Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download ""

Transkriptio

1 È ÌÀÇƹÇÀ ÄÅÇÁÆÆÁÆ ËÇÎ ÄÄÍÃËÁ Å ÌÊÁÁËÁÄ Ëà ÆÌ Æ ÌÁÄ ËÌÇÌÁ Ì Ë Æ Â ÆÍÅ ÊÁË Æ Å Ì Å ÌÁÁÃÃ Æ ÄÍÃÁÇÄ ÁËÁÄÄ Ì Ò Ï ÐÐ Ö ¹Ä Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Å ÖÖ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ

2

3 ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÏÁÄÄ Ê ¹Ä ÁÆ ÌÁÁÆ ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ÓÚ ÐÐÙ Ñ ØÖ Ð ¹ ÒØ Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÒÙÑ Ö Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¼ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø Å ÖÖ ÙÙ ¾¼¼ ÌÑ ØÙØ ÐÑ ÓÒ Ð ØØÙ ÓÔÔ Ñ Ø Ö Ð ÐÙ ÓÒ ÙÖ ÐÐ Ó Ø ÐÐÒ ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ò ÝØØ Ñ ØÖ Ð ÒÒ Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÒÙÑ Ö ¹ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ ÐÐ º ÌÙØ ÐÑ ÓÚ ÐØÙÙ ÑÝ Ø ÓÔ ÐÙÑ Ø Ö ¹ Ð ÐÐ Ò Ö Ó ØÙ Ø ØÚ Ò ÓÒ Ø ØØÝ Ö Ø Ùغ Ä ØÝÑ Ø Ô ÓÒ Ú Ð ØØÙ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÓÔ Ú º Ò Ò Ù Ò Ó Ó Ø ÐÐÒ Ø ÓÖ ÓØØ ÐÙ ÐÐ ÓÐ Ñ ÓÐÐ Ù٠ع Ø Ñ Ø Ó ÐÑ Ø Ô ØÙÙº ÃÙÒ Ò Ø ÓÖ Ó ÙÙ Ò Ð Ò ÓÒ Ø ÐØÝ Ý ¹ Ò Ó ¹ ÐÙ Ò ÈÝØ ÓÒ¹ ÓÚ ÐÐÙ º Ë Ø ÓÖ Ò ØØ ÈÝØ ÓÒ¹ ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò Ý Ø Ý¹ ÓÒ ÖÙÒ Ø Ñ Ö º ÌÑÒ Ñ Ø Ö Ð Ò ÚÙÐÐ ÙÓÑ Ø Ò Ù Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò ÑÙØØ ÑÓÒ ÔÙÓÐ ¹ Ò Ò Ó ÐÑÓ ÒØ Ð ÈÝØ ÓÒ ÓÒº Ò Ø ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ñ ØÖ Ð ÒØ Ø Ð ØÓØ ÒÙÑ Ö Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø ÓÙÐÙÑ Ø Ñ Ø º

4

5 Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò Ô ÖÙ Ø Ø ¾º½ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ò ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ È ÖÙ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÈÝØ ÓÒ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ì ØÓØÝÝÔ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ØÓ¹ ØÓ ØÓÖ ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÙÒ Ø ÓØ Ö ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ Å ØÖ Ð ÒØ ½ º½ Ä Ò Ö Ø Ý ØÐ ÖÝ ÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ È ÖÙ Ó Ø Ñ ØÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ö Ñ Ö Ò ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Å ØÖ Ò ÖØÓÐ Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º ÃÒØ Ñ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ËÓÚ ÐÐÙ ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑÓ ÒØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ì Ð ØÓØ ØØ ½ º½ ÈÝÐÚ Ö ÑÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ È Ö ÙÚ ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º È Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º ËÓÚ ÐÐÙ ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑÓ ÒØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÆÙÑ Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø º½ ÆÙÑ Ö Ò Ð ÒÒ Ò ÐÙÓØ ØØ ÚÙÙ Ø º º º º º º º º º º º º º º º¾ Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÆÙÑ Ö Ò Ò Ö ÚÓ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ËÓÚ ÐÐÙ ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑÓ ÒØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º À Ö Ó ØÙ Ø ØÚ Ò Ö Ø ÙØ ½ Ä Ø Ø

6

7 ½ ÂÓ ÒØÓ ÌÑ ØÙØ ÐÑ Ò Ø Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ ØÓ Ñ ÓÔÔ Ñ Ø Ö Ð Ò ÐÙ Ó ÙÖ ÐÐ Ó ¹ Ø ÐÐÒ ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ò ÝØØ Ñ ØÖ Ð ÒÒ Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÒÙÑ Ö Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ ÐÐ º ÃÙ Ò Ó ¹ ÐÙ Ø ÐÐÒ ÓÑ Ò ÐÙ ÙÒ Òº ÌÓ Ñ Ø Ö Ð ÓÚ ÐØÙÙ ÐÐ ÓØ Ø ÓÚ Ø ÒÒÓ ØÙÒ Øº ÈÝØ ÓÒ¹ Ð ÓÒ Ú Ô Ò Ð ÓÓ Ò Ó ÐÑÓ ÒØ Ð º Ò ÖØ Ò ÝÒØ ¹ Ò ÚÙÓ ÓÚ ÐØÙÙ ÐÓ Ø Ú Ø ÑÝ Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ÓÔ ØØ ÐÙÙÒº ÈÝØ ÓÒ ÓÒ Ð ØØ Ú Ó Ó ØØ Ø ÛÛÛºÔÝØ ÓÒºÓÖ º Ë ÐØ Ð ÝØÝÚØ ÑÝ ÒÒÙ Ó Øº Å Ø Ö Ð ØÖ ÑÔ Ö ØÓ ÓÚ Ø ÆÙÑÈݹ Ö ØÓ Å ØÔÐÓØÐ ¹ Ö ØÓº ÆÙÑÈݹ Ö ØÓÒ ÒÒÙ Ó Ø Ð Ø ØÓ Ö ØÓÒ Ð ÑÑ Ø ÝØ Ø Ð ÝØÝÝ Ó Ó ØØ Ø ØØÔ»»ÒÙÑÔݺ ÔݺÓÖ º Å ØÔÐÓØÐ ¹ Ö ØÓÒ Ó¹ Ø ÚÙØ Ð ÝØÝÚØ ÔÙÓÐ Ø Ò Ó Ó ØØ Ø ØØÔ»»Ñ ØÔÐÓØÐ º ÓÙ ÓÖ ºÒ غ Ø ØÓ Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø ÐÙ ÐØ Ó ÓØ Ø º Ë Ò ÚÙÓ Ð ÙÙÒ ÓÒ ØØÙ ÚÐØØÑØØ ÑØ Ô ÖÙ Ø ÓØ ÈÝØ ÓÒ ÐÐ Ó ÐÑÓ Ñ Ø º ÌÓ Ñ Ø Ö Ð Ò ÐÙ ¹ Ñ Ø ÐÔÓØØ Ó ÐÙ ÐÐ ÓÒ Ó ÖØÝÒÝØ Ó ÐÑÓ ÒØ Ó ÑÙ Ø º Å Ø Ñ Ø ¹ Ø ØÓ ÓÐ Ø Ø Ò Ø ØØÝ Ô ÖÙ Ø ØÓ º ÄÙ Ó ÙÖ Ø ÓÐ ÝÚ ÓÐÐ ÝØÝÒ Ú ØÓÖ Ð ÒÒ Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÒÙÑ Ö Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò ÙÖ Øº Ìѹ Ò ÓÐ ÚÐØØÑØ ÒØ ÐÐ Ó Ò Ò ÐÙ Ù Ð Ò Ø ÓÖ Ò ØØ ÐÝÐк ÌÓ¹ Ø ÓÖ Ý Ò ÝÚ Ò Ô ÒØ ÔÙÓÐ Ø ÓØ Ò ÝÚ ÑÔÒ ÝÑÑÖØÑ Ò ÙÓ¹ Ø ÐÐ Ò Ð ÓÔ ÐÙ º Ñ Ö Ð Ù Ø Ø Ñ Ø Ö Ð ÓÐ ØÓ Ø ØØÙ Ó ÓÐ ØÝ Ò Ø Ö Ó ØÙ Ò ÒÒ ÐØ ÓÐ ÒÒ Ø º Ä ÑÓÒ Ø ØÓ ØÙ ¹ Ø ÓÚ Ø Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ð Ò Ò Ð ÓØØ Ò ÙÓÑ ÓÓÒ ØØ Ñ Ø Ö Ð ÓÒ ÙÙÒÒ ØØÙ ÐÙ Ó¹ÓÔ ØÙ Òº ÌÓ Ô Ò Ô ÖÙ Ø ÐÙ Ó ÐÐ Ø ØÒº ÂÓ Ò ÔÔ Ð Ò ÐÓÔÙ ÓÒ ÑÙÙØ Ñ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ Ó Ñ Ø Ñ Ø ¹ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ÓÔ ÑÙÙØ Ò Ù Ò Ø Ø ÑÐк ÄÓÔÙ ÓÒ Ó Ó Ó ÓÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ Ò Ö Ø ÙØ ÓÒ ÓÓØØÙº ÂÓ ØÙØ ÐÑ ÝØ ØÒ ÙÖ Ò ÓÔÔ ¹ Ñ Ø Ö Ð Ò ÚÓ ÓÔ ØØ ÐÙØ Ò ØØ Ö Ø ÙØ ÔÓ º Ê Ø Ù Ò Ö Ñ Ø Ö Ð ØÓ Ñ ÑÝ Ø ÓÔ ÐÙ º Ì Ò ÓÑ Ó ÙÙ ØÝ ÓÒ ØÓ Ñ Ø Ö Ð Ò Ó Ó Ñ Ò Ò ÑÙÓØÓ Ð Ñ Ò Ò ÓÔÔ Ñ Ø Ö Ð Ò ÑÙÓØÓÓÒº Ã Ñ Ö Ø Ö Ó ØÙ Ø ØÚØ ÐÙ ÙÙÒÓØØ Ñ Ø¹ Ø ÝÐ ÓÔÔ Ð Ø ØÚ ÓÚ Ø Ø Ò Ø Ð Ø Ñ Ö Ø Ñ º ½

8 ¾

9 ¾ ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ò ØÙØÙ ØÙØ Ò ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò Ô ÖÙ Ø Òº ÈÐ Ø Ò Ø ÐÙÚÙ ¹ ÓÒ ÝØ ØØÝ Ã ÙÖ Ò ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑÓ ÒØ ÓÔ Ø ½ Ú ÁÒØÓ ÈÝØ ÓÒ¹ ÓÔ Ø ¾ º Æ Ø Ð ÝØÝÝ Ð Ø ØÓ ÈÝØ ÓÒ¹ Ð Ø Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ º ¾º½ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ò ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ÈÝØ ÓÒ ÓÒ ÝØ ÓÑ ÒØÓÖ Ú ØÙÐ Ó ÒÝØØ ØÐغ ÃÙÚ ½ ÈÝØ ÓÒ Ò ÓÑ ÒØÓÖ Ú ØÙÐ ÃÓÑ ÒØÓÖ Ú ØÙÐ Ò ÝÒØ Ò Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ ÓÑ ÒØÓÖ Ú ÐÐ ÝÒ ÔÝØ ÓÒº ÄÝ Ý Ø Ó ÐÑ ÚÓ Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò ÓÑ ÒØÓÖ Ú ØÙÐ Òº ÃÓÑ ÒØÓÖ Ú ØÙÐ ÙÐ Ø Ò ÒÔÔÔ ÒÝ Ø ÐÑÐÐ ÖØÐ º Ñ Ö ¾º½º ÔÖ ÒØ ³À Ñ ÐÑ ³ À Ñ ÐÑ Ì Ñ Ö ØÙÐ ÐÐ ÒÒ ØØ Ò Ý ÔÖ ÒØ Ó Ø Ö Ó ØØ ØØ ØÙÐ ØÙÐÓ Ø Ò Ñ Ø Ð Ò Ù Ñ Ö Ò Ò ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙº ÃÙÒ Ý ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ Ô Ò Ø Ò ÒØ Ö ÓÐÐÓ Ò ØÙÐ ØÓ Ñ Ö Ó Ø ØØÙ Ò Ý Ò ÑÙ Òº Ì Ø Ô Ù ØÙÐÓ Ø ÖÙÙ ÙÐÐ Ð Ù Ò À Ñ ÐÑ º ÃÝØØ ÐÔÓ Ø Ó ÐÑ Ø ØØ Ú Ø ÓÐÐ ÓÓ ÐØ Ò ÝÚ Ò Ò Ô Ø º Ë Ð¹ ÐÓ Ò Ó ÐÑ Ò Ö Ó ØØ Ñ Ò Ò ÙÓÖ Ò ØÙÐ Ò Ý Ò Ð º Ð Ò Ó Ð¹ Ñ Ò Ö Ó ØØ Ñ Ò ÝØ ØÒ Ð ÓÓ Ø Ó ØÓ º ÃÓÓ Ö Ó Ø Ø Ò

10 ÓÑ Ø Ø Ø Ó ØÓ Òº Æ Ò Ø Ø Ø Ó ØÓ Ò Ö Ó ØØ Ñ Ò ÝØ ØÒ ÓØ Ò Ø Ø ØÓÖ º Ì Ø Ø Ó ØÓ Ø ÐÐ ÒÒ Ø Ò ÔØØ ÐÐ ºÔÝ Ó ÐÐÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø Ò ÔÝØ ÓÒ¹ ÓÓ º Ç ÐÑ Ø Ò Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ ÓÑ ÒØÓÖ Ú ÐÐ ÔÝØ ÓÒ Ø Ó ØÓÒÒ Ñ ºÔݺ ÀÙÓÑ ØØ ÓÑ ÒØÓÖ Ú ØÙÐ ÝÒÒ ¹ Ø Ø ÒÒ Ò Ó º ÒÒ Ò Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ÐÓ ØØ Ñ Ø ÓÒ ÑÝ ÝÚ Ø Ø ÑÙÙØ Ñ Ó ÈÝØ ÓÒ Ò ÝÒØ Ø º ÃÓÑÑ ÒØ Ø ÓÚ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ö Ú ÓØ ÚØ Ú ÙØ Ó ÐÑ Ò ÙÓ¹ Ö ØÙ Ò Ñ Ø Ò Òº Æ Ò Ø Ö Ó ØÙ ÓÒ Ú Ò Ð ÝØØ ÓÓ º Æ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ñ Ö ÐÚ ÒÒÝ ÓÐÐ ÙÐÐ ÑÙÙÐÐ Ó ÓÓ ÐÙ Ø ØØ Ò Ó Ð¹ ÑÓ Ò ÓÑ ÑÙ Ø ÒÔ ÒÓ º ÈÝØ ÓÒ ÓÑÑ ÒØ Ø Ñ Ö ØÒ Ö Ù Ø Ñ Ö ÐÐ µº Ñ Ö ¾º¾º ÌÑ ÓÒ ÓÑÑ ÒØØ Ö Ú ÌÑ Ö Ú Ø ÓÒ Ó ÐÑ ÓÓ ÌÖ ÓÒ ÑÙ Ø ØØ ÈÝØ ÓÒ ÚÐ ÐÝ ÒØ Ö Ú Ò ÐÙ ÓÒ Ñ Ö Ø Ú Ñ Ö º Ë Ó Ô Ô Ö ÐÐ ÒÒ ØÙ Ñ Ö ÓÒ Ó Ò Ö Ú ÒÒ ØØÝÒ Ô ¹ Ø ÒØ ÑÝ ÓÓ Ö Ó ØØ ÓØØ ÓÓ ØÓ Ñ º ÅÝ ÓØ Ô Ò Ø Ö Ñ Ø ÓÚ Ø ÈÝØ ÓÒ Ö º ÌÑ ÓÒ ÝÚ ÑÙ Ø Ñ Ö ÑÙÙØØÙ¹ Ò Ñ ØØ º ÇÒ ÑÝ ØÖ ÑÙ Ø ØØ ÝØ Ö Ó Ø Ø Ò ÈÝØ ÓÒ Ô Ò Ðк Ç ÐÑÓ ÒØ Ð ÑÝ ÈÝØ ÓÒ ÝØ ØÒ ÑÙÙØØÙ º ÅÙÙØØÙ Ø ÓÚ Ø Ø ÓÒ ÐÝØÝ Ô Ó Ó Ò ÐØ Ò Ñ Ò ÑÙ Ø ÑÙÙØØÙÙ Ó ÐÑ Ò ÙÓÖ ØÙ Ò Ò º Ä Ù ÒÓØ Ò ÓÓ Ö Ú Ó ÑÙÙØØÙ ÐÐ ¹ Ø Ø Ò Ó Ò ÖÚÓº ØÙ Ø Ô ØÙÙ Ý Ø ÙÙÖÙÙ Ñ Ö Ò ÚÙÐÐ º Ì Ñ Ø Ö Ð ÑÙÙ ÐÐ Ò ÝØ ØÒ Ô Ð ÓÒ ÒÔÙع ÓÑ ÒØÓ Ó¹ Ø Ò ÓÒ ÝÚ ØÙÒØ º Ã Ý Ò ÖØ ÙÙ Ò ÒÔÙع ÓÑ ÒÒÓÒ ÚÙÐÐ ÑÙÙØØÙ Ò ÐÐ Ø Ø Ò Ñ Ø ÝØØ Ý Øغ ÅÝ ÑÑ Ò ØÙØÙ ØÙ¹ Ø Ò ÈÝØ ÓÒ Ò Ø ØÓØÝÝÔÔ Òº ÁÒÔÙع ÓÑ ÒÒÒÓÒ Ý Ø Ý ÓÒ ÝÚ ÑÙ Ø ØØ Ø ÒÔÙØ ÙÓÐ Ý ØØ Ò Ú Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù º Å Ö ÓÒÓ Ú ÖØ Ò Ý¹ Ø ØÒ ÓÑ ÒØÓ Ö Û ÒÔÙغ Ñ Ö ¾º º Ò Ñ Ö Û ÒÔÙØ ³ ÒÒ ØÙÒ Ñ ³µ ÌÐÐ Ö Ú ÐÐ Ó ÐÑ Ý ÝÝ ÝØØ ÐØ ØÑÒ ØÙÒ Ñ ÑÙÙØØÙ Ò Ò Ñ Ø ÐÐ ÒÒ Ø Ò ÝØØ Ò ÒØ Ñ Ò Ñ º ÐÐ Ñ Ö ÚÓ Ó ÐÑ Ò ÙÓÖ ØÙ ÓÐÐ ÑÝ ÑÑ Ò Ö ¹ Ú Ò Ñ Ö Û ÒÔÙØ ³ ÒÒ ØÓ Ò Ò Ò Ñ ³µ ÓÐÐÓ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ò Ñ ÐØ Ú ØÙ ÒÒ ØÙ Ø ØÙÒ Ñ Ø ØÓ Ò Ñ º

11 ÅÙÙØØÙ ÚÓ Ò ØØ ÑÝ Ù Ø Ñ ÐÐ ÖØ º Ë ÐÐÓ Ò ØÙ Ð Ù ¹ ÖÓØ ÐÐ Ò ÑÙÙØØÙ Ø Ò Ò Ñ Ø ÖÚÓØ Ô Ð ÙÐÐ º À Ö Ó ØÙ Ì ØÚ ½º Ã Ö Ó Ø ÙÖ Ú ÓÓ Ð ÓÓ Ø Ó ØÓÓÒ ÓÑ ÒØÓÖ ¹ Ú Ðغ Å Ø Ó ÐÑ Ø ÐÙ Ù½ ÒÔÙØ ³ ÒÒ Ó Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ³µ ÐÙ Ù¾ ÒÔÙØ ³ ÒÒ Ú Ð Ó ÓÒ ÐÙ Ù ³µ ØÙÐÓ ÐÙ Ù½ ÐÙ Ù¾ ÔÖ ÒØ ³ ÒØ Ñ ÐÙ Ù Ò ÙÑÑ ÓÒ³ ØÙÐÓ ¾º¾ È ÖÙ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÈÝØ ÓÒ ÐÐ ÃÓÑ ÒØÓÖ Ú ØÙÐ ÚÓ ÝØØ Ð Ñ Ò Ø Ô Ò Ô ÖÙ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ò ÙÓ¹ Ö ØØ Ñ Òº Ì Ø ÓÒ Ý ØÝ Ö ØÝ Ø ÐÐÓ Ò ÙÒ Ð Ø Ò ÝÚ Ò ÙÙÖ ÐÐ ÐÙ¹ ÚÙ ÐÐ º Ä ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÙÓÖ Ò ÓÑ ÒØÓÖ Ú ØÙÐ Òº ÐÐ ÓÐ Ú Ø ÙÐÙ Ó ÓÒ Ø ÐØÝ ÝØ ÓÐ Ú Ø ÓÔ Ö ØØÓÖ Øº Ì ÙÐÙ Ó ½ ÈÝØ ÓÒ Ò ÓÔ Ö ØØÓÖ Ø Ô ÖÙ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÐÐ ÇÔ Ö ØØÓÖ Æ Ñ Ë Ð ØÝ + ÈÐÙ Ð Ý Ø Ò ÐÙ Ù Å ÒÙ Ô Ð ÙØØ ÐÙÚÙÒ Ú Ø ÐÙÚÙÒ Ø Ú ÒØ ÐÙÚÙØ ØÓ Ø Ò ÌÙÐÓ ÖØÓÓ ÐÙ Ù ÒÒ ÈÓØ Ò Ð ÔÓØ Ò Ò / Â Ó ÐÙÚÙØ ÒÒ % Â Ó ÒÒ Ô Ð ÙØØ Ó ÒÒ Ò Ñ Ö ¾º º ÐÐ ÓÒ Ð Ø ØØÙ ÑÙÙØ Ñ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ñ Ö ÓÔ ¹ Ö ØØÓÖ Ò ÝØ Ø ¹ ¾ ½

12 ½¾ ½¼»¾ È Ð ÙØØ Ñ ÓÒ Ó ÒÒ ÙÒ Ú Ø Ò ÓÐÑ ÐÐ ººº ± ¾ ÈÝØ ÓÒ ÐÐ ÚÓ Ò Ø ÑÝ Ú ÖØ ÐÙ º Î ÖØ ÐÙØ Ô Ð ÙØØ Ú Ø ÖÚÓÒ ÌÖÙ Ø Ð Ö ÔÔÙ Ò Ø Ô Ø Ú ÖØ ÐÙ Ô Ò º ÐÐ ÓÐ Ú Ø ÙÐÙ Ó ÓÒ Ð Ø ØØÙ Ú ÖØ ÐÙÓÔ Ö ØØÓÖ Øº Ì ÙÐÙ Ó ¾ ÈÝØ ÓÒ Ò Ú ÖØ ÐÙÓÔ Ö ØØÓÖ Ø ÇÔ Ö ØØÓÖ Æ Ñ Ë Ð ØÝ È Ò ÑÔ Ù Ò È Ð ÙØØ Ø ÓÒ ÓÒ Ó ÐÙ Ù Ô Ò ÑÔ Ù Ò ØÓ Ò Ò ËÙÙÖ ÑÔ Ù Ò È Ð ÙØØ Ø ÓÒ ÓÒ Ó ÐÙ Ù ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò ØÓ Ò Ò <= È Ò ÑÔ Ø Ý Ø È Ð ÙØØ Ø ÓÒ ÓÒ Ó ÐÙ Ù ÙÙÖ Ù Ò Ô Ò ÑÔ Ø Ý Ø ÙÙÖ Ù Ò ØÓ Ò Ò >= ËÙÙÖ ÑÔ Ø Ý Ø È Ð ÙØØ Ø ÓÒ ÓÒ Ó ÐÙ Ù ÙÙÖ Ù Ò ÙÙÖ ÑÔ Ø Ý Ø ÙÙÖ Ù Ò ØÓ Ò Ò == Ø ÙÙÖ Ù Ò È Ð ÙØØ Ø ÓÒ ÓÚ Ø Ó ÐÙ Ù Ý Ø ÙÙÖ Ø! = Ö ÙÙÖ Ù Ò È Ð ÙØØ Ø ÓÒ ÓÚ Ø Ó ÐÙ Ù Ö ÙÙÖ Ø Ñ Ö ¾º º ÐÐ ÓÒ Ð Ø ØØÙ ÑÙÙØ Ñ Ú ÖØ ÐÙ Ñ Ö Ú ÖØ ÐÙÓÔ ¹ Ö ØØÓÖ Ò ÝØ Ø Ð ÌÖÙ Ð ÌÖÙ ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÙÓÖ ØÙ Ö ØÝ ÓÒ Ñ Ù Ò Ñ Ø Ñ Ø Òº à ÖØÓ¹ ÓÐ Ù ÙÓÖ Ø Ø Ò ÒÒ Ò Ý Ø Ò¹ Ú ÒÒÝ Ð Ù Ð ÙÓÔ Ö ØØÓÖ Ø ÒÒ Ò Ú ÖØ ÐÙÓÔ Ö ØØÓÖ Ø º ËÙÐ ÐÐ ÚÓ ÑÙÙØØ Ð Ù Ö ØÝ Ø Ò Ø ÚÓ ÝØØ ÑÝ Ð ÝØØÑÒ ÓÓ º Ð ÒÑÖ Ò Ò ÙÐ Ò ÝØØ Ù Ø Ò Ò Ø ÓÓ Ø Ò Ð Ø ÐÙ ØØ Ú º

13 ¾º Ì ØÓØÝÝÔ Ø ÈÝØ ÓÒ Ø Ð ÝØÝÝ Ò Ð Ö Ð Ø Ø ØÓØÝÝÔÔ ÒÙÑ ÖÓ ÐÐ Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ Ð Ù Ù¹ ÐÙÚÙØ Ô Ø Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ ÓÑÔÐ ÐÙÚÙغ ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò Ø Ý Ø Ý ÚÙÙØØ º Ä ÓÒ ÝÚ ØÙÒØ ÑÝ Ø ØÓØÝÝÔ Ø Ñ Ö ÓÒÓ Ð Ø º ÃÓ ÓÒ ÐÙÚÙØ Òص ÓÚ Ø ÈÝØ ÓÒ Ú Ò Ñ Ø Ù Ò Ñ Ø Ñ Ø ¹ Òº Æ ÓÚ Ø ÐÙ Ù ÓØ ÚØ ÐÐ Ñ Ð Ó º È Ø Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ ÐÓÒ µ ÓÚ Ø Ø ÝÚ Ò ÙÙÖ Ó ÓÒ ÐÙ Ù º Ä Ù ÙÐÙÚÙØ ÐÓ Øµ ÔÙÓÐ Ø Ò ÓÚ Ø ÐÙ Ù Ó Ø Ñ Ø Ñ Ø ÙØ ÙØ Ò Ñ Ð ÐÙÚÙ º Ì ØÓØÝÝÔÔ Ò Ò ÓÒ ÝÝØ ÓÐÐ Ø Ö Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ø º ¹ Ñ Ö ÙÒ Ø Ò ØÓ Ñ ØÙ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÚÓ ØÙÐÓ Ò ÓÐÐ ÒÓ Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù º ÌÓ ÐØ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ô Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ñ Ð ÐÙ¹ Ù ÚÓ Ò ÝØØ ÑÓ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ º ÈÝØ ÓÒ ÒØ ØÙÐÓ Ò ÙØÓ¹ Ñ ØØ Ø ÓÔ Ú ÑÙÓ Ó º Ñ Ö ¾º º Ä Ø Ò 6 8 ÈÝØ ÓÒ ÐÐ º» ¼ ÃÓ ÐÙÚÙØ ÓÒ ÒÒ ØØÙ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÈÝØ ÓÒ ÒØ ØÙÐÓ Ò Ó ÓÒ ÐÙ ÙÒ º Ì Ö ÑÑ Ò ÒÓ Ò ØÙÐ Ô Ð ÙØØ Ó ÑÖÒ Ó ÓÒ Ó Ò Ð Ø Ø Ô Ù ¹ ÒÓÐÐ Òº ÃÙÒ Ð Ø Ø Ò ÐÙÚÙØ Ñ Ð ÐÙÚÙ Ò Ó ØÙÐÓ Ó ÐÐÓ Ò ÈÝØ ÓÒ ÒØ ØÙÐÓ Ò Ñ Ð ÐÙ Ù Ò º º¼» º¼ ¼º ÌÓ ÐØ Ö ØØ ÒØ Ú Ò ØÓ Ò Ò ÐÙ Ù Ñ Ð ÑÙÓ Ó Ó ÈÝØ ÓÒ ÑÙÙع Ø ØÙÐÓ Ò ÙØÓÑ ØØ Ø ÓÔ Ú Ò ÑÙÓØÓÓÒº º¼» ¼º Å Ö ÓÒÓØ ØÖµ ÓÚ Ø Ò Ñ Ò ÑÙ Ø ÓÒÓ Ñ Ö º Å Ö ÓÒÓ ÚÓ ¹ Ò ÝØØ Ñ Ö ÒÓ Ò Ø ÐÐ ÒØ Ñ Òº Å Ö ÓÒÓ ÚÓ Ò Ýع Ø Ñ Ö Ó Ô Ò Ö Ñ ÒÙÑ ÖÓ Ø Ò Ò Ú Ñ Ö ¹ ÓÔ Ö Ó Ñ Ö º Å Ö ÓÒÓ Ö Ó Ø Ø Ò Ò Ø ØØ Ò Òº Ë ¹ Ø Ø Ø ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ó Ó Ý Ò ÖØ ³µ Ø Ò ÖØ µº Ö Ó Ñ Ö ÝØ ØØ ÓÒ ÙÓÑ ÓØ Ú ØØ Ñ Ð Ñ Ö ÓÒÓ ÒØÝÝ Ø ØØ Ô ¹ Ø Ò Ø Ò Ð ØØ ÒÓÚ Ú \µº Å Ð Ñ Ö ÓÒÓÒ Ð Ñ Ø ÔØØÝÑ Ø Ñ Ö ØÒ Ý Ò ÖØ ÐÐ Ø Ø ÐÐ Ò ÖØ Ø Ò Ø Ò Ø ÖÚ Ø Ð ØØ ÒÓÚ Ú ØÓ ÒÔ Òº

14 Ä Ø ÓÒ Ò Ó ØÙ ÓÒÓ ÑÙÙØØÙ º ÂÓ ÐÐ Ð Ø Ò Ð ÓÐÐ ÓÒ ÓÑ Ø ØÓ¹ ØÝÝÔÔ Ò ÓØ Ò Ñ Ð Ø ÚÓ ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ù Ò Ñ Ö ÓÒÓ¹ Òº Ä Ø ÐÙÓ Ò ÙÐ Ò Ò Ð ÓØ ÖÓØ Ø Ò ØÓ Ø Ò Ô Ð ÙÐÐ º Ë Ñ Ö ÓÒÓÒ ØØ Ð Ø Ò Ô ØÙÙ Ò ÐÚ ÐÐ ÓÑ ÒÒÓÐÐ Ð Ò Ý ¹ ØØ Ò Ð Ó Ò Ô ØÒ ÙÐ ÐÐ º Ð Ó Ò Ú Ø ØØ Ô Ø ÑÙ Ø ØØ Ò Ó ÒØ Ð ÒÓÐÐ Ø º Ñ Ö ¾º º ÐÙÓ Ò ÓÐÑ Ò Ð ÓÒ Ð Ø ¾º ÔÖ ÒØ ³ ³ ¾º ÐÚ Ø ØÒ Ð Ø Ò Ô ØÙÙ Ð Ò µ ½ ³ ³ Ì Ñ Ö ÓÒ ÐÙÓØÙ Ð Ø º ÀÙÓÑ ÓÒ ÖÚÓ Ø ÓÒ ØØ Ð Ø Ò Ð ÓØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ñ Ø Ø ØÓØÝÝÔÔ Ø Ò Ò Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ ÒÒ Ñ Ø ØÓØÝÝÔÔ º Ä ÓÒ ØØÙ Ð Ø Ò Ô ØÙÙ Ô Ð ÙØ ØØÙ ØÓ Ò Ò Ð Óº ¾º ØÓ¹ ØÓ ØÓÖ ÒØ Ø Í ÑÑ Ó ÐÑÓ ÒØ Ð ÑÝ ÈÝØ ÓÒ ÓÒ Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ö ÙØØ ÓÓ º ÂÓ Ò Ó ÐÑ ÒÔØ ÙÓÖ Ø Ø Ò Ú Ò Ó ÒÒ ØØÙ ØÓ ØÝØØÝݺ ÈÝØ ÓÒ ÝØ ØÒ ¹ Ð ¹Ö ÒÒ ØØ º Á ¹Ó Ó ÒÒ Ø Ò Ó Ò Ú ØØѺ ÂÓ Ú ØØÑ ÓÒ ØÓ ÙÓÖ Ø Ø Ò ÓÓ Ø Ó Ó ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ ¹Ó ÓÓÒº ÅÙÙØ Ò Ø Ø Ò Ð ¹Ó ÓÓÒº Ð ¹Ó ÓØ Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ô Ó Ö Ó ØØ º Ë Ó ¹Ö ÒØ ÓÐ Ð ¹Ó ÓØ Ø Ø Ò Ú ØØÑÒ ØÝ ØÓØ ÙØÙÑ ØØ ÓÓ Ò ÙÓÖ ØØ Ñ Ø Ø ¹Ó ÓÒ Ð Òº ÈÝØ ÓÒ ÓÒ ÝØ ÑÝ Ð ¹Ó Óº Æ Ø ÚÓ Ò Ð ØØ ¹Ó ÓÒ Ð Ò Ú Ù Ò ÑÓÒØ º Ð ¹Ó Ó ÒÒ Ø Ò ÙÙ ØÓ Ó ÑÖ ØØ Ð ÙÓÖ ¹ Ø Ø Ò Ó Ý Ò Ò Ó Óº Ð ¹Ó ÓÓÒ Ñ ÒÒÒ Ú Ò Ó ¹Ó ÓÒ Ø Ñ Ò Ò ÐÐ Ò Ð ¹Ó ÓÒ Ú ØØÑ ØÓØ Ù Ùº Ð ¹Ó ÓÒ Ò Ñ Ò ÚÓ Ø ÐÐ ÓÐ Ú Ò Ðݹ ÒÒ ÒÓ Ø Ð º ÎÓ Ø ÐÐ ØØ Ð Ó Ó ØÙÐ Ò ÒÝØ ÙÙ ¹Ó Óº Ð ¹Ó ÓÒ Ø ÚÓ Ò Ð ¹Ó ÓØ ÓÐ Ô Ó Ð ØØ ¹Ó ÓÒ Ð Òº Ñ Ö ¾º º ÐÙ Ù ÒÔÙØ ³ ÒÒ Ó Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ³µ ÐÙ Ù±¾ ¼ Ð ÐÙ Ù± ¼ ÔÖ ÒØ ³ ÒØ Ñ ÐÙ Ù ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò³

15 ÔÖ ÒØ ³ ÒØ Ñ ÐÙ Ù ÓÒ Ô Ö ØÓÒ ÑÙØØ ÓÐÐ Ò Ò ÓÐÑ ÐÐ ³ Ð ÔÖ ÒØ ³ ÒØ Ñ ÐÙ Ù ÓÒ Ô Ö ØÓÒ³ Ç ÐÑ Ý ÝÝ ÝØØ ÐØ ÓÒ Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙÒº Á ¹Ð Ù ÐÐ ÓÒ ÒÝØ Ú Ø¹ ØÑ Ó Ø Ø Ñ ÓÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÐÙ Ù Ó ÒÒ ÐÐ ØØ º Å ¹ Ð ÓÒ ÒÓÐÐ Ð ÐÙ Ù ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÐ ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ø Ø ³ ÒØ Ñ ÐÙ Ù ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò³º Ð ¹Ó Ó Ø Ø Ø Ò ÑÓ Ò ÓÒ Ó ÐÙ Ù ÓÐÐ Ò Ò ÓÐÑ ÐÐ º ÀÙÓ¹ Ñ ØØ Ð ¹Ó ÓÓÒ Ñ ÒÒ Ñ Ð ¹Ó ÓÒ Ú ØØÑ ØÓØ ÙØÙÙº ÂÓ ÙÑÔ Ò Ú ØØÑ Ø ØÓØ Ù Ù ØÙÐÓ Ø Ø Ò ÖÙÙ ÙÐÐ Ø Ø ³ ÒØ Ñ ÐÙ Ù ÓÒ Ô Ö ØÓÒ³º Ð ¹Ó ÓÓÒ Ò Ñ ÒÒ Ó ÓÑÔ ÙÑÔ ÐÐ Ø Ó Ó Ø ÙÓÖ Ø Ø Òº Ç ÐÑÓ ÒØ Ð ÓÒ Ö ÒØ Ø Ø Ó Ò ÚÙÐÐ Ø ØØÝ Ó Ó ÐÑ ÚÓ ¹ Ò ØÓ Ø Ø ÖÔ ÐÐ Ò Ò ÑÖ ÖØÓ º ÌÓ Ø ØØ Ú Ó ÐÑ Ó ÒÓØ Ð¹ ÑÙ º ÈÝØ ÓÒ ÓÒ Ö Ð Ø ØÓ ØÓÖ ÒÒ ØØ Û Ð ¹ ÓÖ¹Ö ÒØ Øº Ï Ð ¹Ö ÒØ Ø ØØÝ Ó Ó ÐÑ Ø ØÓ Ø Ø Ò Ò Ò Ù Ò ÙÒ ÒÒ ØØÙ ØÓ ÓÒ ÚÓ Ñ º Ï Ð ¹Ö ÒØ Ò ÚÓ Ò Ð ØØ ¹Ö ÒØ Ò Ø ÚÓ Ò Ð ¹ Ö º ÌÑ Ö ÖØÓÓ Ñ Ø Ø Ò Ó Û Ð ¹ ÐÑÙ Ú ÖØ Ò ÒÒ ØØÙ ØÓ ØÝØÝ Ò ÐÑÙ Ò Ñ ÒÒ Ð Ò Òº Ï Ð ¹Ö ÒØ Ò ÓÙ ÓÒ ØØ ØÙ Ø Ò Ø Ø Ù Ò ÑÓÒØ ÖØ ÐÑÙ ØÙÐÐ Ò ÝÑÒ ÐÔ º ÚÓ ÓÐÐ Ú ÖÑÓ ÐÓÔÔÙÙ Ó ÐÑÙ Ó Ò Ð ÐÓÔÔÙÙ Ó ÓÒ ÚÓ Ñ ÓÐÓº ÓÖ¹Ö ÒØ ÑÖ Ø ÐÐÒ ØÙ Ø Ò Ù Ò ÑÓÒØ ÖØ ÐÑÙ ØÓ ¹ Ø Ø Òº Í ÑÑ Ø Ò ÓÖ¹Ö ÒÒ ØØ ÝØ ØÒ Ñ Ö Ð ØÓ Ò ÐÔ ÝÑ Òº ÅÝ ÓÖ¹Ö ÒØ Ò ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø Ð ØØ Ð ¹ Ö ¹ Û Ð ¹Ö ÒØ Ò Ø ÚÓ Òº ÌÓ ØÓ Ò ÑÖ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ö Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ º Ê Ò ¹ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÝÚ Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò ÈÝØ ÓÒ Ò ÒÖ ÒÒ ØØÙ ÙÒ Ø Óº Ê Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ö ØØ ÒØ Ô Ö Ñ ØÖ Ú Ò ÝØ ØØÚÒ ÐÙ Ù ÓÒÓÒ Ð Ó ¹ Ò ÑÖº ÌÐÐ Ò ÓÐ ØÙ Ò ÐÙ Ù ÓÒÓ Ð ÒÓÐÐ Ø Ø ÙÙ Ò Ò ÑÓÒØ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ø ÒÔ Ò ÙÒ ÖÚÓ ÓÒ ÒÒ ØØÙº ÂÓ ÐÙØ ÐÓ ØØ ÒÓÐÐ Ø ÚÓ Ò Ö Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÒØ Ö ÙÑ ÒØ ÑÝ ÐÓ ØÙ ÐÙ Ùº Ë ÐÐÓ Ò Ñ ÒÒÒ ÒÒ ØÙ Ø ÐÙÚÙ Ø Ò Ò ÑÓÒØ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ø ÒÔ Ò ÙÒ ÓÒ ÒÒ ØØÙº ÂÓ Ø ÐÙØ Ò Ñ ÒÒ Ò ÑÑÒ Ù Ò Ý ÐÙ Ù ÖÖ ÐÐ Ò Ò ÚÓ Ò ÒØ Ö Ù¹ Ñ ÒØ Ö Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÐÐ º Ë ÐÐÓ Ò Ñ ÒÒÒ ÒÒ ØÙ Ø ÐÓ ØÙ ÐÙÚÙ Ø ÒÒ ØØÙ Ð Ø Ò Ò ÑÓÒØ Ù Ò ÓÒ ÑÖØØÝ ÒÒ ØØÙÙÒ ÝÐÖ Ò Ø º Ñ Ö ¾º º Ö Ò µ ØÙÐÓ Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ ÒÓÐÐ Ø Ò Ð Ò ¼ ½ ¾ Ö Ò ½½µ ØÙÐÓ Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ ÓÐÑ Ø ÝÑÑ Ò Ò ½¼ ØÙÐÓ Ø Ó ÓÐÑ ÒÒ Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙÒ Ñ ÒÙ Ú Ø

16 Ú Ø ÒØÓ Ø Ö Ò ¹ ½ µ ¹ ¹¾ ½ ½¼ ½ Ë ÙÖ Ú Ñ Ö Ý Ò ÐÔ ØÓ ØÓÖ ÒØ Ò ÝØØ º Ñ Ö ¾º½¼º ÐÐ ÓÒ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ö Ó Ø ØØÙ Ó ÐÑ Ó ØÙÐÓ Ø ÒÒ ØÙÒ ÐÙÚÙÒ ÖØÓÑ Òº Ò ØÓ ØÓÖ ÒØ Ò ÓÒ ÝØ ØØÝ Û Ð ¹Ö ÒÒ ØØ º ÔÝÝ ØÒ ÝØØ ÐØ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÐÙ Ù ÒÔÙØ ³ ÒÒ Ó Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ³µ ÐÙ Ø Ø Ò ÔÙÑÙÙØØÙ ÖÚÓ ½ ÔÙ ½ ÐÙ Ø Ø Ò ÑÙÙØØÙ Ó ÓÒ ØÙÐÓ Ø ÐÐ ÒÒ Ø Ò ÖÚÓ ½ ØÙÐÓ ½ Ò Ò Ù Ò ÙÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÔÙ ÖÚÓ Ô Ò ÑÔ Ø Ý Ø ÙÙÖØ Ù Ò ÒÒ ØØÙ ÐÙ Ù ÖÖÓØ Ò ÑÙÙØØÙ ØÙÐÓ ÔÙ ÒÒ Ø ÐÐ ÒÒ Ø Ò ØÙÐÓ ÑÙÙØØÙ Ò ØÙÐÓ Û Ð ÔÙ ÐÙ Ù ØÙÐÓ ØÙÐÓ ÔÙ Ú Ø Ø Ò ÐÓÔÙ ÑÙÙØØÙ ÔÙ Ý ÐÐ ÔÙ ÔÙ ½ ØÙÐÓ Ø Ø Ò ØÙ ØÙÐÓ ÔÖ ÒØ ØÙÐÓ ÐÐ ÓÒ Ñ Ó ÐÑ Ö Ó Ø ØØÙÒ ÓÖ¹Ö ÒØ Ò ÚÙÐÐ º ÔÝÝ ØÒ ÝØØ ÐØ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÐÙ Ù ÒÔÙØ ³ ÒÒ Ó Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ³µ ÐÙ Ø Ø Ò ÑÙÙØØÙ Ó ÓÒ ØÙÐÓ Ø ÐÐ ÒÒ Ø Ò ØÙÐÓ ½ ÖÖÓØ Ò ÒÒ ÔÙÑÙÙØØÙ ØÙÐÓ ÑÙÙØØÙ ÔÙÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓÐÐ ½ ÐÙ Ù Ø ÐÐ Ò Ø Ò ØÙÐÓ ÑÙÙØØÙ Ò ØÙÐÓ ÓÖ ÔÙ Ò Ö Ò ½ ÐÙ Ù ½µ ØÙÐÓ ØÙÐÓ ÔÙ ØÙÐÓ Ø Ø Ò ØÙ ØÙÐÓ ÔÖ ÒØ ØÙÐÓ ½¼

17 À Ö Ó ØÙ Ì ØÚ ¾º Ã Ö Ó Ø ÙÖ Ú ÓÓ Ø Ø ØÓÖ Òº Å Ø Ó ÐÑ Ø Ã Ò¹ Ò Ø Ö ØÝ Ø ÙÓÑ ÓØ ÓÖ¹Ö ÒØ Ò ÝØØ Òº ÖÖÓØØ Ú ÒÔÙØ ³ ÒÒ Ó Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÚÐ ÐØ ½ ½¼ ³µ ÓÖ Ò Ö Ò ½ ½½µ ØÙÐÓ ÖÖÓØØ Ú ÔÖ ÒØ ÖÖÓØØ Ú ³ ³ ³ ³ ØÙÐÓ Ì ØÚ º Ã Ö Ó Ø ÐÐ Ò Ø ØÚÒ ÓÓ Û Ð ¹Ö ÒØ Ò ÚÙÐÐ º Ì ØÚ º Ã Ö Ó Ø Ó ÐÑ Ó Ý ÝÝ ÝØØ ÐØ ÐÙ Ù ÖØÓÓ ÓÒ Ó ÐÙ Ù ÓÐÐ Ò Ò ÙÙ ÐÐ º Ì ØÚ º ÌÙÐÓ Ø Ö Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ Ô Ö ÐÐ Ø ÔÓ Ø Ú Ø ÐÙÚÙØ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ò ÑÔ Ø Ý Ø ÙÙÖ Ù Ò ¼º ¾º ÙÒ Ø ÓØ Ö ØÓØ Ç ÐÑÓ Ò ØÝ Ø ÐÔÓØØ ÙÙÖ Ø Ò Ò ÒÓØØÙ ÙÙ ÐÐ Ò ÝØØ ØØÚÝÝ º ÍÙ¹ ÐÐ Ò ÝØ ØØÚÝÝ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ø ØØ ÙÒ ÖÖ Ò Ö Ó Ø Ø Ò Ó Ò Ó ¹ ÐÑ ÒÔØ Ò Ò Ø ÚÓ Ò ÝØØ Ò ÙÙ ÐÐ Ò ÙÙ ÐÐ Òº Ë Ó ÖØ ÙÒ Ý Ò Ó ÐÑ ÒÔØ Ò ÙÓÖ ØØ Ñ ØÓ Ñ ÒØÓ Ø ÖÚ Ø Ò Ø ÖÚ Ø Ö Ó ØØ ÓÓ ÙÙ Ø Ò Ú Ò ÚÓ ÝØØ Ó Ö Ó ØØ Ñ Ò Ó ÐÑ º ÈÝØ ÓÒ ÙÙ ÐÐ Ò ÝØ ØØÚÝÝ ØÙÐ ÐÐ ÙÒ Ø Ó Ò ÚÙÐÐ º ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ó ÐÑ ÓØ Ø ÚØ Ò ÓÒ Ò Òº ÙÒ Ø Ó Ø ÚÓ Ò ÙØ Ù ÑÙ Ø Ó ÐÑ Ø ÓØ Ò Ñ ÙÒ Ø Ó Ø ÚÓ Ò ÝØØ Ù Ø ÖØÓ º ÃÓÓ ÙÒ Ø Ó ÐÓ Ø Ø Ò Ú Ò Ò ÐÐ º Æ Ò ÓÑ ÒØÓØÙÐ Ø Ø ØØ Ý ÓÒ ÙÒ Ø Óº ÙÒ Ø ÓØ ÙØ ÙØ Ò Ý ÖØ Ø Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ Ò Ò Ñ º ÙÒ Ø ÓÐÐ ÚÓ Ò ÒØ ÙØ ÙÒ Ý Ø Ý Ö Ô Ö Ñ ØÖ º È Ö Ñ ØÖ Ø ÓÚ Ø ÑÙÙØØÙ ÓØ ÝØØ ÚÓ ÙÒ Ø Ó ÙØ ÙÒ Ý Ø Ý ÑÖØ Ò Ò Ó ÐÑ Ò ØÓ Ñ Ñ Ò ÐÙ Ñ ÐÐ Ò Ø Ú ÐÐ º ÌÓ ØÓÖ ÒØ Ò Ý Ø Ý Ø¹ Ø ÐØ Ò Ö Ò ¹ ÙÒ Ø ÓØ º ÃÙØ ÙÒ Ý Ø Ý ÒÒ ØØ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ÑÙÙÒ ÑÙ ÐÓ ØÙ ÐÙ Ù ÓÐÐÓ Ò Ó ÐÑ ÐÓ ØØ ÐÙ Ù ÓÒÓÒ Ø Ñ Ò ÐÙØÙ Ø Ó Ø º Ñ Ö ¾º½½º Ø Ø ÓÒ Ó ÒÒ ØØÙ ÐÙ Ù Ô Ö ÐÐ Ò Ò ÓÒ ÓÈ Ö ÐÐ Ò Ò ÐÙ Ùµ ÑÙÙØØÙ Ò Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ø ÐÐ ÒÒ Ø Ò ØÓØÙÙ ÖÚÓ Ò ÑÙ Ò ÓÒ Ó ÐÙ Ù Ô Ö ÐÐ Ò Ò ÓÐ ØÙ Ò ÖÚÓ Ð Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ð ½½

18 ÐÙ Ù±¾ ¼ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ÌÖÙ Ö ØÙÖÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ì ÓÒ Ø ØÝ ÙÒ Ø Ó Ó Ý Ò ÖØ Ø Ø Ø ÓÒ Ó ÐÙ Ù Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ú º ÂÓ ÖØ ÙÒ Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÐÙÚÙÒ Ô Ö Ø Ø Ø Ò Ò Ò ÚÓ Ò Ýع Ø ØØ ÙÒ Ø ÓØ º ÙÒ Ø ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÓÒ Ø Ø ØØ Ú ÐÙ Ùº ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ø ÐÐ ÒÒ ØØÙ ÒÝØ Ð ÓÓ Ø Ó ØÓÓÒ Ò Ñ ÐØ Ô Ö ÐÐ Ò ÒºÔݺ Ì Ø Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ ØÓ Ñ ÒØ º ÑÔÓÖØ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ô Ö ÐÐ Ò ÒºÓÒ ÓÈ Ö ÐÐ Ò Ò µ Ð Ô Ö ÐÐ Ò ÒºÓÒ ÓÈ Ö ÐÐ Ò Ò ½¼¾µ ÌÖÙ ÃÙÒ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÒØ Ö ÙÑ ÒØ ÐÙÚÙÒ Ô Ð ÙØØ ØÓØÙÙ ÖÚÓÒ Ð º ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙ Ò ÐÙ Ù ÓÐ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ñ ÓÒ ØÓØØ º Ë ÑÓ Ò ÙÒ ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ö ÙÑ ÒØØ Ò ÓÒ ÐÙ Ù ½¼¾ Ô Ð ÙØØ ØÓØÙÙ ÖÚÓÒ ÌÖÙ º ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙ Ò ÐÙ Ù ½¼¾ ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ñ Ô Ø Ô Ò º Ì ÑÝ Ò Ø Ò Ù Ò ÙÒ Ø ÓØ ÙØ ÙØ Ò Ù Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ Ú ÐÐ Òº ÙÒ Ø Ó Ò Ð ÙÙ ÐÐ Ò ÝØ ØØÚÝÝØØ ÈÝØ ÓÒ ØÙÓÚ Ø ÐÐ Ö ¹ ØÓغ Ã Ö ØÓØ ÓÚ Ø Ô ØØ Ó Ø Ð ÝØÝÝ Ú ÐÑ Ø ÙÒ Ø Ó Ø Ó Ø ÚÓ Ý ÝÒ¹ Ø ÓÓ Ö Ó Ø ØØ º Ñ Ö Ò Ñ Ò ØØ ÓÓÒ Ñ Ø ¹ Ö ØÓ Ó Ð¹ Ø ÒÐ Ñ Ø Ñ ØØ ÓÔ Ö Ø Ó Ø ÙØ Ò Ò Ð ÙÙÖ Ò ÓØØ Ñ Òº Ã Ö ØÓ ÓØ Ø Ò ÝØØ Ò Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ Ð ÓÓ Ø Ó ØÓÒ Ð ÙÙÒ ÑÔÓÖØ Ö ØÓÒÒ Ñ º ÃÓÓ ÚÓ ØØ Ò ÙØ Ù ÒÓÖÑ Ð Ø Ñ Ø Ø Ò Ö ØÓÒ ÙÒ Ø ÓØ º ÁØ Ø Ñ Ø Ö Ð ØÙØÙ ØÙØ Ò Ø Ò ÈÝØ Ó¹ Ò Ò Ö ØÓ Ø ÆÙÑÈݹ Ö ØÓÓÒ Å ØÔÐÓØÐ ¹ Ö ØÓÓÒº Ñ Ö ¾º½¾º Ä Ø Ò ÐÙÚÙÒ Ò Ð Ò Ð ÙÙÖ Ñ Ø ¹ Ö ØÓÒ ÚÙÐÐ º ÑÔÓÖØ Ñ Ø Ñ Ø º ÕÖØ µ ¾º¼ ½¾

19 Å ØÖ Ð ÒØ Ì ÐÙÚÙ Ý Ò ÐÝ Ý Ø ÐÔ Ñ ØÖ Ð ÒÒ Ò Ô ÖÙ Ø Ø º Ó ¹ Ø ÐÐ Ò ØÙØÙÒ Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ò ÙØØ º ÄÓÔÙ Ø ÓØ Ò Ñ Ø Ò ÈÝØ ÓÒ¹ Ó ÐÑÓ ÒØ ÚÓ Ò Ý ÝÒØ Ñ ØÖ Ð ÒÒ º ÈÐ Ø Ò ÓÒ ÝØ ØØÝ Ö Ð Ò ÙÖ Ö Ò Ö Ä Ò Ö Ð Ö Å Ø Ò ÝÐÒ ÐÙ ÒØÓ¹ ÑÓÒ Ø ØØ Ð Ò Ö Ð Ö Ò ÙÖ ÐÐ º º½ Ä Ò Ö Ø Ý ØÐ ÖÝ ÑØ Ì ÔÔ Ð ØÙØÙ Ø Ò Ð Ò Ö Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ò Ô Ð ÙØ Ø Ò Ñ Ð Ò Ò Ò Ö Ø Ñ Ò Ò Ð Ñ ÒÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑÐк ÍÙØ Ò Ò ØÙÐ Ð Ò Ö Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ º ÅÖ Ø ÐÑ º½º Ä Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÓÒ ÐÐ Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÓÒ ÑÙÙØØÙ Ø ÓÚ Ø Ò ÑÑ Ø Ø ØØ º Ä Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÓÒ ÑÙÓØÓ a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m ÃÙØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÙÓÑ Ø Ò Ý ØÐ Ø ÑÙÙØØÙ ÚÓ ÓÐÐ Ù Ò Ô Ð¹ ÓÒ ÝÚÒ Ò Ø ÓÐ Ô Ó ÓÐÐ Ñ ÑÖº Ò ÖØ ÙÙ Ò ÚÙÓ Ø Ñ Ø Ö Ð Ö Ó ØÙØ Ò Ù Ø Ò Ò Ú Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ò Ó ÓÒ Ý Ø ÑÓÒØ ÑÙÙØØÙ Ù Ò Ý ØÐ º Ä Ò Ö Ø Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ò Ö Ø Ñ Ò ÓÒ Ù Ø Ø ÔÓ º Ò ÖØ Ò Ò Ø ÓÒ Ù Ò Ð Ñ ÒÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐѺ Ë Ò Ý ØÐ Ø ÖÖÓØ Ò ÓÔ Ú ÐÐ ÐÙ¹ ÚÙ ÐÐ Ú ÒÒ ØÒ ØÓ Ø Ò Ø Ò ØØ Ð ÑÑ Ý ØÐ Ú Ò Ú Ñ Ò Ø ÖÑ Ò ÖÖÓ Ò ÓÒ ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú ØÓ Ð ÑÑ ÓÖ ÒØ Ò Ò Ú ¹ Ñ Ò Ø ÖÑ Ò ÖÖÓ Ò ÓÒ ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú Ò º ÄÓÔÙÐØ ÝÐ ÑÑ Ý ØÐ Ø ÖÑ Ø ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ ÖØÓ Ñ ÐØ Ò ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú º Ì Ø Ò Ö Ø¹ ØÙ Ý ÑÙÙØØÙ Ó ØØ Ñ ÐÐ Ö Ø Ù ÑÙ Ò Ý ØÐ Ò Ò ÑÝ ÑÙ ÐÐ ÑÙÙØØÙ ÐÐ Ö Ø Ùغ Ì ÚÓ ØØ Ò ÓÒ Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÑÙÓØÓÓÒ a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 0 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n = b 2 0 x x 2 + a 33 x a 3n x n = b 3 0 x x x n 1 + a nn x n = b n ½

20 Ë ÐÐ ØØÙ ÓÔ Ö Ø Ó Ø ÓÚ Ø Ý ØÐ Ò Ô Ò Ú Ø Ñ Ò Ò Ý ØÐ Ò ÖØÓÑ ¹ Ò Ò ÒÓÐÐ Ø ÖÓ Ú ÐÐ Ú ÓÐÐ Ý ØÐ Ò Ð Ñ Ò Ò ØÓ Ò º Ê Ø Ø Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ð Ñ ÒÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ Ö Ø ÙØ Ô ÓÐ Ý ¹ ØØ Ò Òº Ë Ñ Ò Ö Ø ÙÒ ÚÓ ÑÝ ÓÐÐ Ò ÑÙÙÐÐ Ø Ú ÐÐ Ð ÖØÓ¹ Ñ ÐÐ Ó ÐÐ Ò ÑÙ ÐÐ ÐÙÚÙ ÐÐ Ø Ð Ñ ÒÓ Ñ ÐÐ Ö Ö ØÝ º Ñ Ö º½º Ê Ø Ø Ò ÐÐ ÓÐ Ú Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ð Ñ ÒÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑÐк x 1 5x 2 + 3x 3 = 12 2x 1 x 2 x 3 = 6 2x x 2 + 2x 3 = 24 Ä ØÒ Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ý ØÐ Ð ÑÑ Ò Ý ØÐ Òº Æ Ò Ò Ý Ø¹ Ð ÖÝ Ñ ÑÙÓØÓÓÒ x 1 5x 2 + 3x 3 = 12 2x 1 x 2 x 3 = 6 0 x 1 + 9x 2 + x 3 = 30. à ÖÖÓØ Ò ØØ Ò ÝÐ Ò Ý ØÐ ÐÙÚÙÐÐ ¾ ÑÑ Ò Ò Ý ØÐ ÐÙÚÙÐÐ ¹½º ÆÝØ Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÓÒ ÑÙÓ Ó 2x 1 10x 2 + 6x 3 = 24 2x 1 + x 2 + x 3 = 6 0 x 1 + 9x 2 + x 3 = 30 ÃÙÒ Ð ØÒ ÑÑ Ò Ò Ý ØÐ ÝÐ ÑÔÒ Ý ØÐ Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÑÙÓØÓÓÒ 0 x 1 9x 2 + 7x 3 = 18 2x 1 + x 2 + x 3 = 6 0 x 1 + 9x 2 + x 3 = 30 Î Ø Ñ ÐÐ Ò ÝÐ ÑÑ Ò Ý ØÐ Ò Ô Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ò ÑÙÓØÓÓÒ 2x 1 + x 2 + x 3 = 6 0 x 1 9x 2 + 7x 3 = 18 0 x 1 + 9x 2 + x 3 = 30. ÃÙÒ Ú Ð Ð ØÒ ÑÑ Ò Ò Ý ØÐ Ð ÑÔ Ò Ý ØÐ Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ ¹ Ñ ØÓ ÚÓØØÙÙÒ ÑÙÓØÓÓÒº 2x 1 + x 2 + x 3 = 6 0 x 1 9x 2 + 7x 3 = 18 0 x x 2 + 8x 3 = 48. ½

21 Ð ÑÑ Ø Ý ØÐ Ø ÚÓ Ò ÒÝØ Ö Ø Ø ÑÙÙØØÙ x 3 º Ê Ø Ù Ò x 3 = 6º ÃÙÒ ØÑ Ó Ø Ø Ò ÑÑ Ò Ý ØÐ Ò Ò ÑÙÓØÓÓÒ 9x = 18º Ì Ø Ò Ö Ø Ù x 2 = º ÅÙÙØØÙ x 1 Ò Ö Ø ØÙ ÙÒ Ó Ø Ø Ò ÑÙÙØØÙ Ò x 2 x 3 Ö Ø ÙØ ÝÐ ÑÔÒ Ý ØÐ Òº Ë ¹ Ó ØÙ Ò Ð Ò Ý ØÐ ÓÒ ÑÙÓ Ó 2x = 6º Ì Ø Ò Ö Ø Ù x 1 = º ØÐ ÖÝ ÑÒ Ö Ø Ù ÓÒ x 1 = x 2 = x 3 = 6 ØÐ ÖÝ Ñ Ø ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ò º ÖÖÓ ÒÑ ØÖ º à ÖÖÓ ÒÑ ØÖ ¹ Ò ÙÒ Ú ÑÑ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ÓÐ Ú Ø Ð Ù Ø ÓØ Ø Ò Ô Ð Ø Ý ØÐ Ò Ö¹ ØÓ Ñ Øº ÅÖ Ø ÐÑ º½ ÝØ ØØÝ Ò Ñ Ö ÒØ Ò ÑÙ Ò ÖÖÓ ÒÑ ØÖ ÓÒ Ñ ØÖ a 11 a 12 a 1n A = a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Å ØÖ Ø ÖÖÓØ Ò Ð ÙÖ Ú ÔÔ Ð º ÅÝ ÑÑ Ò Ý ÑÝ ÐÑ Ñ Ø Ý ØÝ Ñ ØÖ Ø ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ò ÒÒ ÐØ º Ñ Ö º¾º ØÐ ÖÝ ÑÒ x 1 + x 2 4x 3 = 10 2x 1 2x 2 + 3x 3 = 4 4x 1 + 3x 2 x 3 = ÖÖÓ ÒÑ ØÖ ÓÒ Ñ ØÖ º À Ö Ó ØÙ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ 2x 1 + x 2 = 5 4x 1 4x 2 = 4 Ì ØÚ º Ê Ø Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ð Ñ ÒÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑÐк Ì ØÚ º ÅÙÓ Ó Ø Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Aº ½

22 º¾ È ÖÙ Ó Ø Ñ ØÖ Ø Ú Ò Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ Ñ Ñ ØÖ ÓÒº Ë Ò Ð Ò ØÙØÙ ØÙØ Ò Ô ÖÙ Ð ¹ ÙØÓ Ñ ØÙ Ò Ó Ø Ñ ØÖ ÐÐ ÚÓ Ò Ø º ÅÖ Ø ÐÑ º¾º Å ØÖ ÓÒ Ø ØÝÒÐ Ò Ò Ø ÙÐÙ Ó ÐÙ Ù º Å ØÖ ÓÒ Ó ¹ ÐÐ Ú Ö Ú ÐÐ n Ð ÓØ Ó ÐÐ ÔÝ ØÝÖ Ú ÐÐ m Ð ÓØ º ÐÐ ÓÐ Ú Ñ ØÖ A ÓÒ m n¹ñ ØÖ º a 11 a 12 a 1n A = a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Ð Ó Ø a ij ÙØ ÙØ Ò Ñ ØÖ Ð Ó º Å ØÖ Ð ÓØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ñ Ø Ø ¹ Ò ÐÙ Ù Ø ÓÔ Ñ Ö ÔÓÐÝÒÓÑ º Ò ÖØ ÙÙ Ò ÚÙÓ Ø Ñ Ø Ö Ð Ñ ØÖ Ð ÓØ Ö Ó Ø Ø Ò Ö Ð ÐÙ Ù Òº Å ØÖ Ð Ó Ø a ij Ó ÐÐ ÔØ i = j ÒÓØ Ò Ñ ØÖ Ò ÓÒ Ð Ð Ó º Å ØÖ Ò Ø ÑÓØØÙÙ Ô Ö ÑÑ Ò Ú ÖØ Ñ ÐÐ Ò Ø Ú ØÓÖ Ò ÐÐ 1 n¹ñ ØÖ X = (x 1, x 2,...,x n ) ÓÒ Ø Ú ØÓÖ º Ð Ò Ñ ØÖ Ò Ð ÓÒ Ô Ð ÓÒ Ñ ØÖ Ó ÐÐ ÓÒ Ó Ø Ò Ö Ó Ô ÖØ ¹ غ Ö Ò Ø ÓÒ Ò Ð Ñ ØÖ º ÂÓ Ò Ò ÑÙ Ò Ö Ó Ô ÖØ Ò ØÙØÙ ØÙØ Ò ÑÝ ÑÑ Ò Ø Ñ Ø Ö Ð º ÅÖ Ø ÐÑ º º Æ Ð Ñ ØÖ ÙØ ÙØ Ò Ñ ØÖ ÓÐÐ ÔØ m = nº Ñ Ö º º Å ØÖ A = ( ) ÓÒ 2 2¹Ò Ð Ñ ØÖ º Å ØÖ ÚÓ Ò Ð Ý Ø Ò Ú ÒØ ØÓ Ø Ò Ñ Ð Ñ ØÖ ¹ Ø ÓÚ Ø m n¹ñ ØÖ º ÃÙÑÑ Ø Ò ÓÔ Ö Ø Ó Ø ÓÒ ØÙÐÓ Ò Ò m n¹ Ñ ØÖ º Å ØÖ Ò Ý Ø ÒÐ Ù Ø Ô ØÙÙ Ø Ò ØØ Ð Ø Ò Ñ ÐÐ Ô Ð¹ Ð ÓÐ Ú Ø Ð ÓØ Ý Ø Ò Ò Ò Ò Ý ÐÐ Ô ÐÐ Ð Ó ØÙÐÓ Ñ ØÖ ¹ º Î ÒÒÒÝ Ð Ù Ø Ô ØÙÙ Ú Ø Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ñ ØÖ ÓÐ ÓÓÒ Ñ ØÖ Ó ÓÒ ØÙ Ð Ñ ÐÐ Ý Ø Òº Ë ÐÐÓ Ò Ñ ØÖ Ò Ð ÓØ ÓÚ Ø c ij = a ij + b ij º ( ) Ñ Ö º º Ä Ø Ò Ñ ØÖ Ò A = ( ) B = ÙÑÑ µ ÖÓØÙ ¹ µº ( ) ( ) ( ) ( 5) A + B = + = ( ) = ½

23 ( ) ( ) ( ) ( 5) 6 8 A B = = ( ) = Å ØÖ ÚÓ Ò ÑÝ ÖØÓ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ º Ã ÖØÓÑ Ò Ò Ø Ô ØÙÙ Ø Ò ØØ ÖÖÓØ Ò Ù Ò Ð Ó ÖÖÓØØ Ú ÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ r Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò Ñ ØÖ º ÃÙÒ Ñ ØÖ ÖÖÓØ Ò Ö Ð ÐÙÚÙÐÐ r Ò ØÙÐÓ Ñ ØÖ Ó ÓÒ Ñ ØÝÝÔÔ Ù Ò º Å ØÖ Ò Ð ÓØ Ò ÖØÓÑ ÐÐ Ñ ØÖ Ò Ð ÓØ ÐÙÚÙÐÐ Öº Å ØÖ Ð Ó b ij = r a ij º ( ) Ñ Ö º º Ã ÖÖÓØ Ò Ñ ØÖ A = ÐÙÚÙÐÐ º Ã ÖÖÓØ Ò Ù Ò Ñ ØÖ Ò Ð Ó ÐÙÚÙÐÐ º Æ Ò Ò ( ) ( ) ( ) = = ÅÖ Ø ÐÑ º º ÇÐ ÓÓÒ Ñ ØÖ a 11 a 12 a 1n A = a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn ÃÙÒ Ú Ø Ò Ñ ØÖ Ò ÔÝ ØÝÖ Ú Ø Ú Ö Ú Ò Ñ ØÖ Ò A ØÖ Ò ¹ ÔÓÒÓ ØÙ Ñ ØÖ A T Ø ÐÝ Ý Ø ØÖ Ò ÔÓÓ a 11 a 21 a m1 A T = a 12 a 22 a m a 1n a 2n a mn ( ) Ñ Ö º º Å ØÖ Ò A = ØÖ Ò ÔÓÓ A T = 3 7 º À Ö Ó ØÙ Ã Ø ØÚ ÓÒ ÝØ ØØÝ Ñ ØÖ A = B = º Ì ØÚ º Ä Ò Ò ÙÑÑ µ ÖÓØÙ ¹ µ ÖÖÓ ÙÑÑ Ø Ò Ñ ØÖ Ø ÐÙÚÙÐÐ º Ì ØÚ º ÅÙÓ Ó Ø Ñ ØÖ Ò ØÖ Ò ÔÓÓ º ½

24 º Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ö Ñ Ö Ò ÒØ Æ Ð Ñ ØÖ ÐÐ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ø ÖÑ Ò ÒØØ º Å ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ñ Ö ØÒ Ø µ Ø A º ÌÝÝÔÔ 2 2 ÓÐ Ú Ò Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ó¹ Ú Ø Ò Ð ØØ Ú ÙÖ Ú Ø º det ( ) a b c d = a b c d = ad bc Ð Ø Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø º ÅÖ Ø ÐÑ º º ÌÝÝÔÔ n n ÓÐ Ú Ò Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ a 11 a 12 a 1n a 22 a 23 a 2n a 21 a 23 a 2n a 21 a 22 a 2n = a 11 a 32 a 33 a 3n a 12 a 31 a 33 a 3n a n1 a k2 a nn a n2 a n3 a nn a n1 a n3 a nn a 22 a 23 a 2(n 1)... + ( 1) n+1 a 1n a 31 a 32 a 3(n 1) a n1 a n2 a n(n 1) Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ò ÖØÓÑ ÐÐ Ò ÑÑ Ò Ö Ú Ò Ð ÓØ Ò Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ ÐÐ Ó Ò ÙÒ ÔÓ Ø Ø Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ú Ö Ú ÔÝ Øݹ Ö Ú ÓÐÐ Ð Ó ÓÒº ÄÓÔÙ Ú Ð ÙØ ÐÙÚÙØ Ð Ø Ò Ý Ø Ò Ø Ú ÒÒ ØÒ ØÓ Ø Òº ÈÐÙ ¹ Ñ ÒÙ Ñ Ö Ø ÚÙÓÖÓØØ Ð Ú Øº ÌÑÒ ÑÖ Ø ÐÑÒ ÚÙÐÐ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ð Ñ Ò Ò Ô Ð ÙØÙÙ n ÔÔ Ð Ò n 1 n 1¹ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ð Ñ Òº Â Ø Ñ ÐÐ Ð Ñ Ø Ø ÒÔ Ò Ô ¹ ØÒ ÐÓÔÙÐØ 2 2¹ Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ò ÓØ Ð Ø Ò ÐÐ ÓÚ ØÙÐÐ Ø Ú ÐÐ º ÌÝÝÔÔ 1 1 ÓÐ Ú ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø º ÅÖ Ø ÐÑ º º ÇÐ ÓÓÒ (a) 1 1¹Ñ ØÖ º Ë ÐÐÓ Ò det(a) = aº ÅÖ Ø ÐÑ Ø ÙÓÑ Ø Ò ØØ ÑÝ 2 2¹ Ø ÖÑ Ò ÒØ ÐÐ ØÓØ ÙØØ ÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÝÒ ÝÐ Ò Ð Ù ÒÒ Òº Ñ Ö º º Ä Ø Ò Ñ ØÖ Ò A = Ø ÖÑ Ò ÒØØ º Ź Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò ÓØ Ø Ò Ù Ò Ò ÑÑ Ò Ö Ú Ò Ð Ó ÖÖÓØ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ ÐÐ Ó Ò ÙÒ ÔÓ Ø Ø Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ú Ö Ú ÔÝ ¹ ØÝÖ Ú ÓÐÐ Ð Ó ÓÒº Æ Ò Ò = ( 8) ½

25 Ð Ó Ò Ô ÖÒ ØÙÐ ÒÝØ 2 2¹ Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ò Ð Ø Ò ÙÓÖ Ò ÐÐ ÓÚ ØÙÒ ÑÙ Ø º Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ð Ñ ÓÒ Ò Ò ÔÙ ÓØØ Ö Ú ÔÓ Ò Ò Ù Ò ÙÒÒ Ô ÝØÒ 2 2¹ Ø ÖÑ Ò ÒØØ Òº Ä Ø Ò 2 2¹ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ø Ò Ò Ò 7( ) 15( ) 8( ) = 7(12 27) 15(18 45) 8(18 20) = 7 ( 15) 15 ( 27) 8 ( 2) = = 316. Ø ÖÑ Ò ÒØ Ø Ò ½ º È Ð ÙØ Ø Ò Ñ Ð Ò ÔÔ Ð º½ Ø ÐÐÝØ Ð Ò Ö Ø Ý ØÐ ÖÝ ÑØ Ò Ò ÖÖÓ ÒÑ ØÖ º Ä Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ò ÓÒ ÑÙÓØÓ a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Ë Ò ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ø ÓÒ Ñ ØÖ a 11 a 12 a 1n A = a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn ÁØ Ð Ò Ö Ø Ý ØÐ ÖÝ ÑØ ÚÓ Ò ØØ Ñ ØÖ ÑÙÓ Ó º à ֹ ÖÓ ÒÑ ØÖ A Ø Ò ÓØØ Ñ ÐÐ Ú ÑÑ ÒÔÙÓÐ Ò Ð Ù Ø ÖØÓ Ñ Øº Ë ÑÓ Ò Ò ÑÙÙØØÙ ÐÐ Ñ ØÖ X = (x 1, x 2,..., x n ) T Ý ØÐ Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ Ñ ØÖ B = (b 1, b 2,..., b m ) T º Å ØÖ ÑÙÓ Ó Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÓÒ AX = Bº Å ØÖ ÑÙÓ Ó ÓÒ Ú ÑÑ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ Ñ ØÖ ÖÖÓØØÙ ÒÒº Å ØÖ Ò ÖØÓÐ Ù ÓÐ Ú Ð ÑÖ Ø ÐØÝ ÑÙØØ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÑÝ ÑÑ Òº Ä Ò Ö ÐÐ Ý ØÐ ÖÝ ÑÐÐ ÚÐØØÑØØ ÓÐ Ý ØØ Ø Ö Ø Ù º Ê Ø ÙÒ Ý ØØ ÝÝ ÓÒ ÐÔÔÓ Ø Ö Ø Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò ÚÙÐÐ º Ä Ù º½º Ä Ò Ö ÐÐ Ý ØÐ ÖÝ ÑÐÐ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù Ó Ú Ò Ó Ò ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú º Ø Òº È ÖÙ Ø ÐÙ ØÐÐ Ð Ù ÐÐ ÓÒ ÐÑ Ò Ò ÙÒ ØÙØÙ ØÙØ Ò Ó Ø Ö Ñ Ö Ò Ò¹ ÂÓ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÐÐ ÓÐ Ö Ø¹ Ù Ø ØØ Ò Ò Ø ÓÒ Ö ØØ ÑÒ ÑÓÒØ º ½

26 Ñ Ö º º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ð Ò Ö Ø Ý ØÐ ÖÝ Ñ x 1 = 2 2x 1 x 2 2x 3 = 1 3x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 12 ØÐ ÖÝ ÑÒ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ ÒÝØ ÒÓÐÐ º ÌÑÒ ÚÓ Ú Ø ØÓ Ø º ÌÐÐ Ý ØÐ ÖÝ ÑÐÐ ÓÐ Ý ØØ Ø Ö Ø Ù º ÁØ Ö Ø Ù ÓÒ Ö ØØ ÑÒ ÑÓÒØ º Ä Ò Ö Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÑÝ Ò Ò ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò ÚÙÐÐ º Ì ÔÓ ÓÒ ÑÓÒ º Ö Ò Ø ÓÒ Ö Ñ Ö Ò ÒØ º Ä Ù º¾º ÇÐ ÓÓÒ Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ý Ø ÑÓÒØ ÑÙÙØØÙ Ý Ø ÑÓÒØ Ý ¹ ØÐ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú º Ë ÐÐÓ Ò Ý ØÐ ÖÝ ¹ ÑÐÐ ÓÒ Ø Ö ÐÐ Ò Ý Ö Ø Ù ÓÒ ÙÖ Ú x j = det(a j) det(a) Ñ j = 1, 2,...,n A j ÓÒ Ñ ØÖ Ó Ò ÓÖÚ Ñ ÐÐ ÔÝ ØÝÖ Ú Ñ ØÖ ÐÐ Bº Ñ Ö º º Ê Ø Ø Ò ÐÐ ÓÐ Ú Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ö Ñ Ö Ò ÒÒ Ðк 3x 1 + 2x 2 x 3 = 7 x 1 x 2 + 2x 3 = 2 2x 1 + 3x 2 2x 3 = ØÐ ÖÝ ÑÒ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ ÓÒ ÒÝØ A = º Ä Ø Ò Ò ¹ Ø ÖÑ Ò ÒØØ º = = 3 ( 4) 2 ( 6) 5 = Å ØÖ B ÓÒ ÒÝØ Ñ ØÖ (7, 2, 3) T º Ê Ø Ø Ò Ò Ò ÑÙÙØØÙ x 1 º Å ØÖ A 1 ÓÒ Ñ ØÖ Ó ÓÒ ØÙ ÓÖÚ Ñ ÐÐ Ñ ØÖ Ø A Ò ÑÑ Ò Ò Ö Ú Ñ ØÖ ÐÐ º Å ØÖ A 1 ¹ Ò Ñ ØÖ º ÃÙÒ Ð Ø Ò Ñ ØÖ Ò A 1 Ø ÖÑ Ò ÒØØ ØÙÐÓ Ò ¹½ º Æ Ò ÓÐÐ Ò ÑÙÙØØÙ x 1 Ò x 1 = 17 5 = 32 5 º ¾¼

27 Ê Ø Ø Ò ØØ Ò ÑÙÙØØÙ x 2 Ú Ø Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ º ÆÝØ ÓÖÚ Ø Ò Ñ ØÖ ¹ Ø A ØÓ Ò Ò ÔÝ ØÝÖ Ú Ñ ØÖ ÐÐ B Ò Ñ ØÖ A 2 º Å ØÖ Ò A 2 ¹ Ø ÖÑ Ò Ò Ø Ò ½ º ÅÙÙØØÙ Ò x 2 ÖÚÓ Ò x 2 = 13 5 = 23 5 º ÄÓÔÙ Ú Ð Ö Ø Ø Ò ÑÙÙØØÙ x 3 º Å ØÖ Ò A 3 Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ½¼ Ø Ò x 3 = 10 5 = 2º ØÐ ÖÝ ÑÒ Ö Ø Ù ÓÒ À Ö Ó ØÙ Ì ØÚ ½¼º ÇÐ ÓÓÒ Ñ ØÖ A = Ò ÒØØ x 1 = x 2 = x 3 = 2 ( ) º Å ÓÒ Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ ¹ Ì ØÚ ½½º Ê Ø Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ö Ñ Ö Ò ÒÒ Ò ÚÙÐÐ º 5x 1 x 2 = 12 x 1 2x 2 = 6 º Å ØÖ Ò ÖØÓÐ Ù Å ØÖ Ò ÖØÓÐ Ù ÓÒ Ý Ø ÒÐ Ù ÐÙÚÙÐÐ ÖØÓÑ Ø Ñ Ò ÑÓÒ ÑÙع ÑÔ ÓÔ Ö Ø Óº Ì ÔÔ Ð Ô Ö ÝÑÑ Ñ ØÖ Ò ÖØÓÐ ÙÙÒº Ò ÒÒ Ò Ø Ñ Ð Ú ÐØ Ø Ñ ØÖ ÚÓ ÚÐØØÑØØ ÖØÓ ¹ ÒÒº Ë ÙÖ Ú Ð Ù ÖØÓÓ Ñ ÐÐ Ñ ØÖ ÚÓ Ò ÖØÓ ÒÒº Ä Ù º º ÇÐ ÓÓÒ Ñ ØÖ Ó Ò Ñ Ò¹Ñ ØÖ Ó Ò Ð ¹Ñ ØÖ º Šع Ö Ø ÚÓ Ò ÖØÓ ÒÒ Ó Ú Ò Ó n = lº È ÖÙ Ø ÐÙ ØÐÐ Ð Ù ÐÐ ÓÒ ÐÑ Ò Ò ÙÒ ÓÒ ØÙØÙ ØÙØØÙ Ò Ò Ò Ù Ò Ñ ØÖ Ó Ò ÖÖÓØ Ò ÒÒº Å ØÖ Ò ÖØÓÐ Ù Ø Ô ØÙÙ Ø Ò ØØ ÓØ Ø Ò ÖØÓ Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ú Ö Ú ÖÖÓØØ Ú Ø Ò ÑÑ Ò Ò ÔÝ ØÝÖ Ú º à ÖÖÓØ Ò Ò ÑÑ Ø Ð ÓØ ÒÒ Ð ØÒ Ò ØÓ Ø Ò Ð Ó Ò ØÙÐÓº Ì Ò Ð ØÒ ÓÐÑ Ò Ò Ð Ó Ò ØÙÐÓ Ò Ò Ø Ø Òº Ë ØÙ ÙÑÑ ÓÒ ØÙÐÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ó a 11 º ÌÙ¹ ÐÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ó a 12 Ò ØÓ Ø Ñ ÐÐ ÓÔ Ö Ø Ó ÖÖÓØØ Ú Ò Ò ÑÑ ÐÐ Ú Ö Ú ÐÐ ÖØÓ Ò ØÓ ÐÐ ÔÝ ØÝÖ Ú ÐÐ º Æ Ò Ø Ø Ò ÙÒÒ Ó ¹ Ò Ò ÖÖÓØØ Ú Ò Ú Ö Ú ÓÒ ÖÖÓØØÙ Ó ÐÐ ÖØÓ Ò ÔÝ ØÝÖ Ú Ðк ÌÙÐÓ Ò ÖØÓÐ Ù Ø Ò m s¹ñ ØÖ º ¾½

28 ÇÐ ÓÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ñ ØÖ Ò Ò ÖØÓÐ ÙÒ ØÙÐÓ Ò ØÙ Ñ ØÖ º Ë ÐÐÓ Ò Ð Ó c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj º Å ØÖ Ò ÖØÓÐ Ù ÒÒ Ø Ú ÖÖ Ø Ú ØÓÖ Ò Ô Ø ØÙÐÓÓÒº Í Ò ¹ Ø ÐÐ Ò ØØ Ñ ØÖ Ò Ö Ú Ø Ö Ø ÓÚ Ø Ú ØÓÖ Ø º ÌÙÐÓ Ñ ØÖ Ò Ð ÓØ c ij Ú ÖØ Ò ÓØ Ø Ò Ñ ØÖ Ø i Ú Ö Ú Ñ ØÖ Ø j Ö Ð Ø Ò Ò Ò Ò Ú ØÓÖ Ò Ô Ø ØÙÐÓº ( ) Ñ Ö º½¼º Å ØÖ ÔÝ ØÝ ÖØÓÑ Ò ÒÒ Ó ÓÒ ØÝÝÔÔ 2 2 ØÝÝÔÔ 3 4º Å ØÖ Ò ÖØÓÐ Ù Ø ÓÒ ØÖ ÙÓÑ Ø Ö º ÄÙ Ù Ò ÖØÓÐ ¹ Ù ÚÓ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÙÓÖ ØØ Ñ Ö ØÝ ÝÚÒ º Ñ Ö ÓÐ ÓÓÒ a b Ó Ø Ò Ö Ð ÐÙ Ù º Ë ÐÐÓ Ò a b = b aº Å ØÖ ÐÐ ØÑ ÓÑ Ò ¹ ÙÙ Ù Ø Ò Ò Ò Ô º ÌÑ ÙÓÑ Ø Ò ÙÖ Ú Ø Ñ Ö Øº ( ) ( ) Ñ Ö º½½º ÇÐ ÓÓÒ Ñ ØÖ Ñ ØÖ º Ä ¹ Ø Ò Ò Ò Ñ ØÖ ( )( ) ( ) = ( ) ( ) = = Ä Ø Ò ØØ Ò Ñ ØÖ º ( )( ) ( ) = ( ) ( ) = = ÀÙÓÑ Ø Ò ØØ ØÙÐÓ Ò ÓÒ Ö Ñ ØÖ Øº ÅÖ Ø ÐÑ º º Á ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ Á ÙØ ÙØ Ò Ò Ð Ñ ØÖ ÓÒ ¹ ÓÒ Ð Ð ÓØ ÓÚ Ø Ý ÑÙÙØ Ð ÓØ ÓÚ Ø ÒÓÐÐ º Á ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ ÓÒ Ñ ØÖ I = ¾¾

29 Á ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ ÐÐ ÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ ØØ ÐÐ ÖÖÓØØ Ø Ø Ö¹ ÖÓØØ ØÙÐÓ Ò ÓÒ Ò Ñ ØÖ Ñ Ø ÐÐ ÖÖÓØ Ò Ø Ñ ÐÐ ÖÖÓØ Òº Á ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ ÓÒ ÖØÓÐ Ù Ñ Ù Ò ÐÙÚÙ ÖØÓ Ý Ðк Å Ø Ñ ØØ Ø ÐÑ ØÙÒ IA = AI = A Ñ A ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò Ñ ØÖ I ÓÒ ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ º Ñ Ö º½¾º à ÖÖÓØ Ò Ñ ØÖ Ø Á ÒÒº AI = ( 6) ( 6) ( 6) 1 = = = = A ÂÓ ÙÓÖ ØØ ÖØÓÐ ÙÒ ØÓ ÒÔ Ò ÓÒ ÑÝ ØÙÐÓ Ò Ñ ØÖ º à ÖØÓÐ ÙÒ Ý ØÝ Ó Ø Ò Ò ÙÓÖ ØØ Ñ Ò Ò Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º À Ö Ó ØÙ Ì ØÚ ½¾º Ä Ñ Ð Ñ ÓÐÐ Ø ÙÖ Ú Ò Ñ ØÖ Ò ØÙÐÓ µº µ µ µ µ A = 7 4,B = ( ) ( ) A =, B = A = , B = ( ) 4 3 A =, B = 5 4 ( ) ¾

30 Ì ØÚ ½ º Ä Ñ Ð Ñ ÓÐÐ Ø ÐÐ Ò Ø ØÚÒ Ñ ØÖ Ò ØÙÐÓ µº º ÃÒØ Ñ ØÖ Ì ÔÔ Ð ØÙØÙ ØÙØ Ò ÒØ Ñ ØÖ Ò ØØ Òº Ä Ø ÓØ Ò Ñ ÐÐ ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ ÒØ Ñ ØÖ ÓÒ ÐÓÔÙ Ú Ð ÐÝ Ý Ø ÒØ Ñ Ø¹ Ö Ò Ð Ñ Ø º ÅÖ Ø ÐÑ º º Å ØÖ Ò A ÒØ Ñ ØÖ ÓÒ ÐÐ Ò Ò Ñ ØÖ A 1 ÓÐÐ ÔØ AA 1 = A 1 A = Iº Ñ Ö º½ º Å ØÖ B = A = ÒØ Ñ ØÖ ÐÐ ÓÒ Ñ ØÖ Ò AB = ( ( ) 5) ( ) 1 5 = 2 ( ( ) 5) ( ) ( ( ) 5) ( ) = = ( 2 5) ( 2 5) ( 2 5) à ÖØÓÐ Ù Ø ØÙÐ ÑÝ Ú Ø Ù ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ ÑÙØØ ÖØÓÐ ÙÒ ÙÓÖ ØØ Ñ Ò Ò Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º à ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ Ù Ø Ò Ò ÓÐ ÒØ Ñ ØÖ º Ë ÙÖ Ú Ð Ù Ö¹ ØÓÓ Ñ ÐÐ ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ ÓÒ ÒØ Ñ ØÖ º Ä Ù º º Å ØÖ ÐÐ A ÓÒ ÒØ Ñ ØÖ Ó Ú Ò Ó ÓÒ Ò Ð Ñ ØÖ Ø µ 0º Å ØÖ Ó ÐÐ ÓÒ ÒØ Ñ ØÖ ÙØ ÙØ Ò ÒÒ ÐÐ º Ä ÓÒ ÑÝ ÝÚ ÑÙ Ø ØØ Ó Ñ ØÖ ÐÐ ÓÒ ÒØ Ñ ØÖ ÓÒ Ý ØØ Ò Òº ÃÒØ Ñ ØÖ Ò Ø Ñ ÓÒ Ù Ø ÒÓ º Ì Ñ Ø Ö Ð Ø Ð¹ ÐÒ Ù Ø Ò Ò Ú Ò Ô Ö ØØ ÐØ Ò Ý Ò ÖØ Òº ÌÑ Ø Ô Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÓÖ Ò ÒØ Ñ ØÖ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒº ÇÐ ÓÓÒ Ñ ØÖ A Ñ ØÖ ÓÐÐ ÒØ Ñ Ø¹ Ö Ô Ø Ø º Ì ØÒ ØØ Ò Ò Ò Ñ ØÖ Ò ÖØÓÐ ÙÒ ØÙÐÓ Ò ÓÒ ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ º Å Ö ØÒ ÒØ Ñ ØÖ Ò Ð Ó Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ ÐÐ ¾

31 x ij ÖÖÓØ Ò Ñ ØÖ A ÒØ Ñ ØÖ ÐÐ Òº ÃÓ ØÙÐÓ Ø ØÒ Ò ÖØÓÐ ÙÒ ÚÙÐÐ Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ó Ø ÚÓ Ò Ö Ø Ø Ð ÓØ x ij º Å Ø Ñ Ø¹ Ø Ò Ñ Ö ÒÒ Ò a 11 a 12 a 1n x 11 x 12 x 1n a 21 a 22 a 2n x 21 x 22 x 2n = a n1 a n2 a nn x n1 x n2 x nn ÃÙÒ ÖØÓÐ Ù ÙÓÖ Ø Ø Ò Ò ØÙÐÓ Ò ÙÖ Ú Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ó ÓÒ n 2 Ý ØÐ n 2 ÑÙÙØØÙ º a 11 x 11 + a 12 x 21 + a 1n x n1 = 1 a 11 x 12 + a 12 x a 1n x n2 = 0 a n1 x 1n + a n2 x 2n + + a nn x nn = 1 ØÐ ÖÝ Ñ Ø Ò Ö Ø ØÙ ÑÙÙØØÙ Ø x ij º ( ) 1 1 Ñ Ö º½ º Ø ØÒ ÒØ Ñ ØÖ Ñ ØÖ ÐÐ A = º Å Ö ¹ 3 2 ØÒ ÒØ Ñ ØÖ Ò Ð Ó Ø ÑÙÙØØÙ ÐÐ x ij º Æ Ò Ò ÖØÓÐ Ùº ( ) ( ) ( ) 1 1 x 11 x = 3 2 x 21 x ÃÙÒ ÙÓÖ Ø Ø Ò ÖØÓÐ Ù Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ x 11 x 21 = 1 x 12 x 22 = 0 3x 11 2x 21 = 0 3x 12 2x 22 = 1 ÃÓ Ò ÑÑ Ò Ò ÓÐÑ Ý ØÐ ÚØ Ö ÔÙ ØÓ Ø Ò Ð ÒÒ Ø ÚÓ ¹ Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÓØØ Ý ØÐ ÖÝ Ñ º Ì ÒÝØ Ý ÐÔ Ò Ø Ö ÑÑ Ò Ý ØÐ Ô Ö Ò Ö Ø Ñ Ø º ÃÓ Ó Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ Ö Ø Ù ØÙÐ x 11 = 2, x 12 = 1, x 21 = 3, x 22 = 1 ( ) Æ Ò ÓÐÐ Ò Ò ÒØ Ñ ØÖ A = 3 1 ¾

32 À Ö Ó ØÙ ( ) 3 1 Ì ØÚ ½ º Å ÙÖ Ú Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ò A = ÒØ Ñ ØÖ 2 4 ( ) ( ) ( ) µ µ µ Ì ØÚ ½ º Ø Ñ ØÖ Ò A = 4 1 ÒØ Ñ ØÖ º 1 3 ( ) 0 1 Ì ØÚ ½ º Ø Ñ ØÖ Ò A = ÒØ Ñ ØÖ º 2 1 º ËÓÚ ÐÐÙ ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑÓ ÒØ Ò Ì ÔÔ Ð ØÙØ Ø Ò Ù Ò ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑÓ ÒØ ÚÓ Ò ÝØØ Ñ Ø¹ Ö Ð ÒÒ Ò ØÝ ÐÙÒ º Ä Ø Ò ÓÒ ÝØ ØØÝ ÆÙÑÈݹ Ö ØÓÒ ØÙØÓÖ Ð º ÃÙØ Ò ÐÐ ÙÓÑ ØØ Ò ÑÓÒ Ø Ñ ØÖ Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ÓÚ Ø ØÝ Ð ¹ Ø ÙÓÖ ØØ º Ñ Ö ÖØÓÐ ÙØ Ó ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ ÒØ Ñ ØÖ Ò Ø ¹ Ñ Ò Ò Ð Ò Ö Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ Ö Ø Ñ Ò Ò Ú ÚØ Ô Ð ÓÒ º ÈÝØ ÓÒ¹ Ó ÐÑÓ ÒØ Ø Ö Ó ÐÔÓØÙ Ø Ø Ò ÓÒ ÐÑ Òº ÈÝØ ÓÒ Ò ÆÙÑÈݹ Ö ØÓ Ø Ð ÝØÝÝ Ú ÐÑ Ø ÓÑ ÒÒÓØ Ò Ò Ò ÓÔ Ö Ø Ó Ò ÙÓÖ ØØ Ñ Òº ÈÝØ ÓÒ¹ Ð ÓÒ ÓÐ Ñ Ñ ØÖ ÐÐ ÓÑ Ø ØÓÖ ÒÒ º ÌÑ Ø ØÓÖ ¹ ÒÒ Ò ÝØØ Ò ÆÙÑÈݹ Ö ØÓÒ ÑÙ Ò ÓØ Ò Ò Ñ ØÖ ¹ Ø ÐØ ÓÒ ÓØ ØØ Ú ÝØØ Ò ÆÙÑÈݹ Ö ØÓº ÌÑ Ø Ô ØÙÙ Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ Ð ÓÓ Ø Ó ØÓÒ Ð ÙÙÒ ÖÓÑ ÒÙÑÔÝ ÑÔÓÖØ º Å ØÖ ÐÙÓ Ò Ñ ØÖ Ü¹ØÝÝÔÔ Òº Å ØÖ Ù Ò Ú Ö Ú ÓÒ Ò¹ Ù Ò Ð Ø º Ê Ú Ø ÖÓØ Ø Ò ØÓ Ø Ò ÙÐ Ò Ð ÓØ Ô Ð Ù Òº Å ØÖ ¹ ÚÓ Ò Ú Ø Ø Ý ØØ Ò Ð ÓÓÒ ÙÐ Ò ÚÙÐÐ º ÂÐÐ Ò ÖÖ Ò ÓÒ Ú Ò ÑÙ Ø ØØ Ú ØØ Ò Ò Ö Ú Ò Ù Ò Ö Ò Ò Ò Ó ÒØ Ð ÒÓÐÐ Ø º Ñ Ö º½ º ÓØ Ø Ò ÆÙÑÔݹ Ö ØÓ ÝØØ Ò ÖÓÑ ÒÙÑÔÝ ÑÔÓÖØ ÐÙÓ Ò Ñ ØÖ Ñ ØÖ Ü ½ ¾ µ ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ø Ð Ó ¾ ÔÖ ÒØ ¾ ½ Ç ÐÑ ØÙÐÓ Ø ÐÙÚÙÒ Ó ÓÒ ÓÐÑ ÒÒ ÐÐ Ö Ú ÐÐ ØÓ Ö º ÈÝØ ÓÒ ÐÐ ÚÓ Ò Ñ ØÖ ÐÐ ÙÓÖ Ò ÙÓÖ ØØØ Ø Ú ÐÐ Ð ÙÓÔ Ö Ø Ó ¹ Ø ÙØ Ò Ý Ø Ò¹ Ú ÒÒÝ ¹ ÖØÓÐ Ùº Å ØÖ ÚÓ Ò ÖØÓ Ò Ò Ö ¹ ¾

33 Ð ÐÙÚÙ ÐÐ Ù Ò ÒÒ Òº ÇÔ Ö Ø ÓØ Ø Ô ØÙÚ Ø ÒÓÖÑ Ð Ø ÓÔ Ö ØØÓÖ ÐÐ ¹ º Ñ Ö º½ º ÓØ Ø Ò ÆÙÑÔÈݹ Ö ØÓ ÝØØ Ò ÖÓÑ ÒÙÑÔÝ ÑÔÓÖØ ÐÙÓ Ò Ñ ØÖ Ñ ØÖ Ü ½ ¾ µ ÐÙÓ Ò Ñ ØÖ Ñ ØÖ Ü µ Ý Ø ÒÐ Ù ÔÖ ÒØ Ú ÒÒÝ Ð Ù ÔÖ ÒØ ¹ Ð Ö ÐÐ ÖØÓÑ Ò Ò ÔÖ ÒØ ÖØÓÐ Ù ÔÖ ÒØ Ç ÐÑ ØÙÐÓ Ø Ñ ØÖ Ø Ð ØØÙÒ Ý Ø Ò Ú ÒÒ ØØÝÒ ØÓ ¹ Ø Ò Ñ ØÖ Ò ÖÖÓØØÙÒ Ú ÐÐ Ò Ò ØÙÐÓÒº ÌÙÐÓ Ø Ò ÓÚ Ø ÙÖ Ú Ø Ñ ØÖ Øº ( ) ( ) ( ) ( ) ,,, ÅÝ ØÖ ÒÔÓÓ Ò ÒØ Ñ ØÖ Ò Ø Ñ ÐÐ ÓÒ ÓÑ Ø ÓÑ ÒØÓÒ Ó ¹ Ò ÚÙÐÐ Ý Ø Ñ ØÖ Ø Ò ÙÓÖ Òº ÌÖ Ò ÔÓÓ Ò ÓÑ ÒÒÓй Ð Ñ ØÖ ºÌ Ñ Ñ ØÖ ÓÒ ØÖ Ò ÔÓÒÓ Ø Ú Ñ ØÖ º ÃÒØ Ñ ØÖ ÔÙÓÐ Ø Ò Ò ÓÑ ÒÒÓÐÐ Ñ ØÖ ºÁ Ñ Ñ ØÖ ÓÒ Ñ ØÖ ÓÐÐ ÒØ Ñ ØÖ Ø ØÒº Ë ÑÓ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ò Ð ØØÙ ÙÓÖ Òº Ë Ø Ô ØÙÙ ÓÑÑ ÒÒÓÐÐ Ð Ò Ð º Ø Ñ ØÖ µº Ñ Ö º½ º Ä Ø Ò ÈÝØ ÓÒ Ò ÚÙÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ A = ØÖ Ò ÔÓÓ ÒØ Ñ ØÖ Ø ÖÑ Ò ÒØØ º ÓØ Ø Ò ÆÙÑÈݹ Ö ØÓ ÝØØ Ò ÖÓÑ ÒÙÑÔÝ ÑÔÓÖØ ÐÙÓ Ò Ñ ØÖ Ñ ØÖ Ü ½ ¹ ¼ ¹¾ ½ ¾ ¼ ¹½ µ ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ò ØÖ ÒÔÓÓ ¾

34 ÔÖ ÒØ ºÌ ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ò ÒØ Ñ ØÖ ÔÖ ÒØ ºÁ ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÔÖ ÒØ Ð Ò Ð º Ø µ Ç ÐÑ ØÙÐÓ Ø Ñ ØÖ Ò A T = Ñ ØÖ Ò A 1 = Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ó ÓÒ ¹¾ º ÇÒ ÙÓÑ Ó Ø Ú ØØ ÈÝØ ÓÒ ÒØ Ñ Ö ÒØ Ñ ØÖ Ò Ð ÓØ ¹ Ñ Ð ÐÙ ÙÑÙÓ Ó º Å Ð ÑÙÖØÓÐÙ Ù ØÝ Ø Ø ÖÚ Ø Ò ÓÒ Ó ØØ Ú Ø ÑÙÓ Ó Ø º ÃÙØ Ò ÐÐ ØÓ ØØ Ò Ñ Ö Ñ ØÖ Ò ÖØÓÐ ÙÒ ÙÓÖ ØØ Ñ Ò ÒØ Ñ ØÖ Ò ÓÐ Ñ ÓÐÓÓÒ ÓÒ Ø ØØÝ Ö Ó ØØ Ø Ð ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ ÖØÓÐ Ù ÓÒÒ ØÙ ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ ÓÐ ÒØ Ñ ØÖ º ÈÝØ ÓÒ Óع Ø ÙÓÑ ÓÓÒ ÑÝ Ù ÑÑ Ø Ò Ø Ø Ð ÒØ Ø Ú ÓØ ÓÒ ÐÔÔÓ Ø Ö¹ Ø ÑÝ Ø º ÒÓ Ñ Ø ÈÝØ ÓÒ ÙÓÑ Ó ÓÒ ÒØ Ñ ØÖ Ò ÓÐ Ñ ¹ ÓÐÓÓÒ Ð ØØÝÚ ØÓº ÂÓ ÈÝØ ÓÒ ÐÐ ÝÖ ØØ Ø ÒØ Ñ ØÖ ÑÙÙÐÐ Ù Ò Ò Ð Ñ ØÖ ÐÐ Ó ÐÑ ÝÐÐ ÒØ Ñ ØÖ Ò ÑÙØØ ÓÐ Ý Ò Ñ ØÖ Ò ÒØ Ñ ØÖ º Ì Ø Ô Ù ÓÒ Ó ÐÑÓ Ò Ø Ò ÓÐØ Ú Ø Ö Ò º ( ) Ñ Ö º½ º Ä Ø Ò ÈÝØ ÓÒ ÐÐ Ñ ØÖ Ò A = ( ) B = ØÙÐÓº 8 6 ÓØ Ø Ò ÆÙÑÈݹ Ö ØÓ ÝØØ Ò ÖÓÑ ÒÙÑÔÝ ÑÔÓÖØ ÐÙÓ Ò Ñ ØÖ Ø Ñ ØÖ Ü ¼ ½ ½ ½ ¾ ¾ µ Ñ ØÖ Ü ½½ ½¼ ¹ ¹ ¹ µ ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ø ÖÖÓØØÙÒ ÒÒ ÔÖ ÒØ ÃÓ Ñ ØÖ ÚÓ ÖØÓ ÒÒ Ó ÐÑ ÒØ Ú Ö ÐÑÓ ØÙ ¹ Òº ¾

35 Ð Ø Ò Ð Ò ¾ Ò ÑÓ ÙРл٠ֻлÔÝØ ÓÒ¾º» Ø ¹Ô»ÒÙÑÔÝ»ÓÖ» Ñ ØÖ ÜºÔÝ Ð Ò ½ Ò ÑÙÐ Ö ØÙÖÒ Æº ÓØ Ð Ñ ØÖ Ü ÓØ Öµµ Î ÐÙ ÖÖÓÖ Ó Ø Ö ÒÓØ Ð Ò Ä Ø Ò ÙÖ Ú Ñ ØÖ Ò ÒØ Ñ ØÖ º ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ò ÒØ Ñ ØÖ ÔÖ ÒØ ºÁ Ç ÐÑ ØÙÐÓ Ø Ñ ØÖ Òº Ñ ØÖ Ü ¹½º¼¼¼¼¼¼¼¼ ¼¼ ¾º¼¼¼¼¼¼¼¼ ¹¼½ º¼¼¼¼¼¼¼¼ ¹¼½ ½º¼¼¼¼¼¼¼¼ ¼¼ ¹ º¼½ ¹½ ¹½º ¼ ½ ¹½ µ ÌÑ Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ñ ØÖ Ò ÒØ Ñ ØÖ ÐÐ ÖØÓÐ Ù A A 1 ÒØ ØÙÐÓ ÓØ Ò ÑÙÙØ Ù Ò ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ Òº ºÁµ Ñ ØÖ Ü ½º¼¼¼¼¼¼¼¼ ¼¼ ¹ º¼½ ¹½ ¹½º ¼ ½ ¹½ ½º½½¼¾¾ ¼¾ ¹½ ¾º¼¼¼¼¼¼¼¼ ¹¼½ º¼¼¼¼¼¼¼¼ ¹¼½ ¾º¾¾¼ ¼ ¹½ º¼¼¼¼¼¼¼¼ ¹¼½ º¼¼¼¼¼¼¼¼ ¹¼½ µ ÆÙÑÈݹÑÓ ÙÙÐ Ø Ð ÝØÝÝ ÑÝ Ú ÐÑ ÓÑ ÒØÓ Ð Ò Ö Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ Ö Ø ÙÙÒº ÃÝ Ò Ò ÓÑ ÒØÓ ÓÒ Ð Ò Ð º ÓÐÚ Ñ ØÖ ½ Ñ ØÖ ¾µ Ñ Ñ ØÖ ½ ÓÒ Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ ØÓ Ò Ö ÙÑ ÒØØ Ò ÓÒ Ó Ø ÔÙÓÐ Ø Ø Ú Ñ ØÖ º Ñ Ö º½ º Ê Ø Ø Ò ÐÐ ÓÐ Ú Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÈÝØ ÓÒ ÐÐ º 2x 3y = 10 5x + 6y = 20 ÇØ Ø Ò Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ ( ) 2 3 A = 5 6 Ç Ò ÔÙÓÐ Ò ÖØÓ Ñ Ø Ò Ñ ØÖ B = (10, 20) T º Ë ØØ Ò Ö Ó Ø Ø Ò ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑ Ó Ö Ø Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÒº ÓØ Ø Ò ÆÙÑÔݹ Ö ØÓ ÝØØ Ò ÖÓÑ ÒÙÑÔÝ ÑÔÓÖØ ÐÙÓ Ò Ñ ØÖ Ø Ñ ØÖ Ü ¾ ¹ µ ¾

36 Ñ ØÖ Ü ½¼ ¾¼ µ Ö Ø Ø Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÔÖ ÒØ Ð Ò Ð º ÓÐÚ µ Ê Ø Ù ØÙÐ x = 4, y = 0, º ÇÒ Ù Ø Ò Ò ÙÓÑ ØØ Ú ØØ ÈÝØ ÓÒ ÒØ Ö Ø ÙØ Ñ Ð ÑÙÓ Ó º Å ¹ Ð Ó Ø Ò ÝÝ Ø Ø ÖÚ Ø Ò ÑÙÖØÓÐÙ Ù ØÝ Ô Ø Ó Ø Ø ÑÙÙØØ º Ì ¹ Ò Ø Ô Ù Ö Ø ÙØ ÓÚ Ø ÓÐÐ Ñ Ð ÐÙ Ù ÓØ Ò Ò ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ¹ ÑÙÖØÓÐÙ Ù ØÝ º ÅÙÙÒØÓ ÑÙÖØÓÐÙ ÙÑÙÓØÓÓÒ ÓÒ ÐÔÔÓ Ø Ö Ø Ø Ø Ñ ÐÐ ØÓØ ÙØÙÙ Ó Ý ØÐ ÖÝ Ñº À Ö Ó ØÙ ÇÐ ÓÓÒ Ñ ØÖ A = Ñ ØÖ B = Ì ØÚ ½ º Ã Ö Ó Ø ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑ Ó ØÙÐÓ Ø Ñ ØÖ Ø Ð ÓÒ a 12 Ñ ØÖ Ø B Ð ÓÒ b 32 Ì ØÚ ½ º Ã Ö Ó Ø ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑ Ó ØÙÐÓ Ø Ñ ØÖ Ò Ùѹ Ñ Ò ÖÓØÙ Ò ÙÑÑ Ø Ò Ñ ØÖ Ø ÖÖÓØØÙÒ ÐÙÚÙÐÐ º Ì ØÚ ½ º Ã Ö Ó Ø ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑ Ó ØÙÐÓ Ø Ñ ØÖ Ø ÖÖÓØØÙÒ ÒÒ ÙÑÑ Ò Ö ØÝ µ Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò Ò¹ Ø Òº Ì ØÚ ¾¼º Ã Ö Ó Ø ÈÝØ ÓÒ Ó ÐÑ Ó ØÙÐÓ Ø Ñ ØÖ Ò ØÖ Ò ÔÓÓ Ò Ñ ØÖ Ò ÒØ Ñ ØÖ Òº Ì ØÚ ¾½º Ê Ø ÈÝØ ÓÒ ÐÐ Ý ØÐ ÖÝ Ñ 5x 1 + 3x 2 = 9 4x 1 + 2x 2 = 8 Ì ØÚ ¾¾º Ã Ö Ó Ø ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑ Ó Ö Ø ÙÖ Ú Ò ÝÐ ÓÔÔ Ð Ö¹ Ó ØÙ Ø Ô Ö Ò ÓÐ Ú Ò Ø ØÚÒº Ê Ø Ð Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ 3x 2y = 1 4x + 5y = 2 È Ø Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò ÝÓ¹ Ó Ý Ý ¾¼¼½µ ¼

37 Ì Ð ØÓØ ØØ Ì ÐÙÚÙ ÖÖ Ø Ò Ñ Ò Ö Ð Ø Ð ØÓÐÐ ÙÚ Ó Ø Ñ Ò Ø ÐÑ ¹ Ø Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐѺ ÄÓÔÙ Ø ÓØ Ò Ù Ò ÈÝØ ÓÒ Ø ÓÒ ÔÙ Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÓÚ ÐÐÙ º ÈÐ Ø Ò ÐÙÚÙ ÓÒ ÝØ ØØÝ È ¹ Ö Ò Ö Ì Ð ØÓØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ä ÙØ ØÓ¹ Ö Ò Ö Ä ÙØ ØÓ º º½ ÈÝÐÚ Ö ÑÑ Ø Ì ÔÔ Ð Ô Ð ÙØ Ø Ò Ñ Ð Ò ÔÝÐÚ Ö ÑÑ Ò Ô ÖØÑ Ò Òº ÅÖ Ø ÐÑ º½º ÈÝÐÚ Ö ÑÑ ÓÒ ÙÚ Ó Ó ÔÝ ØÝ Ð ÐÐ ÓÒ Ø Ó Ú ¹ Ð ÐÐ ÓÒ ÔÝ ØÝÔÝÐÚ Øº Ð Ò ÔÝÐÚØ Ô ÖÖ ØÒ Ý Ø Ð Ú ÓÐÐÓ Ò ÔÝÐÚ Ò ÓÖ Ù ÙÚ ÙÒ Ò ÖÚÓÒ Ö Ú Ò º ÃÙÚ ¾ ÈÝÐÚ Ö ÑÑ ÈÝÐÚØ ÚÓ Ò Ô ÖØ Ö Ò Ø Ý Ø Òº ÈÝÐÚØ ÓÒ Ø Ô Ò Ô ÖØ Ý ¹ Ø Ò Ó ÙÚ ÓÐÐ ÙÚ Ø Ò ÐÙÓ Ø ÐØÙ Ò ØÓ ÑÙÙØ Ò ÔÝÐÚ Ò ÚÐ Ò Ø ¹ ØÒ Ô Ò Ö Óº ÈÝÐÚ Ö ÑÑ Ó ÔÝÐÚØ ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ Ý Ø Ò ÙØ ÙØ Ò ÝÐ Ò ØÓ Ö ÑÑ º ÈÝÐÚ Ö ÑÑ Ò Ô ÖØÑ Ò Ò ÓÒ Ý Ò ÖØ Ø º Ò Ò Ú ¹ Ð ÐÐ Ñ Ö¹ ØÒ Ú ÒØÓ ÖÚÓØ Ú Ö Ø Ò ÙÐÐ Ò Ú ÒØÓ ÖÚÓÐÐ Ý Ø Ð Ú ÔÝÐÚ º ÈÝй Ú Ò ÚÐ Ò Ø ØÒ Ô Ò Ö Óº ÂÓ Ö ÑÑ Ô ÖÖ ØÒ ÖÙÙØÙÔ Ô Ö ÐÐ ÖÙÙ¹ ØÙ ÓÒ ÝÚ ÝØØ ÔÙÒ º ÈÝ ØÝ Ð ÐÐ Ú Ð Ø Ò ÓÔ Ú Ø ÚÐ Ò Ò Ø Ó ÙÚ Ñ Ò Ö Ú Ò º Ò ÓÐ Ý Ð ØØ Ø Ñ Ø ÓÚÐ ÓÒ ÓÔ ¹ Ú Ò ÑÝ Ù ÑÔ Ø ÓÚÐ ÚÓ ÓÔ Ý Ò ÙÚ Òº Ë ØØ Ò ÙÒ Ò Ú ÒØÓ ÖÚÓÒ Ó ÐÐÐ Ô ÖÖ ØÒ ÔÝÐÚ ÓÒ ÓÖ Ù ÑÖÝØÝÝ Ú ÒÒÓÒ Ö Ú Ò Ò ÑÙ Òº ÄÓÔÙ Ú Ð Ò Ñ ØÒ Ð Ø Ð ØÒ ÙÚ ÓÓÒ ÓØ Ó ½

38 Ñ Ö º½º È ÖÖ ØÒ ÔÝÐÚ Ö ÑÑ Ó ÙÚ ÖÒ ÐÙ ÓÒ Ô Ø Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò ÐÙ Ó Ò ÖÚÓ ÒÓ ÝÐ ÓÔÔ Ð Ö Ó ØÙ º À ¹ Ú ÒÒÓØ Ò Ò Ö Ú Ò Ø ÓÒ ÒÒ ØØÙ ÐÐ ÓÐ Ú Ø ÙÐÙ Ó º ÖÚÓ Ò ÇÔÔ Ð ÑÖ Ä Å Á ¾ ¾ ½ Å Ö ØÒ Ò Ò Ú ¹ Ð ÐÐ ÖÚÓ Ò Ø Ú Ö Ø Ò ÙÐÐ Ò ÖÚÓ Ò ÐÐ Ò ÖÙÙ ÙÒ Ð ÚÝ Ò Ò ÔÝÐÚ º ÂØ ØÒ Ý ÖÙÙØÙ ÔÝÐÚ Ò ÚÐ Òº I A B C M E L Ë ØØ Ò Ú Ð Ø Ò Ø Ó ÔÝ ØÝ Ð ÐÐ º Ì Ø Ô Ù ÓÒ ÓÔ Ú ÒØ Ýع Ø Ø Ó Ó Ý ÖÙÙØÙ Ú Ø Ý Ø ÓÔÔ Ð Ø º Ë Ò Ð Ò Ô ÖÖ ØÒ Ù¹ Ø Ò Ö Ú Ò Ú Ø Ú Ø ÔÝÐÚغ ÖÚÓ Ò Ò ÑÔÖÓ ØÙÖ Ý ÓÔÔ Ð Ó¹ Ø Ò ÔÝÐÚ ØÙÐ ÓÖ Ù ÐÐ ½ ÖÚÓ Ò Ò ÔÔÖÓ ØÙÖ ÓÔÔ Ð Ø ÓØ Ò ÔÝÐÚ ØÙÐ ÓÖ Ù ÐÐ ¾ Ò º I A B C M E L ÄÓÔÙ Ú Ð Ò Ñ ØÒ Ð Ø ÒÒ Ø Ò ÙÚ ÓÐÐ ÓØ Óº Æ Ò Ò ÙÖ Ú ÔÝÐÚ Ö ÑÑ º ¾

39 Ð ÓÔÔ Ð Ö Ó ØÙ Ø Ò ÖÚÓ Ò Ø À Ö Ó ØÙ Ì ØÚ ¾ º ÐÐ ÒÒ ØÙ Ø ÙÐÙ Ó ÓÒ Ø ÓØ ÝÝ ÙÙÒ ÐÑÔ Ø Ð Ø À Ð Ò ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¹¾¼¼ º È ÖÖ ÒÒ ØÙ Ø Ò ØÓ Ø ÔÝÐÚ Ö Ñ¹ Ñ º ÎÙÓ ÄÑÔ Ø Ð ¾¼¼ ½¾ ¾¼¼ ½ ½ ¾¼¼ ½ ¼ ¾¼¼ ½½ º¾ È Ö ÙÚ ÓØ Ì ÔÔ Ð Ô Ð ÙØ Ø Ò Ñ Ð Ò Ô Ö ÙÚ Ó Ò Ô ÖØÑ Ò Òº ÅÖ Ø ÐÑ º¾º È Ö ÙÚ Ó Ð ÝÑÔÝÖ ÙÚ Ó ÓÒ ÝÑÔÝÖÒÑÙÓØÓ Ò Ò Ù¹ Ú Óº ÑÔÝÖ ÓÒ ØØÙ ØÓÖ Ò ÙÒ Ò ØÓÖ Ò Ù ÙÐÑ Ú Ø ¹ Ú ÒØÓ ÖÚÓÒ Ó ÙÙØØ º ÃÓ Ó ÝÑÔÝÖ Ú Ø Ú ÒØÓ º ÃÙÚ È Ö ÙÚ Ó È Ö ÙÚ ÓØ ÓÚ Ø Ö ØØ Ò Ú ÒÒÓÐÐ Ó Ô Ø ÙÚ Ø Ó ÙÙ Ò ÙÙ¹ ÖÙÙØØ º

40 ÅÝ Ô Ö ÙÚ ÓÒ Ô ÖØÑ Ò Ò ÓÒ Ý ÖØ Ø º Ò Ò Ð Ø Ò Ú ÒØÓ¹ Ò Ù Ø ÐÐ Ø Ö Ú Ò Ø Ó Ò Ø ÓÐ Ó Ú ÐÑ ÒÒ ØØÙº Ë ØØ Ò Ð Ø Ò Ù Ò ÙÙÖØ Ù ÙÐÑ Ù Ò Ú ÒØÓ Ú Ø ÝÑÔÝÖ º Ë Ò Ð Ò Ô Ö¹ Ö ØÒ ÝÑÔÝÖ Ò ÙØ Ò Ù ÙÐÑ Ú Ø Ú ØÓÖ º ÄÓÔÙ Ú Ð Ö Ó Ø Ø Ò ÙÚ ÓÓÒ Ñ Ø Ú ÒØÓ Ù Ò ØÓÖ Ú Ø ÒÒ Ø Ò ÙÚ ÓÐÐ ÓØ Óº ÎÖ ÝØØÑÐ ÙÚ Ó Ø Ú ÒÒÓÐÐ ÑÑ Òº Ñ Ö º¾º È ÖÖ ØÒ Ô Ö ÙÚ Ó Ó ÙÚ ÚÐÐ ¾¼¼ ÝÐ ÓÔÔ ¹ Ð Ö Ó ØØ Ò Ò Ó ØØÙÑ Ø Ø Ó¹ÓÔ ÒØÓ Òº Ò ØÓ ÓÒ ÒÒ ØØÙ ÐÐ ÓÐ Ú Ø ÙÐÙ Ó º Ë Ó ØØÙÑ Ó ØÓ Ò Ø Ò ÑÑ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ ÑÑ ØØ ÓÖ ÓÙÐÙ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ø ÒÙØ ÓÔ ÐÙ Ý ÝÐÐ ¾¼¼ Ç ÙÙ ÝÐ ÓÔÔ Ð Ø ±µ ¾ ½ ¾¼ Ì ÓØ ÓÒ ÒÒ ØØÙ Ó Ú ÐÑ ÔÖÓ ÒØØ Ó ÙÙ Ò ÓØ Ò Ò Ø Ø ÖÚ Ø Ð ¹ º Ä Ø Ò Ò Ò Ù Ò ÙÙÖØ Ù ÙÐÑ Ù Ò Ó ÙÙ Ú Ø º ÃÓ Ó ÝÑÔÝÖÒ Ø ÐÙ Ù ÓÒ ¼ ÓØ Ò ÙÒ Ò Ù ÙÐÑ Ò Ø ÐÙ Ù Ò Ð ¹ Ñ ÐÐ Ó ÙÙ ÐÙÚÙ Ø ¼º Ñ Ö ØÓ Ò Ø Ò ÑÑ Ø ÐÐ Ò ÓÙÐÙØÙ Ò Ñ Ò ÐÐ ÙÐÑ Ò ÙÙÖÙÙ Ð Ø Ò 0, º Î Ø Ú Ø ÑÙ ÐÐ ¹ Ò ÙÖ Ú Ø Ù ÙÐÑ Øº ÑÑ ØØ ÓÖ ÓÙÐÙÙÒ Ñ Ò Ú Ò Ó ÙÙØØ Ú Ø Ø Ò ÙÐÑ ÝÐ ÓÔ ØÓÓÒ Ñ Ò Ú Ò Ó ÙÙØØ Ø Ò ÙÐÑ ÓÔ ÐÙ Ø Ø ÙÓÒ Ô ØÚ Ò Ó ÙÙØØ ¾¼ Ø Ò ÙÐÑ º Ë ØØ Ò Ô ÖÖ ØÒ ÝÑÔÝÖ Ñ Ø Ø Ò Ø Ù ÙÐÑ Ú Ø Ú Ø ØÓÖ Øº 15 ÃÙÒ Ú Ð Ö Ó Ø Ø Ò ÙÚ ÓÓÒ Ñ Ø Ú ÒØÓ Ù Ò ØÓÖ Ú Ø ÒÒ Ø Ò ÙÚ ÓÐÐ ÓØ Ó Ò ÙÖ Ú Ô Ö ÙÚ Óº

41 Ylioppilaiden sijoittuminen jatko-opintoihin Yliopisto Ammattikorkeakoulu Ammatillinen Ei jatkanut opiskelua À Ö Ó ØÙ Ì ØÚ ¾ º ÐÐ ÓÐ Ú Ò ØÓ ÓÒ ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ÓÙÐÙ ÙÙ Ø ÚÙÓ Ò ¾¼¼ Ñ ÖÖ ÙÙ ÙÒ Ø Ô ØÙÒ Ø Ð ÒÒ ÙÓÐ Ñ Ø ÓØ ÐØÙÒ ÚÙÓ Ò Ó ØØ Ò º È Ö¹ Ö Ô Ö ÙÚ Ó Ó ÙÚ Ð ÒÒ ÙÓÐ Ñ ÚÙÓ Ò Ò ÑÙ Òº ÎÙÓ Ò ÃÙÓÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÚ ÚØ Ý Ý ½ ¾ ½¾¾ º È Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÂÓ Ù ØÙÐ Ø Ð ÒØ Ø ÓÐÐÓ Ò Ú ÒØÓ Ò Ô Ø ÓÚ ØØ ÙÚ º ÃÙÒ Ú Ò¹ ÒÓØ Ñ Ö ØÒ ÓÔ Ú Ò ÓÓÖ Ò Ø ØÓÓÒ Ù Ò Ò ØØÙÚ Ø ÐÐ Ò ÑÙÓØÓÓÒ ØØ Ò Ò ÓÒ ÐÔÔÓ ÓÚ ØØ ÙÚ º Å Ò Ø ÐÑ ÙÚ Ò ÓÚ ØØ Ñ ÓÒ ÑÓÒ º Ò Ø ÓÒ Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ó ÓÒ Ø ÒÝØ Ô ¹ Ö ÝØÒº ÖØ ÙÙ Ò ÚÙÓ Ø ØÝ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ú Ò ÙÓÖ Ò ÓÚ ØÙ Ø Ò ØÓÓÒ ÑÙØØ Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ÚÓ Ò Ð Ý¹ Ø ÑÝ ÑÙ Ø ÙÚ º ÃÙÒ Ý ÓÒ ÙÓÖ Ò ÓÚ ØØ Ñ Ø Ñ Ò Ø ÐÑ Ùع

42 ÙØ Ò ÑÝ Ð Ò Ö Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ º Ñ Ö º º ÐÐ ÓÒ Ø ØÝ Ñ ØØ Ù Ó ÙÓÒ ÒÐÑÔ Ø Ö ÙØ ÔÔ Ð ØØ ÐÑÑ Ø ØØÒ ÝÑÑ ÒØ Ñ ÒÙÙØØ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ñ Ø ØØ Ò Ñ ÒÙÙØ Ò Ú¹ Ð Òº ÐÐ ÓÐ Ú ÙÚ ØÙÐÓ Ø ÓÒ Ó Ø ØØÙ ¹ÐÑÔ Ø Ð ¹ ÓÓÖ Ò Ø ØÓÓÒ ÓÚ Ø ØØÙ ÙÓÖ Ò ØÓÓÒº ÃÙÚ Ò ÓÚ ØØ Ñ Ø Ò ØÓÓÒ ÓÒ Ù Ø Ý ØÝ º Ö ØÖ ÑÑ Ø ÓÒ ØØ ÙÚ Ø ÓÒ ÔÙ Ð ØØ ÒÒÙ Ø ØØ º ÐÐ Ñ Ö ¹ ÙÚ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ø Ò ÒÒÙ Ø Ö ÙØ ÔÔ Ð Ò ÐÑÔ Ø Ð ÙÒ Ø ÓÒ ÐÑÑ Ø ØØÝ ÓÐÑ ÝÑÑ ÒØ Ñ ÒÙÙØØ º È Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ô ÖÙ ØÙÙ Ò ØØ Ñ Ò ÑÓ Ò ¹ Ú ÒØÓÔ Ø Ò ÙÓÖ Ø ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ñ Ø ØØÙ Ò Ø ÝÝ Ò Ò Ð Ò ÙÑÑ º ÃÝ Ò Ò ÙÑÑ Ð Ù ÓÒ ÑÙÓØÓ S(a, b) = n (y i (bx i + a)) 2. i=1 Å Ò Ñ Ý ÐÐ ÙÑÑ ÐÐ Ð Ý ØÒ ÙÒ Ö ÚÓ Ò Ð Ù ÑÙÙØØÙ Ò a ØØ ÑÙÙØØÙ Ò b Ù Ø Ò Ø ÓØ Ò Ñ ÐÐÓ Ò ÙÑÔ Ò Ö Ú ØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÌÐÐ ÓÐÐ Ò Ý ØÐ Ô Ö i=1 na + b n x i = i=1 n i=1 y i n n n a x i + b x 2 i = x i y i i=1 Ñ n Ú ÒØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖº ØÐ Ô Ö Ø Ò Ö Ø ØÙ ØÙÒØ Ñ ØØÓ¹ Ñ Ø a b ÓØ ÓÚ Ø ÓÔ Ú ÑÑ Ò ÙÓÖ Ò y = bx + a ÖØÓ Ñ Øº i=1

43 Ñ Ö º º Ç Ø ÙÐÙ Ó ÓÒ Ø ØØÝ Ñ¹Ð ØØÝÑ Ò ÑÖ ËÙÓ¹ Ñ ÚÙÓ Ò º ËÓÚ Ø Ø Ò ÙÓÖ Ø Ò Ò ØÓÓÒ Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐк ÎÙÓ ½ ½ ½ ½ ½ Ä ØØÝÑ Ò Ð Ñ ½½¼ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ¾ ¾ ÎÙÓ ½ ¾¼¼¼ ¾¼¼½ ¾¼¼¾ ¾¼¼ Ä ØØÝÑ Ò Ð Ñ ¼ ¾ ¾ ¾ ½ ½ ¾ ½¾ ÎÙÓ ¾¼¼ ¾¼¼ ¾¼¼ ¾¼¼ Ä ØØÝÑ Ò Ð Ñ ¼ ¼ ¾ ¼½¼ ¼ Å Ö ØÒ Ò Ò Ô Ø Ø ÚÙÓ ¹ÐÙ ÙÑÖ¹ ÓÓÖ Ò Ø ØÓÓÒ Ë ØØ Ò Ø ØÒ ÓÔ Ú Ò ÙÓÖ Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐк À ¹ Ú ÒØÓ ÓÒ ÒÝØ 14 ÓØ Ò n = 14º Ä ÒØ Ú ÖØ Ò Ñ Ö ØÒ ÚÙÓ ÒÙÑ ÖÓ Ð¹ Ð Ø Ò ØØ ÚÙÓ 1994 Ú Ø ÐÙ Ù 1 ÚÙÓ 1995 ÐÙ Ù 2 Ò º ËÙÑÑ Ð Ù n i=1 x i = ÖÚÓÒ 105º Î Ø Ú Ø ÙÑÑ Ð Ù n i=1 y i = ÖÚÓÒ º ØÐ ÖÝ ¹ Ñ Ø ÝÐ ÑÔ Ý ØÐ ÑÙÓ ÓÒ 14a + 105b = º Ð ÑÑ Ý ØÐ Ø ÖÚ ØØ Ú Ø ÙÑÑ Ð Ù Ø n i=1 x2 i = ÖÚÓÒ 1015 Ð Ù n i=1 x iy i = ÖÚÓÒ º Æ Ò Ò Ð ÑÔ Ý ØÐ ÑÙÓØÓÓÒ 105a b = º

44 ØÐ ÖÝ Ñ ÓÒ ÒÝØ ÑÙÓØÓ 14a + 105b = a b = ÃÙÒ Ö Ø Ø Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ò Ö Ø Ù a b º Æ Ò ÓÐÐ Ò ÓÔØ Ñ Ð Ò ÙÓÖ ÓÒ ÑÙÓØÓ y = x º È ÖÖ ØÒ Ñ Ò ÓÓÖ Ò Ø ØÓÓÒ Ô Ø Ò Ò º Ì Ò Ú Ð ÙÚ Ò ÔÓ ÐØ ÒÒÙ Ø Ù Ò ÑÓÒØ Ñ¹Ð ØØÝÑ ÙÓ¹ Ñ ÓÒ ÚÙÓÒÒ 2009º ÆÝØ x = 16 ÓØ Ò y = = º ÌÑÒ ÑÙ Ò ËÙÓÑ ÓÐ ÚÙÓÒÒ 2009 ѹРØØÝÑ ÔÔ Ð ØØ º À Ö Ó ØÙ Ì ØÚ ¾ º Ç Ò ØÓ ÓÒ ÑÖ Ò Ò Ò Ð ÒØ ÚÙÓ Ö ¹ ÙÒÒÓ ÚÙÓ Ø ½ ÚÙÓØ Ò ¾¼¼ º ËÓÚ Ø ÙÓÖ Ò ØÓÓÒ Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐк Å Ò Ò Ø ØÓ Ò ÑÙ Ò ÓÐ ÑÖ Ò Ò Ò Ð ÚÙÓ Ö ÚÙÓÒÒ ¾¼½¼ ½ ¼¹ÐÙ Ù ÎÙÓ Æ Ð ÒØ»m 2 µ ¾ ¼ ¾ ¾¼¼¼¹ÐÙ Ù ÎÙÓ ¼¼ ¼½ ¼¾ ¼ ¼ ¼ ¼ Æ Ð ÒØ»m 2 µ ¾½ ¼ ¼ ½

45 º ËÓÚ ÐÐÙ ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑÓ ÒØ Ò ÈÝØ ÓÒ ÐÐ ÚÓ Ò Ô ÖØ Ö Ð ÙÚ Ó Ø Å ØÔÐÓØÐ ¹ Ö ØÓÒ ÚÙÐÐ º Ò ØÙØÙ ØÙØ Ò Ñ Ò Å ØÔÐÓØÐ ¹ Ö ØÓÒ Ô ÖÙ Ø Ò Ð Ù Ò ÈÝØ ÓÒ ÐÐ ÚÓ Ò ÙÚ Ô Öغ Ë ØØ Ò Ø ÓØ Ò Ù Ò ÈÝØ ÓÒ ÐÐ Ô ÖÖ ØÒ ÔÝÐÚ ¹ Ö ÑÑ Ô Ö ÙÚ Ó Ø ÓÚ Ø Ø Ò ÙÓÖ Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÝØØ Òº ÈÐ Ø Ò ÓÒ ÝØ ØØÝ Å ØÔÐÓØÐ ¹ Ö ØÓÒ ØÙØÓÖ Ð ½¼ º ÃÙÚ Ò Ô ÖØÑ Ò ÈÝØ ÓÒ ÝØ ØÒ Å ØÔÐÓØÐ ¹ Ö ØÓ º Ë ÓØ Ø Ò ÝØØ Ò Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ Ð ÓÓ Ø Ó ØÓÒ Ð ÙÙÒ ÖÓÑ ÔÝÐ ÑÔÓÖØ º Ì Ó ØÓÒ ÐÓÔÔÙÙÒ Ö Ó Ø Ø Ò Ò ÑÝ ÓÑ ÒØÓ ÓÛ µ ÓÐÐÓ Ò Ó ÐÑ ÑÝ ÒÝØØ ÙÚ Òº ËÙÓÖ Ò Ô ÖØÑ Ò Ò ÈÝØ ÓÒ Ø Ô ØÙÙ ÓÑ ÒÒÓÐÐ ÔÐÓغ ÃÓÑ ÒØÓ ÓÒ Ø ÙÒ Ø Ó ÓØ Ò Ø ÖÚ Ø Ö ÙÑ ÒØØ º ÃÓÑ ÒÒÓÐÐ ÒÒ Ø Ò Ð Ø Ò Ø ÓØ Ü¹ ݹ ÓÓÖ Ò Ø Ø Ó Ò ÙØØ ÙÓÖ ÙÐ º Ì Ú ÓÒ ÝÚ ÑÙ Ø ØØ Ó Ô Ø ØØ Ö ØØ ÑÖ ØØÑÒ ÙÓÖ Ò Ý ØØ ¹ Ø º È Ø Ò ÓÓÖ Ò Ø Ø ÒÒ Ø Ò Ò Ò ØØ Ü¹ ÓÓÖ Ò Ø Ø ÒÒ Ø Ò ÓÑ Ò Ð Ø Ò Ý¹ ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÑ Ò º Ò ÑÑ Ò Ô Ø Ø Ü¹ ÓÓÖ Ò ØØ ÓÒ Ò Ñ¹ Ñ Ò Ü¹ ÓÓÖ Ò ØØ Ò Ð Ø Ò ÑÑ Ò Ô Ø Ò Ý¹ ÓÓÖ Ò ØØ Ò Ñ¹ Ñ Ò Ý¹ ÓÓÖ Ò ØØ Ò Ð Ø º Ñ Ö º º È ÖÖ ØÒ ÈÝØ ÓÒ Ò ÚÙÐÐ ÙÓÖ Ó ÙÐ Ô Ø Ò ¾ ½µ ¾µ ÙØØ º ÐÙÓ Ò Ð Ø Ü¹ ÓÓÖ Ò Ø ÐÐ Ü ¾ ÐÙÓ Ò Ð Ø Ý¹ ÓÓÖ Ò Ø ÐÐ Ý ½ ¾ Ô ÖÖ ØÒ ÙÓÖ ÔÐÓØ Ü Ýµ ÒÝØ ØÒ ÙÚ ÓÛ µ Ç ÐÑ ØÙÐÓ Ø ÙÚ Ò

46 ÈÝØ ÓÒ Ô ÖØ ÓÐ ØÙ Ò Ò Ò Ú Ú Òº ÃÓÑ ÒÒÓÐÐ ÔÐÓØ ÚÓ ÒØ Ö Ù¹ Ñ ÒØØ Ò ÑÝ ÚÖ º ÃÙÐÐ Ò ÚÖ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ø Ñ Ö Ø Ú Ö Òº ÐÐ ÓÒ Ø ÙÐÙ Ó ØÙ ÝÐ ÑÔ Ò ÚÖ Ò Ö ÒØÙÒÒ٠غ Ì ÙÐÙ Ó ÎÖ Ò Ö ÒØÙÒÒÙ Ø ÈÝØ ÓÒ ÎÖ Ò Ò Ò Ú Ö ÔÙÒ Ò Ò ÐØ Ò Ò ÑÙ Ø Ú Ð Ó Ò Ò Ã Ö ÒØÙÒÒÙ Ö Ý Û Ì Ñ Ø Ö Ð ÓÒ ÝØ ØØÝ Ô ÒÓØ Ò Ø Ý Ø ÖÑ ÚÝ º À Ö¹ Ñ ÚÝ Ò Ó ÐÐ ÚÖ Ñ Ö Ø Ú Ö Ò ÓÖÚ Ø Ò ÐÙÚÙÐÐ ÚÐ ÐØ ¼ ½ º ÄÙ¹ Ù Ó Ó ØØ ÚÝ Ø Ò ØØ ¼ ÓÒ ÑÙ Ø ½ Ú Ð Ó Ò Òº ÃÓÑ ÒÒÓÐÐ ÔÐÓØ ÒÒ ØØÙ Ò Ô Ø Ò ÚÐ Ò Ô ÖÖ ØÒ ÙØÓÑ ØØ Ø Ú ¹ Ú º ÎÖ Ò Ô ÖÒ ÚÓ ÑÝ Ð ØØ ÑÖ Ò Ó ÐÙ Ô ÖØ ÒÒ ØÙØ Ô Ø Ø ÓÐÐ Ò ÑÙÙÐÐ Ø Ú ÐÐ Ù Ò ÙÓÖ Ò Ó Ò º ÐÐ ÓÒ Ø ÙÐÙ Ó ØÙ ÑÙÙØ Ñ Ø ÔÓ º ¼

47 Ì ÙÐÙ Ó Ö Ð Ô ÖØÓØ ÔÓ ÈÝØ ÓÒ È ÖØÓØ Ô Ã Ö ÒØÙÒÒÙ ÝÑÔÝÖØ Ó Ò Ð Ø ÓÐÑ ÓØ ÅÝ Ð Ø ÚÓ ÐÐ Ø ÐÐ Ò Ñ ÐÙ ÑÑ º ÌÑ Ø Ô ØÙÙ Óѹ Ñ ÒÒÓÐÐ Ü º ÙÒ Ø ÓÐÐ ÒÒ Ø Ò Ö ÙÑ ÒØØ Ò Ð Ø Ó ÓÒ ÓÒ Ø ÐÐ ÒÒ ØØ٠ܹ Ð Ò Ð Ù¹ ÔØ Ô Ø Ø Ý¹ Ð Ò Ð Ù¹ ÔØ Ô Ø Øº Ñ Ö º º È ÖÖ ØÒ ÐÐ Ò Ñ Ö Ò ÙÓÖ Ò Ø ÒÝØ ÑÙ Ø Ø Ò Ð Ø Ð Ø Ø Ò Ü¹ Ð ÙÐ Ñ Ò ÒÓÐÐ Ø Ú Ø Ò Ý¹ Ð ÒÓÐÐ Ø ÓÐÑ Òº ÐÙÓ Ò Ð Ø Ü¹ ÓÓÖ Ò Ø ÐÐ Ü ¾ ÐÙÓ Ò Ð Ø Ý¹ ÓÓÖ Ò Ø ÐÐ Ý ½ ¾ Ô ÖÖ ØÒ ÙÓÖ ÑÖ ³ ³ Ô ÖØ ÑÙ Ø Ø Ò Ð Ø ÔÐÓØ Ü Ý ³ ³µ ÐÙÓ Ò Ð Ø Ð Ò ÑÖÑ Ø Ú ÖØ Ò Ð Ø ¼ ¼ Ü Ð Øµ ÒÝØ ØÒ ÙÚ ÓÛ µ Ç ÐÑ ØÙÐÓ Ø ÙÚ Ò Ë ÙÖ Ú Ñ Ö Ø ÐÐÒ ÓÓ ÔØ ÓÒ ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ô ÖØ ÔÝÐÚ Ö ÑÑ º ½

48 Ñ Ö º º È ÖÖ ØÒ ÈÝØ ÓÒ ÐÐ ÔÝÐÚ Ö ÑÑ Ó ÙÚ Ö ÑÓÓع ØÓÖ ÓÒ ÙÚÓ Ò Ð ËÙÓÑ ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ º Ò ØÓ ÓÒ ÒÒ ØØÙ Ó º ÐÐ ÓÒ ÓÓ Ó Ô ÖØ ÔÝÐÚ Ö ÑÑ Òº ÓÒ ÙÚÓÐ À Ò Ð ÙØÓ È ØØ ÙØÓ ÃÙÓÖÑ ¹ ÙØÓ Ä Ò ¹ ÙØÓ ÅÓÓØØÓÖ ÔÝ Ö ÅÓÔÓ ÌÖ ØÓÖ ÅÖ ¾ ¼ ¾ ½ ½ ½½ ½ ½ ½½ ÓÓ ÝØ ØÒ ÔÙÒ ÒÙÑ ÖÖ Ý¹Ø ØÓÖ ÒÒ ØØ ÓØ Ò ÓØ Ø Ò ÝØØ Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ ÐÐ ÐÝ ÒÒÝ ¹ Ñ Ö ÒØ Ò ÑÔÓÖØ ÒÙÑÔݺÒÙÑ ÖÖ Ý Ò ÓØ Ø Ò Å ØÔÐÓØÐ ÝØØ Ò ÖÓÑ ÔÝÐ ÑÔÓÖØ Ò Ñ ØÒ ÔÝÐÚØ Ð Ð À Ò Ð È ØØ ÃÙÓÖÑ Ä Ò ÅÓÓØØÓÖ ÔÝ Ö ÅÓÔÓ ÌÖ ØÓÖ ÔÝÐÚ Ò ÓÖ Ù Ø Ð Ö Ú Ø Ø ¾ ¼ ¾ ½ ½ ½½ ½ ½ ½½ ÐÙÓ Ò ÒÙÑ ÖÖ Ý¹ØÝÝÔÔ Ò Ò Ð Ø Ó ÐØ Ø ÓØ ÔÝÐÚ Ò ÒÒ Ø ÜÐÓ Ø ÓÒ Ò º ÖÖ Ý Ö Ò Ð Ò Ø µµµ ¼º ÑÖ Ø ØÒ ÔÝÐÚÒ Ð Ú Ý Û Ø ¼º Ö¹ ÓÑ ÒØÓ Ô ÖØ ÔÝÐÚØ ÓÐÓÖ ÑÖ ØØ ÔÝÐÚÒ ÚÖ Ò Ö ÜÐÓ Ø ÓÒ Ø ÓÐÓÖ ³¼º ³ Û Ø Û Ø µ ÐÙÓ Ò Ý¹ Ð Ø Ó Ò Ò ÝØ Ö Ò ¼ ¾ ¼¼¼¼½ ½¼¼¼¼¼µµ ÐÙÓ Ò Ü¹ Ð ÜØ ÜÐÓ Ø ÓÒ Û Ø»¾ Ð Ð µ ÜÐ Ñ ¼ ÜÐÓ Ø ÓÒ ¹½ Û Ø ¾µ ¾

49 ÙÚ Ò ÓØ Ó Ø ØÐ ËÙÓÑ Ò ÓÒ ÙÚÓ ÒØ µ ÒÝØ ØÒ Ø Ó ÒÓ Ø Ò ÙÚ Ò ÐÐ µº Ø Ü Ü µºø ÓØØÓÑ µ ÒÝØ ØÒ Ø Ó ÒÓ Ø Ò ÙÚ Ò Ú ÑÑ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ µº Ø Ý Ü µºø Ð Ø µ ÒÝØ ØÒ ÙÚ ÓÛ µ Ç ÐÑ Ô ÖØ ÙÖ Ú Ò ÙÚ Òº Ë ÙÖ Ú Ñ Ö Ø ÐÐÒ ÓÓ ÔØ ÓÒ ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ô ÖØ Ô Ö ÙÚ Ó Ø Ñ Ö º º È ÖÖ ØÒ ÈÝØ ÓÒ Ò ÚÙÐÐ Ô Ö ÙÚ Ó Ó ÙÚ ½ ÚÙÓØØ ØÝØØÒ Ò ÙÓÑ Ð Ø Ò ÙÓÖ ØØ Ñ ØÙØ ÒØÓ º Ò ØÓ ÓÒ ÒÒ ØØÙ Ó º

50 ÌÙØ ÒØÓ Ç ÙÙ Ú Ø Ø ±µ ØÙØ ÒØÓ Ô ÖÙ Ø Ò Ð Ò Ã Ø Ð Ò ÓÖ ¹ Ø ½½ Ð ÑÔ ÓÖ ÓÙÐÙ Ø ¾ Ð ÑÔ ÓÖ ÓÙÐÙ Ø ÌÙØ ÓÙÐÙØÙ ¼ ÐÐ ÓÒ ÓÓ Ó Ô ÖØ Ô Ö ÙÚ ÓÒº ÓØ Ø Ò Ñ ØÔÐÓØÐ ÝØØ Ò ÖÓÑ ÔÝÐ ÑÔÓÖØ ÒÒ Ø Ò Ö ØÓÖ Ò Ó ÙÙ Ø Ð Ø Ò Ö º º ½½º º¾ º ¼º Ò Ñ ØÒ ØÓÖ Ø Ð Ð ØÙØ ÒØÓ Ã Ø Ð Ò ÓÖ ¹ Ø Ð ÑÔ ÓÖ ÓÙÐÙ Ø Ð ÑÔ ÓÖ ÓÙÐÙ Ø ÌÙØ ÓÙÐÙØÙ ÒÒ Ø Ò ÙÐÐ Ò ØÓÖ ÐÐ ÚÖ ÓÐÓÖ ³¼º¾³ ³¼º ³ ³¼³ ³¼º¾ ³ ³¼º ³ ³½³µ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ø Ù ØÚÖ ÙÚ Ò Ó Óº Ì Ø Ô Ù ÒÒ ØØ ÓÐÐ Ò Ð ÒÑÙÓØÓ Ò Ò Ð Ô ØÙÙ Ð Ú Ý Ý Ø ÙÙÖ Øº ÙÖ Þ µ ÓÐÓÖ ³Û³µ Ô ¹ ÓÑ ÒØÓ Ô ÖØ Ø ÙÚ ÓÒ Ô Ö ÓÐÓÖ ÓÐÓÖ Ð Ð Ð Ð µ ÒÒ Ø Ò ÙÚ ÐÐ ÓØ Ó Ø ØÐ ËÙÓÑ Ð Ø Ò ØÙØ ÒÒÓØ µ ÒÝØ ØÒ ÙÚ ÓÛ µ Ç ÐÑ ØÙÐÓ Ø ÙÚ Ò

51 Suomalaisten tutkinnot Ei tutkintoa Tutkijakoulutus Keskiaste Ylempi korkea-aste Alempi korkeakouluaste Alin korkea-aste Ë ÙÖ Ú Ñ Ö ÓÒ Ø ÐØÝ ÓÓ ÔØ ÓÒ ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ô ÖØ ÙÓÖ Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐк Ñ Ö º º Ç Ò ØÓ ÓÒ ÒÒ ØØÙ Ò Ð ÙØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ËÙÓÑ ÚÙÓ Ø ½ ÚÙÓØ Ò ¾¼¼ º ËÓÚ Ø Ø Ò ÈÝØ ÓÒ ÐÐ ÙÓÖ Ý Ò Ò ØÓÓÒº ½ ¼¹ÐÙ Ù ÎÙÓ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ÙØÓ Ò ÑÖ ½ ½ ¼ ½ ½ ½ ½ ½ ¼ ½ ¼ ½ ½ ¼¹ÐÙ Ù ÎÙÓ ½ ¼ ½ ½ ½ ¾ ½ ½ ½ ÙØÓ Ò ÑÖ ½ ½ ¾¾ ½ ½ ½ ¾ ½ ¾ ½ ¼¼ ÎÙÓ ½ ½ ½ ½ ¾¼¼¼ ÙØÓ Ò ÑÖ ½ ¾ ¾ ½ ½¾ ¾¼¾½½½ ¾¼ ¾ ¼ ¾½ ¾ ¾¼¼¼¹ÐÙ Ù ÎÙÓ ¾¼¼½ ¾¼¼¾ ¾¼¼ ¾¼¼ ¾¼¼ ¾¼¼ ÙØÓ Ò ÑÖ ¾½ ¼ ¼ ¾½ ¾¾ ¾ ¾ ¾ ¼ ¾ ¼

52 ÐÐ ÓÐ Ú ÐÐ ÓÓ ÐÐ Ò ÙÓÖ Ô ÖÖ ØØݺ ÓØ Ø Ò Ñ ØÔÐÓØÐ ÝØØ Ò ÖÓÑ ÔÝÐ ÑÔÓÖØ ÒÒ Ø Ò Ô Ø Ò Ü¹ ÓÓÖ Ò Ø Ø Ð Ø Ò Ü ½º¼ ¾º¼ º¼ º¼ º¼ º¼ º¼ º¼ º¼ ½¼º¼ ½½º¼ ½¾º¼ ½ º¼ ½ º¼ ½ º¼ ½ º¼ ½ º¼ ½ º¼ ½ º¼ ¾¼º¼ ¾½º¼ ¾¾º¼ ¾ º¼ ÒÒ Ø Ò Ô Ø Ò Ý¹ ÓÓÖ Ò Ø Ø Ð Ø Ò Ý ½ ½ ¼ ½ ½ ½ ½ ½ ¼ ½ ¼ ½ ½ ½ ¾¾ ½ ½ ½ ¾ ½ ¾ ½ ¼¼ ½ ¾ ¾ ½ ½¾ ¾¼¾½½½ ¾¼ ¾ ¼ ¾½ ¾ ¾½ ¼ ¼ ¾½ ¾¾ ¾ ¾ ¾ ¼ ¾ ¼ Ø Ò Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò ÓÚ ØÙ º È Ö Ñ ØÖ ½ ÖØÓÓ ÓÚ Ø ØØ Ú Ò ÙÚ Ò Ø Òº Ì Ø Ô Ù ÓÚ ØÙ Ò ÓÐÐ Ð Ò Ö Ò Ò Ø ÓÒ ½º Ñ ÔÓÐÝ Ø Ü Ý ½µ ÐÙÓ Ò Ü¹ Ð ÜÐÓ Ø ÓÒ ÖÖ Ý Ö Ò ¼ Ð Ò Üµ µµ Ð Ð ½ ½ ½ ¾¼¼ ÜØ ÜÐÓ Ø ÓÒ Ð Ð µ Ô ÖÖ ØÒ ÙÓÖ ÔÐÓØ Ü Ý ³ Ó³ Ü Ñ ÓÖ Ò Ü ³¹ ³ Ð Ò Û Ø ¾µ ÓØ Ø Ò ÖÙÙ ÙØÙ ÝØ Ò Ö ÌÖÙ µ ÒÝØ ØÒ ÙÚ ÓÛ µ Ç ÐÑ ØÙÐÓ Ø ÙÖ Ú Ò ÙÚ Òº

53 À Ö Ó ØÙ Ì ØÚ ¾ º ÐÐ ÓÒ Ø ØØÝ ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ ÝÒØÝÒ Ò Ð Ø Ò ÑÖ ÓØ ÐØÙÒ Ò Ò ÑÙ Ò º È ÖÖ Ò ØÓ Ø ÈÝØ ÓÒ Ò ÚÙÐÐ ÔÝÐÚ Ö ÑÑ º Ò ËÝÒØÝÒ Ò ÑÖ ¾¼¹¾ ¾ ¹¾ ¼¹ ¹ ¼¹ ½ ½ ¾¼ ¾½ ¾¼ Ì ØÚ ¾ º ÐÐ ÓÐ Ú Ò ØÓ ÓÒ Ø ÐØÝ Ö Ò Ö Ð Ø Ò ÝØØ ËÙÓÑ ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ ½½ º È ÖÖ Ò ØÓ Ø ÈÝØ ÓÒ Ò ÚÙÐÐ Ô Ö ÙÚ Óº Ò Ö Ð Ç ÙÙ ±µ Ð Ý Å Ù À Ð ÒÚÓ Ñ Ë Ò Ò ØØÓØÙÓÒØ ÌÙÖÚ Î ¹ ØÙÙÐ ÚÓ Ñ ÈÙÙÔ Ö Ø ÔÓÐØØÓ Ò Ø ÅÙÙ ¾ ½¼ ½¾ ½ ½ ¾ ¾¼ ¾ ½

54 Ì ØÚ ¾ º Ç Ò ØÓ ÓÒ ÙÚ ØØÙ ØÝ ÐÐ Ø Ò ÑÖ ËÙÓÑ ÚÙÓ¹ Ø ½ ÚÙÓØ Ò ¾¼¼ º ËÓÚ Ø Ò ØÓÓÒ ÙÓÖ ÈÝØ ÓÒ Ò ÚÙÐÐ Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐк ÎÙÓ ½ ½ ½ ½ ½ ÌÝ ÐÐ Ø Ò ÑÖ ½ ¾½ ½ ½ ¼ ½ ½ ¾ ¾ ½ ½ ¾¼ ÎÙÓ ½ ½ ¾¼¼¼ ¾¼¼½ ¾¼¼¾ ÌÝ ÐÐ Ø Ò ÑÖ ¾½ ¾ ¼ ¾½ ¾¾¾ ¾¾ ½ ¾¾ ¾ ¼ ÎÙÓ ¾¼¼ ¾¼¼ ¾¼¼ ¾¼¼ ÌÝ ÐÐ Ø Ò ÑÖ ¾¾ ¼ ¾¾ ¾ ¾¾ ¾½½ ¾ ½

55 ÆÙÑ Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø Ç ÐÑÓ ÒÒ Ò Ý ØÝ Ñ Ø Ñ Ø ØÙÐ Ô Ö Ø Ò ÐÐ ÒÙÑ Ö Ò Ñ Ø Ñ ¹ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ ÐÐ º Ì ÐÙÚÙ Ý Ò ÐÔ ÓÙÐÙÑ Ø Ñ Ø Ø ØÙØØÙ Æ Û¹ ØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ò ÓÚ ÐÐÙ ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑÓ ÒØ Òº Ñ Ö Ö¹ Ó ØÙ Ø ØÚ ÝØ ØÒ ÓÒ Ò Ú ÖÖ Ò ÝÐ ÓÔÔ Ð Ø ØÚ Ó Æ ÛØÓÒ Ò Ñ ¹ Ò Ø ÐÑ ÓÒ ÓÐÐÙØ Ú Ñ ÚÙÓ Ò ÙÓ ØØÙ Ý ÝÑÝ ÝÐ ÓÔÔ Ð Ö Ó ØÙ º ȹ Ð Ø Ò ÐÙÚÙ ÓÒ ÝØ ØØÝ ÙÖ Ò Ò Ö Ò Ö ÆÙÑ Ö Ð Ò ÐÝ ½¾ º º½ ÆÙÑ Ö Ò Ð ÒÒ Ò ÐÙÓØ ØØ ÚÙÙ Ø Ì ÔÔ Ð Ø ÐÐÒ ÐÝ Ý Ø ÒÙÑ Ö Ò Ð ÒÒ Ò ÐÙÓØ ØØ ÚÙÙØØ º Î Ø Ñ Ø Ö Ð ØÙÐ Ú Ø Ñ Ö Ø ÓÚ Ø Ý Ò ÖØ ÓÐÐÓ Ò Ø Ö ¹ ÙÙ ÐÐ ÓÐ Ò Ò ÙÙÖØ Ñ Ö ØÝ Ø ÓÒ ÝÚ Ø Ø ØØ Ø ØÓ ÓÒ ÐÐ Ð ØØÙ Ú Ø Ù ÖÚÓ Ò ÓÒ Ø Ö º ÆÙÑ Ö Ò Ò Ð ÒØ ÝØØ Ô Ö Ð ÐÙ Ù Ó Ø Ø ØÓ ÓÒ ¹ Ø ÐÐÒ Ñ Ð ØÝ Ò ÚÙÐÐ º Ì Ý Ø Ý Ñ Ð ØÝ Ø Ý¹ Ø ØÒ Ò Ñ ØÝ Ø Ð Ù ÙÐÙ Ù ØÝ º Ä Ù ÙÐÙ Ù ØÝ ÐÐ ÓÒ ÝØ ØØÚ ÒØ Ò¹ Ó Ó Ò Ò Ø Ð ÓÒ Ò ÑÙ Ø Ø ÓØ Ò ØÝ Ò Ø Ö ÙÙ ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙº ÈÝØ Ó¹ Ò ØÑ Ø Ð ÓÒ ¾ ØØ º ÈÝØ ÓÒ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ö ØÓ Ó Ò ÚÙÐÐ Ø Ö ÙÙØØ ÚÓ Ò Ô Ö ÒØ ½ º Ã Ö ØÓ ÐÐ ÚÓ Ò ÚÙØØ ÓÔ Ñ Ð Ú Ð¹ Ø Ò Ø Ö Ó ÖÚÓ º Ã Ö ØÓÒ ÝØØ Ð ØÓ Ð ÒØ ¹ ÓØ Ò ÓÒ ÔÓ ¹ ØØ Ú Ù Ò Ø ÖÔ ÐÐ Ø Ø Ö ÒØ Ñ Ò Ò ÓÒº à ÐÐ Ó ÐÑÓ ÒØ Ð ÐÐ ØÐÐ Ö ØÓ ÓÐ Ø Ú ÐÐ ÓØ Ò ÓÒ ÝÚ ÙÓÑ Ó Ø Ö ÙÙ ÒÙÑ Ö Ø Ð ÒØ ÙÓÖ Ø ØØ º Ë ÙÖ Ú ÐÐ Ý Ò ÖØ ÐÐ Ñ Ö ÐÐ ÚÓ Ò Ú ÒÒÓÐÐ Ø ØÝ Ø Ö ¹ ÙÙ Ò Ö ÐÐ ÙÙØØ º Ñ Ö º½º ÓØ Ø Ò ÆÙÑÔݹ Ö ØÓ ÝØØ Ò ÐÐ ÐØ Ø ÖÚ Ø Ò Ö Ò ¹ ÙÒ Ø ÓØ Ö Ò ØÓ Ñ ÙØ Ò Ö Ò ÑÙØØ ØÙÐÓ Ø ÖÚÓØ Ø ÙÐÙ Ó ÖÓÑ ÒÙÑÔÝ ÑÔÓÖØ ÓØ Ø Ò Å ØÔÐÓØÐ ¹ Ö ØÓ ÝØØ Ò ÐÐ Ô ÖÖ ØÒ ÙÚ ÖÓÑ ÔÝÐ ÑÔÓÖØ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÑÙÙØØÙ Ô Ó Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò Ð Ù ÙÐÙ Ù Ô ½º¾

56 ÑÖ Ø ÐÐÒ Ù Ø Ó Ó Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÐÚ Ø Ò ÖÚÓÒ ÒÓÐРܵ Ý ÔÓÛ ÔÓÛ Ü Ôµ ½º»Ôµ ¹ Ü Ö ØÙÖÒ Ý Ò ÖÓ Ò Ö Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ Ø ÙÐÙ Ó ÑÙÙØØÙ Ò Ø ÖÚÓ Ø ÓØ Ó Ø Ø Ò ÙÒ Ø ÓÓÒ Ø Ö Ò ¼ ¾ ¼º¼ µ Ô Ö ØÒ ÙÚ ÔÐÓØ Ø Øµµ ÓØ Ø Ò ÖÙÙ ÙØÙ ÝØØ Ò Ö ÌÖÙ µ ÒÝØ ØÒ ÙÚ ÓÛ µ Ç ÐÑ ØÙÐÓ Ø ÙÖ Ú Ò ÙÚ Òº 2.5 1e ÅÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÒØØ Ø ÒÓÐÐ ÓØ Ò ÙÚ Ò Ô Ø ÓÐÐ Ú Ò ÙÓ¹ Ö Ú Ú º ÃÙØ Ò Ò Ò ÓÐ ÙÓÖ Ú Ú Ú Ò ÙÐ ÚÙÓÖÓ Ò ÒÓÐÐ Ò Ð ÔÙÓÐ ÐÐ ÚÙÓÖÓ Ò ÝÐÔÙÓÐ ÐÐ º ÌÑ Ó ØÙÙ Ò Ñ ÒÓÑ Ò Ø ÔÓÒ ÒØ Ò Ô ÖÚÓ ÔÝ ØÝØ ÒÝØ Ø Ö Ø ÑÖ ØØÑÒº Í Ø ÒÙÑ Ö Ø Ñ Ò Ø ÐÑØ Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ø ÖÓ ÒØ Ò Ð ÐÐ Ø Ø Ö Ø Ó¹ Ð Ø ØÙ ØÙÐÓ Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú Ò Ð Òº Æ Ò ÑÝ Ð ÒÒ Ø Ó ØÙÚ Ú Ö Ú Ñ Ø Ô ÑÑÐÐ Ð ÒÒ ØÒº ¼

57 º¾ Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ Ö Ø Ø Ò ÝÐ Ò Ý ØÐ Ø Ó ÐÐ ÓÐ Ò ÐÝÝØØ Ø Ö Ø Ù º ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ø ØÒ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÒÓÐÐ Ó Ø º ÇÐ ÓÓÒ f : [a, b] R Ø ÙÚ Ö ÚÓ ØÙÚ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÖÚÓØ ÚÐ Ò Ô¹ Ø Ô Ø ÓÚ Ø Ö Ñ Ö Øº ÃÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ö Ú ØÙÙ ÑÖ ØØ ÐÝÚÐ ÐÐ Ø ØÒ ØØ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ Ò Ò Ý ÒÓÐÐ Ó Ø Ý ÐÐ ÚÐ Ðк ÆÓÐÐ Ó ¹ ÐÐ ÚÓ Ò Ð ÝØ Ð ÖÚÓ Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐк Æ ÛØÓÒ Ò Ð ÓÖ ØÑ ØÓ Ñ Ø Ò ØØ Ú Ð Ø Ò ÐÓ ØÙ Ô Ø x 0 (a, b) ÑÖ Ø ÐÐÒ Ö ÙÖ Ú Ø x n+1 = x n f(x n) f, n = 0, 1, 2,... (x n ) ÅÖ Ø ÐÑ ÓÒ Ñ Ð Ó x n (a, b) f (x) 0º X 2 X 1 X 0 ÃÙÚ Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÑ ØÖ Ø Ø ØØÝÒ ÂÓÒÓÒ (x n ) Ø ÖÚ Ø ÙÔ Ø Ó Ø Ñ ØÒ Ö ¹ ÖÚÓ º ËÙÔÔ Ò Ñ Ø Ô Ù ¹ Æ ÛØÓÒ Ò Ø Ö Ø Ó ÓÒ ÝÚ Ò Ø Ó ÙÔÔ Ò Ù ÑÑ Ø Ò Ö ØØÚÒ Ø Ö ÙÙØ Ò Ó ÑÙÙØ Ñ ÐÐ Ð ÐÐ º ÂÓÒÓÒ (x n ) ÐÙÓÒÒ ÙÔÔ Ò Ó Ú Ö ÔÔÙÙ ÐÓ ØÙ Ô Ø Ò Ú Ð ÒÒ Ø º Æ Ò ÓÐÐ Ò Ñ Ð ÓÒÓ Ó ÑÙÙØ Ñ Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ð Ò ÐÚ Ø ÙÔÔ Ò Ó Ø Ø ØØÝ ÖÚÓ ÒÒ ØØ Ø Ö Ø ÐÓ ØÙ Ô Ø Ò Ú Ð ÒØ º ÓÐ ÑÝ Ò ÐÚ Ø Ô ØÙÙ Ó ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò Ó Ø Ø ØØÝ ÙÙÖØ Ú Ó Ø ÓØ Ò ÑÙÙØ ÙÙÖØ º ÐÓ ØÙ Ô Ø Ò Ú Ð ÒØ Ò ÓÐ Ñ ØÒ Ý ØØ Ø ÒÓ Ú Ò ÓÒ Ú Ò Ø ØÚ ÝÚ ÖÚ Ù º ÐÓ ØÙ Ô Ø Ò Ú Ð ÒÒ ÚÓ Ò ÝØØ ÔÙÒ Ñ Ö¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÙÚ º ½

58 Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ Ò Ú Ò ÖÚ Ó ÒÓÐÐ Ó ÐÐ Ø Ö Ú ¹ Ø Ù Ø º Ë ÙÒ ØÙÐÓ Ò Ø Ö ÙÙ Ò ÖÚ Ó ÒØ Ò ÓÒ Ù Ø ÒÓ º Ë ÙÖ Ú Ø ÐÐÒ Ò Ø Ý º ÃÙØ Ò ÑÑ Ò ØÓ ØØ Ò ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ ÒÓÐÐ Ó Ø ÓÐÐ Ò ÚÐ ÐÐ Ñ Ð ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓØ ÚÐ Ò ÔØ Ô Ø ÓÚ Ø Ö Ñ Ö Øº Æ Ò ÖÚÓ Ò ØÙÐÓ ÓÒ ÐÚ Ø Ò Ø Ú Ò Òº ÁØ ÖÓ Ø Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ø ÒÔ Ò ÚÓ Ò Ð ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓ Ò ØÙÐÓ ÙÒ ÒÓÐÐ Ó Ò ÝÑÔÖ Ø º Å Ð ØÙÐÓ ÓÒ Ò Ø Ú Ò Ò ÓÒ ØÙ ÖÚ Ó Ö ØÚÒ Ð ÐÐ ÒÓÐÐ Ó Ø º ÑÔÖ Ø Ò Ú Ð ÒØ Ö ÔÔÙÙ ÐÙØÙ Ø Ø Ö ÙÙ Ø º Å Ø Ø Ö ÑÔ Ú Ø Ù ÐÙØ Ò Ø Ô Ò ÑÔ ÝÑÔÖ Ø ÓÒ Ú Ð ØØ Ú º ÂÓ ÐÙØØÙ Ø Ö ÙÙ ÓÒ Ñ Ö¹ Ú Ñ Ð Ð 1, Ú Ð Ø Ò Ø Ö Ø ÐØ Ú ÚÐ [x n h, x n +h] Ñ x n ÓÒ ØÙ ÖÚ Ó h = 0, º Î ÓÐÐ h Ñ Ö ØÒ ÝÐ Ò Ø ¹ ÖÚÓÐØ Ò Ô ÒØ ÐÙ Ù º Ì Ö ÑÑ Ò Ø Ø Ú Ó Ø ÖÖÓØ Ò ÙÖ Ú Ô¹ Ô Ð º Ñ Ö º¾º Ø ØÒ Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ÒÓÐÐ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÐÐ f(x) = x sin x Ð Ö Ø Ù Ý ØÐ ÐÐ x sin x = 0 ÓÐÑ Ò Ñ Ð Ò Ø Ö ¹ ÙÙ ÐÐ º ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ ÒÓÐÐ Ó Ø ÚÐ ÐÐ ¹½ ½ º ÌÑ ÓÒ ÐÔÔÓ ØÓ Ø Ð Ñ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓØ Ý Ô Ø º ÃÓ x = 1 ÙÒ Ø Ó ÖÚÓÒ f( 1) = 1 sin( 1) 0, 159 Ú Ø Ú Ø Ó x = 1 ÖÚÓÒ ¼ ½ º ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓÒ Ñ Ö Ú ØÙÙ ÓØ Ò ÚÐ ÐÐ ÓÒ ÓÐØ Ú ÒÓÐÐ Ó Ø º ÐÓ Ø Ø Ò Ø ÖÓ Ñ Ò Ò Ó Ø x = 1 = x 0 º ÁØ Ö Ø Ó Ú Ø ÖÚ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú ØØ º ÌÐÐ ÖØ ÓÒ f (x) = 1 cos xº ÆÝØ Ò Ò Ñ¹ Ñ Ò Ò ÖÚ Ó ÒÓÐÐ Ó ÐÐ º Ë ÓÒ x 1 = x 0 f(x0) f (x = 1 f(1) 0) f (1) 0, º ÖÚ Ó Ò ØØ Ò ÙÒ ÖÚ ÓÒ Ø Ö ÙÙ º ÃÓ ÐÙØØÙ Ø Ö ÙÙ ÓÐ ÒÝØ ÓÐÑ Ñ Ð Ú Ð Ø Ò h = 0, º Ä Ø Ò f(0, , ) f(0, , )º ÌÙÐÓ ÒÝØ ÖÚÓÒ ¼ ¼¼¾½¼ Ó ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº  ع Ø Ò Ø ÖÓ ÒØ º ÆÝØ x 2 = x 1 f(x1) f (x 1) 0, º ÖÚ Ó Ø Ø Ö ÙÙØØ Ò f(0, , ) f(0, , ) = 0, ¼º Â Ø Ø Ò Ø ÖÓ ÒØ º ¾

59 ÐÐ ÓÐ Ú Ø ÙÐÙ Ó ÓÒ Ð ØØÙ Ø ØÓ ÓÒ Ò ÚÙÐÐ Ø Ö Ø ÓØ Ø ÒÔ Òº Ò x n f(x n h) f(x n + h) ¼ ¾ ½ ¼ ½ ½ ¾ 1, ¼ ½¾ ½¼ 1, ¼ ¼ ½ 1, ¼ ¼ ¾ 9, ¼ ¼ 8, ¼ ¼¾ ¾ 7, ½¼ ¼ ¼½ ¾ 6, ½½ ¼ ¼½½¾½ 5, ½¾ ¼ ¼¼ 4, ½ ¼ ¼¼ 4, ½ ¼ ¼¼ ¾ ¼ 3, ½ ¼ ¼¼¾¾½ 2, ½ ¼ ¼¼½ 2, ½ ¼ ¼¼¼ 1, ½ ¼ ¼¼¼ 1, ½ ¼ ¼¼¼ 5, ÃÙØ Ò ÙÓÑ Ø Ò Ý ÒÒ ÐÐØÓ Ø Ø Ö Ø Ó ÖÖ ÐÐ ÚÙØ Ø Ò ÐÙØØÙ Ø Ö ÙÙ ÐÐ ÐÐÓ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓ Ò ØÙÐÓ ÓÒ Ò ÑÑ Ø ÖØ Ò Ø Ú Ò Òº ÃÓÐÑ Ò Ñ Ð Ò Ø Ö ÙÙ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ ÒÓÐÐ Ó Ø ÓÒ x = 0, 000º Å Ð ÐÙØØ Ò Ú Ð Ø Ö ÑÔ Ú Ø Ù Ø ØØ Ò Ø ÖÓ ÒØ º À Ö Ó ØÙ Ì ØÚ ¾ º Ø Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = x + e x ÒÓÐÐ Ó Ø ÓÐÑ Ò Ñ Ð Ò Ø Ö ÙÙ ÐÐ º º ÆÙÑ Ö Ò Ò Ö ÚÓ ÒØ Ä ØØ Ø ØÓ ÓÒ ÐÐ Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÚÙÐÐ Ø ÖÚ Ø Ò ÝØØ Ò ÒÙ¹ Ñ Ö Ò Ò Ö Ú ØØ º Ì ÔÔ Ð Ý Ò Ò ÐÝ Ý Ø ÐÔ ÒÙÑ Ö Ò Ò Ö ÚÓ ÒØ º È Ð ÙØ Ø Ò Ñ Ð Ò Ö Ú Ø Ò ÑÖ Ø ÐѺ Ö Ú ØØ Ò ÑÖ Ø ÐØ Ò ÖÓ¹ ØÙ Ó ÑÖÒ Ö ¹ ÖÚÓÒ º

60 ÅÖ Ø ÐÑ º½º ÇÐ ÓÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ f ÑÖ Ø ÐØÝ Ô Ø Ò x ÝÑÔÖ Ø º Ë ÐÐÓ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f Ö Ú ØØ Ô Ø x ÓÒ f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h Å Ð Ö Ú Ø ÐÐ ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ Ø Ö ØÝ ÑÙÓØÓ ÚÓ Ò ÐÐ ÑÙÓ Ó Ø ÖÚ Ó Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÚÙÐÐ º ÅÙÙØØÙ Ò x Ô ÐÐ Ó Ø Ø Ò Ô Ø Ó Ö Ú ØØ Ø ØÒº ÃÓ Ú Ó h Ð ØÝÝ ÒÓÐÐ Ú Ð Ø Ò Ò ÖÚÓ Ö ØØÚÒ Ð ÐØ ÒÓÐÐ Ó Ò ÐÙ Ùº Ñ Ö º º Ä Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = cos 2x + e x Ó x = 1 й ÐÓ Ò ÙÒ h = 10 5 º Ë Ó Ø Ø Ò ÒÝØ Ö Ú Ø Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙÙØØÙ Ò x Ô ÐÐ ÐÙ Ù ½ Ú ÓÒ h Ô ÐÐ ÐÙ Ù 10 5 º f (1) f( ) f(1) 10 5 = (cos 2 (1, 0001) + e1,0001 ) (cos 2 1 e 1 ) , ÂÓ Ö ÚÓ Ò ÙÒ Ø Ó Ó Ø Ø Ò Ö Ú ØØ ÙÒ Ø ÓÓÒ ÑÙÙØØÙ Ò x ÖÚÓ ½ Ò Ò ØÙÐÓ Ò 0, 89969º Ö ÚÓ ÒÒ Ò Ý ØÝ Ó Ø Ò Ò ÙÓÖ ØØ Ñ Ò Ò Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º ÂÓ Ø Ô Ù ÙÓÑ Ø Ò ØØ ÒÙÑ Ö ÐÐ ¹ Ö ÚÓ ÒÒ ÐÐ Ø Ò ÝÚ ÖÚ Ó Ö Ú Ø Ò ÖÚÓÐÐ º ÆÙÑ Ö Ò Ö Ú Ø Ò Ú Ö Ö ÔÔÙÙ Ú ÓÒ h Ú Ð ÒÒ Ø º Ë ÙÖ Ú Ø Ö¹ Ø ÐÐ Ò Ñ ÐÐ Ú ÓÒ h ÖÚÓÐÐ Ú Ö ÓÒ Ô Ò Òº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò x Ö Ú ØØ Ô Ø x = 1 2 º Ã Ö Ó Ø Ø Ò ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑ Ó Ð ÒÙÑ Ö Ø Ö Ú Ø ÐÐ ÖÚ ÓÒ Ö Ú ÓÒ h Ö¹ ÚÓ ÐÐ Ú Ö Ò ÙÐÐ Ò ÖÚ ÓÐÐ º Ä Ó ÐÑ Ô ÖØ Ú Ö Ò Ú ÓÒ h ÖÚÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÔÙÓÐ ÐÓ Ö ØÑ Ò ÓÓÖ Ò Ø ØÓÓÒº Ó Ô ÖÖ ØÒ ÙÚ ÓØ Ø Ò Å ØÔÐÓØÐ ¹ Ö ØÓ ÝØØ Ò ÖÓÑ ÔÝÐ ÑÔÓÖØ Ô Ø Ó Ö Ú ØØ Ð Ø Ò ¼º ÐÙÓ Ò ØÝ Ð Ø Ó ÓÒ Ø ÐÐ ÒÒ Ø Ò Ò ÔÓØ Ò Ø Ü ÐÙÓ Ò ØÝ Ð Ø Ó ÓÒ Ø ÐÐ ÒÒ Ø Ò Ú Ö ÙÐÐ Ò Ò ÖÚÓÐÐ Þ ÒÒ Ø Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ý ÐÔ ÖÚÓØ Ý Ø Ò Ð ÒØÓ Ø ÓÖ Ò Ö Ò ½ ½ µ

61 Ø ÐÐ ÒÒ Ø Ò Ð Ø Ò Ü ÑÙÙØØÙ Ò Ú Ø ÐÙÚÙØ Ü Ü ¹ Ð Ø Ø Ò Ò Ú Ø ÐÙ Ù Ò ÝÑÑ ÒÔÓØ Ò ½¼ ¹ µ Ø ÐÐ ÒÒ Ø Ò Ð Ø Ò Þ Ú Ö ÙÐÐ Ò Ò ÖÚÓÐÐ Þ Þ Ó µ¹ Ò µ¹ Ò µµ» µµ Ô ÖÖ ØÒ ÙÚ ÔÙÓÐ ÐÓ Ö ØÑ Ò ÓÓÖ Ò Ø ØÓÓÒ Ñ ÐÓ Ý¹ Ý ØÓ Ñ ÙØ Ò ÔÐÓع Ý Ñ ÐÓ Ý Ü Þµ ÓØ Ø Ò ÖÙÙ ÙØÙ ÝØØ Ò Ö ÌÖÙ µ ÑÙÙØ Ø Ò Ð Ò Ø ÓØ ÓÔ Ú Ü ¹½ ¼ ½¼ ¹½¾µ ½¼ ¼ µ ÒÝØ ØÒ ÙÚ ÓÛ µ Ç ÐÑ ØÙÐÓ Ø ÙÖ Ú Ò ÙÚ Òº ÃÙÚ ÆÙÑ Ö Ò Ö ÚÓ ÒÒ Ò Ú Ö ÃÙØ Ò ÙÚ Ø ÙÓÑ Ø Ò Ú Ö ÓÒ Ô Ò Ñ ÐÐÒ ÙÒ Ú ÓÒ h ÝÑÑ Ò Ò ÔÓØ Ò Ú Ð Ø Ò ÐÙ Ù 8º ÃÝØ ØÒ Ø Ó Ú ÓÒ h ÖÚÓÒ h = 10 8 º

62 º ËÓÚ ÐÐÙ ÈÝØ ÓÒ¹Ó ÐÑÓ ÒØ Ò Ë ÙÖ Ú Ñ Ö Ø ÐÐÒ Ó ÐÑ Ó Ö Ø Ý ØÐ Ø ÝØØ Ò Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐѺ Ñ Ö º º Ø ØÒ ÖÚ Ó Ú Ò Ñ Ð Ò Ø Ö ÙÙ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = sin 2x + x 2 ÒÓÐÐ Ó ÐÐ ÈÝØ ÓÒ Ý ÝÒØ Òº ÐÐ ÓÒ ÓÓ Ó ÓÒ Ý ÝÒÒ ØØÝ Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐѺ ÓØ Ø Ò Ñ Ø ¹ Ö ØÓ ÝØØ Ò ÑÔÓÖØ Ñ Ø ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÒ Ø Ó Üµ Ö ØÙÖÒ Ñ Ø º Ò ¾ ܵ Ü»¾ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú ØØ Ô Ø Ü Ö Ú ØØ Ü ½º¼ ¹ µ Ö ØÙÖÒ Ü µ¹ ܵµ» Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ò ÛØÓÒ Ü¼ Ø Ö ÙÙ Æ ½¼¼µ ÐÙ Ø Ø Ò Ø Ö Ø Ó Ò ÑÖ Ý ½ Û Ð Æ Ð Ø Ò Ø Ö ÑÔ Ü Ü Ü¼¹ ܼµ» Ö Ú ØØ Ü¼ ½º¼ ¹ µµ Ø Ø Ø Ò Ú Ø Ù Ò Ø Ö Ù٠ܹ Ø Ö ÙÙ»¾µµ Ü Ø Ö ÙÙ»¾µµ ¼ Ö ØÙÖÒ Ü Ó Ú Ø Ù ÓÒ Ö ØØÚÒ Ø Ö ÐÓÔ Ø Ø Ò Ó ÐÑ Ò ÙÓÖ ØÙ ÑÙÙØ Ò Ø Ø Ò Ø ÖÓ ÒØ ½ ܼ Ü Ñ Ð Ö ØØÚÒ Ø Ö Ú Ø Ù Ø Ø Ö Ø Ó ÝØØ ÔÝÝ ØÒ Ø Ö Ø Ñ Ò Ð Ù ÖÚÓØ ÔÖ ÒØ Ì Ö Ø Ð Ù ÖÚÓØ µ Ý ÝØÒ ÝØØ ÐØ Ð Ù ÖÚÓØ Ð ÙÜ ÒÔÙØ ÒÒ ÐÓ ØÙ Ô Ø µ

63 Ñ Ð Ø ÒÔÙØ ÒÒ Ø Ö ÙÙ µ ÙÓÖ Ø Ø Ò Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÒÒ ØÙ ÐÐ ÖÚÓ ÐÐ ÔÖ ÒØ Ò ÛØÓÒ Ð ÙÜ Ñ Ð Øµ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ ÒÝØ ÒÓÐÐ Ó Ø ÚÐ ÐÐ 1 2, 1 2 ÐÐ f( 1 2 ) 1, 091 f( 1 2 ) = 1, 091º ÐÓ Ø Ø Ò Ø ÖÓ Ñ Ò Ò Ô Ø Ø x = 1 2 º ÖÚ ÓØ ÔÝÝ Ø Ò Ú Ò Ñ Ð Ò Ø Ö ÙÙ ÐÐ ÓØ Ò Ø Ö ÙÙ ÒÒ Ø Ò ¼ ¼¼¼¼½º ÃÙÒ Ò¹ Ñ ÖÚÓØ Ý Ø ØÒ Ó ÐÑ Ò Ó ÐÑ ØÙÐÓ Ø ÐÙÚÙÒ 4, º Î Ò Ñ Ð Ò Ø Ö ÙÙ ÐÐ Ö Ø Ù Ò º Ì Ø Ô Ù ÙÓÑ Ø Ò ÑÝ Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÓÙ Ö ¹ Ú Ø Ò ÒÓÐÐ Ó Øº ÂÓ ÝÖ ØØ ÐÓ ØØ Ø Ö Ø ÓØ Ñ Ö Ó Ø x = 1 Ó ÐÑ ÒØ ÒÓÐÐ Ó Ò ÔÖÓ Ñ Ø Ó x 1º ÌÑ Ó ØÙÙ Ø ØØ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ Ô ÐÐ Ò Ò Ù ÔÔÙ Ó Ø Ó x = 1 Ö Ú ØØ Ò ÖÚÓÒ ÒÓÐÐ ÓØ Ò Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ØÓ Ñ º ÀÙÓÑ ØØ Ú ÓÒ ØØ Ú ÈÝØ ÓÒ Ð Ø Ö Ø ÓØ ÓÒ ÝØØ Ò Ø Ó Ø¹ Ø Ú Ø ÓÔ Ú Ð Ù ÖÚÓº Ç ÐÑ ØÓ ÓÒ Ó Ø Ò Ú Ö Ø Ð ÒØ Ø ÙÓÑ Ó ¹ ØÙº Ñ Ö Ø Ð ÒÒ Ó ÙÒ Ø Ó ÙÔÔ Ò ÓÒ ÙÓÑ Ó ØÙ Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø Ö Ø Ó Ò ÑÖº Ç ÐÑ ÓÒ ÝØ ØØÝ ÒÙÑ Ö Ø Ö Ú ØØ Ó Ó ÐÑ ÓÒ ÐÙØØÙ Ø Ñ ÓÐÐ ÑÑ Ò ÙØÓÑ ØØ ÝØØ ÐÐ º ÌÓ Ö Ú Ø Ò ÚÓ Ý Ø¹ Ø ÑÓ Ò Ù Ò Ø ÙÒ Ø ÓÒ Òº ÃÝØØ Ò ÓÐ Ú Ò ÐÐÓ Ò Ø Ö ÚÓ Ø Ú ÙÒ Ø Óº Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÒ ÓÐÐÙØ ÙÓ ØØÙ Ý ÝÑÝ ÑÝ ÝÐ ÓÔÔ Ð Ö Ó ØÙ ¹ º Ì ÓÒ Ñ Ö Ò Ö Ø ØÙ ÝÐ ÓÔÔ Ð Ø ØÚ ÈÝØ ÓÒ ÐÐ º Ñ Ö º º ÅÖ Ø ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = x sin x Ô Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö ÖÚÓ¹ Ó Ø Ú Ø Ú Ö ÖÚÓ Ö Ø Ñ ÐÐ Ö Ú Ø Ò ÒÓÐÐ Ó Ø Æ ÛØÓÒ Ò Ñ ¹ Ò Ø ÐÑÐк ÒÒ Ú Ø Ù Ú Ò Ñ Ð Ò Ø Ö ÙÙ ÐÐ º È Ø Ò Ñ Ø Ñ ¹ Ø Ò ÝÓ¹ Ó ÚØ ¾¼¼ µ ÃÓ Ö Ú Ø Ò ÒÓÐÐ Ó Ø Ô Ø Ö Ø Ø ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ f Ö ¹ Ú ØØ ÙÒ Ø Ó gº ÃÙÒ ÙÒ Ø Ó f Ö ÚÓ Ò Ò g(x) = sin x + x cos xº È ÖÖ ØÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ g ÙÚ º

64 ÃÙÚ Ø Ò Ò ØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ô Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò ÒÓÐÐ Ó Ø ÓÒ ÚРй Ð 1 1 2, 21 2 º ÌÑ ÚÓ Ò ÑÝ ØÓ Ø Ð Ñ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓØ Ý Ô ¹ Ø ØÓ Ø ØØ Ñ Ö Ú ØÙÙº Î Ð Ø Ò ÒÝØ Ø Ö Ø ÓÒ ÐÓ ØÙ Ó º Ã Ö Ó Ø Ø Ò ØØ Ò ÓÓ Ó Ð ÒÓÐÐ Ó ÐÐ ÔÔÖÓ Ñ Ø ÓÒ Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐк ÓØ Ø Ò Ñ Ø ¹ Ö ØÓ ÝØØ Ò ÑÔÓÖØ Ñ Ø ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÒ Ø Ó Üµ Ö ØÙÖÒ Ñ Ø º Ò Üµ Ü Ñ Ø ºÓ ܵ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú ØØ Ô Ø Ü Ö Ú ØØ Ü ½º¼ ¹ µ Ö ØÙÖÒ Ü µ¹ ܵµ» Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ò ÛØÓÒ Ü¼ Ø Ö ÙÙ Æ ½¼¼µ ÐÙ Ø Ø Ò Ø Ö Ø Ó Ò ÑÖ Ý ½ Û Ð Æ Ð Ø Ò Ø Ö ÑÔ Ü Ü Ü¼¹ ܼµ» Ö Ú ØØ Ü¼ ½º¼ ¹ µµ Ø Ø Ø Ò Ú Ø Ù Ò Ø Ö Ù٠ܹ Ø Ö ÙÙ»¾µµ Ü Ø Ö ÙÙ»¾µµ ¼ Ö ØÙÖÒ Ü Ó Ú Ø Ù ÓÒ Ö ØØÚÒ Ø Ö ÐÓÔ Ø Ø Ò Ó ÐÑ Ò ÙÓÖ ØÙ ÑÙÙØ Ò Ø Ø Ò Ø ÖÓ ÒØ

65 ½ ܼ Ü Ñ Ð Ö ØØÚÒ Ø Ö Ú Ø Ù Ø Ø Ö Ø Ó ÝØØ ÔÝÝ ØÒ Ø Ö Ø Ñ Ò Ð Ù ÖÚÓØ ÔÖ ÒØ Ì Ö Ø Ð Ù ÖÚÓØ µ Ý ÝØÒ ÝØØ ÐØ Ð Ù ÖÚÓØ Ð ÙÜ ÒÔÙØ ÒÒ ÐÓ ØÙ Ô Ø µ Ñ Ð Ø ÒÔÙØ ÒÒ Ø Ö ÙÙ µ ÙÓÖ Ø Ø Ò Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÒÒ ØÙ ÐÐ ÖÚÓ ÐÐ ÔÖ ÒØ Ò ÛØÓÒ Ð ÙÜ Ñ Ð Øµ ÃÙÒ Ó ÐÑ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ÐÓ ØÙ Ô Ø ¾ Ø Ö ÙÙ ¼ ¼¼¼¼½ ØÙÐÓ ¹ Ø ÐÙÚÙÒ ¾º¼¾ ½ º Ö Ú Ø Ò ÒÓÐÐ Ó Ø Ú Ò Ñ Ð Ò Ø Ö ÙÙ ÐÐ ÓÒ Ü ¾ ¼¾ º ÌÑ ÓÒ ÑÝ Ô Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö ÖÚÓ Ó Ø ÙÒ ¹ Ø ÓÐÐ fº ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓ Ø Ó ÓÒ f(2, 02876) 1, 81971º À Ö Ó ØÙ Ì ØÚ ¼º Ê Ø Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÚÙÐÐ Ý ØÐ Ò e x + sin x = 0 ÙÙÖ Ò ÙÙÖ Ú Ò Ñ Ð Ò Ø Ö ÙÙ ÐÐ º È Ø Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò ÝÓ¹ Ó Ý Ý ¾¼¼¾µ Ì ØÚ ½º Ê Ø Ý ØÐ x cos x = 0 ÓÐÑ Ò Ñ Ð Ò Ø Ö Ù ÐÐ È Ø Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò ÝÓ¹ Ó Ý Ý ¾¼¼ µ

66 ¼

67 À Ö Ó ØÙ Ø ØÚ Ò Ö Ø ÙØ Ì ØÚ ½ Ç ÐÑ Ý ÝÝ ÝØØ ÐØ Ó ÓÒ ÐÙ Ù º ÄÙÚÙØ Ø ÐÐ ÒÒ Ø Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÐÙ Ù½ ÐÙ Ù¾º Ë Ò Ð Ò Ó ÐÑ Ð ÐÙ Ù Ò ÙÑÑ Ò Ø ÐÐ Ò¹ Ø Ò ÑÙÙØØÙ Ò ØÙÐÓ º Ë Ò Ð Ò Ó ÐÑ ØÙÐÓ Ø ÑÙÙØØÙ Ò ØÙÐÓ ÐÐ Ò Ð ÐÙ Ù Ò ÙÑÑ Òº Ì ØÚ ¾ Ç ÐÑ ØÙÐÓ Ø ÝØØ Ò ÒØ Ñ Ò ÐÙÚÙÒ ÖØÓØ ÙÐÙÒº Ç ÐÑ Ø Ò Ø Ò ØØ ÒØ Ò Ò ÑÙÙØØÙ ÐÐ ÖÚÓÒ ½ ØØ Ò Ð ÒÒ ØÙÒ ÐÙÚÙÒ Ò ØÙÐÓÒ ØÙÐÓ Ø Òº Ë ØØ Ò ÑÙÙØØÙ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ÖÚÓ ¾ ØÓ Ø Ø Ò Ñ º ÌØ Ø Ø Ò Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓÓÒ ½¼ º Ì ØÚ ÖÖÓØØ Ú ÒÔÙØ ³ ÒÒ Ó Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÚÐ ÐØ ½ ½¼ ³µ ½ Û Ð ½¼ ØÙÐÓ ÖÖÓØØ Ú ÔÖ ÒØ ÖÖÓØØ Ú ³ ³ ³ ³ ØÙÐÓ ½ Ì ØÚ ÐÙ Ù ÒÔÙØ ³ ÒÒ Ó Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ³µ ÐÙ Ù± ¼ ÔÖ ÒØ ³ ÒØ Ñ ÐÙ Ù ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÙÙ ÐÐ ³ Ð ÔÖ ÒØ ³ ÒØ Ñ ÐÙ Ù ÓÐ ÓÐÐ Ò Ò ÙÙ ÐÐ ³ Ì ØÚ ÔÖ ÒØ Ö Ò ½ ½ ¾µ Ì ØÚ ÐÓ Ø Ø Ò ÖØÓÑ ÐÐ ÝÐ ÑÔ Ý ØÐ ÐÙÚÙÐÐ 2º ØÐ ÖÝ Ñ ÑÙÙÒØÙÙ ÑÙÓØÓÓÒ 4x 1 2x 2 = 10 4x 1 4x 2 = 4 Ä ØÒ ØØ Ò ÝÐ ÑÔ Ý ØÐ Ð ÑÔ Ò ÓÐÐÓ Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ò ÑÙÓØÓÓÒ 4x 1 2x 2 = 10 0 x 1 6x 2 = 6 Ð ÑÑ Ø Ý ØÐ Ø Ò ÒÝØ ÑÙÙØØÙ Ò x 2 Ö Ø Ù x 2 = 1º ÃÙÒ Ó ¹ Ø Ø Ò ØÑ Ð ÙÔ Ö Ò ÝÐ ÑÔÒ Ý ØÐ Ò Ò ÑÙÙØØÙ ÐÐ x 1 Ý ØÐ ½

68 2x = 5º Ì Ø Ò Ö Ø Ù x 1 = 2º ÃÓ Ó Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ Ö Ø Ù ÓÒ { x 1 = 2 x 2 = 1 ( ) 2 1 Ì ØÚ ØÐ ÖÝ ÑÒ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ ÓÒ Ñ ØÖ A = 4 4 Ì ØÚ Å ØÖ Ò ÙÑÑ A + B = = = Å ØÖ Ò ÖÓØÙ A B = = = Å ØÖ Ø ÖÖÓØØÙÒ ÐÙÚÙÐÐ ÓÐÑ ( 2) 3A = = = ( 4) 3 0 3B = = ( 3) = Ì ØÚ A T = ¾

69 Ì ØÚ ½¼ = ( 1) = 1(0 ( 3) 2 1) + 1(2 ( 3) 2 ( 2)) + 3(2 1 0 ( 2)) = = 2 ( ) 5 1 Ì ØÚ ½½ ØÐ ÖÝ ÑÒ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ ÓÒ ÒÝØ Ñ ØÖ A = 1 2 Ó Ò ÔÙÓÐ Ò ÖØÓ Ñ Ø ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ Ñ ØÖ B = (12, 6) T º Å ØÖ Ò A Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ 5 1 = 5 ( 2) ( 1) 1 = 9º 1 2 Ê Ø Ø Ò Ò Ò ÑÙÙØØÙ x 1 º Å ØÖ A 1 Ò ÓÖÚ Ñ ÐÐ Ñ Ø¹ Ö Ø ( A Ò ÑÑ Ò Ò ) ÔÝ ØÝÖ Ú Ñ ØÖ ÐÐ Bº Å ØÖ A 1 ÓÒ Ñ ØÖ A 1 = º Ë Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ = 12 ( 2) 6 ( 1) = 18º ÆÝØ Ò Ö Ø ØÙ ÑÙÙØØÙ x 1 Ó ÓÒ x 1 = 18 9 = 2º Ë ÑÓ Ò Ö Ø Ø Ò ÑÙÙØØÙ x 2 º Å ØÖ Ò A 2 Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò 18 ÓØ Ò ÑÙÙØØÙ Ò x 2 Ö Ø Ù Ò x 2 = 18 9 = 2º ØÐ ÖÝ ÑÒ Ö Ø Ù ÓÒ x 1 = 2 x 2 = 2ºº Ì ØÚ ½¾ µ Å ØÖ ÚÓ ÖØÓ ÒÒ Ó Ñ ØÖ A ÓÒ 3 2¹Ñ ØÖ Ñ ØÖ ( B) ( ÓÒ 3 3 Ñ ØÖ ) µ ( ) ( 2) ( 1) = ( 2) ( 1) ( ) ( ) = = µ ÎÓ Ò ÙÓÖ Ò ØÓ Ø ØØ ÖØÓÐ ÙÒ ØÙÐÓ Ò ÓÒ Ñ ØÖ A Ó Ñ ØÖ B ÓÒ ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ º µ ( )( ) ( ) ( ) ( 4) 2 16 = = ( 4) µ Ì ØÚ ½ =

70 = = µ Å ØÖ ÚÓ ÖØÓ ÒÒ Ó Ñ ØÖ B ÓÒ 2 4¹Ñ ØÖ Ñ ØÖ A ÓÒ 2 2 Ñ ØÖ º µ ÎÓ Ò ÙÓÖ Ò ØÓ Ø ØØ ÖØÓÐ ÙÒ ØÙÐÓ Ò ÓÒ Ñ ØÖ A Ó Ñ ØÖ B ÓÒ ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ º µ ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3) = = ( 3) Ì ØÚ ½ Å ØÖ Ò A ÒØ Ñ ØÖ ÓÒ Ú ØÓ ÓÒ µ Ñ ØÖ ÐÐ ( )( ) ( ( ( ) = 5) ( ( )) 10) ( ( ) 5) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 = = ÃÓ ÒØ Ñ ØÖ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò ÚÐØØÑØØ Ø ÖÚ Ø Ó ÐÐ ÑÙ Ø Ñ ØÖ º Ì ØÚ ½ Å ØÖ ÐÐ ÓÐ ÒØ Ñ ØÖ Ó ÓÐ Ò Ð Ñ ØÖ º Ì ØÚ ½ ÃÒØ Ñ ØÖ Ò Ö Ø Ñ ÐÐ Ý ØÐ ( ) ( ) ( ) 0 1 x 11 x =. 2 1 x 21 x ÃÙÒ ÙÓÖ Ø Ø Ò Ú ÑÑ Ò ÔÙÓÐ Ò ÖØÓÐ Ù Ô ÝØÒ Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ x 21 = 1 x 22 = 0 2x 11 + x 21 = 0 2x 12 + x 22 = 1 ÃÙÒ Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ö Ø Ø Ò Ò Ö Ø Ù x 11 = 1 2 ), x 12 = 1 2, ( 1 x 21 = 1, x 22 = 0º ÃÒØ Ñ ØÖ ÓÒ A 1 = Ì ØÚ ½ ÓØ Ø Ò ÆÙÑÔݹ Ö ØÓ ÝØØ Ò ÖÓÑ ÒÙÑÔÝ ÑÔÓÖØ ÐÙÓ Ò Ñ ØÖ Ñ ØÖ Ü ½ ½ ¾ ¹ ½ ¼ ¹½ ¾ ¹¾ µ 1 2 º

71 ÐÙÓ Ò Ñ ØÖ Ñ ØÖ Ü ¾ ¹¾ ½ ¼ ¹½ ½ ¹¾ ¼ ¾ µ ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ø Ð Ó ½¾ ÔÖ ÒØ ¼ ½ ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ø Ð Ó ¾ ÔÖ ÒØ ¾ ½ Ç ÐÑ ØÙÐÓ Ø ÐÙÚÙØ ½ ¼º Ì ØÚ ½ ÓØ Ø Ò ÆÙÑÔݹ Ö ØÓ ÝØØ Ò ÖÓÑ ÒÙÑÔÝ ÑÔÓÖØ ÐÙÓ Ò Ñ ØÖ Ñ ØÖ Ü ½ ½ ¾ ¹ ½ ¼ ¹½ ¾ ¹¾ µ ÐÙÓ Ò Ñ ØÖ Ñ ØÖ Ü ¾ ¹¾ ½ ¼ ¹½ ½ ¹¾ ¼ ¾ µ ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ò ÙÑÑ ÔÖ ÒØ ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ò ÖÓØÙ ÔÖ ÒØ ¹ ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ñ ØÖ ÖÖÓØØÙÒ ÐÙÚÙÐÐ ÔÖ ÒØ ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ñ ØÖ ÖÖÓØØÙÒ ÐÙÚÙÐÐ ÔÖ ÒØ Ç ÐÑ ØÙÐÓ Ø Ñ ØÖ Ø º Ì ØÚ ½ ÓØ Ø Ò ÆÙÑÔݹ Ö ØÓ ÝØØ Ò ÖÓÑ ÒÙÑÔÝ ÑÔÓÖØ ÐÙÓ Ò Ñ ØÖ Ñ ØÖ Ü ½ ½ ¾ ¹ ½ ¼ ¹½ ¾ ¹¾ µ ÐÙÓ Ò Ñ ØÖ Ñ ØÖ Ü ¾ ¹¾ ½ ¼ ¹½ ½ ¹¾ ¼ ¾ µ ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ò ØÙÐÓ ÔÖ ÒØ ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ò ØÙÐÓ ÔÖ ÒØ

72 ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÔÖ ÒØ Ð Ò Ð º Ø µ Ç ÐÑ ØÙÐÓ Ø Ñ ØÖ Ø ÐÙÚÙÒ ¹¾ Ó ÓÒ Ñ ØÖ Ò B Ø ÖÑ Ò ÒØØ º Ì ØÚ ¾¼ ÓØ Ø Ò ÆÙÑÔݹ Ö ØÓ ÝØØ Ò ÖÓÑ ÒÙÑÔÝ ÑÔÓÖØ ÐÙÓ Ò Ñ ØÖ Ñ ØÖ Ü ½ ½ ¾ ¹ ½ ¼ ¹½ ¾ ¹¾ µ ÐÙÓ Ò Ñ ØÖ Ñ ØÖ Ü ¾ ¹¾ ½ ¼ ¹½ ½ ¹¾ ¼ ¾ µ ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ò ØÖ Ò ÔÓÓ ÔÖ ÒØ ºÌ ØÙÐÓ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ò ÒØ Ñ ØÖ ÔÖ ÒØ ºÁ Ç ÐÑ ØÙÐÓ Ø Ñ ØÖ Ø º Ì ØÚ ¾½ ÓØ Ø Ò ÆÙÑÈݹ Ö ØÓ ÝØØ Ò ÖÓÑ ÒÙÑÔÝ ÑÔÓÖØ ÐÙÓ Ò Ñ ØÖ Ø Ñ ØÖ Ü ¾ µ Ñ ØÖ Ü µ Ö Ø Ø Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÔÖ ÒØ Ð Ò Ð º ÓÐÚ µ Ç ÐÑ ÒØ Ö Ø Ù x 1 = 3, x 2 = 2 Ì ØÚ ¾¾ ÓØ Ø Ò ÆÙÑÈݹ Ö ØÓ ÝØØ Ò ÖÓÑ ÒÙÑÔÝ ÑÔÓÖØ ÐÙÓ Ò Ñ ØÖ Ø Ñ ØÖ Ü ¹¾ µ Ñ ØÖ Ü ½ ¾ µ Ö Ø Ø Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÔÖ ÒØ Ð Ò Ð º ÓÐÚ µ

73 Ç ÐÑ ØÙÐÓ Ø Ö Ø Ù x 0, 391 y 0, 087º Å Ð Ú Ø Ù Ò ÐÙ ÑÙÖØÓÐÙ ÙÑÙÓ Ó ÙØ Ò ÝÓ¹ Ó Ú Ø Ò Ô Ø Ó Ø Ø ÑÙÙØØ º Ì ØÚ ¾ Å Ö ØÒ Ò Ò Ú ¹ Ð ÐÐ ÚÙÓ Ø Ú Ö Ø Ò ÙÐÐ Ò ÚÙÓ ÐÐ Ò ÖÙÙ ÙÒ Ð ÚÝ Ò Ò ÔÝÐÚ º ÂØ ØØÒ ÔÝÐÚ Ò ÚÐ Ò Ý ÖÙÙØÙº Ë ØØ Ò Ú Ð Ø Ò Ø Ó ÔÝ ØÝ Ð ÐÐ º Î Ð Ø Ò Ø Ó ÒÝØ Ø Ò ØØ Ð ½¼ Ø Ø ÔØØÝÝ ½ Ø Ò Ý ÖÙÙØÙ Ú Ø ÔÙÓÐØ Ø ØØ º È ÖÖ ØÒ ØØ Ò ÙÒ Ò ÚÙÓ Ò Ó ÐÐ ÔÝÐÚ Ó ÓÖ Ù Ú Ø Ðѹ Ô Ø Ð º ÃÙÒ Ú Ð ÒÒ Ø Ò ÙÚ ÓÐÐ ÓØ Ó Ò Ñ ØÒ Ð Ø Ò ÙÖ Ú ÔÝÐÚ Ö ÑÑ º

74 ËÝÝ ÙÙÒ ÐÑÔ Ø Ð Ø À Ð Ò Ì ØÚ ¾ ÆÝØ Ø ÓØ ÓÚ Ø ÐÙ Ù Ò ÓØ Ò Ò Ô Ø Ð Ù Ò ÙÙÖØ ÔÖÓ ÒØØ Ó ÙÙØØ ÙÓÐÐ Ø ÙÒ Ò ÚÙÓ Ò Ò ÙÓÐÐ Ø Ú Ø Ú Øº Ø Ò ÙÓÐÐ Ø ÓÒ º Æ Ò ÓÐÐ Ò Ø ÐÚ ÐÐ ÙÓÐÐ Ò Ó ÙÙ ÓÒ , 211 = 21, 1%º Î Ø Ú Ø ÚÐÐ ÙÓÐÐ Ò Ó ÙÙ Ò ¾ ¼ ± ÐÐ ÙÓй Ð Ò ½ ± Ý ÝÐÐ ÙÓÐÐ Ò Ó ÙÙ ¾ ½ ±º Ë ÙÖ Ú Ð Ø Ò Ù Ò ÙÙÖØ Ù ÙÐÑ Ù Ò Ó ÙÙ Ø Ú Ø º ÃÓ Ó ÝÑÔÝÖÒ Ø ÐÙ Ù ÓÒ ¼ ÓØ Ò Ø ÐÚ ÐÐ ÙÓÐÐ Ø Ú Ø Ù ÙÐÑ ÓÒ Ø ÐÙ Ù ÓÒ 0, = 76 º Î Ø Ú Ø ÚÐÐ ÙÓÐÐ Ø Ú Ø Ø Ò Ù ÙÐÑ ÐÐ ÙÓÐÐ Ø ½½ Ø Ò ÙÐÑ Ý ÝÐÐ ÙÓÐÐ Ø Ø Ò ÙÐÑ º Ë ØØ Ò Ô ÖÖ ØÒ ÝÑÔÝÖ Ò ÙÒ Ò Ø ÐÙÚÙÒ ÙÙÖÙ Ò Ò ØÓÖ º ÃÙÒ Ú Ð Ò Ñ ØÒ ØÓÖ Ø ÒÒ Ø Ò ÙÚ ÓÐÐ ÓØ Ó Ò ÙÖ Ú Ô Ö ÙÚ Óº

75 Ì ØÚ ¾ À Ú ÒØÓ ÓÒ ÒÝØ ½ ÓØ Ò n = 14º Ä ÒÒ ÐÐ Ø Ý Ø Ñ Ö¹ ØÒ ÚÙÓ Ò Ò ØØ ÚÙÓ Ú Ø ÑÙÙØØÙ Ò x ÖÚÓ ½ ÚÙÓ ÑÙÙع ØÙ Ò ÖÚÓ ¾ Ò º ÆÝØ ÙÑÑ Ð Ù n i=1 x i = ÖÚÓÒ ½¼ º Î Ø Ú Ø ÙÑÑ Ð Ù n i=1 y i = 5, 86+5, , 93 Ö¹ ÚÓÒ ½¼ º Æ Ò ÓÐÐ Ò ØÓ Ò Ò Ö Ø Ø Ú Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ Ý ØÐ Ø ÓÒ ÑÙÓØÓ 14a + 105b = 103, 88º ËÙÑÑ Ð Ù n i=1 x2 i = ÖÚÓÒ ½¼½ ÙÑÑ Ð Ù n i=1 x iy i = 1 5, , , 93 ÖÚÓÒ º Æ Ò ÓÐÐ Ò ØÓ Ò Ò Ö Ø Ø Ú Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ Ý ØÐ Ø ÓÒ ÑÙÓØÓ 105a b = 839, 47º Ê Ø Ø Ú Ò ÓÒ ÒÝØ Ý ØÐ Ô Ö 14a + 105b = 103, a b = 839, 47 ÃÙÒ ØÑ Ý ØÐ Ô Ö Ö Ø Ø Ò Ò Ö Ø Ù a = 5, 43 b = 0, 265º ËÙÓÖ Ò Ý ØÐ ÓÒ y = 0, 265x + 5, 43º È ÖÖ ØØÝÒ ÙÓÖ ÒÝØØ ØÐغ

76 ÎÙÓ ¾¼½¼ Ú Ø ÑÙÙØØÙ Ò x ÖÚÓ ½ º Æ Ò ÓÐÐ Ò Ò Ð ÒØ ÚÙÓÒÒ ¾¼½¼ ÓÒ y = 0, , 43 = 10, 2º Ì ØÚ ¾ ÓÓ ÝØ ØÒ ÔÙÒ ÒÙÑ ÖÖ Ý¹Ø ØÓÖ ÒÒ ØØ ÓØ Ò ÓØ Ø Ò ÝØØ Ò ÑÔÓÖØ ÒÙÑÔݺÒÙÑ ÖÖ Ý Ò ÓØ Ø Ò Å ØÔÐÓØÐ ÝØØ Ò ÖÓÑ ÔÝÐ ÑÔÓÖØ Ò Ñ ØÒ ÔÝÐÚØ Ð Ð ¾¼¹¾ ¾ ¹¾ ¼¹ ¹ ¼¹ ÔÝÐÚ Ò ÓÖ Ù Ø Ð Ö Ú Ø Ø ½ ½ ¾¼ ¾½ ¾¼ ÐÙÓ Ò ÒÙÑ ÖÖ Ý¹ØÝÝÔÔ Ò Ò Ð Ø Ó ÐØ Ø ÓØ ÔÝÐÚ Ò ÒÒ Ø ÜÐÓ Ø ÓÒ Ò º ÖÖ Ý Ö Ò Ð Ò Ø µµµ ¼º ÑÖ Ø ØÒ ÔÝÐÚÒ Ð Ú Ý Û Ø ¼º Ö¹ ÓÑ ÒØÓ Ô ÖØ ÔÝÐÚØ ÓÐÓÖ ÑÖ ØØ ÔÝÐÚÒ ÚÖ Ò Ö ÜÐÓ Ø ÓÒ Ø ÓÐÓÖ ³¼º ³ Û Ø Û Ø µ ÐÙÓ Ò Ý¹ Ð Ø Ó Ò Ò ÝØ Ö Ò ¼ ¾¼¼¼½ ¾¼¼¼µµ ÐÙÓ Ò Ü¹ Ð ¼

77 ÜØ ÜÐÓ Ø ÓÒ Û Ø»¾ Ð Ð µ ÜÐ Ñ ¼ ÜÐÓ Ø ÓÒ ¹½ Û Ø ¾µ ÙÚ Ò ÓØ Ó Ø ØÐ ËÝÒÒÝØØÒ Ø Ò Ø µ ÒÝØ ØÒ Ø Ó ÒÓ Ø Ò ÙÚ Ò Ú ÑÑ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ µº Ø Ü Ü µºø ÓØØÓÑ µ µº Ø Ý Ü µºø Ð Ø µ ÒÝØ ØÒ ÙÚ ÓÛ µ Ç ÐÑ ØÙÐÓ Ø ÙÚ Ò Ì ØÚ ¾ ÓØ Ø Ò Ñ ØÔÐÓØÐ ÝØØ Ò ÖÓÑ ÔÝÐ ÑÔÓÖØ ÒÒ Ø Ò Ö ØÓÖ Ò Ó ÙÙ Ø Ð Ø Ò Ö ¾ º ½¼º ½¾º ½ º º½ º¾ º ¾¼º¾ ½º Ò Ñ ØÒ ØÓÖ Ø Ð Ð Ð Ý Å Ù À Ð ÒÚÓ Ñ Ë Ò Ò ØØÓØÙÓÒØ ÌÙÖÚ Î ¹ ØÙÙÐ ÚÓ Ñ ÈÙÙÔ Ö Ø ÔÓÐØØÓ Ò Ø ÅÙÙ ÒÒ Ø Ò ÙÐÐ Ò ØÓÖ ÐÐ ÚÖ ÓÐÓÖ ³¼º¾³ ³¼º ³ ³¼º ³ ³¼º½³ ³¼³ ³¼º ³ ³½³ ³¼º ³ ³¼º ³ µ ½

ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý

ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý ÈÖÓ Ð Ø Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ñ Ø ÐÐÒ ÔÖÓ Ð Ø Ð ÓÖ ØÑ º ÌÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÖÚ Ø Ò Ø Ø ØÒ ÓÐ Ó ØÙÐÓ Ò ÑÙ Ò Ö Ù ÙØ Òº ÖÓÒ Ô Ø ÖÑ Ò Ñ Ò ÓÒ ØØ ÒÝØ Ø Ö Ø ÐÐ ÖÓ Ú Ò Ð ÒØ ØÓ Ø Ø Ò ÙÙ ÐÐ ÖÚ Ù ÐÐ Ø ÖÚ ØØ º Ä ÓÒ Ö ØØ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ

Lisätiedot

Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø

Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Å Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ Ý ØØ Ðк Å Ò Ø Ð Ú Ø ÚÙÙ ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Å Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ø Ô Ó Ò Ñ Ñ ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ô ØÙ Ý ØØ Øº ÂÓ Å Ò Ø Ð Ú Ø ÑÙ ÓÒ

Lisätiedot

ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù

ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº

Lisätiedot

Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely

Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑ Ò Ö ÒÒ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ø ÐРؽ ؾ Ø È Ð Ó ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ö ÒÒ Ì ØÓ ÓÒ Ô Ð Ò ÝØ Ñ Ò ÓÒ Ñ ÐÐ Ó Ø Ò ÙÚ ØØ ÐÐ Ø Ñ ÐÑ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò Ð

Lisätiedot

Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»

Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½» Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½» Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓØ Ò ÐØ º Å Ø Ò Ô Ð ÓÒ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÙÐÙØØ ØÙÒÒ Ø Ò Ò Á Ä Ø Ò Ð Ò ØÙÒÒ Ø Ú ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ô Ù Ó Ð Ö Øصº Ä Ø Ò

Lisätiedot

Ð ØÖÓÒ Ø Ñ ÙÚÐ Ò Ø Ì ÑÙ Ê ÒØ ¹ Ó À Ð Ò ¾ º ÐÓ ÙÙØ ½ Ë Ò ÙÔ Ò ÝÒÒ Ò Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Å Ù Ö Ø ÐÑØ ¾ ¾º½ ÆÝ Ý Ø Ñ Ù Ö Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ

ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º º ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø Ø ¹ÑÖ ØØ ÐÝ º¾µ ÚÓ Ú Ø Ø ÑÝ Ø Ò ÑÖ Ø ÐØÚ Æ Ñ ÒØÝ ÑÝ ³ ³¹Ñ Ö Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ò ÓÐ ÐÐ ØØÝ ØÝÔ ¹ÐÝ ÒØ º½µº ¾ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ

Lisätiedot

Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»

Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½» Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½» ÃÙÖ Ò ÐØ Ø ÐØÙ ÐØ ½ ¾ Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò ÄÙÓ È ÄÙÓ ÆÈ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ ÆȹØÝ ÐÐ ÔÖÓ Ð ÑÓ Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÄÙÓ ÈËÈ Ë Ú Ø Ò Ð Ù Ñ Ö ÈËÈ ¹ØÝ ÐÐ Ø

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÇÐ ÓÔÓ Ø Ø ØÓÑ ÐÐ Ø Ø ØÓ ÒÒ Ò ÐÐ ÒØ Ö Ø ÐÑ ÖØÓ ÖÐÙÒ À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ

Lisätiedot

Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø

Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ØÓÖ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð

Lisätiedot

È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»

È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾» È Ú Ö Ù ÆÈ Á à РÐÙÓ Ø È ÆÈ ÒÝØØÚØ ØÝ Ò Ö Ð ÐØ Ë ÐÚ Ø È ÆȺ µ È ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ º µ ÆÈ ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ú Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð ÓÒ

Lisätiedot

Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ

Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ Á Å Ö Ò Ò À Ò ½½º º¾¼¼ Ç Ñ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò

Lisätiedot

ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö

ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ý ÝÐÐ Ø ØÓÖ ÒØ Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ã Ö Ì ÑÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ

Lisätiedot

Symmetriatasot. y x. Lämmittimet

Symmetriatasot. y x. Lämmittimet Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ ¹ÖÝ ÑĐ» ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó ÅÍÁËÌÁÇ ÆÓ»Ì ÊÅǹ ¹¾¼¼¼ ÔÚÑ ½¼º Ñ Ð ÙÙØ ¾¼¼¼ ÇÌËÁÃÃÇ Ø Ú ÒعØÙÐÓ ÐÑ Ð ØØ Ò ¹Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò ÖØ Ø ØÙØ ØÙÐÓ ÐÑ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ä ÌÁ ̵ ÂÙ Ú Ó Ð ¹ÂÙÙ Ð

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º ÂÓ ÒØÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ØØ ÐÝÝÒ Ê¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ ÒÒ Ç Ö Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÐÓ ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º

Lisätiedot

ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý

ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý Ä Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÑ Ò Ò Ð Ñ Ô Ð Ò ÚÙÐÐ Î ÐÐ Ã ÒÒÙÒ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø

Lisätiedot

0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx)

0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx) Å ÌȽ ¼ ËÝÑ ÓÐ Ò Ò Ð ÒØ ¾ ÓÔ ½ Ð Ø ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ Ø ÐØ ËÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒÒ Ò ÙÖ ÐÐ ÓÔ Ø Ò Ø ØÓ ÓÒ Ò ÝØØÑ Ø ÔÙÚÐ Ò Ò Ñ Ø Ñ ØØ ÓÒ ÐÑ Ò¹ Ö Ø Ù º ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÒØ Ô ÖÙ Ú ÐÑ Ù Ø ÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒØ Ò Ö Ó ØÙÒ Ò Å Ø Ñ ¹

Lisätiedot

À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø

À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø Ì ÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì Ó Ø ÐÐÒ ÓÒ ÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ö Ø Ú ÑÙØØ Ó Ò Ö Ø Ù Ú Ø Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ø Ð ØØ Ö Ø Ù ÓÐ ÝØÒÒ ÐÚÓÐÐ Ò Òº Í ÑÑ Ø ÓÐ ØØ Ú Ø ØØ ÆȹØÝ ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÙÑ ØØÓÑ ÒØÖ Ø Ð µ ÑÙØØ ØØ ÓÐ ØÓ Ø ØØÙº

Lisätiedot

F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.

F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}. Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½

Lisätiedot

d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j

d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j ¾º¾º ÁÌÇÁÆÌÁ Ì ÁË Æ Ä Ëà ÅÁÆ Æ ¾ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÌÌÈÈÈÌÄÌÅÈÈ Ò Ù Ø¹Öݹ¹ Ò¹¹¹Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÙ ØØ ÐÓ Ò Ù ØÖÝ d ǫ ÒØ ÖÝ ǫ e ÒÙ ØÖÝ u ǫ ÒØ Ö Ý y s Ò ØÖÝ s ǫ ÒØ Ö ǫ t ÒØÖÝ ǫ e ÒØ Ö Ø ¾º¾ ØÓ ÒØ Ø ÝÝ Ò Ð

Lisätiedot

F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.

F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }. Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½

Lisätiedot

:: γ1. g 1. :: γ2. g 2

:: γ1. g 1. :: γ2. g 2 ÌÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ¹ Ý ÝÑÝ Ø º º¾ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ý ÝÑÝ Ð Ø x g Ò e? :: α Ö Ø Ø Ò ÓÐ ÐÐ Ø ÑÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ØØ ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙØØ À ÐÐ ÝÐ Ø Ò ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ ÐÑ ÒØÙ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ð Ó º Ë Ø ÑÙØ ÑÑ Ò ÑÓÒ Ý ÝÑÝ Ð Ø p g Ò e? ::

Lisätiedot

{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.

{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. Ä Ø ÓÓ Ø Ø º º Ä Ø ÓÓ Ø Ø Å Ø Ñ Ø ÓØ ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ù Ò ÓÙ Ó ÑÔÐ ØØ ÐÐ ÒÓØ Ø ÓÐÐ Ò ÙØ Ò {(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. À ÐÐ Ø Ö Ó Ú Ø Ú Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ØÓ ÐÐ Ò Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÒØ Ò Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ð Ø

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ÐÔ Ð Ú Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÑÓ ÙÐ ¹ Ö Ó ÒØ Ì ÑÓ ÌÙÓÑ Ò Ò À Ð Ò ½º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö Ø ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ

Lisätiedot

ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø

ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ìº à ÖÚ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ½» ½½ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì

Lisätiedot

à ÑÖ Ò ÙÙ Ò ÙÒØÓÐ Ò Ò ÓÖ ÓØ ÓÒ ÓÖ ÓÑ Ö Ò Ð Ò ÑÖÝØÝÑ Ò Ò ËÁË ÄÌ ËÁË ÄÌ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ ÌÙØ ÑÙ Ý ÝÑÝ ØÙØ ÐÑ Ò Ö ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÙÒØÓÐ Ò Ñ Ö Ò Ø ËÙÓÑ º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ì ÖÓ ÃÓ Ó Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÌÙÖÙÒ Ð ÓÔ ØÓ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ

Lisätiedot

ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º

ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º ÂÓ ÒØÓ ½ ½ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ ÐÐ ØÙØÙ ØÙØ Ò Ô ÖÙ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ö ØÝ Ø Ñ Ø Ò ÖÓ ØÙØÙ Ø Ø Ð Ô ÖÙ Ø Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ø À ÐÐ ÓÐÐ ÓÒ Ô Ó Ó ÐÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø º ½ ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ

Lisätiedot

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø È ÀÌ Ä Ì Ê ÙÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ

Lisätiedot

Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç Å ÖØØ Ì Ò Ö ¾ º½º¾¼½½ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ

Lisätiedot

(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).

(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc). ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙ Ø ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ØÐ ÐÐ x + 1 = 0 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ó Ó Ò Ö Ð ÐÙ¹ ÚÙÒ ØÓ Ò Ò ÔÓØ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº ÂÓØØ ØÐÐ Ý ØÐ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ù Ñ Ò ØÝØÝÝ Ð ÒØ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ð ÑÐÐ Ò ÙÙ Ð Ó Ñ Ö ØÒ Ø¹ Ø ØÓ Ø

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º Šع¾º ½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø º½º¾¼¼ Ì Ø ÐÙÒ ÑÙÐÓ ÒØ ÑÔÙÑ Ø ÖÚ Ò Ö Ø ÐÑ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ø Ó ÙÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Â ÒÒ Ä ØÓÒ Ò ¼¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ

Lisätiedot

p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2

p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 º ÅÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ö ÒØ Ð Ð ÒØ º½ Â Ø ÙÚÙÙ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø Ù Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÒØ Ð Ð ÒØ ÐÑÔ Ø Ð ÓÒ Ò Ô Ò ÙÒ Ø Ó T(x, y, z.t) ÄÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ÐÑÓ ØØ Ñ Ò ÙÙÒØ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ú ÚÓ Ñ ÑÑ Ò Ù Ò Ð ÐÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ½½ ÃÓÓÖ

Lisätiedot

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È ÂÇÆÁ È ÀÄ Å ËÁÆÁÅ ÄÄÁÆÆÍÃË Æ È ÊÍËÌÍÎ ÅÍËÁÁÃÁÆ Ë ÆÌ ËÁ Ã Ò Ø ÒØÝ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ ÃÓÒ Ø ÃÓÔÔ Ò Ò ½½º ØÓÙ Ó ÙÙØ ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ

Lisätiedot

Ì ÓÚ Ö ÓØ Ð Ò Ã ÐÐÙÒ Å Ø Ñ Ø Ò ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ À ØÓÖ ¾ Î Ö ÓØ ÓÖ ¾º½ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº

a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº ÄÙ Ù ÐÙ Ø ÂÙ Ä Ö ÂÓÙÒ È Ö ÓÒ Ò ÄÙ ÐÐ ÌÑ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÂÓÙÒ È Ö Ó Ò ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¾¼¼ ÂÙ Ä Ö Ò ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ô ØÑ Ò ÄÙ Ù Ð٠ع ÙÖ Ò ÐÙ ÒØÓ Òº ÅÓÒ Ø Ò Ò Ò Ñ Ø ¹ Ö Ð ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú ÓÒ Ñ ØØ ÐÐ ÐÙ ÒØÓ ÙÖ ÐÐ Ð ÑÙ

Lisätiedot

A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061

A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061 JORMA JOUTSENLAHTI Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä 1990-luvun pitkän matematiikan opiskelijoiden matemaattisen osaamisen ja uskomusten ilmentämänä AKATEEMINEN VÄITÖSKIRJA

Lisätiedot

ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð

ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ì ÑÓ Ã ÖÚ ¾º½½º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ ¾º½½º¾¼¼ ½» ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ

Lisätiedot

Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò

Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÓØ Ò Ò Ó ÐÑ ØÓØ Ò µ ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ

Lisätiedot

Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ

Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ à ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Ò ÝÚÝÝ Ð ÒØ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ

Lisätiedot

el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (

el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln ( ÈÙÓÐ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ô ÖÙ Ø Ø À Ì Øº ½º È ÖÖ ÔÒ¹ÔÙÓÐ Ó Ð ØÓ Ò Ò Ö ÚÝ Ñ ÐÐ ÙÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÂÓ ÓÒØ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò V 0 Ý ØÐ µ ÃÙÚ Ò ÚÙÐÐ µ Ù ÓÚ ÖØ Ý ØÐ Ø Ô¹ Ò¹ØÝÝÔ Ø Ò Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ö Ø ÓØ Ô¹ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÙÖ

Lisätiedot

Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta Ë ÑÓ À Ð Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¼º

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð Ý ÒØØ Ð Ø ÒÖ Ð Ø ÒØØ Ì Ò À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =

A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) = ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º

Lisätiedot

q(x) = T n (x, x 0 ) p(x) =

q(x) = T n (x, x 0 ) p(x) = ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ ØÙÒ Ô Ø Ò x 0 ÝÑÔÖ ¹ Ø Ö ØØÚÒ Ð Ø Ð Ö ØØÚÒ ÑÓÒØ ÖØ Ø ÙÚ Ø µ Ö ÚÓ ØÙÚ ÅÖ Ø ÐÑ ÎÁÁ ½ ÙÒ Ø ÓÒ f : D f R D f R Ó ÓÒ

Lisätiedot

ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º

ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½

Lisätiedot

Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø

Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø Ä Æ Ä ÍÃÃÇÆ Æ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ØÓØ Ø Ò Ú Ö Ø Ö Ø ÐÙ ÓÔ ÒØÓ¹ Ñ Ò ØÝ Ò Ú ÙØØ Ú Ò Ø Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÈÄÇÅÁÌ ÝÚ ÝØØÝ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ó ØÓÒ ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ º½½º¾¼¼ º Ì Ö Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ë ÔÔÓ ÈÓ ÓÐ Ò Ò ØÙØ Å ÀÙ ÓÐ

Lisätiedot

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ØÙÖÚ ÐÐ ÙÙ ØØ Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ø Ø Ó ÐÐ ÑÖØÒ ÓÖ ¹ Ò Ø Ó

Lisätiedot

ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼

ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ Å Ð Ë Ú Ð ÂÓ ÒØÓ Ð Ø ÓÖ Òº ØÖ ÙØ Ú Ø Ð Ø ÔÐÓÑ ØÝ ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ ÁÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ ÐÙÓÒÒÓÒØ

Lisätiedot

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú ËÍÎÁ ÄÌÁÇ ÈÁÊà ÆÅ ÄÄ ¾¼¼ ¾¼¼ Ì È ÀÌÍÆ Á Æ ÄÁÁà ÆÆ ¹ ÇÆÆ ÌÌÇÅÍÍÃËÁ Æ Æ Ä ËÇÁÆÌÁ ËÎ ÊÃÃÇÂ Æ ÎÍÄÄ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø Ð ÓÔ ØÓÒÐ ØÓÖ Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ

Lisätiedot

Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò

Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò Å ÈÙÐ Ò Ò ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÓØ Ò Ò Ò Ø ÒØÙØ ÐÑ ¾ º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù

Lisätiedot

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ̺ à ÖÚ ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ½» ½ Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò

Lisätiedot

½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¹ØÖ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÒØ Ñ Ð ÚÝÐÐ Â Ó Å ÐÚ Ö À Ð Ò ¾¾º½¼º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

139/ /11034 = 0.58

139/ /11034 = 0.58 ÄÙ Ù ÂÓ ÒØÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÝÒ º½ Ì Ð ØÓÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÐÙÓÒÒ Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÔØØ ÐÝ ØØ Ð Ú ÒØÓ Ò Ú Ø ÐÙ ÔÚ ÖÑÙÙØØ º ÓÐ Ø ØÒ ÐÚ ØØ ØÙÓÐÐ Ø Ø ÚÓ Ò Ø¹ Ø Ñ ØÒ Ø ÑÐÐ Ø Ø Ø Ø ÐРغ Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÓÒ ÓÑ

Lisätiedot

λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.

λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin. Šع¾º½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø ¾¼¼ ¹¼¾¹½¾ Ì Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ø Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÐÐ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Ä ÙÖ ÂÙ Ò Ã Ò ¼¼ È Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ

Lisätiedot

N = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º

N = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º Å Ì ¾¾ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ã ¾¼½¼ ÌÑ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÙÖ ÐØ Ó ÐØ Ä ÃÙÖ ØÙÒ Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ Ò ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ò ÓØ ÒÒ ØØ ÐÙ Ñ Ð Ô ØÓ¹ ØÙ Ò Ð Ý ØÝ Ó Ø º Ë ÐØ ½º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ½º½º ÄÙ Ù Ö Ø ÐÑØ ½º¾º  ÓÐÐ ÙÙ ½º º Ð

Lisätiedot

¾º C A {N A } K N A º A B N B

¾º C A {N A } K N A º A B N B Ú ÒØ Ò ÐÐ ÒØ ØÓ ÒÒÙ Ø Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ó ÔÙÓÐ Ø ÚÓ Ú Ø Ó¹ Ô Ð Ø Ú Ñ Ø ØÓ ÒØ ØÓ Ò º ÌÐÐ Ò Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ð ØØÝÝ Ù ÑÔ Ò Ø ØÓØÙÖÚ ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ò ÑÑ ¹ Ò Ú Ò ÒÒ Ò Ù Ò Ú Ö Ò Ò Ò ØÓ Ñ ÒØ Ñ Ö Ø Ó

Lisätiedot

3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto

3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ö Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ¹ Ö Ò Ô ÖØÑ Ò Ò ÙÚ Ø Ò Ù Ò Ð Ù Ù Ò Ò Ô Ô Ð Ò µ ÚÙÐÐ Ö Ð Ù Ù Ò Ö Ø ØÓ ÙÐ Ð Ù Ù Ò Ò Ö Ú Ò ÙØØ ÒÒ Ò Ù Ò Ô ÖÖ ØÒ ÖÙÙ ÙÐÐ Ö

Lisätiedot

Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta È Ä Ø Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò

Lisätiedot

ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼

ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼ ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼ ÌÝ Ò Ó À ÒÒÙ Â ÓÐ ÌÝ Ò Ø ÒÓ Åº Å Ø Ð ÅÓÓ Ð ÑÓÒ ÙÐØØÙÙÖ Ò

Lisätiedot

Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ

Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ Ê ÑÓ È Ø Ò Ò ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ¾ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò

Lisätiedot

Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø

Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø È ÚÓ È Ö Ò Ò Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÓØ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÈÓÐÙÒ Ø ÒØ Ù Ò ÒØ Ò ÝÑÔÖ Ø Ô Ð È Ä ÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ ÄÙùØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç

Lisätiedot

½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1

½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1 ½º º Àǹ ÇÊ ËÁ ù Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ à ÖÔ Ê Ò Ø Ö Ø Ð Ú Ø ÑÝ ÙÒ Ú Ö Ð Ò ÙØÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ú Ö Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ð Ø Ò q ØÙÒÒ Ø ÐÙ Ù ÓÙ Ó Ø Qº Q Ò ÐÙÚÙØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ô Ò Ò Ò Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÎÖÒ Ø ÑÝ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö Ø ÝØØ Ø Ò ØØ Ò ÙÚ Ù ÐÓ Ô ÖÙ Ø Ò Ò Ñ¹ Ö ØØ ÐÝ Û È ØÖ Ä Ò Ö Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç

Lisätiedot

1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).

1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i). ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½

Lisätiedot

Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon

Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon Å Ö ÃÓÑÙ Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon Sähkötekniikan korkeakoulu ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¾º¾º¾¼½ º ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ

Lisätiedot

Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ

Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË Ì ÑÓ Ã ÖÚ º½¾º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË º½¾º¾¼¼ ½» Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ

Lisätiedot

Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ

Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ ÂÝÖ Ä Ò Ò Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½ º ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ

Lisätiedot

ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ

ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ò ² Ö Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø

Lisätiedot

(xy)z = x(yz) λx = xλ = x.

(xy)z = x(yz) λx = xλ = x. ÄÙ Ù ½ ÐÙ ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ ÝØ ØØÚ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Ø ØÓ Ò ØØ Ðݹ Ø Ø Ò Ð ØÓ Ò ÓÔ ÒØÓ ÓÐÐ ÙØÓÑ Ø Øº ÅÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÖ Ú Ò Ð Ø Ò Åº º À ÖÖ ÓÒ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÖÑ Ð Ä Ò Ù Ì ÓÖݺ ÓÒ¹Ï Ð Ý ½ º º º

Lisätiedot

arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos

arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos hyväksymispäivä arvosana arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki 12.4.2007 HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET

Lisätiedot

Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ

Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ð Ò ½½º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼¾ ÂÝÚĐ ÝÐĐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº

Lisätiedot

139/ /11034 = 0.58

139/ /11034 = 0.58 Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ

Lisätiedot

2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. x1 = 2 x 2 = 5. 2 ( 2)+5 = = 3. 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f

2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. x1 = 2 x 2 = 5. 2 ( 2)+5 = = 3. 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f Ä Ò Ö Ð Ö Á ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ ØØ Ø Ò Ø Ø Ò Ð ØÓ ¾¼½½ ÂÖÚ ÒÔ Ã Ö Ó ØØ ÒÙØ ÌÙÙÐ Ê Ô ØØ ¾ ½ Ä Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ½½ Ñ Ö µ Ê Ø Ý ØÐ 5x = 7 Ã ÖÖÓØ Ò Ý ØÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÙÚÙÐÐ 5 1 ÓÐÐÓ Ò Ò 5 1 5x = 5 1 7 Ð x =

Lisätiedot

Referenced. Object. StateSet. Node. Geode

Referenced. Object. StateSet. Node. Geode ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ¹Ó Ø Ì ÑÓºÌÓ Ú Ò ÒØѺ Ùغ ÌÑ Ó ÙÑ ÒØØ ÓÒ ØÝ Ò Ø Ô Ú Ø ØÒ Ø ÖÔ Ò ÑÙ Òº ½ Ø ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ÇË µ ÓÒ ÇÔ Ò Ä Ò Ô Ö ÒÒ ØØÙ ¹ÙÓ Ö¹ ØÓ Ó ÓÒ Ú Ô Ø Ø Ú Ó ØÓ Ñ ÑÓÒ ÝÑÔÖ Ø º ÇË Ó¹ ÙÑ ÒØÓ ØÙ ÓÜÝ Ò¹Ó Ñ ØÓÒ

Lisätiedot

k(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x)

k(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x) Ì ÊÅÇ ÁÂ ÍËËÁÆ ÈÊÇË ËËÁÌ Ê Ê ËËÁÇ Æ Ä ËÁËË Ã Ò Ø ÒØÝ Ç ÝÐ Ø ÒØØ À ÖÖ Ä Ñ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ À ÀÙØØÙÒ Ò ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓØ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ Ì ÊÅÇ ÁÂ Ù Ò ÔÖÓ Ø Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ã Ò Ø ÒØÝ

Lisätiedot

Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÇÐÐ ¹È ÀÙÓÚ Ð Ò Ò Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò

Lisätiedot

Ä ÖÓ Ò ÒØÝÑ Ò Ò Ù Ø Ð Ó Ò Ô ÐÐÓÒ Ñ ØØ Ú Ë ÖÔ È Ý Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÓÐÓ Ò Ð ØÓ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ Ä ÖÓ Ò Ö ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾

Lisätiedot

x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n

x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n ÇÈÌÁÅÇÁÆÆÁÆ È ÊÍËÌ Ì Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ¾ º ÝÝ ÙÙØ ¾¼¼ ¾ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ØÙØÙ ØÙØØ Ø Ú ÐÐ ÑÔ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ò ÝØØ Ò ÓÚ ÐÐÙØÙ º ÃÙÖ Ñ Ø Ö Ð ÒØÙÙ Ò Ð Ò Ö Ó Òº ÐÙ ÐÝ Ý Ø ÖÖ Ø Ò Ñ ØÖ Ð Ö Ø

Lisätiedot

 ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð

 ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÒÒ ¹Ã Ð Ø ÐÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼  ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ

Lisätiedot

Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð

Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÖÓ Æ Ñ Ð ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø

Lisätiedot

y t = X t β + u t, u t NID(0, 1) t = 1, 2,..., n ½µ

y t = X t β + u t, u t NID(0, 1) t = 1, 2,..., n ½µ ÇÊ Ê ÈÊÇ ÁÌ Â Â ÄÃ È ÄÄǹÇÌÌ ÄÍÆ Å ÄÄÁÆÌ ÅÁÆ Æ Ê Ò ÓÑ Î Ö Ð ½º Ò ÙÙØ ¾¼¼ ËÁË ÄÌ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ¾ ÇÖ Ö ÔÖÓ Ø ¾º½ Å ÐÐ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Â Ð Ô ÐÐÓ¹ÓØØ ÐÙÒ Ò

Lisätiedot

x (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W =

x (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W = Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ º Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø Ø Ð ÙÙ Ì ÐÙÚÙ Ø ÑÑ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ø Ô ÒÓÖ Ø Ù Ò Ø Ð ÙÙ Ø Ö Ø ÐÙ¹ ÒÝØ ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö ÐÙÖ Ý Ø Ñ ÐÐ Ô ÐÐ Ò ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò Ó Ó Ð Ø ÝÐ Ô Ò ÓÐ Ú ÐÙÖ º ÂÓ

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ ÌÝ Ò Ò

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ ÌÝ Ò Ò ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ã ÒÓØ Ó Ø Ò Ò ÙÖÓÚ Ö Ó Ò ØÝ ØØ Ø ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ À Ð Ò ¾º º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ

Lisätiedot

284 = º Î Ø Ú Ø. A = kanta korkeus. A 1/2suunn = kanta+kanta 2

284 = º Î Ø Ú Ø. A = kanta korkeus. A 1/2suunn = kanta+kanta 2 ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓØ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ ÒÓ¹Ã Ö Ò ½ Å Ø Ñ Ø Ò Ý Ò Ð ØÓ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÈÝØ ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ ÈÝØ ÓÖ

Lisätiedot

F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º

F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½

Lisätiedot

ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ

ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÀÁ Ì ÊÁÆÌ Ä ËËÁ ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½¼ º Ð Ø º ËÓÚ ÐÐ

Lisätiedot

f(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2

f(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2 Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ

Lisätiedot

ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½

ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½ Ê Ã ÆÆÍËÌ ÃÆÁËÌ Æ ÇÄÇ ÁËÌ Æ Â ÁÄÅ ËÌÇÄÄÁËÌ Æ Ì ÃÁ Á Æ Î ÁÃÍÌÍË ËÍÆÌÇÂ Æ ËÁË ÁÄÅ Æ Ê ÇÆÈÁÌÇÁËÍÍÌ Æ ÌÓÔ Ã ÒÒÙÒ Ò Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ

Lisätiedot

Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta Ä ÊÓÔÔÓÒ Ò Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú

Lisätiedot

Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼

Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼ Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ë ÎÇÄ ÁÆ Æ ÇÄÄÁ

Lisätiedot

x α 1... x (v ṽ)φdx = 0

x α 1... x (v ṽ)φdx = 0 Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ÔØ ÐÐ ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ì ÑÙ ÅÙ ØÓÒ Ò ½ ½ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ñ Ø Ø Ø Ò Ø ÙÒØ Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒ

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒ ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÄÙÓØØ ÑÙ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÒØ ÖÒ Ø¹ ÓÚ ÐÐÙ ÐÐ È Ø Ö Ë ÐÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ÖØ Ð À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö ÁÖÖÐ Ø Ò Ò ¹ Ö ÑÓÓØØÓÖ Â ÒÒ Ä Ù Ö Ò Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç

Lisätiedot

Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ì Å Ó Î Ø ÁÈÄÇÅÁÌ Æ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ ÌÝ Ò Ò Ñ Î Ö ÚÖÓÓØØÓÖ Ò ÓÒ Ò Ò ÐÝÝ È ÚÑÖ º Ñ ÖÖ ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÚÙÑÖ ¾ Ç ØÓ Ë ¹ Ø ØÓÐ ÒÒ Ø Ò Ò Ó ØÓ ÈÖ

Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ì Å Ó Î Ø ÁÈÄÇÅÁÌ Æ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ ÌÝ Ò Ò Ñ Î Ö ÚÖÓÓØØÓÖ Ò ÓÒ Ò Ò ÐÝÝ È ÚÑÖ º Ñ ÖÖ ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÚÙÑÖ ¾ Ç ØÓ Ë ¹ Ø ØÓÐ ÒÒ Ø Ò Ò Ó ØÓ ÈÖ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ë ¹ Ø ØÓÐ ÒÒ Ø Ò Ò Ó ØÓ Å Ó Î Ø Î Ö ÚÖÓÓØØÓÖ Ò ÓÒ Ò Ò ÐÝÝ ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Òº ÔÓÓ º Ñ ÖÖ ÙÙØ ¾¼¼ ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ ÈÖÓ ÓÖ ÒØ ÖÓ Ö Ó ÌÝ

Lisätiedot

(AB) ij = p. k=1 a ikb kj. AA 1 = A 1 A = I.

(AB) ij = p. k=1 a ikb kj. AA 1 = A 1 A = I. Ð ÙÓ ÙÖ Ø Å˹ ½ ¼ ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ A A = 0 0 2 0 0 2 ÐØÓ Ð ÓÔ ØÓ È ÖÙ Ø Ø Ò ÃÓÖ ÓÙÐÙ Å Ø Ñ Ø Ò ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼½ ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ ÙÙ ÐÐ Ò Ý ÝÐÐ ¾¼½

Lisätiedot

F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º

F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½

Lisätiedot

T 2. f T (x)e i2π k T x dx. c k e i2π k T x = x dx. c k e i2π k T x = k Z. f T (x) =

T 2. f T (x)e i2π k T x dx. c k e i2π k T x = x dx. c k e i2π k T x = k Z. f T (x) = º ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÙÖÖ Ò ÒØÖÐ Ð Ù ¹ ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(x) PC(R) º½ ÓÙÖÖ¹ Ò ÐÝÝ º ÒÐ Òµ ÅÖ Ø ÐÐÒ T ¹ ÓÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f T (x) = f(x), T 2 < x < T 2, ÃÓÑÔÐ Ò Ò ÓÙÖÖ¹ÖÖÓ Ò c k = 1 T T 2 T 2 f T (x)e i2π k T x dx.

Lisätiedot