X = 0I A0 +1I A1 +2I A2 +3I A3 = 1I A1 +2I A2 +3I A3. {X(ω) = r}º

Transkriptio

1 ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º½ ÒÓÑ ÙÑ ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò ÙÑ Ò Ð ÖÚÓÒ ¼ Ø ÒÚ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ À Ö Ó ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ º½ ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ ÌÙÐÓ ÒØ Ó ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ý Ò Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º¾ Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º½º ÂÓÙ Ó¹ÓÔÔ ØÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÐÐ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º¾º½ ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó º º º º º º º º º º º º º¾º¾ Ø ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó º º º º º º º º º º Ð Ò Ò ØÙÐÓ Ú Ý Ò Ð Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Ð Ò Ò ØÙÐÓ Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ý Ò Ð Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º È Ö ÓØ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º Í Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ÙÒ ÓÒ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º Ø ÒÚ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º À Ö Ó ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙØ º½ Ç ÓØÙ ÖÚÓ Ú Ö Ò ÓÚ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ Ç ÓØÙ ÖÚÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º¾ ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º Î Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º ÃÓÚ Ö Ò ÓÖÖ Ð Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÒØØ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ º º º º º º º º º º º º º ¾ º º½ à ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Í Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º ËÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ò ÖÓ Ú Ø ÙÒ Ø ÓØ ÑÓÑ ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ ÅÓÑ ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÅÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ò ÖÓ Ú ÙÒ Ø Ó Ø µ º º º º º º º º ½¼½ º ÃÓ Ò Ý ØÑ Ò Ò ØÙÐÓÑ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º ½¼¾ Ø ÒÚ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ À Ö Ó ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼

2 ÄÙ Ù Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙØ Ì ÐÙÚÙ Ø ÐÐÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÑ Ò ÙÙ º Ö ØÝ Ø ¹ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ Ò Ò Ø º Ì Ö Ø ÐÙ Ò Ô ÒÓÔ Ø ÓÒ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ú Ø Ú ØÙÐÓ ØÓ ¹ Ø Ø Ø ÙÚ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ô Ù º ÌÙÐÓ Ø Ò ØÓ Ø Ñ Ò Ò ÓÚ ÐØ Ñ Ò Ò ÓÒ ÝÐ Ò ÙÓÑ ØØ Ú Ø Ý Ò ÖØ ÑÔ Ö ØØ Ò ¹ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ý Ø Ý º º½ º½º½ Ç ÓØÙ ÖÚÓ Ú Ö Ò ÓÚ Ö Ò Ç ÓØÙ ÖÚÓ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ó Ò ÖÚÓ ÓÙ Ó ÓÒ Ö ÐÐ Ò Òº Ñ Ö º½ À Ø ØÒ Ð ÒØØ 3 ÖØ º ÇÐ ÓÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÓÒ ³ Ð ÚÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ³º Å Ö ØÒ R = ³ ÖÙÙÒ ³ L = ³ Ð Ú ³º Ë ÐÐÓ Ò ÓØÓ ¹ Ú ÖÙÙ Ω = {RRR,RRL,RLR,RLL,LRR,LRL,LLR,LLL} X Ò ÖÚÓ¹ ÓÙ Ó ÓÒ S X = {0,1,2,3}º ÆÝØ Ñ Ö X(RRL) = X(RLR) = 1º Çй ÓÓÒ A r Ø Ô ØÙÑ Ð ÚÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ r º Å Ö ÒØ (X = 2) Ø Ö Ó ØØ Ø Ô ØÙÑ A 2 = {LLR,LRL, RLL} P(X = 2) = P(A 2 ) = 3/8º Ì ¹ Ô ØÙÑ Ò Ò ØØÓÖ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º µ ÑÖ Ø ÐØ Ò 2. ÐÙÚÙ º Ñ Ö Ø Ô ØÙÑ Ò A 2 Ò ØØÓÖ I A2 (ω) = 1 Ó ω A 2 Ð ÐÐÓ Ò ÙÒ Ð ÚÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ 2º Î Ø Ú Ø ÑÖ Ø ÐÐÒ Ó Ò Ò I Ar, r = 0,1,2,3º Ë ¹ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ð ÚÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÐÑ ØÓ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Ò ØØÓÖ Ò ÚÙÐÐ ÙÖ Ú Ø X = 0I A0 +1I A1 +2I A2 +3I A3 = 1I A1 +2I A2 +3I A3. ÆÝØ A r = {X(ω) = r} P(A r ) = P(X = r), r = 0,1,2,3º Ø Ý ÓØÓ Ú ¹ ÖÙÙØ Ò ÔÝÝ Ò ÝÚ Ø ÙÒ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ Ý Ò ÖØ Ø {ω X(ω) = r} = {X(ω) = r}º ÇÐ ÓÓÒ X : Ω S X Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ ÖÚÓ ÓÙ Ó S X = {x 1,...,x n }º Å Ö ØÒ A i = (X = x i ) Ø Ô ØÙÑ ØØ X ÖÚÓÒ

3 ¼ ÄÙ Ù º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙØ x i, i = 1,...,nº Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÚÓ Ò Ð Ù Ù Ò ØØÓÖ Ò I Ai ÚÙÐÐ ÑÙÓ Ó º½º½µ X = x 1 I A1 + +x n I An. ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ø Ö Ø Ð Ú Ø Ù Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ E(X) = (Ô ÒÓ x) P(A). Ì ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X = x ÙÒ A ØØÙÙ ÑÙÙØÓ Ò X = 0º È ÒÓ Ò x ÚÓ ØØ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ P(A)º Ç ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ Ô ÒÓ ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ º ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ Ò ØØÓÖ Ò I A Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ ÓÒ A Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ º E(I A ) = 1 P(A)+01 [1 P(A)] = P(A) ÅÖ Ø ÐÑ º½ Ç ÓØÙ ÖÚÓµ ÇÐ ÓÓÒX Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ¹ ÖÚÓ ÓÙ Ó ÓÒ S X = {x 1,...,x n } p i = P(X = x i ), i = 1,...,nº Ë ÐÐÓ Ò X Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ n E(X) = x i p i. Â Ø Ó Ø ÑÑ ÙØ Ù ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÑÝ ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓ º ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ò Ø¹ ØÓÖ ØÝ Ò º½º½µ ÒÓ ÐÐ Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó º½º¾µ E(X) = n x i E(I Ai ) = n x i P(X = x i ). ÂÓ ÓØÓ Ú ÖÙÙ ΩÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ò ÒX Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ º½º µ E(X) = = ω ΩX(ω)P({ω}) n = x i p i. n X(ω)P({ω}) ω {X=x i } Ç ÓØÙ ÖÚÓÒ º½º¾µ ØÝ Ø Ô ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ¹ ÐÐ Ô ÒÓØ ØØÙÒ ÖÚÓÒ ÓÒ ÝØØ ÐÔÓ Ò Òº ÂÓ X Ò ÖÚÓ ÓÙ ÓS X {x 1,x 2,...} ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ø Ö Ø Ò Ò Ò Ò Ò º½º µ ÚÓ ÓÐÐ Ö Ø Ò Ø Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÐ ÓÐ Ñ Ö ÙÔÔ Ò µº Ã Ú Ø º½º µ Ò ÑÝ Ñ Ò Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÙÒ Ø ÓÒ h(x) Ó ÓØÙ ÖÚÓº ÃÓ h(x) ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ò E[h(X)] = n h(x i )p i.

4 º½º Ç ÓØÙ ÖÚÓ Ú Ö Ò ÓÚ Ö Ò ½ Æ Ò X Ò ÙÑ ÑÖ ØØh(X) Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒº ÂÓ Ö ØÝ Ø h(x) = X r r ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÑÑ X Ò rº ÑÓÑ ÒØ Ò º½º µ E(X r ) = i p i x r i. ÂÓ X ÓÒ Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f Ò Ò X Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ E(X) = xf(x)dx, Ñ Ð ÒØ Ö Ð ÓÒ ÓÐ Ñ º ÂØÑÑ Ù Ò Ñ Ö ÒÒ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ú ØØ Ú Ò Ð Ò Ò X ÔÓ Ñ Ö Ø ÑÑ ÐÝ Ý Ø f X (x) = f(x) µ = E(X)º ÂÓ ÙÑÑ Ò x S xf X(x) Ý Ø ÒÐ ØØ Ú Ò ÑÖ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ ¹ Ò ÓÐ Ñ º Å Ð Ý Ø ÒÐ ØØ Ú Ò ÑÖ ÓÒ Ö Ø Ò ØÙÐ ÙÑÑ Ò Ù¹ Ô Ø Ø Ø º Ä Ù º½ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ω ÑÖ Ø ÐÐÝ ÐÐ Ö Ø ÐÐ ¹ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ X Y ÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ X Ò ÖÚÓ ÓÙ Ó ÓÒS X = {x 1,...,x n } Y Ò ÖÚÓ ÓÙ Ó S Y = {y 1,...,y m } P(X = x i ) = p i,p(y = y j ) = q j P(X = x i, Y = y j ) = p ij a R Ú Óº Ë ÐÐÓ Ò ½º E(aX) = ae(x) E(X +Y) = E(X)+E(Y) ÓØ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÓÔ Ö ØØÓÖ º ÇÐ ÓÓØ h(x) h 1 (x) h 2 (x) ÐÐ ÙÒ Ø Ó Ø ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ h(x) h 1 (X) h 2 (X) ÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓº Ë ÐÐÓ Ò ÙÖ Ú Ø ØÙÐÓ Ø Ô ØÚØ Ô ¹ Ò ¾º E[h(X)] = n h(x i )p i = n h(x i )p i º ÂÓ h 1 (x) h 2 (x) ÐÐ x Ò Ò E[h 1 (X)] E[h 2 (X)]º ÌÓ ØÙ º ½º ÌÓ Ø Ø Ò Ò Ò E(aX) = ae(x)º ÅÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò E(aX) = = a n ax i P(aX = ax i ) = a n x i P(aX = ax i ) n x i P(X = x i ) = ae(x). Á ÒØ Ø ØØ P(aX = ax i ) = P(X = x i ) Ô Ø Ô Ò ÐÐ a 0 Ó {ω ax(ω) = ax i } = {ω X(ω) = x i }º ÂÓ a = 0 Ò Ò ax = 0 E(aX) = 0 = 0 E(X)º Ç ÓØÙ ÖÚÓ E(aX) ÓÒ ÓÐ Ñ Ó E(X) ÓÒ ÓÐ Ñ ÓÐ ØÙ µº

5 ¾ ÄÙ Ù º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙØ ÌÓ Ø Ø Ò E(X +Y) = E(X)+E(Y) E(X +Y) = (x i +y j )P(X = x i, Y = y j ) = i j i = (x i p ij +y j p ij ) i j = x i p ij + y j p ij i j i j = x i p ij + y j p ij i j j i (x i +y j )p ij j = i x i p i + j y j q j = E(X)+E(Y). ¾º Ë ÙÖ ÙÓÖ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÑÖ Ø ÐÑ Øº º ÂÓ h 1 (x) h 2 (x) ÐÐ x R Ò Ò ½º Ó Ò ÑÙ Òº ÆÝØ E[h 1 (X)] E[h 2 (X)] = E[h 1 (X) h 2 (X)] E[h 1 (X) h 2 (X)] = i [h 1 (x i ) h 2 (x i )]p i 0, Ó h 1 (x i ) h 2 (x i ) 0 p i 0 ÐÐ i = 1,...,nº Æ Ò Ú Ø ÓÒ ØÓ Ø ØØÙº ÇÐ ÓÓÒ I A Ø Ô ØÙÑ Ò A Ò ØØÓÖ ÙÒ Ø Óº Ë ÐÐÓ Ò E(I A ) = P(A) 1+[1 P(A)] 0 = P(A). ÀÙÓÑ ØØ 1 I A = I A c ÓÒ A Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ò ØØÓÖ ÙÒ Ø Ó I Ω = I A + I A c = 1 ÐÐ ω Ωº ÅÖ Ø ÐÐÒ Ú Ø Ú Ø Ø Ô ØÙÑ Ò ³ ÖÙÙÒÙ kº ØÓ ³ Ò ØØÓÖ ÙÒ Ø Ó X k { 1, ÙÒ ω = ÖÙÙÒÙ; X k (ω) = 0, ÙÒ ω = Ð Ú. ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÖÙÙÒÙÒ ØØÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ P(X k = 1) = p k = 1,2,...,nº ÆÝØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X = X 1 +X 2 + +X n ÓÒ ÖÙÙÒÙ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ø ØÒ Ð ÒØØ n ÖØ º Ë ÐÐÓ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ Ð Ò Ö ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ E(X) = E(X 1 )+E(X 2 )+ +E(X n ) = p+p+ +p = np. ÃÖÙÙÒÙ Ò ÐÙ ÙÑÖÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ n ØÓ ÓÒ ØØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÖØ ÖÙÙÒÙÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ º ÂÓ Ð ÒØØ ÓÒ Ö ØÓÒ Ò Ò E(X) = n 2 º

6 º½º Ç ÓØÙ ÖÚÓ Ú Ö Ò ÓÚ Ö Ò Ñ Ö º¾ ÇÐ ÓÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÖÚÓ ÐÙ S X = { 1,0,1} ÖÚÓ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø P(X = 1) = 0.2, P(X = 0) = 0.5 P(X = 1) = 0.3. Ä Ø Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ E(X 2 )º Å Ö ØÒ Y = X 2 º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Y ÓÒ X Ò ÙÒ Ø Óº Y Ò ÖÚÓ ÐÙ ÓÒ S Y = {0,1} Ó { 1, ÙÒ X(ω) = 1 Ø X(ω) = 1; Y(ω) = 0, ÙÒ X(ω) = 0. Y Ò ÖÚÓ Ò 1 0 ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÚ Ø Ë P(Y = 1) = P(X = 1)+P(X = 1) = 0.5, P(Y = 0) = P(X = 0) = 0.5. E(X 2 ) = E(Y) = = 0.5. ÇÐ ÑÑ Ò Ò ÑÖ ØØÒ Ø X 2 Ò ÙÑ Ò Ð Ò Ø Ø Ó ÓØÙ Ö¹ ÚÓÒ E(X 2 )º ÎÓ ÑÑ Ù Ø Ò Ò Ð E(X 2 ) Ò ÑÖ ØØÑØØ Ò Ò X 2 Ò ÙÑ º ËÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ Ä Ù ØØ º½ Ó Ø ¾µ Ò ÅÖ Ø ÐÐÒ ÒÝØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ E(X 2 ) = ( 1) = 1 ( ) = 0.5. h(x) = [X E(X)] 2 = (X 0.5) 2 = X 2 X Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ h(x) ÖÚÓØ h( 1) = 2.25 h(0) = 0.25 h(1) = 0.25º Ç ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ E ( [X E(X)] 2) = = = Ç ÓØÙ ÖÚÓ E ( [X E(X)] 2) ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ú Ö Ò º Ñ Ö º ÁÒ ØØÓÖ ÙÒ Ø Ó ÅÖ Ø ÐÑ ¾º µ ÓÒ ÝØØ ÐÔÓ Ò Ò ÑÝ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ø Ö Ø ÐÙ º ÂÓ A B ÓÚ Ø Ø Ô ØÙÑ Ò Ò ÐÐÓ Ò I A c = 1 I A I A B = I A I B. ÃÓ E(I A ) = P(A) E(I A c) = P(A c ) Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ Ð Ò Ö ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ Ä Ù º½ ½º Ó Ø µ E(I A c) = 1 E(I A ), Ó Ø ÑÑ ØÙØÙÒ ØÙÐÓ Ò P(A c ) = 1 P(A)º ÅÓÖ Ò Ò ÒØ Ò ÚÙÐÐ Ò ÑÝ ÒØ Ø ØØ I A B = I A +I B I A I B.

7 ÄÙ Ù º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙØ Ñ Ö º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÒÓÙ ØØ Ö ØØ Ø ÙÑ Tasd(1,N) ÙÒ P(X = i) = 1 i = 1,2,...,N º Ð ÐÙ Ù ¾º½ µº Ë ÐÐÓ Ò N Î Ø Ú Ø E(X 2 ) = E(X) = N x 1 N = 1 N x=1 = 1 N N x 2 1 N = 1 N x=1 = 1 N N(N +1) 2 N x=1 x 2 N(N +1)(2N +1) 6 N x x=1 = N = (N +1)(2N +1). 6 Ñ Ö º ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ Ø ÐØ Ò Ø Ö Ø ÐØ ÓØ Ò¹ Ø Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ Ð ÐÙ Ù ¾º º½µº Ñ Ö Ø Ö ØÙ ÓØ ÒÒ ØÙÓØØ Ø ÐÙÓ Ø ÐÐ Ò Ú ÐÐ Ø ÝÚ ÝØØÚ º ÇÐ ÓÓÒ ØÙÓØ ¹ Ö N ØÙÓØ ØØ Ó Ø Ú ÐÐ a ÝÚ ÝØØÚ N a ÔÔ Ð ØØ º Ì Ò n Ò Ð ÓÒ ¹ ØÙÒÒ ÓØÓ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ º Î ÐÐ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ X ÓØÓ ÒÓÙ ØØ Ý¹ Ô Ö ÓÑ ØÖ Ø ÙÑ Ô Ö Ñ ØÖ Ò n N p Ñ p = a ÓÒ Ú ÐÐ Ø Ò N Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ó ÙÙ ØÙÓØ ¹ Ö º Å Ö ØÒ X HGeo(n,N,p)º ÀÝÔ Ö Ó¹ Ñ ØÖ Ò ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ( a N a ) º½º µ P(X = x;n,n,p) = x)( n x ( N, x = 0,1,...,n, n) Ñ a = pnº ÀÙÓÑ ØØ x min(a,n) x max(0,a+n N) ÓØ Ò X Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÖÚÓ ÐÙ ØØ ÓÐÐ ÙÔÔ ÑÔ Ù Ò º½º µ ÒÒ ØØÙº Ì Ö Ø ÑÑ Ò Ò ØØ Ý ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÑ º Ë ÐÚ Ø Ò P(X = x) 0 ÙÒ x = 0,1,...,nº ÅÙØØ ÒØ Ø Ø Ò n x=0 P(X = x) = 1 ( N n) n ( )( ) a N a = 1 x n x x=0 Ó ÐÐ ÙÙ Ò Ø Ö Ø Ñ Ò Ò ÓÐ ØÝ Ò Ú Ú ØÓÒ Ø ØÚº ÎÓ ÑÑ Ù Ø Ò¹ Ò Ø ÒÓ ÙØÙ ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò ÒØ Ø ØØ Ò ¾º º½¼µ ÓÒ ÑÙ Ò n )( ) N a x=0 ( a x n x = ( N n Ä Ø Ò ÒÝØ ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ( n a N a ) ( E(X) = x x)( n a N a ) n x ( N = x x)( n x ( N. n) n) x=0 x=1 ).

8 º½º Ç ÓØÙ ÖÚÓ Ú Ö Ò ÓÚ Ö Ò Á ÒØ Ø Ø Ò ¾º º µ ÒÓ ÐÐ Ò ( ) ( ) a a 1 x = a x x 1 ÓØ Ò E(X) = ( ) N = N n n n a ( a 1 x=1 )( N a x 1 n x ( N N 1 n n 1 ( ) N 1, n 1 ) ) = na N ÃÙÒ Ñ Ö ØÒ y = n 1 ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ( n a 1 )( N a ) ( n 1 a 1 )( N a ) x 1 n x y n 1 y ) = ) x=1 ( N 1 n 1 y=0 ( N 1 n 1 ( n a 1 )( N a x 1 n x ( N 1 x=1 n 1 ) ). n 1 = P(Y = y;n 1,n 1,p 1 ) = 1, y=0 Ñ p 1 = a 1 º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Y ÒÓÙ ØØ ÙÑ HGeo(n N 1 1,N 1,p 1 )º Ë ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò ÙÑ Ò HGeo(n,N,p) Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ E(X) = n a N = np. ËÙÑÑ Ð ØØ Ò ÑÙÙÒØ Ñ ÐÐ Ð ÙÔ Ö Ò Ò ÙÑ ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ ¹ ÙÑ ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÓÚ Ø n 1 N 1 p 1 = a 1 º Î Ø Ú ÐÐ Ð ¹ N 1 ÐÑ ÐÐ ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Var(X) = na N (N a)(n n) N(N 1) = np(1 p) N n N 1. Ñ Ö º Ð ÐÙÚÙ º º Ø Ö Ø ÐØ Ò Ô Ö ÓØ ÒØ Ö ÐÐ Ø ÔÓÔÙÐ Ø Ó Ø º ÈÓÔÙÐ Ø Ó ÓÒ N Ò Ð Ó Ø Np 0 p 1µ Ò Ð ÒÒ ØØ ÔÙÓÐÙ ØØ B ÐÓÔÙØ N Np ÚØ ÒÒ Ø B Ø Ø º ÒÒ ØØ ¹ Ú Ø ÓØ Ò ÑÙÙØ ÔÙÓÐÙ ØØ ÚØ ÒÒ Ø Ñ ØÒ ÔÙÓÐÙ ØØ ÚØ ÓØ Ò¹ Ø ÝÑ ºµº À Ø ØØ Ð Ý ÝÝ n Ò ØÙÒÒ Ø Ú Ð ØÙÒ Ò Ð Ò Ñ Ð Ô Ø Ò ÓØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ µº ÅÖ Ø ÐÐÒ { 1, Ó iº Ø Ø ÐØ Ú ÒÒ ØØ B Ø; X i = 0 ÑÙÙØÓ Ò, Ñ 1 i n 1 n Nº ÅÖ Ø ÐÐÒ ÒÝØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X = X 1 +X 2 + +X n,

9 ÄÙ Ù º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙØ Ó ÓÒ B Ò ÒÒ ØØ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓØÓ º Ì ÑÑ ÑÔ Ò Ø Ö¹ Ø ÐÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ØØX ÒÓÙ ØØ ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ø ÙÑ HGeo(n, N,p)º ÂÓ ÑÑ Ñ Ö º ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒº ÆÝØ ØÑ Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ ÐÔÔÓ Ð ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÚÙÐÐ Ó E(X) = E(X 1 )+E(X 2 )+ +E(X n ) = p+p+ +p = np, Ó E(X i ) = 1 p+0 (1 p) = p, i = 1,2,...,n. ÂÓ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X/n Ú Ð Ø Òp Ò Ø Ñ ØØÓÖ ÚÓ ÑÑ ØÓ Ø ØØ E ( ) X = 1 n n E(X) = 1 np = p. n Ë ÒÓÑÑ ØØ X/n ÓÒ Ö ØÓÒ Ø Ñ ØØÓÖ º º½º¾ ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÃÓ f(x A) ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó º ÒØ Ø ØØ º¾º µµ Ò Ò Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ó ÓØÙ ÖÚÓº ÂÓ x x f(x A) < Ò Ò X Ò ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÐÐ A ÓÒ º½º µ E(X A) = x xf(x A). Ñ Ö º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ X Tasd(1,N) A = {ω a X(ω) b} 1 a < b N ÙØ Ò Ñ Ö º º ÆÝØ X Ò ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÐÐ A ÓÒ E(X A) = x xf(x A) = b 1 x b a+1 = a+b 2. x=a ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÚÐ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÙÖ Ú Ð Ù Ø ØØÝ Ö ØØ Ò ØÖ Ý Ø Ý º Ä Ù º¾ ÇÐ ÓÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ó ÓØÙ ÖÚÓ E(X) ÓÐ ÓÓÒ A й Ð Ò Ò Ø Ô ØÙÑ ØØ P(A)P(A c ) > 0º Ë ÐÐÓ Ò E(X) = P(A)E(X A)+P(A c )E(X A c ). ÌÓ ØÙ º Ë ÙÖ Ù Ð Ù Ò ¾º½ ÑÙ Ò P(X = x) = P({X = x} A)+P({X = x} A c )

10 º½º Ç ÓØÙ ÖÚÓ Ú Ö Ò ÓÚ Ö Ò ÓÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÒÓ ÐÐ P({X = x} A) = P(A)P(X = x A) P({X = x} A c ) = P(A c )P(X = x A c ). Ì Ø ÙÖ ØØ f(x) = P(X = x) = P(A)f(x A)+P(A c )f(x A c ). Ë E(X) = x xf(x) = P(A) x xf(x A)+P(A c ) x xf(x A c ) = P(A)E(x A)+P(A c )E(x A c ), Ò Ò Ù Ò Ú Ø ØØ Òº ÂÓ ÓÙ Ó Ó Ó ÐÑ {A i ;i 1} ÑÙÓ Ó Ø ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ó ØÙ Ò º Ð ÐÙ Ù ½º º¾µ Ò Ò ÚÓ Ò ØÓ Ø ÙÖ Ú ÝÐ Ò Ò ØÙÐÓ E(X) = i P(A i )E(X A i ). Ð ÐÙÚÙ ½º º¾ Ø Ö Ø ÐØ Ò Ú Ò Ö ÐÐ Ó ØÙ º ÇÒ ÝÝØ ÙÓÑ Ø ØØ ÓÙ Ó Ó Ó ÐÑ {A i ;i 1} ÚÓ ÓÐÐ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ø Ö Ø Òº ÃÓ {A i ;i 1} ÓÒ Ω Ò Ó ØÙ Ò Ò µ A i = Ω µ A i A j = ÙÒ i j µ P(A i ) > 0 i 1º º½º Î Ö Ò Î Ö Ò Ò Ð Ñ Ø ÖÚ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ h(x) = X 2 Ó ÓØÙ ÖÚÓ Î ÖØ Ä Ù Ò º½ Ó Ø ¾µº Ç ÓØÙ ÖÚÓ E(X 2 ) ÒÓØ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X 2º ÑÓÑ ÒØ º Î Ø Ú Ø Ó ÓØÙ ÖÚÓ E(X) ÓÒ X Ò 1º ÑÓÑ ÒØØ º ÒÒ Ò Ú Ö Ò Ò ÑÖ ØØ ÐÝ Ø ØÒ ÑÙÙØ Ñ Ø Ó ØÖ Ø ÔÙØÙÐÓ º ÔÙÐ Ù º½ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ X Y ÓÒ 2º ÑÓÑ ÒØØ c R ÓÒ Ú Óº Ë ÐÐÓ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓØ º½º µ E[(cX) 2 ], E[(X +Y) 2 ], E(X), E(Y) E(XY) ÓÚ Ø ÓÐ Ñ º

11 ÄÙ Ù º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙØ ÌÓ ØÙ º ½º ÃÓ E[(cX) 2 ] = c 2 E(X 2 ) E(X 2 ) ÓÒ ÓÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò ÓÐ Ñ Ò Ò E[(cX) 2 ] ÓÒ ÓÐ Ñ º ¾º ÃÓ 0 (X+Y) 2 = 2(X 2 +Y 2 ) (X Y) 2 2(X 2 +Y 2 ) ÓÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò E(X 2 +Y 2 ) = E(X 2 )+E(X 2 ) ÓÒ ÓÐ Ñ Ò Ò Ä Ù Ò º½ Ó Ø µ ÑÙ Ò E[(X +Y) 2 ] ÓÒ ÓÐ Ñ º º ÃÓ 0 ( X Y ) 2 = X 2 + Y 2 2 X Y Ò Ò Ò Ò Ä Ù Ò º½ Ó Ø µ ÑÙ Ò E( XY ) 1 2 E(X2 +Y 2 ), ÓØ Ò E(XY) ÓÒ ÓÐ Ñ º Ä Ù º Ù ÝÒ Ë Û ÖÞ Ò ÔÝ ØÐ µ ÂÓ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ X Y ÓÒ 2º ÑÓÑ ÒØØ Ò Ò º½º µ [E(XY)] 2 E(X 2 )E(Y 2 ). Ø ÙÙÖÙÙ ÓÒ ÚÓ Ñ Ó Ú Ò Ó P(aX + by = 0) = 1 Ó ÐÐ Ò a,b R Ó Ø Ò Ò ØÓ Ò Ò ÔÓ ÒÓÐÐ Ø º ÌÓ ØÙ º ½µ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ E(X 2 ) 0º ÃÓ ÓÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò E(X 2 ) E(Y 2 ) ÓÚ Ø ÓÐ Ñ Ò Ò ÔÙÐ Ù Ò º½ ÑÙ Ò ÑÝ E(XY) ÓÒ ÓÐ ¹ Ñ º Å Ö ØÒ ÒÝØ c = E(XY)/E(X 2 )º Ë ÐÐÓ Ò 0 E[(Y cx) 2 ] = E(Y 2 ) [E(XY)]2, E(X 2 ) Ñ Ø Ú Ø ÙÖ º Ø ÙÙÖÙÙ ÓÒ ÚÓ Ñ ÐÐÓ Ò Ú Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ P(Y cx = 0) = 1. ¾µ ÂÓ E(X 2 ) = 0 Ò Ò P(X = 0) = 1º Ë ÐÐÓ Ò P(XY = 0) = 0 E(XY) = 0 ÓØ Ò ÔÝ ØÐ º½º µ Ô Ø ØÖ Ú Ð Ø Ô Ò º Ø ÙÙÖÙÙ º½º µ Ú ÐÐ Ø ÐÐÓ Ò ÙÒ ax = by ØÓ ÒÒ Ýݹ ÐÐ 1µº Ë ÐÐÓ Ò Y = a X Ó b 0º ÔÝ ØÐ º½º µ ÔØ Ý Ø¹ b ÙÙÖÙÙ ÙÒ X Y ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ º ÔÝ ØÐ º½º µ ÚÓ Ò Ð Ù Ù ÑÝ ÑÙÓ Ó E(XY) E( XY ) E(X 2 ) E(Y 2 ). ÅÖ Ø ÐÑ º¾ Î Ö Ò µ ÂÓ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ X ÓÒ 2º ÑÓÑ ÒØØ E(X 2 ) Ò Ò ÐÐ ÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ µ X X Ò Ú Ö Ò ÓÒ º½º µ σ 2 X = Var(X) = E[(X µ X ) 2 ].

12 º½º Ç ÓØÙ ÖÚÓ Ú Ö Ò ÓÚ Ö Ò Å Ö ÒØ Ò µ X σx 2 Ø ÝØÑÑ Ø Ú ÐÐ Ø ÐÝ Ý ÑÔ Ú Ö Ó Ø µ σ 2 Ó ÒÒÙ Ò Ú Ö ÓÐ º Ç ÓØÙ ÖÚÓÒ Ð Ò Ö ÙÙØØ ÓÚ ÐØ Ò ÚÓ Ò ØÓ Ø ØØ ÓØ Ò E[(X µ) 2 ] = E(X 2 2µX +µ 2 ) = E(X 2 ) 2µE(X)+µ 2 = E(X 2 ) 2µ 2 +µ 2, º½º½¼µ σ 2 = Var(X) = E(X 2 ) µ 2 = E(X 2 ) [E(X)] 2. ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÒX ÓÒØ σ X = Var(X)º Ç ÓØÙ ÖÚÓÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÒØ Ø Ø Ø º½º½¼µ ÑÑ Ö ØØ Ò ÝØØ ÐÔÓ Ò ØÙÐÓ Ò º½º½½µ Var(cX) = c 2 Var(X), E(X 2 ) = µ 2 +Var(X). Ñ Ö º Ä Ø Ò Ö ØØ Ø ÙÑ Tasd(1,N) ÒÓÙ ØØ ¹ Ú Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ú Ö Ò º Ñ Ö Ò º ÑÙ Ò E(X) = N +1 2 ËÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ Ú º½º½¼µ Ò E(X 2 ) = (N +1)(2N +1). 6 Var(X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 ( ) 2 (N +1)(2N +1) N +1 = = N º½º ÃÓÚ Ö Ò ÓÖÖ Ð Ø Ó ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ X Y ÓÒ 2º ÑÓÑ ÒØØ º Ë ÐÐÓ Ò Ó Ó¹ ØÙ ÖÚÓØ E(XY) E[(X µ X )(Y µ Y )] ÓÚ Ø ÓÐ Ñ ÔÙÐ Ù Ò º½ ÒÓ ÐÐ º ÅÖ Ø ÐÑ º ÃÓÚ Ö Ò µ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Y ÓÚ Ö Ò σ XY ÑÖ Ø ÐÐÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ º½º½¾µ σ XY = Cov(X,Y) = E[(X µ X )(Y µ Y )] = E(XY) µ X µ Y. ÃÓÚ Ö Ò Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ØØ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÖÖÓ Òº ÅÖ Ø ÐÑ º ÃÓÖÖ Ð Ø Ó ÖÖÓ Òµ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Y ÓÖ¹ Ö Ð Ø Ó ÖÖÓ Ò º½º½ µ ρ XY = Cor(X,Y) = σ XY σ X σ Y.

13 ¼ ÄÙ Ù º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙØ Ë ÒÓÑÑ ØØ X Y ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ø Ò Ø Ú Ø µ ÓÖÖ ÐÓØÙÒ Ø Ó ρ XY > 0 < 0µº X Y ÚØ ÓÖÖ ÐÓ ÓÖÖ ÐÓ Ñ ØØÓÑ µ Ó ρ XY = 0º ÔÙÐ Ù º¾ ËÙÑÑ Ò Ú Ö Ò µ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ X Y ÓÒ Ú Ö Ò º Ë ÐÐÓ Ò ½º Var(X +Y) = Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)º ¾º ÂÓ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ X 1 X 2 º º º X n ÓÒ Ú Ö Ò Ò Ò ( n ) n n º½º½ µ Var X i = Cov(X i,x j ) = j=1 n Var(X i )+ ÌÓ ØÙ º ÌÓ Ø Ø Ò ½º Ó Ø º ÅÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò n n Cov(X i,x j ). j i Var(X +Y) = E[X +Y (µ X +µ Y )] 2 [X +Y (µ X +µ Y )] 2 = [(X µ X )+(Y µ Y )] 2 = (X µ X ) 2 +(Y µ Y ) 2 +2(X µ X )(Y µ Y ), Ñ µ X = E(X) µ Y = E(Y)º Ç ÓØÙ ÖÚÓÒ Ð Ò Ö ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ E[X +Y (µ X +µ Y )] 2 = E(X µ X ) 2 +E(Y µ Y ) 2 +2E[(X µ X )(Y µ Y )] = Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y). Ã Ú º½º½ µ ÚÓ Ò ØÓ Ø Ò Ù Ø ÓÐÐ º º¾ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ä Ù Ò º½ Ó ¾ Ø ØÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÒX ÙÒ Ø ÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ X Ò ÙÑ Ò ÚÙÐÐ º ÂÓ Y ÓÒ X Ò ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò Y Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ¹ ÙÑ Ó Ø X Ò ÙÑ Ø º ÇÐ ÓÓÒ Y = h(x) ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÙÒ Ø Ó S Y ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Y ÖÚÓ ÐÙ º ÂÓ A S Y Ò Ò P(Y A) = P(h(X) A). Ñ Ö º ÇÐ ÓÓÒ X Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ ÖÚÓ ÐÙ ÓÒ S = { 1,0,1,2} ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø x: f X (x):

14 º º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÒØØ ÝÝ ½ ÂÓ Y = X 2 Ò Ò Y Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ y: f Y (y): ÆÝØ Ñ Ö P(Y = 1) = P(X = 1) + P(X = 1) = = 0.6ºY Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ ØØÑ Ò ÒX Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ ÓÒ ÙÓÖ Ú Ú Ò Ò Ú Ò Ó Ù ØÝ Ð ÔÖÓ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ú Ð ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ V = g(x) = (X µ X ) 2 = (X 0.4) 2 Ñ µ X = 0.4º V Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ v: f Y (v): E(V) = E[(X 0.4) 2 ] = Var(X)º ÇÐ ÓÓØS X S Y ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÒX Y ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ø ÖÚÓ Ð٠صº Ë ÐÐÓ Ò ÙÒ Ø Ó h(x) ÑÖ ØØ Ð ÙÚ Ù Ò h: S X S Y. ÅÖ Ø ÐÐÒ ÓÙ ÓÒ A Ð Ù ÙÚ ÙÚ Ù h ÙÖ Ú Ø º¾º½µ h 1 (A) = {x S X h(x) A}. ÂÓÙ Ó A ÚÓ ÓÐÐ ÑÝ Ý Ò Ô Ø Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÓÙ Ó Ð A = {y}º Ë ÐÐÓ Ò h 1 ({y}) = {x S X h(x) = y}. Ì Ø Ô Ù Ñ Ö Ø ÑÑ h 1 (y) Ñ Ö ÒÒÒ h 1 ({y}) Ø º ÀÙÓ¹ Ñ ØØ h 1 (y) ÓÒ ÐÐ Ò ÑÓÒ Ò Ô Ø Ò ÓÙ Ó Ó ÓÒ Ù Ø ÐÐ X Ò ÖÚÓ x ØØ h(x) = yº ÂÓ ÓÒ Ú Ò Ý ÐÐ Ò Ò x ØØ h(x) = y Ò Ò h 1 (y) ÓÒ Ý Ò Ô Ø Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÓÙ Ó {x} Ö Ó Ø ÑÑ ÐÐÓ Ò h 1 (y) = xº º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÒØØ ÝÝ ÅÖ Ø ÐÑ º ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X Y ÓÚ Ø ÒØØ Ø ÙØÙÒ Ø Ð ÒÓÙ ØØ Ú Ø Ñ ÙÑ Ó Ó ÐÐ Ø Ô ØÙÑ ÐÐ A Ω ÔØ P(X A) = P(Y A)º ÃÙÒX Y ÒÓÙ ØØ Ú Ø Ñ ÙÑ Ñ Ö ØÒX Y º ÂÓ X Y Ò Ò Ø ÙÖ ØØ X Y ÓÚ Ø Ñ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º Ë ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ø X Y ÓÚ Ø ÒØØ Ø X Y µ Ð Ñ Ø Ó Ò ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ñ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ω X(ω) = Y(ω) ÐÐ ω Ωº

15 ¾ ÄÙ Ù º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙØ Ñ Ö º½¼ Ñ Ö ¾º½¼ Ø ØØ Ò Ö ØÓÒØ Ð ÒØØ 3 ÖØ ÑÖ Ø ÐØ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X = ³ ÖÙÙÒÙ Ò ÐÙ ÙÑÖ³º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÑÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Y = ³ Ð ÚÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ³º Å Ö ØÒR = ³ ÖÙÙÒÙ³ L = ³ Ð Ú ³º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ X Y ÓÒ Ñ ÙÑ ÑÙØØ X Y ÐÐ Ñ Ö X(RRL) = 2 Y(RRL) = 1º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙع ØÙ Ò X Y ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÙÖ ØØ X +Y 3º X +Y ÓÒ Ú Ó ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ ÐÐ ½ P(X +Y = 3) = 1º Ð º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑ ÚÓ Ò ÐÙÓÒÒ Ø ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙй Ä Ù º Ë ÙÖ Ú Ø Ú Ø ØØ ÓÚ Ø Ý ØÔ ØÚØ ½º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X Y ÒÓÙ ØØ Ú Ø Ñ ÙÑ º ¾º F X (x) = F Y (x) ÐÐ x R Ñ F X ÓÒ X Ò F Y ÓÒ Y Ò ÖØݹ Ñ ÙÒ Ø Óº ÃÙÒ X Y ÓÚ Ø Ö ØØ Ò Ò X Y Ó f X (x) = f Y (x) ÐÐ x Rº Ñ Ö º½½ À Ø ØÒ Ö ØÓÒØ Ð ÒØØ ÖØ º ÇÐ ÓÓÒ ÖÙÙÒÙÒ ØÓ¹ ÒÒ ÝÝ pº X Y ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÑÓ Ò Ù Ò Ñ Ö º½¼º Å ÓÒ Ø Ô ØÙÑ Ò {X = Y} ØÓ ÒÒ ÝÝ Ì Ô ØÙÑ {X = Y} ÓÒ {ω X(ω) = Y(ω)} = {RRLL,LRRL,LLRR,LRLR,RLLR,RLRL}. ÂÓ Ò Ý ØØ Ò ( Ð Ø Ô ØÙÑ Ò ÓÒÓÒµ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ p 2 (1 p) 2 4 ÓÒÓ ÓÒ 2) = 6 ÔÔ Ð ØØ ÓØ Ò ( ) 4 P(X = Y) = p 2 (1 p) 2. 2 Å ÐÐÓ Ò X Y ÃÓ ( ) 4 f X (x) = p x (1 p) 4 x, x = 0,1,2,3,4 x f Y (y) = ( ) 4 (1 p) y p 4 y, y = 0,1,2,3,4, y Ò Ò f X (x) = f Y (x) ÐÐ x = 0,1,2,3,4 Ó Ú Ò Ó p = 1 2 º Ë X Y ÙÒ p = 1 2 º º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ ÅÖ ØØ Ð ÑÑ Ø Ô ØÙÑ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ò Ð ÐÙÚÙ º½º¾º Ì Ö Ø ¹ Ð ÑÑ ÒÝØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙØØ º

16 º º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ º º½ à ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÅÖ Ø ÐÑ º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ µ Ë ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ø X Y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó º º½µ P(X A,Y B) = P(X A)P(Y B) ÐÐ ÓÙ Ó ÐÐ A R B Rº Å Ö ÒØ P(X A, Y B) ÓÒ ÐÝ ÒÒÝ Ñ Ö ÒÒ Ø P({X A} {Y B})º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X Y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó Ø Ô ØÙÑ Ø {X A} {X B} ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÐÐ A R B Rº ÂÓ X Y ÓÚ Ø Ö ØØ Ò Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÒÓ¹ ÐÐ º º¾µ P(X = x,y = y) = P(X = x)p(y = y) = f X (x)f Y (y) ÐÐ x,y R Ñ f X (x) ÓÒ X Ò f Y (y) ÓÒ Y Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ ¹ Ø Óº Ö ØØ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Y Ý Ø ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÑÖ Ø ÐÐÒ º º µ P(X = x,y = y) = f X,Y (x,y) ÐÐ x,y Rº ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ f X,Y (x,y) > 0 Ø ÑÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ (x,y) S X S Y ÑÙÙØÓ Ò f X,Y (x,y) = 0º Ö Ø Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X Y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÐÐÓ Ò Ú Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ º º µ f X,Y (x,y) = f X (x)f Y (y) ÐÐ x,y Rº Ä Ù º ÂÓ X Y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò U = g(x) V = h(y) ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ñ g(x) ÓÒ Ô Ð ØÒ x Ò Ø º X Ò ÖÚÓ Òµ ÙÒ Ø Ó h(y) Ô Ð ØÒ y Ò ÙÒ Ø Óº ÌÓ ØÙ º ÅÖ Ø ÐÐÒ A u = {x g(x) = u} A v = {y h(y) = v}º Ë ÐÐÓ Ò ÐÐ u v P(U = u,v = v) = P[g(X) = u,h(y) = v] = P(X A u,y A v ) = P(X A u )P(Y A v ) X Y Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øµ = P(U = u)p(v = v), ÓØ Ò U V ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº

17 ÄÙ Ù º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙØ ÅÖ Ø ÐÑ º Ô Ø Ø ÑÐÐ Ò Ô Ò Ú Ò Ö Ø ÐÐ ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ ÐÐ º ÃÓ ÝÐ Ø Ô Ù Ω Ò Ó ÓÙ ÓØ ÚØ ÓÐ Ø ¹ Ô ØÙÑ Ò Ò ÐÐÓ Ò ÓÒ Ö Ó ØÙØØ Ú ÓÔ Ú Ø ÑÖ Ø ÐØÝÝÒ Ω Ò Ó ÓÙ Ó¹ Ó Ó ÐÑ Òº ØÐ º º½µ Ô Ø ÑÝ Ô Ò Ó ØÓ Ò Ò Ó Ò ÔÙÓÐ Ò Ø Ø ÓÒ ÒÓÐÐ º ÀÙÓÑ ØØP(X A) = 0 Ø Ö Ó ØØ ØØ{ω X(ω) A} = º Ë ÐÐÓ Ò {X A, Y B} = {ω X(ω) A} {ω Y(ω) B} =, ÓØ Ò P(X A, Y B) = 0º Á ÒØ Ø ØØ º º µ ÚÓ Ò ÑÝ Ô Ø Ö ØØ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ¹ Ò X Y Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÐÐ Ø ÙÖ ÒØ Ø Ø¹ Ø º º½µº ÂÓ Ú Ð Ø Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ø ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ ÓÙ Ó A R B R ÓÐ Ø Ø Ò º º µ Ò P(X A,Y B) = P(X = x i,y = y j ) x i A y j B = P(X = x i )P(Y = y j ) [ º º µ] x i A y j B = x i A P(X = x i ) y j BP(Y = y j ) = P(X A)P(Y B). Æ Ò ÓÐ ÑÑ ØÓ ÒÒ Ø ØØ ÓØ º º½µ º º µ ÓÚ Ø Ý ØÔ ØÚغ ÌÑÒ ÐÙÚÙÒ ÐÙ ÑÖ Ø ÐØÝ Ø Ô ØÙÑ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ ÓÒ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ò Ö Ó Ø Ô Ù º ÇÐ ÓÓÒ I A Ø Ô ØÙÑ Ò A I B Ø Ô ØÙÑ Ò B Ò ØØÓÖ ÙÒ Ø Óº ÀÙÓÑ ØØ I A I B ÓÚ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º ÃÓ Ò ØØÓÖ ÙÒ Ø Ó Ú Ò ÖÚÓØ 1 Ø 0 Ò Ò Ñ Ö {I A = 1} = A {I A = 0} = A c. ÂÓ I A I B ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò º º µ P(I A = x,i B = y) = P(I A = x)p(i B = y) ÐÐ x,y Rº ÆÝØ {I A = x} ÓÒ Ó Ó A A c Ø {I B = y} ÓÒ Ó Ó B B c Ø º Ì Ø ÙÖ ÑѺ Ø Ô ØÙÑ Ò A B Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑ P(A B) = P(A)P(B). Ä Ò ÒØ Ø Ø Ø P(A B c ) = P(A)P(B c ), P(A c B) = P(A c )P(B), P(A c B c ) = P(A c )P(B c ). Ä Ù Ò º½ ÒÓ ÐÐ Ó Ò Ò Ò Ø ÒØ Ø Ø Ø ÐÔ A Ò B Ò Ö ÔÔÙ¹ Ñ ØØÓÑÙÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑ º

18 º º ËÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù Ò Ð º º¾ Í Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X 1 º º º X n ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó º º µ P(X 1 A 1,X 2 A 2,...,X n A n ) = P(X 1 A 1 )P(X 2 A 2 ) P(X n A n ) ÐÐ ÓÔ Ú Ø Ú Ð ØÙ ÐÐ µ ÓÙ Ó ÐÐ A i R 1 i nº ÂÓ X 1 º º º X n ÓÚ Ø Ö ØØ Ò Ò º º µ Ô Ø Ô Ò ÐÐ ÓÙ Ó ÐÐ A i R 1 i nº Ð Ø Ô Ù ÓÒ A i Ø 1 i nµ Ú Ð ØØ Ú Ò Ò ØØ ÓÙ ÓØ {X i A i } = {ω X i (ω) A i } ÓÚ Ø Ø Ô ØÙÑ º ÀÙÓÑ ØØ Ö Ô¹ ÔÙÑ ØØÓÑ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X 1 º º º X n Ó Ò Ò Ó ÓÒÓ X i1,...,x ik ÓÒ Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ 1 k n {i 1,...,i k } {1,...,n} º ÂÓ Ñ Ö X 1 X 2 X 3 ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò ÑÝ X 1 X 2 ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ÌÑ Ò Ò ÙÒ Ú Ð Ø Ò A 3 = Rº Ë ÐÐÓ Ò {X 3 R} = Ω {X 1 A 1,X 2 A 2,X 3 R} = {X 1 A 1 } {X 2 A 2 } Ω ÓØ Ò ÒØ Ø Ø Ò º º µ ÑÙ Ò = {X 1 A 1,X 2 A 2 }, P(X 1 A 1,X 2 A 2 ) = P(X 1 A 1 )P(X 2 A 2 )P(Ω) = P(X 1 A 1 )P(X 2 A 2 ). º ËÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù Ò Ð Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÑÓ Ò ÙØÙÒ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø Ö µº Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÒÓ X 1,X 2,... Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ö ¹ Ø Òµ ÓÒ ÑÓ Ò ÙØÙÒÙØ Ó Ó ÐÐ ÓÒÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ ÓÒ ¹ Ñ ÙÑ º Ë ÒÓÑÑ ÐÝ Ý Ø ØØ ÓÒÓ X 1,X 2,... ÓÒ Ö º Ë ÐÐÓ Ò ÓÒÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ ÓÒ Ñ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó F ÓØ Ò P(X k x) = F(x) ÐÐ x R. ÂÓ Ý Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X k Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ µ Ú Ö Ò σ 2 ÐÐÓ Ò Ò Ò Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ µ Ú Ö Ò σ 2 º Ä Ù º Å Ö ÓÚ Ò ÔÝ ØÐ µ ÇÐ ÓÓÒ X 0 ÔÒ Ø Ú Ò Ò ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ º Ë ÐÐÓ Ò P(X a) E(X), ÙÒ a > 0. a ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ I A ÓÙ ÓÒ A = {ω X(ω) a} Ò ØØÓÖ ÙÒ Ø Ó º ¾º µ º ÃÓ Ò ØØÓÖ ÙÒ Ø Ó ØØ X ÓÚ Ø ÔÒ Ø Ú Ø I A + I A c = 1 Ò Ò X = I A X +I A cx I A X ai A.

19 ÄÙ Ù º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙØ Î Ñ Ò Ò ÔÝ ØÐ ÙÖ Ø ØØ X(ω) a I A (ω) = 1 ÙÒ ω Aº ÂÓ Ø ω / A Ò Ò I A (ω) = 0 ÓØ Ò I A (ω)x(ω) = I A (ω)a = 0º à ÖÚÓÒ ÑÓÒÓØÓÓÒ ÙÙ Ò Ä Ù º½ º Ó Ø µ Ð Ò Ö ÙÙ Ò ½º Ó Ø µ ÒÓ ÐÐ Ò E(X) E(aI A ) = ae(i A ) = ap(x A) = ap(x a), Ó Ø Ô ØÙÑ Ø {X A} {X a} ÓÚ Ø ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò Ú Ú ¹ Ð ÒØØ º Å Ö ÓÚ Ò ÔÝ ØÐ Ò ÚÙÐÐ ÓÒ ÐÔÔÓ ØÓ Ø Ö ØØ Ò ÝØØ ÐÔÓ Ò Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ º Ä Ù º Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ µ ÇÐ ÓÓÒ X ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ ÖÚÓ ÓÒ µ Ú Ö Ò σ 2 º Ë ÐÐÓ Ò º º½µ P( X µ ε) σ2 ε2, ÐÐ ε > 0. ÌÓ ØÙ º ÅÖ Ø ÐÐÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Y = h(x) = (X µ) 2 Ú Ð Ø Ò a = ε 2 > 0º ÃÓ Y 0 E(Y) = σ 2 ÙÖ Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ º º½µ ÙÓÖ Ò Å Ö ÓÚ Ò ÔÝ ØРغ Ä Ù º Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø ØÙÐÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓµ ÇÐ ÓÓØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X Y Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ½º ÂÓ E(X) E(Y) ÓÚ Ø ÓÐ Ñ Ò Ò E(XY) = E(X)E(Y). ÇÐ ÓÓØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X 1 X 2 º º º X n Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ¾º ÂÓ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ X 1 X 2 º º º X n ÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ò Ò E(X 1 X 2 X n ) = E(X 1 )E(X 2 ) E(X n ). ÌÓ ØÙ º ½º Ç ÓØÙ ÖÚÓÒ ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò E(XY) = xyp(x = x, Y = y) x y = xyp(x = x)p(y = y) X Y Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø x y [ ][ ] = xp(x = x) yp(y = y) x = E(X)E(Y). y ÃÓ x xp(x = x) yyp(y = y) ÙÔÔ Ò Ú Ø Ø Ø Ó ÓØÙ ÖÚÓ¹ Ò ÓÐ Ñ ÓÐÓÒ ÒÓ ÐÐ Ô Ø º Ý Ø ÙÙÖÙÙ Ô Ò ÑÝ Ó ÓØÙ Ö¹ ÚÓÒE(XY)ÓÐ Ñ ÓÐÓ ÙÖ Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÒE(X) E(Y)ÓÐ Ñ ÓÐÓ Ø º ÃÓ Ø ¾º ÚÓ Ò ØÓ Ø ÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ ØÓ ØÙÚ Ø ½º Ó Ò ØÙÐÓ Ø º

20 º º ËÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù Ò Ð ÔÙÐ Ù º ËÙÑÑ Ò Ú Ö Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ËŠص ÇÐ Ø Ø Ò ØØ X 1 X 2 º º º X n ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò ÐÐ ÓÒ Ú Ö Ò º Ë ÐÐÓ Ò Cov(X i,x j ) = 0, i j, Var(X 1 +X 2 + +X n ) = Var(X 1 )+Var(X 2 )+ +Var(X n ). ÌÓ ØÙ º ÂÓ i j Ò Ò Cov(X i,x j ) = E(X i X j ) E(X i )E(X j ) = E(X i )E(X j ) E(X i )E(X j ) = 0, Ó X i Ò X j Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ E(X i X j ) = E(X i )E(X j ) = 0º ËÙÑÑ Ò Ú Ö Ò Ò Var( n X i) Ð Ù ÙÖ ÒÝØ ÙÓÖ Ò ÔÙÐ Ù ¹ Ø º¾º ÔÙÐ Ù º ÇØÓ ÖÚÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ú Ö Ò µ ÇÐ ÓÓØX 1 X 2 º º º X n ÊË ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø Ó Ò ÖÚÓ ÓÒ µ Ú Ö Ò σ 2 º Ź Ö Ø ÐÐÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø Ë ÐÐÓ Ò S n = X 1 +X 2 + +X n, X n = S n n. E(S n ) = nµ, Var(S n ) = nσ 2, E(X n ) = µ, Var(X n ) = σ2 n. ÎÓ ÑÑ ÒÝØ ØÓ Ø Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ò ÚÙÐÐ Ò º ÓÒ ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù Ò Ð Ò ÀËÄĵº Ä Ù º À Ó ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù Ò Ð ÀËÄĵµ ÇÐ ÓÓÒX 1 X 2 º º º X n Ö Ø Ò ÊË ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÒÓ Ó Ó Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ¹ Ò ÖÚÓ ÓÒ µ Ú Ö Ò σ 2 º ÇÐ ÓÓÒ S n = X 1 +X 2 + +X n Ë ÐÐÓ Ò Ó ÐÐ ε > 0 X n = S n n. P( X n µ ε) 0, ÙÒ n. ÌÓ ØÙ º ÔÙÐ Ù Ò º Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ò ÑÙ Ò P( X n µ ε) σ2 nε 2. ÃÙÒ n Ò Ò σ 2 /(nε 2 ) 0 ÓØ Ò Æ Ò ÓÒ Ð Ù ØÓ Ø ØØÙº P( X n µ ε) 0. À Ó ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù Ò Ð ÒÓÓ ØØ ÓØÓ ÖÚÓ Ð Ò ØÓ ÒÒ¹ ÝÝ Ò Ñ Ð ØÓ ÐÐ Ø ÖÚÓ ÙÒ ÓØÓ Ó Ó Ú º

21 º º º½ ÄÙ Ù º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙØ Ò ÖÓ Ú Ø ÙÒ Ø ÓØ ÑÓÑ ÒØ Ø ÅÓÑ ÒØ Ø Ö Ø Ô ÐÙÓÒÒ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑ ÓÒ Ð ÙÑ Ò ÑÓ¹ Ñ ÒØ Øº Æ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÚÙÐÐ º ÅÖ Ø ÐÑ º ÇÐ ÓÓÒ r ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÂÓ Ó ÓØÙ ÖÚÓ α r = E(X r ) ÓÒ ÓÐ Ñ ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ø X Ò ÙÑ Òµ rº ÑÓÑ ÒØØ º Î Ø Ú Ø X Ò rº Ù ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ Ñ µ = E(X) = α 1 º µ r = E[(X µ) r ], ÅÓÑ ÒØØ α r ÙØ ÙØ Ò Ó Ù ÑÝ ÓÖ ÓÑÓÑ ÒØ º  ÙÑ Ò ¹ ÖÚÓ ÓÒ 1º ÓÖ ÓÑÓÑ ÒØØ Ú Ö Ò 2º Ù ÑÓÑ ÒØØ º Ë ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ò X Ø ÑÓÑ ÒØ Ø g r r = 1,2,... ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø g r = E[X (r) ] = E[X(X 1) (X r +1)]. Ò ÑÑ Ø Ø ÑÓÑ ÒØØ ÓÚ Ø g 1 = E(X) = α 1 = µ, g 2 = E[X(X 1)] = E(X 2 X) = E(X 2 ) E(X) = α 2 µ. ÃÓ σ 2 = α 2 µ 2 Ò Ò º º¾ ÅÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó σ 2 = g 2 +µ µ 2. ØØ Ð ÑÑ ÒÝØ ÙÙ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÑ Ò Ð ØØÝÚÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÓ¹ Ñ ÒØØ Ò ÖÓ Ú Ò ÙÒØ ÓÒ ÓØ ÙØ ÙØ Ò ÐÝ Ý Ø ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ñ µº ÅÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ø Ö Ó ÖÒ ÝÐ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÑÓÑ ÒØØ Ò Ð Ñ ¹ Ú Ò ÓÐ Ò Ø Ö Ó ØÙ Ò ÐÔÓ Ò Ø Ø Ó Ò Ñ Ò Ø ÐѺ ÅÓÑ ÒØØ Ò Ð Ñ Ø ØÖ ÑÔ ÓÒ ØØ ÙÑ Ø ÚÓ Ò ÐÙÓÒÒ Ø Ø Ú Ø ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ Ñ Ð ÓÒ ÓÐ Ñ µº ÅÖ Ø ÐÑ º ÇÐ ÓÓÒX ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒf(x)º Ê Ð ÑÙÙØØÙ Ò t ÙÒ Ø Ó M(t) = E(e tx ) ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ø X Ò ÙÑ Òµ ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ñ µ Ó Ó ÓØÙ ÖÚÓ { E(e tx i ) = etx i f(x i ) Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ etx f(x)dx, Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ ÓÐ Ñ ÓÐÐ Ò ÚÓ Ñ ÐÐ ÚÐ ÐÐ a < t < a Ñ a > 0º

22 º º Ò ÖÓ Ú Ø ÙÒ Ø ÓØ ÑÓÑ ÒØ Ø ÅÖ Ø ÐÑÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓÒ ÐÚ ØØ M(0) = i f(x i ) = 1, ÙÒ X Ö ØØ M(0) = f(x)dx = 1, ÙÒ X ÓÒ Ø ÙÚ º ÇÐ ÓÓÒ S = {x 1,x 2,...}º Ë ÐÐÓ Ò Ñ e tx k Ò ÖØÓ Ñ Ø M X (t) = e tx 1 f(x 1 )+e tx 2 f(x 2 )+, f(x k ) = P(X = x k ), k = 1,2,... ÓÚ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ º ÇÐ ÓÓÒf(x) ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÒX ØÓ ÒÒ ÝÝ ¹ ÙÒ Ø Ó g(y) ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÒY ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó S = {a 1,a 2,...} X Ò Y Ò Ý Ø Ò Ò ÖÚÓ Ú ÖÙÙ º ÂÓ M X (t) = M Y (t), ÐÐ t h < t < h, Ò Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ò Ò ÐÝÝ Ò Ø ÓÖ Ò ÒÓ ÐÐ f(a k ) = g(a k ), k = 1,2,... ÂÓ ÐÐ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ ÓÒ Ñ ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ò Ò Ò ÐÐ ØÝØÝÝ ÓÐÐ Ñ ÙÑ º ÇÐ ÓÓÒ F X (u) X Ò F Y (u) Y Ò ÖØÝÑ ÙÒ ¹ Ø Óº Ø ØÒ ÒÝØ ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ý ØØ ÝÝØØ Ó Ú ØÙÐÓ Ð Ù Ò ÑÙÓ Ó º Ä Ù º½¼ ÇÐ ÓÓØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Y ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø ÓØ M X (t) M Y (t)º ÂÓ M X (t) = M Y (t) ÐÐ t Ó Ò ÒÓÐÐ Ò ÝÑÔÖ Ø Ò Ò F X (u) = F Y (u) ÐÐ u Ò ÖÚÓ ÐÐ Ð X ÐÐ Y ÐÐ ÓÒ Ñ ÙÑ º Ñ Ö º½¾ ÂÓ X Ber(p) Ò Ò M(t) = E(e tx ) = e t 1 p+e t 0 q = e t p+q, Ñ q = 1 pº Ä Ù º½½ ÇÐ ÓÓØ X Y Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø Ó Ò ÑÓ¹ Ñ ÒØØ ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø M X (t) M Y (t)º Ë ÐÐÓ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Z = X+Y ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ º º½µ M Z (t) = M X (t)m Y (t). ÌÓ ØÙ º ÃÓ e tx ÓÒ Ô Ð ØÒ x Ò X Ò ÖÚÓ Òµ ÙÒ Ø Ó e ty Ô Ð ¹ ØÒ y Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ò Ä Ù Ò º ÑÙ Ò e tx e ty ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº Î Ø E(e tz ) = E[e t(x+y ) ] = E[e tx e ty ] = E(e tx )E(e ty ) ÙÖ ØØ Ò ÙÓÖ Ò Ä Ù Ø º º

23 ½¼¼ ÄÙ Ù º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙØ Í Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ô Ù ÓÒ ÚÓ Ñ Ú Ø Ú ØÙÐÓ º Ë ÙÖ Ù º½ ÇÐ ÓÓØ X 1 X 2 º º º X n Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø Ó Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø M Xi (t) i = 1,2,...,nº Ë ÐÐÓ Ò ÙÑÑ Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ S n = X 1 +X 2 + +X n M Sn (t) = M X1 (t)m X2 (t) M Xn (t). ÂÓ ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó M(t) ÓÒ ÓÐ Ñ ÚÐ ÐÐ ( h,h) Ò Ò ÑÓÑ ÒØØ ¹ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ Ò ÖØ ÐÙ Ù Ò Ö Ú Ø Ø Ô Ø t = 0º ÃÙÒ ÒØ ¹ Ø ØØ º º¾µ M(t) = x S e tx f(x) Ö ÚÓ Ò ÔÙÓÐ ØØ Ò ÚÓ Ò Ó ÔÙÓÐ Ö ÚÓ Ø ÖÑ ØØ Ò Ý Ø¹ ÙÙÖÙÙ ÐÝݺ Ö ÚÓ Ñ ÐÐ Ð Ù º º¾µ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÑÙÙØØÙ Ò t Ù Ø Ò Ò M(t) = x S xe tx f(x), M(t) = x S x 2 e tx f(x) Ó ÐÐ ÔÓ Ø Ú ÐÐ Ó ÓÒ ÐÙÚÙÐÐ r M(t) (r) = x S x r e tx f(x). Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ t = 0 Ò M(0) = x S xf(x) = E(X), M(0) = x S x 2 f(x) = E(X 2 ) ÝÐ Ø M(0) (r) = x S x r f(x) = E(X r ). Ö ØÝ Ø µ = M(0) σ 2 = M(0) [M(0) ] 2. Ä Ù º½¾ ÇÐ ÓÓÒ M X (t) ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Y = ax +b Ñ a b ÓÚ Ø ÒÒ ØØÙ Ö Ð ÖÚÓ Ú Ó Ø º Ë ÐÐÓ Ò M Y (t) = e bt M X (at)º

24 º º Ò ÖÓ Ú Ø ÙÒ Ø ÓØ ÑÓÑ ÒØ Ø ½¼½ Ä Ù º½ Ä ÚÝÒ Ø ÙÚÙÙ Ð Ù µ ÇÐ ÓÓÒ X 1,X 2,... ÓÒÓ ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ó Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø F X1,F X2,... Ú Ø Ú Ø ÑÓÑ Òع Ø ÙÒ Ø ÓØ M X1 (t),m X2 (t),...º ÇÐ ÓÓÒ X ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ ÖØÝѹ ÙÒ Ø Ó ÓÒ F X ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó M X (t)º ÂÓ n Ò Ú Ö ØØ M Xn (t) M X (t) ÐÐ t Ò ÖÚÓ ÐÐ Ó Ò ÒÓÐÐ Ò ÝÑÔÖ Ø ( h,h), h > 0 Ò Ò ÐÐÓ Ò lim F X n (x) = F X (x) n Ô Ø x Ó F X (x) ÓÒ Ø ÙÚ º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ø ÙÖ ¹ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Òº ÌÐÐ Ò ÒÓÑÑ Ø¹ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X 1,X 2,... ÙÔÔ Ò Ú Ø ÙÑ Ñ Ð Ó Ø ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ Xº º º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ò ÖÓ Ú ÙÒ Ø Ó Ø µ Ö Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ò ÖÓ Ú ÙÒ Ø Ó Ø µ G(t) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø G(t) = E(t X ) = f(x i )t x i. Æ Ò ÐÔÓ Ø ØØ G(1) = f(x i) = 1º Ë Ö ÙÔÔ Ò Ò Ò Ð¹ ÐÓ Ò ÙÒ t < 1º ÃÙÒ Ö Ö ÚÓ Ò Ø ÖÑ ØØ Ò Ò G (t) = x i f(x i )t xi 1. ÂÓ G(t) ÓÒ ÓÐ Ñ ÓÐÐ Ò ÚÐ ÐÐ ( h 1,h+1) h > 0 Ò Ò ÝÐ Ø G (1) = E(X) G (r) (1) = E(X (r) ) = E[X(X 1) (X r +1)] ÐÐ ÔÓ Ø Ú ÐÐ Ó ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ rº ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ò ÖÓ Ú ÙÒ Ø Ó Ð ØØÝÝ Ð Ø ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø ÓÓÒ ÐÐ G(e t ) = E(e tx ) = M(t).

25 ½¼¾ º ÄÙ Ù º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙØ ÃÓ Ò Ý ØÑ Ò Ò ØÙÐÓÑ ÐÐ Ø Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÒÝØ ØÙÒÒ Ó Ø E 1 E 2 Ó Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ø ÓÚ Ø Ú ¹ Ø Ú Ø Ω 1 Ω 2 º ÇÐ ÓÓØ ØÙÒÒ Ó Ò Ð ØØÝÚØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ù¹ Ñ Ø {p i } {q i } i = 1,2,... Ì Ö Ø Ð ÑÑ ÙÖ Ú Ú Ò ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ ÓØÓ Ú ÖÙÙ º Ø ØÒ Ó Ø Ø Ò ØØ Ø Ò Ó Ø E 1 E 2 º Å Ö¹ ØÒ Ý Ø ØØÝ Ó ØØ E 1 E 1 º Ø ØÝÒ Ó Ò ØÙÐÓ Ø ØÒ Ö ¹ Ø ØØÝÒ Ô Ö Ò (ω i,ω j ) Ñ ω i Ω 1 ÓÒ Ó Ò E 1 ØÙÐÓ ω j Ω 2 ÓÒ Ó Ò E 2 ØÙÐÓ º Ø ØÝÒ Ó Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÓÒ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω 1 Ω 2 ÖØ Ò Ò ØÙÐÓ Ω 1 Ω 2 = {(ω i,ω j ) ω i Ω 1 ω j Ω 2 }º Î Ø Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ ÚÓ Ò Ý Ø Ù ÑÔ Ò Ó Ø º ÅÖ ØØ Ð ÑÑ ÒÝØ Ý Ø ØØÝÝÒ Ó Ò E 1 E 2 Ð ØØÝÚÒ ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ ÙÑ Ò Ω 1 Ω 2 º ÃÓ Ø ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó Ú Ò Ó º º½µ P(ω i,ω j ) = p i q j ÐÐ ω i Ω 1 ω j Ω 2 Ñ p i = p(ω i ) ÓÒ ω i Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ω 1 q j = p(ω j ) ÓÒ ω j Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ω 2 º Ë ÐÚ Ø Ò P(ω i,ω j ) 0 ÐÐ (ω i,ω j ) Ω 1 Ω 2 º ÃÓ p i = q j = 1 Ò Ò ω i Ω 1 ω j Ω 2 (ω i,ω j ) Ω 1 Ω 2 P(ω i,ω j ) = ω i Ω 1 ( p i q j = ω j Ω 2 ω i Ω 1 p i )( ω j Ω 2 q j ) = 1. Á ÒØ Ø ØØ º º½µ ÑÖ ØØ Ð ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÑ Ò Ω 1 Ω 2 º Ë Ø ÙØ ÙØ Ò Ý Ø ØÝÒ Ó Ò E 1 E 1 ØÙÐÓÑ ÐÐ º Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ØÓ ØÓØ ÌÙÐÓÑ ÐÐ Ò ØÖ Ö Ó Ø Ô Ù Ò ØÓ Ø Ñ ÐÐ n ÖØ Ó E ÓÒ ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÓÒ Ωº ÌÐÐ Ø Ó ØØ ÒÓØ Ò ØÓ ØÓ Ó Ø Ñ Ö ØÒ E n º Ø ØÝÒ Ó Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÓÒ Ω Ω Ω ÓÒ Ð Ø Ô Ù Ø ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ ω = (ω 1,ω 2,...,ω n ) Ñ ω i ÓÒ iº ØÓ ØÓÒ ØÙÐÓ º ÇÐ ÓÓÒ p(ω) ØÙÒÒ Ó Ò E Ð ØØÝÚ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ω ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÑ ÙÒ ¹ Ø Óº ÌÓ ØÓ Ó Ò E n Ð ØØÝÚ ÙÑ ÙÒ Ø Ó ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó p(ω) = p(ω 1 )p(ω 2 ) p(ω n ). ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ò Ñ ØØÝ Â Ñ ÖÒÓÙÐÐ Ò ÑÙ Òµ ÓÒ Ó Ó ÓÒ Ø Ñй Ð Ò ØÙÐÓ Ú ØÓ ØÓ º Í Ò ØÓ Ø ØÙÐÓ Ú ØÓ ØÓ ÙØ ÙØ Ò ÓÒÒ ¹ ØÙÑ Oµ ØÓ Ø ÔÓÒÒ ØÙÑ Eµ ÓØ Ò ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ò ÓØÓ ¹ Ú ÖÙÙ Ω = {O,E}º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÒÓÙ ØØ ÖÒÓÙÐÐ Ò ÙÑ ÙÒ º º¾µ X = { 1, ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ P(O) = p; 0, ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ 1 p,

26 º º ÃÓ Ò Ý ØÑ Ò Ò ØÙÐÓÑ ÐÐ Ø ½¼ Ñ 0 p 1º ÅÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓ X = 1 ÙØ ÙØ Ò ÓÒÒ ¹ ØÙÑ p Ø ÓÒÒ ØÙÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ º Î Ø Ú Ø ÖÚÓ X = 0 ÙØ ÙØ Ò ÔÓÒÒ ØÙÑ º ÀÙÓÑ ØØ X ÓÒ ³ÓÒÒ ØÙÑ Ò³ Ò ØØÓ¹ Ö ÙÒ Ø Óº ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ØÓ ØÓØ ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø ÖÒÓÙÐÐ Ò ØÓ ØÓ Ó Òº Ñ Ö º½ Ñ Ö ¾º½¼ Ø ØÒ Ö ØÓÒØ Ð ÒØØ 3 ÖØ º Ð ÒØ Ò ØÓ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ω = {R,L}º ÎÓ Ò ÓÔ Ñ Ö ØØ ÖÙÙÒÙ Rµ ÓÒ ÓÒÒ ØÙÑ Ò Ò Ð Ú Lµ ÓÒ ÔÓÒÒ ØÙÑ Ò Òº Î Ø ¹ Ú Ò ÖÒÓÙÐÐ Ò ÙÑ ÒÓÙ ØØ Ú Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ð ØØÝÚ ÓØÓ ¹ Ú ÖÙÙ S = {1,0}º Ä ÒØ Ò ØØÓ ÓÒ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó º Ì Ò ÓÐÑ Ö ÔÔÙ¹ Ñ ØÓÒØ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó ØØ º Ì Ò Ý Ø ØØÝÝÒ Ó Ò Ð ØØÝÚ ÓØÓ Ú ¹ ÖÙÙ ÓÒS S S = {(s 1,s 2,s 3 ) s i S} = {111,110,101,100,011,010,001,000}º ÃÙÒ ØÓ Ø Ø Ò ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó n ÖØ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ØÓ ØÓص ÓÚ Ø Ó¹ Ò Ñ ÓÐÐ Ø ØÙÐÓ Ø n Ò Ô ØÙ 1 Ò 0 Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÓÒÓ º ÌÝݹ Ô ÐÐ Ò Ò ÓÒÓ ÓÒ ÑÙÓØÓ ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ppp(1 p)p(1 p)(1 p)ppp pp(1 p) = p k (1 p) n k, Ñ k ÓÒ ÓÒÒ ØÙÑ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ n k ÔÓÒÒ ØÙÑ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖº Ö Ð Ø Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ò ÓÒÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ 2 n º ÒÓÑ ÙÑ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÖÒÓÙÐÐ Ò ØÓ ØÓ Ó Ò ÚÙÐÐ º Çй ÓÓÒ X 1,X 2,...,X n Ñ ÖÒÓÙÐÐ Ò ÙÑ ÒÓÙ ØØ Ú Ò Ö ÔÔÙÑ Ø¹ ØÓÑ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÒÓ Ñ P(X i = 1) = p P(X i = 0) = 1 p = q i = 1,2,...,nº Ë ÐÐÓ Ò E(X i ) = p Var(X i ) = pqº ÇÒÒ ØÙÑ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ n Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó ÓÒ X = X 1 +X 2 + +X n. Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ÓÒÒ ØÙÑ ÓÒ x 0 x nµ ÔÔ Ð ØØ ÂÓ ÓÒÓ ÓÒ Ø ÑÐÐ Ò x Ý Ø ( Ò Ò ÓÒÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ p x (1 p) n x º n ÌÐÐ ÓÒÓ ÓÒ Ý Ø Ò x) ÔÔ Ð ØØ º ÇÒÒ ØÙÑ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ n ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó ÒÓÙ ØØ ÒÓÑ ÙÑ ( ) n f(x) = p x (1 p) n x, x Ñ f(x) = P(X = x)º ÇÒÒ ØÙÑ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖÒ ÓØÓ ÖÚÓ ÓÒ X n = S n n. Ë ÓÒ ÓÒÒ ØÙÑ Ø Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ö Ú Ò n Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ÖÒÓÙй Ð Ò Ó Ñ Ö ÖÙÙÒÙ Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ö Ú Ò Ð ÒØ Ò ØÓ º ÔÙÐ Ù Ò º ÑÙ Ò E(X n ) = p Var(X n ) = pq/nº ÀËËÄ Ò ÑÙ Ò P( X n p > ε) 0

27 ½¼ ÄÙ Ù º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙØ ÐÐ ε > 0 ÙÒ n Ú º ÃÖÙÙÒÙ Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ö Ú Ò Ð Ò p Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ñ Ð ÙÒ ØØÓ Ò ÑÖ Ú º ÖÒÓÙÐÐ ØÓ Ø Ø¹ ÑÒ ØÙÐÓ Ò ½ ½ º ÌÙÐÓ Ø ÙØ ÙØ Ò Ò Ò ÑÙ Ò ÖÒÓÙÐÐ Ò ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù Ò Ð º Ò ÑÑ ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐØ Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ö Ú Ò Ò Ö ¹ ÖÚÓ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ØÙÐ ÒØ Ò ÖÒÐ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÙÒ ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ ÐÐ º ÆÝØ Ò ÑÑ ØØ ØÑ Ù Ø ÐÐ Ò Ö Ú Ò Ò Ö ¹ ÖÚÓØÙÐÓ ÓÒ Ý ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ò Ô ÖÙ ØÙÐÓ Ø º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙØ Ø ÒÚ ØÓ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø Ç ÓØÙ ÖÚÓ E(X) = ω ΩX(ω)P({ω}), E(X) = x i Sx i P(X = x i ), Ñ S ÓÒ X Ò ÖÚÓ ÓÙ Óº E(X) ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ Ô ÒÓØ ØØÙ X Ò ÖÚÓ Ò ÖÚÓº Ç ÓØÙ ÖÚÓÒ Ð Ò Ö ÙÙ E(X +Y) = E(X)+E(Y) E(cX) = ce(x), Ñ c ÓÒ Ú Óº Î Ö Ò Var(X) = E(X µ) 2 = E(X 2 ) µ 2, µ = E(X). Ä Ò Ö Ò Ò ÑÙÙÒÒÓ cx +b E(cX +b) = ce(x)+b, Var(cX +b) = c 2 Var(X), b c Ú Ó Ø º Ù ÝÒ Ë Û ÖÞ Ò ÔÝ ØÐ [E(XY)] 2 E(X 2 )E(Y 2 ). ÃÓÚ Ö Ò Cov(X,Y) = E[(X µ X )(Y µ Y )] = E(XY) µ X µ Y, Ñ µ X = E(X) µ Y = E(Y)º

28 Ø ÒÚ ØÓ ½¼ ËÙÑÑ Ø Var(X +Y) = Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y), ( n ) n Var X i = Var(X i )+ Cov(X i,x j ). Á ÒØØ Ø ÙÑ Øº Ö Ø ÐÐ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ X Y ÓÒ Ñ ÙÑ Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ñ ÖÚÓ ÐÙ S ÐÐ v S i j P(X = v) = P(Y = v). Ë Ñ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØ٠غ X Y ÓÚ Ø ÒØØ Ø Ó X(ω) = Y(ω) ¹ ÐÐ ω Ωº ÂÓ P(X = Y) = 1 Ò Ò X = Y X Y Ö ØØ µº Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ º X Y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó ÐÐ A S X B S Y º P(X A,Y B) = P(X A)P(Y B) ÂÓ X Y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò ½µ g(x) h(y) ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ¾µ E(XY) = E(X)E(Y) µ Cov(X,Y) = 0 µ Var(X +Y) = Var(X)+Var(Y)º Å Ö ÓÚ Ò ÔÝ ØÐ Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ P(X a) E(X), Ñ X 0 a > 0º a P( X µ ε) σ2 ε 2, Ñ ε > 0 µ = E(X) σ 2 = Var(X)º ÇØÓ ÖÚÓ X n = 1 n (X 1 +X 2 + +X n ), E(X n ) = µ Var(X n ) = σ2 n, Ó E(X i ) = µ Var(X i ) = σ 2 i = 1,2,...,nº ËÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù Ò Ð Óµ P( X n µ ε) 0 ÙÒ n X 1 X 2 º º º X n ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÒÓÙ ØØ Ú Ø Ñ ÙÑ º

29 ½¼ ÄÙ Ù º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙØ Ò ÖÓ Ú Ø ÙÒ Ø ÓØ ÑÓÑ ÒØ Ø Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÑÓÑ ÒØ Ø X Ò rº ÑÓÑ ÒØØ α r = E(X r ), rº Ù ÑÓÑ ÒØØ µ r = E(X µ) r, rº Ø ÑÓÑ ÒØØ g r = E[X (r) ] = E[X(X 1) (X r+1)]. ÅÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó M X (t) = E(e tx ); t ( a,a), a > 0. ËÙÑÑ Ò Z = X +Y ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó M Z (t) = M X (t)m Y (t) Ó X Y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº rº ÑÓÑ ÒØØ º ÅÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø ÓÒ rº Ö Ú ØØ Ô Ø t = 0 ÓÒ rº ÑÓ¹ Ñ ÒØØ M(0) (r) = E(X r )º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ò ÖÓ Ú ÙÒ Ø Ó G(t) = E(t X ), X ÓÒ Ö ØØ º rº Ø ÑÓÑ ÒØØ º G Ò rº Ö Ú ØØ Ô Ø t = 1 ÓÒ X Ò rº Ø ÑÓ¹ Ñ ÒØØ G (r) (1) = E[X (r) ]º G(t) Ú º M(t) G(e t ) = E(e tx ) = M(t)º À Ö Ó ØÙ ½º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ P(X = 0) = 1 P(X = 1) E(X) = 3Var(X)º Ä P(X = 0)º ¾º ÇÐ ÓÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó f(x) = ( x +1)2, x = 1,0,1. 9 Ä E(X) E(X 2 ) E(3X 2 2X +4)º º ÇÐ ÓÓÒ h(x) = (x b) 2 Ñ b ÓÐ X Ò ÙÒ Ø Óº Å ÐÐ b Ò ÖÚÓÐÐ Ó ÓØÙ ÖÚÓ E[(X b) 2 ] ÚÙØØ Ñ Ò Ñ Ò ÙÒ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ Ó Ó¹ ØÙ ÖÚÓ ÓÒ ÓÐ Ñ º Î Ì Ö Ø Ð ÙÒ Ø ÓØ g(b) = E[(X b) 2 ] = E(X 2 ) 2bE(X)+b 2 ºµ º ÇÐ ÓÓÒ Ω = {ω 1,ω 2,ω 3 } P(ω 1 ) = P(ω 2 ) = P(ω 3 ) = 1 3 º ÅÖ Ø ÐÐÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X Y Z ÙÖ Ú Ø X(ω 1 ) = 1, X(ω 2 ) = 2, X(ω 3 ) = 3, Y(ω 1 ) = 2, Y(ω 2 ) = 3, Y(ω 3 ) = 1, Z(ω 1 ) = 3, Z(ω 2 ) = 1, Z(ω 3 ) = 2.

30 À Ö Ó ØÙ ½¼ µ Ç Ó Ø ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ X Y Z ÓÒ Ñ ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ ÙÑ º µ ÅÖ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X +Y Y +Z X +Z µ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò (X 2 +Y 2 )Z Z/ X Y ØÓ ÒÒ ÝÝ ¹ ÙÑ º º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ Ö Ò ¾º½ Ø Ð ÒÒ ØØ Ó È È ÚÓ Ô Ð Ú Ø ÖÙÙÒÙ Ð Ú ØÙÒÒ Ú ÐÝ n = 20µº µ Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ È ÓÒ ØÓÒ Ð Ò ÚÓ ØÓÐÐ Ý Ò ÙÖÓÒ ½¼ ØÓÒ Ð Ò ¾ ÙÖÓ ¾¼ ØÓÒ Ð Ò ¾ ÙÖÓ µ Å ÓÒ È Ò ÚÓ ØÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ ¾¼ ØÓÒ Ö µ ÂÓ È ÓÒ º ØÓÒ Ð Ò ÚÓ ØÓÐÐ ÙÖÓÒ Ñ ÓÒ È Ò ÚÓ ØÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ ¾¼º ØÓÒ Ð Ò º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ì ØÚÒ Ô Ð ÑÙÐÓ Ñ ÐÐ n = 20µº µ Å ÓÒ ØÓ ÒÒ Ò ÚÓ ØØÓ ÙÑÑ ÔØÓ ÒÒ Ò ÚÓ ØØÓ Ùѹ Ñ À ÑÓØØ Ð ÚÓ ØØÓ ÙÑÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÑ º µ ÃÙ Ò Ù Ò È ÓÒ ÚÓ ØÓÐÐ Ô Ð Ò Ò À ÑÓØØ Ð ØÑÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÑ º º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ X Tasd(1,N) ÒÓÙ ØØ Ö ØØ Ø ÙÑ º µ ÂÓ E(x) = 6 Ò Ò Ñ Ø ÓÒ Var(X) µ ÇÐ ÓÓÒ X Tasd(3,8)º Ä E(X) Var(X)º º ËÙÙÖ Ø Ø ØØÙÙ Ò Ô ÚÒ ÓÒ Ò ÓÒÒ ØØÓÑÙÙØØ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ñ ÓÐÐ Ø 5 3 Ö Ð Ø Ò ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ Ò ¹ Ó ØØÙÑ Ø Ò Ô ÚÒ ÓÐÐ ÓÚ Ø Ý Ø ØÓ ÒÒ º ÇÐ ÓÓÒ Y = {ÇÒÒ ØØÓÑÙÙ Ô Ú Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ Ò } X Ò Ò Ô Ú Ò ÐÙ¹ ÙÑÖ ÓÐÐÓ Ò ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ØÙº µ ÅÖ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X = 5 Y ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒØ Óº µ Ä E(X) Var(X)º º ÇÐ ÓÓØ X Y Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÖÚÓ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ¹ Ø Ó ÐÐ ÓÒ Ñ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó f X (n) = f Y (n) = p n n 1º Ä ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø P(X = Y) P(X Y)º ½¼º A B C ÑÔÙÚ Ø Ñ Ð Ò ¾¼ Ð Ù Ù Ø º Ò Ð Ù Ù Ò Ó ÙÑ ØÓ¹ ÒÒ ÝÝ ÓÒ A ÐÐ 0.4 B ÐÐ 0.3 C ÐÐ 0.1 Ð Ù Ù Ø ÓÚ Ø ØÓ ¹ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ÇÐ ÓÓØ X A X B X C Ú Ø Ú Ø A Ò B Ò C Ò Ó ÙÑ Ò ÐÙ ÙÑÖØ X Ó ÙÑ Ò Ó ÓÒ ÑÖº µ ÅÖ ØØ Ð X Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑÑ Ò Ð Ò ÚÙÐÐ X Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ú Ö Ò º

31 ½¼ ÄÙ Ù º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙØ µ ÅÖ Ø Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ò ÚÙÐÐ ÚÐ ÓÐÐ Ó ÙÑ Ò Ó ÓÒ ¹ ÑÖ Ó ÙÙ Ú ÒØÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ 8 9 º ½½º ÇÐ ÓÓØ X Y ÐÐ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø ØØ E(X) = µ X E(Y) = µ Y Var(X) = σx 2 Var(Y) = σ2 Y ρ = Cor(X,Y)º ÃÝØ ØÒ ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Y ÖÚ Ó Ñ Ò Ö Ö Ó ÒÒÙ Ø ØØ Ŷ = α + βx Ñ α β ÓÚ Ø Ú Ó Ø º ÒÒÙ Ø Ò Ò Ð Ú Ö ÑÖ Ø ÐÐÒ µ Ç Ó Ø Ð Ñ ÐÐ ØØ MSE(Ŷ) = E( [Y (α+βx)] 2). MSE(Ŷ) = [µ Y (α+βµ X )] 2 +Var(Y βx). µ Î Ð Ø ÐÐ MSE(Ŷ) Ò Ð Ù α = µ Y βµ X ÒÝØ ØØ ÐÐÓ Ò MSE(Ŷ) = (βσ X ρσ Y ) 2 +σ 2 Y(1 ρ 2 ). µ ÈØØ Ð ÒÝØ ØØ MSE(Ŷ) ÚÙØØ Ñ Ò Ñ Ò σ2 Y (1 ρ2 ) ÙÒ α = µ Y βµ X β = ρσ Y /σ X º ½¾º ÇÐ ÓÓÒ X ÐÐ Ò Ò Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ØØ Ò ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ P(X = x i ) = p i i 1 ¾º ÑÓÑ ÒØØ E(X 2 ) = p i x 2 i i ÓÒ ÓÐ Ñ º ÇÐ ÓÓÒ A = {i x i ε} Ñ ε > 0º µ Ç Ó Ø ØØ P( X ε) = i A p i E(X 2 ) i A p i x 2 i, µ p i x 2 i i ε i A i Ap 2 µ ÐÓÔÙ P( X ε) E(X 2 )/ε 2 º ½ º Ç Ó Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ X,Y Z ØØ µ Cov(X +Y,Z) = Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)º µ Cov(X,Y +Z) = Cov(X,Y)+Cov(X,Z)º ½ º ÂÓ X Y Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øµ Ò Ò Ó Ó Ø ØØ ÐÐ Z Cov(X,Y +Z) = Cov(X,Z). ½ º Ç Ó Ø ØØ Var(X Y) = Var(X)+Var(Y) 2Cov(X,Y).

32 À Ö Ó ØÙ ½¼ ½ º ÂÓ X Y Ò Ò Ó Ó Ø ØØ Cov(X,XY) = E(Y)Var(X). ½ º ÂÓ X Y Ò Ò Ó Ó Ø ØØ Var(XY) = σ 2 1 σ2 2 +µ2 1 σ2 2 +µ2 2 σ2 1, Å E(X) = µ 1, E(Y) = µ 2, Var(X) = σ 2 1 Var(Y) = σ2 2 º