q(x) = T n (x, x 0 ) p(x) =

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "q(x) = T n (x, x 0 ) p(x) ="

Transkriptio

1 ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ ØÙÒ Ô Ø Ò x 0 ÝÑÔÖ ¹ Ø Ö ØØÚÒ Ð Ø Ð Ö ØØÚÒ ÑÓÒØ ÖØ Ø ÙÚ Ø µ Ö ÚÓ ØÙÚ ÅÖ Ø ÐÑ ÎÁÁ ½ ÙÒ Ø ÓÒ f : D f R D f R Ó ÓÒ n ÖØ Ö ÚÓ ¹ ØÙÚ Ô Ø x 0 D f Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ØØ n Ô Ø x 0 ÓÒ T n (x, x 0 ) = n f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k. k! ÅÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø ÓÐÑ Ò ÑÑ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÚ Ø T 0 (x, x 0 ) = f(x 0 ), T 1 (x, x 0 ) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ), T 2 (x, x 0 ) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) 2. Ö ØÝ Ø T 1 (x, x 0 ) = f Ò Ð Ò Ö Ó Ú ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó Ô Ø x 0 ÈÖÓÔÓ Ø Ó ÎÁÁ ¾ ÙÒ Ø ÓÒ f Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ T n (x, x 0 ) ÑÖÝØÝÝ Ý ¹ ØØ Ø Ó Ø d k dx kt n(x, x 0 ) x=x0 = f (k) (x 0 ), k = 0...n. ÌÓ ØÙ À ÐÔÓ Ø Ò Ò ØØ T n (x, x 0 ) ØÓØ ÙØØ Ñ Ò ØÙØ ÓØ ÂÓ Ó Ò ØÓ Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ p(x) ØÓØ ÙØØ Ñ Ø ÓØ Ð p (k) (x 0 ) = f (k) (x 0 ), k = 0...n, Ò Ò ÐÐÓ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ØÓØ ÙØØ q(x) = T n (x, x 0 ) p(x) = q (k) (x 0 ) = 0, n a k x k k = 0...n. ÌÐÐ Ò Ó q (n) (x 0 ) = n! a n ÙÖ a n = 0 ÓÐÐÓ Ò q (n 1) (x 0 ) = (n 1)! a n 1 a n 1 = 0 Ò Ë q = 0 Ò Ò ÓÐÐ Ò Ñ Ó Ø ÑÖÝØÝÚ ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò

2 ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ñ Ö ½ ÅÖ Ø ÙÖ Ú Ø Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ô Ø x 0 = 0 µ f(x) = x, n = 2 µ f(x) = tanx, n = 5 µ f(x) = ln(1 + x), n N Ê Ø Ù µ f (x) = 1 3 (1 + x) 2/3, f (x) = 2 (1 + x) 5/3 9 f(0) = 1, f (0) = 1 3, f (0) = 2 9 T 2 (x, 0) = 1 + x x2. µ f (x) = 1/ cos 2 x, f (x) = 2 sinx/ cos 3 x, f (x) = 2/ cos 2 x + 6 sin 2 x/ cos 4 x = 4/ cos 2 x + 6/ cos 4 x f (4) (x) = 8 sin x/ cos 3 x + 24 sin x/ cos 5 x f (5) (x) = 16/ cos 2 x sin 2 x/ cos 6 x { f(0) = f (0) = f (4) = 0, f (0) = 1, f (0) = 2, f (5) (0) = 16 T 5 (x, 0) = x x x5. µ f (x) = (1 + x) 1, f (x) = (1 + x) 2, f (x) = 2(1 + x) 3,..., f (k) = ( 1) k 1 (k 1)!(1 + x) k f(0) = 0, f (k) (0) = ( 1) k 1 (k 1)!, k = 1, 2,..., T n (x, 0) = x 1 2 x x3 + + ( 1) n 1xn n. Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ö Ú ØØ ÓÒ d dx T n(x, x 0 ) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) f(n 1) (x 0 ) (x x 0 ) n 1. (n 1)! Ö ÚÓ ÒÒ Ò ØÙÐÓ f Ò Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ØØ n 1 Ô Ø x 0 Ð ÐÝ Ý Ø Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ö Ú ØØ Ö Ú Ø Ò Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ØØ Ð ÑÔ µ

3 ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ñ Ö ½ Ø Óµ Ñ Ö Ò ØÙÐÓ Ø Ò Ö ÚÓ Ñ ÐÐ ÙÖ Ú Ø Ì Ý¹ ÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø µ f(x) = (1 + x) 2/3 T 1 (x, 0) = x µ f(x) = 1/ cos 2 x T 4 (x, 0) = 1 + x x4 µ f(x) = 1/(1 + x) T n 1 (x, 0) = 1 x + + ( 1) n 1 x n 1 Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÖ Ú ÙÓÑ ØØ Ú ÔÔÖÓ Ñ Ø ÓÐ Ù ÌÓ¹ ØÙ Ø ØÒ ÐÙÚÙÒ ÐÓÔÙ Ä Ù ÎÁÁ ÂÓ f ÓÒ n + 1 ÖØ Ö ÚÓ ØÙÚÙ ÚÐ ÐÐ (a, b) Ò Ò Ó ÐÐ x 0 (a, b) x (a, b), x x 0 ÔØ Ñ f(x) = T n (x, x 0 ) + R n (x), R n (x) = f(n+1) (ξ) (n + 1)! (x x 0) n+1 ÓÐÐÒ ξ (x 0, x) Ø ξ (x, x 0 ). Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò ÑÙÒ ÙÒ Ø ÓØ Ó ÓÒ Ø ØÝÒ Ô Ø Ò x 0 ÝÑÔÖ Ø Ò¹ Ò ÐÐ Ò Ò ÚÓ Ø ÝÑÔÖ Ø ÔÔÖÓ ÑÓ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ Ò Ñ ØØ Ò Ì ÝÐÓ¹ Ö Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó ÓÒ ÝÐ Ø ÓØØ Ò Ø Ø Ö ÑÔ Ñ Ø ÓÖ¹ ÑÔ ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ø ÐÙ Ù Ñ Ø Ð ÑÔÒ ÓÐÐ Ò Ô Ø ØØ x 0 ÌÙÐÓ Ò ÚÓ ØØ Ú Ð Ø Ø Ú Ø ÑÙÓ Ó Ë Ð ÙÒ Ø Ó ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÝ Ý ÐÐ ÚÐ ÐÐ. Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò ØÙÐÓ ÐÐ ÓÒ Ô ÖÙ Ø Ú Ð ØÙ ÓÐ Ú Ñ Ö ØÝ Ð ÒÙÑ Ö Ð ÒÒ Ó ÓÒ ÐØÝÝ ÙÒ Ø ÓÒ ÔÔÖÓ ÑÓ ÒØ Î Ö Ø Ö¹ Ñ ÐÐ R n (x, x 0 ) Ð Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÔÔÖÓ Ñ Ø ÓÒ Ò ÒÒ Ø ÖÑ ÐÐ Ò Ð Ö Ñ Ò Öµ ØÙÒÒ Ø Ò ÑÓÒ ÑÙÓØÓ Ä Ù Ò ÎÁÁ ØØÑ ÒÓØ Ò Ò¹ Ò Ø ÖÑ Ò Ä Ö Ò Ò ÑÙÓ Ó ÁØ Ð Ð ¹Ö Ò Ð Ò Ò ÂÓ Ô ÄÓÙ ÝÒØ ÓÚ ÒÒ ÄÙµ Ä Ö Ò ½ ¹½ ½ µ ÓÐ ¹ Ò ÙÓÑ ØØ Ú ÑÔ Ñ Ø Ñ ØÓ Ö ØÝ Ø Ö ÒØÐ Ð ÒÒ Ò ÑÝ ÒØ Ö Ð Ð ¹ ÒÒ Òµ ØØÑ Ä Ö Ò Ò Ô ÒÓ ÓÐ Ñ Ö ØØÚ Å Ø Ñ Ø Ò Ó ÐÐ Ä Ö Ò ØÙØ ÑÒ ÚÙØØ ÐÐ Ò Ð ÐÐ ÔÝ ÝÚÒ Ò Ñ Ò Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ö ØÝ Ø Ð ÑÔÑ Ø ØØÚØ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ø Ú ØØ Ú Ø Ò Ð ÒØ Ð Ò Ñ Ø Ñ ØÓÓÒ ÖÓÓ Ì ÝÐÓÖ Ò ½¹½ ½µ Æ Ñ Ò ÒØ Ú Ð Ù ØØ Ì ÝÐÓÖ ØÓ ÐÐ ÙÙ ØÙÒØ ÒÙØ ¼

4 ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ËÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ Ö ÚÓ ÒØ ÒØ D k e x = e x, k = 0, 1, 2,... D 2k sin x = ( 1) k sin x, D 2k+1 sin x = ( 1) k cos x, k = 0, 1, 2,... D 2k cosx = ( 1) k cos x, D 2k+1 cosx = ( 1) k+1 sin x, k = 0, 1, 2,... Ä Ù ØØ ÎÁÁ Ò Ò ØØ Ó x R, x 0 n N Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÐÐ e x, sin x, cos x ÔØ ÓÐÐÒ ξ (0, x) (x > 0) Ø ξ (x, 0) (x < 0) e x = sin x = cosx = ( ) 1 + x + x2 2! + + xn e ξ + n! (n + 1)! xn+1 ( ) x x3 3! + + x 2n+1 ( 1)n (2n + 1)! ( ) 1 x2 x2n + + ( 1)n 2! (2n)! + ( 1) n+1 cosξ (2n + 3)! x2n+3 + ( 1) n+1 cos ξ (2n + 2)! x2n+2 Ì ÓÒ ÙÐÐÐ ÝÑÔÖ ØÝ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø e x : T n (x, 0), sin x : T 2n+1 (x, 0) = T 2n+2 (x, 0), cos x : T 2n (x, 0) = T 2n+1 (x, 0). Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÓÒ ÑÙÓØÓ ÐØ Ú ÑÝ Ò Ò ØØ ÙÒ Ø ÓÒ (n + 1)¹ ÖØ Ò Ö ¹ ÚÓ ØÙÚÙÙ Ò Ø ÓÐ Ø Ø Ò ÒÓ Ø Ò n¹ ÖØ Ò Ò Ö ÚÓ ØÙÚÙÙ Ö Ú Ø Ò f (n) Ø ÙÚÙÙ Ä Ù ÎÁÁ ÂÓ f ÓÒ n ÖØ Ö ÚÓ ØÙÚ ÚÐ ÐÐ (a, b) f (n) ÓÒ Ø ÙÚ Ó ÚÐ ÐÐ Ò Ò ÒÒ Ø ÖÑ ÐÐ R n (x) = f(x) T n (x, x 0 ) ÔØ Ó ÐÐ x 0 (a, b) lim x x 0 R (k) n (x) = 0, k = 0...n. (x x 0 ) n k ÌÓ ØÙ Ì Ô Ù n = 0 Ú ØØÑ ÓÒ ØÓ Ø ÙÚÙÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÒÓ ÐÐ ÂÓ n 1 Ò Ò ÓÐ ØÙ Ø Ò Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓÒ f(x) = T n 1 (x, x 0 ) + f(n) (ξ) (x x 0 ) n [ n! ] = T n 1 (x, x 0 ) + f(n) (x 0 ) (x x 0 ) n + 1 n! n! [f(n) (ξ) f (n) (x 0 )] (x x 0 ) n = T n (x, x 0 ) + 1 n! [f(n) (ξ) f (n) (x 0 )] (x x 0 ) n, x (a, b), ½

5 ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ñ ξ = ξ(x) = x 0 Ó x = x 0 ÑÙÙÐÐÓ Ò ξ(x) (x 0, x) Ø ξ (x, x 0 ) Ë R n (x) = 1 n! [f(n) (ξ(x)) f (n) (x 0 )] (x x 0 ) n, Ñ ξ(x) x 0 ÙÒ x x 0 ÃÓ f (n) ÓÒ Ø ÙÚ x 0 Ò Ò ÙÖ lim x x 0 R n (x) (x x 0 ) = lim 1 n x x 0 n! [f(n) (ξ(x)) f (n) (x 0 )] = 0. ÅÙÙØ Ú Ø ØÝØ Ö¹ ÖÚÓØÙÐÓ Ø ÙÖ Ú Ø Ø Ø Ö ÚÓ Ñ ÐÐ ÃÓ ( ) k d f (k) (x) = T n (x, x 0 ) + R n (k) dx (x), x (x 0, x 0 + a), k = 1...n, Ó Ø (d/dx) k T n (x, x 0 ) = f (k) Ò Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ØØ n k Ò Ò Ó ØÓ Ø ØÙÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ lim x x 0 R (k) n (x) = 0, k = 1...n (x x 0 ) n k Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÒÓÔ Ð Ñ Ò Ò ÂÓ Ù f Ò Ö Ú Ø Ø ÓÚ Ø Ò Ò Ò Ð Ð ØØ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÑÖØÝ ÙÓÖ ÑÑ Ò ÑÙ ÐÐ Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ÓÐÐÓ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ô Ò¹ Ú ØÓ Ò ÑÖ ØØ Ö Ú Ø Ø f (k) (x 0 ) k = 0...n µ ÈÓÐÝÒÓÑ ÑÙ ÐÐ ÒÓ Ò ÑÖØØ Ö ØØ ØØ ÒÒ Ø ÖÑ Ò Ö ØØÚÒ Ô Ò ÐÐ ØÐÐ Ò Ö Ø Ö ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò ÈÖÓÔÓ Ø Ó ÎÁÁ ÇÐ ÓÓÒ ÙÒ Ø Ó f n ÖØ Ö ÚÓ ØÙÚ ÚÐ ÐÐ (a, b) Óй ÓÓÒ f (n) Ø ÙÚ ÚÐ ÐÐ (a, b) ÌÐÐ Ò Ó p ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ØØ n Ø Ò ØØ ÓÐÐÒ x 0 (a, b) ÔØ f(x) p(x) lim = 0, x x 0 (x x 0 ) n Ò Ò p(x) = f Ò Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ T n (x, x 0 ) ÌÓ ØÙ ÃÙÒ Ñ Ö ØÒ q(x) = p(x) T n (x, x 0 ) Ò Ò Ö¹ ÖÚÓ Ò Ý Ø Ðݹ ÒØÒ Ä Ù Î¾ µ Ä Ù Ò ÎÁÁ ÓÐ ØÙ Ò ÑÙÒ [ ] q(x) f(x) lim x x 0 (x x 0 ) = lim Tn (x, x 0 ) f(x) p(x) = 0 0 = 0. n x x 0 (x x 0 ) n (x x 0 ) n ÌÑ ÓÒ ÑÓÐÐ Ø Ú Ò ÙÒ q(x) = 0 Ó q ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ØØ n Ë ÙÖ Ú Ñ Ö ÝØ ØÒ ÐÝ ÒÒÝ Ñ Ö ÒØ [x m ] ÙÒ Ø Ó Ø ÑÙÓØÓ x m g(x) Ñ g ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ Ô Ø Ò x = 0 ÝÑÔÖ Ø ¾

6 ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ñ Ö ¾ f(x) = (x + 1)/ cosx, T 5 (x, 0) =? Ê Ø Ù ÃÓ cosx = 1 x2 2 + x [x6 ] 1/(1 t) = 1 + t + t 2 + [t 3 ] Ò Ò ) 1 f(x) = (x + 1) (1 x2 2 + x4 (1 + [x 6 ]) 1 24 [ ( )] x 2 1 = (x + 1) 1 2 x4 + [x 6 ] 24 [ ( ) ( ) ] x 2 = (x + 1) x4 x x4 + [x 6 ] 24 = (x + 1) ( x ) x4 + [x 6 ] = ( 1 + x x x x x5 ) + [x 6 ]. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÎÁÁ ÑÙÒ ÙÐ ÓÐ Ú ÔÓÐÝÒÓÑ = f Ò Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ T 5 (x, 0) Ñ Ö f(x) = 1/(1 + x 4 e x2 ), f (8) (0) =? Ê Ø Ù f(x) = 1 (x 4 e x2 ) + (x 4 e x2 ) 2 + [x 12 ] = 1 x (1 4 + x ) 2 x4 + [x 6 ] + x ( [x 2 ] )2 + [x 12 ] = 1 x 4 x x8 + [x 10 ] = T 8 (x, 0) + [x 10 ] f (8) (0) = 1 8! = Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò ØÓ ØÙ Ë ÙÖ Ú Ø ØÒ Ö Ð Ø ØÓ ØÙ Ø Ô Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÐÐ Ò ÑÑ ¹ Ò Ò ØÓ ØÙ ÒÓÙ ØØ ³Ô Ø Ú ³ Ó Ð Ù Ò Ú ØØÑ ÔÝÖ ØÒ Ô Ø ØÓ Ø Ñ Ò ÑÝ Ó Ø Ñ Ò ÌÑ ØÓ ØÙ Ø Ô ÓÒ Ñ Ð Ó Ú ÒÒÓÐÐ Ò Ò Ø ¹ Ú ØØÑ Ø Ø ØÒ Ú Ö Ò ³Ù ÓØØ Ú Ò³ ÌÙÐÓ ØÓ Ò Ñ Ò Ú ÐÐ Ò ¹ È Ø ξ ÔÝ ØÝØÒ ÐÑ Ò Ð ÔÓÒÒ ØÙ µ Ó ØØ Ñ Ò Ú Ò ÙÐ ØÙÐÐ ÚÐ ÐÐ [x 0, x] Ø [x, x 0 ] Ð ÓÒ ÓÐ Ø ØØ Ú f (n+1) Ø ÙÚ ÚÐ ÐÐ (a, b) ÌÓ Ò ØÓ ØÙ ÚØÓ ØÓÒ Ø ØÒ ÝÚ Ò ÐÝ ÝØ ÐÒØØ ØÓ ØÙ ÃÙÑÑ Ò ØÓ ØÙ Ø Ú ÔØØ ÐÝÒ ÙÐÑÚ ÓÒ Ö ÒØÐ Ð ÙÒ ÚÐ ÖÚÓÐ Ù Ø Ò Ô ÖÙ ÑÙÓØÓ ÊÓÐÐ Ò Ð Ù Ä Ù Ø Î ½ Î ¾µ

7 ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÌÓ ØÙ ½ ÇÐ Ø Ø Ò Ä Ù Ò ÎÁÁ ÓÐ ØÙ Ø Ò Ð ØØ f (n+1) ÓÒ Ø ÙÚ ÚÐ ÐÐ (a, b) ÇÐ ÓÓÒ x 0 < x < b Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÚÐ ÐÐ [x 0, x] ÙÒ Ø ÓØ g(t) = f(t) T n (t, x 0 ). ÌÐÐ Ò Ä Ù Î ½ ÓÚ ÐÐ ØØÙÒ ÙÒ Ø ÓÓÒ g (n) Ú ØØ ØØ g (n) (t) g (n) (x 0 ) = g (n+1) (ξ) (t x 0 ), t (x 0, x], Ñ ξ = ξ(t) (x 0, t) ÃÓ g (n) (x 0 ) = 0 Ó Ò Ò ÙÖ ÃÙÒ Ñ Ö ØÒ d n+1 dt n+1t n(t, x 0 ) = 0, g (n) (t) = f (n+1) (ξ)(t x 0 ), t (x 0, x]. m = min f (n+1) (t), t [x 0,x] M = max f (n+1) (t), t [x 0,x] ÓÒ ÔØ ÐØÝ ØØ m(t x 0 ) g (n) (t) M(t x 0 ), t [x 0, x]. ½µ Å Ð n 1 Ø Ø Ò ÔØØ ÐÝ Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ ØÙÐÓ ½µ Ú Ú Ð ÒØØ Ò ÑÙÓØÓÓÒ { d dt [g(n 1) (t) 1m(t x 2 0) 2 ] d dt [g(n 1) (t) 1M(t x 2 0) 2 ] 0, t [x 0, x], 0, t [x 0, x]. Ì Ø Ò Ò ØØ ÚÖØ Ä Ù Î µ µ g (n 1) (t) 1 2 m(t x 0) 2 µ g (n 1) (t) 1 2 M(t x 0) 2 ÓÒ Ú Ú ÚÐ ÐÐ [x 0, x] ÓÒ Ú Ò Ú ÚÐ ÐÐ [x 0, x] ÃÓ g (n 1) (x 0 ) = 0 ÔØ ÐÐÒ ØØ 1 2 m(t x 0) 2 g (n 1) (t) 1 2 M(t x 0) 2, t [x 0, x]. ¾µ Å Ð n 2 Ø Ø Ò ÔØØ ÐÝ Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ ØÙÐÓ ¾µ Ú Ú Ð ÒØØ Ò ÑÙÓØÓÓÒ { d dt [g(n 2) (t) 1 m(t x 3! 0) 3 ] d dt [g(n 2) (t) 1 M(t x 3! 0) 3 ] 0, t [x 0, x], 0, t [x 0, x],

8 ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ñ Ø ÔØ ÐÐÒ Ñ ÐÐ Ø ÚÓ Ò Ù Ò ÐÐ ØØ 1 3! m(t x 0) 3 g (n 2) (t) 1 3! M(t x 0) 3, t [x 0, x]. µ Æ Ò ØÒ Ò Ù Ø Óµ Ô ÝØÒ ÐÓÔÙÐØ ØÙÐÓ Ò m (n + 1)! (t x 0) n+1 g(t) M (n + 1)! (t x 0) n+1, t [x 0, x], µ Ó n Ò ÖÚÓ ÐÐ 0, 1, 2 Ó Ø Ò ÚÐ ØÙÐÓ Ò ½µ ¾µ µ Ø Ø Ò ÐÓÔÙ t = x ÔØØ ÐÝÒ ÐÓÔÔÙØÙÐÓ µ Ö Ó Ø Ø Ò ØÙÐÓ ÑÙÓ¹ ØÓÓÒ c g(x) = (n + 1)! (x x 0) n+1, c [m, M]. ÃÓ Ø m ÓÒ f (n+1) Ò Ñ Ò Ñ ÖÚÓ M Ñ Ñ ÖÚÓ ÚÐ ÐÐ [x 0, x] Ó f (n+1) ÓÒ Ø ÙÚ Ó ÚÐ ÐÐ Ò Ò Ä Ù Ò Î½½¼ ÑÙÒ ÓÒ c = f (n+1) (ξ) ÓÐÐÒ ξ [x 0, x]. Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò Ú ØØÑ ÑÙÓ Ó ξ [x 0, x]µ ÓÒ Ò Ò ØÓ Ø ØØÙ Ø Ô Ù x > x 0 Ì Ô Ù x < x 0 ÓÒ ÔØØ ÐÝ Ú Ø Ú ÌÓ ØÙ ¾ Ì Ò Ø Ô Ù ÓØ Ø Ò ÑÙÙØØÙ t Ø ÐÐ Ò x x 0 ÒØ ÇÐ ÓÓÒ g(t) = f(t) T n (t, x 0 ) H(t x 0 ) n+1, H = f(x) T n(x, x 0 ) (x x 0 ) n+1. ÌÐÐ Ò ÓÒ g (k) (x 0 ) = 0, k = 0...n Ð g(x) = 0 ÃÓ g(x 0 ) = g(x) = 0 Ò Ò Ä Ù Ò Î ¾ ÑÙÒ ÓÒ g (ξ 1 ) = 0 ÓÐÐÒ ξ 1 (x 0, x) ÓÐ x 0 < xµ ÌÐÐ Ò Ó g (x 0 ) = g (ξ 1 ) = 0 Ò Ò Ñ Ò Ð Ù Ò ÑÙÒ ÓÒ g (ξ 2 ) = 0 ÓÐÐÒ ξ 2 (x 0, ξ 1 ) Â Ø Ñ ÐÐ Ñ ÐÐ Ø ÚÓ Ò ÔØ ÐÐÒ ØØ g (n) (x 0 ) = g (n) (ξ n ) = 0 ÓÐÐÒ ξ n (x 0, ξ n 1 ) ÓÐÐÓ Ò Ä Ù Ò Î ¾ ÑÙÒ ÓÒ g (n+1) (ξ n+1 ) = 0 ÓÐÐÒ ξ n+1 (x 0, ξ n ) (x 0, x) ÅÙØØ g (n+1) (t) = f (n+1) (t) H(n + 1)! Ë f (n+1) (ξ n+1 ) H(n + 1)! = 0 Ú Ø À ÊÂÇÁÌÍËÌ ÀÌ ÎÁ ½ Ä ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8, Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø T n (x, 2), n = 0, 1, 2,... Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ô ÖÙ ÑÙÓØÓÓÒ x Ò ÔÓØ Ò ¹ Ò ÑÙÒµ È ÖÖ Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÙÚ Ø Ú ÖØ ÙÒ Ø ÓÓÒ f

9 ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ¾ Ä ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = (x 1)/(x 2) Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ T 3 (x, 0) Ô ÖÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÒÒ Ø ÖÑ Ò ÙÚ Ø ÅÖ Ø ÙÖ Ú ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ T n (x, 0) ÒÒ ØØÙ Ø ØØ n ÖÚ Ó ÒÒ Ø ÖÑ Ò Ä Ö Ò Ò ÑÙÓ Ó Ø ÑÓÐÐ ÑÑ Ò Ø Ö Ø ÐÙ Ù r n = max R n (x) x [ 1,1] µ f(x) = cosh x, n = 4 µ f(x) = e 0.2x, n = 3 µ f(x) = 5 + x, n = 3 µ f(x) = 5 5 x, n = 3 µ f(x) = 2 x, n = 5 µ f(x) = ln(e + x), n = 6 µ f(x) = cot(x + π/3), n = 4 µ f(x) = sin x 1/ cosx, n = 3 µ ÙÒ Ø ÓÒ cosh x sinh x Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø T n (x, 0) ÚÓ Ò Ð Ó Ó ÙÓÖ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø Ø ÙÒ Ø ÓÒ e x e x Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÚÙÐÐ Î ÖÑ Ø ØØ ÙÑÑ ÐÐÒ Ø Ú ÐÐ ØÙÐÓ ÓÒ Ñ µ ÆÝØ ØØ Ô Ö ÐÐ Ò Ú Ø Ú Ø Ô Ö ØØÓÑ Òµ ÙÒ Ø ÓÒ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐݹ ÒÓÑ T n (x, 0) ÓÒ Ú Ò Ô Ö ÐÐ Ô Ö ØØÓÑ µ ÔÓØ Ò ÌÓ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò ÚÙÐÐ x2 cosx x2 + 1 [ 24 x4, ÙÒ x π 2, π ] 2 ÇÚ Ø Ó ÒÑ ÔÝ ØÐ Ø ØÓ ÑÝ ÚÐ Ò [ π/2, π/2] ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ À Ö Ó ØÙ Ø ØÚ Î ½ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ ÙÒ Ø Ó f ÓÒ m ÖØ Ø Ù¹ Ú Ø Ö ÚÓ ØÙÚ ÚÐ ÐÐ [a, b] ÆÝØ ØØ Ø ØÚÒ Ö Ø Ù ÓÒ p 1 (x) = T m(a, + x) p 2 (x) = Tm(b, x) Ñ T m(a, + x) Tm(b, x) ÓÚ Ø ØÓ ÔÙÓÐ Ø Ò Ö Ú ØØÓ Ò k + f(a) k f(b) ÚÙÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÝØ f Ò Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ä ÙÖ Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ T n (x, 0) ÒÒ ØØÙ Ø ØØ ÝØØ Ò ÑÓÐÐ ÑÑ Ò ÒÓÔ Ø Ó ÓØ Ø µ f(x) = 2/(4 + x 3 ), n = 12 µ f(x) = cosx 4, n = 16 µ f(x) = Arcsin x 3, n = 6 µ f(x) = (x 3 x 5 ) Arctanx 2, n = 7 Ä ÙÖ Ú Ø Ö Ú Ø Ø ÝØØ Ò ÝÚ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ µ f(x) = sin x 8, f (40) (0) µ f(x) = e x4, f (20) (0) µ f(x) = x 2 /(1 + x 4 ), f (100) (0) µ f(x) = x 3 ln(2 + x 2 ), f (87) (0) µ f(x) = e x3 /(1 + e x3 ), f (9) (0) µ f(x) = cos(x 2 sin 2 x), f (12) (0) µ ÇÖ Ó ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ú ÖÙÙ ÝÖÒ r(t) = t 4 i + (2 2 cost t 2 ) j + (t 2 t sinh t) k Ò ÒØÝÑ Ô Ø ÅÒ ÙÙÒØ Ò ÝÖ Ð Ø ÓÖ Ó Ø ½¼ µ ÌÓ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò ÚÙÐÐ Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÓÒÚ Ö Ò Ó Ú Ä Ù Î

10 ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÓÚ ÐÐÙ ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÓÚ ÐÐÙ Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ö Ø Ø Ú ÐÐ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò ÝØØ Ø ÔÓ ÙÒ Ø ÓØÙØ ÑÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÔÔÖÓ ÑÓ Ñ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ØØ Ø ÒÒ Ø ÖÑ ÖÚ Ó Ø ÚÓ Ò Ð Ù Ù Ò ÙÓÑ ØØ Ú Ø ÐÝ ÒØ Ð ÝØØ ÝØØÑÐÐ Ò ÙÙÖÙÙ ÐÙÓÑ Ö¹ ÒØ Ñ Ù ØÐÐ Ø Ñ Ö ÒÒ Ø ÓÒ ØÙ Ó ÐÐ Ò ÐÙÚÙÒ Ú Ñ Ñ Ö Ó ÝØ ØØ Ò ÐÝ ÒÒÝ Ñ Ö ÒØ [x m ] ÌÑÒ Ø Ð ÐÐ ÓÒ Ø Ú ÐÐ ÑÔ ÝØØ Ñ Ö ÒØ O( x m ) Ó ÐÙ Ø Ò ³ ÙÙÖÙÙ ÐÙÓ x m ³ Ø Ú Ò ³ÓÓ x m ³ ÌÓ Ò Ò Ñ Ö ØÝ ÐØÒ Ù Ò ÚÓ Ñ ÑÔ ÙÙÖÙÙ ÐÙÓ¹ Ñ Ö ÒØ ÓÒ o( x m ) Ó ÐÙ Ø Ò ³ÔÙ ÓÓ x m ³ Æ Ñ Ö ÒÒ ÓÒ x m Ò Ú ÖØ ÐÙ ÙÒ Ø Ó ÌÑÒ Ø Ð ÐÐ ÚÓ ÓÐÐ ÝÐ ÑÔ ¹ÒØ Ú ÖÚÓ Ú ÙÒ Ø Ó Ñ x x 0 α, α Q ÅÖ Ø ÐÑ ÎÁÁ ½ ËÙÙÖÙÙ ÐÙÓÑ Ö ÒÒØ O oµ ÂÓ f g ÓÒ Ñ¹ Ö Ø ÐØÝ ÚÐ ÐÐ [x 0 a, x 0 +a] a > 0µ g(x) 0 x [x 0 a, x 0 +a] Ò Ò ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ f(x) = O(g(x)), x [x 0 a, x 0 + a], Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÚÓ C R + Ø Ò ØØ ÔØ f(x) Cg(x) x [x 0 a, x 0 + a]. ÂÓ g(x) > 0 x x 0 ÔØ lim x x0 (f/g)(x) = 0 Ò Ò ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ f(x) = o(g(x)), ÙÒ x x 0. ÂÓ Ñ Ö ÒÒÐÐ O(..) ÐÙØ Ò ÒÓ Ø Ò ÖØÓ ØØ ÖÚ Ó ÓÒ ÔØ Ú Ó Ò x 0 Ò ÝÑÔÖ Ø Ò Ò ØÑ ÚÓ Ò ÐÑ Ø Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ ÙØ Ò Ú Ø Ú Ñ Ö ÒÒ o(..) f(x) = O(g(x)), ÙÒ x x 0. Æ Ñ Ö ÒÒ ÚÓ Ö¹ ÖÚÓÒ x 0 Ø Ð ÐÐ ÓÐÐ ± ÓÐÐÓ Ò Ý ÓÒ f Ò ÖÚ Ó ¹ Ñ Ø ÙÙÖ ÐÐ x Ò ÖÚÓ ÐÐ Î ÖØ ÐÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ØÐÐ Ò ØÝÝÔ ÐÐ Ø g(x) = x α ÓÐÐÒ α Q Ä Ù ÙÙÖÙÙ ÐÙÓÑ Ö ÒØ ÓÒ Ø Ú Ø ÐÐ ÙØ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÓÐÐÓ Ò Ò Ø ÚÓ Ý Ø ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÚÓ Ò Ñ Ö f(x) + o(x 2 ) Ø Ö Ó ØØ ÙÒ ¹ Ø ÓØ f(x) + g(x) Ñ g(x) = o(x 2 ) O(x 2 ) + O(y 2 ) Ø Ö Ó ØØ Ñ Ù Ò O(x 2 + y 2 ) ÅÖ Ø ÐÑ Ø ÎÁÁ ½ ÓÒ ÐÔÓ Ø ØÓ ÒÒ ØØ Ú ÙÖ Ú Ø ÙÙÖÙÙ ÐÙÓ ¹ ÐÖ Ò ÒÒ Ø À Ö Ø Ø ½µ ËÒÒ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ x, y 0 O(x) + O(y) = O(max{x, y}) O(x)O(y) = O(xy) Ó(x)O(y) = Ó(xy)

11 ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÓÚ ÐÐÙ ËÓÚ ÐÐÙ Ø Ð ÑÑ Ø ÒØ ÝØ ØÒ Ø Ú ÐÐ ÑÑ Ò ÑÙÓ Ó O(x α )O(x β ) = O(x α+β ), Ó(x α )O(x β ) = Ó(x α+β ), x 0, α, β R. Ñ Ö ½ ÅÙÙØØÙ Ò Ú ÓÒ x 2 = t Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò ÚÙÐÐ ÔØ ÐÐÒ ØØ Ô Ø Ò x = 0 Ð ÐÐ Ñ ÚÐ ÐÐ [ 1, 1]µ ÓÒ x2 + 1 = 1 + t = t + O(t2 ) = x2 + O(x 4 ). ËÙÙÖ ÐÐ x Ò ÖÚÓ ÐÐ x µ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ú ÓÐÐ x 2 = t Ú Ø Ú Ø ÖÚ Ó x2 + 1 = x ( 1 + x 2 = x ) 2x + 2 O(x 4 ) = x + 1 2x + O(x 3 ) Ñ Ö ¾ ÆÝØ ØØ Ô Ò ÐÐ x Ò ÖÚÓ ÐÐ ÓÒ f(x) = 1 x 1 + 2x x 2 + O( x 3 ) = 1 3x + 7x2 + O( x 3 ). Ê Ø Ù ÃÓ Ô Ò ÐÐ t Ò ÖÚÓ ÐÐ ÓÒ 1/(1 + t) = 1 t + t 2 + O( t 3 ) Ò Ò ÙÙÖÙÙ ÐÙÓ¹ ÐÖ ÒØ ÚÖØ ÐÐ Ò ÐÙÚÙÒ Ñ Ö Ø ¾ µ { f(x) = (1 x) 1 [ 2x x 2 + O( x 3 ) ] + [ 2x x 2 + O( x 3 ) ]2 } + O( x 3 ) = (1 x)[1 (2x x 2 ) + 4x 2 ] + O( x 3 ) = 1 3x + 7x 2 + O( x 3 ) Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ö ÖÚÓØ Ä Ù Ò Î ¾ ÑÙÒ Ö ÚÓ ØÙÚ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ô ÐÐ Ö ÖÚÓ Ó ÓÒ ÑÝ Ö Ú Ø Ò ÒÓÐÐ Ó Ø ÂÓ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ö Ú Ø Ò ÒÓÐÐ ÓÒ ÝÑÔÖ Ø Ö ØØÚÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ò Ò Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÐÚ ØØ ÓÒ Ó Ý ØÓ ÐÐ Ö ÖÚÓ Ó Ø Ó Ò Ò Ñ Ò Ð ØÙ Ò Ò Ä Ù ÎÁÁ ¾ ÂÓ f ÓÒ Ô Ø Ò c ÝÑÔÖ Ø n ÖØ Ø ÙÚ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ n 2 ÔØ f (k) (c) = 0, k = 1...n 1 f (n) (c) 0 Ò Ò µ Ó n ÓÒ Ô Ö ØÓÒ f ÐÐ ÓÐ c Ô ÐÐ Ø Ö ÖÚÓ µ Ó n ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ò Ò f ÐÐ ÓÒ c ¹ Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ñ Ó f (n) (c) > 0 ¹ Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ñ Ó f (n) (c) < 0

12 ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÓÚ ÐÐÙ ÌÓ ØÙ Ä Ù Ò ÎÁÁ ÓÐ ØÙ Ò ÑÙÒ f(x) = f(c) + 1 n! f(n) (c)(x c) n + o( x c n ), ÙÒ x c. ÃÓ f (n) (c) 0 ØÑ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÝ ÑÙÓØÓÓÒ f(x) = f(c) + 1 n! [ f(n) (c) + o(1) ] (x c) n, ÙÒ x c, ÓÐÐÓ Ò Ò Ò ØØ Ö ØØÚÒ Ô Ò ÐÐ δ δ > 0µ ÓÒ ÓÐØ Ú f(x) = f(c) + 1 n! f(n) (c)k(x)(x c) n, x [c δ, c + δ], Ñ Ñ Ö 1 2 k(x) 3 2. Æ Ò ÓÐÐ Ò Ó n ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò f n) (c) > 0 ÓÒ f(x) > f(c) ÙÒ x [c δ, c) Ø x (c, c + δ] ÓÐÐÓ Ò c ÓÒ Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ñ Ó Ø ÅÖ Ø ÐÑ Î ½µ ÅÙ Ø Ô Ù ÓÒ ÔØØ ÐÝ Ú Ø Ú ÚÖØ ÙÚ Óµ c x c x c x c x n Ô Ö ØÓÒ f (n) (c) > 0 n Ô Ö ØÓÒ f (n) (c) < 0 n Ô Ö ÐÐ Ò Ò f (n) (c) > 0 n Ô Ö ÐÐ Ò Ò f (n) (c) < 0 Ñ Ö ÌÙØ ÑÓÐÐ Ò Ö ÖÚÓ ÓÒ Ð ØÙ ÙÖ Ú Ø Ô Ù µ f(x) = sin x + cosx, c = π/4 µ f(x) = e x + sin x + 1 x 2, c = 0 µ f(x) = 1 cosx 1 + x 2, c = 0 Ê Ø Ù µ f (π/4) = 0, f (π/4) = 2 Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ñ µ f (0) = f (0) = 0, f (0) = 2 Ö ÖÚÓ µ f (0) = f (0) = f (0) = 0, f (4) (0) = 5 Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ñ

13 ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÓÚ ÐÐÙ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÙÒ Ø Ó f(x)/g(x) ÂÓ ÙÒ Ø ÓØ f g ÓÚ Ø Ô Ø Ò a ÝÑÔÖ Ø ÒÒ ÐÐ f(a) = g(a) = 0 Ò Ò Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ØÙØ Ñ ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó F(x) = f(x)/g(x) ÓÒ Ô Ø Ò a ÝÑÔÖ Ø Ò ÒÒ Ò Ó ÐÙØ Ò Ö Ø Ø Ö¹ ÖÚÓ Ý ÝÑÝ f(x) lim x a g(x) =? Ò Ò Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ñ Ò ØØ ÐÝ ÓÒ ÙÖ Ú ÇÐ Ø Ø Ò ØØ f g ÓÚ Ø n ÖØ Ø ÙÚ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ Ô Ø Ò a ÝÑÔÖ Ø ØØ ÔØ f(a) g(a) = 0 0, f (a) g (a) = 0 0,..., f (n 1) (a) g (n 1) (a) = 0 0, f (n) (a) g (n) (a) = A B, Ñ A 0 Ø B 0 ÌÐÐ Ò Ä Ù Ò ÎÁÁ ÑÙÒ A f(x) g(x) = (x n! a)n + Ó( x a n )) B (x n! a)n + Ó( x a n )) = A + Ó(1), ÙÒ x a. B + Ó(1) ÈØ ÐÐÒ ØØ Ó A 0 B = 0 Ò Ò f(x)/g(x) ÙÒ x a ÓÐÐÓ Ò Ö¹ ÖÚÓ ÓÐ ÖÐ ÐÙ ÙÒ ÚÓ ÓÐÐ lim = ± µ ÅÙÙ Ø Ô Ù Ð Ó B 0 ÓÒ f(x) lim x a g(x) = A B = f(n) (a) g (n) (a), ØÐÐ Ò ÓÒ ÝÐ ÑÑ Ò Ò f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x) =... = lim f (n) (x) x a g (n) (x). ÌÑ ØÙÐÓ ÓÒ ÚÓ Ñ Ø ØÝ Ò ÒÒ ÐÐ ÝÝ ÓÐ ØÙ Ø Ò ÔÙ ØØ µ ÙÒ¹ Ò Ø ÙÒ Ú Ñ Ò Ò Ö¹ ÖÚÓ ÓÒ ÓÐ Ñ ÌÙÐÓ ÓÒ Ó ÒÒ ØÒ ØÙØØ٠гÀÓ Ô Ø Ð Ò ÒØ Ò Ä Ù Î ½¼µ Ñ Ö ÅÖ Ø Ö¹ ÖÚÓ lim x 0 sin 2x 2x sinh x x Ê Ø Ù ÙÒ Ø ÓØ f(x) = sin 2x 2x g(x) = sinh x x ÓÚ Ø Ð Ø R Ö ÚÓ Ñ ÐÐ ØÓ Ø Ò f (x) g (x) = 2 cos2x 2 cosh x 1, f (x) g (x) = 4 sin 2x sinh x, f (x) g (x) = 8 cos 2x cosh x,... ¼

14 ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÓÚ ÐÐÙ À Ú Ø Ò ØØ f (k) (0) = g (k) (0) = 0 ÙÒ k = 0, 1, 2 f (0) = 8, g (0) = 1 Ë sin 2x 2x lim x 0 sinh x x = 8 1 = 8 Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò Ö¹ ÖÚÓÐÐ lim x a f(x)/g(x) Ñ Ð ¹ ÙÚ Ù Ò Ð³ÀÓ Ô Ø Ð Ò ÒÒ ÐÐ ÙÒ Ø Ó Ø f(x)/g(x) Ò Ù Ø Ò Ò Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÚÙÐÐ ÐÚ ÐÐ Ô Ð ÓÒ ÑÙÙØÒ Ë ÙÖ Ú Ñ Ö Ú ¹ Ø Ú ÑÑ Ø Ø ØÚÒ ØØ ÐÙ Ø Ñ Ö ÅÖ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø p q Ø Ò ØØ ÚÐ ÐÐ [ 1, 0) (0, 1] ÔØ F(x) = sin 2x 2x sinh x x = p(x)+o(x4 ), G(x) = sin x 2x 2 +cosx 1 x 3 = q(x)+o( x 5 ). Ê Ø Ù sin 2x 2x = ( 2x 1 6 (2x)3 + 1 ) 120 (2x)5 + O( x 7 ) 2x = 4 3 x x5 + O( x 7 ), ( sinh x x = x x3 + 1 ) 120 x5 + O( x 7 ) x = 1 6 x x5 + O( x 7 ) sin 2x 2x sinh x x = x2 + O(x 4 ) x2 + O(x 4 ) = 8 + 2x 2 + O(x 4 ) = p(x) + O(x 4 ) sin x 2x + cos x 1 = 1 ( ) x x3 2 x 3 2x x O( x 7 ) + 1 ( 1 x 3 2 x x4 1 ) 720 x6 + O(x 8 ) = 1 24 x x3 + O( x 5 ) = q(x) + O( x 5 ) ÌÙÐÓ Ø ÚÓ ÔØ ÐÐ Ñ Ö Ö¹ ÖÚÓØ ( sin 2x 2x lim x 0 x 2 sinh x x + 8 ) ( sin x = 2, lim 3 x 2 x 0 2x + cosx 1 ) = 1 3 x Æ Ò ÑÝ ØØ Ó Ø Ø Ò F(0) = 8 G(0) = 0 Ø Ñ Ñ Ò ØØ Ðݵ Ò Ò F ÐÐ ÓÒ Ô Ø x = 0 Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ñ G ÓÒ ÓÖ ÓÒ ÝÑÔÖ Ø Ó Ø Ú Ò Ú ½

15 ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÓÚ ÐÐÙ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÔÔÖÓ ÑÓ ÒØ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ö ÒØÐ ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó f(x + x) f(x) + f (x) x ÚÖØ ÄÙ Ù ÎÁÁ½µ ÝÐ Ø ØØ Ø Ö ÒØ ÂÓ f ÓÒ n + 1 ÖØ Ø ÙÚ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ Ô Ø Ò x ÝÑÔÖ Ø Ò Ò f(x + x) = f(x) + f (x) x + 1 2! f (x)( x) n! f(n) (x)( x) n + O( x n+1 ) ÀÝÚ ÖÚ Ó ÔÔÖÓ Ñ Ø ÓÒ Ú ÖÐÐ Ø ÒÒ Ò ÙÙÖÙÙ ÐÙÓ ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò Ú Ö = Ø Ö ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó Ñ Ö ? Ê Ø Ù ÃÙÒ Ñ Ö ØÒ f(x) = 10 1 x Ò Ò 1 (n + 1)! f(n+1) (x)( x) n = = f (x) = 1 (1 10 x) 9/10, f (x) = 9 (1 100 x) 19/10, f (x) = 171 ( x) 29/10, f (4) (x) = 4959 (1 x) 39/ = 2f( 3 [ ( ) ) ( )( 3 ) 2 ( ) ( ) ] ( ) = Î Ö Ø Ö ÖÚÓ Ð ÖÚÓµ ÓÒ ÙÙÖÙÙ ÐÙÓ Ç ½¾¹ Ñ Ð Ò Ò ÖÚÓ ÓÒ + 1 4! f(4) (0) ( x) 4 = ( 3 128) ¾

16 ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÓÚ ÐÐÙ Ñ Ö ÖÚ Ó sin 31 Ð Ø Ò ÖÚÓ Ø sin 30 = 1 2 Ê Ø Ù ÃÙÒ f(x) = sin x x = π 6 x = π 180 ÓÒ f(x + x) sin x + cosx x 1 sin x ( x)2 2 = π 1 1 ( π ) Î Ö Ø Ö ÖÚÓ Ð ÖÚÓµ ÓÒ ÐÙÓ 1 3! cosx( x) Ç ¹ Ñ Ð Ò Ò ÖÚÓ ÓÒ sin À ÊÂÇÁÌÍËÌ ÀÌ ÎÁ ½ È ÖÙ Ø Ð ÙÙÖÙÙ ÐÙÓ¹ ÐÖ Ò ÒÒ Ø ÓÐ x, y 0µ O(x) + O(y) = O(max{x, y}), O(x)O(y) = O(xy), Ó(x)O(y) = Ó(xy). ¾ Å Ø ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú ÐÐ Ñ Ö ÒÒ ÐÐ µ f(x) = f(a) + Ó(1), ÙÒ x a µ f(x 1 ) f(x 2 ) = O( x 1 x 2 ), ÙÒ x 1, x 2 [a, b] µ f(x) = f(a) + k(x a) + o ( x a ), ÙÒ x a ÒÒ ÙÙÖÙÙ ÐÙÓ¹ ÖÚ ÓØ ÙÖ Ú Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø ÓÒ Ú ÖÐÐ µ x , ÙÒ x 0 µ x 4 + 3x 3x, ÙÒ x 0 + µ x 4 + 4x x 2, ÙÒ x ± µ x 4 + 4x x 2 + 2x 1 ÙÒ x µ x/ sin x 1, ÙÒ x 0 µ ln(1 + e x ) x, ÙÒ x Ë ÙÖ Ú ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ Ô Ø x = 0 ÓÒ ÑÓÐÐ Ò Ò Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ñ ¹ Ø Ñ Ñ Ó Ø ÌÙØ Ö ÚÓ Ñ ÐÐ µ (1 x)e x µ (2 x 2 ) cosx µ (x x 4 ) sinx µ 1 x 2 1/ 1 + x 2 Å ÐÐ a Ò b Ò ÖÚÓ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ µ e x + ax + bx 2 µ x sin x + ax 2 + bx 4 µ sin x + cos x + ax + bx 2 ÓÒ Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ñ Ô Ø x = 0

17 ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÓÚ ÐÐÙ ØÐ y(cosy sin y) = 2 sin x + cos x + ax + b ÑÖ Ø Ð Ô Ø Ò x = 0 ÝÑÔÖ Ø ÙÒ Ø ÓÒ y(x) ÅÖ Ø ÚÓØ a b ÙÒ Ø ØÒ ØØ y(x) ÚÙØØ Ô Ø x = 0 Ô ÐÐ Ò Ö ÖÚÓÒ y(0) = 0 ÇÒ Ó Ý Ñ Ñ Ú Ñ Ò Ñ ÅÖ Ø ÙÖ Ú Ø Ö¹ ÖÚÓØ µ x 1 lim x 0 x µ x sin x lim x 0 x tanx µ lim x π/2 cos 3x π 2x µ lim x 1 ln(ex) 1 sin πx µ lim x 0 3x tan4x 10 x e x µ lim x 0 x µ lim t π/2 ln sin t cos t µ lim x sin 1 x x ] ѵ lim x [ x x ln(5 + e x ) µ 2 cosx 2 + x 2 lim x 0 x 4 µ 1 cosax lim x 0 1 cosbx µ sin 2 x lim x 0 + tan x x е lim x 2 ln(cos π x x ) ( ) 6 Òµ lim x6 + 42x x x x ÅÖ Ø ÙÖ Ú ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ f ÑÓÐÐ ÑÑ Ò Ð Ø Ø ØØ ÓÐ Ú ÔÓ¹ ÐÝÒÓÑ p Ø Ò ØØ ÒÒ ØÙÐÐ m ÓÐÐÒ δ > 0 ÓÒ f(x) = p(x)+o( x m ) ÙÒ 0 < x < δ ÌÙØ ÑÝ Ô Ø Ò x = 0 Ð ØÙ ÑÓÐÐ Ò f Ò Ô ÐÐ ¹ Ò Ö ÖÚÓ Ó Ø Ò ÙÒ Ø Ø Ò f(0) = lim x 0 f(x) µ 1 cosx, m = 7 µ sin x x x 3, m = 8 µ x 2 x 3 sin x x, m = 3 x ln(1 + x) 1 + x 1 µ, m = 3 µ, m = 5 µ e x 1 x 3, m = 3 1 x 1 ÖÚ Ó ÔÔÖÓ Ñ Ø ÓÒ f(x) T 2 (x, 0) Ú ÖÒ Ø ÖÚÓ ÚÐ ÐÐ [ 1/2, 1/2] ÙÖ Ú ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ µ 1 + x µ x µ tanx µ ln(1 + x) µ e sin x ½¼ ÖÚ Ó ÙÖ Ú Ò ÙÒ Ø Ó ÔÔÖÓ Ñ Ø ÓÒ Ú Ö µ 3 x 8 + x x2, ÙÒ x µ sin x x 1 6 x3, ÙÒ x =α [0, 10 ] [ 1 1 µ x ] 1 x 2 1, ÙÒ x 0.15 x x 2 2

18 ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÓÚ ÐÐÙ ½½ ÂÓ T n (x, 0) ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = cosx Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ò Ñ ÐÐ a Ò n Ò ÖÚÓ ÐÐ ÚÓ Ò Ø Ø ØØ µ cosx T 2 (x, 0) 10 4 ÚÐ ÐÐ [ a, a] µ cosx T n (x, 0) 10 4 ÚÐ ÐÐ [ π/2, π/2] ½¾ Ä ÐÙ Ù 1/ 4 e ÐÑÖ Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó Ø e x 1 + x x2 Å ÓÒ Ú ÖÒ ÙÙÖÙÙ ØÙÑ Ö µ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÖÚ ÓÒ µ ØÓ ÐÐ ÙÙ ½ ÄÙÚÙÐÐ a = ÚÓ Ò Ð Ö Ø ÓÒ Ð Ò Ò Ð ÖÚÓ Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ 4000 = 4096(1 x) ÔÔÖÓ ÑÓ Ñ ÐÐ ÙÒ Ø ÓØ f(x) = 12 1 x ØÓ Ò Ø Ò Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ Ä Ó ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ¹ Ù µ ÖÚ Ó ÔÔÖÓ Ñ Ø ÓÒ Ú Ö Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò ÚÙÐÐ Ú ÖØ Ú ÖÒ Ø Ö Ò ÖÚÓÓÒ ½ ËÙ Ø ÐÐ ÙÙ Ø ÓÖ Ò ÑÙÒ Ú ÙÐÐ v Ð ÙÚ Ò Ô ÖØ Ð Ò Ð ¹ Ò Ö ÓÒ E k = mc2 mc 2, 1 v2 c 2 Ñ m ÓÒ Ô ÖØ Ð Ò Ñ c Ñ» ÓÒ Ú ÐÓÒ ÒÓÔ Ù Å ÐÐ ¹ ÐÐ Ú ÙÒ v ÖÚÓ ÐÐ ÔÔÖÓ Ñ Ø ÓÒ E k 1 2 mv2 Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ú Ö ÓÒ Ò ÒØÒ 0.01% ½ µ µ ÆÝØ ØØ Ö ÐÐ Ñ ÐÐ µ A Ò B Ò ÖÚÓ ÐÐ ÔØ Arccosx = A 1 x + B(1 x) 3/2 + O ( (1 x) 5/2), ÙÒ x 1. µ ÆÝØ ØØ Ó Ý ÐÓÒ Ý ØÐ Ø x = R(t sin t), y = R(1 cost) Ð Ñ ÒÓ Ò ÑÙÓØÓÓÒ y = y(x) Ö Ø Ñ ÐÐ t = t(x) Ò ÑÑ Ø Ý ØРص Ò Ò ÓÖ ÓÒ ÝÑÔÖ Ø ÔØ ( ) Rx 2 y(x) = O 3 x 4. R ½ µ ÇÐ ÓÓÒ c ÙÒ Ø ÓÒ f Ý Ò ÖØ Ò Ò ÒÓÐÐ Ó Ø ÓÐ ÓÓÒ f ÓÐÑ Ö¹ Ø Ø ÙÚ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ c Ò ÝÑÔÖ Ø À ÐÙØ Ò ÑÖØ c Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ø ÑÙÙÒÒ ÐÐÙÐÐ Ø Ö Ø ÓÐÐ x n+1 = F(x n ) Ñ F(x) = x f(x) f (x) + [f(x)]2 g(x). Å Ø Ò g(x) ÓÒ Ú Ð ØØ Ú ÓØØ Ø Ö Ø ÓÒ ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò Ó Ø c Ø ÓÒ Ú Ò¹ ØÒ ÙÙØ ÓÐÐ Ø Å ÐÐ ÓÐÐ ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò ÓÒ Ø ÑÐÐ Ò ÙÙØ ÓÐÐ Ø ËÓÚ ÐÐ Ñ Ò Ø ÐÑ ÙÒ Ø ÓÓÒ f(x) = x 2 a, a > 0 ÚÖØ À Ö Ø Ø Î ½ µ

19 ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ø ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ø ÃÙÒ ÒÒ Ø ÖÑ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÎÁÁ ÖÚ Ó Ò ÙÒ Ø Ó ÐÐ sin x cos x Ò Ò Ò Ò ØØ 1 sin x T 2n+1 (x, 0) (2n + 3)! x 2n+3, x R, cosx T 2n (x, 0) 1 (2n + 2)! x 2n+2, x R. ÃÓ x n /n! 0 x R ÙÒ n Ò Ò x R ÔØ Ð sin x = lim n T 2n+1 (x, 0), sin x = cosx = cosx = lim n T 2n (x, 0), ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)!, x R ( 1) k x2k (2k)!, x R ÅÖ Ø ÐÑ ÎÁÁ ½ ÂÓ f ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò ÑÓÒØ ÖØ Ö ÚÓ ØÙÚ x 0 Ò Ò Ö f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k k! ÓÒ f Ò Ì ÝÐÓÖ Ò Ö x 0 Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÖ Ú Ò ÐÑ Ø Ò Ý ÝÑÝ ÓÒ Å ÐÐÓ Ò Ö ÙÔÔ Ò Ó Ø f(x) Ø Ñ ÐÐÓ Ò ÔØ f (k) (x 0 ) f(x) = lim T n (x, x 0 ) = (x x 0 ) k? n k! ÙÒ Ø ÓÒ sin x cosx ÓÐÐ Ú Ø Ù ÓÒ Ò Ð Ó ÐÐ x R ÑÝ Ó ÐÐ x 0 Rµ ÃÓÐÑ Ñ Ö ÙÒ Ø Ó Ø ÓÒ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö ÙÔÔ Ò Ó ÐÐ x R ÓÒ ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÓÐÐ ÔØ ÚÖØ ÄÙ Ù ÎÁ¾µ e x = x k k!, x R Ì Ö Ø ÓØØ Ò ÝÑ Ý ÝÑÝ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ò ÓÒÚ Ö Ò Ø ÐØ Ö Ð¹ Ð Ø Ý ÝÑÝ Ø ÙØ Ò Ò Ò ÙÖ Ú Ø Ñ Ö Ø Ì Ô Ù x 0 = 0 ÝØ ØÒ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ø ÑÝ Ò Ñ ØÝ Ø Å Ð ÙÖ Ò Ò Ö

20 ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ø Ñ Ö ½ ÙÒ Ø Ó f(x) = { e 1/x2, ÙÒ x 0 0, ÙÒ x = 0 ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò ÑÓÒØ ÖØ Ö ÚÓ ØÙÚ Ô Ø x = 0 ÑÝ ÑÙÙ ÐÐ µ f (k) (0) = 0, k = 0, 1, 2,..., ÓØ Ò T n (x, 0) = 0 n Ì Ø Ô Ù Ì ÝÐÓÖ Ò Ö ÙÔÔ Ò x R ÑÙØØ lim n T n (x, 0) = 0 f(x) ÙÒ x 0 Ñ Ö Ò ÑÙÒ ÐÐ Ö ÙÒ Ø ÓÐÐ ÚÓ ÓÐÐ Ñ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ñ Ö ÙÒ Ø Ó ÐÐ f g = 0µ ÓØ Ò Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ò ÖØÓ Ñ Ø Ø Ö Ò ÙÑÑ Ø µ ÚÓ ÔØ ÐÐ ÙÒ Ø ÓØ Ó Ø Ö ÓÒ ÓØØÙ Í ÐÐ ³ÒÓÖÑ Ð ÐÐ ³ ÙÒ Ø Ó ÐÐ f Ù Ø Ò Ò ÔØ ØØ f Ò Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ò ÙÑÑ = f(x) Ò ÙÒ Ö ÙÔÔ Ò ÌÐÐ ÒÓÖÑ Ð Ø Ô Ù ÓÚ Ø Ñ Ö Ø ÓÒ Ð ÙÒ Ø ÓØ Ñ Ö ¾ ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = 1/(1 + 4x 2 ) Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÓÖ Ó ÓÚ Ø n T 2n (x, 0) = T 2n+1 (x, 0) = ( 4) k x 2k, n = 0, 1,... Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ð ÔÓØ Ò Ö {T n (x, 0), n = 0, 1, 2,...} ÙÔÔ Ò Ø Ø Ô Ù ¹ Ø ÑÐÐ Ò ÙÒ x < 1/2 ÚÖØ ÄÙ Ù Á½¾µ ØÐÐ Ò ÙÑÑ = f(x) ( 4) k x 2k 1 = 1 + 4x = f(x), x 2 ( 1, 1 ). 2 2 Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ó Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ø ØÙØ ØØ ÚÓ Ò Ò Ø ÑÙÙØØÙ Ò Ú¹ Ó x x 0 x ÓÐÐÓ Ò Ö ØØ Ø Ö Ø ÐÐ ÝÐ Ø ÔÓØ Ò Ö ÑÙÓØÓ n f(x) = a k x k. ÌÐÐ Ò Ö Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ý ÝÑÝ ÓÒ Ö Ø ØÙ ÄÙÚÙ Á½¾ Ä Ù Ò Á½¾ ÑÙÒ Ö ÙÔÔ Ò Ó Ó µ Ú Ò ÙÒ x = 0 Ø µ ÚÐ ÐÐ ( ρ, ρ) ÑÓÐÐ ¹ Ø ÑÝ ÙÒ x = ±ρµ Ñ ρ ÓÒ Ö Ò ÙÔÔ Ò Ñ ρ R + Ø ρ = µ ÄÙÚÙ Î Ó Ó Ø ØØ Ò ØØ ÔÓØ Ò Ö Ò ÙÑÑ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ñ ¹ Ð Ú ÐØ Ò ÑÓÒØ ÖØ Ö ÚÓ ØÙÚ ÚÐ ÐÐ ( ρ, ρ) ØØ Ö Ú Ø Ø ÚÓ Ò Ð ¹ Ö ÚÓ Ñ ÐÐ Ö Ø ÖÑ ØØ Ò Ä Ù Î µ Æ Ò ÓÐÐ Ò Ó ÔÓØ Ò Ö Ò a kx k ÙÔÔ Ò Ñ ÓÒ ρ > 0 x 0 R Ò Ò ÙÒ Ø Ó f(x) = a k (x x 0 ) k

21 ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ø ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ñ Ð Ú ÐØ Ò ÑÓÒØ ÖØ Ö ÚÓ ØÙÚ ÚÐ ÐÐ (x 0 ρ, x 0 + ρ) Ó Ó R Ó ρ = µ f Ò Ö Ú Ø Ø ÚÓ Ò Ð Ö ÚÓ Ñ ÐÐ Ö Ø ÖÑ ØØ Ò ÃÙÒ Ö ÚÓ Ñ Ô Ø Ú Ð Ø Ò Ö ØÝ Ø x 0 Ò ØÙÐÓ f (k) (x 0 ) = k! a k a k = f(k) (x 0 ), k = 0, 1, 2,... k! Ë f(x) ÓÒ Ø ØØÚ ÑÙÓ Ó f(x) = f (k) (x 0 ) k! ÇÒ ØÙÐØÙ ÙÖ Ú Ò ÙÓÑ ÓÒ ÖÚÓ Ò ØÙÐÓ Ò (x x 0 ) k. Ä Ù ÎÁÁ ¾ ÂÓ Ö a k (x x 0 ) k ÙÔÔ Ò ÚÐ ÐÐ (x 0 ρ, x 0 + ρ) ρ > 0 Ò Ò Ó Ö Ö Ò ÙÑÑ Ò ÑÖ Ø ÐÐÝÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ô Ø x 0 Ñ Ö ÙÒ Ø ÓÒ sin x ÖØ ÐÑ Ø Ò Ò ØØ { ( 1) k x 2k (2k + 1)! = f(x) = sin x/x, x 0, 1, x = 0. ÃÓ Ö ÙÔÔ Ò x R Ò Ò Ý ÓÒ Ö Ò ÙÑÑ Ò ÑÖ Ø ÐÐÝÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö ÓÖ Ó ÙÒ Ø Ó f ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò ÑÓÒØ ÖØ Ö ÚÓ ØÙÚ Ó Ô Ø x R ÓÖ Ó ÑÙÒ ÐÙÒ µ Ñ Ö Ê Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ó ÐÐ Ð Ù ÖÚÓØ ØÚ { y = e x2, x R, y(0) = 0. Ê Ø Ù ÃÓ ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø ÓÒ e x Ì ÝÐÓÖ Ò Ö ÙÔÔ Ò ÐÐ Ò Ò ÃÙÒ Ú Ð Ø Ò e x2 = y(x) = ( x 2 ) k k! = ( 1) k x 2k, x R. k! ( 1) k (2k + 1) k! x2k+1 = x x x , Ò Ò Ò Ò Ø ÖÑ ØØ Ò Ö ÚÓ Ñ ÐÐ ØØ y (x) = e x2, x R ÃÓ ÓÒ ÑÝ y(0) = 0 Ò Ò Ö Ø Ù ÓÒ Ø

22 ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ø ÃÓÑÔÐ Ò Ò ÔÓØ Ò Ö ÃÓÑÔÐ ÔÓØ Ò Ö ÒÓØ Ò Ö ÑÙÓØÓ a k(z z 0 ) k Ñ a k, z 0 C z ÓÒ ÓÑÔÐ ÑÙÙØØÙ ÌÐÐ Ò Ö Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ø ÓÖ ÓÒ ¹ Ñ ÒÐ Ò Ò Ù Ò ÖÐ Ò Ú Ø Ò Ò ÐÐ ÄÙÚÙÒ Á½¾ ÙÔÔ Ò Ñ Ø Ö Ø ÐÙØ Ô ¹ ÖÙ ØÙÚ Ø Ú Ñ Ú Ò ÙÒØ ¹ ÐÖ Ò ÐÙ Ù Ò Ø ÖÚÓ Ò Ú ÖØ ÐÙÙÒ ÆÑ ÓÔ Ö Ø ÓØ ÚØ ÑÙÙØÙ ÖÖÝØØ ÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò ÙÒØ Ò Ñ Ö¹ Ö Ò Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ ÑÓ Ò Ù Ò ÖÐ ÐÐ Ö Ó ÐÐ a k z k ÙÔÔ Ò Ø Ø a k z k ÙÔÔ Ò. ÈÓØ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÖ Ò Ò ØÙÐÓ Ä Ù Á½¾ ÐÝØØ Ò Ò ÓÐÐ Ò ÔØ ¹ ÚÝÝØ Ò ÃÓÑÔÐ Ò Ò Ò Ö ÑÙÓØÓ a k(z z 0 ) k ÙÔÔ Ò ÑÝ Ø ¹ Ø ÙÒ z z 0 < ρ ÒØÙÙ ÙÒ z z 0 > ρ Ñ ρ ÓÒ ÙÔÔ Ò Ñ ρ = 0 ρ R + Ø ρ = µ ÂÓ ρ > 0 Ò Ò Ö ÙÔÔ Ò ÓÑÔÐ Ø ÓÒ ÚÓ Ñ Ó A = {z C z z 0 < ρ}. ÅÝ Ä Ù Î ÐÝÝ ÚÓ Ñ ÓÑÔÐ ÐÙ ÐÐ ÐÐ ØÑ Ò Ô ÖÙ ØÙÙ Ú Ò ÙÒØ ¹ ÐÖ Ò Ø ÖÚÓ Ò Ú ÖØ ÐÙÙÒ ÙØ Ò ØÓ ØÙ ÄÙ Ù Î µ Ó Ó Ø¹ Ø ÈÓØ Ò Ö Ò ÙÑÑ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø Ó f ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Ò ÝÑ ÚÓ ¹ Ñ Ó A ÅÖ Ø ÐÑ Î ½µ ÙØ Ò ÖÐ Ò Ö Ò Ø Ô Ù ÔØ f(z) = a k (z z 0 ) k = f (k) (z 0 ) k! (z z 0 ) k, z A. ÂÓ ÙÔÔ Ò Ñ ÓÒ ρ = Ò Ò A = C f Ó ÓÒ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÈÓ¹ ÐÝÒÓÑ Ò Ð Ó ÓÒ ÙÒ Ø Ó Ø ÓÚ Ø Ñ Ö ÄÙÚÙ ÎÁ ÑÖ Ø ÐÐÝØ ÙÒ Ø ÓØ e z cos z sin z cosh z sinh z ÆÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÔÓØ Ò Ö Ø ÓÖ ¹ Ó z 0 = 0µ Ò Ý Ò ÖØ Ø ÚØ Ñ ÐÐ ÖÐ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö ÑÙÙØØÙ z e z = cosz = cosh z = z k k! ( 1) k z2k (2k)! z 2k (2k)! sin z = sinh z = ( 1) k z 2k+1 (2k + 1)! z 2k+1 (2k + 1)!

23 ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ø Ñ Ö ÂÓ x R Ò Ò ÙÐ Ö Ò Ú Ò ÄÙ Ù ÎÁ µ e z Ò ÔÓØ Ò ¹ Ö Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÔØ cosx + i sin x = e ix (ix) k = k! ) ) = (1 x2 2! + x4 4!... + i (x x3 3! + x5 5!... cosx = 1 x2 2! + x4 x3..., sin x = x 4! 3! + x5 5!..., x R. ÌÙÐÓ Ø ØØ Ò Ó Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ñ Ö ÙÒ Ø Ó { sin z/z, z 0 f(z) = 1, z = 0 ÓÒ Ó ÓÒ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ñ Ö Ø ØØÝ ÙÒ Ø ÓÒ ÔÓØ Ò Ö ÓÒ ÔØ Ú ÑÝ ÓÑÔÐ ÐÙ ÐÐ Ð Ö ÚÓ Ò x Ò Ø Ð ÐÐ Ö Ó ØØ z C Ñ Ö ÙÒ Ø ÓÒ f(z) = 1/(1 + z 2 ) ÖØ ÐÑ f(z) = ( 1) k z 2k ÓÒ ÔØ Ú ÙÒ z < 1 ÙÔÔ Ò Ñ ρ = 1µ ÃÙÒ Ñ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ Ú ÖÖ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÓÒ e z2 Ò Ò Ú Ø Ò ØØ Ö¹ Ð ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓ ÐÐ ÑÓÐ ÑÑ Ø ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ð Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÙÚ ¹ Ø Ò ÓÚ Ø Ñ Ð Ó Ñ ÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ø Ô Ø x 0 = 0 ÓÚ Ø Ù Ø Ò Ò ÝÚ Ò Ö Ð Ø ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = 1/(1 + x 2 ) Ö ÙÔÔ Ò Ú Ò ÚÐ ÐÐ ( 1, 1) ÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = e x2 Ö ÙÔÔ Ò ÐÐ Ì Ò ÐÑÒ ÚÓ Ò ÓÑÔÐ Ò Ð ØÝ Ò ÙÒ Ø ÓÐÐ 1/(1 + x 2 ) ÓÒ ³ÐÙÙÖ Ò Ó¹ Ô Ò³ ÐÐ ÓÑÔÐ ÙÒ Ø ÓÒ 1/(1 + z 2 ) ÐÐ ÓÒ Ò Ò Ô Ò Ð ÔÓÐ µ Ô Ø i i ÙÒ Ø ÓÒ e x2 ÓÑÔÐ Ò Ò Ú Ø Ò e z2 Ò Ò ÓÒ Ó Ó¹ Ò Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ð ÒÒ ÐÐ Ò Ò ÑÝ ÓÑÔÐ ÙÒ Ø ÓÒ ÅÝ Ñ Ö Ò ½ ÙÒ Ø Ó Ô Ð Ø Ô Ö ÑÑ Ò ØÓ ÐÐ Ò ÐÙÓÒØ Ò ÙÒ ÑÙÙØØÙ Ø ØÒ ÓÑÔÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f(z) = e 1/z2, z C, z 0 ÓÐ ÓÖ ÓÒ ÝÑÔÖ Ø Ö Ó Ø ØØÙ ÐÐ f(iy) = e 1/y2 ÙÒ y 0 Ø ØÒ ÙÒ ÐÓÔÙ ÙÒ Ø ÓØ ÓÖ Ò Ú ØØÑ Ó Ý Ø Ò ÐÝÝØØ Ýݹ Ò ØØ Ò ÔÓØ Ò Ö ÓÒ Î ØØÑ ØÓ Ø Ø µ ¼

24 ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ø Ä Ù ÎÁÁ ÂÓ G C ÓÒ ÚÓ Ò ÓÙ Ó Ò Ò ÓÑÔÐ ÙÒ Ø Ó f ÓÒ Ò ¹ ÐÝÝØØ Ò Ò ÓÙ Ó G Ø ÑÐÐ Ò ÙÒ Ó Ò Ô Ø Ò z 0 G Ó ÐÐ ÝÑÔÖ Ø U δ (z 0 ) = {z C z z 0 < δ} ÓÐÐ ÔØ U δ (z 0 ) G f(z) ÓÒ Ø ØØÚ ÙÔÔ Ò Ú Ò ÔÓØ Ò Ö Ò f(z) = a k (z z 0 ) k = f (k) (z 0 ) k! (z z 0 ) k, z U δ (z 0 ) G. Ñ Ö Ø Óµ Ñ Ö Ò ÙÒ Ø Ó f ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Ò ÓÙ Ó G = {z C z ±i }. ÂÓ z 0 = 0 Ò Ò U δ (z 0 ) G Ø ÑÐÐ Ò ÙÒ δ < 1 ÙÒ Ø ÓÒ f ÔÓØ Ò Ö ÓÖ Ó ÑÝ ÙÔÔ Ò Ó ØÐÐ ÓÖ ÓÒ ÝÑÔÖ Ø ÙØ Ò Ä Ù ÎÁÁ Ú ØØ À ÊÂÇÁÌÍËÌ ÀÌ ÎÁ ½ Å ÓÒ Ö Ò ÙÑÑ µ ! ! µ ! 3! ! ! +... ¾ Ø ÙÖ Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ø Ô Ø x 0 = 0 µ e 3x+1 µ cos(2x 3 ) µ sin(x π 4 ) µ cos(2x π) µ x2 sin 3x µ sin x cosx µ (1 + x 3 )/(1 + x 2 ) µ ln(2 + x 2 ) µ x 2 ln(1 + x) ÅÖ Ø ÙÖ Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö ÒÒ ØÙ Ô Ø Ö¹ Ò ÙÔÔ Ò Ñ ÚÐ µ e 2x, x 0 = 1 µ sin x, x 0 = π 2 µ ln x, x 0 = 1 µ cosx, x 0 = π µ cos 2 x, x 0 = π 8 µ x/(4 + x), x 0 = 3 ÇÐ ÓÓÒ 2 cosx 2, ÙÒ x 0 f(x) = x 2 1, ÙÒ x = 0 Ä f (0) f (0) µ ÙÓÖ Ò Ö Ú Ø Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø µ f Ò Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ò ÚÙÐÐ ½

25 ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ø Ë ÙÖ Ú Ø ÙÒ Ø ÓØ f ÑÖ Ø ÐÐÒ Ù Ò Ø ÙÚ Ô Ø x = 0 ÓÐÐÓ Ò ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ø Ô Ø Ó Ó R µ Ñ Ð Ú ÐØ Ò ÑÓÒØ ÖØ Ö ÚÓ ØÙÚ ÅÖ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ø Ô Ø x 0 = 0 ÒÒ ÚÙÐÐ f(0) f (0) f (0) Ë ÐÚ Ø ÑÝ Ô Ø Ò x = 0 Ð ØÙ ÑÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ô ÐÐ Ò Ö ÖÚÓ Ó Ø Ò Ì ØÒ ØØ µ ex 1 µ e 2x 1 + 2x 2x 2 µ sinh x x x x 3 x 3 ln(1 + x) sin x µ µ e2x 4e x 6x + 3 x 2 x 2 a k (z + i) k = z cos z, z C. Ä Ö Ò ÖØÓ Ñ Ø a 0 a 1 a 2 ÃÓÑÔÐ Ò Ò ÔÓØ Ò Ö a kz k ÙÔÔ Ò ÓÖ ÓÒ Ð ÐÐ Ö Ò ÙÑÑ ÓÒ a k z k 1 = z 2 + (1 + i)z i. Å ÓÒ Ö Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ñ Ø ÓÚ Ø ÖØÓ Ñ Ò a 0 a 1 ÖÚÓØ ¾

26 ÎÁÁ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÎÁÁ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ì Ú ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ ¹ ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó ÓÒ Ð Ø ØÙ Ò ØØ ÙÒ Ø Ó Ø f ØÙÒ¹ Ò Ø Ò Ú Ò Ö ÐÐ Ò Ò ÑÖ Ô Ø ÖÚÓ f(x i ) = f i, i = 0,...,n. ÆÒ Ø ØÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÐÙØ Ò ØØ f ÐÑÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÑÙÙ ÐÐ ¹ Ò Ù Ò Ô Ø x i Ñ ÓÐÐÒ ÚÐ ÐÐ ³ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó³ ÓÒ Ý Ö ØÝ Ø ÐÐÓ Ò ÙÒ f(x) ÐÙØ Ò Ð ³ÚÐ Ô Ø ³ x [min{x i }, max{x i }] ÑÙÙ Ø Ô Ù Ð ÙÒ x < min{x i } Ø x > max{x i }µ ÒÓØ Ò ØØ Ý ÓÒ ØÖ ÔÓÐ Ø Ó ÒÒ ØÙØ ØÓØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ñ Ñ Ø ØØÙ ³ Ø ³ ÌÓ Ò Ò ÝÐ Ò Ò ÓÚ ÐÐÙ Ø Ð ÒÒ ÓÒ ÐÐ Ò Ò Ó ÙÒ Ø Ó f ØÙÒÒ Ø Ò Ô ÙÓÖ Ø Ñ Ö Ò¹ ØÐ Ý ØÐ Ò Ö Ø ÙÒ ÐÙØ Ò Ð ÖÚÓØ f i Ú Ð ØÙ Ô Ø x i ÌÐÐ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ¹ ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó Ø ÓÒ Ý ØÝ Ø Ð ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó ÓÒ ÝÐ Ò Ô ÖÙ ÓÐ ØÙ Ò Ø ÒÒ ØÓ ¹ ÚÓÑÙ Ò µ ØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ö ØØÚÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò ÓÐÐÓ Ò Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò Ô ¹ ÖÙ Ø ÐÐ Ø ØÒ ØØ ÙÒ Ø ÓØ ÚÓ ÒÒ ÐÝ Ý ÐÐ ÚÐ Ðе ÔÔÖÓ ÑÓ ÝÚ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ Ò Ñ ØØ Ò Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ ÃÓ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓ¹ Ñ ÝÑ ØÓ Ø ÚÓ ÙÓÖ Ò ÑÖØ ÓÒ ÐÙÓÒØ Ú Ú Ð Ø ÔÔÖÓ ÑÓ Ú ÔÓÐÝÒÓÑ p ÐÐ Ò Ò Ó ÑÓÐÐ ÑÑ Ò ÝÚ Ò ÓÔ ÒÒ ØØÙÒ Ø ØÓÒ Ð ØÓØ ÙØØ p(x i ) = f(x i ), i = 0...n. ½µ ÃÓ Ø ÓÒ ØÓ n+1 ÔÐ ÓÒ ÐÐ Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ú Ð Ø p Ò Ø ÐÙÚÙ n ÓÐÐÓ Ò p ÓÒ Ú Ô Ø ÖØÓ Ñ ÑÝ Ò n+1 ÔÐ Æ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ ÔÓÐÝÒÓÑ p ÒÓØ Ò f Ò Ä Ö Ò Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ô Ø x i È Ø Ø x i ¹ ÒÓØ Ò Ø Ý Ø Ý ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔ Ø ØÓ ½µ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÓ ÆÑ ÓØ ØÓ ÐÐ ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ý ØØ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ø ØØ n ÈÖÓÔÓ Ø Ó ÎÁÁ ½ Ä Ö Ò Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò ÌÓ ØÙ ÓØ ½µ ØÓØ ÙØØ Ú Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÓÐ Ñ ÓÐÓ ÙÖ Ð¹ ÑÔÒ Ø ØØÚ Ø Ð ÙÚ Ø ¾µ ÓØ Ò Ö ØØ ÒÝØØ Ý ØØ ÝÝ ÇÐ ÓÓØ p 1 p 2 ÑÓÐ ÑÑ Ø ÓØ ½µ ØÝØØÚ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ØØ n ÌÐÐ Ò q(x) = p 1 (x) p 2 (x) ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÒØÒ Ø ØØ n ÔØ q(x i ) = 0, i = 0,...,n, Ð q ÐÐ ÓÒ n + 1 ÖÐ Ø ÒÓÐÐ Ó Ø ÐÖ Ò Ô ÖÙ Ð Ù Ò ÑÙÒ ÓÒ ØÐÐ Ò ÓÐØ Ú q = 0 Ë p 1 = p 2 Ð ÓØ ½µ ØÝØØÚ ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò

27 ÎÁÁ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ä Ö Ò Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø ÓÚ ÖÐÐ ÔØ ÙÖ Ú ØÙÐÓ Ó ÑÙ ØÙØØ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ú Ö Ú Ä Ù ÎÁÁ µ ÂÐ ÑÔÒ Ò Ò Ò ØØ ÒÑ ØÙÐÓ Ø ÓÚ Ø Ö Ó Ø Ô Ù ÝÐ ÑÑ Ø ÒØ Ö¹ ÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ú Ö Ú Ø Ä Ù ÎÁÁ µ Â Ø Ó ÒÓØ Ò Ö ÐÐ Ò Ô Ø Ø Ò X Ú Ö ØØÑ ÚÐ ÙÐ ØØÙ ÚÐ [a, b] Ñ a = min{x x X} b = max{x x X} Ä Ù ÎÁÁ ¾ ÇÐ ÓÓÒ f n + 1 ÖØ Ö ÚÓ ØÙÚ ÚÓ Ñ ÐÐ ÚÐ ÐÐ A [a, b] Ñ [a, b] ÓÒ Ô Ø Ò x Ö ÐÐ Ø Ò Ô Ø Ò x 0,...,x n Ú Ö ØØÑ ÚÐ ÌÐÐ Ò Ó p ÓÒ f Ò Ä Ö Ò Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ô Ø x 0,...,x n Ò Ò ÓÐÐÒ ξ (a, b) ÔØ Ú Ö Ú f(x) p(x) = 1 (n + 1)! f(n+1) (ξ) n (x x i ). ÌÓ ØÙ Ô ÖÙ ØÙÙ Ñ Ò Ò Ù Ò Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò ³ÐÝ Ý Ò Ú Ò³ ÑÙ¹ Ò Ò ØÓ ØÙ ÄÙÚÙ ÎÁÁ Ò ÒÒ Ò Ó x {x 0,...,x n } ÓÒ Ú ØØÑ ØÓ Ó ÐÐ ξ (a, b) ÓØ Ò ÚÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ x / {x 0,..., x n } Å Ö ØÒ i=0 w(t) = n (t x i ) i=0 ØÙØ Ø Ò ÙÒ Ø ÓØ g(t) = f(t) p(t) Hw(t), H = [f(x) p(x)]/w(x). ÙÒ Ø ÓÒ g ÒÓÐÐ Ó Ø ÓÚ Ø ÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ Ô Ø Ø x 0,..., x n Ð Ô Ø x ÃÓ ÒÓÐÐ Ó Ø ÚÐ ÐÐ [a, b] ÓÒ ÒÒ n + 2 ÔÐ Ó ÒÒ ÚÐ ÓÒ Ò Ö Ú Ø Ò ÒÓÐÐ Ó Ø ÓÒ g (t) ÐÐ ÒÒ n+1 ÒÓÐÐ Ó Ø ÚÓ Ñ ÐÐ ÚÐ ÐÐ (a, b) ÌÐÐ Ò g ÐÐ ÓÒ ÒÒ n ÒÓÐÐ Ó Ø ØÐÐ ÚÐ ÐÐ ÐÓÔÙÐØ g (n+1) ÐÐ ÒÒ Ý ÒÓÐÐ Ó Ø ξ (a, b) ÅÙØØ ØÐÐ Ò 0 = g (n+1) (ξ) = f (n+1) (ξ) p (n+1) (ξ) Hw (n+1) (ξ) = f (n+1) (ξ) H(n + 1)! H = f(x) p(x) w(x) = 1 (n + 1)! f(n+1) (ξ) ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔ ÖØØ Ø ÓÒ Ø ÐÙ ÙÙÒ n = 1 Ô ÖÙ ØÙÚ Ð ÒÖ Ò Ò ÒØ ÖÔÓ¹ Ð Ø Ó Ý Ò ÖØ ÙÙØ Ò ÚÙÓ ÝÚ Ò ÝÐ Ø ÝØ ØØÝ Ñ Ö ÝÖÒ y = f(x) ÔÔÖÓ ÑÓ ÒØ Ô Ø Ò (x i, f(x i )) ÙØØ ÙÐ Ú ÐÐ ÑÙÖØÓÚ Ú ÐÐ

28 ÎÁÁ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ú Ô Ö ÒÔ ØÙÙ Ò ÑÖÑ Ø Ö Ó ØÙ µ Ø Ö Ó ØØ f Ò Ô ÐÓ ØØ Ò Ð ¹ ÒÖ Ø ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓØ y y = f(x) y = f(x) x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x Ä ÒÖ Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ú Ö ÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ ÚÐ ÐÐ [x 0, x 1 ] ÓÒ Ä Ù Ò ÎÁÁ ¾ ÑÙÒ Ò ÒØÒ max f(x) p(x) = max 1 x [x 0,x 1 ] x [x 0,x 1 ] 2 (x x 0)(x x 1 )f (ξ) 1 8 (x 1 x 0 ) 2 max x [x 0,x 1 ] f (x). ÂÓ ÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ Ø Ô ØÙÙ Ô ÐÓ ØØ Ò ÚÐ ÐÐ [a, b] ÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ Ô Ø Ò ÚÐ ÓÒ Ò ÒØÒ h Ò Ò Ó ÔÔÖÓ Ñ Ø ÓÒ Ñ Ñ Ú Ö ÓÒ Ò ÒØÒ max f(x) f(x) 1 x [a,b] 8 h2 max f (x). x [a,b] ÌÑ ÖÚ Ó ÓÐ Ô Ö ÒÒ ØØ Ú ÐÐ Ó f ÓÒ ØÓ Ò Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÐÐÓ Ò f (x) = ÚÓµ ÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ Ô Ø Ø ÓÚ Ø Ø ÚÐ Ø Ò Ò Ä Ù Ò ÎÁÁ ¾ Ú Ö¹ Ú Ò ÑÙÒ Ú ÖÖÚ ÓÒ ÝÐÖ ØÓØ ØÙÙ Ô Ö Ø Ò ÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ Ô Ø Ò ÔÙÓÐ ÚÐ ÂÓ Ú Ö ØØ ØÓ Ò Ø Òµ ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó Ô Ø Ø x 0, x 1, x 2 ÓÚ Ø Ø ¹ ÚÐ Ò ÚÐ = h Ò Ò max (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 ) = max x (h 2 x 2 ) = 2 x [x 0,x 2 ] x [ h,h] 3 3 h3, ÓØ Ò Ú Ö ØØ Ò Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÚ Ö ÓÒ Ø ÚÐ Ø Ò ÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ Ô Ø Ò Ú ¹ Ö ØØÑÐÐ ÚÐ ÐÐ Ò ÒØÒ 1 max f(x) p(x) x [x 0,x 2 ] 9 3 h3 max f (x), (h = x 1 x 0 = x 2 x 1 ). x [x 0,x 2 ]

29 ÎÁÁ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ñ Ö ½ ÎÐ ÐÐ (0, ) ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø Ó F ØÓØ ÙØØ ÓØ F (x) = e x x, x > 0, lim F(x) = 0. x À ÐÙØ Ò ÑÖ ØØ F Ò ÖÚÓØ ÐÑÖ Ò ÚÐ ÐÐ [1, 2] Ð Ñ ÐÐ Ò Ò F Ô Ø x i = 1 + (i 1)h, i = 0...n, h = 1/n ÓÐ Ø Ø Ø Ò ØØ ØÑ ÓÒÒ ØÙÙ ÝÚ Ò Ø Ö Ø µ ÝØØÑÐÐ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓØ ÑÙ Ô Ø ÃÙ Ò ÙÙÖ ÓÒ n Ò ÓÐØ Ú Ó ÝØ ØÒ µ Ð ÒÖ Ø µ Ú Ö ØØ Ø ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓØ ÐÙØ Ò ØØ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÚ Ö ÓÒ Ò ÒØÒ Ê Ø Ù ÃÓ F (x) = e x /x, x > 0 Ò Ò F (x) = e x ( 1 x + 1 x 2 ) F (x) 2/e, x [1, 2], F (x) = e x ( 1 x + 2 x x 3 ) F (x) 5/e, x [1, 2]. Æ Ò ÓÐÐ Ò Ö ØØ Ú Ð Ø N = n + 1 Ø Ò ØØ ÔØ µ µ ( 1 e e N 1 ( 1 N 1 ) N ) N 288 Ä Ö Ò Ò ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÃÓÖÑÔ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ ¹ ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó ÓÒ Ù Ò Ý ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÚ ØÙ ¹ Ø Ô Ø Ò (x i, f ( x i )) ÓÐÐÓ Ò ÖÚÓØ f(x i ) ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ñ Ö Ñ Ø ØØÙ ÃØØÝÒ ÒÙÑ Ö Ò ÝÑ ÓÐ Ò Ò ÐÝÝ Ò ÓÐÑ ØÓ ÓÒ Ø Ò Ø Ø¹ ÚÒ ÓÑ Ø ÓÑ ÒØÓÒ Ñ Å Ø Ñ Ø Ø Å ØÐ ÈÓÐÝ Øµ Ã Ò Ð ¹ ØØ Ø ÐÙØØ ØÙØ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÓÖ ØØ ¹ ÐØ ÒÒ ÐØ ÚÓ Ò ÝØØ ØÝ ÑÙÓØÓ p(x) = n f(x i )L i (x), i=0 ¾µ Ñ Ò Ä Ö Ò Òµ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø L i (x) Ø ØØ nµ ÑÖÝØÝÚØ ÒØ ÖÔÓÐ ¹ Ø ÓÓ Ø { 1, ÙÒ j = i L i (x j ) = µ 0, ÙÒ j i (j {0,..., n}) ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ò Ñ ÐØÒ ÔÓÒ ÒØÐ ¹ ÒØ Ö Ð ÙÒ Ø Ó

30 ÎÁÁ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ø À ÐÔÓ Ø ÓÒ Ø Ö Ø ØØ Ú ØØ ÒÑ ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÒ ÚÖØ ÙÚ Óµ L i (x) = (x x 0) (x x i 1 )(x x i+1 ) (x x n ) (x i x 0 ) (x i x i 1 )(x i x i+1 ) (x i x n ) = j i (x x j) j i (x i x j ). y ½ y = L i (x) x 0 x i x n x Ó Ø µ Ò Ò ÑÝ ÚÐ ØØ Ñ Ø ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ ¾µ ØÝØØ Ø ØÙØ Ò¹ Ø ÖÔÓÐ Ø ÓÓØ ½µ Ä Ö Ò Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó¹ÓÒ ÐÑ Ò Ö ØÚÙÙ ÓÒ Ò Ò ØÙÐÐÙØ ØÓ ØÙ Ñ Ö ¾ ËÒÒ ÐÐ Ø ÙÒ Ø Ó Ø Ø ØÒ Ñ ØØ Ù ØÙÐÓ Ò ÖÚ Ó f(0) f(0.3) = , f(0.2) = , f(0.1) = Ê Ø Ù ËÓÚ Ø Ø Ò Ñ ØØ Ù ØÙÐÓ Ò ØÓ Ò Ø Ò Ä Ö Ò Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓ¹ ÐÝÒÓÑ ÖÚ Ó Ò f(0) p(0) Ì ÓÒ {x 0, x 1, x 2 } = {0.1, 0.2, 0.3} ÓØ Ò (0 0.2) (0 0.3) p(0) = ( ) ( ) (0 0.1) (0 0.3) ( ) ( ) (0 0.1) (0 0.2) ( ) ( ) = = Ì ³Ñ ØØ Ù ØÙÐÓ Ø³ ÓÒ Ø ØÙ ÙÒ Ø Ó Ø f(x) = 2 + x ÓÐÐ f(0) =

31 ÎÁÁ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ã ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ØÝ ÑÙÓØÓ ¾µ ÓÒ Ö ØÝ Ò Ø Ú ÐÐÓ Ò ÙÒ ÐÙØ Ò ÖÚ Ó Ñ ØØ Ù Ú Ö Ò ÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ ØÙÐÓ Ò Æ Ñ ØØ Ò Ó Ú Öй Ð Ø Ò Ñ ØØ Ù ØÙÐÓ Ø Ò f(x i ) = f i Ó ØÙÐÓ = f i µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ð Ø Ò ÒØ Ö¹ ÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ p Ò Ò Ú Ò ¾µ ÑÙÒ p(x) p(x) = n (f i f i )L i (x). i=0 ÂÓ Ö ØÝ Ø Ø ØÒ ØØ f i f i δ, i = 0,...n Ò Ò p(x) p(x) δ n L i (x) = δk(x). i=0 Ì ÑÖ Ø ÐØÝ Ú ÖÒ Ú Ú ØÙ ÖÖÓ Ò K(x) ÖØÓÓ Ù Ò Ô Ð ÓÒ Ø ¹ ÖÚÓÐØ Ò Ò ÒØÒ Ø ØÝÒ ÙÙÖ٠ص Ñ ØØ Ù Ú ÖØ ÚÓ Ú Ø ÔÑÑ ÐÐ Ò Ú Ú ¹ ØÙ Ô Ø x Ñ Ö ¾ Ø Óµ ÂÓ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ ÒÒ ØØÙ Ò Ñ ØØ Ù ØÙÐÓ Ø Ò Ú ÖØ ÓÚ Ø Ò ÒØÒ 10 4 Ø ÖÚÓÐØ Ò Ò Ò Ú Ö Ò ÚÙØÙ Ô Ø x = 0 ÓÒ Ò ÒØÒ p(0) p(0) 10 4 ( ) = Î ÖÒ ÚÙØÙ Ô Ø x = 0 ÚÓ ÔÑÑ Ø Ô Ù ÓÐÐ 7¹ ÖØ Ò Ò Ñ ØØ Ù Ú Ö Ò Ú ÖÖ ØØÙÒ ØÖ ÔÓÐ Ø Ó Ñ Ö ¾ ÙÒ Ø ÓØ ÔÔÖÓ ÑÓ Ø Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔ Ø Ò Ú Ö ØØÑÒ ÚÐ Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ ÓÐÐÓ Ò ÒÓØ Ò ØØ Ý ÓÒ ØÖ ÔÓÐ Ø Ó Ø ØÖ ÔÓÐ Ø Ó ÓÒ Ú Ò Ø Ò ÝÚ Ò ÙÓ ØØÙ Ñ Ð Ó ÝÐ ÔØ Ú Ø Ô Ô Ö ÒØ ÒÙÑ Ö Ø Ò Ð Ù¹ Ò Ø Ö ÙÙØØ ØÖ ÔÓÐ Ø ÓØ ÚÓ Ò ÝØØ Ò ÙÒ Ð ØØ Ú Ò ÙÙÖ Ò ÚÓ Ò ÓØ Ù Ö ÔÔÙÚ ÒÒ ÐÐ ÐÐ Ð Ð Ðе Ø Ú ÐÐ Ó ØÒ Ð ÒØ Ò Ð ØØÝÚ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÇÐ ÓÓÒ Ñ Ö Ð ØØ Ú ÙÙÖ ÖÐ ÐÙ Ù a Ó ÑÖÝØÝÝ Ö¹ ÖÚÓÒ a = lim h 0 + f(h), Ñ ÓÒ Ò f(h) h > 0 ÓÒ Ð ØØ Ú ÑÙØØ Ð ÒØ ØÙÐ Ý ØÝ Ðѹ Ñ h Ò Ô Ò Ø ÂÓ ÒÝØ ÚÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ ÙÒ Ø Ó f(x) ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò ÓÐÐÒ ÚÐ ÐÐ [0, a] a > 0 ÚÓ Ò ÒÙÑ Ö Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò ÒØ Ñ ÔÔÖÓ Ñ ¹ Ø Ó Ø a a n = f(x n ), n = 1, 2,... (x n 0 + )

32 ÎÁÁ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ô Ö ÒØ ØÖ ÔÓÐ Ø ÓÐÐ Æ Ò ÝÒØÝÝ Ò ØÖ ÔÓÐ Ø ÓØ ÙÐÙ Ó Ó Ð Ø¹ ØÙÒ ØÙÐÓ Ò ÓÚ Ø Ø Ò Ý ÓÖÑÔ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ p(x) ÖÚ Ó Ò ÙÒ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÚÙÐÐ a p(0) Ø = 0 Ø = 1 Ø = 2 Ø = 3 x 1 f(x 1 ) x 2 f(x 2 ) p (1,2) (0) x 3 f(x 3 ) p (2,3) (0) p (1,3) (0) x 4 f(x 4 ) p (3,4) (0) p (2,4) (0) p (1,4) (0) Ì p (i,j) (x) Ø Ö Ó ØØ Ô Ø Ò x i...x j ÓÚ Ø ØØÙ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ç Ó ØØ ÙØÙÙ ØØ Ø ÙÐÙ ÓÒ Ö Ø ÑÖÝØÝÚØ Ô Ð ÙØÙÚ Ø ÐÐ Ò Ö ¹ Ò ÚÙÐÐ Æ Ñ ØØ Ò p (i,j) (x) = (x j x)p (i,j 1) (x) + (x x i )p (i+1,j) (x) x j x i µ ÌÑ Ô Ð ÙØÙ Ú ÓÒ ÚÓ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò Ù Ø ÓÐÐ À Ö Ø Ø µ ÐÔÓØØ Ø ÙÐÙ ÓÒ ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ø ÙÓÑ ØØ Ú Ø Ë ÙÖ Ú Ñ Ö Ú Ò µ Ô ¹ ÖÙ ØÙÚ Ø ³Ð Ñ Ò Ø Ø Ø ³ Ñ Ö ÅÖ Ø ÐÐÒ φ(n) = n!/( 2πne n n n ) ØÖ ÔÓÐÓ φ(100) ÖÚÓ ¹ Ø φ(n) n = ÙÒ Ø ØÒ ØØ φ(n) = f(1/n) Ñ f ÓÒ Ð ÙÒ Ø Ó ÚÐ ÐÐ [0, 1] Ê Ø Ù ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò ØÖ ÔÓÐ Ø ÓØ ÙÐÙ Ó x i f(x i ) Ø = 1 Ø = 2 Ø = 3 1/ / / / / / Ã Ú Ò µ Ô ÖÙ ØÙÚ ØÖ ÔÓÐ Ø ÓØ ÙÐÙ Ó ÒÓØ Ò Æ Ú ÐÐ Ò Ú Ó ÒÒ Ò Ø ØÓ¹ ÓÒ Ò ØÐÐ ÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ ÒÒ ÐÐ ÓÐ ÙÓÑ ØØ Ú ÝØÒÒ Ò Ñ Ö ØÝ Ó Ò ÐÔÓØØ Ú Ø ÒÐ Ù

33 ÎÁÁ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ø = 3 Ø = 4 Ø = Ë φ(100) Ç ÖÚÓ ÓÒ ÓÒ µ Ñ Ö ÓÐ ÒÒ Ø ÓÐ Ø ØÓ ØØ ÚÓ Ò Ö Ó Ø φ(n) = f(1/n) Ñ f ÓÒ ÓÖ ÓÒ Ð ÐÐ ÒÒ ÐÐ Ò Ò ÖÐ ÙÒ Ø Ó ØÖ ÔÓÐÓ Ø ÓÒ Ó ØØ Ú Ú Ð Ø Ó ÑÙÙØØÙ Ð Ø ØØÝ ÔÓÐÝÒÓÑ ¹ ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó ÂÓ p ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ØØ n ØÓØ ÙØØ ÓØ p (k) (x i ) = f (k) (x i ), k = 0...ν i 1, i = 1...m, m Ñ ν i N & ν i = n + 1, i=1 µ Ò Ò ÒÓØ Ò ØØ p ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ f ÝÐ Ø ØØÝ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ô Ø x i ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ m ÚÓ ÝÐ Ø ØÝ ÔÓÐÝÒÓÑ ¹ ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó Ø ØØ n ÓÐÐ Ñ ØÒ ÚÐ ÐÐ 1 m n + 1 Ì Ô Ù m = n + 1 ÓÒ ØÓ Ò µ ÑÙÒ ÓÐØ Ú ν i = 1 i ÓÐÐÓ Ò Ý ÓÒ Ø Ú ÐÐ Ò Ò Ä Ö Ò Ò Ò¹ Ø ÖÔÓÐ Ø Ó ÌÓ Ö Ô m = 1µ ÓÒ Ø ÓÐØ Ú ν 1 = n+1 ÓÐÐÓ Ò p = f Ò Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ T n (x, x 1 ) ÈÖÓÔÓ Ø Ó ÎÁÁ ÂÓ p ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ØØ n Ò Ò p ÑÖÝØÝÝ Ó Ø µ Ý ØØ Ø ÌÓ ØÙ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó¹ÓÒ ÐÑ Ò µ Ö ØÚÙÙ ÚÓ Ò ØÓ Ø Ñ Ò Ø Ô Ò Ù Ò Ä Ö Ò Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ø Ô Ù À Ö Ø Ø ½¾ ØØ ÝÝ Ò ØÓØ Ñ Ö ØØ Ó Ó ØØ ØØ Ó f (k) (x i ) = 0 i, k Ò Ò ÓÒ ÓÐØ Ú p = 0 ÚÖØ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÎÁÁ ½ ØÓ ØÙ µ Ì Ø Ô Ù ÓÒ x i ÔÓÐÝÒÓÑ Ò p ν i ¹ ÖØ Ò Ò ÙÙÖ ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó ØÓ Ò µ ÑÙÒ ÓØ Ò ÓÒ ÓÐØ Ú p(x) = q(x) m (x x i ) ν i = q(x) w(x), i=1 Ñ q ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ ÅÙØØ p ÓÒ Ø ØØ n ØÓ Ò µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ w ÓÒ Ø ØØ n + 1 ÓØ Ò ÒÓ ÑÓÐÐ ÙÙ ÓÒ q = 0 ÓÐÐÓ Ò ÑÝ p = 0 ¼

34 ÎÁÁ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ë ÙÖ Ú ÝÐ Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÔÔÖÓ Ñ Ø ÓØÙÐÓ ÓÒ ØÝ ÐÐ Ø ØÓ ØÙ Ø Ø Ø ÐØ Ö Ó Ø Ô Ù Ò Ä Ù Ò ÎÁÁ ¾ ØØ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò ÎÁÁ Ä Ù ÎÁÁ Í Ò Ô Ø Ò Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù µ ÇÐ ÓÓÒ f n + 1 ÖØ ¹ Ö ÚÓ ØÙÚ ÚÓ Ñ ÐÐ ÚÐ ÐÐ A [a, b] Ñ [a, b] ÓÒ Ô Ø Ò x Ö ÐÐ Ø Ò Ô Ø ¹ Ò x 0,...,x m Ú Ö ØØÑ ÚÐ ÌÐÐ Ò Ó p ÓÒ Ó ÐÐ µ ÑÖ Ø ÐØÝ ÝÐ Ø ØØÝ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ø ØØ n Ò Ò ÓÐÐÒ ξ (a, b) ÔØ Ú Ö Ú f(x) p(x) = 1 (n + 1)! f(n+1) (ξ) m (x x i ) ν i = i=1 1 (n + 1)! f(n+1) (ξ) w(x). ÌÓ ØÙ µ ÂÓ x {x 1,..., x m } ÓÒ Ú Ø ØÓ ξ ÇÐ ÓÓÒ x x i i ÓØ Ø Ò Ø Ö Ø ÐÙÒ Ó Ø ÙÒ Ø Ó g(t) = f(t) p(t) Hw(t), H = [f(x) p(x)]/w(x). ÃÓ w (n+1) (t) = (n + 1)! t Ò Ò Ú Ö Ú Ú ØØ ØØ g (n+1) (ξ) = 0 ÓÐÐÒ ξ (a, b) ÑÑ Ò ØÑ ÓÒ Ó Ó Ø ØØÙ Ø Ô Ù m = 1, ν 1 = n + 1 Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù µ m = n + 1, ν i = 1 Ä Ù ÎÁÁ ¾µ Ð ÑÑ Ò Ø Ô Ù ÓÒ ÔØØ ÐÝ Ú Ø Ú Ñ Ö ÓÐ ÓÓÒ ν i = 2, i = 1...m, m 2, n = 2m 1. ÌÐÐ Ò Ó g(x i ) = 0, i = 1...m g(x) = 0 ÓÒ Ô Ø Ò x x i, i = 1...m ÚÐ ÐÐ ÚÓ Ñ ÐÐ ÚÐ ÐÐ ÙÐÐÒ g Ò ÒÓÐÐ Ó Ø Ý Ø Ò m Ôе ÌÓ ÐØ ÓÒ ÑÝ g (x i ) = 0, i = 1...m ÓØ Ò g ÐÐ ÓÒ ÚÐ ÐÐ [a, b] ÒÒ 2m ÒÓÐÐ Ó Ø Ì Ø ÙÖ ØØ ÒÒ Ý Ô Ø ξ (a, b) ÓÒ g (2m) (ξ) = g (n+1) (ξ) = 0 Ð Ú Ø ÓÒ ØÓ ÓÐ Ø ØÙ Ø Ô Ù Ð Ò Ò Ø Ô Ù ÚÙÙØ Ø Òµ ÐÐ Ø Ö Ø ÐÐÙ Ø Ô Ù Ó ν i = 2, i = 1...m ÒÓØ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ p ÙÒ Ø ÓÒ f À ÖÑ Ø Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ô Ø x i Ñ Ö ½ Ø Óµ ÅÓÒØ Ó Ø ÚÐ Ø ÓÔ Ø ØØ x i Ø ÖÚ Ø Ò Ó Ô Ø Ò ÚÐ ÝØ ØÒ ÓÐÑ ÒÒ Ò Ø Ò À ÖÑ Ø Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓØ Ê Ø Ù Ä Ù Ò ÎÁÁ ÑÙÒ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÚ Ö ÚÐ ÐÐ [x i, x i+1 ] ÓÒ Ò ÒØÒ F(x) p(x) max x [x i,x i+1 ] = max x [0,h] 1 4! (x x i) 2 (x x i+1 ) 2 M 1 4! x2 (x h) 2 M = Mh4, ½

35 ÎÁÁ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ó F (4) (ξ) M ÎÐ ÐÐ [1, 2] ÓÒ F (4) (x) 16/e ÓØ Ò Ú ØØÙÙÒ Ø Ö ÙÙØ Ò Ö ØØ ( ) 4 1 e N 51 N 1 À ÊÂÇÁÌÍËÌ ÀÌ ÎÁ ¾ ½ ÙÒ Ø Ó Ø f(x) Ø ØÒ f( 0.1) = 1.70 ± 0.05 f(0.2) = 1.80 ± f (x) 0 ÚÐ ÐÐ [ 0.1, 0.2] ÅÖ Ø ÑÓÐÐ ÑÑ Ò ÚÐ ÓÐÐ f(0) Ú ÖÑ Ø Ø ¾ ÙÒ Ø ÓÒ e x ÖÚÓØ ÓÒ Ð ØØÙ Ú Ò Ñ Ö Ø ÚÒ ÒÙÑ ÖÓÒ Ø Ö ÙÙ ÐÐ ÒÓÖÑ Ð ÔÝ Ö ØÝ µ ÚÐ Ò [0, 2] Ô Ø x i = i/100, i = ÖÚ Ó Ù Ò ÙÙÖ ÓÒ Ò Ø ÖÚÓ Ø Ð ØÙÒ µ Ð ÒÖ Ò µ Ú Ö ØØ Ò Ò¹ Ø ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ú Ö Ò ÒØÒ ÚÐ ÐÐ [0, 2] ÖÚ Ó Ö Ò ÔÝ Ö ØÝ Ú Ö Ò ÚÙØÙ Ö Ø ÚÐ ÐÐ (0, ) ÑÖ Ø ÐÐÝ Ø ÒÒ ÐÐ Ø ÙÒ Ø Ó Ø F Ø ØÒ ØØ F ÚÙØØ ÓÐÙÙØØ Ò Ñ Ò Ñ ÖÚÓÒ ÚÐ ÐÐ [1, 2] Ì ØÒ Ð ¹ ØØ F(0.5) = π F(1) = 1 F(1.5) = π/2 F(2) = 1 Ä F Ò Ñ Ò Ñ ÓÐÐ ¹ ÖÚÓÐÐ Ð ÖÚÓ ÝØØ Ò µ Ú Ö ØØ Ø ÒØ ÖÔÓ¹ Ð Ø ÓØ Ô Ø {0.5, 1, 1.5} µ Ú ÖØØ Ø ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓØ Ô Ø {1, 1.5, 2} µ ÓÐÑ ÒÒ Ò Ø Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓØ Ò Ð Ô Ø È Ö Ñ ØÖ Ø ÝÖ r = u(t) = x(t) i + y(t) j, t [a, b] ÔÔÖÓ ÑÓ ¹ Ò Ô Ø Ò (x(t i ), y(t i )), i = 0...n ÙØØ ÙÐ Ú ÐÐ ÑÙÖØÓÚ Ú ÐÐ r = v(t) = ˆx(t) i + ŷ(t) j (a = t 0 < t 1 < < t n = b) ÂÓ x(t) y(t) ÓÚ Ø ÚÐ ÐÐ [a, b] Ø Ø ÙÚ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ x (t) M y (t) M t i t i 1 h Ò Ò Ù Ò ÙÙÖ ÓÒ Ò ÒØÒ δ h = max t [a,b] u(t) v(t) Î ÖØ ÖÚ ÓØ ØÓ ÐÐ ÙÙØ Ò Ø Ô Ù x(t) = R cost, y(t) = R sin t, t [0, π] À ÐÙÖ ÐÐ Ú ÖÙ Ø ØØÙ Ò ÐÐÓ ØØØ ÚÙÓÖÓ Ù 5 Ñ Ò 24 à ÐÐÓ ÖÙ Ø Ò ÖØÑÐÐ ÐÙÖ Ò Ô ÓÐ Ú ÖÙÙÚ ÒÒ 5 ØÝØØ ÖÖÓ Ø ÓÐÐÓ Ò ÐÙÖ Ò Ú Ö Ñ Ò ÐÝ Ò µ ÊÙÙ Ò ÐÒ Ú Ø Ò Ð¹ ÐÓÒ ØÚÒ 3 Ñ Ò 36 ÚÙÓÖÓ Ù µ Å Ø Ò ÐÐÓ ÓÒ ÙÖ Ú ÖÙ ØØ Ú µ ÖÚ Ó Ù Ò Ø Ö ÐÐÓÒ ÝÒØ ØÙÐ ¹ ÓÒ ÖÙÙ ¹ ÐÐ Ó ÐÐÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò Ò ØÑ ÓÒ ÐÑÖ Ò f(x) = (1 x 400 ) 1/2 1 Ñ x = ÖÙÙÚ Ò ÖØÝÑ ÖÖÓ Ò µ Ó Ø Ø ÒÒÓ Ø Ñ Ø ØØÙ¹ Ò

36 ÎÁÁ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ø ØÖ ÔÓÐÓ ÐÙÚÙ Ø 7!...10! Ö¹ ÖÚÓ a = lim n n!e n n n 1 2 Ú ÖØ Ø Ö Ò ÖÚÓÓÒ a = 1/ 2π ÚÖØ Ñ Ö µ ÙÒ Ø ÓÒ sin x cosx ÖÚÓØ ÐÙØ Ò ÑÖØ ÚÐ ÐÐ [0, π/4] Ø Ò ØØ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓØ Ð Ø Ò Ò Ò Ö ØØÚÒ Ø Ö Ø Ó ÚÐ Ò Ø ÚÐ Ô Ø Ø Ò ÐÒ ÝØ ØÒ ÓÐÑ ÒÒ Ò Ø Ò À ÖÑ Ø Ò ÒØ ÖÔÓÐ ¹ Ø ÓØ Ô Ø Ò ÚÐ ÐÐ ÅÓÒØ Ó ÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ Ô Ø ØØ Ø ÖÚ Ø Ò Ó Ú ÖÒ ÐÐ Ø Ò ÓÐ Ú Ò Ò ÒØÒ ÌÓ Ø Ä Ù ÎÁÁ Ø Ô Ù m = n = 3, ν 1 = ν 3 = 1, ν 2 = 2 µ ÌÓ Ø Ô Ð ÙØÙ Ú µ Ò Ù Ø ÓÐÐ ½¼ µ ÇÐ ÓÓØ x 0,..., x n Ö ÐÐ Ô Ø Ø ÓÐ ÓÓØ ÐÙÚÙØ y i R, i = 0...n ÒÒ ØØÙ À ÐÙØ Ò Ð ÝØ ÙÒ Ø Ó ÑÙÓØÓ n F(x) = c j e jx, c j R j=0 Ø Ò ØØ ÔØ F(x i ) = y i, i = 0...n ÆÝØ ØØ ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÓÒ Ý ¹ ØØ Ò Ò Ö Ø Ù ½½ µ ÄÙ Ù ÓÒÓ {a n } Ñ a n = n k=1 k 5/4, n = 1, 2,... ÙÔÔ Ò ÑÙع Ø Ò Ò Ø Ø ØØ Ö¹ ÖÚÓ ÚÓ ÑÖØ ÙÓÖ Ò ÙÑÑ Ö Ñ ÐÐ ÎÓ Ò Ù Ø Ò Ò ÓØ Ù ØØ ÙÙÖ ÐÐ n Ò ÖÚÓ ÐÐ ÔØ a n = a + n 1/4 (c 0 + c 1 n 1 + c 2 n ). ÅÖ Ø ØÑÒ ÓÐ ØÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ö¹ ÖÚÓ a ÐÑÖ Ò ØÖ ÔÓÐÓ ¹ Ñ ÐÐ ØÙÐÓ Ø a 100 = a 200 = a 400 = a 800 = Î ÖØ Ø Ö Ò ÖÚÓÓÒ a = ½¾ µ ÆÝØ ØØ Ó ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó¹ÓÒ ÐÑ µ ÓÒ f (k) (x i ) = 1 ÙÒ i = j k = l (1 j m, 0 l ν j 1) f (k) (x i ) = 0 ÑÙÙÐÐÓ Ò Ò Ò ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÓÒ Ö Ø Ù m p(x) = L j,l (x) = q(x) (x x i ) ν i, Ñ q ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ ÑÙÓØÓ q(x) = ν j 1 r=l c r (x x j ) r ÈØØ Ð ÐÐ Ò ØØ ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó¹ÓÒ ÐÑ Ò µ Ö Ø Ù ÝÐ Ø Ô Ù ÓÒ i=1 i j p(x) = m ν i 1 f (k) (x i )L i,k (x). i=1

ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù

ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº

Lisätiedot

Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø

Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Å Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ Ý ØØ Ðк Å Ò Ø Ð Ú Ø ÚÙÙ ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Å Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ø Ô Ó Ò Ñ Ñ ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ô ØÙ Ý ØØ Øº ÂÓ Å Ò Ø Ð Ú Ø ÑÙ ÓÒ

Lisätiedot

ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ

ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º º ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø Ø ¹ÑÖ ØØ ÐÝ º¾µ ÚÓ Ú Ø Ø ÑÝ Ø Ò ÑÖ Ø ÐØÚ Æ Ñ ÒØÝ ÑÝ ³ ³¹Ñ Ö Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ò ÓÐ ÐÐ ØØÝ ØÝÔ ¹ÐÝ ÒØ º½µº ¾ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ

Lisätiedot

ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý

ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý ÈÖÓ Ð Ø Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ñ Ø ÐÐÒ ÔÖÓ Ð Ø Ð ÓÖ ØÑ º ÌÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÖÚ Ø Ò Ø Ø ØÒ ÓÐ Ó ØÙÐÓ Ò ÑÙ Ò Ö Ù ÙØ Òº ÖÓÒ Ô Ø ÖÑ Ò Ñ Ò ÓÒ ØØ ÒÝØ Ø Ö Ø ÐÐ ÖÓ Ú Ò Ð ÒØ ØÓ Ø Ø Ò ÙÙ ÐÐ ÖÚ Ù ÐÐ Ø ÖÚ ØØ º Ä ÓÒ Ö ØØ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ

Lisätiedot

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø È ÀÌ Ä Ì Ê ÙÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ

Lisätiedot

Ð ØÖÓÒ Ø Ñ ÙÚÐ Ò Ø Ì ÑÙ Ê ÒØ ¹ Ó À Ð Ò ¾ º ÐÓ ÙÙØ ½ Ë Ò ÙÔ Ò ÝÒÒ Ò Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Å Ù Ö Ø ÐÑØ ¾ ¾º½ ÆÝ Ý Ø Ñ Ù Ö Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely

Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑ Ò Ö ÒÒ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ø ÐРؽ ؾ Ø È Ð Ó ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ö ÒÒ Ì ØÓ ÓÒ Ô Ð Ò ÝØ Ñ Ò ÓÒ Ñ ÐÐ Ó Ø Ò ÙÚ ØØ ÐÐ Ø Ñ ÐÑ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò Ð

Lisätiedot

ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö

ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ý ÝÐÐ Ø ØÓÖ ÒØ Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ

Lisätiedot

Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»

Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½» Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½» Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓØ Ò ÐØ º Å Ø Ò Ô Ð ÓÒ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÙÐÙØØ ØÙÒÒ Ø Ò Ò Á Ä Ø Ò Ð Ò ØÙÒÒ Ø Ú ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ô Ù Ó Ð Ö Øصº Ä Ø Ò

Lisätiedot

È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»

È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾» È Ú Ö Ù ÆÈ Á à РÐÙÓ Ø È ÆÈ ÒÝØØÚØ ØÝ Ò Ö Ð ÐØ Ë ÐÚ Ø È ÆȺ µ È ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ º µ ÆÈ ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ú Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð ÓÒ

Lisätiedot

el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (

el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln ( ÈÙÓÐ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ô ÖÙ Ø Ø À Ì Øº ½º È ÖÖ ÔÒ¹ÔÙÓÐ Ó Ð ØÓ Ò Ò Ö ÚÝ Ñ ÐÐ ÙÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÂÓ ÓÒØ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò V 0 Ý ØÐ µ ÃÙÚ Ò ÚÙÐÐ µ Ù ÓÚ ÖØ Ý ØÐ Ø Ô¹ Ò¹ØÝÝÔ Ø Ò Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ö Ø ÓØ Ô¹ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÙÖ

Lisätiedot

À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø

À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø Ì ÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì Ó Ø ÐÐÒ ÓÒ ÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ö Ø Ú ÑÙØØ Ó Ò Ö Ø Ù Ú Ø Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ø Ð ØØ Ö Ø Ù ÓÐ ÝØÒÒ ÐÚÓÐÐ Ò Òº Í ÑÑ Ø ÓÐ ØØ Ú Ø ØØ ÆȹØÝ ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÙÑ ØØÓÑ ÒØÖ Ø Ð µ ÑÙØØ ØØ ÓÐ ØÓ Ø ØØÙº

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÇÐ ÓÔÓ Ø Ø ØÓÑ ÐÐ Ø Ø ØÓ ÒÒ Ò ÐÐ ÒØ Ö Ø ÐÑ ÖØÓ ÖÐÙÒ À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ

Lisätiedot

p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2

p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 º ÅÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ö ÒØ Ð Ð ÒØ º½ Â Ø ÙÚÙÙ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø Ù Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÒØ Ð Ð ÒØ ÐÑÔ Ø Ð ÓÒ Ò Ô Ò ÙÒ Ø Ó T(x, y, z.t) ÄÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ÐÑÓ ØØ Ñ Ò ÙÙÒØ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ú ÚÓ Ñ ÑÑ Ò Ù Ò Ð ÐÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ½½ ÃÓÓÖ

Lisätiedot

Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø

Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ØÓÖ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð

Lisätiedot

Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»

Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½» Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½» ÃÙÖ Ò ÐØ Ø ÐØÙ ÐØ ½ ¾ Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò ÄÙÓ È ÄÙÓ ÆÈ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ ÆȹØÝ ÐÐ ÔÖÓ Ð ÑÓ Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÄÙÓ ÈËÈ Ë Ú Ø Ò Ð Ù Ñ Ö ÈËÈ ¹ØÝ ÐÐ Ø

Lisätiedot

{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.

{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. Ä Ø ÓÓ Ø Ø º º Ä Ø ÓÓ Ø Ø Å Ø Ñ Ø ÓØ ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ù Ò ÓÙ Ó ÑÔÐ ØØ ÐÐ ÒÓØ Ø ÓÐÐ Ò ÙØ Ò {(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. À ÐÐ Ø Ö Ó Ú Ø Ú Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ØÓ ÐÐ Ò Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÒØ Ò Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ð Ø

Lisätiedot

Symmetriatasot. y x. Lämmittimet

Symmetriatasot. y x. Lämmittimet Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ ¹ÖÝ ÑĐ» ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó ÅÍÁËÌÁÇ ÆÓ»Ì ÊÅǹ ¹¾¼¼¼ ÔÚÑ ½¼º Ñ Ð ÙÙØ ¾¼¼¼ ÇÌËÁÃÃÇ Ø Ú ÒعØÙÐÓ ÐÑ Ð ØØ Ò ¹Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò ÖØ Ø ØÙØ ØÙÐÓ ÐÑ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ä ÌÁ ̵ ÂÙ Ú Ó Ð ¹ÂÙÙ Ð

Lisätiedot

(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).

(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc). ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙ Ø ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ØÐ ÐÐ x + 1 = 0 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ó Ó Ò Ö Ð ÐÙ¹ ÚÙÒ ØÓ Ò Ò ÔÓØ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº ÂÓØØ ØÐÐ Ý ØÐ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ù Ñ Ò ØÝØÝÝ Ð ÒØ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ð ÑÐÐ Ò ÙÙ Ð Ó Ñ Ö ØÒ Ø¹ Ø ØÓ Ø

Lisätiedot

:: γ1. g 1. :: γ2. g 2

:: γ1. g 1. :: γ2. g 2 ÌÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ¹ Ý ÝÑÝ Ø º º¾ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ý ÝÑÝ Ð Ø x g Ò e? :: α Ö Ø Ø Ò ÓÐ ÐÐ Ø ÑÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ØØ ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙØØ À ÐÐ ÝÐ Ø Ò ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ ÐÑ ÒØÙ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ð Ó º Ë Ø ÑÙØ ÑÑ Ò ÑÓÒ Ý ÝÑÝ Ð Ø p g Ò e? ::

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º ÂÓ ÒØÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ØØ ÐÝÝÒ Ê¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ ÒÒ Ç Ö Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÐÓ ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º

Lisätiedot

139/ /11034 = 0.58

139/ /11034 = 0.58 ÄÙ Ù ÂÓ ÒØÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÝÒ º½ Ì Ð ØÓÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÐÙÓÒÒ Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÔØØ ÐÝ ØØ Ð Ú ÒØÓ Ò Ú Ø ÐÙ ÔÚ ÖÑÙÙØØ º ÓÐ Ø ØÒ ÐÚ ØØ ØÙÓÐÐ Ø Ø ÚÓ Ò Ø¹ Ø Ñ ØÒ Ø ÑÐÐ Ø Ø Ø Ø ÐРغ Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÓÒ ÓÑ

Lisätiedot

Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ

Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ à ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Ò ÝÚÝÝ Ð ÒØ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ã Ö Ì ÑÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ

Lisätiedot

F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.

F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}. Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½

Lisätiedot

à ÑÖ Ò ÙÙ Ò ÙÒØÓÐ Ò Ò ÓÖ ÓØ ÓÒ ÓÖ ÓÑ Ö Ò Ð Ò ÑÖÝØÝÑ Ò Ò ËÁË ÄÌ ËÁË ÄÌ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ ÌÙØ ÑÙ Ý ÝÑÝ ØÙØ ÐÑ Ò Ö ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÙÒØÓÐ Ò Ñ Ö Ò Ø ËÙÓÑ º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý

ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý Ä Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÑ Ò Ò Ð Ñ Ô Ð Ò ÚÙÐÐ Î ÐÐ Ã ÒÒÙÒ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø

Lisätiedot

d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j

d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j ¾º¾º ÁÌÇÁÆÌÁ Ì ÁË Æ Ä Ëà ÅÁÆ Æ ¾ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÌÌÈÈÈÌÄÌÅÈÈ Ò Ù Ø¹Öݹ¹ Ò¹¹¹Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÙ ØØ ÐÓ Ò Ù ØÖÝ d ǫ ÒØ ÖÝ ǫ e ÒÙ ØÖÝ u ǫ ÒØ Ö Ý y s Ò ØÖÝ s ǫ ÒØ Ö ǫ t ÒØÖÝ ǫ e ÒØ Ö Ø ¾º¾ ØÓ ÒØ Ø ÝÝ Ò Ð

Lisätiedot

Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç Å ÖØØ Ì Ò Ö ¾ º½º¾¼½½ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ

Lisätiedot

F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.

F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }. Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½

Lisätiedot

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È ÂÇÆÁ È ÀÄ Å ËÁÆÁÅ ÄÄÁÆÆÍÃË Æ È ÊÍËÌÍÎ ÅÍËÁÁÃÁÆ Ë ÆÌ ËÁ Ã Ò Ø ÒØÝ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ ÃÓÒ Ø ÃÓÔÔ Ò Ò ½½º ØÓÙ Ó ÙÙØ ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ

Lisätiedot

1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).

1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i). ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½

Lisätiedot

ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º

ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º ÂÓ ÒØÓ ½ ½ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ ÐÐ ØÙØÙ ØÙØ Ò Ô ÖÙ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ö ØÝ Ø Ñ Ø Ò ÖÓ ØÙØÙ Ø Ø Ð Ô ÖÙ Ø Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ø À ÐÐ ÓÐÐ ÓÒ Ô Ó Ó ÐÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø º ½ ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º Šع¾º ½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø º½º¾¼¼ Ì Ø ÐÙÒ ÑÙÐÓ ÒØ ÑÔÙÑ Ø ÖÚ Ò Ö Ø ÐÑ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ø Ó ÙÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Â ÒÒ Ä ØÓÒ Ò ¼¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ

Lisätiedot

Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò

Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÓØ Ò Ò Ó ÐÑ ØÓØ Ò µ ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ

Lisätiedot

3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto

3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ö Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ¹ Ö Ò Ô ÖØÑ Ò Ò ÙÚ Ø Ò Ù Ò Ð Ù Ù Ò Ò Ô Ô Ð Ò µ ÚÙÐÐ Ö Ð Ù Ù Ò Ö Ø ØÓ ÙÐ Ð Ù Ù Ò Ò Ö Ú Ò ÙØØ ÒÒ Ò Ù Ò Ô ÖÖ ØÒ ÖÙÙ ÙÐÐ Ö

Lisätiedot

ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø

ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ìº à ÖÚ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ½» ½½ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì

Lisätiedot

k(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x)

k(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x) Ì ÊÅÇ ÁÂ ÍËËÁÆ ÈÊÇË ËËÁÌ Ê Ê ËËÁÇ Æ Ä ËÁËË Ã Ò Ø ÒØÝ Ç ÝÐ Ø ÒØØ À ÖÖ Ä Ñ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ À ÀÙØØÙÒ Ò ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓØ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ Ì ÊÅÇ ÁÂ Ù Ò ÔÖÓ Ø Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ã Ò Ø ÒØÝ

Lisätiedot

F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º

F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½

Lisätiedot

Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð

Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÖÓ Æ Ñ Ð ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø

Lisätiedot

x (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W =

x (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W = Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ º Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø Ø Ð ÙÙ Ì ÐÙÚÙ Ø ÑÑ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ø Ô ÒÓÖ Ø Ù Ò Ø Ð ÙÙ Ø Ö Ø ÐÙ¹ ÒÝØ ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö ÐÙÖ Ý Ø Ñ ÐÐ Ô ÐÐ Ò ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò Ó Ó Ð Ø ÝÐ Ô Ò ÓÐ Ú ÐÙÖ º ÂÓ

Lisätiedot

½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¹ØÖ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÒØ Ñ Ð ÚÝÐÐ Â Ó Å ÐÚ Ö À Ð Ò ¾¾º½¼º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø

Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø È ÚÓ È Ö Ò Ò Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÓØ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ

Lisätiedot

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ì ÖÓ ÃÓ Ó Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÌÙÖÙÒ Ð ÓÔ ØÓ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ

Lisätiedot

f(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2

f(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2 Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ

Lisätiedot

Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ

Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ Ê ÑÓ È Ø Ò Ò ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ¾ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò

Lisätiedot

ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼

ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ Å Ð Ë Ú Ð ÂÓ ÒØÓ Ð Ø ÓÖ Òº ØÖ ÙØ Ú Ø Ð Ø ÔÐÓÑ ØÝ ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ ÁÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ ÐÙÓÒÒÓÒØ

Lisätiedot

T 2. f T (x)e i2π k T x dx. c k e i2π k T x = x dx. c k e i2π k T x = k Z. f T (x) =

T 2. f T (x)e i2π k T x dx. c k e i2π k T x = x dx. c k e i2π k T x = k Z. f T (x) = º ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÙÖÖ Ò ÒØÖÐ Ð Ù ¹ ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(x) PC(R) º½ ÓÙÖÖ¹ Ò ÐÝÝ º ÒÐ Òµ ÅÖ Ø ÐÐÒ T ¹ ÓÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f T (x) = f(x), T 2 < x < T 2, ÃÓÑÔÐ Ò Ò ÓÙÖÖ¹ÖÖÓ Ò c k = 1 T T 2 T 2 f T (x)e i2π k T x dx.

Lisätiedot

a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº

a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº ÄÙ Ù ÐÙ Ø ÂÙ Ä Ö ÂÓÙÒ È Ö ÓÒ Ò ÄÙ ÐÐ ÌÑ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÂÓÙÒ È Ö Ó Ò ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¾¼¼ ÂÙ Ä Ö Ò ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ô ØÑ Ò ÄÙ Ù Ð٠ع ÙÖ Ò ÐÙ ÒØÓ Òº ÅÓÒ Ø Ò Ò Ò Ñ Ø ¹ Ö Ð ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú ÓÒ Ñ ØØ ÐÐ ÐÙ ÒØÓ ÙÖ ÐÐ Ð ÑÙ

Lisätiedot

0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx)

0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx) Å ÌȽ ¼ ËÝÑ ÓÐ Ò Ò Ð ÒØ ¾ ÓÔ ½ Ð Ø ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ Ø ÐØ ËÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒÒ Ò ÙÖ ÐÐ ÓÔ Ø Ò Ø ØÓ ÓÒ Ò ÝØØÑ Ø ÔÙÚÐ Ò Ò Ñ Ø Ñ ØØ ÓÒ ÐÑ Ò¹ Ö Ø Ù º ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÒØ Ô ÖÙ Ú ÐÑ Ù Ø ÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒØ Ò Ö Ó ØÙÒ Ò Å Ø Ñ ¹

Lisätiedot

Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ

Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ Á Å Ö Ò Ò À Ò ½½º º¾¼¼ Ç Ñ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò

Lisätiedot

Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼

Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼ Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ë ÎÇÄ ÁÆ Æ ÇÄÄÁ

Lisätiedot

È ÌÀÇƹÇÀ ÄÅÇÁÆÆÁÆ ËÇÎ ÄÄÍÃËÁ Å ÌÊÁÁËÁÄ Ëà ÆÌ Æ ÌÁÄ ËÌÇÌÁ Ì Ë Æ Â ÆÍÅ ÊÁË Æ Å Ì Å ÌÁÁÃÃ Æ ÄÍÃÁÇÄ ÁËÁÄÄ Ì Ò Ï ÐÐ Ö ¹Ä Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Å ÖÖ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ÐÔ Ð Ú Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÑÓ ÙÐ ¹ Ö Ó ÒØ Ì ÑÓ ÌÙÓÑ Ò Ò À Ð Ò ½º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö Ø ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ

Lisätiedot

ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º

ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½

Lisätiedot

A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =

A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) = ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º

Lisätiedot

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú ËÍÎÁ ÄÌÁÇ ÈÁÊà ÆÅ ÄÄ ¾¼¼ ¾¼¼ Ì È ÀÌÍÆ Á Æ ÄÁÁà ÆÆ ¹ ÇÆÆ ÌÌÇÅÍÍÃËÁ Æ Æ Ä ËÇÁÆÌÁ ËÎ ÊÃÃÇÂ Æ ÎÍÄÄ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø Ð ÓÔ ØÓÒÐ ØÓÖ Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ

Lisätiedot

Ì ÓÚ Ö ÓØ Ð Ò Ã ÐÐÙÒ Å Ø Ñ Ø Ò ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ À ØÓÖ ¾ Î Ö ÓØ ÓÖ ¾º½ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n

x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n ÇÈÌÁÅÇÁÆÆÁÆ È ÊÍËÌ Ì Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ¾ º ÝÝ ÙÙØ ¾¼¼ ¾ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ØÙØÙ ØÙØØ Ø Ú ÐÐ ÑÔ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ò ÝØØ Ò ÓÚ ÐÐÙØÙ º ÃÙÖ Ñ Ø Ö Ð ÒØÙÙ Ò Ð Ò Ö Ó Òº ÐÙ ÐÝ Ý Ø ÖÖ Ø Ò Ñ ØÖ Ð Ö Ø

Lisätiedot

N = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º

N = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º Å Ì ¾¾ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ã ¾¼½¼ ÌÑ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÙÖ ÐØ Ó ÐØ Ä ÃÙÖ ØÙÒ Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ Ò ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ò ÓØ ÒÒ ØØ ÐÙ Ñ Ð Ô ØÓ¹ ØÙ Ò Ð Ý ØÝ Ó Ø º Ë ÐØ ½º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ½º½º ÄÙ Ù Ö Ø ÐÑØ ½º¾º  ÓÐÐ ÙÙ ½º º Ð

Lisätiedot

Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta Ë ÑÓ À Ð Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¼º

Lisätiedot

Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò

Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò Å ÈÙÐ Ò Ò ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÓØ Ò Ò Ò Ø ÒØÙØ ÐÑ ¾ º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù

Lisätiedot

M Pv + q = 0, M = EIκ = EIv, (EIv ) + Pv = q. v(x) = Asin kx + B cos kx + Cx + D + v p. P kr = π2 EI L n

M Pv + q = 0, M = EIκ = EIv, (EIv ) + Pv = q. v(x) = Asin kx + B cos kx + Cx + D + v p. P kr = π2 EI L n ÄÙ Ù ½ ËØ Ð Ù Ú Ó Ó ÐÑ ½º½ ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ Ì Ô ÒÓ ÓØ Q v + q =, M = Q, ½º½µ ÑÑÓ ÐÐ ÙÚ ÐÐ M v + q =, M = EIκ = EIv, (EIv ) + v = q. ½º¾µ ½º µ ½º µ EI = Ú Ó ÆÙÖ Ù ÚÓ Ñ v (4) + k v = q EI, k = EI,

Lisätiedot

F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º

F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½

Lisätiedot

2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. x1 = 2 x 2 = 5. 2 ( 2)+5 = = 3. 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f

2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. x1 = 2 x 2 = 5. 2 ( 2)+5 = = 3. 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f Ä Ò Ö Ð Ö Á ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ ØØ Ø Ò Ø Ø Ò Ð ØÓ ¾¼½½ ÂÖÚ ÒÔ Ã Ö Ó ØØ ÒÙØ ÌÙÙÐ Ê Ô ØØ ¾ ½ Ä Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ½½ Ñ Ö µ Ê Ø Ý ØÐ 5x = 7 Ã ÖÖÓØ Ò Ý ØÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÙÚÙÐÐ 5 1 ÓÐÐÓ Ò Ò 5 1 5x = 5 1 7 Ð x =

Lisätiedot

ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð

ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ì ÑÓ Ã ÖÚ ¾º½½º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ ¾º½½º¾¼¼ ½» ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ

Lisätiedot

ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼

ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼ ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼ ÌÝ Ò Ó À ÒÒÙ Â ÓÐ ÌÝ Ò Ø ÒÓ Åº Å Ø Ð ÅÓÓ Ð ÑÓÒ ÙÐØØÙÙÖ Ò

Lisätiedot

139/ /11034 = 0.58

139/ /11034 = 0.58 Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ

Lisätiedot

λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.

λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin. Šع¾º½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø ¾¼¼ ¹¼¾¹½¾ Ì Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ø Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÐÐ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Ä ÙÖ ÂÙ Ò Ã Ò ¼¼ È Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ

Lisätiedot

Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ

Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË Ì ÑÓ Ã ÖÚ º½¾º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË º½¾º¾¼¼ ½» Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ

Lisätiedot

Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø

Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø Ä Æ Ä ÍÃÃÇÆ Æ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ØÓØ Ø Ò Ú Ö Ø Ö Ø ÐÙ ÓÔ ÒØÓ¹ Ñ Ò ØÝ Ò Ú ÙØØ Ú Ò Ø Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÈÄÇÅÁÌ ÝÚ ÝØØÝ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ó ØÓÒ ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ º½½º¾¼¼ º Ì Ö Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ë ÔÔÓ ÈÓ ÓÐ Ò Ò ØÙØ Å ÀÙ ÓÐ

Lisätiedot

A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061

A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061 JORMA JOUTSENLAHTI Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä 1990-luvun pitkän matematiikan opiskelijoiden matemaattisen osaamisen ja uskomusten ilmentämänä AKATEEMINEN VÄITÖSKIRJA

Lisätiedot

¾º C A {N A } K N A º A B N B

¾º C A {N A } K N A º A B N B Ú ÒØ Ò ÐÐ ÒØ ØÓ ÒÒÙ Ø Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ó ÔÙÓÐ Ø ÚÓ Ú Ø Ó¹ Ô Ð Ø Ú Ñ Ø ØÓ ÒØ ØÓ Ò º ÌÐÐ Ò Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ð ØØÝÝ Ù ÑÔ Ò Ø ØÓØÙÖÚ ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ò ÑÑ ¹ Ò Ú Ò ÒÒ Ò Ù Ò Ú Ö Ò Ò Ò ØÓ Ñ ÒØ Ñ Ö Ø Ó

Lisätiedot

º F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й

º F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½

Lisätiedot

Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon

Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon Å Ö ÃÓÑÙ Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon Sähkötekniikan korkeakoulu ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¾º¾º¾¼½ º ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ

Lisätiedot

 ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð

 ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÒÒ ¹Ã Ð Ø ÐÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼  ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ

Lisätiedot

ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ

ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ò ² Ö Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø

Lisätiedot

arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos

arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos hyväksymispäivä arvosana arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki 12.4.2007 HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET

Lisätiedot

MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,

MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2, ËÁË ÄÌ Ú º º½ Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö Ø ÝØØ Ø Ò ØØ Ò ÙÚ Ù ÐÓ Ô ÖÙ Ø Ò Ò Ñ¹ Ö ØØ ÐÝ Û È ØÖ Ä Ò Ö Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç

Lisätiedot

X = 0I A0 +1I A1 +2I A2 +3I A3 = 1I A1 +2I A2 +3I A3. {X(ω) = r}º

X = 0I A0 +1I A1 +2I A2 +3I A3 = 1I A1 +2I A2 +3I A3. {X(ω) = r}º ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º

Lisätiedot

ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½

ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½ Ê Ã ÆÆÍËÌ ÃÆÁËÌ Æ ÇÄÇ ÁËÌ Æ Â ÁÄÅ ËÌÇÄÄÁËÌ Æ Ì ÃÁ Á Æ Î ÁÃÍÌÍË ËÍÆÌÇÂ Æ ËÁË ÁÄÅ Æ Ê ÇÆÈÁÌÇÁËÍÍÌ Æ ÌÓÔ Ã ÒÒÙÒ Ò Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð Ý ÒØØ Ð Ø ÒÖ Ð Ø ÒØØ Ì Ò À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

(AB) ij = p. k=1 a ikb kj. AA 1 = A 1 A = I.

(AB) ij = p. k=1 a ikb kj. AA 1 = A 1 A = I. Ð ÙÓ ÙÖ Ø Å˹ ½ ¼ ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ A A = 0 0 2 0 0 2 ÐØÓ Ð ÓÔ ØÓ È ÖÙ Ø Ø Ò ÃÓÖ ÓÙÐÙ Å Ø Ñ Ø Ò ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼½ ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ ÙÙ ÐÐ Ò Ý ÝÐÐ ¾¼½

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÈÓÐÙÒ Ø ÒØ Ù Ò ÒØ Ò ÝÑÔÖ Ø Ô Ð È Ä ÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ ÄÙùØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç

Lisätiedot

P(E i ) P( ) = 0. P(A A c ) = P(A)+P(A c ) = 1. P( ) = 1 P(Ω) = 0. P(E 1 E n ) = P(E 1 )+ +P(E n ). i=1. i=1

P(E i ) P( ) = 0. P(A A c ) = P(A)+P(A c ) = 1. P( ) = 1 P(Ω) = 0. P(E 1 E n ) = P(E 1 )+ +P(E n ). i=1. i=1 È Ò Ò ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ËÙÑÑ Ò Ò ½ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÖ ¾ ¾º½ Ë ØÙÒÒ ÙÙ ØÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÓÐÐ Ò

Lisätiedot

Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÇÐÐ ¹È ÀÙÓÚ Ð Ò Ò Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò

Lisätiedot

Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ

Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ð Ò ½½º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼¾ ÂÝÚĐ ÝÐĐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº

Lisätiedot

x α 1... x (v ṽ)φdx = 0

x α 1... x (v ṽ)φdx = 0 Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ÔØ ÐÐ ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ì ÑÙ ÅÙ ØÓÒ Ò ½ ½ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ñ Ø Ø Ø Ò Ø ÙÒØ Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒ

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒ ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÄÙÓØØ ÑÙ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÒØ ÖÒ Ø¹ ÓÚ ÐÐÙ ÐÐ È Ø Ö Ë ÐÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ÖØ Ð À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ

Lisätiedot

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ̺ à ÖÚ ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ½» ½ Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò

Lisätiedot

P(r, ϕ t) = P(z, e it ) = 1 z 2 e it z 2, Ñ z = reiϕ. f(z + re iϕ )dϕ. f(z) = 1. f(z) f(z 0 ).

P(r, ϕ t) = P(z, e it ) = 1 z 2 e it z 2, Ñ z = reiϕ. f(z + re iϕ )dϕ. f(z) = 1. f(z) f(z 0 ). ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÁÇ À Ê Æ Î ÊÍÍÃËÁËË ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Â ÖÑÓ Å Ð À Ð Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ù Ø ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ËÙ ÖÑÓÒ Ø ÙÒ Ø ÓØ Ð Ò ØÙÐÓ ¾º½ Ò ÐÝÝØØ Ø ÙÒ Ø ÓØ º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ À Ò Ñ Ò Ñ Ó Ø ÓÖ Ø Ò Ö Ñ ÐÐ ¾º½ ËÔÓÒØ Ò ÝÑÑ ØÖ Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º½ Ö ØØ ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ À Ò Ñ Ò Ñ Ó Ø ÓÖ Ø Ò Ö Ñ ÐÐ ¾º½ ËÔÓÒØ Ò ÝÑÑ ØÖ Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º½ Ö ØØ ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º Ë Ó ËÝÑÑ ØÖ Ö Ó Ì Ò ÚÖ Ø ÓÖ Ó Å ØØ À Ò ÑÓ Ñ Ô º ÝÙº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ý Ò Ð ØÓ ½¾º ÀÙ Ø ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ À Ò Ñ Ò Ñ Ó Ø ÓÖ Ø Ò Ö Ñ ÐÐ ¾º½ ËÔÓÒØ Ò ÝÑÑ ØÖ Ö Ó º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

f(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0.

f(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0. Ú ËÁË ÄÌ ½¾º ËÙ Ø ÐÐ Ø Ò Ó ÙÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º ÇØÓ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½¾º Å Ò Ò ÙÑ Ø Ú Ô ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º º º º º º º º º º

Lisätiedot

Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta Ä ÊÓÔÔÓÒ Ò Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú

Lisätiedot

(xy)z = x(yz) λx = xλ = x.

(xy)z = x(yz) λx = xλ = x. ÄÙ Ù ½ ÐÙ ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ ÝØ ØØÚ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Ø ØÓ Ò ØØ Ðݹ Ø Ø Ò Ð ØÓ Ò ÓÔ ÒØÓ ÓÐÐ ÙØÓÑ Ø Øº ÅÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÖ Ú Ò Ð Ø Ò Åº º À ÖÖ ÓÒ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÖÑ Ð Ä Ò Ù Ì ÓÖݺ ÓÒ¹Ï Ð Ý ½ º º º

Lisätiedot

P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,

P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1, ËÁË ÄÌ º º½ º º¾ º º º º Ú Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò

Lisätiedot

Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta È Ä Ø Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò

Lisätiedot

Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ

Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ ÂÝÖ Ä Ò Ò Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½ º ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ

Lisätiedot

º A, B E A B E. A B = A B. A k E, k N k=0 A k E. p(b) = m N,

º A, B E A B E. A B = A B. A k E, k N k=0 A k E. p(b) = m N, Ì Ð ØÓÑ Ø Ñ Ø Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÇÙÐÙ ÙÐØÝ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý Ú ÓÒ Ó Å Ø Ñ Ø Â ÒÙ ÖÝ ¾¼¼ ¾ ÔØ Ö ½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ø ½º½ Ë ØÙÒÒ Ó ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ò Ø Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ ØØ Ñ Ø Ñ ØØ Ñ Ò Ø Ð¹ Ñ ÙÚ Ñ Ò Ø Ø Ó Ø

Lisätiedot