:: γ1. g 1. :: γ2. g 2
|
|
|
- Timo Aaltonen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 ÌÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ¹ Ý ÝÑÝ Ø º º¾ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ý ÝÑÝ Ð Ø x g Ò e? :: α Ö Ø Ø Ò ÓÐ ÐÐ Ø ÑÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ØØ ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙØØ À ÐÐ ÝÐ Ø Ò ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ ÐÑ ÒØÙ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ð Ó º Ë Ø ÑÙØ ÑÑ Ò ÑÓÒ Ý ÝÑÝ Ð Ø p g Ò e? :: α ÑÓ p Ø ÐÐÒ ÙØ Ò ¹Ð Ù À ÐÐ ÝÐ Ø Ò Ý ØÒ Ñ ØÒº ¾
2 ÌÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ¹ Ý ÝÑÝ Ø º º¾ ÆÑ Ø Ø À ÐÐ Ò Ø Ø Ñ ÐÐ ÝÐ ØÝ ÐÐ ÙÖ Ú Ø Ò ÑÓÒÓÑÓÖ Ñ Ö Ó ØÙ Ø ÑÓÒÓÑÓÖÔ Ñ Ö ØÖ Ø ÓÒµº à РعÑÓÒ ÑÙÓØÓ ØÝÝÔ Ò ÔØØ Ð Ú Ð ÓÒ Ó Ò ØÐÐ Ò Ò Ö Ó Ø ÑÙØØ Ò Ú Ø Ð Ú Ø Ð Ø ØÓ Ò Ó Ð Ø Ò ØÝÝÔ ÒÔØØ ÐÝ ÔÓ Ñ Ò Ò ÙÓÖ ØÙ Ñ Ò Ñ Ø º ÂÓ Ø ÖÑØ Ö Ó ØØ Ò Ò Ò Ö Ó Ø ÐÙ Ñ ÔÓÐÝÑÓÖ Ò Ò ØÝÝÔÔ Ò ÝÚ Ò Ë ÐÐÓ Ò À ÐÐ Ú Ò Ø Ö Ø ÔØ º ¾
3 ÌÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ¹ Ý ÝÑÝ Ø º º¾ ÂÓ Ø Ò Ý Ø Ø Ù ÑÔ µ ØÓ Ò Ú ØØ Ú ÑÖ Ø ÐÑ Ý ÝÑÝ ÐÐ Ð Ø ß f 1... g 1 f 2... g 2 Ð Ò e? :: α Ö Ø Ø Ò Ý Ø ÑÓÐ ÑÑ Ø Ý ÝÑÝ Ø g 1? :: γ1 g 2? :: γ2 ÝÐ Ø ØÒ ÙÑÔ Ò ÐØ Ö Ò ÓÐÐÓ Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ý Ø Ø ÔÓÐÝÑÓÖ Ø ÑÙÙØØÙ Ø t Ú Ø ÙÑÑ Ò ÓÑ Ò Ú ÒØØÓÖ Òº Î ÖØ ÐÓÓ Ò Ò ØÓØÙÙ ( t.g 1 (t) G 2 (t)) ( t 1.G 1 (t 1 )) ( t 2.G 2 (t 2 )) ¾
4 ÌÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ¹ Ý ÝÑÝ Ø º º¾ ÂÓ ÑÖ ØØ ÐÝ f 2 Ú ØØ ÑÖ ØØ ÐÝÝÒ f 1 ÑÙØØ Ô ÒÚ ØÓ Ò Ò Ò Ø Ò ½º Ò Ò f 1 ¾º ØØ Ò f 2 ÓØØ Ð ÑÑ Ò Ò ÚÓ Ý ÝÒØ ÐÐ Ò ÔÓÐÝÑÓÖ Ø ÐÓÔÔÙØÙÐÓ Ø º ÂÓ Ò ÚØ Ú ØØ ØÓ Ò Ò Ò ÐÐÓ Ò Ò Ò Ò Ò Ò ØØ ÐÝ Ö ØÝ Ò ÓÒ Ú Ô º À Ðг¹ Ø Ò Ö ÓØÙ À ÐÐ Ú Ø Ñ Ò Ø Ô Ò ØÝÝÔ ØÝ Ø ³ :: ØÝÝÔÔ ³ ÑÝ Ð Ù Ò ÑÓ Ò ÐÐ Ó Ñ ØÝÝÔ ÒÔØØ Ðݺ ¾
5 ÌÝÝÔÔ Ý ØÐ Ø º º º º ÌÝÝÔÔ Ý ØÐ Ø ÌÝÝÔÔ Ý ØÐ Ø ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ ØÝÝÔÔ = ØÝÝÔÔ. Æ ÐÑ Ú Ø ØØ Ò Ò Ò ØÝÝÔ Ò Ô Ø ÓÐÐ Ñ Øº º º Ò Ñ Ð ØØ Ò ÑÓÐ ÑÑ Ø ÓÚ Ø ÝÒØ Ø Ø Ý Ñ ÐÑ Ù Ó ÚÓ ÒØÝ À ÐйØÝÝÔ ØÝ Ò ³ :: ³ Ó Ò ÔÙÓÐ Ò º ¾
6 ÌÝÝÔÔ Ý ØÐ Ø º º ØÐ Ò ÙÑÔ Ò ØÝÝÔÔ ÓÓ ØÙÙ Ô ÖÙ ØÝÝÔ Ø ÙØ Ò ÁÒØ Ö ØÝÝÔÔ ÑÙÙØØÙ Ø ØÝÝÔÔ ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ Ò C ÓÚ ÐÐÙ Ø C ØÝÝÔÔ 1 ØÝÝÔÔ 2 ØÝÝÔÔ 3... ØÝÝÔÔ k ØÓ Ò ØÝÝÔÔ Ò Ñ Ö ¹ µ α β ÙÒ Ø ÓØÝÝÔ ÐÐ ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ØÝÝÔÔ ÓÒ α ØÙÐÓ Ò βº ¾
7 ÌÝÝÔÔ Ý ØÐ Ø º º ½º ØÐ ØÝÝÔÔ = ØÝÝÔÔ, ÓÒ ÑÓÐ ÑÑ Ø ÔÙÓÐ Ø ÓÚ Ø Ø ÑÐÐ Ò Ñ ÒÐ Ø ÚÓ Ò ÙÒÓ Ø Ø ÖÔ ØØÓÑ Ò º ¾º ØÐ Ø ØÝÝÔÔ = ØÝÝÔÔ ØÝÝÔÔ = ØÝÝÔÔ Ø Ö Ó ØØ Ú Ø Ñ Ð Ý ØÐ Ò ÔÙÓÐ Ò Ò ÐÐ Ö ØÝ ÐÐ ÓÐ Ñ Ö ØÝ Øº ¼
8 ÌÝÝÔÔ Ý ØÐ Ø º º º ØÐ Ò C ØÝÝÔÔ 1 ØÝÝÔÔ 2 ØÝÝÔÔ 3... ØÝÝÔÔ k = C ØÝÝÔÔ 1 ØÝÝÔÔ 2 ØÝÝÔÔ 3... ØÝÝÔÔ k ÚÓ ÔÙÖ Ô Ò ÑÑ Ý ØÐ ØÝÝÔÔ 1 = ØÝÝÔÔ 1 ØÝÝÔÔ 2 = ØÝÝÔÔ 2 ØÝÝÔÔ 3 = ØÝÝÔÔ 3... ØÝÝÔÔ k = ØÝÝÔÔ k. ÌÝÝÔ ÒÔØØ ÐÝ Ñ Ö ÑÑ Ý ØÐ º º¾µ ÔÙÖ ÙØÙ Ý ØÐ τ 1 ¹ τ 2 = τ 12 ¹ τ 10 τ 1 = τ 12 Ò Ò ÐÐ Òº τ 2 = τ 10 ½
9 ÌÝÝÔÔ Ý ØÐ Ø º º º ÂÓ ØÐÐ Ò Ý ØÐ Ò Ú Ò Ó ÔÙÓÐ Ð Ú Ø Ò Ö ØÝÝÔÔ ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ ÐÐ C C Ø ÐØÚØ Ò Ö ÑÖÒ ØÝÝÔÔ Ò Ò ÐÐÓ Ò ØÑ Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ö Ø º Î Ø Ú Ø ØÑÒ ØÝÝÔÔ Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ ÝÒÒÝØØÒÝØ À ÐйРÓÓ ÐÔ ØÝÝÔ ÒÔØØ Ðݺ ¾
10 ÌÝÝÔÔ Ý ØÐ Ø º º º ÂÓ Ý ØÐ Ø ÑÙÓ Ó ØÙÙ Ø Ù x = = C... x... ÓÒ x ÒØÝÝ ÓÑ Ò ØÝÝÔÔ Ò ÐÐ Ò Ò ÐÐÓ Ò Ò ØÑ Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ö Ø ÌÝÝÔ Ò x Ö Ó ØÙ Ù ÓÐ Ö ØØ ÑÒ Ô Ø Ñ Ö C... (C... (C...)...)... x y ¹ x Ó ØÝÝÔÔ x ÓÐ Ù Ö Ó Ø ØØÙÒ y ¹ y ¹ y ¹...
11 ÌÝÝÔÔ Ý ØÐ Ø º º ÌÝÝÔ ÒÔØØ ÐÝÒ ÝÐ ØÝ Ú ÃÝ ÝÑÝ ÌÝØÝ ØÝÝÔÔ ÑÙÙØØÙ ÐÐ a i ÒØ ÖÚÓ ÓÒ ÄÙÓØ Ò Ó Ó Ò Ý ØÐ a i = η ÂÓ ÐÙÓØ Ò Ò Ò ÔÓ Ø Ø Ò a i ÓÖÚ Ñ ÐÐ Ò Ó Ò Ò ÒØÝÑ ØÝÝÔ ÐÐ ηº Æ Ò Ø ÐÐÒ Ó Ò Ò a 1, a 2, a 3,..., a r Ó ÝÒØÝ ÝÐ Ø ØØÚÒ Ð Ù Ò ØØ ÐÝÒ Ò º Ë Ò Ð Ò Ý ÝÑÝ Å ÓÒ ØÝÝÔÔ β i Ò ÙÖ Ú Ø ½º ÐÓ Ø Ø Ò ØÝÝÔÔ ÑÙÙØØÙ Ø τ = β i º ¾º ÂÓ τ ÒØÝÝ ØÝÝÔÔ ÑÙÙØØÙ b ÓÐÐ ÓÒ Ý ØÐ b = δ Ò Ò ÓÖÚ Ø Ò ÒÑ ÒØÝÑØ δ ÐÐ º
12 ÌÝÝÔÔ ÐÙÓ Ø º º ÌÝÝÔÔ ÐÙÓ Ø ÌÝÝÔÔ ÐÙÓ ÓÒ ÐÐ Ò Ò Ó Ó ÐÑ ØÝÝÔÔ Ó ÐÐ ÐÐ ÓÒ Ó Ò Ñ Ö Ô ÒØ º Ä Ò Â Ú ¹Ú Ø Ò ÓÚ Ø Ò ÒØ Ö ¹ÐÙÓ Øº Ë Ñ Ò ÐÙÓ Ò ØÝÝÔ Ø Ø Ö Ó Ú Ø ÓÒ Ò Ñ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð Ñ ØÓ Òº Ñ Ö Ö Ø ØÝØ ØÝÝÔ Ø Ø Ö Ó Ú Ø ÓÔ Ñ Ò Ò Ñ Ò Ñ ØÓ Ò µº º º ÑÙØØ Ó ÐÐ Ö Ø ØÝÐÐ ØÝÝÔ ÐÐ ÓÒ ÐÐ ÓÑ ØÓØ ÙØÙ Ò º
13 ÌÝÝÔÔ ÐÙÓ Ø º ÌÝÝÔÔ ÓÒØ Ø ÐÑ Ø Ò ÝÒØ Ø Ø Ö ÒØ ÐÐ ØÓ ØÓ ØÓ... ØÓµ... ÂÓ ØÓ ÓÒ Ú Ò Ý Ò Ò ÙÐÙØ ØØ ÔÓ Òº ÂÓ Ò Ò ØÓ ÓÒ ÑÙÓØÓ ÄÙÓ ØÝÝÔÔ Ó ÄÙÓ ÓÒ ÓÒ Ò ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ò Ò Ñ ÁËÇÐÐ Ð Ù Ö Ñ ÐÐ µº Ë ÐÐÓ Ò ØÑÒ ØÝÝÔ Ò ØÝØÝÝ ÙÙÐÙ Ø Ò ÄÙÓ Òº ÃÝØÒÒ Ö Ó ØØ Ø ØÝÝÔ ÒØÝÚ Ò ØÝÝÔÔ ÑÙÙØØÙ Ò ÐÙÚ ÐÐ ÖÚÓ º
14 ÌÝÝÔÔ ÐÙÓ Ø º Ñ Ö Ö ØÑ ÙÒ Ø ÓÒ ØÝÝÔ Ä Øº ÓÖØ ÇÖ µ ¹ ÓÒ Ö Ó ØÙ ØØ ØÝÝÔÔ ÑÙÙØØÙ ÐÐ ÚÓ ÒØ Ú Ò ÐÐ Ò ØÝÝÔ Ò Ó ÙÙÐÙÙ ÐÙÓ Ò ÇÖ Ð Ó ÓÒ Ö Ø ØØݺ ÌÐÐ Ò Ò ØÝÝÔÔ ÓÒØ Ø ÚÓ ÒØÝ ÙÒ Ø ÓÒ ØÑ ºµ ØÝÝÔ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ ÝÐÐ Ò ØÚ Ó ÙÙ Ò Ø ØÓØÝÝÔ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ Ø Ø ¹ Ò Ò Ð Ò ÓÐÐÓ Ò Ö Ó ØØ ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ Ò ØÝÝÔÔ º
15 ÌÝÝÔÔ ÐÙÓ Ø º ÌÝÝÔÔ ÐÙÓ Ø ÓÒ ÙÙÒÒ Ø ÐØÙ ØÓ Ñ Ñ Ò Ý Ø ØÝ ØÝÝÔ ÒÔØØ ÐÝÒ º µ Ò º Ë Ø ÙÖ Ó Ø Ò Ö Ó ØÙ ÂÓ ØÝÝÔÔ ÓÒØ Ø ÐØ ÓÒ Ò ØÝÝÔÔ ÑÙÙØØÙÙ Ò u Ò Ò ØÑÒ Ñ Ò u Ô Ø ÒØÝ ÑÝ ÑÔÐ Ø ÓÒÙÓÐ Ò ³ ³ Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º ÃÓ ÒÙÓÐ Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ÒØÝÝ Ú Ö Ò Ò Ò ØÝÝÔÔ ÓÒ ÔØØ ÐÝ Ø Ò Ø ØÓ ÑÙÙØØÙ Ò u ÖÚÓ Ø º Ö ÐÙÓ Ò Ñ ØÓ ÐÐ Ô Ø ÓÐÐ Ö Ò Ñ Øº ÂÓØØ ØÝÝÔ ÒÔØØ ÐÝÒ Ò Ñ ÒØ ÓÐ Ý Ð ØØ Ò Òº
16 ÂÓ ØÙØ ÒÝÝ Ø º º½ º º½ ÂÓ ØÙØ ÒÝÝ Ø Ò ÖØ Ò Ø Ô Ð ØØ Ø ¹ÑÖ Ø ÐØÝ ØÝÝÔÔ ÐÙØØÙ Ò ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ò ÓÒ ÔØØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ ÑÖ Ò Ö Ú Ò ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Øµ Ó ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ø ÓÒ Ô Ð Ù Ò ÖÓØ ÐØÙ ÐÙ ØØ ÐÓ Ý Ø Ò ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ò Ò Ñ Øº ÂÓ ÐÙÓ ÓÒ ÐÙ ØØ ÐÓ Ú Ò Ý Ò Ò ÙÐÙØ ÚÓ ØØ ÔÓ º
17 ÂÓ ØÙØ ÒÝÝ Ø º º½ ÌÑ Ø Ô ÓÚ ÐØÙÙ Ù Ø Ò Ò Ú Ò Ø ØÝ ÐÐ À ÐÐ Ò Ú ÐÑ Ò Ø Ö Ó Ñ ÐÐ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ ÐÐ º º º ÝØØ ØÐÐ ÐÐ ÐÙÓ ÐÐ ÒÒ Ø ØØÝ ÓÐ ØÙ Ø Ô ÓÐÐ ÐÙÓ Ò Òº ÇÐ ØÙ Ø Ú Ò Ø ÚÓ ÒÝÝ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ø Ò º º¾µº ÃÙÚ ÐÐ Ò ÙÖ Ú ØÐÐ Ø ÐÙÓ Ø ÓÐ ØÙ Ø Ú Ø Ú Ó Ö ØÓ Ø ÈÖ ÐÙ º ¼
18 ÂÓ ØÙØ ÒÝÝ Ø º º½ Õ t ÌÝÝÔ ÐÐ t Ð Ø Ò ÓÐ ØÙ ÖÚÓ Ò Ò ÑÙÙ Ø Ø µ t ¹ t ¹ ÓÓк ÇÐ ØÙ Ø Ø x y Ó Ú Ò Ó ÖÚÓ ÐÐ x y ÓÒ Ñ ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ Ò Ò ÒØØ Ò ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ò µº Ö ØÝ Ø Ö Ú Ò Õ ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø Ú Ò Ó ÑÝ ØÝÝÔ Ò t Ò ÒØØ Ò ØÝÝÔ ÐÐ u ÓÒ Õ uº Ë Ñ ÐÐ ØÙÐ ÑÖ Ø ÐØÝ ÑÝ Ò Ú Ø Ó Ø» µº ½
19 ÂÓ ØÙØ ÒÝÝ Ø º º½ ÇÖ t ÌÝÝÔ ÐÐ t Ð Ø Ò ÓÐ ØÙ ÖÚÓ Ò Ò Ö ØÝ Ò ÓÔ Ö Ø ÓØ ÙØ Ò µº ÇÖ t Ú Ø ØØ Õ tº ÇÐ ØÙ Ö ØÝ x y Ó Ú Ò Ó Ó Ó ÖÚÓÒ x ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ ÓÒ ÒÒ Ò ÖÚÓÒ y ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ ØÝÝÔ Ò t Ø ¹ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ Ø ÓÚ Ø Ñ Ø ÒØØ Ô Ö ØØ Ò µ Ú ÑÑ ÐØ Ó ÐÐ º Ñ Ö Ð ØÓ Ò µ Ò Ö Ö ØÝ Ð Ø Ø Ü Ü Ý Ý Ó Ü Ý Ü Ý º ¾
20 ÂÓ ØÙØ ÒÝÝ Ø º º½ ÒÙÑ t t ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ ÒÙÑ Ö Ø µ ØÝÝÔÔ º Î ÖØ Â Ú º¼ Ò ÒÙѺ Ø ¹ÑÖ ØØ ÐÝÒ ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ ÓÐÐ ÒØØ Ñ Ö Ø Î Ó Å Ì Ã ÌÓ È Ä ËÙ Ö Ú Ò Ë ÓÛ ÒÙѵ Ë Ò Ð Ò ØÐÐ ØÝÝÔ ÐÐ ÚÓ ÝØØ Ö ØÑ ØØ Ú Ò º µ Ñ Ö ËÙ ÌÓ ºº ÓÒ ÒÝØ ÐÐ ØØÙ ÒØ ËÙ ÌÓ Å º
21 ÂÓ ØÙØ ÒÝÝ Ø º º½ ÓÙÒ t ÌÝÝÔ Ò t ÖÚÓ ÓÒ Ô Ò Ò ÙÙÖ Ò Ñ Ò ÓÙÒ t Ñ Ü ÓÙÒ t Ñ Ö Ñ Ü ÓÙÒ ÁÒØ ¾½ ÓÒ ØÓØ ÙØÙ Ò ÙÙÖ Ò Ö ÐÐ Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÂÓ Ø ØÓØÝÝÔ ÐÐ ÓÒ Ú Ò Ý ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ C Ò Ó Ò Ò ÒØØ ÓÒ ÑÝ ÓÙÒ Ò Ò ÐÐÓ Ò Ñ Ò ÓÙÒ ÓÒ ÒØ ØØ Ò C Ñ Ò ÓÙÒ Ñ Ò ÓÙÒ Ñ Ò ÓÙÒ... Ñ Ò ÓÙÒ Ñ Ü ÓÙÒ Ú Ø Ú Ø º
22 ÂÓ ØÙØ ÒÝÝ Ø º º½ Ñ Ö Ñ Ò ÓÙÒ ÁÒØ ÁÒص ÓÒ ¹¾½ ¹¾½ µº ÂÓ ØÝÝÔÔ t ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ ÙØ Ò ÒÙÑ Ò Ò Ñ Ò ÓÙÒ Ñ Ü ÓÙÒ ÓÚ Ø Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ú Ñ Ò Ò ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ º Î ÓÒÔ Ú Ñ Ö Ø Î Ó Å Ì Ã ÌÓ È Ä ËÙ Ö Ú Ò Ë ÓÛ ÓÙÒ µ Ñ Ò ÓÙÒ Î Ó Å Ñ Ü ÓÙÒ Î Ó ËÙ
23 ÂÓ ØÙØ ÒÝÝ Ø º º½ Ë ÓÛ t ÌÝÝÔ Ò t ÖÚÓÒ x ÚÓ Ö Ó ØØ Ñ Ö ÓÒÓ º Ö ØÝ Ø À ÐйØÙÐ ÚÓ ØÙÐÓ Ø ØÝÝÔ Ò t ÖÚÓ ÝØØ ÐÐ Ú Ò Ó ÚÓ Ò Ò Ö Ó ØØ Ò Ñ Ö ÓÒÓ º Å Ö ÓÒÓÒ Ö Ó ØØ ÙÒ Ø Ó ÓÛ t ¹ ËØÖ Ò ÓÒ Ö Ú Ò Ë ÓÛ ØÙÓØØ º ÇÐ ØÙ ØÙÐÓ ØÙ Ù ÒÓÙ ØØ À ÐÐ Ò ÝÒØ º
24 ÂÓ ØÙØ ÒÝÝ Ø º º½ ÂÓ Ó ÐÑÓ ÐÙ Ò ØÝÝÔ ÐÐ Ò t ÓÑ Ò ØÙÐÓ ØÙ ÙÒ Ò Ò Ò ÚÓ ÑÖ Ø ÐÐ Ò º º¾µ Ô ÖÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÛ ÈÖ d x r Ó x :: t ÓÒ ØÙÐÓ Ø ØØ Ú ÖÚÓº 0 d 11 ÓÒ ÔÖ Ò ¾º µº ÇÔ Ö ØØÓÖ ÝÒØ ÐÐ Ø Ò ÑÝ ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ ÐÐ º ÃÓÒ ØÖÙ ØÓÖ ÓÒ ÐÐ Ò Ò Ø ÑÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ Ò Ò Ñ Ð Ó Ô Ø ÐÐ ³ ³º Ö ØÝ Ø Ð ØÓ Ò µ ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ ÓÒ ØÐÐ Ò Òº
25 ÂÓ ØÙØ ÒÝÝ Ø º º½ Å Ö ÓÒÓ r ÓÒ Ö Ô Ö Ñ ØÖ º º¾µ ÖÚÓÒ x Ñ Ö ÓÒÓ ØÝ Ð Ø ØÒ Ñ Ö ÓÒÓÒ r Ð ÙÙÒº ÌÓ Ò ÒÓ Ò ÙÖ Ú Ò ÓÒ ØÝØÝÝ ÔØ ÓÛ ÈÖ d x r s ÓÛ ÈÖ d x r sµ Ã Ö Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ r Ø Ò Ø Òµ ÔÙÙÑ Ò Ö ÒØ Ò x Ð ØÓ ØÙ Ð Ò Ö Ò Ð Ò Ø µº
26 ÂÓ ØÙØ ÒÝÝ Ø º º½ Ê t ÌÝÝÔ Ò t ÖÚÓÒ x ÚÓ ÐÙ Ñ Ö ÓÒÓ Ø º À ÐйØÙÐ Ú ÖØ Ò Ø ÖÚ Ø Ò ÒÓ ÓÑ ÐÐ Ø ¹ØÝÝÔ ÐÐ Ò Ö Ú Ò Ê ØÙÐ ÐÙ ÓÑ ÒØÓÖ Ú ÐØÒ Ò ÖÚÓ À ÐйРÓÓ Ò ÑÙ Ö Ó ØÙ Ù º ÂÓ Ó ÐÑÓ ÓÒ Ò ÑÖ Ø ÐÐÝØ ØÝÝÔ ÐÐ Ò t ÓÑ Ò Ë ÓÛ¹ ÙÒ Ò Ò ÐÐÓ Ò Ò Ò ÓÒ ÝÝØ ÑÖ Ø ÐÐ ÑÝ ÐÐ Ò Ò Ê ¹ Ù Ó Ð٠غ ÌØ Ô Ö Ø ØØ ÙØ ÙØ Ò ÐÙ Ù¹ Ö Ó ØÙ ¹ÑÙÙØØÙÑ ØØÓÑÙÙ Ö ¹ÛÖ Ø ÒÚ Ö Ò µº Ë Ò ÚÓ Ø ÐÐ ÒÓÚ Ò ØØ Ú ØØ Ù Ø Ò ÐÔ ÙÙÐØ ÚÙÙ ½º º½µ ÐÝ ÑÝ Ý Ø ØÙÐÓ ØÙ º
27 ÂÓ ØÙØ ÒÝÝ Ø º º½ Ã Ò Ò ÑÖ Ø ÐØÚ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ö ÈÖ d s ÈÖ Ò d ÓÒ ÙØ Ò ÙÒ Ø Ó ÓÛ ÈÖ º Ë ÝÖ ØØ ÐÙ ÖÚÓÒ x :: t Ñ Ö ÓÒÓÒ s ÐÙ Ø º È Ð ÙØÙ ÖÚÓ ÓÒ Ñ ÒÐ Ò Ò Ù Ò ÒÒ ÒÝ Ø Ð º µ Ë ÓÒ Ð Ø Ô Ö x i s i µ Ó x i :: t ÓÒ ÓÒÒ ØÙÒ Ø ÐÙ ØØÙ ÖÚÓ s i ÐÙ Ñ ØØ ÒÝØ ÐÓÔÔÙÓ Ñ Ö ÓÒÓ Ø sº Ë ÓÛ¹ØÙÐÓ ØÙ ÝÒØ ÚÓ ÓÐÐ ÑÓÒ Ð ØØ Ò Ò Ú Ø ÒÒ ØØ Ò Ú ÖÓ µ Ð Ø Ø Ö Ú ØÓ Ó Ø º ÔÓÒÒ ØÙÑ Ò Ò ÓÒ º ¼
28 ÂÓ ØÙØ ÒÝÝ Ø º º½ Ë ÐÐÓ Ò ÐÙ Ù¹ Ö Ó ØÙ ¹ÑÙÙØØÙ ØØÓÑÙÙ ÑÙÓ ÓÒ x µ ÙÙÐÙÙ Ð Ø Ò Ö ÈÖ d ÓÛ ÈÖ d x µ Ð ÖÚÓÒ x Ë ÓÛ¹ØÙÐÓ ØÙ Ù ÚÓ Ò Ê ¹ÐÙ ÑÙÙÒ ÑÙ Ø Ò ÖÚÓ x º ÂÓ Ñ Ö ÓÒÓ s ÓÓ ØÙÙ Ú ÖÑ Ø Ø Ò Ý Ø Ý ØØ Ø ØÝÝÔ Ò t ÖÚÓ Ø x ØÝ Ø Ñ Ö Ø ÚÐ ÐÝ ÒÒ Ø Ö Ú ÒÚ Ó Ø º º º µ Ò Ò ÔÙ ÙÒ Ø Ó ÙØ Ù Ö s ÒØ ØÑÒ ÖÚÓÒ xº ÅÙÙØ Ò Ò ÙØ Ù Ó Ø ÙÓÖ ØÙ Ò Ú Ö Òº ½
29 ÂÓ ØÙØ ÒÝÝ Ø º º½ ÁÜ t ÌÝÝÔ Ò t ÖÚÓ ÐÐ ÚÓ Ò Ó Ø ÙÐÙ Ó º µº ÌÑ ÐÙÓ ÓÒ Ò ÓÑ ÑÓ ÙÙÐ Ò µ Áܺ ÅÝ Ø ÙÐÙ ÓÑÓ ÙÙÐ ÖÖ Ý Ð Ø Ò ÙØÓÑ ØØ Ø Ó ÐÑÓ Ò Ú ÚÓ Ò ØÑ º ÂÓ ØÝÝÔÔ t ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ ÙØ Ò ÒÙÑ Ò Ò Ò ÖÚÓ ÚÓ ÝØØ Ò Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ø Ô Òº ÂÓ ØÝÝÔ ÐÐ t ÓÒ Ú Ò Ý ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ C Ò Ó Ò k ÒØÒ ØÝÝÔÔ t i ÓÒ ÁÜ t i Ò Ò Ò ÖÚÓ C x i x 2 x 3... x k ÚÓ ÝØØ Ò Òº Ö ØÝ Ø ÙÒ C ÓÒ ÑÓÒ ÓÒ ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ (,,,..., Ò Ò Ò k¹ùðóøø Ø Ø ÙÐÙ Óغ }{{} k 1 ÔÐ ) ¾
30 ÌÝÝÔÔ ÐÙÓ Ò Ð ØØÝÑ Ò Ò º º¾ º º¾ ÌÝÝÔÔ ÐÙÓ Ò Ð ØØÝÑ Ò Ò ÂÓ Ö Ú Ò ¹Ñ Ò Ñ ÚÓ Ø ÐÙØ ÝØØ Ò Ò Ò Ø Ò ¹ÑÖ ØØ ÐÝÐÐ ÐÑ Ø Ò ØØ ØÑ ØÝÝÔÔ ÐÙØ Ò ØÑÒ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ò Ò º ËÝÒØ ÓÒ Ø ÌÝÝÔÔ u 1... u k... Ò Ø Ò ÓÒØ Ø ÄÙÓ ÌÝÝÔÔ u 1... u k µ Û Ö... ÓÒ ÓÒØ Ø ÚÓ Ö Ó ØØ ØÝÝÔÔ ÑÙÙØØÙ u 1,..., u k º
31 ÌÝÝÔÔ ÐÙÓ Ò Ð ØØÝÑ Ò Ò º º¾ Û Ö ¹Ó Ò ÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÒ ØÑÒ ÄÙÓ Ò Ñ ØÓ Ò ØÓØ ÙØÙ Ø ØÐÐ ÌÝÝÔ ÐÐ º Å ØÓ Ò ØÝÝÔÔ Ù Ø Ò Ò Ö Ó Ø Ø Æ ØÙÐ Ú Ø ÄÙÓ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ Ø º º µº ÅÖ Ø ÐÐÒ Ñ Ö Ò ØÝÝÔÔ ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ ÆÙÖ ÒÔ Ò ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ò Ò ÙÙÖÙÙ Ö ØÝ ÓÒ Ô ÒÚ Ø Ò Ò Ù Ò Ô Ö Ñ ØÖ ØÝÝÔ Ò º ½ ¾ Ø ÆÙÖ ÒÔ Ò ÆÙÖ Ò Ö Ú Ò Õ Ë ÓÛµ Ò Ø Ò ÇÖ ÇÖ ÆÙÖ ÒÔ Ò µ Û Ö ÆÙÖ Ò Üµ ÆÙÖ Ò Ýµ Ü Ý
32 ÌÝÝÔÔ ÐÙÓ Ò Ð ØØÝÑ Ò Ò º º¾ Ê Ú ÒÓÓ ÂÓ ØÝÝÔÔ ÓÒ Ö Ø ØØÝ Ò Ò ÑÝ ØÝÝÔÔ ÆÙÖ ÒÔ Ò ÓÒ Ö Ø ØØݺ Ê Ú ÐÐ ÐÑ Ø Ò Ñ Ø Ò ÓÒ Ø Ø Ô Ù Ö Ø ØØݺ Ê Ú ÐÐ ½ ÓÒØ Ø ÇÖ ÓÐ Ò ÒÓÒÙØ ÂÓ ØÝÝÔÔ ÓÒ Ö Ø ØØÝ Ò Ò ØÝÝÔÔ ÆÙÖ ÒÔ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ º ÇÐ ÓØ ÖÑ Ò Ò Ø Ò ÐÑÓ ØØ Ñ Ø Ò Ø ØØÝ ÔÓÐÝÑÓÖ Ò Ò ÌÝÝÔÔ Ð ÓÒ Ö ØØ Ø Ò Ø ÖÑ Ò ÓÙ Óµ ØÓØ ÙØØ ØÑÒ ÄÙÓ Ò Ô Ó Ñ Ò Ö Ô ÒÒ Òº
33 ÌÝÝÔÔ ÐÙÓ Ò Ð ØØÝÑ Ò Ò º º¾ Ì Ñ Ö ÓÐ ÑÑ ÚÓ Ò Ø ÝØØ Ø ¹ÑÖ ØØ ÐÝÒ Ø Ð ÐÐ Ò ÛØÝÔ ¹ÑÖ ØØ ÐÝ Ë ÐÐ ÚÓ ÑÖ Ø ÐÐ ÙÙ Ò ØÝÝÔ Ò t ÓÐÐ ÓÒ Ú Ò Ý ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ C ÓÐÐ Ø ÓÒ Ú Ò Ý ÒØغ ÇÐ ÓÓÒ t ØÙÓÒ ÒÓ Ò ÒØÒ ØÝÝÔÔ º Æ Ò ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ ÐÐ C ÚÓ ÐÑÓ ØØ ØØ ÒÝØ ÓÒ Ò Ý ÙÙ ØÝÝÔÔ t Ú Ò Ò Ò ØÓØ ÙØÙ ÓÒ Ò Ú Ò ØÝÝÔÔ t º Ö ØÝ Ø t ÚÓ Ò ÒÝØ Ð ØØ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ò Ö Ø Ú ÐÐ Ù Ò t º Ë Ñ ÐÐ ØÑ ÓÒ Ú À ÐйØÓØ ÙØÙ ÐÐ ØØ ÒÒ ØÝÒ ÓÓ Ò Ø ÖÚ Ø Ò ÐØ ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ Cº
34 ÍÙ Ò ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ º º º º ÍÙ Ò ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ ÍÙ Ò ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ ÝÒØ ÓÒ Ð ÓÒØ Ø ÄÙÓ u Û Ö... Ó ØÝÝÔÔ ÑÙÙØØÙ u Ù Ø Ø Ò ÐÙÓ Ò ÙÙÐÙÚ ØÝÝÔÔ º Ë Ò ÓÒØ Ø ÐÑÓ ØØ Ñ Ø Ö Ó ØØ Ø ØÑÒ ØÝÝÔÔ ÑÙÙØØÙ Ò u ÖÚÓ ÐÐ Ø Ø Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ò ÐÙÓ Ò Ò Ô Ø ÙÙÐÙ ÚÓ Ò ÙÙÐÙ ÑÝ Ø Òº
35 ÍÙ Ò ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ º º Û Ö ¹Ó ÓÓ ØÙÙ Ú ÒØÒ ØÑÒ ÐÙÓ Ò Ñ ØÓ Ò Ò Ñ Ò Ò Ò ØÝÝÔÔ Ò ØØ ÐÝ Øº ÂÓ ØÝÝÔ ØÝØÝÝ ÝØØ ÑÝ ØØ u Å ÑÙÙØ Ò ØÑ Ñ ØÓ ÙÙÐÙ Ø Ò ÐÙÓ Ò Å Ò Ò Ñ ØÓ Ò ØÝÝÔÔ ÓÒØ Ø Ñ Ò Ø ØØ u ÑÙØØ ÑÙ Ø µ à ØÝÝÔ Ò u ÓØ ØÝØÝÝ Ñ Ò Ø Ó Ð ¹ ÓÒØ Ø º Ä ÚÓ ÐØ Ñ ØÓ Ò ÓÐ ØÙ ÑÖ ØØ ÐÝ º Ë ÐØ Ú Ö ÐØ ØØ Ò Ø Ò ¹ÑÖ ØØ ÐÝ º º¾µ ØØ ÓØ Ò ÑÖ ØØ Ð ÑØغ Ë Ò ÝØØ ØÑÒ ÄÙÓ Ò Ò ÓÒØ Ø Ò ÐÙÓ Ò Ñ ØÓ º
36 ÍÙ Ò ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ º º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ Ö Ò ÐÙÓ Ò ÇÖ ÑÖ ØØ ÐÝ Ú Ó Ö ØÓ Ø ÈÖ ÐÙ º Ê Ú ÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÒ ØØ ÙÙÐÙ Ò ÐÙÓ Ò ÇÖ ØÝÝÔÔ ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓÒ ØÝØÝÝ ÙÙÐÙ ÑÝ ÐÙÓ Ò Õ Ð ÓÑ Ø ÑÝ Ý Ø ÙÙÖÙÙ Ñ ØÓ Ò µº ÌÑ Ú Ø Ò ØØ x y ²² y x ÓÒ Ø x yº Ê Ú ÐÐ Ø ÐÐÒ ÐÙÓ Ò Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔÔ Ò Òº Ê Ú ÐÐ ¾ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ó ÐÐ Ò Ø ÓÐ ØÙ Ø Ò ØØ Ö ØØ ÑÖ Ø ÐÐ Ó Ó ÓÑÔ Ö Ø µ ÑÙÙØ ÝØØÚØ Ò Øº
37 ÍÙ Ò ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ º º ½ Ø ÇÖ Ö Ò ÄÌ É Ì ¾ Ö Ú Ò Õ ÇÖ ÒÙÑ Ê Ë ÓÛ ÓÙÒ µ Ð Õ µ ÇÖ Û Ö ÓÑÔ Ö ¹ ¹ ÇÖ Ö Ò µ µ µ µ ¹ ¹ ÓÓÐ Ñ Ü Ñ Ò ¹ ¹ ÓÑÔ Ö Ü Ý ½¼ Ü Ý É ½½ Ü Ý ÄÌ ½¾ ÓØ ÖÛ Ì ½ ½ Ü Ý ÓÑÔ Ö Ü Ý» Ì ½ Ü Ý ÓÑÔ Ö Ü Ý ÄÌ ½ Ü Ý ÓÑÔ Ö Ü Ý» ÄÌ ½ Ü Ý ÓÑÔ Ö Ü Ý Ì ½ ½ Ñ Ü Ü Ý ¾¼ Ü Ý Ý ¾½ ÓØ ÖÛ Ü ¾¾ Ñ Ò Ü Ý ¾ Ü Ý Ü ¾ ÓØ ÖÛ Ý ¼
38 ÍÙ Ò ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ º º ÇÐ ÓØ ÖÑ Ò Ð ØØ Ð Ö Ô ÒØ ÐÙÓ Ò ÃÓÒØ Ø Ð Ø ØÑÒ ÐÙÓ Ò ÝÐÐÙÓ Øº ÅÓÒ Ô Ö ÒØ ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ö Ø Ò µ ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø º ÌÑ ÐÙÓ Ð ÒØ Ò Ø ÝÐÐÙÓ Ò ÙÙ ÐÐ Ñ ØÓ ÐÐ º ÃÓ ÒÑ ÙÙ Ø Ñ ØÓ Ø ÓÚ Ø Ö Ò Ñ Ù Ò Ú Ò Ø Ò Ò ÑÓÒ Ô Ö ÒØ ÓÒ Ý Ò ÖØ Ø º ÌÑ ÐÙÓ ÚÓ ÑÖ Ø ÐÐ ÙÙ ÐÐ Ò ÝÐÐÙÓ Ò Ñ ØÓ ÃÙÒ Ò ÐÙÓ Ò Ñ ØÓ Ø ÑÖ Ø ÐÐÒ ØÝ ÐÐ Ø ÐÓÔÙÐÐ Ø ÐÐÓ Ò ÙÒ Ò Ð ØÝØÒ º º¾µº ½
39 ÃÓÒ ØÖÙ ØÓÖ ÐÙÓ Ø º º º º ÃÓÒ ØÖÙ ØÓÖ ÐÙÓ Ø À ÐÐ Ò ØÝÝÔÔ Ö Ø ÐÑ ÐÐ Ò ÑÝ ÐÐ Ò ØÝÝÔÔ ÐÙÓ ÑÖ ØØ ÐÝÒ º º µ Ó ÑÖ Ø ÐÐÒ Ò ØÓ ØÝÝÔÔ ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ ÐÐ º Ë ÐÐ Ø ØÝÝÔÔ ÐÙÓ ÙØ ÙØ Ò Ò ØÝÝÔÔ µ ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ ÐÙÓ ÓÒ ØÖÙØÓÖ Ð µº ÇØ Ø Ò Ñ Ö ÈÖ ÐÙ Ò ØÝÝÔÔ ÐÙÓ ÅÓÒ º ¾
40 ÃÓÒ ØÖÙ ØÓÖ ÐÙÓ Ø º º ½ Ð ÅÓÒ Ñ Û Ö ¾ µ Ñ ¹ ¹ Ñ µ ¹ Ñ µ Ñ ¹ Ñ ¹ Ñ Ö ØÙÖÒ ¹ Ñ Ð ËØÖ Ò ¹ Ñ ¹¹ Å Ò Ñ Ð ÓÑÔÐ Ø Ò Ø ÓÒ ¹¹ µ Ö ØÙÖÒ Ñ Ñ ¹ ½¼ Ð ÖÖÓÖ ÀÙÓÑ ÐÙÓ ÑÙÙØØÙ Ò Ñ Ô Ñ ØÓ Ò ØÝÝÔ Ë ÓÒ Ò ÐÐ Ó ÐÐ Ó ÒØÝ ØÝÝÔÔ ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ ÙØ Ò Å Ý Ó ØÝÝÔÔ Ö ÙÑ ÒØ Ò º
41 ÃÓÒ ØÖÙ ØÓÖ ÐÙÓ Ø º º ÌÝÝÔÔ ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ ÅÓÒ ÙÙÐÙÙ Ò Ø Ò ÐÙÓ Ò Ò Ø Ò ÅÓÒ Å Ý Û Ö ÂÙ Ø Üµ Ü ÆÓØ Ò ÆÓØ Ò Ö ØÙÖÒ ÂÙ Ø Ð ÆÓØ Ò Ë Ø Ò x f Ø Ö Ó ØØ ÂÓ x = ÂÙ Ø y Ò Ò Ð f y Ó Ø x = ÆÓØ Ò Ò Ò ÚÙÙØ fº ÅÙ Ø ÅÓÒ ÓÚ Ø Ñ Ö Ð Ø Ø µ Ó ÐÐ ÒÑ Ñ ØÓ Ø ÑÙ ØÙØØ Ú Ø ÒÒ ÒÝ Ø Ð Ø º µµ Á»Ç¹ØÓ Ñ ÒÒÓØ µº
42 ÃÓÒ ØÖÙ ØÓÖ ÐÙÓ Ø º º À ÐÐ ¹ Ø Ò Ö ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ ÐÙÓ Ò ÑÙÙØØÙ ÐÐ ÙØ Ò Ø Ñµ ÓÐÐ Ú Ò Ý Ô Ö Ñ ØÖ ÙØ Ò Ø µº Ñ Ö ÖÖ Ý º µ ÓÒ Ò ¾¹Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ò ØÝÝÔÔ ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ ½º Ò ØÝÝÔÔ ¾º ÐØ ØÝÝÔÔ º Ë À Ðг¹ Ø Ò Ö ÓØÙ À ÐÐ Ú Ø Ò ÑÝ ÑÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ Ø ÐÙÓ º
43 ÃÓÒ ØÖÙ ØÓÖ ÐÙÓ Ø º º ÌÝÝÔÔ ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ ÐÐ ÓÒ Ò ÓÑ Ø ØÝÝÔ Ø Ð Ð Ø Ò µ Ø Ú ÐÐ Ø ØÝÝÔ Ø ÓÚ Ø Ð ³ ³ ½¹Ô Ö Ñ ØÖ Ø ØÝÝÔÔ ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ Ø ÙØ Ò Å Ý ÓÚ Ø Ð ¹ ¾¹Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÙØ Ò ÖÖ Ý Ø Ð ¹ ¹ º º º À ÐÐ ÝØØ Ð Ú Ò Ø ÑÙØØ À Ðг À ÐÐ Ú Ø ÑÝ Ò Ò Ö Ó ØØ Ñ Ò Ò ÝÚ Òº
44 ÃÓÒ ØÖÙ ØÓÖ ÐÙÓ Ø º º ÃÝ ÓÒ ØÝÝÔÔ Ö Ø ÐÑÒ ÙÖ Ú ØÖ Ø ÓØ Ó ½º ØÝÝÔÔ ÓÒ Ó Ó ÐÑ ÖÚÓ ÓØ ÓÒ ÐÙÓØÙ Ö Ð ÐÐ ÖÚÓ ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ ÐÐ ¾º ØÝÝÔÔ ÐÙÓ ÓÒ Ó Ó ÐÑ ØÝÝÔÔ ÓØ ÓÒ ÐÙÓØÙ Ö Ð ÐÐ ØÝÝÔÔ ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ ÐÐ º ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ ÐÙÓ ÓÒ Ó Ó ÐÑ Ö Ð ØÝÝÔÔ ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ Ø Ó ÐÐ ÓÒ Ñ Ð º
45 ÅÓÒ Ò Ò Ý ØØ ØÙÐÓ ØÙ ÅÓÒ Ò Ò Ý ØØ ØÙÐÓ ØÙ ÂÓ ÙÖ Ò ÐÙ ½º º µ ÙÓÑ ØØ Ò ØØ Ø Ð ØØÓÑ Ó ÐÑÓ ÒÒ Ý ØØ ØÙÐÓ ØÙ ÓÚ Ø ÓÒ ÐÑ ÐÐ ØÙÐÓ ØÙ ÑÙÙØØ Ý Ø Ö ÔÔÙÙ ÙÐ ÓÑ ÐÑ Ò Ø Ð Ø º ÌÑÒ ÚÙÓ Ñ Ò ØÝØÝÝ ÔÝ ØÝ ÑÖÑÒ Ö ØÝ Ó Ý ØØ ¹ ØÙÐÓ ØÙ ØÓ Ñ ÒÒÓØ Ø Ô ØÙÚ Ø Ó ÐÑ ÑÑ º
46 ÅÓÒ Ò Ò Ý ØØ ØÙÐÓ ØÙ Ö À ÐÐ ¹ Ø Ò Ö Ò Ø ÙÙØÙÙ Ø ÓÐ ÓÚ ÐØ Ó ÓÐ Ñ ÓÐ Ú ØÝÝÔÔ Ö Ø ÐÑ Ö ØÝ Ò ÑÖÑ Ò Ç Ú ÐÐÙ Ò Ø Ò ÓÐ Ø Ô ÓÐÐ ØÙØ Ù Ò Ó ÅÓ ÓÚ Ð ½ ¼¹ÐÙÚÙÒ ÐÓÔÙÐØ Ð Ò Ø ÓÖ Ø ÓÖ Ò º º µ Ö ÒÒ ØØ Ò Ñ ÐØ ÑÓÒ ØÖ Ø Ò Ð ØØ ÚÙÙ Ò ØÙØ ÑÙ Òº Ë Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ú ØØ Ò ØØ Á»Ç ÚÓ Ò Ñ ÐÐ ÒØ ÓÔ Ú Ò Ø Ô Ù Ò ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ ÐÙÓ Ø ÅÓÒ º º µº Ë ØØ ÑÑ Ò ÙÓÑ ØØ Ò ØØ ÑÓÒ Ø ÑÙÙØ Ò Ø ÓÚ Ø Ò Ñ Ò ÐÙÓ Ò Ö Ø Ô Ù º ÍÙ Ó Ø Ð Ý ØÒ Ý º º º
47 ÅÓÒ Ò Ò Ý ØØ ØÙÐÓ ØÙ ÍÐ ÓÑ ÐÑ Ò Ø Ð ÓÒ Ô ÐÓ À ÐÐ¹Ó ÐÑ ÐØ Ë Ò Ø ØÝÝÔÔ ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ ÁÇ t ÙØ Ò Å Ý ¹ Ñ Ö Ø ØØ Ò ÆÓØ Ò º Ç ÐÑ ÚÓ ÝØØ Á»Ç¹ØÓ Ñ ÒØÓ Ø ÓÒ µ ÙØ Ò ÔÖ ÒØ Ë ÓÛ ¹ ÁÇ µ Ö ÄÒ Ê ÁÇ ÌÓ Ñ ÒÒÓÒ ØÝÝÔÔ ÓÒ ÁÇ u Ó u ÓÒ Ò Ú Ø Ù ØÝÝÔÔ ÌÙÐÓ ØÙ ÙØ Ò ÔÖ ÒØ x ÓÒ ØÓ Ñ ÒØÓ ØÙÐÓ Ø ÖÚÓÒ x Ñ Ö ÓÒÓ ØÝ Ú Ó Ò Ú Ò Ø ÓÙص º º½µº ËÝ ØØ ÙØ Ò Ö ÄÒ ÁÒØ ÓÒ ØÓ Ñ ÒØÓ ÐÙ ÙÖ Ú Ö Ú Ú Ó Ò Ú Ø Ø Òµ Ó ÓÒ ÐÙ ÙÒ º ¼
48 ÅÓÒ Ò Ò Ý ØØ ØÙÐÓ ØÙ ÅÓÒ ÓÔ Ö Ø Ó µ Ð ØØ Ò Ø ØÓ Ñ ÒØÓ Ô Ö Ò Ö ÄÒ Ü ¹ ÔÖ ÒØ Ü ½µµ ÓÒ ÓÑÔ ØÓ Ñ ÒØÓ ØÝÝÔÔ ÁÇ µµ Ó ½º Ò Ò ÐÙ Ö Ú Ò Ó ÓÒ ÐÙ ÙÒ ¾º ØØ Ò Ð ØØ ÐÙ Ñ Ò ÐÙÚÙÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ü Ú Ø ØØ Ú Ý ÐÐ ØÙÐÓ Ø ØØ Ú º Ë Ø Ò Ý ØØ ØÙÐÓ ØÙ Ø Ø Ú À ÐÐ¹Ó ÐÑ ÓÒ Ð Ö Ø Ú Ø ÓØØ Ò Ú Ò ÑÖ ØØ ÐÝ Ñ Ú ÐÐ Á»Ç¹ØÓ Ñ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ÙÓÖ ØÙ Ø ÙÓÖ ØÙ Ò ØÙÐÓ ½
49 ÅÓÒ Ò Ò Ý ØØ ØÙÐÓ ØÙ ËÝÒ ÖÓÒÓ ÒÒ Ò Ý Ò ØÓ Ñ ÒÒÓÒ ÐÐ Ó Ø ÁÇ ØÙÐÓ ØÙ Ô Ð Ñ Ò Ú Ø ÙÒ ÙÐ ÓÑ ÐÑ Ò Ø Ð Ò ÓØ ÑÙÓ Ø ÓØ Ò Ò Ô Ø Ó ÓØØ ÙÒÒ Ý ØØ Ò ÐÙ Ñ Ò Ò ÓÒ ÐÓÔ ØØ ÒÙØ Ñ Ò Ð ÙØ Ð Ò ÑÙÓ Ñ Òº ÒØ Ò Ö ØÓ Ñ ÒÒÓÒ ÚÐ ÐÐ Ä ÙÓÖ ØÙ ØØ ÐÓÑ ØØ Ò ÒÒ Ú Ó ÐÑ ÙÓÖ Ø ØØ Ö ÒÒ Òº ÒÓ ÙÓÖ Ø ØØ Ú ØÓ Ñ ÒØÓ ÓÒ ÔÐ Ù º½µº ÓÐ ØÙÖÚ ÐÐ Ø µ ÙÒ Ø ÓØ ØÝÝÔÔ ÁÇ a ¹ a Ó ÔÝ ØÝ ÙÓÖ ØØ Ñ Ò ÓÒ Ò ØÓ Ò ØÓ Ñ ÒÒÓÒº ¾
50 ÅÓÒ Ò Ò Ý ØØ ØÙÐÓ ØÙ Æ Ò À ÐÐ¹Ó ÐÑ ÙØÙÙ Ø Ò Ó Ò ÍÐ ÓÑ ÐÑ Ò Ò ÓÑÑÙÒ Ó Ú Ó ÓÓ ØÙÙ Ò Ø ÙÒ Ø Ó Ø Ó Ò ØÙÐÓ ØÝÝÔÔ ÓÒ Ó Ò ÁÇ a Ó Ø ÙØ ÙØ Ò ÔÐ Ù Ø ØÓ Ø Ò ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÙØØ º ÈÙ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò Ó Ò ÖÖÝØÒ Ø ÙØ ÙÑ ÐÐ ÙÒ Ø ÓØ ÓÒ ØÙÐÓ ØÝÝÔÔ ÓÒ Ó Ò ÑÙÙ Ó Ô Ð ÙØØ Ò ØÝÔÔ Ò ØÙÐÓ Ò ÙÐ ÓÑ ÐÑ Ò Ò ÓÑÑÙÒ Ó Ú Ò Ó Ò ÝØØ Ò Ñ Ö ØÙÐÓ Ø ØØ Ú µº
51 ÅÓÒ Ò Ò Ý ØØ ØÙÐÓ ØÙ ÍÐ ÓÑ ÐÑ Ò Ò ÓÑÑÙÒ Ó Ú ÁÇ¹Ó ÙÓÖ Ø Ø Ò ÝØÒÒ Ö Ø Ð Ð ÐØ º À Ðй Ð ÐÐ ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ú Ò Ð ÙÓÖ ØÙ ÁǹÑÓÒ Ø Ð ÐÐ ÙÓÖ ØÙ ÐÐ ÑÙÙØ Ñ ÓÐÐ ÙÙØØ Ù Ò Ø ÙØ Ò Ö º Ñ Ö Ú Ð Ù ÔÙØËØÖÄÒ ÓÛ Ð Ø ØÙÐÓ Ø ØØ Ú Ð Ø ÓÒ Ò ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ ÔÙ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ó Ð Ò Ò Ò Ò Ó Ó ÐØ Ô Ø ÑÙÓ Ó Ø ØÙÐÓ Ø ÒÒ Ò Ù Ò ÙÓÖ ØÙ ÚÓ Ø ÙÖ Ú Ò ÙÐ ÓÑ ÐÑ Ò Ò ÓÑÑÙÒ Ó Ú Ò Ó Ò Ð Òº
52 ÈÐ Ù º½ º½ ÈÐ Ù Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ò ÑÑ Ø ÖØ ØÐÐ ÙÖ ÐÐ µ À ÐÐ¹Ó ÐÑ Ó ØÓ Ñ Ø Ò Ø ÒÒ ØØÝÒ ØÙÐ Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ø ÖÚ Ø Ó Ò Ó Ø ÙÓÖ ØÙ Ð º ÌÑ Ó Ø ÓÒ ÔÐ Ù Ñ Ò ÁÇ µ
53 ÈÐ Ù º½ ÈÐ Ù ÓÒ Á»Ç¹ØÓ Ñ ÒØÓ ÓÒ Ú Ø Ù ÖÚÓ ÓÒ µ ÓÒ ÚÓ ÐÐ ØØ ÑÒ ØØ ÙÓÑ ÓØØ º À ÒØ À ÐÐ¹Ó ÐÑ Ò ÓÑ ÒÒÓÐÐ ¹¹Ñ Ø Ó ØÓ Ø Ó ØÓº ÓÒ Ð ÓÓ Ø Ó ØÓ Ó ÐØ ÔÐ Ù Ò Ñ Ò Ú Ð Ø Ñ ÐÐ ¹¹Ñ ÒØ Ð ØØ Ø Ø Ø Ó ØÓ Ø Ð Ò Ó ÐÑ Ò Ø ÖÚ Ø Ñ Ø ÑÓ ÙÙÐ Ø µ ÒØ Ú Ò Ò Ó Ø ÓÒ ÑÙÙØ ØØÙ ØØ Ò ÐÐ Ò ÒÒ Òº
54 ÁÑÔ Ö Ø Ú Ò Ò Ñ Ò Ð º¾ º¾ ÁÑÔ Ö Ø Ú Ò Ò Ñ Ò Ð À ÐÐ Ò Á»Ç¹Ó ÐÑÓ ÒØ ÓÒ Ô Ö ØØ ØÓ Ñ ÒØÓ Ò Ý Ø Ð Ñ Ø Ô Ö Ò ÑÓÒ ÓÔ Ö Ø ÓÐÐ µº ÃÓ ØÑ ÒÓØ Ø Ó ØÙÐ ÒÓÔ Ø Ú Ö Ò ÑÙØ Ò Ò Ð Ò ÓÒ Ð ØØÝ ÓÑ ÝÒØ ÓÐÐ ÓÒ ÐÙÓÒØ Ú ÐÑ Ø ØÑ Òµ ÑÔ Ö Ø Ú Ø Ø Ò Ú Ó ÐÑ Ò Ó º ÁÒØÙ Ø Ú Ø ØÑ ÒÓØ Ø Ó Ð À Ðй Ð Ò Ò Ô Ò Ò Ô Ö ÒØ Ò Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Òº
55 ÁÑÔ Ö Ø Ú Ò Ò Ñ Ò Ð º¾ ÌÑ ÝÒØ ÓÒ ÑÙÓØÓ Ó ÓÑ ÒØÓ 1 ÓÑ ÒØÓ 2 º ÓÑ ÒØÓ k Ë Ò ÙÓÖ ØÙ ÓÒ ØÙØØÙ ½º Ò ÑÑ Ò Ò ÓÑ ÒØÓ 1 ÙÐ ÓÑ ÐÑ Ò Ð ÙØ Ð Ò ÑÙÓ Ø ØÐÐ Á»Ç¹ØÓ Ñ ÒÒÓÐÐ º ¾º ÌÓ Ò Ò ÓÑ ÒØÓ 2 ØÑÒ ÑÙÓ ØÙÒ Ø Ð Ò ÑÙÓ Ø ÐÐ Ò ØÐÐ Á»Ç¹ØÓ Ñ ÒÒÓÐÐ º º º º º
56 ÁÑÔ Ö Ø Ú Ò Ò Ñ Ò Ð º¾ ½ ¾ ÑÓ ÙÐ Å Ò Û Ö ÑÔÓÖØ ÁÇ ÑÔÓÖØ Ì Ø Ñ Ò ÁÇ µ Ñ Ò Ó Ö Ú ¹ Ö ÄÒ Ö Ú ½ Ø Ò Ö ØÙÖÒ µ ½¼ ½½ Ð Ó ÔÙØËØÖÄÒ ØÙÐÓ Ø Ò Ø Ø Ö Ú Ñ Ò ÙÒ Ø Ó Ì ØºØ Ø Ô Ð ÙØØ Ñ Ò ÐÙÚÙÒ Ð ÙÐÙ ÙØ Ø Ð Ø Ò º Ì ØºØÙÐÓ Ø Ò ÑÙÙÒØ Ø Ð Ø Ò Ñ Ö ÓÒÓ º
57 ÁÑÔ Ö Ø Ú Ò Ò Ñ Ò Ð º¾ ½ ÑÓ ÙÐ Ì Ø Û Ö ¾ ÑÔÓÖØ Ö ØÓ Ø Ò ÑÔÓÖØ Ä Ø ½¼ ½½ ½¾ Ø Ø Ø Ø³ Ð ÙÐÙÚÙØ Û Ö Ø Ø³ ½ Ø Ø³ Ô³ Ô Ô µ Ò Ö ¼ Ô Ø Ø³ Ô³ Õ ÓØ ÖÛ ½ Ø Ø³ Ô Ò ½ Û Ö Õ Öµ ½ Ò ÕÙÓØÊ Ñ Ô ½ ½ ½ ½ ØÙÐÓ Ø Ò ÁÒØ ¹ ËØÖ Ò ØÙÐÓ Ø Ò ÓÒ Ø º ÒØ Ö Ô Ö º Ñ Ô ÓÛ Ê Ú Ò ½ ØÝÝÔÔ ÑÖ ØØ ÐÝ Ø ÖÚ ØØ Ò ÑÓÒÓÑÓÖ Ñ Ö Ó ØÙ Ò º º¾µ ÚÙÓ º ¼
58 ÁÑÔ Ö Ø Ú Ò Ò Ñ Ò Ð º¾ Ê Ú ÐÐ ÓÒ Ý ØØ ÒÐÙ ÙØÓ Ñ ÒØÓ ÑÙÓØÓ ÑÙÙØØÙ ¹ Ý ØØ ÒÐÙ Ù ÙØ Ù ÃÙØ ÙÒ ØÙÐÓ ØÝÝÔÔ ÓÒ ÁÇ a º º º ÙÒ Ø ÑÙÙØØÙ :: a º º º ÑÙÙØØÙ Ò ÐÙ Ø Ò ÙÖ Ú Ý Ø ÑÙÙÒÒ ØØÙÒ ØÝÝÔÔ Ò a Ò Ê ¹Ñ ØÓ ÐÐ º º½µº ½
59 ÁÑÔ Ö Ø Ú Ò Ò Ñ Ò Ð º¾ ÆÓØ Ø ÓÒ ÑÙÙ Ð Ø ÓÓ Ø Ò Ò Ö ØØÓÖ Ò º µ Ò ÓÒ Ø Ö Ó ØÙ ÐÐ Ø Ä Ø Ò ÙÙÐÙÙ Ñ Ò ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ ÐÙÓ Ò ÅÓÒ º Ë ÑÓ Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÝÝ ØÑÒ Ó¹Ð Ù Ò ÐÓÔÔÙÙÒº ÅÝ Ó¹ÒÓØ Ø Ó ÓÒ Ñ ÒÐ Ò Ò Ð Ø Ù Ò Ð Ø ÓÓ Ø Òº ¾
60 ÁÑÔ Ö Ø Ú Ò Ò Ñ Ò Ð º¾ Ê Ú ÐÐ ½¼ ÓÒ ØÙÐÓ ØÙ ØÓ Ñ ÒØÓ ÙØ ÙØ Ò ØÙÐÓ ØÙ ÙÒ Ø ÓØ º º º ÓÒ ØÙÐÓ ØÝÝÔÔ ÓÒ ÁÇ µº º º ÓÐÐÓ Ò µ ¹ ÚÓ Ò ØØ ØÙÖ Ò ÔÓ º ÌÙÐÓ ØÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ ÓÒ Ñ Ö ÓÒÓ Ó ÔÓ ÑÑ ÐØ Ò Ò ØÙÐÓ Ø ØØ Ú Ò ÖÚÓÒ ØÝÝÔ Ò Ë ÓÛ¹Ñ ØÓ ÐÐ º º½µº
61 ÁÑÔ Ö Ø Ú Ò Ò Ñ Ò Ð º¾ Ê Ú ½½ Ó Ó ØØ ØØ Ó¹ÒÓØ Ø Ó ÚÓ Ú Ø Ø ÑÝ Ö ÙÖ Ú Ø ÙÒ Ø Ó Ò Ó Ò ØÙÐÓ ØÝÝÔÔ ÓÒ Ó Ò ÁÇ aº ÃÝ ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ý ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò Ò ÑÔ Ö Ø Ú Ò Ò Ð Ë ÙÖ Ú Ò Ö ÙÖ Ó ÙØ ÙÒ Ö Ú ÐÐ ÐÙ Ø Ò ÙÖ Ú Ý Ø ÙÙ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ö Ú ÖÚÓ Ô Ú Ø Ø Ú Ò ÑÙÙØØÙ ÙÙ ÐÐ ÖÚÓÐÐ º ÃÙØ Ù ÓÒ Ø Ö ÙÖ Ú Ò Ò º º¾µ ÓØ Ò ØÑ ÔÐ Ù ÚÓ Ø ÐÐ Ñ Ð Ú ÐØ Ò ÑÓÒØ Ý Ø ØØ ØÝØØÑØØ Ò ÐÐ ÑÙ Ø º
62 ÁÑÔ Ö Ø Ú Ò Ò Ñ Ò Ð º¾ Ê Ú ÐÐ ÝØ ØÒ ÑÓÒ Ñ ØÓ Ö ØÙÖÒ ÔØØÑÒ ÔÐ Ù Ò Ö ÙÖ Ó Ô ÐÙÙ ÖÚÓÐÐ µº Ä ÙØ Ò Ö Ú Ø ½½ Ó Ó ØØ Ú Ø Ò Ò Ó¹ÒÓØ Ø Ó ÚÓ ÝØØ ÐÐ À ÐÐ¹Ð Ù Ø Ó Ò ØÙÐÓ ØÝÝÔÔ ÙÙÐÙÙ Ø Ò ÑÓÒ Òº ÌÑÒ ¹Ð Ù Ò ÙÑÑ Ò Ò Ö Ò ØÝÝÔÔ ÓÒ ÁÇ µº Ë Ñ Ó Ù Ø Ò Ò Ø Ù Ò ÖÓ Ë Ö Ú ÐÐ ½¼ ØÝØÝÝ ÐÓ ØØ Ù٠ӹР٠º Ê Ú ÐÐ ÓÐ Ô Ó ÐÓ ØØ ÙÙØØ Ó¹Ð Ù ØØ Ó Ó ÒÓ ÓÑ ÒØÓ ÓÒ Ø º
63 Ì Ó ØÓ Ð Ø Ò º º Ì Ó ØÓ Ð Ø Ò Ó¹ÒÓØ Ø Ó º¾µ Ñ ÓÐÐ Ø Ô Ö ÒØ Ò Á»Ç¹Ó ÐÑÓ ÒÒ Òº Ë ÓÒ Ù Ø Ò Ò ÓÐ ÐÐ Ø Ö Ø Ð Ô ÖÙ Ø Ø ÙÓÖ ØÙ Ø º À ÐÐ Ø Ö Ó ÑÝ Ð Ò Ø Ð ØØÓÑ Ò Ý ØØ Ò ØÙÐÓ ØÙ Ò ØØ ÐÝÒº Ë ÓÚ ÐØÙÙ Ó ÐÑ Ò ÓØ ÐÙ Ú Ø Ý Ø Ø Ø Ø Ó ØÓ Ø ÙØ Ò ÓÐ ØÙ Ý Ø ØØ Ø Òµ ØÙÐÓ Ø Ú Ø ØÓ Ò ÙØ Ò ÓÐ ØÙ ØÙÐÓ Ø Ò Ø ÓÙصº
64 Ì Ó ØÓ Ð Ø Ò º Á»Ç¹ØÓ Ñ ÒØÓ Ñ Ö ÓÒÓ ¹ Ø ÓÒØ ÒØ ØØ Ð Ø Ò Ñ Ö ÓÒÓ ÐÐ Ó Ó ÓÐ ØÙ Ý ØØ Òº ËÝ Ø ØØ Ù Ø Ò Ò ÐÙ Ø Ò Ð Ø Ú Ò Ø ÑÙ Ù Ò Ó ÐÑ Ø Ò Ð Ø ÐÐ Ñ Ö ÓÒÓº ÌÑ Ð Ø ÔØØÝÝ Ú Ø Ú Ò Ý Ø Ø Ó ØÓÒ ÐÓÔÙ ÍÆÁ ÌÊĹ Ï Ò ÓÛ ÌÊĹ޵º ÂÓ Ø Ú Ð ÓÐ ÐÓÔÙ ÑÙØØ Ò Ú Ð ÓÐ ÙÙ Ñ Ö Ó ÐÑ Ò ÐÙ ØØ Ú Ò Ò ØÓØ ÙØÙ Ó ÓØØ Ñ Ò ÝØØ ÐØ Ð Ý Ø Øغ
65 Ì Ó ØÓ Ð Ø Ò º ËÝ Ø Ñ Ö ÓÒÓ ÐÙ Ò Ó ÐÑ ÚÓ ØÙÓØØ ØÙÐÓ Ø ØØ Ó Ò ÝÝ ÝØØ ÐÐ Ø Ø ÑÙ ÙÒ Ú ÐÑ ØÙÙº Æ Ò ÚÓ ÑÑ Ö Ó ØØ ÒØ Ö Ø Ú Ò Ò Ó ÐÑ Ò Ò Ù Ò Ò Ý Ø ÓÐ Ø Ú ÐÐ Ò Ò Ð Ø º À ÐÐ Ø Ö Ó Ò Ö ØÓ ÙÒ Ø ÓÒ ÒØ Ö Ø ËØÖ Ò ¹ ËØÖ Ò µ ¹ ÁÇ µ ÓÒ Ö ÙÑ ÒØØ ÓÒ ÝØØ Ò ÒØ Ñ Ý Ø ØÐÐ Ò ØÙÐÓ Ò ÐÐ ÒÝØ ØØÚ ØÙÐÓ Ø º
66 Ì Ó ØÓ Ð Ø Ò º ÌÐÐ Ö ØÓ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ñ Ö Ó ÐÑ ÑÑ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÖ Ú Ø º ÐÐ Ò Ò Ú Ö Ó ÔØØÝ ÙÒ ÝØØ Ò Ý ØØÑ Ö Ú ÓÐ < 1º ÌÑ Ú Ö Ó Ø ÔØØÝÝ ÙÒ Ý Ø ÐÓÔÔÙÙº ½ ¾ ÑÓ ÙÐ Å Ò Û Ö ÑÔÓÖØ ÁÇ ÑÔÓÖØ Ì Ø Ñ Ò ÁÇ µ Ñ Ò ÒØ Ö Ø ÙÒÐ Ò º Ñ Ô ØÙÐÓ Ø Ò º Ø Ø º Ö µ º Ð Ò µ
67 ÈÓ Ù Ø º º ÈÓ Ù Ø À ÐÐ Ø Ö Ó Á»Ç¹Ú Ö Ò ØØ ÐÝÝÒ ÔÓ Ù Ø Ü ÔØ ÓÒ µº Ç ÐÑÓ ÚÓ ÑÖ Ø ÐÐ ÓÑ ÙÙ ÔÓ Ù Ò Ú Ò ÓÒ ÔÖ ØØÚ Ò ÐÐ ÓØ À ÐÐ Ø Ö Ó º ÍÙ ÒÐ Ø Ò ÔÓ Ù Ø Ò ÐÐ Ñ Ò Ò Ö Ó À ÐÐ Ò Ô ÖÙ ØØ Ø ØÓØÝÝÔ Ò Ú ØÓ ÓØ ÙÚ Ø Ò Ó ÓÒ ÙÙ Ò Ó Ò ÑÖ ØØ ÐÝ Ø Ðк Ñ Ö ËÅĹ Ð ÐÐ ÙÙ Ò ÔÓ Ù Ø Ò ÑÖ ØØ ÐÝÒ ÑÙØØ ÐÐ ÔÓ Ù ØÝÝÔ ÓÒ Ò Ô ÖÙ Ø Ú Ø Ö Ð Ò Ò Ù Ò Ø Ú ÐÐ Ø ØÝÝÔ Øº ¼
68 ÈÓ Ù Ø º Æ Ò ÒÒ ÐØ ÑÖ Ø ÐØÝ Ò ÔÓ Ù Ø Ò ÓÙ Ó ÓÒ Ó ÐÑÓ Ú ÖØ Ò ÓÑ ÔÓ Ù Ò ÒÓ Ø Ú Ö ØÓ ÙÒ Ø Ó Ù Ö ÖÖÓÖ ËØÖ Ò ¹ ÁÇ ÖÖÓÖ ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ ÚÓ ÒØ Ú Ö Ø Ð ÒÒ ØØ ÙÚ Ð Ú Ò Ñ Ö ÓÒÓÒº à ØØ Ð ÑØ Ò ÔÓ Ù ÔØØ Ó Ó Ó ÐÑ Ò ÙÓÖ ØÙ Ò Ú Ö ÐÑÓ ØÙ Òµº ½
69 ÈÓ Ù Ø º ÈÓ Ù Ø Ò ØØ ÐÝÝÒ ÓÒ Ö ØÓ ÙÒ Ø Ó Ø ÁÇ ¹ ÁÇ ÖÖÓÖ ¹ ÁÇ µ ¹ ÁÇ ½º Ó ÝÖ ØØ Ø Ò ÑÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ò Ñ Ò Á»Ç¹ØÓ Ñ ÒÒÓÒ ¾º ÑÙØØ ÔÓ Ù Ò ØØÙ Ò Ò ÙØ ÙÙ Ò Ð ÑÑ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ò ØØ Ð ÑÒ Ú Ö Ø Ð ÒØ Òº ÈÓ Ù ÚÓ Ø ÐÐ Ú Ò ÁǹÑÓÒ º ÌÑ ÓÒ Ò Ô ÖÙ Ø ÐØÙ ÓÒ Ò ÔÓ Ù Ø Ò ÝÒØݹ ØØ ÐÝ Ö ØÝ ÓÐ ÒÒ Ø Ö ÐÐ Ò Ò Ø º ¾
ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ
ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º º ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø Ø ¹ÑÖ ØØ ÐÝ º¾µ ÚÓ Ú Ø Ø ÑÝ Ø Ò ÑÖ Ø ÐØÚ Æ Ñ ÒØÝ ÑÝ ³ ³¹Ñ Ö Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ò ÓÐ ÐÐ ØØÝ ØÝÔ ¹ÐÝ ÒØ º½µº ¾ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Å Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ Ý ØØ Ðк Å Ò Ø Ð Ú Ø ÚÙÙ ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Å Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ø Ô Ó Ò Ñ Ñ ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ô ØÙ Ý ØØ Øº ÂÓ Å Ò Ø Ð Ú Ø ÑÙ ÓÒ
ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý
ÈÖÓ Ð Ø Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ñ Ø ÐÐÒ ÔÖÓ Ð Ø Ð ÓÖ ØÑ º ÌÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÖÚ Ø Ò Ø Ø ØÒ ÓÐ Ó ØÙÐÓ Ò ÑÙ Ò Ö Ù ÙØ Òº ÖÓÒ Ô Ø ÖÑ Ò Ñ Ò ÓÒ ØØ ÒÝØ Ø Ö Ø ÐÐ ÖÓ Ú Ò Ð ÒØ ØÓ Ø Ø Ò ÙÙ ÐÐ ÖÚ Ù ÐÐ Ø ÖÚ ØØ º Ä ÓÒ Ö ØØ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ
{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.
Ä Ø ÓÓ Ø Ø º º Ä Ø ÓÓ Ø Ø Å Ø Ñ Ø ÓØ ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ù Ò ÓÙ Ó ÑÔÐ ØØ ÐÐ ÒÓØ Ø ÓÐÐ Ò ÙØ Ò {(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. À ÐÐ Ø Ö Ó Ú Ø Ú Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ØÓ ÐÐ Ò Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÒØ Ò Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ð Ø
Ð ØÖÓÒ Ø Ñ ÙÚÐ Ò Ø Ì ÑÙ Ê ÒØ ¹ Ó À Ð Ò ¾ º ÐÓ ÙÙØ ½ Ë Ò ÙÔ Ò ÝÒÒ Ò Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Å Ù Ö Ø ÐÑØ ¾ ¾º½ ÆÝ Ý Ø Ñ Ù Ö Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º
Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑ Ò Ö ÒÒ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ø ÐРؽ ؾ Ø È Ð Ó ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ö ÒÒ Ì ØÓ ÓÒ Ô Ð Ò ÝØ Ñ Ò ÓÒ Ñ ÐÐ Ó Ø Ò ÙÚ ØØ ÐÐ Ø Ñ ÐÑ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò Ð
ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÇÐ ÓÔÓ Ø Ø ØÓÑ ÐÐ Ø Ø ØÓ ÒÒ Ò ÐÐ ÒØ Ö Ø ÐÑ ÖØÓ ÖÐÙÒ À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ
ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ý ÝÐÐ Ø ØÓÖ ÒØ Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½» Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓØ Ò ÐØ º Å Ø Ò Ô Ð ÓÒ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÙÐÙØØ ØÙÒÒ Ø Ò Ò Á Ä Ø Ò Ð Ò ØÙÒÒ Ø Ú ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ô Ù Ó Ð Ö Øصº Ä Ø Ò
È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»
È Ú Ö Ù ÆÈ Á à РÐÙÓ Ø È ÆÈ ÒÝØØÚØ ØÝ Ò Ö Ð ÐØ Ë ÐÚ Ø È ÆȺ µ È ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ º µ ÆÈ ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ú Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð ÓÒ
Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ØÓÖ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½» ÃÙÖ Ò ÐØ Ø ÐØÙ ÐØ ½ ¾ Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò ÄÙÓ È ÄÙÓ ÆÈ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ ÆȹØÝ ÐÐ ÔÖÓ Ð ÑÓ Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÄÙÓ ÈËÈ Ë Ú Ø Ò Ð Ù Ñ Ö ÈËÈ ¹ØÝ ÐÐ Ø
À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø
Ì ÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì Ó Ø ÐÐÒ ÓÒ ÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ö Ø Ú ÑÙØØ Ó Ò Ö Ø Ù Ú Ø Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ø Ð ØØ Ö Ø Ù ÓÐ ÝØÒÒ ÐÚÓÐÐ Ò Òº Í ÑÑ Ø ÓÐ ØØ Ú Ø ØØ ÆȹØÝ ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÙÑ ØØÓÑ ÒØÖ Ø Ð µ ÑÙØØ ØØ ÓÐ ØÓ Ø ØØÙº
Symmetriatasot. y x. Lämmittimet
Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ ¹ÖÝ ÑĐ» ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó ÅÍÁËÌÁÇ ÆÓ»Ì ÊÅǹ ¹¾¼¼¼ ÔÚÑ ½¼º Ñ Ð ÙÙØ ¾¼¼¼ ÇÌËÁÃÃÇ Ø Ú ÒعØÙÐÓ ÐÑ Ð ØØ Ò ¹Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò ÖØ Ø ØÙØ ØÙÐÓ ÐÑ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ä ÌÁ ̵ ÂÙ Ú Ó Ð ¹ÂÙÙ Ð
ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º
ÂÓ ÒØÓ ½ ½ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ ÐÐ ØÙØÙ ØÙØ Ò Ô ÖÙ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ö ØÝ Ø Ñ Ø Ò ÖÓ ØÙØÙ Ø Ø Ð Ô ÖÙ Ø Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ø À ÐÐ ÓÐÐ ÓÒ Ô Ó Ó ÐÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø º ½ ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ
Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ
Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ Á Å Ö Ò Ò À Ò ½½º º¾¼¼ Ç Ñ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ã Ö Ì ÑÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ
p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2
º ÅÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ö ÒØ Ð Ð ÒØ º½ Â Ø ÙÚÙÙ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø Ù Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÒØ Ð Ð ÒØ ÐÑÔ Ø Ð ÓÒ Ò Ô Ò ÙÒ Ø Ó T(x, y, z.t) ÄÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ÐÑÓ ØØ Ñ Ò ÙÙÒØ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ú ÚÓ Ñ ÑÑ Ò Ù Ò Ð ÐÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ½½ ÃÓÓÖ
el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (
ÈÙÓÐ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ô ÖÙ Ø Ø À Ì Øº ½º È ÖÖ ÔÒ¹ÔÙÓÐ Ó Ð ØÓ Ò Ò Ö ÚÝ Ñ ÐÐ ÙÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÂÓ ÓÒØ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò V 0 Ý ØÐ µ ÃÙÚ Ò ÚÙÐÐ µ Ù ÓÚ ÖØ Ý ØÐ Ø Ô¹ Ò¹ØÝÝÔ Ø Ò Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ö Ø ÓØ Ô¹ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÙÖ
F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾
Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ÐÔ Ð Ú Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÑÓ ÙÐ ¹ Ö Ó ÒØ Ì ÑÓ ÌÙÓÑ Ò Ò À Ð Ò ½º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö Ø ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ
Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç Å ÖØØ Ì Ò Ö ¾ º½º¾¼½½ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ
0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx)
Å ÌȽ ¼ ËÝÑ ÓÐ Ò Ò Ð ÒØ ¾ ÓÔ ½ Ð Ø ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ Ø ÐØ ËÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒÒ Ò ÙÖ ÐÐ ÓÔ Ø Ò Ø ØÓ ÓÒ Ò ÝØØÑ Ø ÔÙÚÐ Ò Ò Ñ Ø Ñ ØØ ÓÒ ÐÑ Ò¹ Ö Ø Ù º ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÒØ Ô ÖÙ Ú ÐÑ Ù Ø ÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒØ Ò Ö Ó ØÙÒ Ò Å Ø Ñ ¹
ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È
ÂÇÆÁ È ÀÄ Å ËÁÆÁÅ ÄÄÁÆÆÍÃË Æ È ÊÍËÌÍÎ ÅÍËÁÁÃÁÆ Ë ÆÌ ËÁ Ã Ò Ø ÒØÝ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ ÃÓÒ Ø ÃÓÔÔ Ò Ò ½½º ØÓÙ Ó ÙÙØ ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ
139/ /11034 = 0.58
ÄÙ Ù ÂÓ ÒØÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÝÒ º½ Ì Ð ØÓÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÐÙÓÒÒ Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÔØØ ÐÝ ØØ Ð Ú ÒØÓ Ò Ú Ø ÐÙ ÔÚ ÖÑÙÙØØ º ÓÐ Ø ØÒ ÐÚ ØØ ØÙÓÐÐ Ø Ø ÚÓ Ò Ø¹ Ø Ñ ØÒ Ø ÑÐÐ Ø Ø Ø Ø ÐРغ Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÓÒ ÓÑ
Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò
Å ÈÙÐ Ò Ò ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÓØ Ò Ò Ò Ø ÒØÙØ ÐÑ ¾ º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù
È ÌÀÇƹÇÀ ÄÅÇÁÆÆÁÆ ËÇÎ ÄÄÍÃËÁ Å ÌÊÁÁËÁÄ Ëà ÆÌ Æ ÌÁÄ ËÌÇÌÁ Ì Ë Æ Â ÆÍÅ ÊÁË Æ Å Ì Å ÌÁÁÃÃ Æ ÄÍÃÁÇÄ ÁËÁÄÄ Ì Ò Ï ÐÐ Ö ¹Ä Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Å ÖÖ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å
d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j
¾º¾º ÁÌÇÁÆÌÁ Ì ÁË Æ Ä Ëà ÅÁÆ Æ ¾ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÌÌÈÈÈÌÄÌÅÈÈ Ò Ù Ø¹Öݹ¹ Ò¹¹¹Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÙ ØØ ÐÓ Ò Ù ØÖÝ d ǫ ÒØ ÖÝ ǫ e ÒÙ ØÖÝ u ǫ ÒØ Ö Ý y s Ò ØÖÝ s ǫ ÒØ Ö ǫ t ÒØÖÝ ǫ e ÒØ Ö Ø ¾º¾ ØÓ ÒØ Ø ÝÝ Ò Ð
ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø
È ÀÌ Ä Ì Ê ÙÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ
Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º
ÂÓ ÒØÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ØØ ÐÝÝÒ Ê¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ ÒÒ Ç Ö Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÐÓ ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º
ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ì ÑÓ Ã ÖÚ ¾º½½º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ ¾º½½º¾¼¼ ½» ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ
A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º
à ÑÖ Ò ÙÙ Ò ÙÒØÓÐ Ò Ò ÓÖ ÓØ ÓÒ ÓÖ ÓÑ Ö Ò Ð Ò ÑÖÝØÝÑ Ò Ò ËÁË ÄÌ ËÁË ÄÌ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ ÌÙØ ÑÙ Ý ÝÑÝ ØÙØ ÐÑ Ò Ö ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÙÒØÓÐ Ò Ñ Ö Ò Ø ËÙÓÑ º º º º º º º º º º º º º
½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¹ØÖ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÒØ Ñ Ð ÚÝÐÐ Â Ó Å ÐÚ Ö À Ð Ò ¾¾º½¼º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø
Ä Æ Ä ÍÃÃÇÆ Æ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ØÓØ Ø Ò Ú Ö Ø Ö Ø ÐÙ ÓÔ ÒØÓ¹ Ñ Ò ØÝ Ò Ú ÙØØ Ú Ò Ø Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÈÄÇÅÁÌ ÝÚ ÝØØÝ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ó ØÓÒ ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ º½½º¾¼¼ º Ì Ö Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ë ÔÔÓ ÈÓ ÓÐ Ò Ò ØÙØ Å ÀÙ ÓÐ
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º
Šع¾º ½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø º½º¾¼¼ Ì Ø ÐÙÒ ÑÙÐÓ ÒØ ÑÔÙÑ Ø ÖÚ Ò Ö Ø ÐÑ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ø Ó ÙÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Â ÒÒ Ä ØÓÒ Ò ¼¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ
Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Ò ÝÚÝÝ Ð ÒØ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ
¾º C A {N A } K N A º A B N B
Ú ÒØ Ò ÐÐ ÒØ ØÓ ÒÒÙ Ø Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ó ÔÙÓÐ Ø ÚÓ Ú Ø Ó¹ Ô Ð Ø Ú Ñ Ø ØÓ ÒØ ØÓ Ò º ÌÐÐ Ò Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ð ØØÝÝ Ù ÑÔ Ò Ø ØÓØÙÖÚ ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ò ÑÑ ¹ Ò Ú Ò ÒÒ Ò Ù Ò Ú Ö Ò Ò Ò ØÓ Ñ ÒØ Ñ Ö Ø Ó
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð
Ý ÒØØ Ð Ø ÒÖ Ð Ø ÒØØ Ì Ò À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò
ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÓØ Ò Ò Ó ÐÑ ØÓØ Ò µ ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ
ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø
ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ìº à ÖÚ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ½» ½½ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì
q(x) = T n (x, x 0 ) p(x) =
ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ ØÙÒ Ô Ø Ò x 0 ÝÑÔÖ ¹ Ø Ö ØØÚÒ Ð Ø Ð Ö ØØÚÒ ÑÓÒØ ÖØ Ø ÙÚ Ø µ Ö ÚÓ ØÙÚ ÅÖ Ø ÐÑ ÎÁÁ ½ ÙÒ Ø ÓÒ f : D f R D f R Ó ÓÒ
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼
ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼ ÌÝ Ò Ó À ÒÒÙ Â ÓÐ ÌÝ Ò Ø ÒÓ Åº Å Ø Ð ÅÓÓ Ð ÑÓÒ ÙÐØØÙÙÖ Ò
A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061
JORMA JOUTSENLAHTI Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä 1990-luvun pitkän matematiikan opiskelijoiden matemaattisen osaamisen ja uskomusten ilmentämänä AKATEEMINEN VÄITÖSKIRJA
ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý
Ä Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÑ Ò Ò Ð Ñ Ô Ð Ò ÚÙÐÐ Î ÐÐ Ã ÒÒÙÒ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø
ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼
Å Ð Ë Ú Ð ÂÓ ÒØÓ Ð Ø ÓÖ Òº ØÖ ÙØ Ú Ø Ð Ø ÔÐÓÑ ØÝ ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ ÁÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ ÐÙÓÒÒÓÒØ
½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1
![½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1](/thumbs/65/53346653.jpg "½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1")
½º º Àǹ ÇÊ ËÁ ù Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ à ÖÔ Ê Ò Ø Ö Ø Ð Ú Ø ÑÝ ÙÒ Ú Ö Ð Ò ÙØÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ú Ö Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ð Ø Ò q ØÙÒÒ Ø ÐÙ Ù ÓÙ Ó Ø Qº Q Ò ÐÙÚÙØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ô Ò Ò Ò Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÎÖÒ Ø ÑÝ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
Ø ÝØØ Ø Ò ØØ Ò ÙÚ Ù ÐÓ Ô ÖÙ Ø Ò Ò Ñ¹ Ö ØØ ÐÝ Û È ØÖ Ä Ò Ö Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó
ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ì ÖÓ ÃÓ Ó Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÌÙÖÙÒ Ð ÓÔ ØÓ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ
a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº
ÄÙ Ù ÐÙ Ø ÂÙ Ä Ö ÂÓÙÒ È Ö ÓÒ Ò ÄÙ ÐÐ ÌÑ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÂÓÙÒ È Ö Ó Ò ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¾¼¼ ÂÙ Ä Ö Ò ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ô ØÑ Ò ÄÙ Ù Ð٠ع ÙÖ Ò ÐÙ ÒØÓ Òº ÅÓÒ Ø Ò Ò Ò Ñ Ø ¹ Ö Ð ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú ÓÒ Ñ ØØ ÐÐ ÐÙ ÒØÓ ÙÖ ÐÐ Ð ÑÙ
1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø
È ÚÓ È Ö Ò Ò Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÓØ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ
Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË Ì ÑÓ Ã ÖÚ º½¾º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË º½¾º¾¼¼ ½» Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ̺ à ÖÚ ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ½» ½ Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò
Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
È Ä Ø Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
(xy)z = x(yz) λx = xλ = x.
ÄÙ Ù ½ ÐÙ ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ ÝØ ØØÚ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Ø ØÓ Ò ØØ Ðݹ Ø Ø Ò Ð ØÓ Ò ÓÔ ÒØÓ ÓÐÐ ÙØÓÑ Ø Øº ÅÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÖ Ú Ò Ð Ø Ò Åº º À ÖÖ ÓÒ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÖÑ Ð Ä Ò Ù Ì ÓÖݺ ÓÒ¹Ï Ð Ý ½ º º º
Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ
Ê ÑÓ È Ø Ò Ò ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ¾ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò
(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).
ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙ Ø ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ØÐ ÐÐ x + 1 = 0 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ó Ó Ò Ö Ð ÐÙ¹ ÚÙÒ ØÓ Ò Ò ÔÓØ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº ÂÓØØ ØÐÐ Ý ØÐ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ù Ñ Ò ØÝØÝÝ Ð ÒØ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ð ÑÐÐ Ò ÙÙ Ð Ó Ñ Ö ØÒ Ø¹ Ø ØÓ Ø
Ì ÓÚ Ö ÓØ Ð Ò Ã ÐÐÙÒ Å Ø Ñ Ø Ò ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ À ØÓÖ ¾ Î Ö ÓØ ÓÖ ¾º½ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÈÓÐÙÒ Ø ÒØ Ù Ò ÒØ Ò ÝÑÔÖ Ø Ô Ð È Ä ÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ ÄÙùØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
k(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x)
Ì ÊÅÇ ÁÂ ÍËËÁÆ ÈÊÇË ËËÁÌ Ê Ê ËËÁÇ Æ Ä ËÁËË Ã Ò Ø ÒØÝ Ç ÝÐ Ø ÒØØ À ÖÖ Ä Ñ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ À ÀÙØØÙÒ Ò ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓØ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ Ì ÊÅÇ ÁÂ Ù Ò ÔÖÓ Ø Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ã Ò Ø ÒØÝ
Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
Ë ÑÓ À Ð Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¼º
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ØÙÖÚ ÐÐ ÙÙ ØØ Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ø Ø Ó ÐÐ ÑÖØÒ ÓÖ ¹ Ò Ø Ó
139/ /11034 = 0.58
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ
Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ð Ò ½½º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼¾ ÂÝÚĐ ÝÐĐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº
Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
ÇÐÐ ¹È ÀÙÓÚ Ð Ò Ò Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ
ÂÝÖ Ä Ò Ò Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½ º ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ
F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
Referenced. Object. StateSet. Node. Geode
ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ¹Ó Ø Ì ÑÓºÌÓ Ú Ò ÒØѺ Ùغ ÌÑ Ó ÙÑ ÒØØ ÓÒ ØÝ Ò Ø Ô Ú Ø ØÒ Ø ÖÔ Ò ÑÙ Òº ½ Ø ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ÇË µ ÓÒ ÇÔ Ò Ä Ò Ô Ö ÒÒ ØØÙ ¹ÙÓ Ö¹ ØÓ Ó ÓÒ Ú Ô Ø Ø Ú Ó ØÓ Ñ ÑÓÒ ÝÑÔÖ Ø º ÇË Ó¹ ÙÑ ÒØÓ ØÙ ÓÜÝ Ò¹Ó Ñ ØÓÒ
Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
Ä ÊÓÔÔÓÒ Ò Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú
λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.
Šع¾º½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø ¾¼¼ ¹¼¾¹½¾ Ì Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ø Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÐÐ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Ä ÙÖ ÂÙ Ò Ã Ò ¼¼ È Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ
Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon
Å Ö ÃÓÑÙ Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon Sähkötekniikan korkeakoulu ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¾º¾º¾¼½ º ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ
f(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ò ² Ö Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø
 ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð
Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÒÒ ¹Ã Ð Ø ÐÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼  ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ
3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ö Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ¹ Ö Ò Ô ÖØÑ Ò Ò ÙÚ Ø Ò Ù Ò Ð Ù Ù Ò Ò Ô Ô Ð Ò µ ÚÙÐÐ Ö Ð Ù Ù Ò Ö Ø ØÓ ÙÐ Ð Ù Ù Ò Ò Ö Ú Ò ÙØØ ÒÒ Ò Ù Ò Ô ÖÖ ØÒ ÖÙÙ ÙÐÐ Ö
º F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒ
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÄÙÓØØ ÑÙ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÒØ ÖÒ Ø¹ ÓÚ ÐÐÙ ÐÐ È Ø Ö Ë ÐÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ÖØ Ð À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ
ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú
ËÍÎÁ ÄÌÁÇ ÈÁÊÃ ÆÅ ÄÄ ¾¼¼ ¾¼¼ Ì È ÀÌÍÆ Á Æ ÄÁÁÃ ÆÆ ¹ ÇÆÆ ÌÌÇÅÍÍÃËÁ Æ Æ Ä ËÇÁÆÌÁ ËÎ ÊÃÃÇÂ Æ ÎÍÄÄ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø Ð ÓÔ ØÓÒÐ ØÓÖ Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ë ÎÇÄ ÁÆ Æ ÇÄÄÁ
y t = X t β + u t, u t NID(0, 1) t = 1, 2,..., n ½µ
ÇÊ Ê ÈÊÇ ÁÌ Â Â ÄÃ È ÄÄǹÇÌÌ ÄÍÆ Å ÄÄÁÆÌ ÅÁÆ Æ Ê Ò ÓÑ Î Ö Ð ½º Ò ÙÙØ ¾¼¼ ËÁË ÄÌ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ¾ ÇÖ Ö ÔÖÓ Ø ¾º½ Å ÐÐ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Â Ð Ô ÐÐÓ¹ÓØØ ÐÙÒ Ò
N = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º
Å Ì ¾¾ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ã ¾¼½¼ ÌÑ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÙÖ ÐØ Ó ÐØ Ä ÃÙÖ ØÙÒ Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ Ò ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ò ÓØ ÒÒ ØØ ÐÙ Ñ Ð Ô ØÓ¹ ØÙ Ò Ð Ý ØÝ Ó Ø º Ë ÐØ ½º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ½º½º ÄÙ Ù Ö Ø ÐÑØ ½º¾º  ÓÐÐ ÙÙ ½º º Ð
arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos
hyväksymispäivä arvosana arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki 12.4.2007 HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET
x (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W =
Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ º Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø Ø Ð ÙÙ Ì ÐÙÚÙ Ø ÑÑ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ø Ô ÒÓÖ Ø Ù Ò Ø Ð ÙÙ Ø Ö Ø ÐÙ¹ ÒÝØ ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö ÐÙÖ Ý Ø Ñ ÐÐ Ô ÐÐ Ò ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò Ó Ó Ð Ø ÝÐ Ô Ò ÓÐ Ú ÐÙÖ º ÂÓ
ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ
ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÀÁ Ì ÊÁÆÌ Ä ËËÁ ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½¼ º Ð Ø º ËÓÚ ÐÐ
Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÖÓ Æ Ñ Ð ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø
x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n
ÇÈÌÁÅÇÁÆÆÁÆ È ÊÍËÌ Ì Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ¾ º ÝÝ ÙÙØ ¾¼¼ ¾ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ØÙØÙ ØÙØØ Ø Ú ÐÐ ÑÔ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ò ÝØØ Ò ÓÚ ÐÐÙØÙ º ÃÙÖ Ñ Ø Ö Ð ÒØÙÙ Ò Ð Ò Ö Ó Òº ÐÙ ÐÝ Ý Ø ÖÖ Ø Ò Ñ ØÖ Ð Ö Ø
P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,
![P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,](/thumbs/73/69584195.jpg "P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,")
ËÁË ÄÌ º º½ º º¾ º º º º Ú Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò
P(E i ) P( ) = 0. P(A A c ) = P(A)+P(A c ) = 1. P( ) = 1 P(Ω) = 0. P(E 1 E n ) = P(E 1 )+ +P(E n ). i=1. i=1
È Ò Ò ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ËÙÑÑ Ò Ò ½ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÖ ¾ ¾º½ Ë ØÙÒÒ ÙÙ ØÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÓÐÐ Ò
F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,
![MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,](/thumbs/102/155669246.jpg "MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,")
ËÁË ÄÌ Ú º º½ Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º
Ä ÖÓ Ò ÒØÝÑ Ò Ò Ù Ø Ð Ó Ò Ô ÐÐÓÒ Ñ ØØ Ú Ë ÖÔ È Ý Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÓÐÓ Ò Ð ØÓ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ Ä ÖÓ Ò Ö ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾
f(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0.
Ú ËÁË ÄÌ ½¾º ËÙ Ø ÐÐ Ø Ò Ó ÙÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º ÇØÓ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½¾º Å Ò Ò ÙÑ Ø Ú Ô ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º º º º º º º º º º
2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. x1 = 2 x 2 = 5. 2 ( 2)+5 = = 3. 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f
Ä Ò Ö Ð Ö Á ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ ØØ Ø Ò Ø Ø Ò Ð ØÓ ¾¼½½ ÂÖÚ ÒÔ Ã Ö Ó ØØ ÒÙØ ÌÙÙÐ Ê Ô ØØ ¾ ½ Ä Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ½½ Ñ Ö µ Ê Ø Ý ØÐ 5x = 7 Ã ÖÖÓØ Ò Ý ØÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÙÚÙÐÐ 5 1 ÓÐÐÓ Ò Ò 5 1 5x = 5 1 7 Ð x =
x α 1... x (v ṽ)φdx = 0
Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ÔØ ÐÐ ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ì ÑÙ ÅÙ ØÓÒ Ò ½ ½ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ñ Ø Ø Ø Ò Ø ÙÒØ Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ À Ò Ñ Ò Ñ Ó Ø ÓÖ Ø Ò Ö Ñ ÐÐ ¾º½ ËÔÓÒØ Ò ÝÑÑ ØÖ Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º½ Ö ØØ ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º
Ë Ó ËÝÑÑ ØÖ Ö Ó Ì Ò ÚÖ Ø ÓÖ Ó Å ØØ À Ò ÑÓ Ñ Ô º ÝÙº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ý Ò Ð ØÓ ½¾º ÀÙ Ø ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ À Ò Ñ Ò Ñ Ó Ø ÓÖ Ø Ò Ö Ñ ÐÐ ¾º½ ËÔÓÒØ Ò ÝÑÑ ØÖ Ö Ó º º º º º º º º º º º º
ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÆÌÌÁ¹ÁÄ ÊÁ È ÊÌ Æ Æ ÁÐÑ ØÓÒÑÙÓ Ù Ñ Ö ÙÓÐ Ò Ø Ó ÐÐ Ú Ù¹ ØÙ Ø Ñ Ö ÐÐ Ò ÙÑ
ÆÌÌÁ¹ÁÄ ÊÁ È ÊÌ Æ Æ ÁÄÅ ËÌÇÆÅÍÇÃà ÍË Å ÊÁËÍÇÄ ÁÆ ÃÌÁÇÁÄÄ Î ÁÃÍÌÍÃË Ì Å Ê ÄÄÁËÁÁÆ ÃÍÅÈÍà ÊÊÇËÈÁÄÎÁÁÆ Â Å È ÄÄÇÆ Ë Ì ÁÄ Ì Ë Ë Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÂÝÖ Å Ð Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ