139/ /11034 = 0.58

Transkriptio

1 ÄÙ Ù ÂÓ ÒØÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÝÒ º½ Ì Ð ØÓÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÐÙÓÒÒ Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÔØØ ÐÝ ØØ Ð Ú ÒØÓ Ò Ú Ø ÐÙ ÔÚ ÖÑÙÙØØ º ÓÐ Ø ØÒ ÐÚ ØØ ØÙÓÐÐ Ø Ø ÚÓ Ò Ø¹ Ø Ñ ØÒ Ø ÑÐÐ Ø Ø Ø Ø ÐРغ Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÓÒ ÓÑ ÙØØÙ Ö ¹ Ð Ð ØÝÑ Ø ÔÓ ÔÚ ÖÑÙÙ Ò ØØ ÐÝÝÒº Ã Ô ÓÙÐÙ ÙÒØ ÓÚ Ø Ý Ð Ò Ò Ö Ú ÒØ Ø Ò Ò ÓÙÐÙ ÙÒØ º Ë ÙÖ Ú ØÝ Ô ÖÙ ØÙÙ ÔÓ ÓÒ Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Óµ ØØ Ò Ó ÓÒ ÙÑÑ Ò Ò ÐÐ Ñ Ò ØÙÒ ÓÙÐÙ ÙÒÒ Ò Ò Ò Ô ÖÙ Ø º Ô Ö Ò Ò ØÓ Ì ÙÐÙ ÓÒ º½ ØÙÐÓ Ø ÓÚ Ø Ô Ö Ò ØÙØ ÑÙ Ø Ó ÐÚ Ø ØØ Ò ¹ Ô Ö Ò ÚÓ ÐÚ Ù Ý Ò Ò Ö Ø Ò ÖØÙ ÑÝÓ Ö ÙØÙ µ ËØ Ö Ò ÓÑÑ ØØ Ó Ø È Ý Ò ³ À ÐØ ËØÙ Ý Ê Ö ÖÓÙÔ ½ µº ÌÙØ ÑÙ ØÙÒÒ Ø ØØ Ò Ø ÖÚ ØØ Ò Ð Ô Ö Ò ÖÝ ÑÒ ÐÙÑ ÖÝ ÑÒº Ô Ö Ò ÖÝ ÑÒ ÙÙÐÙÚ Ø Ú Ø Ô Ú ØØ Ò Ô Ò Ò ÒÒÓ Ò Ô Ö Ò ÐÙÑ ÖÝ ÑÒ ÙÙÐÙÚ Ø Ú Ø Ú Ø ÐÙÑ Ø Ð Ø Òº À Ò Ð Ò Ø ÖÚ Ý ÒØ Ð ÙÖ ØØ Ò ÑÖ Ò 5 ÚÙÓØØ º Ø ÐÑ ÓÒ ØÙÒÒ Ø ØØÙ Ð Ò Ò Ò Ó Ó ØÙØ ØØ Ò Ô Ö Ò Ò ÝØ Ò Ú ÙØÙ Ø Ý Ò Ò Ö Ø ÙÓй Ð ÙÙØ Òº ÌÙØ ÑÙ Ò Ó ÐÐ ØÙÒ Ø ÚØ Ø ÒÒ Ø ÙÑÔ Ò ÖÝ ÑÒ ÙÙÐÙ Ú Øº È Ý ÝÑÝ ÓÒ ØÑ ÇÒ Ó Ô Ö Ò Ø Ý ØÝ Ý Ò Ò Ö Ø Ò ¹ Ý Ô Ö Ò ÖÝ Ñ ÓÒ Ú ÑÑÒ Ý Ò Ò Ö Ø Ù Ò ÐÙÑ ÖÝ Ñ 139 Ú Ø Ò 239º Å Ø ØÑ ØÓ Ø Ñ Ø ÐÙÚÙ Ø ÚÓ Ò ÔØ ÐÐ ÇÒ¹ Ó ØÓ ØÙ Ò ØÓ ÝÐÐ Ò Ú Ú ÓØØ ÚÓ ÑÑ Ú Ø Ø Ý ÝÑÝ Ò Ë ÚÙ¹ Ú ÙØÙ Ó Ò Ø Ñ Ø Ø Ò ÚÓ ÐÚ Ù Ø Ò ÑÖÐÐ ÓÐ Ò ÑÑÒ Ô ¹ Ö Ò ÖÝ Ñ º ÃÙ Ø Ò Ò ÐÙ Ù Ò 119 Ú Ø Ò 98 Ó Ó ØØ Ñ ÖÓ ØÙÒÒÙ Ú ÙÙØØ Ú ÐØ º ÌÐÐ Ò Ý ÝÑÝ Ò Ú Ø Ñ Ò Ò ÐÐÝØØ Ø Ð ØÓÐÐ Ø Ð ØÓ Ø Ø Ñ ÐÐ Ó ÙÚ Ú ÒØÓ Ò ØÓ Ø Ø ÝØØÝØÝÑ Øº ¾

2 ¾ ÄÙ Ù º ÂÓ ÒØÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÝÒ Ì ÙÐÙ Ó º½ Ô Ö Ò Ò ÝØ Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ò ÚÓ ÐÚ Ù Ý Ò Ò Ö ¹ Ø Ú Ú ÙØÙ º ÊÝ Ñ ËÝ Ò Ó Ø Ù ÚÓ ÐÚ Ù Ø Ò Ô Ö Ò ½ ½½ ½½¼ ÄÙÑ ¾ ½½¼ ËÙ Ø ÐÐ Ò Ò Ö Ø Ò ¾½ ¾¾¼ ½ 139/ /11034 = 0.58 ÓÒ Ö Ú ÒØÙÒÙØ Ú ÖØ ÐÐ Ø Ù Ø ÐÐ Ø Ó ÙÙØØ º Ô Ö Ò Ò Ý ØÝ Ù ¹ Ø ÐÐ Ò Ö Ò ÓÒ 0.58º ÂÓ Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ö ÓÐ 1 Ø Ö Ó ØØ ØØ ¹ Ô Ö Ò ÐÐ ÓÐ Ú ÙØÙ Ø º Ø ÐÚ Ø Ô Ò ÑÔ ÖÚÓ Ó Ó ØØ ØØ Ô ¹ Ö Ò Ø ÓÒ Ý Øݺ ÇÒ Ó 0.58 Ø ÖÔ Ô Ð ÓÒ Ý Ø Ô Ò ÑÔ Ì Ñ Ö ÚÓ Ò ÓÐ ØØ ÒÓÑ Ñ ÐÐ Ó Ý Ò Ò Ö Ø Ò Ö ØÙÒ ¹ Ò ÐÙ ÙÑÖ Ô Ö Ò ÖÝ Ñ ÒÓÙ ØØ ÒÓÑ ÙÑ Bin(θ 1, n 1 ) ÐÙÑ ÖÝ Ñ ÒÓÑ ÙÑ Bin(θ 2, n 2 ) Ñ n 1 = 11037, n 2 = ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø θ 1 θ 2 ÓÚ Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ô Ö Ñ ØÖ º ÌÙÒØ Ñ ØÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ö ÓÒ θ 1 /θ 2 θº ÇÐ ÑÑ Ð Ò Ø Ù Ø ÐÐ Ò Ö Ò Ø Ñ Ø Ò ˆθ = 0.58º Ë Ò ÓÐ Ð Ø ØØÝ Ñ ØÒ ÖÚÓÒ ÐÙÓØ ØØ ÚÙÙ Ø ÖØÓÚ Ñ ØØ ÓØ Ò Ý Ò ÔÝ ØÝ Ú Ø Ñ Ò Ð ÙÔ Ö Ò Ý ÝÑÝ Òº ÒØ Ó Ó Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ò¹ ÓÖÑ Ø ÓØ ØØ ÚÓ ÑÑ Ø Ñ Ø Ò ˆθ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ú ØØ θ Ò ÓÐ Ú Ò Ô Ð ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ù Ò 1º Ø ÐÐ Ò ØØ ÓÐ Ø ØÝ 10 ÖØ Ð ÑÔ Ó ÓÐ ¹ Ú ØØÙ 1390 Ú Ø Ò 2390 Ý Ò Ó Ø Ù Ø º Ë ÐÐÓ Ò ÐÐ Ò ÓÐ ˆθ = 0.58 ÑÙع Ø ÒØÙ Ø Ú Ø ØÑÒ Ó Ò ØÙÐÓ ØÙÒØÙÙ Ú ÙÙØØ Ú ÑÑ ÐØ º Ø Ñ ØØ Ò Ô Ø Ð ØØ Ó Ò Ò Ø ÑÐÐ ÝÝØØ ÙÚ Ú Ñ ØØ ÓÒ ÚÙÐÐ ÚÓ ÑÑ Ö¹ Ú Ó Ø Ñ Ø Ò ÐÙÓØ ØØ ÚÙÙØØ º Ì ÓÒ Ô ÝØØÝ Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ ÓÒ ÐÑ Ò Å Ø Ò Ú ÒØÓ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ô ¹ Ö Ñ ØÖ Ó Ú ÔØ Ú ÔØ ÐÑ ÂÓ Ñ Ö ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ØÙ Ó ÓÒ Ò Ø ÙØ Ò ÑÙÙØØÙÙ Ó ¹ Ò Ú Ø Ú Ô ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝØ Ò ÓÒ ÑÙÙØÓ Ù Ø ÐÐ Ø ÓØØ Ò Ö ØØ Ò ÙÙÖ º ÂÓÒ Ò Ø Ú ÐÐ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò Ó ÐÐ Ý Ø ÙÙÖ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÙÙØÓ Ñ Ö ØÓ ÒÒ Ýݹ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝØ Ò ÓÐ Ñ Ö ØØÚº Ë ÑÓ ÐÐ ØÓ ÒÒ¹ ÝÝ Ò ÑÙÙØÓ ÐÐ Ð ÐÐ Ö Ô Ø 0 1 ÓÒ Ù Ò ÙÙÖ ÑÔ Ñ Ö ØÝ Ù Ò Ú Ø ÐÙ ÐÙ Ò Ú ÐÐ º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ù Ø Ò ÚÙÐÐ ÚÓ ¹ Ò Ø Ö Ø ÐÐ Ù Ø ÐÐ Ø ÑÙÙØÓ Ø º Ì ÙÐÙ Ó º¾ Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ö ÓÒ θ = θ 1 /θ 2,

3 º¾º Ì Ð ØÓÐÐ Ø Ñ ÐÐ Ø ¾ Ó ÚÓ Ñ Ò Ø Ò ¹Ò Ø Ú Ò ÖÚÓÒº ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ö¹ ÚÓ ÐÐ θ 1 = θ 2 = Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ö ÓÒ θ = / = 10 ÖÚÓ ÐÐ θ 1 = θ 2 = Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ö ÓÒ θ = / = Ì ÙÐÙ Ó º¾ Ë Ö ØÙÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ô Ö Ò Ý Ñ ÓÒ θ 1 ÄÙÑ ¹ ÖÝ Ñ θ 2 º ÁÒ ØØÓÖ Y = 1 ÙÒ Ò Ð ÐÐ ÓÒ Ò Ö Ø ÑÙÙØÓ Ò Y = 0 ÓØ Ò P(Y = 1 Ô Ö Ò ÖÝ Ñ) = θ 1 P(Y = 1 ÄÙÑ ÖÝ Ñ) = θ 2 º Y ½ ¼ Ø Ò Ô Ö Ò θ 1 1 θ ÄÙÑ θ 2 1 θ º¾ Ì Ð ØÓÐÐ Ø Ñ ÐÐ Ø Ì Ð ØÓØ ØØ Ð Ø Ñ Ø ÚÓ ÑÑ ÓÔÔ Ú ÒÒÓ Ø º Ì Ð ØÓÐÐ Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ú ÒØÓ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ØÙÒÒ Ó Ò ØÙÐÓ Ò ØÙÒ¹ Ò ÐÑ Òº Ø Ð ÑÑ ØØ Ú ÒÒÓØ ÓÚ Ø ÑÙ Ø Ò Ð Ø ÓÒ ØÙÓØØ Ñ º ËÝ Ø ÑÙÙØØÙ Ò Ú ØÓÖ x = (x 1,...,x p ) Ð ØØÚØ ÑÙÙØØÙ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓ¹ Ñ Ø ÑÙÙØØÙ µ Ñ Ò Ò Ð Ø ÓÓÒ Ú Ø ÑÙÙØØÙ Ø Ö ÔÔÙÚ Ø ÑÙÙع ØÙ Ø Ð Ø ØØÚØ ÑÙÙØØ٠ص y = (y 1,..., y m ) ØÙÐ Ú Ø ÙÐÓ x ÐÙÓÒØÓ y Ä Ø ÓÒ ÐÐ ÐÙÓÒØÓ Ð ØØ ÓÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ Ð ØØÚØ ÑÙÙØØÙ Ø Ú Ø Ø Ý Ø Òº À Ú ÒØÓ Ò Ò ÐÝ Ó ÒÒ Ò Ø ÚÓ ØØ Ø ÚÓ Ò Ö Ø Ø Ò ÖÝ ÑÒ ÒÒÙ Ø Ñ Ò Òº Å ÐÐ ÐÐ ÐÙØ Ò ÒÒÙ Ø Ñ Ø Ú Ø ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓ ØÙÐ Ú ÙÙ Ò Ý ØØ Ðк Ì ØÓ Ö ÔÔÙÚÙÙ Ø º À ÐÙØ Ò ÐÚÝÝ Ø Ñ Ø Ò ÐÙÓÒØÓ ÓÒ Ð ØØÒÝØ Ý Ø Ò Ý ØØ Ø Ú Ø ÑÙÙØØ٠غ Ì Ð ØÓÐÐ Ø ØÙÐÓ Ø Ò ÑÝ Ø ÚÓ Ò Ø ÑÐÐ ÑÑ Ò ÐÑ Ø Ñ ¹ Ø Ñ Ø Ò ÒÓ Ò ÑÙØØ Ý Ø Ý Ú ÒØÓ Ò Ø Ø ÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÝÒ ÓÒ ÓÑ Ò Ø Ø Ð ØÓØ Ø ÐÐ ÐÐ ØØ ÐÙØ Ú ÐÐ º ÅÓÒ Ø Ø Ð ØÓÐÐ Ø ØÙÐÓ Ø ÓÚ Ø ÝÒØÝÒ Ø ÝÒØÝÚØ Ú Ø Ù Ò Ñ Ð Ó ÓÒ Ö ØØ Ò Ý ÝÑÝ Ò Ó Ò Ò ÓÐ ÓÐ Ñ ÝÐ Ø Ð ÒØØ Ö Ø Ù º ÌÐÐ Ø Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ú ÐØ ¹ Ú ÑÖ Ø Ú ØØ Ò ØØ Ú Ø ÓÖ Ú ØÓ ÐØ Ý Ø ÝÐ Ô Ö ØØ Ø ÚÓ Ò Øغ ÌÐÐ Ø Ô Ö ØØ Ø ÚÓ Ò ¹ Ø ÝØØ Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ñ ÐÐ Ò ØØ Òº

4 ¾ ÄÙ Ù º ÂÓ ÒØÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÝÒ À Ú ÒØÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò Ì Ð ØÝÑ Ø Ú ÓÐ Ø Ø Ò ÑÙ Ø Ò Ð Ø ÓÒ ÐÐ Ó Ò Ú ÒØÓ Ö ÖÓ Ú ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ f ÝÐ Ò Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ò Ò ÑÙÓØÓ ÓÐ Ø Ø Ò ØÙÒÒ ØÙ º À Ú ÒØÓ Ò Ñ ÐÐ ÓÒ Ñ Ö ÑÙÓØÓ º¾º½µ Ú Ø = f( Ð ØØ Ø ØÙÒÒ Ú Ö Ô Ö Ñ ØÖ Ø). È Ö Ñ ØÖ Ø Ø ÑÓ Ò Ú ÒÒÓ Ø Ò Ð Ò Ñ ÐÐ ÚÓ Ò ÝØØ Ö ÔÔÙÚÙÙ Ò Ø Ö Ø ÐÙÙÒ Ø ÒÒÙ Ø Ñ Òº ÅÙ Ø Ð Ø Ó ÚÓ ÒÝØØ Ñ Ö ÙÖ Ú ÐØ x Ð Ò Ö Ò Ò Ö Ö Ó y Ì Ø ÐÐ Ò ØØ Ð Ò Ö Ò Ò Ö Ö ÓÑ ÐÐ ÙÚ Ö ØØÚÒ ÝÚ Ò Ú Ø Ò y Ö ÔÔÙÚÙÙØØ Ð ØØ Ø xº Ë ÐÐÓ Ò f ÓÒ 1. Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ù Ø Òµº Å ÐÐ Ò ÔØ ÚÝÝ ÔÝÖ ØÒ Ú Ú Ø Ñ Ò Ú ÒØÓ Ò ÚÙÐÐ º Ë ÐÐÓ Ò Ø Ò Ñ Ö Ý Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ Ø Ø Ø Ö Ø ÐÐ Ò ¹ Ú ÒØÓ Ò ÓÚ Ø ØÙÒ Ñ ÐÐ Ò Ö Ù Ð º Ñ Ö º½ ÓÙÒØ ÊÙÑ ÓÖ Ö Ð Ò Ò ÓÐ Ò ÑÑ Ó Ø Ðѹ Ô Ý Ò Ó Ø º ÎÙÓÒÒ ½ Ò Ø Ó Ò Ó ÒÙÙÒ Ò ÔÙØ ÙÙ¹ Ñ ÒÒ ØØ Ò 130 F ÐÑÔ Ø Ð Ò F = C µº Ë ØØ Ò ÔÙØ Ò ÒÒ ØØ Ò ØÝ ÐÑÔ Ø Ð Ñ Ø ØØ Ò Ø ØÝ Ò ÚÐ Ó Òº ÍÐ ÓÐÑÔ Ø Ð Ó Ò Ò ÓÐ 60 F º Æ ÛØÓÒ Ò ØÝÑ Ð ÒÓÓ ØØ d f/d t = θ(f t 0 ) Ñ t 0 ÓÒ ÙÐ ÓÐÑÔ Ø Ð º Ë ÐÐÓ Ò ÔÙØ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ò Ø ÐÐ t Ô Ø ÓÐÐ f(t, θ) = e θt. ÃÙÒ Ñ ØØ Ù Ø Ò ÝØÒÒ Ú ÒÒÓØ ÚØ Ú Ò Ø ÑÐÐ ¹ Ø ØÓØ ÙØ Ð º ÈÓ Ñ Ø ØÙÐ Ø Ò Ñ ØØ Ù Ú Ö º Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ó Ñ ØØ Ù Ú Ö Ø ÓØ Ø Ò ÙÓÑ ÓÓÒ ÓÒ ÑÙÓØÓ º¾º¾µ Y = f(t, θ) + ǫ, Ñ f(t, θ) = e θt º Å ØØ Ù Ú Ö ǫ ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ E(ǫ) ÓÐ Ø Ø Ò ÒÓÐÐ º Å ØØ Ù Ú Ö Ø ÒÓÙ ØØ Ú Ø ÝÐ Ò Ö ØØ Ò ÝÚ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ¹ Ø Ð ØÓÐÐ Ø ÔØØ ÐÝ Ø ÐÐ Ò ÓÐ Ø Ø Ò Ò Ø Ú ÐÐ Ø ØØ ǫ ÒÓÙ ØØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ º Æ ÐÐ Ø Ð ØÓÐÐ ÐÐ ÓÐ ØÙ ÐÐ Ñ ÐÐ º¾º¾µ ÚÓ Ò ÐÙÓÒ¹ Ò Ø ÙÖ Ú Ø Y N( e θt, σ 2 ). Î Ö Ò Ò Ò Ý Ð Ø ÒÒÓ Ø Ú Ø ÑÓ Ø Ú Ô Ö Ñ ØÖ ÓÒ θ σ 2 Ó ¹ Ö Ø ÐÝÝÒ Ð ØØÝÚ Ú Ö Ú Ö Ò º

5 º¾º Ì Ð ØÓÐÐ Ø Ñ ÐÐ Ø ¾ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ð ØÝÑ Ø Ô ÓÒ ÚÙØØ ÒÙØ ÙÓ ÓØ ÓÚ ÐÐÙ Ñ ÓÐÐ ¹ ÙÙ Ø ØÓ ÓÒ Ò Ð ÒØ Ô Ø Ø Ò ÚÙÒ ÑÝ Øº Ì ØØ ÐÙØ ¹ Ú ÑÙ Ø Ò Ð Ø ÓÒ ÐØ ÓÒ ÑÓÒ ÑÙØ Ò Ò ØÙÒØ Ñ ØÓÒº ÈÝÖ ØÒ Ð ÝØÑÒ ÙÒ Ø Ó f(x) Ð ÓÖ ØÑ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ð x Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò¹ ÒÙ Ø Ø y ÐÐ º Ð ÓÖ ØÑ ÔÝÖ ØÒ ÑÙÓ Ñ Ò ÐÐ ØØ ÒØ ÝÚ ÒÒÙ Ø Ø º ÅÙ Ø Ð Ø Ó ÒÝØØ ØÐØ x ØÙÒØ Ñ ØÓÒ y Ñ Ö Ò ÙÖÓÚ Ö ÓØ ÙÙÐÙÚ Ø Ø Ò Ø ÓÖ Òº Å ÐÐ Ò ÔØ ÚÝÝØØ Ö¹ Ú Ó Ò ÒÒÙ Ø Ú Ö Ò ÚÙÐÐ º Ì Ú ÐÐ Ø Ú ÒØÓ Ò Ú Ø ÐÙ Ø Ò Ý Ø Ñ ØØ Ò Ó Ò ØÙÒ¹ Ò Ó Ò ÓÒ Ø Ú Ø Ú ÒÒÓØ = f( Ð ØØÚØ ÑÙÙØØÙ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø) + ØÙÒÒ Ó = Ý Ø Ñ ØØ Ò Ò Ó + ØÙÒÒ Ó. ØÝ º¾º½µ ÓÒ Ø Ú Ö Ò ÝÐ Ò Ò Ó ÐÐ ÑÓÒ ÑÙØ Ø Ò Ú ¹ ÙØÙ Ñ Ò Ñ Øº Ò ÖØ Ø Ú ÓÐ ØÙ Ù Ø Ò Ò Ø ÖÚ Ø Ò ÓØØ Ñ Ð¹ Ð Ø ÔÝ ØÝØÒ ÝÑÑØÑÒ Ò ÐÝ Ó Ñ Òº À Ú ÒØÓ Ò ÓÐ Ø Ø Ò ÓÐ Ú Ò Ô Ö Ò Ó Ø Ò ÙÑ Ô Ö Ø Ø Ú ÐÐ ÑÑ Ò Ò º Ô Ö Ñ ØÖ Ø Ù¹ Ñ Ô Ö Øº ËÝ Ø Ñ ØØ Ò Ò Ó ÓÒ Ñ Ö Ú ÒØÓ Ò Y 1 Y 2 º º º Y n Ó ÓØÙ ÖÚÓ E(Y i ) 1 i n Ó Ú ÓÐ ØÙ Ó Ð Ù ÙØ Ò Ú Ô Ö Ö Ó ÙÒ Ø ÓÒ º Ì Ú ÐÐ Ø Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ö ÔÔÙÙ Ó Ø Ò Ð ØØÚ Ø ÑÙÙع ØÙ Ø Ð ÓÚ Ö Ø Ø µº Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ñ ÐÐ Ò ÚÓ Ò ÒÓ ÓÐ Ú Ò Ú Ò¹ ØÓ Ò Ý Ø ÙÑ Ý Ø Ñ ØØ Ø Ó Ó Ú Ò ÓÐ ØÙ Ø Ò ÓÙ Óº Ñ Ö º¾ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Y 1, Y 2,...,Y n ÓÒ ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ i, σ 2 ) Ñ E(Y i ) = µ i º ÇÐ Ø Ø Ò Ð ØØ E(Y i ) Ö ÔÔÙÙ Ð Ò Ö Ø Ð ØØÚ Ø ÑÙÙØØÙ Ø x ÓØ Ò º¾º µ µ i = α + βx i, 1 i n. Å ÐÐ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÝ ÑÙÓ Ó Y i = µ i + ε i, Ñ ε i = Y i E(Y i )º Î Ö Ø ÖÑ ε i ÒÓÙ ØØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ N(0, σ 2 )º ÃÓ ÐÐ Ø Ð ÒØ Ð ØØ x ÓÒ Ó Ú Óº ÌÙØ ÚÓ ÔØØ Ñ Ø¹ ÖÚÓØ Ò x ÐÐ Ú Ð Ø º Ñ Ö Ø ÖÑÝ Ø Ø Ú Ð Ø Ò Ø ÖÑÝ ÒÓ¹ Ô Ù Ø x 1,...,x n º Æ ÐÐ Ð ØØ Ò ÖÚÓ ÐÐ Ñ Ø Ø Ò Ú Ø ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ú ¹ Ø ÑÙÙØØÙ Òµ ÖÚÓغ Ê Ö Ó Ò ÐÝÝ ÝØ ØÒ Ù Ø Ò Ò ÑÝ ¹ Ó ÐÐ Ø Ð ÒØ Ó ØÙØ ÚÓ ÓÒØÖÓÐÐÓ x Ò ÖÚÓ º Ë ÐÐÓ Ò Ü ÓÒ ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ ÓÒ ÖÚÓ Ú ÒÒÓ Ò Ù Ò Ñ Ò Ø Ú Ø ÑÙÙØØÙ Ò

6 ¾ ÄÙ Ù º ÂÓ ÒØÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÝÒ Ò º ÇÒ ÙÓÑ ØØ Ú ØØ Ö Ö ÓÑ ÐÐ º¾º µ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÓÐÐ ¹ Ø Ó ÓØÙ ÖÚÓ E(Y x) = µ(x), Ñ Y Ò ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÐ Ø Ø Ò ÓÐ Ú Ò x Ò Ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó µ(x) = α + βxº ËÙÓÖ Ò ÖØÓ Ñ Ø α β ÓÚ Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ô Ö Ñ ØÖ ÓØ Ø ÑÓ Ò Ú ÒÒÓ Ø º Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÓÔÔ Ö Ó Ð ØÒ Ø Ú ÐÐ Ø Ð ÐÐ Ñ Ð Ó Ø Ò ¹ Ø º Ë ÒÓØ Ò ØØ Ú ÒÒÓØ Y 1,...,Y n ÓÚ Ø ÓØÓ Ó Ø Ò ØÙÒØ ÒÑ ØØÓÑ ¹ Ø ÙÑ Ø F Ñ F ÓÒ ÙÑ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Óº Ì Ú ÐÐ Ø ¹ ÙÑ Ø Ø Ò Ó Ø Ò ÓÐ ØÙ º Ì Ð ÒÒ ÚÓ ÓÐÐ Ñ Ö ÐÐ Ò Ò Ø¹ Ø ÙÑ ÚÓ Ò ÓÐ Ø ØØ ÝÑÑ ØÖ º ÌÐÐ ÙÖ ÐÐ ÝØ ØÒ Ù Ñ¹ Ñ Ø Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ø Ð ØÝÑ Ø Ô ÓÐÐÓ Ò ÙÑ Ò Ø ÐÐ Ò ÙÙÐÙÚ Ò Ó ÓÒ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÙÑ Ô Ö Ò F = { F(x; θ), θ Θ } Ñ F(x; θ) ÓÒ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó Ó ÐÐ ÒÒ Ø ØÝÐÐ θ Ò ÖÚÓÐÐ º à ØØ Ð Ñ ÑÑ ÔØØ ÐÝÓÒ ÐÑ ÓÔ ÖÓ ÑÑ Ø Ú ÐÐ Ø Ø Ý ÙÒ ¹ Ø Ó Ò ÚÙÐÐ ÓØ Ò ÙÑ Ô Ö ÓÒ ÐÐÓ Ò ÙÓÖ Ú Ú ÑÔ ÐÙÓÒÒ Ø Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙ ÓÒ F = { f(x; θ), θ Θ }. ËÙÙÖ θ ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ ÓÙ Ó Θ ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ú ÖÙÙ º ΠРع Ñ ÐÐ Ý Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ ÖÚÓ Ò ØÝ Ò ÑÖØØÝ ÙÑ º ÐÐ ÓÐ ÑÑ Ò Ò Ø ØØ θ ÚÓ ÓÐÐ Ð ØØ Ò ÙÒ Ø Óº ÃÙÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ Ö¹ ÚÓ Ú Ð Ø Ò Ú ÒØÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò θ Ò Ô Ø ¹ Ø Ñ ØØ º È Ö Ñ ØÖ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Òµ ÖÚÓ ÑÖ ØØÑ Ø Ú ÒØÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÒÓØ Ò Ô Ø ¹ ¹ Ø ÑÓ ÒÒ º Ñ Ö º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙØÓ¹ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ Ò Ú ÚÙÙ Ø ØØ ÙÒ Ð ØØ Ò ÓÒ ÙÐ ØØ Ò º Í Ò Ú Ø ØÒ ØØ ÒÙÓÖ Ø ÙÐ ØØ Ø ¹ ÙØØ Ú Ø ÑÖ Ø Ò ÑÑÒ Ú Ú ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ º Ì ÙÐÙ Ó º½º Î Ú Ò ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÐÙ ÐÐ A Ø Ñ¹ Ñ ÙÙ ÚÙÓÒÒ ¾¼¼¼º Ð ¾½¹ÚÙÓØ Ø ÃÙÓÐ Ñ Ò ÅÙÙØ Ó Ø Ò Ø ÐÐ ¾½¹ÚÙÓØ Ø ÃÙÓÐ Ñ Ò Ó Ø Ò Ø ÅÙÙØ Y 1 Y 2 Y 3 Y ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÙÙ Ù ÒÓÙ ØØ ÈÓ ¹ ÓÒ Ò ÙÑ Poi(λ)º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ð ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ØÝÝÔÔ ÓØ ÓÒ

7 º º Ø ÑÓ ÒÒ Ø ¾ ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÐ ØØ Ò Ò ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ Ò Ú ÚÙÙ Ø Ò ÑÙ Òº Ö ØÝÝÔÔ Ø Ò ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ Ò ÐÙ ÙÑÖ Ò Y i, 1 i 4, ÓÐ Ø Ø Ò ÒÓÙ ØØ ¹ Ú Ò ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØ ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ Poi(λ i )º Ç Ø ÙÐÙ Ó ÓÒ ÒÒ ØØÙ Ö Ò ØÓº Ë ÐÐÓ Ò Ñ Ö ÙÓÐ Ñ Ò Ó Ø Ò Ò ÓÒÒ ØØÓ¹ ÑÙÙ Ò ÐÙ ÙÑÖ Y 3 ÐÐ ¾½¹ÚÙÓØ Ò ÖÝ Ñ ÒÓÙ ØØ ÈÓ ÓÒ Ò ¹ ÙÑ Poi(λ 3 )º È Ö Ñ ØÖ Ø λ 1 λ 2 λ 3 λ 4 ÓÚ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 Ó ÓØÙ ÖÚÓ º Ç ÓØÙ ÖÚÓ λ i ÖØÓÓ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ Ø Ò iº Ø Ó¹ Ö º Î Ø Ú Ø Ñ Ö ÝÐ ¾½¹ÚÙÓØ Ò ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ Ø ÓÒ λ 1 + λ 2 ÐÐ ¾½¹ÚÙÓØ Ò λ 3 + λ 4 º Å Ö ØÒ θ 1 = λ 1 + λ 2 θ 2 = λ 3 + λ 4 º Æ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ÝÐ ¾½¹ÚÙÓØ ÙØØ Ó Ø ÐÓ Ò ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ Ò ÓÒ π 1 = λ 1 λ 1 + λ 2 ÐÐ ¾½¹ÚÙÓØ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙØØ Ó Ø ÐÓ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ÓÒ π 2 = λ 3 λ 3 + λ 4. Æ Ð Ó (θ 1, π 1, θ 2, π 2 ) ÑÙÓ Ó Ø ÙÙ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ó ÒÒ Ò Ó ØØ ÓÐÐ ØÙÐ ÒÒ ÐÐ Ø Ð ÑÔ Ñ Ð Ò ÒØÓ ÑÔ Ù Ò Ð ÙÔ Ö Ò Òº º Ø ÑÓ ÒÒ Ø Ì Ö Ø Ð ÑÑ ÒÝØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ó Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒµ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò Ò ÑÙÓØÓ ØÙÒÒ Ø Ò ÑÙØØ ÙÑ Ö ÔÔÙÙ Ó Ø Ò ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø θº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ Ñ ¹ ÓÐÐ Ø ÖÚÓØ ÙÙÐÙÚ Ø Ó ÓÒ Ò ÒÒ ØØÙÙÒ ÓÙ ÓÓÒ Θ ÓØ ÙØ ÙØ Ò Ô ¹ Ö Ñ ØÖ Ú ÖÙÙ º Ì ØÒ Ñ Ö ØØ ÓÒ Ò ØÙÓØØ Ò Ð Ò X ÒÓÙ ØØ ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ f(x; θ) = 1 θ e x/θ, 0 < x <, Ñ θ Θ = { θ 0 < θ < }º È Ö Ñ ØÖ Ú ÖÙÙ Θ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Óº À ÐÙ ÑÑ Ú Ð Ø ÙÒ Ø ÓÔ Ö Ø F = { f(x; θ), θ Θ } Ý Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ Ó ØØ Ô Ö Ø Ò ØÙÓØØ Ò Ð Ò º Î Ð Ø Ò Ý Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ ÖÚÓ Ð Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ Ô Ø ¹ Ø Ñ ØØ Ó ÑÖ ØØ ¹ ÙÑ Òº È Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ ÖÚ Ó Ò Ð Ø ÑÓ Ò Ú ÒØÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ º Ì Ñ¹ Ñ ÙÑ Ø Ú ÒÒÓÒ X = x Ø ÑÓ ÑÑ Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ ÖÚÓÒ ¹ Ú ÒÒÓÒ x Ô ÖÙ Ø ÐÐ º È Ö Ñ ØÖ Ò θ Ø ÑÓ Ñ Ò ÝØ ØØÚ ÓØÓ ÙÒ Ø Ó¹ Ø T(X) ÙØ ÙØ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ Ø Ñ ØØÓÖ Ø Ñ ØØÓÖ Ò T(X) Ö¹ ÚÓ t = T(x) ÙØ ÙØ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ Ø Ñ Ø º Ø Ñ ØØÓÖ ÔÝÖ ØÒ Ú Ð Ø Ñ Ò Ø Ò ØØ ÒØ ÝÚ ÖÚ Ó Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø θº

8 ¾ ¼ ÄÙ Ù º ÂÓ ÒØÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÝÒ Ñ Ö º Ø ÑÓ Ò Ó Ò A ÒÒ ØØ Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ó ÙÙ θ Ö ÙÙÖ ÙÔÙÒ º Î Ð Ø Ò ÙÔÙÒ Ò Ò Ó ÙØ ØÙ Ø ØÙÒ¹ Ò Ø n Ò Ð Ó ÐØ Ø Ù Ø ÐÐ Ò ÒÒ ØØ Ú Ø Ó Ó Ø Aº Çй ÓÓÒ X Ó Ò A ÒÒ ØØ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓØÓ º ÃÓ ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Ó Ó ÓÒ ÙÙÖ Ú ÖÖ ØØÙÒ ÓØÓ Ó ÓÓÒ n ÚÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ X Bin(n, θ) Ñ θ ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ØÙÒÒ Ø Ú Ð ØØÙ Ò Ð ÒÒ ØØ A Ø º ÒÓÑ ÙÑ ÒÓÙ ØØ Ú Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÑÙÓØÓ ( ) n f(x; n, θ) = θ x (1 θ) n x, x = 0, 1,..., n; 0 θ 1. x ÒÓÑ ÙÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ú ÖÙÙ ÓÒ Θ = { θ 0 θ 1 }º Ì ØÚÒѹ Ñ ÓÒ ÑÖ ØØ θ Ò Ø Ñ ØØÓÖ T(X) Ø Ò ØØ Ú ØÙÒ ÖÚÓÒ X = x Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò ÝÚ θ Ò Ô Ø ¹ Ø Ñ ØØ T(x)º À Ú ÒÒÓÒ X = x ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ ÓÒ ( ) n º º½µ P(X = x) = θ x (1 θ) n x. x Ö Ø Ô ÑÖ ØØ θ Ò Ø Ñ ØØ ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝØØ P(X = x) Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ Ò Ò θ Ò ÖÚÓ ØØ Ú ÒÒÓÒ x ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ ÚÙØØ Ñ Ñ Ò º ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ú ÒÒÓÒ X = x ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÑÓ ØÙÙ ÙÒ θ = x/nº ÌØ Ø Ñ ØØ ÙØ ÙØ Ò θ Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ Ø Ø Ñ Ö ØÒ ˆθ = x n. º ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÃÙÒ ØÓ ÒÒ ÝÝØØ º º½µ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ ÙÒ Ø ÓÒ ÙÓ¹ Ñ ÑÑ ØØ Ø ( n x) Ö ÔÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ø θº Ë ÑÖ ØØ Ð ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÙÖ Ú Ø º º½µ L(θ) = c f(x; θ), Ñ f(x; θ) ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó f(x; θ) ÓÒ Ú ÒÒÓÒ X = x ØÓ ÒÒ ÝÝ º Î Ó c Ö ÔÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ø θ Ú Ò ÚÓ Ö ÔÔÙ ¹ Ú ÒÒÓ Ø xº Î Ó c ÔÝÖ ØÒ Ú Ð Ø Ñ Ò Ø Ò ØØ L(θ) ÐÐ Ò Ý ¹ Ò ÖØ Ò Ò Ð Ù º Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÓÒ Ô ÖÙ ØÙÚ Ø ÔØ ÐÑØ ÚØ Ö ÔÙ Ú ÓÒ c Ú Ð ÒÒ Ø º Ì Ú ÐÐ Ø Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ØÙÐ ÓÐ Ñ Ò Ù Ò Ø Ò ØÙÐÓ ÑѺ Ø ÝÝ Ø ÓÒ Ó Ó ØØ ÙØÙÒÙØ Ø Ú ØÝ ÒÒ ÐÐ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ ¹ Ø ÓÒ ÐÓ Ö ØÑ Ò ÚÙÐÐ º ÄÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó l(θ) ÓÒ Ù ÓØØ ÚÙÙ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò ÐÓ Ö ØÑ Ð º º¾µ l(θ) = log L(θ).

9 º º ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ¾ ½ ØÝ Ø º º½µ ÙÖ ØØ l(θ) = log c + log f(x; θ), Ñ Ú Ó c Ö ÔÙ θ Ø º Â Ø Ó Ò ÐÓ Ö ØÑ Ø ÓÚ Ø ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÐÓ Ö ØÑ ÐÐ ØÓ Ò Ñ Ò Ø º ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ ËÍ µ ˆθ ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ ÖÚÓ Ó Ñ ÑÓ Ú ÒÒÓÒ x ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò f(x; θ)º Ë Ñ ÖÚÓ ˆθ Ñ ÑÓ ÑÝ ÙÒ Ø ÓØ L(θ) l(θ)º ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ ˆθ ÓÒ Ù ¹ ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÐÓ Ö ØÑÓ ÙÒ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ñ Ó Ø º Ì ¹ Ú ÐÐ Ø Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓØ Ó ÓÒ Ù Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ý Ò ÖØ ÑÔ Ù Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Óº ÄÓ Ö ØÑÓ ÙÐÐ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ ÑÝ Ø ÓÖ ØØ Ø Ñ Ö ØØÚ Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò ØÙÐ ÒØ º Ñ Ö º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÐÐ Ò Ñ Ö º Ó Ú ÒØÓ Ò ØÓ¹ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ f(x; θ) = ( n x) θ x (1 θ) n x º ÃÙÒ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó º º½µ Ú Ð Ø Ò Ú ÓÒ ÖÚÓ c = 1 /( n x) Ò ØÝ ÑÙÓØÓ L(θ) = θ x (1 θ) n x, 0 θ 1. Ì Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ ØÝ ÓÐ ØÙÖ Ú ÓØ Øº ÌØ Ù ¹ ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ ØÝ ÑÙÓØÓ ÙØ ÙØ Ò ÑÝ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÝØ Ñ ¹ º Ð Ò ØÑÑ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ý ÒÑÙÓ Ó º ÄÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ l(θ) = x log θ + (n x) log(1 θ), 0 < θ < 1. È Ö Ñ ØÖ Ò θ ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ ÓÒ θ Ò ÖÚÓ Ó Ñ ÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ l(θ)º ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ l(θ) ÓÐ ÑÖ Ø ÐØÝ ÚÐ Ò [0, 1] ÔØ Ô Ø ÑÙØØ L(θ) ÓÒº

10 ¾ ¾ ÄÙ Ù º ÂÓ ÒØÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÝÒ

11 ÄÙ Ù Í ÓØØ ÚÙÙ ÔØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø Ø º½ Í ÓØØ ÚÙÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÒÒ ØÙ Ñ ØØ Ù Ø Ò ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ø ÐÑ º ÇÒ ÖÚ Ó Ø Ú ¹ Ó Ò A ÒÒ ØØ Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ó ÙÙ θ ÒÒ ØÙÐÐ Ô ÙÒÒ ÐРà ع Ó Ñ Ö º µº Î Ð Ø Ò Ò Ó ÙØ ØÙ Ø ØÙÒÒ Ø n Ò Ð Ó ÐØ Ø Ù Ø ÐÐ Ò ÒÒ ØØ Ú Ø Ó Ó Ø Aº ÇÐ ÓÓÒ X Ó Ò A Ò¹ Ò ØØ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓØÓ º ÈÓÔÙÐ Ø ÓÒ Ó Ó ÓÒ ÙÙÖ Ú ÖÖ ØØÙÒ ÓØÓ ¹ Ó ÓÓÒ n ÓØ Ò ÓØÓ ÒÒ ØØ Ò ÐÙ ÙÑÖÒ X ÚÓ Ò ÓÐ ØØ ÒÓÙ¹ ØØ Ú Ò ÒÓÑ ÙÑ Bin(n, θ) Ñ θ ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ØÙÒ¹ Ò Ø Ú Ð ØØÙ Ò Ð ÒÒ ØØ A Ø º ÒÓÑ ÙÑ ÒÓÙ ØØ Ú Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ ¹ Ø Ó ÓÒ ÑÙÓØÓ ( ) n f(x; n, θ) = θ x (1 θ) n x, x = 0, 1,..., n; 0 θ 1. x ÒÓÑ ÙÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ ÖÚÓ ÓÙ Ó Ð Ô Ö Ñ ØÖ Ú ÖÙÙ ÓÒ Θ = { θ 0 θ 1 }. Ì ØÚÒÑÑ ÓÒ ÖÚ Ó ÓØÓ Ø ÙÒ Ú ØÙÒ ÖÚÓÒ X = x Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ θ Ò ÖÚÓ Ð Ð θ Ò Ø Ñ ØØ º À Ú ÒÒÓÒ X = x ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ( ) n º½º½µ P θ (X = x) = θ x (1 θ) n x. x Ö Ø Ô ÑÖ ØØ θ Ò Ø Ñ ØØ ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝØØ P θ (X = x) Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ Ò Ò θ Ò ÖÚÓ ØØ Ú ÒÒÓÒ x ØÓ ÒÒ ÝÝ ÚÙØØ Ñ Ñ Ò º ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ú ÒÒÓÒ X = x ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÑÓ ØÙÙ ÙÒ θ = x/nº ÌÐÐ Ø Ø Ñ ØØ ÙØ ÙØ Ò θ Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ Ø Ø Ñ Ö ØÒ ˆθ = x n. ¾

12 ¾ ÄÙ Ù º Í ÓØØ ÚÙÙ ÔØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø Ø Uskottavuusfunktio Uskottavuus θ ÃÙÚ Ó º½º ÇÒÒ ØÙÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò θ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ ÒÓÑ ¹ ÙÑ Ø Bin(10,θ) ÓÒ ØÙ Ú ÒØÓ x = 8º ÂÓ ÓØÓ Ó Ó n = 100 ÓØÓ ÓÐ X = 10 A Ò ÒÒ ØØ Ò Ò θ Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ ÓÒ ˆθ = 0.10º ÃÙÒ Ú ÒØÓ X = 10 ÓÒ ØÙ ÓØÓ Ó Ó n = 100 ÓÒ ÒÒ Ø ØØÝ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝØØ º½º½µ ÚÓ Ò Ø Ö Ø ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ ÙÒ Ø ÓÒ º½º¾µ L(θ) = P θ (X = 10) = ( ) 100 θ 10 (1 θ) ÙÒ Ø ÓØ L(θ) ÙØ ÙØ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó º Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó Ð¹ Ø ØÙÒØ Ñ ØÓÒØ Ô Ö Ñ ØÖ θ Ó Ú Ò ÓÖÑ Ø ÓØ º ÁÒ ÓÖÑ Ø Ó ÓÒ Ð ÔØÝ ÐÐ Ø ØØ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ ÓÒ ÔØ ÐØÚ Ú Ò Ø ØÝÐÐ Ú ÖÑÙ٠й Ð º Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó Ø ÚÓ Ò Ù Ø Ò Ò ÖÚ Ó ÑÝ ØÙÓ Ú ÖÑÙÙ Ò Ø º Ì Ð ØÓÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ð ØØÝÚØ ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ø ÙÙÖ Ø ÓÚ Ø Ù Ò Ò¹ Ø Ø Ô Ö Ñ ØÖ ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ú Ó Ø µ Ø ØÙÒÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ð ¹ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ó Ø Ú ÒØÓ º ÃÙÑÔ Ò Ò Ø Ô Ù Ð ØØÝÝ Ø ÑÓ ÒØ ÓÒ ÐÑ º Ì ØÝ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ð Ý ÒÓÑ Ò ÒØ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ø Ð ÒÒ ØØ º ÅÖ Ø ÐÑ º½ ÂÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ó ØÙ ÒØ ÐÐ ØÙÒØ ¹ Ñ ØØÓÑ ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ θ Ò Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒØ Ó L(θ) ÓÒ Ú ÒÒÓÒ x ØÓ¹ ÒÒ ÝÝ Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ ÙÒ Ø ÓÒ º º½º½ Ö Ø Ø Ñ ÐÐ Ø Ö Ø Ñ ÐÐ Ú ÒØÓ ÖÚÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÙÖ ÙØ Ò Ñ Ö ÒÓÑ Ñ ÐÐ º½º¾µº

13 º¾º Ñ Ö ¾ º½º¾ Â Ø ÙÚ Ø Ñ ÐÐ Ø ÃÙÒ X ÓÒ Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓ f(x; θ) ÓÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ P(X = x)º ÁØ P(X = x) = 0 ÐÐ x ÙÒ X ÓÒ Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º ÃÓ Ñ ØØ Ù Ø Ö ÙÙ ÓÒ Ò Ö ÐÐ ¹ Ò Ò ÓÚ ÐÐÙ Ø Ô ØÙÑ {X = x} Ø Ö Ó ØØ ØØ x ÙÙÐÙÙ Ó ÓÒ Ò Ñ ØØ Ù Ø Ö ÙÙ Ò ÑÖ ØØÑÒ ÚÐ Òº Ì Ô ØÙÑ Ò {X = x} Ø Ø Ö¹ Ø ÐÐ Ò Ø Ô ØÙÑ {a < X b} Ñ a < bº Ë ÐÐÓ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò {X = x} ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ÑÙÓØÓ P(a < X b) = b a f(x; θ) dx = F(b; θ) F(a; θ). ÇÐ ÓÓÒ X = x Ú ÒØÓ ÙÑ Ø F(x; θ)º ÂÓ Ñ ØØ Ù Ø Ö ÙÙ ÓÒ > 0 Ò Ò º½º µ P θ (X = x) = P θ (x /2 < X x + /2) = F(x + /2; θ) F(x /2; θ). ÂÓ ÚÐ ÓÒ Ô Ò F ÓÒ Ó ØÙÙÐÐ Ò Ð Ò Ò Ë ÐÐÓ Ò ÚÓ Ò ÝØØ Ð ÖÚÓ F(x + /2; θ) F(x /2; θ). F(x + /2; θ) F(x /2; θ) f(x; θ). ÃÓ Ñ ØØ Ù Ø Ö ÙÙ Ö ÔÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ø θ Ò Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ú Ó ÖØ Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓ Ð º½º µ L(θ) = cf(x; θ), Ñ c ÓÒ Ñ Ø Ò ÓÔ Ú Ø Ú Ð ØØÙ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ú Óº }{{} }{{} f(x; θ) x º¾ Ñ Ö Ñ Ö º½ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ú Ð Ð ÐÙÚÙ º½ Ø ØØÝ ÒÒ ØÙ Ñ ØØ Ù ¹ Ø º Ó Ø A ÒÒ ØØ 100 Ò Ò Ó ÙØ ØÙÒ ÓØÓ 10 ÓÐÐÓ Ò Ø Ò

14 ¾ ÄÙ Ù º Í ÓØØ ÚÙÙ ÔØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø Ø Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó º½º¾µº ÂÓ Ø ØÒ ÒÓ Ø Ò ØØ A Ø ÒÒ ØØ ÓÖ¹ ÒØ Ò 10 ÐÐÓ Ò θ Ó Ú Ò ÓÖÑ Ø Ó ÚÓ Ò Ð Ù Ù Ù ÓØØ ÚÙÙ ¹ ÙÒ Ø ÓÐÐ L(θ) = P(X 10) 10 ( ) 100 = θ x (1 θ) 100 x. x x=0 Ñ Ö º¾ Ø ÑÓ Ò ÑÝÝÖ Ò ÐÙ ÙÑÖ (N) Ø ØÝÐÐ ÐÙ ÐÐ º ÌÙع ÑÙ ÖÝ Ñ ÔÝÝ Ý Ø N 1 = 25 ÑÝÝÖ Ñ Ö Ø Ò Ð Ø Ò ÐÙÓÒØÓÓÒº ÅÝ ÑÑ Ò ÔÝÝ Ý Ø ØÒ n = 60 ÑÝÝÖ Ó ÓÒ x = 5 Ñ Ö¹ ØØÝ n x = 55 Ñ Ö Ø ÑØ Òغ ÂÓ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ Ò ÑÝÝÖ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÙØÙ ÔÝÝ Ý Ò ÓÒ Ñ Ò Ò N Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÚÓ Ò Ð ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ L(N) = P(X = 5; N) = ( 25 5 )( N ) ( N 60). º Í ÓØØ ÚÙÙ Ò Ý ØÑ Ò Ò Ì Ò ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØÓÒØ Ó ØØ Ø ÓØÓ Ø µ ÓØ ÒØ Ú Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓØ Ñ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø θº À Ú ÒÒÓÒ X = x ØÓ ÒÒ ÝÝ 1º Ó ÓÒ f 1 (x; θ) Ú ÒÒÓÒ Y = y ØÓ ÒÒ ÝÝ 2º Ó f 2 (y; θ)º Ì Ò Ø ÚÓ ÑÑ ÒÓ ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X Y ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº Å ÐÐ ÓÒ Ö ÔÔÙÑ ØÓÒØ Ú ÒØÓ x yº Í ÓØØ ÚÙÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ º½µ ÑÙ Ò 1º Ó Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ù Óع Ø ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ L 1 (θ) = f 1 (x; θ) 2º Ó Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó L 2 (θ) = f 2 (y; θ). ÇÐ ÓÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Y Ý Ø ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó f(x, y; θ)º Ø ØØÝÝÒ Ó Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÑÖ ¹ Ø ÐÑÒ º½µ ÑÙ Ò L(θ) = f(x, y; θ). ÃÓ X Y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò f(x, y; θ) = f 1 (x; θ)f 2 (y; θ)º ¹ Ø ØØÝÝÒ Ó Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ¹ Ó º º½µ L(θ) = L 1 (θ) L 2 (θ).

15 º º Í ÓØØ ÚÙÙ Ò Ý ØÑ Ò Ò ¾ ÇØØ Ñ ÐÐ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó Ø º º½µ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÓ Ö ØÑ Ø Ò Ú ¹ Ø Ú ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó º º¾µ l(θ) = l 1 (θ) + l 2 (θ), Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ l(θ) = log L(θ)º Ã Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó Ø Ø Ú Ô Ö Ñ ØÖ θ Ó Ú Ò¹ ÓÖÑ Ø Ó ÚÓ Ò Ý Ø Ø Ò ØØ ÖÖÓØ Ò Ý ØØ Ò Ó Ò Ð ØØÝÚØ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓØ ÒÒ Ú Ø Ú Ø ÐÓ Ö ØÑÓ ÙØ Ù Óع Ø ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓØ Ð Ø Ò Ý Ø Òº ÇÒ ÐÔÔÓ Ò ØØ Ù ÑÑ Ò Ù Ò ¹ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò Ó Ò ÒØ Ñ Ø ØÙÐÓ Ø ÚÓ Ò Ý Ø Ú Ø Ú Ø ÖØÓÑ ÐÐ Ó Ò Ð ØØÝÚØ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓØ Ð Ñ ÐÐ Ý Ø Ò ÐÓ ¹ Ö ØÑÓ ÙØ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Óغ ÂÓ x 1,...,x n ÓÒ Ú ØØÙµ ÓØÓ ÙÑ Ø ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Ó ØÓ¹ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Óµ ÓÒ f(x; θ) Ò Ò L(θ) = n L i (θ) i=1 l(θ) = n l i (θ). i=1 ÂÓ ÐÙØ Ò ÓÖÓ Ø ØØ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó Ô ÖÙ ØÙÙ Ú ÒØÓ Ò x 1,...,x n Ò Ò Ñ Ö ØÒ L(θ; x 1,...,x n )º ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ ÓØ ÐÑ º º½µ ÓÒ Ð¹ Ð Ø ÚÓ Ò ÝÐ Ò Ò ØØ Ú ÒÒÓØ x = (x 1,...,x k ) y = (y 1,..., y m ) ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ ÑÝ Ú ØÓÖ ÖÚÓ º ÂÓ Ú ÒÒÓØ x y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò ÓØ ÐÑ º º½µ Ô Ø Ô Ò º f(x, y; θ) = f 1 (x; θ)f 2 (y; θ) Ñ Ö º Â Ø Ø Ò Ñ Ö Ò º½ ØØ Ðݺ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ö ØÙØ Ø ÚØ Ñ Ò Ò ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØ Ó Ò A ÒÒ Ø¹ ØÙ Ø Ñ ØØ Ú Ò Ø ØØ ÐÙØÙØ ÑÙ Ò Ø Ò ØØ 1º ØÙØ Ø ØØ Ð 100 2º ØÙØ 50 Ò Ó ÙØ ØØÙ º Å Ö ØÒ n = º À Ú ØØ Ò ØØ 1º ØÙØ Ò ÓØÓ ÓÐ 10 2º ØÙØ Ò ÓØÓ 8 Ó Ò A ÒÒ ØØ º ÆÝØ 1º ÓØÓ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ( ) 100 l 1 (θ) = log + 10 log(θ) + 90 log(1 θ) 10 2º ÓØÓ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ú Ø Ú Ø ( ) 50 l 2 (θ) = log + 8 log(θ) + 42 log(1 θ). 8

16 ¾ ÄÙ Ù º Í ÓØØ ÚÙÙ ÔØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø Ø ÇØÓ Ø Ð ØÙØ ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ Ø Ø ÓÚ Ø Ú Ø Ú Ø ˆθ 1 = ˆθ2 = ÃÓ ÓØÓ Ø ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò ØÙÐÓ Ò º º¾µ ÑÙ Ò Ý Ø Ø¹ ØÝÝÒ ÓØÓ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ º º µ l(θ) = l 1 (θ) + l 2 (θ) = (10 + 8) log(θ) + ( (10 + 8)) log(1 θ) = 18 log(θ) log(1 θ). ÄÓ Ö ØÑÓ Ù Ø Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó Ø º º µ Ð ØØÙ θ Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ¹ ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ ÓÒ ˆθ = = = ˆθ ˆθ 2. Ñ Ö º ÇÐÓÓÒ x 1,...,x n ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð Ù Ø N(θ, σ 2 ) Ñ σ 2 ÓÒ ØÙÒØ Ñ ØÓÒº Ò Ú ÒÒÓÒ x i Ú ÙØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙØ Ò ÓÒ [ 1 L i (θ) = exp (x ] i θ) 2, 2πσ 2 2σ 2 ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ó ÓÒ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÓÒ log L(θ) = n l i (θ) i=1 = n 2 log(2πσ2 ) 1 2σ 2 n (x i θ) 2. i=1 º Ø Ý Ý Ð Ò Ð ØÝÑ Ø Ô Ò Ý Ð Ð ØÝÑ Ø Ú Ø ÖÚ Ø Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ ÔÖ ÓÖ f(θ) ÓÒ ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÑÖ ØØ ÔÓ Ø Ö ÓÖ f(θ x) = Ú Ó f(θ)f(x; θ) = Ú Ó f(θ) L(θ) Ý Ð Ò Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ý Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓØ Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ù Ò Ù ¹ ÓØØ ÚÙÙ Ñ Ò Ø ÐÑ Ý Ø ÔÖ ÓÖ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÖØÓÑ ÐÐ Ò ÒÒº

17 º º Í ÓØØ ÚÙÙ Ù ¾ º Í ÓØØ ÚÙÙ Ù ÇÐ Ø Ø Ò ØØ y = h(x) ÓÒ Ú ÒÒÓÒ x Ý ¹Ý Ò Ò Ð Ø Ú Ò Ò ÑÙÙÒ¹ ÒÓ ÚÖغ Ð ÐÙ Ù º º¾ º ½ µº Ë ÐÐÓ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó x = g(y) ØØ y = h(x) x = g(y). ÂÓ x ÓÒ Ø ÙÚ Ò Ò f Y (y; θ) = f X ( g(y); θ ) g (y), Ñ g (y) = dx º Ë ÐÐÓ Ò ÑÙÙÒÒ ØØÙÙÒ Ú ÒØÓÓÒ y Ô ÖÙ ØÙÚ Ù ÓØØ ÚÙÙ dy ÓÒ L(θ; y) = L(θ; x) g (y). ÇÒ ÐÚ ØØ x Ò y Ò Ô Ø ÐØ Ñ Ô Ö Ñ ØÖ θ Ó Ú Ò¹ ÓÖÑ Ø Óº ÃÙÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ θ 1 θ 2 Ú ÖÖ Ø Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ Ò L(θ 2 ; y) L(θ 1 ; y) = L(θ 2; x) L(θ 1 ; x). Î ÖØ ÐØ Ö Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ Ñ Ñ ÐÐ Ú Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ¹ Ò Ù Ø ÐÐ ÓÒ Ñ Ö ØÝ Ø Ó Ú ÓØ ÙÔ ØÙÚ Ø ÔÓ º ÌÑ Ø Ö Ó ØØ ØØ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓØ Ø Ö Ø ÐØ ÚÓ Ò ØØ ÔÓ ÐÐ Ø Ø Ö¹ Ñ Ø ÓØ ÚØ ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ θº Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ú ÓØ Ú Ð¹ Ð Ý ØØ Ò Òº ÂÓ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÐÙØ Ò Ø Ý ØØ Ø Ú ÐÐ Ø ÒÓÖÑ Ö Ø Ò Ø Ò ØØ Ò Ñ Ñ ÖÚÓ ØÙÐ Ý º Ñ Ö º ÂÓ x ÓÒ ÓØÓ ÒÓÑ Ù Ø Bin(n, θ) Ò Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ¹ ÙÒ Ø Ó ÓÒ L(θ) = θ x (1 θ) n x, Ñ Ø ÓÒ Ø ØØÝ ÔÓ Ú ÓØ ÖÑ Øº ÌØ ÑÙÓØÓ ÒÓØ Ò Ù Ò Ù Óع Ø ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÝØ Ñ º Î Ø Ú Ø ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ l(θ) = log L(θ) = x log(θ) + (n x) log(1 θ). º Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ñ Ö ÚÙÙ ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ ËÍ µ ÒØ Ø Ö Ø ÐÙÒ Ó Ø Ò ÓÐ ¹ Ú Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ô Ø ¹ Ø Ñ Ø Ò Ú Ù ÓØØ ÚÙÙ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÝØØ Ö Ó ØÙ Ô Ø ¹ Ø Ñ ØØ Ò ÑÖ ØØÑ Òº Ö ½ ¾¾µ ØØ Ù ÓØØ ÚÙÙ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø ÑÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑÒ Ý Ø Ý º ËÙÙ¹ Ö ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ Ø Ò ˆθ Ð Ñ ÓÒ ÑÖ Ø ØØÚ Ù ¹ ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ L(θ) Ø Ú Ø Ú Ø ÐÓ Ö ØÑÓ ÙÒ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ L(θ) Ñ Ñ Ó Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ú ÖÙÙ Θº

18 ¾ ¼ ÄÙ Ù º Í ÓØØ ÚÙÙ ÔØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø Ø Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó Ø Ú Ø Ú ÒØÓ Ò ÐØÑÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ó ¹ Ú Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº ËÍ ÓÒ Ý ÒÓ ÐÙÓÒÒ Ø Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓØ º Ð ¹ Ø Ý ÐÙ Ù Ö Ø ÐÙÓÒÒ Ø Ñ Ò ÙÒ Ø ÓØ º ÂÓ ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ¹ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ú Ö ØØ Ò Ò Ø Ó Ò Ú Ö ØØ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ò ÝÚ Ð ÖÚÓ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÐÙÓÒÒ Ø Ñ Ò Ø ÖÚ Ø Ò Ú ÒØÒ 2 ÐÙ Ù Ñ ¹ Ñ Ò ÒØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÚÙÙ Ñ Ñ º ÂÓ ÐÓ Ö ØÑÓ ÙÐÐ Ù ÓØØ ¹ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ Ñ Ñ Ó Ò Ý ÔÖ Ø ÝÚ Ú Ö ØØ Ò Ò Ð ÖÚÓ ÒÓÑÑ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓØ ÒÒ ÐÐ º Ì Ú ÐÐ Ø ËÍ ˆθ ÚÓ Ò ÑÖ ØØ Ö ÚÓ ÒØ ÒÓÐÐ º ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ Ù Ø Ò Ò ØØ ØØ ÒÓ ÚÓ Ø Ø Ò Ò Ò ÓÚ ÐØ º Ë Ù Ø Ò Ò Ø Ö Ó Ø Ø ØØ ËÍ ÐØ ÚÓ ÓÐÐ ÓÐ Ñ º ÙÒ Ø ÓÒ l(θ) 1º Ö Ú Ø¹ Ø ÙØ ÙØ Ò Ö Ò Ô Ø ÙÒ Ø Ó Ø ÐÝ Ý Ø Ú Ò Ô Ø ÙÒ Ø Ó ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø º º½µ S(θ; x) d l(θ; x), dθ Ñ l(θ; x) = log L(θ; x)º Å Ö Ø ÑÑ ÑÝ ÐÝ Ý Ø S(θ) = l (θ)º Ë ËÍ ˆθ ÓÒ Ô Ø Ý ØÐ Ò S(θ) = 0 Ö Ø Ùº Å Ñ ÐÓ Ö ØÑÓ ÙÒ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ 2º Ö Ú ØØ ÓÒ Ò Ø ¹ Ú Ò Òº Ë ÐÓ Ö ØÑÓ ÙÒ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÚÙÙ Ô Ø ˆθ ѹ Ö Ø ÐÐÒ ÙÙÖ Ò I(ˆθ) Ñ I(θ) d2 dθ 2 log L(θ) = l (θ). ËÙÙÖ Ö ÚÙÙ ÖØÓÓ ØØ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ Ø ÖÚ Ù ÔÔÙº Ì Ð ØÓÐÐ Ø ØÙй ØØÙÒ Ø Ö Ó ØØ ÙÙÖ ÑÔ Ú ÖÑÙÙØØ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ Ø º ËÙÙÖ ØØ I(ˆθ) ÙØ ÙØ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ø ÓÖ Ú ØÙ Ö Ò Ò ÓÖÑ Ø Ó Ø ÐÝ Ý ÑÑ Ò Ú ØÙ Ò ÓÖÑ Ø Ó º Ì Ú ÐÐ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ú ÖÙÙ Θ ÓÒ Ó Ò Ö Ð ÐÙ ÙÚÐ l(θ) Ò 1º 2º Ö Ú ØØ ÓÚ Ø ÓÐ Ñ Θ Ò Ô Ø º ÂÓ ÒÝØ ˆθ ÓÒ Θ Ò Ô Ø Ò Ò l (ˆθ) = 0 l (ˆθ) < 0º Æ Ò ØÓ Ò Ú ÐÐ Ø ÓÒ º º¾µ S(ˆθ) = 0 I(ˆθ) > 0. ÂÓ ÐÐ Ñ Ò ØÙØ ÒÒ ÐÐ ÝÝ ÓÐ ØÙ Ø ÚØ Ô Ô Ò ˆθ ÚÐع ØÑØØ Ù ÓØØ ÚÙÙ Ý ØÐ Ò Ö Ø ÙÒ º Ñ Ö º ÒÓÑ ÙÑ Ò Ø Ô Ù Ñ Ö º µ S(θ) = x θ n x 1 θ, I(θ) = x θ + n x 2 (1 θ) 2, 0 < θ < 1. ÃÙÒ 1 x n 1 Ò Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ý ØÐ ÐÐ S(θ) = 0 ÓÒ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù θ = x/nº ÃÓ I(θ) > 0 Ô Ø θ = x/n Ò Ò ÙÒ Ø ÓÐÐ l(θ)

19 º º Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ñ Ö ÚÙÙ ¾ ½ ÙÒ Ø ÓÐÐ L(θ) ÓÒ Ñ Ñ Ô Ø θ = x/nº ÃÓ L(0) = L(1) = 0 Ò Ò ˆθ = x/n ÓÒ ÐÓ Ð Ñ Ñ θ Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ º ÃÙÒ x = 0 Ò Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ý ØÐ ÐÐ ÓÐ Ö Ø Ù ÑÙØØ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÐÐÓ Ò L(θ) = (1 θ) n, 0 θ 1. Æ Ò ÐÔÓ Ø ØØ L(0) = max L(θ) ÓØ Ò ˆθ = 0º Î Ø Ú Ø ÙÒ x = n θ Ò Ò ˆθ = 1º Æ Ò Ú ˆθ = x/n ÔØ ÐÐ Ú ÒØÓ ÖÚÓ ÐÐ Ú Ø Ñ ØØ Ù ÓØØ ÚÙÙ Ý ØÐ Ò Ö Ø ÙÒ º Ñ Ö º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÔÙ Ð ÒÚ Ø Ò Ô ÚÒ Ò ØÙÐ Ú Ò ÚÖ Ò ÔÙ ÐÙ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÒÓÙ ØØ ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ ÓÒ Ó Ó¹ ØÙ ÖÚÓ ÓÒ µº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÙÑ ÓÒ Ò Ô Ú Ò Ñ Ö Ô Ú Ò Ú ÒÒÓØ ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ÇÐ ÓÓØ x 1 x 2 º º º x n Ö Ô Ú Ò Ú ØÙØ Ú Ö ÔÙ ÐÙ Ò ÐÙ ÙÑÖغ À Ú ÒÒÓÒ x i ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ f(x i ; µ) = 1 x i! µx i e µ, x i = 0, 1, 2,.... ÃÓ Ö Ô Ú Ò Ú ØØÙ Ò Ú Ö ÔÙ ÐÙ Ò ÐÙ ÙÑÖØ ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò ÓØÓ Ò x 1, x 2,...,x n ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ f(x 1, x 2,...,x n ; µ) = f(x 1 ; µ)f(x 2 ; µ) f(x n ; µ) n 1 = x i! µx i e µ 1 = x 1!x 2!...x n! µ x i e nµ. i=1 ÃÓ Ù ÓØØ ÚÙÙ Ö ÔÙ Ú Ó Ø 1/(x 1!x 2! x n!) ÚÓ Ò ØØ Ø Ö Ø ÐÙ Ø ÔÓ º ÌÑ ØÙÖ Ø Ú Ó Ø ÔÙ Ø ØØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ý Ò ÓÒ L(µ) = µ x i e nµ, 0 µ <. Î Ø Ú ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ l(µ) = x i log(µ) nµ. È Ø ÙÒ Ø Ó Ò ÓÖÑ Ø Ó ÙÒ Ø Ó ÓÚ Ø Ú Ø Ú Ø S(µ) = 1 µ xi n I(µ) = xi µ 2. ÂÓ x i > 0 Ò Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ý ØÐ ÐÐ S(µ) = 0 ÓÒ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø¹ Ù µ = x i /n = xº ÃÓ I(µ) > 0 Ô Ø µ = x Ò Ò x ÓÒ Ñ ¹ Ñ Ó Ø º Ë ÓÒ ÑÝ ÐÓ Ð Ñ Ñ Ó L(0) = 0 L(µ) 0 ÙÒ µ º ÂÓ x i = 0 Ò Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ý ØÐ ÐÐ S(µ) = 0 ÓÐ Ö Ø Ù ÑÙØØ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÚÙØØ Ñ Ñ Ò Ô Ø µ = 0º Æ Ò ˆµ = x ÐÐ Ú ÒØÓ ÖÚÓ ÐÐ º À Ú ÒØÓ Ò x 1 x 2 º º º x n ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÑÓ ØÙÙ ÙÒ ÙÑ Ò ØÙÒØ Ñ ØÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ µ Ø ÑÓ Ò ÓØÓ ¹ ÖÚÓÐÐ xº

20 ¾ ¾ ÄÙ Ù º Í ÓØØ ÚÙÙ ÔØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø Ø Ñ Ö º ÇÐ ÓÓÒ x 1,...,x n Ú ØØÙ ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(θ, σ 2 )º ÇÐ Ø ÑÑ Ø ØØ σ 2 ÓÒ ØÙÒÒ ØØÙ Ú Óº ÃÙÒ θ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ø ÖÑ Ø Ø ØÒ ÔÓ Ò Ó Ø ÙÖ l(θ) = 1 2σ 2 n (x i θ) 2, i=1 S(θ) = l (θ) = 1 σ 2 n (x i θ). Ê Ø Ñ ÐÐ Ý ØÐ S(θ) = 0 Ò θ Ò Ë͹ Ø Ñ Ø ˆθ = xº À Ú ØÙ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ò S(ˆθ) = n σ 2. ÖÚ Ó Ò ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓØ 2. Ø Ò Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐݹ ÒÓÑ ÐÐ ËÍ Ò ˆθ ÝÑÔÖ Ø º ÇÐ ÓÓÒ l(θ) Ô Ö Ñ ØÖ Ú ÖÙÙ Θ ÑÖ ¹ Ø ÐØÝ Ø ÙÚ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Óº Î Ø Ú Ø θ Ò Ô Ø ÙÒ Ø Ó ÓÒ S(θ) = l (θ) Ò ÓÖÑ Ø Ó ÙÒ Ø Ó I(θ) = l (θ)º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ˆθ ÓÒ ÓÐ Ñ Ó Ò Θ Ò Ô Ø º ÖÚ Ó Ò ÐÓ ¹Ù ÓØØ ÚÙÙØØ 2. Ø Ò Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ ËÍ Ò ˆθ ÝÑÔÖ Ø º Ë ÐÐÓ Ò Ó Ø Ò i=1 l(θ) l(ˆθ) + S(ˆθ)(θ ˆθ) 1 2 I(ˆθ)(θ ˆθ) 2, º º µ log L(θ) L(ˆθ) 1 2 I(ˆθ)(θ ˆθ) 2. ÌÓ Ò Ø Ò Ð ÖÚÓÒ Ø Ö ÙÙØØ ÚÓ Ò ØÙØ Ô ØØÑÐÐ ÐÓ ¹Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó Ð ÖÚÓ Ñ Ò ÙÚ ÓÓÒº Ñ Ö ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò Ø Ô Ù Ð ¹ ÖÚÓ ÓÒ Ø Ö º ÃÙÒ Ð ÖÚÓ º º µ Ö ÚÓ Ò ÔÙÓÐ ØØ Ò Ò S(θ) I(ˆθ)(θ ˆθ) Ø º Í ÓØØ ÚÙÙ ÐÙ Ø S(θ) I 1/2 (ˆθ) I1/2 (ˆθ)(θ ˆθ) Å Ø Ò Ø ØÒ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÓÒ ÐØÝÚ Ô Ö Ñ ØÖ Ó Ú Ò ÓÖ¹ Ñ Ø Ó Ö ÙÓÖ Ú Ú Ò Ò Ø Ô ÓÒ Ô ÖØ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÙÚ º Ë Ø Ô ÚÓ Ù Ø Ò Ò ÓÐÐ Ú Ö Ò Ô ÝØÒÒ ÐÐ Ò Ò Ù Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ø ¹ Ô Ù Ó Ù ÓÔ ÙÓÖ Ø Ò Ñ ÓØÓÒ ØÓØ ÙØØ º

21 º º Í ÓØØ ÚÙÙ ÐÙ Ø ¾ º º½ ËÙÓÖ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÔØØ ÐÝ È Ö Ñ ØÖ Ò θ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÐÙ Ò ÙÙÐÙÚ Ø Ò θ Ò ÖÚÓØ Ó ÐÐ ÓÒ Ø ÖÔ ÙÙÖ Ù ÓØØ ÚÙÙ º º½µ ua(θ; c) = { θ L(θ) L(ˆθ) > c }. Ì Ú ÐÐ Ø Ù ÓØØ ÚÙÙ ÐÙ ua(θ, c) ÓÒ Ö Ð ÐÙ ÙÚÐ ÓÐÐÓ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ¹ ÐÙ ØØ ÙØ ÙØ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÚÐ ÙÚµº ÀÙÓÑ ØØ L(θ) ÓÒ ÒÓÖÑ Ö ØØÙ L(ˆθ) Ù ÓØØ ÚÙÙ º ÃÝÒÒÝ ÖÚÓÒ c ÖÚÓÒ ÑÖ ØØÑ Ò Ò ÓÒ Ø ØÝ Ø ÝØÒÒ Ò Ó¹ Ú ÐÐÙ ØÖ Ø ØÚº È Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙØØ Ú ÖÖ Ø Ò ÙÙ¹ Ö ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ Ø Ò Ù ÓØØ ÚÙÙØ Òº Ë ÓÒ Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ð¹ ÑÓ ØØ ÔÖÓ ÒØØ ÐÙ ÙÒ º ÃÓ 0 < L(θ) 1 Ò Ò ÚÓ ÑÑ ÙØ Ù ÚÐ L(ˆθ) ua(θ, c) ÑÝ 100c ± Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ º ÌÐÐ ÚÐ ÐÐ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÓÒ Ò Ò Ñ¹ ÑÒ Ù Ò 100c ± Ñ Ñ Ù ÓØØ ÚÙÙ Ø L(ˆθ)º Í ÓØØ ÚÙÙ ÐÙ ÓÒ Ù Ò Ø ÚÑÔ ÑÖ ØØ ÒÓÖÑ Ö ØÙÒ Ù ÓØØ ¹ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÐÓ Ö ØÑ Ò ÚÙÐÐ º Í ÓØØ ÚÙÙ ÐÙ º º½µ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÓÙ ÓÒ ua(θ; c) = { θ l(θ) l(ˆθ) > log c }. Ñ Ö 50 ± Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÚÐ ÓÒ ÔÝ ØÐ Ò l(θ) l(ˆθ) > log(0.5) = 0.69 ØÓØ ÙØØ Ú Ò θ Ò ÖÚÓ Ò ÓÙ Óº È Ö Ñ ØÖ θ Ó Ú Ò ÓÖÑ Ø Ó ÚÓ Ò ÙÚ Ø Ú ÒÒÓÐÐ Ø L(θ) L(ˆθ) Ò Ø l(θ) l(ˆθ) Ò ÙÚ Ò ÚÙÐÐ º ÃÙÒ ÙÒ Ø Ó l(θ) ÓÒ Ö ØØÚÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò ÙØ Ò Ù ÑÑ Ñ Ö ÑÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ø Ö ØØÚÒ Ø Ö ÝÐ ÙÚ ØØÑÐÐ ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ ˆθ Ô Ö ÓÐÑ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÚÐ º Ñ Ö º ÌÙÓØ ÒØÓÐ ÐÐ Ø Ø ØØ Ò 100 Ò ØÙÓØØ Ò ØÙÒÒ ÓØÓ º Î Ö¹ ÐÐ Ø Ò ØÙÓØØ Ò ÐÙ ÙÑÖ X ÓØÓ ÒÓÙ ØØ ÒÓÑ ÙÑ Bin(100, π)º ÇØÓ ÓÒ Ú ÐÐ Ø ØÙÓØ ØØ X = 2µº ÄÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÐÐÓ Ò l(θ) = 2 log(θ) + 98 log(1 θ) ˆθ = 0.02º ÄÓ Ö ØÑÓ ÙÒ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ñ l(ˆθ) = log(0.02) + 98 log(0.98) = ÄÓ Ö ØÑÓ ØÙ ÒÓÖÑ Ö ØØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ l(θ) l(ˆθ) = 2 log(θ) + 98 log(1 θ) Ñ Ö 50 ± Ù ÓØØ ÚÙÙ ÚÐ ÓÒ { θ l(θ) l(ˆθ) log(0.5) 0 } = { θ 2 log(θ)+98 log(1 θ) }.

22 ¾ ÄÙ Ù º Í ÓØØ ÚÙÙ ÔØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø Ø º º¾ ÌÓ ÒÒ ÝÝØ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÔØØ ÐÝ Í ÓØØ ÚÙÙ ÚÐ Ò ÝÒÒÝ ÖÚÓÒ c ÑÖ ØØÑ Ò Ò ÓÒ ÓÒ ÐÑ Ó c Ú Ø¹ Ø ÙÓÖ Ò Ñ Ò Ò Ú ØØ Ú Òº Å Ø Ø Ö Ó ØØ Ú Ô 5± Ò Ù Óع Ø ÚÙÙ Ë Ö ÔÔÙÙ Ñ Ö ÑÝ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ð ÙÙ Ø º Ë Ò Ò 5± Ò 0.05µØÓ ÒÒ ÝÝ ÚÓ Ò ØÙÐ Ø Ù Ø ÐÐ Ö Ú Ò ØÓ ØÓ¹ Ó º Ö Ú ÒØ Ø Ò Ò Ô Ö Ñ ØÖ θ Ó Ú ÔØØ ÐÝ Ô ÖÙ ØÙÙ θ Ò Ø Ñ ØØÓ¹ Ö Ò ˆθ ÙÑ Òº Ñ Ö º Ø Ö Ø ÐØ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò /N(θ, σ 2 ) ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ Ø ÑÓ ÒØ ÙÒ σ 2 ÓÐ Ø ØØ Ò ØÙÒÒ ØÙ º ¹ Ñ Ö Ø º ÙÖ ØØ log L(θ) L(ˆθ) = l(θ) l(ˆθ) = n 2σ 2( X θ) 2 Ì ÑÑ ØØ ØÙÒÒ ÓØÓ Ò X 1,...,X n ÙÒ Ø ÓÒ ÓØÓ ÖÚÓ n X = ÒÓÙ ØØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ N(θ, σ2 )º Ë n n σ ( X θ) 2 Khi2(1) 2 ÒÓÙ ØØ Ã Ò Ò Ð ÙÑ Ú Ô Ù Ø Ò 1º ËÙÙÖ ØØ º º¾µ i=1 X i W 2 log L(θ) L(ˆθ) Khi2(1) Ï Ð Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ù Ø º ÆÓÖÑ Ð ÙÑ Ò Ø Ô Ù W Ò ÙÑ ÓÒ Ø ÑÐÐ Ò Khi2 Ú Ö Ò ÝÐ Ò ÓÐ ØÙ Ò W Ò ÙÑ ÓÒ Ð Ñ Ò Khi2º Ï Ð Ò ÙÙÖ Ò º º¾ ÚÙÐÐ Ò ÒÝØ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÚÐ ÐÐ ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ ØÙÐ ÒØ ÐÐ P(log L(θ) L(ˆθ) > c) = P(2 log L(ˆθ) L(θ) = P(χ 2 1 < 2 log c) < 2 log c) ÃÙÒ ÒÝØ Ú Ð Ø ÑÑ Ã Ò Ò Ð ÙÑ Ò Khi2(1) 100(1 α)± Ò Ö Ø Ð Ò χ 2 1,1 α Ò ÚÙÐÐ ÝÒÒÝ ÖÚÓÒ º º µ c = e 1 2 χ2 1,1 α, Ò P(log L(θ) L(ˆθ) > c) = P(χ2 1 < χ2 1,1 α ) = 1 α. ÃÙÒ Ú Ð Ø Ò ÝÒÒÝ º º µ Ò Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÚÐ {θ : ÓÒ θ Ò 100(1 α)± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º L(θ) L(ˆθ) > c}

23 º º Í ÓØØ ÚÙÙ ÐÙ Ø ¾ º º Í ÓØØ ÚÙÙ ÚÐ Ø Ú º ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø ÂÓ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÚÐ ÐÐ ÓÒ Ø ÓÖ ØØ Ø Ô ÖÙ Ø ÐØÙ ÐÙÓØØ ÑÙ Ø Ó ÙØ ÙÑÑ ÚÐ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º ÅÙÙØÓ Ò ÙØ ÙÑÑ Ø Ù ÓØØ ÚÙÙ ÚÐ º Ñ Ö º½¼ À Ò Ð ÔÓ Ñ ØÙÒÒ Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙÒ θ ÔÝÝØ ¹ ÒÙ ÖÚ Ñ Ò ÐÙÚÙÒ ÒÒ ØÙÒ Ò ØÓÒ ÚÙÐÐ º ÀÒ ØØ Ð ÒØØ Ø Ò Ø Ò ØÙÐÓ µ Ö ÔÓÖØÓ ØØÓ Ò ØÙÐÓ Ø ÙÖ Ú Ø ÂÓ ØÙÐ ÖÙÙÒ Ò ÐÑÓ ØØ ØÙÐÓ Ò θ + 1 ÑÙÙØÓ Ò Ò Ò ÐÑÓ ØØ θ 1º À ¹ Ú ÒÒÓØ X 1, X 2 ÓÚ Ø ÓØÓ ÐÐ Ø ÙÑ Ø ØØ P(X i = θ + 1) = P(X i = θ 1) = 0.5, i = 1, 2º Ñ Ö Ò ØØ Ö ÔÓØÓ Ú ÒÒÓØ X 1 = 5 X 2 = 5º Ë ÙÖ Ú ÐÐ ÖÚ Ù ÐÐ ÓÒ 75± Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÐÐ Ó { 1 2 C(x 1, x 2 ) = (x 1 + x 2 ), Ó x 1 x 2 x 1 1, Ó x 1 = x 2. Ì Ú ÒÓÑ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ØØ ÐÙÒ ÑÙ Ò ÐÐ Ø ØÝÐÐ ÖÚ Ù ÐÐ ÓÒ 75± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ Ø Óº ÂÓ x 1 x 2 Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø Ò Ò 100± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ØØ ÖÚ Ù ÓÒ Ó º ÅÙÙØÓ Ò Ñ ÐÐ ÓÒ Ú Ò 50± Ò Ú ÖÑÙÙ º ÂÓ Ú Ø Ò x 1 x 2 ÓÒ Ö Ø ÒØ Ú ØØ ØØ Ñ ÐÐ ÓÒ ÒÓ Ø Ò 75± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ Ö¹ Ú Ù Ò 1 (x 2 1+x 2 )º ÈÙ Ø Ø Ù ÓØØ ÚÙÙØ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ò ÔØØ ÐÝÒ ÐÓ Ó Ø Ø Ô Ù Ö Ø Ö Ø ÙÙ Òº Ë Ò Ö ÔÓÖØÓ Ò ÙÑÑ Ò Ò¹ Ú ÒÒÓÒ {x 1, x 2 } Ø Ô Ù Ñ ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ θ Ó Ú ÔÚ ÖÑÙÙ º Ë Ù Ø Ò Ò ÖÖÓ Ñ ØÒ Ø Ù Ò Ù Ò ÖÚ Ù Ó ÙÙ Ó Ò Ô Ø Ö º Ñ Ö º½½ Î Ð Ø Ò ØÙÒÒ ÓØÓ X 1,..., X n Ø ÙÑ Ø Tas(0, θ)º Ë ÐÐÓ Ò n P θ (X 1 x,..., X n x) = [P θ (X i x)] = F n (x; θ), Ñ F(x; θ) = i=1 { 1 θ, ÙÒ 0 x θ 0, ÑÙÙ ÐÐ. Ë ÐÐÓ Ò θ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ØÙÖ Ø Ú ÓØ Ø ØØÝ ÔÓ µ ÓÒ { 1, ÙÒ 0 x θ L(θ; x 1,...,x n ) = n i θ, i = 1,...,n. 0, ÑÙÙ ÐÐ. Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÐÝ Ý Ø ÑÙÓ Ó L(θ; x 1,...,x n ) = 1 θ ni [0 x(n) θ], Ñ x(n) = max(x 1,..., x n ) I [0 x(n) θ] ÓÒ ÓÙ ÓÒ [0 x (n) θ] Ò ¹ ØØÓÖ ÙÒ Ø Óº ÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ ØØ ÐÝ ÐÙ Ö ÔÔÙÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ø θº ÙÒ Ø Ó

24 ¾ ÄÙ Ù º Í ÓØØ ÚÙÙ ÔØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø Ø L(θ; x 1,...,x n ) = 1 θ n ÓÒ θ Ò Ú Ò Ú ÙÒ Ø Ó ÙÒ θ x (n) º ÙÒ Ø Ó ÚÙع Ø Ñ Ñ Ò ÙÒ θ = x (n) ÓØ Ò θ Ò ËÍ ÓÒ º º ˆθ = x (n). Í ÓØØ ÚÙÙ Ù Ø Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ø Ù Í ÓØØ ÚÙÙ Ù ØØ ÚÓ Ò ÝØØ ÙÓÖ Ò Ø Ø Ù Òº Ñ Ö ÒÓй Ð ÝÔÓØ Ò H 0 : θ = θ 0 Ù ÓØØ ÚÙÙ ÓÒ θ 0 Ò ÒÓÖÑ Ö ØØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ L(θ 0 ) L(ˆθ). H 0 ÝÐØÒ Ó Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÓÒ Ð Ò Ô Ò º ÅÙØØ Ù Ò Ô Ò ÓÒ Ð Ò Ô Ò ËÒÒ ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ Ñ ÐÐ ÚÓ Ò Ð Ò º Ø Ø Ñ Ò ØØ ¹ ÐÝÝÒ Ð ØØÝÚ È¹ ÖÚÓ Ï Ð Ò ÙÙÖ Ò º º¾µ ÚÙÐÐ º ÂÓ Ú Ø Ò L(θ 0 )/ L(ˆθ) = c Ò Ò º º¾µ Ò Ô ÖÙ Ø ÐРȹ ÖÚÓ ÓÒ P(χ 2 1 > 2 log c). ÆÓÖÑ Ð ÙÑ Ò Ø Ô Ù È¹ ÖÚÓ ÓÒ Ø Ö ÑÙØØ ÑÙÙØÓ Ò Ú Ò Ð ¹ ÑÖ Ò Ó º º º ËÍ Ò ÓÒØ Ï Ð Ò Ø Ø ÙÙÖ ËÒÒ ÐÐ Ñ ÐÐ ÐÓ ¹Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ú Ö ØØ Ò Ò Ð ÖÚÓ ÓÒ ÝÚ ÚÓ ÑÑ Ö Ó ØØ log L(θ) L(ˆθ) 1 2 I(ˆθ)(θ ˆθ). Ë ÐÐÓ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÚÐ {θ : L(θ)/ L(ˆθ) > c} ÓÒ Ð Ñ Ò ˆθ ± 2 log c I(ˆθ) 1/2. ÆÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÖÚÓÒ ÐÙÓØØ ÑÙ Ø Ó Ñ Ö º Ò Ñ¹ Ö ØØÑÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ Pχ 2 1 < 2 log c. Ñ Ö ˆθ ± 1.96I(ˆθ) 1/2 ÓÒ θ Ò Ø ÑÐÐ Ò Ò 95± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º ÂÓ ÓØÓ ÓÐ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø ÚÐ ÓÒ ÒÓ Ø Ò Ð Ñ Ò 95± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º

25 º º Í ÓØØ ÚÙÙ Ò ÒÚ Ö Ò ¾ Ë ÑÓ Ò Ù Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÖÚÓÑ ÐÐ ÓÒ I(ˆθ) 1/2 ËÍ Ò ˆθ ÓÒØ º Ë Ø ÝØ ØØÒ Ø Ø ØØ ÝÔÓØ H 0 : θ = θ 0 Ï Ð Ò Ø Ø ÙÙ¹ Ö Ò z = ˆθ θ 0 Ø (ˆθ) ÚÙÐÐ Ø Ð ØØ Ï Ð Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º Ñ Ö Ï Ð Ò 95± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ θ ÐÐ ÓÒ ˆθ ± 1.96 Ø (ˆθ). ÂÓ Ú ÒÒÓØ ÓÚ Ø ÒÓÖÑ Ð Ù Ø ÒÓÙ ØØ z H 0 Ò Ú ÐÐ Ø Ø ÑÐÐ ¹ Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ð Ñ Ò ¹ÒÓÖÑ Ð Ñ ÐÐ º ËÙÙÖ z Ò ÖÚÓ Ð ØØÝÝ H 0 Ò Ú Ò Ù ÓØØ ÚÙÙØ Òº ÃÙÒ Ñ Ö z > 2 Ò Ò Ù Óع Ø ÚÙÙ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ù Ò 0.15 Ô¹ ÖÚÓ ÐÐ 0.05º ÂÓ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙÓØÓ ÔÓ Ô Ð ÓÒ Ú Ö ØØ Ø Ò Ò Ï Ð¹ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÓÒ Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò ÒÒ ÐØ ÙÓÒÓ Ó ÚÐ ÐÐ ÓÒ ÖÚÓ Ó Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ù Ò Ó ÐÐ Ò ÚÐ Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ Ô Ø Ðк Ï Ð Ò ÚÐ ÙØ ÙØ Ò ËÍ ¹Ô ÖÙ Ø ÚÐ º Í ÓØØ ÚÙÙ ¹Ô ÖÙ Ø ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÙØ ÙØ Ò ÚÐ Ø {θ : L(θ) > c} Ó ØØÙ ÐÙÓØØ ÑÙ Ú¹ L(ˆθ) Ð º Ï Ð Ò ÚÐ Ø ÓÚ Ø Ò ÝÑÑ ØÖ ÑÙØØ Ù ÓØØ ÚÙÙ ¹Ô ÖÙ Ø Ø ÚÐ Ø ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ô ÝÑÑ ØÖ º º Í ÓØØ ÚÙÙ Ò ÒÚ Ö Ò Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ØØ ÒØ Ô Ö Ñ ØÖ Ó Ú ÔÚ ÖÑÙÙØØ º Ì Ö¹ Ø Ð ÑÑ ÒÝØ Ù Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó Ø ÐÐÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÑÙÙÒ¹ ÒÓ Ø º ÇÐ Ø ÑÑ ÐÙ Ø Ú Ò ÑÙÙÒÒÓ Ò ÑÙØØ Ô Ö Ø ÔØ ÝÐ ¹ ÑÑ Ò Òº Ñ Ö ÒÓÑ ÙÑ Bin(10, θ) ÓÒ Ù ÓØØ ÚÙÙ Ù θ 1 = 0.8 Ú Ø Ò θ 2 = 0.3 L(θ 1 = 0.8) L(θ 2 = 0.3) = θ8 1 (1 θ 1) 2 θ 8 2 (1 θ 2) 2 = 208.7, ÙÒ Ú ÒØÓ x = 8º È Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ θ = 0.8 ÓÒ ÒÓ Ò 200 ÖØ Ù Óع Ø Ú ÑÔ Ù Ò ÖÚÓ θ = 0.3º Ñ Ö º½¾ ÅÓÒ ÓÚ ÐÐÙ ÒÓÑ ÙÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ø ØÒ ÐÓ Ø¹ Ø ÓÐÐ Ø Ò ØØ ψ log{ θ 1 θ }. Ë ÐÐÓ Ò ψ 1 = log(0.8/0.2) = 1.39 ψ 2 = log(0.3/0.7) = 0.85 Ñ θ 1 = 0.8 θ 2 = 0.3 ÙØ Ò Ðк ÆÝØ θ ÓÒ ψ Ò ÙÒ Ø ÓÒ θ = eψ 1 + e ψ.

26 ¾ ÄÙ Ù º Í ÓØØ ÚÙÙ ÔØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø Ø ÃÙÒ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó Ø ØÒ ψ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ö ØÒ Ø L (ψ) Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ù L (ψ 1 ) L (ψ 2 ) = L(θ 1) L(θ 2 ) = Í ÓØØ ÚÙÙ Ù ÑÙÙØÙ Ô Ö Ñ ØÖ ÑÙÙÒÒÓ º ÂÓ θ i ÓÒ Ø Ô ØÙÑ Ò A i ØÓ ÒÒ ÝÝ i = 1, 2 Ò Ò θ i /(1 θ i ÓÒ Ø Ô ØÙÑ Ò A i Ú ØÓº Ì Ô ØÙ¹ Ñ Ò A 1 A 2 Ú ØÓ Ù ÓÒ θ 1 /(1 θ 1 ) θ 2 /(1 θ 2 ). ÄÓ Ø¹ Ø Ó ÒØ Ú ÓÒ ÖÚÓ Ò ÐÓ Ö ØÑ Øº ÇÐ Ø Ø Ò Ñ Ö ØØ ÖÒ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ð Ò ÒÓÙ¹ ØØ ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ Exp(θ) ÓÐÐÓ Ò Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ º º½µ f(x) = 1 θ e x/θ, 0 < x <. ÂÓ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ ÖÚÓ Ú Ø Ý ÙÑ º ÇÐ ÑÑ ØØÒ Ø ÔÓ¹ Ò ÒØØ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ ÑÝ ÑÙÓ Ó º º¾µ f(x) = λe λx, 0 < x <, Ñ λ = 1/θº Ì Ú ÐÐ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ó ÒØ Ú Ð Ø Ò Ø Ò ØØ Ô Ö Ñ ØÖ ØØ ÓØ Ò ØÖ ÙÑ Ò ÓÑ Ò ÙÙØØ Ø Ø Ò ØØ ÙÑ Ò Ñ ¹ Ø Ñ ØØ Ò Ò ØÝ Ø Ô Ò Ý Ò ÖØ º È Ö Ñ ØÖ Ó ÒÒ º º½µ θ ÓÒ ÙÑ Ò ÖÚÓº ÂÓ Ñ Ö θ = 2 Ò Ò λ = 1 º ÂÓ Ø θ Ò Ú Ð ÒØ Ú Ø Ý Ø¹ 2 Ø Ò Ò ÙÑ Ô Ö Ñ ØÖ Ó ÒÒ º º¾µ ÒØ Òº Í ÓØØ ÚÙÙ Ñ Ò Ø Ð¹ ÑÐÐ ÓÒ Ñ ÐÐÝØØÚ Ô ÖÖ ØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÒ ÒÚ Ö ÒØØ Ø Ú Ø Ò Ý ¹Ý Ø Òµ Ô Ö Ñ ØÖ ÑÙÙÒÒÓ Ø Ò Ù Ø Òº º º½ Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ó ÒÒ ÇÐ ÓÓÒ ψ g(θ) Ô Ö Ñ ØÖ ÑÙÙÒÒÓ L (ψ) Ô Ö Ñ ØÖ Ò ψ Ù ÓØØ ÚÙÙ ¹ ÙÒ Ø Ó L(θ) Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Óº Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ô Ö {θ, L(θ)} Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÙÚ Ò º Ë ÐÐÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ψ ÙÚ ÓÒ Ý Ò ÖØ Ø {ψ, L (ψ)} = {g(θ), L(g(θ))} = {g(θ), L(θ)}, Ó Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò ÒÚ Ö Ò Ô Ö ØØ Ò ÑÙ Ò L (ψ) = L(θ). Ì Ø ÙÖ ØÖ ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ Ø Ò Ò Ú Ö ÒØØ ¹ ÙÙ º

27 º º Í ÓØØ ÚÙÙ Ò ÒÚ Ö Ò ¾ Ä Ù º½ ÂÓ ˆθ ÓÒ θ Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ ψ = g(θ) Ò Ò ˆψ = g(ˆθ) ÓÒ ψ Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ º ÙÒ Ø ÓÒ g(θ) Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ø Óº ÂÓ Ñ Ö ψ = g(θ) = θ 2, Ò Ò Ñ Ö g( 1) = g(1) = 1º ÂÓ L(θ = 1) = 0.5 L(θ = 1) = 0.3 Ò Ò Ñ Ø ÓÒ L (ψ = 1) Ì Ø Ô Ù ÑÖ Ø ÐÐÒ L (ψ = 1) = max L(θ) {θ,g(θ)=1} = max{0.5, 0.3} = 0.5. ÂÓ ˆθ ÓÒ θ Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ Ò Ò ˆθ 2 ÓÒ θ 2 Ò ÙÙ¹ Ö ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ º Ñ Ö º½ ÂÓ ÒÓÑ ÙÑ Ø Bin(10, θ) Ò Ú ÒØÓ x = 8 θ Ò ËÍ ÓÒ ˆθ = 0.8º Ë ÐÐÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò g(θ) = θ/(1 θ) ËÍ ÓÒ ˆθ/(1 ˆθ) = 0.8/0.2 = 4. ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ Ú Ø Ú ÒÚ Ö ÒØØ ÙÙ ÓÑ Ò ÙÙØØ ÑÙ ÐÐ Ø ¹ Ñ ØØÓÖ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÓÐ º ÂÓ Ñ Ö θ ÓÒ θ Ò Ö ØÓÒ Ñ Ò Ñ Ú ¹ Ö Ò Ò Ò Ø Ñ ØØÓÖ g( θ) ÓÐ ÝÐ Ø g(θ) Ò Ö ØÓÒ Ñ Ò Ñ Ú Ö Ò ¹ Ò Ò Ø Ñ ØØÓÖ º º º¾ ÃÚ Ö ØØ Ò Ð ÖÚÓÒ Ô Ö ÒØ Ñ Ò Ò ÃÝØÒÒ Ø Ø Ò ÐÐ Ø Ô Ö Ñ ØÖ ÑÙÙÒÒÓ Ø ψ = g(θ) ØØ ψ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÐ ÒÒ ÐÐ ÑÔ Ù Ò θ Òº ÂÓ ψ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ¹ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ð Ñ Ò Ú Ö ØØ Ò Ò Ò Ò θ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÚÓ Ò ÑÖ ØØ ψ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ò ÚÙÐÐ º Ë ÐÐÓ Ò g(θ) Ï Ð Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÓÒ g(ˆθ) ± 1.96 Ø (g(ˆθ)), Ó Ø Ò θ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º ÎÓ Ò Ó Ó Ø ØØ Ø (g(ˆθ)) = Ø (θ) g ˆθ. Ñ Ö º½ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÒÓÑ ÙÑ Ø Bin(10, θ) Ò ¹ Ú ÒØÓ x = 8º Ë ÐÐÓ Ò θ Ò ËÍ ÓÒ ˆθ = 0.8º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ú ØÓ ÆÝØ ψ Ò ËÍ ÓÒ ψ = g(θ) = log θ 1 θ. ˆψ = log = 1.39.

28 ¾ ¼ ÄÙ Ù º Í ÓØØ ÚÙÙ ÔØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø Ø Ä Ø Ò Ò Ò Ó Ø g θ = 1 θ θ, ( Ø (ψ) = Ø (θ) 1ˆθ + 1 ) 1 ( ˆθ 1 = x + 1 ) n x = Ï Ð Ò 95± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ψ ÐÐ ÓÒ 1.39 ± , ÓØ Ò 0.16 < ψ < 2.94º ÃÙÒ ØÑ ÑÙÙÒÒ Ø Ò Ø Ò Ð ÙÔ Ö Ò Ô ¹ Ö Ñ ØÖ Ó ÒØ Ò Ò 0.46 < θ < º º Í ÓØØ ÚÙÙØ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÓÒ Ô ¹ Ö ÑÔ Ù Ò Ï Ð Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÓÐ ÚÐØØÑØØ ÐÔÔÓ Ø Ø Ñ ÐÐ ÑÙÙÒÒÓ ÐÐ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó Ò ÒÒ ÐÐ ÑÑ º Í ÓØØ ÚÙÙØ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ø ÚÐ Ø ÚÐØØÚØ Ø¹ ÑÒ Ú Ù Òº Í ÓØØ ÚÙÙØ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ θ Ò 95± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÓÒ { } θ : 2 log L(ˆθ) L(θ) 3.84 Ï Ð Ò ÚÐ ÓÒ ˆθ ± 1.96 Ø (ˆθ). Î ÑÓÐ ÑÑ Ø ÚÐ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò Ð ÖÚÓÓÒ ÓÒ Ù Óع Ø ÚÙÙØ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÚÐ Ô Ö ÑÔ º Ï Ð Ò ÚÐ ÓÒ Ø ÑÐÐ Ò Ò Ú Ò ÐÐÓ Ò Ó ˆθ θ Ø (ˆθ) N(0, 1). ÌÓ ÐØ Ù ÓØØ ÚÙÙØ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÚÐ ÓÒ Ø ÑÐÐ Ò Ò Ó ÓÒ ÓÐ Ñ Ð¹ Ð Ò Ò Ø Ú Ò Ò ÑÙÙÒÒÓ g( ) ØØ º º µ g(ˆθ) g(θ) N(0, 1). Ø (g(ˆθ))

29 º º Í ÓØØ ÚÙÙ Ò ÒÚ Ö Ò ¾ ½ ÌÑ Ô ÖÙ ØÙÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ Ù Ø Ò ÒÚ Ö ÒØØ ÙÙØ Òº ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ Ñ Ò Ø ÖÚ Ø ØÙÒØ ÑÙÙÒÒÓ ÙÒ Ø ÓØ gº ÂÓ A < g(θ) < Y ÓÒ g(θ) Ò 95± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ g(ˆθ) ÒÓÙ ØØ º º µ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÒÓÖÑ Ð Ù¹ Ñ ÚÐ (A, Y ) ÓÒ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÚÐ Ó Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÝÒÒÝ ÖÚÓ ÓÒ 0.15º Ë ÐÐÓ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ù Ø Ò ÒÚ Ö ÒØØ ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ θ Ò Ù ÓØØ ¹ ÚÙÙ ÚÐ Ñ ÐÐ ÝÒÒÝ ÖÚÓÐÐ ÓÒ ÓÒ ÐÙÓØØ ÑÙ Ø Ó ÓÒ 95±º g 1 (A) < θ) < g 1 (Y ),