F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º

Transkriptio

1 ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º Ç ÓØÙ Ó Ò ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º º½ Ç ÓØÙ Ø ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó º º º º º º º º º º º º º ½½ º º¾ ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ Ò Ø Ú Ò Ò ÒÓÑ ÙÑ º ½¾¾ º º Ç ÓØÙ Ø Ô Ö ÓØ ÒÒ º º º º º º º º º º º º º ½¾ º º ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ Ò Ø Ú Ò Ò ÝÔ Ö Ó¹ Ñ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º º Ì ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ Ä ÙÖ ÔÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º¾ ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ Ò ÑÖ Ø ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º ½ º º Ë ØÙÒÒ Ø Ô ØÙÑ Ø Ø Ð ¹ Ú ÖÙÙ º º º º º º º º º ½ Ø ÒÚ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ À Ö Ó ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ Â Ø ÙÚ Ø ÙÑ Ø ½ º½ Â Ø ÙÚ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ì ÙÑ ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º½ Ì ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º¾ ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º Ð Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÆÓÖÑ Ð ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ Ã Ò Ò Ö Ú ØØÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º¾ ËØ Ò Ö ÑÙÓØÓ Ò Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ º º º º º º º º º ½ ¼ º ÅÙÙØØÙ Ò Ú ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º º½ ÅÙÙÒÒÓ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÚÙÐÐ º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º º¾ ÅÙÙÒÒÓ Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ º º º º º º º º º º º º º ½ º Ð Ò Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÑÑ ÙÑ χ ¹ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ ÑÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º¾ χ ¹ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º º ÆÓÖÑ Ð ÙØÙÒ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÑÙÙÒÒÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ ÅÓÑ ÒØ ÙÒ Ø Ó ÑÓÑ ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º¾ Î ÒÓÙ Ù ÔÙ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ø ÒÚ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ À Ö Ó ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

2 ÄÙ Ù Â Ø ÙÚ Ø ÙÑ Ø Ë ÐÐ Ø ÙÙÖ Ø ÙØ Ò Ñ Ö ÐÑÔ Ø Ð Ô ØÙÙ Ô ÒÓ Ø ÐÐ Ò Ø Ú ÐÐ Ø Ø ÙÚ ÑÙÙØØÙ Ø º ÑÙÙØØÙ ÓØ ÚÓ Ú Ø Ñ Ø Ø Ò Ö Ð ÖÚÓ ÒÒ ØÙÐÐ ÚÐ Ðк Ñ Ö Ò Ð Ò ÓÒ Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ó ÚÓ Ø ØÝÐÐ ÚÐ ÐÐ ÔÓ Ø Ú Ö Ð ÐÙ Ù ÖÚÓ¹ º Ö Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓ ÓÙ Ó ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò Ø ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ ÑÙØØ Ø ÙÚ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓ ÓÙ Ó ÓÒ ÝÐ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ º Ë ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ X ÑÖ Ø ÐØ Ò Ð ÐÙÚÙ ¾º º½ Ø ÙÚ Ó Ò ÖØÝѹ ÙÒ Ø Ó F X ÓÒ Ø ÙÚ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º µº º½ Â Ø ÙÚ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø ÂÓ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ð ØØÝÝ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Óº Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÑÖ Ø ÐØ Ò Ð ÐÙÚÙ ¾º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º (ii)µ Ô Ø ¹ ÙÒ Ø ÓÒ F(x) = P(X x), x R. Ö Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÔÓÖÖ ÙÒ Ø Ó Ó ÚÓ ¹ Ò Ð Ù Ù ÝÔÔÝ ÙÒ Ø Ó Ò ÙÑÑ Ò º½º½µ º Ð ÐÙ Ù º½ º Ä Ù Ò ¾º ÑÙ Ò ÙÒ Ø Ó F(x) ÓÒ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó Ó Ú Ò Ó Ù¹ Ö Ú Ø ÓÐÑ ØÓ ØÓØ ÙØÙÚ Ø ½º lim F(x) = lim x F(x) = º x ¾º F(x) ÓÒ Ú Ú ¹Ú Ò Úµ ÙÒ Ø Óº º F(x) ÓÒ Ó ÐØ Ø ÙÚ Ð lim x x + F(x) = F(x ) ÐÐ x Rº ÂÓ Ñ ÐÐ ÓÒ Ó Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X Ò Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø ½º º ÚÓ Ò ØÓ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø ÓÒ P(X x) ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÚÙÐÐ º ÂÓ Ó Ò ÙÒ Ø Ó F(x) ØÓØ ÙØØ ÓØ º 3º ÓÐ Ú Ò ÐÔÔÓ ØÓ Ø ØØ F(x) ÓÒ ØÓ ÐÐ ÓÒ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Óº ÌÓ ØÙ Ð ÝØÝÝ Ú ¹ Ø Ú Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ò ÓÔÔ Ö Ó Ø º ½

3 ½ ÄÙ Ù º Â Ø ÙÚ Ø ÙÑ Ø Ñ Ö º½ ÙÒ Ø Ó º½º½µ F(x) = +e x ÓÒ Ñ Ö Ø ÙÚ Ø ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó Ø Ó ØÓØ ÙØØ Ä Ù Ò ¾º ÓØ º 3º ÃÓ lim x e x =, Ò Ò lim F(x) = x lim F(x) =, Ó lim x ÙÒ Ø Ó F(x) ÓÒ Ú Ú Ó Ò. Ö Ú ØØ F (x) = e x (+e x ) >. x e x =. ÇÒ ÑÝ ÐÔÔÓ ØÓ Ø ØØ F(x) ÓÐ ÒÓ Ø Ò Ó ÐØ Ø ÙÚ Ú Ò Ø ÙÚ º à ØÝÑÑ Ø Ö Ø Ð Ñ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ó Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó F ÓÐ Ô Ð ØÒ Ø ÙÚ Ú Ò ÑÝ Ö ÚÓ ØÙÚ º ÇÐ ÓÓÒ F Ø ÙÚ Ò ¹ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÖØÝÑ ÙÒ Ø Óº ÂÓ ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÐÐ F ÓÒ Ö Ú ØØ df dx = F (x), Ô Ø Ñ ÓÐÐ Ø Ý ØØ Ô Ø Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò Ò Ò X Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f(x) = F (x), ÙÒ F (x) ÓÒ ÓÐ Ñ º Î Ø Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ù Ò Ö Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ¹ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò Ð Ù Ù ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ ÙÑÑ Ò Ø ÙÚ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò Ð Ù Ù ÒØ Ö Ð Ò º½º¾µ P(X x) = F X (x) = x f X (t)dt. ÂÓ f X (t) ÓÒ Ø ÙÚ Ò Ò ÒØ Ö Ð Ð ÒÒ Ò Ô ÖÙ Ð Ù Ò ÑÙ Ò º½º µ F X (x) = f X(x), Ñ F X (x) ÓÒ ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ F X(x) Ö Ú ØØ º ÅÖ Ø ÐÑ º½ Â Ø ÙÚ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ø Ý ÙÒ Ø Ó f X (x) ÓÒ ÙÒ Ø Ó Ó ØÓØ ÙØØ Ý ØÐ Ò º½º µ F X (x) = x f X (t)dt ÐÐ x R.

4 º½º Â Ø ÙÚ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø ½ Ñ Ö º¾ ÇÐ ÓÓÒX Ø ØØÝÝÒ Ô ÐÚ ÐÙÒÙÑ ÖÓÓÒ ØÙÐ Ú Ò ÔÙ ÐÙ Ò Ô ¹ ØÙÙ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ X Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f(x) = e x/, x <. Ë ÐÐÓ Ò X ÒÓÙ ØØ Ò º ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ ÖÚÓÐÐ º ÆÝØ Ã ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ S = {x x < } f(x) > ÙÒ x S. F(x) = = x / x x e t/ dx = e t/ = e x/. e t/ dx Ë ÐÐÓ Ò F (x) = d ( ) e x/ = dx e x/ = f(x), x f(x) = ÙÒ x < º ÀÙÓÑ ØØ Ý ØØ Ò Ô Ø Ò a R ØÓ ÒÒ ÝÝ P(X = a) ÓÒ Ò ÒÓÐÐ Ó X ÓÒ Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º Ë ÐÐÓ Ò Ö ØÝ Ø ÐÐ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ b > a F(b) F(a) = P(a X b) = P(a < X b) = P(a X < b) = P(a < X < b). Â Ø ÙÚ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÑÓÑ ÒØ Ø ÑÖ Ø ÐÐÒ Ú Ø Ú Ø Ù Ò Ö Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ô Ù ÑÙØØ ÑÖ Ø ÐÑ ÙÑÑ ÓÖ¹ Ú Ø Ò ÒØ Ö Ð ÐÐ º Â Ø ÙÚ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò rº ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ α r = E(X r ) = x r f(x)dx, Ñ f(x) ÓÒ X Ò Ø Ý ÙÒ Ø Óº Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X rº Ù ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ µ r = E[(X µ) r ], Ñ µ = E(X) = α ÓÒX Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓº Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÒX Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ ÒØ Ö Ð µ = E(X) = xf(x)dx

5 ½ ÄÙ Ù º Â Ø ÙÚ Ø ÙÑ Ø X Ò Ú Ö Ò σ ÓÒ ¾º Ù ÑÓÑ ÒØØ σ = µ = E[(X µ) ] = (x µ) f(x)dx. Å Ö Ø ÑÑ ÑÝ E [ (X µ) ] = Var(X) ÓÐÐÓ Ò X Ò ÓÒØ ÓÒ ÅÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ σ = Var(X). º½º µ M(t) = E(e tx ) = e tx f(x)dx, Ó ÒØ Ö Ð º½º ÓÒ ÓÐ Ñ ÓÐÐ Ò ÚÓ Ñ ÐÐ ÚÐ ÐÐ( a,a) Ñ a > º Ì ØÝ Ø Ñ Ö ØÙÐÓ Ø σ = E(X ) µ, µ = M (), α = E(X ) = M () Ô ØÚØ ÐÐ Ò Ô Ò Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ù Ò Ö ØØ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙع ØÙ Ò Ø Ô Ù º Ñ Ö º Ä Ø Ò ÒÝØ Ñ Ö ¾º½ ÑÖ Ø ÐÐÝÒ ØÙÒÒ ÑÙÙع ØÙ Ò X Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ú Ö Ò µ = E(X) = σ = E(X ) µ = ÃÓÐÑ ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ x (x)dx α 3 = E(X 3 ) = x(x)dx = 3 ( ) = 3 / / x 3 (x)dx = 5 x 3 = 3 x = 8. / x 5 = 5

6 º½º Â Ø ÙÚ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø ½ º Ù ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ µ 3 = E [ (X µ) 3] = = = (x µ) 3 (x)dx (x 3 3µx +3µ x µ 3 )(x)dx x 3 (x)dx 3µ x (x)dx+3µ x(x)dx µ 3 xdx = α 3 3µα +3µ 3 µ 3 = α 3 3µα +µ 3 = ( ) 3 + = = 5. ÅÝ ÔÖÓ ÒØØ Ô Ø Ø ÓÚ Ø ØÖ Ø ÙÑ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù º  ÙÑ Ò p¹ôöó ÒØØ Ô Ø π p ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø p = π p f(x)dx = F(π p ), p. ÈÖÓ ÒØØ Ô Ø ØØπ.5 ÙØ ÙØ Ò Ñ Ò Ô Ø ØØπ.5 π.75 Ð Ú Ö¹ Ø Ð ÝÐ Ú ÖØ Ð º Ñ Ö ¾º½ Ø ÐÐÝÒ ÙÑ Ò ± Ò Ô Ø ÓÒ.6 Ó F(π.36 ) = π.36 =.6 =.36. Ñ Ö º ÇÐ ÓÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÖ Ú Ø, x < ; x F(x) =, x ; ( x), x < ;, x. Ì Ö Ø ÑÑ Ò Ò ØØ F ÓÒ ØÓ ÐÐ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Óº ÌÓØ ÑÑ ÐÔÓ Ø ØØ ½µ lim F(x) = lim x F(x) = x ¾µ F(x) ÓÒ x Ò Ú Ú ¹Ú Ò Úµ ÙÒ Ø Ó µ F(x) ÓÒ Ó ÐØ Ø ÙÚ Ó ÓÒ Ø ÙÚ º

7 ½ ¼ ÄÙ Ù º Â Ø ÙÚ Ø ÙÑ Ø Ì Ý ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÚÓ Ñ ÐÐ F(x)º ÆÝØ F (x) = x ÚÐ ÐÐ < x F (x) = x ÚÐ ÐÐ x º Æ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ x, < x ; f(x) = x, x ; ÑÙÙ ÐÐ º Ì Ý ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÐÝ Ý Ø ÑÙÓ Ó f(x) = x, x. ÃÓ X Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ ÙÚ ÓÒ ÓÐÑ ÓÒ ÑÙÓØÓ Ò Ò X Ò ÙÑ ÙØ ÙØ Ò ÓÐÑ Ó ÙÑ º f(x) F(x) F(.55) = x x ÃÙÚ Ó º½º ÃÓÐÑ Ó ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ù¹ Ú Øº ÃÓÐÑ Ó ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ µ = xf(x)dx = x xdx+ x( x)dx = / =. x / (x x3 3 ) = 3 ( ) ( ) 3 3 ÃÓ ÙÑ ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ Ù Ø Ò ÓÒ ÑÝ ÙÑ Ò Ñ Ò π.5 º Ë ÚÓ Ò ØÓ Ø ÐÔÓ Ø ÑÝ ÑÖ Ø ÐÑÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÐÐ F() = =.5º  ÙÑ Ò ¼ ± Ò Ô Ø π.9 Ò Ö Ø Ñ ÐÐ Ý ØÐ ( π.9) =.9. Ê Ø Ù ÓÒ π.9 =. =.55º ÁØ Ö Ð Ø Ó º½º µ ÚÐØØÑØØ ÓÐ ÚÓ Ñ ÐÐ x Ò Ö¹ ÚÓ ÐÐ ÐÐ F(x) ÚÓ ÓÐÐ Ø ÙÚ ÑÙØØ Ö ÚÓ ØÙÚ º ÂÓ f(x) ÓÒ Ø ÙÚ

8 º½º Â Ø ÙÚ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø ½ ½ Ò Ò ÐÐÓ Ò Ø ØÝ Ø Ý ØÐ º½º µ Ô Ø Ô Ò º ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ Ø¹ ÙÚ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÚÐØØÑØØ ÓÐ Ø ÙÚ ÑÙØØ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒº Ñ Ö º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÒÝØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÓÒ Ø Ý ÙÒ ¹ Ø Ó ÓÒ f(x) = Î Ø Ú Ø X Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ {, x < ; 3, x., x < ; F(x) = x, x < ; 4 + ( ) 3 x, x ;, x. À Ú Ø ÑÑ ÒÝØ ØØ X Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÐ Ø ÙÚ º ÆÝØ ÑÝ Ò F 3 f(x) F(x) x 4 x ÃÙÚ Ó º¾º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÙÚ Øº ÓÐ Ö ÚÓ ØÙÚ Ô Ø º È Ø x = ÓÐ ÚÓ Ñ ØØ F (x) = f(x)º Ì ÓÒ Ñ Ö Ø ÙÚ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø ÓÒ Ø Ý ÙÒ ¹ Ø Ó ÓÐ Ø ÙÚ ÓÒ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÐ Ó Ó ÑÖ ØØ ÐÝ ÐÙ ÐÐ S Ö ÚÓ ØÙÚ º Â Ø ÙÚ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓÐÐ ÚÓ ÓÐÐ Ö ÐÐ Ò Ò Ñ¹ Ö Ô Ø ÙÚÙÙ Ô Ø Ø ÑÙØØ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ø ÙÚ º Ñ Ö Ò º ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ ÑÖ ØØ ÐÝ ÐÙ ÐÐ Ò Ý Ô Ø Ù¹ ÚÙÙ Ô Ø ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ø ÙÚ º Ê Ð Ø Ó º½º µ Ô Ø Ô Ò Ú Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÙÚÙÙ Ô Ø ÑÙØØ Ô Ø ÙÚÙÙ Ô Ø º

9 ½ ¾ ÄÙ Ù º Â Ø ÙÚ Ø ÙÑ Ø Ñ Ö º ÅÖ Ø ÐÐÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X Ø Ò ØØ Ò ÖØÝѹ ÙÒ Ø Ó ÓÒ, x < ; º½º µ F(x) =, x = ; + x, < x < ;, x. F(x) f(x) x x ÃÙÚ Ó º º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ³Ø Ý ÙÒ ¹ Ø ÓÒ³ ÙÚ Øº à ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÐ ÒÝØ Ø ÙÚ Ó ÙÒ Ø Ó ÝÔÔ Ô Ø x = º à ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÐ ÑÝ Ò ÔÓÖÖ ÙÒ Ø Óº ÆÝØ ÑÝ Ý ØØ ÐÐ Ô ¹ Ø ÐÐ X = ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ P(X = ) = ÓØ Ò f(x) ÓÐ Ø Ý ÙÒ Ø Óº ÁØ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó º½º µ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÔÓÖ¹ Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Óµ Ø ÙÚ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÙÑÑ Ò º Ð ÐÙ¹ ÚÙ º½ ÑÖ Ø ÐØ Ò ÝÔÔÝ ÙÒ Ø Ó ε(x) Ø Ò ØØ ε(x) = ÔÒ Ø Ú Ð¹ Ð x Ò ÖÚÓ ÐÐ ε(x) = ÙÒ x < º ÙÒ Ø Ó ε(x) ÓÒ ÔÓÖÖ ÙÒ Ø Ó Ö Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Óº ÈÙÓÐ ÚÓ Ñ ÐÐ ÚÐ ÐÐ (,] Ø ÙÑ ÒÓÙ ØØ Ú Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ, x ; F c (x) = x, < x < ;, x. ÆÝØ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó º½º µ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó F(x) = ε(x)+ F c(x). Ñ Ö ØÓ ÒÒ ÝÝ ( P X ) = ( ) ε + ( ) F c = + = 3 4. Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÓÐ Ö ØØ Ø ÙÚ º

10 º¾º Ì ÙÑ ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ ½ Ð Ø Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÒØ Ø Ø Ò º½º µ ÚÙÐÐ ÓÐ ØØ Ñ ØØ Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ f(x) Ø ÙÚÙÙØØ º ÂÓ ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ ¹ Ò Ò ÔÒ Ø Ú Ò Ò ÙÒ Ø Ó f(x) Ø º f(x) ÐÐ x R ØØ º½º µ Ô Ø Ô Ò ÐÐ x R Ò Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ F(x) ÒÓØ Ò ÓÐ Ú Ò ÓÐÙÙØØ Ø Ø ÙÚ º ÓÐÙÙØØ Ø Ø ÙÚ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ø ÙÚ º Ã Ò Ø ÐÙÚÙ Ø ÐØÚ Ø Ø ÙÚ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø ÓÐÙÙØØ Ø Ø ÙÚ º º¾ Ì ÙÑ ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ º¾º½ Ì ÙÑ Â Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÒÓÙ ØØ Ø ÙÑ ÚÐ ÐÐ [,] Ó Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ ØÐÐ ÚÐ ÐÐ ÑÙÙ ÐÐ {, ÙÒ x [,] º¾º½µ f(x) = ÑÙÙ ÐÐ º Ë ÐÐÓ Ò Ñ Ö ØÒ X Tas(,)º ÇÒ ÐÔÔÓ ØÓ Ø ØØ f(x) ÓÒ Ø Ý ÙÒ ¹ Ø Ó Ó f(x) f(x)dx = dx =. f(x) F(x) x x ÃÙÚ Ó º º Ì ÙÑ Ò Tas(,) Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÖØÝÑ ÙÒ Ø Óº Ì ÙÑ Ò ÖÚÓ Ú Ö Ò ÓÚ Ø E(X) = xdx = Var(X) = E(X ) [E(X)] = x dx 4 =.

11 ½ ÄÙ Ù º Â Ø ÙÚ Ø ÙÑ Ø Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ M X (t) = e tx dx = / t etx = et. t ÀÙÓÑ ØØ M X () = º ÇÐ ÓÓÒ [a,b] ÒÒ ØØÙ ÙÐ ØØÙ ÚÐ a < bº Ë ÐÐÓ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ U = (b a)x + a ÒÓÙ ØØ Ø ÙÑ ÚÐ ÐÐ [a,b]º Ë ÐÐÓ Ò Ñ Ö ØÒ U Tas(a,b)º ÃÓ E(U) = (b a)e(x)+a Var(U) = (b a) Var(X) Ò Ò E(U) = a+b Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò U Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ Var(U) = (b a). º¾º¾µ f(u) = {, ÙÒ u [a,b] b a ÑÙÙ ÐÐ U Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ e tb e ta M U (t) = t(b a), t ;, t =. º¾º¾ ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÑÓÒØ Ó Ø Ô ØÙÑ Ð Ý Øµ ØØÙÙ ÓÐÐ Ò ÚÐ Ðк Å Ö ØÒ w Ò Ô ØÙ ÐÐ ÚÐ ÐÐ ØØÙÚ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ÐÙ¹ ÙÑÖ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ X w º ÂÓ ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ Ò ÒØ Ò Ø ØØ ÓÒ λ Ò Ò ÅÖ Ø ÐÑÒ º¾ ÑÙ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ w Ò Ô ØÙ ÐÐ ÚÐ ÐÐ ØØÙÙ x Ø Ô ØÙÑ ÓÒ º¾º µ P(X w = x) = e λw(λw)x. x! ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ ÐÐ ÚÓ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ö Ò ÔÙÑ ¹ Ø Ô ÐÚ ÐÙÔ Ø Ò ÔÙ ÐÙ Ò ØÙÐÓ Ú Ø Ò ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ Ò ØØÙ¹ Ñ Ø Ø Ö Ø ÐØ Ú ÐÐ Ø Ó ÙÙ ÐÐ Ø ÙØÓ Ò ÙÐ Ù Ð ÒØ Ò Ø Ö ÐÙÔ ¹ Ø Ò Ó º ÌÐÐ Ò Ø ÐÐ Ò ØØ Ý ØØ Ø Ø Ô ØÙÑ Ø ØØÙÚ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØ ØÝ Ò ØÙÒÒ Ø º Ì Ö ÐÐ Ò ÒÝØ ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ ÓÒ ÒØ Ò Ø ØØ ÓÒ λº ÇÐ ÓÓÒ W Ó ÓØÙ Ò Ø Ò ÙÒÒ ÙÖ Ú Ø Ô ØÙÑ ØØÙÙº Ç ÓØÙ ÓÒ Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º ÂÓ Ø Ö Ð ÑÑ ÔÖÓ Ø Ø t Ø Ò t+w Ð w Ò Ô ØÙ Ò ÚÐ Ò[t,t+w] Ò Ò Ø Ô ØÙÑ {W > w} ØØÙÙ Ó Ú Ò Ó ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ ØÙ Ý ØÒ Ø Ô ØÙÑ ÚÐ ÐÐ [t,t+w]º Ë ÒØ Ø Ø Ò º¾º µ ÑÙ Ò P(W > w) = P(X w = ) = e λw.

12 º¾º Ì ÙÑ ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ ½ }{{} W =.5 X w Poi(λw) X w = 3 w=.5 {}}{ 3 4 }{{} W 4 =.88 t t+w ÃÙÚ Ó º º Ã Ú Ó ÙÚ ØØ ÈÓ ÓÒ Ò ÔÙÑ ÔÖÓ Ñ Ö¹ ÙØÓ Ò ÙÐ Ñ Ø Ð ÒØ Ò Ø Ö ÐÙÔ Ø Ò Ó º Ñ Ö W ÓÒ ½º ÙØÓÒ Ó ÓØÙ W 4 ÓÒ º º ÙØÓÒ ÚÐ Ò Ò º à ҹ Ò Ø ØÝÐÐ w Ò Ô ØÙ ÐÐ ÚÐ ÐÐ ÓÒ ÙÐ ÒÙØ Ó X w = 3 ÙØÓ º È Ö ¹ Ø Ó ÓØÙ Ø W W W 3 º º º ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÒÓÙ ØØ Ú Ø Ñ ÙÑ º Ç ÓØÙ Ò W ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ F(w) = P(W w) = P(W > w) = P(X w = ) = e λw. ÃÓ Ó ÓØÙ W ÓÒ ÔÒ Ø Ú Ò Ò Ò Ò F(w) = ÙÒ w < º Ç ÓØÙ Ò W Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ F (w) = f(w) = λe λw Ö ÚÓ ÒØ ÒÒ Ò º½º µ ÒÓ ÐÐ º Í Ò Ñ Ö ØÒ λ = Ñ θ > º Ë ¹ θ ÒÓÑÑ ØØW ÒÓÙ ØØ ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ θ Ñ Ö Ø Ñ¹ Ñ W Exp(θ)º È Ö Ñ ØÖ θ ÓÒ ÙÑ Ò ÖÚÓº ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÐÐÓ Ò ÑÙÓØÓ º¾º µ f(w) = θ e w/θ. ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ Ò Exp(θ) ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ M(t) = e tw θ e w/θ dw = = θt, t < θ. / e ( θt)w/θ θt ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ ÐÐ ÓÒ Ú Ø Ú ÙÒÓ Ø Ñ ÓÑ Ò ÙÙ Ù Ò ÓÑ Ø¹ Ö ÐÐ ÙÑ ÐÐ º ÂÓ T Exp(θ) Ò Ò º¾º µ P(T > a+b T > a) = P(T > b) ÐÐ ÔÒ Ø Ú ÐÐ a bº ÌÙÐÓ ÚÓ Ò ØÓ Ø Ð Ñ ÐÐ ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ P(T > a+b T > a) = P(T > a, T > a+b) P(T > a) = e (a+b)/θ e a/θ = = e b/θ = P(T > b). P(T > a+b) P(T > a)

13 ½ ÄÙ Ù º Â Ø ÙÚ Ø ÙÑ Ø ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ ÐÐ ÓÒ ÝØ ØØÝ ØÙÐÓ Ø P(T > t) = P(T t) = F(t) = e t/θ, t. Ñ Ö º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ò ÔÙÑ Ò Ò Ð Ò ÒÓ٠ع Ø ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ ÒØ Ò Ø Ø ÐÐ Ø ØÙÒÒ º Å ÓÒ ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ ØØ ÑÝÝ ÓÙØÙÙ Ó ÓØØ Ñ Ò ÙÖ Ú Ø ÝÐ 5 Ñ ÒÙÙع Ø ÇÐ ÓÓÒ X Ó ÓØÙ ÙÒÒ ÙÖ Ú ÔÙÙº Ë ÐÐÓ Ò ÔÖÓ ¹ º¾º µ λ = /3 Ø Ñ ÒÙÙØ X Exp(3) Ó ÔÓÒ ÒØØ ¹ ÙÑ Ò ÖÚÓ θ = /λº Â ÙÑ Ò Exp(3) Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f(x) = 3 e x/3, x < P(X > 5) = 5 3 e x/3 dx = 5 / e x/3 = e 5/ Â Ø ÙÚ Ò ÙÑ Ò Ñ Ò m ÓÒ ÐÐ Ò Ò Ô Ø ØØ F(m) = /º ÆÝØ ÙÑ Ò Exp(3) Ñ Ò Ò m ØÙÐ ØÓØ ÙØØ ØÓ F(m) = e m/3 = ÓØ Ò m = 3log().794. º¾º Ð Ò ÙÑ ÇÑ Ò ÙÙ Ò º¾º µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ ÓÒ ÓÔ Ú Ð Ò Ò ¹ ÙÑ ÐÐÓ Ò ÙÒ Ð ÐÐ ÓÐ Ú Ð Ò Ö ÔÙ ØÑÒ Ø Ø Øº Çй ÓÓÒ T Ñ Ö ÓÒ Ò Ð ØÖÓÒ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ØÙÒØ Ò º Ë ÐÐÓ Ò P(T > b) ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ÙÙ ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ø Ò Ò b ØÙÒØ ÙÒ Ø P(T > a + b T > a) ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ a ØÙÒØ ÝØ ÓÐÐÙØ ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ø Ú Ð b ØÙÒØ º ÂÓ Ð Ò ÒÓÙ ØØ ÔÓÒ Òع Ø ÙÑ Ò Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò º¾º µ ÒÓ ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø P(T > b) P(T > a + b T > a) ÓÚ Ø Ñ Ø ÐÐ a bº ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ö ÓÓÒØÙÙ b Ò ÙÖ Ú Ò ØÙÒÒ Ò Ò Ö ÔÙ Ð Ò Ò Ø Ù Ò Ù Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ ÓÒ Ó ÓÐÐÙØ ÝØ º ÙÒ Ø ÓØ G(t) = P(T > t) ÙØ ÙØ Ò ÐÓÓÒ Ñ ÙÒ Ø Ó º ÔÓÒ Òع Ø ÙÑ ÑÖ ØØ Ð ÐÓÓÒ Ñ ÙÒ Ø ÓÒ G(t) = e t/θ ÓÐÐ ÓÒ ÙÒÓ Ø Ñ ¹ ÓÑ Ò ÙÙ º¾º µ G(t+s) = G(t)G(s), t >, s >. ÅÖ Ø ÐÑÒ ÒÓ ÐÐ G() = G(t) ÙÒ t Ú º ÇÒ Ó ÔÓ¹ Ò ÒØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÑÙ Ø ÐÓÓÒ Ñ ÙÒ Ø Ó Ø Ó ÐÐ ÓÒ ÙÒÓ Ø Ñ ÓÑ ¹ Ò ÙÙ º¾º µ ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ ÓÒ º¾º µ ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÐÓÓÒ ¹ Ñ ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ò ÑÙÓØÓ e λt λ > º

14 º º ÆÓÖÑ Ð ÙÑ ½ ÂÓ Ð Ò T ÒÓÙ ØØ ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ Exp(θ) Ò Ò Ú Ó λ = θ ÓÒ Ø ÐÐ Ò Ò ÙÓÐÐ ÙÙ Ø Ø Ú Ö Ò Ø º È Ö Ñ ØÖ λ Ø Ð ØÓ Ò¹ Ò ÝÝØØ ÙÓÐÐ Ø Ò T = t Ð ÐÐ Ý Ò Ô ØÙ ÐÐ ÚÐ Ðк ÇÐ ÓÓÒ Ø Ö Ø ÐØ Ú Ò ÚÐ Ò Ô ØÙÙ º ÅÖ Ø ÐÐÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ P(T t+ T > t) = P(T > t+ T > t) = P(T > ) = e λ, Ñ Ú Ñ Ø ÐÐ Ò Ò Ý Ø ÙÙÖÙÙ Ò ÙÒÓ Ø Ñ ÓÑ Ò ÙÙ Ò º¾º µ ÒÓ ÐÐ º ÃÙÒ ÙÒ Ø ÓØ e λ ÖÚ Ó Ò Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÚÙÐÐ Ò e λ = ( λ + λ ) = λ λ + λ, ÙÒ ÓÒ Ô Ò º ÖÚ Ó ÒØ Ú Ö Ô Ò Ò Ñ Ö ØÝ ØØ Ñ Ú ÖÖ ØØÙÒ Ò ÙÒ º Ë ÐÐÓ Ò P(T t+ t > t) λ º G(t) f(t) 4 6 t ÃÙÚ Ó º º ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ Ò Exp() Ø Ý ÙÒ Ø Ó f(t) = e t/ Ú Ø Ú ÐÓÓÒ Ñ ÙÒ Ø Ó G(t) = e t/ º ÆÝØ Ò Ò ØØ P(T t+ T > t) lim ÓÒ Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ Ø tº ÔÓÒ ÒØ Ð Ø ÙØÙÒ Ò Ð Ò Ò Ø Ô Ù ¹ ÙÓÐÐ ÙÙ Ø λ ÓÒ Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ Ú Óº Ð Ø ÙÓÐÐ ÙÙ Ø λ(t) ÓÒ Ø ØÝ Ø Ò ÙÒ Ø Óº = λ º ÆÓÖÑ Ð ÙÑ º º½ Ã Ò Ò Ö Ú ØØÑ ÂÓ X,X,...,X n ÒÓÙ ØØ Ú Ø Ñ ÖÒÓÙÐÐ Ò ÙÑ Ber(p) X i X j, i j Ò Ò ÒÓÑÑ ØØ X,X,...,X n ÓÒ ÓØÓ ÖÒÓÙÐÐ Ò ÙÑ Ø

15 ½ ÄÙ Ù º Â Ø ÙÚ Ø ÙÑ Ø Ber(p)º Ì ÑÑ ØØ ÐÐÓ Ò X = X +X + +X n Bin(n,p)º Ë ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ Ò X ÙÑ Ö ÔÔÙÙ ÓØÓ ÓÓ Ø nº ÇÐ ÓÓÒ X,X,...,X n ÓØÓ ÙÑ Ø ÓÒ ÖÚÓ ÓÒ µ Ú Ö Ò σ > º Å Ö ØÒ ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ Ò X X º º º X n ÙÑÑ S n = n i= X i ÖÚÓ X n = S n n. ÇØÓ ÖÚÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ú Ö Ò ÓÒ E(X n ) = µ Var(X n ) = σ n. Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X n Ú Ö Ò Ô Ò Ò ÙÒ n Ú º ÂÓ Ø n Ò ÖÚÓ Ó Ø Ö ÙÑ º Ì Ö Ø Ð ÑÑ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò (X i ;i ) = X,X,X 3,... ÓÒÓ Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑ Ò ÓÒÓ º ÂÓ X,X,...,X n ÓÒ ÓØÓ Ó Ø Ò ÙÑ Ø J(µ,σ ) ÓÒ ÖÚÓ ÓÒ µ Ú Ö Ò σ Ò Ò ÓØÓ ÖÚÓÒ X n ÙÑ Ò ÖÚÓ ÓÒ µ Ú Ö Ò σ Ó Ö ÔÔÙÙ n غ ÇØÓ ÓÓÒ n Ú ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ n ØØÝÝ Ý Ô Ò ÑÑÐÐ Ô Ò ÑÑÐÐ ÚÐ ÐÐ µ Ò ÝÑÔÖ Ø Òº ÌÑ Ø Ö Ó ØØ ØØ X n ØØÙÙ n Ò Ú Ý ÙÙÖ ÑÑ ÐÐ ÙÙÖ ÑÑ ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ Ð ÐÐ ÖÚÓ µº ÇÐ ÓÓØ W n = X n µ σ/ n, n =,,... Ø Ò Ö Ó ØÙ ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ ÔØ E(W n ) = Var(W n ) = º Ë ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ ÐÐ W,W,... ÓÒ Ñ Ú Ö Ò ÐÐ n Ò ÖÚÓ ÐÐ º Ä ¹ Ò W n Ò ÙÑ ÓØ Ò ÙÑ ÙÒ n Ú ÅÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ò Ý Ø Ý Ø ØØ Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ù¹ Ñ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒµ Ý ØØ Ø Ú Ø ÚÙÙØØ Ó Ú Ä Ù º½¼º Ë ¹ Ñ Ý Ø Ý Ø ØØ Ò ÑÝ ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ø Ó Ú Ä Ù º½ ÓØ ÚÓ Ò ÓÚ ÐØ Ö ¹ ÙÑ Ò ÑÖ ØØÑ Òº Ã Ö Ó Ø ¹ Ø Ò W n = X + +X n nµ nσ = (X µ)+ +(X n µ) nσ = nσ (Y + +Y n ), Ñ Y i = X i µ, i =,...,n Y i Y j ÙÒ i jº ÅÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò W n Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ M Wn (t) = E(e twn ) = E(e t nσ (Y + +Y n) ) t = M Y + +Y n ( ). nσ

16 º º ÆÓÖÑ Ð ÙÑ ½ ÃÓ Y i Y j ÙÒ i j Ò Ò º º½µ t M Wn (t) = M Y + +Y n ( ) nσ = n t t M Yi ( ) = [M( )] n, nσ nσ i= Ñ M( t nσ ) ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Y i Ý Ø Ò ÙÑ Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ ¹ Ø Óº ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ M Wn (t) e t Ñ e t ÓÒ Ø Ò Ö ÑÙÓØÓ ¹ d Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Óº Ã Ö Ó Ø ÑÑ W n N(,) Ñ Ø Ö Ó ØØ ØØ W n Ò ÙÑ Ð Ò Ø Ò Ö ÑÙÓØÓ Ø ÒÓÖÑ Ð Ù¹ Ñ N(,) ÓØÓ ÓÓÒ n Ú º Ä ÚÝÒ Ø ÙÚÙÙ Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ Ä Ù º½ µ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò W n ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó F Wn Ð Ò ÒÓÖÑ Ð Ù¹ Ñ Ò N(,) ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓØ Φº Ä Ù º½ Ã Ò Ò Ö Ú ØØѵ ÇÐ ÓÓÒ X,X,...,X n ÓØÓ Ù¹ Ñ Ø ÓÒ ÖÚÓ ÓÒ µ Ú Ö Ò σ º Å Ö ØÒ W n = X n µ σ/ n = S n nµ nσ. Ë ÐÐÓ Ò W n Ò ÙÑ Ð Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ N(,) ÙÒ n º Ã Ò Ö Ú ØØÑÒ ÑÙ Ò Ñ ÙÑ ÒÓÙ ØØ Ú Ò Ö ÔÔÙ¹ Ñ ØØÓÑ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑÑ ÒÓÙ ØØ Ð Ñ Ò ÒÓÖÑ Ð Ù¹ Ñ ÙÒ n ÓÒ ÙÙÖ º Å Ö Ø ÑÑ W n N(,), ÙÒ n ÓÒ ÙÙÖ º Å Ö Ø Ö Ó ØØ ÒÓÙ ØØ Ð Ñ Ò ÙÑ º ÃÝØÒ¹ Ò Ò Ö Ú ØØÑÒ ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÖÚ Ó W n Ò ÙÑ ÙÒ n ÓÒ Ö ØØÚÒ ÙÙÖ º Ë ÐÐÓ Ò P(W n w) w π e w / dx = Φ(w), Ñ Φ(w) ÓÒ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò N(,) ÖØÝÑ ÙÒ Ø Óº ÎÓ ÑÑ Ñ Ö Ø Ñ Ò Ò ÑÝ ÙÖ Ú Ø P(W n w) = F Wn (w) Φ(w), ÙÒn º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÒW n ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓF Wn (w) ÙÔÔ Ò Ó Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓØ Φ(w) Ô Ø w Rº

17 ½ ¼ º º¾ ËØ Ò Ö ÑÙÓØÓ Ò Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ÄÙ Ù º Â Ø ÙÚ Ø ÙÑ Ø Ì Ö Ø Ð ÑÑ ÒÝØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÖ Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ØÖ ÒØ Ù¹ Ñ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ º ÇÐ ÓÓÒ Z Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ Ø Ý ¹ ÙÒ Ø Ó ÓÒ º º¾µ f(z) = π e z / < z <. Ë ÐÐÓ Ò Z ÒÓÙ ØØ Ø Ò Ö ÑÙÓØÓ Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ º ÃÝØ ØÒ ÑÝ ÒÓÒØ Z ÒÓÙ ØØ Ø Ò Ö Ó ØÙ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ º Ì Ö Ø ÑÑ ÒÝØ ØØ º º¾µ ÓÒ ØÓ ÐÐ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Óº ÃÓ f(z) > Ô Ø Ú Ò Ó Ó ØØ ØØ Ç Ó Ø ÑÑ ØØ π e z / dz =. º º µ e z / dz = π. ÑÑ ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò ÒØ ÖÓ Ñ Ò ÙÒ Ø ÓØ e z / Ó Ò ÒØ Ö Ð ÙÒ ¹ Ø Ó ÓÐ Ð Ù ÙØØ Ú ÙÐ ØÙ ÑÙÓ Ó º Ç Ó ØØ ÙØÙÙ Ù Ø Ò Ò ØØ Ò¹ Ø Ö Ð Ò º º µ Ò Ð ÓÒ ÐÔÔÓ Ð º ÁÒØ Ö Ð Ò ÖÚÓ ÑÙÙØÙ Ó ÒØ ÖÓ ÒØ ÑÙÙØØÙ Ò Ñ ØÒ ÙÙ ÐÐ Ò ÓØ Ò I = e z / dz = e x / dx = Ê ØØ Ó Ó ØØ ØØ I = πº ÆÝØ ( )( ) I = e x / dx e y / dy e y / dy. = e (x +y )/ dxdy = ( re r / dr )( π dθ ) = π e u du = π. Æ Ò ØÙÐÓ º º µ Ô Ø Ô Ò º ÐÐ ÓÐÑ Ý Ø ÙÙÖÙÙ Ò ÖØÝÑÐÐ Ò Ô ÓÓÖ Ò ØØ Ò x = rcosθ y = rsinθ.

18 º º ÆÓÖÑ Ð ÙÑ ½ ½ Ë ÐÐÓ Ò x + y = r dxdy = rdθdr ÒØ ÖÓ ÒØ Ö Ø ÓÚ Ø < r < < θ < πº ÁÒØ Ö Ð ÐÐ º º µ ÓÒ ÑÝ Ð Ò Ò Ý Ø Ý ÑÑ ÙÒ Ø ÓÓÒ º º µ Γ(α) = x α e x dx. ÂÓ α > Ò Ò Γ(α) ÓÒ Ö ÐÐ Ò Òº ÂÓ α ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ò Γ(α) ÚÓ Ò Ð Ù Ù ÙÐ ØÙ ÑÙÓ Ó ÑÙÙØÓ Ò º ÃÓ ÒØ Ö ¹ Ð º º µ ÒØ ÖÓ Ø Ú ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÒÓÐÐ Ò Ù Ø Ò Ò Ò ÒØ Ö Ð Ø ÝÐ ÚÐ Ò (,) (, ) ÓÚ Ø Ý Ø ÙÙÖ Øº Ë º º µ e z / dz = π. Ì ÑÐÐ Ó ØÙ x = z ÒØ Ö Ð Ò º º µ Ò ÒØ Ö Ð Ó ÓÒ Γ ( ) º Ë ÐÐÓ Ò º º µ ( ) Γ = x / e x dx = π. Ä Ù º¾ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Z ÒÓÙ ØØ Ø Ò Ö ÑÙÓØÓ Ø ÒÓÖÑ Ð Ù¹ Ñ º Ë ÐÐÓ Ò ½º Z Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ¾º E(Z) = Var(Z) = º ÌÓ ØÙ º ½º ÅÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò M(t) = e t /, < t <. M(t) = e tz π e z / dz. Ì Ò Ó ØÙ x = z tº Ë ÐÐÓ Ò dz = dx e tz e z / = e (t x )/ ÓØ Ò M(t) = e (t x )/ dx = e t / π π e x / dx = e t /. Î Ñ Ò Ò Ý Ø ÙÙÖÙÙ ÙÖ Ø ØØ ÒØ Ö Ð ÝÐ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò Ø ¹ Ý ÙÒ Ø ÓÒ π e x / ÓÒ º ¾º ÃÓ M(t) = e t / Ò ÒM (t) = te t / M (t) = e t / +t e t / º Ë ÐÐÓ Ò M () = M () = Var(Z) = M () [M ()] = º

19 ½ ¾ ÄÙ Ù º Â Ø ÙÚ Ø ÙÑ Ø Å Ö ØÒ Z N(,) Ñ E(Z) = Var(Z) = º Ë ÙÖ Ú ÔÝ Ð ÑÖ Ø ÐÐÒ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ÓÒ ÖÚÓ ÓÒµ Ú Ö Ò σ º Ñ Ö º ÇÐ ÓÓÒ X,X,...,X 5 ÓØÓ ÙÑ Ø ÓÒ Ø Ý ÙÒ ¹ Ø Ó ÓÒ f(x) = ( 3 ) x < x < º  ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ µ = Ú Ö Ò σ = 3/5º Ñ Ö ØÓ ÒÒ ÝÝ P(X.5) ÚÓ Ò Ð Ó Ø Ñ Ð¹ Ð Ò Ò X Ò ÙÑ ÑÖ ØØÑÐÐ Ø Ý ÝØØÝ ØÓ ÒÒ ÝÝ º à ¹ Ò Ö Ú ØØÑÒ ÚÙÐÐ Ò ØÑÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ð ÖÚÓ ÐÑ Ò Ø ØÓ X Ò Ø Ö Ø ÙÑ Ø ( X P(X.5) = P /.5 ) / 3/5 5 3/5 5 = P(Z 5.75) Φ(.75) = ÖÚ ÓÒ Ø Ö ÙÙ Ø Ò Ò Ö Ú ØØÑ Ù Ø Ò Ò ÒÒ ØÝ Øº º ÅÙÙØØÙ Ò Ú ØÓ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ X ÓÒ Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ F(x)º ÄÙ Ù ÓÚ ÐÐÙ Ø ÖÚ Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÓÒ Ò ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Y = h(x) ÙÑ ÙÒ X Ò ÙÑ ØÙÒÒ Ø Òº Ì ØÚÒÑÑ ÓÒ ÒÝØ ÑÖ ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Y = h(x) ÙÑ Ñ h(x) ÓÒ x Ò Ö Ð ÖÚÓ Ò Ò ÙÒ Ø Óº º º½ ÅÙÙÒÒÓ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÚÙÐÐ ÎÓ ÑÑ ÔÝÖ Ó Ø Ñ Ò Y Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ G(y) = P(Y y) ÙÓÖ Ò X Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ F(x) ÚÙÐÐ º Y Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó g(y) ÚÓ Ò ÑÖ ØØ ØØ Ò ÒØ Ø Ø Ò º½º µ ÚÙÐÐ ÙÒ G(y) ÓÒ Ö ÚÓ ØÙÚ º Ñ Ö º ÇÐ ÓÓÒ X Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f(x) = 3x, x. Ì Ö Ø ÐÐ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Y = X ÙÑ º Ë ÐÐÓ Ò Y Ò ÖÚÓ Ú ¹ ÖÙÙ ÓÒ S Y = [,] Y Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ G(y) = P(Y y) = P(X y) = P( y X y) = y y 3x dx = y / y x 3 = y3/, y.

20 º º ÅÙÙØØÙ Ò Ú ØÓ ½ Ö ÚÓ Ñ ÐÐ Ò Y Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó g(y) = G (y) = 3y/, y. Ñ Ö º½¼ ÇÐ ÓÓÒ X Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ ÖØÝÑ ÙÒ ¹ Ø Ó ÓÒ F(x) = (+x)e x, x >. ÂÓ Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Y = e X ÙÑ º Å Ö ØÒ Y Ò ÖØÝѹ ÙÒ Ø ÓØ G Ðк Ë ÐÐÓ Ò G(y) = P(Y y) = P ( e X y ) = P[ X log(y)] = P[X log(y)] = P[X < log(y)] = F[ log(y)], Ñ F(x) ÓÒ X Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Óº Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ x = log(y) X Ò ÖØݹ Ñ ÙÒ Ø ÓÓÒ Ò G(y) = [ log(y)]e log(y) = [ log(y)]y. ÃÓ S X = (, ) Ò Ò S Y = (,)º Y ÓÒ Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ó G(y) ÓÒ Ø ÙÚ ÐÐ ÓÒ Ø ÙÚ Ö Ú ØØ ÑÙÙ ÐÐ Ô Ø Ô Ø y = º Y Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ g(y) = G (y) = { log(y), ÙÒ < y < ÑÙÙ ÐÐ º ÀÙÓÑ ØØ log(y) > ÙÒ < y < º ÆÝØ g(y) ÐÐ y S Y = (,)º º º¾ ÅÙÙÒÒÓ Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ Ë ÙÖ Ú Ø ØÒ ÝÐ Ò Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÒ ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ó Ø ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ Ò X ÙÒ Ø ÓÒ Y = h(x) Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÙÓÖ Ò X Ò Ø Ý ÙÒ ¹ Ø ÓÒ f X (x) ÚÙÐÐ º Å Ò Ø ÐÑÒ ÐÐÝØØ Ù Ø Ò Ò ØØ ÙÒ Ø ÓÐÐ h(x) ÓÒ Ø Ö Ø ÐØ Ú ÐÐ ÚÐ ÐÐ ÒØ ÙÒ Ø Óº Ñ Ö ÙÒ Ø ÓÒ y = e x ÒØ ¹ ÙÒ Ø Ó ÓÒ x = log(y)º ÅÝ ÙÒ Ø Ó y = x ÓÒ ÒØÝÚ ÙÒ x > ÐÐ ÐÐÓ Ò x = yº ÙÒ Ø Ó y = x ÓÐ ÒØÝÚ Ó Ó Ö Ð Ð ÐÐ Ó Ð¹ ÐÓ Ò x = ± y Ó ÓÐ ÙÒ Ø Óº ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ Ø ÙÚ ÙÒ Ø Ó h(x) ÓÒ ÒØÝÚ Ó Ú Ò Ó ÓÒ Ó Ó Ó Ø Ú Ú Ø Ó Ø Ú Ò Úº

21 ½ ÄÙ Ù º Â Ø ÙÚ Ø ÙÑ Ø Ä Ò Ö Ò Ò ÑÙÒÒÓ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ý Ò ÖØ Ø Ð Ò Ö Ø ÑÙÙÒÒÓ Ø Y = ax +b Ñ a b ÓÚ Ø ÒÒ ØØÙ Ú Ó Ø º ÆÝØ h(x) = ax + bº ÙÒ Ø ÓÒ y = h(x) Ö Ú ØØ ÓÒ dy dx = h (x) = a. ÙÒ Ø ÓÐÐ h(x) ÓÒ ÒØ ÙÒ Ø Ó g(y) = y b a, a dy dx = g (y) = a. Ñ Ö º½½ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ X Tas(.5,.5) Y = Xº Å Ø Ù¹ Ñ Y ÒÓÙ ØØ 3 y = x y + y y f Y (y) {}}{ B x } A }{{} f X (x).5 x x+ x.5 x ÃÙÚ Ó º º Ì ÙÑ Tas(.5,.5) ÒÓÙ ØØ Ú Ò ØÙÒÒ ÑÙÙع ØÙ Ò X Ð Ò Ö Ò Ò ÑÙÙÒÒÓ º ÃÙÚ Ó º ÓÒ ÐÙ Ò A Ô ÒØ ¹ Ð P[X (x,x+ x)] = f X (x) x = x ÐÙ Ò B Ô ÒØ ¹ Ð P[Y (y,y+ y)] = f Y (y) y.

22 º º ÅÙÙØØÙ Ò Ú ØÓ ½ Ì Ô ØÙÑ Ø X (x,x+ x) Y (y,y+ y) ØØÙÚ Ø Ø ÑÐÐ Ò Ñ Ò¹ Ø ÓØ Ò º º½µ P[X (x,x+ x)] = P[Y (y,y+ y)]. ÃÓ y = x y+ y = (x+ x) Ò Ò y = x ÒØ Ø Ø Ø º º½µ ÙÖ ØØ f Y (y) = º ÃÓ.5 < x <.5 Ò Ò < y < 3º Æ Ò Y Tas(,3) { f Y (y) =, < y < 3;, ÑÙÙ ÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ X ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ ÖÚÓ Ú ÖÙÙ ÓÒ S X º Ë ÐÐÓ Ò ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Y = h(x) ÖÚÓ Ú ÖÙÙ S Y ÑÖÝØÝÝ Ø Ò ØØ X S X Y S Y. Ë ÙÖ Ú Ð Ù Ø ØØÚ Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ ÙÒ Ø Ó y = h(x) ÓÒ Ø Ö Ø ÐØ Ú ÐÐ ÖÚÓ ÐÙ ÐÐ ÒØÝÚº Ë ÐÐÓ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó x = g(y) ØØ y = h(x) x = g(y). Ä Ù º ÇÐ ÓÓÒX Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f X (x) ÖÚÓ Ú ÖÙÙ S X º ÇÐ ÓÓÒ Y = h(x) ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ØØ ÐÐ ÓÒ Ò¹ Ø ÙÒ Ø Ó x = g(y) ÒØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú ØØ g (y) ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ y S Y Ñ S Y ÓÒ Y Ò ÖÚÓ Ú ÖÙÙ º Ë ÐÐÓ Ò Y Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f Y (y) = f X ( g(y) ) g (y), y S Y. ÌÓ ØÙ º ÇÐ ØÙ Ò ÑÙ Òg(y) ÓÒ Ö ÚÓ ØÙÚ ÓØ Ò ÓÒ Ø ÙÚ º ÃÓ h g ÓÚ Ø ÒØÝÚ Ò Ò h g ÓÚ Ø ÑÓÐ ÑÑ Ø Ó Ó Ú Ú Ø Ú Ò Ú º ÇÐ Ø Ø Ò h g ÓÚ Ø Ú Ò Ú º Ë ÐÐÓ Ò F Y (y) = P(Y y) = P(h(X) y) = P(X g(y)) = F X ( g(y) ). Ö ÚÓ Ò F X [g(y)] Ø Ù ÒÒ Ò ÚÙÐÐ ÓÐÐÓ Ò Ò f Y (y) = F Y (y) = F X( g(y) ) g (y) = f X ( g(y) ) g (y) = f X ( g(y) ) g (y). Î Ñ Ò Ò Ý Ø ÙÙÖÙÙ ÙÖ Ø ØØ g (y) ÓÒ Ò Ø Ú Ò Ò Ó g ÓÒ Ú Úº ÂÓ h g ÓÚ Ø Ú Ú Ò Ò ØÓ ØÙ ÓÒ Ñ Ð Ò Ñ ÒÐ Ò Ò Ø ¹ ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º

23 ½ ÄÙ Ù º Â Ø ÙÚ Ø ÙÑ Ø Ñ Ö º½¾ ÇÐ ÓÓÒ X Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f X (x) = e x S X = {x x > }º ÇÐ ÓÓÒ Y = X / ÓØ Ò X = Y = g(y) S Y = S X º ÃÓ g (y) = y Ò Ò f Y (y) = f X (y ) y = ye y, y >. Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ú Ð ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ V = e X º Ë ÐÐÓ Ò X = log(v)º Å Ö ØÒ ÒÝØ log(v) = g(v)º Ë ÐÐÓ Ò S V = [,] g (v) = /vº Ë f V (v) = f X [ log(v)] v = v v =, ÓØ Ò V ÒÓÙ ØØ Ø ÙÑ ÚÐ ÐÐ [,]º Å Ð ÑÙÙÒÒÓ ÙÒ Ø ÓÐÐ h ÓÐ ÒØ ÙÒ Ø ÓØ X Ò ÖÚÓ Ú ÖÙÙ S X Ò Ò Ä Ù Ò º ÑÙÙÒÒÓ Ñ Ò Ø ÐÑ ÚÓ ÙÓÖ Ò ÓÚ ÐØ º ÂÓ Ù ¹ Ø Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò S X Ò Ó ØÙ Ý Ø Ô Ø ØØ Ñ Ò Ó ÚÐ Ò A A º º º A m ØØ º º¾µ S X = A A A m h ÓÒ ÒØÝÚ Ó ÐÐ Ó ÚÐ ÐÐ ÚÓ Ò ÑÙÙÒÒÓ Ø Ó ÐÐ Ó ¹ ÚÐ ÐÐ Ö Òº Ë Ø Ú ÖØ Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÒ Ø ÓØ { h i (x), ÙÒ x A i h(x) = ÑÙÙ ÐÐ º Ë ÐÐÓ Ò h(x) ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó h(x) = m i= h i(x) Ñ Ó¹ Ò Ò h i (x) ÓÒ ÒØÝÚ ÚÐ ÐÐ A i º ÇÐ ÓÓØ ÙÒ Ø Ó Ò h i ÒØ ÙÒ Ø ÓØ Ú Ø Ú Ø g i i =,,...,mº Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Y = h(x) Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò ÒÝØ ØØ Ä Ù Ò º ÚÙÐÐ ÑÙÓ Ó m ( º º µ f Y (y) = f X gi (y) ) g i (y). y S Y. i= ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ Ó Ù Ø ÖÚ Ø Ò Ö ÐÐ Ò Ó ØÙ Ò º º¾µ Ø Ó ¹ ØÙ Ó ÓÚÐ A A º º º ÓÒ Ö Ø Ò ÑÖ m = µº º Ð Ò Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÒÓÙ ØØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ÖÚÓÐÐ µ Ú ¹ Ö Ò ÐÐ σ > Ó ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ Ó X = µ+σz, Ñ Z N(,)º Ë ÐÐÓ Ò Ñ Ö ØÒ X N(µ,σ )º ÂÓ X N(µ,σ ) Ò Ò Ú Ø Ú Ø Z = X µ N(,). σ Ë ÙÖ Ú Ð Ù Ø ØÒ ÙÑ Ó Ú Ø Ô ÖÙ ØÙÐÓ Øº

24 º º Ð Ò Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ½ Ä Ù º ÂÓ X N(µ,σ ) Ò Ò ½º E(X) = µ Var(X) = σ ¾º M X (t) = E ( e tx) = e µt+σ t /, < t <. º X Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f(x) = πσ e (x µ) /σ, < x <. ÌÓ ØÙ º ½º ÃÓ X N(µ,σ ) Ò Ò X = µ + σz Ñ Z N(,)º Ë ÐÐÓ Ò E(X) = E(µ+σZ) = µ+σe(z) = µ Var(X) = Var(µ+σZ) = σ Var(Z) = σ. ¾º ÅÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò º ÑÝ Ä Ù º½¾µ M X (t) = E ( e tx) = E [ e t(µ+σz)] = e tµ E ( e tσz) = e tµ M Z (tσ) = e tµ e t σ / = e tµ+t σ /. º Ì Ò ÑÙÙÒÒÓ x = h(z) = µ+σzº Ë ÐÐÓ Ò h ÐÐ ÓÒ ÒØ ÙÒ Ø Ó g z = g(x) = x µ g (x) = º Ð ÐÙÚÙ º Ø ØØÚÒ ÑÙÙÒÒÓ Ø ¹ σ σ Ò Ò ÚÙÐÐ Ò X Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó º º½µ ( x µ f X (x) = f Z σ = ) σ π σ e (x µ) /σ. Ì Ú ÐÐ Ø Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ö Ó Ø Ø Ò ÑÙÓ Ó f X (x) = πσ e (x µ) /σ, Ñ σ = + Var(X) = + σ ÓÒ X Ò ÓÒØ º ÌÓ ØÙ ÓÐ Ø ØØÙ ØØ σ > º Ñ Ö º½ ÂÓ X Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f(x) = 3π e (x+7) /3, < x <, Ò Ò X N( 7,6) M X (t) = e 7t+8t.

25 ½ ÄÙ Ù º Â Ø ÙÚ Ø ÙÑ Ø Ñ Ö º½ ÂÓ X Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ M X (t) = e 5t+t, Ò Ò X N(5,4) X Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f(x) = 48π e (x 5) /48, < x <. ÂÓ X N(µ,σ ) Ò Ò X Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÚÙØØ Ñ Ñ Ò Ô Ø x = µ ÒØ Ô Ø Ø ÓÚ Ø x = µ±σº ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÓÒ ÙØÙÒÙØ Ø Ò ØØ Ñ Z N(,)º Ñ Ö P( X µ σ) = P( Z ) =.686, P( X µ σ) = P( Z ) =.9544, P( X µ 3σ) = P( Z 3) =.9974, P( X µ σ) = P( Z ) = P( Z ) = Φ() Φ( ) = = , Ñ Φ(z) = z π e v / dv ÓÒ Ø Ò Ö ÑÙÓØÓ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Óº Ë Ò ÖÚÓØ ÓÒ Ø Ù¹ ÐÙ Ó ØÙ Ò Ð ØØÙ Ù ÐÐ Ó ÐÑ ØÓ ÐÐ º ÐÐ Ø ØØÝ Ò ØÓ¹ ÒÒ ÝÝ Ò Ò ÒÙÑ ÖÓÒ Ð ÖÚÓ Ò ÝØ ØÒ Ø Ú ÐÐ Ø ÐÙ Ù ÓØ ÚØ ÓÐ ÔÝ Ö Ø ØØÝ Ú Ò Ø ØÙ ÖÚÓ º ÅÝ ÝÐÐ Ø ØÝØ Ò Ð Ò ÒÙÑ ÖÓÒ Ð ÖÚÓØ ÓÚ Ø Ø ØÙ ÖÚÓ º Ä Ù º ½º ÇÐ ÓÓÒ X N(µ,σ ) U = ax +b Ñ a b ÓÚ Ø ÒÒ ØØÙ Ú Ó Ø º Ë ÐÐÓ Ò U N(aµ+b,a σ ). ¾º ÇÐ ÓÓØ X X º º º X n Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø X i N(µ i,σ i) i =,,...,n a a º º º a n b ÓÚ Ø ÒÒ ØÙØ Ú ÓØ Ó Ø Ò Ò Ý a i ÔÓ ÒÓÐÐ Ø º Ë ÐÐÓ Ò Y = n i= a ix i +b ÒÓÙ ØØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ( n Y N a i µ i +b, i= n i= a i σ i ).

26 º º ÑÑ ÙÑ χ ¹ ÙÑ ½ Ñ Ö º½ Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X X X 3 ÒÓ٠ع Ø Ú Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø Ò ØØ X i N( i,i i ) i =,,3º Ë ÐÐÓ Ò Y = X +X +X 3 N(4,3) ÐÐ E(Y) = = 4 Var(Y) = = 3 Ä Ù Ò º ÑÙ Ò Y ÒÓÙ ØØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Y = X +X +3X 3 N(34,6) Ó E(Y) = = 34 Var(Y) = = 6. º ÑÑ ÙÑ χ ¹ ÙÑ ÑÑ ÙÑ ÙÑ ÓÒ ÚÐ ÐÐ [, ) ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÑ Ø ÙÑ ¹ Ô Ö Ó Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ú ÐÐ Ò ÝÚ Ò Ò Ö Ò ÙÑ Ú Ò ÓÚ Ø Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÑÙÓØÓ º ÑÑ ÙÒ Ø Ó Γ(α) = x α e x dx ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÙÒ α > º ÑÑ ÙÒ Ø Ó ØÓØ ÙØØ Ö ÙÖ Ú Ò Ö Ð Ø ÓÒ Γ(α+) = αγ(α), Ó ÚÓ Ò Ó Ó ØØ Ó ØØ ÒØ ÖÓ ÒÒ ÐÐ º ÂÓ α = n ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó Ó¹ Ò ÐÙ Ù Ò Ò Γ(n+) = nγ(n) = n(n ) Γ() = n!γ(). ÃÓ Γ() = Ò Ò Γ(n+) = n! ÐÐ ÔÓ Ø Ú ÐÐ Ó ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ º ÅÝ Γ( ) = π ÓÒ ØÖ Ö Ó Ø ¹ Ô Ù º º º½ ÑÑ ÙÑ ÙÒ Ø Ó º º½µ f(t) = tα e t Γ(α), < t <

27 ½ ¼ ÄÙ Ù º Â Ø ÙÚ Ø ÙÑ Ø ÑÖ ØØ Ð Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ ÐÐ ÑÑ ÙÒ Ø Ó ÒØ ÖÓ Ø Ú ÓÒ ÔÓ Ø Ú ¹ Ò Ò ÚÐ ÐÐ (, )º Ë ÒÓ ÑÑ ØØ º º½µ ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò T Ø ¹ Ý ÙÒ Ø Óº Ã Ò ÑÑ ÙÑ Ò Ô Ö Ò ÑÖ ØØ Ð ÑÐÐ ¹ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X = βt Ñ β ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ú Óº X Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò Ó Ø ÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ Ä Ù Ò º ÑÙÙÒÒÓ Ø Ò º Å Ö Ø ÑÑ X Gamma(α,β) ÒÓÑÑ ØØ X ÒÓÙ ØØ ÑÑ ÙÑ Ô Ö ¹ Ñ ØÖ Ò α βº Â ÙÑ Ò Gamma(α,β) Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ò º º¾µ f(x) = Γ(α)β αxα e x/β, < x <, α >, β >. ØÑÑ ÒÝØ ÑÑ ÙÑ Ò Ô ÖÙ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÙÖ Ú Ð Ù ¹ º Ä Ù º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ X Gamma(α,β)º ½º ÙÒ Ø Ó º º¾µ ÑÖ ØØ Ð Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ ÐÐ α > β > º ¾º E(X) = αβ, Var(X) = αβ M(t) = E(e tx ) = ( ) α, t < βt β. º ÐÐ c > αº E(X c ) = Γ(α+c)βc Γ(α) º ÇÐ ÓÓÒ U = bx b > º Ë ÐÐÓ Ò U Gamma(α,bβ)º ÔÓÒ ØØ ÙÑ ÓÒ ÑÑ ÙÑ Ò Ö Ó Ø Ô Ù º ÃÙÒ Ó Ø Ø Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓÓÒ º º¾µ α = Ò f(x;β) = β e x/β, x >. À Ú Ø Ò ØØ Gamma(,β) = Exp(β)º º º¾ χ ¹ ÙÑ ÌÓ Ò Ò ØÖ ÑÑ ÙÑ Ò Ö Ó Ø Ô Ù ÓÒ χ ¹ ÙÑ º ÂÓ Ú Ð Ø Ò α = r Ñ r ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù β = ØÙÐ Ø Ý ÙÒ ¹ Ø Ó º º¾µ ÑÙÓØÓÓÒ º º µ f(x) = Γ ( ) r r/ x(r/) e x/, < x <,

28 º º ÑÑ ÙÑ χ ¹ ÙÑ ½ ½ Ñ ÓÒ χ ¹ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ú Ô Ù Ø Ò rº ÂÓ X ÒÓÙ ØØ χ ¹ ÙÑ Ú Ô Ù Ø Ò r Ñ Ö ØÒ X Khi(r)º χ ¹ ÙÑ Ò ÖÚÓ Ú Ö Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ò ÒÝØ ÙÓÖ Ò ÑÑ ÙÑ Ò ÚÙÐÐ º ÂÓ X Khi(r) Ò Ò E(X) = r, Var(X) = r M(t) = ( t) r/, t <. Ç ÓØÙ ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ Ë ÙÖ Ú Ò Ø Ô ØÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ ÒÓÙ ØØ ÔÓÒ Ø¹ Ø ÙÑ º ÇÐ ÓÓÒ W ÒÝØ Ó ÓØÙ ÙÒÒ ØØÙÙ α Ø Ô ØÙÑ Ñ α ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÂÓ ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ Ò ÒØ Ò Ø ØØ ÓÒ λ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ w Ò Ô ØÙ ÐÐ ÚÐ ÐÐ ØØÙÙ x Ø Ô ØÙÑ Ò Ú ÐÐ º¾º µ P(X w = x) = e λw(λw)x. x! Ç ÓØÙ Ò W ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÙÒ W ÓÒ F(w) = P(W w) = P(W > w) = P(Ú ÑÑÒ Ù Ò α Ø Ô ØÙÑ ÚÐ ÐÐ [t,t+w]) α = x= e λw(λw)x, x! Ó Ø Ô ØÙÑ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÚÐ ÐÐ [t,t + w] ÒÓÙ ØØ ÈÓ ÓÒ Ò ¹ ÙÑ ÖÚÓÐÐ λw º º¾º µ º Ä Ñ ÐÐ Ö Ú ØØ F (w) = f(w) Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó f(w) = λ(λw)α (α )! e λw. ÂÓ w < Ò Ò F(w) = f(w) = º ÆÝØ ÙÓÑ ÑÑ ØØ ( W Gamma α, ). λ º º ÆÓÖÑ Ð ÙØÙÒ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÑÙÙÒÒÓ Ø ÂÓ X N(,) Ò Ò X Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f(x) = π e x /, < x <,

29 ½ ¾ ÄÙ Ù º Â Ø ÙÚ Ø ÙÑ Ø Ó ÓÒ Ø Ò Ö ÑÙÓØÓ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Óº ÂÓ Ø Ò ÒÝØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò U = X ÙÑ º ÅÙÙÒÒÓ ÙÒ Ø Ó u = h(x) = x ÓÐ ÒØÝÚ Ó x = ± u ÓÐ ÙÒ Ø Óº Ë ØÑÑ ÖÚÓ Ú ÖÙÙ Ò S X = { < x < } Ó Ø ØØÙÒ ÑÙÓ Ó S X = (,] (, ). Ë ÐÐÓ Ò ÙÒ Ø ÓÐÐ h(x) ÓÒ ÚÐ ÐÐ (,] ÒØ ÙÒ Ø Ó g (u) = u ÚÐ ÐÐ (, ) ÒØ ÙÒ Ø Ó g (u) = uº ÆÝØ Ú Ò º º µ ÑÙ Ò U Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ º º µ f U (u) = f X ( u) u +f X( u) u = e u/, πu ÙÒ u (, )º U ÒÓÙ ØØ χ ¹ ÙÑ Ú Ô Ù Ø Ò º à ØØ Ð ÑÑ Ø Ð ØÓØ Ø ØÖ χ ¹ ÙÑ Ú Ð Ø Ó Ø Ö ÑÑ Òº Ä Ù º ÂÓ X N(µ,σ ) σ > Ò Ò ÐÐÓ Ò (X µ) σ Khi(). ÌÓ ØÙ º ÃÓ X N(µ,σ ) Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò X µ = Z σ N(,)º ÐÐ ÒÝØ ØØ Ò ØØ Z Khi()º Æ Ò ÓÒ Ð Ù ØÓ Ø ØØÙº Ä Ù º ÂÓ Z i Ø ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Z i N(,) i =,,...,n Ò Ò Z +Z + Z n Khi(n). ÂÓ Ø Ò ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(,) Ò Ò Ä Ù Ò º ÑÙ Ò Ú ÒØÓ Ò Ò Ð ÙÑÑ ÒÓÙ ØØ Ã ¾¹ ÙÑ Ú Ô Ù Ø Ò n Ñ n ÓÒ ÓØÓ Ó Óº Ë ÙÖ Ù º½ ÂÓ X i Ø ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø X i N(µ,σ ) i =,,...,n Ò Ò n (X i µ) Khi(n). i= σ ÂÓ Ú Ø Ú Ø Ø Ò n Ò ÙÙÖÙ Ò Ò ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ,σ ) Ò Ò Ë ÙÖ Ù Ð Ù Ò º½ ÑÙ Ò Ø Ò Ö Ó ØÙ Ò Ú ÒØÓ Ò Ò Ð ÙÑÑ ÒÓÙ ØØ Ã ¾¹ ÙÑ Ú Ô Ù Ø Ò nº Ä Ù º ÇÐ ÓÓØ X X Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø X i Khi(n i ) i =,º Ë ÐÐÓ Ò X +X Khi(n +n ).

30 º º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ½ º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÇÐ ÓÓÒ X Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Ó f(x) ÓÒ ÑÖ Ø Ð¹ ØÝ ÖÚÓ Ú ÖÙÙ Sº ÇÐ ÓÓÒ h(x) ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ö Ð ÖÚÓ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÑÖ ØØ Ð ÙÙ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Òº ÅÖ Ø ÐÑ º¾ ÂÓ X ÓÒ Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙع ØÙ Ò h(x) Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ º º½µ E[h(X)] = h(x)f(x) dx, S Ñ Ð E ( h(x) ) < º ÂÓ E ( h(x) ) = Ò Ò ÒÓÑÑ ØØ E[h(X)] ÓÐ ÓÐ Ñ º ÀÙÓÑ ÙØÙ º½ Ç ÓØÙ ÖÚÓÒ E[h(X)] ÓÐ Ñ ÓÐÓ Ø Ö Ó ØØ Ø Ø¹ Ø ÙÒ Ø ÓÒ h(x) Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Òº ÂÓ X ÒÓÙ ØØ Ñ Ö ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ ÖÚÓÐÐ Ò Ò f(x) = e x S = [, )º Ë ÐÐÓ Ò X Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ E(X) = xe x dx = = / ( xe x )+ e x dx =, e x dx Ó ØØ ÒØ ÖÓ ÒØ µ ÓØ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ ÓÐ Ñ º ÀÝÚ Ò Ù Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÔÓÐ ÐÐ ÒØ Ö Ð Ò Ò Ù Ò Ø Ò Ñ Ö º ÂÓ h(x) ÒØ ÖÓ ØÙÙ Ø Ø Ð h(x) S ÓÒ Ö ÐÐ Ò ÓÐ Ñ Ò Ò E[h(X)] ÓÒ ÓÐ Ñ º ÙÒ Ø Ó V = h(x) ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Ó g(v) ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÖÚÓ Ú ÖÙÙ S V = {v v = h(x), x S}º Ë ÐÐÓ Ò E[h(X)] = E(V) = vg(v). S V

31 ½ ÄÙ Ù º Â Ø ÙÚ Ø ÙÑ Ø Ñ Ö º½ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÒÝØ Ù ÝÒ ÙÑ ÒÓÙ ØØ Ú ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ X ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ º º¾µ f(x) =, < x <. π(+x ) Ã Ú º º¾µ ØÓ ÐÐ Ò ÑÖ ØØ Ð Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ Ó π(+x ) dx = π / arctan(x) = π π =. Ç Ó Ø ÑÑ ÒÝØ ØØE( X ) = Ñ Ø ÙÖ ØØ Ù ÝÒ ÙÑ ÐÐ ÓÐ ÖÚÓ º ËÝÑÑ ØÖ Ò ÒÓ ÐÐ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ E( X ) = ÂÓ Ø Ö Ð ÐÙ Ù M > Ó Ø Ò x π(+x ) dx = x π +x dx. M Ì Ø ÙÖ ØØ x (+x ) dx = M/ log(+x ) = log(+m ). M x E( X ) = lim M π +x dx = π lim M log(+m ) =, ÓØ Ò E(X) ÓÐ ÓÐ Ñ º º º½ ÅÓÑ ÒØ ÙÒ Ø Ó ÑÓÑ ÒØ Ø ÃÙÒ h(x) = X r Ò Ò E[h(X)] = E(X r ) ÓÒ X Ò rº ÑÓÑ ÒØØ º Â Ø ÙÚ Ò ¹ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÑÓÑ ÒØ Ø ÑÖ Ø ÐÐÒ Ú Ø Ú Ø Ù Ò Ö ØØ Ò ¹ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÑÓÑ ÒØ Øº ËÙÑÑ Ð Ù Ø Ú Ò ÓÖÚ Ø Ò ÒØ Ö Ð Ð¹ Ð º Ì ÙÐÙ Ó º½ Ø ØÒ Ý Ø ÒÚ ØÓ Ö ÑÓÑ ÒØ Ø ÅÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÑÖ Ø ÐØ Ò º ÐÙÚÙ ÅÖ Ø ÐÑ º µ Ø ÙÚ ÐÐ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ Ð ÐÙÚÙ º½ º ÒØ Ø ØØ º½º µ º Â Ø ÙÚ Ò ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ Ò X ÑÓÑ ÒØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ M(t) = E(e tx ) = e tx f(x)dx, t A, S Ñ f(x) ÓÒ X Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó A ÐÐ Ò Ò t Ò ÖÚÓ Ò ÓÙ Ó ØØ M(t) ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÐÐ t Aº ÃÓ M() = Ò Ò Aº Ë ÒÓÑÑ ØØ M(t) ÓÒ ÓÐ Ñ Ó ( a,a) A ÓÐÐ Ò a > º ÅÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ô ÖÙ ¹ ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ø ØØ Ò ÈÝ Ð º º¾º

32 º º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ½ Ì ÙÐÙ Ó º½º ÌÖ Ø Ó ÓØÙ ÖÚÓ º h(x) E[h(X)] Å Ö ÒØ Æ Ñ ØÝ x E(X) µ Ó ÓØÙ ÖÚÓ x r E(X r ) α r rº ÑÓÑ ÒØØ x (r) E[X (r) ] g r rº Ø ÑÓÑ ÒØØ (x µ) E[(X µ) ] σ Ú Ö Ò (x µ) r E[(X µ) r ] µ r rº Ù ÑÓÑ ÒØØ Ñ Ö º½ ÀÙÓÑ ÙØÙ º½ Ð ØØ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓE(X) ÙÒX ÜÔ()º Ë ÐÐÓ Ò X Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f(x) = e x ÚÐ ÐÐ S = [, ) f(x) = ÑÙÙ ÐÐ º à ÑÓÑ ÒØ Ø E(X r ) ÚÓ Ò ÑÖ ØØ Ó ØØ ÒØ ÖÓ ÒÒ ÐÐ ÑÙØØ ÝØ ØÑÑ ÒÝØ ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø ÓØ Ó ÓÒ M(t) = E(e tx ) = e tx e x dx = t, t <. Ö ÚÓ Ñ ÐÐ M(t) ØÓ ØÙÚ Ø r ÖØ Ò M (r) (t) = r! ( t) k+ º Ë ÓØ Ò E(X r ) = M (r) () = r!, µ = E(X) =, E(X ) =, σ = E(X ) µ =. Ö ØÝ Ø ÖÚÓ µ Ú Ö Ò σ ÓÒØ σ = Var(X) ÓÚ Ø Ø Ú ÐÐ ¹ ÑÑ Ø ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙØ Ó ÐÐ ÙÑ ÐÙÓÒÒ Ø Òº  ÙÑ Ò Ý ØÝ Ó ¹ Ø ÑÑ Ø Ö Ø ÐÙ ÚÓ Ò ÝØØ ÑÝ ÓÖ ÑÔ ÑÓÑ ÒØØ Ñ Ð Ò ÓÚ Ø ÓÐ Ñ º º º¾ Î ÒÓÙ Ù ÔÙ ÙÙ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò º ÑÓÑ ÒØØ µ ÑÖ ØØ ÙÑ Ò ÒÒ Òº à ¹ Ø ØÝÒ ÑÙÙØØÙ Ò X µ ØÓ Ò Ò ÑÓÑ ÒØØ Ù ÑÓÑ ÒØØ µ ÓÒ Ú Ö Ò σ Ñ ØØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ Ò ÒØÙÑ Ø º ÆÓÖÑ Ö ØÙÒ ÑÙÙØØÙ Ò (X µ)/σ ÓÐÑ Ò Ð ÑÓÑ ÒØØ ÐÙÓÒÒ Ø Ú Ø ÙÑ Ò ÑÙÓØÓ º  ÙÑ Ò Ú ÒÓÙ ÖÖÓ Ò Ó Ø ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ γ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ù¹ Ö Ú Ø [ (X ) ] 3 µ º º µ γ = E = µ 3 σ σ 3,

33 ½ ÄÙ Ù º Â Ø ÙÚ Ø ÙÑ Ø Ñ µ 3 ÓÒ ÙÑ Ò 3º Ù ÑÓÑ ÒØØ σ = Var(X) ÓÒ ÓÒØ º ÇÐ ÓÓÒ X Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó f(x)º Ë ÐÐÓ Ò X Ò ÙÑ ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ô Ø Ò a Ù Ø Ò Ó f(a x) = f[ (a x)] ÐÐ x Ò ÖÚÓ ÐÐ º ÂÓ E(X) ÓÒ ÓÐ Ñ Ò Ò ÐÐÓ ÒE(X) = aº ËÝÑÑ ØÖ ¹ Ò ÙÑ Ò Ú ÒÓÙ ÖÖÓ Ò ÓÒ ÒÓÐÐ º ÂÓ ÙÑ ÐÐ ÓÒ Ô Ø ÒØ Ó ÐÐ ÙØ Ò ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ ÐÐ ÓÑ ØÖ ÐÐ ÙÑ ÐÐ Ò Ò ÙÑ ÓÒ ÔÓ¹ Ø Ú Ø Ú ÒÓ γ > º ÂÓ ÙÑ ÐÐ ÓÒ Ô Ø ÒØ Ú ÑÑ ÐÐ Ò Ò γ < º  ÙÑ ÐÐ ÓÒ Ø ØÝ Ø ÓÐØ Ú 3º ÑÓÑ ÒØØ ÓØØ Ú ÒÓÙ ÖÖÓ Ò ÚÓ ¹ Ò Ð º ÀÙÓÑ ØØ Ù ÝÒ ÙÑ ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f(x) =, < x <, π(+x ) ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ô Ø Ò a = Ù Ø Ò ÑÙØØ ÓÐ ÙÑ Ò ÖÚÓ Ó ÙÑ ÐÐ ÓÐ ÖÚÓ º Ñ Ö º½ µº Ù ÝÒ ÙÑ Ò Ú ÒÓÙ ÖÖÓ ÒØ ÚÓ Ð Ú ÑÖ Ø ÐÑÒ ÒÓ ÐÐ ÚÓ ÑÑ ØÓ Ø ÙÑ Ò ÓÐ Ú Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Òº ÀÙ ÔÙ ÙÙ ÖÖÓ ÒØ Ñ Ö ØÒ γ ÑÖ Ø ÐÐÒ 4º Ù ÑÓÑ ÒØ Ò ÚÙÐÐ ÙÖ Ú Ø ) ] 4 º º µ γ = E [ (X µ σ = µ 4 σ 4, Ñ µ 4 ÓÒ X Ò 4º Ù ÑÓÑ ÒØØ º ËØ Ò Ö ÑÙÓØÓ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò N(,) Ù ÔÙ ÙÙ ÓÒ 3º ÂÓ ÙÑ ÐÐ ÓÒ Ô ÙÑÑ Ø ÒÒØ Ù Ò ÒÓÖ¹ Ñ Ð ÙÑ ÐÐ N(,) Ò Ò ÐÐÓ Ò γ > 3º ÂÓ ÒÒØ ÓÚ Ø Ó Ù ÑÑ Ø Ù Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ÐÐ N(,) Ò Ò γ < 3º Í Ò Ù ÔÙ ÙÙ Ò Ñ ØØ Ò Ý¹ Ø ØÒ Ò ÔÓ Ñ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò N(,) Ù ÔÙ ÙÙ Ø µ 4 σ 4 3º

34 Ø ÒÚ ØÓ ½ Â Ø ÙÚ Ø ÙÑ Ø Ø ÒÚ ØÓ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÓÒ ÓÐÙÙØØ Ø µ Ø ÙÚ Ó X ÐÐ ÓÒ Ø Ý ÙÒ ¹ Ø Ó f(x) Ó ØÓØ ÙØØ ÙÖ Ú Ø ÓØ ½º f(x) > ÙÒ x S ¾º S f(x)dx = º P(X A) = f(x)dx ÓÒ Ø Ô ØÙÑ Ò {X A} ØÓ ÒÒ ÝÝ º A Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ F(x) = x f(t)dt ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó M(t) = E(e tx ) = e tx f(x)dx. Ì ÙÑ X Tas(a,b)º Ì Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÅÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó f(x) = E(X) = a+b {, ÙÒ x [a,b] b a ja ÑÙÙ ÐÐ Var(X) = (b a). e tb e ta M(t) = t(b a), t ;, t =. ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ X Exp(θ) θ > x > f(x) = θ e x/θ F(x) = e x/θ. Ë ÐÐÓ Ò ÅÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó E(X) = θ Var(X) = θ. M(t) = θt, t < θ.

35 ½ ÄÙ Ù º Â Ø ÙÚ Ø ÙÑ Ø ÑÑ ÙÑ X Gamma(α,β) α > β > º Ë ÐÐÓ Ò f(x) = Γ(α)β αxα e x/β, < x <, E(X c ) = Γ(α+c)βc Γ(α) ÐÐ c > αº Ö ØÝ Ø ÅÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó E(X) = αβ Var(X) = αβ. M(t) = ( ) α, t < βt β. χ ¹ ÙÑ X Khi(r)º χ ¹ ÙÑ Ò ÙÒ ÑÑ ÙÑ Ú Ð Ø Ò α = r β = Ñ r ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº Ë ÐÐÓ Ò E(X) = r, Var(X) = r M(t) = ( t) r/, t <. ÂÓ X i Khi(r i ) i =, ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò ÒX +X Khi(r + r )º ÆÓÖÑ Ð ÙÑ X N(µ,σ )º Ë ÐÐÓ Ò f(x) = πσ e (x µ) /σ, < x <, E(X) = µ, Var(X) = σ M(t) = e µt+(σ t )/. ÂÓ Z N(,) Ò Ò Z Khi()º ÂÓ Z i N(,) i =, ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò Z +Z Khi()º

36 À Ö Ó ØÙ ½ À Ö Ó ØÙ ½º ÇÐ ÓÓÒ X Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Ó µ Ä cº µ ÅÖ Ø X Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Óº, x < ; 3, f(x) = x < ; 3 3 c, 3 x ; ÑÙÙ ÐÐ º µ È ÖÖ X Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÖØÝÑ ÙÒ Ø Óº ¾º ÇÐ ÓÓÒ Ø ÙÚ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ø Ý ÙÒ Ø Ó f(x) = ( x) ÙÒ x f(x) = ÑÙÙ ÐÐ º µ È ÖÖ X Ò Ø Ý ÙÒ Ø Óº µ ÅÖ Ø Ô ÖÖ X Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Óº µ Ä µ P( X /) µ P(/4 X 3/4) µ P(X = 3/4) Úµ P(X 3/4)º º ÇÐ ÓÓÒ f(x) Ø ÙÚ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ø Ý ÙÒ Ø Óº µ ÅÖ ¹ Ø Ó Ø ÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÝ Ø ÙÒ Ø Ó Ø f(x) Ú Ó c Ø Ò ØØ f(x) ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Óº µ ÅÖ Ø ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó F(x) = P(X x) µ ÑÓØØ Ð Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ f(x) ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ F(x) ÙÚ Øº µ f(x) = x 3 /4, < x < c µ f(x) = (3/6)x, c < x < c µ f(x) = c/ x, < x < º ÇÒ Ó f(x) Ö Ó Ø ØØÙ º ÇÐ ÓÓÒ X Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó f(x) = c/x < x < º µ ÅÖ Ø c Ò ÖÚÓ Ø Ò ØØ f(x) ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Óº µ Ç Ó Ø ØØ E(X) ÓÐ Ö ÐÐ Ò Òº º ÇÐ ÓÓÒ X Khi()º ÅÖ Ø Ú ÓØ a b Ø Ò ØØ P(a < X < b) =.9 P(X < a) =.5. º ÇÐ ÓÓÒ X Khi(3)º µ Ä P(4.85 < X < 3.)º µ ÅÖ Ø a b Ø Ò ØØ P(a < X < b) =.95 P(X < a) =.5º

37 ½ ¼ ÄÙ Ù º Â Ø ÙÚ Ø ÙÑ Ø µ X Ò ÖÚÓ Ú Ö Ò º º ÇÐ ÓÓÒ X Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó M(t) = ( t) t < /º Ä µ E(X) µ Var(X) µ P(5.66 < X < 4.98)º º ÇÐ ÓÓÒ X N(7,4)º Ä ØÓ ÒÒ ÝÝ P[5.364 (X 7).96] Î Ä Ù º µº º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ X Y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø X Khi(8) Y Khi()º µ Ä P(.646 < X.9), P(Y > 6.34), P(X +Y = 9.34). µ ÅÖ Ø b c d Ø Ò ØØ P(X b) =.9, P(Y > c) =.9, P(X +Y > d) =.5. Î Ä Ù º µ ½¼º ÇÐ ÓÓØZ Z Z 3 Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò ÒÓÙ ØØ Ú ØN(,)¹ ÙÑ º ÅÖ Ø ÐÐÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø Z = 3 (Z +Z +Z 3 ) U = Z +Z +Z 3. ÅÖ Ø Ú ÓØ a b Ø Ò ØØ P( Z a) =.95; P(U > b) =.5. Î ÎÓ Ø ÓÐ ØØ ØØ Ä Ù º µº Z ÒÓÙ ØØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ º à º ÑÝ ½½º ÇÐ ÓÓÒ X Khi()º µ ÅÖ Ø Ú ÓØ a b Ø Ò ØØ P(a < X < b) =.9 P(X < a) =.5. µ ÇÐ ÓÓÒ X N(,4) P(a < X < b) =.5º ÅÖ Ø a b Ø Ò ØØ b a ÓÒ Ñ ÓÐÐ ÑÑ Ò Ô Ò º ½¾º ÇÐ ÓÓØ Z Z Z 3 Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Z i N(,)¹ ÙÑ i =,,3º ÅÖ Ø ÐÐÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X i = iz i +i X = 3 (X +X +X 3 ). ÅÖ Ø Ú Ó a Ø Ò ØØ P( X a) =.95º Î ÎÓ Ø ÓÐ ØØ ØØ X ÒÓÙ ØØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ºµ

38 À Ö Ó ØÙ ½ ½ ½ º ÇÐ ÓÓÒ X Khi(3)º µ Ä P(4.85 < X < 3.)º µ ÅÖ Ø a b Ø Ò ØØ P(a < X < b) =.95 P(X < a) =.5º µ Ä X Ò ÖÚÓ Ú Ö Ò º ½ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ X Gamma(α,β)º Ç Ó Ø ÑÑ ÙÑ Ò ÑÓÑ ÒØØ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ ØØ E(X) = αβ Var(X) = αβ º ½ º Ë ÐÐ ÐÐ ÔÙÙ ÙØÓ ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ Ò ÑÙ Ò ÑÖ Ò 5 Ù¹ ØÓ Ñ ÒÙÙØ º Ä ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ÐØ Ñ Ù Ò Ö ÓÙØÙÙ Ó ÓØØ Ñ Ò ÒÒ ØÙ Ø Ø Ø Ð Ò ÙØÓ Ð ¹ ØØ ÙØÓ µ Ò Ò ÔÙÓÐ ØÙÒØ º ½ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ X ÒÓÙ ØØ ÑÑ ÙÑ Gamma(3,)º ÅÖ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Y = X Ø Ý ÙÒ Ø Óº ½ º ÄÓ Ø Ø ÙÑ ÒÓÙ ØØ Ú Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f(x) = Ç Ó Ø ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Y = Tas(, )º e x (+e x ), < x <. +e X ÒÓÙ ØØ Ø ÙÑ ½ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ X Tas(,3)º ÅÖ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Y = X ÙÑ º ½ º ÇÐ ÓÓÒ ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó M(t) = ( t) t < º ÅÖ Ø E(X) Var(X) P(5 < X 4)º ¾¼º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ñ Ø Ù ØÙ ÓØÓ Ø Ò ÒÓÙ ØØ ÒÓÖÑ Ð Ù¹ Ñ ÓÒ ÖÚÓ ÓÒ 4 Ñ ÒÙÙØØ ÓÒØ 7 Ñ ÒÙÙØØ º ÂÓ ÐÙ Ø ± Ò ØÓ ÐÐ ÝÝ ÐÐ ÓÐÐ ØÝ Ô ÐÐ ÐÓ ¼¼ Ò Ò Ñ ÐÐÓ Ò Ú Ñ ¹ ØÒ ÓÒ Ð ØØÚ ÓØÓ ¾½º ÇÐ ÓÓÒ X Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó M(t) = ( t) t < /º Ä µ E(X) µ Var(X) µ P(5.66 < X < 4.98)º ¾¾º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ X Gamma(3,.5)º Ä µ P(X > 5) µ ÙÑ Ò ÑÓÓ Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ñ µ

39 ½ ¾ ÄÙ Ù º Â Ø ÙÚ Ø ÙÑ Ø µ E(Y) Var(Y) ÙÒ Y = º à º Ä Ù º ºµ X ¾ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ ÓÒ ÒØ Ò Ø ØØ ÓÒ λº ÇÐ ÓÓÒ W Ó ÓØÙ ÙÒÒ α Ø Ô ØÙÑ ØØÙÙº Ë ÐÐÓ Ò W Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ α F(w) = Ç Ó Ø ØØ Ø Ý ÙÒ Ø Ó f(w) ÓÒ x= f(w) = λ(λw)α (α )! e λw(λw)x. x! e λw. ¾ º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÒZ Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒf Z (z)º ÇÐ ÓÓÒY = az+b Ñ a b ÓÚ Ø ÒÒ ØØÙ Ú Ó Ø º µ Ç Ó Ø ØØ Y Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f Y (y) = a f Z( y b a ). µ Ø Y Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÙÒ a = b = Z N(,)º ¾ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ØX Y ÒÓÙ ØØ Ú Ø Ø ÙÑ Tas(,)º Ä ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø µ P( X Y ) µ P( X Y )º