x α 1... x (v ṽ)φdx = 0
|
|
- Kaarina Härkönen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ÔØ ÐÐ ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ì ÑÙ ÅÙ ØÓÒ Ò ½ ½ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ñ Ø Ø Ø Ò Ø ÙÒØ Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾
2 Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ Ø ¾ ¾º½ À Ð Öع Ú ÖÙÙ Ø L 2 () H 1 () º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÔÝ ØÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÓ Ò Ø Ò ÐÐ ÔØ Ø Ý ØÐ Ø º½ À Ó Ö Ø Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ À ÓÒ Ö Ø ÙÒ Ý ØØ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ½ º½ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ Ý ÙÐÓØØ Ø Ô Ù º º º º º º º ½ º¾ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÙÐÓØØ Ø Ô Ù º º º º º º º ¾¾ º Ê Ø ÙÒ ÖÚ Ó ÒÒ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ØÐ Ò Aξ = b Ö Ø Ñ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º P 1 ¹ P 2 ¹ Ð Ñ ÒØØ Ò Ú ÖØ ÐÙ º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÆÙÑ Ö Ø Ø Ö Ø ÐÙ º½ Ê ÙÒ ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÐÐ ÔØ Ò Ò Ý ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º ËÓÚ ÐÐ ØÙØ Ø Ô Ù Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ô Ø ÙÚ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ó ÐÑÓ Ñ Ò Ò
3 ½ ÂÓ ÒØÓ Í Ò ÐÙÓÒÒÓÒ ÐÑ Ò ÝØØÝØÝÑ Ø ÚÓ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ó ØØ Ö¹ ÒØ Ð Ý ØÐ Ò ÚÙÐÐ º ÃÙÒ ÐÑ Ø ØÙØ Ø Ò Ó Ò Ø ØÝ ÐÙ ÓÒ ÐÙÓÒØ Ú ÔÓ Ø ÑÝ Ñ Ø Ø Ô ØÙÙ Ý Ò ÐÙ Ò Ö ÙÒ ÐÐ º ÌÓ ¹ Ò Ò ÐÐ ØØ Ú ÐÐ Ø Ó Ò Ú ÓØ Ð ØÓ Ò Ò Ø Ð ÑÙÙØØÙÙ Ö ÙÒ ÐÐ ÓÒ Ò ÐÙÓÒÒÓÒÐ Ò ÑÙ Òº Ñ Ö Ò Ö ÐÑÔ Ò ÔÔ Ð Ò Óй Ð Ó ØÙ ÐÑÔ Ø Ð ÔÝÖ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ô ÒØ Ò ÑÙ Ò Ø Ó ØØÙÑ Ò ÔÔ Ð Ò ÚÐ Ò Ò ÐÑÔ ÚÙÓÒ ÙÙÒØ ÓÒ ÙÙÑ ÑÑ Ø ÔÔ Ð Ø Ú Ð ÑÔÒº ÌØ ÑÙ Ø Ú Ø Ú ÐÑ Ø ÚÓ Ò ÙÚ Ø Ö Ð ÐÐ Ö ÙÒ Ó ÐÐ º ÌÐÐ Ø Ð ÒØ Ø Ó Ý Ø Ñ Ò ÝØØÝØÝÑ Ò Ú ÙØØ Ú Ø Ø Ø Ø ¹ ØÒ ÐÙ Ò ÐÐ ØØ Ö ÙÒ ÐÐ ÙØ ÙØ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ö ÙÒ ¹ ÖÚÓ¹ ÓÒ ÐÑ º Ö ØÓØ Ò Ó ØØ Ö ÒØ Ð ÓÒ ÐÑ ÙØ ÙØ Ò Ø Ð ÒØ Ø Ó ¹ ÐÙ Ò ÐÐ Ý Ø Ñ Ò ÝØØÝØÝÑ Ò ÑÖ ØØ Ð Ó Ò Ó ØØ Ö ÒØ ¹ Ð Ý ØÐ º ÌÝ Ò Ú Ñ ÔÔ Ð ØÙØ Ø Ò Ö Ð Ö ÙÒ ØÓ ØÓ Ò Ø Ò ÐÐ ÔØ Ò Ó ØØ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ô Ö Ñ ØÖ º À Ú ÒØÓ Ú ÖÖ Ø Ò ØÙÒÒ ØØÙ Ò ÐÙÓÒÒÓÒÐ Ò ÐÚ Ø ØÒ Ñ Ò Ð Ý Ð¹ ÓÒ ÐÑ ÚÓ Ò Ñ ÐÐ ÒØ ÐÐ ÔØ Ò Ý ØÐ Ò ÚÙÐÐ º ÄÓÔÙ Ö Ø Ø Ò Ö ÓÒ ÐÑ Ó ÚÓ Ò Ø ÐÐ ÑÝ ÐÐ ÔØ Òº ÃÓ Ó ØØ Ö ÒØ Ð ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÓÒ Ð Ò Ñ ÓØÓÒØ Ð ÝØ Ò ¹ ÐÝÝØØ Ò Ò Ö Ø Ù Ò Ò Ö Ø Ñ ÓÒ Ø ØØÝ ÒÙÑ Ö Ñ Ò Ø ÐÑ º Ì ØÙØ ÐÑ Ø ÐØÚ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ Ö Ø Ù ÖÚ Ó Ò Ö Ø Ù ÐÐ ÓØ ÓÚ Ø Ô ÐÓ ØØ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÑÙÓØÓ º ÃÓ ØÐÐ Ø ÙÒ Ø ÓØ ÚØ ÓÐ Ö ÒØ Ó ØÙÚ Ô Ö ÒØ Ñ Ð Ø ÖÚ Ø Ò Ð ÑÔ Ú ÖÙÙ ¹ Ù Ò C k º Ò ÑÑ ÔÔ Ð Ø ÐÐÒ Ö Ø ÙÐÐ Ö ØØÚ À Ð Öع Ú ÖÙÙ H 1 º ÌÙØ ÑÙ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ ÐÙ ÐÐ ÓÒ ØÙÒØ ÑÙ Ø Ä ÕÙ ¹Ñ Ø ÐÐ Ø ÙÒ Ø Ó Ø Ó ØØ Ö ÒØ Ð Ý ØРغ ËÙÓ Ø ÐØ Ú ÓÐ ØØ ÐÐ ¹ Ø Ò Ð ÐÙ ÓÐ ÙÓÖ ØØ ÒÙØ ÙÑ Ä Ù ¹ÓÔ ÒÒÓØ Ñ Ø Ñ Ø Ø º ½
4 ¾ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ Ø Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ Ø Ú Ò Ö Ø Ù Ò ÐÙÓÒØ Ø Ó ØÙ Ò ÓÒ ÓÐ ÐÐ Ø ØÙØÙ ØÙ À Ð Öع Ú ÖÙÙ Òº Ì ØÙØ ÐÑ Ö Ø ÙØ ØÙÐ Ú Ø ÙÙÐÙÑ Ò Ú ÖÙÙØ Ò H 1 () Ó ÐØ Ø ÙÚ Ø ÙÒ Ø ÓØ Ó Ò Ø ÖÚ Ø Óй Ð ÚÐØØÑØØ Ð Øº Ä ØÝ Ø ÐÐÒ Ú Ò ÒÓÖÑ ¹ ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ ¹ ÓØ Ò ÝÐ ÑÔ Ò Ñ ØÖ Ò Ú ÖÙÙ Ò ÓÐ ÝÝØ ÝÚ ÒØݺ ÌÙØ ÐÑ R n ÙÚ ÚÓ ÒØ ÓÙ Ó ÓÒ Ö ÙÒ = Γ ÓÒ Ô ÐÓ ØØ Ò Ð º Å Ö ÒÒÐÐ = Γ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÐÙ Ò ÙÐ ÙÑ º ¾º½ À Ð Öع Ú ÖÙÙ Ø L 2 () H 1 () ÐÙ Ø ÐÐÒ Ä ÕÙ ¹Ñ Ø ÐÐ Ø Ò Ú ÖÙÙ Ø L p () L ()º ÃÝ ¹ Ø Ò Ú ÖÙÙ Ò Ø ÓÖ Ò ÚÓ ØÙØÙ ØÙ Ø Ö ÑÑ Ò Ñ Ö Ð Ø Ø ½½ º ÃÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ L p ÙÚ Ñ Ò Ä ÕÙ Ú ÖÙÙ Ò L p () ÒÓÖÑ º ÑÖ Ø ÐÑ ¾º½º º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º½º µ ÇÐ ÓÓÒ ÚÓ Ò ÓÙ Ó 1 p < º ÌÐÐ Ò L p () := {u : R Ù ÓÒ Ñ Ø ÐÐ Ò Ò, u L p 0}, Ñ ( 1/p u L p := u dµ) p. µ ÃÙÒ p = Ò Ò Ñ L () := {u : R Ù ÓÒ Ñ Ø ÐÐ Ò Ò, u L 0}, u L := sup u. ÀÙÓÑ ÙØÙ ¾º½º¾º Ú ÖÙÙ Ò L 2 () ÐØÑ ÙÒ Ø Ó Ø ÙØ ÙØ Ò Ò Ð Ò¹ Ø ÖÓ ØÙÚ Ú ÖÙÙ Ò L () ÙÒ Ø Ó Ø Ñ Ð Ò ÐÐ Ø ÙÚ º ÃÓ Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÑÙÓ Ó Ø Ú ÖÙÙ ÓÒ ÐØÑ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ð Ø ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÚ Ò Ò Ø Ó Ö Ú ØØ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º º ÇÐ ÓÓÒ k ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù u C k ()º ÃÙØ ÙØ Ò ÖÖÓ ÒØ α = (α 1,...,α n ) ÑÙÐØ ¹ Ò ÓÒ Ø ÓÒ α = α 1 + +α n = kº º¾ ¾
5 ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ u,v L 1 loc () α ÓÒ ÑÙÐØ ¹ Ò º ÌÐÐ Ò v ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ u αº Ó Ö Ú ØØ ÙÒ ÐÐ Ø Ø ÙÒ Ø Ó ÐÐ φ C c ÔØ ud α φdx = ( 1) α vφdx. Å Ö ØÒ Ó Ö Ú ØØ º ¾ ¾ v = D α u = α u x α 1... x α n. Â Ø Ó Ñ Ö ÒÒÐÐ u = ( 1 u, 2 u,..., n u) Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ u Ö ÒØØ Ó i u = u x i ÓÚ Ø Ó ØØ Ö Ú ØØÓ Ó Ñ Ð º Ä ÑÑ ¾º½º º À ÓÒ Ö Ú Ø Ò Ý ØØ ÝÝ µº ÙÒ Ø Ó u ÓÒ Ý Ø¹ Ø Ò Ò Ñ Ð Ò ÐРѺ ºµ Ñ Ð Ò αº Ó Ö Ú ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ º ¾ º ÌÓ ØÙ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ v,ṽ L 1 loc () ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ý ØÐ Ò ud α φdx = ( 1) α vφdx = ( 1) α ṽφdx ÐÐ φ C c º ÌÐÐ Ò ÐÐ φ C c ÙÒ v ṽ = 0 Ѻ º (v ṽ)φdx = 0 ÅÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ó Ò Ö Ú ØØÓ Ò Ú ÖÙÙ Ø ÓØ ØÙÒÒ Ø Ò ÑÝ ËÓ ÓÐ Ú¹ Ú ÖÙÙ Ò º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º º ËÓ ÓÐ Ú¹ Ú ÖÙÙ ÐØ ÐÓ Ð Ø ÙÑÑ ÙØÙÚ Ø ÙÒ Ø ÓØ u : R Ø Ò ØØ ÙÒ Ø ÓÒ u ÓØ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø D α u ÓÚ Ø ÓÐ Ñ Ó ÐÐ ÑÙÐØ ¹ Ò ÐÐ α Ú ÖÙ Ø ØØÙÒ α k ÙÙÐÙÚ Ø Ú ÖÙÙØ Ò L p ()º ËÓ ÓÐ Ú¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ö ØÒ W k,p (), Ñ 1 p ÓÒ ÒÒ Ø ØØÝ k > 0 ÓÒ Ó ÓÒ ÐÙ Ùº º ¾
6 Ñ Ö ¾º½º º ËÓ ÓÐ Ú¹ Ú ÖÙÙ Ó ÐØ Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ Ø p = 2µ ÙÒ Ø ÓØ Ó Ò Ò ÑÑ Ø ÓØ Ö Ú Ø Ø k = 1µ ÓÚ Ø ÑÝ Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ ÓÒ W 1,2 () := {u L 2 () : Du L 2 (),j = 1,...,n} ÁØ Ý Ò Ò ËÓ ÓÐ Ú¹ Ú ÖÙÙ ÓÒ Ø ÚÓ ØØ Ð Ñ ÑÑ À Ð ÖØ Ú ÖÙÙ H 1 ()º Ä Ó Ø Ö Ø ÐØ Ú ÓÒ ÐÑ ÓÒ ÒÒ ØØÙ Ö ÙÒ ØÓ Ö Ø ÙØ ÙÙÐÙÚ Ø Ú ÖÙÙØ Ò u = 0 ÙÒ x Γ, H 1 0 () := {u H1 () : u = 0 ÙÒ x Γ}. ÃÙÚ ½µ ÓÒ Ø ØØÝ Ö Ô ÐÓ ØØ Ò Ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó u H 1 (I) Ñ ¹ I =]0,5[º ÅÝ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ Ø Ú Ø Ö Ø ÙØ ÑÙÓ Ó ØÙÚ Ø Ô ÐÓ ØØ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÑÙÓØÓ Ø ÙÒ Ø Ó Ø ÙØ Ò Ñ Ö Ð Ò Ö Ø º Ä H 1 Ú ÖÙÙ Ò ÙÒ Ø ÓØ ÓÔ Ú Ø Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÒ Ö Ø Ù ÑÝ Ù ÑÑ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ô Ù º ÃÙÚ ½ ÙÒ Ø Ó u ÙÙÐÙÙ ÐÚ Ø Ú ÖÙÙØ Ò H 1 (I) ÐÐ ÑÝ Ò Ò Ñ¹ Ñ Ò Ò Ó Ö Ú ØØ Du ÓÒ Ò Ð ÒØ ÖÓ ØÙÚ º ÃÝ Ò ÙÖ Ú ÐÔ À Ð ÖØ Ú ÖÙÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ Ú ØØ Ú ØÙ¹ ÐÓ Ö Ø º ¹ º ÇÐ ÓÓÒ Ø Ó S Ö Ð ÖØÓ Ñ Ò Ò Ú ØÓÖ ¹ Ú ÖÙÙ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º º ÃÙÚ Ù Ø : X R + ÙØ ÙØ Ò ÒÓÖÑ Ó
7 µ u+v u + v ÐÐ u,v Xº µ λu = λ u ÐÐ u X,λ Rº µ u = 0 Ó Ú Ò Ó u = 0º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º º ÂÓÒÓ {u k } k N S ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓ Ó Ó Ø ε > 0 Ú Ø N N Ø Ò ØØ x k x l < ε ÐÐ k,l N. ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º½¼º ÂÓÒÓ {u k } k N S ÙÔÔ Ò Ó Ø Ð ÓØ u S Ó Ó Ø ε > 0 Ú Ø N N Ø Ò ØØ x k x < ε ÐÐ k N. ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º½½º Î ØÓÖ Ú ÖÙÙØØ Ó Ò Ò Ù ÝÒ ÓÒÓ ÙÔÔ Ò º S ÒÓØ Ò ØÝ ÐÐ Ó Ò ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º½¾º ÂÓ Ú ÖÙÙ ÒÓØ Ò Ò ¹ Ú ÖÙÙ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º½ º ÃÙÚ Ù Ø Ú ÖÙÙ S Ó S ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò ÒÓÖÑ Ø ØØÙ Ø ¹ (,) : S S R ÙØ ÙØ Ò ØÙÐÓ µ (u,v) = (v,u) ÐÐ u,v Hº µ u (u,v) ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÐÐ v Hº µ (u,u) 0 ÐÐ u Hº Úµ (u,u) = 0 u = 0º ÀÙÓÑ ÙØÙ ¾º½º½ º ÃÙÒ S = R n Ò Ò ØÙÐÓ Ú Ø Ú ØÓÖ Ò x,y R n Ô Ø ØÙÐÓ Ó Ø ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ (x,y) = x yº Ë ÙÖ Ù ¾º½º½ º Ë ØÙÐÓ Ò Ù Ó ÒÓÖÑ Ò u := (u,u) 1/2 ÌÓ ØÙ º Ç Ó Ø Ø Ò ØØ = (,) 1/2 ØÓØ ÙØØ ÑÖ Ø ÐÑÒ ¾º½º½ Ó Ø µ ¹ µº ÃÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ µ ØÓ µ ØÓØ ÙØÙÚ Ø ÐÚ Ø ÙÒ u,v R ÓØ Ò ÚÙÙØ Ø Ò Ò Ò ØÓ Ø Ñ Ò Ò ØÖ Ú Ð Ò º ÌÓ ÐØ ÓÐ ØÙ Ò ÒÓ ÐÐ u ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÓØ Ò ØÓ µ ØÓØ ÙØÙÙ ÐÚ Ø λu = (λu,λu) 1/2 = λ 2 (u,u) 1/2 = λ u, ÙÒ u S λ Rº
8 ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º½ º Ò ¹ Ú ÖÙÙØØ S Ú ÖÙ Ø ØØÙÒ ØÙÐÓÐÐ Ó Ò ÖÓ ÒÓÖÑ Ò ÙØ ÙØ Ò À Ð Öع Ú ÖÙÙ º Â Ø Ó Ñ Ö ÒÒÐÐ H Ø Ö Ó Ø Ø Ò À Ð Öع Ú ÖÙÙ ÝÐ Ø Ñ Ö Ò¹ Ò ÐÐ (,) H r H r Ú ÖÙÙ Ò H r ØÙÐÓ ÒÓÖÑ ÐÙ º Ñ Ö ¾º½º½ º ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ µ Ú ÖÙÙ L 2 () Ú ÖÙ Ø ØØÙÒ ØÙÐÓÐÐ (u,v) L 2 = uvdx ¾º½µ µ H 1 () Ú ÖÙ Ø ØØÙÒ ØÙÐÓÐÐ (u,v) H 1 = (uv + u v)dx ÓÚ Ø À Ð Öع Ú ÖÙÙ º Î Ø Ú Ø Ò Ò ÒÓÖÑ Ø ÓÚ Ø ( 1/2 µ u L 2 = u dx) 2, ( 1/2 µ u H 1 = ( u 2 + u )dx) 2. ¾º¾µ ¾º¾ ÔÝ ØÐ Ø ÌÓ Ø Ø Ò ÙÖ Ú Ù Ý¹ËÛ ÖÞ Ò ÈÓ Ò Ö Ò ÔÝ ØРغ Ä Ù ¾º¾º½º Ù Ý¹Ë Û ÖØÞ Ò ÔÝ ØÐ µº ÇÐ ÓÓÒ ÂÓ u,v S Ò Ò (u,v) u v. S ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ º ¾º µ ÌÓ ØÙ º ÃÓ 0 ( v u u v, v u u v) = 2 u 2 v 2 u v ((u,v)+(v,u)), Ò Ò 2 u v ((u,v) + (v,u))º Î Ø ÙÖ ÐÐ ÑÖ Ø ÐÑÒ ¾º½º½ Ó Ò µ ÒÓ ÐÐ (u,v) = (v,u)º ½¾ º Ä Ù ¾º¾º¾º ÈÓ Ò Ö Ò ÔÝ ØÐ ºµ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÐÙ Ò R n Ö ÙÒ ÓÒ Ô ÐÓ ØØ Ò Ð º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ K 0 Ø Ò ØØ ÔÝ ØÐ ÓÒ ÚÓ Ñ º v L 2 K v H 1 0 ÐÐ v H 1 0(). ¾º µ
9 ÌÓ ØÙ º ÔÝ ØÐ Ò ØÓ ØÙ ÒÓÙ ØØ Ð Ò Ò ¾ º¾ ¹¾ Ö Ò Ð ØÝÑ Ø Ô ½ º ¼¹ ½ º ÌÓ ØÙ ÝØ ØØÚ ÓÙ Ó C0 () ÐØ Ð Ø ÙÒ Ø ÓØ Ó Ò ÖÚÓ ÐÙ Ò Ö ÙÒ ÐÐ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÌÓ Ø Ø Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ ÙÒ ÐÙ ÓÒ n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò Ò ÝÔ Ö ÙÙØ Ó ÝÐ Ø ØÒ ØÙÐÓ ØÑÒ Ð Òº ÅÖ Ø ØÒ x = (x 1,x ) Ñ x = (x 2,...,x n ) ÒÝØ := {x = (x 1,x ) : 0 < x i < l,i = 1,2,...,n}, Ñ l > 0 ÙÚ ÙÙØ ÓÒ ÚÙÒ Ñ ØØ º ÃÓ C0 () ÓÒ Ø Ú ÖÙÙ H0 1 () ½ º ¾ Ò Ò ÔÝ ØÐ Ò ¾º µ ØÓ Ø Ñ ÚÓ Ò ÝØØ ÙÒ ¹ Ø Ó Ø v C0 ()º Å Ø Ò ÙÒ Ø Ó v : x v(x) ÚÓ Ò Ö Ó ØØ v(x 1,x ) = v(0,x )+ x1 0 x1 v(y,x )dy. ÆÝØ Ú ÖÙÙ Ò C0 () ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÚÙÓ Ö ÙÒ Ø ÖÑ Ú º Ì Ö Ø Ð¹ Ð Ò ÙÒ Ø ÓÒ v Ø ÖÚÓ x1 l v(x 1,x ) = 1 v(y,x )dy 1 v(y,x )dy. ¾º µ 0 ÐÐ Ò Ù Ý¹Ë Û ÖØÞ ÔÝ ØÐ Ø ¾º µ ÙÖ l ( l ) 1/2 ( l ) 1/2 1 1 v(y,x )dy 1dy 1 v(y,x ) 2 dy ( l 1/2 = l 1/2 1 v(y,x ) dy) 2. ¾º µ ØÑÐÐ ØÙÐÓ Ø ¾º µ ¾º µ Ò v(x 1,x ) 2 l 0 l v(y,x ) 2 dy. ¾º µ ÁÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ Ý ØÐ ¾º µ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÑÙÙØØÙ Ò x 1 Ù Ø Ò ÔÝ ØÐ ÓÒ ÑÙÓØÓ l 0 l v(x 1,x ) 2 dx 1 l 2 1 v(y,x ) 2 dy. ÁÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ ÐÐ Ò ÑÙÙØØÙ Ò x i x Ù Ø Ò Ò v(x) 2 dx l 2 1 v(x) 2 dx. 0
10 Ç ÒÔÙÓÐ Ø Ø ÖÑ ÚÓ Ò ÖÚ Ó ÐÐ Ò ÔÝ ØÐ ÐÐ 1 v v º ÇØ Ø Ò Ý ØÐ Ø Ú Ð Ò Ð ÙÙÖ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÓÐÐÓ Ò ( 1/2 ( v(x) dx) 2 l ) 1/2 v(x) 2 dx Î ÑÑ ÒÔÙÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ Ñ Ö Ò ¾º½º½ ÑÙ Ò ÙÒ Ø ÓÒ v Ó Ò¹ ÔÙÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ ÙÒ Ø ÓÒ v ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ L 2 ()º v L 2 l v L 2 ÐÐ v H0 1 (). ¾º µ Ä ÑÐÐ Ý ØÐ Ò ¾º µ Ó ÒÔÙÓÐ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ö Ð Ò v 2 ÔÝ ØÐ ÐÝÝ Ý ÓÒ Ø À Ð Öع Ú ÖÙÙ Ò H 1 () ÒÓÖÑ Ò ÑÓÒ Ò Ö¹ Ø º ÇÐ ÑÑ Ó Ó ØØ Ò Ø ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ M 0 Ø Ò ØØ v L 2 M v H 1 0 ÐÐ v H 1 0(). ¾º µ ÌÙÐÓ Ò ÝÐ ØÑ Ò Ò Ñ ÐÐ Ø Ò Ô ÐÓ ØØ Ò Ð Ö ÙÒ ÐÐ ÐÙ ÐÐ R n Ú Ø ÒÓÐÐ Ö ÙÒ ÓØ ÓÐÐ Ò Ö ÙÒ Ò Γ Ó ÐÐ Γ D ÓÒ (n 1)¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò Ò Ñ ØØ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ K 0 ÓÐÐ ÚÓ Ò ÓÖÚ Ø M Ý ØÐ Ø ¾º µ Ø Ò ØØ ÔÝ ØÐ ØÓØ ÙØÙÙº
11 ÌÓ Ò Ø Ò ÐÐ ÔØ Ø Ý ØÐ Ø Ã ÔÔ Ð Ø ÐÐÒ ÐÐ ÔØ Ò Ò ÓÒ ÐÑ Ú Ö Ø ÓÑÙÓØÓ ÐÙÒ ÚÙÐÐ Ø Ú Ò ÓÒ Ö Ø ÙÒ ÓÐ Ñ ÓÐÓ Ý ØØ ÝÝ º º½ À Ó Ö Ø Ù Ä Ò Ö Ø ØÓ Ò Ø Ò Ó ØØ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò ÝÐ Ò Ò ÑÙÓØÓ ÓÒ n Lu = c ik (x)u xi x k + i,k=1 n w i (x)u xi +b(x)u = f(x) i=1 º½µ ÃÓÖ ÑÑ Ò Ø Ò Ø ÖÑ Ú Ø Ñ ØÖ C = (c ik (x)). ÃÓ ÐÐ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ ÔØ u xi x k = u xk x i Ò Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÚÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ c ik (x) = c ki (x)º ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ñ ØÖ C ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Òº Ò ÑÑ Ò Ø Ò Ø ÖÑ Ú Ø ÔÙÓÐ Ø Ò Ú ØÓÖ w = (w i (x)), ÓÐÐÓ Ò ÝÐ Ò Ò ÑÙÓØÓ º½µ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Lu = (C u)+w u+bu = f º¾µ ÇÐ Ø Ø Ò Ø Ó ØØ ÓÔ Ö ØØÓÖ Ò L Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÐÐ i,j = 1,...,nº c ij,w i,b L f L 2 () ÅÖ Ø ÐÑ º½º½º ØÐ º¾µ ÓÒ ÐÐ ÔØ Ò Ò ÙÒ Ñ ØÖ C ÓÒ ÔÓ Ø Ú ¹ Ø Ò ØØ ½ º ¹½¼ º ÅÖ Ø ÐÑ º½º¾º Ê ÙÒ ¹ ÖÚÓ¹ÓÒ ÐÑ (E) Lu = f ÙÒ x, º µ u = g ÙÒ x Γ, º µ ÙØ ÙØ Ò ÐÐ ÔØ ÙÒ L ÓÒ ÑÙÓØÓ º¾µ Ñ ØÖ C ÓÒ ÑÖ Ø ÐÑÒ º½º½ ÑÙ Ò Òº
12 ÇÐ Ø Ø Ò ØØ u H 1 () Ð Ö Ø Ù ÚÓ ÓÐÐ Ö ÙÒ ÐÐ ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú ºµ ØÐ º µ ÑÖ ØØ Ð Ö Ø ÙÒ ÝØØÝØÝÑ Ò ÐÙ Ò ÐÐ Ý ØÐ º µ ÐÙ Ò Ö ÙÒ ÐÐ = Γº ÂÐ ÑÑ Ø ÙØ ÙØ Ò Ò Ö ÙÒ Ó º ÃÓ ÓÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò u H 1 () Ò Ò Ø ÓÐ ÑÖ Ø ÐØÝ Ö ÙÒ ÐÐ Γº ÌÑÒ ÚÙÓ ÒÓÒØ ÙÒ Ø Ó u ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ Ö ÙÒ ÐÐ Γ ÚÓ ÝØØ ÙØ Ò Ø Ô Ù u C( ) ÐÑ Ò Ò Ø Ö ÑÔ ØÙØ Ñ Ø º Ç Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú ØØ Ö ÙÒ ÓÐÐ º µ ÓÒ Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ñ Ú ÖÙ¹ Ù H 1 () Ú Ø Ò Ð ÓÔ Ö ØØÓÖ ØÖ ÓÔ Ö ØÓÖµ ÓÐÐÓ Ò ÐÐÑ Ò Ø¹ ØÙ ÒÓÒØ ÚÓ Ò ÝØغ ÅÙ Ø Ø Ò ÐÐ Ò ØØ ÐÙ ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ Ò Ö ÙÒ Γ ÓÒ Ô ÐÓ ØØ Ò Ø ÙÚ º Ä 1 p < º Ä Ù º½º º Ä ÒÒÙ Ð Ù µº Î Ð Ø Ò Ö Ó Ø ØØÙ ÚÓ Ò ÓÙ Ó Λ Ø Ò ØØ ÓÒ Ò ÓÑÔ Ø Ó ÓÙ Óº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ö Ó Ø ØØÙ Ð Ò Ö Ò Ò ÓÔ Ö ØØÓÖ Ø Ò ØØ ÐÐ H 1 () ÔØ λ : H 1 () H 1 (R n ) µ µ µ λu = u Ѻ º λu ÐÐ ÓÒ ØÓÔÓÐÓ Ò Òµ ÒØ Ú ÖÙÙ Λ λu H 1 (R n ) E λu H 1 () Ñ Ú Ó E Ö ÔÔÙÙ Ú Ò ÐÙ Ø Λº ÌÓ ØÙ º ÌÓ ØÙ ÓÐ ØÙØ ÐÑ Ò ÒÒ ÐØ ÓÐ ÐÐ Ò Ò ÓØ Ò ÚÙÙØ Ø Òº ÄÙ ÚÓ ØÙØÙ ØÙ ØÓ ØÙ Ò Ñ Ö Ö Ø º¾ ¹¾ º Ä Ù º½º º ÂÐ Ð Ù µº ÇÒ ÓÐ Ñ Ö Ó Ø ØØÙ Ð Ò Ö Ò Ò ÓÔ Ö ØØÓÖ Ø Ò ØØ γ : H 1 () L 2 (Γ) γu = u Γ u C( ) γu L p (Γ) C u H 1 (). ½¼
13 ÌÓ ØÙ º ÌÓ ØÙ Ò ÚÓ ØÙØÙ ØÙ Ñ Ö Ö Ò ½ º ¹ Ø Ú Ò Ò Ö Ø º¾ ¹¾ º ÂÐ Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ Ó ÐÐ Ø ÙÚ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ u H 1 () ÓÒ ÓÐ Ñ ¹ ÐÙ Ò Ö ÙÒ ÐÐ Ø ÙÚ Ð γuº Ë Ø Ò Ö Ð Ø Ö ÙÒ ÓØ ÚÓ Ò ÙÓÑ Ó Ú ÖÙÙ Ò H 1 () ÙÒ Ø Ó ÐÐ Ù Ò ÑÝ Ú ÖÙÙ Ò C( ) ÙÒ ¹ Ø Ó ÐÐ º ÃÍÎ ÅÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ñ ÐÐÓ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ ÒÓÐÐ º Ä Ù º½º º ÇÐ ÓÓÒ u H 1 () ØÐÐ Ò γu = 0 Ó Ú Ò Ó u H 1 0 (). ÌÓ ØÙ º ÌÓ ØÙ Ð ÝØÝÝ Ö Ø º¾ ¹¾ ½ º Ë ÙÖ Ú Ø ÐÐÒ Ö Ò Ò Ý ØРغ Æ ØÙÐ Ú Ø ÓÐ Ñ Ò ØÙØ ÐÑ Ò ÒÒ Ð¹ Ø ØÖ Ø ØÝ ÐÙ ÐÐ Ò ÒØ Ú Ø ÒÓÒ ÙÓÑ Ó ÒÒ ØÙ Ö ÙÒ ØÓ¹ º Ä Ù º½º º Ö Ò Ò Ý ØРصº ÇÐ ÓÓÒ u,v C 2 ( )º ÌÐÐ Ò µ vdx = v Γ ν dσ µ u vdx = v udx+ u vdσ Γ ν µ v u u vdx = Γ v u ν u v ν dσº ÌÓ ØÙ º ÃÓ Ø Ò µ ¹ µ ØÓ ØÙ Ø ÙÖ Ú Ø Ó ØØ ÒØ ÖÓ ÒØ Ý ØÐ Ø º ¾ u i vdx = v i udx+ vuν i dσ, Γ Ñ i = 1,...,nº ÌÓ Ø Ø Ò Ñ ÐÐ Ó Ø µº Î Ð Ø Ò i v = v u 1 ÓÐÐÓ Ò i 2 vdx = i vν i dσ, Ñ 2 i v = 2 v/ x 2 i º ØÐ µ Ò ÙÑÑ Ñ ÐÐ ÒØ Ö Ð Ø i = Γ ½½
14 1,...,n n ( i=1 ( n i=1 ) i 2 vdx = ) iv 2 dx = n ( i=1 vdx = Γ Γ Γ ) i vν i dσ ( n i vν )dσ i i=1 v ν dσ. ÃÓ Ø Ò µ µ ØÓ ØÙ Ò ÚÓ ØÙØÙ ØÙ Ñ Ö Ö Ø º ¾ º ÀÙÓÑ ÙØÙ º½º º ØÐ Ò µ ¹ µ Ö ÙÒ Ø ÖÑ v ν = v ν. Ñ Ö º½º º à ÖÖÓØ Ò Ý ØÐ º¾µ ÔÙÓÐ ØØ Ò Ø Ø ÙÒ Ø ÓÐÐ C () ÒØ ÖÓ Ò ÝÐ ÐÙ Ò ÓÐÐÓ Ò Ò ( (C u)v+(w u)v +ruv)dx = fvdx, v º µ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÑÝ Ö Ò Ò Ú Ö Ò Ý ØÐ µ Ó u = C uº ÃÝع ØÑÐÐ Ñ Ö ÒØ º µ u = ( u) Ò C u vdx = (C u)vdx+ (C u ν)vdσ º µ Ø ØÒ ØÙÐÓ Ø º µ º µ Ú Ð Ø Ñ ÐÐ v = 0 Ö ÙÒ ÐÐ Γ ÓÐÐÓ Ò Ý ØÐ º¾µ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Ú Ö Ø ÓÑÙÓ Ó ( v C u+(w u)v+ru)dx = fvdx. º µ Î Ð ÒÒ Ò v = 0 Ö ÙÒ ÐÐ ÙÖ Ù Ò Ý ØÐ º µ ÐÐ Ý ØÒ Ö ÙÒ Ø Ö¹ Ñ º ÖÚ Ó Ñ ÐÐ Ý Ø Ý ØÐ Ú ØØ Ò ØØ Ý Ø ÙÙÖÙÙ ÐÝ ÓÖ¹ Ú Ñ ÐÐ ÙÒ Ø Ó v Ñ ÐÐ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÐÐ v H0()º 1 Ø ÙÙÖÙÙ Ò ¹ ÐÝÑ Ò Ò Ú Ø ØØ ÑÝ ÙÒ Ø Ó u H0 1 () º¾ º ÂÓØØ Ö Ø Ù Ò ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ ÚÓ Ò Ð ÒØ Ú ÖÙÙØ Ò H 1 () Ø ÖÚ ¹ Ø Ò Ò ÑÑÒ Ø ØÓ º Ñ Ö º¾º ØÙÐÐ Ò Ó Ó ØØ Ñ Ò ØØ Ý ØÐ º µ ÙÓÑ Ó ÑÝ ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú Ø ÑÙÓØÓ º µ ÓÐ Ú Ø Ö ÙÒ Óغ Γ ½¾
15 ÅÖ Ø ÐÑ º½º º µ Å Ö ÒÒÐÐ a(u,v) Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ý ØÐ º¾µ ÑÖ Ø ÐÐÝÒ ÓÔ Ö ØØÓÖ Ò L Ð Ò Ö Ø ÑÙÓØÓ ÓÒ a(u,v) := ( v C u+(w u)v +ru)dx. µ ÙÒ Ø Ó u H 1 () ÓÒ ÓÒ ÐÑ Ò µ Ó Ö Ø Ù Ó a(u,v) = (f,v) L 2 ÐÐ v H 1 (). º¾ º¾ À ÓÒ Ö Ø ÙÒ Ý ØØ ÝÝ Ç Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú ØØ ÓÒ ÐÑ Ò µ Ó Ö Ø Ù ÓÒ Ý ØØ Ò Òº ÌØ Ú ÖØ Ò Ø ÖÚ Ø ÑÑ Ó Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò ÐÝÝ Ò ØÙÐÓ º ÇÐ ÓÓÒ S T Ö Ð Ò ¹ Ú ÖÙÙ º ÅÖ Ø ÐÑ º¾º½º ÃÙÚ Ù F : S T Ú ÖÙ Ø ØØÙÒ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÐÐ F(λu+µv) = λf(u)+µf(v) ÐÐ u,v X,λµ R ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÓÔ Ö ØØÓÖ º º ÅÖ Ø ÐÑ º¾º¾º ÇÔ Ö ØØÓÖ F ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ó º ¼ F(v) = v(f) ÐÐ v S,F T. ÅÖ Ø ÐÑ º¾º º Ä Ò Ö Ò Ò ÓÔ Ö ØØÓÖ F : S T ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ Ó ÓÒ ÓÐ Ñ η > 0 Ø Ò ØØ F(v) η v S º µ ¾ º¾ ÅÖ Ø ÐÑ º¾º º µ Ê Ó Ø ØØÙ Ð Ò Ö Ø ÓÔ Ö ØØÓÖ ÙØ ÙØ Ò Ö Ó Ø ØÙ Ð Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ð º F : S R µ Ú ÖÙÙ Ò S Ù Ð Ú ÖÙÙ S ÐØ Ú ÖÙÙ Ò S Ö Ó Ø ØÙØ Ð Ò Ö Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ð Øº º ½
16 ÅÖ Ø ÐÑ º¾º º ÃÝØ ØÒ Ú ÖÙÙ Ò S S Ô Ö ØÙ Ò Ñ Ö ÒØ, º ÆÝØ Ó v S F S Ò Ò Ø Ö Ó ØØ Ö Ð ÐÙ Ù F(v)º F,v ÇÐ ÓÓÒ H Ö Ð Ò Ò À Ð Öع Ú ÖÙÙ ÓÒ ØÙÐÓÐÐ ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ (,) ÒÓÖÑ º Ä Ù º¾º º Ê Þ Ò ØÝ Ð Ù µº ÂÓ Ø Ð ÓØ Ñ Ý ØØ Ò Ò Ð Ó u H Ø Ò ØØ F H Ó Ø ÓÒ ÓÐ ¹ F,v = (u,v) ÐÐ v H. º µ ÃÙÚ Ù F u ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÓÑÓÖ Ñ Ú ÖÙÙ Ø H Ú ÖÙÙØ Ò Hº ½ º º ÌÓ ØÙ º ÌÓ ØÙ ÚÙÙØ Ø Ò Ø ÖÔ ØØÓÑ Ò º ÄÙ ÚÓ ØÙØÙ ØÙ ÐÙØ ¹ Ò Ñ Ö ÐÔÓ Ø ÝÑÑÖÖ ØØÚÒ Ô Ø Ò Ò ØÓ ØÙ Ò º½¼¾¹ ½¼ º Ê Þ Ò ØÝ Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ú Ø Ú ÐÐ Ú ÖÙÙ Ò H ØÙÐÓÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ø Ò Ý Ð Ó u Ó ØÓØ ÙØØ Ý ØÐ Ò º µº Ñ Ö º¾º º Â Ø Ó ÝØ ØØÚ ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ ÝÐ Ò L 2 () Ú ÖÙ¹ Ù Ò ØÙÐÓ F,v = (f,v) L 2 = (v,f) L 2 = v,f, ÓØ Ò ÝØ ØÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ø Ó Ñ Ö ÒØ F,u Ó ÙÚ Ô Ö Ñ¹ Ñ Ò Ò ÝÑÑ ØÖ Ø ÐÙÓÒÒ ØØ º Ñ Ö º¾º º ÇÐ ÓÓÒ ÐÙ ÓÒ Ö ÙÒ Γ ÓÒ Ô ÐÓ ØØ Ò Ð º Ç Ó Ø Ø Ò ØØ u H 1 () ÓÒ Ó Ö Ø Ù ÓÒ ÐÑ ÐÐ (D) { Lu = f ÙÒ x, u = g ÙÒ x Γ, Ñ L ÙÚ ÐÐ ÔØ Ò ÓÔ Ö ØØÓÖ Ò ÝÐ Ø ÑÙÓØÓ º¾µº ÂÐ Ð Ù Ò º½º ÒÓ ÐÐ ÙÒ Ø Ó g ÓÒ Ö ÙÒ ÐÐ Γ ÓÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ u g H 1 () Ð º ÌÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó ũ = u u g ÙÙÐÙÙ Ú ÖÙÙØ Ò H0() 1 ÓÒ Ê Þ Ò ØÝ Ð Ù Ò º¾º ÒÓ ÐÐ Ö Ø Ù ÓÒ ÐÑ Ò ( D) { Lũ = f ÙÒ x, ũ = 0 ÙÒ x Γ, ½
17 Ñ f = f Lu g Ó ÙÙÐÙÙ Ú ÖÙÙ Ò H 1 0() Ù Ð Ú ÖÙÙØ Ò H 1 0 ()º ÇÒ ÐÑ Ò ( D) Ú Ö Ø ÓÑÙÓØÓ ÐÙ ÓÒ Ø u H 1 () Ø Ò ØØ a(u,h) = (f Lu g,v) L 2 ÐÐ v H 1 (). ½ º ¾ Ë ÙÖ Ú a : H H R ÓÒ Ð Ò Ö ÑÙÓØÓ Ó Ø ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ a(u,v) ÙØ Ò Ðк ÅÖ Ø ÐÑ º¾º º µ Ð Ò Ö ÑÙÓØÓ a ÒÓØ Ò ØÙÐÓ Ú ÖÙÙ H Ó a(v,v) > 0 ÐÐ v H. µ Ð Ò Ö ÑÙÓØÓ a ÓÒ Ø ÙÚ Ó ÓÒ ÓÐ Ñ α > 0 Ø Ò ØØ a(u,v) α u H v H ÐÐ u,v H. º½¼µ µ Ð Ò Ö ÑÙÓØÓ a ÒÓØ Ò Ó Ö Ú Ó Ö Ú µ Ó ÓÒ ÓÐ Ñ β > 0 Ø Ò ØØ β v 2 H a(v,v) ÐÐ v H. º½½µ º ¼ Ä Ù º¾º½¼º Ä Ü¹Å ÐÐ Ö Ñ Ò Ä Ù µº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ a ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ø ÙÚ Ó Ö Ú Ò Òº Ä ÙÒ F : H H R ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ Ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ò Ò u H Ø Ò ØØ Ä Ö Ø ÙÒ Ø Ð ÙÙ ÐÐ ÔØ a(u,v) = F,v ÐÐ v H. º½¾µ u H η β, Ñ ÐÙÚÙØ η β ÓÚ Ø ÙØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò Ø ÙÚÙÙ Ò º µ Ó Ö Ú ¹ ÙÙ Ò º½½µ ÑÖ Ø ÐÑ º ÌÓ ØÙ º ÃÓ Ð Ò Ö ÑÙÓØÓ a ÓÒ Ø ÙÚ Ó Ö Ú Ò Ò Ò Ù Ó ØÙÐÓÒ Ú ÖÙÙ H [u,v] = a(u,v), ÐÐ v H. ½
18 Ä Ý ØÐ Ò º½¼µ º½½µ ÒÓ ÐÐ β u 2 H [v,v] α v 2 H ÐÐ v H, ÓØ Ò ØÙÐÓÒ [,] Ò Ù Ó Ñ ÒÓÖÑ ÓÒ Ý Ø Ò Ú Ú ÖÙÙ Ò H ÒÓÖÑ Ò H Ò º Ä Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð F ÓÒ Ø ÙÚ ÑÝ ÙÙ ÐÐ ÒÓÖÑ ÐÐ º Ä ¹ Ê Þ Ò ØÝ Ð Ù Ò º¾º µ ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ò Ò Ð Ó w Ø Ò ØØ [w,v] = F,v ÐÐ v H. ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ð F ÓÒ Ñ Ö Ò º¾º µ ÑÙ Ò Ò Ò Ò a(w,v) = (f,v) L 2 ÐÐ v H. ËØ Ð ÙÙ Ò Ó Ó ØØ Ñ Ú Ð Ø Ò u = v Ý ØÐ º½¾µ ÓÐÐÓ Ò Ý ØÐ ¹ Ò Ó Ö Ú ÙÙ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò Ø ÙÚÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÙÚÙØ Ó ÐÐ β v 2 H a(v,v) = F,v η v H ÐÐ v H Â Ú Ø ÙÖ º ¾ º¾ ¹¾ º¾ ¹¾ Ñ Ö º¾º½½º ÇÐ ÓÓÒ R 2 ÚÓ Ò ÐÙ ÓÐÐ ÓÒ Ô ÐÓ ØØ Ò Ð Ö ÙÒ Γº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÐÐ ÔØ Ø ÓÒ ÐÑ (M) { (C u)+w u+ru = f ÙÒ x, u = 0 ÙÒ x Γ, Ñ C,w,r L () f L 2 () ÓÚ Ø ÒÒ ØØÙ ÙÒ Ø Ó Ø º ÅÙ Ø Ø Ò ÑÝ ØØ r 0 C ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ 2 2¹ Ñ ØÖ º Ë Ø Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÙÚÙØ c M,c m Ó ÐÐ c M (c ik ) c 0 > 0 ÐÐ i,k = 1,2 Ѻ ºµ º½ µ ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò ÓÒ ÐÑ ÐРŵ Ú Ö Ø ÓÑÙÓØÓ Ò Ò ØÝ (V) Ø u H 1 0() Ø Ò ØØ a(u,v) = F,v Ñ Ñ Ö Ò º½º ÒÓ ÐÐ a(u,v) = ( v C u+(w u)v+ruv)dx, F,v = (f,v) L 2 = fvdx. ½
19 ÌÓ Ø Ø Ò ÙÖ Ú Ö Ø ÙÒ Ý ØØ ÝÝ ÓÒ ÐÑ ÐРεº ÀÙÓÑ Ø Ò Ø ØØ Ø ÖÑ Ò w ÙÖ Ù Ò Ð Ò Ö Ò Ò ÑÙÓØÓ a(u,v) ÓÐ ÝÑÑ ØÖ ¹ Ò Òº ÎÓ Ò Ù Ø Ò Ò Ó Ó ØØ ØØ ÓÒ ÐÑ ÐÐ (V) ÓÒ Ø Ø ÙÓÐ Ñ ØØ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù º º ÐÓ Ø Ø Ò Ó Ó ØØ Ñ ÐÐ ØØ Ð Ò Ö Ò Ò ÑÙÓØÓ a(u,v) ÓÒ Ø ÙÚ º ÌØ Ú ÖØ Ò ÓÒ ÑÙÓØÓ ÐØ Ú Ð Ò Ö Ò ÑÙÓ ÓÒ Ú Ñ Ø Ø ÖÑ Ø ÙÙ ÐÐ Òº ÃÓ ¹ (v 2 ) = 1 v v Ò Ò 2 (w v)v +rv 2 = (w 1 2 +r)v2 ÃÓ ÙÒ Ø ÓØ C,w r ÓÚ Ø Ö Ó Ø ØØ٠Ѻ º ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÙ Ù M > 0 Ø Ò ØØ a(v,v) = ( v C v +(w 1 2 +r)v2 dx M ( v 2 + v 2 )dx = M v 2 H, 0 1 Ñ M = max(c M,w 1 +r)º ÆÝØ Ù Ý¹Ë Û ÖÞ Ò ÔÝ ØÐ Ò ¾º µ 2 ÒÓ ÐÐ a(u,v) a(u,u) 1/2 a(v,v) 1/2 M u H 1 0 v H 1 0 Ð Ò Ö Ò ÑÙÓ ÓÒ Ø ÙÚÙÙ ØÓ ØÓØ ÙØÙÙ ÙÒ α = Mº Ä Ò Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò F Ø ÙÚÙÙ ÙÖ ÔÙÓÐ Ø Ò Ù Ý¹Ë Û ÖÞ Ò ¾º µ ÈÓ Ò Ö Ò ¾º µ ÔÝ ØÐ Ø F,v f L 2 v L 2 f L 2 v H 1 Â Ø ÙÚÙÙ ØÓ º¾º ÓÒ ØÓ Ø ØØÙ ÖÚÓÐÐ η = f L 2º ÌÓ Ø Ø Ò Ú Ð Ó Ö Ú ÙÙ º ÅÙÓØÓ ÐÐ Ò Ð Ò Ö Ò Ò ÑÙÓ ÓÒ Ú Ñ Ø Ø ÖÑ Ø ÙØ Ò Ð¹ Ð ÑÙ Ø Ø Ò ÙÓÑ Ó º½ µ ÓÐÐÓ Ò a(v,v) = ( v C v +(w 1 2 +r) v 2 )dx (c 0 v 2 +(w 1 2 +r) v 2 )dx β ( v 2 + v 2 )dx = β v 2 H, 0 1 Ñ β = min(c 0,w 1 +r)º Ä Ü¹Å Ð Ö Ñ Ò Ð Ù Ò º¾º½¼µ ÒÓ ÐÐ ÓÒ 2 ØÓ Ø ØØÙ ØØ ÓÒ ÐÑ Ò Îµ Ó Ö Ø Ù ÓÒ Ý ØØ Ò Òº ½¼ º ¾¹ º ¹ ¾ º ½¹ º ½
20 Ì Ò Ñ ÒÒ ØÝ ÓÒ Ó Ó Ø ØØÙ ØØ ÐÐ ÔØ ÐÐ ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ¹ Ý ØØ Ò Ò Ó Ö Ø Ù Ö Ð Ø Ò Ö ÙÒ Ó ÐÐ ÑÙÓØÓ u Γ = gµº ÌÝ ØÙÐÐ Ò ØÙØ Ñ Ò ÑÝ ÑÙÙÒÐ Ö ÙÒ ØÓ ÑÙØØ Ò ÐÐ ØÝ ÑÖÒ ÚÙÓ ØÓ Ø Ø Ý ØØ ÝÝØغ ÄÙ ÚÓ ÐÙØ Ò ØÙØÙ ¹ ØÙ Ö Ð Ø Ò Ö ÙÒ ØÓ Ò Ò ÐÝÝØØ Ò Ø Ö Ø ÐÙÙÒ Ñ Ö Ä Ö ÓÒ Ò Ì ÓÑ Ò Ö Ø ½¼ º Ë ÙÖ Ú ÔÔ Ð ÖÖÝØÒ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò ¹ Ø ÐÑÒ Ø Ö Ø ÐÙÙÒº ½
21 Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ Ì ÔÔ Ð Ø ÐÐÒ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ Å Ò Ø Ð Ñ ÒØ Å Ø¹ Ó µ ÐÐ ÔØ Ø Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÒÙÑ Ö Ö Ø Ñ Ø Ú º Ë Ô ÖÙ ØÙÙ Ø Ö¹ Ø ÐØ Ú Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ú Ö Ø ÓÑÙÓØÓ Ò ÓÐÐÓ Ò ÙØ Ö Ø ÙØ ÓÚ Ø ¹ Ó Ö Ø Ù º Å Ò Ø ÐÑ ÓÒ ÐÑ Ò Ð ØØÝÚØ ÐÙ Ø Ó Ø Ø Ò Ö ÐÐ Ò ÑÖ Ò Ð Ñ ÒØØ Ö Ø Ù ÖÚ Ó Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÑÙÓØÓ ÐÐ ÙÒ Ø Ó Ð¹ Ð Ó Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ðк ÌÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÓØ Ö Ø ÙØ ÑÙÓ Ó ØÙ¹ Ú Ø Ô ÐÓ ØØ Ò Ð Ø ÔÓÐÝÒÓÑ ÑÙÓØÓ Ø ÙÒ Ø Ó Ø Ð Ö Ø Ù Ò ÐÙØ Ò ÓÐ Ú Ò Ø ÙÚ ÓØ Ò Ö Ø Ù Ò ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ ÓÔ À Ð Öع Ú ÖÙÙ H 1 º Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ØØ Ð Ñ Ò Ò Ô ÖÙ ØÙÙ ÂÓ Ò ÓÒ Ò Ð ØÝÑ Ø Ô Òº ÐÙ Ø ÐÐÒ Ñ Ò Ø ÐÑÒ Ô ÖÙ Ý ÙÐÓØØ Ø Ô Ù Ñ Ò Ð Ò ÖÖÝØÒ Ñ Ò Ø ÐÑÒ Ø Ö ÑÔ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ò ÙÐÓØØ Ø ¹ Ô Ù º à ÔÔ Ð ÓÔ Ø Ø Ò ÑÝ Ù Ò Ö ÙÒ ¹ ÖÚÓ¹ÓÒ ÐÑ Ö Ø¹ Ø Ò ÒÙÑ Ö Ø Ö Ñ ¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ º º½ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ Ý ÙÐÓØØ Ø Ô Ù ÐÓ Ø Ø Ò Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ØØ Ð Ñ Ò Ò ØÙØ Ñ ÐÐ Ý Ñ Ò ÓÒ ¹ Ð Ø ÈÓ ÓÒ Ò ÓÒ ÐÑ (P) { u (x) = f(x) ÙÒ 0 < x < 1 u(0) = u(1) = 0. ÃÙØ Ò ÐÐ ÓÒ ØÓ ØØÙ Ú Ð ÒØ V(I) = H0 1 (I) ÓÒ Ö ØØÚ ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙ٠й Ð ÔØ Ø Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ó ÐÐ Ö Ø Ù ÐÐ º ÇÒ ÐÑ Ò (P) Ú Ö Ø ÓÑÙÓØÓ Ò Ò ØÝ ÓÒ Ø u H0(I) 1 Ø Ò ØØ a(u,v) = (f,v) L 2 ÐÐ v H 1 0(I). Ñ a(u,v) = u v dx = (u,v ) L 2. I ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ò Ò Ó ØÙ L h Ñ ÐÐ ÚÐ [0,1] Ó ÚÐ Ò 0 = x 0 < x 1 < < x M < x M+1 = 1. ÎÐ Ò I j = (x j 1,x j ) Ô ØÙÙ Ø ÓÚ Ø h j = x j x j 1 ÐÙ Ù h = maxh j ÚÓ Ò Ô Ø Ó ØÙ Ò ÒÓ Ó ÙÙ Ò Ñ ØØ Ò º ½
22 ÂÓ ÐÙØ Ò ØØ ÓÒ ÐÑ Ò (P) Ó Ö Ø Ù u ÑÙÓ Ó ØÙÙ Ò Ñ ÒÓÑ Ò Ð Ò Ö Ø ÙÒ Ø Ó Ø ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÚ Ú ÖÙÙ V h (I) := {v H 1 0 (I) : Ú ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÐÐ Ó ÚÐ ÐÐ I j} ÅÖ Ø ÐÐÒ Ð ÒØ ÙÒ Ø ÓØ ϕ j V h (I) j = 1,...,Mº Æ ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ó ØÙ Ò L h ÚÙÐÐ { 1 Ó i = j ϕ j (x i ) = 0 Ó i j ÙÒ Ø Ó v V h (I) ÚÓ Ò ÒÝØ ÑÙÓ Ó Ø ÒØ ÙÒ Ø Ó Ò Ð Ò Ö ÓÑ ¹ Ò Ø ÓÒ M v(x) = η i ϕ i (x), 0 x 1, i=1 Ñ η i = v(x i ) ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ v V h (I) ÖÚÓ Ô Ø x j j = 0,...,M+1º ÃÙÒ ÓÒ ÐÑ ÐÐ (P) ÐÙØ Ò Ô ÐÓ ØØ Ò Ð Ò Ö Ø ÙÒ Ø Ó Ø ÓÓ ØÙÚ Ö Ø Ù u h Ò Ò Ø Ú Ø Ú Ú Ö Ø Ó¹ÓÒ ÐÑ ÓÒ Ø u h V h (I) Ø Ò ØØ (u h,v ) L 2 = (f,v) L 2 ÐÐ v V h (I). º½µ ØÐ Ò º½µ ÑÙÓØÓ ÐÙ ÙØ ÙØ Ò Ð Ö Ò Ò Ñ Ò Ø ÐÑ º ÇÒ ÐÑ º½µ ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÑÝ ÑÙ ÐÐ Ú Ö Ø ÓÐ ÒØ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÐÐ Ñ Ò Ø ÐÑ Ð¹ Ð ÙØ Ò Ê ÝÐ ¹Ê ØÞ Ò Ø È ØÖÓÚ¹ Ð Ö Ò Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ½ º ÓØ ÚÙÙØ Ø Ò Ø ØÙØ ÐÑ º ÂÓ u h V h ØÓØ ÙØØ Ý ØÐ Ò º½µ Ò Ò (u h,ϕ j) L 2 = (f,ϕ j ) L 2 ÐÐ v V h. º¾µ ÅÖ ØØÑÐÐ ξ i = u h (x i ) ÚÓ Ò ÑÝ ÓÐÐ Ö Ø ÙÐÐ u h ÑÙÓ Ó Ø Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ó ØÝ ÓÐÐÓ Ò Ý ØÐ Ø º¾µ ÙÖ u h (x) = M ξ i ϕ i (x), i=1 º µ M ξ i (ϕ i (x),ϕ i (x) ) L 2 = (f,ϕ i (x)) L 2, j = 1,...,M. º µ i=1 ¾¼
23 ÃÓ º µ ÓÒ M Ò Ý ØÐ Ò M Ò ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ò Ð Ò Ö Ò Ò Ý Ø Ñ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Ñ ØÖ ÑÙÓ Ó Aξ = b. º µ ØÐ º µ A = (a ij ) ÓÒ M M¹Ñ ØÖ Ó ØÙÒÒ Ø Ò ØÓÖ ¹ ÐÐ Ø Ý Ø ÑÝ Ý ÝÝ Ñ ØÖ Ò Ò º Ø Ò Ñ ØÖ Üµº Ë Ò Ð ÓØ a ij = (ϕ i,ϕ j ) L2 Ö ÔÔÙÚ Ø Ú Ö Ø ÓÑÙÓØÓ Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ð Ò Ö Ø ÑÙÓ¹ Ó Ø a(u,v)º Ì ÖÑ Ø ξ = (ξ 1,...,ξ M ) b = (b 1,...,b M ) ÓÚ Ø M¹ Ú ØÓÖ Ø Ó Ø Ð ÑÑ Ø ÙØ ÙØ Ò ÙÓÖÑ Ú ØÓÖ Ò º ÐÓ Ú ¹ ØÓÖµ ÐÐ ÔØ b i = (f,ϕ i ) L 2º Ê Ø Ø Ò ÙÖ Ú Ñ ØÖ Ò A Ð Óغ ÃÓ Ó ÐÐ x [0,1] Ó Ó ϕ i Ø ϕ j ÓÒ ÒÓÐÐ Ò Ò (ϕ i,ϕ j ) = 0 ÙÒ i j > 1º A ÓÒ ØÖ ¹ ÓÒ Ð Ò Ò Ð Ò Ð Ó Ø Ú Ò ÓÒ Ð Ð ÓØ Ò Ð ÑÑØ ÓÒ Ð Ø ÚÓ Ú Ø ÖÓØ ÒÓÐÐ Ø º ÃÙÒ j = 1,...,M Ò Ò Ý ØÐ Ò ¾º½µ ÒÓ ÐÐ (ϕ j,ϕ j ) L 2 = xj 1 x j 1 h 2 j x+ xj +1 x j 1 h 2 j+1 x = 1 h j + 1 h j+1 ÃÙÒ j = 2,...,M (ϕ j,ϕ j 1) L 2 = (ϕ j 1,ϕ j) L 2 = xj x j 1 1 h 2 j x = 1 h j Î Ð Ø Ñ ÐÐ Ø ÚÐ Ò Ò Ó ØÙ h j = h = 1 Ý ØÐ º µ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ M ξ 1 b º º º 1 h º ºº º º º ºº º ºº º ºº 0 º º º º º ºº º ξ M = À Ú Ø Ò ØØ Ý ÝÝ Ñ ØÖ A ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ð Ò Ö Ò ÑÙÓ ÓÒ a ÐÙÓÒØ Ø Ó ØÙ Òº ÇÒ ÐÑ Ò Ó Ö Ø Ù Ò Ý ØÐ Ò º µ ÒÓ ÐÐ Ñ ØÖ Ò Ö Ø ÙÒ ξ Ð Ó Ø ξ i ÒØ ÙÒ Ø Ó Ò ÚÐ Ø Ô Ø ØÙÐÓ Ø º º b M ¾½
24 º¾ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÙÐÓØØ Ø Ô Ù ÃÓ ØÑÒ ØÙØ ÐÑ Ò Ø Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ ØØ ÒÙÑ Ö Ö Ø Ù Ò ¹ Ñ ÒÓÑ Ò ÙÐÓØØ ÐÐ Ø Ô Ù ÐÐ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ (P) Ø Ó Ð u = f, º µ u = 0 Ö ÙÒ ÐÐ Γ, º µ Ó ÓÒ R 2 Ò Ö Ó Ø ØØÙ Ó ÓÙ Ó ÓÒ Ö ÙÒ = Γº ØÐ Ò º µ Ú Ö Ø ÓÑÙÓØÓ ÓÒ Ö Ø ØÙ ÔÔ Ð Ø u H0 1 Ø Ò ØØ a(u,v) = (f,v) L 2, º µ Ñ a(u,v) = u vdx = ( u, v) L 2 Ì ØÙØ ÐÑ Ö Ó ØÙØ Ò ØÙØ Ñ Ò Ø Ð ÒØ Ø Ó ÓÒ ÐÑ Ò º µ Ö ÙÒ Γ ÓÒ ÑÓÒ ÙÐÑ Óº ÅÖ Ø ÐÑ º¾º½º ÂÓÙ ÓÒ Ó ØÙ T h = K 1,...,K m ÓÒ ÐÙÚ ÐÐ Ò Ò ÙÒ ÙÖ Ú Ø ÓØ µ ¹ µ ÓÚ Ø ÚÓ Ñ µ = K T h K = K 1 K 2 K m º µ ÂÓ K i K j ÐØ Ø ÑÐÐ Ò Ý Ò Ô Ø Ò Ò Ò ÐÐÓ Ò ÓÒ Ð Ñ ÒØØ Ò K i K j Ý Ø Ò Ò Ö Ô Ø º µ ÂÓ K i K j ÐØ Ù ÑÑ Ò Ù Ò Ý Ò Ô Ø Ò Ò Ò ÐÐÓ Ò ÓÒ Ð Ñ ÒØØ Ò K i K j Ý Ø Ò Ò Ö ÙÒ º ÃÓ Ñ Ø Ò ÑÓÒ ÙÐÑ Ó ÚÓ Ò ÓÐÑ Ó Ò K i Ø Ò ØØ ÑÖ Ø ÐÑÒ º¾º½ ÓØ ØÓØ ÙØÙÚ Ø Ò Ò ÓÐÑ Ó ÒØ ÓÒ ÐÙÚ ÐÐ Ò Ò Ó ØÙ º ÃÙ¹ Ú Ò ¾µ Ó ØÙ Ø µ µ ÓÚ Ø ÐÙÚ ÐÐ ÐÐ Ò ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÑÖ Ø ÐÑÒ º¾º½µ Óغ ÃÓÐÑ Ó ØÙ ÓÐ ÐÙÚ ÐÐ Ò Ò ÐÐ ØÝØ ØÓ µº ¾¾
25 µ µ µ ÃÙÚ ¾ µ µ ÙÚ 1 1 ¹Ò Ð ÐÐ ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ Ó ØÙ º µ Ó Ñ Ö ¹ÐÙÚ ÐÐ Ø Ó ØÙ Ø º Ç ØÙ Ò ÒÓ Ó ÙÙ Ò ÙÚ Ñ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ô Ö Ñ ØÖ ÙÐÓØØ Ø Ô Ù h ¹ h = max K T h Ñ(K), Ñ Ñ(K) ÓÒ Ó ØÙ Ò T h Ô Ò ÓÐÑ ÓÒ K ÚÙÒ Ñ ØØ º ÃÙÒ ÐÙ ÐÐ ÓÒ ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ Ó ØÙ T h Ú Ð Ø Ò Ñ Ò Ð ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ Ö Ø Ù ¹ ÐÙØ Ò ÔÔÖÓ ÑÓ Ò Ð Ñ ÒØ ØØ Òº ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò ÓÙ Ó P r (K) = {v : ÙÒ Ø ÓÒ v ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ø r K }, Ñ r = 1,2,... º Ú ÖÙÙ P r ÙÚ ÒÝØ Ò ÒØÒ r¹ Ø Ø Ò ÔÓÐݹ ÒÓÑ ÑÙÓØÓ Ø Ò Ö Ø Ù Ò ÓÙ Ó º Ì ØÙØ ÐÑ ØÝØÒ Ð Ò ¹ Ö Ò P 1 ¹ Ò Ð ÐÐ Ò P 2 ¹ Ú ÖÙÙ Òº ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ Ó ÐØ Ô ÐÓ ØØ Ò Ð ¹ Ò Ö Ø Ó Ø Ö ÚÓ ØÙÚ Ø ÙÒ Ø ÓØ ÓØ ØÓ Ú Ø Ö ÙÒ ÐÐ Γ V h = {v H 1 0() : v K P 1 (K), K T h } º µ Ë ÐÚ Ø V h H 1 0 ÓØ Ò ÓÒ ÐÑ Ò º µ Ú Ö Ø ÓÑÙÓØÓ º µ ÔØ Ð Ñ ÒØ K Ð Ñ ÒØØ ÑÙÓØÓ Ò Ò ÓÒ ÐÑ ÓÒ Ø u h V h Ø Ò ØØ a(u h,v) = (f,v) L 2 ÐÐ v V h. º½¼µ ØÐ º½¼µ Ó Ø ÐÐ Ò Ð Ò Ö Ò Ý ØÐ Ý Ø Ñ Ò ÙØ Ò Ý ÙÐÓع Ø Ø Ô Ù º ÅÖ Ø ÐÑ º¾º¾º Ä Ò Ö Ú ÖÙÙ Ò V ÒØ ÙÒ Ø Ó Ò ϕ j ÐÙ ÙÑÖ M ÙØ ÙØ Ò Ð Ò Ö Ú ÖÙÙ Ò V Ñ Ò Ó º ÃÝØ ØÒ Ò ÙÚ Ñ Ñ Ö ÒØ dimv = Mº ¾
26 à ÒØ ÙÒ Ø ÓØ ϕ j ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò ÙØ Ò Ý ÙÐÓØØ Ø Ô Ù { 1 ÙÒ i = j ϕ j (N i ) = 0 ÙÒ i j i,j = 1,...,M ÅÖ Ø ÐÑ º¾º º ËÓÐÑÙÔ Ø ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ø Ô Ø ØØ N i Ó ϕ j = 1º ÀÙÓÑ ÙØÙ º¾º º ËÓÐÑÙÔ Ø Ø Ö Ó Ø Ö Ô Ø Øغ ÃÙÚ µ ÓÒ ÓÐÑÙÔ Ø Ò N i Ú ÙØÙ ÐÙ ÐÐ ÓÒ ÙÙ ÑÙÙØ ÓÐÑÙÔ ¹ Ø Øغ Æ Ò Ô Ø Ò Ö Ñ ÙÐ ØØÙ ÐÙ ØØ ÙØ ÙØ Ò ϕ j Ò ÒØ ¹ ÙÔÔÓÖصº Æ Ñ ØÝ ØÙÐ Ø ØØ Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ Ô Ø ÐÐ ÒØ ¹ ÙÒ Ø Ó Ò ÚÐ Ø Ô Ø ØÙÐÓØ ÓÚ Ø ÒÓÐÐ ÓÐÐÓ Ò ÒØ ÙÒ Ø Ó ÒÝØØ Ø ÐØØ ¹ Ñ ÐØ Ý Ò Ò ÐÙ ÒØ ØØ Ø ÐØØ º ÃÙÚ Î ÑÑ ÐÐ Ô Ø Ò N i ÝÑÔÖ Ø ÓÐ Ú ÒØ Ó ÐÐ Ð Ò¹ Ö Ò Ò ÒØ ÙÒ Ø Ó ϕ i º ÙÒ Ø Ó v V h ÚÓ Ò ÐÐ Ò ØØ ÒØ ÙÒ Ø Ó Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò ¹ Ø ÓÒ M v(x) = η j ϕ j ÐÐ x, º½½µ j=1 Ñ η j = v(n j ) ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ v ÖÚÓ Ô Ø N j º Ä Ò Ö Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ø Ô Ù Ý Ò ÓÐÑ ÓÒ ÐÐ ÓÒ ÚÙÓÖÓÚ Ù¹ ØÙ ÓÐÑ ÒÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒØ ÒØ ÙÒ Ø ÓØ º Å Ö Ò¹ ÒÐÐ ψ = ϕ K Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó ØØÙÑ Ð Ñ ÒØØ Ò Kº Å Ø Ò Ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò ÙÚ Ø ÓÐÑ ÓÒ ÐÐ Ú ÙØØ Ú Ò ÒØ ÙÒ Ø Ó Ò Ö Ó ØØÙÑ Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ v(x) = 3 η j ψ j ÐÐ x K. j=1 ¾
27 Ë ÐÚ Ø ÙÒ Ø Ó v P 1 (K) ÓÒ Ý ØØ Ò Ò ÓÐÑ ÓÒ ÐÐ Ð ¹ ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ö Ø Ù ÐÝÝ Ø ÙÚ Ò Ý ÐÐ ÙÚ Ù ÐÐ º ÌÑÒ ÙÓÑ ÓÒ ÒÓ ÐÐ Ý ÝÝ Ñ ØÖ Ò A Ð Ñ Ò Ò ÐÔÓØØÙÙ ÙØ Ò ÔÔ Ð º ØÙÐÐ Ò ÙÓÑ Ñ Òº ÃÙÚ Ä Ò Ö Ò ÒØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó ØØÙÑ Ð Ñ ÒØØ Ò Kº ÂÓ Ö Ø Ù ÐÙØ Ò ÖÚ Ó Ò Ð ÐÐ ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ ØÐÐ Ò Ú Ø Ò Ò Ñ¹ ÑÒ ÓÐÑÙÔ Ø Ø Ù Ò Ð Ò Ö Ø Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó Ò Ø Ô Ù ÙØ Ò ÙÚ Ø µ Ò Òº ÌÙØ ÐÑ ØÝØ Ò Ñ ÐØ ÒØ ÙÒ Ø ÓØ ÒÝØØÚØ Ú Ò ÐÙ ÐÐ Ö ØØ Ú Ø ÓÐÑÙÔ Ø Ò ÑÖÒ Ú Ñ Ò Ò ÙÒ ÔÔÖÓ ÑÓ ÒÒ ÖÖÝØÒ ÓÖ ÑÑ Ò Ø Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÝØØ Òº µ µ ÃÙÚ ËÓÐÑÙÔ Ø Ò N i ÒØ ÙÒ Ø ÓØ P 2 Ð Ñ ÒØ ÐÐ º ÈÖÓÔÓ Ø Ó º¾º º Ð Ñ ÒØ Ú ØØ Ú Ò ÓÐÑÙÔ Ø Ò N i ÐÙ ÙÑÖ i = 1,...,m Ú Ø Ð Ò Ö Ú ÖÙÙ Ò P r Ñ Ò Ó m = dimp r = (r+1)(r +2). 2 ÄÙÚÙ Ø m ÝØ ØÒ Ó Ù Ø ØØ Ú Ô Ù Ø Ò ÐÙ ÙÑÖº ½ º ¾
28 ÅÖ Ø ÐÑ º¾º º ÂÓÙ Ó Σ = {ψ i } ÓÒ Ð Ñ ÒØØ Ò ÒØ ÙÒ Ø Ó Ò Ö ¹ Ó ØØÙÑ Ò ψ : P r R ÓÙ Óº ÅÖ Ø ÐÑ º¾º º Ö ÐÐ ÐÐ Ð Ñ ÒØ ÐÐ Ò Ø Ð Ñ Òص Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÓÐÑ Ó (K,P r,σ) ½ º ¼ º Ñ Ö º¾º º Ú ÖÙÙ Ò P 1 (K) ÐØÑØ ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ v(x,y) = c 0 +c 1 x+c 2 y, ÓØ Ò ÓÙ Ó Σ = {1,x,y} ÑÙÓ Ó Ø Ò ÒÒ Òº Ë ÐÚ Ø dimp 1 = 3º Î Ø Ú Ø Ú ÖÙÙ P 2 (K) ÐØ ÑÙÓØÓ v(x,y) = d 0 +d 1 x+d 2 y +d 3 xy +d 4 x 2 +d 5 y 2 ÓÐ Ú Ø ÙÒ Ø ÓØ ÓØ Ò Ò ÒÒ Ò ÑÙÓ Ó Ø ÓÙ Ó Σ = {1,x,y,xy,x 2,y 2 } dimp 2 = 6º ¾
29 º Ê Ø ÙÒ ÖÚ Ó ÒÒ Ø ÇÒ ÐÑ º µ Ö Ø Ø Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÐÐ Ð Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ Ý Ø Ñ ÙØ Ò ÔÔ Ð º½ Aξ = b. º½¾µ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ý ØÐ Ò º½¾µ Ö Ø ÙÒ Ý ØØ ÝÝØغ Ä Ù º º½º ÂÝ ÝÝ Ñ ØÖ A ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ Ó ÐÐ ÔØ Ò ÓÔ Ö ØØÓÖ Ò Ð Ò Ö Ò Ò ÑÙÓØÓ a(u,v) ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Òº ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ V h () Ú ÖÙÙ Ò H 1 (µ Ö ÐÐ ÙÐÓØØ Ò Ò Ó ¹ Ú ÖÙÙ ÓÒ ÒÒ Ò ÑÙÓ Ó Ø ÓÙ Ó {ϕ 1,ϕ 2...,ϕ M }º ÌÐÐ Ò Ñ Ø Ò ÙÒ Ø Ó v V h ÚÓ Ò ØØ ÐÐ Ò ÔÔ Ð Ò Ø ÚÓ Ò ÒØ ÙÒ Ø Ó Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ º½½µº ÆÝØ Ó Ö Ú ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ M M a(v,v) = a( η j ϕ j, η j ϕ j ) = i=1 j=1 M η i a(ϕ i,ϕ j )η j = η Aη v H 1, i,j=1 Ó v 0º Ä Ð Ò Ö Ò Ò ÑÙÓØÓ a(u,v) = ( v C u+(w u)v+ruv)dx ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ó w = 0 a(ϕ i,ϕ j ) = a(ϕ j,ϕ i )º º ÀÙÓÑ ÙØÙ º º¾º ÂÓ w 0 Ò Ò Ñ ØÖ A ÓÐ ÝÑÑ ØÖ Ò Òº ÌÑ ØØ ØÙÓØØ ÓÒ ÐÑ Ó Ù w mathbfc ÓÒ Ô Ò º ÇÐ Ø Ø Ò Ø Ó ØØ Ò Ò ÓÐ º Ë ÙÖ Ú Ð Ù V ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò Ú ÖÙÙ V h ÙØ Ò ÐÐ º µ T h ÓÒ ÐÙ Ò ÐÙÚ ÐÐ Ò Ò Ó ØÙ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÐÐ ÔØ Ø ÓÒ ÐÑ Ø u V() Ø Ò ØØ a(u,v) = (f,v) L 2 ÐÐ v V. º½ µ Ä ÑÑ º º º Ò Ð ÑÑ µº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ u V u h V h ÓÚ Ø ÑÓÐ ÑÑ Ø Ö Ø Ù ÓÒ ÐÑ Ò º½ µ ØÐÐ Ò Ñ v h T h º u u h H 1 α β u v h H 1, ¾
30 ÌÓ ØÙ º ÇÐ ØÙ Ò ÒÓ ÐÐ ÃÓ T h V Ò Ò ÐÚ Ø a(u,v) = (f,v) L 2 ÐÐ v V, a(u h,v) = (f,v) L 2 ÐÐ v T h. a(u u h,v) = 0 ÐÐ v T h. º½ µ ÇÐ ÓÓÒ v h T h Ó Ò Ø Ø ÙÒ Ø Óº ÌÐÐ Ò v = v h u h T h ÓØ Ò Ý ØÐ Ò º½ µ ÒÓ ÐÐ a(u u h,v h u h ) = 0 ÐÐ v T h. º½ µ Î Ø Ò ØÓ Ø ØØÙ ÝØØÑÐÐ Ð Ò Ö Ò ÑÙÓ ÓÒ Ó Ö Ú ÙÙ Ò º½½µ Ø ÙÚÙÙ Ò º½¼µ ÑÖ Ø ÐÑ Ý ØÐ º½ µ ÐÐ β u u h H 1 a(u u h,u u h ) = a(u u h,u v h )+a(u u h,v h u h ) α u u h H 1 u v h H 1. ½ º Ò Ð ÑÑ Ò ÒÓ ÐÐ Ø Ø ÙÒ Ø ÓÒ v ÐÙÓÒÒ Ø Ò Ú ÖÙÙ Ò P r Ø Ú ÙØØ Ö Ø ÙÒ Ú Ö Ò ÙÙÖÙÙØ Òº ÎÓ Ò Ù Ø Ò Ò Ó Ó ØØ ØØ Ö Ø Ù ÒÒ Ø ÖÚ Ó Ð Ò ÓÖ ¹ Ø ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ º ÌÖ Ñ¹ Ô ÓÒ ÑÙÓ Ó Ø Ö Ø ÙÒ ÝØØÝØÝÑ Ò ÒÒ ÐØ ÝÚ Ò ÙÙÒÒ Ø ÐØÙ Ó ¹ ØÙ º ¾
31 º ØÐ Ò Aξ = b Ö Ø Ñ Ò Ò ÂÝ ÝÝ Ñ ØÖ Ò A Ó Ó Ñ ÓÒ Ø ØØÝ ÓÐÑÙÐ Ø Ò Ò Ò º ÒÓ ¹ ÓÖ ÒØ ÔÔÖÓ µ Ð Ñ ÒØØ Ð Ø Ò Ò Ø Ô Ò º Ð Ñ ÒعÓÖ ÒØ ÔÔÖÓ¹ µº Ð Ñ ÒØØ Ð Ø Ò Ø Ú Ò ÝØØÑ Ò Ò ÓÒ Ð ÒÒ ÐÐ Ò ÒÓÔ ÙØ Ò ÚÙÓ ÙÓ Ø ÐØ Ú ÑÔ Ù Ò ÓÐÑÙÐ Ø Ò Ø Ú Ò ÝØØÑ Ò Òº Ì ØÝ Ø ÐÐÒ Ù Ø Ò Ò Ð ØÝØØÚÑÔ ÓÐÑÙÐ Ø Ò Ò Ø Ô º Å Ò Ø ÐÑ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò Ò Ò Ó ÐÐ Ó ØÙ Ò T h ÓÐÑ Ó ÒÒ ÐÐ K Ð Ñ ÒØØ Ò Ý ÝÝ Ñ ØÖ Ø A K Ò º Ð Ñ ÒØ Ø Ò Ñ ØÖ Ü ÓÖ Kµ Ó Ø ÓÓØ Ò ÐÓÔÙ Ý ÝÝ Ñ ØÖ Aº ÂÝ ÝÝ Ñ ØÖ Ò Ð Ó Ø Ù¹ ÙÖ Ò Ó ÓÒ 0 ÐÐ a K (ϕ i,ϕ j ) 0 Ú Ò Ó N i N j ÓÚ Ø Ñ Ò Ð Ñ ÒØ Ò ÓÐÑÙÔ Ø Øº ËÓÐÑÙÐ Ø Ò Ø Ú Ò ØÙÒ ÓÒ ØØ ÒÒ ÐÐ Ø Ò Ó ØÙ Ø Ò Ø Ô Ù Ø ÖÚ Ø Ð Ð Ó Ø a ij = a(ϕ i,ϕ j ) Ö Ò Ú Ò Ö ØØ Ö Ø Ø Ý Ò ÒØ ¹ ÐÙ Ò Ð ÓØ a K (ψ i,ψ j )º Ä Ò Ö Ø Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó Ò Ø Ô Ù ÓÐ Ñ Ö ÙÚ Ò ¾µ Ó¹ ØÙ Ø Ò A K ¹Ñ ØÖ Ø ÓÐ Ú Ø 3 3¹Ñ ØÖ ÐÐ P 1 ¹ Ð Ñ ÒØ Ø ÐØÚØ 3 ÓÐÑÙÔ Ø ØØ ÙØ Ò ÙÚ Ò µ Ø Ô Ù º ÌÐÐ Ò Ð Ñ ÒØ Ò ÐÐ ÓÐ Ú Ö Ø Ù Ö ÒØÙÙ Ò Ò Ô Ø Ò ÒØ ÙÒ Ø Ó Ø º ÂÝ ÝÝ Ñ ØÖ Ò Ð ÓØ a ij Ò ÙÑÑ Ñ ÐÐ Ö Ø ØÙØ Ð Ñ ÒØØ Ò Ý ÝÝ Ñ ØÖ Ò Ð ÓØ a(ϕ i,ϕ j ) = K T h a K (ϕ i,ϕ j ). º½ µ Å Ò Ø Ò ÓÐÑÙÔ Ø Ø N i N j N k ÑÙÓ Ó ØÙÚ Ò Ð Ò Ö Ò ÓÐÑ Ó Ð Ñ ÒØ Ò Ý ÝÝ Ñ ØÖ ÓÒ a K (ϕ i,ϕ i ) a K (ϕ i,ϕ j ) a K (ϕ i,ϕ k ) a K (ϕ j,ϕ i ) a K (ϕ j,ϕ j ) a K (ϕ j,ϕ k ). a K (ϕ k,ϕ i ) a K (ϕ k,ϕ j ) a K (ϕ k,ϕ k ) Å ØÖ Ý ØÐ Ò º½¾µ Ú ØÓÖ b ÓÓØ Ò Ô ÐÓ ØØ Ò ÙØ Ò Ñ ØÖ A Ò Ð ÓØ ÓÚ Ø b i = (f,ϕ i ) L 2 ÙÒ j = 1,...M. Ì ØÙØ ÐÑ ÖÖÓØ Ù Ò Ý ÝÝ Ñ ØÖ Ø ÓÓØ Òº ÄÙ ÚÓ ØÙØÙ ØÙ Ò Ñ Ö Ã Ù Ò Ø Ñ Ö Ò Ö Ó Ø º ¾
32 ÃÙÒ Ñ ØÖ A Ú ØÓÖ b ÓÚ Ø Ö Ø ØÙ Ø ØÓ ÓÒ Ò Ø ØÚ Ú ¹ ØÓÖ Ò ξ Ö Ø Ñ Ò Ò Ý ØÐ Ý Ø Ñ Ø º µº Ã Ö ÓÒ Ø ÐØÝ Ù Ò Ð Ñ ÒÓ ÒØ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÙÓÖ Ñ ØÓ Ö Ð Ñ Ò ÑÓ ÒØ ÑÙÓØÓ ¹ ÐÙÙÒ Ô ÖÙ ØÙÚ Ø ÖÓ ÒØ ÒÓ º ÃÙÚ µ ÓÒ Ø ØØÝ Ý ØÐ Ò º µ Ö Ø ¹ ÙØ ÙÒ Ø ÓÒ f Ö ÖÚÓ ÐÐ º µ f = 1 µ f = xy maxu = 0,074 maxu = 0,021 minu = 0 minu = 0 ÃÙÚ ÙÒ Ø ÓÒ f Ú ÙØÙ Ö Ø ÙÒ u h ÝØØÝØÝÑ Òº À Ú Ø Ò ØØ Ö Ø ÙÒ ÝØØÝØÝÑ Ò Ò Ý Ò Ð Ò ÐÐ Ö ÔÔÙÙ ÙÒ ¹ Ø Ó Ø fº ÐÐ ÔØ Ø Ò Ý ØÐ Ò Ø Ô Ù ÙÒ Ø Ó f ÙÚ Ò Ð Ø ÝÝØغ ¼
33 º P 1 ¹ P 2 ¹ Ð Ñ ÒØØ Ò Ú ÖØ ÐÙ ÇÐ ÑÑ Ú ÒÒ Ø ÑÑ Ò ØØ Ð Ñ ÒØØ Ò Ý ÝÝ Ñ ØÖ Ò ÓÓØ ÓÚ Ø P 1 ¹ Ð Ñ ÒØ ÐÐ 3 3 P 2 ¹ Ð Ñ ÒØ ÐÐ 6 6º ÌÐÐ Ò Ý ØØ Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ú Ø Ñ ØÝ ÑÖ ÓÒ P 2 ¹ Ð Ñ ÒØ ÐÐ Ò Ð Ò ÖØ Ò Ò P 1 ¹ Ð Ñ ÒØØ Ò Ò ¹ Òº Ð Ñ ÒØØ Ò Ý ÝÝ Ñ ØÖ Ø Ú Ø Ú Ø Ý ØÐ Ò º½ µ ÒÓ ÐÐ Ý ÝÝ ¹ Ñ ØÖ Ò Ð Ó Ø Ó Ò ÑÖ Ö ÔÔÙÙ ÒØ ÙÒ Ø Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ Øº ËÙÓ¹ Ö Ø Ø Ò ÙÖ Ú ÑÓÒ ØÖ Ø Ó ÓÐÐ ÖÚ Ó Ò ÒØ ÙÒ Ø Ó Ò ÐÙ Ùѹ ÖÒ ÚÙ Ó ØÙ Ò Ø Ý Ò ÙÙÖ Ø º ÑÓÒ ØÖ Ø Ó ÐÙ Ù n ÙÚ ÚÙ Ò Ó¹Ó Ò ÐÙ ÙÑÖº Ä ÖÓØ Ð¹ Ð Ò P 2 Ð Ñ ÒØ Ò ÓÐÑÙÔ Ø Ø ÐÙ Ò Ö ÙÒ ÐÐ ÓÐ Ú Ò Ö ÙÒ Ô Ø Ò ÐÙ Ò ÐÐ ÓÐ Ú Ò Ô Ø Òº ÃÙÚ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Ð Ø Ø ÐÑ º Î Ð Ø Ò Ð ÙØ Ð ÒØ ÙÚ Ò µ ÑÙ Ò Ò Ø ÐÑ º ÃÙÒ Ó Ø ÒÒ ØÒ Ò ÖØ µ Ú Ø Ò ØØ ÓÐÑ Ó Ò Ö ÙÒ Ô Ø Ò ÐÙ ÙÑÖØ r(n) Ò Ð Ò ÖØ ØÙÚ Øº ÃÙÚ ÍÙ Ø ÓÐÑ ÓØ ÑÙÓ Ó ØÙÚ Ø P 2 ¹ Ð Ñ ÒØØ Ò ÓÐÑÙÔ Ø Ò ÚÙй Ð º ½
34 ÃÙÚ Ò µ µ ÚÙÐÐ Ò Ò ØØ Ö Ô Ø Ò ÑÖ Ú Ø P 1 ¹ ÒØ ÙÒ Ø Ó Ò ÑÖ q 1 (n) Ò Ô Ø Ò Ý Ø ÑÖ Ú Ø P 2 ¹ ÒØ ÙÒ Ø Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ q 2 (n)º Ä Ú Ø Ò ØØ q 1 (n) = q 2 (n 1) ÙÒ n 2. º½ µ ÃÙÚ Ì Ò ÓØ Òº Â Ó Ø ÒÒ ØØ ÐÐ Ò Ò ÖØ ÙÓÑ Ø Ò ØØ Ô Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ s(n) ØÓØ ÙØØ Ý ØÐ Ò n 1 s(n) = 6 k +n. i=1 Æ Ò ØÙÐÓ Ø Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ø ÙÐÙ Ó ½µ Ñ q 2 1(n) = q 2 (n)/q 1 (n) ÙÚ P 1 P 2 ÒØ ÙÒ Ø Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ Ò Ù ØØ º n s(n) r(n) q 1 (n) q 2 (n) q 21 (n) ½ ½ ¾º¾ ¾ ¾ ¾º ¼ ½ ¾ ½ º¾ ½ ¾ ½ ¾ º ½ ¾ ½¼ º Ì ÙÐÙ Ó ½ Ç ØÙ Ò Ø ÒØÑ Ò Ú ÙØÙ ÒØ ÙÒ Ø Ó Ò ÐÙ ÙÑÖÒº Ì ÙÐÙ Ó Ø ½µ Ú Ø Ò ØØ ÒØ ÙÒ Ø Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ Ò Ù Ò q 21 Ð ØÝÝ ÐÙ Ù Ò Ð º ÃÓ Ý ÝÝ Ñ ØÖ ÓÓ ØÙÙ ÒØ ÙÒ Ø Ó Ò ÚÐ ¹ Ø ÓÔ ÖÓ ÒÒ Ø Ò Ò Ñ Ö M M¹Ñ ØÖ ÐÐ M 2 = q 2 i º Ë Ø Ò ÐÙ Ù q 2 21(n) ÙÚ Ñ ØÖ Ò Ó Ó Ò ÖÓ P 1 ¹ P 2 ¹ Ð Ñ ÒØ ÐÐ Ó ÐÐ ÓÒ Ñ ÒÐ Ø Ó Ø٠غ ¾
35 ÃÓ Ý ÝÝ Ñ ØÖ A ÓÒ Ù Ø Ò Ò ÖÚ ÚÓ Ò ÓÖÚ Ø Ò Ù ¹ Ñ ØÖ ÐÐ º ÌÑ Ø Ø ØÓ ÓÒ Ò ÑÙ Ø ÐÐ Ò Ø ÖÚ Ø ÑÙ Ø ÒÓÐÐ ¹ ÖÚÓ Ð Ó Ø Ø Ò ÐÙ Ù q21 2 (n) ÚÓ ÙÓÖ Ò ÝØØ Ú ØØ Ú Ò ØÝ ÑÖÒ ÖÚ Ó Ñ º ÌÓ Ñ ÒØ Ø Ô Ò ÚÓ ØÙØÙ ØÙ Ò ÑÑÒ ØÙØÙ ØÙÑ ÐÐ Ñ Ö Ö Ò º ¹ º Ò Ð ÑÑ Ò º º µ ÒÓ ÐÐ Ö Ø ÙÒ ÝÚÝÝØ Ò Ú ÙØØ Ú Ð ØØÙ ÙÒ ¹ Ø Ó Ú ÖÙÙ º Ë ÙÖ Ú ÑÓÒ ØÖ Ø Ó Ó Ó Ø Ø Ò ØØ P 1 ¹ Ð Ñ ÒØ ÐÐ Ú Ø Ò ÝÚ Ò Ô Ð ÓÒ Ø ÑÔ Ó ØÙ ÈÓ ÓÒ Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø ÙÙÒ Ù Ò P 2 ¹ Ð Ñ ÒØ ÐÐ ÐÐ ÔÔÖÓ ÑÓ Ú Ø Ö Ø Ù Ô Ö ÑÑ Òº µ P 1 µ P 2 maxu = maxu = ÃÙÚ ½¼ ÈÓ ÓÒ Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø ÙØ ÙÒ f(x,y) = 1 ÙÒ n = 5º ÃÙØ Ò ÙÚ Ø ½¼µ ÚÓ Ò Ú Ø Ö Ø Ù Ò Ø Ö ÙÙ ÓÒ ÙÙÖ ÖÓº P 1 Ð Ñ ÒØ ÐÐ ÚÙØ Ø Ò ÙÚ Ò P 2 Ð Ñ ÒØØ Ú Ø Ú Ø Ö ÙÙ ÙÒ n = 40º ÃÝØØÑÐÐ P 2 Ð Ñ ÒØØ Ö Ø Ù Ð ØÝÝ ÙÓÑ ØØ Ú Ø ÒÓÔ ÑÑ Ò ØÓ ÐÐ Ø ÖÚÓ º Ä ÒÒ ÐÐ Ò Ò ØÝ ÑÖ ØØ Ò ÓÐÐ Ô Ò ÑÔ P 2 ¹ Ð Ñ ÒØ ÐÐ º Ì ÙÐÙ Ó ¾µ ÓÒ Ø ØØÝ ÈÓ ÓÒ Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø ¹ ÙØ Ö Ð ÐÐ ÐÙÚÙÒ n ÖÚÓ ÐÐ º
36 Ò max P1 u h max P2 u h ¾ ¼º¼ ¾ ¼º¼ ¼º¼ ¼º¼ ½¼ ¼º¼ ¼ ¼º¼ ¾¼ ¼º¼ ¼º¼ ¼ ¼º¼ ¼º¼ ¼ ¼º¼ ¼º¼ ½¼¼ ¼º¼ ¼º¼ Ì ÙÐÙ Ó ¾ Ç ØÙ Ò Ø ÒØÑ Ò Ú ÙØÙ Ö Ø ÙÙÒº
37 ÆÙÑ Ö Ø Ø Ö Ø ÐÙ Ã ÔÔ Ð ØÙØÙ ØÙØ Ò Ñ Ö Ò ÚÙÐÐ Ö Ð Ò Ö ÙÒ ØÓ Ò Ò¹ Ò Ø Ò Ø ÐØÚÒ ÐÐ ÔØ Ò ÓÔ Ö ØØÓÖ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ Ý Ð Ø Ñ Ö ØÝ ¹ غ ÄÓÔÙ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò Ö Ø Ø Ò Ý Ð Ø ÓÒ ÐÑ ÓØ ÓÚ Ø ÐÐ ÔØ º º½ Ê ÙÒ ÓØ Ì Ð ÔÔ Ð ØÙØ Ø Ò ÈÓ ÓÒ Ò Ý ØÐ u = 1 º½µ u+ u ν = h ÙÒ u Γ Ý Ò Ð Ö Ð Ø Ò Ö ÙÒ ØÓ Ò Ò º Æ Ñ ØÒ Ò Ð Ò Ö ÙÒ Ø Ø Ò ØØ Γ 1 Ø Ö Ó ØØ Ò Ð Ö ÙÒ Γ 2 ÑÙ Ø Ö ÙÒÓ º ÌÙØ ØØ Ú Ò ÐÙ Ò Ö ÙÒ ÓÒ Γ = Γ 1 Γ 2 º ÈÓ ÓÒ Ò Ý ØÐ Ò Ó ÑÙÓØÓ ÓÒ Ñ Ö Ò º½º Ö Ó Ø Ô Ù Ø u h H 1 () º º a(u h,v) = F,v ÐÐ v H 1 ()., º¾µ Ñ a(u h,v) = v udx, F,v = fvdx+ (h u)dσ. Γ 2 ÅÖ Ø ÐÑ º½º½º Ö Ð Ø Ö ÙÒ Ó ÙØ ÙØ Ò ØÓ Ó Ö Ø ÙÒ ÙÙÖÙÙ ÓÒ ÑÖØØÝ ÐÙ Ò Ö ÙÒ ÐÐ º Ñ Ö º½º¾º ÓØ u = h(x,y) ÙÒ u Γ 1, u = 0 ÙÒ u Γ 2, ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ö Ø ÙÒ Ó Ó Ö ÙÒ ÐÐ º ÃÙÚ ½½µ ÓÒ Ø ØØÝ Ý ØÐ Ò º½µ Ö Ø ÙØ Ö Ð ÐÐ Ö Ð Ø Ö ÙÒ Ó ÐÐ º
38 µ h(x,y) = 1 µ h(x,y) = sin(3πx) maxu = 1 maxu = 1 ÃÙÚ ½½ ÈÓ ÓÒ Ò Ý ØÐ Ò ÝØØÝÑ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ h(x,y) Ö ÖÚÓ ÐÐ º ÅÖ Ø ØÒ ÙÖ Ú Ö ÙÒ ÐÐ ÓÐ ÐÐ Ò Ò Ö ÙÒ ØÓº ÅÖ Ø ÐÑ º½º º Ê ÙÒ ØÓ ÓØ ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ Γ 1 Ú Ö Ò Ò Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò ÒÒ ÐØ u ν = g ÙÒ u Γ 1, u = h ÙÒ u Γ 2 ÙØ ÙØ Ò Ý Ø ØÝ Ö ÙÒ Ó Ñ Ü ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ µ ÐÐ Ö Ù¹ Ò Ò Γ Ö Ó ÐÐ ÓÒ ÒÒ ØØÙ ØÓ Ø Ò ÔÓ Ú Ø Óغ Ê ÙÒ Ò Γ 1 ØÓ ØÙÒÒ Ø Ò Ô Ö ÑÑ Ò Æ ÙÑ ÒÒ Ò Ö ÙÒ ØÓÒ º Ñ Ö º½º º Æ ÙÑ ÒÒ Ò Ö ÙÒ Ó ÐÐ ÚÓ Ò ÑÖ ØØ Ñ Ø Ò Ö Ø¹ Ù ÑÙÙØØÙÙ Ñ Ö Ö ÙÒ ÐÐ Γ 1 º ÃÓ ν ÓÒ Ô Ø ØØ Ò Ó Ø ÙÓÖ Ö ÙÒ ÐÐ Γ Ò Ò u ν = ν uº Î Ð Ø Ñ ÐÐ Ö ÙÒ ÐÐ Γ 2 Ö Ð Ø Ò Ö ÙÒ ÓÒ u = 0 ÙÒ u Γ 2 Ò ÈÓ ÓÒ Ò Ý ØÐ Ò Ú Ö Ø ÓÑÙÓØÓ ÐÙÒ º¾µ Ö ÙÒ Ø ÖÑ Γ 1 u ν vdσ = Γ 1 gvdσ. Ç ÐÑÓ Ö ÙÒ ØÓ Ö Ó Ø Ø Ò Ý ØÐ Ò º µ Ó ÒÔÙÓÐ ÐÐ Ø Ú ÐÐ º Ê ÙÒ ÓÐÐ ÚÓ Ò ÙÚ Ø Ö Ø ÙÒ ÑÙÙØÓ Ø ÐÙ Ò Ö ÙÒ Ú ØÓÖ Ò ν ÙÙÒÒ º ÃÙÚ ½¾µ Ú ÒÒÓÐÐ Ø ÙÒ Ø ÓÒ g Ñ Ö Ò Ú ÙØÙ Ø Ý ØÐ Ò º½µ Ø Ô Ù º
39 µ g = 1 µ g = 1 maxu = maxu = minu = 0 minu = ÃÙÚ ½¾ g Ò Ñ Ö ÙÚ ÓÒ Ó ÚÙÓ µ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ú µ Ò Ø Ú Ò Òº ÙÒ Ø ÓÒ g Ñ Ö ÙÚ ÐÚ Ø Ö Ø ÙÒ ÑÙÙØÓ Ò ÙÙÒØ º ÃÙØ Ò Ù¹ Ú Ø µ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ú ÖÚÓ ÓÒ ÐÑ Ò Ö Ø Ù Ô Ò Ò Ö ÙÒ ÐÐ Γ 1 º Î Ø Ú Ø Ö Ø Ù Ú g Ò ÔÓ Ø Ú ÖÚÓ º ÅÙÙØÓ ÒÓÔ Ù Ò ÙÙÖÙÙ Ö ÔÔÙÙ g Ò Ø ÖÚÓÒ ÙÙÖÙÙ Ø º Å Ø ÙÙÖ ÑÔ ÓÒ Ø ÒÓÔ ÑÔ ÑÙÙØÓ ÓÒº Å Ð ØÙØ ØØ Ú Ý ØÐ ÓÒ ÑÙÓØÓ (C u) = f, Ò Ò Æ ÙÑ ÒÒ Ò Ö ÙÒ ØÓ Ö ÙÒ ÐÐ Γ 1 ÓÒ ν C u = g. ÀÙÓÑ ÙØÙ º½º º ÃÓ ÐÐ ÔØ Ø Ý ØÐ Ø Ú Ø Ú Ø Ý Ð Ø Ø Ø ÓÒÖ ¹ Ø Ò Ø Ð ÒØ Ò Ø Ö Ø ÐÙ Ò Ò Ð Ø ØØ Ñ Ø Ô Ù Æ ÙÑ ÒÒ Ò Ö Ù¹ Ò ÓÐÐ ÓÒ Ö Ú ØØ ØÓ u dσ = 0, ν Γ ÙÒ ÝØ ØÒ Ô Ð ØÒ Æ ÙÑ ÒÒ Ò ØÓ º ÌÑÒ ÒÓ ÐÐ Ø Ö Ø ÐØ Ú ¹ Ø Ð Ñ Ö ÐÑÔ ÚÙÓ ÚÓ ÓÐÐ ÙÙÖ ÑÔ Ò Ù Ò ÓÒ ÙÐÓ º ÃÝØÒÒ Ý ÓÒ Ò Ö Ò ÐÝÑ Ð Ø ÙÖ Ú Ö ÙÒ ØÓº ÀÙÓÑ Ó Ò Ú Ð ØØ ÔÙ Ø Ø Æ ÙÑ ÒÒ Ò ØÓ ÝØØÑÐÐ Ö Ø Ù ÓÐ Ý ØØ Ò Ò Ó Ö ÙÒ ÓØ ÚØ ÒÒ Ø Øº
40 ÅÖ Ø ÐÑ º½º º ÃÓÐÑ ÒÒ Ò ØÝÝÔ Ò Ö ÙÒ ØÓ ÙØ ÙØ Ò ÊÓ Ò Ò Ö ÙÒ Ó º αu+ u ν = g ÙÒ u Γ 1 º µ Ñ Ö º½º º Å Ð ØÓ Ò Ò Ý ØÐ Ò º µ Ú ÑÑ ÒÔÙÓÐ Ø Ø ÖÑ Ø ÓÒ ÒÓÐÐ Ô ÝØÒ Ó Ó Ö Ð Ø Ò Ø Æ ÙÑ ÒÒ Ò Ö ÙÒ ØÓÓÒº ÃÝ ÓÒ Ò Ò Ý Ø ÐѺ Î Ö Ø ÓÑÙÓØÓ ÐÙÒ Ö ÙÒ Ø ÖÑ Ò Γ 1 u ν dx = Γ 1 (g αu)dx. ÊÓ Ò Ò Ö ÙÒ ÓÐÐ ÓÒ ÓÚ ÐÐÙØÙ Ò Ò Ñ Ò ØØ Ø Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ù Ò Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ø Ò Ø Ô Ù Ø Ò Ò º Ë Ø ÝØ ØÒ ÙÚ Ñ Ò ¹ Ñ Ö Ö Ò Ò Ö Ô ÒØÓ Ò ÚÐ ÐÐ Ø Ô ØÙÚ Ò Ö Ò ÖØÝÑ Øº ÙÒ Ø Ó α(x,y) Ú ÙØØ Ö ÙÒ ØÓ Ò Ò Ò Ô ÒÓ ÖÚÓ Òº ØÓ Ú ¹ Ø Æ ÛØÓÒ Ò ØÝÑ Ð u ν = α(u 0 u) ÙÒ u Γ 1, º µ Ñ g = u 0 /α ÙÚ ÔÔ Ð Ò ÝÑÔÖ Ø Ò ÐÑÔ Ø Ð α ÓÒ ÐÑÑ Ò¹ Ó ØÙÑ ÖÖÓ Ò Ó Ö ÔÔÙÙ Ö Ô ÒÒ Ò ÑÓÐ ÑÑ Ò ÔÙÓÐ Ò ÓÐ Ú Ø Ò Ø º ÌÐÐ Ø Ø Ð ÒÒ ØØ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ñ Ö º º½º ÃÙÚ ½ µ ÓÒ Ø ØØÝ ÈÓ ÓÒ Ò Ý ØÐ Ý Ø ØÝ ÐÐ Ö ÙÒ Ó ÐÐ Ó ÊÓ Ò Ò ÓÒ º µ Ð Ö ÙÒ ÐÐ Γ 2 Ú Ð Ø Ò u = 0º ÌÙÐÓ Ø Ú Ø Ò ØØ Ñ Ø ÙÙÖ ÑÔ ÓÒ ÖÖÓ Ò α Ø ÒÓÔ ÑÔ ÓÒ Ó ØÙÑ Ò Òº Ê Ø Ù ÓÒ ÒÝØ ÐÚ Ø Ý ØØ Ò Ò ÐÐ Ö Ð Ø Ò Ö ÙÒ ØÓ ØÓÓ Ö Ø ÙÒ Ýع ØÝØÝÑ Ò ÑÙ ÐÐ Ö ÙÒÓ ÐÐ º
41 µ u ν = 10 u u µ = 0.1(10 u) ν maxu = maxu = ÃÙÚ ½ ÊÓ Ò Ò Ö ÙÒ ØÓ Ò ÖØÓ Ñ Ò Ö Ø ÙÙÒº α Ú ÙØÙ ÈÓ ÓÒ Ò Ý ØÐ Ò
42 º¾ ÐÐ ÔØ Ò Ò Ý ØÐ Ë ÙÖ Ú Ñ Ö º¾º½ ¹ º¾º ØÙØ Ø Ò Ý ØÐ Ò (C u)+w u+bu = f º µ Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ú ÙØÙ Ø Ö Ø ÙÒ ÝØØÝØÝÑ Òº À Ú ÒØÓ Ò ÚÙÐÐ Ð ¹ Ø ØÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ý Ð Ñ Ö ØÝ º Ñ Ö º¾º½º ÇÐ ÓÓÒ C L () ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ø Ò Ø¹ Ø ¾Ü¾¹Ñ ØÖ º ÌÐÐ Ò ÈÓ ÓÒ Ò Ý ØÐ ÓÒ Ö Ó Ø Ô Ù ÓÒ ÐÑ Ø (C u) = f ÙÒ x º º µ ÌÙØ Ø Ò ÓÒ ÐÑ º µ Ö Ð Ø³Ò Ö ÙÒ ÓÐÐ u = 0 ÙÒ x Γ, Ñ Γ = ÓÒ ÐÙ Ò Ö ÙÒ ÙØ Ò ÑÑ Òº ØÐ Ò º µ Ú Ö ¹ Ø ÓÑÙÓØÓ Ò Ò ÓÒ ÐÑ Ø u H0 1 () º º a(u,v) = (f,v) L 2 ÐÐ v H0 1 (), º µ Ñ a(u,v) = (f,v) L 2 = v C udx, fvdx. ÃÝØ ØÒ ÓÒ ÐÑ Ò º µ ØÙØ Ñ Ò P 2 Ð Ñ ÒØØ ÓØ Ò ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ ÓÒ V h = {v H 1 0 () : v K P 2 (K), K T h } º µ ÇÒ ÐÑ º µ Ú Ø Ú Ð Ñ ÒØØ ÑÙÓØÓ Ò Ò ØÝ ÓÒ ÒÝØ Ø (u h,v) Ø Ò ØØ a(u h,v) = (f,v) º µ ¼
43 ÌÙØ Ø Ò ÓÒ ÐÑ º¾º½ ÒÙÑ Ö Ø Ý Ò Ð ÒØ Ñ ÐÐ C ÐÐ Ö ÖÚÓ Ú Ð Ø Ñ ÐÐ f = 1º µ C = ( ) µ C = ( ) µ C = ( ) maxu = maxu = maxu = 0,021 ÃÙÚ ½ Å ØÖ Ò c Ú ÙØÙ ÓÒ ÐÑ Ò º µ Ö Ø ÙÙÒº à ÔÔ Ð Ò ÙÚ µ Ö Ø ÙÒ Ñ Ñ ÖÚÓ Ú Ø Ú Ñ ØÖ C = I ÓØ Ò Ú ÖØ Ñ ÐÐ Ø ÙÚ Ò ½ µ µ Ú Ø Ò ÓÒ Ð ÖÚÓ Ò ÙÙÖ Ò Ñ Ò ÙØØ Ú Ò Ö Ø ÙÒ Ñ Ñ ÖÚÓÒ Ò Ñ Òº Å ØÖ C ÖÓ Ý ÙÚ ÈÓ ÓÒ Ò Ý ØÐ Ø Ú Ò Ø ÖÑ Ò c 11 Ó ÐØ º ÌÑ ÑÙÙØÓ ÙÓÑ Ø Ò ÑÝ Ö Ø ÙÒ Ð Ø ØÝÑ Ò x¹ Ð Ò Ù Ø Ò Ñ ÚÓ Ò Ø ÐÐ ÑÝ ÒÓÔ ÑÔ ÙÒ Ó ØÙÑ Ò x¹ Ð Ò ÙÙÒÒ º ÃÙÚ Ò ½ µ Ñ Ö Ø ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ º µ ÓÐ Ú Ò ÐÐ ÔØ Ø Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ö Ø Ù¹ ÐÐ Ñ ØÖ C ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ Ø Ô Ù µ ¹ µº ÌÑ ÚÓ Ò ØÓ Ø Ñ Ö Ó Ó ØØ Ñ ÐÐ ØØ ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÔÓ ¹ Ø Ú µ (λ 1,λ 2 ) = (1,5) µ (λ 1,λ 2 ) = (1,3) µ (λ 1,λ 2 ) = ( 39, 52)º ÇÑ Ò ÖÚÓ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø ÓÚ Ø µ (1,0) T (0,1) T µ (1,1) T (1, 1) T µ ( 3+ 39,6 39) T (3 52,6 52) T º À Ú Ø Ò ØØ ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø ÑÖ ØØÚØ Ü¹ ݹ Ð Ò ÙÙÒØ Ò Ò¹ Ò Ò ÙÒ ÓÒ Ð Ð ÓØ ÓÚ Ø ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú º ÅÙÙÐÐÓ Ò ÒØ ÓÒ Ö¹ ØÝÒÝغ ÃÙÒ ÓÒ ÐÑ ÐØ Ñ ØÖ ÑÙÓØÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò C ÔÙ ÙØ Ò Ò¹ ÓØÖÓÓÔÔ Ø ÙÙ Ó Ø º Ë ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÝØØ Ó Ø Ø Ñ Ö Ù¹ Ú Ò ØØ ÐÝ Ó Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ú ÒØ Ó Ò º Å Ð C R Ò ÙÙÖÙÙ ÙÚ Ò Ò Ý Ý Ó Ø Ñ Ö ÐÑÔ Ø Ô ÖØ Ð Ò Ð Ú Ñ ÒÓÔ ÙØØ º ÈÓ ÓÒ Ò Ý ØÐ ÓÒ Ö Ó Ø Ô Ù ÐÑÔ ¹ ½
44 Ý ØÐ Ø u α u = 0, t Ñ ÖÖÓ ÒØ α ÙØ ÙØ Ò Ø ÖÑ ÙÙ Ó ÖØÓ Ñ Ø ÐÑÔ Ø Ð Ò¹ Ó Ø ÚÙÙ ÐÑÔ Ø Ð Ò ÑÙÙØÓ Ø ÙÚ Ú Ø ÖÑ u t ÓÒ Ú Óº Ñ Ö º¾º¾º ÌÙØ Ø Ò ÙÖ Ú Ý ØÐ Ò º µ Ô Ö Ñ ØÖ L ()º ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò ÙÙ ÓÒ ÐÑ b (c u)+ru = f u = 0 ÙÒ x Γ ÐÐ ÐÝØ ØÒ Ø Ö Ø ÐÙ Ñ Ö Ð Ø³Ò Ö ÙÒ ØÓ Ù Ò ÑÑ Òº ÇÐ ÓÓÒ Ð C = I ÓÐÐÓ Ò Ý ØÐ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó u+ru = f º½¼µ Î Ö Ø ÓÑÙÓØÓ ÐÙÒ Ø ÖÑ a(u,v) ÓÒ ÒÝØ ÑÙÓØÓ a(u,v) = ( v u+ruv)dx. º½½µ Î Ð Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ º µ ÓÐÐÓ Ò ÓÒ ÐÑ º½¼µ ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ Ó Ø u h H 1 0() Ø Ò ØØ a(u h,v) = (f,v) L 2. º½¾µ µ r = 1 µ r = 50 µ r = 10 maxu = 0,070 maxu = 0,018 maxu = 0,157 ÃÙÚ ½ È Ö Ñ ØÖ Ò r Ñ Ö ØÝ Ò Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ñ Ò Òº ÃÙÚ ½ µ ÓÒ Ø Ö Ø ÐØÙ ÓÒ ÐÑ Ò º½¼µ ÝØØÝØÝÑ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ò r Ö ÖÚÓ ÐÐ º À Ú Ø Ò ØØ Ò ÙÙÖ Ò Ñ Ò Ò Ô Ò ÒØ Ú Ñ ÒØ µ Ö Ø ÙÒ Ñ Ñ ÖÚÓ Ö Ø Ù ÒØÙÙ Ø ÑÑ Ò Ó Ó Ø Ö Ø ÐØ Ú ÐÐ ÐÙ ÐÐ º ¾
45 Å Ð r < 0 Ö Ø ÙÒ Ñ Ñ ÖÚÓ Ú ØÝݵº ÃÓ ÙÒ Ø Ó f Ù¹ Ú Ð Ø ÝÝØØ Ö Ý ÝÑÝ Å Ø Ô Ö Ñ ØÖ r ÙÚ ØÐÐ Ò ÂÓ Ö Ø Ù u ÙÚ ÐÑÔ Ø Ð Ø Ò Ö ÓÒ Ò Ø Ú ÐÐ b Ò ÖÚÓÐÐ Ú Ð ÝØ Ð ØÝ Øº Ö Ð ØÝ ÚÓ ÓÐÐ Ñ Ö Ø º ÂÓ Ö Ø Ù ÔÙÓÐ Ø Ò ÙÚ ÓÒ Ò ÓÒ ÒØÖ Ø ÓØ Ò Ò b Ò Ò Ø Ú ÖÚÓ ÚÓ Ò Ð ØØ Ö Ø ÓÐ Ø Ò ÔÓ Ø Ú Ò ÐÙ Ò º ÃÙØ ÙØ Ò Ô Ö Ñ ØÖ b Ø Ø Ó ØÙ Ò Ö Ø ÓØ ÖÑ ØÙØ ØØÙ Ý ØÐ ÙÙ Ó¹Ö Ø ÓÝ ØÐ º Ñ Ö º¾º º ÌÙØ Ø Ò ÙÖ Ú ÓÒ ÐÑ u+w u = f ÙÒ x, u = 0 ÙÒ x Γ, Ñ w L ()º ÇÒ ÐÑ Ò Ú Ö Ø ÓÑÙÓØÓ Ò Ò ØÝ ÓÒ Ø u H 1 () Ø Ò ØØ a(u,v) = (f,v) L 2, Ñ Ó ÒÔÙÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÙØ Ò Ñ Ö º¾º½ a(u,v) = ( v u+(w u h )v)dx. º½ µ º½ µ Ë ÐÝØ ØÒ Ñ Ú ÖÙÙ V h Ù Ò Ñ Ö º¾º½ º¾º¾ ÑÙÓØÓ ÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ Ø u h H0 1 () Ø Ò ØØ a(u h,v) = (f,v) L 2. º½ µ ÌÙØ Ø Ò Ý Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ö ÝÝØØ Ú ØÓÖ Ò w Ù Ø Òº ÃÙÚ Ø ½ µ Ò Ò ÐÚ Ø ØØ Ú ØÓÖ Ú ÙØØ Ö Ø ÙÒ Ô Ò Ò Ò Ò Ò ÙÙÖÙÙØ Òº ÌÑÒ ÚÙÓ Ø ÖÑ w u ÙØ ÙØ Ò Ú ÖØ Ù ¹ Ð Ú ¹ Ø ÓØ ÖÑ º µ w = [1,0] µ w = [2, 2] maxu = 0,073 maxu = 0,071 ÃÙÚ ½ Î ÖØ Ù Ø ÖÑ Ò w Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ñ Ò Òº
46 º ËÓÚ ÐÐ ØÙØ Ø Ô Ù Ø Ì Ð ÔÔ Ð ÓÒ ÔÝÖ ØØÝ ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò ÐÑÑ Ò Ó ØÙÑ ÐÐ Ñ ÐÐ Ó ÓÒ ØÙÐ ØØ Ú ÑÝ ÐÐ ÔØ ÓÒ ÐÑ º Î Ð ØØÙ ÓÒ ÐÑ ÓÒ ÑÙÓ¹ Ó Ø ØØÙ Ø Ö Ó ØÙ ÒÑÙ Ø Ò Ò ØØ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÓÚ Ø Ô ÐÓ ØØ Ò Ø Ù¹ Ú Ð C,w,b L ()º Ä ÔÔ Ð ÓÔ Ø Ø Ò Ù Ò Ö Ñ ÐÐ Ö Ø Ø Ò ØÐÐ ÓÒ ÐÑ º Ã Ø ÐØÚ Ñ Ö º º½ ÐÙ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ò i Ô Ö Ñ Ø¹ Ö Ò ÝØØÝØÝÑ Ò ÑÙ Òº ÂÓ ÐÐ Ó ¹ ÐÙ ÐÐ Ú Ð Ø Ò Ò ÚÓ Ñ ÓÐ Ú Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø C i,w i b i ÓÐÐÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ø C,w b ÚÓ Ò ÑÙÓ¹ Ó Ø Ö Ø Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ º Ñ Ö Ò Ó ¹ ÐÙ Ò Ø Ô Ù ¹ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò ÙÒ Ø Ó { 1, Ó x 1 χ = 0, Ó x R 2 / 1 º Î Ð Ø Ò ØØ Ô Ö Ñ ØÖ Ø C 1 w 1 b 1 ÙÙÐÙÚ Ø ÐÙ Ò 1 Ú Ø Ú Ø C 2 w 2 b 2 ÐÙ Ò 2 º ÆÝØ Ñ Ö Ô Ö Ñ ØÖ Ò C Ô Ø ÙÚÙÙ ÚÓ Ò Ð Ù Ù ÙÖ Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ C = C 1 χ+c 2 (1 χ) Ç ¹ ÐÙ Ò ÐÙ ÙÑÖÒ Ú χ ÙÒ Ø Ó Ø ØÙÐ ÑÓÒ ÑÙØ ÑÔ º ÌÑ Ù Ò Ò ØØ ÐÐ Ú Ø Ú ÓÒ ÐÑ Ö Ø ÓØØ Ñ Ö Ö Ñ Ö Ø Ö Ø Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò ÓÖÚ Ø ÝØØÑÐÐ ÓÑ ÒØÓ Ö ÓÒº Ë ÙÖ Ú Ó Ø ½º ¹ ºµ ÒÓÙ ØØ Ñ ÐÐ Ô Ø ÙÚ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø ØÙÐ ÐÔÔÓ º Ã Ø Ó ÑÝ Ä Ø º Î ÌÓ Ñ ÒØ ½º ÅÙÓ Ó Ø Ó ¹ ÐÙ Ò Ö ÙÒ Øº ¾º Æ Ñ Ö ÙÒ Ø Ð Ð¹ ÓÑ ÒÒÓÐÐ Ø Ò ØØ Ò Ö ÙÒÓ Ò Ò Ñ ÓÒ Ñ º º ÅÙÓ Ó Ø Ó ØÙ Ø Ó ¹ ÐÙ ÐÐ º º Ä Ñ Ó ¹ ÐÙ Ò Ó ØÙ Ø ÐÓÔÙÐÐ Ò Ò Ó ØÙ º º Æ Ñ Ó ¹ ÐÙ Ø Ö ÓÒ¹ ÓÑ ÒÒÓÐÐ º º ÅÙÓ Ó Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø Ó ¹ ÐÙ ØØ Òº º ÅÙÓ Ó Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø Ó Ó ÐÙ ÐÐ Ö ÓÒ¹ ÓÑ ÒÒÓÒ ÚÙÐÐ º Ñ Ö º º½º ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò ÙÚ Ò ½ µ ÑÙ Ò Ò Ø Ð ÒÒ Ó Ñ Ò¹ Ò Ò α m = 116 W Ø Ò Ó ÓÒ Ý Ø ØØÝ Ñ ÒÑ ØØ Ò ÙÔ Ö Ò α m C k = 393 W Ø Ò ØØ ÑÓÐ ÑÑ Ø ÔÔ Ð Ø ÓÚ Ø ÔÓÐÝÙÖ Ø Ò ÖÖÓ Ò α m C k = W Ðк m C
47 ÃÙÚ ½ Ø ÐÑ ÙÚ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ø Ð ÒÒ ØØ ÙÒ Ñ Ò Ò ÔÔ Ð Ò Ú Ô Ô ÓÒ Ø ÙÚ Ø Ó ØÙ u 0m = 100 C Ò ÑÙÙ ÐÙ u 0r = 20 C Ò ÝÑÔÖ Ø Òº ÇÒ ÐÑ ÚÓ Ò ØÙØ Ý ØÐ ÐÐ Ñ α u = 0, º½ µ α m, Ó x m α = α k, Ó x k α p, Ó x p1 p2 Ñ Ö Ø ÑÐÐ ÐÐ Ò ÝÑÔÖ Ø Ò ÐÑÔ Ø ÐÓ { u0m, Ó x Γ u 0 = m u 0r, Ó x Γ k Γ p1 Γ p2 Ò Æ ÛØÓÒ Ò ØÝÑ Ð Ø º µ ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ ÊÓ Ò Ò Ö ÙÒ ÓØ u ν = α m(u 0m u) = u ÙÒ u Γ m, u ν = α k(u 0k u) = u ÙÒ u Γ k, u ν = α p(u 0p u) = u ÙÒ u Γ p1 Γ p2, Ê ÙÒ Ø ÖÑ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÐÝ Ý Ø u ν = α(u 0 u),
48 ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ø α,u 0 L ÓÚ Ø Ö Ø Ö Ø Ò χ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ ÑÙÓ¹ Ó Ø ØØÙ º ÇÒ ÐÑ Ò º½ µ Ð Ö Ò Ò ÑÙÓØÓ ÓÒ Ø u h H 1 () Ø Ò ØØ a(u h,v) = F,v ÐÐ v H0(), 1 º½ µ Ñ a(u h,v) = α ( v u h )dx, F,v = α(u 0 u h )vdx. Γ ÃÙÚ ½ Ì Ô ÒÓØ Ð ÒØ ÙÖ Ø Ò Ò ÐÑÔ Ø Ð ÓÒ ÒÓ Ò 40 C ØØ º ØÐ Ò Ö Ø Ù ÓÒ Ø ØØÝ ÙÚ ½ µº Ê Ø ÙÒ Ñ Ñ ÓÒ Ñ Ò Ñ º ÅÙÓ Ó Ø ØØÙ Ñ ÐÐ ÓÒ Ø Ø ÓÒÖ Ò Ò ÓØ Ò Ö Ø Ù ÙÚ Ø Ð ÒÒ ØØ Ó ÒÒ ØÙØ Ö ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø ÓÐÐ Ø ÚÓ Ñ Ö ØØÚÒ Ù Ò Ý Ø Ñ ÓÒ ØØÙÒÙØ Ø Ô ÒÓØ Ð Òº ÌÓ ÐÐ ÙÙ Ñ Ø ÐÐ Ò Ø ÐÑÔ ¹ ÚØ ÒÓÔ ÑÑ Ò Ù Ò ÙÖ Ø Ò ÓØ Ò ÐÑÔ Ø Ð ÙÑ ÑÙÙØØÙÙ ÐÑÑ ØÝ ¹ Ò Ò Ð ØÝ Ò ÙÚ Ò Ö Ø Ù º
49 Ô Ø ÙÚ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ó ÐÑÓ Ñ Ò Ò ÌÙØ ÐÑ ÝØ ØØ Ò Ö Ñ Ó ÐÑ ØÓ º Ë ÙÖ Ú Ø ØÒ Ö Ø Ô Ö Ø Ø ÐÐ ÔØ ÓÒ ÐÑ ÓØ ÐØÚØ Ô Ø ÙÚ Ô Ö Ñ ØÖ º Î Ø ½ ¾ Ê ÙÒÓ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ ÐÙ Ò Ú ØØ Ñ Ò Òº Ê ÒÒ Ø Ò Ò Ò Ö ÙÒ Ø Ø Ö Ø ÐØ Ú ÐÐ ÐÙ ÐÐ º Æ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò Ýع ØÑÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÓÐÐÓ Ò Ö ÙÒÓ ÐÐ ÓÒ ÙÙÒØ º Ç ÐÑÓ ÓÒ ÙÓÐ ¹ ØØ Ú ØØ Ö ÙÒ ÖØ Ú Ø Ô ÚÒ ØØ ÓÒ Ý Ø Ò Ò Òº ÓÖ Ö Ø ¼ µßü Ø Ý ¼ Ð Ð ½ Ð ÓÖ Ö Ø ¼ ½µßÜ Ý Ø Ð Ð ¾ Ð ÓÖ Ö Ø ¼ µßü ¹Ø Ý ½ Ð Ð ¼ Ð ÓÖ Ö Ø ¼ ½µßÜ ¼ Ý ½¹Ø Ð Ð Ð ÓÖ Ö Ø ¾ ¼µßÜ ¹Ø Ý ½ Ð Ð ¼ Ð ÓÖ Ö Ø ¼ ½µßÜ Ý ½ Ø Ð Ð ¾ Ð ÓÖ Ö Ø ¼ ¾µßÜ ¹Ø Ý ¾ Ð Ð Ð ÓÖ Ö À Ø ¼ ½µßÜ ½ Ý ¾¹Ø Ð Ð ¼ Ð ÓÖ Ö Á Ø ¼ ½µßÜ Ø Ý ½ Ð Ð ¼ Ð ÓÖ Ö Â Ø ½ ¼µßÜ ½ Ý ¾¹Ø Ð Ð ¼ Ð ÓÖ Ö Ã Ø ¼ ½µßÜ ½¹Ø Ý ¾ Ð Ð Ð ÓÖ Ö Ä Ø ¼ ½µßÜ ¼ Ý ¾¹Ø Ð Ð Ð Î Ç ØÙ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò Ò ÐÙØÙ ÐÐ Ó ¹ ÐÙ ÐÐ º ÅÓÐ ÑÑ Ø ÙÚ Ò ¾µ Ó ØÙ Ø ÓÚ Ø Ø Ó º ÃÙÚ µ Ö ÙÒ Ø ÓÚ Ø ØØÙ Ò Ú Ø Ò Ó Ò Ð n = 5º ÃÓ Ý Ò Ó ÚÐ Ò Ô ØÙÙ l = 1/5 Ø ÚÓ Ò ÝØØ ÙÚ Ñ Ò ÒÓ Ó ÙÙØØ Ø ÖÑ Ò h Ø º ÃÝØ ØÒ ÓÑ ÒØÓ Ù Ð Ñ Ó ØÙ Ò T h ÑÙÓ Ó Ø Ñ º ÒØ Ò ½¼ Ñ Ì ½ Ù Ð Ñ Òµ Òµ Òµ Òµ µ Ñ Ì ¾ Ù Ð Ñ ¾ Òµ Òµ ¾ Òµ À Òµ µ Ñ Ì Ù Ð Ñ Á Òµ  ҵ à ҵ Ä Òµ µ Î Ç ¹ ÐÙ Ò Ý Ø ÒÐ ØØÑ Ò Òº Ç ¹ ÐÙ Ø Ò Ð Ø ØØÝ Ý Ø Ò Ñ Ö ÙÑÑ ÑÑ ÐÐ º
50 Ñ Ì Ì ½ Ì ¾ Ì Î Æ Ñ ØÒ Ó ¹ ÐÙ Ø ÑÖ Ø ØÒ Ð Ñ ÒØ Øº Ç ¹ ÐÙ Ø Ò Ñ ØÒ ÓÑ ÒÒÓÐÐ Ö ÓÒ ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ ÓÑ ÒÒÓÐÐ Ô º Ñ Ö ÓÒ Ú Ð ØØÙ P 1 ¹ Ð Ñ ÒØ Ø Ó ØÙ ÐÐ T h º ÒØ Ð Ì ¼º ¼º½µºÖ ÓÒ ÓÝ Ì ¾ ½º µºö ÓÒ ÚÝ Ì ¼º ½º µºö ÓÒ Ô Î Ì È½µ Î Ö Ö ÓÒ Î ÙÒ Ø Ó Ò ÑÖ ØØ ÐÝ Ó ¹ ÐÙ ØØ Òº ÃÝØ ØØÚØ ÙÒ Ø ÓØ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò ÓÑ ÒÒÓÐÐ ÙÒº ÙÒ ½ ¼ ÙÒ ¾ ½ ÙÒ ½ ÙÒ ½ ½ ÙÒ ¾ ½ ÙÒ ½ ÙÒ Û½½ ½ ÙÒ Û½¾ ½ ÙÒ Û½ ½ ÙÒ Û¾½ ¾ ÙÒ Û¾¾ ¾ ÙÒ Û¾ ¾ ÙÒ ½½½ ½ ÙÒ ½½¾ ¼ ÙÒ ½¾½ ¼ ÙÒ ½¾¾ ½ ÙÒ ¾½½ ½ ÙÒ ¾½¾ ¼ ÙÒ ¾¾½ ¼
51 ÙÒ ¾¾¾ ½ ÙÒ ½½ ½ ÙÒ ½¾ ¼ ÙÒ ¾½ ¼ ÙÒ ¾¾ ½ Î ÙÒ Ø Ó Ò Ý ØÑ Ò Òº ÃÓ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÐÙØ Ò ÓÐ Ú Ò ÑÖ Ø ÐØÝ Ó Ó ÐÙ ÐÐ Ú Ð Ø Ò Ñ ÐÐ Ó ¹ ÐÙ ÐÐ ÐÐ Ò Ú Ò ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø ÚÓ Ñ º ÌÑ Ø Ò Ú ØØ ¹ Ñ ÐÐ Ò Ñ ØØÝ Ò Ó ¹ ÐÙ Ò Ö ÓÒ ÓÑ ÒÒÓÐÐ º ÃÓÑ ÒÒÓÐÐ Ñ ÖÓÚÓ Ò ÐÝ ÒØ ÓÓ º Î ½ Ö ÓÒ Ð µ ¾ Ö ÓÒ Óݵ Ö ÓÒ Úݵ Î ½½ ½½½ Ö ÓÒ Ð µ ¾½½ Ö ÓÒ Óݵ ½½ Ö ÓÒ Úݵ Î ½¾ ½½¾ Ö ÓÒ Ð µ ¾½¾ Ö ÓÒ Óݵ ½¾ Ö ÓÒ Úݵ Î ¾½ ½¾½ Ö ÓÒ Ð µ ¾¾½ Ö ÓÒ Óݵ ¾½ Ö ÓÒ Úݵ Î ¾¾ ½¾¾ Ö ÓÒ Ð µ ¾¾¾ Ö ÓÒ Óݵ ¾¾ Ö ÓÒ Úݵ Î ½ Ö ÓÒ Ð µ ¾ Ö ÓÒ Óݵ Ö ÓÒ Úݵ Î Û½ Û½½ Ö ÓÒ Ð µ Û½¾ Ö ÓÒ Óݵ Û½ Ö ÓÒ Úݵ Î Û¾ Û¾½ Ö ÓÒ Ð µ Û¾¾ Ö ÓÒ Óݵ Û¾ Ö ÓÒ Úݵ ÙÒ ½ Ñ ÖÓ Ö Ùµ Ü Ùµ Ý Ùµ»»»» Ò Ø ÓÒ Ó Ñ ÖÓ Ñ ÖÓ Û Û½ Û¾»» Ñ ÖÓ ½½ ½¾ ¾½ ¾¾»» Î ÇÒ ÐÑ Ò Ö Ø Ñ Ò Òº ÇÒ ÐÑ Ø ÝØ ØÒ Ò Ú Ö Ø ÓÑÙÓØÓ Ø ØÝ Øº Ò Ò ÓÒ Ú Ø ØØ Ú Ñ Ò Ú ÖÙÙØ Ò ÙÒ Ø ÓØ ÙÙÐÙÚ Øº Ê Ø ÙÒ ÚÓ ÙÓÖ ØØ Ó Ó ÓÑ ÒÒÓÐÐ ÓÐÚ Ø ÔÖÓ Ð ÑºÊ Ø Ù ÚÓ Ò Ô ÖØ ÔÐÓØ ÓÑ ÒÒÓÐÐ º
52 Î Ù Ú ÓÐÚ È Ù Úµ Òؾ Ì µ Ö Ùµµ³ Ö Úµ µ Òؾ Ì µ Ù Úµ Òؾ Ì µ Û³ Ö Ùµ Úµ ¹ Òؾ Ì µ Úµ ¹ Òؽ Ì ½µ Úµ ÓÒ ¾ Ù ¼µ ÔÐÓØ Ù Ñ ÐÐ ØÖÙ Ú ÐÙ ØÖÙ ÓÙÒ ÖÝ Ð Û Ø ½µ ÔÐÓØ Ùµ ¼
53 Î ØØ Ø ½ Ö º Ò Ø Ð Ñ ÒØ º Ñ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ Ì ÌÖÙÑÔ Ò ¹ ØÓÒ ËØÖ Ø Ñ Ö ½ º ¾ Ò º Ò Ø Ð Ñ ÒØ Å Ø Ó Ò Ì Ö ÔÔÐ Ø ÓÒ º ËÔÖ Ò Ö¹ Î ÖÐ ÖÐ Ò ¾¼¼ º ÖÐ Ø Èº º Ì Ò Ø Ð Ñ ÒØ Å Ø Ó ÓÖ ÐÐ ÔØ ÈÖÓ Ð Ñ º ÆÓÖØ ¹ ÀÓÐÐ Ò ÈÙ Ð Ò ÓÑÔ ÒÝ ¾ غ Ñ Ø Ö Ñ ½ º ÓÑ Ò º Р٠˺ ² ÆÓÒ ÒÓ º Ò Ø Ð Ñ ÒØ Ò ÐÝ Ò À Ø ÌÖ Ò Öº Ì ÝÐÓÖ ² Ö Ò Ï Ò ØÓÒ ½ º Ô Ø Ò º È ÖØ Ð Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ º Å Ö Û¹À ÐÐ ÓÓ ÓÑÔ ÒÝ Æ Û ÓÖ ½ ¾º Ú Ò Äº º È ÖØ Ð Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ º Ñ Ö Ò Å Ø Ñ Ø Ð ËÓ¹ ØÝ ÎÓÐÙÑ ½ ÈÖÓÚ Ò Ê Ó Á Ð Ò ¾¼¼¾º Ñ Ö ÅºÄº ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ó ËØÖÙØÙÖ Ð Å Ò Ò Ò ÐÝ º ÈÀÁ Ä ÖÒ Ò ÈÖ Ú Ø Ä Ñ Ø Æ Û Ð ¾¼½½º ÂÓ Ò ÓÒ º ÆÙÑ Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ô ÖØ Ð Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ý Ø Ò Ø Ð Ñ ÒØ Ñ Ø Ó º ËØÙ ÒØÐ ØØ Ö ØÙÖ ÄÙÒ ½ º à ٠ƺ Ò Ø Ð Ñ ÒØ Å Ø Ó Ò Å Ò º Ñ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ Ñ Ö ½ º ½¼ Ä Ö ÓÒ Ëº ² Ì ÓÑ Îº È ÖØ Ð Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ï Ø ÆÙÑ Ö Ð Å Ø Ó º ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ ÖÐ Ò ¾¼¼ º ½½ Ä ÓÒ º Ö Ø ÓÙÖ Ò ËÓ ÓÐ Ú ËÔ º Ñ Ö Ò Å Ø Ñ Ø Ð ËÓ ØÝ ÎÓÐÙÑ ½¼ ÈÖÓÚ Ò Ê Ó Á Ð Ò ¾¼¼ º ½¾ Ð Ê ² Ò Ö Ù Ìº ÈÙØÒ Ñ Ò ÝÓÒ º ËÔÖ Ò Ö Ë Ò Ù ¹ Ò Å ÄÄ Æ Û ÓÖ ¾¼¼ º ½
ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº
LisätiedotÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý
ÈÖÓ Ð Ø Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ñ Ø ÐÐÒ ÔÖÓ Ð Ø Ð ÓÖ ØÑ º ÌÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÖÚ Ø Ò Ø Ø ØÒ ÓÐ Ó ØÙÐÓ Ò ÑÙ Ò Ö Ù ÙØ Òº ÖÓÒ Ô Ø ÖÑ Ò Ñ Ò ÓÒ ØØ ÒÝØ Ø Ö Ø ÐÐ ÖÓ Ú Ò Ð ÒØ ØÓ Ø Ø Ò ÙÙ ÐÐ ÖÚ Ù ÐÐ Ø ÖÚ ØØ º Ä ÓÒ Ö ØØ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ
LisätiedotÌ Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Å Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ Ý ØØ Ðк Å Ò Ø Ð Ú Ø ÚÙÙ ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Å Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ø Ô Ó Ò Ñ Ñ ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ô ØÙ Ý ØØ Øº ÂÓ Å Ò Ø Ð Ú Ø ÑÙ ÓÒ
LisätiedotÐ ØÖÓÒ Ø Ñ ÙÚÐ Ò Ø Ì ÑÙ Ê ÒØ ¹ Ó À Ð Ò ¾ º ÐÓ ÙÙØ ½ Ë Ò ÙÔ Ò ÝÒÒ Ò Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Å Ù Ö Ø ÐÑØ ¾ ¾º½ ÆÝ Ý Ø Ñ Ù Ö Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º
LisätiedotÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ
ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º º ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø Ø ¹ÑÖ ØØ ÐÝ º¾µ ÚÓ Ú Ø Ø ÑÝ Ø Ò ÑÖ Ø ÐØÚ Æ Ñ ÒØÝ ÑÝ ³ ³¹Ñ Ö Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ò ÓÐ ÐÐ ØØÝ ØÝÔ ¹ÐÝ ÒØ º½µº ¾ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ
LisätiedotÄ ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½» Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓØ Ò ÐØ º Å Ø Ò Ô Ð ÓÒ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÙÐÙØØ ØÙÒÒ Ø Ò Ò Á Ä Ø Ò Ð Ò ØÙÒÒ Ø Ú ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ô Ù Ó Ð Ö Øصº Ä Ø Ò
LisätiedotÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ý ÝÐÐ Ø ØÓÖ ÒØ Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ
LisätiedotKuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑ Ò Ö ÒÒ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ø ÐРؽ ؾ Ø È Ð Ó ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ö ÒÒ Ì ØÓ ÓÒ Ô Ð Ò ÝØ Ñ Ò ÓÒ Ñ ÐÐ Ó Ø Ò ÙÚ ØØ ÐÐ Ø Ñ ÐÑ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò Ð
Lisätiedotp q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2
º ÅÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ö ÒØ Ð Ð ÒØ º½ Â Ø ÙÚÙÙ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø Ù Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÒØ Ð Ð ÒØ ÐÑÔ Ø Ð ÓÒ Ò Ô Ò ÙÒ Ø Ó T(x, y, z.t) ÄÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ÐÑÓ ØØ Ñ Ò ÙÙÒØ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ú ÚÓ Ñ ÑÑ Ò Ù Ò Ð ÐÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ½½ ÃÓÓÖ
LisätiedotÄ ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½» ÃÙÖ Ò ÐØ Ø ÐØÙ ÐØ ½ ¾ Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò ÄÙÓ È ÄÙÓ ÆÈ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ ÆȹØÝ ÐÐ ÔÖÓ Ð ÑÓ Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÄÙÓ ÈËÈ Ë Ú Ø Ò Ð Ù Ñ Ö ÈËÈ ¹ØÝ ÐÐ Ø
LisätiedotÈ Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»
È Ú Ö Ù ÆÈ Á à РÐÙÓ Ø È ÆÈ ÒÝØØÚØ ØÝ Ò Ö Ð ÐØ Ë ÐÚ Ø È ÆȺ µ È ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ º µ ÆÈ ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ú Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð ÓÒ
LisätiedotÐ ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ØÓÖ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÇÐ ÓÔÓ Ø Ø ØÓÑ ÐÐ Ø Ø ØÓ ÒÒ Ò ÐÐ ÒØ Ö Ø ÐÑ ÖØÓ ÖÐÙÒ À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ
LisätiedotÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø
È ÀÌ Ä Ì Ê ÙÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ
LisätiedotSymmetriatasot. y x. Lämmittimet
Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ ¹ÖÝ ÑĐ» ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó ÅÍÁËÌÁÇ ÆÓ»Ì ÊÅǹ ¹¾¼¼¼ ÔÚÑ ½¼º Ñ Ð ÙÙØ ¾¼¼¼ ÇÌËÁÃÃÇ Ø Ú ÒعØÙÐÓ ÐÑ Ð ØØ Ò ¹Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò ÖØ Ø ØÙØ ØÙÐÓ ÐÑ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ä ÌÁ ̵ ÂÙ Ú Ó Ð ¹ÂÙÙ Ð
LisätiedotÀ Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø
Ì ÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì Ó Ø ÐÐÒ ÓÒ ÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ö Ø Ú ÑÙØØ Ó Ò Ö Ø Ù Ú Ø Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ø Ð ØØ Ö Ø Ù ÓÐ ÝØÒÒ ÐÚÓÐÐ Ò Òº Í ÑÑ Ø ÓÐ ØØ Ú Ø ØØ ÆȹØÝ ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÙÑ ØØÓÑ ÒØÖ Ø Ð µ ÑÙØØ ØØ ÓÐ ØÓ Ø ØØÙº
Lisätiedotd 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j
¾º¾º ÁÌÇÁÆÌÁ Ì ÁË Æ Ä Ëà ÅÁÆ Æ ¾ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÌÌÈÈÈÌÄÌÅÈÈ Ò Ù Ø¹Öݹ¹ Ò¹¹¹Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÙ ØØ ÐÓ Ò Ù ØÖÝ d ǫ ÒØ ÖÝ ǫ e ÒÙ ØÖÝ u ǫ ÒØ Ö Ý y s Ò ØÖÝ s ǫ ÒØ Ö ǫ t ÒØÖÝ ǫ e ÒØ Ö Ø ¾º¾ ØÓ ÒØ Ø ÝÝ Ò Ð
LisätiedotÀ ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ã Ö Ì ÑÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ
Lisätiedot139/ /11034 = 0.58
ÄÙ Ù ÂÓ ÒØÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÝÒ º½ Ì Ð ØÓÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÐÙÓÒÒ Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÔØØ ÐÝ ØØ Ð Ú ÒØÓ Ò Ú Ø ÐÙ ÔÚ ÖÑÙÙØØ º ÓÐ Ø ØÒ ÐÚ ØØ ØÙÓÐÐ Ø Ø ÚÓ Ò Ø¹ Ø Ñ ØÒ Ø ÑÐÐ Ø Ø Ø Ø ÐРغ Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÓÒ ÓÑ
LisätiedotF n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
Lisätiedot{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.
Ä Ø ÓÓ Ø Ø º º Ä Ø ÓÓ Ø Ø Å Ø Ñ Ø ÓØ ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ù Ò ÓÙ Ó ÑÔÐ ØØ ÐÐ ÒÓØ Ø ÓÐÐ Ò ÙØ Ò {(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. À ÐÐ Ø Ö Ó Ú Ø Ú Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ØÓ ÐÐ Ò Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÒØ Ò Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ð Ø
LisätiedotË ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º
ÂÓ ÒØÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ØØ ÐÝÝÒ Ê¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ ÒÒ Ç Ö Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÐÓ ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º
LisätiedotF n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾
Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ÐÔ Ð Ú Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÑÓ ÙÐ ¹ Ö Ó ÒØ Ì ÑÓ ÌÙÓÑ Ò Ò À Ð Ò ½º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö Ø ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ
LisätiedotÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º
ÂÓ ÒØÓ ½ ½ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ ÐÐ ØÙØÙ ØÙØ Ò Ô ÖÙ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ö ØÝ Ø Ñ Ø Ò ÖÓ ØÙØÙ Ø Ø Ð Ô ÖÙ Ø Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ø À ÐÐ ÓÐÐ ÓÒ Ô Ó Ó ÐÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø º ½ ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ
Lisätiedotà ÑÖ Ò ÙÙ Ò ÙÒØÓÐ Ò Ò ÓÖ ÓØ ÓÒ ÓÖ ÓÑ Ö Ò Ð Ò ÑÖÝØÝÑ Ò Ò ËÁË ÄÌ ËÁË ÄÌ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ ÌÙØ ÑÙ Ý ÝÑÝ ØÙØ ÐÑ Ò Ö ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÙÒØÓÐ Ò Ñ Ö Ò Ø ËÙÓÑ º º º º º º º º º º º º º
Lisätiedot:: γ1. g 1. :: γ2. g 2
ÌÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ¹ Ý ÝÑÝ Ø º º¾ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ý ÝÑÝ Ð Ø x g Ò e? :: α Ö Ø Ø Ò ÓÐ ÐÐ Ø ÑÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ØØ ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙØØ À ÐÐ ÝÐ Ø Ò ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ ÐÑ ÒØÙ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ð Ó º Ë Ø ÑÙØ ÑÑ Ò ÑÓÒ Ý ÝÑÝ Ð Ø p g Ò e? ::
LisätiedotÈ ÌÀÇƹÇÀ ÄÅÇÁÆÆÁÆ ËÇÎ ÄÄÍÃËÁ Å ÌÊÁÁËÁÄ Ëà ÆÌ Æ ÌÁÄ ËÌÇÌÁ Ì Ë Æ Â ÆÍÅ ÊÁË Æ Å Ì Å ÌÁÁÃÃ Æ ÄÍÃÁÇÄ ÁËÁÄÄ Ì Ò Ï ÐÐ Ö ¹Ä Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Å ÖÖ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å
LisätiedotËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
LisätiedotÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼
Å Ð Ë Ú Ð ÂÓ ÒØÓ Ð Ø ÓÖ Òº ØÖ ÙØ Ú Ø Ð Ø ÔÐÓÑ ØÝ ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ ÁÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ ÐÙÓÒÒÓÒØ
LisätiedotË Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Ò ÝÚÝÝ Ð ÒØ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ
LisätiedotÅ Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ
Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ Á Å Ö Ò Ò À Ò ½½º º¾¼¼ Ç Ñ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò
Lisätiedotel. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (
ÈÙÓÐ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ô ÖÙ Ø Ø À Ì Øº ½º È ÖÖ ÔÒ¹ÔÙÓÐ Ó Ð ØÓ Ò Ò Ö ÚÝ Ñ ÐÐ ÙÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÂÓ ÓÒØ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò V 0 Ý ØÐ µ ÃÙÚ Ò ÚÙÐÐ µ Ù ÓÚ ÖØ Ý ØÐ Ø Ô¹ Ò¹ØÝÝÔ Ø Ò Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ö Ø ÓØ Ô¹ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÙÖ
LisätiedotÌ ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÖÓ Æ Ñ Ð ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø
LisätiedotÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó
ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ì ÖÓ ÃÓ Ó Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÌÙÖÙÒ Ð ÓÔ ØÓ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ
LisätiedotSimulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
Ë ÑÓ À Ð Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¼º
LisätiedotA B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º
Lisätiedot½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¹ØÖ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÒØ Ñ Ð ÚÝÐÐ Â Ó Å ÐÚ Ö À Ð Ò ¾¾º½¼º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Lisätiedot(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).
ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙ Ø ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ØÐ ÐÐ x + 1 = 0 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ó Ó Ò Ö Ð ÐÙ¹ ÚÙÒ ØÓ Ò Ò ÔÓØ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº ÂÓØØ ØÐÐ Ý ØÐ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ù Ñ Ò ØÝØÝÝ Ð ÒØ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ð ÑÐÐ Ò ÙÙ Ð Ó Ñ Ö ØÒ Ø¹ Ø ØÓ Ø
Lisätiedotk(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x)
Ì ÊÅÇ ÁÂ ÍËËÁÆ ÈÊÇË ËËÁÌ Ê Ê ËËÁÇ Æ Ä ËÁËË Ã Ò Ø ÒØÝ Ç ÝÐ Ø ÒØØ À ÖÖ Ä Ñ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ À ÀÙØØÙÒ Ò ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓØ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ Ì ÊÅÇ ÁÂ Ù Ò ÔÖÓ Ø Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ã Ò Ø ÒØÝ
Lisätiedot0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx)
Å ÌȽ ¼ ËÝÑ ÓÐ Ò Ò Ð ÒØ ¾ ÓÔ ½ Ð Ø ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ Ø ÐØ ËÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒÒ Ò ÙÖ ÐÐ ÓÔ Ø Ò Ø ØÓ ÓÒ Ò ÝØØÑ Ø ÔÙÚÐ Ò Ò Ñ Ø Ñ ØØ ÓÒ ÐÑ Ò¹ Ö Ø Ù º ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÒØ Ô ÖÙ Ú ÐÑ Ù Ø ÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒØ Ò Ö Ó ØÙÒ Ò Å Ø Ñ ¹
Lisätiedot139/ /11034 = 0.58
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
LisätiedotÇ Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç Å ÖØØ Ì Ò Ö ¾ º½º¾¼½½ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ
LisätiedotÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø
ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ìº à ÖÚ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ½» ½½ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì
Lisätiedotλ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.
Šع¾º½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø ¾¼¼ ¹¼¾¹½¾ Ì Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ø Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÐÐ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Ä ÙÖ ÂÙ Ò Ã Ò ¼¼ È Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ
LisätiedotN = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º
Å Ì ¾¾ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ã ¾¼½¼ ÌÑ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÙÖ ÐØ Ó ÐØ Ä ÃÙÖ ØÙÒ Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ Ò ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ò ÓØ ÒÒ ØØ ÐÙ Ñ Ð Ô ØÓ¹ ØÙ Ò Ð Ý ØÝ Ó Ø º Ë ÐØ ½º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ½º½º ÄÙ Ù Ö Ø ÐÑØ ½º¾º  ÓÐÐ ÙÙ ½º º Ð
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º
Šع¾º ½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø º½º¾¼¼ Ì Ø ÐÙÒ ÑÙÐÓ ÒØ ÑÔÙÑ Ø ÖÚ Ò Ö Ø ÐÑ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ø Ó ÙÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Â ÒÒ Ä ØÓÒ Ò ¼¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ
LisätiedotÐ Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø
Ä Æ Ä ÍÃÃÇÆ Æ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ØÓØ Ø Ò Ú Ö Ø Ö Ø ÐÙ ÓÔ ÒØÓ¹ Ñ Ò ØÝ Ò Ú ÙØØ Ú Ò Ø Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÈÄÇÅÁÌ ÝÚ ÝØØÝ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ó ØÓÒ ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ º½½º¾¼¼ º Ì Ö Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ë ÔÔÓ ÈÓ ÓÐ Ò Ò ØÙØ Å ÀÙ ÓÐ
LisätiedotÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È
ÂÇÆÁ È ÀÄ Å ËÁÆÁÅ ÄÄÁÆÆÍÃË Æ È ÊÍËÌÍÎ ÅÍËÁÁÃÁÆ Ë ÆÌ ËÁ Ã Ò Ø ÒØÝ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ ÃÓÒ Ø ÃÓÔÔ Ò Ò ½½º ØÓÙ Ó ÙÙØ ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ
LisätiedotA c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061
JORMA JOUTSENLAHTI Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä 1990-luvun pitkän matematiikan opiskelijoiden matemaattisen osaamisen ja uskomusten ilmentämänä AKATEEMINEN VÄITÖSKIRJA
Lisätiedotx 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n
ÇÈÌÁÅÇÁÆÆÁÆ È ÊÍËÌ Ì Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ¾ º ÝÝ ÙÙØ ¾¼¼ ¾ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ØÙØÙ ØÙØØ Ø Ú ÐÐ ÑÔ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ò ÝØØ Ò ÓÚ ÐÐÙØÙ º ÃÙÖ Ñ Ø Ö Ð ÒØÙÙ Ò Ð Ò Ö Ó Òº ÐÙ ÐÝ Ý Ø ÖÖ Ø Ò Ñ ØÖ Ð Ö Ø
Lisätiedotq(x) = T n (x, x 0 ) p(x) =
ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ ØÙÒ Ô Ø Ò x 0 ÝÑÔÖ ¹ Ø Ö ØØÚÒ Ð Ø Ð Ö ØØÚÒ ÑÓÒØ ÖØ Ø ÙÚ Ø µ Ö ÚÓ ØÙÚ ÅÖ Ø ÐÑ ÎÁÁ ½ ÙÒ Ø ÓÒ f : D f R D f R Ó ÓÒ
LisätiedotF(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
Lisätiedota b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº
ÄÙ Ù ÐÙ Ø ÂÙ Ä Ö ÂÓÙÒ È Ö ÓÒ Ò ÄÙ ÐÐ ÌÑ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÂÓÙÒ È Ö Ó Ò ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¾¼¼ ÂÙ Ä Ö Ò ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ô ØÑ Ò ÄÙ Ù Ð٠ع ÙÖ Ò ÐÙ ÒØÓ Òº ÅÓÒ Ø Ò Ò Ò Ñ Ø ¹ Ö Ð ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú ÓÒ Ñ ØØ ÐÐ ÐÙ ÒØÓ ÙÖ ÐÐ Ð ÑÙ
Lisätiedot1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
LisätiedotÌ ÓÚ Ö ÓØ Ð Ò Ã ÐÐÙÒ Å Ø Ñ Ø Ò ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ À ØÓÖ ¾ Î Ö ÓØ ÓÖ ¾º½ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Lisätiedotf(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð
Ý ÒØØ Ð Ø ÒÖ Ð Ø ÒØØ Ì Ò À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Lisätiedot¾º C A {N A } K N A º A B N B
Ú ÒØ Ò ÐÐ ÒØ ØÓ ÒÒÙ Ø Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ó ÔÙÓÐ Ø ÚÓ Ú Ø Ó¹ Ô Ð Ø Ú Ñ Ø ØÓ ÒØ ØÓ Ò º ÌÐÐ Ò Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ð ØØÝÝ Ù ÑÔ Ò Ø ØÓØÙÖÚ ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ò ÑÑ ¹ Ò Ú Ò ÒÒ Ò Ù Ò Ú Ö Ò Ò Ò ØÓ Ñ ÒØ Ñ Ö Ø Ó
Lisätiedotº F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
LisätiedotÀ ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÈÓÐÙÒ Ø ÒØ Ù Ò ÒØ Ò ÝÑÔÖ Ø Ô Ð È Ä ÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ ÄÙùØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
LisätiedotÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý
Ä Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÑ Ò Ò Ð Ñ Ô Ð Ò ÚÙÐÐ Î ÐÐ Ã ÒÒÙÒ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø
Lisätiedotx (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W =
Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ º Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø Ø Ð ÙÙ Ì ÐÙÚÙ Ø ÑÑ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ø Ô ÒÓÖ Ø Ù Ò Ø Ð ÙÙ Ø Ö Ø ÐÙ¹ ÒÝØ ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö ÐÙÖ Ý Ø Ñ ÐÐ Ô ÐÐ Ò ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò Ó Ó Ð Ø ÝÐ Ô Ò ÓÐ Ú ÐÙÖ º ÂÓ
Lisätiedot ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð
Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÒÒ ¹Ã Ð Ø ÐÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼  ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ
LisätiedotÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼
ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼ ÌÝ Ò Ó À ÒÒÙ Â ÓÐ ÌÝ Ò Ø ÒÓ Åº Å Ø Ð ÅÓÓ Ð ÑÓÒ ÙÐØØÙÙÖ Ò
Lisätiedot3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ö Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ¹ Ö Ò Ô ÖØÑ Ò Ò ÙÚ Ø Ò Ù Ò Ð Ù Ù Ò Ò Ô Ô Ð Ò µ ÚÙÐÐ Ö Ð Ù Ù Ò Ö Ø ØÓ ÙÐ Ð Ù Ù Ò Ò Ö Ú Ò ÙØØ ÒÒ Ò Ù Ò Ô ÖÖ ØÒ ÖÙÙ ÙÐÐ Ö
LisätiedotÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ì ÑÓ Ã ÖÚ ¾º½½º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ ¾º½½º¾¼¼ ½» ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ
LisätiedotÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú
ËÍÎÁ ÄÌÁÇ ÈÁÊÃ ÆÅ ÄÄ ¾¼¼ ¾¼¼ Ì È ÀÌÍÆ Á Æ ÄÁÁÃ ÆÆ ¹ ÇÆÆ ÌÌÇÅÍÍÃËÁ Æ Æ Ä ËÇÁÆÌÁ ËÎ ÊÃÃÇÂ Æ ÎÍÄÄ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø Ð ÓÔ ØÓÒÐ ØÓÖ Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ
LisätiedotAktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
ÇÐÐ ¹È ÀÙÓÚ Ð Ò Ò Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
LisätiedotÌ ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò
ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÓØ Ò Ò Ó ÐÑ ØÓØ Ò µ ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ
LisätiedotP(r, ϕ t) = P(z, e it ) = 1 z 2 e it z 2, Ñ z = reiϕ. f(z + re iϕ )dϕ. f(z) = 1. f(z) f(z 0 ).
ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÁÇ À Ê Æ Î ÊÍÍÃËÁËË ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Â ÖÑÓ Å Ð À Ð Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ù Ø ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ËÙ ÖÑÓÒ Ø ÙÒ Ø ÓØ Ð Ò ØÙÐÓ ¾º½ Ò ÐÝÝØØ Ø ÙÒ Ø ÓØ º º º º º º º º º º º º º
LisätiedotÌ ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ̺ à ÖÚ ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ½» ½ Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò
LisätiedotF(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
LisätiedotÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½
Ê Ã ÆÆÍËÌ ÃÆÁËÌ Æ ÇÄÇ ÁËÌ Æ Â ÁÄÅ ËÌÇÄÄÁËÌ Æ Ì ÃÁ Á Æ Î ÁÃÍÌÍË ËÍÆÌÇÂ Æ ËÁË ÁÄÅ Æ Ê ÇÆÈÁÌÇÁËÍÍÌ Æ ÌÓÔ Ã ÒÒÙÒ Ò Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ
LisätiedotPainekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon
Å Ö ÃÓÑÙ Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon Sähkötekniikan korkeakoulu ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¾º¾º¾¼½ º ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ
Lisätiedoty t = X t β + u t, u t NID(0, 1) t = 1, 2,..., n ½µ
ÇÊ Ê ÈÊÇ ÁÌ Â Â ÄÃ È ÄÄǹÇÌÌ ÄÍÆ Å ÄÄÁÆÌ ÅÁÆ Æ Ê Ò ÓÑ Î Ö Ð ½º Ò ÙÙØ ¾¼¼ ËÁË ÄÌ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ¾ ÇÖ Ö ÔÖÓ Ø ¾º½ Å ÐÐ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Â Ð Ô ÐÐÓ¹ÓØØ ÐÙÒ Ò
LisätiedotÌ È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø
È ÚÓ È Ö Ò Ò Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÓØ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ
Lisätiedotf(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0.
Ú ËÁË ÄÌ ½¾º ËÙ Ø ÐÐ Ø Ò Ó ÙÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º ÇØÓ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½¾º Å Ò Ò ÙÑ Ø Ú Ô ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º º º º º º º º º º
LisätiedotÌ Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò
Å ÈÙÐ Ò Ò ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÓØ Ò Ò Ò Ø ÒØÙØ ÐÑ ¾ º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù
Lisätiedotarvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos
hyväksymispäivä arvosana arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki 12.4.2007 HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET
Lisätiedot½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1
½º º Àǹ ÇÊ ËÁ ù Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ à ÖÔ Ê Ò Ø Ö Ø Ð Ú Ø ÑÝ ÙÒ Ú Ö Ð Ò ÙØÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ú Ö Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ð Ø Ò q ØÙÒÒ Ø ÐÙ Ù ÓÙ Ó Ø Qº Q Ò ÐÙÚÙØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ô Ò Ò Ò Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÎÖÒ Ø ÑÝ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ
LisätiedotMSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,
ËÁË ÄÌ Ú º º½ Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º
LisätiedotÌ ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ë ÎÇÄ ÁÆ Æ ÇÄÄÁ
LisätiedotÌ Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ
Ê ÑÓ È Ø Ò Ò ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ¾ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò
Lisätiedot2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. x1 = 2 x 2 = 5. 2 ( 2)+5 = = 3. 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f
Ä Ò Ö Ð Ö Á ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ ØØ Ø Ò Ø Ø Ò Ð ØÓ ¾¼½½ ÂÖÚ ÒÔ Ã Ö Ó ØØ ÒÙØ ÌÙÙÐ Ê Ô ØØ ¾ ½ Ä Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ½½ Ñ Ö µ Ê Ø Ý ØÐ 5x = 7 Ã ÖÖÓØ Ò Ý ØÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÙÚÙÐÐ 5 1 ÓÐÐÓ Ò Ò 5 1 5x = 5 1 7 Ð x =
LisätiedotÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ
ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÀÁ Ì ÊÁÆÌ Ä ËËÁ ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½¼ º Ð Ø º ËÓÚ ÐÐ
LisätiedotP F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,
ËÁË ÄÌ º º½ º º¾ º º º º Ú Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò
LisätiedotÌ ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ì Å Ó Î Ø ÁÈÄÇÅÁÌ Æ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ ÌÝ Ò Ò Ñ Î Ö ÚÖÓÓØØÓÖ Ò ÓÒ Ò Ò ÐÝÝ È ÚÑÖ º Ñ ÖÖ ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÚÙÑÖ ¾ Ç ØÓ Ë ¹ Ø ØÓÐ ÒÒ Ø Ò Ò Ó ØÓ ÈÖ
Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ë ¹ Ø ØÓÐ ÒÒ Ø Ò Ò Ó ØÓ Å Ó Î Ø Î Ö ÚÖÓÓØØÓÖ Ò ÓÒ Ò Ò ÐÝÝ ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Òº ÔÓÓ º Ñ ÖÖ ÙÙØ ¾¼¼ ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ ÈÖÓ ÓÖ ÒØ ÖÓ Ö Ó ÌÝ
Lisätiedot(xy)z = x(yz) λx = xλ = x.
ÄÙ Ù ½ ÐÙ ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ ÝØ ØØÚ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Ø ØÓ Ò ØØ Ðݹ Ø Ø Ò Ð ØÓ Ò ÓÔ ÒØÓ ÓÐÐ ÙØÓÑ Ø Øº ÅÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÖ Ú Ò Ð Ø Ò Åº º À ÖÖ ÓÒ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÖÑ Ð Ä Ò Ù Ì ÓÖݺ ÓÒ¹Ï Ð Ý ½ º º º
LisätiedotM Pv + q = 0, M = EIκ = EIv, (EIv ) + Pv = q. v(x) = Asin kx + B cos kx + Cx + D + v p. P kr = π2 EI L n
ÄÙ Ù ½ ËØ Ð Ù Ú Ó Ó ÐÑ ½º½ ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ Ì Ô ÒÓ ÓØ Q v + q =, M = Q, ½º½µ ÑÑÓ ÐÐ ÙÚ ÐÐ M v + q =, M = EIκ = EIv, (EIv ) + v = q. ½º¾µ ½º µ ½º µ EI = Ú Ó ÆÙÖ Ù ÚÓ Ñ v (4) + k v = q EI, k = EI,
LisätiedotÀ ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
Ø ÝØØ Ø Ò ØØ Ò ÙÚ Ù ÐÓ Ô ÖÙ Ø Ò Ò Ñ¹ Ö ØØ ÐÝ Û È ØÖ Ä Ò Ö Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
LisätiedotRuuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
Ä ÊÓÔÔÓÒ Ò Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú
LisätiedotÌ ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ
ÂÝÖ Ä Ò Ò Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½ º ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ
Lisätiedot(AB) ij = p. k=1 a ikb kj. AA 1 = A 1 A = I.
Ð ÙÓ ÙÖ Ø Å˹ ½ ¼ ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ A A = 0 0 2 0 0 2 ÐØÓ Ð ÓÔ ØÓ È ÖÙ Ø Ø Ò ÃÓÖ ÓÙÐÙ Å Ø Ñ Ø Ò ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼½ ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ ÙÙ ÐÐ Ò Ý ÝÐÐ ¾¼½
LisätiedotReferenced. Object. StateSet. Node. Geode
ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ¹Ó Ø Ì ÑÓºÌÓ Ú Ò ÒØѺ Ùغ ÌÑ Ó ÙÑ ÒØØ ÓÒ ØÝ Ò Ø Ô Ú Ø ØÒ Ø ÖÔ Ò ÑÙ Òº ½ Ø ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ÇË µ ÓÒ ÇÔ Ò Ä Ò Ô Ö ÒÒ ØØÙ ¹ÙÓ Ö¹ ØÓ Ó ÓÒ Ú Ô Ø Ø Ú Ó ØÓ Ñ ÑÓÒ ÝÑÔÖ Ø º ÇË Ó¹ ÙÑ ÒØÓ ØÙ ÓÜÝ Ò¹Ó Ñ ØÓÒ
LisätiedotP(E i ) P( ) = 0. P(A A c ) = P(A)+P(A c ) = 1. P( ) = 1 P(Ω) = 0. P(E 1 E n ) = P(E 1 )+ +P(E n ). i=1. i=1
È Ò Ò ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ËÙÑÑ Ò Ò ½ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÖ ¾ ¾º½ Ë ØÙÒÒ ÙÙ ØÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÓÐÐ Ò
LisätiedotÌ ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ØÙÖÚ ÐÐ ÙÙ ØØ Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ø Ø Ó ÐÐ ÑÖØÒ ÓÖ ¹ Ò Ø Ó
LisätiedotHajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
È Ä Ø Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
LisätiedotÌ Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ
Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ð Ò ½½º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼¾ ÂÝÚĐ ÝÐĐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº
LisätiedotX = 0I A0 +1I A1 +2I A2 +3I A3 = 1I A1 +2I A2 +3I A3. {X(ω) = r}º
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º
Lisätiedot