3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto
|
|
|
- Aimo Seppälä
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ö Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò
2 ¹ Ö Ò Ô ÖØÑ Ò Ò ÙÚ Ø Ò Ù Ò Ð Ù Ù Ò Ò Ô Ô Ð Ò µ ÚÙÐÐ Ö Ð Ù Ù Ò Ö Ø ØÓ ÙÐ Ð Ù Ù Ò Ò Ö Ú Ò ÙØØ ÒÒ Ò Ù Ò Ô ÖÖ ØÒ ÖÙÙ ÙÐÐ Ö Ú Ø ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø ÙÓÖ ØØ Ñ Ò Ø Ø Ó ÙÙ Ä Ù Ù Ò Ò Ö ØÝ Ñ Ø Ò Ò Ý ØØ Ò Ò Ö ØÝ ÚÓ Ö ÔÔÙ ÑѺ ÓÚ ÐÐÙ Ø ÝØ ÒØÙ Ø ÝØ ØÝ Ø Ö Ô ÒÒÓ Ø Ò º Ë ÙÖ Ú ÙÚ ØØÙ Ö ØÝ ÓÚ ÐØÙÚ ÐØ Ó Òµ Ð ÐÐ ÇÔ Ò Ä¹ Ø Ò Ö Ò Ú Ö ÓØ Ö Ð Ù Ù Ò Ø ÑÝ Ó Ø Ò Ú ØÓ ØÓ Ö ØÝ Ø ÐØÝ ÇÔ Ò Ä Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ñ ØÓ Ñ ÒØÓ ÑÙ Ò ½
3 Ñ ÓÐÐ Ò Ò Ó ÔÚ Ò 3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto Ò ÑÑ Ò ÓÚ ÐÐÙ ¹»Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ú Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÐÙÓ ÑÓÒ ÙÐÑ Ó Ø Ò Ò Ð ØØÝÚ Ø Ó Ø Ó Ø ÓÓ ØÙÚ Ñ ÐÐ Ó ÚÓ Ò Ð ØØ Ö ÒÔ ÖØÓ Ö Ø ÐÑÐÐ Ô ÖÖ ØØÚ ØÑ Ú Ò ÐØ Ö ÔÔÙÙ Ò Ò Ø Ò ÓÚ ÐÐÙ Ø Ö Ô ÒØ Ø Ò Ö ÙØ Ò ÇÔ Ò Ä ÑÖ ØØ Ð ØØ Ú ØØ ¾
4 ÌÓ ÓÑ ØÖ Ú Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ÙÐÑ Ô Ø ÐÐ Ø ÖÚ ØØ Ú Ø ÓÑ ØÖ Ø Ò µñùùòòó Ø ÙÓÖ Ø Ø Ò Ø ÖÚ ØØ Ú Ø Ð Ù Ø ÓØØ Ñ ÐÐ Ò ÙÚ ØØÙ Ô ÖØÓ ÙÒ Ò Î Ñ Ò Ö Ø ÖÓ ÒØ ¹»Ô ÖØÓÚ Ò Ø ØÚÒ ÓÒ Ö Ø ÖÓ Ô ÖØÓ ÙÒ Ò ÙÚ ØØÙ Ñ ÐÐ ¾ ¹Ô Ð ÙÚ Ô ÖÙ ØÙÙ Ô Ø ÐØ ¾ ¹Ô ÖØÑ Ò Ý Ø Ý Ø ØØÝ Ò Ø Ò Ó Ò
5 ÑÑ Ò Ö Ò Ô ÖØÑ Ò Ú Ø ÙÓÖ Ø ØØ Ò ÔÖÓ ÓÖ ÐÐ Ä ØØ ØÓ ØØ ÑÑ Ò Ö ÓÖØ Ø ÓÚ Ø ÓØØ Ò Ø Ý Ò ÑÑÒ Ø ØÚ Ó Ø Ò ÒÝ Ý Ø ÓÖØ Ø Ó Ø Ú Ø ÙÙÖ Ò Ô ÖØ Ò ÓÑ ØÖ ¹ Ô ÖØÓ¹Ó ÙÙ Ø Prosessori (CPU) Muisti Väyläohjain AGP väylä Grafiikka prosessori (GPU) Paikallinen muisti Z puskuri videopuskuri Näyttö tekstuurit ym. PCI väylä ÆÝ Ý Ö Ø ØÙÙÖ Ö ÓÖØ ÐÐ ÓÑ ÒÓÔ ÚÝРȵ
6 Ó ÙÓÖÑ Ø ÑÙ Ò Ó Ð ØØ Ò ÝØØÑ ÚÝÐ È Áµ Ë ÙÖ Ú Ú È Á ÜÔÖ ¹ÚÝÐ ÓÖÚ È Á È ¹Ö Ø ÙÒ Ì Ø ÙÓÐ Ñ ØØ ÚÝÐ ÐÐ Ò Ý Ø Ñ Ò ÔÙÐÐÓÒ ÙÐ Ø ÚÓ ØØ Ò ÖØ Ñ ÓÐÐ ÑÑ Ò Ú Ò Ø ÚÝÐÒ ÙØØ Ö ÓÖØ ÐÐ
7 ËÓÚ ÐÐÙ»Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ú Sovellus/mallinnus objektin rakentaminen animointi, LOD, jne. skaalaus, rotaatio siirto maailmanavaruuteen frustumikarsinta (frustum culling) piilo osien karsinta (occlusion culling) valonlähteiden, materiaalien, tekstuurien, ym. määritys geometrian pakkaus Ì ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÓÓØ Ô ÖØÑ Ò ÓÚ ÐØÙÚ ÑÓÒ ÙÐÑ ÓÑ ÐÐ Ñ ÐÑ Ø Å ÐÐ ÓÓØ Ò Ñ ÐÑ Ò ÓÓÖ Ò Ø ØÓÓÒ Ð Ñ ÐÑ Ò Ú ÖÙÙØ Ò ÛÓÖÐ Ô µ ÃÙ Ø Ò Ò Ñ ÐÐ Ò Ø ØØÝ Ý ØØ Ò Ò Ó Ù Ò ÐÔÓÑÔ ÓÓØ Ò Ò ÓÖ ÓÒ Ð ÐÐ Ô ÐÐ Ð Ó Ø ÓÓÖ Ò Ø ØÓ
8 È ÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ØÝØÝÝ ÖØ Ó ÐÐ Ô ÐÐ Ò Ñ ÐÑ Ò Ú ÖÙ¹ ÙØ Ò Ñ ÐÐ Ø ÚÓ Ò ÑÝ Ð Ø ÖØ Ø Ø Ö¹ÑÙÙÒÒÓ ÃÙÒ Ñ ÐÐ ÓÒ ØÙ ÓÓØØÙ Ñ ÐÑ Ò Ú ÖÙÙØ Ò Ø ÚÓ Ò Ö Ø ÖÔ ØØÓÑ Ó ÔÓ ÓØØ Ô ÖÖ ØØÚ Ñ ÓÐÐ ÑÑ Ò Ú Ò Ò ØÓÖ Ò ÖÙ ØÙÑ Òµ ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ Ú Ò Ó Ò Ö ÒØ Ô ØÓÓÒ Ú Ò Ó Ò Ö ÒØ ÓÐÙ ÓÒ ÙÐÐ Ò µ Ò Ø Ð ÑÝ ÑÑ Ò Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖÖÓ ÚÓ Ò Ú Ð Ø Ñ Ø Ø Ð Ø ØÝØÝÝ ÝÐ ÔØÒ Ô ÖØ Å ØÓÒÔ ÖÖÓ Ó Ò Ø Ö ÙÙ Ò ÑÓÒ ÙÐÑ ÓÚ Ö ÓÒ Ú Ð ÒØ ÄÇ Ä Ú Ð¹Ó ¹ Ø Ðµ Ú Ð Ø Ò ÓÔ Ú Ò Ø Ö ÙÙ Ò Ñ ÐÐ Ø ÝÝ Ò ÑÙ Ò
9 ËÓÚ ÐÐÙ Ú ØÝØÝÝ ÑÝ ÑÖ ØØ Ñ ÐÑ Ò Ú ÐÓÒÐ Ø Ø ÑÓÒ ÙÐÑ Ó Ò Ñ Ø Ö Ð Ø»ÚÖ Ø Ø ØÙÙÖ Ø Ò º Ò ÑÓ ÒÒ ÚÓ Ò Ú Ð Ø Ó Ò Ñ Ø Ó ÖÙÙØÙ Ý ¹ Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ð Ó Ø Ò ÙÙ Ø ÒÒ Ø Ò º Å ÐÐ Ò ÑÓÒ ÙÐÑ ÓØ ÓÐÑ Óص ÖÖ ØÒ Ù Ò Ô ÖÖ ØØÚ Ô ØØÙÒ ÑÙÓØÓÓÒ Ó ÙÒ Ò ØÙÒ ÙÐÑ Ô Ø Ò Ú ÖØ Òµ ÓÓÖ Ò Ø Ø Ñ ÓÐÐ Ò Ò Ó Ø ÒØÝÚØ Ú Ò ÖÖ Ò Ñº Ú ÖØ Ü ÖÖ Ý» Ù Ö ÇÔ Ò Ä» Ö Ø µ
10 ÓÑ ØÖ Geometrian käsittely Verteksikohtaiset operaatiot verteksishaderi kameramuunnos (view transform.) valaistus perspektiivimuunnos & näkövolyymin normalis. leikkaus väri ja tekstuuri koordinaattileikkaus homog. koordin. normalis. (perspektiivijako) muunnos ikkuna koordinaatistoon maailmankoordinaatisto (world space) katsojan koordinaatisto (eye space) normalisoitu kuvauskoordinaatisto (normalised screen space) ikkunakoordinaatisto (3D display space)
11 ÅÙÙÒÒÓ Ø Ó Ò ÓÓÖ Ò Ø ØÓÓÒ y u y ylös suunta katsomissuunta u z u x katsoja u z x z à ØØ ÐÝÒ ÐÔÓØØ Ñ Ñ ÐÐ ÖÖ ØÒ ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑÙÙÒÒÓ ¹ ÐÐ Ñ ÐÑ Ò ÓÓÖ Ò Ø ØÓ Ø Ø Ó Ò ÓÓÖ Ò Ø ØÓÓÒ Ý Ô µ ½¼
12 Ø Ó Ø ÓÖ Ó Ø ÓÓ ( )z¹ Ð Ò ÙÙÒØ Ò Ã Ø Ó Ò ÙÚ Ø ÐÐÙÒ ÙÚ Ù ÙÒ Ò ÐÔ Ñ ÐÑ Ø Ó Ò Ó ÓÒ ÑÙÓ ÓÐØ Ò Ö Ø Ò ÔÝÖ Ñ Ð Ò Ö Ø Ò Ò ÝÑ Ú Ð Ò º ØÙ¹ Ø Ð Ù Ø Ó ÐÐ ÓÐÐÓ Ò Ð ÐÐ Ö ÐÐ Ò Ò Ø ØÙ ÔÝÖ Ñ ØØ ÙØ ÙØ Ò Ò ÖÙ ØÙÑ y x z ½½
13 ÅÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ Ø ÓÑÓ Ò Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÐÐ Ø ØÝØ ÑÝ ÑÑ Ò Ø ÐØÚØ ÓÑ ØÖ Ø ÑÙÙÒÒÓ Ø ÚÓ Ò ØÓØ ÙØØ ÖØÓÑ ÐÐ ÓÔ Ú ÐÐ ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ ÐÐ Ñ ÐÐ Ò Ë Ñº Ó Ò Ò Ú ÖØ Ð Ù ÖÓØ Ø Ó Ö ÖØÓ ÓÓÖ Ò Ø ØÓÑÙÙÒÒÓ ÔÖÓ Ø ÓÑÙÙÒÒÓ Ø º Ð ÑÔ Ò µ ÌÑÒ ÚÙÓ ¹Ú ØÓÖ Ò Ò ÝØ ØÒ Ù Ò ¹Ú ØÓÖ Ø [x, y, z, w] Ó Ò Ð ÓÑÔÓÒ ÒØØ ÓÒ Ò º Ð Ù ¹ Ð ÓÑÓ Ò ¹ Ò Ò ÓÓÖ Ò ØØ ÓÐ ØÙ ÖÚÓ Ø w = 1 ½¾
14 ÑÙÙÒÒÓ Ø Ú ÐÐ Ò ¹ ÓÓÖ Ò ØØ Ò Ò Ñ ÐÐ x¹ y¹ z¹ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ð Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ ÐÐ w ÌÐÐ Ø Ú ÐÐ ÚÓ Ò ÑÝ ÖØÓ Ô Ö Ô Ø Ú ÔÖÓ Ø Ó ØØ Ñ ØÖ ÐÐ ÖØÓÑ Ò Ñ ÓÐ Ñ ÓÐÐ Ø ¹Ñ ØÖ ÐÐ ÒÑ ÚØ Ò Ñ ØØ Ò ÓÐ Ð Ò Ö ÓÔ Ö Ø Ó Ø ¹ Ú ÖÙÙ Ñ ØÖ ÐÐ ÖØÓÑ Ò Ò Ø ÓÒ T(t x, t y, t z ) = t x t y t z Ѻ ÖÖÓ ØÖ Ò Ð Ø ÓÒµ ÚÓ Ò ØØ ¹Ñ ØÖ Ò ½
15 Å ØÖ ÑÙÙÒÒÓ ÚÓ Ò Ú Ô Ø Ý Ø ÖØÓÑ ÐÐ Ñ ØÖ Ø ÒÒº ÅÙÙÒÓ ØÝØÝÝ Ø ÑÝ ÒÓÖÑ Ð Ú ØÓÖ ÐÐ Ú ÐÓÒÐ Ø ÐÐ ½
16 ÝÒ Ñ Ò Ò Ú Ð ØÙ Ð Ø Ò ÝÐ Ò Ú ÖØ Ó Ø Ø Î Ð ØÙ ÒÝ ÝÒ Ý Ù ÑÑ Ò ÑÝ Ô Ð Ó Ø Ø È Ð ÓÒ ÝØ ØÝ ÑÔ Ö Ô ÖÙ Ñ ÐÐ Ô ÒÒ Ò Ú Ð ØÙ Ø Ò Ñ ÒØØ Ò ÙÙ Ò Ô ÙÐ Ö Ò Ó Ò Ñ ÒØØ ÝÐ Ú ÐÓ Ó Ú Ð Ô ÒÒ Ø Ñ ÐÐ ÚÓ Ñ Ù¹ Ù ÐÐ ÙÙ Ú ÐÓÒÐ Ø Ò ÙØØ Ñ Ñ ØØ Ñ Ò Ò Ú Ð ØÙ ÓÒ Ö Ù Ö ÔÔÙÙ Ú ÐÓÒ ØÙÐÓ ÙÙÒÒ Ø Ô ÒÒ ÐÐ ÑÙØØ Ø Ó Ò Ñ Ø Ô ÙÐ Ö ÐØÚ ØÙ Ö Ú ÐÐ Ô ÒÒ ÐÐ ÓÒ ÒØ Ö ÔÔÙÙ Ø Ó Ò Ñ Ø ½
17 Î Ð ØÙ Ò Ð ÒØ Ú ÖØ Ò Ú ÖØ Ò ÑÙ Ò ØÙÐ ÒÒ Ò Ð Ø ØÓ ÚÖ Ø Ñ ÓÐÐ Ø Ö Ò Ñ ÒØ ÐÐ ÙÙ ÐÐ Ô ÙÐ ¹ Ö ÐÐ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÐÐ µ ØÙ ÖØÓ Ñ Ø Ô ÙÐ Ö Ø ÔÓÒ ÒØ Ø ØÙ Ò Ó Óµ Ô ÒÒ Ò ÒÓÖÑ Ð Ò ÙÙÒÒ Ø ØÐÐ Ó ÐÐ Ä Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ Ú ÐÓÒÐ Ø Ø Ò Ò ØÝÝÔ Ø Ô Ø Ú ÐÓ ÔÓØØ º º º ÒØ Ñ ÐÑ Ö ØØ ÑÒ Ù Ò Ó Ò ÙÙÒÒ ÔÓØØ Ú ÐÓÒ ÙÙÒØ ÙØØ Ñ ÒØØ» ÙÙ» Ô ÙÐ Ö ØÙ Ø ½
18 Ä Ú ÐÓÒÐ Ø Ò ÚÓ Ò Ð ØØ Ö Ð ÝØØÝØÝÑ Ñ ÐÐ ÑѺ Ø ÝÝ Ò Ù Ø Ò Ò Ú ÐÓ Ñ Ø Ò ÒÓÔ Ø Ú Ø Ú Ø ÔÓØØ Ú ÐÓÒ ÙÐÑ Ò Ù Ø Ò Æ Ò Ø ØÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ð Ø Ò Ú Ø Ú ÐÐ Ú Ð ØÙ Ý ØÐ ÐÐ Ý Ò Ú ÖØ Ò Ú Ð ØÙ ØÑ ÒØ ÖÔÓÐÓ Ò Ö Ø ÖÓ ÒÒ Ô Ø ÐÐ ÃÙÐÑ Ô Ø Ø ÒØ ÖÔÓÐÓ ØÙ Ú Ð ØÙ ØÙÓØØ ÙÓÒÓÒ ØÙÐÓ Ò Ö ØÝ Ø Ô ÙÐ Ö Ò ØÙ Ò Ó ÐØ ÙÒ Ú Ö ÓÒ Ø Ö ÙÙ ÓÐ ÙÙÖ ÝÑÔÖ Ø ÙÚ Ù Ò Ö Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÐÐ Ø Ò Ó ÐÐ Ò Ô Ö ÑÔ ØÙÐÓ Ð Ñ ÐÐ Ú Ð ØÙ Ô Ð Ó Ø Ø ½
19 ÐÐ ÙÚ ØÙÐÐ Ô ÖÙ Ñ ÐÐ ÐÐ ÚÓ ÑÝ Ò ÙÚ Ø ÑÓÒ Ú Ð ØÙ Ò ÐÑ Ø Ô ÙÐ Ö Ò ØÙ Ò ÚÖ ÚÓ Ñ ÙÙ Ö ÔÔÙÙ Ú ÐÓÒ ØÙÐÓ ÙÙÒÒ Ø Ñº Ñ Ø ÐÐ Ø Ú ØÓ ÐÐ ØÙÐÓ ÙÙÒÒ ÐÐ ÓÛ Ò»Ñ Ò Ð Ö Ò ÓØÖÓÓÔÔ Ò Ò ØÙ ØÙ Ö Ð Ò Ò ÖÖÝØØ ÒÓÖÑ Ð Ò ÝÑÔÖ Ñ Ö ØØÙ Ñ Ø ÐÐ Ù Ø Æ º Ý Ð Ø Ñ ÐÐ Ø ÝÖ ØØÚØ ÙÚ Ø ØÐÐ ÐÑ Ø Ô ÒÒ Ò Ñ ÖÓÖ ÒØ ½
20 Ð ÑÑÐÐ Ø ÓÐÐ ÚÓ Ò Ø ÐÐ Ô ÒÒ Ò Ø Ú Ò Ñ Ø Ø Ò ÙÙÒÒ Ø ØÙÐ Ú Ò Ú ÐÓÒ Ñ Ò Ø Ò Ø Ö Ø ÐÙ ÙÙÒØ Ò Ø ØÝÐÐ ÚÓ Ñ ÙÙ ÐÐ À ØÙ Ò ÚÓ Ñ ÙÙ ÙÒ Ø Ó Ú ÐÓÒ Ø Ó Ò ÙÙÒÒ Ø Ê ¹ Ö Ø ÓÒ Ð Ê Ø Ú ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒØ ÓÒµ ÚÓ Ò Ø ÐÐ ØØ ÒØ ÖÓ Ò Ó Ó ÝÑÔÖ Ø Ø Ô Ø Ò ØÙÐ Ú Ò Ú ÐÓÒ ÝÐ Ê Ð Ò Ò Ú Ð ØÙ Ò Ð Ñ Ò Ò ÓÒ Ø Ú Ò ØÝ Ò Ó Ø Ò ½
21 ÈÖÓ Ø ÓÑÙÙÒÒÓ Å ÐÐ ÐÐ Ø Ò ÔÖÓ Ø ÓÑÙÙÒÒÓ Ô Ð ÓÚ ÐÐÙ ØÑ ÓÒ ÝÐ Ò Ô Ö Ô Ø Ú ÔÖÓ Ø Ó Ó Ù ÑÝ Ô Ö ÐÐ Ð ÔÖÓ Ø Ó Ì Ú ÐÐ Ô Ö Ô Ø Ú ÔÖÓ Ø Ó ¹ ÙÚ ÔÖÓ Ó Ò ¾ ¹ ÙÚ Ù Ø ÓÐÐ ÔÖÓ Ø ÓÒ Ô Ø Ò Ø Ó Ò ÒØ µ Ù Ø Ò P 2 P 2 P 1 P 1 projektion keskipiste ¾¼
22 ¹ Ö ÐÙØ Ò Ù Ø Ò Ò ÐÝØØ ÑÝ ØÑÒ Ð Ò Ø ØÓ ÙÚ Ò Ó Ø Ò ÝÚÝÝ Ø ÑѺ ¹ÔÙ ÙÖ Ú ÖØ Ò Ð ÑÙ Ø Ò Ø ÖÚ ØØ Ù Ò ½»¾ ÐÐ ÌÑÒ ÚÙÓ Ô Ö Ô Ø Ú ÔÖÓ Ø Ó ÚÓ Ò ØÓØ ÙØØ ÑÝ ÓÐÑ ÙÐÓØØ Ò Ú ÖÙÙ Ò ÙÚ Ù Ò Ó ØØ Ô Ø ÐÐ ÝÚÝÝ Ó¹ ÓÖ Ò Ø Ò Ì ÑÙÙÒÒÓ ÔÝÖ Ñ Ñ Ò Ò Ò ÖÙ ØÙÑ ÙÚ ÙØÙÙ ÙÓÖ ÙÐÑ Ó ÃÙØ Ò ÑÙÙØ Ò ÑÙÙÒÒÓ Ø ÑÝ Ô Ö Ô Ø Ú ÑÙÙÒÒÓ Ø Ò ÓÑÓ Ò ¹µ ÓÓÖ Ò Ø Ñ ØÖ ÐÐ ÖØÓÑ ÐÐ ¾½
23 Ì Ò Ð Ø ØÒ ÝÐ Ò ÑÙÙÒÒÓ Ó ÑÙÙÒØ Ñº ÙÓÖ ÙÐÑ ÓÒ Ò º ÒÓÖÑ Ð Ó Ù ÙÚ Ù ÚÓÐÝÝÑ Ó ÓÒ ÓÓÖ Ò ØØ Ð Ò ÙÙÒØ Ò Ò ÙÙØ Ó Ô Ø Ò [ 1, 1, 1] [1, 1, 1] ÚÐ ÃÙÚ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò Ò ÓÒ ØÑÒ Ð Ò Ú Ò ÙÙØ ÓÒ Ð Ø ØÝ Þ¹ ÙÙÒÒ ÙÓÖ ÙÐÑ Ò Ò ÔÖÓ Ø Óµ ÐÔÓØØ ÙÓÑ ØØ Ú Ø ÑÓÒ ÓÔ Ö Ø ÓØ [1, 1, 1] [ 1, 1, 1 ¾¾
24 ÅÙÙÒÒÓ Ø Ú Ð ØÙ ÚÓ Ò Ó Ø ÑÝ Ó ÐÑÓ Ø Ú ÐÐ Ú ÖØ Ö ÐÐ ÑÙ Ò ÇÔ Ò Ä ¾º¼ Ø Ö Ø Ø Ð Ø Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ô ÖÙ ÓÔ Ö Ø Ó Ø ØØÝÒ ÑÔ Ò Ø Ò ÝØ Ò ÐÐ ÙÚ ØØÙ Ô ÖÙ ÓÔ Ö Ø ÓØ ÙØ ÙØ Ò Ü ÙÒØ ÓÒ ¹ Ú ØÓ Ó Ç ÐÑÓ Ø Ú Ø Ö Ø Ð ÑÝ ÑÑ Ò ÓÑ ÐÙÚÙ Ò ¾
25 Æ ÝÚ Ñ ÐÑ ÓÒ ÒÓÖÑ Ð Ó ÙÒ ÙÙØ ÓÒ Ò Ú Ó Ä Ù Ò ÝÑØØ ÑØ Ó Ø Ø ÚÓ Ò ÒÝØ ÔÓ Ø Ð Ñ ÐÐ ÙÙØ ÓÒ ÙÐ ÓÔÙÓÐ Ø Ó Ø ÔÓ Ð Ù ÐÔÔÓ Ø ÙÙØ ÓØ Ö Ú Ò Ø Ó Ò Ù Ø Ò ÃÙÙØ ÓÒ Ö ÐÐ ÓÐ Ú Ø ÔÓÐÝ ÓÒ Ø ØÝØÝÝ Ð Ø Ó Ò Ñ ÐÐ ÝÒØÝÝ ÙÙ Ú ÖØ ÙÙ ÐÐ Ú ÖØ ÐÐ ØÝØÝÝ ÑÖ ØØ ÒØ ÖÔÓÐÓ Ñ ÐÐ ÚÖ ¹ Ø ØÙÙÖ ÓÓÖ Ò Ø Ø Ø º Ð ÑÔ Ò µ ØØ ÙØ ÙØ Ò ÚÖ»Ø ØÙÙÖ Ð Ù ¾
26 Ä Ù ÓÒ ÒÒ ØØ Ø ÙÓÖ Ò ÓÑÓ Ò ÓÓÖ Ò Ø ½» ½ Ò Ø ÓÓÖ Ò ØØ Ú ÖÖ Ø Ò w» w Ò ÌÐÐ Ø Ú ÐÐ ÙÓÖ Ø Ø Ò Ø Ö Ð Ù Ð ÔÔ Ò µ ÃÙ Ø Ò Ò Ø Ó ÙÙ Ý Ø ÐÙØ Ò ÝÐ Ò Ö ÖÙ ØÙÑ Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ Ó ÔÓ Ó ÑÑ Ò ØÑÒ ÚÙÓ Ó ÓÚ ÐÐÙ Ú ÙÓÖ Ø Ø Ò Ù Ò ÔØ Ö ÖÙ ØÙÑ Ö ÒØ ÙÐÐ Ò µ Ñ ÐÑ Ò ÓÓÖ Ò Ø ¾
27 ÄÓÔÙ ØÝØÝÝ Ô Ð Ø ÒÓÖÑ Ð Ò ¹ ÓÓÖ Ò ØØ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ø Ô Ð ÙØ Ø Ò ÓÑÓ Ò Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø Ò Î Ñ ØÝØÝÝ Ú Ð Ø x¹y¹ ÙÙÒÒ ÑÙÙÒÒÓ ÒÓÖÑ Ð ¹ Ñ ÐÐ w ÐÐ Ô Ö Ô Ø Ú Ó Ó Ù Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø Ô ÖØÓ ÙÒ Ò Ö Ø Ö Òµ ÓÓÖ Ò ØØ Ò Ñº ÙÒ Ø ¹½ º º º ½ ¹½ º º º ½ ÙÒ Ò ¼ º º º ¼¼ ¼ º º º ¼¼ ¾
28 Ì ¹ Ô ÐÓÔ ÒØÓ Ò ÔÓ ØÓ Ã Ø Ó Ø ÔÓ Ô Ò Ó Ó ØØ Ú Ø ÔÓÐÝ ÓÒ Ø ÚÓ Ò ÔÓ Ø Ó ÔÓÐÝ ÓÒ ÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÙÒØ ÙÐÐ Ò ÆÓÖÑ Ð Ó Ù ÙÚ Ù Ú ÖÙÙ ØÑ ÓÒ ÐÔÔÓ Ö ØØ Ø Ö Ø ÔÓÐÝ ÓÒ Ô ÒÒ Ò ÒÓÖÑ Ð Ú ØÓÖ Ò z¹ ÓÓÖ Ò Ø Ò ØÙÑ Ö ÓÒ Ó ÒÓÖÑ Ð ÐÐ ÐÐ Ò z¹ Ú z¹ Ð Ò ÙÙÒØ Ò ÒÓÖÑ Ð Ø Ò Ñº Ö Ø ØÙÐÓÐÐ Ø ÔÓÐÝ ÓÒ Ò Ö ÙÒ Ñ ÒØ Ø ÇÔ Ò Ä Ø Ô ÒØÓ Ò ÔÓ ØÓ Ø Ò Ö Ø ÖÓ ÒØ Ú Ò ÐÙ ¾
29 ÆÓÖÑ Ð Ó ØÙ ÙÚ Ù ÚÓÐÝÝÑ ÓÐ Ô Ö ØØ ÑÝ ÝÚ Ô Ø ÝÐ Ø Ô ÐÓÔ ÒØÓ Ò ÔÓ ØÓ Ò ÝÚÝÝ Ð Ù» ÓÐÙ ÓÒ ÙÐÐ Ò µ ÌÓ Ò Ô ØØÚØ Ó Ø Ø ÒÝØ Ñ Ð Ò z ÙÙÒÒ ÔÐÐ Ò x¹y¹ø Ó Ú Ø Ú Ø Ô ØØÓÓÒ Ú ÔÓÐÝ ÓÒ ÚÓ Ò Ð Ø Ô ØØ Ò Ù Ø Ò ÙÐÓØØ Ø x¹y¹ø Ó ÃÙ Ø Ò Ò ÝÐ ÔØ Ú Ø Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ ÓÑ ØÖ Ò Ò ÝÚÝÝ Ø Ö Ø ÐÙÙÒ ÓÐ Ø Ó ÑÑ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø ÓÚ ÐÐÙ Ó Ø Ö Ó Ø Ò Ó Ø Æ ÝÚÝÝ Ö ÒØ Ø Ò ØÑÒ ÚÙÓ Ó ÓÚ ÐÐÙ Ú Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÐ Ø Ö Ð Ù Ú Ò ÔÝÖ ØÒ Ö Ñ Ò Ñ ÓÐÐ ÑÑ Ò Ô Ð ÓÒ Ú ÖÑ Ø Ò ÝÑØØ Ñ Ò Ú Ó ÔÓ Ñ ÐÙ Ø Ò Ø ÐÐÒ Ó ÓÒ ÔÔ Ð Ø Ø ÔÔ Ð ÓÙ Ó ¾
30 Ý ØØ Ø Ò ÑÓÒ ÙÐÑ Ó Ò Ò Ñº Ø ÐÓ Ò Ô ÖÖÓ ÚÓ Ò ØÙØ Ñ Ø ÙÓÒ Ø ÒÒ ØØ ÝÐ ÔÒ Ô ÖØ Ô ÖØÓÖ Ô ÒÒ Ò ÝÐ ØÙÐØÙ Ò Ø ØÓ ÓÒ Ò Ò Ó ÑÓÒ ÙÐÑ ÓÑÙÓ Ó ÄÓÔÙÐØ Ö Ø ÖÓ ÒØ Ú ¹ÔÙ ÙÖ Ó Ø ÐÓÔÙØ Ö ÒÒ Ø ÌÑÒ ÚÙÓ Ö Ö Ô ÒÒ Ø ÙØ Ò ÇÔ Ò Ä ÚØ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ø Ò ÝÚÝÝ Ð Ù Ø ¾
31 Ê Ø ÖÓ ÒØ»Ô ÖØÓ Rasterointi/piirto (rasterisation/rendering) Pikselin värin ja syvyyden määritys Pikselin ehdollinen piirto videopuskuriin pikselishaderi takapintojen poisto (back face culling) polygonin rasterointi teksturointi sumu silhuettipuskuri (stencil) testi alpha testi syvyys (Z) testi blending kirjoitus videopuskuriin ¼
32 ÈÓÐÝ ÓÒ Ò Ö Ø ÖÓ ÒÒ Ô Ð ÒÒ µ ÑÖ Ø ØÒ ÔÓÐÝ ÓÒ Ò Ô ØØÑØ ÙÐÓØØ Ò Ö Ø Ö Ò Ô Ð Ø ÓØ Ø Ò ÑÙ Ò Ò Ô Ð Ø Ó Ò Ó Ø ÓÒ ÔÓÐÝ ÓÒ Ò ÐÐ ÒØ Ð Ó ÒØ Ó ØØ Ò ÐÐ ÓÐ Ú ÐÐ Ô Ð ÐÐ Ñ ÓÐÐ Ø ÒØ ÐÔ Ò ÝÚÝÝ ÐÔ µ ¹ ÖÚÓ Ô ØØÚÝÝ Ò ÑÙ Ò ½
33 ÂÓ ÐÐ Ò Ò ØÙÓØ ØÙÐÐ Ô Ð ÐÐ ÒØ ÖÔÓÐÓ Ò Ñ ÐÐ ÚÖ Ø ØÙÙÖ ÓÓÖ Ò Ø Ø (u, v) ÝÚÝÝ z ÙÐÑ Ú ÖØ Ò Ú Ø Ú Ø ÖÚÓ Ø ÇÔ Ò Ä Ý Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ø Ô Ð Ö Ø Ö ÖÙÙØÙ µ Ò Ð ØØÝÚ Ø ØÓ ÙØ ÙØ Ò Ö Ñ ÒØ ÃÓ Ô Ö Ô Ø Ú ÑÙÙÒÒÓ ÓÐ ÐÐ Ø Ó z ÐÐ µ ÓÒ ÚÖ ØÒÝØ Ú ÖÙÙØØ Ð Ò Ö Ò Ò ÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ ØÙÓØ Ú Ò Ó ÖÚÓ Ø º Ð Ò Ö Ò Ò Ø Ò Ñ Ò Ò ÙÚ Ú Ø Ð Ò Ö Ø Ø Ò Ñ Ø Ð ÙÔ Ö Ú ÖÙÙ ÙØØ ÒÒ ÐÐ Ø Ò Ø ØÙÙÖ Ò Ó ÐÐ Ú ØØ Ú Ò Ú Ö Ò ÌÑ ÓØ Ø Ò ÙÓÑ ÓÓÒ Ô Ö Ô Ø Ú ÓÖ ØÙ Ø ØÙÙÖ ÙÚ Ù ÒØ ÖÔÓÐÓ Ò Ò z ÐÐ ØØÙ ÓÓÖ Ò ØØ Ø z Ø Ò ÒØ ÖÔÓÐÓ Ñ ÐÐ 1/z ¾
34 Ì ØÙÖÓ ÒÒ ÙÚ Ø Ò ÙÐÓØØ Ò Ò Ö Ø Ö ÙÚ Ô ÖÖ ØØÚÒ Ì ØÙÖÓ ÒØ ÑÓÒ ÙÐÑ ÓÒ Ô ÒÒ ÐÐ ÃÙØ Ò ÐÐ Ø ØØ Ò ÙÚ Ù Ø Ò ÒØ Ñ ÐÐ ÑÓÒ ÙÐÑ ÓÒ ÙÐÑ Ô Ø ÐÐ Ø ØÙÙÖ ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓØ ØØ Ò ÒØ ÖÔÓÐÓ Ò Ó ÐÐ ÑÓÒ ÙÐÑ ÓÒ ØÙÓØØ Ñ ÐÐ Ô Ð ÐÐ ÂÓ Ø ØÙÖÓ ÒØ ÝØ Ø Ò Ø ØÙÙÖ Ø Ø Ð Ô Ð Ò ÒØ ÖÔÓÐÓ Ù Ø Ø ØÙÙÖ ÓÓÖ Ò Ø Ø (u, v) ÂÓ Ú Ð ØØ Ò Ú Ò Ý Ð Òµ Ø Ð ØÙÐ Ú Ø Ø ØÙÙÖ Ò Ò Ð Ùй Ñ Ø Ø Ð Ø Ò ÝÚ Ò Ø ÓØØ Ø ØÙÙÖ Ð ÐØ ÌÑÒ ÚÙÓ Ú Ð Ø Ò Ø Ö ÐÐ Ø ØÙÙÖ ÓÓÖ Ò Ø ÐÐ (u, v) Ò Ð Ð ÒØ Ø Ð ÒØ ÖÔÓÐÓ Ò ÐÓÔÙÐÐ Ò Ò ÖÚÓ Ð Ò Ö Ø Ò Ø Ð Ò Ö Ò Ò ÙÓ ØÙ µ
35 ÌÓ ÐØ Ó Ø ØÙÙÖ Ø ÓØ Ò Ù ÐØ Ø ØÙÙÖ Ô Ð ÓÒ Ø Ð Ø ÙÚ Ò Ô Ð Ò Ò Ò Ú Ð ØØ Ú Ò Ý Ø ÑÙÙØ Ñ Ø Ð ÓÒ ØÙÐÓ Ò Ö Ø Ú Ð Ó ØÙÑ Ø Ø ØÙÙÖ Ð Ò Ø Ö Å ÔÑ ÔÔ Ò ¹Ø Ò Ø ØÙÙÖ Ø ÙÓ Ø Ø Ø Ò ØÙ Ø Ò Ô Ò ÑÑÒ Ø Ö ÙÙ Ò Ú Ö Ó Ø ÔØ ØÙÙÖ Ò Ð Ø ÐÐ ÒÒ Ø Ò Ø ½»¾ ½» ½» Ò º Ö ÓÐÙÙØ ÓÒ Ð ØÙØ Ú Ö ÓØ Ò Ý Ø Ò Ø Ð Ò Ø Ú Ò» ÑÙ Ø Ð ÙÔ Ö Ò Ø ØÙÙÖ Ò Ú ÖÖ ØØÙÒ ÈÝÖ ØÒ ÝØØÑÒ Ø ØÙÙÖ Ø Ú Ö ÓØ ÓÒ Ö ÓÐÙÙØ Ó Ð ÐÐ Ò ÙÚ Ò Ô Ð Ö ÓÐÙÙØ ÓØ ÂÓØØ ÚÐØ ØØ Ò Ö Ø Ú Ý Ø Ò Ò ÖØÝÑ Ò Ö Ø ØÙÙÖ Ò ÚÐ ÐÐ Ú Ð Ø Ò Ø Ð Ø ÖÚÓ Ð ÒÒ ÓÐ Ú
36 Ø ØÙÙÖ Ú Ö ÓØ ÚÖغ ÄÇ ¹Ø Ò Øµ Ú Ð Ø Ò Ø Ð ÖÚÓ ÑÓÐ ÑÑ Ø Ð Ò Ö ÐÐ ÙÓ ØÙ ÐÐ µ Ý Ø ØÒ ÒÑ ÖÚÓØ Ð Ò Ö Ø Ô ÖÙ ØÙ Ò Ñº Ò Ø ØÙÙÖ Ò Ø ÝÝØ Ò Ð Ø ÖÚÓ Ø Ä Ò Ö Ò Ò Ñ ÔÑ Ô Ð Ò Ö Ò Ò ÙÓ ØÙ ØÖ Ð Ò Ö Ò Ò ÙÓ ØÙ ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ Ø ØÙÙÖ Ú Ö Ó Ò Ò ÖÓ Ñ Ò Ò ÐÔÔÓ Ñº ÇÔ Ò Ä¹ Ö ØÓ Ó Ø ÙØÓÑ ØØ Ø Ì ØÙÙÖ Ø ØÙ ÚÖ ÖÚÓ Ý Ø ØÒ Ô Ð Ò ÚÖ Ò Ú Ð ØÙÐÐ Ø Ú ÐРѺ ÓÖÚ Ù Ö ÔÐ µ Ó ØÙ Ð Ò Ò µ Ð Ý µ Ð Ñ Ð Ù Ðµ
37 È ÒØ Ò ÚÓ Ò Ý Ø Ù ÑÔ Ø ØÙÙÖ Ø Ì ØÙÙÖ ÚÓ ÓÐÐ ÐÔ Ò ÝÚÝÝØØ ÐÔ ¹ Ò Ú µ ÚÓ Ò ÐÙÓ ÔÐÐ Ø ØÙÙÖ Ø Ì ØÙÙÖ Ø ÚÓ Ò ÝØØ ÑÝ Ú ÐÓØ ØÙÖÓ ÒØ Ò Ð Ø Ñ ÔÔ Ò µ Ð Ø Ò Ô ÒÒÓ ÐÐ Ó ÙÚ Ò Ú ÐÓÒ ÚÓ Ñ ÙÙ ØÙ Ø Ò Ø ÐÐ Ø Ø Ò Ú ÐÓØ ØÙÙÖ ÝÐ Ò Ö ØØ ÐÚ Ø Ô Ò ÑÑÒ Ø Ö ÙÙ Ò Ø ØÙÙÖ Ù Ò Ú Ö Ò Ò Ò ÙÚ Ø ØÙÙÖ Ý Ø ØÒ Ö Ò Ö ÒÒ Ø Ú ÐÐ Ò Ò Ú ÐÓØ ØÙÙÖ ÃÓÐÑ ÙÐÓØØ Ø Ø ØÙÙÖ Ø Ó Ú ÖØ ÐÐ ÓÐÑ Ø ØÙÙÖ ÓÓÖ ¹ Ò ØØ (s, t, r) ÓÚ ÐØÙÙ ÐÐ Ò Ò ÚÓÐÝÝÑ Ø Ò ØØÑ Ò
38 Ù Ñ Ô ¹Ø ØÙÖÓ ÒØ Ù Ñ Ô Ø ÐÐ Ò Ø ØÙÖÓ Ø Ú Ò Ô Ø Ò ÝÑÔÖ ÐÐ ÙÙØ Ó ÓÒ Ó ÐÐ Ø ÓÐÐ Ø ØÙÙÖ ÁÒØ ÖÔÓÐÓ ÙØ Ø ØÙÙÖ ÓÓÖ Ò Ø Ø (s, t, r) ØÙÐ Ø Ò ÙÙÒØ Ú ØÓÖ ÓÒ Ó Ó ØØ Ñ Ø ÙÙØ ÓÒ Ó Ø Ú Ð Ø Ò Ø Ð ÎÓ Ò ÝØØ ÝÑÔÖ Ø ÙÚ Ù Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ñ ÔÔ Ò µ Ñ ÓÐÐ Ø ÑÙÐÓ Ö Ð Ø ÝÑÔÖ Ø Ò ØÙÑ Ø Ó Ø Ø Ù Ñ Ô ÚÓ Ò Ð ØÙ Ø Ò Ø ØØ Ò Ò ØÙ ØÙÚ Ñ ÐÑ ÑÙÙØÙ
39 Å ÓÐÐ Ø ÑÝ Ð ÙÙØ ÓÒ ÚÙ Ò Ø ØÙÙÖ Ø Ø ÙÚ Ø ÙÙ ÐÐ Ò Ñ ÒÐ Ò Ò ÔÖÓ Ø Ó ÙÚ Ñ ÐÑ Ø Ô Ø Ò Ù Ø Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ò ÙÚ ÝÒ Ñ Ò Ò ØÙ ÙÚ Ù Ñ Ô ØÙÓØ Ø Ö ØÙ ÙÚ Ý Ò ÝÑ ÝÑÔÖ Ø Ò Ý Ø Ô Ø Ø Ù Ø Ò Ò Ö ØØÚ ÑÓÒ Ò Ø Ö Ó ØÙ Ò ÎÓ Ò ÝØØ ÑÝ ÑÙÐÓ Ñ Ò Ô ÙÐ Ö ØÙ Ø ÚÖغ ÒÓÖÑ Ð Ò ÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ È ÓÒ ¹ ÚÝØÝ Ù Ñ Ô Ø ÑÙ Ø ÝÑÔÖ Ø ÙÚ Ù Ø Ò Ó Ø ÑÝ ÑÑ Ò Ð Ë Ò ¹ÐÙÚÙ
40 È Ð Ò ÚÖ Ò ÚÓ Ò Ó ØØ ÐÙØØÙ ÙÑÙÒ ÚÖ ËÙÑÙ Ë Ó Ø ØØ Ú Ò ÚÖ Ò ÑÖ Ö ÔÔÙÙ Ô Ð Ò Ø ÝÝ Ø Ú Ð ØÙÒ Ñ ÐÐ Ò ÑÙ Ò Ñº ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ò Ö ÔÔÙÚÙÙ Ø Ð Ò Ö Ò Ò Ö ÔÔÙÚÙÙ Ò Ö Ø ÝÝ Ò Ð Ù¹ ÐÓÔÔÙ Ø ÝÝ µ ÚÐ ÐÐ
41 à ÒØ Ø Ø ØÙÙÖ ¹ ÙÑÙÚ Ø ÚÓ Ò ÑÝ ÓÖÚ Ø Ó Ð¹ È Ð Ö Ø ÑÓ Ø Ú ÐÐ Ô Ð Ö ÐÐ Ö Ó Ø ÙØ Ò ÝÑÔÖ Ø ÙÚ Ù Ø Ú ÙÑÔ Ñ Ô Ø Ò ÓØÖÓÓÔÔ Ò Ò ØÙ Ç ÐÑÓ Ø Ú Ø Ö Ø Ð ÑÝ ÑÑ Ò ÓÑ ÐÙÚÙ Ò ¼
42 ÂÓ ÐÙØ Ò Ö Ø Ô ÖØÓ Ø ØØÝÝÒ Ó Ò ÖÙÙØÙ ÚÓ Ò ØÑ ËØ Ò Ð¹Ø Ø ØÓØ ÙØØ Ø Ò Ð ÐÙ ØØ µ ¹ÔÙ ÙÖ Ò ÚÙÐÐ ÔÙ ÙÖ Ñ Ò Ó Ó Ò Ò Ù Ò Ö Ø Ö ÖÙÙ Ù Ó ÔÙ ÙÖ Ò Ñ Ö ØÒ Ñº Ý ÐÐ ÒÓÐÐ ÐÐ Ñ Ø Ó Ø ÃÝØØ Ó Ø Ø Ñº Ô ÖÖ ØÒ Ñ Ø Ø ØØ Ò Ò Ð ÒØÓ ÓÒ Ò ØÑ º Ó ÑÓ ÙÚ Ò ØÙ Ð ÐÐ Ô Ð Ø ÙÒ Ø ØÑ º Ó Ø Ò ÝÝ Ó Ñ ÐÑ Ø ÂÓ Ø Ò Ð¹Ø Ø ÝØ ØØÝ ÔÐÐ Ø Ö Ø Ø Ò Ô Ð Ò Ô ÖØÓÚ Ø Ò Ð¹ÔÙ ÙÖ Ø Ô ÖÖ ØÒ Óº Ó Ø Ò Ú ½
43 ÝÚÝÝ µ ¹ÔÙ ÙÖ Ò ÚÓ Ò Ø ÐÐ ØØ Ø ÝÝ Ø ØÓ Ó Ø ¹ÔÙ ÙÖ Ô Ð Ø ¹ÔÙ ÙÖ Ñ Ò Ó Ó Ò Ò Ù Ò Ô ÖÖ ØØÚ Ö Ø Ö ÂÓ ¹ÔÙ ÙÖ ÝØ Ú ÖÖ Ø Ò Ô ÖÖ ØØÚÒ Ô Ð Ó Ò Ø ÝÝØØ Ø Ó Ø ÔÙ ÙÖ Ñ Ó ÓÐ Ú Ò Ú Ò Ò Ø ÝÝØ Ò Ó Ô Ò ÑÔ Ô ÖÖ ØÒ Ô Ð ÓÖÚ Ø Ò ÝÚÝÝ Ø ØÓ ÙÙ ÐÐ ÝÚÝÝ ÐÐ ÑÙÙØ Ò ÝÐØÒ ÙÙ Ô Ð Æ ÝÑØØ Ñ Ò Ó Ò Ð Ù Ø Ô ØÙÙ Ú Ñ ØÒ Ø ¾
44 Î Ö Ó Ò ÝØØ ÓÒ Ó Ó ØØ ÙØÙÒÙØ Ø Ò Ø Ú Ø Ú Î Ö ÓØ Ú Ö Ó Ò Ð ØØÝÝ ÝÐ Ø ØÝ Ð Ø ÓÑ ØÖ ÓÒ ÐÑ Ø Ú ÐÐ Ò Ñ Ö ÐÓ Ð Ò Ú Ð ØÙ Ò ÓÒ ÐÑ Ø Ã Ô ÖÙ Ø Ò Î Ö Ó ÖÑ Ø Ð Ø Ò Ú Ö Ó Ø Ú Ò ÑÓÒ ÙÐÑ ÓÒ ÙØØ Ñ Ú Ö Ó ÖÑ Ô ÖÖ ØÒ Ú Ö Ó ÖÑ Ò Ö ÙÒ ÑÓÒ ÙÐÑ ÓØ ÔÐÙ ¹ Ø Ñ ÒÙ ¹ Ñ Ö Ò Ø Ò Ð¹ÔÙ ÙÖ Ò ¹ÔÙ ÙÖ ÔÙÒ ÝØØ Ò ÑÙØØ Ô Ú ØØ Òµ Ô Ø Ø Ó Ø Ò Ð¹ÔÙ ÙÖ Ò ÖÚÓ ÐÓÔÙ ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú ÓÚ Ø Ú ÐÓÒÐ Ø Ò Ù Ø Ò Ú Ö Ó
45 ÌÓ Ò Ò Ø Ò ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò Ñ ÐÑ Ø ¹ÔÙ ÙÖ ÑÝ Ú ÐÓÒÐ Ø Ò Ò ÙÐÑ Ø Ô Ø Ó Ò ÑÓÐ ÑÑ ¹ÔÙ ÙÖ ÓÒ Ò ÝÚ Ú ÐÓ È Ñ Ò Ú Ö Ó Ò ØÙÓØØ Ñ Ò ÓÒ Ø ØØÝ ÑÓÒ Ö Ð Ø Ò Ó Ø ÝØØ Ö Ð ÓÚ ÐÐÙ ÓÒ ÐÑ ÐÐ Ø Ø Ú Ò ØÙØ ÑÙ Ò Ó Ø Ò ÑÝ ËÙÓÑ Ø Ò Ð Ò ØÙØ ÑÙ Ø
46 Æ ÝÚÝÝ Ý ÐÝ ¹ÔÙ ÙÖ Ò ÚÙÐÐ ÇÐÙ ÓÒ ÕÙ ÖÝ È ÖÖ ØÒ ¹ÔÙ ÙÖ ÝØØ Ò Ñº Ó Ø Ò Ö Ù Ð Ø ÓÒ ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø ÔÓÐÝ ÓÒ Ø Ù Ø Ò Ò Ô ÖÖ Ø Ó Ø Ú ÓÔÙ ÙÖ Ò ÔÓÐÝ ÓÒ Ø ÒÒ ØØ Ø ØÝ Ø Ô ÖØ ÐÑ Ò Ø ØÙÖÓ ÒØ ØÑ º ÄÓÔÙ Ý ÝØÒ ÐÔ Ñ Ò Ô Ð ÝÚÝÝ Ø Ø Ò Ó ÐÔ Ô ÖÖ ØÒ Ó Ø ÑÙÙØ Ò Ì Ó ÒØ Ó ÝØ Ö Ù Ð Ø Ó Ö Ö Ø Ø Ð ÑÝ ÑÑ Ò
47 ÐÔ ¹Ø Ø Ô Ð ÚÓ Ò ÝÐØ Ó Ò ÐÔ Ò ÝÚÝÝ ¹ Ð ÐÔ ¹Ø Ø ÐÔ ¹ ÖÚÓ Ñº ÝÐ ØØ ÓÒ Ò ÝÒÒÝ ÖÚÓÒ È Ð Ô Ø Ô ÖØÑØØ ÑÝ ¹ÔÙ ÙÖ Ò ÖÚÓ Ô Ú ØØÑØØ ØÐØ Ó Ø Ø ØÙÐ Ú Ø Ó Ø Ø ØÙÐ Ú Ø Ô ÖÖ ØÝ Ó Ò ÚÓ Ò ÝØØ ÐÔ Ò ÝÚ Ò Ó Ø Ò ØÓØ ÙØØ Ñ Ò ÔÓÐÝ ÓÒ Ò Ô ÒØ Ø ØÙÙÖ Ò ÚÙÐÐ
48 È ÖÖ ØØÚ ÚÖ Ñ ÓÐÐ Ø Ý Ø Ð Ò µ Ô Ð Ò Ú Ò Ò ÚÖ Ò ÄÔ ÙÙÐØ ÚÙÙ Ò ÐÔ Ò ÝÚÝÝ Ò ÐÔ ¹ ÖÚÓµ ÑÙ Ø ÚÓ Ò ÝØØ ÐÔ ÙÙÐØ ÚÙÙ Ò ØÓØ ÙØØ Ñ Ò Ò ÖØ Ò Ò ¹ÔÙ ÙÖ Ø Ò Ù Ø Ò Ò Ó Ø ÐÐ ÐÔ Ò ÝÚÝÝØØ Ó Ò ÃÝØØ Ò ØÝØÝÝ ØÐÐ Ò Ø ÙÓÐ Ø Ø ØØ ÔÔ Ð Ø Ô ÖÖ ØÒ Ó Ö ØÝ ÂÓ Ú Ò Ý ÐÔ ÙÙÐØ Ú ÔÔ Ð ÚÓ Ò Ô ÖØ Ú Ñ Ò ÑÙÙØ Ò ÚÓ Ò ÝØØ Ñº ËȹÔÙÙØ
ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº
ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ý ÝÐÐ Ø ØÓÖ ÒØ Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ
Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑ Ò Ö ÒÒ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ø ÐРؽ ؾ Ø È Ð Ó ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ö ÒÒ Ì ØÓ ÓÒ Ô Ð Ò ÝØ Ñ Ò ÓÒ Ñ ÐÐ Ó Ø Ò ÙÚ ØØ ÐÐ Ø Ñ ÐÑ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò Ð
Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ØÓÖ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð
Ð ØÖÓÒ Ø Ñ ÙÚÐ Ò Ø Ì ÑÙ Ê ÒØ ¹ Ó À Ð Ò ¾ º ÐÓ ÙÙØ ½ Ë Ò ÙÔ Ò ÝÒÒ Ò Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Å Ù Ö Ø ÐÑØ ¾ ¾º½ ÆÝ Ý Ø Ñ Ù Ö Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º
ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý
ÈÖÓ Ð Ø Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ñ Ø ÐÐÒ ÔÖÓ Ð Ø Ð ÓÖ ØÑ º ÌÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÖÚ Ø Ò Ø Ø ØÒ ÓÐ Ó ØÙÐÓ Ò ÑÙ Ò Ö Ù ÙØ Òº ÖÓÒ Ô Ø ÖÑ Ò Ñ Ò ÓÒ ØØ ÒÝØ Ø Ö Ø ÐÐ ÖÓ Ú Ò Ð ÒØ ØÓ Ø Ø Ò ÙÙ ÐÐ ÖÚ Ù ÐÐ Ø ÖÚ ØØ º Ä ÓÒ Ö ØØ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ
Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Ò ÝÚÝÝ Ð ÒØ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ
ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ
ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º º ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø Ø ¹ÑÖ ØØ ÐÝ º¾µ ÚÓ Ú Ø Ø ÑÝ Ø Ò ÑÖ Ø ÐØÚ Æ Ñ ÒØÝ ÑÝ ³ ³¹Ñ Ö Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ò ÓÐ ÐÐ ØØÝ ØÝÔ ¹ÐÝ ÒØ º½µº ¾ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ã Ö Ì ÑÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Å Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ Ý ØØ Ðк Å Ò Ø Ð Ú Ø ÚÙÙ ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Å Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ø Ô Ó Ò Ñ Ñ ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ô ØÙ Ý ØØ Øº ÂÓ Å Ò Ø Ð Ú Ø ÑÙ ÓÒ
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÇÐ ÓÔÓ Ø Ø ØÓÑ ÐÐ Ø Ø ØÓ ÒÒ Ò ÐÐ ÒØ Ö Ø ÐÑ ÖØÓ ÖÐÙÒ À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ
Symmetriatasot. y x. Lämmittimet
Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ ¹ÖÝ ÑĐ» ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó ÅÍÁËÌÁÇ ÆÓ»Ì ÊÅǹ ¹¾¼¼¼ ÔÚÑ ½¼º Ñ Ð ÙÙØ ¾¼¼¼ ÇÌËÁÃÃÇ Ø Ú ÒعØÙÐÓ ÐÑ Ð ØØ Ò ¹Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò ÖØ Ø ØÙØ ØÙÐÓ ÐÑ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ä ÌÁ ̵ ÂÙ Ú Ó Ð ¹ÂÙÙ Ð
ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ò ² Ö Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½» Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓØ Ò ÐØ º Å Ø Ò Ô Ð ÓÒ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÙÐÙØØ ØÙÒÒ Ø Ò Ò Á Ä Ø Ò Ð Ò ØÙÒÒ Ø Ú ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ô Ù Ó Ð Ö Øصº Ä Ø Ò
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾
Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ÐÔ Ð Ú Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÑÓ ÙÐ ¹ Ö Ó ÒØ Ì ÑÓ ÌÙÓÑ Ò Ò À Ð Ò ½º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö Ø ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ
È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»
È Ú Ö Ù ÆÈ Á à РÐÙÓ Ø È ÆÈ ÒÝØØÚØ ØÝ Ò Ö Ð ÐØ Ë ÐÚ Ø È ÆȺ µ È ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ º µ ÆÈ ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ú Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð ÓÒ
d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j
¾º¾º ÁÌÇÁÆÌÁ Ì ÁË Æ Ä Ëà ÅÁÆ Æ ¾ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÌÌÈÈÈÌÄÌÅÈÈ Ò Ù Ø¹Öݹ¹ Ò¹¹¹Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÙ ØØ ÐÓ Ò Ù ØÖÝ d ǫ ÒØ ÖÝ ǫ e ÒÙ ØÖÝ u ǫ ÒØ Ö Ý y s Ò ØÖÝ s ǫ ÒØ Ö ǫ t ÒØÖÝ ǫ e ÒØ Ö Ø ¾º¾ ØÓ ÒØ Ø ÝÝ Ò Ð
ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó
ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ì ÖÓ ÃÓ Ó Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÌÙÖÙÒ Ð ÓÔ ØÓ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ
Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò
ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÓØ Ò Ò Ó ÐÑ ØÓØ Ò µ ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ
½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¹ØÖ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÒØ Ñ Ð ÚÝÐÐ Â Ó Å ÐÚ Ö À Ð Ò ¾¾º½¼º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø
Ì ÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì Ó Ø ÐÐÒ ÓÒ ÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ö Ø Ú ÑÙØØ Ó Ò Ö Ø Ù Ú Ø Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ø Ð ØØ Ö Ø Ù ÓÐ ÝØÒÒ ÐÚÓÐÐ Ò Òº Í ÑÑ Ø ÓÐ ØØ Ú Ø ØØ ÆȹØÝ ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÙÑ ØØÓÑ ÒØÖ Ø Ð µ ÑÙØØ ØØ ÓÐ ØÓ Ø ØØÙº
0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx)
Å ÌȽ ¼ ËÝÑ ÓÐ Ò Ò Ð ÒØ ¾ ÓÔ ½ Ð Ø ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ Ø ÐØ ËÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒÒ Ò ÙÖ ÐÐ ÓÔ Ø Ò Ø ØÓ ÓÒ Ò ÝØØÑ Ø ÔÙÚÐ Ò Ò Ñ Ø Ñ ØØ ÓÒ ÐÑ Ò¹ Ö Ø Ù º ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÒØ Ô ÖÙ Ú ÐÑ Ù Ø ÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒØ Ò Ö Ó ØÙÒ Ò Å Ø Ñ ¹
Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ
Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ Á Å Ö Ò Ò À Ò ½½º º¾¼¼ Ç Ñ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½» ÃÙÖ Ò ÐØ Ø ÐØÙ ÐØ ½ ¾ Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò ÄÙÓ È ÄÙÓ ÆÈ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ ÆȹØÝ ÐÐ ÔÖÓ Ð ÑÓ Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÄÙÓ ÈËÈ Ë Ú Ø Ò Ð Ù Ñ Ö ÈËÈ ¹ØÝ ÐÐ Ø
Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º
ÂÓ ÒØÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ØØ ÐÝÝÒ Ê¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ ÒÒ Ç Ö Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÐÓ ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º
el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (
ÈÙÓÐ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ô ÖÙ Ø Ø À Ì Øº ½º È ÖÖ ÔÒ¹ÔÙÓÐ Ó Ð ØÓ Ò Ò Ö ÚÝ Ñ ÐÐ ÙÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÂÓ ÓÒØ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò V 0 Ý ØÐ µ ÃÙÚ Ò ÚÙÐÐ µ Ù ÓÚ ÖØ Ý ØÐ Ø Ô¹ Ò¹ØÝÝÔ Ø Ò Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ö Ø ÓØ Ô¹ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÙÖ
Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
Ë ÑÓ À Ð Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¼º
ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø
ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ìº à ÖÚ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ½» ½½ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì
Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç Å ÖØØ Ì Ò Ö ¾ º½º¾¼½½ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ̺ à ÖÚ ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ½» ½ Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò
ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼
ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼ ÌÝ Ò Ó À ÒÒÙ Â ÓÐ ÌÝ Ò Ø ÒÓ Åº Å Ø Ð ÅÓÓ Ð ÑÓÒ ÙÐØØÙÙÖ Ò
p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2
º ÅÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ö ÒØ Ð Ð ÒØ º½ Â Ø ÙÚÙÙ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø Ù Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÒØ Ð Ð ÒØ ÐÑÔ Ø Ð ÓÒ Ò Ô Ò ÙÒ Ø Ó T(x, y, z.t) ÄÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ÐÑÓ ØØ Ñ Ò ÙÙÒØ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ú ÚÓ Ñ ÑÑ Ò Ù Ò Ð ÐÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ½½ ÃÓÓÖ
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
Ø ÝØØ Ø Ò ØØ Ò ÙÚ Ù ÐÓ Ô ÖÙ Ø Ò Ò Ñ¹ Ö ØØ ÐÝ Û È ØÖ Ä Ò Ö Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È
ÂÇÆÁ È ÀÄ Å ËÁÆÁÅ ÄÄÁÆÆÍÃË Æ È ÊÍËÌÍÎ ÅÍËÁÁÃÁÆ Ë ÆÌ ËÁ Ã Ò Ø ÒØÝ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ ÃÓÒ Ø ÃÓÔÔ Ò Ò ½½º ØÓÙ Ó ÙÙØ ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ
{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.
Ä Ø ÓÓ Ø Ø º º Ä Ø ÓÓ Ø Ø Å Ø Ñ Ø ÓØ ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ù Ò ÓÙ Ó ÑÔÐ ØØ ÐÐ ÒÓØ Ø ÓÐÐ Ò ÙØ Ò {(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. À ÐÐ Ø Ö Ó Ú Ø Ú Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ØÓ ÐÐ Ò Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÒØ Ò Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ð Ø
:: γ1. g 1. :: γ2. g 2
ÌÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ¹ Ý ÝÑÝ Ø º º¾ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ý ÝÑÝ Ð Ø x g Ò e? :: α Ö Ø Ø Ò ÓÐ ÐÐ Ø ÑÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ØØ ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙØØ À ÐÐ ÝÐ Ø Ò ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ ÐÑ ÒØÙ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ð Ó º Ë Ø ÑÙØ ÑÑ Ò ÑÓÒ Ý ÝÑÝ Ð Ø p g Ò e? ::
Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø
È ÚÓ È Ö Ò Ò Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÓØ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ
ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý
Ä Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÑ Ò Ò Ð Ñ Ô Ð Ò ÚÙÐÐ Î ÐÐ Ã ÒÒÙÒ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð
Ý ÒØØ Ð Ø ÒÖ Ð Ø ÒØØ Ì Ò À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ØÙÖÚ ÐÐ ÙÙ ØØ Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ø Ø Ó ÐÐ ÑÖØÒ ÓÖ ¹ Ò Ø Ó
È ÌÀÇƹÇÀ ÄÅÇÁÆÆÁÆ ËÇÎ ÄÄÍÃËÁ Å ÌÊÁÁËÁÄ Ëà ÆÌ Æ ÌÁÄ ËÌÇÌÁ Ì Ë Æ Â ÆÍÅ ÊÁË Æ Å Ì Å ÌÁÁÃÃ Æ ÄÍÃÁÇÄ ÁËÁÄÄ Ì Ò Ï ÐÐ Ö ¹Ä Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Å ÖÖ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å
Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ
Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ð Ò ½½º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼¾ ÂÝÚĐ ÝÐĐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº
Referenced. Object. StateSet. Node. Geode
ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ¹Ó Ø Ì ÑÓºÌÓ Ú Ò ÒØѺ Ùغ ÌÑ Ó ÙÑ ÒØØ ÓÒ ØÝ Ò Ø Ô Ú Ø ØÒ Ø ÖÔ Ò ÑÙ Òº ½ Ø ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ÇË µ ÓÒ ÇÔ Ò Ä Ò Ô Ö ÒÒ ØØÙ ¹ÙÓ Ö¹ ØÓ Ó ÓÒ Ú Ô Ø Ø Ú Ó ØÓ Ñ ÑÓÒ ÝÑÔÖ Ø º ÇË Ó¹ ÙÑ ÒØÓ ØÙ ÓÜÝ Ò¹Ó Ñ ØÓÒ
Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
È Ä Ø Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
139/ /11034 = 0.58
ÄÙ Ù ÂÓ ÒØÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÝÒ º½ Ì Ð ØÓÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÐÙÓÒÒ Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÔØØ ÐÝ ØØ Ð Ú ÒØÓ Ò Ú Ø ÐÙ ÔÚ ÖÑÙÙØØ º ÓÐ Ø ØÒ ÐÚ ØØ ØÙÓÐÐ Ø Ø ÚÓ Ò Ø¹ Ø Ñ ØÒ Ø ÑÐÐ Ø Ø Ø Ø ÐРغ Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÓÒ ÓÑ
k(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x)
Ì ÊÅÇ ÁÂ ÍËËÁÆ ÈÊÇË ËËÁÌ Ê Ê ËËÁÇ Æ Ä ËÁËË Ã Ò Ø ÒØÝ Ç ÝÐ Ø ÒØØ À ÖÖ Ä Ñ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ À ÀÙØØÙÒ Ò ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓØ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ Ì ÊÅÇ ÁÂ Ù Ò ÔÖÓ Ø Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ã Ò Ø ÒØÝ
λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.
Šع¾º½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø ¾¼¼ ¹¼¾¹½¾ Ì Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ø Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÐÐ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Ä ÙÖ ÂÙ Ò Ã Ò ¼¼ È Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ
F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø
Ä Æ Ä ÍÃÃÇÆ Æ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ØÓØ Ø Ò Ú Ö Ø Ö Ø ÐÙ ÓÔ ÒØÓ¹ Ñ Ò ØÝ Ò Ú ÙØØ Ú Ò Ø Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÈÄÇÅÁÌ ÝÚ ÝØØÝ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ó ØÓÒ ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ º½½º¾¼¼ º Ì Ö Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ë ÔÔÓ ÈÓ ÓÐ Ò Ò ØÙØ Å ÀÙ ÓÐ
ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø
È ÀÌ Ä Ì Ê ÙÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÈÓÐÙÒ Ø ÒØ Ù Ò ÒØ Ò ÝÑÔÖ Ø Ô Ð È Ä ÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ ÄÙùØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
Ä ÊÓÔÔÓÒ Ò Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú
q(x) = T n (x, x 0 ) p(x) =
ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ ØÙÒ Ô Ø Ò x 0 ÝÑÔÖ ¹ Ø Ö ØØÚÒ Ð Ø Ð Ö ØØÚÒ ÑÓÒØ ÖØ Ø ÙÚ Ø µ Ö ÚÓ ØÙÚ ÅÖ Ø ÐÑ ÎÁÁ ½ ÙÒ Ø ÓÒ f : D f R D f R Ó ÓÒ
(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).
ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙ Ø ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ØÐ ÐÐ x + 1 = 0 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ó Ó Ò Ö Ð ÐÙ¹ ÚÙÒ ØÓ Ò Ò ÔÓØ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº ÂÓØØ ØÐÐ Ý ØÐ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ù Ñ Ò ØÝØÝÝ Ð ÒØ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ð ÑÐÐ Ò ÙÙ Ð Ó Ñ Ö ØÒ Ø¹ Ø ØÓ Ø
à ÑÖ Ò ÙÙ Ò ÙÒØÓÐ Ò Ò ÓÖ ÓØ ÓÒ ÓÖ ÓÑ Ö Ò Ð Ò ÑÖÝØÝÑ Ò Ò ËÁË ÄÌ ËÁË ÄÌ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ ÌÙØ ÑÙ Ý ÝÑÝ ØÙØ ÐÑ Ò Ö ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÙÒØÓÐ Ò Ñ Ö Ò Ø ËÙÓÑ º º º º º º º º º º º º º
ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ì ÑÓ Ã ÖÚ ¾º½½º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ ¾º½½º¾¼¼ ½» ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ
F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º
ÂÓ ÒØÓ ½ ½ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ ÐÐ ØÙØÙ ØÙØ Ò Ô ÖÙ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ö ØÝ Ø Ñ Ø Ò ÖÓ ØÙØÙ Ø Ø Ð Ô ÖÙ Ø Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ø À ÐÐ ÓÐÐ ÓÒ Ô Ó Ó ÐÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø º ½ ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º
Šع¾º ½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø º½º¾¼¼ Ì Ø ÐÙÒ ÑÙÐÓ ÒØ ÑÔÙÑ Ø ÖÚ Ò Ö Ø ÐÑ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ø Ó ÙÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Â ÒÒ Ä ØÓÒ Ò ¼¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ
Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË Ì ÑÓ Ã ÖÚ º½¾º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË º½¾º¾¼¼ ½» Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ
ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú
ËÍÎÁ ÄÌÁÇ ÈÁÊÃ ÆÅ ÄÄ ¾¼¼ ¾¼¼ Ì È ÀÌÍÆ Á Æ ÄÁÁÃ ÆÆ ¹ ÇÆÆ ÌÌÇÅÍÍÃËÁ Æ Æ Ä ËÇÁÆÌÁ ËÎ ÊÃÃÇÂ Æ ÎÍÄÄ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø Ð ÓÔ ØÓÒÐ ØÓÖ Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ
Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ
Ê ÑÓ È Ø Ò Ò ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ¾ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò
1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
ÇÐÐ ¹È ÀÙÓÚ Ð Ò Ò Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
¾º C A {N A } K N A º A B N B
Ú ÒØ Ò ÐÐ ÒØ ØÓ ÒÒÙ Ø Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ó ÔÙÓÐ Ø ÚÓ Ú Ø Ó¹ Ô Ð Ø Ú Ñ Ø ØÓ ÒØ ØÓ Ò º ÌÐÐ Ò Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ð ØØÝÝ Ù ÑÔ Ò Ø ØÓØÙÖÚ ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ò ÑÑ ¹ Ò Ú Ò ÒÒ Ò Ù Ò Ú Ö Ò Ò Ò ØÓ Ñ ÒØ Ñ Ö Ø Ó
Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò
Å ÈÙÐ Ò Ò ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÓØ Ò Ò Ò Ø ÒØÙØ ÐÑ ¾ º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù
139/ /11034 = 0.58
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÁÖÖÐ Ø Ò Ò ¹ Ö ÑÓÓØØÓÖ Â ÒÒ Ä Ù Ö Ò Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ô ÐÚ ÐÙÚÝÐ Ò Ñ Ö ØÝ Ô ÐÚ ÐÙ ÙÙÒØ ÙØÙÒ Ö Ø ÐÑ ÒØØ Ë Ù Ó À Ð Ò º¾º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ô ÐÚ ÐÙÚÝÐ Ò Ñ Ö ØÝ Ô ÐÚ ÐÙ ÙÙÒØ ÙØÙÒ Ö Ø ÐÑ ÒØØ Ë Ù Ó À Ð Ò º¾º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç
ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½
Ê Ã ÆÆÍËÌ ÃÆÁËÌ Æ ÇÄÇ ÁËÌ Æ Â ÁÄÅ ËÌÇÄÄÁËÌ Æ Ì ÃÁ Á Æ Î ÁÃÍÌÍË ËÍÆÌÇÂ Æ ËÁË ÁÄÅ Æ Ê ÇÆÈÁÌÇÁËÍÍÌ Æ ÌÓÔ Ã ÒÒÙÒ Ò Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ
Ì ÓÚ Ö ÓØ Ð Ò Ã ÐÐÙÒ Å Ø Ñ Ø Ò ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ À ØÓÖ ¾ Î Ö ÓØ ÓÖ ¾º½ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒ
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÄÙÓØØ ÑÙ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÒØ ÖÒ Ø¹ ÓÚ ÐÐÙ ÐÐ È Ø Ö Ë ÐÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ÖØ Ð À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ
Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ì Å Ó Î Ø ÁÈÄÇÅÁÌ Æ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ ÌÝ Ò Ò Ñ Î Ö ÚÖÓÓØØÓÖ Ò ÓÒ Ò Ò ÐÝÝ È ÚÑÖ º Ñ ÖÖ ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÚÙÑÖ ¾ Ç ØÓ Ë ¹ Ø ØÓÐ ÒÒ Ø Ò Ò Ó ØÓ ÈÖ
Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ë ¹ Ø ØÓÐ ÒÒ Ø Ò Ò Ó ØÓ Å Ó Î Ø Î Ö ÚÖÓÓØØÓÖ Ò ÓÒ Ò Ò ÐÝÝ ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Òº ÔÓÓ º Ñ ÖÖ ÙÙØ ¾¼¼ ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ ÈÖÓ ÓÖ ÒØ ÖÓ Ö Ó ÌÝ
A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061
JORMA JOUTSENLAHTI Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä 1990-luvun pitkän matematiikan opiskelijoiden matemaattisen osaamisen ja uskomusten ilmentämänä AKATEEMINEN VÄITÖSKIRJA
y t = X t β + u t, u t NID(0, 1) t = 1, 2,..., n ½µ
ÇÊ Ê ÈÊÇ ÁÌ Â Â ÄÃ È ÄÄǹÇÌÌ ÄÍÆ Å ÄÄÁÆÌ ÅÁÆ Æ Ê Ò ÓÑ Î Ö Ð ½º Ò ÙÙØ ¾¼¼ ËÁË ÄÌ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ¾ ÇÖ Ö ÔÖÓ Ø ¾º½ Å ÐÐ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Â Ð Ô ÐÐÓ¹ÓØØ ÐÙÒ Ò
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon
Å Ö ÃÓÑÙ Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon Sähkötekniikan korkeakoulu ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¾º¾º¾¼½ º ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ
ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼
Å Ð Ë Ú Ð ÂÓ ÒØÓ Ð Ø ÓÖ Òº ØÖ ÙØ Ú Ø Ð Ø ÔÐÓÑ ØÝ ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ ÁÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ ÐÙÓÒÒÓÒØ
4 E 5 G 6 10 H D A 4 E
ØÙغ ØÒ ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ ÖÒ Ë Ø ÐÓÒ ÔÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØÒ ÓÒÒ Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐÒ ÖÖ ÐÐÒ ÚÒ ÔÒ Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù ØÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò ØØ ÓÐÙÖ µ Ë Ø ÐÓÒ ÔÖØÓ Ò ÝÚÝÝ Ð ÒØ ÒØØ ÈÙ
Ä ÖÓ Ò ÒØÝÑ Ò Ò Ù Ø Ð Ó Ò Ô ÐÐÓÒ Ñ ØØ Ú Ë ÖÔ È Ý Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÓÐÓ Ò Ð ØÓ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ Ä ÖÓ Ò Ö ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾
F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
 ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð
Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÒÒ ¹Ã Ð Ø ÐÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼  ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ
½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1
![½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1](/thumbs/65/53346653.jpg "½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1")
½º º Àǹ ÇÊ ËÁ ù Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ à ÖÔ Ê Ò Ø Ö Ø Ð Ú Ø ÑÝ ÙÒ Ú Ö Ð Ò ÙØÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ú Ö Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ð Ø Ò q ØÙÒÒ Ø ÐÙ Ù ÓÙ Ó Ø Qº Q Ò ÐÙÚÙØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ô Ò Ò Ò Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÎÖÒ Ø ÑÝ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ
ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ
ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÀÁ Ì ÊÁÆÌ Ä ËËÁ ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½¼ º Ð Ø º ËÓÚ ÐÐ
f(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
ÌÙÖÚ ÐÐ Ò Ò ÙÐ Ó ÐÑ ÔÓ Ò Ò Ô ÐÓÑÙÙÖ ÔÐÓÑ ØÝ ÌÓÑ ÇÐÐ Ð Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì ØÓØ Ò Ò Ó ØÓ Ì ØÓÐ ÒÒ Ó ÐÑ ØÓ Ò ÑÙÐØ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó À Ð Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ì ÒÓÐ
ÌÙÖÚ ÐÐ Ò Ò ÙÐ Ó ÐÑ ÔÓ Ò Ò Ô ÐÓÑÙÙÖ ÔÐÓÑ ØÝ ÌÓÑ ÇÐÐ Ð Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì ØÓØ Ò Ò Ó ØÓ Ì ØÓÐ ÒÒ Ó ÐÑ ØÓ Ò ÑÙÐØ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó À Ð Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý ÙÐØÝ Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ Ý Ì Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ËÓ ØÛ
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ë ÎÇÄ ÁÆ Æ ÇÄÄÁ
Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÖÓ Æ Ñ Ð ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø
A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º
F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ ÌÝ Ò Ò
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ã ÒÓØ Ó Ø Ò Ò ÙÖÓÚ Ö Ó Ò ØÝ ØØ Ø ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ À Ð Ò ¾º º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ
P(E i ) P( ) = 0. P(A A c ) = P(A)+P(A c ) = 1. P( ) = 1 P(Ω) = 0. P(E 1 E n ) = P(E 1 )+ +P(E n ). i=1. i=1
È Ò Ò ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ËÙÑÑ Ò Ò ½ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÖ ¾ ¾º½ Ë ØÙÒÒ ÙÙ ØÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÓÐÐ Ò
2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. x1 = 2 x 2 = 5. 2 ( 2)+5 = = 3. 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f
Ä Ò Ö Ð Ö Á ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ ØØ Ø Ò Ø Ø Ò Ð ØÓ ¾¼½½ ÂÖÚ ÒÔ Ã Ö Ó ØØ ÒÙØ ÌÙÙÐ Ê Ô ØØ ¾ ½ Ä Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ½½ Ñ Ö µ Ê Ø Ý ØÐ 5x = 7 Ã ÖÖÓØ Ò Ý ØÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÙÚÙÐÐ 5 1 ÓÐÐÓ Ò Ò 5 1 5x = 5 1 7 Ð x =
x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n
ÇÈÌÁÅÇÁÆÆÁÆ È ÊÍËÌ Ì Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ¾ º ÝÝ ÙÙØ ¾¼¼ ¾ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ØÙØÙ ØÙØØ Ø Ú ÐÐ ÑÔ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ò ÝØØ Ò ÓÚ ÐÐÙØÙ º ÃÙÖ Ñ Ø Ö Ð ÒØÙÙ Ò Ð Ò Ö Ó Òº ÐÙ ÐÝ Ý Ø ÖÖ Ø Ò Ñ ØÖ Ð Ö Ø
a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº
ÄÙ Ù ÐÙ Ø ÂÙ Ä Ö ÂÓÙÒ È Ö ÓÒ Ò ÄÙ ÐÐ ÌÑ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÂÓÙÒ È Ö Ó Ò ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¾¼¼ ÂÙ Ä Ö Ò ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ô ØÑ Ò ÄÙ Ù Ð٠ع ÙÖ Ò ÐÙ ÒØÓ Òº ÅÓÒ Ø Ò Ò Ò Ñ Ø ¹ Ö Ð ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú ÓÒ Ñ ØØ ÐÐ ÐÙ ÒØÓ ÙÖ ÐÐ Ð ÑÙ
Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ
ÂÝÖ Ä Ò Ò Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½ º ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ
(xy)z = x(yz) λx = xλ = x.
ÄÙ Ù ½ ÐÙ ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ ÝØ ØØÚ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Ø ØÓ Ò ØØ Ðݹ Ø Ø Ò Ð ØÓ Ò ÓÔ ÒØÓ ÓÐÐ ÙØÓÑ Ø Øº ÅÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÖ Ú Ò Ð Ø Ò Åº º À ÖÖ ÓÒ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÖÑ Ð Ä Ò Ù Ì ÓÖݺ ÓÒ¹Ï Ð Ý ½ º º º
N = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º
Å Ì ¾¾ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ã ¾¼½¼ ÌÑ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÙÖ ÐØ Ó ÐØ Ä ÃÙÖ ØÙÒ Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ Ò ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ò ÓØ ÒÒ ØØ ÐÙ Ñ Ð Ô ØÓ¹ ØÙ Ò Ð Ý ØÝ Ó Ø º Ë ÐØ ½º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ½º½º ÄÙ Ù Ö Ø ÐÑØ ½º¾º  ÓÐÐ ÙÙ ½º º Ð
x (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W =
Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ º Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø Ø Ð ÙÙ Ì ÐÙÚÙ Ø ÑÑ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ø Ô ÒÓÖ Ø Ù Ò Ø Ð ÙÙ Ø Ö Ø ÐÙ¹ ÒÝØ ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö ÐÙÖ Ý Ø Ñ ÐÐ Ô ÐÐ Ò ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò Ó Ó Ð Ø ÝÐ Ô Ò ÓÐ Ú ÐÙÖ º ÂÓ
ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÆÌÌÁ¹ÁÄ ÊÁ È ÊÌ Æ Æ ÁÐÑ ØÓÒÑÙÓ Ù Ñ Ö ÙÓÐ Ò Ø Ó ÐÐ Ú Ù¹ ØÙ Ø Ñ Ö ÐÐ Ò ÙÑ
ÆÌÌÁ¹ÁÄ ÊÁ È ÊÌ Æ Æ ÁÄÅ ËÌÇÆÅÍÇÃà ÍË Å ÊÁËÍÇÄ ÁÆ ÃÌÁÇÁÄÄ Î ÁÃÍÌÍÃË Ì Å Ê ÄÄÁËÁÁÆ ÃÍÅÈÍà ÊÊÇËÈÁÄÎÁÁÆ Â Å È ÄÄÇÆ Ë Ì ÁÄ Ì Ë Ë Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÂÝÖ Å Ð Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ