T 2. f T (x)e i2π k T x dx. c k e i2π k T x = x dx. c k e i2π k T x = k Z. f T (x) =

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "T 2. f T (x)e i2π k T x dx. c k e i2π k T x = x dx. c k e i2π k T x = k Z. f T (x) ="

Esa Rantanen
6 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 º ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÙÖÖ Ò ÒØÖÐ Ð Ù ¹ ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(x) PC(R) º½ ÓÙÖÖ¹ Ò ÐÝÝ º ÒÐ Òµ ÅÖ Ø ÐÐÒ T ¹ ÓÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f T (x) = f(x), T 2 < x < T 2, ÃÓÑÔÐ Ò Ò ÓÙÖÖ¹ÖÖÓ Ò c k = 1 T T 2 T 2 f T (x)e i2π k T x dx. ÃÓÑÔÐ Ò Ò ÓÙÖÖ¹Ø ÐÑ f T (x) k= c k e i2π k T x = f T (x) = k= c k e i2π k T x = k Z 1 T ei2π T k [ x T 2 T 2 f T (x)e i2π T k ] x dx.

2 ÃÙÒ ÒÐ Ò Ó T Ú Ö ØØ Ó Ø Ö Ø ÒØ ÒÒ ÐÐÓ Ò f T (x) Ý ØÝÝ ÙÒ Ø ÓÓÒ f(x) Ò ÚÒ ÙÙÖ ÑÑ ÐÐ ÚÐ ÐÐ ÙÑÑ Ø ÖÑ Ð ØÝÝ Ó Ø ÒØÖÐº ÅÖ Ø ÐÐÒ ω = 2πk T = f T (x) = k Z 1 T eiωx [ T 2 T 2 ] f T (x)e iωx dx. ω = ω(k + 1) ω(k) = 2π T 0 ÙÒ T = ÙÑÑ Ð ØÝÝ ÒØÖÐ f(x) = lim T f T(x) = ω= [ dω 2π eiωx x= ] f(x)e iωx dx.

3 ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÙÖÖ Ò ÒØÖÐ Ð Ù F(ω) = x= f(x)e iωx dx, ÙÒ Ø ÓÒ f(x) ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ ÒØ ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ f(x) = 1 2π ω= F(ω)e iωx dω, Ó ÖÓÒ ØÖÙÓ Ð ÙÔ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒº

4 µ f(x) = { 1, L x L 0, x > L Ñº ½º Ä ÙÖÚÒ ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ µ f(x) = { e ax, x > 0 0, x < 0 µ f(x) = e a x µ f(x) = { e ax, x > 0 e ax, x < 0,

5 µ f(x) = 1, x > 0 1, x < 0 µ f(x) = e x2 µ Ð¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙÙÒÒÓ f(x) = 1, x > 0 0, x < 0, µ Î Ó ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = 1 ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ º

6 Ú Ö Ó Ø ÐÒ ÝÚ Ò ÔÒ ÐÐ ÐÙÐÐ ÚÓ Ñ Ò ÓÒ ÈÒÓÒ Ð Ò ÚÖ Ø Ð ÑÒ ØÙÓØØ ÑÒ ÙÐÓ Ó Ò¹ Ú ÙØÙ Ø Ô Ø Ñ Ø º Å Ø ÑØØ Ø ØÑ Ð Ó ÒØ Ø Ö Ó ØØ Ó ØÙÙ ÚÓ Ñ Ø ÝÐÐ h Ö Ò ÝÒØ ǫ Ñ (x) º¾ ÖÒ ÐØ ¹ ÙÒ Ø Ó ØÙ ÙÙÐ Ò ÑÐÝÚ º Á Ð Ó ØÙÒ ÚÓÒ ÒÓ ØØ ÚÓ Ñ h ǫ (x) = 0, x < 2 ǫ 1 ǫ, 2 ǫ < x < + 2 ǫ 0, x > + ǫ 2. ¼

7 ÚÐ Ò Ô ØÙÙ ǫ 0 ÒÒ ÚÓ Ñ Ø Ý ÙÔÔ Ò Ó Ø Ö ³ Ò ÃÙÒ ÐØÙÒ Ø ÓØ ÐØÙÒ Ø Ó ÓÐ ÙÒ Ø Ó Ô Ö ÒØ ÑÐ ÚÒ Ý¹ Ö ³ Ò ÓÒ ØÖÙÙØ Óº Ë ÐÐ ÓÒ ÙÖÚ ÒÐÒ Ò Ô ÖÙ ÓÑ Ò ÙÙ Ó ÓÐÐÒ Ø Ô ÝÐÒ Ò Ò º ÝÐ Ø ØÝ ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ Ðº ØÖÙÙ¹ ÓÒ Æ ÑÖ Ø ÐÐÒÒ ÒØÖÓ Ñ Ò ÚÙÐÐ º Ø Ó ÐÐº δ(x) = lim ǫ 0 0, x < 2 ǫ 1 ǫ, 2 ǫ < x < 2 ǫ 0, x > ǫ 2 = 0, x 0, x = 0. ½

8 ÐØÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ Ø ÐÑÒ ÙÙÐÐÒº ÙÒ Ø Ó h È Ð ØÒ ǫ ÚÓ Ñ Ò ÓÒ Ò ÒØÖÐ ÝÐ ÚÐ Ò ÐÑÓ ØØ Ù Ò ÙÙÖ ÚÓ Ñ Ó ¹ Ø Ý F ǫ = ØÙÙ ÔÒÓÒ ÐÒº ÁÒØÖÐ Ò ÖÚÓ h ǫ(x)dx = ǫ 2 ǫ 2 1 ǫ dx = 1 ÐÐ ǫ > 0º ÃÓ ÒØÖÐ Ò ÖÚÓ ÓÒ ÖÔÔÙÑ ØÓÒ ǫ Ø ÒÒ Ö ¹ Ò ØØ ÐØ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÒØÖÐ ÝÐ Ö Ð ÐÙ ÙÒ Ò ÝÒÒ ÐÐ ÓÒ ÓÙ ÓÒ δ(x)dx = 1. ÅÖº Ö ³ Ò ÐØ ¹ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÙÚ Ù Ö ÐÖÚÓ Ø Ò Ø ÙÚÒ ¾º ÓÙ Ó Ø C(R) Ó ÑÖ Ø ÐÐÒ ØØ Ñ ÐÐ ÐÐ f ÙÒ Ø Ó Ò C(R) δ(x)f(x)dx = f(0). ¾

9 ÒØ Ò Ý Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÚØØ ÓÒ Ö ³ Ò ÐØÙÒ Ø Óº Â ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÙÓÖÒ ÑÖ Ø ÐÑÒ ÒÓ¹ ÐØ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ x È Ø Ò 0 ÐØ ¹ ÙÒ Ø Ó δ(x x ØØÝÒÝØ 0 ) δ(x x 0)f(x)dx = f(x 0 ). ÒØÖÐÙÒ Ø Ó ÓÒ Ý Ð ÙÒ Ø Ó ÐØ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ u(x) = x δ(z)dz = 0, x < 0 1, x > 0. ˆδ(ω) = δ(x)e iωx dx = 1. ÐÐ

10 º º ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ÓÑ Ò ÙÙ ÇÐ ÓÓÒ F(ω) ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ f(x) ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ º ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ ÇÐ Ø ØÒ ØØ ÙÒ Ø Ó f(x) ÓÒ ¹ Ö ÚØ Ò Ö ÒØ Ó ØÙÚ lim x ± x2 f(x) = 0. f (x)e iωx dx = / f(x)e iωx ( iω) f(x)e iωx dx = (iω)f(ω). Ç ØØ ÒØÖÓ Ñ ÐÐ Ò ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ Ö ÚØ Ò F( df )(ω) = (iω)f(f)(ω). dx

11 c ÓÒ ÑÐ Ú ÐØÒ Ò ÒØÖÓ Ñ Ú Óº Ì ÓÒ ÝØ ØØÝ ÝÚ Ñ ÒØ ¹ ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÐØ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÁÒØÖÐÙÒ Ø ÓÒ ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ ÁÒØÖÓ ÒØ ÓÒ Ö ÚÓ ÒÒ Ò ÒØ ÓÔ ÖØ Ó g(x) = f(x)dxº ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ G(ω) = 1 F(ω) + cδ(ω), iω 1 2π δ(ω)eiωx dω = 1 2π.

12 ËÖÖÓÒ ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ ËÖØÓ T a g(x) = T a f(x) = f(x a).º G(ω) = f(x a)e iωx dx = f(ξ)e iω(ξ+a) dξ = e iωa F(ω). ÙÒ Ø ÓÒ g ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ ÑÙÙØØÙÒ ÚÓ ξ = x aµ G(ω) = e iωa F(ω).

13 ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ Î ØÚ Ø ÑÙÙØØÙÒ ÚÓ ÐÐ Ë Ð Ù Ò ξ = Ò ÙÒ Ø ÓÒ ax g(x) = ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ f(ax) G(ω) = f(ξ)e iωξ a dξ a, Ø º G(ω) = 1 a F(ω a ).

14 ÅÓ ÙÐØ Ó ÙÒ Ø ÓÐÐ e icx ÖØÓÑ Ø ÙØ ÙØÒ f Ò ÑÓ ÙÐÓ ÒÒ º ÙÒ Ø ÓÒ g(x) = e icx f(x) ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ ÅÓ ÙÐÓÙÒ G(ω) = F(ω c), ÐÐ f(x)e icx e iωx dx = f(x)e i(ω c)x dx.

15 Ó Ó ØØ ÎÓÒ ½¼º ÇÐ ÓÓÒ f ÖÓ Ø ØØÙ Ô ÐÓ ØØÒ Ø ÙÚ g Ø ÙÚ ÒÓÔ Ø Ä Ù º ÃÓÒÚÓÐÙÙØ ÓÒ ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ h(x) = (f g)(x) = f(x y)g(y)dy = f(y)g(x y)dy. ÙÒ Ø Ó Ò f g ÚÐ Ò Ò ÓÒÚÓÐÙÙØ Ó ÙÒ Ø Ó Ø º ÚÑ Ò Ú lim x xm g(x) = ÓÐÐÒ 0, m 2. ÌÐÐÒ ÓÒÚÓÐÙÙØ Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ø ÙÚ ÙÒ Ø Óº

16 ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ ÃÓÒÚÓÐÙÙØ ÓÒ H(ω) = = = x= e iωx h(x)dx x= { y= e iωy g(y) = F(ω) y= e iω(x y) e iωy f(x y)g(y)dydx x y= e iω(x y) f(x y)d(x y) y= e iωy g(y)dy = F(ω)G(ω), } dy Ñ F(ω) G(ω) ÓÚ Ø f :Ò g : ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ Øº ¼

17 ÌÖ ÑÑØ ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ Ø f(x) = f(x) = f(x) = f(x) = δ(x) F(ω) = 1 f(x) = 1 F(ω) = 2πδ(ω) 1, x 1 0, x > 1 e ax, x > 0 0, x < 0 e ax, x > 0 F(ω) = 2sin(ω) ω F(ω) = 1 a+iω F(ω) = 2iω a 2 +ω 2 e ax, x < 0 f(x) = e a x F(ω) = 2a a 2 +ω 2 ½

18 f(x) = f(x) = 1, x > 0 1, x < 0 1, x > 0 0, x < 0 F(ω) = 2 iω F(ω) = [ 1 iω + πδ(ω)] f(x) = e iax 2πδ(ω a) f(x) = sin(ax) F(ω) = π i [δ(ω a) δ(ω + a)] f(x) = cos(ax) F(ω) = π[δ(ω a) + δ(ω + a)]

19 cos(x) = 1 2 [eix + e ix ], sin(x) = 1 2i [eix e ix ] a n = 2 T T 0 f(x)cos(2πn T x)dx, b n = 2 T T 0 f(x)sin(2πn T x)dx sin(α ± β) = sin(α) cos(β) ± cos(α) sin(β) cos(α ± β) = cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) ¾

Samankaltaiset tiedostot

ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý

ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý ÈÖÓ Ð Ø Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ñ Ø ÐÐÒ ÔÖÓ Ð Ø Ð ÓÖ ØÑ º ÌÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÖÚ Ø Ò Ø Ø ØÒ ÓÐ Ó ØÙÐÓ Ò ÑÙ Ò Ö Ù ÙØ Òº ÖÓÒ Ô Ø ÖÑ Ò Ñ Ò ÓÒ ØØ ÒÝØ Ø Ö Ø ÐÐ ÖÓ Ú Ò Ð ÒØ ØÓ Ø Ø Ò ÙÙ ÐÐ ÖÚ Ù ÐÐ Ø ÖÚ ØØ º Ä ÓÒ Ö ØØ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ