Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º

Transkriptio

1 Ê ÒØ Ò Ø Ð ÙÙ Ø ÓÖ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Å Ö Ù ÌÙÓÑ Ð ϕ v N N

2 Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾º½ ÂÓÙ ÐÐ ØÙ ØØÙ Ô Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º¾ Ã Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ñ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º ÂÓÙ ÐÐ ØÙ ØÙÒ Ô Ð Ö Ò Ö ÐÐ Ò Ò ÖØÝÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½º¾º Ê Ø ÓÒ ÐÔ ÐÝ ÒØ Ñ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ¾ Ì Ô ÒÓÔÓÐÙØ Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ÑÙÓØÓÚ Ö Ø ½ ¾º½ Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ý Ø Ñ Ø Ð Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð º º º º º º º º º º º ½ ¾º½º½ ÅÙÓØÓÚ Ö Ò Ú ÙØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾ Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ý Ø Ñ Ô Ø Ð Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð º º º º º º º º º ¾¼ ¾º¾º½ ÅÙÓØÓÚ Ö Ò Ú ÙØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ý Ø Ñ Ô ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð º º º º º º ¾ ¾º º½ ÅÙÓØÓÚ Ö Ò Ú ÙØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ ½ º½ ÈÙÖ Ø ØÙÒ Ø ÚÙØ ØÙÒ ÙÚ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ì Ô ÒÓÑ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Ô ÝÝ Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Ê ØÞ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º¾ Ò Ö Ö Ø Ö Ò ÑÙÙÒÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö Ò Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Ê ÙÒ ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º È Ö Ø Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó Ò Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ä Ù ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ú ÙØÙ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò º½ Ì ÔÙÑ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º à ÑÑÓØÓÒ ÒÙÖ Ù º½ Ì Ò ÒØØ ÑÓ ÙÙÐ Ø ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ã Ó ÑÓ ÙÙÐ Ø ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ë ÒÐ ÝÒ Ø ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

3 ËÁË ÄÌ º º½ Ë ÒÐ ÝÒ Ñ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÈÙÖ ØÙ ÙÚÓ Ò Ñ ØÓ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÈÙÖ Ø ØÙÒ ÙÚ Ò ÔÐ Ø Ò Ò Ñ Ò Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð Ù ÒÒ ØÝ Ø Ò Ú ÙØÙ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ Á¹ÔÓ Ð Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ à ÑÑÓ Ø ØÙ ØØÙ ÙÚ º½ ÂÓÙ ÐÐ ØÙ ØØÙ ÙÚ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ à ÑÑÓ ÐÐ ÐÙ Ø ÐÐ ÓÐ Ú Ô Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º½ Ð Ò Ò Ø Ô Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Â Ø ÙÚ Ò Ô Ð Ò Ò ÒÙÖ Ù ½¼ º½ ÅÓÑ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ Ë ÖØÝÑÑ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾½ Ë ÖØÝÑ Ò Ú ÙØÙ Ò ÔÐ Ø Ò Ö ÙÓÖÑ Ò ½¾ ½ ÎÒØ ÒÙÖ Ù Ú ½º½ Ã Ø ÔÙÖ Ø ØØÙ ÙÚ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ú ½º½º½ Ã Ó ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÔÓ Ð Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ü ½º½º¾ Ð Ò Ò ÔÓ Ð Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ü ½º½º Ò Ð Ò Ù Ø Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÔÓ Ð Ù º º º º º º º º º º Ü ½º¾ ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ü Ú ½º¾º½ Ô Ò Ò ÔÙÖ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÜÚ ½º ÎÒØ ÒÙÖ Ù Ø ØÚÒ Ö Ø Ù Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ º º º º º º º º º º º º ÜÚ ½¼ Ã Ô Ù ½ ½¼º½ Ã Ô Ù Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½¼º¾ Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½¼º¾º½ ÈÓØ ÒØ Ð Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½¼º¾º¾ Ø ØØÝ ÚÒØ ÒÙÖ Ù Ô Ù º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½½ Ä Ø Ò ÐÓÑÑ Ù ½ ½½º½ Ä Ø Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò Ö Ø Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½½º½º½ Ä Ø Ò Ö ÙÒ ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ ½½º½º¾ Ì Ø ÔÙÖ Ø ØÙÒ Ð Ø Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò Ö Ø Ù Ö Ð ÐÐ Ö ÙÒ Ó ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½½º¾ ÄÓÑÑ Ù Ø ØÚÒ Ö Ø Ù Ö Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ º º º º º º º º º º º º º ½ ½½º Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ ½½º ÂÝ Ø ØÝÒ Ð Ø Ò ÐÓÑÑ Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ½½º º½ Ò Ò Ý Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ½½º º¾ à ÝÑÑ ØÖ Ø Ý Ø ØØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ½½º º ÂÝ Ø Ø ÓÐÑ Ø Ù ÑÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ½½º º ÈÓ ØØ Ø Ô Ø ØØ Ø Ý Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼

4 ËÁË ÄÌ ½¾ Ä Ø Ò ÔÐ Ò Ö Ò Ò Ò ÐÝÝ ¾½ ½ ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù ¾¾ ½ º½ ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÔÝ Ö Ý ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÐÓÑÑ Ù º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ½ º½º½ Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ½ º¾ Ä Ò ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¼ ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½ º º½ ÈÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ò Ú Ö Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÝÐ Ø Ø Ô ÒÓ ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½ º º½ È Ò ÙÓÖÑ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò ØÓ Ò Ò Ú Ö Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù Ö Ð ÙÓÖÑ ØÙ Ø Ô Ù º º º º º º º º º ¾ ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÝÐ Ö ØØ Ò Ò Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾

5 Ú ËÁË ÄÌ

6 ÄÙ Ù ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø ËØ Ð ÙÙ Ø ÓÖ ÐÚ Ø ØÒ Ñ ÐÐÓ Ò Ð Ø Ð Ø Ø Ô ÒÓØ Ð ÓÒ Ø Ð Ð Ú Ø Ð Ð Ð ÔÚ º Ê ÒÒ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ ØÙØ Ø Ò Ö ØÝ Ø Ó Ò Ö ÒØ Ò Ø Ø¹ Ø Ø Ø Ð ÙØØ º Ä ÒØÓ¹ Ú ÖÙÙ Ø Ò Ø Ø Ò Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ð Ò Ø Ý Ø Ñ Ò ÝÒ Ñ Ø Ø Ð ÙØØ º Ë ÙÖ Ú ØÝ ØÝØÒ Ó Ò Ö ÒØ ¹ Ò Ø ØØ Ò Ø Ð Ù Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Òº Ê ÒØ Ò ØÝÝÔ Ø Ø Ð Ù Ò Ñ Ò ØÝ Ø Ú Ø Ö ÔÔÙ Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ ÐÑ Ø ÒÙÖ Ù Ô Ù ÚÒØ ÒÙÖ Ù ÐÓÑÑ Ù ÙÚ ½º½º Ì Ô ÒÓØ Ð Ò ÐÙÓÒÒ ÚÓ ÓÐÐ Ø Ð Ð Ð Ô Ø Ð µ Ø Ò Ö ÒØØ º ÓÒ Ú ÒÒÓÐÐ Ø ØØÙ ÙÚ Ò ½º¾ Ô ÐÐÓÒ ÐÙ Ø Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò Ý Ø Ñ Ò ÚÙÐÐ º ÃÙÚ Ò ½º¾ Ø Ô Ù Ø Ô ÒÓØ Ð ÓÒ Ø Ð Ô ÐÐÓ Ô Ð ÖØÝÒ Ø Ñ Ø ÙÔ Ò ÔÓ ÐÐ º ÃÙÚ Ò ½º¾ Ø Ô Ù Ø Ô ÒÓØ Ð ÓÒ ÔÙÓÐ Ø Ò Ð Ð Ô Ò Ò Ö ÙØØ Ô ÐÐÓÒ Ö ÐÐ Ò ÔÓ Ñ Ò Ø Ô ÒÓØ Ð Ø º ÃÙÚ Ò ½º¾ Ô ÐÐÓÒ Ø Ô ÒÓ Ñ ÓÒ Ò ¹ Ö ÒØØ Ð ÓÒ ÚÐ ÒÔ ØÑØ Ò Ô Ò ÐÐ Ö ÐÐ º ËØ Ð ÙÙ Ø ÓÖ ÝØ ØÒ Ù Ò ÙÖ Ú ØØ Ø È ÖÙ Ø Ð ÓÒ Ö Ø ÐÑÒ Ð ÙÔ Ö Ò Ò Ø Ô ÒÓØ Ð º À Ö ØØÝ Ø Ð ÓÒ Ö Ø ÐÑÒ Ø Ð Ö Ò ÙØØ Ñ Ò ÑÙÙØÓ Ò Ð Òº À Ö ÓÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÑÔÙÐ ÙÓÖÑ Ò ÑÙÙØÓ Ø Ö ÒØ Ò ÔØÝ ÐÐ ÝÝ ÑÙÓØÓ¹ Ú Ö µº ÈÓ Ñ ÓÒ ÓÒ Ö ØÝÒ Ø Ð Ò Ô ÖÙ Ø Ð Ò ÖÓº Ê ÒØ Ò Ø Ð Ù Ò ØÙØ Ñ Ò ÚÓ Ò ÝØØ ÑѺ ÙÖ Ú Ñ Ò Ø ÐÑ ½

7 ¾ ÄÍÃÍ ½º ÂÓ ÒØÓ ϕ v N N ÃÙÚ ½º½ ËØ Ð Ù ÒÑ Ò ØÝ ÐÑ Øº ÃÙÚ ½º¾ Ì Ô ÒÓØ Ð Ò ÐÙÓÒÒ º Ø Ô ÒÓÑ Ò Ø ÐÑ Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ Ô ÝÝ Ñ Ò Ø ÐÑ Ò ØØ Ò Ò Ñ Ò Ø ÐѺ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø ÌÙØ Ø Ò ÙÖ Ú Ö ÒØ Ò Ø Ð Ù Ò Ò ÐÝ Ó ÒÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ý Ò ÖØ Ø Ò Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ò ÚÙÐÐ º

8 ½º¾º Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø ϕ k ÓÙ Ø ØÓÒ Ö Ò F = kaϕ aϕ a ϕ a O O 11 ÃÙÚ ½º ÂÓÙ ÐÐ ØÙ ØØÙ Ô Ð Ö º ½º¾º½ ÂÓÙ ÐÐ ØÙ ØØÙ Ô Ð Ö ÌÙØ Ø Ò ÙÚ Ò ½º ÓÙ ÐÐ ØÙ ØÙÒ Ö ØØ ÑÒ Ý Ò ÙÚ Ò Ø Ð ÙØØ Ø Ô ÒÓÑ ¹ Ò Ø ÐÑÐÐ Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ Ô ÝÝ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ Ò ØØ ÐÐ Ñ Ò Ø ÐÑÐк ÂÓÙ ÓÒ ÒÒ Ø ØØÝ ÙÚ Ò Ø ØØÓÑ Ò Ö Ò Ò ÚÙÐÐ º Ì Ô ÒÓÑ Ò Ø ÐÑ Ì Ô ÒÓÑ Ò Ø ÐÑ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò ÑÓÑ ÒØ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ ØÙ Ô Ø Ò O Ù Ø Ò Ò ϕ kaϕa =, ½º½µ Ñ Ø ÙÖ ÓÑÓ Ò Ò Ò Ý ØÐ ( ka 2 )ϕ =. ½º¾µ ÃÝ ÝÑÝ ÓÒ ÓÑ Ò ÖÚÓØ ØÚº ÀÓÑÓ Ò ÐÐ Ý ØÐ ÖÝ ÑÐÐ ÓÒ ¹ØÖ Ú Ð Ö Ø Ù Ö Ù Ò ÒÓÐÐ Ö Ø Ùµ Ó ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÆÝØ Ý ØÐ ¹ Ý Ø Ñ ÓÒ Ú Ò Ý Ý ØÐ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÒÓÐÐ Ó Ø ÙÖ Ö Ø Ù Ð = ka 2 = ka2. ½º µ ½º µ Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò Ò Ò Ö ÒØ Ò Ó ÓÒ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Π = U + V, ½º µ

9 ÄÍÃÍ ½º ÂÓ ÒØÓ p = /ka 2 Ö ÙØÙÑ Ô Ø ϕ ÃÙÚ ½º Ì Ô ÒÓÔÓÐÙØ Ö ÙØÙÑ Ô Ø º F = kaϕ k aϕ u = (1 cosϕ) ϕ a O ÃÙÚ ½º Ë ÖØÝÒÝØ Ø Ð º Ñ ÓÒ ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö U = 1 2 k(aϕ)2 V = u = (1 cos ϕ) ½º µ ½º µ ÓÒ ÙÐ Ó Ò ÙÓÖÑ Ò ÔÓØ ÒØ Ð º È Ò Ò ÙÐÑ Ò ϕ Ø Ô Ù ÓÒ Ð ÑÖ Ò V = 1 2 ϕ2. ½º µ Ì Ô ÒÓØ Ð ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ø Ø ÓÒ Ö Ò ÖÚÓÒ ÓÒ ÚÐØØÑØ Ò ØÓ ÓÒ ØØ dπ dϕ = ka2 ϕ ϕ =, ½º µ Ð (ka 2 )ϕ =. ½º½¼µ Ì Ô ÒÓØ Ð Ò Ð ØÙ Ò ÐÚ ÐÐ ØÙØ Ñ ÐÐ ÔÓØ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ ØÓ Ø Ö Ú ØØ Ø ÝÐ ÑÑ Ò ØÓ Ø Ú Ö Ø ÓØ º Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ý Ø Ñ Ò Ø Ô Ù ØÓ Ò Ò Ú Ö ¹ Ø Ó ÓÒ δ 2 Π = d2 Π dϕ 2 (dϕ)2, ½º½½µ

10 ½º¾º Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø / kr Ð Ð Ò Ö ÒØØ Ø Ð ϕ ÃÙÚ ½º ËØ Ð Ø Ð Ð Ø Ò Ö ÒØ Ø Ô Ø Ø Ø Ô ÒÓÔÓÐÙ ÐÐ º Ù ÑÑ Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ý Ø Ñ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ò Ú Ö Ø Ó ÓÒ δ 2 Π = n n i=1 j=1 2 Π ϕ i ϕ j δϕ i δϕ j. ½º½¾µ ÂÓ δ 2 Π ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ Ò Ò Ø Ô ÒÓØ Ð ÓÒ Ø Ð º ÂÓ δ 2 Π ÓÒ Ò Ø Ú Ø Ò ØØ Ò Ò Ø Ô ÒÓØ Ð ÓÒ Ð Ð º Ì Ô Ù δ 2 Π = Ø Ô ÒÓØ Ð ÓÒ Ò Ö ÒØØ º Ñ Ö Ò Ø Ô Ù Ò d 2 Π dϕ 2 = ka2 >, ÓØ Ò Ø Ô ÒÓØ Ð ÓÒ Ø Ð ÙÒ < ka2, Ö ÒØ Ò Ö ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ kr ÓÒ kr = ka2. Î Ö Ó Ñ ÐÐ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ð Ù ÖØÝÑ ϕ = θ + εˆϕ ½º½ µ ½º½ µ ½º½ µ ½º½ µ ØÙÐ Π(ϕ + εˆϕ) = 1 2 ka2 (θ + εˆϕ) (θ + εˆϕ)2 ½º½ µ = 1 2 ka2 θ θ2 + ε(ka 2 θ θ)ˆϕ ε2 (ka 2 )ˆϕ 2, Ó Ú Ñ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ½º Ú Ö Ø Ó Ú Ñ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ¾º Ú Ö Ø Óº

11 ÄÍÃÍ ½º ÂÓ ÒØÓ ϕ e kaϕ a ϕ O ÃÙÚ ½º Ô Ò Ò ÙÓÖÑ º Ô ÝÝ Ñ Ò Ø ÐÑ Ô ÝÝ Ñ Ò Ø ÐÑ ØÙØ Ø Ò ÔØÝ ÐÐ Ø ÑÙÓØÓÚ Ö ÐÐ Ø Ö ÒÒ ØØ º ÃÙÚ Ò ½º ØØÑÒ Ö ÒØ Ò Ö ØÝ Ø Ð ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ Ø Ô ÒÓÝ Ø Ð ÓÒ (ϕ + e) + kaϕa =, ½º½ µ Ó Ø Ò Ö Ø Ù ϕ = à ÖØÝÑ ϕ Ð ØÝÝ Ö Ø ÒØ ÙÒ ka2 ÓØ Ò e ka 2. ½º½ µ Ã Ö Ó Ø Ø Ò Ö Ø Ù ÑÙÓ Ó kr = ka2. kr = ϕ ϕ + e ½º¾¼µ, ½º¾½µ Ô ÖÖ ØÒ Ö Ø Ù Ö Ô ÝÝ Ò e ÖÚÓ ÐÐ º Ã Ò Ñ ØØ Ò Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ã Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ØÙØ Ø Ò Ö ÒØ Ò ÚÖ Ø ÐÝ Ô ÖÙ Ø Ð Ò Ù Ø Òº ÃÙÓÖ¹ Ñ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ ÓÐÐ ÑÔÐ ØÙ Ú Ö ØØ ÓÒ Ö ØØ Ò Òº Å Ò Ø ÐÑ ÓÚ ÐØÙÙ ÑÝ Ô ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ò Ø Ô Ù Òº Ì Ö Ø ÐØ Ú Ò Ö ÒØ Ò Ð Ý ØÐ ÓÒ J ϕ + kaϕ a ϕ =, ½º¾¾µ

12 ½º¾º Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø / kr e =.5 ½ Ö ÙØÙÑ Ô Ø e =.1 ϕ[rad].1 ¼º½ ÃÙÚ ½º Ô Ò ÙÓÖÑ Ò Ö Ø Ù º ϕ kaϕ J ϕ a ϕ J = 1 3 ρa O ÃÙÚ ½º ÎÖ Ø Ð Ú Ö ÒÒ º Ð Ñ J ÓÒ ÖØÓ Ø Ù ÑÓÑ ÒØØ ϕ + λ 2 ϕ =, λ 2 = ka2 J ½º¾ µ ½º¾ µ J = x 2 ρadx = ρa3, ½º¾ µ 3 Ñ ρ ÓÒ Ø Ý A ÓÒ ÔÓ Ð Ù Ò Ô ÒØ ¹ Ð ÓÒ ÙÚ Ò Ô ØÙÙ º Ä Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù Ö ÔÔÙÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ò λ ÖÚÓ Ø º ÂÓ λ 2 > Ò Ò Ö Ø Ù ÓÒ ϕ = Acos λt + B sinλt, ½º¾ µ

13 ÄÍÃÍ ½º ÂÓ ÒØÓ 11 k k θ ϕ 11 θ ϕ 11 ϕ θ 11 ÃÙÚ ½º½¼ Ã Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ý Ø Ñ º ÚÖ Ø ÐÝÒ ÑÔÐ ØÙ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Òº Ì Ô Ù λ 2 < Ö Ø Ù ÓÒ ϕ = Acosh λt + B sinhλt. ½º¾ µ Ð Ù Ó ÐÐ ϕ() = ϕ ϕ() = Ò Ö Ø Ù ϕ = ϕ cosh λt. ½º¾ µ ÃÙÐÑ ϕ Ñ Ò Ð ÑÑ Ò Ö Ø ÙÒ ÑÙ Ò Ö ØØ Ñ Ò ÑÙ Ò º ÃÖ ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ Ò Ø Ò Ó Ø λ 2 = ÓÒ kr = ka2. ½º¾ µ ½º¾º¾ Ã Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ñ ÐÐ º ÌÙØ Ø Ò Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ý Ø Ñ Ò Ø Ð ÙØØ Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑÐк ÃÙÚ Ò ½º½¼ Ý Ø Ñ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö ÓÒ Π = U + V = 1 2 k(θ) k(ϕ)2 ½º ¼µ ÃÙÒ ÙÐÑ Ø ϕ θ ÓÚ Ø Ô Ò Ò Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ð Ù ØÙÐ [(1 cos θ) + (1 cos ϕ) + (1 cos(ϕ θ)]. cos θ 1 θ2 ϕ2, cos ϕ 1 2 2, ½º ½µ Π = 1 2 k2 θ k2 ϕ 2 (θ 2 + ϕ 2 θϕ). ½º ¾µ

14 ½º¾º Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø ËØ Ø ÓÒ Ö ÙÙ Ó Ø δπ = Ò Π θ =, Π ϕ =, ½º µ Ó Ø ÙÖ Ò ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ò Ò Ý ØÐ Ò ÓÑÓ Ò Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ (k 2 2)θ + ϕ =, θ + (k 2 2)ϕ =. ½º µ ½º µ Å ØÖ ÑÙÓ Ó Ö Ó Ø ØØÙÒ Ý ØÐ Ø ÓÚ Ø [ k 2 2 k 2 2 ][ θ ϕ ] = [ ], ½º µ Ø ÐÝ Ý ÑÑ Ò Ñ Ö ØØÝÒ Ó Ø Kq =. detk = ½º µ ½º µ Ò ØÓ Ò Ø Ò Ý ØÐ ÓÒ ÙÙÖ Ø ÓÚ Ø 1 = 1 3 k 2 = kº ÇÑ Ò Ú ØÓÖ Ø Ö Ø Ø Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ø ½º µ Ó ØØ Ñ ÐÐ Ò Ô ÐÐ ÚÙÓÖÓÒ¹ Ô ÖÒ ÓÑ Ò ÖÚÓØ 1 2 º ÇÑ Ò ÖÚÓ 1 Ú Ø ÓÑ Ò Ú ØÓÖ q 1 Ó Ö Ø Ø Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ø ÌÙÐÓ Ò Ò k 2 [ ][ θ 1 ϕ 1 ϕ 1 = θ 1. ] = [ ]. ½º µ ÇÑ Ò ÖÚÓ 2 Ú Ø Ú ÓÑ Ò Ú ØÓÖ q 2 Ö Ø Ø Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ø k 2 [ ][ θ 2 ϕ 2 ] = [ ] ½º ¼µ, ½º ½µ Ó Ø Ò ϕ 2 = θ 2. ½º ¾µ ÇÑ Ò Ú ØÓÖ Ø ÓÒ Ø ØØÝ ÙÚ ½º½½º Ð Ø Ô Ù n¹ú Ô Ù Ø ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø Ö Ø Ø Ò Ý Ø¹ Ð ÖÝ Ñ Ø K( i )q i =, i = 1,...,n. ½º µ ÌÙØ Ø Ò Ø Ô ÒÓØ ÐÓ Ò Ð ØÙ ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÐÐ ÔÓØ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Π ØÓ Ò Ú Ö ¹ Ø ÓÒ n n δ 2 2 Π Π = δϕ i δϕ j ½º µ ϕ i ϕ j i=1 j=1

15 ½¼ ÄÍÃÍ ½º ÂÓ ÒØÓ 11 θ 1 11 θ θ 2 11 θ 2 ϕ2 = θ ÃÙÚ ½º½½ Ã Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ý Ø Ñ Ò ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Øº Ø ØÓ Ò Ò Ð ÑÙÓ ÓÒ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ 2 Π 2 Π θ 2 θ ϕ 2 Π ϕ θ 2 Π ϕ 2 = [ k 2 2 k 2 2 ]. ½º µ à ÖÖÓ ÒÑ ØÖ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ Ó Ò Ô Ø ÖÑ Ò ÒØ Ø ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ð Ó Ø ÙÖ Ú Ø ÓØ 2 Π θ 2 > ½º µ 2 Π 2 ( Π 2 ) 2 θ 2 ϕ 2 Π >, ½º µ θ ϕ < k 2 ½º µ Ð (k 2 2) 2 () 2 > (k )( 1 3k ) >. ½º ¼µ ½º µ Ó Ø ÔØ ÐÐÒ ØØ Ø Ô ÒÓØ Ð ÓÒ Ø Ð ÙÒ < 1 3k Ö ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ ÓÒ kr = 1 3 k. ½º ½µ ½º¾º ÂÓÙ ÐÐ ØÙ ØÙÒ Ô Ð Ö Ò Ö ÐÐ Ò Ò ÖØÝÑ Ì Ú ÒÓÑ Ö ÒØ Ø Ð Ù Ò Ñ Ò ØÝ Ø Ô ØÙÙ ÝÐ Ò Ô ÒØ Ò ÖØÝÑ Ò Ð¹ Ò ÑÙØØ Ó Ù ÓÒ ÝØ ØØÚ Ø Ö ÑÔ ÓÑ ØÖ Ò ÑÙÙØÓ Ò ÙÓÑ ÓÓÒÓØØ Ú Ø Ó¹ Ö º ÌÙØ Ø Ò ØØ ÙÚ Ò ½º½¾ Ô Ð Ö ¹ ÓÙ ¹Ñ ÐÐ Ò ÚÙÐÐ º Ê Ø Ø Ò Ø ØÚ Ò Ò Ø Ô ÒÓÑ Ò Ø ÐÑÐÐ ØØ Ò Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑÐк

16 ½º¾º Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø ½½ sinϕ R a tanϕ / kr u = (1 cosϕ) F = ka tanϕ k Ø ØÓÒ Ö Ò Ö ÙØÙÑ Ô Ø a ϕ a/ cosϕ O ϕ arccos a arccos a ÃÙÚ ½º½¾ ÂÓÙ ÐÐ ØÙ ØÙÒ Ô Ð Ö Ò Ö ÐÐ Ò Ò ÖØÝѺ Ì Ô ÒÓÑ Ò Ø ÐÑ Ì Ô ÒÓÑ Ò Ø ÐÑ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò Ø Ô ÒÓ ØÓ sinϕ a cos ϕ R =, ½º ¾µ Ñ ÙÚ Ú Ø Ò Ó Ø ÙÓÖ ØÙ Ö Ø Ó ÓÒ Ø ØØÓÑ Ò Ö Ò Ò Ø Ô Ù R = katan ϕ cos ϕ. ½º µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ØÙ Ö Ø Ó Ø Ô ÒÓ ØÓÓÒ ØÙÐ sin ϕ a katan ϕ =, ½º µ cos ϕ cos ϕ Ð ( ka2 cos 3 )sin ϕ =. ϕ ½º µ ØÐ ÐÐ ÓÒ ØÖ Ú Ð Ö Ø Ù ϕ = Ø Ö Ø Ù ka 2 = 1 cos 3 ϕ. ½º µ ¹ØÖ Ú Ð Ö Ø Ù ÚÓ ÓÐÐ ÓÐ Ñ ÙÒ ka 2 > 1º Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÔÓØ ÒØ Ð ÙÒ Ø Ó ÓÒ Π = U + V = 1 2 k(atan ϕ)2 (1 cos ϕ). ½º µ Ê ÒØ Ò Ø Ô ÒÓ ØÓ ÓÒ dπ dϕ tan ϕ = ka2 cos 2 sin ϕ =, ϕ ½º µ

17 ½¾ ÄÍÃÍ ½º ÂÓ ÒØÓ / kr k a tanϕ u = (1 cosϕ) Ö ÙØÙÑ Ô Ø Ò Ö ÒØØ µ a ϕ Ð Ð Ø Ð ϕ O 11 arccos a arccos a ÃÙÚ ½º½ È Ð Ö Ò Ö Ø Ù Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑÐк Ð ( ) ka2 cos 3 sin ϕ =, ϕ ÙØ Ò Ø Ô ÒÓÑ Ò Ø ÐÑ º ¹ØÖ Ú Ð Ö Ø Ù ÓÒ = 1 kr cos 3 ϕ, ½º µ ½º ¼µ Ñ kr ÓÒ Ô Ð Ö Ò Ö ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ Ô Ò Ò ÖØÝÑÒ ϕ Ø Ô Ù º Ì Ô ÒÓØ ÐÓ Ò Ð ÙÒ ÐÚ ØØÑ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò ÔÓØ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ ØÓ Ò Ò Ö ¹ Ú ØØ d 2 ( Π ka 2 )cos dϕ 2 = cos 3 ϕ ϕ + 3ka2 cos 4 ϕ sin2 ϕ. ½º ½µ Ì Ô ÒÓÔÓÐÙ ÐÐ ϕ ØÓ Ò Ò Ö Ú ØØ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò d 2 Π dϕ 2 = 3ka2 cos 4 ϕ sin2 ϕ >, ½º ¾µ ÓØ Ò ÔØ ÐÐÒ ØØ Ø Ô ÒÓ Ñ Ø ϕ ÓÚ Ø Ø Ð º Ë Ò Ò Ø Ô ÒÓ Ñ Ø ϕ = > ka 2 ÓÚ Ø Ô Ø Ð º ½º¾º Ê Ø ÓÒ ÐÔ ÐÝ ÒØ Ñ ÐÐ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ø ÙÚ Ø ÓÓØØÙ ÓÙ ÐÐ ØÙ ØØÙ Ö Ø Ó ÓØ ÙÓÖÑ ØØ ÙÓÖ¹ Ñ ÙÚ ½º½ º Ê Ø Ø Ò Ø ØÚ Ò Ò Ø Ô ÒÓÑ Ò Ø ÐÑÐÐ ØØ Ò Ò Ö Ñ Ò ¹ Ø ÐÑÐк Ì Ô ÒÓÑ Ò Ø ÐÑ ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ø Ô ÒÓ ØÓ M C = Ð cos θ k2(cos θ cos α)sin θ =, ½º µ 2

18 ½º¾º Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø ½ cosθ sinα sinθ 11 α θ (sinα sin θ) C k sinθ F cosα u = 2(cosθ cosα) F = ku /2 2 cosθ ÃÙÚ ½º½ Ê Ø ÓÒ ÐÔ ÐÝ ÒØ º 4k Ø Ð Ð Ð B Ö Ô Ø Ò Ö ÒØØ µ θ θ B θ B B ÃÙÚ ½º½ ÂÓÙ ÐÐ ØÙ ØÙÒ Ö Ø ÓÒ Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ùº Ó Ø Ö Ø Ø Ò 4k = sin θ tan θ cos α, π 2 < θ < α < π 2. ½º µ ÃÙÓÖÑ ¹ ÖØÝÑ ¹ ÝÖÒ Ô Ø B ÙÚ ½º½ Ø Ò ÒØØ ÓÒ Ú ÙÓÖ d dθ = cos θ cos α cos 2 θ =, ½º µ Ñ Ø Ö Ø Ø Ò cos 3 θ = cos α, ja θ B = ± arccos[(cos α) 1 3]. ½º µ ÃÖ ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ ÓÒ kr 4k = sin θ B tan θ B cos α. ½º µ Ñ Ö ÙÒ α = 3 θ B = ±17.6 Ø θ B ± Ö /(4k) ± º

19 ½ ÄÍÃÍ ½º ÂÓ ÒØÓ ¼º¼ ¼º¼¾ /(4k) ¼ ¹¼º¼¾ ¹¼º¼ ¹¼º¼ ¹¼º¼½ ¼º¼½ ¼ p kr ¼º¼ ¹½ ¹¼º ¼ θ ¼º ½ ÃÙÚ ½º½ Ê Ø ÓÒ Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù p = /(4k) α = 3 θ B = ± Ö º Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ ËÝ Ø Ñ Ò Ó ÓÒ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö ÓÒ Π = U + V = 1 2 k(2)2 (cos θ cos α) 2 ½º µ (sin α sinθ). Ì Ô ÒÓ Ó Ø dπ dθ = ÙÖ Ý ØÐ cos α = sin θ tan θ cos α = sin θ(1 4k cos θ ). Ì Ô ÒÓÒ Ð ÙÒ ØÙØ Ñ Ø Ú ÖØ Ò Ð Ø Ò ØÓ Ò Ò Ö Ú ØØ ½º µ d 2 Π dθ 2 = 4k 2 (cos θ cos α)( cos θ) + 4k 2 sin 2 θ sin θ = 4k 2 ( cos α cos θ cos2 θ). ÌÓ Ò Ò Ö Ú ØØ ÓÒ ÒÓÐÐ Ð 2 Π θ 2 =, kun θ = ± arccos[(cos α)1 3] ±θ B, ½º ¼µ ½º ½µ

20 ½º¾º Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø ½ ¼º½¾ ¼º½ ¼º¼ ¼º¼ p =.4 p =.1 p = p =.1 p kr p =.4 Π ¼º¼ ¼º¼¾ ¼ ¹¼º¼¾ ¹¼º¼ ¹½ ¹¼º ¼ θ ¼º ½ ÃÙÚ ½º½ Ê Ø ÓÒ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö k =.25 = 1 α = 3 θ B = ± Ö º Ø Ô ÒÓ Ñ Ò Ð ØÙ ÓÒ Ò Ö ÒØØ º ÌÓ Ò Ò Ö Ú ØØ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ð Ø Ô ÒÓØ Ð Ò Ð ØÙ ÓÒ Ø Ð º ÌÓ Ò Ö Ú Ø Ò Ò Ø Ú ÐÐ ÖÚÓ ÐÐ Ð 2 Π θ 2 >, kun θ < θ B ja θ > θ B, ½º ¾µ 2 Π θ 2 <, kun θ B < θ < θ B, ½º µ Ø Ô ÒÓØ Ð ÓÒ Ð Ð º ÃÙÚ ½º½ ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù Ö ÙÓÖÑ Ô Ö Ñ ØÖ Ò p = /(4k) ÖÚÓ ÐÐ º ÃÖ ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ p kr ÓÒ ÒÓ Ò º ÃÙÚ ½º½ ÓÒ Ø ØØÝ Ú Ø Ú Ø ÔÓØ ÒØ ¹ Ð Ò Ö Ò ÖÚÓغ

21 ½ ÄÍÃÍ ½º ÂÓ ÒØÓ

22 ÄÙ Ù ¾ Ì Ô ÒÓÔÓÐÙØ Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ÑÙÓØÓÚ Ö Ø ¾º½ Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ý Ø Ñ Ø Ð Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ÅÖ Ø ØÒ ÙÚ Ò ¾º½ ÓÙ ÐÐ ØÙ ØÙÒ ÙÚ Ò Ø Ô ÒÓÔÓÐÙØ ÓØ Ù Ò Ò Ò ØØ Ö ÒÒ ÓÒ Ú Ö Ø Ò Ð Ò ÓÐ ÙÓÖÑ Ò Ô ÝÝØØ Ø ÑÙÙØ Ð Ù Ö Øº Ê ÒØ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö ÓÒ Π = 1 2 kϕ2 (1 cos ϕ). ¾º½µ Ë ÙÚ Ò Ø Ô ÒÓ Ñ Ø Ô ÒÓÔÓÐÙØ ÚÓ Ò ÑÖ ØØ ØØ Ñ ÐÐ Π ϕ = ¾º¾µ Ø ÝÐ ÑÑ Ò ØØ Ñ ÐÐ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Π Ò ÑÑ Ò Ò Ú Ö Ø Ó ÒÓÐÐ Ð δπ = Π δϕ =. ϕ ¾º µ ÂÓ Ý Ø Ñ ÐÐ ÓÒ n Ö ÔÔÙÑ ØÓÒØ Ú Ô Ù Ø ØØ Ò Ò δπ = n i=1 Ø Ô ÒÓ Ñ º Ã Ú Ø ¾º µ ÙÖ Ñ Ö Ò Ø Ô Ù Π ϕ i δϕ i = ¾º µ δπ(ϕ) = (kϕ sin ϕ)δϕ =, δϕ. ¾º µ ÃÓ δϕ ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò Ú Ö Ø Ó ÓÒ Ò ÖØÓ Ñ Ò ½º Ú Ö Ø ÓÒ Ú ÓÐØ Ú ÒÓÐÐ Ó Ø ÙÖ = k ϕ sinϕ. ¾º µ ÂÓ ϕ = Ò Ò Ø Ô ÒÓ ØÓ ¾º µ ØÓØ ÙØÙÙ ÐÐ ÙÓÖÑ Ò ÖÚÓ ÐÐ Ð ÙÓÖ ÐÐ ϕ = º ÃÙÚ Ò ¾º½ ÙÓÖ I ÓÒ Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ùº Ã Ú Ò ¾º µ ÚÙÐÐ ÑÖ Ø ØÒ ØÓ Ò Ò ½

23 ½ ÄÍÃÍ ¾º Ì Ô ÒÓÔÓÐÙØ Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ÑÙÓØÓÚ Ö Ø u ÁÁ B ÁÁ ϕ u = (1 cos ϕ) Á k π ¼ π Ø Ð Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù Ð Ð Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù ϕ ÃÙÚ ¾º½ à ÖÖ ÓÙ ÐÐ ØÙ ØÙ Ô Ð Ö º Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù ÓØ Ñ Ö ØÒ ÝÑ ÓÐ ÐÐ IIº ÃÝÖ II Ð Ø Ô ÒÓÔÓÐÙÒ I ϕ = µ Ô Ø B Ñ kr = k. ¾º µ ÈÓÐ Ù I ÓÒ ÔÖ Ñ Ö Ò Ò Ð ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ò Ò ÔÓÐ Ù ÔÓÐ Ù II ÓÒ ÙÒ Ö Ò Ò Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ùº È Ø B ÙÚ ¾º½ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÔ Ø Ö ÙØÙÑ Ô Ø µº È Ø ØØ B Ú Ø Ú ÙÓÖÑ Ò ÖÚÓ Ò Ñ Ø ØÒ Ö ØØ ÙÓÖÑ kr º Ì Ö Ò ÔÓØ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ù Ò ¾º½µ Ø ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ð ÑÖ Ò Ò Ð Ù ÓÖÚ Ñ ÐÐ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÒ Ø Ó cos ϕ Ö Ø ÐÑÐÐ cos ϕ 1 1 2! ϕ ! ϕ4 + ¾º µ ÓØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ Ò ÓÐÑ Ò ÑÑ Ø Ø ÖÑ ÓÐÐÓ Ò Ò Π(ϕ) = 1 2 (k )ϕ ϕ4. ¾º µ ØØ Ñ ÐÐ δπ = ØÙÐ [(k )ϕ ϕ3 ]δϕ =, δϕ, ¾º½¼µ Ó Ø Ò Ö Ø ØÙ Ø Ô ÒÓÔÓÐÙØ ϕ =,, ¾º½½µ = k k ( ϕ2 ). ¾º½¾µ 6 ϕ2

24 ¾º½º Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ý Ø Ñ Ø Ð Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ½ Ã Ú Ò ¾º½¾µ Ô ÝØÒ ÑÝ ÙÒ Ö Ò Ø Ô ÒÓÔÓÐÙÒ Ú Ø ¾º µº ØØ ¹ Ñ ÐÐ ϕ = Ò Ð ÑÖ Ø Ú Ø ¾º½¾µ Ø Ö Ö ÙØÙÑ Ô Ø kr = k º ÌÙØ Ø Ò ÙÖ Ú Ø Ô ÒÓØ ÐÓ Ò Ð ØÙ Ð ÑÖ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ú Ò ¾º µ ÚÙÐÐ º ÙÖ Ø ÓÔ Ø = k ÓØ Ò Ø ÖÑ Ò ϕ2 ÖÖÓ Ò Ú ¾º µ ÓÒ ÒÓÐÐ º Âй ÑÑ Ò º Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Π Ú ¾º µ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ ÓØ Ò Ô Ø Ò B Ø Ô ÒÓØ Ð ÓÒ Ø Ð º Ì Ô ÒÓÔÓÐ Ù Ò I II Ð ØØÝÚ Ò Ø ÐÓ Ò Ø Ð ÙØØ ØÙØ Ø Ò Π Ò ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ø ÒÝØ ØÓ Ò Ö Ú Ø Ò d 2 Π dϕ 2 = k ϕ2 ¾º½ µ ÚÙÐÐ º ÈÖ Ñ Ö ÐÐ ÔÓÐÙÐÐ ϕ = d 2 Π dϕ 2 = k, ¾º½ µ ÓØ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ò Ú Ö Ø Ó ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò ÙÒ < k Ò Ø Ú Ò Ò ÙÒ > k º ÐÐ Ø Ô Ù Ø Ô ÒÓØ Ð ÓÒ Ø Ð Ð ÑÑ Ô Ø Ð º Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÙÒ Ö Ò ÔÓÐÙÒ II Ú ¾º½¾µ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ö Ú Ø Ò Ú Ò ØÙÐ d 2 Π dϕ 2 = 1 3 k(ϕ ϕ4 ), ¾º½ µ Ó ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò ÔÓÐÙÒ II Ø Ô ÒÓØ Ð Ø ÓÚ Ø Ø Ò Ø Ð ÙÚ ¾º½º Ì Ô ÒÓ¹ ÔÓÐ Ù II ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ø Ð º ¾º½º½ ÅÙÓØÓÚ Ö Ò Ú ÙØÙ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÐÐ Ò Ñ ÖÖ ÓÙ Ò ØÙ Ñ ÙÐÓ ÙÚ Ù Ò ÐÐ ÑÙØØ ØÐÐ ÖØ Ö ÒØ Ò ÓØ ÙØ Ò ÑÙÓØÓÚ Ö ÙÚ Ò ÐØ ÚÙÙ ÙÐÑ Ð ÙØ Ð ÓÒ ϕ º ÅÙÓØÓÚ Ö ÐÐ Ò ÙÚ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ð Ù ÓÒ Π(ϕ;ϕ ) = 1 2 k(ϕ ϕ ) 2 (1 cos ϕ) + (1 cos ϕ ). ¾º½ µ à ØØÑÐÐ cos ϕ Ö ÓØØ Ñ ÐÐ ÑÙ Ò Ø ÖÑ Ø º Ø Ò Ø Ò Π(ϕ;ϕ ) = 1 2 k(ϕ2 + ϕ 2 2ϕϕ ) (1 cos ϕ) + ( 1 2 ϕ ϕ 4 ). ¾º½ µ ÇØ ÙØ Ò ØØ ÙÐÑ ϕ ÓÒ Ô Ò ÓÐÐÓ Ò Ø ÖÑ Ò ϕϕ Ö ÒÒ ÐÐ ϕ Ò ÓÖ ÑÔ ÔÓ¹ Ø Ò ÐØÚØ Ø ÖÑ Ø ÚÓ Ò ØØ ÔÓ º È Ò Ò ÑÙÓØÓÚ Ö Ò Ø Ô Ù Ú Ø ¾º½ µ ÙÖ Π(ϕ;ϕ ) = 1 2 k(ϕ2 2ϕϕ ) (1 cos ϕ). Ì Ô ÒÓØ Ð Ø ÑÖ Ø ØÒ ÐÐ Ò Ó Ø δπ = Ð ¾º½ µ [k(ϕ ϕ ) sin ϕ]δϕ =, δϕ, ¾º½ µ

25 ¾¼ ÄÍÃÍ ¾º Ì Ô ÒÓÔÓÐÙØ Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ÑÙÓØÓÚ Ö Ø ϕ > ϕ < ϕ ϕ ϕ < ϕ > k 1111 π ¼ π Ø Ð Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù Ð Ð Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù ϕ ÃÙÚ ¾º¾ à ÖÖ ÓÙ ÐÐ ØÙ ØÙ Ô Ð Ö Ð Ù ÖØÝÑÒ Ú ÙØÙ º Ó Ø ÙÖ Ø Ô ÒÓÔÓÐÙ ÐÐ Ú = k ϕ sin ϕ k ϕ sin ϕ. ¾º¾¼µ Ã Ú Ò ¾º¾¼µ Ò ÑÑ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ Ñ Ù Ò Ú Ö ØØ ÑÒ Ö ÒØ Ò Ø Ô ÒÓÝ ¹ ØÐ ¾º½¾µº ÌÓ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÑÙÓØÓÚ Ö Ø ÙØÙÚ ÓÖ Ù Ø ÖÑ º Ã Ú ¾º¾¼µ ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ ÙÚ Ò ¾º¾º ÈÓÐÙØ ÓØ Ð Ú Ø ϕ¹ Ð Ò ÓÚ Ø ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÑÙÙØ ÓÚ Ø ÔÐÙÓÒÒÓÐÐ ÑÙ¹ ÔÓÐ Ù µº ÂÓ Ø ÖÚÓ ϕ Ú Ø ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò ÔÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò ÔÓÐ Ùº ÈÓÐÙØ ÑÙÓ Ó ¹ Ø Ú Ø ÝÖÔ ÖÚ Ó ÓÒ Ö Ø Ò ÑÖ ÝÖ ÙØ Ò ÓÒ ϕ Ò ÖÚÓ Òµº ÃÙÚ Ò ¾º¾ Ô Ø Ø ÓÚ Ú ÐÐ Ô ÖÖ ØØÝ ÝÖ ØØ Ú d 2 Π = k cos ϕ =. dϕ2 ¾º¾½µ (,ϕ)¹ø Ó Ô Ø Ø ÓÚ Ú Ò ÔÙÓÐ ÐÐ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ð Ù Ò ØÓ Ò Ò Ö Ú Ø¹ Ø d2 Π ÓÒ Ò Ø Ú Ò Ò Ø Ô ÒÓØ Ð Ø ÓÚ Ø Ô Ø Ð º Î Ø Ú Ø Ô Ø Ø ÓÚ Ú Ò dϕ2 ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ ØÓ Ò Ò Ö Ú ØØ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ø Ô ÒÓ Ñ Ø ÓÚ Ø Ø Ð º ¾º¾ Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ý Ø Ñ Ô Ø Ð Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ÃÙÚ Ò ¾º Ú ÓÙ ÐÐ ØÙ ØÙÒ Ö ØØ ÑÒ Ý Ò Ô Ð Ö Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ð Ù ÓÒ Π(ϕ) = 1 2 k2 sin 2 ϕ (1 cos ϕ). ¾º¾¾µ

26 ¾º¾º Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ý Ø Ñ Ô Ø Ð Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ¾½ k u Á B = k u = (1 cos ϕ) ÁÁ ÁÁ ϕ Á ϕ π/2 ¼ π/2 Ø Ð Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù Ð Ð Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù ÃÙÚ ¾º ÂÓÙ ÐÐ ØÙ ØØÙ Ô Ð Ö º Ì Ô ÒÓØ Ð dπ dϕ = Ð sinϕ(kcos ϕ ) =, ¾º¾ µ ÓÐÐ ÓÒ Ö Ø ÙØ Ø Ô ÒÓÔÓÐÙص À Ö ÙØÙÑ Ô Ø B ϕ = ja = kcos ϕ. kr = k. ¾º¾ µ ¾º¾ µ Ì Ô ÒÓØ ÐÓ Ò Ð ØÙ ÐÚ Ø ØÒ Π Ò ØÓ Ò Ö Ú Ø Ò d 2 Π dϕ 2 = k2 (2cos 2 ϕ 1) cos ϕ ¾º¾ µ ÚÙÐÐ º ÈÓÐÙÐÐ I ϕ = Π Ò ØÓ Ò Ò Ö Ú ØØ ÓÒ d 2 Π = (k ), dϕ2 ¾º¾ µ ÓØ Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÐ ÔÓÐÙÐÐ Ø Ô ÒÓØ Ð Ø ÓÚ Ø Ø Ð ÙÒ < k Ô Ø Ð ÙÒ > kº Ë ÙÒ Ö ÐÐ ÔÓÐÙÐÐ II = kcos ϕ d 2 Π dϕ 2 = 1 k [ 2 (k) 2 ], ¾º¾ µ ÓØ Ò d2 Π < Ó < kº ÈÓÐÙÐÐ II Ø Ô ÒÓØ Ð Ø ÓÚ Ø Ô Ø Ð º dϕ2

27 ¾¾ ÄÍÃÍ ¾º Ì Ô ÒÓÔÓÐÙØ Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ÑÙÓØÓÚ Ö Ø ÙÖ Ø ÓÔ Ø B = k ϕ = d2 Π = º È Ø Ò B Ø Ô ÒÓØ Ð Ò Ð ÙÒ dϕ2 ÐÚ ØØÑ ÓÒ ØÙØ ØØ Ú Ð ÔÓØ ÒØ Ð Π(ϕ)º Å Ö Ø ÑÐÐ ϕ = 2θ ÝØØÑÐÐ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ý Ø Ý sin 2 2θ = 4sin 2 θ cos 2 θ cos 2θ = 2cos 2 θ 1 Ò Π(θ) = 2k 2 sin 2 θ(cos 2 θ 1), ¾º¾ µ Ó ÓÒ Ò Ø Ú Ø Ò ØØ º È Ø Ò B Ø Ô ÒÓØ Ð ÓÒ Ø Ò Ô Ø Ð º Ñ Ö Ò Ø Ô Ù ÙÒ Ö Ò Ò Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ô Ø Ð º ÃÓÖÚ Ñ ÐÐ Ò ¹ Ó Ò ÙÒ Ø ÓØ Ö Ø ÐÑ ÐÐ ÐÝØØÑÐÐ Ø ÖÑ Ø ϕ Ò Ò Ð Ò¹ Ø Ò ÔÓØ Ò Ò Ø Ò Ð ÑÖ Ò Ò Ð Ù Π(ϕ) = 1 2 k2 (ϕ ϕ4 ) ( 1 2 ϕ ϕ4 ). ¾º ¼µ Ì Ô ÒÓ Ó Ø δπ = Ò Ø Ô ÒÓÔÓÐÙØ ϕ = ja = k(1 1 2 ϕ2 ). ¾º ½µ ÐÐ Ò Ò Ö Ø Ù ÓÒ Ñ Ù Ò Ø Ö Ò Ö Ø ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Ò ÔÓÐÙÒ Ú Ð ÑÑ Ò Ò Ö Ø Ù ÓÒ Ð ÑÖ Ò ÙÒ Ö Ò ÔÓÐÙÒ Ú º ÙÖ Ø ÓÔ Ø kr = k ϕ = ÙØ Ò Ø Ö Ö Ø Ù º Ä Ö Ø ÙÒ Π Ò ØÓ Ò Ò Ö Ú ØØ ÓÒ ÈÖ Ñ Ö ÐÐ ÔÓÐÙÐÐ d 2 Π dϕ 2 = k2 (1 2ϕ 2 ) (1 1 2 ϕ2 ). d 2 Π = (k ) dϕ2 ¾º µ ÙØ Ò Ø Ö Ö Ø Ù º Ë ÙÒ Ö ÐÐ ÔÓÐÙÐÐ II d 2 Π dϕ 2 = k2 ( k ) 2 k. ¾º ¾µ ¾º µ Å Ö ØÒ = αk α < 1º ÌÐÐ Ò d 2 Π dϕ 2 = k2 ( 3 + 4α α 2 ) k 2 f(α). ¾º µ ÃÓ ÙÒ Ø Ó f(α) < Ø Ö Ø ÐÙÚÐ ÐÐ ÓÒ d2 Π < ÙÒ Ö Ò ÔÓÐÙÒ Ø Ô ÒÓ¹ dϕ2 Ø Ð Ø ÓÚ Ø Ô Ø Ð º ÙÖ Ø ÓÔ Ø B kr = k α = 1 ÓØ Ò d2 Π = Ø Ô ÒÓØ Ð Ò Ð ¹ dϕ2 ØÙ Ô ÐÚ º ÈÓØ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ú Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÙÖ Ø ÓÔ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ò Ó ØØ Ñ ÐÐ = k ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ú Ò ¾º ¼µ Π(ϕ) = 1 8 k2 ϕ 4, ¾º µ ÓØ Ò Ô Ø Ò B Ø Ô ÒÓØ Ð ÓÒ Ô Ø Ð º

28 ¾º¾º Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ý Ø Ñ Ô Ø Ð Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ¾ k ϕ ϕ ÃÙÚ ¾º ÂÓÙ ÐÐ ØÙ ØØÙ Ð Ù Ò ÐØ Ú Ô Ð Ö º ¾º¾º½ ÅÙÓØÓÚ Ö Ò Ú ÙØÙ ÇØ ÙØ Ò ØØ ÙÚ ÓÒ ÙÐÑ Ò ϕ Ú ÖÖ Ò ÐÐ ÐÐ Ò Ó Ð ÙØ Ð Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ð ÑÖ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ð Ù Ò ÚÙÐÐ º Ì Ö ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ð Ù Π(ϕ;ϕ ) = 1 2 k2 (sin ϕ sin ϕ ) 2 (1 cos ϕ) + (1 cos ϕ ) ¾º µ ÑÙÙÒØÙÙ ÓÖÚ Ñ ÐÐ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ø ÙÒ Ø ÓØ ÓÔ Ú Ø Ø ØÙ ÐÐ Ö Ø ÐÑ ÐÐ ÑÙÓ¹ ØÓÓÒ Π(ϕ;ϕ ) = 1 2 k2 (ϕ ϕ4 2ϕϕ ) ( 1 2 ϕ ϕ4 ) ¾º µ ÓØ Ù Ò ØØ ϕ ÓÒ Ô Ò ÓÐÐÓ Ò Ø ÖÑ Ò ϕϕ Ö ÒÒ ÐÐ ϕ Ò ÓÖ ÑÔ ÔÓØ Ò Ð¹ ØÚØ Ø ÖÑ Ø ÚÓ Ò ØØ ÔÓ µº Ì Ô ÒÓØ Ð δπ = Ð ÑÖ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ú Ø ÙÖ Ø Ô ÒÓÝ ØÐ = k ( ϕ2 ϕ ϕ ), ¾º µ Ñ ÖØ ÐÙÓ O(ϕ 4 ) O(ϕϕ ) ÓÐ Ú Ø Ø ÖÑ Ø ÓÒ Ø ØØÝ ÔÓ Ø ÖÑ Ò ϕ 2 ϕ ϕ Ö ÒÒ ÐÐ µº Ê Ø ÙØ ¾º µ ÓÒ Ø ØØÝ ÙÚ ¾º º ÂÓ Ø ÖÚÓ ϕ Ú Ø ÐÐ Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò ÔÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ùº Ì Ô ÒÓÔÓÐ Ù Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÝÖÔ ÖÚ Ø Ô Ö Ø ÓÒ ÒÝØ Ò Ð ÔÔ Ð ØØ ϕ Ò ÔÓ Ø Ú ÐÐ ÖÚÓ ÐÐ ϕ Ò Ò Ø Ú ÐÐ ÖÚÓ ÐÐ º ÃÙÒ ϕ Ò Ò ÑÙÓØÓÚ Ö ÐÐ Ò Ö ÒØ Ò Ø Ô ÒÓÔÓÐÙØ Ð ØÝÚØ ØÝ ÐÐ Ò Ö ÒØ Ò Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù º ÄÙÓÒÒÓÐÐ ÐÐ ÔÓÐÙ ÐÐ Ñ Ö Ò Ø Ô Ù ÙÓÖÑ ÐÐ ÓÒ Ñ Ñ ÖÚÓØ m º Ö ÚÓ Ñ ÐÐ Ú ¾º µ ØÙÐ Ñ Ø ÙÖ Ý Ø Ý d dϕ = k( ϕ + ϕ ϕ2) =, ¾º ¼µ ϕ = ϕ 1 3. ¾º ½µ

29 ¾ ÄÍÃÍ ¾º Ì Ô ÒÓÔÓÐÙØ Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ÑÙÓØÓÚ Ö Ø m /k ϕ > ϕ < B = k m ϕ < ϕ > π/2 ¼ π/2 Ø Ð Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù Ð Ð Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù ϕ ϕ ÃÙÚ ¾º ÂÓÙ ÐÐ ØÙ ØØÙ Ô Ð Ö Ð Ù ÖØÝÑÒ Ú ÙØÙ º Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ¾º ½µ Ú Ò ¾º µ ØÙÐ m = k(1 3 2 ϕ 2 3), ¾º ¾µ Ð Ò Ñ Ñ ÖÚÓÒ Ö ÔÔÙÚÙÙ Ð ÙÚ Ö Ø ϕ ÙÚ ¾º º Å Ñ ÖÚÓ m Ú Ø Ú Ô Ø ÓÒ Ò Ñ ÐØÒ Ö Ô Ø º ÃÝÖÒ ¾º ¾µ ÙÚ Ò ¾º ÚÙÐÐ ÔØ ÐÐÒ ØØ Ô Ò Ò ϕ Ò ÖÚÓ ÙØØ ÙÙÖ Ò Ò Ø Ú Òµ ÑÙÙØÓ Ò m Ò ÖÚÓ Ñ Ö Ò Ö ÒÒ ÓÒ ÝÚ Ò Ö ÑÙÓØÓÚ Ö¹ ÐÐ º Ã Ú ¾º ¾µ ÚÓ Ò Ó Ø Ú ØÓ ØÓ Ø Ð Ñ ÒÓ Ñ ÐÐ ϕ Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò ¾º µ ÚÙÐÐ Ú Ø d 2 Π dϕ 2 = k(1 2ϕ2 ) (1 1 2 ϕ2 ) =. ¾º µ Ã Ú ¾º µ ÓÒ Ø ØØÝ ÙÚ ¾º Ô Ø Ø ÓÚ Ú ÐÐ º È Ø Ø ÓÚ Ú Ò Ð ÔÙÓÐ ÐÐ d 2 Π > Ø Ô ÒÓØ Ð Ø ÓÚ Ø Ø Ð º Î Ø Ú Ø Ô Ø Ø ÓÚ Ú Ò ÝÐÔÙÓÐ ÐÐ dϕ2 d 2 Π < Ø Ô ÒÓØ Ð Ø ÓÚ Ø Ô Ø Ð º dϕ2 ¾º Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ý Ø Ñ Ô ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ð Ö Ø¹ Ø Ò Ò Ø Ð ÌÙØ Ø Ò Ý Ò ÙÐÓ ÙÚ Ò Ú ÒÓÒ ÓÙ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ý Ø Ñ º ÂÓÙ Ò Ô ØÙÙ ÓÒ Ð ÙØ Ð ā ÓÖÑÓ ØÙÒ Ø Ð º ËÝ Ø Ñ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö ÓÒ Π(ϕ) = 1 2 k(a ā)2 (1 cos ϕ), ¾º µ

30 ¾º º Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ý Ø Ñ Ô ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ¾ ÁÁ Á B = 1 2 k ÁÁ k ā a k ϕ Á θ ¼ ϕ Ø Ð Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù Ð Ð Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù ÃÙÚ ¾º Î ÒÓÐÐ ÓÙ ÐÐ ØÙ ØØÙ Ô Ð Ö º Ñ ÃÙÐÑ Ò ϕ θ ÙÒ Ø ÓÒ Π(ϕ) = 1 2 k2 [ a = ā = sin θ, tan θ ( ) 1 tan θ tan θ + 2sin ϕ ( 1 tan θ + 2sin ϕ ¾º µ ). ¾º µ ] 2 1 (1 cos ϕ). ¾º µ sin θ Ø Ø Ò ÙÖ Ú θ = π Ø ØÒ ÙÐÑ Ò ϕ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ø ÙÒ Ø ÓØ Ö Ó º 4 ÌÐÐ Ò Ò Ó Ø δπ = ÙÖ Π(ϕ) = 1 4 k2 (ϕ ϕ ϕ4 ) ( 1 2 ϕ ϕ4 ). ¾º µ ϕ = ja = 1 2 k(1 3 4 ϕ ϕ2 ), ¾º µ ÓØ ØØÚØ ÐÐ Ò ÔÖ Ñ Ö Ø ÙÒ Ö Ø Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù ÙÚ ¾º º ÃÙÒ ϕ = Ò Ò Ú Ø ¾º µ ÙÖ kr = 1 2 k. ¾º ¼µ ÌÙØ Ø Ò Ø Ô ÒÓØ Ð Ò Ð ØÙ ÙÖ Ø ÓÔ Ø Ó ØØ Ñ ÐÐ Ö ØØ Ò ÙÓÖÑ Ò ÖÚÓ ¾º ¼µ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ú Ò ¾º µ Ò Π(ϕ) = 1 8 k2 ( ϕ ϕ4 ), ¾º ½µ

31 ¾ ÄÍÃÍ ¾º Ì Ô ÒÓÔÓÐÙØ Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ÑÙÓØÓÚ Ö Ø Ó ÙÙ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÑ ÒÓ º Ø Ò Ø ÖÑ º ÙÖ Ø ÓÔ Ø Ò Ø Ô ÒÓØ Ð ÓÒ Ø Ò Ô Ø Ð º ÈÖ Ñ Ö Ò ÙÒ Ö Ò ÔÓÐÙÒ Ø Ô ÒÓÔ Ø Ò ØÙØ Ñ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò ÔÓ¹ Ø ÒØ Ð Ò ØÓ Ò Ò Ö Ú ØØ d 2 Π dϕ 2 = 1 4 k2 (2 3ϕ 1 4 ϕ2 ) (1 1 2 ϕ2 ). ¾º ¾µ ÈÖ Ñ Ö ÐÐ ÔÓÐÙÐÐ I ϕ = µ d 2 Π dϕ 2 = (1 k ), 2 ¾º µ ÓØ Ò Ø Ô ÒÓØ Ð Ø ÓÚ Ø Ø Ð ÙÒ < 1 2 k Ô Ø Ð ÙÒ > 1 kº Ë ÙÒ¹ 2 Ö ÐÐ ÔÓÐÙÐÐ II d 2 Π dϕ 2 = 1 8 k2 ( 3ϕ + ϕ ϕ ϕ4 ). ¾º µ Ã Ú ¾º µ Ð Ò Ö Ò Ò Ø ÖÑ 3ϕ ÓÒ ÐÐ Ø Ú Ô Ò ÐÐ ϕ Ò ÖÚÓ ÐÐ ÓØ Ò ÔÓÐÙÒ II Ø Ô ÒÓ Ñ Ø Ø Ð Ò ϕ = ÝÑÔÖ Ø ÓÚ Ø Ø Ð ÙÒ ϕ < Ô Ø Ð ÙÒ ϕ > º Ì ØÚÒ ØØ ÐÝ ÚÓ Ò Ý Ò ÖØ Ø Ø Ñ ÐÐ Π Ò Ø ÐÑ ÓÐÑ ÒÒ Ò Ø Ò Ø ÖÑ Ò Π(ϕ) = 1 4 k2 (ϕ ϕ3 ) 1 2 ϕ2. ÌÐÐ Ò Ò Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù Ò Ý ØÐ ¾º µ ϕ = ja = 1 2 k(1 3 4 ϕ). ¾º µ ËÙÓÖ ¾º µ ÓÒ ÝÖÒ ¾º µ Ø Ò ÒØØ ÙÖ Ø ÓÔ Ø B Ó ϕ = ÙÚ ¾º º ÈÓÐÙØ I II ÓÚ Ø ÒÝØ ÙÓÖ ÑÙØØ ÙÖ Ø ÓÔ Ø ÓÒ Ñ Ù Ò ØÝ ÐÐ ÑÑÐÐ ÔÓ¹ Ø ÒØ Ð Ò Ú ÐÐ ÑÖ Ø ØØÝ Ô Ø B ( 1 k,)º ÙÖ Ø ÓÔ Ø Ò B ÝÑÔÖ Ø Ó Ø¹ 2 Ø Ñ ÐÐ Ø ØÙÒ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ú Ò ¾º µ = 1 k Ò 2 Π(ϕ) = 1 8 k2 ϕ 3, ¾º µ ÓØ Ò Ô Ø B ÓÒ Ô Ø Ð º Ë ÙÒ Ö ÐÐ ÔÓÐÙÐÐ Ò Ú Ò ¾º µ Ø ÒÝØ ¹ Ó ØØ Ñ ÐÐ ÙÒ Ö Ò ÔÓÐÙÒ Ú ¾º µ Ø ØÙÒ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ú Ò ¾º µ ÚÙÐÐ Ð ØØÙÙÒ ØÓ Ò Ö Ú Ø Ò Ð Ù Òµ d 2 Π dϕ 2 = 3 8 k2 ϕ ¾º µ d2 Π dϕ 2 > ÙÒ ϕ < Ø Ð µ d2 Π < ÙÒ ϕ > Ô Ø Ð µº dϕ2 Ñ Ö Ò Ö ÒØ Ò Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ÓÒ Ô ÝÑÑ ØÖ Ò Òº

32 ¾º º Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ý Ø Ñ Ô ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ¾ k ā a a ϕ ϕ θ ÃÙÚ ¾º Î ÒÓÐÐ ÓÙ ÐÐ ØÙ ØØÙ Ð Ù Ò Ú ÒÓ Ô Ð Ö º ¾º º½ ÅÙÓØÓÚ Ö Ò Ú ÙØÙ ÇØ ÙØ Ò ÙÐÓ ÙÚ Ò ÐØ ÚÙÙ Ð ÙØ Ð ϕ º ÂÒÒ ØÝ ØØ ÑÒ ÓÙ Ò Ô ØÙÙ ÓÒ a º ÈÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ð Ù Ò Π(ϕ;ϕ ) = 1 2 k(a a ) 2 (1 cos ϕ) + (1 cos ϕ ). ¾º µ Ñ ÓØ ÙÑ ÐÐ θ = π 4 a = sin ϕ, a = sin ϕ. ¾º ¼µ ¾º ½µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ú Ø ¾º ¼µ ¾º ½µ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ú Ò ¾º µ ØØÑÐÐ ØÖ ÓÒÓ¹ Ñ ØÖ Ø ÙÒ Ø ÓØ Ö Ó ØÝ Ù Ò ϕ = ϕ = Ò Π(ϕ;ϕ ) = 1 2 k2 ( 1 2 ϕ2 1 4 ϕ3 ϕϕ ) 1 2 ϕ2, ¾º ¾µ ÙÒ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ú Ó ØØ ÓÒ ÐÐ Ò ÓØ ÙØØÙ ØØ ÑÙÓØÓÚ Ö Ô Ö Ñ ØÖ ϕ ÓÒ Ô Ò ϕ Ò ÓÖ ÑÔ ÔÓØ Ò ÐØÚØ Ø ÖÑ Ø ÚÓ Ò ØØ ÔÓ Ø ÖÑ Ò ϕϕ Ö ÒÒ ÐÐ µº ÃÓ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ú ¾º ¾µ ÓÒ Ø ÖÑ ϕ 3 ÚÓ Ò Ò Ð ÒÒ Ò Ø Ò Ø ÖÑ ØØ ÔÓ º ËØ Ø ÓÒ Ö ÙÙ Ó Ø δπ = ÙÖ Ø Ô ÒÓ ØÓ = 1 2 k(1 3 4 ϕ ϕ ϕ ), ¾º µ ÓÒ ØØÑØ ÝÖØ ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ ÙÚ Ò ¾º º ÂÓ Ø ϕ Ò ÖÚÓ Ú Ø ÐÐ Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò ÔÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ùº ÃÙ¹ Ú ¾º ÓÒ Ò Ð ÝÖÔ ÖÚ º Æ Ø Ú Ø ϕ Ò ÔÓ Ø Ú ÖÚÓ ϕ Ò Ò Ø Ú ÖÚÓ º ÅÙÓØÓÚ Ö ÐÐ Ò Ö ÒØ Ò Ø Ô ÒÓÔÓÐÙØ Ð ØÝÚØ Ú Ö ØØ ÑÒ Ö ÒØ Ò Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù ÙÒ ϕ º

33 ¾ ÄÍÃÍ ¾º Ì Ô ÒÓÔÓÐÙØ Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ÑÙÓØÓÚ Ö Ø ϕ > m / kr B = 1 2 k ϕ < m ϕ < ¼ ϕ > Ø Ð Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù Ð Ð Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù ϕ ϕ ÃÙÚ ¾º Î ÒÓÐÐ ÓÙ ÐÐ ØÙ ØØÙ Ô Ð Ö Ð ÙØ ÔÙÑ Ò Ú ÙØÙ º ÄÙÓÒÒÓÐÐ ÐÐ Ø Ô ÒÓÔÓÐÙ ÐÐ ÙÒ ϕ > ÙÓÖÑ ÚÙØØ Ñ Ñ ÖÚÓÒ m ÙÒ Ø ÔÓÐÙ ÐÐ ÓØ Ð ØØÝÚØ Ð Ù ÐØ ÚÙÙ Ò ϕ < ÙÓÖÑ ÐÐ ÓÐ Ñ Ñ Ô ¹ Ø Øغ Ð Ñ ÒÓ Ñ ÐÐ ϕ Ø Ô ÒÓ Ó Ø ¾º µ Ý ØÐ Ø ÙÖ d 2 Π dϕ 2 = 1 2 k(1 3 2 ϕ) = m = 1 2 k(1 3ϕ ), ¾º µ ¾º µ ÙÚ ¾º º ËÙÓÖ Ò Ý ØÐ ¾º µ ÔÙÓÐ ØØ ÔÖ Ñ Ö Ò ÙÒ Ö Ò ÔÓÐÙÒ ÚÐ Ò ÙÐÑ Òº Ãݹ Ö ¾º µ ÚÙ ÙÓÖ ϕ = Ø Ò ÒØ Ð Ø º ÎÓ Ò ÔØ ÐÐ º ÑÝ ÙÚ ¾º µµ ØØ Ô Ò Ò ÐØ ÚÙÙ ÙÐÑ ϕ ÙØØ ÙÓÑ ØØ Ú Ò Ô Ò Ò Ñ Ò Ö ÙÓÖÑ Ò m Ð Ö ÒÒ ÓÒ Ö ÑÙÓØÓÚ Ö ÐÐ º Ê ÒØ ÐÐ Ó ÐÐ Ð Ö ØØ Ò Ò ÝØØÝØÝÑ Ò Ò ÙÒ Ö Ò Ò Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ùµ ÓÒ Ô ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÑÙÓØÓÚ Ö Ò Ú ÙØÙ ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò Ö ÒØ ÐÐ Ó Ò Ð Ö ØØ Ò Ò ÔÓÐ Ù ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Òº 1 Ã Ú ¾º µ m (ϕ )¹Ö ÔÔÙÚÙÙ ÓÒ ØÝÝÔÔ ϕ 2 ÙÒ Ø Ú ÙÓÖ Ò ÓÙ Ò ØÙ Ñ Ò Ô Ð Ö Ò Ø Ô Ù Ú ¾º ¾µ Ú Ø Ú Ö ÙÓÖÑ Ò Ö ÔÔÙÚ ÙÙ Ð Ù¹ 2 ÐØ ÚÙÙ ÙÐÑ Ø ÓÒ ØÝÝÔÔ ϕ 3 º ÃÙÚ ¾º ÙÓÖ Ò ¾º µ Ô Ø Ø ÓÚ Ú µ Ú ÑÑ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ d2 Π > Ø Ô ÒÓ¹ dϕ2

34 ¾º º Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ý Ø Ñ Ô ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ¾ Ø Ð Ø ÓÚ Ø Ø Ð º Î Ø Ú Ø ÙÓÖ Ò ¾º µ Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ d2 Π < Ø Ô ÒÓØ Ð Ø dϕ2 ÓÚ Ø Ô Ø Ð º

35 ¼ ÄÍÃÍ ¾º Ì Ô ÒÓÔÓÐÙØ Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ÑÙÓØÓÚ Ö Ø

36 ÄÙ Ù ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ º½ ÈÙÖ Ø ØÙÒ Ø ÚÙØ ØÙÒ ÙÚ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ÈÙÖ Ø ØÙÒ Ø ÚÙØ ØÙÒ ÙÚ Ò Ð ÓÒ x Ð Ò y ÙÙÒØ Ò Ò Ø Ô ÒÓ ØÓ ÙÒ ÔÙÖ ¹ Ø Ú ÚÓ Ñ ÓÒ Ú Ó ÓÒ Q + Q + Q + v (v + v ) + q x =, Ó Ø ÙÖ Q x v x + q =. Ê ÐÐ x Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ º½µ º¾µ Q v + q =, º µ Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ ( ) d( ) dx º Ë Ñ ÒÐ ÐÐ Ø Ö Ø ÐÙÐÐ Ó Ø Ò ÑÓÑ ÒØ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ M = Q. º µ Ì Ô ÒÓ ØÓ Ò º µ º µ ÚÙÐÐ Ò ÔÙÖ Ø ØÙÒ Ø ÚÙØ ØÙÒ ÙÚ Ò Ö ÒØ ¹ Ð Ý ØÐ M v + q =. º µ ÇØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ ÑÑÓ Ò ÙÚ Ò ÑÓÑ ÒØ Ò ÝÖ ØÝÑÒ ÚÐ Ò Ò Ý Ø Ý ØÙÐ M = EIκ = EIv (EIv ) + v = q. Ì Ô Ù EI = Ú Ó Ø ÔÙÑ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ÓÒ Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ v (4) + k 2 v = q EI, k = EI. º µ º µ º µ º µ ½

37 ¾ ÄÍÃÍ º ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ x x + x x,u v Q M q M + M y,v Q + Q v + v ÃÙÚ º½ Ë ÙÚ Ò Ð Óº Æ Ð ÒÒ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ Ø Ú ÐÐ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò º µ Ö Ø Ù ÓÒ v(x) = Asin kx + B cos kx + Cx + D + v p, º½¼µ Ñ v p ÓÒ ÔÓ ØØ ÙÓÖÑ Ø q(x) Ö ÔÔÙÚ Ý ØÝ Ö Ø Ùº º¾ Ì Ô ÒÓÑ Ò Ø ÐÑ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ Ö Ò ÑÓÐ ÑÑ Ø Ô Ø Ý Ø ØÙ ØØÙ ÙÚ º Ë ÙÚ Ò Ö ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø v() = v () = v() = v () =. º½½µ Ì ÔÙÑ Ò Ð Ù Ò Ö Ú ØØ ÓÒ v (x) = Ak cos kx Bk sin kx + C. º½¾µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø ÔÙÑ Ò Ò Ö Ú Ø Ò Ð Ù Ø Ö ÙÒ ØÓ Ò º½½µ Ò Ý ØÐ ¹ ÖÝ Ñ B + D =, ka + C =, Asin k + B cos k + C + D =, kacos k kb sin k + C =. ÃÓÓØ Ò Ö ÙÒ ÓØ Ñ ØÖ Ý ØÐ 1 1 k 1 sin k cos k 1 k cos k k sin k 1 A B C D =. º½ µ º½ µ º½ µ º½ µ º½ µ ÂÓØØ Ý ØÐ ÖÝ ÑÐÐ º½ µ ÓÐ ¹ØÖ Ú Ð Ö Ø Ù ÓÒ Ò ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ ¹ Ò ÒØ Ò ÓÐØ Ú ÒÓÐÐ Ð 4k sin k 2 (sin k 2 k 2 cos k 2 ) =. º½ µ

38 º¾º Ì Ô ÒÓÑ Ò Ø ÐÑ ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ý ØÐ ÐÐ º½ µ ÓÒ Ö Ø Ù Ó sin k 2 = º½ µ Ð Ø k 2 = nπ, n = 1,2,..., º½ µ tan k 2 = k 2, º½ µ ÓÒ Ö Ø Ù ÓÒ k º½ µ 2 Ë ÙÚ Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ú Ø Ô Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ k 1 = 2π, (n = 1), º¾¼µ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ ÓÒ 1 kr = 4π2 EI 2. º¾½µ È Ò ÒØ ÓÑ Ò ÖÚÓ Ú Ø Ú ÓÑ Ò ÑÙÓØÓ ÒÙÖ Ù ÑÙÓØÓµ Ò Ó ØØ Ñ ÐÐ k = k 1 = 2π Ö ÙÒ ØÓ Ò Ó Ò Ö Ø Ù ÓÒ B + D =, k 1 A + C =, Asin k 1 + B cos k 1 + C + D =, k 1 Acos k 1 k 1 B sink 1 + C =, A = C =, D = B, ÒÙÖ Ù ÑÙÓØÓ ÓÒ v(x) = B(cos 2πx 1). ÌÓ Ø ÓÑ Ò ÖÚÓ k 2 = = 8.75EI 2 µ Ú Ø ÓÑ Ò ÑÙÓØÓ v(x) = B(.2227sin x + cos 8.986x + 2.1x 1) º¾¾ µ º¾¾ µ º¾¾µ º¾¾ µ º¾ µ º¾ µ º¾ µ Ö Ø ÚÓ Ò ØÙ ØØÙ Ò Ô Ð Ö Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ ÚÓ Ò ØØ ÚÓ ÐÐ Ø Ñ kr = απ2 EI 2 kr = π2 EI n 2, n = β º¾ µ º¾ µ º¾ µ

39 ÄÍÃÍ º ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ x 2 v 2 x x 111 y,v v ÃÙÚ º¾ ÂÝ Ø ØÙ ØØÙ Ô Ð Ö º ÃÙÚ º ÙÐ Ö Ò ÒÙÖ Ù Ø Ô Ù Øº ÓÒ ÒÙÖ Ù Ô ØÙÙ β = 1/ αº ÆÙÖ Ù ÒÒ ØÝ ÓÒ σ n = ( ) kr i 2 A = π2 E = π2 E n λ 2, º¾ µ n Ñ i = I/A, λ n = n /i º ¼µ ÓÚ Ø Ý ÝÝ Ó ÙÙ ÐÙ Ùº ÙÐ Ö Ò ÒÙÖ Ù Ø Ô Ù Ø ÓÒ ÓÓØØÙ Ø ÙÐÙ ÓÓÒ º½º Ñ Ö º½ ÅÖ Ø ØÒ ÙÐ Ö Ò ÒÙÖ Ù Ø Ô Ù Ò ÒÙÑ ÖÓ ÒÙÖ Ù ÙÓÖ¹ Ñ º Ì ÙÐÙ Ó º½ ÙÐ Ö Ò ÒÙÖ Ù Ø Ô Ù Øº no. ½ ¾ α ½» ½ ¾º¼ ½ β ¾ ½ ¼º ¼º ½

40 º¾º Ì Ô ÒÓÑ Ò Ø ÐÑ x 1 Q 1 x v(x) x ÃÙÚ º ÙÐ Ö Ò ÒÙÖ Ù Ø Ô Ù º y,v ÃÙÚ Ò º Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó Ø Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ M(x) = v(x) + Q( x). º ½µ ÅÓÑ ÒØ Ò ÝÖ ØÝÑÒ ÚÐ Ò Ý Ø Ý Ò M(x) = EIv (x) ÚÙÐÐ Ò EIv + v = Q( x), º ¾µ ÓÒ Ö Ø Ù ÓÒ v(x) = Acoskx + B sin kx Q ( x). º µ Ë ÙÚ Ò Ö ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø v() = v () = v() =. º µ Ê ÙÒ ØÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ 1 1 k cos k sin k A B Q = ØØ Ñ ÐÐ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÒÓÐÐ ØÙÐ. º µ Ð ÓÒ Ö Ø Ù ÓÒ 1 (k cosk sin k) =, º µ tan k = k, k º µ º µ ÃÖ ØØ Ò Ò ÔÙÖ Ø Ú ÚÓ Ñ Ð ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ ÓÒ kr = EI 2. º µ

41 ÄÍÃÍ º ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ π 2 EI 2 e Ú e x δ y,v δ ÃÙÚ º Ô Ø ÙÓÖÑ Ø ØØÙ Ò Ú Ð ÙÚ º º Ô ÝÝ Ñ Ò Ø ÐÑ Å Ò Ø ÐÑ ÙÓÖÑ Ø Ø Ò ÙÚ Ô Ø Ø ÙÚ ÐÐ ÚÓ Ò ÓØ Ù Ð ÙØ ÔÙ¹ Ñ º Ð Ù Ö Ò Ú ÙØÙ Ø Ö Ø Ø Ú Ý ØÐ ÖÝ Ñ ØÙÐ Ô ÓÑÓ Ò Ø ØØÝ ÙÓÖÑ Ò ÖÚÓ Ú Ø Ú ÖØÝÑ Ò ÑÖ Ø ØÝ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ Ö Ò ÙÚ Ò º Ú Ô Ø ØÙ ØØÙ ÙÚ ÓØ ÙÓÖÑ ØØ ÝÑÑ ØÖ Ø Ô Ò Ò ÙÓÖÑ º Ì ÔÙÑ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ÓÒ v (4) + k 2 v =, º ¼µ Ò Ö ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø v() = v() =, º ½µ EIv () = EIv () = e v () = v () = k 2 e. º ¾µ Ê ÙÒ ØÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò Ý ØÐ Ø Ê ÙÒ ØÓÖÝ ÑÒ Ö Ø Ù ÓÒ B + D =, Asin k + B cos k + C + D =, Ak 2 sin k + Bk 2 cos k = k 2 e. º µ º µ Bk 2 = k 2 e, º µ º µ cos k 1 A = e sin k, º µ B = e, º µ C =, D = e, Ø ÔÙÑ Ò Ð Ù ÓÒ [ cos k 1 v(x) = e sin k º µ º µ ] sinkx cos kx + 1, º µ

42 º º Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ Ø v(x) = e[1 cos kx tan k 2 sin kx]. º µ ÃÙÒ ÙÓÖÑ Ð Ò Ò Ú Ð ÙÚ Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò ÖÚÓ kr = π2 EI Ð k EI k 2 π 2 Ò Ò tan k Ø ÔÙÑ v(x) Ú Ö ØØ º Ã Ô Ø Ò Ø ÔÙÑ ÐÐ ( ) 2 v δ Ò Ð Ù 2 [ δ = e 1 cos k 2 tan k 2 sin k ], º µ 2 Ó ÚÓ Ò ÑÝ Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó δ = e cos 1 ( EI 2 ) 1. º µ ÂÓ ÙÓÖÑ Ò Ô ÝÝ Ø ÓÚ Ø e e Ò Ò Ø ÔÙÑ ÐÐ Ó Ø Ò Ð Ù v(x) = e [1 2x cos kx + cot k2 ] sin kx. º µ Ì Ø Ô Ù Ø ÔÙÑ ØÙÐ ( Ö ØØ ÑÒ ) ÙÙÖ ÙÒ ÙÓÖÑ Ð ØÝÝ ÖÚÓ = 4π 2EI º Ã Ô Ø Ò Ø ÔÙÑ v = 2 2 v ( ) = e 4 2 cos 1 ( EI 4 ) 1. º ¼µ º Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ Ë ÙÚ Ò ÓÑ ØÖ Ò ÔÐ Ò Ö ÙÙ Ò ÙÓÑ ÓÓÒÓØØ Ú Ö Ò Ò¹Ä Ö Ò Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙ¹ ØÓ ÓÑÔÓÒ ÒØØ ÙÚ Ò Ð Ò ÙÙÒØ Ò Ò Ú ÒÝѵ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ú ÐÐ Ñ ds ÓÒ Ú Ú ¹ Ð ÓÒ Ô ØÙÙ Ð ÙØ Ð ε = 1 ds 2 ds 2 2 ds 2, º ½µ ds 2 = [(1 + u ) 2 + (v ) 2 ]ds 2 º ¾µ ÓÒ Ú Ú ¹ Ð ÓÒ Ò Ð ÓÖÑÓ ØÙÒ Ø Ð º Î ÒÝÑÒ Ú ØÙÐ ε = u (u ) (v ) 2. º µ

43 ÄÍÃÍ º ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ x,u NA Q u ds y v ds Q v y v v y,v ÃÙÚ º Ë ÙÚ Ò ÖØÝÑØ Ú ÒÝѺ Ë ÙÚ Ò ÔÓ Ð Ù Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ô Ø Ò ÖØÝÑØ ÓÚ Ø ÖÒÓÙÐÐ Ò ÓØ ÙÑ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ū = u yv, º µ v = v, º µ Ñ u v ÓÚ Ø ÙÚ Ò Ð Ò ÖØÝÑØ ÙÚ º º Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÖØÝÑ Ò Ú Ø Ú ÒÝÑÒ Ð Ù Ò ØÙÐ ε = ū (ū ) ( v ) 2. º µ Ò ÖØ Ø Ø Ò Ú ÒÝÑÒ Ú Ú Ð ÑÙÓØÓÓÒ Ð ε = ū ( v ) 2, ε = u yv (v ) 2, º µ º µ Ó ÓÒ Ú Ð ÐÝ Ý ÑÑ Ò Ö Ó Ø ØØÙÒ Ñ ε = ε + yκ, ε = u (v ) 2 º µ º ¼µ ÓÒ ÙÚ Ò Ð Ò Ú ÒÝÑ ÙÚ Ò ÝÖ ØÝÑ ÓÒ κ = v. º ½µ Ë ÙÚ Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö Ò Ð Ù ÓÒ U = 1 2 A E ε 2 dv º ¾µ

44 º º Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ x 1 1 y,v ÃÙÚ º ÈÙÖ Ø ØØÙ Ò Ú Ð ØÝ ÙÚ Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ ÝØ ØØÝ ÓÓÖ Ò Ø ØÓº Ð ÇØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÓÒ ØØ U = 1 2 (ε 2 + 2εκy + y 2 κ 2 )da dx. A A yda =, Ò ÐÓÔÙÐØ ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö Ò Ð Ù Ñ U = 1 2 Ë ÙÚ Ò Ó ÓÒ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö ÓÒ EAε 2 dx Π = U + V, V = u() EIκ 2 dx. º µ º µ º µ º µ º µ ÓÒ ÙÐ Ó Ò ÙÓÖÑ Ò ÔÓØ ÒØ Ð ÙÚ Ò º Ø Ô Ù º È ÖÙ Ø Ð Ò ÖØÝÑ u v Ú Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Π(u,v)º À Ö ØÝÒ Ø Ð Ò ÖØÝÑØ ÓÚ Ø u 1 (x) = u(x) + ε 1 δ(x), v 1 (x) = v(x) + ε 2 η(x), Ñ ε 1 ε 2 ÓÚ Ø Ô Ò ÖØÓ Ñ ÐÙ Ù µº Ë ÖØÝÑ Ú Ø Ú Ö ØÝÒ Ø Ð Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö ÓÒ Π 1 = Π(u 1,v 1 ) Ð Π 1 = Π 1 = EA[u + ε 1 δ (v + ε 2 η ) 2 ] 2 dx EI(v + ε 2 η ) 2 dx + [u() + ε 1 δ()] EA[(u (v ) 2 ) + ε 1 δ + ε 2 v η + ε (η ) 2 ] 2 dx EI[(v ) 2 + ε 2 2v η + ε 2 2(η ) 2 ]dx + [u() + ε 1 δ()]. º µ º µ

45 ¼ ÄÍÃÍ º ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ Ã Ø ØÒ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ú ÖØÓ Ñ Ò ε i Ú Ú Ò ÔÓØ Ò Ò ÑÙ Ò Ö ½ Π 1 = 1 {EA[u (v ) 2 ] 2 + EI(v ) 2 ]dx + u() +ε 1 { EA[u (v )] 2 δ dx + δ()} +ε 2 {EA[u (v ) 2 ]v η + EIv η }dx ε2 1 EA(δ ) 2 dx + ε 1 ε 2 EAv δ η dx ε2 2 {EA(v ) 2 (η ) 2 + EA[u (v ) 2 ](η ) 2 + EI(η ) 2 }dx ε 1ε 2 2 EAδ (η ) 2 dx ε3 2 EAv (η ) 3 dx ε4 2 EA(η ) 4 dx. º µ À Ö ØÝÒ Ø Ð Ò Ô ÖÙ Ø Ð Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ó Ò ÖÓØÙ ÓÒ Π = δπ + 1 2! δ2 Π + 1 3! δ3 Π + 1 4! δ4 Π. º ¼µ ÌÙØ Ø Ò ÙÓÖ Ò Ø Ô ÒÓØ Ð Ò v = Ø Ð ÙØØ º ÈÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ø ÐÑÒ º µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÙÒ v = 1 2 δ2 Π = 1 2 ε2 1 Ñ ÓÒ ÝØ ØØÝ ÝÚ Ý Ø ÝØØ δπ = ε 1 [ EA(δ ) 2 dx ε2 2 Nδ dx + δ()] N = EAu. [N(η ) 2 + EI(η ) 2 ]dx, ËÙÓÖ Ø Ô ÒÓØ Ð Ó Ø δπ = ÙÖ Ó ØØ ÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ ¾ Nδ N δ dx + δ() =, º ½µ º ¾µ º µ º µ ½ (a + b + c + d) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) ¾ R uv dx = uv R u v dx

46 º º Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ ½ Ð N δ dx =, º µ Ó Ø ÙÖ N = N ÓÒ Ú Óº ËÙÓÖ Ø Ô ÒÓØ Ð Ô ÖÙ Ø Ð µ ÓÒ Ø Ð ÙÒ 1 2 δ2 Π ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ δ(x) η(x)º ÃÖ ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ ÑÖ Ø ØÒ Ó Ø δ( 1 2 δ2 Π) = º µ Ð δ( 1 2 [N(η ) 2 + EI(η ) 2 ]dx) = º µ Ú Ò º ¾µ Ó Ò ÔÙÓÐ Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó δ µº Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ N = ØÙÐ δ( 1 2 Ã Ú δ( 1 2 δ2 Π) = ÓÒ Ò Ñ ÐØÒ ÌÖ ØÞ Ò ØÓº [ (η ) 2 + EI(η ) 2 ]dx) =. º µ º º½ Ê ØÞ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ì ÔÙÑ ÐÐ η Ú Ð Ø Ò Ø ÐÑ N η(x) = a k ϕ k (x), k=1 º µ Ñ ÙÒ Ø ÓØ ϕ k (x) ÓÚ Ø ÒØ ÙÒ Ø ÓØ Ú ÓØ a k ÓÚ Ø ØÓ Ø ÑÖÑØØ Ñ ÖØÓ Ñ º Ë Ö Ò ÓÒ Ú Ð ØØÙ N Ø ÖÑ º ÒØ Ñ ÐÐ N Ò Ø ØÚÒ Ö Ø Ù Ñ Ð Ú ÐØ ÐÐ Ø Ö ÙÙ ÐÐ º Ë Ó Ø Ø Ò Ö Ú ØØÓ Ò Ø ÐÑØ N N η (x) = a k ϕ k(x), η (x) = a k ϕ k(x) k=1 k=1 º ¼µ ÌÖ ØÞ Ò ØÓÓÒ Ò 1 2 δ EI N N a m ϕ m(x) a n ϕ n(x)dx m=1 n=1 m=1 n=1 Ð N N 1 δ 2 a ma n m=1 n=1 EIϕ m(x)ϕ n(x)dx N N a m ϕ m(x) a n ϕ n(x)dx =, º ½µ ϕ m(x)ϕ n(x)dx =, º ¾µ

47 ¾ ÄÍÃÍ º ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ Ó ÓÒ ÐÝ Ý ÑÑ Ò Ñ Ö ØØÝÒ δ N N m=1 n=1 1 2 (C mn B mn )a m a n =, º µ Ñ C mn = C nm = EIϕ m(x)ϕ n(x)dx, º µ B mn = B nm = ϕ m(x)ϕ n(x)dx. º µ Å ØÖ ÑÙÓ Ó ÌÖ ØÞ Ò ØÓ ÓÒ δ 1 [ 2 ] a 1 a N C 11 B 11 C 1N B 1N º º ºº º a 1 º =. º µ C N1 B N1 C NN B NN a N Ð δ( 1 2 at Ka) =. º µ È Ò Ò ÙÓÖÑ Ò ÖÚÓ ÓÐÐ Ò Ð ÑÙÓØÓ 1 2 at Ka ØÙÐ Ñ Ò Ø Ò Ó Ø det(k) =. º µ È Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ 1 ÓÒ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò ÝÐÐ ÖÚÓº Ñ Ö º¾ ÅÖ Ø ØÒ Ò Ú Ð ÙÚ Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ê ØÞ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐк à ÒØ ÙÒ Ø ÓØ ϕ k (x) = sin kπx, k = 1, 2, º µ ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ö ÙÒ Óغ à ÒØ ÙÒ Ø Ó Ò Ø ÖÚ ØØ Ú Ø Ö Ú Ø Ø ÓÚ Ø ϕ k(x) = kπ cos kπx, º ¼µ Ä Ø Ò ØØ Ò ÖØÓ Ñ Ø ϕ k(x) = kπ 2 sin kπx. º ½µ B mn = = mπ = mπ ϕ m(x)ϕ n(x)dx nπ nπ cos mπx 2 δ mn, cos nπx dx º ¾µ

48 º º Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ C mn = = EI = EI EIϕ m(x)ϕ n(x)dx ( mπ ) 2 ( nπ ( mπ ) 2 ( nπ ) 2 ) 2 2 δ mn. sin mπx ÌÓ Ò Ú Ö Ø ÓÓÒ Ð ØØÝÚÒ Ò Ð ÑÙÓ ÓÒ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ ÓÒ = C 11 B 11 C 1N B 1N º º ºº º ºº C N1 B N1 C NN B NN [ ( π ) 4 ( π ) ] 2 EI 2 º sin nπx dx º º º º ºº [ ( ) 4 ( ) ] 2 Nπ Nπ EI 2 º µ º µ. ØØ Ñ ÐÐ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÒÓÐÐ ØÙÐ [ N EI k=1 Ó Ø Ò Ô Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ ( ) 4 kπ 1 = kr = π2 EI 2. ( ) ] 2 kπ =, º µ 2 Ñ Ö º Ä Ø Ò ÙÐÓ Ô Ð Ö Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑÐк º µ ÌÙØ Ø Ò ÙÐÓ Ò Ø Ð ÙØØ ÙÓÖ Ò Ô ÖÙ Ø Ð Ò Ù Ø Òº Å Ö ØÒ Ø Ø Ð Ø Ò ØØ Ð ÖØÝÑ ÙÓÖ Ò Ô ÖÙ Ø Ð Ò Ù Ø Ò ÓÒ v(x) ÑÑ Ò ÝØ ØÝÒ η(x) Ò Ø µº ÃÖ ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ ÑÖ Ø ØÒ ÙÙ Ò Ñ Ö ÒØØ Ú Ò ÑÙ Ø Ó Ø δ( 1 2 δ2 Π) = δ 1 2 [EI(v ) 2 (v ) 2 ] dx =. º µ ÇØ ÙØ Ò Ø ÔÙÑ ÐÐ ÑÙÓØÓ v(x) = A(1 cos πx 2 ), º µ Ñ A ÓÒ Ú Óº Ì ÔÙÑ ÙÒ Ø Ó º µ ØÓØ ÙØØ Ò Ñ ØØ Ø Ö ÙÒ ÓØ Ô Ø x = º Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø ÔÙÑ ÙÒ Ø Ó ØÓÓÒ º µ ØÙÐ ( δ( 1 2 δ2 Π) = δ π 4 ) EI 64 3 A2 π2 16 A2 =, º µ Ó Ø ÙÖ Ö Ø Ù kr = 1 EI π º½¼¼µ

49 ÄÍÃÍ º ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ ÌÙÐÓ ÓÒ Ø Ö Ó Ø ÔÙÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ø Ö ÙÐÓ Ò ÒÙÖ Ù ÑÙÓØÓº Î Ð Ø ¹ Ñ ÐÐ v(x) = Ax 2 º½¼½µ Ò kr = 3 EI 2, º½¼¾µ Ó ÓÒ 21.3% Ø Ö ØÙÐÓ Ø ÙÙÖ ÑÔ º ÇØØ Ñ ÐÐ Ø ÔÙÑ ÙÒ Ø Ó ÙÐÓ Ò Ô Ú ÙØØ Ú Ò ÔÓ ØØ Ò Ô Ø ÙÓÖÑ Ò ÙØØ Ñ Ø ÔÙÑ v(x) = Ax 2 (3 x) º½¼ µ Ò kr = 2.5 EI 2, º½¼ µ Ó ÓÒ 1.3% Ø Ö ÖÚÓ ÙÙÖ ÑÔ º ÇØ ÙØØÙ Ø ÔÙÑ Ò Ð Ù ØÓØ ÙØØ Ô Ø x = ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ö ÙÒ ÓÒ M() = EIv (), º½¼ µ Ø Ø ÝÝ Ø Ð ÑÑ Ò Ò Ø ÔÙÑ Ò Ð Ù µ ÒØ Ô Ö ÑÑ Ò ØÙÐÓ Ò Ù Ò ÙÒ Ø Ó v = Ax 2 Ó ØÓØ ÙØ ØÓ M() = º Ñ Ö º ÅÖ Ø ØÒ Ú Ô Ø ØÙ ØÙÒ Ô Ð Ö Ò Ô Ð Òµ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò Ö¹ Ö Ø Ö Ò ÚÙÐÐ º Î Ð Ø Ò Ø ÔÙÑ ÙÒ Ø Ó v(x) = A( x)x. º½¼ µ Ó Ø º µ Ò ØÙÐÓ Ò kr = 12 EI 2, º½¼ µ Ó ÓÒ 21.3% Ø Ö ØÙÐÓ Ø ÙÙÖ ÑÔ º Î Ð Ø Ñ ÐÐ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ö ÙÒ ÓØ M() = M() = º½¼ µ ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÔÙÑ ÙÒ Ø Ó v(x) = A( 3 x 2x 3 + x 4 ) º½¼ µ Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ kr 9.88 EI 2, º½½¼µ Ó ÓÒ Ú Ò.13% Ø Ö ÖÚÓ ÙÙÖ ÑÔ º

50 º º Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ v () = Q() Q x x y, v(x) y ÃÙÚ º ÍÐÓ Ô Ð Ö º º º¾ Ò Ö Ö Ø Ö Ò ÑÙÙÒÒÓ ÇØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ ØØ M = EIv, º½½½µ ØÙÐ ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÓÒ Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ð ÙÙ Ö Ø Ö ÑÙÓØÓÓÒ δ( 1 2 δ2 Π) = δ 1 2 [ ] M 2 EI (v ) 2 dx =. º½½¾µ ÂÓ ÑÓÑ ÒØØ M ØÓØ ÙØØ Ñ Ò Ø Ö ÙÒ ÓØ Ø ÔÙÑ v Ò Ñ ØØ Ø Ö ÙÒ ÓØ M Ò v Ò ÚÐ ÐÐ ÓÒ Ý Ø Ý M = v, º½½ µ Ò Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ ÚÓ Ò ÑÖ ØØ Ó Ø º½½¾µº Ñ Ö º ÅÖ Ø ØÒ ÙÚ Ò º ÙÐÓ Ô Ð Ö Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ ÓÒ º½½¾µ ÚÙÐÐ º Ë ÙÚ Ò Ò Ñ ØØ Ø Ö ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø v() = v () =, º½½ µ Ñ Ò Ø Ö ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø M() =, Q() = M () = v (). º½½ µ Î Ð Ø Ò Ø ÔÙÑ ÙÒ Ø Ó Ì Ô ÒÓ Ó Ø ÙÖ ÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ v(x) = Ax 2. M v = M = v + B º½½ µ º½½ µ º½½ µ

51 ÄÍÃÍ º ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ ØØ Ò ØÓ Ò ÖØ Ò ÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ M = v + Bx + C, º½½ µ Ó B C ÓÚ Ø ÒØ ÖÓ Ñ Ú Ó Ø º Å Ò Ø Ò Ö ÙÒ ØÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò ÅÓÑ ÒØ Ò Ð Ù ÓÒ B =, C = v(). º½¾¼µ M = [v(x) v()] = A(x 2 2 ). º½¾½µ Π Ò ØÓ Ú Ö Ø Ó ØÙÐ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò Ð Ò 1 2 δ2 Π = EI A2 = A ( EI (x 2 2 ) 2 dx 1 2 A ) 3 3, (2x) 2 dx º½¾¾µ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò ÙÒ Ø Ö ØÙÐÓ ÓÒ kr = 2.47 EI 2 º kr = 2.5 EI 2, º½¾ µ Ñ Ö º ÅÖ Ø ØÒ Ô Ø x = Ý Ø ØÙ ØÙÒ Ô Ø x = Ò Ú Ð ÐÐ ¹ Ø ØÙ ØÙÒ Ô Ð Ö Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ º È Ð Ö Ò Ò Ñ ØØ Ø Ö ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø Ñ Ò Ò Ò Ö ÙÒ ØÓ ÓÒ v() = v () = v() =, M() =. º½¾ µ º½¾ µ Î Ð Ø Ò Ø ÔÙÑ Ò Ð Ù v(x) = Ax 2 ( x), º½¾ µ Ñ ÓÒ ÐÐ Ò Ú Ó ÖÖÓ Òº Ë Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ù Ò ÐÐ Ø ØÚ Ø Ô ¹ ÒÓ Ó Ø M v = º½¾ µ ÙÖ ÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ M = v + Bx + C, º½¾ µ Ó B C ÓÚ Ø ÒØ ÖÓ Ñ Ú Ó Ø º Ê ÙÒ ÓÒ M() = Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÔØ ÐÐÒ ØØ C = B, º½¾ µ ÑÓÑ ÒØ Ò Ð Ù ÓÒ Ó Ø M(x) = A(x 2 x 3 ) B( x). δ( 1 2 δ2 Π) = º½ ¼µ º½ ½µ

52 º º Ö Ò Ñ Ò Ø ÐÑ x i 1 x x x i x i+1 x v i 1 v i v i+1 Ø Ö v (x i ) v ÃÙÚ º Ã Ö Ò º ÙÖ Ð Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ 3 EI [ A B ] = ØØ Ñ ÐÐ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÒÓÐÐ Ò ÙÒ Ø Ö ØÙÐÓ ÓÒ kr = 2.19 EI 2 º kr EI 2, [ ]. º½ ¾µ º½ µ º Ö Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ë ÙÚ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò EIv (4) + v = q º½ µ Ø ÔÙÑ Ò Ö Ú Ø Ø ÓÖÚ Ø Ò Ö Ò Ó ÑÖ Ðк ÃÙÚ Ò º Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò Ø ÔÙÑ Ò Ö Ú Ø Ò Ð ÖÚÓ Ò ÑÑ Ò Ö Ò Ò ÚÙÐÐ ( ) dv v i+1 v i 1. º½ µ dx 2 x ÌÓ Ò ÓÖ ÑÑ Ò Ø Ò Ö Ú Ø Ò ÔÖÓ Ñ Ø Ó ÐÐ Ò Ð Ù Ø (v ) i i (v ) i 1 ( x) 2(v i+1 2v i + v i 1 ), 1 2( x) 3(v i+2 2v i+1 + 2v i 1 v i 2 ), (v ) i 1 ( x) 4(v i+2 4v i+1 + 6v i 4v i 1 + v i 2 ). º½ µ º½ µ º½ µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ö Ò Ð Ù Ø ÙÚ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò ØÙÐ Ð Ô Ø i Ý ØÐ EI i ( x) 4(v i+2 4v i+1 + 6v i 4v i 1 + v i 2 ) + ( x) 2(v i+1 2v i + v i 1 ) = q i. º½ µ

53 ÄÍÃÍ º ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ h k 2 k 1 k k + 1 k 2 k 1 k k + 1 k k 2 k 1 k k + 1 k 2 k 1 k k + 1 k + 2 ÃÙÚ º½¼ Ê ÙÒ Óغ Å Ö ØÒ ÙÖ Ú ØØ ÓÒ Ð ÚÐ º h x º½ ¼µ º º½ Ê ÙÒ ÓØ ½º à ÒÒ Ø ØÝÐÐ Ö ÙÒ ÐÐ Ø ÔÙÑ ÖØÝÑ ÓÚ Ø ÒÓÐÐ Ð Ö ÙÒ Ò Ô Ø k v k =, º½ ½µ v k = 1 2h (v k+1 v k 1 ) = v k+1 = v k 1. º½ ¾µ ¾º Æ Ú ÐØÙ ÐÐ Ø ÔÙÑ ÑÓÑ ÒØØ M = EIv ÓÚ Ø ÒÓÐÐ Ö ÙÒ Ò Ô Ø k v k =, º½ µ v k = v k+1 2v k + v k 1 = v k+1 = v k 1. º½ µ º ÄÙ Ø ÓÒ ØÙ Ó ÖØÝÑ Ð Ù ÚÓ Ñ Q = EIv Ñ Ò ÚØ ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò Ö ÙÒ Ò Ô Ø k v k = v k+1 = v k 1, º½ µ v k = v i+2 2v i+1 + 2v i 1 + v i 2 v k+2 = v k 2. º½ µ º Î Ô Ô ÑÓÑ ÒØØ Ñ Ò ÒÓÐÐ Ø Ô ÒÓ ØÓ v Q = ÓÒ ÚÓ Ñ ÓÐÐÓ Ò Ö ÙÒ Ò Ô Ø k Ò ÓØ v k = v k+1 2v k + v k 1 =, º½ µ v k Q k = v k+2 = 2v k+1 2v k 1 + v k 2 EI h2 (v k+1 v k 1 ). º½ µ

54 º º Ö Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ½ 4 4 ½ ½ 1 1 ¼ ½ ½ ¼ ½ /3 /3 /3 ÃÙÚ º½½ ÂÝ Ø ØÙ ØÙÒ ÙÚ Ò Ð Ú Ö Óº Ñ Ö º ÅÖ Ø ØÒ Ô ØÒ Ý Ø ØÙ ØÙÒ Ô Ð Ö Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ ¹ Ö Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐк Î Ð Ø Ò Ð ÚÐ h x = Ñ ÓÒ ÙÚ Ò Ô ØÙÙ ÙÚ º½½º ÆÙÑ ÖÓ Ò 3 Ð Ô Ø Ø ÝÑÑ ØÖ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ¼ ½º È Ø ½ Ö Ó Ø Ø Ò Ø Ô ÒÓ ØÓ ¹ Ö Ò Ú Ò EI h 4 (v 1 + 6v 1 4v 1 ) + h 2 ( 2v 1 + v 1 ) =, º½ µ Ð Ó Ø Ö Ø Ø Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ ( ) 3EI h 2 v 1 =, º½ ¼µ kr = 3 EI h 2 = 27EI 2. Ì Ö ØÙÐÓ ÓÒ kr = 39.4 EI 2 º Î Ð Ø Ñ ÐÐ Ð ÚÐ h = 4 ØÙÐ kr = 32 EI 2, º½ ½µ º½ ¾µ ÓÒ Ú Ö ÓÒ 23.4%º Ö Ò Ñ Ò Ø ÐÑÒ ØÙÐÓ Ø ÚÓ Ô Ö ÒØ ØÖ ÔÓÐÓ Ñ ÐÐ º Ã Ò Ð Ú Ö ÓÒ Ö Ø¹ ÙÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò Ý ØÐ Ø Ñ k ÓÒ ÖÖÓ Òº ØÐ Ô Ö Ø º½ µ Ö Ø Ø Ò kr kr1 = kh 2 1, º½ µ kr kr2 = kh 2 2, º½ µ Ñ Ö Ò Ø Ô Ù ØÙÐ kr h2 2 kr1 h 2 1 kr2 h 2 2. º½ µ h2 1 ( ) 2 ( ) kr = 4 ( ) ( 1 3 ) 2 EI 2 = 38.43EI 2, º½ µ ÓÒ Ú Ö ÓÒ 2.7%º Ñ Ö º ÌÙØ Ø Ò Ò Ú Ð ÐÐ Ø ØÙ ØØÙ ÙÚ Ó ÓÒ Ú ÙØØ ÔÓ ØØ ÙÓÖ¹ Ñ É Ô Ø ÔÙÖ Ø Ú ÚÓ Ñ Èº

55 ¼ ÄÍÃÍ º ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ ½ 4 4 ½ Q 1 ¼ ¼ 1 ½ /2 /2 ÃÙÚ º½¾ ÃÙÚ º½ ÈÙÖ Ø ØÙÒ Ø ÚÙØ ØÙÒ ÙÚ Ò Ð Ú Ö Ó Ô ÒÓ ÖØÓ Ñ Øº 11 ¼ 2I ½ ¾ /2 /2 I 11 ÈÓ Ð Ù ÐØ Ò ÑÙÙØØÙÚ Ò Ò Ú Ð ÙÚ Ò Ð Ú Ö Óº Î Ð Ø Ò Ð ÚÐ h = º ÃÙÚ Ò º½¾ Ð Ú Ö ÓÒ Ô Ø Ò Ö Ò Ý ¹ 2 ØÐ Ð EI h 4 ( v 1 + 6v 1 v 1 ) + h 2 ( 2v 1) = Q h, ( 16EI 2 ½º ÂÓ = Ò Ò v 1 = Q3 32EI Ø Ö v ) 2 v 1 = Q ( ) = Q3 2 48EI µº ¾º ÂÓ Q = Ò Ò kr = 8EI 2 Ø Ö kr = 9.87 EI 2 µº º ÂÓ Q ÓÒ Ú Ó Ò Ò Ò v 1 = Q º 32EI 2 4 º½ µ 2. º½ µ Ñ Ö º ÅÖ Ø ØÒ ÔÓ Ð Ù ÐØ Ò ÑÙÙØØÙÚ Ò Ò Ú Ð ÙÚ Ò ÒÙÖ Ù ¹ ÙÓÖÑ º ÃÙÚ Ò º½ Ø ØØ Ø ÑÖØÝÒ ÙÚ Ò Ø Ô Ù Ò Ø Ô ÒÓ ØÓ M(x) v(x) = Ð Ö ÒØ Ð Ý ØÐ EIv + v =. º½ µ Î Ð Ø Ò Ð ÚÐ h = º Ë ÙÚ Ò Ö ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø 4 v() = v() =, ÓØ Ò Ð Ú Ö ÓÒ ÔØÝÔ Ø v = v 4 =. À Ð Ò Ô Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ö Ò Ý ØÐ Ø º½ µ º½ ¼µ 2v 1 + v λv 1 =, º½ ½ µ v 1 2v 2 + v λv 2 =, º½ ½ µ v 2 2v 3 + λv 3 =, º½ ½µ

56 º º Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ½ Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ λ = 2 16EI. à ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ λ λ λ º½ ¾µ = 1 3 λ3 3λ λ 4. º½ µ 6 Å Ö Ø ÑÐÐ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÒÓÐÐ ØÙÐ ÓÐÑ ÒÒ Ò Ø Ò Ý ØÐ ÓÒ Ô Ò Ò ÙÙÖ ÓÒ λ Ø Ú Ø Ú ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ ÓÒ ÙÒ Ø Ö ØÙÐÓ ÓÒ kr = EI 2 º kr EI 2, º½ µ º Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÒÙÖ Ù ÙÚ Ø Ò Ó Ò Ð Ñ ÒØØ Ò Ø Ð Ù ØÓ δ 2 Π ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò Ð Ñ ÒØ ØØ Òº Ð Ñ ÒØØ Ó Ø Ø ØÙÐÓ Ø ÓÓØ Ò ÐÓÔÙ Ý Ø Ò Ð Ñ Òع Ø Ú Ö ÓÒ ÓÐÑÙ Ò Ú Ô Ù Ø Ò ÑÙ Ø º Î Ð Ø Ò ÙÚ Ò ÔÓ ØØ ÖØÝÑÒ v(x) Ò¹ Ø ÖÔÓÐÓ Ñ Ò ÓÐÑ ÒÒ Ò Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ º Ð Ñ ÒØ Ò Ô Ò Ú Ô Ù Ø Ø ÓÚ Ø Ø ÔÙÑ ÖØÝÑ ÓØ Ò Ð Ñ ÒØ ÓÒ Ý Ø Ò Ò Ð Ú Ô Ù Ø ØØ º Ð Ñ ÒØ Ò ÐÙ ÐÐ Ø ÔÙÑ ÓÒ v(x) = N 1 (x)v 1 + N 2 (x)ϕ 1 + N 3 (x)v 2 + N 4 (x)ϕ 2 º½ µ Ø Ñ ØÖ ÑÙÓ Ó v(x) = [ N 1 N 2 N 3 N 4 ] v 1 ϕ 1 v 2 ϕ 2 Nq, º½ µ Ñ ϕ v N i ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ ÙÒ Ø Óغ Ä ÙØØÓÑ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ò s = x ÙÒ Ø ÓÒ N 1 (s) = 1 3s 2 + 2s 3, N 2 (s) = (s 2s 2 + s 3 ), N 3 (s) = 3s 2 2s 3, N 4 (s) = ( s 2 + s 3 ). º½ µ º½ µ º½ µ º½ ¼µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ð Ñ ÒØ Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ð Ù Ò 1 2 δ2 Π = 1 2 [EI(v ) 2 (v ) 2 ]dx º½ ½µ

57 ¾ ÄÍÃÍ º ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ N 1 v 1 ½ ϕ 1 ϕ 2 v 2 N 2 ½ F 1 p(x) N 3 ½ M 1 M 2 F 2 N 4 ½ ÃÙÚ º½ Ë ÙÚ Ð Ñ ÒØ Ò Ú Ô Ù Ø Ø ÑÙÓØÓ ÙÒ Ø Óغ ØÙÐ 1 2 δ2 Π = 1 2 qt { [(N ) T EIN (N ) T N ]dx}q º½ ¾µ Ø ÐÝ Ý ÑÑ Ò Ñ Ö ØØÝÒ 1 2 δ2 Π = 1 2 qt [C e B e ]q. º½ µ Ì Ý Ò Ò Ñ ØØ Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ý ÝÝ Ñ ØÖ Ò Ó Ø ÓÚ Ø C e = EI 3 B e = 1 3 K e = C e B e Ä Ø Ò Ñ Ö Ñ ØÖ Ò C e Ø ÖÑ C e 12 C12 e = EI N 1N 2 dx = EI 2 1,. ( s)( 4 + 6s)ds = 6 EI 2. ÅÙÓØÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÖÔ ÐÐ Ø Ö Ú Ø Ø Ð Ø Ò Ø Ù ÒÒ Ðк Ñ Ö º½ µ º½ µ º½ µ º½ µ N 1 = dn 1 dx = dn 1 ds ds dx = 1 dn 1 ds = 1 ( 6s + 6s2 ). º½ µ Ð Ñ ÒØØ Ò Ó ÙÙ Ø C e B e ÓÓØ Ò Ö ÒØ Ò ÙÚ Òµ Ý ÝÝ Ñ ØÖ C + B ØÓ Ö ØØ ÐÐ ÙÓÖÑ ÐÐ Ò ØØ Ñ ÐÐ Ð Ù Ò 1 2 δ2 Π ÖÖÓ ÒÑ Ø¹ Ö Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÒÓÐÐ Ð Ú Ø Ñ ÐÐ det[c B] =. º½ µ

58 º º Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ v x k = α EI ½ ¾ ½ v 1 v 2 v 3 ϕ 1 ϕ 2 ¾ ϕ 3 ÃÙÚ º½ à ÖÖ ÓÙ ÐÐ ØÙ ØÙÒ ÙÚ Ò Ð Ñ ÒØØ Ñ ÐÐ º Ó Ø δ( 1 2 qt Kq) = ÙÖ Ð Ò Ö Ò Ò ÓÑÓ Ò Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ Kq =, º½ ¼µ ÓÐÐ ÓÒ ¹ØÖ Ú Ð Ö Ø Ù Ó detk = Ð ØÓ º½ µ ØÓØ ÙØÙÙº Ñ Ö º½¼ ÅÖ Ø ØÒ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ØÓ Ø Ô Ø Ý Ø ØÙ ØÙÒ ØÓ Ø Ô Ø Ò Ú Ð ÐÐ Ò ÖÖ ÓÙ ÐÐ ØÙ ØÙÒ ÙÚ Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ º Î Ð Ø Ò Ò Ò Ý Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ñ ÐÐ º Î Ò ØÙ ÓÒ ÓÐÑÙ 1 Ó ØÙ ÓÒ ÓÐÑÙ 2º Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ñ ÐÐ Ò Ö ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø v 1 = ϕ 1 = v 2 =. º½ ½µ ÒÓ Ð ÐÐ Ú Ú Ô Ù Ø ÓÒ Ø Ò ÖØÝÑ ϕ 2 Ð Ñ ÒØ Ò Ý ÝÝ Ñ ØÖ Ø Ø ÖÚ Ø Ò Ú Ò Ð ÓØ (4, 4)º ËÙÑÑ Ñ ÐÐ Ú Ô Ù Ø Ò ϕ 2 Ð ØØÝÚØ Ø ÖÑ Ø Ö¹ Ö ÓÙ Ò Ð Ñ ÒØØ ÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒ ÒÓÐÐ µ Ý ÝÝ ØÙÐ Ø Ð Ù ØÓ δ( 1 2 δ2 Π) = ÑÙÓØÓÓÒ Ó Ø ÙÖ Ö ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ { [( ) 1 4EI δ 2 ϕ 2 + αei 4 } ]ϕ 2 =, º½ ¾µ 3 kr = 15(4 + α) EI 2 2. º½ µ ÃÙÒ α = Ò Ò kr = 3 EI 2 º Ì Ö ØÙÐÓ ÓÒ kr = 2.19 EI 2 º Ê Ø Ø Ò Ñ Ø ØÚ Ú Ð Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ñ ÐÐ ÐÐ º ËÓÐÑÙ ØÙÐ ÒÝØ ÓÐÑ Ó Ø Ý ÓÒ ÙÚ Ò Ô Ø º Ê ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø v 1 = ϕ 1 = v 3 =. º½ µ Å Ö ØÒ ÐÝ Ý ÑÑ Ò ØØ ÖÖ ÓÙ Ò Ý ÝÝ ÓÒ k = α EI. º½ µ ÃÓÓØ Ò Ö ÒØ Ò ÐÓ Ð Ò Ý ÝÝ Ñ ØÖ Ò Ú Ò Ò Ö Ú Ø Ö Ø Ó Ø Ú Ø Ú Ú Ô Ù Ø ØØ ÓÐ Ö ÙÒ ÓÐÐ Ø ØØÙ ÒÓÐÐ Ò Ø Ú Ø ØØÝ Ý ØÐ ÖÝ Ñ º½ ¼µ K K2 11 K K2 12 K14 2 K K21 2 K K22 2 K24 2 K41 2 K42 2 K k v 2 ϕ 2 ϕ 3 = º½ µ

59 ÄÍÃÍ º ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ Ð 192 EI EI EI 2 4EI EI EI (8 + α)ei 1 15 v 2 ϕ 2 ϕ 3 = º½ µ ÐÐ Ý ÝÝ Ñ ØÖ Ò Ð ÓÒ Kij e ÝÐ Ò ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ò ÒÙÑ ÖÓº ØØ Ñ ÐÐ Ö¹ ÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÒÓÐÐ Ò Ý ØÐ ( λ)( λ)(8 + α 1 24 λ) ( λ)( λ)2 ( λ)( λ)2 =, Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ λ = 2 EI. È Ò Ò ÙÙÖ Ø Ô Ù α = ÖÖ ÓÙ Ø µ ÓÒ. º½ µ º½ µ λ 1 = 2.71, º½ ¼µ Ó Ø Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ kr = 2.71 EI 2. Ì Ö ØÙÐÓ ÓÒ Ø Ø Ô Ù kr = 2.19 EI 2 º º½ ½µ º È Ö Ø Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó Ò Ñ Ò Ø ÐÑ È Ö Ø Ò ÔÖÓ Ñ Ø Ó Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÝØ ØÒ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò ÑÖ ØØÑ Ò Ò Ø Ô Ù Ó Ø Ö Ö Ø Ù ØÙÒÒ Ø Ø ÓÒ ÝÚ Ò ÑÓÒ ÑÙØ Ò Òº Å Ò Ø ÐÑÐÐ Ò Ö ØØ Ò ÙÓÖÑ Ò Ýй Ð Ö ¹ ÖÚ Óغ Å Ò Ø ÐÑ ÓØ ÙØ Ò Ò Ò ÙÚ Ò Ø ÔÙÑ ÙÒ Ø Ó v 1 (x) ÑÖ Ø ØÒ ØØ Ò Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ú Ø Ú ÑÓÑ ÒØØ ÙÑ M 1 (x) ÔÙÖ Ø Ú Ò ÚÓ Ñ Ò ÙÒ Ø ÓÒ º Ë ÙÒ ÑÓÑ ÒØØ ÙÑ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÑÖ Ø ØÒ Ø ÔÙÑ ÙÒ Ø Ó v 2 (x)º ØØ Ñ ÐÐ ÐÙÒÔ Ö Ò ÓØ ÙØØÙ Ø ÔÙÑ v 1 Ð ØØÙ Ø ÔÙÑ v 2 Ý Ø ÙÙÖ Ò ØÓ Ö ØØ Ò ÙÓÖÑ Ò ÑÖ ØØÑ º Å Ò ØØ ÐÝ ØÓ Ø Ø Ò Ò Ò ÑÓÒØ ÖØ ØØ ØÙÐÓ Ú ÒØÙÙ Ø ØØÝÝÒ ÖÚÓÓÒº Ì ÔÙÑ Ø v 1 v 2 ÚÓ Ò ØØ Ý Ø ÙÙÖ Ñ Ø Ò Ô Ø a (,) Ð v 1 (a) = v 2 (a), a (,). º½ ¾µ ØÐ Ø ØÙ Ô Ò Ò Ò ÖÚÓ Ù Ø Ð Ö ÙÙÖ Ò ÝÐÖ º Ì Ö ÑÔ ÖÚ Ó Ø Ö ØØ ÐÐ ÙÓÖÑ ÐÐ Ò Ø ÔÙÑ Ò ÖÚÓ Ò ÚÙÐÐ º Ñ Ö º½½ ÅÖ Ø ØÒ Ò Ú ÐØÙ ØÙÒ ÙÚ Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ º ÇØ ÙØ Ò Ø ÔÙÑ ÐÐ Ð Ù v 1 (x) = 4δ 1 x( x) 2, º½ µ

60 º º È Ö Ø Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó Ò Ñ Ò Ø ÐÑ M 1 /EI δ 1 v 1 M(a) 2 2 M 1 /EI = v 1 /EI A = δ 1 3EI x a dx ÃÙÚ º½ A = δ 1 3EI B = δ 1 3EI Æ Ú Ð ÙÚ Ò Ø ÔÙÑ ÅÓ Ö Ò Ò ÐÓ ÐÐ º Ñ δ 1 ÓÒ Ô Ø Ò Ø ÔÙÑ º Ë ÙÚ Ò Ø ÚÙØÙ ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ M 1 (x) = v 1 (x). º½ µ ÅÓÑ ÒØØ M 1 (x) Ú Ø Ú Ø ÔÙÑ ÚÓ Ò ÑÖ ØØ Ñ Ö ÅÓ Ö Ò Ñ Ò Ø Ð¹ ÑÐÐ Ò ÐÓ ÐÐ µº Ø Ø Ò Ô Ð Ò ÙÓÖÑ M 1(x) º ÌÙ Ö Ø ÓØ ÓÚ Ø A = B = EI δ 1 º ÅÓÑ ÒØØ Ô Ø x = a ÓÒ 3EI a M(a) = Aa v 1 (x) (a x)dx. º½ µ EI Ì ÔÙÑ ÙÒ Ø Ó ØÙÐ v 2 (x) = δ ) 1 (1 3EI x 2 x2 2 + x3 3. º½ µ ØØ Ñ ÐÐ Ñ Ö ( ) ( ) v 1 = v º½ µ Ò δ 1 = 52 48EI δ 1 kr = 9.6 EI 2, ÙÒ Ø Ö ØÙÐÓ ÓÒ kr = 9.87 EI 2 º ØØ Ñ ÐÐ Ø ÔÙÑ ÙÒ Ø Ó Ò v 1 (x) v 2 (x) ÖÚÓØ Ý Ø ÙÙÖ Ð ØÙÐ 1 v 1 (x)dx = 1 v 2 (x)dx 2 3 δ 1 = 2 15EI δ 1 kr = 1 EI 2. ÆÙÖ Ù ÙÓÖÑ ÐÐ Ò Ýй Ð Ö ¹ ÖÚ ÓØ ÑÖ ØØÑÐÐ Ù Ø Ò v 1 v 2 = 12EI 2 2 ( x) 3 2x 2 + x 3 º½ µ º½ µ º¾¼¼µ º¾¼½µ

61 ÄÍÃÍ º ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ Ñ Ñ ¹ Ñ Ò Ñ ÖÚÓغ È Ø x = a ØÙÐ ( ) v1 = 12 EI 2, v 2 max º¾¼¾µ Ô Ø x = 2 Ò Ø ÔÙÑ ÙÒ Ø Ó Ò v 1(x) v 2 (x) Ù Ø Ò Ñ Ò Ñ ÖÚÓ ( v1 v 2 ) min = 9.6 EI 2. º¾¼ µ Ì Ò Ø ÐÐ Ð ÐÑ ÐÐ ÓÒ ØÙ ÖÚ Ó 9.6 EI 2 < kr < 12 EI 2. º¾¼ µ ØØ Ñ ÐÐ ÙÙ Ð Ø ÙÒ Ø Ó v 2 (x) = 16δ ) 2 (1 5 x 2 x2 2 + x3 3, º¾¼ µ ( Ó ØÓØ ÙØØ ÓÒ v 2 2 Ñ ÒØØ ÙÙ Ø ÔÙÑ ) = δ 2 ÚÓ Ò ÑÖ ØØ Ø ÔÙÑ v 2 (x) Ú Ø Ú ÑÓ¹ v 3 (x) = 82 δ 2 75EI ) x x3 ( x5 5 x6 6. º¾¼ µ ØØ Ñ ÐÐ ØÙÐ ( ) ( ) v 2 = v kr = EI 2. º¾¼ µ º¾¼ µ

62 ÄÙ Ù Ä Ù ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ú ÙØÙ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò º½ Ì ÔÙÑ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú ÐÝ Ý Ø Ð Ù ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ú ÙØÙ Ø ÒÙÖ Ù ÙÓÖ¹ Ñ Òº ÀÓÑÓ Ò Ò Ó Ò Ô Ð Ö Ò Ø Ô Ù Ð Ù ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ñ Ö ØÝ ÓÒ Ô Ò ÑÙØØ ÖÖÓ ÐÐ Ø Ò Ø Ý Ø ØØÝ Ò ÙÚÓ Ò Ø Ð Ù Ò Ò ÐÝ Ó ÒÒ ÓÒ ÝÐ Ò ÓØ ØØ Ú ÙÓÑ ÓÓÒº Ä Ù ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ð Ù ÙÑ Òµ Ð Ù ÒÒ ØÝ Ò ÚÐ Ò Ý Ø Ý Ò Ú Ò ÚÙÐÐ Ò Ñ Ú ÐÐ ÔÓ Ð Ù ÐÐ º Å Ö Ø ÑÐÐ γ xy = τ xy G τ xy = ζ Q y A γ xy = ζ GA Q y α = ζ GA ØØÑÐÐ Ò Ø ÔÓ Ô ÝØÒ Ú Ò γ = αq. º½µ º¾µ º µ º µ º µ à ÖÖÓ Ò ζ = 1.2 ÙÓÖ ÔÓ Ð Ù ÐРѺ Á¹ÔÓ Ð Ù ÐÐ ζ = 2,...,2.4º Ð Ò x ÙÙÒØ Ò Ò ÖØÝÑ ÓÒ u = ϕy, º µ Ñ ϕ ÓÒ ÔÓ Ð Ù Ò ÖØÝÑ ÔÓ Ø Ú Ò Ò ÑÝ ØÔ ÚÒµº

63 ÄÍÃÍ º Ä Ù ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ú ÙØÙ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò y ϕ R u R v v u = (v γ)y γ v ÃÙÚ º½ Ä Ù ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ γº Ä Ù ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ð Ù ÙØØÙÒ ÖØÝÑ Ò ÚÙÐÐ ÓÒ γ γ xy = u y + v x = ϕ + v, º µ Ã Ú Ò º µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ u = (v γ)y, º µ ÙÚ Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ô Ø Ò Ú ÒÝÑ ÓÒ Ð Ñ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÝÖ ØÝÑ ε = u = ( v + γ )y, ε = κy, κ = v + γ. º µ º½¼µ º½½µ ÈÙÖ Ø ØÙ ÙÚ ÙÚ Ò Ð Ú Ø Ò Ó Ø ÙÓÖ Ð Ù ÚÓ Ñ ÓÒ Q = v, γ = αv. º½¾µ º½ µ Ë ÙÚ Ò ÝÖ ØÝÑ ÚÓ Ò Ø Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó κ = v (1 α). º½ µ Ë ÙÚ Ò Ø ÚÙØÙ ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ M(x) = EIκ(x) = EI(1 α)v (x). º½ µ

64 º½º Ì ÔÙÑ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÑÓÑ ÒØ Ò Ú ÙÚ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò M (x) v (x) = º½ µ ØÙÐ (1 α)(eiv ) + v =. º½ µ Ì Ô Ù EI ÓÒ Ú Ó Ø Ô ÒÓ ØÓ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÐÝ Ý Ø ÑÙÓØÓÓÒ v (4) + k 2 v =, º½ µ Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ k 2 = EI(1 α). Ñ Ö º½ ÅÖ Ø ØÒ ÙÐÓ ÙÚ Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ ÓØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ Ð ¹ Ù ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ ÙÒ ÙÚ Ò ÔÓ Ð Ù ÓÒ Ñ Ú Ò Òº ÙÐ Ö Ò Ò ÑÑ ÒÙÖ Ù Ø Ô Ù º½ µ k 2 = π2 4 2, Ö ÙÒ ØÓØ Ô Ù Ø ÚÓ Ò Ø ÐÐ Ý ÐÐ Ú ÐÐ º¾¼µ k 2 = π2 2, º¾½µ n Ñ n ÓÒ ÒÙÖ Ù Ô ØÙÙ º Ä Ù ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ ÙÓÑ ÓÓÒ ÓØØ Ò k 2 = EI(1 α). º¾¾µ Å Ö Ø ÑÐÐ E = π2 EI ÙÐ Ö Ò Ò ÑÑ Ø Ô Ù ÝÐ Ø Ô Ù 42 E = π2 EI ÚÓ Ò Ð Ù ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò ÙÓÑ ÓÓÒÓØØ Ú ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ 2 n Ö Ó ØØ ÑÙÓØÓÓÒ kr = Ñ Ö º¾ ÅÖ Ø ØÒ Ö Ø Ó ÙÚ Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ º E 1 + α E. º¾ µ ÅÖ Ø ØÒ Ð Ù ÙÑ γ ÓÙ ØÓ ÖÖÓ Ò α Ú ÖØÙ Ð Ò ØÝ Ò Ô Ö ØØ Ò ÚÙÐÐ º ÌÙع Ø Ò Ö Ø Ó ÙÚ Ò Ý Ø a Ò Ñ ØØ Ø Ó º ÃÙÓÖÑ ØØ Ñ ÐÐ Ø Ö Ø ÐØ Ú Ö Ø ÓÒ Ó Ý Ò ÙÙÖÙ ÐÐ ÔÓ ØØ ÚÓ Ñ ÐÐ Q = 1 Ò Ð ØÙ Ø Ú Ø ¹ Ú Ð Ù ÙÑ γ ÖÖÓ Ò αº Ä Ø Ò Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò ÙÓÖÑ Ò Ð Ù ÚÓ Ñ Òµ Q ÙØØ Ñ Ø ÙÚ ÚÓ Ñ Ø ÙÚÓ Ò Ô ØÙÙ ÒÑÙÙØÓ Øº Ì Ô ÒÓ Ó Ø b D = Q, º¾ µ d V = Q º¾ µ ÙÖ D = d Q, V = Q. º¾ µ b

65 ¼ ÄÍÃÍ º Ä Ù ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ú ÙØÙ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò b d a D Q Q = 1 γ Q = 1 γa V a ÃÙÚ º¾ Ê Ø Ó ÙÚ Ò ÚÓ Ñ Ø Ð Ù ÙÑ º Ë ÙÚ ÚÓ Ñ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÙÚÓ Ò Ô ØÙÙ ÒÑÙÙØÓ Ø ÓÚ Ø D = D EA d d = d2 EA d b Q V = V b = b Q, EA b EA b Ñ Ò Ø b d Ú ØØ Ú Ø ÙÚ Ò b ÓÒ Ð ÙÚ Ò dº Î ÖØÙ Ð Ò Ò ÚÓ Ñ Q = 1 ÙØØ ÙÚ ÚÓ Ñ Ø º¾ µ º¾ µ Î ÖØÙ Ð Ò ØÝ Ò Ô Ö ØØ Ò ÑÙ Ø ÔØ Ý ØÐ D = d b, Ṽ = 1. º¾ µ Qγa = D D + Ṽ V. º ¼µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÙÚ ÚÓ Ñ Ò Ú Ø Ò Ý ØÐ ÑÙÓØÓÓÒ γa = d d 2 ( b EA d b Q + ( 1) b ) Q EA b ÐÐ Ò γ = 1 ( d 3 a EA d b 2 + b ) Q = αq. EA b º ½µ º ¾µ à ÖØÓ Ñ Ò α Ð Ù ÓÒ Ø Ò ( d 3 α = EA d b 2 a + b ). º µ EA b a ÃÙÚ Ò º Ø Ô Ù ÓÙ ØÓ ÖÖÓ Ò α ÓÒ α = d 3 EA d b 2 a. º µ Ñ Ö º ÅÖ Ø ØÒ Ð Ù ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ú ÙØÙ Ò ÙÓÑ ÓÓÒÓØØ Ú ÖÖÓ Ò α ÙÚ ÐÐ º ÌÙØ Ø Ò ÙÚ Ò º ÙÚ Ò Ý Ò ÓÒ ÓÖÑ Ø ÓØ º È ÖØ Ò Ø ÔÙÑ Ú ¹ ÚÓ Ò ÒÒ Ô Ø Ø ÓØ ÙØ Ò Ð ÑÖ Ø µ ÙÚÓ Ò ÔÙÓÐ ÚÐ Òº Å Ö ØÒ ØØ ÔÙÓÐ Ò ÚÐ Ò Ñ Ø ÐÐ Ô ÖÖ ÙÚ Ò Ø ÔÙÑ ÓÒ δº ÌÐÐ Ò Ø Ú Ø Ú Ð Ù¹ ÙÑ ÓÒ γ = δ º Ä Ø Ò ÖØÝÑ δ Ú ÖØÙ Ð Ò ØÝ Ò Ý ØÐ ÐÐ ØÙØ Ñ ÐÐ ¹ a/2 ÙÚ Ò Ó º Î ÖØÙ Ð Ò ØÝ Ò Ô Ö ØØ Ò ÑÙ Ò 1δ = M M EI ds, º µ