º A, B E A B E. A B = A B. A k E, k N k=0 A k E. p(b) = m N,

Transkriptio

1 Ì Ð ØÓÑ Ø Ñ Ø Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÇÙÐÙ ÙÐØÝ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý Ú ÓÒ Ó Å Ø Ñ Ø Â ÒÙ ÖÝ ¾¼¼

2 ¾

3 ÔØ Ö ½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ø ½º½ Ë ØÙÒÒ Ó ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ò Ø Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ ØØ Ñ Ø Ñ ØØ Ñ Ò Ø Ð¹ Ñ ÙÚ Ñ Ò Ø Ø Ó Ø Ó Ò ÐÓÔÔÙØÙÐÓ ÓÒ ØÙÒÒ Ò Òº Ìй Ð ØÙÒÒ Ó ÒÒÓ Ø Ñ ÓÐÐ Ø ÙÓØÙ Ø Ø Ô ØÙÑ Ø Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø º Ë Ø Ò ÐÙ Ñ Ò ÓÒ Ø ØØÚ Ò Ò ØØ Ò Ø Ö Ñ Ø Ñ ØØ Ò Ò Ñ ÐÐ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ó Ø ØÒ ÒÒ ÐÐ Ø ÒÓÔÔ º ÆÓÔ Ò¹ ØÓÒ ÐÓÔÔÙØÙÐÓ ÓÒ Ó Ù ÐÙÚÙ Ø {1, 2, 3, 4, 5, 6}º ÆÓÔ Ò ØÓÒ ÐÓÔÔÙØÙ¹ ÐÓ ÚÓ Ò ÙØ Ù Ð Ø Ô ØÙÑ º Æ Ò Ð Ø Ô ØÙÑ Ò ÑÙÓ¹ Ó Ø Ñ ÓÙ Ó ÙØ ÙØ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}º ÅÙØØ Ð Ø Ô ØÙÑ Ò Ð ÚÓ Ò Ø Ö Ø ÐÐ ÑÓÒ ÑÙØ ÑÔ Ø Ô ØÙÑ º Ñ Ö ÒÓÔ Ò ØÓÒ ÐÓÔÔÙØÙÐÓ ÚÓ ÓÐÐ Ô Ö ØÓÒ ÐÙ Ù Ô Ö ÐÐ Ò Ò ÐÙ Ù Ø Ö ÙÙÖ Ù Ò ½ º ÆÑ ÙÓØÙ Ø Ø Ô ØÙÑ Ø ÚÓ Ò ÒØ Ó ÓÙ Ó Ò {1, 3, 5} {2, 4, 6} Ø {2, 3, 4, 5, 6} Ò º ÅÓÒ ÑÙØ ¹ ÑÑ Ø Ø Ô ØÙÑ Ø ÓÚ Ø Ø Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò S Ó ÓÙ Ó º Ì Ö Ó ¹ Ø Ô Ù Ñ ÓÐÐ Ø ÙÓØÙ Ø Ø Ô ØÙÑ Ø ÚÓ Ò ÒØ Ó ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò S Ó ÓÙ Ó Ò ÓÙ ÓÒ Ò º Å Ö ØÒ ØØ S Ò Ó ÓÙ Ó¹ Ò ÓÙ Ó ÝÑ ÓÐ ÐÐ Eº Ä ÝÚ ÝØÒ ØØ ØÝ ÓÙ Ó ÓÒ ÑÝ ÙÓØÙ Ø Ø Ô ØÙÑ Ñ Ø ÒÝØ Ø Ý Ø Ý Ø Ö Ó ØØ Ò Òº Ð Ø Ø Ö Ø Ð ÑÑ ØÙÒÒ Ó ØØ Ó ÓÐ Ø Ø Ò ÚÓ Ø Ú Ò ØÓ Ø Ñ ÒÐ ÓÐÓ Ù Ø Ñ Ð Ú ÐØ Ò ÑÓÒØ ÖØ º Ë ØÙÒÒ Ó ÐÐ ÓÒ Ò ÓÐØ Ú ÐÚ Ø Ú ÒÒÓ Ø Ú ÓÐ Ú ÐÓÔÔÙØÙÐÓ Ó ÐØÝÝ ÒØ Ò ÓÙ ÓÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø Ô ØÙÑ º Ð Ø Ô ØÙÑ Ò ÓÙ Ó ÙØ ÙØ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ S ÓÒ Ó ÓÙ Ó Ø ÑÙÓ Ó ØÙÙ Ø Ô ØÙÑ Ý Ø Ñ Eº ÇØÓ Ú ÖÙÙ ÚÓ ÓÐÐ Ö ÐÐ Ò Ò ÙØ Ò ÐÐ ÒÓÔ Ò ØØÓ¹ Ñ Ö º

4 À ÈÌ Ê ½º ÌÇ ÆÆ Ã ÁË Æ Ã ËÁÌ ÅÙØØ ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÚÓ ÓÐÐ ÑÝ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ø Ö Ø Òº Ñ Ö ÙÓÖ Ø¹ Ø Ñ ÐÐ ØÙÒÒÒ Ó Ó Ø ØÒ ÝÑÑ ØÖ Øµ ÓÐ Ó Ò Ò Ù Ò ÙÒÒ ØÙÐ Ò ÑÑ Ò Ò ÖÙÙÒÙ ÓØÓ Ú ÖÙÙ S = Nº ÐÐ Ò Ù Ý Ò ÓÒ ÐÑ ØÙÒÒ Ó Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÚÓ ÓÐÐ ÝÐ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ø Ö Ø Ò ÓÙ Ó Ñº S = R n µº Ѻ ½º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú ØÙÒÒ Ó Ø º ÅÖ Ù Ò Ø Ô Ù ¹ ÓØÓ Ú ÖÙÙ º µ À Ø ØÒ ÓÐ Ó ÖØ º µ À Ø ØÒ ÒÓÔÔ ÖØ º µ À Ø ØÒ ÒÓÔÔ ÙÒÒ Ò Ò ÑÑ Ò Ò ³ ÖÙÙÒÙ³º Ê Ø º µ ÇØÓ Ú ÖÙÙ ÓÒ S = {HH, HT, TH, TT} Ñ H = ØØÙ ÖÙÙÒÙ T = ØØÙ Ð Ú º µ ÇØÓ Ú ÖÙÙ S = {(i, j) 1 i, j 6}º µ ÆÓÔ Ò ØÓÒ Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ø ÓÚ Ø {H, TH, TTH, TTTH,... }º ÂÓØ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÚÓ Ò Ñ Ø ¹Ò Ø Ú Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ S = N Ò º ½º¾ ÂÓÙ Ó¹ÓÔÔ ÂÓÙ Ó Ñ Ö ØÒ Ó ÐÐ Ö Ñ ÐÐ A, B, C,..., S Ò Ò Ð ÓØ Ô Ò ÐÐ Ö Ñ ÐÐ º Â Ø Ó ÓÐ Ø Ø Ò ØØ ÓÙ ÓØ ÐØÝÚØ ÒØ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙØ Ò Sº ÂÓÙ ÓÒ A ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ ÓØÓ Ú ÖÙÙ S Ñ Ö ØÒ A = S \ Aº Ë ÓÓ ¹ ØÙÙ Ò Ø S Ò Ð Ó Ø ÓØ ÚØ ÙÙÐÙ ÓÙ ÓÓÒ Aº ÂÓÙ Ó Ò A B Ý Ø A B ÓÒ Ò Ò S Ò Ð Ó Ò ÓÙ Ó ÓØ ÙÙÐÙÚ Ø Ò Ò ØÓ Ò ÓÙ Ó Ø A Bº ÂÓÙ Ó Ò A B Ð Ù ÓÙ Ó A B ÓÒ Ò Ò Ð Ó Ò ÓÙ Ó Ð¹ ØÝÚØ ÙÑÔ Ò Ò ÓÙ Ó Ø A Bº ÇÐ ÓÓÒ S ØÙÒÒ Ó Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ E = {, A A S} ØÙÒ¹ Ò Ó Ò Ø Ô ØÙÑ Ý Ø Ñ º ¹ØÝ Ò ÓÙ ÓÒ S Ø Ô ØÙÑ Ý Ø Ñ ÓÒ ÓÓÐ Ò Ð Ö ½º, S E

5 ½º º ÃÄ ËËÁÆ Æ ÌÇ ÆÆ Ã ÁË Ë ¾º A E A E º A, B E A B E º A, B E A B E. ÅÓÖ Ò Ò Ú Ø Ë ÙÖ Ú Ø ÒÒ Ø ÓÚ Ø Ú Ö Ò Ý ÝÐÐ A B = A B A B = A B σ¹ Ð Ö ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ ÓÙ ÙØ Ò Ù Ò Ð Ñ Ò ØÓ¹ ÒÒ ÝÝ ÓÙ Ó ÐÐ ÓØ ÓÚ Ø Ñ Ö Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ Ó ¹ ÓÙ Ó º ÌÐÐ Ø ÓÙ ÓØ ÓÚ Ø Ù Ò ÝÚ Ò ÓÑÔÐ Ó ØÙ Ò Ò ÓÒ¹ ØÖÙÓ Ñ Ò Ò Ý Ò ÖØ Ø Ò ÚÐ Ò Ö ÐÐ Ò Ý Ø Ò Ð Ù Ò Ñ ¹ ÓØÓÒØ º ÄÙ Ñ ÐÐ ÑÙ Ò ÑÝ Ö ØØ ÑØ Ý Ø Ø Ð Ù Ø Ò Ð ¹ ÑÔ ÓÙ Ó Ý Ø Ñ Ðº σ¹ Ð Ö º ÂÓÙ Ó Ý Ø Ñ E ÓÒ σ¹ Ð Ö Ó ÓÒ ÓÓÐ Ò Ð Ö Ð ØÝØØ ÓÒ A k E, k N k=0 A k E. ÇÐ Ø Ø Ò Ø Ó ØÙÒÒ Ó Ò Ø Ô ØÙÑ Ý Ø Ñ ÓÒ σ¹ Ð Ö º ¹ Ö ÐÐ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ø Ô ØÙÑ Ý Ø Ñ ÓÒ Ò ÙØÓÑ ØØ Ø σ¹ Ð Ö ÐÐ Ó ÓÙ Ó Ò ÓÙ Ó Ò ÓÒ Ö ÐÐ Ò Òº ½º ÃÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÃÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÝÐ Ò ÓÒ Ö ÐÐ Ò Òº ÂÓØ Ò Ø¹ ÙÒÒ Ó Ò Ð Ø Ô ØÙÑ Ø ÚÓ Ò ÒÙÑ ÖÓ S = {e 1,...,e N }º Ä ÓÐ Ø Ø Ò ØØ Ó Ò Ò Ð Ø Ô ØÙÑ ÓÒ Ý Ø ØÓ ÒÒ Ò Ò p(e i ) = 1 N º ÌÐÐ Ú Ð ÒÒ ÐÐ Ú ÖÑ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò Ðº S Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ p(s) = 1º ÂÓ B ÓÒ ØÙÒÒ Ó Ò Ó Ò Ø Ô ØÙÑ Ò Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ p(b) = m N, Ñ m = #(B) ÓÒ ÓÙ ÓÒ B Ð Ó Ò ÐÙ ÙÑÖº ÃÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÖÑ ÓÙ ÙØ Ò Ú Ö Ò Ù Ò Ð ¹ Ñ Ò Ö Ð Ø Ò ÓÑ Ò Ø Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ º

6 À ÈÌ Ê ½º ÌÇ ÆÆ Ã ÁË Æ Ã ËÁÌ È ÖÑÙØ Ø Ó È ÖÑÙØ Ø Ó ÓÒ Ö ÐÐ Ò ÓÙ ÓÒ W = {w 1, w 2,...,w n } Ó Ù Ö ØÝ º Æ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ Ò¹ ÖØÓÑ Ðº n! = n. ÂÖ Ø ØØÝ ÖØ ÓØÓ ÂÖ Ø ØÝ ÖØ ÓØÓ Ó Ó ÔÓ Ñ Ø Ò ÓÙ¹ Ó Ø W = {w 1, w 2, w 3,...,w n } k ÔÔ Ð ØØ Ð Ó Ø Ø ØÝ Ö ØÝ º ÌÐÐ Ò Ñ Ö ÓØÓ Ø w 3 w 2 w 1 w 1 w 2 w 3 ØÙÐ Ø Ò Ö ÓØÓ º ÂÖ¹ Ø ØØÝ Ò ÖØ ÓØÓ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ n! k! = n (n 1) (n k + 1). ÂÖ ØÑØ Ò ÖØ ÓØÓ ÂÖ ØÑØØ Ñ ÖØ ÓØÓ Ó Ó ÓÙ¹ Ó Ø W ÔÓ Ñ ØØÙ Ò Ð Ó Ò Ò ÐÐ Ö ØÝ ÐÐ ÓÐ ÚÐ º Æ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ÒÓÑ ÖÖÓ Ò ( ) n n! = k k!(n k)!. ÓÑ ØÖ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ë ØÙÒÒ Ó Ø ØÒ Ø Ñ Ð Ø ÙÐÙÙÒ Ó ÓÓ ØÙÙ Ý Ø Ø Ö Ò Ø ÐÐ ÓÐ Ú Ø ÝÑÔÝÖ Øº Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ø Ô Ù ¹ Ø Ó Ø Ò ØØÓ ÓÒ ØÝ Ò ØÙÒÒ Ò Ò Ø Ô ØÙÑ Ó ÓÒ Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ Ó Ò ÙÓÖ ØØ Ò ÒØ Ó Ø ÐÑ Ú ÖØ Ù Ø Ò ºº Ì Ô ØÙÑ Ø Ó Ø ÓÐ ÑÑ ÒÒÓ ØÙÒ Ø ÓÚ Ø ÙÖ Ú ÒÐ Ø Ç ÙÑ ¹ Ó Ø ÓÒ Ó Ù Ö Ò Ø Ñ Ð Ø ÙÐÙ Sº ÌÐÐ Ò Ø Ô ØÙÑ Ý Ø Ñ Ò ÙÓ¹ ØÙ Ø Ø Ô ØÙÑ Ø A ÓÚ Ø Ñ Ð Ø ÙÐÙÒ Ñ Ø ÐÐ µ Ó ÓÙ Ó º ÇÒ ÐÙÓÒ¹ ÒÓÐÐ Ø ÓÐ ØØ ØØ ØÐÐ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ Ú ÖÖ ÒÒÓÐÐ ¹ Ò Ò ÓÙ ÓÒ A Ô ÒØ ¹ Ð Òº ÆÓÖÑ ØØ Ñ ÐÐ Ú ÖÑ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò A ³Ø Ó ÙÙ Ñ Ð Ø ÙÐÙÙÒ³ Sµ ØÓ ÒÒ ÝÝ P(S) = 1 Ò Ó ÙÑ ØÓ¹ ÒÒ ÝÝ ÓÙ ÓÓÒ A P(A) = m(a) m(s), Ñ m(a) ÓÒ ÓÙ ÓÒ Ô ÒØ ¹ Ð º ÌÓ ÒÒ ÝÝØØ Ó ÓÒ Ú ÖÖ ÒÒÓÐÐ Ò Ò Ø Ö Ø ÐØ Ú Ò Ø Ô ØÙÑ Ò Ó¹ Ñ ØÖ Ò Ô ØÙÙØ Ò Ô ÒØ ¹ Ð Ò Ø Ø Ð ÚÙÙØ Ò ÙØ ÙØ Ò ÓÑ ØÖ ØÓ ÒÒ Ý º Ë Ò ÒÓÙ ØØ Ø Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ º

7 ½º º ÌÇ ÆÆ Ã ÁË ËÄ Ëà ÆÆ Æ ÃËÁÇÅ Ì ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ò ÓÑ Ø ÇÐ Ø Ø Ò ØØ S ÓÒ ØÙÒÒ Ó Ò Ð ØØÝÚ ÓØÓ Ú ÖÙÙ E Ø Ô ØÙ¹ Ñ Ý Ø Ñ º ÅÖº ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ P ÓÒ ÓÙ Ó ÙÒ Ø Ó Ø Ô ØÙÑ Ý Ø Ñ ÐØ Ö Ð ¹ ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÓÒ ØÓØ ÙØØ Ò ÙÖ Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ã ÐÐ Ø Ô ØÙÑ Ý ¹ Ø Ñ Ò Ð Ó ÐÐ A, B µ 0 P(A) 1 µ P(S) = 1 µ P(A B) = P(A) + P(B) ÙÒ A B = º ÃÓÐÑ Ó {S, E, P } ÙØ ÙØ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ú ÖÙÙ º ËÙÓÖ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÙÖ Ä Ù ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ Ø ÐÐ Ð ¹ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ µ P(A) = 1 P(A) µ P( ) = 0 µ ÂÓ Ø Ô ØÙÑ Ø {A i, A 2,...,A n } ÓÚ Ø ØÓ Ò ÔÓ ÙÐ Ú Ø º Ò Ò A i A j =, ÙÒ i j, P(A 1 A 2 A n = P(A 1 ) + P(A 2 ) + P(A 3 ) + + P(A n ); Úµ Ò ÙÒ A B Ò Ò P(A) P(B) Úµ P(A B) = P(A) P(A B)º ÌÓ º µ ÂÓÙ Ó Ò A A Ð Ù ÓÒ ØÝ ÓÙ Ó Ò Ò Ý Ø ÓÒ Ó Ó ÓØÓ Ú ÖÙÙ º ÌÐÐ Ò ÙÓÖ Ò ÓÑ Ò µ ÒÓ ÐÐ P(S) = P(A A) = P(A) + P(A) = 1, Ó Ø Ò Ú ØØÑ P(A) = 1 P(A)º

8 À ÈÌ Ê ½º ÌÇ ÆÆ Ã ÁË Æ Ã ËÁÌ µ ÃÓ S Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ S = Ò Ò ÐÐ Ò Ó Ò ÒÓ ÐÐ 1 = P(S) = 1 P( )º ÌÑÒ ÒÓ ÐÐ P( ) = 0º µ ÌÑ Ú ØØÑ Ò Ò Ù Ø ÓÐÐ ÓÑ Ø µº Úµ ÂÓÙ Ó B = A (B A Ñ A (B A) = º Æ Ò ÓÐÐ Ò ÓÑ Ò µ µ ÒÓ ÐÐ P(B) = P(A) + P(B A) P(A). Úµ ÂÓÙ Ó ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Ö ÐÐ Ø Ò ÓÙ Ó Ò Ý Ø Ò ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ A = (A B) (A B), P(A) = P(A B) + P(A B) P(A B) = P(A) P(A B).

9 ÔØ Ö ¾ ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ¾º½ ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÇÐ ÓÓÒ Ø Ó S ØÙÒÒ Ó Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ E Ò Ø Ô ØÙÑ Ý Ø Ñ P ØÓ ÒÒ ÝÝ º ÅÖº ¾º ÇÐ ÓÓÒ A B Ø Ô ØÙÑ Ñ P(B) > 0º Ì Ô ØÙÑ Ò A ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÐÐ B ÓÒ P(A B) = P(A B). P(B) ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÓÒ B Ø Ô ØÙÑ Ý Ø Ñ Ò E B = {A B A E}º ÓÐÐ ÐÐ ØÓ Ò ÝÝ ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ ½º 0 P(A B) 1 ¾º P(B B) = 1 º P(A 1 A 2 B) = P(A 1 B) + P(A 2 B) ÙÒ A 1 A 2 B = º ÀÙÓÑ Ì Ô ØÙÑ Ò A, A 2 Ð Ù ÓÙ Ó ÚÓ ÓÐÐ ÔØÝ ÑÙØØ ÐØ A 1 A 2 B = º ÓÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð Ò¹ Ò Ò ÖØÓ ÒØ P(A B) = P(B)P(A B), ÙÒ P(B) > 0 P(A B) = P(A)P(B A), ÙÒ P(A) > 0 ÌÝ ÐÐ ÐÐ Ò Ù Ø ÓÐÐ ÚÓ Ò ØÓ Ø

10 ½¼ À ÈÌ Ê ¾º À ÇÄÄÁÆ Æ ÌÇ ÆÆ Ã ÁË Ë Ä Ù ¾º ÇÐ ÓÓØ A 1, A 2,...,A n E Ø Ò ØØ P(A 1 A n ) > 0 ÌÐÐ Ò ÓÒ ÚÓ Ñ P(A 1 A 2 A n ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 1 A 2 ) P(A n A 1 A n ). ¾º¾ ÃÓ ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÇÐ ÓÓÒ Ø Ô ØÙÑ Ø A 1, A 2,...,A n ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò S Ó ØÙ Ø º A i A j =, i j A 1 A 2 A 3 A n = S. ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ø Ô ØÙÑ Ø ÓÚ Ø Ñ ÓÐÐ P(A i ) > 0, i = 1,...,nº Å Ð ¹ Ú ÐØ ÐÐ Ø Ô ØÙÑ ÐÐ B ÓÐÐ P(B) > 0 (A 1 B) (A 2 B) (A n B) = B. ÃÓ Ø Ô ØÙÑ Ø A i B ÓÚ Ø Ô Ø Ú Ö Ø Ò Ò P(B) = P(A 1 B) + + P(A n B). ÌÓ ÐØ ÖØÓÐ Ù ÒÒ Ò ÒÓ ÐÐ ÐÐ i = 1, 2,..., n P(A i B) = P(B A i )P(A i ). Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø Ô ØÙÑ Ò B ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ð Ù Ò Ò Ò º Ó ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ú P(B) = n P(B A i )P(A i ). ¾º Ý ³Ò Ú Ì Ô ØÙÑ ÐÐ A B ÓÒ ÚÓ Ñ ÖØÓÐ Ù ÒÒ Ò ÒÓ ÐÐ ÙÒ Ò P(A), P(B) > 0º P(A B) = P(B A)P(A), P(B)

11 ¾º º ÊÁÁÈÈÍÅ ÌÌÇÅÍÍË ½½ ÇÐ ÓÓÒ ØØ Ò ØØ {A 1, A 2,...,A n } ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ò Ó ØÙ º ÃÓ ÓÒ ØÓ¹ Ò ÝÝ Ú Ò ÒÓ ÐÐ P(B) = n P(B A i )P(A i ), P(A i ) > 0. à ÖØÓÐ Ù ÒÒ Ò Ó ÓÒ ØÓ Ò ÝÝ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò Ä Ù Ý ³Ò Ú µº P(A j B) = P(B A j )P(A j ) n k=1 P(A k)p(b A k ). ¾º Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ ÅÖº º Ì Ô ØÙÑ Ø A B ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ó P(A B) = P(A)P(B). Ë Ø Ô ØÙÑ Ø ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ó B Ò ÒØÝÑ Ò Ò Ú ÙØ Ø Ô ØÙÑ Ò A ØÓ ÒÒ ÝÝØ Ò P(A B) = P(A)º Ð Ø ÓÒ Ø Ø Ò ÙÖ Ú ÑÖ Ø ÐÑ ÅÖº º ÇÐ ÓÓÒ (S, E, P) ØÓ ÒÒ ÝÝ Ú ÖÙÙ A 1, A 2,...,A n Ø Ô ¹ ØÙÑ º Ë ÒÓØ Ò ØØ Ò ÓÚ Ø Ò Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ó ÐÐ Ò ÓÙ Ó ÐÐ {i 1, i 2,...,i k } {1, 2, 3,..., n} P(A i1 A ik ) = P(A i1 ) P(A ik ). Ì Ô ØÙÑ Ø {A 1, A 2,...,A n } ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ó ¹ ÐÐ i j P(A i A j ) = P(A i )P(A j ). ÀÙÓÑ Ã Ò Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ÑÙØØ Ô ÒÚ ØÓ Òº Ä Ù º Ì Ô ØÙÑ Ø A B ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ó Ú Ò Ó A B ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ º ËØ Ø Ø Ò Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ ÐÐ ÓÐ Ñ ØÒ Ø Ñ Ø ÓÙ Ó¹ÓÔ ÐÐ Ò ÔÓ ÙÐ ÚÙÙ Ò Ò º

12 ½¾ À ÈÌ Ê ¾º À ÇÄÄÁÆ Æ ÌÇ ÆÆ Ã ÁË Ë Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò Ý Ø ÇÐ ÓÓÒ Ø Ô ØÙÑ Ø A 1, A 2,...,A n Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ º ÌÐÐ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò Ò Ò Ý Ø Ô ØÙÑ Ø A i ØØÙÙ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ [ ][ ] [ ] P(A 1 A 2 A n ) = 1 1 P(A 1 ) 1 P(A 2 ) 1 P(A n ). Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò Ó Ò Ý ØÑ Ò Ò ÇÐ ÓÓÒ E 1, E 2,...,E n Ö ¹ ÔÔÙÑ ØØÓÑ ØÙÒÒ Ó Ø Ò Ñ Ð ØØ Ý ØØ Ò Ó Ò ØÙÐÓ Ú ÙØ ÑÙ Òº ÇÐ ÓÓÒ ØÙÒÒ Ó Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ø S 1, S 2,...,S n P 1, P 2,...,P n ØÙÒÒ Ó Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Øº Ø ØÝÒ Ó Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÑÖ Ø ÐÐÒ S = S 1 S 2 S n ( ÓÒ ÖØ Ò Ò ØÙÐÓ). Ë Ò Ó ÓÙ ÓØ ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ A 1 A 2 A n ÓØ ØÙÐ Ø Ò Ø Ô ØÙ¹ Ñ A 1 ØØÙÙ Ó E 1 A 2 ØØÙÙ Ó E 2... A n Ø Ô ØÙÙ Ó E n º Ø ØÝÒ Ø Ô ØÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÑÖ Ø ÐÐÒ P(A 1 A 2 A n ) = P 1 (A 1 )P 2 (A 2 )...P n (A n ). Ë ØÙÒÒ Ó Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ò ÔØØ ÐÝ ÝØ ØÒ Ò ¹ Ø ÝÐ Ø Ø ØÓ Ø ÖÚ ØØ Ñ Ð Ö Ú Ø ØÓ Ø Ð ÒÒ ÐÐ Ñ Ò Ø ÐÑ º

13 ÔØ Ö Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ö ØØ ÙÑ º½ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Å Ð Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÐÙÓÒÒÓÒ¹ Ø Ø Ò Ø Ø ÐÐ ÓÚ ÐÐÙ¹ ØÙ ØÙÒÒ Ó Ò ÐÓÔÔÙØÙÐÓ ÓÒ ÒÙÑ Ö Ò Ò ÐÙ Ù ÖÚÓº Î ÖØ Ô Ö Ñ Ø Ø Ò ÒÒ ØØ Ø Ú ÖÖ ÒÚÓ Ñ ÙÙ Ø ÖÑÝ Ó Ð Ø Ò ¹ ÒØÝÚ Ò Ù Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ Ñ Ò ØØ ÓÚ ÐÐÙØÙ ÖÚ Ó ¹ Ò ÒØÒ ÒØ Ò Ø ØØ º Ë ØÙÒÒ Ó Ò Ð Ø ØØÚ ÐÙ Ù ÙØ ÙØ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º Ë ØÙÒÒ Ó Ò ØÙÐÓ Ò ÚÓ Ò Ð ØØ ÒÙÑ ÖÓ ÖÚÓ Ø ÐÙ ÙÚ ØÓÖ ØÙÒÒ Ú ØÓÖ µº ÌÐÐ ÙÖ ÐÐ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ú Ò Ø Ð ÒØ Ø Ó Ø¹ ÙÒÒ Ó Ò Ð Ø ØÒ Ý ÒÓ ÐÙ Ù ÖÚÓº Ì ÑÐÐ Ø ÓØØ Ò ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ ÓÒ ÙÚ Ù X : S R ØÓ ÒÒ ÝÝ Ú ÖÙÙ Ø {S; E, P } Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÓÒº Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓ ÓÙ Ó Ñ Ö ØÒ ÝÑ Ó¹ Ð ÐÐ S X Ó ÚÓ Ò ØÙÐ Ø ØÙÒÒ Ó Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ú Ð ÒØ ÓÐ Ý ØØ Ò Ò ÑÙØØ ØÓ Ø Ú Ð ÒÒ Ø ÓÚ Ø Ý Ò ÖØ ÑÔ Ù Ò ØÓ Øº Ñ Ö ÒÓÔ Ò ØÓ ÐÑÐÙ Ù ÓÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò Ú Ð ÒØ Ð Ø Ô ØÙÑ ÙÚ Ú ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÑÙØØ Ý Ø ÝÚ Ò ÚÓ Ø Ò Ú Ð Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X( ÐÑÐÙ Ù ÓÒ i ) = i, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. ÐÐ Ò Ó Ò Ò ÙÒ Ø Ó X : S R ÓÐ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º Î Ò Ò ÙÚ Ù Ø ÓÚ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ Ø Ô ØÙÑ {X x} ÓÒ Ø Ô ØÙ¹ Ñ Ý Ø Ñ Ò E ÓÙ Ó {X x} = {e S X(e) x} E. ½

14 ½ À ÈÌ Ê º Ë ÌÍÆÆ ÁËÅÍÍÌÌÍ  ÁËÃÊ ÌÌÁ à ÍÅ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓ x ÒÓØ Ò Ò Ö Ð Ø Ó º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ S X ØÓ ÒÒ ÝÝ P X ÑÖ Ø Ð¹ ÐÒ Ð ÙÔ Ö Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÚÙÐÐ º Æ Ò ÓÐÐ Ò Ó ÐÐ ÓÙ ÓÐÐ {X x} ÚÓ Ò Ý ØØ Ø ÑÖ Ø ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ P X ({X x}) = P({e S X(e) x}). ÌÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ x Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÙØ ÙØ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó F X (x) = P X (X x). ÂÓ ÓÐ ÒÒÙ Ò Ú Ö Ò Ò Ù Ò Ø ØÒ ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ø¹ ÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð Ò X Ñ Ö Ø ÑØغ à ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ ½º F(x 1 ) F(x 2 ) ÙÒ x 1 x 2 ¾º F(x) 0 º F( ) = 0, F( ) = 1 º P(x 1 < X x 2 ) = F(x 2 ) F(x 1 )º Ì Ô ØÙÑ {X } ÓÒ Ø ØÝ Ø ØÝ ÓÙ Ó {X < } ØÝØÝÝ ÐØ ØÙÒÒ Ó Ò Ø Ô ØÙÑ Øº º¾ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ö ØØ ÙÑ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÓÒ Ö ØØ Ó Ò ÖÚÓ ÓÙ Ó S X ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò Ø ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ø Ö Ø Ò S X = {x k ; k = 1, 2, 3,... }º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ð ØØÝÚ ÙÑ ÓÒ Ô Ø ÓÙ Ó ÙÒ Ø ÓØ (x k, P(X = x k )), k = 1, 2, 3,.... f(x) = { P(X = x k ), x = x k 0, x x k, k ÙØ ÙØ Ò Ô Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó º Ö Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÔÓÖÖ ÙÒ Ø Ó F(x) = x k xp(x = x k ).

15 º¾º ÁËÃÊ ÌÌÁ Ë ÌÍÆÆ ÁËÅÍÍÌÌÍ ½ ÒÓÑ ÙÑ ÌÓ Ø Ø Ò ØÙÒÒ Ó ØØ Ò ÖØ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø º ÆÑ Ò Ó ØØ ÑÙÓ¹ Ó Ø Ú Ø Ý Ø ØÝÒ Ó Ò E n º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ý ØØ Ò ØÙÒÒ Ó Ò Ø Ô ØÙÑ B ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ P(B) = p Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ Ø Ô ¹ ØÙÑ B, P(B) = 1 pº Ø ØÝÒ Ó Ò Ø Ô ØÙÑ Ò A k =ß³ ØØÙÙ Ø ÑÐÐ Ò ÖØ ³Ð ÑÖ ØØ Ð ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÓÒ ÖÚÓ ÓÙ Ó S X = {0,..., n}º Ìй Ð Ø Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ÐÙ ÙÑÖ Ú Ø Ö ØÑØØ Ñ Ò ÖØ ÓØÓ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ Ðº ÒÓÑ ÖÖÓ ÒØ ( ) n. k ØØ Ò ØÐÐ Ò ÖØ ÓØÓ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ p k (1 p) n k º Æ Ò ÓÐÐ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò A k ØÓ ÒÒ ÝÝ Ðº ÒÓÑ ¹ ÙØÙÒ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ô Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ( ) n P(X = k) = p k (1 p) n k. k Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÒÓÙ ØØ ÒÓÑ ÙÑ Ñ Ö ØÒ X Ò(p)º ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ ÌÓ Ø Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ØÙÒÒ Ó ØØ º Ì Ö ÐÐ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò B ØØÙÑ Ø Ó ÐÐ ØÓ ØÓÐÐ º Ø ØÒ Ý ÝÑÝ Å ÐÐ ØÓ ÒÒ Ýݹ ÐÐ Ø Ô ØÙÙ Ò ÑÑ Ò ÖÖ Ò ÒÒ ÐÐ ØÓ ØÓÐÐ Ø ØÝÒ Ø Ô ¹ ØÙÑ Ò A = B } {{ B } B. k 1 ÖØ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ P(A) = (1 p) k pº Ä ØØÑÐÐ ÐÐ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X Ó ÐÑÓ Ø¹ Ø ÑÓÒ ÒÒ ÐÐ ÖÖ ÐÐ B ØØÙÙ Ò ÑÑ Ò ÖÖ Ò Ò ÓÑ ØÖ Ø ÙØÙÒÙØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X Ó(p) ÓÒ Ô Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ÈÓ ÓÒ¹ ÙÑ P(X = k) = p(1 p) k 1. ÂÓ ØÓ ØÓ Ó ØÓ ØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ÝÚ Ò ÙÙÖ Ñ Ð Ò ÒØÓ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ Ô Ò Ò Ò ( ) n P(A k ) = p k (1 p) n k n! = k k!(n k)! pk (1 p) n k P k = ak e a, k!

16 ½ À ÈÌ Ê º Ë ÌÍÆÆ ÁËÅÍÍÌÌÍ  ÁËÃÊ ÌÌÁ à ÍÅ Ñ a = np 0 k < º ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø ÓÒ ÔÓØ Ò Ö Ò e a = k=0 ÒÓ ÐÐ ÐÙÚÙØ P k ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø ØÓ ÐÐ Ô Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙع ØÙ ÐÐ X : S N P(X = k) = ak e a, k! ÐÐ P(X = k) = e a a k k! = e a e a = 1. k=0 ÄÙ Ù a ÓÒ ÑÖ Ò Ò ÓÒÒ ØÙÑ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ Ø º Ú ÓÒ ÐÙ ÒÒÓصº ÈÓ ÓÒ¹ ÙØÙÒÙØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ñ Ö ØÒ X ÈÓ (a)º ÀÙÖÖ Ò Ø Ò ÃÙÒ Ú ÐÓÒ Ó Ø Ø Ò Ú ÐÓ Ø Ö Ò Ñ Ø Ö Ð Ò ÖÖÓ ØØ Ô ÒÒ Ø Ð ØÖÓÒ º Î ØÑÐÐ Ò ÔÓ Ø Ú ÐÐ ÒÒ ØØ ÐÐ Ú Ö ØØÙÙÒ ÒÓ Ò ÙÐ Ó Ò Ú ÖØ Ô Ö Ò Ú ÖÖ Ò ÚÓ Ñ ÙÙ Ú º Î ÖÖ Ò ÚÓ Ñ ÙÙ Ø ÚÓ Ò ÔØ ÐÐ ÖÖÓÒÒ Ò Ð ØÖÓÒ Ò ÐÙ ÙÑÖº ÁÖÖÓÒÒ Ò Ð ØÖÓÒ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÚÓ ÒÒÙ Ø Ø Ö ÐÐ Ò Ú Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º à ÑÖ Ò Ò Ñ ØØÓ ØÙÒ Ò Ð ¹ ØÖÓÒ Ò ÐÙ ÙÑÖ a ÓÒ ÙÓÖ Ò Ú ÖÖ ÒÒÓÐÐ Ò Ò Ô ÒØ Ò Ó ØÙÚ Ò Ø ÐÝÒ Ó ÓÒ Ò Ö Ò W ÚÐ ÐÐ [0, T]º ÂÓ Ú ÐÓÒØ ÙÙ ÓÒ ν Ò Ò ØÑ ÑÖ Ò Ò ÖÚÓ ÓÒ k=0 a k k! a = ηw hν, (ÀÍÊÊ ÁÆËÌ ÁÆ ), Ñ h ÓÒ ÈÐ Ò ³Ò Ú Ó η ÓÒ Ò º Ñ Ø Ö Ð Ò Ú ÒØØ Ø Ó ÙÙ º Ì Ú Ð¹ Ð Ø ÓÔÔ Ö Ó ÐÙ Ù η ØÙÐ Ø Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ô ØÙÑ ÐÐ ØØ Ý ØØ Ò Ò ÓØÓÒ ÖÖÓ ØØ Ð ØÖÓÒ Ò Ó ÓÒ Ñ Ø ØØ Ú µ W ÓÒ Ô ÒØ Ò hν Ó ÙÚ Ò ÓØÓÒ Ò ÐÙ ÙÑÖº Ð ØÖÓÒ Ò ÖØÓ Ñ ØÓ ÒÒ ÝÝ p Ô ÒÒ Ø ÓÙØÙÑ Ò Ò ÒÓ Ò ÓÒ Ù Ø Ò Ò ÝÚ Ò Ô Ò º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÙÓØÙ Ø Ô ØÙÑ Ø Ô ØÙÑ Ó Ð ØÖÓÒ Ñ ØØÓ ØÙÙ Ô ÒÒ Ø º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØØ k Ð ØÖÓÒ Ö ¹ Ø Ö Ò Ñ ØØ Ð ØØ ÒÓÙ ØØ ÒÓÑ ÙÑ ÑÙØØ Ó Ñ Ø Ö ¹ Ð Ò Ô ÒÒ Ó Ñ Ò ÓØÓÒ Ø Ó ÙÚ Øµ ÓÐ Ú Ò Ð ØÖÓÒ Ò ÐÙ ÙÑÖ n >> 1 p << 1 Ò Ò ÚÓ Ò ÔÔÖÓ ÑÓ ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X Ñ ØØÓ ØÙÒ Ò Ð ØÖÓÒ Ò ÐÙ ÙÑÖµ ÒÓÙ ØØ ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ º ÀÙÓÑ ØØ Ø Ð ØÒ Ø Ø Ô ØÙÑ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ ÐÐ º Æ Ñ ØØ Ò ÓÐ Ø Ø Ò ØØ Ð ØÖÓÒ Ò Ñ ØØÓ ØÙÑ Ò Ò ÓÒ Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ Ø

17 º¾º ÁËÃÊ ÌÌÁ Ë ÌÍÆÆ ÁËÅÍÍÌÌÍ ½ Ù Ò ÑÙÙØ Ð ØÖÓÒ Ø ÝØØÝØÝÚغ  РÓÐ Ø Ø Ò ØØ Ú ÐÓ ÓÐ Ð Ò ÒØ Ò Ú Ø Ú ØØ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ø Ñ ØØÓ ØÙÚ Ò Ð ØÖÓÒ Ò ÐÙ ÙÑÖ nº ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ Ì Ö Ø ÐÐ Ò N ÔÔ Ð ØØ ÒÙÑ ÖÓ Ø Ñ Ö ÓÙ Ó {1, 2,..., N}º ÆÙÑ ÖÓ Ø ÓÒ Ñ Ö ØØÝ Ó Ò Ö Ø Ò ØÓ Ñ Ø m ÔÔ Ð ØØ º ÃÓ Ò¹ ÙÓÖ ØØ Ú Ð Ø ÒÙÑ ÖÓ Ò ÓÙ Ó Ø ÙÑÔ Ñ Ø n ÒÙÑ ÖÓ º Å ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ Ó Ò ÙÓÖ ØØ Ú Ð Ø Ø ÑÐÐ Ò k ÔÔ Ð ØØ ÒÒ ÓÐØ Ñ Ö ØØÝ ÒÙÑ ÖÓ Ë ØÙÒÒ Ó ÑÖ ØØ Ð ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ó ÒÓÙ ØØ ÝÔ Ö¹ ÓÑ ØÖ Ø ÙÑ ( m N m ) P(X = k) = k)( n k ( N. n) Ѻ ¾º Å ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ ÐÓØÓ Ò Ø ÑÐÐ Ò Ó Ò

18 ½ À ÈÌ Ê º Ë ÌÍÆÆ ÁËÅÍÍÌÌÍÂ Â ÁËÃÊ ÌÌÁÂ Ã ÍÅ

19 ÔØ Ö Â Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÙÑ º½ Ì Ý ÙÒ Ø Ó Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÓÒ Ø ÙÚ Ó Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ø ÙÚ ÐÐ x Ò ÖÚÓ ÐÐ º Â Ø Ó ÓÐ Ø Ø Ò Ð ØØ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ô ÐÓ ØØ Ò Ö ÚÓ ØÙÚ º ÌÓ Ò ÒÓ Ò ÐÐ ÓÒ Ö Ú ØØ ÓÐ Ñ ÐÙ ÙÙÒÓØØ Ñ ØØ Ö ÐÐ Ø ÑÖ Ö Ú Ø Ò ÝÔÔÝ Ô Ø ÙÚÙÙ º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ø Ý ÙÒ Ø Ó f X (t) Ø Ò ØØ F X (x) = x f X (t)dt. ÂÓ ÓÐ ÙÙÖØ Ö ØÝÑ Ò Ö Ò Ò Ù Ò Ñ Ö ØÒ f(x) = f X (x)º Â Ø ÙÚ ÐÐ ÙÑ ÐÐ F(a + h) F(a h) 0 ÙÒ h 0º Æ Ò ÓÐÐ Ò P(X = a) = 0º Ö Ø ÐÐ ÙÑ ÐÐ ØÑ ÚÐØØÑØØ Ô º Ì Ý ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ ½º f X(x)dx = 1 ¾º P(a < X b) = b a f X(x)dx = F X (b) F X (a) º f X (x) = df X(x) dx º ÃÓ P(x = b) = 0 Ò Ò Ø ÙÚ ÐÐ ÙÑ ÐÐ ÙÖ Ú Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÚ Ø Ý Ø ÙÙÖ P(a < X < b) = P(a X < b) = P(a X b) = P(a < X b). ½

20 ¾¼ À ÈÌ Ê º  ÌÃÍÎ Ë ÌÍÆÆ ÁËÅÍÍÌÌÍ   à ÍÅ º¾ Â Ø ÙÚ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÑ ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÒÓÙ ØØ ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ X exp(a) Ó Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ { 0, x < 0, f X (x) =. ae ax, x 0 Ë Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÐÐÓ Ò F X (x) = x f X (x)dx = { 0, x < 0 1 e ax, x 0 ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖ a > 0º Ë Ò ÒØ ÐÙ Ù 1 ÐÑÓ ØØ ØÙÒ¹ a Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÑÖ Ò ÖÚÓÒº ÌÝÝÔ ÐÐ Ø ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ ÐÐ Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò Ó ÓØÙ ÓÐÐ Ò Ø Ô ¹ ØÙÑ ÐÐ Ñ Ö Ó Ò Ð Ò ÐÐ º. Ì ÙÑ Ì ÙÑ Ò X Ì (a, b) Ø Ý ÙÒ Ø Ó 0, x < a 1 f X (x) = b a, a x b 0, x > b. Ì Ø ÙØÙÒ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÐÐÓ Ò 0, x < a x a F X (x) = b a, a x b. 1, x > b ÆÓÖÑ Ð ÙÑ ÆÓÖÑ Ð ÙÑ Ù Ò ÙÑ µ ÓÒ ØÖ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ò ÓÚ ÐÐÙØÙ ÒØÝÚ ÙÑ º Ë ÓÒ ¾¹Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ò ÙÑ X N(µ, σ 2 )º Ë Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ò º Ù Ò ÐÐÓ ÝÖ f X (x) = 1 2πσ 2 e (x µ)2 2σ 2.

21 º¾º  ÌÃÍÎÁ ÌÇ ÆÆ Ã ÁË Ë à ÍÅÁ ¾½ È Ö Ñ ØÖ µ ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÑÖ Ò Ò ÖÚÓ σ 2 Ò Ú Ö Ò Ú ÓÒ ÐÙ ÒÒÓ ÐÐ Ø ÐÐÒ ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙØ Ø Ö ÑÑ Òµº ÆÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓ F X (x) = 1 x 2πσ 2 2 e (z µ) 2σ 2 dz ÚÓ Ð ÙÐ ØÙ ÑÙÓ Ó º Å Ð Ú ÐØ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓØ Ð Ø Ò (0, 1)¹ ÙØÙÒ Ò Ðº Ø Ò Ö Ó ÙÒ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó Ø Φ(x) ÓÒ ÖÚÓØ ÓÚ Ø Ð ØØÙ Ø ÙÐÙ Ó Ò Ó Ò Ð Ñ ÓÒ ÑÝ ÙÓÖ Ò Ø Ò Ö Ó ÙÒ ÙÑ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓص ÓÔ Ú ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ò Ú Ó ÐÐ º ËØ Ò Ö Ó ÙÒ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò N(0, 1) Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÖØÝÑ ÙÒ ¹ Ø Ó ÓÚ Ø f X (x) = 1 2π e x2 2 Φ(x) = 1 2π x e t2 2 dt. à ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó Φ(x) ÐÙ Ø Ò Ø ÙÐÙ Ó Ø º Ë ÐÐ ÓÒ ÙÖ Ú ØÖ Ýѹ Ñ ØÖ ÓÑ Ò ÙÙ Φ( x) = 1 Φ(x). ÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ø Ò Ö Ó ØÙ ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒÙØ ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ Z ÖÚÓ ÚÐ ÐØ [a, b] ÓÒ P(a < Z < b) = Φ(b) Φ(a). Ä Ù º ÂÓ Z N(0, 1) Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X = σz +µ N(µ, σ 2 )º ÌØ Ð Ù ØØ ÝÚ ÝØØÑÐÐ ÚÓ Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò ÒÓÖÑ Ð Ù¹ Ñ Ò Ð ØØÝÚØ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÔØ ÐÑØ Ô Ð ÙØØ N(0, 1)¹ ÙØÙÒ Ò Ø¹ ÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Òº Ñ Ö ÓÐ ÓÓÒ X N(µ, σ 2 )º Ë ÐÐÓ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Z = X µ σ N(0, 1). ÌÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ ØØ X a ÓÒ P(X a) = P(Z a µ σ ) = Φ(a µ σ ).

22 ¾¾ À ÈÌ Ê º  ÌÃÍÎ Ë ÌÍÆÆ ÁËÅÍÍÌÌÍ   à ÍÅ Î ÒØÙÑ ÙÑ Ø Ä ØØ ØÓÒ ÓÐÐ Ò Ò Ú ÒØÙÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ò º ¹ Ö ÙÒ Ø ÓÒ β(t) ÚÙÐÐ º Ë ÑÖ Ø ÐÐÒ Ø Ò ØØ ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ Ð ØØ ØÓÒ Ú ÒØÙÑ ÐÐ ÚÐ ÐÐ [t, t + dt] ÙÒ ÓÒ ÓÐÐÙØ ÒÒ Ò Ò Ø t ÓÒ P(t < X t + dt X t) = β(t)dt. Ì ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÐÑÓ ØØ Ò Ñ ÐÐÓ Ò Ð ØØ ØÓ Ñ Ò Ö º ÇÐ ÓÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ø Ý ÙÒ Ø Ó f(t) ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó F(t)º ÌÐÐ Ò ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ P(t < X t + dt X t) = F(t + dt X t) F(t X t) F(t + dt) F(t) = 1 F(t) = f(t)dt 1 F(t). Æ Ò ÓÐÐ Ò Ö ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò Ð Ù Ù Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ β(t) = f(t) 1 F(t). ÃÓ Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú ØØ Ò Ò β(t) = F (t) 1 F(t) = d ln[1 F(t)]. dt ÁÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÚÓ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó Ö Ø Ø Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ { 0, t < 0 F(t) = 1 e R t 0 β(s)ds, t 0. Ì Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÐÐÓ Ò f(t) = { 0, t < 0 β(t)e R t 0 β(s)ds, t 0. Ï ÙÐÐ³Ò ÙÑ Ï ÙÐÐ Ò ÙÑ Ò Ö ÙÒ Ø Ó ÓÒ β(t) = αβt β 1, t > 0, α, β > 0.

23 º¾º  ÌÃÍÎÁ ÌÇ ÆÆ Ã ÁË Ë à ÍÅÁ ¾ Ï ÙÐÐ Ò ÙÑ Ò Ø Ý ¹ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÚ Ø F(t) = 1 e αtβ, t > 0 f(t) = αβt β 1 e αtβ, t > 0. Ï ÙÐÐ Ò ÙÑ ÓÒ ØÝÝÔ ÐÐ Ò Ò Ó ÓØÙ Ò ÙÑ ÓÒ ÚÙÐÐ Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ÓÒ ÙÒ ÙÓØÙ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò Ò Ó Ø Ó ÒÝØ ÓÒ ÙÒ Ð ØØ ØÓÒ Ú Ò¹ ØÙÑ Ò Ò ÓÒ Ó Ò ÙÓØÙ µº

24 ¾ À ÈÌ Ê º Â ÌÃÍÎ Ë ÌÍÆÆ ÁËÅÍÍÌÌÍÂ Â Â Ã ÍÅ

25 ÔØ Ö Â ÙÑ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙ Ø º½ Ç ÓØÙ ÖÚÓ Ö Ø Ò ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ö Ø Ò ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ E(X) = k I x k P(X = x k ), Ó Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ÓÐ Ú ÙÑÑ ÓÒ ÙÔÔ Ò Ú º Ç ÓØÙ ÖÚÓ ÐÑÓ ØØ Ù¹ Ñ Ò Ó Ò Ð Ò ÖÚÓÒ ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÑÖ Ø ÚÙØØ º Ѻ º ÓÑ ØÖ Ò ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ E(X) = p 1 Ñ ÙÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ÓÒ 0 < p < 1º Ѻ º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ X ÓÒ Ô Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÓÐ Ó ÓØÙ ÖÚÓ º Ê Ø º E(X) = P(X = k) = 6 π 2 k 2, 6 k π 2 k = 6 2 π 2 k=1 Ç ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ÓÐ Ú Ö ÒØÙÙ Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ ÓÐ Ó ÓØÙ ÖÚÓ º Ѻ º ÒÓÑ ÙÑ Ò Ò(n, p) Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ E(X) = npº Ѻ º ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ Ò Poi(a) ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ E(X) = aº ¾ k=1 1 k.

26 ¾ À ÈÌ Ê º  à ÍÅ Æ ÌÍÆÆÍËÄÍÎÍÁËÌ Â Ø ÙÚ Ò ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÇÐ ÓÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ø Ý ÙÒ Ø Ó f X (x) ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó F X (x)º ÌÐÐ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ E(X) = xf X (x)dx, Ñ Ð ÒØ Ö Ð ÓÒ ÓÐ Ñ º ÃÙØ Ò Ö Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ô Ù ÓÒ Ú Ö Ò ÐÔÔÓ ÑÖ Ø ÐÐ Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÐÐ ÓÐ Ó ÓØÙ ÖÚÓ º Ñ Ö Ù Ý¹ ÙØÙÒ ÐÐ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ ÓÐ Ó ÓØÙ ÖÚÓ º ٠ݹ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f(x) = 2 1 π 1 + x 2u(x). ÆÝØ Ó ÐÐ ÔÓ Ø Ú ÐÐ Ú ÓÐÐ a > 0 ÒØ Ö Ð 2 π a Æ Ò ÓÐÐ Ò ÒØ Ö Ð 0 x 1 + x 2dx = 2 π 0 / a 2 dx = lim π(1 + x 2 ) a Ø Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÐ ÓÐ Ñ º ÌÖ Ò ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ log(1 + x2 ) = 1 2π log(1 + a2 ). 1 2π log(1 + a2 ) = X Ì (a, b), E(X) = a + b 2 X ÜÔ(λ), E(X) = 1 λ X N(µ, σ 2 ), E(X) = µ Ç ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÐÙ Ø Ô Ù Ø Ó X ÓÒ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ h(x) Ö Ð ÖÚÓ Ò Ò Ö ÒØ Ó ØÙÚ ÙÒ Ø Óº Ë ÐÐÓ Ò Y = h(x) ÓÒ ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ ÖÚÓ ÓÙ ÓÒ S Y = {y j = h(x j ) x j S X } ÓÒ Ô Ø ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ ÙÒ Ø Ó P(Y = y j ) = P(X = x i ). x i y j =h(x i )

27 º¾º Î ÊÁ ÆËËÁ ¾ Ä Ù º ÇÐ ÓÓÒ X Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÙÒ Ø Ó h(x) Ø Ò ØØ x i h(x i ) P(X = x i ) <. ÌÐÐ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ Y = h(x) ÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ E(Y ) = E(h(X)) = x i h(x i )P(X = x i ). Î Ø Ú Ø Ø ÙÚ ÐÐ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ X ÓÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ø Ý ÙÒ ¹ Ø Ó f X (x) ÙÒ Ø ÓÐÐ h(x) ÓÒ ÚÓ Ñ Ä Ù º ÇÐ ÓÓÒ h(x) Ø Ò ØØ h(x) f X (x)dx <. ÌÐÐ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Y = h(x) Ó ÓØÙ ÖÚÓ E(Y ) = h(x)f X (x)dx. ÐÐ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò Ø º ÓÒ ÚÓ Ñ Ä Ù º ÇÐ ÓÓÒ X Y Ö Ð ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ a, b Rº ÌÐÐ Ò E(aX + by ) = ae(x) + be(y ). ÀÙÓÑ Î ÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ Ú Ó E(a) = aº º¾ Î Ö Ò Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ Ó ÐÐ ÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÒØ Ö Ð E(X 2 ) = x 2 f X (x)dx < ÓÒ Ö ÐÐ Ò Òº Ö Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ô Ù ÒØ Ö Ð ÓÖ¹ Ú Ø Ò ÙÑÑ ÐÐ Ø º E(X 2 ) = x i x 2 ip(x = x i ) <. ÌÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÑ Ò Ú Ö Ò ÙÙÖ ÄÙ Ù Î Ö(X) = E([X E(X)] 2 ) = E(X 2 ) [E(X)] 2. σ(x) = Î Ö(X) ÙØ ÙØ Ò ÙÑ Ò ÓÒÒ º Î Ö Ò Ø ÓÒØ µ ÐÑÓ ØØ Ù Ò Ô Ð ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÔÓ Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ø ÑÖ Òº

28 ¾ À ÈÌ Ê º  à ÍÅ Æ ÌÍÆÆÍËÄÍÎÍÁËÌ Î Ö Ò Ò ÓÑ Ò ÙÙ ØÙ º Ë ÐÐÓ Ò ÇÐ ÓÓÒ a, b Ö Ð ÐÙ Ù X ØÙÒÒ ÑÙÙع ½º Î Ö(aX + b) = a 2 Î Ö(X) ÐÐ Ú ÓÒ Ú Ö Ò ÓÒ ÒÓÐÐ ¾º Î Ö(X) = 0 P(X = E(X)) = 1º Ѻ º ËØ Ò Ö Ó ÙÒ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò N(0, 1) Ó ÓØÙ ÖÚÓ E(X) = 0 Ú Ö Ò σ 2 = 1º Ê Ø º Ø ØÝÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÚÓ Ñ ÒÒ Ò ÒÓ ÐÐ E(X) = 1 2π Ç ØØ ÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ Ò Ú Ö Ò Î Ö(X) = 1 2π x 2 e x2 2 dx xe x2 1 / a 2 dx = lim e x2 2 = 0. 2π a a = 1 / 2π ( x)e x2 2 dx + 1 e x2 2 dx = P( < X < ) = 1, 2π }{{} =0 ÐÐ Ð ÐÐ Ú ÒØ Ö Ð ÓÒ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ ÒØ Ö Ð ÝÐ Ó Ó Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒº Ѻ º ÇÐ ÓÓÒ X N(0, 1), µ R σ > 0º ÌÐÐ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ¹ Ò Y = σx + µ Ú Ö Ò ÓÒ Î Ö(X) = σ 2 º Ê Ø º Î Ö(Y ) = E([Y E(Y )] 2 ) = E(σX) = σ 2 E(X) = σ 2.  ÙÑ Ò Ú Ö Ò ½º ÒÓÑ ÙÑ X Ò(n, p) : Î Ö(X) = np(1 p) ¾º ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ X Ó(p) : Î Ö(X) = 1 p p 2 º ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ X ÈÓ (a) : Î Ö(X) = a º Ì ÙÑ X Ì (a, b) : Î Ö(X) = (a b)2 12 º ÆÓÖÑ Ð ÙÑ X N(µ, σ) : Î Ö(X) = σ 2 º ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ X ÜÔ(λ) : Î Ö(X) = 1 λ 2 º

29 º º À ÇÄÄÁË Æ Â Ã ÍÅ Æ Ç ÇÌÍË ÊÎÇ ¾ º ÓÐÐ Ò ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÇÐ ÓÓÒ X ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ A ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ð ØØÝÚ Ø Ô ØÙÑ Ñ Ö A = {a < X b}º ÓÐÐ Ò Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÑÖ Ø ÐÐÒ Ð Ù ÐÐ P({X x} A) F X (x A) =. P(A) ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ö ØØÚÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò ÓÐÐÓ Ò ÐÐ ÓÒ ÒØ ÖÓ ØÙÚ Ø Ý ÙÒ Ø Ó f X (x)º Ì Ô ØÙÑ Ò A ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ P(A) = F X (b) F X (a). Ì Ô ØÙÑ, ÙÒ x a {X x} {a < X b} = a < X x, ÙÒ a < x b a < X b, ÙÒ b < x. Ë Ø Ò ÓÐÐ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ù ÓÒ 0, ÙÒ x a F F X (x A) = X (x) F X (a) F, ÙÒ a < x b X (b) F X (a) 1, ÙÒ b < x. Ö ÚÓ Ñ ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ò x Ù Ø Ò Ò ÓÐÐ Ò Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó 0, ÙÒ x a f F X (x A) = X (x) F, ÙÒ a < x b X (b) F X (a) 0, ÙÒ b < x. ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÑÖ Ø ÐÐÒ ØØ Ñ ÐÐ ÓÐÐ Ò Ò Ú Ö Ò ÓÒ E(X A) = xf X (x A)dx, Î Ö(X A) = E(X 2 A) [E(X A)] 2. Ѻ º ÇÐ ÓÓÒ X N(0, 1)º ÅÖ ÓÐÐ Ò Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó f X (x X > 0), ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ E(X X > 0) ÓÐÐ Ò Ò Ú Ö Ò Î Ö(X X > 0)º

30 ¼ À ÈÌ Ê º Â Ã ÍÅ Æ ÌÍÆÆÍËÄÍÎÍÁËÌ Ê Ø º ÓÐÐ Ò Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f X (x X > 0) = ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ú Ö Ò ÓÚ Ø E(X X > 0) = 2 x 2 π e 2. 2 π Î Ö(X X > 0) = 1 2 π.

31 ÔØ Ö Ø ÙÑ º½ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ý Ø ÙÑ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ {S, E, P } ØÓ ÒÒ ÝÝ Ú ÖÙÙ X Y ØÙÒÒ ÑÙÙع ØÙ º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ý Ø ÙÑ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ó ÐÐ R 2 Ò ÓÓÖ¹ Ò ØØ Ð Ò ÙÙÒØ ÐÐ ÙÓÖ Ø ÐÐ I R 2 ØØ Ñ ÐÐ P XY (I) = P({e S (X(e), Y (e)) I}). ÂÓ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø ÓÚ Ø Ö ØØ Ò Ò Ý Ø ÙÑ Ò ÑÖ Ø¹ Ø Ð ÙÐÓØØ Ò Ò Ô Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó P(X = x i, Y = y j ) = p ij, (i, j) N 2, Î ÐÐ Ô Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ö ØØ ÑÐÐ ÑÖÐÐ Ô Ø Ø Ø Ó Ò Ò ØÓ Ù Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø Ú Ø Ú Ò Ö Ð¹ Ð Ò ÑÓÒØ Ö ÖÚÓ º ÌÐÐ Ò Ô Ø ØÓ ÒÒ ÝÝØØ ÙÚ ØÓ ÒÒ ÝÝ ¹ Ñ ØÖ p 11 p 12 p 1m p 21 p 22 p 2m P = º º ººº º. p n1 p n2 p nm ÁÐÑ Ø Ñ ØÖ Ò P Ð Ó Ò ÙÑÑ ij p ij = 1º Å Ð ÑÓÐ ÑÑ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø ÓÚ Ø Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ý Ø ÙÑ ÙÚ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó F XY (x, y) = P(X x, Y y). Â Ø Ó Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ð ÒÒ Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô Ö (X, Y )º à ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ ÙÖ Ú Ø ÐÔÓ Ø ØÓ Ø ØØ Ú Ø ÓÑ Ò Ù¹ Ù Ø ½

32 ¾ À ÈÌ Ê º ÀÌ ÁË à ÍÅ ½º 0 F XY (x, y) 1 ¾º ÃÙÒ x 1 x 2 y 1 y 2 Ò Ò F XY (x 1, y 1 ) F XY (x 2, y 1 ) F XY (x 2, y 2 ) F XY (x 1, y 1 ) F XY (x 1, y 2 ) F XY (x 2, y 2 ). º ÃÙÒ x y Ð ØÝÚØ Ñ Ò Ø ± Ò Ò lim x y lim x y F XY (x, y) = 1 F XY (x, y) = 0. º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ö ÙÒ ÙÑ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø lim F XY (x, y) = F Y (y) x lim F XY (x, y) = F X (x). y Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ó Ú Ò Ó F XY (x, y) = F X (x)f Y (y). Ä Ù º ÇÐ ÓÓÒ X Y Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÙÒ Ø ÓØ h(x), g(y) ÐÐ ÙÒ Ø Ó Ø ØØ g(y ) h(x) ÓÚ Ø Ö Ð ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ º Ë ÐÐÓ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø h(x) g(y ) ÓÚ Ø ÑÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓ¹ Ñ º Ì Ý ÙÒ Ø ÓÑ ÐÐ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó F XY (x, y) Ö¹ Ø Ô ÐÓ ØØ Ò Ö ÚÓ ØÙÚ ÑÓÐ ÑÔ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ù Ø Òº ÌÐÐ Ò Ý Ø ¹ ÙÑ ÙÚ ØÝ ÐÐ Ø Ø Ý ÙÒ Ø Ó f XY (x, y) = 2 F XY (x, y). x y ÃÒØ Ò Ó f XY (u, v) ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ô Ö Ò Ý Ø ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ ¹ Ø Ó Ò Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó F XY (x, y) = x y f XY (u, v)dudv.

33 º¾º ÀÌ ÁË à ÍÅ Æ ÌÍÆÆÍËÄÍÎÍÌ Ê ÙÒ ÙÑ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ x ( F X (x) = F Y (y) = y ( ) f XY (u, v)dv du ) f XY (u, v)du dv. Ö ÚÓ Ñ ÐÐ ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓØ ÑÙÙØØÙ Ò x y Ù Ø Ò Ò Ö ÙÒ Ø Ý¹ Ø f X (x) = d dx F X(x) = f XY (x, v)dv f Y (y) = d dy F Y (y) = f XY (u, y)du. º¾ Ø ÙÑ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙØ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ h : R 2 R ÓÒ ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ØØ h(x, Y ) ÓÒ ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ º Å Ð ÒØ Ö Ð R 2 h(x, y) f XY (x, y)dxdy <, ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò h(x, Y ) Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ E(h(X, Y )) = h(x, y)f XY (x, y)dxdy. R 2 Ѻ ½¼º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò h(x, Y ) = X Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ý Ø ÙÑ Ò Ù Ø Ò ÓÒ E(X) = xf XY (x, y)dxdy = xf X (x)dx = µ X. R 2 Ѻ ½½º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò h(x, Y ) = (X µ X ) 2 Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ý Ø ¹ ÙÑ Ò Ù Ø Ò ÓÒ E((X µ X ) 2 ) = (x µ X ) 2 f XY (x, y)dxdy R 2 = (x µ X ) 2 f X (x)dx = Î Ö(X). Ä Ù ½¼º ÇÐ ÓÓÒ X Y Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ a, b Rº ÌÐÐ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ax + by Ú Ö Ò ÓÒ = a 2 Î Ö(X) + b 2 Î Ö(Y ).

34 À ÈÌ Ê º ÀÌ ÁË à ÍÅ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Y ÓÚ Ö Ò ÓÒ ÓÚ[X, Y ] = E((X µ X )(Y µ Y )) = E(XY ) E(X)E(Y ). Ä Ù ½½º ÂÓ X Y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò Ò ÓÚ[X, Y ] = 0. ÃÒØ Ò Ò Ú ØØÑ Ô º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÚÐ Ò Ò ÓÖÖ Ð Ø Ó ÖÖÓ Ò ρ ÑÖ Ø ÐÐÒ ØØ ¹ Ñ ÐÐ ρ = ÓÚ[X, Y ] σ X σ Y, Ñ σ X σ Y ÓÚ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÒÒ Øº ÃÓÖÖ Ð Ø Ó ÖÖÓ Ò Ñ ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ð Ò Ö Ò Ö ÔÔÙÚÙÙ Ò Ø ØØ º Ä Ù ½¾º ÃÓÖÖ Ð Ø Ó ÖØÓ Ñ ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ ½º ρ 1º ¾º ÂÓ ÓÒ ÓÐ Ñ Ú ÓØ a R, b R \ {0} Ø Ò ØØ Ò Ò ρ = 1º Y = a + bx,

35 ÔØ Ö Ã Ò Ò Ö ¹ ÖÚÓÐ Ù º½ Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ µ = E(X) Ú Ö ¹ Ò σ 2 = Î Ö(X) ÓÚ Ø Ö ÐÐ º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÚÓ Ñ Ä Ù ½ Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ µº à ÐÐ ÔÓ Ø Ú ÐÐ ǫ P( X µ ǫ) σ2 ǫ 2. ÌÓ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÓÒ Ø ÙÚ ØØ f(x) ÓÒ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Óº ÌÐÐ Ò P({X < µ ǫ} {X < µ ǫ}) = ÌÓ ÐØ Ú Ö Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÒÓ ÐÐ σ 2 = (x µ) 2 f(x)dx { µ ǫ ǫ 2 f(x)dx + µ ǫ µ+ǫ µ ǫ f(x)dx + (x µ) 2 f(x)dx + µ+ǫ µ+ǫ } f(x)dx = ǫ 2 P( X µ ǫ). f(x)dx. (x µ) 2 f(x)dx Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ ÐÐ ÚÓ Ò Ò ÖÚ Ó Ù Ò Ô Ð ÓÒ ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ ÔÓ Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ø º ÖÚ Ó ÓÒ ØÓ Ö Ö ÔÔÙÙ Ú Ö ¹ Ò Ò ÙÙÖÙÙ Ø º Í Ò Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ö Ó Ø Ø Ò ÑÙÓ Ó P( X µ kσ) 1 k 2.

36 À ÈÌ Ê º à Ëà ÁÆ Æ Ê Â ¹ ÊÎÇÄ ÍË º¾ À Ó ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù Ò Ð ÇÐ ÓÓÒ {X i } i N ÓÒÓ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ñ ÙÑ ÒÓÙ ØØ Ú ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ Ø Ò ØØ E(X 2 ) < º Ä Ù ½ º Å Ö ØÒ Ë ÐÐÓ Ò Ó ÐÐ ǫ > 0 S n = n X i µ = E(X i ), i N. P( S n n µ ǫ) 0, ÙÒ n. ÌÓ º ÙÒ n º ÌÙÐ ÒØ P( S n n µ ǫ) = P( n E([ n }{{} ǫ 2 Cheb.ey. X i µ ǫ) n X i µ n ]2 ) = 1 σ 2 n ǫ 0, 2 Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò 1 n S n ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ØØÝÒÝØ ÚÐ ÐÐ x µ ǫ ÙÒ n ÓÒ Ö ØØÚÒ ÙÙÖ º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X i ÚÓ Ò ØÙÐ Ø Ñ Ò ØÙÒÒ Ó Ò ØÓ ¹ ØÓ º ÌÐÐ Ò 1 n S n ÓÒ ÓØÓ ÖÚÓº Æ Ò ÓÐÐ Ò ÓØÓ ÖÚÓ Ð ØÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ º ÂÓØ Ò ÇØÓ ÖÚÓÐÐ ÚÓ Ò Ô¹ ÔÖÓ ÑÓ Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÙÒ Ú ÒØÓ Ò ØÓ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø ÓÒ Ö ØØÚÒ ÙÙÖ º º Ã Ò Ò Ö ¹ ÖÚÓÐ Ù ËÙÔÔ Ú Ö Ó ÇÐ ÓÓÒ {X i } i ÓÒÓ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ñ ÙÑ ÒÓÙ¹ ØØ Ú ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ó Ò Ú Ö Ò ÓÒ Ö ÐÐ Ò Òº Å Ö ØÒ ÙØ Ò ÐÐ µ = E(X), σ 2 = V ar(x) S n = n X iº Ë ÐÐÓ Ò Sn lim P( n µ x) = Φ(x) = n σ n x 1 2π e u2 2 du,

37 º º ÁÆÇÅÁ à ÍÅ Æ ÈÈÊÇÃËÁÅ ÌÁÇ Ø º Ö ØØÚÒ ÙÙÖ ÐÐ Ò Ò ÖÚÓ ÐÐ ÓØÓ ÖÚÓ ÒÓÙ ØØ ¼ ½µ¹ÒÓÖÑ Ð ¹ ÙÑ 1 n X i N(µ, σ2 n n ). Ä Ú Ö Ó ÇÐ ÓÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X i Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ µ i = E(X i ) σi 2 = Î Ö(X i ) E(Xi 3 ) < º ÌÐÐ Ò ÙÙÖ ÐÐ n Ò ÖÚÓ ÐÐ Ö ØÑ ØØ Ò Ò ÖÚÓ ÒÓÙ ØØ Ð Ñ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ 1 n ( 1 X i N n n (µ µ n ); ( n σ 1 ) σ2n )2. Ã Ö ¹ ÖÚÓÐ Ù Ó Ù n = 3 ÓÒ Ö ØØÚ ÓØÓ Ò Ó Ó ÑÙØØ Ó ÐÐ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ n = Ö Øº È ÒØ Ø Ò Ò ØÐÐ ÙÖ ÐÐ µ ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó ÓÒ ÔØ Ú ÙÒ n 30º º ÒÓÑ ÙÑ Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó ÃÙÒ ØÓ ØÓ Ó ØÓ ØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ n ÓÒ ÙÙÖ Ò Ò ÙÑÑ X = X 1 + X 2 + X X n ÐÑÓ ØØ ÙÓØÙ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ÒØÝÑ ÑÖÒº Ì ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ¹ Ø X i {0, 1} ÓÚ Ø Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ ÙØÙÒ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ P(X i = 1) = P( ÙÓØÙ Ø Ô ØÙÑ ØØÙÙ ) = p, P(X i = 0) = 1 p. Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X i ÒÓÙ ØØ Ú Ø ÒÓÑ ÙÑ Ò 1, pµ ÓÒ Ú Ö Ò σ 2 = p(1 p)º ÌÐÐ Ò Ò Ö ¹ ÖÚÓÐ Ù Ò ÒÓ ÐÐ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÒÓ٠ع Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ X N(np, np(1 p)), ÙÒ n ÓÒ ÝÐÐ Ò ÙÙÖ º ÌÐÐ ÙÖ ÐÐ ÝØ ØÒ Ö Ø Ö Ò n 9 ºµ Æ Ò p(1 p) ÓÐÐ Ò ÙÙÖ ÐÐ Ò Ò ÖÚÓ ÐÐ ÒÓÑ ÙÑ Ò(n, p) ÚÓ Ò ÔÔÖÓ ÑÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ÐÐ N(np, np(1 p))º º Ì ØÓÔ Ð Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù Ò Ð ÌÑ ÐÙ Ù ÓÒ Ñ Ò ÝÐ ÙÖ º Ã Ö Ó Ø Ò ØÑÒ Ó Ò ÙÖ Ò ÔØÝØØݺ

38 À ÈÌ Ê º Ã ËÃ ÁÆ Æ Ê Â ¹ ÊÎÇÄ ÍË

39 ÔØ Ö Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ò ØÓ º½ ÂÓ ÒØÓ ÃÓ ÐÐ ØÙØ ÑÙ ØÙØ ØØ Ú Ò ÙÙÖ Ò ÚÐ Ö ÔÔÙÚÙÙ Ù¹ Ú Ñ Ø Ñ ØØ Ò Ò Ñ ÐÐ ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÔÝÖ ØÒ ÖÚ Ó Ñ Ò Ø ÑÓ Ñ Òµ Ó Ö Ø ÐÝÐÐ ÖØÝÒ Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ º Å ØØ Ù Ò Ð¹ ØÝÝ Ò Ú Ö Ø ÓØ Ú Ö Ò Ù Ò ÓÐ Ø Ø Ò ØÙÒÒ º ÌÐÐ Ò ØÓ¹ ÒÒ ÝÝ Ð ÒØ Ò ÒÓ ÙØÙÚ Ø Ø Ð ØÓÐÐ Ø Ñ Ò Ø ÐÑØ ÓÚ Ø Ý ÝÐÐ ÔÙÚÐ Ò Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ò ÙÙÖ Ò ÖÚ Ó Ñ Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ò ØÓÒ ÖÙÙ ØÙØ ØØ Ú ÐÑ ÓÒ ÓÐØ Ú ÒÙÑ Ö Ò Ò Ø ÓÐÐ Ò Ø Ú ÐÐ ÚÒÒ ØØÚ Ú Ú Ò ÒÙÑ Ö Ò ÑÙÓØÓÓÒº ÌÙØ ØØÚ ÓÑ Ò ÙÙ ÓÒ ÚÓ Ø Ú Ý ØØ Ø ÑÖØ Ó Ø Ý Ð Øº Ò ÓÒ ÑÙ Ø ØØ Ú ØØ Ø Ð ØÓÐÐ Ø Ñ Ò Ø ÐÑØ ÓÚ Ø Ú ÒÒÓ Ú ØÓØ Ú µ ÚØ ÑÖÚ º Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ò ØÓ ÖØÒ Ô ÖÙ ÓÙ Ó Ø Ðº ÔÓÔÙÐ Ø Ó Ø Ø¹ ÙÒÒ ÓØÓ ÐÐ Ó ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Ó ÐÐ Ý Ð ÐÐ ÓÒ Ñ Ñ ÓÐÐ ÙÙ ØÙÐÐ Ú Ð ØÙ ÓØÓ Òº ÌÐÐ ÙÖ ÐÐ ÑÑ ÔÙÙØÙ ØØÝÒ ÑÔ Ò ÓØÓ ¹ Ò Ú Ð ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑ Òº ÇÐ ÓÓÒ X ØÙØ ØØ Ú ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ ØÓ¹ ÒÒ ÝÝ ÙÑ ÓÒ ØÝ Ò Ø Ó ØØ Ò ØÙÒÒ ØØÙº ÌÐÐ Ò ØÙÒÒ Ó¹ ØÓ ÓÒ Ö Ð ÐÙ Ù ÓÙ Ó {x 1, x 2,...,x n }º Ë ØÙÒÒ ÓØÓ Ò ÚÙÐÐ ÔÝÖ ØÒ ÖÚ Ó Ñ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù º ÌÖ ÑÔ ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù ÓÚ Ø Î Ø ÐÙÚÐ R = [ min 1 i n, max 1 i n x i]º Ö ØÑ ØØ Ò Ò ÖÚÓ x = 1 n n x i º

40 ¼ À ÈÌ Ê º ÌÁÄ ËÌÇÄÄÁÆ Æ ÁÆ ÁËÌÇ ÇØÓ ÓÒØ s = 1 n 1 n (x i x) 2 º Å Ò M d ÓÒ ÐÙ Ù ÓÒ Ð ÔÙÓÐ ÐÐ ÓÒ ÔÙÓÐ Ø Ú ÒÒÓ Ø #{x i M d } n = 0.5. ȹÔÖÓ ÒØØ Ô Ø M p ÓÒ ÐÙ Ù ÓÒ Ð ÔÙÓÐ ÐÐ ÓÒ p ÔÖÓ ÒØØ Ú ÒÒÓ Ø º Ì Ú ÐÐ Ø ÝØ ØÒ ÔÖÓ ÒØØ ÐÙ Ù ¾ ± ¼ ± ±º ÇØÓ ÑÓÓ À Ú ÒØÓ Ò ØÓ ÚÓ Ò k ÓÒ Ö ÐÙÓ Ò E 1, E 2,...,E k Ø Ú ÐÐ Ø k = nµº ÄÙÓ E i ÓÐ Ú Ò Ð Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ÐÐÓ Ò n i º ÇØÓ ÑÓÓ ÓÒ ÐÙÓ Ó ÓÒ Ò Ø Ò Ú ÒØÓ º º¾ ÌÙÒÒÙ ÐÙ Ù Ò Ø ÑÓ ÒÒ Ø ÇØÓ Ø {x 1, x 2,...,x n } Ð ØÙØ ÓØÓ ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙØ ÓÚ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ¹ Ò X ÙÑ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù Ò Ø Ñ ØØ º ÂÓÒ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ø Ñ ØØÓÖ θ = g(x 1, X 2,..., X n ) ÓÒ ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ ˆθ = g(x 1, x 2,...,x n ) ÓÒ Ò Ö Ð Ø Ó Ðº Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ø Ñ ØØ º Ø Ñ ØØ ÓÒ ØÓ ÐÐ Ò Ò Ø Ñ ØØÓÖ ÓÒ Ñ ÐÐ º Ø Ñ ØØÓÖ ÓÒ Ö ØÓÒ Ó E(θ ) = θ Ñ theta ÓÒ Ø ÑÓ Ø Ú Ô Ö Ñ ØÖ º Ñ Ö ÓØÓ ÖÚÓ ÓÒ Ö ØÓÒ Ø Ñ ØØÓÖ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ó ÓØÙ ÖÚÓÐÐ µ = E(X)º ÌÑÒÒ ØÓ Ø Ñ Ø Ú ÖØ Ò ÓÐ ÓÓÒ ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ Ø X i Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ ÙØÙÒ Ø Ù Ò Xº ÌÐÐ Ò E( 1 n X i ) = 1 E(X) = E(X) = µ. n n Ë ÒÓØ Ò ØØ Ø Ñ ØØÓÖ ÓÒ Ø Ö ÒØÙÚ Ó ÐÐ ǫ > 0 lim n P( θ n θ > ǫ) = 0. ÎÐ ØØ Ñ Ø Ò Ò ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù Ò Ð Ò ÒÓ ÐÐ ØØ ÓØÓ ÖÚÓ ÓÒ ÑÝ Ø Ö ÒØÙÚ Ø Ñ ØØÓÖ º ÎÓ Ò ÑÝ Ú Ö Ò ÐÔÓ Ø Ó Ó ØØ ØØ ÓØÓ ÓÒØ s ÓÒ Ö ØÓÒ ØØ Ø Ö ÒØÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÓÒÒ Ò σ Ø Ñ Ø¹ ØÓÖ º

41 º º ÆÇÊÅ ÄÁ à ÍÅ ËÌ ÂÇÀ ÌÌÍ  à ÍÅÁ ½ º ÆÓÖÑ Ð ÙÑ Ø Ó ØØÙ ÙÑ χ 2 ¹ ÙÑ ÇÐ ÓÓÒ Z i Ø ¼ ½µ¹ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø¹ ÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Z i N(0, 1)º ÌÐÐ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ χ 2 ν = Z Z Z 2 ν ÓÒ χ 2 ¹ ÙØÙÒÙØ Ú Ô Ù Ø ÐÐ νº Â ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f ν (x) = 1 Γ( ν)2 x ν ν 2 1 e x Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ E(χ 2 ν ) = ν Ú Ö Ò σ2 ν = 2νº ËØÙ ÒØ Ò Ðº ع ÙÑ ÐÓ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÇÐ ÓÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø Z i ÙØ Ò Ðк Ë Ð¹ t ν = 1 ν Z ν Zi 2 ÒÓÙ ØØ ËØÙ ÒØ Ò ÙÑ ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f tν (x) = 1 Γ( ν+1 x2 (1 + πν ) Γ( ν 2 2 ) ν+1 ν ) 2. Â Ø ÓÒ Ø Ö Ø ÐÙ Ò ÒÒ ÐØ ÙÖ Ú Ø Ð Ù Ø ÓÚ Ø Ú Ö Ò ÓÐ ÐÐ Ä Ù ½ º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ö ØÑ ØØ Ò Ò ÖÚÓ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº X = 1 n (n 1)S 2 = n X i n (X i X) 2 Ä Ù ½ º ÇÐ ÓÓÒ X ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ µ = E(X) Ú Ö ¹ Ò Ò σ 2 Ò Ú Ö Ò Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò S 2 = 1 n 1 n (X i X) 2 º ÌÐÐ Ò ½º (n 1)S2 σ 2 χ 2 n 1º ¾º x µ s n t n 1 º

42 ¾ À ÈÌ Ê º ÌÁÄ ËÌÇÄÄÁÆ Æ ÁÆ ÁËÌÇ º ÄÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø ÑÓ Ø Ú Ò ÙÙÖ Ò θ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ö ÐÐ α Óº Ú ÖÑÙÙ ÐÐ 1 αµ ÓÒ ÚÐ [θ 1, θ 2 ] Ó ØÓØ ÙØØ ÓÒ P(θ 1 θ θ 2 ) 1 α, Ø º ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ ØØ Ø ÑÓ ØÙ Ô Ö Ñ ØÖ ÓÒ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÐÐ ÓÒ 1 αº ÎÐ Ò ÔØ Ô Ø Ø Ö ÔÔÙÚ Ø ÓØÓ Ø ÑÙ Ø ØÙÒÒ ØÙ Ø ÙÙÖ Ø º Ì Ú ÐÐ Ø Ö Ø ÓÒ ÓÒ α = 0.05º Ѻ ½¾º ÇÐ ÓÓÒ {x 1, x 2,...,x n } ØÙÒÒ ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒ Ø ¹ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X N(µ, σ 2 )º ÅÖ Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ µ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ö Ø ÓÐÐ α ÙÒ Ú Ö Ò ØÙÒÒ Ø º Ê Ø º Ä Ù Ò ¾ ÒÓ ÐÐ x µ s n t n 1. ÄÙ Ø Ò Ø¹ ÙÑ Ò Ø ÙÐÙ Ó Ø ÐÙÚÙØ t 1 t 2 Ø Ò ØØ P(t 1 x µ s n t 2 ) = P(t 1 s n x µ t 2 s n ) = P(x t 2 s n µ x t 1 s n ) 1 α. ÌÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÓÒ [x t 2 s n, x t 1 s n ]. ÄÙÚÙØ t 1 t 2 Ú Ð Ø Ò Ø Ú ÐÐ Ø ÙÖ Ú Ø ÙÙÒØ Ò Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ t 2 = t 1 Ö ÐÐ Ò Ò µ ÓÒ ÙÒ Ö Ò Ð ÔÙÓÐ ÐÐ µ t 1 = t 2 Ö ÐÐ Ò Ò µ ÓÒ ÓÒ ÙÒ Ö Ò ÝÐÔÙÓÐ ÐÐ µº à ÙÙÒØ Ò Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Î Ð Ø Ò t 1 = t 2, t 2 > 0º Ë ÐÐÓ Ò ÓÒ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÓÒ ÓØÓ ÖÚÓÒ Ù Ø Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÚÐ x t 2 s n µ x + t 2 s n. ÄÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ô Ò Ò ÙÒ ÓØÓ Ò Ó Ó Ú Ø Ø Òº

43 º º ÄÍÇÌÌ ÅÍËÎ ÄÁ ÒÓÑ ÙÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÐÐ Ø Ö Ø ÐØ Ò ÒÓÖ¹ Ñ Ð ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú ¹ ÒÓÑ ÙÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ö Ø ÓÐÐ α Ñ Ô Ö Ñ ØÖ p = E(X) ÓÒ ÙÓØÙ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ÒØÝÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ X Ò(n, p)º ÃÙÒ ØÓ ØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ n ÓÒ ÙÙÖ Ò Ò X ÒÓÙ ØØ Ð Ñ Ò ÒÓÖÑ Ð ¹ ÙÑ N(np, np(1 p)) ÙÒ Ò n > n º p(1 p) ÇÐ ÓÓÒ ÙÓØÙ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ÐÙ ÙÑÖ n ØÓ ØÓ mº ÌÐÐ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò Ö Ú Ò ÓÒ m pº n Î Ð Ø Ò ÐÙÚÙØ t 1, t 2 Ø Ò Ö Ó ÙÒ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò N(0, 1) Ø ÙÐÙ Ó Ø Ø Ò ØØ P(t 1 m np np(1 p) t 2 ) 1 α P(m t 2 np(1 p) np m t1 np(1 p)) 1 α P( m n t 2 m np(1 p) p n n t 1 np(1 p)) 1 α. n ÃÓÖÚ Ø Ò Ò Ð ÙÙÖ Ð Ù Ò ÐÐ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ô ØÙÑ ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø ÓÐÐ m º Æ Ò Ò ÒÓÑ ÙÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ n p ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ [ m n t 2 m(1 m n n ), m n t 1 m(1 m n n )]. Ì Ú ÐÐ Ø Ú Ð Ø Ò t 1 = t 2 t 2 > 0º

44 À ÈÌ Ê º ÌÁÄ ËÌÇÄÄÁÆ Æ ÁÆ ÁËÌÇ

45 ÔØ Ö ÀÝÔÓØ Ò Ø Ø Ù Ø º½ Ð Ø ÃÓ ÐÐ Ò Ò ØÙØ ÑÙ ÔÝÖ Ú ÖÑ ÒØ Ñ Ò Ø ØÝ Ø ÓÖ ØØ Ø ÓÐ ØØ ÑÙ Ø ÓÒ ÙÒ Ý Ð Ò Ý Ø Ñ Ò ÝØØÝØÝÑ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ Ò ÙÙÖÙ¹ Ù Ø Ø Ñ Ò Ð Ø ÙÑ Ó Ò ÙÙÖ ÒÓÙ ØØ µº ÈÓ Ø Ú Ø Ò Ò Ø ¹ Ø ÒØ ÓÒ Ð Ø Ó Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ØÝ Ò Ó ØÙØ ØØ Ú Ø Ø Ø Ò ÝÔÓØ ÓÐ ØØ ÑÙ µ Ó ÝÚ ÝØÒ Ø ÝÐØÒ Ó ÐÐ Ò Ò ØÓÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ º Ñ Ö Ú Ñ ÚÙÓ Ò ÓÒ Ô Ð ÓÒ Ù Ø ÐØÙ Ø ÓÒ Ó ÐÑ ØÓ Ðѹ Ô Ò Ñ º ÐÐ ÙÚ ØÙÒ Ñ Ò ØØ ÐÝÒ ÑÙ Ò Ø Ò ÓÐ ØØ ÑÙ ØØ ÐÑ ØÓ ÐÑÔ Ò º ÃÓ ÐÐ Ò Ò ØÓÒ ÚÙÐÐ ÔÝÖ ØÒ Ú Ú ØÙÑ Ò ÓРع Ø ÑÙ Ò Ó ÐÐ ÙÙ Ø Ø ÓÒ ÓÐØ Ú Ú ÐÑ ÑÝ ÝÚ ÝÑÒ ÓÐ ØØ ¹ ÑÙ Ò Ú Ø ÝÔÓØ ØØ ÐÑ ØÓ ÓÐ ÐÑÔ Ò Ñ º ÀÝÔÓØ Ò Ø Ø Ù Ø Ò ØÙØ ØØ Ú Ø Ø Ò º ÒÓÐРݹ ÔÓØ H 0 ÓÒ ØÓ ÒÑÙ ÙÙØØ ØÙØ ÑÙ ÔÝÖ ØÒ Ú ÖÑ ÒØ Ñ Òº ÆÓÐÐ ÝÔÓØ ÐÐ ÓÒ ÓÐØ Ú Ú Ø ÝÔÓØ H 0 Ó ÓÒ ÝÚ ÝØØÚ Ó ÒÓÐÐ ÝÔÓØ ÓÐ ÚÓ Ñ º ØØ ÐÙØ Ú Ò Ð Ø Ó Ø Ò ÓÒ ÝÚ Ò Ý ¹ Ó Ó Ò Ò Ò ÑÝ Ñ ÐÑ Ø ¹ ÓÐ ØØ ÑÙ ÓÒ Ó Ó ØÓ Ø ÔØÓ º ÃÓ Ù Ò Ó Ö Ø ÐÝÝÒ ÐØÝÝ ØÙÒÒ ÐÑ Ø Ò Ò Ú Ð ØØ٠ݹ ÔÓØ ÚÓ Ò ÝÚ Ý Ú Ò ÓÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ðк ÌØ Ø Ö Ó Ø ¹ Ø Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ ÒÓØ ØØ ÒÓÐÐ ÝÔÓØ ÓÒ ØÓØØ Ö Ø ÓÐÐ α º Å α ÐÑÓ ØØ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ØØ Ú Ð ØØÙ ÒÓÐÐ ÝÔÓØ ÓÐ Ò ØÓØØ ÖØÝÒ Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ º ÐÙ ØÙØ ÑÑ Ø Ô ØÙÑ Ó ÝÔÓØ Ø Ò ÓÒ ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÙÙÖÙÙ Ø º ÇÐ ÓÓÒ ØÑ Ô Ö Ñ ØÖ θ Ó Ð ØØÝÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Xº ÆÓÐÐ ÝÔÓØ Ú Ð Ø Ò H 0 : θ Ψ 0,

46 À ÈÌ Ê º À ÈÇÌ ËÁÆ Ì ËÌ ÍÃË ËÌ Ñ Ψ 0 ÓÒ Ó Ù ÓÙ Ó Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ ÖÚÓ ÓÙ Ó º Î Ø ÝÔÓØ ÓÒ ÐÐÓ Ò H 1 : θ Ψ 1 = Ψ 0, Ñ Ψ 1 ÒÓÐÐ ÝÔÓØ Ò ÖÚÓ ÓÙ ÓÒ ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ Ô Ö Ñ ØÖ Ú ÖÙÙ º ÃÓ ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Ðº ØÙÒÒ ÓØÓ Òµ {x 1,...,x n } ÚÙÐÐ Ð Ø Ò Ø Ø ÑÙÙØØÙ Z ÖÚÓ z(x 1,...,x n ; Ψ 0 )º ÀÙÓÑ ØØ Ø Ø ÑÙÙع ØÙ Ö ÔÔÙÙ ÑÝ Ú Ð ØÙ Ø ÒÓÐÐ ÝÔÓØ Ø º Ì Ø ÑÙÙØØÙ Ú Ð Ø Ò Ø Ò ØØ ÒÓÙ ØØ ÓØ Ò ØÙÒÒ ØØÙ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÑ P Z º ÌÓ Ò¹ Ò ÝÝ ÙÑ Ø Ø Ò ÝÒÒÝ ÖÚÓ Ø ÝÒÒÝ ÖÚÓØ ¹ ÙÙÒØ ¹ Ø Ø µ r 0 Ø Ò ØØ P Z (Z r 0 ) 1 α, (Ø P( Z r 0 ) 1 α). ÂÓ Ð ØØÙ Ø Ø ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓ x(x 1,..., x n ; Ψ 0 ) ÙÙÐÙÙ ÝÚ ÝÑ ÐÙ ¹ Ò ÓÒ ÑÖ ØØ Ð ØØÙ ÝÒÒÝ ÖÚÓ r 0 Ò Ò ÐÐÓ Ò ÚÓ Ò ÒÓ ØØ Ú ÒØÓ Ò ØÓ Ú Ú Ø ÝÔÓØ H 0 º ÅÙÙ Ø Ô Ù ÒÓÐÐ ÝÔÓ¹ Ø ÝÐØÒ ÔÓ Ø Ò ÚÓ Ó Ú Ø ÝÔÓØ ÓÐÐ ØÓØØ Ø Ô Ù ÐÓ ¹ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓ ÓØØ Ú Ú Ø ÒÓÐÐ ÝÔÓØ Ò Ó µº º¾ ¹Ø Ø ¹Ø Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÓÐ ØØ ÑÙ Ò ØØ Ø Ø ÑÙÙØØÙ Z ÒÓÙ ØØ Ø Ò Ö ¹ Ó ØÙ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ º Ë ÐÐÓ Ò ÝÒÒÝ ÖÚÓ r 0 ÐÙ Ø Ò N(0, 1)¹ ÙÑ Ò Ø ÙÐÙ Ó Ø Ö Ø ÓÐÐ α Ö ÔÔÙ Ò ÙÓÖ Ø Ø Ò Ó ¹ Ú Ý ÙÙÒØ Ò Ò Ø Ø º È ÖÙ Ñ Ö ØÐÐ Ø Ø Ø Ù Ø ÓÒ ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒ Ò ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ Ò X Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ µ Ø Ø Ù Ñ ÓÒØ σ ÓÒ ØÙÒÒ ØØÙº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÐÙ Ú Ò Ý ÙÙÒØ Ø Ø Ø Ñ ÝÔÓØ Ø ÓÚ Ø H 0 : µ µ 0 H 1 : µ > µ 0 à ÖØÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X Ú ÒØÓ Ò ØÓ {x 1,...,x n }º º¾ ÒÓ ÐÐ Ø Ø ÑÙÙØØÙ ÚÓ Ò Ú Ð Ø Ä Ù Ò Z = X µ 0 σ n N(0, 1), Ñ Ð µ 0 ÓÐ Ó Ó ÓØÙ ÖÚÓº Ì Ø ÑÙÙØØÙ Ò Ð Ù X ÓÒ ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ Ò X i, i = 1,..., n Ö ØÑ ØØ Ò Ò ÖÚÓ Ñ X i Ø ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ X Ò Ò ÒØØ Ø ÙØÙÒ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º

47 º¾º ¹Ì ËÌÁ ÆÓÖÑ Ð ÙÑ Ò Ø ÙÐÙ Ó Ø ÐÙ Ø Ò ÝÒÒÝ ÖÚÓ r 0 Ø Ò ØØ P(Z r 0 ) = Φ(r 0 ) = 1 α, Ñ α ÓÒ Ú Ð ØØÙ Ö Ø Ó Ø Ú ÐÐ Ø α = 0.05µº ÆÓÐÐ ÝÔÓØ ÝÚ ÝØÒ Ó Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ð ØØÙ Ø Ø ÙÙÖ z = x µ 0 σ/ n r 0. ÅÙÙ Ø Ô Ù ÒÓÐÐ ÝÔÓØ ÝÐØÒ Ú Ð Ø Ò Ú Ø ÝÔÓØ º Ѻ ½ º ÈÓ Ñ Ø Ò ÝÒÒÝ ÖÚÓ Ô Ø Ú Ð Ø Ó ÒÓÐÐ ÝÔÓØ ÓÒ Ö Ø ÓÐÐ αº H 0 : µ µ 0 à ÙÙÒØ Ø Ø Ù Ú Ð Ø Ò ÝÒÒÝ ÖÚÓ Ø Ò ØØ Ø Ø ÑÙÙع ØÙ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÐÐ ÝÒÒÝ ÖÚÓ Ò ÚÐ ÓÒ 1 αº Ì Ú ÐÐ Ø ÝÒ¹ ÒÝ ÖÚÓ Ú Ð Ø Ò r 1 = r 0, r 0 > 0º ÌÐÐ Ò Ú Ð Ø Ò r 0 Ø Ò ØØ Ì Ø ÙÙÖ z = x µ 0 σ/ n P( Z r 0 ) = 1 α. ÓÒ ÝÚ ÝÑ ÐÙ Ó x µ 0 σ/ n r 0. ¹Ø Ø ÚÓ Ò ÓÚ ÐØ ÑÝ ÐÐÓ Ò ÙÒ Ø Ø ÑÙÙØØÙ ÒÓÓÙ ØØ ÒÓÖ¹ Ñ Ð ÙÑ Ú Ò Ð ÑÖ Ø º ÌÐÐ Ò Ò Ø Ð ÒÒ ØÙÐ Ú Ø Ò ÙÒ Ø Ø Ø Ò ØÓ ØÓ Ó ÙÓØÙ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ÒØÝÑ ØÓ ÒÒ ÝÝØØ pº ÒÓÑ ÙØÙÒÙØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ñ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ø Ñ ØØÓÖ ÇÐ ÓÓÒ X Ò(n, p)º  ٹ p = 1 n p(1 p) X N(p, ) ÝÑÔØÓÓØØ Ø µ. n È Ö Ñ ØÖ Ò Ø Ñ ØØ Ð Ø Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓ Ø ˆp = m, Ñ m ÓÒ n ÙÓØÙ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ÒØÝÑ ÑÖ n ØÓ ØÓ º ÀÝÔÓØ Ø ÓÚ Ø ØÐÐ Ò H 0 : ˆp p 0 H 1 : ˆp > p 0.

48 À ÈÌ Ê º À ÈÇÌ ËÁÆ Ì ËÌ ÍÃË ËÌ Ì Ø ÙÙÖ ÓÒ ÒÝØ z = ˆp p 0 p 0 (1 p 0 ) n N(0, 1). À Ø Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò Ø ÙÐÙ Ó Ø ÝÒÒÝ ÖÚÓ r 0 Ø Ò ØØ Φ(r 0 ) = 1 α. ÀÝÚ ÝÑ ÐÙ ÒÓÐÐ ÝÔÓØ ÐÐ ÓÒ ØÐÐ Ò {z r 0 }º º Ì¹Ø Ø ÐÐ Ø Ø Ø ÚÓ Ò ÝØØ ÐÐÓ Ò ÙÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÒØ ÓÒ ØÙÒÒ ØØÙº Ð Ò Ò Ò ÓÐ Ð Ø º Ë ÐÐÓ Ò ÓÒÒ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ñ ØØ Ú ÒØÓ Ò ØÓ Ø º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÒÓÙ ØØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ÓÒ ÑÓÐ ÑÑ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø µ σ 2 ÓÚ Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ø º X N(µ, σ 2 )º Æ ÓÒ Ø ÑÓ Ø Ú Ú ÒØÓ Ò ØÓ Ø {x 1,...,x n }º È Ö Ñ ØÖ Ò Ø Ñ Ø Ø ÓÚ Ø n ÇØÓ ÖÚÓ x = 1 º n ÇØÓ ÓÒØ s = 1 n 1 Ì ÝØ ÝÔÓØ Ø ÓÚ Ø ØÐÐ Ò α n [x i x] 2 º H 0 : µ µ 0 H 1 : µ > µ 0 ÌÐÐ Ò Ø Ø ÑÙÙØØÙ Z ÒÓÙ ØØ Ø¹ ÙÑ Ú Ô Ù Ø ÐÐ n 1 z = x µ 0 s n t n 1. ÀÝÚ ÝÑ ÐÙ Ò ÝÒÒÝ ÖÚÓ ÐÙ Ø Ò Ø¹ ÙÑ Ò Ø ÙÐÙ Ó Ø Ö Ø ÓÐÐ P(t n 1 r 0 ) = 1 α. ÆÓÐÐ ÝÔÓØ ÝÚ ÝØÒ Ó Ø Ø ÙÙÖ z r 0 º ÀÙÓÑ ØØ Ó ÒÓÐÐ ÝÔÓØ ÔÝ ØÐ ØÓ ÒÔ Ò Ò Ò ÝÒÒÝ ÖÚÓ r 0 < 0µ Ô Ø Ú Ð Ø Ø Ò ØØ P(t n 1 r 0 ) = 1 α. Ë ÐÐÓ Ò ÝÚ ÝÑ ÐÙ ÓÒ ÝÒÒÝ ÖÚÓÒ Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ÓÐ Ú Ö Ð ÙÓÖ Ò Ó º

49 º º À ÂÇÆÆ Æ Ì ËÌÁ º À ÓÒÒ Ò Ø Ø Ì Ø Ø ÓÐ Ø Ø Ò ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X N(µ, σ 2 ) ÓÒ ¹ ÓÒØ Ò Ø Ø Ø Òº ËÙÓÖ Ø Ø Ò ØÙÒÒ ÓØÓ {x 1, x 2,...,x n } X غ Ìй Ð Ò Ø Ø ÑÙÙØØÙ ÒÓÙ ØØ χ 2 ¹ ÙÑ (n 1)s 2 σ 2 χ 2 n 1. ÌÙØ ØØ Ú Ø ÝÔÓØ Ø ÓÚ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø ÑÙÓØÓ H 0 : σ σ 0 H 1 : σ > σ 0. χ 2 ¹ ÙÑ Ò Ø ÙÐÙ Ó Ø ÐÙ Ø Ò ÝÒÒÝ ÖÚÓ r 0 Ö Ø ÓÐÐ α P(χ 2 n 1 r 0) = 1 α. Ñ Ö Ó Ö Ø Ó Ú Ð Ø Ò ± ÓØÓ Ó Ó n = 10 Ò Ò Ø Ø ÑÙÙع ØÙ ÒÓÙ ØØ χ 2 9¹ ÙÑ ÐÐ Ú Ô Ù Ø ÐÐ º ÌÐÐ Ò Ú Ð Ø Ò ÝÒÒÝ Ø ¹ Ó r 0 Ø Ò ØØ ÆÝØ Ó Ø Ø ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓ P(χ 2 9 r 0) = 0.95 r 0 = s 2 σ 2 0 = 10 (x i x) 2 σ 2 0 r 0, Ò Ò Ø Ø ÙÙÖ ÓÒ ÝÚ ÝÑ ÐÙ ÒÓÐÐ ÝÔÓØ ÝÚ ÝØÒº ÅÙÙ Ø Ô Ù ÝØÒº º Ç ÓØÙ ÖÚÓ Ò ÖÓØÙ Ò Ø Ø Ã Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÖÓØÙ Ò Ø Ø Ú ÖØ ÐÐ Ò Ò ÒÓÖÑ Ð Ù¹ ØÙÒ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ º Ñ Ö Ú Ò ÐÐ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ Ú ÐÑ Ø ØÙÒ ØÙÓØØ Ò Ó Ù ÓÑ Ò ÙÙ X ÒÓÙ ØØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ N(µ 1, σ1 2)º ÃÝØØ Ò ÓØ Ø Ò ÙÙ Ú ÐÑ ØÙ Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÒ Ó Ó Ø Ñ ÓÑ Ò ÙÙ Y Ñ Ö ÒÒÐÐ Ò Ò ÚÐØØÑØØ ÑÝÝ ÝØØ Ñ ÐÐ ÓÑ Ò ÙÙ ÐÐ Ö Ø¹ ÙÒÒ ÑÙÙØØÙ µ ÒÓÙ ØØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ N(µ 2, σ 2 )º ÆÝØ ÐÙØ Ò

50 ¼ À ÈÌ Ê º À ÈÇÌ ËÁÆ Ì ËÌ ÍÃË ËÌ ØÙØ ÓÒ Ó Óº Ú ÐÑ ØÙ Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ÖÓ ØÙØ ØÙÒ ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÒÒ ÐØ º Ì Ò ÝÔÓØ Ø H 0 :µ 1 = µ 2 H 1 :µ 1 µ 2 Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X ÔÓ Ñ Ø Ò ØÙÒÒ ÓØÓ {x 1, x 2,...,x n } ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ Ø Y ØÙÒÒ ÓØÓ {y 1, y 2,...,y m }º Ë ØÙÒÒ ÓØÓ Ø Ò ÓØÓ ØÙÒ¹ ÒÙ ÐÙÚÙØ ÓÚ Ø x = 1 n y = 1 n n m x i, s 2 1 = 1 n 1 y i, s 2 2 = 1 m 1 n [x i x] 2 m [y i y] 2. Ç ÓØÙ ÖÚÓ Ò ÖÓØÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ ÓÒ ÌÐ Ò Ø Ø ÑÙÙØØÙ ÓÒ X Y N(µ 1 µ 2, σ2 1 n + σ2 2 m ). z = x y µ 0 σ1 2 n + σ2 2 m N(0, 1), Ó ÓÒÒ Ø ØÙÒÒ Ø Ò Ñ µ 0 = µ 1,0 µ 2.0 = 0 ÓÒ ÓÐ Ø ØØÙ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ò ÖÓØÙ º ÆÝØ Ý ÓÒ ÙÙÒØ Ò Ò Ø Ø º À Ø Ò ÝÒÒÝ ÖÚÓ r 0 Ø Ò ØØ Φ(r 0 ) Φ( r 0 ) = 2Φ(r 0 ) 1 = 1 α Φ(r 0 ) = 1 α 2, Ñ α ÓÒ Ú Ð ØØÙ Ö Ø Óº ÃÝØÒÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÒÒ Ø ÓÚ Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ò ÓÒ Ò Ò Ø ÑÓ Ø Ú Ú ÒØÓ Ò ØÓ Ø º Ë ÐÐÓ Ò Ø Ø ÑÙÙØØÙ Ò ÝØ ØÒ ÙÙÖ ØØ z = 1 n + 1 m x y µ 0 (n 1)s 2 1 +(m 1)s2 2 n+m 2 t n+m 2, к ÒÓÙ ØØ ËØÙ ÒØ Ò ÙÑ n + m 2 ÐÐ Ú Ô Ù Ø ÐÐ º

51 º º χ 2 TESTIT 51 º χ 2 ¹Ø Ø Ø Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ Ø Ø Ì Ø Ø ØÙØ Ø Ò ÒÓÙ ØØ Ó Ú ÒØÓ¹ Ò ØÓ ÓÐ Ø ØØÙ ÙÑ Ú º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X Ø Ò n ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØÓÒØ Ú ÒØÓ {x 1, x 2,...,x n } ÓØ Ø Ò ÐÙÓ Ò E i, i = 1, 2,..., kº ÄÙÓ Ò E i Ó ØØÙÙ n i Ú ÒØÓ n 1 + n n k = nµº Ì Ò ÓÐ ØØ ÑÙ ØØ Ý Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ¹ ÙÒ Ø Ó ÓÒ P( )º ÌÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ ÐÙÓ E i ÓÒ p i = P(X E i )º Ë Ø Ò ÐÙÓ E i ØÙÐ ÓÐÐ np i Ð ÓØ º ÂÓ ÓÐ Ø ØØÙ ÙÑ Ú ÒÒÓØ Ú Ø Ú Ø ØÓ Ò ØÙÐ ÓÐÐ n i np i ÐÐ i = 1, 2,..., kº À Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Ñ ÐÐ Ò ÚÐ Ò ÝÚÝÝ Ò Ñ ØØ Ö Ú Ð ¹ Ø Ò Ø Ø ÑÙÙØØÙ k (n i np i ) 2. np i ÆÝØ ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ø Ø ÑÙÙØØÙ ÒÓÙ ØØ Ð Ñ Ò χ 2 k 1 ¹ ÙÑ Ó ÙÖ Ú Ø ÓØ ÓÚ Ø ÚÓ Ñ Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Ó Ó ÓÒ ÝÐÐ Ò ÙÙÖ n 50 ÂÓ Ò Ò ÐÙÚÙ Ø np i 2 ÃÓÖ ÒØ Ò ¾¼ ± ÐÙÚÙ Ø np i 5º ÅÙÙ Ø Ô Ù Ý Ø ÐÙÓ º Ø ØØ Ú Ø ÝÔÓØ Ø ÓÚ Ø H 0 : À Ú ÒØÓ Ò ØÓ ÒÓÙ ØØ ÓÐ ØÙ ÙÑ ; H 1 : Ú ÒØÓ Ò ØÓ ÒÓÙ Ø ÓÐ ØÙ ÙÑ. Î Ð Ø Ò Ø Ö Ø Ó α ÐÙ Ø Ò χ 2 k 1 ¹ ÙÑ Ò Ø ÙÐÙ Ó Ø ÝÒÒÝ ÖÚÓ r 0 Ø Ò ØØ P(χ 2 k 1 r 0) = 1 α. ÆÓÐÐ ÝÔÓØ ÐÔÙÙØ Ø Ò Ó k (n i np i ) 2 r 0. np i Í Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÐ ØÙ ÙÑ ÐØ ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ô Ö Ñ Ø¹ Ö ÓØ ÓÒ Ò Ò Ø ÑÓ Ø Ú Ú ÒØÓ Ò ØÓ Ø º ÂÓ Ø ÑÓ Ø Ú Ò Ô Ö ¹ Ñ ØÖ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ l Ò Ò ÐÐÓ Ò Ø Ø ÑÙÙØØÙ k (n i nˆp i ) 2 χ 2 k l 1 nˆp i

52 ¾ À ÈÌ Ê º À ÈÇÌ ËÁÆ Ì ËÌ ÍÃË ËÌ Ñ ˆp i = ˆP(X E i ) ÓÒ Ø ÑÓ ØÙ ÐÙÓ ØÓ ÒÒ ÝÝ º Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ø Ø ÇÐ ÓÓÒ {x 1, x 2,...,x n } Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ú Ò¹ ØÓ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø Xº Ò ØÓ ÐÙÓ Ø ÐÐ Ò ÐÐ Ö Ø Ú ÐÐ ÐÙ¹ Ó Ò ¹Ø Ô ÐÙÓ Ø A 1, A 2,...,A k ¹Ø Ô ÐÙÓ Ø B 1, B 2,...,B l º À Ú ÒÒÓ Ø ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò ÐÙ ÙÑÖØ ÙÐÙ Ó Ðº ÓÒØ Ò Ò Ø ÙÐÙ Ó A\B B 1 B 2 B 3 B l Ö Ú ÙÑÑ Ø A 1 n 11 n 12 n 13 n 1k l j=1 n 1j = m 1 A 2 n 21 n 22 n 23 n 2k l j=1 n 2j = m 2 A 3 n 31 n 32 n 33 n 3k l j=1 n 3j = m 3 º º º º º º A k n k1 n k2 n k3 n l kk j=1 n kj = m k Ö ÙÑÑ Ø n 1 n 2 n 3 n l i,j n ij = n Å Ö ØÒ P( À Ú ÒØÓ ÐÙÓ Ø A i ) = p i P( À Ú ÒØÓ ÐÙÓ Ø B j ) = q j P( À Ú ÒØÓ ÐÙÓ Ø A i B j ) = t ij ÂÓ ÐÙÓ ØØ ÐÙØ ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò ØÙÐ ÓÐÐ t ij = p i q j º ÅÙÙ Ø Ô Ù ÓÒ ÚÓ Ñ t ij p i q j º ÃÓ Ú ÒØÓ Ò ØÓ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò Ò Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ ÚÐØØÑØØ ÒØØ Ø ØÓ º Ë ÚÓ Ø Ò Ú Ö Ó Ú Ò Ö ØØ ÑÐÐ Ú ÒØÓ Ò ØÓÐÐ º Ë ÓÒ ÝÚ ÝØØÚ ÓÒ Ò Ø Ò Ò ÔÚ ÖÑÙÙ ÔØ ÒØ Ó º ÇÐ ÓÓÒ Ö Ø Ó αº Ì Ø ÑÙÙØØÙ ÚÓ Ò Ú Ð Ø k l (n ij nˆp iˆq j ) 2 χ 2 nˆp (k 1)(l 1), iˆq j j=1 Ñ ˆp i = m i к ÐÙÓ Ò A n i Ú ÒØÓ Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ó ÙÙ ˆq j = n j к n ÐÙÓ Ò B j Ú ÒØÓ Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ó ÙÙ º Ì Ø ÑÙÙØØÙ Ò ÝØØ ÐÐ ØØÙ Ó

53 º º χ 2 TESTIT 53 n 50 nˆp iˆq j 2 ÓÖ ÒØ Ò ¾¼ ± ÐÙÚÙ Ø nˆp iˆq j ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ù Ò º ÀÝÔÓØ Ò Ø Ø Ù ÙÓÖ Ø Ø Ò ÙØ Ò ÑÑ Òº Ì Ò ÝÔÓØ Ø H 0 : ÄÙÓ ØØ ÐÙØ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø H 1 : ÄÙÓ ØØ ÐÙØ Ö ÔÔÙÚ Ø. ÄÙ Ø Ò χ 2 ¹ ÙÑ Ò Ø ÙÐÙ Ó Ø ÝÒÒÝ ÖÚÓ r 0 Ø Ò ØØ ÂÓ Ø Ø ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓ P(χ 2 (k 1)(l 1) r 0 ) = 1 α. k l j=1 Ò Ò ÐÙÓ ØØ ÐÙØ ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ º (n ij nˆp iˆq j ) 2 nˆp iˆq j r 0,

54 À ÈÌ Ê º À ÈÇÌ ËÁÆ Ì ËÌ ÍÃË ËÌ

55 ÔØ Ö ½¼ Å Ü ÑÙÑ Ä Ð ÓÓ ¹ Ø ÑÓ ÒØ ÇÐ ÓÓÒ f(x; θ) Ô Ö Ñ ØÖ Ø θ R Ö ÔÔÙÚ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ý Ñ x = {x 1, x 2,...,x n } ÓÒ Ú ÒØÓ Ò ØÓ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X ÓÒ ÓÐ Ø Ø Ò ÒÓÙ ØØ Ú Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÑ f(x; θ) ÓÐÐ Ò Ö Ð Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ ÖÚÓÐÐ º Å Ü ÑÙÑ Ð Ð ÓÓ ¹ Ø ÑÓ ÒÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ Ð ÖÚÓ Ðº Ø ¹ Ñ Ø Ú Ð Ø Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ ˆθ Ó Ñ ÑÓ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ý Ò f(x; θ)º Ë Ø Ò Ñ ØÝ ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò¹Ñ Ò Ø ÐѺ ÃÓ ÙÒ Ø ÓØ ln[f(x; θ)] f(x; θ) Ú Ø Ñ Ñ Ò Ñ Ô Ø ÐÓ Ö ØÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ó Ø Ú Ú µ Ò Ò Ù ÑÑ Ø Ò Ð Ø Ò ÐÓ ¹Ð Ð ÓÓ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ln[f(x; θ)] Ñ Ñ Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ Ù Ø Òº Ѻ ½ º ÃÓ Ò Ô ØØ Ò Ð Ò Ø Ú ÖØ ÓÑÔÓÒ ÒØ Òº ÃÓ Ò Ø Ò Ð Ø ÓÒ ÓØ ØØÙ ÒÝØØ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø µ x i = θ + w i, i = 1,...,n Ñ Ó Ò Ò ÓÐ Ø Ø Ò ÓÐ Ú Ò Ö ÔÔÙÑ ØÓÒØ Ö ÒÝØØ ÙØÙÒÙØ Ø Ò Ö Ó ÙÒ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÑÙ Ø Ðº w i N(0, 1)º ÅÖ ÒÝØØ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ø Ú ÖØ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÙÙÖÙÙ ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐк Ê Ø º ÁÐÑ Ø Ó Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X i N(θ, 1)º ÃÓ Ò ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò Ò Ò Ò Ý Ø ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó n 1 f X (x 1, x 2,...,x n ; θ) = f Xi (x i ; θ) = [ ] n P n e 1 2 (x i θ) 2. 2π ÄÓ ¹Ð Ð ÓÓ ¹ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ln(f(x; θ)) = n 2 ln(2π) 1 2 n (x i θ) 2.

56 À ÈÌ Ê ½¼º Å ÁÅÍÅ ÄÁà ÄÁÀÇÇ ¹ ËÌÁÅÇÁÆÌÁ Ä Ð ÓÓ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ñ Ð ÝØÝÝ Ö Ú Ø Ò ÒÓÐÐ Ó Ø Ð Ô Ò Ù Ú Ô Ö Ð µ d ln(f(x; θ)) n = (x i θ) = 0. dθ Æ Ò ÓÐÐ Ò Ø Ú ÖØ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ð ÓÓ ¹ Ø Ñ ØØ ÓÒ ÓØÓ ÖÚÓ ˆθ = 1 n x i = x. n Ѻ ½ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ Ø Ð ÒÒ ØØ Ù Ò ÐÐ Ñ Ö ÑÙØØ ÓÐ ØØ Ò ØØ Ó Ò Ò Ú Ö Ò ØÙÒÒ Ø Ø º Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øµ ÒÝØØ Ø ¹ Ò Ð Ø ÒÓÙ ØØ Ú Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ x i = θ 1 + w i N(θ 1, θ 2 ), i = 1,...,n, ÓÒ ÑÓÐ ÑÑ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÓÚ Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ º Ê Ø º ÌÐÐ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X i Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f Xi (x i ) = 1 e (x i θ 1 ) 2 2θ 2 2πθ2 ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X i Ý Ø ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÄÓ ¹Ð Ð ÓÓ ¹ ÙÒ Ø Ó 1 f X (x; θ 1, θ 2 ) = ( ) n 2 e 2πθ 2 ln(f X (x; θ 1, θ 2 )) = n 2 ln(2πθ 2) 1 2θ 2 1 P n 2θ 2 (x i θ 1 ) 2. n (x i θ 1 ) 2. ÓÒ Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó ÓÐÐ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò Ñ Ñ Ó Ø ÐÐ Ò À Ò Ñ ØÖ ÓÒ Ò Ø Ú Ø Ò ØØ Ð Ô Ò Ù Ú Ô Ö ÓÐÓ µº Å Ñ Ó Ø Ð ÝØÝÝ Ö ÒØ Ò ÒÓÐÐ Ó Ø θ ln f(x; θ 1, θ 2 ) = 0. ÌÓ Ò ÒÓ Ò ÓÒ Ö Ø Ø Ú Ý ØÐ Ô Ö ln f(x; θ 1, θ 2 ) = 1 n (x i θ 1 ) = 0 θ 1 θ 2 ½¼º½µ ln f(x; θ 1, θ 2 ) = n n (x θ 2 2 θ 2 2θ2 2 i θ 2 ) 2 = 0 ½¼º¾µ

57 ØÐ Ø ½µ ÚÓ Ò Ö Ø Ø Ø Ñ ØØ Ó ÓØÙ ÖÚÓÐÐ θ 1 ˆθ 1 = 1 n x i = x. n Ë Ó Ø Ø Ò Ý ØÐ Ò ¾µ ÓØ Ò Ú Ö Ò Ò Ø Ñ ØØ Ö Ø Ø Ò Ý ØÐ Ø 1 n (x i x) 2 n = 0, ÓÒ Ö Ø Ù ÓÒ θ 2 ˆθ 2 = 1 n n (x i x) 2. Å Ü ÑÙÑ Ð Ð ÓÓ ¹ Ø ÑÓ ÒÒ ÐÐ Ø Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÐÐ Ö ØÓÒ Ø Ñ ØØ º À ÓÒÒ Ò Ø Ñ ØØ ÓÐ Ö ØÓÒ ÑÙØØ ÓÒ Ø Ö ÒØÙÚ Ø º º ÐÙ Ò¹ ØÓÚ ÓÒ Ñ Ø Ö Ð µº Ð Ø ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ó Ô Ö Ñ ØÖ Ø θ = [θ 1, θ 2,...,θ k ] Ö Ô¹ ÔÙÚ Ø Ý ÙÒ Ø Ó f X (x; θ) ÓÒ Ö ØØÚÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ò Ò Ñ Ü ÑÙѹ Ð Ð ÓÓ Ø Ñ ØØÓÖ ÓÒ Ø Ö ÒØÙÚ ÝÑÔØÓÓØØ Ø ÓÔØ Ñ ¹ Ð Ò Òº ÂÓ ÓÒ ÓÐ Ñ Ø Ó Ø Ñ ØØÓÖ Ò Ò Ñ Ü ÑÙѹРРÓÓ ¹Ñ Ò ¹ Ø ÐÑÐÐ Óº Ø Ñ ØØÓÖ ÓÒ Ð Ý ØØÚ º Ѻ ½ º ÇÐ ÓÓÒ X ÈÓ ÓÒ¹ ÙØÙÒÙØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÈÓ (a)µ x 1, x 2,...,x n Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ú ÒØÓ X غ ÅÖ Ñ Ü ÑÙѹРР¹ ÓÓ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ Ø ÑÓ ÒØ Ú Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ aº Ê Ø º ÈÓ ÓÒ¹ ÙÑ Ò Ô Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ P(X = x i ) = ax i x i! e a, x i = 0, 1, 2,.... ÃÓ Ú ÒÒÓØ ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò Ò Ú ÒØÓ Ò Ý Ø ÙÑ Ò Ô ¹ ÖÙ Ø ÐÐ Ð Ð ÓÓ ¹ ÙÒ Ø Ó Ðº Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Óµ ÓÒ np x i a L(x; a) = x 1!x 2! x n! e na. Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÐÓ Ö ØÑ ln(l(x; a)) ÚÙØØ Ñ Ñ Ò Ñ Ô Ø â Ù Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓØ Ò Ñ ÑÓ Ò [ n ] ln(l(x; a)) = x i ln(a) na ln(x 1!x 2! x n!).

58 À ÈÌ Ê ½¼º Å ÁÅÍÅ ÄÁà ÄÁÀÇÇ ¹ ËÌÁÅÇÁÆÌÁ Å Ñ Ð ÝØÝÝ Ö Ú Ø Ò ÒÓÐÐ Ó Ø d ln(l(x; â)) da = 1 ( n ) x i n = 0 â â = 1 n n x i. Å Ü ÑÙÑ Ð Ð ÓÓ ¹ Ø ÑÓ ÒÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ØÙÒØ Ñ ØÓÒØ Ô Ö ¹ Ñ ØÖ Ú ØÓÖ θ = [θ 1, θ 2,...,θ k ] T Ó ÔÝÖ ØÒ ÑÖÑÒ Ú ÒØÓ ¹ Ò ØÓÒ x = [x 1, x 2,...,x n ] T ÚÙÐÐ º À Ú ÒÒÓØ ÓÐ Ø Ø Ò ÓÐ Ú Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓ¹ Ñ ÒÓÙ ØØ Ú Ø Ñ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÑ f(x i ; θ)º È Ö Ñ ØÖ Ú ¹ ØÓÖ Ò θ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÓÒ Ú ÖÖ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÝØ Ò L(θ) = f(x; θ). ÃÓ Ú ÒÒÓØ ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ý ÙÐÓع Ø Ø Ò ÙÑ Ò ØÙÐÓ n L(θ) = f(x i ; θ). ÃÝØÒÒ ÙØ Ò ÐÐ Ø Ñ Ö Ø Ú Ø ÑÑ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ ¹ Ø Ó ÓÒ ÔÓÒ ÒØ Ð Ø ÑÙÓØÓ º Ë ÐÐÓ Ò ÓÒ Ö Ú Ø Ö Ø ÐÐ Ù ÓØØ ÚÙÙ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÐÓ Ö ØÑ l(θ) = ln(l(θ)). ÙÒ Ø ÓØ Ò ÚÙØØ Ú Ø Ñ Ñ Ó Ø Ò Ñ Ô Ø º Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ ÙÖ ÁÁ Ò ÒÓ ÐÐ Ñ Ñ Ó ˆθ Ö ÒØØ Ú Ðº Ó ØØ Ö Ú Ø Ø l(ˆθ) = 0, j = 1, 2,..., k. θ j ÃÙØ Ò ÅÈà ÁÁ Ò ÙÖ ÐÐ ØÓ ØØ Ò Ö ÒØ Ò ÒÓÐÐ Ó Ø ÚÐØØÑØØ ÓÐ Ñ Ñ Ó Ø ÐÐ Ö ÒØØ Ú ÑÝ Ñ Ò Ñ Ó Ø ØÙ¹ Ð Ô Ø º Ö ÒØ Ò ÒÓÐÐ Ó Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó Ø Ò ÐÓ Ö ØÑ µ ÚÓ Ò ØØ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ò l(θ) = l(ˆθ) + θ l(ˆθ) T (θ ˆθ) = l(ˆθ) k i,j k i,j=1 2 l(ˆθ) θ i θ j (θ i ˆθ i )(θ j ˆθ j ) +. 2 l(ˆθ) θ i θ j (θ i ˆθ i )(θ j ˆθ j ) +

59 Ö ÒØ Ò ÒÓÐÐ Ó Ò Ð ØÙ Ö ÔÔÙÙ Ò Ð ÑÙÓ ÓÒ 1 2 k i,j=1 2 l(ˆθ) θ i θ j (θ i ˆθ i )(θ j ˆθ j ) ÓÑ Ò ÙÙ Ø º Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ ØÓ Ø Ö Ú Ø Ø ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ò º Ö Ò Ò ÓÖ¹ Ñ Ø ÓÑ ØÖ Ò [ 2 l(ˆθ) J(ˆθ) = θ i θ j ]i,j Î ØÓÖ Ò ÐÝÝ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÚÙØØ Ñ Ñ Ò Ö ¹ ÒØ Ò ÒÓÐÐ Ó Ó Ö Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÑ ØÖ ÓÒ Ò Ø Ú Ø ¹ Ò ØØ Ø º Ò ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø Ò Ø Ú º ÆÝØ ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ð ÓÓ ¹ Ø Ñ ØØÓÖ ÓÒ Ì Ö ÒØÙÚ Ø º lim P( ˆθ(n) θ > ǫ) = 0 Ñ ˆθ(n) ÓÒ Ò Ò n Ú ÒØÓÓÒ Ô ÖÙ ØÙÚ Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ Ø Ñ ØØ º ÝÑÔØÓÓØØ Ø ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒÙØ Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ θ ÓÚ Ö Ò ¹ Ñ ØÖ Ò Ú Ö Ò Ò µ 1 n J 1 Ñ J ÓÒ Ö Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÑ ØÖ º ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ó Ø º Ó θ(n) ÓÒ Ñ Ø Ò Ø Ö ÒØÙÚ ÝÑÔØÓÓØØ Ø ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒÙØ Ø Ñ ØØÓÖ Ô Ö Ñ ØÖ Ú ØÓÖ ÐÐ θ ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ Ò Σ Ò Ò J Σ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ñ Ò ØØ º Æ Ò ÓÐÐ Ò ÅĹ Ø Ñ ØØ ÓÒ ÑÝ ÝÑÔØÓÓØØ Ø ÓÔØ Ñ Ð Ò Òº ÁÒÚ Ö ÒØØ ÙÚ Ù Ø Ò Ù Ø Òº ÇÐ ÓÓÒ g( ) Ú ØÓÖ ÑÙÙØØÙ Ò Ú ØÓÖ ¹ ÖÚÓ Ò Ò ÙÒ Ø Óº ÌÐÐ Ò Ó ˆθ ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ú ØÓÖ Ò θ ÅĹ Ø Ñ ØØ Ò Ò g(ˆθ) ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò g(θ) ÅĹ Ø Ñ ØØ º À Î Ã Ë