1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).

Transkriptio

1 ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º Ç ÓØÙ Ó Ò ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º º½ Ç ÓØÙ Ø ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó º º º º º º º º º º º º º ½½ º º¾ ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ Ò Ø Ú Ò Ò ÒÓÑ ÙÑ º ½¾¾ º º Ç ÓØÙ Ø Ô Ö ÓØ ÒÒ º º º º º º º º º º º º º ½¾ º º ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ Ò Ø Ú Ò Ò ÝÔ Ö Ó¹ Ñ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º º Ì ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ Ä ÙÖ ÔÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º¾ ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ Ò ÑÖ Ø ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º ½ º º Ë ØÙÒÒ Ø Ô ØÙÑ Ø Ø Ð ¹ Ú ÖÙÙ º º º º º º º º º ½ Ø ÒÚ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ À Ö Ó ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½

2 ÄÙ Ù Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÑÖ Ø ÐØ Ò Ð ÐÙÚÙ ¾º º½º ÇÐ ÑÑ Ó Ð¹ Ð ÐÙÚÙ Ø ÐÐ Ø ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ø ÙÑ Ð ÐÙ Ù ¾º º½µ ÒÓ¹ Ñ ÙÑ Ð ÐÙÚÙØ ¾º Ò Ö Ó Ø Ô Ù Ò ÖÒÓÙÐÐ Ò ÙÑ Ö ØØ Ø ÙÑ Ð ÐÙ Ù ¾º½ µ ÓØ ÓÚ Ø Ñ Ö ¹ Ö Ø Ø ÙÑ Ø º º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÇØÓ Ú ÖÙÙ Ω ÑÖ Ø ÐÐÝÒ Ö Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÒX ÖÚÓ ÓÙ Ó S R ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ P(X S) = 1º ÂÓÙ ÓÒ S Ô Ø ÐÐ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÓÚ Ø X Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ F ÝÔÔÝÔ Ø Ø Ò Ò Ô Ø Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÚ Ø F Ò ÝÔÔÝ º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÒÝØ Ý Ò ÖØ Ò Ò ÝÔÔÝ ÙÒ Ø Ó ε(x) ÙÖ Ú Ø ε(x) = { 1, x 0; 0, x < 0. ÇÐ ÓÓÒ X Ò ÖÚÓ ÐÙ S = {1,2,3,...} P(x = i) = p i i 1º Ë ÐÐÓ Ò X Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó F(X) ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó º½º½µ F(x) = p i ε(x i). i=1 Î Ù Ò Ø Ö Ø Ð ÑÑ Ú Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÖÚÓ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÐ ÓÐ ÐÐ Ò Ò Ö Ó ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ S = {x 1,x 2,x 3,...} Ö Ø Ò ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓ ÓÙ Óº Ë ÐÐÓ Ò ÓÙ Ó Ò S S ÚÐ ÐÐ ÓÒ Ø Ú Ò Ò Ú Ø ÚÙÙ g(x i ) = i P(X = x i ) = P ( g(x) = i ) ÓØ Ò ÚÓ ÑÑ Ò Ø Ö¹ Ú ØØ ÖØÝ Ø Ö Ø Ð Ñ Ò Ú Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÖÚÓ Ø ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ º ½½½

3 ½½¾ ÄÙ Ù º Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ Ñ Ö º½ Ò ÖØ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÓÒ ÐÐ Ò Ò ÓÒ Ö¹ ÚÓ ÐÙ S = {c} ÓÒ Ý Ô Ø ÓÐÐÓ Ò P(X = c) = 1º Ë ÐÐÓ Ò X Ò ÖØÝѹ ÙÒ Ø Ó ÓÒ { 1, x c; F(x) = ε(x c) = 0, x < c. ÇÐ ÓÓÒ Y Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó P ( Y = 1 2) = 1 6, P(Y = 2) = 1 3 P(Y = 3) = 1 2. Ë ÐÐÓ Ò Y Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ F Y (y) = 1 6 ε( y 1 2 ) ε(y 2)+ 1 2 ε(y 3). F(x) F Y (y) x y ÃÙÚ Ó º½º ÙÒ Ø Ó Ò F(x) = ε(x 1) F Y (y) ÙÚ Øº Ñ Ö º¾ À ØÙ ÓÒ N ÖÔ Ð ÔÔÙ ÓØ ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙ ÙÓ Ú Ø Ý Ø Ð Ø Òº Î Ð Ø Ò ØÙ Ø ÖÔ ØÙÒÒ Ø Ô Ð ÙØØ Ò n ÖØ Ñ Ö ØÒ Ú Ð ØØÙ Ò ÖÔÓ Ò ÒÙÑ ÖÓØ ÑÙ Ø Òº ÇÐ ÓÓÒX ÙÙÖ Ò Ú Ð ØØÙ Ò ÖÔÓ Ò ÒÙÑ ÖÓ Ø º Ë ÐÐÓ Ò P(X r) = (r/n) n P(X = r) = P(X r) P(X r 1) ( ) n ( ) n r r 1 =. N N ÅÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò X Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ N E(X) = N n [r n (r 1) n ]r r=1 N [ = N n r n+1 (r 1) n r ] r=1 N [ = N n r n+1 (r 1) n( (r 1)+1 )] r=1

4 º¾º ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ ½½ N [ = N n r n+1 (r 1) n+1 (r 1) n] r=1 = N n [N n+1 N (r 1) ]. n r=1 º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ Ð ÐÙÚÙ ¾º ÒÓÑ ÙÑ Ø ÐØ Ò Ø Ö Ø Ð Ñ ÐÐ ÓØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò Ð ÐÙÚÙ º ÒÓÑ ÙÑ Ð Ø ØØ Ò ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Òº ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó ÓÒ ØÙÒÒ Ó ÓÐÐ ÓÒ Ø ÑÐÐ Ò ØÓ Ò ÔÓ ÙÐ Ú ØÙÐÓ Ú ¹ ØÓ ØÓ ÓÒÒ ØÙÑ Ò Ò ÔÓÒÒ ØÙÑ Ò Ò ÐÝ Ý Ø O Eµº Ñ Ö Ñ Ð Ô Ø Ù Ø ÐÙ Ò Ð ÒÒ ØØ Ø ÒÒ Ø Ó Ø Ð ØÙ ÓÒع ÖÓÐÐ ØÙÓØ ÓÒ Ú Ö Ø Ò Ø Ú ÐÐ Ò Ò Ó ÓÒ ØÙÐÓ Ò ÔÓØ Ð Ô Ö Ò Ø Ô Ö Ò º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÒÓÙ ØØ ÖÒÓÙÐÐ Ò ÙÑ ÙÒ { 1 ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ p, º¾º½µ X = 0 ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ 1 p, Ñ 0 p 1º ÆÝØ X ÓÒ ³ÓÒÒ ØÙÑ Ò³ Ò ØØÓÖ ÙÒ Ø Óº ÇÒÒ ØÙ¹ Ñ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ P(X = 1) = p Ú Ø Ú Ø ÔÓÒÒ ØÙÑ Ò ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ ÓÒ P(X = 0) = 1 p ÓØ Ñ Ö ØÒ Ù Ò q = 1 pº ÖÒÓÙÐÐ Ò ÙÑ ÒÓÙ ØØ Ú Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ú Ö Ò ÓÚ Ø ÐÐ E(X) = p Var(X) = pq, E(X) = p 1+q 0 = p, E(X 2 ) = p 1 2 +q 0 2 = p Var(X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = p p 2 = p(1 p) = pq. Å Ö Ø ÑÑ X Ber(p) ÙÒ X ÒÓÙ ØØ ÖÒÓÙÐÐ Ò ÙÑ ÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ pº ÂÓ X Ber(p) Ò Ò X Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ð Ø X Ò rº ÑÓÑ ÒØØ F(x) = (1 p)ε(x)+pε(x 1). E(X r ) = (1 p) 0 r +p 1 r = p ÓÒ Ø Ø Ô Ù ÝÚ Ò ÐÔÔÓ Ð º ÖÒÓÙÐÐ Ò ÙÑ Ò Ber(p) ÑÓ¹ Ñ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ M(t) = E(e tx ) = P(X = 0)e t 0 +P(X = 1)e t 1 Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÐÐ t Rº = (1 p)+pe t = 1+p(e t 1),

5 ½½ ÄÙ Ù º Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ Ñ Ö º Ë ÖÛ Ð ½ µº ÇÐ ÓÓÒ n Ò ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ò ÓÒÓ X 1,X 2,...,X n ÓÒÒ ØÙÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ P(O) = p Ú Ø Ú Ø P(E) = 1 p E = ÔÓÒÒ ØÙÑ Ò Òµº ÇÐ ÓÓÒ Y n Ø Ô ØÙÑ Ò OE Ó ÓÒÓµ Ò¹ ØÝÑ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ Ó ÓÒÓ º Å ÓÒ ØÐÐ Ø Ò Ó ÓÒÓ Ò ÐÙ ÙÑÖÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ E(Y n ) ÅÖ Ø ÐÐÒ Ò Ò ÙÙ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ { 1, Ó X i = O X i+1 = E; Z i = h(x i,x i+1 ) = 0 ÑÙÙÐÐÓ Ò, ÙÒ i = 1,2,...,n 1º Ë ÐÐÓ Ò ÂÓ Ñ Ö p = 1 2 n 1 EY n = E(Z i ) i=1 n 1 Y n = i=1 Z i n 1 = p(1 p) = (n 1)p(1 p). i=1 n = 101 Ò Ò E(Y n ) = n 1 4 = 25. Ì Ò n Ö ÔÔÙÑ ØÓÒØ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó ØØ Ó Ó ÓÒÒ ØÙÑ ¹ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ pº ÇÐ ÓÓÒ iº ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ò ØÙÐÓ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X i Ó ÖÚÓÒ 1 Ø 0º Ë ÐÐÓ Ò Ó Ö Ò ØÙÐÓ ÓÒ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò Ñ ÖÒÓÙÐÐ Ò ÙÑ ÒÓÙ ØØ Ú Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÒÓX 1,X 2,...,X n Ñ P(X i = 1) = p P(X i = 0) = q i = 1,2,...,nº ÃÙÒ Ó ÓÒ Ø ØÝ ØÙ¹ ÐÓ ÚÓ ÓÐÐ Ñ Ö º ÌÐÐ Ò ØÙÐÓ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÒÒ Ò Ó ØØ µ ÓÐ ppp(1 p)p(1 p)(1 p)ppp pp(1 p) = p k (1 p) n k, Ñ k ÓÒ ÓÒÒ ØÙÑ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ n k ÔÓÒÒ ØÙÑ Ø Ò ÐÙ Ùѹ Öº ÇÐ ÓÓÒ X ÓÒÒ ØÙÑ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ n Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó º Ð ÐÙÚÙ º ØÓØ ÑÑ ØØ X ÒÓÙ ØØ ÒÓÑ ÙÑ Ô ¹ Ö Ñ ØÖ Ò n pº Ë ÐÐÓ Ò Ñ Ö ØÒ X Bin(n,p)º ÒÓÑ ÙÑ Ò ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ( ) n º¾º¾µ f(x) = p x (1 p) n x, x = 0,1,2,...,n. x Ø ØÒ ÒÝØ ÐÐ Ñ Ò ØØÙ ÒÓÑ ÙÑ Ò ÐÙÓÒÒ ÒØ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó¹ Ò ÚÙÐÐ Ð Ù Ò ÑÙÓ Ó º Â Ø Ó ÓÐ Ø Ø Ò ØØ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ú ÓÐ ØÙ Ø Ö Ò Ñ Ò ØØ Òº

6 º¾º ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ ½½ Ä Ù º½ Ì Ò n Ö ÔÙÑ ØÓÒØ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó ØØ Ó Ó ÓÒ¹ Ò ØÙÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ pº ÇÐ ÓÓÒ X ÓÒÒ ØÙÑ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖº Ë ÐÐÓ Ò X Bin(n,p). ÌÓ ØÙ º ÃÓ X ÓÒ ÓÒÒ ØÙÑ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖn Ö ÔÙÑ ØÓÑ Ö¹ ÒÓÙÐÐ Ò Ó Ò ÒX = X 1 +X 2 + +X n Ñ X i Ber(p) = Bin(1,p) i = 1,2,...,n ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÒÓÙ ØØ Ú Ø Ñ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ù¹ Ñ º Å Ö ØÒ ÒÝØ X = S n S n = X 1 +X 2 + +X n = S n 1 +X n. ÌÓ Ø ÑÑ Ú ØØ Ò Ò Ù Ø ÓÐÐ º ÃÙÒ n = 1 Ò Ò ÓÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò X = X 1 Ber(p) = Bin(1,p) ÓØ Ò Ú Ø Ô Ø Ô Ò Ø Ô Ù n = 1º Ì ÑÑ ÒÝØ Ò Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ Ò S n 1 Bin(n 1,p) ÒÝØÑÑ ØØ S n Bin(n,p)º Ì Ô ØÙÑ {S n 1 +X n = k} ÚÓ Ò Ð Ù Ù Ý Ø Ò {S n 1 +X n = k} = {S n 1 = k, X n = 0} {S n 1 = k 1, X n = 1}, Ñ {S n 1 = k, X n = 0} {S n 1 = k 1, X n = 1} ÓÚ Ø Ö ÐÐ Ø Ô ØÙ¹ Ñ º Ë ÐÐÓ Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÒÒ Ò ÒÓ ÐÐ P(S n 1 +X n = k) = P(S n 1 = k, X n = 0)+P(S n 1 = k 1, X n = 1). Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø S n 1 X n ÓÚ Ø ÓÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó¹ Ø Ò P(S n 1 +X n = k) = P(S n 1 = k)p(x n = 0)+P(S n 1 = k 1)P(X n = 1) ( ) ( ) n 1 n 1 = p k (1 p) n 1 k (1 p)+ p k 1 (1 p) n k p k k 1 ( ) ( ) n 1 n 1 = p k (1 p) n k + p k (1 p) n k k k 1 [( ) ( )] ( ) n 1 n 1 n = + p k (1 p) n k = p k (1 p) n k, k k 1 k Ñ Ú Ñ Ò Ò Ý Ø ÙÙÖÙÙ ÙÖ Ø ØØ ( ) ( n 1 k + n 1 ( k 1) = n k) È Ð Ò ÓÐÑ Ó º Æ Ò ÓÒ Ð Ù ØÓ Ø ØØÙº Ñ Ö º ÖÒ Ú Ò Ñ ÒØ Ò ØÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ÐÑÓ ¹ Ø ØØÙ 0.8º Ë Ñ Ò Ò ØÑ Ò Ò ÓÒ Ø ÓÒÒ ØÙÑ Ò Ò ØÑ ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ ÓÒ ÓÒÒ ØÙÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ º ÂÓ ÝÐÚ ØÒ 10 Ñ ÒØ Ñ ÒØ Ò ØÑ Ø Ô ØÙÑ Ø ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò ÝÐÚ ÚÓ Ò Ô Ø

7 ½½ ÄÙ Ù º Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ÝÑÑ Ò Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ò Ó ÓÒÒ ØÙÑ ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ ÓÒ 0.8º Ë ÐÐÓ Ò ØÚ Ò Ñ ÒØ Ò ÐÙ ÙÑÖ X Bin(10,0.8) Ð f(x) = ( ) x x, x = 0,1,...,10. x Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ú ÑÑÒ Ù Ò 9 ÝÚ Ø ÌÓ ÒÒ ÝÝ 10 P(X < 9) = P(X 8) = 1 P(X = k) k=9 = = Ä ÑÑ Ù Ò ÑÙÓØÓ P(X x) ÓÐ Ú ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙØ Ò Ð¹ Ð Ñ Ö º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø P(X x) ÑÖ ØØ Ð ÚØ ÙÑ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ F(x) = P(X x). à ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÑÖ Ø ÐØ Ò Ð ÐÙÚÙ º ÒÓÑ ÙÑ Ò ÖØÝÑ ÙÒ ¹ Ø ÓÒ ÖÚÓØ Ô Ø x = 0,1,...,n ÓÚ Ø F(x) = x k=0 Ä Ù º¾ ÂÓ X Bin(n,p) Ò Ò ( ) n p k (1 p) n k. k ½º X Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó f(x) ÓÒ f(x) = ( ) n p x (1 p) n x, x x = 0,1,2,...,n ÐÐ n N ÐÐ p [0,1] ¾º X Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó F(y) ÓÒ F(y) = n x=0 ( ) n p x (1 p) n x ε(y x) x ÐÐ y R Ñ ε(y) ÓÒ ÝÔÔÝ ÙÒ Ø Ó º X Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ú Ö Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÓÚ Ø µ = E(X) = np, Var(X) = np(1 p), M(t) = E(e tx ) = (1 p+pe t ) n, < t <.

8 º¾º ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ ½½ ÌÓ ØÙ º ½º ÒÓÑ ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó Ó ØØ Ò Ä Ù Ò º½ ØÓ ØÙ º ¾º Ç ÓØÙ ÖÚÓ Ú Ö Ò º ÃÓ X = X 1 +X 2 + +X n ÓÒ Ö ÔÔÙÑ Ø¹ ØÓÑ Ò ÖÒÓÙÐÐ Ò ÑÙÙØØÙ Ò X i Ber(p) ÙÑÑ Ò Ò E(X) = E(X 1 )+E(X 2 )+ +E(X n ) = p+p+ +p = np Var(X) = Var(X 1 )+Var(X 2 )+ +Var(X n ) º ÅÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ = p(1 p)+p(1 p)+ +p(1 p) = np(1 p). M(t) = E ( e tx) = E ( e t(x 1+X 2 + +X n) ) = E ( e tx 1+tX 2 + +tx n ) = E ( e tx 1 e tx2 e txn) = E ( e tx 1 ) E ( e tx 2 ) E ( e txn), Ñ Ú Ñ Ò Ò Ý Ø ÙÙÖÙÙ ÙÖ Ð Ù Ø º º º ÃÓ X i X j i jµ ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò e tx i e tx j ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ä Ù º µ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò e tx1 e tx2 º º º e txn ØÙÐÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ Ý ØØ Ø Ò ØÙÐÓÒ Ø Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ò ØÙÐÓ Ä Ù º µº ÃÓ M Xi (t) = E(e tx i ) = 1 p+pe t, i = 1,2,...,n, Ò Ò M(t) = (1 p+pe t ) n ÐÐ t R. ÅÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ø ÑÖ ØØ Ð Ý ØØ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ä Ù º½¼µº ÆÝØÑÑ Ù Ø Ò Ò Ú Ð ÔÐ ØØ Ø ØØ ÒÓ¹ Ñ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÑÖ ØØ Ð ÚØ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø ÓÒº ÃÓ ÒÓÑ ¹ Ð Ù Ò ¾º Ô ÖÙ Ø ÐÐ n ( ) n [p+(1 p)] n = p x (1 p) n x = 1 x x=0 ÐÐ p [0,1] Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø f(x;n,p) = ( n x) p x (1 p) n x ѹ Ö ØØ Ð ÚØ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø ÓÒ ÐÐ p [0,1] n 1º ÀÙÓÑ ÑÝ ØØ M(0) = (1 p+pe 0 ) n = [p+(1 p)] n. Ë ÙÖ Ù º½ ÂÓ X 1 Bin(n 1,p) X 2 Bin(n 2,p) ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò X 1 +X 2 Bin(n 1 +n 2,p)º

9 ½½ ÄÙ Ù º Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ÌÓ ØÙ º ÃÓ Ä Ù Ò º¾ ÑÙ Ò X 1 Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ (1 p + pe t ) n 1 X 2 Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ (1 p+pe t ) n2 Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X 1 +X 2 ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ä Ù Ò º½½ ÑÙ Ò (1 p+pe t ) n 1+n 2 º ÅÙع Ø Ä Ù Ò º¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ (1 p + pe t ) n 1+n 2 ÓÒ ÒÓÑ ÙÑ Ò Bin(n 1 + n 2,p) ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Óº Ì Ø ÙÖ ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ý ØØ ÝÝ Ò Ä Ù º½¼µ ÒÓ ÐÐ ØØ X 1 +X 2 Bin(n 1 +n 2,p)º Ë ÙÖ Ù Ð Ù Ò º½ ØÓ ØÙ ÓÒ ÝØ ØØÝ Ñ Ö Ò ÚÙÓ ÝÐ Ø ÑÓ¹ Ñ ÒØØ ÙÒ Ø ÓØ Ò º Ì Ø Ô Ù ØÙÐÓ Ò Ù Ø Ò Ò ÐÔÓ Ø ØÙÖÚ ÙØÙÑ ØØ ÒÓ Ò ÚÓ Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Òº ÃÓ X 1 ØØ ÓÒÒ ØÙÑ ¹ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ n 1 ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó X 2 ÓÒÒ ØÙÑ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ n 2 Ó Ñ p ÓÒ Ó Ò Ó Ò ÓÒÒ ØÙÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X 1 X 2 ÙÑÑ X 1 +X 2 ØØ ÓÒ¹ Ò ØÙÑ Ò ÐÙ ÙÑÖ (n 1 + n 2 ) Ó º ÌÑÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò ØÙÐÓ X 1 +X 2 Bin(n 1 +n 2,p)º Ò ÐÝÝØØ Ø ØÙÐÓ ÚÓ Ò Ø Ö Ø Ð ¹ Ñ ÐÐ Ð Ù n 1 P(X 1 +X 2 = k) = P(X 1 = i, X 2 = k i) i=0 n 1 = P(X 1 = i)p(x 2 = k i) = i=0 n 1 ( n1 i=0 i ) p i (1 p) n 1 i ( n2 Ñ ( n 2 k i) = 0 ÐÐ k i > n2 º Ì Ø ÙÖ n 1 P(X 1 +X 2 = k) = p k (1 p) n 1+n 2 k ) p k i (1 p) n2 k+i, k i i=0 ( n1 ËÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ø ÒØ Ø ØØ º Ä Ù ¾º µ Ò Ú ØØÙ ØÙÐÓ º ( ) n1 +n 2 n 1 = k i=0 ( n1 i i )( ) n2 k i )( ) n2. k i º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ ËÝÑÑ ØÖ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ö ÙÑ ÒØÓ ÒØ ÚÓ Ò Ù Ò Ý ÝÒØ ØÓ ÒÒ¹ ÝÝ Ò Ð Ñ º ËÝÑÑ ØÖ Ô Ø Ò Ù Ø Òº ÂÓ P(X = b+x) = P(X = b x) ÐÐ x Ò ÒX Ò ÙÑ ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ô Ø Ò b Ù Ø Òº Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X

10 º º Ç ÓØÙ Ó Ò ÙÑ Ø ½½ X X µ µ ÃÙÚ Ó º¾º ÒÓÑ ÙÑ Ò ÙÚ Ø ÙÒ µ X Bin(16,0.75) µ X Bin(16,0.50)º ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò b Ò Ù Ø Ò Ó Ú Ò Ó X b ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÓÖ ÓÒ Ù Ø Òº Ë ÐÐÓ Ò P(X b x) = P(X b+x). Ñ Ö ÒÓÑ ÙÑ Bin(16,0.50) ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ô Ø Ò 8 Ù ¹ Ø Ò ÑÙØØ ÒÓÑ ÙÑ Bin(16,0.75) ÓÐ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÃÙÚ Ó º¾µº ÒÓÑ ÙÑ Bin(16,0.50) ÓÒ ÐÐ xº Ë ÐÐÓ Ò Ó Ø a R Ó Ø P(X = 8+x) = P(X = 8 x) P(X 8 a) = P(X 8+a). º Ç ÓØÙ Ó Ò ÙÑ Ø ÅÓÒ ÓÚ ÐÐÙ ÓÒ ÒÒÓ ØÙ Ò Ó Ø Ò Ó ÓØÙ Ò Ø Ò ØØ Ó Ò Ø ØØÝ Ø Ô ØÙÑ ØØÙÙº Ì Ð ÐÙÚÙ Ø ÐÐÒ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ò Ý Ò ÖØ Ò ØÙÒÒ ÓØ ÒØ Ò Ð ØØÝÚ Ó ÓØÙ Ø ØÚ º º º½ Ç ÓØÙ Ø ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò Ñ ÖÒÓÙÐÐ Ò ÙÑ ÒÓÙ ØØ Ú Ò ¹ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÒÓ X 1,X 2,...,X n Ñ X i Ber(p)º ÅÖ Ø ÐÐÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø S n W r ÙÖ Ú Ø S n = X 1 +X 2 + +X n, W r = r Ò ÓÒÒ ØÙÑ Ò Ø ÖÚ ØØ Ú Ò ÝÖ ØÝ Ø Ò ÑÖº ÂÓ ØØ Ð ÑÑ ØØ Ý Ø Ò ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ò ÙÐÙÙ Ý Ò Ý Ò Ô ¹ ØÙ Ò Ò Ò Ò S n Ú n Ý º ÆÝØ W r ÓÒ r Ò ÓÒÒ ØÙÑ Ò

11 ½¾¼ ÄÙ Ù º Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ÚÙØØ Ñ Ò Ø ÖÚ ØØ Ú Ð Ó ÓØÙ Ò Ñ ÓÐÐ Ø ÖÚÓØ ÓÚ Ø r r + 1 r + 2 º º º º Ì ÑÑ ØØ S n Bin(n,p) ÑÙØØ Ñ ÓÒ W r Ò ÙÑ Ñ Ö º À Ø ØÒ Ö ØÓÒØ Ð ÒØØ ÙÒÒ Ò ÖÙÙÒ Rµº ÇÐ ÓÓÒ W 1 Ø ÖÚ ØØ Ú Ò ØØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖº Ì Ô ØÙÑ {W 1 = x} ØØÙÙ Ú Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ (x 1) ÐÐ Ò ÑÑ ÐÐ ØÓÐÐ ÓÒ ØÙ Ô Ð Ð ÚÓ Lµ xº ØÓÐÐ Ò ÖÙÙÒ Ì Ø ÙÖ ØØ LLL...L }{{} R. x 1 ÖØ P(W 1 = x) = 1 2x, x = 1,2,... Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò W 1 Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò º º½µ E(W 1 ) = º º¾µ Ì ÑÑ ØØ x=0 x=1 x 2 x. p x = 1+p+p 2 +p 3 + = 1, ÙÒ p < 1º 1 p ÃÙÒ Ö ÚÓ ÑÑ Ö Ò º º¾µ Ø ÖÑ ØØ Ò ÑÑ º º µ 0+1+2p+3p 2 + = (x+1)p x = x=0 1 (1 p) 2, ÙÒ p < 1º ÃÓ Ö Ò º º¾µ ÙÔÔ Ò Ñ ÓÒ ½ ÙÔÔ Ò Ö ÚÓ ÒØ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ØÙ¹ ÐÓ Ò ØÙ Ö º º µ ÖÚÓ ÐÐ p < 1º Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ p = 1 Ö Ò º º µ 2 Ò ( ) x 1 (x+1) = 4, 2 x=0 x=0 Ó ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ Ó ( ) x 1 ( ) x 1 x + = 2 2 x=0 ( ) x 1 x +2 = 4, 2 Ñ ÙÑÑ x=0( 1 2) x = 2 Ò Ú Ø º º¾µº ÆÝØ Ó ÓØÙ Ö¹ ÚÓ º º½µ ÓÒ 2º ÂÓ ÖÙÙÒ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ p Ò Ò ÐÐÓ Ò x=0 P(W 1 = x) = (1 p)(1 p) (1 p) p = (1 p) x 1 p }{{} x 1 ÖØ

12 º º Ç ÓØÙ Ó Ò ÙÑ Ø ½¾½ E(W 1 ) = x(1 p) x 1 p = p (x+1)(1 p) x x=1 = p 1 [1 (1 p)] 2 = 1 p, Ñ Ö Ò ÙÑÑ Ò º º µ Ò ÚÙÐÐ º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ W 1 ÓÒ ÖÙÙÒ Ò Ø ÝÐ ÑÑ Ò ³ÓÒÒ ØÙÑ Ò³ Ó ÓØÙ º  ÙÑ x=0 º º µ P(W 1 = x) = (1 p) x 1 p, x = 1,2,... ÙØ ÙØ Ò ÓÑ ØÖ ÙÑ º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø º º µ ØÓ ÐÐ Ò Ñ¹ Ö ØØ Ð ÚØ ÙÑ Ò Ó P(W 1 = x) = x=1 (1 p) x 1 p = p x=1 x=0 (1 p) x = p 1 p = 1. Ì Ô ØÙÑ {W r = x} ØØÙÙ ÙÒ (x 1) Ò ÑÑ Ó ÓÒ ØÙ r 1 ÓÒÒ ØÙÑ Ø xº Ó Ò ÓÒÒ ØÙÑ Ò Ò } OOEOE...E {{} x 1 Ó ØØ r 1 ÓÒÒ ØÙÑ Ø Ó Ò Ö ØÝ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò O {xº Ó rº ÓÒÒ ØÙÑ Ò Ò ÆÝØ {W r = x} = {S x 1 = r 1, X x = 1}º ÃÓ X i Ø i = 1,2,...,xµ ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò ÑÝ S x 1 X x ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº Ë ÐÐÓ Ò º º µ P(W r = x) = P(S x 1 = r 1)P(X x = 1) ( ) x 1 = p r 1 (1 p) x r p = r 1 ( x 1 r 1 ) p r (1 p) x r, Ó S x 1 Bin(x 1,p)º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø º º µ ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ò º Ò ¹ Ø Ú Ò ÒÓÑ ÙÑ Òº ËÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ ÒØ Ø ØØ º ¾º º µ r x ( ) x = r ( ) x 1 r 1 Ò P(W r = x) = r x P(S x = r). ÌÓ Ò Ò Ù Ò ÝØØ ÐÔÓ Ò Ò ÒØ Ø ØØ ÓÒ P(W r > x) = P(S x < r).

13 ½¾¾ ÄÙ Ù º Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ º º¾ ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ Ò Ø Ú Ò Ò ÒÓÑ ÙÑ Ë ÒÓÑÑ ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÒÓÙ ØØ Ò Ø Ú Ø ÒÓÑ ÙÑ Ô Ö Ñ ØÖ Ò r p Ó º º µ P(X = x) = ( ) x 1 p r (1 p) x r, x = r,r+1,r +2,... r 1 Å Ö Ø ÑÑ ÐÐÓ Ò X NBin(r,p). ÐÐ ÔÝ Ð ÙÓÑ ÑÑ ØØ Ó ÓØÙ W r NBin(r,p)º ÃÙÒ r = 1 ÒÓÑÑ Ò Ø Ú Ø ÒÓÑ ÙÑ ÓÑ ØÖ ÙÑ º Ó¹ Ñ ØÖ Ò ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ º º µ f(x) = p(1 p) x 1, x = 1,2,3,... ÃÙÒ X NBin(1,p) Ò Ò X Ò ÒÓÙ ØØ ÓÑ ØÖ Ø ÙÑ Ô Ö ¹ Ñ ØÖ ÐÐ pº Å Ö Ø ÑÑ ÐÐÓ Ò X Geo(p)º Ä Ù º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ X NBin(r,p)º ½º ÙÒ Ø Ó º º µ ÓÒ Ò Ø Ú Ò ÒÓÑ ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÐÐ ÔÓ Ø Ú ÐÐ Ó ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ r ÐÐ 0 < p < 1 ¾º E(X) = r p, r(1 p) Var(X) =, p 2 M(t) = E(e tx (pe t ) r ) = [1 (1 p)e t ] r, t < log(1 p). ÌÓ ØÙ º ÂÓ ÑÑ Ò Ò Ò Ø Ú Ò ÒÓÑ ÙÑ Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø ÓÒ ÙÓÖ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÒÓ ÐÐ º ÃÓ M(t) = E(e tx ) Ò Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó

14 º º Ç ÓØÙ Ó Ò ÙÑ Ø ½¾ ÓÒ ( ) x 1 E(e tx ) = e tx p r (1 p) x r r 1 x=r ( ) r +y 1 = p r e t(y+r) p r (1 p) y r 1 y=0 ( ) r +y 1 = p r e tr e ty (1 p) y y y=0 ( ) r = p r e tr e ty ( 1) y (1 p) y y y=0 ( ) r [ (1 p)e = p r e ] tr t y y y=0 [ = p r e tr[ 1 (1 p)e t] r pe t = 1 (1 p)e t ] r. ÒÓÑ Ö y=0 ( r )[ ] y (1 p)e t y ÙÔÔ Ò ÙÒ (1 p)e t < 1 Ó ÓÒ Ý ØÔ ØÚ ÔÝ ØÐ Ò t < log(1 p) Ò º ÃÓ M(0) = 1 ÐÐ ÔÓ Ø Ú ÐÐ Ó ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ r r Nµ ÐÐ 0 < p < 1 Ò Ò º º µ ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÐÐ r N ÐÐ 0 < p < 1º Ç ÓØÙ ÖÚÓ Ú Ö Ò Ò Ð Ñ ÐÐ Ò Ò M(t) Ò 1º 2º Ö Ú ØØ Ò Ò ÚÙÐÐ E(X) = M (0) Var(X) = M (0) [M (0)] 2. Ë ÙÖ Ù º¾ ÂÓ X NBin(1,p) Ð X ÒÓÙ ØØ ÓÑ ØÖ Ø ÙÑ Geo(p) ½º ÓÑ ØÖ Ò ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ º º µ ÐÐ 0 < p < 1 ¾º E(X) = 1 p, 1 p Var(X) =, p 2 M(t) = E(e tx pe t ) = [1 (1 p)e t ], t < log(1 p). ÇÐ ÓÓÒ Y ÔÓÒÒ ØÙÑ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÖÒÓÙÐÐ Ò ØÓ ØÓ Ó ÒÒ Ò Ù Ò Ò rº ÓÒÒ ØÙÑ Ò Òº ÃÓ rº ÓÒÒ ØÙÑ Ò Ø ÖÚ ØØ Ú Ò ÝÖ ØÝ Ø Ò ÑÖ W r NBin(r,p) Ò Ò Y = W r r E(Y) = E(W r ) r = r p r(1 p) r =. p

15 ½¾ ÄÙ Ù º Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ Y Ò Ú Ö Ò ÓÒ Ø ØÝ Ø Ñ Ù Ò W r Ò Ú Ö Ò º ÆÝØ P(Y = y) = P(W r = r +y) ÐÐ y = 0,1,2,...º Æ Ñ ØÝ Ò Ø Ú Ò Ò ÒÓÑ ÙÑ ÓÒ Ô Ö Ò ØÝ Ø Ú Ø 1 = p r p r = p r [1 (1 p)] r = p r y=0 ( r y ) [ (1 p)] y, Ñ Ø ) Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø P(W r = y + r) y = 0,1,2,... Å Ö ÒØ ÓÒ ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò ( r y ( ) r = ( r)(y) y y! Ñ r > 0 y 0 ÓÚ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ù º ( ) r +y 1 = ( 1) y, y Ñ Ö º ÓÑ ØÖ ÐÐ ÙÑ ÐÐ Ò Ø Ú ÐÐ ÒÓÑ ÙÑ ÐÐ ÓÒ ØÖ Ñ Ö ØÝ Ñ Ö ÓÒÓØ ÓÖ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÓÙ Ó ¹ Ø ÓÒÓØØ Ô Ý Ô ÐÚ ÐÙØ ÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ p ØØ Ó ÐÐ Ô Ò ÐÐ ÚÐ ÐÐ ØÙÐ ½ ÙÙ ¼ ÙÙØØ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ 1 p = qµº Ë ÐÐÓ Ò ÙÖ Ú Ò Ò Ó ÓØÙ W Geo(p)º ÌÓ ÒÒ¹ ÝÝ P(W > k) ØØ ÙÖ Ú Ò k Ò Ý Ò Ò ØÙÐ Ø ÓÒ P(W > k) = q j 1 p = q k (p+qp+q 2 p+ ) j=k+1 ÓÑ ØÖ Ò ÙÑ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ F(k) = P(W k) = = q k = 1 P(W k). k (1 p) i 1 p i=1 = 1 P(W > k) = 1 q k, Ñ q = 1 p k = 1,2,... ÓÑ ØÖ Ò ÙÑ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓØ Ò ÓÑ ØÖ Ø Ö Ø Ó Ø ÙÑ Ò Ò Ñ ØÙÐ º Í Ò ÓÐ Ø Ø Ò ØØ ÑÝ Ò Ô ÐÚ Ð Ñ Ò ÝØ ØØÝ Ô ÐÚ ¹ ÐÙ µ ÒÓÙ ØØ ÓÑ ØÖ Ø ÙÑ º È ÐÚ ÐÙ Ò ÙÑ ÐÐ ÓÒ Ø ØÝ Ø ÝÐ Ò Ö Ô Ö Ñ ØÖ Ò p ÖÚÓ Ù Ò Ô ÐÚ ÐÙÒ Ó ÓØÙ Ò ÙÑ ÐÐ º Ó¹ Ñ ØÖ ÐÐ ÙÑ ÐÐ ÓÒ ÙÒÓ Ø Ñ ÓÑ Ò ÙÙ Ó Ú Ø Ò Ð Ñ ÐÐ ÙÖ Ú ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ º º µ P(W > k +s W > k) = P(W > k +s) P(W > k) = qk+s q k = q s. ÆÝØ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ò Ô ÐÚ Ð Ñ Ò Ò Ø Ú Ð s Ý ¹ Ö ÔÙ Ø Ù Ò Ù Ò ÒØ ÓÒ Ó Ô ÐÚ ÐØÙº ÇÒÒ Ù Ø Ò Ò ÝØÒÒ Ô ÐÚ ÐÙ Ò ØÝ Ò ÒÓÙ Ø ÓÑ ØÖ Ø ÙÑ º

16 º º Ç ÓØÙ Ó Ò ÙÑ Ø ½¾ Ñ Ö º Ò Ò ØÙÐ Ø ÙÓÒ ÐÑ º È ÔÔÙ ÔÓÐØØ Ð Ú ÐÐ Ñ Ø ¹ Ñ Ø ÓÐÐ ÓÐ Ø Ô Ò Ô Ø Ý ØÙÐ Ø ÙÐ Ø Ó Ó Ý Ú ÑÑ ¹ Ø Ù º ÂÓ ÖØ Ø Ù Ø ÖÚ Ø Ò Ò Ú Ð Ø Ø ÙÒ ØÝ Ò ØÙÒ¹ Ò Ø ÓØ Ò ÙÑÑ Ò Ò Ø ÙÒ Ú Ð ÒØ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ 1 2 º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ø Ô ØÙÑ ØØ Ñ Ø Ñ Ø Ó ÙÓÑ Ð Ø ÓÒ ÓÐ Ú Ò ØÝ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÙÑÑ Ò Ð Ø Ó ÓÐ ÐÙÒÔ Ö Ò N Ø Ù º Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ ØØ ØÓ Ð Ø Ó ÓÒ Ø ÑÐÐ Ò k Ø Ù k = 0,1,...,Nµ ÐÐÓ Ò ÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ú Ø ØÓ Ò Ð Ø ÓÒ ÓÐ Ú Ò ØÝ ÇÐ ÓÓÒ A Ø Ô ØÙÑ ØØ Ñ Ø Ñ Ø Ó ÙÓÑ Ó ÒÔÙÓÐ Ò Ð Ø ¹ ÓÒ ÓÐ Ú Ò ØÝ Ñ ÐÐ Ú ÑÑ Ò Ø ÙÒ Ð Ø Ó ÓÒ k Ø Ù º Ì Ô ¹ ØÙÑ ÚÓ ØØÙ Ø ÑÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ Ó ÒÔÙÓÐ Ò Ø ÙÒ Ð Ø Ó Ø Ú ¹ Ð Ø Ò Ø Ù(N+1)º ÖÖ Ò Ý Ø Ò Ú Ð ÒØÓ ÓÒ Ø ØÝN+1+N k ÔÔ ¹ Ð ØØ º Ì ÑÑ Ú Ð ÒØÓ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ º ÅÓÐ ÑÑ Ð Ø Ó ÓÒN Ø ¹ Ù ÓØ Ò Ø Ô ØÙÑ AÓÒ Ú Ú Ð ÒØØ Ø Ô ØÙÑ Ò{W N+1 = N+1+N k} Ò º Ë ÑÑ Ú ÐÐ º º µ ØÓ ÒÒ ÝÝ ( )( ) 2N k+1 2N k 1 P(W N+1 = N +1+N k) =. N 2 ÃÓ ÑÝ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ú ÑÑ ÒÔÙÓÐ Ò Ò Ð Ø Ó ÙÓÑ Ø Ò ØÝ Ó ÒÔÙÓÐ ÓÒ k Ø Ù ÓÒ P(W N+1 = N+1+N k) Ò Ò Ú Ø Ù Ý ÝÑÝ Ò ÓÒ ( )( ) 2N k 2N k 1 2P(W N+1 = N +1+N k) =. N 2 º º Ç ÓØÙ Ø Ô Ö ÓØ ÒÒ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÔÓÔÙÐ Ø Ó ÓÒ ÒÐ Ð Ó Ø º Î Ð Ø Ò ÔÓÔÙÐ Ø Ó ¹ Ø Ô Ö ÓØÓ º ÃÝØ ØÒ ÒÝØ ÔÙÒ ÙÙÖÒ Ñ ÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ ÙÙÖÒ a Ú Ð¹ Ó Ø Ô ÐÐÓ b ÑÙ Ø Ô ÐÐÓ Ð Ý Ø Ò a + b = N Ô ÐÐÓ º ÈÓ Ñ Ø Ò ØÙÒÒ Ú Ð ÒÒ ÐÐ Ô ÐÐÓ ÙÙÖÒ Ø Ý Ø ÐÐ Òº ÅÖ Ø ÐÐÒ ØÙÒÒ ÑÙÙع ØÙ Ø S n = Ú Ð Ó Ø Ò Ô ÐÐÓ Ò ÓÒÒ ØÙÑ Ø Òµ ÐÙ ÙÑÖ n Ò ÑÑ ÒÓ ØÓ W r = r Ò Ú Ð Ó Ò Ô ÐÐÓÒ Ñ Ø ÖÚ ØØ Ú Ò ÒÓ ØÓ Ò ÑÖº ÂÓ Ø ÐÐ Ò ØØ ÒÓ ØÓÓÒ Ñ Ò Ý Ý Ò Ò W r ÓÒ r Ò Ú Ð Ó Ò Ô ÐÐÓÒ Ñ Ø ÖÚ ØØ Ú Ó ÓØÙ º ÂÓ ÓØ ÒØ Ø Ò Ô Ð ÙØØ Ò Ò Ò Ô Ö Ø ÒÓ ØÓØ ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓ¹ Ñ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø Ó ÓÒÒ ØÙÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ p = a/nº Ì ¹ Ø Ô Ù ÚÓ Ò ÙÓÖ Ò ÓÚ ÐØ ÐÐ Ø ØØÝ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø Ó Ú ØÙÐÓ º

17 ½¾ ÄÙ Ù º Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ÃÙÒ ÓØ ÒØ Ø Ò Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ Ô Ö Ø ÒÓ ØÓØ ÚØ ÓÐ Ö ÔÔÙ¹ Ñ ØØÓÑ Ó Ú Ð Ó Ø Ò Ô ÐÐÓ Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ó ÙÙ ÙÙÖÒ Ö ÔÔÙÙ ¹ Ø Ñ Ø ÐØ ÓÒ Ó Ú Ð ØØÙº Ð ÐÙÚÙ ¾º º½ Ó Ó Ø ÑÑ ØØ S n ÒÓÙ ØØ ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ø ÙÑ ÙÒ ÓØ ÒØ Ø Ò Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ º ÑÝ Ð ÐÙ Ù º º µº Ë ÐÐÓ Ò ( a N a ) º º µ P(S n = x) = x)( n x ( N, n) ÙÒ x = 0,1,...,nº Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ÑÑ xº ÒÓ ØÓ rº Ú Ð Ó Ò Ô ÐÐÓÒ Ì Ô ØÙÑ {W r = x} ØØÙÙ Ø ÑÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ x 1 Ò ÑÑ ÒÓ ØÓ ÓÒ ØÙ r 1 Ú Ð Ó Ø xº ÒÓ ØÓ Ò Ú Ð Ó Ò Ò º º º }{{} Î Ð ØØÙ x 1 Ô ÐÐÓ Ó Ø Ú Ð Ó r 1 Ú Ð ÒØ Ö ØÝ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò xº Ú Ð ÒØ rº Ú Ð Ó Ò Ò º º º ÍÙÖÒ Ð ÐÐ N x+1 Ô ÐÐÓ Ó Ø Ú Ð Ó a r+1º ÎÓ ÑÑ Ö Ó ØØ {W r = x} = {S x 1 = r 1, X x = 1} Ñ S x 1 HGeo(x 1,N,a/x) º Ñ Ö º º½º µ X x = 1 ÙÒ Ú Ð Ø Ò Ú Ð Ó Ò Ò Ô ÐÐÓ xº ÒÓ ØÓ º Ì Ø ÙÖ ØØ º º½¼µ P(W r = x) = P(S x 1 = r 1,X x = 1) = P(S x 1 = r 1)P(X x = 1 S x = r 1) ) a r +1 = ) N x+1, ( a )( N a r 1 x r ( N x 1 ÙÒ x = r,r +1,...,Nº ÌÓ ÒÒ ÝÝ º º½¼µ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Ð Ù Ò ( )( N x ) x 1 a r º º½½µ P(W r = x) = ( r 1 N, a) Ó ÓÒ Ò Ø Ú Ò ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Óº ÃÓ ¹ ( ) x 1 r 1 = r x x( r) Ò Ò P(W r = x) = r ( x N x ) r)( x a r ( N = a) r x P(S x = r), Ñ S x HGeo(x,N,a/N)º Î Ø Ú ÒÐ Ò Ò ØÙÐÓ Ø Ò ÓØ ÒÒ Ô ¹ Ð ÙØØ Òº Ë ÑÓ Ò ÓÒ ÐÐ Ò ÐÔÔÓ Ò ØØ P(W r > x) = P(S x < r). Å Ö ØÒ W r NHGeo(r,N,p) Ñ p = a/nº

18 º º Ç ÓØÙ Ó Ò ÙÑ Ø ½¾ º º ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ Ò Ø Ú Ò Ò ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ ÇÐ ÑÑ Ø ÐÐ Ø ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò ÙÑ Ò Ø Ö Ø Ð Ñ ÐÐ ÓØ ÒØ Ô ¹ Ð ÙØØ Ñ ØØ Ð ÐÙ Ù ¾º º½µº  ÙÑ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÓØ Ò¹ Ø Ò Ð ØØÝÚ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ØÚ º ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò ÙÑ Ò ÑÓÑ Òع Ø ÙÒ Ø ÓÐÐ M(t) ÓÐ ÓÐ Ñ Ø Ð Ù ØØ Ú Ø ØÝ Ø ÚÓ Ò Ð Ù Ù ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò Ö ÐÐ Ò ÙÑÑ Ò Ó ØÙÒÒ ÑÙÙع ØÙ Ò ÖÚÓ ÓÙ Ó ÓÒ Ö ÐÐ Ò Òº ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ Ú Ö Ò Ò Ð Ñ Ò Ò ÑÝ Ò ÓÐ Ú Ò ÐÔÔÓ Ø ØÚº ÇÐ ÑÑ Ñ Ö ÒÒ Ø ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Ð Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ N = a+b Ó Ø a ÔÔ Ð ØØ ÓÒ ØÝÝÔÔ b ÔÔ Ð ØØ ØÝÝÔÔ º Ñ Ö ØÙÓØ ÔÓ¹ ÔÙÐ Ø Ó ÓÒ a Ú ÐÐ Ø º ÌÝÝÔÔ ÓÐ Ú Ò Ð Ó Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ó ÙÙ ÓÒ p = a/nº ÌÝÝÔÔ ÓÐ Ú Ò Ð ÓÒ Ú Ð ÒØ ÓÒ ÓÒÒ ØÙÑ Ò Ò ØÝÝÔ Ò Ú Ð ÒØ ÔÓÒÒ ØÙÑ Ò Ò º Î Ð Ø Ò ÔÓÔÙÐ Ø Ó Ø n Ò Ð ÓÒ ÓØÓ Ô Ð ÙØØ ¹ Ñ ØØ º ÇÐ ÓÓÒ X ÓÒÒ ØÙÒ Ò Ú Ð ÒØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓØÓ º ÇÒ ÐÚ ØØ 0 X nº ÃÓ ÔÓÔÙÐ Ø Ó ÓÒ pn ÔÔ Ð ØØ ØÝÝÔÔ ÓÐ Ú Ð Ó Ø (1 p)n ÔÔ Ð ØØ ØÝÝÔÔ Ò Ò X pn n X (1 p)nº Ë X Ò ÖÚÓ ÐÙ S ÓÒ ÓÒ max{0,n (1 p)n} x min{n,pn} ØÓØ ÙØØ Ú Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò x ÓÙ Óº ÃÙÒ X ÒÓÙ ØØ ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ø ÙÑ HGeo(n,N,p) Ò Ò X Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ º º½¾µ f(x) = P(X = x) = ( Np x )( N Np n x ) ( N n), x S. ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ ØÓ ÒÒ ÝÝ º º½¾µ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÑÝ ÖÚÓ ÐÐ x / S ÑÙØØ ÐÐÓ Ò f(x) = 0º Ä Ù º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ X HGeo(n,N,p)º Ë ÐÐÓ Ò E(X) = np Var(X) = N n N 1 np(1 p). ÌÓ ØÙ º ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ð ØØ Ò Ñ Ö º Ð ÐÙÚÙ º º º Î Ö Ò ÚÓ Ò Ð Ú Ø Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ º Ä Ù º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Y NHGeo(r,N,p)º Ë ÐÐÓ Ò E(Y) = r N +1 Np+1 Var(Y) = rn(n +1)(1 p)(np+1 r). (Np+1) 2 (Np+2)

19 ½¾ ÄÙ Ù º Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ Å Ò Ø ÑÑ Ó Ð ÐÙÚÙ ¾º º½ ØØ ÒÓÑ ÙÑ ÚÓ Ò ÝØØ ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò ÙÑ Ò Ð ÖÚÓÒ ÙÒ N ÓÒ ÙÙÖ º Ö ØÝ Ø ÙÒ N ÓÒ Ö Ø Ò Ø ÝÚ Ò ÙÙÖ Ú ÖÖ ØØÙÒ ÓØÓ Ó ÓÓÒµ ÓÒ Ý ÒØ Ú ÝØ ¹ ØÒ ÓØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò Ú Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ º ÇÐ Ø Ø Ò ÒÝØ ØØ X N HGeo(n,N,p) X Bin(n,p). ÃÙÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ø n p ÓÚ Ø ÒÒ ØØÙ Ú Ó Ø N Ú Ö ØØ ÚÓ ÑÑ Ó Ó ØØ ØØ X N Ò ÙÑ Ð ØÝÝ X Ò ÙÑ º Ë ÐÐÓ Ò X N ÃÓ X Bin(n,p) Ò Ò d X, ÙÒ N. X N d Bin(n, p), Ð X N Ò ÙÑ Ð ØÝÝ ÒÓÑ ÙÑ ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÓÚ Ø n pº Ë ÒÓÑÑ ÑÝ ØØ X N Ò ÙÑ ÙÔÔ Ò Ó Ø X Ò ÙÑ N Ò ¹ Ú º ÃÙØ ÙÑÑ X Ò ÙÑ X N Ò ÝÑÔØÓÓØØ ÙÑ º Ä Ù Ò º ÑÙ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ ÓÒ Ñ ÙÑ Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ñ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Óº ÎÓ ÑÑ ÒÝØ Ø Ö Ø ÐÐ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÒÓ {X N ; N = 1,2,...} = X 1,X 2,... Ú Ø Ú ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó Ò ÓÒÓ {F N ; N = 1,2,...} = F 1,F 2,..., Ñ F N (x) ÓÒ X N Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Óº ÅÖ Ø ÐÑ º½ ÂÓÒÓ {X N ; N = 1,2,...} ÙÔÔ Ò ÙÑ ÐØ Ò Ó Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X Ó lim F N(x) = F(x) N Ô Ø x R Ó X Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó F(x) ÓÒ Ø ÙÚ º Ö ØØ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ô Ù ÚÓ Ò ÐÔÓ Ø ØÓ Ø ØÙÐÓ Ó Ó Ó Ø ØØ ÙÔÔ Ò Ñ Ø ÙÑ Ñ Ð ÚÓ Ò Ø Ö Ø ÐÐ Ý Ø ÝÚ Ò ÑÝ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó Ò ÚÙÐÐ º Ä Ù º ÇÐ ÓÓÒ {X N ; N = 1,2,...} ÐÐ Ò Ò ÔÒ Ø Ú Ø Ò Ó ÓÒ ¹ ÐÙ Ù ÖÚÓ Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÒÓ ØØ X N Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ f N (k) N = 1,2,... ÇÐ ÓÓÒ X ÔÒ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÖÚÓ Ò Ò ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ f(k)º Ë ÐÐÓ Ò X N d X lim N f N(k) = f(k) ÐÐ ÔÒ Ø Ú ÐÐ Ó ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ kº

20 º º ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ ½¾ ÌÓ ØÙ º ÂØ ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º Ä Ù º ÂÓ X N HGeo(n,N,p) Ò Ò X N d Bin(n,p), ÙÒ N. ÌÓ ØÙ º ÃÝØ ØÒ Ð Ù ØØ º Ó Ó Ø Ø Ò ØØP(X N = k) = f N (k) f(k) ÐÐ ÔÒ Ø Ú ÐÐ Ó ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ k ÙÒ N º ØÝ Ó ¹ Ø Ø ØÒ ÐÙ Ò ÔÓ ØØ Ú º º º Ì ÙÑ Ö ØØ Ø ÙÑ Ø ÐØ Ò Ò ÑÑ Ò ÖÖ Ò Ð ÐÙÚÙ ¾º½ º Ë ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ X ÓÒ ÖÚÓ Ú ÖÙÙ ÓÒ S = {1,2,...,N} ÒÓÙ ØØ ¹ Ö ØØ Ø ÙÑ Ó P(X = x) = 1 N, k = 1,2,...,N. Ë ÐÐÓ Ò Ñ Ö ØÒ X Tasd(1,2,...,N) Ñ N 1 ÓÒ ÒÒ ØØÙ ÔÓ Ø Ú ¹ Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÂÓ X Tasd(1,2,...,N) Ò Ò E(X) = N +1 2 Var(X) = (N +1)(N 1). 12 º ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ º º½µ f(x) = e λ λ x, x = 0,1,... x! ÒÓÙ ØØ ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ λ > 0 Ó ÓÒ ÈÓ ÓÒ Ò Ù¹ Ñ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓº Ë ÐÐÓ Ò Ñ Ö ØÒ X Poi(λ). ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ ÐÐ ÓÒ ÖÙÒ Ø ÓÚ ÐÐÙ Ö ÐÓ ÐÐ º Ë Ø ÚÓ Ò ÝØØ ÑÝ ÒÓÑ ÙÑ Ò Bin(n,p) Ð ÖÚÓÒ ÙÒ n ÓÒ ÙÙÖ p Ô Ò º Ë ÐÐÓ Ò ÔØ ( n )p x (1 p) n x e np (np) x. x x! Ä Ù º ÇÐ ÓÓÒ X Poi(λ)º Ë ÐÐÓ Ò ½º ÙÒ Ø Ó º º½µ ÓÒ ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÐÐ λ > 0

21 ½ ¼ ÄÙ Ù º Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ¾º µ = E(X) = λ, Var(X) = λ, M(t) = E(e tx ) = exp(λe t λ). ÌÓ ØÙ º ËÓÚ ÐÐ Ø Ò ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø ÐÑ º º¾µ exp(λ) = e λ λ x = x!. 1º Ò ÒÒ Ò f(x) 0 ÐÐ x = 0,1,2,..., ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ¹ Ø ÐÑÒ º º¾µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ e λ λ x f(x) = = e λ λ x x! x! = e λ e λ = 1. x=0 x=0 x=0 x=0 2º ÂÓ Ø Ò Ò Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø ÓÒ M(t) Ð Ù M(t) = E(e tx ) = e txλx x! e λ x=0 = e λ (λe t ) x x! x=0 = e λ exp(λe t ) = exp(λe t λ). Ç ÓØÙ ÖÚÓ Ú Ö Ò Ò ØØ Ò Ð Ñ ÐÐ M(t) Ò ½º ¾º Ö Ú ØØ ÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ ÒØ Ø ØØ E(X) = M (0) Var(X) = M (0) [M (0)] 2. Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ ÒÓÙ ØØ Ú Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑÑ ÒÓÙ ØØ ÑÝ ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ º Ä Ù º ÇÐ ÓÓØ X 1 X 2 º º º X n Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø X i Poi(λ i ) i = 1,2,...,nº ÇÐ ÓÓÒ Y = X 1 +X 2 + +X n º Ë ÐÐÓ Ò Ñ λ = n λ i º i=1 Y Poi(λ), ÌÓ ØÙ º Ë ÙÖ Ù Ð Ù Ò º½ ÑÙ Ò n M Y (t) = M Xi (t) = i=1 n exp(λ i e t λ i ) = exp[(e t 1)λ], i=1 Ñ λ = n λ i º Ä Ù Ø º½¼ ÙÖ ØØ Ò Ú Ø Y Poi(λ)º i=1

22 º º ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ ½ ½ ÂÓ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø X 1 X 2 º º º X n ÒÓÙ ØØ Ú Ø Ñ ÈÓ ÓÒ Ò Ù¹ Ñ Poi(λ) Ò Ò Ä Ù Ò º ÑÙ Ò Ò Ò ÙÑÑ Y = X 1 +X 2 + +X n ÒÓÙ ØØ ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ Poi(nλ)º ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ ÓÒ ÝÚ ÒÓÑ ¹ ÙÑ Ò Bin(n,p) Ð ÖÚÓ ÐÐÓ Ò ÙÒ n ÓÒ ÙÙÖ p Ô Ò º ÃÙÒ X Bin(n,p) Ò Ò ÒÓÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ( ) n º º µ f(x;n,p) = p x (1 p) n x, x = 0,1,...,n. x ÒÒ Ø Ò ÒÝØ p Ò Ö ÔÔÙ n Ø Ñ Ö ØÒ Ð Ù º º µ p = p n º Î Ð Ø Ò Ö ØÝ Ø p n = λ n, n 1. Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÒÝØ ÒÓÑ ÙÑ Ò ÓÒÓ Bin(1,p 1 ), Bin(2,p 2 ), Bin(3,p 3 ),... Ú Ø Ú ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÒX 1 X 2 X 3 º º º ÓÒÓ Ñ X n Bin(n,p n ) n 1º ÆÝØ º º µ P(X n = x) = ( n x )( λ n ) x ( 1 λ n) n x, 0 x n. Å Ö ØÒ ØÓ ÒÒ ÝÝØØ º º µ ÐÝ Ý Ø b x (n) à ÒÒ Ø ØÒ ÒÝØx ÒÒ Ø Òn Ò Ú Ö ØØ º Ç Ó ØØ ÙØÙÙ ØØb x (n) ÙÔÔ Ò ÐÐ xº Î Ð Ø Ò Ò Ò x = 0º Ë ÐÐÓ Ò ÑÑ ( º º µ lim b 0 (n) = lim 1 λ n = e n n n) λ. Ë ÓÒ Ö Ò Ò ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø ÓÓÒ Ð ØØÝÚ Ú Ó Ô Ø Ò ÐÝݹ Ò ÙÖ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÑÙ Ø º ÌÙÐÓ º º µ Ò Ñ Ö Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ò p n log(1 p) = n ÚÙÐÐ ÙÒ Ó Ø Ø Ò p = λ n º º µ ÃÙÒ n Ò Ò 1 n n=1 ( log 1 n) λ n ( = nlog 1 λ ) ) λn λ2 = n ( n 2n λ3 2 3n 3 = λ λ2 2n λ3 3n 2 = λ 1 ( ) λ 2 n 2 + λ3 3n +. ( λ λ3 3n + ) 0 log ( 1 λ n) n λº

23 ½ ¾ ÄÙ Ù º Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ Ä Ø Ò ÙÖ Ú b x (n) Ò Ö ¹ ÖÚÓ ÙÒ x > 0º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ô Ö ¹ Ø Ò ÒÓÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ù ØØ b x+1 (n) b x (n) = n x x+1 Ñ n x n 1 1 λ n ( )( λ 1 λ ) 1 = λ n n x+1 ( n x 1 ÙÒ n º Ì Ø ÙÖ ØØ n )( 1 λ n) 1, º º µ b x+1 (n) lim n b x (n) = λ x+1. ÃÙÒ Ð ØÒ ØÙÐÓ Ø º º µ ÝØ ØÒ ÝÚ Ö ¹ ÖÚÓ º º µ Ò ÇÐ ÑÑ ÒÝØØÒ Ø ØØ lim b 1(n) = λ n 1 lim b 0(n) = λe λ, n lim b 2(n) = λ n 2 lim b 1(n) = λ2 n 1 2 e λ, º lim b x(n) = λ n x lim b x 1(n) = n λ x 1 2 x e λ. º º µ lim b x (n) = λx n x! e λ, Ñ Ö ¹ ÖÚÓ ÓÒ P(X = x) ÙÒ X Poi(λ)º ÌÙÐÓ º º µ ØÙÒÒ Ø Ò ÈÓ ÓÒ Ò Ö ¹ ÖÚÓÐ Ò º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø ÒÓÙ ØØ Ú Ø Ñ ÙÑ ÙÒ Ò ÐÐ ÓÒ Ñ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó Ä Ù º µº ÂÓ Ö Ø Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø ÒÓÙ ØØ Ú Ø Ñ ÙÑ Ò Ò Ò ÐÐ ÓÒ Ñ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Óº ÂÓ ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ò X n ÙÑ Ð Ò X Ò ÙÑ n Ò Ú Ö ØØ Ò Ò X n Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó Ð Ò X Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø ÓØ Ñ Ð ¹ ÙÑ Ø ÓÚ Ø Ö ØØ Ä Ù º µº Î ÐÐ ÓÐ ÑÑ Ò Ó Ø Ò Ø ÈÓ ÓÒ Ò Ö ¹ ÖÚÓÐ Ò º º µ Ø ØÒ ØÙÐÓ Ú Ð ÈÓ ÓÒ Ò Ð Ù Ò º Ä Ù º½¼ ÈÓ ÓÒ Ò Ð Ù µ ÇÐ ÓÓÒ X n Bin(n,p)º Ë ÐÐÓ Ò ÙÒ n Ø Ò ØØ np = λº X n d Poi(λ), ÌÓ ØÙ º ÃÓ np = λ ÚÓ ÑÑ Ñ Ö Ø p = λ/nº ÌÓ ØÙ Ô ÖÙ ØÙÙ

24 º º ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ ½ Ä Ù Ò º º ÂÓ X n Bin(n,p) Ò Ò º º µ ( )( n λ f Xn (x) = x n = λx x! = λx x! ( 1 λ n ( 1 λ n à ÒØ ÐÐ x Ò ÖÚÓÐÐ lim n ) x ( 1 λ ) n x n ) n n! (n x)!n x )( n 1 ) n [( n n [( )( n n 1 n n ( 1 λ ) x n n ) ) ( n x+1 n ( )] n x+1 = 1 n )]( 1 λ n) x. ( lim 1 λ x = 1. n n) Æ Ø ØÙÐÓ Ø Ý Ö ¹ ÖÚÓÒ º º µ Ò ÙÖ lim f X n (x) = e λ λ x. n x! Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X n ÙÑ Ð ØÝÝ ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ ÈÓ (λ) ÙÒ n º ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ ÒÓØ Ò Ù Ò ÖÚ Ò Ø Ò Ø Ô ØÙÑ Ò Ð º ̹ Ñ ÐÙÓÒÒ ÒØ Ô ÖÙ ØÙÙ ÐÐ Ð Ù Ø ØØÝÝÒ ÓÑ Ò ÙÙØ Òº ÂÓ Ø Ò ÙÙÖ ÑÖ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø Ó ÓÒÒ ØÙÑ ØÓ¹ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ÝÚ Ò Ô Ò Ò Ò ÐÐÓ Ò Ä Ù Ò º½¼ ÑÙ Ò ÓÒÒ ØÙÑ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÒÓÙ ØØ Ð Ñ Ò ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ º Ñ Ö ÙÙÖ ÑÖ Ñ ÓÒ Ô Ú ØØ Ò ÐØØ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ÐÐ º ØØ Ò Ò Ð Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒÒ ØÙÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ µ ÓÙØÙ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙØ Ò ÓÒ Ô ¹ Ò ÑÙØØ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ÐÐ ÐØØ Ò ÓÐ Ú Ò Ò Ð Ò ÐÙ ÙÑÖnÓÒ ÙÙÖ º Ë ÐÐÓ Ò ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÒÓÙ ØØ Ð Ñ Ò ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ º Ä Ù º½½ ÇÐ ÓÓØ X Y ÐÐ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø Ø¹ Ø X Poi(λ 1 ) Y Poi(λ 2 )º Ë ÐÐÓ Ò X Ò ÓÐÐ Ò Ò ÙÑ ÓÐÐ X +Y ÓÒ ÒÓÑ ÙÑ º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓØm n ÐÐ Ø ÔÒ Ø Ú Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ ØØm < nº

25 ½ ÄÙ Ù º Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ Ë ÐÐÓ Ò P(X = m,x +Y = n) P(X = m X +Y = n) = P(X +Y = n) P(X = m,y = n m) = P(X +Y = n) P(x = m)p(y = n m) = P(X +Y = n) = e λ 1 (λ m 1 /m!)e λ 2 [λ n m 2 /(n m)!] e (λ 1+λ 2) (λ 1 +λ 2 ) n /n! ( ) n λ m = 1 λ n m 2 = m ( n m (λ 1 +λ 2 ) n )( λ1 λ 1 +λ 2 ) m ( 1 λ 1 λ 1 +λ 2 ) n m ÓÒ ÒÓÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ m = 0,1,...,nº Æ Ò ÓÒ Ð Ù ØÓ Ø ØØÙº Ä Ù ÐÐ º½½ ÓÒ ØÖ Ñ Ö ØÝ Ñ Ö Ú Ò Ò ØÓ Ò Ò ÐÝݹ º Ñ Ö º Ì ØÒ ØØ ÙØÓ¹ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ Ò ÐÙ ÙÑÖ Ý ¹ Ñ Ö ÙÙ Ù µ ÒÓÙ ØØ ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ º Ì Ö Ø Ð¹ Ð Ò ÖÐÐ Ø Ó ÙÙ ÐÐ ÐÓ ÙÙ ØØÙÚ Ò ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ Ò ÐÙ ÙÑÖº ÑÔ Ò Ø Ð ØÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÚÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ ÙØÓ¹ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò ÐÙ ÙÑÖ Z Ý ÐÐ Ø Ó ÙÙ ÐÐ ÙÙ Ù µ ÒÓÙ ØØ ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ Poi(λ)º ÇÒÒ ØØÓÑÙÙ Ø ÐÙÓ Ø ÐÐ Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ò Ò Ð Ú Ò Ó¹ Ò ÑÙ Ò Ú Ú Ò Ð Ú Ò Ó Ò Ò ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ÙÙÐÙÙ ØÓ Ò Ò Ø ÐÙÓ Ø µº Î Ú Ò ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ Ò ÐÙ ÙÑÖ X Poi(λ 1 ) Ð Ú Ò ÐÙ¹ ÙÑÖ Y Poi(λ 2 )º Ä X Y ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ÃÓ Z = X +Y Ò Ò E(Z) = E(X)+E(Y) Ð λ = λ 1 +λ 2 º ÌÙØ Ø Ú Ð Ø Ú Ø ÔÓÐ Ò Ø Ó ØÓ Ø ØÙÒÒ Ø Ú Ð ØÙÒ ÙÙ Ù Ò ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ µ ÓÒÒ ØØÓÑÙ٠غ À Ú Ø Ú Ø ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ Ò ÐÙ ÙÑÖ ¹ ½¾¼ n = 120µ ÑÙØØ ÚØ ÓÐÐ Ø Ú Ð ÐÙÓ Ø ÐÐ Ø ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ º Å ¹ Ø ÙÑ ÒÓÙ ØØ Ú Ú Ò ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ Ò ÐÙ ÙÑÖ Ä Ù Ò º½½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ( )( ) m ( 120 λ1 P(X = m Z = 120) = 1 λ ) 120 m 1, m λ 1 +λ 2 λ 1 +λ 2 m = 0,1,...,120º Î Ú Ò ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÒÓÙ ØØ ¹ ÒÓÑ ÙÑ Bin ( ) λ 120, 1 λ 1 +λ 2 º ÑÔ Ò ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ Ø Ð ØÓ Ò Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ ÚÓ Ò ÖÚ Ó Ô Ö Ñ ØÖ Ø λ 1 λ 2 º ÃÙÒ ØÙØ Ø ÓÐ Ú Ø ÐÙÓ Ø ÐÐ Ø ÒÙÓ ½¾¼ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙØØ Ò ØÓ Ú ØØ Ò ½ Ú Ú ÓÒÒ ØØÓÑÙÙØØ º ÃÓ E(X Z = 120) = 120 λ 1 λ 1 +λ 2 Ò Ò ÒÓÑ ÙÑ Ø ÚÓ Ò ÖÚ Ó λ Ô Ö Ñ ØÖ Ò 1 λ 1 +λ 2 ÖÚÓº

26 º º ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ ½ º º º½ ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ Ä ÙÖ ÔÖÓ ËØÓ Ø Ò Ò ÔÖÓ {N(t), t 0} ÓÒ Ð ÙÖ ÔÖÓ Ó N(t) ÓÒ Ò Ó ¹ Ø Ò t Ñ ÒÒ ØØÙÒ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ÐÙ ÙÑÖº Ñ Ö º Ë ÙÖ Ú ÐÙ Ø ÐÐ Ò Ñ Ö Ð ÙÖ Ö ÔÖÓ Ø º ½º ÂÓ N(t) ÓÒ ÒÒ ØÙÐÐ Ø Ó ÙÙ ÐÐ Ø Ò t Ñ ÒÒ ØØÙÒ Ò ÓÒ¹ Ò ØØÓÑÙÙ Ò ÐÙ ÙÑÖ Ò Ò {N(t), t 0} ÓÒ Ø Ô ØÙÑ Ò ÓÒ¹ Ò ØØÓÑÙÙ Ð ØØÝÚ Ð ÙÖ ÔÖÓ º ¾º ÇÐ ÓÓÒ N(t) Ô ÐÚ ÐÙØ ÐÐ ØÙÐÐ Ò Ò ÐÙ ÙÑÖ Ø Ò t Ñ ÒÒ º Ì Ô ØÙÑ ÓÒ Ò ØÙÐÓ Ô ÐÚ ÐÙØ ÐÐ {N(t), t 0} ÓÒ Ø Ô ØÙÑ Ò Ð ØØÝÚ Ð ÙÖ ÔÖÓ º º N(t) ÓÒ ÚÙÓ Ò ÐÙ Ø Ø Ò t Ñ ÒÒ ÝÒØÝÒ Ò Ð Ø Ò ÐÙ Ù¹ ÑÖ ÙÔÙÒ Aº º N(t) ÓÒ Ð Ô ÐÐÓ ÓÙ Ù Ò A Ø Ñ Ò Ñ Ð Ò ÐÙ ÙÑÖ Ù Ò ÐÙ Ø Ò Ó Ø Ò t Ñ ÒÒ º Ä ÙÖ ÔÖÓ Ò ØÙÐ ØÓØ ÙØØ ÙÖ Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø ½º N(t) 0º ¾º N(t) N Ð N(t) ÓÒ Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÖÚÓ Ò Òº º ÂÓ s < t Ò Ò N(s) N(t)º º ÃÙÒ s < t Ò Ò N(t) N(s) ÓÒ ÚÐ ÐÐ (s,t] ØØÙÒ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ÐÙ ÙÑÖº Ä ÙÖ ÔÖÓ ÓÒ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò Ð Ý Ø Ò ÔÖÓ Ó Ö ÐÐ ÐÐ Ú¹ Ð ÐÐ ØØÙÚ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ÐÙ ÙÑÖØ ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº Ñ Ö ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø N(2) N(10) N(2) ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó N(t) ÓÒ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò Ð Ý Ø Ò Ð ÙÖ ÔÖÓ º Ä ÙÖ ÔÖÓ Ò Ð Ý Ø ÓÚ Ø Ø Ø ÓÒ Ö Ø Ó Ñ ÐÐ Ø Ò ÚÐ ÐÐ ØØÙÚ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ÐÙ ÙÑÖÒ ÙÑ Ö ÔÔÙÙ Ú Ò ÚÐ Ò Ô ØÙÙ Ø º ÂÓ N(t) ÓÒ Ø Ø ÓÒ Ö Ò Ò Ð ÙÖ ¹ ÔÖÓ Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ N(t 2 ) N(t 1 ) N(t 2 +s) N(t 1 +s) ÓÒ Ñ ÙÑ ÐÐ ÚÐ ÐÐ (t 1,t 2 ] (t 1 +s,t 2 +s] Ñ t 2 > t 1 s > 0º

27 ½ ÄÙ Ù º Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ º º¾ ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ Ò ÑÖ Ø ÐÝ ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ ÓÒ Ý ØÖ ÑÔ Ð ÙÖ ÔÖÓ º Ë ÑÖ Ø ÐÐÒ Ù¹ Ö Ú Ø ÅÖ Ø ÐÑ º¾ Ä ÙÖ ÔÖÓ {N(t), t 0} ÓÒ ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ ÓÒ¹ ÒØ Ò Ø ØØ ÓÒ λ λ > 0µ Ó ½º N(0) = 0º ¾º ÈÖÓ Ò Ð Ý Ø ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº º Ì Ô ØÙÑ Ò ÐÙ ÙÑÖ Ó ÐÐ h Ò Ô ØÙ ÐÐ ÚÐ ÐÐ ÒÓÙ ØØ ÈÓ ¹ ÓÒ Ò ÙÑ ÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ λh ÐÐ h,t 0º P[N(h+t) N(t) = x] = e λh(λh)x, x = 0,1,... x! Ä ÙÖ ÔÖÓ Ò Ó Ó ØØ Ñ Ò Ò ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ ÅÖ Ø ÐÑÒ º¾ ÚÙй Ð ØØ ÓÐÐ Ò Ð º ÓÐ Ñ ØÒ Ý Ò ÖØ Ø ÒÓ Ø Ö Ø ¹ Ñ Ö ÓÒ 3 ÔØ ÚÝÝØغ Ë Ø ØÒ Ú Ð ØÓ Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ ÓÒ ÚÙÐÐ ÚÓ ÓÐÐ ÐÔÓÑÔ ØÙÒÒ Ø ÔÖÓ º ÎÓ Ò Ó Ó Ø ØØ ÑÖ Ø Ð¹ ÑØ º¾ º ÓÚ Ø Ý ØÔ ØÚغ ÅÖ Ø ÐÑ º Ä ÙÖ ÔÖÓ {N(t), t 0} ÓÒ ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ ÓÒ¹ ÒØ Ò Ø ØØ ÓÒ λ λ > 0µ Ó ½º N(0) = 0º ¾º ÈÖÓ Ò Ð Ý Ø ÓÚ Ø Ø Ø ÓÒ Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº º P ( N(t+h) N(t) = 1 ) = λh+o(h)º º P ( N(t+h) N(t) 2 ) = o(h)º ÅÖ Ø ÐÑ º ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØo(h)º Ë ÒÓÑÑ ØØ ÙÒ Ø Óf( ) = o(h) Ó f(h) lim h 0 h = 0. Ñ Ö º½¼ Ì Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙ٠غ À Ú ÒÒÓ Ò Ñ Ö ÓÐÐ Ò Ø Ó ÙÙ ÐÐ ØØÙÚ Ò ÙØÓ¹ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ Ò ÐÙ ÙÑÖº ÇÒÒ ØØÓ¹ ÑÙÙ Ò ÑÖ ÒÓÙ ØØ Ø Ú ÐÐ Ø Ú Ö Ò ÝÚ Ò ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÒÝØ Ñ Ò Ð ÑÑ Ò ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ Ò ÓÐ ØÙ º ÇÐ Ø ¹ Ø Ò ØØ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÖÐÐ Ø Ó ÙÙ ÐÐ ÒÓÙ ØØ ¹ ÚÐ ÐÐ (0,T) ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ ÓÒ ÒØ Ò Ø ØØ ÓÒ λº ÚÐ ÚÓ ÓÐÐ Ñ Ö ÖÙÙ ¹ Ø ØØÝÒ Ô Ö ÒØ ¹ ÐØ Ô ÚÒ ÐÓ ½ ½ Ø Ó ÙÙ Ó Ò ÙÐÓ Ñ ÒÓØ º Ç ÙÚ Ó ÓÒ Ú ØÙØ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ Ø Ñ Ö ØØÝ ¹ Ð ÐÐ º

28 º º ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ ½ 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 = T }{{} T 5 Ì Ö Ø ÐÙÚÐ (0,T] ÓÒ ØØÙ Ú Ø Ò Ý Ø Ô Ø Ò Ó ÚÐ Ò Ó Ò Ô ØÙÙ¹ Ø ÓÚ Ø T/5º ÆÝØ Ñ Ö ½º Ó ÚÐ ÐÐ ØØÙÒ Ò ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ Ò ÐÙ¹ ÙÑÖ ÓÒ N(t 1 ) N(0) = N(t 1 ) Ó ÓÒ Ø Ò t Ñ ÒÒ Ø¹ ØÙÒ Ò ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ Ò ÐÙ ÙÑÖº ÃÙÚ ÓÓÒ º ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ ÔÖÓ Ò {N(t), t (0,T]} Ö Ð Ø Ó Ñ Ú ÒØÓ Ò ÓÚ Ø Ý Ø ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ¹ غ N(t) 5 }{{} N(t 1 ) t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 = T ÃÙÚ Ó º º ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ Ò {N(t), t (0,T]} ÖÒ Ö Ð Ø ÓÒ ÙÚ º ÅÖ Ø ÐÑÒ º ÓÐ ØÙ Ò ¾ ÑÙ Ò Ð Ý Ø N(t 1 ) N(0) N(t 2 ) N(t 1 ) N(t 3 ) N(t 2 ) N(t 4 ) N(t 3 ) N(t 5 ) N(t 4 ) ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÒÓÙ ØØ Ú Ø Ñ ÙÑ º ÅÖ Ø ÐÑÒ º ÓÐ ØÙ Ø Ø Ö Ó ØØ Ú Ø ØØ Ø Ô ØÙÑ Ø ÓÒÒ ØØÓÑÙ٠ص ØØÙÚ Ø Ý ØØ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ò Ø Ø Ð¹ Ð Ó Ó Ø Ö Ø ÐÙ ÓÒ Òº ÃÓ Ø Ô ØÙÑ Ø ÓÚ Ø Ö ÐÐ Ô Ø Ø Ò Ò Ò ÚÓ Ò Ú Ð Ø Ò Ò ÒÓ Ó Ò Ò ÚÐ Ò Ó ØÙ ØØ ÙÐÐ Ò Ó ÚÐ ÐÐ ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò ½ Ø Ô ØÙÑ º ÂÓ Ø Ö Ø Ð Ñ ÑÑ Ñ Ö Ø Ô Ù Ú Ð Ø Ò Ó ÚÐ Ò Ô ØÙÙ T/20 ØØÙÙ Ø Ó ØÙ ÙÐÐ Ò Ó ÚÐ ÐÐ ÓÖ ÒØ Ò ½ Ø Ô ØÙÑ º Ê ÔÔÙ Ò Ø ØÝ Ø ÙÐÐÓ Ø Ò Ú ÒØÓ Ó Ø Ù Ò ÒÓ Ó Ò Ò Ó ØÙ Ø ÖÚ Ø Òº 0 t 20 = T ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØØ T/n Ò Ô ØÙ ÐÐ Ó ÚÐ ÐÐ ØØÙÙ Ú ÒØÓ ÓÒ ÅÖ ¹ Ø ÐÑÒ º ÓÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò [ ( P N t+ T ) ] N(t) = 1 = λ T ( ) T n n +o. n { T 20

29 ½ ÄÙ Ù º Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ Î Ø Ú Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ó ÚÐ ÐÐ ØØÙÙ Ò ÑÑÒ Ù Ò Ý ¹ Ú ÒØÓ ÓÒ Ú ÚÒ Ô Ò ÐÐ ÅÖ Ø ÐÑÒ º ÓÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò [ ( P N t+ T ) ] ( ) T N(t) 2 = o. n n ÎÓ ÑÑ ÓÐ ØØ ØØ ÙÐÐ Ò Ó ÚÐ ÐÐ ØØÙÙ Ú Ò ¼ Ø ½ Ø Ô ØÙÑ ÙÒ n ÓÒ Ö ØØÚÒ ÙÙÖ º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÒÝØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X i = N ( it n ) ( (i 1)T N n ), i = 1,2,...,n. ÅÙÙØØÙ X i ÚÓ Ò Ø ÐÐ ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò ÖÒÓÙÐÐ Ò Ù¹ Ñ ÒÓÙ ØØ Ú Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ( ) λt X i Ber, i = 1,2,...,n. n ÃÓ Ó ÚÐ ÐÐ (0,T] Ú ØØÙ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ S n = X 1 +X 2 + +X n, Ó ÒÓÙ ØØ ÒÓÑ ÙÑ Bin ( ) n, λt n º ÃÓ E(Sn ) = n λt = λt n ÐÐ n N Ò Ò E(S n ) = λt ÙÒ n º ÎÓ ÑÑ ÓÚ ÐØ ÈÓ Ó¹ Ò Ò Ð Ù ØØ Ä Ù º½¼µ ÓÒ ÑÙ Ò S n ÒÓÙ ØØ ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ Poi(λT) ÙÒ n Ú Ö ØØ º Æ Ò Ñ Ö ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ÚÐ ÐÐ (0,T] ØØÙÙ x ÓÒÒ ØØÓÑÙÙØØ ÓÒ P ( N(T) = x ) = e λt (λt) x. x! ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ö ÔÔÙÙ Ú Ò ÚÐ Ò Ô ØÙÙ Ø T ÒØ Ò Ø Ø Ø λ > 0º º º Ë ØÙÒÒ Ø Ô ØÙÑ Ø Ø Ð ¹ Ú ÖÙÙ ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ ÐÐ Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ÑÝ ÐÑ Ø ÓØ Ø Ô ØÙÚ Ø ØÙÒÒ ¹ Ø Ø Ð ¹ Ú ÖÙÙ º Ë ÐÐÓ Ò ÅÖ Ø ÐÑÒ º ÓØ ÚÓ Ò ÐÙÓÒÒ Ø Ù¹ Ö Ú Ø ½º Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ º Ö ÐÐ ÐÐ ÐÙ ÐÐ ØØÙÚ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ÐÙ Ùѹ ÖØ ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ¾º ØØ ÝÝ º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ÐÙ ÐÐ ØØÙÙ Ò ÑÑÒ Ù Ò Ý Ø ØÙÑ ÓÒ Ú ÚÒ Ô Ò º º ÀÓÑÓ Ò ÙÙ º Ì Ô ØÙÑ Ø ØØÙÚ Ø Ñ ÐÐ ÒØ Ò Ø Ø ÐÐ Ó Ó Ø Ö¹ Ø ÐØ Ú ÐÐ ÐÙ ÐÐ º

30 Ø ÒÚ ØÓ ½ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ Ö ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ Ø Ó º Ë ÐÐÓ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ô ÒØ ¹ Ð ÐØ Ò A Ò Ó Ó ÐÐ ÐÙ ÐÐ ØØÙÙ x Ø Ô ØÙÑ ÓÒ f A (x) = e λa (λa) x, x = 0,1,..., x! Ñ λ ÓÒ Ø Ô ØÙÑ Ò ÐÙ ÙÑÖÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ý Ø Ô ÒØ ¹ Ð Ý Ó ¹ Ø º ÂÓ ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ ÒÓÙ ØØ Ú Ø Ø Ô ØÙÑ Ø ØØÙÚ Ø ÓÐÑ ÙÐÓØØ ¹ Ú ÖÙÙ Ò Ò ÐÐÓ Ò V Ò Ó Ó Ò Ø Ð Ò Ó ÙÙ x Ø Ô ØÙÑ ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ ÐÐ f V (x) = e λv (λv) x, x = 0,1,..., x! Ñ λ ÓÒ Ø Ô ØÙÑ Ò ÐÙ ÙÑÖÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ý Ø Ø Ð ÚÙÙ ¹Ý Ó ¹ Ø º Ñ Ö º½½ Ä ÔÓÑÓ Ú ÐÑ Ø ÙÙÖ Ò ÖÒ ÔÙÐÐ Ø Ò Ó Ø Ø ¹ Ò ÖÙ Ò ÔÙÐÐ º Ä ÔÙÖ ÐÙ ØØ Ò Ò ± ÔÙÐÐ Ø ÐØ Ú Ò¹ ØÒ ¾ ÖÙ Ò º ÃÙ Ò ÑÓÒØ ÖÙ Ò ÔÙÐÐ Ó Ø Ô Ø Ó ØØ Ø ¹ Ò Ò ÇÐ ÓÓÒ ÔÙÐÐ Ò Ø Ð ÚÙÙ V = 1º ÃÙÒ ÖÙ Ò Ø Ó Ø Ø Ò ÝÚ Ò Ø Ò Ò ÓÒ ÐÐ ÔÙÐÐ ÐÐ Ñ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐØ ÖÙ ÒÓ Ø ÓÑÓ Ò ÙÙ µº ÃÓ Ø Ò ÓÒ ÙÙÖ ÓÚ Ø Ö ÔÙÐÐ Ò ØØÙÚ Ò ÖÙ ÒÓ Ò ÐÙ ÙÑÖØ ØÓ ¹ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ô Ò Ò ÔÙÐÐ Ò ØØÙÙ Ò Ñ¹ ÑÒ Ù Ò Ý ÖÙ Ò ÓÒ ÝÚ Ò Ô Ò º Ì Ø Ð ÒØ ÓÒ Ý ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ Ø ¹ÙÐÓØØ Ø Ð ¹ Ú ÖÙÙ¹ º ÈÙÐÐ ÓÒ x ÖÙ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ f(x) = e λ λ x, x = 0,1,2,... x! Ò Ò ¾ ÖÙ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ Ä ÔÙÖ Ú Ø ØØ P(X 2) = 1 P(X < 2) = 1 P(X = 0) P(X = 1) = 1 e λ e λ λ. 1 e λ e λ λ ÔÝ ØÐ ØÓØ ÙØÙÙ ÙÒ λ 4.74 ÓØ Ò ÖÙ ÒÓ Ø ÓÒ Ó Ø ØØ Ú Ø Ò Ò ÖÙ Ò ÔÙÐÐ Ó Ø º Ö Ø Ø ÙÑ Ø Ø ÒÚ ØÓ ÖÒÓÙÐÐ Ber(p) f(x) = p x (1 p) 1 x, x = 0,1 E(X) = p, Var(X) = p(1 p) M(t) = 1 p+pe t

31 ½ ¼ ÒÓÑ Bin(n, p) Æ Ø Ú Ò Ò ÒÓÑ NBin(r, p) ÓÑ ØÖ Ò Ò Geo(p) ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò HGeo(n, N, p) Æ Ø Ú Ò Ò ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò NHGeo(r, N, p) ÈÓ ÓÒ Poi(λ) f(x) = E(X) = np, ÄÙ Ù º Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ( ) n p x (1 p) n x, x Var(X) = np(1 p) M(t) = (1 p+pe t ) n ( ) x 1 f(x) = p r (1 p) x r, r 1 E(X) = r p, [ M(t) = r(1 p) Var(X) = pe t 1 (1 p)e t x = 0,1,...,n p 2 x = r,r+1,... ] r, t < log(1 p) f(x) = p(1 p) x 1, x = 1,2,3,... E(X) = 1 p, 1 p Var(X) = M(t) = f(x) = pe t 1 (1 p)e t, ) ( Np x E(X) = np, f(x) = )( N Np n x p 2 t < log(1 p) ( N, X pn n) n X N Np Var(X) = N n N 1 np(1 p), ( ) ( ) N x x 1 Np r ( r 1 N, x = r,r +1,...,N Np) N +1 E(X) = r Np+1 r(1 p)n(n +1)(Np+1 r) Var(X) = (Np+1) 2 (Np+2) f(x) = e λ λ x, x! x = 0,1,... E(X) = λ, Var(X) = λ M(t) = exp(λe t λ), < t < ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ º Ä ÙÖ ÔÖÓ {N(t), t 0} ÓÒ ÒØ Ò Ø ØØ λº ½º N(0) = 0º ¾º ÈÖÓ Ò Ð Ý Ø ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº º Ì Ô ØÙÑ Ò ÐÙ ÙÑÖ Ó ÐÐ t Ò Ô ØÙ ÐÐ ÚÐ ÐÐ ÒÓÙ ØØ ÈÓ ¹ ÓÒ Ò ÙÑ ÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ λt P[N(t+s) N(s) = x] = e λt(λt)x, x = 0,1,... x! ÐÐ s,t 0º

32 À Ö Ó ØÙ ½ ½ À Ö Ó ØÙ ½º ÇÐ ÓÓÒ X ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ ÖÚÓ ÓÙ Ó ÓÒ S X = {x 1,x 2 } ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó P(X = x 1 ) = p P(X = x 2 ) = 1 pº µ Ä E(X r ) r = 1,2 µ Var(X)º µ ÅÖ Ø X Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Óº ¾º ÇÐ ÓÓÒ X Ber(p) Y ÐÐ Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ ÖÚÓ ÓÙ Ó ÓÒ S Y = {y 1,y 2 } ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó P(Y = y 1 ) = p P(Y = y 2 ) = 1 pº Ä Ù Ù Y ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÚÙÐÐ º º À Ø ØÒ Ð ÒØØ n ÖØ n Ö ÔÔÙÑ ØÓÒØ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó ØØ µº ÇÐ ÓÓÒ ÖÙÙÒ Ò Rµ ØÓ ÒÒ ÝÝ p X ØÓ ØÓ Ø Ò RR ÐÙ ÙÑÖ ØØÓ Ö¹ º µ Å Ø ÓÒ E(X) Å ÓÒ E(X) Ò ÖÚÓ ÙÒ ÙÒ n = 200 µ Ä Var(X)º µ Å Ø ÓÒ ØÓ ØÓ Ø Ò RRRR ÐÙ ÙÑÖÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ Î Ã Ø Ó Ñ Ö º¾ºµ º ÂÓ X ÒÓÙ ØØ ÒÓÑ ÙÑ ÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ 6 Ú Ö Ò 2.4 Ò Ò Ñ Ø ÓÒ P(X = 5) º À ØÙ ÓÒ N Ý Ø Ð Ø Ò ÙÓ Ú Ø ÒÙÑ ÖÓ ØÙ ÖÔ Ð ÔÔÙ º Î Ð ¹ Ø Ò ØÙ Ø n Ò ÖÚ Ò ØÙÒÒ ÓØÓ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ º Ñ Ö º¾µº ÇÐ ÓÓÒ X ÙÙÖ Ò Ú Ð ØØÙ Ò ÖÔ Ð ÔÔÙ Ò Ö ØÝ ÒÙÑ ÖÓ Ø º µ È ÖÖ X Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ¹ ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÙÚ Ø ÙÒ N = 100 n = 10º µ È ÖÖ X Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÙÚ n Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÙÒ N = 100º º Î Ð Ø Ò ØÙÒÒ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØ 2000 Ô Ø ØØ Ý ¹ Ò Ð Ø {(x,y) 0 x 1, 0 y 1}º ÇÐ ÓÓÒ Z Ý ÝÑÔÝÖÒ {(x,y) x 2 +y 2 1} Ó ÙÚ Ò Ô Ø Ò ÐÙ ÙÑÖº µ Å Ø ÙÑ Z ÒÓÙ ØØ µ Ä Z Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒØ º µ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Z 500 Ó ÓØÙ ÖÚÓ µ Ò ÖÓ 2000 ØÙÒÒ ÐÙ ÙÔ Ö º ÅÖ Ø Z Ò ÖÚÓ Ð Ò ÚÙÐÐ π Ò Ð ÖÚÓº º Ö Ò 90 Ò Ú Ö ØØ ÑÒ ÒÒÝ Ò ØÙÓØ ¹ ÖÒ ÓÐ ÒØÙÒÙØ 10 Ú ÐÐ Ø º Î Ð Ø Ò Ø Ø 100 Ò ÒÒÝ Ò ÓÙ Ó Ø 30 ÒÒÝ Ò ÓØÓ Ô ¹ Ð ÙØØ Ñ ØØ º ÇÐ ÓÓÒ X Ú ÐÐ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓØÓ º

33 ½ ¾ ÄÙ Ù º Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ µ ÅÖ Ø X Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Óº µ Ä P(X = 10)º µ Î Ð Ø Ò ÒÒÝ Ø Ø Ø Ù Ò ØÙÒÒ ÓØ ÒÒ ÐÐ Ý Ø ÐÐ Ò Ô ¹ Ð ÙØØ Ñ ØØ ÙÒÒ Ú ÐÐ Ø ÓÒ Ð Ý ØØݺ ÇÐ ÓÓÒ Y Ø ÖÚ ØØ ¹ Ú Ò Ø Ø Ò ÐÙ ÙÑÖº Ä P(Y 20) Ð ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ Ø ÖÚ Ø Ò Ò Ò 20 Ø Ø º º À Ø ØÒ Ö ØÓÒØ Ð ÒØØ ÙÒÒ Ú Ø Ò ØÓ ØÓ RR ÖÙÙ¹ Ò Ô Ö Òµº ÇÐ ÓÓÒ X Ø ÖÚ ØØ Ú Ò ØØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖº ÇÐ ÓÓÒ f n nº ÓÒ Ò ÐÙ Ù Ó ÑÖ Ø ÐÐÒ Ø Ò ØØ f 1 = f 2 = 1 f n = f n 1 +f n 2 n = 3,4,... µ Ç Ó Ø ØØ X Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ µ Ç Ó Ø ØÙÐÓ Ò ÚÙÐÐ ØØ x=2 = 1º µ Ç Ó Ø ØØ E(X) = 6º f(x) = f x 1 2 x, x = 2,3,4,... f x = 1 [( ) x ( ) x ] µ Ç Ó Ø ØØ E[X(X 1)] = 52 Var(X) = 22º µ Ë ÑÙÐÓ X Ò ÖÚÓ Ø Ö Ø Ð Ú Ø Ú Ø Ó ÑÙÐÓ ÒÒ Ò ØÙÐÓ Ø Ø ÓÖ ØØ ØÙÐÓ º º Ö Ú Ð 4000 Ø Ò Ø Ø 100 ÒÒ ØØ Ó Ø Aº ÂÓ Ú Ð Ø Ò 50 Ð ÓÒ ÓØÓ Ò Ø Ø ØÙØ ÑÙ Ò Ò Ò Ñ ÐÐ ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ ÐÐ Ø Ø ÐÐÙ Ø ÓÖ ÒØ Ò 5 ÒÒ ØØ A Ø ½¼º Ö ØÝ Ò ØÙÐ Ð ØÝ Ó ÐØ1000 Ú Ö Ó º Ì Ö ØÙ ÙÙÒÒ Ø Ð¹ Ñ Ò ÑÙ Òn = 100 ØÙÒÒ Ø Ú Ð ØØÙ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ µ Ú Ö Ó ÓÒ Ø Ö Ø ØØ Ú º ÌÙÓØ ¹ Ö ÝÚ ÝØÒ Ó Ø Ö ØÙ Ð Ý Ý Ø Ú ÐÐ Ø Ò ÑÔº Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ØÙÓØ ¹ Ö ÝÚ ÝØÒ Ä ØÓ ÒÒ ÝÝ µ ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò ÙÑ Ò ÚÙÐÐ º µ Ä ØØ Ò Ñ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÝØØ Ò ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò ¹ ÙÑ Ò Ð ÖÚÓÒ ÒÓÑ ÙÑ µ ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ º ½½º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ X Poi(λ)º Ç Ó Ø ØØ E(X) = λ Var(X) = λº

34 À Ö Ó ØÙ ½ ½¾º Ä ÔÓÑÓ Ú ÐÑ Ø Ø Ò ÙÙÖ Ø Ò Ó Ø Ø Ò ÖÙ Ò Ð ÚÓ º Ä ÔÓÝÖ ØØ ÐÙ ØØ 95 ± Ð ÚÓ Ø ÐØ Ò Ò 2 ÖÙ Ò º ÃÙ Ò ÑÓÒØ ÖÙ Ò Ð ÚÓ Ø Ó Ø Ò Ò Ô Ø Ó ØØ Ø Ò Ò ½ º Ä ÓÖ ØÓÖ Ó Ö Ò ÖÙ ÙØ Ø Ò Ø Ö Ð ÙÓ Ø º Ò ÑÑ Ð ÙÓ ¹ ÓÒ ÑÖ Ò c ÔÔ Ð ØØ C¹ØÝÝÔ Ò ÓÖ Ò Ñ Ñ ÐÐ ØÖ ØÓ Ð ÙÓ ÑÖ Ò d ÔÔ Ð ØØ D¹ØÝÝÔ Ò ÓÖ Ò Ñ Ñ Ð¹ Ð ØÖ º ÇÖ Ò Ñ Ø ÓÚ Ø ÙØÙÒ Ø Ò Ø Ò ØÝ Ò ØÙÒÒ Ø º ÂÓ¹ Ò Ö Ò ÖÙ ÙØ Ø Ò ÙÑÔ Ò Ð ÙÓ Ø Ý Ñ ÐÐ ØÖ º À Ö ÐÝÝ Ò Ó Ú Ò Ó ÙÑÑ Ò ÖÙ ÓÐ Ý ØÒ ÓÖ Ò ¹ Ñ º µ Å ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ Ö ÐÓÓÒ µ Å ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ ÙÓÐÐ Ø Ö Ø Ð ÝØÝÝ ÑÓÐ ÑÔ ÓÖ ¹ Ò Ñ Î ÃÝØ ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ ºµ ½ º Ì Ø ÐÐ ØØÙÙ ÑÖ Ò 1.5 ÓÒÒ ØØÓÑÙÙØØ ÙÙ Ù º ÅÖ Ø ÙÖ Ú Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø µ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ Ø ÑÑ ÙÙ µ Ý Ø Ò Ò Ð ÓÒÒ ØØÓÑÙÙØØ ÐÑ ÙÙ Ñ Ð ÙÙ µ Ò Ò Ý ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ÚÙÓ Ò Ó Ò ÙÙ ÙØ Ò º Î ÃÝØ ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ ºµ ½ º ÇÐ ÓÓØ X Y ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ ÒÓ٠ع Ø Ú Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØ٠غ ÇÐ ÓÓÒ E(X) = 1 E(Y) = 2º µ Ä ØÓ ÒÒ ÝÝ P(X +Y) = 5º µ Å ÐÐ Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÖÚÓÐÐ n ØÓ ÒÒ ÝÝ P(X+Y) = n ÚÙع Ø Ñ Ñ Ò µ Ä Ù Ù ØÓ ÒÒ ÝÝ P(X +Y) = 5 ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Y ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó Ò ÚÙÐÐ º ½ º Ã Ö ÓÒ 200 ÚÙ º È ÒÓÚ Ö Ò ÐÙ ÙÑÖ Ó ÐÐ ÚÙÐÐ ÒÓÙ¹ ØØ ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ ÓÒ ÖÚÓ ÓÒ 0.01º È ÒÓÚ Ö Ò ÐÙ¹ ÙÑÖØ Ö ÚÙ ÐÐ ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº µ Å ÓÒ Ú Ö ØØ Ñ Ò ÚÙ Ò ÐÙ ÙÑÖÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒØ µ Ã Ö Ò Ó ÓÐÙ Ú Ø Ñ Ò Ø Ò ÒÒ ØÙÒ Ú Ö Ò ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ ÐÐ 0.9º Å ÓÒ Ó ÓÐÙ Ò Ú Ø Ñ Ò Ú Ö ÐÐ Ø Ò ÚÙ Ò ÐÙ ÙÑÖÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ