C A B, A D B A B E. A B C, A C B Ø B A C.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "C A B, A D B A B E. A B C, A C B Ø B A C."

Transkriptio

1 Ù Ð Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ñ ÐÐ Ö Ë ÐÑ Ð ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ã ÚØ ¾¼¼

2 Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ À Ð ÖØ Ò ÓÓÑ Ö Ø ÐÑ ¾ ¾º½ À Ð ÖØ Ò Ò Ò ÓÓÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º È Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ ÝÔ Ö ÓÐ Ò Ò ÓÓÑ º º º º º º º º º º º ½ ÈÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ½ º½ ÈÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ º º º ½ ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ½ º½ ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ º º º º ¾ ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ º½ ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ º º º Á ÓÑ ØÖ Ó Ø º½ Å Ù ÙÚ Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÇÖØÓ ÓÒ Ð Ø Ö Ó Ö ÔÖÓ Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º

3 ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ ÂÓ ÒØÓ ÓÑ ØÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð Ó ØÙØ Ø Ò ÙÚ Ó Ø ÔÔ Ð Ø Ò Ò ÓÑ Ò ÙÙ º ÎÓ Ò ÒÓ ØØ Ô ÖÙ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò Ö ÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ ÓÒ Ú Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ÐÙ º Ë Ò ÒÓØ Ò ÝÒØÝÒ Ò ÑÙ Ò Ø Ñ Ò¹ Ñ ØØ Ù Ø º ÂÓ ÒØ Ò Ò ÓÐ ØÖ ØØ Ñ ÐÙ Ø Ø Ò Ñ Ø ØØÙ Ø Ö Ø º Ë ØÙ ØÙÐÓ ÝØ ØØ Ò ÝÚ ÑѺ Ð ØØ Ú ÖÓØÙ Ø º ÌÖ Ú Ñ Ø Ñ Ø Ò ØÝ ÓÐ ØØ Ð ØØ Ò ØÓ Ø Ú ØØ Øº ÃÖ Ð ÙÔÙÒ Ø Å Ð ØÓ Ø ÓØÓ Ò ÓÐ Ú Ì Ð ¾ ÃÖº ÃÖºµ Ð Ù Ù ÙÙÐÙ Ø Ú Ø ÓÖ Ñ Ò ÓØ Ò ÓÑ Ò ÒÓ Ò ÑÙ Ò ÔÝ ØÝ ØÓ Ø Ñ Ò ½µ Ì ÝÐ Ò ÓÐÑ ÓÒ ÒØ ÙÐÑ Ø ÓÚ Ø Ý Ø ÙÙÖ Øº ¾µ Ê Ø ÙÐÑ Ø ÓÚ Ø Ý Ø ÙÙÖ Øº µ à ÓÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ý Ø Ò Ú Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ý Ø ÙÙÖ Ø ÙÐÑ Ò Ò ÚÐ Ò Ò ÚÙº µ ÑÔÝÖÒ Ó Ò Ò Ð ÝÑÔÝÖÒ Ø Ò Ý Ø ÙÙÖ Ò Ó Òº µ ÈÙÓÐ ÝÑÔÝÖÒ Ö Ò ÐØÑ ÙÐÑ ÓÒ ÙÓÖ º ÃÙÙÐÙ Ò Ò Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ñ µ Ó ØÙÒÒ Ø Ò Ì Ð Ò Ð Ù Ò º  Թ ÐÚ Ñ Ø ØÓ Ø Ñ ÐÐ Ø Ø Ô Ù Ø Ö Ó Ø ØØ Òº ÅÙ Ò Ò ÃÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò ØÝ ÓÐ Ú Ð Ò Ò ÝÚ Ò Ð ÙØ Ò ÓØ Ò ØÙ ¹ Ò ÚÓ Ò ÔÙ Ù Ñ ØÒ Ø Ö Ó Ø ØÓ ØÙ Ø º Ì Ð ØØÓ ÒÓ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ú ØØÑÒ ÝØØ Ò ÔÙÒ ÒØÙ Ø Ú Ñ Ð ÙÚ º ÂÓ Ò ØÓ ØÙ Ò Ð ØØÝÝ ÓÙ Ó ÓÐ ØÙ ÑÖ Ø ÐÑ ÓØØ Ö Ð ¹ Ø ÔØØ ÐÝ Ø ÙØ Ò ÙÓÖ Ø ØØÙ º À Ö Ý ÝÑÝ Ù Ò Ô Ð ÓÒ ÑÖ Ø Ð¹ Ñ Ø ÖÚ Ø Ò ÓØØ Ì Ð Ò Ø ÓÖ Ñ Ø ÚÓ Ò ØÓ Ø º ÌÐÐ Ò ÝÒØÝÝ Ø ÖÚ ÑÖ Ø ÐÐ ÓÓÑ Ö Ø ÐÑ ÓÒ Ú Ö Ò ÓÑ ØÖ Ö ÒØÙÙº ÓÓÑ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÓÒ ÔÓ ÐÐ ØÓ ØÙ Ø Ö ÒØÙÚ Øº ÓÓÑ Ö Ø ÐÑ ÔÙÓÐ Ø Ò ÑÙÓ Ó ØÙÙ Ù Ø ÒÒ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ö Ø Ö ØØÓÑ ¹ Ø ÓÓÑ Ø º È Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ó ÐÙ Ò Ù Ð Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ò ÓÑ ØÖ Òº Ì ÔÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ Ø ÐÐÒ ÐÝ Ý ¹ Ø Ù Ð Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ò Ø Ó ÓÑ ØÖ Ò ÓÓÑ Ö Ø ÐѺ ÌÑÒ Ð¹ Ò ÓÒ ØÖÙÓ Ò Ù Ð Ò ÓÑ ØÖ Ò Ñ ÐÐ ÓÐÑ ÝÔ Ö ÓÐ Ò ÓÑ Ø¹ Ö Ò Ñ ÐÐ º Ä Ú ÖØ ÐÐ Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ñ ÐÐ ØÓ Ò º ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ Ò Ø ÐÐÒ Ö Ð ÝÔ Ö ÓÐ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ñ ÐРй ÒÒ ØØ Ö Ñ ÐÐ Ö Ô ÖØ Ø Ò ÝÚØ ÝÚ Òº Ä Ò Ø Ò Ö Ó Ø Ø ÓÖ ÑÓ ØÓ ØÙ º Ä Ñ ÐÐ Ò ÚÙÐÐ Ó Ø ÓÚ ÐÐÙ Òº

4 ¾ À Ð ÖØ Ò ÓÓÑ Ö Ø ÐÑ ¾ ¾ À Ð ÖØ Ò ÓÓÑ Ö Ø ÐÑ ÓÑ ØÖ Ò ÓÓÑ Ø ÐØÚØ Ô ÖÙ ØØ Ø Ô Ø ÙÓÖ Ô ÖÙ Ö Ð Ø ÓØ ÙÓÖ ÙÐ Ô Ø Ò ÙØØ ÚÐ ÓÐÓ ÒÓ Ò Ý Ø Ò ÚÝÝ ÙÐÑ Ò Ý Ø Ò ¹ ÚÝÝ º Ë ÙÖ Ú Ý Ò ÐÔ À Ð ÖØ Ò ½ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ Ò Ò ¾ ÓÓÑ µº ¾º½ À Ð ÖØ Ò Ò Ò ÓÓÑ Ø À½µ ÂÓ P Q ÓÚ Ø Ö Ô Ø Ø Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ø ÑÐÐ Ò Ý ÙÓÖ Ó ÙÐ Ô Ø Ò P Q ÙØØ º ÀÍÇÅ ÐÐ Ñ Ò ØÙ Ø ÙÓÖ Ø ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ PQº À¾µ ÂÓ Ò ÙÓÖ Ò ÐØÝÝ Ò Ò Ö Ô Ø Øغ À µ ÇÒ ÓÐ Ñ ÓÐÑ Ö Ô Ø ØØ Ø Ò ØØ Ñ Ò ÙÓÖ ÙÐ Ò Ò Ò ÙØØ º À µ ÂÓ B ÓÒ A Ò C Ò ÚÐ Ñ Ö ØÒ A B C Ò Ò A B C ÓÚ Ø Ö Ô Ø Ø Ó Ò Ò ÙØØ ÙÐ Ñ ÙÓÖ C B Aº À µ ØØ ÂÓ A B ÓÚ Ø Ö Ô Ø Ø Ò Ò ÙÓÖ ÐÐ AB ÓÒ Ô Ø Ø C D E Ø Ò C A B, A D B A B E. À µ ÂÓ A B C ÓÚ Ø Ö Ô Ø Ø ÓØ ÙÙÐÙÚ Ø Ñ ÐÐ ÙÓÖ ÐÐ Ò Ò Ø ÑÐÐ Ò Ý ÙÖ Ú Ø Ó Ø ÓÒ ÚÓ Ñ A B C, A C B Ø B A C. ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º½º ÇÐ ÓÓÒ A B Ö Ô Ø Øº ÂÓÙ Ó ÒÓØ Ò Ò ABº AB : {C ÓÒ Ô Ø A C B Ø A C Ø B C} ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º¾º ÇÐ ÓÓÒ l ÙÓÖ A B Ô Ø Ø Ó Ò ÙØØ l ÙÐ º Ë ÒÓØ Ò ØØ Ô Ø Ø A B ÓÚ Ø Ñ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÓÖ Ð ABl Ø BAl Ó A B Ø ÙÓÖ l ÐÐ Ò Ò AB Ô Ø Øº ÅÙÙÐÐÓ Ò ÒÓØ Ò ØØ A B ÓÚ Ø Ö ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÓÖ Ð AlB Ø BlAº ½ Ú À Ð ÖØ ½ ¾ ½ µ ÓÐ Ð Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø Óº ÀÒ Ò ÚÙØÙ Ò ÓÐ Ó¹ Ñ ØÖ Ò ÓÓÑ Ö Ø ÐÑÒ ÙÙ ÐÐ Ò ØØ Ñ Ò Òº È Ö Ø Ò À Ð ÖØ ØÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ò ¹ Ö Ø ÒÙÐÓØØ Ø Ò Ú ÖÙÙ Ò ØØ Òº ¾ Ê Ö Ò ½ ½ ½ ½ µ ÓÐ À Ð ÖØ Ò Ø Ô Ò Ð Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø Óº ÀÒ Ò ÒÒÓ ØÙ Ò Ó Ø Ò Ò ÓÐ Ô Ð Ö º ÎÙÓÒÒ ½ ¼ Ò ÔØÝ ÓÔ Ð Ñ Ò ÐÙ ÙØ ÓÖ ØØ Ò Ò Ò ÙÙÐÙ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÓÒº ÅÝ ÑÑ Ò Ò ÓÔ ØØ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ð Ö ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒØ ÓÑ ØÖ º Ò Ò Ó ØÙ ÑÝ ØÙØ ÑÙ Òº ÀÒ Ò Ò¹ Ó Ø Ò ØØÝ ÚØ Ð Ö Ò ØÖ Ø Ø Ó ¹ ÐÙ Ø ÙØ Ò ÖÝ ÑØ Ö Ò Ø ÑÓ ÙРغ ÓÐ ÝÐÐØÝ ØØ Ò Ò ÐÙÓÑ ÐÐ ÓÓÑ ÐÐ ÓÒ ÑÝ ÝÚÐÐ Ò Ò Ð Ö ÐÐ Ò Ò Ñ Ö ØÝ º

5 ¾º½ À Ð ÖØ Ò Ò Ò ÓÓÑ Ø À µ ÇÐ ÓÓÒ l ÙÓÖ A B C Ô Ø Ø Ó Ò ÙØØ l ÙÐ º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÚÓ Ñ ½µ ÂÓ ABl BCl Ò Ò AClº ¾µ ÂÓ AlB BlC Ò Ò AClº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º º ÇÐ ÓÓÒ A B Ö Ô Ø Øº ÂÓÙ Ó ÒÓØ Ò ÔÙÓÐ ÙÓÖ ABº AB : AB {C ÓÒ Ô Ø A B C} À µ ÂÓ A B ÓÚ Ø Ö Ô Ø Ø PQ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÔÙÓÐ ÙÓÖ Ò Ò ÓÒ ÓÐ ¹ Ñ Ø ÑÐÐ Ò Ý Ô Ø R PQ Ø Ò ØØ Ò Ø AB PR ÓÚ Ø Ý Ø Ò Ú AB PRº ÀÍÇÅ C AB \ {A} B AC \ {A}º ÀÍÇÅ ÓÓÑ Ø À µ ÙÖ Ö ØÝ Ø ØØ Ô Ø Ø A ÙÙÒØ Ò AB Ô ÖÖ ØÝØ Ò Ø AC AC ÓÚ Ø Ñ Ò Ó Ò ÓÚ Ø Ý Ø Ò Úغ À µ  ÒÓ Ò Ý Ø Ò ÚÝÝ ÓÒ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó ½µ AB AB Ê Ú ÝÝ µº ¾µ ÂÓ AB CD Ò Ò CD AB ËÝÑÑ ØÖ ÝÝ µº µ ÂÓ AB CD CD EF Ò Ò AB EF ÌÖ Ò Ø Ú ÙÙ µº À½¼µ ÂÓ A B C A B C AB A B BC B C Ò Ò AC A C º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º º ÇÐ ÓÓÒ O Q Ö Ô Ø Øº Ë ÒÓØ Ò ÝÑÔÝÖ Ô Ø ÓÙ ¹ Ó {P ÓÒ Ô Ø OP OQ}, Ñ O ÓÒ ÝÑÔÝÖÒ Ô Ø Q Ô Ø º Ç È É ÃÙÚ ½ ÑÔÝÖÒ ÑÖ Ø ÐÑ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º º ÃÙÐÑ BAC ÑÙÓ Ó ØÙÙ Ø ÔÙÓÐ ÙÓÖ Ø ÝÐ Ø AB AC ÓØ Ð Ú Ø Ñ Ø Ô Ø Ø Ö Ø Aº

6 ¾º½ À Ð ÖØ Ò Ò Ò ÓÓÑ Ø ÀÍÇÅ ÃÙÐÑ ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ BAC CABº À½½µ ÇÐ ÓÓÒ BAC ÙÐÑ DE Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÙÓÖ º ÇÐ ÓÓÒ Ð P Ô Ø Ó ÐÐÝ ÙÓÖ Ò DEº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ø ÑÐÐ Ò Ý ÔÙÓÐ ÙÓÖ DF Ø Ò ØØ FP DE BAC EDF º ÀÍÇÅ ÓÓÑ À½½µ ÒÓÓ Ö ØÝ Ø ØØ Ó ÙÐÑ ÓÚ Ø Ý Ø ¹ Ò ÚØ Ò ÐÐ ÓÒ Ý Ø Ò Ò ÝÐ Ò Ò ØÓ Ò Ò Ò ÝÐ ÓÒ Ý Ø Ò Ò Ø ØØ Ò Ö ÔÙÓÐ ÐÐ Ò Ñ Ò ØØÙ ÝÐ º À½¾µ ÃÙÐÑ Ò Ý Ø Ò ÚÝÝ ÓÒ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó Ð ½µ BAC BAC Ê Ú ÝÝ µ ¾µ ÂÓ BAC EDF Ò Ò EDF BAC ËÝÑÑ ØÖ ÝÝ µ µ ÂÓ BAC EDF EDF HGI Ò Ò BAC HGI ÌÖ Ò Ø Ú ÙÙ µº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º º ÇÐ ÓÓÒ A B C Ö Ô Ø Ø ÓØ ÚØ ÙÙÐÙ Ñ Ð¹ Ð ÙÓÖ ÐÐ º È Ø Ò A B C ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó ÒÓØ Ò ÓÐÑ Ó ABCº  ÒÓ AB BC AC ÒÓØ Ò ÓÐÑ ÓÒ ÚÙ Ô Ø Ø A B C ÓÐÑ ÓÒ Ö º ÀÍÇÅ ÂÖ ØÝ Ñ Ö Ø Ø ØØ ABC BACº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º º ÇÐ ÓÓÒ ABC DEF ÓÐÑ Ó Ø º Ë ÒÓØ Ò ØØ Ò ÓÚ Ø Ý Ø Ò Ú ABC DEF Ó Ò Ò Ú Ø Ú Ø ÚÙØ ÙÐÑ Ø ÓÚ Ø Ý Ø Ò Ú º À½ µ ÇÐ ÓÓÒ ABC DEF ÓÐÑ Ó Ø Ø Ò ØØ A D AB DE AC DF º ÌÐÐ Ò ABC DEF º ËÃË ÒØ µ µ ÇÐ ÓÓÒ l ÙÓÖ L {P P ÓÒ ÙÓÖ ÐÐ l} Ò Ò Ô Ø Ò ÓÙ Óº ÇÐ ÓÓÒ Ð D 1 L D 2 L Ø Ò ØØ ½µ D 1 D 2 ¾µ D 1 D 2 µ D 1 D 2 L µ ÂÓ Q R D 1 Ò Ò ÓÐ ÓÐ Ñ Ô Ø ØØ S D 2 ÓÐÐ ÓÐ Q S Rº µ ÂÓ Q R D 2 Ò Ò ÓÐ ÓÐ Ñ Ô Ø ØØ S D 1 ÓÐÐ ÓÐ Q S Rº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ø ÑÐÐ Ò Ý Ô Ø P L Ø Ò ØØ ÐÐ A B L ÔØ A P B Ò Ú Ò ÙÒ A D 1 B D 2 Ø A D 2 B D 1 º ÀÍÇÅ Ù Ð Ò ÓÑ ØÖ Ò ÓÓÑ Ö Ø ÐÑÒ ÙÙÐÙÙ Ð Ô Ö Ð¹ Ð Ð ÓÓÑ È µ ÝÔ Ö ÓÐ Ò ÓÑ ØÖ Ò ÓÓÑ Ö Ø ÐÑÒ ÙÙÐÙÙ ÝÔ Ö ÓÐ Ò Ò ÓÓÑ À ȵ ÓØ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ó ¾º º

7 ¾º¾ ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ ¾º¾ ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ Ì ÐÙÚÙ ÓÒ ØÖÙÓ Ò ÙÖ Ú Ù Ð ÐÐ ÓÑ ØÖ ÐÐ ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ Ð Ò º ÓÙÐÙ ÓÑ ØÖ Ñ ÐÐ º Å ÐÐ Ò ÚÙÐÐ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò ÓÓÑ Ò À½µ À½ µ µ È µ Ö Ø Ö ØØÓÑÙÙ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾º½º ÇÐ ÓÓÒ Ø ÓÒ R 2 Ô Ø Ø Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ Ò Ô Ø Ø ÙÓÖ Ø ÑÙÓØÓ l { (x, y) R 2 (x, y) (x 0, y 0 ) + λ(a, b), λ R } ÓÐ Ú Ô Ø ÓÙ Ó Ñ x 0 y 0 µ R 2 a bµ R 2 \ {(0, 0)} ÓÚ Ø ÒÒ Ø Ø¹ ØÝ º Ä ÒÓØ Ò ØØ Ô Ø È ÙÙÐÙÙ ÙÓÖ ÐÐ Ð Ó P lº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾º¾º ÇÐ ÓÓÒ A B Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ Ò Ô Ø Øº ÅÖ ¹ Ø ÐÐÒ Ô Ø Ò ÚÐ Ò Ò Ø ÝÝ A B : (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2, Ñ A a 1 a 2 µ B b 1 b 2 µº Ø ÝÝØØ ÙØ ÙØ Ò Ù Ð Ø ÝÝ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾º º ÇÐ ÓÓÒ A B C Ö Ô Ø Ø Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ º Ë ÒÓØ Ò ØØ B ÓÒ Ô Ø Ò A C ÚÐ A B C Ñ Ð A C A B + B C. Ä Ù ¾º¾º º ÇÐ ÓÓÒ A (a 1, a 2 ) B (b 1, b 2 ) Ö Ô Ø Øº Ì Ó ÓÓÖ Ò ¹ Ø ØÓÑ ÐÐ Ò ÓÙ Ó { (x, y) R 2 (x, y) (a 1, a 2 ) + λ(b 1 a 1, b 2 a 2 ), λ [0, 1] } ÓÒ Ò ABº Ë Ø ÒÓØ Ò Ù Ò Ù Ð Ò ABº ÌÓ ØÙ º Ë ÙÖ ÙÓÖ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ¾º½º½ ¾º¾º½ ¾º¾º º ÃÙÒ ÚÐ ÓÐÓ ÒÝØ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÓÒ ÑÝ Ò Ò Ø ÑÖ Ø ÐØݺ È Ò ÐÐ Ð ¹ ÙÐÐ ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ ØÐÐ Ò Ò Ò ÓÒ Ñ Ù Ò Ù Ð Ò Ò Ò º ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ó A (a 1, a 2 ) B (b 1, b 2 ) Ò Ò A C B Ó Ú Ò Ó C (a 1, a 2 ) + λ(b 1 a 1, b 2 a 2 ) ÓÐÐ Ò λ ]0, 1[º Î Ø Ú ÔØ ÑÝ ÔÙÓÐ ÙÓÖ ÐÐ º ÌÓ Ò ÒÓ Ò C AB Ó Ú Ò Ó C (a 1, a 2 ) + λ(b 1 a 1, b 2 a 2 ) ÓÐÐ Ò λ ¼º Ä Ù ¾º¾º º ÇÐ ÓÓÒ A (a 1, a 2 ) B (b 1, b 2 ) Ö Ô Ø Øº Ì Ó ÓÓÖ Ò ¹ Ø ØÓÑ ÐÐ ÓÙ Ó { (x, y) R 2 (x, y) (a 1, a 2 ) + λ(b 1 a 1, b 2 a 2 ), λ 0 } ÓÒ ÔÙÓÐ ÙÓÖ ABº Ë Ø ÒÓØ Ò Ù Ò Ù Ð ÔÙÓÐ ÙÓÖ ABº ÌÓ ØÙ º Ë ÙÖ ÙÓÖ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ¾º½º ¾º¾º Ä Ù Ø ¾º¾º º

8 ¾º¾ ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾º º ÇÐ ÓÓÒ A B C D ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ Ò Ô Ø Øº Å ÐÐ Ò Ò Ø AB CD ÓÚ Ø Ý Ø Ò Ú AB CD Ó ÓÒ ÚÓ Ñ A B C D. ÅÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú ÙÐÑ Ò Ý Ø Ò ÚÝÝ ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ Ð¹ Ð Òº ÇØ Ø Ò ÙÐÑ Ò Ý Ø Ò ÚÝÝ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ð ÒÒ ØØÙ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ó Ò Ð Ù µ a 2 b 2 + c 2 2bc cosα. α ÃÙÚ ¾ ÃÓ Ò Ð Ù ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾º º ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ Ò ÙÐÑ Ø BAC DEF ÓÚ Ø Ý Ø Ò Ú BAC EDF Ó A B 2 + A C 2 B C 2 A B A C D E 2 + D F 2 E F 2. D E D F ÀÍÇÅ Æ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ Ý Ø Ò ÚÝÝ ÓÒ ØÓ ÐÐ ÙÐÑ Ò ÚÐ Ò Ò Ö Ð Ø Óº ÂÓ BAC EDF B AB C AC Ò Ò B AC EDF º ÌÑ ÓÒ ÐÔÔÓ ØÓ Ø Ð Ñ ÐÐ º Ä Ù ¾º¾º º ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ ØÓØ ÙØØ À Ð ÖØ Ò ÓÓ¹ Ñ Ø À½µ À½ µ Ò Ò ÓÓÑ Òº ÌÓ ØÙ º ÌÓ Ø Ò ØØ ÓÒ ØÖÙÓ ØÙ Ñ ÐÐ ØÓØ ÙØØ À Ð ÖØ Ò ÓÓÑ Ø À½µ ÇÐ ÓÓÒ P Q Ø ÓÒ R 2 Ö Ô Ø Øº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ p 1 p 2 q 1 q 2 R Ø Ò ØØ P p 1 p 2 µ Q q 1 q 2 µº Î Ð Ø Ò ÙÓÖ { (x, y) R 2 (x, y) (p 1, p 2 ) + λ(q 1 p 1, q 2 p 2 ), λ R }, ÓÐÐÓ Ò Ñ λ ¼ P (p 1, p 2 ) + λ(q 1 p 1, q 2 p 2 ), Q (p 1, p 2 ) + λ(q 1 p 1, q 2 p 2 ), Ê Ò ÖØ ½ ½ ¼µ ÓÐ Ö Ò Ð Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø Ó ÐÓ Ó Ø Ñ º ÀÒØ ÚÓ Ò ÙØ Ù ÑÓÒ ÐÐ Ò Ø Ô ÒÝ ÝÑ Ø Ñ Ø Ò º ÖØ ØØ ÖØ Ò ÓÓÖ¹ Ò Ø ØÓÒ ÓÒ ÙÖ Ù Ò Ò ÐÝÝØØ Ò Ò ÓÑ ØÖ Ð ÙÒ º à ÒØ ÓÐ Ñ Ö ØØÚ ÐÐ ÐÓ Ý Ø Ý Ò Ð Ö Ò ÓÑ ØÖ Ò ÚÐ ÐÐ º

9 ¾º¾ ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ Ñ λ ½º Æ Ò ÓÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ò Ò Ý ÙÓÖ Ó ÙÐ Ô ¹ Ø Ò P Q ÙØØ º Ç Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú ÙÓÖ Ò PQ Ý ØØ ÝÝ º ÇÐ ÓÓÒ l ÙÓÖ Ø Ò ØØ P l Q lº ÌÐÐ Ò ÙÓÖ Ò l { (x, y) R 2 (x, y) (x 0, y 0 ) + λ(a, b), λ R } Ð Ù Ø Ò Ñ λ P λ Q Rº Æ Ò ÓÐÐ Ò ÔØ (p 1, p 2 ) (x 0, y 0 ) + λ P (a, b) (q 1, q 2 ) (x 0, y 0 ) + λ Q (a, b), a q 1 p 1 λ Q λ P b q 2 p 2 λ Q λ P x 0 (p 1 + q 1 )(λ 2 P λ2 Q ) p 1 + q 1 2(λ 2 P λ2 Q ) y 0 (p 2 + q 2 )(λ 2 P λ2 Q ) p 2 + q 2 2(λ 2 P λ2 Q ), ÓØ Ò ÙÓÖ l ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó l { (x, y) R 2 (x, y) (p 1, p 2 ) + λ(q 1 p 1, q 2 p 2 ), λ R }. Ë Ô Ø Ò P Q ÙØØ ÙÐ Ú ÙÓÖ ÓÒ Ý ØØ Ò Òº À¾µ ÇÐ ÓÓÒ l Ñ ÐÐ Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÙÓÖ º ÌÐÐ Ò Ý Ò Ò ÙÓÖ ÓÒ ÑÙÓØÓ l { (x, y) R 2 (x, y) (x 0, y 0 ) + λ(a, b), λ R } ÓÐÐ Ò x 0 y 0 µ R 2 a bµ R 2 \ {(0, 0)}º Æ Ò ÓÐÐ Ò ÙÓÖ ÙÐ Ô Ø Ò x 0 y 0 µ x 0 a y 0 bµ ÙØØ ÓØ Ò ÓÓÑ ØÓØ ÙØÙÙº À µ Î Ð Ø Ò Ô Ø Ø ¼ ¼µ ½ ¼µ ½ ½µ Ø Ó Ø R 2 º ÇÒ ÐÔÔÓ ØÓ Ø ØØ Ñ Ò Ñ ÐÐ Ò ÙÓÖ Ø ÙÐ Ó Ò Ú Ð ØÙÒ Ô Ø Ò ÙØØ ÓØ Ò ÓÓ¹ Ñ À µ ÔØ º À µ È Ø Ò ÓÐÓ Ñ ÐÐ ÙÓÖ ÐÐ ÙÖ Ø Ú ÐÐ Ò ÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ Ò ÒØ ¹ Ó Ø ÑÙÙØ Ó Ø ÙÖ Ú Ø ÙÓÖ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ¾º¾º º À µ ÇÐ ÓÓÒ A B Ñ ÐÐ Ò Ö Ô Ø Øº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ a 1 a 2 b 1 b 2 R Ø Ò ØØ A a 1 a 2 µ B b 1 b 2 µº Æ Ò ÓÐÐ Ò ÙÓÖ Ò AB { (x, y) R 2 (x, y) (a 1, a 2 ) + λ(b 1 a 1, b 2 a 2 ), λ R }. Î Ð Ø Ò ÙÓÖ ÐØ AB Ô Ø Ø C D E Ø Ò ØØ C (2a 1 b 1, 2a 2 b 2 ) (λ 1) D ( a 1+b 1 ) ( ) 2, a2+b2 2 λ 1 2 E (2b 1 a 1, 2b 2 a 2 ) (λ 2).

10 ¾º¾ ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ ÌÐÐ Ò ÓÒ ÚÓ Ñ C B (2a 1 b 1 b 1 ) 2 + (2a 2 b 2 b 2 ) 2 2 (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 (2a 1 b 1 a 1 ) 2 + (2a 2 b 2 a 2 ) 2 + (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 C A + A B, A B (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 1 (a1 b 1 ) (a 2 b 2 ) (a1 b 1 ) (a 2 b 2 ) 2 ( a1 a ) 2 ( 1 + b 1 + a 2 a ) b (a1 ) 2 ( ) 2 + b 1 a1 + b 1 + b 1 + b A D + D B A E [a 1 (2b 1 a 1 )] 2 + [a 2 (2b 2 a 2 )] 2 2 (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 + [b 1 (2b 1 a 1 )] 2 + [a 2 (2b 2 a 2 )] 2 A B + B E, ÓØ Ò C A B, A D B A B E. À µ Ë ÙÖ Ð ÙÐÐ ÑÖ Ø ÐÑ Ø ¾º¾º º À µ ÓÓÑ Ò À µ ÚÓ Ñ ÓÐÓÒ ØÓØ Ñ Ò Ò ÙÓÖ Ò Ð Ñ ÐÐ ÓÒ Ò¹ Ð ÑÙØØ Ð Ò Ö Ð Ö Ò Ø Ó ÐÐ Ø ÓÒ ÖÖÓ Ø ÖÖÓ Ø ÚÓ ¹ Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò Ø Ð ÒÒ ÓÐ ØØ ÐÐ ØØ Ø Ö Ø ÐØ Ú ÙÓÖ l ÓÒ x Ð º ÇÐ ÓÓÒ A B C Ñ ÐÐ Ò Ô Ø Ø Ø Ò ØØ Ò ÚØ ÓÐ x Ð ÐÐ º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 R Ø Ò ØØ A a 1 a 2 µ B b 1 b 2 µ C c 1 c 2 µ Ñ a 2 b 2 c 2 0º Ç Ó Ø Ø Ò ÐÙ ØØ AlB a 2 b 2 < 0. ÇÐ ÓÓÒ AlBº ÌÐÐ Ò (p, 0) AB ÓÐÐ Ò p R ÓØ Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ú ØÓ ØÓ ½µ a 2 < p < b 2 ¾µ b 2 < p < a 2 º

11 ¾º¾ ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ Æ Ò ÓÐÐ Ò a 2 b 2 < 0º ÇÐ ÓÓÒ ÙÖ Ú a 2 b 2 < 0 ÓÐÐÓ Ò a 2 < 0 b 2 > 0 Ø a 2 > 0 b 2 < 0º Â Ò AB ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó AB { (x, y) R 2 (x, y) (a 1, a 2 ) + λ(b 1 a 1, b 2 a 2 ), λ [0, 1] }. Î Ð Ø Ò P (a 1, a 2 ) + λ P (b 1 a 1, b 2 a 2 ) Ñ λ P a2 a 2 b 2 º ÌÐÐ Ò Ô Ø P ÓÒ Ò Ò AB x Ð Ò Ð Ù Ô Ø ÓØ Ò AlBº ½µ ÇÐ ÓÓÒ ABl BClº ÌÐÐ Ò Ò ÒÓ ÐÐ Ò a 2 b 2 > 0 b 2 c 2 > 0, ÓØ Ò a 2 b 2 2 c 2 > 0 a 2 c 2 > 0º Æ Ò ÓÐÐ Ò AClº ¾µ ÇÐ ÓÓÒ AlB BlCº ÌÐÐ Ò Ò a 2 b 2 < 0 b 2 c 2 < 0, ÓØ Ò a 2 b 2 2 c 2 > 0 a 2 c 2 > 0º Æ Ò ÓÐÐ Ò AClº ÀÍÇÅ Ì Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ AlB Ñ Ö Ø ØØ Ô Ø Ø A B ÓÚ Ø Ø Ú ÐÐ Ñ Ð Ö ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÓÖ lº À µ ÇÐ ÓÓÒ A B Ö Ô Ø Ø PQ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÔÙÓÐ ÙÓÖ º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ a 1 a 2 b 1 b 2 p 1 p 2 q 1 q 2 R Ø Ò ØØ A a 1 a 2 µ B b 1 b 2 µ P p 1 p 2 µ Q q 1 q 2 µ ÔÙÓÐ ÙÓÖ Ò Ð Ù Ò PQ { (x, y) R 2 (x, y) (p 1, p 2 ) + λ(q 1 p 1, q 2 p 2 ), λ 0 }. Î Ð Ø Ò Ô Ø R PQ Ø Ò ØØ (a 1 b 1 ) R (r 1, r 2 ) (p 1, p 2 ) (a 2 b 2 ) 2 (q 1 p 1 ) 2 + (q 2 p 2 ) 2 (q 1 p 1, q 2 p 2 ). ÌÐÐ Ò ÓÒ ÚÓ Ñ A B 2 (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 (q 1 p 1 ) 2 + (q 2 p 2 ) 2 [(q 1 p 1 ) 2 + (q 2 p 2 ) 2 ] ( )2 (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 (q 1 p 1 ) 2 + (q 2 p 2 ) 2 (q 1 p 1 ) ( )2 (a 1 b 1 ) (a 2 b 2 ) 2 (q 1 p 1 ) 2 + (q 2 p 2 ) 2 (q 2 p 2 ) (p 1 r 1 ) 2 + (p 2 r 2 ) 2 P R 2,

12 ¾º¾ ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ ½¼ ÓØ Ò A B P R λ R (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 (q 1 p 1 ) 2 + (q 2 p 2 ) 2. Æ Ò ÓÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ø ÑÐÐ Ò Ý R PQ Ø Ò ØØ À µ ÓÓÑ À µ ÓÒ ÚÓ Ñ A B P Q. ½µ Ë ÙÖ ÙÓÖ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ¾º¾º º ¾µ Ë ÙÖ ÙÓÖ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ¾º¾º º µ Î Ð Ø Ò Ú Ð Ô Ø Ø E F Ø Ó Ø R 2 Ø Ò ØØ CD EF º ÌÐÐ Ò Ó Ø AB CD CD EF Ò A B C D C D E F º Æ Ò ÓÐÐ Ò A B E F ÓØ Ò AB EF º À½¼µ ÇÐ ÓÓÒ A B C A B C AB A B BC B C ÓÐÐÓ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ¾º¾º ¾º¾º ÙÖ A C A B + B C A B + B C A C. Æ Ò ÓÐÐ Ò AC A C ÓØ Ò ÓÓÑ À½¼µ ÓÒ ÑÝ ÚÓ Ñ º À½½µ ÇÐ ÓÓÒ BAC ÙÐÑ DE ÙÓÖ º ÇÐ ÓÓÒ Ð P Ô Ø Ó Ð¹ ÐÝ ÙÓÖ Ò DEº ÃÓ ÓÓÑ À µ ÓÒ ÚÓ Ñ Ø Ñ ÐÐ Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ø ÑÐÐ Ò Ý Ô Ø G DE Ø Ò ØØ AB DGº Ò ÐÝÝع Ø Ø ÓÑ ØÖ Ø Ø ØÒ ØØ Ñ ÐÐ ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ ÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ ÓÐÐÓ Ò A B B C + A C, A C A B + B C B C A B + A C. Ê Ø Ñ ÐÐ ÝÑÔÝÖ Ø ÙÚ Ú Ø Ý ØÐ Ô Ö Ø ÚÓ Ò ØÓ Ø ØØ D Ò Ò A C Ø Ò Ò ÝÑÔÝÖ G Ò Ò B C Ø ¹ Ò Ò ÝÑÔÝÖ Ð Ú Ø ØÓ Ò Ô Ø ÓØ ÓÚ Ø Ö ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÓÖ DEº Î Ð Ø Ò Ô Ø F Ò Ø Ó ÓÒ Ñ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ Ù Ò P º ÅÖ Ø ÐÑÒ ¾º¾º ÒÓ ÐÐ Ò BAC FDG ÐÐ Ò BAC EDF. Æ Ò ÓÐÐ Ò Ú ØÙÒÐ Ò Ò ÔÙÓÐ ÙÓÖ DF ÓÒ ÓÐ Ñ º Ç Ó Ø Ø Ò Ù¹ Ö Ú Ò Ý ØØ ÝÝ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ ØÓ Ò Ò ÓØ ØÝØØÚ ÔÙÓÐ ÙÓÖ DF ÓÐÐÓ Ò EDF BAC EDF. EDF EDF.

13 ¾º¾ ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ ½½ ÇÒ Ó Ó Ø ØØ Ú ØØ DF DF ÓÚ Ø Ñ ÙÓÖ ÙÒ Ø ØÒ ØØ F F ÓÚ Ø Ñ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÓÖ DE Ù Ò Ô Ø P º ÎÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ D (0, 0)º ÇÐ ÓÓÒ Ð F (f 1, f 2 ) F (f 1, f 2) ÓÐÐÓ Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ú ØÓ ØÓ ½µ f 1 f 1 Ø ¾µ f 1 f 1º ½µ ÎÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ f 1 f 1 ½º ÇÐ Ø Ø Ò Ð E (1, e 2) Ø Ò ØØ e 2 > f 2 > f 2, Å Ö ØÒ d D E º ÃÙÚ Ù H : ], e 2 [ R ÓÒ Ò Ø Ó ÓØ Ò H(f 2 ) d2 + f 2 2 (e 2 f 2 ) 2 d D E 2 + D F 2 E F 2 D E D F D E 2 + D F 2 E F 2 D E D F. Æ Ò ÓÐÐ Ò ÙÐÑ Ø EDF EDF ÚØ ÓÐ Ý Ø Ò Ú ÓØ Ò ÔÙÓ¹ Ð ÙÓÖ DF ÓÒ Ý ØØ Ò Òº ¾µ ÇÐ ÓÓÒ f 1 f 1º ÂÓ ÔÙÓÐ ÙÓÖ DE ÓÒ y Ð Ò ÙÙÒØ Ò Ò Ò Ò Ø Ð ÒÒ Ô Ð ÙØÙÙ Ó Ø Ò ½µ Ú Ø Ñ ÐÐ Ð Ò Ò Ñ Øº ÎÓ Ò ÐÐ Ò ÓÐ ØØ ØØ D (0, 0)º ÈÙÓÐ ÙÓÖ ÐÐ DE ÓÒ ÓÐ Ñ Ô Ø ÓÒ y ÓÓÖ Ò ØØ ÓÒ Ó Ø ÔÓ Ø Ú Ò Òº Î Ø Ò Ø ÖÚ ØØ ¹ Ô Ø ÐÐ E x ÓÓÖ Ò Ø ½º ÌÐÐ Ò Ø Ô Ù Ô Ð ÙØÙÙ Ó Ø Ò ½µº À½¾µ ÓÓÑ Ò Ó Ø ½µ ¾µ ÓÒ ÐÔÔÓ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ØÓØ Ñ ÐÐ Ò ÑÖ Ø Ð¹ ÑÒ ¾º¾º ÚÐ ØØ Ñ ÙÖ Ù º ÃÓ Ø µ Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÓÑ ÙØÙ Ò ÚÙÐÐ º À½ µ ÇÐ ÓÓÒ ABC DEF ÓÐÑ Ó Ø Ø Ò ØØ A D AB DE AC DF º ÌÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ¾º¾º ¾º¾º ÙÖ A B 2 + A C 2 B C 2 A B A C A B 2 + A C 2 B C 2 A B A C B C 2 D F 2 B C D F, D E 2 + D F 2 E F 2 D E D F A B 2 + A C 2 E F 2 A B A C ÓØ Ò BC EF º ÃÝØ ØÒ ÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÑ ¾º¾º ÓÐÐÓ Ò Ò A B 2 + B C 2 A C 2 A B B C A C 2 + B C 2 A B 2 A C B C D E 2 + E F 2 D F 2 D E E F D F 2 + E F 2 D E 2. D F E F

14 ¾º¾ ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ ½¾ Æ Ò ÓÐÐ Ò B E C F ÓØ Ò ÓÐÑ ÓØ ABC DEF ÓÚ Ø Ý Ø Ò Ú º µ ÇÐ ÓÓÒ l Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÙÓÖ º ÇÐ ÓÓÒ Ð D 1 l D 2 l Ø Ò ØØ ½µ D 1 D 2 ¾µ D 1 D 2 µ D 1 D 2 l µ ÂÓ Q R D 1 Ò Ò ÓÐ ÓÐ Ñ Ô Ø ØØ S D 2 ÓÐÐ ÓÐ Q S Rº µ ÂÓ P Q D 2 Ò Ò ÓÐ ÓÐ Ñ Ô Ø ØØ S D 1 ÓÐÐ ÓÐ Q S Rº Ç Ó Ø Ø Ò ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ Ø ÑÐÐ Ò Ý Ô Ø P l Ø Ò ØØ ÐÐ A B l\{p } ÔØ A P B Ò Ú Ò ÙÒ A D 1 B D 2 Ø A D 2 B D 1 º Î Ð Ø Ò Ô Ø Ø E (e 1, e 2 ) F (f 1, f 2 ) Ø Ò ØØ E D 1 F D 2 º Î Ð Ø Ò ÓÙ ÓØ 1 : {λ R (e 1, e 2 ) + λ(f 1 e 1, f 2 e 2 ) D 1 } 2 : {λ R (e 1, e 2 ) + λ(f 1 e 1, f 2 e 2 ) D 2 }. Ç Ó Ø Ø Ò ØØ ÓÙ ÓØ 1 2 ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ò Ò ÓÓÑ Ò ¹ ÓØ ½µ D 1 D 2 ÓÐÐÓ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ λ 1 λ 2 R Ø Ò ØØ Æ Ò ÓÐÐ Ò λ 1 1 λ 2 2 º ¾µ ÂÓÙ Ó ÐÐ 1 2 ÓÒ ÚÓ Ñ (e 1, e 2 ) + λ 1 (f 1 e 1, f 2 e 2 ) D 1 (e 1, e 2 ) + λ 2 (f 1 e 1, f 2 e 2 ) D {λ R (e 1, e 2 ) + λ(f 1 e 1, f 2 e 2 ) D 1 D 2 }. µ ÂÓÙ Ó ÐÐ 1 2 ÓÒ ÚÓ Ñ 1 2 {λ R (e 1, e 2 ) + λ(f 1 e 1, f 2 e 2 ) D 1 D 2 } R. µ ÇÐ ÓÓÒ λ Q λ R 1 ÓÐÐÓ Ò Q (e 1, e 2 ) + λ Q (f 1 e 1, f 2 e 2 ) D 1 R (e 1, e 2 ) + λ R (f 1 e 1, f 2 e 2 ) D 2. ÌÐÐ Ò Ó Ø Q S R Ò S D 1 º Æ Ò ÓÐÐ Ò λ Q < λ S < λ R Ø λ Q > λ S > λ R, Ñ S (e 1, e 2 ) + λ S (f 1 e 1, f 2 e 2 )º Ë Ó Ø ØÓ µ ØÓØ ÙØÙÙº µ Ë Ñ Ò Ø Ô Ò Ù Ò Ó Ø µº

15 ¾º È Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ ÝÔ Ö ÓÐ Ò Ò ÓÓÑ ½ ÂÓÙ ÓØ 1 2 ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ò Ò ÓÓÑ Ò ÓØ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ º ÌÐÐ Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ò ØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ø ÑÐÐ Ò Ý ÐÙ Ù λ P ]λ 1, λ 2 [ Ø Ò ØØ Æ Ò ÓÐÐ Ò Ô Ø ÐÐ λ P ÓÒ ÐÙØÙØ ÓÑ Ò Ù٠غ sup 1 inf 2 Ø λ P inf 1 sup 2. P (e 1, e 2 ) + λ P (f 1 e 1, f 2 e 2 ) ¾º È Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ ÝÔ Ö ÓÐ Ò Ò ÓÓÑ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú ÙÓÖ Ò Ð Ù Ô Ø Ø Ý Ò ÙÙÒØ ÙÙØØ º Ź Ö Ø ÐÐÒ ÙÓÖ Ò Ý Ò ÙÙÒØ ÙÙ ÒÒ Ò Ô Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º½º ËÙÓÖ l m ÒÓØ Ò Ý Ò ÙÙÒØ l m Ó Ò ÐÐ ÓÐ Ý Ø Ô Ø Øº ÅÙÙ Ø Ô Ù Ñ Ö ØÒ l mº Ë ÙÖ Ú Ô Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ ÓÒ ÓÐ ÐÐ ÐØ Ó ÐØ Ô Ö Ò Ù Ð ÐØ È µ ÇÐ ÓÓÒ l Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÙÓÖ P Ô Ø Ó ÓÐ ÙÓÖ ÐÐ lº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ø ÑÐÐ Ò Ý ÙÓÖ m Ó ÙÐ Ô Ø Ò È ÙØØ Ó ÓÒ Ý Ò ÙÙÒØ Ò Ò ÙÓÖ Ò l Ò º È m l ÃÙÚ È Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ È µ Ä Ù ¾º º¾º ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ ØÓØ ÙØØ Ô Ö ÐÐ Ð ÓÓ¹ Ñ Òº ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ l { (x, y) R 2 (x, y) (x 0, y 0 ) + λ(a, b), λ R }, Ñ x 0 y 0 µ R 2 a bµ R 2 \ {(0, 0)} ÓÚ Ø ÒÒ Ø ØØÝ Ñ ÐÐ Ò Ñ Ð Ú Ð¹ Ø Ò Ò ÙÓÖ º ÇÐ ÓÓÒ Ð P (p 1, p 2 ) lº Î Ð Ø Ò ÙÓÖ m { (x, y) R 2 (x, y) (p 1, p 2 ) + λ(a, b), λ R }. ÇÐ ØÙ Ò ÒÓ ÐÐ ÐÐ λ R ÓØ Ò (p 1, p 2 ) (x 0, y 0 ) + λ(a, b) (p 1, p 2 ) + λ 1 (a, b) (x 0, y 0 ) + λ 2 (a, b)

16 ¾º È Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ ÝÔ Ö ÓÐ Ò Ò ÓÓÑ ½ ÐÐ λ 1 λ 2 Rº Æ Ò ÓÐÐ Ò ÙÓÖ Ø l m ÓÚ Ø Ý Ò ÙÙÒØ º Ç Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú ÙÓÖ Ò m Ý ØØ ÝÝ º ÇÐ ÓÓÒ ÙÓÖ n { (x, y) R 2 (x, y) (x 1, y 1 ) + λ(c, d), λ R }, Ñ x 1 y 1 µ R 2 c dµ R 2 \ {(0, 0)} ÓÚ Ø ÒÒ Ø ØØÝ ØÓ Ò Ò Ô Ø Ò P ÙØØ ÙÐ Ú ÙÓÖ Ò l Ò Ý Ò ÙÙÒØ Ò Ò ÙÓÖ º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÚÓ Ñ (x 0, y 0 ) + λ 1 (a, b) (x 1, y 1 ) + λ 2 (c, d) ÐÐ λ 1 λ 2 Rº ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ý ØÐ Ô Ö ÐÐ { λ1 a + λ 2 c x 0 x 1 ÓÐ Ö Ø Ù º ÌÐÐ Ò λ 1 b + λ 2 d y 0 y 1 [ ] a c det 0 b d Ð (a, b) (c, d) ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ º Æ Ò ÓÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ λ R Ø Ò ØØ λ(a, b) (c, d). ËÙÓÖ n ÙÐ Ô Ø Ò P ÙØØ ÓØ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ú Ó λ P R Ø Ò ØØ ÌÐÐ Ò (p 1, p 2 ) (x 1, y 1 ) + λ P (c, d) (x 1, y 1 ) + λ λ P (a, b). (x 1, y 1 ) (p 1, p 2 ) λ λ P (a, b), ÓØ Ò Ô Ø (x 1, y 1 ) mº Æ Ò ÓÐÐ Ò ÙÓÖ n ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó ÓØ Ò m nº n { (x, y) R 2 (x, y) (p 1, p 2 ) + λ(a, b), λ R }, ÁØ ÑÔ Ò ÓÓÑ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÐÑ Ò Ô Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ Ó Ó ØØ ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ Ò Ò Ý Ô Ø Ò P ÙØØ ÙÐ Ú ÙÓÖ Ò l Ò Ý Ò ÙÙÒØ Ò Ò ÙÓÖ º Ë Ò Ò ÙÖ Ú ÐÙÚÙ Ò ÑÑ ØØ Ý ¹ ØØ ÝÝ ØÓ ÙÖ Ò Ø ÓÓÑ Ø Ú Ò ØÓ ØÙ ÐÐ ÓÒ ÓÐ ÐÐ Ø ØØ Ø Ö Ø ÐØ Ò ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ º Æ Ò ÓÐÐ Ò Ô Ö ÐÐ Ð ÓÓ¹ Ñ ÓÒ Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ ÑÑ Ø º ÓÓÑ ÐÙÓ ÖÓÒ Ù Ð Ò ÓÑ ØÖ Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ò ÓÑ ØÖ Ò ÚÐ ÐÐ º ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ô Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ ÓÒ ÚÓ Ñ Ú Ò Ù Ð ÓÑ ØÖ º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú ÝÔ Ö ÓÐ Ò Ò ÓÓ¹ Ñ Ó ÓÒ ØÖ ØÙÐ Ú ÐÙÚÙ º À ȵ ÇÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ÙÓÖ l Ô Ø P Ó ÓÐ ÙÓÖ ÐÐ l Ø Ò ØØ Ô Ø Ò P ÙØØ ÙÐ Ò Ò Ö ÙÓÖ Ò l Ò Ý Ò ÙÙÒØ Ø ÙÓÖ º ÀÍÇÅ ÓÑ ØÖ Ò Ñ ÐÐ Ø ÑÐÐ Ò ØÓ Ò Ò ÓÓÑ Ø È µ Ø À ȵ ÓÒ ÚÓ Ñ º

17 ÈÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ½ ÈÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ È Ò Ø ÐØÚ À Ð ÖØ Ò ÓÓÑ Ò ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ØÓØ Ù Ù Ô Ö ÐÐ ¹ Ð ÓÓÑ Ú ÑÙÙØ ÓÓÑ Ø ØÓØ ÙØÙÚ Øº ÀÝÔ Ö ÓÐ ÐÐ ÓÑ ØÖ ÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ñ ÐÐ ÓØ Ò Ô Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ ÓÒ Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ ÑÙ Ø ÓÓ¹ Ñ Ø º º½ ÈÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÒØ ÃÓÒ ØÖÙÓ Ò ÙÖ Ú ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ Ò ÔÓ ÐÐ º ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑÑ ÙÖ Ú ÝÐ Ò Ù Ð ÙÓÖ ÙÐÑ ÝÑÔÝÖ Ò º Ì Ó ÓÑ ØÖ Ø ÓÐ Ø Ñ¹ Ñ ØÙÒÒ ØÙ Ô Ð ÓÒ ÑÙÙØ Ò Ù Ò ÓÓÑ Ø Ò Ø Ú ÐÐ Ò Ò ÓÑ ØÖ ÓÐ Ô ÑÑ º ÅÖ Ø ÐÑ º½º½º ÇÐ ÓÓÒ AB AC Ù Ð Ø ÙÓÖ ÓØ Ð ¹ Ú Ø ØÓ Ò Ô Ø A Ø Ò ØØ ÙÐÑ BAC ÓÒ ÙÓÖ ÙÐÑ Ø Ú ÐÐ Ñ Ð º ÌÐÐ Ò ÒÓØ Ò ØØ AC ÓÒ ÙÓÖ Ò AB ÒÓÖÑ Ð AB ACº ÅÖ Ø ÐÑ º½º¾º ÇÐ ÓÓÒ T { (x, y) R 2 y > 0 }. ÃÙØ ÙØ Ò Ô Ø Ø P T ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ Ò Ô Ø ÝØ ØÒ Ò Ø Ò Ñ ØÝ Ø T Ô Ø ÓØØ Ò ÖÓØØÙÚ Ø Ù Ð Ø Ô Ø Øº ÅÖ Ø ÐÑ º½º º ÂÓÙ Ó l T ÓÒ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ Ò ÙÓÖ Ñ Ð l T T α Ñ α ÓÒ Ó Ó x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð Ø ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø ÓÒ x Ð ÐÐ º ÃÙØ ÙØ Ò Ò Ø ÙÓÖ T ÙÓÖ ÓØØ Ò ÖÓØØÙÚ Ø Ù Ð Ø ÙÓÖ Ø º x ÃÙÚ ÈÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ Ò ÙÓÖ ÅÖ Ø ÐÑ º½º º ÇÐ ÓÓÒ A B Ñ Ð Ú ÐØ T Ô Ø Øº ½µ ÇÐ ÓÓÒ α ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø ÓÒ x Ð ÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ Ð P Q ÝÑÔÝÖÒ α x Ð Ò Ð Ù Ô Ø Øº ÌÐÐ Ò d T (A, B) A P B Q log A Q B P. ¾µ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ α ÓÒ x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð º ÇÐ ÓÓÒ Ð P ÒÓÖ¹ Ñ Ð Ò α x Ð Ò Ð Ù Ô Ø º ÌÐÐ Ò d T (A, B) A P log B P.

18 º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ½ ÄÙ Ù d T (A, B) ÒÓØ Ò Ô Ø Ò A B ÚÐ ÝÔ Ö ÓÐ Ø ÝÝ º ÀÍÇÅ ÀÝÔ Ö ÓÐ ÐÐ Ø ÝÝ ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ ÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ º ÂÓ A B C ÓÚ Ø T Ô Ø Ø Ò Ò ÔØ d T (A, B) d T (A, C) + d T (B, C). ÀÍÇÅ ÈÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ Ò Ô Ø Ò ÚÐ Ò Ò Ø ÝÝ ÚÓ Ò ÐÑÓ ØØ ÑÝ ÒØ Ö Ð Ð ÒÒ Ò ÒÓ Ò ÑÙÓ Ó 1 d T (A, B) : y ds, Ñ γ ÓÒ ÔÓÐ Ù A Ø B Ò Ô Ø Ò T ÙÓÖ º ÅÖ Ø ÐÑ º½º º ÇÐ ÓÓÒ A B C Ö T Ô Ø Øº Ë ÒÓØ Ò ØØ B ÓÒ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ Ò Ñ Ð Ô Ø Ò A C ÚÐ A B C Ó A B C ÓÚ Ø Ñ ÐÐ l T ÙÓÖ ÐÐ d T (A, C) d T (A, B) + d T (B, C). ÅÖ Ø ÐÑ º½º º Ë ÒÓØ Ò ØØ Ò Ø AB T CD T ÓÚ Ø Ý Ø Ò Ú AB T CDT Ó d T (A, B) d T (C, D). ÅÖ Ø ÐÑ º½º º Ë ÒÓØ Ò ØØ ÙÐÑ Ø BAC EDF ÓÚ Ø Ý Ø Ò Ú BAC T EDF T Ó Ó Ø B ABT C AC T E DE T F DF T Ø Ò ØØ AB T DE T AC T DF T ÙÖ BC T E F T º º¾ γ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÔÙÓÐ Ø Ó¹ Ñ ÐÐ Ç Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú ØØ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ØÓØ ÙØØ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µº ÆÝØ ØÒ ÑÝ ØØ Ô Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ ÓÐ ÚÓ Ñ º ÃÝØ ØÒ ØÓ¹ ØÙ ÔÙÒ ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ º Ä Ù º¾º½º À½µ ÂÓ P Q ÓÚ Ø Ö T Ô Ø Ø Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ø ÑÐÐ Ò Ý T ÙÓÖ Ó ÙÐ Ô Ø Ò P Q ÙØØ º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ P (p 1, p 2 ) Q (q 1, q 2 ) Ö T Ô Ø Øº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ú ØÓ ØÓ ½µ p 1 q 1 p 2 q 2 º ¾µ p 1 q 1 º ½µ ÇÐ ÓÓÒ p 1 q 1 p 2 q 2 º ÌÐÐ Ò Ù Ð Ò Ò ÙÓÖ PQ ÓÒ x Ð Ò ÒÓÖ¹ Ñ Ð ÓØ Ò T PQ ÐÔ Ø ØÝ T ÙÓÖ º Ä Ù Ò ¾º¾º ÒÓ ÐÐ ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ Ò ÙÓÖ PQ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò ÓØ Ò ÓÐ ÓÐ Ñ ÑÙ Ø ØÑÒ ØÝÝÔÔ T ÙÓÖ ÓØ ÐÔ Ú Øº Ä

19 º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ½ ÐÐ x R ÓÒ ÚÓ Ñ P (x, 0) (p 1, p 2 ) (x, 0) (p 1 x) 2 + p 2 2 (q 1 x) 2 + p 2 2 (q 1 x) 2 + q2 2 (q 1, q 2 ) (x, 0) Q (x, 0), ÓØ Ò Ñ Ò (x, 0) Ò Ò ÝÑÔÝÖ α ØÓØ ÙØ ØÓ P Q T αº Æ Ò ÓÐÐ Ò T PQ ÓÒ Ý ØØ Ò Òº ¾µ ÇÐ ÓÓÒ p 1 q 1 º ÇÐ ÓÓÒ Ð α R Ò Ò r Ø Ò Ò ÝÑÔÝÖ Ñ ( p 2 R (r 1, r 2 ) 1 + p 2 2 q2 1 ) q2 2, 0 2 (p 1 q 1 ) (p 1 q 1 ) (p 1 q 1 ) 2 (p 2 2 r + q2 2 ) + (q2 2 p2 2 )2. 2 p 1 q 1 À Ú Ø Ò ØØ P Q α ÐÐ P R (p 1 r 1 ) 2 + (p 2 r 2 ) 2 ( p1 p2 1 + p2 2 q2 1 q2 2 2 (p 1 q 1 ) ) 2 + (p 2 0) 2 r (2p 2 1 2p 1q 1 p 2 1 p2 2 + q2 1 + q2 2 2 (p 1 q 1 ) ( ) (p 1 q 1 ) q2 2 p2 2 + p (p 1 q 1 ) ) 2 + p 2 2 (p 1 q 1 ) (p 1 q 1 ) 2 (q 2 2 p2 2 ) + (q2 2 p2 2 )2 + 4p 2 2 (p 1 q 1 ) 2 2(p 1 q 1 ) (p 1 q 1 ) (p 1 q 1 ) 2 (p q2 2 ) + (q2 2 p2 2 )2 Q R 2 p 1 q 1 (q 1 r 1 ) 2 + (q 2 r 2 ) 2 ( q1 p2 1 + p2 2 q2 1 q2 2 2 (p 1 q 1 ) ) 2 + (q 2 0) 2

20 º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ½ r. (2p1 q 1 2q1 2 p2 1 p2 2 + q2 1 + ) 2 q2 2 + q2 2 2 (p 1 q 1 ) ( ) q2 2 p2 2 (p 1 q 1 ) q2 2 2 (p 1 q 1 ) (p 1 q 1 ) 4 2 (p 1 q 1 ) 2 (q2 2 p2 2 ) + (q2 2 p2 2 )2 + 4q2 2 (p 1 q 1 ) 2 2(p 1 q 1 ) (p 1 q 1 ) (p 1 q 1 ) 2 (p q2 2 ) + (q2 2 p2 2 )2 2 p 1 q 1 ÌÐÐ Ò T α ÐÔ Ø ØÝ T ÙÓÖ º Ç Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú T ÙÓÖ Ò Ý ØØ ÝÝ º ÇÐ ÓÓÒ l T ØÓ Ò Ò Ô Ø Ò P Q ÙØØ ÙÐ Ú T ÙÓÖ º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ α 1 Ø Ò ØØ l T T α 1 º ÇÐ ¹ ØÙ Ò ÒÓ ÐÐ p 1 q 1 ÓØ Ò α 1 ÓÐ x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð Ú Ò α 1 ÓÒ (s 1, 0) Ò Ò s Ø Ò Ò ÝÑÔÝÖ Ó ÙÐ Ô Ø Ò P Q ÙØØ º ÌÐÐ Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ (p 1 r 1 ) 2 + p 2 2 r 2 (q 1 r 1 ) 2 + q2 2 r 2 (p 1 s 1 ) 2 + p 2 2 s 2 (q 1 s 1 ) 2 + q2 2 s 2. Æ Ò ÓÐÐ Ò r s ÐÐ Ò α α 1 ÓØ Ò T α ÓÒ Ý ØØ Ò Òº Ä Ù º¾º¾º À¾µ ÂÓ Ò T ÙÓÖ Ò ÐØÝÝ Ò Ò Ö T Ô Ø Øغ ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ l T Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò T ÙÓÖ º ÌÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ º½º ÒÓ ÐÐ T ÙÓÖ ÓÒ ÑÙÓØÓ l T T α Ñ Ó Ó ½µ α ÓÒ x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð Ø ¾µ α ÓÒ ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø ÓÒ x Ð ÐÐ º ½µ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ α ÓÒ x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð º ÌÐÐ Ò α Ð x Ð Ò Ô Ø (x 0, 0) Ñ x 0 Rº Î Ð Ø Ò A (x 0, 1) B (x 0, 2) ÓÐÐÓ Ò A B ÓÚ Ø Ö T Ô Ø Øº Ä A B α ÓØ Ò A B l T º ¾µ ÇÐ ÓÓÒ α ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø ÓÒ P (p, 0) rº Î Ð Ø Ò ( A p r ) ( r, B p + r ) r,, ÓÐÐÓ Ò A P ( p r 2 p) 2 + ( r 2 0) 2 r 2 + r 2 r

21 º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ½ B P ( p + r 2 ( 2 r r p) + 2 0) r 2 r. Ä A B ÓÚ Ø T Ô Ø Ø ÓØ Ò A B l T º Æ Ò ÓÐÐ Ò Ó Ò T ÙÓÖ Ò ÐØÝÝ Ò Ò Ö T Ô Ø Øغ Ä Ù º¾º º À µ ÇÒ ÓÐ Ñ ÓÐÑ Ö T Ô Ø ØØ Ø Ò ØØ Ñ Ò T ÙÓÖ ÙÐ Ò Ò Ò ÙØØ º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ A ( 1, 1) B (0, 1) C (1, 1) ÓÐÐÓ Ò Ý Ø Ô Ø Ø ÓÚ Ø T Ô Ø Øº À Ú Ø Ò ØØ ÓÐ ÓÐ Ñ x Ð Ò Ù Ø Ò ÒÓÖÑ Ð l Ø Ò ØØ {A, B, C} lº Ä ÐÐ (x 0, 0) R 2 ÓÒ ÚÓ Ñ (0, 1) (x 0, 0) < max { ( 1, 1) (x 0, 0), (1, 1) (x 0, 0) }, ÓØ Ò ÓÐ ÓÐ Ñ (x 0, 0) Ø α ÝÑÔÝÖ Ø Ò ØØ {A, B, C} αº Æ Ò ÓÐÐ Ò Ñ Ò T ÙÓÖ ÙÐ Ô Ø Ò A B C ÙØØ º Ä Ù º¾º º À µ ÂÓ A B C Ò Ò A B C ÓÚ Ø Ö T Ô Ø Ø Ó Ò Ò ÙØØ ÙÐ Ñ T ÙÓÖ C B Aº ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ A B Cº ÅÖ Ø ÐÑÒ º½º ÒÓ ÐÐ Ô Ø Ø A B C ÓÚ Ø Ö T Ô Ø Ø Ò Ò ÙØØ ÙÐ Ñ ÙÓÖ l T º ÌÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ º½º ÒÓ ÐÐ ÙÓÖ ÓÒ ÑÙÓØÓ l T T α Ñ ½µ α ÓÒ x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð Ø ¾µ α ÓÒ ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø ÓÒ x Ð ÐÐ º ½µ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ α ÓÒ x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð º ÇÐ ÓÓÒ Ð P α Ò x Ð Ò Ð Ù Ô Ø º ÌÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ º½º ÒÓ ÐÐ Ò d T (A, B) A P log B P 1 log A P B P B P log A P d T (B, A). ¾µ ÇÐ ÓÓÒ α ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø ÓÒ x Ð ÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ Ð P Q α ÝÑÔÝÖÒ x Ð Ò Ð Ù Ô Ø Øº ÌÐÐ Ò Ø ÝÝ ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ d T (A, B) A P B Q log A Q B P 1 A P B Q log A Q B P B P A Q log B Q A P d T (B, A).

22 º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ¾¼ Æ Ò ÓÐÐ Ò ÓØ Ò C B Aº d T (C, A) d T (A, C) d T (A, B) + d T (B, C) d T (B, A) + d T (C, B) d T (C, B) + d T (B, A), Ä ÑÑ º¾º º ÇÐ ÓÓØ A (a 1, a 2 ) B (b 1, b 2 ) C (c 1, c 2 ) Ö T Ô Ø Ø Ø Ò ØØ Ò ÓÚ Ø Ñ ÐÐ T ÙÓÖ ÐÐ l T T αº ÇÐ ÓÓÒ Ð ÙÚ Ù P r : α ]x 0 r, x 0 + r[ P r (x, y) x, Ñ α ÓÒ (x 0, 0) Ò Ò r Ø Ò Ò ÝÑÔÝÖº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÚÓ Ñ A B C P r (A) < P r (B) < P r (C) Ø P r (A) > P r (B) > P r (C). ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ A B Cº ÌÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ º½º ÒÓ ÐÐ Ò d T (A, C) A P C Q log A Q C P ( A P B Q log B P C Q A Q B P B Q C P ) A P B Q log A Q B P + B P C Q log B Q C P d T (A, B) + d T (B, C), ÓØ Ò Ø Æ Ò ÓÐÐ Ò Ò ÓÐÐÓ Ò A P < B P < C P A P > B P > C P. a 1 < b 1 < c 1 Ø a 1 > b 1 > c 1, P r (A) < P r (B) < P r (C) Ø P r (A) > P r (B) > P r (C). ÇÐ Ø Ø Ò ÙÖ Ú ØØ ÓÒ ÚÓ Ñ P r (A) < P r (B) < P r (C) Ø P r (A) > P r (B) > P r (C). ÇÐ ØÙ Ò ÒÓ ÐÐ Ô Ø Ø A B C ÓÚ Ø Ñ ÐÐ T ÙÓÖ ÐÐ º Î ØØ Ò Ô ¹ ØÒ ÙÒ ÙÐ Ø Ò Ò Ò ÔØØ ÐÝ Ø Ù ØÓ Ò ÙÙÒØ Òº Ä Ù º¾º º À µ ÂÓ A B ÓÚ Ø Ö T Ô Ø Ø Ò Ò T ÙÓÖ ÐÐ AB T ÓÒ Ô Ø Ø C D E Ø Ò ØØ C A B, A D B A B E. ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ A (a 1, a 2 ) B (b 1, b 2 ) Ö T Ô Ø Øº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ α Ø Ò ØØ AB T T α Ñ

23 º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ¾½ ½µ α ÓÒ x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð Ø ¾µ α ÓÒ ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø ÓÒ x Ð ÐÐ º ½µ ÇÐ ÓÓÒ α ÓÒ x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð º ÌÐÐ Ò ÒÓÖÑ Ð Ð x Ð Ò Ô Ø P (a 1, 0)º ÌÐÐ Ò Ò Ú ØÓ ØÓ ½º½µ A B P ½º¾µ B A P º ½º½µ ÇÐ ÓÓÒ A B P º Î Ð Ø Ò T Ô Ø Ø ( C (a 1, a 2 + b 2 ),D a 1, a ) 2 + b 2 E 2 ÓÐÐÓ Ò d T (C, A) + d T (A, B) d T (A, D) + d T (D, B) ( a 1, b ) 2, 2 C P log A P + log A P B P log a 2 + b 2 + log a 2 a 2 log a 2 + b 2 a 2 + log a 2 b 2 log a 2(a 2 + b 2 ) a 2 b 2 log a 2 + b 2 b 2 log a 2 + b 2 b 2 C P log B P d T (C, B), log b 2 A P log D P + log D P B P log a a2+b2 2 a 2+b 2 + log 2 2 a 2 a 2+b log log a ( a2+b 2 ) 2 2 ( b a2+b 2 ) 2 2 log a 2 b 2 log a 2 b 2 A P log B P d T (A, B) b 2 a 2+b 2 2 b 2

24 º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ¾¾ d T (A, B) + d T (B, E) A P log B P + log B P E P log a 2 + log b 2 b 22 b 2 log a 2 + log b 2 b b 22 2 log a 2b 2 b log a 2 b 22 log a 2 b 22 A P log E P d T (A, E). Æ Ò ÓÐÐ Ò T ÙÓÖ ÐÐ AB T ÓÒ Ô Ø Ø C D E Ø Ò ØØ ½º¾µ Ë Ñ Ò Ø Ô Ò Ù Ò Ó Ø ½º½µº C A B, A D B A B E. ¾µ ÇÐ ÓÓÒ α ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø ÓÒ x Ð ÐÐ º ÌÐÐ Ò α ÝÑÔÝÖÐÐ x Ð ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ð Ù Ô Ø Ø P (p, 0) Q (q, 0) ÓØ Ò x Ð ÓÒ ÙÓÖ PQº Å Ö ØÒ A (a 1, 0) B (b 1, 0)º Ä ÑÑ Ò º¾º ÒÓ ÐÐ Ú Ø Ò ØØ A B P Q ÓÚ Ø Ö Ô Ø Øº Ë ÓÒ ÚÓ Ñ ¾º½µ A B P B A Q Ø ¾º¾µ A B Q B A P º ¾º½µ ÇÐ ÓÓÒ ÐÙ A B P B A Qº Ä Ù Ò ¾º¾º ÒÓ ÐÐ x Ð ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ô Ø Ø C D E Ø Ò ØØ Q C A, A D B B E P. Æ Ò ÓÐÐ Ò Ð ÑÑ Ò º¾º ÒÓ ÐÐ T ÙÓÖ ÐÐ AB T ÓÒ Ô Ø Ø C D E Ø Ò ØØ ¾º¾µ Ë Ñ Ò Ø Ô Ò Ù Ò Ó Ø ¾º½µº C A B, A D B A B E. Ä Ù º¾º º À µ ÂÓ A B C ÓÚ Ø Ö T Ô Ø Ø ÓØ ÙÙÐÙÚ Ø Ñ ÐÐ T ÙÓÖ ÐÐ Ò Ò Ø ÑÐÐ Ò Ý ÙÖ Ú Ø Ó Ø ÓÒ ÚÓ Ñ A B C, A C B Ø B A C.

25 º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ¾ ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓØ A B C Ö T Ô Ø Ø ÓØ ÙÙÐÙÚ Ø Ñ ÐÐ T ÙÓÖ ÐÐ º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÚÓ Ñ AB T T α Ñ ½µ α ÓÒ x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð Ø ¾µ α ÓÒ ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø ÓÒ x Ð ÐÐ º ½µ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ α ÓÒ x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð º ÌÐÐ Ò Ô Ø Ø A B C ÙÙ¹ ÐÙÚ Ø ÑÝ Ñ ÐÐ ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ Ò ÙÓÖ ÐÐ ÓØ Ò Ä Ù Ò ¾º¾º ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ A B C, A C B Ø B A C. ÂÓ A B C Ò Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ú ØÓ ØÓ ½º½µ A B P ½º¾µ B A P Ñ P ÓÒ α Ò x Ð Ò Ð Ù Ô Ø º ½º½µ ÇÐ ÓÓÒ A B P º ÌÐÐ Ò Ò d T (A, C) A P log C P A P B P log B P C P A P B P log B P C P log A P B P + log B P C P A P log B P + log B P C P d T (A, B) + d T (B, C), ÓØ Ò A B Cº ½º¾µ Ë Ñ Ò Ø Ô Ò Ù Ò Ó Ø ½º½µº ÌÓ Ø Ò ÑÙÙØ Ú ØÓ ÓØ Ú Ø Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ º Æ Ò ÓÐÐ Ò Ø ÑÐÐ Ò Ý ÙÖ Ú Ø Ó Ø ÓÒ ÚÓ Ñ A B C, A C B Ø B A C. ¾µ ÇÐ ÓÓÒ α ÝÑÔÝÖ (x 0, 0) Ò Ò r Ø Ò Òº ÇÐ ÓÓÒ Ð ÙÚ Ù P r : α ]x 0 r, x 0 + r[ P r (x, y) x. È Ø Ø A B C ÓÚ Ø Ö T Ô Ø Ø ÓØ Ò ÓÒ ÚÓ Ñ P r (A) P r (A) P r (A) P r (A) P r (B) P r (B) < P r (B) < P r (C), > P r (B) > P r (C), < P r (C) < P r (B), > P r (C) > P r (B), < P r (A) < P r (C) Ø > P r (A) > P r (C).

26 º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ¾ ÌÐÐ Ò Ð ÑÑ Ò º¾º ÒÓ ÐÐ Ò A B C, A C B Ø B A C. Ä ÑÑ º¾º º ÇÐ ÓÓÒ l T T α ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ Ò ÙÓÖ A B T \ l T º ½µ ÂÓ α ÓÒ x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð Ò Ò Al T B Ó Ú Ò Ó AαB Ù Ð Ñ Ð º ¾µ ÂÓ α ÓÒ ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø ÓÒ x Ð ÐÐ Ò Ò Al T B Ó Ú Ò Ó ØÓ Ò Ò Ô Ø Ø ÓÒ ÝÑÔÝÖÒ ÔÙÓÐ ÐÐ ØÓ Ò Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ º ÌÓ ØÙ º ÀÝÔ Ö ÓÐ Ò Ò Ò AB T ÓÒ Ó Ó Ø Ú ÐÐ Ò Ò Ù Ð Ò Ò Ò Ø Ô Ø Ø A B Ý ØÚ ÝÑÔÝÖÒ Ö ÓÒ Ô Ø ÓÒ x Ð ÐÐ º Ì Ø Ø Ó Ø Ú Ø ÙÖ Ù Ð Ò ÓÑ ØÖ Ò Ð ÙÐÐ º Ä Ù º¾º º À µ ÇÐ ÓÓÒ l T T ÙÓÖ A B C T Ô Ø Ø Ó Ø Ñ Ò Ò ÙØØ l T ÙÐ º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÚÓ Ñ ½µ ÂÓ ABl T BCl T Ò Ò ACl T º ¾µ ÂÓ Al T B Bl T C Ò Ò ACl T º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ l T T ÙÓÖ A (a 1, a 2 ) B (b 1, b 2 ) C (c 1, c 2 ) T Ô Ø Ø Ó Ò ÙØØ l T ÙÐ º ½µ ÇÐ ÓÓÒ ABl T BCl T º ËÙÓÖ l T T α ÚÓ ÓÐÐ Ø Ö ØÝÝÔÔ ½º½µ α ÓÒ x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð º ½º¾µ α ÓÒ ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø ÓÒ x Ð ÐÐ º ½º½µ ÇÐ ÓÓÒ α ÓÒ x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð º ÌÐÐ Ò ÒÓÖÑ Ð Ð x Ð Ò Ô Ø P (p, 0)º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ABl T BCl T ÓÐÐÓ Ò Ð ÑÑ Ò º¾º ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ max {a 1, b 1, c 1 } < p Ø min {a 1, b 1, c 1 } > p. ÌÐÐ Ò Ò { AC T α (x, y) } AC T a 1 x c 1 Ø c 1 x a 1 α, ÓØ Ò ACl T º ½º¾µ ÇÐ ÓÓÒ α r Ø Ò Ò ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø P ÓÒ x Ð ÐÐ º ÌÐÐ Ò Ð ÑÑ Ø º¾º Ò r > max{ A P, B P } Ø r < min{ A P, B P } r > max{ B P, C P } Ø r < min{ B P, C P }. Ì Ø ÙÖ r > max{ A P, C P } Ø r < min{ A P, C P }, ÓØ Ò ACl T º

27 º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ¾ ¾µ ÇÐ ÓÓÒ Al T B Bl T Cº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÐÐ Ò T ÙÓÖ Ò l T T α Ö ØÝÝÔÔ ¾º½µ α ÓÒ x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð º ¾º¾µ α ÓÒ ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø ÓÒ x Ð ÐÐ º ¾º½µ ÇÐ ÓÓÒ α ÓÒ x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð º ÌÐÐ Ò ÒÓÖÑ Ð Ð x Ð Ò Ô Ø P (p, 0)º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Al T B Bl T C ÓØ Ò Ð ÑÑ Ò º¾º ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ max{a 1, c 1 } < p < b 1 Ø b 1 < p < max{a 1, c 1 }. ÌÐÐ Ò Ò { AC T α (x, y) } AC T a 1 x c 1 Ø c 1 x a 1 α, ÓØ Ò ACl T º ¾º¾µ ÇÐ ÓÓÒ α r Ø Ò Ò ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø P ÓÒ x Ð ÐÐ º ÌÐÐ Ò Ð ÑÑ Ø º¾º Ò min{ A P, B P } < r < max{ A P, B P } min{ B P, C P } < r < max{ B P, C P }. Ì Ø ÙÖ r > max{ A P, C P } Ø r < min{ A P, C P }, ÓØ Ò ACl T º Ä ÑÑ º¾º½¼º ÇÐ ÓÓÒ l T T α ÝÔ Ö ÓÐ Ò Ò ÙÓÖ Ñ α ÓÒ x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð º ÇÐ ÓÓÒ Ð A (a 1, a 2 ) B (a 1, b 2 ) l T º Å Ö ØÒ ÒÓÖÑ Ð Ò x Ð Ò Ð Ù Ô Ø ØØ Ô Ø ÐÐ P (a 1, 0)º ÌÐÐ Ò ÙÚ Ù f 1 : ]0, a 2 [ R f 1 (b 2 ) d T (A, B) ÓÒ Ó Ø Ú Ò Ú ÙÚ Ù f 2 : ]a 2, [ R ÓÒ Ó Ø Ú Ú f 2 (b 2 ) d T (A, B) lim d T (A, B) lim d T (A, B). x 0+ x ÌÓ ØÙ º ÌÓ Ø Ò ØØ ÐÓ Ö ØÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ó Ø ÑÓÒÓØÓÒ Ò Òº Ä lim d T (A, B) lim A P x 0+ x 0+ log B P lim x 0+ log a 2 lim d T (A, B) lim x ÓØ Ò Ú Ø ÔØ º x A P log B P lim x b 2 log a 2, b 2

28 º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ¾ Ä ÑÑ º¾º½½º ÇÐ ÓÓÒ l T T α ÝÔ Ö ÓÐ Ò Ò ÙÓÖ Ñ α ÓÒ ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø ÓÒ x Ð ÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ Ð A (a 1, a 2 ) l T º Å Ö ØÒ ÔÙÓÐ ÝÑÔÝÖÒ x Ð Ò Ð Ù Ô Ø Ø Ô Ø ÐÐ (p, 0) (q, 0) Ø Ò ØØ p < qº ÇÐ ÓÓÒ P r : R 2 R 2 P r (x, y) (x, 0) ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ø Ó x Ð ÐÐ º ÌÐÐ Ò ÙÚ Ù f 1 : ]p, a 1 [ R f 1 (x) d T (P 1 r (x), A) ÓÒ Ó Ø Ú Ò Ú ÙÚ Ù f 2 : ]a 1, q[ R ÓÒ Ó Ø Ú Ú f 2 (x) d T (P 1 r (x), A) lim d T (Pr 1 (x), A) lim d T (Pr 1 (x), A). x p+ x q ÌÓ ØÙ º ÌÓ Ø Ò ØØ ÐÓ Ö ØÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ó Ø ÑÓÒÓØÓÒ Ò Òº Ä lim d T (P 1 1 x p+ r (x), A) lim Pr (x) P A Q x p+ log P 1 (x) Q A P r lim d T (P 1 x q r (x), A) lim x q 1 Pr (x) P A Q log P 1 (x) Q A P r ÓØ Ò Ú Ø ÔØ º Ä Ù º¾º½¾º À µ ÂÓ A B ÓÚ Ø Ö T Ô Ø Ø PQT Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò T ÔÙÓÐ ÙÓÖ Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ø ÑÐÐ Ò Ý Ô Ø R PQT Ø Ò ØØ AB T PRT º ÌÓ ØÙ º Ä ÑÑÓ Ò º¾º½¼ º¾º½½ ÒÓ ÐÐ ÔÙÓÐ ÙÓÖ ÐØ PQT Ð Ý ØÒ Ý ¹ ØØ Ò Ò Ô Ø R Ø Ò ØØ Æ Ò ÓÐÐ Ò AB T PRT º d T (A, B) d T (PR). Ä Ù º¾º½ º À µ  ÒÓ Ò Ý Ø Ò ÚÝÝ ÓÒ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó ½µ AB T ABT º ¾µ ÂÓ AB T CDT Ò Ò CD T ABT º µ ÂÓ AB T CDT CD T EFT Ò Ò AB T EFT º ÌÓ ØÙ º Ë ÙÖ ÙÓÖ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø º½º º Ä Ù º¾º½ º À½¼µ ÂÓ A B C A B C AB T A B T BC T B C T Ò Ò AC T A C T º

29 º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ¾ ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ A A B B C C T Ô Ø Ø Ø Ò ØØ A B C A B C AB T A B T BC T B C T º ÌÐÐ Ò ÓÐ ØÙ Ø Ò ÒÓ ÐÐ Ò d T (A, C) d T (A, B) + d T (B, C) d T (A, B ) + d T (B, C ) d T (A, C ), ÓØ Ò AC T A C T º ÅÖ Ø ÐÑ º¾º½ º Ë ÒÓØ Ò T ÓÑ ØÖ Ø ÓØ f : T T Ø Ò ØØ d T (A, B) d T (f(a), f(b)) ÐÐ A B T º Ä ÑÑ º¾º½ º ½µ ÇÐ ÓÓÒ AB T CDT º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ T ÓÑ ØÖ f Ø Ò ØØ f(a) C f(b) Dº ¾µ ÇÐ ÓÓÒ ABC T DEF T º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ T ÓÑ ØÖ f Ø Ò ØØ f(a) D f(b) f(d)f(e) T f(c) f(d)f(f) T º µ ÇÐ ÓÓÒ AB T T ÙÓÖ º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ T ÓÑ ØÖ f ÓÒ Ö Ó ØØÙÑ T ÙÓÖ ÐÐ AB T ÓÒ ÒØØ Ò Ò ÙÚ Ù ÓÐÐ P AB T f(p) ÐÐ P T \ AB T º ÌÓ ØÙ º Ã Ø Ó ÐÙ Ù º Ä ÑÑ º¾º½ º ÇÐ ÓÓÒ f : T T T ÓÑ ØÖ ÐÐ A B T º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÚÓ Ñ ½µ A B C f(a) f(b) f(c) ¾µ AB T CDT f(a)f(b) T f(c)f(d)t µ ABC T DEF T f(a)f(b)f(c) T f(d)f(e)f(f)t º ÌÓ ØÙ º Î Ø ÙÖ ÙÓÖ Ò ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÐ ØÙ Ø º ÅÖ Ø ÐÑ º¾º½ º Ä ÑÑ Ò º¾º½ Ó Ò µ ÙÚ Ù Ø f ÒÓØ Ò Ô Ð Ù ¹ T ÙÓÖ Ò AB T Ù Ø Òº Ä Ù º¾º½ º À½½µ ÇÐ ÓÓÒ BAC ÙÐÑ DE T Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÙÓÖ º Çй ÓÓÒ Ð P Ô Ø Ó ÐÐÝ ÙÓÖ Ò DE T º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ø ÑÐÐ Ò Ý ÔÙÓÐ ÙÓÖ DF T Ø Ò ØØ FP DE T BAC T EDFT º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ f : T T Ø Ò ØØ d T (A, B) d T (f(a), f(b)) ÐÐ A B T º Ä ÑÑ Ò º¾º½ ÑÙ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ f Ø Ò ØØ f Ø Ò ØØ f(a) D f(b) f(d)f(e) T f(c) f(d)f(f) T º ÂÓ f(b)p DE T Ò Ò Ú Ð Ø Ò F (f(b)º ÅÙÙ Ø Ô Ù F i(f(b)) Ñ i ÓÒ Ô Ð Ù T ÙÓÖ Ò DE T Ù Ø Òº Æ Ò ÓÐÐ Ò ÐÙØÙÒÐ Ò Ò Ô Ø ÓÒ ÓÐ Ñ º Ç Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú Ô Ø Ò F Ý ØØ ÝÝ º Ä ÑÑ Ø º¾º½ ÙÖ ØØ ÝÑÔÝÖ Ò Ø Ò ÒØØ Ò ÚÐ Ò Ò ÙÐÑ EDF ÓÒ Ý Ø ÙÙÖ Ù Ò Ú Ø Ú Ò¹ Ð Ò Ò ÙÐÑ BACº È Ø F Ø ÝÑÔÝÖÐÐ α Ó ÙÐ Ô Ø Ò D ÙØØ ÓÒ Ô Ø ÓÒ x Ð ÐÐ º ÑÔÝÖ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò ÓØ Ò ÑÝ DF T ÓÒ Ý ØØ Ò Òº

30 º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ¾ Ä Ù º¾º¾¼º À½¾µ ÃÙÐÑ Ò Ý Ø Ò ÚÝÝ ÓÒ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó Ð ½µ BAC T BACT º ¾µ ÂÓ BAC T EDFT Ò Ò FDE T BACT º µ ÂÓ BAC T EDFT EDF T HGIT Ò Ò BAC T HGI T º ÌÓ ØÙ º ½µ Ë ÙÖ ÙÓÖ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø º½º Ä Ù Ø º¾º½ º ¾µ Ë ÙÖ ÙÓÖ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø º½º Ä Ù Ø º¾º½ º µ ÇÐ ÓÓÒ BAC T EDFT EDF T HGIT º Î Ð Ø Ò P ABT Q BCT R GH T S GI T Ø Ò ØØ AB T GRT AQ T GST. Ä Ù Ò º¾º½¾ ÒÓ ÐÐ ÚÓ Ò Ú Ð Ø T DE T U DF T Ø Ò ØØ AB T DTT AE T DUT º ÌÐÐ Ò Ä Ù Ø º¾º½ ÙÖ DT T GRT DU T GST ÓØ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ º½º ÒÓ ÐÐ Ò PQ T TUT TU T RST º Æ Ò ÓÐÐ Ò Ä Ù Ø º¾º½ ÑÖ Ø ÐÑ Ø º½º ÙÖ Ú Ø º Ä Ù º¾º¾½º À½ µ ÇÐ ÓÓÒ ABC DEF ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ Ò ÓÐÑ Ó Ø ¹ Ø Ò ØØ A T DT AB T DET AC T DFT º ÌÐÐ Ò ABC DEF º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ ABC DEF ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ Ò ÓÐÑ Ó Ø Ø Ò ØØ A T DT AB T DET AC T DFT º ÌÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÑ º½º ÓÐ ØÙ ÝØØÑÐÐ Ò BC T EFT º Ä ÑÑ Ò º¾º½ ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ¹ T ÓÑ ØÖ f : T T Ø Ò ØØ f(a) D f(b) Eº ÌÐÐ Ò Ð ÑÑ Ø º¾º½ Ò A BAC f(b)f(a)f(c) EDf(C). ÂÓ f(c)f DE T Ò Ò Ä Ù Ò º¾º¾¼ ÒÓ ÐÐ Ò f(c) F º ÌÐÐ Ò Ú Ø ¹ Ú ÐÐ ÔØØ ÐÝÐÐ Ò B T ET B T ET ÓØ Ò ÑÝ ABC DEF º ÂÓ ÔÙÓÐ Ø Ò f(c) DE T F Ò Ò Ý Ø ØÒ ÙÚ Ù Ò f Ô Ð Ù T ÙÓÖ Ò AB T Ù Ø Ò ÓÐÐÓ Ò Ø Ð ÒÒ Ô Ð ÙØÙÙ ÐÐ Ò ÐØ ¹ º Ä Ù º¾º¾¾º µ ÇÐ ÓÓÒ l T D 1 l T D 2 l T Ø Ò ØØ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò T ÙÓÖ º ÇÐ ÓÓÒ Ð ½µ D 1 D 2 ¾µ D 1 D 2 µ D 1 D 2 l T µ ÂÓ Q R D 1 Ò Ò ÓÐ ÓÐ Ñ Ô Ø ØØ S D 2 ÓÐÐ ÓÐ Q S Rº µ ÂÓ P Q D 2 Ò Ò ÓÐ ÓÐ Ñ Ô Ø ØØ S D 1 ÓÐÐ ÓÐ Q S Rº

31 º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ¾ ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ø ÑÐÐ Ò Ý Ô Ø P l T Ø Ò ØØ ÐÐ A B l T \{P } ÔØ A P B Ò Ú Ò ÙÒ A D 1 B D 2 Ø A D 2 B D 1 º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ l T Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò T ÙÓÖ º ÌÐÐ Ò ÙÓÖ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó l T T α Ñ ½µ α ÓÒ x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð º ¾µ α ÓÒ ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø Ø x Ð ÐÐ º ½µ Ã Ø Ó Ä Ù Ò ¾º¾º ØÓ ØÙ º ¾µ ÇÐ ÓÓÒ α ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø Ø x Ð ÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ Ð Q (q, 0) R (r, 0) ÝÑÔÝÖÒ α x Ð Ò Ð Ù Ô Ø Øº ÎÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ q < rº Ä ÑÑ Ò º¾º ÒÓ ÐÐ ÔÖÓ Ø Ó P r : l T ]q, r[ ÐÝØØ Ö ØÝ Òº ÇÐ ÓÓÒ P r (x, y) x 1 ], q] P r (D 1 ) 2 P r (D 2 ) [r, [, ÓÐÐÓ Ò ÓÒ ÓÐ Ø ØØÙ ØØ d 1 < d 2 ÙÒ d 1 P r (D 1 ) d 2 P r (D 2 )º Ç Ó ¹ Ø Ø Ò ØØ ÓÙ ÓØ 1 2 ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ò Ò ÓØ ÙÓÖ ÐÐ l { (x, y) R 2 y 0 } : ½µ 1 2 ÐÐ D 1 D 1 º ¾µ 1 2 (], q] P r (D 1 )) (P r (D 2 ) [r, [) º µ 1 2 (], q] P r (D 1 )) (P r (D 2 ) [r, [) lº µ ÇÐ ÓÓÒ A B 1 º À Ú Ø Ò ØØ ÓÒ ÚÓ Ñ ], supp r (D 1 )[ ], q] P r (D 1 ) 1, ÓØ Ò ÓÐ ÓÐ Ñ Ô Ø ØØ C 2 Ø Ò ØØ A C Bº µ Ë Ñ Ò Ø Ô Ò Ù Ò Ó Ø µº ÇÒ ÓÐ Ñ Ø ÑÐÐ Ò Ý Ô Ø P (p, 0) Ø Ò ØØ (x, 0) (p, 0) (y, 0) Ó Ú Ò Ó x 1 y 2 Ø x 2 y 1 º Ä Ø Ó P r : l T ]q, r[ P r (x, y) x ÐÝØØ Ö ØÝ Ò ÓØ Ò T Ô Ø ÐÐ Pr 1 (P) ÓÒ ÓÓÑ Ò Ú Ø Ñ Ø ÓÑ Ò Ù٠غ Ä Ý Ò Ò Ô Ø ÓÒ Ý ØØ Ò Òº Ä Ù º¾º¾ º È Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ È µ ÓÐ ÚÓ Ñ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ º

32 º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ¼ ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ { } l 1 (x, y) T x 0, { } l 2 (x, y) T x 2 { } l 3 (x, y) T (x, y) (2, 0) 1. À Ú Ø Ò ØØ l 1 l 2 l 3 ÓÚ Ø T ÙÓÖ l 1 l 2 l 1 l 3 º Ä l 2 l 3 ÙÐ Ú Ø Ô Ø Ò (2, 1) ÙØØ º ÃÙ Ø Ò Ò Ô Ø (2, 1) ÓÒ ÙÓÖ Ò l 1 ÙÐ ÓÔÙÓÐ Ò Ò Ô Ø ÓØ Ò Ô Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ ÓÐ ÚÓ Ñ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ º y l 2 l 1 ¾ ½µ l 3 ÃÙÚ È Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ ÓÐ ÚÓ Ñ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ x ÀÍÇÅ ÈÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ØÓØ ÙØØ ÝÔ Ö ÓÐ Ò ÓÓÑ Ò À ȵ ÓÐÐÓ Ò Ô Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ È µ ØÓØ Ù Ùº

33 ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ½ ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Î Ò Ò ØÙÒÒ ØØÙ ÝÔ Ö ÓÐ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ñ ÐÐ ÓÒ Ò Ñ ÐØÒ ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ º Ë ÙÖ Ú Ø ÐØÚ Ð Ü ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ØÓØ ÙØØ ÑÝ À Ð ÖØ Ò ÓÓ¹ Ñ Ø Ò Ò ÓÓÑ Ø ÑÙØØ Ô Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ º ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÓÒ¹ ØÖÙÓ Ò ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ Ò Ø Ô Ò ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ Ò ÔÓ Ð¹ Ð º Å ÐÐ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÔÙÓÐ Ø ÓÒ Ò Ý Ó º º½ ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÒØ ÅÖ Ø ÐÑ º½º½º ÇÐ ÓÓÒ K { (x, y) R 2 (x, y) < 1 }. ÃÙØ ÙØ Ò Ô Ø Ø P K ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ò Ô Ø ÝØ ØÒ Ò Ø Ò Ñ ØÝ Ø K Ô Ø ÓØØ Ò ÖÓØØÙÚ Ø Ù Ð Ø ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ Ò Ô Ø Øº ÅÖ Ø ÐÑ º½º¾º ÃÐ Ò Ò ÙÓÖ ÓÒ ÓÙ Ó l K K lº Ì l ÓÒ ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ð Ú Ù Ð Ò Ò ÙÓÖ º ÃÙØ ÙØ Ò ÃÐ Ò Ò ÙÓÖ ÐÝ Ý Ø K ÙÓÖ º È Ø P K ÓÒ ÙÓÖ ÐÐ l K Ó P l K º y x ÃÙÚ ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ò ÙÓÖ Ø ÅÖ Ø ÐÑ º½º º ÇÐ ÓÓÒ A B Ñ Ð Ú ÐØ K Ô Ø Øº È Ø Ò A B ÚÐ Ø ÝÝ ÒÓØ Ò ÐÙ Ù d K (A, B) 1 A P B Q 2 log A Q B P, Ñ Ô Ø Ø P Q ÓÚ Ø Ù Ð Ò ÙÓÖ Ò AB Ý ÝÑÔÝÖÒ Ð Ù Ô ¹ Ø Øº Ð Ü Ö Ø Ò ÃÐ Ò ÓÐ Ð Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø Óº ÀÒ ÝÒØÝ ¾ º Ù Ø ÙÙØ ½ ¹ Ð ÓÖ ÈÖ Ù ÒÝ Ý Ò Ò Ë µ ÙÓÐ ¾¾º ÙÙØ ½ ¾ ØØ Ò Ò Ë º ÄÙ Ó Ø Ô ÝÒ Ð Ò ÃÐ Ò ÙÙÒØ ÓÒÒ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÓÒ ÓÔ Ð Ñ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ý º ÇÔ ÐÙ Ò Ò ÒÒÓ ØÙ ÝÔ Ö ÓÐ Ø ÓÑ ØÖ Ø ÖÝ ÑØ ÓÖ Ø º

34 º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ¾ ÀÍÇÅ ÃÙØ Ò ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ÚÓ ÒÝØ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ô ÖÙ Ö Ð Ø ÓØ Ñ ÐÐ Ò Ø ÝÝ ØØ Ò ÚÙÐÐ º Ë Ñ Ó ÑÙ Ø ØØ Ø ÙØ Ò Ò ÙÐÑ ÓÐÑ Ó Ø ÝÑÔÝÖ Ø Ò º Ö ØÝ Ø Ø ÖÚ Ø Ò ÙÖ Ú Ø ÑÖ Ø ÐÑØ ÅÖ Ø ÐÑ º½º º ÇÐ ÓÓÒ A B C Ö K Ô Ø Øº Ë ÒÓØ Ò ØØ B ÓÒ Ô Ø Ò A C ÚÐ A B C Ó A B C ÓÚ Ø Ñ ÐÐ l K ÙÓÖ ÐÐ d K (A, C) d K (A, B) + d K (B, C). ÅÖ Ø ÐÑ º½º º Ë ÒÓØ Ò ØØ Ò Ø AB K CD K ÓÚ Ø Ý Ø Ò Ú AB K CDK Ó d K (A, B) d K (C, D). ÅÖ Ø ÐÑ º½º º Ë ÒÓØ Ò ØØ ÙÐÑ Ø BAC EDF ÓÚ Ø Ý Ø Ò Ú BAC K EDF K Ó Ó Ø E DE K F DF K Ø Ò ØØ AB K DE K AC K DF K ÙÖ BC K E F K º º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÃÐ Ò Ò Ñ Ð¹ Ð ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ØÓØ ÙØØ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ ÑÙØØ Ô Ö ÐÐ Ð ¹ ÓÓÑ º Ç ÓÓÑ Ø ÓÒ ÐÔÔÓ ØÓ Ø ÔØ Ú ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ø Ø Ò Ò Ò Ò ÓÓÑ Ø À½µ À µº ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ò Ø ÚÐ ¹ ÓÐÓ Ó Ó ØØ ÙØÙÚ Ø Ð ÙÐÐ Ñ Ù Ò Ù Ð Ò Ò ÚÐ ÓÐÓ ÓØ Ò ÓÓÑ Ø À µ À µ ÙÖ Ú Ø Ú Ø Ú Ø Ø ÓÑ ÐÐ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø º ÅÝ À ȵ ÓÒ ÐÚ ØÓ º ÇÒ ÐÑ ÚØ Ý Ø Ò ÚÝÝ ÓÓÑ Øº Ø Ò Ò ÙÐÑ Ø ÓÚ Ø ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ú Ø Ø Ðк Ö ØÝ Ø Ò ÚØ ÓÐ ÑÓ Ù Ò Ù Ð Ø ÙÐÑ Øº È Ð ÑÑ ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ò ÐÙÚÙ º

35 ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ À ÒÖ ÈÓ Ò Ö ØØ Ñ ÐÐ Ò Ó ØÓØ ÙØØ À Ð ÖØ Ò ÓÓÑ Ø Ò¹ Ò ÓÓÑ Ø ÑÙØØ È Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ º ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ ÓÒ ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ò Ø Ô Ò Ö ÒÒ ØØÙ Ý ÓÐÐ º º½ ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÒØ ÅÖ Ø ÐÑ º½º½º ÇÐ ÓÓÒ P { (x, y) R 2 (x, y) < 1 }. ÃÙØ ÙØ Ò Ô Ø Ø P P ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ Ò Ô Ø ÝØ ØÒ Ò Ø Ò Ñ ¹ ØÝ Ø P Ô Ø ÓØØ Ò ÖÓØØÙÚ Ø Ù Ð Ø ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ Ò ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ò Ô Ø Øº ÅÖ Ø ÐÑ º½º¾º ÈÓ Ò Ö Ò ÙÓÖ ÓÒ ÓÙ Ó l P P αµ Ñ α ÓÒ Ó Ó ÓÖ ÓÒ ÙØØ ÙÐ Ú Ù Ð Ò Ò ÙÓÖ Ø Ý ÝÑÔÝÖÒ Ù Ø Ò ÓÖØÓ ÓÒ ¹ Ð Ò Ò Ù Ð Ò Ò ÝÑÔÝÖº ÃÙØ ÙØ Ò Ò Ø ÙÓÖ P ÙÓÖ ÓØØ Ò ÖÓØØÙÚ Ø Ù Ð Ø ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ Ò ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ò ÙÓÖ Ø º y x ÃÙÚ ÈÓ Ò Ö Ò ÙÓÖ Ø ÀÍÇÅ ÑÔÝÖØ ÓÚ Ø ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ð Ù Ô Ø Ò Ó Ø ¹ ÙÓÖ Ø Ø Ò ÒØ Øº ÅÖ Ø ÐÑ º½º º ÇÐ ÓÓÒ A B Ñ Ð Ú ÐØ P Ô Ø Øº ÄÙ Ù d P (A, B) A P B Q log A Q B P ÒÓØ Ò Ô Ø Ò A B ÚÐ Ø ÝÝ Ñ Ô Ø Ø P Q ÓÚ Ø α Ò Ý ÝÑÔÝÖÒ Ð Ù Ô Ø Øº ÂÙÐ À ÒÖ ÈÓ Ò Ö ½ ½ ½¾µ ÓÐ Ö Ò Ð Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø Ó Ø Ø Ø Ø Ð º ÈÓ Ò Ö ÓÔ Ð ÚÓ Ò Ò Ö ÑÙØØ ÔØÝ ÐÓÔÙÐØ Ñ Ø Ñ Ø Ó º Î Ø Ö ÐÑ ØÝ ½ º Ë ØØ Ð Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò ÝÐ Ø Ø ÓÖ º ÈÓ Ò Ö Ø ØÙÐ Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ ÓÖ ÚÙÓÒÒ ½ È Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Ñ Ø Ñ ØØ Ò Ý Ò ÔÖÓ ÓÖ ½ º Ê Ò Ò Ø Ø Ñ Ò Ñ ÈÓ Ò Ö Ò Ñ Ø ØØ Ò ½ ¼ º ÈÓ Ò Ö Ò ØÙØ ÑÙ ØÝ ÓÐ Ð ¹ Ð Ø º ÀÒ ÓÐ ÑÝ ØÓÔÓÐÓ Ò ÙÖ ÒÙÙÖØ ÐÙ ÙØ ÓÖ Ò Ø º

36 º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ ÅÖ Ø ÐÑ º½º º ÇÐ ÓÓÒ A B C Ö P Ô Ø Øº Ë ÒÓØ Ò ØØ B ÓÒ Ô Ø Ò A C ÚÐ A B C Ñ Ð A B C ÓÚ Ø Ñ ÐÐ l P ÙÓÖ ÐÐ d P (A, C) d P (A, B) + d P (B, C). ÅÖ Ø ÐÑ º½º º Ë ÒÓØ Ò ØØ Ò Ø AB P CD P ÓÚ Ø Ý Ø Ò Ú AB P CDP Ó d P (A, B) d P (C, D). ÅÖ Ø ÐÑ º½º º Ë ÒÓØ Ò ØØ ÙÐÑ Ø BAC EDF ÓÚ Ø Ý Ø Ò ¹ Ú BAC P EDF P Ó Ó Ø E DE P F DF P Ø Ò ØØ AB P DE P AC P DF P ÙÖ BC P E F P º º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ ØÓØ ÙØØ ÓÓÑ Ø À½µ ¹ À½ µ µ ÑÙØØ Ô Ö ÐÐ ¹ Ð ÓÓÑ º ÓÓÑ Ò ØÓ Ø Ñ Ò Ò ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ ÓÒ Ú Ö Ò Ú Ú ÐÐÓ Ø º Í Ò Ò Ò ØØ ÑÙ Ò ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÒÚ Ö Ó ÝÑÔÝÖÒ Ù Ø Ò Ø Ó ÐÔÓØØ ØÓ ØÙ º ÌÓ Ò Ò ÓÓÑ Ø ÐÚ Ò ÐÝÝØØ Ò Ó¹ Ñ ØÖ Ò Ø Ó ÐÐ ÑÙØØ ÓÒ ÐÑ Ø ÝÒØÝÚØ ÚÐ ÓÐÓÒ Ý Ø Ò ÚÝÝ Ò Ò ¹ º ÑÔ Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ø Ò Ñ ÐÐ Ò Ø Ô Ò À ȵ ÓÒ ÐÚ ØÓ º Ì Ö ¹ Ø ÐÐ Ò ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ Ø Ö ÑÑ Ò ÐÙÚÙ º

37 Á ÓÑ ØÖ Ó Ø Á ÓÑ ØÖ Ó Ø Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú Ñ ÐÐ Ò ÚÐ ÓÑ ØÖ Ó Ø Ð Ø ÝÝ Ø ÐÝØØÚ Ø Ú µ ÙÚ Ù º ÃÓÐÑ ÝÔ Ö ÓÐ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ñ ÐÐ Ô ÖÙ Ö Ð ¹ Ø ÓØ Ò Ò ÓÓÑ ÐÙ ÙÙÒÓØØ Ñ ØØ µ Ó ØÙØ ØØ Ø ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ø ÝÝ Ò ÚÙÐÐ Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ º Ì ÐÙÚÙ Ð Ý ØÒ ÓÑ ØÖ Ó Ø Ñ ÐÐ Ò ÚÐ ÐÐ º Ë Ö ØØ ØÓ Ø Ù Ò ÓÓÑ Ó Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ò ÓÑ Ø¹ Ö Ò Ñ ÐÐ ÓÐÐÓ Ò Ò ÔØ ÚØ Ò º Ë ÚÙØÙÓØØ Ò ÑÑ ØÓ ¹ ØÙ Ò Ä Ù ÐÐ º¾º½ º º½ Å Ù ÙÚ Ù ÅÖ Ø ÐÑ º½º½º ½µ ÂÓÙ Ó C C µ ÒÓØ Ò Ð ÒÒ ØÙ ÓÑÔ¹ Ð Ø Ó º ¾µ ÂÓÙ Ó R R µ ÒÓØ Ò Ð ÒÒ ØÙ Ö Ð Ð º µ ÃÙÚ Ù Ø f : C C ÒÓØ Ò Å Ù ÙÚ Ù Ó ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó f(z) az + b cz + d, Ñ a b c d C Ø Ò ØØ ad bc 0º Ä Ù ØÙÐ Ø Ò Ø Ú ÐÐ Ò Ø Ô Ò ÝØ ØÒ ÙÖ Ú ÓÔ ÑÙ ÂÓ c 0 Ò Ò f(z) { az+b d, ÙÒ z C, z. ÂÓ c 0 Ò Ò az+b cz+d, ÙÒ z C \ { d c } f(z), ÙÒ z { d c } a c, z. ÀÍÇÅ ÃÙÒ c 0 Ò Ò f ÓÒ Ø ÙÚ ÓÙ Ó C \ { d c } lim f(z). z d c ÃÙÒ c 0 Ò Ò f ÓÒ Ø ÙÚ ÓÙ Ó Cº ÃÙÚ Ù Ò f Ø ÙÚÙÙ Ó Ó ÓÙ Ó C ÐÚ Ø ØÒ Ä Ù º½º º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú Ý Ò ÖØ Å Ù ÙÚ Ù ½µ Å Ù ÙÚ Ù Ø f(z) z + w, w C ÒÓØ Ò ÖÖÓ º À Ú Ø Ò ØØ Ó Ò Ò ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ô Ø z ÖØÝÝ ÐÙÚÙÒ w Ú ÖÖ Òº Ë ÖÖÓÐÐ ÓÐ Ú ÙØÙ Ø Ö ØØ ÑÝÝ Ô Ø Ò ÐÐ f(z) z + w 1 z + w 0 z + 1, ÓØ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ º½º½ ÒÓ ÐÐ f( ) º

38 º½ Å Ù ÙÚ Ù ¾µ ÌÓ Ò Ò ØÖ ÓÙ Ó Å Ù ÙÚ Ù ÓÚ Ø Ú ÓÐÐ ÖØÓÑ Ø g(z) λz, Ñ λ C \ {0} z C º ÌÐÐ Ò ÙÚ Ù ÐÐ ÓÐ Ú ÙØÙ Ø Ö ØØ ÑÝÝ Ô Ø Ò ÐÐ g(z) λz λz z + 1, ÓØ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ º½º½ ÒÓ ÐÐ g( ) º ¾º½µ ÂÓ λ 1 Ý ÓÒ ÓÑÔÐ Ø ÓÒ ÖØÓº ÌÓ Ò ÒÓ Ò ÙÒ Ø Ó g(z) ÖØ ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ô Ø Ø ÙÐÑ Ò arg(λ) Ú ÖÖ Òº ¾º¾µ ÇÐ ÓÓÒ λ R λ > 0º ¾º¾º½µ ÂÓ 0 < λ < 1 Ò Ò g(z) ÓÒ ÙØ Ø Ú ÙÚ Ù º ¾º¾º¾µ ÂÓ λ > 1 Ò Ò g(z) ÓÒ Ú ÒÝØØÚ ÙÚ Ù º µ Å Ù ÙÚ Ù ÓØ ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ h(z) 1 z, ÒÓØ Ò ÓÑÔÐ ÒÚ Ö Ó º ÃÙÚ Ù h(z) Ú Ø Ö ØØ ÑÝÝ Ô ¹ Ø Ò ÓÖ ÓÒ h( ) 0 h(0). Ä Ù º½º¾º ÂÓ Ò Ò Å Ù ÙÚ Ù Ò Ý Ø ØØÝÒ ÙÚ Ù Ò Å ¹ Ù ÙÚ Ù Ø f(z) z + w g(z) λz h(z) 1 z Ñ w C λ C \ {0}º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ F : C C Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò Å Ù ÙÚ Ù F(z) az + b cz + d, Ñ ad bc 0º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú Ñ ÓÐÐ Ø Ú ØÓ ØÓ ½µ c 0 ¾µ c 0 ½µ ÇÐ ÓÓÒ c 0º ÌÐÐ Ò Ò F(z) az + b cz + d az + b a d d z + b d g(z) + b f(g(z)) f g(z), d Ñ f(z) z + b d g(z) a d zº ¾µ ÇÐ ÓÓÒ c 0º ÌÐÐ Ò Ò F(z) az + b cz + d bc ad c 2 (z + d c ) + a c bc ad c 2 f 1 (z) + a c bc ad c 2 h(f 1 (z)) + a c

39 º½ Å Ù ÙÚ Ù g(h(f 1 (z))) + a c f 2 (g(h(f 1 (z)))) f 2 g h f 1 (z), Ñ f 1 (z) z + d c f 2(z) z + a bc ad c g(z) c z h(z) 1 2 z º Æ Ò ÓÐÐ Ò Ó Ò Ò Å Ù ÙÚ Ù ÚÓ Ò ØØ Ý Ø ØØÝÒ ÙÚ Ù Ò ÙÒ Ø Ó Ø f(z) g(z) h(z)º Ä Ù º½º º Å Ù ÙÚ Ù ÓÒ Ø Óº Ä Å Ù ÙÚ Ù Ø Ò Ý ¹ Ø ØØÝ ÙÚ Ù ÒØ ÙÚ Ù ÓÚ Ø Å Ù ÙÚ Ù º ÌÓ ØÙ º Î ØØ Ø ÙÖ Ú Ø Ä Ù Ø º½º¾ ÐÐ Å Ù ÙÚ Ù Ø Ò f(z) z +w g(z) λz (λ 0) h(z) 1 z ÒØ ÙÚ Ù Ø f 1 (z) z w g 1 (z) 1 λ z h 1 (z) 1 z ÓÚ Ø Å Ù ÙÚ Ù º ÅÖ Ø ÐÑ º½º º Ë ÒÓØ Ò ØØ A C ÓÒ ÚÓ Ò Ó ØÓ Ò Ò ÙÖ Ú Ø Ú ØÓ Ó Ø ÓÒ ÚÓ Ñ ½µ A C ÓÒ ÚÓ Òº ¾µ A B { } Ø Ò ØØ B C ÓÒ ÚÓ Ò C\B ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙº ÚÓ Ñ Ò ÓÙ Ó Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ð ÒÒ ØÙÒ ÓÑÔÐ Ø ÓÒ ØÓÔÓ¹ ÐÓ T {A C A C ÓÒ ÚÓ Ò}. ÀÍÇÅ T ÓÒ ØÓ ÐÐ ÓÙ ÓÒ C ØÓÔÓÐÓ Ø Ú ÐÐ Ò Ò C ÓÒ ÓÙ ÓÒ C ØÓ¹ ÔÓÐÓ Ò Ò Ð Ú ÖÙÙ º ÅÖ Ø ÐÑ º½º º ÙÒ Ø Ó f : X Y ÓÒ ÓÑ ÓÑÓÖ Ñ Ó f ÓÒ Ø ÙÚ Ø Ó f 1 ÓÒ Ø ÙÚ º ÀÍÇÅ ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÑ ÓÑÓÖ ÙÙ Ø Ö Ó ØØ ØØ ÓÙ ÓØ f(u) f 1 (U) ÓÚ Ø ÚÓ Ñ Ò ÙÒ U X ÓÒ ÚÓ Òº Ä Ù º½º º Å Ù ÙÚ Ù f : C C ÓÒ ÓÑ ÓÑÓÖ Ñ º ÌÓ ØÙ º Î Ø ÙÖ Ä Ù Ø º½º¾ º½º ÐÐ ÙÚ Ù Ø f(z) z + w g(z) λz h(z) 1 z Ñ w C λ C \ {0} ÓÚ Ø ÓÑ ÓÑÓÖ Ñ º Ä Ù º½º º Å Ù ÙÚ Ù f : C C f(z) az + b cz + d ÙÚ Ù Ð Ø ÝÑÔÝÖØ Ù Ð Ø ÙÓÖ Ø Ù Ð ÝÑÔÝÖ Ù Ð ¹ ÙÓÖ º ÌÓ ØÙ º ÃÙÚ Ù f ÓÒ Ä Ù Ò º½º¾ ÒÓ ÐÐ Ý Ø ØØÝ ÙÚ Ù ÖÖÓ Ø Ú ÓÐÐ ÖØÓÑ Ø ÓÑÔÐ Ø ÓÒ ÒÚ Ö Ó Ø Ö ØØ ØÓ Ø Ð Ù Ò ÐÐ ÙÚ Ù ¹ ÐÐ º Æ Ø ÒÓ Ø Ò ÓÑÔÐ Ø ÓÒ ÒÚ Ö Ó Ô Ø Ö Ø ÐÙ º ÌÓ Ø Ø Ò Ñ Ö Ò Ð Ù Ø ØØ Ó α < 1 < z,

40 º½ Å Ù ÙÚ Ù Ò Ò z Ò ÓÑÔÐ Ò Ò ÒÚ Ö Ó h ÙÚ z Ò r Ø Ò ÝÑÔÝÖÒ Ýѹ 1 α ÔÝÖ º ÇÐ ÓÓÒ β ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø ÓÒ z(1 α 2 ) z (1 α 2 ) º ÇÐ ÓÓÒ a x + z Ø Ò ØØ x α z º ÌÐÐ Ò Ò h(a) 1 z(1 α 2 ) 1 a 1 z(1 α 2 ) 1 x + z 1 z(1 α 2 ) zα 2 + x z(x + z)(1 α 2 ) α z 1 α 2 zα 2 + x α(x + z) α z 1 α 2. ÅÙÙØ Ø Ô Ù Ø ÚÓ Ò Ø ÐÐ Ú Ø Ú Ø º Ë Ñ ÐÐ ÙÓÑ Ø Ò ØØ ÑÝ 1 α z(1 α 2 ) Ò Ò z (1 α 2 ) Ø Ò Ò ÝÑÔÝÖ ÙÚ ÙØÙÙ z Ò α z Ø Ò ÝÑÔÝÖÒ ÐÐ º ÃÓ h h 1 Ò Ò h ÓÒ Ò ÚÐ Ò Ò ¹ Ø Óº Î Ø Ú Ø ØÓ Ø Ø Ò Ð Ù Ò Ø Ô Ù Øº ÀÍÇÅ Î ÓÑÔÐ Ø ÓÒ ÒÚ Ö Ó ÙÚ ÓÖ ÓÒ ÙØØ ÙÐ Ú ÙÐ ¹ Ú Ø ÙÓÖ Ø Ø ÐÐ Ò Ø Ø Ò Ò ÓÐ ÒØØ Ò Ò ÙÚ Ù º Â Ø ÙÚÙÙ ÓÖ Ó ÝÒØÝÝ Ø ØØ 1 lim z 0 z lim 1 z z 0 C Ò ØÓÔÓÐÓ º Ä Ù º½º º ÇÐ ÓÓÒ z 1 z 2 z 3 C ÓÐÑ Ö Ô Ø Øغ ÂÓ w 1 w 2 w 3 C ÓÚ Ø ÓÐÑ Ö Ô Ø ØØ Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ø ÑÐÐ Ò Ý Å Ù ÙÚ Ù f : C C Ø Ò ØØ f(z 1 ) w 1, f(z 2 ) w 2 f(z 3 ) w 3. ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ z 1 z 2 z 3 C ÓÐÑ Ö Ô Ø Øغ ÃÓ Å Ù ÙÚ Ù Ø Ò Ý Ø ØÝØ ÙÚ Ù Ø ÒØ ÙÚ Ù Ø ÓÚ Ø Å Ù ÙÚ Ù ÚÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ w 1 0, w 2 1 w 3. Ø ØÒ ÙÚ Ù Ø Ó ÓÒ ÑÙÓØÓ f(z) az + b cz + d, Ñ a b c d C ÓÐÐÓ Ò Ò Ý ØÐ Ø f(z 1 ) az1+b cz 0 1+d f(z 2 ) az2+b cz 1 2+d f(z 3 ) az3+b cz. 3+d

41 º½ Å Ù ÙÚ Ù ÌÐÐ Ò ÓÒ ÚÓ Ñ Ý ØÐ ÖÝ Ñ az 1 + b 0 az 2 + b cz 2 + d cz 3 + d 0. Æ Ò ÓÐÐ Ò ÙÚ Ù f(z) ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó ÓÐÐÓ Ò f(z) az + b cz + d a c z + b c z + d c z 2 z 3 z 2 z 1 z + z1(z2 z3) z 1 z 2 z z 3 (z z 1)(z 2 z 3 ) (z z 3 )(z 2 z 1 ), ad bc (z 2 z 3 )( z 3 (z 2 z 1 )) ( z 1 (z 2 z 3 ))(z 2 z 1 ) (z 2 z 1 )(z 1 z 3 )(z 2 z 3 ) 0. ÂÓ z 1 z 2 Ø z 3 Ò Ò Ú Ø Ú Ø f(z) z 2 z 3 z z 3, f(z) z z 1 z z 3 Ø f(z) z z 1 z 2 z 1. ÃÙÚ Ù f ÓÒ ÐÙØÙÒÐ Ò Ò Å Ù ÙÚ Ù ÓÐÐ ÔØ f(z 1 ) 0, f(z 2 ) 1 f(z 3 ). Ç Ó Ø Ø Ò Ú Ð ØØ ÙÒ Ø Ó f ÓÒ Ý ØØ Ò Òº ÂÓ ÓÐ ÓÐ Ñ ØÓ Ò Ò Å Ù ÙÚ Ù g : C C ÓÐÐ ÔØ Ò Ò g(z) âz + ˆb ĉz + ˆd, g(z 1 ) 0, g(z 2 ) 1 g(z 3 ), f g 1 (z) f(g 1 (z)) ( ) ˆdz ˆb f â ĉz a ˆdz ˆb â ĉz + b c ˆdz ˆb â ĉz + d (a ˆd bĉ)z + âb aˆb (c ˆd ĉd)z + âd ˆbc.

42 º½ Å Ù ÙÚ Ù ¼ ÓÐ ÑÝ Å Ù ÙÚ Ù ÐÐ (a ˆd bĉ)(âd ˆbc) (âb aˆb)(c ˆd ĉd) â ˆd(ad bc) ˆbĉ(ad bc) (ad bc)(â ˆd ˆbĉ) 0. ÌÐÐ Ò ÓÐ ÚÓ Ñ Ý ØÐ ÖÝ Ñ f g 1 (a ˆd bĉ) 0+âb aˆb âb aˆb (0) (c ˆd ĉd) 0+âd ˆbc 0 âd ˆbc f g 1 (a ˆd bĉ) 1+âb aˆb a ˆd bĉ+âb aˆb (1) (c ˆd ĉd) 1+âd ˆbc c ˆd ĉd+âd ˆbc 1 f g 1 ( ) (aˆd bĉ) +âb aˆb, (c ˆd ĉd) +âd ˆbc Ó Ø ÙÖ Æ Ò ÓÐÐ Ò Ø Ò âb aˆb 0 a ˆd bĉ âd ˆbc c ˆd ĉd 0. f g 1 (z) (a ˆd bĉ)z + âb aˆb (c ˆd ĉd)z + âd ˆbc (a ˆd bĉ)z z + a ˆd bĉ (a ˆd bĉ)z a ˆd z bĉ ÐÐ z C ÓØ Ò g 1 ÓÐ ÙÒ Ø ÓÒ f ÒØ ÙÒ Ø Óº Ì Ø ÙÖ ØØ f g ÓØ Ò Å Ù ÙÚ Ù f ÓÒ Ý ØØ Ò Òº Ä Ù º½º º ÇÐ ÓÓÒ z z 1 z 2 z 3 C Ò Ð Ö Ô Ø ØØ f : C C Å Ù ÙÚ Ù º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÚÓ Ñ f(z) f(z 2 ) f(z) f(z 3 ) f(z 1) f(z 3 ) f(z 1 ) f(z 2 ) z z 2 z1 z 3. z z 3 z 1 z 2 ÌÓ ØÙ º ÇÐ ØÙ Ò ÒÓ ÐÐ f : C C ÓÒ Å Ù ÙÚ Ù ÓØ Ò f(z) ÓÒ ÑÙÓØÓ f(z) az + b cz + d, Ñ a b c d C Ø Ò ØØ ad bc ¼º ÌÐÐ Ò Ò f(z) f(z 2 ) f(z) f(z 3 ) f(z 1) f(z 3 ) f(z 1 ) f(z 2 ) az+b cz+d az2+b cz 2+d az+b cz+d az3+b cz 3+d (ad bc)(z z 2) (cz+d)(cz 2+d) (ad bc)(z z 3) (cz+d)(cz 3+d) z z 2 z z 3 z1 z 3 z 1 z 2. az 1+b cz az3+b 1+d cz 3+d az 1+b cz az2+b 1+d cz 2+d (ad bc)(z 1 z 3) (cz 1+d)(cz 3+d) (ad bc)(z 1 z 2) (cz 1+d)(cz 2+d) ÀÍÇÅ ÂÓ Ó Ò Ô Ø Ø z z 1 z 2 z 3 Ò Ò ÖÓØÙ Ø Ò Ó ÑÖØ ØÙй Ø Ò ÙØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ º½º½º ÂÓ z 1 z 2 Ø z 3 Ò Ò Ú Ø Ú Ø Ò z z 2 z1 z 3 z z 2 z 1 z 3 z z 2, Ø. z z 3 z 1 z 2 z z 3 z z 3 z 1 z 2

43 º½ Å Ù ÙÚ Ù ½ ÅÖ Ø ÐÑ º½º½¼º ÇÐ ÓÓØ d 1 : X 2 R d 2 : Y 2 R ÙÚ Ù º ÃÙÚ Ù f : X Y ÓÒ d 1 d 2 ÓÑ ØÖ Ó ½µ f ÓÒ Ø Ó ¾µ ÐÐ x y X ÓÒ ÚÓ Ñ d 1 (x, y) d 2 (f(x), f(y)). ÀÍÇÅ d 1 d 2 ÓÑ ØÖ Ò ÒØ ÙÚ Ù ÓÒ d 1 d 2 ÓÑ ØÖ º ÂÓ (X, d 1 ) (Y, d 2 ) ÓÚ Ø Ñ ØÖ Ú ÖÙÙ Ò Ò f : X Y ÓÒ d 1 d 2 ÓÑ ØÖ Ø Ò ÓÐÐ Ò Ñ ØÖ Ø Ò Ú ÖÙÙ Ò ÓÑÓÖ Ñ º Ñ Ö º½º½½º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ ÓÑÔÐ ¹ Ø Ó º Å Ö ØÒ T {z C Im(z) > 0} P {z C z < 1}. Î Ð Ø Ò Ô Ø Ø z 1 0 z 2 i z 3 º Ä Ù Ò º½º ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ò Ò Å Ù ÙÚ Ù f : C C Ø Ò ØØ f(0) 1, f(i) 0 f( ) 1. Ä Ù Ò º½º ÒÓ ÐÐ Å Ù ÙÚ Ù ÐÐ f ÓÒ ÚÓ Ñ Ó Ø Ò f(z) f(z 2 ) f(z) f(z 3 ) f(z 1) f(z 3 ) f(z 1 ) f(z 2 ) z z 2, z 1 z 2 f(z) f(i) f(0) f( ) f(z) f( ) f(0) f(i) f(z) 0 f(z) 1 ( 1) 1 ( 1) 0 2 f(z) f(z) 1 f(z) z i 0 i i z i i z i z i z + i. Æ Ò ÓÒ ØÙ Ð Ù ÐÐ Å Ù ÙÚ Ù ÐÐ Ó ÙÚ Ô Ø Ø 0 1 Ô Ø 1 0 1º Ë ÙÖ Ú Ø Ð Ù Ø Ó Ó ØØ Ú Ø ØØ ØÑ ÔÙÓÐ Ø ÓÒ T Ó P d T d P ÓÑ ØÖ Ø º Ä Ù º½º½¾º Å Ù ÙÚ Ù Ò f(z) z i z + i Ö Ó ØØÙÑ ÓÙ ÓÓÒ T ÓÒ Ø Ó T P º ÌÓ ØÙ º Ä Ù Ò º½º ÒÓ ÐÐ ÙÚ Ù f : C C f(z) z i z + i

44 º½ Å Ù ÙÚ Ù ¾ ÓÒ ÓÑ ÓÑÓÖ Ñ ÓØ Ò Ò Ö Ó ØØÙÑ ÓÙ ÓÓÒ T ÓÒ Ò Ø Óº Ä ÐÐ z C ÓÒ ÚÓ Ñ f(z) P f(z) < 1 z i z + i < 1 z i 2 < z + i 2 Re(z) 2 + (Im(z) 1) 2 < Re(z) 2 + (Im(z) + 1) 2 2Im(z) < 0 < z T, 2Im(z) Im(z) ÓØ Ò f( T) P º Æ Ò ÓÐÐ f ÓÒ ÑÝ ÙÖ Ø Ó ÓØ Ò f ÓÒ Ø Óº Ä Ù º½º½ º Å Ù ÙÚ Ù ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ ÐÐ z 1 z 2 T º f(z) z i z + i d T (z 1, z 2 ) d P (f(z 1 ), f(z 2 )) ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ z 1 z 2 T º Ä Ù Ò º¾º½ ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ò Ò l T ÙÓÖ Ó ÙÐ Ô Ø Ò z 1 z 2 ÙØØ º ÅÖ Ø ÐÑÒ º½º ÑÙ Ò d T (z 1, z 2 ) log z 1 w 1 z 2 w 2 z 1 w 2 z 2 w 1 Ø d T (z 1, z 2 ) log z 1 w 1 z 2 w 1 Ò ÑÙ Ò ÓÒ Ó α ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø ÓÒ x Ð ÐÐ Ú x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð º Ì ÓÒ ÚÓ Ñ {w 1, w 2 } α R Ð ÓÒ Ú Ð ØØÙ w 1 º ÌÐÐ Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ú ØÓ ØÓ ½µ w 1 w 2 R ¾µ w 1 R w 2 º ½µ ÇÐ ÓÓÒ w 1 w 2 Rº ÌÐÐ Ò Ä Ù Ò º½º ÒÓ ÐÐ d T (z 1, z 2 ) log z 1 w 1 z 2 w 2 z 1 w 2 z 2 w 1 log f(z 1) f(w 1 ) f(z 2 ) f(w 2 ) f(z 1 ) f(w 2 ) f(z 2 ) f(w 1 ). ÃÙÚ Ù f ÓÒ ÓÑ ÓÑÓÖ Ñ ÓØ Ò Ó Ø z 1 w 1 z 2 w 2

45 º½ Å Ù ÙÚ Ù ÙÖ C Ò ØÓÔÓÐÓ f(z 1 ) f(w 1 ) f(z 2 ) f(w 2 ). ÂÓ z 1 w 1 Ô Ø Ò ÝÑÔÝÖ α ÓÙ Ó α T Ò Ò f(z 1 ) f(w 1 ) ÝÑÔÝÖ Ø ÙÓÖ f(α) Ä Ù º½º µ ÓÙ Ó f(α) f( T) f(α) P º ÃÓ f(w 1 ) P Ò Ò f(w 1 ) f(α) P º Ë Ñ ÔØ Ô Ø ÐÐ f(w 2 )º Æ Ò ÓÐÐ Ò Ô Ø Ø f(w 1 ) f(w 2 ) ÓÚ Ø P ÙÓÖ Ò f(z 1 )f(z 2 ) P ÔØ Ô ¹ Ø Ø ÓØ Ò d T (z 1, z 2 ) log f(z 1) f(w 1 ) f(z 2 ) f(w 2 ) f(z 1 ) f(w 2 ) f(z 2 ) f(w 1 ) d P(f(z 1 ), f(z 2 )). ¾µ ÇÐ ÓÓÒ w 1 R w 2 º ÌÐÐ Ò d T (z 1, z 2 ) log z 1 w 1 z 2 w 1 log z1i w1i+z1i w1i (z 1+i)(w 1+i) 2i z 2+i 2i z 1+i z2i w1i+z2i w1i (z 2+i)(w 1+i) log z1 i z w1 i 1+i w 1+i z2 i z 1 2+i z1 i z 1 1+i z 2 i z w1 i 2+i w 1+i log f(z 1) f(w 1 ) f(z 2 ) f( ) f(z 1 ) f( ) f(z 2 ) f(w 1 ). ÃÙÚ Ù f : C C ÓÒ ÓÑ ÓÑÓÖ Ñ ÓØ Ò Ó Ø ÙÖ ÙØ Ò Ó ½µ ØØ z 1 w 1 z 2 f(z 1 ) f(w 1 ) f(z 2 ) f( ). Ä Ö ÙÒ ÐÐ Ø Ñ ÐÐ Ô Ø Ø f(w 1 ) f( ) ÓÚ Ø ÙÓÖ Ò f(z 1 )f(z 2 ) P ÔØ Ô Ø Ø ÓØ Ò d T (z 1, z 2 ) log f(z 1) f(w 1 ) f(z 2 ) f( ) f(z 1 ) f( ) f(z 2 ) f(w 1 ) d P(f(z 1 ), f(z 2 )). Ë ÙÖ Ù º½º½ º ÙÒ Ø Ó f : T P f(z) z i z + i ÓÒ ÓÑ ØÖ º Ä ÙÚ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ Ò Ô Ø Ø ÙÓÖ Ø ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ Ò Ô Ø ÙÓÖ º ÌÓ ØÙ º Ë ÙÖ Ä Ù Ø º½º º½º½ º Å Ù ÙÚ Ù Ø ÓÚ Ø Ò ÐÝÝØØ ÓØ Ò Ò ÐÝØØÚØ ÑÝ ÝÑÔÝÖ Ò ÙÓÖ Ò ÚÐ Ø ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ù٠غ

46 º¾ ÇÖØÓ ÓÒ Ð Ø Ö Ó Ö ÔÖÓ Ø Ó Ë ÙÖ Ù º½º½ º ÙÒ Ø Ó f 1 : P T ÓÒ Å Ù ÙÚ Ù Ò f 1 (z) iz + i 1 z f(z) z i z + i ÒØ ÙÚ Ù º Ë ÙÚ ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ Ò Ô Ø Ø ÙÓÖ Ø ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ Ò Ô Ø ÙÓÖ º ÌÓ ØÙ º Ø ØØÝ ÙÚ Ù f f 1 ÙÚ Ô Ø Ø 0 1 Ø ÐÐ Ò ÓÐÐÓ Ò f f 1 ÓÒ ÒØØ Ò Ò ÙÚ Ù º Î Ø ÙÖ Ø Øº È Ð Ø Ò ÙÖ Ú Ð ÑÑ Ò º¾º½ ØÓ ØÙ Ò ÙÒ Ò Ø ÖÚ ØØ Ú Ø Ð Ù Ø ÓÚ Ø ÒÝØ ÓÓ Ä Ù Ò º¾º½ ØÓ ØÙ º ÌÓ ØÙ º Ä Ù Ò º½º ÒÓ ÐÐ Ð Ý ØÒ ÐÙØÙÒÐ Ø Å Ù ÙÚ Ù Øº Ä Ä Ù Ò º¾º½ ÓÐ ØÙ Ø Ò ÚÙÐÐ Ð Ý ØÒ ÓÑ ØÖ Ø f ÓÙ ÓÒ T Ö Ó Ø¹ ØÙÑ Ò Ó Ø Ú ØØ Ø ÙÖ Ú Øº º¾ ÇÖØÓ ÓÒ Ð Ø Ö Ó Ö ÔÖÓ Ø Ó Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ó ÓÙ ÓÒ º ÌÐÐ Ò ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ò Ô Ø Ò ÓÙ Ó ÓÒ K {z C z < 1}. Ë ÙÖ Ú ÓÒ ØÖÙÓ Ò d K d P ÓÑ ØÖ ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ò ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ Ò ÚÐ ÐÐ ÔÖÓ Ø Ó Ò ÚÙÐÐ º ÃÙÚ ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ò ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ Ò Ý Ø Ý ØÓ Ò

ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù

ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº

Lisätiedot

ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ

ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º º ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø Ø ¹ÑÖ ØØ ÐÝ º¾µ ÚÓ Ú Ø Ø ÑÝ Ø Ò ÑÖ Ø ÐØÚ Æ Ñ ÒØÝ ÑÝ ³ ³¹Ñ Ö Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ò ÓÐ ÐÐ ØØÝ ØÝÔ ¹ÐÝ ÒØ º½µº ¾ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ

Lisätiedot

Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely

Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑ Ò Ö ÒÒ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ø ÐРؽ ؾ Ø È Ð Ó ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ö ÒÒ Ì ØÓ ÓÒ Ô Ð Ò ÝØ Ñ Ò ÓÒ Ñ ÐÐ Ó Ø Ò ÙÚ ØØ ÐÐ Ø Ñ ÐÑ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò Ð

Lisätiedot

Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø

Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Å Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ Ý ØØ Ðк Å Ò Ø Ð Ú Ø ÚÙÙ ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Å Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ø Ô Ó Ò Ñ Ñ ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ô ØÙ Ý ØØ Øº ÂÓ Å Ò Ø Ð Ú Ø ÑÙ ÓÒ

Lisätiedot

Ð ØÖÓÒ Ø Ñ ÙÚÐ Ò Ø Ì ÑÙ Ê ÒØ ¹ Ó À Ð Ò ¾ º ÐÓ ÙÙØ ½ Ë Ò ÙÔ Ò ÝÒÒ Ò Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Å Ù Ö Ø ÐÑØ ¾ ¾º½ ÆÝ Ý Ø Ñ Ù Ö Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø

Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ØÓÖ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð

Lisätiedot

p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2

p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 º ÅÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ö ÒØ Ð Ð ÒØ º½ Â Ø ÙÚÙÙ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø Ù Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÒØ Ð Ð ÒØ ÐÑÔ Ø Ð ÓÒ Ò Ô Ò ÙÒ Ø Ó T(x, y, z.t) ÄÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ÐÑÓ ØØ Ñ Ò ÙÙÒØ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ú ÚÓ Ñ ÑÑ Ò Ù Ò Ð ÐÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ½½ ÃÓÓÖ

Lisätiedot

ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö

ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ý ÝÐÐ Ø ØÓÖ ÒØ Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ

Lisätiedot

(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).

(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc). ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙ Ø ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ØÐ ÐÐ x + 1 = 0 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ó Ó Ò Ö Ð ÐÙ¹ ÚÙÒ ØÓ Ò Ò ÔÓØ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº ÂÓØØ ØÐÐ Ý ØÐ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ù Ñ Ò ØÝØÝÝ Ð ÒØ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ð ÑÐÐ Ò ÙÙ Ð Ó Ñ Ö ØÒ Ø¹ Ø ØÓ Ø

Lisätiedot

À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø

À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø Ì ÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì Ó Ø ÐÐÒ ÓÒ ÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ö Ø Ú ÑÙØØ Ó Ò Ö Ø Ù Ú Ø Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ø Ð ØØ Ö Ø Ù ÓÐ ÝØÒÒ ÐÚÓÐÐ Ò Òº Í ÑÑ Ø ÓÐ ØØ Ú Ø ØØ ÆȹØÝ ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÙÑ ØØÓÑ ÒØÖ Ø Ð µ ÑÙØØ ØØ ÓÐ ØÓ Ø ØØÙº

Lisätiedot

a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº

a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº ÄÙ Ù ÐÙ Ø ÂÙ Ä Ö ÂÓÙÒ È Ö ÓÒ Ò ÄÙ ÐÐ ÌÑ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÂÓÙÒ È Ö Ó Ò ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¾¼¼ ÂÙ Ä Ö Ò ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ô ØÑ Ò ÄÙ Ù Ð٠ع ÙÖ Ò ÐÙ ÒØÓ Òº ÅÓÒ Ø Ò Ò Ò Ñ Ø ¹ Ö Ð ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú ÓÒ Ñ ØØ ÐÐ ÐÙ ÒØÓ ÙÖ ÐÐ Ð ÑÙ

Lisätiedot

Symmetriatasot. y x. Lämmittimet

Symmetriatasot. y x. Lämmittimet Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ ¹ÖÝ ÑĐ» ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó ÅÍÁËÌÁÇ ÆÓ»Ì ÊÅǹ ¹¾¼¼¼ ÔÚÑ ½¼º Ñ Ð ÙÙØ ¾¼¼¼ ÇÌËÁÃÃÇ Ø Ú ÒعØÙÐÓ ÐÑ Ð ØØ Ò ¹Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò ÖØ Ø ØÙØ ØÙÐÓ ÐÑ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ä ÌÁ ̵ ÂÙ Ú Ó Ð ¹ÂÙÙ Ð

Lisätiedot

el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (

el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln ( ÈÙÓÐ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ô ÖÙ Ø Ø À Ì Øº ½º È ÖÖ ÔÒ¹ÔÙÓÐ Ó Ð ØÓ Ò Ò Ö ÚÝ Ñ ÐÐ ÙÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÂÓ ÓÒØ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò V 0 Ý ØÐ µ ÃÙÚ Ò ÚÙÐÐ µ Ù ÓÚ ÖØ Ý ØÐ Ø Ô¹ Ò¹ØÝÝÔ Ø Ò Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ö Ø ÓØ Ô¹ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÙÖ

Lisätiedot

È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»

È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾» È Ú Ö Ù ÆÈ Á à РÐÙÓ Ø È ÆÈ ÒÝØØÚØ ØÝ Ò Ö Ð ÐØ Ë ÐÚ Ø È ÆȺ µ È ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ º µ ÆÈ ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ú Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð ÓÒ

Lisätiedot

F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.

F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}. Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½

Lisätiedot

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø È ÀÌ Ä Ì Ê ÙÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ

Lisätiedot

ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼

ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ Å Ð Ë Ú Ð ÂÓ ÒØÓ Ð Ø ÓÖ Òº ØÖ ÙØ Ú Ø Ð Ø ÔÐÓÑ ØÝ ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ ÁÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ ÐÙÓÒÒÓÒØ

Lisätiedot

Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð

Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÖÓ Æ Ñ Ð ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø

Lisätiedot

:: γ1. g 1. :: γ2. g 2

:: γ1. g 1. :: γ2. g 2 ÌÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ¹ Ý ÝÑÝ Ø º º¾ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ý ÝÑÝ Ð Ø x g Ò e? :: α Ö Ø Ø Ò ÓÐ ÐÐ Ø ÑÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ØØ ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙØØ À ÐÐ ÝÐ Ø Ò ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ ÐÑ ÒØÙ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ð Ó º Ë Ø ÑÙØ ÑÑ Ò ÑÓÒ Ý ÝÑÝ Ð Ø p g Ò e? ::

Lisätiedot

F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.

F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }. Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ã Ö Ì ÑÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ

Lisätiedot

d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j

d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j ¾º¾º ÁÌÇÁÆÌÁ Ì ÁË Æ Ä Ëà ÅÁÆ Æ ¾ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÌÌÈÈÈÌÄÌÅÈÈ Ò Ù Ø¹Öݹ¹ Ò¹¹¹Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÙ ØØ ÐÓ Ò Ù ØÖÝ d ǫ ÒØ ÖÝ ǫ e ÒÙ ØÖÝ u ǫ ÒØ Ö Ý y s Ò ØÖÝ s ǫ ÒØ Ö ǫ t ÒØÖÝ ǫ e ÒØ Ö Ø ¾º¾ ØÓ ÒØ Ø ÝÝ Ò Ð

Lisätiedot

{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.

{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. Ä Ø ÓÓ Ø Ø º º Ä Ø ÓÓ Ø Ø Å Ø Ñ Ø ÓØ ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ù Ò ÓÙ Ó ÑÔÐ ØØ ÐÐ ÒÓØ Ø ÓÐÐ Ò ÙØ Ò {(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. À ÐÐ Ø Ö Ó Ú Ø Ú Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ØÓ ÐÐ Ò Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÒØ Ò Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ð Ø

Lisätiedot

A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =

A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) = ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ÐÔ Ð Ú Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÑÓ ÙÐ ¹ Ö Ó ÒØ Ì ÑÓ ÌÙÓÑ Ò Ò À Ð Ò ½º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö Ø ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ

Lisätiedot

Ì ÓÚ Ö ÓØ Ð Ò Ã ÐÐÙÒ Å Ø Ñ Ø Ò ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ À ØÓÖ ¾ Î Ö ÓØ ÓÖ ¾º½ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý

ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý Ä Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÑ Ò Ò Ð Ñ Ô Ð Ò ÚÙÐÐ Î ÐÐ Ã ÒÒÙÒ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð Ý ÒØØ Ð Ø ÒÖ Ð Ø ÒØØ Ì Ò À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç Å ÖØØ Ì Ò Ö ¾ º½º¾¼½½ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ

Lisätiedot

Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ

Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ à ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Ò ÝÚÝÝ Ð ÒØ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ

Lisätiedot

È ÌÀÇƹÇÀ ÄÅÇÁÆÆÁÆ ËÇÎ ÄÄÍÃËÁ Å ÌÊÁÁËÁÄ Ëà ÆÌ Æ ÌÁÄ ËÌÇÌÁ Ì Ë Æ Â ÆÍÅ ÊÁË Æ Å Ì Å ÌÁÁÃÃ Æ ÄÍÃÁÇÄ ÁËÁÄÄ Ì Ò Ï ÐÐ Ö ¹Ä Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Å ÖÖ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å

Lisätiedot

ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º

ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½

Lisätiedot

x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n

x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n ÇÈÌÁÅÇÁÆÆÁÆ È ÊÍËÌ Ì Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ¾ º ÝÝ ÙÙØ ¾¼¼ ¾ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ØÙØÙ ØÙØØ Ø Ú ÐÐ ÑÔ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ò ÝØØ Ò ÓÚ ÐÐÙØÙ º ÃÙÖ Ñ Ø Ö Ð ÒØÙÙ Ò Ð Ò Ö Ó Òº ÐÙ ÐÝ Ý Ø ÖÖ Ø Ò Ñ ØÖ Ð Ö Ø

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º Šع¾º ½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø º½º¾¼¼ Ì Ø ÐÙÒ ÑÙÐÓ ÒØ ÑÔÙÑ Ø ÖÚ Ò Ö Ø ÐÑ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ø Ó ÙÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Â ÒÒ Ä ØÓÒ Ò ¼¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ

Lisätiedot

1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).

1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i). ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½

Lisätiedot

ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø

ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ìº à ÖÚ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ½» ½½ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì

Lisätiedot

ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º

ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º ÂÓ ÒØÓ ½ ½ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ ÐÐ ØÙØÙ ØÙØ Ò Ô ÖÙ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ö ØÝ Ø Ñ Ø Ò ÖÓ ØÙØÙ Ø Ø Ð Ô ÖÙ Ø Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ø À ÐÐ ÓÐÐ ÓÒ Ô Ó Ó ÐÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø º ½ ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ

Lisätiedot

284 = º Î Ø Ú Ø. A = kanta korkeus. A 1/2suunn = kanta+kanta 2

284 = º Î Ø Ú Ø. A = kanta korkeus. A 1/2suunn = kanta+kanta 2 ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓØ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ ÒÓ¹Ã Ö Ò ½ Å Ø Ñ Ø Ò Ý Ò Ð ØÓ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÈÝØ ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ ÈÝØ ÓÖ

Lisätiedot

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ì ÖÓ ÃÓ Ó Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÌÙÖÙÒ Ð ÓÔ ØÓ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ

Lisätiedot

A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061

A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061 JORMA JOUTSENLAHTI Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä 1990-luvun pitkän matematiikan opiskelijoiden matemaattisen osaamisen ja uskomusten ilmentämänä AKATEEMINEN VÄITÖSKIRJA

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö Ø ÝØØ Ø Ò ØØ Ò ÙÚ Ù ÐÓ Ô ÖÙ Ø Ò Ò Ñ¹ Ö ØØ ÐÝ Û È ØÖ Ä Ò Ö Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º ÂÓ ÒØÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ØØ ÐÝÝÒ Ê¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ ÒÒ Ç Ö Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÐÓ ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º

Lisätiedot

Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò

Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÓØ Ò Ò Ó ÐÑ ØÓØ Ò µ ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ

Lisätiedot

Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø

Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø Ä Æ Ä ÍÃÃÇÆ Æ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ØÓØ Ø Ò Ú Ö Ø Ö Ø ÐÙ ÓÔ ÒØÓ¹ Ñ Ò ØÝ Ò Ú ÙØØ Ú Ò Ø Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÈÄÇÅÁÌ ÝÚ ÝØØÝ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ó ØÓÒ ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ º½½º¾¼¼ º Ì Ö Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ë ÔÔÓ ÈÓ ÓÐ Ò Ò ØÙØ Å ÀÙ ÓÐ

Lisätiedot

x (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W =

x (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W = Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ º Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø Ø Ð ÙÙ Ì ÐÙÚÙ Ø ÑÑ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ø Ô ÒÓÖ Ø Ù Ò Ø Ð ÙÙ Ø Ö Ø ÐÙ¹ ÒÝØ ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö ÐÙÖ Ý Ø Ñ ÐÐ Ô ÐÐ Ò ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò Ó Ó Ð Ø ÝÐ Ô Ò ÓÐ Ú ÐÙÖ º ÂÓ

Lisätiedot

λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.

λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin. Šع¾º½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø ¾¼¼ ¹¼¾¹½¾ Ì Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ø Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÐÐ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Ä ÙÖ ÂÙ Ò Ã Ò ¼¼ È Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ

Lisätiedot

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ̺ à ÖÚ ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ½» ½ Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò

Lisätiedot

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú ËÍÎÁ ÄÌÁÇ ÈÁÊà ÆÅ ÄÄ ¾¼¼ ¾¼¼ Ì È ÀÌÍÆ Á Æ ÄÁÁà ÆÆ ¹ ÇÆÆ ÌÌÇÅÍÍÃËÁ Æ Æ Ä ËÇÁÆÌÁ ËÎ ÊÃÃÇÂ Æ ÎÍÄÄ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø Ð ÓÔ ØÓÒÐ ØÓÖ Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ

Lisätiedot

à ÑÖ Ò ÙÙ Ò ÙÒØÓÐ Ò Ò ÓÖ ÓØ ÓÒ ÓÖ ÓÑ Ö Ò Ð Ò ÑÖÝØÝÑ Ò Ò ËÁË ÄÌ ËÁË ÄÌ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ ÌÙØ ÑÙ Ý ÝÑÝ ØÙØ ÐÑ Ò Ö ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÙÒØÓÐ Ò Ñ Ö Ò Ø ËÙÓÑ º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

T 2. f T (x)e i2π k T x dx. c k e i2π k T x = x dx. c k e i2π k T x = k Z. f T (x) =

T 2. f T (x)e i2π k T x dx. c k e i2π k T x = x dx. c k e i2π k T x = k Z. f T (x) = º ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÙÖÖ Ò ÒØÖÐ Ð Ù ¹ ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(x) PC(R) º½ ÓÙÖÖ¹ Ò ÐÝÝ º ÒÐ Òµ ÅÖ Ø ÐÐÒ T ¹ ÓÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f T (x) = f(x), T 2 < x < T 2, ÃÓÑÔÐ Ò Ò ÓÙÖÖ¹ÖÖÓ Ò c k = 1 T T 2 T 2 f T (x)e i2π k T x dx.

Lisätiedot

x = [ x 1 x 2 x n (x i K) x = K (n) = {(x 1, x 2,...,x n ) : x i K} e 1 = (1, 0,..., 0) Ø, e 2 = (0, 1,..., 0) Ø,..., e n = (0, 0,...

x = [ x 1 x 2 x n (x i K) x = K (n) = {(x 1, x 2,...,x n ) : x i K} e 1 = (1, 0,..., 0) Ø, e 2 = (0, 1,..., 0) Ø,..., e n = (0, 0,... ¼¼ Ë Å ØÖ Ø ÓÖ Ì ÖÓ Î Ò ÙÓ Ù ¾º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ä Ò Ö Ð Ö ½º½ Å Ö ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ È ÖÙ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Å

Lisätiedot

Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ

Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ ÂÝÖ Ä Ò Ò Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½ º ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ

Lisätiedot

3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto

3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ö Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ¹ Ö Ò Ô ÖØÑ Ò Ò ÙÚ Ø Ò Ù Ò Ð Ù Ù Ò Ò Ô Ô Ð Ò µ ÚÙÐÐ Ö Ð Ù Ù Ò Ö Ø ØÓ ÙÐ Ð Ù Ù Ò Ò Ö Ú Ò ÙØØ ÒÒ Ò Ù Ò Ô ÖÖ ØÒ ÖÙÙ ÙÐÐ Ö

Lisätiedot

P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,

P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1, ËÁË ÄÌ º º½ º º¾ º º º º Ú Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò

Lisätiedot

(xy)z = x(yz) λx = xλ = x.

(xy)z = x(yz) λx = xλ = x. ÄÙ Ù ½ ÐÙ ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ ÝØ ØØÚ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Ø ØÓ Ò ØØ Ðݹ Ø Ø Ò Ð ØÓ Ò ÓÔ ÒØÓ ÓÐÐ ÙØÓÑ Ø Øº ÅÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÖ Ú Ò Ð Ø Ò Åº º À ÖÖ ÓÒ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÖÑ Ð Ä Ò Ù Ì ÓÖݺ ÓÒ¹Ï Ð Ý ½ º º º

Lisätiedot

Barysentrinen koordinaattisysteemi sekä pisteen konjugaatio kolmion suhteen

Barysentrinen koordinaattisysteemi sekä pisteen konjugaatio kolmion suhteen HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Jenni

Lisätiedot

ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð

ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ì ÑÓ Ã ÖÚ ¾º½½º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ ¾º½½º¾¼¼ ½» ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ

Lisätiedot

½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1

½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1 ½º º Àǹ ÇÊ ËÁ ù Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ à ÖÔ Ê Ò Ø Ö Ø Ð Ú Ø ÑÝ ÙÒ Ú Ö Ð Ò ÙØÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ú Ö Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ð Ø Ò q ØÙÒÒ Ø ÐÙ Ù ÓÙ Ó Ø Qº Q Ò ÐÙÚÙØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ô Ò Ò Ò Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÎÖÒ Ø ÑÝ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ

Lisätiedot

139/ /11034 = 0.58

139/ /11034 = 0.58 Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ

Lisätiedot

arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos

arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos hyväksymispäivä arvosana arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki 12.4.2007 HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET

Lisätiedot

Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÇÐÐ ¹È ÀÙÓÚ Ð Ò Ò Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò

Lisätiedot

Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta Ä ÊÓÔÔÓÒ Ò Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú

Lisätiedot

Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ

Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ Á Å Ö Ò Ò À Ò ½½º º¾¼¼ Ç Ñ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò

Lisätiedot

Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò

Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò Å ÈÙÐ Ò Ò ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÓØ Ò Ò Ò Ø ÒØÙØ ÐÑ ¾ º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù

Lisätiedot

y t = X t β + u t, u t NID(0, 1) t = 1, 2,..., n ½µ

y t = X t β + u t, u t NID(0, 1) t = 1, 2,..., n ½µ ÇÊ Ê ÈÊÇ ÁÌ Â Â ÄÃ È ÄÄǹÇÌÌ ÄÍÆ Å ÄÄÁÆÌ ÅÁÆ Æ Ê Ò ÓÑ Î Ö Ð ½º Ò ÙÙØ ¾¼¼ ËÁË ÄÌ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ¾ ÇÖ Ö ÔÖÓ Ø ¾º½ Å ÐÐ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Â Ð Ô ÐÐÓ¹ÓØØ ÐÙÒ Ò

Lisätiedot

Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ

Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË Ì ÑÓ Ã ÖÚ º½¾º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË º½¾º¾¼¼ ½» Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ

Lisätiedot

x α 1... x (v ṽ)φdx = 0

x α 1... x (v ṽ)φdx = 0 Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ÔØ ÐÐ ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ì ÑÙ ÅÙ ØÓÒ Ò ½ ½ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ñ Ø Ø Ø Ò Ø ÙÒØ Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÈÓÐÙÒ Ø ÒØ Ù Ò ÒØ Ò ÝÑÔÖ Ø Ô Ð È Ä ÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ ÄÙùØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç

Lisätiedot

Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ

Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ Ê ÑÓ È Ø Ò Ò ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ¾ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò

Lisätiedot

Ä ÖÓ Ò ÒØÝÑ Ò Ò Ù Ø Ð Ó Ò Ô ÐÐÓÒ Ñ ØØ Ú Ë ÖÔ È Ý Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÓÐÓ Ò Ð ØÓ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ Ä ÖÓ Ò Ö ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾

Lisätiedot

º F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й

º F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½

Lisätiedot

ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ

ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ò ² Ö Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø

Lisätiedot

Referenced. Object. StateSet. Node. Geode

Referenced. Object. StateSet. Node. Geode ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ¹Ó Ø Ì ÑÓºÌÓ Ú Ò ÒØѺ Ùغ ÌÑ Ó ÙÑ ÒØØ ÓÒ ØÝ Ò Ø Ô Ú Ø ØÒ Ø ÖÔ Ò ÑÙ Òº ½ Ø ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ÇË µ ÓÒ ÇÔ Ò Ä Ò Ô Ö ÒÒ ØØÙ ¹ÙÓ Ö¹ ØÓ Ó ÓÒ Ú Ô Ø Ø Ú Ó ØÓ Ñ ÑÓÒ ÝÑÔÖ Ø º ÇË Ó¹ ÙÑ ÒØÓ ØÙ ÓÜÝ Ò¹Ó Ñ ØÓÒ

Lisätiedot

Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta È Ä Ø Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö ÁÖÖÐ Ø Ò Ò ¹ Ö ÑÓÓØØÓÖ Â ÒÒ Ä Ù Ö Ò Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç

Lisätiedot

ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½

ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½ Ê Ã ÆÆÍËÌ ÃÆÁËÌ Æ ÇÄÇ ÁËÌ Æ Â ÁÄÅ ËÌÇÄÄÁËÌ Æ Ì ÃÁ Á Æ Î ÁÃÍÌÍË ËÍÆÌÇÂ Æ ËÁË ÁÄÅ Æ Ê ÇÆÈÁÌÇÁËÍÍÌ Æ ÌÓÔ Ã ÒÒÙÒ Ò Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ

Lisätiedot

f(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0.

f(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0. Ú ËÁË ÄÌ ½¾º ËÙ Ø ÐÐ Ø Ò Ó ÙÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º ÇØÓ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½¾º Å Ò Ò ÙÑ Ø Ú Ô ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º º º º º º º º º º

Lisätiedot

Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÎÁÁÃÁÆÃÇËÃÁ Å ÌÌÁ ÂÖ ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ø Ú ÐÙ Ø ÓØ Ä Ò ØØ ØÝ º Å Ø Ñ Ø À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ ÃÓÓ Ù Ø ÓÖ Ò Ø ÚÓ

Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÎÁÁÃÁÆÃÇËÃÁ Å ÌÌÁ ÂÖ ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ø Ú ÐÙ Ø ÓØ Ä Ò ØØ ØÝ º Å Ø Ñ Ø À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ ÃÓÓ Ù Ø ÓÖ Ò Ø ÚÓ Å ØØ Î Ò Ó ÂÖ ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ø Ú ÐÙ Ø ÓØ Ä Ò ØØ ØÝ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÎÁÁÃÁÆÃÇËÃÁ Å ÌÌÁ ÂÖ ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ø Ú ÐÙ Ø ÓØ Ä Ò ØØ ØÝ º Å

Lisätiedot

M : S N { }, S : S N.

M : S N { }, S : S N. Æ ¹Ð ÒØ ÙÒ Ú Ö Ð ÙÙ Æ ËÙÙØ Ö Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù Ñ Ø Ñ Ø ÌÙÖÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ¾¼¼ Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ¾ ½ ÓÖÑ Ð Ø Ò ÐØ Ò Ø ÓÖ Ò ØØ Ø ØÙÐÓ ½º½ ÅÙÐØ ÓÙ ÓØ Ö Ð Ø ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ Ë Ò Ø Ð Ø ÑÓÖ

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º Ê ÒØ Ò Ø Ð ÙÙ Ø ÓÖ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Å Ö Ù ÌÙÓÑ Ð ϕ v N N Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÆÌÌÁ¹ÁÄ ÊÁ È ÊÌ Æ Æ ÁÐÑ ØÓÒÑÙÓ Ù Ñ Ö ÙÓÐ Ò Ø Ó ÐÐ Ú Ù¹ ØÙ Ø Ñ Ö ÐÐ Ò ÙÑ

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÆÌÌÁ¹ÁÄ ÊÁ È ÊÌ Æ Æ ÁÐÑ ØÓÒÑÙÓ Ù Ñ Ö ÙÓÐ Ò Ø Ó ÐÐ Ú Ù¹ ØÙ Ø Ñ Ö ÐÐ Ò ÙÑ ÆÌÌÁ¹ÁÄ ÊÁ È ÊÌ Æ Æ ÁÄÅ ËÌÇÆÅÍÇÃà ÍË Å ÊÁËÍÇÄ ÁÆ ÃÌÁÇÁÄÄ Î ÁÃÍÌÍÃË Ì Å Ê ÄÄÁËÁÁÆ ÃÍÅÈÍà ÊÊÇËÈÁÄÎÁÁÆ Â Å È ÄÄÇÆ Ë Ì ÁÄ Ì Ë Ë Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÂÝÖ Å Ð Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ ÌÝ Ò Ò

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ ÌÝ Ò Ò ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ã ÒÓØ Ó Ø Ò Ò ÙÖÓÚ Ö Ó Ò ØÝ ØØ Ø ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ À Ð Ò ¾º º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º Ê ÒØ Ò Ø Ð ÙÙ Ø ÓÖ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Å Ö Ù ÌÙÓÑ Ð ϕ v N N Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

Erkki Mäkinen ja Timo Poranen. Algoritmit

Erkki Mäkinen ja Timo Poranen. Algoritmit Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKKÖ TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 1/2011 TAMPERE 2011 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKKÖ INFORMAATIOTIETEIDEN

Lisätiedot

Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ì Å Ó Î Ø ÁÈÄÇÅÁÌ Æ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ ÌÝ Ò Ò Ñ Î Ö ÚÖÓÓØØÓÖ Ò ÓÒ Ò Ò ÐÝÝ È ÚÑÖ º Ñ ÖÖ ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÚÙÑÖ ¾ Ç ØÓ Ë ¹ Ø ØÓÐ ÒÒ Ø Ò Ò Ó ØÓ ÈÖ

Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ì Å Ó Î Ø ÁÈÄÇÅÁÌ Æ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ ÌÝ Ò Ò Ñ Î Ö ÚÖÓÓØØÓÖ Ò ÓÒ Ò Ò ÐÝÝ È ÚÑÖ º Ñ ÖÖ ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÚÙÑÖ ¾ Ç ØÓ Ë ¹ Ø ØÓÐ ÒÒ Ø Ò Ò Ó ØÓ ÈÖ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ë ¹ Ø ØÓÐ ÒÒ Ø Ò Ò Ó ØÓ Å Ó Î Ø Î Ö ÚÖÓÓØØÓÖ Ò ÓÒ Ò Ò ÐÝÝ ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Òº ÔÓÓ º Ñ ÖÖ ÙÙØ ¾¼¼ ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ ÈÖÓ ÓÖ ÒØ ÖÓ Ö Ó ÌÝ

Lisätiedot

ÂÝÖ Ë Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ð Ì ØÐ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÌËÁ Ò ÅË˹ÑÖ ØÝ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø ÌÝ Ò Ð Ö Ø Ø ÖØ Ä Ú Ð ØÙÑ ÅÓÒØ Ò Ý Ö Ë ÚÙÑÖ Ë Ó ÒØ Ð ÆÙÑ Ö

ÂÝÖ Ë Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ð Ì ØÐ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÌËÁ Ò ÅË˹ÑÖ ØÝ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø ÌÝ Ò Ð Ö Ø Ø ÖØ Ä Ú Ð ØÙÑ ÅÓÒØ Ò Ý Ö Ë ÚÙÑÖ Ë Ó ÒØ Ð ÆÙÑ Ö ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÌËÁ Ò ÅË˹ÑÖ ØÝ ÂÝÖ Ë Ö Ò Ò À Ð Ò ½ º º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ ÂÝÖ Ë Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ð Ì ØÐ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÌËÁ Ò ÅË˹ÑÖ

Lisätiedot

M Pv + q = 0, M = EIκ = EIv, (EIv ) + Pv = q. v(x) = Asin kx + B cos kx + Cx + D + v p. P kr = π2 EI L n

M Pv + q = 0, M = EIκ = EIv, (EIv ) + Pv = q. v(x) = Asin kx + B cos kx + Cx + D + v p. P kr = π2 EI L n ÄÙ Ù ½ ËØ Ð Ù Ú Ó Ó ÐÑ ½º½ ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ Ì Ô ÒÓ ÓØ Q v + q =, M = Q, ½º½µ ÑÑÓ ÐÐ ÙÚ ÐÐ M v + q =, M = EIκ = EIv, (EIv ) + v = q. ½º¾µ ½º µ ½º µ EI = Ú Ó ÆÙÖ Ù ÚÓ Ñ v (4) + k v = q EI, k = EI,

Lisätiedot

Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ì ÃÆÁÄÄÁË Æ ËÁÁÃ Æ Â Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ ÇË ËÌÇ Ì Ç ØÓ È Ò Ë ÚÙ Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÖÓ ÙÙÖ Ò ÓÓ Ò Ñ ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ ÌÝ Ò Ó ÂÙ Ó Ã ÒÒ Ì Ò

Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ì ÃÆÁÄÄÁË Æ ËÁÁÃ Æ Â Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ ÇË ËÌÇ Ì Ç ØÓ È Ò Ë ÚÙ Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÖÓ ÙÙÖ Ò ÓÓ Ò Ñ ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ ÌÝ Ò Ó ÂÙ Ó Ã ÒÒ Ì Ò Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÂÙ Ó Ã ÒÒ ÃÓÑÔÓ ØØ Ð Ñ Ò ØØ Ò Ò ÐÝÝ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú Ø ØØÝ ÔÐÓÑ ØÝ ÔÓÓ ¾ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ

Lisätiedot

f(x;n,θ) = θ x (1 θ) n x, x = 0,1,...,n; 0 θ 1. Θ = {θ 0 θ 1}. ˆθ = x n.

f(x;n,θ) = θ x (1 θ) n x, x = 0,1,...,n; 0 θ 1. Θ = {θ 0 θ 1}. ˆθ = x n. ËÁË ÄÌ Ú º º½ Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º

Lisätiedot

a(z) = k 0 1 z k = k 0 2 k z k = k 0 z k = (1 + z) n. k

a(z) = k 0 1 z k = k 0 2 k z k = k 0 z k = (1 + z) n. k ̹ º ¾¼½ Ö Ø Ø Ö ÒØ Ø Ò ÖÓ Ú Ø ÙÒ Ø ÓØ È ÇÖÔÓÒ Ò Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ ÄÙ ÐÐ ÌÑÒ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÝÝ ÐÙ Ù Ù Ò ¾¼¼½ ÑÙ Ø ÒÔ ÒÓ Ò Ì Ò ÐÐ Ò ÓÖ ÓÙÐÙÒ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ ÙÖ ÐØ

Lisätiedot

u(0,t) = u(l,t) = 0, t > 0

u(0,t) = u(l,t) = 0, t > 0 ÓÙÖ Ö¹ Ö Ø ¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ì ÑÙ ÀÓÒ Ò Ò ½ ¾ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ¾ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ì Ú Ø ÐÑ Ì ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ø ÐÐÒ ÓÙÖ Ö¹ Ò ÐÝÝ Ò ÑÔ ØÙ¹ ÐÓ Ó Ø Ò ÓÚ ÐÐÙ º Ä Ø Ò Ð ÐÐ ÓÑÔÐ Ø

Lisätiedot

ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU TEKNISKA HÖGSKOLAN HELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU TEKNISKA HÖGSKOLAN HELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ÆÖÒÒ ÂÖÓ ÓÖÓÙÐÙ ÌÒÐÐÒÒ ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU TEKNISKA HÖGSKOLAN HELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ÔÖÓÖ¹ ÔÓ ØÖÓÖ ¹ÚÖÒÐÝÝ ÐØØÑÐÐÒ ÐÑÒØØÑÒØÐÑÐÐ ÄØÓ ÔÖÙÖ ÓÖ º½½º¾¼¼ ÅØÑØÒ ÐØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓÒØÓ ¾ ÑÐÐÒÒÙ ÄØØÖÒØÒ

Lisätiedot

º F(+,+ ) = 1 F(, ) = F(,y) = F(x, ) = 0 й

º F(+,+ ) = 1 F(, ) = F(,y) = F(x, ) = 0 й Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ

Lisätiedot

ONGELMA LASKENNALLINEN EI LASKENNALLINEN ONGELMA ONGELMA = RATKEAMATON RATKEAVA ONGELMA ONGELMA OSITTAIN RATKEAVA EI TEHOKASTA RATKAISUA

ONGELMA LASKENNALLINEN EI LASKENNALLINEN ONGELMA ONGELMA = RATKEAMATON RATKEAVA ONGELMA ONGELMA OSITTAIN RATKEAVA EI TEHOKASTA RATKAISUA Ô ÖÙ Ñ ÐÐ Ø Ä ÒÒ Ò ÚÐÐ ¾¼½¼ ÐÙ ÒÒÓØ ÖØ Ò Ñ Ø Ñ ØÒ Ô ÖÙ ØØغºº Â Ñ Ò ØÝÝÔÔ Ø ØØ ÐÙ Å Ø Ñ Ø ÖØØ µ Ñ Ø Ñ Ø º Ù Ò ÅÓØÛ Ò ÍÐÐÑ Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÙØÓÑ Ø ÌÓÖÝ Ä Ò Ù ÀÓÔÖÓ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒº Ò ØØÓÒ ØØ ÐÝØØÒ ÔÓÐÐ Ò Ò

Lisätiedot

Ì Ú Ø Ñ Ò Ó ÔÓÒ ÒØØ Ò Ô Ö Ò Ø ¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ò ÓÚ Ù Ó Ó ÙÓ ÙÙ ¹ Ò ØÓÓÒº Ì ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ñ ÂÝÚ ÝÒ Ý ÓÔ ØÓ ½º Ó ÙÙØ ¾¼¼ º Ë ÚÙ ½ Ø º Ì ¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ò Ý Ó

Ì Ú Ø Ñ Ò Ó ÔÓÒ ÒØØ Ò Ô Ö Ò Ø ¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ò ÓÚ Ù Ó Ó ÙÓ ÙÙ ¹ Ò ØÓÓÒº Ì ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ñ ÂÝÚ ÝÒ Ý ÓÔ ØÓ ½º Ó ÙÙØ ¾¼¼ º Ë ÚÙ ½ Ø º Ì ¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ò Ý Ó ÔÓÒ ÒØØ Ò Ô Ö Ò Ø ¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ò ÓÚ Ù Ó Ó ÙÓ ÙÙ Ò ØÓÓÒ Ò Ó Ì ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ñ ÂÝÚ ÝÒ Ý ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø ØÓØ Ø Ò ØÓ ½º Ó ÙÙØ ¾¼¼ Ì Ú Ø Ñ Ò Ó ÔÓÒ ÒØØ Ò Ô Ö Ò Ø ¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ò ÓÚ Ù Ó Ó ÙÓ ÙÙ ¹ Ò ØÓÓÒº Ì

Lisätiedot

Šع½º½¼ ¼ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ ÙÖ Ä Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ 3 2.5 2 Ã Ø Ø Ü µ 2 Ü µ 2 Ü µ 3 Ü µ.5 Ø Ü µ 3 Ü µ.5 Ø «.5.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Ü Ü ËÝ Ý ¾¼½¼ Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ËØ Ø ÓÒ Ö Ò Ò ÔÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ËØ Ø ÓÒ Ö Ò Ò ÔÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö ¹ Ò ÐÝÝ ½¼ ÓÔ ÖØÓ ÄÙÓÑ Ì Ð ØÓØ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý ¼½ Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ËÝ Ý ¾¼½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ËØ Ø ÓÒ Ö Ò Ò ÔÖÓ º º º º º º º

Lisätiedot

ÄÇÄÁ ÇÈÌÁÅÇÁÆÌÁ ÈÇËÁÌÊÇÆÁÅÁËËÁÇÌÇÅÇÊÁ¹ÃÍÎÆÌÅÁËÆ ÄÁÁÌÌÎËË ÅÄÄÁÆÌÅÁËËË Ã ËÖÓÐÑ ÈÖÓ ÖÙ ¹ØÙØÐÑ ÌÑÑÙÙ ¾¼¼ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÅÌÅÌÁÁÃÆ ÄÁÌÇË ¾¼¼½ ÌÍÊÃÍ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÅØÑØÒ ÐØÓ ËÊÀÇÄÅ ÃÁË ÐÓÐ ÓÔØÑÓÒØ ÔÓ ØÖÓÒÑ ÓØÓÑÓÖ¹

Lisätiedot

ÚØ ØØ Ò ØÙÐ > ØÒÔØ ÑÝ ÐØ ÑÐ ØÐÐÒ Ö ØÝ Ò ½ ÌØÚÒ ØØÐÙ ØØÚÒ ÖØ ÑÒÒ ØØÓÓÒÐÐ ÐÐÝØØ ÓÔÚ ÐÓÖØÑ Í Ò ÑÐÓ ÝÐ ÐÐ Ø ÓÐÐ ÙÚÐØÙ ØÓÑÒØÓ À ØØÓÓÒÓÐÑ ÚÒ ØÓÑÒØÔÖØ ØÚÓØØÒ

ÚØ ØØ Ò ØÙÐ > ØÒÔØ ÑÝ ÐØ ÑÐ ØÐÐÒ Ö ØÝ Ò ½ ÌØÚÒ ØØÐÙ ØØÚÒ ÖØ ÑÒÒ ØØÓÓÒÐÐ ÐÐÝØØ ÓÔÚ ÐÓÖØÑ Í Ò ÑÐÓ ÝÐ ÐÐ Ø ÓÐÐ ÙÚÐØÙ ØÓÑÒØÓ À ØØÓÓÒÓÐÑ ÚÒ ØÓÑÒØÔÖØ ØÚÓØØÒ ØÒÐÐÒÒ ÝÐÓÔ ØÓ ÌÑÔÖÒ ÐØÓ ÅØÑØÒ ØØÓÓÒ ÓÐÐ ÖØØ ÎÓÓ ÝÑÔØÓÓØØÒÒ ÙÓÖØÙ ÊØÒ Ø ÑÒÒ ØØÓÓÒÐÐ ÎÐ Ù ÐÓÖØÑÒ ÑÐÑÒ ÒØØ ÎÐÑÖ ½ ÌØÚÒ ØØÐÙ ØÖÒ ÐÓÖØÑ ÈÖÓÖØØØÓÒÓ ÐÒÒÙÒØ¹Ø ÝÝÐÐ ØÒÚØÓ Î ÄÌ̹½¼¼ ÎÐ Ù ÐÓÖØÑÒ ÑÐÑÒ Ý Ý ¼½ ¼»½½

Lisätiedot

̹ º ¼¼½ ÄÌÈ» à ÚØ ¾¼½¼ ÈÖ ØØ ÐÓ Ò Ñ ÒØØ Ø Ø ÙÐÙØ ¾ ½º Ì ÍÄÍË ÆÆ Ì ÃÎ ÆÌÌÇÊ ÁÄÄ ÅÙÓØÓ T xϕ(x) Ø E xϕ(x)µ ÓÐ Ú Ø ÒØ Ð Ò Ò ÓÐÑÙ T xϕ(x) E xϕ(x) ØÙÐ ÓØØ

̹ º ¼¼½ ÄÌÈ» à ÚØ ¾¼½¼ ÈÖ ØØ ÐÓ Ò Ñ ÒØØ Ø Ø ÙÐÙØ ¾ ½º Ì ÍÄÍË ÆÆ Ì ÃÎ ÆÌÌÇÊ ÁÄÄ ÅÙÓØÓ T xϕ(x) Ø E xϕ(x)µ ÓÐ Ú Ø ÒØ Ð Ò Ò ÓÐÑÙ T xϕ(x) E xϕ(x) ØÙÐ ÓØØ Ì¹ º ¼¼½ ÄÌÈ» à ÚØ ¾¼½¼ ÈÖ ØØ ÐÓ Ò Ñ ÒØØ Ø Ø ÙÐÙØ ½ ÄÙ ÒØÓ ÈÖ ØØ ÐÓ Ò Ñ ÒØØ Ø Ø ÙÐÙØ ½º Ì ÙÐÙÒÒ Ø Ú ÒØØÓÖ ÐÐ ¾º Ì ÙÐÙ Ò Ð ØØÝÚØ ÑÖ Ø ÐÑØ º Ç Ø ØÓ ØÙØ Ò Ð Ø Ñ Ò º ËÝØ Ñ ØØ Ò Ò Ø ÙÐÙ º Î Ø Ñ ÐÐ Ò ÑÙÓ ÓØ

Lisätiedot