ µº Ì ÚÓ Ø¹ Ø Ò ÓÒ ÓÒ ØÖÙÓ Ð Ù Ú Ò Ó ÓÒ Ú Ò Ó ÔÙÓÐØ Ò Ø ¹ Ó º Ì Ò Ú ØØ Ò ½µ Î Ð Ø Ò ÙÙÖ Ð ÙÐÙ Ù p ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÙÙÖ g ÑÓ ÙÐÓ pµº ÆÑ ÚÓ Ò ÙÐ Ø º ¾µ Ú Ð Ø ØÙÒÒ Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙÒ a {1, 2,..., p 1} ÐÙÚÙÒ b {1, 2,..., p 1}º µ Ð ØØ ÐÐ ÐÙÚÙÒ g a Ó ÒÒ Ò ÐÙÚÙÒ p Ù Ø Ò Ð ØØ ÐÐ ÐÙÚÙÒ g b Ó ÒÒ Ò ÐÙÚÙÒ p Ù Ø Òº µ Ë ØØ Ð Ú Ø Ð Ù Ú Ñ Ò [g ab ] p = [g a ] b p = [g b ] a pº ÈÖÓØÓ ÓÐÐ ØÓ Ñ Ó ÐÙÚÙÒ g a Ó ÒÒ Ø ÐÙÚÙÒ p Ù Ø Ò ÓÒ ÝÚ Ò Ú Ø Ð ÐÙ Ù aº ÌÓ ÐØ ÔÓØ Ò Ò [g a ] p Ð Ñ Ò Ò ÓÐ ÓÚ Ò Ú Ø º

35 ÆÓÔ ÔÓØ Ò Ð Ùº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÔÓØ Ò Ð Ù [g a ] p. ÃÝØØÑÐÐ ÐÙÚÙÒ a ÒÖ ØÝ Ø k a = a i 2 i, Ñ a i {0, 1} k N a k = 1 ÚÓ Ò [g a ] p Ð ØÓ ØÙÚ Ø Ò Ð ÑÐÐ [g 2i ] p = [g 2i 1 ] 2 p ÐÓÔÙ Ð Ñ ÐÐ [g a ] p = k [g 2i ] a i p. Ñ Ö ¾º ½º Ä Ø Ò [5 22 ] 47 º Ã Ö Ó Ø Ø Ò Ò Ò 22 = = Ð Ø Ò ÑÓ 47µ 5 2 = 25, 5 4 = , 5 8 = 196 8, 5 16 = Ë Ø Ò = = ÑÓ 47µº ÃÝØÒÒ Ò Ð ÒØ Ø Ò Ø ØÓ ÓÒ ÐÐ Ð Ð Ø Ò ÓÖ¹ ÑÑ Ø Ø Øº Ä Ø Ò Ñ Ö ÙÙ Ø Ò [5 22 ] 47 º Ë 22 = º Ò Ò Ð Ø Ò ÔÓØ Ò 1 2 = 1 Ð [5 1 ] 47 = [5] 47 ÌÑÒ Ð Ò ÔÓØ Ò 10 2 = Ð [5 2 ] 47 = [25] 47. Ë ØØ Ò ÔÓØ Ò = Ð [5 4 5] 47 = [25] 2 47 [5] 47 = [23] 47 ØØ Ò ÔÓØ Ò = Ð [5 10 5] 47 = [23] 2 47 [5] 47 = [13] 47. ÄÓÔÙ Ú Ð ÔÓØ Ò = Ð [5 22 ] 47 = [13] 2 47 = [28] 47. ÇØ Ø Ò Ú Ð ØÓ Ò Ò Ñ Ö ÐÐ Ø ÐÐÝ Ø ÔÓØ Ò Ò ÓÖÓØØ ¹ Ñ Ø º Ì Ø Ø Ò ÓÒ Ó ÐÙ Ù 167 Å Ö ÒÒ Ò ÐÙÚÙÒ M 83 = Ø ¹ º Ã Ö Ó Ø Ø Ò Ò Ò 83 = = ØÒ

36 ØØ Ò ØØ ÖÖ ÐÐ Ò ÑÓ 167µ 2 = 2, 2 2 = 4, = 32, 32 2 = , 22 2 = , = , = = Ë [2 83 ] 167 = [1] 167 Ð º È Ð Ø Ò ÒÝØ ÔÓØ Ò Ð Ù Ø Ø Ò ÐÙ ÙØ ÓÖ Ò Ð Ò ØÙÐÓ ¹ Òº Ö Ó Ø Ô Ù Ò ÙÐ Ö Ò Ð Ù Ø Ò ÖÑ Ø³Ò Ô Ò Ð Ù º Ä Ù ¾º ¾ ÖÑ Ø³Ò Ô Ò Ð Ù µº ÇÐ ÓÓÒ p Ð ÙÐÙ Ù a Zº ÌÐÐ Ò ÂÓ Ð p a Ò Ò [a p ] p = [a] p. [a p 1 ] p = [1] p. ÌÓ ØÙ º Ç Ó Ø Ø Ò Ò Ò Ð ÑÑ Ò Ò Ú Ø º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ p aº ÃÓ p ÓÒ Ð ÙÐÙ Ù ÓÒ syt(a, p) = 1º ÌÓ ÐØ Ä Ù Ò ¾º¾½ Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ ϕ(p) = p 1º Ë Ø Ò Ä Ù Ò ¾º ¾ ÑÙ Ò [a p 1 ] p = [1] p. ÌÐÐ Ò ÑÝ [a p ] p = [a] p [a p 1 ] p = [a] p [1] p = [a] p. ÌÓ Ø Ø Ò ØÑ ÑÝ Ø Ô Ù p aº ÌÐÐ Ò p a p Ð [a p ] p = [0] p = [a] p. Ä Ù ¾º Ï Ð ÓÒ Ò Ð Ù µº ÇÐ ÓÓÒ p Ð ÙÐÙ Ùº ÌÐÐ Ò [(p 1)!] p = [ 1] p. ÌÓ ØÙ º ÃÓ p ÓÒ Ð ÙÐÙ Ù ÓÒ Z p ÙÒØ Ä Ù Ò ¾º½ ÒÓ ÐÐ º Ë Ø Ò Ó ÐÐ [a] p Z p \ {[0] p } ÓÒ ÓÐ Ñ ÒØ Ð Ó [b] p Z p Ð [b] p [a] p = [1] p º ÂÓ [a] p = [b] p ÓÒ [a] 2 p = [1] p Ð [a 1] p [a + 1] p = [0] p º Ó Z p ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ØÐÐ Ò Ó Ó [a] p = [1] p Ø [a] p = [ 1] p º Ë ÐÐ Ð Ó ÐÐ [a] p Z p \ {[0] p, [1] p, [p 1] p } ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ¹ ØØ Ò Ò ÒØ Ð Ó [b] p [a] p º Ë Ø Ò ÑÙÙØ ØÙÐÓÒ [(p 1)!] p Ø Ø Ô Ø [1] p [p 1] p ÚÓ Ò Ö Ø Ô Ö Ó Ò ØÙÐÓ ÓÒ [1] p º Ë Ô [(p 1)!] p = [p 1] p = [ 1] p.

37 ¾º º Ã Ò Ð Ò Ò ÒÒ Ð Ù º Ã Ò Ð Ò Ò ÑÙÒ ËÙÒ ØØ ¹ Ó Ò Ò ÙÖ Ú Ò ÖÚÓ ØÙ Ò Å ÐÐ ÓÒ Ó Ò ÑÖ Ò Ø ÑÙØØ ÑÑ Ø Ö Ò Ø ÑÓÒØ Óº ÂÓ Ò Ø Ø Ò ÓÐÑ Ò ÖÝ Ñ Ò ÝÐ º ÂÓ Ò Ø Ò Ú Ò ÖÝ Ñ Ò ÓÐÑ ÝÐ º ÂÓ Ò Ø Ø Ò Ø ÑÒ ÖÝ Ñ Ò ÝÐ º ÅÓÒØ Ó Ò ØØ Ñ ÐÐ ÓÒ ÌÑÒ ÙÖ Ò Ñ Ö ÒÒ ÐÐ ÖÚÓ ØÙ ÚÓ Ò ÚÓ Ò ÑÙÓØÓ ÐÐ Ý Ø¹ Ð ÖÝ Ñ [x] 3 = [2] 3 [x] 5 = [3] 5 [x] 7 = [2] 7, ÓÒ Ö Ø Ù x Ø ØÒº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º ÇÐ ÓÓÒ k 2 a 1,...,a k Z m 1,..., m k 2º ÄÙ Ù x Z ÒÓØ Ò Ð Ò Ö Ò ÓÒ ÖÙ Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ [x] m1 = [a 1 ] m1 [x] m2 = [a 2 ] m2 º [x] mk = [a k ] mk Ö Ø Ù Ó [x] mi = [a i ] mi ÐÐ i = 1,...,kº ÌÓ Ø Ø Ò ÙÖ Ú Ö ØØÚ ØÓ ÓÒ ÖÙ Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ Ö Ø¹ ÙÒ ÓÐ Ñ ÓÐÓÐÐ º Ä Ù ¾º Ã Ò Ð Ò Ò ÒÒ Ð Ù µº ÇÐ ÓÓÒ k 2 a 1,...,a k Z m 1,...,m k 2º ÂÓ syt(m i, m j ) = 1 ÐÐ i j ÓÒ ÓÒ ÖÙ Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÐÐ [x] m1 = [a 1 ] m1 [x] m2 = [a 2 ] m2 º [x] mk = [a k ] mk Ö Ø Ùº ÂÓ Ý ØÐ ÖÝ ÑÐÐ ÓÒ Ö Ø Ù x Z ÓÒ y Z ÑÝ Ö Ø Ù Ó Ú Ò Ó k [y] t = [x] t, Ñ t = m i.

38 ÌÓ ØÙ º ÌÓ Ø Ø Ò Ò Ò Ò Ù Ø ÓÐÐ ØØ Ý ØÐ ÖÝ ÑÐÐ ÓÒ Ö Ö Ø Ùº ØÐ ÐÐ [x] m1 = [a 1 ] m1 ÓÒ ØÖ Ú Ð Ö Ø Ù x = a 1 º ÇÐ Ø Ø Ò ÙÖ Ú ØØ ÓÐÐ Ò 1 n < k ÓÒ Ý ØÐ ÖÝ ÑÐÐ [x] m1 = [a 1 ] m1 [x] m2 = [a 2 ] m2 Ö Ø Ù zº Å Ö ØÒ º [x] mn = [a n ] mn m = n m i. ÂÓ Ð ÙÐÙÚÙÐÐ p ÓÒ p m ÓÒ ÐÐÓ Ò Ä Ù Ò ½º½ ÒÓ ÐÐ ÓÐ Ñ i Ø Ò ØØ p m i º ÃÓ syt(m i, m n+1 ) = 1 ÓÒ ÚÐØØÑØØ p m n+1 º Ë Ô syt(m, m n+1 ) = 1º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÒÝØ Ý ØÐ Ô Ö { [x] m = [z] m µ [x] mn+1 = [a n+1 ] mn+1. Ä Ù Ò ½º ÑÙ Ò ÓÒ Ð Ò Ö ÐÐ Ó ÒØÓ Ò Ý ØÐ ÐÐ Ö Ø Ù (x 0, x 1 ) Z 2 º Å Ö ØÒ mx 0 + m n+1 x 1 = z a n+1 x = z mx 0. ÌÐÐ Ò [x] m = [z mx 0 ] = [a] m. ÌÓ ÐØ x = z mx 0 = a n+1 + m n+1 x 1, ÓØ Ò [x] mn+1 = [a n+1 + m n+1 x 1 ] mn+1 = [a n+1 ] mn+1. Ë x ÓÒ Ý ØÐ Ô Ö Ò µ Ö Ø Ùº Ç Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú ØØ x ÓÒ ÑÝ Ý ØÐ Ò [x] mi Ö Ø Ù ÐÐ i = 1,...,nº ÃÓ [x] m = [z] m ÓÒ m x z. ÃÓ m i m ÓÒ ÐÐ Ò m i x z = [a i ] mi Ð x z = rm i ÓÐÐ Ò r Zº ÌÓ ÐØ [z] mi = [a i ] mi ÓØ Ò z a i = sm i ÓÐÐ Ò s Zº Ë Ø Ò x a i = x z + z a i = rm i + sm i = (r + s)m i [x] mi = [a i ] mi.

39 Ä Ý ÑÑ Ý ØÐ ÖÝ ÑÐÐ [x] m1 = [a 1 ] m1 [x] m2 = [a 2 ] m2 º [x] mn+1 = [a n+1 ] mn+1 Ö Ø ÙÒ ÓØ Ò Ð Ù Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ó ÓÒ ØÓ Ø ØØÙº Ç Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú ØØ Ñ Ð x y ÓÚ Ø Ð Ù Ò ÓÒ ÖÙ Ò ¹ Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ Ö Ø Ù ÓÒ [y] t = [x] t. À ÐÙØ Ò Ó Ó ØØ ØØ t x yº ÆÝØ ÐÐ i = 1,...,m ÓÒ [y] mi = [a i ] mi = [x] mi Ð m i x y. ÇÐ ÓÓÒ p Ð ÙÐÙ Ù n N Ø Ò ØØ p n t p n+1 tº ÃÓ syt(m i, m j ) = 1 ÐÐ i j ØÝØÝÝ ÓÐÐ ÓÐ Ñ i {1,...,m} Ø Ò ØØ p n m i º Ë Ô p n x y Ø Ò t x y. ÄÓÔÙ ØÙÐ Ú Ð Ó Ó ØØ ØØ Ñ Ð x ÓÒ ÓÒ ÖÙ Ò Ý ØÐ ÖÝ ¹ ÑÒ Ö Ø Ù y Z ÓÒ Ø Ò ØØ [y] t = [x] t, ÓÒ ÑÝ y ÓÒ ÖÙ Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø Ùº ÃÓ t x y m i t ÐÐ i ÓÒ ÑÝ m i x y ÐÐ i Ð ÐÐ iº [y] mi = [x] mi = [a i ] mi Ñ Ö ¾º º Ê Ø Ø Ò ÒÝØ ÐÙ Ø ØØÝ ÖÚÓ ØÙ Ó ÓÒ ÖÙ Ò ¹ Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ ÓÐ [x] 3 = [2] 3 [x] 5 = [3] 5 [x] 7 = [2] 7. ÃÓ syt(3, 5) = syt(3, 7) = syt(5, 7) = 1, ÓÒ Ý ØÐ ÖÝ ÑÐÐ Ò Ð Ò ÒÒ Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ ÓÐ Ñ Ö Ø ¹ Ùº Ø ØÒ ÐÐ Ö Ø Ù Ò Ð Ò ÒÒ Ð Ù Ò ØÓ ØÙ Ò Ó Ó Ø¹ Ø Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ º Ë Ø ØÒ Ò Ò Ý ØÐ Ô Ö Ò { [x] 3 = [2] 3 µ [x] 5 = [3] 5

40 ¼ Ö Ø Ùº ÌÐÐ Ò Ò Ð Ý ØÒ Ú Ø Ú Ò Ó ÒØÓ Ò Ý ØÐ Ò 3x 0 + 5x 1 = 2 3 = 1 Ö Ø ÙÒ º ÃÝ Ò Ò Ó ÒØÓ Ò Ý ØÐ Ø ÚÓ Ò ÑÙÙØØ ÓÒ ÖÙ Ò ¹ Ý ØÐ [3] 5 [x 0 ] 5 = [ 1] 5, ÓÒ Ö Ø Ù ÓÒ [x 0 ] 5 = [3] 5. Ë Ø Ò Ö Ý ØÐ Ô Ö Ò µ Ö Ø Ù ÓÒ z = 2 3x 0 = 7. Ð ÙÔ Ö Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ Ö Ø Ù Ò ÒÝØ Ö Ø Ñ ÐÐ Ý ØÐ Ô Ö { [x] 15 = [ 7] 15 µ [x] 7 = [2] 7. Ì Ø Ò Ó ÒØÓ Ò Ý ØÐ 15y 0 + 7y 1 = 7 2 = 9, Ó ÑÙÙÒØÙÙ ÓÒ ÖÙ Ò Ý ØÐ [15] 7 [y 0 ] 7 = [ 9] 7. ÌÑÒ Ö Ø Ù Ø ÓÒ [y 0 ] 7 = [5] 7. ØÐ Ô Ö Ò µ Ð ÙÔ Ö Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ Ö Ø Ù ÓÒ x = 7 15y 0 = 82. Ã Ö Ø ÙØ ÓÚ Ø ÒÝØ ÑÙÓØÓ y = x + k(3 5 7) = k, k Z. È Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ø Ù ÓÒ y = 23. ÇØ Ø Ò Ú Ð ØÓ Ò Ò Ñ Ö Ò Ð Ò ÒÒ Ð Ù Ò ÝØ Øº Ñ Ö ¾º º Ê Ø Ø Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ [x] 2 = [1] 2 [x] 9 = [7] 9 [x] 11 = [6] 11. Ì Ö Ø Ø Ò Ò Ò ØØ Ö Ø Ù ÓÒ ÓÐ Ñ º Æ Ò ÓÒ ÐÐ syt(2, 9) = syt(2, 11) = syt(9, 11) = 1º ØÒ ÒÝØ ÙØ Ò ÐÐ Ñ Ö º Ê Ø Ø Ò Ò Ò Ý ØÐ Ô Ö { [x] 2 = [1] 2 [x] 9 = [7] 9.

41 ÅÙÙÒÒ Ø Ò ØÑ Ó ÒØÓ Ò Ý ØÐ 2x 1 + 9x 2 = 2 9 = 7, ÓÒ Ö Ö Ø Ù ÓÒ x 1 = 3 x 2 = 0º Ë Ø Ò Ý ØÐ Ô Ö Ò Ö Ö Ø Ù ÓÒ z = 1 2 ( 3) = 7º Ð ÙÔ Ö Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ Ö Ø Ù Ð Ý ØÒ Ý ØÐ Ô Ö Ò { [x] 18 = [7] 18 ½ [x] 11 = [6] 11 Ö Ø ÙÒ º ÂÐÐ Ò Ó ÒØÓ Ò Ý ØÐ Ò Ö Ó Ø ØØÙÒ 18x x 2 = 7 6 = 1, ÓÒ Ö Ø Ù Ð Ý ØÒ Ú Ô Ù Ð Ò Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ Ð 18 = = = = = 4 3 = 4 (7 4) = = 2(11 7) 7 = = (18 11) = ØÐ Ô Ö Ò Ö Ø Ù ÓÒ x = 7 18 ( 3) = 61 Ð ÙÔ Ö Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ Ö Ø ÙØ Ò x = k = k, k Z. º Æ Ð Ò ÒÒ Ø ÌÙØ Ø Ò Ñ Ò ÓÖ ÑÑ Ò Ø Ò ÓÒ ÖÙ Ò Ý ØРغ Ä Ù º½º ÇÐ ÓÓÒ p Ð ÙÐÙ Ù n 1 a 0,...,a n Z Ø Ò ØØ [a n ] p [0] p º ÌÐÐ Ò nº Ø Ò ÓÒ ÖÙ Ò Ý ØÐ ÐÐ µ P n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 0 (mod p) ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò n Ö Ø Ù º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ x 1,...,x m m n ÓÒ ÖÙ Ò Ý ØÐ Ò µ Ö Ö Ø ¹ Ù ÑÓ pµº ÃÓ Z p ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ð ÓÐÐ [x x i ] p ÒØ Ð Ó ÙÒ [x] p [x i ] p º Ë Ø Ò ÚÓ Ò Ö Ó ØØ P n (x) (x x 1 ) (x x m )P n m (x) (mod p), Ñ P n m (x) ÓÒ Ø Ò n m ÔÓÐÝÒÓÑ º ÂÓ n = m ÓÒ P n (x) (x x 1 ) (x x n )P 0 (x) (mod p), Ñ [P 0 (x)] p = [a n ] p [0] p ÓÒ Ú Óº Ë Ø Ò Ý ØÐ ÐÐ µ ÚÓ ÓÐÐ ÑÙ Ø Ö Ø Ù º

42 ¾ ÅÖ Ø ÐÑ º¾º ÇÐ ÓÓÒ p Ô Ö ØÓÒ Ð ÙÐÙ Ù a Z Ø Ò ØØ p aº Ë ÒÓØ Ò ØØ a ÓÒ Ò Ð Ò ÒÒ (ÑÓ p) Ó Ý ØÐ ÐÐ [x 2 ] p = [a] p ÓÒ ÓÐ Ñ Ö Ø Ù x Zº ÂÓ Ý ØÐ ÐÐ ÓÐ Ö Ø Ù ÓÒ ÐÙ Ù a Ô ÒÒ (ÑÓ p)º Ä Ù º º ÇÐ ÓÓÒ p Ô Ö ØÓÒ Ð ÙÐÙ Ù a Z Ø Ò ØØ p aº ÌÐÐ Ò a ÓÒ Ò Ð Ò ÒÒ (ÑÓ p) Ó Ú Ò Ó [a (p 1)/2 ] p = [1] p. Î Ø Ú Ø a ÓÒ Ô ÒÒ (ÑÓ p) Ó Ú Ò Ó [a (p 1)/2 ] p = [ 1] p. ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ p Ô Ö ØÓÒ Ð ÙÐÙ Ù a Z Ø Ò ØØ p aº ÌÐÐ Ò ÖÑ Ø³Ò Ð Ù Ò Ä Ù ¾º ¾µ ÒÓ ÐÐ ÃÓ p 1 ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ÓÒ Ä Ù Ò ½º½ ÑÙ Ò Ó Ó [a p 1 ] p = [1] p. a p 1 1 = (a (p 1)/2 + 1)(a (p 1)/2 1), [a (p 1)/2 ] p = [1] p Ø [a (p 1)/2 ] p = [ 1] p. ÂÓ a ÓÒ Ò Ð Ò ÒÒ Ð [a] p = [b 2 ] p ÓÐÐ Ò b Z ÓÒ p bº Ë Ø Ò ÑÝ p 2b Ð [b] p [ b] p. ÌÓ ÐØ ÑÝ [( b) 2 ] p = [a] p º ÅÙ Ø Ö Ø Ù Ý ØÐ ÐÐ [x 2 ] p = [a] p Ä Ù Ò º½ ÑÙ Ò ÓÐ Òº Ë Ø Ò Ò Ð Ò ÒÒ ÓÒ ÓÐ Ñ Ø ¹ ÑÐÐ Ò (p 1)/2 ÔÔ Ð ØØ ÑÓ pµº ÌÓ ÐØ Ò Ð Ò ÒÒ ÐÐ a ÓÒ ÖÑ Ø³Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ Ä Ù Ò º½ ÑÙ Ò Ý ØÐ ÐÐ [a (p 1)/2 ] p = [b p 1 ] p = [1] p [x (p 1)/2 ] p = [1] p ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò (p 1)/2 Ö Ø Ù ÑÓ pµº Ë Ø Ò ÐÐ Ô ÒÒ ¹ ÐÐ a ØÝØÝÝ ÓÐÐ [a (p 1)/2 ] p = [ 1] p. Ñ Ö º º ÅÖÑÐÐ ÐÙ Ù Ò 1,..., p 1 2 Ò Ð Ò ÒÒ ÐÙÓ Ø Ò Ò Ð Ò ÒÒ Ø ÑÓ pµ ÙÒ Ñ Ö p = 7, 11, 13º µ [1 2 ] 7 = [1] 7 [2 2 ] 7 = [4] 7 [3 2 ] 7 = [2] 7 º

43 µ [1 2 ] 11 = [1] 11 [2 2 ] 11 = [4] 11 [3 2 ] 11 = [9] 11 [4 2 ] 11 = [5] 11 [5 2 ] 11 = [3] 11 º µ [1 2 ] 13 = [1] 13 [2 2 ] 13 = [4] 13 [3 2 ] 13 = [9] 13 [4 2 ] 13 = [3] 13 [5 2 ] 13 = [12] 13 [6 2 ] 13 = [10] 13 º ÅÖ Ø ÐÑ º º ÇÐ ÓÓÒ p Ô Ö ØÓÒ Ð ÙÐÙ Ù a Z Ø Ò ØØ p aº ÅÖ Ø ÐÐÒ ÐÙ Ù Ò a p Ä Ò Ö Ò ÝÑ ÓÐ ( a p) ØØ Ñ ÐÐ ( ) { a 1, ÙÒ a ÓÒ Ò Ð Ò ÒÒ (mod p), = p 1, ÙÒ a ÓÒ Ô ÒÒ (mod p). ÐÐ Ò Ò Ð Ù ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó Ä Ù º º ÇÐ ÓÓÒ p Ô Ö ØÓÒ Ð ÙÐÙ Ù a Z Ø Ò ØØ p aº ÌÐÐ Ò ( ) a [a (p 1)/2 ] p = [ ] p p Ä Ù º º ÇÐ ÓÓÒ p Ô Ö ØÓÒ Ð ÙÐÙ Ù a, b Z Ø Ò ØØ p a, bº ÌÐÐ Ò ( ) ( ) ( ) ab a b =. p p p ÌÓ ØÙ º Ä Ù Ò º ÒÓ ÐÐ ( ) ( ) ab a [ ] p = [(ab) (p 1)/2 ] p = [a (p 1)/2 ] p [b (p 1)/2 ] p = [ ] p [ p p ( b p ) ] p. Ä Ù º Ù Ò Ð ÑÑ µº ÇÐ ÓÓÒ p Ô Ö ØÓÒ Ð ÙÐÙ Ù a Z Ø Ò ØØ p aº ÇÐ ÓÓÒ s Ò Ø Ú Ø Ò ÒÒ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒÓÒ a, 2a,..., p 1 2 a Ø ÖÚÓÐØ Ò Ô Ò ÑÔ Ò ÒÒ Ø Ò ÑÓ pµ ÓÙ Ó º ÌÐÐ Ò ( ) a = ( 1) s. p ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ c k Z k = 1,..., (p 1)/2 Ø Ò ØØ ÆÝØ [ka] p = [c k ] p 1 c k p 1 2. [ c k c j ] p = [±(k ± j)a] p 1 k ± j < p 1 ÐÐ 1 j < k (p 1)/2º Ä p a ÓØ Ò [ c k ] p [ c j ] p

44 ÐÐ k jº Ë Ø Ò ÑÓ pµ ((p 1)/2)!a p 1 2 = 2 ka p 1 k=1 2 c k = ( 1) s p 1 k=1 2 c k = ((p 1)/2)!( 1) s. p 1 k=1 ÃÓ [((p 1)/2)!] p [0] p, ÓÒ [a p 1 2 ]p = [( 1) s ] p Ú Ø Ø Ò ÙÖ Ä Ù Ø º º Ä Ù º º ÃÙÒ p ÓÒ Ô Ö ØÓÒ Ð ÙÐÙ Ù ÓÒ ( ) 2 = ( 1) p p ÌÓ ØÙ º ÃÝØ ØÒ Ä Ù ØØ º Ø Ô Ù a = 2º ÌÐÐ Ò ÓÒÓÒ 2, 4,..., p 3, p 1 Ø ÖÚÓ ÐØ Ò Ô Ò ÑÑ Ø ÒÒ Ø Ò Ø Ú ÓÚ Ø 1, 2,..., (2s 1) > p 2, Ñ 2s 1 ÓÒ ÙÙÖ Ò Ô Ö ØÓÒ ÐÙ Ù Ó ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ù Ò p/2º Ë Ø Ò 2s 1 = p 1 Ø 2s 1 = p ÌÐÐ Ò s = p±1 Ó Ô Ö ÐÐ Ò Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ p = 8n ± 1 Ô Ö ØÓÒ ÙÒ 4 p = 8n ± 3º Î Ø ÙÖ ÒÝØ Ý ØÐ Ø [((8n ± k) 2 1)/8] 2 = [(k 2 1)/8] 2, k = 1, 3. º½º Ê ÔÖÓÓ Ð Ù º Ä Ù º½¼º ÃÙÒ p q ÓÚ Ø Ô Ö ØØÓÑ Ð ÙÐÙ Ù Ò Ò ( ) ( ) p q = ( 1) p 1 2 q 1 2. q p ÌÓ ØÙ º Ù Ò Ð ÑÑ Ò Ä Ù º µ ÒÓ ÐÐ ( ) q = ( 1) s, p ÙÒ ÓÒÓÒ q, 2q,..., p 1 2 q Ø ÖÚÓÐØ Ò Ô Ò ÑÑ Ø ÒÒ Ø ÑÓ pµ Ò Ø Ú ÓÒ s Ô¹ Ô Ð ØØ º ÂÓØØ ÐÙÚÙÒ hq 1 h (p 1)/2 Ø ÖÚÓÐØ Ò Ô Ò Ò Ò¹ Ò ÑÓ pµ ÓÐ Ò Ø Ú Ò Ò ØÝØÝÝ ÔÝ ØÐ Ò p < hq kp < 0 2

45 ØÓØ ÙØÙ ÓÐÐ Ò 1 k N ÓÐÐÓ Ò Ø Ò ØÝØÝÝ ÓÐÐ Î Ø Ú Ø ÙÒ ÓÒÓÒ (2k 1)p < 2hq (p 1)q = pq q, 1 k q 1 2. ( ) p = ( 1) t, q p, 2p,..., q 1 2 p Ø ÖÚÓÐØ Ò Ô Ò ÑÑ Ø ÒÒ Ø ÑÓ qµ Ò Ø Ú ÓÒ t Ô¹ Ô Ð ØØ º ÃÙØ Ò ÐÐ ÓÒ ÐÙÚÙÒ kp 1 p (q 1)/2 Ø ÖÚÓÐØ Ò Ô Ò Ò ÒÒ ÑÓ qµ Ò Ø Ú Ò Ò Ó Ú Ò Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÖÖÓ Ò 1 h (p 1)/2 Ø Ò ØØ q 2 < kp hq < 0, Ð 0 < hq kp < q 2. Ë Ø Ò ÓÒ s+t ÐÙ ÙÔ Ö (h, k) 1 h (p 1)/2 1 k (q 1)/2 ÓÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ ÔÝ ØÐ p 2 < hq kp < q 2. Ë Ø Ò ÓÒ (p 1)(q 1) (s + t) 4 ÐÐ Ø ÐÙ ÙÔ Ö ÓÐÐ hq kp / ] p 2, q 2 [. ÂÓ ÒÝØ ÐÙ ÙÔ Ö (h, k) ØÓØ ÙØØ ÓØ 1 h (p 1)/2 1 k (q 1)/2 ÓÚ Ø ÒÑ ÓØ ÑÝ ØÓ ÐÙÚÙ ÐÐ h = p + 1 h k = q + 1 k, 2 2 Ð 1 h (p 1)/2 1 k (q 1)/2º Ä (hq kp) + (h q k p) = p q q p = p 2 + q 2, ÓØ Ò (h, k) ØÓØ ÙØØ ÔÝ ØÐ Ò hq kp < p 2 Ó Ú Ò Ó Ø Ú Ø Ú Ô Ö (h, k ) ØÓØ ÙØØ ÔÝ ØÐ Ò q 2 < h q k p.

46 ÂÓ ÔÝ ØÐ hq kp < p ØÓØ ÙØÙÙ r ÑÖÐÐ Ô Ö (h, k) Ò Ò 2 Ò 2r Ô Ö ÐÐ (h, k) ÓÒ hq kp / ] p, q [º Ë Ø Ò 2 2 Ó Ø Ò ( ) ( ) p q q p Ñ Ö º½½º µ ( ) 97 = 101 µ ( ) 71 = 83 s + t = (p 1)(q 1) 4 2r, = ( 1) t ( 1) s = ( 1) p 1 2 q 1 2 2r = ( 1) p 1 2 q 1 2. ( ) ( ) ( ) = = = ( ) ( ) = ( ) ( ) = = ( 3 = 71 ( ) 71 = 3 ) ( ) 4 71 ( ) 1 = 1. 3 º¾º Â Ó Ò ÝÐ Ø ØØÝ ÝÑ ÓÐ º Ð Ø ØÒ Ä Ò Ö Ò ÝÑ ÓÐ Ò ÑÖ Ø ÐÑ ÙÖ Ú Ø º ÅÖ Ø ÐÑ º½¾º ÇÐ ÓÓÒ a, b Z Ø Ò ØØ 2 b syt(a, b) = 1º ÌÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ ÐÙ Ù Ò a b Â Ó Ò ÝÑ ÓÐ ØØ Ñ ÐÐ ( ( ) k1 ( ) k2 ( ) kr a a a a =, b) Ñ b = p k 1 1 p k 2 2 p kr r p 1 p 2 ÓÒ ÐÙÚÙÒ b ØÝ Ð ÙÐÙ ÙÔÓØ Ò Ò ØÙÐÓÒ º Ä Ù º½ º ÇÐ ÓÓØ a, b, c Z Ø Ò ØØ syt(a, c) = syt(b, c) = 1º ÂÓ c > 1 ÓÒ Ô Ö ØÓÒ ÓÒ ( ) ab ( a ) ( ) b =. c c c ÂÓ Ø a, b > 1 ÓÚ Ø Ô Ö ØØÓÑ ÓÒ ( c ( c )( c =. ab) a b) ÌÓ ØÙ º Ë ÙÖ Ä Ù Ø º Ð ÙØ Ò ÓÒ Ý ØØ Ýݹ غ Ä Ù º½ º à ÐÐ Ô Ö ØØÓÑ ÐÐ 1 < a N ÓÒ ( ) 1 = ( 1) a 1 2 a p r