ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º
|
|
- Harri Penttilä
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½ Ë ØÙÒÒ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º¾ ÇØÓ Ú ÖÙÙ Ø Ø Ô ØÙÑ Ø ÓÙ Ó¹ÓÔ Ö Ø ÓØ º º º º ½º º ÌÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º Ö ØØ ÑØ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½º º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò ØÙÐ ÒÒ Ø º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º º½ ÓÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ö Ú Ò ØÙÐ ÒØ º º º º ½ ½º º¾ à ÖØÓÐ Ù ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º º Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º Ç ÓØ ØÙØ Ö Ú Ò Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ø ÒÚ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ À Ö Ó ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ ¾½ ¾º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ¾º½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º ¾¾ ¾º¾ ËÝÑÑ ØÖ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ØÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÝÐ Ø ÓÓÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º ÃÓÑ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º½ ËÙÑÑ ¹ ØÙÐÓÔ Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º¾ Î Ð ÒØ Ö ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º Ç ÓÙ ÓÒ Ú Ð ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò ÙÒ Ö ØÝ Ø ÓØ Ø ÙÓÑ ÓÓÒ º ¼ ¾º º ÃÓÑ Ò ØÓÖ Ò Ñ Ö ÒØ ÒØ Ø ØØ º º º º º º ½ ¾º º ÒÓÑ Ð Ù ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÒØ Ø ØØ ÑÙÐØ ÒÓÑ Ð Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º½ à ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó º º º º º º º º º º º º ½ ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
2 ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º½ ÒÓÑ ÙÑ ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò ÙÑ Ò Ð ÖÚÓÒ ¼ Ø ÒÚ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ À Ö Ó ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
3 À Ö Ó ØÙ ½ µ À Ø Ø ÒÓÔÔ 100 ÖØ º Î ÖØ ØÙÐÓ Ò Ú ØØÙ Ö ¹ Ú Ò Ó ÓØ ØØÙ Ò Ö Ú Ò Òº º ÎÙÓ Ò ¾¼¼ ÓÒ ÔÙ ÓØÙ Ô Ð ÓÙ Ù Ø ÓÐ Ú Ø ÀÈà 1/3µ ÂÓ Ö Ø 1/2µ ÃÖÔØ 1/3µ ÔÓÓÒ ÄÍ Ë 1/6µ Ì ÔÔ Ö 1/3µ Â È 1/7µ ÀÁ à 1/6µ ÌÈË 1/9µº ÖÐÐ ØÝ Ô ÐÐ Ö Ø ØØ Ò ÒÒ Ò ÔÙ Ó¹ ØÙ Ô Ð Ò Ð Ù ÚÙÓ Ò Ñ Ø Ö Ó Ú Ú ÓÒÐÝ ÒØ ÝØØ Ò ÙÐÙ ÐÑÓ Ø ØØÙ ÚÓ ØÓÒ Ñ ÓÐÐ ÙÙ º ÂÓ Ú Ø Ñ Ö Ì ÔÔ Ö Ñ Ø Ö Ò Ò ÚÓ Ø Ø Ô ÒÓ ÓÐÑ Ò ÖØ Ò º µ Ä ÒÒ ØØÙ Ò ÚÓ ØÓÒ Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ò Ô ÝÓ Ó µ ÚÙÐÐ ÓÙ ¹ Ù Ò ÚÓ ØÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ú ÐÐ ½º º¾µº Ä ØÓ ÒÒ¹ ÝÝ Ò ÙÑÑ Sº µ Ë Ð ÐÐ Ó Ð ØÙØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ñ ÐÐ Ò ÙÑÑ ÐÐ Sº Å Ð Ù ÓÒ Ø ÖÔ ÐÐ Ò Ò µ ÇÐ Ø ØØ Ð ØÙØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÚ Ø Ó Ø º Ä Ó Ó¹ Ø ØØÙ ÚÓ ØØÓ Ó Ú Ø Ì ÔÔ Ö ÚÓ ØØÓ P(A)+Ô ÒÓ (1 P(A)) º ÌÓØ ÙØØ Ó Ú Ù Ö ÐÙÒ Ô Ð Ò ÒÒ Ò ½¼º Ö Ý ÐÝ ØÙØ ØØ Ò Ù Ø ÙØÙÑ Ø Ð ÐÐ Ò ÓÖØØ Ò Ø Ò Ó Ø ÙÐÙ Ó Ø ØÝØ ØÙÐÓ Øº ÒÒ ËÙ ÙÔÙÓÐ ÅÝ ÒØ Ò Ò Ã ÐØ Ò Ò Ø Ò Æ Ò Ò ¼ ½ ½ ¼¼ Å ½ ¾ ½ ¼¼ Ø Ò ¾ ¾ ½½¼¼ ÃÝØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ø Ñ ØØ Ò Ù Ø ÐÐ Ö Ú Ò º µ Ä ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ µ Ò Ò Ò µ Ñ Ù Ø ÙØÙÙ ÓÖØØ Ò ÔÓ Ø Ú Ø Ø Ö Ø ÐØ Ú ÓØÓ Ú ÖÙÙ µº µ Ä Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ø Ó µ ØØ µ Ò Ò Ò µ Ñ Ù Ø ÙØÙÙ ÓÖØØ Ò ÔÓ Ø Ú Ø º µ Ä Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ò Ù Ó Ö Ø Ó Ú ÓÒÐÝ ÒØ Ù µº ½½º Ñ Ö ½º¾ ÐÙ ÒÒÓص ÓÒ ÒÒ ØØÙ ÖÒ ÙÖ Ò ½º ÚÐ Ó Ò Ô Ø ¹ ÑÖغ µ Ä ÑÔ Ö Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ µ ÖÚÓ Ô Ø 15.3º µ Ä Ù Ù ÑÔ Ö Ò ÙÑ Ò ÖÚÓ P 20 (18.5,20.5) Ò ÚÙÐÐ º µ Ä ØÓ Ö ÑÑ ÐÙÓ [18.5,20.5] ÙÚ Ú Ò ÔÝÐÚÒ ÓÖ¹ Ù º
4 ¾¼ ÄÙ Ù ½º ÂÓ ÒØÓ
5 ÄÙ Ù ¾ ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ì ÐÙÚÙ Ø ÐÐÒ Ð ÒÒ Ú Ò Ö ÐÐ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ø Ö ØØ ¹ Ñ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ωº ÐÙ Ø ØÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ó ÓÚ ÐØÙÙ ÐÐÓ Ò ÙÒ Ω ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò Ø ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ø Ö Ø Òº ÄÓÔÙ ¹ Ø ØÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÝÐ Ò Ò ÑÖ Ø ÐѺ ÌÓ ÒÒ ÝÝ ÐÙÓÒÒ Ø Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ø ØÝ Ó ÓÙ Ó Ò Ó Ó ÐÑ ÑÖ Ø ÐØÝÒ ÙÒ Ø ÓÒ º Ñ Ö Ä Ù ¾º½ Ø ØÝØ ØÓ ÒÒ ÝÝØØ Ó Ú Ø ØÙÐÓ Ø Ù¹ Ö Ú Ø Ñ Ð Ó ÙÓÖ Ò ÅÖ Ø ÐÑ Ø ¾º½º ¾º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ ÃÙÒ ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ö Ø ÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ú ÐÐ Ø ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ò Ó ÓÙ Ó Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ð Ö º Ë ÐÐÓ Ò Ω Ò Ó ÓÙ ÓØ ÓÚ Ø Ø Ô ØÙÑ º ÅÖ Ø ÐÑÒ ¾º½ ØÓ Ó ¹ Ø ØØÝ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ú ÙÙ Ö ØØ Ö ÐÐ ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÓÑ Ò ÙÙ Ò 1 3 Ð µ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÖ ØØ ¹ Ð Ñ Òº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½ ÇÐ ÓÓÒ A ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ó ÓÙ Ó Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ð¹ Ö º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ÙÚ Ù P : A [0,1] Ó ØÓØ ÙØØ ÙÖ Ú Ø ÓÐÑ ÓÓÑ ½º P(A) 0 ÐÐ A Aº ¾º ÂÓ A,B A A B = Ò Ò P(A+B) = P(A)+P(B)º º P(Ω) = 1. ÂÓ Ω = {ω 1,ω 2,...,ω n } ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò Ð Ø Ô ØÙÑ Ò {ω i } ØÓ ÒÒ¹ ÝÝ P({ω i }) = p i 0, 1 i n P(Ω) = n i=1 p i = 1 Ò Ò Å¹ Ö Ø ÐÑÒ ¾º½ ÓÓÑ Ø ÙÖ ØØ Ω Ò Ò Ó ÓÙ Ó Ò A Ω ØÓ¹ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ÑÙÓØÓ P(A) = ω i A P({ω i})º Ë ÐÐÓ Ò Ó Ó ÐÑ A ÓÒ Ω Ò ¾½
6 ¾¾ ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ Ò Ó ÓÙ Ó Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ð Ö º ÌØ Ω Ò Ò Ó ÓÙ Ó¹ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ð Ö ÙØ ÙØ Ò Ω Ò ÔÓØ Ò ÓÙ Ó Ø Ñ Ö ØÒ P(Ω)º Ç Ó ØØ ÙØÙÙ Ù Ø Ò Ò ØØ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½ ÓÒ ÝÐ Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÖ Ò ÒÒ ÐØ Ð Ò ÚÐ º Ð Ø Ô Ù Ø ÖÚ Ø Ò Ð Ö Ó ØÙ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÖ ØØ Ð Ñ º ¾º½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÓÑ Ò ÙÙ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½ ÐÙÓÒÒ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÑØ ÓÑ Ò Ù٠غ Ä Ù ¹ ¾º½ ÓÒ Ø ØØÝ ÑÙÙØ Ñ ØÖ Ø Ð ÓÑ Ò ÙÙ ÓØ ÙÖ Ø ÙÓÖ ¹ Ú Ú Ø ÅÖ Ø ÐÑ Ø ¾º½º Ë ÙÖ Ú ÓÐ Ø Ø Ò ØØ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ω Ω Ò Ó ÓÙ Ó Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ð Ö A A ÑÖ Ø ÐØÝ ØÓ ÒÒ ÝÝ P ÓÒ ÒÒ ØØÙº Å Ö ÒØ A,B A Ø Ö Ó ØØ ØØ A B ÓÚ Ø Ø Ô ØÙÑ º Ä Ù ¾º½ ÇÐ ÓÓÒ Ω ÓØÓ Ú ÖÙÙ A Ó Ò Ω Ò Ó ÓÙ Ó Ò Ð Ö P Ð Ö A ÑÖ Ø ÐØÝ ØÓ ÒÒ ÝÝ º ÂÓ A,B A Ò Ò ÑÑ ØÙÐÓ Ø ½º ÂÓ B A Ò Ò P(B) P(A) ¾º P(A c ) = 1 P(A) º P(A\B) = P(A) P(A B) º ÂÓ B A Ò Ò P(A B) = P(A) P(B)º ÌÓ ØÙ º ÌÓ Ø Ø Ò Ó Ø 1. ÃÓ B A Ò Ò A = B +A B c º Ź Ö Ø ÐÑÒ ¾º½ Ó Ò 2 Ô ÖÙ Ø ÐÐ P(A) = P(B) + P(A B c ) Ó Ò 1 Ô ÖÙ Ø ÐÐ P(A B c ) 0 ÓØ Ò P(B) P(A)º Æ Ò Ó Ø 1 ÓÒ ØÓ Ø ØØÙº ÅÙ ØØ Ò Ó Ø Ò ØÓ Ø Ñ Ò Ò Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ø Ú ÙÙ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½ ÓÑ Ò ÙÙ 2 ÚÓ Ò ÙÓÖ Ú Ú Ø ÝÐ Ø Ù ÑÑ ÐÐ Ù Ò ÐÐ Ö ÐÐ ÐÐ ÓÙ ÓÐÐ º Ä Ù ¾º¾ ÇÐ ÓÓØ A 1 A 2 º º º A n Ô Ö ØØ Ò Ô Ø Ú Ö Ø Ö ÐРص Ω Ò Ó ¹ ÓÙ ÓØ Ð Ø Ô ØÙÑ Ø Ø º A i A j = ÙÒ i jµº Ë ÐÐÓ Ò P(A 1 A 2 A n ) = P(A 1 )+P(A 2 )+ +P(A n ). ÁØ Ø Ú ÙÙ ÝÐ ØÝÝ ÑÝ Ö ØØ ÑÒ ÑÓÒ ÐÐ Ô Ö ØØ Ò Ö Ð¹ Ð ÐÐ Ø Ô ØÙÑ ÐÐ A 1 A 2 A 3 º º º Ë ÐÐÓ Ò P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 )+P(A 2 )+P(A 3 )+. ÂÓ A 1 A 2 º º º A n ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ò Ö ÐÐ Ø Ø º A i A j = ÙÒ i jµ Ω = A 1 A 2 A n Ò Ò ÓÙ Ó Ó Ó ÐÑ A 1,A 2,...,A n ÓÒ ÓØÓ Ú ÖÙÙ¹ Ò Ω Óº
7 ¾º½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ¾ Ä Ù ¾º ÇÐ ÓÓÒ Ó Ó ÐÑ A 1,A 2,...,A n ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ó E Ω ÓÒ Ó Ò Ø Ô ØÙÑ º Ë ÐÐÓ Ò P(E) = n P(E A i ). i=1 Ë ÙÖ Ù ¾º½ Å ÐÐ Ø Ò ÐÐ Ø Ô ØÙÑ ÐÐ A B Ô Ø Ô Ò ØØ P(A) = P(A B)+P(A B c ). Ä Ù Ò ¾º½ Ó Ø ÚÓ Ò ÝÐ Ø ÑÝ ÓÙ Ó ÐÐ ÓØ ÚØ ÓÐ Ö Ð¹ Ð º ÌÐÐ Ò Ò ÙÖ Ú Ý Ø ÒÐ ÙÐ Ù º Ä Ù ¾º ÂÓ A Ω B Ω Ò Ò ¾º½º½µ P(A B) = P(A)+P(B) P(A B). ÌÓ ØÙ º ÃÙØ Ò ÃÙÚ Ó ¾º½ Ó Ó ØØ ÓÙ ÓØ A B c A B A c B ÑÙÓ Ó ¹ A B c A B A c B A c B c ÃÙÚ Ó ¾º½º Ì Ô ØÙÑ Ò A B Ó ØÙ º Ø Ú Ø Ø Ô ØÙÑ Ò A B Ó ØÙ Òº Ë ¾º½º¾µ P(A B) = P(A B c )+P(A B)+P(A c B). Ë ÙÖ Ù Ð Ù Ò ¾º½ ÑÙ Ò Ú Ø Ú Ø P(A) = P(A B c )+P(A B) P(B) = P(A c B)+P(A B), ÓØ Ò ¾º½º µ P(A)+P(B) = P(A B c )+P(A c B)+2P(A B). ÃÙÒ ÒØ Ø Ø Ø ¾º½º µ Ú ÒÒ ØÒ ÔÙÓÐ ØØ Ò P(A B), Ò Ð Ù P(A)+P(B) P(A B) = P(A B c )+P(A c B)+P(A B), ÓÒ Ó ÔÙÓÐ ÓÒ ¾º½º¾µ Ò ÑÙ Ò P(A B)º Æ Ò Ý Ø ÒÐ ÙÐ Ù ÓÒ ØÓ Ø ØØÙº
8 ¾ ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ ÌÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ý Ø ÒÐ ÙÐ Ù ÚÓ Ò ÐÐ Ò ÝÐ Ø Ñ ¹ Ð Ú ÐØ Ò ÑÓÒ ÐÐ Ø Ô ØÙÑ ÐÐ º ØÑÑ ÐÙ ÝÐ ØÝ Ò ÙÒ Ø Ô ØÙ¹ Ñ ÓÒ ÓÐÑ º Ð Ò Ò Ø Ô Ù Ò Ñ ÐÐ Ô Ö ØØ ÐÐ ÑÙØØ Ø ¹ ØÒ Ú Ø ÑÝ ÑÑ Òº Ä Ù ¾º ÂÓ A 1 A 2 A 3 ÓÚ Ø Ω Ò Ó ÓÙ Ó Ø Ô ØÙÑ µ Ò Ò ¾º½º µ P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 )+P(A 2 )+P(A 3 ) P(A 1 A 2 ) P(A 1 A 3 ) P(A 2 A 3 )+P(A 1 A 2 A 3 ). ÓÒ ÖÖÓÒ Ò ÔÝ ØÐ º ÔÝ ØÐ ÃÓ P(A B) 1 ÙÖ Ä Ù Ø ¾º ¾º½º µ P(A B) P(A)+P(B) 1. ÔÝ ØÐ ¾º½º ÒÓØ Ò ÓÒ ÖÖÓÒ Ò ÔÝ ØÐ º Ñ Ö ¾º½ ÓÒ ÖÖÓÒ Ò ÔÝ ØÐ ØØ ÓÐÐ ÝØØ ÐÔÓ Ò Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ ÔÝ ØÝØ Ð Ñ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝØØ P(A B) Ø Ö Ø ÑÙØØ ØÙÒÒ ¹ Ø Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø P(A) P(B)º ÇÐ ÓÓÒ Ñ Ö P(A) = P(B) = 0.95º Ë ÐÐÓ Ò P(A B) = ÂÓ P(A) + P(B) < 1 Ò Ò Ð Ö ¾º½º µ ÓÒ Ò Ø Ú Ò Ò ÔÝ ØÐ Ô Ø ØÖ Ú Ð Ø Ô Ò º ¾º¾ ËÝÑÑ ØÖ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÇÐ ÓÓÒ Ω = {ω 1,ω 2,...,ω n } Ö ÐÐ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ P(Ω) ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ò Ó ÓÙ Ó Ò Ð Ö º ÂÓ ÐÐ A P(Ω) ÑÖ Ø ÐÐÒ ¾º¾º½µ P(A) = A n, Ñ A ÓÒ ÓÙ ÓÒ A Ð Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ Ð ÐÙ ÙÑÖÑ ØØ º Ë ÐÐÓ Ò Ø Ô ØÙÑ Ø Ó ÓÒ Ý Ø Ô Ð ÓÒ Ð Ø Ô ØÙÑ ÓÚ Ø Ý Ø ØÓ ÒÒ º Ö ØÝ Ø Ó Ò Ò Ð Ø Ô Ù ÓÒ Ý Ø Ñ ÓÐÐ Ò Ò Ð p i = P({ω i }) = 1 n, 1 i n Ñ n ÓÒ Ð Ø Ô Ù Ø Ò ÐÙ ÙÑÖº Ì Ô ØÙÑ Ò A ØÓ ÒÒ ÝÝ ¹ Ò Ñ ÐÐ A Ò Ð Ø Ô Ù Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ Ò Ð Ø Ô ØÙ¹ Ñ Ò ÐÙ ÙÑÖÐÐ nº ÌØ ³ ÙÓØÙ Ø Ô Ö ³ ¹ ÒØ ÙØ ÙØ Ò ÑÝ Ð ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÖ Ø ÐÑ º ÇÒ ÐÔÔÓ ØÓ Ø ØØ ¾º¾º½µ ÓÒ ÅÖ Ø ÐÑÒ ¾º½ ÑÙ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÙ ÙÑÖÑ ØØ ØÓØ ÙØØ ÅÖ Ø ÐÑÒ ¾º½ ÓÑ Ò ÙÙ Ø 1 2º
9 ¾º º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÝÐ Ø ÓÓÑ Ø ¾ Ñ Ö ¾º¾ À Ø ØÒ Ö ØÓÒØ ÒÓÔÔ º Ë ÐÐÓ Ò Ö ÐÑÐÙ Ù ÚÓ ¹ Ò Ô Ø Ý Ø Ñ ÓÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ Ô ÖÙ Ø ÐØÙ ÑÖ Ø ÐÐ ÒÒ Ò ¾º¾º½µ ÑÙ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ω = {1,2,3,4,5,6}º Ë ÐÐÓ Ò Ö ØÝ ¹ Ø P({i}) = 1 6 i = 1,...,6º ÂÓ Ø ØÒ Ø ÒÓÔÔ ÚÓ Ò ÝÑÑ Ø¹ Ö Ð Ø Ô Ù Ú Ð Ø Ö Ø ØÝØ Ô Ö Ø (1,1),(1,2),(1,3),...,(6,6). Ë Ò ØÙÐÓ Ø ÓÒ ÒÒ ØØÙ ÑÙÓ Ó (½º ÒÓÔ Ò ÐÑÐÙ Ù ¾º ÒÓÔ Ò ÐÑÐÙ Ù)º ÌÑÒ ØÙÒÒ Ó Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÓÒ Ω = {(i,j) i,j {1,2,3,4,5,6}}. ÃÓ Ω = 36 Ò Ò P ( {(i,j)} ) = 1 ÐÐ i,j {1,2,3,4,5,6}º 36 Î Ø ØÒ ØØ Ö Ò Ð Ò Ò Ø Ð Ñ Ù Ô ÐÙÖ Ú Ð Ö Å Ö Ú Ø Ó ÐÐ Ø ÙÖ Ú Ò ØÙÐÓ Ò µ À Ø ØØ ÒÓÔÔ 4 ÖØ ÒÒ ØØ ÐÝ Ú ØÓ Ø ØØ Ò Ò Ò Ý ÙÙØÓÒ Òº µ À Ø ØØ Ø ÒÓÔÔ 24 ÖØ ÒÒ Ø ÐÝ Ú ØÓ Ø ØØ Ò Ò Ò Ý ÙÙØÓ Ô Ö º Å Ö ÙÓÑ ÚÒ Ô Ø Ô Ð Ö Ú ÐÐ ÐÝ Ò Ú ØÓ ÙÙØÓ Ô Ö Ò ÔÙÓÐ Ø º ÀÒ Ù Ø Ò Ò ÔÝ ØÝÒÝØ Ø ÓÖ ØØ Ø Ð ØØÑÒ Ú ÒØÓ Ò Å Ö Ò ÓÒ ÐÑ µ Ò ÒÔ Ò ÒØÝ Ö Ò Ð Ò ÐÓ Ó¹ Ò Ñ Ø Ñ Ø ÓÒ Ð È Ð Ò ÔÙÓÐ Ò Òº ½ ¼µº Å Ö Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ù ÓØ Ò ÒØ Ò Ò Ð Ù Ý Ý Ò ÙÙÐÙ Ò È Ð Ò È ÖÖ ÖÑ Ø Ò ÚÐ Ò Ö ÒÚ ØÓÓÒ Ó Ó Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ò ÝÒØÝÝÒº ÃÐ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò A ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ñ ÐÐ ÓÙ ÓÒ A Ð Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ Ò Ð Ø Ô Ù Ø Ò ÐÙ Ùѹ ÖÐк Î Ø ØÚ ÓÒ Ô Ö ØØ ÐÔÔÓ ÚÓ ÝØÒÒ Ó Ó ØØ Ù¹ ØÙ ÝÐÐØØÚÒ Ò Ð º ÄÙ ÙÑÖ Ò Ð Ñ Ò ÐÔÓØØ Ñ Øѹ Ñ Ð ÐÙÚÙ ¾º Ó Ø Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ò Ô Ö ØØ Ø ØÙÐÓ º ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÝÐ Ø ÓÓÑ Ø Ö ÐÐ Ø Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ø Ô Ù ÓÒ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ÐÔÔÓ Ð Ø¹ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð Ø Ô ØÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÚÙÐÐ º ÌÓ Ò¹ Ò ÝÝ Ò Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ä Ù ¾º½µ ÙÖ Ú Ø ÓÓÑ Ø ¾º½º ÂÓ Ø Ô ØÙÑ Ø A 1 A 2 º º º A n ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ò Ö ÐÐ Ø Ò Ò P(A 1 A 2 A n ) = P(A 1 )+P(A 2 )+ +P(A n ). Ö ØØ Ñ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ø Ô Ù ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½ Ø ØÝØ ¹ ÓÓÑ Ø ÓÚ Ø Ð Ò ÚРغ ÃÙÒ Ω ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÔÓ ¹ Ø ÑÖ Ø ÐØÚ Ω Ò Ò Ó ÓÙ Ó Ò ÐÙÓ º Ð Ø ÓÖ
10 ¾ ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ Ω Ò Ó ÓÙ ÓØ ÚØ ÓÐ Ø Ô ØÙÑ º ÅÖ ØØ Ð ÑÑ ÐÐ ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ Ò Ω Ò ÓÙ Ó Ó Ó ÐÑ Ó ÑÙÓ Ó Ø Ð Ö Òº Ð Ø ÓÖ Ò Ò Ω Ò Ó ÓÙ Ó Ò ÓØ ÓÚ Ø Ø Ô ØÙÑ ØÝØÝÝ ÑÙÓ Ó Ø Ò º σ¹ Ð Ö º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾ ÃÓ Ó ÐÑ F ÓÒ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ó ÓÙ Ó Ò ÑÙÓ Ó ¹ Ø Ñ σ¹ Ð Ö Ó ÙÖ Ú Ø ÓØ ØÓØ ÙØÙÚ Ø ½º Ω Fº ¾º ÂÓ A F Ò Ò A c Fº º ÂÓ A 1,A 2,... F Ò Ò i=1 A i Fº Ñ Ö ¾º ÇÐ ÓÓÒ I(a,b) Ô Ò Ò Ð Ö Ó ÐØ ÙÐ ØÙØ ÚÐ Ø [c,d] [a,b], a c d b Ω = [a,b]º ÇÐ ÓÓÒ Ñ Ö I(1,5) Ô Ò Ò Ð Ö Ó ÐØ ÙÐ ØÙØ ÚÐ Ø[c,d] [1,5], 1 c d 5º ÃÙÙÐÙÙ Ó Ñ Ö ÓÙ Ó {2, 3, 4,...} Ð Ö Ò I(1,5)º ØØ Ø Ô ¹ 2 3 Ø Ø c [1,5] ÙÙÐÙÚ Ø Ð Ö Ò I(1,5) ÐÐ c = [1,c] [c,5]º à ¹ Ö ÐÐ Ø ÙÒ ÓÒ Ø {2, 3 n+1,..., } = n 2 n i=1 {i+1 } ÙÙÐÙÚ Ø Ð Ö Ò ÅÖ Ø ÐÑÒ i ½º¾ ÓÑ Ò ÙÙ Ò 3 ÒÓ ÐÐ Ð Ö Ò I(1,5)º ÂÓ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ I(1,5) ÓÒ σ¹ Ð Ö Ò Ò ÐÐÓ Ò { i+1 } = {2, 3 i 2, 4,...} I(1,5). 3 i=1 Ì Ô ØÙÑ Ò A ØÓ ÒÒ ÝÝ P(A) ÓÒ Ö Ð ÐÙ Ù ÓÒ ÓÒ ÓÐØ Ú Ý ¹ ØØ Ø ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø Ô ØÙÑ A F ÓÒ ÒÒ ØØÙº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º ÃÙÚ Ù P : F R ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ó ØÓØ ÙØØ ÙÖ Ú Ø ÓÓÑ Ø ½º 0 P(A) 1º ¾º P( ) = 0 P(Ω) = 1º º ÂÓ ÓÙ ÓØ A i F,i = 1,2,... ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ò Ô Ø Ú Ö Ø A i A j ÙÒ i jµ Ò Ò ( ) P A i = P(A i ). i=1 Æ Ø ÓÓÑ Ø ÚÓ Ò Ø ØÝ Ø Ó Ø Ñ Ø Ð Ù Ø Ù Ò ÐÐ ÒÙ¹ Ñ ÖÓ ØÙÚ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ø Ô Ù º ÃÓÐÑ Ó (Ω,F,P) ÓÒ ØÓ ÒÒ¹ ÝÝ Ú ÖÙÙ Ñ Ω ÓÒ ¹ØÝ ÓØÓ Ú ÖÙÙ F ÓÒ σ¹ Ð Ö P: F [0,1] ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ØØ µº ÌÑÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÓÑ Ø Ó ÒÒ Ò ØØ Ú ÒÐ Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø Ó º ƺ ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ ½ ¼ µ ÚÙÓÒÒ ½ ¾ º i=1
11 ¾º º ÃÓÑ Ò ØÓÖ ¾ ÂÓ A 1,...,A n ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ò Ô Ø Ú Ö Ø Ò Ò Ö ÐÐ Ò Ø Ú ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ n ¾º º½µ P( A i ) = i=1 n P(A i ) i=1 ÐÐ n 1º ÃÓ Ý ØÐ Ò ¾º º½µ Ú Ò ÔÙÓÐ ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò 1 ÐÐ n 1 Ò Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ÓÐ Ú Ö ÙÔÔ Ò ÙÒ n º Ë ÐÐÓ Ò ¾º º¾µ lim P( n n i=1 A i ) = lim n n P(A i ) = i=1 P(A i ). i=1 ÇÒ ÙÓÑ ØØ Ú ØØ Ø Ø ÙÖ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º Ø ØØÝσ¹ Ø Ú ÙÙ P( A i ) = i=1 P(A i ). i=1 ¾º ¾º º½ ÃÓÑ Ò ØÓÖ ËÙÑÑ ¹ ØÙÐÓÔ Ö Ø ÇÐ ÓÓØ Ó Ò E 1 E 2 ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ø Ω 1 Ω 2 º Ë ÐÐÓ Ò Ó Ò ØÙÐÓ Ú ¹ ØÓ ØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖØ ÓÚ Ø Ω 1 Ω 2 º Å Ö ØÒ Ω 1 = n 1 Ω 2 = n 2 º ËÙÑÑ Ô Ö Ø º Ì Ò Ó Ó Ó E 1 Ø E 2 º Ë ÐÐÓ Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ò ØÙÐÓ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ n 1 +n 2 º ÌÙÐÓÔ Ö Ø º Ì Ò Ó Ø E 1 E 2 º Ë ÐÐÓ Ò Ý Ø ØÝÒ Ó Ò E = E 1 E 2 ØÙÐÓ Ú ØÓ ØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ n 1 n 2 º Ñ Ö ¾º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú Ý ÝÑÝ ½º Ë ÒÙÐÐ ÓÒ ÓÐÑ Ô Ø Ò Ð Ø ÓÙ ÙØ ÓÐÑ Ø Ò Ø ÝÑÑ Ò Ø Ù Øº ÅÓÒØ Ó Ù Ó ÓÒ ÙÙØØ Ò Ø ÚÓ Ø ÑÙÓ Ó Ø ¾º Ø 2¹ÒÙÑ ÖÓ Ø ÐÙÚÙØ ÓØ ÒÙÑ ÖÓ Ø {1,5,6,9} ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø º ÅÓÒ Ò Ó Ö Ö ØÝ Ò 10 Ö ÚÓ Ò ÝÐÐÝ ØØ Ã Ò Ñ Ö Ø ØØÝ Ò Ý ÝÑÝ Ò Ò Ú Ø Ù ØÙÐÓÔ Ö Ø¹ Ø Ò ÚÙÐÐ º
12 ¾ ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ ¾º º¾ Î Ð ÒØ Ö ØÝ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ú Ð ÒØ Ô Ð ÙØØ Òº ÇÐ ÓÓÒ Ô ÖÙ ÓÙ ÓÒ Ω Ð Ó Ò ÐÙ¹ ÙÑÖ Ω = n ÚÓ ÑÑ Ø ÐÐ ØØ Ð ÓØ ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙ1 Øn Òº Î Ð Ø ÒΩ Ø Ô Ö Ò r Ð ÓØ Ó Ò Ò Ú Ð ØØÙ Ð Ó Ô Ð ÙØ Ø Ò Ø ¹ Ò Ω Ò ÒÒ Ò ÙÖ Ú Ú Ð ÒØ º Î Ð ÒÒ Ò ØÙÐÓ Ò ØÙ Ö Ø ØØÝ ÓÒÓ ÙØ ÙØ Ò Ö Ø ØÝ r¹óøó (a 1,a 2,...,a r ) Ó Ó Ò Ò Ð¹ Ó 1 a j nº ÂÖ Ø ØÝ r¹óøó Ñ Ð Ó ÚÓ ØÓ ØÙ ÑÓÒØ ÖØ º Ì Ò Ñ Ö Ö Ø ØØÝ 3¹ÓØÓ ÓÙ Ó Ø A = {a,b}º Ë ÐÐÓ Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ö Ø ØÝØ 3¹ÓØÓ Ø ÓÚ Ø aaa aab aba abb baa bab bba bbbº ÂÖ Ø ØØÝ Ò 3¹ÓØÓ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ØÙÐÓÔ Ö ØØ Ò ÑÙ Ò 2 3 = 8º Ë Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ ØÙÐÓÔ Ö ØØ Ø ÙÖ ØØ Ω Ø Ú Ð ØØÙ Ò Ö Ø ØØÝ Ò r¹óøó Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ n r º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÒÝØ Ú Ð ÒØ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ º ÂÓ Ω Ø Ú Ð Ø Ò Ö ØÝ ¹ r Ð ÓØ r nµ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ Ò Ö Ø ØØÝ r¹óøó Ó Ñ Ð Ó ÚÓ ÒØÝ Ú Ò ÖÖ Òº ÌÐÐ Ø Ö Ø ØØÝ r¹óøó Ø ÙØ ÙØ Ò Ω Ò r¹ô ÖÑÙØ Ø Ó º Ñ Ö ÓÙ ÓÒ B = {a,b,c,d} 2¹Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ ÓÚ Ø ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc, Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ØÙÐÓÔ Ö ØØ Ò ÒÓ ÐÐ 4 3 = 12º Ð Ø r¹ô ÖÑÙØ ¹ Ø Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ Ω Ø ÓÒ n (r) = n(n 1)(n 2) (n r +1), 0 < r n. Å Ö ÒØ n (r) ÐÙ Ø Ò n Ò r¹ ÖØÓÑ º ÃÙÒ r = n Ò ÓÙ ÓÒ Ω n¹ Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÓØ ÙØ ÙØ Ò Ý Ò ÖØ Ø ÓÙ ÓÒ Ô ÖÑÙØ Ø Ó º È ÖÑÙ¹ Ø Ø Ó ÓÒ ÓÙ ÓÒ Ð Ó Ò Ö Ø ØØÝ ÓÒÓº ÂÓÙ ÓÒ Ω Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ n (n) = n(n 1)(n 2) 2 1 Ø Ñ Ö ØÒ n! ÐÙ Ø Ò n¹ ÖØÓÑ º Ñ Ö ¾º ËÝÒØÝÑÔ ÚÓÒ ÐÑ µ ÃÙØ Ù ÐÐ ÓÒ r Ò Ð º À Ò ¹ Ð Ò ÝÒØÝÑÔ ÚØ ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø r Ò Ô ÚÑÖÒ ÓÒÓÒ Ó Ñ Ô Ú¹ ÑÖ ÚÓ ØÓ ØÙ º ÎÙÓ Ò Ô Ú Ò ÐÙ ÙÑÖ n = 365 Ó Ö Ù ÚÙÓØØ ÓØ Ø ÙÓÑ ÓÓÒº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ñ ÓÐÐ Ø 365 r ÝÒØÝÑÔ Ú ÓÒÓ ÓÚ Ø Ý Ø ØÓ ÒÒ Øº Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ò Ò ÐÐ Ò¹ Ð ÐÐ ÓÒ Ñ ÝÒØÝÑÔ Ú Ò ÒÒ Ò 365 Ò Ô ÚÒ r¹ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ 365 (r) Ñ ÓÒ Ò r Ò Ô ØÙ Ø Ò Ö ÝÒØÝÑÔ Ú ¹ Ø ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ Ò ÓÒÓ Ò ÐÙ ÙÑÖº ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ÐÐ ÓÒ Ö ÝÒØÝÑÔ Ú ÓÒ Ú Ò ¾º¾º½µ ÑÙ Ò P(³ Ö ÝÒØÝÑÔ Úس) = 365(r) 365 r. Ë ÐÐÓ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ò Ò ÐÐ Ñ ÝÒØÝÑÔ Ú ÓÒ 1 365(r) 365 r.
13 ¾º º ÃÓÑ Ò ØÓÖ ¾ ¾º º Ç ÓÙ ÓÒ Ú Ð ÒØ ÃÙÒ Ω Ø Ú Ð Ø Ò r Ð ÓØ r nµ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ Ò Ω Ò Ó ÓÙ ¹ Óº ÆÝØ ÒÒ Ø Ø ÙÓÑ ÓØ Ð Ó Ò Ö ØÝ Ò Ú Ò ÒÓ Ø Ò Ò Ñ Ø Ð ÓØ Ó ÓÙ ÓÓÒ ÙÙÐÙÚ Øº ÂÓÙ ÓÒ r Ò Ð ÓÒ Ó ÓÙ Ó ÙØ ÙØ Ò ÓÙ ÓÒ r¹ ÓÑ Ò Ø Ó º Ñ Ö ÓÙ ÓÒ B = {a,b,c,d} 2¹ ÓÑ Ò Ø ÓØ ÓÚ Ø {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}. ÂÓ Ø 2¹ ÓÑ Ò Ø ÓØ Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ 2¹Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ º Ñ Ö¹ 2¹ ÓÑ Ò Ø ÓÓÒ {a,b} Ð ØØÝÚØ 2¹Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ ÓÚ Ø ab baº ÃÓ 2¹ Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ ÓÒ 4 3 = 12 ÔÔ Ð ØØ Ò Ò 2¹ ÓÑ Ò Ø ÓØ ÓÒ 4 3 = 2 6 ÔÔ Ð ØØ º  ÝÐ Ø ÃÓ r¹ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ Ó Ø r¹ ÓÑ Ò Ø ÓØ Ó Ø ÓÒ r! r¹ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ n (r) Ò Ò r¹ ÓÑ Ò Ø Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ n (r) r! = n! r!(n r)!, ÓØ Ñ Ö ØÒ ( n r) ÐÙ Ø Ò n r Ò ÝÐ º ÂÓÙ Ó KIRJAIMET = {a,a,a,a,t,t,e,e,e,k} = {4 a,2 t,3 e,1 k} ÓÒ4 a¹ Ö ÒØ 2 t Ø 3 e Ø Ý kº ÌÐÐ Ø ÓÙ Ó ÙØ ÙØ Ò ÑÓÒ ÓÙ Ó º Ñ Ö ¾º ÃÙ Ò ÑÓÒØ Ö Ð Ø 10¹ Ö Ñ Ø Ò ÑÓÒ ÓÙ ÓÒ KIRJAIMET = {4 a,2 t,3 e,1 k} Ö Ñ Ø ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ë Ò ÓÒ Ö Ñ ÐÐ 10 Ö Ô Ó Ò Ò Ö Ò ÚÓ Ò Ó ØØ Ó ÓÒ Ò 10 Ø Ñ ÓÐÐ Ø Ô Ø º Ò Ò a¹ Ö Ñ Ò Ô ÚÓ Ò Ú Ð Ø ( ) 10 4 Ø Ú ÐÐ Ð ÐÐ Ò Ò 6 Ò Ô Ò ÚÓ Ò b Ó ØØ ( 6 2) Ø Ú ÐÐ Ò Ò c ( ( 4 3) Ø Ú ÐÐ ÐÓÔÙ d ÐÐ 1 1) = 1 Ô º à ÖØÓÐ ÙÔ Ö ØØ Ò ÑÙ Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ò ÒÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ( )( )( )( ) = ! 4!2!3!1! = Ñ Ö etaakaetea ÓÒ Ý ÓØ ØÝØØÚ Ò º Ñ Ö ¾º 10¹ Ö Ñ Ò Ò Ò ÓÒ ÑÓÒ ÓÙ ÓÒ KIRJAIMET Ô ÖÑÙØ Ø Óº ÃÙÒ Ø atte,aate kate ÓÚ Ø ÓÙ ÓÒ KIRJAIMET 4¹Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ø º ÇÐ ÓÓÒ ÓÙ Ó n Ð ÓØ Ó Ø n 1 ÙÙÐÙÙ ½º ÖÝ ÑÒ n 2 2º ÖÝ ÑÒ ÐÓÔÙÐØ n k Ð ÓØ kº ÖÝ ÑÒ ÓØ Ò n = n 1 + n n k º ÂÓÙ Ó Ø Ú Ð Ø Ò Ô Ö Ò Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ Ð Ó Ø ÙÒÒ ÓÒ Ú Ð ØØÙº ÃÙ Ò ÑÓÒØ ØÙÒÒ Ø ØØ Ú Ø Ö Ð Ø Ð Ó ÓÒÓ ÚÓ Ò ÆÝØ Ø ÐÐ Ò ØØ ÙÒ Ò ÖÝ ÑÒ Ð ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ Ñ ÒÐ ÑÙØØ Ö Ð Ù Ò ÑÙ Ò ÖÝ Ñ Ò Ð Óغ ÑÑ ÚÓ ØÙÒÒ Ø Ö Ð ÖÝ ÑÒ Ö ØÝ º Î Ø Ù Ò Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ù Ò ÐÐ 10¹ Ö Ñ ÒÓ Ó Ú Ñ Ö º Î Ð ÒØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ( )( n n n1 n 1 n 2 ) ( ) n n1 n 2 n k 1 n k = n! n 1!n 2! n k!.
14 ¼ ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ ÌØ Ð Ù ØØ ÒÓØ Ò ÑÙÐØ ÒÓÑ ÖØÓ Ñ Ø Ñ Ö ØÒ ( ) n! ¾º º½µ n 1!n 2! n k! = n. n 1 n 2... n k ÃÙÒ k = 2 Ò Ö Ó Ø Ô Ù Ò ÒÓÑ ÖÖÓ Ò ( ) n = n! ( n 1 n 2 n 1!n 2! = n! n n 1!(n n 1 )! = Ñ Ö ¾º ÎÓ Ñ Ø ÐÙÒÓÔ ØØ 28 ÓÔÔ Ð Ò ÐÙÓ Ò ÓÔÔ Ð ÐÐ 9 ÔÙÒ Ø 10 Ò Ø 9 ÐØ Ø Ô Ð Ô Ø ÑÙÓ Ó Ø Ò ÓÐÑ Ó٠٠ع Ø º ÅÓÒØ Ó Ö ÓÙ Ù ØØ Ò Ð Ù Ò ÑÓÒ ÐÐ Ö Ø Ú ÐÐ ÓÔÔ Ð Ø ÚÓ Ò ÔÙÒ Ò Ò Ò ÐØ Ò Ø Ò ØØ ÔÙÒ ÓÒ 9 Ò 10 ÐØ 9º Î Ø Ù ÓÒ n 1 ). 28! 9!10!9! = ¾º º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò ÙÒ Ö ØÝ Ø ÓØ Ø ÙÓÑ ÓÓÒ Î Ð Ø Òr Ô ÐÐÓ ÙÙÖÒ Ø Ó ÓÒ k Ö Ð Ø Ñ Ö Ö ÚÖ Øµ Ô ÐÐÓ º ÂÓ Ú Ð ÒÒ Ö Ø Ö Ò Ô ÐÐÓÒ ÚÖ Ô ÐÐÓ Ô Ð ÙØ Ø Ò ÙÙÖÒ Ò ÒÒ Ò ÙÖ Ú Ú Ð ÒØ º ÇÐ ÓÓÒ ÙÙÖÒ Ñ Ö Ö Ð Ø Ô ÐÐÓ º Î Ð Ø Ò ÙÙÖÒ Ø Ô ÐÐÓ Ô Ð ÙØØ Ò r = k = 3µº Ì ÙÐÙ Ó ¾º½º Ö Ð Ø Ú Ð ÒÒ Ø Ô Ð ÙØØ Ò ÙÒ r = k = 3º ÌÙÐÓ ÂÓ Ò Ú Ð ÒÒ Ò Ð Ò Ô Ø ØÒ Ñ Ö Ý Ò Ô ÐÐÓÒ Ó ÐÐ º Ã Ò Ú Ð ÒØÓ Ò Ð Ò Ñ ÐÐ ÓÒ rµ Ñ Ö º ÀÙÓÑ ØØ r ÚÓ ÓÐÐ
15 ¾º º ÃÓÑ Ò ØÓÖ ½ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò k Ú Ñ Ö r = k = 3º Ì ÙÐÙ ÓÒ ¾º½ Ú Ñ ÐÐ Ö ÐÐ Ô ÐÐÓ Ò Ú Ð ÒØ ÓÒ Ø ØØÝ Ñ Ö Ò ÓÒÓÒ ÐÑ ÐÐ Ø Ú ÐÐ º ÂÓÒÓ ÓÒ Ý Ø Ò = r+k 1µ Ñ Ö º ÃÙ Ò ÑÓÒ ÐÐ Ø Ú ÐÐ ¾ ¹Ñ Ö ÚÓ ¹Ñ Ö ÖÝ Ñ Ò Î Ø Ù ÓÒ 5! = ( 5 3!2! 2) = 10º Î Ø Ú Ø ÝÐ Ø Ô Ù Ö Ð Ø Ò ØÙÐÓ Ú ØÓ ØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ( ) ( ) k +r 1 k +r 1 =. r k 1 Ñ Ö ¾º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ý ØÐ ¾º º¾µ x 1 +x 2 + x k = r, Ñ k r ÓÚ Ø ÒÒ ØØÙ ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÑÙÙØØÙ Ø x 1 x 2 º º º x k ÚÓ Ú Ø ÖÚÓ Ò ÔÒ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù º ÅÓÒØ Ó Ö ¹ Ð Ø Ö Ø Ù Ý ØÐ ÐÐ ¾º º¾µ ÓÒ ÇÐ ÓÓÒ Ñ Ö r = 7 k = 3º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ý ÝÑÝ Ø ³ ÐÑ Ø ÙÐÙÐÐ ³ Ó ÓÒ Ø ØØÝ Ö Ø Ù x 1 = 3 x 2 = 3 x 3 = 1º Ê Ø Ù x 1 = 7 x 2 = 0 x 3 = 0 ÓÒ ÐÑ Ø ÙÐÙÐÐ ÑÙÓØÓ À ÐÑ Ø ÙÐÙÐÐ ÓÒ 7 ÐÑ r = 7µ 2 ÓÚ Ú k 1 = 2µ Ð Ý Ø Ò 9 k +r 1 = 9µ Ó Ø º  ÓÚ Ú Ø ÚÓ Ò Ó ØØ ÐÑ Ø ÙÐÙÐÐ ( 9 2) = 36 Ø Ú ÐÐ º Ò ÐÓ Ø ÚÓ ÑÑ ÔØ ÐÐ ØØ Ý ØÐ Ò ¾º º¾µ ÔÒ Ø Ú Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ ÙÖ Ø Ù Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ( ) k+r 1 k 1 º ¾º º ÃÓÑ Ò ØÓÖ Ò Ñ Ö ÒØ ÒØ Ø ØØ ÇÐ ÓÓÒ r ÔÒ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù n Ö Ð ÐÙ Ùº ÆÝØ n Ò r¹ ÖØÓÑ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÐÐ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ù Ò ÔÒ Ø Ú ÐÐ Ó¹ ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ ¾º º µ n (r) = n(n 1)(n 2) (n r +1), r > 0; n (0) = 1. ÂÓ n ÓÒ ÔÒ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ò n (r) ÓÒ n Ò Ð ÓÒ ÓÙ ÓÒ {1,2,...,n} Ò r Ò r nµ Ó Ó Ø Ò Ö Ø ØØÝ Ò Ó ÓÙ Ó Ò ÐÙ ÙÑÖº Ö ØÝ Ø n¹ ÖØÓÑ ÓÒ n! = n (n) = n(n 1)(n 2) 2 1 0¹ ÖØÓÑ ÑÖ Ø ÐÐÒ 0! = 0 (0) = 1º
16 ¾ ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ ¾º º µ ÇÐ ÓÓÒ r ÔÒ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù n Ö Ð ÐÙ Ùº ÅÖ Ø ÐÐÒ ( ) n = r n (r) r!, r 0; 0, r < 0. ÀÙÓÑ ØØ ÝÐÐ Ø ØÝØ n (r) ( n r) ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÐÐ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ n Rº Ä Ù ÐÐ Ø ØØ Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ò Ò ØÙÐ ÒØ ÙÒ n ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº Ñ Ö ¾º à ÖØÓÑ Ò ÒÓÑ ÖØÓ Ñ Ò Ð Ù Ñ Ö ¾º º µ ¾º º µ 3 (5) = ( 1) = 0 (0.5) (4) = 0.5 ( 0.5)( 1.5)( 2.5) = ( ) 3 = 0 ÑÖ Ø ÐÑÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ 1 ( ) n = n(0) = 1 ÐÐ n R 0 0! ( ) 0.5 = 0.5(4) = 0.5 ( 0.5)( 1.5)( 2.5) 6 4 4! ( ) 2 = 2(3) 3 3! = ( 2)( 3)( 4) 6 = 4. ÅÖ Ø ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓÒ ÙÓÖ Ú Ú Ø ØÓ Ø ØØ ( ) ( ) ( ) n n 1 n 1 = +, r r 1 r ( ) ( ) n n 1 r = n. r r 1 ÂÓ s ÓÒ ÔÒ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ò ÐÐÓ Ò ¾º º µ ËØ ÖÐ Ò Ò Ú r (s) ( n r ) ( ) n s = n (s). r s ¾º º µ n! 2πn n n e n. ÒØ ÖØÓÑ ÐÐ ÝÚÒ Ð ÖÚÓÒº = 5 128
17 ¾º º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ¾º º ÒÓÑ Ð Ù ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÒØ Ø ØØ ÑÙÐØ ÒÓÑ Ð Ù ÒÓÑ ÖØÓ Ñ Ò Ð ØØÝÝ ÑÓÒ ØÖ Ø ÒØ Ø ØØ º Ì Ð ÐÙÚÙ ¹ Ø ØØÚØ ÓÐÑ ÒØ Ø ØØ ÓÚ Ø ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÒÒ ÐØ º Ä Ù ¾º ÒÓÑ Ð Ù µ ÇÐ ÓÓØ a b Ö Ð ÐÙ Ù n ÔÒ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº Ë ÐÐÓ Ò n ( ) n ¾º º µ (a+b) n = a r b n r r r=0 à ÖØÓ Ñ ( n r) ÙØ ÙØ Ò ÒÓÑ ÖØÓ Ñ º Ä Ù ¾º ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÒØ Ø ØØ µ ÇÐ ÓÓØ a b Ö Ð ÐÙ Ù n ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº Ë ÐÐÓ Ò ¾º º½¼µ n r=0 ( )( ) a b = r n r ( a+b Ä Ù ¾º ÅÙÐØ ÒÓÑ Ð Ù µ ÇÐ ÓÓÒ ÒÒ ØØÙ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù n Ö Ð ÐÙÚÙØ t 1 t 2 º º º t k º Ë ÐÐÓ Ò ¾º º½½µ (t 1 +t 2 + +t k ) n = ( ) n t n 1 1 n 1 n 2... n tn 2 2 tn k k, k n 1 + +n k =n Ñ ÙÑÑ Ý ÝÐ Ò ÐÐ Ø Ò ÔÒ Ø Ú Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò n 1 n 2 º º º n k ØØ n 1 +n 2 + +n k = nº n ). ¾º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ë ØÙÒÒ Ó Ò Ð ØØÝÝ Ò Ó Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ð Ó Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ò ØÙÐÓ Ø Ò ÓÙ Óº Í ÑÑ Ø Ò ØÝ ÒÒ ÐÐÒ Ù Ø Ò Ò Ú ØØ Ñ ØØ Ð Ò Ò ÔÐ ØØ Ø Ñ Ò Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙØ Òº Ë ØÙÒÒ Ó Ò ØÙÐÓ Ø Ø ¹ ØÒ Ø Ú ÐÐ Ø ÒÙÑ Ö Ø Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÚÙÐÐ º ÆÑ ÑÙÙØØÙ Ø ÐÙÓÒÒ Ø ¹ Ú Ø Ø Ö Ø ÐØ Ú Ò ØÙÒÒ Ó Ò ØÙÐÓ º Ë ØÙÒÒ ÐÑ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò ÒÒ ÐØ ÓÒ Ò ÓÐ ÐÐ Ø Ó Ø ÑÖ Ø ÐÐ ³Ó س ÑÙÙØØ٠غ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º ÇÐ ÓÓÒ Ω ÓÒ Ò ØÙÒÒ Ó Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ º Ë ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ëŵ X ÓÒ ÙÚ Ù ÙÒ Ø Óµ Ω ÐØ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÓÒ Rº Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ñ Ö ØÒ Ó ÐÐ Ö Ñ ÐÐ X Y Z º º º ÎÓ ÑÑ Ö Ó ØØ X: Ω R,
18 ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ Ñ X(ω) ÓÒ Ö Ð ÐÙ Ùº Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X Ð ØØ Ó Ò Ð ¹ Ø Ô Ù Ò ω Ω Ý Ò Ú Ò Ý Ò Ö Ð ÐÙÚÙÒ X(ω) Rº Ë ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ò X Y Z º º º ÖÚÓ Ñ Ö ØÒ Ô Ò ÐÐ Ö Ñ ÐÐ x y z º º º Å Ö ØÒ X(ω) = xº Å Ö ÒØ S X R ÖÚÓ ÓÙ Óµ Ø Ö Ó ØØ X Ò ÖÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÓÙ Ó º ÂÓ S X R ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ö ÐÐ Ò Ò Ø ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ø Ö Ø Òµ Ò Ò X ÓÒ Ö ØØ º Í Ò ÖÚÓ ÓÙ Ó Ñ Ö ØÒ ÐÝ Ý Ø S Ó Ò Ð ØØÝÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ý ÐÑ Ý Ø Ý Øº Â Ø Ù¹ Ú Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÖÚÓ ÓÙ Ó S X ÓÒ Ó Ò ÚÐ I Rº ÇÒ ÑÝ ÑÙ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÑÙØØ ØØ Ð ÑÑ Ú Ò Ö ØØ Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º Ñ Ö ¾º½¼ À Ø ØÒ Ö ØÓÒØ Ð ÒØØ 3 ÖØ º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Y ÓÒ ³ ÖÙÙÒ Ò ÐÙ ÙÑÖ³º Å Ö ØÒ R = ³ ÖÙÙÒ ³ L = ³ Ð Ú ³º Ë ÐÐÓ Ò ω: RRR RRL RLR RLL LRR LRL LLR LLL Y(ω): ÆÝØ Ñ Ö Y(RRL) = Y(RLR) = 2º ÇÐ ÓÓÒ A r Ø Ô ØÙÑ ÖÙÙÒ Ò ÐÙ ÙÑÖ r º Å Ö ÒØ (Y = 2) Ø Ö Ó ØØ Ø Ô ØÙÑ A 2 = {RRL,RLR, LRR} P(Y = 2) = P(A 2 ) = 3/8º Î Ø Ú Ø (Y 1) ÓÒ Ø Ô ØÙÑ A 0 A 1 = {RLL,LRL,LLR,LLL} P(Y 1) = 1/2º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Y ÖÚÓ ÓÙ Ó ÓÒ S Y = {0,1,2,3}º Ð Ø Ñ Ö ÒØ (X B), B R Ø Ö Ó ØØ ÐÐ Ø Ø Ô ØÙÑ A Ω ØØ A = {ω Ω X(ω) B}º ÌØ Ø Ô ØÙÑ Ñ Ö ØÒ ÑÝ X 1 (B) = Aº Ñ Ö ¾º½¼ Ø Ô ØÙÑ (Y [0,1]) ÓÒ A = {RLL,LRL,LLR,LLL} Ó Y(ω) [0,1] ÙÒω A Y(ω) / [0,1] ÙÒ ω A c º Ë Y 1 ([0,1]) = Aº Ñ Ö ¾º½½ Å Ð Ô Ý ÐÝ Ø Ù Ø Ò100 ÐØ ØÙÒÒ Ø Ú Ð ØÙÐØ Ø ÑÔ Ö Ð ÐØ Ò Ó ÙØ ØÙÐØ ÒÒ Ò ÙÖÓÔ ÖÐ Ñ ÒØØ Ú Ð ¾¼¼ Ò Ó ¹ ÙØ ØÙ µ Ñ ÒØ ÐÐ ÓÒ ËÙÓÑ Ò Æ Ìǹ ÒÝÝØ Òº ÅÓÒØ ¹ Ó Ö Ð Ø ÓØÓ Ø 100¹ ÓÑ Ò Ø ÓØ µ ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø Ú Ð Ø Ð Ø Ô Ù ω ÓÒ ÓØÓ Ò Ú Ð ØØ Ú Ò Ò Ð Ò ÓÙ Ó ω = {h 1,h 2,...,h 100 }º À Ø Ø Ð¹ Ø Ú Ø ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙ 1 Ø 100 Òº ÅÖ Ø ÐÐÒ ÒÝØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X i,1 i 100 Ø Ò ØØ X i (ω) = 1 Ó h i ÒÒ ØØ ËÙÓÑ Ò Æ Ìǹ ÒÝÝØغ ÂÓ h i Ú ØÙ Ø Æ Ìǹ ÒÝÝØØ Ò Ò X i (ω) = 1 X i (ω) = 0 ÙÒ Ò Ð ÐÐ ÓÐ ÒØ Ø Ú Ø º ÂÓ Ò Ò X i (ω) { 1,0,1} i = 1,2,...,100º ÅÖ ØØ Ð ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÓÒ ÖÚÓ ÓÒ Æ ÌÇ ÓÒ Ð ØØÝÑ Ò ÒÒ ØØ Ò ÐÙ ÙÑÖº ÇÐ ÑÑ Ó ÐÐ ÑÔÐ ØØ Ø ÓÚ ÐØ Ò Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ø¹ غ ÆÓÔ Ò ØØÓÓÒ Ð ÒØ Ò ØØÓÓÒ ÓÖØØ Ô Ø Ø ØÚ Ò Ú Ð ÒØÓ Ò Ð ØØÝÚ ÐÐ ØÙÒÒ Ó ÐÐ ÓÒ Ô Ö ÒØ Ø Ú ÒÒÓÐÐ Ø ØØÙ ØÓ ÒÒ ÝÝ ¹ Ð ÒÒ Ò ØØ Øº Ì ÙÐÙ Ó ¾º¾ ÓÒ Ø ØØÝ ÑÙÙØ Ñ ØÙØØÙ ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ º
19 ¾º º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ì ÙÐÙ Ó ¾º¾º ÂÓ Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ò ÖÚÓ Ð٠غ Ë ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ ÃÙÚ Ù ÖÚÓ ÓÙ Ó S X ÆÓÔ Ò ÐÑÐÙ Ù {1,2,3,4,5,6} Y ÃÖÙÙÒÙ Ò ÐÙ ÙÑÖ {0,1,2,3} Ð ÒØ Ò ØÓ Z À ØØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ¹ {1,2,3...} Ò Ò 1. ÖÙÙÒ W ÃÓÖØØ Ô Ø ØÙÒÒ Ø Ú Ð ØÙÒ ÓÖØ Ò Ñ {,,, } ÅÖ Ø ÐÑ ¾º ÓÐ ÑÑ ØÓ ÒÒ Ø ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø Ö ¹ Ð ÐÙ Ù º Æ Ò Ò ÚÐØØÑØØ ÓÐ º Ñ Ö Ì ÙÐÙ ÓÒ ¾º¾ ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ò W ÖÚÓ ÓÒ Ú Ð ØÙÒ ÓÖØ Ò ³Ñ ³º ÆÑ ÖÚÓØ ÚÓ Ò Ù Ø Ò Ò Ò Ø ÖÚ ØØ ÓÓ Ø ÒÙÑ Ö Ø º ÂÓ Ò Ý Ø Ý Ø Ö Ø Ð ÑÑ Ñ Ö ØÙÒÒ Ô Ö ØÙÒÒ ÓÒÓ Ø ØÙÒÒ Ö ØÝ º Æ ¹ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÝÐ ØÝ Ò Ô Ð Ø Ò ØÙÓÒÒ ÑÔ Ò º ÀÙÓÑ ÙØÙ ¾º½ ÂÓ X Y ÓÚ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ò ax, X +Y, X Y, XY X Y (Y 0) ÓÚ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ñ a ÓÒ Ö Ð ÐÙ Ùº ÆÑ ØÙÐÓ Ø ÙÖ Ú Ø Ø ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ ÙÒ Ø Óº Å Ø Ñ Ø Ò Ò ÐÝÝ Ò ÙÖ ÐÐ ÓÔ ØÙÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ø ÑÑ ØØ ÙÒ ¹ Ø ÓÒ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó x sin(logx) Ø x f[h(x)] = (f h)(x). Ø ØØÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ ÐÐ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º ÂÓ W Ì Ù¹ ÐÙ Ó ¾º¾µ ÓÒ Ñ Ö ØÙÒÒ Ø Ú Ð ØÙÒ ÓÖØ Ò Ñ V Ñ Ò ÓÙ¹ Ó S = {,,, } ÑÖ Ø ÐØÝ ÚÖ Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÖØ Ò ÚÖ V(W) = V[W(ω)] ÖÚÓ ÐÙ ÓÒ S V = {ÑÙ Ø ÔÙÒ Ò Ò}º ÃÓÖØØ Ô Ò ÓÖ¹ Ø Ø 52 Ôе ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ð Ø Ô ØÙÑ Ò ÓÙ ÓÒ ωº ÇÐ ÓÓÒ Y ÖÙÙÒ Ò ÐÙ ÙÑÖ Ð ÒØ Ò ØÓ Ì ÙÐÙ Ó ¾º¾µº Ë ÐÐÓ Ò Ñ Ö g(y) = Y 3 ( Ø h(y) = Y 3 ) ÓÚ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º Ã Ò Ø Ù ÑÑ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÐÐ Ò ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ º ÂÓ X Y ÓÚ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ò ω h[x(ω),y(ω)]
20 ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ ÑÖ ØØ Ð ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó h ÓÒ ÑÖ ¹ Ø ÐØÝ ÖÚÓ ÓÙ Ó {(X(ω),Y(ω)) ω Ω} R 2 º ÌØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ñ Ö ØÒ ÐÝ Ý Ø h(x,y)º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º ÁÒ ØØÓÖ µ ÇÐ ÓÓÒ A Ø Ô ØÙÑ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ωº Ì Ô ØÙÑ Ò A Ò ØØÓÖ I A ÖÚÓÒ 0 Ø 1 ÙÖ Ú Ø { 1, Ó ω A; I A (ω) = 0, Ó ω / A. ÂÓ Ø Ô ØÙÑ A ØØÙÙ Ò Ò I A = 1 ÑÙÙØÓ Ò I A = 0º ÁÒ ØØÓÖ ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ P(I A = 1) = P(A) P(I A = 0) = P(A c ) = 1 P(A). ÎÓ ÑÑ ÝØØ Ò ØØÓÖ Ú Ô ÐÙ ÙÑÖ Ò Ð Ñ Òº À Ø ØÒ Ð ÒØØ n ÖØ ÓÐ ÓÓÒ X k Ø Ô ØÙÑ Ò ³ ÖÙÙÒ kº ØÓ ³ 1 k nµ Ò ØØÓÖ º Ë ÐÐÓ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ¾º º½µ X = X 1 +X 2 + +X n ÓÒ ÖÙÙÒ Ò ÐÙ ÙÑÖ n ØÓ Ó ÙÑÑ ÓÒ Ý Ø Ò ÖÙÙÒ Òµ ÐÙ ÙÑÖ n ØÓ º ¾º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÐ ÑÑ ÒÒÓ ØÙÒ Ø Ö ØÝ Ø Ò ÙÑ Ø º À ¹ ÐÙ ÑÑ Ø Ø Ñ ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ X Ò ÖÚÓØ ÙÙÐÙÚ Ø Ñ Ò Ø ¹ Ò Ö Ð Ð ÒR Ò Ó ÓÙ ÓÓÒBº Å Ö ØÒ Ø Ô ØÙÑ {ω Ω X(ω) B} ÐÝ Ý Ø (X B)º Å Ð Ò ÒÒÓÒ Ó Ø Ò ÓÚ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ¾º º½µ P(X B) = P({ω Ω X(ω) B}),B Ω. Å Ö ÒØ P(X B) Ó Ó ØØ ØØ Ø Ô ØÙÑ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ØÙÒÒ ÑÙÙع ØÙ Ò X ÚÙÐÐ º ÃÓ B ÚÓ ÓÐÐ Ñ Ø Ò Ö Ð Ð Ò R Ò Ó ÓÙ Ó ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø P(X B) ÑÖ ØØ Ð ÚØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑ Òº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ÙÑ µ ÅÖ Ø ÐÐÒ ØÙÒÒ ÑÙÙع ØÙ Ò X ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÑ ÐÝ Ý Ø ÙÑ µ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Óº µ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÑ ÓÒ ÓÙ Ó ÙÒ Ø Ó P X Ó Ð ØØ Ó Ò R Ò Ó ÓÙ ÓÓÒ B ÖÚÓÒ Ö Ð Ø ÓÒ ¾º º½µ ÑÙ ¹ Ø º ÂÓÙ ÓÓÒ B Ð Ø ØØÝ ÖÚÓ Ñ Ö ØÒ P X (B)º µ ÃÙÒ Ú Ð Ø Ò B = (,x] Ð B ÓÒ ÔÙÓÐ ÚÓ Ò ÚÐ Ò Ò ÒØ Ø Ø Ò ¾º º½µ ÒÓ ÐÐ Ò ¾º º¾µ P(X (,x]) = P({ω Ω X(ω) x}) = P(X x). Ê Ð Ø Ó ¾º º¾µ ÑÖ ØØ Ð Ô Ø ÙÒ Ø ÓÒ F X (x) = P(X x)º ÙÒ ¹ Ø ÓØ F X ÙØ ÙØ Ò X Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó º
21 ¾º º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑ ÀÙÓÑ ÙØÙ ¾º¾ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÙÑ ÓÒ R Ò Ó ÓÙ Ó Ð¹ Ð ÑÖ Ø ÐØÝ ÓÙ Ó ÙÒ Ø Óº Ë ÓÒ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Óº ÂÓ P X (B) ØÙÒÒ Ø Ò ÐÐ B R Ò Ò ØÙÒÒ Ø Ò ÑÝ ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ö¹ ÚÓØ F X (x) ÐÐ x Rº à ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ ØØ Ð Ñ ØÝØÝÝ Ø ØÙÒØ Ú Ò Ò ÔÙÓÐ ÚÓ Ñ Ò ÚÐ Ò B = (,x] ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ Ø P X ((,x])º ÐÐØØÚ ÝÐÐ ÑÝ ÒØ Ò Ò ØÙÐÓ Ô Ø Ô Ò¹ º ÂÓ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó F ÓÒ ÒÒ ØØÙ Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ò Ð ØØÝÚ Ý ¹ ØØ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ø ØÝ R Ò Ó ÓÙ ¹ Ó Ò ÐÙÓ º Ì Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ú Ø ÚÙÙØ Ò Ô ÖÙ ØÙÙ ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ñ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ º Ñ Ö ¾º½¾ ÇÐ ÓÓÒY ÖÙÙÒ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÐÑ Ò Ð ÒØ Ò ØÓ ¹ Ñ Ö ¾º½¼µº Ë ÐÐÓ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ó Ú Ø Ú ØØÑØ ÙØ Ò ³Ø Ñй Ð Ò Ý ÖÙÙÒ ³ Y = 1 Ø ³ ÓÖ ÒØ Ò ¾ ÖÙÙÒ ³ Y 2 ÑÖ ØØ ¹ Ð ÚØ Ø Ô ØÙÑ Òº Ì Ô ØÙÑ Ø ÚÓ Ò ÐÐÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó Y B º ÂÓ B = (,2] Ò Ò B ÑÖ ØØ Ð ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ω Ø Ô ØÙÑ Ò {ω Ω Y(ω) B}) = {RRL,RLR,RLL,LRR,LRL,LLR,LLL} P Y (B) = P({ω Ω Y(ω) B}) = 7/8º Â Ø Ó ØÙÐ ÑÑ Ô ÒØ Ø Ø Ö Ø Ð Ñ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÑÖ ØØÑ Ø Ô ØÙÑ º Ñ Ö ¾º½ Ë ØÙÒÒ Ú ÐÝ Ê Ò ÓÑ Ï Ð µ È È ÚÓ Ô ¹ Ð Ú Ø ÖÙÙÒ Ð Ú º È Ð Ø ØÒ Ô Ö Ò Ð ÒØØ n ÖØ Ø Ñ Ö n = 20º Ò ÙÒ ØÙÐ ÖÙÙÒ Rµ È ÚÓ ØØ ÙÖÓÒ È ÚÓÐØ º ÃÙÒ ØÙÐ Ð Ú Lµ È Ú ÙÖÓÒ È ÚÓÐÐ º ÃÙÚ Ó ¾º¾ Ø ØÝÒ Ô Ð Ò ØÙÐÓ n = 20µ ÓÒ È ÚÓ ØØ ¾ ÙÖÓ º LRLRRRRLRLLRRRLRLLRL ÃÙÚ Ó ¾º¾º ÃÖÙÙÒÙ Ð Ú ¹Ô Ð Ò ØÙÐÓ Ò ØÝ ÙÒ Ô Ð Ò Ô ¹ ØÙÙ ÓÒ 20 ØØÓ º Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ È ÚÓ ØØ s ÙÖÓ ÙÒ n = s 20µ ÇÒ ÐÔÔÓ Ò ØØ Ñ ÓÐÐ Ò Ò ÚÓ ØØÓ ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Òº ÎÓ ØØÓ S ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X i i = 1,2,...,20µ ÙÑÑ Ò S 20 = X 1 +X 2 + +X 20,
22 ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ Ñ { 1, ÙÒ ÖÙÙÒ iº ØÓ ; X i = 1, ÙÒ Ð Ú iº ØÓ. Å Ò ÚÓ ØÓÒ S 20 = s ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ÙÙÖ Ò Ô Ò Òµ ÇÒ Ñ Ð Ò ÒØÓ Ø Ø Ö Ø ÐÐ ÑÝ Ø Ù Ò Ù Ò È ÓÒ ÚÓ ØÓÐÐ Ô Ð Ò Ò º ÂÓ Ô Ð Ø ÓÚ Ø Ø Ó ÚÓ ØØÓ 0µ ÑÖ ØØ Ð ÑÑ ØØ È ÓÒ Ó Ó Ó Ò ÓÐ ÐÐ ÐÐ ØÓÐÐ Ó Ó º ÂÓ È ÓÐ Ø ÔÔ ÓÐÐ ÐÐ ÐÐ ØÓÐÐ Ô Ø Ó Ò ÓÚ ÑÑ ØØ Ò ÓÒ ÐÐ Ò Ø ÔÔ ÓÐÐ º ÂÓ Ò Ò Ô Ð ØÙÓØØ Ú Ø Ú Ò ÙÚ Ò Ù Ò ÃÙÚ Ó ¾º¾º ÃÙÚ ÓÒ Ý Ø ØØÝ Ô Ø Ø (0,0) (1,S 1 ) (2,S 2 ) º º º (20,S 20 )º ÌÐÐ Ø ÔÖÓ ÙØ ÙØ Ò ØÙÒÒ Ú ÐÝ Ö Ò ÓÑ Û Ð µº Ö Ø ¹ Ô Ú ÒÒÓÐÐ Ø ØÙÒÒ Ú ÐÝ ÓÒ Ø ÐÐ ØØ ØÙÒÒ Ú Ð ÊÏ Ê Ò ÓÑ Ï Ð Öµ Ð Ø ÓÖ Ó Ø ØÒµ ØÙÙ ÙÒÒ Ð Ò Ó ¹ ÐÐ Ø ÐÒµ Ø Ú ÑÑ ÐÐ ÔÓ Ó Òµº Ñ Ö ÃÙÚ Ó ¾º¾ Ù¹ Ú ÙÐ Ô Ø Ò (5,1) ÙØØ º ÊÏ ÓÒ ÙÒÒ Ò Ú ÐÝÒ Ð Ò Ý Ò Ð Ò ÔÓ Ó Ò x Ð Ø º ÇÒ ÐÔÔÓ ØÓ Ø ØØ Ò Ñ ÓÐÐ ¹ Ø Ò Ô Ð Ò ÙÐ Ù Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ 2 20 º ÃÓ Ö ÓÒ Ö ØÓÒ ØÓØ ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø 2 20 Ô Ð Ò ÙÐ Ù ÓÚ Ø Ý Ø ØÓ ÒÒ Øº ¾º º½ à ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÑÖ Ø ÐØ Ò º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º µµ X Ò ÙÑ Ò ÚÙÐÐ º ÂÓ x 1 x 2 Ò Ò {X x 1 } {X x 2 } ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ Ò ÑÓÒÓØÓÒ ÙÙ ÓÑ Ò ÙÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ä Ù ¾º½µ Ó Ø ½µ P(X x 1 ) P(X x 2 ) ÓØ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó F(x) ÓÒ Ú Ú Ú ¹ Ò Úµº Ë ÙÖ Ú Ð Ù Ø ØÒ ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ò Ù٠غ Ä Ù ¾º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÐÐ F ÓÒ ÙÖ Ú Ø ÓÑ ¹ Ò ÙÙ Ø ½º 0 F(x) 1, x Rº ¾º F(x) ÓÒ x Ò Ú Ú Ú Ò Úµ ÙÒ Ø Óº º F(x) ÓÒ Ó ÐØ Ø ÙÚ Ø º ÐÐ x 0 R ÓÒ lim x x 0 + F(x) = F(x 0) x x 0 + Ø Ö Ó ØØ ØØ x 0 Ð ØÝØÒ Ó ÐØ µº º lim F(x) = 0 lim x F(x) = 1º x Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X Ø Ö Ø ÐØ ÓÙ ÙØ Ò Ù Ò Ð Ñ Ò ÑÙÓ¹ ØÓ P(X = a), P(X < b), P(X b), P(X > a), P(X a), P(a X b), P(a < X b), P(a X < b) Ò P(a < X < b) ÓÐ Ú ØÓ ÒÒ ÝÝ ¹ Ñ a b ÓÚ Ø Ö Ð ÐÙ Ù º ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ P ÓÒ X Ò ÙÑ Ò
23 ¾º º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑ Ð ØØÙÚ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓØ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ ÑÑ Ò P X º ÂØÑÑ Ø Ó Ð Ò Ò ÔÓ Ó Ø Ð ÒÒ ÓÒ Ý Ø Ý Ø ÐÚº Ñ Ö ¾º º µ (a < X b) = {ω a < X(ω) b} = {ω X(ω) b} {ω X(ω) a}, Ó {ω X(ω) b} = {ω X(ω) a}+{ω a < X(ω) b}º Ë ÐÐÓ Ò Ó P({ω a < X(ω) b}) = F X (b) F X (a), P({ω X(ω) b} {ω X(ω) a}) = P({ω X(ω) b}) P({ω X(ω) a}) = P X (X b) P X (X a) = F X (b) F X (a). ÇÐ ÓÓÒ X Ò Ð Ò ÚÙÓ T Ð Ò ÙÒ Ω ÓÒ ÙÓÑ Ð Ø Ò ÓÙ Óº Ë ÐÐÓ Ò {X = 20} = {ω X(ω) = 20} = {ω 20 T(ω) < 21}) ÓÒ ¾¼¹ÚÙÓØ Ò ÙÓÑ Ð Ø Ò ÓÙ Óº ÂÓ X Ò ÖÚÓ ÓÙ Ó S X = {x 1,x 2,...,x n,...,} ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ ÑÖ ¹ Ø ÐÐÒ p n = P(X = x n ), x n S X, n = 1,2,... ÂÓ x / S X Ò Ò P(X = x) = 0º ÂÓ ØÙÒÒ ÑÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø p n ÓÒ ÐÑ Ø ØØ ÚÓ ÑÑ ÑÖ ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÙÑ Òº Ë ÐÐÓ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ P(X B) = x n B ÐÐ B S X º ÂÓ Ø Ö Ð ÐÙ Ù x Ó Ø p n F X (x) = P(X x) = x n xp n ÐÐ a < b P(a < X b) = F X (b) F X (a) = p n. a<x n b Ñ Ö ¾º½ Ñ Ö ¾º½¼ Ø ØØ Ò Ö ØÓÒØ Ð ÒØØ 3 ÖØ º Ë ¹ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÓÒ ³ ÖÙÙÒ Ò ÐÙ ÙÑÖ³ X Ò ÖÚÓ ÓÙ Ó S = {0,1,2, 3}º ÆÝØ {ω X = 0} = {LLL}, {ω X = 1} = {RLL,LRL,LLR}, {ω X = 2} = {RRL,LRR,RLR}, {ω X = 3} = {RRR},
24 ¼ ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ Ñ Ð Ø Ô Ù Ø ÓÚ Ø Ý Ø ØÓ ÒÒ º Ë ÐÐÓ Ò F X (0) = P(X 0) = P({LLL}) = 1/8, F X (1) = P(X 1) = P({LLL,RLL,LRL,LLR}) = 4/8, F X (2) = P(X 2) = P({LLL,RLL,LRL,LLR,RRL,LRR,RLR}) = 7/8, F X (3) = P(X 3) = P({LLL,RLL,LRL,LLR,RRL,LRR,RLR,RRR}) = 1. Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ 0, ÙÒ x < 0; 1, ÙÒ 0 x < 1; 8 4 F X (x) =, ÙÒ 1 x < 2; 8 7, ÙÒ 2 x < 3; 8 1, ÙÒ x 3. F X (x) f X (x) x x ÃÙÚ Ó ¾º º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ F X (x) ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ ÙÒ Ø ÓÒ f X (x) ÙÚ Øº Ñ Ö Ò ¾º½ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÔÓÖÖ ÙÒ Ø Óº È Ø ÝÐ Ø Ò Ô ¹ Ò ØØ Ö Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÔÓÖÖ ÙÒ Ø Óº ÎÓ ÑÑ ÒÓ ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ Ö ØØ Ó Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÔÓÖÖ ÙÒ Ø Óº Ñ Ö ¾º½ ÇÐ ÓÓÒ X ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ 0, x < 0; F(x) = x 2, 0 x < 1; 1, 1 x. à ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ð ØÓ ÒÒ ÝÝ º Ñ Ö ØÓ ÒÒ ÝÝ ( 1 P 2 < X 3 ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) = F F = =
25 ¾º º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑ ½ f(x) F(x) x F ( 3 1 ) 4 F ( ) x ÃÙÚ Ó ¾º º Â Ø ÙÚ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ø Ý ÙÒ Ø Ó f(x) = 2x ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó F(x) = x 2 º ( 3 P 4 < X 3 ) = F 2 ( ) 3 F 2 ( ) 3 = 1 4 ( ) 2 3 = Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ø ÙÚÙÙ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ F X Ø ÙÚÙÙ Ò ÚÙÐÐ º Ñ Ö ¾º½ Ø ÐÐÝÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖØݹ Ñ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ø ÙÚ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÓÒ Ø ÙÚ Ó Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó F X (x) ÓÒ x Ò Ø ÙÚ ÙÒ Ø Óº Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÓÒ Ö ØØ Ó Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ x Ò ÔÓÖÖ ÙÒ Ø Óº ¾º º¾ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ð ØØÝÚ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ð ÒÒ ÓÒ ÑÓ¹ Ò Ø ÝØØ ÐÔÓ Ò X Ò Ø Ý ÙÒ Ø Óº ÅÖ Ø ÐÐÒ Ö Ø Ò Ø ÙÚ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓØ Ö Òº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º ÇÐ ÓÓÒ X Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÐÐ ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ¹ ØÙÚ ÑÖ ÖÚÓ x i, i 1 Ó Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÚ Ø P(X = x i ), i 1º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÙÒ Ø Ó f X ÙÖ Ú Ø ¾º º µ f X (x) = { P(X = x i ), ÙÒ x = x i, i 1 0, ÑÙÙØÓ Òº ÙÒØ ÓØ f X ÙØ ÙØ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÒX Ø Ý ÙÒ Ø Ó º Ö Ø Ò ¹ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓØ ÒÓØ Ò Ø Ú ÐÐ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ ¹ Ø Ó º
26 ¾ ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ ÂÓ X Ò ÖÚÓ ÐÙ ØØ Ñ Ö ØÒ S X = X(Ω) = {x X(ω) = x, ω Ω} Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÙÚ Ù f X : S X [0,1]. ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØf X (x) ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÐÐ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ ÑÙØØ f X (x) = 0 Ò ÙÒ x / S X º Ö Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓ ÓÙ Ó ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ¹ ØÙÚ ÓØ Ò ÖÚÓ ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò Ý Ø Ô Ð ÓÒ Ù Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù º Æ ÒÔ Ö ØØ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓ ÓÙ Ó ÓÒ Ø Ú ÐÐ ÑÑ Ò Ó Ò Ó ÓÒ ¹ ÐÙ Ù Ò Ö ØÝ Ø ÔÓ Ø Ú Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ó ÓÙ Óº Ä Ù ¾º½¼ Ø ØØÚØ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÙÖ ¹ Ú Ø ÙÓÖ Ò ÅÖ Ø ÐÑ Ø ¾º º Ä Ù ¾º½¼ Ê Ð Ø ÓÐÐ ¾º º µ ÑÖ Ø ÐÐÝÐÐ Ö Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ f X ÓÒ ÙÖ Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø ½º f X (x) 0 ÐÐ x Rº ¾º Å ÐÐ Ø Ò B R, P(X B) = º ÂÓ F X ÓÒ X Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó Ò Ò F X (x) = x i x x i B f X (x i ) Ñ x i S X º f X (x i ) x i Rf X (x i ) = 1, x i S X. º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ x i < x i+1 ÙÒ i 1º Ë ÐÐÓ Ò f X (x i+1 ) = F X (x i+1 ) F X (x i ), i 1, f X (x 1 ) = F X (x 1 ). Ä Ù Ò ¾º½¼ Ó 3 4 ÓÒ Ø ØØÝ ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÐ Ò Ò Ý Ø Ý º Ö Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÔÓÖÖ ÙÒ Ø Óº ÈÓÖÖ ÙÒØ ÓÒ F(x) ³ ÝÔÔÝ Ø³ F X (x i+1 ) F X (x i ) ÓÚ Ø Ô Ø x 1 x 2 º º º ÝÔÔÝ Ø Ò ÙÙÖÙÙ Ø ÓÚ Ø f X (x 1 ) f X (x 2 ) º º º ÂÓ Ñ Ö f(x) = 1 2x, x = 1,2,..., Ò Ò Ñ Ö F(3.5) = P(x 3.5) = f(1)+f(2)+f(3) = = 7 8. Ñ Ö ¾º½ Â Ø Ø Ò Ñ Ö ¾º½ Ó Ø ØØ Ò Ö ØÓÒØ Ð Òع Ø 3 ÖØ º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÓÒ ³ ÖÙÙÒ Ò ÐÙ ÙÑÖ³º ÅÖ Ø ØÒ X Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Óº ÆÝØ X 1 (0) = {LLL}, X 1 (1) = {RLL,LRL,LLR}, X 1 (2) = {RRL,LRR,RLR}, X 1 (3) = {RRR},
27 ¾º º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑ Ñ Ñ Ö ÒØ X 1 (x) = {ω X(ω) = x} ÓÒ Ò ÐÐ Ø Ò Ð Ø ¹ Ô Ù Ø Ò ω ÓÙ Ó ÓØ ÙÚ ÙØÙÚ Ø Ô Ø Ò xº ÃÓ Ð Ø Ô Ù Ø ÓÚ Ø Ý Ø ØÓ ÒÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÚ Ø P(X = 0) = P(X 1 (0)) = P({LLL}) = 1/8, P(X = 1) = P(X 1 (1)) = P({RLL,LRL,LLR} = 3/8, P(X = 2) = P(X 1 (2)) = P({RRL,LRR,RLR} = 3/8, P(X = 3) = P(X 1 (3)) = P({RRR} = 1/8. Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ 1, ÙÒ x = 0; 8 3, ÙÒ x = 1; 8 3 f X (x) =, ÙÒ x = 2; 8 1, ÙÒ x = 3; 8 0, ÑÙÙØÓ Òº Ñ Ö ¾º½ ÇÐ ÓÓÒ X ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ ÖÚÓ ÓÙ Ó ÓÒ S = {x 1,x 2,...,x N }º ÂÓ f(x k ) = 1 N ÐÐ k = 1,2,...,N, Ò Ò X ÒÓÙ ØØ Ö ØØ Ø ÙÑ Ñ Ö ØÒ X Tasd(x 1,x 2,...,x N )º ÀÝÚ Ò Ù ÒX Ò ÖÚÓ ÓÙ Ó ÓÒS = {1,2,...,N} ÓÐÐÓ Ò Ñ Ö ØÒ X Tasd(1,2,...,N)º Ñ Ö ÒÓÔ Ò ØÓ ÐÑÐÙÚÙÒ X ÖÚÓ ÓÙ Ó ÓÒ S = {1,2,3,4,5,6} ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó f(x) = 1 6, x = 1,2,3,4,5,6. ÅÖ Ø ÐÑ ¾º ÇÐ ÓÓÒ X Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f X ØØ ¾º º µ f X (x) 0 ÐÐ x R, P(X B) = f X (x)dx, B R. ÙÒØ ÓØ f X ÙØ ÙØ Ò Ø ÙÚ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ø Ý ÙÒ Ø Ó º ÅÖ Ø ÐÑ Ø ¾º ÒØ Ö Ð Ð ÒÒ Ò ØÙÐÓ Ø Ò Ä Ù ¾º½½ Ø ØØÚØ X Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ò Ù٠غ Ä Ù ¾º½½ Â Ø ÙÚ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ø Ý ÙÒ Ø ÓÐÐ ¾º º µ ÓÒ Ù¹ Ö Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø B
28 ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ ½º F X (x) = x ¾º f X (x)dx = R f X (t)dt ÐÐ x Rº f X (x)dx = 1º º F X (x) = d dx F X(x) = f X (x) Ô Ø x R Ó f X (x) ÓÒ Ø ÙÚ º Ä Ù ¾º½½ Ó 1 Ú Ð Ø Ò B = (,x] 2. Ó B = Rº Ä Ù ¾º½¼ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ð Ñ Ò Ò Ô Ð ÙØÙÙ Ý Ø ÒÐ ÙÙÒ Ð Ù ¾º½½ ÒØ ÖÓ ÒØ Òº ÁÒØ ÖÓ ÒØ ÐÙ B ÓÒ ÚÐ Ø ÑÙÓ Ó ØÙÙ ÓÖ Ò¹ Ø Ò Ö ÐÐ Ø ÑÖ Ø ÚÐ º ÁÒØ Ö Ð Ø ÓÚ Ø Ò ÐÝÝ Ø ØÙØØÙ Ê Ñ ¹ Ò Ò ÒØ Ö Ð º ÀÙÓÑ ÙØÙ ¾º ÂÓ F ÓÒ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÐÐ ¹ Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ØØ F X = F º Å ÐÐÓ Ò ÒÒ ØØÙ ÙÒ Ø Ó f ÓÒ Ø ¹ Ý ÙÒ Ø Ó ÐÐ Ø ØØÝ Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ ØÝØÝÝ ÓÐÐ (1) f(x) 0 ÐÐ x R (2) x i f(x i ) = 1 ÙÒ X ÓÒ Ö Ø¹ Ø f X (x)dx = 1 ÙÒ X ÓÒ Ø ÙÚ º Â Ø ÙÚ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ô Ù Ý Ò Ô Ø Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ P(X = x) = 0 ÐÐ x Rº Ñ Ö ¾º½ ÇÐ ÓÓÒ X Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f(x) = 2x ÙÒ 0 < x < 1º ÌÑÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÖØÝÑ ÙÒ ¹ Ø ÓØ 0, x < 0; F(x) = x 2, 0 x < 1; 1, 1 x. Ø Ö Ø ÐØ Ò Ñ Ö ¾º½ º ÆÝØ ÚÓ Ò ØÓ Ø ØØ F(x) = x 0 2tdt = x 2, ÙÒ 0 x < 1º ÃÙÒ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÒÒ ØØÙ Ò Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÚÓ Ñ ÐÐ Ö¹ ØÝÑ ÙÒ Ø Ó F (x) = d dx x2 = 2x, 0 x < 1. ÌÓ ÒÒ ÝÝ ÚÓ Ò Ð Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ ÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ º ¹ Ñ Ö P ( 1 X 3 2 4) Ò ÙÓÖ Ò y = 2x x¹ Ð Ò ÚÐ Ò ÚÒ Ô ÒØ ¹ Ð Ò ( 1 P 2 X 3 ) = 4 3/4 1/2 2xdx = 5 15, Ó Ø ØÝ Ø ÚÓ Ò ØØ ÑÝ ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ º
29 ¾º º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÒÝØ Ó ØØ Ó Ú Ð Ø Ò n Ð ÓØ N Ò Ð ÓÒ ÓÙ Ó Ø n Nµ ÓØ ÙØ ÙØ Ò ÔÓÔÙÐ Ø Ó º Î Ð ÒØ ÔÖÓ ÙØ ÙØ Ò ÓØ ÒÒ º À ¹ ÐÙØ Ò Ñ Ö Ø Ø ÒÒ Ò ÔÖ ÒØ Ò Ú Ð Ñ ÓÒ Ó Ò ÒÒ ØÙ º à ÒÒ ØÙ Ø ÚÓ Ø ØÓ Ø Ù Ø Ð Ñ ÐÐ Ò Ø ÐØ Ø ÓÚ Ø Ò Øº ÇÒ ÝØÒÒ Ñ ÓØÓÒØ Ø Ø ÐÐ ÔÓØ Ò¹ Ø Ð Ò Ø º Ë Ø Ò ÓØÓ Ð Ú Ð Ø Ò Ú Ò Ó Ñ ÓÐÐ Ø Ò Ø Ø Ø Ø ÐÐ Ò Øº ÈÓÔÙÐ Ø ÓÒ ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ò Ó ¹ ÙØÙØ Ò Ð Øº Æ Ñ ØÑÑ Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÐÐ ÓØÓ Ú Ð Ø Ò ÓØ ÒØ Ñ ¹ Ò Ø ÐÑ º Ë ÙÖ Ú Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ú Ò Ý Ò ÖØ Ø ØÙÒÒ ÓØ ÒØ Ëǵº ËÇ Ñ ÓÐÐ Ø n Ò Ó Ó Ø ÓØÓ Ø ÓÚ Ø Ý Ø ØÓ ÒÒ¹ º ËÇ ÐÐ Ú Ð ØØÙ ÓØÓ Ø ÙØ ÙØ Ò Ý Ò ÖØ ØÙÒÒ ÓØÓ º Ò ÖØ ØÙÒÒ ÓØ ÒÒ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ ÓØÓ Ú Ð Ø Ò Ø Ò Ø¹ Ø Ù Ò Ð Ó ÚÓ ØÙÐÐ ÓØÓ Ò ÓÖ ÒØ Ò ÖÖ Òº Î Ð Ø Ò n Ò Ð ÓÒ ÓØÓ N غ Ø ÐÐ Ò Ð ÓØ Ú Ð ØÙ Ö ØÝ º Ë ÐÐÓ Ò ½º Ð Ó ÚÓ Ò Ú ¹ Ð Ø N ÐÐ Ø Ú ÐÐ ¾º Ð Ó (N 1) ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ó ØÓ Ò ØÝØÝÝ ÓÐÐ Ö Ð Ó Ù Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ò º ÄÓÔÙÐØ nº Ð Ó ÚÓ Ò Ú Ð Ø [N (n 1)] ÐÐ Ø Ú ÐÐ º Ã Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ò Ö Ø ØØÝ Ò ÓØÓ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ N(N 1)(N 2) (N n+1) = N (n). ÇØÓ ÓÒ Ú Ð ØØÙ ØÙÒÒ Ø Ó Ó Ò Ò N (n) Ø Ö Ø ØÝ Ø ÓØÓ Ø ÓÒ Ý Ø ØÓ ÒÒ Ò Òº Ë ÐÐÓ Ò Ó Ò Ö Ø ØÝÒ ÓØÓ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ 1/N (n) º ÃÓ Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ò ÓØÓ Ø Ò Ð Ó ÓÙ Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ( ) N n ÓØÓ Ø ÓÐ Ø Ø Ò Ý Ø ØÓ ÒÒ Ò Ò Ó Ò ÓØÓ Ò ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ ÓÒ 1 ( N n), Ñ ÓØÓ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ( ) N = N(n). n n! ÇØÓ ÓÒ ( N n) ÔÔ Ð ØØ ËÇ Ò ÓÚ Ø Ý Ø ØÓ ÒÒ º Ñ Ö ¾º½ ÅÓÒ ÓÖØØ Ô Ð Ø Ò n Ò ÓÖØ Ò ÓØÓ µ Ô ¹ Ø ÔÓÔÙÐ Ø Óµ Ó ÓÒ N ÓÖØØ º È ÓÒ ÝÚ Ò Ó Ø ØØÙ Ó Ô Ò ÓÖØØ Ò N! Ö ØÝ Ø ÓÚ Ø Ý Ø ØÓ ÒÒ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØn ÓÖع Ø ÓÒ ØØÙ ÝÚ Ò Ó Ø ØÙ Ø Ô Ø º Ë ÐÐ Ô Ò Ö ØÝ Ó ÒÑ n ÓÖØØ ÓÚ Ø Ø ØÝ Ö ØÝ Ñ Ö Ô Ò ÔÐе ÓÒ (N n)! ÔÔ Ð ØØ º ÌÓ ÒÒ ÝÝ n ÓÖØØ Ø ØÝ Ö ØÝ ÓÒ (N n)! N! = 1 N (n). ÂÓ Ò Ö Ø ØÝÒ ÓØÓ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ 1/N (n) Ó Ò ÓØÓ Ò Ð Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ 1/ ( N n) º
30 ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ Å ÓÒ Ñ Ö ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ø Ú ÐÐ Ø ÓÖØØ Ô Ø N = 52µ Ò Ô Ø ÙÓÖ ( 1, 2, 3, 4, 5) Ö Ð Ø Ò Ú Ò Ò ÐÙ Ù¹ ÑÖ ÓÒ ( 52 5) = ÓØ Ò Ô Ø ÙÓÖ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ 1/ º ÂÓ Ð ÓÖØØ Ò Ô Ø Ó ØÙÐÐ ÒÒ ØÙ Ö ØÝ (1,2,3,4,5) Ò Ò Ö Ø ØØÝ Ò ÓØÓ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ 52 (5) = Ö Ø ØÝÒ ÓØÓ ¹ Ò ( 1, 2, 3, 4, 5) ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ 1/ º ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÔÓÔÙÐ Ø Ó ÓÒ a + b Ð ÓØ Ñ Ö Ú Ø ÓÒ a Ñ Ø bò Ø Ø ØÙÓØ ÔÓÔÙÐ Ø Ó ÓÒaÚ ÐÐ Ø bú Ö Ø ÒØ ØÙÓØ Ø¹ Ø º Î Ð Ø Ò ÔÓÔÙÐ Ø Ó Ø n Ò Ó Ó Ò Ò ØÙÒÒ ÓØÓ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ º Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ÓØÓ Ò ØÙÐ x ÔÔ Ð ØØ ØÝÝÔÔ 1 ÓÐ Ú Ð Ó¹ Ø n x ÔÔ Ð ØØ ØÝÝÔÔ 2 Ì Ú ÒÓÑ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ ÝØ ØØÝ ØÙÒÒ Ó ÓÒ Ô ÐÐÓ Ò Ú Ð ÒØ ÙÙÖÒ Ø º ÍÙÖÒ ÓÒ a Ú Ð Ó Ø b ÑÙ Ø Ô ÐÐÓ º Î Ð Ø Ò ÙÙÖÒ Ø ØÙÒÒ Ø Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ n Ô ÐÐÓ º Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ÓØÓ Ò ØÙÐ x Ú Ð Ó Ø Ô ÐÐÓ Ì ÙÐÙ Ó ¾º º Î Ð ÒØ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ Ö ÐÐ Ø ÔÓÔÙÐ Ø Ó Ø ÌÝÝÔÔ ½ ÌÝÝÔÔ ¾ Ø Ò ÈÓÔÙÐ Ø Ó a b a+b ÇØÓ x n x n ÈÓÔÙÐ Ø Ó Ø ÚÓ Ò Ú Ð Ø Ò ( ) a+b n Ý Ø ØÓ ÒÒ Ø n Ò Ó¹ Ó Ø ÓØÓ Ø Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ º ÃÓ a Ø ØÝÝÔÔ 1 ÓÐ Ú Ø Ð Ó Ø ÚÓ Ò Ú Ð Ø x ÔÔ Ð ØØ ( ) ( a x Ø Ú ÐÐ n x Ð ÓØ b Ø b n x) Ø Ú ÐÐ Ò Ò ( )( a b x n x) ÐÐ Ø ÓØÓ Ø Ó ÓÒ x ÔÔ Ð ØØ ØÝÝÔÔ 1 n x ÔÔ Ð ØØ ØÝÝÔÔ 2 ÓÐ Ú Ð ÓØ º ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ØÝÝÔ¹ Ô 1 ÓÐ Ú Ò Ð Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓØÓ º Ë ÐÐÓ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó f(x) ÓÒ ( a b ) ¾º º½µ f(x) = x)( n x ), x = 0,1,2,... ( a+b n ÐÐ Ø ØÝ Ø ÓØ ÒØ ¹ Ø ÐÑ Ø Ø ØÝ Ø ÙÖ ØØ ØÓ Ò x a n x b ØÝØÝÝ ÓÐÐ ÚÓ Ñ º ÂÓ ÓØ ÚØ ÓÐ ÚÓ Ñ Ò Ò f(x) = 0º  ÙÑ ¾º º½µ ÙØ ÙØ Ò ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ ÙÑ º Ë ÓÒ ØÖ ÑÝ Ñ Ö Ó Ò Ò Ò º Ø Ö Ó Ò Ø Ø Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÒÒ º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ Å Ò Ø ÓÐÐ ÙÙ ÔÖÓ ÓÐ ØÝ ÐÐ Ò Ò ÑÝ Ú Ö ÐÐ ØÙÓØØ Ø ÓÒ Ó ÓØ ØØ Ú º Ö ØÝ ÐÐ ÓÒ ÝØ Ö Ð Ð ÙÒÚ ÖÑ ØÙ Ö Ø Ð¹ Ñ ÓØØ ÚÓ Ø Ò Ô Ø ÝÐÐ Ö ØØÚÒ ÝÚ Ð ØÙº Î Ö ÐÐ Ø ØÙÓØØ Ø ÓÐ
31 ¾º º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò Ú ØØ Ú ÔÓ Ø ØØ Ú ÓØØ Ò ÚØ ÓÙØÙ ÐÐ º Ì ØÝ ¹ Ø ÚÓ Ø Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ò ØÙÓØ Ö ØØÚÒ Ø Ö Ø º ÌÝ ÐÐ Ò Ò Ø Ö ØÙ ÓÐ ÝØÒÒ ÝÐ Ò Ö Ð Ø Ò Ò ÓÐ Ø ÐÓÙ ÐÐ Ø ÒÒ ØØ Ú Ø ÓÒ ÓÔ Ñ ÓØÓÒØ Ó Ø Ö ØÙ Ñ Ö ØÙ Ó ØÙÓØØ Òº ÇÒ ÝÐ Ò ÝØ ØØÚ Ø Ö ØÙ ÓØ ÒØ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ØÙÓØØ Ø ÓÚ Ø Ó Ó Ú Ö ÐÐ Ø ÝÚ ÝØØÚ Ò ØÙ¹ Ð Ú Ø Ð ÙÒ Ø Ö ØÙ Ò N Ò ØÙÓØØ Ò Ö º Î Ð Ø Ò Ó Ø Ö Ø ØÙÒÒ Ø n ØÙÓØ ØØ Ø Ö ØÙ Òº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ð Ý ØÒ x Ú ÐÐ Ø º ÂÓ x ÓÒ ÙÙÖ ØÓ ÒÒ Ø Ö ÓÒ Ô Ð ÓÒ Ú ÐÐ Ö Ô Ø ÝÐØ Ø Ô ÒÒ Ø ÓØ Ö ØÙ Òº ÎÓ ÑÑ ÝØØ ÔØ ÒØ ÀÝÚ Ý Ö Ó x h ÑÙÙØÓ Ò ÝÐ Ö Ø Ø Ø Ð µº ÆÝØ ÓÐ Ú Ð ØØ Ú ÝÚ ÝÑ Ö h Ñ ÓÐÐ ÑÑ Ò Ú Ø º ÇÒ Ø ¹ ØÝ Ø Ñ ÓÐÐ Ø ØØ ÓØÓ x > h Ú Ú ÐÐ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ v ØÙÓ¹ Ø ¹ Ö ÓÐ Ò Ð Ò ÙÙÖ º ÌÓ ÐØ ÚÓ ØÓ x c ØÓØ ÙØÙ Ú ØÙÓØ ¹ Ö ÓÐ Ð Ú ÐÐ º ÐÐ Ñ Ò ØÙØ ÔØÒØÚ Ö Ø ÓÚ Ø ÙÖ Ú Ø ½º Ð Ò Ú Ö Ö Ó ÓÒ Ú Ò Ú ÐÐ ÝÐØÒ ¾º Ð Ò Ú Ö Ö Ó ÓÒ Ô Ð ÓÒ Ú ÐÐ ÝÚ ÝØÒº ÂÓ ÝÚ ÝÑ Ö h Ú Ø Ø Ò Ô Ò Ò 2º Ð Ò Ú Ö ÑÙØØ 1º Ð Ò Ú Ö Ú º ÅÓÐ ÑÔ Ú Ö Ø ÚÓ Ò Ô Ò ÒØ Ñ Ò Ø Ú Ø¹ Ø Ñ ÐÐ ÓØÓ Ó Ó n ÑÙØØ Ø ÒÓ Ø Ø Ö ØÙ Ù Ø ÒÒÙ º ÂÓØØ h Ò n Ò ÖÚÓØ ÚÓ Ø Ò ÑÖ ØØ ÓÔØ Ñ Ð Ø ÓÐ ØÙÒÒ ØØ Ú Ø Ö ØÙ Ù ¹ Ø ÒÒÙ Ø 1º 2º Ð Ò Ú Ö Ò ÙØØ Ñ Ø Ù Ø ÒÒ٠غ ÇÐ ÑÝ Ø ØØÚ Ú Ö Ð Ø Ò ÐÙ ÙÑÖÒ v ÙÑ ÝÐ ØÙÓØ ¹ Ö Òº ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò Î Ð Ø Ò n Ò Ð ÓÒ ÓØÓ ÔÓÔÙÐ Ø Ó Ø Ó ÓÒ N Ð ÓØ º ØØ Ð ÑÑ ØØ ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Ð ÓØ ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙ ÙÓ Ú Ø {1,2,...,N}º ÇØ ÒÒ Ô Ð ÙØØ Ò ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Ð Ó ÚÓ Ò Ú Ð Ø ÓØÓ Ò Ù ÑÑ Ò Ù Ò Ö¹ Ö Òº ÇÒ Ñ Ö Ñ ÓÐÐ Ø ØØ ÓØÓ Ò ØÙÐ Ñ Ð Ó ØÓ ØÙÚ Ø n ÖØ º ÎÓ ÑÑ Ø ÐÐ Ú Ð ÒÒ Ò ÔÖÓ Ò Ó Ð ÓØ Ú Ð Ø Ò Ô Ö Òº ÂÓ Ò Ú Ð ÒÒ Ò Ð Ò Ð Ó Ô Ð ÙØ Ø Ò ÔÓÔÙÐ Ø ÓÓÒ ÑÙØØ Ø ÒÒ Ò ØÙ Ð Ó Ñ Ö ØÒ ÑÙ Ø Òº Ë ÐÐÓ Ò 1º Ð Ó ÚÓ Ò Ú Ð Ø N ÐÐ Ø Ú ÐÐ 2º Ð Ó ÑÝ N ÐÐ Ø Ú ÐÐ ÐÓÔÙÐØ nº Ð Ó N ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ó ÐÐ Ú Ð ÒÒÓ Ú Ð ØÙØ ÚÓ Ú Ø ØÙÐÐ ÙÙ Ø Ò ÓØÓ Òº Ã Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ò Ô Ð ÙØØ Ò Ú Ð ØØÙ Ò Ö Ø ØØÝ Ò ÓØÓ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ N n º Ë ÒÓÑÑ ØØ ÓØÓ ÓÒ Ú Ð ØØÙ ØÙÒÒ Ø Ô Ð ÙØØ Ò Ó Ñ ÓÐÐ Ø N n Ö¹ Ø ØØÝ ÓÒÓ ÓÚ Ø Ý Ø ØÓ ÒÒ Øº Æ Ò Ú Ð ØØÙ ÓØÓ ÓÒ Ý Ò ÖØ Ò Ò ØÙÒÒ ÓØÓ Ëǵ Ô Ð ÙØØ Òº
32 ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ ÇÐ Ø Ø Ò Ñ Ö ØØ Ú Ð Ø Ò ÓÐÑ ÒÙÑ ÖÓ Ô Ð ÙØØ Ò ÒÙÑ ÖÓ ¹ Ø ¼ ½ ¾ º º º º Ë ÐÐÓ Ò ÚÓ Ò 10 3 = 1000 Ý Ø Ñ ÓÐÐ Ø Ö Ø Ø¹ ØÝ ÓÒÓ ¼¼¼ ¼¼½ ¼¼¾ º º º º Ç ÓÙ Ó {1,2,3} ÚÓ Ò Ú Ð Ø 3! = 6 Ø ¹ Ú ÐÐ ÓØ Ò ÓØÓ Ò {1,2,3} ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ 0.006º ÇØÓ {1,1,3} ÚÓ Ò 3 ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ó Ö Ø ØÝØ ÓÒÓØ (1,1,3) (1,3,1) (3,1,1) й ØÚØ Ñ Ø Ð Óغ ÇØÓ Ò {1,1,3} ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ 0.003º ÇØÓ {1,1,1} Ò Ú Ò Ý ÐÐ Ø Ú ÐÐ ÓØ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ 0.001º ÇØ ÒÒ ¹ Ô Ð ÙØØ Ò Ö ØÑØØ Ñص ÓØÓ Ø ÚØ ÓÐ Ý Ø ØÓ ÒÒ ÙØ Ò ÓØ ÒÒ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ º ÇÐ ÓÓÒ A i Ø Ô ØÙÑ ØØ Ú Ð Ø Ò iº Ð Ó i = 1,2,...,Nº ÃÓ Ú Ð Ò¹ Ò Ò Ó Òµ ØÙÐÓ ÓÒ Ú ÖÑ Ø Ý Ú Ò Ý Ø Ô ØÙÑ Ø A 1 A 2 º º º A N Ò Ò Ω = A 1 A 2 A N ÓÒ Ó Ò Ú Ð ÒØ Ô Ð ÙØØ Òµ Ð ØØÝÚÒ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ó ØÙ º Î Ð ÒØ ØÓ Ø Ø Ò n ÖØ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÔÓÔÙÐ ¹ Ø ÓÒ iº Ð Ó ØÓ ØÙÙ ÓØÓ n i 0 n i nµ ÖØ i = 1,2,...,Nµº Ë ÐÐÓ Ò n i=1 n i = n Ö Ð Ø Ò Ö Ø ØØÝ Ò ÓØÓ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ØÙÐÓ Ò ¾º º½µ ÑÙ Ò ( ) n n! = n 1 n 2... n N n 1!n 2! n N!. ÇÐ ÓÓÒ X i Ð ÓÒ i ØÓ ØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓØÓ º ÆÝØ Ó Ò X i Ò Ö¹ ÚÓ ÐÙ ÓÒ {0,1,2,...,n} X 1 +X 2 + +X N = nº Å Ö ØÒ ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝØØP(X 1 = n 1,X 2 = n 2,...,X N = n N ) Ý Ò ÖØ Ø P(n 1,n 2,...,n N ) Ó ÚÓ Ò Ð Ú ÐÐ ( ) n 1 P(n 1,n 2,...,n N ) = n 1 n 2... n N N n. Ñ Ö ¾º¾¼ Î Ð Ø Ò ÔÓÔÙÐ Ø Ó Ø {A 1,A 2,A 3 } N = 3µ5 ÖØ n = 5µ Ð Ó Ô Ð ÙØØ Òº Ë ÐÐÓ ÒA 1 A 1 A 3 A 1 A 3 ÓÒ Ö Ñ ÓÐÐ Ò Ò ØÙÐÓ ÓÒÓ ÓØÓ Ô Ð ÙØØ Òµ Ñ X 1 = 3 X 2 = 0,X 3 = 2 X 1 + X 2 + X 3 = 5º ÂÓ¹ ÒÓÒ A 1 A 1 A 3 A 1 A 3 ØÓ ÒÒ ÝÝ ÑÓ Ò Ù Ò Ó Ò Ú Ò Ô ØÙ Ò Ö¹ Ø ØÝÒ ÓØÓ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ 1/3 5 º ÃÓ Ö Ð ØÙÐÓ ÓÒÓ Ó X 1 = 3 X 2 = 0 X 3 = 2 ÓÒ ( ) 5 = 5! !0!2! = 10, Ò Ò ( ) 5 1 P(X 1 = 3,X 2 = 0,X 3 = 2) = = = Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ n Ò Ó Ó Ò Ö Ø ØØÝÝÒ ÓØÓ Ò ØÙÐ ÔÓ¹ ÔÙÐ Ø ÓÒ n Ò ÑÑ Ø Ð ÓØ n Nµ Ñ Ø Ò Ö ØÝ Ãݹ Ò Ò Ø Ô ØÙÑ ØØÙÙ Ø ÑÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ X 1 = X 2 = = X n = 1 X n+1 = = X N = 0º ÌÑÒ Ø Ô ØÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ P(1,1,...,1,0,...,0) = n! 1 (1!) n (0!) N n N = n! n N n.
33 ¾º º ÒÓÑ ÙÑ ÇØÓ Ò Ð ÓØ Ö Ð Ë ÐÐ Ö Ø ØØÝ ÓØÓ Ó Ñ Ò Ð Ó ØÓ ØÙ ÓÒ N (n) = N(N 1) (N n+1) ÔÔ Ð ØØ º ÂÓ ÓØÓ Ú Ð Ø Ò Ô Ð ÙØØ Ò Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ÓØÓ Ñ Ò Ð Ó ØÓ ØÙ ÓÒ ¾º º½µ P(³Ë Ñ ØÓ ØÙ³) = N(n) N n = N! (N n)!n n. ÇÒ ÐÚ ØØ ØÓ ÒÒ ÝÝ ¾º º½µ ÓÒ 0 Ó n > Nº ÀÙÓÑ ØØ N (n) = 0 Ó n > Nº ËÝÒØÝÑÔ ÚÓÒ ÐÑ Ñ Ö ¾º µ N = 365 n = rº ËÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ ËØ ÖÐ Ò Ò Ú ¾º º µ ÖØÓ Ñ Ò N! (N 1)! Ò Ð ÖÚÓ ¾º º¾µ ( ) N n+1/2 N! N (N n)!n e n. n N n ÃÙÒ N n ÓÒ ÒÒ Ø ØØÝ Ò Ò Ð Ù ¾º º¾µ Ð ØÝÝ Ý Øº ÂÓ ÝÚ Ò ÙÙÖ Ø ÔÓÔÙÐ Ø Ó Ø Ú Ð Ø Òn Ð ÓØ n Nµ Ô Ð ÙØØ Ò Ò Ò ÓÒ ÝÚ Ò ÔØÓ ÒÒ Ø ØØ Ñ Ð Ó Ú Ð Ø Ò Ù ÑÑ Ò Ù Ò ÖÖ Òº ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ ÓÚ Ø ÝØÒÒ ÐÐ Ø Ø Ó Ò Ó Ò Ò ÒØØ Ø ÙÒ ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Ó Ó N ÓÒ Ô Ð ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò ÓØÓ Ó Ó nº ¾º ÒÓÑ ÙÑ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÔÓÔÙÐ Ø Ó ÓÒ ÒÐ Ð Ó Ø a ÔÔ Ð ØØ ØÝÝÔÔ A b ÔÔ Ð ØØ ØÝÝÔÔ Bº Î Ð Ø Ò ÔÓÔÙÐ Ø Ó Ø n Ð ÓØ Ô Ð ÙØØ Òº Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ÓØÓ Ò ØÙÐ x Ð ÓØ ØÝÝÔÔ A n x Ð ÓØ ØÝÝÔÔ B ÎÓ ÑÑ ÝØØ Ú Ø Ú ÙÙÖÒ Ñ ÐÐ Ù Ò ÝÔ Ö ÓÑ Ø¹ Ö Ò ÙÑ Ò Ý Ø Ý º ÍÙÖÒ ÓÒ a Ú Ð Ó Ø b ÑÙ Ø Ô ÐÐÓ º Î ¹ Ð Ø Ò ÙÙÖÒ Ø ØÙÒÒ Ø Ô Ð ÙØØ Ò n Ô ÐÐÓ º Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ÓØÓ Ò ØÙÐ x Ú Ð Ó Ø Ô ÐÐÓ ÃÓ ÓØ ÒØ Ø Ò Ô Ð ÙØØ Ò ÙÙÖÒ Ò ÐØ ÑÙÙØÙº Ì ÙÐÙ Ó ¾º º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò ÌÝÝÔÔ ÌÝÝÔÔ Ø Ò ÈÓÔÙÐ Ø Ó a b a+b ÇØÓ x n x n Ã Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ò n Ò Ó Ó Ø Ò Ý Ø ØÓ ÒÒ Ø Ò Ö Ø ØØÝ Ò ÓÒÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ (a+b) n º Ë ÐÐ Ö Ø ØØÝ ÓØÓ Ó ÓÒ Ò Ò
34 ¼ ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ x ÔÔ Ð ØØ ØÝÝÔÔ A ÓÐ Ú Ð Ó Ø ØØ Ò n x ØÝÝÔÔ B ÓÒ a x b n x º ( ÌÝÝÔÔ A ÓÐ Ú Ò x Ò Ð ÓÒ Ô n Ò Ô ØÙ ÓÒÓ ÚÓ Ò Ú Ð Ø n ) x Ø Ú ÐÐ º ÇØÓ Ö ØÑØØ Ñ µ Ó ÓÒ x ÔÔ Ð ØØ ØÝÝÔÔ A n x ÔÔ Ð ØØ ØÝÝÔÔ B ÓÐ Ú Ð Ó Ø ÓÒ ( n x) a x b n x ÔÔ Ð ØØ º Çй ÓÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ØÝÝÔÔ A ÓÐ Ú Ò Ð Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓØÓ º Ë ÐÐÓ Ò X Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ( ) n a x b n x f(x) = x (a+b) n, x = 0,1,2,...,n. Å Ö ØÒ ØÝÝÔÔ A ÓÐ Ú Ò Ð Ó Ò Ù Ø ÐÐ Ø Ó ÙÙØØ p = a 1 p = a+b b ÓÒ ØÝÝÔÔ B ÓÐ Ú Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ó ÙÙ º ÆÝØ X Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó a+b ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Ò Ø Ú ÐÐ ÑÑ ØÝ ÑÙÓ Ó ( ) n ¾º º½µ f(x) = p x (1 p) n x, x = 0,1,2,...,n. x ÙÒ Ø Ó ¾º º½µ ÓÒ ÒÓÑ ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Óº ÃÙÒ X ÒÓ٠ع Ø ÒÓÑ ÙÑ Ñ Ö Ø ÑÑ X Bin(n,p)º ¾º º½ ÒÓÑ ÙÑ ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò ÙÑ Ò Ð ÖÚÓÒ ÃÙÒ ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Ó Ó ÓÒ Ô Ð ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò ÓØÓ Ó Ó ÓÒ ØÙÐÓ Ò Ò¹ Ò ÐØ Ó Ò Ò Ñ ÒØ Ú Ø Ò ÓØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò Ú Ô Ð ÙØØ ¹ Ñ ØØ º ÃÙÒ a + b ÓÒ Ô Ð ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò n Ñ Ö ØÒ a + b nµ Ò Ò ÒÓÑ ÙÑ ¾º º½µ ÓÒ ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò ÙÑ Ò ¾º º½µ ÝÚ Ð ÖÚÓº ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ ÚÓ Ò ÐÙÓÒÒ Ø ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò ÙÑ Ò ÚÙй Ð ÓØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò ÒÓÑ ÙÑ Ò ÚÙÐÐ º Ä Ù ¾º½¾ ÂÓ a+b n Ò Ò ( a b ) ( ) ¾º º¾µ x)( n x n ) p x (1 p) n x, x = 0,1,2,..., x ( a+b n Ñ p = a/(a+b)º ÃÓ ÒÓÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÒ ÐÔÓÑÔ Ð Ù Ò ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ ¹ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÚÓ Ò Ö Ð Ø ÓØ ¾º º¾µ ÝØØ Ð ÒÒ ÝÚ ÙÒ a+b nº ÌÓ Ò ÒÝ Ý ÐÐ Ó ÐÑ ÐÐ ÓÒ ÐÔÔÓ Ð Ø Ö Ø ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ Ø ÙÓÖ Ò ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ø ÙÑ Ø Ú a+b ÓÒ ÙÙÖ º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒØ ÓÑ Ò ØÓÖ Ø ÒÚ ØÓ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÓÑ Ò ÙÙ ÔÒ Ø Ú ÙÙ P(A) 0 A Ωº
35 Ø ÒÚ ØÓ ½ ÅÓÒÓØÓÒ ÙÙ P(A) P(B) ÙÒ A B Ωº Ø Ú ÙÙ ÃÓÑÔÐ Ñ ÒØØ P(A) = n P(A i ) i=1 P(A c ) = 1 P(A)º Ó A 1 A 2 º º ºA n ÓÒ A Ò Óº Ø ÒÐ ÙÐ Ù P(A B) = P(A)+P(B) P(A B)º ËÝÑÑ ØÖ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ØÓ ÒÒ ÝÝ p(ω i ) = 1 n, ÐÐ ω i Ω = {ω 1,ω 2,...,ω n }; P(A) = p(ω i ) = A n = ³ ÙÓØ٠س. ³ ³ ω i A ÃÓÑ Ò ØÓÖ ÂÖ Ø ØØÝ Ò n¹óøó Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ô ÖÙ ÓÙ ÓÒ Ó Ó ÓÒ N ½µ Ú Ð ÒØ Ô ÐÙØØ Ò N n ¾µ Ú Ð ÒØ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ N (n) = N(N 1)(N 2) (N n+1), 0 n N N (N) = N!º ÇØÓ Ø Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ µ Ð n¹ ÓÑ Ò Ø ÓØ ( ) N = N(n) n n! = N! n!(n n)!. ÅÙÐØ ÒÓÑ ÖÖÓ Ò ( ) n = n 1 n 2... n k n! n 1!n 2! n k!. ÒÓÑ Ð Ù (1+t) n = n r=0 ( ) n t r, r ÐÐ t R ÔÓ Ø Ú ÐÐ Ó ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ nº
36 ¾ ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÓÒ ÙÚ Ù X: Ω Rº X Ò ÖÚÓ ÓÙ Ó S X(ω) S Rº ÂÓ S ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ò Ò X ÓÒ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º ÂÓ X Y ÓÚ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ò ax, X +Y, X Y, XY ÓÚ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ñ a ÓÒ Ö Ð Ú Óº X Y, Y 0 Ö Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÙÑ P(X A) = x AP(X = x) ÐÐ A Sº X Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó F F(x) = P(X x)º ÂÓ X Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó f ÓÒ Ö ØØ Ò Ò f(x) = P(X = x)º ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó f(x) = ( a b ) x)( n x ), x a n x b. ( a+b n ÒÓÑ ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ( ) n f(x) = p x (1 p) n x, x x = 0,1,...,n. ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ Ò ÓÓÑ Ø ÇÐ ÓÓÒF Ó ÒΩ Ò Ó ÓÙ Ó Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ σ¹ Ð Ö º ÃÙÚ Ù P: F R ÑÖ ØØ Ð ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ Ø Ò Ó ½º 0 P(A) 1 ÐÐ A Fº ¾º P( ) = 0 P(Ω) = 1º º ÂÓ Ø Ô ØÙÑ Ø A i F i = 1,2,...µ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ò Ö ÐÐ Ø Ò Ò ( P i=1 A i ) = P(A i ). i=1
37 À Ö Ó ØÙ À Ö Ó ØÙ ½º Ä ÙÖ Ú Ø Ð Ù Ø µ 6 (3) 0 (5) 5 (0) 7! ( ( 7 ) 7 ) 3 3 º µ ( ( 10) 14 ( ) 1.5 ) º ¾º ÇÐ ÓÓÒ n ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù 0 p 1º Ç Ó Ø ØØ µ n n x=0( x) p x (1 p) n x = 1 Î Å Ö Ø (1 p) + p = (1 p)(1 + p ) ÝØ ÒÓÑ ¹ 1 p Ð Ù ØØ ºµ µ n x=0 x( n x) p x (1 p) n x = npº Î ÃÝØ ÝÚ ØÙÐÓ Ø x ( ) ( n x = n n 1 x 1) ÒÓÑ Ð Ù ØØ ºµ º µ Î Ð Ø Ò ØÙÒÒ Ø ¾ ÐÙ Ù ÐÙÚÙ Ø 1 2 º º º 39 Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ º Å ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ Ò Ô Ö Ø ÐÙÚÙØ µ Î Ð Ø Ò ÐÙ Ù ÐÙÚÙ Ø 1 2 º º º 39 Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ ÄÓØØÓµº Å ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ Ò Ô Ö Ø ÐÙÚÙØ µ Î Ð Ø Ò ¾ ÐÙ Ù ÐÙÚÙ Ø 1 2 º º º n Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ º Å ÐÐ ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ ÐÐ Ò Ô Ö Ø ÐÙÚÙØ º Ã Ø ØÓ Ø Ú Ö ÒÝØØ Ø ÓÐ ÔÓ Ø Ú Ò Ø Ú º Ë Ò¹ ÒÙ Ò Ø ÒÝØØ Ø ÙÒÓ ØÙ Ú Ø Ñ Ö Ø ÑØØ ÓØ Ò Ò ÓÐ Ò ÐÝ Ó ¹ Ø Ú ÙÙ Ø Ò Ý Ø ÐÐ Ò ØÙÒÒ Ö ØÝ µº µ Å ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ Ø ÖÚ Ø Ò Ú Ò Ò ÐÝÝ Ò ÑÑ Ø ÔÓ Ø Ú µ µ Å ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ Ø ÖÚ Ø Ò Ø ÑÐÐ Ò Ò ÐÝÝ µ Å ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ ÔÓ Ø Ú Ø ØÙÐÓ Ø Ò Ô Ö Ò º Ö Ò Ð Ø Ø ÐÐ Ò Ó ØÓ Ó Ò Ó ÐÐ ØÙ ½ Ñ Ø ¾¼ Ò ¹ Ø º ÃÝÑÑ Ò Ò ØÙÒÒ Ø Ú Ð ØØÙ ÔÓØ Ð Ø ØÙØ ØØ Ú ÙÙØØ Ó ¹ ØÓ Ó ØÓÖÝ Ñµ ÐÓÔÙØ ÙÙÐÙ Ú Ø Ú ÖØ ÐÙÖÝ ÑÒº Å ÓÒ ØÓ ÒÒ¹ ÝÝ ØØ Ó ØÓÖÝ ÑÒ ØÙÐ µ Ò Ò Ý ÙÑÔ Ò Ù ÙÔÙÓÐØ µ Ò Ò ÓÐÑ ÙÑÔ Ò Ù ÙÔÙÓÐØ º µ Î Ð Ø Ò 30 ÒÒÝ Ò ØÙÓØ ¹ Ö Ø 4 ØÙÒÒ Ø Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ Ø Ö ØÙ Òº ÂÓ ØÙÓØ ¹ Ö ÓÒ 3 Ú ÐÐ Ø Ò Ò Ñ ÐÐ ØÓ ÒÒ¹ ÝÝ ÐÐ ÓØÓ ÓÒ º Ø ÑÐÐ Ò 2 Ú ÐÐ Ø º Ò Ò 2 Ú ÐÐ Ø
38 ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ µ ÇÐ ÓÓÒ 30 Ò ÒÒÝ Ò ØÙÓØ ¹ Ö d Ú ÐÐ Ø º ÌÙÓØ ¹ Ö Ø Ø Ö ¹ Ø Ø Ò n Ò ÒÒÝ Ò ÓØÓ º Ö Ð Ø ØÒ ÑÝÝÒØ Ò Ó ÓØÓ ÓÐ Ý ØÒ Ú ÐÐ Ø ÑÙÙØÓ Ò Ö Ô Ð ÙØ Ø Òº À ÐÙØ Ò ØØ5Ú Ð¹ Ð Ø ÐØÚØ ØÙÓØ ¹ ÖØ Ô Ð ÙØ Ø Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ p 0.95º ÃÙ Ò ÙÙÖ ÓØÓ Ó Ó ÐÐÓ Ò Ø ÖÚ Ø Ò º µ Ë Ó Ø Ø Ò 22 Ô ÐÐÓ ØÙÒÒ Ø 120 Ð Ø ÓÓÒº Å ÓÒ ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ ØØ Ý Ò Ð Ø Ó ÓÐ Ò ÑÔ Ù Ò Ý Ô ÐÐÓ µ Ö 120 Ô ÚÒ Ó Ô ØØ Ò 22 Ð ÒÒ ÓÒ ØØ º Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ñ Ò Ô ÚÒ Ô Ø Ò Ò Ò 2 ÓÒ Ø¹ Ø Ó Ö ÔÔ Ù Ø Ó ØØÙÚ Ø ØÝ Ò ØÙÒÒ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØ º º Î Ð Ø Ò ØÙÒÒ Ø Ô Ð ÙØØ Ò 3 Ô ÐÐÓ Ð Ø Ó Ø Ó ÓÒ 3 ÔÙÒ ¹ Ø 4 ÐØ Ø 5 Ò Ø Ô ÐÐÓ º Ä ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ µ Ô ÐÐÓØ ÓÚ Ø Ñ ÒÚÖ µ Ô ÐÐÓØ ÓÚ Ø Ö ÚÖ º Ä Ú Ø Ú Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÙÒ ÓØ ÒØ ÓÒ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ º º Ö Ú Ð ÐÔÓ Ò Ù Ò ÙÔÙÒ Ø Ø Ò ÙÙÖ ÒÒ Ò Ú Ð Ñ Ð Ô Ý ÐÝ Ú Ð Ø Ñ ÐÐ 100 Ò Ð Ò ÓØÓ Ú Ð ÐÔÓ Ø Ò ÔÓ¹ ÔÙÐ Ø Ó Ø º Ó Ø ÓÐ Ú Ø A Bº Î Ð Ò ØÙÐÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ø ¹ ØÒ ØØ A Ò ÒÒ ØÙ ÓÐ ± B Ò ÒÒ ØÙ ±º Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ý ÐÝ µ 51 Ò Ð ÒÒ ØØ A Ø µ ÝÐ ÔÙÓÐ Ø ÒÒ ØØ A Ø µ ÃÙ Ò ÙÙÖ ÓØÓ ÓÒ Ø ØÚ ÓØØ ÓØÓ ÓÐ B Ò ÒÒ ØØ Ò ÑÑÒ Ù Ò A Ò ÒÒ ØØ Ú ÒØÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ 0.9 ½¼º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ò Ð ÒÑÙÓØÓ Ò Ò Ñ ¹ ÐÙ ÓÒ ØØÙ ÓÐÑ Ò Ô ÒØ ¹ Рй Ø Ò Ý Ø ÙÙÖ Ò Ø Ð Ò A B Cº Ä ÓÐ Ø Ø Ò ØØ ¹ Ø Ð Ò Ý ÒÒ Ø ÓÚ Ø ØÓ Ò Ù Ø 1 : 2 : 3º ÂÓ Ò Ñ ¹ Ø ÐÐ Òµ Ó ¹ ÐÙ Ò M Ù Ø ÐÐ Ò Ò ÒØ Ú ÖÖ ØØÙÒ Ó Ó Ñ ¹ ÐÙ Ò ÒØ Ò Ò Ú ÐÐ V(M) = P(M A)+2P(M B)+3P(M C), 2 Ñ P(M) = M M ÓÒ M Ò Ô ÒØ ¹ Ð Ω ÓÒ Ó Ó Ñ ¹ ÐÙ Ò Ω Ô ÒØ ¹ Ð º Ç Ó Ø ØØV(M) ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ØØ µ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½µº ½½º ÇÐ ÓÓÒ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ω Ö ÐÐ Ò Òº Ç Ó Ø ØØ ÅÖ Ø ÐÑÒ ¾º½ ÓÓ¹ Ñ Ø ÙÖ Ú Ø ÅÖ Ø ÐÑÒ ½º½ ÑÙ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ ¹ Ò Ù٠غ
39 À Ö Ó ØÙ ½¾º ÅÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØÚ ÓÒ Ú ØØÑ Ó Ø Ó Ò ÓÒ Ú Ø ØØ Ú ØÓ Ìµ Ø ÔØÓ µº Î Ø Ù ÓÒ Ó Ò Ø ÚÖ Ò Ó Ø Ú Ø Ù Ø 1 Ô Ø ØØ ÚÖ Ø 1 Ô Ø Øغ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÅÖ ÊÏ Ê Ò¹ ÓÑ Ï Ð Öµ Ú Ø Ú ØØÑ Ò ØÝ Ò ØÙÒÒ Ø À ØØ Ñ Ö Ð ÒØØ µº µ Å ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ ÊÏ Ò Ø Ú Ò Ô Ø ÑÖÒ µ Å ÓÒ ÊÏ Ò Ô Ø ÑÖÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÑ µ ÂÓ ÓÐÑ ÒØ Ò Ú ØÓ ØÓÒ ÓÒ Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ú Ø Ø Ò Ø Æµ Ò Ò Ñ ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ ÊÏ Ò Ø Ú Ò Ô Ø Ñ¹ ÖÒ ½ º Å Ø ÚÓ Ø ÒÓ Ø Ô ØÙÑ Ø A Ó ÓÒ Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ Ø Ò Ò Å Ø Ò ÐÙÓÒÒ Ø Ø Ô ØÙÑ A B ÓØ ÓÚ Ø ØÓ Ò ÔÓ ÙÐ Ú Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ½ º ÌÓ Ø Ø ÒÐ ÙÐ Ù ¾º Ó Ó ØØ Ñ ÐÐ Ò Ò ØØ (A B) A = B (A B). ½ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ 550 ÓÑ Ò Ò Ð Ø Ó ÓÒ ¾ ± Ô Ð ÒØÙÒ Ø º µ Å ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ25 ÓÑ Ò Ò ØÙÒÒ ÓØÓ ÓØ ÒØ Ô ¹ Ð ÙØØ Ñ ØØ µ ÓÒ 2 Ô Ð ÒØÙÒÙØØ µ Å ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ25 ÓÑ Ò Ò ØÙÒÒ ÓØÓ ÓÒ ÓÖ Ò¹ Ø Ò 2 Ô Ð ÒØÙÒÙØØ µ À ÐÙØ Ò ØØ Ò Ò ¾ ± Ô Ð ÒØÙÒ Ø ÐØÚØ Ð Ø ÓØ Ýй ØÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ p 0.95º ÃÙ Ò ÙÙÖ ÓØÓ Ó Ó ÓÒ Ú Ð ØØ Ú ½ º ÇÚ ÓÒ Ö Ð Ø µ ÐÙ Ó Ú Ñ Ø ÓÚ Ø Ò Ò ÙÙ Ò ÓÙ Ó ¹ Ó Ø ÒÒ Ø Ò ÑÙ Ò º ÇÐ Ø Ö ÔÙ ÓØØ ÒÙØ Ý Ò Ò Ø ÙÙ Ø ÓÒÒ Òº µ Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ú Ð Ø ÓÚ Ò Ù Ú Ñ ÐÐ µ Å ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ Ø ÓÚ Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ó¹ Ð Ñ ÐÐ Ú Ñ ÐÐ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ú Ñ Ø ÒÝØØÚØ ØÝ Ò ¹ Ñ ÒÐ ÐØ ºµ ½ º µ ÃÙ Ò ÑÓÒØ Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÖÚÓ Ø Ö Ø Ù Ý ØÐ ÐÐ x 1 +x 2 = 5 ÓÒ ÙÒ Ö Ø Ù Ò ØÙÐ ÓÐÐ ÔÒ Ø Ú µ ÁÒÚ ØÓ Ø 20 ØÙ ØØ ÙÖÓ 4 Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ó Ø Òº ÂÓ Ò Ó ØÙ Ò ØÙÐ ÓÐÐ 100 ÙÖÓÒ ÑÓÒ ÖØ º ÅÓÒØ Ó ÒÚ ØÓ ÒØ ØÖ ¹ Ø ÓÒ Ó Ó Ó ÙÑÑ ÓÒ Ó Ø ØØ Ú
40 ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ µ ÅÓÒØ Ó ØÖ Ø ÓÒ ÐÐÓ Ò Ó Ó Ó ÙÑÑ Ø ÖÚ Ø ÒÚ ØÓ ¹ ½ º Ì ØÓ ÓÒ ÓÒ n ÔÖÓ ÓÖ r ØÝ Ø Ø Ò ÔÖÓ ÓÖ ÐÐ ØÙÒ¹ Ò Ø º Ö ÔÖÓ ÓÖ ÐÐ ØÙÐ Ú Ò Ø Ò ÐÙ ÙÑÖØ ÓÚ Ø r 1 r 2 º º º r n r i 0 i = 1,2,...,n ¾º º µ r 1 +r 2 + +r n = r. µ Å ÓÒ Ö Ð Ø Ò Ú Ö Ù ÙÑ Ò ØÐ Ò ¾º º µ Ö Ø Ù Ò ÐÙ¹ ÙÑÖµ µ Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ø ØÝÐÐ ÔÖÓ ÓÖ ÐÐ ÓÒ k 0 k r ØÝ Ø µ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÒÒ ØÙØ n ÐÙ Ù r 1 r 2 º º º r n ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ý Ø¹ Ð Ò ¾º º µ Ñ ÓÐÐ Ø n r Ø Ò Ó ØØ ÐÙ ÔÖÓ ÓÖ ÐÐ ÓÚ Ø Ý Ø Ñ ÓÐÐ º Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ú Ö Ù ÐÙÚÙØ r 1 r 2 º º º r n
F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
LisätiedotF n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
LisätiedotÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý
ÈÖÓ Ð Ø Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ñ Ø ÐÐÒ ÔÖÓ Ð Ø Ð ÓÖ ØÑ º ÌÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÖÚ Ø Ò Ø Ø ØÒ ÓÐ Ó ØÙÐÓ Ò ÑÙ Ò Ö Ù ÙØ Òº ÖÓÒ Ô Ø ÖÑ Ò Ñ Ò ÓÒ ØØ ÒÝØ Ø Ö Ø ÐÐ ÖÓ Ú Ò Ð ÒØ ØÓ Ø Ø Ò ÙÙ ÐÐ ÖÚ Ù ÐÐ Ø ÖÚ ØØ º Ä ÓÒ Ö ØØ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ
LisätiedotÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº
LisätiedotÐ ØÖÓÒ Ø Ñ ÙÚÐ Ò Ø Ì ÑÙ Ê ÒØ ¹ Ó À Ð Ò ¾ º ÐÓ ÙÙØ ½ Ë Ò ÙÔ Ò ÝÒÒ Ò Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Å Ù Ö Ø ÐÑØ ¾ ¾º½ ÆÝ Ý Ø Ñ Ù Ö Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º
LisätiedotÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ
ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º º ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø Ø ¹ÑÖ ØØ ÐÝ º¾µ ÚÓ Ú Ø Ø ÑÝ Ø Ò ÑÖ Ø ÐØÚ Æ Ñ ÒØÝ ÑÝ ³ ³¹Ñ Ö Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ò ÓÐ ÐÐ ØØÝ ØÝÔ ¹ÐÝ ÒØ º½µº ¾ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ
LisätiedotÄ ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½» Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓØ Ò ÐØ º Å Ø Ò Ô Ð ÓÒ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÙÐÙØØ ØÙÒÒ Ø Ò Ò Á Ä Ø Ò Ð Ò ØÙÒÒ Ø Ú ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ô Ù Ó Ð Ö Øصº Ä Ø Ò
LisätiedotÌ Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Å Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ Ý ØØ Ðк Å Ò Ø Ð Ú Ø ÚÙÙ ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Å Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ø Ô Ó Ò Ñ Ñ ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ô ØÙ Ý ØØ Øº ÂÓ Å Ò Ø Ð Ú Ø ÑÙ ÓÒ
LisätiedotA B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º
LisätiedotÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ý ÝÐÐ Ø ØÓÖ ÒØ Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ
LisätiedotKuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑ Ò Ö ÒÒ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ø ÐРؽ ؾ Ø È Ð Ó ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ö ÒÒ Ì ØÓ ÓÒ Ô Ð Ò ÝØ Ñ Ò ÓÒ Ñ ÐÐ Ó Ø Ò ÙÚ ØØ ÐÐ Ø Ñ ÐÑ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò Ð
LisätiedotÄ ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½» ÃÙÖ Ò ÐØ Ø ÐØÙ ÐØ ½ ¾ Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò ÄÙÓ È ÄÙÓ ÆÈ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ ÆȹØÝ ÐÐ ÔÖÓ Ð ÑÓ Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÄÙÓ ÈËÈ Ë Ú Ø Ò Ð Ù Ñ Ö ÈËÈ ¹ØÝ ÐÐ Ø
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÇÐ ÓÔÓ Ø Ø ØÓÑ ÐÐ Ø Ø ØÓ ÒÒ Ò ÐÐ ÒØ Ö Ø ÐÑ ÖØÓ ÖÐÙÒ À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ
Lisätiedot1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
LisätiedotÐ ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ØÓÖ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð
LisätiedotÈ Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»
È Ú Ö Ù ÆÈ Á à РÐÙÓ Ø È ÆÈ ÒÝØØÚØ ØÝ Ò Ö Ð ÐØ Ë ÐÚ Ø È ÆȺ µ È ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ º µ ÆÈ ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ú Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð ÓÒ
LisätiedotSymmetriatasot. y x. Lämmittimet
Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ ¹ÖÝ ÑĐ» ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó ÅÍÁËÌÁÇ ÆÓ»Ì ÊÅǹ ¹¾¼¼¼ ÔÚÑ ½¼º Ñ Ð ÙÙØ ¾¼¼¼ ÇÌËÁÃÃÇ Ø Ú ÒعØÙÐÓ ÐÑ Ð ØØ Ò ¹Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò ÖØ Ø ØÙØ ØÙÐÓ ÐÑ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ä ÌÁ ̵ ÂÙ Ú Ó Ð ¹ÂÙÙ Ð
LisätiedotÀ Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø
Ì ÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì Ó Ø ÐÐÒ ÓÒ ÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ö Ø Ú ÑÙØØ Ó Ò Ö Ø Ù Ú Ø Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ø Ð ØØ Ö Ø Ù ÓÐ ÝØÒÒ ÐÚÓÐÐ Ò Òº Í ÑÑ Ø ÓÐ ØØ Ú Ø ØØ ÆȹØÝ ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÙÑ ØØÓÑ ÒØÖ Ø Ð µ ÑÙØØ ØØ ÓÐ ØÓ Ø ØØÙº
LisätiedotX = 0I A0 +1I A1 +2I A2 +3I A3 = 1I A1 +2I A2 +3I A3. {X(ω) = r}º
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º
Lisätiedot139/ /11034 = 0.58
ÄÙ Ù ÂÓ ÒØÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÝÒ º½ Ì Ð ØÓÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÐÙÓÒÒ Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÔØØ ÐÝ ØØ Ð Ú ÒØÓ Ò Ú Ø ÐÙ ÔÚ ÖÑÙÙØØ º ÓÐ Ø ØÒ ÐÚ ØØ ØÙÓÐÐ Ø Ø ÚÓ Ò Ø¹ Ø Ñ ØÒ Ø ÑÐÐ Ø Ø Ø Ø ÐРغ Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÓÒ ÓÑ
Lisätiedotp q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2
º ÅÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ö ÒØ Ð Ð ÒØ º½ Â Ø ÙÚÙÙ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø Ù Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÒØ Ð Ð ÒØ ÐÑÔ Ø Ð ÓÒ Ò Ô Ò ÙÒ Ø Ó T(x, y, z.t) ÄÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ÐÑÓ ØØ Ñ Ò ÙÙÒØ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ú ÚÓ Ñ ÑÑ Ò Ù Ò Ð ÐÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ½½ ÃÓÓÖ
Lisätiedot{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.
Ä Ø ÓÓ Ø Ø º º Ä Ø ÓÓ Ø Ø Å Ø Ñ Ø ÓØ ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ù Ò ÓÙ Ó ÑÔÐ ØØ ÐÐ ÒÓØ Ø ÓÐÐ Ò ÙØ Ò {(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. À ÐÐ Ø Ö Ó Ú Ø Ú Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ØÓ ÐÐ Ò Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÒØ Ò Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ð Ø
LisätiedotÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø
È ÀÌ Ä Ì Ê ÙÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ
Lisätiedota b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº
ÄÙ Ù ÐÙ Ø ÂÙ Ä Ö ÂÓÙÒ È Ö ÓÒ Ò ÄÙ ÐÐ ÌÑ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÂÓÙÒ È Ö Ó Ò ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¾¼¼ ÂÙ Ä Ö Ò ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ô ØÑ Ò ÄÙ Ù Ð٠ع ÙÖ Ò ÐÙ ÒØÓ Òº ÅÓÒ Ø Ò Ò Ò Ñ Ø ¹ Ö Ð ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú ÓÒ Ñ ØØ ÐÐ ÐÙ ÒØÓ ÙÖ ÐÐ Ð ÑÙ
Lisätiedotel. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (
ÈÙÓÐ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ô ÖÙ Ø Ø À Ì Øº ½º È ÖÖ ÔÒ¹ÔÙÓÐ Ó Ð ØÓ Ò Ò Ö ÚÝ Ñ ÐÐ ÙÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÂÓ ÓÒØ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò V 0 Ý ØÐ µ ÃÙÚ Ò ÚÙÐÐ µ Ù ÓÚ ÖØ Ý ØÐ Ø Ô¹ Ò¹ØÝÝÔ Ø Ò Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ö Ø ÓØ Ô¹ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÙÖ
Lisätiedotd 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j
¾º¾º ÁÌÇÁÆÌÁ Ì ÁË Æ Ä Ëà ÅÁÆ Æ ¾ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÌÌÈÈÈÌÄÌÅÈÈ Ò Ù Ø¹Öݹ¹ Ò¹¹¹Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÙ ØØ ÐÓ Ò Ù ØÖÝ d ǫ ÒØ ÖÝ ǫ e ÒÙ ØÖÝ u ǫ ÒØ Ö Ý y s Ò ØÖÝ s ǫ ÒØ Ö ǫ t ÒØÖÝ ǫ e ÒØ Ö Ø ¾º¾ ØÓ ÒØ Ø ÝÝ Ò Ð
LisätiedotÈ ÌÀÇƹÇÀ ÄÅÇÁÆÆÁÆ ËÇÎ ÄÄÍÃËÁ Å ÌÊÁÁËÁÄ Ëà ÆÌ Æ ÌÁÄ ËÌÇÌÁ Ì Ë Æ Â ÆÍÅ ÊÁË Æ Å Ì Å ÌÁÁÃÃ Æ ÄÍÃÁÇÄ ÁËÁÄÄ Ì Ò Ï ÐÐ Ö ¹Ä Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Å ÖÖ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å
LisätiedotÅ Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ
Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ Á Å Ö Ò Ò À Ò ½½º º¾¼¼ Ç Ñ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò
LisätiedotÇ Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç Å ÖØØ Ì Ò Ö ¾ º½º¾¼½½ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ
Lisätiedot:: γ1. g 1. :: γ2. g 2
ÌÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ¹ Ý ÝÑÝ Ø º º¾ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ý ÝÑÝ Ð Ø x g Ò e? :: α Ö Ø Ø Ò ÓÐ ÐÐ Ø ÑÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ØØ ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙØØ À ÐÐ ÝÐ Ø Ò ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ ÐÑ ÒØÙ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ð Ó º Ë Ø ÑÙØ ÑÑ Ò ÑÓÒ Ý ÝÑÝ Ð Ø p g Ò e? ::
LisätiedotÀ ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ã Ö Ì ÑÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ
Lisätiedotà ÑÖ Ò ÙÙ Ò ÙÒØÓÐ Ò Ò ÓÖ ÓØ ÓÒ ÓÖ ÓÑ Ö Ò Ð Ò ÑÖÝØÝÑ Ò Ò ËÁË ÄÌ ËÁË ÄÌ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ ÌÙØ ÑÙ Ý ÝÑÝ ØÙØ ÐÑ Ò Ö ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÙÒØÓÐ Ò Ñ Ö Ò Ø ËÙÓÑ º º º º º º º º º º º º º
LisätiedotÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý
Ä Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÑ Ò Ò Ð Ñ Ô Ð Ò ÚÙÐÐ Î ÐÐ Ã ÒÒÙÒ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø
LisätiedotÐ Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø
Ä Æ Ä ÍÃÃÇÆ Æ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ØÓØ Ø Ò Ú Ö Ø Ö Ø ÐÙ ÓÔ ÒØÓ¹ Ñ Ò ØÝ Ò Ú ÙØØ Ú Ò Ø Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÈÄÇÅÁÌ ÝÚ ÝØØÝ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ó ØÓÒ ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ º½½º¾¼¼ º Ì Ö Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ë ÔÔÓ ÈÓ ÓÐ Ò Ò ØÙØ Å ÀÙ ÓÐ
LisätiedotË ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º
ÂÓ ÒØÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ØØ ÐÝÝÒ Ê¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ ÒÒ Ç Ö Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÐÓ ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º
Lisätiedotf(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
LisätiedotÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È
ÂÇÆÁ È ÀÄ Å ËÁÆÁÅ ÄÄÁÆÆÍÃË Æ È ÊÍËÌÍÎ ÅÍËÁÁÃÁÆ Ë ÆÌ ËÁ Ã Ò Ø ÒØÝ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ ÃÓÒ Ø ÃÓÔÔ Ò Ò ½½º ØÓÙ Ó ÙÙØ ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ
Lisätiedot(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).
ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙ Ø ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ØÐ ÐÐ x + 1 = 0 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ó Ó Ò Ö Ð ÐÙ¹ ÚÙÒ ØÓ Ò Ò ÔÓØ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº ÂÓØØ ØÐÐ Ý ØÐ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ù Ñ Ò ØÝØÝÝ Ð ÒØ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ð ÑÐÐ Ò ÙÙ Ð Ó Ñ Ö ØÒ Ø¹ Ø ØÓ Ø
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð
Ý ÒØØ Ð Ø ÒÖ Ð Ø ÒØØ Ì Ò À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
LisätiedotË Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Ò ÝÚÝÝ Ð ÒØ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ
LisätiedotF(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
Lisätiedotº F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
LisätiedotÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼
Å Ð Ë Ú Ð ÂÓ ÒØÓ Ð Ø ÓÖ Òº ØÖ ÙØ Ú Ø Ð Ø ÔÐÓÑ ØÝ ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ ÁÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ ÐÙÓÒÒÓÒØ
LisätiedotÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø
ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ìº à ÖÚ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ½» ½½ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì
Lisätiedotλ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.
Šع¾º½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø ¾¼¼ ¹¼¾¹½¾ Ì Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ø Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÐÐ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Ä ÙÖ ÂÙ Ò Ã Ò ¼¼ È Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ
LisätiedotA c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061
JORMA JOUTSENLAHTI Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä 1990-luvun pitkän matematiikan opiskelijoiden matemaattisen osaamisen ja uskomusten ilmentämänä AKATEEMINEN VÄITÖSKIRJA
LisätiedotÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ì ÑÓ Ã ÖÚ ¾º½½º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ ¾º½½º¾¼¼ ½» ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ
Lisätiedot¾º C A {N A } K N A º A B N B
Ú ÒØ Ò ÐÐ ÒØ ØÓ ÒÒÙ Ø Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ó ÔÙÓÐ Ø ÚÓ Ú Ø Ó¹ Ô Ð Ø Ú Ñ Ø ØÓ ÒØ ØÓ Ò º ÌÐÐ Ò Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ð ØØÝÝ Ù ÑÔ Ò Ø ØÓØÙÖÚ ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ò ÑÑ ¹ Ò Ú Ò ÒÒ Ò Ù Ò Ú Ö Ò Ò Ò ØÓ Ñ ÒØ Ñ Ö Ø Ó
LisätiedotÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó
ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ì ÖÓ ÃÓ Ó Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÌÙÖÙÒ Ð ÓÔ ØÓ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾
Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ÐÔ Ð Ú Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÑÓ ÙÐ ¹ Ö Ó ÒØ Ì ÑÓ ÌÙÓÑ Ò Ò À Ð Ò ½º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö Ø ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ
LisätiedotÌ ÓÚ Ö ÓØ Ð Ò Ã ÐÐÙÒ Å Ø Ñ Ø Ò ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ À ØÓÖ ¾ Î Ö ÓØ ÓÖ ¾º½ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
LisätiedotÌ È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø
È ÚÓ È Ö Ò Ò Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÓØ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ
LisätiedotSimulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
Ë ÑÓ À Ð Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¼º
LisätiedotÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú
ËÍÎÁ ÄÌÁÇ ÈÁÊÃ ÆÅ ÄÄ ¾¼¼ ¾¼¼ Ì È ÀÌÍÆ Á Æ ÄÁÁÃ ÆÆ ¹ ÇÆÆ ÌÌÇÅÍÍÃËÁ Æ Æ Ä ËÇÁÆÌÁ ËÎ ÊÃÃÇÂ Æ ÎÍÄÄ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø Ð ÓÔ ØÓÒÐ ØÓÖ Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ
LisätiedotÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º
ÂÓ ÒØÓ ½ ½ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ ÐÐ ØÙØÙ ØÙØ Ò Ô ÖÙ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ö ØÝ Ø Ñ Ø Ò ÖÓ ØÙØÙ Ø Ø Ð Ô ÖÙ Ø Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ø À ÐÐ ÓÐÐ ÓÒ Ô Ó Ó ÐÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø º ½ ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ
LisätiedotF(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
Lisätiedotk(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x)
Ì ÊÅÇ ÁÂ ÍËËÁÆ ÈÊÇË ËËÁÌ Ê Ê ËËÁÇ Æ Ä ËÁËË Ã Ò Ø ÒØÝ Ç ÝÐ Ø ÒØØ À ÖÖ Ä Ñ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ À ÀÙØØÙÒ Ò ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓØ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ Ì ÊÅÇ ÁÂ Ù Ò ÔÖÓ Ø Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ã Ò Ø ÒØÝ
LisätiedotN = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º
Å Ì ¾¾ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ã ¾¼½¼ ÌÑ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÙÖ ÐØ Ó ÐØ Ä ÃÙÖ ØÙÒ Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ Ò ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ò ÓØ ÒÒ ØØ ÐÙ Ñ Ð Ô ØÓ¹ ØÙ Ò Ð Ý ØÝ Ó Ø º Ë ÐØ ½º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ½º½º ÄÙ Ù Ö Ø ÐÑØ ½º¾º  ÓÐÐ ÙÙ ½º º Ð
Lisätiedot½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¹ØÖ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÒØ Ñ Ð ÚÝÐÐ Â Ó Å ÐÚ Ö À Ð Ò ¾¾º½¼º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Lisätiedot0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx)
Å ÌȽ ¼ ËÝÑ ÓÐ Ò Ò Ð ÒØ ¾ ÓÔ ½ Ð Ø ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ Ø ÐØ ËÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒÒ Ò ÙÖ ÐÐ ÓÔ Ø Ò Ø ØÓ ÓÒ Ò ÝØØÑ Ø ÔÙÚÐ Ò Ò Ñ Ø Ñ ØØ ÓÒ ÐÑ Ò¹ Ö Ø Ù º ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÒØ Ô ÖÙ Ú ÐÑ Ù Ø ÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒØ Ò Ö Ó ØÙÒ Ò Å Ø Ñ ¹
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º
Šع¾º ½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø º½º¾¼¼ Ì Ø ÐÙÒ ÑÙÐÓ ÒØ ÑÔÙÑ Ø ÖÚ Ò Ö Ø ÐÑ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ø Ó ÙÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Â ÒÒ Ä ØÓÒ Ò ¼¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ
Lisätiedot139/ /11034 = 0.58
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
Lisätiedotq(x) = T n (x, x 0 ) p(x) =
ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ ØÙÒ Ô Ø Ò x 0 ÝÑÔÖ ¹ Ø Ö ØØÚÒ Ð Ø Ð Ö ØØÚÒ ÑÓÒØ ÖØ Ø ÙÚ Ø µ Ö ÚÓ ØÙÚ ÅÖ Ø ÐÑ ÎÁÁ ½ ÙÒ Ø ÓÒ f : D f R D f R Ó ÓÒ
LisätiedotÌ ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ̺ à ÖÚ ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ½» ½ Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò
Lisätiedotf(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0.
Ú ËÁË ÄÌ ½¾º ËÙ Ø ÐÐ Ø Ò Ó ÙÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º ÇØÓ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½¾º Å Ò Ò ÙÑ Ø Ú Ô ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º º º º º º º º º º
LisätiedotÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼
ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼ ÌÝ Ò Ó À ÒÒÙ Â ÓÐ ÌÝ Ò Ø ÒÓ Åº Å Ø Ð ÅÓÓ Ð ÑÓÒ ÙÐØØÙÙÖ Ò
LisätiedotÌ ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò
ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÓØ Ò Ò Ó ÐÑ ØÓØ Ò µ ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ
Lisätiedot ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð
Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÒÒ ¹Ã Ð Ø ÐÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼  ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ
Lisätiedotº A, B E A B E. A B = A B. A k E, k N k=0 A k E. p(b) = m N,
Ì Ð ØÓÑ Ø Ñ Ø Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÇÙÐÙ ÙÐØÝ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý Ú ÓÒ Ó Å Ø Ñ Ø Â ÒÙ ÖÝ ¾¼¼ ¾ ÔØ Ö ½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ø ½º½ Ë ØÙÒÒ Ó ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ò Ø Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ ØØ Ñ Ø Ñ ØØ Ñ Ò Ø Ð¹ Ñ ÙÚ Ñ Ò Ø Ø Ó Ø
LisätiedotP(E i ) P( ) = 0. P(A A c ) = P(A)+P(A c ) = 1. P( ) = 1 P(Ω) = 0. P(E 1 E n ) = P(E 1 )+ +P(E n ). i=1. i=1
È Ò Ò ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ËÙÑÑ Ò Ò ½ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÖ ¾ ¾º½ Ë ØÙÒÒ ÙÙ ØÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÓÐÐ Ò
LisätiedotÀ ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
Ø ÝØØ Ø Ò ØØ Ò ÙÚ Ù ÐÓ Ô ÖÙ Ø Ò Ò Ñ¹ Ö ØØ ÐÝ Û È ØÖ Ä Ò Ö Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
LisätiedotÌ ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ØÙÖÚ ÐÐ ÙÙ ØØ Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ø Ø Ó ÐÐ ÑÖØÒ ÓÖ ¹ Ò Ø Ó
LisätiedotP F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,
ËÁË ÄÌ º º½ º º¾ º º º º Ú Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò
LisätiedotÌ ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ
ÂÝÖ Ä Ò Ò Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½ º ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ
Lisätiedot3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ö Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ¹ Ö Ò Ô ÖØÑ Ò Ò ÙÚ Ø Ò Ù Ò Ð Ù Ù Ò Ò Ô Ô Ð Ò µ ÚÙÐÐ Ö Ð Ù Ù Ò Ö Ø ØÓ ÙÐ Ð Ù Ù Ò Ò Ö Ú Ò ÙØØ ÒÒ Ò Ù Ò Ô ÖÖ ØÒ ÖÙÙ ÙÐÐ Ö
LisätiedotÀ ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÈÓÐÙÒ Ø ÒØ Ù Ò ÒØ Ò ÝÑÔÖ Ø Ô Ð È Ä ÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ ÄÙùØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
Lisätiedot½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1
½º º Àǹ ÇÊ ËÁ ù Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ à ÖÔ Ê Ò Ø Ö Ø Ð Ú Ø ÑÝ ÙÒ Ú Ö Ð Ò ÙØÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ú Ö Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ð Ø Ò q ØÙÒÒ Ø ÐÙ Ù ÓÙ Ó Ø Qº Q Ò ÐÙÚÙØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ô Ò Ò Ò Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÎÖÒ Ø ÑÝ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ
LisätiedotPainekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon
Å Ö ÃÓÑÙ Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon Sähkötekniikan korkeakoulu ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¾º¾º¾¼½ º ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ
LisätiedotÌ Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ
Ê ÑÓ È Ø Ò Ò ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ¾ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò
LisätiedotÌ Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò
Å ÈÙÐ Ò Ò ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÓØ Ò Ò Ò Ø ÒØÙØ ÐÑ ¾ º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù
LisätiedotÌ Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ
Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ð Ò ½½º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼¾ ÂÝÚĐ ÝÐĐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº
LisätiedotÌ ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÖÓ Æ Ñ Ð ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø
LisätiedotReferenced. Object. StateSet. Node. Geode
ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ¹Ó Ø Ì ÑÓºÌÓ Ú Ò ÒØѺ Ùغ ÌÑ Ó ÙÑ ÒØØ ÓÒ ØÝ Ò Ø Ô Ú Ø ØÒ Ø ÖÔ Ò ÑÙ Òº ½ Ø ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ÇË µ ÓÒ ÇÔ Ò Ä Ò Ô Ö ÒÒ ØØÙ ¹ÙÓ Ö¹ ØÓ Ó ÓÒ Ú Ô Ø Ø Ú Ó ØÓ Ñ ÑÓÒ ÝÑÔÖ Ø º ÇË Ó¹ ÙÑ ÒØÓ ØÙ ÓÜÝ Ò¹Ó Ñ ØÓÒ
LisätiedotMSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,
ËÁË ÄÌ Ú º º½ Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º
LisätiedotÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÆÌÌÁ¹ÁÄ ÊÁ È ÊÌ Æ Æ ÁÐÑ ØÓÒÑÙÓ Ù Ñ Ö ÙÓÐ Ò Ø Ó ÐÐ Ú Ù¹ ØÙ Ø Ñ Ö ÐÐ Ò ÙÑ
ÆÌÌÁ¹ÁÄ ÊÁ È ÊÌ Æ Æ ÁÄÅ ËÌÇÆÅÍÇÃà ÍË Å ÊÁËÍÇÄ ÁÆ ÃÌÁÇÁÄÄ Î ÁÃÍÌÍÃË Ì Å Ê ÄÄÁËÁÁÆ ÃÍÅÈÍà ÊÊÇËÈÁÄÎÁÁÆ Â Å È ÄÄÇÆ Ë Ì ÁÄ Ì Ë Ë Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÂÝÖ Å Ð Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ
LisätiedotÌ ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ë ÎÇÄ ÁÆ Æ ÇÄÄÁ
Lisätiedoty t = X t β + u t, u t NID(0, 1) t = 1, 2,..., n ½µ
ÇÊ Ê ÈÊÇ ÁÌ Â Â ÄÃ È ÄÄǹÇÌÌ ÄÍÆ Å ÄÄÁÆÌ ÅÁÆ Æ Ê Ò ÓÑ Î Ö Ð ½º Ò ÙÙØ ¾¼¼ ËÁË ÄÌ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ¾ ÇÖ Ö ÔÖÓ Ø ¾º½ Å ÐÐ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Â Ð Ô ÐÐÓ¹ÓØØ ÐÙÒ Ò
Lisätiedotarvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos
hyväksymispäivä arvosana arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki 12.4.2007 HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET
LisätiedotAktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
ÇÐÐ ¹È ÀÙÓÚ Ð Ò Ò Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
LisätiedotÐ Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË Ì ÑÓ Ã ÖÚ º½¾º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË º½¾º¾¼¼ ½» Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ
Lisätiedotx 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n
ÇÈÌÁÅÇÁÆÆÁÆ È ÊÍËÌ Ì Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ¾ º ÝÝ ÙÙØ ¾¼¼ ¾ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ØÙØÙ ØÙØØ Ø Ú ÐÐ ÑÔ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ò ÝØØ Ò ÓÚ ÐÐÙØÙ º ÃÙÖ Ñ Ø Ö Ð ÒØÙÙ Ò Ð Ò Ö Ó Òº ÐÙ ÐÝ Ý Ø ÖÖ Ø Ò Ñ ØÖ Ð Ö Ø
Lisätiedot(xy)z = x(yz) λx = xλ = x.
ÄÙ Ù ½ ÐÙ ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ ÝØ ØØÚ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Ø ØÓ Ò ØØ Ðݹ Ø Ø Ò Ð ØÓ Ò ÓÔ ÒØÓ ÓÐÐ ÙØÓÑ Ø Øº ÅÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÖ Ú Ò Ð Ø Ò Åº º À ÖÖ ÓÒ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÖÑ Ð Ä Ò Ù Ì ÓÖݺ ÓÒ¹Ï Ð Ý ½ º º º
LisätiedotRuuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
Ä ÊÓÔÔÓÒ Ò Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú
LisätiedotÄ ÖÓ Ò ÒØÝÑ Ò Ò Ù Ø Ð Ó Ò Ô ÐÐÓÒ Ñ ØØ Ú Ë ÖÔ È Ý Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÓÐÓ Ò Ð ØÓ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ Ä ÖÓ Ò Ö ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾
LisätiedotP(r, ϕ t) = P(z, e it ) = 1 z 2 e it z 2, Ñ z = reiϕ. f(z + re iϕ )dϕ. f(z) = 1. f(z) f(z 0 ).
ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÁÇ À Ê Æ Î ÊÍÍÃËÁËË ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Â ÖÑÓ Å Ð À Ð Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ù Ø ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ËÙ ÖÑÓÒ Ø ÙÒ Ø ÓØ Ð Ò ØÙÐÓ ¾º½ Ò ÐÝÝØØ Ø ÙÒ Ø ÓØ º º º º º º º º º º º º º
LisätiedotErkki Mäkinen ja Timo Poranen. Algoritmit
Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKKÖ TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 1/2011 TAMPERE 2011 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKKÖ INFORMAATIOTIETEIDEN
LisätiedotÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ
ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÀÁ Ì ÊÁÆÌ Ä ËËÁ ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½¼ º Ð Ø º ËÓÚ ÐÐ
LisätiedotT 2. f T (x)e i2π k T x dx. c k e i2π k T x = x dx. c k e i2π k T x = k Z. f T (x) =
º ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÙÖÖ Ò ÒØÖÐ Ð Ù ¹ ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(x) PC(R) º½ ÓÙÖÖ¹ Ò ÐÝÝ º ÒÐ Òµ ÅÖ Ø ÐÐÒ T ¹ ÓÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f T (x) = f(x), T 2 < x < T 2, ÃÓÑÔÐ Ò Ò ÓÙÖÖ¹ÖÖÓ Ò c k = 1 T T 2 T 2 f T (x)e i2π k T x dx.
LisätiedotÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½
Ê Ã ÆÆÍËÌ ÃÆÁËÌ Æ ÇÄÇ ÁËÌ Æ Â ÁÄÅ ËÌÇÄÄÁËÌ Æ Ì ÃÁ Á Æ Î ÁÃÍÌÍË ËÍÆÌÇÂ Æ ËÁË ÁÄÅ Æ Ê ÇÆÈÁÌÇÁËÍÍÌ Æ ÌÓÔ Ã ÒÒÙÒ Ò Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ
Lisätiedotx α 1... x (v ṽ)φdx = 0
Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ÔØ ÐÐ ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ì ÑÙ ÅÙ ØÓÒ Ò ½ ½ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ñ Ø Ø Ø Ò Ø ÙÒØ Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ
Lisätiedot