F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.

Transkriptio

1 Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½ Ë ØÙÒÒ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º¾ ÇØÓ Ú ÖÙÙ Ø Ø Ô ØÙÑ Ø ÓÙ Ó¹ÓÔ Ö Ø ÓØ º º º º ½º º ÌÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º Ö ØØ ÑØ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½º º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò ØÙÐ ÒÒ Ø º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º º½ ÓÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ö Ú Ò ØÙÐ ÒØ º º º º ½ ½º º¾ à ÖØÓÐ Ù ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º º Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º Ç ÓØ ØÙØ Ö Ú Ò Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ø ÒÚ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ À Ö Ó ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ ¾½ ¾º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ¾º¾ ËÝÑÑ ØÖ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ØÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º ÓÑ ØØ Ò Ò Ð ØÝÑ Ø Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º½ Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ú ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º¾ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÝÐ Ø ÓÓÑ Ø º º º º º º º º º º ¾ ¾º ÃÓÑ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º½ ËÙÑÑ ¹ ØÙÐÓÔ Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º¾ Î Ð ÒØ Ö ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º Ç ÓÙ ÓÒ Ú Ð ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò ÙÒ Ö ØÝ Ø ÓØ Ø ÙÓÑ ÓÓÒ º ¼ ¾º º ÃÓÑ Ò ØÓÖ Ò Ñ Ö ÒØ ÒØ Ø ØØ º º º º º º ½ ¾º º ÒÓÑ Ð Ù ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÒØ Ø ØØ ÑÙÐØ ÒÓÑ Ð Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º½ à ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó º º º º º º º º º º º º ¼

2 ËÁË ÄÌ ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º½ ÒÓÑ ÙÑ ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò ÙÑ Ò Ð ÖÚÓÒ Ø ÒÚ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ À Ö Ó ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ º½ ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ ÌÙÐÓ ÒØ Ó ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ý Ò Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º¾ Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º½º ÂÓÙ Ó¹ÓÔÔ ØÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð Ò Ò ØÙÐÓ Ú Ý Ò Ð Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Ð Ò Ò ØÙÐÓ Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ý Ò Ð Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º È Ö ÓØ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º Í Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ÙÒ ÓÒ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º ¾ Ø ÒÚ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º À Ö Ó ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙØ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ º½ Ç ÓØÙ ÖÚÓ Ú Ö Ò ÓÚ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ Ç ÓØÙ ÖÚÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º¾ ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º Î Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º ÃÓÚ Ö Ò ÓÖÖ Ð Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÒØØ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ º º º º º º º º º º º º º ¼ º º½ à ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º¾ Í Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º ËÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ò ÖÓ Ú Ø ÙÒ Ø ÓØ ÑÓÑ ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ ÅÓÑ ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÅÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ò ÖÓ Ú ÙÒ Ø Ó Ø µ º º º º º º º º º ÃÓ Ò Ý ØÑ Ò Ò ØÙÐÓÑ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º ½¼¼ Ø ÒÚ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¾ À Ö Ó ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼

3 ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º Ç ÓØÙ Ó Ò ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º º½ Ç ÓØÙ Ø ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó º º º º º º º º º º º º º ½½ º º¾ ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ Ò Ø Ú Ò Ò ÒÓÑ ÙÑ º ½½ º º Ç ÓØÙ Ø Ô Ö ÓØ ÒÒ º º º º º º º º º º º º º ½¾½ º º ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ Ò Ø Ú Ò Ò ÝÔ Ö Ó¹ Ñ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º º Ì ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º º½ Ä ÙÖ ÔÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º º¾ ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ Ò ÑÖ Ø ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º º Ë ØÙÒÒ Ø Ô ØÙÑ Ø Ø Ð ¹ Ú ÖÙÙ º º º º º º º º º ½ º º ËÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ø ÒÚ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ À Ö Ó ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Â Ø ÙÚ Ø ÙÑ Ø ½ ½ º½ Â Ø ÙÚ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º¾ Ì ÙÑ ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º½ Ì ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º¾ ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º¾º Ð Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º ÑÑ ÙÑ χ 2 ¹ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÆÓÖÑ Ð ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ ËØ Ò Ö ÑÙÓØÓ Ò Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ º º º º º º º º º ½ º º¾ Ð Ò Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÅÙÙØØÙ Ò Ú ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º º½ ÅÙÙÒÒÓ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÚÙÐÐ º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º º¾ ÅÙÙÒÒÓ Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º º ÆÓÖÑ Ð ÑÙÙØØÙ Ò ÑÙÙÒÒÓ Ø º º º º º º º º º º º º º ½ º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ ÅÓÑ ÒØ ÙÒ Ø Ó ÑÓÑ ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ø ÒÚ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ À Ö Ó ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ ¼ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ Ø Ý Ø ØÝØ ÙÑ Ø º º º º º º º ½ º½º à ÙÐÓØØ Ò Ò ÖÒÓÙÐÐ Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º ½ ½

4 ÄÙ Ù ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ ÌÑ ÙÖ ØØ Ð ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒØ ØØ Ø Ð ØÓØ Øغ Í ¹ Ô ÐÙÖ Ò ÓÒ ÐÑ Ø Ò Ô ÖÓ Ú Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ò ÙÖ ÒÙÙÖØ Ò Ø¹ Ø ÐÙ ÑÙØØ ÒÝ Ý Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ò ÓÚ ÐÐÙ ÐÙ ÓÒ Ö ØØ Ò ÑÓÒ ¹ ÔÙÓÐ Ò Ò Ø ÙÚ Ø Ð Ò Ú º Ì Ð ØÓØ Ø Ð Ø Ò ØÙÒÒ ÐÑ Ð¹ Ð ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ ØÙØ Ø Ò ØØ Ò Ú ÒØÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ñ Ø Ò ÝÚ Ò Ñ ÐÐ Ø ÙÚ Ú Ø ØÓ ÐÐ ÙÙØØ º ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø Â Ø Ó ÝØÑÑ Ø ÖÑ Ó Ø ØÙÒÒ Ó ÙÒ ÔÙ ÙÑÑ Ñ Ò ØØ ÐÝ Ø Ø ÔÖÓ Ø Ó ØÙÓØØ Ò ÖÓ µ Ú ÒØÓ º Ñ Ö ØÙÒÒ Ó¹ Ø ÓÚ Ø Ð ÒØ Ò ØØÓ Ø ÒÒÝ Ò ØÙÐ Ú Ò Ú Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÙÖ ¹ Ú Ò ØÙÒÒ Ò Ò º À Ø ØÒ Ð ÒØØ Ñ Ö 100 ÖØ Ò Ð Ú Lµº Ì Ô ØÙÑ Ò ³ Ð Ú ³ Ö Ú Ò 100 Ò ØÓÒ Ö ÓÒ Ø Ø Ô Ù 56 Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ö Ú Ò 56/100 = 0.56º Å Ö ØÒ Ø Ô ¹ ØÙÑ Ò A ÐÙ ÙÑÖ Ð Ö Ú Ò n Ò Ó Ò Ö N n (A)º Í ÑÑ ÓÚ ÐÐÙ ÒÝØØ ÝÚÒ Ò Ò ØØ Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ö Ú Ò ½º¾º½µ N n (A) n Ð Ò ÐÙ Ù P(A), ÙÒ ØÓ ØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ n Ú º ÇÒ ÐÔÔÓ ØÓ Ø ØØ 0 P(A) 1º ÌØ ÐÙ Ù P(A) ÙØ ÙÑÑ Ø Ô ØÙÑ Ò A ØÓ ÒÒ ÝÝ º Î ÑÑ ÓÐ Ò Ú Ð ÑÖ Ø ÐÐ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝØØ ÚÓ ÑÑ ØÓ¹ Ø ØØ Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ö Ú Ò ÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ ÐØ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÐØ Ò Ò ÒØ ÝÚÒ ÒØÙ Ø Ú Ò ØÝ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Øº ËÙ Ø ÐÐ Ò Ö Ú Ò Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÑÝ ÖÚ Ó ØÓ ÒÒ ÝÝ ÒÙ¹ Ñ Ö Ø º Æ Ò Ø Ò Ñ Ö ÑÙÐÓ ÒØ Ó º ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ ½

5 ¾ ÄÙ Ù ½º ÂÓ ÒØÓ Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ö Ú Ò ÓÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ú Ò ØÓ ÒÒ¹ ÝÝ Ò Ö ØÙÐ ÒØ º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÓÑ ØØ Ø º ÃÙÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÖ ØÙÐÓ ½º¾º½µ Ò Ø ÓÓÑ Ø º ÁØ ½º¾º½µ ÚÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ú Ú Ò ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù Ò Ð Ò ÚÙÐÐ º Ë ÓÒ Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÒÒ ÐØ Ý ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ò ØÖ ÑÔ Ð Ù Ø º ÇÐ ÓÓÒ x 1, x 2,...,x n Ó Ò ÐÙ Ù ÓÒÓº Ì Ú ÐÐ Ø ÒÑ ÐÙÚÙØ x 1, x 2,...,x n ÓÚ Ø ÓÒ Ò ÙÙÖ Ò ÙØ Ò Ñ Ö Ô ØÙÙ Ò Ø Ô ÒÓÒ Ñ ØØ ÐÙ Ù º ÂÓ Ñ Ö n Ø Ð ØÓÝ ÓÒ Ñ Ø ØØÙ Ò Ò ÐÐÓ Ò x i ÓÒ iº Ø Ð ØÓÝ Ò Ñ ØØ ÐÙ Ù ÐÙÚÙØ x 1 x 2 º º º x n ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ú ÒØÓ Ò ØÓÒº ÄÙ Ù Ò x 1 x 2 º º º x n Ú ÒØÓ Ò ØÓÒµ ÑÔ Ö Ò Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó µ Ö Ð ÐÙ¹ Ù Ð ÐÐ (, ) ÓÒ F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, Ñ < a <. ÓÒ ÓÙ ÓÒ Ð Ó Ò ÐÙ ÙÑÖº ÄÙ Ù Ò x 1 x 2 º º º x n ÑÔ Ö Ò Ò ÙÑ ÙÒ Ø Ó Ø ÐÝ Ý Ø ÑÔ Ö Ò Ò ÙÑ µ ÓÒ P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) ÓÒ ÔÙÓÐ ÚÓ Ñ ÐÐ ÚÐ ÐÐ (a, b] ÙÙÐÙÚ Ò ÐÙ Ù Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ó ÙÙ ÐÙ Ù ÓÙ Ó {x 1, x 2,..., x n } P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }. Ñ Ö ½º½ ÇÐ ÓÓÒ ØÙ n ÖÔ Ð ÔÔÙ iº Ð ÔÔÙÙÒ ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ ÐÙ Ù x i º Î Ð Ø Ò ØÙ Ø ØÙÒÒ Ø Ý ÖÔ º Ë ÐÐÓ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ÖÚ Ò ÒÙÑ ÖÓ ØØÙÙ ÚÐ ÐÐ (a, b] ÓÒ P n (a, b)º Ì Ø Ð ÒØ ÑÔ Ö ÐÐ ÙÑ ÐÐ ÚÓ Ò ÒØ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÐ ÒØ º ÑÔ Ö Ò ÙÑ Ò ÙÚ Ò ÝØ ØÒ Ø Ú ÐÐ Ø ØÓ Ö ÑÑ º À ¹ ØÓ Ö ÑÑ Ò Ô ÖØÑ Ò Ò ÐÓ Ø Ø Ò Ú Ð Ø Ñ ÐÐ Ò Ò ÓÔ Ø Ø b 1 < b 2 < < b m Ø Ò ØØ ÐÙÚÙØ x i ÐØÝÚØ ÚÓ Ñ ÐÐ ÚÐ ÐÐ (b 1, b m ) Ñ Ò ÓÔ Ø ÓÐ Ñ ØØ ÐÙ Ùº  ÓÔ Ø Ø ÑÖ ØØ Ð ÚØ m 1 Ó ÚÐ (b j, b j+1 ) 1 j m 1º À ØÓ Ö ÑÑ Ô ÖÖ ØÒ ØØ Ñ ÐÐ Ú Ö Ò m 1 ÔÝÐÚ Ø ÙÓÖ ØØ µ Ø Ò ØØ jº ÔÝÐÚÒ ÒÒ Ò ÐÙÓ Òµ Ð Ú Ý ÓÒ b j+1 b j ÔÝÐÚÒ ÓÖ Ù ÓÒ P n (b j, b j+1 ) = { i : 1 i n, b j < x i < b j+1 }. b j+1 b j n(b j+1 b j ) ÃÓÖ Ù ÓÒ jº Ó ÚÐ Ò ÙÙÐÙÚ Ò Ú ÒØÓ Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ó ÙÙ Ô ¹ ØÙÙ Ý Ó Ø º ÈÝÐÚÒ ÓÖ ÙØØ ÙØ ÙØ Ò Ú ÒØÓØ Ý Ø Ðݹ Ý Ø Ø Ý º Î Ø Ú Ø jº ÔÝÐÚÒ Ô ÒØ ¹ Ð ÓÒ P n (b j, b j+1 ) Ò ÔÝÐÚ Ò Ý Ø ÒÐ ØØÙ Ô ÒØ ¹ Ð ÓÒ 1º

6 Ì Ý ½º º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø ÃÝØÒÒ Ò ÓÚ ÐÐÙ Ñ ØØ Ù Ø Ö ÙÙ ÓÒ Ò Ö ÐÐ Ò Ò ÒÓ Ñ¹ Ñ xº ÂÓ Ò Ò Ñ ØØ ÐÙ Ù ÓÒ ÐÐÓ Ò ÑÙÓØÓ Ó ÓÒ ÐÙ Ù xº Ã Ò Ñ Ø¹ Ø ÐÙÚÙÒ Ô Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ò ÖÓØÙ ÓÒ xº  ÓÔ Ø Ø Ú Ð Ø Ò Ø Ò ØØ Ò ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ Ó ÓÒ ÐÙ Ù x + x 2. Ë ÐÐÓ Ò ÓÔ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ñ ØØ ÐÙ Ùº  ÓÔ Ø Ø ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ò ØÓÓÒ ÐÙÓ ØÙ Ò ÔÙ ÙÑÑ ÐÐÓ Ò ÐÙÓ Ø ÐÐÙ Ø Ò ØÓ Ø º  ÓÔ Ø Ø b j b j+1 ÓÚ Ø ÐÐÓ Ò jº ÐÙÓ Ò Ò º ØÓ ÐÐ Ø ÐÙÓ Ö Ø Ô Ø Ø b j + x b 2 j+1 x 2 ÓÚ Ø Ò º ÔÝ Ö Ø ØÝØ ÐÙÓ Ö Øº Ñ Ö ½º¾ ÃÙÖ Ò ½º ÚÐ Ó Ò Ô Ø ÑÖØ x i, 1 i 20 ÓÐ Ú Ø ½ ½¾ ½ ½½ ¾ ½ ¾ ¾¾ ¾ ½¼ ½ ¾½ ¾¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾½º ÃÓ Ò Ó ÐÐ ØÙ ¾¼ ÓÔ Ð º Î Ð Ø Ò ØÓ ÐÐ ÐÙÓ Ö Ó º ½¼º ½ º ½ º ½ º ¾¼º ¾¾º ¾ º º ÆÝØ b 1 = 5.5 b 8 = 24.5º ÄÙÓ Ö Ø ÑÖ ØØ Ð ÚØ ÐÙÓ º È Ø ÑÖ ÃÙÚ Ó ½º½º ÃÓ Ô Ø ÑÖÒ ØÓ Ö ÑÑ n = 20µº Ñ Ö P 20 (20.5, 22.5) = 4 20 ÓÒ P 20 (20.5, 22.5) = 0.2 Ú ÒØÓØ Ý ÐÙÓ (20.5, 22.5) = = 0.1. ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø ½º º½ Ë ØÙÒÒ Ó ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒØ ÓÒ ØÙÒÒ ÐÑ Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ø ÓÖ º ÃÙÒ Ø Ö Ø Ð ÑÑ ØÙÒÒ ÐÑ Ø ÔÙ ÙÑÑ ØÙÒÒ Ó Ø Ú Ý

7 ÄÙ Ù ½º ÂÓ ÒØÓ ÓÒ Ø Ú ÐÐ Ø Ú Ò Ø ÐÐÙ Ø ØÙÒÒ Ó Ø º Ë ÓÒ Ñ Ø Ñ ØØ Ò Ò ØÖ Ø Óº Ë ØÙÒÒ Ó ÓÒ ÓÐ ØÙ Ò ØØ Ó Ò Ð ÙØ Ð ÑÖ Ø ØÙÐÓ Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ú Ò ÚÐ ÒØÙÐ Ú Ø ØØÙÑ Ú ÙØØ Ó Ò ØÙÐÓ Òº Ë ØÙÒÒ Ó Ò Ñ ÓÐÐ Ø ØÙÐÓ Ú ØÓ ÓØ Ø ØÒ ÑÙØØ Ý ØØ Ò Ó Ò ØÙÐÓ Ø ÚÓ Ú ÖÑÙÙ ÐÐ ÒÒÙ Ø º ÒÓ Ø Ô Ø ØÓ ØÙÒÒ ÐÑ Ø ÓÒ Ø ØÙÒÒ Ó Ø Ð Ú ÒÒÓ ØÙÒ¹ Ò ÐÑ Øµº ÇÐ Ø Ø Ò ÒÝØ ØØ Ó ÐÑ µ ÓÒ ÐÐ Ò Ò ØØ Ò ØÙÐÓ ÓÐ Ú ÖÑÙÙ¹ ÐÐ ÒÒÙ Ø ØØ Ú ÑÙØØ Ñ ÓÐÐ Ø ØÙÐÓ Ú ØÓ ÓØ ÓÚ Ø Ø Ó ¹ º ÂÓ ØÐÐ Ò Ò Ó ÚÓ Ò ØÓ Ø ÑÓ ÓÐÓ Ù Ø Ø ÙØ ÙØ Ò ØÙÒÒ Ó º Ë ØÙÒÒ Ó Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ò ØÙÐÓ Ø Ò ÓÙ Ó ÙØ ÙØ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ñ Ö ØÒ Ω ÐÐ º Ë ØÙÒÒ Ó Ò Ý ØØ Ø Ñ ÓÐÐ Ø ØÙÐÓ Ø ÙØ ÙØ Ò alkeistapaukseksi ØÙÒÒ Ó Ò Ð ØØݹ ÚÒ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ý Ô Ø µº ÂÓ ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò Ñ Ö ØÒ Ω = {ω 1, ω 2,..., ω n }, Ñ Ð Ø Ô Ù Ø ÓÚ Ø ω 1 ω 2 º º º ω n Ω Ò Ð Ø Ô Ù Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ Ω = nº ÇØÓ Ú ÖÙÙ ÚÓ ÓÐÐ ÑÝ Ö Ø Òº Ì Ô ØÙÑ ÓÒ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ó ÓÙ Óº ÇØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ó ÓÙ Ó Ñ Ö ØÒ Ó ÐÐ Ö Ñ ÐÐ A B C º º º Ë ÒÓÑÑ ØØ Ø Ô ØÙÑ A ØØÙÙ Ó Ó Ò ØÙÐÓ ω ÙÙÐÙÙ ÓÙ ÓÓÒ A Ð ω Aº Ω ÓÒ Ò º Ú ÖÑ Ø Ô ØÙÑ Ó Ó Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ú ØÓ Ó Ø ØØÙÙ Ú ÖÑ Ø º Ñ Ö ½º À Ø ØÒ Ð ÒØØ º ÌÙÐÓ Ú ØÓ ÓØ ÓÚ Ø ÖÙÙÒ Rµ Ð ¹ Ú Lµ ÓØ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ω = {L, R} Ω = 2º À Ø ØÒ Ð ÒØØ ÙÒÒ Ò Ò ÑÑ Ò Ò ÖÙÙÒÙº Ë ÐÐÓ Ò ÓØÓ Ú ¹ ÖÙÙ Ω = {R, LR, LLR, LLLR,...} Ω = º ÂÓ Ø Ô ØÙÑ A ÓÒ ³ Ò ÒØÒ Ð Ú ÒÒ Ò ½º ÖÙÙÒ ³ Ò Ò A = {R, LR, LLR}º Ñ Ö ½º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ð ØØ Ò ØÓ º ÂÓ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ¹ ÐÙ Ù ÚÓ Ò ØÙÐ Ø ØÓ º Ë ÐÐÓ Ò Ω = { ω R ω > 0 }. Ñ Ö Ø Ô ØÙÑ ³ ØÓ Ò Ò 100 ØÙÒØ ³ ÓÒ [100, ) ³ ØÓ ÝÐ 150 ÑÙØØ ÓÖ ÒØ Ò 200 ØÙÒØ ³ ÓÒ (150, 200]º ½º º¾ ÇØÓ Ú ÖÙÙ Ø Ø Ô ØÙÑ Ø ÓÙ Ó¹ÓÔ Ö Ø ÓØ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ØÙÒÒ Ó Ò E ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ω ÓÒ ÒÒ ØØÙº Ã Ø Ö ¹ Ø ÐÙÒ Ó Ø Ò ÓÐ Ú Ø Ø Ô ØÙÑ Ø Ø ØÒ Ω Ò Ó ÓÙ Ó Ò º ÇÐ ÓÓÒ A Ø ¹ Ô ØÙÑ º ÂÓ A ØØÙÙ Ø Ö Ó ØØ ØØ Ó Ò E ØÙÐÓ ω ÙÙÐÙÙ ÓÙ ÓÓÒ A Ð ω Aº ÌÙÐ Ø Î ÒÒ Ò Ö ÑÑ Ø Ò ØØ Ú Ð Ø Ø ÙÓÖ Ø Ø

8 ½º º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø Ì ÙÐÙ Ó ½º½º ÂÓÙ Ó¹ÓÔ ÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ò Ø ÖÑ ÒÓ¹ ÐÓ Ò Ú Ø ÚÙÙ º Ì Ô ØÙÑ Ø ÂÓÙ ÓØ ÂÓÙ Ó Ò Ñ Ö ÒØ Î ÒÒ Ò Ö ÑÑ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ô ÖÙ ÓÙ Ó Ω Ø Ô ØÙÑ Ω Ò Ó ÓÙ Ó A B C Ò º Ñ ÓØÓÒ Ø Ô ØÙÑ ØÝ ÓÙ Ó A A ØÙ A Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ A c A Ó Ó A Ø B Ø ÑÓÐ ÑÑ Ø A Ò B Ò Ý Ø A B A B A ØØ B A Ò B Ò Ð Ù AB A B A B A B ØÓ Ò ÔÓ ÙÐ Ú Ø A B Ô Ø Ú Ö Ø A B = A B Ó A Ò Ò B A ÓÒ B Ò Ó ÓÙ Ó A B A B

9 ÄÙ Ù ½º ÂÓ ÒØÓ Ω Ø µ ØÙÒÒ Ø Ô Ø Òº ÂÓ Ò Ò ÙÓÖ Ø Ò Ô Ø ÓÒ Ð Ø Ô Ù º ÂÓ Ò Ò ÙÓÖ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ ÓÒ Ø Ô ØÙÑ º Ì ÙÐÙ Ó ½º½ ÓÒ Ø ØØÝ ÓÙ Ó¹ÓÔ ÐÐ Ø ÓÔ Ö Ø ÓØ ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ Ý ¹ Ø Ð Ù º ÆÑ ÓÔ Ö Ø ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÑÓÒ ÝØØ ÐÔÓ ÓÑ Ò ¹ ÙÙ ÙØ Ò Ñ Ö (A c ) c = A, A A c = Ω, A A c =. Ò ÖØ Ø ÑÙØØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ý ÝÐÐ Ø Ö Ð Ø ÓØ (A c ) c = A ÙØ ÙØ Ò Ò ÖØ Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ò ÒÒ º à ÓÙ Ó¹ÓÔ Ò Ð Ù ÒØ ÓÚ Ø Ú ÒØ Ð Ø Ð ØÒØÐ Ø A B = B A, A B = B A Ó ØØ ÐÙÐ Ø A (B C) = (A B) C, A (B C) = A (B C) A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C) ÅÓÖ Ò Ò Ð Ø (A B) c = A c B c, (A B) c = A c B c. A B A B (A B) c A c B c A B A B (A B) c A c B c ÃÙÚ Ó ½º¾º ÅÓÖ Ò Ò Ð Øº ÀÙÓÑ ØØ A (B C) (A B) C,

10 ½º º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø Ô Ø Ö Ó Ø Ô Ù º Ä Ù A B C ÓÐ ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ Ú Ò Ø ÖÚ Ø Ò ÙÐÙØ Ó Ó ØØ Ñ Ò ÙÑÑ Ø Ø Ô ØÙÑ Ø ÓÒ Ý º ÂÓÙ Ó Ò A B ÖÓØÙ Ò A \ B ÙÙÐÙÚ Ø Ò A Ò Ô Ø Ø ÓØ ÚØ ÙÙÐÙ ÓÙ ÓÓÒ B A \ B = A B c = { ω ω A ω / B }. ÂÓ B A ÝØÑÑ Ñ Ö ÒÒÒ A \B Ø ÑÝ Ñ Ö ÒØ A Bº ÌØ Ñ Ö ÒØ ÝØØ Ò A \ B = A (A B) A c = Ω A. A \ B B A B B ÃÙÚ Ó ½º º ÂÓÙ Ó Ò ÖÓØÙ º Ë ÒÓÑÑ ØØ Ø Ô ØÙÑ Ø A 1 A 2 º º º A m ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ø Ô ØÙÑ Ò A Ó ØÙ Ò Ø ÓÒµ Ó A = A 1 A 2 A m Ø Ô ØÙÑ Ø A 1 A 2 º º º A m ÓÚ Ø ØÓ Ò ÔÓ ÙÐ Ú Ø A i A j = ÙÒ i jµº Ñ Ö A A c ÑÙÓ Ó Ø ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ó ØÙ Ò A \ B A B ÑÙÓ Ó Ø A Ò Ó ØÙ Òº ÂÓ ÓÙ ÓØ A B ÓÚ Ø Ô Ø Ú Ö Ø A B = µ Ò Ò ÚÓ ÑÑ A A1 A 2 A 3 AA 1 A 2 A 3 A 6 A 4 A 5 ÃÙÚ Ó ½º º ÂÓÙ ÓÒ A Ó ØÙ º Ñ Ö ÒÒÒ A B Ø ÝØØ Ñ Ö ÒØ A + Bº Ë ÐÐÓ Ò Ñ Ö Ω = A + A c. ÂÓ A 1 A 2 A 3 ÓÒ A Ò Ó Ò Ò A = A 1 + A 2 + A 3. ÂÓ A 1, A 2,...,A n ÓÒ ÓÒÓ Ø Ô ØÙÑ Ò Ò ÙÒ ÓÒ ÓÒ n A i = A 1 A 2 A n i=1

11 ÄÙ Ù ½º ÂÓ ÒØÓ Ð Ù n A i = A 1 A 2 A n. i=1 ÃÙÒ Ø Ô ØÙÑ Ò ÓÒÓ {A n }, n 1 ÓÒ Ö Ø Ò ÓÒÓÒ Ø Ô ØÙÑ Ò ÙÒ ÓÒ Ð Ù ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ö ÐÐ Ø Ò ÙÒ ÓÒ Ò Ð Ù Ø Ò Ö ¹ ÖÚÓÒ m m A n = lim A n, A n = lim A n. n=1 m n=1 n=1 m n=1 ÃÙÒ Ø Ô ØÙÑ Ò ÓÒÓ ÓÒ {A n }, n = 1, 2,... ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ö Ø Ò ÚÓ Ñ¹ Ñ Ñ Ö Ø ÑÝ = {ω ω A n Ò Ò Ý ÐÐ n Ò ÖÚÓÐÐ }, n n A n A n ÀÙÓÑ ØØ = {ω ω A n ÐÐ n Ò ÖÚÓ ÐÐ }. m n=1 A n Ú Ò m n=1 A n Ú ÙÒ m Ú º ÂÓÒÓ { m A n }, m = 1, 2,... Ô ÙÙ Ó Ø ÓÙ Ó A n ÓÒÓ { m A n }, m = n=1 n=1 n=1 1, 2,... ÙØ ØÙÙ Ó Ø ÓÙ Ó A n º Æ ÓÚ Ø ÑÓÒÓØÓÒ ÓÒÓ º ÂÓÒÓ n=1 {B n }, n = 1, 2,... ÒÓØ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ó B 1 B 2... Ú Ú µ Ø B 1 B 2... Ú Ò Úµº ÅÓÒÓØÓÒ ÐÐ ÓÒÓ ÐÐ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ö ¹ ÖÚÓ ÙÖ Ú Ø lim B n = n lim B n = n B n, ÙÒ {B n }, n 1 Ú Ú n=1 B n, ÙÒ {B n }, n 1 Ú Ò Úº n=1 Ç ØØ ÐÙÐ Ø ÅÓÖ Ò Ò Ð Ø ÚÓ Ò ÝÐ Ø ÐÑ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ó Ñ Ò Ö ÐÐ Ö ØØ Ñ ÓÙ Ó Ò ÓÒÓ º Ñ Ö B ( n A n ) = n (B A n ), ( n A n ) c = n A c n. ½º º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ØÙÒÒ Ó Ò Ð ØØÝÚ ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÓÒ ÒÒ ØØÙº Ì Ö¹ Ø ÐÐ Ò ÒÝØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÖ Ø Ð Ñ Øº ÇÐ Ø ÑÑ ÐÙ ØØ ÓØÓ ¹ Ú ÖÙÙ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Òº Ë ÐÐÓ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ð Ø Ô ¹ ØÙÑ Ò ÚÙÐÐ º

12 ½º º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ½º½ ÇÐ ÓÓÒ E ØÙÒÒ Ó Ω Ò Ö ÐÐ Ò Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ω ÑÖ Ø ÐØÝ Ö Ð ÖÚÓ Ò Ò ÙÚ Ù ÓÐÐ ÓÒ ÙÖ Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø P : Ω [0, 1], ½º P({ω}) 0 ÐÐ {ω} Ω ¾º P({ω}) = 1º {ω} Ω Ë ÒÓÑÑ ØØ P({ω}) ÓÒ Ð Ø Ô ØÙÑ Ò {ω} ØÓ ÒÒ ÝÝ º Ì Ô ¹ ØÙÑ Ò A Ð Ω Ò Ó ÓÙ ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÐÙ ÙÒ ½º º½µ P(A) = ω AP({ω}). Æ Ò ÙÒ Ø Ó P ÚÓ Ò Ð ÒØ ÓÙ Ó ÙÒ Ø Ó Ó Ð ØØ Ó Ò Ø ¹ Ô ØÙÑ Ò A Ω ÐÙÚÙÒ 0 P(A) 1º ÇÑ Ò ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ ØÓ Ò¹ Ò ÝÝØØ ÙØ ÙØ Ò ÝÐ Ø ÓÖ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ Ø º ÂÓ Ω = {ω 1, ω 2,...,ω n } Ò Ò P({ω i }) = ω i Ω n P({ω i }) = 1. i=1 Ñ Ö Ø Ô ØÙÑ Ò A = {ω 1, ω 3, ω 5 } ØÓ ÒÒ ÝÝ P(A) = P({ω 1 })+ P({ω 3 }) + P({ω 5 })º Ä ÑÖ ØØ Ð ÑÑ Ñ ÓØØÓÑ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ÓØ Ñ Ö ØÒ ØÝ ÐÐ ÓÙ ÓÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò P( ) ÒÓÐÐ º Ë ØÙÒÒ Ó¹ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÒØ Ñ ÐÐ Ó Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ω Ò Ð ØØÝÚ ÙÒ Ø Ó P Ó ØÓØ ÙØØ ÅÖ Ø ÐÑÒ ½º½ Óغ ÌÓ ÒÒ ¹ ÝÝ Ñ ÐÐ ÓÒ Ô Ö (Ω, P)º ÅÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò P( ) = 0º Å ÓØÓÒ Ø Ô ØÙÑ ÓÒ Ú ÖÑ Ò Ø ¹ Ô ØÙÑ Ò Ω ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ Ð Ω c = º Ì Ô ØÙÑ Ò A ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ ÓÒ ÓÙ ¹ Ó Ó ÓÒ ÙÙÐÙÚ Ø Ò Ð Ø Ô Ù Ø ÓØ ÚØ ÙÙÐÙ ÓÙ ÓÓÒ Aº ÃÓ Ó Ò Ò Ð Ø Ô Ù ω ÙÙÐÙÙ ÓÙ ÓÓÒ A Ø Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ Ò ÑÙØØ ÑÓÐ ÑÔ Ò Ñ Ò Ø Ò Ò + ω AP({ω}) P({ω}) = P({ω}) = 1. ω A c ω Ω Ì Ø ÙÖ ØØ P(A) + P(A c ) = 1 ÓØ Ò P(A c ) = 1 P(A). ÅÖ Ø ÐÑÒ ½º½ ÓÐ ØÙ Ø ØÓØ ÙØØ Ú ÙÒ Ø Ó ÑÖ ØØ Ð ØÓ ÒÒ ÝÝ ¹ ÙÑ Ò Ω º ÂÓ Ω = {ω 1, ω 2,...,ω n } Ò Ò ÚÓ ÑÑ ØØ ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ ÙÑ Ò ÑÙÓ Ó ω 1 ω 2... ω n p 1 p 2... p n,

13 ½¼ ÄÙ Ù ½º ÂÓ ÒØÓ Ñ p i = P({ω i }) n i=1 p i = 1º Å Ø Ò ÅÖ Ø ÐÑÒ ½º½ ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú Ö Ð ÐÙ Ù ÓÙ Ó { p i p i = P({ω i }), 1 i n } ÑÖ ØØ Ð ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÑ Ò Ω º Ñ Ö ½º À Ø ØÒ Ö ØÓÒØ ÒÓÔÔ º Ë ÐÐÓ Ò ÐÑÐÙ Ù Ò ÑÙÓ Ó ¹ Ø Ñ ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÓÒ Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}º ÂÓ Ó Ò Ò ÐÑÐÙ Ù ÓÒ Ý Ø Ñ ÓÐÐ Ò Ò Ò Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ P Ø Ò ØØ P(i) = 1, i = 1,...,6. 6 Ì Ô ØÙÑ Ò ³ ÐÑÐÙ Ù Ô Ö ØÓÒ³ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ P({1, 3, 5}) = P({1}) + P({3}) + P({5}) = = 3 6 = 1 2. ÇÐ ÑÑ ÒÝØ ÑÖ Ø ÐÐ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ò (Ω, P) Ö ÐÐ ÓØÓ ¹ Ú ÖÙÙ Ø Ò ØØ Ó Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÚÓ Ø Ò ÑÖ ¹ Ø Ðк ÇÐ ÑÑ ÒÒÓ ØÙÒ Ø Ω Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Øº Ì Ô ¹ ØÙÑ Ø Ó Ø Ò ÙÙ Ø Ô ØÙÑ ÓÙ Ó¹ÓÔ Ò ÓÔ Ö Ø Ó ÐÐ º ÅÖ Ø ÐÑ ½º¾ ÇØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ó ÓÙ Ó Ò Ó Ó ÐÑ A ÓÒ Ð Ö Ó ÙÖ Ú Ø ÓÐÑ ØÓ ØÓØ ÙØÙÚ Ø a 1. Ω Aº a 2. ÂÓ A Ω Ò Ò A c Ωº a 3. ÂÓ A, B Ω Ò Ò A B Ωº ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ø Ö Ø ÐØ Ú Ø ÓÙ Ó Ó Ó ÐÑ Ø Ø Ô ØÙÑ Ò Ó¹ Ó ÐÑ Øµ ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ò Ð Ö Òº Ñ Ö ÓÙ Ó Ð ÖÓ Ø ÓÚ Ø µ ËÙÔÔ Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ò Ð Ö {Ω, } Ó ÓÒ ÙÙÐÙÚ Ø Ú Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ω ØÝ ÓÙ Ó º µ Ì Ô ØÙÑ Ò A Ò ÖÓ Ñ Ð Ö {A, A c, Ω, }º µ ÇØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ò Ó ÓÙ Ó Ò Ó Ó ÐÑ {A A Ω} Ó ÐØ ÑÝ ØÝ Ò ÓÙ ÓÒ º ÌÓ ØØ ÓÓÒ ØØ Ñ Ò ØÙØ ÓÙ Ó Ð Ö Ø Ð ØØÝÚØ Ó ÓÒ Ò ÓØÓ¹ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ó ØÙ Òº ÇÐ ÓÓÒ D = {D 1,...,D n } ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ó ØÙ º Ë ÐÐÓ Ò D D n = Ωº ÂÓ Ñ Ö Ω = {ω 1, ω 2, ω 3 } Ò Ò {{ω 1 }, {ω 2 }, {ω 3 }} ÓÒ Ω Ò Ó ØÙ Ó Ω = {ω 1 } + {ω 2 } + {ω 3 }º ÌÑÒ Ó ØÙ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ 5 Ö Ó ØÙ Ø D 1 = {ω 1, ω 2, ω 3 }

14 ½º º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø ½½ D 2 = {{ω 1, ω 2 }, {ω 3 }} D 3 = {{ω 1, ω 3 }, {ω 2 }} D 4 = {{ω 2, ω 3 }, {ω 1 }} D 5 = {{ω 1 }, {ω 2 }, {ω 3 }}º ÂÓ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò Ó ØÙ Ò D ÓÙ Ó Ò ÙÒ ÓÒ Ø Ò Ò Ò ÓÙ Ó Ó Ó ÐÑ Ó ÓÒ Ð Ö º ÅÙ Ò ÓØ Ø Ò ÑÝ Ó Ò ÚÓ Ò Ø ÐÐ ÓÐ Ú Ò Ó ØÙ º ËÝÒØÝÚ ÓÙ Ó Ó Ó ÐÑ ÒÓ¹ Ø Ò Ó ØÙ Ò D Ò Ù Ó Ñ ÓÙ Ó Ó Ó ÐÑ α(d)º ÅÝ ÒØ Ò Ò ØÙÐÓ Ô Ø Ô Ò º ÂÓ A ÓÒ Ö ÐÐ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ó ÓÙ Ó Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ð Ö Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò Ý ØØ Ò Ò Ω Ò Ó ØÙ D ØØ A ÓÒ Ó ØÙ Ò D Ò Ù Ó Ñ Ð Ö Ð A = α(d)º Ñ Ö ½º (a) Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω = {ω 1, ω 2, ω 3 } Ó ØÙ Ø D 2 = {{ω 1, ω 2 }, {ω 3 }}º Å Ö ØÒ A = {ω 1, ω 2 } ÓØ Ò A c = {ω 3 }º Ë ÐÐÓ Ò Ó ¹ ØÙ Ò D 2 Ò Ù Ó Ñ Ð Ö ÓÒ Ø ÓÙ ÓÒ A Ò Ù Ó Ñ Ð Ö º (b) ÇÐ ÓÓÒ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ω = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 3 } Ò Ó ØÙ D = {{ω 1, ω 2 }, {ω 3 }, {ω 4 }}º Ç ØÙ Ò D 2 Ò Ù Ó Ñ Ð Ö ÓÒ {Ω,, {ω 1, ω 2 }, {ω 3 }, {ω 4 }, {ω 1, ω 2, ω 3 }, {ω 1, ω 2, ω 4 }, {ω 3, ω 4 }}º ÂÓ Ñ Ö ØÒ D 1 = {ω 1, ω 2 }, D 2 = {ω 3 } D 3 = {ω 4 } Ò Ò Ó ØÙ Ò D = {D 1, D 2, D 3 } Ò Ù Ó Ñ Ð Ö Ò ÑÙÓ¹ Ó Ø Ñ ÐÐ ÓÙ Ó Ò D 1, D 2 D 3 Ñ ÓÐÐ Ø ÙÒ ÓÒ Øº Ñ Ö D 1 D 3 = {ω 1, ω 2,, ω 4 } D 2 D 3 = {ω 3, ω 4 }º ÃÙÒ ØÙÒÒ Ó ÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ ÒÒ Ø ØÒ Ò¹ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ω = {ω 1,...,ω n }º Ë Ò Ð Ò Ú Ð Ø Ò Ó Ò ÐÐ Ò Ò Ó ¹ ÓÙ Ó Ò Ó Ó ÐÑ A Ó ÑÙÓ Ó Ø Ð Ö Òº ÃÓ Ó ÐÑ Ò A Ð ÓØ ÓÚ Ø Ø Ô ØÙÑ º ÃÙÒ Ω ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò Ú Ð Ø Ò ÓÙ Ó Ð Ö A Ø Ú ÐÐ ¹ Ø Ω Ò Ò Ó ÓÙ Ó Ò Ó Ó ÐÑ º Ë ØØ Ò Ó Ò Ð Ø Ô Ù Ò ω i Ω, 1 i n Ð Ø ØÒ ÅÖ Ø ÐÑÒ ½º½ ÑÙ Ø ÔÒ Ø Ú Ò Ò Ô ÒÓº Ì Ô ØÙÑ Ò A A ØÓ ÒÒ ÝÝ P(A) ÑÖ Ø ÐÐÒ Ú Ò ½º º½µ ÑÙ Ø ÐÙ ÙÒ P(A) = ω i AP({ω i }). Ë ÒÓÑÑ ØØ ÓÐÑ Ó (Ω, A, P) ÑÖ ØØ Ð ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ò Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ú ÖÙÙ Òº ÂÓ Ö ÐÐ ¹ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ý Ø Ý Ö Ò Ñ Ò Ø ÓÙ Ó Ð Ö A Ø Ö Ó ¹ Ø Ø Ò Ω Ò Ò Ó ÓÙ Ó Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ð Ö º ½º º Ö ØØ ÑØ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ø ÐÐ ÓÒ Ø ÐØÝ Ú Ò Ö ÐÐ ÓØÓ Ú ÖÙÙ º Ñ Ö ½º Ø ØØ Ò ÑÝ Ö ØØ Ñ ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÓØ ÓÚ Ø ÓÚ ÐÐÙ Ø Ú ÐÐ º ÂÓ Ω ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ø Ö Ø Ò Ò Ò Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,...}. Ë ÐÐÓ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ù Ò Ö ÐÐ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ø Ô Ù º ÅÖ Ø ÐÑ ½º½ ÓÚ ÐØÙÙ ÑÝ ÒÙ¹ Ñ ÖÓ ØÙÚ Ø Ö ØØ Ñ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Òº Ë ÐÐÓ Ò ÅÖ Ø ÐÑÒ ½º½ 2. Ó

15 ½¾ ÄÙ Ù ½º ÂÓ ÒØÓ Ö ÐÐ Ò Ò ÙÑÑ ÓÖÚ Ø Ò Ö ØØ ÑÐÐ ÙÑÑ ÐÐ p i = p 1 + p 2 + p 3 + = 1, i=1 Ñ P({ω i }) = p i º Ì Ô ØÙÑ Ò A Ω ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ½º º¾µ P(A) = i }), ω i AP({ω ÑÙØØ ÒÝØ ÒÝØ ÙÑÑ ÚÓ ÓÐÐ Ö Ø Òº ÂÓ Ω ÓÐ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ð ÓÒ ÝÐ ¹ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ µ Ò Ò ÅÖ Ø ÐÑ ½º½ ÓÚ ÐÐÙ Ø Ô ØÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÖ ØØ Ð Ñ Ò Ú Ò Ø ÖÚ Ø Ò ÙÙ ØØ Øº Æ Ò Ô Ð Ø Ò ÑÝ Ñ¹ Ñ Òº Ñ Ö ½º Ñ Ö ½º Ø Ö Ø ÐØ Ò ØÙÒÒ Ó ØØ Ó Ø Ø¹ ØÒ Ð ÒØØ ÙÒÒ Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ð Ú º Ë ÐÐÓ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ω = {L, LR, LLR, LLLR,...}, Ñ Ð Ø Ô Ù ω i = } LL {{...L} R. i 1 ÂÓ ÖÙÙÒ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ P({R}) = p Ð Ú Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ P({L}) = q p + q = 1µ Ò Ò P({ω i }) = q i 1 p. Ë ÐÐÓ Ò P({ω i }) = q i 1 p = p 1 q = 1. i=1 i=1 ½º º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò ØÙÐ ÒÒ Ø ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒØ ÓÐ Ö ÔÔÙÚ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ð ÐÙ Ù Ò p ØÙÐ ÒÒÓ Ø Ø Ñ Ø Ò Ò Ø ÐÙ Ù Ñ Ø Ø Ò Ø ÖÚ Ó Òº ÌÓ¹ ÒÒ ÝÝ Ð ÒØ ÓÒ ÓÑ ØØ Ò Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ò Ò Ø ÓÖ º Ñ Ö Ö ØØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒØ Ô ÖÙ ØÙÙ ÅÖ Ø ÐÑÒ ½º½ ØØÑ Ò ØÓ¹ ÒÒ ÝÝ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Òº ËÓÚ ÐÐÙ ØÙÐ Ø ÑÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ù Ò ÙÙÖ Ó Ø ÚÓ Ò Ø ÑÓ Ù Ø ÐÐ ÐÐ Ö Ú Ò Ðк Ì Ô ØÙÑ Ò A Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ó µ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ù Ø Ò ½º º µ odds(a) = P(A) P(A c ) = P(A) 1 P(A). Ì Ô ØÙÑ Ò A Ñ ÓÐÐ ÙÙ ÖØÓÓ Ù Ò ÑÓÒØ ÖØ ØÓ ÒÒ Ñ¹ Ô ÓÒ ØØ A ØØÙÙ Ú ÖÖ ØØÙÒ Ò ØØ A ØÙº ÂÓ Ø Ô ØÙÑ Ò A Ñ ÓÐÐ ÙÙ odds(a) ÓÒ ÒÒ ØØÙ Ò Ò A Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ P(A) = odds(a) 1 + odds(a).

16 ½º º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø ½ Ñ Ö ½º ÂÓ 1000 Ò Ð Ò ÔÓÔÙÐ Ø Ó ÓÒ 600 Ò Ø 400 Ñ Ø Ò Ò Ò Ø Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ó ÙÙ ÓÒ = 0.6. ÂÓ Ø Ø ÔÓÔÙÐ Ø Ø Ú Ð Ø Ò ØÙÒÒ Ø Ý Ò Ð Ò Ò Ò Ò Ú Ð Ø ¹ Ñ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ 0.6º Æ Ò Ñ ÓÐÐ ÙÙ oddsµ ØÙÐÐ Ú Ð ØÙ ÓÒ 6 Ú Ø Ò 4º Å ÓÐÐ ÙÙ ØØ Ò Ò Ò ØÙÐ Ú Ð ØÙ ÓÒ 4 Ú Ø Ò 6º ÂÓ A = {Ò Ò Ò} B = {Ñ } Ò Ò Ò Ò Ñ ÓÐÐ ÙÙ ØÙÐÐ Ú Ð ØÙ ÓÒ odds(a) = P(A) 1 P(A) = = 3 2. Í Ô ÐÙÖ Ø ÓÚ Ø ÒÒÓ ØÙÒ Ø Ñ Ò Ö ØÝÝÔÔ Ø Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ø Ò Ñ ØØ Ò ÚÓ ØÓÒ Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ø Ô ÝÓ Ó µº È Ð ÒÓØ Ú ÓÒÐÝ ÒÒ Ò ÚÐ ØØ Ø Ø Ö Ó Ú Ø Ò Ø Ñ ÓÐÐ ÙÙ º ÂÓ Ø Ô ØÙÑ Ò A Ñ ÓÐÐ ÙÙ ÓÒ 1 Ú Ø Ò 10 ÐÝ Ø ÙÖÓÒ Ú ØÓ Ø Ô ØÙÑ Ò ÔÙÓÐ Ø Ò Ò A Ò ØØÙ ÚÓ Ø Ø 10 ÙÖÓ º ÂÓ A ØÙ Ú Ø Ò Ý Ò ÙÖÓÒº à ÒÓ Ñ Ø Ô ¹ Ð Ñ ÙÒ Ý Ò ÙÖÓÒº ÂÓ A ØØÙÙ Ø Ø Ò 11 ÙÖÓ Ó ÓÒ ÚÓ ØØÓ ÔÐÙ ÙÖÓÒ Ô Ð ÙØÙ º ÂÓ A ØÙ ÒÓ Ô Ø Ñ Ñ ÙÖÓÒº È ÒÓ ÓÒ 1 ÙÖÓ ÒÓÒ Ô ÒÓ 10 ÙÖÓ Ó ÓÒ Ô ÒÓ 11 ÙÖÓ º ÎÓ ØÓÒ Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ò ÚÐ ÐÐ ÓÒ Ý Ø Ý Ó ÓÒ ÝÑÑÖÖ ØØÝ Ù Ô Ð Ò Ý Ø Ý Ô Ð ÓÒ ÒÒ Ò Ú Ö Ò Ò ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ Ð ÒÒ Ò ÝÒØݺ ÈÙ ÙØ Ò Ñ Ö Ò º Ö ÐÙÒ Ô Ð Ò ÒÒ ¹ Ø Ó ØÓØ ÙØÙÙ ÐÐÓ Ò ÙÒ Ø Ô ØÙÑ A Ó Ú Ú ÓÐÝ ÒÒ ÚÓ ØÓÒ Ñ ÓÐÐ ÙÙ ÓÒ Ñ Ù Ò A Ò Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ð Ô ÒÓ ÒÓÒ Ô ÒÓ = odds(a). Ê ÐÙÒ Ô Ð Ò ÒÒ Ò ÑÙ Ò Ô ÒÓ Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ó ÙÙ Ò Ó ÓÒ Ô ÒÓ ¹ Ø ØÙÐ ÓÐÐ P(A)º ÚØ ÒÓ Ø Ò Ø Ô ØÙÑ Ò Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ø Ú Ò ÑÝ Ñ ÓÐÐ ÙÙ ¹ Ò Ù Ø Ø ÓÚ Ø Ô Ð Ø Ð ÒØ Ò Ò ÐÝ Ó ÒÒ º Æ ÓÚ Ø ØÖ Ø Ø Ø ÑÝ Ñ Ö Ö Ú Ò Ò ØÓ Ò Ò ÐÝÝ ÐÓ Ø Ö Ö Ó º ÇÐ ÓÓÒ A Ò Ñ ÓÐÐ ÙÙ odds(a) B Ò Ñ ÓÐÐ ÙÙ odds(b)º Ë ÐÐÓ Ò Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ò Ù Ó Ö Ø Óµ θ(a, B) ÓÒ ½º º µ θ(a, B) = odds(a) odds(b) = P(A)/[1 P(A)] P(B)/[1 P(B)]. Î ÓÒÐÝ ÒØ Ø ÖÑ ÒÓÐÓ Ò ÑÙ Ò θ ÓÒ Ú ÓÒÐÝ ÒØ Ù º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ¹ Ò ÖÚ Ó ÒØ Ú ÓÒÐÝ ÒÒ Ô ÖÙ ØÙÙ Ô Ø ÐØ Ò Ð Ó Ø Ò Ù ÓÑÙ Ò Ó ÑÙ Òº ÅÝ Ñ Ö Ð ØÓ Ñ ÒÒ Ò ÔØ ÒØ Ó Ò Ð Ó ¹ Ø Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ØÙÐ ÒÒ Ø ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ ÝØØ ÐÔÓ º

17 ½ ÄÙ Ù ½º ÂÓ ÒØÓ ½º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÐÐ Ø Ñ Ò Ò ÓÒ Ú Ö Ò Ø Ó Ý ÝÐÐ Ò Ò Ø Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ¹ Ð ÒÒ Ø Ð ØÓØ Ø º à ØØ Ð ÑÑ Ø ÐÙÚÙ Ò ÑÑ Ò Ö¹ Ö Ò ÐÝ Ý Ø ÓÐÐ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝØØ Ó ØÙÐ ÓÐ Ñ Ò ØÖ Ø ÐÔ Ó Ó ÙÖ Òº Ñ Ö ½º À Ø ØÒ Ö ØÓÒØ ÒÓÔÔ ÙØ Ò Ñ Ö ½º º Å ÐÐ ÖÖÓØ Ò ØØ ÓÒ ØÙ Ô Ö ØÓÒ ÐÑÐÙ Ù ÑÙØØ ÑÑ Ø Ñ Ò Øº Å ÓÒ ÐÑÐÙÚÙÒ 5 ØÓ ÒÒ ÝÝ ÇÐ ÓÓÒ B ³ ÐÑÐÙ Ù Ô Ö ØÓÒ³ A ³ ÐÑÐÙ Ù 5³º Ì ÑÑ ØØ ÐÑÐÙ Ù ÓÒ 1 3 Ø 5º ÆÑ Ð Ø ¹ Ô Ù Ø ÓÚ Ø Ý Ø ØÓ ÒÒ ÓØ Ò ÐÑÐÙÚÙÒ 5 ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ 1/3º Ë ÒÓÑÑ ØØ Ø Ô ØÙÑ Ò A ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÐÐ B ÓÒ 1/3º ÌØ ÓÐÐ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝØØ Ñ Ö ØÒ P(A B)º ÀÙÓÑ ÑÑ ØØ Ò Ò Ø Ñ Ö P(A B) P(A) = 1/6º ÃÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò A ÓÐÐ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝØØ P(A B) Ö Ó ØÙØ Ò Ø Ö Ø Ð Ñ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò B Ð Ø Ô Ù º Ë ØØ Ò Ø ÓØ Ò Ù Ò Ù Ò B ØØÙÙ ÑÝ Aº ÌÑ ÓÒ Ø Ô ØÙÑ ³ A ØØ B ØØÙÚ Ø³ ÓØ Ñ Ö ØÒ A Bº ÐÐ Ñ Ö Ð ÑÑ Ø ÓÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò P(A B) Ú ÐÐ ½º º½µ P(A B) = P(A B). P(B) ÌÓ ÒÒ ÝÝ P(A B) ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ P(B) > 0º Ñ Ö ½º½¼ ÐÓÓÒ Ñ Ø ÙÐÙ Ó Ø ØÒ Ö Ò ÐÓ ÓÐ ¹ Ú Ò Ó ÓØ ØØÙ ÐÙ ÙÑÖ ÐÚÒ ÝÒØÝÒÝØØ Ó Ø º Ñ Ö Ù¹ Ö Ú Ø ÙÐÙ Ó ÓÒ ÒÒ ØØÙ 20¹ 45¹ 65¹ÚÙÓØ Ò ÐÓ ÓÐ Ú Ò Ò Ø Ò ÐÙ ÙÑÖØ Ö Ú Ø ÐÚÒ ÝÒØÝÒÝØØ ØÝØØ Ð Ø Ó Ø º Á ¾¼ ÐÓ ¼ ¼ ¾ Ì ÚÓ Ò Ø ÐÐ ØØ Ð ÙÔ Ö Ò Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ω ÓÒ ØÝع Ø Ð Ø º Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ¾¼¹ÚÙÓØ Ð ¹ÚÙÓØ Ø Ö¹ Ó ØØ Ø ØØ Ð Ò Ò ¹ÚÙÓØ µ ÇÐ ÓÓÒ A = ³ Ð ¹ÚÙÓØ ³ B = ³ Ð ¾¼¹ÚÙÓØ ³º ÃÓ ¾¼¹ÚÙÓØ ÓÒ ÐÒÝØ Ò Ø Ò Ø ¹ÚÙÓØ Ò Ò Ý ÝØØÝ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ 95662/98040 = º Ä ØØ ÓÐÐ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝØØ Ú Ð Ø Ò Ô ÖÙ ÓÙ Ó B Ø ÓØ Ò Ù Ò ÑÓÒ Ò Ø ÐÚ ¹ÚÙÓØ º ÆÝØ Ø Ô ØÙÑ A B ÓÒ ³ Ð 45¹ÚÙÓØ ³ Ó 45¹ÚÙÓØ ÐÒ Ø ÓÚ Ø ÐÒ Ø ÑÝ 20¹ÚÙÓØ º ÃÓ 20¹ÚÙÓØ Ð Ò Ò P(B) = 98040/ = º Î Ø Ú Ø P(A B) = 95662/ = º ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ P(A B) = P(A B) P(B) = =

18 ½º º Ç ÓØ ØÙØ Ö Ú Ò Ø ½ ½º º½ ÓÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ö Ú Ò ØÙÐ ÒØ ÇÐ ÓÓØ A B ÓØ ÙØ ØÙÒÒ Ó Ò E ÓØÓ Ú ÖÙÙØ Ò Ω Ð ØØÝÚØ Ø Ô ¹ ØÙÑ Ø N n (A B) ÓÒ Ø Ô ØÙÑ Ò A B Ö Ú Ò N n (B) Ø Ô ØÙÑ Ò B Ö Ú Ò ÙÒ ØÙÒÒ Ó E ØÓ Ø Ø Ò n ÖØ º ÎÓ ÑÑ Ø ÐÐ ØØ ½º º¾µ P(A B) N n(a B) N n (B) ÙÒ ØÓ ØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ n ÓÒ ÙÙÖ º ½º º¾ à ÖØÓÐ Ù ÒØ = N n(a B)/n N n (B)/n P(A B), P(B) ÃÓ ÓÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ú ½º º½µ P(B) > 0 Ò Ø ÖØÓÐ Ù ÒØ ½º º µ P(A B) = P(B) P(A B) Ø Ô ØÙÑ Ò A B ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ð Ñ º ½º º Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ë ÒÓÑÑ ØØ Ø Ô ØÙÑ Ø A B ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó ½º º µ P(A B) = P(A) P(B). ÀÙÓÑ ØØ ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ½º º½µ ÓÐ ÑÖ Ø ÐØÝ Ó P(B) = 0 ÑÙØØ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑ ½º º µ ÓÒ ÐÐÓ Ò Ò ÚÓ Ñ º ÂÓ P(B) 0 ½º º µ Ô Ø Ô Ò Ò Ò P(A B) = P(A B) P(B) = P(A). ÂÓ A B ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò Ø ØÓ B Ò ØØÙÑ Ø Ú ÙØ A Ò ØÓ ÒÒ ÝÝØ Òº ÂÓ P(A) > 0 Ò Ò ÑÝ P(B A) = P(A B)/P(A) = P(B) ÙÒ A B ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ½º Ç ÓØ ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÃÓ Ò E ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ (Ω, P) ÓÒ Ø ÓÖ ØØ Ò Ò ÓÒ ØÖÙ Ø Óº Å ÐÐ Ò Ý¹ ÚÝÝ ÝØÒÒ Ò ÓÚ ÐÐÙ ÓÒ ØÙØ ØØ Ú ÑÔ Ö Ø º ÌÑ Ø Ò Ú Ö¹ Ø Ð Ñ ÐÐ Ó Ò ÑÔ Ö Ò ÐÑ Òµ Ú ØØÙ ØÙÐÓ Ñ ÐÐ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó ÓØ ØØ Ú ÓÐ Ú Ò ØÙÐÓ Òº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ó ØÓ Ø Ø Ò n ÖØ º ÂÓ Ø Ô ØÙÑ Ò A ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ Ñ ÐÐ Ò ÑÙ Ò p Ò Ò ÐÐÓ Ò A Ò Ó ÓØ ØØÙ Ö Ú Ò Ð Ø ÓÖ ØØ Ò Ò Ö Ú Ò ÓÒ npº ÂÓ A ØØÙ ÙÓÖ Ø ØÙ ØÓ ¹ ØÓ Ó n A ÖØ Ò Ò ØØ Ú ØØÙ Ö Ú Ò Ú ÖÖ Ø Ò Ó ÓØ ØØÙÙÒ Ö Ú Ò Òº ÂÓ n A ÔÓ Ð Ò Ô Ð ÓÒ Ó ÓØ ØÙ Ø Ö Ú Ò Ø np Ò Ò Ñ ÐÐ Ø ÓÖ µ ÓÙØÙÙ Ý Ò Ð º À Ú ÒÒÓØ ÚØ ÐÐÓ Ò ØÙ Ø ÓÖ º Ë ¹ Ò Ñ ÓÒ Ð Ò ÙÙÖ ÔÓ Ñ ÔÝÖ ÑÑ Ú Ø Ñ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ¹ Ð ÒÒ Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÚÙÐÐ º

19 ½ ÄÙ Ù ½º ÂÓ ÒØÓ ÂÓ ÒØÓ Ø ÒÚ ØÓ ÑÔ Ö Ò Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Óº ÄÙ Ù Ò x 1 x 2 º º º x n ÑÔ Ö Ò Ò ÖØÝѹ ÙÒ Ø Ó ÓÒ F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, Ñ < a <. ÓÒ ÓÙ ÓÒ Ð Ó Ò ÐÙ ÙÑÖº ÑÔ Ö Ò Ò ÙÑ ÙÒ Ø Ó Ø ÐÝ Ý Ø ÑÔ Ö Ò Ò ÙÑ ÓÒ P n (a, b) = F n (b) F n (a). ÇØÓ Ú ÖÙÙ Ω ÓÒ ØÙÒÒ Ó Ò Ø ØÙÒÒ ÐÑ Òµ Ñ ÓÐÐ Ø Ò ØÙ¹ ÐÓ Ø Ò Ð Ø Ô Ù Ø Ò ωµ ÓÙ Óº Ë ØÙÒÒ Ó ÚÓ ØØÙ Ý Ú Ò Ý Ð Ø Ô Ù º Ì Ô ØÙÑ ÓÒ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ó ÓÙ Óº A B Ø Ô ØÙÑ Ω A B A c A B A B AB A \ B = A B c A B = A Ò Ó ØÙ A Ω B Ω Ú ÖÑ Ø Ô ØÙÑ Ñ ÓØÓÒ Ø Ô ØÙÑ Ó A ØØÙÙ Ò Ò B ØØÙÙ A ØÙ A Ø B ØØÙÙ Ø ÑÓÐ ÑÑ Øµ A ØØ B ØØÙÚ Ø A ØØÙÙ ÑÙØØ B A B Ô Ø Ú Ö Ø ØÓ Ò ÔÓ ÙÐ Ú Øµ A = A 1 A 2 A m A i A j = i j ÅÓÖ Ò Ò Ð Ø (A B) c = A c B c, (A B) c = A c B c. ÌÓ ÒÒ ÝÝ P ÓÒ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ω ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ µ ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø Ó P : Ω [0, 1] ÓÐÐ ÓÒ ÙÖ Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø ½º P(ω) 0 ÐÐ ω Ω ¾º P(ω) = 1º ω Ω Ì Ô ØÙÑ Ò A ØÓ ÒÒ ÝÝ P(A) = ω AP(ω)º Ì Ô ØÙÑ Ò A Ñ ÓÐÐ ÙÙ odds(a) = P(A) P(A c ) = P(A) 1 P(A).

20 À Ö Ó ØÙ ½ Î ÓÒÐÝ ÒØ Ù θ(a, B) = odds(a) odds(b). A Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÐÐ B P(A B) = P(A B), P(B) > 0. P(B) à ÖØÓÐ Ù ÒØ P(A B) = P(B) P(A B)º Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ A B ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó P(A B) = P(A) P(B)º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ ÃÓ Ò E ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ ÓÒ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò P ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ó (Ω, P)º À Ö Ó ØÙ ½º Ò ØÓ ÚÓ ÓÒÒº Ø ÓÒ Ö ØÝ Ô Ó Ò ÝÐ 10 ÙÓй ÐÙØØ µ Ô Ö Ø Ò ÚÓ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ Ò ÚÐ Ø Ô Ú Òµ Ò Óй Ø º ½¾º ½ ¾ º º ½ ½º È ÖÖ ÚÐ Ó Ò Ö Ú Ò ØÓ Ö ÑÑ Ó Ó Ò ØÓ Ø Ö ÐÐ Ø ØÓ Ö ÑÑ Ø 56 Ø Ò ÑÑ Ø 53 Ø Ú ¹ Ñ Ø Ú ÒÒÓ Ø º ÃÓÑÑ ÒØÓ ÖÓ Ý ØÐ ÝÝ º ¾º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ØÓ Ö ÑÑ Ò Ú Ö Ò ÙÓÖ Ø Ò Ò¹ Ò Ò Ð Ú Ý Ø ÓÚ Ø k 1 k 2 ÓÖ Ù Ø h 1 h 2 º Ø ØÒ ÙÓ¹ Ö Ø Ø Ý ÙÓÖ Ø º Ø ÙÙ Ò ÙÓÖ Ø Ò ÓÖ Ù Ò h Ð Ù Ó Ó Ø ØØ h ÓÒ ÓÖ Ù Ò h 1 h 2 ÚÐ º º À Ø Ö ØÓÒØ ÒÓÔÔ Ê¹Ó ÐÑ µ ¼ ½¾¼ ¾ ¼ ¼ ¼ ¾¼¼¼ ÖØ Ð Ö ÐÑÐÙ Ù Ò Ù Ø ÐÐ Ø Ö Ú Ò Ø Ö ØØÓ Ö Ó ¹ º È ÖÖ ÑÝ Ù Ø ÐÐ Ø Ò Ö Ú Ò Ò ØÓ Ö ÑÑ Øº Å Ø Ò ØØÓ Ò Ð Ñ Ò n Ú ØØ Ñ Ò Ò Ú ÙØØ Ù Ø ÐÐ Ò Ö Ú Ò Ò º À Ò Ð ÐÐ Ï ÓÒ ÙÐÐ Ò Ó Ó Ø ØØÙ Ö º ÂÓ ÐÐ Ö ÐÐ ÓÒ Ú Ö ØØÙ Ó Ó ØØ ÐÐ Ú ÖÙ Ø ØØÙ Ö ÙÓÖ º Ã Ö Ø Ô ÒÒ Ò ØÙÒÒ Ø Ö ÙÓÖ Òº µ Å ÓÒ ØÑÒ Ó Ò ¾ Ð Ø Ô ØÙÑ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ º µ ÄÙ ØØ Ð ÙÖ Ú Ò Ø Ô ØÙÑ Ò Ð ØØÝÚØ Ð Ø Ô ØÙÑ Øº A Ò Ö Ñ Ò Ó Ò ÙÓÖ Ò B Å Ò Ö Ñ Ò Ó Ò ÙÓÖ Ò C Ì ÑÐÐ Ò Ö ØØ Ñ Ò Ó Ò ÙÓÖ Ò D Ì ÑÐÐ Ò ÓÐÑ Ö ØØ Ñ Ò Ó Ò ÙÓÖ Ò

21 ½ ÄÙ Ù ½º ÂÓ ÒØÓ µ Ä ÐÐ Ó Ñ Ò ØØÙ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ Ø Ó ÓÐ Ø Ø Ò ØØ Ð Ø Ô Ù Ø ÓÚ Ø Ý Ø ØÓ Ò¹ Ò º ÅÖ Ø Ø Ô ØÙÑ Ò A C D Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ø Ø Ô ØÙ¹ Ñ B Ú Ø Òº º à ÓÙ Ù ØØ Ô Ð Ô Ö Ø Ñ Ø Ö º Ë ÓÙ Ù ÚÓ ØØ Ó¹ ÓÒ Ò ÚÓ ØØ ÒÙØ Ò Ð Ô Ð º Å ÓÒ Ó Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÂÓ ÓÙ Ù Ø ÓÚ Ø Ø Ú ÚÓ Ô Ð Ò ØÙÐÓ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓ¹ Ñ µ Ò Ò Ñ Ø ÓÚ Ø Ö Ð Ø Ô ØÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ÚÓ ØØÓÓÒ Ø ÖÚ Ø Ò 7 Ô Ð º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÐÐ Ø ÒÓÔÔ ØØ p 1 = p 2 = p 3 = p 4 = p p 5 = p 6 = qº Ã Ö Ó Ø Ø Ò ØÒ p ÑÙÓ Ó p = θº µ Ä Ù Ù q θ Ò ÚÙÐÐ º µ À Ø ØÒ ÒÓÔÔ n ÖØ Ò ÐÑÐÙ Ù Ò ½ ¾ ÐÙ ÙÑÖ n 1 n 2 n 3 n 4 n 5 n 6 º Å Ø Ò Ø ÑÓ Ø θ Ò ÖÚÓÒ µ À Ø ØØ Ò ÒÓÔÔ ¼ ½¾¼ ¼¼ ½¾¼¼º Ë ÐÑÐÙ Ù Ò Ö Ú Ò Ø ÓÐ Ú Øº Ë ÐÑÐÙÚÙØ Ò ½ ¾ ¼ ½¼ ¼ ½¾¼ ¾ ½ ¾ ¼¼ ½¾ ½½ ½ ½ ½¾ ¼ ¼ ½¾¼¼ ¾ ¾ ¾ ½ ¾ ¼ ¾ Ä θ Ò p Ò q Ò Ø Ñ Ø Øº º µ Å ÓÒ ØÒ¹Ñ ÐÐ ÙÒ Ø ØÒ Ñ Ò Ø ÓÐÑ Ö ØÓÒØ Ð ÒØØ º µ ÅÖ Ø ØÒ x ÖÙÙÒÙ º µ À Ø ØØ Ò ÓÐÑ Ð ÒØØ 80 ÖØ Ø Ò ÙÖ Ú Ø ÖÙÙÒÙ Ò ÐÙ ÙÑÖغ ½ ½ ½ ½ ¾ ½ ½ ¾ ¾ ½ ½ ¾ ¾ ¾ ½ ½ ¾ ½ ¾ ¼ ½ ½ ¼ ¾ ½ ¼ ½ ½ ¼ ¼ ½ ¾ ½ ¾ ½ ¾ ¾ ½ ½ ¾ ¾ ¼ ½ ½ ½ ¾ ¼ ¾ ¼ ¾ ¼ ½ ¼ ½ ½ ¾ ¾ ½ ½ ¾ ½ ¾ ½ ½ ½ ¾ ¾ ¼ ¾ ½ ÅÖ Ø ÖÙÙÒÙ Ò ÐÙ ÙÑÖÒ Ó ÓØ ØÙØ Ú ØÙØ Ö Ú Ò Øº ÇÚ Ø Ó Ú ÒÒÓØ ÓÔÙ Ó ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ò Ò À ØÓØ Ø Ó ØÓ À½º ØÓغ ص º µ À Ø ØÒ Ñ Ò Ø Ø ÒÓÔÔ ÓÐ ÓÓÒ ØÙÐÓ ÐÑÐÙ Ù¹ Ò ÙÑÑ º ÇÐ ÓÓØ Ð Ø Ô Ù Ø ÓÚ Ø Ý Ø ØÓ ÒÒ ¹ º Ç Ó Ø ØØ ØÙÐÓ Ò ØÒ¹ ÙÑ ÓÒ

22 À Ö Ó ØÙ ½ ÌÙÐÓ ¾ ½¼ ½½ ½¾ 36 ØÒ ½ ¾ ¾ ½ µ À Ø Ø ÒÓÔÔ 100 ÖØ º Î ÖØ ØÙÐÓ Ò Ú ØØÙ Ö ¹ Ú Ò Ó ÓØ ØØÙ Ò Ö Ú Ò Òº º ÎÙÓ Ò ¾¼¼ ÓÒ ÔÙ ÓØÙ Ô Ð ÓÙ Ù Ø ÓÐ Ú Ø ÀÈà 1/3µ ÂÓ Ö Ø 1/2µ ÃÖÔØ 1/3µ ÔÓÓÒ ÄÍ Ë 1/6µ Ì ÔÔ Ö 1/3µ Â È 1/7µ ÀÁ à 1/6µ ÌÈË 1/9µº ÖÐÐ ØÝ Ô ÐÐ Ö Ø ØØ Ò ÒÒ Ò ÔÙ Ó¹ ØÙ Ô Ð Ò Ð Ù ÚÙÓ Ò Ñ Ø Ö Ó Ú Ú ÓÒÐÝ ÒØ ÝØØ Ò ÙÐÙ ÐÑÓ Ø ØØÙ ÚÓ ØÓÒ Ñ ÓÐÐ ÙÙ º ÂÓ Ú Ø Ñ Ö Ì ÔÔ Ö Ñ Ø Ö Ò Ò ÚÓ Ø Ø Ô ÒÓ ÓÐÑ Ò ÖØ Ò º µ Ä ÒÒ ØØÙ Ò ÚÓ ØÓÒ Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ò Ô ÝÓ Ó µ ÚÙÐÐ ÓÙ ¹ Ù Ò ÚÓ ØÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ú ÐÐ ½º º¾µº Ä ØÓ ÒÒ¹ ÝÝ Ò ÙÑÑ Sº µ Ë Ð ÐÐ Ó Ð ØÙØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ñ ÐÐ Ò ÙÑÑ ÐÐ Sº Å Ð Ù ÓÒ Ø ÖÔ ÐÐ Ò Ò µ ÇÐ Ø ØØ Ð ØÙØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÚ Ø Ó Ø º Ä Ó Ó¹ Ø ØØÙ ÚÓ ØØÓ Ó Ú Ø Ì ÔÔ Ö ÚÓ ØØÓ P(A) + Ô ÒÓ (1 P(A)) º ÌÓØ ÙØØ Ó Ú Ù Ö ÐÙÒ Ô Ð Ò ÒÒ Ò ½¼º Ö Ý ÐÝ ØÙØ ØØ Ò Ù Ø ÙØÙÑ Ø Ð ÐÐ Ò ÓÖØØ Ò Ø Ò Ó Ø ÙÐÙ Ó Ø ØÝØ ØÙÐÓ Øº ÒÒ ËÙ ÙÔÙÓÐ ÅÝ ÒØ Ò Ò Ã ÐØ Ò Ò Ø Ò Æ Ò Ò ¼ ½ ½ ¼¼ Å ½ ¾ ½ ¼¼ Ø Ò ¾ ¾ ½½¼¼ ÃÝØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ø Ñ ØØ Ò Ù Ø ÐÐ Ö Ú Ò º µ Ä ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ µ Ò Ò Ò µ Ñ Ù Ø ÙØÙÙ ÓÖØØ Ò ÔÓ Ø Ú Ø Ø Ö Ø ÐØ Ú ÓØÓ Ú ÖÙÙ µº µ Ä Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ø Ó µ ØØ µ Ò Ò Ò µ Ñ Ù Ø ÙØÙÙ ÓÖØØ Ò ÔÓ Ø Ú Ø º µ Ä Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ò Ù Ó Ö Ø Ó Ú ÓÒÐÝ ÒØ Ù µº ½½º Ñ Ö ½º¾ ÐÙ ÒÒÓص ÓÒ ÒÒ ØØÙ ÖÒ ÙÖ Ò ½º ÚÐ Ó Ò Ô Ø ¹ ÑÖغ µ Ä ÑÔ Ö Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ µ ÖÚÓ Ô Ø 15.3º µ Ä Ù Ù ÑÔ Ö Ò ÙÑ Ò ÖÚÓ P 20 (18.5, 20.5) Ò ÚÙÐÐ º µ Ä ØÓ Ö ÑÑ ÐÙÓ [18.5, 20.5] ÙÚ Ú Ò ÔÝÐÚÒ ÓÖ¹ Ù º

23 ¾¼ ÄÙ Ù ½º ÂÓ ÒØÓ

24 ÄÙ Ù ¾ ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ì ÐÙÚÙ Ø ÐÐÒ Ð ÒÒ Ú Ò Ö ÐÐ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ø Ö ØØ ¹ Ñ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ωº ÄÓÔÙ Ø ØÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÓÓÑ Ø ÓØ ÓÚ ÐØÙÚ Ø ÑÝ ÐÐÓ Ò ÙÒ Ω ÓÐ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ º ¾º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ë ÙÖ Ú Ð Ù ÓÒ Ø ØØÝ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ø ÓÑ Ò Ù٠غ Ö ØÝ Ø ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ø Ô Ù Ð Ù Ò ØÙÐÓ Ø ÓÒ ÐÔÔÓ ØÓ Ø º Ä Ù ¾º½ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ω ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ ÓØÓ Ú ÖÙÙ P ÓÒ Ω ÑÖ Ø ÐØÝ ØÓ ÒÒ ÝÝ º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ P ÓÒ ÙÖ Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø ½º P(A) 0 ÐÐ A Ωº ¾º P(Ω) = 1º º ÂÓ A B Ω Ò Ò P(A) P(B)º º ÂÓ A B ÓÚ Ø Ö ÐÐ Ø (A B = ) Ò Ò P(A B) = P(A) + P(B)º º P(A c ) = 1 P(A) ÐÐ A Ωº ÌÓ ØÙ º ÂÓ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò A Ω ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ÅÖ Ø ÐÑÒ ½º½ ÑÙ Ò P(A) = ω A P(ω). ÃÓ P(ω) 0 ÐÐ ω Ω Ò Ò P(A) 0º Æ Ò ÓÒ ½º Ó Ø ØÓ Ø ØØÙº ÌÓ Ò Ò Ó Ø Ô Ø Ô Ò Ó ÅÖ Ø ÐÑÒ ½º½ P(Ω) = ω Ω P(ω) = 1. ÇÑ Ò ÙÙ Ò ØÓ Ø Ñ Ò Ò Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º ¾½

25 ¾¾ ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ø Ú ÙÙ ÇÑ Ò ÙÙ µ ÚÓ Ò ÙÓÖ Ú Ú Ø ÝÐ Ø Ù ÑÑ ÐÐ Ù Ò ÐÐ Ö ÐÐ ÐÐ ÓÙ ÓÐÐ º Ä Ù ¾º¾ ÇÐ ÓÓØ A 1 A 2 º º º A n Ô Ö ØØ Ò Ô Ø Ú Ö Ø Ö ÐРص Ω Ò Ó ¹ ÓÙ ÓØ Ð Ø Ô ØÙÑ Ø Ø º A i A j = ÙÒ i jµº Ë ÐÐÓ Ò P(A 1 A 2 A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + + P(A n ). ÁØ Ø Ú ÙÙ ÝÐ ØÝÝ ÑÝ Ö ØØ ÑÒ ÑÓÒ ÐÐ Ô Ö ØØ Ò Ö Ð¹ Ð ÐÐ Ø Ô ØÙÑ ÐÐ A 1 A 2 A 3 º º º Ë ÐÐÓ Ò P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + P(A 3 ) +. ÂÓ A 1 A 2 º º º A n ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ò Ö ÐÐ Ø Ø º A i A j = ÙÒ i jµ Ω = A 1 A 2 A n Ò Ò ÓÙ Ó Ó Ó ÐÑ A 1, A 2,...,A n ÓÒ ÓØÓ Ú ÖÙÙ¹ Ò Ω Ó ØÙ º Ä Ù ¾º ÇÐ ÓÓÒ Ó Ó ÐÑ A 1, A 2,..., A n ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ó ØÙ E Ω ÓÒ Ó Ò Ø Ô ØÙÑ º Ë ÐÐÓ Ò P(E) = n P(E A i ). i=1 Ë ÙÖ Ù ¾º½ Å ÐÐ Ø Ò ÐÐ Ø Ô ØÙÑ ÐÐ A B Ô Ø Ô Ò ØØ P(A) = P(A B) + P(A B c ). Ä Ù Ò ¾º½ Ó Ø ÚÓ Ò ÝÐ Ø ÑÝ ÓÙ Ó ÐÐ ÓØ ÚØ ÓÐ Ö Ð¹ Ð º ÌÐÐ Ò Ò ÙÖ Ú Ý Ø ÒÐ ÙÐ Ù º Ä Ù ¾º ÂÓ A Ω B Ω Ò Ò ¾º½º½µ P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). ÌÓ ØÙ º ÃÙØ Ò ÃÙÚ Ó ¾º½ Ó Ó ØØ ÓÙ ÓØ A B c A B A c B ÑÙÓ Ó ¹ A B c A B A c B A c B c ÃÙÚ Ó ¾º½º Ì Ô ØÙÑ Ò A B Ó ØÙ º Ø Ú Ø Ø Ô ØÙÑ Ò A B Ó ØÙ Òº Ë ¾º½º¾µ P(A B) = P(A B c ) + P(A B) + P(A c B).

26 ¾º½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÓÑ Ò ÙÙ ¾ Ë ÙÖ Ù Ð Ù Ò ¾º½ ÑÙ Ò Ú Ø Ú Ø P(A) = P(A B c ) + P(A B) P(B) = P(A c B) + P(A B), ÓØ Ò ¾º½º µ P(A) + P(B) = P(A B c ) + P(A c B) + 2 P(A B). ÃÙÒ ÒØ Ø Ø Ø ¾º½º µ Ú ÒÒ ØÒ ÔÙÓÐ ØØ Ò P(A B), Ò Ð Ù P(A) + P(B) P(A B) = P(A B c ) + P(A c B) + P(A B), ÓÒ Ó ÔÙÓÐ ÓÒ ¾º½º¾µ Ò ÑÙ Ò P(A B)º Æ Ò Ý Ø ÒÐ ÙÐ Ù ÓÒ ØÓ Ø ØØÙº ÌÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ý Ø ÒÐ ÙÐ Ù ÚÓ Ò ÐÐ Ò ÝÐ Ø Ñ ¹ Ð Ú ÐØ Ò ÑÓÒ ÐÐ Ø Ô ØÙÑ ÐÐ º ØÑÑ ÐÙ ÝÐ ØÝ Ò ÙÒ Ø Ô ØÙ¹ Ñ ÓÒ ÓÐÑ º Ð Ò Ò Ø Ô Ù Ò Ñ ÐÐ Ô Ö ØØ ÐÐ ÑÙØØ Ø ¹ ØÒ Ú Ø ÑÝ ÑÑ Òº Ä Ù ¾º ÂÓ A 1 A 2 A 3 ÓÚ Ø Ω Ò Ó ÓÙ Ó Ø Ô ØÙÑ µ Ò Ò ¾º½º µ P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + P(A 3 ) P(A 1 A 2 ) P(A 1 A 3 ) P(A 2 A 3 ) + P(A 1 A 2 A 3 ). ÓÒ ÖÖÓÒ Ò ÔÝ ØÐ º ÔÝ ØÐ ÃÓ P(A B) 1 ÙÖ Ä Ù Ø ¾º ¾º½º µ P(A B) P(A) + P(B) 1. ÔÝ ØÐ ¾º½º ÒÓØ Ò ÓÒ ÖÖÓÒ Ò ÔÝ ØÐ º Ñ Ö ¾º½ ÓÒ ÖÖÓÒ Ò ÔÝ ØÐ ØØ ÓÐÐ ÝØØ ÐÔÓ Ò Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ ÔÝ ØÝØ Ð Ñ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝØØ P(A B) Ø Ö Ø ÑÙØØ ØÙÒÒ ¹ Ø Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø P(A) P(B)º ÇÐ ÓÓÒ Ñ Ö P(A) = P(B) = 0.95º Ë ÐÐÓ Ò P(A B) = ÂÓ P(A) + P(B) < 1 Ò Ò Ð Ö ¾º½º µ ÓÒ Ò Ø Ú Ò Ò ÔÝ ØÐ Ô Ø ØÖ Ú Ð Ø Ô Ò º

27 ¾ ¾º¾ ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ ËÝÑÑ ØÖ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÂÓ Ö ÐÐ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω = {ω 1, ω 2,...,ω n } Ó Ò Ò Ð Ø Ô Ù ÓÒ Ý Ø Ñ ÓÐÐ Ò Ò Ò Ò ÙÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ p i = P({ω i }) = 1 n, 1 i n Ñ n ÓÒ Ð Ø Ô Ù Ø Ò ÐÙ ÙÑÖº Ë ÐÐÓ Ò Ó Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ ÓÒ Ý Ò ÖØ Ø ¾º¾º½µ P(A) = ω i A p i = ω i A 1 n = A n, Ñ A ÓÒ A Ò Ð Ó Ò ÐÙ ÙÑÖº Ì Ô ØÙÑ Ò A ØÓ ÒÒ ÝÝ ¹ Ò Ñ ÐÐ A Ò Ð Ø Ô Ù Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ Ò Ð Ø Ô ØÙ¹ Ñ Ò ÐÙ ÙÑÖÐÐ nº ÌØ ³ ÙÓØÙ Ø Ô Ö ³ ¹ ÒØ ÙØ ÙØ Ò ÑÝ Ð ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÖ Ø ÐÑ º Ñ Ö ¾º¾ À Ø ØÒ Ö ØÓÒØ ÒÓÔÔ º Ë ÐÐÓ Ò Ö ÐÑÐÙ Ù ÚÓ ¹ Ò Ô Ø Ý Ø Ñ ÓÐÐ Ò ÙÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ô ÖÙ Ø ÐØÙ ÑÖ Ø ÐÐ p i = 1 6 i = 1,...,6 ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}º ÂÓ Ø ØÒ Ø ÒÓÔÔ ÚÓ Ò ÝÑÑ ØÖ Ð Ø Ô Ù Ú Ð Ø Ö Ø ØÝØ Ô Ö Ø (1, 1), (1, 2), (1, 3),..., (6, 6). Ë Ò ØÙÐÓ Ø ÓÒ ÒÒ ØØÙ ÑÙÓ Ó (½º ÒÓÔ Ò ÐÑÐÙ Ù ¾º ÒÓÔ Ò ÐÑÐÙ Ù)º ÌÑÒ ØÙÒÒ Ó Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÓÒ Ω = { (i, j) i, j {1, 2, 3, 4, 5, 6} }. ÃÓ Ω = 36 Ò Ò P ( {(i, j)} ) = 1 ÐÐ i, j {1, 2, 3, 4, 5, 6}º 36 Î Ø ØÒ ØØ Ö Ò Ð Ò Ò Ø Ð Ñ Ù Ô ÐÙÖ Ú Ð Ö Å Ö Ú Ø Ó ÐÐ Ø ÙÖ Ú Ò ØÙÐÓ Ò µ À Ø ØØ ÒÓÔÔ 4 ÖØ ÒÒ ØØ ÐÝ Ú ØÓ Ø ØØ Ò Ò Ò Ý ÙÙØÓÒ Òº µ À Ø ØØ Ø ÒÓÔÔ 24 ÖØ ÒÒ Ø ÐÝ Ú ØÓ Ø ØØ Ò Ò Ò Ý ÙÙØÓ Ô Ö º Å Ö ÙÓÑ ÚÒ Ô Ø Ô Ð Ö Ú ÐÐ ÐÝ Ò Ú ¹ ØÓ ÙÙØÓ Ô Ö Ò ÔÙÓÐ Ø º ÀÒ Ù Ø Ò Ò ÔÝ ØÝÒÝØ Ø ÓÖ ØØ Ø Ð Øع ÑÒ Ú ÒØÓ Ò Å Ö Ò ÓÒ ÐÑ µ Ò ÒÔ Ò ÒØÝ Ö Ò Ð Ò ÐÓ Ó Ò Ñ Ø Ñ Ø ÓÒ È Ð Ò ÔÙÓÐ Ò Òº ½ ¼µº Å Ö Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ù ÓØ Ò ÒØ Ò Ò Ð Ù Ý Ý Ò ÙÙÐÙ Ò È Ð Ò ÖÑ Ø Ò ÚÐ Ò Ö ÒÚ ØÓÓÒ Ó Ó Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ò ÝÒØÝÝÒº ÃÐ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò A ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ñ ÐÐ ÓÙ ÓÒ A Ð Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ Ò Ð Ø Ô Ù Ø Ò ÐÙ Ùѹ ÖÐк Î Ø ØÚ ÓÒ Ô Ö ØØ ÐÔÔÓ ÚÓ ÝØÒÒ Ó Ó ØØ Ù¹ ØÙ ÝÐÐØØÚÒ Ò Ð º ÄÙ ÙÑÖ Ò Ð Ñ Ò ÐÔÓØØ Ñ Øѹ Ñ ÙÖ Ú Ó Ø Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ò Ô Ö ØØ Ø ØÙÐÓ º

28 ¾º º ÓÑ ØØ Ò Ò Ð ØÝÑ Ø Ô ¾ ¾º ÓÑ ØØ Ò Ò Ð ØÝÑ Ø Ô ÌÓ ÒÒ ÝÝ ÐÙÓÒÒ Ø Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ø ØÝ Ó ÓÙ Ó Ò Ó¹ Ó ÐÑ ÑÖ Ø ÐØÝÒ ÙÒ Ø ÓÒ º Ì Ð ÐÙÚÙ Ø Ð ÑÑ Ñ Ò ØÓ¹ ÒÒ ÝÝ Ò ÓÑ Ø º ØÑÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ Ó Ø Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÚÓ Ò Ó Ø º Ñ Ö Ä Ù ¾º½ Ø ØÝØ ØÓ¹ ÒÒ ÝÝØØ Ó Ú Ø ØÙÐÓ Ø ÙÖ Ú Ø ÙÓÖ Ò ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½ ¹ Ø ØÝ Ø ÓÓÑ Ø º ÅÖ Ø ÐÑÒ ¾º½ Ô ÖÙ ØÙÚ ØÓ ØÙ Ø ÖÚ Ø ÓÐ ØÙ Ø ØØ Ω ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ö ÐÐ Ò Ò Ø ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ø Ö Ø Òµº ¾º º½ Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ú ÙÙ ÃÙÒ ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÚÓ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ö Ø ÐÐ ÓØÓ ¹ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ó ÓÙ Ó Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ð Ö º ÅÖ Ø ÐÑÒ ¾º½ ØÓ ¹ Ó Ø ØØÝ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò Ö ÐÐ Ò Ò Ø ¹ Ú ÙÙ Ö ØØ Ö ÐÐ ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÓÑ Ò ÙÙ Ò 1 3 Ð µ ØÓ¹ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÖ ØØ Ð Ñ Òº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½ ÇÐ ÓÓÒ A ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ó ÓÙ Ó Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ð¹ Ö º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ÙÚ Ù P : A [0, 1] Ó ØÓØ ÙØØ ÙÖ Ú Ø ÓÐÑ ÓÓÑ ½º P(A) 0 ÐÐ A Aº ¾º ÂÓ A, B A A B = Ò Ò P(A B) = P(A) + P(B)º º P(Ω) = 1. ÂÓ Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,...} ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ø Ö Ø Ò Ð Ø Ô ØÙÑ Ò {ω i } ØÓ ÒÒ ÝÝ P({ω i }) = p i 0, i 1 P(Ω) = i=1 p i = 1 Ò Ò ÅÖ Ø ÐÑÒ ¾º½ ÓÑ Ø ÙÖ ØØ Ω Ò Ò Ó ÓÙ Ó Ò A Ω ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ú ÐÐ ½º º¾µ Ð P(A) = ω i A P({ω i})º Ë ÐÐÓ Ò Ó Ó ÐÑ A ÓÒ Ω Ò Ò Ó ÓÙ Ó Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ð Ö º ÀÙÓÑ ØØ ¹ ÓÓÒ ØØ Ò Ð Ø Ô ØÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÚÓ ÓÐÐ Ñ Ó Ω ÓÒ Ö Ø Òº Ð Ø Ô Ù Ø ÖÚ Ø Ò Ú Ú ÑÔ ÓÐ ØÙ ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ Ò ÑÖ ØØ Ð Ñ ÑÙØØ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ò Ω Ò Ø Ô Ù ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½ ÓÒ Ö ØØÚº ¾º º¾ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÝÐ Ø ÓÓÑ Ø ÆÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ø Ô Ù ÓÒ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ÐÔÔÓ Ð ØØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð Ø Ô ØÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÚÙÐÐ º ÌÓ¹ ÒÒ ÝÝ Ò Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ä Ù ¾º½µ ÙÖ Ú Ø ØØ Ò ÓÓ¹ Ñ Ø ¾º½º ÂÓ Ø Ô ØÙÑ Ø A 1 A 2 º º º A n ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ò Ö ÐÐ Ø Ò Ò P(A 1 A 2 A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + + P(A n ).

29 ¾ ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ Ø Ú ÙÙ ÚÓ Ò ØÓ Ø ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ø Ô Ù ¹ µ ÑÝ Ö ØØ ÑÒ ÑÓÒ ÐÐ Ô Ö ØØ Ò Ö ÐÐ ÐÐ Ø Ô ØÙÑ ÐÐ A 1 A 2 A 3 º º º ÚÖغ ÈÝ Ð ½º º µº Ë ÐÐÓ Ò ÓÓÑ Ø ¾º½ ¾ºµ ÙÖ P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + P(A 3 ) +. Ð ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ø Ö ØØ Ñ ÐÐ ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÐÐ ÚØ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½ Ø ØÝØ ÓÓÑ Ø Ö Øº Ì ÖÚ Ø Ò ÝÐ ÑÑØ ÓÓÑ Øº Ð Ø ÓÖ Ω Ò Ó ÓÙ ÓØ ÚØ ÓÐ Ø Ô ØÙÑ º ÅÖ ØØ Ð ÑÑ ÐÐ ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ Ò Ω Ò ÓÙ Ó Ó Ó ÐÑ Ó ÑÙÓ Ó Ø Ð Ö Òº Ð Ø ÓÖ Ò Ò Ω Ò Ó ÓÙ Ó Ò ÓØ ÓÚ Ø Ø Ô ØÙÑ ØÝØÝÝ ÑÙÓ Ó Ø Ò º σ¹ Ð Ö º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾ ÃÓ Ó ÐÑ F ÓÒ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ω Ó ÓÙ Ó Ò ÑÙÓ Ó ¹ Ø Ñ σ¹ Ð Ö Ó ÙÖ Ú Ø ÓØ ØÓØ ÙØÙÚ Ø ½º Ω Fº ¾º ÂÓ A F Ò Ò A c Fº º ÂÓ A 1, A 2,... F Ò Ò i=1 A i Fº Ì Ô ØÙÑ Ò A ØÓ ÒÒ ÝÝ P(A) ÓÒ Ö Ð ÐÙ Ù ÓÒ ÓÒ ÓÐØ Ú Ý ¹ ØØ Ø ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø Ô ØÙÑ A F ÓÒ ÒÒ ØØÙº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º ÃÙÚ Ù P : F R ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ó ØÓØ ÙØØ ÙÖ Ú Ø ÓÓÑ Ø ½º 0 P(A) 1º ¾º P( ) = 0 P(Ω) = 1º º ÂÓ ÓÙ ÓØ A i F, i = 1, 2,... ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ò Ô Ø Ú Ö Ø A i A j ÙÒ i jµ Ò Ò ( ) P A i = P(A i ). i=1 Æ Ø ÓÓÑ Ø ÚÓ Ò Ø ØÝ Ø Ó Ø Ñ Ø Ð Ù Ø Ù Ò ÐÐ ÒÙ¹ Ñ ÖÓ ØÙÚ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ø Ô Ù º ÃÓÐÑ Ó (Ω, F, P) ÓÒ ØÓ ÒÒ¹ ÝÝ Ú ÖÙÙ Ñ Ω ÓÒ ¹ØÝ ÓØÓ Ú ÖÙÙ F ÓÒ σ¹ Ð Ö P : F [0, 1] ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ØØ µº ÌÑÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÓÑ Ø Ó ÒÒ Ò ØØ Ú ÒÐ Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø Ó º ƺ ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ ½ ¼ µ ÚÙÓÒÒ ½ ¾ º Ö ÐÐ Ò Ø Ú ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ i=1 n ¾º º½µ P( A i ) = i=1 n P(A i ) i=1

30 ¾º º ÃÓÑ Ò ØÓÖ ¾ ÐÐ n 1º ÃÓ Ý ØÐ Ò ¾º º½µ Ú Ò ÔÙÓÐ ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò 1 ÐÐ n 1 Ò Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ÓÐ Ú Ö ÙÔÔ Ò º Ë ÐÐÓ Ò ¾º º¾µ lim P( n n i=1 A i ) = lim n n P(A i ) = i=1 P(A i ). i=1 ÇÒ ÙÓÑ ØØ Ú ØØ Ø Ø ÙÖ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º Ø ØØÝ σ¹ Ø Ú ÙÙ P( A i ) = i=1 P(A i ). i=1 ¾º ÃÓÑ Ò ØÓÖ ¾º º½ ËÙÑÑ ¹ ØÙÐÓÔ Ö Ø ÇÐ ÓÓØ Ó Ò E 1 E 2 ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ø Ω 1 Ω 2 º Ë ÐÐÓ Ò Ó Ò ØÙÐÓ Ú ¹ ØÓ ØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖØ ÓÚ Ø Ω 1 Ω 2 º Å Ö ØÒ Ω 1 = n 1 Ω 2 = n 2 º ËÙÑÑ Ô Ö Ø º Ì Ò Ó Ó Ó E 1 Ø E 2 º Ë ÐÐÓ Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ò ØÙÐÓ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ n 1 + n 2 º ÌÙÐÓÔ Ö Ø º Ì Ò Ò Ò Ó E 1 ØØ Ò E 2 º Ë ÐÐÓ Ò Ý Ø ØÝÒ Ó Ò E = E 1 E 2 ØÙÐÓ Ú ØÓ ØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ n 1 n 2 º Ñ Ö ¾º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú Ý ÝÑÝ ½º Ë ÒÙÐÐ ÓÒ ÓÐÑ Ô Ø Ò Ð Ø ÓÙ ÙØ ÓÐÑ Ø Ò Ø ÝÑÑ Ò Ø Ù Øº ÅÓÒØ Ó Ù Ó ÓÒ ÙÙØØ Ò Ø ÚÓ Ø ÑÙÓ Ó Ø ¾º Ø 2¹ÒÙÑ ÖÓ Ø ÐÙÚÙØ ÓØ ÒÙÑ ÖÓ Ø {1, 5, 6, 9} ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø º ÅÓÒ Ò Ó Ö Ö ØÝ Ò 10 Ö ÚÓ Ò ÝÐÐÝ ØØ Ã Ò Ñ Ö Ø ØØÝ Ò Ý ÝÑÝ Ò Ò Ú Ø Ù ØÙÐÓÔ Ö Ø¹ Ø Ò ÚÙÐÐ º ¾º º¾ Î Ð ÒØ Ö ØÝ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ú Ð ÒØ Ô Ð ÙØØ Òº ÇÐ ÓÓÒ Ô ÖÙ ÓÙ ÓÒ Ω Ð Ó Ò ÐÙ¹ ÙÑÖ Ω = n ÚÓ ÑÑ Ø ÐÐ ØØ Ð ÓØ ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙ 1 Ø n Òº Î Ð Ø Ò Ω Ø Ô Ö Ò r Ð ÓØ Ó Ò Ò Ú Ð ØØÙ Ð Ó Ô Ð ÙØ Ø Ò Ø ¹ Ò Ω Ò ÒÒ Ò ÙÖ Ú Ú Ð ÒØ º Î Ð ÒÒ Ò ØÙÐÓ Ò ØÙ Ö Ø ØØÝ ÓÒÓ ÙØ ÙØ Ò Ö Ø ØÝ r¹óøó (a 1, a 2,...,a r ) Ó Ó Ò Ò Ð¹ Ó 1 a j nº ÂÖ Ø ØÝ r¹óøó Ñ Ð Ó ÚÓ ØÓ ØÙ ÑÓÒØ ÖØ º Ì Ò Ñ Ö Ö Ø ØØÝ 3¹ÓØÓ ÓÙ Ó Ø A = {a, b}º Ë ÐÐÓ Ò

31 ¾ ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ Ñ ÓÐÐ Ø Ö Ø ØÝØ 3¹ÓØÓ Ø ÓÚ Ø aaa aab aba abb baa bab bba bbbº ÂÖ Ø ØØÝ Ò 3¹ÓØÓ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ØÙÐÓÔ Ö ØØ Ò ÑÙ Ò 2 3 = 8º Ë Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ ØÙÐÓÔ Ö ØØ Ø ÙÖ ØØ Ω Ø Ú Ð ØØÙ Ò Ö Ø ØØÝ Ò r¹óøó Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ n r º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÒÝØ Ú Ð ÒØ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ º ÂÓ Ω Ø Ú Ð Ø Ò Ö ØÝ ¹ r Ð ÓØ r nµ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ Ò Ö Ø ØØÝ r¹óøó Ó Ñ Ð Ó ÚÓ ÒØÝ Ú Ò ÖÖ Òº ÌÐÐ Ø Ö Ø ØØÝ r¹óøó Ø ÙØ ÙØ Ò Ω Ò r¹ô ÖÑÙØ Ø Ó º Ñ Ö ÓÙ ÓÒ B = {a, b, c, d} 2¹Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ ÓÚ Ø ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc, Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ØÙÐÓÔ Ö ØØ Ò ÒÓ ÐÐ 4 3 = 12º Ð Ø r¹ô ÖÑÙØ ¹ Ø Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ Ω Ø ÓÒ n (r) = n(n 1)(n 2) (n r + 1), 0 < r n. Å Ö ÒØ n (r) ÐÙ Ø Ò n Ò r¹ ÖØÓÑ º ÃÙÒ r = n Ò ÓÙ ÓÒ Ω n¹ Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÓØ ÙØ ÙØ Ò Ý Ò ÖØ Ø ÓÙ ÓÒ Ô ÖÑÙØ Ø Ó º È ÖÑÙ¹ Ø Ø Ó ÓÒ ÓÙ ÓÒ Ð Ó Ò Ö Ø ØØÝ ÓÒÓº ÂÓÙ ÓÒ Ω Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ n (n) = n(n 1)(n 2) 2 1 Ø Ñ Ö ØÒ n! ÐÙ Ø Ò n¹ ÖØÓÑ º Ñ Ö ¾º ËÝÒØÝÑÔ ÚÓÒ ÐÑ µ ÃÙØ Ù ÐÐ ÓÒ r Ò Ð º À Ò ¹ Ð Ò ÝÒØÝÑÔ ÚØ ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø r Ò Ô ÚÑÖÒ ÓÒÓÒ Ó Ñ Ô Ú¹ ÑÖ ÚÓ ØÓ ØÙ º ÎÙÓ Ò Ô Ú Ò ÐÙ ÙÑÖ n = 365 Ó Ö Ù ÚÙÓØØ ÓØ Ø ÙÓÑ ÓÓÒº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ñ ÓÐÐ Ø 365 r ÝÒØÝÑÔ Ú ÓÒÓ ÓÚ Ø Ý Ø ØÓ ÒÒ Øº Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ò Ò ÐÐ Ò¹ Ð ÐÐ ÓÒ Ñ ÝÒØÝÑÔ Ú Ò ÒÒ Ò 365 Ò Ô ÚÒ r¹ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ 365 (r) Ñ ÓÒ Ò r Ò Ô ØÙ Ø Ò Ö ÝÒØÝÑÔ Ú ¹ Ø ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ Ò ÓÒÓ Ò ÐÙ ÙÑÖº ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ÐÐ ÓÒ Ö ÝÒØÝÑÔ Ú ÓÒ Ú Ò ¾º¾º½µ ÑÙ Ò P(³ Ö ÝÒØÝÑÔ Úس) = 365(r) 365 r. Ë ÐÐÓ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ò Ò ÐÐ Ñ ÝÒØÝÑÔ Ú ÓÒ 1 365(r) 365 r. ¾º º Ç ÓÙ ÓÒ Ú Ð ÒØ ÃÙÒ Ω Ø Ú Ð Ø Ò r Ð ÓØ r nµ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ Ò Ω Ò Ó ÓÙ ¹ Óº ÆÝØ ÒÒ Ø Ø ÙÓÑ ÓØ Ð Ó Ò Ö ØÝ Ò Ú Ò ÒÓ Ø Ò Ò Ñ Ø Ð ÓØ Ó ÓÙ ÓÓÒ ÙÙÐÙÚ Øº ÂÓÙ ÓÒ r Ò Ð ÓÒ Ó ÓÙ Ó

32 ¾º º ÃÓÑ Ò ØÓÖ ¾ ÙØ ÙØ Ò ÓÙ ÓÒ r¹ ÓÑ Ò Ø Ó º Ñ Ö ÓÙ ÓÒ B = {a, b, c, d} 2¹ ÓÑ Ò Ø ÓØ ÓÚ Ø {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}. ÂÓ Ø 2¹ ÓÑ Ò Ø ÓØ Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ 2¹Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ º Ñ Ö¹ 2¹ ÓÑ Ò Ø ÓÓÒ {a, b} Ð ØØÝÚØ 2¹Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ ÓÚ Ø ab baº ÃÓ 2¹ Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ ÓÒ 4 3 = 12 ÔÔ Ð ØØ Ò Ò 2¹ ÓÑ Ò Ø ÓØ ÓÒ 4 3 = 2 6 ÔÔ Ð ØØ º  ÝÐ Ø ÃÓ r¹ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ Ó Ø r¹ ÓÑ Ò Ø ÓØ Ó Ø ÓÒ r! r¹ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ n (r) Ò Ò r¹ ÓÑ Ò Ø Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ n (r) r! = n! r! (n r)!, ÓØ Ñ Ö ØÒ ( n r) ÐÙ Ø Ò n r Ò ÝÐ º ÂÓÙ Ó A = {a, a, a, a, b, b, c, c, c, d} ÓÒ 4 a¹ Ö ÒØ 2 b Ø 3 c Ø Ý ¹ dº ÃÙ Ò ÑÓÒØ Ö Ð Ø 10¹ Ö Ñ Ø Ò Ò Ø Ö Ñ Ø ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ë Ò ÓÒ Ö Ñ ÐÐ 10 Ö Ô Ó Ò Ò Ö Ò ÚÓ Ò Ó ØØ Ó ÓÒ Ò 10 Ø Ñ ÓÐÐ Ø Ô Ø º Ò Ò a¹ Ö Ñ Ò Ô ¹ ÚÓ Ò Ú Ð Ø ( ) 10 4 Ø Ú ÐÐ Ð ÐÐ Ò Ò 6 Ò Ô Ò ÚÓ Ò b ¹ Ó ØØ ( ( 6 2) Ø Ú ÐÐ Ò Ò c 4 ( 3) Ø Ú ÐÐ ÐÓÔÙ d ÐÐ 1 1) = 1 Ô º à ÖØÓÐ ÙÔ Ö ØØ Ò ÑÙ Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ò ÒÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ( )( )( )( ) ! = ! 2! 3! 1! = ÇÐ ÓÓÒ ÓÙ Ó n Ð ÓØ Ó Ø n 1 ÙÙÐÙÙ ½º ÖÝ ÑÒ n 2 2º ÖÝ ÑÒ ÐÓÔÙÐØ n k Ð ÓØ kº ÖÝ ÑÒ ÓØ Ò n = n 1 + n n k º ÂÓÙ Ó Ø Ú Ð Ø Ò Ô Ö Ò Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ Ð Ó Ø ÙÒÒ ÓÒ Ú Ð ØØÙº ÃÙ Ò ÑÓÒØ ØÙÒÒ Ø ØØ Ú Ø Ö Ð Ø Ð Ó ÓÒÓ ÚÓ Ò ÆÝØ Ø ÐÐ Ò ØØ ÙÒ Ò ÖÝ ÑÒ Ð ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ Ñ ÒÐ ÑÙØØ Ö Ð Ù Ò Ñ Ò ÖÝ Ñ Ò Ð Óغ ÑÑ ÚÓ ØÙÒÒ Ø Ö Ð ÖÝ ÑÒ Ö ¹ ØÝ º Î Ø Ù Ò Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ù Ò ÐÐ 10¹ Ö Ñ ÒÓ Ó Ú Ñ Ö º Î Ð ÒØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ( )( ) ( ) n n n1 n n1 n 2 n k 1 n 1 n 2 ÌØ Ð Ù ØØ ÒÓØ Ò ÑÙÐØ ÒÓÑ ÖØÓ Ñ Ø Ñ Ö ØÒ ( ) n! ¾º º½µ n 1! n 2! n k! = n. n 1 n 2... n k ÃÙÒ k = 2 Ò Ö Ó Ø Ô Ù Ò ÒÓÑ ÖÖÓ Ò ( ) n = n! ( ) n 1 n 2 n 1! n 2! = n! n n 1! (n n 1 )! =. n 1 n k = n! n 1! n 2! n k!.

33 ¼ ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ ¾º º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò ÙÒ Ö ØÝ Ø ÓØ Ø ÙÓÑ ÓÓÒ Î Ð Ø Ò r Ô ÐÐÓ ÙÙÖÒ Ø Ó ÓÒ k Ö Ð Ø Ñ Ö Ö ÚÖ Øµ Ô ÐÐÓ º ÂÓ Ú Ð ÒÒ Ö Ø Ö Ò Ô ÐÐÓÒ ÚÖ Ô ÐÐÓ Ô Ð ÙØ Ø Ò ÙÙÖÒ Ò ÒÒ Ò ÙÖ Ú Ú Ð ÒØ º ÇÐ ÓÓÒ ÙÙÖÒ Ñ Ö Ö Ð Ø Ô ÐÐÓ º Î Ð Ø Ò ÙÙÖÒ Ø Ô ÐÐÓ Ô Ð ÙØØ Ò r = k = 3µº Ì ÙÐÙ Ó ¾º½º Ö Ð Ø Ú Ð ÒÒ Ø Ô Ð ÙØØ Ò ÙÒ r = k = 3º ÌÙÐÓ ÂÓ Ò Ú Ð ÒÒ Ò Ð Ò Ô Ø ØÒ Ñ Ö Ý Ò Ô ÐÐÓÒ Ó ÐÐ º Ã Ò Ú Ð ÒØÓ Ò Ð Ò Ñ ÐÐ ÓÒ rµ Ñ Ö º ÀÙÓÑ ØØ r ÚÓ ÓÐÐ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò k Ú Ñ Ö r = k = 3º Ì ÙÐÙ ÓÒ ¾º½ Ú Ñ ÐÐ Ö ÐÐ Ô ÐÐÓ Ò Ú Ð ÒØ ÓÒ Ø ØØÝ Ñ Ö Ò ÓÒÓÒ ÐÑ ÐÐ Ø Ú ÐÐ º ÂÓÒÓ ÓÒ Ý Ø Ò = r +k 1µ Ñ Ö º ÃÙ Ò ÑÓÒ ÐÐ Ø Ú ÐÐ ¾ ¹Ñ Ö ÚÓ ¹Ñ Ö ÖÝ Ñ Ò Î Ø Ù ÓÒ 5! = ( 5 3! 2! 2) = 10º Î Ø Ú Ø ÝÐ Ø Ô Ù Ö Ð Ø Ò ØÙÐÓ Ú ØÓ ØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ( ) ( ) k + r 1 k + r 1 =. r k 1 Ñ Ö ¾º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ý ØÐ ¾º º¾µ x 1 + x 2 + x k = r, Ñ k r ÓÚ Ø ÒÒ ØØÙ ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÑÙÙØØÙ Ø x 1 x 2 º º º x k ÚÓ Ú Ø ÖÚÓ Ò ÔÒ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù º ÅÓÒØ Ó Ö ¹ Ð Ø Ö Ø Ù Ý ØÐ ÐÐ ¾º º¾µ ÓÒ ÇÐ ÓÓÒ Ñ Ö r = 7 k = 3º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ý ÝÑÝ Ø ³ ÐÑ Ø ÙÐÙÐÐ ³ Ó ÓÒ Ø ØØÝ Ö Ø Ù x 1 = 3 x 2 = 3 x 3 = 1º Ê Ø Ù x 1 = 7 x 2 = 0 x 3 = 0 ÓÒ ÐÑ Ø ÙÐÙÐÐ ÑÙÓØÓ

34 ¾º º ÃÓÑ Ò ØÓÖ ½ À ÐÑ Ø ÙÐÙÐÐ ÓÒ 7 ÐÑ r = 7µ 2 ÓÚ Ú k 1 = 2µ Ð Ý Ø Ò 9 k + r 1 = 9µ Ó Ø º  ÓÚ Ú Ø ÚÓ Ò Ó ØØ ÐÑ Ø ÙÐÙÐÐ ( 9 2) = 36 Ø Ú ÐÐ º Ò ÐÓ Ø ÚÓ ÑÑ ÔØ ÐÐ ØØ Ý ØÐ Ò ¾º º¾µ ÔÒ Ø Ú Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ ÙÖ Ø Ù Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ( ) k+r 1 k 1 º ¾º º ÃÓÑ Ò ØÓÖ Ò Ñ Ö ÒØ ÒØ Ø ØØ ÇÐ ÓÓÒ r ÔÒ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù n Ö Ð ÐÙ Ùº ÆÝØ n Ò r¹ ÖØÓÑ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÐÐ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ù Ò ÔÒ Ø Ú ÐÐ Ó¹ ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ ¾º º µ n (r) = n(n 1)(n 2) (n r + 1), r > 0; n (0) = 1. ÂÓ n ÓÒ ÔÒ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ò n (r) ÓÒ n Ò Ð ÓÒ ÓÙ ÓÒ {1, 2,...,n} Ò r Ò r nµ Ó Ó Ø Ò Ö Ø ØØÝ Ò Ó ÓÙ Ó Ò ÐÙ ÙÑÖº Ö ØÝ Ø n¹ ÖØÓÑ ÓÒ n! = n (n) = n(n 1)(n 2) 2 1 0¹ ÖØÓÑ ÑÖ Ø ÐÐÒ 0! = 0 (0) = 1º ÇÐ ÓÓÒ r ÔÒ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù n Ö Ð ÐÙ Ùº ÅÖ Ø ÐÐÒ ( ) n n (r) ¾º º µ = r!, r 0; r 0, r < 0. ÀÙÓÑ ØØ ÝÐÐ Ø ØÝØ n (r) ( n r) ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÐÐ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ n Rº Ä Ù ÐÐ Ø ØØ Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ò Ò ØÙÐ ÒØ ÙÒ n ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº Ñ Ö ¾º à ÖØÓÑ Ò ÒÓÑ ÖØÓ Ñ Ò Ð Ù Ñ Ö 3 (5) = ( 1) = 0 (0.5) (4) = 0.5 ( 0.5)( 1.5)( 2.5) = ( ) 3 = 0 ÑÖ Ø ÐÑÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ 1 ( ) n = n(0) = 1 ÐÐ n R 0 0! ( ) 0.5 = 0.5(4) 0.5 ( 0.5)( 1.5)( 2.5) = = 5 4 4! ( ) 2 = 2(3) = ( 2)( 3)( 4) = ! 6

35 ¾ ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ ÅÖ Ø ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓÒ ÙÓÖ Ú Ú Ø ØÓ Ø ØØ ( ) ( ) ( ) n + 1 n n = +, r r 1 r ( ) ( ) n n 1 ¾º º µ r = n. r r 1 ÂÓ s ÓÒ ÔÒ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ò ÐÐÓ Ò ( ) ( ) n n s ¾º º µ r (s) = n (s). r r s ËØ ÖÐ Ò Ò Ú ¾º º µ n! 2πn n n e n. ÒØ ÖØÓÑ ÐÐ ÝÚÒ Ð ÖÚÓÒº ¾º º ÒÓÑ Ð Ù ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÒØ Ø ØØ ÑÙÐØ ÒÓÑ Ð Ù ÒÓÑ ÖØÓ Ñ Ò Ð ØØÝÝ ÑÓÒ ØÖ Ø ÒØ Ø ØØ º Ì Ð ÐÙÚÙ ¹ Ø ØØÚØ ÓÐÑ ÒØ Ø ØØ ÓÚ Ø ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÒÒ ÐØ º Ä Ù ¾º ÒÓÑ Ð Ù µ ÇÐ ÓÓØ a b Ö Ð ÐÙ Ù n ÔÒ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº Ë ÐÐÓ Ò n ( ) n ¾º º µ (a + b) n = a r b n r r r=0 à ÖØÓ Ñ ( n r) ÙØ ÙØ Ò ÒÓÑ ÖØÓ Ñ º Ä Ù ¾º ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÒØ Ø ØØ µ ÇÐ ÓÓØ a b Ö Ð ÐÙ Ù n ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº Ë ÐÐÓ Ò ¾º º µ n r=0 ( )( ) a b = r n r ( a + b Ä Ù ¾º ÅÙÐØ ÒÓÑ Ð Ù µ ÇÐ ÓÓÒ ÒÒ ØØÙ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù n Ö Ð ÐÙÚÙØ t 1 t 2 º º º t k º Ë ÐÐÓ Ò ¾º º½¼µ (t 1 + t t k ) n = ( ) n t n 1 1 t n 2 2 t n k k n 1 n 2... n, k n 1 + +n k =n Ñ ÙÑÑ Ý ÝÐ Ò ÐÐ Ø Ò ÔÒ Ø Ú Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò n 1 n 2 º º º n k ØØ n 1 + n n k = nº n ).

36 ¾º º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ¾º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ë ØÙÒÒ Ó Ò ØÙÐÓ Ø Ø ØÒ Ø Ú ÐÐ Ø ÒÙÑ Ö Ø Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÚÙй Ð º ÆÑ ÑÙÙØØÙ Ø ÐÙÓÒÒ Ø Ú Ø Ø Ö Ø ÐØ Ú Ò ØÙÒÒ Ó Ò ØÙÐÓ º Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ø Ö Ø ÐÙÒ ÒÒ ÐØ ÓÒ Ò ÓÐ ÐÐ Ø Ó Ø ÑÖ Ø ÐÐ ³Ó س ÑÙÙØØ٠غ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º ÇÐ ÓÓÒ Ω ÓÒ Ò ØÙÒÒ Ó Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ º Ë ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ëŵ X ÓÒ ÙÚ Ù ÙÒ Ø Óµ Ω ÐØ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÓÒ Rº Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ñ Ö ØÒ Ó ÐÐ Ö Ñ ÐÐ X Y Z º º º ÎÓ ÑÑ Ö Ó ØØ X : Ω R, Ñ X(ω) ÓÒ Ö Ð ÐÙ Ùº Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X Ð ØØ Ó Ò Ð ¹ Ø Ô Ù Ò ω Ω Ý Ò Ú Ò Ý Ò Ö Ð ÐÙÚÙÒ X(ω) Rº Ë ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ò X Y Z º º º ÖÚÓ Ñ Ö ØÒ Ô Ò ÐÐ Ö Ñ ÐÐ x y z º º º Å Ö ØÒ X(ω) = xº ÂÓ X Ò ÖÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÓÙ Ó S R ÖÚÓ¹ ÓÙ Óµ ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ö Ø Òµ Ò Ò X ÓÒ Ö ØØ º Â Ø Ó ¹ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÑÝ Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÙÒ X ÖÚÓØ ÓÐÐ Ò ÚÐ ÐÐ I Rº ÇÒ ÑÝ ÑÙ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÑÙØØ ØØ Ð ÑÑ Ú Ò Ö ØØ Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º Ñ Ö ¾º À Ø ØÒ Ö ØÓÒØ Ð ÒØØ 3 ÖØ º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Y ÓÒ ³ ÖÙÙÒ Ò ÐÙ ÙÑÖ³º Å Ö ØÒ R = ³ ÖÙÙÒ ³ L = ³ Ð Ú ³º Ë ÐÐÓ Ò ω: RRR RRL RLR RLL LRR LRL LLR LLL Y (ω): Ë ÐÐÓ Ò Ñ Ö Y (RRL) = Y (RLR) = 2º ÇÐ ÓÓÒ A r Ø Ô ØÙÑ ÖÙÙÒ Ò ÐÙ ÙÑÖ r º Å Ö ÒØ (Y = 2) Ø Ö Ó ØØ Ø Ô ØÙÑ A 2 = {RRL, RLR, LRR} P(Y = 2) = P(A 2 ) = 3/8º Î Ø Ú Ø (Y 1) ÓÒ Ø Ô ØÙÑ A 0 A 1 = {RLL, LRL, LLR, LLL} P(Y 1) = 1/2º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Y ÖÚÓ ÓÙ Ó ÓÒ S = {0, 1, 2, 3}º Ð Ø Ñ Ö ÒØ (X B), B R Ø Ö Ó ØØ ÐÐ Ø Ø Ô ØÙÑ A Ω ØØ A = {ω Ω X(ω) B}º ÌØ Ø Ô ØÙÑ Ñ Ö ØÒ ÑÝ X 1 (B) = Aº Ñ Ö ¾º Ø Ô ØÙÑ (Y [0, 1]) ÓÒ A = {RLL, LRL, LLR, LLL} Ó Y (ω) [0, 1] ÙÒ ω A Y (ω) / [0, 1] ÙÒ ω A c º Ë Y 1 ([0, 1]) = Aº Ñ Ö ¾º Å Ð Ô Ý ÐÝ Ø Ù Ø ÐÐ Ò 100 ÐØ ØÙÒÒ Ø Ú Ð ¹ ØÙÐØ ÙÓÑ Ð ÐØ Ñ ÐÐ Ò Ò ÒØ ÐÐ ÓÒ ËÙÓÑ Ò Æ Ìǹ ÒÝÝØ Òº Å ÓÐÐ Ø ÒÒ ÒÓØÓØ ÓÚ Ø ÒÒ ØØ Ãµ ÒØ µ Ú ØÙ Ø Îµº Å ÓÐÐ Ø Ò Ú Ø Ù Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ Ð ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ó Ó ÓÒ ÐÐÓ Ò º ÂÓ ÓÐ ÑÑ Ù Ø Ò Ò ÒÒÓ ØÙÒ Ø Ñ Ö ³ ÒÒ ØØ Ò ÐÙ ÙÑÖ ¹ س X Ò Ò ÐÐÓ Ò X Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ò ÖÚÓ ÓÙ Ó ÓÒ {0, 1,..., 100} ÓÒ Ð¹ Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ 101º Ð Ø Ô Ù ω ÓÒ 100 Ò Ô ØÙ Ò Ò ØÝÝÔÔ Ã Îι Î º º º Î ÓÐ Ú ÓÒÓº Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÖÚÓ X(ω) ÓÒ Ð Ø Ô Ù ¹ Ø ω Ð ØØÙ ÒÒ ØØ Ò ÐÙ ÙÑÖ Ñ Ö 36º

37 ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ ÇÐ ÑÑ Ó ÐÐ ÑÔÐ ØØ Ø ÓÚ ÐØ Ò Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ø¹ غ ÆÓÔ Ò Ð ÒØ Ò ØØÓÓÒ ÓÖØØ Ô Ò Ð ØØÝÚ ÐÐ ØÙÒÒ Ó ÐÐ ÓÒ Ô Ö ÒØ Ø Ú ÒÒÓÐÐ Ø ØØÙ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ò ØØ Øº Ì ÙÐÙ¹ Ó ¾º¾ ÓÒ Ø ØØÝ ÑÙÙØ Ñ ØÙØØÙ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º Ì ÙÐÙ Ó ¾º¾º ÂÓ Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ò ÖÚÓ Ð٠غ Ë ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ ÃÙÚ Ù ÖÚÓ ÓÙ Ó S X ÆÓÔ Ò ÐÑÐÙ Ù {1, 2, 3, 4, 5, 6} Y ÃÖÙÙÒÙ Ò ÐÙ ÙÑÖ {0, 1, 2, 3} Ð ÒØ Ò ØÓ Z À ØØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ¹ {1, 2, 3...} Ò Ò 1. ÖÙÙÒ W ÃÓÖØØ Ô Ø ØÙÒÒ Ø Ú Ð ØÙÒ ÓÖØ Ò Ñ {,,, } ÅÖ Ø ÐÑ ¾º ÓÐ ÑÑ ØÓ ÒÒ Ø ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø Ö ¹ Ð ÐÙ Ù º Æ Ò Ò ÚÐØØÑØØ ÓÐ º Ñ Ö Ì ÙÐÙ ÓÒ ¾º¾ ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ò W ÖÚÓ ÓÒ Ú Ð ØÙÒ ÓÖØ Ò ³Ñ ³º ÆÑ ÖÚÓØ ÚÓ Ò Ù Ø Ò Ò Ò Ø ÖÚ ØØ ÓÓ Ø ÒÙÑ Ö Ø º ÂÓ Ò Ý Ø Ý Ø Ö Ø Ð ÑÑ Ñ Ö ØÙÒÒ Ô Ö ØÙÒÒ ÓÒÓ Ø ØÙÒÒ Ö ØÝ º Æ ¹ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÝÐ ØÝ Ò Ô Ð Ø Ò ØÙÓÒÒ ÑÔ Ò º ÀÙÓÑ ÙØÙ ¾º½ ÂÓ X Y ÓÚ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ò ax, X + Y, X Y, XY X Y (Y 0) ÓÚ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ñ a ÓÒ Ö Ð ÐÙ Ùº ÆÑ ØÙÐÓ Ø ÙÖ Ú Ø Ø ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ ÙÒ Ø Óº Å Ø Ñ Ø Ò Ò ÐÝÝ Ò ÙÖ ÐÐ ÓÔ ØÙÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ø ÑÑ ØØ ÙÒ ¹ Ø ÓÒ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó x sin(log x) Ø x f[h(x)] = (f h)(x). Ø ØØÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ ÐÐ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º ÂÓ W Ì Ù¹ ÐÙ Ó ¾º¾µ ÓÒ Ñ Ö ØÙÒÒ Ø Ú Ð ØÙÒ ÓÖØ Ò Ñ V Ñ Ò ÓÙ¹ Ó S = {,,, } ÑÖ Ø ÐØÝ ÚÖ Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÖØ Ò ÚÖ V (W) = V [W(ω)] ÖÚÓ ÐÙ ÓÒ S V = {ÑÙ Ø ÔÙÒ Ò Ò}º ÃÓÖØØ Ô Ò ÓÖ¹ Ø Ø 52 Ôе ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ð Ø Ô ØÙÑ Ò ÓÙ ÓÒ ωº ÇÐ ÓÓÒ Y ÖÙÙÒ Ò ÐÙ ÙÑÖ Ð ÒØ Ò ØÓ Ì ÙÐÙ Ó ¾º¾µº Ë ÐÐÓ Ò Ñ Ö g(y ) = Y 3 2 Ø h(y ) = ( Y 3 ) 2 2

38 ¾º º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑ ÓÚ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º Ã Ò Ø Ù ÑÑ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÐÐ Ò ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ º ÂÓ X Y ÓÚ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ò ω h[x(ω), Y (ω)] ÑÖ ØØ Ð ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó h ÓÒ ÑÖ ¹ Ø ÐØÝ ÖÚÓ ÓÙ Ó { (X(ω), Y (ω)) ω Ω } R 2 º ÌØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ñ Ö ØÒ ÐÝ Ý Ø h(x, Y )º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º ÁÒ ØØÓÖ ÙÒ Ø Óµ ÇÐ ÓÓÒ A Ø Ô ØÙÑ ÓØÓ Ú ÖÙÙ¹ Ωº Ì Ô ØÙÑ Ò A Ò ØØÓÖ ÙÒ Ø Ó I A ÖÚÓÒ 0 Ø 1 ÙÖ Ú Ø { 1, Ó ω A; I A (ω) = 0, Ó ω / A. ÂÓ Ø Ô ØÙÑ A ØØÙÙ Ò Ò I A = 1 ÑÙÙØÓ Ò I A = 0º ÁÒ ØØÓÖ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ P(I A = 1) = P(A) P(I A = 0) = P(A c ) = 1 P(A). ÎÓ ÑÑ ÝØØ Ò ØØÓÖ ÙÒ Ø ÓØ Ú Ô ÐÙ ÙÑÖ Ò Ð Ñ Òº À ¹ Ø ØÒ Ð ÒØØ n ÖØ ÓÐ ÓÓÒ X k Ø Ô ØÙÑ Ò ³ ÖÙÙÒ kº ØÓ ³ 1 k nµ Ò ØØÓÖ ÙÒ Ø Óº Ë ÐÐÓ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ¾º º½µ X = X 1 + X X n ÓÒ ÖÙÙÒ Ò ÐÙ ÙÑÖ n ØÓ Ó ÙÑÑ ÓÒ Ý Ø Ò ÖÙÙÒ Òµ ÐÙ ÙÑÖ n ØÓ º ¾º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÐ ÑÑ ÒÒÓ ØÙÒ Ø Ö ØÝ Ø Ò ÙÑ Ø º À ¹ ÐÙ ÑÑ Ø Ø Ñ ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ X Ò ÖÚÓØ ÙÙÐÙÚ Ø Ñ Ò Ø ¹ Ò Ö Ð Ð Ò R Ò Ó ÓÙ ÓÓÒ Bº ÃÙÒ Ø Ô ØÙÑ {ω Ω X(ω) B} Ñ Ö ØÒ (X B) ÓÚ Ø Ñ Ð Ò ÒÒÓÒ Ó Ø Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ¾º º½µ P(X B) = P({ω Ω X(ω) B}), B Ω. Å Ö ÒØ P(X B) Ó Ó ØØ ØØ Ø Ô ØÙÑ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ØÙÒÒ ÑÙÙع ØÙ Ò X ÚÙÐÐ º ÃÓ B ÚÓ ÓÐÐ Ñ Ø Ò Ö Ð Ð Ò R Ò Ó ÓÙ Ó ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø P(X B) ÑÖ ØØ Ð ÚØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑ Òº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ÙÑ µ ÅÖ Ø ÐÐÒ ØÙÒÒ ÑÙÙع ØÙ Ò X ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÑ ÐÝ Ý Ø ÙÑ µ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Óº

39 ÄÙ Ù ¾º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô ÖÙ ØÙÐÓ µ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÑ ÓÒ ÓÙ Ó ÙÒ Ø Ó P X Ó Ð ØØ Ó Ò R Ò Ó ÓÙ ÓÓÒ B ÖÚÓÒ Ö Ð Ø ÓÒ ¾º º½µ ÑÙ ¹ Ø º ÂÓÙ ÓÓÒ B Ð Ø ØØÝ ÖÚÓ Ñ Ö ØÒ P X (B)º µ ÃÙÒ Ú Ð Ø Ò B = (, x] Ð B ÓÒ ÔÙÓÐ ÚÓ Ò ÚÐ Ò Ò ÒØ Ø Ø Ò ¾º º½µ ÒÓ ÐÐ Ò ¾º º¾µ P(X (, x]) = P({ω Ω X(ω) x}) = P(X x). Ê Ð Ø Ó º½º µ ÑÖ ØØ Ð Ô Ø ÙÒ Ø ÓÒ F X (x) = P(X x)º ÙÒ ¹ Ø ÓØ F X ÙØ ÙØ Ò X Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó º ÀÙÓÑ ÙØÙ ¾º¾ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÙÑ ÓÒ R Ò Ó ÓÙ Ó Ð¹ Ð ÑÖ Ø ÐØÝ ÓÙ Ó ÙÒ Ø Óº Ë ÓÒ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Óº ÂÓ P X (B) ØÙÒÒ Ø Ò ÐÐ B R Ò Ò ØÙÒÒ Ø Ò ÑÝ ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ö¹ ÚÓØ F X (x) ÐÐ x Rº à ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ ØØ Ð Ñ ØÝØÝÝ Ø ØÙÒØ Ú Ò Ò ÔÙÓÐ ÚÓ Ñ Ò ÚÐ Ò B = (, x] ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ Ø P X ((, x])º ÐÐØØÚ ÝÐÐ ÑÝ ÒØ Ò Ò ØÙÐÓ Ô Ø Ô Ò¹ º ÂÓ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó F ÓÒ ÒÒ ØØÙ Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ò Ð ØØÝÚ Ý ¹ ØØ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ø ØÝ R Ò Ó ÓÙ ¹ Ó Ò ÐÙÓ º Ì Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ú Ø ÚÙÙØ Ò Ô ÖÙ ØÙÙ ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ñ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ º Ñ Ö ¾º ÇÐ ÓÓÒ Y ÖÙÙÒ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÐÑ Ò Ð ÒØ Ò ØÓ ¹ Ñ Ö ¾º µº Ë ÐÐÓ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ó Ú Ø Ú ØØÑØ ÙØ Ò ³Ø Ñй Ð Ò Ý ÖÙÙÒ ³ Y = 1 Ø ³ ÓÖ ÒØ Ò ¾ ÖÙÙÒ ³ Y 2 ÑÖ ØØ ¹ Ð ÚØ Ø Ô ØÙÑ Òº Ì Ô ØÙÑ Ø ÚÓ Ò ÐÐÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó Y B º ÂÓ B = (, 2] Ò Ò B ÑÖ ØØ Ð ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ω Ø Ô ØÙÑ Ò {ω Ω Y (ω) B}) = {RRL, RLR, RLL, LRR, LRL, LLR, LLL} P Y (B) = P({ω Ω Y (ω) B}) = 7/8º Â Ø Ó ØÙÐ ÑÑ Ô ÒØ Ø Ø Ö Ø Ð Ñ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÑÖ ØØÑ Ø Ô ØÙÑ º Ñ Ö ¾º½¼ Ë ØÙÒÒ Ú ÐÝ Ê Ò ÓÑ Ï Ð µ È È ÚÓ Ô ¹ Ð Ú Ø ÖÙÙÒ Ð Ú º Ì Ô Ð Ø ØÒ Ô Ö Ò Ð ÒØØ n Ö¹ Ø Ø Ñ Ö n = 20º Ò ÙÒ ØÙÐ ÖÙÙÒ Rµ È ÚÓ ØØ ÙÖÓÒ È ÚÓÐØ º ÃÙÒ ØÙÐ Ð Ú Lµ È Ú ÙÖÓÒ È ÚÓÐÐ º ÃÙÚ Ó ¹ ¾º¾ Ø ØÝÒ Ô Ð Ò ØÙÐÓ n = 20µ ÓÒ L R L R R R R L R L L RRRLRLLRL. È ÚÓ ØØ ¾ ÙÖÓ º Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ È ÚÓ ØØ s ÙÖÓ ÙÒ n = s 20µ ÇÒ ÐÔÔÓ Ò ØØ Ñ ÓÐÐ Ò Ò ÚÓ ØØÓ ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Òº ÎÓ ØØÓ S ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X i i = 1, 2,..., 20µ ÙÑÑ Ò S 20 = X 1 + X X 20,