P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,
|
|
- Jari Seppälä
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 ËÁË ÄÌ º º½ º º¾ º º º º Ú Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ËÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò ÙÑ Ñ Ð º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼ Í ÓØØ ÚÙÙ ÔØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø Ø ¾ ½¼º½ Í ÓØØ ÚÙÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º½º½ Ö Ø Ø Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º½º¾ Â Ø ÙÚ Ø Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º¾ Ñ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º Í ÓØØ ÚÙÙ Ò Ý ØÑ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º Ø Ý Ý Ð Ò Ð ØÝÑ Ø Ô Ò º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º Í ÓØØ ÚÙÙ Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ñ Ö ÚÙÙ º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º Í ÓØØ ÚÙÙ Ò ÒÚ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º º½ Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ó ÒÒ º º º º º º º º ¾ ½¼º È Ø ÙÙÖ Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ ½¼º º½ Ç ÓØ ØØÙ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ó Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ º º º º º ¾ ¾ ½¼º º¾ È Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º ¾ ½¼º º Ö Ñ Ö Ò Ê ÓÒ Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º º ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÓÑ Ò ÙÙ ¾ ½½ È Ø ¹ Ø ÑÓ ÒØ ¾ ½½º½ È Ø ¹ Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½½º½º½ À Ö ØØÓÑÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½½º½º¾ Ì Ó ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼¼ ½½º½º Ì Ö ÒØÙÚÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½º¾ Ø ÑÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½º¾º½ ÅÓÑ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½º¾º¾ Ý Ò Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½º¾º ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò ËÍ µ ÓÑ ¹ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½º ÐØ ¹Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½º ÌÝ ÒØÚÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½½º º½ È ÖÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½½º º¾ Ì Ð Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½½º º Å Ò Ñ Ð Ò Ò ØÝ ÒØÚÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½½º ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ò Ô Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½¾ ÎÐ Ø ÑÓ ÒØ ¾½ ½¾º½ à ÖÚÓ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ½¾º½º½ Æ Ô ÙÙÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º¾ Ã Ò ÖÚÓÒ ÖÓØÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º ¾
2 Ú ËÁË ÄÌ ½¾º ËÙ Ø ÐÐ Ø Ò Ó ÙÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º ÇØÓ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½¾º Å Ò Ò ÙÑ Ø Ú Ô ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½¾º Ò Ð ØØ Ò Ð Ò Ö Ò Ò Ö Ö ÓÑ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º º½ ÓÐÐ Ò Ò ÒÓÖÑ Ð Ñ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º º¾ Ò ÖØ Ò Ò Ð Ò Ö Ò Ò Ö Ö Ó º º º º º º º º º º º ½ ÀÝÔÓØ Ò Ø Ø Ù ½ º½ Ì Ø ÙÙÖ Ø p¹ ÖÚÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ì Ø Ò ÖÚ Ó ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º½ Ì Ø Ò ÚÓ Ñ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º¾ Ì Ø Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÒØ Ý Ò ÖØ Ø ÝÔÓØ Ø º º º º º ½ º Í ÓØØ ÚÙÙ Ù Ø Ø Ø Ò ÖØ Ø ÝÔÓØ Ø º º º º º º º ¾ ½ º º½ Ô Ö Ñ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½ º º¾ Í Ø Ô Ö Ñ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ ÓÒ ØÖÙÓ ØÙ Ø Ø ÙÙÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Í ÓØØ ÚÙÙ Ù Ø Ø Ø Ø ØÝØ ÝÔÓØ Ø º º º º º º º º º ½ º º½ p¹ ÖÚÓÒ ÑÖ ØØÑ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º¾ Ã Ô Ö Ñ ØÖ Ó Ø ØÓ Ø Ø Ø Ø Ò º º º º º º º º ¼ ½ º º ÀÓÑÓ Ò ÙÙ Ò Ø Ø Ù º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º º ÒÓÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ø Ø Ñ Ò Ò º º º º º º º º º ½ º º ÅÙÐØ ÒÓÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ø Ø Ñ Ò Ò º º º º º º º ½ º º Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ò Ø Ø Ù ÓÒØ Ò Ò Ø ÙÐÙ Ó º º
3 ÄÙ Ù ½¾ ÎÐ Ø ÑÓ ÒØ Ø Ñ ØØ Ò Ð ØØÝÝ Ò Ø ØØÝ ÔÚ ÖÑÙÙ Ó Ó ØÙÙ ÑѺ ÓØÓ Ú Ø ÐÙ ¹ Ø º ÂÓ Ø Ñ ØØÓÖ ÓÒ Ö ØÓÒ Ò Ú Ö Ò Ô Ò ÚÓ Ò Ø Ñ ØØ Ò Ó ÓØØ Ó ÙÚ Ò Ð ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ º ÎÐ Ø ÑÓ ÒÒ ÐÑÓ Ø Ø Ò Ú¹ Ð ÓÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓÒ ÖÚ Ó Ò ÙÙÐÙÚ Ò Ð ÐÑÓ Ø Ø Ò ÚÐ Ò Ð ØØÝÚ ÐÙÓØØ ÑÙ Ø Ú ÖÑÙÙ Ò Ø º Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÐÙØÓØØ ¹ ÑÙ ÚÐ º Å Ö ØÒ ÓØÓ Ø X 1,...,X Ð ÚÓ ÙÐÐ ÓÐÐ Ö Ñ ÐÐ X Ú ØØÙ ÓØÓ ÖÚÓ x 1,...,x Ð ÚÓ ÙÐÐ Ô Ù Ö Ñ ÐÐ xº ÐÓ Ø ÑÑ ÚÐ Ø Ñ Ø Ò ÑÖ Ø ÐÑÐк ÅÖ Ø ÐÑ ½¾º½ ÇÐ ÓÓÒ X ÓØÓ Ó Ø Ò ÙÑ Ø F θ = θ(f) ÓÒ Ò Ö Ð ÖÚÓ Ò Ò Ô Ö Ñ ØÖ º ÇÒ Ú ØØÙ X = xº È Ö Ñ ØÖ Ò θ ÚÐ Ø Ñ ØØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÓØÓ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙ ÙÔ Ö l(x) u(x) ØØ l(x) u(x) ÐÐ Ñ ÓÐÐ ÐÐ ÓØÓ ÖÚÓ ÐÐ X = xº À Ú ØØÙ ÚÐ [l(x),u(x)] ÓÒ θ Ò ÚÐ Ø Ñ ØØ [l(x),u(x)] ÚÐ Ø Ñ ØØÓÖ º Å Ö ØÒ ÐÝ Ý Ø l(x) = L, l(x) = l, u(x) = U u(x) = uº ÇÐ ÑÑ ÒÒÓ ØÙÒ Ø Ø ÓÒ Ó Ô Ö Ñ ØÖ θ ÚÐ ÐÐ [l,u] Ð Ô ØØ ÚÐ Ô Ö ¹ Ñ ØÖ Ò ÖÚÓÒº È Ö Ñ ØÖ Ò θ ÖÚÓ ÓÒ ÒØ ÚÐ Ø Ñ ØØ Ò ÓÒ Ò ØÙÒÒ Ó Ò ØÙÐÓ Ò º ÌÓ ÒÒ ÝÝ P F [L θ U] ÓÒ ÚÐ Ø Ñ ØØÓÖ Ò[L,U] Ô Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ º Å Ö ÒØ P F Ø Ö Ó ØØ ØØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð Ø Ò ÙÑ Ø F Ó Ø ÓØÓ ÓÒ Ø Øݺ Ë ØÙÒÒ ÚÐ [L,U] ÒÓØ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÐÙÓØØ ÑÙ Ø ÓÐÐ (1 α)100± Ó P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1, ÐÐ θ Θº ÄÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ò Ô Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÙ Ø Ú ÐÐ Ø Ø ¹ ÑÓ Ø Ú Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ ÖÚÓ Ø º ½¾º½ à ÖÚÓ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø ÇÐ ÓÓÒ X 1,...,X ÓØÓ ÙÑ Ø ÓÒ ÖÚÓ ÓÒ µ Ú Ö Ò σ 2 )º Ì Ö Ø Ð ÑÑ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ø ÖÚÓÐÐ µº ¾½
4 ¾¾ ÄÙ Ù ½¾º ÎÐ Ø ÑÓ ÒØ Ñ Ö ½¾º½ ÇÐ ÓÓÒX 1,...,X ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ,σ 2 )º ÇØÓ ¹ ÖÚÓ X N(µ,σ 2 /) ÓÒ ÙÑ Ò ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ò ÖÚÓÒ µ Ö¹ ØÓÒ Ø Ñ ØØÓÖ º ÅÙÓ Ó Ø ÑÑ X Ò ÚÙÐÐ ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ ÐÐ µ ÐÐ ÐÙÓع Ø ÑÙ ÚÐ Ò ÙÒ Ú Ö Ò σ 2 = σ 2 0 ØÙÒÒ Ø Òº ÎÓ ÑÑ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÚÙÐÐ ÑÖ ØØ ÐÐ Ò ÐÙÚÙÒ z α/2 ØØ P( z α/2 X µ σ 0 / z α/2) = 1 α. ÀÙÓÑ ØØ P(Z z α/2 ) = P(Z z α/2 ) = α/2º ÂÓ Ñ Ö 1 α = 0.95 Ò Ò z α/2 = z = 1.96º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ØÙÒÒ ÚÐ [ X z α/2 σ 0, X +zα/2 σ 0 ] ÐØ ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ò ÖÚÓÒ µ ÓÒ 1 αº ÃÙÒ ÓØÓ ÓÒ Ú ØØÙ ØÙ Ú ÒØÓ ÖÚÓØ x 1,...,x ÚÓ Ò Ð µ Ò Ø Ñ ØØ x = 1 x iº Ë Ø Ò ØÙÒÒ ØØÙ ÚÐ [ x z α/2 σ 0, x+z α/2 σ 0 ], ÓØ ÒÓØ Ò µ Ò 100(1 α)± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º ÄÙ Ù 1 α Ø Ú ¹ Ø Ú Ø ÔÖÓ ÒØØ ÐÙ Ù 100(1 α)± ÒÓØ Ò ÚÐ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ Ø Ó Ø ÐÙÓØØ ÑÙ ÖØÓ Ñ º ÂÓ Ñ Ö x = 3.25, σ = 1 = 20 Ò Ò 3.25± = [2.81,3.69] ÓÒ µ Ò 95± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º Î ÚÓ Ø Ò ÓÐ ØØ ØØ ÓØÓ ÓÒ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø ÚÓ Ò ÐØ Ù Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ò Ð ÖÚÓº Ã Ò Ö Ú ØØÑÒ ÒÓ ÐÐ X µ σ/ ÒÓÙ ØØ Ð Ñ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ N(0,1) ÙÒ ÓÒ ÙÙÖ º Ë ÐÐÓ Ò P( z α/2 X µ σ 0 / z α/2) 1 α. ÚÐ [ x z α/2 σ 0, x+z α/2 σ 0 ], ÓÒ Ð Ñ Ò100(1 α)± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º Ä ÖÚÓÒ Ø ÑÐÐ ÝÝ Ö ÔÔÙÙ ÓØÓ ¹ ÓÓ Ø ÙÑ Ø Ó Ø ÓØÓ ÓÒ Ô Ö Òº ÂÓ σ 2 ÓÒ ØÙÒØ Ñ ØÓÒ ÓØÓ Ó Ó Ó ØÙÙÐÐ Ò ÙÙÖ 30µ ÒÓÙ ØØ X µ S/ Ð Ñ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ú ÓØÓ ÓÐ Ô Ö Ò ÒÓÖÑ Ð Ù¹ Ñ Ø º ÃÓ ÓØÓ Ú Ö Ò S 2 ÓÒ σ 2 Ò Ø Ö ÒØÙÚ Ø Ñ ØØÓÖ Ð S 2 P σ 2 ÓØÓ ÓÓÒ Ú ÙÖ ØÙÐÓ Ø Ö Ú ØØÑ Ø ËÐÙØ ÝÒ Ð Ù Ø Ä Ù º¾¾µº ÂÓ Ô ÖÙ ÙÑ Ó Ø ÓØÓ Ø Ò ÓÒ Ñ Ö ÚÓ Ñ Ø Ú ÒÓ ØØ Ú Ð ÓØÓ Ó Ó 30 ÓÐÐ Ð Ò Ô Ò ÓØØ Ð ÖÚÓ ÓÐ ÝÚº
5 ½¾º½º à ÖÚÓ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø ¾ Ñ Ö ½¾º¾ ÂÓ ÓØÓ ÓÒ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ,σ 2 ) Ò Ò T = X µ S/ ÒÓÙ ØØ t¹ ÙÑ Ú Ô Ù Ø Ò 1º Ë ÐÐÓ Ò t¹ ÙÑ Ø Ú Ô Ù Ø Ò 1 ÚÓ Ò ÑÖ ØØ ÐÙ Ù t α/2; 1 Ø Ò ØØ P( t α/2; 1 X µ S/ t α/2; 1) = 1 α. ÇØÓ Ø Ð ØØÙ Ò Ø Ñ ØØ Ò x s 2 Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò µ Ò 100(1 α)± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ½¾º½º½µ [ x t α/2; 1 s, x+t α/2; 1 s ]. ÂÓ ÚÓ ÓØ Ù ÓØÓ Ò ÓÐ Ú Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø ÓÒ ÚÐ ½¾º½º½µ Ú Ò Ð Ñ Ò µ Ò 100(1 α)± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º Ä ÖÚÓ ÓÐ Ö ÔÓ ¹ Ñ ÐÐ ÒÓÖÑ Ð ÙÙ ÓÐ ØÙ Ø º ÂÓ Ò ÓÚ ÐÐÙ Ø ÖÚ Ø Ò Ú Ò Ñ Ö µ Ò Ð Ö Ò ÝÐÖ Òµ ÖÚ Óº ÇÐ ÓÓÒ ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ,σ 2 )º Ë ÐÐÓ Ò P( X µ σ/ z α) = 1 α Ø Ú Ø Ú Ø P[ X z α σ µ] = 1 α. ÃÙÒ X Ò ÖÚÓ ÓÒ Ú ØØÙ µ Ò Ý ÔÙÓÐ Ò Ò 100(1 α)± Ò ÐÙÓØØ ¹ ÑÙ ÚÐ ( x z α σ, )º ÌÑ Ý ÔÙÓÐ Ò Ò ÚÐ ÒØ µ ÐÐ Ð Ö Òº Í Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ð ÒÒ ÐÐ Ø ÐÔÓ ÑÑ Ò ÙÙ¹ Ö ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÙÑ Ò Ð ÖÚÓÒ ÚÙÐÐ º ÌÙÐÓ Ò ½½º¾º¾µ ÒÓ ÐÐ ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ ÒÓÙ ØØ ÝÑÔ¹ ØÓÓØØ Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ º ÎÐ Ò [ Ô Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ( P θ ˆθ c I(ˆθ) θ ˆθ+ ˆθ± ] c I(ˆθ) ) c ( ) = P θ c (ˆθ θ) I(ˆθ) c. I(ˆθ) ÌÙÐÓ Ò ½½º¾º µ ÑÙ Ò ) P θ ( c (ˆθ θ) I(ˆθ) c P( c Z c),
6 ¾ ÄÙ Ù ½¾º ÎÐ Ø ÑÓ ÒØ Ñ Z N(0,1)º ÂÓ Ô Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ø Ò 0.95 Ò Ò ÚÐ [ ] ½¾º½º¾µ ˆθ 1.96, ˆθ I(ˆθ) I(ˆθ) ÓÒθ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÓÒ ÐÙÓØØ ÑÙ Ø Ó ÓÒ Ð Ñ Ò95 ± Ò Ó P( 1.96 Z 1.96) = 0.95º Ñ Ö ½¾º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÙÑ Ø Bi(100,θ) ÓÒ ØÙ Ú ÒØÓ x = 17º Ä Ø Ò θ Ò Ð ÑÖ Ò Ò 95 ± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º ÆÝØ θ Ò ÙÙÖ Ñ¹ Ñ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ ÓÒ ˆθ = x/ = 0.17 l(θ) l(ˆθ) = 17logθ +83log(1 θ) , 0 < θ < 1. Ä Ñ ÐÐ ÚÓ Ò ØÓ Ø ØØ l(θ) l(ˆθ) log0.147 ÙÒ θ 0.251º ÌÑ ÓÒ θ Ò 14.7 ± Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÚÐ Ð Ñ Ò 95 ± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ¹ ÚÐ º ÁÒ ÓÖÑ Ø Ó ÙÒ Ø Ó ÓÒ I(θ) = x θ + x 2 (1 θ) 2, 0 < θ < 1. Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÙÒ Ø ÓÓÒ θ = ˆθ Ò I(ˆθ) = xˆθ2 + x (1 ˆθ) 2 = ṋ θ + 1 ˆθ = ˆθ(1 ˆθ). ÆÝØ ½¾º½º¾µ Ò ÑÙ Ò ˆθ(1 ˆθ±1.96 ˆθ) = 0.17± ÓÒ θ Ò Ð ÑÖ Ò Ò 95 ± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º ÎÐ Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ù ÓØØ ¹ ÚÙÙ ÚÐ ÐÐ ÚÐ Ò Ð Ö Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ R(0.096) = ÓÒ Ô Ð ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ù Ò ÝÐÖ Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ R(0.244) = 0.200º Ñ Ö ½¾º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ X Bi(3,θ)º Ë ÐÐÓ Ò l(θ) = xlogθ+(3 x)log(1 θ) = 3[ˆθlogθ+(1 ˆθ)log(1 θ)] l(ˆθ) = 3[ˆθlog ˆθ+(1 ˆθ)log(1 ˆθ)], Ñ ˆθ = x/3 0 θ 1º Ø Ñ ØØÓÖ ˆθ ÚÓ ÖÚÓØ È Ö Ñ ØÖ Ò 10 ± Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÚÐ ÓÒ 1º uv(x;10%) = {θ l(θ) l(ˆθ) log0.1}.
7 ½¾º½º à ÖÚÓ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø ¾ ÂÓ Ñ Ö x = 1 Ò Ò uv(x;10%) = {θ logθ+2log(1 θ) 0.39} = [0.015,0.869]. Ö x Ò ÖÚÓ ÐÐ Ò ÙÖ Ú Ø θ Ò 10 ± Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÚÐ Ø uv(0) = [0, 0.536], uv(1) = [0.015, 0.869], uv(2) = [0.131, 0.985], uv(3) = [0.464, 1]. ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ÚÐ Ô ØØ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ØÓ ÐÐ Ò ÖÚÓÒ Ö ÔÔÙÙ ÒÝØ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ Ø º r(θ) 1/3 2/3 1 θ 1 2 x = 3 x = 0 x = 1 x = 2 r(θ) = log(0.1) ÃÙÚ Ó ½¾º½º ÄÓ Ö ØÑÓ ØÙ ÒÓÖÑ Ø ØØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó r(θ) = l(θ) l(ˆθ) ÙÒ x = 0,1,2 3º ÆÓÖÑ Ð ÙÑ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ò Ð ÖÚÓÒ ÚÙÐÐ Ó ØØÙ Ø Ú ÒÓÑ Ò Ò 95 ± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÓÒ ÑÙÓØÓ ÃÓ ˆθ Ò Ñ ÓÐÐ Ø ÖÚÓØ ÓÚ Ø 0 1 ÓÚ Ø l V (ˆθ) = ˆθ±1.96 ˆθ(1 ˆθ) Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ø ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø 0, [0.061,0.605], [0.395,0.939] 1. À Ú ÒØÓ ÖÚÓ ÐÐ X = 0 X = 3 ÚÐ Ò ÖÓ ØÙÙ Ý Ô Ø º ÃÙÒ 0 < θ < Ø < θ < 1 ÓÒ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ò Ô Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ 0º
8 ¾ ÄÙ Ù ½¾º ÎÐ Ø ÑÓ ÒØ ½¾º½º½ Æ Ô ÙÙÖ Ø ÇÐ ÓÓÒ X 1,...,X ÓØÓ Ø ÙÑ Ø Tas(0,θ) ÓÐ ÓÓÒ Y = X () Ú Ò¹ ØÓ Ò Ñ Ñ º ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ θ ÚÐ Ø Ñ Ø¹ ØÓÖ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ø Ú ØÓ ØÓ [Y,aY], a > 1; [Y,Y +b], b > 0, Ñ a b ÓÚ Ø ÒÒ ØØÙ Ú Ó Ø º Ò ÑÑ Ò ÚÐ Ò Ô Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ( 1 P(θ [Y,aY]) = P(Y θ ay) = P a Y ) θ 1. ÃÓ Y Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f Y (y) = y 1 /θ 0 y θ Ò Ò ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ò T = Y/θ Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f T (t) = t 1 0 t 1º Ë Ô Ø ¹ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ( ) 1 1 P a T 1 = 1/a t 1 dt = 1 ( ) 1. a È Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÙ θ Ø ÚÐ Ò [Y,aY] ÐÙÓØØ ÑÙ Ø Ó ÓÒ 1 (1/a) ÐÐ θ > 0º ÌÓ Ò ÚÐ Ò Ô Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ P(θ [Y,Y +b]) = P(Y θ Y +b) = P (1 bθ ) T 1 = 1 t 1 dt = 1 ( 1 b θ). 1 b/θ Ì Ø Ô Ù Ô Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ø θº Ë ÒÓÑÑ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ T = t(ˆθ;θ) Ò Ô ÙÙÖ Ô ÚÓØ Ð ÕÙ ÒØ ØÝ Ø Ô ÚÓص Ó T Ò ÙÑ Ö ÔÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ø θº Ì ˆθ = ˆθ(X 1,...,X ) ÓÒ θ Ò Ø Ñ ØØÓÖ º Æ Ô ÙÙÖ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÐÙÓØØ ÑÙ ¹ ÚÐ Ó Ò Ô Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÙ Ø ÑÓ Ø Ú Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø º Ñ Ö ½¾º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÒÝØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò N(µ,σ 2 ) Ô Ö Ñ ØÖ Ò σ 2 ÚÐ Ø ÑÓ ÒØ º ÃÓ ÓÒ Ò Ô ÙÙÖ Ò Ò 1 α = P(a V b), ( = P V = ( 1)S2 σ 2 a < b a ( 1)S 2 1 σ 2 b ( 1)S 2 Khi2( 1) ) ( ( 1)S 2 = P b ) σ 2 ( 1)S2 a ÓÒ σ 2 Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ò [ ( 1)S2, ( 1)S2 ] ÐÙÓØØ ÑÙ Ø Óº b a
9 ½¾º¾º Ã Ò ÖÚÓÒ ÖÓØÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø ¾ ½¾º¾ Ã Ò ÖÚÓÒ ÖÓØÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ¹ ÚÐ Ø ÇÐ ÓÓØX 1,...,X Y 1,...,Y m Ö ÔÔÙÑ ØÓÒØ ÓØÓ Ø Ó Ø Ò ÑÑ ¹ Ò Ò ÓÒ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ X,σX 2 ) ØÓ Ò Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ Y,σY 2)º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ú Ö Ò Ø σx 2 σ2 Y ØÙÒÒ Ø Òº ÃÓ ÓØÓ Ø ÓÚ Ø Ö ÔÔÙ¹ Ñ ØØÓÑ Ø Ò Ò ÑÝ ÓØÓ ÖÚÓØ X Ȳ ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò ÙÑ Ø ÓÚ Ø X N(µ X,σX 2 /) Ȳ N(µ Y,σY 2 /m)º ÇØÓ ÖÚÓ Ò ÖÓØÙ Ò W = X Ȳ ÙÑ ÓÒ N(µ X µ Y,σX 2 /+σ2 Y /m) ( P z α/2 ( X ) Ȳ) (µ X µ Y ) σ 2 X /+σy 2/ z α/2 = 1 α. ÃÙÒ Ú ÒÒÓØ ÓÒ Ø ØÝ Ò Ú ØÙØ ÓØÓ ÖÚÓØ x ȳ Ö¹ ÚÓ Ò ÖÓØÙ Ò 100(1 α)± Ò ÐÙÓØØÑÙ ÚÐ ÓÒ [ x ȳ z α/2 σ W, x ȳ +z α/2 σ W ], Ñ σ W ÓÒ W Ò ÓÒØ º ÂÓ Ú Ö Ò σx 2 σy 2 ØÙÒÒ Ø ÑÙØØ ÓØÓ ÓÓØ m ÓÚ Ø ÙÙÖ Ø Ò Ò Ú Ö Ò Ø σx 2 σ2 Y ÚÓ Ò ÓÖÚ Ø Ú Ö Ò Ò Ö ØØÓÑ ÐÐ Ø Ñ ¹ Ø ÐÐ s 2 x s 2 yº Ë ÐÐÓ Ò Ò Ð ÑÖ Ò Ò 100(1 α)± Ò ÐÙÓØØÑÙ ÚÐ x ȳ z α/2 σ W, x ȳ +z α/2 s W, s Ñ s W = 2 x + s2 y ÓÒ W Ò ÓÒÒ Ò Ø Ñ ØØ º m Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÖÚÓ Ò ÖÓØÙ ¹ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ò ÑÖ ØØÑ Ø ÙÒ Ú Ö Ò ØÙÒÒ Ø ÓØÓ ÓÓØ ÓÚ Ø Ô Ò Øº ÇÐ ÓÓÒ X 1,...,X ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ X,σX 2 ) Y 1,...,Y m ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ Y,σY 2 ) ÓØÓ Ø ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº Ã Ø ÐÐÒ Ò Ò Ø Ð ÒÒ ØØ Ó ÚÓ Ò ÓÐ ØØ σx 2 = σ2 Y = σ2 º Ë ÐÐÓ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Z = X Ȳ (µ X µ Y ) σ 2 + σ2 m ÒÓÙ ØØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ N(0,1)º ÃÓ ÓØÓ Ø ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò U = ( 1)S2 X σ 2 + (m 1)S2 Y σ 2 ÓÒ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ÒKhi2¹ ÙÑ ÒÓÙ ØØ Ú Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑÑ U Khi2(+m 2)º ÅÖ Ø ÑÒ ÑÙ Ò T = Z U/(+m 2)
10 ¾ ÄÙ Ù ½¾º ÎÐ Ø ÑÓ ÒØ ÒÓÙ ØØ t¹ ÙÑ Ú Ô Ù Ø Ò +m 2º ÃÙÒ Ø Ò Ó Ø Ø Ò ÐÐ Ø ØÝØ Z Ò U Ò Ð Ù Ø Ò T = X Ȳ (µ X µ Y ), 1 S P + 1 m Ñ ÆÝØ S P = ( 1)SX 2 +(m 1)S2 Y. +m 2 P(t α/2;+m 2 T t α/2;+m 2 ) = 1 α P ( X Ȳ (µ X µ Y ) t α/2;+m 2 S P m) = 1 α. ÂÓ x,ȳ s P ÓÚ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X,Ȳ S P Ú ØÙØ ÖÚÓØ Ò Ò ¹ Ò (µ X µ Y ) Ò 100(1 α)± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ [ x ȳ t α/2;+m 2 s P m, x ȳ +t α/2;+m 2s P m ]. ÂÓ ØÙÒÒ Ø Ò Ú Ö Ò Ò Ù σ 2 X /σ2 Y ÚÓ Ò ÖÚÓ Ò ÖÓØÙ ÐÐ (µ X µ Y ) Ó Ø ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ t¹ ÙÑ Ò ÚÙÐÐ Ú Ø Ú Ø Ù Ò Ø Ð ÒØ ¹ σ 2 X = σ2 Y º ÂÓ Ù Ø Ò Ò Ú Ö Ò Ò Ù ØØ ØÙÒÒ Ø Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ØØ W = ( X Ȳ) (µ X µ Y ) S 2 X /+S 2 Y /m. ÂÓ m ÓÚ Ø Ø ÖÔ ÙÙÖ Ò Ò W ÒÓÙ ØØ Ð Ñ Ò ÒÓÖÑ Ð Ù¹ Ñ P(z α/2 W z α/2 ) 1 α. ÂÓ m ÚØ ÓÐ ÓÚ Ò ÙÙÖ ÝØ ØÒt¹ ÙÑ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ï Ð Ò Ð ÖÚÓ º Ä Ø Ò r = (s2 x /+s2 y /m)2 (s 2 x /)2 + (s2 y/m) 2 1 m 1 r ÔÝ Ö Ø ØÒ Ð Ô Ò Ð ÑÔÒ Ó ÓÒ ÐÙ ÙÙÒ = r µº Ë ÐÐÓ Ò (µ X µ Y ) Ò Ð ÑÖ Ò 100(1 α)± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÓÒ x ȳ ±t α/2; r s 2 x/+s 2 y/m. ÂÓ Ò ÓÚ ÐÐÙ Ñ ØØ Ù Ø X Y ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÚ Øº Å ¹ Ø Ø Ò Ñ Ö Ò Ò Ð Ò Ô ÒÓ ÒÒ Ò Ð Ò Ð ÙØÙ ÙÙÖ Ò Ò Ñ ØØ Ù Ø (X 1,Y 1 ),(X 2,Y 2 ),...,(X,Y ) Ó ÓÒ ÓØÓ ÙÐÓع Ø Ø ÙÑ Ø º Ë ÐÐÓ Ò Ö Ñ ØØ Ù Ô Ö Ø (X i,y i ) (X j,y j ), i j, ÓÚ Ø
11 ½¾º º ËÙ Ø ÐÐ Ø Ò Ó ÙÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø ¾ ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÑÙØØ Ñ ØØ Ù Ø X i Y i ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÚ º ÅÙÓ¹ Ó Ø Ø Ò ÖÓØÙ Ø D i = X i Y i, i = 1,2,...,º Í Ò ÚÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ D 1,D 2,...,D ÓÒ ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ X µ Y,σ 2 D ) Ñ σ2 D ÓÒ ÖÓ¹ ØÙ Ø Ò Ú Ö Ò º Ö ØÝ Ø Ó (X 1,Y 1 ),(X 2,Y 2 ),...,(X,Y ) ÓÒ ÓØÓ ¹ ÙÐÓØØ Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ X,µ Y,σ X,σ Y,ρ) Ò Ò D 1,D 2,...,D ÓÒ ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ X µ Y,σ 2 D )º Ë ÐÐÓ Ò (µ X µ Y ) Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ¹ ÚÐ ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø ÙÙÖ Ò T = D (µ X µ Y ) S D / ÚÙÐÐ Ñ D ÓÒ ÖÓØÙ Ø Ò ÓØÓ ÖÚÓ S 2 D ÖÓØÙ Ø Ò ÓØÓ Ú Ö Ò º ÖÓØÙ Ò µ X µ Y ) 100(1 α± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÓÒ d±t α/2; 1 s d Ñ d ÓÒ Ú ÒØÓ Ò ÖÚÓ s d Ò Ò ÓÒØ º ½¾º ËÙ Ø ÐÐ Ø Ò Ó ÙÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø ÇÐ ÓÓÒ X 1,X 2,...,X ÓØÓ ÖÒÓÙÐÐ Ò ÙÑ Ø Ber(p)º Ë ÐÐÓ Ò ÓÒÒ ØÙ¹ Ñ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ Y = X 1 + X ÒÓÙ ØØ ÒÓÑ ÙÑ Bi(,p)º ÇØÓ ÖÚÓ Y/ ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò p Ö ØÓÒ Ø Ñ ØØÓÖ º ËÙÙÖ Y p = Y/ p p(1 p) p(1 p)/ ÒÓÙ ØØ Ò Ö Ú ØØÑÒ ÒÓ ÐÐ Ð Ñ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ N(0,1) ÙÒ ÓÒ Ø ÖÔ ÙÙÖ º ÎÓ ÑÑ ÓÐ ØØ ØØ ½¾º º½µ P ( z α/2 Y/ p p(1 p)/ z α/2 ) 1 α, Ó Ø Ò P [ Y p(1 p) z α/2 p Y p(1 p) +z ] α/2 1 α. ÃÓ ÔÝ ØÐ Ò ÔØ Ô Ø ÒØÝÝ Ø ÑÓ Ø Ú ØÙÒØ Ñ ØÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ p Ø Ø ØÙÐÓ Ø ÙÓÖ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º Ì ÖÚ Ø Ò ØÓ Ò Ò Ð Ö¹ ÚÓ ÓÖÚ Ø Ò ÔØ Ô Ø p Ö ØØÓÑ ÐÐ Ø Ñ ØÓÖ ÐÐ Y/º ËÙÙÖ ÐÐ Ú ÒØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖÐÐ Ô Ø ÐÐ Ò Ô Ò ØØ P [ Y (Y/)(1 Y/) z α/2 p Y (Y/)(1 Y/) +z ] α/2 1 α.
12 ¼ ÄÙ Ù ½¾º ÎÐ Ø ÑÓ ÒØ ÂÓ Ú Ø Ò Y = y Ò Ò ÙÙÖ ÐÐ Ò ÖÚÓ ÐÐ p Ò Ð ÑÖ Ò Ò 100(1 α)± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÓÒ y (y/)(1 y/) ±z α/2. ÅÙÓ Ó Ø ÑÑ ÒÝØ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ò Ò ÓÒÒ ØÙÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò p 1 p 2 ÖÓØÙ ÐÐ p 1 p 2 º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÓÒÒ ØÙÑ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖØ Y 1 Y 2 Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ó ÒÓÙ ØØ Ú Ø ÒÓÑ ÙÑ Ø Ò ØØ Y i Bi( i,p i ), i = 1,2º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø Y 1 Y 2 ÓÚ Ø Ö ÔÔÙ¹ Ñ ØØÓÑ Øº ÃÓ Y i / i ÓÒ p i Ò i = 1,2 Ö ØÓÒ Ø Ñ ØØÓÖ Y 1 Y 2 ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò Y 1 / 1 Y 2 / 2 ÓÒ p 1 p 2 Ò Ö ØÓÒ Ø Ñ ØØÓÖ Var(Y 1 / 1 Y 2 / 2 ) = p 1(1 p 1 ) + p 2(1 p 2 ). 1 2 ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ ÙÙÖ (Y 1 / 1 Y 2 / 2 ) (p 1 p 2 ) p1 (1 p 1 )/ 1 +p 2 (1 p 2 )/ 2 ÒÓÙ ØØ Ð Ñ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ N(0,1) ÙÒ ÓÒ ÙÙÖ º ÂÓ Ò Ñ Øع p 1 p 2 ÓÖÚ Ø Ò Ø Ñ ØØÓÖ ÐÐ Ò ÓÒ P( z α/2 (Y 1 / 1 Y 2 / 2 ) (p 1 p 2 ) Y1 / 1 (1 Y 1 / 1 )/ 1 +Y 2 / 2 (1 Y 2 / 2 )/ 2 z α/2 ) 1 α. ÙÙÖ ÐÐ Ò ÖÚÓ ÐÐ º Ì Ø Ò ÖÓØÙ Ò p 1 p 2 Ð Ñ Ò100(1 α)± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ y 1 y 2 y 1 (1 y 1 ) ±z α/2 + y 2(1 y 2 ) ½¾º ÇØÓ Ó Ó ÂÓ ÐÙ ÑÑ ØØ Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ µ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ x ± z α/2 (σ/ ) ÓÐ Ô ÑÔ Ù Ò ÒÒ ØØÙ ÚÐ x±ε Ò Ò Ø Ø Ò ε = z α/2σ, Ó Ø ÙÖ = z2 α/2 σ2 ε 2. ËÙÙÖ ØØ ε = z α/2σ ÙØ ÙØ Ò Ù Ò Ø Ñ Ø Ò Ñ Ñ Ú Ö º ËÙ Ø ÐÐ Ò Ó ÙÙ Ò p Ð ÑÖ Ò 100(1 α)± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÓÒ ˆp(1 ˆp) ˆp±z α/2,
13 ½¾º º Å Ò Ò ÙÑ Ø Ú Ô ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ½ Ñ ˆp = y/º À ÐÙ ÑÑ ÑÖ ØØ ÓØÓ ÓÓÒ Ò Ò ØØ Ø Ñ Ø Ò ˆp = y/ Ñ Ñ Ú Ö ÓÒε = z α/2 ˆp(1 ˆp)/º ÃÓ ˆp ÓÒ ØÙÒØ Ñ ØÓÒ ÒÒ Ò Ó ØØ Ø ÓÐ Ý ØÝ ÓØÓ ÓÓÒ ÑÖ ØØÑ º ÂÓ Ø ØÒ ØØ p Ò ÖÚÓ ÓÒ ÒÓ Ò p Ø ÓÖ ÒØ Ò p Ò Ò ÐÐÓ Ò Ø ÖÚ ØØ Ú ÓØÓ Ó Ó = z2 α/2 p (1 p ) ε 2. ÂÓ Ñ ÐÐ ÓÐ Ö ØØÚÒ ÐÙÓØ ØØ Ú ÒÒ Ó ÖÚ ÓØ p Ò ÖÚÓ Ø ÚÓ Ò ÝØØ Ú ÖÓÚ Ø Ö ØØÚÒ ÙÙÖØ µ ÓØÓ ÓÓÒ ÖÚ ÓØ ÐÐ p(1 p) 1/4 ÐÐ p [0,1]º = z2 α/2 4ε 2, ½¾º Å Ò Ò ÙÑ Ø Ú Ô ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÇÐ ÓÓÒ X 1,X 2,...,X ÓØÓ Ø ÙÚ Ø ÙÑ Ø ÓØ Ø Ö ÑÑ Ò ØÙÒÒ ¹ Ø º ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò ÒÝØ ÙÑ Ò Ñ Ò ÐÐ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÐ ÚÐØØÑØØ ÓÐ Ñ º ÃÙÒ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò ÙÑ Ó Ú Ò Ú Ö Ò Ò Ù Ó Ò ÓÐ ØÙ Ø Ò Ú Ö Ñ ¹ Ò Ø ÐÑ ÒÓØ Ò ÙÑ Ø Ú Ô º ÄÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÝØ ØÒ Ö ØÝ ÙÙÖ Ø º ÇÐ ÓÓÒ X (1),X (2),...,X () Ö Ø ØØÝ ÓØÓ Ó X (1) > X (2) > > X () º Å Ò Ò m ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ ÚÓ Ò Ø ÐÐ Ñ Ö Ú ÒØÓ Ò Ú Ø ÐÙÚÐ (X (1),X () ) Ñ X (1) ÓÒ Ô Ò Ò X () ÙÙÖ Ò Ú ÒØÓ ÖÚÓº ÎÐ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ Ø Ó ÓÒ ÐÐÓ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ P(X (1) < m < X () ) Ñ m ÓÒ ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò ÙÑ Ò 50± Ò Ö Ø Ð π 0.5 Ð P(X < m) = 0.5º ÇØÓ ÒX 1,X 2,...,X ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ø I 1,I 2,...,I Ø Ò ØØ I j = 1, ÙÒ X j < m ÑÙÙØÓ Ò I j = 0º ÇÒÒ ØÙÑ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ L = I 1 +I 2 + +I ÓÒ Ñ Ò Ô Ò ÑÔ Ò Ú ÒØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ L Bi(,1/2)º ÇÐ ÓÓÒ Ñ Ö = 5º ÂÓ Ú ÒÒÓØ ÓÚ Ø Ñ Ò Ô Ò ÑÔ L = 5µ Ø Ú ÒÒÓØ ÓÚ Ø Ñ Ò ÙÙÖ ÑÔ L = 0µ Ò Ò Ñ Ò ÓÐ ÚÐ ÐÐ (X (1),X (5) )º ÅÙÙØÓ Ò Ñ Ò ÓÒ ÚÐ ÐÐ (X (1),X (5) )º Æ Ò P(X (1) < m < X (5) ) = 1 P(L = 0) P(L = 5) = 1 (1/2) 5 (1/2) 5 = 15/16 (x (1),x (5) ) ÓÒ 94± Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ 15/ µº
14 ¾ ÄÙ Ù ½¾º ÎÐ Ø ÑÓ ÒØ Ð Ø ÚÐ Ò (X (1),X () ) ÐÙÓØØ ÑÙ Ø Ó ÓÒ P(X (1) < m < X () )) = 1 P(L = 0) P(L = ) 1 ( ) = (1/2) k (1/2) k k k=1 = 1 (1/2) (1/2) = 1 (1/2) 1. Ã Ú ØØ Ñ ÐÐ ÓØÓ Ó Ó Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ P(X (1) < m < X () ) Ñ Ð ¹ Ú ÐØ Ò Ð ÐÐ Ý Øº ÇÒ Ù Ø Ò Ò ÙÓÑ ØØ Ú ØØ ÑÝ ÚÐ Ò(x (1),x () ) Ô ØÙÙ Ú Ò Ú º ÄÝ ÑÔ ÚÐ Ø Ö ÑÔ Ø Ñ ØØ µ ¹ Ò ÝØØÑÐÐ ÓØ Ò ÑÙÙØ Ö ØÝ ÙÙÖ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÚÐ (X (i),x (j) ) Ñ i < jº Ñ Ö ÚÓ Ø Ò Ó ÐÐ ÚÐ (X (2),X ( 1) ) Ø (X (3),X ( 2) )º Î Ø Ú ÐÐ ÔØØ ÐÝÐÐ Ù Ò ÐÐ Ò ÚÐ Ò (X (i),x (j) ) ÐÙÓØØ ÑÙ Ø Ó j 1 ( ) P(X (i) < m < X (j) )) = (1/2) k (1/2) k = 1 α. k k=i ÐÐ Ø ØØÝ Ñ Ò Ø ÐÑ ÚÓ Ò ÝØØ Ñ Ò Ø Ò Ø ÙÚ Ò ÙÑ Ò ÔÖÓ ÒØØ Ô Ø Ò π p ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ò ÑÖ ØØÑ Òº Å Ò Ò Ø ¹ Ô Ù ÝØ ØØÝ ÓÒÒ ØÙÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ú Ò ÓÖÚ Ø Ò ÓÒÒ ØÙÑ ØÓ¹ ÒÒ ÝÝ ÐÐ P(X < π p ) = pº ½¾º ½¾º º½ Ò Ð ØØ Ò Ð Ò Ö Ò Ò Ö Ö ÓÑ ÐÐ ÓÐÐ Ò Ò ÒÓÖÑ Ð Ñ ÐÐ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø Y 1 º º º Y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ½¾º º½µ Y i N(α+βx i,σ 2 ), 1 i. À Ú ØØÙ Ò ØÓ ÑÙÓ Ó ØÙÙ Ø ÖÚÓÔ Ö Ø (x 1,y 1 ) º º º (x,y )º ÒÒÙ ¹ Ø ÑÙÙØØÙ Ò x ÖÚÓØ x 1 º º º x Ø ÐÐ Ò ØÙÒÒ ØÙ Ú Ó º Ê Ö Ó¹ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÑÙÓØÓ E(Y x) = α+βx ÐÐ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ Y i ÓÒ Ñ Ú Ö Ò σ 2 º Å ÐÐ ½¾º º½µ ÚÓ ¹ Ò ÑÝ Ð Ù Ù ÑÙÓ Ó Y i = α+βx i +ε i, 1 i, Ñ ε 1 º º º ε ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ε i N(0,σ 2 ) 1 i º
15 ½¾º º Ò Ð ØØ Ò Ð Ò Ö Ò Ò Ö Ö ÓÑ ÐÐ À Ú ÒØÓ Ò Y 1 º º º Y Ý Ø ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f(y 1,...,y α,β,σ 2 ) = = f 1 (y i α,β,σ 2 ) [ 1 exp 1 ] 2πσ 2σ 2(y i α βx i ) 2 [ = (2πσ 2 ) /2 exp Ì Ø Ò Ò ØØ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ [ L(α,β,σ 2 ) = (2πσ 2 ) /2 exp 1 2σ 2 ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ 1 2σ 2 (y i α βx i ) ]. 2 ] (y i α βx i ) 2 ½¾º º¾µ l(α,β,σ 2 ) = 2 log(2πσ2 ) 1 2σ 2 (y i α βx i ) 2. ÙÒ Ø Ó Ø ½¾º º¾µ ÚÓ Ò Ö Ø Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ò α,β σ 2 ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ø (x i x) ˆβ = Y i, S xx ˆα = Ȳ ˆβ x ˆσ 2 = 1 (Y i ˆα ˆβx i ) 2, Ñ x ÓÒ Ó Ú Ó Ò x 1,...,x Ȳ ÓÒ Ú ÒØÓ Ò Y 1,...,Y ÖÚÓ S xx = (x i x) 2 º Ø Ñ ØØÓÖ Ø ˆα ˆβ ÓÚ Ø Ö ØØÓÑ ÑÙØØ ˆσ 2 ÓÒ σ 2 Ò Ö Ò Ò Ø Ñ ØØÓÖ º Ë Ò Ò Ø Ñ ØØÓÖ S 2 = 2ˆσ2 = 1 2 (Y i ˆα ˆβx i ) 2 ÓÒ σ 2 Ö ØÓÒ Ø Ñ ØØÓÖ º ÂÓØØ ÚÓ Ò ØØ Ò Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ø ÑÓ ÒØ Ø Ø Ù Ñ Ò ØØ ÐÝØ ØÝØÝÝ ØÙÒØ Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÓØ ÒØ ÙÑ Øº ÇØ ÒØ ÙÑ Ó Ú Ø ØÙÐÓ Ø ÓÒ Ø ØØÝ ÙÖ Ú Ð Ù º Ä Ù ½¾º½ ÆÓÖÑ Ð Ñ ÐÐ ½¾º º½µ Ø Ñ ØØÓÖ Ò ˆα, ˆβ ˆσ 2 ÓØ ÒØ ¹ ÙÑ Ø ÓÚ Ø ˆα N(α, σ 2 S xx x 2 i ), σ ˆβ 2 N(β, S xx ), Ñ Cov(ˆα, ˆβ) = σ2 x S xx.
16 ÄÙ Ù ½¾º ÎÐ Ø ÑÓ ÒØ Ä (ˆα, ˆβ) S 2 ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ( 2)S 2 σ 2 Khi2( 2). Æ Ò ÙÑ ØÙÐÓ Ø Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ó Ø Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø Ø ÐÙÚÙ Ø ØØÝ Ò Ô Ö ØØ Ò ÑÙ Ø º ½¾º º¾ Ò ÖØ Ò Ò Ð Ò Ö Ò Ò Ö Ö Ó Ä Ò Ö Ö Ö Ó ÓÐ Ø Ø Ò ØØ Ú Ø ÑÙÙØØÙ Ö ÔÔÙÙ Ð Ò Ö Ø Ð ØØ Øº Å ÐÐ ÓÒ ÑÙÓØÓ Y i = α+βx i +ε i, 1 i, Ñ Y i ÓÒ Ú ØØ Ú ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ε i ÓÒ Ú Ö Ø ÖÑ α β ÓÚ Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ú Ó Ø x 1 º º º x ÓÚ Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ó Ú Ó Ø º ÇÐ ¹ Ø ÑÑ ØØ E(ε i ) = 0 ÓØ Ò ½¾º º µ E(Y i ) = α+βx i. ÁØ ½¾º º µ ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ E(Y i x i ) = α+βx i. ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ö Ö Ó ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÑÙØØ Ø ÒÓÖÑ Ð ¹ ÙÙ ÓÐ ØÙ Ø ÙØ Ò ÐÐ Ð ÐÙÚÙ º È Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò ÒÓÐÐ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ø Ñ Ø ˆβ = (xi x)y i (xi x) 2 = s xy s 2 x ˆα = ȳ ˆβ x, = rs xs y s 2 x = s y s x r Ñ s xy ÓÒ ÓØÓ ÓÚ Ö Ò s 2 x s 2 y ÓÚ Ø ÓØÓ Ú Ö Ò º ÎÓ Ò Ó Ó Ø¹ Ø ØØ ˆα ˆβ ÓÚ Ø Ñ Ò Ñ Ú Ö Ò Ò α Ò β Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ö¹ ØØÓÑ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÓÙ Ó º ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ø Ò Ø Ô Ù ¹ Ø Ñ ØØÓÖ Ø ˆα ˆβ ÒÓÙ ØØ Ú Ø Ð Ñ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ÙÙÖ Ð¹ Ð Ò ÖÚÓ ÐÐ º Ë ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ó Ø Ð ÑÖ Ø ÐÙÓØØ ÑÙ ÚРغ
ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý
ÈÖÓ Ð Ø Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ñ Ø ÐÐÒ ÔÖÓ Ð Ø Ð ÓÖ ØÑ º ÌÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÖÚ Ø Ò Ø Ø ØÒ ÓÐ Ó ØÙÐÓ Ò ÑÙ Ò Ö Ù ÙØ Òº ÖÓÒ Ô Ø ÖÑ Ò Ñ Ò ÓÒ ØØ ÒÝØ Ø Ö Ø ÐÐ ÖÓ Ú Ò Ð ÒØ ØÓ Ø Ø Ò ÙÙ ÐÐ ÖÚ Ù ÐÐ Ø ÖÚ ØØ º Ä ÓÒ Ö ØØ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ
LisätiedotÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº
Lisätiedotf(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
Lisätiedotf(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0.
Ú ËÁË ÄÌ ½¾º ËÙ Ø ÐÐ Ø Ò Ó ÙÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º ÇØÓ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½¾º Å Ò Ò ÙÑ Ø Ú Ô ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º º º º º º º º º º
Lisätiedot139/ /11034 = 0.58
ÄÙ Ù ÂÓ ÒØÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÝÒ º½ Ì Ð ØÓÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÐÙÓÒÒ Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÔØØ ÐÝ ØØ Ð Ú ÒØÓ Ò Ú Ø ÐÙ ÔÚ ÖÑÙÙØØ º ÓÐ Ø ØÒ ÐÚ ØØ ØÙÓÐÐ Ø Ø ÚÓ Ò Ø¹ Ø Ñ ØÒ Ø ÑÐÐ Ø Ø Ø Ø ÐРغ Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÓÒ ÓÑ
LisätiedotÌ Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Å Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ Ý ØØ Ðк Å Ò Ø Ð Ú Ø ÚÙÙ ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Å Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ø Ô Ó Ò Ñ Ñ ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ô ØÙ Ý ØØ Øº ÂÓ Å Ò Ø Ð Ú Ø ÑÙ ÓÒ
LisätiedotÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ
ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º º ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø Ø ¹ÑÖ ØØ ÐÝ º¾µ ÚÓ Ú Ø Ø ÑÝ Ø Ò ÑÖ Ø ÐØÚ Æ Ñ ÒØÝ ÑÝ ³ ³¹Ñ Ö Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ò ÓÐ ÐÐ ØØÝ ØÝÔ ¹ÐÝ ÒØ º½µº ¾ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ
LisätiedotKuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑ Ò Ö ÒÒ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ø ÐРؽ ؾ Ø È Ð Ó ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ö ÒÒ Ì ØÓ ÓÒ Ô Ð Ò ÝØ Ñ Ò ÓÒ Ñ ÐÐ Ó Ø Ò ÙÚ ØØ ÐÐ Ø Ñ ÐÑ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò Ð
LisätiedotMSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,
ËÁË ÄÌ Ú º º½ Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º
Lisätiedotp q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2
º ÅÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ö ÒØ Ð Ð ÒØ º½ Â Ø ÙÚÙÙ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø Ù Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÒØ Ð Ð ÒØ ÐÑÔ Ø Ð ÓÒ Ò Ô Ò ÙÒ Ø Ó T(x, y, z.t) ÄÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ÐÑÓ ØØ Ñ Ò ÙÙÒØ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ú ÚÓ Ñ ÑÑ Ò Ù Ò Ð ÐÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ½½ ÃÓÓÖ
LisätiedotÐ ØÖÓÒ Ø Ñ ÙÚÐ Ò Ø Ì ÑÙ Ê ÒØ ¹ Ó À Ð Ò ¾ º ÐÓ ÙÙØ ½ Ë Ò ÙÔ Ò ÝÒÒ Ò Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Å Ù Ö Ø ÐÑØ ¾ ¾º½ ÆÝ Ý Ø Ñ Ù Ö Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º
Lisätiedot139/ /11034 = 0.58
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
LisätiedotF n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
LisätiedotÀ Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø
Ì ÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì Ó Ø ÐÐÒ ÓÒ ÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ö Ø Ú ÑÙØØ Ó Ò Ö Ø Ù Ú Ø Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ø Ð ØØ Ö Ø Ù ÓÐ ÝØÒÒ ÐÚÓÐÐ Ò Òº Í ÑÑ Ø ÓÐ ØØ Ú Ø ØØ ÆȹØÝ ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÙÑ ØØÓÑ ÒØÖ Ø Ð µ ÑÙØØ ØØ ÓÐ ØÓ Ø ØØÙº
LisätiedotA B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º
LisätiedotÄ ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½» Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓØ Ò ÐØ º Å Ø Ò Ô Ð ÓÒ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÙÐÙØØ ØÙÒÒ Ø Ò Ò Á Ä Ø Ò Ð Ò ØÙÒÒ Ø Ú ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ô Ù Ó Ð Ö Øصº Ä Ø Ò
Lisätiedotf(x;n,θ) = θ x (1 θ) n x, x = 0,1,...,n; 0 θ 1. Θ = {θ 0 θ 1}. ˆθ = x n.
ËÁË ÄÌ Ú º º½ Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º
Lisätiedotº F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
LisätiedotÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ý ÝÐÐ Ø ØÓÖ ÒØ Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ
Lisätiedotel. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (
ÈÙÓÐ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ô ÖÙ Ø Ø À Ì Øº ½º È ÖÖ ÔÒ¹ÔÙÓÐ Ó Ð ØÓ Ò Ò Ö ÚÝ Ñ ÐÐ ÙÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÂÓ ÓÒØ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò V 0 Ý ØÐ µ ÃÙÚ Ò ÚÙÐÐ µ Ù ÓÚ ÖØ Ý ØÐ Ø Ô¹ Ò¹ØÝÝÔ Ø Ò Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ö Ø ÓØ Ô¹ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÙÖ
Lisätiedotd 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j
¾º¾º ÁÌÇÁÆÌÁ Ì ÁË Æ Ä Ëà ÅÁÆ Æ ¾ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÌÌÈÈÈÌÄÌÅÈÈ Ò Ù Ø¹Öݹ¹ Ò¹¹¹Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÙ ØØ ÐÓ Ò Ù ØÖÝ d ǫ ÒØ ÖÝ ǫ e ÒÙ ØÖÝ u ǫ ÒØ Ö Ý y s Ò ØÖÝ s ǫ ÒØ Ö ǫ t ÒØÖÝ ǫ e ÒØ Ö Ø ¾º¾ ØÓ ÒØ Ø ÝÝ Ò Ð
LisätiedotSymmetriatasot. y x. Lämmittimet
Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ ¹ÖÝ ÑĐ» ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó ÅÍÁËÌÁÇ ÆÓ»Ì ÊÅǹ ¹¾¼¼¼ ÔÚÑ ½¼º Ñ Ð ÙÙØ ¾¼¼¼ ÇÌËÁÃÃÇ Ø Ú ÒعØÙÐÓ ÐÑ Ð ØØ Ò ¹Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò ÖØ Ø ØÙØ ØÙÐÓ ÐÑ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ä ÌÁ ̵ ÂÙ Ú Ó Ð ¹ÂÙÙ Ð
LisätiedotÄ ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½» ÃÙÖ Ò ÐØ Ø ÐØÙ ÐØ ½ ¾ Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò ÄÙÓ È ÄÙÓ ÆÈ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ ÆȹØÝ ÐÐ ÔÖÓ Ð ÑÓ Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÄÙÓ ÈËÈ Ë Ú Ø Ò Ð Ù Ñ Ö ÈËÈ ¹ØÝ ÐÐ Ø
LisätiedotF n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
LisätiedotÐ Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø
Ä Æ Ä ÍÃÃÇÆ Æ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ØÓØ Ø Ò Ú Ö Ø Ö Ø ÐÙ ÓÔ ÒØÓ¹ Ñ Ò ØÝ Ò Ú ÙØØ Ú Ò Ø Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÈÄÇÅÁÌ ÝÚ ÝØØÝ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ó ØÓÒ ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ º½½º¾¼¼ º Ì Ö Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ë ÔÔÓ ÈÓ ÓÐ Ò Ò ØÙØ Å ÀÙ ÓÐ
LisätiedotÈ Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»
È Ú Ö Ù ÆÈ Á à РÐÙÓ Ø È ÆÈ ÒÝØØÚØ ØÝ Ò Ö Ð ÐØ Ë ÐÚ Ø È ÆȺ µ È ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ º µ ÆÈ ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ú Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð ÓÒ
LisätiedotF(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
LisätiedotÐ ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ØÓÖ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð
Lisätiedot1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÇÐ ÓÔÓ Ø Ø ØÓÑ ÐÐ Ø Ø ØÓ ÒÒ Ò ÐÐ ÒØ Ö Ø ÐÑ ÖØÓ ÖÐÙÒ À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ
LisätiedotX = 0I A0 +1I A1 +2I A2 +3I A3 = 1I A1 +2I A2 +3I A3. {X(ω) = r}º
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º
LisätiedotF(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
Lisätiedot(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).
ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙ Ø ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ØÐ ÐÐ x + 1 = 0 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ó Ó Ò Ö Ð ÐÙ¹ ÚÙÒ ØÓ Ò Ò ÔÓØ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº ÂÓØØ ØÐÐ Ý ØÐ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ù Ñ Ò ØÝØÝÝ Ð ÒØ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ð ÑÐÐ Ò ÙÙ Ð Ó Ñ Ö ØÒ Ø¹ Ø ØÓ Ø
Lisätiedot:: γ1. g 1. :: γ2. g 2
ÌÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ¹ Ý ÝÑÝ Ø º º¾ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ý ÝÑÝ Ð Ø x g Ò e? :: α Ö Ø Ø Ò ÓÐ ÐÐ Ø ÑÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ØØ ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙØØ À ÐÐ ÝÐ Ø Ò ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ ÐÑ ÒØÙ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ð Ó º Ë Ø ÑÙØ ÑÑ Ò ÑÓÒ Ý ÝÑÝ Ð Ø p g Ò e? ::
LisätiedotÅ Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ
Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ Á Å Ö Ò Ò À Ò ½½º º¾¼¼ Ç Ñ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò
Lisätiedota b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº
ÄÙ Ù ÐÙ Ø ÂÙ Ä Ö ÂÓÙÒ È Ö ÓÒ Ò ÄÙ ÐÐ ÌÑ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÂÓÙÒ È Ö Ó Ò ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¾¼¼ ÂÙ Ä Ö Ò ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ô ØÑ Ò ÄÙ Ù Ð٠ع ÙÖ Ò ÐÙ ÒØÓ Òº ÅÓÒ Ø Ò Ò Ò Ñ Ø ¹ Ö Ð ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú ÓÒ Ñ ØØ ÐÐ ÐÙ ÒØÓ ÙÖ ÐÐ Ð ÑÙ
LisätiedotÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼
Å Ð Ë Ú Ð ÂÓ ÒØÓ Ð Ø ÓÖ Òº ØÖ ÙØ Ú Ø Ð Ø ÔÐÓÑ ØÝ ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ ÁÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ ÐÙÓÒÒÓÒØ
Lisätiedot{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.
Ä Ø ÓÓ Ø Ø º º Ä Ø ÓÓ Ø Ø Å Ø Ñ Ø ÓØ ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ù Ò ÓÙ Ó ÑÔÐ ØØ ÐÐ ÒÓØ Ø ÓÐÐ Ò ÙØ Ò {(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. À ÐÐ Ø Ö Ó Ú Ø Ú Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ØÓ ÐÐ Ò Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÒØ Ò Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ð Ø
Lisätiedotº A, B E A B E. A B = A B. A k E, k N k=0 A k E. p(b) = m N,
Ì Ð ØÓÑ Ø Ñ Ø Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÇÙÐÙ ÙÐØÝ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý Ú ÓÒ Ó Å Ø Ñ Ø Â ÒÙ ÖÝ ¾¼¼ ¾ ÔØ Ö ½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ø ½º½ Ë ØÙÒÒ Ó ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ò Ø Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ ØØ Ñ Ø Ñ ØØ Ñ Ò Ø Ð¹ Ñ ÙÚ Ñ Ò Ø Ø Ó Ø
LisätiedotPr(θ = 1)Pr(Y > y 0 θ = 1) Pr(θ = 1)Pr(Y > y 0 θ = 1)+Pr(θ = 0)Pr(Y > y 0 θ = 0) γ[1 F 1 (y 0 )] γ[1 F 1 (y 0 )]+(1 γ)[1 F 0 (y 0 )].
Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ò ÔØØ ÐÝ ¾ ½¼ ÓÔ ÖØÓ ÄÙÓÑ Ì Ð ØÓØ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý ¼½ Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ã ÚØ ¾¼½ Ã Ö ÐÐ ÙÙØØ ÖØ Û Ø ÂÓÐÐ ÂÓÒ ËØ Ø Ø Ð ÁÒ Ö Ò Ë ÓÒ Ø ÓÒ ÈÖ Ò¹ Ø À ÐÐ ¾¼¼¾ ÓÙÒ ËÑ Ø ÒØ Ð Ó ËØ Ø Ø Ð ÁÒ Ö Ò Ñ Ö
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð
Ý ÒØØ Ð Ø ÒÖ Ð Ø ÒØØ Ì Ò À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
LisätiedotËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
Lisätiedotº F(+,+ ) = 1 F(, ) = F(,y) = F(x, ) = 0 й
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ ¾ º½º À Ö Ö
Lisätiedotk(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x)
Ì ÊÅÇ ÁÂ ÍËËÁÆ ÈÊÇË ËËÁÌ Ê Ê ËËÁÇ Æ Ä ËÁËË Ã Ò Ø ÒØÝ Ç ÝÐ Ø ÒØØ À ÖÖ Ä Ñ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ À ÀÙØØÙÒ Ò ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓØ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ Ì ÊÅÇ ÁÂ Ù Ò ÔÖÓ Ø Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ã Ò Ø ÒØÝ
Lisätiedot0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx)
Å ÌȽ ¼ ËÝÑ ÓÐ Ò Ò Ð ÒØ ¾ ÓÔ ½ Ð Ø ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ Ø ÐØ ËÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒÒ Ò ÙÖ ÐÐ ÓÔ Ø Ò Ø ØÓ ÓÒ Ò ÝØØÑ Ø ÔÙÚÐ Ò Ò Ñ Ø Ñ ØØ ÓÒ ÐÑ Ò¹ Ö Ø Ù º ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÒØ Ô ÖÙ Ú ÐÑ Ù Ø ÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒØ Ò Ö Ó ØÙÒ Ò Å Ø Ñ ¹
Lisätiedot ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð
Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÒÒ ¹Ã Ð Ø ÐÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼  ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ
LisätiedotÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø
È ÀÌ Ä Ì Ê ÙÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ
LisätiedotÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø
ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ìº à ÖÚ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ½» ½½ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì
Lisätiedotλ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.
Šع¾º½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø ¾¼¼ ¹¼¾¹½¾ Ì Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ø Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÐÐ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Ä ÙÖ ÂÙ Ò Ã Ò ¼¼ È Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ
LisätiedotÀ ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ã Ö Ì ÑÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ
Lisätiedotà ÑÖ Ò ÙÙ Ò ÙÒØÓÐ Ò Ò ÓÖ ÓØ ÓÒ ÓÖ ÓÑ Ö Ò Ð Ò ÑÖÝØÝÑ Ò Ò ËÁË ÄÌ ËÁË ÄÌ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ ÌÙØ ÑÙ Ý ÝÑÝ ØÙØ ÐÑ Ò Ö ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÙÒØÓÐ Ò Ñ Ö Ò Ø ËÙÓÑ º º º º º º º º º º º º º
Lisätiedotº F(+,+ ) = 1 F(, ) = F(,y) = F(x, ) = 0 й
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
LisätiedotÌ Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ
Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ð Ò ½½º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼¾ ÂÝÚĐ ÝÐĐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº
LisätiedotN = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º
Å Ì ¾¾ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ã ¾¼½¼ ÌÑ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÙÖ ÐØ Ó ÐØ Ä ÃÙÖ ØÙÒ Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ Ò ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ò ÓØ ÒÒ ØØ ÐÙ Ñ Ð Ô ØÓ¹ ØÙ Ò Ð Ý ØÝ Ó Ø º Ë ÐØ ½º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ½º½º ÄÙ Ù Ö Ø ÐÑØ ½º¾º  ÓÐÐ ÙÙ ½º º Ð
Lisätiedotx 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n
ÇÈÌÁÅÇÁÆÆÁÆ È ÊÍËÌ Ì Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ¾ º ÝÝ ÙÙØ ¾¼¼ ¾ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ØÙØÙ ØÙØØ Ø Ú ÐÐ ÑÔ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ò ÝØØ Ò ÓÚ ÐÐÙØÙ º ÃÙÖ Ñ Ø Ö Ð ÒØÙÙ Ò Ð Ò Ö Ó Òº ÐÙ ÐÝ Ý Ø ÖÖ Ø Ò Ñ ØÖ Ð Ö Ø
LisätiedotM Pv + q = 0, M = EIκ = EIv, (EIv ) + Pv = q. v(x) = Asin kx + B cos kx + Cx + D + v p. P kr = π2 EI L n
ÄÙ Ù ½ ËØ Ð Ù Ú Ó Ó ÐÑ ½º½ ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ Ì Ô ÒÓ ÓØ Q v + q =, M = Q, ½º½µ ÑÑÓ ÐÐ ÙÚ ÐÐ M v + q =, M = EIκ = EIv, (EIv ) + v = q. ½º¾µ ½º µ ½º µ EI = Ú Ó ÆÙÖ Ù ÚÓ Ñ v (4) + k v = q EI, k = EI,
LisätiedotÇ Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç Å ÖØØ Ì Ò Ö ¾ º½º¾¼½½ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ
Lisätiedot½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¹ØÖ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÒØ Ñ Ð ÚÝÐÐ Â Ó Å ÐÚ Ö À Ð Ò ¾¾º½¼º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Lisätiedot2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. x1 = 2 x 2 = 5. 2 ( 2)+5 = = 3. 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f
Ä Ò Ö Ð Ö Á ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ ØØ Ø Ò Ø Ø Ò Ð ØÓ ¾¼½½ ÂÖÚ ÒÔ Ã Ö Ó ØØ ÒÙØ ÌÙÙÐ Ê Ô ØØ ¾ ½ Ä Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ½½ Ñ Ö µ Ê Ø Ý ØÐ 5x = 7 Ã ÖÖÓØ Ò Ý ØÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÙÚÙÐÐ 5 1 ÓÐÐÓ Ò Ò 5 1 5x = 5 1 7 Ð x =
Lisätiedot¾º C A {N A } K N A º A B N B
Ú ÒØ Ò ÐÐ ÒØ ØÓ ÒÒÙ Ø Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ó ÔÙÓÐ Ø ÚÓ Ú Ø Ó¹ Ô Ð Ø Ú Ñ Ø ØÓ ÒØ ØÓ Ò º ÌÐÐ Ò Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ð ØØÝÝ Ù ÑÔ Ò Ø ØÓØÙÖÚ ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ò ÑÑ ¹ Ò Ú Ò ÒÒ Ò Ù Ò Ú Ö Ò Ò Ò ØÓ Ñ ÒØ Ñ Ö Ø Ó
LisätiedotÌ ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÖÓ Æ Ñ Ð ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º
Šع¾º ½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø º½º¾¼¼ Ì Ø ÐÙÒ ÑÙÐÓ ÒØ ÑÔÙÑ Ø ÖÚ Ò Ö Ø ÐÑ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ø Ó ÙÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Â ÒÒ Ä ØÓÒ Ò ¼¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ
LisätiedotÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½
Ê Ã ÆÆÍËÌ ÃÆÁËÌ Æ ÇÄÇ ÁËÌ Æ Â ÁÄÅ ËÌÇÄÄÁËÌ Æ Ì ÃÁ Á Æ Î ÁÃÍÌÍË ËÍÆÌÇÂ Æ ËÁË ÁÄÅ Æ Ê ÇÆÈÁÌÇÁËÍÍÌ Æ ÌÓÔ Ã ÒÒÙÒ Ò Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ
LisätiedotË Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Ò ÝÚÝÝ Ð ÒØ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ
LisätiedotÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó
ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ì ÖÓ ÃÓ Ó Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÌÙÖÙÒ Ð ÓÔ ØÓ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ
Lisätiedotq(x) = T n (x, x 0 ) p(x) =
ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ ØÙÒ Ô Ø Ò x 0 ÝÑÔÖ ¹ Ø Ö ØØÚÒ Ð Ø Ð Ö ØØÚÒ ÑÓÒØ ÖØ Ø ÙÚ Ø µ Ö ÚÓ ØÙÚ ÅÖ Ø ÐÑ ÎÁÁ ½ ÙÒ Ø ÓÒ f : D f R D f R Ó ÓÒ
LisätiedotÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý
Ä Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÑ Ò Ò Ð Ñ Ô Ð Ò ÚÙÐÐ Î ÐÐ Ã ÒÒÙÒ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø
Lisätiedotx = [ x 1 x 2 x n (x i K) x = K (n) = {(x 1, x 2,...,x n ) : x i K} e 1 = (1, 0,..., 0) Ø, e 2 = (0, 1,..., 0) Ø,..., e n = (0, 0,...
¼¼ Ë Å ØÖ Ø ÓÖ Ì ÖÓ Î Ò ÙÓ Ù ¾º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ä Ò Ö Ð Ö ½º½ Å Ö ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ È ÖÙ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Å
LisätiedotÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º
ÂÓ ÒØÓ ½ ½ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ ÐÐ ØÙØÙ ØÙØ Ò Ô ÖÙ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ö ØÝ Ø Ñ Ø Ò ÖÓ ØÙØÙ Ø Ø Ð Ô ÖÙ Ø Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ø À ÐÐ ÓÐÐ ÓÒ Ô Ó Ó ÐÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø º ½ ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ
LisätiedotP(E i ) P( ) = 0. P(A A c ) = P(A)+P(A c ) = 1. P( ) = 1 P(Ω) = 0. P(E 1 E n ) = P(E 1 )+ +P(E n ). i=1. i=1
È Ò Ò ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ËÙÑÑ Ò Ò ½ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÖ ¾ ¾º½ Ë ØÙÒÒ ÙÙ ØÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÓÐÐ Ò
Lisätiedot½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1
½º º Àǹ ÇÊ ËÁ ù Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ à ÖÔ Ê Ò Ø Ö Ø Ð Ú Ø ÑÝ ÙÒ Ú Ö Ð Ò ÙØÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ú Ö Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ð Ø Ò q ØÙÒÒ Ø ÐÙ Ù ÓÙ Ó Ø Qº Q Ò ÐÙÚÙØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ô Ò Ò Ò Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÎÖÒ Ø ÑÝ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ
LisätiedotÌ ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ë ÎÇÄ ÁÆ Æ ÇÄÄÁ
LisätiedotË ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º
ÂÓ ÒØÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ØØ ÐÝÝÒ Ê¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ ÒÒ Ç Ö Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÐÓ ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º
LisätiedotÌ È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø
È ÚÓ È Ö Ò Ò Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÓØ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ
LisätiedotÌ ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò
ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÓØ Ò Ò Ó ÐÑ ØÓØ Ò µ ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ
LisätiedotÐ Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË Ì ÑÓ Ã ÖÚ º½¾º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË º½¾º¾¼¼ ½» Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ
LisätiedotÌ ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ̺ à ÖÚ ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ½» ½ Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò
LisätiedotÌ ÓÚ Ö ÓØ Ð Ò Ã ÐÐÙÒ Å Ø Ñ Ø Ò ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ À ØÓÖ ¾ Î Ö ÓØ ÓÖ ¾º½ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾
Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ÐÔ Ð Ú Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÑÓ ÙÐ ¹ Ö Ó ÒØ Ì ÑÓ ÌÙÓÑ Ò Ò À Ð Ò ½º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö Ø ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ
Lisätiedotx (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W =
Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ º Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø Ø Ð ÙÙ Ì ÐÙÚÙ Ø ÑÑ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ø Ô ÒÓÖ Ø Ù Ò Ø Ð ÙÙ Ø Ö Ø ÐÙ¹ ÒÝØ ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö ÐÙÖ Ý Ø Ñ ÐÐ Ô ÐÐ Ò ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò Ó Ó Ð Ø ÝÐ Ô Ò ÓÐ Ú ÐÙÖ º ÂÓ
LisätiedotËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ò ² Ö Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø
LisätiedotÈ ÌÀÇƹÇÀ ÄÅÇÁÆÆÁÆ ËÇÎ ÄÄÍÃËÁ Å ÌÊÁÁËÁÄ Ëà ÆÌ Æ ÌÁÄ ËÌÇÌÁ Ì Ë Æ Â ÆÍÅ ÊÁË Æ Å Ì Å ÌÁÁÃÃ Æ ÄÍÃÁÇÄ ÁËÁÄÄ Ì Ò Ï ÐÐ Ö ¹Ä Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Å ÖÖ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å
LisätiedotÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È
ÂÇÆÁ È ÀÄ Å ËÁÆÁÅ ÄÄÁÆÆÍÃË Æ È ÊÍËÌÍÎ ÅÍËÁÁÃÁÆ Ë ÆÌ ËÁ Ã Ò Ø ÒØÝ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ ÃÓÒ Ø ÃÓÔÔ Ò Ò ½½º ØÓÙ Ó ÙÙØ ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ
LisätiedotÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼
ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼ ÌÝ Ò Ó À ÒÒÙ Â ÓÐ ÌÝ Ò Ø ÒÓ Åº Å Ø Ð ÅÓÓ Ð ÑÓÒ ÙÐØØÙÙÖ Ò
LisätiedotA c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061
JORMA JOUTSENLAHTI Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä 1990-luvun pitkän matematiikan opiskelijoiden matemaattisen osaamisen ja uskomusten ilmentämänä AKATEEMINEN VÄITÖSKIRJA
LisätiedotÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú
ËÍÎÁ ÄÌÁÇ ÈÁÊÃ ÆÅ ÄÄ ¾¼¼ ¾¼¼ Ì È ÀÌÍÆ Á Æ ÄÁÁÃ ÆÆ ¹ ÇÆÆ ÌÌÇÅÍÍÃËÁ Æ Æ Ä ËÇÁÆÌÁ ËÎ ÊÃÃÇÂ Æ ÎÍÄÄ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø Ð ÓÔ ØÓÒÐ ØÓÖ Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ
LisätiedotReferenced. Object. StateSet. Node. Geode
ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ¹Ó Ø Ì ÑÓºÌÓ Ú Ò ÒØѺ Ùغ ÌÑ Ó ÙÑ ÒØØ ÓÒ ØÝ Ò Ø Ô Ú Ø ØÒ Ø ÖÔ Ò ÑÙ Òº ½ Ø ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ÇË µ ÓÒ ÇÔ Ò Ä Ò Ô Ö ÒÒ ØØÙ ¹ÙÓ Ö¹ ØÓ Ó ÓÒ Ú Ô Ø Ø Ú Ó ØÓ Ñ ÑÓÒ ÝÑÔÖ Ø º ÇË Ó¹ ÙÑ ÒØÓ ØÙ ÓÜÝ Ò¹Ó Ñ ØÓÒ
LisätiedotAktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
ÇÐÐ ¹È ÀÙÓÚ Ð Ò Ò Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
LisätiedotÌ Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò
Å ÈÙÐ Ò Ò ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÓØ Ò Ò Ò Ø ÒØÙØ ÐÑ ¾ º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù
LisätiedotHajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
È Ä Ø Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
LisätiedotÀ ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÈÓÐÙÒ Ø ÒØ Ù Ò ÒØ Ò ÝÑÔÖ Ø Ô Ð È Ä ÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ ÄÙùØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
LisätiedotT 2. f T (x)e i2π k T x dx. c k e i2π k T x = x dx. c k e i2π k T x = k Z. f T (x) =
º ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÙÖÖ Ò ÒØÖÐ Ð Ù ¹ ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(x) PC(R) º½ ÓÙÖÖ¹ Ò ÐÝÝ º ÒÐ Òµ ÅÖ Ø ÐÐÒ T ¹ ÓÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f T (x) = f(x), T 2 < x < T 2, ÃÓÑÔÐ Ò Ò ÓÙÖÖ¹ÖÖÓ Ò c k = 1 T T 2 T 2 f T (x)e i2π k T x dx.
Lisätiedotarvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos
hyväksymispäivä arvosana arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki 12.4.2007 HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET
LisätiedotÌ Ú Ø Ñ Ò Ó ÔÓÒ ÒØØ Ò Ô Ö Ò Ø ¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ò ÓÚ Ù Ó Ó ÙÓ ÙÙ ¹ Ò ØÓÓÒº Ì ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ñ ÂÝÚ ÝÒ Ý ÓÔ ØÓ ½º Ó ÙÙØ ¾¼¼ º Ë ÚÙ ½ Ø º Ì ¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ò Ý Ó
ÔÓÒ ÒØØ Ò Ô Ö Ò Ø ¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ò ÓÚ Ù Ó Ó ÙÓ ÙÙ Ò ØÓÓÒ Ò Ó Ì ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ñ ÂÝÚ ÝÒ Ý ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø ØÓØ Ø Ò ØÓ ½º Ó ÙÙØ ¾¼¼ Ì Ú Ø Ñ Ò Ó ÔÓÒ ÒØØ Ò Ô Ö Ò Ø ¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ò ÓÚ Ù Ó Ó ÙÓ ÙÙ ¹ Ò ØÓÓÒº Ì
LisätiedotÌ ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ØÙÖÚ ÐÐ ÙÙ ØØ Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ø Ø Ó ÐÐ ÑÖØÒ ÓÖ ¹ Ò Ø Ó
Lisätiedot(AB) ij = p. k=1 a ikb kj. AA 1 = A 1 A = I.
Ð ÙÓ ÙÖ Ø Å˹ ½ ¼ ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ A A = 0 0 2 0 0 2 ÐØÓ Ð ÓÔ ØÓ È ÖÙ Ø Ø Ò ÃÓÖ ÓÙÐÙ Å Ø Ñ Ø Ò ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼½ ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ ÙÙ ÐÐ Ò Ý ÝÐÐ ¾¼½
LisätiedotÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ
ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÀÁ Ì ÊÁÆÌ Ä ËËÁ ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½¼ º Ð Ø º ËÓÚ ÐÐ
Lisätiedot(xy)z = x(yz) λx = xλ = x.
ÄÙ Ù ½ ÐÙ ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ ÝØ ØØÚ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Ø ØÓ Ò ØØ Ðݹ Ø Ø Ò Ð ØÓ Ò ÓÔ ÒØÓ ÓÐÐ ÙØÓÑ Ø Øº ÅÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÖ Ú Ò Ð Ø Ò Åº º À ÖÖ ÓÒ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÖÑ Ð Ä Ò Ù Ì ÓÖݺ ÓÒ¹Ï Ð Ý ½ º º º
Lisätiedot284 = º Î Ø Ú Ø. A = kanta korkeus. A 1/2suunn = kanta+kanta 2
ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓØ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ ÒÓ¹Ã Ö Ò ½ Å Ø Ñ Ø Ò Ý Ò Ð ØÓ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÈÝØ ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ ÈÝØ ÓÖ
LisätiedotSimulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
Ë ÑÓ À Ð Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¼º
Lisätiedot