C A B, A D B A B E. A B C, A C B Ø B A C.

Transkriptio

1 Ù Ð Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ñ ÐÐ Ö Ë ÐÑ Ð ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ã ÚØ ¾¼¼

2 Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ À Ð ÖØ Ò ÓÓÑ Ö Ø ÐÑ ¾ ¾º½ À Ð ÖØ Ò Ò Ò ÓÓÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º È Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ ÝÔ Ö ÓÐ Ò Ò ÓÓÑ º º º º º º º º º º º ½ ÈÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ½ º½ ÈÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ º º º ½ ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ½ º½ ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ º º º º ¾ ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ º½ ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ º º º Á ÓÑ ØÖ Ó Ø º½ Å Ù ÙÚ Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÇÖØÓ ÓÒ Ð Ø Ö Ó Ö ÔÖÓ Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º

3 ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ ÂÓ ÒØÓ ÓÑ ØÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð Ó ØÙØ Ø Ò ÙÚ Ó Ø ÔÔ Ð Ø Ò Ò ÓÑ Ò ÙÙ º ÎÓ Ò ÒÓ ØØ Ô ÖÙ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò Ö ÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ ÓÒ Ú Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ÐÙ º Ë Ò ÒÓØ Ò ÝÒØÝÒ Ò ÑÙ Ò Ø Ñ Ò¹ Ñ ØØ Ù Ø º ÂÓ ÒØ Ò Ò ÓÐ ØÖ ØØ Ñ ÐÙ Ø Ø Ò Ñ Ø ØØÙ Ø Ö Ø º Ë ØÙ ØÙÐÓ ÝØ ØØ Ò ÝÚ ÑѺ Ð ØØ Ú ÖÓØÙ Ø º ÌÖ Ú Ñ Ø Ñ Ø Ò ØÝ ÓÐ ØØ Ð ØØ Ò ØÓ Ø Ú ØØ Øº ÃÖ Ð ÙÔÙÒ Ø Å Ð ØÓ Ø ÓØÓ Ò ÓÐ Ú Ì Ð ¾ ÃÖº ÃÖºµ Ð Ù Ù ÙÙÐÙ Ø Ú Ø ÓÖ Ñ Ò ÓØ Ò ÓÑ Ò ÒÓ Ò ÑÙ Ò ÔÝ ØÝ ØÓ Ø Ñ Ò ½µ Ì ÝÐ Ò ÓÐÑ ÓÒ ÒØ ÙÐÑ Ø ÓÚ Ø Ý Ø ÙÙÖ Øº ¾µ Ê Ø ÙÐÑ Ø ÓÚ Ø Ý Ø ÙÙÖ Øº µ à ÓÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ý Ø Ò Ú Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ý Ø ÙÙÖ Ø ÙÐÑ Ò Ò ÚÐ Ò Ò ÚÙº µ ÑÔÝÖÒ Ó Ò Ò Ð ÝÑÔÝÖÒ Ø Ò Ý Ø ÙÙÖ Ò Ó Òº µ ÈÙÓÐ ÝÑÔÝÖÒ Ö Ò ÐØÑ ÙÐÑ ÓÒ ÙÓÖ º ÃÙÙÐÙ Ò Ò Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ñ µ Ó ØÙÒÒ Ø Ò Ì Ð Ò Ð Ù Ò º  Թ ÐÚ Ñ Ø ØÓ Ø Ñ ÐÐ Ø Ø Ô Ù Ø Ö Ó Ø ØØ Òº ÅÙ Ò Ò ÃÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò ØÝ ÓÐ Ú Ð Ò Ò ÝÚ Ò Ð ÙØ Ò ÓØ Ò ØÙ ¹ Ò ÚÓ Ò ÔÙ Ù Ñ ØÒ Ø Ö Ó Ø ØÓ ØÙ Ø º Ì Ð ØØÓ ÒÓ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ú ØØÑÒ ÝØØ Ò ÔÙÒ ÒØÙ Ø Ú Ñ Ð ÙÚ º ÂÓ Ò ØÓ ØÙ Ò Ð ØØÝÝ ÓÙ Ó ÓÐ ØÙ ÑÖ Ø ÐÑ ÓØØ Ö Ð ¹ Ø ÔØØ ÐÝ Ø ÙØ Ò ÙÓÖ Ø ØØÙ º À Ö Ý ÝÑÝ Ù Ò Ô Ð ÓÒ ÑÖ Ø Ð¹ Ñ Ø ÖÚ Ø Ò ÓØØ Ì Ð Ò Ø ÓÖ Ñ Ø ÚÓ Ò ØÓ Ø º ÌÐÐ Ò ÝÒØÝÝ Ø ÖÚ ÑÖ Ø ÐÐ ÓÓÑ Ö Ø ÐÑ ÓÒ Ú Ö Ò ÓÑ ØÖ Ö ÒØÙÙº ÓÓÑ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÓÒ ÔÓ ÐÐ ØÓ ØÙ Ø Ö ÒØÙÚ Øº ÓÓÑ Ö Ø ÐÑ ÔÙÓÐ Ø Ò ÑÙÓ Ó ØÙÙ Ù Ø ÒÒ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ö Ø Ö ØØÓÑ ¹ Ø ÓÓÑ Ø º È Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ó ÐÙ Ò Ù Ð Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ò ÓÑ ØÖ Òº Ì ÔÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ Ø ÐÐÒ ÐÝ Ý ¹ Ø Ù Ð Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ò Ø Ó ÓÑ ØÖ Ò ÓÓÑ Ö Ø ÐѺ ÌÑÒ Ð¹ Ò ÓÒ ØÖÙÓ Ò Ù Ð Ò ÓÑ ØÖ Ò Ñ ÐÐ ÓÐÑ ÝÔ Ö ÓÐ Ò ÓÑ Ø¹ Ö Ò Ñ ÐÐ º Ä Ú ÖØ ÐÐ Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ñ ÐÐ ØÓ Ò º ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ Ò Ø ÐÐÒ Ö Ð ÝÔ Ö ÓÐ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ñ ÐРй ÒÒ ØØ Ö Ñ ÐÐ Ö Ô ÖØ Ø Ò ÝÚØ ÝÚ Òº Ä Ò Ø Ò Ö Ó Ø Ø ÓÖ ÑÓ ØÓ ØÙ º Ä Ñ ÐÐ Ò ÚÙÐÐ Ó Ø ÓÚ ÐÐÙ Òº

4 ¾ À Ð ÖØ Ò ÓÓÑ Ö Ø ÐÑ ¾ ¾ À Ð ÖØ Ò ÓÓÑ Ö Ø ÐÑ ÓÑ ØÖ Ò ÓÓÑ Ø ÐØÚØ Ô ÖÙ ØØ Ø Ô Ø ÙÓÖ Ô ÖÙ Ö Ð Ø ÓØ ÙÓÖ ÙÐ Ô Ø Ò ÙØØ ÚÐ ÓÐÓ ÒÓ Ò Ý Ø Ò ÚÝÝ ÙÐÑ Ò Ý Ø Ò ¹ ÚÝÝ º Ë ÙÖ Ú Ý Ò ÐÔ À Ð ÖØ Ò ½ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ Ò Ò ¾ ÓÓÑ µº ¾º½ À Ð ÖØ Ò Ò Ò ÓÓÑ Ø À½µ ÂÓ P Q ÓÚ Ø Ö Ô Ø Ø Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ø ÑÐÐ Ò Ý ÙÓÖ Ó ÙÐ Ô Ø Ò P Q ÙØØ º ÀÍÇÅ ÐÐ Ñ Ò ØÙ Ø ÙÓÖ Ø ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ PQº À¾µ ÂÓ Ò ÙÓÖ Ò ÐØÝÝ Ò Ò Ö Ô Ø Øغ À µ ÇÒ ÓÐ Ñ ÓÐÑ Ö Ô Ø ØØ Ø Ò ØØ Ñ Ò ÙÓÖ ÙÐ Ò Ò Ò ÙØØ º À µ ÂÓ B ÓÒ A Ò C Ò ÚÐ Ñ Ö ØÒ A B C Ò Ò A B C ÓÚ Ø Ö Ô Ø Ø Ó Ò Ò ÙØØ ÙÐ Ñ ÙÓÖ C B Aº À µ ØØ ÂÓ A B ÓÚ Ø Ö Ô Ø Ø Ò Ò ÙÓÖ ÐÐ AB ÓÒ Ô Ø Ø C D E Ø Ò C A B, A D B A B E. À µ ÂÓ A B C ÓÚ Ø Ö Ô Ø Ø ÓØ ÙÙÐÙÚ Ø Ñ ÐÐ ÙÓÖ ÐÐ Ò Ò Ø ÑÐÐ Ò Ý ÙÖ Ú Ø Ó Ø ÓÒ ÚÓ Ñ A B C, A C B Ø B A C. ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º½º ÇÐ ÓÓÒ A B Ö Ô Ø Øº ÂÓÙ Ó ÒÓØ Ò Ò ABº AB : {C ÓÒ Ô Ø A C B Ø A C Ø B C} ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º¾º ÇÐ ÓÓÒ l ÙÓÖ A B Ô Ø Ø Ó Ò ÙØØ l ÙÐ º Ë ÒÓØ Ò ØØ Ô Ø Ø A B ÓÚ Ø Ñ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÓÖ Ð ABl Ø BAl Ó A B Ø ÙÓÖ l ÐÐ Ò Ò AB Ô Ø Øº ÅÙÙÐÐÓ Ò ÒÓØ Ò ØØ A B ÓÚ Ø Ö ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÓÖ Ð AlB Ø BlAº ½ Ú À Ð ÖØ ½ ¾ ½ µ ÓÐ Ð Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø Óº ÀÒ Ò ÚÙØÙ Ò ÓÐ Ó¹ Ñ ØÖ Ò ÓÓÑ Ö Ø ÐÑÒ ÙÙ ÐÐ Ò ØØ Ñ Ò Òº È Ö Ø Ò À Ð ÖØ ØÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ò ¹ Ö Ø ÒÙÐÓØØ Ø Ò Ú ÖÙÙ Ò ØØ Òº ¾ Ê Ö Ò ½ ½ ½ ½ µ ÓÐ À Ð ÖØ Ò Ø Ô Ò Ð Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø Óº ÀÒ Ò ÒÒÓ ØÙ Ò Ó Ø Ò Ò ÓÐ Ô Ð Ö º ÎÙÓÒÒ ½ ¼ Ò ÔØÝ ÓÔ Ð Ñ Ò ÐÙ ÙØ ÓÖ ØØ Ò Ò Ò ÙÙÐÙ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÓÒº ÅÝ ÑÑ Ò Ò ÓÔ ØØ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ð Ö ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒØ ÓÑ ØÖ º Ò Ò Ó ØÙ ÑÝ ØÙØ ÑÙ Òº ÀÒ Ò Ò¹ Ó Ø Ò ØØÝ ÚØ Ð Ö Ò ØÖ Ø Ø Ó ¹ ÐÙ Ø ÙØ Ò ÖÝ ÑØ Ö Ò Ø ÑÓ ÙРغ ÓÐ ÝÐÐØÝ ØØ Ò Ò ÐÙÓÑ ÐÐ ÓÓÑ ÐÐ ÓÒ ÑÝ ÝÚÐÐ Ò Ò Ð Ö ÐÐ Ò Ò Ñ Ö ØÝ º

5 ¾º½ À Ð ÖØ Ò Ò Ò ÓÓÑ Ø À µ ÇÐ ÓÓÒ l ÙÓÖ A B C Ô Ø Ø Ó Ò ÙØØ l ÙÐ º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÚÓ Ñ ½µ ÂÓ ABl BCl Ò Ò AClº ¾µ ÂÓ AlB BlC Ò Ò AClº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º º ÇÐ ÓÓÒ A B Ö Ô Ø Øº ÂÓÙ Ó ÒÓØ Ò ÔÙÓÐ ÙÓÖ ABº AB : AB {C ÓÒ Ô Ø A B C} À µ ÂÓ A B ÓÚ Ø Ö Ô Ø Ø PQ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÔÙÓÐ ÙÓÖ Ò Ò ÓÒ ÓÐ ¹ Ñ Ø ÑÐÐ Ò Ý Ô Ø R PQ Ø Ò ØØ Ò Ø AB PR ÓÚ Ø Ý Ø Ò Ú AB PRº ÀÍÇÅ C AB \ {A} B AC \ {A}º ÀÍÇÅ ÓÓÑ Ø À µ ÙÖ Ö ØÝ Ø ØØ Ô Ø Ø A ÙÙÒØ Ò AB Ô ÖÖ ØÝØ Ò Ø AC AC ÓÚ Ø Ñ Ò Ó Ò ÓÚ Ø Ý Ø Ò Úغ À µ  ÒÓ Ò Ý Ø Ò ÚÝÝ ÓÒ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó ½µ AB AB Ê Ú ÝÝ µº ¾µ ÂÓ AB CD Ò Ò CD AB ËÝÑÑ ØÖ ÝÝ µº µ ÂÓ AB CD CD EF Ò Ò AB EF ÌÖ Ò Ø Ú ÙÙ µº À½¼µ ÂÓ A B C A B C AB A B BC B C Ò Ò AC A C º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º º ÇÐ ÓÓÒ O Q Ö Ô Ø Øº Ë ÒÓØ Ò ÝÑÔÝÖ Ô Ø ÓÙ ¹ Ó {P ÓÒ Ô Ø OP OQ}, Ñ O ÓÒ ÝÑÔÝÖÒ Ô Ø Q Ô Ø º Ç È É ÃÙÚ ½ ÑÔÝÖÒ ÑÖ Ø ÐÑ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º º ÃÙÐÑ BAC ÑÙÓ Ó ØÙÙ Ø ÔÙÓÐ ÙÓÖ Ø ÝÐ Ø AB AC ÓØ Ð Ú Ø Ñ Ø Ô Ø Ø Ö Ø Aº

6 ¾º½ À Ð ÖØ Ò Ò Ò ÓÓÑ Ø ÀÍÇÅ ÃÙÐÑ ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ BAC CABº À½½µ ÇÐ ÓÓÒ BAC ÙÐÑ DE Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÙÓÖ º ÇÐ ÓÓÒ Ð P Ô Ø Ó ÐÐÝ ÙÓÖ Ò DEº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ø ÑÐÐ Ò Ý ÔÙÓÐ ÙÓÖ DF Ø Ò ØØ FP DE BAC EDF º ÀÍÇÅ ÓÓÑ À½½µ ÒÓÓ Ö ØÝ Ø ØØ Ó ÙÐÑ ÓÚ Ø Ý Ø ¹ Ò ÚØ Ò ÐÐ ÓÒ Ý Ø Ò Ò ÝÐ Ò Ò ØÓ Ò Ò Ò ÝÐ ÓÒ Ý Ø Ò Ò Ø ØØ Ò Ö ÔÙÓÐ ÐÐ Ò Ñ Ò ØØÙ ÝÐ º À½¾µ ÃÙÐÑ Ò Ý Ø Ò ÚÝÝ ÓÒ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó Ð ½µ BAC BAC Ê Ú ÝÝ µ ¾µ ÂÓ BAC EDF Ò Ò EDF BAC ËÝÑÑ ØÖ ÝÝ µ µ ÂÓ BAC EDF EDF HGI Ò Ò BAC HGI ÌÖ Ò Ø Ú ÙÙ µº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º º ÇÐ ÓÓÒ A B C Ö Ô Ø Ø ÓØ ÚØ ÙÙÐÙ Ñ Ð¹ Ð ÙÓÖ ÐÐ º È Ø Ò A B C ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó ÒÓØ Ò ÓÐÑ Ó ABCº  ÒÓ AB BC AC ÒÓØ Ò ÓÐÑ ÓÒ ÚÙ Ô Ø Ø A B C ÓÐÑ ÓÒ Ö º ÀÍÇÅ ÂÖ ØÝ Ñ Ö Ø Ø ØØ ABC BACº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º º ÇÐ ÓÓÒ ABC DEF ÓÐÑ Ó Ø º Ë ÒÓØ Ò ØØ Ò ÓÚ Ø Ý Ø Ò Ú ABC DEF Ó Ò Ò Ú Ø Ú Ø ÚÙØ ÙÐÑ Ø ÓÚ Ø Ý Ø Ò Ú º À½ µ ÇÐ ÓÓÒ ABC DEF ÓÐÑ Ó Ø Ø Ò ØØ A D AB DE AC DF º ÌÐÐ Ò ABC DEF º ËÃË ÒØ µ µ ÇÐ ÓÓÒ l ÙÓÖ L {P P ÓÒ ÙÓÖ ÐÐ l} Ò Ò Ô Ø Ò ÓÙ Óº ÇÐ ÓÓÒ Ð D 1 L D 2 L Ø Ò ØØ ½µ D 1 D 2 ¾µ D 1 D 2 µ D 1 D 2 L µ ÂÓ Q R D 1 Ò Ò ÓÐ ÓÐ Ñ Ô Ø ØØ S D 2 ÓÐÐ ÓÐ Q S Rº µ ÂÓ Q R D 2 Ò Ò ÓÐ ÓÐ Ñ Ô Ø ØØ S D 1 ÓÐÐ ÓÐ Q S Rº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ø ÑÐÐ Ò Ý Ô Ø P L Ø Ò ØØ ÐÐ A B L ÔØ A P B Ò Ú Ò ÙÒ A D 1 B D 2 Ø A D 2 B D 1 º ÀÍÇÅ Ù Ð Ò ÓÑ ØÖ Ò ÓÓÑ Ö Ø ÐÑÒ ÙÙÐÙÙ Ð Ô Ö Ð¹ Ð Ð ÓÓÑ È µ ÝÔ Ö ÓÐ Ò ÓÑ ØÖ Ò ÓÓÑ Ö Ø ÐÑÒ ÙÙÐÙÙ ÝÔ Ö ÓÐ Ò Ò ÓÓÑ À ȵ ÓØ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ó ¾º º

7 ¾º¾ ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ ¾º¾ ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ Ì ÐÙÚÙ ÓÒ ØÖÙÓ Ò ÙÖ Ú Ù Ð ÐÐ ÓÑ ØÖ ÐÐ ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ Ð Ò º ÓÙÐÙ ÓÑ ØÖ Ñ ÐÐ º Å ÐÐ Ò ÚÙÐÐ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò ÓÓÑ Ò À½µ À½ µ µ È µ Ö Ø Ö ØØÓÑÙÙ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾º½º ÇÐ ÓÓÒ Ø ÓÒ R 2 Ô Ø Ø Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ Ò Ô Ø Ø ÙÓÖ Ø ÑÙÓØÓ l { (x, y) R 2 (x, y) (x 0, y 0 ) + λ(a, b), λ R } ÓÐ Ú Ô Ø ÓÙ Ó Ñ x 0 y 0 µ R 2 a bµ R 2 \ {(0, 0)} ÓÚ Ø ÒÒ Ø Ø¹ ØÝ º Ä ÒÓØ Ò ØØ Ô Ø È ÙÙÐÙÙ ÙÓÖ ÐÐ Ð Ó P lº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾º¾º ÇÐ ÓÓÒ A B Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ Ò Ô Ø Øº ÅÖ ¹ Ø ÐÐÒ Ô Ø Ò ÚÐ Ò Ò Ø ÝÝ A B : (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2, Ñ A a 1 a 2 µ B b 1 b 2 µº Ø ÝÝØØ ÙØ ÙØ Ò Ù Ð Ø ÝÝ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾º º ÇÐ ÓÓÒ A B C Ö Ô Ø Ø Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ º Ë ÒÓØ Ò ØØ B ÓÒ Ô Ø Ò A C ÚÐ A B C Ñ Ð A C A B + B C. Ä Ù ¾º¾º º ÇÐ ÓÓÒ A (a 1, a 2 ) B (b 1, b 2 ) Ö Ô Ø Øº Ì Ó ÓÓÖ Ò ¹ Ø ØÓÑ ÐÐ Ò ÓÙ Ó { (x, y) R 2 (x, y) (a 1, a 2 ) + λ(b 1 a 1, b 2 a 2 ), λ [0, 1] } ÓÒ Ò ABº Ë Ø ÒÓØ Ò Ù Ò Ù Ð Ò ABº ÌÓ ØÙ º Ë ÙÖ ÙÓÖ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ¾º½º½ ¾º¾º½ ¾º¾º º ÃÙÒ ÚÐ ÓÐÓ ÒÝØ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÓÒ ÑÝ Ò Ò Ø ÑÖ Ø ÐØݺ È Ò ÐÐ Ð ¹ ÙÐÐ ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ ØÐÐ Ò Ò Ò ÓÒ Ñ Ù Ò Ù Ð Ò Ò Ò º ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ó A (a 1, a 2 ) B (b 1, b 2 ) Ò Ò A C B Ó Ú Ò Ó C (a 1, a 2 ) + λ(b 1 a 1, b 2 a 2 ) ÓÐÐ Ò λ ]0, 1[º Î Ø Ú ÔØ ÑÝ ÔÙÓÐ ÙÓÖ ÐÐ º ÌÓ Ò ÒÓ Ò C AB Ó Ú Ò Ó C (a 1, a 2 ) + λ(b 1 a 1, b 2 a 2 ) ÓÐÐ Ò λ ¼º Ä Ù ¾º¾º º ÇÐ ÓÓÒ A (a 1, a 2 ) B (b 1, b 2 ) Ö Ô Ø Øº Ì Ó ÓÓÖ Ò ¹ Ø ØÓÑ ÐÐ ÓÙ Ó { (x, y) R 2 (x, y) (a 1, a 2 ) + λ(b 1 a 1, b 2 a 2 ), λ 0 } ÓÒ ÔÙÓÐ ÙÓÖ ABº Ë Ø ÒÓØ Ò Ù Ò Ù Ð ÔÙÓÐ ÙÓÖ ABº ÌÓ ØÙ º Ë ÙÖ ÙÓÖ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ¾º½º ¾º¾º Ä Ù Ø ¾º¾º º

8 ¾º¾ ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾º º ÇÐ ÓÓÒ A B C D ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ Ò Ô Ø Øº Å ÐÐ Ò Ò Ø AB CD ÓÚ Ø Ý Ø Ò Ú AB CD Ó ÓÒ ÚÓ Ñ A B C D. ÅÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú ÙÐÑ Ò Ý Ø Ò ÚÝÝ ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ Ð¹ Ð Òº ÇØ Ø Ò ÙÐÑ Ò Ý Ø Ò ÚÝÝ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ð ÒÒ ØØÙ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ó Ò Ð Ù µ a 2 b 2 + c 2 2bc cosα. α ÃÙÚ ¾ ÃÓ Ò Ð Ù ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾º º ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ Ò ÙÐÑ Ø BAC DEF ÓÚ Ø Ý Ø Ò Ú BAC EDF Ó A B 2 + A C 2 B C 2 A B A C D E 2 + D F 2 E F 2. D E D F ÀÍÇÅ Æ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ Ý Ø Ò ÚÝÝ ÓÒ ØÓ ÐÐ ÙÐÑ Ò ÚÐ Ò Ò Ö Ð Ø Óº ÂÓ BAC EDF B AB C AC Ò Ò B AC EDF º ÌÑ ÓÒ ÐÔÔÓ ØÓ Ø Ð Ñ ÐÐ º Ä Ù ¾º¾º º ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ ØÓØ ÙØØ À Ð ÖØ Ò ÓÓ¹ Ñ Ø À½µ À½ µ Ò Ò ÓÓÑ Òº ÌÓ ØÙ º ÌÓ Ø Ò ØØ ÓÒ ØÖÙÓ ØÙ Ñ ÐÐ ØÓØ ÙØØ À Ð ÖØ Ò ÓÓÑ Ø À½µ ÇÐ ÓÓÒ P Q Ø ÓÒ R 2 Ö Ô Ø Øº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ p 1 p 2 q 1 q 2 R Ø Ò ØØ P p 1 p 2 µ Q q 1 q 2 µº Î Ð Ø Ò ÙÓÖ { (x, y) R 2 (x, y) (p 1, p 2 ) + λ(q 1 p 1, q 2 p 2 ), λ R }, ÓÐÐÓ Ò Ñ λ ¼ P (p 1, p 2 ) + λ(q 1 p 1, q 2 p 2 ), Q (p 1, p 2 ) + λ(q 1 p 1, q 2 p 2 ), Ê Ò ÖØ ½ ½ ¼µ ÓÐ Ö Ò Ð Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø Ó ÐÓ Ó Ø Ñ º ÀÒØ ÚÓ Ò ÙØ Ù ÑÓÒ ÐÐ Ò Ø Ô ÒÝ ÝÑ Ø Ñ Ø Ò º ÖØ ØØ ÖØ Ò ÓÓÖ¹ Ò Ø ØÓÒ ÓÒ ÙÖ Ù Ò Ò ÐÝÝØØ Ò Ò ÓÑ ØÖ Ð ÙÒ º à ÒØ ÓÐ Ñ Ö ØØÚ ÐÐ ÐÓ Ý Ø Ý Ò Ð Ö Ò ÓÑ ØÖ Ò ÚÐ ÐÐ º

9 ¾º¾ ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ Ñ λ ½º Æ Ò ÓÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ò Ò Ý ÙÓÖ Ó ÙÐ Ô ¹ Ø Ò P Q ÙØØ º Ç Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú ÙÓÖ Ò PQ Ý ØØ ÝÝ º ÇÐ ÓÓÒ l ÙÓÖ Ø Ò ØØ P l Q lº ÌÐÐ Ò ÙÓÖ Ò l { (x, y) R 2 (x, y) (x 0, y 0 ) + λ(a, b), λ R } Ð Ù Ø Ò Ñ λ P λ Q Rº Æ Ò ÓÐÐ Ò ÔØ (p 1, p 2 ) (x 0, y 0 ) + λ P (a, b) (q 1, q 2 ) (x 0, y 0 ) + λ Q (a, b), a q 1 p 1 λ Q λ P b q 2 p 2 λ Q λ P x 0 (p 1 + q 1 )(λ 2 P λ2 Q ) p 1 + q 1 2(λ 2 P λ2 Q ) y 0 (p 2 + q 2 )(λ 2 P λ2 Q ) p 2 + q 2 2(λ 2 P λ2 Q ), ÓØ Ò ÙÓÖ l ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó l { (x, y) R 2 (x, y) (p 1, p 2 ) + λ(q 1 p 1, q 2 p 2 ), λ R }. Ë Ô Ø Ò P Q ÙØØ ÙÐ Ú ÙÓÖ ÓÒ Ý ØØ Ò Òº À¾µ ÇÐ ÓÓÒ l Ñ ÐÐ Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÙÓÖ º ÌÐÐ Ò Ý Ò Ò ÙÓÖ ÓÒ ÑÙÓØÓ l { (x, y) R 2 (x, y) (x 0, y 0 ) + λ(a, b), λ R } ÓÐÐ Ò x 0 y 0 µ R 2 a bµ R 2 \ {(0, 0)}º Æ Ò ÓÐÐ Ò ÙÓÖ ÙÐ Ô Ø Ò x 0 y 0 µ x 0 a y 0 bµ ÙØØ ÓØ Ò ÓÓÑ ØÓØ ÙØÙÙº À µ Î Ð Ø Ò Ô Ø Ø ¼ ¼µ ½ ¼µ ½ ½µ Ø Ó Ø R 2 º ÇÒ ÐÔÔÓ ØÓ Ø ØØ Ñ Ò Ñ ÐÐ Ò ÙÓÖ Ø ÙÐ Ó Ò Ú Ð ØÙÒ Ô Ø Ò ÙØØ ÓØ Ò ÓÓ¹ Ñ À µ ÔØ º À µ È Ø Ò ÓÐÓ Ñ ÐÐ ÙÓÖ ÐÐ ÙÖ Ø Ú ÐÐ Ò ÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ Ò ÒØ ¹ Ó Ø ÑÙÙØ Ó Ø ÙÖ Ú Ø ÙÓÖ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ¾º¾º º À µ ÇÐ ÓÓÒ A B Ñ ÐÐ Ò Ö Ô Ø Øº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ a 1 a 2 b 1 b 2 R Ø Ò ØØ A a 1 a 2 µ B b 1 b 2 µº Æ Ò ÓÐÐ Ò ÙÓÖ Ò AB { (x, y) R 2 (x, y) (a 1, a 2 ) + λ(b 1 a 1, b 2 a 2 ), λ R }. Î Ð Ø Ò ÙÓÖ ÐØ AB Ô Ø Ø C D E Ø Ò ØØ C (2a 1 b 1, 2a 2 b 2 ) (λ 1) D ( a 1+b 1 ) ( ) 2, a2+b2 2 λ 1 2 E (2b 1 a 1, 2b 2 a 2 ) (λ 2).

10 ¾º¾ ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ ÌÐÐ Ò ÓÒ ÚÓ Ñ C B (2a 1 b 1 b 1 ) 2 + (2a 2 b 2 b 2 ) 2 2 (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 (2a 1 b 1 a 1 ) 2 + (2a 2 b 2 a 2 ) 2 + (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 C A + A B, A B (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 1 (a1 b 1 ) (a 2 b 2 ) (a1 b 1 ) (a 2 b 2 ) 2 ( a1 a ) 2 ( 1 + b 1 + a 2 a ) b (a1 ) 2 ( ) 2 + b 1 a1 + b 1 + b 1 + b A D + D B A E [a 1 (2b 1 a 1 )] 2 + [a 2 (2b 2 a 2 )] 2 2 (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 + [b 1 (2b 1 a 1 )] 2 + [a 2 (2b 2 a 2 )] 2 A B + B E, ÓØ Ò C A B, A D B A B E. À µ Ë ÙÖ Ð ÙÐÐ ÑÖ Ø ÐÑ Ø ¾º¾º º À µ ÓÓÑ Ò À µ ÚÓ Ñ ÓÐÓÒ ØÓØ Ñ Ò Ò ÙÓÖ Ò Ð Ñ ÐÐ ÓÒ Ò¹ Ð ÑÙØØ Ð Ò Ö Ð Ö Ò Ø Ó ÐÐ Ø ÓÒ ÖÖÓ Ø ÖÖÓ Ø ÚÓ ¹ Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò Ø Ð ÒÒ ÓÐ ØØ ÐÐ ØØ Ø Ö Ø ÐØ Ú ÙÓÖ l ÓÒ x Ð º ÇÐ ÓÓÒ A B C Ñ ÐÐ Ò Ô Ø Ø Ø Ò ØØ Ò ÚØ ÓÐ x Ð ÐÐ º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 R Ø Ò ØØ A a 1 a 2 µ B b 1 b 2 µ C c 1 c 2 µ Ñ a 2 b 2 c 2 0º Ç Ó Ø Ø Ò ÐÙ ØØ AlB a 2 b 2 < 0. ÇÐ ÓÓÒ AlBº ÌÐÐ Ò (p, 0) AB ÓÐÐ Ò p R ÓØ Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ú ØÓ ØÓ ½µ a 2 < p < b 2 ¾µ b 2 < p < a 2 º

11 ¾º¾ ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ Æ Ò ÓÐÐ Ò a 2 b 2 < 0º ÇÐ ÓÓÒ ÙÖ Ú a 2 b 2 < 0 ÓÐÐÓ Ò a 2 < 0 b 2 > 0 Ø a 2 > 0 b 2 < 0º Â Ò AB ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó AB { (x, y) R 2 (x, y) (a 1, a 2 ) + λ(b 1 a 1, b 2 a 2 ), λ [0, 1] }. Î Ð Ø Ò P (a 1, a 2 ) + λ P (b 1 a 1, b 2 a 2 ) Ñ λ P a2 a 2 b 2 º ÌÐÐ Ò Ô Ø P ÓÒ Ò Ò AB x Ð Ò Ð Ù Ô Ø ÓØ Ò AlBº ½µ ÇÐ ÓÓÒ ABl BClº ÌÐÐ Ò Ò ÒÓ ÐÐ Ò a 2 b 2 > 0 b 2 c 2 > 0, ÓØ Ò a 2 b 2 2 c 2 > 0 a 2 c 2 > 0º Æ Ò ÓÐÐ Ò AClº ¾µ ÇÐ ÓÓÒ AlB BlCº ÌÐÐ Ò Ò a 2 b 2 < 0 b 2 c 2 < 0, ÓØ Ò a 2 b 2 2 c 2 > 0 a 2 c 2 > 0º Æ Ò ÓÐÐ Ò AClº ÀÍÇÅ Ì Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ AlB Ñ Ö Ø ØØ Ô Ø Ø A B ÓÚ Ø Ø Ú ÐÐ Ñ Ð Ö ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÓÖ lº À µ ÇÐ ÓÓÒ A B Ö Ô Ø Ø PQ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÔÙÓÐ ÙÓÖ º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ a 1 a 2 b 1 b 2 p 1 p 2 q 1 q 2 R Ø Ò ØØ A a 1 a 2 µ B b 1 b 2 µ P p 1 p 2 µ Q q 1 q 2 µ ÔÙÓÐ ÙÓÖ Ò Ð Ù Ò PQ { (x, y) R 2 (x, y) (p 1, p 2 ) + λ(q 1 p 1, q 2 p 2 ), λ 0 }. Î Ð Ø Ò Ô Ø R PQ Ø Ò ØØ (a 1 b 1 ) R (r 1, r 2 ) (p 1, p 2 ) (a 2 b 2 ) 2 (q 1 p 1 ) 2 + (q 2 p 2 ) 2 (q 1 p 1, q 2 p 2 ). ÌÐÐ Ò ÓÒ ÚÓ Ñ A B 2 (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 (q 1 p 1 ) 2 + (q 2 p 2 ) 2 [(q 1 p 1 ) 2 + (q 2 p 2 ) 2 ] ( )2 (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 (q 1 p 1 ) 2 + (q 2 p 2 ) 2 (q 1 p 1 ) ( )2 (a 1 b 1 ) (a 2 b 2 ) 2 (q 1 p 1 ) 2 + (q 2 p 2 ) 2 (q 2 p 2 ) (p 1 r 1 ) 2 + (p 2 r 2 ) 2 P R 2,

12 ¾º¾ ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ ½¼ ÓØ Ò A B P R λ R (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 (q 1 p 1 ) 2 + (q 2 p 2 ) 2. Æ Ò ÓÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ø ÑÐÐ Ò Ý R PQ Ø Ò ØØ À µ ÓÓÑ À µ ÓÒ ÚÓ Ñ A B P Q. ½µ Ë ÙÖ ÙÓÖ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ¾º¾º º ¾µ Ë ÙÖ ÙÓÖ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ¾º¾º º µ Î Ð Ø Ò Ú Ð Ô Ø Ø E F Ø Ó Ø R 2 Ø Ò ØØ CD EF º ÌÐÐ Ò Ó Ø AB CD CD EF Ò A B C D C D E F º Æ Ò ÓÐÐ Ò A B E F ÓØ Ò AB EF º À½¼µ ÇÐ ÓÓÒ A B C A B C AB A B BC B C ÓÐÐÓ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ¾º¾º ¾º¾º ÙÖ A C A B + B C A B + B C A C. Æ Ò ÓÐÐ Ò AC A C ÓØ Ò ÓÓÑ À½¼µ ÓÒ ÑÝ ÚÓ Ñ º À½½µ ÇÐ ÓÓÒ BAC ÙÐÑ DE ÙÓÖ º ÇÐ ÓÓÒ Ð P Ô Ø Ó Ð¹ ÐÝ ÙÓÖ Ò DEº ÃÓ ÓÓÑ À µ ÓÒ ÚÓ Ñ Ø Ñ ÐÐ Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ø ÑÐÐ Ò Ý Ô Ø G DE Ø Ò ØØ AB DGº Ò ÐÝÝع Ø Ø ÓÑ ØÖ Ø Ø ØÒ ØØ Ñ ÐÐ ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ ÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ ÓÐÐÓ Ò A B B C + A C, A C A B + B C B C A B + A C. Ê Ø Ñ ÐÐ ÝÑÔÝÖ Ø ÙÚ Ú Ø Ý ØÐ Ô Ö Ø ÚÓ Ò ØÓ Ø ØØ D Ò Ò A C Ø Ò Ò ÝÑÔÝÖ G Ò Ò B C Ø ¹ Ò Ò ÝÑÔÝÖ Ð Ú Ø ØÓ Ò Ô Ø ÓØ ÓÚ Ø Ö ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÓÖ DEº Î Ð Ø Ò Ô Ø F Ò Ø Ó ÓÒ Ñ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ Ù Ò P º ÅÖ Ø ÐÑÒ ¾º¾º ÒÓ ÐÐ Ò BAC FDG ÐÐ Ò BAC EDF. Æ Ò ÓÐÐ Ò Ú ØÙÒÐ Ò Ò ÔÙÓÐ ÙÓÖ DF ÓÒ ÓÐ Ñ º Ç Ó Ø Ø Ò Ù¹ Ö Ú Ò Ý ØØ ÝÝ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ ØÓ Ò Ò ÓØ ØÝØØÚ ÔÙÓÐ ÙÓÖ DF ÓÐÐÓ Ò EDF BAC EDF. EDF EDF.

13 ¾º¾ ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ ½½ ÇÒ Ó Ó Ø ØØ Ú ØØ DF DF ÓÚ Ø Ñ ÙÓÖ ÙÒ Ø ØÒ ØØ F F ÓÚ Ø Ñ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÓÖ DE Ù Ò Ô Ø P º ÎÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ D (0, 0)º ÇÐ ÓÓÒ Ð F (f 1, f 2 ) F (f 1, f 2) ÓÐÐÓ Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ú ØÓ ØÓ ½µ f 1 f 1 Ø ¾µ f 1 f 1º ½µ ÎÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ f 1 f 1 ½º ÇÐ Ø Ø Ò Ð E (1, e 2) Ø Ò ØØ e 2 > f 2 > f 2, Å Ö ØÒ d D E º ÃÙÚ Ù H : ], e 2 [ R ÓÒ Ò Ø Ó ÓØ Ò H(f 2 ) d2 + f 2 2 (e 2 f 2 ) 2 d D E 2 + D F 2 E F 2 D E D F D E 2 + D F 2 E F 2 D E D F. Æ Ò ÓÐÐ Ò ÙÐÑ Ø EDF EDF ÚØ ÓÐ Ý Ø Ò Ú ÓØ Ò ÔÙÓ¹ Ð ÙÓÖ DF ÓÒ Ý ØØ Ò Òº ¾µ ÇÐ ÓÓÒ f 1 f 1º ÂÓ ÔÙÓÐ ÙÓÖ DE ÓÒ y Ð Ò ÙÙÒØ Ò Ò Ò Ò Ø Ð ÒÒ Ô Ð ÙØÙÙ Ó Ø Ò ½µ Ú Ø Ñ ÐÐ Ð Ò Ò Ñ Øº ÎÓ Ò ÐÐ Ò ÓÐ ØØ ØØ D (0, 0)º ÈÙÓÐ ÙÓÖ ÐÐ DE ÓÒ ÓÐ Ñ Ô Ø ÓÒ y ÓÓÖ Ò ØØ ÓÒ Ó Ø ÔÓ Ø Ú Ò Òº Î Ø Ò Ø ÖÚ ØØ ¹ Ô Ø ÐÐ E x ÓÓÖ Ò Ø ½º ÌÐÐ Ò Ø Ô Ù Ô Ð ÙØÙÙ Ó Ø Ò ½µº À½¾µ ÓÓÑ Ò Ó Ø ½µ ¾µ ÓÒ ÐÔÔÓ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ØÓØ Ñ ÐÐ Ò ÑÖ Ø Ð¹ ÑÒ ¾º¾º ÚÐ ØØ Ñ ÙÖ Ù º ÃÓ Ø µ Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÓÑ ÙØÙ Ò ÚÙÐÐ º À½ µ ÇÐ ÓÓÒ ABC DEF ÓÐÑ Ó Ø Ø Ò ØØ A D AB DE AC DF º ÌÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ¾º¾º ¾º¾º ÙÖ A B 2 + A C 2 B C 2 A B A C A B 2 + A C 2 B C 2 A B A C B C 2 D F 2 B C D F, D E 2 + D F 2 E F 2 D E D F A B 2 + A C 2 E F 2 A B A C ÓØ Ò BC EF º ÃÝØ ØÒ ÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÑ ¾º¾º ÓÐÐÓ Ò Ò A B 2 + B C 2 A C 2 A B B C A C 2 + B C 2 A B 2 A C B C D E 2 + E F 2 D F 2 D E E F D F 2 + E F 2 D E 2. D F E F

14 ¾º¾ ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ ½¾ Æ Ò ÓÐÐ Ò B E C F ÓØ Ò ÓÐÑ ÓØ ABC DEF ÓÚ Ø Ý Ø Ò Ú º µ ÇÐ ÓÓÒ l Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÙÓÖ º ÇÐ ÓÓÒ Ð D 1 l D 2 l Ø Ò ØØ ½µ D 1 D 2 ¾µ D 1 D 2 µ D 1 D 2 l µ ÂÓ Q R D 1 Ò Ò ÓÐ ÓÐ Ñ Ô Ø ØØ S D 2 ÓÐÐ ÓÐ Q S Rº µ ÂÓ P Q D 2 Ò Ò ÓÐ ÓÐ Ñ Ô Ø ØØ S D 1 ÓÐÐ ÓÐ Q S Rº Ç Ó Ø Ø Ò ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ Ø ÑÐÐ Ò Ý Ô Ø P l Ø Ò ØØ ÐÐ A B l\{p } ÔØ A P B Ò Ú Ò ÙÒ A D 1 B D 2 Ø A D 2 B D 1 º Î Ð Ø Ò Ô Ø Ø E (e 1, e 2 ) F (f 1, f 2 ) Ø Ò ØØ E D 1 F D 2 º Î Ð Ø Ò ÓÙ ÓØ 1 : {λ R (e 1, e 2 ) + λ(f 1 e 1, f 2 e 2 ) D 1 } 2 : {λ R (e 1, e 2 ) + λ(f 1 e 1, f 2 e 2 ) D 2 }. Ç Ó Ø Ø Ò ØØ ÓÙ ÓØ 1 2 ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ò Ò ÓÓÑ Ò ¹ ÓØ ½µ D 1 D 2 ÓÐÐÓ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ λ 1 λ 2 R Ø Ò ØØ Æ Ò ÓÐÐ Ò λ 1 1 λ 2 2 º ¾µ ÂÓÙ Ó ÐÐ 1 2 ÓÒ ÚÓ Ñ (e 1, e 2 ) + λ 1 (f 1 e 1, f 2 e 2 ) D 1 (e 1, e 2 ) + λ 2 (f 1 e 1, f 2 e 2 ) D {λ R (e 1, e 2 ) + λ(f 1 e 1, f 2 e 2 ) D 1 D 2 }. µ ÂÓÙ Ó ÐÐ 1 2 ÓÒ ÚÓ Ñ 1 2 {λ R (e 1, e 2 ) + λ(f 1 e 1, f 2 e 2 ) D 1 D 2 } R. µ ÇÐ ÓÓÒ λ Q λ R 1 ÓÐÐÓ Ò Q (e 1, e 2 ) + λ Q (f 1 e 1, f 2 e 2 ) D 1 R (e 1, e 2 ) + λ R (f 1 e 1, f 2 e 2 ) D 2. ÌÐÐ Ò Ó Ø Q S R Ò S D 1 º Æ Ò ÓÐÐ Ò λ Q < λ S < λ R Ø λ Q > λ S > λ R, Ñ S (e 1, e 2 ) + λ S (f 1 e 1, f 2 e 2 )º Ë Ó Ø ØÓ µ ØÓØ ÙØÙÙº µ Ë Ñ Ò Ø Ô Ò Ù Ò Ó Ø µº

15 ¾º È Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ ÝÔ Ö ÓÐ Ò Ò ÓÓÑ ½ ÂÓÙ ÓØ 1 2 ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ò Ò ÓÓÑ Ò ÓØ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ º ÌÐÐ Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ò ØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ø ÑÐÐ Ò Ý ÐÙ Ù λ P ]λ 1, λ 2 [ Ø Ò ØØ Æ Ò ÓÐÐ Ò Ô Ø ÐÐ λ P ÓÒ ÐÙØÙØ ÓÑ Ò Ù٠غ sup 1 inf 2 Ø λ P inf 1 sup 2. P (e 1, e 2 ) + λ P (f 1 e 1, f 2 e 2 ) ¾º È Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ ÝÔ Ö ÓÐ Ò Ò ÓÓÑ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú ÙÓÖ Ò Ð Ù Ô Ø Ø Ý Ò ÙÙÒØ ÙÙØØ º Ź Ö Ø ÐÐÒ ÙÓÖ Ò Ý Ò ÙÙÒØ ÙÙ ÒÒ Ò Ô Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º½º ËÙÓÖ l m ÒÓØ Ò Ý Ò ÙÙÒØ l m Ó Ò ÐÐ ÓÐ Ý Ø Ô Ø Øº ÅÙÙ Ø Ô Ù Ñ Ö ØÒ l mº Ë ÙÖ Ú Ô Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ ÓÒ ÓÐ ÐÐ ÐØ Ó ÐØ Ô Ö Ò Ù Ð ÐØ È µ ÇÐ ÓÓÒ l Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÙÓÖ P Ô Ø Ó ÓÐ ÙÓÖ ÐÐ lº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ø ÑÐÐ Ò Ý ÙÓÖ m Ó ÙÐ Ô Ø Ò È ÙØØ Ó ÓÒ Ý Ò ÙÙÒØ Ò Ò ÙÓÖ Ò l Ò º È m l ÃÙÚ È Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ È µ Ä Ù ¾º º¾º ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ ØÓØ ÙØØ Ô Ö ÐÐ Ð ÓÓ¹ Ñ Òº ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ l { (x, y) R 2 (x, y) (x 0, y 0 ) + λ(a, b), λ R }, Ñ x 0 y 0 µ R 2 a bµ R 2 \ {(0, 0)} ÓÚ Ø ÒÒ Ø ØØÝ Ñ ÐÐ Ò Ñ Ð Ú Ð¹ Ø Ò Ò ÙÓÖ º ÇÐ ÓÓÒ Ð P (p 1, p 2 ) lº Î Ð Ø Ò ÙÓÖ m { (x, y) R 2 (x, y) (p 1, p 2 ) + λ(a, b), λ R }. ÇÐ ØÙ Ò ÒÓ ÐÐ ÐÐ λ R ÓØ Ò (p 1, p 2 ) (x 0, y 0 ) + λ(a, b) (p 1, p 2 ) + λ 1 (a, b) (x 0, y 0 ) + λ 2 (a, b)

16 ¾º È Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ ÝÔ Ö ÓÐ Ò Ò ÓÓÑ ½ ÐÐ λ 1 λ 2 Rº Æ Ò ÓÐÐ Ò ÙÓÖ Ø l m ÓÚ Ø Ý Ò ÙÙÒØ º Ç Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú ÙÓÖ Ò m Ý ØØ ÝÝ º ÇÐ ÓÓÒ ÙÓÖ n { (x, y) R 2 (x, y) (x 1, y 1 ) + λ(c, d), λ R }, Ñ x 1 y 1 µ R 2 c dµ R 2 \ {(0, 0)} ÓÚ Ø ÒÒ Ø ØØÝ ØÓ Ò Ò Ô Ø Ò P ÙØØ ÙÐ Ú ÙÓÖ Ò l Ò Ý Ò ÙÙÒØ Ò Ò ÙÓÖ º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÚÓ Ñ (x 0, y 0 ) + λ 1 (a, b) (x 1, y 1 ) + λ 2 (c, d) ÐÐ λ 1 λ 2 Rº ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ý ØÐ Ô Ö ÐÐ { λ1 a + λ 2 c x 0 x 1 ÓÐ Ö Ø Ù º ÌÐÐ Ò λ 1 b + λ 2 d y 0 y 1 [ ] a c det 0 b d Ð (a, b) (c, d) ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ º Æ Ò ÓÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ λ R Ø Ò ØØ λ(a, b) (c, d). ËÙÓÖ n ÙÐ Ô Ø Ò P ÙØØ ÓØ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ú Ó λ P R Ø Ò ØØ ÌÐÐ Ò (p 1, p 2 ) (x 1, y 1 ) + λ P (c, d) (x 1, y 1 ) + λ λ P (a, b). (x 1, y 1 ) (p 1, p 2 ) λ λ P (a, b), ÓØ Ò Ô Ø (x 1, y 1 ) mº Æ Ò ÓÐÐ Ò ÙÓÖ n ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó ÓØ Ò m nº n { (x, y) R 2 (x, y) (p 1, p 2 ) + λ(a, b), λ R }, ÁØ ÑÔ Ò ÓÓÑ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÐÑ Ò Ô Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ Ó Ó ØØ ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ Ò Ò Ý Ô Ø Ò P ÙØØ ÙÐ Ú ÙÓÖ Ò l Ò Ý Ò ÙÙÒØ Ò Ò ÙÓÖ º Ë Ò Ò ÙÖ Ú ÐÙÚÙ Ò ÑÑ ØØ Ý ¹ ØØ ÝÝ ØÓ ÙÖ Ò Ø ÓÓÑ Ø Ú Ò ØÓ ØÙ ÐÐ ÓÒ ÓÐ ÐÐ Ø ØØ Ø Ö Ø ÐØ Ò ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ º Æ Ò ÓÐÐ Ò Ô Ö ÐÐ Ð ÓÓ¹ Ñ ÓÒ Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ ÑÑ Ø º ÓÓÑ ÐÙÓ ÖÓÒ Ù Ð Ò ÓÑ ØÖ Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ò ÓÑ ØÖ Ò ÚÐ ÐÐ º ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ô Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ ÓÒ ÚÓ Ñ Ú Ò Ù Ð ÓÑ ØÖ º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú ÝÔ Ö ÓÐ Ò Ò ÓÓ¹ Ñ Ó ÓÒ ØÖ ØÙÐ Ú ÐÙÚÙ º À ȵ ÇÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ÙÓÖ l Ô Ø P Ó ÓÐ ÙÓÖ ÐÐ l Ø Ò ØØ Ô Ø Ò P ÙØØ ÙÐ Ò Ò Ö ÙÓÖ Ò l Ò Ý Ò ÙÙÒØ Ø ÙÓÖ º ÀÍÇÅ ÓÑ ØÖ Ò Ñ ÐÐ Ø ÑÐÐ Ò ØÓ Ò Ò ÓÓÑ Ø È µ Ø À ȵ ÓÒ ÚÓ Ñ º

17 ÈÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ½ ÈÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ È Ò Ø ÐØÚ À Ð ÖØ Ò ÓÓÑ Ò ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ØÓØ Ù Ù Ô Ö ÐÐ ¹ Ð ÓÓÑ Ú ÑÙÙØ ÓÓÑ Ø ØÓØ ÙØÙÚ Øº ÀÝÔ Ö ÓÐ ÐÐ ÓÑ ØÖ ÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ñ ÐÐ ÓØ Ò Ô Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ ÓÒ Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ ÑÙ Ø ÓÓ¹ Ñ Ø º º½ ÈÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÒØ ÃÓÒ ØÖÙÓ Ò ÙÖ Ú ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ Ò ÔÓ ÐÐ º ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑÑ ÙÖ Ú ÝÐ Ò Ù Ð ÙÓÖ ÙÐÑ ÝÑÔÝÖ Ò º Ì Ó ÓÑ ØÖ Ø ÓÐ Ø Ñ¹ Ñ ØÙÒÒ ØÙ Ô Ð ÓÒ ÑÙÙØ Ò Ù Ò ÓÓÑ Ø Ò Ø Ú ÐÐ Ò Ò ÓÑ ØÖ ÓÐ Ô ÑÑ º ÅÖ Ø ÐÑ º½º½º ÇÐ ÓÓÒ AB AC Ù Ð Ø ÙÓÖ ÓØ Ð ¹ Ú Ø ØÓ Ò Ô Ø A Ø Ò ØØ ÙÐÑ BAC ÓÒ ÙÓÖ ÙÐÑ Ø Ú ÐÐ Ñ Ð º ÌÐÐ Ò ÒÓØ Ò ØØ AC ÓÒ ÙÓÖ Ò AB ÒÓÖÑ Ð AB ACº ÅÖ Ø ÐÑ º½º¾º ÇÐ ÓÓÒ T { (x, y) R 2 y > 0 }. ÃÙØ ÙØ Ò Ô Ø Ø P T ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ Ò Ô Ø ÝØ ØÒ Ò Ø Ò Ñ ØÝ Ø T Ô Ø ÓØØ Ò ÖÓØØÙÚ Ø Ù Ð Ø Ô Ø Øº ÅÖ Ø ÐÑ º½º º ÂÓÙ Ó l T ÓÒ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ Ò ÙÓÖ Ñ Ð l T T α Ñ α ÓÒ Ó Ó x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð Ø ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø ÓÒ x Ð ÐÐ º ÃÙØ ÙØ Ò Ò Ø ÙÓÖ T ÙÓÖ ÓØØ Ò ÖÓØØÙÚ Ø Ù Ð Ø ÙÓÖ Ø º x ÃÙÚ ÈÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ Ò ÙÓÖ ÅÖ Ø ÐÑ º½º º ÇÐ ÓÓÒ A B Ñ Ð Ú ÐØ T Ô Ø Øº ½µ ÇÐ ÓÓÒ α ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø ÓÒ x Ð ÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ Ð P Q ÝÑÔÝÖÒ α x Ð Ò Ð Ù Ô Ø Øº ÌÐÐ Ò d T (A, B) A P B Q log A Q B P. ¾µ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ α ÓÒ x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð º ÇÐ ÓÓÒ Ð P ÒÓÖ¹ Ñ Ð Ò α x Ð Ò Ð Ù Ô Ø º ÌÐÐ Ò d T (A, B) A P log B P.

18 º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ½ ÄÙ Ù d T (A, B) ÒÓØ Ò Ô Ø Ò A B ÚÐ ÝÔ Ö ÓÐ Ø ÝÝ º ÀÍÇÅ ÀÝÔ Ö ÓÐ ÐÐ Ø ÝÝ ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ ÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ º ÂÓ A B C ÓÚ Ø T Ô Ø Ø Ò Ò ÔØ d T (A, B) d T (A, C) + d T (B, C). ÀÍÇÅ ÈÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ Ò Ô Ø Ò ÚÐ Ò Ò Ø ÝÝ ÚÓ Ò ÐÑÓ ØØ ÑÝ ÒØ Ö Ð Ð ÒÒ Ò ÒÓ Ò ÑÙÓ Ó 1 d T (A, B) : y ds, Ñ γ ÓÒ ÔÓÐ Ù A Ø B Ò Ô Ø Ò T ÙÓÖ º ÅÖ Ø ÐÑ º½º º ÇÐ ÓÓÒ A B C Ö T Ô Ø Øº Ë ÒÓØ Ò ØØ B ÓÒ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ Ò Ñ Ð Ô Ø Ò A C ÚÐ A B C Ó A B C ÓÚ Ø Ñ ÐÐ l T ÙÓÖ ÐÐ d T (A, C) d T (A, B) + d T (B, C). ÅÖ Ø ÐÑ º½º º Ë ÒÓØ Ò ØØ Ò Ø AB T CD T ÓÚ Ø Ý Ø Ò Ú AB T CDT Ó d T (A, B) d T (C, D). ÅÖ Ø ÐÑ º½º º Ë ÒÓØ Ò ØØ ÙÐÑ Ø BAC EDF ÓÚ Ø Ý Ø Ò Ú BAC T EDF T Ó Ó Ø B ABT C AC T E DE T F DF T Ø Ò ØØ AB T DE T AC T DF T ÙÖ BC T E F T º º¾ γ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÔÙÓÐ Ø Ó¹ Ñ ÐÐ Ç Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú ØØ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ØÓØ ÙØØ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µº ÆÝØ ØÒ ÑÝ ØØ Ô Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ ÓÐ ÚÓ Ñ º ÃÝØ ØÒ ØÓ¹ ØÙ ÔÙÒ ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ º Ä Ù º¾º½º À½µ ÂÓ P Q ÓÚ Ø Ö T Ô Ø Ø Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ø ÑÐÐ Ò Ý T ÙÓÖ Ó ÙÐ Ô Ø Ò P Q ÙØØ º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ P (p 1, p 2 ) Q (q 1, q 2 ) Ö T Ô Ø Øº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ú ØÓ ØÓ ½µ p 1 q 1 p 2 q 2 º ¾µ p 1 q 1 º ½µ ÇÐ ÓÓÒ p 1 q 1 p 2 q 2 º ÌÐÐ Ò Ù Ð Ò Ò ÙÓÖ PQ ÓÒ x Ð Ò ÒÓÖ¹ Ñ Ð ÓØ Ò T PQ ÐÔ Ø ØÝ T ÙÓÖ º Ä Ù Ò ¾º¾º ÒÓ ÐÐ ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ Ò ÙÓÖ PQ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò ÓØ Ò ÓÐ ÓÐ Ñ ÑÙ Ø ØÑÒ ØÝÝÔÔ T ÙÓÖ ÓØ ÐÔ Ú Øº Ä

19 º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ½ ÐÐ x R ÓÒ ÚÓ Ñ P (x, 0) (p 1, p 2 ) (x, 0) (p 1 x) 2 + p 2 2 (q 1 x) 2 + p 2 2 (q 1 x) 2 + q2 2 (q 1, q 2 ) (x, 0) Q (x, 0), ÓØ Ò Ñ Ò (x, 0) Ò Ò ÝÑÔÝÖ α ØÓØ ÙØ ØÓ P Q T αº Æ Ò ÓÐÐ Ò T PQ ÓÒ Ý ØØ Ò Òº ¾µ ÇÐ ÓÓÒ p 1 q 1 º ÇÐ ÓÓÒ Ð α R Ò Ò r Ø Ò Ò ÝÑÔÝÖ Ñ ( p 2 R (r 1, r 2 ) 1 + p 2 2 q2 1 ) q2 2, 0 2 (p 1 q 1 ) (p 1 q 1 ) (p 1 q 1 ) 2 (p 2 2 r + q2 2 ) + (q2 2 p2 2 )2. 2 p 1 q 1 À Ú Ø Ò ØØ P Q α ÐÐ P R (p 1 r 1 ) 2 + (p 2 r 2 ) 2 ( p1 p2 1 + p2 2 q2 1 q2 2 2 (p 1 q 1 ) ) 2 + (p 2 0) 2 r (2p 2 1 2p 1q 1 p 2 1 p2 2 + q2 1 + q2 2 2 (p 1 q 1 ) ( ) (p 1 q 1 ) q2 2 p2 2 + p (p 1 q 1 ) ) 2 + p 2 2 (p 1 q 1 ) (p 1 q 1 ) 2 (q 2 2 p2 2 ) + (q2 2 p2 2 )2 + 4p 2 2 (p 1 q 1 ) 2 2(p 1 q 1 ) (p 1 q 1 ) (p 1 q 1 ) 2 (p q2 2 ) + (q2 2 p2 2 )2 Q R 2 p 1 q 1 (q 1 r 1 ) 2 + (q 2 r 2 ) 2 ( q1 p2 1 + p2 2 q2 1 q2 2 2 (p 1 q 1 ) ) 2 + (q 2 0) 2

20 º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ½ r. (2p1 q 1 2q1 2 p2 1 p2 2 + q2 1 + ) 2 q2 2 + q2 2 2 (p 1 q 1 ) ( ) q2 2 p2 2 (p 1 q 1 ) q2 2 2 (p 1 q 1 ) (p 1 q 1 ) 4 2 (p 1 q 1 ) 2 (q2 2 p2 2 ) + (q2 2 p2 2 )2 + 4q2 2 (p 1 q 1 ) 2 2(p 1 q 1 ) (p 1 q 1 ) (p 1 q 1 ) 2 (p q2 2 ) + (q2 2 p2 2 )2 2 p 1 q 1 ÌÐÐ Ò T α ÐÔ Ø ØÝ T ÙÓÖ º Ç Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú T ÙÓÖ Ò Ý ØØ ÝÝ º ÇÐ ÓÓÒ l T ØÓ Ò Ò Ô Ø Ò P Q ÙØØ ÙÐ Ú T ÙÓÖ º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ α 1 Ø Ò ØØ l T T α 1 º ÇÐ ¹ ØÙ Ò ÒÓ ÐÐ p 1 q 1 ÓØ Ò α 1 ÓÐ x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð Ú Ò α 1 ÓÒ (s 1, 0) Ò Ò s Ø Ò Ò ÝÑÔÝÖ Ó ÙÐ Ô Ø Ò P Q ÙØØ º ÌÐÐ Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ (p 1 r 1 ) 2 + p 2 2 r 2 (q 1 r 1 ) 2 + q2 2 r 2 (p 1 s 1 ) 2 + p 2 2 s 2 (q 1 s 1 ) 2 + q2 2 s 2. Æ Ò ÓÐÐ Ò r s ÐÐ Ò α α 1 ÓØ Ò T α ÓÒ Ý ØØ Ò Òº Ä Ù º¾º¾º À¾µ ÂÓ Ò T ÙÓÖ Ò ÐØÝÝ Ò Ò Ö T Ô Ø Øغ ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ l T Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò T ÙÓÖ º ÌÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ º½º ÒÓ ÐÐ T ÙÓÖ ÓÒ ÑÙÓØÓ l T T α Ñ Ó Ó ½µ α ÓÒ x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð Ø ¾µ α ÓÒ ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø ÓÒ x Ð ÐÐ º ½µ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ α ÓÒ x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð º ÌÐÐ Ò α Ð x Ð Ò Ô Ø (x 0, 0) Ñ x 0 Rº Î Ð Ø Ò A (x 0, 1) B (x 0, 2) ÓÐÐÓ Ò A B ÓÚ Ø Ö T Ô Ø Øº Ä A B α ÓØ Ò A B l T º ¾µ ÇÐ ÓÓÒ α ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø ÓÒ P (p, 0) rº Î Ð Ø Ò ( A p r ) ( r, B p + r ) r,, ÓÐÐÓ Ò A P ( p r 2 p) 2 + ( r 2 0) 2 r 2 + r 2 r

21 º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ½ B P ( p + r 2 ( 2 r r p) + 2 0) r 2 r. Ä A B ÓÚ Ø T Ô Ø Ø ÓØ Ò A B l T º Æ Ò ÓÐÐ Ò Ó Ò T ÙÓÖ Ò ÐØÝÝ Ò Ò Ö T Ô Ø Øغ Ä Ù º¾º º À µ ÇÒ ÓÐ Ñ ÓÐÑ Ö T Ô Ø ØØ Ø Ò ØØ Ñ Ò T ÙÓÖ ÙÐ Ò Ò Ò ÙØØ º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ A ( 1, 1) B (0, 1) C (1, 1) ÓÐÐÓ Ò Ý Ø Ô Ø Ø ÓÚ Ø T Ô Ø Øº À Ú Ø Ò ØØ ÓÐ ÓÐ Ñ x Ð Ò Ù Ø Ò ÒÓÖÑ Ð l Ø Ò ØØ {A, B, C} lº Ä ÐÐ (x 0, 0) R 2 ÓÒ ÚÓ Ñ (0, 1) (x 0, 0) < max { ( 1, 1) (x 0, 0), (1, 1) (x 0, 0) }, ÓØ Ò ÓÐ ÓÐ Ñ (x 0, 0) Ø α ÝÑÔÝÖ Ø Ò ØØ {A, B, C} αº Æ Ò ÓÐÐ Ò Ñ Ò T ÙÓÖ ÙÐ Ô Ø Ò A B C ÙØØ º Ä Ù º¾º º À µ ÂÓ A B C Ò Ò A B C ÓÚ Ø Ö T Ô Ø Ø Ó Ò Ò ÙØØ ÙÐ Ñ T ÙÓÖ C B Aº ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ A B Cº ÅÖ Ø ÐÑÒ º½º ÒÓ ÐÐ Ô Ø Ø A B C ÓÚ Ø Ö T Ô Ø Ø Ò Ò ÙØØ ÙÐ Ñ ÙÓÖ l T º ÌÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ º½º ÒÓ ÐÐ ÙÓÖ ÓÒ ÑÙÓØÓ l T T α Ñ ½µ α ÓÒ x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð Ø ¾µ α ÓÒ ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø ÓÒ x Ð ÐÐ º ½µ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ α ÓÒ x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð º ÇÐ ÓÓÒ Ð P α Ò x Ð Ò Ð Ù Ô Ø º ÌÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ º½º ÒÓ ÐÐ Ò d T (A, B) A P log B P 1 log A P B P B P log A P d T (B, A). ¾µ ÇÐ ÓÓÒ α ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø ÓÒ x Ð ÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ Ð P Q α ÝÑÔÝÖÒ x Ð Ò Ð Ù Ô Ø Øº ÌÐÐ Ò Ø ÝÝ ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ d T (A, B) A P B Q log A Q B P 1 A P B Q log A Q B P B P A Q log B Q A P d T (B, A).

22 º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ¾¼ Æ Ò ÓÐÐ Ò ÓØ Ò C B Aº d T (C, A) d T (A, C) d T (A, B) + d T (B, C) d T (B, A) + d T (C, B) d T (C, B) + d T (B, A), Ä ÑÑ º¾º º ÇÐ ÓÓØ A (a 1, a 2 ) B (b 1, b 2 ) C (c 1, c 2 ) Ö T Ô Ø Ø Ø Ò ØØ Ò ÓÚ Ø Ñ ÐÐ T ÙÓÖ ÐÐ l T T αº ÇÐ ÓÓÒ Ð ÙÚ Ù P r : α ]x 0 r, x 0 + r[ P r (x, y) x, Ñ α ÓÒ (x 0, 0) Ò Ò r Ø Ò Ò ÝÑÔÝÖº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÚÓ Ñ A B C P r (A) < P r (B) < P r (C) Ø P r (A) > P r (B) > P r (C). ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ A B Cº ÌÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ º½º ÒÓ ÐÐ Ò d T (A, C) A P C Q log A Q C P ( A P B Q log B P C Q A Q B P B Q C P ) A P B Q log A Q B P + B P C Q log B Q C P d T (A, B) + d T (B, C), ÓØ Ò Ø Æ Ò ÓÐÐ Ò Ò ÓÐÐÓ Ò A P < B P < C P A P > B P > C P. a 1 < b 1 < c 1 Ø a 1 > b 1 > c 1, P r (A) < P r (B) < P r (C) Ø P r (A) > P r (B) > P r (C). ÇÐ Ø Ø Ò ÙÖ Ú ØØ ÓÒ ÚÓ Ñ P r (A) < P r (B) < P r (C) Ø P r (A) > P r (B) > P r (C). ÇÐ ØÙ Ò ÒÓ ÐÐ Ô Ø Ø A B C ÓÚ Ø Ñ ÐÐ T ÙÓÖ ÐÐ º Î ØØ Ò Ô ¹ ØÒ ÙÒ ÙÐ Ø Ò Ò Ò ÔØØ ÐÝ Ø Ù ØÓ Ò ÙÙÒØ Òº Ä Ù º¾º º À µ ÂÓ A B ÓÚ Ø Ö T Ô Ø Ø Ò Ò T ÙÓÖ ÐÐ AB T ÓÒ Ô Ø Ø C D E Ø Ò ØØ C A B, A D B A B E. ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ A (a 1, a 2 ) B (b 1, b 2 ) Ö T Ô Ø Øº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ α Ø Ò ØØ AB T T α Ñ

23 º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ¾½ ½µ α ÓÒ x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð Ø ¾µ α ÓÒ ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø ÓÒ x Ð ÐÐ º ½µ ÇÐ ÓÓÒ α ÓÒ x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð º ÌÐÐ Ò ÒÓÖÑ Ð Ð x Ð Ò Ô Ø P (a 1, 0)º ÌÐÐ Ò Ò Ú ØÓ ØÓ ½º½µ A B P ½º¾µ B A P º ½º½µ ÇÐ ÓÓÒ A B P º Î Ð Ø Ò T Ô Ø Ø ( C (a 1, a 2 + b 2 ),D a 1, a ) 2 + b 2 E 2 ÓÐÐÓ Ò d T (C, A) + d T (A, B) d T (A, D) + d T (D, B) ( a 1, b ) 2, 2 C P log A P + log A P B P log a 2 + b 2 + log a 2 a 2 log a 2 + b 2 a 2 + log a 2 b 2 log a 2(a 2 + b 2 ) a 2 b 2 log a 2 + b 2 b 2 log a 2 + b 2 b 2 C P log B P d T (C, B), log b 2 A P log D P + log D P B P log a a2+b2 2 a 2+b 2 + log 2 2 a 2 a 2+b log log a ( a2+b 2 ) 2 2 ( b a2+b 2 ) 2 2 log a 2 b 2 log a 2 b 2 A P log B P d T (A, B) b 2 a 2+b 2 2 b 2

24 º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ¾¾ d T (A, B) + d T (B, E) A P log B P + log B P E P log a 2 + log b 2 b 22 b 2 log a 2 + log b 2 b b 22 2 log a 2b 2 b log a 2 b 22 log a 2 b 22 A P log E P d T (A, E). Æ Ò ÓÐÐ Ò T ÙÓÖ ÐÐ AB T ÓÒ Ô Ø Ø C D E Ø Ò ØØ ½º¾µ Ë Ñ Ò Ø Ô Ò Ù Ò Ó Ø ½º½µº C A B, A D B A B E. ¾µ ÇÐ ÓÓÒ α ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø ÓÒ x Ð ÐÐ º ÌÐÐ Ò α ÝÑÔÝÖÐÐ x Ð ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ð Ù Ô Ø Ø P (p, 0) Q (q, 0) ÓØ Ò x Ð ÓÒ ÙÓÖ PQº Å Ö ØÒ A (a 1, 0) B (b 1, 0)º Ä ÑÑ Ò º¾º ÒÓ ÐÐ Ú Ø Ò ØØ A B P Q ÓÚ Ø Ö Ô Ø Øº Ë ÓÒ ÚÓ Ñ ¾º½µ A B P B A Q Ø ¾º¾µ A B Q B A P º ¾º½µ ÇÐ ÓÓÒ ÐÙ A B P B A Qº Ä Ù Ò ¾º¾º ÒÓ ÐÐ x Ð ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ô Ø Ø C D E Ø Ò ØØ Q C A, A D B B E P. Æ Ò ÓÐÐ Ò Ð ÑÑ Ò º¾º ÒÓ ÐÐ T ÙÓÖ ÐÐ AB T ÓÒ Ô Ø Ø C D E Ø Ò ØØ ¾º¾µ Ë Ñ Ò Ø Ô Ò Ù Ò Ó Ø ¾º½µº C A B, A D B A B E. Ä Ù º¾º º À µ ÂÓ A B C ÓÚ Ø Ö T Ô Ø Ø ÓØ ÙÙÐÙÚ Ø Ñ ÐÐ T ÙÓÖ ÐÐ Ò Ò Ø ÑÐÐ Ò Ý ÙÖ Ú Ø Ó Ø ÓÒ ÚÓ Ñ A B C, A C B Ø B A C.

25 º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ¾ ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓØ A B C Ö T Ô Ø Ø ÓØ ÙÙÐÙÚ Ø Ñ ÐÐ T ÙÓÖ ÐÐ º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÚÓ Ñ AB T T α Ñ ½µ α ÓÒ x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð Ø ¾µ α ÓÒ ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø ÓÒ x Ð ÐÐ º ½µ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ α ÓÒ x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð º ÌÐÐ Ò Ô Ø Ø A B C ÙÙ¹ ÐÙÚ Ø ÑÝ Ñ ÐÐ ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ Ò ÙÓÖ ÐÐ ÓØ Ò Ä Ù Ò ¾º¾º ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ A B C, A C B Ø B A C. ÂÓ A B C Ò Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ú ØÓ ØÓ ½º½µ A B P ½º¾µ B A P Ñ P ÓÒ α Ò x Ð Ò Ð Ù Ô Ø º ½º½µ ÇÐ ÓÓÒ A B P º ÌÐÐ Ò Ò d T (A, C) A P log C P A P B P log B P C P A P B P log B P C P log A P B P + log B P C P A P log B P + log B P C P d T (A, B) + d T (B, C), ÓØ Ò A B Cº ½º¾µ Ë Ñ Ò Ø Ô Ò Ù Ò Ó Ø ½º½µº ÌÓ Ø Ò ÑÙÙØ Ú ØÓ ÓØ Ú Ø Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ º Æ Ò ÓÐÐ Ò Ø ÑÐÐ Ò Ý ÙÖ Ú Ø Ó Ø ÓÒ ÚÓ Ñ A B C, A C B Ø B A C. ¾µ ÇÐ ÓÓÒ α ÝÑÔÝÖ (x 0, 0) Ò Ò r Ø Ò Òº ÇÐ ÓÓÒ Ð ÙÚ Ù P r : α ]x 0 r, x 0 + r[ P r (x, y) x. È Ø Ø A B C ÓÚ Ø Ö T Ô Ø Ø ÓØ Ò ÓÒ ÚÓ Ñ P r (A) P r (A) P r (A) P r (A) P r (B) P r (B) < P r (B) < P r (C), > P r (B) > P r (C), < P r (C) < P r (B), > P r (C) > P r (B), < P r (A) < P r (C) Ø > P r (A) > P r (C).

26 º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ¾ ÌÐÐ Ò Ð ÑÑ Ò º¾º ÒÓ ÐÐ Ò A B C, A C B Ø B A C. Ä ÑÑ º¾º º ÇÐ ÓÓÒ l T T α ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ Ò ÙÓÖ A B T \ l T º ½µ ÂÓ α ÓÒ x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð Ò Ò Al T B Ó Ú Ò Ó AαB Ù Ð Ñ Ð º ¾µ ÂÓ α ÓÒ ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø ÓÒ x Ð ÐÐ Ò Ò Al T B Ó Ú Ò Ó ØÓ Ò Ò Ô Ø Ø ÓÒ ÝÑÔÝÖÒ ÔÙÓÐ ÐÐ ØÓ Ò Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ º ÌÓ ØÙ º ÀÝÔ Ö ÓÐ Ò Ò Ò AB T ÓÒ Ó Ó Ø Ú ÐÐ Ò Ò Ù Ð Ò Ò Ò Ø Ô Ø Ø A B Ý ØÚ ÝÑÔÝÖÒ Ö ÓÒ Ô Ø ÓÒ x Ð ÐÐ º Ì Ø Ø Ó Ø Ú Ø ÙÖ Ù Ð Ò ÓÑ ØÖ Ò Ð ÙÐÐ º Ä Ù º¾º º À µ ÇÐ ÓÓÒ l T T ÙÓÖ A B C T Ô Ø Ø Ó Ø Ñ Ò Ò ÙØØ l T ÙÐ º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÚÓ Ñ ½µ ÂÓ ABl T BCl T Ò Ò ACl T º ¾µ ÂÓ Al T B Bl T C Ò Ò ACl T º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ l T T ÙÓÖ A (a 1, a 2 ) B (b 1, b 2 ) C (c 1, c 2 ) T Ô Ø Ø Ó Ò ÙØØ l T ÙÐ º ½µ ÇÐ ÓÓÒ ABl T BCl T º ËÙÓÖ l T T α ÚÓ ÓÐÐ Ø Ö ØÝÝÔÔ ½º½µ α ÓÒ x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð º ½º¾µ α ÓÒ ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø ÓÒ x Ð ÐÐ º ½º½µ ÇÐ ÓÓÒ α ÓÒ x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð º ÌÐÐ Ò ÒÓÖÑ Ð Ð x Ð Ò Ô Ø P (p, 0)º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ABl T BCl T ÓÐÐÓ Ò Ð ÑÑ Ò º¾º ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ max {a 1, b 1, c 1 } < p Ø min {a 1, b 1, c 1 } > p. ÌÐÐ Ò Ò { AC T α (x, y) } AC T a 1 x c 1 Ø c 1 x a 1 α, ÓØ Ò ACl T º ½º¾µ ÇÐ ÓÓÒ α r Ø Ò Ò ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø P ÓÒ x Ð ÐÐ º ÌÐÐ Ò Ð ÑÑ Ø º¾º Ò r > max{ A P, B P } Ø r < min{ A P, B P } r > max{ B P, C P } Ø r < min{ B P, C P }. Ì Ø ÙÖ r > max{ A P, C P } Ø r < min{ A P, C P }, ÓØ Ò ACl T º

27 º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ¾ ¾µ ÇÐ ÓÓÒ Al T B Bl T Cº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÐÐ Ò T ÙÓÖ Ò l T T α Ö ØÝÝÔÔ ¾º½µ α ÓÒ x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð º ¾º¾µ α ÓÒ ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø ÓÒ x Ð ÐÐ º ¾º½µ ÇÐ ÓÓÒ α ÓÒ x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð º ÌÐÐ Ò ÒÓÖÑ Ð Ð x Ð Ò Ô Ø P (p, 0)º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Al T B Bl T C ÓØ Ò Ð ÑÑ Ò º¾º ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ max{a 1, c 1 } < p < b 1 Ø b 1 < p < max{a 1, c 1 }. ÌÐÐ Ò Ò { AC T α (x, y) } AC T a 1 x c 1 Ø c 1 x a 1 α, ÓØ Ò ACl T º ¾º¾µ ÇÐ ÓÓÒ α r Ø Ò Ò ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø P ÓÒ x Ð ÐÐ º ÌÐÐ Ò Ð ÑÑ Ø º¾º Ò min{ A P, B P } < r < max{ A P, B P } min{ B P, C P } < r < max{ B P, C P }. Ì Ø ÙÖ r > max{ A P, C P } Ø r < min{ A P, C P }, ÓØ Ò ACl T º Ä ÑÑ º¾º½¼º ÇÐ ÓÓÒ l T T α ÝÔ Ö ÓÐ Ò Ò ÙÓÖ Ñ α ÓÒ x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð º ÇÐ ÓÓÒ Ð A (a 1, a 2 ) B (a 1, b 2 ) l T º Å Ö ØÒ ÒÓÖÑ Ð Ò x Ð Ò Ð Ù Ô Ø ØØ Ô Ø ÐÐ P (a 1, 0)º ÌÐÐ Ò ÙÚ Ù f 1 : ]0, a 2 [ R f 1 (b 2 ) d T (A, B) ÓÒ Ó Ø Ú Ò Ú ÙÚ Ù f 2 : ]a 2, [ R ÓÒ Ó Ø Ú Ú f 2 (b 2 ) d T (A, B) lim d T (A, B) lim d T (A, B). x 0+ x ÌÓ ØÙ º ÌÓ Ø Ò ØØ ÐÓ Ö ØÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ó Ø ÑÓÒÓØÓÒ Ò Òº Ä lim d T (A, B) lim A P x 0+ x 0+ log B P lim x 0+ log a 2 lim d T (A, B) lim x ÓØ Ò Ú Ø ÔØ º x A P log B P lim x b 2 log a 2, b 2

28 º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ¾ Ä ÑÑ º¾º½½º ÇÐ ÓÓÒ l T T α ÝÔ Ö ÓÐ Ò Ò ÙÓÖ Ñ α ÓÒ ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø ÓÒ x Ð ÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ Ð A (a 1, a 2 ) l T º Å Ö ØÒ ÔÙÓÐ ÝÑÔÝÖÒ x Ð Ò Ð Ù Ô Ø Ø Ô Ø ÐÐ (p, 0) (q, 0) Ø Ò ØØ p < qº ÇÐ ÓÓÒ P r : R 2 R 2 P r (x, y) (x, 0) ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ø Ó x Ð ÐÐ º ÌÐÐ Ò ÙÚ Ù f 1 : ]p, a 1 [ R f 1 (x) d T (P 1 r (x), A) ÓÒ Ó Ø Ú Ò Ú ÙÚ Ù f 2 : ]a 1, q[ R ÓÒ Ó Ø Ú Ú f 2 (x) d T (P 1 r (x), A) lim d T (Pr 1 (x), A) lim d T (Pr 1 (x), A). x p+ x q ÌÓ ØÙ º ÌÓ Ø Ò ØØ ÐÓ Ö ØÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ó Ø ÑÓÒÓØÓÒ Ò Òº Ä lim d T (P 1 1 x p+ r (x), A) lim Pr (x) P A Q x p+ log P 1 (x) Q A P r lim d T (P 1 x q r (x), A) lim x q 1 Pr (x) P A Q log P 1 (x) Q A P r ÓØ Ò Ú Ø ÔØ º Ä Ù º¾º½¾º À µ ÂÓ A B ÓÚ Ø Ö T Ô Ø Ø PQT Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò T ÔÙÓÐ ÙÓÖ Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ø ÑÐÐ Ò Ý Ô Ø R PQT Ø Ò ØØ AB T PRT º ÌÓ ØÙ º Ä ÑÑÓ Ò º¾º½¼ º¾º½½ ÒÓ ÐÐ ÔÙÓÐ ÙÓÖ ÐØ PQT Ð Ý ØÒ Ý ¹ ØØ Ò Ò Ô Ø R Ø Ò ØØ Æ Ò ÓÐÐ Ò AB T PRT º d T (A, B) d T (PR). Ä Ù º¾º½ º À µ  ÒÓ Ò Ý Ø Ò ÚÝÝ ÓÒ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó ½µ AB T ABT º ¾µ ÂÓ AB T CDT Ò Ò CD T ABT º µ ÂÓ AB T CDT CD T EFT Ò Ò AB T EFT º ÌÓ ØÙ º Ë ÙÖ ÙÓÖ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø º½º º Ä Ù º¾º½ º À½¼µ ÂÓ A B C A B C AB T A B T BC T B C T Ò Ò AC T A C T º

29 º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ¾ ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ A A B B C C T Ô Ø Ø Ø Ò ØØ A B C A B C AB T A B T BC T B C T º ÌÐÐ Ò ÓÐ ØÙ Ø Ò ÒÓ ÐÐ Ò d T (A, C) d T (A, B) + d T (B, C) d T (A, B ) + d T (B, C ) d T (A, C ), ÓØ Ò AC T A C T º ÅÖ Ø ÐÑ º¾º½ º Ë ÒÓØ Ò T ÓÑ ØÖ Ø ÓØ f : T T Ø Ò ØØ d T (A, B) d T (f(a), f(b)) ÐÐ A B T º Ä ÑÑ º¾º½ º ½µ ÇÐ ÓÓÒ AB T CDT º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ T ÓÑ ØÖ f Ø Ò ØØ f(a) C f(b) Dº ¾µ ÇÐ ÓÓÒ ABC T DEF T º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ T ÓÑ ØÖ f Ø Ò ØØ f(a) D f(b) f(d)f(e) T f(c) f(d)f(f) T º µ ÇÐ ÓÓÒ AB T T ÙÓÖ º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ T ÓÑ ØÖ f ÓÒ Ö Ó ØØÙÑ T ÙÓÖ ÐÐ AB T ÓÒ ÒØØ Ò Ò ÙÚ Ù ÓÐÐ P AB T f(p) ÐÐ P T \ AB T º ÌÓ ØÙ º Ã Ø Ó ÐÙ Ù º Ä ÑÑ º¾º½ º ÇÐ ÓÓÒ f : T T T ÓÑ ØÖ ÐÐ A B T º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÚÓ Ñ ½µ A B C f(a) f(b) f(c) ¾µ AB T CDT f(a)f(b) T f(c)f(d)t µ ABC T DEF T f(a)f(b)f(c) T f(d)f(e)f(f)t º ÌÓ ØÙ º Î Ø ÙÖ ÙÓÖ Ò ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÐ ØÙ Ø º ÅÖ Ø ÐÑ º¾º½ º Ä ÑÑ Ò º¾º½ Ó Ò µ ÙÚ Ù Ø f ÒÓØ Ò Ô Ð Ù ¹ T ÙÓÖ Ò AB T Ù Ø Òº Ä Ù º¾º½ º À½½µ ÇÐ ÓÓÒ BAC ÙÐÑ DE T Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÙÓÖ º Çй ÓÓÒ Ð P Ô Ø Ó ÐÐÝ ÙÓÖ Ò DE T º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ø ÑÐÐ Ò Ý ÔÙÓÐ ÙÓÖ DF T Ø Ò ØØ FP DE T BAC T EDFT º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ f : T T Ø Ò ØØ d T (A, B) d T (f(a), f(b)) ÐÐ A B T º Ä ÑÑ Ò º¾º½ ÑÙ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ f Ø Ò ØØ f Ø Ò ØØ f(a) D f(b) f(d)f(e) T f(c) f(d)f(f) T º ÂÓ f(b)p DE T Ò Ò Ú Ð Ø Ò F (f(b)º ÅÙÙ Ø Ô Ù F i(f(b)) Ñ i ÓÒ Ô Ð Ù T ÙÓÖ Ò DE T Ù Ø Òº Æ Ò ÓÐÐ Ò ÐÙØÙÒÐ Ò Ò Ô Ø ÓÒ ÓÐ Ñ º Ç Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú Ô Ø Ò F Ý ØØ ÝÝ º Ä ÑÑ Ø º¾º½ ÙÖ ØØ ÝÑÔÝÖ Ò Ø Ò ÒØØ Ò ÚÐ Ò Ò ÙÐÑ EDF ÓÒ Ý Ø ÙÙÖ Ù Ò Ú Ø Ú Ò¹ Ð Ò Ò ÙÐÑ BACº È Ø F Ø ÝÑÔÝÖÐÐ α Ó ÙÐ Ô Ø Ò D ÙØØ ÓÒ Ô Ø ÓÒ x Ð ÐÐ º ÑÔÝÖ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò ÓØ Ò ÑÝ DF T ÓÒ Ý ØØ Ò Òº

30 º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ¾ Ä Ù º¾º¾¼º À½¾µ ÃÙÐÑ Ò Ý Ø Ò ÚÝÝ ÓÒ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó Ð ½µ BAC T BACT º ¾µ ÂÓ BAC T EDFT Ò Ò FDE T BACT º µ ÂÓ BAC T EDFT EDF T HGIT Ò Ò BAC T HGI T º ÌÓ ØÙ º ½µ Ë ÙÖ ÙÓÖ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø º½º Ä Ù Ø º¾º½ º ¾µ Ë ÙÖ ÙÓÖ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø º½º Ä Ù Ø º¾º½ º µ ÇÐ ÓÓÒ BAC T EDFT EDF T HGIT º Î Ð Ø Ò P ABT Q BCT R GH T S GI T Ø Ò ØØ AB T GRT AQ T GST. Ä Ù Ò º¾º½¾ ÒÓ ÐÐ ÚÓ Ò Ú Ð Ø T DE T U DF T Ø Ò ØØ AB T DTT AE T DUT º ÌÐÐ Ò Ä Ù Ø º¾º½ ÙÖ DT T GRT DU T GST ÓØ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ º½º ÒÓ ÐÐ Ò PQ T TUT TU T RST º Æ Ò ÓÐÐ Ò Ä Ù Ø º¾º½ ÑÖ Ø ÐÑ Ø º½º ÙÖ Ú Ø º Ä Ù º¾º¾½º À½ µ ÇÐ ÓÓÒ ABC DEF ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ Ò ÓÐÑ Ó Ø ¹ Ø Ò ØØ A T DT AB T DET AC T DFT º ÌÐÐ Ò ABC DEF º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ ABC DEF ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ Ò ÓÐÑ Ó Ø Ø Ò ØØ A T DT AB T DET AC T DFT º ÌÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÑ º½º ÓÐ ØÙ ÝØØÑÐÐ Ò BC T EFT º Ä ÑÑ Ò º¾º½ ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ¹ T ÓÑ ØÖ f : T T Ø Ò ØØ f(a) D f(b) Eº ÌÐÐ Ò Ð ÑÑ Ø º¾º½ Ò A BAC f(b)f(a)f(c) EDf(C). ÂÓ f(c)f DE T Ò Ò Ä Ù Ò º¾º¾¼ ÒÓ ÐÐ Ò f(c) F º ÌÐÐ Ò Ú Ø ¹ Ú ÐÐ ÔØØ ÐÝÐÐ Ò B T ET B T ET ÓØ Ò ÑÝ ABC DEF º ÂÓ ÔÙÓÐ Ø Ò f(c) DE T F Ò Ò Ý Ø ØÒ ÙÚ Ù Ò f Ô Ð Ù T ÙÓÖ Ò AB T Ù Ø Ò ÓÐÐÓ Ò Ø Ð ÒÒ Ô Ð ÙØÙÙ ÐÐ Ò ÐØ ¹ º Ä Ù º¾º¾¾º µ ÇÐ ÓÓÒ l T D 1 l T D 2 l T Ø Ò ØØ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò T ÙÓÖ º ÇÐ ÓÓÒ Ð ½µ D 1 D 2 ¾µ D 1 D 2 µ D 1 D 2 l T µ ÂÓ Q R D 1 Ò Ò ÓÐ ÓÐ Ñ Ô Ø ØØ S D 2 ÓÐÐ ÓÐ Q S Rº µ ÂÓ P Q D 2 Ò Ò ÓÐ ÓÐ Ñ Ô Ø ØØ S D 1 ÓÐÐ ÓÐ Q S Rº

31 º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ¾ ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ø ÑÐÐ Ò Ý Ô Ø P l T Ø Ò ØØ ÐÐ A B l T \{P } ÔØ A P B Ò Ú Ò ÙÒ A D 1 B D 2 Ø A D 2 B D 1 º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ l T Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò T ÙÓÖ º ÌÐÐ Ò ÙÓÖ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó l T T α Ñ ½µ α ÓÒ x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð º ¾µ α ÓÒ ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø Ø x Ð ÐÐ º ½µ Ã Ø Ó Ä Ù Ò ¾º¾º ØÓ ØÙ º ¾µ ÇÐ ÓÓÒ α ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø Ø x Ð ÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ Ð Q (q, 0) R (r, 0) ÝÑÔÝÖÒ α x Ð Ò Ð Ù Ô Ø Øº ÎÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ q < rº Ä ÑÑ Ò º¾º ÒÓ ÐÐ ÔÖÓ Ø Ó P r : l T ]q, r[ ÐÝØØ Ö ØÝ Òº ÇÐ ÓÓÒ P r (x, y) x 1 ], q] P r (D 1 ) 2 P r (D 2 ) [r, [, ÓÐÐÓ Ò ÓÒ ÓÐ Ø ØØÙ ØØ d 1 < d 2 ÙÒ d 1 P r (D 1 ) d 2 P r (D 2 )º Ç Ó ¹ Ø Ø Ò ØØ ÓÙ ÓØ 1 2 ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ò Ò ÓØ ÙÓÖ ÐÐ l { (x, y) R 2 y 0 } : ½µ 1 2 ÐÐ D 1 D 1 º ¾µ 1 2 (], q] P r (D 1 )) (P r (D 2 ) [r, [) º µ 1 2 (], q] P r (D 1 )) (P r (D 2 ) [r, [) lº µ ÇÐ ÓÓÒ A B 1 º À Ú Ø Ò ØØ ÓÒ ÚÓ Ñ ], supp r (D 1 )[ ], q] P r (D 1 ) 1, ÓØ Ò ÓÐ ÓÐ Ñ Ô Ø ØØ C 2 Ø Ò ØØ A C Bº µ Ë Ñ Ò Ø Ô Ò Ù Ò Ó Ø µº ÇÒ ÓÐ Ñ Ø ÑÐÐ Ò Ý Ô Ø P (p, 0) Ø Ò ØØ (x, 0) (p, 0) (y, 0) Ó Ú Ò Ó x 1 y 2 Ø x 2 y 1 º Ä Ø Ó P r : l T ]q, r[ P r (x, y) x ÐÝØØ Ö ØÝ Ò ÓØ Ò T Ô Ø ÐÐ Pr 1 (P) ÓÒ ÓÓÑ Ò Ú Ø Ñ Ø ÓÑ Ò Ù٠غ Ä Ý Ò Ò Ô Ø ÓÒ Ý ØØ Ò Òº Ä Ù º¾º¾ º È Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ È µ ÓÐ ÚÓ Ñ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ º

32 º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ¼ ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ { } l 1 (x, y) T x 0, { } l 2 (x, y) T x 2 { } l 3 (x, y) T (x, y) (2, 0) 1. À Ú Ø Ò ØØ l 1 l 2 l 3 ÓÚ Ø T ÙÓÖ l 1 l 2 l 1 l 3 º Ä l 2 l 3 ÙÐ Ú Ø Ô Ø Ò (2, 1) ÙØØ º ÃÙ Ø Ò Ò Ô Ø (2, 1) ÓÒ ÙÓÖ Ò l 1 ÙÐ ÓÔÙÓÐ Ò Ò Ô Ø ÓØ Ò Ô Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ ÓÐ ÚÓ Ñ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ º y l 2 l 1 ¾ ½µ l 3 ÃÙÚ È Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ ÓÐ ÚÓ Ñ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ x ÀÍÇÅ ÈÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ØÓØ ÙØØ ÝÔ Ö ÓÐ Ò ÓÓÑ Ò À ȵ ÓÐÐÓ Ò Ô Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ È µ ØÓØ Ù Ùº

33 ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ½ ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Î Ò Ò ØÙÒÒ ØØÙ ÝÔ Ö ÓÐ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ñ ÐÐ ÓÒ Ò Ñ ÐØÒ ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ º Ë ÙÖ Ú Ø ÐØÚ Ð Ü ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ØÓØ ÙØØ ÑÝ À Ð ÖØ Ò ÓÓ¹ Ñ Ø Ò Ò ÓÓÑ Ø ÑÙØØ Ô Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ º ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÓÒ¹ ØÖÙÓ Ò ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ Ò Ø Ô Ò ÖØ Ò Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÐÐ Ò ÔÓ Ð¹ Ð º Å ÐÐ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÔÙÓÐ Ø ÓÒ Ò Ý Ó º º½ ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÒØ ÅÖ Ø ÐÑ º½º½º ÇÐ ÓÓÒ K { (x, y) R 2 (x, y) < 1 }. ÃÙØ ÙØ Ò Ô Ø Ø P K ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ò Ô Ø ÝØ ØÒ Ò Ø Ò Ñ ØÝ Ø K Ô Ø ÓØØ Ò ÖÓØØÙÚ Ø Ù Ð Ø ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ Ò Ô Ø Øº ÅÖ Ø ÐÑ º½º¾º ÃÐ Ò Ò ÙÓÖ ÓÒ ÓÙ Ó l K K lº Ì l ÓÒ ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ð Ú Ù Ð Ò Ò ÙÓÖ º ÃÙØ ÙØ Ò ÃÐ Ò Ò ÙÓÖ ÐÝ Ý Ø K ÙÓÖ º È Ø P K ÓÒ ÙÓÖ ÐÐ l K Ó P l K º y x ÃÙÚ ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ò ÙÓÖ Ø ÅÖ Ø ÐÑ º½º º ÇÐ ÓÓÒ A B Ñ Ð Ú ÐØ K Ô Ø Øº È Ø Ò A B ÚÐ Ø ÝÝ ÒÓØ Ò ÐÙ Ù d K (A, B) 1 A P B Q 2 log A Q B P, Ñ Ô Ø Ø P Q ÓÚ Ø Ù Ð Ò ÙÓÖ Ò AB Ý ÝÑÔÝÖÒ Ð Ù Ô ¹ Ø Øº Ð Ü Ö Ø Ò ÃÐ Ò ÓÐ Ð Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø Óº ÀÒ ÝÒØÝ ¾ º Ù Ø ÙÙØ ½ ¹ Ð ÓÖ ÈÖ Ù ÒÝ Ý Ò Ò Ë µ ÙÓÐ ¾¾º ÙÙØ ½ ¾ ØØ Ò Ò Ë º ÄÙ Ó Ø Ô ÝÒ Ð Ò ÃÐ Ò ÙÙÒØ ÓÒÒ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÓÒ ÓÔ Ð Ñ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ý º ÇÔ ÐÙ Ò Ò ÒÒÓ ØÙ ÝÔ Ö ÓÐ Ø ÓÑ ØÖ Ø ÖÝ ÑØ ÓÖ Ø º

34 º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ¾ ÀÍÇÅ ÃÙØ Ò ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ÚÓ ÒÝØ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ô ÖÙ Ö Ð Ø ÓØ Ñ ÐÐ Ò Ø ÝÝ ØØ Ò ÚÙÐÐ º Ë Ñ Ó ÑÙ Ø ØØ Ø ÙØ Ò Ò ÙÐÑ ÓÐÑ Ó Ø ÝÑÔÝÖ Ø Ò º Ö ØÝ Ø Ø ÖÚ Ø Ò ÙÖ Ú Ø ÑÖ Ø ÐÑØ ÅÖ Ø ÐÑ º½º º ÇÐ ÓÓÒ A B C Ö K Ô Ø Øº Ë ÒÓØ Ò ØØ B ÓÒ Ô Ø Ò A C ÚÐ A B C Ó A B C ÓÚ Ø Ñ ÐÐ l K ÙÓÖ ÐÐ d K (A, C) d K (A, B) + d K (B, C). ÅÖ Ø ÐÑ º½º º Ë ÒÓØ Ò ØØ Ò Ø AB K CD K ÓÚ Ø Ý Ø Ò Ú AB K CDK Ó d K (A, B) d K (C, D). ÅÖ Ø ÐÑ º½º º Ë ÒÓØ Ò ØØ ÙÐÑ Ø BAC EDF ÓÚ Ø Ý Ø Ò Ú BAC K EDF K Ó Ó Ø E DE K F DF K Ø Ò ØØ AB K DE K AC K DF K ÙÖ BC K E F K º º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÃÐ Ò Ò Ñ Ð¹ Ð ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ØÓØ ÙØØ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ ÑÙØØ Ô Ö ÐÐ Ð ¹ ÓÓÑ º Ç ÓÓÑ Ø ÓÒ ÐÔÔÓ ØÓ Ø ÔØ Ú ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ø Ø Ò Ò Ò Ò ÓÓÑ Ø À½µ À µº ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ò Ø ÚÐ ¹ ÓÐÓ Ó Ó ØØ ÙØÙÚ Ø Ð ÙÐÐ Ñ Ù Ò Ù Ð Ò Ò ÚÐ ÓÐÓ ÓØ Ò ÓÓÑ Ø À µ À µ ÙÖ Ú Ø Ú Ø Ú Ø Ø ÓÑ ÐÐ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø º ÅÝ À ȵ ÓÒ ÐÚ ØÓ º ÇÒ ÐÑ ÚØ Ý Ø Ò ÚÝÝ ÓÓÑ Øº Ø Ò Ò ÙÐÑ Ø ÓÚ Ø ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ú Ø Ø Ðк Ö ØÝ Ø Ò ÚØ ÓÐ ÑÓ Ù Ò Ù Ð Ø ÙÐÑ Øº È Ð ÑÑ ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ò ÐÙÚÙ º

35 ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ À ÒÖ ÈÓ Ò Ö ØØ Ñ ÐÐ Ò Ó ØÓØ ÙØØ À Ð ÖØ Ò ÓÓÑ Ø Ò¹ Ò ÓÓÑ Ø ÑÙØØ È Ö ÐÐ Ð ÓÓÑ º ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ ÓÒ ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ò Ø Ô Ò Ö ÒÒ ØØÙ Ý ÓÐÐ º º½ ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÒØ ÅÖ Ø ÐÑ º½º½º ÇÐ ÓÓÒ P { (x, y) R 2 (x, y) < 1 }. ÃÙØ ÙØ Ò Ô Ø Ø P P ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ Ò Ô Ø ÝØ ØÒ Ò Ø Ò Ñ ¹ ØÝ Ø P Ô Ø ÓØØ Ò ÖÓØØÙÚ Ø Ù Ð Ø ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ Ò ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ò Ô Ø Øº ÅÖ Ø ÐÑ º½º¾º ÈÓ Ò Ö Ò ÙÓÖ ÓÒ ÓÙ Ó l P P αµ Ñ α ÓÒ Ó Ó ÓÖ ÓÒ ÙØØ ÙÐ Ú Ù Ð Ò Ò ÙÓÖ Ø Ý ÝÑÔÝÖÒ Ù Ø Ò ÓÖØÓ ÓÒ ¹ Ð Ò Ò Ù Ð Ò Ò ÝÑÔÝÖº ÃÙØ ÙØ Ò Ò Ø ÙÓÖ P ÙÓÖ ÓØØ Ò ÖÓØØÙÚ Ø Ù Ð Ø ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ Ò ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ò ÙÓÖ Ø º y x ÃÙÚ ÈÓ Ò Ö Ò ÙÓÖ Ø ÀÍÇÅ ÑÔÝÖØ ÓÚ Ø ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ð Ù Ô Ø Ò Ó Ø ¹ ÙÓÖ Ø Ø Ò ÒØ Øº ÅÖ Ø ÐÑ º½º º ÇÐ ÓÓÒ A B Ñ Ð Ú ÐØ P Ô Ø Øº ÄÙ Ù d P (A, B) A P B Q log A Q B P ÒÓØ Ò Ô Ø Ò A B ÚÐ Ø ÝÝ Ñ Ô Ø Ø P Q ÓÚ Ø α Ò Ý ÝÑÔÝÖÒ Ð Ù Ô Ø Øº ÂÙÐ À ÒÖ ÈÓ Ò Ö ½ ½ ½¾µ ÓÐ Ö Ò Ð Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø Ó Ø Ø Ø Ø Ð º ÈÓ Ò Ö ÓÔ Ð ÚÓ Ò Ò Ö ÑÙØØ ÔØÝ ÐÓÔÙÐØ Ñ Ø Ñ Ø Ó º Î Ø Ö ÐÑ ØÝ ½ º Ë ØØ Ð Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò ÝÐ Ø Ø ÓÖ º ÈÓ Ò Ö Ø ØÙÐ Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ ÓÖ ÚÙÓÒÒ ½ È Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Ñ Ø Ñ ØØ Ò Ý Ò ÔÖÓ ÓÖ ½ º Ê Ò Ò Ø Ø Ñ Ò Ñ ÈÓ Ò Ö Ò Ñ Ø ØØ Ò ½ ¼ º ÈÓ Ò Ö Ò ØÙØ ÑÙ ØÝ ÓÐ Ð ¹ Ð Ø º ÀÒ ÓÐ ÑÝ ØÓÔÓÐÓ Ò ÙÖ ÒÙÙÖØ ÐÙ ÙØ ÓÖ Ò Ø º

36 º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ ÅÖ Ø ÐÑ º½º º ÇÐ ÓÓÒ A B C Ö P Ô Ø Øº Ë ÒÓØ Ò ØØ B ÓÒ Ô Ø Ò A C ÚÐ A B C Ñ Ð A B C ÓÚ Ø Ñ ÐÐ l P ÙÓÖ ÐÐ d P (A, C) d P (A, B) + d P (B, C). ÅÖ Ø ÐÑ º½º º Ë ÒÓØ Ò ØØ Ò Ø AB P CD P ÓÚ Ø Ý Ø Ò Ú AB P CDP Ó d P (A, B) d P (C, D). ÅÖ Ø ÐÑ º½º º Ë ÒÓØ Ò ØØ ÙÐÑ Ø BAC EDF ÓÚ Ø Ý Ø Ò ¹ Ú BAC P EDF P Ó Ó Ø E DE P F DF P Ø Ò ØØ AB P DE P AC P DF P ÙÖ BC P E F P º º¾ ÓÓÑ Ø À½µ À½ µ µ À ȵ ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ ØÓØ ÙØØ ÓÓÑ Ø À½µ ¹ À½ µ µ ÑÙØØ Ô Ö ÐÐ ¹ Ð ÓÓÑ º ÓÓÑ Ò ØÓ Ø Ñ Ò Ò ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ ÓÒ Ú Ö Ò Ú Ú ÐÐÓ Ø º Í Ò Ò Ò ØØ ÑÙ Ò ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÒÚ Ö Ó ÝÑÔÝÖÒ Ù Ø Ò Ø Ó ÐÔÓØØ ØÓ ØÙ º ÌÓ Ò Ò ÓÓÑ Ø ÐÚ Ò ÐÝÝØØ Ò Ó¹ Ñ ØÖ Ò Ø Ó ÐÐ ÑÙØØ ÓÒ ÐÑ Ø ÝÒØÝÚØ ÚÐ ÓÐÓÒ Ý Ø Ò ÚÝÝ Ò Ò ¹ º ÑÔ Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ø Ò Ñ ÐÐ Ò Ø Ô Ò À ȵ ÓÒ ÐÚ ØÓ º Ì Ö ¹ Ø ÐÐ Ò ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ Ø Ö ÑÑ Ò ÐÙÚÙ º

37 Á ÓÑ ØÖ Ó Ø Á ÓÑ ØÖ Ó Ø Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú Ñ ÐÐ Ò ÚÐ ÓÑ ØÖ Ó Ø Ð Ø ÝÝ Ø ÐÝØØÚ Ø Ú µ ÙÚ Ù º ÃÓÐÑ ÝÔ Ö ÓÐ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ñ ÐÐ Ô ÖÙ Ö Ð ¹ Ø ÓØ Ò Ò ÓÓÑ ÐÙ ÙÙÒÓØØ Ñ ØØ µ Ó ØÙØ ØØ Ø ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ø ÝÝ Ò ÚÙÐÐ Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ º Ì ÐÙÚÙ Ð Ý ØÒ ÓÑ ØÖ Ó Ø Ñ ÐÐ Ò ÚÐ ÐÐ º Ë Ö ØØ ØÓ Ø Ù Ò ÓÓÑ Ó Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ò ÓÑ Ø¹ Ö Ò Ñ ÐÐ ÓÐÐÓ Ò Ò ÔØ ÚØ Ò º Ë ÚÙØÙÓØØ Ò ÑÑ ØÓ ¹ ØÙ Ò Ä Ù ÐÐ º¾º½ º º½ Å Ù ÙÚ Ù ÅÖ Ø ÐÑ º½º½º ½µ ÂÓÙ Ó C C µ ÒÓØ Ò Ð ÒÒ ØÙ ÓÑÔ¹ Ð Ø Ó º ¾µ ÂÓÙ Ó R R µ ÒÓØ Ò Ð ÒÒ ØÙ Ö Ð Ð º µ ÃÙÚ Ù Ø f : C C ÒÓØ Ò Å Ù ÙÚ Ù Ó ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó f(z) az + b cz + d, Ñ a b c d C Ø Ò ØØ ad bc 0º Ä Ù ØÙÐ Ø Ò Ø Ú ÐÐ Ò Ø Ô Ò ÝØ ØÒ ÙÖ Ú ÓÔ ÑÙ ÂÓ c 0 Ò Ò f(z) { az+b d, ÙÒ z C, z. ÂÓ c 0 Ò Ò az+b cz+d, ÙÒ z C \ { d c } f(z), ÙÒ z { d c } a c, z. ÀÍÇÅ ÃÙÒ c 0 Ò Ò f ÓÒ Ø ÙÚ ÓÙ Ó C \ { d c } lim f(z). z d c ÃÙÒ c 0 Ò Ò f ÓÒ Ø ÙÚ ÓÙ Ó Cº ÃÙÚ Ù Ò f Ø ÙÚÙÙ Ó Ó ÓÙ Ó C ÐÚ Ø ØÒ Ä Ù º½º º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú Ý Ò ÖØ Å Ù ÙÚ Ù ½µ Å Ù ÙÚ Ù Ø f(z) z + w, w C ÒÓØ Ò ÖÖÓ º À Ú Ø Ò ØØ Ó Ò Ò ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ô Ø z ÖØÝÝ ÐÙÚÙÒ w Ú ÖÖ Òº Ë ÖÖÓÐÐ ÓÐ Ú ÙØÙ Ø Ö ØØ ÑÝÝ Ô Ø Ò ÐÐ f(z) z + w 1 z + w 0 z + 1, ÓØ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ º½º½ ÒÓ ÐÐ f( ) º

38 º½ Å Ù ÙÚ Ù ¾µ ÌÓ Ò Ò ØÖ ÓÙ Ó Å Ù ÙÚ Ù ÓÚ Ø Ú ÓÐÐ ÖØÓÑ Ø g(z) λz, Ñ λ C \ {0} z C º ÌÐÐ Ò ÙÚ Ù ÐÐ ÓÐ Ú ÙØÙ Ø Ö ØØ ÑÝÝ Ô Ø Ò ÐÐ g(z) λz λz z + 1, ÓØ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ º½º½ ÒÓ ÐÐ g( ) º ¾º½µ ÂÓ λ 1 Ý ÓÒ ÓÑÔÐ Ø ÓÒ ÖØÓº ÌÓ Ò ÒÓ Ò ÙÒ Ø Ó g(z) ÖØ ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ô Ø Ø ÙÐÑ Ò arg(λ) Ú ÖÖ Òº ¾º¾µ ÇÐ ÓÓÒ λ R λ > 0º ¾º¾º½µ ÂÓ 0 < λ < 1 Ò Ò g(z) ÓÒ ÙØ Ø Ú ÙÚ Ù º ¾º¾º¾µ ÂÓ λ > 1 Ò Ò g(z) ÓÒ Ú ÒÝØØÚ ÙÚ Ù º µ Å Ù ÙÚ Ù ÓØ ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ h(z) 1 z, ÒÓØ Ò ÓÑÔÐ ÒÚ Ö Ó º ÃÙÚ Ù h(z) Ú Ø Ö ØØ ÑÝÝ Ô ¹ Ø Ò ÓÖ ÓÒ h( ) 0 h(0). Ä Ù º½º¾º ÂÓ Ò Ò Å Ù ÙÚ Ù Ò Ý Ø ØØÝÒ ÙÚ Ù Ò Å ¹ Ù ÙÚ Ù Ø f(z) z + w g(z) λz h(z) 1 z Ñ w C λ C \ {0}º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ F : C C Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò Å Ù ÙÚ Ù F(z) az + b cz + d, Ñ ad bc 0º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú Ñ ÓÐÐ Ø Ú ØÓ ØÓ ½µ c 0 ¾µ c 0 ½µ ÇÐ ÓÓÒ c 0º ÌÐÐ Ò Ò F(z) az + b cz + d az + b a d d z + b d g(z) + b f(g(z)) f g(z), d Ñ f(z) z + b d g(z) a d zº ¾µ ÇÐ ÓÓÒ c 0º ÌÐÐ Ò Ò F(z) az + b cz + d bc ad c 2 (z + d c ) + a c bc ad c 2 f 1 (z) + a c bc ad c 2 h(f 1 (z)) + a c

39 º½ Å Ù ÙÚ Ù g(h(f 1 (z))) + a c f 2 (g(h(f 1 (z)))) f 2 g h f 1 (z), Ñ f 1 (z) z + d c f 2(z) z + a bc ad c g(z) c z h(z) 1 2 z º Æ Ò ÓÐÐ Ò Ó Ò Ò Å Ù ÙÚ Ù ÚÓ Ò ØØ Ý Ø ØØÝÒ ÙÚ Ù Ò ÙÒ Ø Ó Ø f(z) g(z) h(z)º Ä Ù º½º º Å Ù ÙÚ Ù ÓÒ Ø Óº Ä Å Ù ÙÚ Ù Ø Ò Ý ¹ Ø ØØÝ ÙÚ Ù ÒØ ÙÚ Ù ÓÚ Ø Å Ù ÙÚ Ù º ÌÓ ØÙ º Î ØØ Ø ÙÖ Ú Ø Ä Ù Ø º½º¾ ÐÐ Å Ù ÙÚ Ù Ø Ò f(z) z +w g(z) λz (λ 0) h(z) 1 z ÒØ ÙÚ Ù Ø f 1 (z) z w g 1 (z) 1 λ z h 1 (z) 1 z ÓÚ Ø Å Ù ÙÚ Ù º ÅÖ Ø ÐÑ º½º º Ë ÒÓØ Ò ØØ A C ÓÒ ÚÓ Ò Ó ØÓ Ò Ò ÙÖ Ú Ø Ú ØÓ Ó Ø ÓÒ ÚÓ Ñ ½µ A C ÓÒ ÚÓ Òº ¾µ A B { } Ø Ò ØØ B C ÓÒ ÚÓ Ò C\B ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙº ÚÓ Ñ Ò ÓÙ Ó Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ð ÒÒ ØÙÒ ÓÑÔÐ Ø ÓÒ ØÓÔÓ¹ ÐÓ T {A C A C ÓÒ ÚÓ Ò}. ÀÍÇÅ T ÓÒ ØÓ ÐÐ ÓÙ ÓÒ C ØÓÔÓÐÓ Ø Ú ÐÐ Ò Ò C ÓÒ ÓÙ ÓÒ C ØÓ¹ ÔÓÐÓ Ò Ò Ð Ú ÖÙÙ º ÅÖ Ø ÐÑ º½º º ÙÒ Ø Ó f : X Y ÓÒ ÓÑ ÓÑÓÖ Ñ Ó f ÓÒ Ø ÙÚ Ø Ó f 1 ÓÒ Ø ÙÚ º ÀÍÇÅ ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÑ ÓÑÓÖ ÙÙ Ø Ö Ó ØØ ØØ ÓÙ ÓØ f(u) f 1 (U) ÓÚ Ø ÚÓ Ñ Ò ÙÒ U X ÓÒ ÚÓ Òº Ä Ù º½º º Å Ù ÙÚ Ù f : C C ÓÒ ÓÑ ÓÑÓÖ Ñ º ÌÓ ØÙ º Î Ø ÙÖ Ä Ù Ø º½º¾ º½º ÐÐ ÙÚ Ù Ø f(z) z + w g(z) λz h(z) 1 z Ñ w C λ C \ {0} ÓÚ Ø ÓÑ ÓÑÓÖ Ñ º Ä Ù º½º º Å Ù ÙÚ Ù f : C C f(z) az + b cz + d ÙÚ Ù Ð Ø ÝÑÔÝÖØ Ù Ð Ø ÙÓÖ Ø Ù Ð ÝÑÔÝÖ Ù Ð ¹ ÙÓÖ º ÌÓ ØÙ º ÃÙÚ Ù f ÓÒ Ä Ù Ò º½º¾ ÒÓ ÐÐ Ý Ø ØØÝ ÙÚ Ù ÖÖÓ Ø Ú ÓÐÐ ÖØÓÑ Ø ÓÑÔÐ Ø ÓÒ ÒÚ Ö Ó Ø Ö ØØ ØÓ Ø Ð Ù Ò ÐÐ ÙÚ Ù ¹ ÐÐ º Æ Ø ÒÓ Ø Ò ÓÑÔÐ Ø ÓÒ ÒÚ Ö Ó Ô Ø Ö Ø ÐÙ º ÌÓ Ø Ø Ò Ñ Ö Ò Ð Ù Ø ØØ Ó α < 1 < z,

40 º½ Å Ù ÙÚ Ù Ò Ò z Ò ÓÑÔÐ Ò Ò ÒÚ Ö Ó h ÙÚ z Ò r Ø Ò ÝÑÔÝÖÒ Ýѹ 1 α ÔÝÖ º ÇÐ ÓÓÒ β ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø ÓÒ z(1 α 2 ) z (1 α 2 ) º ÇÐ ÓÓÒ a x + z Ø Ò ØØ x α z º ÌÐÐ Ò Ò h(a) 1 z(1 α 2 ) 1 a 1 z(1 α 2 ) 1 x + z 1 z(1 α 2 ) zα 2 + x z(x + z)(1 α 2 ) α z 1 α 2 zα 2 + x α(x + z) α z 1 α 2. ÅÙÙØ Ø Ô Ù Ø ÚÓ Ò Ø ÐÐ Ú Ø Ú Ø º Ë Ñ ÐÐ ÙÓÑ Ø Ò ØØ ÑÝ 1 α z(1 α 2 ) Ò Ò z (1 α 2 ) Ø Ò Ò ÝÑÔÝÖ ÙÚ ÙØÙÙ z Ò α z Ø Ò ÝÑÔÝÖÒ ÐÐ º ÃÓ h h 1 Ò Ò h ÓÒ Ò ÚÐ Ò Ò ¹ Ø Óº Î Ø Ú Ø ØÓ Ø Ø Ò Ð Ù Ò Ø Ô Ù Øº ÀÍÇÅ Î ÓÑÔÐ Ø ÓÒ ÒÚ Ö Ó ÙÚ ÓÖ ÓÒ ÙØØ ÙÐ Ú ÙÐ ¹ Ú Ø ÙÓÖ Ø Ø ÐÐ Ò Ø Ø Ò Ò ÓÐ ÒØØ Ò Ò ÙÚ Ù º Â Ø ÙÚÙÙ ÓÖ Ó ÝÒØÝÝ Ø ØØ 1 lim z 0 z lim 1 z z 0 C Ò ØÓÔÓÐÓ º Ä Ù º½º º ÇÐ ÓÓÒ z 1 z 2 z 3 C ÓÐÑ Ö Ô Ø Øغ ÂÓ w 1 w 2 w 3 C ÓÚ Ø ÓÐÑ Ö Ô Ø ØØ Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ø ÑÐÐ Ò Ý Å Ù ÙÚ Ù f : C C Ø Ò ØØ f(z 1 ) w 1, f(z 2 ) w 2 f(z 3 ) w 3. ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ z 1 z 2 z 3 C ÓÐÑ Ö Ô Ø Øغ ÃÓ Å Ù ÙÚ Ù Ø Ò Ý Ø ØÝØ ÙÚ Ù Ø ÒØ ÙÚ Ù Ø ÓÚ Ø Å Ù ÙÚ Ù ÚÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ w 1 0, w 2 1 w 3. Ø ØÒ ÙÚ Ù Ø Ó ÓÒ ÑÙÓØÓ f(z) az + b cz + d, Ñ a b c d C ÓÐÐÓ Ò Ò Ý ØÐ Ø f(z 1 ) az1+b cz 0 1+d f(z 2 ) az2+b cz 1 2+d f(z 3 ) az3+b cz. 3+d

41 º½ Å Ù ÙÚ Ù ÌÐÐ Ò ÓÒ ÚÓ Ñ Ý ØÐ ÖÝ Ñ az 1 + b 0 az 2 + b cz 2 + d cz 3 + d 0. Æ Ò ÓÐÐ Ò ÙÚ Ù f(z) ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó ÓÐÐÓ Ò f(z) az + b cz + d a c z + b c z + d c z 2 z 3 z 2 z 1 z + z1(z2 z3) z 1 z 2 z z 3 (z z 1)(z 2 z 3 ) (z z 3 )(z 2 z 1 ), ad bc (z 2 z 3 )( z 3 (z 2 z 1 )) ( z 1 (z 2 z 3 ))(z 2 z 1 ) (z 2 z 1 )(z 1 z 3 )(z 2 z 3 ) 0. ÂÓ z 1 z 2 Ø z 3 Ò Ò Ú Ø Ú Ø f(z) z 2 z 3 z z 3, f(z) z z 1 z z 3 Ø f(z) z z 1 z 2 z 1. ÃÙÚ Ù f ÓÒ ÐÙØÙÒÐ Ò Ò Å Ù ÙÚ Ù ÓÐÐ ÔØ f(z 1 ) 0, f(z 2 ) 1 f(z 3 ). Ç Ó Ø Ø Ò Ú Ð ØØ ÙÒ Ø Ó f ÓÒ Ý ØØ Ò Òº ÂÓ ÓÐ ÓÐ Ñ ØÓ Ò Ò Å Ù ÙÚ Ù g : C C ÓÐÐ ÔØ Ò Ò g(z) âz + ˆb ĉz + ˆd, g(z 1 ) 0, g(z 2 ) 1 g(z 3 ), f g 1 (z) f(g 1 (z)) ( ) ˆdz ˆb f â ĉz a ˆdz ˆb â ĉz + b c ˆdz ˆb â ĉz + d (a ˆd bĉ)z + âb aˆb (c ˆd ĉd)z + âd ˆbc.

42 º½ Å Ù ÙÚ Ù ¼ ÓÐ ÑÝ Å Ù ÙÚ Ù ÐÐ (a ˆd bĉ)(âd ˆbc) (âb aˆb)(c ˆd ĉd) â ˆd(ad bc) ˆbĉ(ad bc) (ad bc)(â ˆd ˆbĉ) 0. ÌÐÐ Ò ÓÐ ÚÓ Ñ Ý ØÐ ÖÝ Ñ f g 1 (a ˆd bĉ) 0+âb aˆb âb aˆb (0) (c ˆd ĉd) 0+âd ˆbc 0 âd ˆbc f g 1 (a ˆd bĉ) 1+âb aˆb a ˆd bĉ+âb aˆb (1) (c ˆd ĉd) 1+âd ˆbc c ˆd ĉd+âd ˆbc 1 f g 1 ( ) (aˆd bĉ) +âb aˆb, (c ˆd ĉd) +âd ˆbc Ó Ø ÙÖ Æ Ò ÓÐÐ Ò Ø Ò âb aˆb 0 a ˆd bĉ âd ˆbc c ˆd ĉd 0. f g 1 (z) (a ˆd bĉ)z + âb aˆb (c ˆd ĉd)z + âd ˆbc (a ˆd bĉ)z z + a ˆd bĉ (a ˆd bĉ)z a ˆd z bĉ ÐÐ z C ÓØ Ò g 1 ÓÐ ÙÒ Ø ÓÒ f ÒØ ÙÒ Ø Óº Ì Ø ÙÖ ØØ f g ÓØ Ò Å Ù ÙÚ Ù f ÓÒ Ý ØØ Ò Òº Ä Ù º½º º ÇÐ ÓÓÒ z z 1 z 2 z 3 C Ò Ð Ö Ô Ø ØØ f : C C Å Ù ÙÚ Ù º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÚÓ Ñ f(z) f(z 2 ) f(z) f(z 3 ) f(z 1) f(z 3 ) f(z 1 ) f(z 2 ) z z 2 z1 z 3. z z 3 z 1 z 2 ÌÓ ØÙ º ÇÐ ØÙ Ò ÒÓ ÐÐ f : C C ÓÒ Å Ù ÙÚ Ù ÓØ Ò f(z) ÓÒ ÑÙÓØÓ f(z) az + b cz + d, Ñ a b c d C Ø Ò ØØ ad bc ¼º ÌÐÐ Ò Ò f(z) f(z 2 ) f(z) f(z 3 ) f(z 1) f(z 3 ) f(z 1 ) f(z 2 ) az+b cz+d az2+b cz 2+d az+b cz+d az3+b cz 3+d (ad bc)(z z 2) (cz+d)(cz 2+d) (ad bc)(z z 3) (cz+d)(cz 3+d) z z 2 z z 3 z1 z 3 z 1 z 2. az 1+b cz az3+b 1+d cz 3+d az 1+b cz az2+b 1+d cz 2+d (ad bc)(z 1 z 3) (cz 1+d)(cz 3+d) (ad bc)(z 1 z 2) (cz 1+d)(cz 2+d) ÀÍÇÅ ÂÓ Ó Ò Ô Ø Ø z z 1 z 2 z 3 Ò Ò ÖÓØÙ Ø Ò Ó ÑÖØ ØÙй Ø Ò ÙØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ º½º½º ÂÓ z 1 z 2 Ø z 3 Ò Ò Ú Ø Ú Ø Ò z z 2 z1 z 3 z z 2 z 1 z 3 z z 2, Ø. z z 3 z 1 z 2 z z 3 z z 3 z 1 z 2

43 º½ Å Ù ÙÚ Ù ½ ÅÖ Ø ÐÑ º½º½¼º ÇÐ ÓÓØ d 1 : X 2 R d 2 : Y 2 R ÙÚ Ù º ÃÙÚ Ù f : X Y ÓÒ d 1 d 2 ÓÑ ØÖ Ó ½µ f ÓÒ Ø Ó ¾µ ÐÐ x y X ÓÒ ÚÓ Ñ d 1 (x, y) d 2 (f(x), f(y)). ÀÍÇÅ d 1 d 2 ÓÑ ØÖ Ò ÒØ ÙÚ Ù ÓÒ d 1 d 2 ÓÑ ØÖ º ÂÓ (X, d 1 ) (Y, d 2 ) ÓÚ Ø Ñ ØÖ Ú ÖÙÙ Ò Ò f : X Y ÓÒ d 1 d 2 ÓÑ ØÖ Ø Ò ÓÐÐ Ò Ñ ØÖ Ø Ò Ú ÖÙÙ Ò ÓÑÓÖ Ñ º Ñ Ö º½º½½º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ ÓÑÔÐ ¹ Ø Ó º Å Ö ØÒ T {z C Im(z) > 0} P {z C z < 1}. Î Ð Ø Ò Ô Ø Ø z 1 0 z 2 i z 3 º Ä Ù Ò º½º ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ò Ò Å Ù ÙÚ Ù f : C C Ø Ò ØØ f(0) 1, f(i) 0 f( ) 1. Ä Ù Ò º½º ÒÓ ÐÐ Å Ù ÙÚ Ù ÐÐ f ÓÒ ÚÓ Ñ Ó Ø Ò f(z) f(z 2 ) f(z) f(z 3 ) f(z 1) f(z 3 ) f(z 1 ) f(z 2 ) z z 2, z 1 z 2 f(z) f(i) f(0) f( ) f(z) f( ) f(0) f(i) f(z) 0 f(z) 1 ( 1) 1 ( 1) 0 2 f(z) f(z) 1 f(z) z i 0 i i z i i z i z i z + i. Æ Ò ÓÒ ØÙ Ð Ù ÐÐ Å Ù ÙÚ Ù ÐÐ Ó ÙÚ Ô Ø Ø 0 1 Ô Ø 1 0 1º Ë ÙÖ Ú Ø Ð Ù Ø Ó Ó ØØ Ú Ø ØØ ØÑ ÔÙÓÐ Ø ÓÒ T Ó P d T d P ÓÑ ØÖ Ø º Ä Ù º½º½¾º Å Ù ÙÚ Ù Ò f(z) z i z + i Ö Ó ØØÙÑ ÓÙ ÓÓÒ T ÓÒ Ø Ó T P º ÌÓ ØÙ º Ä Ù Ò º½º ÒÓ ÐÐ ÙÚ Ù f : C C f(z) z i z + i

44 º½ Å Ù ÙÚ Ù ¾ ÓÒ ÓÑ ÓÑÓÖ Ñ ÓØ Ò Ò Ö Ó ØØÙÑ ÓÙ ÓÓÒ T ÓÒ Ò Ø Óº Ä ÐÐ z C ÓÒ ÚÓ Ñ f(z) P f(z) < 1 z i z + i < 1 z i 2 < z + i 2 Re(z) 2 + (Im(z) 1) 2 < Re(z) 2 + (Im(z) + 1) 2 2Im(z) < 0 < z T, 2Im(z) Im(z) ÓØ Ò f( T) P º Æ Ò ÓÐÐ f ÓÒ ÑÝ ÙÖ Ø Ó ÓØ Ò f ÓÒ Ø Óº Ä Ù º½º½ º Å Ù ÙÚ Ù ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ ÐÐ z 1 z 2 T º f(z) z i z + i d T (z 1, z 2 ) d P (f(z 1 ), f(z 2 )) ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ z 1 z 2 T º Ä Ù Ò º¾º½ ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ò Ò l T ÙÓÖ Ó ÙÐ Ô Ø Ò z 1 z 2 ÙØØ º ÅÖ Ø ÐÑÒ º½º ÑÙ Ò d T (z 1, z 2 ) log z 1 w 1 z 2 w 2 z 1 w 2 z 2 w 1 Ø d T (z 1, z 2 ) log z 1 w 1 z 2 w 1 Ò ÑÙ Ò ÓÒ Ó α ÝÑÔÝÖ ÓÒ Ô Ø ÓÒ x Ð ÐÐ Ú x Ð Ò ÒÓÖÑ Ð º Ì ÓÒ ÚÓ Ñ {w 1, w 2 } α R Ð ÓÒ Ú Ð ØØÙ w 1 º ÌÐÐ Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ú ØÓ ØÓ ½µ w 1 w 2 R ¾µ w 1 R w 2 º ½µ ÇÐ ÓÓÒ w 1 w 2 Rº ÌÐÐ Ò Ä Ù Ò º½º ÒÓ ÐÐ d T (z 1, z 2 ) log z 1 w 1 z 2 w 2 z 1 w 2 z 2 w 1 log f(z 1) f(w 1 ) f(z 2 ) f(w 2 ) f(z 1 ) f(w 2 ) f(z 2 ) f(w 1 ). ÃÙÚ Ù f ÓÒ ÓÑ ÓÑÓÖ Ñ ÓØ Ò Ó Ø z 1 w 1 z 2 w 2

45 º½ Å Ù ÙÚ Ù ÙÖ C Ò ØÓÔÓÐÓ f(z 1 ) f(w 1 ) f(z 2 ) f(w 2 ). ÂÓ z 1 w 1 Ô Ø Ò ÝÑÔÝÖ α ÓÙ Ó α T Ò Ò f(z 1 ) f(w 1 ) ÝÑÔÝÖ Ø ÙÓÖ f(α) Ä Ù º½º µ ÓÙ Ó f(α) f( T) f(α) P º ÃÓ f(w 1 ) P Ò Ò f(w 1 ) f(α) P º Ë Ñ ÔØ Ô Ø ÐÐ f(w 2 )º Æ Ò ÓÐÐ Ò Ô Ø Ø f(w 1 ) f(w 2 ) ÓÚ Ø P ÙÓÖ Ò f(z 1 )f(z 2 ) P ÔØ Ô ¹ Ø Ø ÓØ Ò d T (z 1, z 2 ) log f(z 1) f(w 1 ) f(z 2 ) f(w 2 ) f(z 1 ) f(w 2 ) f(z 2 ) f(w 1 ) d P(f(z 1 ), f(z 2 )). ¾µ ÇÐ ÓÓÒ w 1 R w 2 º ÌÐÐ Ò d T (z 1, z 2 ) log z 1 w 1 z 2 w 1 log z1i w1i+z1i w1i (z 1+i)(w 1+i) 2i z 2+i 2i z 1+i z2i w1i+z2i w1i (z 2+i)(w 1+i) log z1 i z w1 i 1+i w 1+i z2 i z 1 2+i z1 i z 1 1+i z 2 i z w1 i 2+i w 1+i log f(z 1) f(w 1 ) f(z 2 ) f( ) f(z 1 ) f( ) f(z 2 ) f(w 1 ). ÃÙÚ Ù f : C C ÓÒ ÓÑ ÓÑÓÖ Ñ ÓØ Ò Ó Ø ÙÖ ÙØ Ò Ó ½µ ØØ z 1 w 1 z 2 f(z 1 ) f(w 1 ) f(z 2 ) f( ). Ä Ö ÙÒ ÐÐ Ø Ñ ÐÐ Ô Ø Ø f(w 1 ) f( ) ÓÚ Ø ÙÓÖ Ò f(z 1 )f(z 2 ) P ÔØ Ô Ø Ø ÓØ Ò d T (z 1, z 2 ) log f(z 1) f(w 1 ) f(z 2 ) f( ) f(z 1 ) f( ) f(z 2 ) f(w 1 ) d P(f(z 1 ), f(z 2 )). Ë ÙÖ Ù º½º½ º ÙÒ Ø Ó f : T P f(z) z i z + i ÓÒ ÓÑ ØÖ º Ä ÙÚ ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ Ò Ô Ø Ø ÙÓÖ Ø ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ Ò Ô Ø ÙÓÖ º ÌÓ ØÙ º Ë ÙÖ Ä Ù Ø º½º º½º½ º Å Ù ÙÚ Ù Ø ÓÚ Ø Ò ÐÝÝØØ ÓØ Ò Ò ÐÝØØÚØ ÑÝ ÝÑÔÝÖ Ò ÙÓÖ Ò ÚÐ Ø ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ù٠غ

46 º¾ ÇÖØÓ ÓÒ Ð Ø Ö Ó Ö ÔÖÓ Ø Ó Ë ÙÖ Ù º½º½ º ÙÒ Ø Ó f 1 : P T ÓÒ Å Ù ÙÚ Ù Ò f 1 (z) iz + i 1 z f(z) z i z + i ÒØ ÙÚ Ù º Ë ÙÚ ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ Ò Ô Ø Ø ÙÓÖ Ø ÔÙÓÐ Ø ÓÑ ÐÐ Ò Ô Ø ÙÓÖ º ÌÓ ØÙ º Ø ØØÝ ÙÚ Ù f f 1 ÙÚ Ô Ø Ø 0 1 Ø ÐÐ Ò ÓÐÐÓ Ò f f 1 ÓÒ ÒØØ Ò Ò ÙÚ Ù º Î Ø ÙÖ Ø Øº È Ð Ø Ò ÙÖ Ú Ð ÑÑ Ò º¾º½ ØÓ ØÙ Ò ÙÒ Ò Ø ÖÚ ØØ Ú Ø Ð Ù Ø ÓÚ Ø ÒÝØ ÓÓ Ä Ù Ò º¾º½ ØÓ ØÙ º ÌÓ ØÙ º Ä Ù Ò º½º ÒÓ ÐÐ Ð Ý ØÒ ÐÙØÙÒÐ Ø Å Ù ÙÚ Ù Øº Ä Ä Ù Ò º¾º½ ÓÐ ØÙ Ø Ò ÚÙÐÐ Ð Ý ØÒ ÓÑ ØÖ Ø f ÓÙ ÓÒ T Ö Ó Ø¹ ØÙÑ Ò Ó Ø Ú ØØ Ø ÙÖ Ú Øº º¾ ÇÖØÓ ÓÒ Ð Ø Ö Ó Ö ÔÖÓ Ø Ó Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ó ÓÙ ÓÒ º ÌÐÐ Ò ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ò Ô Ø Ò ÓÙ Ó ÓÒ K {z C z < 1}. Ë ÙÖ Ú ÓÒ ØÖÙÓ Ò d K d P ÓÑ ØÖ ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ò ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ Ò ÚÐ ÐÐ ÔÖÓ Ø Ó Ò ÚÙÐÐ º ÃÙÚ ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ò ÈÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ Ò Ý Ø Ý ØÓ Ò